modélisation et identification des systèmes électriques mec 81 · tp n° 1 : modélisation et...

Modélisation et Identification des

systèmes électriques

MEC 81

Semestre: 2 Master : Commande Electrique

UE Fondamentale Code : MEC 81

Matière: Modélisation et Identification des systèmes électriques (MISE)

VHS: 45h (Cours: 1h30, TD: 1h30)

Crédits: 4 Coefficient: 2

Mode d’évaluation : Control continu : 40% ; Examen : 60%.

Connaissances préalables recommandées:

Notions de base en génie électriques (EEA) et en mathématiques

Objectifs de l’enseignement:

La modélisation des systèmes électrotechniques est indispensable à la compréhension et la commande de ces dispositifs. Le choix des modèles et l'analyse critique des résultats des simulations sera au cœur de cette UE.

Capacités et compétences visées :

Etre capable de comprendre les principes de modélisation et développer des modèles pour des systèmes électriques et identifier les paramètres et analyser le comportement pour un cahier de charges précis.

Chapitre 1 : Systèmes et expériences (02 semaines)

Généralités, types de modèles, modèles et simulation, comment obtenir un modèle

Chapitre 2 : Modèle mathématique (02 semaines)

Schéma bloc d’un système, variables caractéristiques, représentations interne et externe d’un système

Chapitre 3 : Modélisation des systèmes électriques (02 semaines)

Modélisation d’un composant passif, d’un composant actif, des circuits électriques de base

Chapitre 4 : Outils de modélisation (02 semaines)

Bond graph (BG) ou Graphe informationnel causales (GIC)) (Application aux circuits électriques

Chapitre 5 : Généralités sur l’identification (02 semaines)

Définitions, étapes, génération SBPA, choix de la structure du modèle

Chapitre 6 : Méthodes d’identification graphiques (02 semaines)

Méthode de Strejc, méthode de Broïda…

Chapitre 7 : Méthodes d’identification numériques (03 semaines)

Méthodes récursives, méthode non récursives.

PROGRAMME

TP n° 1 : Modélisation et simulation des circuits électriques passif ou actif.

TP n° 2 : Modélisation et simulation des convertisseurs électromécaniques

TP n° 3 Mesure directe de la réponse d'un système

TP n° 4 : Identification paramétrique d’un système électrique par les Méthodes de Strejc et Broïda

TP n° 5 : Identification numérique (en ligne) d'une Machine DC par la Méthode des moindres carrées récursives MCR

TP n° 6 : Identification numérique (en ligne) d'un Machine AC par la Méthode des moindres carrées récursives MCR

Mode d’évaluation : Control continu : 100%.

Travaux pratiques de Modélisation &Identification des Systèmes Electriques

DYNAMIC MODELING AND CONTROL OF ENGINEERING SYSTEMS

Modeling and Simulation of Systems Using MATLAB and Simulink Devendra

K. Chaturvedi

, LINEAR SYSTEMS ANALYSIS, SECOND EDITION, A.N. TRIPATHI, NEW AGE

INTERNATIONAL (P) LIMITED, PUBLISHERS, 1998

, NEW AGE INTERNATIONAL (P) LIMITED, PUBLISHERS, 1998

Modeling Identification and Simulation of Dynamic Systems P.P.J. van den

Bosch, A.C. van der Klauw, CRC Press 1994

Modeling of Dynamic Systems L. Ljung and T. Glad Prentice Hall 1994

System Modeling and Identification R.Johanessen Prentice Hall 1993

L. Ljung: System Identification: Theory for the User. Prentice Hall 1999, 2nd ed

Références bibliographiques: METRE A JOURS

http://www.foodchem.crcpress.com/index.htm?catalog/9181http://fr.bookzz.org/g/Devendra K. Chaturvedihttp://fr.bookzz.org/g/Devendra K. Chaturvedihttp://fr.bookzz.org/g/Devendra K. Chaturvedihttp://fr.bookzz.org/g/Devendra K. Chaturvedihttp://www.foodchem.crcpress.com/index.htm?catalog/9181http://www.foodchem.crcpress.com/index.htm?catalog/9181http://www.foodchem.crcpress.com/index.htm?catalog/9181http://www.foodchem.crcpress.com/index.htm?catalog/9181http://www.foodchem.crcpress.com/index.htm?catalog/9181http://www.foodchem.crcpress.com/index.htm?catalog/9181http://www.foodchem.crcpress.com/index.htm?catalog/9181http://www.foodchem.crcpress.com/index.htm?catalog/9181http://www.foodchem.crcpress.com/index.htm?catalog/9181http://www.foodchem.crcpress.com/index.htm?catalog/9181http://www.foodchem.crcpress.com/index.htm?catalog/9181http://www.foodchem.crcpress.com/index.htm?catalog/9181http://www.foodchem.crcpress.com/index.htm?catalog/9181http://www.foodchem.crcpress.com/index.htm?catalog/9181http://www.foodchem.crcpress.com/index.htm?catalog/9181http://www.foodchem.crcpress.com/index.htm?catalog/9181http://www.foodchem.crcpress.com/index.htm?catalog/9181http://www.foodchem.crcpress.com/index.htm?catalog/9181http://www.foodchem.crcpress.com/index.htm?catalog/9181http://www.phptr.com/ptrbooks/ptr_0135970970.htmlhttp://www.phptr.com/ptrbooks/ptr_0135970970.htmlhttp://www.phptr.com/ptrbooks/ptr_0135970970.htmlhttp://www.phptr.com/ptrbooks/ptr_0135970970.htmlhttp://www.phptr.com/ptrbooks/ptr_0135970970.htmlhttp://www.phptr.com/ptrbooks/ptr_0135970970.htmlhttp://www.phptr.com/ptrbooks/ptr_0135970970.htmlhttp://www.phptr.com/ptrbooks/ptr_0135970970.htmlhttp://www.phptr.com/ptrbooks/ptr_0135970970.htmlhttp://www.phptr.com/ptrbooks/ptr_0135970970.htmlhttp://www.phptr.com/ptrbooks/ptr_0135970970.htmlhttp://www.phptr.com/ptrbooks/ptr_0135970970.htmlhttp://www.phptr.com/ptrbooks/ptr_0135970970.htmlhttp://www.phptr.com/ptrbooks/ptr_0135970970.htmlhttp://www.phptr.com/ptrbooks/ptr_0135970970.htmlhttp://www.phptr.com/ptrbooks/ptr_0135970970.htmlhttp://www.phptr.com/ptrbooks/ptr_0135970970.htmlhttp://www.phptr.com/ptrbooks/ptr_0135970970.htmlhttp://www.phptr.com/ptrbooks/ptr_0135970970.htmlhttp://www.phptr.com/ptrbooks/ptr_0135970970.htmlhttp://www.phptr.com/ptrbooks/ptr_0135970970.htmlhttp://www.control.isy.liu.se/~ljung/sysid/http://www.control.isy.liu.se/~ljung/sysid/http://www.control.isy.liu.se/~ljung/sysid/http://www.control.isy.liu.se/~ljung/sysid/http://www.control.isy.liu.se/~ljung/sysid/http://www.control.isy.liu.se/~ljung/sysid/http://www.control.isy.liu.se/~ljung/sysid/http://www.control.isy.liu.se/~ljung/sysid/http://www.control.isy.liu.se/~ljung/sysid/http://www.control.isy.liu.se/~ljung/sysid/http://www.control.isy.liu.se/~ljung/sysid/

Introduction Modélisation &

Identification des Systèmes Electriques

Introduction

Modélisation & Identification des

Systèmes Electriques

L’Electrotechnique est une discipline

scientifique liée à l’industrie: Elle étudie les

systèmes dynamiques, les signaux et

l’information, à des fins de conduite

(commande et control) ou de prise de

décision.

Introduction

Modélisation & Identification des

Systèmes Electriques

Les mots clés de notre UE

sont :

• Systèmes Electriques

• Modélisation

• Identification

CHAPITRE1 : Généralités sur les systèmes, la modélisation et

l’identification

Généralités sur les systèmes

Hierarchically nested set of systems.

System as collection of interconnected components.

Grandeurs relatives à un système

Modeling and Control of Engineering Systems, Clarence W. de Silva, P38 Table 1.x : Some Linear Constitutive Relations

Classification of Systems

According to the Time Frame (Selon l,interval du temps): Systems can be

categorized on the basis of time frame as : Discrete Continuous Hybrid

According to the Complexity of the System : Systems can be classified on the

basis of complexity, as shown in Figure 1.3. : Physical sys, Conceptual sys &

Esoteric sys.

Classification of system based on complexity.

Les systèmes

peuvent être

classés en

fonction de

leur

complexité,

comme

illustré à la

figure 1.3. :

Systèmes

physiques,

systèmes

conceptuels

et systèmes

ésotériques

يمكن تصنيف

األنظمة وفقًا

لتعقيدها ، كما

هو موضح في

. : 1.3الشكل

النظم

الفيزيائية

والنظم

المفاهيمية

والنظم

الباطنية

Physical systems peuvent être définis comme des systèmes dont les variables peuvent être mesurées avec des dispositifs physiques quantitatifs tels

qu'un système électrique, un système mécanique, un système informatique, un

système hydraulique, un système thermique ou une combinaison de ces

systèmes. Un système physique est un ensemble de composants dans lequel

chaque composant a son propre comportement, utilisé à des fins spécifiques.

Ces systèmes sont relativement moins complexes. Certains des systèmes

physiques sont montrés aux figures a et b.

Conceptual systems sont ces systèmes dans lesquels toutes les mesures sont conceptuelles ou imaginaires et sous forme qualitative comme

dans les systèmes psychologiques, les systèmes sociaux, les systèmes de

soins/ santé et systèmes économiques. La figure 1.4c montre le système de

transport. Les systèmes conceptuels sont les systèmes dans lesquels la

quantité d'intérêt ne peut pas être mesurée directement avec des appareils

physiques. Ce sont des systèmes complexes.

Esoteric systems sont les systèmes dans lesquels les mesures

ne sont pas possibles avec des appareils de mesure physiques.

La complexité de ces systèmes est de premier ordre.

(a) (c)

According to the Interactions syst also depends upon the degree of interconnection of events from none to total

Interactions may be unidirectional or bidirectional, crisp or fuzzy, static or dynamic, etc.

Types of systems. (a) Mechanical system. (b) Electronic circuit. (c) Transportation system.

(b)

Systems will be divided into three classes according to the degree of interconnection

of events.

1. Independent—If the events have no effect upon one another, then the system is

classifyed as independent.

2. Cascaded—If the effects of the events are unilateral (that is, part A affects part B, B

affects C, C affects D, and not vice versa), the system is classifi ed as cascaded.

3. Coupled—If the events mutually affect each other, the system is classifi ed as

coupled.

According to the Nature and Type of Components

1. Static or dynamic components

2. Linear or nonlinear components

3. Time-invariant or time-variant components

4. Deterministic or stochastic components

5. Lumped parametric component or distributed parametric component

6. Continuous-time and discrete-time systems

According to the Uncertainties Involved

Deterministic—No uncertainty in any variables, for example, model of pendulum. Stochastic—Some variables are random, for example, airplane in fl ight with random wind gusts, mineral-processing plant with random grade ore, and phone network with random arrival times and call lengths. Fuzzy systems—The variables in such type of systems are fuzzy in nature. The fuzzy variables are quantifi ed with linguistic terms.

Généralités la modélisation

Qu'est-ce que la modélisation? La

modélisation est un processus

d'abstraction d'un système réel. Un modèle décrit un cadre conceptuel pour décrire un

système et peut être considéré comme une abstraction

d'un système réel ou d'une réplique physique d'un

système ou d'une situation.

C'est une représentation factuelle de la

réalité ( للواقع الواقعي التمثيل ).

Le mot modèle est dérivé du latin et sa

signification est moule ou motif (modèle

physique).

Objectifs de la modélisation Le modèle et la modélisation sont des mots de calque avec de nombreuses interprétations différentes. Par exemple, un modèle de cancer est un animal dans lequel ce cancer peut être déclenché. Dans ce livre, un modèle sera une description mathématique d'un processus réel, construit avec un but précis à l'esprit. Ce but peut être: • Analyser les phénomènes pour les approfondir

(modèles en physique, chimie ...); • Estimer les quantités pour lesquelles aucun capteur

n'est disponible, à partir de mesures indirectes; • Tester des hypothèses (diagnostics médicamenteux

ou fouciologiques, contrôle de la qualité des soins de santé ...);

• Enseignement (simulateurs pour aéronefs, centrales nucléaires, patients en état critique ...);

• La prévision du comportement à court terme de Lerm (contraintes adaptatives des processus modifiant la chaux) ou le comportement à long terme (prévisions économiques pour la planification gouvernementale);

• Régulation de Processus (régulation autour d'un point de consigne nominal, trajectoire suivie de grands transitoires, contrôle optimal ...);

• (Annulation de bruit, compression de données, filtrage, interpolation ...).

• L'implémentation d'un filtre de Kalman, par exemple, nécessite un modèle du processus générant les données.

Modélisation et modèle mathématique

• Description des systèmes ou de l’essentiel de leurs

rôles par une série:

= d’équations (une ou plusieurs) = de représentations graphiques (une ou plusieurs)

qui décrivent des relations entre une ou plusieurs

variables d’une manière précise.

– Les modèles mathématiques sont utilisés

particulièrement en biologie, ingénierie électrique et

physique. Egalement dans d’autres domaines comme

en économie, sociologie et science politique.

Exemple : ( exple ELT) on souhaite investir dans une action qui rapportera 10 % annuellement. Quel montant aura‐t‐il au bout de l'année ? i.e touver le modèle du problème

Solution:

L'investissement initial est inconnu. Définissons : X : le montant investit dans cette action Le montant accumulé à la fin de l'année sera

X + 10% x = X+ ,01X = 1,1X ( modèle du problème)

1. Pour trouver la hauteur d'une tour, sans l'escalader

réellement

2. Pour mesurer la largeur d'une rivière sans la traverser

3. Pour mesurer la masse de la Terre, sans utiliser la balance 4. Pour trouver la température à la surface ou au centre du soleil

5. Pour estimer le rendement du blé à partir de la culture

6. Pour quantifier la quantité de sang dans un corps humain vivant 7. Pour prévoir la population pour l'année 2050 8. Pour déterminer le temps requis par un satellite pour

compléter une orbite autour de la terre, disons à la

hauteur d'environ 10 000 km au-dessus du sol

Pourquoi la modélisation est-elle nécessaire?

Parce que ... Elle peut être très utile

9. Évaluer l'impact d'une réduction de 30% de l'impôt

sur le revenu sur l'économie nationale

10. Vérifier l'efficacité du pistolet efficace dont la

performance dépend de 10 paramètres, chacun

pouvant prendre 10 valeurs différentes, sans

fabriquer réellement 1010 pistolets

11.Pour déterminer le temps moyen entre les

défaillances (MTBF) ou la durée de vie moyenne

d'une ampoule électrique

12.Prévoir le montant total des réclamations

d'assurance qu'une entreprise doit payer l'année

prochaine

Pourquoi la modélisation est-elle nécessaire? Parce que ... la

modélisation peut être très utile

Why is modeling required? Because … modeling may be quite useful

Pourquoi la modélisation est-elle nécessaire? Parce que ... la

modélisation peut être très utile

1. To find the height of a tower, say the Kutub Minar of Delhi or the Leaning Tower at Pisa without actually climbing it 2. To measure the width of a river without actually crossing it 3. To gauge the mass of the Earth, not using any balance 4. To fi nd the temperature at the surface or at the centre of the sun

5. To estimate the yield of wheat in India from the standing crop

6. To quantify the amount of blood inside a living human body

7. To predict the population of China for the year 2050

8. To determine the time required by a satellite to complete one orbit around the

earth, say at the height of about 10,000 km above the ground

9. To assess the impact of 30% reduction in income tax over the national economy

10. To ascertain the optimally efficient gun whose performance depends on 10

parameters, each of which can take 10 different values, without actually manufacturing

1010 guns

11. To determine the mean time between failures (MTBF) or average life span of an

electric bulb

12. To forecast the total amount of insurance claims a company has to pay next year

Dans de nombreux domaines, il est nécessaire de faire appel à

une modélisation du système physique étudié. Cette modélisation

est réalisable théoriquement en faisant exclusivement appel à des

modèles de type boîte blanche basés sur les équations non-

linéaires de la physique gérant le fonctionnement du procédé.

Par définition, cette procédure demande à l'utilisateur d'avoir des

connaissances très avancées dans de nombreux domaines et

conduit généralement à des modèles complexes et peu

parcimonieux (insuffisant = maigre).

L'identification ou la modélisation expérimentale est une

solution intéressante pour modéliser les systèmes physiques car

elle permet de combiner des informations a priori liées aux

connaissances de l'utilisateur à des résultats expérimentaux

directement obtenu sur le système à identifier.

Le modèle qui en découle est souvent qualifié de boîte

grise. Qu'il soit linéaire, non linéaire, à paramètres variants, c'est

à l'estimation d'un modèle de type comportemental que s'intéresse

les membres de ce groupe. Ce groupe (boites grises) aborde les

aspects méthodologiques d’estimation de paramètres physiques, la

reconstruction de grandeurs d’entrée à partir de modèles de

comportement et l'identification pour la commande. Ces études se

font pour les systèmes monovariables ou multivariables dans un

cadre boucle ouverte ou boucle fermée. Les outils développés sont

appliqués sur différents types de processus (électriques,

thermiques, robotiques, …) et servent d'appui aux travaux d'autres

opérations de l’équipe.

RNA, LF, ANFIS : Le modèle qui en découle est souvent qualifié de boîte noire

Boîte blanche basés sur les équations

Boîte grise ( graph le liaison ou BG)

Boîte Noire ( TIA: RNA, LF, ANFIS…..)

Les principaux avantages des modèles analytiques (et des modèles informatiques) par rapport aux modèles physiques sont les suivants:

1. Les ordinateurs modernes à haute capacité et à grande vitesse

peuvent gérer des Modèles à grande vitesse et à faible coût.

2. Les modèles analytiques / informatiques peuvent être modifiés rapidement, facilement et rapidement = Vitesse à faible coût.

3. Il ya une grande flexibilité de faire des changements structurels et paramétriques.

4. Directement applicable dans les simulations par ordinateur.

5. Les modèles analytiques peuvent être facilement intégrés avec des modèles informatiques / numériques / expérimentaux, pour générer des modèles «hybrides».

6. La modélisation analytique peut être commodément effectuée bien avant la construction d'un prototype (en fait, cette étape peut jouer un rôle déterminant dans la décision de faire du prototype).

La modélisation mathématique est l'art (ou la science) de

représenter (ou de transformer) une réalité physique en des

modèles abstraits accessibles a l'analyse et au calcul.

La simulation numérique est le processus qui permet de

calculer sur ordinateur les solutions de ces modèles et donc de

simuler la réalité physique.

La modélisation mathématique et la simulation numérique ont

pris une importance considérable ces dernières décennies

dans tous les domaines de la science et des applications

industrielles (ou sciences de l'ingénieur).

Modélisation mathématique et simulation numérique

BREF:

Lors du développement du modèle(i.e. Modélisation il faut

optimiser deux choses: Simplicité du modèle + Précision du modèle ou fidélité du modèle

Importance Modélisation et de Simulation

numérique/graphique • Pré-construction • Pré-prototypage • Développement des lois de commande • Optimisation La simulation : • Restituer une image du comportement du système

réel dans différents scénarios de fonctionnement les plus sévères

• Comprendre les notions théoriques • Comblé le manque d’équipement des bans d’essais

et manipulations • Valider le modèle

Model Types

Experimental model Analytical model

Une façon d'analyser un système

consiste à imposer au système des

excitations (entrées), à mesurer les

réactions (sorties) du système et à

intégrer les données d'E / S ainsi

obtenues à un modèle analytique

approprié. Ceci est connu sous le

nom de «modélisation

expérimentale» ou d'identification

de modèle ou d'identification de

système

Une autre façon d'analyser un système consiste à utiliser un modèle analytique du système, qui provient des équations physiques (constitutives) des composants ou des processus constitutifs du système.

Les modèles analytiques comprennent des modèles d'état, des graphiques linéaires, des graphiques de liaison, des modèles de fonction de transfert (dans le domaine de Laplace) et des modèles de domaine fréquentiel

En général, les modèles peuvent être regroupés dans les catégories suivantes:

1. Modèles physiques (prototypes)

2. Modèles analytiques

3. Modèles informatiques (numériques) (tableaux de données, tableaux, courbes, programmes,

fichiers, etc.)

4. Modèles expérimentaux (utiliser les données expérimentales d'E / S pour l’«identification» du

modèle)

Il est irréaliste d’essayer de développer un «modèle universel» qui incorporera

tous les aspects imaginables du système === hypothèses simplificatrices

1. Time-domain model: Differential equations with time t as the independent variable.

2.. Transfer function model: Laplace transform of the output variable divided by the Laplace

transform of the input variable (algebraic equation with the Laplace variable s as the independent

variable).

3.. Frequency domain model: Frequency transfer function (or frequency response function) which is

a special case of the Laplace transfer function, with s = jw. The independent variable is frequency

w.

4. Nonlinear model: Nonlinear differential equations (principle of superposition does not hold).

5. Linear model: Linear differential equations (principle of superposition holds).

6. Distributed (or continuous)-parameter model: Partial differential equations (Dependent variables

are functions of time and space).

7. Lumped-parameter model: Ordinary differential equations (dependent variables are functions of

time, not space).

8. Time-varying (or nonstationary or nonautonomous) model: Differential equations with time-

varying coefficients (model parameters vary with time).

9. Time-invariant (or stationary or autonomous) model: Differential equations with constant

coefficients (model parameters are constant).

10. Random (stochastic) model: Stochastic differential equations (variables and/or parameters are

governed by probability distributions).

11. Deterministic model: Nonstochastic differential equations.

12.. Continuous-time model: Differential equations (time variable is continuously defined).

13.. Discrete-time model: Difference equations (time variable is defined as discrete values at a

sequence of time points).

14. Discrete transfer function model: z-transform of the discrete-time output divided by the z-

transform of the discrete-time input.

Il existe de nombreux types de modèles analytiques. Ils comprennent les éléments suivants:

:

Généralités sur l’identification

Le mot identification désigne l'action consistant à identifier (donner, attribuer

un nom ou un code en propre – numérique ou graphique- à la chose ou la

personne ainsi reconnue) un objet ou un individu.

Identification peut également désigner :

•identification, en psychologie, fait de se reconnaître dans une

caractéristique, ou une personne extérieure à soi

•Identification, en ressources humaines, technique utilisée dans l'approche

directe afin d'identifier des candidats

•Identification, abus de notation, en mathématiques, consistant à remplacer

une quantité mathématique par une autre qui n'est pas identique mais à les

mêmes propriétés dans le but de simplifier le discours

•Identification, forme de simplification, possible dans certaines équations et

pas dans d'autres et mène au concept d'injectivité

•Identification, en droit, contrôle notamment par le biais d'une carte d'identité,

qui ne peut être exercé en France que par un policier, un gendarme ou, dans

certains cas, un douanier

•Identification, en ésotérisme, sens de départ très proche de celui de la

psychologie, comme de la philosophie, qu'elle dépasse pourtant du fait des

notions spirituelles et initiatiques qu'elle implique

https://fr.wikipedia.org/wiki/Identification_(psychanalyse)https://fr.wikipedia.org/wiki/Identification_(ressources_humaines)https://fr.wikipedia.org/wiki/Identification_(abus)https://fr.wikipedia.org/wiki/Math%C3%A9matiqueshttps://fr.wikipedia.org/wiki/Injectivit%C3%A9https://fr.wikipedia.org/wiki/Fonction_injectivehttps://fr.wikipedia.org/wiki/Identit%C3%A9https://fr.wikipedia.org/wiki/Carte_d'identit%C3%A9https://fr.wikipedia.org/w/index.php?title=Identification_(th%C3%A9osophie)&action=edit&redlink=1https://fr.wikipedia.org/wiki/%C3%89sot%C3%A9risme

•Identification de système, technique consistant à obtenir

un modèle mathématique d'un système à partir de mesures ;

•Identification, en informatique, moyen

de « connaître » l'identité d'une entité, souvent à l'aide

d'un identifiant tel qu'un nom d'utilisateur. À ne pas confondre

avec le contrôle d'identité (ou authentification) qui permet de

vérifier cette identité

•Identification, en biologie, des êtres vivants repose sur la

reconnaissance de leur taxon dans une classification, sur la base

de leurs caractères externes, selon une démarche basée sur

une clé de détermination

•Identification, en gestion de configuration, détermination de

l'ensemble des éléments membres des configurations

https://fr.wikipedia.org/wiki/Identification_de_syst%C3%A8mehttps://fr.wikipedia.org/wiki/Mod%C3%A8le_math%C3%A9matiquehttps://fr.wikipedia.org/wiki/Identifianthttps://fr.wikipedia.org/wiki/Nom_d'utilisateurhttps://fr.wikipedia.org/wiki/Authentificationhttps://fr.wikipedia.org/wiki/Biologiehttps://fr.wikipedia.org/wiki/Taxonhttps://fr.wikipedia.org/wiki/Classificationhttps://fr.wikipedia.org/wiki/Cl%C3%A9_de_d%C3%A9terminationhttps://fr.wikipedia.org/wiki/Gestion_de_configuration

Procédure d’identification

Schémas fonctionnelsdes systèmes

2

PlanSchémas fonctionnels

Définitions

Représentations

Manipulation de schémas fonctionnels

Produit

Sommation

Contre réaction

Réductions des schémas fonctionnels

Règles de réductions

Procédure générale

Exemples

3

Le schéma fonctionnel permet de représenter un système en tenant compte des différentes variableset éléments qui le caractérisent :

– les variables sont représentées par des flèches

– les éléments sont représentés par des rectangles (bloc fonctionnel) ; chaque bloc fonctionnel est une fonction de transfert (FT) entre une variable d ’entrée et une variable de sortie

Schéma fonctionnel

4

Exemple : variation de vitesse

couple résistant

commande du hacheur

mesure de la vitessehacheur

moteur+ charge

génératrice tachymétrique

tension induit

vitesse arbre

Schéma fonctionnel plus détaillé :

5variables intermédiaires

perturbation

sortieentrée

– Objectif : détailler le fonctionnement du système• plusieurs blocs fonctionnels• 1 bloc : un élément physique, une relation

fonctionnelle• apparition de variables intermédiaires (internes)• le nombre de variables externes est inchangé

6

Schéma fonctionnel

Les branches (flèches orientées) entre les blocs portent les variables intermédiaires globales du système.

Représentation graphique un système linéaire

Chaque fonction est schématisée par un bloc. L’allure globale du schéma renseigne aussi sur sa structure (boucle ouverte, boucle fermée).

Les équations différentielles du comportement sont traduites par la fonction de transfert de chaque constituant.

7

Schéma fonctionnelUn schéma fonctionnel est constitué par un assemblage de quatre types d’éléments:

Blocs (rectangles)ComparateursPoints de dérivationsFlèches (circulations orientées des signaux)

8

Formalisme

Bloc: Le bloc possède une entrée E et une sortie S. La fonction

de transfert H du bloc est déterminée d'après les équations de

fonctionnement.

H

SE

S(p) = E(p) × H(p)

9

Formalisme

Jonction: La variable de la branche 1 est identique à celle de la branche 2, un prélèvement d’information ne modifie pas la variable.

Branche 1

Branche 2

10

FormalismeSommateur: Les sommateurs permettent d’additionner ou de soustraire des variables. Ils possèdent plusieurs entrées mais une seule sortie.

1 2 3S(p) = E (p) + E (p) - E (p)

S++

-E 2

E 1

E 3

11

Formalisme

Comparateur: Cas particulier de sommateur qui permet de

faire la différence de deux entrées (de comparer) ici :

SE 1

E 2

+-

1 2S(p) = E (p) - E (p)

12

Manipulation des schémasProduit

Il est possible de remplacer des blocs en ligne par le bloc produit des fonctions de chaque blocs.

A BE S1 S

A ×××× BE S

[ ]S = A×B ×ES = B × S1S1 = A × E

13

Manipulation des schémasSommation

S1 = A × ES2 = B × ES = S1 +S2

[ ]S = A + B ×E

A

B

++

E

S1

S2

SA + BE

S

14

Manipulation des schémasContre réaction

( )( )

S = A × S = A× E - R

S = A× E - B×S

A S = E1+AB

×

A

1+ABE SA

B

+ -E Sε

R

15

Manipulation des schémasContre réaction avec retour unitaire

( )S = A × S = A× E - S

A S = E1 + A

×

A

1 + AE SA+ -

E Sε

16

Manipulation des schémasDéplacement d’une sommation

( )( ) ( )

( )

sS = G × S = G× S1 - S2

S =

S = G K E

G× E×K - K

-

M

M

×

×

E S1 εsK + - G

KS2 M

S

K+ - GE

M

Sε εs( )

( )

sS = G × S = G× K

S = G K E - M

ε×

×

17

Manipulation des schémasDéplacement d’une sommation

( )( )

S = G × S = G× S1 - M

S = G×

S = G×

E×K -M

E×K - G M×

E S1 εK + - G

M

S

1S = G×K×(E - M)

S = G×K×E -K G×M

K+ - GE

M

Sεεεε

1/K

18

Manipulation des schémasDéplacement d’une jonction

[ ][ ]

S1 = G × K ×E

S2 = F × K ×E

E UK G S1

F S2

E K G S1

F S2K

19

Manipulation des schémasDéplacement d’une jonction

[ ]S1 = G × K ×ES2 = F × E

E UK G S1

F S2

E K G S1

F S21/K

20

Règles de TransformationLe schéma fonctionnel d’un système de commande est souvent compliqué. Il peut comprendre plusieurs boucles de retour ou d’action, et plusieurs signaux d’entrée.

G

H

+

±±±±

R E C

B≡

G·H1/H+

±±±±

R C

Au moyen de la réduction systématique des schémas fonctionnels, tout système à retour de boucles multiples peut se ramener à une forme canonique.

21

Règles de transformation Règle 1: Éléments en série

P1 P2x y

P1·P2x y

Règle 2: Éléments en parallèle

P1 + P2x yP1

P2

x y+

±

22

Règles de transformation Règle 3: Retrait d’un élément d’une chaîne d’action

Règle 4: Élimination d’une boucle de retour

P1

P2

x y+

±P2x y+

±

P1

P2

P1

P2

x y+

±±±± P1

1 ± P1·P2x y

23

Règles de transformation Règle 5: Retrait d’un élément d’une boucle de retour

Règle 6a: Redisposition des comparateurs

P1

P2

x y+

±±±± P1· P2x y+

±

1

P2

z+

±

+

±

w

x

y

z+

±

+

±

w

y

x

24

Règles de transformation Règle 6b: Redisposition des comparateurs

Règle 7: Déplacement d’un comparateur en amont d’un élément

z+

±

+

±

w

x

y

z+

±

±

w

x

y

+

Pxz+

±±±±

y

Pxz+

±±±±

y1

P

25

Règles de transformation Règle 8: Déplacement d’un comparateur en aval d’un élément

Règle 9: Déplacement d’un point de dérivation en amont d’un élément

z+

±

x

y

Pz+

±

xP

yP

Pxy

y

Pxy

yP

26

Règles de transformation Règle 10: Déplacement d’un point de dérivation en aval d’un élément

Règle 11: Déplacement d’un point de dérivation en amont d’un comparateur

Pxy

x

yPx

x 1

P

z+

±

x

y

z

+

±

z

y

+

±

x z

27

Règles de transformation Règle 12: Déplacement d’un point de dérivation en aval d’un élément

z+

±

x

y

x

+

±±±±y

+

±

x z

x

28

Méthode générale de réduction

Répéter les étapes de 1 à 5 pour chaque signal d’entrée, tant que nécessaire.

ÉÉtape 6tape 6

Répéter les étapes 1 à jusqu’à l’obtention de la forme canonique pour un signal d’entrée particulier

ÉÉtape 5tape 5

Faire passer les comparateurs à gauche, et les points de dérivation à droite de la boucle principale (règles 7, 10 et 12)

ÉÉtape 4tape 4

Éliminer toutes les boucles de retour non principales (règle 4)ÉÉtape 3tape 3

Associer tous les éléments en parallèle (règle)ÉÉtape 2tape 2

Associer tous les éléments en série (règle 1)ÉÉtape 1tape 1

29

Exemple 1Mettre le schéma fonctionnel suivant, sous forme canonique

+ +

+-G1 G4

H1

G2

G3

H2

RC

+

+

Étape 1: éléments en série Étape 2: éléments en parallèle

30

Exemple 1 (suite)Mettre le schéma fonctionnel suivant, sous forme canonique

+ +

+-G1·G4

H1

G3 + G2

H2

RC

Étape 3: éléments en boucle

31

Exemple 1 (suite)Mettre le schéma fonctionnel suivant, sous forme canonique

+

-G3 + G2

H2

RCG1·G4

1 – G1·G4·H1

Étape 1: éléments en série

H2

G1·G41 – G1·G4·H1

+

-

R C

32

Exemple 2

G(p)R(p)

+-

E(p) Y(p)

Exprimer la sortie du système représenté par le schéma fonctionnel suivant.

E(p) = R(p) - Y(p)Y(p) = G(p) × E(p)

( )Y(p) = G(p) × R(p)-Y(p)G(p) Y(p) = R(p)×

1 + G(p)

Graphe de transfert (graphe de fluence)OBJECTIFS DE L’ENSEIGNEMENT :

Savoir manipuler les techniques de représentation des systèmes

CONTENU THEORIQUE :

• Dans ce chapitre on s’intéresse à l’explication de graphe de fluence comme outil de

représentation d’un système continu linéaire invariant (SLCI),

• On définie cette graphe de transfert, les techniques de réalisations tout en s’intéressant

a la règle de Mason et les techniques d’applications.1

1. Définitions

• Un graphe de transfert ou de fluence qui permet de simplifier l’écriture et la mise en

équation des processus lorsque le nombre de variables augmente.

• Un graphe de transfert est constitué d’un ensemble de noeuds reliés entre eux par des

branches orientées.

- Les noeuds représentent les variables du système.

- Chaque branche est affectée d’un coefficient correspondant à la transmittance qui relie

entre deux noeuds (variables).

Graphe De Fluence (ou De Transfert ou de Liaison)

2

Soit un système régit par le système d’équations algébriques suivantes :

Le graphe de la figure ci-contre est appelé: graphe de fluence.

Un nœud auquel arrive plusieurs branches est appelé : puit (nœud secondaire).

Un nœud à partir duquel peuvent partir plusieurs branches est appelé : nœud source.

- X1 X2 X3 nœuds sources - X5 nœud puit (secondaire)

3

Chaîne directe : est une liaison entre 2 variables réalisée en suivant les sens des flèches et en passant une seule fois par chaque nœud.

La transmittance d’une chaîne directe est le produit des transmittances rencontrées en les parcourant.

x 5a1 a2 a3 a4 x1Tcd x 5 / x1 = a1 a2 a3 a4

Boucle est un parcourt suivant les flèches qui partant d’un nœud revient à ce même nœud sans passer 2 fois par le même nœud.

La transmittance d’une boucle est le produit des transmittances rencontrées lors de son parcourt.

Tb a1 a2 a34

2- Réalisation des graphes &Transformations élémentaires

5

3. Règle de Mason : La transmittance d’un graphe de transfert d’entrée xe et de sortie xs est déterminée comme suit :

Δ : déterminant du graphe donné

Bi : transmittance de la boucle n°i (Bi) Bi Bj : somme des produits des transmittances des boucles disjointes 2 à 2 Bi Bj Bk : somme des produits des transmittances des boucles disjointes 3 à 3N : nombre des parcours directs de l’entrée xe à la sortie xs avec un nœud ne doitêtre traversé qu’une seule fois.Pi : La transmittance du parcourt direct n°i, obtenu en faisant le produit destransmittances des boucles du parcourt i.Δi : déterminant du graphe obtenu en supprimant tous les nœuds traversés par leparcours i.

Remarque : A chaque parcours i correspond un Δi . 6

Exemple d’application:

Nombre de boucle =1B1 T (p) H' (p)Δ1- B1 T (p ) H' (p )

Nombre de parcours =1P1 H (p) T (p) Δ 1 =1 F (p ) = T(p) H(p) / [ (1+T(p ) H '(p )]

7

4- Exercice d’application:

Soit le schéma électrique suivant :1/ Mettre le système en équations.2/ Représenter le système par un graphe de transfert.3/ Déterminer la transmittance H (p) V(2) / V (1)

8

Example 7.1 : - Develop a block diagram for a d.c. generator, used as a

rotating amplifier, supplying current to a resistive Joad.

Solution: The circuit diagram of the system is shown in Fig. 7.5. The input

signal is V, (s) and the output, V0 (s). ln addition, we have four intermediate

variablesfield current 11 (s), armature current la(s), air gap flux cI>(s) and

induced voltage E (s). Input V; (s) produces the field current 11 (s), the two

being related by the equation,

LINEAR SYSTEMS ANALYSIS

A.N. TRIPATHI

Feedback Systems 189

---(jIf Fig. 7.5 d.c. Generator

( L, .I' + R,) Irs = Vi (s) . (i)

The field current produces the field flux,

(i i)

The air gap tlux is the difference between the field flux and the armature reaction

flux ", i.e.,

(.1') = r (s) - " (s) . (iii)

The air gap flux induces a voltages E(s) in the armature, which is linearly propor-

tional to it, i.e.,

E(s) = K" (.1'). (iv)

The induced voltage E(s) causes the armature current I" according to the relation,

(s L" + R" + Rd I" (.I') = E (s) (v)

The armature reaction flux is directly proportional to the armature current, i.e.,

" (.\') = K3 la (s) And finally the output,

(vi)

(vii)

The cause-effect relationships given mathematically by eqns. (i) to (vii) can be

displayed more effectively by the block diagram shown in Fig. 7.6. Figure 7.6

places in evidence the inherent feedhack action of the armature reaction flux. In

fact, whenever a subsequent variable affects preceding variables in the cause- ef-

fect chain, we have a feedback action.

4>a (s)

Fig.7.6 Block Di:lgram of d.c. Generator

190 LinearSystems Analysis

la(s)

(a)

Vt(S) � �(s) K2 la(s) Rt - ► Lt s+ Rt Las-t(Ra.+Rt_+ K2K3)

(b)

Vj (s) K1 K2RL

(Lfs-t·RL) ( 1 as +Ra+R\_-+K2k3 -----►►Vo(S)

(c)

Fig. 7, 7 Bloc.k Oiagram Reduction of Fig. 7 .6

7.2 Block Diagram Reduction

In situations like that of Example 7.1, the overall transfer function of the system

may be obtained either by combining the system equations or by redudng the

block diagram to a single block. The expression in this single block will be the

system transfer function. In this section we study the techniques for reducing corn

plex block diagrams into a single block.

Three types of reductions for combining blocks connected in series, parallel, or foed

back configurations have already been described in the previous section. The steps in

volved in simplifying a b\ock diagram, when these three reduction methods are sufticient,

are shown by simplifying the block diagram of Fig. 7.6 in Figs. 7.7 (a), (b) and (c).

When the loops are intertwined in the case of more complex block diagrams,

we need additional techniques for block diagram simplification. The techniques

required for such cases are illustrated by the next example.

Example 7.2 : - Simplify the block diagram shown in Fig. 7.8.

1-----.Y(s)

,.._ ____ H, _, ___ ___.

1'ïg. 7 .8 A Complex Block Diagram


lt is not possible to use any one of the three previous combinations because of

the intertwining loops.

Movement of pick-off points: If the 'pick-otr points of the teedback loops could

be altered by moving them forward (i.e., towards the input) or backward, sorne

simplification could result. For exarnple, if the pick-off point of H6 could be

moved back to location 2 from location 3, the H3 block and the feedback around it

cou Id be combined into one block. However, this shift should not alter the feed

back signal being received at the summingjunction A. To ensure this, the transfer

fonction H,, should be altered to Ho IH3. The shifting of pick-off point and the

subsequent reductions are shown in Figs. 7.9 (a), (b), and (c).

( a)

(b)

Hz H3 1-H3

2

�--------; H 6 / H3---�

( C)

Fig. 7.9 Rcduction of Block Diagram of Fig. 7.8

1-------4-►v(s)

1----vcs>

192 Linear Systems Analysis

For further reduction, one more shift in the pick-off point is needed. We cou ld

shift either pick-off point of HI> IH, backwards to location I or shift pick-off point of H, forward to location 2. Let us follow the second alternative. Once again, the process of shitiing the pick-off point should not alter the signal being received at

the summing junction B. To ensure this, the transfer function H, should be multi-

pi ied by H4 • This shift and the resulting simplitlcations are shown in Fig. 7.10.

xes) yes)

(a)

xes) yes)

(b)

Xes) + A yes)

2

(c)

xes) H1HzH3 HI, Y (s) l-H)+H,HfistHZHJ H~H.: -

(d)

"'ig. 7.10 Further Reduction ofI'ig. 7.8


Movement of summing junctions: The block diagram reduction of Fig. 7.8 has been achieved in Figs. 7.9 and 7.10 by the movement of pick-off points. In a similar fashion we could move summing junctions also. For example, let us move

the summing junction into which HI feeds from B to A. The process of shifting

should not alter the signal received at the input of H2 . To ensure this the feedback

block H5 should be divided by HI. This shift and further reductions are shown in Fig.7.11.

It should be noted that the locations of the two summing junctions at the input end of fig. 7.11 (a) have been interchanged in Fig. 7.11 (b). This is quite permis-sible as it does not alter the signal being received at the input of the next block. The overall transfer function arrived at in Fig. 7.11 (d) is the same as the transfer func-tion in Fig. 7.10 (d).

X(s).A + -V(s)

B

(a)

H IH1

Xes) + + V(s)

X(S)~ 1-*' f-I --


7 .3 Signal Flow Graph

A block diagram shows the interconnected parts through which the input signal moves towards the output. The characteristics of the different elements of the path are shown by the transfer fonction blocks. The same information can be displayed, somewhat more neatly, by a line diagram in which the summing junctions and pick-off points are represented simply as nodes: the paths are indicated by lines; the direction of flow of the signal by arrows; and the path characteristic by its transfer fonction, written along the line. Such a line diagram is called a signal flow graph. The signal flow graphs for Example 7.1 (Fig. 7.6) and Example 7.2 (Fig. 7.8) are shown in Figs. 7.12 (a) and (b).

Fig. 7.12 Si�nal Flow Graph for (a) Fig. 7.6 and (b) Fig. 7.8

A system variable is associated with each node. The line joining any Iwo nodes is called a directed branch. The transfer fonction relating the variable at the output end of the line to the variable at its input end is called the branch tra11smitta11ce.The signal going to all the outward directed branches from a node is the sum of the signais coming on incoming branches. For example, for the node in Fig. 7 .12 (a), the incoming signal is K,11 - K3 la = . The outgoing signal is this sum. Therefore, E = K2 (K 1 Ir - K3 lu). If we write similar eq.uations for each node, we gct the original system eqns. (i) to (vii) of Example 7.1, written out in a slightly different form:

For node 11

For node

For node E


For node /" E

For node \01 : /" RL = Vo.

The signal tlow graph may, therefore, be thought of as a graphical repre-

sentation for a set of algebraic equations. Instead of simplifying the algebraic

equations step by step to obtain a single equation relating the input to the output,

i.e., the transfer function of the system, we simplify the signal flow graph to obtain

a single equivalent branch connecting the input node to the outpul node.

The rules for si mplification of a signal tlow graph are similar to those for block

diagram manipulations. Four of these basic rules, which follow straightaway from the basic definitions, are summarised in Table 7.1 for quick reference.

Table 7.1 ~ules for Simplification ofSignall


The following example illustrates the use of these rulcs for simplifying signal

tlow graphs.

Example 7.3: - Simplify the signal tlow graph of Fig. 7.12 (b) to obtain the

transfer function between X and Y.

Solution: The signal tlow graph is reproduced in Fig. 7.13 (a). The subsequent

stcp-by-stcp reduction of the graph is shown in Fig. 7.13 (b) to (g).

-Hs

X,X,c��5 -�--�ov�H3 H4 1

-H5(a) Signal flow graph

Xo .,.1

-H4H5

Xo �•�•�• oY X� M1

H1H6 (b) Removal of nodes XI and X5

vo

(c) Removal ofnode X2

( d) Addition of parallel branches

(e) Removal of node X4


~-H1HiH&-H2H)H~HS

XO~~~~--~--~~-----oY H1HZ X3 H3H4

(I) Addition of parallel loops

X O--------t .. ------------Oy

H, H2 H3 H4

(g) Final graph

Fig. 7.13 Reduction of Signal Flow Graph

The transfer function derived from the signal flow graph reduction is the same as that obtained by the block diagram reduction in Example 7.2.

The sequence of steps for reduction of a signal flow graph to a single branch. as illustrated above, is not a unique one. It is usually not possible to ascertain beforehand which sequence will involve minimum computation. A major ad-vantage of the signal flow grapb technique is the availability of a formal procedure for reduction of a flow graph from mere inspection. This procedure is called Mason'sformula. Certain terms need to be defined before this formula can be used. These terms are as follows.

Source node: The node at the input end which has only outward branches, e.g., node X in Fig. 7.13 (a).

Sink node: The node at the output end which has only inward branches, e.g., node Y in Fig. 7.13 (a).

Forward path (or simple path): A sequence of outward directed branches from source node to sink node such that no node is encountered more than once. Figure 7.13 (a) has only one forward path (X, XI> X2, X3, X4, Ys, Y). Other graphs may have more than one forward path.

Forward path transmittance: The product of all the individual branch transmit-tances in a forward path, e.g., in Fig. 7. 13(a) the forward path transmittance is H, H2 H, H4.

Loop: It is a path starting at a node and terminating at the same node. Figure 7.13 (a) has three loops: (i) {X" X2, X3, Xd; (ii) {X3, X4, X3,}; (iii) {X2, X3, X4, X5, X2 }.


Loop transmittance: The product of branch transmittances in a loop. The three

loop transmittances of Fig. 7.13 (a) are: (i)- H i Hz H6 ; (ii) H3 ; (iii) - Hz H3 H4 H5 .

Non-touching or disjoint loops : Loops which do not have any common nodes.

In Fig. 7.13 (a) none of the three loops is disjoint.

Determinant of a graph, A= 1 - (sum of ail loop transmittances) + (sum of the

products of ail possible pairs of non-touching loop transmittances) - (sum of the

products of ail possible triplens of non-touching loop transmittances) + .....

C()factor with respect to a particular forward path k, Ak = 1 - (sum of ail loop

transmittances of the loops that do not touch the k th forward path) + (sum of the

products of ail possible pairs of non-touching loop transmittances of loops which

do not touch the kth forward path) - (sum of the products all possible triplens of

non-touching loop transmittances of loops which do not touch the kth forward

path) + .... Thus, 11, is the cofactor of the element corresponding to the kth forward

path in the graph determinant 11, with the transmittance of ail the loops touching

the kth path removed.

Mason' s formula gives the net transmittance or the graph transmittance frorn a

source node to a sink node. In our terminology, this graph transmittancc is the

transfer fonction relating the output to the input. The formulais,

where

H = graph transmittance or the transfer fonction;

A = the determinant of the graph;

Gk = transmittance of the kth forward path; and

A, = cofactor of the kth forward path, as defined avove.

(7.5)

The procedure for using this formulais illustrated by applying it to Example 7.3.

By an inspection of Fig. 7. 13 (a), we note that there is only one forward path with a

transmittance H i H2 H3 H4 . There are three loops with transmittances (i) - Hi H2 H,,,

(ii) H3 and (iii) - H2 H3 H4 H5 • Ali the loops touch each other, so there are no non

touching loops. Further, all the loops touch the forward path. Hence,

A = 1 - H3 + Hi H2 H6 + H2 H3 H4 Ho

A, = 1.

Therefore, H Hi H2H3H4

1 - H3 + H1 H2 Ho+ H2 H3 H4 Ho


Thus, Mason's formula permits reduction of the graph in almost a single step,

without the need for a step-by-step graphical reduction procedure. This is a great

help, especially in the case of more complex graphs.

Example 7.4: - Find the overall transfer fonction of the·system whose signal

tlow graph is shown in Fig. 7 .14.

Solution: There are three forward paths:

G, = H, H1 H3 H4 Hs Hr,; G2 == Hi H7 H4 Hs H6 and G3 = H1 H2 HR Hr..

There are three loops:

L, = -H4 Hw ; L2 = - HR H6 H9 and L3 = - H3 H4 H5 H6 H9 .

Out of these, L 1 and L2 do not have any node in common and hence are non-touch

ing loops. Therefore, the determinant of the graph is,

ô = 1 + H4 H,o + Ho HR H9 + H3 H4 Hs Ho H9 + H4 Hw Hx H6 H9.

For path G i, all the loops touch it. Therefore its cofactor ô 1 = 1.

Fig. 7.14 A Signal Flow Graph

Similarly, ô2 = 1. However, for the third path 03, loop L 1 is non-touching. Hence

ôi = 1 +H4H10.

The overall transfer function, according to eqn. (7.5) is,

H, H2 H3 H4 Hs Hr, + H, H1H4 Hs Ho+ H, H1 Hx Hr, + H, H2 Hx Hr. H4 Hm

1 + H4 Hw + Hr, Hx H9+ H3 H4 Hr, H9+ H4 H,o Hx Ho H9

It bas been mentione

200 linear Systems Analysis

Example 7.5 : - Simplify the tlow diagram of Fig. 7.15 to obtain the graph transmittance. Verify it by using Crammer's rule.

Solution: There are two forward paths:

H4

x� 2 .. QY � H3

-H5

Fig. 7.15

Therc is only one loop; Li = - H2 H3• Therefore, 6 = 1 + H2 Hs and 6, = � 2 = l . Therefore,

Hi H2 H3 + H, H4 1 +H2 H5

Now, let us write the algebraic equations for the given graph:

Rewriting these equations in the matrix form we get,

(): [

Xi l [ Xi l + �

� = X �4 .

The cleterminant for Crammer's rule is,

which is the same as the detenninant of the signal flow graph. Cofactor for the output Y.

anJ

Hs Hi � r = - H2 1 H4 = H3 H4 + Hi H2 H5

0 -H3 0

which is the same result as that obtained by the signal flow graph.

1Modélisation des systèmes dynamique par l’approche ESPACE D’ETAT ou MODÈLE D’ÉTAT

• C’est quoi espace d’état & modèle d’état• Pourquoi ce type de modèle (atouts et avantages)• Pour un système donné , ce modèle ést-il unique !!• Comment trouver un modèle d’état” ou “representation d’etat”, pour un

système lineaire stationnaire invariant (SLSI) : cas des systèmesélectriques ( + hypotheses simplificatrices)

• Trouvez les états [les x(t)] et les sorties [les y(t)]• Comment faire la conversion entre une fonction transfer et un modèle

d’état• Comment étudier la commendabilité et l’observabilité• Et si le système n’est pas observable : les obsevateurs (estimateurs d’état)

Objectifs du chapitre

Les systèmes dynamiques linéaires peuvent être étudiés dans le domaine temporel

par un certain nombre de techniques classiques. Les méthodes les plus couramment

utilisées reposent sur les représentation par équations différentielles et par réponse

impulsionnelle.

Les difficultés rencontrées dans l’emploi de ces méthodes temporelles, notamment

lors de l’étude de systèmes relativement complexes, ont été à l’origine du

développement des méthodes de transformation (transformée de Laplace et Fourier)

conduisant à une représentation par fonction de transfert. L’utilité de cette

transformation a été démontrée pour l’étude de la stabilité et la réponse

fréquentielle.

2

L’un des inconvénients majeurs de cette approche est de supposer les conditions

initiales nulles. Ces conditions initiales jouent cependant un rôle important dans

l’étude des systèmes dans l’étude des systèmes dans le domaine temporel où la

solution dépend beaucoup du passé du système.

Un autre inconvénient de cette approche est qu’elle s’adapte mal au cas multi-

variables (plusieurs entrées, plusieurs sorties : E+S≥ 3 ).

On peut encore citer d’autres inconvénients :• La variable de Laplace « p » interdit l’utilisation de méthode numériques.• Les systèmes non-linéaires sont difficilement décrits par des fonctions de

transfert.• Compensation d’un pôle instable par un zéro.

3

La représentation dans l’espace d’état permet de pallier à ces difficultés

et d’unifier le cadre de l’étude des systèmes dynamiques continus ou

discretsLe concept d’état est utilisé chaque fois que des informations sur desvariables internes sont nécessaires pour prendre une décision concernantun système

Par la suite on suppose les systèmes linéaires (vérifient le théorème de

superposition) et stationnaires (coefficients constants). Cette hypothèse forte et

difficile suppose que l’on a effectué la modélisation avec soin, en précisant les

domaines de fonctionnement dans lesquels cette hypothèse est acceptable. 4

4

5

Cette représentation où le concept d’état est utilisé chaque fois que des informations sur des variables internes sont nécessaires pour prendre une décision concernant un système. On peut donc donner certains avantages de la représentation d’état :• Unicité de la représentation ; une classe très importante de processus

physiques peut être représentée par un modèle mathématique du type

• La représentation d’état tient compte de l’état initial (la contrainte detravailler avec des systèmes au repos est ici inutile).

• La représentation d’état est plus facilement adaptable au cas multi-variable et . donne une description des variables internes (d’où lenom aussi de représentation interne).

• La représentation d’état permet d’étudier la commendabilité etl’observabilité

.

7

une représentation d'état permet de modéliser un système dynamique

sous forme matricielle en utilisant des variables d'état.

Cette représentation, qui peut être linéaire ou non, continue ou discrète,

permet de déterminer l'état du système à n'importe quel instant futur si

l'on connaît l'état à l'instant initial et le comportement des variables

exogènes qui influent sur le système.

To be continued (part 2 and 3)

A RetenirA Retenir

Présentation1HKE_MISE_chap1_INTRO_2020_bis([all_000])_MISE_1MISE_1002_hke_MISE_Présentation2003_hke_MISE_Graphe de transfert (graphe de fluence)004_hke_MISE_EEslide_20_chapitre_6006_HKE_MISE_identif_2017

students_HKE_identif_2018

Page viergePage viergePP_188 200_A.N._Tripathi_Linear_system_analysis.pdfPreface to the Second Edition��Preface to the First Edition��Contents��1. Systems and Their ModelsLearning Objectives1.1 Automobile Ignition system��1.1.1 System Variables and Parameters��1.1.2 Mathematical Model��1.1.3 Simplifying Assumptions��

1.2 Automobile Suspension System��1.3 Systems and Their Models��1.3.1 Across and Through Variables��1.3.2 Electrical Analogies��

1.4 An Electromechanical System: The Loudspeaker��1.4.1 Frequency Response��1.4.2 Transducers��

1.5 A Thermal System��1.6 A Liquid Level System��1.7 A Biomedical System��1.8 Concluding Comments��Glossary��Problems��

2. Classification Of SystemsLearning Objectives��2.1 Linear and Non-linear Systems��2.2 Dynamic and Static Systems��2.3 Time Invariant and Time-varying Systems��2.4 Continuous Time and Discrete time Systems��2.5 Lumped Parameter and Distributed Parameter Systems��2.6 Deterministic and Stochastic Systems2.7 Concluding Comments��Glossary��Problems

3. Analysis Of First And Second Order SystemsLearning Objectives��3.1 Review of the Classical Method of Solving Linear Differential Equations��3.2 Transient and Steady-State Response��3.3 Standard Test Singals and Their Properties��3.4 First Order Systems��3.5 Second Order Systems��3.6 The General Equation for Second Order Systems��Glossary��Problems

4. Fourier SeriesLearning Objectives��4.1 Representation of a Periodic Function by Fourier Series4.2 Symmetry Conditions��4.3 Convergence of Fourier Series��4.4 Exponential Form of Fourier Series��4.5 Power and r.m.s. Values��4.6 Analysis with Fourier Series��4.7 Graphical Method��4.8 Frequency Spectrum��4.9 Concluding Comments��Glossary��Problems

5. Fourier TransformLearning Objectives��5.1 From Fourier Series to Fourier Transform��5.2 Fourier Transforms of Some Common Signals��5.3 The Impulse Function��5.4 Convolution��5.5 Analysis with Fourier Transforms��5.6 The DFT and the FFT��Glossary��Problems

6. Laplace TransformLearning Objectives��6.1 From Fourier Transform to Laplace Transform��6.2 Properites of Laplace Transform��6.3 Laplace Transforms of Common Functions��6.4 The Transfer Function��6.5 Partial Fraction Expansion6.6 Analysis with Laplace Transforms��Glossary��Problems

7. Feedback SystemsLearning Objectives��7.1 Interconnection of Systems��7.2 Block Diagram Reduction��7.3 Signal Flow Graph��7.4 Feedback Control Systems��7.5 Transient Response��7.6 Stability��7.7 Accuracy��7.8 Sensitivity��Glossary��Problems

8. State VariablesLearning Objectives��8.1 State Variables��8.2 Standard Form of State Variable Equations��8.3 Phase Variables��8.4 State Variables for Electrical Networks��8.5 Transfer Function and State Variables��8.6 Solution of State Equations��8.7 Determination of F(t) Using Caley-Hamilton Theorem8.8 Determination of F(t) by Diagonalising A8.9 Determination of F(t) Using Laplace Transform8.10 Linear Transformation of State Variables��8.11 Analysis with State Variables��8.12 Concluding Comments��Glossary��Problems

9. Discrete-time SystemsLearning Objectives��9.1 Discrete-time Signals��9.2 Modelling of Discrete-time Systems��9.3 Solution of Difference Equation��9.4 Discrete-time Convolution��9.5 The z-Transform��9.6 The z-Transfer Function9.7 Analysis with z-Transform��9.8 State-Variable Descritpion��9.9 Solutions of State-variable Equations��Problems

Index��

modélisation et identification des systèmes électriques mec 81 · tp n° 1 : modélisation et...

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