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Mémoire présenté le :

pour l’obtention du Diplôme Universitaire d’actuariat de l’ISFA

et l’admission à l’Institut des Actuaires

Par : Aurélie Adèle

Titre

CONSTRUCTION D’UNE TABLE D’EXPERIENCE POUR LE MAINTIEN EN INCAPACITE

Confidentialité : 1. NON OUI (Durée : 1 an 2 ans)

Les signataires s’engagent à respecter la confidentialité indiquée ci-dessus

Membre présents du jury de l’Institut

des Actuaires signature

Entreprise : Generali

Nom : M.Therond Pierre

Signature :

Membres présents du jury de l’ISFA Directeur de mémoire en entreprise :

Nom : M.Espagnet Pierre-Antoine

Signature :

Invité :

Nom :

Signature :

Autorisation de publication et de mise

en ligne sur un site de diffusion de

documents actuariels (après expiration

de l’éventuel délai de confidentialité)

Signature du responsable entreprise

Secrétariat Signature du candidat

Bibliothèque :

http://www.institutdesactuaires.fr/gene/main.php

Contenu Remerciements ....................................................................................................................................................... 5

RESUME ................................................................................................................................................................... 7

ABSTRACT ................................................................................................................................................................ 8

Introduction ............................................................................................................................................................ 9

A. Contexte d’étude et enjeux .......................................................................................................................... 11

I. Generali .................................................................................................................................................... 11

a. Generali dans l’histoire ........................................................................................................................ 11

b. Generali France .................................................................................................................................... 11

c. L’univers PROPE ................................................................................................................................... 12

II. La prévoyance en France ......................................................................................................................... 14

III. Les tables d’expérience ............................................................................................................................ 15

B. Traitement des données et fiabilisation de la base ...................................................................................... 18

I. Les données brutes extraites : ................................................................................................................. 18

a. Base sinistres : ..................................................................................................................................... 18

b. Assurés/contrats .................................................................................................................................. 19

II. Traitement préliminaire des bases .......................................................................................................... 19

III. Traitement final des bases ....................................................................................................................... 20

IV. Synthèse partie B ..................................................................................................................................... 23

C. Etudes statistiques des données .................................................................................................................. 24

I. Etude des différences de comportements entre salariés et non-salariés ............................................... 24

a. Influence de la catégorie salariale sur le nombre de contrats sinistrés/non-sinistrés. ....................... 27

b. Influence de la catégorie salariale sur la durée des sinistres .............................................................. 28

II. Etude de la base des contrats travailleurs non-salariés ........................................................................... 29

a. Etude de notre portefeuille de contrats .............................................................................................. 29

b. Etude de notre portefeuille de sinistres .............................................................................................. 34

III. Synthèse de la partie C ............................................................................................................................. 40

D. Méthode d’estimation des taux de maintien : Kaplan Meier et Influence des lissages ............................... 41

Notions de base et introduction au modèle de durée...................................................................................... 41

I. Construction des taux de sorties bruts (qx) par Kaplan Meier ................................................................. 44

a. Description de la méthode .................................................................................................................. 44

b. Résultat graphique .............................................................................................................................. 45

II. Lissage des taux par méthode des Splines ............................................................................................... 46



c. Validation du lissage ............................................................................................................................ 47

d. Comparaison du nombre réel de jours sinistrés et du nombre estimé ............................................... 49

e. Processus de certification .................................................................................................................... 52

III. Lissage des qx par Whittaker-Henderson ................................................................................................ 56


b. Etude du premier test de lissage : ordre verticale = 1, ordre horizontale = 3 ..................................... 58

1. Résultat graphique .............................................................................................................................. 58

c. Etude du premier test de lissage : ordre verticale = 2, ordre horizontale = 3 ..................................... 63

IV. Modèle logistique et ajustement des taux bruts par méthode des MCO/MCP....................................... 67

a. Description du modèle d’ajustement logistique ................................................................................. 67

b. Résultats graphiques ........................................................................................................................... 68

c. Positionnement en terme d’intervalle de confiance ........................................................................... 70

d. Processus de certification .................................................................................................................... 71

V. Synthèse partie D ..................................................................................................................................... 72

E. Méthode d’estimation des taux de maintien : Estimateur actuariel et Influence des lissages .................... 73

I. Construction des qx bruts par la méthode de l’Estimateur Actuariel ...................................................... 73



II. Lissage par la méthode des Splines .......................................................................................................... 75

a. Résultat graphique .............................................................................................................................. 75

b. Validation du lissage ............................................................................................................................ 75

c. Comparaison du nombre réel de jours sinistrés et du nombre estimé ............................................... 76

d. Processus de certification .................................................................................................................... 76

III. Ajustement des taux bruts par la méthode des MCO .............................................................................. 77

a. Résultats graphiques ........................................................................................................................... 77

b. Etude de la surface de confiance ......................................................................................................... 78

c. Comparaison du nombre réel de jours sinistrés et du nombre estimé ............................................... 78

IV. Lissage par la méthode de Whittaker-Henderson ................................................................................... 79

a. Résultat graphique .............................................................................................................................. 79

b. Validation du lissage ............................................................................................................................ 80

c. Indicateurs certification ....................................................................................................................... 80

V. Synthèse partie E ..................................................................................................................................... 81

F. Modèle de Cox et étude de la variable Cible Professionnelle ...................................................................... 82

I. Modèle de Cox ......................................................................................................................................... 83

Présentation du modèle de Cox. .................................................................................................................. 83

Etude de la variable durée de maintien ....................................................................................................... 85

Etude des variables explicatives ................................................................................................................... 93

Modèles de Cox testés ................................................................................................................................. 95

G. Impact sur le service ................................................................................................................................... 116

I. Positionnement par rapport aux expositions réelles ............................................................................. 116

a. Description du test d’adéquation du Khi-2 ........................................................................................ 116

b. Résultats des tests du KHI-2 pour la première table retenue (KMWH23) ......................................... 116

c. Résultats des tests du Khi-2 pour la seconde table retenue (EASplines)........................................... 117

II. Ajustement de la table de passages ....................................................................................................... 118

a. Choix d’une technique d’ajustement ................................................................................................ 118

b. Représentation graphique des taux de passages .............................................................................. 119

III. Impact sur le provisionnement .............................................................................................................. 120

a. Description des formules de provisionnement ................................................................................. 120

b. Conséquences sur les S/P .................................................................................................................. 126

Conclusion ........................................................................................................................................................... 127

Annexes ............................................................................................................................................................... 128

Bibliographie ....................................................................................................................................................... 131

Remerciements

Je tiens tout d’abord à remercier Isabelle VENTURA-CATARINO qui m’a permis d’intégrer son service et qui m’a

accordé sa confiance durant mon alternance.

Je remercie également mon manager et tuteur en entreprise, Pierre-Antoine ESPAGNET, pour l’aide qu’il a pu

m’apporter, pour son encadrement, pour sa patience et pour sa pédagogie.

Je remercie Pierre THEROND, mon tuteur école, pour ses conseils, son suivi et son écoute.

Enfin, je remercie tous mes collègues du département conception technique vie qui m’ont accueillie au sein de

leur unité et m’ont apporté leur aide tout au long de mon stage.

Les valeurs réelles des indicateurs mathématiques, des montants de sinistres réglés, des nombres de jours

sinistrés, des cotisations et des S/P ont été changées dans un souci de confidentialité.

RESUME Mots clés : Table d’expérience, prévoyance, travailleurs-non-salariés, incapacité, invalidité, Kaplan-Meier,

Whittaker-Henderson, estimateur actuariel, ajustement des moindres carré, Modèle de Cox, lissage des

splines, modèle semi-paramétrique, table de passage, provisionnement, SP

Ce mémoire permet à travers la construction d’une table d’expérience d’entrevoir les différentes

problématiques inhérentes au secteur de la prévoyance et en particulier dans le milieu des travailleurs non-

salariés (TNS).

Ce secteur, en perpétuel mouvement, oblige ceux qui y travaillent à procéder avec rigueur et à effectuer un

suivi permanant des outils utilisés. Parmi ces outils on compte notamment les tables de maintien en incapacité

et en invalidité nécessaires au provisionnement des sinistres.

Les méthodes de mise en place de ces tables sont multiples et ce mémoire en présente quelques-unes :

- la méthode de Kaplan Meier,

- l’estimateur actuariel,

- le modèle de Cox,

- les méthodes d’ajustement par les moindres carrés

- les méthodes de lissage de taux de Whittaker-Henderson

- les méthodes de lissage par le modèle des Splines

Des estimations statistiques, des courbes de fidélité et des intervalles de confiance ont permis de déterminer la

prudence et la fiabilité de chaque table obtenue. Cela a permis de ne considérer que les plus pertinentes

d’entre elles.

Le modèle semi-paramétrique de Cox nous amène à un résultat satisfaisant permettant d’intégrer la variable

cible professionnelle comme variable explicative. Cependant, le but étant de certifier une unique table pour

toute la population des TNS, ce modèle n’a pas été retenu dans un cadre de provisionnement. Il pourra par

ailleurs servir dans un cadre de tarification de nouveau produit.

Les modèles paramétriques de Kaplan Meier et de l’estimateur actuariel nous ont amené à retenir deux tables

potentiellement certifiables. Ces deux tables ont fait l’objet d’un test d’adéquation du khi 2 qui nous a permis

de n’en sélectionner plus qu’une.

On s’est ensuite intéressé à la table de passage en invalidité également nécessaire dans une activité de

prévoyance. Au vu des données, les taux de l’ancienne table de passage ont été conservés. Cette table avait été

créée à partir des données de plusieurs entreprises travaillant dans le secteur de la Prévoyance TNS.

L’impact sur le service a pu alors être quantifier en terme de provisionnement et de S/P. Cet impact force

aujourd’hui l’entreprise à provisionner des montants plus élevés et conduit à une dégradation des SP sur

l’antérieur mais permettra certainement de lisser le provisionnement dans le temps afin de réduire les effet de

boni et de mali successifs observés avec l’ancienne.

ABSTRACT Key words : Protection, self-employee-worker, temporary disability, permanently disability, Kaplan-Meier,

Whittaker-Henderson, actuarial estimator, adjustment of least squares, Cox Model, smoothing method of

Splines, transitions table, provisioning, loss ratio

This report presents the different issues specific to the sector of protection and particularly concerning

independent workers.

Because of its constant change, to work in this sector means that you need to have rigor and to follow up every

tools which are used. Among this tools, there are in particular tables allowing to assess temporary or

permanently disabilities and to evaluate a good provisioning.

Several methods can be used to create this tables and this report is developing some of them :

- Kaplan Meier method,

- The Actuarial estimator,

- Cox model,

- Adjustment by methods of least squares

- The smoothing methods of Whittaker-Henderson

- The smoothing methods of Splines

To evaluate the reliability of each table, we used Statistical estimations, we study the shape of the curve, and

the confidence intervals. Then, we could have kept the most pertinent ones.

The Cox model leads us to interesting results which allow us to integer the socio–professional category of the

worker as a discriminant characteristic. However, the objective was to use a unique table for all the population

of self-employee workers. For this reason, the Cox model was not retained for a use to the provisioning but it

permits to have a usable model for future product pricing.

Kaplan Meier and actuarial estimator gave us two tables potentially available for provisioning. To choose one of

them, we made a suitability test of khi-2.

Ones we chose the good table, we focused on the transition table which is also essential in a protection

activity. The existing transition table was established with the data of several enterprises of the protection

sector. The decision was to keep the existing rates and to create a new table from these rates.

The impact on the service was determined in terms of provisioning and loss ratio. Today, the amount of

provisioning is a little bit higher than before and leads to a degradation of our loss ratio on previous year but in

long-term this will permit to smooth the provisioning and to limit the effect of boni and mali.

Introduction

Le groupe Generali France représente aujourd’hui un des acteurs majeurs sur le marché de l’assurance en

France. La pluralité de ses secteurs d’activités lui permet une implantation aussi bien dans le monde actuariel

de la vie que dans celui de la non vie. En intégrant ce groupe, j’ai pu accéder à un des domaines les plus en

mouvement du secteur assuranciel en France : celui de la prévoyance.

Le domaine de la prévoyance est aujourd’hui en pleine évolution et se retrouve au centre de nombreuses

problématiques. La particularité de ce secteur est qu’il perçoit les conséquences directes de nombreuses

décisions juridiques et financières de l’Etat Français.

Aujourd’hui, la réorganisation des aides sociales, les problématiques concernant l’âge de la retraite et

l’évolution de l’espérance de vie sont autant d’impacts qui agissent directement et fortement sur le milieu de la

Prévoyance et demandent des techniques actuarielles qui évoluent. Cela implique aussi que les modèles déjà

existants soient mis à jour avec les nouvelles données liées à ces problématiques.

La nouvelle norme règlementaire Solvabilité II vient ajouter une nouvelle strate à la problématique déjà dense

de la prévoyance. En effet, les nouvelles techniques de provisionnement et les nouvelles marges de solvabilité

imposées par cette règlementation force la restructuration de l’organisation de ce secteur au sein de

l’entreprise.

Jusqu’à ce jour, l’outil de base sur lequel repose l’activité de prévoyance est la table d’expérience. Elle est

utilisée que ce soit dans le cadre de la garantie arrêt de travail (en incapacité et en invalidité) ou dans celui de

la garantie décès.

Aujourd’hui le changement des règles sociales en France et les conséquences de la crise économiques

entrainent des changements de comportement et imposent que ces tables soient adaptées. C’est ce qu’a déjà

entreprit le BCAC (Bureau Commun d’Assurances Collectives) qui fournit les tables officielles et règlementaires

du secteur de la prévoyance.

C’est aussi ce qu’a entreprit à Generali, le service Prévoyance de la direction des Professionnels et Petites

Entreprise (DMPROPE). Fort de son expérience, le service Prévoyance de la DMPROPE a voulu créer une table

d’expérience de maintien en incapacité qui lui soit propre et qu’elle puisse utiliser en toute confiance lors de

ses divers calculs.

En effet, la fiabilité d’une activité d’assurance de personnes réside en grande partie dans la justesse des tables

d’expérience utilisées à la fois pour les calculs liés à la tarification des produits mais aussi pour leur

provisionnement. Les tables d’expérience sont donc l’objet d’un suivi annuel et minutieux réalisé par des

actuaires indépendants agréés et aptes à certifier ces tables.

Le but est alors de construire une nouvelle table avec un niveau de confiance suffisant pour une certification et

pour une utilisation au sein du service.

La création d’une table d’expérience est un processus long et rigoureux dont la minutie débute dès le

nettoyage des données. Le traitement des données est une partie décisive lors de la construction d’une table

car elle conditionne l’exactitude des résultats. Il est donc nécessaire de prendre le temps de connaitre les

données, le système d’exploitation qui les gère, les produits sur lesquels on travail, la population qui les

consomme.

A cette partie délicate se joint par la suite le choix d’un modèle et d’une méthode de construction de table.

Parmi la multitude de possibilités qui existent, la difficulté réside dans le choix de la méthode la mieux adaptée

aux données. Des études peuvent alors être réalisées pour déterminer la justesse des différents résultats

obtenus et permettant de juger s’ils sont cohérents avec la réalité.

Ce mémoire entreprend de décrire les différentes étapes de construction de la table d’expérience qui est

aujourd’hui certifiée et son apport au sein de l’activité du service.

Après une brève description du contexte d’étude et des enjeux rattachés au sujet de ce mémoire, une partie

décrit le nettoyage des données et explique les différents champs retenus, les produits constituant les données

et les choix réalisés à l’aide des tests de cohérence de la base. La troisième partie présente les études

statistiques réalisées sur le portefeuille et permettant d’avoir un certain recul sur les potentielles particularités

des données utilisées. Les quatrième, cinquième et sixième parties présentent les différentes techniques de

construction de tables en associant différentes méthodes d’estimation des taux bruts et de lissages. Enfin, une

dernière partie montre les impacts potentiels de l’utilisation de la nouvelle table au sein du service notamment

en termes de provisionnement et de S/P.

11,4 Mds

39% Epargne

24% Biens et responsabilité

17% Prévoyance et santé

11% Assistance et prestations

de service

9% Retraite

A. Contexte d’étude et enjeux

I. Generali

a. Generali dans l’histoire

En 1831, à Trieste, plusieurs entrepreneurs locaux réunis autour de Giuseppe Lazzaro Morpurgo, homme

d’affaire de la ville, fondent Assicurazioni Generali Austro-Italiche, avec la volonté de créer une grande

compagnie capable de rivaliser avec les assureurs naissants en Lombardie-Vénétie ou dans le reste de l’Europe.

Après seulement quelques années, Generali établit des agences dans les principales villes de l’empire

autrichien et dans les principaux ports d’Europe comme Bordeaux (1832) et Marseille (1834).

Dans une Europe secouée par les conflits nationalistes, Generali affirme sa dimension internationale et

poursuit son expansion dans le bassin méditerranéen et dans les villes portuaires de par le monde. A la veille

de la deuxième Guerre mondiale, fort de son expansion, le Groupe compte plus de 3000 agences réparties dans

40 pays.

Au lendemain de la seconde Guerre mondiale, Generali perd ses actifs et succursales dans les pays passés sous

influence soviétique. Le Groupe se rétablit rapidement dans les pays d‘Europe de l‘Ouest et se concentre dans

la conquête de nouveaux marchés en Amérique latine. Cette période de fort développement économique

conduit à l’apparition de nouveaux risques, et par conséquent au développement de l’assurance. Dès la chute

du mur de Berlin en 1989, Generali reprend ses activités en Europe de l’Est.

Aujourd’hui, le Groupe est implanté dans plus de 60 pays et compte plus de 500 compagnies à l'international. Il

compte plus de 77 000 collaborateurs et son réseau de distribution emploie plus de 100 000 personnes à

travers le monde. Il compte près de 65 millions de clients dans le monde. En Europe, Generali est le 1er

assureur vie et 3e assureur généraliste. A l’international, Generali se place, d’après l’agence de notation AM

Best, en 2e position sur les primes émises et en 5e position sur les actifs.

b. Generali France

La France s’affirme comme un territoire clé de développement pour le Groupe puisque 21 % de l’activité

mondiale est réalisée par Generali France (chiffre publié par le Groupe en septembre 2011).

Aujourd’hui son activité se scinde en cinq parties distinctes dont la prévoyance-santé occupe la troisième

position.

La Compagnie regroupe 7 000 collaborateurs mobilisés au service des clients (réseaux salariés compris) que ce soit dans le domaine de la vie ou de la non-vie.

La vie représente le plus gros secteur d’activité de Generali France en termes de chiffre d’affaire. C’est un

secteur où l’on a pu voir une belle évolution de l’activité, notamment en épargne et en retraite. Aujourd’hui

l’activité vie de Generali France représente 7,7 Mds d’euros de chiffre d’affaire.

La non-vie (ou dommage) connait un moins bel essor et est soumise à de nombreuses restructurations. Cela a

entrainé une baisse du chiffre d’affaire dans ce secteur qui devrait redémarrer d’ici l’année prochaine.

Aujourd’hui ce secteur représente 3,7Mds d’euros de chiffre d’affaire.

c. L’univers PROPE

La Direction du Marché des Professionnels et des Petites Entreprises (DMPROPE) constitue le cadre de pilotage

pour traiter les enjeux de l’entreprise en matière de marché des Professionnels et des Petites Entreprises. Elle

est divisée en trois sous-directions dont la direction Etudes Techniques et Pilotage Opérationnel que j’ai intégré

lors de mon stage. Plus précisément, j’ai pu prendre part aux activités du département Conception technique

vie dirigé par Isabelle VENTURA-CATARINO. Ce département est en charge de la Retraite sous la Direction

d’Alexandre COCHARD et de la Prévoyance sous celle de Raphaël GUILMIN.

Le service Prévoyance, où j’ai effectué mon stage en alternance, est constitué de six collaborateurs. Les

produits gérés par ce service visent principalement les travailleurs non-salariés et les petites entreprises dont

l’effectif est inférieur à vingt salariés. L’objectif de ces produits est de proposer une couverture en complément

de celle fournie par le régime obligatoire.

DMPROPE en charge :

De la définition des politiques

de la conception de solutions d’assurance

du pilotage de la rentabilité technique

des activités de souscription et gestion IARD

Direction Etudes Techniques et Pilotage Opérationnel en charge :

de la conception des solutions d'assurance

du pilotage de la rentabilité technique

contrôle de gestion

Conception Technique IARD/VIE

Pilotage Opérationnel Surveillance du portafeuille Contrôle de gestion

Direction Souscription IARD Direction Solution

d'Assurance

Ces produits couvrent les risques de décès, d’incapacité de travail, d’invalidité, les frais professionnels, la santé

ou encore l’hospitalisation. Pour chaque risque, différentes garanties peuvent être souscrites seules ou

accumulées telles que le Décès toutes causes, la rente éducation ou la rente conjoint pour le risque décès.

Deux activités principales sont mises en places :

Une partie actuarielle effectuant :

Les études statistiques sur le portefeuille

Les estimations du risque et la tarification des produits

La mise en place de nouveaux produits

Les études et le suivi de la rentabilité des produits au travers notamment des triangles de liquidation

et du calcul de COR (Combined Ratio)

Le suivi pour la certification de tables d’expériences (incapacité et passage en invalidité)

La fixation des majorations tarifaires

La mise en place de nouveaux partenariats

Une partie technique gérant :

La Refonte et le suivi de l’évolution des produits suite à des mesures réglementaires, fiscales ou afin

de suivre le marché et de dynamiser le portefeuille.

Pour ce faire, il faut :

Établir les expressions de besoin

Suivre et mettre en place les produits

Valider les documents contractuels (Conditions Générales, bulletin de souscription…)

L’analyse de demandes spécifiques (sports et métiers à risque)

Répondre aux questions de la gestion

Intégrer le service de prévoyance de la direction PROPE m’a éclairée sur ce secteur particulier de l’assurance

qui mêle à la fois la connaissance de techniques actuarielles poussées et celle de principes juridiques qui lui

sont propres.

Cette multifonctionnalité rend ce secteur d’autant plus intéressant qu’il est en perpétuel mouvement mais

aussi en perpétuel recherche d’équilibre entre son aspect technique et son aspect juridique et commercial.

II. La prévoyance en France En France, ce sont des cotisations sociales obligatoires qui permettent de financer la protection sociale : le

paiement de ces cotisations donne droit à une couverture de base. Des versements supplémentaires peuvent

venir s’y ajouter.

La Sécurité sociale et les organismes de prévoyance complémentaire couvrent entre autres les risques associés

à une diminution du revenu en cas d'arrêt de travail temporaire ou définitif dû à la maladie ou à l'invalidité, ou

encore en cas de décès. On procède alors au versement de prestations, sous la forme d'indemnités

journalières, de rentes ou de capitaux : elles compensent en partie cette baisse du revenu.

Plusieurs niveaux de protection existent :

- Un régime de base, qui est géré par les organismes de la Sécurité sociale ;

- Un régime complémentaire obligatoire (Convention Collective, Mensualisation) ;

- Un régime facultatif collectif, qui est souscrit dans le cadre de l'entreprise et réparti entre les

institutions de prévoyance, les mutuelles et les compagnies d'assurance : certaines conventions

collectives font de l'adhésion à une institution de prévoyance une obligation.

- Des contrats individuels de prévoyance facultatifs, qui sont proposés par les mutuelles et les

compagnies d'assurance.

La protection sociale obligatoire de base repose donc majoritairement sur le régime général de la Sécurité

sociale, et reste souvent insuffisante.

La prévoyance peut donc être proposée par l'employeur : prévoyance collective, ou être souscrite de façon

individuelle : prévoyance individuelle.

Source : Les Dossiers Techniques d’information Optimind, Octobre 2010

Le service que j’ai intégré est en charge de produits de prévoyance proposés d’une part aux professionnels et

d’autre part aux petites entreprises.

Dans le cadre de mon mémoire, on s’est intéressé aux produits proposés à une catégorie bien particulière de la

population : celles des travailleurs non-salariés.

C’est donc dans un cadre de prévoyance individuelle que l’étude s’est déroulée.

En effet, la protection obligatoire à laquelle est soumis le travailleur non salarié (ou TNS) varie selon le secteur

d’activité de l’assuré mais reste en général largement insuffisante.

N’étant pas salarié d’une entreprise, il ne bénéficie pas naturellement d’une protection adaptée et

avantageuse (comme c’est aujourd’hui le cas pour les cadres par exemple).

Aujourd’hui, des avantages fiscaux ont été mis en place pour permettre aux travailleurs non-salariés d’avoir un

accès plus facile à la protection sociale (loi Madelin détaillée page 21 de ce rapport).

Les produits étudiés lors de ce mémoire et conçus au sein du service prévoyance de la DMPROPE ont donc pour

but de protéger de façon efficace cette partie de la population.

Pour que ce travail soit effectué correctement, les outils utilisés doivent être adaptés aux évolutions de la

population mais également aux décisions juridiques et financières de l’état qui peuvent lourdement influer sur

le déroulement de l’activité en prévoyance individuelle.

Les tables de maintien en incapacité ou en invalidité, de passages et de décès représentent un des outils de

base du fonctionnement de la prévoyance. Elles sont utilisées aussi bien dans le calcul de provisions de sinistres

que dans les tarifications de produits.

III. Les tables d’expérience On s’intéressera ici aux garanties rattachées à la notion d’arrêt de travail.

L’arrêt de travail désigne la période pendant laquelle un individu est dans l’impossibilité d’exercer une activité

professionnelle que ce soit de façon temporaire ou permanente.

L’arrêt de travail se décompose en deux types de risque :

- Le risque d’incapacité qui désigne une durée d’arrêt temporaire.

- Le risque d’invalidité qui désigne une durée d’arrêt permanente.

-

Le calcul des provisions associées aux garanties liées à ces deux risques est possible grâce aux tables de

maintien qui font l’objet de règlementations poussées et spécifiques.

C’est le Bureau Commun d'Assurances Collectives (BCAC) qui fournit aujourd’hui aux différents institutions et

sociétés concernées, les tables officielles de prévoyance.

Le Bureau Commun d'Assurances Collectives (BCAC), gère depuis son origine, les régimes prévoyance, santé et

le fonds de pension de la branche de l'Assurance.

Reconnu pour son expertise, il participe au pilotage de ces régimes, réalise des études pour le compte de la

profession, assure la gestion en délégation des contrats santé pour le compte de ses adhérents et gère des

"pools" de mutualisation uniques en France : pool catastrophe, pool dépendance et pool AERAS (convention

pour s'Assurer et Emprunter avec un risque Aggravé de Santé).

Dans le cadre de l’arrêt de travail, trois types de tables sont fournies par le BCAC :

- Les tables de maintien en incapacité

Ces tables se présentent sous forme de tableau à deux entrées.

Une variable correspondant à l’âge (variable explicative) et une autre correspondant à la durée de maintien en

incapacité (présentée en mois).

Elle indique l’évolution du nombre d’incapables au fils des mois de maintien pour chaque âge d’entrée en

incapacité.

- Les tables de maintien en invalidité



invalidité (présentée en mois).

Elle indique l’évolution du nombre d’invalides au fils des mois de maintien pour chaque âge d’entrée en

invalidité.

- Les tables de passage en invalidité



incapacité (présentée en mois).

Elle indique le nombre de sinistrés initialement incapables et passant en invalidité pour chaque âge d’entrée en

incapacité et chaque mois de durée de maintien.

Le BCAC fournit également la donnée du taux d’actualisation des flux futurs. Pour le risque d‘arrêt de travail, ce

taux correspond au maximum de 75% du taux moyen des emprunts d’état des 24 derniers mois.

Des tables dites d’expérience construites à partir des données propres à l’entreprise peuvent être utilisées

dans la mesure où elles font l’objet (avant toute utilisation dans le calcul des provisions) d’une certification de

leur justesse par un actuaire indépendant, agrée et certifié.

Elles font ensuite l’objet d’un suivi annuel qui permet de jauger l’évolution de l’adéquation entre les tables et

les données. Ce suivi doit également être réalisé par un actuaire indépendant, certifié et agréé.

L’intérêt de la création de tables d’expérience pour l’entreprise est qu’elles s’adaptent aux données propres à

l’entreprise et qu’elles fournissent donc des résultats proches de la réalité de l’entreprise. Elles permettent en

général un meilleur ajustement des provisions que celles fournies par le BCAC.

Aujourd’hui, c’est une table d’expérience certifiée et construite en 2008 qui est utilisée pour le

provisionnement de sinistres rattachés aux travailleurs non-salariés. Cette table a été construite par une

entreprise externe à Generali qui avait rassemblé pour ce projet les données concernant les TNS de plusieurs

entreprises. La construction d’une table de passage adaptée avait également été l’un des objets de ce projet.

Bien que ces tables fournissent des résultats préférables à ceux des tables règlementaires du BCAC, le fait

qu’elles aient été construites avec des données liées à d’autres entreprises n’en fait pas forcément les tables

les mieux adaptées à l’activité prévoyance individuelle de Generali.

Le service prévoyance de la DMPROPE, ayant aujourd’hui acquis une base d’expérience solide, a entreprit de

construire sa propre table d’expérience de maintien en incapacité destiné à la certification. Le but de cette

construction est de pouvoir in fine utiliser une table mieux adaptée aux produits de son portefeuille. C’est ce

projet qui m’a été confiée au cours de mon alternance.

La construction d’une table d’expérience peut faire intervenir de nombreuses méthodes actuarielles et divers

modèles mathématiques plus ou moins complexes.

Cependant rien n’est possible sans avoir une base de départ propre et cohérente. Le nettoyage des données et

la phase d’étude de ces données constituent la partie la plus longue et la plus laborieuse lorsque l’on construit

une table. Elle nécessite une bonne connaissance des produits et du système d’exploitation des données mais

aussi une vue sur les variables potentiellement utiles lors de la construction de la table et lors des études

statistiques à effectuer.

La partie qui suit décrit les variables choisies et les choix faits lors du traitement des données. Le nettoyage des

bases est défini étape par étape pour une compréhension optimale de chaque traitement effectué.

B. Traitement des données et fiabilisation de la base

I. Les données brutes extraites : Cette partie présente les données retenues dans les bases contrats et les bases sinistres utilisées comme

entrées de nos différents modèles de construction de table.

a. Base sinistres :

Numéro du sinistre => numéro unique par sinistre

Numéro du contrat => numéro unique par contrat, il peut être rattaché à plusieurs sinistres.

Garantie commerciale simple (GCS) => Code permettant d’identifier le type de garantie sinistrée souscrite au contrat (variable couplée avec le code GE).

Garantie élémentaire (GE) => Code permettant d’identifier la garantie sinistrée souscrite au contrat.

Date de survenance sinistre => Correspond à la date ou le sinistre a eu lieu. S’il n’y a pas eu de rechute

elle correspond à la date d’évènement. On préférera ne considérer que la date d’évènement qui est

plus fiable. Il existe un conflit de définition au niveau de la gestion qui considère la constatation

médicale sans tenir compte du fait que le sinistre soit considéré comme une rechute ou pas.

Date d’évènement => Doit correspondre à la date de rechute s’il s’agit d’une rechute sinon correspond

à la date considérée comme la date de survenance du sinistre.

Date d’ouverture => Date à partir de laquelle le sinistre est pris en compte par Generali.

Date début règlement sinistre => Premier jour de règlement du sinistre (la même pour tous les

règlements effectués pour un même sinistre). Date qui prête à confusion car souvent mal renseignée.

On préférera utiliser la date de début de règlement périodique qui correspondra à la date de début de

versement pour chaque période de versement effectué.

Date fin règlement => Dernier jour de règlement du sinistre (par période de règlement effectué)

Date clôture sinistre => Date où le sinistre est considéré comme entièrement réglé

Montant règlement net => Montant réglé pour le sinistre pour une période de règlement considérée.

Le montant total du sinistre correspond à la somme de tous les montants payés par période de

règlement.

Code produit => Correspond au produit souscrit au contrat. Soit le produit X (comprend X07/X08

XFA/XFE) soit le produit Y (comprend YO et YF).

Etat Contrat => indique si le contrat est toujours en cours ou s’il est clos.

Taux d’indemnisation => Taux d’indemnisation sur la base du montant garanti

Etat du Sinistre => indique si le sinistre est toujours en cours ou s’il est clos

Type d’évènement => indique si il s’agit d’une garantie incapacité (ij journalière) ou d’une garantie

invalidité (rente invalidité)

Cause évènement => indique la cause de l’incapacité ou de l’invalidité (Accident (A) ou Maladie (M))

Date début règlement périodique => date de début de versement pour chaque période de versement

effectué.

Montant garanti => Montant garanti au contrat

Code Franchise => Code permettant de déterminer (couplé au code GE) la durée de la franchise

appliquée.

Nombre de lignes du fichier brut : 155 515

b. Assurés/contrats

Numéro du contrat => Numéro du contrat considéré

Code Produit => Code du produit souscrit (X ou Y)

Numéro personne => identifiant de l’assuré

Date de naissance => date de naissance de l’assuré

Code CSP (Catégorie socio-professionnelle) => code permettant de déterminer le statu socio-

professionnel de l’assuré

Sexe => Sexe de l’assuré qui souscrit le contrat

Date d’effet du contrat => Date à partir de laquelle l’assuré commence à être couvert

Date de sortie du contrat => Date ou le contrat prend fin. Si le contrat est en cours cette date est

renseignée par une date fictive.

Garantie élémentaire(GE) => Code permettant d’identifier la garantie souscrite au contrat.

Montant garanti => Montant garanti pour la garantie souscrite au contrat.

Montant cotisation => Cotisation de l’assuré

Garantie commerciale simple (GCS) => Code permettant d’identifier un type de garantie souscrite au

contrat.

Code fiscalité => Indique si l’assuré est un Travailleur non salarié ou un travailleur salarié

Cible commerciale => Permet d’indiquer à quelles garanties peut souscrire l’assuré pour le contrat

choisi et son tarif.

Cause sortie

Origine => permet de déterminer si le contrat a été migré ou pas.

Nombre de lignes du fichier brut => 1 432 575

II. Traitement préliminaire des bases Un premier traitement des bases « contrats » et « sinistres » a été effectué pour ne retenir que les garanties en incapacité et en invalidité. On obtient à une base des sinistres de 99 379 lignes et une base des contrats de 456 527 lignes. Dans la nouvelle base « sinistres » considérée il y a une ligne par règlement effectué et donc plusieurs lignes pour un même sinistre. Dans la nouvelle base « contrats » considérée il y a une ligne par Garantie souscrite et donc plusieurs lignes pour un même contrat.

Sont retenus :

- Les produits X et Y. - Les non-salariés : Code Fiscalité = 3 (ce choix se justifie par des études statistiques détaillées plus bas dans

la partie « Etude de la population ») - Les garanties incapacité retenues par produits :

X : Revenu de remplacement (Indemnités Journalières) (sans prendre en compte les garanties exonération et frais professionnels)

Y : 07/08 = Revenu de remplacement (Indemnités Journalières) (sans prendre en compte les garanties exonération et remboursement)

Y : FA/FE = Revenu de remplacement (Indemnités Journalières) - Les garanties invalidité :

X : RI Revenu de remplacement rentes Y : 07/08 = Invalidité avec des taux à 100, à 85 ou à 36. Y : FA/FE = rente invalidité permanente partielle (IPP) et invalidité

permanente totale (IPT).

Une première fusion des deux bases est effectuée pour mettre ensemble les données relatives aux sinistres auxquelles on rajoutera les données relatives aux assurés que sont : - Date de naissance de l’assuré - Date d’effet du contrat sinistré - La fiscalité de l’assuré - Identifiant de l’assuré

Une migration du système d’exploitation des données a engendré un nombre de données important auxquelles n’est rattachée aucune « date de naissance ». On va chercher ces dates manquantes dans les bases enregistrées sur le serveur SAS de l’entreprise et on les fusionne avec notre base. L’idée est ensuite de conserver une ligne par sinistre dans notre base. On rassemble donc les lignes relatives à la même clé contrat/sinistre. On conserve la date de début de règlement la plus ancienne et la date de fin la plus récente. On considère comme montant réglé la somme de tous les montants réglés par période de règlement. Une fois ce travail effectué on obtient une base de sinistres de 24 393 lignes. On supprime ensuite les sinistres pour lesquels la date de naissance n’est pas cohérente : c’est-à-dire dont l’âge de survenance ou l’âge de clôture du sinistre n’est pas comprise entre 16 ans et 70 ans. Il nous reste alors 24 282 lignes. De même, un traitement est effectué sur la base « contrats » pour récupérer les dates de naissances manquantes et ne garder qu’une ligne par contrat souscrit. On obtient une base de 153 252 lignes. Des tests de rejets sont effectués sur la base « sinistres » :

- Date de naissance non renseignée - Date de survenance sinistre non renseignée - Date de début de règlement non renseignée - Date de clôture sinistre non renseignée - Date de fin de règlement non renseignée - Date de fin de règlement < date de début de règlement - Date de clôture sinistre < date de fin de règlement - Date de début de règlement < date ouverture sinistre - Date de début de règlement < date d’évènement sinistre - Date d’évènement sinistre < date d’effet contrat Enfin, on ne conserve que les garanties ITT dans notre base en pensant à enlever les garanties maternité correspondant à une indemnisation de 1500 euros retranscrite en ITT. On obtient une base « sinistres » finale de 15 021 lignes.

III. Traitement final des bases

On rassemble les sinistres concernant le même individu et qui semblent correspondre à des rechutes (c’est-à-

dire des sinistres à priori différents, car avec un numéro de sinistres différents, mais concernant le même

assuré) sous la condition suivante : le délai entre premier jour indemnisé du plus récent sinistre et dernier jour

indemnisé du plus ancien des sinistres doit être inférieur à 61 jours.

Ce retraitement n’est pas le plus optimal car dans certains cas il s’agit bien de sinistres différents mais dans la

majorité des cas il est le plus approprié d’où ce choix.

Ainsi sont conservés : - Date d’indemnisation la plus ancienne pour le premier jour indemnisé - Date d’indemnisation la plus récente pour le dernier jour indemnisé.

On conserve les sinistres encore ouverts après le 01/01/2009 et survenus avant le 31/12/2012 et on supprime ceux dont le premier jour d’indemnisation est après le 31/12/2012. On obtient une base de sinistres finale qui sera utilisée pour la construction de la table comprenant 13 909 lignes; chaque ligne correspondant à un sinistre. Les champs de cette base sont les suivants :

Franchise théorique

Numéro de contrat

GE

Code Produit

Etat du contrat

Date de naissance

Premier jour d’indemnisation incap

Dernier jour d’indemnisation incap

Date de sinistre

Indicateur de censure

Date de censure

Indicateur de troncature

Date de troncature

Date de clôture du sinistre

Nombre de sinistres de l’individu

Cause Franchises=> Maladie, Hospitalisation ou accident

Numéro de sinistre corrigé

Montant réglé total

Nombre de jour indemnisé

Durée

Durée de maintien début

Durée de maintien fin

Date min

Date max

Indicateur sortie

Age à l’entrée

exposition

moment

Les champs qui seront utilisés pour la construction de la table sont ceux qui sont en rouge.

Explication de ces champs : - Indicateur de censure : indique si l’on applique la censure à l’individu - Date de censure : indique la date de censure à appliquer sur l’individu - Indicateur de troncature : indique si l’on applique la troncature à l’individu - Date de troncature : indique la date de censure à appliquer sur l’individu - Indicateur sortie : indique si l’individu est vraiment sorti de l’arrêt

Censure et troncature appliquées à notre modèle : - Une date de troncature constante pour tous les sinistres a été choisie. Elle correspond à la date du 01/01/2009. Ce choix se justifie par la réalisation d’une migration fin octobre 2008 de notre système d’exploitation des données. Seuls les sinistres encore en cours au moment de la migration ont été transférés dans le nouveau système. Il fallait donc trouver un moyen pour que cette migration ne vienne pas fausser nos résultats. -Un choix similaire a été fait pour la date de censure que l’on garde constante pour tous les sinistres. Elle correspond à la date du 31/12/2012. Au niveau de la censure, notre modèle consiste à considérer comme durée finale de sinistre : [Min (31/12/2012, date fin de sinistre) – date de début du sinistre] Un sinistre sera censuré s’il est encore en cours au 31/12/2012. Son indicateur de censure sera donc 1 et son indicateur de sortie sera 0 (car la fin de ce sinistre n’est pas réellement observée). Au niveau de la troncature, le modèle consiste à considérer comme durée d’entrée de sinistre : [Max (01/01/2009, date de premier règlement) - date de début de sinistre] Un sinistre sera tronqué si sa date de premier règlement intervient avant le 01/01/2009. Son indicateur de troncature sera donc 1.

- Date min (permet de déterminer la durée de maintien en fin de sinistre) :

Si le sinistre est clos avant la date de censure alors on considère que la variable date min est égale au minimum entre le dernier jour indemnisé et la date de clôture.

Si le sinistre est clos après la date de censure ou s’il est encore ouvert, alors on considère que la variable date min est égale à la date de censure

- Date max (permet de déterminer la durée de maintien de début de sinistre) :

Si le premier jour indemnisé est inférieur à la date de censure alors on considère que la variable date max est égale au maximum entre le premier jour indemnisé et la date de troncature.

Si le premier jour indemnisé est postérieur à la date de censure ; on ne garde pas ce sinistre dans notre base

- Durée de maintien de début de sinistre : Indique la durée de franchise considérée dans le modèle. Elle correspond au moment d’entrée en incapacité de l’individu. Elle est égale à la durée entre date max (variable expliquée plus haut) et date de sinistre.

- Durée de maintien fin : indique la durée finale du sinistre considérée dans le modèle. Elle correspond au moment de « sortie » d’incapacité de l’individu. Elle est égale à la durée entre date min (variable expliqué plus haut) et date de sinistre.

- Age à l’entrée : indique l’âge auquel l’individu est entré en arrêt Enfin, une base « contrats » finale est construite à partir de la base contrat brute. Elle représente un ensemble de 98 780 lignes, chaque ligne correspondant à un « numéro contrat » distinct. Seuls sont retenus les contrats clos après le 01/01/2006 et ouverts avant le 31/12/2012. Les numéros de contrats supprimés de la base sinistres sont également supprimés de la base contrats pour une cohérence du portefeuille.

IV. Synthèse partie B On voit que de nombreux traitements ont été nécessaires pour obtenir une base en cohérence avec la réalité

observée. Les données exploitées sont soumises aux aléas de l’erreur humaine et des anomalies informatiques

mais aussi des différentes migrations de données lors de changement de système informatique.

Lors du traitement des données, des choix ont dû être faits et ont été déterminés d’une part par la

connaissance que l’on a pu se faire des données et du système qui permet de les exploiter et d’autre part par

le « bon sens » de la personne en charge de ce traitement. Pour assurer au mieux cette tâche, le travail collectif

est de mise afin de recueillir auprès de chacun son expérience du système de données.

On obtient au final une base de sinistres moyennement fournie et présentant des expositions peu élevées.

Cependant, ces données ont été proprement nettoyées et permettent des études statistiques fiables et des

constructions de taux solides.

La base de contrats qui fera également l’objet d’études statistiques est également bien nettoyée et représente

une bonne masse de données pour les études réalisées.

La partie qui suit présente les différentes études statistiques réalisées sur les portefeuilles et les résultats

qu’elles ont permis de mettre en exergue.

C. Etudes statistiques des données

I. Etude des différences de comportements entre salariés et non-

salariés Une étape importante lorsque l’on construit une table d’expérience est d’étudier la population de la base qui permet de la construire. La base a été construite à partir d’une population utilisant soit un produit de prévoyance individuelle packagé

avec des montants garantis élevés (destiné à protéger des patrons ou des directeurs indispensables au

fonctionnement d’une entreprise) soit un produit de prévoyance à la carte permettant un choix plus flexible

des garanties (destiné à la protection de travailleurs non-salariés tel que des infirmiers libéraux ou des

médecins indépendants).

Le but de la construction de la table était de la certifier pour son utilisation au sein de la population des

travailleurs non-salariés. Il a donc fallu, dans un premier temps, que l’on étudie si, au sein de ces produits, la

différence de comportement était réellement significative selon que l’on soit TNS ou Salarié.

L’indicateur qui a été retenu pour ce traitement est celui de la fiscalité du contrat. Bien que cela ne soit pas

toujours exacte il est d’usage que les non-salariés optent pour une fiscalité dite « Madelin » tandis que les

salariés, n’ayant pour leur part aucun choix, sont soumis à une fiscalité Non-Madelin.

Quelques mots sur la loi Madelin :

La loi n° 94-126 du 11 février 1994, dite « loi Madelin », reprise par l’article 154 bis du code général des impôts, permet aux travailleurs non-salariés (TNS) non agricoles de déduire de leur revenu imposable les cotisations versées chaque année au titre d’un contrat Madelin, afin de se constituer une retraite complémentaire ou acquérir des garanties de prévoyance et de santé, ou le versement d’indemnités en cas de perte d’emploi subie. Pour bénéficier des dispositions fiscales prévues par la loi « Madelin », les contrats d'assurances doivent être souscrits par une association. Pour adhérer à cette association, il faut exercer une activité non salariée non agricole. D’autre part, la loi prévoit que seules les sociétés d’assurances régies par le Code des assurances, les mutuelles régies par le Code de la mutualité et les caisses de retraite régies par le Code de la Sécurité sociale sont habilitées à gérer les contrats souscrits dans le cadre de la loi « Madelin ». Les contrats « Madelin » s’adressent aux personnes soumises à l’impôt sur le bénéfice industriel et commercial (BIC) ou sur le bénéfice non commercial (BNC) et affiliées au régime obligatoire maladie et vieillesse des TNS (non agricoles). La loi de finances rectificative pour 1995 a étendu ces dispositions aux conjoints collaborateurs. Elles s’appliquent aux cotisations versées depuis le 1er janvier 1996. Les détenteurs de contrats « Madelin » peuvent déduire du BIC ou BNC avant impôt les cotisations versées à condition que celles-ci soient versées régulièrement (chaque année), sous peine d’une reprise de l’avantage fiscal. Depuis l’année 2004, les plafonds de déductibilité sont les suivants : - pour la retraite, 10 % du revenu professionnel limité à 8 plafonds annuels de Sécurité sociale (PASS) majoré de 15 % du revenu compris entre 1 et 8, ou un forfait de 10 % du PASS ; - pour la prévoyance, 3,75 % du revenu professionnel augmenté de 7 % du PASS, le tout plafonné à 3 % de 8 PASS ; - pour la perte d’emploi subie, 1,875 % du revenu professionnel dans la limite de 8 PASS ou 2,5 % du PASS.

En contrepartie de la déductibilité, les indemnités journalières, celles versées en cas de perte d’emploi et les rentes sont imposables. En cas d’arrêt de travail, les indemnités journalières versées sont à réintégrer dans le revenu professionnel de l'année si l'activité professionnelle se poursuit. En cas d'arrêt de l'activité professionnelle, les indemnités journalières sont imposables à l'impôt sur le revenu après abattement de 10 %. Un contrat « Madelin » n’entre pas dans l’assiette de l’ISF. Les prestations versées dans le cadre de ces contrats peuvent recouvrir plusieurs aspects tels que : - le paiement d’indemnités journalières en cas d’arrêt de travail consécutif à une maladie ou une maternité ; - le paiement d’indemnités journalières ou le versement d’une rente en cas de perte d’emploi subie ; - le paiement de prestations en nature s’ajoutant à celles résultant d’un régime obligatoire ; - le versement d’une rente en cas de décès, d’invalidité ou de dépendance.

Au début une étude a été menée sur la population des assurés et des sinistrés sur l’ensemble des produits sans

se restreindre à une population de travailleurs non-salariés. Il était intéressant de déterminer si le fait d’être ou

pas un travailleur non salarié influait sur le comportement des assurés au niveau des sinistres.

Pour cela des tests d’indépendance du khi 2 ont été effectués pour étudier :

Au niveau de la base des contrats : l’influence du fait d’être ou pas un travailleur salarié sur le nombre

de contrats sinistrés et non sinistrés.

Au niveau de la base des sinistres : l’influence du fait d’être ou pas un travailleur salarié sur le nombre

de sinistres courts ou longs

Rappel sur le principe du Test d’indépendance du khi 2 :

On considère deux caractères A et B, quantitatifs ou qualitatifs. Le caractère A présente r modalités (r classes si A est quantitatif). Le caractère B présente s modalités (s classes si B est quantitatif).

Les effectifs conjoints sont répartis en rsk modalités ji BA

On souhaite tester l'hypothèse 0H : les caractères A et B sont indépendants, contre l'hypothèse 1H : les

caractères A et B ne sont pas indépendants.

On appelle ijN l'effectif observé de la modalité conjointe ji BA et ijn sa réalisation dans l'échantillon de

taille ji ijji ij nNn

,,étudié.

s

j

iji NN1

.

est l'effectif marginal de la modalité iA et

.in sa réalisation dans l'échantillon étudié ;

r

i

ijj NN1

. est l'effectif marginal de la modalité jB et jn. sa réalisation dans l'échantillon étudié.

On note ip la probabilité de la modalité

iA , et iq la probabilité de la modalité jB .

Sous l'hypothèse d'indépendance 0H , la probabilité de la modalité conjointe ji BA est jiqp et l'effectif

théorique espéré dans un échantillon de taille n est jiqnp .

Mais ip et

iq sont inconnus, il faut donc les estimer par n

Np i

i.ˆ et

n

Nq

j

j

.ˆ : l'effectif théorique espéré

est alors une variable aléatoireij

ijij

jiijC

CNqpnC

2)(ˆˆ

, qui prend, dans l'échantillon de taille n, la valeur

n

nnc

ji

ij

2

.. )( .

L'écart correspondant à la modalité ji BA estij

ijij

C

CN 2)( .

Il prend dans l'échantillon la valeur

n

nnn

nnn

dji

ji

ij

ij..

2..)(

et l'écart entre la distribution d'effectifs observés et

la distribution théorique espérée sous l'hypothèse d'indépendance est mesurée par la valeur

),(

..

2..)(

jiji

ji

ij

n

nnn

nnn

d de la fonction discriminantenD .

Ici, le nombre de paramètres estimés est )1()1( sr et le nombre de degrés de liberté est

11111 srsrrsv .

Si les conditions d'application sont vérifiées, la fonction discriminante suit une loi du Khi-deux à

11 srv degrés de liberté.

B A

1B … jB … sB Total

1A 111111 ;; dcn

…

jjj dcn 111 ;; …

sss dcn 111 ;;

sj

j

jnn1

1.1

… … … … … … …

iA

111 ;; iii dcn

…

ij

ijij

ij

ji

ijijc

cnd

n

nncn

2

.. )(;;

…

isisis dcn ;;

sj

j

iji nn1

.

… … … … … … …

rA 111 ;; rrr dcn

…

rjrjrj dcn ;; …

rsrsrs dcn ;;

sj

j

rjr nn1

.

Total

ri

i

inn1

11.

…

ri

i

ijj nn1

.

…

ri

i

iss nn1

. ),( ji ijnn

Les données et les calculs sont présentés dans un tableau à r + 2 lignes et s + 2 colonnes : — dans la première colonne, figurent les modalités du caractère A ; dans la première ligne, figurent les modalités du caractère B ; — dans la dernière ligne, figurent les effectifs marginaux des modalités de B ; dans la dernière colonne, figurent les effectifs marginaux des modalités d’A ;

— dans chaque case du tableau de contingence restant figurent : les effectifs observés ijn , les effectifs

théoriques espérés ijc , les écarts ijd correspondants.

Connaissant le niveau α du test, on peut calculer la valeur critique denD , à laquelle on compare la valeur

observée ijdd denD . On peut aussi calculer, à partir de la valeur observée d de

nD , la probabilité critique,

qui permet d'apprécier la crédibilité de l'hypothèse0H .

Pour mettre les tests statistiques en place, il a fallu prendre en compte le fait qu’il y a eu une migration du

système de traitement des données à la fin de l’année 2008.

Lors de cette migration, seuls les sinistres encore ouverts à ce moment ont été reportés. Les autres sinistres

ont disparu de la base de données. Cela entraine une dissymétrie de nos données puisque, pour les années de

survenance antérieures à 2008, seule une partie des sinistres est réellement connue.

Pour effectuer des tests cohérents, la base contrats a donc été réduite aux années d’effet de contrat comprises

entre 2009 et 2012. De même nous avons réduit notre base « sinistres » aux années de survenance comprises

entre 2009 et 2012.

a. Influence de la catégorie salariale sur le nombre de contrats sinistrés/non-sinistrés.

Dans un premier temps un test d’indépendance du khi 2 nous a permis de constater que le fait d’être un contrat sinistré ou non était largement dépendant de la catégorie salariale de notre assuré. Ce test a été effectué à l’aide du logiciel SAS. La base utilisée est notre base contrats à date d’effet comprise entre 2009 et 2012 à laquelle nous avons ajouté un indicateur disant si le contrat a été ou pas sinistré. Les résultats SAS de notre test sont les suivants :

Table de Catégorie salariale par Indicateur de Sinistralité

Indicateur de Sinistralité Total

Non Sinistré Sinistré

Catégorie salariale

8737 1062 9799

Travailleur Salarié

Fréquence

Attendu 8910.5 888.5

Ecart -173.5 173.5

Khi-2 par cellule 3.3781 33.878

Pourcentage 15.76 1.92 17.67

Pctage en ligne 89.16 10.84

Pctage en col. 17.33 21.12

Travailleur non salarié

Fréquence 41687 3966 45653

Attendu 41514 4139.5

Ecart 173.5 -173.5


Pourcentage 75.18 7.15 82.33

Pourcentage en ligne 91.31 8.69

Pourcentage en col. 82.67 78.88

Total Fréquence 50424 5028

Pourcentage 90.93 9.07 100.00

Pour un niveau d’erreur de 5%, notre p-value est nettement inférieure à 0.05 et nous permet donc très largement de rejeter le test d’indépendance de nos variables. Cela nous indique que le fait d’être sous un travailleur salarié, influe de façon positive sur l’évolution du nombre de sinistres. Les salariés ont donc une tendance à consommer davantage. Puisque l’on cherche à certifier une nouvelle table pour le provisionnement des TNS, il semble mieux d’éliminer les salariés dont le comportement en termes de nombres de sinistres pourrait éventuellement influer sur les taux. Pour approfondir cette étude, il a semblé utile d’étudier si le fait d’être sous un travailleur salarié ou pas influait sur la durée des sinistres observés.

b. Influence de la catégorie salariale sur la durée des sinistres

Un second test d’indépendance du khi 2 a permis de constater que la durée des sinistres était dépendante de la classe salariale de l’assuré. En effet, nous considérons ici qu’un sinistre court correspond à un sinistre qui dure moins de 12 mois et un

sinistre long plus de 12 mois. Cela permet d’avoir un domaine de comparaison des sinistres qui est le même

peu importe l’année de survenance.

Il était impossible de considérer notre variable numérique de durée du sinistre puisque nous travaillons sur des

années de survenance différentes. Pour 2009 par exemple le sinistre le plus long peut avoir atteint 3 ans tandis

que pour les sinistres survenus en 2012, la durée maximale que l’on peut observer est d’un an.

Ce test a été effectué à l’aide du logiciel SAS.

La base utilisée est notre base « sinistres » pour des années de survenance comprises entre 2009 et 2012 à

laquelle nous avons ajouté l’indicateur de fiscalité permettant de déterminer la catégorie salariale.

Les résultats SAS de notre test sont les suivants :

Table de Catégorie salariale par Classe de sinistre

Classe de sinistre Total

Sinistre Court Sinistre long

Catégorie salariale

1798 167 1965

Travailleur salarié

Fréquence

Attendu 1848.4 116.61

Ecart -50.39 50.389


Pourcentage 16.24 1.51 17.75



Travailleur non salarié

Fréquence 8616 490 9106

Attendu 8565.6 540.39

Ecart 50.389 -50.39


Pourcentage 77.82 4.43 82.25



Total Fréquence 10414 657 11071

Pourcentage 94.07 5.93 100.00

Statistique DDL Valeur Prob

Chi-Square 1 45.2525 <.0001

Likelihood Ratio Chi-Square 1 43.3653 <.0001

Continuity Adj. Chi-Square 1 44.9920 <.0001

Mantel-Haenszel Chi-Square 1 45.2517 <.0001

Phi Coefficient -0.0286

Contingency Coefficient 0.0286

Cramer's V -0.0286

Fisher's Exact Test

Cell (1,1) Frequency (F) 8737

Left-sided Pr <= F 2.518E-11

Right-sided Pr >= F 1.0000

Table Probability (P) 5.581E-12

Two-sided Pr <= P 4.736E-11

1,53 1,95 2,59

5,16 6,8

8,61

11,37 13,03

12,01 10,67 10,74

12,8

2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012

Répartition des années d'effet de contrat sur le portefeuille des contrats TNS

Année d’effet du contrat

0 0,03 1,03 5,7 5,95 6,82 8,62 6,24 0

65,6

2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 2016

Répartition des années de sortie de contrat sur le portefeuille des contrats TNS

Année de sortie du contrat

Pour un niveau d’erreur de 5%, notre p-value est nettement inférieure à 0.05 et nous permet donc très largement de rejeter le test d’indépendance de nos variables. Cela nous indique que le fait d’être un travailleur salarié influe de façon positive sur la durée des sinistres. Les salariés ont donc une tendance à rester davantage en arrêt. Cela nous conforte dans la décision d’éliminer les salariés de notre base et d’utiliser uniquement la population des travailleurs non-salariés même si cela nous résout à conserver moins de données. La décision est donc de garder uniquement les Travailleurs non-salariés

II. Etude de la base des contrats travailleurs non-salariés Avant de se lancer dans la construction de notre table, nous avons tenu à étudier de façon détaillée la composition de notre base pour savoir comment

Nuancer et appréhender les futurs résultats des taux Donner une idée d’ajustement de la table lorsque l’on provisionne Donner une idée sur la direction à prendre lorsque l’on fait un travail de re-tarification des produits Envisager des directions pertinentes lorsque l’on travaille sur les tarifs théoriques d’un nouveau

produit.

a. Etude de notre portefeuille de contrats

Nous commençons par étudier notre base portefeuille de contrats.

1. Quelques statistiques descriptives de base du portefeuille contrats :


Chi-Square 1 28.1418 <.0001

Likelihood Ratio Chi-Square 1 25.7117 <.0001

Continuity Adj. Chi-Square 1 27.5861 <.0001

Mantel-Haenszel Chi-Square 1 28.1392 <.0001

Phi Coefficient -0.0504


Cramer's V -0.0504

Fisher's Exact Test

Cell (1,1) Frequency (F) 1798

Left-sided Pr <= F 2.437E-07

Right-sided Pr >= F 1.0000

Table Probability (P) 9.723E-08

Two-sided Pr <= P 3.849E-07

La répartition du portefeuille semble cohérente avec les études déjà effectuées au sein de Generali les années précédentes et avec la réalité de l’entreprise. En effet, les produits Y sont accessibles à une population plus large que celle des produits X d’où l’importance de ce nombre de contrat par rapport au produit X. De même on observe une faible population féminine dans notre portefeuille qui concerne des produits pour travailleurs non-salariés. Cette population concerne encore une majorité d’hommes.

Femme 32%

Homme 68%

Répartition du genre sur le portefeuille de contrats TNS

Y 62%

X 38%

Répartition des produits sur le portefeuille des contrats TNS

18,66 26,3

17,34 10,6 11,76 9,34 6

Y10 YF YO X07 X08 XFA XFE

Répartition détaillée des produits sur le portefeuille des contrats TNS

Code Produit détaillé

2. Etudes des facteurs influents sur le nombre de sinistres

Nous avons ensuite voulu déterminer quels facteurs influaient sur le fait qu’un contrat soit sinistré ou pas. Nous avons donc effectué des tests d’indépendance du khi 2 et des tests de Student de comparaison de moyennes.

i. Influence de l’année d’effet de contrats sur le nombre de sinistres

On a constaté, en étudiant l’influence de l’année d’effet du contrat, que cette donnée semble avoir un impact

sur le nombre de sinistres.

En effet on remarque que pour les années d’effet 2009 et 2010 le nombre de sinistres semble significativement

élevé par rapport à ce que l’on aurait pu attendre s’il y avait indépendance. La p-value du test est largement

inférieure à 0.05 ce qui nous permet de rejeter sans mal l’hypothèse d’indépendance.

Ceci peut s’expliquer par l’arrivée du nouveau produit Y10 qui a été créé en 2010. Les répercussions de ce

produit qui se veut meilleur que ces prédécesseurs, ne peuvent se faire sentir qu’à partir de l’année 2011. De

plus, la jeunesse de ce produit ne permet pas de l’étudier à son « rythme de croisière ». +On peut également

émettre l’hypothèse qu’il s’agit de facteurs extérieurs à l’entreprise et que les années 2009 et 2010 étaient des

années particulièrement sinistrées.

Table de l’année d’effet du contrat par Indicateur de Sinistralité

Indicateur de Sinistralité

Total Non Sinistré Sinistré

Année d’effet du contrat

2009

Fréquence 10225 1635 11860

Attendu 10830 1030,3

Ecart -604,7 604,69

Khi-2 par cellule 33,764 354,89

Pourcentage 22,4 3,58 25,98

Pctage en ligne 86,21 13,79

Pctage en col 24,53 41,23

2010

Fréquence 9305 1237 10542

Attendu 9626,2 915,81 Ecart -321,2 321,19 Khi-2 par cellule 10,717 112,64 Pourcentage 20,38 2,71 23,09

Pctage en ligne 88,27 11,73 Pctage en col 22,32 31,19

2011

Fréquence 9848 758 10606

Attendu 9684,6 921,37 Ecart 163,37 -163,4 Khi-2 par cellule 2,756 28,968 Pourcentage 21,57 1,66 23,23


2012

Fréquence 12309 336 12645

Attendu 11546 1098,5 Ecart 762,51 -762,5 Khi-2 par cellule 50,354 529,28 Pourcentage 26,96 0,74 27,7



Pourcentage 91,31 8,69 100


Chi-Square 3 1123,3741 <0001

Likelihood Ratio Chi-Square 3 1259,1243 <0001

Mantel-Haenszel Chi-Square 1 1097,5837 <0001

Phi Coefficient 0,1569

Contingency Coefficient 0,155

Cramer's V 0,1569

ii. Influence des produits sur le nombre de sinistre

Table de Code produit détaillé par Indicateur de Sinistralité


Total Pas Sinistré Sinistré

Code produit détaillé

17465 966 18431 Y10 Fréquence


Pctage en ligne 94,76 5,24 Pctage en col 41,9 24,36 YO Fréquence 13742 2300 16042

Attendu 14648 1393,6 Ecart -906,4 906,39 Khi-2 par cellule 56,084 589,5 Pourcentage 30,1 5,04 35,14

Pctage en ligne 85,66 14,34 Pctage en col, 32,96 57,99 X08 Fréquence 10480 700 11180


Pctage en ligne 93,74 6,26 Pctage en col 25,14 17,65 Total Fréquence 41687 3966 45653


On constate que la nouvelle génération de produits (Y10) est sensiblement moins sinistrée que l’ancienne (YO). Ce qui est une bonne chose en soit mais ce qui n’explique pas que l’on observe des S/P instables et croissantes sur ce produit. De même, le produit X08 semble meilleur en terme de sinistralité.

iii. Influence du sexe sur le nombre de sinistre

Table de Sexe par Indicateur de Sinistralité


Total Non Sinistré Sinistré

Sexe

14484 1804 16288

Femme

Fréquence

Attendu 14873 1415 Ecart -389 389,02 Khi-2 par cellule 10,175 106,95 Pourcentage 31,73 3,95 35,68


Homme

Fréquence 27025 2148 29173


Pctage en ligne 92,64 7,36 Pctage en col 64,83 54,16 Pctage en col 0,43 0,35




Chi-Square 2 1004,4666 <,0001

Likelihood Ratio Chi-Square 2 957,9891 <,0001

Mantel-Haenszel Chi-Square 1 58,6609 <,0001



Cramer's V 0,1483

Ce résultat est en accord avec les résultats observés jusqu’à présent sur le portefeuille. On constate que le sexe

semble influer de façon significative le nombre de sinistres.

Les femmes semblent être plus promptes à avoir des sinistres que les hommes. Toutes nos p-value confirment

ce raisonnement.

iv. Répartition femme/hommes sur les types de contrats Table de Sexe par Etat du Contrat

Etat du Contrat

Total Contrat clos Contrat ouvert

Sexe

8560 22382 30942

Femmes

Fréquence

Attendu 8713,4 22229

Ecart -153,4 153,44


Pourcentage 8,67 22,66 31.32


Pctage en col, 30,77 31,54

Hommes

Fréquence 19183 45833 65016

Attendu 18309 46707

Ecart 874,13 -874,1


Pourcentage 19,42 46,4 65.82



On constate qu’il y a une proportion de femmes un peu plus élevée que celle attendue en cas d’indépendance. Cela laisse présager que les femmes auront une plus grande tendance à être sur des contrats ouverts que sur des contrats fermés. Cela peut s’expliquer par le fait que la population des travailleurs non-salariés (longtemps concernée par la gente masculine) se féminise aujourd’hui ou que nos produits ont tendance aujourd’hui à attirer davantage de femmes.

v. Etude de l’âge moyen sur les contrats ouverts

Un test de Student a été réalisé pour comparer les moyennes d’âge entre les contrats sinistrés et les non

sinistrés. Cela a permis de mettre en évidence la significativité de cette différence d’âge.

En effet, comme nous l’indiquent les résultats ci-dessous, les individus sinistrés semblent plus âgés que les non

sinistrés.

Indicateur de Sinistralité Method Mean 95% CL Mean

Non Sinistré 45.1772 45.1012 45.2532

Sinistré 46.8379 46.6422 47.0336

Diff (1-2) Pooled -1.6607 -1.8660 -1.4554

Diff (1-2) Satterthwaite -1.6607 -1.8706 -1.4508

Method Variances DF Valeur du test t Pr > |t|

Pooled Equal 70961 -15.86 <.0001

Satterthwaite Unequal 12943 -15.51 <.0001

Le même test de Student a été effectué pour comparer les âges par produit et par genre.


Chi-Square 2 182,0948 <,0001

Likelihood Ratio Chi-Square 2 176,7845 <,0001

Mantel-Haenszel Chi-Square 1 178,9993 <,0001



Cramer's V 0,0632

Variable d'analyse : âge

Produit N Obs N Moyenne Ecart-type Minimum Maximum

Y 43742 43742 42.0105391 9.1316199 16.0000000 70.0000000

X 27221 27221 50.8642959 7.7618689 22.0000000 113.0000000

Lorsque l’on observe le résultat ici, on constate que l’âge moyen est bien plus élevé chez le produit X que chez le produit Y. On pourrait donc s’attendre à ce qu’il y ait davantage de sinistrés chez le produit X. Cependant, cette tendance pourrait aussi se compenser par le fait par exemple que les individus optant pour le produit X soient moins prompts à s’arrêter du fait de leur rôle majeur dans leur entreprise. Sexe N Obs N Moyenne Ecart-type Minimum Maximum

Femme 22382 22382 43.1637923 9.8355486 16.0000000 113.0000000

Homme 45833 45833 46.2982567 9.4072152 19.0000000 73.0000000

On constate que l’âge moyen des femmes est plus faible que celui des hommes. Cela laisserait penser que les hommes sont plus sinistrés que les femmes mais l’étude qui a été faite précédemment montre le contraire. Le critère « femme » semble donc contrebalancer celui de l’âge.

b. Etude de notre portefeuille de sinistres

1. Quelques statistiques descriptives de base du portefeuille :

Femme 38%

Homme 62%

Répartition du genre sur le portefeuille des sinistres

1,52

8,34

12,22 13,77 14,92

16,76 16,15

12,32

4,01

[-;25] [25;30] [30;35] [35;40] [40;45] [45;50] [50;55] [55;60] [60;+]

Répartition des classes d’âge de survenance sur le portefeuille des sinistres

Classe d’âge de survenance

La répartition du portefeuille « Sinistres » est cohérente avec les résultats jusqu’ici observés au sein du service. On constate que l’on a davantage d’hommes sinistrés que de femmes (en nombre) bien que la fréquence de femmes sinistrées est significativement plus élevée que celle des hommes (d’après le test d’indépendance du khi 2 vu précédemment).

On s’est intéressé à la variable « mois de survenance » car une étude de la périodicité des sinistres paraissait intéressante au vu de l’allure observée des S/P. A première vue, la répartition semble plutôt équilibrée. Dans la partie qui suit, une étude sera faite sur l’influence que peut avoir ou pas cette variable sur la durée des sinistres. On commence par l’étude de la variable « Année de survenance ».

0,01 0,01 0,01 0,13 0,41

4,23

20,5 22,94

25,39 26,36

2001 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012

Répartition des années de survenance de sinistres

Année de survenance

9,39 8,43 8,36

6,88 7,18 7,66 8,49

7,05 8,32

9 9,55 9,68

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Répartition des mois de survenance de sinistres

Mois de survenance

2. Etudes des facteurs d’influence sur la durée du sinistre

i. Etude influence année de survenance sur la durée du sinistre

Table de l’année de survenance par Classe de sinistre

Classe de sinistre

Total Sinistre Court Sinistre long

Année de survenance

2703 148 2851 2009 Fréquence

Attendu 2690,2 160,8

Ecart 12,804 -12,8


Pourcentage 28,23 1,55 29,78



2010 Fréquence 3009 182 3191

Attendu 3011 179,98

Ecart -2,019 2,0188





2011 Fréquence 3322 210 3532

Attendu 3332,8 199,21

Ecart -10,79 10,785







Statistics for Table of Année de survenance by Classe de sinistre


Chi-Square 2 1,7233 0,4225 Likelihood Ratio Chi-Square 2 1,7411 0,4187

Mantel-Haenszel Chi-Square 1 1,6504 0,1989



Cramer's V 0,0134

Le test sur la dépendance entre le fait d’avoir un sinistre long et l’année de survenance de ce sinistre ne semble

pas conclure à une dépendance.

On peut considérer qu’il s’agit là d’une bonne chose puisque l’on construira la table d’incapacité pour une

utilisation continue.

Il est bon de constater qu’au fil des dernières années le comportement des sinistrés n’a pas énormément

évolué. Cela est un point qui rassure puisque bien que l’on ait constaté précédemment que la fréquence de

sinistres était significativement plus élevée sur certaines années, cela ne viendra finalement pas biaiser les

durées de maintien et les estimateurs des taux de sortie.

ii. Etude de l’influence du type de produit sur la durée des sinistres :

Table de Produit par Classe de sinistre

Classe de sinistre


Produit

5891 328 6219 Y Fréquence

Attendu 5868,2 350,77

Ecart 22,769 -22,77


Pourcentage 61,53 3,43 64,96



X Fréquence 3143 212 3355

Attendu 3165,8 189,23

Ecart -22,77 22,769


Pourcentage 32,83 2,21 35,04





On constate que les p-value ne permettent pas de se placer à un niveau de confiance de 0.01 % d’erreur si l’on rejette l’hypothèse d’indépendance. En contrepartie si l’on se place sur un test avec une marge d’erreur acceptable de 5%, on conclut qu’il y a dépendance entre le produit souscrit et la durée du sinistre. Les sinistrés concernés par le produit X auraient une tendance plus forte à avoir un sinistre long. Cette donnée peut être utile si l’on souhaite faire des ajustements lorsque l’on provisionne les sinistres liés à ces deux produits.

iii. Etudes de la durée des sinistres sur la base des sinistres clos :

Variable : mois de survenance

Classe du sinistre


Mois de survenance

1

Fréquence 873 45 918

Attendu 882.8 35.202

Ecart -9.798 9.7976


Pourcentage 9.30 0.48 9.78


Pctage en col 9.67 12.50

2


Attendu 798.17 31.828

Ecart 5.8279 -5.828




Pctage en col 8.91 7.22

3


Attendu 793.36 31.636

Ecart -0.364 0.3639




Statistics for Table of Produit by Classe de sinister


Chi-Square 1 4,4696 0,0345

Likelihood Ratio Chi-Square 1 4,3993 0,036 Continuity Adj, Chi-Square 1 4,2755 0,0387 Mantel-Haenszel Chi-Square 1 4,4692 0,0345



Cramer's V 0,0216


4


Attendu 627.96 25.04

Ecart 6.0405 -6.04





5


Attendu 672.2 26.804

Ecart -1.196 1.1956





6


Attendu 706.82 28.185

Ecart 3.1849 -3.185





7


Attendu 787.59 31.406

Ecart -9.594 9.5939





8


Attendu 641.42 25.577

Ecart -0.423 0.4227





9


Attendu 717.39 28.607

Ecart 2.6067 -2.607





10


Attendu 781.82 31.176

Ecart 0.176 -0.176

Khi-2 par cellule 3,96E-05 0.001




11


Attendu 812.6 32.403

Ecart 3.4031 -3.403





12


Attendu 805.87 32.135

Ecart 0.1346 -0.135

Khi-2 par cellule 2,25E-05 0.0006





Pourcentage 96.17 3.83 100.00

Statistics for Table of mois de survenance by Classe de sinistre


Chi-Square 11 9.5698 0.5695

Likelihood Ratio Chi-Square 11 9.3277 0.5917

Mantel-Haenszel Chi-Square 1 0.2297 0.6318

Phi Coefficient 0.0319


Cramer's V 0.0319

Le test de khi 2 permet largement d’accepter l’hypothèse H0 d’indépendance. On constate donc qu’il n’y a pas de périodicité sur les sinistres. Variable : Age à la survenance du sinistre

Classe de sinistre Method Mean 95% CL Mean Std Dev 95% CL Std Dev

Sinistre Court 44.2691 44.0631 44.4750 9.9812 9.8377 10.1290

Sinistre long 48.4000 47.5327 49.2673 8.3677 7.7978 9.0280

Diff (1-2) Pooled -4.1309 -5.1765 -3.0854 9.9243 9.7844 10.0684

Diff (1-2) Satterthwaite -4.1309 -5.0222 -3.2397

Method Variances DF Valeur du test t Pr > |t|

Pooled Equal 9386 -7.74 <.0001

Satterthwaite Unequal 400.84 -9.11 <.0001

Ici le test de Student réalisé permet de comparer les moyennes d’âge de survenance entre les sinistres courts

et les sinistres longs. Le test d’égalité est largement validé. La p-value est nettement inférieure à 0.0001, la

marge d’erreur est donc très faible. On remarque donc que les sinistres longs touchent une population

globalement plus âgée que celle touchée par les sinistres plus courts.

Cette tendance sera logiquement reflétée lors de la création de la table d’expérience où l’on prendra en

compte l’âge de l’assuré pour déterminer les probabilités de sortie.

III. Synthèse de la partie C

Les études statistiques effectuées sur les données sont cohérentes avec les résultats d’études faites les années

antérieures. Elles informent sur les caractéristiques propres à la population TNS qui utilise les produits

proposés par GENERALI.

Au regard de ces études, on pressent certaines problématiques liées au fait de l’existence de plusieurs

générations de produits dont l’âge plus ou moins récent viennent interférer sur les comportements des assurés

et dont la maturité ne permet pas nécessairement une étude approfondie.

Les tests du Khi 2 et de Student effectués ont permis de mettre en évidence certains facteurs influant sur la

sinistralité et sur la durée du sinistre.

Ces données peuvent être alors utiles si l’on envisage un ajustement des provisions en fonction des facteurs

influents.

Toujours dans l’idée d’ajuster un provisionnement ou une tarification de produit, on s’est intéressé à l’individu

TNS à proprement parlé. La question s’est posée de savoir plus exactement qui est le TNS. Outre le fait qu’il

s’agisse d’un travailleur non salarié, le TNS englobe une population qui semble au premier abord très éparse

puisqu’elle rassemble dans un même groupe l’ingénieur informatique indépendant, le médecin et le

mécanicien. Il a donc semblé intéressant de s’intéresser à la façon dont sont regroupés les individus à

l’intérieur de ce groupe et si ces regroupements ont un impact quelconque sur les durées de maintien en

incapacité.

Pour cela, un modèle de Cox a été mis en place permettant à la fois de déterminer l’influence de ces

regroupements mais aussi de proposer un modèle de durée prenant directement en compte cet impact.

Dans un premier temps, on étudie deux modèles d’estimations paramétriques qui sont des méthodes

classiques généralement utilisées pour la problématique propre à ce mémoire.

D. Méthode d’estimation des taux de maintien : Kaplan Meier et

Influence des lissages

Notions de base et introduction au modèle de durée

On considère une variable aléatoire T à valeurs dans ,0 , et on note dans la suite )()( tTPtF sa

fonction de répartition (continue à droite).

Lorsque la densité deT existe, on la notera :

h

htTtPtF

dt

dtf

h

)(lim)()(

0

.

La fonction de Survie

La fonction de survie est par définition le complément de la fonction de répartition :

)()(1)( tTPtFtS

S est donc une fonction décroissante telle que 1)0( S (si 0)0( TP , ce que nous supposerons) et

0)(lim

tSt

.

Si la durée moyenne de survie existe alors elle s’exprime simplement à l’aide de S :

000

)()()()( dttSttdSttdFTE

La fonction de survie conditionnelle

On pose tout d’abord )()( uTtuTPtS u la fonction de survie conditionnelle ; on s’intéresse donc

à la survie d’un élément après un instant tu , sachant qu’il a déjà fonctionné correctement jusqu’en u .

En revenant à la définition de la probabilité conditionnelle on peut écrire :

)(

)(

)(

)()()(

uS

tuS

uTP

utTPuTtuTPtS u

La fonction de survie conditionnelle s’exprime donc simplement à l’aide de la fonction de survie.

Méthode d'estimation des qx bruts : Kaplan Meier

méthode 1 de lissage appliquée Méthode des splines

méthode 2 de lissage appliquée Méthode de Whittaker Henderson / lissage vertical =1 et lissage horizontal =3

méthode 3 de lissage appliquée Méthode de Whittaker Henderson / lissage vertical =2et lissage horizontal =3

méthode 1 d'ajustement logistique Méthode d'ajustement logistique avec méthode des moindres carrés ordinaires

méthode 2 d'ajustement logistique Méthode d'ajustement logistique avec méthode des moindres carrés pondérés

La fonction de hasard

La fonction de hasard (ou taux de panne, taux de défaillance, taux de décès, risque instantané, etc.) est par

définition : ))(ln()(

)(

)(

)()( tS

dt

d

tS

tS

tS

tfth

Il en résulte directement que la fonction de hasard détermine entièrement la loi de T et qu’on a la relation

suivante : ))(exp()(0

t

dsshtS

On note en général t

dsshtH0

)()( la « fonction de hasard cumulée », qui est telle que

)(exp)( tHtS .

H est évidemment croissante. On utilise dans certains tests d’adéquation le fait que )(TH suit une loi

exponentielle de paramètre 1.

Cette propriété découle de :

)exp()((exp)()())(( 111 xxHHxHSxHTPxTHP

D’après la définition de la fonction de survie conditionnelle et la formule ci-dessus on obtient :

tu

u

u dsshts )(exp)(

Cela revient à dire que la fonction de hasard de la survie conditionnelle au fait d’être en fonctionnement à la

date u est )( tuht .

On en déduit en particulier que la fonction de hasard est croissante si et seulement si la durée de vie résiduelle après u est stochastiquement décroissante comme fonction de u .

C’est souvent la fonction de hasard qui est utilisée pour spécifier un modèle de durée. Elle a en effet une interprétation « physique » ; en utilisant la définition de la fonction de hasard et de la

fonction de survie on peut écrire :

u

tTutTtP

tuS

utTtPth

uu

)(lim

)(

)(lim)(

00

ce qui signifie que pour de « petites » valeurs de u , uth )( est approximativement la probabilité que le

composant tombe en panne entre t et ut , sachant qu’il est en fonctionnement en t .

En d’autres termes :

dtthtTdttTtP )()(

Variables discrètes

Si la variable aléatoire T prend des valeurs entières, sa distribution est décrite par les

0),( kpourkTPpk

La fonction de survie s’écrit simplement :

1

)(km

mpkS

L’interprétation de la fonction de hasard donnée ci-dessus conduit naturellement à poser dans le cas discret :

)1()1()(

kS

pkTktPkh k

La fonction de hasard au point k s’interprète donc comme le taux de sortie au moment k.

De l’expression ci-dessus on tire que )1(

)()(1

kS

kSkh ,

puis, par récurrence :

k

m

mhkS1

)(1)(

I. Construction des taux de sorties bruts (qx) par Kaplan Meier

a. Description de la méthode

(Source : Modèles de Durée, Applications actuarielles, Frédéric Planchet et Pierre Thérond)

Plusieurs méthodes de construction de xq bruts existent.

La première à avoir été testée, est la plus utilisée dans le monde de l’actuariat. Il s’agit de la méthode de Kaplan

Meier qui est un estimateur non-paramétrique.

On va calculer la probabilité de sortie au moment t en regardant le comportement des individus sur l’intervalle

1, tt .

On cherche les taux de sortie par mois de maintien. Pour cela, on va raisonner par jour et on va considérer,

pour un âge fixe x, maa ,...,1 l’ensemble de jours compris dans l’intervalle 1, tt .

On appelle alors:

in : le nombre d’individus d’âge x encore en arrêt au moment ia

1id : le nombre de sorties au moment ia .

1ic : le nombre d’individus censurés en ia .

1iz : le nombre d’individus tronqués au cours du mois t .

1111 iiiii zcdnn *

L’expression du qx brut pour l’âge x et au moment t est alors est alors la suivante :

)1(1),(ˆ1

m

i i

i

n

dtxq

Au vue de notre manque d’exposition pour certains âges, on a procédé à un regroupement des âges.

On a donc calculé les xq bruts de Kaplan Meier pour les âges :

[19 – 30] (regroupés)


pour chaque âge entre 36 et 60 ans


A la fin de nos calculs on a donc nos xq bruts tels que, t ,:

- ),30(ˆ),29(ˆ),28(ˆ),27(ˆ),26(ˆ),25(ˆ),24(ˆ),23(ˆ),22(ˆ),21(ˆ),20(ˆ),19(ˆ tqtqtqtqtqtqtqtqtqtqtqtq xxxxxxxxxxxx

- ),35(ˆ),34(ˆ),33(ˆ),32(ˆ),31(ˆ tqtqtqtqtq xxxxx

- ),65(ˆ),64(ˆ),63(ˆ),62(ˆ),61(ˆ tqtqtqtqtq xxxxx

b. Résultat graphique

Voici une représentation graphique des xq bruts obtenus

Les xq bruts qui ressortent de ce modèle sont très erratiques et nécessitent qu’on les harmonise par une

méthode de lissage.

Plusieurs méthodes de lissage des xq ont été testées.

Pour chacune des méthodes de lissage testée sur les xq bruts, on obtient des

xq lissés que l’on appellera

finalq et à partir desquels on crée une nouvelle table de xl telle que :

)),(1(*),()1,(

10000)0,(

txqtxltxl

xl

finalxx

x

Pour les âges entre 16 et 18 ans il n’y a pas de données disponibles, les tables sont donc étendues de telle sorte que :

),19(),18(),17(),16( tqtqtqtq finalfinalfinalfinal

Enfin, on arrête chaque table à l’âge 65 ans.

Les parties qui suivent présentent les méthodes de lissages qui ont parues les plus pertinentes à tester ainsi que les résultats qu’elles ont permis d’obtenir.

II. Lissage des taux par méthode des Splines


La première méthode de lissage utilisée est celle correspondant à un lissage non paramétrique avec la méthode des Splines. La méthode des Splines est une méthode très utilisée dans le cas de lissage pour des taux de maintien. Ce lissage a été réalisé à l’aide du logiciel R.

Explication de la méthode En premier lieu, on va expliquer le principe de cette méthode lorsque l’on se place en dimension 1. On

expliquera ensuite comment on a pu l’appliquer sur les xq bruts par âge et par mois de maintien.

Le principe du lissage par Splines est d’interpoler les points par des fonctions en découpant la plage en sous intervalles. Sur chaque sous-intervalle, une fonction d’interpolation sera choisie pour ajuster les taux en faisant attention aux points que les fonctions d’interpolation ont en commun. En règle générale, les polynômes qui sont des fonctions simples que l’on peut raccorder facilement aux points de jonction sont aisément utilisés lorsque l’on a recourt à cette méthode. Lorsque l’on se place sur un découpage en deux parties de la plage, on considère l’expression suivante :

211

100

)(

)(

xxxxp

xxxxpqx où les

ip sont des polynômes de degré 3.

Les contraintes au point de jonction sont les suivantes :

)()(),()(),()( 112

2

102

2

11101011 xpdx

dxp

dx

dxp

dx

dxp

dx

dxpxp

On peut alors poser 3

4

2

3210 )( xcxcxccxp et )()()( 1201 xxcxpxp

L’étape qui suit est alors la minimisation de la distance entre les xq bruts calculés avec un estimateur (Kaplan

Meier dans le cas de cette partie) et les xq interpolés par la fonction polynôme. Il faut donc choisir un critère

de minimisation (critère des moindres carrés ordinaires ou critère des moindres carrés pondérés) et l’appliquer

au système.

Dans le cadre de ce mémoire, on a appliqué la méthode des Splines en transformant la matrice des ),(ˆjix txq

en un vecteur u tel que ),(ˆ)1(36 jixji txqu

Avec 1,0,1,19 1010 jjii tttxxx


Voici une représentation graphique des qx lissés par la méthode des splines cubiques.

Ce lissage fournit un résultat plutôt satisfaisant et qui semble cohérent au niveau visuel. Des tests vont donc

être effectués sur cette table que l’on appellera KMSplines pour en mesurer la justesse et l’impact potentiel

qu’elle pourrait avoir lors de son utilisation au sein du service.

c. Validation du lissage

Pour l’estimateur de Kaplan Meier, un intervalle de confiance intéressant à utiliser est celui qui utilise la

variance de Greenwood.

En effet, contrairement à l’estimateur de l’intervalle de confiance de HOEM, l’estimateur de Greenwood

n’impose pas de condition sur l’ordre de grandeur des expositions.

Cet estimateur de la variance de l’estimateur de Kaplan Meier s’exprime de la façon suivante :

22 ),(),(ˆ),(ˆˆ mmm txtxStxsV où ),(ˆ mtxS représente l’estimateur de survie à l’âge x au moment mt et

m

i iii

i

txdtxRtxR

txdtx

1 ),(),()(,(

),(),( .

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36

borne sup Sx_33

Sx lissé 33

borne inf Sx_33

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36

borne sup Sx_45

Sx lissé 45

borne inf Sx_45

Les expressions des bornes de confiance sont alors les suivantes :

),(),(ˆ),(ˆ),(2

_ mmmmICx txtxSutxStxS et ),(),(ˆ),(ˆ),(2

_ mmmICx txtxSutxStxS où

2u est le quantile d’ordre

2 de la loi normale centrée réduite et où 1 désigne le niveau de confiance.

On choisit dans cette étude un niveau de confiance de 95%, c’est-à-dire 05.0 .

Pour étudier nos différents lissages, nous avons tracé l’intervalle de confiance sur la fonction de survie pour les âges 33 ans et 45 ans et également une surface représentant les points sortant de l’intervalle de confiance que l’on a appelée « surface de confiance ».

Intervalles de confiances par âge

- Graphique pour l’âge : 33 ans

- Graphique pour l’âge : 45 ans

Suivant l’âge et le mois, les qx peuvent rester ou pas dans l’intervalle de confiance de l’estimateur.

On observe par exemple que pour l’âge 45 ans la courbe reste quasiment tout le temps dans l’intervalle de

confiance alors que ce n’est pas le cas pour l’âge 33 ans où la courbe reste quasiment en tout point au-dessus

de la borne supérieure.

Etude de la surface de confiance

Pour déterminer de la pertinence d’un lissage, il a donc fallu établir un moyen d’évaluer si la surface lissée a une tendance globale à rester dans l’intervalle de confiance ou pas.

Pour cela, une surface cS a été créée correspondant à l’équation suivante :

)),(),(,0max()),(),(,0max(),( ____ txStxStxStxStxS lisséxICxICxlisséxc

On constate que la fonction de survie est globalement dans l’intervalle de confiance même si l’on remarque un

certain nombre de fluctuations qui semblent non négligeables.

Bien que les résultats ne soient pas au mieux de ce que l’on pourrait attendre, ils restent tout de même

suffisamment convenables pour que l’on n’exclue pas cette table.

Pour continuer dans le processus de validation, on a procédé à une comparaison des résultats réels et des

résultats théoriques apportés par la table aussi bien au niveau du nombre de jours d’incapacité estimés qu’au

niveau de l’estimation des montants à régler.

d. Comparaison du nombre réel de jours sinistrés et du nombre estimé

Estimations en termes de jours sinistrés pour les sinistres survenus entre 2007 et 2012 : Dans un premier temps cela semblait pertinent de s’intéresser à la fidélité de l’estimation du nombre de jours

d’arrêts.

Le graphique qui suit présente les estimations du nombre de jours sinistrés par mois de maintien pour des

sinistres survenus entre 2007 et 2012 pour la table actuellement utilisée et la nouvelle table.

On peut comparer ces estimations à la courbe du nombre réel de jours indemnisés également présente sur le

graphique.

Bien que la table semble estimer le nombre de jours sinistrés de façon correcte et mieux adaptée que

l’ancienne, on émet une nuance quant à ces résultats pour deux raisons :

- Les années de survenance 2011 et 2012 viennent fausser nos résultats car tous les sinistres correspondant à

ces années ne sont pas terminés.

- Les sinistres survenus en 2008 et 2007 ont subi la migration du système de gestion de données et ne sont

donc pas entièrement reportés.

Ces mêmes estimations ont donc été représentées pour les années de survenance 2009 et 2010.

Estimations en termes de jours sinistrés pour les sinistres survenus en 2009 :

La nouvelle table est plus prudente que l’ancienne puisqu’elle est toujours au-dessus du nombre réel de jours

sinistrés.

De plus, la courbe correspondant au nombre réels de jours sinistrés est toujours dans l’intervalle de confiance

ce qui est une bonne chose.

Enfin, on constate l’avantage de la nouvelle table par rapport à l’ancienne qui parait sous-estimer le nombre de

jours sinistrés sur les premiers mois.

Nombre de jours observé survenance 2010

Nombre de jours théoriques survenance 2010 Nouvelle Table

Nombre de jours théoriques survenance 2010 Ancienne Table

Borne inf 2010

Borne Sup 2010

Estimations en termes de jours sinistrés pour les sinistres survenus en 2010 :

La table KMSplines est plus prudente que l’ancienne puisqu’elle est toujours au-dessus du nombre réel de jours sinistrés. De plus, la courbe correspondant au nombre réel de jours sinistrés est toujours dans l’intervalle de confiance ce qui est une bonne chose. Enfin, on constate l’avantage de la nouvelle table par rapport à l’ancienne qui parait sous-estimer le nombre de

jours sinistrés sur les premiers mois.

e. Processus de certification

Lors du processus de suivi de table, une méthodologie a été élaborée permettant de mettre en place des

indicateurs caractérisant la table.

Chaque année, une estimation du nombre de sinistres incapacité et passage en Invalidité et du montant de

règlement des années antérieures à l’année en cours est faite à l’aide des tables d’expérience en incapacité et

en passage.

Ces estimations sont ensuite comparées année par année aux valeurs réelles et nous permettent de

déterminer si la table est bien en accord avec la réalité.

Pour les sinistres d’une année courante N, le but est d’estimer le nombre de jours sinistrés et les montants

d’indemnisation de l’année N+1.

Les données utilisées pour déterminer les durées d’indemnisation estimées et réelles de l’année N+1 sont :

L’âge de l’adhérent sinistré à l’arrêt

La date du sinistre

La date de début d’indemnisation

La date de fin d’indemnisation

Le montant garanti

On détermine ensuite :

Le nombre de jours réellement payés sur l’année N+1

L’ancienneté du sinistre

Sont alors estimés le nombre de jours d’indemnisation et la volatilité du nombre de jours d’indemnisation

probable pour chaque année considérée ainsi que les montants probables.

Estimation du nombre de jours sinistrés

L’estimation du nombre de jours sinistrés espérés, P, se calcule par l’expression suivante :

NI

m

mm axRP1

),( , où :

- NI est le nombre de sinistrés de la base,

- mx et

ma sont respectivement l’âge et l’ancienneté de l’individu m

- Et pour un assuré d’âge x et d’ancienneté a :

)11,35min(

),(

)1,(),(

2

1),(

a

ak x

xx

axl

kxlkxlaxR

P représente donc la moyenne espérée de jours d’arrêt du portefeuille sur un an.

La volatilité de cette estimation est calculée par la formule :

N

mm

I

m

ax

1

2

, , où pour un assuré d’âge x et d’ancienneté a, on a :

)11,35min(2

, ),(),(

)1,(),()(

a

ak x

xxax axR

axl

kxlkxlak

L’intervalle de confiance avec un niveau de confiance à 95% s’écrit alors de la façon suivante :

96,1,96,1 PPIC

Résultats avec table proposée Nb sinistre Nb jour reel Nb jour estimé rapport E/R Mnt réel Mnt estimé rapport E/R

réel Nous 8206,38 1094985,6 1073252 -2,0% 120 184 395,71 119 168 291,87 -0,8%

6mois Nous 17738,74 1094985,6 1626881 48,6% 120 184 395,71 176 817 225,70 47,1%

4mois Nous 13036,02 1094985,6 1406840 28,5% 120 184 395,71 152 983 431,78 27,3%

3mois Nous 10475,91 1094985,6 1244830 13,7% 120 184 395,71 135 751 469,77 13,0%

Résultats avec ancienne table Nb sinistre Nb jour reel Nb jour estimé rapport E/R Mnt réel Mnt estimé rapport E/R

réel Nous 8206,38 1094985,6 1112972,619 1,6% 120 184 395,71 125 870 735,78 4,7%

6mois Nous 17738,74 1094985,6 1733847,929 58,3% 120 184 395,71 187 428 248,11 56,0%

4mois Nous 13036,02 1094985,6 1478718,581 35,0% 120 184 395,71 164 257 652,36 36,7%

3mois Nous 10475,91 1094985,6 1304048,49 19,1% 120 184 395,71 144 753 702,90 20,4%

Comparaison sur total 2007-2012

Estimation des montants de sinistres

On garde les mêmes notations pour déterminer le montant espéré associé aux sinistres.

La formule est la suivante :

NI

m

mmm axRpD1

),( , oùmp est le montant de la prestation réglée pour le sinistre m.

La volatilité de cette estimation sera alors

N

mm

I

m

axmD p1

2

,

2

Expression des différents périmètres d’estimation considérés

Les estimations sont réalisées sur différents périmètres et donnent donc des résultats différents selon le

périmètre choisi.

Pour chaque année N :

le premier périmètre qu’on qualifiera de « réel » consiste à conserver les sinistres en cours l’année N

et ayant donné lieu à au moins un règlement l’année N+1.

Le périmètre selon le critère des trois mois consiste à conserver les sinistres ayant donné lieu à un

règlement avant le 31/12/N, dont la date de fin de règlement est postérieure au 30/09/N et ayant

donné lieu à au moins un règlement l’année N.

Le périmètre selon le critère des quatre mois consiste à conserver les sinistres ayant donné lieu à un



Le périmètre selon le critère des six mois consiste à conserver les sinistres ayant donné lieu à un



Le tableau qui suit présente les résultats obtenus au globale avec la table KMSplines testée et avec l’ancienne

afin que l’on puisse en faire la comparaison.

On constate que les résultats de la table KMSplines sont moins prudents que ceux de l’ancienne. De plus, sur le

périmètre réel, les chiffres ont tendance à s’éloigner davantage du nombre réel comparé aux résultats que

nous fournissait l’ancienne table.

Année courante

d'estimation N

Nombre estimé de jours

sinistrés pour l'année N+1rapport R/E volatilité Min Max

Montant estimé des règlements en

incapacités pour l'année N+1rapport R/E volatilité Min Max

2011 227 897 2,0% 13 652 201 139 254 654 24 210 858 7,6% 1 857 497 20 570 165 27 851 552

2012 276 479 -1,1% 15 419 246 259 306 699 29 692 182 -1,6% 2 120 382 25 536 233 33 848 130

2011 378 644 69,5% 22 864 333 831 423 458 40 488 114 79,9% 2 993 836 34 620 196 46 356 033

2012 426 118 52,4% 24 575 377 951 474 286 40 488 114 79,0% 2 993 836 34 620 196 46 356 033

2011 327 205 46,5% 19 167 289 639 364 772 34 886 697 55,0% 2 546 446 29 895 662 39 713 343

2012 368 893 32,0% 20 823 328 079 409 706 39 216 784 30,0% 2 773 893 33 779 953 44 322 642

2011 292 929 31,1% 17 230 259 158 326 700 31 090 557 38,1% 2 304 673 26 573 399 35 607 716

2012 323 862 15,9% 18 547 287 510 360 214 34 534 369 14,5% 2 486 303 29 661 215 39 407 523

Ancienne Table

Nombre de jours Montant

On peut regarder plus en détails les résultats pour les années d’estimation 2011 et 2012.

Les tableaux suivants présentent

- D’une part, un récapitulatif des montants et nombres de jours sinistrés réels pour les années d’estimation

2011 et 2012 ainsi que le nombre de sinistres considérés dans chaque périmètre d’estimation pour ces

mêmes années.

- D’autre part, les estimations et les calculs de volatilité et d’intervalles de confiance pour ces mêmes

années avec l’ancienne table

- Et enfin, les estimations et les calculs de volatilité et d’intervalles de confiance pour ces mêmes années

avec la nouvelle table

Les résultats confirment l’aspect moins prudent de la table KMSplines.

Ceci peut s’avérer problématique notamment compte tenu du fait que l’ancienne table était certifiée sur le

périmètre des 4 mois et que le souhait pour la nouvelle table serait de la certifier sur le périmètre plus restreint

des 3 mois.

On souhaiterait donc des résultats qui nous permettraient aisément d’aboutir à cette certification.

Périmètre

d'estimation

Nombre de sinistres de

l'année N pour estimation

Nombre réel de jours

sinistrés l'année N+1

Montant réel des règlement

pour l'année N+1

Année courante

d'estimation N

1675 223 388 22 506 007 2011

1976 279 523 30 171 319 2012

3823 - - 2011

4192 - - 2012

2887 - - 2011

3171 - - 2012

2378 - - 2011

2512 - - 2012

6 mois

4 mois

3 mois

réel

Année courante

d'estimation N





2011 221 426 -0,9% 13 454 195 057 1 675 23 131 102 2,8% 1 814 956 19 573 788 26 688 416

2012 265 987 -4,8% 15 187 236 221 1 976 28 073 747 -7,0% 2 072 763 24 011 131 32 136 362

2011 362 005 62,1% 22 560 317 788 406 222 37 659 339 67,3% 2 922 771 31 930 709 43 387 970

2012 402 937 44,2% 24 242 355 423 450 451 41 700 987 38,2% 3 111 738 35 601 981 47 799 993

2011 314 028 40,6% 18 878 277 028 2 887 32 721 810 45,4% 2 483 207 27 854 724 37 425 577

2012 351 207 25,6% 20 522 310 984 3 171 36 645 715 21,5% 2 716 105 31 322 149 41 640 634

2011 281 857 26,2% 16 970 248 597 2 378 29 345 012 30,4% 2 483 207 27 854 724 37 425 577

2012 309 343 10,7% 18 285 273 504 2 512 32 458 012 7,6% 2 716 105 31 322 149 41 640 634


Nouvelle Table

Malgré les limites de cette table, ses résultats la laissent éligible à une certification. Cependant, on attendra de comparer ces résultats à ceux obtenus avec nos autres tables pour déterminer s’il est préférable de garder celle-ci plutôt qu’une autre.

III. Lissage des qx par Whittaker-Henderson


Nous avons ensuite effectué un lissage des xq bruts avec une méthode de Whittaker-Henderson.

La méthode de Whittaker-Henderson nous a paru être une méthode adaptée puisqu’ayant déjà fait ses preuves dans le monde de l’actuariat en ce qui concerne la construction de table. Elle est également une des rares à permettre un lissage en deux dimensions et est souvent utilisée lorsqu’il s’agit de table de maintien en incapacité.

Explication de la méthode

Dimension 1

Comme pour la méthode de lissage par Splines, on commence par expliquer le principe du lissage de Whittaker-Henderson en dimension 1 puis on élargira le principe à la dimension 2. En dimension 1, la méthode de Whittaker-Henderson se base sur deux critères : un critère dit de fidélité et un autre critère dit de régularité. Le critère de fidélité s’écrit de la façon suivante :

p

i xixii qqwF 2)ˆ( et le critère de régularité 2

1)(

zp

i xi

zqS

z correspond à un paramètre du modèle.

Grâce à cette méthode, il a été possible d’attribuer aux xiq des poids

iw correspondant au taux d’exposition

par âge et par mois de maintien.

Le critère de minimisation utilisé est alors le suivant : ShFM où h est un second paramètre du

modèle.

La solution de ce problème de minimisation doit alors satisfaire aux conditions : 0

xiq

M

On pose :

- pixiqq 1)ˆ(ˆ

- piiwdiagw 1)(

- zpii

zz qq 1)(

On obtient alors )ˆ()ˆ( qqwqqF t et qqS zzt )(

On introduit la matrice zK de taille ),( pzp , dont les termes sont les coefficients binomiaux d’ordre z dont

le signe est alterné et commence positivement pour z pair.

On peut alors écrire qKq z

z .

Le critère de minimisation s’écrit alors :

qKKqhqqwqqM zz

ttt )ˆ()ˆ(

On a alors l’expression qKKhqwwqq

Mzz

t2ˆ22

et la résolution de 0

q

Mmène au résultat :

qwKKhwq zz

t

lisseˆ)( 1

Dimension 2 Pour l’extension de ce modèle en dimension 2, il faut réécrire les variables introduites précédemment. Le critère de fidélité s’écrit dans ce cas (et en se référant au modèle étudié dans ce mémoire) :

48

1

36

1

2)),(ˆ),((i j

jixjilissei txqtxqwF où 1,0,1,19 1010 jjii tttxxx

Le critère de régularité quant à lui est scindé en deux :

- Un critère de régularité verticale

48

1

36

1

2)),((i j

jilisse

z txqS

- Un critère de régularité horizontale

y

i j

jilisse

y

h txqS48

1

36

1

2)),((

On obtient alors le critère de minimisation suivant :

hSSFM

On considère :

- Le vecteur u de taille qp tel que : )(ˆ,)1(36 jixji txqu et

- la matrice )( *ijw telle que ijjiji ww

*

)1(36,)1(36

- De même on définit les matrices zK et

h

yK (par analogie à la dimension 1).

Les valeurs lissées s’obtiennent alors par l’équation finale suivante :

uwKKKKwq h

y

h

y

t

zz

t *1** )(

Concernant les choix des paramètres de lissage, deux choix potentiels ont été retenus. Ces choix se sont justifiés par l’étude de l’allure des nappes qui semblaient, d’une part plus régulière, et d’autre part plus cohérente avec la réalité. Comme pour la table issue du lissage par Splines, différents tests ont été effectués sur les tables afin d’en déterminer la cohérence.

b. Etude du premier test de lissage : ordre verticale = 1, ordre horizontale = 3

On appellera la table ici de ce lissage la table KMWH13.

1. Résultat graphique

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36

borne sup Sx_33

Sx lissé 33

borne inf Sx_33

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36

borne supSx_45Sx lissé 45

2. Validation du lissage

Comme pour le lissage avec la méthode des Splines, on utilise la variance de Greenwood pour déterminer

l’intervalle de confiance de notre fonction de survie.

Les intervalles de confiance sur la fonction de survie sont tracés comme lors du lissage par Splines pour les âges

33 ans et 45 ans. On étudie la surface de confiance représentant les points sortant de l’intervalle de confiance.

Intervalles de confiances par âge

Graphique pour l’âge : 33 ans

Graphique pour l’âge : 45 ans

Comparativement aux résultats obtenus avec le lissage précédent, les écarts pour l’âge 33 ans par rapport

à l’intervalle de confiance semblent légèrement plus prononcés ici. Par contre, pour l’âge 45 ans, les

résultats semblent meilleurs puisque la courbe est continument dans l’intervalle de confiance.

Une étude de la surface de confiance pourra aider dans le jugement de ce lissage.


On ne constate pas de différences majeures entre ce résultat et celui déjà observé pour la table KMSplines.

3. Comparaison du nombre réel de jours sinistrés et du nombre estimé.

L’étape suivante de l’étude consiste à comparer le nombre réel de jours sinistrés au nombre de jours

estimé par la table KMWH13. Si l’estimation du nombre de jours sinistrés n’amène pas un plus à nos

résultats, il sera peut-être intéressant d’étudier le second lissage de Whittaker avant d’aller plus loin dans

notre étude.

Les courbes représentant les résultats obtenus suivent ci-dessous.

mois 0

mois 6

mois 12

mois 18mois 24

mois 30mois 36

-0,08

-0,06

-0,04

-0,02

0

0,02

0,04

Age

19

Age

22

Age

25

Age

28

Age

31

Age

34

Age

37

Age

40

Age

43

Age

46

Age

49

Age

52

Age

55

Age

58

Age

61

Age

64

0,02-0,04

0-0,02

-0,02-0

-0,04--0,02

-0,06--0,04

-0,08--0,06

Mo

is 0

Mo

is 1

Mo

is 2

Mo

is 3

Mo

is 4

Mo

is 5

Mo

is 6

Mo

is 7

Mo

is 8

Mo

is 9

Mo

is 1

0

Mo

is 1

1

Mo

is 1

2

Mo

is 1

3

Mo

is 1

4

Mo

is 1

5

Mo

is 1

6

Mo

is 1

7

Mo

is 1

8

Mo

is 1

9

Mo

is 2

0

Mo

is 2

1

Mo

is 2

2

Mo

is 2

3

Mo

is 2

4

Mo

is 2

5

Mo

is 2

6

Mo

is 2

7

Mo

is 2

8

Mo

is 2

9

Mo

is 3

0

Mo

is 3

1

Mo

is 3

2

Mo

is 3

3

Mo

is 3

4

Mo

is 3

5

Mo

is 3

6

Nombre de jours observé global

Nombre de jours théoriques global Nouvelle table

Nombre de jours théoriques global Ancienne table

Borne inf global

Borne Sup global

Mo

is 0

Mo

is 1

Mo

is 2

Mo

is 3

Mo

is 4

Mo

is 5

Mo

is 6

Mo

is 7

Mo

is 8

Mo

is 9

Mo

is 1

0

Mo

is 1

1

Mo

is 1

2

Mo

is 1

3

Mo

is 1

4

Mo

is 1

5

Mo

is 1

6

Mo

is 1

7

Mo

is 1

8

Mo

is 1

9

Mo

is 2

0

Mo

is 2

1

Mo

is 2

2

Mo

is 2

3

Mo

is 2

4

Mo

is 2

5

Mo

is 2

6

Mo

is 2

7

Mo

is 2

8

Mo

is 2

9

Mo

is 3

0

Mo

is 3

1

Mo

is 3

2

Mo

is 3

3

Mo

is 3

4

Mo

is 3

5

Mo

is 3

6

Nombre de jours observé survenance 2009Nombre de jours théoriques Nouvelle table survenance 2009Nombre de jours théoriques Ancienne Table survenance 2009Borne inf 2009Borne Sup 2009

Estimations en termes de jours sinistrés pour les sinistres survenus entre 2007 et 2012

Les résultats sont équivalents aux résultats précédents exceptés sur la queue de la courbe où cette table

semble légèrement plus prudente (voir trop puisque notre courbe du nombre réel de jours n’est plus dans

l’intervalle de confiance).

Estimation en termes de jours sinistrés pour les sinistres survenus en 2009 :

Mo

is 0

Mo

is 1

Mo

is 2

Mo

is 3

Mo

is 4

Mo

is 5

Mo

is 6

Mo

is 7

Mo

is 8

Mo

is 9

Mo

is 1

0

Mo

is 1

1

Mo

is 1

2

Mo

is 1

3

Mo

is 1

4

Mo

is 1

5

Mo

is 1

6

Mo

is 1

7

Mo

is 1

8

Mo

is 1

9

Mo

is 2

0

Mo

is 2

1

Mo

is 2

2

Mo

is 2

3

Mo

is 2

4

Mo

is 2

5

Mo

is 2

6

Mo

is 2

7

Mo

is 2

8

Mo

is 2

9

Mo

is 3

0

Mo

is 3

1

Mo

is 3

2

Mo

is 3

3

Mo

is 3

4

Mo

is 3

5

Mo

is 3

6

Nombre de jours observé survenance 2010

Nombre de jours théoriques Nouvelle table survenance 2010

Nombre de jours théoriques ancienne table survenance 2010

Borne inf

Borne Sup

Estimation en termes de jours sinistrés pour les sinistres survenus en 2010 :

Les résultats ne sont pas plus satisfaisants que ceux obtenus avec la table KMSplines. Avant de pousser l’étude

plus loin, on va donc étudier les résultats obtenus avec le deuxième lissage de Whittaker. Si ces résultats sont

plus satisfaisants, il sera inutile de poursuivre l’étude des résultats du premier lissage.

c. Etude du premier test de lissage : ordre verticale = 2, ordre horizontale = 3

1. Résultat graphique

Cette courbe a semblé très intéressante dans sa structure.

En effet, on constate des taux de sortie un peu plus élevés sur les premiers mois pour les âges compris entre 35

et 55 ans.

Cela semble tout à fait cohérent avec la réalité où on observe effectivement qu’un individu jeune ou une

personne âgée qui entre en incapacité présente une forte probabilité d’avoir un sinistre d’importance

significative et donc de rester en incapacité pour une durée importante.

On appellera la table issue de ce lissage la table KMWH23.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36

borne sup Sx_33

Sx lissé 33

borne inf Sx_33

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36

borne sup Sx_45

Sx lissé 45

borne inf Sx_45

2. Validation du lissage

Graphique pour les âges :33 ans et 45 ans

Lors du processus de validation du lissage, les courbes pour les âges 33 ans et 45 ans restent bien comprises

dans les intervalles de confiance ce qui n’était pas le cas lors des études pour les lissages précédents,

particulièrement en ce qui concerne l’âge 33 ans. Cela laisse présager une meilleure adaptation des taux lisses

de cette table.

Pour confirmer cette idée, il faut étudier la surface de confiance de cette table.


En observant la surface de confiance, on constate que comparativement aux deux autres lissages étudiés, cette

surface est beaucoup plus plate et présente des pics moins importants.

Cette courbe semble donc nettement plus adaptée si l’on se réfère à la cohérence du lissage.

Les estimations du nombre de jours sinistrés obtenues avec cette table viennent confirmer l’hypothèse qu’elle

serait plus adaptée à la réalité.

Ici suivent les résultats obtenus pour l’année de survenance 2009.

mo

is 0

mo

is 5

mo

is 1

0

mo

is 1

5

mo

is 2

0

mo

is 2

5

mo

is 3

0

mo

is 3

5

-0,06

-0,05

-0,04

-0,03

-0,02

-0,01

0

0,01

0,02

0,03

Age

19

Age

23

Age

27

Age

31

Age

35

Age

39

Age

43

Age

47

Age

51

Age

55

Age

59

Age

63

0,02-0,03

0,01-0,02

0-0,01

-0,01-0

-0,02--0,01

-0,03--0,02

-0,04--0,03

-0,05--0,04

-0,06--0,05

Ces résultats traduisent bien la tendance de la table KMWH23 à être plus prudente que les deux autres, tout en

respectant l’allure de la courbe représentant le nombre réel de jours sinistrés. De plus, cette dernière courbe

reste dans l’intervalle de confiance, ce qui ajoute du crédit à cette table.

Une étude des indicateurs est bienvenue pour déterminer si cette table doit être retenue plutôt que la table

KMSplines

3. Processus de certification

Les résultats globaux sont légèrement plus prudents que ceux obtenus avec l’ancienne table sans pour autant

faire exploser les estimations.

Lorsque l’on fait un focus sur les années 2011 et 2012, cela confirme cette tendance.

De plus, dans le cas du périmètre, on observe que les bornes de confiance restent bien cohérentes avec les

nombres réels observés (223 388 jours sinistrés, 22 506 007 euros réglés pour l’année d’estimation 2011 et 279

523 jours sinistrés, 30 171 319 euros réglés pour l’année d’estimation 2012) ce qui vient confirmer la

cohérence de la table.

Jusqu’à présent, et au vu des études faites, la table qui semble la plus cohérente est celle obtenue avec

l’estimateur de Kaplan Meier et le lissage de Whittaker Henderson retenant les paramètres 2 pour l’ordre de

lissage vertical et 3 pour l’ordre de lissage horizontal.

C’est donc cette table qui est pressentie à la certification pour le moment.


réel Nous 8206 1094985,6 1124201,171 2,7% 120184395,71 126274530,8 5,1%

6mois Nous 17739 1094985,6 1719755,059 57,1% 120184395,71 191726799,9 59,5%

4mois Nous 13036 1094985,6 1485794,095 35,7% 120184395,71 164103621,6 36,5%

3mois Nous 10476 1094985,6 1309502,875 19,6% 120184395,71 144688440,4 20,4%

Résultats avec table Actuaris Nb sinistre Nb jour reel Nb jour estimé rapport E/R Mnt réel Mnt estimé rapport E/R

réel Nous 8206 1094985,6 1112972,619 1,6% 120184395,71 125870735,8 4,7%

6mois Nous 17739 1094985,6 1733847,929 58,3% 120184395,71 187428248,1 56,0%

4mois Nous 13036 1094985,6 1478718,581 35,0% 120184395,71 164257652,4 36,7%

3mois Nous 10476 1094985,6 1304048,49 19,1% 120184395,71 144753702,9 20,4%


Année courante

d'estimation N



Montant estimé des

règlements en incapacités

pour l'année N+1

rapport R/E volatilité Min Max

2011 230 589 3,2% 13 660 203 816 257 362 24 328 337 8,1% 1 848 940 20 704 416 27 952 259

2012 278 593 -0,3% 15 423 248 364 308 822 29 731 389 -1,5% 2 115 553 25 584 905 33 877 873

2011 381 894 71,0% 22 877 337 056 426 733 40 515 025 80,0% 2 994 443 34 645 916 46 384 134

2012 427 924 53,1% 24 589 379 730 476 119 44 994 072 49,1% 3 184 716 38 752 029 51 236 114

2011 329 568 47,5% 19 155 292 023 367 113 34 911 873 55,1% 2 539 927 29 933 617 39 724 444

2012 370 089 32,4% 20 813 329 295 410 883 39 175 374 29,8% 2 775 809 33 734 789 44 283 555

2011 294 941 32,0% 17 218 261 194 328 688 31 153 359 38,4% 2 539 927 29 933 617 39 724 444

2012 324 526 16,1% 18 529 288 208 360 843 34 493 306 14,3% 2 775 809 33 734 789 44 283 555

Nouvelle Table


IV. Modèle logistique et ajustement des taux bruts par méthode des

MCO/MCP

Au niveau de la retraite, des tables de mortalité avaient été construites par ajustement avec un modèle

logistique. En se basant sur cette expérience de l’équipe, et sur les résultats intéressants qui avaient été

obtenus à cette époque (réf : Mémoire, « Construction de tables d’expérience pour les rentes »), Jérémy

DUBOIS), l’idée a été de réutiliser ce moyen sur la construction de la nouvelle table de maintien en incapacité.

Deux méthodes ont été testées :

L’ajustement logistique par la Méthode des moindres carrés ordinaires

L’ajustement logistique par la Méthode des moindres carrés pondérés

a. Description du modèle d’ajustement logistique

Le modèle logistique

Dans ce modèle, on ne va pas s’intéresser directement au taux de mortalité xq mais au logit du taux de

mortalité

Pour un âge ix et un mois de maintien jt considérés, le modèle sera le suivant :

xij

ji

ref

ji

ref

jiajusté

jiajustéb

txq

txqa

txq

txq

)

),(1

),(ln()

),(1

),(ln(

Où :

- ),( jiajusté txq est le taux de maintien ajusté associé à l’âge ix et au mois de maintien jt

- ),( ji

ref txq est le taux de de maintien de référence associé à l’âge ix et au mois de maintien jt

- xij est l’erreur d’ajustement du taux de sorti associé à l’âge ix et au mois de maintien jt , correspondant

à une variable gaussienne centrée .

On obtient notre ),( jiajusté txq de la façon suivante :

btxq

txqazavec

z

ztxq

ji

ref

ji

ref

xij

xij

xij

jiajustéˆ)

),(1

),(ln(ˆ

)exp(1

)exp(),(

Méthode des moindres carrés ordinaires

On choisit de minimiser la distance entre les taux de mortalité, c’est-à-dire :

btxq

txqazoù

z

ztxqavectxqtxq

ji

ref

ji

ref

xij

xij

xij

jiajusté

ji

jiajustéjixˆ)

),(1

),(ln(ˆ

)exp(1

)exp(),(),(),(ˆ

,

2

On utilise le Solver d’Excel pour minimiser cette distance.

Moindres carrés pondérés

On choisit de minimiser la distance pondérée entre les taux de mortalité, c’est-à-dire :

btxq

txqazoù

z

ztxqavectxqtxqTxe

ji

ref

ji

ref

xij

xij

xij

jiajusté

ji

jiajustéjixxijˆ)

),(1

),(ln(ˆ

)exp(1

)exp(),(),(),(ˆ

,

2

et où xijTxe est le taux d’exposition associé à l’âge ix et au mois de maintien jt .

b. Résultats graphiques

Suivent ici l’allure des taux de sorties obtenus après application des deux méthodes d’ajustement expliquées ci-dessus.

Moindres carrés Ordinaires

Moindres carrés Pondérés

Le résultat obtenu avec la méthode des moindres carrés pondérés semble plus satisfaisant au niveau de la régularité de la courbe. Cependant on y observe une cassure un peu plus prononcée sur les premiers mois et une pente beaucoup plus douce sur les derniers mois (excepté le 36

ème mois où les taux passent d’une valeur

quasiment nulle à 1). On nomme cette table KMMCP et l’autre table obtenue KMMCO. Dans les deux cas, les nappes restent assez fidèles à la table initiale sur laquelle a été effectué l’ajustement et

qui était jusqu’alors utilisée dans le service.

On s’attend à ce que ces résultats ne collent pas en termes d’intervalle de confiance puisqu’il n’a pas été

question ici d’un lissage classique. En effet en observant uniquement les surfaces de confiance que l’on obtient

avec ces tables, on constate que l’on est bien loin d’une structure plate.

mo

is 0

mo

is 5

mo

is 1

0

mo

is 1

5

mo

is 2

0

mo

is 2

5

mo

is 3

0

mo

is 3

5

-0,15-0,1

-0,050

0,050,1

0,150,2

0,25

0,3

0,35

Age

19

Age

23

Age

27

Age

31

Age

35

Age

39

Age

43

Age

47

Age

51

Age

55

Age

59

Age

63

0,3-0,35

0,25-0,3

0,2-0,25

0,15-0,2

0,1-0,15

0,05-0,1

0-0,05

-0,05-0

-0,1--0,05

-0,15--0,1

c. Positionnement en terme d’intervalle de confiance

Moindres carrés Ordinaires

On constate qu’il y a de grosses sous-estimations de la fonction de survie pour les premiers mois. En revanche

les fluctuations se font plus acceptables pour les mois plus élevés et la surface se fait alors plus plate.

Moindres carrés Pondérés

mo

is 0

mo

is 4

mo

is 8

mo

is 1

2

mo

is 1

6

mo

is 2

0

mo

is 2

4

mo

is 2

8

mo

is 3

2

mo

is 3

6

-0,14

-0,12

-0,1

-0,08

-0,06

-0,04

-0,02

0

0,02

Age

19

Age

24

Age

29

Age

34

Age

39

Age

44

Age

49

Age

54

Age

59

Age

64 0-0,02

-0,02-0

-0,04--0,02

-0,06--0,04

-0,08--0,06

-0,1--0,08

-0,12--0,1

-0,14--0,12

Les résultats obtenus ici montrent une large tendance à surestimer la fonction de survie ce qui pourrait amener

par voie de conséquence à un provisionnement beaucoup trop important. Compte tenu des résultats déjà

obtenus avec la courbe lissée de Kaplan Meier jusqu’ici retenue, on s’attend à une explosion des indicateurs.

En effet, la table lissée par la méthode de Kaplan Meier avait une surface plutôt lisse avec quelques pics qui,

bien qu’ils soient rares, présentaient plutôt une tendance à la sous-estimation de la fonction de survie.

Il semble donc judicieux de s’intéresser directement aux indicateurs obtenus avec ces méthodes puisqu’un

doute sérieux est émis sur les résultats que l’on en obtiendra.

d. Processus de certification

Moindres Carrés Pondérés

On commence par l’étude des indicateurs pour la méthode des moindres carrés pondérés sur laquelle on émet

les plus gros doutes. Comme attendu, les résultats des indicateurs sont explosifs.

On élimine donc définitivement la KMMCP des tables envisageables pour une nouvelle certification.

Moindres Carrés Ordinaires

On s’intéresse maintenant l’étude de ces indicateurs pour la méthode des moindres carrés ordinaires

On obtient des résultats bien moins impressionnants que ceux que l’on vient d’observer, cependant, ils restent

tout de même assez peu satisfaisants étant donné qu’il sous- estime encore davantage que la table KMSplines

et sont donc nettement moins bons que les résultats de la table KMWH23 retenue jusqu’ici.

Résultats total 2007-2011

Résultat avec table proposée Nb sinistre Nb jour reel Nb jour estimé rapport E/R Mnt réel Mnt estimé rapport E/R

réel Nous 6231 815463 1359202,16 67% 90013077,04 155590847,27 73%

6mois Nous 13547 815463 2378795,76 192% 90013077,04 289039076,26 221%

4mois Nous 9865 815463 2039006,99 150% 90013077,04 227209218,45 152%

3mois Nous 7964 815463 1720605,45 111% 90013077,04 191046494,95 112%

Résultats total 2007-2011

Résultats avec tableproposée Nb sinistre Nb jour reel Nb jour estimé rapport E/R Mnt réel Mnt estimé rapport E/R

réel Nous 6231 815462,67 785819,64 -4% 90013077,04 90290336,20 0%

6mois Nous 13547 815462,67 1189357,98 46% 90013077,04 134321274,88 49%

4mois Nous 9865 815462,67 1024505,79 26% 90013077,04 115419044,16 28%

3mois Nous 7964 815462,67 909952,44 12% 90013077,04 102333236,52 14%

V. Synthèse partie D Bien qu’on ne sache pas si c’est une règle générale, on constate ici qu’il n’y a pas de grandes différences entre le lissage par Splines et le lissage avec la méthode de Whittaker-Henderson dont les ordres de lissages verticale et horizontale sont 1 et 3. Les résultats de ces lissages ne sont pas incohérents mais restent moins bons que ceux obtenus avec la table KMWH23 lissée par une méthode de Whittaker-Henderson d’ordre vertical 2 et d’ordre horizontale 3. En effet les résultats obtenus avec cette table sont les plus prudents, ne font pas exploser les indicateurs et

restent tout de même cohérents avec la réalité.

Le modèle logistique associé à une méthode d’ajustement MCP ne semble pas du tout convenir et conduit à

une surestimation exacerbée de la durée des sinistres. Cette méthode est donc définitivement écartée.

La méthode d’ajustement MCO donne des résultats bien plus satisfaisants mais reste la table la moins prudente de toutes celles testées jusqu’à présent. Elle reste donc un choix envisageable mais ne constituera pas le premier choix vers lequel se tourner.

E. Méthode d’estimation des taux de maintien : Estimateur

actuariel et Influence des lissages

I. Construction des qx bruts par la méthode de l’Estimateur Actuariel Dans un deuxième temps on a eu recours à l’estimateur Actuariel pour construire nos qx bruts. Bien que cet estimateur soit parfois mis en doute, il a semblé intéressant d’étudier les résultats qu’il pouvait

apporter. Comme pour l’estimateur de Kaplan Meier, on a également raisonné en regroupant des âges

d’exposition.


Pour ce modèle, on se place à un âge fixe (ou groupe d’âge fixe) et on raisonne en intervalle de temps. Ici

chaque moment it correspond au ième mois d’arrêt.

On va donc calculer la probabilité de sortie au moment it en regardant le comportement des individus sur

l’intervalle ]it ,

1it ].

En se plaçant sur l’ensemble des individus d’âge x, on appelle :

tin : le nombre d’individu d’âge x encore en arrêt au moment it

tid : le nombre de sortie au moment it (c’est-à-dire au cours du

it - ème mois d’arrêt).

tic : le nombre d’individus censurés au cours du mois it

tiz : le nombre d’individus tronqués au cours du mois it

L’expression du xq bruts pour l’âge x et au moment ti est alors la suivante :

22

),(ˆtiti

ti

tiix zc

n

dtxq

Méthode d'estimation des qx bruts : Estimateur Actuariel

méthode 1 de lissage appliquée Méthode des splines

méthode 2 de lissage appliquée Méthode de Whittaker Henderson / lissage vertical =1 et lissage horizontal =3

méthode 3 de lissage appliquée Méthode de Whittaker Henderson / lissage vertical =2et lissage horizontal =3

méthode 1 d'ajustement logistique Méthode d'ajustement logistique avec méthode des moindres carrés ordinaires

méthode 2 d'ajustement logistique


Voici une représentation graphique des qx bruts ainsi obtenus :

L’effet de l’échelle peut être trompeur, mais en pratique on constate que les taux de sortie bruts pour cet

estimateur sont moins élevés que pour ceux de l’estimateur de Kaplan Meier.

De plus, les résultats sont beaucoup moins épars (même si cet effet sera dans tous les cas réduit lors du lissage

des taux de sortie).

Des résultats plus prudents que ceux obtenus avec l’estimateur de Kaplan Meier sont donc attendus.

II. Lissage par la méthode des Splines

A la lumière des résultats obtenus lors de nos études sur l’estimateur de Kaplan Meier il a semblé logique de

commencer par la méthode de lissage des Splines. On s’attend à des résultats plus prudents que ceux obtenus

avec l’estimateur de Kaplan Meier, ce qui pourrait donc être tout à fait satisfaisant.

Ici est présenté le résultat graphique de la table obtenue avec un lissage par Splines.

a. Résultat graphique

L’allure de la courbe est similaire à celle obtenue avec l’estimateur de Kaplan-Meier. Cependant la courbure au

niveau des mois compris entre 30 et 20 est légèrement plus prononcée.

b. Validation du lissage

On étudie la surface de confiance pour déterminer si le lissage reste ou non globalement dans l’intervalle de confiance. On constate qu’elle a la même allure que celle obtenue pour l’estimateur de Kaplan Meier si ce n’est que les pics sont légèrement plus prononcés en valeur absolue qu’il s’agisse de pics négatif ou positif. Cette courbe se trouve en annexe 2 avec également les graphiques des intervalles de confiance pour les âges 33 ans et 45 ans en annexe 1.

c. Comparaison du nombre réel de jours sinistrés et du nombre estimé

Les résultats d’estimations pour le nombre de jours sinistrés sont beaucoup plus élevés que ceux obtenus

jusqu’à maintenant pour toutes les autres tables. De plus on remarque que notre courbe de jours réels ne reste

pas dans l’intervalle de confiance quel que soit l’année de survenance choisie.

Ici le graphique pour l’année de survenance 2009 traduit bien cette tendance.

Cette table semble donc sujette à la prudence aux premiers abords. L’étude des indicateurs tranchera sur le

sujet.

d. Processus de certification

Les résultats que l’on obtient sont, comme attendu, plus prudents que ceux vus avec l’estimateur de Kaplan

Meier. Ils dépassent même les résultats obtenus avec la table KMWH23.


réel Nous 8206 1094985,60 1187204,04 8,4% 120184395,71 131689478,80 9,6%

6mois Nous 17739 1094985,60 1783220,30 62,9% 120184395,71 196528324,76 63,5%

4mois Nous 13036 1094985,60 1590766,85 45,3% 120184395,71 172595308,10 43,6%

3mois Nous 10476 1094985,60 1394433,11 27,3% 120184395,71 151747888,40 26,3%


Année courante

d'estimation N





2011 244 850 9,6% 14 048 217 316 272 385 25 562 952 13,6% 1 893 463 21 851 764 29 274 140

2012 293 897 5,1% 15 845 262 842 324 953 30 998 065 2,7% 2 160 329 26 763 821 35 232 309

2011 414 763 85,7% 23 553 368 599 460 927 43 087 544 91,4% 3 049 789 37 109 958 49 065 130

2012 402 937 44,2% 24 242 355 423 450 451 41 700 987 38,2% 3 111 738 35 601 981 47 799 993

2011 354 760 58,8% 19 711 316 126 393 394 36 925 779 64,1% 2 590 945 31 847 528 41 831 514

2012 396 438 41,8% 21 415 354 464 438 412 41 281 623 36,8% 2 831 681 35 731 527 46 485 496

2011 315 746 41,3% 17 715 281 024 350 467 32 850 229 46,0% 2 590 945 31 847 528 41 831 514

2012 345 717 23,7% 19 074 308 333 383 102 36 217 618 20,0% 2 831 681 35 731 527 46 485 496

Nouvelle Table


On remarque que cette table reste plutôt intéressante puisqu’elle reste cohérente en termes d’intervalle de

confiance pour les indicateurs. De plus, il ne devrait pas y avoir de problème pour la certifier.

On se doute que les résultats que l’on obtiendra avec le lissage de Whittaker-Henderson ordre vertical 2 et

ordre horizontal 3 seront encore plus prudents que ceux que l’on vient d’observer et risquent donc d’être trop

éloignés de la réalité. De plus, le niveau de prudence de cette table semble déjà parfaitement adapté à nos

attentes, il n’est donc pas nécessaire d’avoir recours à une table plus prudente. On peut écarter la méthode de

Whittaker Henderson d’ordres 2 et 3.

On va alors tester la méthode d’ajustement MCO qui donnait des résultats moins prudents et déterminer si elle

s’adapte mieux à cet estimateur (le but étant de trouver un table au moins aussi prudente que l’ancienne mais

mieux adaptée aux données du service et qui ne fasse pas exploser les provisions futures).

III. Ajustement des taux bruts par la méthode des MCO

a. Résultats graphiques

Les résultats graphiques sont semblables a ceux observés pour l’estimateur de Kaplan Meier. On va donc déterminer si la table ainsi obtenue fournie des résultats que l’on peut retenir ou pas.

mo

is 0

mo

is 3

mo

is 6

mo

is 9

mo

is 1

2

mo

is 1

5

mo

is 1

8

mo

is 2

1

mo

is 2

4

mo

is 2

7

mo

is 3

0

mo

is 3

3

mo

is 3

6

-0,2

-0,18

-0,16

-0,14

-0,12

-0,1

-0,08

-0,06

-0,04

-0,02

0

Age

19

Age

26

Age

33

Age

40

Age

47

Age

54

Age

61

-0,02-0

-0,04--0,02

-0,06--0,04

-0,08--0,06

-0,1--0,08

-0,12--0,1

-0,14--0,12

-0,16--0,14

-0,18--0,16

-0,2--0,18

Nombre de jours observé global

Nombre de jours théoriques global Nouvelle table

Nombre de jours théoriques global Ancienne table

Borne inf global

Borne Sup global

b. Etude de la surface de confiance

c. Comparaison du nombre réel de jours sinistrés et du nombre estimé

L’estimation par notre table du nombre de jours estimés reste correcte mais l’allure de la courbe obtenue se

rapproche énormément de celle de la table déjà existante. De plus, sur l’estimation globale la courbe ne reste

pas dans l’intervalle de confiance. On rappelle que le problème lié à la table existante est qu’elle a tendance à

sous-estimer le nombre de jours d’arrêt sur les premiers mois et à les surestimer sur les plus grands. Ce n’est

pas vraiment ce qui est attendu d’une nouvelle table puisque l’on cherche à correspondre davantage au

comportement réel de notre portefeuille. Ce comportement est pourtant celui observé pour cette nouvelle

table quelle que soit l’année de survenance considérée.

On ne gardera donc pas cette table parmi les tables envisageables pour la certification.

IV. Lissage par la méthode de Whittaker-Henderson L’allure des courbes obtenues avec le lissage de Whittaker-Henderson est similaire pour les deux estimateurs. Comme pour l’estimateur de Kaplan Meier, l’étude graphique des courbes a amené à n’en conserver que deux. Elles correspondent aux mêmes paramètres de lissage que ceux retenus pour l’estimateur de Kaplan Meier. Cependant, comme on l’a précisé plus tôt, on peut déjà écarter le lissage avec les paramètres d’ordre vertical 2 et horizontal 3 puisqu’on ne cherche pas une table plus prudente que celle déjà obtenue par la méthode des Splines. On va donc s’intéresser uniquement au lissage avec les ordres vertical 1 et horizontal 3 et on appellera la table

ici de ce lissage EAWH13.

a. Résultat graphique

Un résultat

graphique

semblable à celui obtenu avec l’estimateur de Kaplan Meier. On observe un structure très lisse de la surface

avec des variations par âge peu marquées.

Comme pour les autres tables testées, il faut donc maintenant déterminer si le lissage est valable en étudiant la

surface de confiance.

b. Validation du lissage

La surface de confiance obtenue est semblable à celle observée pour l’estimateur de Kaplan Meier.

On va directement s’intéresser aux estimateurs obtenus avec cette table quitte à revenir après sur l’allure de la

courbe d’estimation du nombre de jours sinistrés par mois d’arrêt.

c. Indicateurs certification

Comme on peut les remarquer, cette table est encore plus prudente que la table EASplines obtenue par

méthode des Splines. Etant donné que l’on cherche à certifier sur le périmètre des trois mois, il n’est pas

souhaitable que la table soit aussi prudente. On préfère les résultats obtenus avec la table obtenue avec

l’estimateur actuarielle par méthode des Splines ou ceux obtenus avec l’estimateur de Kaplan Meier et la

méthode de Whittaker-Henderson.


réel Nous 8206,38 1094985,6 1233831 12,7% 120 184 395,71 136 587 850,07 13,6%

6mois Nous 17738,74 1094985,6 1952915 78,4% 120 184 395,71 215 308 343,96 79,1%

4mois Nous 13036,02 1094985,6 1684145 53,8% 120 184 395,71 182 215 514,61 51,6%

3mois Nous 10475,91 1094985,6 1469183 34,2% 120 184 395,71 159 453 219,52 32,7%


V. Synthèse partie E

Au vu de cette nouvelle étude, on constate que l’estimateur actuariel amène à des résultats globalement plus

prudents que ceux obtenus avec la méthode de Kaplan Meier. On observe que la méthode des Splines, qui

n’était pas assez prudente avec l’estimateur de Kaplan Meier, l’est largement pour l’estimateur actuariel et

dépasse même le niveau de prudence obtenu avec la table KMWH23 jusqu’ici pressentie à la certification. Elle

lève alors une hésitation quant au choix de la table à certifier.

Cependant, on constate qu’au niveau des intervalles de confiance, notamment lors de l’estimation du nombre

de jours sinistrés, la table KMWH23 est bien meilleure que la table EASplines qui parfois semble légèrement

trop prudente.

Avant de lever l’incertitude sur le choix définitif de notre table, il a semblé intéressant d’étudier une méthode

de construction semi-paramétrique notamment dans le but d’étudier l’impact de la variable Cible Socio-

Professionnelle (CSP). La partie qui suit présente la mise en place d’un modèle de Cox et les conclusions qui en

découlent.

F. Modèle de Cox et étude de la variable Cible Professionnelle

Aujourd’hui le portefeuille des Travailleurs non-salariés est organisé suivant une logique de cibles -

professionnelles. Il existe six classes de travailleurs indépendants :

- Les médicaux

- Les paramédicaux

- Les libéraux

- Les expert et conseils

- Les artisans commerçants

- Les travailleurs agricoles

Chacune de ces cibles est elle-même séparée suivant trois classes de tarification (appelées CP1, CP2 ou CP3) et

permettant de refléter le niveau de risque des professions concernées.

La séparation du portefeuille s’appuie jusqu’à ce jour sur l’avis d’experts et sur le bon sens. L’intérêt a alors été

de déterminer un support statistique permettant d’étudier de façon rigoureuse cette répartition.

Dans un premier temps, l’idée a été d’étudier si cette répartition est statistiquement justifiée. C’est-à-dire

d’abord étudier si les classes entre elles ont un comportement statistiquement différents et si au sein des

groupes la cohésion des individus est statistiquement représentative.

Un modèle de COX a alors été mis en place pour permettre à la fois de déterminer l’influence de variables

explicatives sur la durée de maintien en incapacité mais aussi de proposer un modèle prenant en compte cette

influence.

Cela a semblé d’autant plus intéressant compte tenu du fait que le modèle de Cox est à priori connu pour avoir

une plus grande robustesse que les méthodes non paramétriques et permet de mieux apprécier l’impact des

variables explicatives.

I. Modèle de Cox

Présentation du modèle de Cox.

Le modèle de Cox est un modèle à risque proportionnel dont la fonction modélisée est la fonction de risque.

Etant un modèle à risques proportionnels, il obéit à la spécification :

)()()( 0 xrthxth

Le risque devant être toujours positif pour toutes valeurs des variables explicatives et de leurs coefficients, on

adopte une transformation exponentielle :

tscoefficiendesvecteurleetesExplicativVariablesdesvecteurleestxoùxxr )exp()(

Soit : )exp()(, 0 xthxth

D’où :

)exp(

0 )(),;(

x

tSxtS

t

dhtHettHtSavec0

0000 )()()(exp)(

Si on note une indicatrice telle que 1i si la durée d’évènement est observée pour le ième

individu et

0i si cette durée est censurée.

La vraisemblance a pour écriture :

n

i

iiiiii tStfL

1

1)()(

On note it

R l’ensemble des individus risqués en it et on suppose également pour l’instant que chaque temps

de survenue d’évènement est afférent à un seul individu :

n

i

ii

Rj

ij

Rj

ij

iin

i

iiii

n

i

iiiiii tSthth

thtSthtStSthL

i

it

i

it

iii

111

1)()(

)(

)()()()()()(

Le terme

itRj

ij

ii

th

th

)(

)( est une probabilité conditionnelle : C’est la probabilité qu’un individu connaisse

l’évènement au temps it sachant qu’il s’est produit un évènement parmi tous les individus à risque pour cette

durée.

On peut alors écrire :

itititRj

j

i

Rj

ji

ii

Rj

ij

ii

x

x

xrth

th

th

th

)exp(

)exp(

)()(

)(

)(

)(

0

La fonction de vraisemblance partielle considérée par Cox ne prend donc en compte que ce premier terme de la vraisemblance, c’est-à-dire :

n

i

Rj

j

in

i

Rj

ij

ii

i

it

i

it

x

x

th

thPL

11 )exp(

)exp(

)(

)(

Etude de la variable durée de maintien

Pour l’étude de la variable durée de maintien qui correspond à la durée totale d’un sinistre, seuls les sinistres

réellement sortie d’incapacité ont été conservés.

Les données censurées seraient venues fausser nos résultats puisqu’elles ne sont pas complétement observées.

Le graphique qui suit représente l’histogramme de notre variable durée de maintien et la courbe densité qui

semble lui correspondre.

A la vue de ce graphique , on peut se demander si une loi usuelle ne correspondrait pas à la distribution de

notre variable de durée.

Si tel est le cas, on mélangera dans cette partie à la fois une méthode paramétrique (pour estimer notre

fonction de Survie de base) et le modèle semi paramétrique de Cox (pour ajouter l’effet des variables

explicatives). Plusieurs tests ont donc été effectués au préalable pour déterminer si une loi usuelle pouvait

correspondre à notre variable de durée de maintien.

On peut observer sur les graphes ci-dessous la fonction de répartition de notre variable (tracée en bleu) et la

fonction de répartition de la loi usuelle à laquelle on veut l’ajuster ( tracée en rouge).

Sous chaque graphique on peut observer à la fois les résultat des paramètres estimés pour la loi usuelle testée

et les résultats des tests de Kolmogorov, Cramer et Anderson.

Juste avant la présentation des graphique, une explication rapide du principe de chaque test d’adéquation est

faite.

- Test Kolmogorov-Smirnov

Pour statuer sur le caractère approprié de la fonction de répartition )(xF il est raisonnable de s’intéresser à la

distance qui la sépare de la fonction empirique )(xFn .

Soit )()(sup xFxFD nx

La distance D ne dépend pas de la fonction de répartition supposé F.

La dernière étape repose sur le théorème de Kolmogorov (que nous ne démontrons pas) :

Pour un ensemble de n variables aléatoires iid de fonction de répartition continue F on a

1

21 22

)1(21)()()(i

xii

nexKavecxKxDnP

où K(x) est la fonction de répartition de Kolmogorov.

Pour les faibles valeurs de n on trouve des tables donnant les valeurs critiques aux seuils de risque usuels ;

pour les tailles d’échantillon importantes on peut utiliser les propriétés asymptotiques et donc calculer K(x) .

La valeur du seuil dans notre cas est 0.04784.

- Test Cramer-Von Mises

C’est un test dérivé du test de Kolmogorov mais basé sur la différence quadratique entre les fonctions de

répartition théorique supposée et empirique 2))()(( xFxFn .

Il a comme forme générale l’expression :

)())()(( 2 xdFxFxFQ n

Ce test a une distribution qui, contrairement au test de Kolmogorov, dépend de la distribution supposée et

donc pour lequel la valeur critique varie selon l’hypothèse retenue.

Par ailleurs alors que dans K-S on regarde la distance maximale entre les deux fonctions de répartition ; dans ce

test l’ensemble des observations est considéré.

La statistique de test considérée est la suivante :

n

i

iii xFyavecnn

iyC

1

122 )(12

1)

2

12(

- Tes de Anderson-Darling

C’est un test dérivé du test de Kolmogorov mais basé sur la différence quadratique entre les fonctions de

répartition théorique supposée et empirique 2))()(( xFxFn .

Il a comme forme générale l’expression :

)()(1)(())()((

12 xdFxFxFxFxFQ n

Ce test a une distribution qui, contrairement au test de Kolmogorov, dépend de la distribution supposée et

donc pour lequel la valeur critique varie selon l’hypothèse retenue.

Par ailleurs alors que dans K-S on regarde la distance maximale entre les deux fonctions de répartition ; dans ce

test l’ensemble des observations est considéré.

La statistique de test considérée est la suivante :

n

i

ini yyinnA1

)1()(

12 )1log()log()21(

(On rappelle que l’indice mis entre parenthèse signifie que l’on considère les observations classées par ordre

croissante et que )( )(

1

)( ii xFy )

Loi Normale

Parameters for Normal Distribution

Paramètre Symbole Valeur estimée

Mean Mu 57.16832

Std Dev Sigma 60.19991

Goodness-of-Fit Tests for Normal Distribution

Test Statistique P-value

Kolmogorov-Smirnov D 0.1868454 Pr > D <0.001

Cramer-von Mises W-Sq 11.0400915 Pr > W-Sq <0.001

Anderson-Darling A-Sq 61.0346698 Pr > A-Sq <0.001

Loi Log-Normale

Parameters for Lognormal Distribution


Threshold Theta 0

Scale Zeta 3.627267

Shape Sigma 0.923003

Mean 57.58337

Std Dev 66.76134

Goodness-of-Fit Tests for Lognormal Distribution


Kolmogorov-Smirnov D 0.04271482 Pr > D 0.103

Cramer-von Mises W-Sq 0.18578275 Pr > W-Sq >0.250

Anderson-Darling A-Sq 1.05185559 Pr > A-Sq >0.250

Quantiles for Lognormal Distribution

Pourcentage

Quantile

Observé Estimé

1.0 4.00000 4.39313

5.0 9.00000 8.24051

10.0 13.00000 11.52353

25.0 20.00000 20.18038

50.0 35.00000 37.60989

75.0 71.50000 70.09301

90.0 131.00000 122.74916

95.0 175.00000 171.65246

99.0 298.00000 321.98117

Loi de Weibull

Parameters for Weibull Distribution


Threshold Theta 0

Scale Sigma 59.67516

Shape C 1.106743

Mean 57.46644

Std Dev 51.99639

Goodness-of-Fit Tests for Weibull Distribution




Loi de type Exponentiel

Parameters for Exponential Distribution


Threshold Theta 0


Mean 57.16832

Std Dev 57.16832

Goodness-of-Fit Tests for Exponential Distribution





Loi Gamma

Parameters for Gamma Distribution


Threshold Theta 0


Shape Alpha 1.336184

Mean 57.16832

Std Dev 49.45637

Goodness-of-Fit Tests for Gamma Distribution





Après plusieurs tests d’ajustement à une loi usuelle, on constate que la p-value est toujours inférieure à 0.05 ce

qui valide toutes nos lois.

Visuellement c’est la loi log-normale qui paraît être la mieux adaptée à notre distribution même si

statistiquement elle ne présente pas les p-value les plus petites.

Les paramètres sont les suivants et sont estimés par méthode du maximum de vraisemblance :

Parameters for Lognormal Distribution


Threshold Theta 0

Scale Zeta 3.627267

Shape Sigma 0.923003

Mean 57.58337

Std Dev 66.76134

Le modèle à risques proportionnels de Cox ne fait aucune hypothèse sur la distribution sous-jacente des

données (c'est un modèle distribution-free) dans lequel les prédicteurs sont liés à la durée de vie de façon

multiplicative.

Pour notre modélisation de Cox, on peut donc partir sur l’hypothèse que :

)exp(

))²63.3292.0(exp(63.3292.0

)exp(

))²2(exp(2

)exp(

2

)ln(

0

²

)exp(

0

)exp(

0

63.3

292.0

2

1

2

2

1

1

2

1

)(1)(),;(

xt

e

vv

xt

e

vv

xt

v

xx

dve

dve

dve

tFtSxtS

Dans la partie qui suit, les différentes étapes pour la mise en place d’un modèle de Cox sont présentées. On

part tout d’abord sur l’hypothèse d’une fonction de base déterminée à l’aide de la méthode non-paramétrique

de Kaplan-Meier. On remplacera par la suite cette fonction par l’expression voulue.

Etude des variables explicatives

a. Etude des corrélations

Avant de mettre en place une méthode de COX, une étude préalable a été effectuée afin de déterminer les variables susceptibles d’influer significativement la durée de maintien du sinistre. Pour cela, une étude du niveau des corrélations de Pearson et des p-value correspondantes à ces corrélations a été mise en place. Les résultats sont retranscrits dans les tableaux ci-dessous.

Statistiques simples

Variable N Moyenne Ecart-type Somme Minimum Maximum

duree_maintien 1017 65.97935 76.86066 67101 1.00000 680.00000

Mt_cotisation 1017 49.09866 131.94724 49933 0 2180

Mt_garanti 1017 85740 70032 87197743 0 586555

Franchise 1017 5.35103 10.46825 5442 0 217.00000

age_entree 1017 37.84562 9.55397 38489 20.00000 65.00000

SexeNum 1017 0.46804 0.49922 476.00000 0 1.00000

cible_commerciale 1017 4.78269 1.55065 4864 2.00000 7.00000

Pearson Correlation Coefficients, N = 1017 Prob > |r| under H0: Rho=0

Duree maintien

Mt cotisation

Mt garanti

Franchise Age

entrée Sexe

Cible commerciale

Duree

maintien 1.00000

0.00698

0.8240

0.00406

0.8971

0.19875

<.0001

0.12239

<.0001

-0.01788

0.5689

0.07631

0.0149

Mt

cotisation 0.00698

0.8240

1.00000

0.32220

<.0001

-0.01691

0.5900

0.32321

<.0001

-0.12544

<.0001

-0.01870

0.5514

Mt

garanti 0.00406

0.8971

0.32220

<.0001

1.00000

-0.01483

0.6368

0.01573

0.6163

0.01287

0.6819

-0.26511

<.0001

Franchise 0.19875

<.0001

-0.01691

0.5900

-0.01483

0.6368

1.00000

0.04128

0.1884

0.13634

<.0001

-0.01731

0.5814

Age

entrée 0.12239

<.0001

0.32321

<.0001

0.01573

0.6163

0.04128

0.1884

1.00000

-0.24010

<.0001

0.17372

<.0001

Sexe -0.01788

0.5689

-0.12544

<.0001

0.01287

0.6819

0.13634

<.0001

-0.24010

<.0001

1.00000

-0.39359

<.0001

Cible

commerciale 0.07631

0.0149

-0.01870

0.5514

-0.26511

<.0001

-0.01731

0.5814

0.17372

<.0001

-0.39359

<.0001

1.00000

On peut constater que les variables « Montant de cotisation », « Montant garanti » et « Sexe » ne semblent pas spécialement corrélées avec la variable durée de maintien. Ces variables ne seront donc pas conservées pour la suite de l’étude.

b. Etude des corrélations

Pour la suite de l’étude, Les variables explicatives testées pour le modèle de Cox seront donc les suivantes :

Statistiques simples

Variable N Moyenne Ecart-type Somme Minimum Maximum

duree_maintien 1017 65.97935 76.86066 67101 1.00000 680.00000

Franchise 1017 5.35103 10.46825 5442 0 217.00000

age_entree 1017 37.84562 9.55397 38489 20.00000 65.00000

cible_commerciale 1017 4.78269 1.55065 4864 2.00000 7.00000

Modèles de Cox testés

a. Modèle de Cox sans effet d’interaction

Model Fit Statistics

Criterion Without

Covariates With

Covariates

-2 LOG L 9778.194 9714.594

AIC 9778.194 9728.594

SBC 9778.194 9761.456

Testing Global Null Hypothesis: BETA=0

Test Chi-Square DF Pr > Khi-2

Likelihood Ratio 63.5997 7 <.0001

Score 46.7766 7 <.0001

Wald 53.0048 7 <.0001

Type 3 Tests

Effect DF Wald Chi-Square Pr > Khi-2

Franchise 1 27.7232 <.0001

age_entree 1 14.6879 0.0001

cible_commerciale 5 5.8985 0.3162

Analysis of Maximum Likelihood Estimates

Parameter DDL Parameter

Estimate Standard

Error Chi-

Square Pr > Khi-

2 Hazard

Ratio Label

Franchise 1 -0.02560 0.00486 27.7232 <.0001 0.975

age_entree 1 -0.01540 0.00402 14.6879 0.0001 0.985

cible_commerciale 2 1 0.07837 0.20776 0.1423 0.7060 1.082 cible_commerciale 2





Les résultats que l’on obtient mettent en évidence la significativité de la variable franchise et de la variable âge

à l’entrée. En revanche, elle infirme celle de la variable « cible commerciale ».

Cependant, si l’on regarde plus attentivement les résultats par valeur de cible, on constate que la p-value de la

variable « cible commerciale » lorsqu’elle est égale à 4 n’est pas très loin d’être significative.

D’ailleurs, on remarque visuellement que la courbe de survie pour cette valeur de la cible commerciale se

démarque particulièrement des autres courbes.

On crée donc une nouvelle variable « cible quatre » qui mettra en exergue le fait d’appartenir au groupe cible

commerciale = 4 (« cible quatre » = 0) ou à un autre (« cible quatre » = 1).

Notre nouveau modèle ne prendra donc plus en compte la variable cible commerciale dans les variables

explicatives et sera remplacée par la variable « cible quatre ».

Les résultats de ce modèle sont présentés dans la partie qui suit.

b. Modèle de Cox sans effet d’interaction et avec une variable cible logistique

Résultats du modèle




Score 46.1265 3 <.0001

Wald 52.5517 3 <.0001

Type 3 Tests


Franchise 1 27.5375 <.0001

age_entree 1 17.6368 <.0001

cible_quatre 1 5.2168 0.0224



Estimate Standard

Error Chi-Square Pr > Khi-2 Hazard

Ratio Label

Franchise 1 -0.02529 0.00482 27.5375 <.0001 0.975

age_entree 1 -0.01598 0.00381 17.6368 <.0001 0.984

cible_quatre 0 1 -0.26422 0.11568 5.2168 0.0224 0.768 cible_quatre 0

Les variables sont toutes significatives pour ce modèle.

La cible 4 semble avoir une tendance à rester moins longtemps en arrêt que les autres cibles. Le ratio de

Hazard pour le groupe de cible dont la valeur vaut 4 est de 0.768 et le paramètre est estimé à - 0.26 (<0) ce

qui confirme cette impression.

De même, plus la franchise est longue et plus la durée de maintien semble propice à s’allongée (paramètre

estimé à -0.025 <0).

La tendance est la même pour la variable âge à l’entrée dont le paramètre est estimé à -0.016(<0).

Cette modélisation est tout à fait cohérente avec ce que l’on s’attend à observer dans la réalité.

En effet, plus l’on est âgé et plus l’on est sujet à des maladies graves et donc plus longues.

De même, plus la durée de franchise est longue, plus l’on est au préalable resté longtemps en arrêt, et donc

plus il y a des chances qu’il s’agisse d’une maladie sérieuse et donc longue.

Ce modèle paraît à première vue satisfaisant.

Pour pouvoir le valider, il faut alors vérifier les hypothèses de proportionnalité et de log normalité des variables

continues.

La partie qui suit présente les résultats de validation.

Validation du modèle

Forme fonctionnelle des variables

Il est important de déterminer la forme fonctionnelle des variables que nous introduisons dans les modèles de

Cox.

Généralement, il est préférable de laisser les variables sous forme continue lorsque cela est possible, car dans

ce cas, on détient plus d’information sur cette variable, l’interprétation est simple et on utilise un seul degré de

liberté pour les tests. Cependant, une variable ne peut rester sous forme continue dans un modèle de Cox qu’à

condition qu’elle satisfasse à une règle. En effet, un changement d’une unité dans la variable continue doit

avoir le même effet sur l’évènement considéré et ce quelle que soit la valeur à partir de laquelle on part. Si cela

n’est pas le cas, nous devons transformer la variable. Différentes possibilités s’offrent à nous : log X, 2 X , X , on

peut aussi découper la variable en quartiles ou bien à la médiane (Klein et Moeschberger, 2003). Il faut ainsi

trouver la meilleure forme possible pour la variable.

Nous disposons de deux outils pour cela :Les résidus martingales et les résidus martingales cumulatifs.

Résidus martingales

Les résidus martingales ont une moyenne égale à 0 et une distribution plutôt asymétrique même si le modèle

ajusté est adéquat. En fait, ils sont une version modifiée des résidus de Cox-Snell. Ils peuvent être interprétés

comme la différence au cours du temps entre le nombre d’évènements observés et le nombre d’évènements

prédit par le modèle de Cox ajusté. (Klein et Moeschberger, 2003).

Si l’on veut trouver la forme fonctionnelle d’une variable continue par exemple, on doit calculer les résidus

martingales à partir du modèle de Cox que l’on veut ajuster mais en excluant la variable qui est actuellement à

l’étude. Ensuite on réalise un graphique sur lequel les résidus martingales se trouvent en ordonnée et les

valeurs de la variable en abscisse. Le graphique des résidus martingales est nécessaire uniquement pour les

variables continues. En effet, ils ne nous apportent aucune information lorsque la variable a 2, 3 ou 4

catégories.

Si l’on obtient une droite, alors on peut conserver la variable sous forme continue.

Dans le cas contraire, on doit essayer de trouver la forme du smooth afin de transformer la variable

adéquatement . Par exemple, si la courbe de lissage a une forme parabolique, une transformation au carré

peut être une bonne idée et si on obtient une fonction en forme d’escalier, on peut découper la variable en

plusieurs catégories. Mais arrivés à cette étape, on est souvent confronté au problème du choix des points de

rupture. Bien sûr, après avoir procédé de cette façon, on teste la significativité de la variable avec un test ajusté

et non pas avec un test ordinaire.

Voici les résultats obtenus dans notre étude.

Les premiers graphiques représentent les résidus de martingale pour la variable « Age à l’entrée » et les

résultats obtenus avec une courbe de lissage par méthode Splines.

On observe ensuite les mêmes graphiques pour la variable « Durée de Franchise ».

Les résidus présentent une forme très éparse et on ne peut pas vraiment définir de forme fonctionnelle

évidente pour cette variable. Ils ne forment ni une courbe en escalier ni une courbe de forme parabolique ou

approchant une forme de courbe usuelle.

On peut constater que la plupart de nos points sont en dehors de l’intervalle de confiance cependant notre

moyenne semble rester autour de 0. Une deuxième étude devra donc être effectuées pour statuer de la

situation de notre variable. Pour cela, nous étudierons un peu plus loin les résidus martingales cumulatifs.

Tout comme pour la variable « Age à l’entrée », les résidus ne forment pas une courbe pouvant approcher une

forme de courbe usuelle.

Les points sont également majoritairement en dehors de l’intervalle de confiance et la moyenne semble rester

autour de 0. Une deuxième étude devra donc être effectuées pour statuer de la situation de notre variable.

Pour cela, nous étudierons un peu plus loin les résidus martingales cumulatifs

Résidus martingales cumulatifs

On peut également utiliser les résidus martingales cumulatifs pour savoir si les variables sont entrées sous la

bonne forme fonctionnelle dans le modèle.

Les graphiques des résidus martingales cumulatifs proposés par Lin, Wei et Ying (1993) sont fournis par SAS

Ainsi, pour chaque covariable spécifiée, on obtient un graphique représentant les résidus martingales

cumulatifs observés versus les valeurs de la covariable. De plus, 20 simulations de résidus réalisées sous

l’hypothèse nulle ( H : La variable est entrée sous une forme adéquate) sont représentées sur chaque

graphique.

Ainsi, si on remarque que les résidus martingales cumulatifs observés diffèrent beaucoup des simulations, cela

signifie que la variable n’est pas entrée sous la bonne forme. Afin de nous aider à savoir s’il y a une différence

significative, le programme nous fournit des seuils observés en plus des graphiques. En effet, un test

supremum du type Kolmogorov basé sur un échantillon de 1000 simulations de résidus peut être réalisé et la p-

value associée à ce test apparaît juste dans le coin droit du graphique. Si le seuil observé est supérieur à 5%, on

considère que la forme de la variable est adéquate et donc aucune transformation n’est nécessaire. En

revanche, si le seuil observé est inférieur à 5%, alors on doit transformer la variable. Les différentes

transformations citées au-dessus dans le paragraphe des résidus martingales sont encore valables. Tout

comme les résidus martingale, les graphiques des résidus martingales cumulatifs ne sont utiles que pour les

variables continues.

Supremum Test for Functional Form

Variable Maximum Absolute Value Replications Seed Pr >

MaxAbsVal

age_entree 13.0059 1000 125015236 0.7210

Franchise 34.0695 1000 125015236 0.0370 Les graphiques semblent confirmer l’hypothèse de fonctionnalité pour la variable « Age à l’entrée ». En effet, le seuil pour cette variable est largement au-dessus de celui de 5% imposé. A contrario, la p-value du test correspondant à la variable « franchise » est en dessous du seuil de 5 %. Ce test a été répété plusieurs fois afin de vérifier que l’on obtenait bien à chaque fois des résultats similaires. Cela a bien été le cas. Il y a donc une réserve sur la forme fonctionnelle de la variable « franchise ». On poursuit tout de même l’étude pour voir les autres aspect e nos variables. On retient tout de même qu’une transformation de la variable « franchise » sera peut-être nécessaire. Hypothèse de proportionnalité des variables

On peut vérifier l’hypothèse de proportionnalité à l’aide des résidus de Schoenfeld. Cependant, en 1994,

Grambsch et Therneau ont proposé de donner un poids aux différents résidus, ce qui a donné naissance aux

résidus de Schoenfeld standardisés. Ils sont plus puissants et plus utilisés que leurs prédécesseurs pour vérifier

l’hypothèse de proportionnalité sur laquelle le modèle de Cox repose.

Ils sont calculés pour chaque individu non censuré et chaque covariable. Ainsi, si nous avons p covariables, il est

nécessaire de réaliser p graphiques sur lesquels, les résidus de Schoenfeld standardisés apparaissent en

ordonnée et le log des temps de suivi en abscisse par exemple. Si la tendance générale des points est une

droite horizontale confondue avec l’abscisse, on peut conclure que l’hypothèse de proportionnalité est

respectée. Si le graphique suggère d’autres patterns, alors il est nécessaire de s’interroger sur la forme de

l’interaction entre la covariable et le temps.

Il est parfois difficile de pouvoir affirmer de manière objective que les points tiennent sur une droite

horizontale. Ces graphiques, placent souvent leur utilisateurs dans une situation légèrement délicate pour

prendre une décision. En cas d’ambiguïté, il existe une autre méthode basée sur les résidus du score qui cette

fois-ci nous fournit des graphiques et des p-values. Exactement comme pour les résidus martingales cumulatifs,

un test supremum du type Kolmogorov basé sur un échantillon de 1000 simulations de résidus est réalisé et la

p-value associée à ce test apparaît juste dans le coin droit du graphique. Si le seuil observé est supérieur à 1%,

on valide l’hypothèse de proportionnalité.

Résidus de Schoenfeld

Comme prévu, il est extrêmement difficile de déterminer si les résidus tiennent sur une droite horizontale. Il est vrai qu’à première vue, ils semblent éparse pour la variable « âge à l’entrée » et beaucoup plus rassemblés pour la variable « durée de Franchise ». Cependant, les échelles utilisées sont différentes et on peut largement émettre un doute sur les premières conclusions que l’on pourrait faire. Quant à la variable « cible quatre », est très compliqué de se prononcer sur cette variable avec ce genre de résultat graphique. Une étude des résidus de scores standardisés est donc faite dans la partie qui suit afin de lever le doute qui

subsiste sur ces variables.

Processus de Score standardisé

Supremum Test for Proportionals Hazards Assumption


MaxAbsVal

Franchise 4.1949 1000 140902858 <.0001

Age entrée 0.9120 1000 140902858 0.2990

cible_quatre0 0.5976 1000 140902858 0.7650

L’hypothèse de proportionnalité est validée pour les variables « âge à l’entrée » et « cible quatre ». En revanche, elle ne l’est pas du tout pour la variable durée de Franchise. Peut-être qu’une catégorisation de cette variable permettrait de la rendre plus adaptée au modèle. Validation globale du modèle

Dans un modèle de Cox, nous avons une variable réponse qui correspond aux temps de suivi jusqu’à ce que

l’individu sorte de l’arrêt ou jusqu’à ce qu’il quitte l’étude ainsi qu’une variable censure c qui est égale à 1 si

l’individu a effectivement fait l’évènement, 0 sinon.

Ainsi le résidu de Cox-Snell iR calculé pour l’individu i avec un temps de suivi it et un vecteur de covariables

ix est défini de la façon suivante :

)),(ˆlog( iii xtSR

Sous l’hypothèse nulle que le modèle est adéquat, si l’on remplace S par son estimateur S alors, iR suit

approximativement une exponentielle de paramètre 1. Ensuite, on considère que les iR deviennent les temps

de suivi pour chaque individu i et c reste la variable censure. On va alors estimer la fonction de survie )(ˆ RS à

l’aide de la méthode du Kaplan Meier.

Pour terminer, on réalise un graphique où ))(ˆlog( RS apparaît en ordonnée et R en abscisse. Si les points

tiennent sur une droite à 45°, on peut en déduire que le modèle à risques proportionnels ajusté est approprié.

Dans le cas contraire, on doit chercher à comprendre pourquoi le modèle est inadéquat.

Pour valider le modèle on peut également avoir recourt aux résidus de déviance qui ressemblent le plus aux

résidus utilisés en régression linéaire.

Ils ont une moyenne égale à 0 et un écart type à peu près égal à 1. Ils sont négatifs pour les individus qui ont

un temps de suivi plus long que celui que le modèle prévoyait et ils sont positifs pour les individus qui ont un

temps de suivi plus court que celui que le modèle prévoyait. Ils sont calculés pour tous les individus qu’ils

soient censurés ou non.

Ils sont symétriquement distribués autour de 0 lorsque le modèle ajusté est adéquat (Lee et Wang, 2003).

Sur les graphiques, les résidus de déviance apparaissent en ordonnée tandis qu’en abscisse, on peut mettre le

temps de suivi. L’apparition d’un pattern particulier peut nous laisser penser que le modèle est peu ou pas

adéquat.

Cependant, si le pourcentage d’individus censurés est important (>40%), il est possible qu’on observe un

pattern particulier sans que cela signifie que le modèle ajusté n’est pas adéquat (Tableman et Kim, 2004).

Résidus de Cox-Snell

Résidus de Déviance

Le graphique des résidus de Cox-Snell nous amène à une validation du modèle tandis que celui des résidus de

déviance est moins évident à valider. Le cas de la variable « Durée de franchise » reste problématique puisque

ni l’hypothèse de proportionnalité ni la forme fonctionnelle ne sont validées pour cette variable. On peut alors

tenter un nouveau modèle où l’on remplacera la variable franchise par une variable catégorielle ou une

transformation fonctionnelle. Ce test a été fait mais n’a pas abouti à des résultats meilleurs que ceux observés

ici. De plus, la variable franchise ne présente pas de fractionnement évident permettant de valider l’hypothèse

de proportionnalité et la significativité de la variable. On a donc opté pour un modèle ne prenant pas en

compte cette variable et dont les résultats sont présentés dans la partie qui suit.

c. Modèle de Cox sans la variable Franchise

Résultat du modèle

Model Fit Statistics

Criterion Without

Covariates With

Covariates

-2 LOG L 9778.194 9752.138

AIC 9778.194 9756.138

SBC 9778.194 9765.527




Score 26.1375 2 <.0001

Wald 26.0052 2 <.0001

Type 3 Tests


cible_quatre 1 7.0347 0.0080

age_entree 1 18.1485 <.0001



Estimate Standard

Error Chi-Square Pr > Khi-2 Hazard

Ratio Label

cible_quatre 0 1 -0.30627 0.11547 7.0347 0.0080 0.736 cible_quatre 0

age_entree 1 -0.01623 0.00381 18.1485 <.0001 0.984 Validation du modèle

Résidus martingales

Résidus martingales cumulatifs

Résidus de Schoenfeld

Processus de validation de Score

Supremum Test for Proportionals Hazards Assumption


MaxAbsVal

Franchise*age_entree 15.6169 1000 74988028 <.0001

Age entrée 1.1841 1000 74988028 0.2320

Franchise 16.9708 1000 74988028 <.0001

cible_quatre0 0.6049 1000 74988028 0.7370

Résidus de Cox-Snell

Résidus de déviance

Tous nos tests nous amènent à une validation globale de notre modèle.

Le modèle ainsi validé considère une fonction de base calculée à l’aide de la méthode de Kaplan-

Meier. L’idée est de remplacer cette fonction de base par la fonction usuelle lognormale.

La nouvelle forme de notre fonction de survie est donc la suivante :

)exp(

))²63.3292.0(exp(63.3292.0)exp(

063.3

292.0

2

1)(1),;(

xt

e

vvxdvexFxtS

avec

01623.0

30627.0 et

quatrecible

agex

_

d. Modèle de survie : résultats graphiques

Résultats table de maintien pour les cibles professionnelles différentes de 4 (cible_quatre = 1)

mo

is 0

mo

is 3

mo

is 6

mo

is 9

mo

is 1

2

mo

is 1

5

mo

is 1

8

mo

is 2

1

mo

is 2

4

mo

is 2

7

mo

is 3

0

mo

is 3

3

mo

is 3

6

-

1 000,00

2 000,00

3 000,00

4 000,00

5 000,00

6 000,00

7 000,00

8 000,00

9 000,00

10 000,00

16 ans

25 ans

34 ans

43 ans

52 ans

61 ans

9 000,00 - 10 000,00

8 000,00 - 9 000,00

7 000,00 - 8 000,00

6 000,00 - 7 000,00

5 000,00 - 6 000,00

4 000,00 - 5 000,00

3 000,00 - 4 000,00

2 000,00 - 3 000,00

1 000,00 - 2 000,00

- - 1 000,00

Résultats table de maintien pour la cible professionnelles 4 (cible_quatre = 0)

Le modèle obtenu amène à des estimation tout à fait cohérente de nos durée de maintien. On remarque que la

pente de notre surface est légèrement plus accentué dans le cas d’une cible professionnelle égale à 4. Cela

équivaut à dire que cette population a tendance à restermoins longtemps en état d’arrêt de travail lorsqu’on la

compare au reste de la population.

L’inconvénient du modèle est que cette forme de loi amène à considérer deux tables de maintien : une dans le

cas de la cible commerciale valant 4 et une autre lorsque ce n’est pas le cas. L’entreprise s’étant engagée à

faire certifier une unique table pour le provisionnement, le duo de ces tables ne pourra pas être pris en compte

dans ce cadre puisque cela reviendrait à une double certification. Elles sont néanmoins utilisables dès à présent

pour les prochaines tarifications de produits prévoyance. Elles pourrait cependant encore approfondir l’étude

en testant de nouvelles formes fonctionnelles de nos variables, en ajoutant des variables explicatives

potentiellement pertinentes, en y intégrant de nouveaux produits ou en testantune nouvelle loi paramétrique.

Ce genre de modèle sera peut-être aussi très adapté à l’estimation de taux d’entrée en incapacité. Le temps

imparti pour ce mémoire n’a pas permis d’étudier cet aspect.

mo

is 0

mo

is 3

mo

is 6

mo

is 9

mo

is 1

2

mo

is 1

5

mo

is 1

8

mo

is 2

1

mo

is 2

4

mo

is 2

7

mo

is 3

0

mo

is 3

3

mo

is 3

6

-

1 000,00

2 000,00

3 000,00

4 000,00

5 000,00

6 000,00

7 000,00

8 000,00

9 000,00

10 000,00

16 ans

25 ans

34 ans

43 ans

52 ans

61 ans

9 000,00 - 10 000,00

8 000,00 - 9 000,00

7 000,00 - 8 000,00

6 000,00 - 7 000,00

5 000,00 - 6 000,00

4 000,00 - 5 000,00

3 000,00 - 4 000,00

2 000,00 - 3 000,00

1 000,00 - 2 000,00

- - 1 000,00

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

200 Statistique du khi 2Seuil de la statistique du Khi 2

G. Impact sur le service

I. Positionnement par rapport aux expositions réelles Deux tables ont donc été retenues comme pouvant être potentiellement proposées à la certification. Pour éclairer le choix définitif de la table à certifier, un test d’adéquation du khi-2 a été mis en place sur les

deux tables pour déterminer l’éloignement entre l’estimation des tables et les expositions réelles du

portefeuille.

a. Description du test d’adéquation du Khi-2

Dans un premier temps le test a été réalisé pour chaque âge et dans un second temps pour chaque mois.

b. Résultats des tests du KHI-2 pour la première table retenue (KMWH23)

Résultat pour le test du Khi 2 par âge

On constate que l’hypothèse H1 n’est pas systématiquement rejetée selon l’âge auquel on se place. Pour certains âges l’écart semble réellement important. On remarque des pics particulièrement élevés pour les âges 24 ans, 29 ans, 35 ans , 53 ans, 54 ans, 57 ans, 60 ans et 63 ans. Le résultat est donc plutôt mitigé à ce niveau. Dans tous les cas, on sait que les écarts de la statistique du Khi 2 sont dus à des surestimations des expositions ce qui signifie que notre table est un peu trop prudente comparativement à la réalité. De plus, notre portefeuille n’est pas extrêmement bien fourni. On souffre d’un manque de données qui peut influencer les résultats du test.

0

20

40

60

80

100

120m

ois

2

mo

is 3

mo

is 4

mo

is 5

mo

is 6

mo

is 7

mo

is 8

mo

is 9

mo

is 1

0

mo

is 1

1

mo

is 1

2

mo

is 1

3

mo

is 1

4

mo

is 1

5

mo

is 1

6

mo

is 1

7

mo

is 1

8

mo

is 1

9

mo

is 2

0

mo

is 2

1

mo

is 2

2

mo

is 2

3

mo

is 2

4

mo

is 2

5

mo

is 2

6

mo

is 2

7

mo

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8

mo

is 2

9

mo

is 3

0

mo

is 3

1

mo

is 3

2

mo

is 3

3

mo

is 3

4

mo

is 3

5

mo

is 3

6

Statistique du khi 2

Seuil de la statistique du Khi 2

0

50

100

150

200

250

300

350

400

Stat

isti

qu

e_kh

i…

Stat

isti

qu

e_kh

i…

Stat

isti

qu

e_kh

i…

Stat

isti

qu

e_kh

i…

Stat

isti

qu

e_kh

i…

Stat

isti

qu

e_kh

i…

Stat

isti

qu

e_kh

i…

Stat

isti

qu

e_kh

i…

Stat

isti

qu

e_kh

i…

Stat

isti

qu

e_kh

i…

Stat

isti

qu

e_kh

i…

Stat

isti

qu

e_kh

i…

Stat

isti

qu

e_kh

i…

Stat

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qu

e_kh

i…

Stat

isti

qu

e_kh

i…

Stat

isti

qu

e_kh

i…

Stat

isti

qu

e_kh

i…

Stat

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qu

e_kh

i…

Stat

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qu

e_kh

i…

Stat

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qu

e_kh

i…

Stat

isti

qu

e_kh

i…

Stat

isti

qu

e_kh

i…

Stat

isti

qu

e_kh

i…

Stat

isti

qu

e_kh

i…

Stat

isti

qu

e_kh

i…

Stat

isti

qu

e_kh

i…

Stat

isti

qu

e_kh

i…

Stat

isti

qu

e_kh

i…

Stat

isti

qu

e_kh

i…

Stat

isti

qu

e_kh

i…

Stat

isti

qu

e_kh

i…

Stat

isti

qu

e_kh

i…

Stat

isti

qu

e_kh

i…

Stat

isti

qu

e_kh

i…

Stat

isti

qu

e_kh

i…

Stat

isti

qu

e_kh

i…

Stat

isti

qu

e_kh

i…

Stat

isti

qu

e_kh

i…

Stat

isti

qu

e_kh

i…

Stat

isti

qu

e_kh

i…

Stat

isti

qu

e_kh

i…

Stat

isti

qu

e_kh

i…

Stat

isti

qu

e_kh

i…

Stat

isti

qu

e_kh

i…

Stat

isti

qu

e_kh

i…


Seuil de la statistique du Khi 2

Résultat pour le test du Khi 2 par mois

Le test du Khi 2 réalisé par mois donne également des résultats mitigés. On voit que pour les mois situés entre

le 12ème

et le 31ème

mois, il y a une légère tendance à la surestimation.

Tant que cette tendance va dans le sens de la surestimation des expositions réelles cela ne pose pas réellement

problème. Il faut garder en mémoire qu’outre ce test la table présentement étudiée respecte toutes les autres

conditions en termes d’intervalles de confiances.

On va donc émettre un petit bémol sans pour autant mettre cette table de côté.

La même étude est alors effectuée sur la deuxième table retenue.

c. Résultats des tests du Khi-2 pour la seconde table retenue (EASplines)

Résultat pour le test du Khi 2 par âge

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

200

mo

is 2

mo

is 3

mo

is 4

mo

is 5

mo

is 6

mo

is 7

mo

is 8

mo

is 9

mo

is 1

0

mo

is 1

1

mo

is 1

2

mo

is 1

3

mo

is 1

4

mo

is 1

5

mo

is 1

6

mo

is 1

7

mo

is 1

8

mo

is 1

9

mo

is 2

0

mo

is 2

1

mo

is 2

2

mo

is 2

3

mo

is 2

4

mo

is 2

5

mo

is 2

6

mo

is 2

7

mo

is 2

8

mo

is 2

9

mo

is 3

0

mo

is 3

1

mo

is 3

2

mo

is 3

3

mo

is 3

4

mo

is 3

5

mo

is 3

6


Résultat pour le test du Khi 2 par mois

Les résultats des tests sont encore moins « bons » que ceux obtenus avec la table KMWH23 qu’il s’agisse du

test par âge d’exposition ou de celui pour chaque mois. Ce dernier test est par ailleurs systématiquement

rejeté.

Au vu de ce dernier test, la table KMWH23 est largement préférable à la table EASplines et va donc être la table

retenue pour la certification. On va maintenant étudier l’impact que pourrait avoir l’utilisation de cette table

nouvelle table sur le provisionnement.

II. Ajustement de la table de passages

a. Choix d’une technique d’ajustement

En pratique, la table de maintien jusqu’ici utilisée au sein du service intervenait non seulement dans le calcul

des provisions pour le maintien en incapacité, mais aussi dans celui des provisions pour les passages en

invalidité.

Lorsque l’on a sélectionné la table KMWH23 et que l’on a voulu tester son impact sur le provisionnement et les

résultats techniques, le souci de la table de passages s’est présenté puisque la table de passage associée à

l’ancienne table ne convenait plus à la nouvelle table créée.

Plusieurs alternatives ont été envisagées pour régler ce désagrément. Bien entendu la première solution

envisagée a été la construction d’une table de passages adaptée à la nouvelle table. Cependant, le manque de

données disponibles ne permettait pas de réaliser ce travail. Il a donc fallu réfléchir à d’autres moyens.

Dans un second temps l’idée a alors été de tenter un ajustement pour garder les mêmes probabilités de

passages pour un moment et pour un âge donnés.

mo

is 0

mo

is 3

mo

is 6

mo

is 9

mo

is 1

2

mo

is 1

5

mo

is 1

8

mo

is 2

1

mo

is 2

4

mo

is 2

7

mo

is 3

0

mo

is 3

3

0

0,005

0,01

0,015

0,02

0,025

âge 16âge 24

âge 32

âge 40

âge 48

âge 56

âge 64

0,02-0,0250,015-0,020,01-0,0150,005-0,01

Pour cela il a fallu vérifier l’égalité suivante :

),(

),(

),(

),(

_

_

_

_

txl

txl

txl

txl

blenouvelletaMAINTIEN

AjustéPASSAGE

ActuelMAINTIEN

ActuelPASSAGE

Nous avons donc multiplié tous nos ),(_ txl ActuelPASSAGE par le rapport),(

),(

_

_

txl

txl

ActuelMAINTIEN

blenouvelletaMAINTIEN.

b. Représentation graphique des taux de passages

Voici une représentation graphique des taux de passages :

Les taux de passages présentent une allure cohérente. On les voit augmenter avec le mois de maintien et on

observe un pic pour les âges du milieu c'est-à-dire entre 30 et 50 ans.

III. Impact sur le provisionnement La table maintenant sélectionnée, on s’est intéressée à son impact sur le provisionnement et sur les résultats techniques liés aux produits concernés. Le comparatif a été fait sur les triangles de liquidation vus à fin avril 2014.

a. Description des formules de provisionnement

Comme expliqué précédemment, le calcul des provisions pour le maintien en incapacité et le passage en

invalidité fait intervenir la table d’expérience de maintien en incapacité.

En ce qui concerne le calcul de provision pour l’invalidité, c’est l’utilisation de la table de maintien en invalidité

fourni par le BCAC qui est utilisée.

On s’intéresse ici aux formules permettant de déterminer :

- Les provisions pour le maintien en incapacité, communément appelées PSAP (« Provision pour Sinistres à

Payer »)

- Les provisions pour le passage en invalidité correspondant aux PSAPR (« Provision pour Sinistres à

Payer en Rentes »)

- Les provisions de maintien en invalidité, connues sous l’appellation PMR (« Provision de Maintien de

Rentes »), qui interviennent dans le calcul des PSAPR.

Calcul de la provision pour sinistre à payer

Pour un individu i, on considère les variables suivantes :

- x , âge de l’assuré à l’entrée en incapacité :

25,365/)'( naissancededateincapacitéenentréeddatex

- t , ancienneté de l’arrêt en mois :

25,365

12)''( Sinistreduévènementddateinventaireddatet

- d , la durée de provisionnement :

25,365

12)'( Sinistreduévènementddategarantiedefindedated

- xt , taux d’intérêt technique

- ),( txlincap , nombre d’incapables d’âge x et d’ancienneté t de la table de maintien en incapacité

- ),( txCPSAP, coefficient de provisionnement pour un incapable d’âge à l’arrêt x et ancienneté d’arrêt t

La formule du coefficient de provisionnement est facile à calculer pour des âges et des anciennetés qui

donnent des nombres entiers.

En effet, si l’âge et l’ancienneté de l’assuré sont des nombres entiers, le coefficient de provisionnement

correspond à :

td

k incap

incap

k

x

PSAPtxl

ktxl

ttxC

1 ),(

),(

)1(

1);(

En pratique, le fait est que l’on a en général des nombres décimaux.

On procède alors à une interpolation du coefficient de provisionnement de la façon suivante :

Si 1 dt

On considère :

),(),1()(),(1 txCtxCxxtxCC PSAPPSAPPSAP

)1,()1,1()()1,(2 txCtxCxxtxCC PSAPPSAPPSAP

On obtient alors : )()(),( 121 CCttCtxCPSAP

Si dt

0),(012 txCdoncCC PSAP

Si 1 dt

)(),(0 112 ttCCtxCdoncC PSAP

On introduit ensuite les notions :

- d’ancienneté de l’arrêt à la date d’observation (date à laquelle on calcule les provisions) qu’on appellera

Ot

- d’ancienneté de l’arrêt à la date de fin de règlement (date où on observe le dernier règlement effectué de

ce sinistre) qu’on appellera FRt

On détermine ensuite la probabilité ienmaP int

que ce sinistre ne soit pas sortie de l’incapacité entre ces deux

dates (cela permet d’affiner les provisions).

),(

),(int

FRx

Oxienma

txl

txlP

Finalement, la PSAP s’obtient par la formule suivante :

ienmaPSAP PionindemnisatdTauxGARANTIMONTANTtxCPSAP int'),(

Calcul de la provision pour maintien de rentes



25,365/)'( naissancededateinvaliditéneentréeddatex


25,365



25,365



- ),( txlinval, nombre d’invalides d’âge x et d’ancienneté t de la table de maintien en invalidité

- ),( txCPMR , coefficient de provisionnement pour un invalide d’âge à l’arrêt x et ancienneté d’arrêt t

Si l’âge et l’ancienneté de l’assuré sont des nombres entiers, le coefficient de provisionnement correspond à :

td

k inval

inval

k

x

PMRtxl

ktxl

ttxC

1 ),(

),(

)1(

1);(

Comme pour le calcul de la PSAP, on procède par une interpolation du coefficient de provisionnement de la

façon suivante :

Si xdt

On considère :

),(),1()(),(1 txCtxCxxtxCC PMRPMRPMR

)1,()1,1()()1,(2 txCtxCxxtxCC PMRPMRPMR

On obtient alors : )()(),( 121 CCttCtxCPMR

Si xdt

0),(012 txCdoncCC PMR

Si 1 xdt

)(),(0 112 ttCCtxCdoncC PMR

La formule finale de la PMR est alors :

ionindemnisatdTauxGARANTIMONTANTtxCPMR PMR '),(

Calcul de la provision pour sinistres à payer en rentes



25,365/)'( naissancededateincapacitéenentréeddatex


25,365



25,365



- ),( txlincap , nombre d’incapables d’âge x et d’ancienneté t de la table de maintien en incapacité

- ),( txlpassage , nombre d’incapables d’âge x passant en invalidité en t de la table de passages en

invalidité

- ),( txCPSAPR, coefficient de provisionnement pour un incapable d’âge à l’arrêt x et d’ancienneté d’arrêt

t

Le calcul de la PSAPR est un peu différent puisqu’il considère dans certains cas la méthode d’interpolation, et

dans d’autre cas non.

Si 24 td

Dans ce cas on ne fait pas d’interpolation, et on considère que le coefficient de provisionnement vérifie la

formule suivante :

)0,3(),(

),(

)1(

1

)0,2(),(

),(

)1(

1

)0,1(),(

),(

)1(

1

);();(

24

23

12

11

1

xCtxl

ktxl

t

xCtxl

ktxl

t

xCtxl

ktxl

t

txCtxC

PMR

td

k incap

passage

k

x

PMR

k incap

passage

k

x

PMR

k incap

passage

k

x

PSAPRPSAPR

Si 2412 td

Ici on procède à une interpolation. La formule pour x et t nombres entiers est la suivante :

)0,2(),(

),(

)1(

1

)0,1(),(

),(

)1(

1

);(

12

11

1

xCtxl

ktxl

t

xCtxl

ktxl

t

txC

PMR

td

k incap

passage

k

x

PMR

k incap

passage

k

x

PSAPR

On considère :

),(),1()(),(1 txCtxCxxtxCC PSAPRPSAPRPSAPR

)1,()1,1()()1,(2 txCtxCxxtxCC PSAPRPSAPRPSAPR

On a alors : )()(),( 121 CCttCtxCPSAPR

Si 122 td

On procède à une interpolation. La formule pour x et t nombres entiers est la suivante :

)0,1(),(

),(

)1(

1

);(

1

xCtxl

ktxl

t

txC

PMR

td

k incap

passage

k

x

PSAPR

On considère :

),(),1()(),(1 txCtxCxxtxCC PSAPRPSAPRPSAPR

)1,()1,1()()1,(2 txCtxCxxtxCC PSAPRPSAPRPSAPR

On a alors : )()(),( 121 CCttCtxCPSAPR

Si 1 td

On procède à une interpolation. La formule pour x et t nombres entiers est la suivante :

)0,1(),(

)1,(

)1(

1

);(

xCtxl

txl

t

txC

PMR

incap

passage

x

PSAPR

On considère : ),(),1()(),(1 txCtxCxxtxCC PSAPRPSAPRPSAPR

Et on a alors )(),( 11 ttCCtxCPMR

Si 0 td

0),( txCPMR

La formule finale de la PSAPR est alors :

ionindemnisatdTauxGARANTIMONTANTtxCPSAPR PSAPR '),(

b. Conséquences sur les S/P

On a donc déterminé l’impact sur l’évolution des S/P et la différence sur les montants de provisionnement. Les tableaux qui suivent présentent les différences entre les S/P obtenue avec la nouvelle table testée et ceux

obtenus avec l’ancienne table.

Résultats obtenus avec la table KMWH23

Les résultats obtenus avec la table KMWH23 correspond à ce à quoi l’on s’attendait. En effet, lorsque l’on

étudie le provisionnement global tous produits confondus, on s’aperçoit que la table KMWH23 demande de

provisionner 24 millions d’euros en plus par rapport à l’ancienne table

On constate également que les S/P augmentent d’une façon non négligeable avec cette nouvelle table.

Cependant on s’attend à ce qu’à l’avenir l’effet de creux observé avec l’ancienne table lors du provisionnement

ne se présente plus ou soit moindre. Ce creux perpétuant des boni et des mali fictifs d’amplitude très élevée

semblent générés par une mauvaise coordination de la table d’expérience jusqu’ici utilisée et les données du

portefeuille. A cela s’ajoute également une gestion délicate de certains cas de sinistres pouvant entrainer des

fermetures de dossier puis des réouvertures de ces dossiers.

Année COTISATIONS S/P Nouvelle Table Ancien S/P Différence des S/P

2004 104 574 19,07 19,07 0,0%

2005 6 774 037 0,62 0,62 0,0%

2006 13 673 692 0,65 0,65 0,0%

2007 21 703 545 0,93 0,93 0,0%

2008 30 671 231 0,99 0,98 0,6%

2009 40 029 001 0,84 0,84 0,0%

2010 48 632 871 1,00 0,99 0,4%

2011 56 019 484 1,25 1,15 9,6%

2012 70 740 633 1,10 1,01 9,2%

2013 78 581 655 1,00 0,90 10,1%

2014 28 072 505 0,84 0,73 11,0%

CUMUL 395 003 226 1,00 0,95 5,9%

CUMUL hors 2014 366 930 721 1,02 0,96 5,5%

Année COTISATIONS S/P Nouvelle Table Ancien S/P Différence des S/P

2004

2005

2006

2007

2008

2009 68 733 594 0,55 0,56 -0,3%

2010 68 773 799 0,61 0,61 -0,4%

2011 73 470 374 0,66 0,62 4,6%

2012 77 362 682 0,90 0,82 7,2%

2013 79 555 475 0,77 0,71 6,1%

2014 36 167 701 0,27 0,28 -0,3%

CUMUL 2009-2012 404 063 624 0,69 0,66 2,9%

CUMUL 2009-2013 367 895 923 0,70 0,67 3,6%

YX

Conclusion La mutation continue du secteur de la Prévoyance en France a fait de ce secteur une plate-forme reliant des

problématiques d’aspect social, juridique, financier, et actuariel de ce domaine. Cette interaction perpétuelle

permet une évolution de l’organisation de ce secteur et des méthodes qui y sont utilisées. C’est aussi un moyen

de rester toujours attentifs aux divers mouvements qui impactent le monde de la prévoyance et de mettre à

jour continuellement les outils utilisés.

La table de certification qu’a entreprit de construire le service Prévoyance de la Direction des Professionnels et

Petites Entreprises (DMPROPE) est un reflet de ce besoin d’ajustement perpétuel qui doit être réalisé lorsque

l’on gère les garanties liées à un contrat de prévoyance pour des travailleurs non-salariés (catégorie bien

spécifique de la population).

Ce projet a démarré dès le traitement des données qui a permis in fine l’obtention d’une base moyennement

fournie en nombre de sinistres mais proprement traitée et reflétant au mieux les réalités du portefeuille.

Lors des études statistiques de ces données, les résultats ont été en cohérence avec les études réalisés

jusqu’alors sur ce portefeuille et ont apporté des informations sur certains points caractérisant les populations

rattachées aux produits proposés par Generali. On pressent notamment que l’existence de plusieurs

générations de produits d’âges plus ou moins récents vient interférer sur les comportements des assurés. La

maturité de ces nouvelles générations de produit ne permet donc pas nécessairement d’effectuer des études

approfondies.

De plus, certains facteurs influents sur la sinistralité et sur la durée du sinistre ont pu être mis en évidence ce

qui permettra peut-être par la suite un ajustement des provisions et/ou des tarifs en fonction de ces facteurs

influents.

Lors de la mise en place du modèle et de la réalisation des tables d’expérience, on a pu constater que plusieurs

méthodes actuarielles pouvaient être choisies pour construire la table d’expérience.

Aux vues des tests effectués sur les différentes méthodes mises en place, on a vu que certaines tables étaient

mieux adaptées à la réalité des données et menaient à des résultats plus cohérents. Pour chaque estimateur

des taux bruts de sortie, une méthode différente de lissage a semblé menée à un résultat cohérent. Un dernier

test d’égalité du KHI2 sur les expositions effectives et théoriques a permis un choix définitif de la table à garder.

L’adaptation au contexte entrepreneuriale ne donne pas forcément une liberté totale quant au choix du

modèle. Le modèle de Cox par exemple semble tout à fait adapté à la problématique de ce mémoire et abouti à

des résultats parfaitement convenables mais ne pas être mis en place dans le cadre d’une certification de

tables de provisionnement. Il est cependant adapté aux problématiques de tarification.

La table finalement choisie est celle que l’on a appelé KMWH23 correspondant à un estimateur des taux bruts

de Kaplan Meier et à un lissage de Whittaker-Henderson avec des coefficients de pondération égaux à 2, un

ordre de lissage verticale égal à 2 et un ordre de lissage horizontale égal à 3. Une étude de l’impact de cette

table sur les provisions du service a été réalisée et a permis de repositionner les provisions futures liées aux

sinistres des populations des travailleurs salariés à la hausse.

Annexes

Annexe 1 : courbe intervalles de confiance Age 33 ans et 45 ans pour EASplines ........................................... 129

Annexe 2 : Surface de confiance pour EASplines .............................................................................................. 130

Annexe 1 : courbe intervalles de confiance Age 33 ans et 45 ans pour

EASplines

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36

borne sup Sx_33

Sx lissé 33

borne inf Sx_33

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36

borne sup Sx_45

Sx lissé 45

borne inf Sx_45

Annexe 2 : Surface de confiance pour EASplines

mo

is 0

mo

is 5

mo

is 1

0

mo

is 1

5

mo

is 2

0

mo

is 2

5

mo

is 3

0

mo

is 3

5

-0,08

-0,06

-0,04

-0,02

0

0,02

0,04

Age

19

Age

23

Age

27

Age

31

Age

35

Age

39

Age

43

Age

47

Age

51

Age

55

Age

59

Age

63

0,02-0,04

0-0,02

-0,02-0

-0,04--0,02

-0,06--0,04

-0,08--0,06

Bibliographie

[1] OPTIMIND [2010], «La Prévoyance Les nouveaux enjeux : réglementation,maintien et Solvabilité II », Les Dossiers

Techniques d’information Optimind.

[2] J. DUBOIS [2008] «Construction de tables d'expérience pour les rentes», Mémoire d’Actuariat.

[3] F. PLANCHETet A. KAMEGA [2010], «Mesure du risque d'estimation associé à une table d'expérience», Univ-Claude

Bernard Lyon1 ,ISFA,Winter et Associés, Etude.

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[13] LEFIGARO, « Maintenir son salaire en cas d'arrêt maladie » [2012], LeFigaro, Article.

[14] ASSEMBLEE NATIONALE, « LOI n° 2013-504 du 14 juin 2013 relative à la sécurisation de l'emploi » [2013], Texte de Loi.

[15] ASSEMBLEE NATIONALE, «Projet d’accord national interprofessionnel sur la sécurisation de l'emploi» [2013], Projet de

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[16] ASSEMBLEE NATIONALE, «LOI n° 2013-1203 du 23 décembre 2013 de financement de la sécurité sociale pour 2014»

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[18] A. LAVRIL, «Changement des régimes complémentaires de prévoyance : anticipez» [ 2014]. [En ligne]. Available:

http://www.caconsultants.fr/changement-dans-les-regimes-complementaires-de-prevoyance-anticipez/.

mémoire présenté le - institut des actuaires...whittaker-henderson, estimateur actuariel,...

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