MODELES DE CALCUL

utilisés pour les calculs de distribution de dose effectués par le logiciel iSis 3D

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I- Modèle de calcul photons ...............................................................................4 I-1- Dose de référence et données de base ..............................................................................4 I-2- Dose en un point .................................................................................................................4 I-2-1- Description détaillée...........................................................................................4 I-2-1-1- La contribution du rayonnement primaire........................................................................... 4 I-2-1-2- La contribution du rayonnement diffusé ............................................................................. 5 I-3- Corrections dues à la surface externe du patient (double découpage).......................6 I-4- Influence du cône égalisateur............................................................................................7 I-5- Dose à l'entrée .....................................................................................................................7 I-6- Pénombre .............................................................................................................................8 I-7- Filtres en coin ......................................................................................................................8 I-8- Hétérogénéités .....................................................................................................................8

II- Modèle de calcul ELECTRONS......................................................................10 II-1- Généralités .........................................................................................................................10 II-2- Composante "primaire" ..................................................................................................11 II-2-1- Principe ............................................................................................................11 II-2-2- Détermination expérimentale du "primaire" ......................................................11 II-2-3- Méthode analytique..........................................................................................12 II-3- Composante "diffusé"......................................................................................................12 II-3-1- Principe ............................................................................................................12 II-3-2- Représentation analytique................................................................................13 II-4- Pénombre ...........................................................................................................................13 II-4-1- Pénombre pour la dose totale d20-80 .................................................................13 II-4-2- Pénombre pour le diffusé s20-80 ........................................................................13 II-4-3- Pénombre pour le primaire p20-80......................................................................14 a ) Obtention des valeurs de p20-80........................................................................................... 14 b ) Représentation analytique de p20-80.................................................................................... 14 c ) Intégration au modèle de calcul ......................................................................................... 15 II-5- Hétérogénéités ...................................................................................................................15 Référence Bibliographiques………………………………………………… ……………………16

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INTRODUCTION Les modèles mis en oeuvre dans les systèmes de calcul des doses en radiothérapie doivent répondre aux impératifs suivants : - calcul possible pour toutes les situations rencontrées en pratique (technique DSP, DST, ARC;

faisceaux coplanaires ou non; modificateurs de faisceaux); - conformité des doses calculées aux données expérimentales de l'utilisateur pour les situations de

base (mesures cuve à eau); - conformité des calculs aux distributions de doses "réelles" pour les cas complexes (modificateurs

de faisceaux, hétérogénéités); - sécurité par rapport aux risques d'extrapolation en dehors des limites à l'intérieur desquelles le

modèle a été validé; - temps de réponse compatible avec une utilisation clinique interactive ("optimisation" visuelle). Toutes ces raisons nous ont conduit à choisir une solution intermédiaire entre les modèles "élémentaires", incapables de prendre en compte les cas complexes et les modèles "théoriques", nécessitant une connaissance approfondie des spectres et souvent abusivement simplificateurs ou mal contrôlés (cf ICRU 1987, Goitein 1982). Notre choix s'est donc porté sur une approche semi-expérimentale, proche des phénomènes physiques élémentaires, dans laquelle les données de base sont directement obtenues à partir de mesures faites dans le faisceau de l'utilisateur. Cette approche privilégie le raccordement à l'étalonnage absolu du faisceau tel qu'il est habituellement recommandé par les protocoles nationaux et internationaux en vigueur. Il débouche sur une méthodologie homogène aussi bien pour le calcul des temps de traitement (ou nombre d'unités moniteur) que pour celui de la distribution des doses. Pour obtenir un compromis satisfaisant entre précision et rapidité de calcul, plusieurs résolutions de grilles de calcul et plusieurs niveaux de sophistication sont proposés (à partir de la version v2.0). Il appartient alors à l'utilisateur de choisir les options de calcul selon la complexité des cas considérés. La description qui suit concerne essentiellement le calcul de la distribution relative des doses. En ce qui concerne le calcul des unités moniteurs, des précisions sont données dans la description des données appareils ainsi que dans la brochure du programme CALCUM.

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I- MODÈLE DE CALCUL PHOTONS L'algorithme utilisé pour le calcul de la dose en un point est basé sur le principe de la séparation primaire-diffusé, tel qu'il a été proposé par Cunningham à partir de l'idée originale développée par Clarkson [Clarkson 1941, Cunningham 1972].

I-1- Dose de référence et données de base Toutes les doses sont a priori rapportées à la dose à une distance et à une profondeur de référence zref, dans une petite colonne d'eau de diamètre juste suffisant pour assurer l’équilibre électronique. Cette dose P(zref), utilisée comme valeur de normalisation (=1), est représentative du "primaire". En faisant varier la profondeur du point de calcul à distance source-point constante, on obtient la courbe de transmission du primaire en faisceau étroit ou "Rapport Tissu Fantôme" pour le champ nul : P(z). La dose D(z,r) à la profondeur z et pour le champ circulaire de rayon r est constituée de la somme P(z) + S(z,r) où S(z,r) représente le diffusé à la profondeur z pour le champ circulaire de rayon r. Des outils informatiques permettent d'obtenir les données de base P(z) et S(z,r) à partir de quelques mesures de rendement en profondeur et de rapport grand/petit fantôme pour des champs carrés [Drouard 1986].

I-2- Dose en un point pour un champ de forme quelconque, une surface plane et un milieu homogène sans modificateur de faisceau (simple découpage)

I-2-1- Description détaillée La dose D(x,y,z) en un point P de coordonnées x,y,z à une profondeur p est obtenue en première approximation par intégration de secteurs circulaires selon la relation: D(p,r) = P(p)+Σ∆S(p,ri) où ∆S(p,ri) représente le diffusé d'un secteur angulaire de rayon ri (voir Figure 1).

Figure 1

I-2-1-1- La contribution du rayonnement primaire Cette contribution à la dose en P peut s'écrire : P(x,y,z) = RTA(p,o) x I x C(x,y) x W(x,y) où : RTA (p,o) est le rapport tissus - air à la profondeur p pour le champ de section nulle ("transmission" du primaire),

P

p

y

x

z

o

P

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I est le facteur correctif correspondant à l'inverse du carré de la distance à la source et s'appliquant à P(zref)=1. C (x,y) est le facteur correctif pour tenir compte de la position du point par rapport à l'ouverture définie par le collimateur et les caches additionnels. W (x,y) est un facteur correctif pour tenir compte de la présence de filtres en coin. C (x,y) est obtenu en imaginant une source fictive, infiniment large, dont l'intensité décroît exponentiellement du centre vers la périphérie et en analysant la portion de source "vue" depuis le point de calcul "au travers" de l'ouverture du champ (Wilkinson). C (x,y) vaut 1 au centre du champ (x = y = o). Il est pratiquement égal à 0,5 en limite géométrique de faisceau et à la transmission du collimateur suffisamment loin à l'extérieur du faisceau utile. L'allure de la variation de la dose en fonction de la distance à l'axe est contrôlée par un paramètre ß, appelé "constante de collimation", qui correspond à l'exposant attribué à la variation exponentielle d'intensité. Si ß est très élevé, on obtiendra un profil "carré". Plus ß est faible, plus le profil s'arrondit. ß peut faire l'objet de traitements spéciaux en fonction des cas particuliers rencontrés, pour prendre en compte par exemple, la valeur de la pénombre géométrique, l'ouverture du collimateur, la distance du collimateur au point de calcul... W (x,y) s'obtient simplement par homothétie et interpolation à partir d'un profil de transmission des filtres en coin stockés dans la bibliothèque des appareils, en prenant en compte la rotation éventuelle du collimateur. Les données fournies pour décrire les filtres en coin sont des profils de transmission (rapport des doses avec et sans filtre) mesurés à une profondeur moyenne de traitement.

I-2-1-2- La contribution du rayonnement diffusé

Cette contribution à la dose en P est la somme des diffusés élémentaires DSi (p,ri) correspondant à la contribution à la profondeur p en un point x, y d'un élément de volume DVi, lui-même exposé à un rayonnement primaire Pi. En pratique, on se contente ici d'appliquer la méthode de Clarkson, en découpant le champ d'irradiation en secteurs d'angle au sommet inférieur ou égal à 10°, centrés sur le point de calcul considéré. Chaque volume DVi est donc une " part de gâteau " d'épaisseur égale à la profondeur du point de calcul considéré et pour laquelle on admet que le diffusé produit est proportionnel au primaire calculé au centre du champ.

Ce diffusé est de la forme aai

360 x RDA (p,ri)

où : RDA (p,ri) est le rapport diffusé - air à la profondeur p pour un champ circulaire de rayon ri ; ri et ai sont respectivement le rayon et l'angle au sommet en degrés de la "part" considérée. Les RDA (p,ri) sont calculés par interpolation à partir de tables dites "primaire - diffusé", stockées dans la bibliothèque des appareils pour 20 valeurs de profondeurs et 20 valeurs de rayons. Les valeurs de RDA stockées dans les tables sont obtenues à partir de données expérimentales par la relation suivante : RDA (p,r) = RTA (p,r) - RTA (p,o).

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A chaque qualité de faisceau est donc associée une table (identifiée par FA nn) qui contient, outre les valeurs du RDA, celles du RTA pour le champ de section nulle. Remarque : En pratique, pour les photons de haute énergie, en raison du parcours non négligeable des électrons secondaires, on est amené à remplacer la notion de dose " dans l'Air " par la dose " dans un Petit Volume " (PV). Nous avons donc remplacé les notations RTA et RDA par RTPV et RDPV. Ce point sera rediscuté à l'occasion de la description des utilitaires de fabrication des tables. Ce simple découpage permet de prendre en compte la forme du champ et d'obtenir un calcul correct de la dose, y compris sous les caches et à l'extérieur du champ utile après avoir corrigé le primaire par la transmission de l'atténuateur correspondant. Cette méthode est rigoureuse (si on considère comme négligeable le diffusé généré sous les caches) tant que la fluence primaire est uniforme sur toute la surface du champ dans un plan perpendiculaire à l'axe du faisceau. Lorsqu'il y a des variations importantes ou lorsqu'une partie du faisceau est dans l'air, le double découpage donne des résultats plus satisfaisants.

I-3- Corrections dues à la surface externe du patient (double découpage) Le simple découpage développé dans les pages précédentes, lorsqu'il est appliqué pour une surface d'entrée ou une incidence oblique, oblige à admettre que tous les secteurs diffusants ont la même profondeur, égale (faute de mieux !) à celle du point de calcul P. C'est également le cas lorsqu'une partie du faisceau est dans l'air où, dans son implémentation de base, l'intégration du diffusé ne "voit" que les limites du champ et pas celles du milieu. L'introduction d'un double découpage (angulaire et radial), conformément à la Figure 2, permet de prendre en compte le volume diffusant réel, que ce soit en profondeur ou latéralement. De plus, il n'est plus nécessaire d'admettre que la fluence incidente est homogène vis-à-vis de la production de diffusé et les modifications du diffusé dues à la présence de compensateurs ou de filtres en coin peuvent être prises en compte.

Figure 2

Pour réaliser le double découpage, il n'est pas nécessaire de créer une table S(z,r) spéciale. Seule la manière d'utiliser cette table est spécifique. On notera que le double découpage permet une dissociation du faisceau en "pinceaux élémentaires" et s'apparente fortement à une modélisation de type "pencil beam" pour laquelle les données de base sont obtenues expérimentalement de préférence à un prétraitement de type "Monte-Carlo". Que l'on utilise le modèle simple découpage ou double découpage, le calcul de la profondeur p est (à partir de la version v2.0) réalisé complètement en 3D, chaque contour étant assimilé à un prisme d'épaisseur égale à l'épaisseur de la coupe. Pour éviter les "trous" entre coupes, un algorithme spécial assure la continuité de la représentation anatomique entre les coupes extrêmes. Dans ce calcul de p, les "invaginations" des contours sont gérées. Autrement dit, la notion d'épaisseur équivalente est utilisée lorsque la ligne joignant la source et le point de calcul passe successivement dans le milieu et dans l'air (oreilles, creux axillaire).

P P

y

x

z

o

p

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Dans le cas du double découpage, il est également nécessaire de calculer la profondeur de tous les éléments diffusants (pour lesquels le point de référence est pris à la même distance de la source que le point P). Dans un souci de gain de temps, un précalcul est effectué conformément à la figure 3.

Figure 3 Une grille (u,v) permet de stocker les DSP et les épaisseurs pour chacun des faisceaux [Belshi 1995]. A partir de ces données, les profondeurs pour chaque élément diffusant sont calculées par différence entre la distance source point et la DSP. Dans le cas particulier où cette "profondeur" est supérieure à l'épaisseur au niveau de l'élément diffusant, c'est l'épaisseur qui est prise comme profondeur, et une correction de l'inverse carré des distances est appliquée pour tenir compte du fait que l'élément diffusant est "ramené" au niveau du point de référence. Pour le moment, aucune correction n'est appliquée pour manque de rétrodiffusé [Kappas 1985].

I-4- Influence du cône égalisateur Dans le cas des accélérateurs, les profils de dose sont fortement dépendants de la forme du cône égalisateur utilisé. Celui-ci est modélisé par une fonction radiale, dérivée de mesures expérimentales, qui permet de corriger le profil de base (obtenu lorsque cette fonction n'est pas appliquée). La variation du spectre à distance de l'axe du faisceau [Zefkili 1994, 1995] est prise en compte (à partir de la version v2.1) par une facteur correctif obtenu, soit à partir de profils mesurés pour des grands champs et différentes profondeurs, soit (pour les accélérateurs le permettant) à partir de mesures d'indice de qualité pour des faisceaux asymétriques [Zefkili 1996].

I-5- Dose à l'entrée La dose dans la région de mise en équilibre électronique (build-up) est parfaitement prise en compte par le modèle de calcul grâce à l'utilisation de tables P(z) comportant des valeurs significatives pour les profondeurs comprises entre 0 et zmax, où zmax est la profondeur du maximum de dose pour un champ très petit. La variation de la profondeur du maximum de dose Dmax et de la dose à la surface Ds avec les dimensions du champ est rendue correctement grâce à l'utilisation de valeurs de S(z,r) rendant compte du phénomène de contamination électronique pour les plus faibles valeurs de z [Rosenwald 1991]. La contamination provenant d'accessoires interposés dans le faisceau n'est pas (actuellement) prise en compte. Toutefois, il est toujours possible de définir directement les caractéristiques de l'appareil en présence de ces accessoires, quitte à définir plusieurs appareils différents pour tenir compte des différentes configurations possibles.

V U

S S

PE

U(i), V(i)

Coupe reconstruite

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I-6- Pénombre La variation de la dose primaire en bordure de collimateur ou de cache est régie par une fonction de type exponentiel comportant un exposant ß ("constante de collimation") inversement proportionnel à la largeur de la pénombre modélisée. Pour les appareils de cobalt, ß est calculé par l'intermédiaire d'une fonction empirique basée sur la valeur de la pénombre géométrique à la distance considérée en incluant une correction pour tenir compte de l'ouverture du collimateur et de la distance collimateur-plan de calcul. La validité de cette fonction a été vérifiée pour la plupart des appareils de Cobalt couramment utilisés [Rosenwald 1982]. Dans le cas d'un champ irrégulier, une distinction est faite (à partir de v2.0) entre les différents côtés du polygone délimitant le champ selon qu'ils correspondent au collimateur principal ou à un cache additionnel. Pour les accélérateurs, ß est pratiquement indépendant de la distance à la source. Toutefois, on observe pour les plus hautes énergies une augmentation assez rapide de la pénombre avec la profondeur et les dimensions de champ. Cette augmentation est trop rapide pour être prise en compte par l'augmentation de la contribution diffusé des photons. Elle est due au phénomène de manque d'équilibre électronique latéral [Simonian 1988, 1990]. Elle est prise en compte grâce à l'utilisation de valeurs adéquates des tables S(z,r) pour les très petites valeurs de r pour lesquelles l'équilibre électronique latéral n'est plus assuré [Rosenwald 1987, Woo 1990]. Des outils informatiques permettent un bon ajustement, par rapport aux données expérimentales, de ß et des tables de diffusé pour les petits rayons.

I-7- Filtres en coin L'introduction d'un filtre en coin modifie essentiellement la composante primaire et, plus faiblement, le diffusé. Le modèle actuellement utilisé corrige globalement primaire et diffusé par un facteur de transmission effectif, calculé à partir des données expérimentales. Il est recommandé de fournir dans les données de base la variation de la transmission perpendiculairement à l'arête du coin, mesurée à la profondeur de référence. Ceci garantit une bonne représentation de la dose en présence de filtre à cette profondeur, de légers écarts pouvant survenir à d'autres profondeurs. Une amélioration de la modélisation est en cours d'intégration (y compris pour le cas général des compensateurs) de manière à introduire une véritable prise en compte de la modification du diffusé (avec le double découpage) ainsi que de la modification du spectre (effet de filtration) [Castellanos 1996]. Dans le cas de filtres en coin motorisés ou dynamiques, la méthode préconisée consiste à raisonner, pour le calcul de la distribution des dose, en "filtre physique équivalent" [Papathéodorou 1999]. Pour les filtres dynamiques un problème particulier est posé par le calcul des unités moniteurs qui est très sensible aux dimensions du champ (dans le sens de déplacement des mâchoires) et aux asymétries éventuelles. Un traitement spécial a donc été mis en oeuvre dans le cas particulier des filtres dynamiques améliorés "Varian" [Papathéodorou 1998, Papathéodorou 1999].

I-8- Hétérogénéités Les corrections d'hétérogénéités sont appliquées à la dose calculée en milieu équivalent eau. Elles sont basées sur le principe de la méthode de soustraction de faisceau [Kappas 1985, 1986] en utilisant comme correction de base, pour une hétérogénéité égale ou supérieure à la taille du champ, la méthode de Batho généralisée [Batho 1964, El-Khatib 1986, Kappas 1986]. La méthode de soustraction de faisceau permet de prendre en compte non seulement les modifications introduites par les hétérogénéités situées sur la ligne joignant la source au point de calcul, mais également les

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modifications de diffusé correspondant à des hétérogénéités situées latéralement par rapport à ce point (par exemple: médiastin entre deux poumons [Kappas 1985, 1995]). La méthode développée étant initialement basée sur des hétérogénéités parallélépipèdiques situées dans des champs rectangulaires, des approximations sont faites de la manière suivante : - La modification du diffusé en un point P est supposée être la même que pour une hétérogénéité

parallélépipèdique d'épaisseur égale à l'épaisseur traversée par la ligne SP et de dimensions délimitées latéralement par les limites de l'hétérogénéité et longitudinalement par la longueur du champ. Si la ligne SP ne traverse pas l'hétérogénéité, son épaisseur est prise égale à l'épaisseur maximale de l'hétérogénéité. Un traitement spécial "par tranches" est effectué lorsque la droite SP coupe plus de 2 fois le contour de l'hétérogénéité.

- Pour un champ irrégulier, la modification du diffusé est supposée la même que pour un champ rectangulaire ayant des dimensions égales à celles obtenues sur les axes principaux passant par P.

- Aucune correction d'hétérogénéité n'est effectuée en dehors des limites géométriques du faisceau (en particulier sous les caches).

Il convient de préciser que (pour le moment) la méthode de soustraction de faisceau n'est appliquée que pour les faisceaux "coplanaires" (dont les axes sont parallèles au plan des coupes). Pour les faisceaux non coplanaires, la méthode de Batho généralisée est appliquée, comme si les hétérogénéités étaient entièrement couvertes par les champs correspondants. La possibilité d'effectuer une correction 3D "voxel par voxel" est également disponible (à partir de la version v2.1) [Chiotti 1995]. Elle n'est utilisable que lorsque l'étude dosimétrique est basée sur un ensemble de coupes scanographiques (jointives de préférence). Le principe de cette méthode consiste à calculer l'épaisseur "radiologique" (épaisseur géométrique pondérée par la densité électronique) séparant la surface d'entrée du point de calcul. Pour cette détermination, une reconstruction du volume de voxels correspondant à l'ensemble des coupes est d'abord effectuée, puis le segment joignant le point d'entrée et le point de calcul est échantillonné en recherchant, pour chaque point d’échantillonnage, la densité du voxel correspondant. Le facteur de correction FC appliqué à la dose sans hétérogénéité est obtenu en faisant le rapport des Rapports Tissu Air RTA (ou Rapport Tissu Fantôme RTF), recalculé à partir des tables de diffusé pour le champ carré équivalent et respectivement pour la profondeur radiologique et la profondeur géométrique :

( )( )FC

RTA Z

RTA Z

ii

i

ii

=åå

rr

Cette méthode permet d'éviter le relevé d'hétérogénéités complexes, en revanche elle ne permet pas véritablement de prendre en compte les modifications du diffusé en dehors de la ligne qui joint la source et le point de calcul.

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II- MODÈLE DE CALCUL ELECTRONS

II-1- Généralités

L'idée de départ est inspirée des travaux d'A. Dutreix et de J. Van de Geijn. Elle consiste à reprendre exactement la méthodologie développée pour les photons de haute énergie (séparation primaire et diffusé) et à apporter les modifications voulues pour tenir compte de la spécificité des électrons. En toute rigueur, dans le cas des électrons, on ne retrouve pas la notion de "primaire" et de "diffusé". En effet, tous les électrons sont susceptibles d'être diffusés par interaction coulombienne. Nous conviendrons donc d'appeler "primaires" les électrons dont la direction est pratiquement inchangée par rapport à celle des électrons incidents (supposés provenir en ligne droite d'une source ponctuelle) et "diffusés", ceux dont la direction est significativement modifiée. Dans ces conditions, on peut considérer que, pour un champ de dimensions non nulles, la dose s'obtient par addition de la contribution des électrons primaires et des électrons diffusés. La dose due aux électrons primaires s'obtient à partir de la dose dans l'air à une distance donnée (par exemple la surface) en appliquant une correction due à l'augmentation de la distance (loi de l'inverse carré par rapport à une position fictive de source) et surtout due aux interactions avec le milieu (les électrons "primaires" sont progressivement "transformés" en électrons "diffusés"). La dose primaire ne dépend donc que de la distance à la source et de la profondeur z du point de calcul. Elle est indépendante de la taille du champ. La dose due aux électrons "diffusés" s'obtient par intégration, sur la surface du champ, de la contribution de secteurs élémentaires selon la méthode de Clarkson . Pour la calculer, il faut donc disposer de tables de "diffusé" (l'équivalent du rapport diffusé-air pour les photons) établies pour des champs circulaires, et qui prennent en compte la profondeur z du point de calcul et le rayon r du champ considéré. Ces tables sont établies expérimentalement par différence entre la dose totale et la dose primaire [Rosenwald]. Enfin, il est nécessaire d'apporter une attention particulière au traitement de la pénombre [Rosenwald] qui, contrairement à ce qui se passe dans les faisceaux de photons, augmente très rapidement avec la profondeur. Cette pénombre est, de plus, fortement influencée par la distance séparant la peau de la base du collimateur.

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II-2- Composante "primaire"

II-2-1- Principe Dans ce qui suit, nous admettrons que le collimateur reste ouvert au maximum et que la variation des dimensions du champ s'obtient en faisant varier le volume du milieu diffusant, (par exemple en recollimatant par des plaques de plomb situées à la surface).

100

DS

DX

RP profondeur

Dose

dimensions de champcroissantes

champ 0 x 0extrapolé

Figure 4 : Rendements en profondeur à DSP ¥¥ pour différentes dimensions de champs

A partir de courbes de rendements en profondeur pour une énergie donnée et différentes dimensions de champ, on souhaite obtenir la courbe extrapolée pour le champ de section nulle. Ces courbes sont corrigées de l'inverse carré des distances (DSP ¥¥ ) et normalisées à la profondeur du maximum pour un champ suffisamment grand pour assurer la diffusion maximum sur l'axe (en pratique > 15 x 15 cm2, quelle que soit l'énergie). On s'attend théoriquement à ce que lorsque les dimensions du milieu diffusant varient, la dose Ds à la surface reste inchangée (Figure 4). La courbe extrapolée doit décroître constamment à partir de Ds (pour z = 0) jusqu'à Dx qui correspond au rayonnement de freinage (pour z = Rp).

II-2-2- Détermination expérimentale du "primaire" Elle est malaisée, compte tenu de la nécessité de disposer de détecteurs très petits et des perturbations introduites par le système de collimation utilisé. Elle est imprécise en raison de la variation très rapide dans la forme de la courbe en fonction des dimensions de champ pour des diamètres de champ de l'ordre du centimètre. En revanche, les valeurs utilisées n'ont pas besoin d'être connues avec une grande précision puisqu'elles seront de toute façon, recombinées avec des valeurs de "diffusé" rétablissant les rendements en profondeur pour les champs de dimensions finies. Il est donc acceptable de généraliser les données obtenues expérimentalement par d'autres auteurs pour proposer une méthodologie applicable dans tous les cas.

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II-2-3- Méthode analytique L'analyse du travail expérimental effectué à l'Institut Gustave Roussy [G. Puel, O. Villeret] montre qu'à basse énergie (<10 MeV), la variation de la dose "primaire" avec la profondeur est pratiquement linéaire. A plus haute énergie, la courbe décroît plus rapidement au départ puis devient pratiquement tangente à la droite Dose = Dx à partir de z = Rp. Nous proposons donc l'expression suivante pour le primaire renormalisé à 1 à la surface:

(( ))Pz

Rz

RD

DDSP

DSP zZ

p px

x==

ææ

èè

çççççç

öö

øø

÷÷÷÷÷÷

ææ

èè

çççççç

öö

øø

÷÷÷÷÷÷

éé

ëë

êêêêêêêê

ùù

ûû

úúúúúúúú

-- -- ++++ ++

ææèèçç

ööøø÷÷1 1

11

2

aa pour z £ Rp

(( ))PD

DDSP

DSP zZ

x

x==

++ ++ææèèçç

ööøø÷÷1

2

pour z ³ Rp

DSP est la valeur pour laquelle les rendements en profondeur expérimentaux ont été déterminés. P(z) correspond au rendement en profondeur pour le champ zéro. α est un paramètre compris entre 0 et 1. Pour α = 0, on trouve en effet une relation linéaire comparable à ce que l'on obtient à faible énergie. Pour α = 1, on trouve une relation quadratique avec tangente horizontale au point z = Rp. Nous avons donc adopté la formulation suivante :

αα = 0 pour Rp ££ 3 cm

αα = 0,25 (Rp-3) pour 3 < Rp ££ 7 cm

αα = 1 pour Rp > 7 cm.

II-3- Composante "diffusé"

II-3-1- Principe Comme nous l'avons vu dans la détermination du primaire, il faut disposer de courbes de rendement en profondeur corrigées de l'inverse carré des distances pour une énergie donnée et différentes dimensions de champs carrés ou circulaires. Ces courbes font partie des données expérimentales de base mesurées lors de la mise en service d'un accélérateur1, au moins en ce qui concerne les dimensions de champ cliniquement utilisables (par exemple supérieures à 3 x 3 cm2). Elles sont, au départ, normalisées chacune par rapport à la dose maximum pour le champ correspondant. Soit Ds la dose relative à la surface pour le plus grand champ. On utilise cette valeur Ds pour renormaliser à 1 en surface l'ensemble des courbes correspondant à une énergie donnée. Ces courbes D sont théoriquement ordonnées comme indiqué sur la Figure 4, c'est-à-dire qu'elles ne se recoupent pas2.

1 Lors de la mesure des rendements en profondeur pour les petits champs, il faut éviter qu'ils soient perturbé par la zone de pénombre. On prendra donc soin de collimater le faisceau à proximité de la peau. 2 Si les courbes obtenues se recoupent, il peut s'agir d'un problème de contamination superficielle qui augmente lorsque le champ augmente. Ce phénomène sera alors pris en compte en cherchant le champ pour lequel Ds est minimum.

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II-3-2- Représentation analytique Le modèle proposé pour la représentation de S est :

S (z,r) = S(z,rmax) x (1 - gg -r). En effet, lorsque r augmente, on atteint très rapidement un plateau. En pratique, rmax est le rayon à partir duquel le rendement en profondeur ne varie plus. Il est d'autant plus grand que l'énergie est élevée. Il reste toujours nettement inférieur au parcours pratique Rp. g est un paramètre qui dépend à la fois de l'énergie et de la profondeur et qui permet d'ajuster la vitesse de variation de S en fonction de r. Plus g est élevé, plus on atteint rapidement le plateau. Aux faibles profondeurs, il n'y a pratiquement pas de diffusion et g est très élevé. Quand la profondeur augmente, g diminue pour atteindre des valeurs comprises entre 1,5 et 2 au voisinage du parcours extrapolé. Les valeurs de g doivent être ajustées pour que, pour les champs effectivement mesurés (par exemple r > 1,5 cm), le rendement en profondeur recalculé par D(z,r) = P(z) + S(z,r) corresponde au rendement en profondeur expérimental. A titre indicatif, les valeurs trouvées pour le Saturne 25 de l'Institut Curie sont données pages II-66 à II-68 de ce document. On constate qu'en première approximation, g dépend essentiellement de l'énergie moyenne Ez à la profondeur z du point considéré. g reste inférieur à 5 pour Ez < 12 MeV. Pour Ez > 12 MeV, g augmente très rapidement avec l'énergie. Le choix de g a également des conséquences sur la représentation de la dose dans la zone de pénombre.

II-4- Pénombre

En appliquant la méthode de Clarkson à un champ carré, sur la base des tables de diffusés constituées à partir de la représentation analytique de S(z,r), on peut calculer des profils de dose pour chacune des contributions primaire, diffusée ou totale. Sur chacun des profils ainsi obtenus, on peut mesurer la pénombre 20-80 %.

II-4-1- Pénombre pour la dose totale d20-80 Cette pénombre est accessible expérimentalement à condition de disposer de profils à différentes profondeurs, pour différentes dimensions de champs. Toutefois, elle varie peu avec les dimensions de champ et nous considérons pour le moment qu'elle ne dépend que de la profondeur, en choisissant comme champ de référence un carré de 10 x 10 cm2.

II-4-2- Pénombre pour le diffusé s20-80

Elle est fonction essentiellement des valeurs de g choisies, indépendamment des autres paramètres. Plus g est élevé, plus la pénombre s20-80 est étroite conformément au tableau ci-dessous :

g 1,5 2 3 4 5 8 10 15 30 50

S20-80 (cm) 2,14 1,50 0,98 0,79 0,70 0,60 0,55 0,50 0,45 0,21

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II-4-3- Pénombre pour le primaire p20-80

a ) Obtention des valeurs de p20-80 Elle doit être telle que, recombinée avec s20-80, elle donne d20-80. Nous avons pu montrer que cette recombinaison des pénombres suivait la loi :

d 20-80 = ( p20-80)Cp . (s20-80)Cs où Cp et Cs représentent respectivement les contributions à la dose du primaire et du diffusé :

CpP z

D z r==

(( ))(( ,, ))

et CsS z r

D z r==

(( ,, ))(( ,, ))

avec Cp + Cs = 1. Nous pouvons donc à partir de d20-80 et s20-80, connaissant Cp et Cs, déduire la pénombre primaire p20-80. L'expérience a montré que l'on pouvait proposer un modèle analytique satisfaisant pour représenter p20-80.

b ) Représentation analytique de p20-80 Pour une distance collimateur-peau donnée, la représentation de p20-80 en fonction de z est une courbe qui peut être approchée par deux segments de droite (Figure 5: Représentation analytique du primaire).

m2

m1P0

Zl

Profondeur Z

PénombreprimaireP20-80

Figure 5: Représentation analytique du primaire

Un premier segment de droite est représentatif de la zone comprise entre z = 0 et z = zl où zl est proche de la profondeur de 100 % (R100). Dans cette zone, les électrons ne diffusent pas beaucoup et l'augmentation de la pénombre est lente. Soit m1la pente correspondant à cette augmentation. Un deuxième segment, pour z > zl, correspond à une augmentation plus rapide (pente m2), en raison de la diffusion plus importante des électrons en fin de parcours. Lorsque la distance collimateur-peau varie, on observe essentiellement une translation globale de la courbe parallèlement à l'axe des ordonnées. Il suffit donc de connaître la largeur de la pénombre à la surface po pour pouvoir en déduire l'allure de la courbe, quelle que soit la distance de la peau au collimateur. Or, cette pénombre à la surface peut être considérée comme variant linéairement avec la distance au collimateur DCP. De plus, elle peut être facilement mesurée puisqu'à la surface S =

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zero d'où d20-80 = p20-80. Enfin, pour DCP = zero, on peut admettre en négligeant la diffusion par la tranche du collimateur que d20-80 = 0. Il suffit dont d'une mesure do de d20-80 à DCP = DCPo. En pratique, on choisira DCPo proche des valeurs utilisées ou utilisables en clinique (généralement de l'ordre de 10 cm). Au bout du compte, la pénombre primaire est donc représentée par la fonction suivante : p20-80 = k . DCP + m1 . z pour z £ zl p20-80 = k . DCP + m1 . zl + m2 ( z - zl) pour z > zl Elle est donc fonction de quatre paramètres : k (sans unité), zl (cm), m1 et m2 (sans unité). k est facilement accessible expérimentalement. zl, m1 et m2 sont obtenus en traçant la courbe représentative de p20-80 en fonction de z, à la distance collimateur-peau habituellement utilisée. A titre indicatif, des valeurs de k, zl, m1 et m2 trouvées pour le Saturne 25 de l'Institut Curie figurent page II-68 de ce document. On s'aperçoit que m1 et m2 sont constant tandis que k et zl peuvent être obtenus approximativement par les représentations analytiques suivantes : k = 0,015 + 0,25 / Rp zl = 1 + 0,25 . Rp. L'utilisation de ces valeurs ou de ces formules peut servir de point de départ pour ajuster les valeurs des paramètres pour un autre appareil ou d'autres énergies.

c ) Intégration au modèle de calcul

Le modèle de calcul retenu est celui décrit précédemment pour les photons, et consiste à calculer le primaire avec intégration de la portion d'une source fictive, d'intensité décroissante exponentiellement du centre vers la périphérie, telle qu'elle est vue "au travers" de l'ouverture du collimateur depuis le point de calcul. Le coefficient b de la fonction exponentielle représentant la source permet de jouer sur la largeur de la pénombre primaire, la relation entre b et p20-80 étant de la forme : bb x p20-80 = 2,5 cm. Le calcul de la dose primaire est donc effectué par le programme en utilisant la valeur de b déduite de l'expression ci-dessus.

II-5- Hétérogénéités La solution, retenue pour les corrections d'hétérogénéités, consiste simplement à calculer une profondeur équivalente basée sur la somme des épaisseurs géométriques traversées corrigées de la densité correspondante et à utiliser cette profondeur pour le calcul du "primaire" "RTA"(P,O) et du "diffusé" "RDA"(P,ri). Cette profondeur équivalente est obtenue soit par le calcul des intersections avec les structures hétérogènes, soit voxel par voxel. On notera que, telle qu'inplémentée, cette solution est incompatible avec le double découpage. Ce dernier n'est donc autorisé qu'en l'absence d'hétérogénéitées.

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