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Module 5 : Algorithmes de graphes

19/7/2006 Algorithmes de graphes 2

Plan du module Arbre couvrant minimum

Algorithme de Prim Algorithmes de plus court chemin

Algorithme de Dijkstra Algorithme de Floyd

Problème 10034


Arbre couvrant minimum Un arbre couvrant pour un graphe non-

orienté G est composé de tous les sommets de G avec un sous-ensemble des arêtes de G qui Relient les sommets; il existe un chemin

entre tous les sommets de l’arbre couvrant Forment un arbre sans racine, non

ordonné, sans cycle.


Arbre couvrant minimum Un arbre couvrant minimum est un

arbre couvrant dont la somme des étiquettes (valeurs attachées aux arêtes) est minimale.


Arbre couvrant minimum

a

ce

d

b2

45

9

6

4

5

5

a

ce

d

b2

45

9

6

4

5

5


Arbre couvrant minimum Algorithme de Prim

L’arbre est construit nœud après nœud partant d’un nœud initial

À chaque itération un nœud est ajouté à l’arbre couvrant

On ajoute toujours le nœud reliant l’arbre avec l’arête de moindre poids



a

ce

d

b2

45

9

6

4

5

5

A B C D E

intree F F F F F

distance ∞ ∞ ∞ ∞ ∞

parent -1 -1 -1 -1 -1

a

ce

d

b2

45

9

6

4

5

5

A B C D E

intree T F F F F

distance 0 ∞ ∞ ∞ ∞

parent -1 -1 -1 -1 -1



a

ce

d

b2

45

9

6

4

5

5

A B C D E

intree T F F F F

distance 0 9 5 2 ∞

parent -1 A A A -1

Le nœud de départ est A.La table des distances et des parents est mise à jour pour tous les nœuds adjacents à A.On sélectionne parmi les nœuds restants celui relié par l’arête de plus petit poids.



a

ce

d

b2

45

9

6

4

5

5

A B C D E

intree T F F T F

distance 0 6 4 2 4

parent -1 D D A D

Le nœud de départ est D.La table des distances et des parents est mise à jour pour tous les nœuds adjacents à D pas encore dans l’arbre.On sélectionne parmi les nœuds restants celui relié par l’arête de plus petit poids (ici C et E possibles).



a

ce

d

b2

45

9

6

4

5

5

A B C D E

intree T F T T F

distance 0 6 4 2 4

parent -1 D D A D

Le nœud de départ est C.La table des distances et des parents est mise à jour pour tous les nœuds adjacents à C pas encore dans l’arbre.On sélectionne parmi les nœuds restants celui relié par l’arête de plus petit poids.



a

ce

d

b2

45

9

6

4

5

5

A B C D E

intree T F T T T

distance 0 5 4 2 4

parent -1 E D A D

Le nœud de départ est E.La table des distances et des parents est mise à jour pour tous les nœuds adjacents à E pas encore dans l’arbre.On sélectionne parmi les nœuds restants celui relié par l’arête de plus petit poids.



a

ce

d

b2

45

9

6

4

5

5

A B C D E

intree T T T T T

distance 0 5 4 2 4

parent -1 E D A D

Plus rien ne change.La table parent nous fournit l’arbre de couvrant minimum!

a

ce

d

b2

45

9

6

4

5

5


Arbre couvrant minimum FOR i := 0 TO g.nvertices-1 DO BEGIN intree[i] := false; distance[i] := MAXINT; parent[i] := -1 END; distance[start] := 0; v := start; WHILE NOT intree[v] DO BEGIN intree[v] := true; FOR i := 0 TO g.degree[v]-1 DO BEGIN w := g.edges[v][i].v; weight := g.edges[v][i].weight; IF (distance[w] > weight) AND NOT intree[w] THEN BEGIN distance[w] := weight; parent[w] := v END END;

v := start; dist := MAXINT; FOR i := 0 TO g.nvertices-1 DO BEGIN IF (NOT intree[i]) AND (dist > distance[i]) THEN BEGIN dist := distance[i]; v := i END END


Algorithmes de plus court chemin Soit un graphe orienté ou non ayant des

étiquettes sur les arêtes pour représenter leur « longueur ».

On veut connaître la « distance » minimale entre deux sommets.

En général, la distance minimale d’un sommet u au sommet v est la distance minimum de tous les chemins de u à v.


Algorithme de Dijkstra C’est l’algorithme de choix pour trouver

le chemin de distance minimum entre deux nœuds d’un graphe.

Cet algorithme calcule le plus court chemin entre un nœud donné et tous les autres d’un graphe.

Ne fonctionne que sur des graphes sans arêtes négatives.


Algorithme de Dijkstra L’idée de base est très semblable à

l’algorithme de Prim. À chaque itération, on ajoute un nœud à

l’arbre de nœuds pour lequel nous connaissons le plus court chemin depuis la source s.


Algorithme de Dijkstra Mais dans le problème du plus court

chemin : nous ajoutons un nœud qui est le plus

proche en distance de la source s Cette distance est fonction du poids de la

nouvelle arête et de la distance depuis la source s de l’arbre de nœuds auquel l’arête est adjacente.


0

105

2

1

3 4

2

6

97

s

u v

x y

8 8

8 8Algorithme de Dijkstra


0

5

10

105

2

1

3 4

2

6

97

s

u v

x y

8

8

(s,x) est le plus court chemin utilisant une seule arête.

C’est aussi le plus court chemin de s à x.

Algorithme de Dijkstra


0

7

14

5

8

105

2

1

3 4

2

6

97

s

u v

x y



0

7

13

5

8

105

2

1

3 4

2

6

97

s

u v

x y



0

7

9

5

8

105

2

1

3 4

2

6

97

s

u v

x y



Algorithme de DijkstraBEGIN FOR i := 0 TO g.nvertices-1 DO BEGIN intree[i] := false; distance[i] := inf; parent[i] := -1 END; distance[start] := 0; v := start; WHILE NOT intree[v] DO BEGIN intree[v] := true; FOR i := 0 TO g.degree[v]-1 DO BEGIN w := g.edges[v][i].v; weight := g.edges[v][i].weight; IF (distance[w] > distance[v]+weight) AND NOT intree[w] THEN BEGIN distance[w] := distance[v]+weight; parent[w] := v END END;

v := 0; dist := MAXINT; FOR i := 0 TO g.nvertices-1 DO BEGIN IF (NOT intree[i]) AND (dist > distance[i]) THEN BEGIN dist := distance[i]; v := i END END END; print_shortest_paths(g,0)END;


Algorithme de Floyd

Trouver tous les plus courts chemins entre toutes les paires de nœuds d’un graphe.

Le graphe peut contenir des arêtes négatives, mais pas de cycle à coût négatif


Algorithme de Floyd Représentation du graphe :

Une matrice de poids W(i,j)=0 si i=j W(i,j)= s’il n’y a pas d’arête entre i et j W(i,j) = “poids de l’arête”


Algorithme de Floyd

1 2 3 4 5

1 0 1 1 5

2 9 0 3 2

3 0 4

4 2 0 3

5 3 0

v1 v2

v3v4

v5

32

2

4

1

3

1

93

5


Algorithme de Floyd

Comment définir la distance la plus courte di,j en termes de problèmes plus “petits”?

Une façon de faire consiste à se limiter à des chemins n’incluant que des nœuds d’un sous-ensemble restreint.


Algorithme de Floyd Initialement, ce sous-ensemble est

vide. Ensuite il est augmenté

progressivement, un nœud à la fois, jusqu’à ce qu’il contienne tous les nœuds du graphe.


Algorithme de Floyd

Soit D(k)[i,j]=poids du plus court chemin de vi à vj n’utilisant que les nœuds {v1,v2,…,vk} comme nœuds intermédiaires dans le chemin D(0)=W D(n)=D c’est la matrice finale

Comment calculer D(k) depuis D(k-1) ?


Algorithme de Floyd

Cas 1: Un plus court chemin de vi à vj limité aux nœuds {v1,v2,…,vk} comme nœuds intermédiaires n’utilise pas vk. Alors D(k)[i,j]= D(k-1)[i,j].

Cas 2: Un plus court chemin de vi à vj limité aux nœuds {v1,v2,…,vk} comme nœuds intermédiaires utilise vk. Alors D(k)[i,j]= D(k-1)[i,k]+ D(k-1)[k,j].

Vi

Vj

Vk

Plus court chemin utilisant les nœuds { V1, . . . Vk -1 }

Plus court chemin utilisant les nœuds {V1, . . . Vk }


Algorithme de Floyd

Comme D(k)[i,j]= D(k-1)[i,j] orD(k)[i,j]= D(k-1)[i,k]+ D(k-1)[k,j].

On obtient: D(k)[i,j]= min{ D(k-1)[i,j], D(k-1)[i,k]+ D(k-1)[k,j] }

Vi

Vj

Vk

Plus court chemin utilisant les nœuds { V1, . . . Vk -1 }

Plus court chemin utilisant les nœuds {V1, . . . Vk

}


Algorithme de Floyd

W = D0 =40 5

2 0 -3 0

1 2 31

2

3

00 0

0 0 0

0 0 0

1 2 31

2

3

P =

1

2

3

5

-3

24


D1 =40 5

2 0 7

-3 0

1 2 31

2

3

00 0

0 0 1

0 0 0

1 2 31

2

3

P =

Algorithme de Floyd

D1[2,3] = min( D0[2,3], D0[2,1]+D0[1,3] )

= min (, 7)

= 7

D1[3,2] = min( D0[3,2], D0[3,1]+D0[1,2] )

= min (-3,)

= -3

K = 1Le nœud 1 peut être nœud intermédiaire.


D2 =40 5

2 0 7

-1 -3 0

1 2 31

2

3

00 0

0 0 1

2 0 0

1 2 31

2

3

P =

Algorithme de Floyd

D2[1,3] = min( D1[1,3], D1[1,2]+D1[2,3] )

= min (5, 4+7)

= 5

D2[3,1] = min( D1[3,1], D1[3,2]+D1[2,1] )

= min (, -3+2)

= -1

K = 2Les nœuds 1 et 2 peuvent être nœuds intermédiaires.


D3 =20 5

2 0 7

-1 -3 0

1 2 31

2

3

30 0

0 0 1

2 0 0

1 2 31

2

3

P =

Algorithme de Floyd

D3[1,2] = min(D2[1,2], D2[1,3]+D2[3,2] )

= min (4, 5+(-3))

= 2

D3[2,1] = min(D2[2,1], D2[2,3]+D2[3,1] )

= min (2, 7+ (-1))

= 2

K = 3Les nœuds 1, 2, 3 peuvent être nœuds intermédiaires.


Algorithme de Floyd

1. D W // initialiser D avec les poids des arêtes2. P 0 // initialiser P à 03. for k 1 to n4. do for i 1 to n5. do for j 1 to n6. if (D[ i, j ] > D[ i, k ] + D[ k, j ] ) 7. then D[ i, j ] D[ i, k ] + D[ k, j ]

8. P[ i, j ] k;


Algorithme de Floyd Pourquoi peut-on travailler sur une

même matrice ? D[i,j] ne dépend que des éléments de la

kième ligne et kième colonne de la matrice. La kième ligne et kième colonne de la

matrice restent inchangées lorsqu’on calcule Dk


Algorithme de Floyd Les éléments de la diagonale principale

restent à 0 car : D(k)[ j,j ] = min{ D(k-1)[ j,j ] , D(k-1)[ j,k ] + D(k-1)[ k,j ] }

= min{ 0, D(k-1)[ j,k ] + D(k-1)[ k,j ] } = 0


Algorithme de Floyd La kième colonne de Dk est égale à la

kième colonne de Dk-1 :

Pour tout i D(k)[i,k] = min{ D(k-1)[i,k], D(k-1)[i,k]+ D(k-1)[k,k] }

= min { D(k-1)[i,k], D(k-1)[i,k]+0 } = D(k-1)[i,k]


Algorithme de Floyd La kième ligne de Dk est égale à la

kième ligne de Dk-1 :

Pour tout i D(k)[k,j] = min{ D(k-1)[k,j], D(k-1)[k,k]+ D(k-1)[k,j] }

= min{ D(k-1)[ k,j ], 0+D(k-1)[k,j ] }

= D(k-1)[ k,j ]


Algorithme de Floyd FOR k := 1 TO g.nvertices DO FOR i := 1 TO g.nvertices DO FOR j := 1 TO g.nvertices DO BEGIN through_k := g.weight[i,k]+g.weight[k,j]; IF through_k < g.weight[i,j] THEN BEGIN g.weight[i,j] := through_k; p[i,j] := k END END


Problème 10034 In an episode of the Dick Van Dyke show, little Richie

connects the freckles on his Dad's back to form a picture of the Liberty Bell. Alas, one of the freckles turns out to be a scar, so his Ripley's engagement falls through. Consider Dick's back to be a plane with freckles at various (x,y) locations. Your job is to tell Richie how to connect the dots so as to minimize the amount of ink used. Richie connects the dots by drawing straight lines between pairs, possibly lifting the pen between lines. When Richie is done there must be a sequence of connected lines from any freckle to any other freckle.


Problème 10034 Input

The input begins with a single positive integer on a line by itself indicating the number of the cases following, each of them as described below. This line is followed by a blank line, and there is also a blank line between two consecutive inputs.

The first line contains 0 < n <= 100, the number of freckles on Dick's back. For each freckle, a line follows; each following line contains two real numbers indicating the (x,y) coordinates of the freckle.

Output For each test case, the output must follow the description

below. The outputs of two consecutive cases will be separated by a blank line.

Your program prints a single real number to two decimal places: the minimum total length of ink lines that can connect all the freckles.


Problème 10034Sample Input

1

31.0 1.02.0 2.02.0 4.0

Sample Output

3.41

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