1

Modélisation Micromagnétique par Eléments Finis avec FEELLGOOD

J.-C. Toussaint1, E. Kritsikis1, F. Alouges2

1. Institut Néel – Groupe Grenoble-INP

2. CMAP Ecole Polytechnique

2

1. Hypothèses du micromagnétisme

2. Dynamique de l’aimantation : équations Landau-Lifshitz-Gilbert

3. Formulations faibles en éléments finis

4. Schémas numériques

5. Applications à des systèmes physiques 3D

• Dynamique de l’aimantation dans une plaquette de Permalloy

• Sélection de chiralité dans des plots de Co

• Nano-oscillateurs à courant polarisé en spin

Plan

3

Modélisation d’un matériau ferromagnétique à l’échelle

mésoscopique 10 nm -100 nm

Approximation des milieux continus ⇒

Faibles variations spatiales du vecteur aimantation M(r)

Fluctuations thermiques négligées.Introduction de la température seulementdans une approche champ moyen

1963 - W. F. Brown Jr. 1907 P. Weiss / domaine magnétique

1935 Landau-Lifshitz / paroi

Spins individuels

J. F. Brown, Jr. : Micromagnetics, J. Wiley and Sons, New York (1963)

i

1. Hypothèses du micromagnétisme

Contrainte sur la norme de l’aimantation

|m(r)|=1

d3r

m(r)

h

4

Anisotropie Magnéto-crystalline- symétrie du cristal- direction(s) privilégiée(s) pour m

( )( )2 31 1aniE K d r

Ω

= − ⋅∫ Ku m

Interaction d’échange dansun ferromagnétique- ordre magnétique (T<Tc )- spins parallèles

( ) 2 3ex exE A d r

Ω

= ∫ grad m

Interactions Magnétostatiques- équations de Maxwell- distribution des charges mag. - création des domaines mag.

( ) 30

1 02D s dE M d r

Ω

= − μ ⋅ ≥∫ m H m

Couplage Zeeman - champ extérieur- alignement des moments //ment à Happ

30z s appE µ M d r

Ω

= − ⋅∫ m H

Energie d’un système micromagnétique

5

Eq. de Landau-Lifshitz-Gilbert (LLG)

0t t∂ ∂

= −γμ × +α ×∂ ∂m mm H m

2. Dynamique de l’aimantation en micromagnetisme

H champ effectif, α>0 amortissement,

γ facteur gyromagnétique

Cas où H ~ H0 champ appliqué :

( ) ( )1

0 0

2 2exK K app d

s s

A Kµ M µ M

= Δ + ⋅ + +H m u m u H H m

H0

m0α=0.1

H0

m0

α=1

2sMdE

dt tΩ

∂⎛ ⎞= −α ⎜ ⎟γ ∂⎝ ⎠

⌠⎮⌡

mPuissance dissipée :

6

Propriétés des équations LLG

1m = est conservée

0m mm H mt t

∂ ∂= −γμ × + α ×

∂ ∂

0 1γμ = dans la suite de l’exposé

m mm H mt t

∂ ∂= − × +α ×

∂ ∂

Plusieurs formes équivalentes :

( )m mm m m H m mt t

∂ ∂⎛ ⎞× = − × × +α × × ⇒⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠

•

•

Forme de Gilbert

Forme de Alougesavecm mm H m m Ht t

∂ ∂α + × = −λ λ =∂ ∂

i

0mmt

∂⇔ =

∂i

7

Plot cylindrique de NiFe de diamètre 100nm et de hauteur 10nm, possédant une direction privilégiée (anisotropie magnétocrystalline uniaxe) de l’aimantation dans le plan de 1000 J/m3.

L’état à la rémanence, obtenu par le code volumes finis (FV), n’est plus invariant par rotation autour de l’axe du cylindre.

Pourquoi faire des éléments finis?

8

3. Formulations faibles connusm mm H mt t

∂ ∂= − × +α ×

∂ ∂ ( )1 2[0, ],m H T S∈ Ω×

Yang et Fredkin - On la teste avec

( ) ( ). . .v w m v w H m wΩ Ω Ω

−α × = ×∫ ∫ ∫

Cela revient à trouver tel que( )1 [0, ]v H T∈ Ω×

( )1 [0, ]w H T∀ ∈ Ω×

Discrétisation en éléments finis P1,

v ne respecte pas

v n’est donc même pas une approximation de ⇒ sur-dissipation en énergie

0i im v =imt

∂∂

eti i i ii i

m m v v= φ = φ∑ ∑

( )1 [0, ]w H T∈ Ω×

Forme de Gilbert

Szambolics H. et al, IEEE Trans. Magn., 44 (11) (2008) 3153-3156

9

Formulations dans le plan tangent à m

Jaisson et Alouges - On impose la contrainte aux nœuds de discrétisation

avec , 1i i ii

m m i m= φ ∀ =∑

On teste avec une fonction test w orthogonale à m en tout point

avecm mm H m m Ht t

∂ ∂α + × = −λ λ =∂ ∂

i

Forme de Alouges

( ). . . .v w m v w H w m wΩ Ω Ω Ω

α + × = − ∇ ∇∫ ∫ ∫ ∫∼

Échange dominant

10

4. Schéma explicite

Discrétisation en temps : ( ) ( )n pm m n t t= δ +Ο δ

( ). . . .v w m v w H w m wΩ Ω Ω Ω

α + × = − ∇ ∇∫ ∫ ∫ ∫∼

Pour tout n≥0, trouver tel que nv K∈ nw K∀ ∈

( ). . . .n n nv w m v w H w m wΩ Ω Ω Ω

α + × = − ∇ ∇∫ ∫ ∫ ∫∼

1 1 1avecn

n n n ii i i n

i i

m t vm m mm t v

+ + + + δ= φ =

+ δ∑

Plan tangent :

On pose

1, , 0nn i i i i i

iK w w P w m

⎧ ⎫= = φ φ ∈ =⎨ ⎬⎩ ⎭

∑ i

schéma d’ordre p

11

• Le problème admet toujours une solution.

• Elle converge faiblement vers une solution faible de Gilbert

lorsque δt / δx2 → 0 (Bartels)

• Proche d’un schéma explicite pour l’équation de la chaleur.

• Mais en pratique δt petit

⇒ Besoin d’un schéma implicite, inconditionnellement stable avec

une itération linéaire.

Schéma explicite

12

Implicitation de l’échange

MAIS

Pour tout n≥0, trouver tel que nv K∈ nw K∀ ∈

( ) 1. . .n nv w m v w m w+

Ω Ω Ω

α + × = − ∇ ∇∫ ∫ ∫

( )1 2n

n nii in

i

m t vm m t v tm t v

+ + δ= = + δ +Ο δ

+ δ

non-linéaire

( ). . . .n nv w m v w t v w m wΩ Ω Ω Ω

α + × + δ ∇ ∇ = − ∇ ∇∫ ∫ ∫ ∫

1 1 1avecn

n n n ii i i n

i i

m t vm m mm t v

+ + + + δ= φ =

+ δ∑On pose

On propose le θ-schéma :

( ) [ ]. . . . 0, 1n nv w m v w t v w m wΩ Ω Ω Ω

α + × + θδ ∇ ∇ = − ∇ ∇ θ∈∫ ∫ ∫ ∫

13

Etude de stabilité du θ-schéma( ) ( )21

2E m m

Ω

= ∇∫Energie d’échange :

On cherche à estimer : ( ) ( ) ( )222n n nE m t v E m t m v t vΩ Ω

+ δ − = δ ∇ ⋅∇ + δ ∇∫ ∫

On remplace dans le θ-schéma w par v

( ) [ ]. . . . 0, 1n nv w m v w t v w m wΩ Ω Ω Ω

α + × + θδ ∇ ∇ = − ∇ ∇ θ∈∫ ∫ ∫ ∫

( )22 .nv t v m vΩ Ω Ω

α + θδ ∇ = − ∇ ∇∫ ∫ ∫

( ) ( ) ( ) ( )22 21 2n nE m t v E m t v t vΩ Ω

+ δ − = −αδ + − θ δ ∇∫ ∫

En prenant θ=½ on obtient à δt3 près la dissipation physique

MAIS …

14

MAIS la normation fait dissiper plus d’énergie 1n

nn

m t vmm t v

+ + δ=

+ δ

( ) ( ) ( )21 2 2 1 212

n n nE m E m t v t m v+ +

Ω Ω

− ≤ −αδ − δ ∇∫ ∫

2 2 2où 1 1nw m t v w t v= + δ = + δ ≥Appliquons à

Le schéma est stable mais reste d’ordre 1 après normation

dissipation suppl.

( )2

22 ww wwΩ Ω

⎛ ⎞∇ ≤ ∇⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

∫ ∫1 avec 1w H w∀ ∈ ≥Bartels généralisé

( )( ) ( )( ) ( )222 2 11 2n n nt v m m t v E m t v+

Ω Ω

+ δ ∇ ≤ ∇ + δ = + δ∫ ∫

( ) ( ) ( )21 2 2 12 2n n nE m t v m E m t v+ +

Ω

+ δ ∇ ≤ + δ∫

15

Schéma temporel d’ordre 2 (Thèse Kritsikis*)

Discrétisation en temps :

Pour tout n≥0, trouver tel que nv K∈ nw K∀ ∈

( ). . .n n n nv w m v w H w m w+θ +θ +θ +θ

Ω Ω Ω Ω

α + × = − λ ⋅∫ ∫ ∫ ∫

Plan tangent : 1, , 0nn i i i i i

iK w w P w m

⎧ ⎫= = φ φ ∈ =⎨ ⎬⎩ ⎭

∑ i

avecm mm H m m Ht t

∂ ∂α + × = −λ λ =∂ ∂

iForme d’Alouges

On se place à un temps intermédiaire n+θ avec θ à déterminer

1 1 1avecn

n n n ii i i n

i i

m t vm m mm t v

+ + + + δ= φ =

+ δ∑On pose

* Soutenance - lundi 24 janvier 14h00 – bat A - CNRS polygone

( ) ( )2nm m n t t= δ +Ο δ schéma d’ordre 2

16

Détermination de θ

( )1 2 2 312

n m t vm m t v t v m tm t v

+ + δ= = + δ − δ +Ο δ

+ δ

CN sur v : mn+1 doit coïncider avec le DL de Taylor de m(t) au temps n+1

( )1 2 2 312

nt tm m t m t m t+ = + δ ∂ + δ ∂ +Ο δ

etDL

D’où l’égalité ( )2 2 21 12 2t tm t m v t v m t∂ + δ ∂ = − δ +Ο δ

En notant ∏ la projection sur Kn , comme t nm K∂ ∈

( ) ( ) 1/22 212

nt t tv m t m t m += ∂ + δ Π∂ +Ο δ = Π ∂

Pour que le schéma soit d’ordre 2, doit être le projeté de sur Kn( ) 1/2ntm

+∂v

L’instant intermédiaire est donc n+½ ⇒ θ=½

17

( ). . . .2 2

n n nt tv w m v w v w m w v w+θ

Ω Ω Ω Ω Ω

δ δα + × + ∇ ∇ = − ∇ ∇ − λ ⋅∫ ∫ ∫ ∫ ∫

Schéma temporel d’ordre 2

( )2m H mλ = ⋅ = − ∇

En prenant θ=0 et en choisissant , on aw v=

( ) ( )222 2 .2 2

n nt tv v m v m wΩ Ω Ω Ω

δ δα + ∇ − ∇ = − ∇ ∇∫ ∫ ∫ ∫

Ellipticité non évidente ⇒ non utilisé en pratique

Pour tout n≥0, trouver tel que nv K∈ nw K∀ ∈

( ) ( ) ( )1/22 2 212

nt t tv m t m t m t+= ∂ + δ Π∂ +Ο δ = Π ∂ +Ο δ

18

( ). . . .2 2

n n nt tv w m v w v w m w v w+θ

Ω Ω Ω Ω Ω

δ δα + × + ∇ ∇ = − ∇ ∇ − λ ⋅∫ ∫ ∫ ∫ ∫

Schéma temporel d’ordre 2

( )2m H mλ = ⋅ = − ∇On garde le terme en λ dans le second membre de l’équationOn prend θ=1 pour bénéficier des propriétés de stabilité

Itération : résoudre en prenant λ=0. On obtient à δt près.v

Problème faiblement non-linéaire ⇒ Algorithme de point fixe : 2 itérations suffisent

( )21 1 1n

n n nn

m t vm mm t v

+ + ++ δ= ⇒ λ = − ∇

+ δ

Itération : résoudre avec λn+1. On obtient à δt2 près.v

1n

nn

m t vmm t v

+ + δ=

+ δ

19

Etude de stabilité du schéma ordre 2

( ) ( )212

E m mΩ

= ∇∫Energie d’échange :

On cherche à estimer : ( ) ( ) ( )222n n nE m t v E m t m v t vΩ Ω

+ δ − = δ ∇ ⋅∇ + δ ∇∫ ∫

On remplace dans le schéma w par v

( ) ( )222 1 2.2 2

n nt tv v m v m v+

Ω Ω Ω Ω

δ δα + ∇ = − ∇ ∇ − ∇∫ ∫ ∫ ∫

Le schéma d’ordre 2 réduit la sur-dissipation due à la normation.

( ) ( )21. . . .2 2

n n nt tv w m v w v w m w m v w+

Ω Ω Ω Ω Ω

δ δα + × + ∇ ∇ = − ∇ ∇ − ∇ ⋅∫ ∫ ∫ ∫ ∫

terme supplémentaire exactement compensé

( ) ( ) ( )21 2 2 1 212

n n nE m E m t v t m v+ +

Ω Ω

− ≤ −αδ − δ ∇∫ ∫

20

Formulation non usuelle, pas intégrable dans des outils comportant un générateur de formulation comme FluxExpertou Comsol Multiphysics

⇒ Développement d’un code C++ spécifique éléments finis en P1

FEELLGOOD

« Finite Element for Equations LLG Ohne Objekt Development »Pas politiquement convenable d’après la direction

« Finite Element for Equations LLG Object Oriented Development »

Implémentation des schémas ordre 1 et ordre 2(Thèses de Helga Szambolics et Evaggelos Kritsikis)

21

( ) ( )( ) ( ') ' ( ') 'd r m r mH r G r r r G r r rΩ ∂Ω

= − ∇ − ρ − ∇ − σ∫ ∫∫

Formulation de Green :

( ) ( ) ( ) ( )( ) ' ' ' 'm mr r G r r r G r rΩ ∂Ω

ϕ = ρ − + σ −∫ ∫∫

1( ')4 '

G r rr r

− =π −

Maxwell : en absence de courant

dH = −∇ϕ

( ) 0,r rϕ → →∞

J. D. Jackson : Classical electrodynamics, New York (1962)i

σm = M·n

= -div M

M

Champ démagnétisant

0

d

d

div H div M

rot H

= −⎧⎪⎨

=⎪⎩

en 3D en 2D1( ') ln '2

G r r r r− = − −π

Champ démagnétisant

Ω

22

Méthodes de calcul rapide du champ magnétostatique

( ) ( )1

1..N

i j i jjj i

r G r r i N=≠

= − =∑φ ρ

Un ensemble de N sources placées en rj crée un potentiel φ en ri

• FMM : Fast Multipole Methods (GreenGard)

• nFFT : FFT hors réseau (GreenGard - Thèse Kritsikis)

Pour calculer rapidement, séparer ri et rj ⇒• développement en multipôles (FMM)ou• développement en fourier après lissage à l’origine (nFFT).

L. Greengard, J. Y. Lee, SIAM REVIEW, 46 (3), 443-454, (2004) Kritsikis E. Applied Physics Letters 93, (2008).

23

5. APPLICATIONS PHYSIQUES :

• Dynamique de l’aimantation dans une plaquette de Py(µMAG Standard Problem #4)

• Chiralité de l’aimantation à la rémanence dans des plots de Co

• Nano-Ocillateurs à courant polarisé en spin

24

500 125 3x y zL L L nm nm nm× × = × ×

Paramètres matériaux :

- Aimantation à saturation :

- Constante d’échange :

- Pas d’anisotropie magnétocrystalline

T0053.10 =sMµ

J/m103.1 11−×=exA

20

2 5.7exex

s

A nmµ M

= =

Dynamique de l’aimantation dans une plaquette de PyµMAG Standard Problem #4

Longueur caractéristique

http://www.ctcms.nist.gov/~rdm/std4/spec4.html

25

1nm 2 nm 3 nm

Maillage gmsh*

33000 nœuds170 000 tétraèdres (P1)

* C. Geuzaine and J.-F. Remacle. Int. Journal for Numerical Methods in Engineering, Vol 79, Issue 11, pages 1309-1331, 2009

26

Etat d’équilibre – Etat S

Protocole :

1. Application d’un champ de 1T pour saturer l’aimantation selon [1 1 1]

2. Calcul des configurations d’équilibre par intégration de LLG en réduisant

l’amplitude du champ jusqu’à 0 (rémanence)

27

Dynamique de l’aimantation sous champ à partir de l’état S

µ0H = 36mT (190° /à Ox)

α = 0.01 γ0 = 2.21 105 m/(As)0t tm H m m m∂ = γ × + α ×∂

y

x

HyD Hy

D

m // OxHy⊥<0 mxHy

⊥

mz<<mx

mxHy⊥

mz<<mxmy

28

86000 tetraèdres

Comparaison ordre 1 et ordre 2

29

C

D

E

86000 tetra

Ordre 1 Ordre 2

C

D

E

Configurations dynamiquesordre 1 et ordre 2

it=4500

it=8500

it=14400

it=900

it=1100

it=1500

30

Chiralité de l’aimantation à la rémanence dans des plots de Co(A. Masseboeuf, N. Rougemaille, O. Fruchart)

MFM, field of view 6 microns

AFM, FoV 6μm

Lorentz, FoV 1.3μm

32

Chiralité de l’aimantation à la rémanence dans des plots de Co

250 nm

t = 50 nmApplication d’un champ magnétique selon une direction fixée (θ=25°, ϕ donné)depuis la saturation jusqu’à la rémanence.

33

Chiralité de l’aimantation à la rémanence dans des plots de Co

34

Chiralité gauche Chiralité droite

• Formulation faible FEM correcte• Description précise de la géométrie du plot avec ses sur-facettes

35

Chiralité gauche Chiralité droite

38

Comparaison des chiralités entre simulation et expérience

désaccords

Chiralité gauche Chiralité droite

Exp.

39Houssamedine et al Nat. Mater. 2007 Firastrau et al. PRB 2008

Nano-oscillators with perpendicular polarizerColl. A. Vaysset, L. Prejbeanu, D. Gusakova

Experiment Simulation

Low current density Japp = 1.×1011 A/m2

High current density Japp = 3.×1011 A/m2ST Ja= ×H M p

SlonczewskiJMMM. 159, L1 (1996)

40

Japp = 0.75 1011 A/m2

41

• Schémas numériques d’ordre 1 et d’ordre 2 en temps – Linéaire pour l’ordre 1 – faiblement non-linéaire pour l’ordre 2 ⇒ 4 à 10 fois plus rapide.

• Stabilité démontrée pour l’échange uniquement. Généralisation?

• Introduction de nouveaux termes physiques comme le coupleexercé par un courant polarisé en spin.

• Inconvénients : seulement en P1 en espaceP2 en espace : plus de décroissance de l’énergie après renormalisation de l’aimantation aux nœuds

• Physique : – ouverture vers le traitement de grandes variétés de systèmes– Couplage avec les équations de transport en spin.

Perspectives

42

• Pour tel que , on a1w H∈

22w w

w ΩΩ

∇ ≤ ∇⌠⎮⎮⌡

∫

Bartels dit oui si :

• et si• en 2D, le maillage est de Delaunay• en 3D, tous les angles diédraux sont inférieurs à π/2

Décroissance de l’énergie d’échange après renormalisation

1w ≥

• Est-ce encore vrai en discret?

Pour , a-t-on ? avec 1i i ii

w w w= φ ≥∑2

2w ww Ω

Ω

∇ ≤ ∇⌠⎮⎮⌡

∫

1i Pφ ∈