sommaire3evoie.org/telechargementpublic/mémoire cafipemf.pdf · 2014. 11. 8. · myriam amiot...

Sommaire

Introduction .................................................................................................. 1

1. CE QUE LES TEXTES OFFICIELS DISENT DES PROBLÈMES ........... 3

1.1. Qu’est-ce qu’un problème ? .............................................................. 3

1.2. Les problèmes dans les programmes ............................................... 4

1.3. Comment enseigner la résolution des problèmes ? .......................... 6

2. LES APPORTS DE LA RECHERCHE ..................................................... 7

2.1. La didactique des mathématiques..................................................... 7

2.2. La psychologie cognitive du raisonnement ....................................... 9

2.3. La pédagogie explicite .................................................................... 10

3. LA DÉMARCHE POINT PAR POINT ..................................................... 12

3.1. Lire et comprendre le problème ...................................................... 13

3.1.1. Déchiffrer rapidement : travailler la fluence .............................. 13

3.1.2. Comprendre un énoncé de problème : acquérir une culture ..... 14

3.1.3. Se représenter une situation : raconter... ................................. 15

3.2. Traiter mathématiquement le problème .......................................... 16

3.2.1. Automatiser : libérer la mémoire de travail... ............................ 16

3.2.2. Catégoriser : faire un schéma ................................................... 17

3.2.3. Trouver l’opération : choisir en fonction du modèle .................. 18

3.3. Une progression dans les difficultés ................................................ 20

4. DÉROULEMENT DE L’EXPÉRIMENTATION ....................................... 20

4.1 En début d’année ............................................................................. 20

4.2. À mi-parcours .................................................................................. 22

4.3. Fin de l’expérimentation .................................................................. 24

5. BILAN DE L’EXPÉRIMENTATION ........................................................ 25

5.1. Situation de départ .......................................................................... 25

5.2. Situation au second et dernier test ................................................. 27

CONCLUSION ........................................................................................... 28

BIBLIOGRAPHIE

ANNEXES

Myriam AMIOT Mémoire de CAFIPEMF 2014 1

Introduction

J’enseigne dans un groupe scolaire situé dans la deuxième circonscription de

Nouvelle-Calédonie. L’école se trouve dans un quartier déjà ancien de Nouméa, et les

élèves sont assez représentatifs du « melting-pot » calédonien. Nous avons

globalement des classes de bon niveau, des élèves curieux et ouverts, des parents

attentifs aux progrès de leurs enfants et emplis de bonne volonté.

Voilà plusieurs années que l’équipe d’enseignants dont je fais partie, lors de la

mise en place des projets d’école, mène des actions qui visent l’amélioration des

performances de nos élèves en matière de résolution de problèmes : des apprentissages

par situation-problème, des défimaths en équipes dans chaque classe, du CP au CM2,

des problèmes pour chercher…

Je tente également dans ma classe différentes approches de l’apprentissage de

l’abstraction, en testant diverses formes de schémas ou en tentant de catégoriser les

problèmes à la manière de VERGNAUD, dans le Moniteur de mathématiques1.

Pour autant, chaque année, nous constatons que cette compétence est une des plus

faiblement maîtrisées dans les classes de CM2. Ainsi, en 2013, cette compétence

n’était réussie qu’à hauteur de 62 % par nos CM2 (44% au niveau de la Nouvelle-

Calédonie). Au niveau national, la note de la DEPP n°19 du 27 mai 2014 fait état d’un

recul des performances (de 33 à 18 %) en résolution de problème de 1999 à 2013, chez

les élèves de CE2. La note de France Stratégie2, qui analyse en profondeur les résultats

de PISA 20123, indique qu’en plus de l’accroissement des inégalités scolaires liées à

1 Le Moniteur de Mathématiques Résolution de problèmes Cycle 3 Fichier pédagogique Jean-Luc BRÉGEON, François HUGUET, Hervé PÉAULT, Luce DOSSAT, André MYX, sous la direction de Gérard VERGNAUD éditions Nathan 2 France Stratégie est l’ancien Commissariat Général à la Stratégie et à la Prospective, et dépend du Premier Ministre. 3Site de France Stratégie http://www.strategie.gouv.fr/blog/2014/05/note-augmenter-nombre-bons-eleves/


l’origine sociale, la France voit également chuter le nombre de ses bons élèves en

mathématiques à 12,9% contre 17,5 % en Allemagne.

Pour améliorer à la fois les capacités de mes élèves à résoudre des problèmes et

leur envie de découvrir des solutions, j’ai décidé de chercher d’autres voies

d’enseignement, du côté de l’enseignement explicite4 en particulier.

L’efficacité de cette approche est souvent avancée, parfois débattue. Je l’utilise

principalement pour l’enseignement des savoir-faire « automatisables » (multiplier,

conjuguer au présent de l’impératif...) car j’en vois les effets au niveau des

apprentissages et de la confiance en eux de mes élèves. Mais peut-elle être aussi

efficace en matière de résolution de problèmes numériques, une compétence complexe

qui met en jeu de nombreux savoir-faire de tous ordres, eux-mêmes souvent tributaires

d’autres compétences, également complexes ?

Il m’a semblé intéressant, en m’appuyant sur mes différentes expériences, de

réfléchir de façon plus approfondie à une approche cohérente et efficace de

l’apprentissage de la résolution de problèmes.

Comment améliorer la capacité des élèves de CM1 à résoudre efficacement les

problèmes numériques grâce à un enseignement explicite de stratégies ?

Je fais donc l’hypothèse que des modalités d’apprentissage structurées et

progressives de stratégies, tant en mathématiques qu’en maîtrise de la langue française

permettraient d’améliorer la capacité à résoudre des problèmes numériques de mes

élèves de CM1.

4 « Approche mettant l’accent sur la planification et la transmission de l’information de l’enseignant vers les élèves ; se caractérise notamment par le modelage, par l’enseignant, du savoir ou de l’habileté à apprendre, par l’organisation de nombreuses pratiques guidées et par la communication de nombreuses rétroactions en vue de soutenir le processus d’apprentissage. » in Enseignement explicite et réussite des élèves La gestion des apprentissages de C. GAUTHIER, S. BISSONNETTE, M. RICHARD, De Boeck éditions, 2013, p. 300


Afin de vérifier cette hypothèse, je me propose de mettre en place cet apprentissage

dans ma classe, et d’évaluer mes élèves en début puis en fin d’expérimentation. Les

élèves de l’autre CM1 de mon école serviront alors de groupe-témoin, avec les mêmes

évaluations.

Bien sûr, cette étude, au vu de la taille de l’échantillon d’élèves représentés, ne

prétend en aucun cas donner des réponses exhaustives et définitives sur le sujet. Mais

peut-être pourrai-je récolter quelques pistes de recherche sur les effets d’un tel

enseignement en matière de résolution de problème.

Je vais commencer par examiner les directives institutionnelles et les apports de la

recherche en matière de résolution de problèmes. Après un exposé rapide des

invariants de la pédagogie explicite, je détaillerai point par point les principales étapes

que l’élève doit franchir pour résoudre un problème. Pour chacune, je décrirai la mise

en place d’un enseignement explicite, structuré et progressif de stratégies adaptées. Je

tenterai de rendre compte de mes réflexions et adaptations au fil de l’expérimentation.

Je ferai ensuite le bilan de ces actions et j’essaierai de tirer des conclusions de cette

expérience.

1. CE QUE LES TEXTES OFFICIELS DISENT DES PROBLÈMES

1.1. Qu’est-ce qu’un problème ?

Le mot « problème » nous vient du grec. πρόβλημα signifie « ce qu’on a devant

soi, obstacle, tâche, sujet de controverse ». On le voit, le concept a peu varié depuis

EUCLIDE.


De nos jours, Jean BRUN5 définit d’ailleurs ainsi la résolution de problème : « Un

problème est généralement défini comme une situation initiale avec un but à atteindre,

demandant au sujet d’élaborer une suite d’actions ou d’opérations pour atteindre ce

but ».

Le problème numérique use de nombres pour traiter de quantités, de nombres de...,

d’âges et de mesures diverses. Simple ou complexe, il exige une compréhension fine

de la situation de départ et de ce qui est demandé, une sélection des données utiles et

de leur traitement, généralement au moyen d’opérations.

1.2. Les problèmes dans les programmes

Les programmes de 2012 pour la Nouvelle-Calédonie indiquent, qu’au cycle 2, « la

résolution de problèmes fait l’objet d’un apprentissage progressif et contribue à

construire le sens des opérations ». Un peu plus loin, il est précisé que « du CE2 au

CM2, dans les quatre domaines du programme6, l’élève enrichit ses connaissances,

acquiert de nouveaux outils et continue d’apprendre à résoudre des problèmes ».

Apprendre à résoudre des problèmes doit donc bien être activement enseigné. Et

au-delà de l’enseignement de la logique, qui fut un temps privilégié (logique des

classes ou sériations des mathématiques « modernes »), ces programmes posent

maintenant clairement la question de l’accès à la complexité et de la relation entre

l’acquisition d’automatismes et la résolution de problèmes mathématiques7, question

que je me propose d’étudier ici.

5 Jean BRUN est professeur en didactique des mathématiques à la Faculté de Psychologie et des Sciences de l’Éducation de Genève. Ses travaux ont pour thème l'étude des rapports entre le développement cognitif et l'enseignement des mathématiques en prenant en compte la situation d'enseignement, et ce, aux niveaux de la scolarité des élèves de 6 à 12 ans. Il est cité par Roland CHARNAY, Résolution de problèmes arithmétiques à l’école, Hatier pédagogie, page 23. 6 Les domaines de résolution de problèmes mentionnés dans les programmes sont les suivants : Nombres et calculs, Géométrie, Grandeurs et mesures, Organisation et gestion de données. 7 Ressources pour faire la classe Le nombre au cycle 2. http://media.eduscol.education.fr/file/ecole/00/3/Le_nombre_au_cycle_2_153003.pdf


La résolution de problèmes « s’exerce à tous les stades de l’apprentissage ». Cet

apprentissage doit « développer le goût de la rigueur et du raisonnement », et c’est

également à cette appétence pour la recherche de solutions que je compte m’intéresser.

Les éléments de mathématiques constituent, avec la culture scientifique et

technologique, le troisième pilier du socle commun. Celui-ci donne des précisons

essentielles sur les compétences liées à la résolution de problèmes : rechercher, extraire

et organiser l’information utile, calculer, raisonner, présenter la démarche ou les

résultats obtenus… Les savoir-faire mis en œuvre sont également détaillés : reformuler

un énoncé avec ses propres mots, recenser des informations, choisir une démarche,

contrôler des résultats…

Cet apprentissage requiert une progressivité des compétences à acquérir,

expliquent les programmes : on commence par des problèmes très simples à une

opération, puis à une et plusieurs étapes (au CM1) et de plus en plus complexes

(CM2)… Il semble donc raisonnable d’envisager un apprentissage progressif du

traitement de l’énoncé et de sa traduction en termes d’opérations.

Le Plan Sciences et Technologies à l’École8 reprend le concept de l’innumérisme9

et le considère comme un « handicap social et professionnel comparable à

l’illettrisme ». Il prend acte de la convergence d’enquêtes pourtant différentes

(DEPP10, PISA) qui attestent toutes « d’une baisse des performances accompagnée

d’un glissement vers le bas en matière de mathématiques » et préconise « l’acquisition

des automatismes qui sont les outils de la compréhension, la réflexion guidée par le

8 Site du Ministère de l’Éducation Nationale, de l’Enseignement Supérieur et de la Recherche. http://www.education.gouv.fr/cid54824/une-nouvelle-ambition-pour-les-sciences-et-les-technologies-a-l-ecole.html# Qu’est ce que l’innumérisme ? 9 « Les élèves ou les adultes qui sont en situation d’innumérisme ne sont pas en capacité de mobiliser les notions élémentaires de mathématiques, du calcul et des modes de raisonnement qui leur sont ou leur ont été enseignés. » Normand BAILLARGEON. 10 La DEPP (Direction de l'Evaluation, de la Prospective et de la Performance) évalue la performance des politiques conduites dans les domaines de l'éducation et de la formation.


maître dans la résolution de problèmes, le développement du goût du calcul et du

plaisir de la recherche de solutions ».

Ainsi, un enseignement explicite de stratégies, étayé par la mise en mémoire

d’automatismes mathématiques, devrait permettre plus d’équité dans ma classe en

matière d’accès au plaisir des mathématiques.

1.3. Comment enseigner la résolution des problèmes ?

On l’a vu, la compétence « résoudre des problèmes relevant des quatre opérations »

fait partie de la compétence 3 du palier 2 du socle commun11. Pour Bernard REY12,

elle s’inscrit dans la catégorie des « compétences avec mobilisation ».

Elle requiert effectivement de mobiliser connaissances, capacités et attitudes : ne

pas se décourager, choisir et mobiliser des procédures déjà plus ou moins maîtrisées en

matière de compréhension du problème (lexique, représentation mentale de la

situation), de stratégie de tri des informations pertinentes, de traitement de cette

situation en termes mathématiques, de maîtrise d’un algorithme de calcul, de choix de

l’unité, de rédaction d’une réponse cohérente, de vérification de la plausibilité de la

solution…Et s’il est évident que la maîtrise de procédures de base est essentielle pour

résoudre un problème, elle n’est pas suffisante.

Pour Jean JULO13, utiliser les connaissances et procédures adéquates dans une

situation donnée n’est pas une évidence. Ce sont des processus cognitifs déterminants

et spécifiques, à la fois en matière de représentation et de stratégie, qui vont permettre

de traiter cette situation. En tout état de cause, Jean JULO réfute l’idée que résoudre

11Site Eduscol : http://cache.media.eduscol.education.fr/file/socle_commun/99/7/Socle-Grilles-de-reference-palier2_166997.pdf 12 Transcription du débat public organisé par le GFEN 28 et animé par Bernard REY à l'IUFM de Chartres le samedi 12 décembre 2009 : Apprendre... à l'épreuve des compétences. http://www.gfen.asso.fr/fr/b._rey_apprendre_a_l_epreuve_des_competences 13 Jean JULO, Des apprentissages spécifiques en résolution de problèmes ?: http://www-irem.ujf-grenoble.fr/revues/revue_n/fic/69/69n4.pdf


« intelligemment » un problème ne puisse s’apprendre et qu’il faille simplement se

reposer sur l’intuition des élèves ou sur un mécanisme acquis par une longue pratique.

Rejoignant l’hypothèse des “situations fondamentales” de BROUSSEAU (1986), il

estime que l’élaboration de schémas permet l’élaboration d’une meilleure

représentation cognitive du problème. La catégorisation de ces représentations est ainsi

plus facile, et mobilisable à meilleur escient.

2. LES APPORTS DE LA RECHERCHE

2.1. La didactique des mathématiques

La question des rapports entre apprentissage et résolution de problèmes est

complexe. Elle concerne en premier chef la didactique des mathématiques car elle est

étroitement liée à l’organisation des connaissances propres à cette discipline.

Trois grands courants didactiques14 ont surgi après le bouleversement de la réforme

dite des « mathématiques modernes », entrée en vigueur en 1970 et rejetée dès 1973 :

- Guy BROUSSEAU introduit la notion de contrat didactique dont l’efficacité

dépend de la compréhension mutuelle des attentes des élèves et de l’enseignant. Dans

sa théorie des situations didactiques, il estime que la connaissance n’a de raison de

s’installer que si elle est réellement utile.

- Gérard VERGNAUD est psychologue et sa théorie des champs conceptuels offre

notamment une classification très intéressante des différents problèmes numériques.

Chaque champ recouvre un ensemble de concepts et de théorèmes. Les différents

champs conceptuels de VERGNAUD sont résumés dans les annexes 1 à 4.

14 Claire MARGOLINAS, INRP UMR ADEF Marseille, Essai de généalogie en didactique des mathématiques http://hal.inria.fr/docs/00/44/37/09/PDF/Margolinas_RSSE_2005.pdf


- Yves CHEVALLARD est auteur de la théorie anthropologique du didactique

(TAD) qui occupe aujourd’hui une place éminente en didactique des mathématiques. Il

s’intéresse à la transposition didactique qui transforme les savoirs savants des

mathématiciens en savoirs « enseignables », à la portée des élèves.

La recherche française en didactique des mathématiques a ceci de particulier

qu’elle prend très au sérieux la recherche fondamentale, mais pas directement la

réussite des élèves. Bien sûr, les didacticiens postulent que les avancées de cette

recherche permettront de « déduire les mesures méthodologiques les plus aptes à

provoquer les acquisitions »15 et certains comme VERGNAUD publient des manuels,

mais leurs recherches mettent le professeur « entre parenthèses ». Ce qui les intéresse,

c’est l’identification d’une situation didactique qui réunit l’élève et le savoir, au moyen

d’une « situation de contrat ». Donc, « dans les années 80, le rôle du maître est

envisagé comme suit : 1/ Le maître serait tout d’abord actif, il parlerait à la classe et

présenterait le problème. Ce serait la phase de dévolution16. 2/ Le maître ne dirait plus

rien, le problème étant devenu celui des élèves. Ce serait la phase adidactique, quasi-

isolée du maître. 3/ Le maître interviendrait à nouveau pour institutionnaliser le

savoir 17».

Plus récemment, des travaux (ceux du COREM18 par exemple) ont mis en évidence

le fait que le professeur ne pouvait se taire, y compris dans les situations adidactiques,

15 BROUSSEAU, 1975, cité par PERRIN-GLORIAN, 1994. 16 La dévolution est l’acte par lequel l’enseignant fait accepter à l’élève la responsabilité d’une situation d’apprentissage ou d’un problème à résoudre. Cette dévolution se traduit chez l’élève par la maîtrise de compétences méthodologiques, l’acceptation des rôles sociaux ; elle lui permet de se prendre en charge. 17 Claire MARGOLINAS, INRP UMR ADEF Marseille, Essai de généalogie en didactique des mathématiques http://hal.inria.fr/docs/00/44/37/09/PDF/Margolinas_RSSE_2005.pdf 18 Le COREM est le Centre d’Observation et de Recherches sur l’Enseignement des Mathématiques fondé par Guy Brousseau en 1972.


et qu’il devait accompagner l’élève dans ses efforts. Ils estiment que « l’élève n’est pas

seul à être contraint par le problème posé, et que le professeur l’est aussi. »19

2.2. La psychologie cognitive du raisonnement

Les recherches récentes en psychologie cognitive mettent en question la théorie de

PIAGET. Le nouveau-né apparaît maintenant équipé d’excellentes capacités

numériques qui lui permettent de distinguer deux objets de trois objets, voire quatre,

ou de faire la différence entre deux et trois sons20. Le bébé est capable de raisonner sur

un mode probabiliste et ne se limite pas à un fonctionnement sensori-moteur. En outre,

les études convergent pour montrer que l’intelligence se construit non par paliers mais

de manière saccadée et non linéaire, avec de brusques avancées, des erreurs, et des

retours en arrière21. En effet, notre cerveau, quand il raisonne, pense trop vite, cédant à

des intuitions présentes dès la petite enfance, réalise qu’il se trompe, s’arrête, corrige

ses erreurs et reconfigure de façon quasi-darwinienne ses circuits neuronaux en

inhibant l’ancien ou l’habituel. .

Daniel KAHNEMAN 22 a mis en relief l’existence de nos deux systèmes de

raisonnement : le système 1, généralement vainqueur, est rapide, automatique et

intuitif, sujet aux stéréotypes et aux influences de cadrages, générateur de biais

cognitifs ou sémantiques23. L’autre, le système 2, est lent mais logique et réfléchi.

Olivier HOUDÉ établit qu’un troisième système (le système 3 donc) assure

l’inhibition des automatismes fulgurants du système 1 quand l’application de la

19 Ibid., page 9 20 Stanislas DEHAENE, La bosse des maths 15 ans après, éditions Odile Jacob page 69. 21 Olivier HOUDÉ, Le raisonnement, éditions PUF, »Que sais-je ? » page 41. 22 Ibid. 23 Voici une illustration courante d’un biais sémantique où les enfants ont tendance à accepter une solution non valide mais crédible. Si on dit « 1) Les éléphants sont des mangeurs de foin. 2) Les mangeurs de foin ne sont pas lourds. Est-ce que cela veut dire que 3) Les éléphants sont lourds ? » Les enfants répondent que oui mais rien dans les premières propositions ne leur permet de le déduire logiquement. La difficulté est ici d’apprendre à inhiber le contenu sémantique de la troisième proposition (la forte croyance des enfants quant au poids des éléphants, bien ancrée) pour se focaliser sur l’articulation logique des deux premières propositions. Exemple tiré de Olivier HOUDÉ, Le raisonnement, page 50.


logique du système 2 est nécessaire. Inutile de répéter plus que de raison les règles

logiques de l’addition-qui-réunit ou de la soustraction-qui-enlève, c’est ce système 3,

géré par le cortex préfrontal, qu’il faut exercer. Ce cortex particulier filtre les réponses

impulsives et permet la flexibilité cognitive, adapte et réajuste réponses et

comportements. Il est également en charge de la mémoire de travail et des fonctions

exécutives comme l’initiative qui conduit à planifier une tâche. C’est dire son

importance en matière de raisonnement.

Mais il est en construction jusqu’à l’adolescence, et tous les élèves de CM1 n’en

sont pas au même stade d’avancement. Ainsi certains peinent-ils à se représenter le

problème, à trier les données utiles. Ils usent de fixité fonctionnelle, tentant de

retrouver une solution déjà utilisée, mais peu appropriée à cette situation-là...

Pour les aider, il faut leur apprendre à utiliser le système 3. La psychologie

expérimentale est claire là-dessus : ni la confrontation répétée à des situations

demandant l’inhibition du système 1, ni l’explication stricte de principes logiques

(apprentissage « froid » pour les anglo-saxons) ne sont satisfaisants. Seules des alertes

exécutives verbales sur le risque d’erreur et la nature du piège perceptif à éviter

(apprentissage « chaud ») permettent l’inhibition des stratégies d’appariement.

Il résulte de ces remarques que la résolution de problème doit être enseignée

explicitement. Au vu de la complexité de cette compétence, comment dès lors peut se

dérouler cet enseignement pour être efficace et permettre à tous les élèves d’accéder au

raisonnement ?

2.3. La pédagogie explicite

Issue de l’idée de déterminer les éléments qui font l’efficacité d’un enseignement,

la pédagogie explicite est née dans les années 70, aux États-Unis. Sans doute faut-il y

voir les effets d’un pragmatisme très anglo-saxon.


Au fil des années, des études montrent que des approches pédagogiques différentes

dans leurs stratégies, mais dont certains éléments sont communs, favorisent la réussite

scolaire des élèves. Des méga-analyses24 d’envergure recensent ainsi les facteurs ayant

une influence sur les progrès des élèves. Une des dernières publiées et des plus

impressionnantes 25 , indique que le premier facteur de progrès d’un élève est

l’enseignant, suivi de près par le « curriculum » (que je traduirais par programme) et

juste après par les méthodes d’enseignement. Le milieu familial n’arrive qu’en

cinquième position et Siegfried ENGELMANN, une des figures de la pédagogie

explicite, a l’habitude de dire : « Si les élèves n’apprennent pas, c’est que je n’enseigne

pas ».

En enseignant des stratégies, la pédagogie explicite refuse la dichotomie entre sens

et technique, et enseigne les deux de concert, l’un s’aidant de l’autre pour se

construire, et vice-versa. La pédagogie explicite associe systématiquement le travail

d’une habileté particulière, jusqu’à sa maîtrise experte, et sa contextualisation (savoir

dans quelles occasions précises j’aurai à m’en servir).

Cette synergie nécessaire entre sens et technique est corroborée par les travaux

récents de chercheurs comme Denis BUTLEN26 qui établissent que l’accès au sens

24 Une méga-analyse est une synthèse de synthèse de recherches. Elle compile généralement plus d’une centaines de méta-analyses (chacune d’entre elles analyse des centaines d’écrits de recherche). Ainsi la dernière méga-analyse de John HATTIE présente une synthèse de 900 méta-analyses ayant étudié l’impact de différents facteurs sur le rendement des élèves. Elle a nécessité 15 années de travail, représente la synthèse de plus de 60 000 recherches portant sur 240 millions d’élèves. 25 John HATTIE, Visible Learning for Teachers, Maximizing Impact on Learning 2012 cité par Clermont GAUTHIER, Steeve BISSONNETTE et Mario RICHARD dans Enseignement explicite et réussite des élèves, p. 17 26Denis BUTLEN et Monique PÉZARD ont étudié les difficultés rencontrées en mathématiques par les élèves issus de milieux défavorisés. Leurs recherches montrent que le concept de nombre se construit en relation étroite avec les algorithmes opératoires de calcul. Plus les faits numériques sont mémorisés, mieux les élèves peuvent mobiliser des procédures plus adaptées, plus économiques et (paradoxalement) échapper aux automatismes. Pour cela, il est nécessaire de s’assurer de la mémorisation et d’institutionnaliser à la fois la procédure et son domaine d’efficacité. En matière de raisonnement, les élèves entraînés au calcul mental voient leur processus de reconnaissance de l’opération accéléré. http:///D:/Mes%20documents/Dropbox/ECOLE/Dossier%20Cafip/MEMOIRE/79_Butlen_Pezard.pdf


peut aussi se faire par l’acquisition de techniques. C’est ce qu’il nomme « le paradoxe

de l’automatisme ».

La démarche explicite (cf. annexe 5), qui explique le but à atteindre et le contexte

dans lequel cet apprentissage à venir pourra être utilisé avec profit, qui le relie à des

savoirs déjà mémorisés, montre par l’exemple, explique et rectifie patiemment la

stratégie jusqu’à sa maîtrise et la rappelle ensuite fréquemment, à intervalles réguliers,

ressemble de façon troublante aux apprentissages propres aux sociétés ancestrales.

Les élèves issus de nos sociétés océaniennes en particulier, souvent perdus dans les

apprentissages moins guidés, sont rassurés dans ce cheminement encadré, et par un

enseignant qui leur montre comment « penser » une stratégie nouvelle, sans « piège ».

3. LA DÉMARCHE POINT PAR POINT

Comprendre un problème relève de stratégies de lecture, de catégorisation et

d’abstraction mathématique. L’enseignement explicite doit viser à la transmission de

telles stratégies et à la mise en mémoire de ces savoirs et habiletés par l’élève. Il se

situe dans une démarche d’enseignement-apprentissage.

Le modelage (de l’anglais « modeling », ou transmission d’un modèle) a pour but

de développer la métacognition de l’élève. En mettant un « haut parleur » sur sa

pensée, l’enseignant rend explicite son raisonnement jusque-là implicite, que l’élève

s’appropriera ensuite. Il explique oralement aux élèves les questions qu’il se pose face

à une tâche et les stratégies retenues pour la réaliser : Quoi faire ? Où ? Quand ?

Pourquoi le faire ? Comment ?

La pratique guidée qui vient ensuite vise à la mise en mémoire de la stratégie et des

connaissances qui lui sont nécessaires. Par de courts exercices, des questions/réponses

puis des exercices écrits, l’enseignant vérifie, corrige abondamment (ces « feedbacks »


sont essentiels), s’assure de la compréhension des élèves. Sa part dans l’exécution de

la tâche décroît peu à peu tandis que celle des élèves augmente. Ensuite la pratique

autonome permet à chaque élève de montrer ce qu’il a appris. L’étayage de

l’enseignant, l’aide visuelle, orale, ou gestuelle sont prolongés pour certains élèves

jusqu’à ce qu’ils accèdent à cette pratique autonome. Des réactivations ultérieures

fréquentes, sous forme de plans de travail ou de révisions, permettent d’ancrer

durablement les apprentissages en mémoire à long terme.

3.1. Lire et comprendre le problème

L’habileté du lecteur à se rappeler la syntaxe d’une phrase et à en saisir l’idée

repose sur sa mémoire de travail, plus encore en matière de lecture de problème, où le

texte doit être compris avec précision.

Si elle diffère suivant les individus, il n’est malheureusement pas possible

« d’agrandir » cette mémoire de travail27. Mais les connaissances et savoir-faire qui ont

transité par elle et sont effectivement stockés en mémoire à long terme, généralement

au moyen d’un entraînement efficace, peuvent être rappelés instantanément et lui

évitent de s’encombrer inutilement. Ainsi, le décodage rapide des mots peut être

utilement exercé.

3.1.1. Déchiffrer rapidement : travailler la fluence

Des chercheurs comme le professeur ZORMAN et son équipe28 au sein du groupe

Cogni-sciences de l’Université Pierre Mendès-France de Grenoble ont constaté que le

27 In L’apprentissage de l’abstraction, Britt-Mari BARTH collection RETZ, 1987, Edition revue et augmentée en 2001. 28 In Entraînement de la fluence de lecture pour les élèves de 6e en difficulté de lecture, Michel ZORMAN, Christine. LEQUETTE, Guillemette POUGET, Marie-Françoise DEVAU, Hélène SAVIN, http://www.cognisciences.com/IMG/Fluence_ANAE.pdf


succès de compréhension de la lecture est largement déterminé par la capacité de lire

des mots simples ou à décoder. Ils définissent usuellement une lecture fluente comme :

« Précise, assez rapide, réalisée sans effort et avec une prosodie adaptée qui

permet de centrer son attention sur la compréhension. » Elle réconcilie les élèves avec

l’acte de lire et « facilite la compréhension en libérant des ressources d’attention pour

la compréhension du texte ».

Dans ma classe, je décide de mettre en place des ateliers d’entrainement à la

fluence, durant les temps d’échange du rallye-lecture, 5 fois par semaine, avec des

ateliers de 4 élèves. Le nombre de mots correctement lus par minute est évalué sur

trois essais. Chaque élève peut s’entraîner chez lui, et suivre sa progression en

rapidité de déchiffrage.

3.1.2. Comprendre un énoncé de problème : acquérir une culture

Comprendre ce qu’on lit, c’est en construire un modèle mental 29 . La

compréhension d’un problème fait bien sûr appel aux capacités de déchiffrage de

chacun, mais le vocabulaire employé, les attentes explicites ou non, la précision et

l’importance de certains mots rendent la tâche sensiblement différente.

Chaque mot compte et la lecture rapide à la recherche d’indices, possible ailleurs,

est moins pertinente ici. Le sens de certains mots propres aux problèmes arithmétiques

de l’école primaire peut être source de confusions (« Les colliers coûtent 500 francs

pièce », « Elle a acheté 4 douzaines d’œufs » « Karl achète 7 calots à 1 euro

l’un »…).

Un apprentissage explicite de ces tournures, la fréquentation régulière de

problèmes multiples, qui parlent de situations variées, le débat qui s’organise

29 In JOHNSON-LAIRD, 1983, 1993 cité par Michel FAYOL Stratégies de lecture et résolution de problèmes arithmétiques


collectivement ou en ateliers autour de l’interprétation de ces textes, permettent une

acculturation, et l’installation d’une forme de fluence en matière de résolution. Celle-ci

résulte particulièrement de la traduction plus rapide de termes spécifiques en concepts

mathématiques.

La pratique autonome de dix problèmes par semaine (exemple en annexe 10)

permet de travailler une forme de fluence en matière de problème, d’acculturer en

quelque sorte les élèves à cette écriture et ce vocabulaire particulier. Les sous-

entendus tacites sont ainsi mieux compris, les automatismes revus et réévalués. De la

même façon que dans les « Reading Workshops30 », ce mode de travail me permet de

circuler et de repérer les élèves en difficulté, d’offrir à chacun un « feedback »

rapide, de créer des groupes de besoin.

3.1.3. Se représenter une situation : raconter...

BOSSUET disait « L’imagination aide beaucoup l’intelligence ». Mes élèves,

parfois tributaires d’une technique de lecture hésitante, ont besoin de pouvoir se

représenter la situation décrite par l’énoncé. La démarche du « conte guidé »31 me

paraît appropriée à la représentation d’un problème, et ce avant la traduction de celui-

ci en schéma.

Le conte guidé l’est par l’enseignant32, qui questionne un élève (ou plusieurs) sur

sa représentation de l’ « histoire ». Par ses questions, le guide aide à dépeindre la scène

du problème, en y rajoutant des détails si besoin, pour que l’énoncé fasse réellement

30 Les « Reading Workshops », ou ateliers de lecture, nous viennent d’outre-Atlantique et la méthode a été popularisée par Gail BOUSHEY et Joan MOSER, dans leur livre : The CAFE Book, Stenhouse Publishers, Portland. Après une mini-leçon qui apporte une procédure en matière de compréhension, de déchiffrage ou de fluence, elles préconisent une lecture quotidienne individuelle, librement choisie dans une riche bibliothèque de classe, avec une libre installation des élèves. L’enseignant s’entretient avec chaque élève, tour à tour, fait le point sur ses avancées et ses goûts, lui montre des stratégies pour progresser dans sa lecture. 31 Alain CROUAIL explique cette technique dans « Rééduquer dyscalculie et dyspraxie Méthode pratique pour l’enseignement des mathématiques » éditions Masson pages 145 à 172. 32 ...ou par un élève, plus tard dans l’année.


sens. L’énoncé, ainsi interprété, confronte et enrichit les représentations de chacun, et

aide à construire cette culture littéraire propre aux problèmes.

Si le conte guidé est systématique en début d’année, dès le mois de mai, je ne

l’utilise plus qu’en cas de difficulté, et dans les « worked examples ».

Se représenter le problème implique également d’avoir une idée claire de ce qui est

demandé. La question doit pouvoir être reformulée en termes compréhensibles par tous

et être rappelée souvent pour aider à la planification de la recherche.

En gardant à l’esprit ce que l’on cherche et en se représentant mieux la situation,

l’élève peut maintenant chercher dans le problème les données dont il a besoin. Puis le

traduire en termes mathématiques.

3.2. Traiter mathématiquement le problème

3.2.1. Automatiser : libérer la mémoire de travail...

« Le calcul est un raisonnement » disait mon professeur de mathématiques. Au-

delà de la maîtrise des différentes techniques opératoires, progressivement maîtrisées

et automatisées via des entraînements réguliers, j’insiste sur le calcul mental.

De fait, celui-ci « enrichit les conceptions numériques des élèves »33. Sa pratique

régulière étoffe les procédures de calcul, permet de mieux s’approprier les différentes

propriétés des opérations, et « accroît la familiarisation de l’élève avec les nombres et

les opérations »34. Surtout, comme le souligne BUTLEN, plus l’élève a automatisé de

procédures, plus il a le choix et opte pour la plus adaptée à la situation, plus il a la

possibilité de s’affranchir de cette automatisation et d’élaborer d’autres stratégies.

Dans ma classe, le calcul mental est quotidien (progression en annexe 7). Durant

la mini-leçon du lundi, j’explique la stratégie à utiliser dans un cas bien précis, et

33 D. BUTLEN, M. PEZARD IUFM de Créteil Equipe Didirem Repères IREM N°41 octobre 2000 34 Ibid.


nous y travaillons toute la semaine. La pratique guidée est assez courte, et collective,

mais répétée avant chacune des quatre pratiques autonomes chronométrée, car la

rapidité est garante de l’automatisation visée. Le cinquième exercice chronométré

est une évaluation de cette automatisation.

3.2.2. Catégoriser : faire un schéma

Yves CHEVALLARD estime que la constitution d’une « petite machine de

connaissances » via une théorisation adaptée, est profitable aux apprentissages35. Et on

sait que l’ « expert » en résolution de problèmes se caractérise par sa capacité à

catégoriser les dits problèmes36 et raisonne par analogies.37

Un schéma suffisamment signifiant peut être à la fois une aide conceptuelle et un

modèle représentatif d’une catégorie de problèmes, qui permettra au cerveau de

l’apparier à d’autres, déjà vus, de construire un raisonnement plus adaptable à des

situations nouvelles et d’étendre le champ d’application d’un concept. Son élaboration

exige une compréhension fine du texte du problème, en termes de tout et de parties en

particulier, et témoigne d’un chemin déjà bien avancé dans l’abstraction.

J’ai fait le choix de catégoriser les problèmes d’une manière sensiblement

différente de celle de Gérard VERGNAUD, peut-être plus parlante pour mes élèves

(cf. annexes 1 à 4). Ce classement est sans doute imparfait en termes

mathématiques. Il ne prend par exemple pas en compte la donnée temporelle très

présente dans la théorie des champs conceptuels, mais il a le mérite de donner des

repères clairs et simples aux élèves. Il s’inspire librement de la « méthode

35 In Yves CHEVALLARD Les processus de transposition didactique et leur théorisation, page 18 http://yves.chevallard.free.fr/spip/spip/IMG/pdf/Les_processus_de_transposition.pdf 36 SCHOENFELD & HERMANN, 1982, cités par Jean JULO Des apprentissages spécifiques pour la résolution de problèmes ? http://www-irem.ujf-grenoble.fr/revues/revue_n/fic/69/69n4.pdf 37 Douglas HOFSTADTER, Emmanuel SANDER L’analogie, cœur de la pensée, éditions Odile Jacob 688 p.


Singapour », qui permit à ce petit état de se classer deuxième aux évaluations

PISA38 de 2012 et premier au TIMSS39 de 201140 .

Cette schématisation simplifiée symbolise sous forme de barres horizontales les

données du problème. La reconnaissance du « tout » et des « parties » y est

essentielle, et fait l’objet d’un apprentissage progressif (voir annexe 6). PIAGET a

souligné combien distinguer une partie d’un tout est une difficulté majeure pour un

enfant. Cependant, cette distinction s’apprend explicitement, par la diversité des

situations proposées, et au travers des « exemples-oui », « exemples-non » de Britt-

Mari BARTH.

Il faut noter que dans certains cas, le schéma peut perturber la compréhension

de l’élève et être « toxique ». Dès lors, c’est sur la représentation mentale du

problème, la mise en images de la situation qu’il faut s’appuyer41.

3.2.3. Trouver l’opération : choisir en fonction du modèle

Pour Stanislas DEHAENE, l’innumérisme reflète une particularité de notre

cerveau : la compartimentation du savoir mathématique en de multiples circuits

partiellement autonomes. C’est la communication entre ces différents modules qui

permet de s’améliorer en mathématiques42. L’expert en mathématiques passera des

chiffres aux mots, des mots aux quantités, et sélectionnera parmi des modèles

mémorisés celui qui convient le mieux à la situation. Le rôle de l’école est alors non

38 Le programme PISA, « Program for International Student Assessment » en anglais, ou « Programme International pour le Suivi des Acquis des élèves » en français est un ensemble d'études menées par l'OCDE pour mesurer des performances des systèmes éducatifs de différents pays. 39 Le TIMSS (Trends in International Mathematics and Science Study) fournit des données tous les quatre ans sur le niveau en mathématiques et en sciences des élèves des grades 4 et 8 (CM1 et 4ème). 40http://www.francetvinfo.fr/societe/education/education-de-qui-la-france-peut-elle-s-inspirer-pour-reussir_472732.html 41 In Alain CROUAIL, Rééduquer dyscalculie et dyspraxie éditions Masson page 125, chapitre « Les schémas : toxicité de l’afférence visuelle » 42 In Stanislas DEHAENE, La bosse des maths, éditions Odile Jacob, pages 153 à 156


seulement d’enseigner la technique de l’arithmétique, mais surtout d’apprendre à tisser

des liens entre la mécanique des calculs et le sens de ceux-ci.

Pour cela, écrit DEHAENE, nous devons aider nos élèves à se construire une

« riche bibliothèque de modèles mentaux de l’arithmétique », par des manipulations de

matériel type Montessori dans les petites classes, par des schémas pour les plus grands.

Un problème résolu déjà présent en mémoire à long terme est pris comme un tout

unique dans la mémoire de travail. Résumée sous la forme d’un schéma et mémorisée,

la résolution d’un problème peut permettre d’en résoudre un nouveau par analogie,

mécanisme très économe et efficace en termes de mémoire de travail. Plus ces schémas

sont mémorisés et étayés d’exemples évoquant des contextes différents, plus

l’expertise de l’élève s’accroît...

Toutefois, il semble qu’il faille considérer ces outils comme des instruments

provisoires, qui pourront être utilisés un moment et abandonnés plus tard. De fait, chez

les élèves en réussite, ils ne servent que transitoirement, quitte à être repris à l’occasion

d’un problème plus « résistant ».

Une fois le schéma élaboré, une seule opération est possible :

la recherche d’un tout implique une addition ou une soustraction,

celle d’une partie, une soustraction ou une division. La notion

d’égalité des parties signe la présence d’une multiplication ou

d’une division, tandis que leur inégalité sera plutôt le signe d’une

addition ou d’une soustraction.

L’association schéma-opération semble être un élément déclencheur de réussite

et s’acquiert assez vite pour la majorité des élèves, mais ne doit pas être purement

mécanique. La verbalisation du raisonnement est primordiale : « Je cherche un tout,

j’additionne les différentes quantités de billes.../ Si un boulon pèse 20 grammes, 7


boulons pèsent 7 fois plus... /Je cherche une partie, je calcule la différence entre

l’âge de Michel et celui d’Anaïs... ».

Mettre en mots son raisonnement aide à clarifier sa pensée, à se détacher des

automatismes et à gagner en fluence en matière de raisonnement.

3.3. Une progression dans les difficultés

La pédagogie explicite est structurée et progressive. Pour ne pas occasionner de

surcharge cognitive chez l’élève, l’enseignement explicite procède de manière

progressive en morcelant les étapes, partant du simple pour aller vers le complexe

(c’est la « stratégie des petits pas »). L’enseignant doit donc décomposer un savoir

complexe en plusieurs séances.

Dans cette optique, j’ai bâti une progression en matière de problèmes numériques

propre au CM1 (cf. annexe 6). La complexité s’accroît au fil de l’année, non seulement

avec les procédures étudiées, mais également avec les nombres en jeu, de plus en plus

grands, avec le prélèvement des données sur des supports différents (diagrammes,

tarifs...) et sur le contexte des problèmes, de plus en plus diversifié, ce qui en augmente

également la difficulté.

4. DÉROULEMENT DE L’EXPÉRIMENTATION

4.1 En début d’année

Dès le début, se pose le problème de l’aide à apporter aux élèves en difficulté.

La pédagogie explicite est par essence aidante. Les aides sont majoritairement

préventives. Elles visent l’automatisation d’algorithmes de calcul, le repérage de mots

clés ou le travail systématique sur les « pièges » posés par les problèmes « réticents »


ou « proliférants »43. Par son enseignement de procédures, les outils visuels retirés peu

à peu, les « feed back » fréquents, elle étaye également avec force les stratégies et les

savoirs des élèves. Cependant, l’apparente réussite globale d’un groupe classe ne

saurait faire oublier les difficultés rencontrées par les élèves pour lesquels ces

dispositifs ne suffiraient pas.

Le repère visuel de la stratégie résumée point par point sur un affichage, à côté du

TBI, peut être utile, de même qu’un rappel plastifié des schémas et des opérations qui

leur correspondent (cf. annexe 9), scotché sur le bureau. Ces aides visuelles, parfois

soutenues par un tutorat contractualisé, sont maintenues jusqu’à ce que l’élève les

estime inutiles. Pour quelques élèves, ce n’est pas suffisant.

Rapidement, la classe se scinde en trois groupes : sur 23 élèves, un tiers lit,

comprend, résout sans grande difficulté la plupart des problèmes. Ce sont

généralement les meilleurs lecteurs. Ils mémorisent rapidement les différentes

situations, s’y réfèrent, retrouvent facilement les problèmes isomorphes.

Quatre à cinq élèves sont encore hésitants. Avec une aide ponctuelle, souvent un

schéma, parfois une simple lecture du problème à haute voix de ma part, ils trouvent la

solution. La dizaine d’élèves restants ont plus de difficulté et renoncent souvent à

chercher sans aide. Leurs blocages sont multiples, majoritairement liés à la

compréhension du problème.

43 Je reprends ici la distinction faite par Catherine TAUVERON sur différentes types de textes « résistants », et qui peut également, d’une certaine façon, s’appliquer aux textes de problèmes. Les textes de problèmes « réticents » seraient ceux qui usent de l’implicite ou de formulations plus complexes, en particulier dans la chronologie ou dans la formulation précise de ce qui est recherché (« Un commerçant reçoit une livraison de 14 cartons d’œufs. Chaque carton contient des boîtes de 12 œufs. Le livreur indique qu’il y a 2 016 œufs en tout. Combien y a-t-il de boîtes d’œufs dans chaque carton ? » ). Les textes « proliférants » contraignent à un tri préalable dans les informations multiples qu’ils apportent.

Myriam

Je

élèves

mome

Cl

sur le

impos

calcul

opérat

4.2. À

En

point

La

résoud

renden

d’anné

problè

Le

être pe

44 Le procomplexachète 2

0

100COM

m AMIOT Mém

prévois d’

s en ateli

entanément

lassiquemen

es représen

ssibilités, no

l et la rédact

toires ou de

À mi-parco

n mai, arrive

sur la capac

a rupture e

dre quasime

nt page bla

ée, sur des

èmes additif

e bouleverse

erturbé ces

oblème « à deuxes du CM. En c250 F de pâtes,

1 2 3 4 5 6

MPARATIF EN

moire de CAFIPE

’abord, dur

iers pour

en difficult

nt, nous rap

ntations de

ous rectifio

tion de la ph

e la rédactio

urs

e l’apprenti

cité à résoud

est nette : n

ent aucun d

anche, ou p

s problèmes

fs. Je suis d

ement prov

élèves. Que

ux étages » est ucette période de1 200 F de po

6 7 8 9 10 1

NTRE RÉUSS

EMF 2014

rant ce trav

travailler

té sur un pro

ppelons la p

e chacun,

ns ensembl

hrase pour l

on.

issage des «

dre seul un p

neuf élèves

es problème

presque. Vi

s pourtant p

déconcertée.

voqué par l’

estionnés, il

une expression pe l’année, ils so

oulet et un sorbe

11 12 13 14 15

SITE EN PRO

vail de la fl

en reméd

oblème part

procédure à

j’aide à s

le. Le schém

les élèves e

« problèmes

problème a

s du groupe

es, y compr

isiblement,

plus divers

apprentissa

ls admettent

propre à ma claont du type « Met à 875 F. Com

5 16 17 18 19

OBLÈMES (TE

fluence en p

diation. So

ticulier, se j

suivre. J’in

souligner l

ma se fait a

n difficulté

à deux étag

dditif, simp

e de reméd

ris les plus s

les différe

, se sont a

ge des prob

t n’avoir pa

asse, qui recouvMaman a 5 000 Fmbien lui reste-t

9 20 21 22 2

EST 1) ET ÉVA

problèmes,

ouvent, d’a

oignent à n

nterroge, je

les incohér

avec moi, t

au niveau d

ges »44. Je f

ple ou comp

diation ne

simples. Cin

ences entrev

accentuées a

blèmes com

as bien lu, p

vre les premierF pour faire lest-il ? »

23

Réussi

Réussi

ALUATION À

de réunir

autres élèv

ous.

me renseig

rences et

tout comme

des techniqu

fais un prem

plexe.

parviennen

nq d’entre e

vues en déb

avec les se

mplexes a pe

pas compris

rs problèmes s courses. Elle

ite en problèm

ite en problèm

À MI-PARCOU

22

ces

ves,

gne

les

e le

ues

mier

nt à

eux

but

euls

eut-

les

mes 1

mes 2

URS


problèmes, même ceux dont la forme me paraissait pourtant familière, et n’avoir donc

rien fait, ou juste une ligne d’une opération au hasard.

Le fait est que ces élèves ont « fait » peu de problèmes en autonomie jusque-là, tant

ils ont été aidés par moi ou « tutorés » par leurs pairs. Ils ont conscience de leurs

difficultés, et craignent l’échec, la mauvaise réponse, préférant ne rien écrire. JULO le

signale: « faire » un problème est un pas primordial dans l’apprentissage. Comment

leur donner suffisamment confiance en eux pour les y amener, et avec succès si

possible, pour ne pas se décourager aussitôt après leur tentative ?

Par ailleurs, neuf élèves de la classe se représentent et résolvent les problèmes

rapidement, et cinq autres y parviennent tant bien que mal. Les difficultés qu’ils

rencontrent sont majoritairement des erreurs de calcul, des étourderies au niveau des

rédactions de phrases réponses, une addition écrite impulsivement en lisant « de plus »

par exemple, ou une inversion de l’ordre des nombres au niveau de la soustraction.

J’estime que ces dernières erreurs devraient être résolues avec une aide ponctuelle

et explicite (retour sur le sens de la soustraction, apprentissage systématique, comme le

préconise Olivier HOUDÉ, de stratégies d’interprétation permettant de réduire les

réponses « impulsives »...) et avec une obligation de poser effectivement les opérations

lors des entraînements suivants.

La technique opératoire de la multiplication est bien avancée, et mes élèves

divisent tous sans difficulté dans la limite des tables. Je décide de poursuivre malgré

cet échec et mets en place en cette dernière semaine de mai les mini-leçons (recherche

d’un tout, puis recherche d’une partie) sur les problèmes multiplicatifs. Les élèves en

difficulté passent presque tous ce cap sans sourciller, reconnaissent et résolvent avec

fierté les problèmes multiplicatifs impliquant une multiplication, mais les problèmes

additifs complexes restent un obstacle : généralement, ils sont laissés de côté. Plus


rarement, ils sont résolus par un résultat faux issu d’une opération du type 5 000 – 250

– 1 200 – 875, ce qui témoigne bien d’une compréhension effective du problème mais

laisse apparaître une difficulté d’ordre technique.

J’opte alors pour une aide individualisée qui permette de faire prendre conscience à

chacun de ses progrès et de ses failles, et de la façon de « penser » le problème. En

concertation avec l’élève, j’y consigne par écrit un constat des réussites et difficultés

majeures, ainsi qu’une aide méthodologique individualisée sous forme de consignes

afin de guider l’élève dans ses résolutions ultérieures (cf. annexe 13).

La base de cette aide consiste maintenant en « exemples travaillés »45 : je pense à

haute voix, décris point par point ma propre démarche de résolution de ce problème et

le résous devant l’élève. Je suis scrupuleusement la stratégie mise en place, je déjoue à

haute voix les pièges en déroulant le fil de ma pensée, je fais des analogies avec des

problèmes déjà résolus, et les schémas qui y sont associés.

Je ne montre pas seulement comment « faire » le problème, mais comment le

penser. Quand l’élève se sent prêt(e) à poursuivre seul(e), il (elle) prend le relais et

finit ce problème, ou le suivant.

4.3. Fin de l’expérimentation

Lundi 4 août, les deux classes de CM1 ont eu une heure pour faire le second test.

Je note de beaux progrès chez des élèves moyens voire faibles en début d’année, mais

relève des erreurs d’étourderie (oubli d’une donnée, lecture trop rapide d’un énoncé...)

ou de calcul.

Une élève me tend une feuille quasi blanche, avant que le temps ne soit écoulé,

refusant de poursuivre, et me disant, désespérée « qu’elle ne sait pas ». Elle fait partie

45 Les « worked examples effects » ont été étudiés par SWELLER et COOPER (1985 et 1987) à propos de l’apprentissage de manipulations algébriques et leur transfert à des exercices différents, puis par CARROLL (1994) qui établit leurs bons résultats auprès d’étudiants faibles ou en difficultés mathématiques.

Myriam

du gro

matièr

En en

qu’il

d’avoi

élèves

V

raison

batteri

5. BI

5.1. S

0,00

20,00

40,00

60,00

80,00

100,00

120,00

2

COM

13,483,48%

13,48%

10,43%

7

TEST

m AMIOT Mém

oupe suivi

res. Un autr

discutant a

a eu du ma

ir leur résu

s alors qu’el

Visiblement,

nnement tou

ies de probl

ILAN DE

Situation de

2 4 6

MPARAISO

5

8%

7,83%

T 1 TYPOLOG

moire de CAFIPE

depuis le d

re élève, du

avec lui par

al à gérer c

ultats, j’ai s

lle n’existai

, nos deux

us les vendr

lèmes.

L’EXPÉ

e départ

8 10 12

ON TEST 1

51,30%

Bo

N

Pr

Er

"A

Au

IE DES ERRE

C

EMF 2014

début, et ren

u même grou

la suite, je c

cette forme

sous-estimé

it pas jusqu

x classes

redis, en lie

RIMENTA

14 16 18

/ TEST 2

onnes réponses

on réponses

roblèmes de lectu

rreurs de calcul

Age du capitaine"

utres erreurs

EURS CM1A

CM1A

ncontre de

upe, visage

comprends

e de stress.

la pression

’alors dans

ont progre

en avec les

ATION

20 22 24

S

6,36%4,09%

11,8

6,82%

TEST

ure

"

sérieuses d

fermé, me

que la situa

Je me ren

n qui pouv

nos entraîn

essé. Ma

séquences

26 28 30

Score réussite

%%

82%

% 10,45%

T 1 TYPOLOGIE

CM

difficultés d

rend sa feu

ation de test

nds compte

ait s’exerce

ements.

collègue a

de calcul, s

32 34 36

2

60,45%

E DES ERREUR

M1B

dans toutes

uille le derni

t lui a déplu

que, curieu

er sur certa

a travaillé

sous forme

38 41 43

Score réussite

Bonnes répo

Non réponse

Problèmes d

Erreurs de c

"Age du cap

Autres erreu

RS CLASSE TE

25

les

ier.

u, et

use

ains

le

de

45 47

e 1

onses

es

de lecture

alcul

pitaine"

urs

EMOIN


Le premier test, fait dans ma classe, sans aucune aide, la première semaine de la

rentrée, donne une idée des difficultés rencontrées par les élèves en matière de

problèmes.

Les non-réponses sont celles où l’élève n’avait rien écrit. Les problèmes de lecture

désignent les questions mal lues (calculer le nombre de tours restants au lieu de la

distance qui reste à parcourir) ou les données oubliées (non prise en compte des 48

pièces de Barbe Noire). Les erreurs de calcul sont la catégorie où je range les

opérations judicieusement choisies, mais mal calculées (15 - 6 = 18 par exemple). Quant

à l’ « âge du capitaine », il s’agit de tous ces problèmes où l’élève tente une solution

un peu de manière expérimentale, estimant qu’en mixant les nombres de manière

aléatoire, il pourrait trouver un résultat vraisemblable qui me satisfasse (48 chambres +

5 lits + 290 enfants = 343 lits, donc oui, il y aura assez de lits pour 290 enfants). Les

autres erreurs sont diverses, et concernent principalement les erreurs de raisonnement

(additionner quand il faudrait soustraire par exemple).

La moitié des problèmes concernent les situations additives ou multiplicatives

simples, propres au CE2, l’autre moitié relève de problèmes plus complexes, parfois

vus en CE2 mais habituellement proposés en CM1 (cf. annexe 11).

La différence entre les deux CM1 est assez sensible. Bien sûr, les élèves sont

différents et malgré la volonté de créer des classes équivalentes en termes de

« niveau » lors de la répartition des élèves, sur une vingtaine d’entre eux, un ou deux

plus intéressés par les mathématiques, ou, à l’inverse, plus en difficulté, ont pu générer

cette différence entre nos deux classes. Peu importe, il s’agit là d’un point de départ,

certes imparfait, mais qui donne une idée d’où nous « partons ».

Myriam

5.2. S

L

annex

catégo

des di

Le tra

et moi

M

nous

sembl

batteri

appren

différe

difficu

3,91%

4,35%

8,70%

3,04%

TEST

m AMIOT Mém

Situation au

e second te

xe 12). Le

ories « non

ifficultés en

avail des pro

i avons félic

Mais alors qu

n’avons pl

le avoir été

ies de pro

ntissages en

ence est la

ultés, en cat

%

%

%

11,74%

T 2 TYPOLOG

moire de CAFIPE

u second

est est comp

bilan mont

réponse » e

n matière de

oblèmes a p

cité les élèv

ue 9 points

lus désorma

dans l’ens

oblèmes ch

n calcul. U

a pédagogi

tégorisant le

68,26%

GIE DES ER

EMF 2014

et dernier

posé de pro

tre bien les

et « âge du

e raisonnem

porté ses fru

ves pour leu

s nous sépa

ais que 2 p

semble plus

haque sem

Une des ra

ie explicite

es problème

Bonnes répo

Non répons

Problèmes dlectureErreurs de c

"Age du cap

Autres erreu

RREURS CM

test

oblèmes à p

s progrès d

capitaine »

ment, ont sen

uits d’un cô

ur travail dur

araient de la

points d’éc

s forte. Les

maine et o

isons les p

e que j’ai

es et en ense

3,643,18

7,7

TECL

onses

es

de

calcul

pitaine"

urs

M1A

plusieurs éta

des deux cl

», qui me pa

nsiblement d

ôté comme d

rant ces cin

a classe tém

cart. La pro

deux class

ont eu gro

plus éviden

utilisée, e

eignant des

4%8%

73%

5,91%

9,09%

EST 2 TYPOLOLASSE TEMO

apes propre

asses. En p

araissent sy

diminué dan

de l’autre, e

nq mois.

moin au mo

ogression d

ses ont eu à

osso modo

ntes pour e

en progress

stratégies.

70,45

OGIE DES EROIN

es au CM1

particulier,

ymptomatiqu

ns l’ensemb

et ma collèg

ois de févri

de mes élèv

à résoudre d

o les mêm

xpliquer ce

sant dans

5%

Bonne

Non ré

ProblèlectureErreur

"Age d

Autres

RREURS

27

(cf

les

ues

ble.

gue

ier,

ves

des

mes

ette

les

es réponses

éponses

èmes de ers de calcul

du capitaine"

s erreurs


CONCLUSION

Cette expérimentation n’a porté que sur 46 élèves et n’a duré que 5 mois. Il serait

certainement intéressant d’expérimenter une telle démarche sur un cycle entier, et sur

un temps scolaire plus long, mais pour l’heure, en tirer des conclusions définitives est

d’évidence délicat.

La multiplicité des compétences à l’œuvre en matière de résolution de problème ne

peut sans doute se contenter d’une réponse simpliste aux différentes difficultés des

élèves. L’automatisation du calcul mental ne suffit pas, le conte guidé, la résolution

régulière de problèmes, l’interprétation et la catégorisation via les schémas non plus.

Pourtant tous ces éléments peuvent être une aide précieuse, et aucun ne peut être

négligé.

Plus encore, il semble que la pédagogie explicite, par sa progressivité, la guidance

rassurante qu’elle offre, la mise en mémoire de stratégies, peut aider nos élèves dans

leur apprentissage du raisonnement mathématique, et améliorer notre enseignement en

matière d’équité et d’efficacité.


Bibliographie

- BARTH Britt-Mari, L’apprentissage de l’abstraction, collection RETZ, 1987,

Edition revue et augmentée en 2001.

- BRÉGEON Jean-Luc, HUGUET François, PÉAULT Hervé, DOSSAT Luce,

MYX André, VERGNAUD Gérard (dir.), Le moniteur de mathématiques, Résolution

de problèmes Fichier pédagogique, éditions Nathan, 2001.

- CROUAIL Alain, Rééduquer dyscalculie et dyspraxie, Méthode pratique pour

l’enseignement des mathématiques, Issy-les-Moulineaux, éditions Masson, 2008.

- DEHAENE Stanislas, La bosse des maths, 15 ans après, Paris, 2010, éditions

Odile Jacob.

- GAUTHIER Clermont, BISSONNETTE Steve, RICHARD Mario, Enseignement

explicite et réussite des élèves La gestion des apprentissages, Bruxelles, éditions De

Boeck, 2012.

- HERVÉ Pascal, ouvrage publié sous la direction de Rolland CHARNAY, La

résolution de problèmes numériques à l’école, Paris, éditions HATIER Pédagogie,

2005.

- HOUDÉ Olivier, Le raisonnement, Paris, 2014, Presses Universitaires de France,

Collection Que sais-je ?

Sitographie

- BUTLEN Denis et PEZARD Monique, Une contribution à l’étude des rapports

entre habiletés calculatoires et résolution de problèmes numériques à l’école

élémentaire et au début du collège.

http://spirale-edu-revue.fr/IMG/pdf/Bulten_et_Pezard_Spirale_31_2003_.pdf

sommaire3evoie.org/telechargementpublic/mémoire cafipemf.pdf · 2014. 11. 8. · myriam amiot...

Documents