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TROISIEME PARTIE CALCUL ACTUARIEL « VIE » Louis ESCH – Calcul financier et actuariel – Chapitre 3 : Probabilités viagères 1

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TROISIEME PARTIE

CALCUL ACTUARIEL « VIE »

Louis ESCH – Calcul financier et actuariel – Chapitre 3 : Probabilités viagères 1

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CHAPITRE 3

PROBABILITES VIAGERES Sommaire 0. Rappels 1. Probabilités viagères sur 1 tête 2. Probabilités viagères sur 2 têtes 3. Fonction de survie 4. Taux instantané de mortalité 5. Espérance de survie 6. Capital différé

Louis ESCH – Calcul financier et actuariel – Chapitre 3 : Probabilités viagères 2

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3. Probabilités viagères 0. Rappels

- Phénomène fortuit et événement - Probabilité - Probabilité conditionnelle - Indépendance - Variable aléatoire - Loi de probabilité et fonction de répartition - v.a. aléatoires discrètes et à densité - Moyenne d’une v.a.

1. Probabilités viagères sur 1 tête 2. Probabilités viagères sur 2 têtes 3. Fonction de survie 4. Taux instantané de mortalité 5. Espérance de survie 6. Capital différé

Louis ESCH – Calcul financier et actuariel – Chapitre 3 : Probabilités viagères 3

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Phénomène fortuit et événement Phénomène fortuit = dû au hasard :

- conditions initiales identiques - variabilité des résultats (ensemble Ω)

i. anarchie d’une réalisation à l’autre ii. régularité moyenne à long terme

Evénement : fait susceptible de se produire ou non = partie de Ω

Si résultat ω, A se produit ⇔ ω ∈ A Evénement certain = Ω Evénement impossible = ∅ Interprétations ensemblistes

Opération logique Opération ensembliste Contraire de A A A implique B A ⊂ B

A et B A ∩ B A ou B A ∪ B

A, mais pas B A \ B A et B incompatible A ∩ B = ∅

Louis ESCH – Calcul financier et actuariel – Chapitre 3 : Probabilités viagères 4

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Probabilité Définition : mesure, pour les événements, de la tendance à se produire Axiomes de Kolmogorov

1)Pr()Pr()Pr()Pr(,,

0)Pr(,

=Ω+=∪⇒∅=∩Ω⊂∀

≥Ω⊂∀BABABABA

AA

Propriétés

)Pr()Pr(,,)Pr(1)Pr(

1)Pr(00)Pr(

BABABAAAAA

≤⇒⊂Ω⊂∀−=

≤≤Ω⊂∀=∅

)Pr()Pr()Pr()Pr(,, BABABABA ∩−+=∪Ω⊂∀

(formule de Boole) Modèle fini équiprobable

( ) ),,1(1Pr

,,1

nini

n

K

K

===Ω

ωωω

Dans ce cas,

)(#)(#)Pr(

Ω=

AA

= « nb cas favorables / nb cas possibles »

Louis ESCH – Calcul financier et actuariel – Chapitre 3 : Probabilités viagères 5

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Probabilité conditionnelle Probabilité de A si B (sachant que B se produit)

)Pr()Pr()|Pr(

BBABA ∩

=

car - événement A A ∩ B

- unité : Pr(B | B) = 1 Formule des probabilités totales

Si nAA ,,1 K est une partition de Ω,

∑=

=n

iii ABAB

1

)|Pr()Pr()Pr(

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Indépendance A est indépendant de B si

)|Pr()|Pr( BABA =

Caractérisation

)Pr()Pr()Pr( BABA ⋅=I N.B. : En général (si non indépendance)

)|Pr()Pr()Pr( ABABA ⋅=I

Généralisation : deux phénomènes fortuits et (aspects particuliers du ph. fort. ) sont indépendants si tout événement de est indépendant de tout événement de :

)Pr()Pr()Pr( HGHG ⋅=I

Louis ESCH – Calcul financier et actuariel – Chapitre 3 : Probabilités viagères 7

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Variable aléatoire (v.a.) Définition : grandeur numérique dépendant du résultat d’un phénomène fortuit Mathématiquement,

)(:

ωω XX

a

R→Ω

Parfois, utilisation des v.a. sans définir Ω (ex. : durée de vie d’une personne)

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Loi de probabilité et fonction de répartition (f.r.)

Loi de probabilité : probabilité de n’importe quel événement défini à partir de la v.a. :

R⊂∀∈ EEX ]Pr[

Fonction de répartition

]Pr[)(]1;0[

:tXtFt

FX

X ≤=→a

R

Propriétés

1)(lim0)(limcroissant

1)(0

==

≤≤

+∞→−∞→tFtF

FtF

tt

t

1 F(t)

]Pr[1]Pr[

==−=>tX

FtX

N.B. : si X > 0, F(t)

Louis ESCH – Calcul financier et actuariel –

0

sautduhauteur)()()()(]Pr[)(

=−−−=≤<

tFtFsFtFtXst

= 0 pour t ≤ 0

Chapitre 3 : Probabilités viagères 9

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v.a. discrètes et à densité Différentes manières de répartir la probabilité sur les valeurs possibles :

- masses sur des valeurs isolées - densité sur des plages continues - mixte

v.a. discrète : valeurs possibles dénombrables

KK

KK

n

n

pppxxx

X21

21

1]Pr[ === ∑

iiii pxXp

Propriété : f.r. en escaliers v.a. à densité : fonction f positive telle que

∫=∈E

dxxfEX )(]Pr[

Propriétés

continuef.r.

)()()()(

)(]Pr[0]Pr[

1)(

tFtfdxxftF

htfhtXtttX

dxxf

t′==

⋅≈+≤<∀==

=

∞−

∞+

∞−

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Moyenne d’une variable aléatoire

Indicateur de localisation (notation : µ)

v.a. discrète : ∑=i

ii pxµ

v.a. à densité : ∫

∞+

∞−= dxxxf )(µ

En général, ∫∫ ∞−

∞+−−=

0

0)()](1[ dttFdttFµ

Espérance (mathématique)

E(X) = µ

Propriété

cYbEXaEcbYaXE ++=++ )()()(

Généralisation

( ) ∫∑∞+

∞−== dxxfxgpxgXgE

iii )()()()(

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3. Probabilités viagères 0. Rappels 1. Probabilités viagères sur 1 tête

- Durée de vie - Probabilité de survie et de décès - Probabilité de décès différé

2. Probabilités viagères sur 2 têtes 3. Fonction de survie 4. Taux instantané de mortalité 5. Espérance de survie 6. Capital différé

Louis ESCH – Calcul financier et actuariel – Chapitre 3 : Probabilités viagères 12

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Durée de vie

On ne précise pas l’ensemble Ω. Variable aléatoire : V, durée de vie d’une personne (> 0) Probabilités d’événements définis à partir de V :

probabilités viagères (survie et décès) Calcul pratique de ces probabilités :

table de mortalité (chap. 4)

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Probabilité de survie et de décès Définitions t

Probabilité qu’une tête d’age x surannées (notation xt p )

]Pr[]Pr[

]Pr[[]Pr([

[|]Pr([

xVtxV

xVVtxV

VtxVpxt

>+>

=

>∩+>

=

>+>=

Probabilité qu’une tête d’âge x déct années (notation ) xt q

]Pr[]Pr[]Pr[[]Pr([

[|]Pr([

xVtxVxxV

VtxVVtxVqxt

>+≤<

=

>∩+≤

=

>+≤=

Cas particulier : t = 1 Taux annuel de survie : xx pp =1 Taux annuel de décès : xx qq =1

Louis ESCH – Calcul financier et actuariel – Chapitre 3 : Probabilités viagères

0 x

vive au moins t

])])x

x>

ède dans un délai de

])])x

x>

14

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Propriétés 1=+ xtxt qp

uxutxuxt ppptu +−⋅=⇒<<0

u

x

Cas partic

Si

Intérêfonct

Louis ESCH – Calcu

0

xt

uxutxu

pxV

txVxV

uxVpp

=>+>

=

⋅>+>

=⋅ +−

]Pr[]Pr[

]Pr[]Pr[

ulier

⋅=⋅= ++− 111111 xxxtxxt ppppp

t est entier, 1+⋅= xxxt ppp

t : probabilités viagères expion d’une seule variable

l financier et actuariel – Chapitre 3 : Probabilités viagères

t

uxVtxV

+>+>

]Pr[]Pr[

K=⋅ +− 22 xt p

12 −++ ⋅⋅⋅ txx pp K

rimées à partir d’une

15

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Probabilité de décès différé

t

Défin

Pt

Propr

D

Louis ESC

0 x

ition

robabilité qu’une tête d’ années, différé de k (n

Pr[Pr[

Pr([

VVkx

Vkxqxtk

<+=

<+=

iété

txkxtk qpq ⋅=

ém.

xtkxk

kxtxkxk

kxtxk

xtk

ppppp

qpxVxVkxq

+

+

+

−=⋅−=

⋅=>≤<+

=Pr[

Pr[

H – Calcul financier et actuariel – Chapitre 3 : Prob

k

âge x otation

]xkx

x

>+≤

+≤

kkx + =

tk ++]

]

abilités viagère

décède dans un délai de xtk q )

]

])[|]

t

xVtk

+

>+

xtkx pp +−

kxVkxV

+>+>

×]Pr[]Pr[

s 16

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3. Probabilités viagères 0. Rappels 1. Probabilités viagères sur 1 tête 2. Probabilités viagères sur 2 têtes 3. Fonction de survie 4. Taux instantané de mortalité 5. Espérance de survie 6. Capital différé

Louis ESCH – Calcul financier et actuariel – Chapitre 3 : Probabilités viagères 17

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Probabilités viagères sur 2 têtes

Deux personnes (ayant éventuellement une distribution de V différente), mais indépendantes Probabilités de survie

Probabilité que les 2 têtes, d’âge x et y, survivent au moins t années :

ytxtxyt ppp ~⋅=

Probabilité qu’au moins une des 2 têtes, d’âge x et y, survive au moins t années :

ytxtytxt

ytxtytxtytxtxyt

pppp

ppppppp~~

~~)1()~1(

⋅−+=

⋅+⋅−+−⋅=

Autre approche : formule de Boole

Probabilité qu’exactement une des 2 têtes, d’âge x et y, survive au moins t années :

ytxtytxt

ytxtytxtxyt

pppp

ppppp~2~

~)1()~1(]1[

⋅−+=

⋅−+−⋅=

Louis ESCH – Calcul financier et actuariel – Chapitre 3 : Probabilités viagères 18

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Probabilités de décès : complémentaires

xytxyt pq −=1

= probabilité qu’au moins une des 2 têtes, d’âge x et y, décède dans un délai de t années

xytxyt pq −=1

= probabilité que les 2 têtes, d’âge x et y, décèdent dans un délai de t années

Louis ESCH – Calcul financier et actuariel – Chapitre 3 : Probabilités viagères 19

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3. Probabilités viagères 0. Rappels 1. Probabilités viagères sur 1 tête 2. Probabilités viagères sur 2 têtes 3. Fonction de survie

- Définition - Lien avec les probabilités viagères - Tables de mortalité

4. Taux instantané de mortalité 5. Espérance de survie 6. Capital différé

Louis ESCH – Calcul financier et actuariel – Chapitre 3 : Probabilités viagères 20

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Définition Fonction lx représentant l’évolution d’une population fictive d’individus

- nés à la même date - ayant la même distribution de durée de vie - indépendants

l0 = effectif au départ (= 1 000 000) lx = nombre de survivants à l’âge x dx = lx – lx +1 = nombre de décès durant ]x ; x +1] Propriété

0

]Pr[llxV x=>

(= nb cas favorables / nb cas possibles)

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Lien avec les probabilités viagères

x

txx

x

txxt

x

tx

x

txxt

lll

llq

ll

llll

xVtxVp

++

++

−=−=

==>+>

=

1

]Pr[]Pr[

0

0

x

x

x

xxx

x

xx

ld

lllq

llp

=−

=

=

+

+

1

1

x

tkxkxxtk l

llxV

tkxVkxq +++ −=

>++≤<+

=]Pr[

]Pr[

Avantage sur « 121 −+++ ⋅⋅⋅⋅= txxxxxt ppppp K »

- fonction d’une seule variable - exprime les probabilités viagères à l’aide d’un petit

nombre de facteurs

Louis ESCH – Calcul financier et actuariel – Chapitre 3 : Probabilités viagères 22

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Tables de mortalité Les tables de mortalité donnent la fonction de survie lx pour des x entiers seulement (= table de survie)

définition des différentes notions - de manière générale (x continu) - utilisées à partir de la table de survie

Les tables de mortalité diffèrent

- suivant le sexe (M – F) - suivant le type d’opération d’assurance (R – K)

Louis ESCH – Calcul financier et actuariel – Chapitre 3 : Probabilités viagères 23

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3. Probabilités viagères 0. Rappels 1. Probabilités viagères sur 1 tête 2. Probabilités viagères sur 2 têtes 3. Fonction de survie 4. Taux instantané de mortalité

- Définition - Lien avec les probabilités viagères - Cas discret

5. Espérance de survie 6. Capital différé

Louis ESCH – Calcul financier et actuariel – Chapitre 3 : Probabilités viagères 24

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Définition Taux instantané de mortalité à l’âge x (notation : µx)

= taux de décès par unité de temps à l’âge x

hqxh

hx 0lim→

Expression en fonction de lx

)(ln

lim1

1lim

0

0

′−=

′−=

−−=

−⋅=

+

+

x

x

x

xhx

hx

x

hxx

hx

lll

hll

l

lll

Louis ESCH – Calcul financier et actuariel – Chapitre 3 : Probabilités viagères 25

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Lien avec les probabilités viagères

∫ +=t

sxxsxt dspq0

µ

Dém.

( )

xt

xtxx

t

ssxx

t

sx

sx

x

sxt

sxxs

q

lll

dsll

dsll

lldsp

=

−−=

′−=

′−=

+

+

+

+++

∫∫

1

)(10

00µ

∫=

+−

tx

xs ds

xt epµ

Dém.

( )

xt

x

tx

xtx

tx

x s

tx

x s

pl

lll

dslds

ln

ln

lnln

)(ln

−=

−=

−−=

′−=

+

+

++

∫∫ µ

Louis ESCH – Calcul financier et actuariel – Chapitre 3 : Probabilités viagères 26

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Cas discret

Si les grandeurs sont définies pour x entier seulement, la dérivée n’a plus de sens

l Approximatipente de la c

Taux insta

Louis ESCH – Calcul finan

x – 1 x x + 1

on de la dérivée (pente de la tangente) par la orde :

211 −+ −

≈′ xxx

lll

ntané de mortalité approché :

x

xx

x

xx l

llll

211 +− −

≈′

−=µ

cier et actuariel – Chapitre 3 : Probabilités viagères 27

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3. Probabilités viagères 0. Rappels 1. Probabilités viagères sur 1 tête 2. Probabilités viagères sur 2 têtes 3. Fonction de survie 4. Taux instantané de mortalité 5. Espérance de survie

- Définition - Cas discret

6. Capital différé

Louis ESCH – Calcul financier et actuariel – Chapitre 3 : Probabilités viagères 28

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Définition Espérance de survie à l’âge x (notation : ) xe

= moyenne de la v.a. Wx, durée résiduelle de vie à l’âge x

x

tx

xt

xW

llp

xVtxV

tWtFx

+=

=>+>=

>=−

])[|]Pr([

]Pr[)(1

∫∞+

+

∞+

=

−=

=

0

0

1

)](1[

)(

dtll

dttF

WEe

txx

W

xx

x

Louis ESCH – Calcul financier et actuariel – Chapitre 3 : Probabilités viagères 29

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Cas discret

On suppose, par symétrie, que tous les décès d’une année ont lieu au milieu de l’année

Les valeurs de la v.a. Wx sont :

K,25,

23,

21

avec

x

txtx

x

lll

xVtxVtxtW

1

])[|]1Pr([21Pr

+++ −=

>++≤<+=

+=

−+−=

+=

∑∑

∑∞

=+++

=+++

=

+++

01

01

0

1

)(21)(1

21

ttxtx

ttxtx

x

t x

txtxx

lllltl

lllte

K

K

+++=

+−+−+−=−

+++

++++++

=+++∑

321

4332210

1 )(3)(2)()(

xxx

xxxxxxt

txtx

lll

llllllllt

xxxxxxxt

txtx lllllllll =+−+−+−=− +++++

=+++∑ K)()()()( 32211

01

211

21)(1

1321 +=

++++= ∑

=++++

ttx

xxxxx

xx l

lllll

le K

Louis ESCH – Calcul financier et actuariel – Chapitre 3 : Probabilités viagères 30

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3. Probabilités viagères 0. Rappels 1. Probabilités viagères sur 1 tête 2. Probabilités viagères sur 2 têtes 3. Fonction de survie 4. Taux instantané de mortalité 5. Espérance de survie 6. Capital différé

- Définition - Symboles de commutation

Louis ESCH – Calcul financier et actuariel – Chapitre 3 : Probabilités viagères 31

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Définition Capital différé de t années pour une personne d’âge x (notation : xt E )

= valeur actuelle d’un versement de 1 UM dans t années, à une personne d’âge actuel x, si elle est toujours en vie (en x + t)

Première approche (probabiliste)

Cette valeur actuelle est la moyenne d’une v.a. :

xtxt

t

pqv0

On a donc t

x

txtxtx v

llvpE +=⋅=t

Deuxième approche (statistique)

Les individus de la population fictive versent xt E à l’âge x pour que les survivants reçoivent 1 UM t années plus tard. Equivalence :

ttxxtx vlEl ⋅=⋅ +

Louis ESCH – Calcul financier et actuariel – Chapitre 3 : Probabilités viagères 32

Page 33: TROISIEME PARTIE CALCUL ACTUARIEL « VIE · 2016. 7. 8. · - v.a. aléatoires discrètes et à densité - Moyenne d’une v.a. 1. Probabilités viagères sur 1 tête 2. Probabilités

Symboles de commutation = expressions dépendant

- des probabilités viagères - de facteurs d’actualisation

double entrée : âge – taux d’intérêt

Notation : x

xx vlD ⋅= Capital différé

x

txx

x

txtxt

x

txxt D

Dvlvlv

llE +

+++ =⋅⋅

==

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