mod elisation et commande d’un robot biomim etique volant · 2014-10-05 · commandes born ees a...

Modelisationet commande

d’un robotbiomimetique

volant

Hala Rifaı

Sommaire

Introduction

Projets ailesbattantes

Projet OVMI

AvantagesInconvenients

Bilan

Modelisation

Parametrisationdes ailes

Modele simplifie

Modele moyen

Commande

Attitude

Position

Robustesse

ContributionsPerspectives

Modelisation et commande d’un robotbiomimetique volant

Hala Rifaı

gipsa-lab, Departement d’AutomatiqueGrenoble-FRANCE

Jury de these

President M. Tarek HAMEL Professeur a l’universite de Nice-Sophia-Antipolis, I3SRapporteurs M. Pascal MORIN Charge de recherche INRIA, Sophia-Antipolis

M. Frederic BOYER Professeur a l’ecole des Mines de Nantes, IRCCyNExaminateur M. Stephane VIOLLET Charge de recherche CNRS, ISMDirecteur de these M. Mazen ALAMIR Directeur de recherche CNRS, gipsa-labCo-directeurs de these M. Nicolas MARCHAND Charge de recherche CNRS, gipsa-lab

Mme. Guylaine POULIN Charge de recherche CNRS, Unite Imagerie et Cerveau

Hala Rifaı (gipsa-lab) Modelisation et commande d’un robot biomimetique volant 06/11/2008 1 / 70



volant

Hala Rifaı

Sommaire

Introduction


Projet OVMI


Bilan

Modelisation


Modele simplifie

Modele moyen

Commande

Attitude

Position

Robustesse


Sommaire

1 IntroductionProjets sur les drones a ailes battantesContexte du travail: Projet OVMIAvantages - Inconvenients du vol battuBilan de litterature et des contributions

2 Modele simple pour la commandeParametrisation du mouvement des ailesModele simplifie du drone a ailes battantesCalcul du modele moyen

3 Commande du drone a ailes battantesCommande de l’attitudeCommande de la position

4 Tests de robustesse

5 Contributions et Perspectives




volant

Hala Rifaı

Sommaire

Introduction


Projet OVMI


Bilan

Modelisation


Modele simplifie

Modele moyen

Commande

Attitude

Position

Robustesse


Sommaire









volant

Hala Rifaı

Sommaire

Introduction


Projet OVMI


Bilan

Modelisation


Modele simplifie

Modele moyen

Commande

Attitude

Position

Robustesse


Projets sur les drones a ailes battantes

Universite de Berkeley -USA (1998)

MFI

Microrobotic FlyUniversite d’Harvard-

USA (2005)

Universite de Delft -Pays Bas (2005)

Delfly

Universite de Tokyo -BTO

Japon

ONERA - FranceRemanta

(2002-2006)

ANR - FranceOVMI

(2006-2008)




volant

Hala Rifaı

Sommaire

Introduction


Projet OVMI


Bilan

Modelisation


Modele simplifie

Modele moyen

Commande

Attitude

Position

Robustesse


Partenaires du projectProjet OVMI: Objet Volant Mimant l’Insecte

ANR Jeune Chercheur




volant

Hala Rifaı

Sommaire

Introduction


Projet OVMI


Bilan

Modelisation


Modele simplifie

Modele moyen

Commande

Attitude

Position

Robustesse


Partenaires du projectProjet OVMI: Objet Volant Mimant l’Insecte

ANR Jeune Chercheur

gipsa-lab (Grenoble)

Modelisation et commande

IEMN (Valenciennes, Lille)

Etude microelectronique

ONERA (Palaiseau)

Mecanique des fluides

SATIE (Cachan)

Energie




volant

Hala Rifaı

Sommaire

Introduction


Projet OVMI


Bilan

Modelisation


Modele simplifie

Modele moyen

Commande

Attitude

Position

Robustesse


Avantages - Inconvenients du vol battu

Avantages:

Grande manœuvrabilite

Faible consommation d’energie

Decollage et atterrissage verticaux

Vol stationnaire

Faible bruit

Discretion

Complexite du vol naturel

Limitations de reproduction technologique




volant

Hala Rifaı

Sommaire

Introduction


Projet OVMI


Bilan

Modelisation


Modele simplifie

Modele moyen

Commande

Attitude

Position

Robustesse


Avantages - Inconvenients du vol battu

Avantages:

Grande manœuvrabilite

Faible consommation d’energie

Decollage et atterrissage verticaux

Vol stationnaire

Faible bruit

Discretion

Inconvenients:

Complexite du vol naturel

Limitations de reproduction technologique




volant

Hala Rifaı

Sommaire

Introduction


Projet OVMI


Bilan

Modelisation


Modele simplifie

Modele moyen

Commande

Attitude

Position

Robustesse


Bilan de litterature et des contributions

Modelisation:

Approche complexe (Navier-Stokes)

Approche simple (simple representation des effortsaerodynamiques)

Commande lineaire (stabilite locale)

Commande par backstepping (reduite a certains axes)

Evitement d’obstacles (procedures par flux optique)

Modele tres simple pour la commande

Commandes bornees a faible cout de calcul

Stabilite globale du systeme




volant

Hala Rifaı

Sommaire

Introduction


Projet OVMI


Bilan

Modelisation


Modele simplifie

Modele moyen

Commande

Attitude

Position

Robustesse



Modelisation:



Commande:










volant

Hala Rifaı

Sommaire

Introduction


Projet OVMI


Bilan

Modelisation


Modele simplifie

Modele moyen

Commande

Attitude

Position

Robustesse



Modelisation:



Commande:




Contributions:







volant

Hala Rifaı

Sommaire

Introduction


Projet OVMI


Bilan

Modelisation


Modele simplifie

Modele moyen

Commande

Attitude

Position

Robustesse


Sommaire









volant

Hala Rifaı

Sommaire

Introduction


Projet OVMI


Bilan

Modelisation


Modele simplifie

Modele moyen

Commande

Attitude

Position

Robustesse


Degres de liberte d’une aile battante




volant

Hala Rifaı

Sommaire

Introduction


Projet OVMI


Bilan

Modelisation


Modele simplifie

Modele moyen

Commande

Attitude

Position

Robustesse



Battement

Axe de battement




volant

Hala Rifaı

Sommaire

Introduction


Projet OVMI


Bilan

Modelisation


Modele simplifie

Modele moyen

Commande

Attitude

Position

Robustesse



Battement

Axe de battement Rotation

Axe de rotation




volant

Hala Rifaı

Sommaire

Introduction


Projet OVMI


Bilan

Modelisation


Modele simplifie

Modele moyen

Commande

Attitude

Position

Robustesse



Battement


Axe de rotation

Deviation

Axe de deviation




volant

Hala Rifaı

Sommaire

Introduction


Projet OVMI


Bilan

Modelisation


Modele simplifie

Modele moyen

Commande

Attitude

Position

Robustesse



Battement


Axe de rotation

Deviation

Axe de deviation

Autres phenomenes complexes : − Flexion de l’aile

− Torsion de l’aile




volant

Hala Rifaı

Sommaire

Introduction


Projet OVMI


Bilan

Modelisation


Modele simplifie

Modele moyen

Commande

Attitude

Position

Robustesse


Simple parametrisation du mouvement des ailes

φ ~t




volant

Hala Rifaı

Sommaire

Introduction


Projet OVMI


Bilan

Modelisation


Modele simplifie

Modele moyen

Commande

Attitude

Position

Robustesse



φ ~t

ψ

~r




volant

Hala Rifaı

Sommaire

Introduction


Projet OVMI


Bilan

Modelisation


Modele simplifie

Modele moyen

Commande

Attitude

Position

Robustesse



φ ~t

ψ

~r

θ

~n




volant

Hala Rifaı

Sommaire

Introduction


Projet OVMI


Bilan

Modelisation


Modele simplifie

Modele moyen

Commande

Attitude

Position

Robustesse



φ ~t

ψ

~r

θ

~n

φmax

φmin

κT (1 − κ)T




volant

Hala Rifaı

Sommaire

Introduction


Projet OVMI


Bilan

Modelisation


Modele simplifie

Modele moyen

Commande

Attitude

Position

Robustesse



φ ~t

ψ

~r

θ

~n

φmax

φmin

κT (1 − κ)T

ψmax

ψmin




volant

Hala Rifaı

Sommaire

Introduction


Projet OVMI


Bilan

Modelisation


Modele simplifie

Modele moyen

Commande

Attitude

Position

Robustesse



φ ~t

ψ

~r

θ

~n

φmax

φmin

κT (1 − κ)T

ψmax

ψmin

θ NUL




volant

Hala Rifaı

Sommaire

Introduction


Projet OVMI


Bilan

Modelisation


Modele simplifie

Modele moyen

Commande

Attitude

Position

Robustesse



φ ~t

ψ

~r

θ

~n

φmax

φmin

κT (1 − κ)T

ψmax

ψmin

θ NUL⇓Generation des forces etcouples aerodynamiques




volant

Hala Rifaı

Sommaire

Introduction


Projet OVMI


Bilan

Modelisation


Modele simplifie

Modele moyen

Commande

Attitude

Position

Robustesse



φ ~t

ψ

~r

θ

~n

(φ,ψ) → couples de roulis etlacet, forces longitudinale et ver-ticaleθ = 0→ couple de tangage generepar une masse interne

φmax

φmin

κT (1 − κ)T

ψmax

ψmin





volant

Hala Rifaı

Sommaire

Introduction


Projet OVMI


Bilan

Modelisation


Modele simplifie

Modele moyen

Commande

Attitude

Position

Robustesse



φ ~t

ψ

~r

θ

~n

(φ,ψ) → couples de roulis etlacet, forces longitudinale et ver-ticaleθ = 0→ couple de tangage generepar une masse interne

φmax

φmin

κT (1 − κ)T

ψmax

ψmin

ψc

φc





volant

Hala Rifaı

Sommaire

Introduction


Projet OVMI


Bilan

Modelisation


Modele simplifie

Modele moyen

Commande

Attitude

Position

Robustesse


Simple parametrisation du mouvement des ailesTransmission par des actionneurs

Boucle locale d’actionnement:Actionneur modelise par un filtre passe-bas

φ = −λ1(φ− φc) − λ2(φ− φc)

ψ = −λ1(ψ− ψc) − λ2(ψ−ψc)

λ1 et λ2 sont ajustes tel que la constante de temps de l’actionneur soit deτ = 10−4 (ceramique piezoelectrique).




volant

Hala Rifaı

Sommaire

Introduction


Projet OVMI


Bilan

Modelisation


Modele simplifie

Modele moyen

Commande

Attitude

Position

Robustesse


Simple parametrisation du mouvement des ailesTransmission par des actionneurs

Boucle locale d’actionnement:Actionneur modelise par un filtre passe-bas

φ = −λ1(φ− φc) − λ2(φ− φc)

ψ = −λ1(ψ− ψc) − λ2(ψ−ψc)

λ1 et λ2 sont ajustes tel que la constante de temps de l’actionneur soit deτ = 10−4 (ceramique piezoelectrique).

0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012 0.014 0.016 0.018 0.02−100

−50

0

50

100

0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012 0.014 0.016 0.018 0.02−50

0

50

φc

φ

ψc

ψ




volant

Hala Rifaı

Sommaire

Introduction


Projet OVMI


Bilan

Modelisation


Modele simplifie

Modele moyen

Commande

Attitude

Position

Robustesse


Modelisation du drone a ailes battantesComposantes des forces aerodynamiques

Force aerodynamique stationnaire (due au battement des ailes)

Forces aerodynamiques instationnaires (due a la rotation desailes)

De rotationDes masses ajouteesCapture de sillageRetard au decrochage. . .




volant

Hala Rifaı

Sommaire

Introduction


Projet OVMI


Bilan

Modelisation


Modele simplifie

Modele moyen

Commande

Attitude

Position

Robustesse



Force aerodynamique stationnaire (due au battement des ailes)Forces aerodynamiques instationnaires (due a la rotation desailes)





volant

Hala Rifaı

Sommaire

Introduction


Projet OVMI


Bilan

Modelisation


Modele simplifie

Modele moyen

Commande

Attitude

Position

Robustesse




De rotation

Des masses ajouteesCapture de sillageRetard au decrochage. . .




volant

Hala Rifaı

Sommaire

Introduction


Projet OVMI


Bilan

Modelisation


Modele simplifie

Modele moyen

Commande

Attitude

Position

Robustesse




De rotationDes masses ajoutees

Capture de sillageRetard au decrochage. . .




volant

Hala Rifaı

Sommaire

Introduction


Projet OVMI


Bilan

Modelisation


Modele simplifie

Modele moyen

Commande

Attitude

Position

Robustesse




De rotationDes masses ajouteesCapture de sillage

Retard au decrochage. . .




volant

Hala Rifaı

Sommaire

Introduction


Projet OVMI


Bilan

Modelisation


Modele simplifie

Modele moyen

Commande

Attitude

Position

Robustesse




De rotationDes masses ajouteesCapture de sillageRetard au decrochage

. . .




volant

Hala Rifaı

Sommaire

Introduction


Projet OVMI


Bilan

Modelisation


Modele simplifie

Modele moyen

Commande

Attitude

Position

Robustesse








volant

Hala Rifaı

Sommaire

Introduction


Projet OVMI


Bilan

Modelisation


Modele simplifie

Modele moyen

Commande

Attitude

Position

Robustesse


Modelisation du drone a ailes battantesForces aerodynamiques (stationnaires)

Battement vers le bas




volant

Hala Rifaı

Sommaire

Introduction


Projet OVMI


Bilan

Modelisation


Modele simplifie

Modele moyen

Commande

Attitude

Position

Robustesse




Traction

Portance




volant

Hala Rifaı

Sommaire

Introduction


Projet OVMI


Bilan

Modelisation


Modele simplifie

Modele moyen

Commande

Attitude

Position

Robustesse



Battement vers le haut Battement vers le bas

Traction

Portance




volant

Hala Rifaı

Sommaire

Introduction


Projet OVMI


Bilan

Modelisation


Modele simplifie

Modele moyen

Commande

Attitude

Position

Robustesse



Battement vers le haut

Poids

Traınee


Traction

Portance




volant

Hala Rifaı

Sommaire

Introduction


Projet OVMI


Bilan

Modelisation


Modele simplifie

Modele moyen

Commande

Attitude

Position

Robustesse



Force aerodynamique stationnaire:(creee par la pression de l’air sur un profil d’aile)

f as = −

1

2ρCSva|va|

ρ : densite de l’air

S : surface de l’aile

va : vitesse de l’aile dans Ra

C : coefficient aerodynamique

(Cbatt.haut < Cbatt.bas)

~fs, g

~fs,d




volant

Hala Rifaı

Sommaire

Introduction


Projet OVMI


Bilan

Modelisation


Modele simplifie

Modele moyen

Commande

Attitude

Position

Robustesse


Modelisation du drone a ailes battantesForces aerodynamiques (instationnaires)

Force des masses ajoutees:(creee par l’acceleration de la masse de l’air qui entoure

l’aile)

f ama= −

π

4ρl2xLφ

l : corde de l’aile

L : longueur de l’aile

x : abscisse du centre aerodynamique


φ : derivee seconde de l’angle de battement

~fma, g

~fma,d




volant

Hala Rifaı

Sommaire

Introduction


Projet OVMI


Bilan

Modelisation


Modele simplifie

Modele moyen

Commande

Attitude

Position

Robustesse


Modelisation du drone a ailes battantesForces aerodynamiques (instationnaires)

Force de rotation:(creee par la rotation de l’aile)

f ar = −

π

2ρl2Lvaψ

l : corde de l’aile

L : longueur de l’aile

va : vitesse de l’aile dans Ra


ψ : derivee de l’angle de rotation

~fr , g

~fr ,d




volant

Hala Rifaı

Sommaire

Introduction


Projet OVMI


Bilan

Modelisation


Modele simplifie

Modele moyen

Commande

Attitude

Position

Robustesse


Modelisation du drone a ailes battantesForce/couple aerodynamiques

Force aerodynamique totale (dans Ra):(perpendiculaire au profil de l’aile)

f a = f as + f a

ma + f ar

f a parallele a ~n

Force aerodynamique exprimee dans Rm:

f m = f md + f m

g = Rmad f ad

d + Rmag f ag

g

Couple aerodynamique dans Rm:

τm = pmd × f m

d + pmg × f m

g

~fg

~fd




volant

Hala Rifaı

Sommaire

Introduction


Projet OVMI


Bilan

Modelisation


Modele simplifie

Modele moyen

Commande

Attitude

Position

Robustesse




f a = f as + f a

ma + f ar

f a parallele a ~n


f m = f md + f m

g = Rmad f ad

d + Rmag f ag

g


τm = pmd × f m

d + pmg × f m

g

~fg

~fd

Rm




volant

Hala Rifaı

Sommaire

Introduction


Projet OVMI


Bilan

Modelisation


Modele simplifie

Modele moyen

Commande

Attitude

Position

Robustesse




f a = f as + f a

ma + f ar

f a parallele a ~n


f m = f md + f m

g = Rmad f ad

d + Rmag f ag

g


τm = pmd × f m

d + pmg × f m

g

~fg

~fd

Rm

~pd

~pg




volant

Hala Rifaı

Sommaire

Introduction


Projet OVMI


Bilan

Modelisation


Modele simplifie

Modele moyen

Commande

Attitude

Position

Robustesse


Modelisation du drone a ailes battantesDynamique du corps

P f = V f

V f =1

mRf m − cV f − g(

q0

qv

)=

1

2

(−qT

v

I3q0 − q×v

)ωm

ωm = J−1(τm −ωm × Jωm)

R : Matrice de rotation de Rm a Rf

~ym ~xm~zm

~y f

~x f

~z f

Rm

Rf

R

Rf : Repere fixeRm : Repere mobile




volant

Hala Rifaı

Sommaire

Introduction


Projet OVMI


Bilan

Modelisation


Modele simplifie

Modele moyen

Commande

Attitude

Position

Robustesse



P f = V f

V f =1


q0

qv

)=

1

2

(−qT

v

I3q0 − q×v

)ωm



f m, τm : Force et couple aerodynamiques dans Rm

P f , V f : Position et vitesse lineaires dans Rf

~ym ~xm~zm

~y f

~x f

~z f

Rm

Rf

R

~fg

~fd

Rf : Repere fixeRm : Repere mobilem : Masse du corpsc : Coefficient de viscositeg : Gravite




volant

Hala Rifaı

Sommaire

Introduction


Projet OVMI


Bilan

Modelisation


Modele simplifie

Modele moyen

Commande

Attitude

Position

Robustesse



P f = V f

V f =1


q0

qv

)=

1

2

(−qT

v

I3q0 − q×v

)ωm



f m, τm : Force et couple aerodynamiques dans Rm

P f , V f : Position et vitesse lineaires dans Rf

q = [q0 qv ]T : Quaternionq×v : Matrice antisymetrique associee a qv

ωm : Vitesse angulaire dans Rm

~ym ~xm~zm

~y f

~x f

~z f

Rm

Rf

R

~τg

~τd

Rf : Repere fixeRm : Repere mobilem : Masse du corpsc : Coefficient de viscositeg : GraviteI3 : Matrice identiteJ : Matrice d’inertie




volant

Hala Rifaı

Sommaire

Introduction


Projet OVMI


Bilan

Modelisation


Modele simplifie

Modele moyen

Commande

Attitude

Position

Robustesse


Dimensionnement de l’OVMI

masse du corps 200 mg

envergure 3 cm

surface alaire 0.57 cm2

frequence de battement 100 Hz

angle de battement maximal φ0 60

angle de rotation maximal ψ0 90




volant

Hala Rifaı

Sommaire

Introduction


Projet OVMI


Bilan

Modelisation


Modele simplifie

Modele moyen

Commande

Attitude

Position

Robustesse


Theorie de moyennisationEquivalence entre la stabilite du systeme moyen et instantane

Approche par moyennisation

temps

variant

(P, V , q, ω) = f (P,V , q,ω,angles des ailes)

angles des ailes = amplitudes · g(t)︸︷︷︸periodique de periode T

temps

invariant

( ˙P, ˙V , ˙q, ˙ω) = f (P, V , q, ω,amplitudes)

amplitudes = h(P, V , q, ω)

temps invariant ↔ corps rigide

Si le systeme temps invariant est asymptotiquement stable, alors ilexiste un k > 0 tel que ∀T petit, ‖(P,V , q,ω) − (P, V , q, ω)‖ < kTpour t ∈ [0,∞[.

T est la periode de moyennisation = periode de battement.




volant

Hala Rifaı

Sommaire

Introduction


Projet OVMI


Bilan

Modelisation


Modele simplifie

Modele moyen

Commande

Attitude

Position

Robustesse



φ(φ0, t)

ψ(ψ0, t)

θ NUL




volant

Hala Rifaı

Sommaire

Introduction


Projet OVMI


Bilan

Modelisation


Modele simplifie

Modele moyen

Commande

Attitude

Position

Robustesse



φ(φ0, t)

ψ(ψ0, t)

θ NUL

- forces et couples

aerodynamiques

f =

fx0fh

=

traction0

portance

τ =

τ1

0τ3

=

roulis0

lacet




volant

Hala Rifaı

Sommaire

Introduction


Projet OVMI


Bilan

Modelisation


Modele simplifie

Modele moyen

Commande

Attitude

Position

Robustesse



φ(φ0, t)

ψ(ψ0, t)

θ NUL

Masse mobile

- forces et couples

aerodynamiques

f =

fx0fh

=

traction0

portance

τ =

τ1

0τ3

=

roulis0

lacet

- τ =

0τ2

0

=

0tangage

0




volant

Hala Rifaı

Sommaire

Introduction


Projet OVMI


Bilan

Modelisation


Modele simplifie

Modele moyen

Commande

Attitude

Position

Robustesse



φ(φ0, t)

ψ(ψ0, t)

θ NUL

- forces et couples

aerodynamiques-

moyennesur une

periode debattement

forces et couples

aerodynamiques

moyens

(f , τ)(f , τ)




volant

Hala Rifaı

Sommaire

Introduction


Projet OVMI


Bilan

Modelisation


Modele simplifie

Modele moyen

Commande

Attitude

Position

Robustesse



φ(φ0, t)

ψ(ψ0, t)

θ NUL

- forces et couples

aerodynamiques-

moyennesur une

periode debattement

forces et couples

aerodynamiques

moyens

(f , τ)(f , τ)

66

Λ, Λ−1

(f , τ) = Λ(φ0, ψ0)d , g




volant

Hala Rifaı

Sommaire

Introduction


Projet OVMI


Bilan

Modelisation


Modele simplifie

Modele moyen

Commande

Attitude

Position

Robustesse



φ(φ0, t)

ψ(ψ0, t)

θ NUL

- forces et couples

aerodynamiques-

moyennesur une

periode debattement

forces et couples

aerodynamiques

moyens

(f , τ)(f , τ)

66

Λ, Λ−1

(f , τ) = Λ(φ0, ψ0)d , g

Chercher f = f (P, V , q, ω) et τ = τ(P, V , q, ω) pour que

le systeme ait le comportement desire




volant

Hala Rifaı

Sommaire

Introduction


Projet OVMI


Bilan

Modelisation


Modele simplifie

Modele moyen

Commande

Attitude

Position

Robustesse


Definition de la fonction ΛRelation entre les amplitudes des angles des ailes et les forces et couples

moyens (variables de commande)

Modele simple: seulement les forces aerodynamiques stationnaires etles couples correspondants sont consideres




volant

Hala Rifaı

Sommaire

Introduction


Projet OVMI


Bilan

Modelisation


Modele simplifie

Modele moyen

Commande

Attitude

Position

Robustesse


Definition de la fonction ΛRelation entre les amplitudes des angles des ailes et les forces et couples

moyens (variables de commande)

−α[φd

0 sinφd0 sinψd

0 + φg0 sinφg

0 sinψg0

]= fx

β[φd

0 sinφd0 cosψd

0 + φg0 sinφg

0 cosψg0

]= fh

βx[φd2

0 cosψd0 − φ

g2

0 cosψg0

]= τ1

αx[φd2

0 sinψd0 − φ

g2

0 sinψg0

]= τ3

avec

α,β = fα,β(freq. de battement, geometrie de l’aile, coef. aerodyn., densite de l’air)

x1 = distance entre la base de l’aile et son centre aerodynamique

τ2 est genere par une masse qui se deplace a l’interieur du corps




volant

Hala Rifaı

Sommaire

Introduction


Projet OVMI


Bilan

Modelisation


Modele simplifie

Modele moyen

Commande

Attitude

Position

Robustesse


Etude des saturations

Amplitudes desangles des ailes

(φ0, ψ0)d , g

-ΛForces et couples

moyens

(f , τ)




volant

Hala Rifaı

Sommaire

Introduction


Projet OVMI


Bilan

Modelisation


Modele simplifie

Modele moyen

Commande

Attitude

Position

Robustesse




(φ0, ψ0)d , g


moyens

(f , τ)

6

Contraintes

0 ≤ φ0 ≤ φ0

−ψ0 ≤ ψ0 ≤ ψ0




volant

Hala Rifaı

Sommaire

Introduction


Projet OVMI


Bilan

Modelisation


Modele simplifie

Modele moyen

Commande

Attitude

Position

Robustesse




(φ0, ψ0)d , g


moyens

(f , τ)

6

Contraintes

0 ≤ φ0 ≤ φ0

−ψ0 ≤ ψ0 ≤ ψ0

- Contraintes?

6

?




volant

Hala Rifaı

Sommaire

Introduction


Projet OVMI


Bilan

Modelisation


Modele simplifie

Modele moyen

Commande

Attitude

Position

Robustesse


Etude des saturationsEnsemble de saturation des couples

Limitations physiques

Saturation des angles des ailes

0 ≤ φ0 ≤ φ0

−ψ0 ≤ ψ0 ≤ ψ0

βx[φd2

0 cosψd0 − φg2

0 cosψg0

]= τ1

αx[φd2

0 sinψd0 − φg2

0 sinψg0

]= τ3

Saturations couplees des couples de commande




volant

Hala Rifaı

Sommaire

Introduction


Projet OVMI


Bilan

Modelisation


Modele simplifie

Modele moyen

Commande

Attitude

Position

Robustesse





0 ≤ φ0 ≤ φ0

−ψ0 ≤ ψ0 ≤ ψ0

βx[φd2

0 cosψd0 − φg2

0 cosψg0

]= τ1

αx[φd2

0 sinψd0 − φg2

0 sinψg0

]= τ3


−2 −1 0 1 2

x 10−5

−6

−4

−2

0

2

4

6x 10

−5

τ3(N.m

)

τ1 (N.m)

Ωτ1,τ3

Ensemble de saturation admissible




volant

Hala Rifaı

Sommaire

Introduction


Projet OVMI


Bilan

Modelisation


Modele simplifie

Modele moyen

Commande

Attitude

Position

Robustesse





0 ≤ φ0 ≤ φ0

−ψ0 ≤ ψ0 ≤ ψ0

βx[φd2

0 cosψd0 − φg2

0 cosψg0

]= τ1

αx[φd2

0 sinψd0 − φg2

0 sinψg0

]= τ3


−2 −1 0 1 2

x 10−5

−6

−4

−2

0

2

4

6x 10

−5

τ3(N.m

)

τ1 (N.m)

Er


Reduit a une ellipse pour simplifier

le calcul




volant

Hala Rifaı

Sommaire

Introduction


Projet OVMI


Bilan

Modelisation


Modele simplifie

Modele moyen

Commande

Attitude

Position

Robustesse





0 ≤ φ0 ≤ φ0

−ψ0 ≤ ψ0 ≤ ψ0

βx[φd2

0 cosψd0 − φg2

0 cosψg0

]= τ1

αx[φd2

0 sinψd0 − φg2

0 sinψg0

]= τ3


−2 −1 0 1 2

x 10−5

−6

−4

−2

0

2

4

6x 10

−5

τ3(N.m

)

τ1 (N.m)

Er



le calcul• •Couple de lacet nul pour un couple

de roulis maximal




volant

Hala Rifaı

Sommaire

Introduction


Projet OVMI


Bilan

Modelisation


Modele simplifie

Modele moyen

Commande

Attitude

Position

Robustesse





0 ≤ φ0 ≤ φ0

−ψ0 ≤ ψ0 ≤ ψ0

βx[φd2

0 cosψd0 − φg2

0 cosψg0

]= τ1

αx[φd2

0 sinψd0 − φg2

0 sinψg0

]= τ3


−2 −1 0 1 2

x 10−5

−6

−4

−2

0

2

4

6x 10

−5

τ3(N.m

)

τ1 (N.m)

Ωr



le calcul• •Couple de lacet nul pour un couple

de roulis maximal

Stabilisation du roulis privilegiee

pour ramener le microdrone a plat




volant

Hala Rifaı

Sommaire

Introduction


Projet OVMI


Bilan

Modelisation


Modele simplifie

Modele moyen

Commande

Attitude

Position

Robustesse


Etude des saturationsEnsemble de saturation des forces



0 ≤ φ0 ≤ φ0

−ψ0 ≤ ψ0 ≤ ψ0

−α[φd

0 sinφd0 sinψd

0 + φg0 sinφg

0 sinψg0

]= fx

β[φd

0 sinφd0 cosψd

0 + φg0 sinφg

0 cosψg0

]= fh

Saturations couplees des forces de commande




volant

Hala Rifaı

Sommaire

Introduction


Projet OVMI


Bilan

Modelisation


Modele simplifie

Modele moyen

Commande

Attitude

Position

Robustesse





0 ≤ φ0 ≤ φ0

−ψ0 ≤ ψ0 ≤ ψ0

−α[φd

0 sinφd0 sinψd

0 + φg0 sinφg

0 sinψg0

]= fx

β[φd

0 sinφd0 cosψd

0 + φg0 sinφg

0 cosψg0

]= fh


−5 0 5

x 10−3

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5x 10

−3

f h(N

)

fx (N)

Ωfx ,fh





volant

Hala Rifaı

Sommaire

Introduction


Projet OVMI


Bilan

Modelisation


Modele simplifie

Modele moyen

Commande

Attitude

Position

Robustesse





0 ≤ φ0 ≤ φ0

−ψ0 ≤ ψ0 ≤ ψ0

−α[φd

0 sinφd0 sinψd

0 + φg0 sinφg

0 sinψg0

]= fx

β[φd

0 sinφd0 cosψd

0 + φg0 sinφg

0 cosψg0

]= fh


−5 0 5

x 10−3

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5x 10

−3

f h(N

)

fx (N)

Ωfx ,fh

Ensemble de saturation admissible•

Force de traction nulle pour une force

de portance maximale




volant

Hala Rifaı

Sommaire

Introduction


Projet OVMI


Bilan

Modelisation


Modele simplifie

Modele moyen

Commande

Attitude

Position

Robustesse





0 ≤ φ0 ≤ φ0

−ψ0 ≤ ψ0 ≤ ψ0

−α[φd

0 sinφd0 sinψd

0 + φg0 sinφg

0 sinψg0

]= fx

β[φd

0 sinφd0 cosψd

0 + φg0 sinφg

0 cosψg0

]= fh


−5 0 5

x 10−3

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5x 10

−3

f h(N

)

fx (N)

Ωt

Ensemble de saturation admissible•

Force de traction nulle pour une force

de portance maximale

Stabilisation de la force verticale

privilegiee pour raison de couplage

avec le roulis




volant

Hala Rifaı

Sommaire

Introduction


Projet OVMI


Bilan

Modelisation


Modele simplifie

Modele moyen

Commande

Attitude

Position

Robustesse


Sommaire









volant

Hala Rifaı

Sommaire

Introduction


Projet OVMI


Bilan

Modelisation


Modele simplifie

Modele moyen

Commande

Attitude

Position

Robustesse


Schema de commande

φ(φ0, t)

ψ(ψ0, t)




volant

Hala Rifaı

Sommaire

Introduction


Projet OVMI


Bilan

Modelisation


Modele simplifie

Modele moyen

Commande

Attitude

Position

Robustesse


Schema de commande

φ(φ0, t)

ψ(ψ0, t)-

forces et couples

aerodynamiques

(f , τ)




volant

Hala Rifaı

Sommaire

Introduction


Projet OVMI


Bilan

Modelisation


Modele simplifie

Modele moyen

Commande

Attitude

Position

Robustesse


Schema de commande

φ(φ0, t)

ψ(ψ0, t)-

forces et couples

aerodynamiques

(f , τ)

-forces et couples

aerodynamiques moyens

(f , τ) = Λ(φ0, ψ0)d , g




volant

Hala Rifaı

Sommaire

Introduction


Projet OVMI


Bilan

Modelisation


Modele simplifie

Modele moyen

Commande

Attitude

Position

Robustesse


Schema de commande

φ(φ0, t)

ψ(ψ0, t)-

forces et couples

aerodynamiques

(f , τ)

-forces et couples


(f , τ) = Λ(φ0, ψ0)d , g

fx

fh

τ1

τ2

τ3

corps rigide




volant

Hala Rifaı

Sommaire

Introduction


Projet OVMI


Bilan

Modelisation


Modele simplifie

Modele moyen

Commande

Attitude

Position

Robustesse


Schema de commande

φ(φ0, t)

ψ(ψ0, t)-

forces et couples

aerodynamiques

(f , τ)

-forces et couples


(f , τ) = Λ(φ0, ψ0)d , g

6

(φ0, ψ0)d , g = Λ−1(f , τ)

fx

fh

τ1

τ2

τ3

corps rigide




volant

Hala Rifaı

Sommaire

Introduction


Projet OVMI


Bilan

Modelisation


Modele simplifie

Modele moyen

Commande

Attitude

Position

Robustesse


Schema de commande

Pe

Ve

qe

ωe

•

•

(P,V , q,ω)d

(P,V , q,ω)c




volant

Hala Rifaı

Sommaire

Introduction


Projet OVMI


Bilan

Modelisation


Modele simplifie

Modele moyen

Commande

Attitude

Position

Robustesse


Schema de commande

Pe

Ve

qe

ωe

•

•

(P,V , q,ω)d

(P,V , q,ω)c

-τ

f




volant

Hala Rifaı

Sommaire

Introduction


Projet OVMI


Bilan

Modelisation


Modele simplifie

Modele moyen

Commande

Attitude

Position

Robustesse


Schema de commande

Pe

Ve

qe

ωe

•

•

(P,V , q,ω)d

(P,V , q,ω)c

-τ

f

-Λ−1 φ

d , g0

ψd , g0




volant

Hala Rifaı

Sommaire

Introduction


Projet OVMI


Bilan

Modelisation


Modele simplifie

Modele moyen

Commande

Attitude

Position

Robustesse


Schema de commande

Pe

Ve

qe

ωe

•

•

(P,V , q,ω)d

(P,V , q,ω)c

-τ

f

-Λ−1 φ

d , g0

ψd , g0

6




volant

Hala Rifaı

Sommaire

Introduction


Projet OVMI


Bilan

Modelisation


Modele simplifie

Modele moyen

Commande

Attitude

Position

Robustesse


Stabilisation de l’attitudeCommande par retour d’etat

Couples de commande

τj = − satτj(λj [δjωj + sign(q0) satM1,j

(ρj qj)]) j = 1, 2, 3

λj , δj , ρj : parametres de reglage positifs

satM1,j, satτj

: fonctions de saturation

ωj : vitesse angulaire moyenne

qj : quaternion moyen

[J.F. Guerrero-Castellanos et al., ICRA’07]




volant

Hala Rifaı

Sommaire

Introduction


Projet OVMI


Bilan

Modelisation


Modele simplifie

Modele moyen

Commande

Attitude

Position

Robustesse



Couples de commande


(ρj qj)]) j = 1, 2, 3


satM1,j, satτj





Stabilite prouvee (corps rigide) par la fonction de Lyapunov:

V =1

2~ωT J ~ω+ κ((1 − q0)

2 + ~qT~q)




volant

Hala Rifaı

Sommaire

Introduction


Projet OVMI


Bilan

Modelisation


Modele simplifie

Modele moyen

Commande

Attitude

Position

Robustesse



Couples de commande


(ρj qj)]) j = 1, 2, 3


satM1,j, satτj






V =1

2~ωT J ~ω+ κ((1 − q0)

2 + ~qT~q)

Etendue aux ailes battantes grace a la theorie de moyennisation




volant

Hala Rifaı

Sommaire

Introduction


Projet OVMI


Bilan

Modelisation


Modele simplifie

Modele moyen

Commande

Attitude

Position

Robustesse


Stabilisation de l’attitudeCapteurs d’attitude

Deux types de capteurs existent:

Gyrometre: Capteur donnant la mesure, dans le reperemobile, de la vitesse angulaire du corps

Capteur de reference:Capteur donnant la mesure, dansle repere mobile, d’un vecteur fixe dans l’espace(accelerometre, magnetometre)

ω2

ω3 ω1

Rm




volant

Hala Rifaı

Sommaire

Introduction


Projet OVMI


Bilan

Modelisation


Modele simplifie

Modele moyen

Commande

Attitude

Position

Robustesse


Stabilisation de l’attitudeCapteurs d’attitude

Deux types de capteurs existent:

Gyrometre: Capteur donnant la mesure, dans le reperemobile, de la vitesse angulaire du corps

Capteur de reference:Capteur donnant la mesure, dansle repere mobile, d’un vecteur fixe dans l’espace(accelerometre, magnetometre)

Rf

Rm

~s f

~s f2

~s f1

~s f3

~sm2

~sm3 ~sm

1




volant

Hala Rifaı

Sommaire

Introduction


Projet OVMI


Bilan

Modelisation


Modele simplifie

Modele moyen

Commande

Attitude

Position

Robustesse


Stabilisation de l’attitudeErreur d’attitude

Exemple d’un accelerometre:

Rm

Rd ~s fk

~smk

Vecteur courant: smk = R s f

k

Vecteur desire: smkd

= Rd s fk




volant

Hala Rifaı

Sommaire

Introduction


Projet OVMI


Bilan

Modelisation


Modele simplifie

Modele moyen

Commande

Attitude

Position

Robustesse




Rm

Rd ~s fk

~smk


k


= Rd s fk

Commande du lacet impossible

Rajouter un autre capteur fournissant une mesure noncolineaire (magnetometre par exemple)

Nombre de capteurs non colineaires n ≥ 2




volant

Hala Rifaı

Sommaire

Introduction


Projet OVMI


Bilan

Modelisation


Modele simplifie

Modele moyen

Commande

Attitude

Position

Robustesse




Rm

Rd ~s fk

~smk


k


= Rd s fk

Erreur d’attitude:

~ζ =∆−1

n

n∑k=1

~s mk × Rd~s

fk

∆ : matrice diagonale de ponderation (a termes positifs)

n : nombre de capteurs

Rd : matrice de rotation desiree (orientation desiree de Rf par rapport a Rm)

Si ~s mk et Rd~s

fk sont colineaires, ~ζ = 0




volant

Hala Rifaı

Sommaire

Introduction


Projet OVMI


Bilan

Modelisation


Modele simplifie

Modele moyen

Commande

Attitude

Position

Robustesse


Stabilisation de l’attitudeCommande par retour de mesure

Capteurs utilises: Gyrometre et capteurs de reference

Couples de commande

τj = − satτj(λj [ωGj

+ ρj ζj)]) j = 1, 2, 3

λj , ρj : parametres de reglage positifs

satτj: fonction de saturation

ωGj: vitesse angulaire moyenne (mesuree par le gyrometre)

ζj : erreur d’attitude moyenne




volant

Hala Rifaı

Sommaire

Introduction


Projet OVMI


Bilan

Modelisation


Modele simplifie

Modele moyen

Commande

Attitude

Position

Robustesse




Couples de commande


+ ρj ζj)]) j = 1, 2, 3






V =1

2~ωT J ~ω+

1

n

n∑k=1

(1 −~s mk

T Rd ~s fk )




volant

Hala Rifaı

Sommaire

Introduction


Projet OVMI


Bilan

Modelisation


Modele simplifie

Modele moyen

Commande

Attitude

Position

Robustesse



Capteurs utilises: Capteurs de reference

Pas de gyrometre ⇒ reconstruction de la vitesse angulaire(dans une base orthogonale U = [~u1,~u2,~u3] ≡ Rm)

~ω =1

2

3∑l=1

~ul × ~ul

Au moins 2 capteurs suffisent pour la construction de U

Inconvenient des mesures bruitees ⇒ Calcul de la deriveefiltree ~vl vitesse angulaire reconstruite

~ϑ =1

2

3∑l=1

~vl × ~ul




volant

Hala Rifaı

Sommaire

Introduction


Projet OVMI


Bilan

Modelisation


Modele simplifie

Modele moyen

Commande

Attitude

Position

Robustesse




Couples de commande

τj = − satτj(λj [ϑj + ρj ζj)]) j = 1, 2, 3



ϑj : vitesse angulaire reconstruite moyenne





volant

Hala Rifaı

Sommaire

Introduction


Projet OVMI


Bilan

Modelisation


Modele simplifie

Modele moyen

Commande

Attitude

Position

Robustesse




Couples de commande






Si filtre suffisamment rapide ⇒ ϑ→ ω


V =1

2~ωT J ~ω+

1

n

n∑k=1

(1 −~s mk

T Rd ~s fk )




volant

Hala Rifaı

Sommaire

Introduction


Projet OVMI


Bilan

Modelisation


Modele simplifie

Modele moyen

Commande

Attitude

Position

Robustesse


Stabilisation de l’attitudeCommande par retour de mesure (avec gyrometre)

Orientation initiale: (η1, η2, η3) = (−40,−25, 50)

Bruits des capteurs modelises par des bruits blancs gaussiensd’ecarts types:

Gyrometre: σG = 10−3 rad/s

Accelerometre: σA = 10−4 m/s2

Magnetometre: σM = 0.01 mgauss




volant

Hala Rifaı

Sommaire

Introduction


Projet OVMI


Bilan

Modelisation


Modele simplifie

Modele moyen

Commande

Attitude

Position

Robustesse



Orientation initiale: (η1, η2, η3) = (−40,−25, 50)

Angles (Roulis, Tangage, Lacet) et vitesses angulaires

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

−40

−20

0

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1−40

−20

0

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

0

20

40

60

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1−5

0

5

10

15

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

0

2

4

6

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1−5

0

5

η1(d

eg)

η2(d

eg)

η3(d

eg)

ωG

1(r

ad/s)

ωG

2(r

ad/s)

ωG

3(r

ad/s)

temps (s)




volant

Hala Rifaı

Sommaire

Introduction


Projet OVMI


Bilan

Modelisation


Modele simplifie

Modele moyen

Commande

Attitude

Position

Robustesse



Couples de commande, angles des ailes et sorties des capteurs

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

0

2

4x 10

−7

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

05

1015

x 10−7

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

−505

1015

x 10−7

τ1(N.m

)τ

2(N.m

)τ

3(N.m

)

temps (s)

0 0.5 1−50

0

50

0 0.5 1−50

0

50

0 0.5 1

−2

0

2

0 0.5 1

−2

0

2

φg 0

(deg

)

φd 0

(deg

)

ψg 0

(deg

)

ψd 0

(deg

)

temps (s)




volant

Hala Rifaı

Sommaire

Introduction


Projet OVMI


Bilan

Modelisation


Modele simplifie

Modele moyen

Commande

Attitude

Position

Robustesse



Couples de commande, angles des ailes et sorties des capteurs

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

0

2

4x 10

−7

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

05

1015

x 10−7

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

−505

1015

x 10−7

τ1(N.m

)τ

2(N.m

)τ

3(N.m

)

temps (s)

0 0.5 1−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

0 0.5 1−1

−0.5

0

0.5

1

Accelero Magneto

~ sm A ~ sm M

temps (s)




volant

Hala Rifaı

Sommaire

Introduction


Projet OVMI


Bilan

Modelisation


Modele simplifie

Modele moyen

Commande

Attitude

Position

Robustesse


Robustesse vis-a-vis de perturbations externesCommande par retour de mesure (avec gyrometre)




volant

Hala Rifaı

Sommaire

Introduction


Projet OVMI


Bilan

Modelisation


Modele simplifie

Modele moyen

Commande

Attitude

Position

Robustesse



Perturbation assimilee a:un couple d’amplitude (1.2 ·10−5, 2 ·10−5, 1.2 ·10−5) N ·m (dansRm) appliquee a t = 1.5 s pendant 10 periodes de battement.




volant

Hala Rifaı

Sommaire

Introduction


Projet OVMI


Bilan

Modelisation


Modele simplifie

Modele moyen

Commande

Attitude

Position

Robustesse



Orientation initiale: (η1, η2, η3) = (70,−50, 30)

Angles (Roulis, Tangage, Lacet)

0 1 2 3−200

0

200

0 1 2 3

−50

0

50

0 1 2 3

−100

0

100

1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4−200

0

200

1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4−20

0

20

40

60

1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4

−100

0

100

η1(d

eg)

η2(d

eg)

η3(d

eg)

η1(d

eg)

η2(d

eg)

η3(d

eg)

temps (s)




volant

Hala Rifaı

Sommaire

Introduction


Projet OVMI


Bilan

Modelisation


Modele simplifie

Modele moyen

Commande

Attitude

Position

Robustesse



Vitesses angulaires

0 1 2 3

0

200

400

0 1 2 3

−100

0

100

0 1 2 3

−100

0

100

1.4 1.5 1.6 1.7

0

200

400

1.4 1.5 1.6 1.7

−100

0

100

1.4 1.5 1.6 1.7

−100

0

100

ω1(r

ad/s)

ω2(r

ad/s)

ω3(r

ad/s)

ω1(r

ad/s)

ω2(r

ad/s)

ω3(r

ad/s)

temps (s)




volant

Hala Rifaı

Sommaire

Introduction


Projet OVMI


Bilan

Modelisation


Modele simplifie

Modele moyen

Commande

Attitude

Position

Robustesse



Couples de commande

0 1 2 3−2

0

2x 10

−5

0 1 2 3−2

0

2x 10

−5

0 1 2 3−1

0

1x 10

−4

1.4 1.5 1.6 1.7 1.8−2

0

2x 10

−5

1.4 1.5 1.6 1.7 1.8−2

0

2x 10

−5

1.4 1.5 1.6 1.7 1.8−1

0

1x 10

−4

τ1(N.m

)τ

2(N.m

)τ

3(N.m

)

τ1(N.m

)τ

2(N.m

)τ

3(N.m

)

temps (s)




volant

Hala Rifaı

Sommaire

Introduction


Projet OVMI


Bilan

Modelisation


Modele simplifie

Modele moyen

Commande

Attitude

Position

Robustesse


Proprietes de la commande d’attitude

Complexite extremement reduite

Robustesse structurelle

Independante de l’inertieIndependante du coefficient aerodynamique de portanceRobuste vis-a-vis de perturbations en entree

Robustesse verifiee numeriquement

Robuste vis-a-vis d’erreurs de modele (presentee apres)




volant

Hala Rifaı

Sommaire

Introduction


Projet OVMI


Bilan

Modelisation


Modele simplifie

Modele moyen

Commande

Attitude

Position

Robustesse





Independante de l’inertie

Independante du coefficient aerodynamique de portanceRobuste vis-a-vis de perturbations en entree






volant

Hala Rifaı

Sommaire

Introduction


Projet OVMI


Bilan

Modelisation


Modele simplifie

Modele moyen

Commande

Attitude

Position

Robustesse





Independante de l’inertieIndependante du coefficient aerodynamique de portance

Robuste vis-a-vis de perturbations en entree






volant

Hala Rifaı

Sommaire

Introduction


Projet OVMI


Bilan

Modelisation


Modele simplifie

Modele moyen

Commande

Attitude

Position

Robustesse





Independante de l’inertieIndependante du coefficient aerodynamique de portanceRobuste vis-a-vis de perturbations en entree






volant

Hala Rifaı

Sommaire

Introduction


Projet OVMI


Bilan

Modelisation


Modele simplifie

Modele moyen

Commande

Attitude

Position

Robustesse


Commande de la positionStrategie de commande

~y f

~z f~x f

~xm~zm

~ym

~f md

~f mg

Mvt longitudinal Px

Mvt lateral Py

Mvt vertical Pz

Mvt de roulis η1

Mvt de tangage η2

Mvt de lacet η3




volant

Hala Rifaı

Sommaire

Introduction


Projet OVMI


Bilan

Modelisation


Modele simplifie

Modele moyen

Commande

Attitude

Position

Robustesse



~y f

~z f~x f

~xm~zm

~ym

~f m

τ2

τ1τ3

Mvt longitudinal Px

Mvt lateral Py

Mvt vertical Pz

Mvt de roulis η1

Mvt de tangage η2

Mvt de lacet η3




volant

Hala Rifaı

Sommaire

Introduction


Projet OVMI


Bilan

Modelisation


Modele simplifie

Modele moyen

Commande

Attitude

Position

Robustesse



~y f

~z f~x f

~xm~zm

~ym

~f m

τ2

τ1τ3

fx

fh

Mvt longitudinal Px ← force de traction fxMvt lateral Py

Mvt vertical Pz ← force de portance fhMvt de roulis η1 ← couple de roulis τ1

Mvt de tangage η2 ← couple de tangage τ2

Mvt de lacet η3 ← couple de lacet τ3




volant

Hala Rifaı

Sommaire

Introduction


Projet OVMI


Bilan

Modelisation


Modele simplifie

Modele moyen

Commande

Attitude

Position

Robustesse



~y f

~z f~x f

~xm~zm

~ym

~f m

τ2

τ1τ3

fx

fh

Mvt longitudinal Px ← force de traction fx (chaınes d’integrateurs)Mvt lateral Py

Mvt vertical Pz ← force de portance fhMvt de roulis η1 ← couple de roulis τ1

Mvt de tangage η2 ← couple de tangage τ2 (commande d’attitude)Mvt de lacet η3 ← couple de lacet τ3 (commande d’attitude)




volant

Hala Rifaı

Sommaire

Introduction


Projet OVMI


Bilan

Modelisation


Modele simplifie

Modele moyen

Commande

Attitude

Position

Robustesse



~y f

~z f~x f

~xm~zm

~ym

fhτ1

fy

fz

Mvt longitudinal Px ← force de traction fx (chaınes d’integrateurs)Mvt lateral Py eMvt vertical Pz | → PVTOL (avion a decollage et atterrissage verticaux)Mvt de roulis η1 c (double chaınes d’integrateurs)Mvt de tangage η2 ← couple de tangage τ2 (commande d’attitude)Mvt de lacet η3 ← couple de lacet τ3 (commande d’attitude)




volant

Hala Rifaı

Sommaire

Introduction


Projet OVMI


Bilan

Modelisation


Modele simplifie

Modele moyen

Commande

Attitude

Position

Robustesse



~y f

~z f~x f

~xm~zm

~ym

fhτ1

fy

fz

Mvt longitudinal Px eMvt lateral Py | → chaınes d’integrateursMvt vertical Pz cMvt de roulis η1 eMvt de tangage η2 | → commande d’attitudeMvt de lacet η3 c




volant

Hala Rifaı

Sommaire

Introduction


Projet OVMI


Bilan

Modelisation


Modele simplifie

Modele moyen

Commande

Attitude

Position

Robustesse



Chaıne d’integrateurs d’ordre n:xi = xi+1 i ∈ 1, . . . , n − 1

xn = u




volant

Hala Rifaı

Sommaire

Introduction


Projet OVMI


Bilan

Modelisation


Modele simplifie

Modele moyen

Commande

Attitude

Position

Robustesse




xn = u

P f = V f

V f =1

mRf m − c V f − g




volant

Hala Rifaı

Sommaire

Introduction


Projet OVMI


Bilan

Modelisation


Modele simplifie

Modele moyen

Commande

Attitude

Position

Robustesse




xn = u

P f = V f

V f =1

mRf m − c V f − g@©lη1




volant

Hala Rifaı

Sommaire

Introduction


Projet OVMI


Bilan

Modelisation


Modele simplifie

Modele moyen

Commande

Attitude

Position

Robustesse




xn = u

P f = V f

V f =1

mRf m − c V f − g@©lη1

Commande d’attitude pour ramener le roulis vers un roulisdesire

Commande des chaınes d’integrateurs pour stabiliser laposition




volant

Hala Rifaı

Sommaire

Introduction


Projet OVMI


Bilan

Modelisation


Modele simplifie

Modele moyen

Commande

Attitude

Position

Robustesse


Commande de la positionCommande de chaınes d’integrateurs

Deux approches de commande bornee:

Approche de Sussmann basee sur la somme de saturations(poles du systeme places en (−ε,−ε2, . . . ,−εn))

u = −ε sat(yn) − ε2 sat(yn−1) − . . .− εn sat(y1)

0 < ε < 1

yj = f (xj )

Approche de Teel basee sur des saturations imbriquees(poles du systeme places en (−1,−1, . . . ,−1))

u = − satMn(yn+ satMn−1(yn−1+. . .+ satM2(y2+ satM1(y1)) . . .))

Mj : borne de saturation

yj = f (xj )




volant

Hala Rifaı

Sommaire

Introduction


Projet OVMI


Bilan

Modelisation


Modele simplifie

Modele moyen

Commande

Attitude

Position

Robustesse


Commande de la positionCommande de chaınes d’integrateurs

Inconvenient des 2 approches: Lenteur dans la convergence

Avantage de la commande de Teel: Plus rapide

Choix: Approche de Teel amelioree pour reduire le tempsde convergence

Consideration d’un etage supplementaire dans la chaıned’integrateurs (equivalent a l’integrale de la position) poureliminer les erreurs statiques et ameliorer la robustesse dela commande

d

dt

(∫P f)

= P f

d

dtP f = V f

d

dtV f =

1

mRf m − c V f − g




volant

Hala Rifaı

Sommaire

Introduction


Projet OVMI


Bilan

Modelisation


Modele simplifie

Modele moyen

Commande

Attitude

Position

Robustesse


Commande de la positionCommande a base de saturations imbriquees

Amelioration de Johnson et Kannan [ACC’03]Placement de poles en (−a1,−a2,−a3) ⇒ matrice depassage Π (y = Πx)

Π =

a1a2a3 a3(a1 + a2) a3

0 a1a2 a2

0 0 a1

Πi,j : l’element de la i eme ligne et la j eme colonne de Π

Amelioration de Marchand [CDC’03]Bornes de saturation variables




volant

Hala Rifaı

Sommaire

Introduction


Projet OVMI


Bilan

Modelisation


Modele simplifie

Modele moyen

Commande

Attitude

Position

Robustesse



Forces de commande

vj = − satvj

(Πj3,3Vj + satγ2(Πj3,3

Vj ,Lj3,Mj2

)

(Πj2,3Vj + Πj2,2Pj + . . .

satγ1(Πj2,3Vj+Πj2,2

Pj ,Lj2,Mj1

)(Πj1,3Vj + Πj1,2Pj + Πj1,1

∫Pj)))

j = x , y , z

[Marchand, CDC’03; Johnson & Kannan, ACC’03]

sat(·) : fonction de saturation differentiable d’ordre 2∫Pj , Pj , Vj : Integrale de la position, position et vitesse lineaires moyennes

Πj : matrice de placement de poles

γ(·, ·, ·) : fonction de niveau




volant

Hala Rifaı

Sommaire

Introduction


Projet OVMI


Bilan

Modelisation


Modele simplifie

Modele moyen

Commande

Attitude

Position

Robustesse


Sommaire









volant

Hala Rifaı

Sommaire

Introduction


Projet OVMI


Bilan

Modelisation


Modele simplifie

Modele moyen

Commande

Attitude

Position

Robustesse


Test des commandes sur le modele complet

Dynamique de l’actionneur consideree

Forces aerodynamiques instationnaires considerees

Mouvement 3D

−0.50

0.51

−0.4−0.200.20.40.60.81−1

−0.5

0

0.5

Px (m)Py (m)

Pz (m)




volant

Hala Rifaı

Sommaire

Introduction


Projet OVMI


Bilan

Modelisation


Modele simplifie

Modele moyen

Commande

Attitude

Position

Robustesse



Position et vitesse lineaires, forces de commande

0 2 4 6−0.5

0

0.5

1

0 2 4 6−0.5

0

0.5

1

0 2 4 6

−1

0

1

0 2 4 6−4

−2

0

0 2 4 6

−1

−0.5

0

0.5

0 2 4 6−0.5

0

0.5

1

1.5

0 2 4 6−5

0

5x 10

−3

0 2 4 60

2

4x 10

−3

Px(m

)P

y(m

)P

z(m

)f x

(N)

Vx(m/s)

Vy(m/s)

Vz(m/s)

f h(N

)

temps (s)




volant

Hala Rifaı

Sommaire

Introduction


Projet OVMI


Bilan

Modelisation


Modele simplifie

Modele moyen

Commande

Attitude

Position

Robustesse



Angles (RTL) et vitesse angulaire, couples de commande

0 2 4 6−50

0

50

0 0.5 1 1.5 2

−20

0

20

0 0.5 1 1.5 2−20

0

20

40

0 2 4 6−50

0

50

0 0.5 1 1.5 2

−10

0

10

0 0.5 1 1.5 2−30

−20

−10

0

10

0 2 4 6

−1

0

1x 10

−6

0 0.5 1 1.5 2

−4

−2

0

2

x 10−6

0 0.5 1 1.5 2

−4

−2

0

2

x 10−6

η1(d

eg)

η2(d

eg)

η3(d

eg)

ω1(r

ad/s)

ω2(r

ad/s)

ω3(r

ad/s)

τ1(N.m

)τ

2(N.m

)τ

3(N.m

)

temps (s)




volant

Hala Rifaı

Sommaire

Introduction


Projet OVMI


Bilan

Modelisation


Modele simplifie

Modele moyen

Commande

Attitude

Position

Robustesse



Amplitudes des angles des ailes

0 2 4 6

−50

0

50

0 2 4 6

−50

0

50

0 2 4 6−50

0

50

0 2 4 6−50

0

50

φg 0

(deg

)

φd 0

(deg

)

ψg 0

(deg

)

ψd 0

(deg

)temps (s)




volant

Hala Rifaı

Sommaire

Introduction


Projet OVMI


Bilan

Modelisation


Modele simplifie

Modele moyen

Commande

Attitude

Position

Robustesse


Mouvement 3D




volant

Hala Rifaı

Sommaire

Introduction


Projet OVMI


Bilan

Modelisation


Modele simplifie

Modele moyen

Commande

Attitude

Position

Robustesse


Robustesse vis-a-vis de perturbations externes

Poids d’une goutte de pluie varie entre 5.10−6 N et 65.10−5 N.

Une petite goutte d’eau par rapport a l’insecte est equivalente aune charge de 200 Kg par rapport a un Boeing 747.




volant

Hala Rifaı

Sommaire

Introduction


Projet OVMI


Bilan

Modelisation


Modele simplifie

Modele moyen

Commande

Attitude

Position

Robustesse





Perturbation assimilee a:- une force d’amplitude (5.10−3 N, 5.10−3 N, 3.10−3 N)

- un couple d’amplitude (3.10−5 N.m, 3.10−5 N.m, 3.10−5 N.m)

(dans Rm) appliquee a t = 7 s pendant 10 periodes debattement.




volant

Hala Rifaı

Sommaire

Introduction


Projet OVMI


Bilan

Modelisation


Modele simplifie

Modele moyen

Commande

Attitude

Position

Robustesse





Perturbation assimilee a:- une force d’amplitude (5.10−3 N, 5.10−3 N, 3.10−3 N)

- un couple d’amplitude (3.10−5 N.m, 3.10−5 N.m, 3.10−5 N.m)

(dans Rm) appliquee a t = 7 s pendant 10 periodes debattement.

Perturbation consideree represente environ 1000 fois l’effet d’unegoutte d’eau




volant

Hala Rifaı

Sommaire

Introduction


Projet OVMI


Bilan

Modelisation


Modele simplifie

Modele moyen

Commande

Attitude

Position

Robustesse



Mouvement 3D

−0.50

0.51

−0.500.511.5−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

Px (m)Py (m)

Pz (m)




volant

Hala Rifaı

Sommaire

Introduction


Projet OVMI


Bilan

Modelisation


Modele simplifie

Modele moyen

Commande

Attitude

Position

Robustesse




0 5 10 15−0.5

00.5

1

0 5 10 15−0.5

00.5

1

0 5 10 15

−1

0

1

0 5 10 15−4

−2

0

0 5 10 15

−1

0

1

0 5 10 15−4

−2

0

2

0 5 10 15−5

0

5x 10

−3

0 5 10 150

2

4x 10

−3

Px(m

)P

y(m

)P

z(m

)f x

(N)

Vx(m/s)

Vy(m/s)

Vz(m/s)

f h(N

)

temps (s)




volant

Hala Rifaı

Sommaire

Introduction


Projet OVMI


Bilan

Modelisation


Modele simplifie

Modele moyen

Commande

Attitude

Position

Robustesse




0 5 10 15−200

0

200

0 5 10 15−50

0

50

0 5 10 15−200

0

200

0 5 10 15

0

2000

4000

6000

0 5 10 15

−50

0

50

0 5 10 15

−50

0

50

0 5 10 15−2

0

2x 10

−5

0 5 10 15

−1

0

1

2x 10

−5

0 5 10 15−1

0

1x 10

−4

η1(d

eg)

η2(d

eg)

η3(d

eg)

ω1(r

ad/s)

ω2(r

ad/s)

ω3(r

ad/s)

τ1(N.m

)τ

2(N.m

)τ

3(N.m

)temps (s)




volant

Hala Rifaı

Sommaire

Introduction


Projet OVMI


Bilan

Modelisation


Modele simplifie

Modele moyen

Commande

Attitude

Position

Robustesse




6.8 7 7.2 7.4−200

0

200

6.8 7 7.2 7.4−50

0

50

100

6.8 7 7.2 7.4−200

0

200

6.8 7 7.2 7.4−5000

0

5000

10000

6.8 7 7.2 7.4−100

0

100

6.8 7 7.2 7.4−100

0

100

6.8 7 7.2 7.4−2

0

2x 10

−5

6.8 7 7.2 7.4

−1

0

1

2x 10

−5

6.8 7 7.2 7.4−1

0

1x 10

−4

η1(d

eg)

η2(d

eg)

η3(d

eg)

ω1(r

ad/s)

ω2(r

ad/s)

ω3(r

ad/s)

τ1(N.m

)τ

2(N.m

)τ

3(N.m

)temps (s)




volant

Hala Rifaı

Sommaire

Introduction


Projet OVMI


Bilan

Modelisation


Modele simplifie

Modele moyen

Commande

Attitude

Position

Robustesse




0 5 10 15

−50

0

50

0 5 10 15

−50

0

50

0 5 10 15−50

0

50

0 5 10 15

−50

0

50

φg 0

(deg

)

φd 0

(deg

)

ψg 0

(deg

)

ψd 0

(deg

)temps (s)




volant

Hala Rifaı

Sommaire

Introduction


Projet OVMI


Bilan

Modelisation


Modele simplifie

Modele moyen

Commande

Attitude

Position

Robustesse


Robustesse vis-a-vis d’erreurs aerodynamiques

Le coefficient aerodynamique est soumis a une perturbation ad-ditive:

Cpert = C − ∆C

∆C est une variable aleatoire suivant une loi uniforme.

Effet: Reduction du coefficient aerodynamique de 0 a 57% desa valeur nominale.




volant

Hala Rifaı

Sommaire

Introduction


Projet OVMI


Bilan

Modelisation


Modele simplifie

Modele moyen

Commande

Attitude

Position

Robustesse



Mouvement 3D

−0.50

0.51

−0.500.511.5−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

Px (m)Py (m)

Pz (m)




volant

Hala Rifaı

Sommaire

Introduction


Projet OVMI


Bilan

Modelisation


Modele simplifie

Modele moyen

Commande

Attitude

Position

Robustesse




0 5 10−0.5

0

0.5

1

0 5 10−0.5

0

0.5

1

0 5 10

−1

−0.5

0

0.5

0 5 10−3

−2

−1

0

1

0 5 10−1

−0.5

0

0.5

0 5 10−0.5

0

0.5

1

0 5 10−5

0

5x 10

−3

0 5 100

2

4x 10

−3

Px(m

)P

y(m

)P

z(m

)f x

(N)

Vx(m/s)

Vy(m/s)

Vz(m/s)

f h(N

)

temps (s)




volant

Hala Rifaı

Sommaire

Introduction


Projet OVMI


Bilan

Modelisation


Modele simplifie

Modele moyen

Commande

Attitude

Position

Robustesse




0 2 4 6

−40

−20

0

20

0 0.5 1

−20

0

20

0 0.5 1

−20

0

20

40

0 0.5 1−10

0

10

20

30

0 0.5 1−10

0

10

20

0 0.5 1

−20

0

20

0 0.5 1−5

0

5

10x 10

−7

0 0.5 1−2

0

2

4x 10

−6

0 0.5 1−5

0

5x 10

−6

η1(d

eg)

η2(d

eg)

η3(d

eg)

ω1(r

ad/s)

ω2(r

ad/s)

ω3(r

ad/s)

τ1(N.m

)τ

2(N.m

)τ

3(N.m

)temps (s)




volant

Hala Rifaı

Sommaire

Introduction


Projet OVMI


Bilan

Modelisation


Modele simplifie

Modele moyen

Commande

Attitude

Position

Robustesse




0 5 10

−50

0

50

0 5 10

−50

0

50

0 5 10

−20

0

20

0 5 10

−20

0

20

φg 0

(deg

)

φd 0

(deg

)

ψg 0

(deg

)

ψd 0

(deg

)temps (s)




volant

Hala Rifaı

Sommaire

Introduction


Projet OVMI


Bilan

Modelisation


Modele simplifie

Modele moyen

Commande

Attitude

Position

Robustesse


Robustesse vis-a-vis d’une dissymetrie des forcesaerodynamiques

Reduction de la force developpee par l’aile gauche de 10 % desa valeur nominale.

Mouvement 3D

−0.50

0.51

−0.500.51−2

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

Px (m)Py (m)

Pz (m)




volant

Hala Rifaı

Sommaire

Introduction


Projet OVMI


Bilan

Modelisation


Modele simplifie

Modele moyen

Commande

Attitude

Position

Robustesse




0 2 4 6 8 10 12−0.5

0

0.5

1

0 2 4 6 8 10 12−0.5

0

0.5

1

0 2 4 6 8 10 12−2

−1

0

1

0 2 4 6 8 10 12−3

−2

−1

0

1

0 2 4 6 8 10 12−2

−1

0

1

0 2 4 6 8 10 12

−2

0

2

0 2 4 6 8 10 12−5

0

5x 10

−3

0 2 4 6 8 10 120

2

4x 10

−3

Px(m

)P

y(m

)P

z(m

)f x

(N)

Vx(m/s)

Vy(m/s)

Vz(m/s)

f h(N

)

temps (s)




volant

Hala Rifaı

Sommaire

Introduction


Projet OVMI


Bilan

Modelisation


Modele simplifie

Modele moyen

Commande

Attitude

Position

Robustesse




0 5 10

0

100

200

0 0.5 1 1.5 2

−50

0

50

0 0.5 1 1.5 2−50

0

50

0 5 10

0

50

100

0 0.5 1 1.5 2−20

0

20

0 0.5 1 1.5 2−40

−20

0

20

40

0 5 10

−3

−2

−1

0

1x 10

−6

0 0.5 1 1.5 2

−2

0

2

4

6

x 10−6

0 0.5 1 1.5 2

−6

−4

−2

0

2x 10

−6

η1(d

eg)

η2(d

eg)

η3(d

eg)

ω1(r

ad/s)

ω2(r

ad/s)

ω3(r

ad/s)

τ1(N.m

)τ

2(N.m

)τ

3(N.m

)temps (s)




volant

Hala Rifaı

Sommaire

Introduction


Projet OVMI


Bilan

Modelisation


Modele simplifie

Modele moyen

Commande

Attitude

Position

Robustesse




0 5 10

−50

0

50

0 5 10

−50

0

50

0 5 10

−20

0

20

0 5 10

−20

0

20

φg 0

(deg

)

φd 0

(deg

)

ψg 0

(deg

)

ψd 0

(deg

)

temps (s)




volant

Hala Rifaı

Sommaire

Introduction


Projet OVMI


Bilan

Modelisation


Modele simplifie

Modele moyen

Commande

Attitude

Position

Robustesse


Robustesse vis-a-vis de la position du centreaerodynamique

Erreur de [5, 50, 0] % par rapport a la valeur nominale

~r

~t

~n

Position nominale du centre aerodynamiquePosition reelle du centre aerodynamique




volant

Hala Rifaı

Sommaire

Introduction


Projet OVMI


Bilan

Modelisation


Modele simplifie

Modele moyen

Commande

Attitude

Position

Robustesse



Mouvement 3D

−2

0

2

−0.500.511.52−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

Px (m)Py (m)

Pz (m)




volant

Hala Rifaı

Sommaire

Introduction


Projet OVMI


Bilan

Modelisation


Modele simplifie

Modele moyen

Commande

Attitude

Position

Robustesse




0 5 10 15−1

0

1

0 5 10 15

0

1

2

0 5 10 15−2

−1

0

1

0 5 10 15−4

−2

0

0 5 10 15

−1

0

1

2

0 5 10 15−2

0

2

0 5 10 15−5

0

5x 10

−3

0 5 10 150

2

4x 10

−3

Px(m

)P

y(m

)P

z(m

)f x

(N)

Vx(m/s)

Vy(m/s)

Vz(m/s)

f h(N

)

temps (s)




volant

Hala Rifaı

Sommaire

Introduction


Projet OVMI


Bilan

Modelisation


Modele simplifie

Modele moyen

Commande

Attitude

Position

Robustesse




0 5 10 15−150

−100

−50

0

50

0 5 10 15−50

0

50

0 5 10 15

−50

0

50

0 5 10 15

−40

−20

0

20

0 5 10 15

−10

0

10

20

30

0 5 10 15−20

0

20

0 5 10 150

2

4x 10

−6

0 5 10 15−5

0

5x 10

−6

0 5 10 15

−4

−2

0

2

x 10−6

η1(d

eg)

η2(d

eg)

η3(d

eg)

ω1(r

ad/s)

ω2(r

ad/s)

ω3(r

ad/s)

τ1(N.m

)τ

2(N.m

)τ

3(N.m

)temps (s)




volant

Hala Rifaı

Sommaire

Introduction


Projet OVMI


Bilan

Modelisation


Modele simplifie

Modele moyen

Commande

Attitude

Position

Robustesse




0 5 10 15

−50

0

50

0 5 10 15

−50

0

50

0 5 10 15

−20

0

20

0 5 10 15

−20

0

20

φg 0

(deg

)

φd 0

(deg

)

ψg 0

(deg

)

ψd 0

(deg

)

temps (s)




volant

Hala Rifaı

Sommaire

Introduction


Projet OVMI


Bilan

Modelisation


Modele simplifie

Modele moyen

Commande

Attitude

Position

Robustesse


Sommaire









volant

Hala Rifaı

Sommaire

Introduction


Projet OVMI


Bilan

Modelisation


Modele simplifie

Modele moyen

Commande

Attitude

Position

Robustesse


Contributions et Perspectives

Contributions au modele:

Modele simple du drone a ailes battantes

Equivalence entre le modele moyen et le modele instantane

Stabilisation globale de l’orientation et de la position

Commande en attitude utilisant un nombre minimal decapteurs

Commandes bornees (saturation des actionneurs au niveaudes ailes)

Commandes a faible cout de calcul

Robustesse vis-a-vis de perturbations, de parametres demodele, parametres aerodynamiques, etc.

Commandes independantes de l’inertie du systeme




volant

Hala Rifaı

Sommaire

Introduction


Projet OVMI


Bilan

Modelisation


Modele simplifie

Modele moyen

Commande

Attitude

Position

Robustesse



Contributions au modele:

Modele simple du drone a ailes battantes

Equivalence entre le modele moyen et le modele instantane

Contributions a la commande:

Stabilisation globale de l’orientation et de la position

Commande en attitude utilisant un nombre minimal decapteurs

Commandes bornees (saturation des actionneurs au niveaudes ailes)

Commandes a faible cout de calcul

Robustesse vis-a-vis de perturbations, de parametres demodele, parametres aerodynamiques, etc.

Commandes independantes de l’inertie du systeme




volant

Hala Rifaı

Sommaire

Introduction


Projet OVMI


Bilan

Modelisation


Modele simplifie

Modele moyen

Commande

Attitude

Position

Robustesse



Perspectives:

Finalisation de l’analyse theorique de la robustesse

Commande de la position par retour de mesure

Couplage entre le lacet et le mouvement longitudinal(orientation de l’insecte dans la direction du vol)

Etalonnage du modele de commande par rapport a unmodele aerodynamique plus fin

Validation sur un modele aerodynamique plus fin

Test des lois de commande sur un prototype (ANR EVA)


mod elisation et commande d’un robot biomim etique volant · 2014-10-05 · commandes born ees a...

Documents