module iv: calcul intégral · quelques exemples physique: accélération variable calculer...
TRANSCRIPT
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Module IV:
Calcul intégral
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Principe
F(x)
x
F(b)
F(a)
F(a+∆x)
a
a+∆x
b
( ) ( ) ( ) )(lim0
afadx
dF
x
aFxaF
x==
∆−∆+
→∆
( ) ( )( ) xafaFxaFxx
∆=−∆+→∆→∆
)(limlim00
=>
( ) ( ) dxafaFdxaF )(=−+=>
( ) ( ) =−b
adxxfaFbF )(=>
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Interprétation graphique
f(X)
x
f(b)
f(x+dx)
a
x+dx
b
( ) ( ) =−b
adxxfaFbF )(
f(a)
Graphiquement: on
somme les surfaces de
rectangles de hauteur f(x)
et de largeur dx
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Conséquences
Si F(x) a pour dérivée F’(x) = f(x)
F(b) - F(a) peut se calculer par la somme
appelée « intégrale de f(x) entre x=a et x=b »
F(b) - F(a) représente la surface entre f(x) et
Ox, et entre x=a et x=b
b
adxxf )(
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Exemple
Soit F(x) = x³ - 2x² + 3x -2
F’(x) = f(x) = 3x² - 4x + 3
La surface entre f(x) et Ox, x=0 et x=1 vaut
F(1) – F(0) = 0 – (-2) = 2
Calculons numériquement l’intégrale:
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Exemple
Soit F(x) = x³ - 2x² + 3x -2
F’(x) = f(x) = 3x² - 4x + 3
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Primitives et intégrales
On a vu que: F’(x) = f(x)
f(x) est unique
Par contre, F(x), l’intégrale de f(x), n’est
définie qu’à une constante près
[F(x) + k]’ = F’(x) + k’ = F’(x)
quelle que soit la constante k
F(x) est appelée « la primitive de f(x) », ou
« l’intégrale indéfinie de f(x) »
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Primitives et intégrales
Si les limites d’intégration (a et b) sont
données:
On parle alors
« d’intégrale définie de f(x) entre a et b »
( )[ ] ( )[ ] ( ) ( )aFbFkxFkxFdxxf axbxb
a−=+−+= == )(
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Primitives immédiates
On peut vérifier, en dérivant F(x), que:
k
xm+k
sin(x)+k
cos(x)+k
tg(x)+k
cotg(x)+k
arcsin(x)+k
F(x)
0
mxm-1
cos(x)
-sin(x)
1/cos²(x)
-1/sin²(x)
1/√(1-x²)
f(x)
arcos(x)+k
arctg(x)+k
arccotg(x)+k
ex+k
ax +k(a>0)
ln(x)+k
loga(x)+k
F(x)
-1/ √(1-x²)
1/(1+x²)
-1/(1+x²)
ex
ax*ln(a)
1/x
1/(x*ln(a))
f(x)
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Méthodes d’intégration
Méthode de substitution
But: se ramener à une intégrale usuelle par
changement de variable
Exemple: I = ∫sin²(x)*cos(x) dx
Solution:
poser t = sin(x)
dt/dx = cos(x) => dt = cos(x) dx
I = ∫ t² dt = t³/3 + k = sin³(x)/3 + k
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Méthodes d’intégration
Méthode « par partie »
But: se ramener à des intégrales usuelles en
utilisant uv’ = (uv)’ – u’v
∫ uv’ dx = ∫ u dv = uv - ∫ u’v = uv - ∫ v du
Exemple: I = ∫sin²(x)*cos(x) dx
posons u = sin²(x) et dv = cos(x) dx
=> du = 2*sin(x)*cos(x)*dx et v = sin(x)
I = sin³(x) - ∫ 2*sin²(x)*cos(x) dx +k
=> 3I = sin³(x) + k => I = sin³(x)/3 + k’
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Quelques exemples
Statistique: distribution exponentielle
Montrer que f(x) = λ*exp(-λx), où λ est un paramètre de forme et x est la variable
aléatoire, variant de 0 à +∞, est bien une
distribution
Cette question consiste à montrer que:
1)(0
=+∞
dxxf
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Quelques exemples
Statistique: distribution exponentielle
Procédons par substitution
Posons u = λ*x => du = λ*dx x = 0 => u = 0
x = +∞ => u = +∞
On peut donc écrire:
[ ] [ ] 1000
=−−−== =−
+∞=
+∞ −−+∞ − u
u
u
uuxeeduedxe
λλ
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Quelques exemples
Statistique: distribution exponentielle
Remarques
représente la probabilité que x soit compris
entre a et b. On vient donc de montrer que
la probabilité que x soit entre 0 et +∞ vaut
100 %
Pdxeb
a
x =−λλ
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Quelques exemples
Statistique: distribution exponentielle
Quelques exemples
Distributions exponentielles
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
x
f(x
)
λ = 1λ = 5λ = 10
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Quelques exemples
Statistique: distribution exponentielle
Calculer la probabilité P(0.2 < x < 0.4), en
supposant que λ = 5
[ ] [ ] 2325.0212.0*54.0*54.02.0
=−=−−−== −−−−− eeeedxePxxxλλ
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Quelques exemples
Physique: accélération constante
Calculer l’espace parcouru par un mobile,
situé initialement en x = x0, se déplaçant
initialement à une vitesse v = v0, et
subissant une accélération constante a.
Solution:
a=dv/dt => dv = a*dt => ∫dv = ∫a*dt
=> v(t) = a*t + Ct
en t = 0, v(0) = v0 => Ct = v0
=> v(t) = a*t + v0
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Quelques exemples
Physique: accélération constante
Solution (suite):
v=dx/dt => dx = v*dt => ∫dx = ∫v*dt
=> x(t) = ½*a*t² + v0*t + Ct
en t = 0, x(0) = x0 => Ct = x0
=> x(t) = ½* a*t² + v0*t + x0=> on redécouvre le MRUA...!
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Quelques exemples
Physique: accélération variable
Calculer l’espace parcouru par un mobile, situé
initialement en x = x0, se déplaçant initialement
à une vitesse v = v0, et subissant une
accélération variable a.
On supposera que la force de propulsion est
constante (F), mais que la masse du mobile
diminue (consommation du carburant)
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Quelques exemples
Exemple de questions d’examens:
Calculer l’intégrale de tg(x/2) pour x dans
l’intervalle [-π/4;π/4] Calculez l’intégrale de x² * exp(-2*x) entre 0 et 1
Calculez la primitive de sin³(x)
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Quelques exemples
�� = � �� ��
��
�� Version « simple »: �� = 0 par symétrie
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Quelques exemples
�� = � �� ��
��
�� Version « simple »: �� = 0 par symétrie Sinon, on pose:
u = x/2 => du = dx/2 => dx = 2*du
x = ± π/4 => u = ± π/8
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Quelques exemples
�� = � �� ��
��
�� Version « simple »: �� = 0 par symétrie Sinon, on pose:
u = x/2 => du = dx/2 => dx = 2*du
x = ± π/4 => u = ± π/8 On constate que:
tg(u) = sin(u)/cos(u) = -cos’(u)/cos(u)
= -ln[cos(u)]’
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Quelques exemples
�� = � �� ��
��
��
On en déduit que: ��= � �� � ∗ 2 ∗ ���
��
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Quelques exemples
�� = � �� ��
��
��
On en déduit que: ��= � �� � ∗ 2 ∗ ���
��
Et donc: ��= −2 ∗ ln ��� � |����
= −2 ∗ �� ��� �� − �� ��� −��= 0
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Quelques exemples
�� = � � ∗ ��∗�� Produit de 2 fonctions => on peut essayer
l’approche « par parties »
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Quelques exemples
�� = � � ∗ ��∗�� Produit de 2 fonctions => on peut essayer
l’approche « par parties »
On pose:
� = � ⇒ � = 2 ∗ ∗
" = ��∗� ⇒ " = − #$%∗& �'
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Quelques exemples
�� = � � ∗ ��∗�� Produit de 2 fonctions => on peut essayer
l’approche « par parties »
On pose:
� = � ⇒ � = 2 ∗ ∗
" = ��∗� ⇒ " = − #$%∗& �'
�� = �%∗#$%∗&� | � + � ∗ ��∗�
�
Premier terme:
#$%� =
��∗#%
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Quelques exemples
�� = #$%� + � ∗ ��∗�
�
On pose:
� = ⇒ � =
" = ��∗� ⇒ " = − #$%∗& �'
-
Quelques exemples
�� = #$%� + � ∗ ��∗�
�
On pose:
� = ⇒ � =
" = ��∗� ⇒ " = − #$%∗& �'
�� = #$%� +
�∗#$%∗&
� | � + � ��∗�
�
Ce qui conduit à:
�� = �) ∗ 1 −+
#%
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Quelques exemples
,- = � �.�- ∗ // Truc: �.�- = �.� ∗ �.��
⇒ �.�- = �.� ∗ 1 − ����
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Quelques exemples
,- = � �.�- ∗ // Truc: �.�- = �.� ∗ �.��
⇒ �.�- = �.� ∗ 1 − ����
,- = � �.� ∗ − � �.� ∗ ���� //// ⇒ ,- = −��� + ,-0
-
Quelques exemples
,- = � �.�- ∗ // Truc: �.�- = �.� ∗ �.��
⇒ �.�- = �.� ∗ 1 − ����
,- = � �.� ∗ − � �.� ∗ ���� //// ⇒ ,- = −��� + ,-0 Pour calculer ,-0, on pose: � = cos ⇒ � = − sin ∗
⇒ ,-0 = 5 �� ∗ �/
/= �
-3 + 7 =
���-()3 + 7