Ensimag 1re annee Semestre 1

Travaux Diriges de Probabilites AppliqueesSeance 1 : Axiomes des probablites

Questions de cours

1) Rappeler la definition d’une mesure de probabilite.

2) Rappeler la definition d’une suite croissante d’evenements.

3) Soit (An) une telle suite. Que peut-on dire de la suite des probabilitesP(An) ?

Exercice I - On lance deux des non-truques a n faces (n pair). En supposantque les des sont distinguables, on note N1 et N2 les numeros obtenus lors dulancer des deux des.

1) Pour tous sous-ensembles B1 et B2 de l’ensemble {1, . . . , n}, montrer que

P(N1 ∈ B1 ∩N2 ∈ B2) = P(N1 ∈ B1)P(N2 ∈ B2).

Exprimer les evenements suivants (ou leurs compementaires) a l’aide desvariables aleatoires N1 et N2. Calculer leur probabilite.

2) A = (Obtenir au moins une fois le numero n).

3) B = (Obtenir au moins un numero pair).

4) C = (La somme des numeros obtenus est paire).

5) D = (La somme des numeros obtenus est egale a n).

Exercice II - Soit X un nombre positif mesure a l’issue d’une epreuve aleatoire.On suppose que

∀0 ≤ s ≤ t <∞ , P(X ∈ [s, t)) =

∫ t

s

e−xdx .

1) Pour tout t ≥ 0, montrer que P(X ≥ t) = e−t.

2) Calculer P(sinX ≥ 0).

3) Soit U un nombre pris au hasard dans [0, 1] tel que

∀0 ≤ a ≤ b ≤ 1 , P(U ∈ [a, b)) = b− a .

Pour tout 0 ≤ s ≤ t < ∞, calculer la probabilite P(ln(1/U) ∈ [s, t)).En deduire une maniere d’obtenir un nombre au hasard ayant la memepropriete que X.

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Travaux Diriges de Probabilites AppliqueesSeance 2 : Variables aleatoires et probabilites conditionnelles

Questions de cours

1) Pour deux evenements A et B, exprimer P(A ∪ B) en fonction des pro-babilites des evenements A, B et A ∩B.

2) Pour deux evenements A et B de probabilite non-nulle, rappeler la definitionde probabilite conditionnelle de A sachant B.

3) Enoncer le theoreme des probabilites totales et les conditions sous les-quelles il s’applique.

4) Soit A un evenement. On repete une epreuve jusqu’a ce qu’une conditionC soit realisee. Quelle est la probabilite de A a l’issue de cette experience ?

Exercice I - Soit A et B deux evenements tels que :

P(A) =1

3; P(B) =

1

4; P(A ∪B) =

4

9.

Calculer P(A| B), P(A| B) et P(A ∩ B| B).

Exercice II - Dans un programme informatique, on considere que la fonctionRANDOM renvoie un nombre pris uniformement au hasard dans [0, 1]. Lafonction int calcule la partie entiere inferieure d’un nombre, la fonction roundretourne l’entier le plus proche et la fonction mod retourne le reste de la divisioneuclidienne.

On considere trois programmes informatiques cherchant a simuler le lancerd’un de a 6 faces. Le resultat de ces programmes est contenu dans une variableX. On dira qu’un programme est incorrect s’il existe un entier i ∈ {1, . . . , 6} telque

P(X = i) 6= 1

6.

1) Montrer que le programme suivant est incorrect

X ← round(RANDOM ∗ 5) + 1

2) Montrer que le programme suivant est correct

X ← int(RANDOM ∗ 6) + 1

3) Determiner si le programme suivant est correct ou incorrect

X ← int(RANDOM ∗ 10); X ← (Xmod6) + 1

Calculer la probabilite de chaque resultat possible.

Verification. La somme des probabilites trouvees pour un de sur l’ensemble deses valeurs doit valoir 1. Pensez a verifier cette propriete.

Exercice III - On choisit un nombre N au hasard entre 1 et 4 puis un nombreX au hasard entre 1 et N . Calculer la probabilite de l’evenement (X = k) pourk = 1 a k = 4 ?

Verification. Verifier que la somme des probabilites trouvees vaut 1.

Exercice IV - On repete le lancer d’un de a 10 faces, que l’on suppose equilibre,jusqu’a ce que le de produise un resultat inferieur ou egal a 6. On note alorsX le resultat produit. Determiner la probabilite de l’evenement (X = k) pourk = 1 a k = 6.

Exercice V - A partir d’un unique appel de la fonction RANDOM, ecrireun algorithme qui retourne 0 avec probabilite 1

6 , 1 avec probabilite 13 et 2 avec

probabilite 12 . Demontrer que l’algorithme propose est correct. Evaluer le nombre

moyen d’operations effectuees par l’algorithme.

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Travaux Diriges de Probabilites AppliqueesSeance 3 : Loi geometrique et loi binomiale

Questions de cours

1) Rappeler la definition de la loi geometrique et ses hypotheses de modelisation.

2) Rappeler la definition de la loi binomiale et ses hypotheses de modelisation.

3) Rappeler la valeur de l’esperance des lois dans les deux cas.

Exercice I - Dans un labyrinthe, un rat se trouve face a 4 portes dont uneseule le conduit a la sortie. Il choisit une porte au hasard. S’il ne sort pas, ilest reconduit devant les 4 portes et peut faire un nouvel essai, eventuellementidentique au precedent. On note X le nombre d’essais necessaires au rat poursortir du labyrinthe.

1) On observe que le rat n’a pas de memoire. Il choisit l’une des quatre portesde facon equiprobable a chaque essai. Decrire la loi de la variable X etdonner son esperance.

On observe que le rat a une memoire parfaite. A chaque nouvel essai, ilevite toutes les portes choisies precedemment et choisit au hasard de faconequiprobable parmi les restantes.

2) Calculer les probabilites conditionnelles suivantes

πi = P(X = i+ 1|X > i) , i = 1, 2, 3.

3) Calculer la probabilite des evenements (X = i), pour tout i = 1, . . . , 4, demaniere iterative.

4) Reconnaıtre la loi de la variable X et donner son esperance.

On observe que le rat se souvient uniquement du resultat de la derniereexperience infructueuse et qu’il evite toujours la porte associee a cet essai.

5) Montrer que la probabilite de l’evenement (X = 1) est egale a 1/4.

6) Montrer que la probabilite de l’evenement (X = i) est egale a 1/4 ×(2/3)i−2, pour tout i ≥ 2.

7) Soit N une variable aleatoire de loi de Bernoulli de parametre 3/4 et Gune variable aleatoire de loi geometrique de parametre 1/3, independantede N . On pose

Y = 1 +NG .

Montrer que la loi de la variable aleatoire Y est identique a celle de X.

8) Calculer l’esperance de X.

Exercice II - Un jeu necessite le lancer d’un de equilibre a 19 faces, mais, pourjouer, on dispose uniquement d’un de a six faces que l’on peut lancer un nombrearbitrairement grand de fois. On definit le cout du jeu comme le nombre moyende lancers du de a six faces permettant d’obtenir une realisation de loi uniformesur l’ensemble {1, . . . , 19}.

1) On note N1 et N2 les resultats obtenus suivant deux lancers independantsdu de a 6 faces. Montrer que la variable

X = 6(N1 − 1) +N2

suit la loi uniforme sur l’ensemble {1, . . . , 36}. Indication: Utiliser l’unicitedu resultat de la division euclidienne avec reste.

2) Proposer une procedure de rejet permettant de simuler le lancer d’un dea 19 faces a partir du resultat precedent. Quel est le cout du jeu?

3) Proposer des procedures permettant de simuler le lancer de des a 4,5,10ou 20 faces a partir du de a six faces. Determiner le nombre moyen delancers du de a six faces dans chacune de ces procedures.

4) Proposer une procedure de rejet permettant de simuler le lancer d’un dea 19 faces a partir de la question precedente. Quel est le cout du jeu?

5) Quel est le jeu de cout minimal?

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Probabilites AppliqueesNovembre 2014

Duree 2h00 - Devoir a la maison a preparer pour la seance 4.

Exercice I (3 pts) - Les shadoks fabriquent des fusees qui decollent avec uneprobabilite egale a un sur un million. Les scientifiques shadoks pretendent qu’ilsuffit de faire un million d’essais pour qu’une fusee decolle. On suppose que leslancements forment des epreuves identiques et independantes, dans lesquellesles fusees decollent ou ne decollent pas.

1) Decrire la loi du rang d’apparition du premier decollage de fusee.

2) Calculer la probabilite pour qu’aucune fusee ne decolle lors du premiermillion essais. Montrer que ce nombre est voisin de 1/e.

Exercice II (6 pts) - Eva et Raph jouent aux des. Eva lance un de a six facesalors que Raph lance un de a sept faces. Eva et Raph lancent les des en memetemps. On note N le rang d’apparition du premier 1 chez Eva ou chez Raph.

1) Calculer la probabilite de l’evenement (N > k), pour k ≥ 1. Quelle est laloi de N ?

2) Le premier 1 gagne la partie. Quelle est la probabilite pour que Evagagne ? Quelle est la probabilite de match nul ?

3) Pour k ≥ 1, calculer la probabilite conditionnelle de l’evenement (N = k)sachant qu’Eva gagne la partie.

Exercice III (3 pts) - On lance un de a 6 faces et, independamment, ontire une variable aleatoire U de loi uniforme sur (0, 1). Si le resultat du deest pair, on gagne 2U . Si, de plus, le resultat du de est un six, on gagne 4Usupplementaires. S’il est impair, on ne gagne rien. Il faut payer la valeur 1 pourjouer a ce jeu. On note X le gain a l’issue du jeu.

1) Calculer la fonction de repartition de la variable aleatoire X ?

2) Representer graphiquement cette fonction.

Exercice IV (8pts) - On joue a pile (P) ou face (F) avec une piece equilibreen fois de suite. On definit Xn comme le nombre de fois que l’on obtient le motifFF (compte avec les recouvrements). Par exemple, dans la realisation suivante,

FFPFPFFFPFFPF

nous avons n = 13 et Xn = 4 (le motif FFF contribue deux fois au nombretotal).

1) Pour i = 1, . . . , n, on note FFi l’evenement “le motif FF apparaıt a l’issuedu lancer i’’. Montrer que les evenements (FFi) ne sont pas independants.

2) Decrire Xn comme une variable etagee.

3) Calculer E[Xn]

4) Justifier que la loi de Xn n’est pas la loi binomiale.

5) En raisonnant par recurrence, demontrer que

P(Xn = 0) = fn/2n, n ≥ 2

ou fn est la suite de Fibonacci, fn = fn−1 + fn−2, n ≥ 4, initialisee parf2 = 3 et f3 = 5.

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Travaux Diriges de Probabilites AppliqueesSeance 5 : Variables aleatoires etagees

Questions de cours

1) Rappeler la definition d’une variable aleatoire etagee.

2) Rappeler la definition de l’esperance d’une variable aleatoire etagee.

3) Rappeler la definition d’une variable aleatoire de carre integrable et de lavariance d’une telle variable.

Exercice I - On considere K intervalles ouverts (Ik)k=1,...,K inclus dans l’ensemble(0, 1), susceptibles de se recouvrir de maniere arbitraire. On note `k la longueurde l’intervalle Ik pour tout k = 1, . . . ,K.

Soit U un point de l’intervalle (0, 1) tire au hasard suivant la loi uniforme etN le nombre d’intervalle contenant le point U .

1) On suppose dans les premieres questions que K = 10 et que `k = 1/10pour tout k = 1, . . . , 10. Donner une representation graphique des 10intervalles, ainsi qu’une realisation de la variable U et de la variable Ncorrespondante.

2) Representer les 2 situations extremes dans lesquelles les 10 intervalles sontsoit d’intersection vide, soit d’intersection complete. Dans chacun des 2cas, decrire la loi de la variable N . Donner son esperance et sa variance.

3) Montrer que l’on peut ecrire N comme une variable etagee ou comme lasomme de variables de Bernoulli

N =

K∑k=1

11Ak

ou l’on precisera la definition des evenements (Ak) intervenant dans lasomme.

4) La loi de la variable N est-elle une loi binomiale ?

5) Calculer l’esperance de la variable N .

6) Montrer que la variance de la variable N correspond au double de la sommedes longueurs des intersections entre paire d’intervalles

Var[N ] = 2∑j<k

longueur(Ij ∩ Ik).

7) En deduire que Var[N ] ≤ 9 et que la borne est optimale (elle est atteintepour une configuration particuliere des intervalles).

8) On suppose que K et la suite (`k) sont arbitraires. Calculer E[N ] et donnerun encadrement optimal de la variance de N lorsque les longueurs `k sontidentiques.

9) Generaliser l’exercice a la dimension 2, ou l’intervalle (0, 1) est remplacepar le disque unite, et les intervalles (Ik) sont remplaces par des disquesde rayons (rk).

Exercice II - Soient I1 et I2 deux intervalles de longueur 1/2 inclus dans (0, 1).Soit U un point tire au hasard dans (0,1) et N le nombre d’intervalles quicontiennent U .

1) Determiner la loi de N .

2) Retrouver directement les valeurs de E[N ] et de Var[N ].

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Travaux Diriges de Probabilites AppliqueesSeance 6 : Lois discretes

Questions de cours

1) Rappeler la definition d’une loi discrete. Soit ϕ une fonction positive etX une variable aleatoire de loi discrete. Donner l’esperance de la variablealeatoire ϕ(X).

2) Rappeler la definition de la loi de Poisson de parametre λ > 0. Donnerson esperance et sa variance.

Exercice I - Joe et Bill jouent a la roulette russe avec un pistolet a six coupsqui contient une seule balle. Soit N la variable aleatoire egale a la duree du jeu.La question est de savoir si Joe a un interet a debuter le jeu ?

1) On fait tourner le barillet une seule fois au debut du jeu. Determiner laloi de N et son esperance.

2) Joe joue le premier. Quelle est la probabilite de l’evenement A = “Joemeurt” ?

3) On fait tourner le barillet avant chaque essai. Memes questions.

Exercice II - J.B.S. Haldane a une passion immoderee pour les coleopteres(tous les scarabees). Le dimanche, il part a la chasse aux scarabees, et il encroise un nombre aleatoire Ns dont la loi de probabilite est donnee par

P(Ns = n) =λn

n!e−λ, n = 0, 1, . . . , λ > 0.

Ce dimanche, J.B.S. chasse les coccinelles (une famille particuliere de scarabees).La probabilite pour qu’un coleoptere soit une coccinelle est p, (p > 0).

1) Sachant que J.B.S. a croise Ns = n scarabees, montrer que la probabiliteconditionnelle pour qu’il attrape Nc = k coccinelles est

P(Nc = k | Ns = n) =n!

k!(n− k)!pk(1− p)n−k, k = 0, . . . , n .

2) En deduire la probabilite pour que J.B.S attrape ` coccinelles (` ∈ N).

3) Calculer l’esperance du nombre de coccinelles attrapees.

Exercice III - Soient A, B, C trois evenements independants. On definit lavariable aleatoire X par

X = 11A + 11B + 11C .

1) Calculer l’esperance de X .

2) Calculer la variance de X.

3) Determiner la loi de X.

Exercice IV - Soient X1, . . . , Xn n variables aleatoires independantes et dememe loi. Pour tout 1 ≤ m ≤ n, on dit qu’un record est battu a l’epreuve m sim = 1 ou si

Xm > maxi<m

Xi

1) Montrer que la probabilite de battre un record a l’epreuve m est egale a

P(Xm > maxi<m

Xi) =1

m.

2) Soit N le nombre de records battus apres n epreuves. Montrer que

E[N ] =

n∑m=1

1

m.

Ensimag 1re annee 2014-2015

Probabilites AppliqueesDevoir a la maison

Duree indicative 1h30 - A faire de preference sans document.

Soit p ∈ (0, 1) (q = 1 − p) et n un entier naturel non nul. On considere n joueurs visant unecible, chaque joueur pouvant effectuer deux tirs. A chaque tir, chaque joueur atteint la cible avecla probabilite p. Les tirs sont independants les uns des autres.

1. Rappeler la definition de la loi binomiale de parametres n et p, ainsi que les hypotheses souslesquelles on observe la realisation d’une variable aleatoire suivant cette loi. Rappeler sonesperance et sa variance.

2. On definit la variable aleatoire X egale au nombre de joueurs ayant atteint la cible au premiertir. Determiner la loi de X.

3. On definit la variable aleatoire Z egale au nombre de joueurs ayant atteint la cible au premierou au second tir.

(a) Calculer la probabilite qu’un joueur atteigne la cible au premier ou au second tir.

(b) Determiner la loi de la variable Z. Donner son esperance.

4. On definit la variable aleatoire Y egale au nombre de joueurs ayant atteint la cible au secondtir apres l’avoir ratee au premier tir.

(a) Exprimer la relation mathematique liant la variable Y aux variables Z et X.

(b) Les variables X et Y sont elles independantes ?

5. Montrer que la variable aleatoire Y suit la loi binomiale de parametres n et pq.

6. Calculer la variance de la variable aleatoire Z. En deduire la covariance du couple (X,Y ).

7. Soit k un entier compris entre 0 et n. Pour tout ` = 0, . . . , n − k, donner la probabiliteconditionnelle

πk,` = P(Y = `|X = k) .

(Decrire la loi conditionnelle la variable Y sachant X = k.)

8. Donner l’esperance de la loi conditionnelle de la variable Y sachant X = k, k = 0, . . . , n.

9. Sans utiliser le resultat de la question 6, montrer que l’esperance de la variable aleatoire XYest egale a

E[XY ] = pE[X(n−X)] .

10. Retrouver ainsi le resultat de la question 6.

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Travaux Diriges de Probabilites AppliqueesSeance 7 : Lois a densite

Questions de cours

1) Rappeler la definition d’une densite de probabilite.2) Rappeler la definition de la fonction de repartition d’une loi a densite.3) On suppose que X et ϕ(X) sont des variables aleatoires integrables. Don-

ner une expression de l’esperance d’une variable aleatoire ϕ(X) en fonctionde la densite de la loi de X.

3) Donner deux expressions de la variance d’une variable aleatoire X. Sousquelle condition la variance existe-t-elle ?

Exercice I - Soit α un nombre reel strictement positif et U une variable aleatoirede loi uniforme sur l’intervalle (0, 1).

1) Determiner la fonction de repartition de la variable V = αU .2) Representer graphiquement la fonction de repartition et verifier ses pro-

prietes elementaires.3) Calculer l’esperance, la variance et la densite de V .

Exercice II - Soit U une variable aleatoire de loi uniforme sur l’intervalle (0, 1).L’objectif de cet exercice est de determiner la fonction de repartition, la densite,l’esperance et la variance de la variable X definie par

X =√U.

1) Calculer la fonction de repartition de X et en deduire sa densite.2) En utilisant la densite de X, calculer l’esperance de X.3) En utilisant la densite de U , calculer l’esperance de X.4) En utilisant le fait que X est une variable aleatoire positive, calculer

l’esperance de X d’une troisieme maniere.5) Determiner la variance de X sans calcul integral.

Exercice III - L’objectif de cet exercice est d’etudier la loi de la variablealeatoire X obtenue en sortie de l’algorithme suivant

Repeter

V ← 1/(1 + RANDOM)

Jusqu’a (V < 3/4)

X ← V

1) Soit U une variable aleatoire de loi uniforme sur l’intervalle (0, 1). Cal-culer la fonction de repartition de la variable aleatoire V = 1/(1 + U).Representer graphiquement cette fonction.

2) Montrer que la fonction de repartition de la variable X s’exprime a partirde la fonction de repartition de la variable V de la maniere suivante

∀t ∈ (0, 3/4), FX(t) =FV (t)

FV (3/4)

3) Montrer de maniere graphique comment la fonction de repartition de Xpeut etre obtenue a partir de celle de V .

5) Determiner la densite de la loi de X et calculer son esperance.

Exercice IV - Soient X1, . . . , Xn, n variables aleatoires de loi exponentielle deparametre λ > 0. L’objectif est de determiner la loi et l’esperance de la variablealeatoire

X = min(X1, . . . , Xn) .

1) Calculer la probabilite que la variable aleatoire X soit superieure a t,pour tout t reel positif.

2) En deduire la fonction de repartition, puis la densite de X.3) La variable aleatoire X suit une loi connue. Reconnaıtre cette loi.4) En deduire l’esperance de la variable aleatoire X.

Exercice V - Soient U1, U2 deux variables aleatoires reelles independantes deloi U(0, 1). L’objectif est de determiner la loi et l’esperance de la variable

X = max(U1, U2) .

1) Determiner la fonction de repartition de la variable aleatoire X.2) Soit Y la variable aleatoire definie par Y =

√U ou U est une variable

aleatoire reelle de loi U(0, 1). Montrer que X et Y sont des variablesaleatoires de meme fonction de repartition.

3) En deduire l’esperance de X.

Exercice VI - Soient U1, U2, . . . , UN des variables aleatoires reelles independantesde loi U(0, 1) et N une variable aleatoire de loi geometrique de parametre pindependante des Ui. On pose

X = max1≤i≤N

Ui .

1) Determiner la fonction de repartition de la variable aleatoire X.2) Calculer l’esperance de X.

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Travaux Diriges de Probabilites AppliqueesSeance 8 : Lois a densite

Questions de cours

1) Soit X une variable aleatoire de loi de densite fX(x). Rappeler commentcalculer son esperance de differentes manieres : la densite de probabilitefX , a partir de la densite de probabilite fY , dans le cas ou X = ϕ(Y ), apartir de la fonction de repartition FX lorsque X ≥ 0.

2) Rappeler la valeur de l’esperance E[aX + bY ].

3) Pour X ≥ 0, quel est le signe de E[X] ?

4) Pour fX paire, que vaut E[X] ?

5) Rappeler la definition de la variance Var[X] d’une variable aleatoire X.Que vaut Var[aX + b] ? Var[aX + bY ] ?

Exercice I – Soient U et V deux variables aleatoires independantes de loiuniforme sur (0, 1). On pose

X = 1(U<1/3)V + 1(U≥2/3)(1 + V ),

1) Calculer E[X] et Var(X).

2) Determiner la fonction de repartition de la variable aleatoire X.

3) Decrire un algorithme de simulation de la variable aleatoire X et prouverque cet algorithme est correct.

Exercice II – Soit U une variable aleatoire reelle de loi uniforme sur l’intervalle[0, 1]. On pose

X = − ln

(2U

1 + U

).

1) Determiner la fonction de repartition de la variable X et en deduire sadensite de probabilite.

2) Calculer E[X] et Var[X].

3) On poseZ = X 1(U>1/2) + a1(U≤1/2)

avec a un nombre deterministe. La loi de Z est elle un melange des loisde X et de a ?

4) Ecrire un algorithme de simulation de la variable Z.

5) Par la suite, on supposera que a = 0.Determiner la fonction de repartition de la variable Z et tracer la courberepresentative de cette fonction. La variable aleatoire Z est-elle continue ?

6) Calculer l’esperance de Z.

7) On repete de maniere independante la simulation de X jusqu’a ce que lacondition (X < ln(3/2)) se realise. On appelle T la variable alors obtenue.Determiner la fonction de repartition de la variable T .

8) On appelle N le nombre (aleatoire) de repetitions necessaires pour que lacondition se realise. Determiner la loi de N et son esperance E[N ].

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Travaux Diriges de Probabilites AppliqueesSeance 9 : Couples de variables aleatoires

Questions de cours

1) Soit (X,Y ) un couple de variables aleatoires continues de densite de prob-abilite conjointe fX,Y definie sur R2. Rappeler la definition de la densitefX,Y , et donner la probabilite que (X,Y ) ∈ D, ou D ⊂ R2.

2) Rappeler les definitions des lois marginales et conditionnelles de la loi ducouple (X,Y ).

3) Que dire de fX,Y lorsque X et Y sont independantes ?

Exercice I – Soient U et V deux variables aleatoires independantes, definiessur un meme intervalle I ⊆ R et admettant des lois a densite.

1) Donner l’expression de la probabilite de l’evenement (U < V ) a l’aide desdensites de probabilite des variables U et V .

2) On suppose que U et V sont des variables de loi uniforme sur (0, 1). Al’aide du resultat precedent, montrer que P(U < V ) = 1/2. Retrouver ceresultat d’une maniere geometrique.

3) On suppose que U et V sont des variables de loi exponentielle deparametres respectifs λ et µ (nombres strictement positifs). CalculerP(U < V ).

Exercice II – On considere un couple de variables aleatoires (X,Y ) de densiteconjointe

f(x, y) =

{c y e−x si (x, y) ∈ ∆,

0 sinon,

ou c est une constante positive et ∆ est le domaine de R2 defini par

∆ = {(x, y) ∈ R2 : 0 < y < x}.

1) Representer le domaine ∆.

2) Determiner la constante c.

3) Determiner les lois marginales des variables X et Y ainsi que la covariancedu couple (X,Y ). Rappel: la loi gamma G(a, λ) admet pour densite

∀x ∈ R, g(x) =λa

Γ(a)xa−1e−λx1R+

(x) .

4) Les variables X et Y sont-elle independantes ? (On donnera 2 arguments).

5) Determiner la loi conditionnelle de la variable Y sachant X = x. Endeduire l’esperance conditionnelle E[Y |X = x].

6) Soit X une variable de loi gamma G(3, 1) et U une variable de loi uniforme

sur (0, 1) independante de X. Determiner la loi du couple(X,√UX

).

7) Montrer (ou admettre) que si X1 et X2 sont deux variables aleatoiresindependantes de loi respectives gamma G(a, λ) et gamma G(b, λ), alorsX1 +X2 est de loi gamma G(a+ b, λ).

8) En deduire un algorithme de simulation du couple de loi de densite f .

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Travaux Diriges de Probabilites AppliqueesSeance 10 : Simulation de variables aleatoires

Questions de cours

1) Soit X variable aleatoire continue de fonction de repartition FX . Rappelerla methode de simulation par inversion. Application a la loi exponentiellede parametre 1.

2) Rappeler l’algorithme de simuation d’un couple de variables aleatoires vuen cours.

Exercice I – Soit c > 0 et f(x) une densite de probabilite definie par

f(x) = c

(x +

1√x

)1(0,1)(x), x ∈ R.

1) Calculer c.

2) Ecrire f(x) comme la somme ponderee de deux densites facilement simu-lables par inversion et decrire les deux algorithmes d’inversion.

3) Soient U et V deux variables aleatoires independantes de loi uniforme sur(0, 1). Deduire de la question precedente que la loi de la variable aleatoiredefinie par

X =

{ √U si V ≤ 1

5 ,

U2 sinon.

admet f(x) pour densite.

4) Deduire les valeurs de E[X] et Var[X2].

Exercice II – (Extrait de janvier 2015). On considere un couple (X,Y ) devariables aleatoires de densite jointe

∀(x, y) ∈ R2, f(x, y) = c x y21D(x, y),

ou c est une constante positive et D ={

(x, y) ∈ R2; 0 < x < y < 1}

.

1) Determiner la valeur de c.

2) Determiner la fonction de repartition de la variable Y .

3) Determiner la densite de la loi conditionnelle de X sachant Y = y pourtout y ∈ (0, 1).

4) Ecrire un algorithme de simulation d’un couple de densite f .

5) On pose Z = XY . Determiner la densite de la loi de la variable Z.

Ensimag 1re annee 2014-2015

Probabilites AppliqueesJanvier 2015

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Exercice I - Dans un labyrinthe, un rat se trouve face a 6 portes dont uneseule le conduit a la sortie. Il choisit une porte au hasard. S’il ne sort pas, ilest reconduit devant les 6 portes et peut faire un nouveau choix, eventuellementidentique au precedent. On observe que le rat se souvient tres bien du resultatde deux experiences infructueuses successives et qu’il evite toujours les portesassociees.

Soit X le temps de sortie du rat, mesure en nombre de portes utilisees poursortir du labyrinthe.

1) Montrer que les probabilites des evenements (X = 1) et (X = 2) sontegales a 1/6.

2) Montrer que la probabilite de l’evenement (X = i) est egale a 1/6 ×(3/4)i−3, pour tout i ≥ 3.

3) Soit N le resultat du lancer d’un de a 6 faces et G une variable aleatoirede loi geometrique de parametre 1/4, independante de N . On pose

Y = N11(N≤2) + (2 +G)11(N>2) .

Montrer que la loi de la variable Y est identique a celle de X.

4) Calculer l’esperance de Y .

5) Calculer la variance de Y .

6) On suppose maintenant que le labyrinthe possede K portes et que le ratse souvient de m ≤ K experiences infructueuses successives. Justifier quel’on peut representer le temps de sortie, a nouveau note X, de la manieresuivante

X = N11(N≤m) + (m+G)11(N>m) ,

ou N et G sont des variables aleatoires independantes, dont on preciserales lois. En deduire l’esperance du temps de sortie.

Exercice II - Soit U une variable aleatoire de loi uniforme sur (0, 1), α > 0et A un evenement de probabilite x, 0 < x < 1. On suppose que l’evenement Aest independant de la variable U .

On parie sur la realisation de A. Si A se realise, le gain est X = αU2. Sinon,le gain est X = −U (on perd U). On dit que le pari est favorable si l’esperancede gain est positive.

1) Determiner la fonction de repartition de la loi de la variable X.

2) Determiner la densite de la loi de X.

3) Justifier que X peut s’ecrire de la maniere suivante

X = αU211A − U11A .

4) Montrer que X est integrable.

5) Calculer E[X]. Sous quelle condition portant sur α le pari est-il favorable ?

Dans les questions suivantes, on suppose que α = 1.

6) Calculer E[X2].

7) Calculer Var[X]. Pour quelle valeur de x la variance est-elle maximale ?

8) Calculer la covariance de X et de U .

Exercice III - On considere un couple (X,Y ) de variables aleatoires de densitejointe

∀(x, y) ∈ R2 , f(x, y) = cxy211D(x, y) ,

ou c est une constante positive et D = {(x, y) ∈ R2 ; 0 < x < y < 1} .

1) Determiner la valeur de c.

2) Determiner la fonction de repartition de la variable Y .

3) Determiner la densite de la loi conditionnelle de X sachant Y = y pourtout y ∈ (0, 1).

4) Ecrire un algorithme de simulation d’un couple de densite f .

5) On pose Z = XY . Determiner la densite de la loi de la variable Z.