mÉmoire en vue de l'obtention du diplÔme de doctorat …
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REPUBLIQUE ALGERIENNE DEacuteMOCRATIQUE ET POPULAIRE
MINISTERE DE LENSEIGNEMENT SUPEacuteRIEUR ET DE LA RECHERCHE SCIENTIFIQUE
UNIVERSITE DES SCIENCES ET DE TECHNOLOGIE DORAN
MOHAMED BOUDIAF
FACULTEacute DE GEacuteNIE EacuteLECTRIQUE
DEacutePARTEMENT DEacuteLECTROTECHNIQUE
MEacuteMOIRE EN VUE DE LOBTENTION DU DIPLOcircME DE
DOCTORAT EN SCIENCES
SPEacuteCIALITEacute AUTOMATIQUE
Preacutesenteacute par
Mr TAHAR MOHAMMED
SUJET DU THESE
MODELISATION ET COMMANDE DrsquoUN DRONE
A QUATRE HELICES
SOUTENUE LE 29092013 DEVANT LE JURY COMPOSEacute DE
Mr MOKHTARI ABDELLAH Preacutesident Professeur USTO MB
Mr OMARI ABDELHAFID Rapporteur Professeur USTO MB
Mr ZEMALACHE MEGUENNI KADDA Co- Rapporteur MCA USTO MB
Mr MANSOURI ABDELLAH Examinateur Professeur ENP dORAN
Mr KHELFI MOHAMED FAYCAL Examinateur Professeur Universiteacute drsquoORAN
Mr CHENEFAMOHAMED Examinateur MCA ENP dORAN
REMERCIEMENTS
Je tiens agrave remercier Mr A OMARI Professeur agrave lrsquoUniversiteacute des Sciences et de laTechnologie drsquoOran pour son encadrement scientifique et sa participation active dans leprojet Qursquoil trouve ici lrsquoexpression de mon respect et ma profonde reconnaissance
Je tiens agrave exprimer ma gratitude et ma profonde reconnaissance agrave mon co-encadreurK ZEMALACHE MEGUENNI Maicirctre de Confeacuterences agrave lrsquoUniversiteacute des Sciences etde la Technologie drsquoOran pour tout les efforts et les encouragements qursquoil agrave montreacute tout aulong de ce travail
Je tiens agrave exprimer mes remerciements agrave Mr A MOKHTARI Professeur agravelrsquoUniversiteacute des Sciences et de la Technologie drsquoOran avoir accepteacute de participer agrave ce jurydrsquoen assumer la tache de preacutesident
Mes remerciements vont eacutegalement agrave Mr A MANSOURI Professeur agrave lrsquoEcoleNormal Supeacuterieure de lrsquoEnseignements Technologique drsquoOran ENSET drsquoavoir accepterdrsquoexaminer mon travail ainsi de participer agrave mon jury Qursquoil trouve ici lrsquoexpression de monrespect et ma profonde reconnaissance
Mes remerciements vont eacutegalement agrave Mr M CHENAFA Maicirctre de Confeacuterences agravelrsquoEcole Normal Supeacuterieure de lrsquoEnseignements Technologique drsquoOran ENSET avoiraccepteacute de juger ce travail Qursquoil trouve ici lrsquoexpression de mon respect et ma profondereconnaissance
Mes remerciements vont eacutegalement agrave Mr F M KHELFI Professeur agravelrsquoUniversiteacute drsquoOran pour avoir accepteacute de juger ce travail Qursquoil trouve ici lrsquoexpression demon respect et ma profonde reconnaissance
Que tous les membres du Laboratoire et de LDEE trouvent ici ma gratitude pour leur aideleurs conseils ou tout simplement pour leur amitieacute leur gentillesse et leur geacuteneacuterositeacutenotamment Rachid Khadija Rachida
Enfin je remercie tous ceux qui ont contribueacute de pregraves ou de loin agrave lrsquoaboutissementde cette thegravese
SOMMAIRE
i
SOMMAIRE
INTRODUCTION GENERALE 1
1 ETAT DE LrsquoART 411 Introduction 412 Drones agrave voilures tournantes 6
121 Drone Mono-rotor 6122 Drone bi-rotors 7123 Drone tri-rotors 8124 Drone quadri-rotors 9
13 Composentes du quadri-rotors 11131 Les batteries 11132 Les propulseurs 12133 Capteurs 12
14 Systegraveme drsquoaquisition embarqueacutes du X4 1515 Application et prespective 1616 Modes de vol 17
161 Vol vertical (ascendant ou descendant) 18162 vol stationnaire 18163 Vol de translation 18
17 Revues bibliographiques sur les drones quadri-rotors 18171 Commandes en litteacuterature 19
18 Conclusion 21
2 MODELISATION DUN DRONE A QUATRE HELICES 2221 Introduction 2222 Heacutelicoptegravere agrave quatre heacutelices 23
221 Fonctionnement du X4 2323 Modeacutelisation du drone quadri-rotors X4 24
231 Caracteacuteristiques physiques 25232 Repegraveres et matrices de passage 26233 Transformation des vitesses 30234 Forces aeacuterodynamiques 31235 Modegravele dynamique du quadri-rotors 33
2351 La dynamique de translation 342351 La dynamique de rotation 34
24 Etude des forces deacuteveloppeacutees 3625 Conclusion 38
3 COMMANDE PAR MODE GLISSANT ET GLISSANT FLOUX 3931 Introduction 3932 Theacuteorie de la commande par mode de glissement 39
321 Systegraveme agrave structure variable 39322 Conception de la commande par modes glissants 40
3221 Le choix de la surface de glissement S 413222 La condition de convergence et drsquoexistence 423223 Deacutetermination de la commande 43
323 Le pheacutenomegravene de reacuteticence 44
SOMMAIRE
ii
324 Adoucicement de la commande 4533 Stabilisation du drone X4 par la meacutethode mode glissant 45
331 Commande par mode glissant du systegraveme de translation lineacuteaire 463311 Controcircle de lrsquoaltitude 463312 Controcircle de deacuteplacement lineacuteaire suivant les axes ݔ et y 47
332 Commande par mode glissant du systegraveme de rotation 483321 Commande de lrsquoangle de roulis 483322 Commande des angles de tangage et de lacet 49
34 Planification de trajectoire et reacutesultats de simulations 49341 Etude de robustesse 60
35 Commande du drone par mode glissant agrave action inteacutegrale 64351 Reacutesultats de simulations 65
36 Commande du drone par un controcircleur flou-glissant 69361 Reacutesultats de simulations 71
37 Conclusion 74
4 COMMANDE ROBUSTE PAR BACKSTEPPING 7541 Introduction 75
42 Historique et domaines drsquoapplication du backstepping 7543 Conception de la commande par backstepping 76
431 Algorithme de base pour la meacutethode du backstepping 7644 Stabilisation du drone X4 par la meacutethode du backstepping 76
441 Commande du systegraveme de translation lineacuteaire 784411 Controcircle de lrsquoaltitude 794412 Controcircle de deacuteplacement lineacuteaire suivant les axes ݔ et y 81
442 Commande par backstepping du systegraveme de rotation 824421 Commande de lrsquoangle de roulis 824422 Commande des angles de tangage et de lacet 83
45 Reacutesultats de simulations 83451 Etude de robustesse 87
46 Backstepping avec action inteacutegrale 90461 Commande de lrsquoaltitude 90462 Reacutesultats de simulations 93
47 Backstepping adaptative 100471 Commande de lrsquoaltitude 100472 Reacutesultats de simulations 102
48 Commande hybride 105481 Application du mode glissant-Backstepping pour le drone X4 106482 Reacutesultats de simulations 108
49 Conclusion 112
CONCLUSION GENERALE ET PRESPECTIVE 114
ANNEXE A 117
ANNEXE B 122
BIBLIOGRAPHIE 127
LISTE DES TABLEAUX
iii
LISTE DES FIGURES
Figure 11 Premier drone 4Figure 12 (A) Dirigeable (B) Drone agrave ailes battants (C) Drone agrave ailes fixes 6Figure 13 Heacutelicoptegravere thermique 6Figure 14 Heacutelicoptegravere classique 7Figure 15 (A) T-wing (B) Hovereye de Bertin Tech (C) Le Birotan 8Figure 16 (A)Tri-rotor du laborat Heudiasyc (B)Le vectron (C) Heacutelicoptegraver auto-stable 9Figure 17 Heacutelicoptegravere de Bothezat 9Figure 18 Drones agrave quatre heacutelices (A)Quadri-rotor IBSC (B) Quadri-rotor pensylvania 10Figure 19 Batterie pour le X4 11Figure 110 (A) Heacutelice (B) Moteur eacutelectrique 12Figure 111 (A) Capteur agrave ultrasons (B) Cameacutera (C)Systegraveme de positionnement geacuteneacuteral 13Figure 112 Centrale inertielle (B) Carte intelligente 15Figure 113 Description drsquoun systegraveme de drone 16
Figure 21 Quadri-rotors X4 23Figure 22 Sens de rotation des rotors de X4 24Figure 23 les deux repegraveres du drone inertiel et local 26Figure 24 Rotations successives deacutefinissant les pseudos angles drsquoEuler 28Figure 25 Description des forces appliqueacutees agrave la pale 32
Figure 31 Diffeacuterents modes pour la trajectoire dans le plan de phase 40Figure 32 Surface de glissement 42Figure 33 Pheacutenomegravene de chattering 45Figure 34 Fonctions de commutation 45
Figure 35 Geacuteneacuteration de trajectoire avec h = 10m 50Figure 36 une trajectoire de reacutefeacuterence avec arcs 51Figure 37 La trajectoire de reacutefeacuterence et reacuteelle en cas droites 52Figure 38 Les commandes u3 u4 u5 des connexions droites 53Figure 39 Les erreurs pour des connections droites 53Figure 310 Les angles de tangage et de roulis pour des connections droites 54Figure 311 La trajectoire de reacutefeacuterence et reacuteelle en cas drsquoarcs 54Figure 312 Les commandes u3 u4 u5des connexions drsquoarcs 55Figure 313 Les erreurs pour des connexions drsquoarcs 55Figure 314 Les angles de tangage et de roulis en cas drsquoarcs 56Figure 315 La trajectoire de reacutefeacuterence et reacuteelle en cas des demi-cercles 56Figure 316 Les commandes u3 u4 u5 des connexions demi-cercles 57Figure 317 Les erreurs pour des connexions demi-cercles 57Figure 318 Les angles pour des connexions demi-cercles 58Figure 319 La trajectoire de reacutefeacuterence et reacuteelle en cas des demi-cercles 58Figure 320 La trajectoire de reacutefeacuterence et reacuteelle en cas drsquoheacutelicoiumldale 59Figure 321 La trajectoire de reacutefeacuterence et reacuteelle en cas drsquoun cocircne 59Figure 322 La trajectoire de reacutefeacuterence et reacuteelle en cas des demi-cercles 61Figure 323 Les commandes u3 u4 u5 des connexions demi-cercles 62Figure 324 Les erreurs pour des connexions demi-cercles 62Figure 325 Les angles pour des connexions demi-cercles 63Figure 326 Les forces pour des connexions demi-cercles 63Figure 327 La trajectoire de reacutefeacuterence et reacuteelle en cas des demi-cercles 65
LISTE DES TABLEAUX
iv
Figure 328 Les erreurs pour des connexions demi-cercles 66Figure 329 Les commandes pour des connexions demi-cercles 66Figure 330 Les angles pour des connexions demi-cercles 67Figure 331 La trajectoire de reacutefeacuterence et reacuteelle en cas des demi-cercles 67Figure 332 La trajectoire de reacutefeacuterence et reacuteelle en cas des connexions arcs 68Figure 333 La trajectoire de reacutefeacuterence et reacuteelle en cas heacutelicoiumldale 68Figure 334 Controcircleur par mode glissant flou 69Figure 335 Fonction dappartenance de lentreacutee S(t) 70Figure 336 Fonction dappartenance de la sortie un 70Figure 337 La trajectoire de reacutefeacuterence et reacuteelle en cas des demi-cercles 71Figure 338 Les commandes pour des connexions demi-cercles 72Figure 339 les erreurs pour des connexions demi-cercles 72Figure 340 les angles pour des connexions demi-cercles 73Figure 341 Les forces pour des connexions demi-cercles 73
Figure 41 Scheacutema bloc de commande du drone par backsteppingFigure 42 La trajectoire de reacutefeacuterence et reacuteelle en cas des connexions cercles 84Figure 43 Les commandes u3 u4 u5 des connexions cercle Figure 44 Les erreurs de deacuteplacement en cas des connections cercleFigure 45 Les angles de tangage et de roulis en cas des connections cercleFigure 46 Les forces en cas des connections cercleFigure 47 La trajectoire de reacutefeacuterence et reacuteelle en preacutesence de perturbation 88Figure 48 Les commandes en preacutesence de perturbation 88Figure 49 Les erreurs en preacutesence de perturbations 89410 Les angles de tangage et de roulis en preacutesence de perturbation 89Figure 411 Le scheacutema bloc du backstepping avec action inteacutegrale 90Figure 412 La trajectoire de reacutefeacuterence et reacuteelle 93Figure 413 Les commandes sans preacutesence de perturbation 94Figure 414 Les erreurs sans preacutesence de perturbations 94Figure 415 Les angles de tangage et de roulis sans preacutesence de perturbation 95Figure 416 Les forces sans preacutesence de perturbation 95Figure 417 La trajectoire de reacutefeacuterence et reacuteelle en preacutesence de perturbation 96Figure 418 Les erreurs en preacutesence de perturbations 96Figure 419 Les commandes en preacutesence de perturbations 97Figure 420 Les angles de tangage et de roulis en preacutesence de perturbation 97Figure 421 Les forces en preacutesence de perturbation 98Figure 422 La trajectoire de reacutefeacuterence et reacuteelle en preacutesence de perturbation 98Figure 423 La trajectoire de reacutefeacuterence et reacuteelle en preacutesence de perturbation 99Figure 424 Comparaison entre le controcircleur B et IB pour des connexions demi cercle 99Figure 425 Le scheacutema bloc du backstepping adaptative 100Figure 426 La trajectoire de reacutefeacuterence et reacuteelle en preacutesence de perturbation 103Figure 427 Les commandes en preacutesence de perturbation 103Figure 428 Les erreurs en preacutesence de perturbation 104Figure 433 Les erreurs en preacutesence de perturbation 109Figure 434 Les angles en preacutesence de perturbation 110Figure 435 Les forces en preacutesence de perturbation 110Figure 436 Les erreurs de suivi en z x et y pour les deux commandes 111Figure 437 La trajectoire de reacutefeacuterence et reacuteelle en preacutesence de perturbation 111Figure 438 La trajectoire de reacutefeacuterence et reacuteelle en preacutesence de perturbation 112
LISTE DES TABLEAUX
v
LISTE DES TABLEAUX
6
INTRODUCTION GENERALE
0
INTRODUCTION GENERALE
INTRODUCTION GENERALE
1
INTRODUCTION GENERALE
Dans les derniegraveres anneacutees les avances technologiques ont permis la conception et
la construction de mini-avions ou mini-heacutelicoptegravere avec des capaciteacutes toujours plus
deacuteveloppeacutees pour reacutealiser des vols autonome Ces appareils sont connus sous le nom de
drones Crsquoest -agrave-dire les drones sont des engins volants autonomes ou semi-autonomes
capables drsquoeffectuer des missions en vol sans pilotage humain agrave bort Pour cette raison les
drones sont connus aussi par leur appellation anglaise UAV (Unmanned Aerial Vehicle)
Ces appareils sont des veacutehicules complexes et difficiles agrave commander Il faut noter que
contrairement au robot manipulateur la plupart des ces systegravemes sont sous ndashactionneacutes (le
nombre drsquoentreacutees de commande est inferieur au nombre de degreacutes de liberteacute) En effet le
manque drsquoactionneurs pour ces engins induit une grande difficulteacute dans la conception de la
commande Neacuteanmoins lrsquointeacuterecirct de leur eacutetude vient de leur versatiliteacute et de leur
manœuvrabiliteacute leur permettant lrsquoexeacutecution drsquoun grand nombre de taches
Les applications des drones ne cessent drsquoaugmenter tant dans le domaine civil que
militaire Parmi les applications nous pouvons citer par exemple la surveillance de trafic
urbain ou des lignes eacutelectriques agrave haute tension [15] lrsquointervention dans des
environnements hostiles repeacuterage de mines la deacutetection de feux de forets dans les
missions de recherche et de sauvetage Enfin dans toutes les applications aeacuteriennes ougrave
lrsquointervention humaine devient difficile ou dangereuse
La recherche sur les drones est baseacutee principalement sur une eacutetude pluridisciplinaire
touchant le domaine eacutelectronique automatique informatique temps reacuteel aeacuterodynamique
traitement de signal communication Pour cette raison le nombre drsquoindustriels et
drsquouniversiteacutes qui srsquointeacuteressent aux robots aeacuterien ne cesse drsquoaugmenter
La conception de drones est diviseacutee essentiellement en deux parties la partie
algorithmique et la partie mateacuterielle Bien qursquoil existe un certain nombre de difficulteacutes
associeacutees agrave ce travail les chercheurs et les concepteurs se sont impliqueacutes de maniegravere
intense dans ces deux activiteacutes pour faire des contributions dans ce domaine La partie
algorithmique concerne le deacuteveloppement des lois de commande Dans cette branche les
automaticiens sont inteacuteresseacutes de plus en plus agrave lrsquoeacutetude et au deacuteveloppent des lois de
commande tant lineacuteaires que non lineacuteaire pour gouverner la dynamique de ces veacutehicules
La deuxiegraveme partie concerne le deacuteveloppement de la plate-forme expeacuterimentale ou
autopilote qui sera embarqueacutee dans le veacutehicule
INTRODUCTION GENERALE
2
Lrsquoobjectif de la thegravese est de deacutevelopper des strateacutegies de commande non lineacuteaires
pour le controcircle du drone En effet deux meacutethodes sont proposeacutees la commande par mode
glissant et la commande par backstepping
La commande agrave structure variable ou le mode glissant est une technique de
commande non lineacuteaire elle est caracteacuteriseacutee par la discontinuiteacute de la commande par une
surface de commutation Sa dynamique est alors insensible aux perturbations exteacuterieurs et
parameacutetriques tant que les conditions de reacutegime glissant sont assureacutees [45 50] Dans cette
voie nous allons utiliser la commande par mode glissant (Sliding Mode Control ou SMC)
pour la stabilisation drsquoun drone agrave quatre heacutelices Cependant le signal de commande obtenu
par un SMC preacutesente des variations brusques dues au pheacutenomegravene de broutement
(chaterring) ce qui peut exciter les hautes freacutequences et les non lineacuteariteacutes non modeacutelisables
[45 50 48 76] En effectuant une hybridation entre la logique floue et le mode de
glissement nous essayerons de reacuteduire les effets de pheacutenomegravene de broutement et
drsquoameacuteliorer drsquoavantage les performances du controcircleur
La theacuteorie de Lyapunov nous offre des outils tregraves puissants pour lrsquoanalyse de la
stabiliteacute des systegravemes ces mecircmes outils peuvent ecirctre utiliseacutes pour la synthegravese des lois de
commande Crsquoest dans ce contexte que se situe le backstepping cette commande agrave eacuteteacute
introduite au deacutebut des anneacutees 90 par plusieurs chercheurs on citera ente autres P
Kokotovic H Khalil Kanellakopoulos [72 73 74 75] Lrsquoapplication de cette derniegravere se
trouve dans le domaine de lrsquoaeacuteronautique [28] dans les systegravemes complexes tel que la
robotique les reacuteseaux eacutelectriques ainsi que les machines eacutelectriques [77 78 79 80] on
peut deacutefinir cette lois de commande comme eacutetant une proceacutedure reacutecursive qui combine
entre le choix de la fonction de Lyapunov et la synthegravese de la loi de commande [82] Cette
meacutethode transforme le problegraveme de synthegravese de loi de commande pour le systegraveme global agrave
une synthegravese de seacutequence de commande pour des systegravemes reacuteduits En exploitant la
flexibiliteacute de ces derniers le backstepping peut reacutepondre aux problegravemes de reacutegulation de
poursuite et de robustesse avec des conditions moins restrictives que drsquoautres meacutethodes
[82] Lrsquoingeacuteniositeacute de lrsquoideacutee nous a conduit agrave proposeacute lrsquoutilisation de cette loi de
commande non lineacuteaire pour la commande du drone quadri-rotor Une approche de
commande inteacutegral backstepping adaptatif sera preacutesenteacutee
INTRODUCTION GENERALE
3
Ce manuscrit de thegravese est structureacute de la maniegravere suivante en quatre chapitres
Chapitre 1
Dans ce chapitre nous preacutesenterons une classification des drones pour nous placer dans le
contexte de ce domaine de recherche Une eacutetude bibliographique preacutesente certaines
meacutethodes de geacuteneacuteration drsquoalgorithmes de commande pour les drones
Chapitre 2
Dans ce chapitre la modeacutelisation de drone heacutelicoptegravere quadri-rotor est preacutesenteacutee Cette
modeacutelisation est eacutetablie en prenant en consideacuteration les forces aeacuterodynamiques Une
expression deacutetailleacutee du coefficient de Coriolis des termes gyroscopique et centrifuge est
donneacutee
Chapitre 3
Le troisiegraveme chapitre concerne la commande agrave structure variable ougrave lrsquoapproche non
lineacuteaire par mode glissants est traiteacutee On introduit quelques aspects meacutethodologiques
neacutecessaires pour la compreacutehension des systegravemes agrave structures variables Cette technique
sera appliqueacutee pour controcircler la trajectoire du drone en utilisant une stabilisation point par
point Une autre structure de reacuteglage par mode de glissement agrave action inteacutegrale sera aussi
preacutesenteacutee Ensuite une approche drsquohybridation entre le mode glissant et la logique floue
sera proposeacutee
Chapitre 4
Le chapitre quatre quant agrave lui est consacreacute agrave la conception de la deuxiegraveme loi de
commande non lineacuteaire baseacutee sur la technique du backstepping pour la commande des
mouvements selon les axes Z X Y Une approche de commande backstepping adaptative
sera preacutesenteacutee Une hybridation entre la commande par backstepping et par mode glissant
est aussi proposeacutee dans le but drsquoavoir un controcircleur plus performant Une eacutetude de la
robustesse est effectueacutee vis-agrave-vis de la perturbation du vent suivant les diffeacuterentes
directions du mouvement
Ce manuscrit srsquoachegraveve par un ensemble de commentaires et de remarques geacuteneacuterales
sur les reacutesultats obtenus et quelques discussions sur les perspectives agrave mener
Chapitre 1 ETAT DE LrsquoART
3
Chapitre 1
ETAT DE LrsquoART
Chapitre 1 ETAT DE LrsquoART
4
1 ETAT DE LrsquoART
11 Introduction
Le mot drone est dorigine anglaise signifiant bourdon ou bourdonnement Il
est communeacutement employeacute en Franccedilais en reacutefeacuterence au bruit que font certains bourdons en
volant Les drones sont des aeacuteronefs capables de voler et deffectuer une mission sans
preacutesence humaine agrave bord Cette premiegravere caracteacuteristique essentielle justifie leur deacutesignation
de Uninhabited (ou Unmanned Aerial Vehicle UAV)
En fait ce sont les lourdes pertes subies pendant la seconde guerre mondiale par les avions
dobservation de chacun des antagonistes qui suscitegraverent lideacutee dun engin dobservation
militaire sans eacutequipage (ni pilote ni observateur)
Les premiers drones apparurent en 1960 (fig11) tel le R20 de Nord-Aviation denvergure
320 m et de longueur 544m deacuterivant de lengin de cible CT20 Toutefois lideacutee des
drones trottait dans les esprits depuis bien longtemps Un Anglais aurait inventeacute le concept
dans les anneacutees 1890 en inteacutegrant agrave un cerf-volant un appareil photographique [1]
Et au fil des anneacutees les chercheurs nont pas cesseacute dameacuteliorer ces machines au niveaude
Figure 11 Premier drone
Chapitre 1 ETAT DE LrsquoART
5
la taille jusquagrave atteindre la cateacutegorie de drone miniature qui englobe tous les drones dont
lenvergure est infeacuterieure agrave 50 centimegravetres pouvant descendre mecircme agrave quelques
centimegravetres seulement (on parle dans ce cas de drones miniatures)
Le terme miniature ne reflegravete pas un simple changement deacutechelle par rapport aux drones
primaires conventionnels En effet compte tenu de leurs tailles de leurs rapports
masseinertie et de leurs sensibiliteacutes aux vents la dynamique de ces drones miniatures se
trouve ecirctre tregraves diffeacuterente de celle des engins de grande dimension
En fait la vocation principale des drones est lobservation et la surveillance aeacuteriennes
vocation utiliseacutee jusquagrave preacutesent surtout agrave des fins militaires (actuellement 90 pour cent du
marcheacute mondial des drones)
Ainsi tous les drones quils soient autonomes ou non requiegraverent la preacutesence au sol dau
moins un opeacuterateur pour recueillir en temps reacuteel les beacuteneacutefices de la mission celui-ci
reccediloit analyse et enregistre les informations transmises par le drone [2]
Aujourdhui les progregraves reacutealiseacutes agrave la fois dans les performances des drones et leurs
eacutequipements leur confegraverent un tregraves large potentiel dutilisation dans le domaine civil la
lutte contre les risques naturels (volcan feux de forecircts surveillance des zones agrave risque
centrales nucleacuteaires) controcircle du trafic routier lobservation des champs agricoles ou des
troupeaux veacuterification de leacutetat des ouvrages darts (ponts viaducs) [1]
On distingue toutefois deux cateacutegories de drones ceux qui requiegraverent effectivement
lassistance dun pilote au sol par exemple pour les phases de deacutecollage et datterrissage et
ceux qui sont entiegraverement autonomes
Cette autonomie de pilotage peut seacutetendre agrave la prise de deacutecision opeacuterationnelle pour reacuteagir
face agrave tout eacuteveacutenement aleacuteatoire en cours de mission elle constitue la deuxiegraveme
caracteacuteristique essentielle des drones
De mecircme on peut classer les drones en trois cateacutegories principales (fig12)
Drones agrave voilure tournante type heacutelicoptegravere
Drone agrave voilure fixe
Plus lourd que lair type avion
Plus leacuteger que lair type Dirigeable
Drones agrave ailes battantes type oiseau ou insecte
Chapitre 1 ETAT DE LrsquoART
6
Figure 12 (A) Dirigeable (B) Drone agrave ailes battants (C) Drone agrave ailes fixes
12 Drones agrave voilures tournantes
Dans cette partie nous eacutetalons les diffeacuterents types de drones agrave voilures tournantes
121 Drones Mono-rotor
Ce type de drone passe par des phases de deacuteveloppement bien remarquables suite agrave
linteacuterecirct quon y porte En effet ce sont des drones offrant la possibiliteacute de voler comme un
avion normal donc un deacuteplacement rapide et bien eacuteconome en eacutenergie Nous preacutesentons
Heacutelicoptegravere thermique (fig13) Cet heacutelicoptegravere thermique deacuteveloppeacute au sein du
laboratoire Heudiasyc (Heuristique et diagnostique des systegravemes complexes) a une
structure meacutecanique originale pour effectuer un deacuteplacement horizontal cet appareil est
censeacute effectuer une inclinaison au niveau de ses heacutelices afin de faire apparaitre une
diffeacuterence de pression lui permettant davancer
Cette originaliteacute meacutecanique engendre un systegraveme dynamique beaucoup plus complexe par
rapport aux autres modegraveles
Figure 13 Heacutelicoptegravere thermique
Chapitre 1 ETAT DE LrsquoART
7
122 Drone Bi-rotors
Cette cateacutegorie est elle mecircme subdiviseacutee en deux sous cateacutegories
1) Bi-rotors agrave un ou deux plateaux cycliques
Heacutelicoptegravere classique rotor principal et rotor de queue ce dernier sert
principalement agrave compenser le couple geacuteneacutereacute par le rotor principal En fait le rotor
principal permet la monteacutee et la descente ainsi que la translation avant arriegravere et
lateacuterale mecircme par contre le rotor de queue permet le controcircle du lacet
Heacutelicoptegravere en tandem deux rotors tournant en sens inverse autour de deux axes
diffeacuterents
Heacutelicoptegravere co-axial deux rotors tournant en sens inverse autour du mecircme axe Un
exemple de cet engin est mis dans le commerce par Hirobo
Figure 14 Heacutelicoptegravere classique
2) Pales agrave pas fixe Voler agrave pas fixe implique labsence de plateaux cycliques et en
absence de ces plateaux il est impossible de geacuteneacuterer une force et trois moments
pour controcircler un systegraveme agrave 6 degreacutes de liberteacute Afin de creacuteer les moments
manquants il est primordial dajouter soit des ailerons soit des meacutecanismes pour
faire pivoter les ailerons et produire ces moments en question Nous citons dans
cette sous cateacutegorie
T-wing de lUniversiteacute de Sydney drone bi-rotor placeacute sur deux axes diffeacuterents
tournant en sens opposeacutes ou dans le mecircme sens et pour la production des moments
neacutecessaires ce drone est muni dailerons
Chapitre 1 ETAT DE LrsquoART
8
Le Hover eye de Bertin technologie Cest un drone dont la configuration est tregraves
compacte deux rotors contrarotatifs sur le mecircme axe et des ailerons dans le flux
dair des rotors
Le Birotan Drone agrave configuration compact posseacutedant deux rotors pivotant sur
deux axes preacutesentant un faible couple de tangage
Figure 15 (A) T-wing (B) Hover eye (C) Le Birotan
113 Drone tri-rotors
Dans cette cateacutegorie nous connaissons
Trirotor Heacutelicoptegravere posseacutedant trois rotors deux en avant tournant dans le sens
contraire et un en arriegravere avec orientation reacuteglable Des expeacuteriences ont eacuteteacute faites
sur cet heacutelicoptegravere au sein du laboratoire Heudiasyc
Le vectron Cest un heacutelicoptegravere dont le corps est circulaire renfermant trois rotors
tournant dans le mecircme sens Pour compenser le couple le corps lui mecircme tourne en
sens opposeacutes des rotors Pour obtenir les couples de tangage et de roulis les trois
rotors tournent avec des vitesses varieacutees agrave des instants bien preacutecis Des travaux de
recherche ont eacuteteacute effectueacutes au LIRMM
Heacutelicoptegravere auto-stable Cest un heacutelicoptegravere agrave trois rotors deux coaxiaux tournant
en sens opposeacutes agrave pas fixe et le troisiegraveme est placeacute sur la queue de lheacutelicoptegravere
pour obtenir le couple de tangage Cet heacutelicoptegravere a la proprieacuteteacute decirctre stable gracircce
au fait quil existe une articulation entre les pales du rotor principal et laxe du rotor
Neacuteanmoins cet appareil ne peut ecirctre utiliseacute que dans des endroits fermeacutes
Chapitre 1 ETAT DE LrsquoART
9
Figure 16 (A) Tri-rotor du laboratoire Heudiasyc (B) Le vectron(C) Heacutelicoptegravere auto-stable
124 Drone quadri-rotors
Le premier quadri-rotors remonte agrave 1921 En effet en 1921 les corps dair de
larmeacutee Ameacutericaine ont attribueacute un contrat aux Dr George de Bothezat et Ivan Jerome pour
deacutevelopper une machine agrave vol vertical
Ces derniers ont mis sur pied une machine volante de 1678 Kg dont le fuselage est conccedilu
sous forme dun X Chaque bras du fuselage eacutetait de 9m de longueur tenant agrave son extreacutemiteacute
un rotor de 8m de diamegravetre environ
Cependant bien que de Bothezat ait deacutemontreacute quil eacutetait theacuteoriquement possible agrave son
heacutelicoptegravere de voler et quil eacutetait theacuteoriquement bien stable cet avion na pas pu reacutealiser les
performances escompteacutees par exemple on lui demandait de voler agrave une altitude de 100m
alors que pour cause de surpoids laltitude maximale quil a pu atteindre eacutetait juste de 5m
Ainsi suite agrave sa complexiteacute meacutecanique son manque de puissance son insensibiliteacuteetc
cet heacutelicoptegravere agrave quatre rotors na pas pu satisfaire son cahier de charge
Figure 17 Heacutelicoptegravere de Bothezat
Chapitre 1 ETAT DE LrsquoART
10
Pour les drones miniatures les chercheurs se sont inspireacutes de ce geacuteant quadri-rotors et ont
mis sur pied des drones lui ressemblant
Les heacutelicoptegraveres agrave quatre heacutelices sont des quadrirotors agrave quatre moteurs installeacutes sur
une croix geacuteneacuteralement en fibre de carbone drsquoougrave leur appellation les heacutelicoptegraveres X4 Des
exemples sont repreacutesenteacutes dans la figure 18
Figure 18 Drones agrave quatre heacutelices (A) Quadri-rotor du laboratoire IBSC(B) Quadri-rotor pensylvania
Afin de compenser les anti-couples des moteurs creacuteeacutes par la rotation des heacutelices le moteur
avant et arriegravere tournent dans le sens des aiguilles dune montre tandis que les autres
moteurs tournent dans le sens inverse De plus les heacutelices utiliseacutees sont agrave pas fixe Le
tangage de ce drone est obtenu par diffeacuterence de vitesse de rotation des rotors avant et
arriegravere geacuteneacuterant un deacuteplacement suivant laxe des x Le deacuteplacement suivant laxe des y est
produit par un angle de roulis Ce dernier est obtenu par une diffeacuterence de vitesse des
moteurs lateacuteraux Le lacet srsquoobtient en augmentant la vitesse des moteurs avant et arriegravere
en reacuteduisant la vitesse des moteurs lateacuteraux
Au centre de la croix se trouve un cylindre central contenant
Une centrale inertielle
Une carte intelligente
Une batterie
Un GPS (Global Positionning System)
Une cameacutera CDD
Des capteurs ultrason
Une station de base
Chapitre 1 ETAT DE LrsquoART
11
13 Composantes du quadri-rotors
Durant ces derniegraveres anneacutees le deacuteveloppement des drones connait un essor croissant
surtout au niveau des capteurs des moteurs des batteries et des cartes eacutelectroniques qui
sont de plus en plus leacutegers et plus performants
Ces nouvelles qualiteacutes requises par ces composantes amplifient la performance du drone au
niveau de son autonomie et de ses capaciteacutes du vol En fait le grand problegraveme rencontreacute
par les drones cest la dureacutee du vol qui est lieacutee aux diffeacuterents composants utiliseacutes batterie
moteur et heacutelices Ainsi il faut faire un choix judicieux pour ces composants eacutetudier
lautonomie reacuteelle des batteries deacuteterminer la consommation des moteurs et la geacuteomeacutetrie
des heacutelices
Plus geacuteneacuteralement nous classons les composants du drone en trois cateacutegories
Batterie
Propulseurs
Capteurs
131 Les batteries
Lautonomie de tout engin est directement lieacute agrave leacutenergie quil peut avoir donc agrave la qualiteacute
de la batterie dont il est pourvu Le deacuteveloppement des batteries ne cesse de nous eacutetonner
de plus en plus leacutegegraveres de plus en plus autonomes donc une contribution importante au
deacuteveloppement des drones
Figure 19 Batterie pour le X4
Chapitre 1 ETAT DE LrsquoART
12
132 Les propulseurs
Les heacutelices
Le drone X4 dispose de quatre heacutelices ayant un certain taux de flexibiliteacute lui permettant de
pouvoir assurer la propulsion de tout le robot volant de masse estimeacutee agrave 2Kg Ainsi
chacune doit geacuteneacuterer une force de pousseacutee de 49N agrave leacutequilibre Dautre part les pales
utiliseacutees dans la fabrication du X4 ont une forme vrilleacutee leur procurant un bon rendement
au niveau de la pousseacutee donc une eacuteconomie au niveau de leacutenergie [2]
Moteur eacutelectrique
Dans le but de rendre le X4 silencieux et davoir le bon rapport puissancepoids le moteur
eacutelectrique du type brushless est le plus utiliseacute En plus et suite agrave son bobinage fixeacute au
stator ce moteur a une inertie consideacuterablement reacuteduite une reacuteduction au niveau de la
consommation du courant lors du deacutemarrage et une rapide eacutevacuation de la tempeacuterature
neacuteanmoins il neacutecessite un circuit de commande speacuteciale bien complexe et bien cher
Fig 110 (A) Heacutelice (B) Moteur eacutelectrique
133 Capteurs
Les capteurs servent principalement agrave effectuer des mesures tridimensionnelles
(position vitesse orientation acceacuteleacuteration ) permettant dalimenter des entreacutees en temps
reacuteel pour les lois de commande
Ces mesures sont effectueacutees par diffeacuterents types de capteurs
Capteurs agrave ultrasons
Un capteur agrave ultrason est composeacute de trois compartiments
Chapitre 1 ETAT DE LrsquoART
13
Emetteur
Reacuteceacutepteur
Microcontrocircleur PIC
Il sert agrave deacutetecter lobstacle et agrave mesurer la distance de seacuteparation Se munir uniquement
dun capteur agrave ultrason pour la mesure de position peut donner des reacutesultats erroneacutes En
effet en couvrant les lieux londe peut tomber sur diffeacuterents obstacles agrave chaque instant et agrave
des distances diffeacuterentes Il est donc primordial de lassocier agrave un autre capteur de position
Cameacutera
Le capteur le plus riche en donneacutees pouvant exister est une cameacutera En geacuteneacuteral nous
pouvons classer les cameacuteras en deux cateacutegories
Cameacutera numeacuterique
Cameacutera analogique
Le choix de la cameacutera deacutepend de son embarquabiliteacute ses capaciteacutes de calculs et de
lapplication mecircme
Systegraveme de positionnement geacuteneacuteral GPS
Le GPS est un systegraveme de positionnement par satellites assez preacutecis la preacutecision
pouvant atteindre le megravetre en preacutesence de filtrage Lutilisation de la localisation par le
systegraveme GPS est tregraves vaste elle touche plusieurs domaines le transport (aeacuterien maritime
) eacutetude geacuteographique assistance aux eacutequipe de secours
Figure 111 (A) Capteur agrave ultrasons (B) Cameacutera (C) Systegraveme depositionnement geacuteneacuteral
Chapitre 1 ETAT DE LrsquoART
14
Centrale inertielle
La centrale inertielle est une carte inteacutegrant trois types de capteurs
Trois gyroscopes Le mot gyroscope est un mot grec signifiant qui regarde la rotation
Un gyroscope est un appareil qui exploite le principe de la conservation du moment
angulaire en meacutecanique des solides
Trois magneacutetomegravetres un magneacutetomegravetre est un appareil qui sert agrave mesurer laimantation
dun systegraveme Dans notre cas le magneacutetomegravetre sert agrave calculer le champ magneacutetique terrestre
Trois acceacuteleacuteromegravetres un acceacuteleacuteromegravetre est un capteur qui fixeacute agrave un mobile permet de
mesurer lacceacuteleacuteration de ce dernier
Ces capteurs forment un triegravedre orthogonal servant agrave mesurer en temps reacuteel les
mouvements du drone (acceacuteleacuteration vitesse angulaire) Ces mesures sont exprimeacutees dans
un triegravedre direct deacutefini comme le systegraveme de coordonneacutees fixe du capteur Ce systegraveme est
aligneacute avec le boicirctier de la centrale inertielle
En inteacutegrant la mesure de lacceacuteleacuteration triaxiale donneacutee par lacceacuteleacuteromegravetre nous
reacutecupeacuterons la mesure de la vitesse en linteacutegrant une deuxiegraveme fois nous aurons la
position
Or cette inteacutegration engendre une erreur au niveau des mesures En effet toute mesure
effectueacutee par la carte inertielle peut ecirctre entacheacutee derreurs de mesures dues aux bruits des
moteurs et par inteacutegration ces erreurs augmentent
Ainsi un filtrage numeacuterique associeacute aux mesures savegravere neacutecessaire En reacutecupeacuterant la
matrice dattitude preacutedite par inteacutegration des gyros nous constatons quelle est bruiteacutee par
rapport agrave la matrice dattitude mesureacutee
En litteacuterature les algorithmes de filtrage classiquement utiliseacutes sont de type filtrage
compleacutementaire ou filtrage de Kalman (classique ou eacutetendu)
Linconveacutenient de ces algorithmes cest quils sont lineacuteaires et nexploitent pas le groupe
des matrices de rotation SO(3) et lalgegravebre de Lie qui lui est associeacutee La creacuteation
dalgorithme de filtrage approprieacute est alors recommandeacute (filtrage non-lineacuteaire exploitant la
structure du Groupe SO(3) et la varieacuteteacute sous-jacente associeacutee [3 4 5])
Chapitre 1 ETAT DE LrsquoART
15
Carte intelligente
La carte intelligente peut ecirctre compareacutee au cerveau du drone cest son eacuteleacutement
principal Elle gegravere lensemble des capteurs embarqueacutes sur la machine sauf la cameacutera qui
transmet ses donneacutees images agrave la base au sol ougrave elles sont traiteacutees
Dautres cartes peuvent ecirctre incorporeacutees dans le drone afin de renforcer ses liens
avec la base au sol (carte pour liaison radio [5]) et dautres lui fournissant plus
dinformations pour raffiner les donneacutees (carte de gestion dun ensemble de proximiteacute varieacute
[40])
Figure 112 (A) Centrale inertielle (B) Carte intelligente
14 Systegraveme drsquoacquisition embarqueacute du X4
La mise en œuvre dun ou de plusieurs drones fait appel agrave diffeacuterents eacuteleacutements
constituant un systegraveme de drone Ce systegraveme a deux composantes un segment air
composeacute du drone de sa charge utile et de son systegraveme de transmission et un segment sol
constitueacute dun ensemble de mateacuteriels et de un ou plusieurs opeacuterateurs humains ayant un
degreacute dintervention plus ou moins eacuteleveacute On distingue encore dans la composante sol deux
cateacutegories de mateacuteriels ceux assurant le lancement et la reacutecupeacuteration des drones
(catapulte filets etc) auxquels sajoutent les moyens techniques neacutecessaires agrave la
maintenance et au reconditionnement des drones identiquement aux proceacutedeacutes
dexploitation des avions et ceux ayant pour objectif la conduite de la mission en assurant
les fonctions de la gestion du vol et de la navigation la reacuteception des donneacutees envoyeacutees
par le drone leurs analyse et interpreacutetation ainsi que leur enregistrement
Chapitre 1 ETAT DE LrsquoART
16
Figure 113 Description drsquoun systegraveme de drone
15 Applications et perspectives
Actuellement les drones occupent une place importante dans le domaine civil et
militaire En effet ces engins sans pilote preacutesentent de nombreux avantages [6]
Il faut noter que sur ce point le champ drsquoaction des drones ne cesse de srsquoeacutelargir ces
derniers temps En effet leur deacuteveloppement sur une large gamme ainsi que les progregraves
reacutealiseacutes au niveau des systegravemes embarqueacutes (guidage pilotage et liaisons) a inciteacute les
forces armeacutees agrave inteacutegrer le systegraveme de drone dans la panoplie des moyens aeacuteriens en
compleacutement des systegravemes classiques On peut distinguer trois types drsquoapplications des
drones dans le domaine militaire
La premiegravere et principale vocation des drones est la surveillance et le
renseignement Les drones reacutepondent de mieux en mieux aux exigences opeacuterationnelles
modernes Les eacutevolutions technologiques rapides des systegravemes embarqueacutes ont permet
drsquoeacutelargir leur domaine drsquoapplication De nos jours on peut les utiliser comme support au
combat notamment dans la deacutesignation drsquoobjectifs ou comme relais de communication ou
moyen de brouillage La troisiegraveme et derniegravere cateacutegorie drsquoapplications est le combat
proprement dit mais cette derniegravere application neacutecessite des drones agrave hautes performances
conccedilus speacutecialement pour ce type de missions
Les applications potentielles des drones dans le domaine civil sont diverses et ce
gracircce agrave leur souplesse et leur polyvalence demploi En effet les drones peuvent reacutepondre agrave
Chapitre 1 ETAT DE LrsquoART
17
un besoin qui nest pas couvert par un avion piloteacute Cest le cas des missions qui peuvent
ecirctre consideacutereacutees comme dangereuses peacutenibles physiquement pour leacutequipage ou
ennuyeuses Les applications potentielles peuvent se diviser en plusieurs grandes
cateacutegories drsquoabord la surveillance et lrsquoobservation ougrave on peut citer les eacutetudes
scientifiques (de lrsquoatmosphegravere des sols et des oceacuteans ou les preacutevisions meacuteteacuteorologiques)
la surveillance drsquourgence telle que les incendies de forecircts volcans recherche et sauvetage
eacutevaluation des deacutegacircts en cas de catastrophes naturelles etc On peut citer eacutegalement des
missions exploitant le segment air telles que le transport de fret la cartographie
lrsquoutilisation par lrsquoindustrie cineacutematographique etc Ils peuvent en outre ecirctre utiliseacutes dans
des missions speacutecifiques comme relais de communication ou dans des missions
dangereuses (deacutetection de radiations et de gaz toxiques)
Lexpeacuterience deacutejagrave acquise avec les drones et leurs deacuteveloppements technologiques
potentiels permettent daffirmer que leur rocircle va consideacuterablement saccroicirctre tant dans les
domaines civil que militaire Dans le domaine civil en couvrant des besoins auxquels les
avions classiques ne peuvent pas toujours satisfaire Dans le domaine militaire en
compleacutetant voire en remplaccedilant les avions pour certaines missions dangereuses ou de tregraves
longue dureacutee
Gracircce agrave leur inteacuterecirct tactique les drones constituent agrave la fois une opportuniteacute
industrielle exceptionnelle et un facteur dimpulsion nouvelle pour la recherche Cependant
la geacuteneacuteralisation de lrsquoemploi des systegravemes de drone reste exposeacutee agrave des difficulteacutes qui sont
lieacutees principalement agrave lrsquointeacutegration des drones dans la circulation aeacuterienne et le
perfectionnement des systegravemes de transmission des donneacutees (porteacutee et deacutebit) Enfin des
progregraves sont agrave reacutealiser eacutegalement dans les domaines des performances de lrsquoengin volant
des charges utiles du systegraveme embarqueacute et de leur fiabiliteacute
Toutes ces missions neacutecessitent un controcircle performant de lrsquoappareil et par
conseacutequent des informations preacutecises sur son eacutetat absolu et ou relatif agrave son environnement
16 Modes de vol
Geacuteneacuteralement il existe trois modes qui deacutecrivent la direction de vol de lrsquoengin ces
modes sont
Vol vertical
Vol stationnaire
Vol de translation
Chapitre 1 ETAT DE LrsquoART
18
161 Vol vertical (ascendant ou descendant)
Dans le vol vertical la reacutesultante aeacuterodynamique et le poids total sont deux forces
ayant la mecircme direction mais de sens opposeacute Le vol est ascendant ou descendant suivant
que lrsquoeffet aeacuterodynamique est supeacuterieur ou infeacuterieur au poids de lrsquoappareil Crsquoest-agrave-dire les
moteurs devront augmenter ou diminues le couple de forces geacuteneacutereacute afin que la vitesse de
rotation des heacutelices augmentent ou diminuent Pour effectuer un vol vertical du drone X4 il
faut respecter ces conditions fondamentales
-Les quatre forces des moteurs f1 f2 f3 et f4 doivent fonctionner en mecircme temps afin
drsquoobtenir lrsquoeacutequilibre de lrsquoensemble
-Pour atteindre la consigne nous agissons sur les quatre moteurs simultaneacutement
(augmentations et diminutions des forces)
-Si on atteint la reacutefeacuterence on garde ces forces constantes sum F = mg
m la masse totale de lrsquoengin
162 Vol stationnaire
Ce vol est obtenu lorsque les normes de la force sustentatrice et celle de pesanteur
sont eacutegales et opposeacutees Dans ce cas nous pouvons constater que lrsquoappareil reste
immobile
163 Vol de translation
Correspond agrave tout vol en avant en arriegravere ou sur le coteacute Pour obtenir un
mouvement de translation selon lrsquoaxe lsquoxrsquo ou lsquoyrsquo il suffit de reacutealiser un roulis ou un tangage
en augmentant la vitesse drsquoun moteur et en diminuant celle du moteur du mecircme axe avec la
mecircme quantiteacute pour conserver la portance intacte
Pour le mouvement du lacet (rotation sur lui-mecircme) il faut augmenter la vitesse
drsquoune paire de moteur du mecircme axe et diminuer drsquoautant celle de lrsquoautre paire Le sens de
mouvement du lacet deacutependra du sens de rotation qursquoon aura choisi pour les paires de
moteurs
17 Revues bibliographiques sur les drones quadri-rotors
Cette nouvelle geacuteneacuteration drsquoengins miniatures autonomes connue sous le nom de
Drones miniatures a susciteacute un grand inteacuterecirct ainsi une diversiteacute de modegraveles et de
configurations ont vu le jour
Chapitre 1 ETAT DE LrsquoART
19
Le drone quadri-rotors eacutetait et est lune des configurations les plus eacutetudieacutees
Plusieurs eacutequipes de chercheurs du monde entier se sont lanceacutees dans le domaine de
conception dune loi de commande simple robuste et facilement embarquable Ce domaine
est bien vaste touchant plusieurs speacutecialiteacutes (automatique aeacuterodynamique robotique)
171 Commandes en litteacuterature
Plusieurs travaux consacreacutes agrave la conception de diffeacuterentes commandes ont eacuteteacute
publieacutes il y a ceux qui preacutesentent des lois de commande baseacutees sur le systegraveme lineacuteariseacute des
drones et dautres traitants le modegravele en entier
En consideacuterant une lineacutearisation du modegravele dynamique de leur quadri-rotors [7] PPound
et al [8] ont deacuteveloppeacute un algorithme de controcircle stabilisant leur modegravele Des tests
numeacuteriques ont eacuteteacute effectueacutes confirmant la validiteacute de cette commande
Une meacutethode de stabilisation et de poursuite de trajectoire baseacutee sur la notion de platitude
eacutetait conccedilue dans [9 10] Cette meacutethode a eacuteteacute appliqueacutee sur le systegraveme lineacuteariseacute du quadri-
rotors X4 Elle a assureacute la poursuite du drone vers une trajectoire planifieacutee Des tests
numeacuteriques ont eacuteteacute faits
Dans [11 12] une configuration dun quadri-rotors nommeacute OS4 est preacutesenteacutee En se
limitant agrave un systegraveme simplifieacute du modegravele du OS4 un algorithme de controcircle de type
PID a eacuteteacute eacutelaboreacute En consideacuterant ensuite un modegravele plus complet une commande LQ est
geacuteneacutereacutee Ces commandes preacutesenteacutees arrivent agrave stabiliser le modegravele entier neacuteanmoins elles
sont assez sensibles aux perturbations pouvant affecter le systegraveme
Dans [13] Chen et Huzmezan ont obtenu un modegravele lineacuteariseacute quils ont utiliseacute pour
syntheacutetiser un controcircleur de type H1 Ils ont testeacute leur algorithme sur une plateforme
pivotant librement autour dun point
Dans [14] deux commandes non lineacuteaires sont eacutelaboreacutees pour la stabilisation du quadri-
rotors OS4 La premiegravere approche est baseacutee sur la technique du backstepping tandis que
la deuxiegraveme utilise la technique de modes glissants Des tests pratiques ont eacuteteacute appliqueacutes
sur une plate-forme au sol non embarqueacutee validant les reacutesultats theacuteoriques des deux
approches
En utilisant deux meacutethodes dapproches diffeacuterentes dans [15] K Zemalache Meguenni a
eacutetudieacute la stabiliteacute et la poursuite de trajectoire pour deux quadri-rotors diffeacuterents (X4 et
XSF)
Chapitre 1 ETAT DE LrsquoART
20
En premier temps en combinant la technique de backstepping agrave lapproche de Lyapunov
deux algorithmes associeacutes aux deux modegraveles ont eacuteteacute syntheacutetiseacutes Les reacutesultats des deux
modegraveles ont eacuteteacute testeacutes numeacuteriquement pour le suivi de trajectoires planifieacutees point agrave point
En second temps une commande baseacutee sur la theacuteorie de la logique floue eacutetait eacutelaboreacutee
pour le drone XSF des tests numeacuteriques ont eacuteteacute effectueacutes
Dans [16] une lineacutearisation robuste par retour drsquoeacutetat mixeacute avec le controcircleur GHinfin lineacuteaire
est appliqueacutee Une saturation des actionneurs et des contraintes sur la sortie de lrsquoespace
drsquoeacutetat sont introduites pour analyser le cas deacutefavorable pour la commande Les reacutesultats
obtenus prouvent que le systegraveme global devient robuste lorsque les fonctions pondeacutereacutees
sont choisies judicieusement Le fonctionnement du controcircleur est illustreacute dans une eacutetude
de simulation qui tient compte des incertitudes sur les paramegravetres et les perturbations
externes
Dans [17] la conception de larchitecture informatique embarqueacutee pour la commande dun
quadri-rotors et dun avion miniature est preacutesenteacutee La modeacutelisation dynamique des deux
engins eacutetait eacutetablie au moyen de la meacutethodologie de Newton-Euler en prenant en compte
les forces et les moments aeacuterodynamiques En utilisant la technique de saturations
emboiteacutees baseacutee principalement sur lapproche de Lyapunov deux commandes non
lineacuteaires eacutetaient eacutelaboreacutees pour le quadri-rotors
Deux autres commandes lineacuteaires ont eacuteteacute syntheacutetiseacutees pour les deux drones Des eacutetudes de
robustesse des commandes ont eacuteteacute preacutesenteacutees et des tests expeacuterimentaux des algorithmes
en temps reacuteel ont eacuteteacute appliqueacutes sur une plateforme
Inspireacute des travaux [18] effectueacutes sur la stabilisation du PVTOL (Planar Vehicle Take of
and Landing) P Castillo [19 20 21] a preacutesenteacute la conception dune commande non
lineacuteaire pour un quadri-rotors dont le modegravele est obtenu par la meacutethode dEuler-Lagrange
en tenant compte de la dynamique des moteurs Cette commande est baseacutee sur la technique
des saturations emboiteacutees fondeacutee principalement sur lapproche de Lyapunov Des
plateformes expeacuterimentales ont eacuteteacute reacutealiseacutees pour appliquer et tester les lois de commande
proposeacutees
Se basant sur le formalisme de Newton-Euler T Hamel et al [22] ont eacutetabli la
modeacutelisation dynamique dun quadri-rotors prenant en compte la dynamique des moteurs et
les effets aeacuterodynamiques et gyroscopiques des rotors
Dans [23] les auteurs ont deacutemontreacute que lapplication des approches 2D des
asservissements visuels peuvent ecirctre exploiteacutes pour la commande des systegravemes sous
actionneacutees
Chapitre 1 ETAT DE LrsquoART
21
En supposant que la direction du motif est cette fois ci fixe dans le repegravere cameacutera ce
reacutesultat a pu ecirctre eacutelargi en donnant naissance agrave un asservissement visuel purement 2D [24]
plus complexe suite agrave la dynamique de zeacutero introduite par cette hypothegravese Des tests
numeacuteriques ont eacuteteacute faits validant ce reacutesultat
E Altug et al [25 26 27] ont proposeacutes un algorithme de controcircle pour stabiliser le quadri-
rotor en utilisant la vision comme capteur principal Cette technique se compose drsquoune
cameacutera terrestre et drsquoune cameacutera embarqueacutee sur lrsquoheacutelicoptegravere et sont utiliseacutees pour estimer
les eacutetats de lrsquoheacutelicoptegravere Lrsquoalgorithme de la pose est compareacute par la simulation agrave drsquoautres
meacutethodes drsquoestimation de la pose (telles que la meacutethode de quatre points et la meacutethode de
steacutereacuteo vision) et srsquoavegravere moins sensible aux erreurs dans le plan image Ils ont eacutetudieacute deux
techniques pour la commande la premiegravere utilise une commande par lineacutearisation tandis
que la deuxiegraveme utilise la technique de backstepping
18 Conclusion
Dans ce chapitre nous avons preacutesenteacute un bref aperccedilu sur quelques mini-
heacutelicoptegraveres autonomes existant en sattardant sur les drones agrave voilures tournantes et leurs
eacutequipements
Ensuite nous avons citeacute un ensemble de travaux portant sur la stabilisation des drones agrave
quatre rotors existants en litteacuterature
Dans le chapitre suivant nous traiterons le problegraveme de la modeacutelisation par le formalisme
de Newton-Euler pour le quadri-rotor afin drsquoappliquer les techniques de commande non
lineacuteaire Il srsquoagit drsquoun modegravele caracteacuterisant des veacutehicules sous actionneacutes
Chapitre 2 MODELISATION DrsquoUN DRONE A QUATRE HELICES
22
Chapitre 2
MODELISATION DUN DRONE A QUATRE HELICES
Chapitre 2 MODELISATION DrsquoUN DRONE A QUATRE HELICES
22
2 MODELISATION DrsquoUN DRONE A QUATRE HELICES
21 Introduction
Tout corps meacutecanique eacutevoluant en temps continu peut ecirctre deacutecrit par un systegraveme
deacutequations diffeacuterentielles reacutegissant sa dynamique Il srsquoagit drsquoeacutetablir le modegravele
matheacutematique de la dynamique du drone agrave quatre heacutelices Pour atteindre ce but nous
avons recours agrave des eacutetudes meacutecaniques telles que lapproche Newtonienne et celle dEuler-
Lagrange
Dans la litteacuterature pour aborder la modeacutelisation dengin volant de nombreux travaux se
sont inspireacutes de la dynamique dun corps rigide associeacute au fuselage auquel se rajoutent les
forces aeacuterodynamiques geacuteneacutereacutees par les rotors [28 29 19 30 31 32 33 15]
Cette ideacutee a eacuteteacute choisie afin de pouvoir contourner la difficulteacute de la question de la
flexibiliteacute de la machine Cette flexibiliteacute est supposeacutee neacutegligeable
Certaines propositions de modeacutelisation du drone sont preacutesenteacutees dans la litteacuterature telles
celles baseacutees sur le formalisme de Newton [28 22 23] lieacutees principalement au repegravere
local et celles baseacutees sur le formalisme dEuler-Lagrange [29 19 30 20 31 32 15] lieacutees
au repegravere global supposeacute fixe
Dans ce chapitre nous preacutesentons la dynamique pour un drone capable de vol
drsquoavancement rapide et de vol stationnaire ou quasi-stationnaire Un tel modegravele peut ecirctre
acheveacute dans un repegravere local lieacute au drone ou dans un repegravere global supposeacute fixe Nous
eacutevoquons le modegravele global qui sera traiteacute de point de vue commande en stabilisation et en
poursuite
En premier lieu nous preacutesentons la configuration du veacutehicule et son principe de
fonctionnement Nous nous inteacuteressons eacutegalement aux diffeacuterents repegraveres suscitant notre
attention
Ensuite nous nous occupons de la modeacutelisation du X4 en calculant son moment dinertie
et en ayant recours au formalisme Newton nous deacuteterminons son modegravele dynamique
Enfin nous achevons ce chapitre par une conclusion
Chapitre 2 MODELISATION DrsquoUN DRONE A QUATRE HELICES
23
22 Heacutelicoptegraveres agrave quatre heacutelices
En geacuteneacuteral un heacutelicoptegravere agrave quatre heacutelices est un heacutelicoptegravere posseacutedant quatre rotors
assurant son deacuteplacement [2]
Depuis les anneacutees 50 de nouveaux types dheacutelicoptegraveres de faible dimension
teacuteleacutecommandeacutes sont apparus Ils permettent de reacutealiser des missions dangereuses ou
inaccessibles agrave lecirctre humain Ainsi nous pouvons citer les mini-heacutelicoptegraveres agrave quatre
heacutelices appeleacutes couramment X4 (fig21) vu leur forme en X
Figure 21 Quadri-rotors X4
221 Fonctionnement du X4
Les X4 sont des mini-heacutelicoptegraveres preacutesenteacutes sous forme de croix geacuteneacuteralement
fabriqueacutes en fibre de carbone Au bout de chaque tige de la croix on fixe une heacutelice
Afin deacuteliminer les anti-couples des heacutelices entre elles et permettre la stabiliteacute en lacet les
heacutelices voisines tournent dans des sens inverses avec un pas fixe
Pour assurer un deacuteplacement suivant laxe des x le drone X4 fait un angle de tangage ߠ
obtenu par une diffeacuterence de vitesse de rotation des rotors avant et arriegravere ensuite il suit
cet axe lors du retour agrave leacutegaliteacute des vitesses de rotation des rotors
De maniegravere similaire le deacuteplacement du X4 suivant laxe des y est assureacute par un angle de
roulis empty obtenu suite agrave une diffeacuterence des vitesses de rotation des rotors lateacuteraux
Le lacet sobtient en augmentant la vitesse des moteurs avant et arriegravere tout en reacuteduisant la
vitesse des moteurs lateacuteraux Les quadri-rotors eacutetant commandeacutes par la diffeacuterence des
vitesses de rotation des rotors il est important que lon puisse varier rapidement la vitesse
de rotation des moteurs Pour cela il convient dutiliser des pales tregraves leacutegegraveres (en fibre de
carbone par exemple) et des rapports de reacuteduction relativement grands
Chapitre 2 MODELISATION DrsquoUN DRONE A QUATRE HELICES
24
Figure 22 Sens de rotation des rotors de X4
23 Modeacutelisation du drone quadri-rotors X4
Le modegravele dynamique de quadri-rotor est donneacute par le formalisme de Newton-Euler
Pour pouvoir deacuteterminer le modegravele dynamique le quadri-rotor est assimileacute agrave une structure
rigide et symeacutetrique drsquoougrave lrsquohypothegravese que la matrice drsquoinertie est diagonale Les heacutelices
sont eacutegalement supposeacutees rigides pour pouvoir neacutegliger lrsquoeffet de leur deacuteformation lors de
la portance et la traineacutee de chaque moteur qui sont proportionnelles au carreacute de la vitesse
de rotation des rotors ce qui est une approximation tregraves proche du comportement
aeacuterodynamique et le repegravere lieacute agrave cette structure est geacuteneacuteralement supposeacute confondu avec
son centre de graviteacute Cela nous emmegravene agrave consideacuterer la dynamique du quadri-rotor
comme celle drsquoun corps solide dans lrsquoespace [15 34] Les conditions atmospheacuteriques sont
la condition standard de pression et de tempeacuterature
231 Caracteacuteristiques physiques
Les caracteacuteristiques physiques du quadri-rotor preacutesenteacutees dans cette section ont eacuteteacute
eacutetudieacutees en deacutetail par McKerrow [35] La masse totale du quadri-rotor m est la somme de
la masse de la croix (mc) les masses des quatre rotors consideacutereacutes comme identiques
( isin 1234 ) et la masse de lrsquoeacutelectronique et batterie (mb)
m = m1 + m2 + m3 + m4 + mc + mb
Sens horaireSens antihoraire
Chapitre 2 MODELISATION DrsquoUN DRONE A QUATRE HELICES
25
La structure du quadri-rotor est consideacutereacutee parfaitement symeacutetrique et en conseacutequence la
matrice drsquoinertie IG est diagonale
ܫ = ቌ
௫௫ܫ 0 00 ௬௬ܫ 0
0 0 ௭௭ܫ
ቍ (21)
avec ௫௫ܫ repreacutesente lrsquoinertie autour de lrsquoaxe ଵܧ
qui passe entre le centre de la croix et les
rotors (avant-arriegravere) ௬௬ܫ repreacutesente lrsquoinertie autour de lrsquoaxe ଶܧ
qui passe entre le centre de
la croix et les rotors (droite-gauche) et finalement ௭௭ܫ repreacutesente lrsquoinertie autour de lrsquoaxe
ଷܧ
perpendiculaire au plan de ଵܧ
et ଶܧ
(voir figure 23)
Lrsquoinertie ௫௫ܫ est la somme de lrsquoinertie de la croix (௫ܫ) lrsquoinertie des quatre moteurs ୫ܫ) ୶ଵ
୫ܫ ୶ଶ ୫ܫ ୶ଷ et ୫ܫ ୶ସ) et lrsquoinertie de lrsquoeacutelectronique (ୠ୶ܫ) autour du point drsquointersection de la
croix
௫௫ܫ = ௫ܫ + ܫ ௫ଵ + ܫ ௫ଶ + ܫ ௫ଷ + ܫ ௫ସ + ௫ܫ (22)
On peut suivre la mecircme deacutemarche pour trouver les expressions des inerties ௬௬ܫ et ௭௭ܫ
Lrsquoinertie de la croix autour du point drsquointersection est donneacutee par
௫ܫ = ௬ܫ = (ଶ)మ
ଵଶ+
ௗమ
ଶ(23)
௭ܫ = (ଶ)మ
(24)
Ougrave d est le diamegravetre des poutres qui constituent la croix et l est la distance entre le centre
de la croix et un des quatre rotors Pour trouver les inerties des moteurs McKerrow [35]
considegravere le moteur comme un cylindre de longueur pm avec un rayon rm alors lrsquoinertie du
moteur avant autour du point drsquointersection de la croix est
ܫ ௫ଵ = భ
మ
ସ+
మ
ଷ(25)
ܫ ௬ଵ = భ
మ
ସ+
మ
ଷ+ ଵ
ଶ (26)
ܫ ௭ଵ = భ
మ
ଶ+ ଵ
ଶ (27)
Lrsquoeacutelectronique et la batterie srsquoaccrochant au-dessous de lrsquointersection agrave une distance l0 sont
modeacuteliseacutees par un paralleacuteleacutepipegravede rectangulaire avec des dimensions ab wb et hb
Chapitre 2 MODELISATION DrsquoUN DRONE A QUATRE HELICES
26
௫ܫ = (௪
మାమ)మ
ଵଶ+
ଶ (28)
௬ܫ = (
మାమ)మ
ଵଶ+
ଶ (29)
௭ܫ = (௪
మାమ)మ
ଵଶ(210)
Le mouvement du drone est reacutegi par un modegravele dynamique preacutesentant le lien entre les
entreacutees du systegraveme et les sorties agrave controcircler Il faut maintenant deacutefinir le domaine
drsquoeacutevolution du robot (repegravere inertiel) et la relation matrice de passage qui le lie au drone
(repegravere local)
232 Repegraveres et matrices de passage
Lrsquoeacutetude du mouvement drsquoun drone eacutevoluant dans lrsquoespace requiert la connaissance
de sa position et de son orientation Cette localisation neacutecessite le choix drsquoau moins deux
repegraveres Le premier repegravere est le repegravere inertiel global RO reacutefeacuterence Le repegravere inertiel est
lieacute agrave la terre et peut ecirctre consideacutereacute comme Galinien RO (Ex Ey Ez) est orienteacute comme
indiqueacute sur la figure 23 A savoir Ex est orienteacute vers le nord Ey est orienteacute vers lrsquoest et Ez
orienteacute vers le haut
On deacutefinit un repegravere local ayant comme origine le centre de graviteacute G du drone Le repegravere
RG ଵܧ)
ଶܧ
ଷܧ
) appeleacute aussi repegravere relatif agrave la meacutecanique de vol dont les axes sont lieacutees agrave
la geacuteomeacutetrie de lrsquoappareil
Figure 23 Repegraveres du drone inertiel et local
Chapitre 2 MODELISATION DrsquoUN DRONE A QUATRE HELICES
27
La relation entre le repegravere du drone noteacute (RG) et le repegravere inertiel (RO) peut ecirctre donneacutee
par la matrice de rotation orthogonale de dimension 3 times 3 La contrainte dorthogonaliteacute
reacuteduit le nombre de paramegravetre neacutecessaire pour preacutesenter cette matrice agrave trois paramegravetres Il
existe plusieurs maniegraveres de parameacutetrer la matrice de rotation dont le choix deacutepend de
lapplication en question
La parameacutetrisation de la matrice de rotation par les angles dEuler est souvent utiliseacutee dans
les applications de robotique Elle permet dobtenir la matrice de rotation globale par trois
rotations eacuteleacutementaires autour des axes ଵܧ
ଶܧ
et ଷܧ
respectivement
Le parameacutetrage de cette matrice seffectue par le vecteur
ଶߟ = ߠ) Ф) (211)
Consideacuterons le vecteur de coordonneacutees geacuteneacuteraliseacutees q isin ℝ deacutefini par
(ݐ)ݍ = (ߠݖݕݔ) ni ݐ ℝ
Ougrave x y z deacutefinissent la position du centre de graviteacute du mini-heacutelicoptegravere X4 par rapport au
repegravere inertiel RO (Ex Ey Ez)
Lrsquoorientation du mini-heacutelicoptegravere X4 est donneacutee par les angles drsquoEuler ߠ) Ф) qui
repreacutesente respectivement le tangage le roulis et le lacet
Le passage du triegravedre ை(ܧ௫ܧ௬ܧ௭) au triegravedre ଵܧ)
ଶܧ
ଷܧ
) est reacutealiseacute par trois
rotations successives figure 24
൫ܧ௫ܧ௬ܧ௭൯ுψሱሮ (௭ܧ)
ுഇሱሮ ଵܧ)
)
ுemptyሱሮ ଵܧ)
ଶܧ
ଷܧ
) (212)
Ougrave ൫ܧ௫ܧ௬ܧ௭൯ est la base du repegravere RO ൫ܧଵ
ଶܧ
ଷܧ൯est la base du repegravere locale
drone
RG(ܧ௭) et ଵܧ)
) sont les bases intermeacutediaires et టܪ ఏܪ et emptyܪ les matrices
de rotations orthogonales
Hభψ est la matrice de rotation de lrsquoangle autour de Oz1 appeleacute lacet au cap deacutefinie
par
టܪ = ൭ݏ ݏ 0
ݏminus ݏ 00 0 1
൱ (213)
Chapitre 2 MODELISATION DrsquoUN DRONE A QUATRE HELICES
28
H୷భ est la matrice de rotation de lrsquoangle θ autour de Oy1 appeleacute tangage ou assiette
deacutefinie par
ఏܪ = ൭ߠݏ 0 minus ߠݏ0 1 0
ߠݏ 0 ߠݏ൱ (214)
H୶మథ est la matrice de rotation de lrsquoangle autour de Ox2 appeleacute roulis ou gite
deacutefinie par
థܪ = ൭1 0 00 ݏ ݏ0 minus ݏ ݏ
൱ (215)
Figure 24 Rotations successives deacutefinissant les pseudos angles drsquoEuler
La transformation qui permet de passer du repegravere local vers le repegravere global ை est
donneacutee par
= టܪ ఏܪ థܪ (216)
Chapitre 2 MODELISATION DrsquoUN DRONE A QUATRE HELICES
29
Telle que
=
൭
ݏ ߠݏ ߠݏ ݏ minus ߠݏݏ ݏ minusߠݏ ݏ ݏ ݏߠݏ ݏ + ݏ ݏ ݏߠݏߠݏ ݏ ݏ + ݏ ݏ ݏ ݏߠݏ minus ݏ ߠݏ ߠݏ ݏ
൱(217)
R est une matrice de rotation orthogonale de deacuteterminant uniteacute ayant pour inverse sa
transposeacutee
Ce type de matrice forme un groupe appeleacute groupe des matrices orthogonales speacuteciales
dordre 3 noteacute SO(3) deacutefini par [36]
(3) = isin ℝଷtimesଷ = ܫ ݐ ()ݐ = 1
Gracircce agrave cette matrice de rotation R nous pouvons eacutetablir une relation entre la vitesse du
mini-heacutelicoptegravere exprimeacutee dans son propre repegravere mobile et sa vitesse exprimeacutee dans le
repegravere inertiel
233 Transformation des vitesses
Dans ce paragraphe nous mettons en eacutevidence la relation qui lie les vitesses du
drone exprimeacutees dans le repegravere local avec leurs expressions exprimeacutees dans le repegravere
inertiel
Soient
υଵ la vitesse lineacuteaire du mini-heacutelicoptegravere exprimeacutee dans le repegravere local RG
ηଵ = (x y z) vecteur position du centre de graviteacute du mini-heacutelicoptegravere par rapport au
repegravere inertiel RO
Ainsi nous pouvons eacutetablir la relation suivante qui fait le lien entre la vitesse locale du X4
flyer et sa vitesse exprimeacutee dans le repegravere inertiel
ଵߟ = ଵ (218)
De mecircme nous pouvons aussi eacutetablir une relation entre la vitesse angulaire du mini
heacutelicoptegravere exprimeacutee dans le repegravere local et celle exprimeacutee dans le repegravere inertiel
Soient
υଶ = (p q r) la vitesse angulaire du mini-heacutelicoptegravere exprimeacutee dans le repegravere local RG
ηଶ = (θ ϕ ψ) la vitesse angulaire du mini-heacutelicoptegravere exprimeacutee dans le repegravere inertiel
Ainsi nous pouvons eacutetablir la relation suivante
ଶߟ = ܬ ଶ (219)
Chapitre 2 MODELISATION DrsquoUN DRONE A QUATRE HELICES
30
Grace agrave la relation (212) nous avons
υଶ = ϕ ଵܧሬሬሬሬሬ+ θVሬሬ+ ψEሬሬሬሬ
= ϕ ଵܧሬሬሬሬሬ+ θቂcos(ϕ)ܧଶ
ሬሬሬሬሬminus sin(ϕ)ܧଷሬሬሬሬሬቃ+ ψቂminussin(θ)ܧଵ
ሬሬሬሬሬ+ cos(θ) Wሬሬሬቃ
= ϕ ଵܧሬሬሬሬሬ+ θቂcos(ϕ)ܧଶ
ሬሬሬሬሬminus sin(ϕ)ܧଷሬሬሬሬሬቃ
minus ψቂsin(θ)ܧଵሬሬሬሬሬminus cos(θ)ቀsin(ϕ)ܧଶ
ሬሬሬሬሬ+ cos(ϕ)ܧଷሬሬሬሬሬቁቃ
= ൫ϕ minus ψ sin(θ)൯ܧଵሬሬሬሬሬ+ ൫θ cos(ϕ) + ψcos(θ) sin(ϕ)൯ܧଶ
ሬሬሬሬሬ
minus ൫θ sin(ϕ) minus ψ cos(θ) cos(ϕ)൯ܧଷሬሬሬሬሬ
Ainsi nous avons
ቆpqrቇ= ቌ
1 0 minussin(θ)
0 cos(ϕ) cos(θ)sin(ϕ)
0 minussin(ϕ) cos(θ)cos(ϕ)ቍቌ
ϕ
θψ
ቍ (220)
Donc
Jଵ = ቌ
1 0 minussin(θ)
0 cos(ϕ) cos(θ)sin(ϕ)
0 minussin(ϕ) cos(θ)cos(ϕ)ቍ (221)
Drsquoougrave
J = ൮
1 sin(ϕ)tg(θ) minussin(θ)tg(θ)
0 cos(ϕ) minussin(ϕ)
0ୱ୧୬(ம)
ୡ୭ୱ()
ୡ୭ୱ(ம)
ୡ୭ୱ()
൲ (222)
La matrice J est deacutefinie pour tout θ ne
ଶ+ kπ avec k isin ℤ
En conclusion la relation cineacutematique srsquoeacutecrit
ቀυଵυଶቁ= ൬
R 0ଷlowastଷ
0ଷlowastଷ Jଵ൰൬
ηଵηଶ൰ (223)
Cette relation preacutesente une singulariteacute en θ = plusmn
ଶ
Or physiquement cette valeur est agrave eacuteviter car au voisinage de plusmn
ଶil y aura un
renversement du mini-heacutelicoptegravere Ainsi cette valeur nrsquoest pas atteignable par le mini-
heacutelicoptegravere cest-agrave-dire cette singulariteacute ne preacutesente pas une limitation agrave cette
parameacutetrisation
Chapitre 2 MODELISATION DrsquoUN DRONE A QUATRE HELICES
31
234 Forces Aeacuterodynamiques
Des eacutetudes en soufflerie ont permis de mettre en eacutevidence les diffeacuterentes forces
aeacuterodynamiques appliqueacutees sur les pales et leurs expressions [3738]
Dune maniegravere geacuteneacuterale les actions de lair se deacutecomposent en deux forces
Une force parallegravele agrave la vitesse de lair et de mecircme sens la traineacutee D
Une force perpendiculaire agrave la vitesse de lair la portance L
La somme vectorielle de ces deux forces constitue la reacutesultante des forces
aeacuterodynamiques
Force de portance
La pale se comporte comme une aile tournante de sorte que chaque eacuteleacutement de la pale dr
est en contact avec le flux dair avec une vitesse V induisant une force de portance [38]
dL =ଵ
ଶρCVଶds (224)
Ougrave ρ la densiteacute de lair C le coefficient de portance de lair il deacutepend de la forme du
profil et de langle dattaque (α = γ minus ϕ) (fig 25)
Ainsi pour un propulseur agrave n pales (2 pour le X4) la force de portance quon note f est
f =n
2 ρන VଶC୫ (r)C(r) dr
బ
=୬
ଶ ρ ωଶ int rଶC୫ (r) C(r) dr
బ
Avec
ܥ la corde de la pale (les pales sont similaires)
ω la vitesse angulaire de la pale
le rayon de pale
La force de portance a pour expression
f=ܭωsup2 (225)
Le calcul du coefficient de pousseacutee est souvent complexe Il est essentiel drsquoeacutelaborer
un processus expeacuterimental qui laisse deacuteterminer le coefficient de portance(K)
Chapitre 2 MODELISATION DrsquoUN DRONE A QUATRE HELICES
32
Figure 25 Description des forces appliqueacutees agrave la pale
Force de reacutesistance ou de traineacutee
Gracircce agrave de multiples tests en soufflerie les chercheurs ont pu deacuteterminer lexpression
de la force de traineacutee qui deacutepend directement du profil de la pale et de langle dincidence
[15 37]
Pour un propulseur agrave n pales la force de traineacutee a pour expression
ܯ =
2ߩ න ܥ ݎଶݎ(ݎ)ܥ(ݎ)
ோ
ோభ
Qursquoon note simplement
ܯ = ெܭ ଶ (226)
Avec
ܥ le coefficient de traineacute de lair il deacutepend de la forme du profil et de langle
drsquoattaque
ெܭ le coefficient de reacutesistance agrave deacuteterminer expeacuterimentalement
235 Modegravele dynamique du quadrirotor
Plusieurs auteurs ont eacutetudieacute la modeacutelisation du quadri-rotor Cette eacutetape est
consideacutereacutee comme le premier pas pour construire les lois de commande Le modegravele
Chapitre 2 MODELISATION DrsquoUN DRONE A QUATRE HELICES
33
dynamique obtenu repreacutesente la relation drsquoune part entre les forces et les couples
aeacuterodynamiques provoqueacutes par la rotation des rotors et lrsquoengin et drsquoautre part les
acceacuteleacuterations et de rotations du centre de masse du quadri-rotor Nous preacutesenterons drsquoabord
la dynamique de translation des cordonneacutees carteacutesiennes de la position et la vitesse dans le
repegravere terrestre fixe Ensuite la dynamique de rotation qui deacutecrit lrsquoattitude du drone et son
orientation dans le repegravere terrestre fixe est preacutesenteacutee
Le quadri-rotor est modeacuteliseacute en premiegravere approximation comme un solide indeacuteformable
La position du centre de masse G est deacutefinie par ܩ = (ݖݕݔ) et si on deacuterive une fois
par rapport agrave RG on trouve la vitesse G tel queௗைതതതത
ௗ௧= (ሶݖሶݕሶݔ) On deacuterive deuxiegraveme fois
par rapport agrave RG pour trouver son acceacuteleacuterationௗమைതതതത
ௗ௧మ= (ሷݖሷݕሷݔ)
Pour eacutelaborer la commande on deacutetaille le modegravele dans le repegravere fixe inertiel
Lrsquoeacutequation fondamental de la dynamique est donneacutee par
ௗ ௩ሬ
ௗ௧= ଵሬሬሬ (227)
ௗூಸఆሬሬ
ௗ௧= ଶሬሬሬ (228)
Ougrave υ repreacutesente la vitesse lineacuteaire du drone au centre de graviteacute G Ω la vitesse de
rotation de fuselage par rapport agrave Rୋ et (τ1τ2) les forces et les mouvements exteacuterieurs
soient le poids les forces et les moments aeacuterodynamiques et des propulseurs
2351 La dynamique de translation
La dynamique de translation du quadri-rotor est repreacutesenteacutee par lrsquoeacutequation
dynamique de Newton qui relie lrsquoacceacuteleacuteration lineacuteaire du centre de masse du quadri-rotor
et les forces externes agissant sur le quadri-rotor [7 38 39]
ௗsup2ை
ௗ௧sup2= fraslሬሬሬሬߛ R (229)
Il convient drsquoeacutecrire pour la translation
fraslሬሬሬሬሬߛ R = - eሬ + R ψ θ empty ሬݑ (230)
avec eሬ vecteur uniteacute de E
repreacutesente la constante gravitationnelle
ݑ la pousseacutee appeleacutee aussi entreacutee collective
Chapitre 2 MODELISATION DrsquoUN DRONE A QUATRE HELICES
34
=ሬݑ sum పሬሬସ
ୀଵ (231)
ሬሬሬሬሬߛ൘ = minus Ԧ௭ + ݑ Ԧଷ empty ߠ (232)
eሬଷ vecteur uniteacute de eሬ= (eሬଵ eሬଶ eሬଷ) porteacute par Eଷ
On montre que ݑ eሬଷ = (0 0 ݑଷ
) ougrave ݑଷ
= ଵ + ଶ + ଷ + ସ
La dynamique de translation est reacutegie par
= ሷݔ minus ଷݑߠ
ݕ = ߠݏܥ Sin ଷݑ (233)
=ሷݖ Cosݏܥߠ ଷݑ ndash
2352 Dynamique de rotation
La dynamique de rotation est deacutefinie par rapport au repegravere local mais exprimeacutee dans le
repegravere inertiel Le moment cineacutetique est deacutefinit par
Ԧߪ = ܫ ሬߗ (234)
Alors que la vitesse angulaire dans le repegravere local
=ሬߗ ଶߟܬ Ԧ (235)
A partir des eacutequations (234) et (235) on obtient
=ԦGߪ ܫ ଶߟܬ Ԧ
On pose ߎ = ܫ ܬ et en utilisant lrsquoeacutequation preacuteceacutedente la dynamique des momentssrsquoeacutecrit
ߎ ଶሬሬߟ + ߎ ሬሬextܯsum=ଶሷԦߟ (236)
Ougrave les moments exteacuterieurs par rapport agrave G ( i= i=1hellip4 qui repreacutesente la distance entre G et
i et qui sont identiques)
ሬሬextܯsum = ߠ Ԧ1 + empty Ԧ2+ ψ Ԧ3 (237)
Chapitre 2 MODELISATION DrsquoUN DRONE A QUATRE HELICES
35
Finalement les couples sont donneacutes par
=ߠ ( 2 ndash 4)empty = ( 1 ndash 3) (238)ψ = K ( 1 ndash 2 + 3 ndash 4)
Lrsquoeacutequation peut ecirctre eacutecrite comme
=ሷߟ ୋߎ minus]1-(ߟ) (ߟ)ୋߎ [ሶߟ (239)
Avec = ( ߠ empty ψ )t comme des commandes auxiliaires et
ୋߎ ቌ=(ߟ)
௫௫ܫ emptyݏܥ 0 00 ߠݏܥ emptyݏܥ௬௬ܫ 0
0 0 ௭௭ܫ
ቍ (240)
Dans un premier temps le modegravele donneacute ci-dessus peut ecirctre lineacuteariseacute par les lois de
commande deacutecoupleacutees suivantes
=ߠ ௫௫ܫ minus empty empty ߠ + ௫௫ܫ ǁ emptyݏܥempty = ௬௬ܫ minus sup2 empty ߠݏܥ empty minus emptyݏܥ௬௬ܫ ߠ empty ߠ + ௬௬ܫ emptyǁ emptyݏܥߠݏܥ (241)
ψ = ௭௭ܫ ǁψ
Le modegravele dynamique deacutecoupleacute de la rotation peut ecirctre eacutecrit sous la forme suivante
=ሷߟ ǁ (242)avec
ǁ= (ߠ empty ψ) T
En utilisant le systegraveme drsquoeacutequations 233 et 242 la dynamique du drone peut ecirctre deacutecrite
par les eacutequations suivantes
=ሷݔ - S 3ݑߠ
ݕ = Cߠݏ S empty 3ݑ
=ሷݖ C3ݑ emptyݏܥߠݏ ndash (243)
ߠ = ߠ
empty = empty
ψ = ψ
Chapitre 2 MODELISATION DrsquoUN DRONE A QUATRE HELICES
36
24 Etude des forces deacuteveloppeacutees
On srsquoattache dans cette partie agrave expliciter les actionneurs qui agissent sur le drone il
srsquoagit des quatre forces deacuteveloppeacutees par les heacutelices Afin de calculer la matrice des
actionneurs on construit une matrice qui permet la connexion entre les actionneurs et les
commandes en effet pour trouver ces forces il faut que la matrice Q soit inversible Les
relations entre les forces deacuteveloppeacutees par les actionneurs (les quartes moteurs brushless)
et les commandes dans les diffeacuterentes directions sont introduites pour le systegraveme X4 par
les relations suivantes [15]
ଷݑ = ଵ + ଶ + ଷ+ ସ
ସݑ =
౮౮ୡ୭ୱథଶminus
౯౯ୡ୭ୱథସ +
ୱ୧୬థ Φθ
ୡ୭ୱథ
ହݑ =
౮౮ୡ୭ୱథୡ୭ୱϴ ଵminus
౯౯ୡ୭ୱథୡ୭ୱϴ ଷ +ୱ୧୬థ Φ
మ
ୡ୭ୱథ+
ୗ୧୬ థ Φθ
ୡ୭ୱϴ(244)
ݑ =
ଵ minus
ଶ +
ଷ minus
ସ
On peut eacutecrire lrsquoeacutequation (244) sous la forme matricielle suivante
⎝
⎜⎜⎜⎛
ଷݑ
ସݑ
ହݑ
⎠ݑ
⎟⎟⎟⎞
= Q
⎝
⎜⎜⎜⎛
ଵ
ଶ
ଷ
ସ⎠
⎟⎟⎟⎞
+
⎝
⎜⎜⎜⎜⎛
0
ୱ୧୬థథ θ
ୡ୭ୱథ
ୱ୧୬థథమ
ୡ୭ୱథ+
ୱ୧୬థథ θ
େ୭ୱθ
0 ⎠
⎟⎟⎟⎟⎞
(245)
Avec
=
⎝
⎜⎜⎜⎜⎛
1
0
౯౯ ୡ୭ୱథ େθ
1
౮౮ୡ୭ୱథ
0
minus
1
0
minus
౯౯ ୡ୭ୱథ େθ
1
minus
౮౮ୡ୭ୱథ
0
minus
⎠
⎟⎟⎟⎟⎞
(246)
Chapitre 2 MODELISATION DrsquoUN DRONE A QUATRE HELICES
37
Ougrave
I =
⎝
⎜⎜⎜⎜⎛
0
ୱ୧୬థథ θ
ୡ୭ୱథ
ୱ୧୬థథమ
ୡ୭ୱథ+
ୱ୧୬థథ θ
େθ
0 ⎠
⎟⎟⎟⎟⎞
=
⎝
⎜⎜⎜⎛
ଷݑ
ସݑ
ହݑ
⎠ݑ
⎟⎟⎟⎞
(247)
Les forces sont calculeacutees agrave partir de lrsquoeacutequation suivante
f =
⎝
⎜⎜⎜⎛
ଵ
ଶ
ଷ
ସ⎠
⎟⎟⎟⎞
= Qଵ( minus I) (248)
Les caracteacuteristiques physiques du drone sont donneacutees par
l= 023 mIxx =224931 10-7 kg m2
Iyy =224931 10-7 kg m2
Izz =224931 10-7 kg m2
KT = 10-5 N S2
KM =9 10-6 N S2 mm =2 Kg
25 Conclusion
Dans ce chapitre nous avons preacutesenteacute le modegravele dynamique de mini-heacutelicoptegravere en
utilisant une approche Newton Euler Pour modeacuteliser cette dynamique nous avons vu que
plusieurs niveaux de repreacutesentation peuvent ecirctre considegraveres dynamique des actionneurs
dynamique des rotors processus de geacuteneacuteration de la reacutesultante des forces et des moments
dynamique du solide Ce dernier niveau de repreacutesentation indeacutependant de la configuration
de veacutehicule choisie est celui que nous utiliserons pour la synthegravese de lois de commande
Nous avons preacutesenteacute une modeacutelisation couramment utiliseacutee dans la litteacuterature permettant
de repreacutesenter la dynamique drsquoun drone miniature avec cette approche de type meacutecanique
du solide Le modegravele non lineacuteaire agrave six degreacutes de liberteacute obtenu est sous-actionneacute Cette
Chapitre 2 MODELISATION DrsquoUN DRONE A QUATRE HELICES
38
derniegravere proprieacuteteacute rend complexe la synthegravese de lois de commande Dans le chapitre
suivant la commande du drone par la technique du mode glissant est discuteacutee et appliqueacutee
ainsi que par la commande mode glissant floue
Chapitre3 COMMANDE PAR MODE GLISSANT ET FLOU-GLISSANT
38
Chapitre 3
COMMANDE PAR MODE GLISSANT ET FLOUGLISSANT
Chapitre3 COMMANDE PAR MODE GLISSANT ET FLOU-GLISSANT
39
3 COMMANDE PAR MODE GLISSANT ET FLOUE GLISSANT
31 Introduction
Malgreacute les efforts consideacuterables de la communauteacute automatique le problegraveme lieacute agrave
la commande drsquoun drone agrave modegravele reacuteduit pour les manouvres dans les diffeacuterents axes reste
un problegraveme difficile agrave reacutesoudre Cette difficulteacute est due principalement aux changements
des forces aeacuterodynamiques exerceacutees sur le drone en fonction des paramegravetres de
lrsquoenvironnement dans lequel il eacutevolueacute
Ce chapitre sera consacreacute agrave la conception des lois de commande non lineacuteaires
baseacutees sur la technique du mode glissant pour la commande des mouvements selon les
diffeacuterents axes Dans la premiegravere partie nous preacutesenterons quelques eacuteleacutements de la theacuteorie
par mode glissants agrave structure variable
La deuxiegraveme partie sera consacreacutee agrave la mise on œuvre et agrave la validation de ces techniques
de commande pour la stabilisation et le suivi de trajectoire du drone X4
Nous effectuons des tests en simulations de ces lois de commande dans diffeacuterentes
manouvres et sceacutenarios
32 Theacuteorie de la commande par mode de glissement
321 Systegraveme agrave structure variable
La commande par mode de glissement a connu un deacuteveloppement theacuteorique au
deacutebut des anneacutees 60 gracircce agrave la reacutesolution de lrsquoeacutequation diffeacuterentielle agrave second membre
discontinu par le matheacutematicien Russe A Fillipov [40 41] suivi des recherches de S
emelyanov en 1967 et de V Utkin en 1977 [42 43 44]
Le reacuteglage par modes de glissement est un mode de fonctionnement particulier des
systegravemes agrave structure variable Un systegraveme agrave structure variable est un systegraveme pouvant
changer de structure en faisant commuter sa commande entre deux valeurs suivant une
logique de commutation bien speacutecifique
Dans les systegravemes agrave structure variable avec mode glissant la trajectoire drsquoeacutetat est ameneacutee
vers une surface (hyperplan) puis agrave lrsquoaide de la loi de commutation elle est obligeacutee de
Chapitre3 COMMANDE PAR MODE GLISSANT ET FLOU-GLISSANT
40
rester au voisinage de cette surface Cette derniegravere est dite surface de glissement et le
mouvement le long de laquelle se produit est dit le mouvement de glissement La
trajectoire dans le plan de phase (systegraveme deuxiegraveme ordre) est constitueacutee de trois parties
distinctes (figure 31) [45 46 42 43]
Le mode de convergence (MC)
Durant lequel la variable agrave reacutegler se deacuteplace de nrsquoimporte quel point initial dans le plan de
phase est tend vers la surface de commutation (ݕݔ) = 0 Ce mode est caracteacuteriseacute par la
loi de commande et le critegravere de convergence
Le mode glissement (MG)
Durant lequel la variable drsquoeacutetat a atteint la surface de glissement et tend vers lrsquoorigine du
plan de phase La dynamique dans ce mode est caracteacuteriseacutee par le choix de la surface de
glissement (x y)
Le mode du reacutegime permanent (MRP)
Il est ajouteacute pour lrsquoeacutetude de la reacuteponse du systegraveme autour de sont point drsquoeacutequilibre (origine
du plan de phase) il est caracteacuteriseacute par la qualiteacute et les performances de la commande
Figure 31 Diffeacuterents modes pour la trajectoire dans le plan de phase
322 Conception de la commande par modes glissants
Syntheacutetiser une loi de commande par modes glissants revient en premier lieu agrave choisir la
surface de glissement qui permet la convergence de la trajectoire drsquoeacutetat du systegraveme vers le
point drsquoeacutequilibre deacutesireacute en second lieu agrave eacutetablir la condition drsquoexistence du mode de
glissement qui est relieacutee agrave la convergence de la trajectoire drsquoeacutetat vers le point drsquoeacutequilibre
et en troisiegraveme lieu agrave deacuteterminer la loi de commande qui aura pour rocircle de maintenir les
MC
MRP
MG
( ) =
Chapitre3 COMMANDE PAR MODE GLISSANT ET FLOU-GLISSANT
41
conditions de glissement (attractiviteacute) (Annexe A) En drsquoautre termes la conception de la
loi de commande par modes glissants est reacutealiseacutee en trois eacutetapes [47 48 43 45]
3221 Le choix de la surface de glissement (S)
La surface de glissement est un hyperplan dans lrsquoespace drsquoeacutetat global et repreacutesente
le comportement dynamique deacutesireacute La trajectoire drsquoeacutetat du systegraveme doit atteindre cette
surface Il nrsquoexiste pas de critegravere pour le choix drsquoune surface de glissement approprieacutee
Le choix de la surface du glissement identifieacutee par le nombre et sa forme deacutepend de
lrsquoapplication et lrsquoobjectif deacutesireacute
Consideacuterons le systegraveme non lineacuteaire deacutecrit par lrsquoeacutequation drsquoeacutetat suivante
=ሶݔ +ݔ(ݐݔ)ܣ ݑ(ݐݔ)ܤ (31)
La surface de glissement est une fonction scalaire telle que lrsquoerreur sur la variable agrave reacutegler
glisse sur cette surface et tend vers lrsquoorigine du plan de phase Nous trouvons dans la
litteacuterature diffeacuterentes formes de la surface dont chacune donne de meilleures performances
pour certaines utilisations
Dans certains ouvrage [48 49 42 43 44] on trouve une forme de la surface de
glissement qui est fonction de lrsquoeacutecart sur la variable agrave reacutegler x elle est donneacutee par
(ݔ) = ቀப
ப୲+ λቁ
ଵ
e(ݔ) (32)
Cette surface est drsquousage tregraves pratique car elle minimise le nombre des paramegravetres de
synthegravese de la surface (un seul coefficient) [50]
Ougrave lrsquoeacutecart de la variable agrave reacutegler est (ݔ) = ݔ minus ݔ estߣ une constante positive qui
repreacutesente la pente de la surface de glissement et r le degreacute relatif du systegraveme La
surface de glissement est fonction de lrsquoapplication et lrsquoobjectif viseacutes
La strateacutegie de commande consiste agrave garantir que les trajectoires du systegraveme se deacuteplacent
et tendent vers la surface de glissement (ݔ) = 0
Cette derniegravere et avec une condition initiale e(0) = 0 et (ݐݔ) = 0 devient une eacutequation
homogegravene qui possegravede une solution unique (ݔ) = 0
Chapitre3 COMMANDE PAR MODE GLISSANT ET FLOU-GLISSANT
42
Figure 32 Surface de glissement
3 222 La condition de convergence et drsquoexistence
Les conditions drsquoexistante et de convergence du mode de glissement sont des critegraveres
qui permettent aux dynamiques du systegraveme de converger vers la surface de glissement et
drsquoy rester indeacutependamment de la perturbation Il yrsquoa deux consideacuterations correspondantes
au mode de convergence de lrsquoeacutetat du systegraveme [46]
a) La fonction directe de commutation
Crsquoest la premiegravere condition de convergence Elle est proposeacutee et eacutetudieacutee par Emilyanov
et Utkin [42 43] Il srsquoagit de donner agrave la surface une dynamique convergente vers zeacutero
Elle est donneacutee par
(ݔ) gt 0 Lorsque (ݔ) lt 0
S (x) lt 0 Lorsque S(x) gt 0
Ces deux ineacutegaliteacutes peuvent ecirctre formuleacutes par la condition suffisante suivante
(ݔ) (ݔ) lt 0
b) La fonction de Lyapunov
La fonction de Lyapunov [46 43 44 ] est une fonction scalaire positive (Ѵ(ݔ) gt 0)
pour les variables drsquoeacutetats du systegraveme la loi de commande doit faire deacutecroicirctre cette fonction
(Ѵ (ݔ) lt 0) lrsquoideacutee est de choisir une fonction scalaire S(x) qui garantit lrsquoattraction de la
variable agrave controcircler vers sa valeur de reacutefeacuterence et de construire une commande u telle que
Ѵ(ݔ) =ଵ
ଶଶ(ݔ) (3 3)
( )=0
Chapitre3 COMMANDE PAR MODE GLISSANT ET FLOU-GLISSANT
43
La deacuteriveacutee de cette fonction est Ѵ(ݔ) = (ݔ) (ݔ) (3 4)
Pour que la fonction Ѵ(x) deacutecroitre il suffit drsquoassurer que sa deacuteriveacutee est neacutegative Ceci
nrsquoest permis que si la condition (34) est veacuterifieacutee Lrsquoeacutequation (33) explique que le carreacute de
la distance vers la surface mesureacutee par ଶ(ݔ) diminue tout le temps contraignant la
trajectoire du systegraveme agrave se diriger vers la surface dans les deux cocircteacutes [50]
3223 Deacutetermination de la commande
Une fois la surface de glissement S choisie stable de sorte que la sortie du systegraveme
converge vers une sortie deacutesireacutee la convergence du mode glissant est assureacutee on eacutelabore
une commande qui forcera les eacutetats du systegraveme agrave atteindre le point drsquoeacutequilibre tout en
maintenant la condition du mode glissant
La structure drsquoun controcircleur par mode de glissement peut ecirctre deacutecomposeacutee en une somme
de deux commandes [51 52 43 44 53]
ݑ = ݑ + ݑ (35)
ݑ eacutetant la commande eacutequivalente qui sert agrave maintenir lrsquoeacutetat sur la surface de glissement
(ݔ) = 0 et ݑ eacutetant la commande stabilisante (elle est deacutetermineacutee afin de veacuterifier la
condition de convergence en deacutepit de lrsquoimpreacutecision sur les paramegravetres et le modegravele)
La deacuteriveacutee totale par rapport au temps de cette surface est
S(ݐݔ) =partS
partt=
partS
ݔpart∙ ሶݔ (36)
Comme lrsquoeacutequation drsquoeacutetat est
=ሶݔ +ݔ(ݐݔ)ܣ ݑ(ݐݔ)ܤ + ݑ(ݐݔ)ܤ (37)
On a alors
S(ݐݔ) =partS
partt=
part
part௫∙ ൫ݔ(ݐݔ)ܣ+ +൯ݑ(ݐݔ)ܤ
partS
part௫ݑ(ݐݔ)ܤ (38)
En reacutegime ideacuteale la deacuteriveacutee de la surface est nulle la commande appliqueacutee au systegraveme est
la commande eacutequivalente ݑ par conseacutequent
൜ݑ = 0
(ݐݔ) = 0 (39)
Si la matrice ቀడௌ
డ௫∙ ቁest(ݐݔ)ܤ inversible lrsquoexpression de la commande eacutequivalente est
donneacutee par
=minusቀݑడௌ
డ௫∙ ቁ(ݐݔ)ܤ
ଵ
∙డௌ
డ௫∙ (ݐݔ)ܣ (310)
Chapitre3 COMMANDE PAR MODE GLISSANT ET FLOU-GLISSANT
44
Donc en remplaccedilant la commande eacutequivalente par son expression (310) dans (38) on
obtient
S(ݐݔ) =partS
ݔpart∙ (ݐݔ)ܤ ∙ ݑ (311)
Nous choisissons pour simplifier une surface de glissement qui veacuterifie la relation
பୗ
ப௫∙ (ݐݔ)ܤ = ܫ (312)
Ougrave I est la matrice identiteacute
Ainsi
(ݐݔ) = ݑ (313)
La commande discontinue est choisie de maniegravere agrave satisfaire la condition suffisante
drsquoexistence des modes glissants Il existe plusieurs formes pour cette commande ougrave la
condition drsquoexistence est veacuterifieacutee
ݑ = ܭminus ݏ ( ) (314)
Ougrave sign(( ((ݐݔ) est la fonction deacutefinie par
s (( ((ݐݔ) = ൜ݏ 1minus (ݐݔ) lt 0
1 ݏ (ݐݔ) gt 0 (315)
Avec K gt 0
(ݔ) (ݔ) = ܭminus ݏ ( ) lt 0 (316)
Ou encore
= ܭminus | | lt 0 (317)
323 Le pheacutenomegravene de reacuteticence
Le pheacutenomegravene de reacuteticence ℎݐݐ ݎ (fig33) est le principal inconveacutenient de la
technique de commande par mode glissant aux systegravemes physiques Ce pheacutenomegravene
conduit quelque fois agrave un nombre eacuteleveacute drsquooscillations de la trajectoire du systegraveme autour de
la surface de glissement est donc agrave des sollicitations excessives des actionneurs pouvant
provoquer leur usure rapide ainsi que des pertes eacutenergeacutetiques non neacutegligeables au niveau
des circuits de puissance eacutelectrique Il est ducirc drsquoune part agrave lrsquoimperfection des eacuteleacutements de
commutation ou des limites technologiques telles que les retards aux niveaux des
commutations [45 50]
Chapitre3 COMMANDE PAR MODE GLISSANT ET FLOU-GLISSANT
45
Figure 33 Pheacutenomegravene de chattering
324 Adoucissement de la commutation
Pour remeacutedier agrave lrsquoeffet de broutement de nombreuses eacutetudes ont eacuteteacute effectueacutees dans le
but de reacuteduire ou drsquoeacuteliminer ce pheacutenomegravene [ 50] Lrsquoune drsquoentre elles consiste agrave remplacer
la fonction sign par des approximations continues de type grand gain dans un voisinage de
la surface telles que la fonction de saturation deacutefinie par (voir figure 34)
Figure 34 Fonctions de commutation
La fonction sat(S(t)) est exactement eacutegale agrave la commutation sign(S(t)) agrave lexteacuterieur de la
couche limite φ Par conseacutequent ceci rend lanalyse vis-agrave-vis des erreurs de perturbation
plus facile Ceci nest pas le cas des autres fonctions comme smooth et comarctg pour
lesquels le choix de φ nest pas simple
33 Stabilisation du drone X4 par la meacutethode mode glissant
Dans cette partie en nous basant sur la strateacutegie de controcircle par mode glissant
deacutecrite dans les paragraphes preacuteceacutedents nous deacuteveloppons un vecteur de commande
ݐeacuteݎ
( )=0
sat (S(t))
φ
minusφ S(t)
Smooth(S(t))
S(t)
Penteଵ
ఝ Penteଵ
ଵఝ
arctg(S(t)
S(t)
Chapitre3 COMMANDE PAR MODE GLISSANT ET FLOU-GLISSANT
46
assurant le suivi et la stabiliteacute du quadri-rotors Rappelons le modegravele dynamique du X4
preacutesenteacute sous sa forme simplifieacutee suivante
=ሷݔ minus ଷݑߠݏ =ሷݕ emptyݏ ଷݑߠݏ =ሷݖ ߠݏ ଷݑ emptyݏ minus (318)
ߠ = ସݑempty = ହݑ = ݑ
331 Commande par mode glissant du systegraveme de translation lineacuteaire
3311 Controcircle de lrsquoaltitude
Nous remarquons que la commande u3 agit directement sur la variable drsquoaltitude z
contrairement aux commandes u4 et u5 qui agissent sur les variables x et y agrave travers les
angles ߠ et empty
Consideacuterons lrsquoeacutequation
=ሷݖ cos ଷݑ(empty) cos(ߠ) minus (319)
La surface est deacuteduite de lrsquoeacutequation (34) ougrave le degreacute relatif est pris eacutegal agrave deux afin que la
commande ଷݑ apparaisse explicitement dans sa deacuteriveacutee Elle est donneacutee par
(ݖ) = ሶ௭ + ௭ߣ ௭ (320)
Avec
௭ = ݖ minus z
ሶ௭ = ሶݖ minus ሶݖ
La deacuteriveacutee de la surface est
(ݖ) = ௭ + ௭ߣ ሶ௭ (321)
Avec ሷ௭ = ሷݖ minus ሷݖ
On remplace ሷparݖ sa valeur deacutecrite par lrsquoeacutequation (318) la deacuteriveacutee de la surface devient
(ݖ) = ሷݖ minus (ୡ୭ୱ(ఏ)ୡ୭ୱ (empty)
ଷݑ minus ) + ሶݖ)௭ߣ minus (ሶݖ (322)
Nous constatons donc que la commande apparaicirct explicitement dans la deacuteriveacutee de la
surface
Nous deacutecomposant la commande de lrsquoaltitude u3 en deux parties ଷݑ et ଷݑ
Chapitre3 COMMANDE PAR MODE GLISSANT ET FLOU-GLISSANT
47
ଷݑ = ଷݑ + ଷݑ (323)
En substituant lrsquoeacutequation 323 dans 322 nous obtenons
(ݖ) = ሷݖ minus (ୡ୭ୱ(ఏ)ୡ୭ୱ (empty)
( ଷݑ + (ଷݑ minus ) + ሶݖ)௭ߣ minus (ሶݖ (324)
Durant la mode de convergence et le reacutegime permanent nous avons la surface de
glissement (ݖ) = 0 ceci implique que sa deacuteriveacutee (ݖ) = 0 et la commande
discontinue ଷݑ = 0 drsquoougrave la grandeur de commande eacutequivalente
ଷݑ =
௦(ఏ)௦ (empty)൬ + ሶݖ௭ቀߣ+ሷݖ minus ሶቁ൰ݖ (325)
Durant le mode de convergence en remplaccedilant lrsquoexpression de la commande eacutequivalente
dans lrsquoexpression de la deacuteriveacutee de la surface nous obtenons
(ݖ) = minus௦(ఏ)௦ (empty)
ଷݑ (326)
Nous posons ଷݑ = ௭ ݏ ( ((ݖ) (327)
Afin de veacuterifier la condition de stabiliteacute de Layapunov S(z) S(z) lt 0 le paramegravetre ௭ doit
ecirctre positif
Drsquoougrave la commande ଷݑ devient comme suit
ଷݑ =
௦(ఏ)௦ (empty)൬ + ሶݖ௭ቀߣ+ሷݖ minus +ሶቁ൰ݖ ௭ ݏ ((ݖ)ݏ) (328)
33 12 Controcircle de deacuteplacement lineacuteaire suivant les axes et y
A partir du modegravele du X4 donneacute par lrsquoeacutequation (243) on voit clairement que le
deacuteplacement suivant les axes x et y deacutepend de la commande de pousseacutee ଷݑ Drsquoougrave
lrsquoorientation du vecteur total de pousseacutee ଷݑ responsable pour atteindre les mouvements
lineacuteaires deacutesireacutes Si nous consideacuterons ux = sin(ϴ) et uy = cos(ϴ)sin (empty) les orientations du
vecteur responsable pour les mouvements suivant les axes x et y respectivement Nous
pouvons par la suite tirer les angles pitch et roulis deacutesireacutes pour calculer les commandes ux
et uy
A partir du modegravele du drone le systegraveme dynamique des mouvements horizontale est
deacutefinis par
൜=ሷݔ minus ݏ ߠ) ଷݑ(
=ሷݕ cos (empty) ݏ (ߠ) ଷݑ (329)
Chapitre3 COMMANDE PAR MODE GLISSANT ET FLOU-GLISSANT
48
La loi de commande est obtenue par lrsquoutilisation de la technique mode glissant [54 55 56]
Les surfaces de glissement selon les axes x et y sont donneacutees par
(ݔ) = ሶ௫ + ௫ߣ ௫ (330)
(ݕ) = ሶ௬ + ௭ߣ ௬ (331)
Avec ex et ey les erreurs de positions qui sont deacutefinis par
௫ = ݔ minus ݔ
௬ = ݕ minus ݕ
Les mecircmes eacutetapes sont utiliseacutees pour deacuteterminer les commande de positions ௫etݑ ௬ݑ
௫ݑ =
௨య൫minusߣ௫൫ݔሶ minus minusሶ൯ݔ minusሷ൯ݔ ௫ ݏ ((ݔ)ݏ)ݐ (332)
௬ݑ =
௨య൫ߣ௬൫ݕሶ minus +ሶ൯ݕ +ሷ൯ݕ ௬ ݏ ((ݕ)ݏ)ݐ (333)
332 Commande par mode glissant du systegraveme de rotation
3321 Commande de lrsquoangle de roulis
Dans cette section on veut eacutetablir une commande par mode glissant qui assure
lrsquoorientation du drone par lrsquoangle empty (roulis)
Le degreacute relatif eacutegal agrave deux drsquoougrave la surface de glissement est deacutefinie par
(empty) = ሶempty + emptyߣ empty (334)
Avec
empty = empty minusempty
ሶempty = empty minus empty
La deacuteriveacutee de la surface est
(empty) = empty + emptyߣ ሶempty (335)
Avec ሷempty = empty minus empty
On remplace empty par sa valeur deacutecrite par lrsquoeacutequation (318) la deacuteriveacutee de la surfacedevient
(empty) = empty minus ହݑ + empty)emptyߣ minus empty) (336)
Nous constatons donc que la commande apparaicirct explicitement dans la deacuteriveacutee de la
surface
Nous deacutecomposant la commande de lrsquoaltitude u5 en deux parties ହݑ et ହݑ
ହݑ = ହݑ + ହݑ (337)
En substituant lrsquoeacutequation 337 dans 336 nous obtenons
(empty) = empty minus ହݑ ) + (ହݑ + empty)emptyߣ minus empty) (338)
Chapitre3 COMMANDE PAR MODE GLISSANT ET FLOU-GLISSANT
49
Durant le mode de convergence et le reacutegime permanent nous avons la surface de
glissement (empty) = 0 ceci implique que sa deacuteriveacutee (empty) = 0 et la commande
discontinue ହݑ = 0 drsquoougrave la grandeur de commande eacutequivalente
ହݑ = empty+ߣemptyቀempty minus emptyቁ (339)
En remplaccedilant lrsquoexpression de la commande eacutequivalente dans lrsquoexpression de la deacuteriveacutee de
la surface nous obtenons
(empty) = ହݑ minus (340)Nous posons
ହݑ = kempty sign(s(empty)) (341)
Afin de veacuterifier la condition de stabiliteacute de Laypunov (empty) (empty) lt 0 le paramegravetre empty
doit ecirctre positif
Drsquoougrave la commande ହݑ devient comme suit
ହݑ = empty+ߣemptyቀempty minus emptyቁ+ empty ݏ ( (empty)) (342)
3321 Commande des angles de tangage et de lacet
En suivant les mecircmes eacutetapes deacutecrites preacuteceacutedemment pour deacuteterminer les commandes de
tangage et de lacet ce qui nous donne [54 55 56]
ସݑ = ߠఏቀߣ+ߠ minus +ቁߠ ఏܭ ݏ ((ߠ)ݏ) (343)
ݑ = +ߣట ቀ minus ቁ+ kట sign(s()) (344)
Avec(ߠ) = ሶఏ + ఏߣ ఏ (345)
() = ሶట + టߣ ట (346)
34 Planification de trajectoire et reacutesultats de simulations
Nous travaillons avec une trajectoire en ligne droite le long des axes etݔݖ ݕ et nous
effectuons des trajectoires de type arc ou bien demi-cercle La stabilisation point par point
est utiliseacutee avec la planification de mouvement Le drone doit voler dans la direction ݖ (vol
vertical) suivi par un mouvement suivant ݔ ensuite par un mouvement suivant ݕ [2 15]
La trajectoire de reacutefeacuterence pour le vol vertical est parameacutetreacutee par lrsquoeacutequation suivante
(ݐ)ݖ = ℎௗ௧ఱ
௧ఱାቀ భ௧ቁ
ఱ (347)
Chapitre3 COMMANDE PAR MODE GLISSANT ET FLOU-GLISSANT
50
Avec h lrsquoaltitude deacutesireacutee de 10 m et Tଵ est le temps final Sachant que la valeur finale
drsquoune phase du vol est la valeur initiale du mouvement suivant x On peut eacutecrire la
trajectoire de reacutefeacuterence suivant x comme
(ݐ)ݔ = ℎௗቀ௧
భቁఱ
ቀ௧ మቁ
ఱା൬
భቀ௧ మቁ൰
ఱ (348)
On peut eacutecrire le mouvement suivant y avec la formule suivante
(ݐ)ݕ = ℎௗቀ௧
మቁఱ
ቀ௧ యቁఱା൬
మቀ௧ యቁ൰
ఱ (349)
ଶ est le temps final du mouvement le long de ݔ
ଷ est le temps final du mouvement le long de ݕ
Ces trajectoires sont soumises agrave des contraintes de performance qui sont
(0)ݖ = ൫ݔ ଵ൯=ݕ൫
ଶ൯= 0
൫ݖ ଵ൯= ൫ݔ
ଶ൯=ݕ൫ ଷ൯= ℎௗ
ሶ(0)ݖ = ሶ൫ݔ ଵ൯=ݕሶ൫
ଶ൯= 0
ሶ൫ݖ ଵ൯= ሶ൫ݔ
ଶ൯=ݕሶ൫ ଷ൯= 0 (350)
ሷ(0)ݖ = ሷ൫ݔ ଵ൯=ݕሷ൫
ଶ൯= 0
ሷ൫ݖ ଵ൯= ሷ൫ݔ
ଶ൯=ݕሷ൫ ଷ൯= 0
Minimiser le temps de deacuteplacement implique que lrsquoengin acceacutelegravere au deacutepart et deacuteceacutelegravere agrave
lrsquoarriver
La figure 35 illustre les trajectoires de reacutefeacuterences des vols suivant les directions x et y
ainsi que le vol vertical z Le drone effectue un mouvement vertical de 10 m puis un
mouvement suivant x drsquoune distance de 10 m ensuite un mouvement suivant y de la mecircme
Chapitre3 COMMANDE PAR MODE GLISSANT ET FLOU-GLISSANT
51
distance
Figure 35 Geacuteneacuteration de trajectoire avec =
Nous travaillons aussi avec des trajectoires pour faire par exemple des virages Un virage
est mateacuterialiseacute par un arc de cercle de rayon ߩ et drsquoangle (ݐ)ߙ (angle de virage)
Cette deacutependance du temps de ߙ implique qursquoon peut planifier la maniegravere dont on veut
aborder le virage Ainsi on peut planifier une acceacuteleacuteration ou une deacuteceacuteleacuteration dans un
virage De mecircme lrsquoangle ߙ qui agit directement sur le comportement du lacet peut
prendre des valeurs entre zeacutero pour un changement de direction ou ߨ2 pour contourner
un carrefour
Nous proposons de connecter etݖ ݔ agrave travers les eacutequations suivantes
ቊ(ݐ)ௗݔ = +൯(ݐ)ߙcos൫ߩminus ߩ
(ݐ)ௗݖ = +൯(ݐ)ߙsin൫ߩminus ߩ (351)
Et pour la transition de reacutefeacuterence entre ݔ et ݕ on prend
ቊ(ݐ)ௗݔ = +൯(ݐ)ߙsin൫ߩ ௗ൫ݔ
ଶ൯
(ݐ)ௗݕ = +൯(ݐ)ߙsin൫ߩminus ߩ (352)
Pour assurer la continuiteacute entre les deacuteriveacutees par rapport au temps de (ݐ)ௗݔ et (ݐ)ௗݕ crsquoest-agravedire en vitesse on a
0 5 10 15 20 250
2
4
6
8
10
12
z-re
f(m
)
temps (s)
0 5 10 15 20 250
2
4
6
8
10
12
x-r
ef(m
)
temps (s)
0 5 10 15 20 250
2
4
6
8
10
12
y-r
ef(m
)
temps (s)
05
10
0
10
200
5
10
x-deacuteplacementy-deacuteplacementz-
deacutep
lace
men
t
Chapitre3 COMMANDE PAR MODE GLISSANT ET FLOU-GLISSANT
52
(ݐ)ߙ =ఈ(௧ ௧)ఱ
(௧ ௧)ఱା(௧ ௧)ఱ(353)
Ougrave numeacuteriquement =ߩ 2 ௗߙ = ఈగ
ଶ( ఈ = 12) ݐ = ݏ6 ݐ = ݏ8 ௗ൫ݔ
ଶ൯=
ௗ൫ݕ ଷ൯= ℎௗ + =ߩ 10
Figure 36 une trajectoire de reacutefeacuterence avec arcs
Simulation numeacuterique
Dans cette partie nous testons numeacuteriquement la performance du vecteur de commande
deacuteveloppeacute preacuteceacutedemment en utilisant logiciel Matlab Simulink
Les coefficients de gain kx ky kz ఏ empty associeacutes respectivement aux paramegravetres x y z ߠempty et sont donneacutes par ( 5 4 10 10 5)
௭ߣ = 2 ௫ߣ = 5 ௬ߣ = 2 ఏ=10ߣ et emptyߣ = 5
Par la suite nous affichons les reacutesultats numeacuteriques du suivi de trajectoire de reacutefeacuterence en
absence et en preacutesence des perturbations
02
46
810
1214
02
46
810
120
2
4
6
8
10
12
Deacuteplacement suivant (x)Deacuteplacement suivant (y)
Deacutepla
cem
ent
suiv
ant
(z)
Chapitre3 COMMANDE PAR MODE GLISSANT ET FLOU-GLISSANT
53
Figure 37 La trajectoire de reacutefeacuterence et reacuteelle en cas droites
Figure 38 Les commandes u3 u4 u5 des connexions droites
02
46
810
12
02
46
810
120
2
4
6
8
10
12
Deacuteplacement suivant (x)Deacuteplacement suivant (y)
Deacute
pla
ce
me
nt
su
iva
nt
(z)
Trajectoire reacuteelle
Trajectoire reacutefeacuterence
0 5 10 15 20 250
20
40
u3(N
)
0 5 10 15 20 25-10
0
10
u4(N
m)
0 5 10 15 20 25-10
0
10
u5(N
m)
temps (s)
Chapitre3 COMMANDE PAR MODE GLISSANT ET FLOU-GLISSANT
54
Figure 39 Les erreurs pour des connections droites
Figure 310 Les angles de tangage et de roulis pour des connections droites
0 5 10 15 20 25 30 35-5
0
5x 10
-4
z-e
rreur(m
)
0 5 10 15 20 25 30 35-5
0
5x 10
-3
x-e
rreur(m
)
0 5 10 15 20 25 30 35-5
0
5x 10
-5
y-e
rreur(m
)
temps (s)
0 5 10 15 20 25
-05
0
05
angle
theta
(rad)
0 5 10 15 20 25
-05
0
05
angle
phi(rad)
temps (s)
Chapitre3 COMMANDE PAR MODE GLISSANT ET FLOU-GLISSANT
55
Figure 311 La trajectoire de reacutefeacuterence et reacuteelle en cas drsquoarcs
Figure 312 Les commandes u3 u4 u5 des connexions drsquoarcs
0
5
10
15
0
5
10
150
5
10
15
deacuteplacement suivant (x)deacuteplacement suivant (y)
deacutepla
cem
entsuiv
ant(z
)
Trajectoire reacuteelle
Trajectoire reacutefeacuterence
0 5 10 15 20 25 30 350
20
40
u3(N
)
0 5 10 15 20 25 30 35
-10
0
10
u4(N
m)
0 5 10 15 20 25 30 35-10
0
10
u5(N
m)
temps (s)
Chapitre3 COMMANDE PAR MODE GLISSANT ET FLOU-GLISSANT
56
Figure 313 Les erreurs pour des connexions drsquoarcs
Figure 314 Les angles de tangage et de roulis en cas drsquoarcs
0 5 10 15 20 25 30 35-5
0
5x 10
-4
z-e
rreur(m
)
0 5 10 15 20 25 30 35-5
0
5x 10
-3
x-e
rreurr
(m)
0 5 10 15 20 25 30 35-5
0
5x 10
-5
y-e
rreur(m
)
temps (s)
0 5 10 15 20 25 30 35
-05
0
05
angle
theta
(rad)
0 5 10 15 20 25 30 35
-05
0
05
angle
phi(rad)
temps (s)
Chapitre3 COMMANDE PAR MODE GLISSANT ET FLOU-GLISSANT
57
Figure 315 La trajectoire de reacutefeacuterence et reacuteelle en cas des demi-cercles
Figure 316 Les commandes u3 u4 u5 pour des connexions demi-cercles
-10
010
20
30
-5
0
5
100
5
10
15
20
25
deacuteplacement suivant (x)deacuteplacement suivant (y)
deacutepla
cem
entsuiv
ant(z
)
Trajectoire reacuteelle
Trajectoire reacutefeacuterence
0 10 20 30 40 50 60 70 80 900
10
20
30
u3(N
)
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90-5
0
5
u4(N
m)
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90-5
0
5
u5(N
m)
temps (s)
Chapitre3 COMMANDE PAR MODE GLISSANT ET FLOU-GLISSANT
58
Figure 317 Les erreurs pour des connexions demi-cercles
Figure 318 Les angles pour des connexions demi-cercles
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90-2
0
2x 10
-3
z-e
rreur(m
)
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90-5
0
5x 10
-4
x-e
rreur(m
)
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90-5
0
5x 10
-4
y-e
rreur(m
)
temps (s)
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90
-05
0
05
angle
theta
(rad)
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90
-05
0
05
angle
phi(rad)
temps (s)
Chapitre3 COMMANDE PAR MODE GLISSANT ET FLOU-GLISSANT
59
Figure 319 La trajectoire de reacutefeacuterence et reacuteelle en cas des demi-cercles
Figure 320 La trajectoire de reacutefeacuterence et reacuteelle en cas drsquoheacutelicoiumldale
-4
-20
2
4
-2
0
2
40
5
10
15
20
25
deacuteplacement suivant (x)deacuteplacement suivant (y)
deacutepla
cem
entsuiv
ant(z
)
Trajectoire reacuteelle
Trajectoire reacutefeacuterence
0
5
10
15
0
5
10
150
5
10
15
deacuteplacement suivant (x)deacuteplacement suivant (y)
deacutepla
cem
ent
suiv
ant
(z) Trajectoire reacuteelle
Trajectoire reacutefeacuterence
Chapitre3 COMMANDE PAR MODE GLISSANT ET FLOU-GLISSANT
60
Figure 321 La trajectoire de reacutefeacuterence et reacuteelle en cas drsquoun cocircne
Les figures 37 38 et 39 illustrent respectivement la reacutealisation des connexions droites
les signaux de commandes et des erreurs Nous constatons que la trajectoire parcourue par
le drone suit la trajectoire deacutesireacutee avec des erreurs de tregraves faibles valeurs Pour les
commandes la condition de lrsquoeacutetat drsquoeacutequilibre est toujours veacuterifieacutee apregraves avoir effectueacute une
manœuvre ଷݑ) est approximativement eacutegale agrave mg et les commandes ସݑ et ହݑ tendent vers
zero)
La figure (310) preacutesente lrsquoeacutevolution des angles de tangage et de roulis nous observons que
ces angles ne se manifestent que lors drsquoun mouvement effectueacute respectivement suivant les
axes ݔ et ݕ et tendent vers la valeur zeacutero apregraves avoir fait lrsquoorientation deacutesireacutee
Les figures (311) et (315) montrent respectivement la bonne poursuite de la trajectoire
reacuteelle vers sa reacutefeacuterence pour des connexions arcs et demi-cercle
Les figures (312) (313) et (314) illustrent respectivement les reacutesultats de simulation
pour la reacutealisation des connexions en arcs les signaux de commandes les erreurs et les
angles de tangage et de roulis
Les figures (316) et (317) quant agrave elles illustrent respectivement les signaux de
commande et les erreurs de poursuite pour des connexions en demi-cercle La condition de
lrsquoeacutetat drsquoeacutequilibre dans ce cas est toujours veacuterifieacutee apregraves avoir effectueacute les manouvres en
demi-cercle
-2
-10
1
2
-2
-1
0
1
20
1
2
3
4
5
deacuteplacement suivant (x)deacuteplacement suivant (x)deacuteplacement suivant (y)
deacutepla
cem
entsuiv
ant(z
)
trajectoire reacuteelle
Trajectoire reacutefeacuterence
Chapitre3 COMMANDE PAR MODE GLISSANT ET FLOU-GLISSANT
61
Drsquoapregraves la figure (318) on voit bien que les angles de tangage et de roulis tendent vers la
valeur zeacutero apregraves avoir fait lrsquoorientation deacutesireacutee
Les figures (319) (320) et (321) montrent la bonne poursuite des trajectoires reacuteelles agrave
leurs reacutefeacuterences en 3D pour des connexions demi-cercle (deuxiegraveme forme) heacutelicoiumldale et
cocircne respectivement Drsquoapregraves ces figures on voit clairement les bonnes performances de la
commande par mode glissant
341 Etude de robustesse
Nous nous inteacuteressons dans cette partie aux tests de la robustesse des controcircleurs
deacuteveloppeacutes Nous nous placcedilons toujours dans le cadre de la commande du drone X4 dans
le cas de lrsquoinfluence du vent suivant les diffeacuterents axes du mouvement
Selon le principe drsquoinertie (lois du mouvement de Newton) aucune eacutenergie nrsquoest
neacutecessaire pour maintenir le mouvement uniforme drsquoun corps dans le vide Dans le cas du
X4 une reacutesistance ou une force de traineacutee srsquooppose au mouvement de celui-ci en vol et
crsquoest le travail de cette force qui entraine une consommation suppleacutementaire drsquoeacutenergie aux
niveaux des actionneurs et qui affaiblit ses capaciteacutes en vol Cette force de reacutesistance peut
ecirctre calculeacutee comme suit [15]
=ܨଵ
ଶ௫ܥ ܣߩ
ଶ (354)
Fi la force de traineacutee suivant lrsquoaxe i en [N]
V est la vitesse relative en [ms]
A lrsquoaire caracteacuteristique de la surface frontale de la structure du drone [m2]
ρ la masse volumique du drone en [Kgm3]
Lrsquoexpression de lrsquoeacutequation 3 65 introduit un coefficient de traineacutee sans dimention Cx qui
deacutepend de la structure du X4 et qui est deacutetermineacute expeacuterimentalement en soufflerie
Ce coefficient vaut dans le cas du drone X4
-Cx = 005 suivant le deacuteplacement dans les directions x et y
-Cx = 008 suivant le deacuteplacement dans la direction z
Lrsquoaire caracteacuteristique A de la surface frontale de la structure drone est eacutegale agrave A =
0031[m2] avec une masse volumique estimeacutee eacutegale agrave ρ =122 [Kgm3]
Reacutesultat de simulation
Dans cette partie nous testons numeacuteriquement la performance du vecteur de
commande deacuteveloppeacute preacuteceacutedemment en preacutesence des perturbations externes qui sont
donneacutes par
Chapitre3 COMMANDE PAR MODE GLISSANT ET FLOU-GLISSANT
62
Ax =Ay = Az = 67 N pour t1=15s t2=20s et t3=30s
Ap = Aq = Ar = 1 Nm pour t4 = 32s et t5 = 35s
Les figures (322) (323) (324) (325) (326) illustrent les reacutesultats de la simulation dans
le cas drsquoune force de traineacutee opposeacutee de Ftrn = 65 N pour les deacuteplacements suivant les
directions z x et y respectivement Ainsi lrsquoapplication drsquoun couple reacutesistant pour les
orientations ߠ et empty de valeur 1Nm Drsquoapregraves ces figures on remarque que les erreurs sont
importantes et peuvent augmenter avec lrsquoaugmentation de la perturbation
Figure 322 La trajectoire de reacutefeacuterence et reacuteelle en cas des demi-cercles
02
46
810
1214
0
5
10
150
2
4
6
8
10
12
diplacement suivant (x)diplacement suivant (y)
dip
lacem
ent
suiv
ant
(z)
Trajectoire reacuteelle
trajectoire reacutefeacuterence
0 5 10 15 20 25 30 35 400
50
u3(N
)
0 5 10 15 20 25 30 35 40-60-40-20
020
u4(N
m)
0 5 10 15 20 25 30 35 40
-50
0
50
u5(N
m)
temps (s)
Chapitre3 COMMANDE PAR MODE GLISSANT ET FLOU-GLISSANT
63
Figure 323 Les commandes u3 u4 u5 des connexions demi-cercles
Figure 324 Les erreurs pour des connexions demi-cercles
Figure 325 Les angles pour des connexions demi-cercles
0 5 10 15 20 25 30 35 40
-05
0
05
1
angle
theta
(rad)
0 5 10 15 20 25 30 35 40
-1
-05
0
05
1
angle
phi(r
ad)
temps (s)
0 5 10 15 20 25 30 35 40-05
0
05
z-e
rreur
(m)
0 5 10 15 20 25 30 35 40-05
0
05
x-e
rreurr
(m)
0 5 10 15 20 25 30 35 40
-05
0
05
y-e
rreur
(m)
temps (s)
Chapitre3 COMMANDE PAR MODE GLISSANT ET FLOU-GLISSANT
64
Figure 326 Les forces pour des connexions demi-cercles
35 Commande du drone par mode glissant agrave action inteacutegrale
Lrsquoutilisation des fonctions drsquoadoucissement empecircche lrsquoexistence dun mode de glissement
ideacuteal Par conseacutequent il est important de connaicirctre le comportement du systegraveme boucleacute
lorsque nous introduisons une des fonctions dadoucissement preacuteceacutedentes
Dans le but de compenser lrsquoerreur en reacutegime permanent on peut ajouter un terme inteacutegral
dans la surface de glissement [57 58 59] Ce perfectionnement (agrave lrsquoinstar drsquoautres) est
introduit a priori et justifieacute par des essais sur des systegravemes particuliers
Notre objectif dans ce paragraphe est de concevoir une nouvelle approche baseacutee sur la
theacuteorie de la commande agrave structure variable en introduisant lrsquoaction inteacutegrale sans
toutefois perdre les proprieacuteteacutes de la commande par mode glissant
Dans cette partie nous preacutesentons la deacutetermination de la loi de commande pour la
direction suivant lrsquoaxe z par lrsquointroduction de lrsquoaction inteacutegral dans la surface
La surface de glissement sera deacutefinie par
0 5 10 15 20 25 30 35 400
5
10
15F
1(N
)
0 5 10 15 20 25 30 35 400
5
10
15
F2
(N)
0 5 10 15 20 25 30 35 4005
1015
F3
(N)
0 5 10 15 20 25 30 35 4005
1015
F4
(N)
temps (s)
Chapitre3 COMMANDE PAR MODE GLISSANT ET FLOU-GLISSANT
65
(ݖ) = ሶ௭ + ௭ߣ ௭ + int ௭ݐ (355)
Ainsi que sa deacuteriveacutee est
(ݖ) = ௭ + ௭ߣ ሶ௭ + ௭ (356)
La commande drsquoaltitude ଷݑ est calculeacutee par la relation suivante
ଷݑ = ଷݑ + ଷݑ (357)
La commande ݑ est deacutetermineacutee par reacutegime glissant ideacuteal
ଷݑ =
௦ ఏ ௦ empty൬ + ሷݖ + ሶݖ௭ቀߣ minus +ሶቁݖ ൫ݖ minus ൯൰ݖ (358)
Par la technique du mode glissant on deacuteduit la forme suivante pour la commande ଷݑ
ଷݑ =
௦ ఏ ௦ empty൬ + ሷݖ + ሶݖ௭ቀߣ minus +ሶቁݖ ቀݖ minus minusቁ൰ݖ ௭ ݏ )ݐ ((ݖ) (359)
Nous suivons les mecircmes eacutetapes deacutecrites preacuteceacutedemment pour deacuteterminer les commandes du
drone X4 ce qui nous donne
⎩⎪⎪⎪⎨
⎪⎪⎪⎧ ௫ݑ =
௨య൫minusߣ௫൫ݔሶ minus minusሶ൯ݔ ሷݔ + k୧൫x ndash x ൯൯minus ௫ ݏ ൫ݐ ൯(ݔ)
௬ݑ =
௨యቀߣ௬൫ݕሶ minus +ሶ൯ݕ ሷݕ + k୧൫y ndash y ൯ቁndash ௬ ݏ )ݐ (ݕ)
ସݑ = ఏߣ+ߠ ቀߠ ndash +ቁߠ k୧൫ߠ ndashߠ൯+ ఏܭ ݏ ൯(ߠ)ݏ൫ݐ
ହݑ = empty+ߣempty ቀempty minus emptyቁ+ k୧൫empty minus empty ൯+ empty ݏ ൫ݐ (empty)൯
ݑ = +ߣట ቀ minus ቁ+ k୧൫ minus ൯+ kట sat(S())
(360)
351 Reacutesultats de simulations
Nous preacutesentons dans cette partie les reacutesultats du controcircle mode glissant associeacute agrave une
action inteacutegrale pour la commande du X4 avec perturbation Nous traitons dans cette partie
lrsquoexemple de la reacutealisation des connections demi-cercles pour les mouvements z x y Le
gain ki=2 dans notre simulation En conservant les mecircmes coefficients de gain utiliseacutes
preacuteceacutedemment
Les figures (327) (328) (329) et (330) repreacutesentent respectivement la reacutealisation en
3D lrsquoerreur la commande et les angles pour la trajectoire de connexion de type demi-
cercle en preacutesence de la perturbation externe Nous remarquons de ces figures que la
robustesse de la commande est veacuterifieacutee numeacuteriquement En effet avec une telle force de
traineacutee la commande produit des valeurs assez raisonnables assurant le suivi du drone agrave sa
trajectoire de reacutefeacuterence
Chapitre3 COMMANDE PAR MODE GLISSANT ET FLOU-GLISSANT
66
Les figures (331) (332) et (333) montrent la comparaison entre la commande mode
glissant et le mode glissant agrave action inteacutegrale Drsquoapregraves ces figure on voit clairement que la
commande mode glissant agrave action inteacutegrale est la mieux adapteacutee agrave des trajectoires de
connexions de type demi-cercle arcs et heacutelicoiumldale
Figure 327 La trajectoire de reacutefeacuterence et reacuteelle en cas des demi-cercles
Figure 328 Les erreurs pour des connexions demi-cercles
0 5 10 15 20 25 30 35 40-05
0
05
z-e
rreur
(m)
0 5 10 15 20 25 30 35 40-05
0
05
x-e
rreurr
(m)
0 5 10 15 20 25 30 35 40
-05
0
05
y-e
rreur
(m)
temps (s)
02
46
810
1214
0
5
10
150
5
10
15
Deacuteplacement suivant (x)Deacuteplacement suivant (y)
Deacutepla
cem
ent
suiv
ant
(z)
Trajectoire reacuteelle
Trajectoire reacutefeacuterence
Chapitre3 COMMANDE PAR MODE GLISSANT ET FLOU-GLISSANT
67
Figure 329 Les commandes pour des connexions demi-cercles
Figure 330 Les angles pour des connexions demi-cercles
0 5 10 15 20 25 30 35 400
50
u3(N
)
0 5 10 15 20 25 30 35 40-60-40-20
020
u4(N
m)
0 5 10 15 20 25 30 35 40
-50
0
50
u5(N
m)
temps (s)
0 5 10 15 20 25 30 35 40
-05
0
05
1
angle
theta
(rad)
0 5 10 15 20 25 30 35 40
-1
-05
0
05
1
angle
phi(r
ad)
temps (s)
Chapitre3 COMMANDE PAR MODE GLISSANT ET FLOU-GLISSANT
68
Figure 331 La trajectoire de reacutefeacuterence et reacuteelle en cas des demi-cercles
Figure 332 La trajectoire de reacutefeacuterence et reacuteelle en cas des connexions arcs
02
46
810
1214
0
5
10
150
5
10
15
Deacuteplacement suivant (x)Deacuteplacement suivant (y)
Deacutepla
cem
ent
suiv
ant
(z)
Trajectoire reacuteelle PIMG
Trajectoire reacutefeacuterence
Trajectoire reacuteelle MG
02
46
810
1214
0
5
10
150
5
10
15
Deacuteplacement suivant (x)Deacuteplacement suivant (y)
Deacutepla
cem
ent
suiv
ant
(z)
Trajectoire reacuteelle MG
trajectoire reacutefeacuterence
trajectoire reacuteelle PI MG
Chapitre3 COMMANDE PAR MODE GLISSANT ET FLOU-GLISSANT
69
Figure 333 La trajectoire de reacutefeacuterence et reacuteelle en cas heacutelicoiumldale
36 Commande du drone par un controcircleur flou-glissant
Le majeur inconveacutenient du mode de glissement est que la commande discontinue
produit pheacutenomegravene de broutement ou chattering Notons que le broutement peut exciter
des dynamiques hautes freacutequences neacutegligeacutees menant parfois agrave lrsquoinstabiliteacute Afin drsquoeacuteliminer
ou de minimiser ce pheacutenomegravene plusieurs meacutethodes ont eacuteteacute deacuteveloppeacutees [45 60 61 62
63 64 65 66 67 68 69] Dans notre travail nous avons introduit des hybridations entre la
logique flou et le mode glissant afin de reacuteduire le pheacutenomegravene de broutement et drsquoameacuteliorer
drsquoavantage les performances du controcircle du drone Apregraves avoir introduit le principe des
approches proposeacutees nous preacutesentons leurs mises en œuvre pour la commande de notre
quadri-rotors
Dans notre travail nous avons proposeacutes une nouvelle structure des controcircleurs flou-
glissant Dans cette structure un meacutecanisme drsquoinfeacuterence flou est utiliseacute pour geacuteneacuterer et
drsquoune faccedilon douce la composante discontinue de la loi de commande par mode glissant
(SMC) La figure (334) montre le scheacutema bloc de la strateacutegie de control proposeacute [70 71]
-3-2
-10
12
3
-3-2
-10
12
30
10
20
30
40
Deacuteplacement suivant (x)Deacuteplacement suivant (y)
Deacutepla
cem
ent
suiv
ant
(z)
Trajectoire reacuteelle MG
Trajectoire reacutefeacuterence
Trajectoire reacuteelle PIMG
Chapitre3 COMMANDE PAR MODE GLISSANT ET FLOU-GLISSANT
70
Figure 334 Controcircleur par mode glissant flou
Dans le controcircleur flou-glissant proposeacute la surface (s) preacutesente lrsquoentreacutee des implications
des bases de regravegles
Puisque les donneacutees manipuleacutees dans le meacutecanisme agrave infeacuterence flou sont baseacutees sur la
theacuteorie des sous ensemble flous [70 71] les ensembles flous associeacutes utiliseacutes dans la
geacuteneacuteration de la base de regravegle sont deacutefinies comme
Si S est GN Alors un est TGSi S est NP Alors un est GSi S est JZ Alors un est MNSi S est PP Alors un est PSi S est GP Alors un est TP
Avec GN MN JZ MP et GP sont les termes linguistiques de la variable drsquoentreacutee s
deacutefinies respectivement par Grand Neacutegative Moyen Negative Just Zero Moyen
Positive et Grand Positive
Et pour la variable de sortie un les termes linguistiques TG G MN P TP sont deacutefinis
respectivement par Tregraves Grand Grand Moyen Petit Tregraves Petit
Les fonctions drsquoappartenances associeacutees agrave ses variables drsquoentreacutee et de sortie sont
preacutesenteacutees dans les figures suivantes
Chapitre3 COMMANDE PAR MODE GLISSANT ET FLOU
Figure 335
Figure 3
361 Reacutesultats de simulations
Nous preacutesentons dans cette partie les reacutesultats du controcircle flou
du drone X4 en preacutesence de perturbation
sont ke= 10 et ks = 10
preacuteceacutedemment
Les figures (337) (338) et
demi-cercle les signaux de commandes et des erreurs Nous constatons que la trajectoire
parcourue par le drone suit la
Tregraves
-3k2
COMMANDE PAR MODE GLISSANT ET FLOU
71
35 Fonction dappartenance de lentreacutee S
336 Fonction dappartenance de la sortie u
1 Reacutesultats de simulations
Nous preacutesentons dans cette partie les reacutesultats du controcircle flou-glissant pour la commande
en preacutesence de perturbation Les gains drsquoentreacutee et de sortie du controcircleur flou
= 10 En conservant les mecircmes coefficients de gain utiliseacutes
et (339) illustrent respectivement la reacutealisation des connexions
cercle les signaux de commandes et des erreurs Nous constatons que la trajectoire
parcourue par le drone suit la trajectoire deacutesireacutee avec des erreurs de tregraves faibles valeurs
Tregraves petit Petit Moyenne Grand Tregraves Grand
k2-k2-k k00
COMMANDE PAR MODE GLISSANT ET FLOU-GLISSANT
S(t)
un
glissant pour la commande
et de sortie du controcircleur flou
En conservant les mecircmes coefficients de gain utiliseacutes
la reacutealisation des connexions
cercle les signaux de commandes et des erreurs Nous constatons que la trajectoire
avec des erreurs de tregraves faibles valeurs
Tregraves Grand
3k2
Chapitre3 COMMANDE PAR MODE GLISSANT ET FLOU-GLISSANT
72
La figure (340) preacutesente lrsquoeacutevolution des angles de tangage et de roulis nous observons que
ces angles se manifestent que lors drsquoun mouvement effectueacute respectivement suivant les
axes ݔ et ݕ
La figure (341) preacutesente lrsquoeacutevolution des forces des quatre moteurs on remarque que ces
forces ne deacutepassent pas les limites physiques des actionneurs et la somme de ces forces
satisfait la condition drsquoeacutequilibre apregraves que le drone effectue ses mouvements deacutesireacutes
Figure 337 La trajectoire de reacutefeacuterence et reacuteelle en cas des demi-cercles
-20
24
68
1012
14
-5
0
5
10
150
5
10
15
Deacuteplacement suivant (x)Deacuteplacement suivant (y)
Deacutepla
cem
ent
suiv
ant
(z) Trajectoire reacuteelle
Trajectoire reacutefeacuterence
Chapitre3 COMMANDE PAR MODE GLISSANT ET FLOU-GLISSANT
73
Figure 338 Les commandes pour des connexions demi-cercles
Figure 339 les erreurs pour des connexions demi-cercles
0 5 10 15 20 25 30 35 400
20
40
u3(N
)
0 5 10 15 20 25 30 35 40-40
-20
0
20
40
u4(N
m)
0 5 10 15 20 25 30 35 40-40
-20
0
20
40
u5(N
m)
temps (s)
0 5 10 15 20 25 30 35 40-05
0
05
z-e
rreur
(m)
0 5 10 15 20 25 30 35 40-05
0
05
x-e
rreurr
(m)
0 5 10 15 20 25 30 35 40
-05
0
05
y-e
rreur
(m)
temps (s)
Chapitre3 COMMANDE PAR MODE GLISSANT ET FLOU-GLISSANT
74
0 5 10 15 20 25 30 35 40
-05
0
05
1
angle
theta
(rad)
0 5 10 15 20 25 30 35 40
-1
-05
0
05
1
angle
phi(r
ad)
temps (s)
Figure 340 les angles pour des connexions demi-cercles
Figure 341 Les forces pour des connexions demi-cercles
0 5 10 15 20 25 30 35 4005
1015
F1
(N)
0 5 10 15 20 25 30 35 4005
1015
F2
(N)
0 5 10 15 20 25 30 35 4005
1015
F3
(N)
0 5 10 15 20 25 30 35 4005
1015
F4
(N)
temps (s)
Chapitre3 COMMANDE PAR MODE GLISSANT ET FLOU-GLISSANT
75
37 Conclusion
Dans ce chapitre nous avons preacutesenteacute le principe de la commande par mode de
glissement appliqueacute sur un drone agrave quatre heacutelices La commande par mode glissant
(approche non lineacuteaire) consiste agrave choisir le nombre et la forme de surface de glissement
neacutecessaire pour la deacutetermination de la loi de commande Le pheacutenomegravene de chattering qui
caracteacuterise cette commande a eacuteteacute reacuteduit par lrsquoadoucissement de la fonction de commande
Afin drsquoameacuteliorer les performances statiques nous avons proposeacute une approche appeleacutee
mode glissant agrave action inteacutegral pour eacuteliminer lrsquoerreur en preacutesence des perturbations Pour
ameacuteliorer drsquoavantage les performances de la commande SMC nous avons proposeacute une
approche drsquohybridation entre le mode glissant et la logique floue La structure du
controcircleur flou-glissant heacuterite la proprieacuteteacute drsquointerpolation du controcircle de la logique floue
et la robustesse du controcircle par mode glissement Cette approche est baseacutee sur lrsquoutilisation
drsquoun systegraveme agrave une infeacuterence floue qui geacutenegravere la commande discontinueacutee de la loi de
commande par mode de glissement agrave action inteacutegrale Par conseacutequent il le rend robuste
pour le temps de control de plus le controcircleur flou reacuteduit le pheacutenomegravene de broutement
(chattering)
Chapitre4 COMMANDE ROBUST PAR LA THECHNIQUE DU BACKTEPPING
74
Chapitre 4
COMMANDE NON LINEAIRE PAR BACKSTEPPING
Chapitre4 COMMANDE ROBUST PAR LA THECHNIQUE DU BACKTEPPING
75
4 COMMANDE ROBUSTE PAR LA THECHNIQUE DU BACKSTEPPING
41 Introduction
La theacuteorie de Lyapunov est un outil tregraves important dans la theacuteorie de controcircle des
systegravemes non lineacuteaires Cependant son utilisation est souvent entraveacutee par les difficulteacutes
de trouver une fonction de Lyapunov pour un systegraveme donneacute Si elle est trouveacutee le
systegraveme est connu pour ecirctre stable mais la tache de trouver une telle fonction est souvent
laisseacutee agrave lrsquoimagination et agrave lrsquoexpeacuterience du concepteur La technique du Backstepping est
une meacutethode systeacutematique pour la conception du controcircle non lineacuteaire qui peut ecirctre
appliqueacutee agrave une grande classe de systegravemes Le nom backstepping se reacutefegravere agrave la nature
reacutecursive de la proceacutedure de synthegravese Dans un premier temps seul un sous-systegraveme du
systegraveme original est consideacutereacute pour lequel une loi de controcircle fictive est construite Puis la
conception est eacutetendue en plusieurs eacutetapes jusquagrave lrsquoobtention drsquoune loi de controcircle pour le
systegraveme tout en entier Avec la loi de commande une fonction de Lyapunov pour le
systegraveme controcircleacute est progressivement construite
La technique du backstepping a connu un regain drsquoattention gracircce aux travaux de
Kokotovic qui a fourni un cadre matheacutematique pour la conception de lois de controcircle pour
diffeacuterents systegravemes non lineacuteaires en utilisant la cette technique [72] Durant les anneacutees
suivantes des manuscrits ont eacuteteacute eacutediteacutes par Krstic et autres [73 74 75]
Nous utiliserons cette technique du backstepping pour deacutevelopper des lois de controcircle pour
le controcircle des mouvements selon les axes z ndash x ndash y ainsi qursquoune eacutetude de robustesse
42 Historique et domaines drsquoapplication du backstepping
Lrsquoideacutee de base du backstepping est de laisser certains eacutetats du systegraveme agir en tant
qursquoentreacutees virtuelles La mecircme ideacutee est utiliseacutee dans la conception de controcircle en cascade
et eacutegalement dans la theacuteorie de la perturbation singuliegravere [76] Le backstepping qui utilise
une forme du systegraveme en chaicircne drsquointeacutegrateurs apregraves une transformation de coordonneacutees
drsquoun systegraveme triangulaire et en se basant sur la meacutethode directe de Lyapunov (Annexe A)
A partir de lagrave il est possible de concevoir systeacutematiquement et de maniegravere reacutecursive des
Chapitre4 COMMANDE ROBUST PAR LA THECHNIQUE DU BACKTEPPING
76
controcircleurs et les fonctions de Lyapunov correspondantes Bien que la technique du
backstepping ait une histoire plutocirct courte mais rien nrsquoempecircche quand-mecircme de trouver de
nombreuses applications pratiques dans la litteacuterature On en donne ici un court aperccedilu
Elle est appliqueacutee dans les systegravemes eacutelectriques par exemple dans [77] ou a eacuteteacute
proposeacutee une commande en temps reacuteel de la vitesse drsquoun moteur synchrone agrave aimant
permanent par la technique du backestepping adaptative non lineacuteaire On peut maintenant
la retrouver dans une grande varieacuteteacute de controcircle de moteurs eacutelectriques [78 79 80] On
trouve eacutegalement des travaux dans lrsquoaeacuteronautique qui correspond au controcircle drsquoun
heacutelicoptegravere miniature Dans [28] une loi de commande adaptative utilisant les techniques
reacutecursives et robustes du backstepping a eacuteteacute proposeacutee Altug dans [25 26 27] a proposeacute un
controcircle stabilisant en utilisant lrsquoasservissement visuel Ainsi cette technique a eacuteteacute
proposeacutee pour la commande drsquoautomobile [81]
43 Conception de la commande par backstepping
La commande par backstepping ne doit pas ecirctre vue comme un proceacutedeacute rigide mais
plutocirct comme une philosophie de conception qui peut ecirctre plieacutee et tordue pour satisfaire les
besoins speacutecifiques du systegraveme agrave commander Nous pouvons exploiter la flexibiliteacute du
backstepping en ce qui concerne le choix des commandes virtuelles des fonctions
stabilisantes initiales et des fonctions de Lyapunov Nous avons effectueacute une eacutetude de
stabiliteacute en se basant sur la commande backstepping et en utilisant la fonction de
Lyapunov
431 Algorithme de base pour la meacutethode du backstepping
En utilisant lrsquoapproche backstepping comme un algorithme reacutecursif pour la
synthegravese de lois de commande On considegravere le cas des systegravemes non lineacuteaires drsquoordre deux
de la forme
x=f(x)+g(x)u (41)
X est lrsquoeacutetat du systegraveme X isin realn
u Lrsquoentreacutee de commande u isin real
Supposons que le systegraveme (41) peut apregraves une transformation ecirctre mis sous la forme
chaineacutee comme suit
x1 = fଵ(xଵ) + gଵ (xଵ) xଶ (42)
x2= fଶ(xଶ) + gଶ (xଶ) u (43)
Chapitre4 COMMANDE ROBUST PAR LA THECHNIQUE DU BACKTEPPING
77
On deacutesire faire suivre agrave la sortie y = xଵ la trajectoire yr Cette trajectoire est supposeacutee
connue et uniformeacutement borneacutee et puisque le systegraveme et du deuxiegraveme ordre alors le design
srsquoeffectue en deux eacutetapes [82]
Premiegravere eacutetape
On considegravere drsquoabord lrsquoeacutequation (42) ou la variable drsquoeacutetat xଶ est traiteacutee comme une
commande virtuelle et lrsquoon deacutefinit la premiegravere valeur de reacutefeacuterence
xଵ = y (44)
La premiegravere variable drsquoerreur se deacutefinit par
eଵ = xଵ minus xଵ (45)
ሶଵ= ሶଵݔ minus ሶଵݔ (46)
On utilisant lrsquoeacutequation (42) le systegraveme drsquoeacutequation (46) srsquoeacutecrit
e1 = ଵ(ݔଵ) + gଵ (ଵݔ) ଶݔ minus ሶଵݔ (47)
Pour un tel systegraveme il agrave eacuteteacute montreacute que la fonction candidate constitue un bon choix de la
fonction de Lyapunov
ଵ( ଵ) =ଵ
ଶ ଵଶ (48)
Sa deacuteriveacutee est donneacutee par
Vଵ(eଵ) = eଵ eଵ = eଵ [ ଵ(ݔଵ) + gଵ(ݔଵ) ଶݔ minus [ሶଵݔ (49)
Un choix judicieux xଶ rendrait Vଵ(eଵ) neacutegative et assurerait la stabiliteacute de lrsquoorigine du sous
systegraveme deacutecrit par lrsquoeacutequation (42)
Prenons comme valeur de ଶݔ la fonction aଵ telle que
ଵ(ݔଵ) + gଵ(ݔଵ) ଵ minus =ሶଵݔ minus kଵeଵ (410)
Ougrave kଵ gt 0 est un paramegravetre de design
xଶ= aଵ=ଵ
భ(୶భ)[minus kଵeଵ + xଵminus fଵ(xଵ)] (411)
et la deacuteriveacutee srsquoeacutecrit
ଵ( ଵ) = minus ଵ ଵଶ le 0 (412)
Drsquoougrave la stabiliteacute asymptotique de lrsquoorigine de lrsquoeacutequation (45)
Deuxiegraveme eacutetape
On considegravere le sous-systegraveme drsquoeacutequation (43) et lrsquoon deacutefinit la nouvelle variable
drsquoerreur
eଶ = xଶ minus aଵ (413)
Chapitre4 COMMANDE ROBUST PAR LA THECHNIQUE DU BACKTEPPING
78
Cette eacutequation repreacutesente lrsquoeacutecart entre la variable drsquoeacutetat xଶ et sa valeur deacutesireacutee aଵ lrsquoerreur
ଶ nrsquoest pas instantaneacutement nulle Le design dans cette eacutetape consiste alors agrave la forcer agrave
srsquoannuler
Les eacutequations du systegraveme agrave commander dans lrsquoespace (eଵ eଶ) srsquoeacutecrivent
ሶଵ = ଵ(ݔଵ) + ଵ ( ଶ + ଵ) minus ሶଵݔ (414)
ሶଶ = ଶ(ݔଶ) + ଶ minusݑ ሶଵ (415)
On agrave choisit comme fonction de Lyapunov
ଶ( ଵ ଶ) = ଵ( ଵ) +ଵ
ଶ ଶଶ (416)
Sa deacuteriveacutee
2( ଵ ଶ) =ଵ + ଶ ሶଶ= ଵ ሶଵ + ଶ ሶଶ (417)
2( ଵ ଶ) = ଵ [ ଵ(ݔଵ) + ଵ ( ଶ+ ଵ) [ሶଵݔ + ଶ [ ଶ(ݔଶ) + ଶ minusݑ ሶଵ] (418)
2( ଵ ଶ) = ଵ [ ଵ(ݔଵ) + ଵ ଶ+ ଵ ଵ minus ሶଵݔ ] + ଶ [ ଶ(ݔଶ) + ଶ minusݑ ሶଵ] (419)
2( ଵ ଶ) = minus ଵ ଵଶ + ଶ [ ଶ(ݔଶ) + ଶ ݑ + ଵ ଵminus ሶଵ] (420)
Pour garantir la stabiliteacute il faut que lrsquoeacutequation suivante soit eacutegale agrave minus kଶeଶ avec kଶ gt0
ଶ(ݔଶ) + ଶ ݑ + ଵ ଵminus ሶଵ= minus ଶ ଶ (421)
La commande est
ݑ =ଵ
మ[minus ଶ ଶ+ ሶଵ minus ଵ ଵ minus ଶ(ݔଶ)] (422)
Avec le choix de ଶ on agrave
2( ଵ ଶ) = minus ଵ ଵଶ minus ଶ ଶ
ଶ (423)
On a garantie la stabiliteacute asymptotique du systegraveme
44 Stabilisation du drone X4 par la meacutethode du backstepping
Nous proposons drsquoappliquer la technique de backstepping pour le controcircle drsquoun drone
de type X4 dont la dynamique du modegravele a eacuteteacute deacutetermineacutee dans le chapitre 2
La strateacutegie de controcircle adopteacute est reacutesumeacutee en deux sous-systegravemes le premier est lieacute au
controcircle de la translation et le deuxiegraveme est lieacute au controcircle de la rotation comme il est
exposeacute sous le scheacutema synoptique suivant [83]
Chapitre4 COMMANDE ROBUST PAR LA THECHNIQUE DU BACKTEPPING
79
Figure 41 Scheacutema bloc de commande du drone par backstepping
Le systegraveme 243 peut ecirctre reacuteeacutecrit dans lrsquoespace drsquoeacutetat sous la forme = ()
Avec U vecteur drsquoentreacute et X vecteur drsquoeacutetat
Tel que
X = hellipଵݔ] hellip [ଵଶݔ T = [ ݖ ݔሶݖ ݕሶݔ ሶݕ θ θ empty empty ψ ψ ] T isin real12
X = f (X U) =
⎝
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎛
ଶݔଵ
emptyݏ ଷݑߠݏ minus
ସݔ
minusଵ
ଷݑ௫ݑݔ
ଵ
௬ݑ ଷݑݔସݑଵݔହݑଵଶݔݑ ⎠
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎞
(424)
441 Commande du systegraveme de translation lineacuteaire
4411 Controcircle de lrsquoaltitude
On commande le mouvement selon lrsquoaxe z en utilisant la technique du backstepping le
modegravele en y est donneacute par
ߠ
X4-FlyerModelReacutefeacuterence
BacksteppingControcircle
BacksteppingControcircle
ݖݕݔ
ଷݑ
ହݑସݑ ݑ௬ݑ௫ݑ
ݖݕݔ
Chapitre4 COMMANDE ROBUST PAR LA THECHNIQUE DU BACKTEPPING
80
=ሷݖ emptyݏ ଷݑߠݏ minus (425)
La commande par backstepping du vol vertical est deacuteveloppeacutee ci-dessous
Premiegravere eacutetape
Initialement nous consideacuterons lrsquoobjectif de poursuite de lrsquoaltitude z vers sa trajectoire
deacutesireacutee On deacutefinit pour cela une erreur de poursuite
e௭ଵ = ݖ minus ݖ (426)Sa deacuteriveacutee srsquoeacutecrit
ሶ௭ଵ = ሶݖ minus ሶݖ (427)
Le but eacutetant donc de faire tendre cette erreur vers zeacutero Pour ce faire on considegravere une
fonction de Lyapunov quadratique en eଵ
V (e௭ଵ) =ଵ
ଶe௭ଵଶ (428)
La deacuteriveacutee de la fonction de Lyapunov srsquoeacutecrit
( ௭ଵ) = ௭ଵ ሶ௭ଵ= ௭ଵ ሶݖ) minus (ሶݖ (429)
La convergence de e௭ଵ vers zeacutero est obtenue en assurant que V(e௭ଵ) est neacutegative Etant
donneacute que lrsquoentreacutee de commande nrsquoapparait pas encore dans lrsquoexpression de V(e௭ଵ) on
deacutefinit une entreacutee fictive ayant pour forme
ଶݔ = ሶݖ + k௭ଵe௭ଵ (430)
Ougrave ௭ଵ est une constante positive
Cette commande assure
( ௭ଵ)= minus ௭ଵ ௭ଵଶ le0 (431)
Deuxiegraveme eacutetape
La deuxiegraveme eacutetape consiste agrave redeacutefinir une autre erreur agrave compenser
e௭ଶ= minus ሶݖ ሶrefݖ minus k௭ଵe௭ଵ (432)
Sa deacuteriveacutee srsquoeacutecrit comme suit
e௭ଶ= minus ሷݖ ሷrefݖ minus k௭ଵe௭ଵ (433)
Chapitre4 COMMANDE ROBUST PAR LA THECHNIQUE DU BACKTEPPING
81
Afin drsquoeacuteliminer cette erreur la fonction candidate de Lyapunov V( ௭ଵ) preacuteceacutedente de
lrsquoeacutequation (428) est augmenteacutee drsquoun autre terme qui va prendre en charge la nouvelle
erreur qui a eacuteteacute introduite preacuteceacutedemment
V ( ௭ଵ ௭ଶ) =ଵ
ଶ( ௭ଵଶ
+ ௭ଶଶ ) (434)
Ainsi que sa deacuteriveacutee
( ௭ଵ ௭ଶ) = ௭ଵ ሶ௭ଵ+ ௭ଶ ሶ௭ଶ (435)
( ௭ଵ ௭ଶ) = ௭ଵ (minus ௭ଵ ௭ଵ minus ௭ଶ) + ௭ଶ minus ሷݖ) ሷݖ minus ௭ଵ ሶ௭ଵ) (436)
( ௭ଵ ௭ଶ) =minus ௭ଵ ௭ଶ minus ௭ଵ ௭ଵଶ + ௭ଶ minus ሷݖ) ሷݖ minus ௭ଵ(minus ௭ଵ ௭ଵ minus ௭ଶ)) (437)
( ௭ଵ ௭ଶ) = minus ௭ଵ ௭ଵଶ + ௭ଶ [
ଵ
minusݑߠݏܥemptyݏܥ minus ሷݖ minus ௭ଵ(minus ௭ଵ ௭ଵ minus ௭ଶ)minus ௭ଵ)]
(438)
La proceacutedure de la meacutethode du backstepping srsquoarrecircte jusqursquoagrave lrsquoapparition de la commandeu3
Afin de satisfaire la condition de Lyaponov (V(eଵ eଶ) le 0 ) on pose
௦empty௦ఏ
minus ₃ݑ minus minusሷݖ k௭ଵ(minus k௭ଵe௭ଵ minus e௭ଶ)minus e௭ଵ) = minus k௭ଶe௭ଶ (439)
Ce qui nous donne la loi de commande suivant lrsquoaxe z
= ₃ݑ
௦empty௦ఏሷݖ) + + (1 minus ௭ଵ
ଶ ) ଵ minus ( ௭ଵ + ௭ଶ) ௭ଶ) (440)
Ougrave k௭ଶ est une constante positive
De telle sorte ( ௭ଵ ௭ଶ) = minus ௭ଵ ௭ଵ
ଶ minus ௭ଶ ௭ଶଶ le 0 (441)
Ce qui nous assure la stabiliteacute du mouvement suivant lrsquoaxe z
44 12 Controcircle de deacuteplacement lineacuteaire suivant les axes et y
A partir du modegravele du drone le systegraveme dynamique des mouvements horizontales est deacutefini
par
൜ =ሷݔ ଷݑ௫ݑminus=ሷݕ ଷݑ௬ݑ
(442)
Avec ex1 et ey1 sont les erreurs de positions sont deacutefinis par
ቄ௫ଵ = ݔ minus ݔ
௬ଵ = ݕ minus ݕ (443)
Chapitre4 COMMANDE ROBUST PAR LA THECHNIQUE DU BACKTEPPING
82
Les erreurs des vitesses lineacuteaires des positions x et y sont deacutefinies par
൜௫ଶ = minusሶݔ ሶݔ minus ௫ଵ ௫ଵ
௬ଶ = minusሶݕ ሶݕ minus ௬ଵ ௬ଵ
(444)
Les mecircmes eacutetapes sont utiliseacutees pour deacuteterminer les commandes de positions ௫ݑ et ௬ݑ qui
sont donneacutees par
௫ݑ =
௨యሷݔ) + (1 minus ௫ଵ
ଶ ) ௫ଵ minus ( ௫ଵ + ௫ଶ) ௫ଶ) (445)
௬ݑ =
௨యሷݕ) + ൫1 minus ௬ଵ
ଶ ൯ ௬ଵ minus ( ௬ଵ + ௬ଶ) ௬ଶ) (446)
Avec ( ௫ଵ ௫ଶ ௬ଵ ௬ଶ)gt0
442 Commande par backstepping du systegraveme de rotation
4421 Commande de lrsquoangle de roulis
Dans cette section on veut eacutetablir une commande par backstepping qui assure lrsquoorientation
du drone par lrsquoangle empty (roulis)
Premiegravere eacutetape
Premiegraverement on doit avoir une sortie qui suit une trajectoire deacutesireacutee emptyref en introduisant
lrsquoerreur de la position angulaire (lrsquoangle de roulis)
eemptyଵ= emptyref minus empty (447)Sa deacuteriveacutee srsquoeacutecrit
eemptyଵ= empty minus empty (448)
Ougrave les deux eacutequations (447) (448) sont associeacutees agrave la fonction de Lyapunov suivante
V (eemptyଵ) =ଵ
ଶeempty1
2 (449)
La deacuteriveacutee de la fonction de Lyapunov srsquoeacutecrit
V(eemptyଵ) = eemptyଵ eemptyଵ= eemptyଵ (emptyref (ଵݔminus (450)
Lrsquoeacutetat ଵݔ est ensuite utiliseacute comme commande intermeacutediaire afin de garantir la stabiliteacute
de lrsquoeacutequation (447) On deacutefinit pour cela une commande virtuelle
ଵݔ = emptyref + emptyଵ emptyଵ avec emptyଵ gt0 (451)
ሶଵݔ = emptyref + emptyଵ ሶemptyଵ (452)
Agrave partir des eacutequations (450) et (451) on obtient
( emptyଵ) = minus emptyଵ emptyଵଶ (453)
Chapitre4 COMMANDE ROBUST PAR LA THECHNIQUE DU BACKTEPPING
83
Deuxiegraveme eacutetape
Agrave cette eacutetape une nouvelle erreur engendreacutee
eemptyଶ= empty minus empty minus kemptyଵeemptyଵ (454)
Sa deacuteriveacutee srsquoeacutecrit comme suit
eemptyଶ = empty minus emptyrefminus kemptyଵ eemptyଵ (455)
Afin drsquoeacuteliminer cette erreur la fonction candidate de Lyapunov (eemptyଵ) preacuteceacutedente de
lrsquoeacutequation (449) est augmenteacutee drsquoun autre terme qui va prendre en charge la nouvelle
erreur qui a eacuteteacute introduite preacuteceacutedemment
V (eemptyଵeemptyଶ) =ଵ
ଶ(eemptyଵଶ + eemptyଶ
ଶ ) (456)
Ainsi que sa deacuteriveacutee
V(eemptyଵ eemptyଶ) = eemptyଵ (minuskemptyଵ eemptyଵ minus eemptyଶ) + eemptyଶ (empty minus emptyref ndash kemptyଵ eemptyଵ) (457)
V(eemptyଵ eemptyଶ) = minus eemptyଵ eemptyଶ minus kemptyଵ eemptyଵଶ + eemptyଶ (empty minus emptyref minuskemptyଵ (minuskemptyଵe୴ଵ minus eemptyଶ)) (458)
V(eemptyଵ eemptyଶ) = minus kemptyଵ eemptyଵଶ + eemptyଶ ହݑ] minus emptyref minus kemptyଵ (minuskemptyଵeemptyଵ minus eemptyଶ) minuseemptyଵ] (459)
Afin de satisfaire la condition de Lyapunov (V(eemptyଵ eemptyଶ) le 0 ) on pose
ହݑ minus emptyref minus kemptyଵ (minuskemptyଵeemptyଵ minus eemptyଶ) minuseemptyଵ= minuskemptyଶ eemptyଶ (460)
Drsquoougrave lrsquoexpression de la commande du roulis est donneacutee par
ହݑ = emptyref + emptyଵ (1 minus emptyଵଶ ) minus emptyଶ ( emptyଵ + emptyଶ) (461)
Avec kemptyଵ kemptyଶ sont des constantes positives de design lesquelles deacuteterminent la
dynamique de la boucle fermeacutee
4421 Commande des angles de tangage et de lacet
Nous suivons les mecircmes eacutetapes deacutecrites preacuteceacutedemment pour deacuteterminer les commande de
tangage et de lacet ce qui nous donne [84 85]
ସݑ = +ߠ ఏଵ൫1 minus ఏଵଶ ൯minus ఏଶ( ఏଵ + ఏଶ) (462)
ݑ = + టଵ൫1 minus టଵଶ ൯minus టଶ( టଵ + టଶ ) (463)
Avec ( ఏଵ ఏଶ టଵ టଶ) gt0
Chapitre4 COMMANDE ROBUST PAR LA THECHNIQUE DU BACKTEPPING
84
45 Reacutesultats de simulations
Les performances sont eacutevalueacutees par le biais drsquoune simulation numeacuterique dans les mecircmes
conditions de fonctionnement preacutesenteacutes dans le chapitre preacuteceacutedent
Les paramegravetres des coefficients du polynocircme de Hurwitz du controcircleur sont choisis par
௭ଵ =8 ௭ଶ = 5 ௫ଵ = 5 ௫ଶ = 5 ௬ଵ = 4 ௬ଶ = 2 kemptyଵ = 55 kemptyଶ = 2 ఏଵ = 75
ఏଶ = 10 టଵ = 2 టଶ = 4
Figure 42 La trajectoire de reacutefeacuterence et reacuteelle en cas des connexions cercles
0
10
20
30
-5
0
5
100
5
10
15
20
25
30
Deacuteplacement suivant (x)Deacuteplacement suivant (y)
Deacutepla
cem
entsuiv
ant(z
)
Trajectoire reacuteelle
Trajectoire reacutefeacuterence
Chapitre4 COMMANDE ROBUST PAR LA THECHNIQUE DU BACKTEPPING
85
Figure 43 Les commandes u3 u4 u5 des connexions cercle
Figure 44 Les erreurs de deacuteplacement en cas des connections cercle
0 10 20 30 40 50 60 70 80 9010
20
30
u3(N
)
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90-5
0
5
u4(N
m)
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90-5
0
5
u5(N
m)
temps (s)
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90-004
-002
0
002
004
z-e
rreur(m
)
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90-002
0
002
x-e
rreur(m
)
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90-002
0
002
y-e
rreur(m
)
temps (s)
Chapitre4 COMMANDE ROBUST PAR LA THECHNIQUE DU BACKTEPPING
86
Figure 45 Les angles de tangage et de roulis en cas des connections cercle
Figure 46 Les forces en cas des connections cercle
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90
-05
0
05angle
theta
(rad)
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90
-05
0
05
angle
phi(rad)
temp (s)
0 10 20 30 40 50 60 70 80 900
5
F1
(N)
0 10 20 30 40 50 60 70 80 900
5
F2
(N)
0 10 20 30 40 50 60 70 80 900
5
F3
(N)
0 10 20 30 40 50 60 70 80 900
5
F4
(N)
temps (s)
Chapitre4 COMMANDE ROBUST PAR LA THECHNIQUE DU BACKTEPPING
87
La figure (43) qui repreacutesente les signaux de commandes u3 u4 et u5 deacutemontrent que la
condition de lrsquoeacutetat drsquoeacutequilibre et toujours veacuterifieacutee apregraves avoir effectueacute une manœuvre (u3 =
mg et u4 = u5 =0)
La figure (44) montre que lrsquoerreur suivant les trois directions converge vers zeacutero Cela
prouve que la trajectoire parcourue par le drone suit la trajectoire souhaiteacutee (figure (42))
avec des erreurs de tregraves faibles valeurs
Dans la figure (45) on voit que les angles de tangage ߠ et de roulis empty se manifestent lors
dun mouvement effectueacute respectivement suivant laxe de mouvement x et y en tendant vers
la valeur zeacutero drsquoeacutequilibre apregraves avoir effectuer le mouvement drsquoavancement
Pour que le drone retrouve sa stabiliteacute autour de la trajectoire de reacutefeacuterence nous constatons
que les commandes u4 et u5 produisent des forces corrigeant respectivement les erreurs du
suivi des angles ߠ et empty agrave leurs trajectoires de reacutefeacuterence nulles figure (43)
Dans la figure (46) nous remarquons que les quatre commandes ne deacutepassent pas les
limites physiques des rotors du drone et la somme de ces forces satisfirent la condition
drsquoeacutequilibre
451 Etude de robustesse
Dans cette partie nous testons numeacuteriquement la robustesse de commande retrouveacutee pour
assurer le suivi de trajectoire face agrave des perturbations dynamiques dues agrave linfluence du
vent suivant les diffeacuterents axes du mouvement
En geacuteneacuteral en mouvement aeacuterien le vent geacutenegravere une force de reacutesistance ou de traicircneacutee
sopposant au mouvement Dans le cas du drone le travail de cette force entraine une
consommation suppleacutementaire deacutenergie au niveau des actionneurs qui affaiblit ses
capaciteacutes en vol Les valeurs des forces reacutesistances sont (Ax = Ay = Az = 65 N)
Chapitre4 COMMANDE ROBUST PAR LA THECHNIQUE DU BACKTEPPING
88
Figure 47 La trajectoire de reacutefeacuterence et reacuteelle en preacutesence de perturbation
Figure 48 Les commandes en preacutesence de perturbation
05
1015
2025
30
-4-2
02
46
80
5
10
15
20
25
30
Deacuteplacement suivant (x)Deacuteplacement suivant (y)
Deacutepla
cem
ent
suiv
ant
(z)
Trajectoire reacuteelle
Trajectoire reacutefeacuterence
0 10 20 30 40 50 60 70 80 900
20
40
u3(N
)
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90-20
-10
0
10
u4(N
m)
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90-10
0
10
20
u5(N
m)
temps (s)
Chapitre4 COMMANDE ROBUST PAR LA THECHNIQUE DU BACKTEPPING
89
Figure 49 Les erreurs en preacutesence de perturbations
Figure 410 Les angles de tangage et de roulis en preacutesence de perturbation
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90
0
02
04z-e
rreur
(m)
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90
0
02
04
x-e
rreurr
(m)
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90
0
02
04
y-e
rreur
(m)
temps (s)
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90
-05
0
05
1
angle
theta
(rad)
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90
-1
-05
0
05
1
angle
phi(r
ad)
temps (s)
Chapitre4 COMMANDE ROBUST PAR LA THECHNIQUE DU BACKTEPPING
90
En preacutesence de force de reacutesistance nous remarquons que la robustesse de la commande
nrsquoest pas veacuterifieacutee En effet avec une telle force de reacutesistance le drone suit sa trajectoire de
reacutefeacuterence avec des erreurs comme le montrent les figures preacuteceacutedentes Ces erreurs peuvent
ecirctre importantes avec lrsquoaugmentation de la force de traineacutee
Il est clair que la structure du controcircleur geacuteneacutereacute par la version classique du backstepping
est composeacutee drsquoune action proportionnelle agrave laquelle est ajouteacutee action deacuteriveacutee sur les
erreurs Une telle structure rend le systegraveme sensible aux bruits et aux perturbations
externes des erreurs statiques non nulles persistent cet inconveacutenient srsquoexplique par
lrsquoabsence de la correction de ces perturbations afin drsquoeacuteliminer ces erreurs deux meacutethodes
sont proposeacutees la premiegravere consiste agrave doter les reacutegulateurs obtenus drsquoune action inteacutegrale
Lrsquoideacutee principale de la meacutethode se reacutesume agrave introduire drsquoune maniegravere virtuelle un
inteacutegrateur cette introduction neacutecessite une modification de la proceacutedure de design La
deuxiegraveme meacutethode consiste agrave estimer la perturbation externe (force de traineacutee) agrave lrsquoaide
drsquoun controcircleur adaptatif
46 Backstepping avec action inteacutegrale
Lrsquoabsence drsquointeacutegrateur dans la loi de commande entraicircne une erreur statique constante
non nulle La solution de ce problegraveme est la conception drsquoune nouvelle version du
backstepping doteacutee drsquoune action inteacutegrale (figure 411) Ceci revient agrave introduire des
inteacutegrateurs dans le modegravele du X4 et proceacuteder agrave lrsquoapplication de la meacutethode
conventionnelle de backstepping sur ce nouveau modegravele Lrsquoaction inteacutegrale sera transfeacutereacutee
automatiquement agrave la loi de commande [86]
Figure 411 Le scheacutema bloc du backstepping avec action inteacutegrale
Action inteacutegraleBackstepping
Inteacutegrale Backstepping
Commande robuste appliqueacute au Modegravele du X4
Systegraveme de translation et de rotation
Chapitre4 COMMANDE ROBUST PAR LA THECHNIQUE DU BACKTEPPING
91
461 Commande de lrsquoaltitude
Le modegravele est eacutecrit sous la forme chaineacutee drsquoapregraves lrsquoeacutequation (424)
ሶଵݔ = 2ݔ
ሶଶݔ = =ሷݖଵ
Cߠ Sempty ndashଷݑ (464)
Premiegravere eacutetape
La premiegravere variable drsquoerreur se deacutefinit par
௭ଵ= ݖ minus z (465)
On deacuterivant (465) par rapport au temps on obtient
ሶ௭ଵ=ݖሶ minus =ሶݖ ሶݖ minus ଶݔ (466)
Pour srsquooccuper mieux drsquoincertitudes et de perturbation nous allons ajouter une action
inteacutegrale sur lrsquoerreur de poursuite drsquoaltitude agrave la fonction stabilisante
Si on considegravere que ଶݔ notre commande virtuelle nous proceacutedons agrave eacutetablir une fonction
stabilisante comme suit
ଶݔ = +ሶݖ ௭ଵ ௭ଵ + ଵߣ ଵ (467)
Avec ௭ଵߣଵ sont des constants positifs et ଵ = int e௭ଵ( ) est lrsquointeacutegrale de lrsquoerreur de
poursuite drsquoaltitude
Deuxiegraveme eacutetape
Il nest pas possible dagir directement sur lrsquoeacutetat ଶݔ il est donc peu probable que cet eacutetat
suit exactement cette trajectoire cest pourquoi un autre terme derreur est introduit
eଶ = ଶݔ minus ሶݖ (468)
La deacuteriveacutee de lrsquoeacutequation (468) donne
ሶ௭ଶ ሶଶݔ= minus =ݖ ሷrefݖ + k௭ଵeଵ+ ଵߣ ሶଵ minus ݖ (469)
ሶ௭ଶ = k௭ଵ ሶrefݖ) minus (ሶݖ + ଵe௭ଵߣ minus ݖ ሷݖ+ (470)
Par lrsquoutilisation drsquoeacutequations (467) et (468) nous reacuteeacutecrivons la dynamique drsquoerreur de
poursuite drsquoaltitude comme suit
eଵ= minus ௭ଵ ௭ଵ minus ଵߣ ଵ + e௭ଶ (471)
Par le remplacement de ݖ dans lrsquoeacutequation (470) par son expression correspondante la
commande u3 apparaisse dans lrsquoeacutequation (472)
ሶ௭ଶ= ௭ଵ (minus ௭ଵ ௭ଵ minus ଵߣ ଵ + ௭ଶ) ଵߣ+ ௭ଵ + ሷrefݖ minusଵ
( (ߠ)ݏ ଷݑ()ݏ + ) (472)
Chapitre4 COMMANDE ROBUST PAR LA THECHNIQUE DU BACKTEPPING
92
La dynamique deacutesireacutee de lrsquoerreur de poursuite de vitesse est donneacutee par
e௭ଶ = minus ௭ଶe௭ଶ minus e௭ଵ (473)
La commande finale de ଷݑ est la suivante
ଷݑ =
௦(ఏ)௦(థ )(+ e௭ଵ (1minusk௭ଵ
ଶ (ଵߣ+ + e௭ଶ (k௭ଵ+ k௭ଶ) ሷref minus k௭ଵݖ+ ଵߣ ଵ) (474)
Analyse de la stabiliteacute
Afin de prouver la stabiliteacute la fonction de Lyapunov (e௭ଵ e௭ଶ) est choisie comme suite
( ௭ଵ ௭ଶ) =ଵ
ଶ ௭ଵ
ଶ + ௭ଶଶ + ଵߣ ଵ
ଶ ൧ (475)
En effectuant la deacuteriveacutee de cette fonction et en substituant lrsquoeacutequation (471) et (473) la
relation suivante est trouveacutee
( ௭ଵ ௭ଶ) = minus ௭ଵ ௭ଵଶ minus ௭ଶ ௭ଶ
ଶ le 0 (476)
De cette faccedilon la fonction V(eଵ eଶ) respecterait en tous points les critegraveres de
Lyapunov La loi de commande deacuteduite fait en sorte que ( ௭ଵ ௭ଶ) est toujours positif et
que ( ௭ଵ ௭ଶ) soit toujours neacutegatif peu importe les valeurs que peuvent prendre les
eacutetats
Nous suivant les mecircmes eacutetapes deacutecrites preacuteceacutedemment pour deacuteterminer les commandes du
drone X4 ce qui nous donne [87]
⎩⎪⎪⎪⎨
⎪⎪⎪⎧
௫ݑ =
௨యሷݔ) + (1 minus ௫ଵ
ଶ + (ଶߣ ௫ଵ minus ( ௫ଵ + ௫ଶ) ௫ଶ minus ௫ଵ ଶߣ ଶ)
௬ݑ =
௨యሷݕ) + ൫1 minus ௬ଵ
ଶ + ଷ൯ߣ ௬ଵ minus ( ௬ଵ + ௬ଶ) ௬ଶ minus ௬ଵ ଷߣ ଷ)
ସݑ = +ߠ ఏଵ൫1 ndash ఏଵଶ + minusସ൯ߣ ఏଶ ( ఏଵ + ఏଶ) ndash ఏଵ ସߣ ସ
ହݑ = ݎempty + emptyଵ (1 minus emptyଵଶ + (ହߣ minus emptyଶ ( emptyଵ + emptyଶ) minus emptyଵ ହߣ ହ
ݑ = + టଵ൫1 minus టଵଶ + minus൯ߣ టଶ( టଵ + టଶ) minus టଵ ߣ
(477)
Avec (ߣହߣସߣଷߣଶߣ) sont des constants positifs et ( ଶ ଷ ସ ହ ) sont les inteacutegrales
des erreurs de poursuite de position tangage roulis et lacet respectivement
Chapitre4 COMMANDE ROBUST PAR LA THECHNIQUE DU BACKTEPPING
93
462 Reacutesultats de simulations
Nous preacutesentons dans cette partie les reacutesultats du controcircle Inteacutegrale Backstepping pour la
commande du drone X4 En conservant les mecircmes coefficients de gain utiliseacutes
preacuteceacutedemment
Avec ଵߣ = 5 ଶߣ = 5 ଷߣ = 4 ସߣ = 2 ହߣ = 5 ߣ = 2
Suivi de trajectoire sans perturbations
Les figures 412 413 414 415 et 416 repreacutesentent respectivement la reacutealisation en 3D
la commande lrsquoerreur les angles et les forces pour la trajectoire de connexions de type
demi-cercle Nous remarquons qursquoagrave lrsquoeacutequilibre la commande u3 est toujours veacuterifieacutee (u3
est approximativement eacutegal agrave mg) Ces figures montrent que la tacircche est reacutealiseacutee drsquoune
maniegravere tregraves satisfaisante en respectant les contraintes imposeacutee
Figure 412 La trajectoire de reacutefeacuterence et reacuteelle
0
5
10
15
0
5
10
150
5
10
15
Deacuteplacement suivant (x)Deacuteplacement suivant (y)
Deacutepla
cem
ent
suiv
ant
(z) Trajectoire reacuteel
Trajecoire reacutefeacuterence
Chapitre4 COMMANDE ROBUST PAR LA THECHNIQUE DU BACKTEPPING
94
Figure 413 Les commandes sans preacutesence de perturbation
Figure 414 Les erreurs sans preacutesence de perturbations
0 5 10 15 20 25 30 35 40
10
20
30u3(N
)
0 5 10 15 20 25 30 35 40-40
-20
0
20
u4(N
m)
0 5 10 15 20 25 30 35 40-40
-20
0
20
40
60
u5(N
m)
temps (s)
0 5 10 15 20 25 30 35 40
-2
0
2x 10
-3
z-e
rreur
(m)
0 5 10 15 20 25 30 35 40-4-20246
x 10-3
x-e
rreur
(m)
0 5 10 15 20 25 30 35 40-2
0
2x 10
-3
y-e
rreur
(m)
temps (s)
Chapitre4 COMMANDE ROBUST PAR LA THECHNIQUE DU BACKTEPPING
95
Figure 415 Les angles de tangage et de roulis sans preacutesence de perturbation
Figure 416 Les forces sans preacutesence de perturbation
0 5 10 15 20 25 30 35 40
-05
0
05
1angle
theta
(rad)
0 5 10 15 20 25 30 35 40-1
-05
0
05
1
angle
phi(r
ad)
temps (s)
0 5 10 15 20 25 30 35 400
5
10
F1
(N)
0 5 10 15 20 25 30 35 400
5
10
F2
(N)
0 5 10 15 20 25 30 35 400
5
10
F3
(N)
0 5 10 15 20 25 30 35 400
5
10
F4
(N)
temps (s)
Chapitre4 COMMANDE ROBUST PAR LA THECHNIQUE DU BACKTEPPING
96
Suivi de trajectoire avec perturbations
Dans cette partie nous testons numeacuteriquement la robustesse de commande retrouveacutee pour
assurer le suivi de trajectoire face agrave des perturbations dynamiques dues agrave linfluence du
vent suivant les diffeacuterents axes de mouvement
Figure 417 La trajectoire de reacutefeacuterence et reacuteelle en preacutesence de perturbation
Figure 418 Les erreurs en preacutesence de perturbations
05
1015
2025
30
-5
0
5
100
10
20
30
Deacuteplacement suivant (x)Deacuteplacement suivant (y)
Deacutepla
cem
ent
suiv
ant
(z)
Trajectoire reacuteelle
Trajectoire reacutefeacuterence
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90
0
02
04
z-e
rreur
(m)
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90
0
02
04
x-e
rreurr
(m)
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90
0
02
04
y-e
rreur
(m)
temps (s)
Chapitre4 COMMANDE ROBUST PAR LA THECHNIQUE DU BACKTEPPING
97
Figure 419 Les commandes en preacutesence de perturbations
Figure 420 Les angles de tangage et de roulis en preacutesence de perturbation
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90
-05
0
05
1
angle
theta
(rad)
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90
-1
-05
0
05
1
angle
phi(r
ad)
temps (s)
0 10 20 30 40 50 60 70 80 900
20
40
u3(N
)
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90-20
-10
0
10
u4(N
m)
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90-10
0
10
20
u5(N
m)
temps (s)
Chapitre4 COMMANDE ROBUST PAR LA THECHNIQUE DU BACKTEPPING
98
Figure 421 Les forces en preacutesence de perturbation
Figure 422 La trajectoire de reacutefeacuterence et reacuteelle en preacutesence de perturbation
-3-2
-10
12
3
-3-2
-10
12
30
10
20
30
40
50
Deacuteplacement suivant (x)Deacuteplacement suivant (y)
Deacutepla
cem
ent
suiv
ant
(z)
Trajectoire reacuteelle
Trajectoire reacutefeacuterence
0 10 20 30 40 50 60 70 80 900
5
10
F1
(N)
0 10 20 30 40 50 60 70 80 900
5
10
F2
(N)
0 10 20 30 40 50 60 70 80 900
5
10
F3
(N)
0 10 20 30 40 50 60 70 80 900
5
10
F4
(N)
temps (s)
Chapitre4 COMMANDE ROBUST PAR LA THECHNIQUE DU BACKTEPPING
99
Figure 423 La trajectoire de reacutefeacuterence et reacuteelle en preacutesence de perturbation
Figure 424 Comparaison entre le controcircleur bakstepping et Inteacutegral Backsteppingpour des connexions demi cercle en preacutesence de perturbation
-2-15
-1-05
005
115
-3-2
-10
120
1
2
3
4
5
6
x-displacementy-displacement
z-d
ispla
cem
ent
Trajectoire reacuteelle
Trajectoire reacutefeacuterence
05
1015
2025
30
-5
0
5
100
10
20
30
Deacuteplacement suivant (x)Deacuteplacement suivant (y)
Deacutepla
cem
ent
suiv
ant
(z)
Trajectoire reacuteelle IB
Trajectoire reacutefeacuterence
Trajectoire reacuteelle B
Chapitre4 COMMANDE ROBUST PAR LA THECHNIQUE DU BACKTEPPING
100
Dans les figures (417- 424) nous remarquons que la robustesse de la commande est
veacuterifieacutee numeacuteriquement En effet avec telles forces de reacutesistance la commande produit
des valeurs assez raisonnables assurant le suivi du drone agrave sa trajectoire de reacutefeacuterence avec
des erreurs ne deacutepassant pas 20 cm pour les variables x z et y Pour assurer les virages les
angles de tangage et de roulis varient au cours du suivi de trajectoire
47 Backstepping adaptative
La commande adaptative est une solution ougrave les paramegravetres sont inconnus ougrave
eacutevoluant dans le temps Dans ce cas ces paramegravetres sont estimeacutes par des lois drsquoadaptations
ces derniegraveres nous permettent drsquoapprocher les valeurs reacuteelles du systegraveme rendant ainsi la
commande dynamique deacutependante de lrsquoeacutevolution des paramegravetres [10 46 47 59]
Dans cette partie on va preacutesenter la deuxiegraveme proposition pour eacuteliminer lrsquoerreur statique
due agrave la preacutesence drsquoune perturbation Le scheacutema bloc simplifieacute de la commande du
backstepping adaptative appliqueacute au vol vertical est repreacutesenteacute par la figure (425)
Figure 425 Le scheacutema bloc du backstepping adaptative
471 Commande de lrsquoaltitude
La loi de commande geacuteneacutereacutee en utilisant la technique du backstepping avec estimateur
deacutebutera par la deacutefinition de la premiegravere valeur drsquoerreur de position [28]
Premiegravere eacutetape
e௭ଵ= ݖ minus z (478)
Ainsi que sa vitesse lineacuteaire est donneacutee par
e௭ଵ= ሶݖ minus ሶݖ (479)
On choisira la fonction de Lyapunov
V (e௭ଵ) =ଵ
ଶeଵଶ (480)
Perturbation
Backstepping adaptative(Commande de lrsquoaltitude)
Model du X4Reacutefeacuterence zzref
ଷݑ
-
+
Chapitre4 COMMANDE ROBUST PAR LA THECHNIQUE DU BACKTEPPING
101
Sa deacuteriveacutee
V(e௭ଵ) = e௭ଵe௭ଵ= e௭ଵ ሶݖ) minus (ሶݖ (481)
Soit xଶ le controcircleur virtuel sa loi de commande est deacutefinie par
xଶ = ሶݖ + k௭ଵe௭ଵ (482)
Deuxiegraveme eacutetape
En introduisant la nouvelle valeur drsquoerreur noteacutee e௭ଶ qui est eacutegale agrave la diffeacuterence entre la
vraie valeur de la vitesse ሶetݖ la commande virtuelle xଶ alors
e௭ଶ = ሶݖ + k௭ଵe௭ଵminus ሶݖ (483)
e௭ଵ = minus k௭ଵe௭ଵ + e௭ଶ (484)
A cette eacutetape la fonction de Lyapunov va ecirctre diffeacuterente de la preacuteceacutedente et ceci est due agrave
lrsquointroduction drsquoune force inconnue ௭ܣ (force de traineacutee) Lrsquoajout drsquoun estimateur est
neacutecessaire pour estimer ௭ܣ la fonction de Lyapunov est augmenteacutee
V (e௭ଵ e௭ଶ (ଵߛ =1
2eଵଶ +
ଵ
ଶeଶଶ +
1
భߛ2௭෪ܣ
ଶ (485)
Lrsquoajout de ce nouveau terme permet drsquoannuler lrsquoerreur due agrave lrsquoestimation de la force ௭ܣ
ߛଵ
est un paramegravetre de design qui doit toujours ecirctre positif
Ougrave ௭෪ܣ repreacutesente lrsquoerreur entre ௭ܣ et ௭ܣ (force estimeacutee)
௭෪ܣ = ௭ܣ minus ௭ܣ (486)
A lrsquoaide de ce choix on obtient
V൫e௭ଵ e௭ଶ ߛଵ൯= e௭ଵe௭ଵ + e௭ଶe௭ଶ+
ଵ
ఊ1
௭෪ܣ ௭ܣ (487)
Pour que le systegraveme soit stable il faut que sa deacuteriveacutee soit toujours neacutegative
V൫e௭ଵ e௭ଶ ߛଵ൯= e௭ଵ(minus k௭ଵe௭ଵ + e௭ଶ)+ e௭ଶ (k௭ଵ(minusk௭ଵe௭ଵ + eଶ) minus +ሷݖ (ሷݖ +
1
భߛ௭෪ܣ ௭ܣ
(488)
= minus k௭ଵeଵଶ + eଶ ሷ+(1ݖ) minus kଵ
ଶ )e௭ଵ + k௭ଵeଶ minusߠݏ 3ݑemptyݏ
+ g +
ෝݖܣ
)
+1
భߛ௭෪ܣ ௭ܣ) minus
భߛ
eଶ ) (489)
La dynamique qui va ecirctre attribueacutee agrave ௭ܣ est baseacutee sur le fait qursquoelle doit annuler le terme
inconnu ௭ܣ
௭ܣ =ఊ1
e2ݖ (490)
Chapitre4 COMMANDE ROBUST PAR LA THECHNIQUE DU BACKTEPPING
102
Pour garantir la stabiliteacute de Lyapunov
ሷ+(1ݖ minus kଵଶ )e௭ଵ + k௭ଵeଶ minus
ߠݏ 3ݑ emptyݏ
+ g +
= minusk௭ଶeଶ (491)
La loi de commande qui stabilise le vol vertical est
ଷݑ =
ߠݏ emptyݏ+ሷݖ) g + e௭ଵ(1minusk௭ଵ
ଶ ) + eଶ(k௭ଵ + k௭ଶ) minusෝݖܣ
) (492)
La force ௭ܣ apparaicirct dans la commande ଷݑ et lrsquoeffet de celle-ci va se montrer dans les
reacutesultats de simulation
Nous suivons les mecircmes eacutetapes deacutecrites preacuteceacutedemment pour deacuteterminer les commandes du
drone X4 ce qui nous donne
⎩⎪⎪⎪⎨
⎪⎪⎪⎧ ௫ݑ =
௨యሷݔ) + (1 minus ௫ଵ
ଶ ) ௫ଵ minus ( ௫ଵ + ௫ଶ) ௫ଶ) minus
௬ݑ =
௨యሷݕ) + ൫1 minus ௬ଵ
ଶ ൯ ௬ଵ minus ( ௬ଵ + ௬ଶ) ௬ଶ) minus
ସݑ = +ߠ ఏଵ൫1 minus ఏଵଶ ൯minus ఏଶ ( ఏଵ + ఏଶ)
ହݑ = ݎempty + emptyଵ (1 minus emptyଵଶ ) minus emptyଶ ( emptyଵ + emptyଶ)
u = ψ
+eψଵ൫1 minus kψଵଶ ൯minus eψଶ(kψଵ + kψଶ )
(493)
ܣ ܣ sont les forces de reacutesistances estimeacutees suivants les axes x y respectivement
Leurs deacuteriveacutees sont deacutefinie par ܣ =ఊ2
e2ݔ ܣ =
ఊ3
e2ݕ
Avec ଶߛ et ଷߛ sont des constants positifs
472 Reacutesultats de simulations
Nous nous inteacuteressons dans cette partie aux tests de la robustesse du controcircleur
backstepping adaptative Nous reprenons les mecircmes tests effectueacutes par le controcircleur
Backstepping Nous traitons dans cette partie lrsquoexemple de la reacutealisation des connections
demi-cercles pour les mouvements z x y en preacutesence de perturbation
Avec les gains ଵ=10ߛ ଶ=20ߛ et ଷ=30ߛ
Chapitre4 COMMANDE ROBUST PAR LA THECHNIQUE DU BACKTEPPING
103
Figure 426 La trajectoire de reacutefeacuterence et reacuteelle en preacutesence de perturbation
Figure 427 Les commandes en preacutesence de perturbation
0 5 10 15 20 25 30 35 40 450
20
40
u3
(N)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45-40
-20
0
20
u4
(Nm
)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
-200
2040
u5
(Nm
)
temps (s)
02
46
810
1214
0
5
10
15
200
5
10
15
Deacuteplacement suivant (x)Deacuteplacement suivant (y)
Deacutepla
cem
ent
suiv
ant
(z)
Trajectoire reacuteelle
Trajectoire reacutefeacuterence
Chapitre4 COMMANDE ROBUST PAR LA THECHNIQUE DU BACKTEPPING
104
Figure 428 Les erreurs en preacutesence de perturbation
Figure 429 Les forces en preacutesence de perturbation
0 5 10 15 20 25 30 35 40 450
5
10
F1
(N)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 450
5
10
F2
(N)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 450
5
10
F3
(N)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 450
5
10
F4
(N)
temps (s)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45-01
0
01
02z-e
rreur
(m)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45-01
0
01
02
x-e
rreurr
(m)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45-01
0
01
02
y-e
rreur
(m)
temps (s)
Chapitre4 COMMANDE ROBUST PAR LA THECHNIQUE DU BACKTEPPING
105
Figure 430 Estimation des forces de traineacutee suivant les deacuteplacements zxy
La simulation agrave eacuteteacute faite sur le mecircme proceacutedeacute les figures (426-429) montrent
clairement que la loi de commande adaptative proposeacutees est stable malgreacute la preacutesence de
terme de perturbation lrsquoerreur statique est annuleacute et le suivi de la trajectoire est assureacute
nous pouvons voir aussi que la perturbation additionneacutee ne cause pas de problegraveme vis-agrave-vis
de la performance de la loi de commande cette derniegravere stabilise asymptotiquement les
principales erreurs du systegraveme En outre la figure (430) montre que ෩(erreur)ܣ converge
vers zeacutero ou encore ௫௬௭ܣ (estimeacutee) converge vers sa vraie valeur ௫௬௭ܣ (inconnue)
4 8 Commande Hybride
Depuis quelques anneacutees beaucoup de recherches ont eacuteteacute effectueacutees dans le domaine
de la commande des systegravemes non lineacuteaires Le mode glissant-backstepping fait partie de
ces nouvelles meacutethodes de controcircle celui-ci au mecircme algorithme que le backstepping mis
agrave part le deuxiegraveme sous systegraveme on remplace lrsquoerreur par la surface de glissement et la
commande comprend deux termes ݑ) = ݑ + (ݑ Un terme continu appeleacutee commande
eacutequivalente et un terme discontinu appeleacutee commande de commutation Le but de cette
proceacutedure est de garantir une stabiliteacute avant lrsquointroduction du mode glissant
0 5 10 15 20 25 30 35 40 450
5
10A
z-F
orc
e(N
))
0 5 10 15 20 25 30 35 40 450
5
10
Ax-F
orc
e(N
)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 450
5
10
Ay-F
orc
e(N
)
temps (s)
force estimeacutee
force reacuteelle
force estimeacutee
force reacuteelle
force estimeacutee
force reacuteelle
Chapitre4 COMMANDE ROBUST PAR LA THECHNIQUE DU BACKTEPPING
106
481 Application du mode glissant-Backstepping pour le drone X4
Dans cette partie on a utiliseacute le backstepping approche comme un algorithme
reacutecursif pour controcircler le drone X4 nous simplifions toutes les eacutetapes de calcul agrave propos
des erreurs et les fonctions de Lyapunov dans le chemin suivant
= ቐ
minusݔ ݔ isin [1 3 5 7 9 11]
minusݔ ሶ(ݔ ଵ) minus ( ଵ)
isin 2 4 6 8 1012
(494)
Avec gt 0 isin 112
ଵ
ଶ ଶ isin 1357911
et = (495)
( ଵ) +ଵ
ଶ ଶ isin 24681012
Nous allons appliquer cette meacutethode pour commander la dynamique de lrsquoaltitude z du
drone X4 les autres lois de commandes seront deacuteduites par les mecircmes proceacutedures et seront
donneacutee directement La premiegravere eacutetape dans ce controcircleur est similaire agrave celui de la
commande par backstepping agrave action inteacutegrale
Drsquoougrave la surface de glissement S est utiliseacute agrave la place de eଶ deacutefinis par
௭ = ௭ଶ = minusሶݖ ሶݖ minus ௭ଵ ௭ଵ minus ଵߣ ଵ (496)
Le choix de la de commande pour une surface de glissement attractive se pose sur la
deacuteriveacutee de lrsquoeacutequation (496) doit satisfaire la condition ൫SS lt 0൯
௭ = minus ଵݏ )ݐ ௭) minus ଶ ௭
= minusሷݖ ሷݖ minus ௭ଵ ሶ௭ଵ minus ଵߣ ௭ଵ
=ଵ
emptyݏ ଷݑߠݏ minus minus ሷݖ minus ௭ଵ ሶ௭ଵ minus ଵߣ ௭ଵ (497)
La loi de commande qui stabilise le vol vertical est
ଷݑ =
௦empty௦ఏ൫ݖሷ + + ௭ଵ ሶ௭ଵ + ଵߣ ௭ଵ minus ଵݏ )ݐ ௭) minus ଶ ௭൯ (498)
Avec ଵ et ଶ sont des gains positives
Chapitre4 COMMANDE ROBUST PAR LA THECHNIQUE DU BACKTEPPING
107
Analyse de la stabiliteacute
Afin de prouver la stabiliteacute la fonction de Lyapunov (e௭ଵ S௭) est choisie comme suite
(e௭ଵ S௭) =ଵ
ଶe௭ଵଶ + ௭
ଶ + ଵߣ ଵଶ ൧ (499)
Afin de prouver la stabiliteacute asymptotique du systegraveme sur lensemble nous avons besoin
dexprimer (471) comme suit
ሶ௭ଵ = minus ௭ minus ௭ଵ ௭ଵ minus ଵߣ ଵ (4100)
La deacuteriveacutee de lrsquoeacutequation 499 donne
= ଵߣ ௭ଵ ଵ + ௭ଵ ሶ௭ଵ + ௭௭ (4101)
Par lrsquointroduction des eacutequations drsquoerreurs de poursuite en vitesse de ௭ଵ et ௭ donne
= minus ௭ଵ ௭ଵଶ minus ଵ ௭
ଶ minus |ଵݍ ௭| le 0 (4102)
Avec
௭ = minus ଵݏ )ݐ ௭) minus ଶ ௭ + ௭ଵ (103)
La stabiliteacute Asymptotique Global est eacutegalement assureacutee agrave partir de la fonction et le fait
que ( ௭ଵ ௭) lt 0 forall( ௭ଵ ௭) ne 0 and (0) = 0 et en appliquant le theacuteoregraveme de LaSalle
Les mecircmes eacutetapes sont utiliseacutees pour deacuteduire les commandes ux uy u4 u5 et u6 [88]
⎩⎪⎪⎨
⎪⎪⎧ ௫ݑ =
௨యሷݔ) + ௫ଵ ሶ௫ଵ+ߣଶe୶ଵ minus ଷݏ )ݐ ௫) minus ସ ௫)
௬ݑ =
௦ఏ௨య൫ݕሷ + ௬ଵ ሶ௬ଵ + ଷe୷ଵߣ minus ହݏ ൫ݐ ௬൯minus ௬൯
ସݑ = ߠ + ఏଵ ሶఏଵ + ସeఏଵߣ minus ݏ )ݐ ఏ) minus ఏ
ହݑ = empty + emptyଵ ሶemptyଵ + ହeemptyଵߣ minus ଽݏ )ݐ empty) minus ଵ empty
ݑ = + టଵ ሶటଵ + eటଵߣ minus ଵଵݏ ൫ݐ ట൯minus ଵଶ ట
( 4104)
Avec ( ଵ ଶ ଷ ସ ହ ଽ ଵ ଵଵ ଵଶ ) sont des gains positives
Ougrave ௫ ௬ ఏ empty et ట sont les surfaces de glissement deacutefinies par le systegraveme drsquoeacutequation
suivant
Chapitre4 COMMANDE ROBUST PAR LA THECHNIQUE DU BACKTEPPING
108
⎩⎪⎪⎨
⎪⎪⎧
௫ = e୶ଶ = x minus x minus k୶ଵe୶ଵ minus ଶߣ ଶ
௬ = e୷ଶ = y minus y minus k୷ଵe୷ଵ minus ଷߣ ଵ
ఏ = eఏଶ = minusߠ ߠ minus kఏଵeఏଵ minus ସߣ ସ
empty = eemptyଶ = empty minus empty minus kemptyଵeemptyଵ minus ହߣ ହ
ట = eటଶ = minus minus kటଵeటଵ minus ߣ
(4105)
482 Reacutesultats de simulation
Lrsquoobjectif de cette simulation est de montrer la robustesse de la loi de commande
lorsque qursquoune perturbation externe est appliqueacutee
Les paramegravetres de simulation sont
ଵ =10 ଷ = 1 ହ = 10 = 2 ଽ = 10 ଵଵ = 2 ௭ଵ =8 ଶ = 5 ௫ଵ = 5 ସ =
5 ௬ଵ = 4 = 2 kemptyଵ = 55 k = 2 ఏଵ = 75 ଵ = 10 టଵ = 2 ଵଶ = 4
ଵߣ = 5 ଶߣ = 5 ଷߣ = 4 ସߣ = 2 ହߣ = 5 ߣ = 2
Les figures 431 437 et 438 montrent que les deux commandes ont permis le suivi des
trajectoires deacutesireacutees La diffeacuterence entre les deux commandes se voit dans la figure 436 ougrave
les erreurs de suivi sont moins importantes en utilisant la commande robuste backstepping-
mode glissant que la commande inteacutegrale backstepping Les simulations montrent donc
que la commande hybride est plus efficace que la commande Inteacutegrale Backstepping IB
Figure 431 La trajectoire de reacutefeacuterence et reacuteelle en preacutesence de perturbation
0
5
10
15
0
5
10
150
5
10
15
x-displacementy-displacement
z-d
ispla
cem
ent
Trajectoire reacuteelle
Trajectoire reacutefeacuterence
Chapitre4 COMMANDE ROBUST PAR LA THECHNIQUE DU BACKTEPPING
109
Figure 432 Les commandes en preacutesence de perturbation
Figure 433 Les erreurs en preacutesence de perturbation
0 5 10 15 20 25 30 35 40 450
20
40
u3(N
)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45-40
-20
0
20
u4(N
m)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
-200
2040
u5(N
m)
temps (s)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45-01
0
01
02
z-e
rreur
(m)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45-01
0
01
02
x-e
rreurr
(m)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45-01
0
01
02
y-e
rreur
(m)
temps (s)
Chapitre4 COMMANDE ROBUST PAR LA THECHNIQUE DU BACKTEPPING
110
Figure 434 Les angles en preacutesence de perturbation
Figure 435 Les forces en preacutesence de perturbation
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
-05
0
05
1
angle
theta
(rad)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
-1
-05
0
05
1
angle
phi(r
ad)
temps (s)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 4505
10
F1
(N)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 450
5
10
F2
(N)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 450
5
10
F3
(N)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 450
5
10
F4
(N)
temps (s)
Chapitre4 COMMANDE ROBUST PAR LA THECHNIQUE DU BACKTEPPING
111
Figure 436 Les erreurs de suivi en z x et y pour les deux commandes
Figure 437 La trajectoire de reacutefeacuterence et reacuteelle en preacutesence de perturbation
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45-01
0
01
02
z-e
rre
ur
(m)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45-01
0
01
02
x-e
rre
urr
(m)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45-01
0
01
02
y-e
rre
ur
(m)
temps (s)
IB
IBMG
IB
IBMG
IB
IBMG
0
5
10
15
0
5
10
150
5
10
15
x-displacementy-displacement
z-d
ispla
cem
ent
Trajectoire reacuteelle
Trajectoire reacutefeacuterence
Chapitre4 COMMANDE ROBUST PAR LA THECHNIQUE DU BACKTEPPING
112
Figure 438 La trajectoire de reacutefeacuterence et reacuteelle en preacutesence de perturbation
49 Conclusion
Nous avons preacutesenteacute dans ce chapitre une contribution agrave lrsquoapplication de la commande
par backstepping et la commande hybride backstepping mode glissant afin de stabiliser le
drone X4 On a proposeacute un algorithme de commande qui stabilise le drone en utilisant la
technique du backstepping et en se basant sur la meacutethode directe de Lyapunov Cette
technique a eacuteteacute appliqueacutee avec succegraves pour concevoir des algorithmes de commandes qui
assurent la poursuite de ces trajectoires En effet en preacutesence drsquoune perturbation un
comportement peu deacutesirable et observeacute des erreurs statiques persistent Afin drsquoeacuteliminer
cet inconveacutenient on a eacutetudieacute les deux approches la premiegravere consiste agrave introduire drsquoune
maniegravere virtuelle une action inteacutegrale qui permet une nette ameacutelioration des performances
et la deuxiegraveme approche est le backstepping adaptatif lrsquoideacutee consiste agrave estimer la force de
traineacutee comme perturbation et suivant la proceacutedure du backstepping le controcircleur prend
en compte la perturbation et lrsquoeffet de celle-ci est eacutelimineacute Les reacutesultats obtenus ont montreacute
lrsquoefficaciteacute de lrsquoutilisation de ce type de commande et ceci est deacutemontreacute par les bonnes
performances du controcircleur (rejet de perturbation)
Pour renforcer la robustesse face aux perturbations externes des deux commandes une
commande hybride entre le mode glissant et le backstepping inteacutegrale agrave eacuteteacute proposeacutee afin
-2-15
-1-05
005
115
-3
-2
-1
0
1
20
1
2
3
4
5
6
x-displacementy-displacement
z-d
ispla
cem
ent
Trajectoire reacuteelle
Trajectoire reacutefeacuterence
Chapitre4 COMMANDE ROBUST PAR LA THECHNIQUE DU BACKTEPPING
113
drsquoameacuteliorer les performances dynamique et statique Nous avons preacutesenteacute dans cette partie
la synthegravese et la stabiliteacute de la commande hybride que nous avons appliqueacutee pour le drone
X4
Les reacutesultats de simulation ont confirmeacute les bonnes performances du controcircleur utiliseacute qui
assure sous certaines conditions la poursuite de la trajectoire
CONCLUSION GENERALE ET PRESPECTIVE
113
CONCLUSION GENERALE ETPRESPECTIVE
CONCLUSION GENERALE ET PRESPECTIVE
114
CONCLUSION GENERALE ET PRESPECTIVE
Durant ces derniegraveres anneacutees la robotique aeacuterienne a fait de grand progregraves Cet
inteacuterecirct est justifieacute par les avanceacutees technologiques reacutecentes qui rendent possibles la
conception et la construction des mini-drones et par le domaine drsquoapplication civile et
militaire tregraves vaste de ces aeacuteronefs Les drones sont classifieacutes en trois cateacutegories principales
les avions les dirigeables et les heacutelicoptegraveres Le travail reacutealiseacute dans cette thegravese rentre dans
ce cadre de recherche sur la commande de mini-veacutehicules aeacuteriens capables de reacutealiser du
vol stationnaire et en particulier du quadrirotor Notre objectif est de deacutevelopper des
commandes avanceacutees drsquoune part et drsquoautre part de proposer des meacutethodes drsquohybridations
entre ces techniques de commande assurant la stabiliteacute du drone (X4) et leurs poursuites
aux trajectoires planifieacutees
Nous nous sommes tout drsquoabord inteacuteresseacutes agrave attribuer au drone un modegravele
repreacutesentatif qui reflegravete sa dynamique de translation et celle de rotation en neacutegligeant les
forces aeacuterodynamiques et les effets gyroscopiques Ce modegravele a eacuteteacute eacutelaboreacute en utilisant la
meacutethode Newtonienne en se basant sur quelques hypothegraveses simplificatrices adopteacutees en
litteacuterature
Nous avons eacutelaboreacute dans un premier temps la synthegravese drsquoune loi de commande agrave
structure variable tel que le mode glissant Dans ce type de commande lrsquoapproche non
lineacuteaire a eacuteteacute traiteacutee et preacutesente lrsquoavantage de se rapprocher du systegraveme reacuteel sans passer
neacutecessairement par le modegravele lineacuteaire Cette commande a donneacute des reacutesultats inteacuteressants
concernant la poursuite de trajectoires simples telles que le suivi de lignes droites et
complexes (demi-cercle arcs hellip)
En preacutesences des perturbations des erreurs statiques persistent Une structure de
reacuteglage par mode de glissement agrave action inteacutegrale a eacuteteacute aussi preacutesenteacutee afin drsquoobtenir des
meilleurs performances Les reacutesultats de simulation nous montrent la robustesse et la
performance de ce type de reacutegulateur Cependant le signal de commande obtenu par ce
reacutegulateur preacutesente des variations brusques dues au pheacutenomegravene de broutements
(chatterring)
Afin de reacuteduire les effets du pheacutenomegravene de broutement et drsquoameacuteliorer davantage
les performances de stabilisation du X4 une hybridation entre la logique floue et le mode
de glissement agrave action inteacutegrale a eacuteteacute proposeacutee
CONCLUSION GENERALE ET PRESPECTIVE
115
Une autre commande non lineacuteaire a eacuteteacute proposeacutee agrave savoir un reacutegulateur de type
backstepping Ce reacutegulateur est baseacute sur une reacutecente meacutethodologie faisant appel agrave la
fonction de Layapunov La synthegravese a conduit agrave un controcircleur non lineacuteaire globalement
asymptotiquement stable Cette technique a eacuteteacute appliqueacutee avec succegraves pour concevoir des
algorithmes de commandes qui assurent le deacuteplacement du drone drsquoune position initiale
vers une position drsquoeacutequilibre deacutesireacutee Le reacutegulateur backstepping dont la conception est de
type PD preacutesente lrsquoinconveacutenient de la persistance de lrsquoerreur statique en preacutesence de
perturbation Pour y remeacutedier deux solutions ont eacuteteacute proposeacutees agrave savoir lrsquoajout drsquoune
action inteacutegrale au controcircleur virtuel (la commande inteacutegrale backstepping) et la deuxiegraveme
revient agrave estimer la perturbation (la commande backstepping adaptatif) cette approche a la
flexibiliteacute de speacutecifier les structures finales deacutesirables pour les lois des paramegravetres estimeacutes
Une approche drsquohybridation entre le backstepping inteacutegrale et le mode glissant a eacuteteacute
preacutesenteacutee pour augmenter davantage les performances de controcircleur
Les reacutesultats obtenus agrave ce propos sont assez motivant pour lancer une concreacutetisation
pratique de ces commandes
Outre les perspectives de travail mentionneacutees dans les conclusions des diffeacuterentes
parties de ce document une extension des travaux effectueacutes dans le cadre de cette thegravese
peut ecirctre reacutealiseacutee en consideacuterant les points suivants
Les approches proposeacutees ont eacuteteacute adapteacutees pour lrsquoacuteelaboration de lois de guidage-pilotage
en utilisant un niveau de modeacutelisation de la dynamique drsquoun drone miniature `agrave voilure
tournante baseacute sur une repreacutesentation de type meacutecanique du solide Une extension de ces
travaux peut consister en lrsquoapplication des meacutethodes proposeacutees agrave des modegraveles plus
deacutetailleacutes repreacutesentatifs drsquoune configuration de veacutehicule donneacutee et prenant en compte une
repreacutesentation de son aeacuterodynamique
Enfin une analyse de la robustesse des approches proposeacutees peut ecirctre eacutetudieacutee en
poursuite agrave cette thegravese afin de garantir dans quelle mesure les proprieacuteteacutes de stabiliteacute
eacutetablies sont conserveacutees en preacutesence drsquoerreurs de modegraveles en preacutesence de perturbations
impreacutevisibles telles que les rafales de vent En effet comme perspective ces conditions
reacuteelles peuvent ecirctre consideacutereacutees dans lrsquoeacutelaboration de la commande dans le but
drsquoaugmenter le domaine de fonctionnement du quadrirotor (agrave lrsquointeacuterieur ou bien agrave
lrsquoexteacuterieur) Dans le mecircme esprit nous nrsquoavons pas consideacutereacute le problegraveme des retards de
mesure ou de communication entre le drone et la base de controcircle Il nous semble
envisageable de consideacuterer ce problegraveme en se basant sur les reacutesultats obtenus pour la
CONCLUSION GENERALE ET PRESPECTIVE
116
stabilisation par commande agrave structure variable de systegravemes avec retard et la stabilisation
avec la commande hybride
Le choix des paramegravetres de reacuteglage de la commande non-lineacuteaire proposeacutee pour la
stabilisation du quadrirotor nrsquoest pas optimiseacute en lrsquoeacutetat actuel Il est par conseacutequent tout agrave
fait envisageable drsquooptimiser ces choix dans le but drsquoameacuteliorer le comportement global du
systegraveme de renforcer la stabiliteacute ou encore drsquoameacuteliorer la robustesse de la commande
ANNEXE
113
ANNEXES
ANNEXE
117
ANNEXE A
A1 Theacuteorie de lyapunov
Le concept du controcircle par Backstepping est baseacute sur la theacuteorie de Lyapunov Lebut est de construire de proche en proche une loi de commande ramenant le systegraveme versdes eacutetats deacutesireacutes En drsquoautres termes on souhaite faire de lrsquoeacutetat deacutesireacute un eacutetat drsquoeacutequilibrestable en boucle fermeacuteeDans cette section nous deacutefinissons la notion de la stabiliteacute au sens de Lyapunov et nouspassons en revue les principaux outils utilisables pour prouver la stabiliteacute drsquoun systegraveme nonlineacuteaire Cette section est inspireacutee essentiellement des travaux de Khalil auquel nous nousreferons pour les preuves des theacuteoregravemes de stabiliteacute [89]On considegravere le systegraveme non lineacuteaire drsquoeacutecrit par lrsquoeacutequation diffeacuterentielle suivante
=ሶݔ (ݐݔ) A1Ougrave f est une fonction deacutefinie de ℝtimesℝା rarr ℝ x isin Rn est le vecteur drsquoeacutetat du systegravemeUn eacutetat xe du systegraveme est un point drsquoeacutequilibre stable srsquoil satisfait
(ݔ) = 0 A2Les proprieacuteteacutes de stabiliteacute de ce point drsquoeacutequilibre sont caracteacuteriseacutees par la deacutefinition ci-dessous
Deacutefinition A1 (Stabliteacute au sens de Lyapunov)Un point drsquoeacutequilibre x = x du systegraveme (A1) est ndash un eacutetat drsquoeacutequilibre stable si et seulement si pour tout ε gt 0 il existe δ(ε) gt 0 tel que
(0)ݔ minus ݔ lt ε ⟹ (ݐ)ݔ minus ݔ lt ߝ leݐ forall 0ndash un eacutetat drsquoeacutequilibre asymptotiquement stable srsquoil est stable et srsquoil existe ߜ gt 0 tel que
(0)ݔ minus ݔ lt ⟹ߜ lim௧⟶ஶ
(ݐ)ݔ = ݔ
ndash un eacutetat drsquoeacutequilibre globalement asymptotiquement stable (GAS) si pour tout eacutetat initialx0 x(0) isin ℝ il est stable et
lim௧rarrஶ
(ݐ)ݔ = (0)ݔ forall ݔ
On introduit maintenant quelques concepts usuels de fonctions de LyapunovDeacutefinition A2ndash Une fonction scalaire V (x) est deacutefinie positive dans une boule de Rn de rayon K si 1) V (x) gt 0 forall x ne 0 et x isin ℝ୬ x lt K2) V (x) = 0 pour x = 0ndash La fonction scalaire V (x) est deacutefinie neacutegative dans une boule de ℝ୬ de rayon K si 1) V (x) lt 0 forall x ne 0 et x isin ℝ୬ x lt K2) V (x) = 0 pour x = 0ndash La fonction scalaire (ݔ) est semi-deacutefinie positive si (ݔ) ge 0
Theacuteoregraveme A3 Consideacuterons le systegraveme deacutecrit par lrsquoeacutequation (A1) avec (0) = 0 Soit (ݔ) une fonction scalaire deacutefinie positive non borneacutee continue et diffeacuterentiable Si
V(x) = Vx f(x) lt 0 x ne 0 (A3)
alors x = 0 est un point drsquoeacutequilibre globalement asymptotiquement stable
ANNEXE
118
La fonction deacutefinie positive (ݔ) satisfaisant (ݔ) le 0 est appeleacutee fonction de Lyapunovdu systegraveme
Theacuteoregraveme A4 (LaSalle-Yoshizawa) [90]
Soit =ݔ 0 un point drsquoeacutequilibre de (A1) et on suppose que f est localement Lipschitz en xSoitV ℝ rarr ℝା une fonction continue et diffeacuterentiable deacutefinie positive radialement nonborneacutee telle que
=ௗ
ௗ௫(ݔ) (ݐݔ) le minus (ݔ) le 0 leݐ forall 0 niݔ ℝ (A4)
ougrave (ݔ) est une fonction continue alors toutes les solutions de (A1) sont globalementuniformeacutement borneacutees et satisfont
lim௧rarrஶ
( ((ݐ)ݔ) = 0 (A5)
de plus si (ݔ) est deacutefinie positive alors le point drsquoeacutequilibre ݔ = 0 est globalementuniformeacutement asymptotiquement stable
A2 Commande par la meacutethode de Lyapunov
Nous allons donner dans cette section une meacutethode de synthegravese drsquoune loi de commandebaseacutee sur la theorie de Lyapunov On considegravere le systegraveme non lineacuteaire drsquoeacutecrit par
=ሶݔ f(x u) (A6)Ougrave x est lrsquoeacutetat du systegraveme et ݑ est lrsquoentreacutee de commandeLrsquoobjectif du controcircle est de ramener le vecteur drsquoeacutetat agrave lrsquoorigine et que lrsquoorigine devienneun point drsquoeacutequilibre asymptotiquement stable Lrsquoentreacutee de commande est choisie de laforme
ݑ = (ݔ)ߙ (A7)La dynamique du systegraveme en boucle fermeacutee devient
=ሶݔ ((ݔ)ߙݔ) (A8)
Pour montrer que le systegraveme est GAS nous devons construire une fonction de Lyapnuov
(ݔ) satisfaisant les conditions du theacuteoregraveme (A3) Lapproche la plus simple pour trouver
(ݔ)ߙ est de seacutelectionner une fonction deacutefinie positive (ݔ) radialement non borneacutee et
puis choisir (ݔ)ߙ tel que
= (ݔ)ݔ ((ݔ)ߙݔ) lt 0 x ne 0 (A9)On doit faire un choix adeacutequat de pour veacuterifier (A9) Ce qui nous amegravene agrave donner ladeacutefinition suivante
Deacutefinition A5 (Fonction de Lyapunov candidate) Une fonction (ݔ) scalaire lissedeacutefinie positive et radialement non borneacutee est appeleacutee fonction de Lyapunov candidatepour le systegraveme (A6) si
inf௨ݔ (ݑݔ) lt 0 x ne 0 (A10)
Etant donneacutee une (fonction de Lyapunov candidate (CLF)) pour le systegraveme (A8) on peuttrouver une loi de controcircle stabilisant globalement le systegraveme En effet lrsquoexistence de
ANNEXE
119
cette loi est eacutequivalent de (CLF) Cela veut dire que pour toute loi de controcircle stabilisanteon peut trouver une (CLF) correspondante et vis-versa Cela est veacuterifie dans le theacuteoregraveme[91] Pour illustrer cette approche on considegravere le systegraveme suivant
=ሶݔ (ݔ) + ݑ(ݔ) (A11)Ce systegraveme est affine en la commande On suppose que la (CLF) du systegraveme est connueSontag a proposeacute dans [92] un choix particulier de loi de controcircle donneacutee par
ݑ = (ݔ)ߙ = minusାradicమାమ
(A12)
Ougrave= (ݔ)ݔ (ݔ)= (ݔ)(ݔ)ݔ
Cette loi de commande nous donne
= )(ݔ)ݔ (ݔ) + (ݑ(ݔ) = + ൬minusାradicమାమ
൰= minusradic ଶ + ଶ (A13)
Elle rend donc lrsquoorigine (GAS) Lrsquoeacutequation (A12) est connue sous le nom de la formule deSontag Freeman et Primbs [93] ont propose une approche ou la commande u est choisiepour minimiser Lrsquoeffort du controcircle neacutecessaire pour satisfaire
le minus (ݔ) (A14)
A3 Eacuteleacutements theacuteoriques des modes glissantsOn introduit des eacuteleacutements theacuteoriques neacutecessaires agrave la compreacutehension de la
commande par modes glissants Plus particuliegraverement nous rappelons les conditionsdrsquoexistence du mode glissant
Figure A1 ndash Comportement en dehors de la surface de glissement
A31 Existence du mode glissementA311 Deacutefinitions
Nous consideacuterons le systegraveme non lineacuteaire drsquoeacutecrit par
=ሶݔ (ݐݑݔ) (A15)Ougrave ndash x est lrsquoeacutetat du systegraveme eacutevoluant dans une varieacuteteacute diffeacuterentiable caracteacuterisant le domainephysique de fonctionnement du systegraveme
S = 0
ANNEXE
120
ndash f le champ de vecteurs complet dans ℝ
ndash u la commande ou lrsquoentreacutee du systegraveme appartient a Ω inclut dans ℝ veacuterifiant
(ݐݔ)ݑ = ൜(ݐݔ)ାݑ ݏ (ݐݔ) ≺ 0
(ݐݔ)ݑ ݏ (ݐݔ) ≻ 0
Cette commande discontinue est appeleacutee Commande a Structure Variable(CSV) ou biencommande par modes glissantsLa fonction S(x t) est appeleacutee surface de glissement elle partage lrsquoespace en deux partiesdistinctes Un systegraveme est deacutefini comme eacutetant un systegraveme a structure variable commutantentre deux structures si par on deacutefinit deux champs de vecteurs ା (x u t) (x u t) detel sorte que le systegraveme (A15) puisse ecirctre eacutecrit sous la forme ci-dessous
=ሶݔ (ݐݑݔ) = (ݐݔ) = ൜ା(ݐݔ) ݏ (ݐݔ) ≺ 0
(ݐݔ) ݏ (ݐݔ) ≻ 0
Pour eacutevoquer lrsquoexistence du mode de glissement il faut que la surface de commutation(ݐݔ) soit attractive des deux cotes Lrsquointerpreacutetation geacuteomeacutetrique eacutequivaut agrave dire que les
deux vecteurs vitesses + et minus doivent ecirctres dirigeacutes vers la surface de commutationCette notion drsquoattractiviteacute peut ecirctre locale ou globale (figure (A1))
A32 Conditions drsquoexistence du mode glissantLe theacuteoregraveme ci-dessous donne les conditions drsquoexistence du mode glissant
Theacuteoregraveme A6 Un domaine Dg de dimension (n-1) est dit un domaine de glissement si etseulement si dans un domaine Ω contenant Dg il existe une fonction de Lyapunov ( (ݐݔ gt 0 continucircment diffeacuterentiable par rapport agrave tous ses arguments et satisfaisantles conditions suivantes
i) ( (ݐݔ gt 0 est deacutefinie positive par rapport a S
൜( (ݐݔ ≻ 0 (ݐݔ0) = 0
ݏ ne 0
ii) Sur la sphegravere = ρ forall x isin Ω forall t gt 0 les relations suivantes sont veacuterifieacutees ii minus a) inf
ௌୀV ( (ݐݔ = ℎ ℎ gt 0
ii minus b) supௌୀ
V ( (ݐݔ = ܪ ܪ gt 0
Avec ℎ et ܪ deacutependant de S et ℎ ne 0 si ρ ne 0
iii) La deacuteriveacutee totale de ( (ݐݔ le long des trajectoires du systegraveme a unmaximum neacutegatif pour tout x de agrave lrsquoexclusion de la surface de commutationpour laquelle la commande u nrsquoest pas deacutefinie et la deacuteriveacutee de ( (ݐݔnrsquoexiste pas
iv) Il est possible de choisir une fonction de Lyapunov baseacutee sur la physique dusystegraveme (cas des robots manipulateurs par exemple) mais il nrsquoexiste aucune
ANNEXE
121
meacutethode geacuteneacuterale qui permette de trouver une fonction de Lyapunov Pourcertaines classes de systegravemes une approche possible consiste agrave choisir lesformes suivantes
⎩⎪⎨
⎪⎧ ݔ) (ݐ =
ଶ
2
ݔ) (ݐ =ସ
4 ݔ) (ݐ = | |
Pour illustrer le reacutesultat fourni par le theacuteoregraveme preacuteceacutedent nous optons pour une
fonction de Lyapunov de type quadratique ݔ) (ݐ =ௌమ
ଶ Pour que la surface soit
attractive sur tout le domaine il suffit queௗ
ௗ௧ ݔݐ) ) lt 0 Ceci eacutequivaut agrave
SS˙ lt 0 (A16)
Cette condition(A16) permet drsquoassurer une convergence asymptotique vers lasurface S = 0 Tregraves souvent cette condition est remplaceacutee par
SS˙ le minusη |S| (A17)
Ougrave η est une quantiteacute strictement positive Cette condition assure la convergence vers S =0 en un temps fini tfini
ANNEXE
122
ANNEXE B
La commande mode glissant preacutesente certaine limites par exemple le problegraveme de
chattering en preacutesence de la fonction sgn (voir figure si-dessous)
Figure B1 La commande u3 en cas des connexions droite
Dans cette partie nous testons numeacuteriquement la performance du vecteur de commande
(mode glissant) deacuteveloppeacute preacuteceacutedemment dont les conditions initiales sont choisis
diffeacuterentes de zeacutero
Figure B2 La trajectoire de reacutefeacuterence et reacuteelle en cas drsquoun cocircne
0 1 2 3 4 5 6 7 80
5
10
15
20
25
30
35
40
U3(N
)
Temps (s)
-2-15
-1-05
005
115
-3
-2
-1
0
1
20
1
2
3
4
5
6
Deacuteplacement suivant (x)
X 1
Y 1
Z 2984
Deacuteplacement suivant (y)
Deacutepla
cem
ent
suiv
ant
(z)
Trajectoire reacuteelle
Trajectoire reacuteference
ANNEXE
123
Figure B3 Les forces en cas drsquoun cocircne
Figure B4 Les angles en cas drsquoun cocircne
0 5 10 15 20 25 30 35 40 450
5
10
F1
(N)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 450
5
10
F2
(N)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 450
5
10
F3
(N)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 4505
10
F4
(N)
temps (s)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
-05
0
05
1
angle
theta
(rad)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
-1
0
1
angle
phi(r
ad)
temps (s)
ANNEXE
124
Figure B5 La trajectoire de reacutefeacuterence et reacuteelle en cas des demi-cercles
Figure B6 Les forces en cas des demi-cercles
0 5 10 15 20 25 30 35 40 450
5
10
F1
(N)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 450
5
10
F2
(N)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 450
5
10
F3
(N)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 450
5
10
F4
(N)
temps (s)
0
5
10
15
0
5
10
15
200
2
4
6
8
10
12
Deacuteplacement suivant (x)
X 1
Y 1
Z 3
Deacuteplacement suivant (y)
Deacutepla
cem
ent
suiv
ant
(z)
Trajectoire reacuteelle
Trajectoire reacutefeacuterence
ANNEXE
125
Figure B7 Les forces en cas des demi-cercles
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
-05
0
05
1
angle
theta
(rad)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
-1
-05
0
05
1
angle
phi(r
ad)
temps (s)
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Reacutesumeacute
Lrsquointeacuterecirct scientifique de la thegravese est lrsquoeacutetude de stabilisation avec planification de trajectoire pour undrone agrave quatre heacutelices Apregraves la modeacutelisation du systegraveme plusieurs commandes ont eacuteteacute reacutealiseacutees pour lapoursuite de trajectoires simples telles que le suivi de lignes droites et complexes La stabiliteacute descontrocircleurs utiliseacutes a eacuteteacute veacuterifieacutee ainsi que la robustesse en preacutesence des perturbations
Dans la premiegravere partie nous nous somme pencheacutes sur la synthegravese drsquoun controcircleur par mode glissant (SMC)pour la stabilisation du drone X4 Cependant le signal de commande obtenu par cette technique preacutesentedes variations brusques dues au pheacutenomegravene de broutement Afin de reacuteduire les effets de ce pheacutenomegravene etdrsquoameacuteliorer davantage les performances de controcircle du X4 une hybridation entre la logique floue et le modede glissement a eacuteteacute proposeacutee
Par la suite nous avons preacutesenteacute la technique de commande du backstepping pour la stabilisation du droneCe reacutegulateur est baseacutee sur une reacutecente meacutethodologie faisant appel agrave la fonction da lyapunov Le controcircleurbackstepping dont la conception est de type PD preacutesente lrsquoinconveacutenient de la persistance de lrsquoerreur statiqueen preacutesence de perturbation Pour y remeacutedier des solutions ont eacuteteacute proposeacutees agrave savoir la commande InteacutegralBackstepping la commande backstepping adaptatif et une hybridation entre le mode glissant a eacuteteacute proposeacuteeafin drsquoameacuteliorer les performances de reacuteglage
Mot-cleacutes Drone quadrirotor commande par mode glissant commande par backstepping commandehybride stabiliteacute
Abstract
The scientific interest of this thesis work can be mainly seen in the study of the stabilization with
path planning for a four propellers UAV type Starting with dynamical modeling the system several
controllers were designed for the tracking of simple trajectories such as the follow-up of straight lines and
more complex ones The stability of the proposed controllers was checked as well as their robustness in the
presence of various disturbances
In the first part we focused on the synthesis of a sliding mode controller (SMC) for the stabilization of an X4UAV However the control signal obtained from this technique shows sudden undesirable variations due tothe phenomenon of chattering To reduce the effects of this phenomenon and to further improve the controlperformance applied to the X4 hybrid technique between fuzzy logic and sliding mode has been proposed
Subsequently we introduced the backstepping control technique to stabilize the drone This controllerdesign relies on a recent methodology using the Lyapunov function The backstepping controllerrsquos structurewhich is of PD type has the disadvantage of the persistence of the static error in the presence of disturbancesTo overcome this drawback some solutions have been proposed namely Integral Backstepping control theadaptive backstepping technique and its hybridization with the sliding mode control has been applied toimprove the control performances
Keywords quadrocopter drone sliding mode control backstepping control hybrid control stability and
robustness
الملخص
بدونودواراتبأربعودفعـھارفعـھایتمعمودیـة التيطائـرة في التحـكموالنمـذجةدراسـةإلىتطرقـناھذا في عمـلنا
تخراجـاسإلى تستندواحدةللتحكم خطیتینغیرتقنـیتین على اعتمدناقدوالنموذجلاستخراجقانون نیوتنطیاراستعملنا في التحكمإظھار
تحقـیقھوھذامنوالھدفباكیستیبنإجراءاتإلىالأخرىوالإنزلاق لات حا نوعمنحصینالنموذج أثناءطیاربدونطائرةالاستقرارو
الریاحتأثیر حالة ومسار معین رصد حالة في التقنـیات المعتـمدة متانة وفعالیةالتجارب نتائج بینتوقدمسارھارصدواشتغالھا
الباكستیبن تقنیةالانزلاق حالاتنوعمنحصینتحكم دوارات أربعذاتطائرةطائرةالمفتاحیةالكلمات
REMERCIEMENTS
Je tiens agrave remercier Mr A OMARI Professeur agrave lrsquoUniversiteacute des Sciences et de laTechnologie drsquoOran pour son encadrement scientifique et sa participation active dans leprojet Qursquoil trouve ici lrsquoexpression de mon respect et ma profonde reconnaissance
Je tiens agrave exprimer ma gratitude et ma profonde reconnaissance agrave mon co-encadreurK ZEMALACHE MEGUENNI Maicirctre de Confeacuterences agrave lrsquoUniversiteacute des Sciences etde la Technologie drsquoOran pour tout les efforts et les encouragements qursquoil agrave montreacute tout aulong de ce travail
Je tiens agrave exprimer mes remerciements agrave Mr A MOKHTARI Professeur agravelrsquoUniversiteacute des Sciences et de la Technologie drsquoOran avoir accepteacute de participer agrave ce jurydrsquoen assumer la tache de preacutesident
Mes remerciements vont eacutegalement agrave Mr A MANSOURI Professeur agrave lrsquoEcoleNormal Supeacuterieure de lrsquoEnseignements Technologique drsquoOran ENSET drsquoavoir accepterdrsquoexaminer mon travail ainsi de participer agrave mon jury Qursquoil trouve ici lrsquoexpression de monrespect et ma profonde reconnaissance
Mes remerciements vont eacutegalement agrave Mr M CHENAFA Maicirctre de Confeacuterences agravelrsquoEcole Normal Supeacuterieure de lrsquoEnseignements Technologique drsquoOran ENSET avoiraccepteacute de juger ce travail Qursquoil trouve ici lrsquoexpression de mon respect et ma profondereconnaissance
Mes remerciements vont eacutegalement agrave Mr F M KHELFI Professeur agravelrsquoUniversiteacute drsquoOran pour avoir accepteacute de juger ce travail Qursquoil trouve ici lrsquoexpression demon respect et ma profonde reconnaissance
Que tous les membres du Laboratoire et de LDEE trouvent ici ma gratitude pour leur aideleurs conseils ou tout simplement pour leur amitieacute leur gentillesse et leur geacuteneacuterositeacutenotamment Rachid Khadija Rachida
Enfin je remercie tous ceux qui ont contribueacute de pregraves ou de loin agrave lrsquoaboutissementde cette thegravese
SOMMAIRE
i
SOMMAIRE
INTRODUCTION GENERALE 1
1 ETAT DE LrsquoART 411 Introduction 412 Drones agrave voilures tournantes 6
121 Drone Mono-rotor 6122 Drone bi-rotors 7123 Drone tri-rotors 8124 Drone quadri-rotors 9
13 Composentes du quadri-rotors 11131 Les batteries 11132 Les propulseurs 12133 Capteurs 12
14 Systegraveme drsquoaquisition embarqueacutes du X4 1515 Application et prespective 1616 Modes de vol 17
161 Vol vertical (ascendant ou descendant) 18162 vol stationnaire 18163 Vol de translation 18
17 Revues bibliographiques sur les drones quadri-rotors 18171 Commandes en litteacuterature 19
18 Conclusion 21
2 MODELISATION DUN DRONE A QUATRE HELICES 2221 Introduction 2222 Heacutelicoptegravere agrave quatre heacutelices 23
221 Fonctionnement du X4 2323 Modeacutelisation du drone quadri-rotors X4 24
231 Caracteacuteristiques physiques 25232 Repegraveres et matrices de passage 26233 Transformation des vitesses 30234 Forces aeacuterodynamiques 31235 Modegravele dynamique du quadri-rotors 33
2351 La dynamique de translation 342351 La dynamique de rotation 34
24 Etude des forces deacuteveloppeacutees 3625 Conclusion 38
3 COMMANDE PAR MODE GLISSANT ET GLISSANT FLOUX 3931 Introduction 3932 Theacuteorie de la commande par mode de glissement 39
321 Systegraveme agrave structure variable 39322 Conception de la commande par modes glissants 40
3221 Le choix de la surface de glissement S 413222 La condition de convergence et drsquoexistence 423223 Deacutetermination de la commande 43
323 Le pheacutenomegravene de reacuteticence 44
SOMMAIRE
ii
324 Adoucicement de la commande 4533 Stabilisation du drone X4 par la meacutethode mode glissant 45
331 Commande par mode glissant du systegraveme de translation lineacuteaire 463311 Controcircle de lrsquoaltitude 463312 Controcircle de deacuteplacement lineacuteaire suivant les axes ݔ et y 47
332 Commande par mode glissant du systegraveme de rotation 483321 Commande de lrsquoangle de roulis 483322 Commande des angles de tangage et de lacet 49
34 Planification de trajectoire et reacutesultats de simulations 49341 Etude de robustesse 60
35 Commande du drone par mode glissant agrave action inteacutegrale 64351 Reacutesultats de simulations 65
36 Commande du drone par un controcircleur flou-glissant 69361 Reacutesultats de simulations 71
37 Conclusion 74
4 COMMANDE ROBUSTE PAR BACKSTEPPING 7541 Introduction 75
42 Historique et domaines drsquoapplication du backstepping 7543 Conception de la commande par backstepping 76
431 Algorithme de base pour la meacutethode du backstepping 7644 Stabilisation du drone X4 par la meacutethode du backstepping 76
441 Commande du systegraveme de translation lineacuteaire 784411 Controcircle de lrsquoaltitude 794412 Controcircle de deacuteplacement lineacuteaire suivant les axes ݔ et y 81
442 Commande par backstepping du systegraveme de rotation 824421 Commande de lrsquoangle de roulis 824422 Commande des angles de tangage et de lacet 83
45 Reacutesultats de simulations 83451 Etude de robustesse 87
46 Backstepping avec action inteacutegrale 90461 Commande de lrsquoaltitude 90462 Reacutesultats de simulations 93
47 Backstepping adaptative 100471 Commande de lrsquoaltitude 100472 Reacutesultats de simulations 102
48 Commande hybride 105481 Application du mode glissant-Backstepping pour le drone X4 106482 Reacutesultats de simulations 108
49 Conclusion 112
CONCLUSION GENERALE ET PRESPECTIVE 114
ANNEXE A 117
ANNEXE B 122
BIBLIOGRAPHIE 127
LISTE DES TABLEAUX
iii
LISTE DES FIGURES
Figure 11 Premier drone 4Figure 12 (A) Dirigeable (B) Drone agrave ailes battants (C) Drone agrave ailes fixes 6Figure 13 Heacutelicoptegravere thermique 6Figure 14 Heacutelicoptegravere classique 7Figure 15 (A) T-wing (B) Hovereye de Bertin Tech (C) Le Birotan 8Figure 16 (A)Tri-rotor du laborat Heudiasyc (B)Le vectron (C) Heacutelicoptegraver auto-stable 9Figure 17 Heacutelicoptegravere de Bothezat 9Figure 18 Drones agrave quatre heacutelices (A)Quadri-rotor IBSC (B) Quadri-rotor pensylvania 10Figure 19 Batterie pour le X4 11Figure 110 (A) Heacutelice (B) Moteur eacutelectrique 12Figure 111 (A) Capteur agrave ultrasons (B) Cameacutera (C)Systegraveme de positionnement geacuteneacuteral 13Figure 112 Centrale inertielle (B) Carte intelligente 15Figure 113 Description drsquoun systegraveme de drone 16
Figure 21 Quadri-rotors X4 23Figure 22 Sens de rotation des rotors de X4 24Figure 23 les deux repegraveres du drone inertiel et local 26Figure 24 Rotations successives deacutefinissant les pseudos angles drsquoEuler 28Figure 25 Description des forces appliqueacutees agrave la pale 32
Figure 31 Diffeacuterents modes pour la trajectoire dans le plan de phase 40Figure 32 Surface de glissement 42Figure 33 Pheacutenomegravene de chattering 45Figure 34 Fonctions de commutation 45
Figure 35 Geacuteneacuteration de trajectoire avec h = 10m 50Figure 36 une trajectoire de reacutefeacuterence avec arcs 51Figure 37 La trajectoire de reacutefeacuterence et reacuteelle en cas droites 52Figure 38 Les commandes u3 u4 u5 des connexions droites 53Figure 39 Les erreurs pour des connections droites 53Figure 310 Les angles de tangage et de roulis pour des connections droites 54Figure 311 La trajectoire de reacutefeacuterence et reacuteelle en cas drsquoarcs 54Figure 312 Les commandes u3 u4 u5des connexions drsquoarcs 55Figure 313 Les erreurs pour des connexions drsquoarcs 55Figure 314 Les angles de tangage et de roulis en cas drsquoarcs 56Figure 315 La trajectoire de reacutefeacuterence et reacuteelle en cas des demi-cercles 56Figure 316 Les commandes u3 u4 u5 des connexions demi-cercles 57Figure 317 Les erreurs pour des connexions demi-cercles 57Figure 318 Les angles pour des connexions demi-cercles 58Figure 319 La trajectoire de reacutefeacuterence et reacuteelle en cas des demi-cercles 58Figure 320 La trajectoire de reacutefeacuterence et reacuteelle en cas drsquoheacutelicoiumldale 59Figure 321 La trajectoire de reacutefeacuterence et reacuteelle en cas drsquoun cocircne 59Figure 322 La trajectoire de reacutefeacuterence et reacuteelle en cas des demi-cercles 61Figure 323 Les commandes u3 u4 u5 des connexions demi-cercles 62Figure 324 Les erreurs pour des connexions demi-cercles 62Figure 325 Les angles pour des connexions demi-cercles 63Figure 326 Les forces pour des connexions demi-cercles 63Figure 327 La trajectoire de reacutefeacuterence et reacuteelle en cas des demi-cercles 65
LISTE DES TABLEAUX
iv
Figure 328 Les erreurs pour des connexions demi-cercles 66Figure 329 Les commandes pour des connexions demi-cercles 66Figure 330 Les angles pour des connexions demi-cercles 67Figure 331 La trajectoire de reacutefeacuterence et reacuteelle en cas des demi-cercles 67Figure 332 La trajectoire de reacutefeacuterence et reacuteelle en cas des connexions arcs 68Figure 333 La trajectoire de reacutefeacuterence et reacuteelle en cas heacutelicoiumldale 68Figure 334 Controcircleur par mode glissant flou 69Figure 335 Fonction dappartenance de lentreacutee S(t) 70Figure 336 Fonction dappartenance de la sortie un 70Figure 337 La trajectoire de reacutefeacuterence et reacuteelle en cas des demi-cercles 71Figure 338 Les commandes pour des connexions demi-cercles 72Figure 339 les erreurs pour des connexions demi-cercles 72Figure 340 les angles pour des connexions demi-cercles 73Figure 341 Les forces pour des connexions demi-cercles 73
Figure 41 Scheacutema bloc de commande du drone par backsteppingFigure 42 La trajectoire de reacutefeacuterence et reacuteelle en cas des connexions cercles 84Figure 43 Les commandes u3 u4 u5 des connexions cercle Figure 44 Les erreurs de deacuteplacement en cas des connections cercleFigure 45 Les angles de tangage et de roulis en cas des connections cercleFigure 46 Les forces en cas des connections cercleFigure 47 La trajectoire de reacutefeacuterence et reacuteelle en preacutesence de perturbation 88Figure 48 Les commandes en preacutesence de perturbation 88Figure 49 Les erreurs en preacutesence de perturbations 89410 Les angles de tangage et de roulis en preacutesence de perturbation 89Figure 411 Le scheacutema bloc du backstepping avec action inteacutegrale 90Figure 412 La trajectoire de reacutefeacuterence et reacuteelle 93Figure 413 Les commandes sans preacutesence de perturbation 94Figure 414 Les erreurs sans preacutesence de perturbations 94Figure 415 Les angles de tangage et de roulis sans preacutesence de perturbation 95Figure 416 Les forces sans preacutesence de perturbation 95Figure 417 La trajectoire de reacutefeacuterence et reacuteelle en preacutesence de perturbation 96Figure 418 Les erreurs en preacutesence de perturbations 96Figure 419 Les commandes en preacutesence de perturbations 97Figure 420 Les angles de tangage et de roulis en preacutesence de perturbation 97Figure 421 Les forces en preacutesence de perturbation 98Figure 422 La trajectoire de reacutefeacuterence et reacuteelle en preacutesence de perturbation 98Figure 423 La trajectoire de reacutefeacuterence et reacuteelle en preacutesence de perturbation 99Figure 424 Comparaison entre le controcircleur B et IB pour des connexions demi cercle 99Figure 425 Le scheacutema bloc du backstepping adaptative 100Figure 426 La trajectoire de reacutefeacuterence et reacuteelle en preacutesence de perturbation 103Figure 427 Les commandes en preacutesence de perturbation 103Figure 428 Les erreurs en preacutesence de perturbation 104Figure 433 Les erreurs en preacutesence de perturbation 109Figure 434 Les angles en preacutesence de perturbation 110Figure 435 Les forces en preacutesence de perturbation 110Figure 436 Les erreurs de suivi en z x et y pour les deux commandes 111Figure 437 La trajectoire de reacutefeacuterence et reacuteelle en preacutesence de perturbation 111Figure 438 La trajectoire de reacutefeacuterence et reacuteelle en preacutesence de perturbation 112
LISTE DES TABLEAUX
v
LISTE DES TABLEAUX
6
INTRODUCTION GENERALE
0
INTRODUCTION GENERALE
INTRODUCTION GENERALE
1
INTRODUCTION GENERALE
Dans les derniegraveres anneacutees les avances technologiques ont permis la conception et
la construction de mini-avions ou mini-heacutelicoptegravere avec des capaciteacutes toujours plus
deacuteveloppeacutees pour reacutealiser des vols autonome Ces appareils sont connus sous le nom de
drones Crsquoest -agrave-dire les drones sont des engins volants autonomes ou semi-autonomes
capables drsquoeffectuer des missions en vol sans pilotage humain agrave bort Pour cette raison les
drones sont connus aussi par leur appellation anglaise UAV (Unmanned Aerial Vehicle)
Ces appareils sont des veacutehicules complexes et difficiles agrave commander Il faut noter que
contrairement au robot manipulateur la plupart des ces systegravemes sont sous ndashactionneacutes (le
nombre drsquoentreacutees de commande est inferieur au nombre de degreacutes de liberteacute) En effet le
manque drsquoactionneurs pour ces engins induit une grande difficulteacute dans la conception de la
commande Neacuteanmoins lrsquointeacuterecirct de leur eacutetude vient de leur versatiliteacute et de leur
manœuvrabiliteacute leur permettant lrsquoexeacutecution drsquoun grand nombre de taches
Les applications des drones ne cessent drsquoaugmenter tant dans le domaine civil que
militaire Parmi les applications nous pouvons citer par exemple la surveillance de trafic
urbain ou des lignes eacutelectriques agrave haute tension [15] lrsquointervention dans des
environnements hostiles repeacuterage de mines la deacutetection de feux de forets dans les
missions de recherche et de sauvetage Enfin dans toutes les applications aeacuteriennes ougrave
lrsquointervention humaine devient difficile ou dangereuse
La recherche sur les drones est baseacutee principalement sur une eacutetude pluridisciplinaire
touchant le domaine eacutelectronique automatique informatique temps reacuteel aeacuterodynamique
traitement de signal communication Pour cette raison le nombre drsquoindustriels et
drsquouniversiteacutes qui srsquointeacuteressent aux robots aeacuterien ne cesse drsquoaugmenter
La conception de drones est diviseacutee essentiellement en deux parties la partie
algorithmique et la partie mateacuterielle Bien qursquoil existe un certain nombre de difficulteacutes
associeacutees agrave ce travail les chercheurs et les concepteurs se sont impliqueacutes de maniegravere
intense dans ces deux activiteacutes pour faire des contributions dans ce domaine La partie
algorithmique concerne le deacuteveloppement des lois de commande Dans cette branche les
automaticiens sont inteacuteresseacutes de plus en plus agrave lrsquoeacutetude et au deacuteveloppent des lois de
commande tant lineacuteaires que non lineacuteaire pour gouverner la dynamique de ces veacutehicules
La deuxiegraveme partie concerne le deacuteveloppement de la plate-forme expeacuterimentale ou
autopilote qui sera embarqueacutee dans le veacutehicule
INTRODUCTION GENERALE
2
Lrsquoobjectif de la thegravese est de deacutevelopper des strateacutegies de commande non lineacuteaires
pour le controcircle du drone En effet deux meacutethodes sont proposeacutees la commande par mode
glissant et la commande par backstepping
La commande agrave structure variable ou le mode glissant est une technique de
commande non lineacuteaire elle est caracteacuteriseacutee par la discontinuiteacute de la commande par une
surface de commutation Sa dynamique est alors insensible aux perturbations exteacuterieurs et
parameacutetriques tant que les conditions de reacutegime glissant sont assureacutees [45 50] Dans cette
voie nous allons utiliser la commande par mode glissant (Sliding Mode Control ou SMC)
pour la stabilisation drsquoun drone agrave quatre heacutelices Cependant le signal de commande obtenu
par un SMC preacutesente des variations brusques dues au pheacutenomegravene de broutement
(chaterring) ce qui peut exciter les hautes freacutequences et les non lineacuteariteacutes non modeacutelisables
[45 50 48 76] En effectuant une hybridation entre la logique floue et le mode de
glissement nous essayerons de reacuteduire les effets de pheacutenomegravene de broutement et
drsquoameacuteliorer drsquoavantage les performances du controcircleur
La theacuteorie de Lyapunov nous offre des outils tregraves puissants pour lrsquoanalyse de la
stabiliteacute des systegravemes ces mecircmes outils peuvent ecirctre utiliseacutes pour la synthegravese des lois de
commande Crsquoest dans ce contexte que se situe le backstepping cette commande agrave eacuteteacute
introduite au deacutebut des anneacutees 90 par plusieurs chercheurs on citera ente autres P
Kokotovic H Khalil Kanellakopoulos [72 73 74 75] Lrsquoapplication de cette derniegravere se
trouve dans le domaine de lrsquoaeacuteronautique [28] dans les systegravemes complexes tel que la
robotique les reacuteseaux eacutelectriques ainsi que les machines eacutelectriques [77 78 79 80] on
peut deacutefinir cette lois de commande comme eacutetant une proceacutedure reacutecursive qui combine
entre le choix de la fonction de Lyapunov et la synthegravese de la loi de commande [82] Cette
meacutethode transforme le problegraveme de synthegravese de loi de commande pour le systegraveme global agrave
une synthegravese de seacutequence de commande pour des systegravemes reacuteduits En exploitant la
flexibiliteacute de ces derniers le backstepping peut reacutepondre aux problegravemes de reacutegulation de
poursuite et de robustesse avec des conditions moins restrictives que drsquoautres meacutethodes
[82] Lrsquoingeacuteniositeacute de lrsquoideacutee nous a conduit agrave proposeacute lrsquoutilisation de cette loi de
commande non lineacuteaire pour la commande du drone quadri-rotor Une approche de
commande inteacutegral backstepping adaptatif sera preacutesenteacutee
INTRODUCTION GENERALE
3
Ce manuscrit de thegravese est structureacute de la maniegravere suivante en quatre chapitres
Chapitre 1
Dans ce chapitre nous preacutesenterons une classification des drones pour nous placer dans le
contexte de ce domaine de recherche Une eacutetude bibliographique preacutesente certaines
meacutethodes de geacuteneacuteration drsquoalgorithmes de commande pour les drones
Chapitre 2
Dans ce chapitre la modeacutelisation de drone heacutelicoptegravere quadri-rotor est preacutesenteacutee Cette
modeacutelisation est eacutetablie en prenant en consideacuteration les forces aeacuterodynamiques Une
expression deacutetailleacutee du coefficient de Coriolis des termes gyroscopique et centrifuge est
donneacutee
Chapitre 3
Le troisiegraveme chapitre concerne la commande agrave structure variable ougrave lrsquoapproche non
lineacuteaire par mode glissants est traiteacutee On introduit quelques aspects meacutethodologiques
neacutecessaires pour la compreacutehension des systegravemes agrave structures variables Cette technique
sera appliqueacutee pour controcircler la trajectoire du drone en utilisant une stabilisation point par
point Une autre structure de reacuteglage par mode de glissement agrave action inteacutegrale sera aussi
preacutesenteacutee Ensuite une approche drsquohybridation entre le mode glissant et la logique floue
sera proposeacutee
Chapitre 4
Le chapitre quatre quant agrave lui est consacreacute agrave la conception de la deuxiegraveme loi de
commande non lineacuteaire baseacutee sur la technique du backstepping pour la commande des
mouvements selon les axes Z X Y Une approche de commande backstepping adaptative
sera preacutesenteacutee Une hybridation entre la commande par backstepping et par mode glissant
est aussi proposeacutee dans le but drsquoavoir un controcircleur plus performant Une eacutetude de la
robustesse est effectueacutee vis-agrave-vis de la perturbation du vent suivant les diffeacuterentes
directions du mouvement
Ce manuscrit srsquoachegraveve par un ensemble de commentaires et de remarques geacuteneacuterales
sur les reacutesultats obtenus et quelques discussions sur les perspectives agrave mener
Chapitre 1 ETAT DE LrsquoART
3
Chapitre 1
ETAT DE LrsquoART
Chapitre 1 ETAT DE LrsquoART
4
1 ETAT DE LrsquoART
11 Introduction
Le mot drone est dorigine anglaise signifiant bourdon ou bourdonnement Il
est communeacutement employeacute en Franccedilais en reacutefeacuterence au bruit que font certains bourdons en
volant Les drones sont des aeacuteronefs capables de voler et deffectuer une mission sans
preacutesence humaine agrave bord Cette premiegravere caracteacuteristique essentielle justifie leur deacutesignation
de Uninhabited (ou Unmanned Aerial Vehicle UAV)
En fait ce sont les lourdes pertes subies pendant la seconde guerre mondiale par les avions
dobservation de chacun des antagonistes qui suscitegraverent lideacutee dun engin dobservation
militaire sans eacutequipage (ni pilote ni observateur)
Les premiers drones apparurent en 1960 (fig11) tel le R20 de Nord-Aviation denvergure
320 m et de longueur 544m deacuterivant de lengin de cible CT20 Toutefois lideacutee des
drones trottait dans les esprits depuis bien longtemps Un Anglais aurait inventeacute le concept
dans les anneacutees 1890 en inteacutegrant agrave un cerf-volant un appareil photographique [1]
Et au fil des anneacutees les chercheurs nont pas cesseacute dameacuteliorer ces machines au niveaude
Figure 11 Premier drone
Chapitre 1 ETAT DE LrsquoART
5
la taille jusquagrave atteindre la cateacutegorie de drone miniature qui englobe tous les drones dont
lenvergure est infeacuterieure agrave 50 centimegravetres pouvant descendre mecircme agrave quelques
centimegravetres seulement (on parle dans ce cas de drones miniatures)
Le terme miniature ne reflegravete pas un simple changement deacutechelle par rapport aux drones
primaires conventionnels En effet compte tenu de leurs tailles de leurs rapports
masseinertie et de leurs sensibiliteacutes aux vents la dynamique de ces drones miniatures se
trouve ecirctre tregraves diffeacuterente de celle des engins de grande dimension
En fait la vocation principale des drones est lobservation et la surveillance aeacuteriennes
vocation utiliseacutee jusquagrave preacutesent surtout agrave des fins militaires (actuellement 90 pour cent du
marcheacute mondial des drones)
Ainsi tous les drones quils soient autonomes ou non requiegraverent la preacutesence au sol dau
moins un opeacuterateur pour recueillir en temps reacuteel les beacuteneacutefices de la mission celui-ci
reccediloit analyse et enregistre les informations transmises par le drone [2]
Aujourdhui les progregraves reacutealiseacutes agrave la fois dans les performances des drones et leurs
eacutequipements leur confegraverent un tregraves large potentiel dutilisation dans le domaine civil la
lutte contre les risques naturels (volcan feux de forecircts surveillance des zones agrave risque
centrales nucleacuteaires) controcircle du trafic routier lobservation des champs agricoles ou des
troupeaux veacuterification de leacutetat des ouvrages darts (ponts viaducs) [1]
On distingue toutefois deux cateacutegories de drones ceux qui requiegraverent effectivement
lassistance dun pilote au sol par exemple pour les phases de deacutecollage et datterrissage et
ceux qui sont entiegraverement autonomes
Cette autonomie de pilotage peut seacutetendre agrave la prise de deacutecision opeacuterationnelle pour reacuteagir
face agrave tout eacuteveacutenement aleacuteatoire en cours de mission elle constitue la deuxiegraveme
caracteacuteristique essentielle des drones
De mecircme on peut classer les drones en trois cateacutegories principales (fig12)
Drones agrave voilure tournante type heacutelicoptegravere
Drone agrave voilure fixe
Plus lourd que lair type avion
Plus leacuteger que lair type Dirigeable
Drones agrave ailes battantes type oiseau ou insecte
Chapitre 1 ETAT DE LrsquoART
6
Figure 12 (A) Dirigeable (B) Drone agrave ailes battants (C) Drone agrave ailes fixes
12 Drones agrave voilures tournantes
Dans cette partie nous eacutetalons les diffeacuterents types de drones agrave voilures tournantes
121 Drones Mono-rotor
Ce type de drone passe par des phases de deacuteveloppement bien remarquables suite agrave
linteacuterecirct quon y porte En effet ce sont des drones offrant la possibiliteacute de voler comme un
avion normal donc un deacuteplacement rapide et bien eacuteconome en eacutenergie Nous preacutesentons
Heacutelicoptegravere thermique (fig13) Cet heacutelicoptegravere thermique deacuteveloppeacute au sein du
laboratoire Heudiasyc (Heuristique et diagnostique des systegravemes complexes) a une
structure meacutecanique originale pour effectuer un deacuteplacement horizontal cet appareil est
censeacute effectuer une inclinaison au niveau de ses heacutelices afin de faire apparaitre une
diffeacuterence de pression lui permettant davancer
Cette originaliteacute meacutecanique engendre un systegraveme dynamique beaucoup plus complexe par
rapport aux autres modegraveles
Figure 13 Heacutelicoptegravere thermique
Chapitre 1 ETAT DE LrsquoART
7
122 Drone Bi-rotors
Cette cateacutegorie est elle mecircme subdiviseacutee en deux sous cateacutegories
1) Bi-rotors agrave un ou deux plateaux cycliques
Heacutelicoptegravere classique rotor principal et rotor de queue ce dernier sert
principalement agrave compenser le couple geacuteneacutereacute par le rotor principal En fait le rotor
principal permet la monteacutee et la descente ainsi que la translation avant arriegravere et
lateacuterale mecircme par contre le rotor de queue permet le controcircle du lacet
Heacutelicoptegravere en tandem deux rotors tournant en sens inverse autour de deux axes
diffeacuterents
Heacutelicoptegravere co-axial deux rotors tournant en sens inverse autour du mecircme axe Un
exemple de cet engin est mis dans le commerce par Hirobo
Figure 14 Heacutelicoptegravere classique
2) Pales agrave pas fixe Voler agrave pas fixe implique labsence de plateaux cycliques et en
absence de ces plateaux il est impossible de geacuteneacuterer une force et trois moments
pour controcircler un systegraveme agrave 6 degreacutes de liberteacute Afin de creacuteer les moments
manquants il est primordial dajouter soit des ailerons soit des meacutecanismes pour
faire pivoter les ailerons et produire ces moments en question Nous citons dans
cette sous cateacutegorie
T-wing de lUniversiteacute de Sydney drone bi-rotor placeacute sur deux axes diffeacuterents
tournant en sens opposeacutes ou dans le mecircme sens et pour la production des moments
neacutecessaires ce drone est muni dailerons
Chapitre 1 ETAT DE LrsquoART
8
Le Hover eye de Bertin technologie Cest un drone dont la configuration est tregraves
compacte deux rotors contrarotatifs sur le mecircme axe et des ailerons dans le flux
dair des rotors
Le Birotan Drone agrave configuration compact posseacutedant deux rotors pivotant sur
deux axes preacutesentant un faible couple de tangage
Figure 15 (A) T-wing (B) Hover eye (C) Le Birotan
113 Drone tri-rotors
Dans cette cateacutegorie nous connaissons
Trirotor Heacutelicoptegravere posseacutedant trois rotors deux en avant tournant dans le sens
contraire et un en arriegravere avec orientation reacuteglable Des expeacuteriences ont eacuteteacute faites
sur cet heacutelicoptegravere au sein du laboratoire Heudiasyc
Le vectron Cest un heacutelicoptegravere dont le corps est circulaire renfermant trois rotors
tournant dans le mecircme sens Pour compenser le couple le corps lui mecircme tourne en
sens opposeacutes des rotors Pour obtenir les couples de tangage et de roulis les trois
rotors tournent avec des vitesses varieacutees agrave des instants bien preacutecis Des travaux de
recherche ont eacuteteacute effectueacutes au LIRMM
Heacutelicoptegravere auto-stable Cest un heacutelicoptegravere agrave trois rotors deux coaxiaux tournant
en sens opposeacutes agrave pas fixe et le troisiegraveme est placeacute sur la queue de lheacutelicoptegravere
pour obtenir le couple de tangage Cet heacutelicoptegravere a la proprieacuteteacute decirctre stable gracircce
au fait quil existe une articulation entre les pales du rotor principal et laxe du rotor
Neacuteanmoins cet appareil ne peut ecirctre utiliseacute que dans des endroits fermeacutes
Chapitre 1 ETAT DE LrsquoART
9
Figure 16 (A) Tri-rotor du laboratoire Heudiasyc (B) Le vectron(C) Heacutelicoptegravere auto-stable
124 Drone quadri-rotors
Le premier quadri-rotors remonte agrave 1921 En effet en 1921 les corps dair de
larmeacutee Ameacutericaine ont attribueacute un contrat aux Dr George de Bothezat et Ivan Jerome pour
deacutevelopper une machine agrave vol vertical
Ces derniers ont mis sur pied une machine volante de 1678 Kg dont le fuselage est conccedilu
sous forme dun X Chaque bras du fuselage eacutetait de 9m de longueur tenant agrave son extreacutemiteacute
un rotor de 8m de diamegravetre environ
Cependant bien que de Bothezat ait deacutemontreacute quil eacutetait theacuteoriquement possible agrave son
heacutelicoptegravere de voler et quil eacutetait theacuteoriquement bien stable cet avion na pas pu reacutealiser les
performances escompteacutees par exemple on lui demandait de voler agrave une altitude de 100m
alors que pour cause de surpoids laltitude maximale quil a pu atteindre eacutetait juste de 5m
Ainsi suite agrave sa complexiteacute meacutecanique son manque de puissance son insensibiliteacuteetc
cet heacutelicoptegravere agrave quatre rotors na pas pu satisfaire son cahier de charge
Figure 17 Heacutelicoptegravere de Bothezat
Chapitre 1 ETAT DE LrsquoART
10
Pour les drones miniatures les chercheurs se sont inspireacutes de ce geacuteant quadri-rotors et ont
mis sur pied des drones lui ressemblant
Les heacutelicoptegraveres agrave quatre heacutelices sont des quadrirotors agrave quatre moteurs installeacutes sur
une croix geacuteneacuteralement en fibre de carbone drsquoougrave leur appellation les heacutelicoptegraveres X4 Des
exemples sont repreacutesenteacutes dans la figure 18
Figure 18 Drones agrave quatre heacutelices (A) Quadri-rotor du laboratoire IBSC(B) Quadri-rotor pensylvania
Afin de compenser les anti-couples des moteurs creacuteeacutes par la rotation des heacutelices le moteur
avant et arriegravere tournent dans le sens des aiguilles dune montre tandis que les autres
moteurs tournent dans le sens inverse De plus les heacutelices utiliseacutees sont agrave pas fixe Le
tangage de ce drone est obtenu par diffeacuterence de vitesse de rotation des rotors avant et
arriegravere geacuteneacuterant un deacuteplacement suivant laxe des x Le deacuteplacement suivant laxe des y est
produit par un angle de roulis Ce dernier est obtenu par une diffeacuterence de vitesse des
moteurs lateacuteraux Le lacet srsquoobtient en augmentant la vitesse des moteurs avant et arriegravere
en reacuteduisant la vitesse des moteurs lateacuteraux
Au centre de la croix se trouve un cylindre central contenant
Une centrale inertielle
Une carte intelligente
Une batterie
Un GPS (Global Positionning System)
Une cameacutera CDD
Des capteurs ultrason
Une station de base
Chapitre 1 ETAT DE LrsquoART
11
13 Composantes du quadri-rotors
Durant ces derniegraveres anneacutees le deacuteveloppement des drones connait un essor croissant
surtout au niveau des capteurs des moteurs des batteries et des cartes eacutelectroniques qui
sont de plus en plus leacutegers et plus performants
Ces nouvelles qualiteacutes requises par ces composantes amplifient la performance du drone au
niveau de son autonomie et de ses capaciteacutes du vol En fait le grand problegraveme rencontreacute
par les drones cest la dureacutee du vol qui est lieacutee aux diffeacuterents composants utiliseacutes batterie
moteur et heacutelices Ainsi il faut faire un choix judicieux pour ces composants eacutetudier
lautonomie reacuteelle des batteries deacuteterminer la consommation des moteurs et la geacuteomeacutetrie
des heacutelices
Plus geacuteneacuteralement nous classons les composants du drone en trois cateacutegories
Batterie
Propulseurs
Capteurs
131 Les batteries
Lautonomie de tout engin est directement lieacute agrave leacutenergie quil peut avoir donc agrave la qualiteacute
de la batterie dont il est pourvu Le deacuteveloppement des batteries ne cesse de nous eacutetonner
de plus en plus leacutegegraveres de plus en plus autonomes donc une contribution importante au
deacuteveloppement des drones
Figure 19 Batterie pour le X4
Chapitre 1 ETAT DE LrsquoART
12
132 Les propulseurs
Les heacutelices
Le drone X4 dispose de quatre heacutelices ayant un certain taux de flexibiliteacute lui permettant de
pouvoir assurer la propulsion de tout le robot volant de masse estimeacutee agrave 2Kg Ainsi
chacune doit geacuteneacuterer une force de pousseacutee de 49N agrave leacutequilibre Dautre part les pales
utiliseacutees dans la fabrication du X4 ont une forme vrilleacutee leur procurant un bon rendement
au niveau de la pousseacutee donc une eacuteconomie au niveau de leacutenergie [2]
Moteur eacutelectrique
Dans le but de rendre le X4 silencieux et davoir le bon rapport puissancepoids le moteur
eacutelectrique du type brushless est le plus utiliseacute En plus et suite agrave son bobinage fixeacute au
stator ce moteur a une inertie consideacuterablement reacuteduite une reacuteduction au niveau de la
consommation du courant lors du deacutemarrage et une rapide eacutevacuation de la tempeacuterature
neacuteanmoins il neacutecessite un circuit de commande speacuteciale bien complexe et bien cher
Fig 110 (A) Heacutelice (B) Moteur eacutelectrique
133 Capteurs
Les capteurs servent principalement agrave effectuer des mesures tridimensionnelles
(position vitesse orientation acceacuteleacuteration ) permettant dalimenter des entreacutees en temps
reacuteel pour les lois de commande
Ces mesures sont effectueacutees par diffeacuterents types de capteurs
Capteurs agrave ultrasons
Un capteur agrave ultrason est composeacute de trois compartiments
Chapitre 1 ETAT DE LrsquoART
13
Emetteur
Reacuteceacutepteur
Microcontrocircleur PIC
Il sert agrave deacutetecter lobstacle et agrave mesurer la distance de seacuteparation Se munir uniquement
dun capteur agrave ultrason pour la mesure de position peut donner des reacutesultats erroneacutes En
effet en couvrant les lieux londe peut tomber sur diffeacuterents obstacles agrave chaque instant et agrave
des distances diffeacuterentes Il est donc primordial de lassocier agrave un autre capteur de position
Cameacutera
Le capteur le plus riche en donneacutees pouvant exister est une cameacutera En geacuteneacuteral nous
pouvons classer les cameacuteras en deux cateacutegories
Cameacutera numeacuterique
Cameacutera analogique
Le choix de la cameacutera deacutepend de son embarquabiliteacute ses capaciteacutes de calculs et de
lapplication mecircme
Systegraveme de positionnement geacuteneacuteral GPS
Le GPS est un systegraveme de positionnement par satellites assez preacutecis la preacutecision
pouvant atteindre le megravetre en preacutesence de filtrage Lutilisation de la localisation par le
systegraveme GPS est tregraves vaste elle touche plusieurs domaines le transport (aeacuterien maritime
) eacutetude geacuteographique assistance aux eacutequipe de secours
Figure 111 (A) Capteur agrave ultrasons (B) Cameacutera (C) Systegraveme depositionnement geacuteneacuteral
Chapitre 1 ETAT DE LrsquoART
14
Centrale inertielle
La centrale inertielle est une carte inteacutegrant trois types de capteurs
Trois gyroscopes Le mot gyroscope est un mot grec signifiant qui regarde la rotation
Un gyroscope est un appareil qui exploite le principe de la conservation du moment
angulaire en meacutecanique des solides
Trois magneacutetomegravetres un magneacutetomegravetre est un appareil qui sert agrave mesurer laimantation
dun systegraveme Dans notre cas le magneacutetomegravetre sert agrave calculer le champ magneacutetique terrestre
Trois acceacuteleacuteromegravetres un acceacuteleacuteromegravetre est un capteur qui fixeacute agrave un mobile permet de
mesurer lacceacuteleacuteration de ce dernier
Ces capteurs forment un triegravedre orthogonal servant agrave mesurer en temps reacuteel les
mouvements du drone (acceacuteleacuteration vitesse angulaire) Ces mesures sont exprimeacutees dans
un triegravedre direct deacutefini comme le systegraveme de coordonneacutees fixe du capteur Ce systegraveme est
aligneacute avec le boicirctier de la centrale inertielle
En inteacutegrant la mesure de lacceacuteleacuteration triaxiale donneacutee par lacceacuteleacuteromegravetre nous
reacutecupeacuterons la mesure de la vitesse en linteacutegrant une deuxiegraveme fois nous aurons la
position
Or cette inteacutegration engendre une erreur au niveau des mesures En effet toute mesure
effectueacutee par la carte inertielle peut ecirctre entacheacutee derreurs de mesures dues aux bruits des
moteurs et par inteacutegration ces erreurs augmentent
Ainsi un filtrage numeacuterique associeacute aux mesures savegravere neacutecessaire En reacutecupeacuterant la
matrice dattitude preacutedite par inteacutegration des gyros nous constatons quelle est bruiteacutee par
rapport agrave la matrice dattitude mesureacutee
En litteacuterature les algorithmes de filtrage classiquement utiliseacutes sont de type filtrage
compleacutementaire ou filtrage de Kalman (classique ou eacutetendu)
Linconveacutenient de ces algorithmes cest quils sont lineacuteaires et nexploitent pas le groupe
des matrices de rotation SO(3) et lalgegravebre de Lie qui lui est associeacutee La creacuteation
dalgorithme de filtrage approprieacute est alors recommandeacute (filtrage non-lineacuteaire exploitant la
structure du Groupe SO(3) et la varieacuteteacute sous-jacente associeacutee [3 4 5])
Chapitre 1 ETAT DE LrsquoART
15
Carte intelligente
La carte intelligente peut ecirctre compareacutee au cerveau du drone cest son eacuteleacutement
principal Elle gegravere lensemble des capteurs embarqueacutes sur la machine sauf la cameacutera qui
transmet ses donneacutees images agrave la base au sol ougrave elles sont traiteacutees
Dautres cartes peuvent ecirctre incorporeacutees dans le drone afin de renforcer ses liens
avec la base au sol (carte pour liaison radio [5]) et dautres lui fournissant plus
dinformations pour raffiner les donneacutees (carte de gestion dun ensemble de proximiteacute varieacute
[40])
Figure 112 (A) Centrale inertielle (B) Carte intelligente
14 Systegraveme drsquoacquisition embarqueacute du X4
La mise en œuvre dun ou de plusieurs drones fait appel agrave diffeacuterents eacuteleacutements
constituant un systegraveme de drone Ce systegraveme a deux composantes un segment air
composeacute du drone de sa charge utile et de son systegraveme de transmission et un segment sol
constitueacute dun ensemble de mateacuteriels et de un ou plusieurs opeacuterateurs humains ayant un
degreacute dintervention plus ou moins eacuteleveacute On distingue encore dans la composante sol deux
cateacutegories de mateacuteriels ceux assurant le lancement et la reacutecupeacuteration des drones
(catapulte filets etc) auxquels sajoutent les moyens techniques neacutecessaires agrave la
maintenance et au reconditionnement des drones identiquement aux proceacutedeacutes
dexploitation des avions et ceux ayant pour objectif la conduite de la mission en assurant
les fonctions de la gestion du vol et de la navigation la reacuteception des donneacutees envoyeacutees
par le drone leurs analyse et interpreacutetation ainsi que leur enregistrement
Chapitre 1 ETAT DE LrsquoART
16
Figure 113 Description drsquoun systegraveme de drone
15 Applications et perspectives
Actuellement les drones occupent une place importante dans le domaine civil et
militaire En effet ces engins sans pilote preacutesentent de nombreux avantages [6]
Il faut noter que sur ce point le champ drsquoaction des drones ne cesse de srsquoeacutelargir ces
derniers temps En effet leur deacuteveloppement sur une large gamme ainsi que les progregraves
reacutealiseacutes au niveau des systegravemes embarqueacutes (guidage pilotage et liaisons) a inciteacute les
forces armeacutees agrave inteacutegrer le systegraveme de drone dans la panoplie des moyens aeacuteriens en
compleacutement des systegravemes classiques On peut distinguer trois types drsquoapplications des
drones dans le domaine militaire
La premiegravere et principale vocation des drones est la surveillance et le
renseignement Les drones reacutepondent de mieux en mieux aux exigences opeacuterationnelles
modernes Les eacutevolutions technologiques rapides des systegravemes embarqueacutes ont permet
drsquoeacutelargir leur domaine drsquoapplication De nos jours on peut les utiliser comme support au
combat notamment dans la deacutesignation drsquoobjectifs ou comme relais de communication ou
moyen de brouillage La troisiegraveme et derniegravere cateacutegorie drsquoapplications est le combat
proprement dit mais cette derniegravere application neacutecessite des drones agrave hautes performances
conccedilus speacutecialement pour ce type de missions
Les applications potentielles des drones dans le domaine civil sont diverses et ce
gracircce agrave leur souplesse et leur polyvalence demploi En effet les drones peuvent reacutepondre agrave
Chapitre 1 ETAT DE LrsquoART
17
un besoin qui nest pas couvert par un avion piloteacute Cest le cas des missions qui peuvent
ecirctre consideacutereacutees comme dangereuses peacutenibles physiquement pour leacutequipage ou
ennuyeuses Les applications potentielles peuvent se diviser en plusieurs grandes
cateacutegories drsquoabord la surveillance et lrsquoobservation ougrave on peut citer les eacutetudes
scientifiques (de lrsquoatmosphegravere des sols et des oceacuteans ou les preacutevisions meacuteteacuteorologiques)
la surveillance drsquourgence telle que les incendies de forecircts volcans recherche et sauvetage
eacutevaluation des deacutegacircts en cas de catastrophes naturelles etc On peut citer eacutegalement des
missions exploitant le segment air telles que le transport de fret la cartographie
lrsquoutilisation par lrsquoindustrie cineacutematographique etc Ils peuvent en outre ecirctre utiliseacutes dans
des missions speacutecifiques comme relais de communication ou dans des missions
dangereuses (deacutetection de radiations et de gaz toxiques)
Lexpeacuterience deacutejagrave acquise avec les drones et leurs deacuteveloppements technologiques
potentiels permettent daffirmer que leur rocircle va consideacuterablement saccroicirctre tant dans les
domaines civil que militaire Dans le domaine civil en couvrant des besoins auxquels les
avions classiques ne peuvent pas toujours satisfaire Dans le domaine militaire en
compleacutetant voire en remplaccedilant les avions pour certaines missions dangereuses ou de tregraves
longue dureacutee
Gracircce agrave leur inteacuterecirct tactique les drones constituent agrave la fois une opportuniteacute
industrielle exceptionnelle et un facteur dimpulsion nouvelle pour la recherche Cependant
la geacuteneacuteralisation de lrsquoemploi des systegravemes de drone reste exposeacutee agrave des difficulteacutes qui sont
lieacutees principalement agrave lrsquointeacutegration des drones dans la circulation aeacuterienne et le
perfectionnement des systegravemes de transmission des donneacutees (porteacutee et deacutebit) Enfin des
progregraves sont agrave reacutealiser eacutegalement dans les domaines des performances de lrsquoengin volant
des charges utiles du systegraveme embarqueacute et de leur fiabiliteacute
Toutes ces missions neacutecessitent un controcircle performant de lrsquoappareil et par
conseacutequent des informations preacutecises sur son eacutetat absolu et ou relatif agrave son environnement
16 Modes de vol
Geacuteneacuteralement il existe trois modes qui deacutecrivent la direction de vol de lrsquoengin ces
modes sont
Vol vertical
Vol stationnaire
Vol de translation
Chapitre 1 ETAT DE LrsquoART
18
161 Vol vertical (ascendant ou descendant)
Dans le vol vertical la reacutesultante aeacuterodynamique et le poids total sont deux forces
ayant la mecircme direction mais de sens opposeacute Le vol est ascendant ou descendant suivant
que lrsquoeffet aeacuterodynamique est supeacuterieur ou infeacuterieur au poids de lrsquoappareil Crsquoest-agrave-dire les
moteurs devront augmenter ou diminues le couple de forces geacuteneacutereacute afin que la vitesse de
rotation des heacutelices augmentent ou diminuent Pour effectuer un vol vertical du drone X4 il
faut respecter ces conditions fondamentales
-Les quatre forces des moteurs f1 f2 f3 et f4 doivent fonctionner en mecircme temps afin
drsquoobtenir lrsquoeacutequilibre de lrsquoensemble
-Pour atteindre la consigne nous agissons sur les quatre moteurs simultaneacutement
(augmentations et diminutions des forces)
-Si on atteint la reacutefeacuterence on garde ces forces constantes sum F = mg
m la masse totale de lrsquoengin
162 Vol stationnaire
Ce vol est obtenu lorsque les normes de la force sustentatrice et celle de pesanteur
sont eacutegales et opposeacutees Dans ce cas nous pouvons constater que lrsquoappareil reste
immobile
163 Vol de translation
Correspond agrave tout vol en avant en arriegravere ou sur le coteacute Pour obtenir un
mouvement de translation selon lrsquoaxe lsquoxrsquo ou lsquoyrsquo il suffit de reacutealiser un roulis ou un tangage
en augmentant la vitesse drsquoun moteur et en diminuant celle du moteur du mecircme axe avec la
mecircme quantiteacute pour conserver la portance intacte
Pour le mouvement du lacet (rotation sur lui-mecircme) il faut augmenter la vitesse
drsquoune paire de moteur du mecircme axe et diminuer drsquoautant celle de lrsquoautre paire Le sens de
mouvement du lacet deacutependra du sens de rotation qursquoon aura choisi pour les paires de
moteurs
17 Revues bibliographiques sur les drones quadri-rotors
Cette nouvelle geacuteneacuteration drsquoengins miniatures autonomes connue sous le nom de
Drones miniatures a susciteacute un grand inteacuterecirct ainsi une diversiteacute de modegraveles et de
configurations ont vu le jour
Chapitre 1 ETAT DE LrsquoART
19
Le drone quadri-rotors eacutetait et est lune des configurations les plus eacutetudieacutees
Plusieurs eacutequipes de chercheurs du monde entier se sont lanceacutees dans le domaine de
conception dune loi de commande simple robuste et facilement embarquable Ce domaine
est bien vaste touchant plusieurs speacutecialiteacutes (automatique aeacuterodynamique robotique)
171 Commandes en litteacuterature
Plusieurs travaux consacreacutes agrave la conception de diffeacuterentes commandes ont eacuteteacute
publieacutes il y a ceux qui preacutesentent des lois de commande baseacutees sur le systegraveme lineacuteariseacute des
drones et dautres traitants le modegravele en entier
En consideacuterant une lineacutearisation du modegravele dynamique de leur quadri-rotors [7] PPound
et al [8] ont deacuteveloppeacute un algorithme de controcircle stabilisant leur modegravele Des tests
numeacuteriques ont eacuteteacute effectueacutes confirmant la validiteacute de cette commande
Une meacutethode de stabilisation et de poursuite de trajectoire baseacutee sur la notion de platitude
eacutetait conccedilue dans [9 10] Cette meacutethode a eacuteteacute appliqueacutee sur le systegraveme lineacuteariseacute du quadri-
rotors X4 Elle a assureacute la poursuite du drone vers une trajectoire planifieacutee Des tests
numeacuteriques ont eacuteteacute faits
Dans [11 12] une configuration dun quadri-rotors nommeacute OS4 est preacutesenteacutee En se
limitant agrave un systegraveme simplifieacute du modegravele du OS4 un algorithme de controcircle de type
PID a eacuteteacute eacutelaboreacute En consideacuterant ensuite un modegravele plus complet une commande LQ est
geacuteneacutereacutee Ces commandes preacutesenteacutees arrivent agrave stabiliser le modegravele entier neacuteanmoins elles
sont assez sensibles aux perturbations pouvant affecter le systegraveme
Dans [13] Chen et Huzmezan ont obtenu un modegravele lineacuteariseacute quils ont utiliseacute pour
syntheacutetiser un controcircleur de type H1 Ils ont testeacute leur algorithme sur une plateforme
pivotant librement autour dun point
Dans [14] deux commandes non lineacuteaires sont eacutelaboreacutees pour la stabilisation du quadri-
rotors OS4 La premiegravere approche est baseacutee sur la technique du backstepping tandis que
la deuxiegraveme utilise la technique de modes glissants Des tests pratiques ont eacuteteacute appliqueacutes
sur une plate-forme au sol non embarqueacutee validant les reacutesultats theacuteoriques des deux
approches
En utilisant deux meacutethodes dapproches diffeacuterentes dans [15] K Zemalache Meguenni a
eacutetudieacute la stabiliteacute et la poursuite de trajectoire pour deux quadri-rotors diffeacuterents (X4 et
XSF)
Chapitre 1 ETAT DE LrsquoART
20
En premier temps en combinant la technique de backstepping agrave lapproche de Lyapunov
deux algorithmes associeacutes aux deux modegraveles ont eacuteteacute syntheacutetiseacutes Les reacutesultats des deux
modegraveles ont eacuteteacute testeacutes numeacuteriquement pour le suivi de trajectoires planifieacutees point agrave point
En second temps une commande baseacutee sur la theacuteorie de la logique floue eacutetait eacutelaboreacutee
pour le drone XSF des tests numeacuteriques ont eacuteteacute effectueacutes
Dans [16] une lineacutearisation robuste par retour drsquoeacutetat mixeacute avec le controcircleur GHinfin lineacuteaire
est appliqueacutee Une saturation des actionneurs et des contraintes sur la sortie de lrsquoespace
drsquoeacutetat sont introduites pour analyser le cas deacutefavorable pour la commande Les reacutesultats
obtenus prouvent que le systegraveme global devient robuste lorsque les fonctions pondeacutereacutees
sont choisies judicieusement Le fonctionnement du controcircleur est illustreacute dans une eacutetude
de simulation qui tient compte des incertitudes sur les paramegravetres et les perturbations
externes
Dans [17] la conception de larchitecture informatique embarqueacutee pour la commande dun
quadri-rotors et dun avion miniature est preacutesenteacutee La modeacutelisation dynamique des deux
engins eacutetait eacutetablie au moyen de la meacutethodologie de Newton-Euler en prenant en compte
les forces et les moments aeacuterodynamiques En utilisant la technique de saturations
emboiteacutees baseacutee principalement sur lapproche de Lyapunov deux commandes non
lineacuteaires eacutetaient eacutelaboreacutees pour le quadri-rotors
Deux autres commandes lineacuteaires ont eacuteteacute syntheacutetiseacutees pour les deux drones Des eacutetudes de
robustesse des commandes ont eacuteteacute preacutesenteacutees et des tests expeacuterimentaux des algorithmes
en temps reacuteel ont eacuteteacute appliqueacutes sur une plateforme
Inspireacute des travaux [18] effectueacutes sur la stabilisation du PVTOL (Planar Vehicle Take of
and Landing) P Castillo [19 20 21] a preacutesenteacute la conception dune commande non
lineacuteaire pour un quadri-rotors dont le modegravele est obtenu par la meacutethode dEuler-Lagrange
en tenant compte de la dynamique des moteurs Cette commande est baseacutee sur la technique
des saturations emboiteacutees fondeacutee principalement sur lapproche de Lyapunov Des
plateformes expeacuterimentales ont eacuteteacute reacutealiseacutees pour appliquer et tester les lois de commande
proposeacutees
Se basant sur le formalisme de Newton-Euler T Hamel et al [22] ont eacutetabli la
modeacutelisation dynamique dun quadri-rotors prenant en compte la dynamique des moteurs et
les effets aeacuterodynamiques et gyroscopiques des rotors
Dans [23] les auteurs ont deacutemontreacute que lapplication des approches 2D des
asservissements visuels peuvent ecirctre exploiteacutes pour la commande des systegravemes sous
actionneacutees
Chapitre 1 ETAT DE LrsquoART
21
En supposant que la direction du motif est cette fois ci fixe dans le repegravere cameacutera ce
reacutesultat a pu ecirctre eacutelargi en donnant naissance agrave un asservissement visuel purement 2D [24]
plus complexe suite agrave la dynamique de zeacutero introduite par cette hypothegravese Des tests
numeacuteriques ont eacuteteacute faits validant ce reacutesultat
E Altug et al [25 26 27] ont proposeacutes un algorithme de controcircle pour stabiliser le quadri-
rotor en utilisant la vision comme capteur principal Cette technique se compose drsquoune
cameacutera terrestre et drsquoune cameacutera embarqueacutee sur lrsquoheacutelicoptegravere et sont utiliseacutees pour estimer
les eacutetats de lrsquoheacutelicoptegravere Lrsquoalgorithme de la pose est compareacute par la simulation agrave drsquoautres
meacutethodes drsquoestimation de la pose (telles que la meacutethode de quatre points et la meacutethode de
steacutereacuteo vision) et srsquoavegravere moins sensible aux erreurs dans le plan image Ils ont eacutetudieacute deux
techniques pour la commande la premiegravere utilise une commande par lineacutearisation tandis
que la deuxiegraveme utilise la technique de backstepping
18 Conclusion
Dans ce chapitre nous avons preacutesenteacute un bref aperccedilu sur quelques mini-
heacutelicoptegraveres autonomes existant en sattardant sur les drones agrave voilures tournantes et leurs
eacutequipements
Ensuite nous avons citeacute un ensemble de travaux portant sur la stabilisation des drones agrave
quatre rotors existants en litteacuterature
Dans le chapitre suivant nous traiterons le problegraveme de la modeacutelisation par le formalisme
de Newton-Euler pour le quadri-rotor afin drsquoappliquer les techniques de commande non
lineacuteaire Il srsquoagit drsquoun modegravele caracteacuterisant des veacutehicules sous actionneacutes
Chapitre 2 MODELISATION DrsquoUN DRONE A QUATRE HELICES
22
Chapitre 2
MODELISATION DUN DRONE A QUATRE HELICES
Chapitre 2 MODELISATION DrsquoUN DRONE A QUATRE HELICES
22
2 MODELISATION DrsquoUN DRONE A QUATRE HELICES
21 Introduction
Tout corps meacutecanique eacutevoluant en temps continu peut ecirctre deacutecrit par un systegraveme
deacutequations diffeacuterentielles reacutegissant sa dynamique Il srsquoagit drsquoeacutetablir le modegravele
matheacutematique de la dynamique du drone agrave quatre heacutelices Pour atteindre ce but nous
avons recours agrave des eacutetudes meacutecaniques telles que lapproche Newtonienne et celle dEuler-
Lagrange
Dans la litteacuterature pour aborder la modeacutelisation dengin volant de nombreux travaux se
sont inspireacutes de la dynamique dun corps rigide associeacute au fuselage auquel se rajoutent les
forces aeacuterodynamiques geacuteneacutereacutees par les rotors [28 29 19 30 31 32 33 15]
Cette ideacutee a eacuteteacute choisie afin de pouvoir contourner la difficulteacute de la question de la
flexibiliteacute de la machine Cette flexibiliteacute est supposeacutee neacutegligeable
Certaines propositions de modeacutelisation du drone sont preacutesenteacutees dans la litteacuterature telles
celles baseacutees sur le formalisme de Newton [28 22 23] lieacutees principalement au repegravere
local et celles baseacutees sur le formalisme dEuler-Lagrange [29 19 30 20 31 32 15] lieacutees
au repegravere global supposeacute fixe
Dans ce chapitre nous preacutesentons la dynamique pour un drone capable de vol
drsquoavancement rapide et de vol stationnaire ou quasi-stationnaire Un tel modegravele peut ecirctre
acheveacute dans un repegravere local lieacute au drone ou dans un repegravere global supposeacute fixe Nous
eacutevoquons le modegravele global qui sera traiteacute de point de vue commande en stabilisation et en
poursuite
En premier lieu nous preacutesentons la configuration du veacutehicule et son principe de
fonctionnement Nous nous inteacuteressons eacutegalement aux diffeacuterents repegraveres suscitant notre
attention
Ensuite nous nous occupons de la modeacutelisation du X4 en calculant son moment dinertie
et en ayant recours au formalisme Newton nous deacuteterminons son modegravele dynamique
Enfin nous achevons ce chapitre par une conclusion
Chapitre 2 MODELISATION DrsquoUN DRONE A QUATRE HELICES
23
22 Heacutelicoptegraveres agrave quatre heacutelices
En geacuteneacuteral un heacutelicoptegravere agrave quatre heacutelices est un heacutelicoptegravere posseacutedant quatre rotors
assurant son deacuteplacement [2]
Depuis les anneacutees 50 de nouveaux types dheacutelicoptegraveres de faible dimension
teacuteleacutecommandeacutes sont apparus Ils permettent de reacutealiser des missions dangereuses ou
inaccessibles agrave lecirctre humain Ainsi nous pouvons citer les mini-heacutelicoptegraveres agrave quatre
heacutelices appeleacutes couramment X4 (fig21) vu leur forme en X
Figure 21 Quadri-rotors X4
221 Fonctionnement du X4
Les X4 sont des mini-heacutelicoptegraveres preacutesenteacutes sous forme de croix geacuteneacuteralement
fabriqueacutes en fibre de carbone Au bout de chaque tige de la croix on fixe une heacutelice
Afin deacuteliminer les anti-couples des heacutelices entre elles et permettre la stabiliteacute en lacet les
heacutelices voisines tournent dans des sens inverses avec un pas fixe
Pour assurer un deacuteplacement suivant laxe des x le drone X4 fait un angle de tangage ߠ
obtenu par une diffeacuterence de vitesse de rotation des rotors avant et arriegravere ensuite il suit
cet axe lors du retour agrave leacutegaliteacute des vitesses de rotation des rotors
De maniegravere similaire le deacuteplacement du X4 suivant laxe des y est assureacute par un angle de
roulis empty obtenu suite agrave une diffeacuterence des vitesses de rotation des rotors lateacuteraux
Le lacet sobtient en augmentant la vitesse des moteurs avant et arriegravere tout en reacuteduisant la
vitesse des moteurs lateacuteraux Les quadri-rotors eacutetant commandeacutes par la diffeacuterence des
vitesses de rotation des rotors il est important que lon puisse varier rapidement la vitesse
de rotation des moteurs Pour cela il convient dutiliser des pales tregraves leacutegegraveres (en fibre de
carbone par exemple) et des rapports de reacuteduction relativement grands
Chapitre 2 MODELISATION DrsquoUN DRONE A QUATRE HELICES
24
Figure 22 Sens de rotation des rotors de X4
23 Modeacutelisation du drone quadri-rotors X4
Le modegravele dynamique de quadri-rotor est donneacute par le formalisme de Newton-Euler
Pour pouvoir deacuteterminer le modegravele dynamique le quadri-rotor est assimileacute agrave une structure
rigide et symeacutetrique drsquoougrave lrsquohypothegravese que la matrice drsquoinertie est diagonale Les heacutelices
sont eacutegalement supposeacutees rigides pour pouvoir neacutegliger lrsquoeffet de leur deacuteformation lors de
la portance et la traineacutee de chaque moteur qui sont proportionnelles au carreacute de la vitesse
de rotation des rotors ce qui est une approximation tregraves proche du comportement
aeacuterodynamique et le repegravere lieacute agrave cette structure est geacuteneacuteralement supposeacute confondu avec
son centre de graviteacute Cela nous emmegravene agrave consideacuterer la dynamique du quadri-rotor
comme celle drsquoun corps solide dans lrsquoespace [15 34] Les conditions atmospheacuteriques sont
la condition standard de pression et de tempeacuterature
231 Caracteacuteristiques physiques
Les caracteacuteristiques physiques du quadri-rotor preacutesenteacutees dans cette section ont eacuteteacute
eacutetudieacutees en deacutetail par McKerrow [35] La masse totale du quadri-rotor m est la somme de
la masse de la croix (mc) les masses des quatre rotors consideacutereacutes comme identiques
( isin 1234 ) et la masse de lrsquoeacutelectronique et batterie (mb)
m = m1 + m2 + m3 + m4 + mc + mb
Sens horaireSens antihoraire
Chapitre 2 MODELISATION DrsquoUN DRONE A QUATRE HELICES
25
La structure du quadri-rotor est consideacutereacutee parfaitement symeacutetrique et en conseacutequence la
matrice drsquoinertie IG est diagonale
ܫ = ቌ
௫௫ܫ 0 00 ௬௬ܫ 0
0 0 ௭௭ܫ
ቍ (21)
avec ௫௫ܫ repreacutesente lrsquoinertie autour de lrsquoaxe ଵܧ
qui passe entre le centre de la croix et les
rotors (avant-arriegravere) ௬௬ܫ repreacutesente lrsquoinertie autour de lrsquoaxe ଶܧ
qui passe entre le centre de
la croix et les rotors (droite-gauche) et finalement ௭௭ܫ repreacutesente lrsquoinertie autour de lrsquoaxe
ଷܧ
perpendiculaire au plan de ଵܧ
et ଶܧ
(voir figure 23)
Lrsquoinertie ௫௫ܫ est la somme de lrsquoinertie de la croix (௫ܫ) lrsquoinertie des quatre moteurs ୫ܫ) ୶ଵ
୫ܫ ୶ଶ ୫ܫ ୶ଷ et ୫ܫ ୶ସ) et lrsquoinertie de lrsquoeacutelectronique (ୠ୶ܫ) autour du point drsquointersection de la
croix
௫௫ܫ = ௫ܫ + ܫ ௫ଵ + ܫ ௫ଶ + ܫ ௫ଷ + ܫ ௫ସ + ௫ܫ (22)
On peut suivre la mecircme deacutemarche pour trouver les expressions des inerties ௬௬ܫ et ௭௭ܫ
Lrsquoinertie de la croix autour du point drsquointersection est donneacutee par
௫ܫ = ௬ܫ = (ଶ)మ
ଵଶ+
ௗమ
ଶ(23)
௭ܫ = (ଶ)మ
(24)
Ougrave d est le diamegravetre des poutres qui constituent la croix et l est la distance entre le centre
de la croix et un des quatre rotors Pour trouver les inerties des moteurs McKerrow [35]
considegravere le moteur comme un cylindre de longueur pm avec un rayon rm alors lrsquoinertie du
moteur avant autour du point drsquointersection de la croix est
ܫ ௫ଵ = భ
మ
ସ+
మ
ଷ(25)
ܫ ௬ଵ = భ
మ
ସ+
మ
ଷ+ ଵ
ଶ (26)
ܫ ௭ଵ = భ
మ
ଶ+ ଵ
ଶ (27)
Lrsquoeacutelectronique et la batterie srsquoaccrochant au-dessous de lrsquointersection agrave une distance l0 sont
modeacuteliseacutees par un paralleacuteleacutepipegravede rectangulaire avec des dimensions ab wb et hb
Chapitre 2 MODELISATION DrsquoUN DRONE A QUATRE HELICES
26
௫ܫ = (௪
మାమ)మ
ଵଶ+
ଶ (28)
௬ܫ = (
మାమ)మ
ଵଶ+
ଶ (29)
௭ܫ = (௪
మାమ)మ
ଵଶ(210)
Le mouvement du drone est reacutegi par un modegravele dynamique preacutesentant le lien entre les
entreacutees du systegraveme et les sorties agrave controcircler Il faut maintenant deacutefinir le domaine
drsquoeacutevolution du robot (repegravere inertiel) et la relation matrice de passage qui le lie au drone
(repegravere local)
232 Repegraveres et matrices de passage
Lrsquoeacutetude du mouvement drsquoun drone eacutevoluant dans lrsquoespace requiert la connaissance
de sa position et de son orientation Cette localisation neacutecessite le choix drsquoau moins deux
repegraveres Le premier repegravere est le repegravere inertiel global RO reacutefeacuterence Le repegravere inertiel est
lieacute agrave la terre et peut ecirctre consideacutereacute comme Galinien RO (Ex Ey Ez) est orienteacute comme
indiqueacute sur la figure 23 A savoir Ex est orienteacute vers le nord Ey est orienteacute vers lrsquoest et Ez
orienteacute vers le haut
On deacutefinit un repegravere local ayant comme origine le centre de graviteacute G du drone Le repegravere
RG ଵܧ)
ଶܧ
ଷܧ
) appeleacute aussi repegravere relatif agrave la meacutecanique de vol dont les axes sont lieacutees agrave
la geacuteomeacutetrie de lrsquoappareil
Figure 23 Repegraveres du drone inertiel et local
Chapitre 2 MODELISATION DrsquoUN DRONE A QUATRE HELICES
27
La relation entre le repegravere du drone noteacute (RG) et le repegravere inertiel (RO) peut ecirctre donneacutee
par la matrice de rotation orthogonale de dimension 3 times 3 La contrainte dorthogonaliteacute
reacuteduit le nombre de paramegravetre neacutecessaire pour preacutesenter cette matrice agrave trois paramegravetres Il
existe plusieurs maniegraveres de parameacutetrer la matrice de rotation dont le choix deacutepend de
lapplication en question
La parameacutetrisation de la matrice de rotation par les angles dEuler est souvent utiliseacutee dans
les applications de robotique Elle permet dobtenir la matrice de rotation globale par trois
rotations eacuteleacutementaires autour des axes ଵܧ
ଶܧ
et ଷܧ
respectivement
Le parameacutetrage de cette matrice seffectue par le vecteur
ଶߟ = ߠ) Ф) (211)
Consideacuterons le vecteur de coordonneacutees geacuteneacuteraliseacutees q isin ℝ deacutefini par
(ݐ)ݍ = (ߠݖݕݔ) ni ݐ ℝ
Ougrave x y z deacutefinissent la position du centre de graviteacute du mini-heacutelicoptegravere X4 par rapport au
repegravere inertiel RO (Ex Ey Ez)
Lrsquoorientation du mini-heacutelicoptegravere X4 est donneacutee par les angles drsquoEuler ߠ) Ф) qui
repreacutesente respectivement le tangage le roulis et le lacet
Le passage du triegravedre ை(ܧ௫ܧ௬ܧ௭) au triegravedre ଵܧ)
ଶܧ
ଷܧ
) est reacutealiseacute par trois
rotations successives figure 24
൫ܧ௫ܧ௬ܧ௭൯ுψሱሮ (௭ܧ)
ுഇሱሮ ଵܧ)
)
ுemptyሱሮ ଵܧ)
ଶܧ
ଷܧ
) (212)
Ougrave ൫ܧ௫ܧ௬ܧ௭൯ est la base du repegravere RO ൫ܧଵ
ଶܧ
ଷܧ൯est la base du repegravere locale
drone
RG(ܧ௭) et ଵܧ)
) sont les bases intermeacutediaires et టܪ ఏܪ et emptyܪ les matrices
de rotations orthogonales
Hభψ est la matrice de rotation de lrsquoangle autour de Oz1 appeleacute lacet au cap deacutefinie
par
టܪ = ൭ݏ ݏ 0
ݏminus ݏ 00 0 1
൱ (213)
Chapitre 2 MODELISATION DrsquoUN DRONE A QUATRE HELICES
28
H୷భ est la matrice de rotation de lrsquoangle θ autour de Oy1 appeleacute tangage ou assiette
deacutefinie par
ఏܪ = ൭ߠݏ 0 minus ߠݏ0 1 0
ߠݏ 0 ߠݏ൱ (214)
H୶మథ est la matrice de rotation de lrsquoangle autour de Ox2 appeleacute roulis ou gite
deacutefinie par
థܪ = ൭1 0 00 ݏ ݏ0 minus ݏ ݏ
൱ (215)
Figure 24 Rotations successives deacutefinissant les pseudos angles drsquoEuler
La transformation qui permet de passer du repegravere local vers le repegravere global ை est
donneacutee par
= టܪ ఏܪ థܪ (216)
Chapitre 2 MODELISATION DrsquoUN DRONE A QUATRE HELICES
29
Telle que
=
൭
ݏ ߠݏ ߠݏ ݏ minus ߠݏݏ ݏ minusߠݏ ݏ ݏ ݏߠݏ ݏ + ݏ ݏ ݏߠݏߠݏ ݏ ݏ + ݏ ݏ ݏ ݏߠݏ minus ݏ ߠݏ ߠݏ ݏ
൱(217)
R est une matrice de rotation orthogonale de deacuteterminant uniteacute ayant pour inverse sa
transposeacutee
Ce type de matrice forme un groupe appeleacute groupe des matrices orthogonales speacuteciales
dordre 3 noteacute SO(3) deacutefini par [36]
(3) = isin ℝଷtimesଷ = ܫ ݐ ()ݐ = 1
Gracircce agrave cette matrice de rotation R nous pouvons eacutetablir une relation entre la vitesse du
mini-heacutelicoptegravere exprimeacutee dans son propre repegravere mobile et sa vitesse exprimeacutee dans le
repegravere inertiel
233 Transformation des vitesses
Dans ce paragraphe nous mettons en eacutevidence la relation qui lie les vitesses du
drone exprimeacutees dans le repegravere local avec leurs expressions exprimeacutees dans le repegravere
inertiel
Soient
υଵ la vitesse lineacuteaire du mini-heacutelicoptegravere exprimeacutee dans le repegravere local RG
ηଵ = (x y z) vecteur position du centre de graviteacute du mini-heacutelicoptegravere par rapport au
repegravere inertiel RO
Ainsi nous pouvons eacutetablir la relation suivante qui fait le lien entre la vitesse locale du X4
flyer et sa vitesse exprimeacutee dans le repegravere inertiel
ଵߟ = ଵ (218)
De mecircme nous pouvons aussi eacutetablir une relation entre la vitesse angulaire du mini
heacutelicoptegravere exprimeacutee dans le repegravere local et celle exprimeacutee dans le repegravere inertiel
Soient
υଶ = (p q r) la vitesse angulaire du mini-heacutelicoptegravere exprimeacutee dans le repegravere local RG
ηଶ = (θ ϕ ψ) la vitesse angulaire du mini-heacutelicoptegravere exprimeacutee dans le repegravere inertiel
Ainsi nous pouvons eacutetablir la relation suivante
ଶߟ = ܬ ଶ (219)
Chapitre 2 MODELISATION DrsquoUN DRONE A QUATRE HELICES
30
Grace agrave la relation (212) nous avons
υଶ = ϕ ଵܧሬሬሬሬሬ+ θVሬሬ+ ψEሬሬሬሬ
= ϕ ଵܧሬሬሬሬሬ+ θቂcos(ϕ)ܧଶ
ሬሬሬሬሬminus sin(ϕ)ܧଷሬሬሬሬሬቃ+ ψቂminussin(θ)ܧଵ
ሬሬሬሬሬ+ cos(θ) Wሬሬሬቃ
= ϕ ଵܧሬሬሬሬሬ+ θቂcos(ϕ)ܧଶ
ሬሬሬሬሬminus sin(ϕ)ܧଷሬሬሬሬሬቃ
minus ψቂsin(θ)ܧଵሬሬሬሬሬminus cos(θ)ቀsin(ϕ)ܧଶ
ሬሬሬሬሬ+ cos(ϕ)ܧଷሬሬሬሬሬቁቃ
= ൫ϕ minus ψ sin(θ)൯ܧଵሬሬሬሬሬ+ ൫θ cos(ϕ) + ψcos(θ) sin(ϕ)൯ܧଶ
ሬሬሬሬሬ
minus ൫θ sin(ϕ) minus ψ cos(θ) cos(ϕ)൯ܧଷሬሬሬሬሬ
Ainsi nous avons
ቆpqrቇ= ቌ
1 0 minussin(θ)
0 cos(ϕ) cos(θ)sin(ϕ)
0 minussin(ϕ) cos(θ)cos(ϕ)ቍቌ
ϕ
θψ
ቍ (220)
Donc
Jଵ = ቌ
1 0 minussin(θ)
0 cos(ϕ) cos(θ)sin(ϕ)
0 minussin(ϕ) cos(θ)cos(ϕ)ቍ (221)
Drsquoougrave
J = ൮
1 sin(ϕ)tg(θ) minussin(θ)tg(θ)
0 cos(ϕ) minussin(ϕ)
0ୱ୧୬(ம)
ୡ୭ୱ()
ୡ୭ୱ(ம)
ୡ୭ୱ()
൲ (222)
La matrice J est deacutefinie pour tout θ ne
ଶ+ kπ avec k isin ℤ
En conclusion la relation cineacutematique srsquoeacutecrit
ቀυଵυଶቁ= ൬
R 0ଷlowastଷ
0ଷlowastଷ Jଵ൰൬
ηଵηଶ൰ (223)
Cette relation preacutesente une singulariteacute en θ = plusmn
ଶ
Or physiquement cette valeur est agrave eacuteviter car au voisinage de plusmn
ଶil y aura un
renversement du mini-heacutelicoptegravere Ainsi cette valeur nrsquoest pas atteignable par le mini-
heacutelicoptegravere cest-agrave-dire cette singulariteacute ne preacutesente pas une limitation agrave cette
parameacutetrisation
Chapitre 2 MODELISATION DrsquoUN DRONE A QUATRE HELICES
31
234 Forces Aeacuterodynamiques
Des eacutetudes en soufflerie ont permis de mettre en eacutevidence les diffeacuterentes forces
aeacuterodynamiques appliqueacutees sur les pales et leurs expressions [3738]
Dune maniegravere geacuteneacuterale les actions de lair se deacutecomposent en deux forces
Une force parallegravele agrave la vitesse de lair et de mecircme sens la traineacutee D
Une force perpendiculaire agrave la vitesse de lair la portance L
La somme vectorielle de ces deux forces constitue la reacutesultante des forces
aeacuterodynamiques
Force de portance
La pale se comporte comme une aile tournante de sorte que chaque eacuteleacutement de la pale dr
est en contact avec le flux dair avec une vitesse V induisant une force de portance [38]
dL =ଵ
ଶρCVଶds (224)
Ougrave ρ la densiteacute de lair C le coefficient de portance de lair il deacutepend de la forme du
profil et de langle dattaque (α = γ minus ϕ) (fig 25)
Ainsi pour un propulseur agrave n pales (2 pour le X4) la force de portance quon note f est
f =n
2 ρන VଶC୫ (r)C(r) dr
బ
=୬
ଶ ρ ωଶ int rଶC୫ (r) C(r) dr
బ
Avec
ܥ la corde de la pale (les pales sont similaires)
ω la vitesse angulaire de la pale
le rayon de pale
La force de portance a pour expression
f=ܭωsup2 (225)
Le calcul du coefficient de pousseacutee est souvent complexe Il est essentiel drsquoeacutelaborer
un processus expeacuterimental qui laisse deacuteterminer le coefficient de portance(K)
Chapitre 2 MODELISATION DrsquoUN DRONE A QUATRE HELICES
32
Figure 25 Description des forces appliqueacutees agrave la pale
Force de reacutesistance ou de traineacutee
Gracircce agrave de multiples tests en soufflerie les chercheurs ont pu deacuteterminer lexpression
de la force de traineacutee qui deacutepend directement du profil de la pale et de langle dincidence
[15 37]
Pour un propulseur agrave n pales la force de traineacutee a pour expression
ܯ =
2ߩ න ܥ ݎଶݎ(ݎ)ܥ(ݎ)
ோ
ோభ
Qursquoon note simplement
ܯ = ெܭ ଶ (226)
Avec
ܥ le coefficient de traineacute de lair il deacutepend de la forme du profil et de langle
drsquoattaque
ெܭ le coefficient de reacutesistance agrave deacuteterminer expeacuterimentalement
235 Modegravele dynamique du quadrirotor
Plusieurs auteurs ont eacutetudieacute la modeacutelisation du quadri-rotor Cette eacutetape est
consideacutereacutee comme le premier pas pour construire les lois de commande Le modegravele
Chapitre 2 MODELISATION DrsquoUN DRONE A QUATRE HELICES
33
dynamique obtenu repreacutesente la relation drsquoune part entre les forces et les couples
aeacuterodynamiques provoqueacutes par la rotation des rotors et lrsquoengin et drsquoautre part les
acceacuteleacuterations et de rotations du centre de masse du quadri-rotor Nous preacutesenterons drsquoabord
la dynamique de translation des cordonneacutees carteacutesiennes de la position et la vitesse dans le
repegravere terrestre fixe Ensuite la dynamique de rotation qui deacutecrit lrsquoattitude du drone et son
orientation dans le repegravere terrestre fixe est preacutesenteacutee
Le quadri-rotor est modeacuteliseacute en premiegravere approximation comme un solide indeacuteformable
La position du centre de masse G est deacutefinie par ܩ = (ݖݕݔ) et si on deacuterive une fois
par rapport agrave RG on trouve la vitesse G tel queௗைതതതത
ௗ௧= (ሶݖሶݕሶݔ) On deacuterive deuxiegraveme fois
par rapport agrave RG pour trouver son acceacuteleacuterationௗమைതതതത
ௗ௧మ= (ሷݖሷݕሷݔ)
Pour eacutelaborer la commande on deacutetaille le modegravele dans le repegravere fixe inertiel
Lrsquoeacutequation fondamental de la dynamique est donneacutee par
ௗ ௩ሬ
ௗ௧= ଵሬሬሬ (227)
ௗூಸఆሬሬ
ௗ௧= ଶሬሬሬ (228)
Ougrave υ repreacutesente la vitesse lineacuteaire du drone au centre de graviteacute G Ω la vitesse de
rotation de fuselage par rapport agrave Rୋ et (τ1τ2) les forces et les mouvements exteacuterieurs
soient le poids les forces et les moments aeacuterodynamiques et des propulseurs
2351 La dynamique de translation
La dynamique de translation du quadri-rotor est repreacutesenteacutee par lrsquoeacutequation
dynamique de Newton qui relie lrsquoacceacuteleacuteration lineacuteaire du centre de masse du quadri-rotor
et les forces externes agissant sur le quadri-rotor [7 38 39]
ௗsup2ை
ௗ௧sup2= fraslሬሬሬሬߛ R (229)
Il convient drsquoeacutecrire pour la translation
fraslሬሬሬሬሬߛ R = - eሬ + R ψ θ empty ሬݑ (230)
avec eሬ vecteur uniteacute de E
repreacutesente la constante gravitationnelle
ݑ la pousseacutee appeleacutee aussi entreacutee collective
Chapitre 2 MODELISATION DrsquoUN DRONE A QUATRE HELICES
34
=ሬݑ sum పሬሬସ
ୀଵ (231)
ሬሬሬሬሬߛ൘ = minus Ԧ௭ + ݑ Ԧଷ empty ߠ (232)
eሬଷ vecteur uniteacute de eሬ= (eሬଵ eሬଶ eሬଷ) porteacute par Eଷ
On montre que ݑ eሬଷ = (0 0 ݑଷ
) ougrave ݑଷ
= ଵ + ଶ + ଷ + ସ
La dynamique de translation est reacutegie par
= ሷݔ minus ଷݑߠ
ݕ = ߠݏܥ Sin ଷݑ (233)
=ሷݖ Cosݏܥߠ ଷݑ ndash
2352 Dynamique de rotation
La dynamique de rotation est deacutefinie par rapport au repegravere local mais exprimeacutee dans le
repegravere inertiel Le moment cineacutetique est deacutefinit par
Ԧߪ = ܫ ሬߗ (234)
Alors que la vitesse angulaire dans le repegravere local
=ሬߗ ଶߟܬ Ԧ (235)
A partir des eacutequations (234) et (235) on obtient
=ԦGߪ ܫ ଶߟܬ Ԧ
On pose ߎ = ܫ ܬ et en utilisant lrsquoeacutequation preacuteceacutedente la dynamique des momentssrsquoeacutecrit
ߎ ଶሬሬߟ + ߎ ሬሬextܯsum=ଶሷԦߟ (236)
Ougrave les moments exteacuterieurs par rapport agrave G ( i= i=1hellip4 qui repreacutesente la distance entre G et
i et qui sont identiques)
ሬሬextܯsum = ߠ Ԧ1 + empty Ԧ2+ ψ Ԧ3 (237)
Chapitre 2 MODELISATION DrsquoUN DRONE A QUATRE HELICES
35
Finalement les couples sont donneacutes par
=ߠ ( 2 ndash 4)empty = ( 1 ndash 3) (238)ψ = K ( 1 ndash 2 + 3 ndash 4)
Lrsquoeacutequation peut ecirctre eacutecrite comme
=ሷߟ ୋߎ minus]1-(ߟ) (ߟ)ୋߎ [ሶߟ (239)
Avec = ( ߠ empty ψ )t comme des commandes auxiliaires et
ୋߎ ቌ=(ߟ)
௫௫ܫ emptyݏܥ 0 00 ߠݏܥ emptyݏܥ௬௬ܫ 0
0 0 ௭௭ܫ
ቍ (240)
Dans un premier temps le modegravele donneacute ci-dessus peut ecirctre lineacuteariseacute par les lois de
commande deacutecoupleacutees suivantes
=ߠ ௫௫ܫ minus empty empty ߠ + ௫௫ܫ ǁ emptyݏܥempty = ௬௬ܫ minus sup2 empty ߠݏܥ empty minus emptyݏܥ௬௬ܫ ߠ empty ߠ + ௬௬ܫ emptyǁ emptyݏܥߠݏܥ (241)
ψ = ௭௭ܫ ǁψ
Le modegravele dynamique deacutecoupleacute de la rotation peut ecirctre eacutecrit sous la forme suivante
=ሷߟ ǁ (242)avec
ǁ= (ߠ empty ψ) T
En utilisant le systegraveme drsquoeacutequations 233 et 242 la dynamique du drone peut ecirctre deacutecrite
par les eacutequations suivantes
=ሷݔ - S 3ݑߠ
ݕ = Cߠݏ S empty 3ݑ
=ሷݖ C3ݑ emptyݏܥߠݏ ndash (243)
ߠ = ߠ
empty = empty
ψ = ψ
Chapitre 2 MODELISATION DrsquoUN DRONE A QUATRE HELICES
36
24 Etude des forces deacuteveloppeacutees
On srsquoattache dans cette partie agrave expliciter les actionneurs qui agissent sur le drone il
srsquoagit des quatre forces deacuteveloppeacutees par les heacutelices Afin de calculer la matrice des
actionneurs on construit une matrice qui permet la connexion entre les actionneurs et les
commandes en effet pour trouver ces forces il faut que la matrice Q soit inversible Les
relations entre les forces deacuteveloppeacutees par les actionneurs (les quartes moteurs brushless)
et les commandes dans les diffeacuterentes directions sont introduites pour le systegraveme X4 par
les relations suivantes [15]
ଷݑ = ଵ + ଶ + ଷ+ ସ
ସݑ =
౮౮ୡ୭ୱథଶminus
౯౯ୡ୭ୱథସ +
ୱ୧୬థ Φθ
ୡ୭ୱథ
ହݑ =
౮౮ୡ୭ୱథୡ୭ୱϴ ଵminus
౯౯ୡ୭ୱథୡ୭ୱϴ ଷ +ୱ୧୬థ Φ
మ
ୡ୭ୱథ+
ୗ୧୬ థ Φθ
ୡ୭ୱϴ(244)
ݑ =
ଵ minus
ଶ +
ଷ minus
ସ
On peut eacutecrire lrsquoeacutequation (244) sous la forme matricielle suivante
⎝
⎜⎜⎜⎛
ଷݑ
ସݑ
ହݑ
⎠ݑ
⎟⎟⎟⎞
= Q
⎝
⎜⎜⎜⎛
ଵ
ଶ
ଷ
ସ⎠
⎟⎟⎟⎞
+
⎝
⎜⎜⎜⎜⎛
0
ୱ୧୬థథ θ
ୡ୭ୱథ
ୱ୧୬థథమ
ୡ୭ୱథ+
ୱ୧୬థథ θ
େ୭ୱθ
0 ⎠
⎟⎟⎟⎟⎞
(245)
Avec
=
⎝
⎜⎜⎜⎜⎛
1
0
౯౯ ୡ୭ୱథ େθ
1
౮౮ୡ୭ୱథ
0
minus
1
0
minus
౯౯ ୡ୭ୱథ େθ
1
minus
౮౮ୡ୭ୱథ
0
minus
⎠
⎟⎟⎟⎟⎞
(246)
Chapitre 2 MODELISATION DrsquoUN DRONE A QUATRE HELICES
37
Ougrave
I =
⎝
⎜⎜⎜⎜⎛
0
ୱ୧୬థథ θ
ୡ୭ୱథ
ୱ୧୬థథమ
ୡ୭ୱథ+
ୱ୧୬థథ θ
େθ
0 ⎠
⎟⎟⎟⎟⎞
=
⎝
⎜⎜⎜⎛
ଷݑ
ସݑ
ହݑ
⎠ݑ
⎟⎟⎟⎞
(247)
Les forces sont calculeacutees agrave partir de lrsquoeacutequation suivante
f =
⎝
⎜⎜⎜⎛
ଵ
ଶ
ଷ
ସ⎠
⎟⎟⎟⎞
= Qଵ( minus I) (248)
Les caracteacuteristiques physiques du drone sont donneacutees par
l= 023 mIxx =224931 10-7 kg m2
Iyy =224931 10-7 kg m2
Izz =224931 10-7 kg m2
KT = 10-5 N S2
KM =9 10-6 N S2 mm =2 Kg
25 Conclusion
Dans ce chapitre nous avons preacutesenteacute le modegravele dynamique de mini-heacutelicoptegravere en
utilisant une approche Newton Euler Pour modeacuteliser cette dynamique nous avons vu que
plusieurs niveaux de repreacutesentation peuvent ecirctre considegraveres dynamique des actionneurs
dynamique des rotors processus de geacuteneacuteration de la reacutesultante des forces et des moments
dynamique du solide Ce dernier niveau de repreacutesentation indeacutependant de la configuration
de veacutehicule choisie est celui que nous utiliserons pour la synthegravese de lois de commande
Nous avons preacutesenteacute une modeacutelisation couramment utiliseacutee dans la litteacuterature permettant
de repreacutesenter la dynamique drsquoun drone miniature avec cette approche de type meacutecanique
du solide Le modegravele non lineacuteaire agrave six degreacutes de liberteacute obtenu est sous-actionneacute Cette
Chapitre 2 MODELISATION DrsquoUN DRONE A QUATRE HELICES
38
derniegravere proprieacuteteacute rend complexe la synthegravese de lois de commande Dans le chapitre
suivant la commande du drone par la technique du mode glissant est discuteacutee et appliqueacutee
ainsi que par la commande mode glissant floue
Chapitre3 COMMANDE PAR MODE GLISSANT ET FLOU-GLISSANT
38
Chapitre 3
COMMANDE PAR MODE GLISSANT ET FLOUGLISSANT
Chapitre3 COMMANDE PAR MODE GLISSANT ET FLOU-GLISSANT
39
3 COMMANDE PAR MODE GLISSANT ET FLOUE GLISSANT
31 Introduction
Malgreacute les efforts consideacuterables de la communauteacute automatique le problegraveme lieacute agrave
la commande drsquoun drone agrave modegravele reacuteduit pour les manouvres dans les diffeacuterents axes reste
un problegraveme difficile agrave reacutesoudre Cette difficulteacute est due principalement aux changements
des forces aeacuterodynamiques exerceacutees sur le drone en fonction des paramegravetres de
lrsquoenvironnement dans lequel il eacutevolueacute
Ce chapitre sera consacreacute agrave la conception des lois de commande non lineacuteaires
baseacutees sur la technique du mode glissant pour la commande des mouvements selon les
diffeacuterents axes Dans la premiegravere partie nous preacutesenterons quelques eacuteleacutements de la theacuteorie
par mode glissants agrave structure variable
La deuxiegraveme partie sera consacreacutee agrave la mise on œuvre et agrave la validation de ces techniques
de commande pour la stabilisation et le suivi de trajectoire du drone X4
Nous effectuons des tests en simulations de ces lois de commande dans diffeacuterentes
manouvres et sceacutenarios
32 Theacuteorie de la commande par mode de glissement
321 Systegraveme agrave structure variable
La commande par mode de glissement a connu un deacuteveloppement theacuteorique au
deacutebut des anneacutees 60 gracircce agrave la reacutesolution de lrsquoeacutequation diffeacuterentielle agrave second membre
discontinu par le matheacutematicien Russe A Fillipov [40 41] suivi des recherches de S
emelyanov en 1967 et de V Utkin en 1977 [42 43 44]
Le reacuteglage par modes de glissement est un mode de fonctionnement particulier des
systegravemes agrave structure variable Un systegraveme agrave structure variable est un systegraveme pouvant
changer de structure en faisant commuter sa commande entre deux valeurs suivant une
logique de commutation bien speacutecifique
Dans les systegravemes agrave structure variable avec mode glissant la trajectoire drsquoeacutetat est ameneacutee
vers une surface (hyperplan) puis agrave lrsquoaide de la loi de commutation elle est obligeacutee de
Chapitre3 COMMANDE PAR MODE GLISSANT ET FLOU-GLISSANT
40
rester au voisinage de cette surface Cette derniegravere est dite surface de glissement et le
mouvement le long de laquelle se produit est dit le mouvement de glissement La
trajectoire dans le plan de phase (systegraveme deuxiegraveme ordre) est constitueacutee de trois parties
distinctes (figure 31) [45 46 42 43]
Le mode de convergence (MC)
Durant lequel la variable agrave reacutegler se deacuteplace de nrsquoimporte quel point initial dans le plan de
phase est tend vers la surface de commutation (ݕݔ) = 0 Ce mode est caracteacuteriseacute par la
loi de commande et le critegravere de convergence
Le mode glissement (MG)
Durant lequel la variable drsquoeacutetat a atteint la surface de glissement et tend vers lrsquoorigine du
plan de phase La dynamique dans ce mode est caracteacuteriseacutee par le choix de la surface de
glissement (x y)
Le mode du reacutegime permanent (MRP)
Il est ajouteacute pour lrsquoeacutetude de la reacuteponse du systegraveme autour de sont point drsquoeacutequilibre (origine
du plan de phase) il est caracteacuteriseacute par la qualiteacute et les performances de la commande
Figure 31 Diffeacuterents modes pour la trajectoire dans le plan de phase
322 Conception de la commande par modes glissants
Syntheacutetiser une loi de commande par modes glissants revient en premier lieu agrave choisir la
surface de glissement qui permet la convergence de la trajectoire drsquoeacutetat du systegraveme vers le
point drsquoeacutequilibre deacutesireacute en second lieu agrave eacutetablir la condition drsquoexistence du mode de
glissement qui est relieacutee agrave la convergence de la trajectoire drsquoeacutetat vers le point drsquoeacutequilibre
et en troisiegraveme lieu agrave deacuteterminer la loi de commande qui aura pour rocircle de maintenir les
MC
MRP
MG
( ) =
Chapitre3 COMMANDE PAR MODE GLISSANT ET FLOU-GLISSANT
41
conditions de glissement (attractiviteacute) (Annexe A) En drsquoautre termes la conception de la
loi de commande par modes glissants est reacutealiseacutee en trois eacutetapes [47 48 43 45]
3221 Le choix de la surface de glissement (S)
La surface de glissement est un hyperplan dans lrsquoespace drsquoeacutetat global et repreacutesente
le comportement dynamique deacutesireacute La trajectoire drsquoeacutetat du systegraveme doit atteindre cette
surface Il nrsquoexiste pas de critegravere pour le choix drsquoune surface de glissement approprieacutee
Le choix de la surface du glissement identifieacutee par le nombre et sa forme deacutepend de
lrsquoapplication et lrsquoobjectif deacutesireacute
Consideacuterons le systegraveme non lineacuteaire deacutecrit par lrsquoeacutequation drsquoeacutetat suivante
=ሶݔ +ݔ(ݐݔ)ܣ ݑ(ݐݔ)ܤ (31)
La surface de glissement est une fonction scalaire telle que lrsquoerreur sur la variable agrave reacutegler
glisse sur cette surface et tend vers lrsquoorigine du plan de phase Nous trouvons dans la
litteacuterature diffeacuterentes formes de la surface dont chacune donne de meilleures performances
pour certaines utilisations
Dans certains ouvrage [48 49 42 43 44] on trouve une forme de la surface de
glissement qui est fonction de lrsquoeacutecart sur la variable agrave reacutegler x elle est donneacutee par
(ݔ) = ቀப
ப୲+ λቁ
ଵ
e(ݔ) (32)
Cette surface est drsquousage tregraves pratique car elle minimise le nombre des paramegravetres de
synthegravese de la surface (un seul coefficient) [50]
Ougrave lrsquoeacutecart de la variable agrave reacutegler est (ݔ) = ݔ minus ݔ estߣ une constante positive qui
repreacutesente la pente de la surface de glissement et r le degreacute relatif du systegraveme La
surface de glissement est fonction de lrsquoapplication et lrsquoobjectif viseacutes
La strateacutegie de commande consiste agrave garantir que les trajectoires du systegraveme se deacuteplacent
et tendent vers la surface de glissement (ݔ) = 0
Cette derniegravere et avec une condition initiale e(0) = 0 et (ݐݔ) = 0 devient une eacutequation
homogegravene qui possegravede une solution unique (ݔ) = 0
Chapitre3 COMMANDE PAR MODE GLISSANT ET FLOU-GLISSANT
42
Figure 32 Surface de glissement
3 222 La condition de convergence et drsquoexistence
Les conditions drsquoexistante et de convergence du mode de glissement sont des critegraveres
qui permettent aux dynamiques du systegraveme de converger vers la surface de glissement et
drsquoy rester indeacutependamment de la perturbation Il yrsquoa deux consideacuterations correspondantes
au mode de convergence de lrsquoeacutetat du systegraveme [46]
a) La fonction directe de commutation
Crsquoest la premiegravere condition de convergence Elle est proposeacutee et eacutetudieacutee par Emilyanov
et Utkin [42 43] Il srsquoagit de donner agrave la surface une dynamique convergente vers zeacutero
Elle est donneacutee par
(ݔ) gt 0 Lorsque (ݔ) lt 0
S (x) lt 0 Lorsque S(x) gt 0
Ces deux ineacutegaliteacutes peuvent ecirctre formuleacutes par la condition suffisante suivante
(ݔ) (ݔ) lt 0
b) La fonction de Lyapunov
La fonction de Lyapunov [46 43 44 ] est une fonction scalaire positive (Ѵ(ݔ) gt 0)
pour les variables drsquoeacutetats du systegraveme la loi de commande doit faire deacutecroicirctre cette fonction
(Ѵ (ݔ) lt 0) lrsquoideacutee est de choisir une fonction scalaire S(x) qui garantit lrsquoattraction de la
variable agrave controcircler vers sa valeur de reacutefeacuterence et de construire une commande u telle que
Ѵ(ݔ) =ଵ
ଶଶ(ݔ) (3 3)
( )=0
Chapitre3 COMMANDE PAR MODE GLISSANT ET FLOU-GLISSANT
43
La deacuteriveacutee de cette fonction est Ѵ(ݔ) = (ݔ) (ݔ) (3 4)
Pour que la fonction Ѵ(x) deacutecroitre il suffit drsquoassurer que sa deacuteriveacutee est neacutegative Ceci
nrsquoest permis que si la condition (34) est veacuterifieacutee Lrsquoeacutequation (33) explique que le carreacute de
la distance vers la surface mesureacutee par ଶ(ݔ) diminue tout le temps contraignant la
trajectoire du systegraveme agrave se diriger vers la surface dans les deux cocircteacutes [50]
3223 Deacutetermination de la commande
Une fois la surface de glissement S choisie stable de sorte que la sortie du systegraveme
converge vers une sortie deacutesireacutee la convergence du mode glissant est assureacutee on eacutelabore
une commande qui forcera les eacutetats du systegraveme agrave atteindre le point drsquoeacutequilibre tout en
maintenant la condition du mode glissant
La structure drsquoun controcircleur par mode de glissement peut ecirctre deacutecomposeacutee en une somme
de deux commandes [51 52 43 44 53]
ݑ = ݑ + ݑ (35)
ݑ eacutetant la commande eacutequivalente qui sert agrave maintenir lrsquoeacutetat sur la surface de glissement
(ݔ) = 0 et ݑ eacutetant la commande stabilisante (elle est deacutetermineacutee afin de veacuterifier la
condition de convergence en deacutepit de lrsquoimpreacutecision sur les paramegravetres et le modegravele)
La deacuteriveacutee totale par rapport au temps de cette surface est
S(ݐݔ) =partS
partt=
partS
ݔpart∙ ሶݔ (36)
Comme lrsquoeacutequation drsquoeacutetat est
=ሶݔ +ݔ(ݐݔ)ܣ ݑ(ݐݔ)ܤ + ݑ(ݐݔ)ܤ (37)
On a alors
S(ݐݔ) =partS
partt=
part
part௫∙ ൫ݔ(ݐݔ)ܣ+ +൯ݑ(ݐݔ)ܤ
partS
part௫ݑ(ݐݔ)ܤ (38)
En reacutegime ideacuteale la deacuteriveacutee de la surface est nulle la commande appliqueacutee au systegraveme est
la commande eacutequivalente ݑ par conseacutequent
൜ݑ = 0
(ݐݔ) = 0 (39)
Si la matrice ቀడௌ
డ௫∙ ቁest(ݐݔ)ܤ inversible lrsquoexpression de la commande eacutequivalente est
donneacutee par
=minusቀݑడௌ
డ௫∙ ቁ(ݐݔ)ܤ
ଵ
∙డௌ
డ௫∙ (ݐݔ)ܣ (310)
Chapitre3 COMMANDE PAR MODE GLISSANT ET FLOU-GLISSANT
44
Donc en remplaccedilant la commande eacutequivalente par son expression (310) dans (38) on
obtient
S(ݐݔ) =partS
ݔpart∙ (ݐݔ)ܤ ∙ ݑ (311)
Nous choisissons pour simplifier une surface de glissement qui veacuterifie la relation
பୗ
ப௫∙ (ݐݔ)ܤ = ܫ (312)
Ougrave I est la matrice identiteacute
Ainsi
(ݐݔ) = ݑ (313)
La commande discontinue est choisie de maniegravere agrave satisfaire la condition suffisante
drsquoexistence des modes glissants Il existe plusieurs formes pour cette commande ougrave la
condition drsquoexistence est veacuterifieacutee
ݑ = ܭminus ݏ ( ) (314)
Ougrave sign(( ((ݐݔ) est la fonction deacutefinie par
s (( ((ݐݔ) = ൜ݏ 1minus (ݐݔ) lt 0
1 ݏ (ݐݔ) gt 0 (315)
Avec K gt 0
(ݔ) (ݔ) = ܭminus ݏ ( ) lt 0 (316)
Ou encore
= ܭminus | | lt 0 (317)
323 Le pheacutenomegravene de reacuteticence
Le pheacutenomegravene de reacuteticence ℎݐݐ ݎ (fig33) est le principal inconveacutenient de la
technique de commande par mode glissant aux systegravemes physiques Ce pheacutenomegravene
conduit quelque fois agrave un nombre eacuteleveacute drsquooscillations de la trajectoire du systegraveme autour de
la surface de glissement est donc agrave des sollicitations excessives des actionneurs pouvant
provoquer leur usure rapide ainsi que des pertes eacutenergeacutetiques non neacutegligeables au niveau
des circuits de puissance eacutelectrique Il est ducirc drsquoune part agrave lrsquoimperfection des eacuteleacutements de
commutation ou des limites technologiques telles que les retards aux niveaux des
commutations [45 50]
Chapitre3 COMMANDE PAR MODE GLISSANT ET FLOU-GLISSANT
45
Figure 33 Pheacutenomegravene de chattering
324 Adoucissement de la commutation
Pour remeacutedier agrave lrsquoeffet de broutement de nombreuses eacutetudes ont eacuteteacute effectueacutees dans le
but de reacuteduire ou drsquoeacuteliminer ce pheacutenomegravene [ 50] Lrsquoune drsquoentre elles consiste agrave remplacer
la fonction sign par des approximations continues de type grand gain dans un voisinage de
la surface telles que la fonction de saturation deacutefinie par (voir figure 34)
Figure 34 Fonctions de commutation
La fonction sat(S(t)) est exactement eacutegale agrave la commutation sign(S(t)) agrave lexteacuterieur de la
couche limite φ Par conseacutequent ceci rend lanalyse vis-agrave-vis des erreurs de perturbation
plus facile Ceci nest pas le cas des autres fonctions comme smooth et comarctg pour
lesquels le choix de φ nest pas simple
33 Stabilisation du drone X4 par la meacutethode mode glissant
Dans cette partie en nous basant sur la strateacutegie de controcircle par mode glissant
deacutecrite dans les paragraphes preacuteceacutedents nous deacuteveloppons un vecteur de commande
ݐeacuteݎ
( )=0
sat (S(t))
φ
minusφ S(t)
Smooth(S(t))
S(t)
Penteଵ
ఝ Penteଵ
ଵఝ
arctg(S(t)
S(t)
Chapitre3 COMMANDE PAR MODE GLISSANT ET FLOU-GLISSANT
46
assurant le suivi et la stabiliteacute du quadri-rotors Rappelons le modegravele dynamique du X4
preacutesenteacute sous sa forme simplifieacutee suivante
=ሷݔ minus ଷݑߠݏ =ሷݕ emptyݏ ଷݑߠݏ =ሷݖ ߠݏ ଷݑ emptyݏ minus (318)
ߠ = ସݑempty = ହݑ = ݑ
331 Commande par mode glissant du systegraveme de translation lineacuteaire
3311 Controcircle de lrsquoaltitude
Nous remarquons que la commande u3 agit directement sur la variable drsquoaltitude z
contrairement aux commandes u4 et u5 qui agissent sur les variables x et y agrave travers les
angles ߠ et empty
Consideacuterons lrsquoeacutequation
=ሷݖ cos ଷݑ(empty) cos(ߠ) minus (319)
La surface est deacuteduite de lrsquoeacutequation (34) ougrave le degreacute relatif est pris eacutegal agrave deux afin que la
commande ଷݑ apparaisse explicitement dans sa deacuteriveacutee Elle est donneacutee par
(ݖ) = ሶ௭ + ௭ߣ ௭ (320)
Avec
௭ = ݖ minus z
ሶ௭ = ሶݖ minus ሶݖ
La deacuteriveacutee de la surface est
(ݖ) = ௭ + ௭ߣ ሶ௭ (321)
Avec ሷ௭ = ሷݖ minus ሷݖ
On remplace ሷparݖ sa valeur deacutecrite par lrsquoeacutequation (318) la deacuteriveacutee de la surface devient
(ݖ) = ሷݖ minus (ୡ୭ୱ(ఏ)ୡ୭ୱ (empty)
ଷݑ minus ) + ሶݖ)௭ߣ minus (ሶݖ (322)
Nous constatons donc que la commande apparaicirct explicitement dans la deacuteriveacutee de la
surface
Nous deacutecomposant la commande de lrsquoaltitude u3 en deux parties ଷݑ et ଷݑ
Chapitre3 COMMANDE PAR MODE GLISSANT ET FLOU-GLISSANT
47
ଷݑ = ଷݑ + ଷݑ (323)
En substituant lrsquoeacutequation 323 dans 322 nous obtenons
(ݖ) = ሷݖ minus (ୡ୭ୱ(ఏ)ୡ୭ୱ (empty)
( ଷݑ + (ଷݑ minus ) + ሶݖ)௭ߣ minus (ሶݖ (324)
Durant la mode de convergence et le reacutegime permanent nous avons la surface de
glissement (ݖ) = 0 ceci implique que sa deacuteriveacutee (ݖ) = 0 et la commande
discontinue ଷݑ = 0 drsquoougrave la grandeur de commande eacutequivalente
ଷݑ =
௦(ఏ)௦ (empty)൬ + ሶݖ௭ቀߣ+ሷݖ minus ሶቁ൰ݖ (325)
Durant le mode de convergence en remplaccedilant lrsquoexpression de la commande eacutequivalente
dans lrsquoexpression de la deacuteriveacutee de la surface nous obtenons
(ݖ) = minus௦(ఏ)௦ (empty)
ଷݑ (326)
Nous posons ଷݑ = ௭ ݏ ( ((ݖ) (327)
Afin de veacuterifier la condition de stabiliteacute de Layapunov S(z) S(z) lt 0 le paramegravetre ௭ doit
ecirctre positif
Drsquoougrave la commande ଷݑ devient comme suit
ଷݑ =
௦(ఏ)௦ (empty)൬ + ሶݖ௭ቀߣ+ሷݖ minus +ሶቁ൰ݖ ௭ ݏ ((ݖ)ݏ) (328)
33 12 Controcircle de deacuteplacement lineacuteaire suivant les axes et y
A partir du modegravele du X4 donneacute par lrsquoeacutequation (243) on voit clairement que le
deacuteplacement suivant les axes x et y deacutepend de la commande de pousseacutee ଷݑ Drsquoougrave
lrsquoorientation du vecteur total de pousseacutee ଷݑ responsable pour atteindre les mouvements
lineacuteaires deacutesireacutes Si nous consideacuterons ux = sin(ϴ) et uy = cos(ϴ)sin (empty) les orientations du
vecteur responsable pour les mouvements suivant les axes x et y respectivement Nous
pouvons par la suite tirer les angles pitch et roulis deacutesireacutes pour calculer les commandes ux
et uy
A partir du modegravele du drone le systegraveme dynamique des mouvements horizontale est
deacutefinis par
൜=ሷݔ minus ݏ ߠ) ଷݑ(
=ሷݕ cos (empty) ݏ (ߠ) ଷݑ (329)
Chapitre3 COMMANDE PAR MODE GLISSANT ET FLOU-GLISSANT
48
La loi de commande est obtenue par lrsquoutilisation de la technique mode glissant [54 55 56]
Les surfaces de glissement selon les axes x et y sont donneacutees par
(ݔ) = ሶ௫ + ௫ߣ ௫ (330)
(ݕ) = ሶ௬ + ௭ߣ ௬ (331)
Avec ex et ey les erreurs de positions qui sont deacutefinis par
௫ = ݔ minus ݔ
௬ = ݕ minus ݕ
Les mecircmes eacutetapes sont utiliseacutees pour deacuteterminer les commande de positions ௫etݑ ௬ݑ
௫ݑ =
௨య൫minusߣ௫൫ݔሶ minus minusሶ൯ݔ minusሷ൯ݔ ௫ ݏ ((ݔ)ݏ)ݐ (332)
௬ݑ =
௨య൫ߣ௬൫ݕሶ minus +ሶ൯ݕ +ሷ൯ݕ ௬ ݏ ((ݕ)ݏ)ݐ (333)
332 Commande par mode glissant du systegraveme de rotation
3321 Commande de lrsquoangle de roulis
Dans cette section on veut eacutetablir une commande par mode glissant qui assure
lrsquoorientation du drone par lrsquoangle empty (roulis)
Le degreacute relatif eacutegal agrave deux drsquoougrave la surface de glissement est deacutefinie par
(empty) = ሶempty + emptyߣ empty (334)
Avec
empty = empty minusempty
ሶempty = empty minus empty
La deacuteriveacutee de la surface est
(empty) = empty + emptyߣ ሶempty (335)
Avec ሷempty = empty minus empty
On remplace empty par sa valeur deacutecrite par lrsquoeacutequation (318) la deacuteriveacutee de la surfacedevient
(empty) = empty minus ହݑ + empty)emptyߣ minus empty) (336)
Nous constatons donc que la commande apparaicirct explicitement dans la deacuteriveacutee de la
surface
Nous deacutecomposant la commande de lrsquoaltitude u5 en deux parties ହݑ et ହݑ
ହݑ = ହݑ + ହݑ (337)
En substituant lrsquoeacutequation 337 dans 336 nous obtenons
(empty) = empty minus ହݑ ) + (ହݑ + empty)emptyߣ minus empty) (338)
Chapitre3 COMMANDE PAR MODE GLISSANT ET FLOU-GLISSANT
49
Durant le mode de convergence et le reacutegime permanent nous avons la surface de
glissement (empty) = 0 ceci implique que sa deacuteriveacutee (empty) = 0 et la commande
discontinue ହݑ = 0 drsquoougrave la grandeur de commande eacutequivalente
ହݑ = empty+ߣemptyቀempty minus emptyቁ (339)
En remplaccedilant lrsquoexpression de la commande eacutequivalente dans lrsquoexpression de la deacuteriveacutee de
la surface nous obtenons
(empty) = ହݑ minus (340)Nous posons
ହݑ = kempty sign(s(empty)) (341)
Afin de veacuterifier la condition de stabiliteacute de Laypunov (empty) (empty) lt 0 le paramegravetre empty
doit ecirctre positif
Drsquoougrave la commande ହݑ devient comme suit
ହݑ = empty+ߣemptyቀempty minus emptyቁ+ empty ݏ ( (empty)) (342)
3321 Commande des angles de tangage et de lacet
En suivant les mecircmes eacutetapes deacutecrites preacuteceacutedemment pour deacuteterminer les commandes de
tangage et de lacet ce qui nous donne [54 55 56]
ସݑ = ߠఏቀߣ+ߠ minus +ቁߠ ఏܭ ݏ ((ߠ)ݏ) (343)
ݑ = +ߣట ቀ minus ቁ+ kట sign(s()) (344)
Avec(ߠ) = ሶఏ + ఏߣ ఏ (345)
() = ሶట + టߣ ట (346)
34 Planification de trajectoire et reacutesultats de simulations
Nous travaillons avec une trajectoire en ligne droite le long des axes etݔݖ ݕ et nous
effectuons des trajectoires de type arc ou bien demi-cercle La stabilisation point par point
est utiliseacutee avec la planification de mouvement Le drone doit voler dans la direction ݖ (vol
vertical) suivi par un mouvement suivant ݔ ensuite par un mouvement suivant ݕ [2 15]
La trajectoire de reacutefeacuterence pour le vol vertical est parameacutetreacutee par lrsquoeacutequation suivante
(ݐ)ݖ = ℎௗ௧ఱ
௧ఱାቀ భ௧ቁ
ఱ (347)
Chapitre3 COMMANDE PAR MODE GLISSANT ET FLOU-GLISSANT
50
Avec h lrsquoaltitude deacutesireacutee de 10 m et Tଵ est le temps final Sachant que la valeur finale
drsquoune phase du vol est la valeur initiale du mouvement suivant x On peut eacutecrire la
trajectoire de reacutefeacuterence suivant x comme
(ݐ)ݔ = ℎௗቀ௧
భቁఱ
ቀ௧ మቁ
ఱା൬
భቀ௧ మቁ൰
ఱ (348)
On peut eacutecrire le mouvement suivant y avec la formule suivante
(ݐ)ݕ = ℎௗቀ௧
మቁఱ
ቀ௧ యቁఱା൬
మቀ௧ యቁ൰
ఱ (349)
ଶ est le temps final du mouvement le long de ݔ
ଷ est le temps final du mouvement le long de ݕ
Ces trajectoires sont soumises agrave des contraintes de performance qui sont
(0)ݖ = ൫ݔ ଵ൯=ݕ൫
ଶ൯= 0
൫ݖ ଵ൯= ൫ݔ
ଶ൯=ݕ൫ ଷ൯= ℎௗ
ሶ(0)ݖ = ሶ൫ݔ ଵ൯=ݕሶ൫
ଶ൯= 0
ሶ൫ݖ ଵ൯= ሶ൫ݔ
ଶ൯=ݕሶ൫ ଷ൯= 0 (350)
ሷ(0)ݖ = ሷ൫ݔ ଵ൯=ݕሷ൫
ଶ൯= 0
ሷ൫ݖ ଵ൯= ሷ൫ݔ
ଶ൯=ݕሷ൫ ଷ൯= 0
Minimiser le temps de deacuteplacement implique que lrsquoengin acceacutelegravere au deacutepart et deacuteceacutelegravere agrave
lrsquoarriver
La figure 35 illustre les trajectoires de reacutefeacuterences des vols suivant les directions x et y
ainsi que le vol vertical z Le drone effectue un mouvement vertical de 10 m puis un
mouvement suivant x drsquoune distance de 10 m ensuite un mouvement suivant y de la mecircme
Chapitre3 COMMANDE PAR MODE GLISSANT ET FLOU-GLISSANT
51
distance
Figure 35 Geacuteneacuteration de trajectoire avec =
Nous travaillons aussi avec des trajectoires pour faire par exemple des virages Un virage
est mateacuterialiseacute par un arc de cercle de rayon ߩ et drsquoangle (ݐ)ߙ (angle de virage)
Cette deacutependance du temps de ߙ implique qursquoon peut planifier la maniegravere dont on veut
aborder le virage Ainsi on peut planifier une acceacuteleacuteration ou une deacuteceacuteleacuteration dans un
virage De mecircme lrsquoangle ߙ qui agit directement sur le comportement du lacet peut
prendre des valeurs entre zeacutero pour un changement de direction ou ߨ2 pour contourner
un carrefour
Nous proposons de connecter etݖ ݔ agrave travers les eacutequations suivantes
ቊ(ݐ)ௗݔ = +൯(ݐ)ߙcos൫ߩminus ߩ
(ݐ)ௗݖ = +൯(ݐ)ߙsin൫ߩminus ߩ (351)
Et pour la transition de reacutefeacuterence entre ݔ et ݕ on prend
ቊ(ݐ)ௗݔ = +൯(ݐ)ߙsin൫ߩ ௗ൫ݔ
ଶ൯
(ݐ)ௗݕ = +൯(ݐ)ߙsin൫ߩminus ߩ (352)
Pour assurer la continuiteacute entre les deacuteriveacutees par rapport au temps de (ݐ)ௗݔ et (ݐ)ௗݕ crsquoest-agravedire en vitesse on a
0 5 10 15 20 250
2
4
6
8
10
12
z-re
f(m
)
temps (s)
0 5 10 15 20 250
2
4
6
8
10
12
x-r
ef(m
)
temps (s)
0 5 10 15 20 250
2
4
6
8
10
12
y-r
ef(m
)
temps (s)
05
10
0
10
200
5
10
x-deacuteplacementy-deacuteplacementz-
deacutep
lace
men
t
Chapitre3 COMMANDE PAR MODE GLISSANT ET FLOU-GLISSANT
52
(ݐ)ߙ =ఈ(௧ ௧)ఱ
(௧ ௧)ఱା(௧ ௧)ఱ(353)
Ougrave numeacuteriquement =ߩ 2 ௗߙ = ఈగ
ଶ( ఈ = 12) ݐ = ݏ6 ݐ = ݏ8 ௗ൫ݔ
ଶ൯=
ௗ൫ݕ ଷ൯= ℎௗ + =ߩ 10
Figure 36 une trajectoire de reacutefeacuterence avec arcs
Simulation numeacuterique
Dans cette partie nous testons numeacuteriquement la performance du vecteur de commande
deacuteveloppeacute preacuteceacutedemment en utilisant logiciel Matlab Simulink
Les coefficients de gain kx ky kz ఏ empty associeacutes respectivement aux paramegravetres x y z ߠempty et sont donneacutes par ( 5 4 10 10 5)
௭ߣ = 2 ௫ߣ = 5 ௬ߣ = 2 ఏ=10ߣ et emptyߣ = 5
Par la suite nous affichons les reacutesultats numeacuteriques du suivi de trajectoire de reacutefeacuterence en
absence et en preacutesence des perturbations
02
46
810
1214
02
46
810
120
2
4
6
8
10
12
Deacuteplacement suivant (x)Deacuteplacement suivant (y)
Deacutepla
cem
ent
suiv
ant
(z)
Chapitre3 COMMANDE PAR MODE GLISSANT ET FLOU-GLISSANT
53
Figure 37 La trajectoire de reacutefeacuterence et reacuteelle en cas droites
Figure 38 Les commandes u3 u4 u5 des connexions droites
02
46
810
12
02
46
810
120
2
4
6
8
10
12
Deacuteplacement suivant (x)Deacuteplacement suivant (y)
Deacute
pla
ce
me
nt
su
iva
nt
(z)
Trajectoire reacuteelle
Trajectoire reacutefeacuterence
0 5 10 15 20 250
20
40
u3(N
)
0 5 10 15 20 25-10
0
10
u4(N
m)
0 5 10 15 20 25-10
0
10
u5(N
m)
temps (s)
Chapitre3 COMMANDE PAR MODE GLISSANT ET FLOU-GLISSANT
54
Figure 39 Les erreurs pour des connections droites
Figure 310 Les angles de tangage et de roulis pour des connections droites
0 5 10 15 20 25 30 35-5
0
5x 10
-4
z-e
rreur(m
)
0 5 10 15 20 25 30 35-5
0
5x 10
-3
x-e
rreur(m
)
0 5 10 15 20 25 30 35-5
0
5x 10
-5
y-e
rreur(m
)
temps (s)
0 5 10 15 20 25
-05
0
05
angle
theta
(rad)
0 5 10 15 20 25
-05
0
05
angle
phi(rad)
temps (s)
Chapitre3 COMMANDE PAR MODE GLISSANT ET FLOU-GLISSANT
55
Figure 311 La trajectoire de reacutefeacuterence et reacuteelle en cas drsquoarcs
Figure 312 Les commandes u3 u4 u5 des connexions drsquoarcs
0
5
10
15
0
5
10
150
5
10
15
deacuteplacement suivant (x)deacuteplacement suivant (y)
deacutepla
cem
entsuiv
ant(z
)
Trajectoire reacuteelle
Trajectoire reacutefeacuterence
0 5 10 15 20 25 30 350
20
40
u3(N
)
0 5 10 15 20 25 30 35
-10
0
10
u4(N
m)
0 5 10 15 20 25 30 35-10
0
10
u5(N
m)
temps (s)
Chapitre3 COMMANDE PAR MODE GLISSANT ET FLOU-GLISSANT
56
Figure 313 Les erreurs pour des connexions drsquoarcs
Figure 314 Les angles de tangage et de roulis en cas drsquoarcs
0 5 10 15 20 25 30 35-5
0
5x 10
-4
z-e
rreur(m
)
0 5 10 15 20 25 30 35-5
0
5x 10
-3
x-e
rreurr
(m)
0 5 10 15 20 25 30 35-5
0
5x 10
-5
y-e
rreur(m
)
temps (s)
0 5 10 15 20 25 30 35
-05
0
05
angle
theta
(rad)
0 5 10 15 20 25 30 35
-05
0
05
angle
phi(rad)
temps (s)
Chapitre3 COMMANDE PAR MODE GLISSANT ET FLOU-GLISSANT
57
Figure 315 La trajectoire de reacutefeacuterence et reacuteelle en cas des demi-cercles
Figure 316 Les commandes u3 u4 u5 pour des connexions demi-cercles
-10
010
20
30
-5
0
5
100
5
10
15
20
25
deacuteplacement suivant (x)deacuteplacement suivant (y)
deacutepla
cem
entsuiv
ant(z
)
Trajectoire reacuteelle
Trajectoire reacutefeacuterence
0 10 20 30 40 50 60 70 80 900
10
20
30
u3(N
)
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90-5
0
5
u4(N
m)
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90-5
0
5
u5(N
m)
temps (s)
Chapitre3 COMMANDE PAR MODE GLISSANT ET FLOU-GLISSANT
58
Figure 317 Les erreurs pour des connexions demi-cercles
Figure 318 Les angles pour des connexions demi-cercles
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90-2
0
2x 10
-3
z-e
rreur(m
)
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90-5
0
5x 10
-4
x-e
rreur(m
)
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90-5
0
5x 10
-4
y-e
rreur(m
)
temps (s)
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90
-05
0
05
angle
theta
(rad)
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90
-05
0
05
angle
phi(rad)
temps (s)
Chapitre3 COMMANDE PAR MODE GLISSANT ET FLOU-GLISSANT
59
Figure 319 La trajectoire de reacutefeacuterence et reacuteelle en cas des demi-cercles
Figure 320 La trajectoire de reacutefeacuterence et reacuteelle en cas drsquoheacutelicoiumldale
-4
-20
2
4
-2
0
2
40
5
10
15
20
25
deacuteplacement suivant (x)deacuteplacement suivant (y)
deacutepla
cem
entsuiv
ant(z
)
Trajectoire reacuteelle
Trajectoire reacutefeacuterence
0
5
10
15
0
5
10
150
5
10
15
deacuteplacement suivant (x)deacuteplacement suivant (y)
deacutepla
cem
ent
suiv
ant
(z) Trajectoire reacuteelle
Trajectoire reacutefeacuterence
Chapitre3 COMMANDE PAR MODE GLISSANT ET FLOU-GLISSANT
60
Figure 321 La trajectoire de reacutefeacuterence et reacuteelle en cas drsquoun cocircne
Les figures 37 38 et 39 illustrent respectivement la reacutealisation des connexions droites
les signaux de commandes et des erreurs Nous constatons que la trajectoire parcourue par
le drone suit la trajectoire deacutesireacutee avec des erreurs de tregraves faibles valeurs Pour les
commandes la condition de lrsquoeacutetat drsquoeacutequilibre est toujours veacuterifieacutee apregraves avoir effectueacute une
manœuvre ଷݑ) est approximativement eacutegale agrave mg et les commandes ସݑ et ହݑ tendent vers
zero)
La figure (310) preacutesente lrsquoeacutevolution des angles de tangage et de roulis nous observons que
ces angles ne se manifestent que lors drsquoun mouvement effectueacute respectivement suivant les
axes ݔ et ݕ et tendent vers la valeur zeacutero apregraves avoir fait lrsquoorientation deacutesireacutee
Les figures (311) et (315) montrent respectivement la bonne poursuite de la trajectoire
reacuteelle vers sa reacutefeacuterence pour des connexions arcs et demi-cercle
Les figures (312) (313) et (314) illustrent respectivement les reacutesultats de simulation
pour la reacutealisation des connexions en arcs les signaux de commandes les erreurs et les
angles de tangage et de roulis
Les figures (316) et (317) quant agrave elles illustrent respectivement les signaux de
commande et les erreurs de poursuite pour des connexions en demi-cercle La condition de
lrsquoeacutetat drsquoeacutequilibre dans ce cas est toujours veacuterifieacutee apregraves avoir effectueacute les manouvres en
demi-cercle
-2
-10
1
2
-2
-1
0
1
20
1
2
3
4
5
deacuteplacement suivant (x)deacuteplacement suivant (x)deacuteplacement suivant (y)
deacutepla
cem
entsuiv
ant(z
)
trajectoire reacuteelle
Trajectoire reacutefeacuterence
Chapitre3 COMMANDE PAR MODE GLISSANT ET FLOU-GLISSANT
61
Drsquoapregraves la figure (318) on voit bien que les angles de tangage et de roulis tendent vers la
valeur zeacutero apregraves avoir fait lrsquoorientation deacutesireacutee
Les figures (319) (320) et (321) montrent la bonne poursuite des trajectoires reacuteelles agrave
leurs reacutefeacuterences en 3D pour des connexions demi-cercle (deuxiegraveme forme) heacutelicoiumldale et
cocircne respectivement Drsquoapregraves ces figures on voit clairement les bonnes performances de la
commande par mode glissant
341 Etude de robustesse
Nous nous inteacuteressons dans cette partie aux tests de la robustesse des controcircleurs
deacuteveloppeacutes Nous nous placcedilons toujours dans le cadre de la commande du drone X4 dans
le cas de lrsquoinfluence du vent suivant les diffeacuterents axes du mouvement
Selon le principe drsquoinertie (lois du mouvement de Newton) aucune eacutenergie nrsquoest
neacutecessaire pour maintenir le mouvement uniforme drsquoun corps dans le vide Dans le cas du
X4 une reacutesistance ou une force de traineacutee srsquooppose au mouvement de celui-ci en vol et
crsquoest le travail de cette force qui entraine une consommation suppleacutementaire drsquoeacutenergie aux
niveaux des actionneurs et qui affaiblit ses capaciteacutes en vol Cette force de reacutesistance peut
ecirctre calculeacutee comme suit [15]
=ܨଵ
ଶ௫ܥ ܣߩ
ଶ (354)
Fi la force de traineacutee suivant lrsquoaxe i en [N]
V est la vitesse relative en [ms]
A lrsquoaire caracteacuteristique de la surface frontale de la structure du drone [m2]
ρ la masse volumique du drone en [Kgm3]
Lrsquoexpression de lrsquoeacutequation 3 65 introduit un coefficient de traineacutee sans dimention Cx qui
deacutepend de la structure du X4 et qui est deacutetermineacute expeacuterimentalement en soufflerie
Ce coefficient vaut dans le cas du drone X4
-Cx = 005 suivant le deacuteplacement dans les directions x et y
-Cx = 008 suivant le deacuteplacement dans la direction z
Lrsquoaire caracteacuteristique A de la surface frontale de la structure drone est eacutegale agrave A =
0031[m2] avec une masse volumique estimeacutee eacutegale agrave ρ =122 [Kgm3]
Reacutesultat de simulation
Dans cette partie nous testons numeacuteriquement la performance du vecteur de
commande deacuteveloppeacute preacuteceacutedemment en preacutesence des perturbations externes qui sont
donneacutes par
Chapitre3 COMMANDE PAR MODE GLISSANT ET FLOU-GLISSANT
62
Ax =Ay = Az = 67 N pour t1=15s t2=20s et t3=30s
Ap = Aq = Ar = 1 Nm pour t4 = 32s et t5 = 35s
Les figures (322) (323) (324) (325) (326) illustrent les reacutesultats de la simulation dans
le cas drsquoune force de traineacutee opposeacutee de Ftrn = 65 N pour les deacuteplacements suivant les
directions z x et y respectivement Ainsi lrsquoapplication drsquoun couple reacutesistant pour les
orientations ߠ et empty de valeur 1Nm Drsquoapregraves ces figures on remarque que les erreurs sont
importantes et peuvent augmenter avec lrsquoaugmentation de la perturbation
Figure 322 La trajectoire de reacutefeacuterence et reacuteelle en cas des demi-cercles
02
46
810
1214
0
5
10
150
2
4
6
8
10
12
diplacement suivant (x)diplacement suivant (y)
dip
lacem
ent
suiv
ant
(z)
Trajectoire reacuteelle
trajectoire reacutefeacuterence
0 5 10 15 20 25 30 35 400
50
u3(N
)
0 5 10 15 20 25 30 35 40-60-40-20
020
u4(N
m)
0 5 10 15 20 25 30 35 40
-50
0
50
u5(N
m)
temps (s)
Chapitre3 COMMANDE PAR MODE GLISSANT ET FLOU-GLISSANT
63
Figure 323 Les commandes u3 u4 u5 des connexions demi-cercles
Figure 324 Les erreurs pour des connexions demi-cercles
Figure 325 Les angles pour des connexions demi-cercles
0 5 10 15 20 25 30 35 40
-05
0
05
1
angle
theta
(rad)
0 5 10 15 20 25 30 35 40
-1
-05
0
05
1
angle
phi(r
ad)
temps (s)
0 5 10 15 20 25 30 35 40-05
0
05
z-e
rreur
(m)
0 5 10 15 20 25 30 35 40-05
0
05
x-e
rreurr
(m)
0 5 10 15 20 25 30 35 40
-05
0
05
y-e
rreur
(m)
temps (s)
Chapitre3 COMMANDE PAR MODE GLISSANT ET FLOU-GLISSANT
64
Figure 326 Les forces pour des connexions demi-cercles
35 Commande du drone par mode glissant agrave action inteacutegrale
Lrsquoutilisation des fonctions drsquoadoucissement empecircche lrsquoexistence dun mode de glissement
ideacuteal Par conseacutequent il est important de connaicirctre le comportement du systegraveme boucleacute
lorsque nous introduisons une des fonctions dadoucissement preacuteceacutedentes
Dans le but de compenser lrsquoerreur en reacutegime permanent on peut ajouter un terme inteacutegral
dans la surface de glissement [57 58 59] Ce perfectionnement (agrave lrsquoinstar drsquoautres) est
introduit a priori et justifieacute par des essais sur des systegravemes particuliers
Notre objectif dans ce paragraphe est de concevoir une nouvelle approche baseacutee sur la
theacuteorie de la commande agrave structure variable en introduisant lrsquoaction inteacutegrale sans
toutefois perdre les proprieacuteteacutes de la commande par mode glissant
Dans cette partie nous preacutesentons la deacutetermination de la loi de commande pour la
direction suivant lrsquoaxe z par lrsquointroduction de lrsquoaction inteacutegral dans la surface
La surface de glissement sera deacutefinie par
0 5 10 15 20 25 30 35 400
5
10
15F
1(N
)
0 5 10 15 20 25 30 35 400
5
10
15
F2
(N)
0 5 10 15 20 25 30 35 4005
1015
F3
(N)
0 5 10 15 20 25 30 35 4005
1015
F4
(N)
temps (s)
Chapitre3 COMMANDE PAR MODE GLISSANT ET FLOU-GLISSANT
65
(ݖ) = ሶ௭ + ௭ߣ ௭ + int ௭ݐ (355)
Ainsi que sa deacuteriveacutee est
(ݖ) = ௭ + ௭ߣ ሶ௭ + ௭ (356)
La commande drsquoaltitude ଷݑ est calculeacutee par la relation suivante
ଷݑ = ଷݑ + ଷݑ (357)
La commande ݑ est deacutetermineacutee par reacutegime glissant ideacuteal
ଷݑ =
௦ ఏ ௦ empty൬ + ሷݖ + ሶݖ௭ቀߣ minus +ሶቁݖ ൫ݖ minus ൯൰ݖ (358)
Par la technique du mode glissant on deacuteduit la forme suivante pour la commande ଷݑ
ଷݑ =
௦ ఏ ௦ empty൬ + ሷݖ + ሶݖ௭ቀߣ minus +ሶቁݖ ቀݖ minus minusቁ൰ݖ ௭ ݏ )ݐ ((ݖ) (359)
Nous suivons les mecircmes eacutetapes deacutecrites preacuteceacutedemment pour deacuteterminer les commandes du
drone X4 ce qui nous donne
⎩⎪⎪⎪⎨
⎪⎪⎪⎧ ௫ݑ =
௨య൫minusߣ௫൫ݔሶ minus minusሶ൯ݔ ሷݔ + k୧൫x ndash x ൯൯minus ௫ ݏ ൫ݐ ൯(ݔ)
௬ݑ =
௨యቀߣ௬൫ݕሶ minus +ሶ൯ݕ ሷݕ + k୧൫y ndash y ൯ቁndash ௬ ݏ )ݐ (ݕ)
ସݑ = ఏߣ+ߠ ቀߠ ndash +ቁߠ k୧൫ߠ ndashߠ൯+ ఏܭ ݏ ൯(ߠ)ݏ൫ݐ
ହݑ = empty+ߣempty ቀempty minus emptyቁ+ k୧൫empty minus empty ൯+ empty ݏ ൫ݐ (empty)൯
ݑ = +ߣట ቀ minus ቁ+ k୧൫ minus ൯+ kట sat(S())
(360)
351 Reacutesultats de simulations
Nous preacutesentons dans cette partie les reacutesultats du controcircle mode glissant associeacute agrave une
action inteacutegrale pour la commande du X4 avec perturbation Nous traitons dans cette partie
lrsquoexemple de la reacutealisation des connections demi-cercles pour les mouvements z x y Le
gain ki=2 dans notre simulation En conservant les mecircmes coefficients de gain utiliseacutes
preacuteceacutedemment
Les figures (327) (328) (329) et (330) repreacutesentent respectivement la reacutealisation en
3D lrsquoerreur la commande et les angles pour la trajectoire de connexion de type demi-
cercle en preacutesence de la perturbation externe Nous remarquons de ces figures que la
robustesse de la commande est veacuterifieacutee numeacuteriquement En effet avec une telle force de
traineacutee la commande produit des valeurs assez raisonnables assurant le suivi du drone agrave sa
trajectoire de reacutefeacuterence
Chapitre3 COMMANDE PAR MODE GLISSANT ET FLOU-GLISSANT
66
Les figures (331) (332) et (333) montrent la comparaison entre la commande mode
glissant et le mode glissant agrave action inteacutegrale Drsquoapregraves ces figure on voit clairement que la
commande mode glissant agrave action inteacutegrale est la mieux adapteacutee agrave des trajectoires de
connexions de type demi-cercle arcs et heacutelicoiumldale
Figure 327 La trajectoire de reacutefeacuterence et reacuteelle en cas des demi-cercles
Figure 328 Les erreurs pour des connexions demi-cercles
0 5 10 15 20 25 30 35 40-05
0
05
z-e
rreur
(m)
0 5 10 15 20 25 30 35 40-05
0
05
x-e
rreurr
(m)
0 5 10 15 20 25 30 35 40
-05
0
05
y-e
rreur
(m)
temps (s)
02
46
810
1214
0
5
10
150
5
10
15
Deacuteplacement suivant (x)Deacuteplacement suivant (y)
Deacutepla
cem
ent
suiv
ant
(z)
Trajectoire reacuteelle
Trajectoire reacutefeacuterence
Chapitre3 COMMANDE PAR MODE GLISSANT ET FLOU-GLISSANT
67
Figure 329 Les commandes pour des connexions demi-cercles
Figure 330 Les angles pour des connexions demi-cercles
0 5 10 15 20 25 30 35 400
50
u3(N
)
0 5 10 15 20 25 30 35 40-60-40-20
020
u4(N
m)
0 5 10 15 20 25 30 35 40
-50
0
50
u5(N
m)
temps (s)
0 5 10 15 20 25 30 35 40
-05
0
05
1
angle
theta
(rad)
0 5 10 15 20 25 30 35 40
-1
-05
0
05
1
angle
phi(r
ad)
temps (s)
Chapitre3 COMMANDE PAR MODE GLISSANT ET FLOU-GLISSANT
68
Figure 331 La trajectoire de reacutefeacuterence et reacuteelle en cas des demi-cercles
Figure 332 La trajectoire de reacutefeacuterence et reacuteelle en cas des connexions arcs
02
46
810
1214
0
5
10
150
5
10
15
Deacuteplacement suivant (x)Deacuteplacement suivant (y)
Deacutepla
cem
ent
suiv
ant
(z)
Trajectoire reacuteelle PIMG
Trajectoire reacutefeacuterence
Trajectoire reacuteelle MG
02
46
810
1214
0
5
10
150
5
10
15
Deacuteplacement suivant (x)Deacuteplacement suivant (y)
Deacutepla
cem
ent
suiv
ant
(z)
Trajectoire reacuteelle MG
trajectoire reacutefeacuterence
trajectoire reacuteelle PI MG
Chapitre3 COMMANDE PAR MODE GLISSANT ET FLOU-GLISSANT
69
Figure 333 La trajectoire de reacutefeacuterence et reacuteelle en cas heacutelicoiumldale
36 Commande du drone par un controcircleur flou-glissant
Le majeur inconveacutenient du mode de glissement est que la commande discontinue
produit pheacutenomegravene de broutement ou chattering Notons que le broutement peut exciter
des dynamiques hautes freacutequences neacutegligeacutees menant parfois agrave lrsquoinstabiliteacute Afin drsquoeacuteliminer
ou de minimiser ce pheacutenomegravene plusieurs meacutethodes ont eacuteteacute deacuteveloppeacutees [45 60 61 62
63 64 65 66 67 68 69] Dans notre travail nous avons introduit des hybridations entre la
logique flou et le mode glissant afin de reacuteduire le pheacutenomegravene de broutement et drsquoameacuteliorer
drsquoavantage les performances du controcircle du drone Apregraves avoir introduit le principe des
approches proposeacutees nous preacutesentons leurs mises en œuvre pour la commande de notre
quadri-rotors
Dans notre travail nous avons proposeacutes une nouvelle structure des controcircleurs flou-
glissant Dans cette structure un meacutecanisme drsquoinfeacuterence flou est utiliseacute pour geacuteneacuterer et
drsquoune faccedilon douce la composante discontinue de la loi de commande par mode glissant
(SMC) La figure (334) montre le scheacutema bloc de la strateacutegie de control proposeacute [70 71]
-3-2
-10
12
3
-3-2
-10
12
30
10
20
30
40
Deacuteplacement suivant (x)Deacuteplacement suivant (y)
Deacutepla
cem
ent
suiv
ant
(z)
Trajectoire reacuteelle MG
Trajectoire reacutefeacuterence
Trajectoire reacuteelle PIMG
Chapitre3 COMMANDE PAR MODE GLISSANT ET FLOU-GLISSANT
70
Figure 334 Controcircleur par mode glissant flou
Dans le controcircleur flou-glissant proposeacute la surface (s) preacutesente lrsquoentreacutee des implications
des bases de regravegles
Puisque les donneacutees manipuleacutees dans le meacutecanisme agrave infeacuterence flou sont baseacutees sur la
theacuteorie des sous ensemble flous [70 71] les ensembles flous associeacutes utiliseacutes dans la
geacuteneacuteration de la base de regravegle sont deacutefinies comme
Si S est GN Alors un est TGSi S est NP Alors un est GSi S est JZ Alors un est MNSi S est PP Alors un est PSi S est GP Alors un est TP
Avec GN MN JZ MP et GP sont les termes linguistiques de la variable drsquoentreacutee s
deacutefinies respectivement par Grand Neacutegative Moyen Negative Just Zero Moyen
Positive et Grand Positive
Et pour la variable de sortie un les termes linguistiques TG G MN P TP sont deacutefinis
respectivement par Tregraves Grand Grand Moyen Petit Tregraves Petit
Les fonctions drsquoappartenances associeacutees agrave ses variables drsquoentreacutee et de sortie sont
preacutesenteacutees dans les figures suivantes
Chapitre3 COMMANDE PAR MODE GLISSANT ET FLOU
Figure 335
Figure 3
361 Reacutesultats de simulations
Nous preacutesentons dans cette partie les reacutesultats du controcircle flou
du drone X4 en preacutesence de perturbation
sont ke= 10 et ks = 10
preacuteceacutedemment
Les figures (337) (338) et
demi-cercle les signaux de commandes et des erreurs Nous constatons que la trajectoire
parcourue par le drone suit la
Tregraves
-3k2
COMMANDE PAR MODE GLISSANT ET FLOU
71
35 Fonction dappartenance de lentreacutee S
336 Fonction dappartenance de la sortie u
1 Reacutesultats de simulations
Nous preacutesentons dans cette partie les reacutesultats du controcircle flou-glissant pour la commande
en preacutesence de perturbation Les gains drsquoentreacutee et de sortie du controcircleur flou
= 10 En conservant les mecircmes coefficients de gain utiliseacutes
et (339) illustrent respectivement la reacutealisation des connexions
cercle les signaux de commandes et des erreurs Nous constatons que la trajectoire
parcourue par le drone suit la trajectoire deacutesireacutee avec des erreurs de tregraves faibles valeurs
Tregraves petit Petit Moyenne Grand Tregraves Grand
k2-k2-k k00
COMMANDE PAR MODE GLISSANT ET FLOU-GLISSANT
S(t)
un
glissant pour la commande
et de sortie du controcircleur flou
En conservant les mecircmes coefficients de gain utiliseacutes
la reacutealisation des connexions
cercle les signaux de commandes et des erreurs Nous constatons que la trajectoire
avec des erreurs de tregraves faibles valeurs
Tregraves Grand
3k2
Chapitre3 COMMANDE PAR MODE GLISSANT ET FLOU-GLISSANT
72
La figure (340) preacutesente lrsquoeacutevolution des angles de tangage et de roulis nous observons que
ces angles se manifestent que lors drsquoun mouvement effectueacute respectivement suivant les
axes ݔ et ݕ
La figure (341) preacutesente lrsquoeacutevolution des forces des quatre moteurs on remarque que ces
forces ne deacutepassent pas les limites physiques des actionneurs et la somme de ces forces
satisfait la condition drsquoeacutequilibre apregraves que le drone effectue ses mouvements deacutesireacutes
Figure 337 La trajectoire de reacutefeacuterence et reacuteelle en cas des demi-cercles
-20
24
68
1012
14
-5
0
5
10
150
5
10
15
Deacuteplacement suivant (x)Deacuteplacement suivant (y)
Deacutepla
cem
ent
suiv
ant
(z) Trajectoire reacuteelle
Trajectoire reacutefeacuterence
Chapitre3 COMMANDE PAR MODE GLISSANT ET FLOU-GLISSANT
73
Figure 338 Les commandes pour des connexions demi-cercles
Figure 339 les erreurs pour des connexions demi-cercles
0 5 10 15 20 25 30 35 400
20
40
u3(N
)
0 5 10 15 20 25 30 35 40-40
-20
0
20
40
u4(N
m)
0 5 10 15 20 25 30 35 40-40
-20
0
20
40
u5(N
m)
temps (s)
0 5 10 15 20 25 30 35 40-05
0
05
z-e
rreur
(m)
0 5 10 15 20 25 30 35 40-05
0
05
x-e
rreurr
(m)
0 5 10 15 20 25 30 35 40
-05
0
05
y-e
rreur
(m)
temps (s)
Chapitre3 COMMANDE PAR MODE GLISSANT ET FLOU-GLISSANT
74
0 5 10 15 20 25 30 35 40
-05
0
05
1
angle
theta
(rad)
0 5 10 15 20 25 30 35 40
-1
-05
0
05
1
angle
phi(r
ad)
temps (s)
Figure 340 les angles pour des connexions demi-cercles
Figure 341 Les forces pour des connexions demi-cercles
0 5 10 15 20 25 30 35 4005
1015
F1
(N)
0 5 10 15 20 25 30 35 4005
1015
F2
(N)
0 5 10 15 20 25 30 35 4005
1015
F3
(N)
0 5 10 15 20 25 30 35 4005
1015
F4
(N)
temps (s)
Chapitre3 COMMANDE PAR MODE GLISSANT ET FLOU-GLISSANT
75
37 Conclusion
Dans ce chapitre nous avons preacutesenteacute le principe de la commande par mode de
glissement appliqueacute sur un drone agrave quatre heacutelices La commande par mode glissant
(approche non lineacuteaire) consiste agrave choisir le nombre et la forme de surface de glissement
neacutecessaire pour la deacutetermination de la loi de commande Le pheacutenomegravene de chattering qui
caracteacuterise cette commande a eacuteteacute reacuteduit par lrsquoadoucissement de la fonction de commande
Afin drsquoameacuteliorer les performances statiques nous avons proposeacute une approche appeleacutee
mode glissant agrave action inteacutegral pour eacuteliminer lrsquoerreur en preacutesence des perturbations Pour
ameacuteliorer drsquoavantage les performances de la commande SMC nous avons proposeacute une
approche drsquohybridation entre le mode glissant et la logique floue La structure du
controcircleur flou-glissant heacuterite la proprieacuteteacute drsquointerpolation du controcircle de la logique floue
et la robustesse du controcircle par mode glissement Cette approche est baseacutee sur lrsquoutilisation
drsquoun systegraveme agrave une infeacuterence floue qui geacutenegravere la commande discontinueacutee de la loi de
commande par mode de glissement agrave action inteacutegrale Par conseacutequent il le rend robuste
pour le temps de control de plus le controcircleur flou reacuteduit le pheacutenomegravene de broutement
(chattering)
Chapitre4 COMMANDE ROBUST PAR LA THECHNIQUE DU BACKTEPPING
74
Chapitre 4
COMMANDE NON LINEAIRE PAR BACKSTEPPING
Chapitre4 COMMANDE ROBUST PAR LA THECHNIQUE DU BACKTEPPING
75
4 COMMANDE ROBUSTE PAR LA THECHNIQUE DU BACKSTEPPING
41 Introduction
La theacuteorie de Lyapunov est un outil tregraves important dans la theacuteorie de controcircle des
systegravemes non lineacuteaires Cependant son utilisation est souvent entraveacutee par les difficulteacutes
de trouver une fonction de Lyapunov pour un systegraveme donneacute Si elle est trouveacutee le
systegraveme est connu pour ecirctre stable mais la tache de trouver une telle fonction est souvent
laisseacutee agrave lrsquoimagination et agrave lrsquoexpeacuterience du concepteur La technique du Backstepping est
une meacutethode systeacutematique pour la conception du controcircle non lineacuteaire qui peut ecirctre
appliqueacutee agrave une grande classe de systegravemes Le nom backstepping se reacutefegravere agrave la nature
reacutecursive de la proceacutedure de synthegravese Dans un premier temps seul un sous-systegraveme du
systegraveme original est consideacutereacute pour lequel une loi de controcircle fictive est construite Puis la
conception est eacutetendue en plusieurs eacutetapes jusquagrave lrsquoobtention drsquoune loi de controcircle pour le
systegraveme tout en entier Avec la loi de commande une fonction de Lyapunov pour le
systegraveme controcircleacute est progressivement construite
La technique du backstepping a connu un regain drsquoattention gracircce aux travaux de
Kokotovic qui a fourni un cadre matheacutematique pour la conception de lois de controcircle pour
diffeacuterents systegravemes non lineacuteaires en utilisant la cette technique [72] Durant les anneacutees
suivantes des manuscrits ont eacuteteacute eacutediteacutes par Krstic et autres [73 74 75]
Nous utiliserons cette technique du backstepping pour deacutevelopper des lois de controcircle pour
le controcircle des mouvements selon les axes z ndash x ndash y ainsi qursquoune eacutetude de robustesse
42 Historique et domaines drsquoapplication du backstepping
Lrsquoideacutee de base du backstepping est de laisser certains eacutetats du systegraveme agir en tant
qursquoentreacutees virtuelles La mecircme ideacutee est utiliseacutee dans la conception de controcircle en cascade
et eacutegalement dans la theacuteorie de la perturbation singuliegravere [76] Le backstepping qui utilise
une forme du systegraveme en chaicircne drsquointeacutegrateurs apregraves une transformation de coordonneacutees
drsquoun systegraveme triangulaire et en se basant sur la meacutethode directe de Lyapunov (Annexe A)
A partir de lagrave il est possible de concevoir systeacutematiquement et de maniegravere reacutecursive des
Chapitre4 COMMANDE ROBUST PAR LA THECHNIQUE DU BACKTEPPING
76
controcircleurs et les fonctions de Lyapunov correspondantes Bien que la technique du
backstepping ait une histoire plutocirct courte mais rien nrsquoempecircche quand-mecircme de trouver de
nombreuses applications pratiques dans la litteacuterature On en donne ici un court aperccedilu
Elle est appliqueacutee dans les systegravemes eacutelectriques par exemple dans [77] ou a eacuteteacute
proposeacutee une commande en temps reacuteel de la vitesse drsquoun moteur synchrone agrave aimant
permanent par la technique du backestepping adaptative non lineacuteaire On peut maintenant
la retrouver dans une grande varieacuteteacute de controcircle de moteurs eacutelectriques [78 79 80] On
trouve eacutegalement des travaux dans lrsquoaeacuteronautique qui correspond au controcircle drsquoun
heacutelicoptegravere miniature Dans [28] une loi de commande adaptative utilisant les techniques
reacutecursives et robustes du backstepping a eacuteteacute proposeacutee Altug dans [25 26 27] a proposeacute un
controcircle stabilisant en utilisant lrsquoasservissement visuel Ainsi cette technique a eacuteteacute
proposeacutee pour la commande drsquoautomobile [81]
43 Conception de la commande par backstepping
La commande par backstepping ne doit pas ecirctre vue comme un proceacutedeacute rigide mais
plutocirct comme une philosophie de conception qui peut ecirctre plieacutee et tordue pour satisfaire les
besoins speacutecifiques du systegraveme agrave commander Nous pouvons exploiter la flexibiliteacute du
backstepping en ce qui concerne le choix des commandes virtuelles des fonctions
stabilisantes initiales et des fonctions de Lyapunov Nous avons effectueacute une eacutetude de
stabiliteacute en se basant sur la commande backstepping et en utilisant la fonction de
Lyapunov
431 Algorithme de base pour la meacutethode du backstepping
En utilisant lrsquoapproche backstepping comme un algorithme reacutecursif pour la
synthegravese de lois de commande On considegravere le cas des systegravemes non lineacuteaires drsquoordre deux
de la forme
x=f(x)+g(x)u (41)
X est lrsquoeacutetat du systegraveme X isin realn
u Lrsquoentreacutee de commande u isin real
Supposons que le systegraveme (41) peut apregraves une transformation ecirctre mis sous la forme
chaineacutee comme suit
x1 = fଵ(xଵ) + gଵ (xଵ) xଶ (42)
x2= fଶ(xଶ) + gଶ (xଶ) u (43)
Chapitre4 COMMANDE ROBUST PAR LA THECHNIQUE DU BACKTEPPING
77
On deacutesire faire suivre agrave la sortie y = xଵ la trajectoire yr Cette trajectoire est supposeacutee
connue et uniformeacutement borneacutee et puisque le systegraveme et du deuxiegraveme ordre alors le design
srsquoeffectue en deux eacutetapes [82]
Premiegravere eacutetape
On considegravere drsquoabord lrsquoeacutequation (42) ou la variable drsquoeacutetat xଶ est traiteacutee comme une
commande virtuelle et lrsquoon deacutefinit la premiegravere valeur de reacutefeacuterence
xଵ = y (44)
La premiegravere variable drsquoerreur se deacutefinit par
eଵ = xଵ minus xଵ (45)
ሶଵ= ሶଵݔ minus ሶଵݔ (46)
On utilisant lrsquoeacutequation (42) le systegraveme drsquoeacutequation (46) srsquoeacutecrit
e1 = ଵ(ݔଵ) + gଵ (ଵݔ) ଶݔ minus ሶଵݔ (47)
Pour un tel systegraveme il agrave eacuteteacute montreacute que la fonction candidate constitue un bon choix de la
fonction de Lyapunov
ଵ( ଵ) =ଵ
ଶ ଵଶ (48)
Sa deacuteriveacutee est donneacutee par
Vଵ(eଵ) = eଵ eଵ = eଵ [ ଵ(ݔଵ) + gଵ(ݔଵ) ଶݔ minus [ሶଵݔ (49)
Un choix judicieux xଶ rendrait Vଵ(eଵ) neacutegative et assurerait la stabiliteacute de lrsquoorigine du sous
systegraveme deacutecrit par lrsquoeacutequation (42)
Prenons comme valeur de ଶݔ la fonction aଵ telle que
ଵ(ݔଵ) + gଵ(ݔଵ) ଵ minus =ሶଵݔ minus kଵeଵ (410)
Ougrave kଵ gt 0 est un paramegravetre de design
xଶ= aଵ=ଵ
భ(୶భ)[minus kଵeଵ + xଵminus fଵ(xଵ)] (411)
et la deacuteriveacutee srsquoeacutecrit
ଵ( ଵ) = minus ଵ ଵଶ le 0 (412)
Drsquoougrave la stabiliteacute asymptotique de lrsquoorigine de lrsquoeacutequation (45)
Deuxiegraveme eacutetape
On considegravere le sous-systegraveme drsquoeacutequation (43) et lrsquoon deacutefinit la nouvelle variable
drsquoerreur
eଶ = xଶ minus aଵ (413)
Chapitre4 COMMANDE ROBUST PAR LA THECHNIQUE DU BACKTEPPING
78
Cette eacutequation repreacutesente lrsquoeacutecart entre la variable drsquoeacutetat xଶ et sa valeur deacutesireacutee aଵ lrsquoerreur
ଶ nrsquoest pas instantaneacutement nulle Le design dans cette eacutetape consiste alors agrave la forcer agrave
srsquoannuler
Les eacutequations du systegraveme agrave commander dans lrsquoespace (eଵ eଶ) srsquoeacutecrivent
ሶଵ = ଵ(ݔଵ) + ଵ ( ଶ + ଵ) minus ሶଵݔ (414)
ሶଶ = ଶ(ݔଶ) + ଶ minusݑ ሶଵ (415)
On agrave choisit comme fonction de Lyapunov
ଶ( ଵ ଶ) = ଵ( ଵ) +ଵ
ଶ ଶଶ (416)
Sa deacuteriveacutee
2( ଵ ଶ) =ଵ + ଶ ሶଶ= ଵ ሶଵ + ଶ ሶଶ (417)
2( ଵ ଶ) = ଵ [ ଵ(ݔଵ) + ଵ ( ଶ+ ଵ) [ሶଵݔ + ଶ [ ଶ(ݔଶ) + ଶ minusݑ ሶଵ] (418)
2( ଵ ଶ) = ଵ [ ଵ(ݔଵ) + ଵ ଶ+ ଵ ଵ minus ሶଵݔ ] + ଶ [ ଶ(ݔଶ) + ଶ minusݑ ሶଵ] (419)
2( ଵ ଶ) = minus ଵ ଵଶ + ଶ [ ଶ(ݔଶ) + ଶ ݑ + ଵ ଵminus ሶଵ] (420)
Pour garantir la stabiliteacute il faut que lrsquoeacutequation suivante soit eacutegale agrave minus kଶeଶ avec kଶ gt0
ଶ(ݔଶ) + ଶ ݑ + ଵ ଵminus ሶଵ= minus ଶ ଶ (421)
La commande est
ݑ =ଵ
మ[minus ଶ ଶ+ ሶଵ minus ଵ ଵ minus ଶ(ݔଶ)] (422)
Avec le choix de ଶ on agrave
2( ଵ ଶ) = minus ଵ ଵଶ minus ଶ ଶ
ଶ (423)
On a garantie la stabiliteacute asymptotique du systegraveme
44 Stabilisation du drone X4 par la meacutethode du backstepping
Nous proposons drsquoappliquer la technique de backstepping pour le controcircle drsquoun drone
de type X4 dont la dynamique du modegravele a eacuteteacute deacutetermineacutee dans le chapitre 2
La strateacutegie de controcircle adopteacute est reacutesumeacutee en deux sous-systegravemes le premier est lieacute au
controcircle de la translation et le deuxiegraveme est lieacute au controcircle de la rotation comme il est
exposeacute sous le scheacutema synoptique suivant [83]
Chapitre4 COMMANDE ROBUST PAR LA THECHNIQUE DU BACKTEPPING
79
Figure 41 Scheacutema bloc de commande du drone par backstepping
Le systegraveme 243 peut ecirctre reacuteeacutecrit dans lrsquoespace drsquoeacutetat sous la forme = ()
Avec U vecteur drsquoentreacute et X vecteur drsquoeacutetat
Tel que
X = hellipଵݔ] hellip [ଵଶݔ T = [ ݖ ݔሶݖ ݕሶݔ ሶݕ θ θ empty empty ψ ψ ] T isin real12
X = f (X U) =
⎝
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎛
ଶݔଵ
emptyݏ ଷݑߠݏ minus
ସݔ
minusଵ
ଷݑ௫ݑݔ
ଵ
௬ݑ ଷݑݔସݑଵݔହݑଵଶݔݑ ⎠
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎞
(424)
441 Commande du systegraveme de translation lineacuteaire
4411 Controcircle de lrsquoaltitude
On commande le mouvement selon lrsquoaxe z en utilisant la technique du backstepping le
modegravele en y est donneacute par
ߠ
X4-FlyerModelReacutefeacuterence
BacksteppingControcircle
BacksteppingControcircle
ݖݕݔ
ଷݑ
ହݑସݑ ݑ௬ݑ௫ݑ
ݖݕݔ
Chapitre4 COMMANDE ROBUST PAR LA THECHNIQUE DU BACKTEPPING
80
=ሷݖ emptyݏ ଷݑߠݏ minus (425)
La commande par backstepping du vol vertical est deacuteveloppeacutee ci-dessous
Premiegravere eacutetape
Initialement nous consideacuterons lrsquoobjectif de poursuite de lrsquoaltitude z vers sa trajectoire
deacutesireacutee On deacutefinit pour cela une erreur de poursuite
e௭ଵ = ݖ minus ݖ (426)Sa deacuteriveacutee srsquoeacutecrit
ሶ௭ଵ = ሶݖ minus ሶݖ (427)
Le but eacutetant donc de faire tendre cette erreur vers zeacutero Pour ce faire on considegravere une
fonction de Lyapunov quadratique en eଵ
V (e௭ଵ) =ଵ
ଶe௭ଵଶ (428)
La deacuteriveacutee de la fonction de Lyapunov srsquoeacutecrit
( ௭ଵ) = ௭ଵ ሶ௭ଵ= ௭ଵ ሶݖ) minus (ሶݖ (429)
La convergence de e௭ଵ vers zeacutero est obtenue en assurant que V(e௭ଵ) est neacutegative Etant
donneacute que lrsquoentreacutee de commande nrsquoapparait pas encore dans lrsquoexpression de V(e௭ଵ) on
deacutefinit une entreacutee fictive ayant pour forme
ଶݔ = ሶݖ + k௭ଵe௭ଵ (430)
Ougrave ௭ଵ est une constante positive
Cette commande assure
( ௭ଵ)= minus ௭ଵ ௭ଵଶ le0 (431)
Deuxiegraveme eacutetape
La deuxiegraveme eacutetape consiste agrave redeacutefinir une autre erreur agrave compenser
e௭ଶ= minus ሶݖ ሶrefݖ minus k௭ଵe௭ଵ (432)
Sa deacuteriveacutee srsquoeacutecrit comme suit
e௭ଶ= minus ሷݖ ሷrefݖ minus k௭ଵe௭ଵ (433)
Chapitre4 COMMANDE ROBUST PAR LA THECHNIQUE DU BACKTEPPING
81
Afin drsquoeacuteliminer cette erreur la fonction candidate de Lyapunov V( ௭ଵ) preacuteceacutedente de
lrsquoeacutequation (428) est augmenteacutee drsquoun autre terme qui va prendre en charge la nouvelle
erreur qui a eacuteteacute introduite preacuteceacutedemment
V ( ௭ଵ ௭ଶ) =ଵ
ଶ( ௭ଵଶ
+ ௭ଶଶ ) (434)
Ainsi que sa deacuteriveacutee
( ௭ଵ ௭ଶ) = ௭ଵ ሶ௭ଵ+ ௭ଶ ሶ௭ଶ (435)
( ௭ଵ ௭ଶ) = ௭ଵ (minus ௭ଵ ௭ଵ minus ௭ଶ) + ௭ଶ minus ሷݖ) ሷݖ minus ௭ଵ ሶ௭ଵ) (436)
( ௭ଵ ௭ଶ) =minus ௭ଵ ௭ଶ minus ௭ଵ ௭ଵଶ + ௭ଶ minus ሷݖ) ሷݖ minus ௭ଵ(minus ௭ଵ ௭ଵ minus ௭ଶ)) (437)
( ௭ଵ ௭ଶ) = minus ௭ଵ ௭ଵଶ + ௭ଶ [
ଵ
minusݑߠݏܥemptyݏܥ minus ሷݖ minus ௭ଵ(minus ௭ଵ ௭ଵ minus ௭ଶ)minus ௭ଵ)]
(438)
La proceacutedure de la meacutethode du backstepping srsquoarrecircte jusqursquoagrave lrsquoapparition de la commandeu3
Afin de satisfaire la condition de Lyaponov (V(eଵ eଶ) le 0 ) on pose
௦empty௦ఏ
minus ₃ݑ minus minusሷݖ k௭ଵ(minus k௭ଵe௭ଵ minus e௭ଶ)minus e௭ଵ) = minus k௭ଶe௭ଶ (439)
Ce qui nous donne la loi de commande suivant lrsquoaxe z
= ₃ݑ
௦empty௦ఏሷݖ) + + (1 minus ௭ଵ
ଶ ) ଵ minus ( ௭ଵ + ௭ଶ) ௭ଶ) (440)
Ougrave k௭ଶ est une constante positive
De telle sorte ( ௭ଵ ௭ଶ) = minus ௭ଵ ௭ଵ
ଶ minus ௭ଶ ௭ଶଶ le 0 (441)
Ce qui nous assure la stabiliteacute du mouvement suivant lrsquoaxe z
44 12 Controcircle de deacuteplacement lineacuteaire suivant les axes et y
A partir du modegravele du drone le systegraveme dynamique des mouvements horizontales est deacutefini
par
൜ =ሷݔ ଷݑ௫ݑminus=ሷݕ ଷݑ௬ݑ
(442)
Avec ex1 et ey1 sont les erreurs de positions sont deacutefinis par
ቄ௫ଵ = ݔ minus ݔ
௬ଵ = ݕ minus ݕ (443)
Chapitre4 COMMANDE ROBUST PAR LA THECHNIQUE DU BACKTEPPING
82
Les erreurs des vitesses lineacuteaires des positions x et y sont deacutefinies par
൜௫ଶ = minusሶݔ ሶݔ minus ௫ଵ ௫ଵ
௬ଶ = minusሶݕ ሶݕ minus ௬ଵ ௬ଵ
(444)
Les mecircmes eacutetapes sont utiliseacutees pour deacuteterminer les commandes de positions ௫ݑ et ௬ݑ qui
sont donneacutees par
௫ݑ =
௨యሷݔ) + (1 minus ௫ଵ
ଶ ) ௫ଵ minus ( ௫ଵ + ௫ଶ) ௫ଶ) (445)
௬ݑ =
௨యሷݕ) + ൫1 minus ௬ଵ
ଶ ൯ ௬ଵ minus ( ௬ଵ + ௬ଶ) ௬ଶ) (446)
Avec ( ௫ଵ ௫ଶ ௬ଵ ௬ଶ)gt0
442 Commande par backstepping du systegraveme de rotation
4421 Commande de lrsquoangle de roulis
Dans cette section on veut eacutetablir une commande par backstepping qui assure lrsquoorientation
du drone par lrsquoangle empty (roulis)
Premiegravere eacutetape
Premiegraverement on doit avoir une sortie qui suit une trajectoire deacutesireacutee emptyref en introduisant
lrsquoerreur de la position angulaire (lrsquoangle de roulis)
eemptyଵ= emptyref minus empty (447)Sa deacuteriveacutee srsquoeacutecrit
eemptyଵ= empty minus empty (448)
Ougrave les deux eacutequations (447) (448) sont associeacutees agrave la fonction de Lyapunov suivante
V (eemptyଵ) =ଵ
ଶeempty1
2 (449)
La deacuteriveacutee de la fonction de Lyapunov srsquoeacutecrit
V(eemptyଵ) = eemptyଵ eemptyଵ= eemptyଵ (emptyref (ଵݔminus (450)
Lrsquoeacutetat ଵݔ est ensuite utiliseacute comme commande intermeacutediaire afin de garantir la stabiliteacute
de lrsquoeacutequation (447) On deacutefinit pour cela une commande virtuelle
ଵݔ = emptyref + emptyଵ emptyଵ avec emptyଵ gt0 (451)
ሶଵݔ = emptyref + emptyଵ ሶemptyଵ (452)
Agrave partir des eacutequations (450) et (451) on obtient
( emptyଵ) = minus emptyଵ emptyଵଶ (453)
Chapitre4 COMMANDE ROBUST PAR LA THECHNIQUE DU BACKTEPPING
83
Deuxiegraveme eacutetape
Agrave cette eacutetape une nouvelle erreur engendreacutee
eemptyଶ= empty minus empty minus kemptyଵeemptyଵ (454)
Sa deacuteriveacutee srsquoeacutecrit comme suit
eemptyଶ = empty minus emptyrefminus kemptyଵ eemptyଵ (455)
Afin drsquoeacuteliminer cette erreur la fonction candidate de Lyapunov (eemptyଵ) preacuteceacutedente de
lrsquoeacutequation (449) est augmenteacutee drsquoun autre terme qui va prendre en charge la nouvelle
erreur qui a eacuteteacute introduite preacuteceacutedemment
V (eemptyଵeemptyଶ) =ଵ
ଶ(eemptyଵଶ + eemptyଶ
ଶ ) (456)
Ainsi que sa deacuteriveacutee
V(eemptyଵ eemptyଶ) = eemptyଵ (minuskemptyଵ eemptyଵ minus eemptyଶ) + eemptyଶ (empty minus emptyref ndash kemptyଵ eemptyଵ) (457)
V(eemptyଵ eemptyଶ) = minus eemptyଵ eemptyଶ minus kemptyଵ eemptyଵଶ + eemptyଶ (empty minus emptyref minuskemptyଵ (minuskemptyଵe୴ଵ minus eemptyଶ)) (458)
V(eemptyଵ eemptyଶ) = minus kemptyଵ eemptyଵଶ + eemptyଶ ହݑ] minus emptyref minus kemptyଵ (minuskemptyଵeemptyଵ minus eemptyଶ) minuseemptyଵ] (459)
Afin de satisfaire la condition de Lyapunov (V(eemptyଵ eemptyଶ) le 0 ) on pose
ହݑ minus emptyref minus kemptyଵ (minuskemptyଵeemptyଵ minus eemptyଶ) minuseemptyଵ= minuskemptyଶ eemptyଶ (460)
Drsquoougrave lrsquoexpression de la commande du roulis est donneacutee par
ହݑ = emptyref + emptyଵ (1 minus emptyଵଶ ) minus emptyଶ ( emptyଵ + emptyଶ) (461)
Avec kemptyଵ kemptyଶ sont des constantes positives de design lesquelles deacuteterminent la
dynamique de la boucle fermeacutee
4421 Commande des angles de tangage et de lacet
Nous suivons les mecircmes eacutetapes deacutecrites preacuteceacutedemment pour deacuteterminer les commande de
tangage et de lacet ce qui nous donne [84 85]
ସݑ = +ߠ ఏଵ൫1 minus ఏଵଶ ൯minus ఏଶ( ఏଵ + ఏଶ) (462)
ݑ = + టଵ൫1 minus టଵଶ ൯minus టଶ( టଵ + టଶ ) (463)
Avec ( ఏଵ ఏଶ టଵ టଶ) gt0
Chapitre4 COMMANDE ROBUST PAR LA THECHNIQUE DU BACKTEPPING
84
45 Reacutesultats de simulations
Les performances sont eacutevalueacutees par le biais drsquoune simulation numeacuterique dans les mecircmes
conditions de fonctionnement preacutesenteacutes dans le chapitre preacuteceacutedent
Les paramegravetres des coefficients du polynocircme de Hurwitz du controcircleur sont choisis par
௭ଵ =8 ௭ଶ = 5 ௫ଵ = 5 ௫ଶ = 5 ௬ଵ = 4 ௬ଶ = 2 kemptyଵ = 55 kemptyଶ = 2 ఏଵ = 75
ఏଶ = 10 టଵ = 2 టଶ = 4
Figure 42 La trajectoire de reacutefeacuterence et reacuteelle en cas des connexions cercles
0
10
20
30
-5
0
5
100
5
10
15
20
25
30
Deacuteplacement suivant (x)Deacuteplacement suivant (y)
Deacutepla
cem
entsuiv
ant(z
)
Trajectoire reacuteelle
Trajectoire reacutefeacuterence
Chapitre4 COMMANDE ROBUST PAR LA THECHNIQUE DU BACKTEPPING
85
Figure 43 Les commandes u3 u4 u5 des connexions cercle
Figure 44 Les erreurs de deacuteplacement en cas des connections cercle
0 10 20 30 40 50 60 70 80 9010
20
30
u3(N
)
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90-5
0
5
u4(N
m)
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90-5
0
5
u5(N
m)
temps (s)
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90-004
-002
0
002
004
z-e
rreur(m
)
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90-002
0
002
x-e
rreur(m
)
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90-002
0
002
y-e
rreur(m
)
temps (s)
Chapitre4 COMMANDE ROBUST PAR LA THECHNIQUE DU BACKTEPPING
86
Figure 45 Les angles de tangage et de roulis en cas des connections cercle
Figure 46 Les forces en cas des connections cercle
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90
-05
0
05angle
theta
(rad)
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90
-05
0
05
angle
phi(rad)
temp (s)
0 10 20 30 40 50 60 70 80 900
5
F1
(N)
0 10 20 30 40 50 60 70 80 900
5
F2
(N)
0 10 20 30 40 50 60 70 80 900
5
F3
(N)
0 10 20 30 40 50 60 70 80 900
5
F4
(N)
temps (s)
Chapitre4 COMMANDE ROBUST PAR LA THECHNIQUE DU BACKTEPPING
87
La figure (43) qui repreacutesente les signaux de commandes u3 u4 et u5 deacutemontrent que la
condition de lrsquoeacutetat drsquoeacutequilibre et toujours veacuterifieacutee apregraves avoir effectueacute une manœuvre (u3 =
mg et u4 = u5 =0)
La figure (44) montre que lrsquoerreur suivant les trois directions converge vers zeacutero Cela
prouve que la trajectoire parcourue par le drone suit la trajectoire souhaiteacutee (figure (42))
avec des erreurs de tregraves faibles valeurs
Dans la figure (45) on voit que les angles de tangage ߠ et de roulis empty se manifestent lors
dun mouvement effectueacute respectivement suivant laxe de mouvement x et y en tendant vers
la valeur zeacutero drsquoeacutequilibre apregraves avoir effectuer le mouvement drsquoavancement
Pour que le drone retrouve sa stabiliteacute autour de la trajectoire de reacutefeacuterence nous constatons
que les commandes u4 et u5 produisent des forces corrigeant respectivement les erreurs du
suivi des angles ߠ et empty agrave leurs trajectoires de reacutefeacuterence nulles figure (43)
Dans la figure (46) nous remarquons que les quatre commandes ne deacutepassent pas les
limites physiques des rotors du drone et la somme de ces forces satisfirent la condition
drsquoeacutequilibre
451 Etude de robustesse
Dans cette partie nous testons numeacuteriquement la robustesse de commande retrouveacutee pour
assurer le suivi de trajectoire face agrave des perturbations dynamiques dues agrave linfluence du
vent suivant les diffeacuterents axes du mouvement
En geacuteneacuteral en mouvement aeacuterien le vent geacutenegravere une force de reacutesistance ou de traicircneacutee
sopposant au mouvement Dans le cas du drone le travail de cette force entraine une
consommation suppleacutementaire deacutenergie au niveau des actionneurs qui affaiblit ses
capaciteacutes en vol Les valeurs des forces reacutesistances sont (Ax = Ay = Az = 65 N)
Chapitre4 COMMANDE ROBUST PAR LA THECHNIQUE DU BACKTEPPING
88
Figure 47 La trajectoire de reacutefeacuterence et reacuteelle en preacutesence de perturbation
Figure 48 Les commandes en preacutesence de perturbation
05
1015
2025
30
-4-2
02
46
80
5
10
15
20
25
30
Deacuteplacement suivant (x)Deacuteplacement suivant (y)
Deacutepla
cem
ent
suiv
ant
(z)
Trajectoire reacuteelle
Trajectoire reacutefeacuterence
0 10 20 30 40 50 60 70 80 900
20
40
u3(N
)
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90-20
-10
0
10
u4(N
m)
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90-10
0
10
20
u5(N
m)
temps (s)
Chapitre4 COMMANDE ROBUST PAR LA THECHNIQUE DU BACKTEPPING
89
Figure 49 Les erreurs en preacutesence de perturbations
Figure 410 Les angles de tangage et de roulis en preacutesence de perturbation
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90
0
02
04z-e
rreur
(m)
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90
0
02
04
x-e
rreurr
(m)
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90
0
02
04
y-e
rreur
(m)
temps (s)
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90
-05
0
05
1
angle
theta
(rad)
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90
-1
-05
0
05
1
angle
phi(r
ad)
temps (s)
Chapitre4 COMMANDE ROBUST PAR LA THECHNIQUE DU BACKTEPPING
90
En preacutesence de force de reacutesistance nous remarquons que la robustesse de la commande
nrsquoest pas veacuterifieacutee En effet avec une telle force de reacutesistance le drone suit sa trajectoire de
reacutefeacuterence avec des erreurs comme le montrent les figures preacuteceacutedentes Ces erreurs peuvent
ecirctre importantes avec lrsquoaugmentation de la force de traineacutee
Il est clair que la structure du controcircleur geacuteneacutereacute par la version classique du backstepping
est composeacutee drsquoune action proportionnelle agrave laquelle est ajouteacutee action deacuteriveacutee sur les
erreurs Une telle structure rend le systegraveme sensible aux bruits et aux perturbations
externes des erreurs statiques non nulles persistent cet inconveacutenient srsquoexplique par
lrsquoabsence de la correction de ces perturbations afin drsquoeacuteliminer ces erreurs deux meacutethodes
sont proposeacutees la premiegravere consiste agrave doter les reacutegulateurs obtenus drsquoune action inteacutegrale
Lrsquoideacutee principale de la meacutethode se reacutesume agrave introduire drsquoune maniegravere virtuelle un
inteacutegrateur cette introduction neacutecessite une modification de la proceacutedure de design La
deuxiegraveme meacutethode consiste agrave estimer la perturbation externe (force de traineacutee) agrave lrsquoaide
drsquoun controcircleur adaptatif
46 Backstepping avec action inteacutegrale
Lrsquoabsence drsquointeacutegrateur dans la loi de commande entraicircne une erreur statique constante
non nulle La solution de ce problegraveme est la conception drsquoune nouvelle version du
backstepping doteacutee drsquoune action inteacutegrale (figure 411) Ceci revient agrave introduire des
inteacutegrateurs dans le modegravele du X4 et proceacuteder agrave lrsquoapplication de la meacutethode
conventionnelle de backstepping sur ce nouveau modegravele Lrsquoaction inteacutegrale sera transfeacutereacutee
automatiquement agrave la loi de commande [86]
Figure 411 Le scheacutema bloc du backstepping avec action inteacutegrale
Action inteacutegraleBackstepping
Inteacutegrale Backstepping
Commande robuste appliqueacute au Modegravele du X4
Systegraveme de translation et de rotation
Chapitre4 COMMANDE ROBUST PAR LA THECHNIQUE DU BACKTEPPING
91
461 Commande de lrsquoaltitude
Le modegravele est eacutecrit sous la forme chaineacutee drsquoapregraves lrsquoeacutequation (424)
ሶଵݔ = 2ݔ
ሶଶݔ = =ሷݖଵ
Cߠ Sempty ndashଷݑ (464)
Premiegravere eacutetape
La premiegravere variable drsquoerreur se deacutefinit par
௭ଵ= ݖ minus z (465)
On deacuterivant (465) par rapport au temps on obtient
ሶ௭ଵ=ݖሶ minus =ሶݖ ሶݖ minus ଶݔ (466)
Pour srsquooccuper mieux drsquoincertitudes et de perturbation nous allons ajouter une action
inteacutegrale sur lrsquoerreur de poursuite drsquoaltitude agrave la fonction stabilisante
Si on considegravere que ଶݔ notre commande virtuelle nous proceacutedons agrave eacutetablir une fonction
stabilisante comme suit
ଶݔ = +ሶݖ ௭ଵ ௭ଵ + ଵߣ ଵ (467)
Avec ௭ଵߣଵ sont des constants positifs et ଵ = int e௭ଵ( ) est lrsquointeacutegrale de lrsquoerreur de
poursuite drsquoaltitude
Deuxiegraveme eacutetape
Il nest pas possible dagir directement sur lrsquoeacutetat ଶݔ il est donc peu probable que cet eacutetat
suit exactement cette trajectoire cest pourquoi un autre terme derreur est introduit
eଶ = ଶݔ minus ሶݖ (468)
La deacuteriveacutee de lrsquoeacutequation (468) donne
ሶ௭ଶ ሶଶݔ= minus =ݖ ሷrefݖ + k௭ଵeଵ+ ଵߣ ሶଵ minus ݖ (469)
ሶ௭ଶ = k௭ଵ ሶrefݖ) minus (ሶݖ + ଵe௭ଵߣ minus ݖ ሷݖ+ (470)
Par lrsquoutilisation drsquoeacutequations (467) et (468) nous reacuteeacutecrivons la dynamique drsquoerreur de
poursuite drsquoaltitude comme suit
eଵ= minus ௭ଵ ௭ଵ minus ଵߣ ଵ + e௭ଶ (471)
Par le remplacement de ݖ dans lrsquoeacutequation (470) par son expression correspondante la
commande u3 apparaisse dans lrsquoeacutequation (472)
ሶ௭ଶ= ௭ଵ (minus ௭ଵ ௭ଵ minus ଵߣ ଵ + ௭ଶ) ଵߣ+ ௭ଵ + ሷrefݖ minusଵ
( (ߠ)ݏ ଷݑ()ݏ + ) (472)
Chapitre4 COMMANDE ROBUST PAR LA THECHNIQUE DU BACKTEPPING
92
La dynamique deacutesireacutee de lrsquoerreur de poursuite de vitesse est donneacutee par
e௭ଶ = minus ௭ଶe௭ଶ minus e௭ଵ (473)
La commande finale de ଷݑ est la suivante
ଷݑ =
௦(ఏ)௦(థ )(+ e௭ଵ (1minusk௭ଵ
ଶ (ଵߣ+ + e௭ଶ (k௭ଵ+ k௭ଶ) ሷref minus k௭ଵݖ+ ଵߣ ଵ) (474)
Analyse de la stabiliteacute
Afin de prouver la stabiliteacute la fonction de Lyapunov (e௭ଵ e௭ଶ) est choisie comme suite
( ௭ଵ ௭ଶ) =ଵ
ଶ ௭ଵ
ଶ + ௭ଶଶ + ଵߣ ଵ
ଶ ൧ (475)
En effectuant la deacuteriveacutee de cette fonction et en substituant lrsquoeacutequation (471) et (473) la
relation suivante est trouveacutee
( ௭ଵ ௭ଶ) = minus ௭ଵ ௭ଵଶ minus ௭ଶ ௭ଶ
ଶ le 0 (476)
De cette faccedilon la fonction V(eଵ eଶ) respecterait en tous points les critegraveres de
Lyapunov La loi de commande deacuteduite fait en sorte que ( ௭ଵ ௭ଶ) est toujours positif et
que ( ௭ଵ ௭ଶ) soit toujours neacutegatif peu importe les valeurs que peuvent prendre les
eacutetats
Nous suivant les mecircmes eacutetapes deacutecrites preacuteceacutedemment pour deacuteterminer les commandes du
drone X4 ce qui nous donne [87]
⎩⎪⎪⎪⎨
⎪⎪⎪⎧
௫ݑ =
௨యሷݔ) + (1 minus ௫ଵ
ଶ + (ଶߣ ௫ଵ minus ( ௫ଵ + ௫ଶ) ௫ଶ minus ௫ଵ ଶߣ ଶ)
௬ݑ =
௨యሷݕ) + ൫1 minus ௬ଵ
ଶ + ଷ൯ߣ ௬ଵ minus ( ௬ଵ + ௬ଶ) ௬ଶ minus ௬ଵ ଷߣ ଷ)
ସݑ = +ߠ ఏଵ൫1 ndash ఏଵଶ + minusସ൯ߣ ఏଶ ( ఏଵ + ఏଶ) ndash ఏଵ ସߣ ସ
ହݑ = ݎempty + emptyଵ (1 minus emptyଵଶ + (ହߣ minus emptyଶ ( emptyଵ + emptyଶ) minus emptyଵ ହߣ ହ
ݑ = + టଵ൫1 minus టଵଶ + minus൯ߣ టଶ( టଵ + టଶ) minus టଵ ߣ
(477)
Avec (ߣହߣସߣଷߣଶߣ) sont des constants positifs et ( ଶ ଷ ସ ହ ) sont les inteacutegrales
des erreurs de poursuite de position tangage roulis et lacet respectivement
Chapitre4 COMMANDE ROBUST PAR LA THECHNIQUE DU BACKTEPPING
93
462 Reacutesultats de simulations
Nous preacutesentons dans cette partie les reacutesultats du controcircle Inteacutegrale Backstepping pour la
commande du drone X4 En conservant les mecircmes coefficients de gain utiliseacutes
preacuteceacutedemment
Avec ଵߣ = 5 ଶߣ = 5 ଷߣ = 4 ସߣ = 2 ହߣ = 5 ߣ = 2
Suivi de trajectoire sans perturbations
Les figures 412 413 414 415 et 416 repreacutesentent respectivement la reacutealisation en 3D
la commande lrsquoerreur les angles et les forces pour la trajectoire de connexions de type
demi-cercle Nous remarquons qursquoagrave lrsquoeacutequilibre la commande u3 est toujours veacuterifieacutee (u3
est approximativement eacutegal agrave mg) Ces figures montrent que la tacircche est reacutealiseacutee drsquoune
maniegravere tregraves satisfaisante en respectant les contraintes imposeacutee
Figure 412 La trajectoire de reacutefeacuterence et reacuteelle
0
5
10
15
0
5
10
150
5
10
15
Deacuteplacement suivant (x)Deacuteplacement suivant (y)
Deacutepla
cem
ent
suiv
ant
(z) Trajectoire reacuteel
Trajecoire reacutefeacuterence
Chapitre4 COMMANDE ROBUST PAR LA THECHNIQUE DU BACKTEPPING
94
Figure 413 Les commandes sans preacutesence de perturbation
Figure 414 Les erreurs sans preacutesence de perturbations
0 5 10 15 20 25 30 35 40
10
20
30u3(N
)
0 5 10 15 20 25 30 35 40-40
-20
0
20
u4(N
m)
0 5 10 15 20 25 30 35 40-40
-20
0
20
40
60
u5(N
m)
temps (s)
0 5 10 15 20 25 30 35 40
-2
0
2x 10
-3
z-e
rreur
(m)
0 5 10 15 20 25 30 35 40-4-20246
x 10-3
x-e
rreur
(m)
0 5 10 15 20 25 30 35 40-2
0
2x 10
-3
y-e
rreur
(m)
temps (s)
Chapitre4 COMMANDE ROBUST PAR LA THECHNIQUE DU BACKTEPPING
95
Figure 415 Les angles de tangage et de roulis sans preacutesence de perturbation
Figure 416 Les forces sans preacutesence de perturbation
0 5 10 15 20 25 30 35 40
-05
0
05
1angle
theta
(rad)
0 5 10 15 20 25 30 35 40-1
-05
0
05
1
angle
phi(r
ad)
temps (s)
0 5 10 15 20 25 30 35 400
5
10
F1
(N)
0 5 10 15 20 25 30 35 400
5
10
F2
(N)
0 5 10 15 20 25 30 35 400
5
10
F3
(N)
0 5 10 15 20 25 30 35 400
5
10
F4
(N)
temps (s)
Chapitre4 COMMANDE ROBUST PAR LA THECHNIQUE DU BACKTEPPING
96
Suivi de trajectoire avec perturbations
Dans cette partie nous testons numeacuteriquement la robustesse de commande retrouveacutee pour
assurer le suivi de trajectoire face agrave des perturbations dynamiques dues agrave linfluence du
vent suivant les diffeacuterents axes de mouvement
Figure 417 La trajectoire de reacutefeacuterence et reacuteelle en preacutesence de perturbation
Figure 418 Les erreurs en preacutesence de perturbations
05
1015
2025
30
-5
0
5
100
10
20
30
Deacuteplacement suivant (x)Deacuteplacement suivant (y)
Deacutepla
cem
ent
suiv
ant
(z)
Trajectoire reacuteelle
Trajectoire reacutefeacuterence
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90
0
02
04
z-e
rreur
(m)
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90
0
02
04
x-e
rreurr
(m)
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90
0
02
04
y-e
rreur
(m)
temps (s)
Chapitre4 COMMANDE ROBUST PAR LA THECHNIQUE DU BACKTEPPING
97
Figure 419 Les commandes en preacutesence de perturbations
Figure 420 Les angles de tangage et de roulis en preacutesence de perturbation
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90
-05
0
05
1
angle
theta
(rad)
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90
-1
-05
0
05
1
angle
phi(r
ad)
temps (s)
0 10 20 30 40 50 60 70 80 900
20
40
u3(N
)
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90-20
-10
0
10
u4(N
m)
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90-10
0
10
20
u5(N
m)
temps (s)
Chapitre4 COMMANDE ROBUST PAR LA THECHNIQUE DU BACKTEPPING
98
Figure 421 Les forces en preacutesence de perturbation
Figure 422 La trajectoire de reacutefeacuterence et reacuteelle en preacutesence de perturbation
-3-2
-10
12
3
-3-2
-10
12
30
10
20
30
40
50
Deacuteplacement suivant (x)Deacuteplacement suivant (y)
Deacutepla
cem
ent
suiv
ant
(z)
Trajectoire reacuteelle
Trajectoire reacutefeacuterence
0 10 20 30 40 50 60 70 80 900
5
10
F1
(N)
0 10 20 30 40 50 60 70 80 900
5
10
F2
(N)
0 10 20 30 40 50 60 70 80 900
5
10
F3
(N)
0 10 20 30 40 50 60 70 80 900
5
10
F4
(N)
temps (s)
Chapitre4 COMMANDE ROBUST PAR LA THECHNIQUE DU BACKTEPPING
99
Figure 423 La trajectoire de reacutefeacuterence et reacuteelle en preacutesence de perturbation
Figure 424 Comparaison entre le controcircleur bakstepping et Inteacutegral Backsteppingpour des connexions demi cercle en preacutesence de perturbation
-2-15
-1-05
005
115
-3-2
-10
120
1
2
3
4
5
6
x-displacementy-displacement
z-d
ispla
cem
ent
Trajectoire reacuteelle
Trajectoire reacutefeacuterence
05
1015
2025
30
-5
0
5
100
10
20
30
Deacuteplacement suivant (x)Deacuteplacement suivant (y)
Deacutepla
cem
ent
suiv
ant
(z)
Trajectoire reacuteelle IB
Trajectoire reacutefeacuterence
Trajectoire reacuteelle B
Chapitre4 COMMANDE ROBUST PAR LA THECHNIQUE DU BACKTEPPING
100
Dans les figures (417- 424) nous remarquons que la robustesse de la commande est
veacuterifieacutee numeacuteriquement En effet avec telles forces de reacutesistance la commande produit
des valeurs assez raisonnables assurant le suivi du drone agrave sa trajectoire de reacutefeacuterence avec
des erreurs ne deacutepassant pas 20 cm pour les variables x z et y Pour assurer les virages les
angles de tangage et de roulis varient au cours du suivi de trajectoire
47 Backstepping adaptative
La commande adaptative est une solution ougrave les paramegravetres sont inconnus ougrave
eacutevoluant dans le temps Dans ce cas ces paramegravetres sont estimeacutes par des lois drsquoadaptations
ces derniegraveres nous permettent drsquoapprocher les valeurs reacuteelles du systegraveme rendant ainsi la
commande dynamique deacutependante de lrsquoeacutevolution des paramegravetres [10 46 47 59]
Dans cette partie on va preacutesenter la deuxiegraveme proposition pour eacuteliminer lrsquoerreur statique
due agrave la preacutesence drsquoune perturbation Le scheacutema bloc simplifieacute de la commande du
backstepping adaptative appliqueacute au vol vertical est repreacutesenteacute par la figure (425)
Figure 425 Le scheacutema bloc du backstepping adaptative
471 Commande de lrsquoaltitude
La loi de commande geacuteneacutereacutee en utilisant la technique du backstepping avec estimateur
deacutebutera par la deacutefinition de la premiegravere valeur drsquoerreur de position [28]
Premiegravere eacutetape
e௭ଵ= ݖ minus z (478)
Ainsi que sa vitesse lineacuteaire est donneacutee par
e௭ଵ= ሶݖ minus ሶݖ (479)
On choisira la fonction de Lyapunov
V (e௭ଵ) =ଵ
ଶeଵଶ (480)
Perturbation
Backstepping adaptative(Commande de lrsquoaltitude)
Model du X4Reacutefeacuterence zzref
ଷݑ
-
+
Chapitre4 COMMANDE ROBUST PAR LA THECHNIQUE DU BACKTEPPING
101
Sa deacuteriveacutee
V(e௭ଵ) = e௭ଵe௭ଵ= e௭ଵ ሶݖ) minus (ሶݖ (481)
Soit xଶ le controcircleur virtuel sa loi de commande est deacutefinie par
xଶ = ሶݖ + k௭ଵe௭ଵ (482)
Deuxiegraveme eacutetape
En introduisant la nouvelle valeur drsquoerreur noteacutee e௭ଶ qui est eacutegale agrave la diffeacuterence entre la
vraie valeur de la vitesse ሶetݖ la commande virtuelle xଶ alors
e௭ଶ = ሶݖ + k௭ଵe௭ଵminus ሶݖ (483)
e௭ଵ = minus k௭ଵe௭ଵ + e௭ଶ (484)
A cette eacutetape la fonction de Lyapunov va ecirctre diffeacuterente de la preacuteceacutedente et ceci est due agrave
lrsquointroduction drsquoune force inconnue ௭ܣ (force de traineacutee) Lrsquoajout drsquoun estimateur est
neacutecessaire pour estimer ௭ܣ la fonction de Lyapunov est augmenteacutee
V (e௭ଵ e௭ଶ (ଵߛ =1
2eଵଶ +
ଵ
ଶeଶଶ +
1
భߛ2௭෪ܣ
ଶ (485)
Lrsquoajout de ce nouveau terme permet drsquoannuler lrsquoerreur due agrave lrsquoestimation de la force ௭ܣ
ߛଵ
est un paramegravetre de design qui doit toujours ecirctre positif
Ougrave ௭෪ܣ repreacutesente lrsquoerreur entre ௭ܣ et ௭ܣ (force estimeacutee)
௭෪ܣ = ௭ܣ minus ௭ܣ (486)
A lrsquoaide de ce choix on obtient
V൫e௭ଵ e௭ଶ ߛଵ൯= e௭ଵe௭ଵ + e௭ଶe௭ଶ+
ଵ
ఊ1
௭෪ܣ ௭ܣ (487)
Pour que le systegraveme soit stable il faut que sa deacuteriveacutee soit toujours neacutegative
V൫e௭ଵ e௭ଶ ߛଵ൯= e௭ଵ(minus k௭ଵe௭ଵ + e௭ଶ)+ e௭ଶ (k௭ଵ(minusk௭ଵe௭ଵ + eଶ) minus +ሷݖ (ሷݖ +
1
భߛ௭෪ܣ ௭ܣ
(488)
= minus k௭ଵeଵଶ + eଶ ሷ+(1ݖ) minus kଵ
ଶ )e௭ଵ + k௭ଵeଶ minusߠݏ 3ݑemptyݏ
+ g +
ෝݖܣ
)
+1
భߛ௭෪ܣ ௭ܣ) minus
భߛ
eଶ ) (489)
La dynamique qui va ecirctre attribueacutee agrave ௭ܣ est baseacutee sur le fait qursquoelle doit annuler le terme
inconnu ௭ܣ
௭ܣ =ఊ1
e2ݖ (490)
Chapitre4 COMMANDE ROBUST PAR LA THECHNIQUE DU BACKTEPPING
102
Pour garantir la stabiliteacute de Lyapunov
ሷ+(1ݖ minus kଵଶ )e௭ଵ + k௭ଵeଶ minus
ߠݏ 3ݑ emptyݏ
+ g +
= minusk௭ଶeଶ (491)
La loi de commande qui stabilise le vol vertical est
ଷݑ =
ߠݏ emptyݏ+ሷݖ) g + e௭ଵ(1minusk௭ଵ
ଶ ) + eଶ(k௭ଵ + k௭ଶ) minusෝݖܣ
) (492)
La force ௭ܣ apparaicirct dans la commande ଷݑ et lrsquoeffet de celle-ci va se montrer dans les
reacutesultats de simulation
Nous suivons les mecircmes eacutetapes deacutecrites preacuteceacutedemment pour deacuteterminer les commandes du
drone X4 ce qui nous donne
⎩⎪⎪⎪⎨
⎪⎪⎪⎧ ௫ݑ =
௨యሷݔ) + (1 minus ௫ଵ
ଶ ) ௫ଵ minus ( ௫ଵ + ௫ଶ) ௫ଶ) minus
௬ݑ =
௨యሷݕ) + ൫1 minus ௬ଵ
ଶ ൯ ௬ଵ minus ( ௬ଵ + ௬ଶ) ௬ଶ) minus
ସݑ = +ߠ ఏଵ൫1 minus ఏଵଶ ൯minus ఏଶ ( ఏଵ + ఏଶ)
ହݑ = ݎempty + emptyଵ (1 minus emptyଵଶ ) minus emptyଶ ( emptyଵ + emptyଶ)
u = ψ
+eψଵ൫1 minus kψଵଶ ൯minus eψଶ(kψଵ + kψଶ )
(493)
ܣ ܣ sont les forces de reacutesistances estimeacutees suivants les axes x y respectivement
Leurs deacuteriveacutees sont deacutefinie par ܣ =ఊ2
e2ݔ ܣ =
ఊ3
e2ݕ
Avec ଶߛ et ଷߛ sont des constants positifs
472 Reacutesultats de simulations
Nous nous inteacuteressons dans cette partie aux tests de la robustesse du controcircleur
backstepping adaptative Nous reprenons les mecircmes tests effectueacutes par le controcircleur
Backstepping Nous traitons dans cette partie lrsquoexemple de la reacutealisation des connections
demi-cercles pour les mouvements z x y en preacutesence de perturbation
Avec les gains ଵ=10ߛ ଶ=20ߛ et ଷ=30ߛ
Chapitre4 COMMANDE ROBUST PAR LA THECHNIQUE DU BACKTEPPING
103
Figure 426 La trajectoire de reacutefeacuterence et reacuteelle en preacutesence de perturbation
Figure 427 Les commandes en preacutesence de perturbation
0 5 10 15 20 25 30 35 40 450
20
40
u3
(N)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45-40
-20
0
20
u4
(Nm
)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
-200
2040
u5
(Nm
)
temps (s)
02
46
810
1214
0
5
10
15
200
5
10
15
Deacuteplacement suivant (x)Deacuteplacement suivant (y)
Deacutepla
cem
ent
suiv
ant
(z)
Trajectoire reacuteelle
Trajectoire reacutefeacuterence
Chapitre4 COMMANDE ROBUST PAR LA THECHNIQUE DU BACKTEPPING
104
Figure 428 Les erreurs en preacutesence de perturbation
Figure 429 Les forces en preacutesence de perturbation
0 5 10 15 20 25 30 35 40 450
5
10
F1
(N)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 450
5
10
F2
(N)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 450
5
10
F3
(N)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 450
5
10
F4
(N)
temps (s)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45-01
0
01
02z-e
rreur
(m)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45-01
0
01
02
x-e
rreurr
(m)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45-01
0
01
02
y-e
rreur
(m)
temps (s)
Chapitre4 COMMANDE ROBUST PAR LA THECHNIQUE DU BACKTEPPING
105
Figure 430 Estimation des forces de traineacutee suivant les deacuteplacements zxy
La simulation agrave eacuteteacute faite sur le mecircme proceacutedeacute les figures (426-429) montrent
clairement que la loi de commande adaptative proposeacutees est stable malgreacute la preacutesence de
terme de perturbation lrsquoerreur statique est annuleacute et le suivi de la trajectoire est assureacute
nous pouvons voir aussi que la perturbation additionneacutee ne cause pas de problegraveme vis-agrave-vis
de la performance de la loi de commande cette derniegravere stabilise asymptotiquement les
principales erreurs du systegraveme En outre la figure (430) montre que ෩(erreur)ܣ converge
vers zeacutero ou encore ௫௬௭ܣ (estimeacutee) converge vers sa vraie valeur ௫௬௭ܣ (inconnue)
4 8 Commande Hybride
Depuis quelques anneacutees beaucoup de recherches ont eacuteteacute effectueacutees dans le domaine
de la commande des systegravemes non lineacuteaires Le mode glissant-backstepping fait partie de
ces nouvelles meacutethodes de controcircle celui-ci au mecircme algorithme que le backstepping mis
agrave part le deuxiegraveme sous systegraveme on remplace lrsquoerreur par la surface de glissement et la
commande comprend deux termes ݑ) = ݑ + (ݑ Un terme continu appeleacutee commande
eacutequivalente et un terme discontinu appeleacutee commande de commutation Le but de cette
proceacutedure est de garantir une stabiliteacute avant lrsquointroduction du mode glissant
0 5 10 15 20 25 30 35 40 450
5
10A
z-F
orc
e(N
))
0 5 10 15 20 25 30 35 40 450
5
10
Ax-F
orc
e(N
)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 450
5
10
Ay-F
orc
e(N
)
temps (s)
force estimeacutee
force reacuteelle
force estimeacutee
force reacuteelle
force estimeacutee
force reacuteelle
Chapitre4 COMMANDE ROBUST PAR LA THECHNIQUE DU BACKTEPPING
106
481 Application du mode glissant-Backstepping pour le drone X4
Dans cette partie on a utiliseacute le backstepping approche comme un algorithme
reacutecursif pour controcircler le drone X4 nous simplifions toutes les eacutetapes de calcul agrave propos
des erreurs et les fonctions de Lyapunov dans le chemin suivant
= ቐ
minusݔ ݔ isin [1 3 5 7 9 11]
minusݔ ሶ(ݔ ଵ) minus ( ଵ)
isin 2 4 6 8 1012
(494)
Avec gt 0 isin 112
ଵ
ଶ ଶ isin 1357911
et = (495)
( ଵ) +ଵ
ଶ ଶ isin 24681012
Nous allons appliquer cette meacutethode pour commander la dynamique de lrsquoaltitude z du
drone X4 les autres lois de commandes seront deacuteduites par les mecircmes proceacutedures et seront
donneacutee directement La premiegravere eacutetape dans ce controcircleur est similaire agrave celui de la
commande par backstepping agrave action inteacutegrale
Drsquoougrave la surface de glissement S est utiliseacute agrave la place de eଶ deacutefinis par
௭ = ௭ଶ = minusሶݖ ሶݖ minus ௭ଵ ௭ଵ minus ଵߣ ଵ (496)
Le choix de la de commande pour une surface de glissement attractive se pose sur la
deacuteriveacutee de lrsquoeacutequation (496) doit satisfaire la condition ൫SS lt 0൯
௭ = minus ଵݏ )ݐ ௭) minus ଶ ௭
= minusሷݖ ሷݖ minus ௭ଵ ሶ௭ଵ minus ଵߣ ௭ଵ
=ଵ
emptyݏ ଷݑߠݏ minus minus ሷݖ minus ௭ଵ ሶ௭ଵ minus ଵߣ ௭ଵ (497)
La loi de commande qui stabilise le vol vertical est
ଷݑ =
௦empty௦ఏ൫ݖሷ + + ௭ଵ ሶ௭ଵ + ଵߣ ௭ଵ minus ଵݏ )ݐ ௭) minus ଶ ௭൯ (498)
Avec ଵ et ଶ sont des gains positives
Chapitre4 COMMANDE ROBUST PAR LA THECHNIQUE DU BACKTEPPING
107
Analyse de la stabiliteacute
Afin de prouver la stabiliteacute la fonction de Lyapunov (e௭ଵ S௭) est choisie comme suite
(e௭ଵ S௭) =ଵ
ଶe௭ଵଶ + ௭
ଶ + ଵߣ ଵଶ ൧ (499)
Afin de prouver la stabiliteacute asymptotique du systegraveme sur lensemble nous avons besoin
dexprimer (471) comme suit
ሶ௭ଵ = minus ௭ minus ௭ଵ ௭ଵ minus ଵߣ ଵ (4100)
La deacuteriveacutee de lrsquoeacutequation 499 donne
= ଵߣ ௭ଵ ଵ + ௭ଵ ሶ௭ଵ + ௭௭ (4101)
Par lrsquointroduction des eacutequations drsquoerreurs de poursuite en vitesse de ௭ଵ et ௭ donne
= minus ௭ଵ ௭ଵଶ minus ଵ ௭
ଶ minus |ଵݍ ௭| le 0 (4102)
Avec
௭ = minus ଵݏ )ݐ ௭) minus ଶ ௭ + ௭ଵ (103)
La stabiliteacute Asymptotique Global est eacutegalement assureacutee agrave partir de la fonction et le fait
que ( ௭ଵ ௭) lt 0 forall( ௭ଵ ௭) ne 0 and (0) = 0 et en appliquant le theacuteoregraveme de LaSalle
Les mecircmes eacutetapes sont utiliseacutees pour deacuteduire les commandes ux uy u4 u5 et u6 [88]
⎩⎪⎪⎨
⎪⎪⎧ ௫ݑ =
௨యሷݔ) + ௫ଵ ሶ௫ଵ+ߣଶe୶ଵ minus ଷݏ )ݐ ௫) minus ସ ௫)
௬ݑ =
௦ఏ௨య൫ݕሷ + ௬ଵ ሶ௬ଵ + ଷe୷ଵߣ minus ହݏ ൫ݐ ௬൯minus ௬൯
ସݑ = ߠ + ఏଵ ሶఏଵ + ସeఏଵߣ minus ݏ )ݐ ఏ) minus ఏ
ହݑ = empty + emptyଵ ሶemptyଵ + ହeemptyଵߣ minus ଽݏ )ݐ empty) minus ଵ empty
ݑ = + టଵ ሶటଵ + eటଵߣ minus ଵଵݏ ൫ݐ ట൯minus ଵଶ ట
( 4104)
Avec ( ଵ ଶ ଷ ସ ହ ଽ ଵ ଵଵ ଵଶ ) sont des gains positives
Ougrave ௫ ௬ ఏ empty et ట sont les surfaces de glissement deacutefinies par le systegraveme drsquoeacutequation
suivant
Chapitre4 COMMANDE ROBUST PAR LA THECHNIQUE DU BACKTEPPING
108
⎩⎪⎪⎨
⎪⎪⎧
௫ = e୶ଶ = x minus x minus k୶ଵe୶ଵ minus ଶߣ ଶ
௬ = e୷ଶ = y minus y minus k୷ଵe୷ଵ minus ଷߣ ଵ
ఏ = eఏଶ = minusߠ ߠ minus kఏଵeఏଵ minus ସߣ ସ
empty = eemptyଶ = empty minus empty minus kemptyଵeemptyଵ minus ହߣ ହ
ట = eటଶ = minus minus kటଵeటଵ minus ߣ
(4105)
482 Reacutesultats de simulation
Lrsquoobjectif de cette simulation est de montrer la robustesse de la loi de commande
lorsque qursquoune perturbation externe est appliqueacutee
Les paramegravetres de simulation sont
ଵ =10 ଷ = 1 ହ = 10 = 2 ଽ = 10 ଵଵ = 2 ௭ଵ =8 ଶ = 5 ௫ଵ = 5 ସ =
5 ௬ଵ = 4 = 2 kemptyଵ = 55 k = 2 ఏଵ = 75 ଵ = 10 టଵ = 2 ଵଶ = 4
ଵߣ = 5 ଶߣ = 5 ଷߣ = 4 ସߣ = 2 ହߣ = 5 ߣ = 2
Les figures 431 437 et 438 montrent que les deux commandes ont permis le suivi des
trajectoires deacutesireacutees La diffeacuterence entre les deux commandes se voit dans la figure 436 ougrave
les erreurs de suivi sont moins importantes en utilisant la commande robuste backstepping-
mode glissant que la commande inteacutegrale backstepping Les simulations montrent donc
que la commande hybride est plus efficace que la commande Inteacutegrale Backstepping IB
Figure 431 La trajectoire de reacutefeacuterence et reacuteelle en preacutesence de perturbation
0
5
10
15
0
5
10
150
5
10
15
x-displacementy-displacement
z-d
ispla
cem
ent
Trajectoire reacuteelle
Trajectoire reacutefeacuterence
Chapitre4 COMMANDE ROBUST PAR LA THECHNIQUE DU BACKTEPPING
109
Figure 432 Les commandes en preacutesence de perturbation
Figure 433 Les erreurs en preacutesence de perturbation
0 5 10 15 20 25 30 35 40 450
20
40
u3(N
)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45-40
-20
0
20
u4(N
m)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
-200
2040
u5(N
m)
temps (s)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45-01
0
01
02
z-e
rreur
(m)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45-01
0
01
02
x-e
rreurr
(m)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45-01
0
01
02
y-e
rreur
(m)
temps (s)
Chapitre4 COMMANDE ROBUST PAR LA THECHNIQUE DU BACKTEPPING
110
Figure 434 Les angles en preacutesence de perturbation
Figure 435 Les forces en preacutesence de perturbation
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
-05
0
05
1
angle
theta
(rad)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
-1
-05
0
05
1
angle
phi(r
ad)
temps (s)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 4505
10
F1
(N)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 450
5
10
F2
(N)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 450
5
10
F3
(N)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 450
5
10
F4
(N)
temps (s)
Chapitre4 COMMANDE ROBUST PAR LA THECHNIQUE DU BACKTEPPING
111
Figure 436 Les erreurs de suivi en z x et y pour les deux commandes
Figure 437 La trajectoire de reacutefeacuterence et reacuteelle en preacutesence de perturbation
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45-01
0
01
02
z-e
rre
ur
(m)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45-01
0
01
02
x-e
rre
urr
(m)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45-01
0
01
02
y-e
rre
ur
(m)
temps (s)
IB
IBMG
IB
IBMG
IB
IBMG
0
5
10
15
0
5
10
150
5
10
15
x-displacementy-displacement
z-d
ispla
cem
ent
Trajectoire reacuteelle
Trajectoire reacutefeacuterence
Chapitre4 COMMANDE ROBUST PAR LA THECHNIQUE DU BACKTEPPING
112
Figure 438 La trajectoire de reacutefeacuterence et reacuteelle en preacutesence de perturbation
49 Conclusion
Nous avons preacutesenteacute dans ce chapitre une contribution agrave lrsquoapplication de la commande
par backstepping et la commande hybride backstepping mode glissant afin de stabiliser le
drone X4 On a proposeacute un algorithme de commande qui stabilise le drone en utilisant la
technique du backstepping et en se basant sur la meacutethode directe de Lyapunov Cette
technique a eacuteteacute appliqueacutee avec succegraves pour concevoir des algorithmes de commandes qui
assurent la poursuite de ces trajectoires En effet en preacutesence drsquoune perturbation un
comportement peu deacutesirable et observeacute des erreurs statiques persistent Afin drsquoeacuteliminer
cet inconveacutenient on a eacutetudieacute les deux approches la premiegravere consiste agrave introduire drsquoune
maniegravere virtuelle une action inteacutegrale qui permet une nette ameacutelioration des performances
et la deuxiegraveme approche est le backstepping adaptatif lrsquoideacutee consiste agrave estimer la force de
traineacutee comme perturbation et suivant la proceacutedure du backstepping le controcircleur prend
en compte la perturbation et lrsquoeffet de celle-ci est eacutelimineacute Les reacutesultats obtenus ont montreacute
lrsquoefficaciteacute de lrsquoutilisation de ce type de commande et ceci est deacutemontreacute par les bonnes
performances du controcircleur (rejet de perturbation)
Pour renforcer la robustesse face aux perturbations externes des deux commandes une
commande hybride entre le mode glissant et le backstepping inteacutegrale agrave eacuteteacute proposeacutee afin
-2-15
-1-05
005
115
-3
-2
-1
0
1
20
1
2
3
4
5
6
x-displacementy-displacement
z-d
ispla
cem
ent
Trajectoire reacuteelle
Trajectoire reacutefeacuterence
Chapitre4 COMMANDE ROBUST PAR LA THECHNIQUE DU BACKTEPPING
113
drsquoameacuteliorer les performances dynamique et statique Nous avons preacutesenteacute dans cette partie
la synthegravese et la stabiliteacute de la commande hybride que nous avons appliqueacutee pour le drone
X4
Les reacutesultats de simulation ont confirmeacute les bonnes performances du controcircleur utiliseacute qui
assure sous certaines conditions la poursuite de la trajectoire
CONCLUSION GENERALE ET PRESPECTIVE
113
CONCLUSION GENERALE ETPRESPECTIVE
CONCLUSION GENERALE ET PRESPECTIVE
114
CONCLUSION GENERALE ET PRESPECTIVE
Durant ces derniegraveres anneacutees la robotique aeacuterienne a fait de grand progregraves Cet
inteacuterecirct est justifieacute par les avanceacutees technologiques reacutecentes qui rendent possibles la
conception et la construction des mini-drones et par le domaine drsquoapplication civile et
militaire tregraves vaste de ces aeacuteronefs Les drones sont classifieacutes en trois cateacutegories principales
les avions les dirigeables et les heacutelicoptegraveres Le travail reacutealiseacute dans cette thegravese rentre dans
ce cadre de recherche sur la commande de mini-veacutehicules aeacuteriens capables de reacutealiser du
vol stationnaire et en particulier du quadrirotor Notre objectif est de deacutevelopper des
commandes avanceacutees drsquoune part et drsquoautre part de proposer des meacutethodes drsquohybridations
entre ces techniques de commande assurant la stabiliteacute du drone (X4) et leurs poursuites
aux trajectoires planifieacutees
Nous nous sommes tout drsquoabord inteacuteresseacutes agrave attribuer au drone un modegravele
repreacutesentatif qui reflegravete sa dynamique de translation et celle de rotation en neacutegligeant les
forces aeacuterodynamiques et les effets gyroscopiques Ce modegravele a eacuteteacute eacutelaboreacute en utilisant la
meacutethode Newtonienne en se basant sur quelques hypothegraveses simplificatrices adopteacutees en
litteacuterature
Nous avons eacutelaboreacute dans un premier temps la synthegravese drsquoune loi de commande agrave
structure variable tel que le mode glissant Dans ce type de commande lrsquoapproche non
lineacuteaire a eacuteteacute traiteacutee et preacutesente lrsquoavantage de se rapprocher du systegraveme reacuteel sans passer
neacutecessairement par le modegravele lineacuteaire Cette commande a donneacute des reacutesultats inteacuteressants
concernant la poursuite de trajectoires simples telles que le suivi de lignes droites et
complexes (demi-cercle arcs hellip)
En preacutesences des perturbations des erreurs statiques persistent Une structure de
reacuteglage par mode de glissement agrave action inteacutegrale a eacuteteacute aussi preacutesenteacutee afin drsquoobtenir des
meilleurs performances Les reacutesultats de simulation nous montrent la robustesse et la
performance de ce type de reacutegulateur Cependant le signal de commande obtenu par ce
reacutegulateur preacutesente des variations brusques dues au pheacutenomegravene de broutements
(chatterring)
Afin de reacuteduire les effets du pheacutenomegravene de broutement et drsquoameacuteliorer davantage
les performances de stabilisation du X4 une hybridation entre la logique floue et le mode
de glissement agrave action inteacutegrale a eacuteteacute proposeacutee
CONCLUSION GENERALE ET PRESPECTIVE
115
Une autre commande non lineacuteaire a eacuteteacute proposeacutee agrave savoir un reacutegulateur de type
backstepping Ce reacutegulateur est baseacute sur une reacutecente meacutethodologie faisant appel agrave la
fonction de Layapunov La synthegravese a conduit agrave un controcircleur non lineacuteaire globalement
asymptotiquement stable Cette technique a eacuteteacute appliqueacutee avec succegraves pour concevoir des
algorithmes de commandes qui assurent le deacuteplacement du drone drsquoune position initiale
vers une position drsquoeacutequilibre deacutesireacutee Le reacutegulateur backstepping dont la conception est de
type PD preacutesente lrsquoinconveacutenient de la persistance de lrsquoerreur statique en preacutesence de
perturbation Pour y remeacutedier deux solutions ont eacuteteacute proposeacutees agrave savoir lrsquoajout drsquoune
action inteacutegrale au controcircleur virtuel (la commande inteacutegrale backstepping) et la deuxiegraveme
revient agrave estimer la perturbation (la commande backstepping adaptatif) cette approche a la
flexibiliteacute de speacutecifier les structures finales deacutesirables pour les lois des paramegravetres estimeacutes
Une approche drsquohybridation entre le backstepping inteacutegrale et le mode glissant a eacuteteacute
preacutesenteacutee pour augmenter davantage les performances de controcircleur
Les reacutesultats obtenus agrave ce propos sont assez motivant pour lancer une concreacutetisation
pratique de ces commandes
Outre les perspectives de travail mentionneacutees dans les conclusions des diffeacuterentes
parties de ce document une extension des travaux effectueacutes dans le cadre de cette thegravese
peut ecirctre reacutealiseacutee en consideacuterant les points suivants
Les approches proposeacutees ont eacuteteacute adapteacutees pour lrsquoacuteelaboration de lois de guidage-pilotage
en utilisant un niveau de modeacutelisation de la dynamique drsquoun drone miniature `agrave voilure
tournante baseacute sur une repreacutesentation de type meacutecanique du solide Une extension de ces
travaux peut consister en lrsquoapplication des meacutethodes proposeacutees agrave des modegraveles plus
deacutetailleacutes repreacutesentatifs drsquoune configuration de veacutehicule donneacutee et prenant en compte une
repreacutesentation de son aeacuterodynamique
Enfin une analyse de la robustesse des approches proposeacutees peut ecirctre eacutetudieacutee en
poursuite agrave cette thegravese afin de garantir dans quelle mesure les proprieacuteteacutes de stabiliteacute
eacutetablies sont conserveacutees en preacutesence drsquoerreurs de modegraveles en preacutesence de perturbations
impreacutevisibles telles que les rafales de vent En effet comme perspective ces conditions
reacuteelles peuvent ecirctre consideacutereacutees dans lrsquoeacutelaboration de la commande dans le but
drsquoaugmenter le domaine de fonctionnement du quadrirotor (agrave lrsquointeacuterieur ou bien agrave
lrsquoexteacuterieur) Dans le mecircme esprit nous nrsquoavons pas consideacutereacute le problegraveme des retards de
mesure ou de communication entre le drone et la base de controcircle Il nous semble
envisageable de consideacuterer ce problegraveme en se basant sur les reacutesultats obtenus pour la
CONCLUSION GENERALE ET PRESPECTIVE
116
stabilisation par commande agrave structure variable de systegravemes avec retard et la stabilisation
avec la commande hybride
Le choix des paramegravetres de reacuteglage de la commande non-lineacuteaire proposeacutee pour la
stabilisation du quadrirotor nrsquoest pas optimiseacute en lrsquoeacutetat actuel Il est par conseacutequent tout agrave
fait envisageable drsquooptimiser ces choix dans le but drsquoameacuteliorer le comportement global du
systegraveme de renforcer la stabiliteacute ou encore drsquoameacuteliorer la robustesse de la commande
ANNEXE
113
ANNEXES
ANNEXE
117
ANNEXE A
A1 Theacuteorie de lyapunov
Le concept du controcircle par Backstepping est baseacute sur la theacuteorie de Lyapunov Lebut est de construire de proche en proche une loi de commande ramenant le systegraveme versdes eacutetats deacutesireacutes En drsquoautres termes on souhaite faire de lrsquoeacutetat deacutesireacute un eacutetat drsquoeacutequilibrestable en boucle fermeacuteeDans cette section nous deacutefinissons la notion de la stabiliteacute au sens de Lyapunov et nouspassons en revue les principaux outils utilisables pour prouver la stabiliteacute drsquoun systegraveme nonlineacuteaire Cette section est inspireacutee essentiellement des travaux de Khalil auquel nous nousreferons pour les preuves des theacuteoregravemes de stabiliteacute [89]On considegravere le systegraveme non lineacuteaire drsquoeacutecrit par lrsquoeacutequation diffeacuterentielle suivante
=ሶݔ (ݐݔ) A1Ougrave f est une fonction deacutefinie de ℝtimesℝା rarr ℝ x isin Rn est le vecteur drsquoeacutetat du systegravemeUn eacutetat xe du systegraveme est un point drsquoeacutequilibre stable srsquoil satisfait
(ݔ) = 0 A2Les proprieacuteteacutes de stabiliteacute de ce point drsquoeacutequilibre sont caracteacuteriseacutees par la deacutefinition ci-dessous
Deacutefinition A1 (Stabliteacute au sens de Lyapunov)Un point drsquoeacutequilibre x = x du systegraveme (A1) est ndash un eacutetat drsquoeacutequilibre stable si et seulement si pour tout ε gt 0 il existe δ(ε) gt 0 tel que
(0)ݔ minus ݔ lt ε ⟹ (ݐ)ݔ minus ݔ lt ߝ leݐ forall 0ndash un eacutetat drsquoeacutequilibre asymptotiquement stable srsquoil est stable et srsquoil existe ߜ gt 0 tel que
(0)ݔ minus ݔ lt ⟹ߜ lim௧⟶ஶ
(ݐ)ݔ = ݔ
ndash un eacutetat drsquoeacutequilibre globalement asymptotiquement stable (GAS) si pour tout eacutetat initialx0 x(0) isin ℝ il est stable et
lim௧rarrஶ
(ݐ)ݔ = (0)ݔ forall ݔ
On introduit maintenant quelques concepts usuels de fonctions de LyapunovDeacutefinition A2ndash Une fonction scalaire V (x) est deacutefinie positive dans une boule de Rn de rayon K si 1) V (x) gt 0 forall x ne 0 et x isin ℝ୬ x lt K2) V (x) = 0 pour x = 0ndash La fonction scalaire V (x) est deacutefinie neacutegative dans une boule de ℝ୬ de rayon K si 1) V (x) lt 0 forall x ne 0 et x isin ℝ୬ x lt K2) V (x) = 0 pour x = 0ndash La fonction scalaire (ݔ) est semi-deacutefinie positive si (ݔ) ge 0
Theacuteoregraveme A3 Consideacuterons le systegraveme deacutecrit par lrsquoeacutequation (A1) avec (0) = 0 Soit (ݔ) une fonction scalaire deacutefinie positive non borneacutee continue et diffeacuterentiable Si
V(x) = Vx f(x) lt 0 x ne 0 (A3)
alors x = 0 est un point drsquoeacutequilibre globalement asymptotiquement stable
ANNEXE
118
La fonction deacutefinie positive (ݔ) satisfaisant (ݔ) le 0 est appeleacutee fonction de Lyapunovdu systegraveme
Theacuteoregraveme A4 (LaSalle-Yoshizawa) [90]
Soit =ݔ 0 un point drsquoeacutequilibre de (A1) et on suppose que f est localement Lipschitz en xSoitV ℝ rarr ℝା une fonction continue et diffeacuterentiable deacutefinie positive radialement nonborneacutee telle que
=ௗ
ௗ௫(ݔ) (ݐݔ) le minus (ݔ) le 0 leݐ forall 0 niݔ ℝ (A4)
ougrave (ݔ) est une fonction continue alors toutes les solutions de (A1) sont globalementuniformeacutement borneacutees et satisfont
lim௧rarrஶ
( ((ݐ)ݔ) = 0 (A5)
de plus si (ݔ) est deacutefinie positive alors le point drsquoeacutequilibre ݔ = 0 est globalementuniformeacutement asymptotiquement stable
A2 Commande par la meacutethode de Lyapunov
Nous allons donner dans cette section une meacutethode de synthegravese drsquoune loi de commandebaseacutee sur la theorie de Lyapunov On considegravere le systegraveme non lineacuteaire drsquoeacutecrit par
=ሶݔ f(x u) (A6)Ougrave x est lrsquoeacutetat du systegraveme et ݑ est lrsquoentreacutee de commandeLrsquoobjectif du controcircle est de ramener le vecteur drsquoeacutetat agrave lrsquoorigine et que lrsquoorigine devienneun point drsquoeacutequilibre asymptotiquement stable Lrsquoentreacutee de commande est choisie de laforme
ݑ = (ݔ)ߙ (A7)La dynamique du systegraveme en boucle fermeacutee devient
=ሶݔ ((ݔ)ߙݔ) (A8)
Pour montrer que le systegraveme est GAS nous devons construire une fonction de Lyapnuov
(ݔ) satisfaisant les conditions du theacuteoregraveme (A3) Lapproche la plus simple pour trouver
(ݔ)ߙ est de seacutelectionner une fonction deacutefinie positive (ݔ) radialement non borneacutee et
puis choisir (ݔ)ߙ tel que
= (ݔ)ݔ ((ݔ)ߙݔ) lt 0 x ne 0 (A9)On doit faire un choix adeacutequat de pour veacuterifier (A9) Ce qui nous amegravene agrave donner ladeacutefinition suivante
Deacutefinition A5 (Fonction de Lyapunov candidate) Une fonction (ݔ) scalaire lissedeacutefinie positive et radialement non borneacutee est appeleacutee fonction de Lyapunov candidatepour le systegraveme (A6) si
inf௨ݔ (ݑݔ) lt 0 x ne 0 (A10)
Etant donneacutee une (fonction de Lyapunov candidate (CLF)) pour le systegraveme (A8) on peuttrouver une loi de controcircle stabilisant globalement le systegraveme En effet lrsquoexistence de
ANNEXE
119
cette loi est eacutequivalent de (CLF) Cela veut dire que pour toute loi de controcircle stabilisanteon peut trouver une (CLF) correspondante et vis-versa Cela est veacuterifie dans le theacuteoregraveme[91] Pour illustrer cette approche on considegravere le systegraveme suivant
=ሶݔ (ݔ) + ݑ(ݔ) (A11)Ce systegraveme est affine en la commande On suppose que la (CLF) du systegraveme est connueSontag a proposeacute dans [92] un choix particulier de loi de controcircle donneacutee par
ݑ = (ݔ)ߙ = minusାradicమାమ
(A12)
Ougrave= (ݔ)ݔ (ݔ)= (ݔ)(ݔ)ݔ
Cette loi de commande nous donne
= )(ݔ)ݔ (ݔ) + (ݑ(ݔ) = + ൬minusାradicమାమ
൰= minusradic ଶ + ଶ (A13)
Elle rend donc lrsquoorigine (GAS) Lrsquoeacutequation (A12) est connue sous le nom de la formule deSontag Freeman et Primbs [93] ont propose une approche ou la commande u est choisiepour minimiser Lrsquoeffort du controcircle neacutecessaire pour satisfaire
le minus (ݔ) (A14)
A3 Eacuteleacutements theacuteoriques des modes glissantsOn introduit des eacuteleacutements theacuteoriques neacutecessaires agrave la compreacutehension de la
commande par modes glissants Plus particuliegraverement nous rappelons les conditionsdrsquoexistence du mode glissant
Figure A1 ndash Comportement en dehors de la surface de glissement
A31 Existence du mode glissementA311 Deacutefinitions
Nous consideacuterons le systegraveme non lineacuteaire drsquoeacutecrit par
=ሶݔ (ݐݑݔ) (A15)Ougrave ndash x est lrsquoeacutetat du systegraveme eacutevoluant dans une varieacuteteacute diffeacuterentiable caracteacuterisant le domainephysique de fonctionnement du systegraveme
S = 0
ANNEXE
120
ndash f le champ de vecteurs complet dans ℝ
ndash u la commande ou lrsquoentreacutee du systegraveme appartient a Ω inclut dans ℝ veacuterifiant
(ݐݔ)ݑ = ൜(ݐݔ)ାݑ ݏ (ݐݔ) ≺ 0
(ݐݔ)ݑ ݏ (ݐݔ) ≻ 0
Cette commande discontinue est appeleacutee Commande a Structure Variable(CSV) ou biencommande par modes glissantsLa fonction S(x t) est appeleacutee surface de glissement elle partage lrsquoespace en deux partiesdistinctes Un systegraveme est deacutefini comme eacutetant un systegraveme a structure variable commutantentre deux structures si par on deacutefinit deux champs de vecteurs ା (x u t) (x u t) detel sorte que le systegraveme (A15) puisse ecirctre eacutecrit sous la forme ci-dessous
=ሶݔ (ݐݑݔ) = (ݐݔ) = ൜ା(ݐݔ) ݏ (ݐݔ) ≺ 0
(ݐݔ) ݏ (ݐݔ) ≻ 0
Pour eacutevoquer lrsquoexistence du mode de glissement il faut que la surface de commutation(ݐݔ) soit attractive des deux cotes Lrsquointerpreacutetation geacuteomeacutetrique eacutequivaut agrave dire que les
deux vecteurs vitesses + et minus doivent ecirctres dirigeacutes vers la surface de commutationCette notion drsquoattractiviteacute peut ecirctre locale ou globale (figure (A1))
A32 Conditions drsquoexistence du mode glissantLe theacuteoregraveme ci-dessous donne les conditions drsquoexistence du mode glissant
Theacuteoregraveme A6 Un domaine Dg de dimension (n-1) est dit un domaine de glissement si etseulement si dans un domaine Ω contenant Dg il existe une fonction de Lyapunov ( (ݐݔ gt 0 continucircment diffeacuterentiable par rapport agrave tous ses arguments et satisfaisantles conditions suivantes
i) ( (ݐݔ gt 0 est deacutefinie positive par rapport a S
൜( (ݐݔ ≻ 0 (ݐݔ0) = 0
ݏ ne 0
ii) Sur la sphegravere = ρ forall x isin Ω forall t gt 0 les relations suivantes sont veacuterifieacutees ii minus a) inf
ௌୀV ( (ݐݔ = ℎ ℎ gt 0
ii minus b) supௌୀ
V ( (ݐݔ = ܪ ܪ gt 0
Avec ℎ et ܪ deacutependant de S et ℎ ne 0 si ρ ne 0
iii) La deacuteriveacutee totale de ( (ݐݔ le long des trajectoires du systegraveme a unmaximum neacutegatif pour tout x de agrave lrsquoexclusion de la surface de commutationpour laquelle la commande u nrsquoest pas deacutefinie et la deacuteriveacutee de ( (ݐݔnrsquoexiste pas
iv) Il est possible de choisir une fonction de Lyapunov baseacutee sur la physique dusystegraveme (cas des robots manipulateurs par exemple) mais il nrsquoexiste aucune
ANNEXE
121
meacutethode geacuteneacuterale qui permette de trouver une fonction de Lyapunov Pourcertaines classes de systegravemes une approche possible consiste agrave choisir lesformes suivantes
⎩⎪⎨
⎪⎧ ݔ) (ݐ =
ଶ
2
ݔ) (ݐ =ସ
4 ݔ) (ݐ = | |
Pour illustrer le reacutesultat fourni par le theacuteoregraveme preacuteceacutedent nous optons pour une
fonction de Lyapunov de type quadratique ݔ) (ݐ =ௌమ
ଶ Pour que la surface soit
attractive sur tout le domaine il suffit queௗ
ௗ௧ ݔݐ) ) lt 0 Ceci eacutequivaut agrave
SS˙ lt 0 (A16)
Cette condition(A16) permet drsquoassurer une convergence asymptotique vers lasurface S = 0 Tregraves souvent cette condition est remplaceacutee par
SS˙ le minusη |S| (A17)
Ougrave η est une quantiteacute strictement positive Cette condition assure la convergence vers S =0 en un temps fini tfini
ANNEXE
122
ANNEXE B
La commande mode glissant preacutesente certaine limites par exemple le problegraveme de
chattering en preacutesence de la fonction sgn (voir figure si-dessous)
Figure B1 La commande u3 en cas des connexions droite
Dans cette partie nous testons numeacuteriquement la performance du vecteur de commande
(mode glissant) deacuteveloppeacute preacuteceacutedemment dont les conditions initiales sont choisis
diffeacuterentes de zeacutero
Figure B2 La trajectoire de reacutefeacuterence et reacuteelle en cas drsquoun cocircne
0 1 2 3 4 5 6 7 80
5
10
15
20
25
30
35
40
U3(N
)
Temps (s)
-2-15
-1-05
005
115
-3
-2
-1
0
1
20
1
2
3
4
5
6
Deacuteplacement suivant (x)
X 1
Y 1
Z 2984
Deacuteplacement suivant (y)
Deacutepla
cem
ent
suiv
ant
(z)
Trajectoire reacuteelle
Trajectoire reacuteference
ANNEXE
123
Figure B3 Les forces en cas drsquoun cocircne
Figure B4 Les angles en cas drsquoun cocircne
0 5 10 15 20 25 30 35 40 450
5
10
F1
(N)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 450
5
10
F2
(N)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 450
5
10
F3
(N)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 4505
10
F4
(N)
temps (s)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
-05
0
05
1
angle
theta
(rad)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
-1
0
1
angle
phi(r
ad)
temps (s)
ANNEXE
124
Figure B5 La trajectoire de reacutefeacuterence et reacuteelle en cas des demi-cercles
Figure B6 Les forces en cas des demi-cercles
0 5 10 15 20 25 30 35 40 450
5
10
F1
(N)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 450
5
10
F2
(N)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 450
5
10
F3
(N)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 450
5
10
F4
(N)
temps (s)
0
5
10
15
0
5
10
15
200
2
4
6
8
10
12
Deacuteplacement suivant (x)
X 1
Y 1
Z 3
Deacuteplacement suivant (y)
Deacutepla
cem
ent
suiv
ant
(z)
Trajectoire reacuteelle
Trajectoire reacutefeacuterence
ANNEXE
125
Figure B7 Les forces en cas des demi-cercles
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
-05
0
05
1
angle
theta
(rad)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
-1
-05
0
05
1
angle
phi(r
ad)
temps (s)
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Reacutesumeacute
Lrsquointeacuterecirct scientifique de la thegravese est lrsquoeacutetude de stabilisation avec planification de trajectoire pour undrone agrave quatre heacutelices Apregraves la modeacutelisation du systegraveme plusieurs commandes ont eacuteteacute reacutealiseacutees pour lapoursuite de trajectoires simples telles que le suivi de lignes droites et complexes La stabiliteacute descontrocircleurs utiliseacutes a eacuteteacute veacuterifieacutee ainsi que la robustesse en preacutesence des perturbations
Dans la premiegravere partie nous nous somme pencheacutes sur la synthegravese drsquoun controcircleur par mode glissant (SMC)pour la stabilisation du drone X4 Cependant le signal de commande obtenu par cette technique preacutesentedes variations brusques dues au pheacutenomegravene de broutement Afin de reacuteduire les effets de ce pheacutenomegravene etdrsquoameacuteliorer davantage les performances de controcircle du X4 une hybridation entre la logique floue et le modede glissement a eacuteteacute proposeacutee
Par la suite nous avons preacutesenteacute la technique de commande du backstepping pour la stabilisation du droneCe reacutegulateur est baseacutee sur une reacutecente meacutethodologie faisant appel agrave la fonction da lyapunov Le controcircleurbackstepping dont la conception est de type PD preacutesente lrsquoinconveacutenient de la persistance de lrsquoerreur statiqueen preacutesence de perturbation Pour y remeacutedier des solutions ont eacuteteacute proposeacutees agrave savoir la commande InteacutegralBackstepping la commande backstepping adaptatif et une hybridation entre le mode glissant a eacuteteacute proposeacuteeafin drsquoameacuteliorer les performances de reacuteglage
Mot-cleacutes Drone quadrirotor commande par mode glissant commande par backstepping commandehybride stabiliteacute
Abstract
The scientific interest of this thesis work can be mainly seen in the study of the stabilization with
path planning for a four propellers UAV type Starting with dynamical modeling the system several
controllers were designed for the tracking of simple trajectories such as the follow-up of straight lines and
more complex ones The stability of the proposed controllers was checked as well as their robustness in the
presence of various disturbances
In the first part we focused on the synthesis of a sliding mode controller (SMC) for the stabilization of an X4UAV However the control signal obtained from this technique shows sudden undesirable variations due tothe phenomenon of chattering To reduce the effects of this phenomenon and to further improve the controlperformance applied to the X4 hybrid technique between fuzzy logic and sliding mode has been proposed
Subsequently we introduced the backstepping control technique to stabilize the drone This controllerdesign relies on a recent methodology using the Lyapunov function The backstepping controllerrsquos structurewhich is of PD type has the disadvantage of the persistence of the static error in the presence of disturbancesTo overcome this drawback some solutions have been proposed namely Integral Backstepping control theadaptive backstepping technique and its hybridization with the sliding mode control has been applied toimprove the control performances
Keywords quadrocopter drone sliding mode control backstepping control hybrid control stability and
robustness
الملخص
بدونودواراتبأربعودفعـھارفعـھایتمعمودیـة التيطائـرة في التحـكموالنمـذجةدراسـةإلىتطرقـناھذا في عمـلنا
تخراجـاسإلى تستندواحدةللتحكم خطیتینغیرتقنـیتین على اعتمدناقدوالنموذجلاستخراجقانون نیوتنطیاراستعملنا في التحكمإظھار
تحقـیقھوھذامنوالھدفباكیستیبنإجراءاتإلىالأخرىوالإنزلاق لات حا نوعمنحصینالنموذج أثناءطیاربدونطائرةالاستقرارو
الریاحتأثیر حالة ومسار معین رصد حالة في التقنـیات المعتـمدة متانة وفعالیةالتجارب نتائج بینتوقدمسارھارصدواشتغالھا
الباكستیبن تقنیةالانزلاق حالاتنوعمنحصینتحكم دوارات أربعذاتطائرةطائرةالمفتاحیةالكلمات
SOMMAIRE
i
SOMMAIRE
INTRODUCTION GENERALE 1
1 ETAT DE LrsquoART 411 Introduction 412 Drones agrave voilures tournantes 6
121 Drone Mono-rotor 6122 Drone bi-rotors 7123 Drone tri-rotors 8124 Drone quadri-rotors 9
13 Composentes du quadri-rotors 11131 Les batteries 11132 Les propulseurs 12133 Capteurs 12
14 Systegraveme drsquoaquisition embarqueacutes du X4 1515 Application et prespective 1616 Modes de vol 17
161 Vol vertical (ascendant ou descendant) 18162 vol stationnaire 18163 Vol de translation 18
17 Revues bibliographiques sur les drones quadri-rotors 18171 Commandes en litteacuterature 19
18 Conclusion 21
2 MODELISATION DUN DRONE A QUATRE HELICES 2221 Introduction 2222 Heacutelicoptegravere agrave quatre heacutelices 23
221 Fonctionnement du X4 2323 Modeacutelisation du drone quadri-rotors X4 24
231 Caracteacuteristiques physiques 25232 Repegraveres et matrices de passage 26233 Transformation des vitesses 30234 Forces aeacuterodynamiques 31235 Modegravele dynamique du quadri-rotors 33
2351 La dynamique de translation 342351 La dynamique de rotation 34
24 Etude des forces deacuteveloppeacutees 3625 Conclusion 38
3 COMMANDE PAR MODE GLISSANT ET GLISSANT FLOUX 3931 Introduction 3932 Theacuteorie de la commande par mode de glissement 39
321 Systegraveme agrave structure variable 39322 Conception de la commande par modes glissants 40
3221 Le choix de la surface de glissement S 413222 La condition de convergence et drsquoexistence 423223 Deacutetermination de la commande 43
323 Le pheacutenomegravene de reacuteticence 44
SOMMAIRE
ii
324 Adoucicement de la commande 4533 Stabilisation du drone X4 par la meacutethode mode glissant 45
331 Commande par mode glissant du systegraveme de translation lineacuteaire 463311 Controcircle de lrsquoaltitude 463312 Controcircle de deacuteplacement lineacuteaire suivant les axes ݔ et y 47
332 Commande par mode glissant du systegraveme de rotation 483321 Commande de lrsquoangle de roulis 483322 Commande des angles de tangage et de lacet 49
34 Planification de trajectoire et reacutesultats de simulations 49341 Etude de robustesse 60
35 Commande du drone par mode glissant agrave action inteacutegrale 64351 Reacutesultats de simulations 65
36 Commande du drone par un controcircleur flou-glissant 69361 Reacutesultats de simulations 71
37 Conclusion 74
4 COMMANDE ROBUSTE PAR BACKSTEPPING 7541 Introduction 75
42 Historique et domaines drsquoapplication du backstepping 7543 Conception de la commande par backstepping 76
431 Algorithme de base pour la meacutethode du backstepping 7644 Stabilisation du drone X4 par la meacutethode du backstepping 76
441 Commande du systegraveme de translation lineacuteaire 784411 Controcircle de lrsquoaltitude 794412 Controcircle de deacuteplacement lineacuteaire suivant les axes ݔ et y 81
442 Commande par backstepping du systegraveme de rotation 824421 Commande de lrsquoangle de roulis 824422 Commande des angles de tangage et de lacet 83
45 Reacutesultats de simulations 83451 Etude de robustesse 87
46 Backstepping avec action inteacutegrale 90461 Commande de lrsquoaltitude 90462 Reacutesultats de simulations 93
47 Backstepping adaptative 100471 Commande de lrsquoaltitude 100472 Reacutesultats de simulations 102
48 Commande hybride 105481 Application du mode glissant-Backstepping pour le drone X4 106482 Reacutesultats de simulations 108
49 Conclusion 112
CONCLUSION GENERALE ET PRESPECTIVE 114
ANNEXE A 117
ANNEXE B 122
BIBLIOGRAPHIE 127
LISTE DES TABLEAUX
iii
LISTE DES FIGURES
Figure 11 Premier drone 4Figure 12 (A) Dirigeable (B) Drone agrave ailes battants (C) Drone agrave ailes fixes 6Figure 13 Heacutelicoptegravere thermique 6Figure 14 Heacutelicoptegravere classique 7Figure 15 (A) T-wing (B) Hovereye de Bertin Tech (C) Le Birotan 8Figure 16 (A)Tri-rotor du laborat Heudiasyc (B)Le vectron (C) Heacutelicoptegraver auto-stable 9Figure 17 Heacutelicoptegravere de Bothezat 9Figure 18 Drones agrave quatre heacutelices (A)Quadri-rotor IBSC (B) Quadri-rotor pensylvania 10Figure 19 Batterie pour le X4 11Figure 110 (A) Heacutelice (B) Moteur eacutelectrique 12Figure 111 (A) Capteur agrave ultrasons (B) Cameacutera (C)Systegraveme de positionnement geacuteneacuteral 13Figure 112 Centrale inertielle (B) Carte intelligente 15Figure 113 Description drsquoun systegraveme de drone 16
Figure 21 Quadri-rotors X4 23Figure 22 Sens de rotation des rotors de X4 24Figure 23 les deux repegraveres du drone inertiel et local 26Figure 24 Rotations successives deacutefinissant les pseudos angles drsquoEuler 28Figure 25 Description des forces appliqueacutees agrave la pale 32
Figure 31 Diffeacuterents modes pour la trajectoire dans le plan de phase 40Figure 32 Surface de glissement 42Figure 33 Pheacutenomegravene de chattering 45Figure 34 Fonctions de commutation 45
Figure 35 Geacuteneacuteration de trajectoire avec h = 10m 50Figure 36 une trajectoire de reacutefeacuterence avec arcs 51Figure 37 La trajectoire de reacutefeacuterence et reacuteelle en cas droites 52Figure 38 Les commandes u3 u4 u5 des connexions droites 53Figure 39 Les erreurs pour des connections droites 53Figure 310 Les angles de tangage et de roulis pour des connections droites 54Figure 311 La trajectoire de reacutefeacuterence et reacuteelle en cas drsquoarcs 54Figure 312 Les commandes u3 u4 u5des connexions drsquoarcs 55Figure 313 Les erreurs pour des connexions drsquoarcs 55Figure 314 Les angles de tangage et de roulis en cas drsquoarcs 56Figure 315 La trajectoire de reacutefeacuterence et reacuteelle en cas des demi-cercles 56Figure 316 Les commandes u3 u4 u5 des connexions demi-cercles 57Figure 317 Les erreurs pour des connexions demi-cercles 57Figure 318 Les angles pour des connexions demi-cercles 58Figure 319 La trajectoire de reacutefeacuterence et reacuteelle en cas des demi-cercles 58Figure 320 La trajectoire de reacutefeacuterence et reacuteelle en cas drsquoheacutelicoiumldale 59Figure 321 La trajectoire de reacutefeacuterence et reacuteelle en cas drsquoun cocircne 59Figure 322 La trajectoire de reacutefeacuterence et reacuteelle en cas des demi-cercles 61Figure 323 Les commandes u3 u4 u5 des connexions demi-cercles 62Figure 324 Les erreurs pour des connexions demi-cercles 62Figure 325 Les angles pour des connexions demi-cercles 63Figure 326 Les forces pour des connexions demi-cercles 63Figure 327 La trajectoire de reacutefeacuterence et reacuteelle en cas des demi-cercles 65
LISTE DES TABLEAUX
iv
Figure 328 Les erreurs pour des connexions demi-cercles 66Figure 329 Les commandes pour des connexions demi-cercles 66Figure 330 Les angles pour des connexions demi-cercles 67Figure 331 La trajectoire de reacutefeacuterence et reacuteelle en cas des demi-cercles 67Figure 332 La trajectoire de reacutefeacuterence et reacuteelle en cas des connexions arcs 68Figure 333 La trajectoire de reacutefeacuterence et reacuteelle en cas heacutelicoiumldale 68Figure 334 Controcircleur par mode glissant flou 69Figure 335 Fonction dappartenance de lentreacutee S(t) 70Figure 336 Fonction dappartenance de la sortie un 70Figure 337 La trajectoire de reacutefeacuterence et reacuteelle en cas des demi-cercles 71Figure 338 Les commandes pour des connexions demi-cercles 72Figure 339 les erreurs pour des connexions demi-cercles 72Figure 340 les angles pour des connexions demi-cercles 73Figure 341 Les forces pour des connexions demi-cercles 73
Figure 41 Scheacutema bloc de commande du drone par backsteppingFigure 42 La trajectoire de reacutefeacuterence et reacuteelle en cas des connexions cercles 84Figure 43 Les commandes u3 u4 u5 des connexions cercle Figure 44 Les erreurs de deacuteplacement en cas des connections cercleFigure 45 Les angles de tangage et de roulis en cas des connections cercleFigure 46 Les forces en cas des connections cercleFigure 47 La trajectoire de reacutefeacuterence et reacuteelle en preacutesence de perturbation 88Figure 48 Les commandes en preacutesence de perturbation 88Figure 49 Les erreurs en preacutesence de perturbations 89410 Les angles de tangage et de roulis en preacutesence de perturbation 89Figure 411 Le scheacutema bloc du backstepping avec action inteacutegrale 90Figure 412 La trajectoire de reacutefeacuterence et reacuteelle 93Figure 413 Les commandes sans preacutesence de perturbation 94Figure 414 Les erreurs sans preacutesence de perturbations 94Figure 415 Les angles de tangage et de roulis sans preacutesence de perturbation 95Figure 416 Les forces sans preacutesence de perturbation 95Figure 417 La trajectoire de reacutefeacuterence et reacuteelle en preacutesence de perturbation 96Figure 418 Les erreurs en preacutesence de perturbations 96Figure 419 Les commandes en preacutesence de perturbations 97Figure 420 Les angles de tangage et de roulis en preacutesence de perturbation 97Figure 421 Les forces en preacutesence de perturbation 98Figure 422 La trajectoire de reacutefeacuterence et reacuteelle en preacutesence de perturbation 98Figure 423 La trajectoire de reacutefeacuterence et reacuteelle en preacutesence de perturbation 99Figure 424 Comparaison entre le controcircleur B et IB pour des connexions demi cercle 99Figure 425 Le scheacutema bloc du backstepping adaptative 100Figure 426 La trajectoire de reacutefeacuterence et reacuteelle en preacutesence de perturbation 103Figure 427 Les commandes en preacutesence de perturbation 103Figure 428 Les erreurs en preacutesence de perturbation 104Figure 433 Les erreurs en preacutesence de perturbation 109Figure 434 Les angles en preacutesence de perturbation 110Figure 435 Les forces en preacutesence de perturbation 110Figure 436 Les erreurs de suivi en z x et y pour les deux commandes 111Figure 437 La trajectoire de reacutefeacuterence et reacuteelle en preacutesence de perturbation 111Figure 438 La trajectoire de reacutefeacuterence et reacuteelle en preacutesence de perturbation 112
LISTE DES TABLEAUX
v
LISTE DES TABLEAUX
6
INTRODUCTION GENERALE
0
INTRODUCTION GENERALE
INTRODUCTION GENERALE
1
INTRODUCTION GENERALE
Dans les derniegraveres anneacutees les avances technologiques ont permis la conception et
la construction de mini-avions ou mini-heacutelicoptegravere avec des capaciteacutes toujours plus
deacuteveloppeacutees pour reacutealiser des vols autonome Ces appareils sont connus sous le nom de
drones Crsquoest -agrave-dire les drones sont des engins volants autonomes ou semi-autonomes
capables drsquoeffectuer des missions en vol sans pilotage humain agrave bort Pour cette raison les
drones sont connus aussi par leur appellation anglaise UAV (Unmanned Aerial Vehicle)
Ces appareils sont des veacutehicules complexes et difficiles agrave commander Il faut noter que
contrairement au robot manipulateur la plupart des ces systegravemes sont sous ndashactionneacutes (le
nombre drsquoentreacutees de commande est inferieur au nombre de degreacutes de liberteacute) En effet le
manque drsquoactionneurs pour ces engins induit une grande difficulteacute dans la conception de la
commande Neacuteanmoins lrsquointeacuterecirct de leur eacutetude vient de leur versatiliteacute et de leur
manœuvrabiliteacute leur permettant lrsquoexeacutecution drsquoun grand nombre de taches
Les applications des drones ne cessent drsquoaugmenter tant dans le domaine civil que
militaire Parmi les applications nous pouvons citer par exemple la surveillance de trafic
urbain ou des lignes eacutelectriques agrave haute tension [15] lrsquointervention dans des
environnements hostiles repeacuterage de mines la deacutetection de feux de forets dans les
missions de recherche et de sauvetage Enfin dans toutes les applications aeacuteriennes ougrave
lrsquointervention humaine devient difficile ou dangereuse
La recherche sur les drones est baseacutee principalement sur une eacutetude pluridisciplinaire
touchant le domaine eacutelectronique automatique informatique temps reacuteel aeacuterodynamique
traitement de signal communication Pour cette raison le nombre drsquoindustriels et
drsquouniversiteacutes qui srsquointeacuteressent aux robots aeacuterien ne cesse drsquoaugmenter
La conception de drones est diviseacutee essentiellement en deux parties la partie
algorithmique et la partie mateacuterielle Bien qursquoil existe un certain nombre de difficulteacutes
associeacutees agrave ce travail les chercheurs et les concepteurs se sont impliqueacutes de maniegravere
intense dans ces deux activiteacutes pour faire des contributions dans ce domaine La partie
algorithmique concerne le deacuteveloppement des lois de commande Dans cette branche les
automaticiens sont inteacuteresseacutes de plus en plus agrave lrsquoeacutetude et au deacuteveloppent des lois de
commande tant lineacuteaires que non lineacuteaire pour gouverner la dynamique de ces veacutehicules
La deuxiegraveme partie concerne le deacuteveloppement de la plate-forme expeacuterimentale ou
autopilote qui sera embarqueacutee dans le veacutehicule
INTRODUCTION GENERALE
2
Lrsquoobjectif de la thegravese est de deacutevelopper des strateacutegies de commande non lineacuteaires
pour le controcircle du drone En effet deux meacutethodes sont proposeacutees la commande par mode
glissant et la commande par backstepping
La commande agrave structure variable ou le mode glissant est une technique de
commande non lineacuteaire elle est caracteacuteriseacutee par la discontinuiteacute de la commande par une
surface de commutation Sa dynamique est alors insensible aux perturbations exteacuterieurs et
parameacutetriques tant que les conditions de reacutegime glissant sont assureacutees [45 50] Dans cette
voie nous allons utiliser la commande par mode glissant (Sliding Mode Control ou SMC)
pour la stabilisation drsquoun drone agrave quatre heacutelices Cependant le signal de commande obtenu
par un SMC preacutesente des variations brusques dues au pheacutenomegravene de broutement
(chaterring) ce qui peut exciter les hautes freacutequences et les non lineacuteariteacutes non modeacutelisables
[45 50 48 76] En effectuant une hybridation entre la logique floue et le mode de
glissement nous essayerons de reacuteduire les effets de pheacutenomegravene de broutement et
drsquoameacuteliorer drsquoavantage les performances du controcircleur
La theacuteorie de Lyapunov nous offre des outils tregraves puissants pour lrsquoanalyse de la
stabiliteacute des systegravemes ces mecircmes outils peuvent ecirctre utiliseacutes pour la synthegravese des lois de
commande Crsquoest dans ce contexte que se situe le backstepping cette commande agrave eacuteteacute
introduite au deacutebut des anneacutees 90 par plusieurs chercheurs on citera ente autres P
Kokotovic H Khalil Kanellakopoulos [72 73 74 75] Lrsquoapplication de cette derniegravere se
trouve dans le domaine de lrsquoaeacuteronautique [28] dans les systegravemes complexes tel que la
robotique les reacuteseaux eacutelectriques ainsi que les machines eacutelectriques [77 78 79 80] on
peut deacutefinir cette lois de commande comme eacutetant une proceacutedure reacutecursive qui combine
entre le choix de la fonction de Lyapunov et la synthegravese de la loi de commande [82] Cette
meacutethode transforme le problegraveme de synthegravese de loi de commande pour le systegraveme global agrave
une synthegravese de seacutequence de commande pour des systegravemes reacuteduits En exploitant la
flexibiliteacute de ces derniers le backstepping peut reacutepondre aux problegravemes de reacutegulation de
poursuite et de robustesse avec des conditions moins restrictives que drsquoautres meacutethodes
[82] Lrsquoingeacuteniositeacute de lrsquoideacutee nous a conduit agrave proposeacute lrsquoutilisation de cette loi de
commande non lineacuteaire pour la commande du drone quadri-rotor Une approche de
commande inteacutegral backstepping adaptatif sera preacutesenteacutee
INTRODUCTION GENERALE
3
Ce manuscrit de thegravese est structureacute de la maniegravere suivante en quatre chapitres
Chapitre 1
Dans ce chapitre nous preacutesenterons une classification des drones pour nous placer dans le
contexte de ce domaine de recherche Une eacutetude bibliographique preacutesente certaines
meacutethodes de geacuteneacuteration drsquoalgorithmes de commande pour les drones
Chapitre 2
Dans ce chapitre la modeacutelisation de drone heacutelicoptegravere quadri-rotor est preacutesenteacutee Cette
modeacutelisation est eacutetablie en prenant en consideacuteration les forces aeacuterodynamiques Une
expression deacutetailleacutee du coefficient de Coriolis des termes gyroscopique et centrifuge est
donneacutee
Chapitre 3
Le troisiegraveme chapitre concerne la commande agrave structure variable ougrave lrsquoapproche non
lineacuteaire par mode glissants est traiteacutee On introduit quelques aspects meacutethodologiques
neacutecessaires pour la compreacutehension des systegravemes agrave structures variables Cette technique
sera appliqueacutee pour controcircler la trajectoire du drone en utilisant une stabilisation point par
point Une autre structure de reacuteglage par mode de glissement agrave action inteacutegrale sera aussi
preacutesenteacutee Ensuite une approche drsquohybridation entre le mode glissant et la logique floue
sera proposeacutee
Chapitre 4
Le chapitre quatre quant agrave lui est consacreacute agrave la conception de la deuxiegraveme loi de
commande non lineacuteaire baseacutee sur la technique du backstepping pour la commande des
mouvements selon les axes Z X Y Une approche de commande backstepping adaptative
sera preacutesenteacutee Une hybridation entre la commande par backstepping et par mode glissant
est aussi proposeacutee dans le but drsquoavoir un controcircleur plus performant Une eacutetude de la
robustesse est effectueacutee vis-agrave-vis de la perturbation du vent suivant les diffeacuterentes
directions du mouvement
Ce manuscrit srsquoachegraveve par un ensemble de commentaires et de remarques geacuteneacuterales
sur les reacutesultats obtenus et quelques discussions sur les perspectives agrave mener
Chapitre 1 ETAT DE LrsquoART
3
Chapitre 1
ETAT DE LrsquoART
Chapitre 1 ETAT DE LrsquoART
4
1 ETAT DE LrsquoART
11 Introduction
Le mot drone est dorigine anglaise signifiant bourdon ou bourdonnement Il
est communeacutement employeacute en Franccedilais en reacutefeacuterence au bruit que font certains bourdons en
volant Les drones sont des aeacuteronefs capables de voler et deffectuer une mission sans
preacutesence humaine agrave bord Cette premiegravere caracteacuteristique essentielle justifie leur deacutesignation
de Uninhabited (ou Unmanned Aerial Vehicle UAV)
En fait ce sont les lourdes pertes subies pendant la seconde guerre mondiale par les avions
dobservation de chacun des antagonistes qui suscitegraverent lideacutee dun engin dobservation
militaire sans eacutequipage (ni pilote ni observateur)
Les premiers drones apparurent en 1960 (fig11) tel le R20 de Nord-Aviation denvergure
320 m et de longueur 544m deacuterivant de lengin de cible CT20 Toutefois lideacutee des
drones trottait dans les esprits depuis bien longtemps Un Anglais aurait inventeacute le concept
dans les anneacutees 1890 en inteacutegrant agrave un cerf-volant un appareil photographique [1]
Et au fil des anneacutees les chercheurs nont pas cesseacute dameacuteliorer ces machines au niveaude
Figure 11 Premier drone
Chapitre 1 ETAT DE LrsquoART
5
la taille jusquagrave atteindre la cateacutegorie de drone miniature qui englobe tous les drones dont
lenvergure est infeacuterieure agrave 50 centimegravetres pouvant descendre mecircme agrave quelques
centimegravetres seulement (on parle dans ce cas de drones miniatures)
Le terme miniature ne reflegravete pas un simple changement deacutechelle par rapport aux drones
primaires conventionnels En effet compte tenu de leurs tailles de leurs rapports
masseinertie et de leurs sensibiliteacutes aux vents la dynamique de ces drones miniatures se
trouve ecirctre tregraves diffeacuterente de celle des engins de grande dimension
En fait la vocation principale des drones est lobservation et la surveillance aeacuteriennes
vocation utiliseacutee jusquagrave preacutesent surtout agrave des fins militaires (actuellement 90 pour cent du
marcheacute mondial des drones)
Ainsi tous les drones quils soient autonomes ou non requiegraverent la preacutesence au sol dau
moins un opeacuterateur pour recueillir en temps reacuteel les beacuteneacutefices de la mission celui-ci
reccediloit analyse et enregistre les informations transmises par le drone [2]
Aujourdhui les progregraves reacutealiseacutes agrave la fois dans les performances des drones et leurs
eacutequipements leur confegraverent un tregraves large potentiel dutilisation dans le domaine civil la
lutte contre les risques naturels (volcan feux de forecircts surveillance des zones agrave risque
centrales nucleacuteaires) controcircle du trafic routier lobservation des champs agricoles ou des
troupeaux veacuterification de leacutetat des ouvrages darts (ponts viaducs) [1]
On distingue toutefois deux cateacutegories de drones ceux qui requiegraverent effectivement
lassistance dun pilote au sol par exemple pour les phases de deacutecollage et datterrissage et
ceux qui sont entiegraverement autonomes
Cette autonomie de pilotage peut seacutetendre agrave la prise de deacutecision opeacuterationnelle pour reacuteagir
face agrave tout eacuteveacutenement aleacuteatoire en cours de mission elle constitue la deuxiegraveme
caracteacuteristique essentielle des drones
De mecircme on peut classer les drones en trois cateacutegories principales (fig12)
Drones agrave voilure tournante type heacutelicoptegravere
Drone agrave voilure fixe
Plus lourd que lair type avion
Plus leacuteger que lair type Dirigeable
Drones agrave ailes battantes type oiseau ou insecte
Chapitre 1 ETAT DE LrsquoART
6
Figure 12 (A) Dirigeable (B) Drone agrave ailes battants (C) Drone agrave ailes fixes
12 Drones agrave voilures tournantes
Dans cette partie nous eacutetalons les diffeacuterents types de drones agrave voilures tournantes
121 Drones Mono-rotor
Ce type de drone passe par des phases de deacuteveloppement bien remarquables suite agrave
linteacuterecirct quon y porte En effet ce sont des drones offrant la possibiliteacute de voler comme un
avion normal donc un deacuteplacement rapide et bien eacuteconome en eacutenergie Nous preacutesentons
Heacutelicoptegravere thermique (fig13) Cet heacutelicoptegravere thermique deacuteveloppeacute au sein du
laboratoire Heudiasyc (Heuristique et diagnostique des systegravemes complexes) a une
structure meacutecanique originale pour effectuer un deacuteplacement horizontal cet appareil est
censeacute effectuer une inclinaison au niveau de ses heacutelices afin de faire apparaitre une
diffeacuterence de pression lui permettant davancer
Cette originaliteacute meacutecanique engendre un systegraveme dynamique beaucoup plus complexe par
rapport aux autres modegraveles
Figure 13 Heacutelicoptegravere thermique
Chapitre 1 ETAT DE LrsquoART
7
122 Drone Bi-rotors
Cette cateacutegorie est elle mecircme subdiviseacutee en deux sous cateacutegories
1) Bi-rotors agrave un ou deux plateaux cycliques
Heacutelicoptegravere classique rotor principal et rotor de queue ce dernier sert
principalement agrave compenser le couple geacuteneacutereacute par le rotor principal En fait le rotor
principal permet la monteacutee et la descente ainsi que la translation avant arriegravere et
lateacuterale mecircme par contre le rotor de queue permet le controcircle du lacet
Heacutelicoptegravere en tandem deux rotors tournant en sens inverse autour de deux axes
diffeacuterents
Heacutelicoptegravere co-axial deux rotors tournant en sens inverse autour du mecircme axe Un
exemple de cet engin est mis dans le commerce par Hirobo
Figure 14 Heacutelicoptegravere classique
2) Pales agrave pas fixe Voler agrave pas fixe implique labsence de plateaux cycliques et en
absence de ces plateaux il est impossible de geacuteneacuterer une force et trois moments
pour controcircler un systegraveme agrave 6 degreacutes de liberteacute Afin de creacuteer les moments
manquants il est primordial dajouter soit des ailerons soit des meacutecanismes pour
faire pivoter les ailerons et produire ces moments en question Nous citons dans
cette sous cateacutegorie
T-wing de lUniversiteacute de Sydney drone bi-rotor placeacute sur deux axes diffeacuterents
tournant en sens opposeacutes ou dans le mecircme sens et pour la production des moments
neacutecessaires ce drone est muni dailerons
Chapitre 1 ETAT DE LrsquoART
8
Le Hover eye de Bertin technologie Cest un drone dont la configuration est tregraves
compacte deux rotors contrarotatifs sur le mecircme axe et des ailerons dans le flux
dair des rotors
Le Birotan Drone agrave configuration compact posseacutedant deux rotors pivotant sur
deux axes preacutesentant un faible couple de tangage
Figure 15 (A) T-wing (B) Hover eye (C) Le Birotan
113 Drone tri-rotors
Dans cette cateacutegorie nous connaissons
Trirotor Heacutelicoptegravere posseacutedant trois rotors deux en avant tournant dans le sens
contraire et un en arriegravere avec orientation reacuteglable Des expeacuteriences ont eacuteteacute faites
sur cet heacutelicoptegravere au sein du laboratoire Heudiasyc
Le vectron Cest un heacutelicoptegravere dont le corps est circulaire renfermant trois rotors
tournant dans le mecircme sens Pour compenser le couple le corps lui mecircme tourne en
sens opposeacutes des rotors Pour obtenir les couples de tangage et de roulis les trois
rotors tournent avec des vitesses varieacutees agrave des instants bien preacutecis Des travaux de
recherche ont eacuteteacute effectueacutes au LIRMM
Heacutelicoptegravere auto-stable Cest un heacutelicoptegravere agrave trois rotors deux coaxiaux tournant
en sens opposeacutes agrave pas fixe et le troisiegraveme est placeacute sur la queue de lheacutelicoptegravere
pour obtenir le couple de tangage Cet heacutelicoptegravere a la proprieacuteteacute decirctre stable gracircce
au fait quil existe une articulation entre les pales du rotor principal et laxe du rotor
Neacuteanmoins cet appareil ne peut ecirctre utiliseacute que dans des endroits fermeacutes
Chapitre 1 ETAT DE LrsquoART
9
Figure 16 (A) Tri-rotor du laboratoire Heudiasyc (B) Le vectron(C) Heacutelicoptegravere auto-stable
124 Drone quadri-rotors
Le premier quadri-rotors remonte agrave 1921 En effet en 1921 les corps dair de
larmeacutee Ameacutericaine ont attribueacute un contrat aux Dr George de Bothezat et Ivan Jerome pour
deacutevelopper une machine agrave vol vertical
Ces derniers ont mis sur pied une machine volante de 1678 Kg dont le fuselage est conccedilu
sous forme dun X Chaque bras du fuselage eacutetait de 9m de longueur tenant agrave son extreacutemiteacute
un rotor de 8m de diamegravetre environ
Cependant bien que de Bothezat ait deacutemontreacute quil eacutetait theacuteoriquement possible agrave son
heacutelicoptegravere de voler et quil eacutetait theacuteoriquement bien stable cet avion na pas pu reacutealiser les
performances escompteacutees par exemple on lui demandait de voler agrave une altitude de 100m
alors que pour cause de surpoids laltitude maximale quil a pu atteindre eacutetait juste de 5m
Ainsi suite agrave sa complexiteacute meacutecanique son manque de puissance son insensibiliteacuteetc
cet heacutelicoptegravere agrave quatre rotors na pas pu satisfaire son cahier de charge
Figure 17 Heacutelicoptegravere de Bothezat
Chapitre 1 ETAT DE LrsquoART
10
Pour les drones miniatures les chercheurs se sont inspireacutes de ce geacuteant quadri-rotors et ont
mis sur pied des drones lui ressemblant
Les heacutelicoptegraveres agrave quatre heacutelices sont des quadrirotors agrave quatre moteurs installeacutes sur
une croix geacuteneacuteralement en fibre de carbone drsquoougrave leur appellation les heacutelicoptegraveres X4 Des
exemples sont repreacutesenteacutes dans la figure 18
Figure 18 Drones agrave quatre heacutelices (A) Quadri-rotor du laboratoire IBSC(B) Quadri-rotor pensylvania
Afin de compenser les anti-couples des moteurs creacuteeacutes par la rotation des heacutelices le moteur
avant et arriegravere tournent dans le sens des aiguilles dune montre tandis que les autres
moteurs tournent dans le sens inverse De plus les heacutelices utiliseacutees sont agrave pas fixe Le
tangage de ce drone est obtenu par diffeacuterence de vitesse de rotation des rotors avant et
arriegravere geacuteneacuterant un deacuteplacement suivant laxe des x Le deacuteplacement suivant laxe des y est
produit par un angle de roulis Ce dernier est obtenu par une diffeacuterence de vitesse des
moteurs lateacuteraux Le lacet srsquoobtient en augmentant la vitesse des moteurs avant et arriegravere
en reacuteduisant la vitesse des moteurs lateacuteraux
Au centre de la croix se trouve un cylindre central contenant
Une centrale inertielle
Une carte intelligente
Une batterie
Un GPS (Global Positionning System)
Une cameacutera CDD
Des capteurs ultrason
Une station de base
Chapitre 1 ETAT DE LrsquoART
11
13 Composantes du quadri-rotors
Durant ces derniegraveres anneacutees le deacuteveloppement des drones connait un essor croissant
surtout au niveau des capteurs des moteurs des batteries et des cartes eacutelectroniques qui
sont de plus en plus leacutegers et plus performants
Ces nouvelles qualiteacutes requises par ces composantes amplifient la performance du drone au
niveau de son autonomie et de ses capaciteacutes du vol En fait le grand problegraveme rencontreacute
par les drones cest la dureacutee du vol qui est lieacutee aux diffeacuterents composants utiliseacutes batterie
moteur et heacutelices Ainsi il faut faire un choix judicieux pour ces composants eacutetudier
lautonomie reacuteelle des batteries deacuteterminer la consommation des moteurs et la geacuteomeacutetrie
des heacutelices
Plus geacuteneacuteralement nous classons les composants du drone en trois cateacutegories
Batterie
Propulseurs
Capteurs
131 Les batteries
Lautonomie de tout engin est directement lieacute agrave leacutenergie quil peut avoir donc agrave la qualiteacute
de la batterie dont il est pourvu Le deacuteveloppement des batteries ne cesse de nous eacutetonner
de plus en plus leacutegegraveres de plus en plus autonomes donc une contribution importante au
deacuteveloppement des drones
Figure 19 Batterie pour le X4
Chapitre 1 ETAT DE LrsquoART
12
132 Les propulseurs
Les heacutelices
Le drone X4 dispose de quatre heacutelices ayant un certain taux de flexibiliteacute lui permettant de
pouvoir assurer la propulsion de tout le robot volant de masse estimeacutee agrave 2Kg Ainsi
chacune doit geacuteneacuterer une force de pousseacutee de 49N agrave leacutequilibre Dautre part les pales
utiliseacutees dans la fabrication du X4 ont une forme vrilleacutee leur procurant un bon rendement
au niveau de la pousseacutee donc une eacuteconomie au niveau de leacutenergie [2]
Moteur eacutelectrique
Dans le but de rendre le X4 silencieux et davoir le bon rapport puissancepoids le moteur
eacutelectrique du type brushless est le plus utiliseacute En plus et suite agrave son bobinage fixeacute au
stator ce moteur a une inertie consideacuterablement reacuteduite une reacuteduction au niveau de la
consommation du courant lors du deacutemarrage et une rapide eacutevacuation de la tempeacuterature
neacuteanmoins il neacutecessite un circuit de commande speacuteciale bien complexe et bien cher
Fig 110 (A) Heacutelice (B) Moteur eacutelectrique
133 Capteurs
Les capteurs servent principalement agrave effectuer des mesures tridimensionnelles
(position vitesse orientation acceacuteleacuteration ) permettant dalimenter des entreacutees en temps
reacuteel pour les lois de commande
Ces mesures sont effectueacutees par diffeacuterents types de capteurs
Capteurs agrave ultrasons
Un capteur agrave ultrason est composeacute de trois compartiments
Chapitre 1 ETAT DE LrsquoART
13
Emetteur
Reacuteceacutepteur
Microcontrocircleur PIC
Il sert agrave deacutetecter lobstacle et agrave mesurer la distance de seacuteparation Se munir uniquement
dun capteur agrave ultrason pour la mesure de position peut donner des reacutesultats erroneacutes En
effet en couvrant les lieux londe peut tomber sur diffeacuterents obstacles agrave chaque instant et agrave
des distances diffeacuterentes Il est donc primordial de lassocier agrave un autre capteur de position
Cameacutera
Le capteur le plus riche en donneacutees pouvant exister est une cameacutera En geacuteneacuteral nous
pouvons classer les cameacuteras en deux cateacutegories
Cameacutera numeacuterique
Cameacutera analogique
Le choix de la cameacutera deacutepend de son embarquabiliteacute ses capaciteacutes de calculs et de
lapplication mecircme
Systegraveme de positionnement geacuteneacuteral GPS
Le GPS est un systegraveme de positionnement par satellites assez preacutecis la preacutecision
pouvant atteindre le megravetre en preacutesence de filtrage Lutilisation de la localisation par le
systegraveme GPS est tregraves vaste elle touche plusieurs domaines le transport (aeacuterien maritime
) eacutetude geacuteographique assistance aux eacutequipe de secours
Figure 111 (A) Capteur agrave ultrasons (B) Cameacutera (C) Systegraveme depositionnement geacuteneacuteral
Chapitre 1 ETAT DE LrsquoART
14
Centrale inertielle
La centrale inertielle est une carte inteacutegrant trois types de capteurs
Trois gyroscopes Le mot gyroscope est un mot grec signifiant qui regarde la rotation
Un gyroscope est un appareil qui exploite le principe de la conservation du moment
angulaire en meacutecanique des solides
Trois magneacutetomegravetres un magneacutetomegravetre est un appareil qui sert agrave mesurer laimantation
dun systegraveme Dans notre cas le magneacutetomegravetre sert agrave calculer le champ magneacutetique terrestre
Trois acceacuteleacuteromegravetres un acceacuteleacuteromegravetre est un capteur qui fixeacute agrave un mobile permet de
mesurer lacceacuteleacuteration de ce dernier
Ces capteurs forment un triegravedre orthogonal servant agrave mesurer en temps reacuteel les
mouvements du drone (acceacuteleacuteration vitesse angulaire) Ces mesures sont exprimeacutees dans
un triegravedre direct deacutefini comme le systegraveme de coordonneacutees fixe du capteur Ce systegraveme est
aligneacute avec le boicirctier de la centrale inertielle
En inteacutegrant la mesure de lacceacuteleacuteration triaxiale donneacutee par lacceacuteleacuteromegravetre nous
reacutecupeacuterons la mesure de la vitesse en linteacutegrant une deuxiegraveme fois nous aurons la
position
Or cette inteacutegration engendre une erreur au niveau des mesures En effet toute mesure
effectueacutee par la carte inertielle peut ecirctre entacheacutee derreurs de mesures dues aux bruits des
moteurs et par inteacutegration ces erreurs augmentent
Ainsi un filtrage numeacuterique associeacute aux mesures savegravere neacutecessaire En reacutecupeacuterant la
matrice dattitude preacutedite par inteacutegration des gyros nous constatons quelle est bruiteacutee par
rapport agrave la matrice dattitude mesureacutee
En litteacuterature les algorithmes de filtrage classiquement utiliseacutes sont de type filtrage
compleacutementaire ou filtrage de Kalman (classique ou eacutetendu)
Linconveacutenient de ces algorithmes cest quils sont lineacuteaires et nexploitent pas le groupe
des matrices de rotation SO(3) et lalgegravebre de Lie qui lui est associeacutee La creacuteation
dalgorithme de filtrage approprieacute est alors recommandeacute (filtrage non-lineacuteaire exploitant la
structure du Groupe SO(3) et la varieacuteteacute sous-jacente associeacutee [3 4 5])
Chapitre 1 ETAT DE LrsquoART
15
Carte intelligente
La carte intelligente peut ecirctre compareacutee au cerveau du drone cest son eacuteleacutement
principal Elle gegravere lensemble des capteurs embarqueacutes sur la machine sauf la cameacutera qui
transmet ses donneacutees images agrave la base au sol ougrave elles sont traiteacutees
Dautres cartes peuvent ecirctre incorporeacutees dans le drone afin de renforcer ses liens
avec la base au sol (carte pour liaison radio [5]) et dautres lui fournissant plus
dinformations pour raffiner les donneacutees (carte de gestion dun ensemble de proximiteacute varieacute
[40])
Figure 112 (A) Centrale inertielle (B) Carte intelligente
14 Systegraveme drsquoacquisition embarqueacute du X4
La mise en œuvre dun ou de plusieurs drones fait appel agrave diffeacuterents eacuteleacutements
constituant un systegraveme de drone Ce systegraveme a deux composantes un segment air
composeacute du drone de sa charge utile et de son systegraveme de transmission et un segment sol
constitueacute dun ensemble de mateacuteriels et de un ou plusieurs opeacuterateurs humains ayant un
degreacute dintervention plus ou moins eacuteleveacute On distingue encore dans la composante sol deux
cateacutegories de mateacuteriels ceux assurant le lancement et la reacutecupeacuteration des drones
(catapulte filets etc) auxquels sajoutent les moyens techniques neacutecessaires agrave la
maintenance et au reconditionnement des drones identiquement aux proceacutedeacutes
dexploitation des avions et ceux ayant pour objectif la conduite de la mission en assurant
les fonctions de la gestion du vol et de la navigation la reacuteception des donneacutees envoyeacutees
par le drone leurs analyse et interpreacutetation ainsi que leur enregistrement
Chapitre 1 ETAT DE LrsquoART
16
Figure 113 Description drsquoun systegraveme de drone
15 Applications et perspectives
Actuellement les drones occupent une place importante dans le domaine civil et
militaire En effet ces engins sans pilote preacutesentent de nombreux avantages [6]
Il faut noter que sur ce point le champ drsquoaction des drones ne cesse de srsquoeacutelargir ces
derniers temps En effet leur deacuteveloppement sur une large gamme ainsi que les progregraves
reacutealiseacutes au niveau des systegravemes embarqueacutes (guidage pilotage et liaisons) a inciteacute les
forces armeacutees agrave inteacutegrer le systegraveme de drone dans la panoplie des moyens aeacuteriens en
compleacutement des systegravemes classiques On peut distinguer trois types drsquoapplications des
drones dans le domaine militaire
La premiegravere et principale vocation des drones est la surveillance et le
renseignement Les drones reacutepondent de mieux en mieux aux exigences opeacuterationnelles
modernes Les eacutevolutions technologiques rapides des systegravemes embarqueacutes ont permet
drsquoeacutelargir leur domaine drsquoapplication De nos jours on peut les utiliser comme support au
combat notamment dans la deacutesignation drsquoobjectifs ou comme relais de communication ou
moyen de brouillage La troisiegraveme et derniegravere cateacutegorie drsquoapplications est le combat
proprement dit mais cette derniegravere application neacutecessite des drones agrave hautes performances
conccedilus speacutecialement pour ce type de missions
Les applications potentielles des drones dans le domaine civil sont diverses et ce
gracircce agrave leur souplesse et leur polyvalence demploi En effet les drones peuvent reacutepondre agrave
Chapitre 1 ETAT DE LrsquoART
17
un besoin qui nest pas couvert par un avion piloteacute Cest le cas des missions qui peuvent
ecirctre consideacutereacutees comme dangereuses peacutenibles physiquement pour leacutequipage ou
ennuyeuses Les applications potentielles peuvent se diviser en plusieurs grandes
cateacutegories drsquoabord la surveillance et lrsquoobservation ougrave on peut citer les eacutetudes
scientifiques (de lrsquoatmosphegravere des sols et des oceacuteans ou les preacutevisions meacuteteacuteorologiques)
la surveillance drsquourgence telle que les incendies de forecircts volcans recherche et sauvetage
eacutevaluation des deacutegacircts en cas de catastrophes naturelles etc On peut citer eacutegalement des
missions exploitant le segment air telles que le transport de fret la cartographie
lrsquoutilisation par lrsquoindustrie cineacutematographique etc Ils peuvent en outre ecirctre utiliseacutes dans
des missions speacutecifiques comme relais de communication ou dans des missions
dangereuses (deacutetection de radiations et de gaz toxiques)
Lexpeacuterience deacutejagrave acquise avec les drones et leurs deacuteveloppements technologiques
potentiels permettent daffirmer que leur rocircle va consideacuterablement saccroicirctre tant dans les
domaines civil que militaire Dans le domaine civil en couvrant des besoins auxquels les
avions classiques ne peuvent pas toujours satisfaire Dans le domaine militaire en
compleacutetant voire en remplaccedilant les avions pour certaines missions dangereuses ou de tregraves
longue dureacutee
Gracircce agrave leur inteacuterecirct tactique les drones constituent agrave la fois une opportuniteacute
industrielle exceptionnelle et un facteur dimpulsion nouvelle pour la recherche Cependant
la geacuteneacuteralisation de lrsquoemploi des systegravemes de drone reste exposeacutee agrave des difficulteacutes qui sont
lieacutees principalement agrave lrsquointeacutegration des drones dans la circulation aeacuterienne et le
perfectionnement des systegravemes de transmission des donneacutees (porteacutee et deacutebit) Enfin des
progregraves sont agrave reacutealiser eacutegalement dans les domaines des performances de lrsquoengin volant
des charges utiles du systegraveme embarqueacute et de leur fiabiliteacute
Toutes ces missions neacutecessitent un controcircle performant de lrsquoappareil et par
conseacutequent des informations preacutecises sur son eacutetat absolu et ou relatif agrave son environnement
16 Modes de vol
Geacuteneacuteralement il existe trois modes qui deacutecrivent la direction de vol de lrsquoengin ces
modes sont
Vol vertical
Vol stationnaire
Vol de translation
Chapitre 1 ETAT DE LrsquoART
18
161 Vol vertical (ascendant ou descendant)
Dans le vol vertical la reacutesultante aeacuterodynamique et le poids total sont deux forces
ayant la mecircme direction mais de sens opposeacute Le vol est ascendant ou descendant suivant
que lrsquoeffet aeacuterodynamique est supeacuterieur ou infeacuterieur au poids de lrsquoappareil Crsquoest-agrave-dire les
moteurs devront augmenter ou diminues le couple de forces geacuteneacutereacute afin que la vitesse de
rotation des heacutelices augmentent ou diminuent Pour effectuer un vol vertical du drone X4 il
faut respecter ces conditions fondamentales
-Les quatre forces des moteurs f1 f2 f3 et f4 doivent fonctionner en mecircme temps afin
drsquoobtenir lrsquoeacutequilibre de lrsquoensemble
-Pour atteindre la consigne nous agissons sur les quatre moteurs simultaneacutement
(augmentations et diminutions des forces)
-Si on atteint la reacutefeacuterence on garde ces forces constantes sum F = mg
m la masse totale de lrsquoengin
162 Vol stationnaire
Ce vol est obtenu lorsque les normes de la force sustentatrice et celle de pesanteur
sont eacutegales et opposeacutees Dans ce cas nous pouvons constater que lrsquoappareil reste
immobile
163 Vol de translation
Correspond agrave tout vol en avant en arriegravere ou sur le coteacute Pour obtenir un
mouvement de translation selon lrsquoaxe lsquoxrsquo ou lsquoyrsquo il suffit de reacutealiser un roulis ou un tangage
en augmentant la vitesse drsquoun moteur et en diminuant celle du moteur du mecircme axe avec la
mecircme quantiteacute pour conserver la portance intacte
Pour le mouvement du lacet (rotation sur lui-mecircme) il faut augmenter la vitesse
drsquoune paire de moteur du mecircme axe et diminuer drsquoautant celle de lrsquoautre paire Le sens de
mouvement du lacet deacutependra du sens de rotation qursquoon aura choisi pour les paires de
moteurs
17 Revues bibliographiques sur les drones quadri-rotors
Cette nouvelle geacuteneacuteration drsquoengins miniatures autonomes connue sous le nom de
Drones miniatures a susciteacute un grand inteacuterecirct ainsi une diversiteacute de modegraveles et de
configurations ont vu le jour
Chapitre 1 ETAT DE LrsquoART
19
Le drone quadri-rotors eacutetait et est lune des configurations les plus eacutetudieacutees
Plusieurs eacutequipes de chercheurs du monde entier se sont lanceacutees dans le domaine de
conception dune loi de commande simple robuste et facilement embarquable Ce domaine
est bien vaste touchant plusieurs speacutecialiteacutes (automatique aeacuterodynamique robotique)
171 Commandes en litteacuterature
Plusieurs travaux consacreacutes agrave la conception de diffeacuterentes commandes ont eacuteteacute
publieacutes il y a ceux qui preacutesentent des lois de commande baseacutees sur le systegraveme lineacuteariseacute des
drones et dautres traitants le modegravele en entier
En consideacuterant une lineacutearisation du modegravele dynamique de leur quadri-rotors [7] PPound
et al [8] ont deacuteveloppeacute un algorithme de controcircle stabilisant leur modegravele Des tests
numeacuteriques ont eacuteteacute effectueacutes confirmant la validiteacute de cette commande
Une meacutethode de stabilisation et de poursuite de trajectoire baseacutee sur la notion de platitude
eacutetait conccedilue dans [9 10] Cette meacutethode a eacuteteacute appliqueacutee sur le systegraveme lineacuteariseacute du quadri-
rotors X4 Elle a assureacute la poursuite du drone vers une trajectoire planifieacutee Des tests
numeacuteriques ont eacuteteacute faits
Dans [11 12] une configuration dun quadri-rotors nommeacute OS4 est preacutesenteacutee En se
limitant agrave un systegraveme simplifieacute du modegravele du OS4 un algorithme de controcircle de type
PID a eacuteteacute eacutelaboreacute En consideacuterant ensuite un modegravele plus complet une commande LQ est
geacuteneacutereacutee Ces commandes preacutesenteacutees arrivent agrave stabiliser le modegravele entier neacuteanmoins elles
sont assez sensibles aux perturbations pouvant affecter le systegraveme
Dans [13] Chen et Huzmezan ont obtenu un modegravele lineacuteariseacute quils ont utiliseacute pour
syntheacutetiser un controcircleur de type H1 Ils ont testeacute leur algorithme sur une plateforme
pivotant librement autour dun point
Dans [14] deux commandes non lineacuteaires sont eacutelaboreacutees pour la stabilisation du quadri-
rotors OS4 La premiegravere approche est baseacutee sur la technique du backstepping tandis que
la deuxiegraveme utilise la technique de modes glissants Des tests pratiques ont eacuteteacute appliqueacutes
sur une plate-forme au sol non embarqueacutee validant les reacutesultats theacuteoriques des deux
approches
En utilisant deux meacutethodes dapproches diffeacuterentes dans [15] K Zemalache Meguenni a
eacutetudieacute la stabiliteacute et la poursuite de trajectoire pour deux quadri-rotors diffeacuterents (X4 et
XSF)
Chapitre 1 ETAT DE LrsquoART
20
En premier temps en combinant la technique de backstepping agrave lapproche de Lyapunov
deux algorithmes associeacutes aux deux modegraveles ont eacuteteacute syntheacutetiseacutes Les reacutesultats des deux
modegraveles ont eacuteteacute testeacutes numeacuteriquement pour le suivi de trajectoires planifieacutees point agrave point
En second temps une commande baseacutee sur la theacuteorie de la logique floue eacutetait eacutelaboreacutee
pour le drone XSF des tests numeacuteriques ont eacuteteacute effectueacutes
Dans [16] une lineacutearisation robuste par retour drsquoeacutetat mixeacute avec le controcircleur GHinfin lineacuteaire
est appliqueacutee Une saturation des actionneurs et des contraintes sur la sortie de lrsquoespace
drsquoeacutetat sont introduites pour analyser le cas deacutefavorable pour la commande Les reacutesultats
obtenus prouvent que le systegraveme global devient robuste lorsque les fonctions pondeacutereacutees
sont choisies judicieusement Le fonctionnement du controcircleur est illustreacute dans une eacutetude
de simulation qui tient compte des incertitudes sur les paramegravetres et les perturbations
externes
Dans [17] la conception de larchitecture informatique embarqueacutee pour la commande dun
quadri-rotors et dun avion miniature est preacutesenteacutee La modeacutelisation dynamique des deux
engins eacutetait eacutetablie au moyen de la meacutethodologie de Newton-Euler en prenant en compte
les forces et les moments aeacuterodynamiques En utilisant la technique de saturations
emboiteacutees baseacutee principalement sur lapproche de Lyapunov deux commandes non
lineacuteaires eacutetaient eacutelaboreacutees pour le quadri-rotors
Deux autres commandes lineacuteaires ont eacuteteacute syntheacutetiseacutees pour les deux drones Des eacutetudes de
robustesse des commandes ont eacuteteacute preacutesenteacutees et des tests expeacuterimentaux des algorithmes
en temps reacuteel ont eacuteteacute appliqueacutes sur une plateforme
Inspireacute des travaux [18] effectueacutes sur la stabilisation du PVTOL (Planar Vehicle Take of
and Landing) P Castillo [19 20 21] a preacutesenteacute la conception dune commande non
lineacuteaire pour un quadri-rotors dont le modegravele est obtenu par la meacutethode dEuler-Lagrange
en tenant compte de la dynamique des moteurs Cette commande est baseacutee sur la technique
des saturations emboiteacutees fondeacutee principalement sur lapproche de Lyapunov Des
plateformes expeacuterimentales ont eacuteteacute reacutealiseacutees pour appliquer et tester les lois de commande
proposeacutees
Se basant sur le formalisme de Newton-Euler T Hamel et al [22] ont eacutetabli la
modeacutelisation dynamique dun quadri-rotors prenant en compte la dynamique des moteurs et
les effets aeacuterodynamiques et gyroscopiques des rotors
Dans [23] les auteurs ont deacutemontreacute que lapplication des approches 2D des
asservissements visuels peuvent ecirctre exploiteacutes pour la commande des systegravemes sous
actionneacutees
Chapitre 1 ETAT DE LrsquoART
21
En supposant que la direction du motif est cette fois ci fixe dans le repegravere cameacutera ce
reacutesultat a pu ecirctre eacutelargi en donnant naissance agrave un asservissement visuel purement 2D [24]
plus complexe suite agrave la dynamique de zeacutero introduite par cette hypothegravese Des tests
numeacuteriques ont eacuteteacute faits validant ce reacutesultat
E Altug et al [25 26 27] ont proposeacutes un algorithme de controcircle pour stabiliser le quadri-
rotor en utilisant la vision comme capteur principal Cette technique se compose drsquoune
cameacutera terrestre et drsquoune cameacutera embarqueacutee sur lrsquoheacutelicoptegravere et sont utiliseacutees pour estimer
les eacutetats de lrsquoheacutelicoptegravere Lrsquoalgorithme de la pose est compareacute par la simulation agrave drsquoautres
meacutethodes drsquoestimation de la pose (telles que la meacutethode de quatre points et la meacutethode de
steacutereacuteo vision) et srsquoavegravere moins sensible aux erreurs dans le plan image Ils ont eacutetudieacute deux
techniques pour la commande la premiegravere utilise une commande par lineacutearisation tandis
que la deuxiegraveme utilise la technique de backstepping
18 Conclusion
Dans ce chapitre nous avons preacutesenteacute un bref aperccedilu sur quelques mini-
heacutelicoptegraveres autonomes existant en sattardant sur les drones agrave voilures tournantes et leurs
eacutequipements
Ensuite nous avons citeacute un ensemble de travaux portant sur la stabilisation des drones agrave
quatre rotors existants en litteacuterature
Dans le chapitre suivant nous traiterons le problegraveme de la modeacutelisation par le formalisme
de Newton-Euler pour le quadri-rotor afin drsquoappliquer les techniques de commande non
lineacuteaire Il srsquoagit drsquoun modegravele caracteacuterisant des veacutehicules sous actionneacutes
Chapitre 2 MODELISATION DrsquoUN DRONE A QUATRE HELICES
22
Chapitre 2
MODELISATION DUN DRONE A QUATRE HELICES
Chapitre 2 MODELISATION DrsquoUN DRONE A QUATRE HELICES
22
2 MODELISATION DrsquoUN DRONE A QUATRE HELICES
21 Introduction
Tout corps meacutecanique eacutevoluant en temps continu peut ecirctre deacutecrit par un systegraveme
deacutequations diffeacuterentielles reacutegissant sa dynamique Il srsquoagit drsquoeacutetablir le modegravele
matheacutematique de la dynamique du drone agrave quatre heacutelices Pour atteindre ce but nous
avons recours agrave des eacutetudes meacutecaniques telles que lapproche Newtonienne et celle dEuler-
Lagrange
Dans la litteacuterature pour aborder la modeacutelisation dengin volant de nombreux travaux se
sont inspireacutes de la dynamique dun corps rigide associeacute au fuselage auquel se rajoutent les
forces aeacuterodynamiques geacuteneacutereacutees par les rotors [28 29 19 30 31 32 33 15]
Cette ideacutee a eacuteteacute choisie afin de pouvoir contourner la difficulteacute de la question de la
flexibiliteacute de la machine Cette flexibiliteacute est supposeacutee neacutegligeable
Certaines propositions de modeacutelisation du drone sont preacutesenteacutees dans la litteacuterature telles
celles baseacutees sur le formalisme de Newton [28 22 23] lieacutees principalement au repegravere
local et celles baseacutees sur le formalisme dEuler-Lagrange [29 19 30 20 31 32 15] lieacutees
au repegravere global supposeacute fixe
Dans ce chapitre nous preacutesentons la dynamique pour un drone capable de vol
drsquoavancement rapide et de vol stationnaire ou quasi-stationnaire Un tel modegravele peut ecirctre
acheveacute dans un repegravere local lieacute au drone ou dans un repegravere global supposeacute fixe Nous
eacutevoquons le modegravele global qui sera traiteacute de point de vue commande en stabilisation et en
poursuite
En premier lieu nous preacutesentons la configuration du veacutehicule et son principe de
fonctionnement Nous nous inteacuteressons eacutegalement aux diffeacuterents repegraveres suscitant notre
attention
Ensuite nous nous occupons de la modeacutelisation du X4 en calculant son moment dinertie
et en ayant recours au formalisme Newton nous deacuteterminons son modegravele dynamique
Enfin nous achevons ce chapitre par une conclusion
Chapitre 2 MODELISATION DrsquoUN DRONE A QUATRE HELICES
23
22 Heacutelicoptegraveres agrave quatre heacutelices
En geacuteneacuteral un heacutelicoptegravere agrave quatre heacutelices est un heacutelicoptegravere posseacutedant quatre rotors
assurant son deacuteplacement [2]
Depuis les anneacutees 50 de nouveaux types dheacutelicoptegraveres de faible dimension
teacuteleacutecommandeacutes sont apparus Ils permettent de reacutealiser des missions dangereuses ou
inaccessibles agrave lecirctre humain Ainsi nous pouvons citer les mini-heacutelicoptegraveres agrave quatre
heacutelices appeleacutes couramment X4 (fig21) vu leur forme en X
Figure 21 Quadri-rotors X4
221 Fonctionnement du X4
Les X4 sont des mini-heacutelicoptegraveres preacutesenteacutes sous forme de croix geacuteneacuteralement
fabriqueacutes en fibre de carbone Au bout de chaque tige de la croix on fixe une heacutelice
Afin deacuteliminer les anti-couples des heacutelices entre elles et permettre la stabiliteacute en lacet les
heacutelices voisines tournent dans des sens inverses avec un pas fixe
Pour assurer un deacuteplacement suivant laxe des x le drone X4 fait un angle de tangage ߠ
obtenu par une diffeacuterence de vitesse de rotation des rotors avant et arriegravere ensuite il suit
cet axe lors du retour agrave leacutegaliteacute des vitesses de rotation des rotors
De maniegravere similaire le deacuteplacement du X4 suivant laxe des y est assureacute par un angle de
roulis empty obtenu suite agrave une diffeacuterence des vitesses de rotation des rotors lateacuteraux
Le lacet sobtient en augmentant la vitesse des moteurs avant et arriegravere tout en reacuteduisant la
vitesse des moteurs lateacuteraux Les quadri-rotors eacutetant commandeacutes par la diffeacuterence des
vitesses de rotation des rotors il est important que lon puisse varier rapidement la vitesse
de rotation des moteurs Pour cela il convient dutiliser des pales tregraves leacutegegraveres (en fibre de
carbone par exemple) et des rapports de reacuteduction relativement grands
Chapitre 2 MODELISATION DrsquoUN DRONE A QUATRE HELICES
24
Figure 22 Sens de rotation des rotors de X4
23 Modeacutelisation du drone quadri-rotors X4
Le modegravele dynamique de quadri-rotor est donneacute par le formalisme de Newton-Euler
Pour pouvoir deacuteterminer le modegravele dynamique le quadri-rotor est assimileacute agrave une structure
rigide et symeacutetrique drsquoougrave lrsquohypothegravese que la matrice drsquoinertie est diagonale Les heacutelices
sont eacutegalement supposeacutees rigides pour pouvoir neacutegliger lrsquoeffet de leur deacuteformation lors de
la portance et la traineacutee de chaque moteur qui sont proportionnelles au carreacute de la vitesse
de rotation des rotors ce qui est une approximation tregraves proche du comportement
aeacuterodynamique et le repegravere lieacute agrave cette structure est geacuteneacuteralement supposeacute confondu avec
son centre de graviteacute Cela nous emmegravene agrave consideacuterer la dynamique du quadri-rotor
comme celle drsquoun corps solide dans lrsquoespace [15 34] Les conditions atmospheacuteriques sont
la condition standard de pression et de tempeacuterature
231 Caracteacuteristiques physiques
Les caracteacuteristiques physiques du quadri-rotor preacutesenteacutees dans cette section ont eacuteteacute
eacutetudieacutees en deacutetail par McKerrow [35] La masse totale du quadri-rotor m est la somme de
la masse de la croix (mc) les masses des quatre rotors consideacutereacutes comme identiques
( isin 1234 ) et la masse de lrsquoeacutelectronique et batterie (mb)
m = m1 + m2 + m3 + m4 + mc + mb
Sens horaireSens antihoraire
Chapitre 2 MODELISATION DrsquoUN DRONE A QUATRE HELICES
25
La structure du quadri-rotor est consideacutereacutee parfaitement symeacutetrique et en conseacutequence la
matrice drsquoinertie IG est diagonale
ܫ = ቌ
௫௫ܫ 0 00 ௬௬ܫ 0
0 0 ௭௭ܫ
ቍ (21)
avec ௫௫ܫ repreacutesente lrsquoinertie autour de lrsquoaxe ଵܧ
qui passe entre le centre de la croix et les
rotors (avant-arriegravere) ௬௬ܫ repreacutesente lrsquoinertie autour de lrsquoaxe ଶܧ
qui passe entre le centre de
la croix et les rotors (droite-gauche) et finalement ௭௭ܫ repreacutesente lrsquoinertie autour de lrsquoaxe
ଷܧ
perpendiculaire au plan de ଵܧ
et ଶܧ
(voir figure 23)
Lrsquoinertie ௫௫ܫ est la somme de lrsquoinertie de la croix (௫ܫ) lrsquoinertie des quatre moteurs ୫ܫ) ୶ଵ
୫ܫ ୶ଶ ୫ܫ ୶ଷ et ୫ܫ ୶ସ) et lrsquoinertie de lrsquoeacutelectronique (ୠ୶ܫ) autour du point drsquointersection de la
croix
௫௫ܫ = ௫ܫ + ܫ ௫ଵ + ܫ ௫ଶ + ܫ ௫ଷ + ܫ ௫ସ + ௫ܫ (22)
On peut suivre la mecircme deacutemarche pour trouver les expressions des inerties ௬௬ܫ et ௭௭ܫ
Lrsquoinertie de la croix autour du point drsquointersection est donneacutee par
௫ܫ = ௬ܫ = (ଶ)మ
ଵଶ+
ௗమ
ଶ(23)
௭ܫ = (ଶ)మ
(24)
Ougrave d est le diamegravetre des poutres qui constituent la croix et l est la distance entre le centre
de la croix et un des quatre rotors Pour trouver les inerties des moteurs McKerrow [35]
considegravere le moteur comme un cylindre de longueur pm avec un rayon rm alors lrsquoinertie du
moteur avant autour du point drsquointersection de la croix est
ܫ ௫ଵ = భ
మ
ସ+
మ
ଷ(25)
ܫ ௬ଵ = భ
మ
ସ+
మ
ଷ+ ଵ
ଶ (26)
ܫ ௭ଵ = భ
మ
ଶ+ ଵ
ଶ (27)
Lrsquoeacutelectronique et la batterie srsquoaccrochant au-dessous de lrsquointersection agrave une distance l0 sont
modeacuteliseacutees par un paralleacuteleacutepipegravede rectangulaire avec des dimensions ab wb et hb
Chapitre 2 MODELISATION DrsquoUN DRONE A QUATRE HELICES
26
௫ܫ = (௪
మାమ)మ
ଵଶ+
ଶ (28)
௬ܫ = (
మାమ)మ
ଵଶ+
ଶ (29)
௭ܫ = (௪
మାమ)మ
ଵଶ(210)
Le mouvement du drone est reacutegi par un modegravele dynamique preacutesentant le lien entre les
entreacutees du systegraveme et les sorties agrave controcircler Il faut maintenant deacutefinir le domaine
drsquoeacutevolution du robot (repegravere inertiel) et la relation matrice de passage qui le lie au drone
(repegravere local)
232 Repegraveres et matrices de passage
Lrsquoeacutetude du mouvement drsquoun drone eacutevoluant dans lrsquoespace requiert la connaissance
de sa position et de son orientation Cette localisation neacutecessite le choix drsquoau moins deux
repegraveres Le premier repegravere est le repegravere inertiel global RO reacutefeacuterence Le repegravere inertiel est
lieacute agrave la terre et peut ecirctre consideacutereacute comme Galinien RO (Ex Ey Ez) est orienteacute comme
indiqueacute sur la figure 23 A savoir Ex est orienteacute vers le nord Ey est orienteacute vers lrsquoest et Ez
orienteacute vers le haut
On deacutefinit un repegravere local ayant comme origine le centre de graviteacute G du drone Le repegravere
RG ଵܧ)
ଶܧ
ଷܧ
) appeleacute aussi repegravere relatif agrave la meacutecanique de vol dont les axes sont lieacutees agrave
la geacuteomeacutetrie de lrsquoappareil
Figure 23 Repegraveres du drone inertiel et local
Chapitre 2 MODELISATION DrsquoUN DRONE A QUATRE HELICES
27
La relation entre le repegravere du drone noteacute (RG) et le repegravere inertiel (RO) peut ecirctre donneacutee
par la matrice de rotation orthogonale de dimension 3 times 3 La contrainte dorthogonaliteacute
reacuteduit le nombre de paramegravetre neacutecessaire pour preacutesenter cette matrice agrave trois paramegravetres Il
existe plusieurs maniegraveres de parameacutetrer la matrice de rotation dont le choix deacutepend de
lapplication en question
La parameacutetrisation de la matrice de rotation par les angles dEuler est souvent utiliseacutee dans
les applications de robotique Elle permet dobtenir la matrice de rotation globale par trois
rotations eacuteleacutementaires autour des axes ଵܧ
ଶܧ
et ଷܧ
respectivement
Le parameacutetrage de cette matrice seffectue par le vecteur
ଶߟ = ߠ) Ф) (211)
Consideacuterons le vecteur de coordonneacutees geacuteneacuteraliseacutees q isin ℝ deacutefini par
(ݐ)ݍ = (ߠݖݕݔ) ni ݐ ℝ
Ougrave x y z deacutefinissent la position du centre de graviteacute du mini-heacutelicoptegravere X4 par rapport au
repegravere inertiel RO (Ex Ey Ez)
Lrsquoorientation du mini-heacutelicoptegravere X4 est donneacutee par les angles drsquoEuler ߠ) Ф) qui
repreacutesente respectivement le tangage le roulis et le lacet
Le passage du triegravedre ை(ܧ௫ܧ௬ܧ௭) au triegravedre ଵܧ)
ଶܧ
ଷܧ
) est reacutealiseacute par trois
rotations successives figure 24
൫ܧ௫ܧ௬ܧ௭൯ுψሱሮ (௭ܧ)
ுഇሱሮ ଵܧ)
)
ுemptyሱሮ ଵܧ)
ଶܧ
ଷܧ
) (212)
Ougrave ൫ܧ௫ܧ௬ܧ௭൯ est la base du repegravere RO ൫ܧଵ
ଶܧ
ଷܧ൯est la base du repegravere locale
drone
RG(ܧ௭) et ଵܧ)
) sont les bases intermeacutediaires et టܪ ఏܪ et emptyܪ les matrices
de rotations orthogonales
Hభψ est la matrice de rotation de lrsquoangle autour de Oz1 appeleacute lacet au cap deacutefinie
par
టܪ = ൭ݏ ݏ 0
ݏminus ݏ 00 0 1
൱ (213)
Chapitre 2 MODELISATION DrsquoUN DRONE A QUATRE HELICES
28
H୷భ est la matrice de rotation de lrsquoangle θ autour de Oy1 appeleacute tangage ou assiette
deacutefinie par
ఏܪ = ൭ߠݏ 0 minus ߠݏ0 1 0
ߠݏ 0 ߠݏ൱ (214)
H୶మథ est la matrice de rotation de lrsquoangle autour de Ox2 appeleacute roulis ou gite
deacutefinie par
థܪ = ൭1 0 00 ݏ ݏ0 minus ݏ ݏ
൱ (215)
Figure 24 Rotations successives deacutefinissant les pseudos angles drsquoEuler
La transformation qui permet de passer du repegravere local vers le repegravere global ை est
donneacutee par
= టܪ ఏܪ థܪ (216)
Chapitre 2 MODELISATION DrsquoUN DRONE A QUATRE HELICES
29
Telle que
=
൭
ݏ ߠݏ ߠݏ ݏ minus ߠݏݏ ݏ minusߠݏ ݏ ݏ ݏߠݏ ݏ + ݏ ݏ ݏߠݏߠݏ ݏ ݏ + ݏ ݏ ݏ ݏߠݏ minus ݏ ߠݏ ߠݏ ݏ
൱(217)
R est une matrice de rotation orthogonale de deacuteterminant uniteacute ayant pour inverse sa
transposeacutee
Ce type de matrice forme un groupe appeleacute groupe des matrices orthogonales speacuteciales
dordre 3 noteacute SO(3) deacutefini par [36]
(3) = isin ℝଷtimesଷ = ܫ ݐ ()ݐ = 1
Gracircce agrave cette matrice de rotation R nous pouvons eacutetablir une relation entre la vitesse du
mini-heacutelicoptegravere exprimeacutee dans son propre repegravere mobile et sa vitesse exprimeacutee dans le
repegravere inertiel
233 Transformation des vitesses
Dans ce paragraphe nous mettons en eacutevidence la relation qui lie les vitesses du
drone exprimeacutees dans le repegravere local avec leurs expressions exprimeacutees dans le repegravere
inertiel
Soient
υଵ la vitesse lineacuteaire du mini-heacutelicoptegravere exprimeacutee dans le repegravere local RG
ηଵ = (x y z) vecteur position du centre de graviteacute du mini-heacutelicoptegravere par rapport au
repegravere inertiel RO
Ainsi nous pouvons eacutetablir la relation suivante qui fait le lien entre la vitesse locale du X4
flyer et sa vitesse exprimeacutee dans le repegravere inertiel
ଵߟ = ଵ (218)
De mecircme nous pouvons aussi eacutetablir une relation entre la vitesse angulaire du mini
heacutelicoptegravere exprimeacutee dans le repegravere local et celle exprimeacutee dans le repegravere inertiel
Soient
υଶ = (p q r) la vitesse angulaire du mini-heacutelicoptegravere exprimeacutee dans le repegravere local RG
ηଶ = (θ ϕ ψ) la vitesse angulaire du mini-heacutelicoptegravere exprimeacutee dans le repegravere inertiel
Ainsi nous pouvons eacutetablir la relation suivante
ଶߟ = ܬ ଶ (219)
Chapitre 2 MODELISATION DrsquoUN DRONE A QUATRE HELICES
30
Grace agrave la relation (212) nous avons
υଶ = ϕ ଵܧሬሬሬሬሬ+ θVሬሬ+ ψEሬሬሬሬ
= ϕ ଵܧሬሬሬሬሬ+ θቂcos(ϕ)ܧଶ
ሬሬሬሬሬminus sin(ϕ)ܧଷሬሬሬሬሬቃ+ ψቂminussin(θ)ܧଵ
ሬሬሬሬሬ+ cos(θ) Wሬሬሬቃ
= ϕ ଵܧሬሬሬሬሬ+ θቂcos(ϕ)ܧଶ
ሬሬሬሬሬminus sin(ϕ)ܧଷሬሬሬሬሬቃ
minus ψቂsin(θ)ܧଵሬሬሬሬሬminus cos(θ)ቀsin(ϕ)ܧଶ
ሬሬሬሬሬ+ cos(ϕ)ܧଷሬሬሬሬሬቁቃ
= ൫ϕ minus ψ sin(θ)൯ܧଵሬሬሬሬሬ+ ൫θ cos(ϕ) + ψcos(θ) sin(ϕ)൯ܧଶ
ሬሬሬሬሬ
minus ൫θ sin(ϕ) minus ψ cos(θ) cos(ϕ)൯ܧଷሬሬሬሬሬ
Ainsi nous avons
ቆpqrቇ= ቌ
1 0 minussin(θ)
0 cos(ϕ) cos(θ)sin(ϕ)
0 minussin(ϕ) cos(θ)cos(ϕ)ቍቌ
ϕ
θψ
ቍ (220)
Donc
Jଵ = ቌ
1 0 minussin(θ)
0 cos(ϕ) cos(θ)sin(ϕ)
0 minussin(ϕ) cos(θ)cos(ϕ)ቍ (221)
Drsquoougrave
J = ൮
1 sin(ϕ)tg(θ) minussin(θ)tg(θ)
0 cos(ϕ) minussin(ϕ)
0ୱ୧୬(ம)
ୡ୭ୱ()
ୡ୭ୱ(ம)
ୡ୭ୱ()
൲ (222)
La matrice J est deacutefinie pour tout θ ne
ଶ+ kπ avec k isin ℤ
En conclusion la relation cineacutematique srsquoeacutecrit
ቀυଵυଶቁ= ൬
R 0ଷlowastଷ
0ଷlowastଷ Jଵ൰൬
ηଵηଶ൰ (223)
Cette relation preacutesente une singulariteacute en θ = plusmn
ଶ
Or physiquement cette valeur est agrave eacuteviter car au voisinage de plusmn
ଶil y aura un
renversement du mini-heacutelicoptegravere Ainsi cette valeur nrsquoest pas atteignable par le mini-
heacutelicoptegravere cest-agrave-dire cette singulariteacute ne preacutesente pas une limitation agrave cette
parameacutetrisation
Chapitre 2 MODELISATION DrsquoUN DRONE A QUATRE HELICES
31
234 Forces Aeacuterodynamiques
Des eacutetudes en soufflerie ont permis de mettre en eacutevidence les diffeacuterentes forces
aeacuterodynamiques appliqueacutees sur les pales et leurs expressions [3738]
Dune maniegravere geacuteneacuterale les actions de lair se deacutecomposent en deux forces
Une force parallegravele agrave la vitesse de lair et de mecircme sens la traineacutee D
Une force perpendiculaire agrave la vitesse de lair la portance L
La somme vectorielle de ces deux forces constitue la reacutesultante des forces
aeacuterodynamiques
Force de portance
La pale se comporte comme une aile tournante de sorte que chaque eacuteleacutement de la pale dr
est en contact avec le flux dair avec une vitesse V induisant une force de portance [38]
dL =ଵ
ଶρCVଶds (224)
Ougrave ρ la densiteacute de lair C le coefficient de portance de lair il deacutepend de la forme du
profil et de langle dattaque (α = γ minus ϕ) (fig 25)
Ainsi pour un propulseur agrave n pales (2 pour le X4) la force de portance quon note f est
f =n
2 ρන VଶC୫ (r)C(r) dr
బ
=୬
ଶ ρ ωଶ int rଶC୫ (r) C(r) dr
బ
Avec
ܥ la corde de la pale (les pales sont similaires)
ω la vitesse angulaire de la pale
le rayon de pale
La force de portance a pour expression
f=ܭωsup2 (225)
Le calcul du coefficient de pousseacutee est souvent complexe Il est essentiel drsquoeacutelaborer
un processus expeacuterimental qui laisse deacuteterminer le coefficient de portance(K)
Chapitre 2 MODELISATION DrsquoUN DRONE A QUATRE HELICES
32
Figure 25 Description des forces appliqueacutees agrave la pale
Force de reacutesistance ou de traineacutee
Gracircce agrave de multiples tests en soufflerie les chercheurs ont pu deacuteterminer lexpression
de la force de traineacutee qui deacutepend directement du profil de la pale et de langle dincidence
[15 37]
Pour un propulseur agrave n pales la force de traineacutee a pour expression
ܯ =
2ߩ න ܥ ݎଶݎ(ݎ)ܥ(ݎ)
ோ
ோభ
Qursquoon note simplement
ܯ = ெܭ ଶ (226)
Avec
ܥ le coefficient de traineacute de lair il deacutepend de la forme du profil et de langle
drsquoattaque
ெܭ le coefficient de reacutesistance agrave deacuteterminer expeacuterimentalement
235 Modegravele dynamique du quadrirotor
Plusieurs auteurs ont eacutetudieacute la modeacutelisation du quadri-rotor Cette eacutetape est
consideacutereacutee comme le premier pas pour construire les lois de commande Le modegravele
Chapitre 2 MODELISATION DrsquoUN DRONE A QUATRE HELICES
33
dynamique obtenu repreacutesente la relation drsquoune part entre les forces et les couples
aeacuterodynamiques provoqueacutes par la rotation des rotors et lrsquoengin et drsquoautre part les
acceacuteleacuterations et de rotations du centre de masse du quadri-rotor Nous preacutesenterons drsquoabord
la dynamique de translation des cordonneacutees carteacutesiennes de la position et la vitesse dans le
repegravere terrestre fixe Ensuite la dynamique de rotation qui deacutecrit lrsquoattitude du drone et son
orientation dans le repegravere terrestre fixe est preacutesenteacutee
Le quadri-rotor est modeacuteliseacute en premiegravere approximation comme un solide indeacuteformable
La position du centre de masse G est deacutefinie par ܩ = (ݖݕݔ) et si on deacuterive une fois
par rapport agrave RG on trouve la vitesse G tel queௗைതതതത
ௗ௧= (ሶݖሶݕሶݔ) On deacuterive deuxiegraveme fois
par rapport agrave RG pour trouver son acceacuteleacuterationௗమைതതതത
ௗ௧మ= (ሷݖሷݕሷݔ)
Pour eacutelaborer la commande on deacutetaille le modegravele dans le repegravere fixe inertiel
Lrsquoeacutequation fondamental de la dynamique est donneacutee par
ௗ ௩ሬ
ௗ௧= ଵሬሬሬ (227)
ௗூಸఆሬሬ
ௗ௧= ଶሬሬሬ (228)
Ougrave υ repreacutesente la vitesse lineacuteaire du drone au centre de graviteacute G Ω la vitesse de
rotation de fuselage par rapport agrave Rୋ et (τ1τ2) les forces et les mouvements exteacuterieurs
soient le poids les forces et les moments aeacuterodynamiques et des propulseurs
2351 La dynamique de translation
La dynamique de translation du quadri-rotor est repreacutesenteacutee par lrsquoeacutequation
dynamique de Newton qui relie lrsquoacceacuteleacuteration lineacuteaire du centre de masse du quadri-rotor
et les forces externes agissant sur le quadri-rotor [7 38 39]
ௗsup2ை
ௗ௧sup2= fraslሬሬሬሬߛ R (229)
Il convient drsquoeacutecrire pour la translation
fraslሬሬሬሬሬߛ R = - eሬ + R ψ θ empty ሬݑ (230)
avec eሬ vecteur uniteacute de E
repreacutesente la constante gravitationnelle
ݑ la pousseacutee appeleacutee aussi entreacutee collective
Chapitre 2 MODELISATION DrsquoUN DRONE A QUATRE HELICES
34
=ሬݑ sum పሬሬସ
ୀଵ (231)
ሬሬሬሬሬߛ൘ = minus Ԧ௭ + ݑ Ԧଷ empty ߠ (232)
eሬଷ vecteur uniteacute de eሬ= (eሬଵ eሬଶ eሬଷ) porteacute par Eଷ
On montre que ݑ eሬଷ = (0 0 ݑଷ
) ougrave ݑଷ
= ଵ + ଶ + ଷ + ସ
La dynamique de translation est reacutegie par
= ሷݔ minus ଷݑߠ
ݕ = ߠݏܥ Sin ଷݑ (233)
=ሷݖ Cosݏܥߠ ଷݑ ndash
2352 Dynamique de rotation
La dynamique de rotation est deacutefinie par rapport au repegravere local mais exprimeacutee dans le
repegravere inertiel Le moment cineacutetique est deacutefinit par
Ԧߪ = ܫ ሬߗ (234)
Alors que la vitesse angulaire dans le repegravere local
=ሬߗ ଶߟܬ Ԧ (235)
A partir des eacutequations (234) et (235) on obtient
=ԦGߪ ܫ ଶߟܬ Ԧ
On pose ߎ = ܫ ܬ et en utilisant lrsquoeacutequation preacuteceacutedente la dynamique des momentssrsquoeacutecrit
ߎ ଶሬሬߟ + ߎ ሬሬextܯsum=ଶሷԦߟ (236)
Ougrave les moments exteacuterieurs par rapport agrave G ( i= i=1hellip4 qui repreacutesente la distance entre G et
i et qui sont identiques)
ሬሬextܯsum = ߠ Ԧ1 + empty Ԧ2+ ψ Ԧ3 (237)
Chapitre 2 MODELISATION DrsquoUN DRONE A QUATRE HELICES
35
Finalement les couples sont donneacutes par
=ߠ ( 2 ndash 4)empty = ( 1 ndash 3) (238)ψ = K ( 1 ndash 2 + 3 ndash 4)
Lrsquoeacutequation peut ecirctre eacutecrite comme
=ሷߟ ୋߎ minus]1-(ߟ) (ߟ)ୋߎ [ሶߟ (239)
Avec = ( ߠ empty ψ )t comme des commandes auxiliaires et
ୋߎ ቌ=(ߟ)
௫௫ܫ emptyݏܥ 0 00 ߠݏܥ emptyݏܥ௬௬ܫ 0
0 0 ௭௭ܫ
ቍ (240)
Dans un premier temps le modegravele donneacute ci-dessus peut ecirctre lineacuteariseacute par les lois de
commande deacutecoupleacutees suivantes
=ߠ ௫௫ܫ minus empty empty ߠ + ௫௫ܫ ǁ emptyݏܥempty = ௬௬ܫ minus sup2 empty ߠݏܥ empty minus emptyݏܥ௬௬ܫ ߠ empty ߠ + ௬௬ܫ emptyǁ emptyݏܥߠݏܥ (241)
ψ = ௭௭ܫ ǁψ
Le modegravele dynamique deacutecoupleacute de la rotation peut ecirctre eacutecrit sous la forme suivante
=ሷߟ ǁ (242)avec
ǁ= (ߠ empty ψ) T
En utilisant le systegraveme drsquoeacutequations 233 et 242 la dynamique du drone peut ecirctre deacutecrite
par les eacutequations suivantes
=ሷݔ - S 3ݑߠ
ݕ = Cߠݏ S empty 3ݑ
=ሷݖ C3ݑ emptyݏܥߠݏ ndash (243)
ߠ = ߠ
empty = empty
ψ = ψ
Chapitre 2 MODELISATION DrsquoUN DRONE A QUATRE HELICES
36
24 Etude des forces deacuteveloppeacutees
On srsquoattache dans cette partie agrave expliciter les actionneurs qui agissent sur le drone il
srsquoagit des quatre forces deacuteveloppeacutees par les heacutelices Afin de calculer la matrice des
actionneurs on construit une matrice qui permet la connexion entre les actionneurs et les
commandes en effet pour trouver ces forces il faut que la matrice Q soit inversible Les
relations entre les forces deacuteveloppeacutees par les actionneurs (les quartes moteurs brushless)
et les commandes dans les diffeacuterentes directions sont introduites pour le systegraveme X4 par
les relations suivantes [15]
ଷݑ = ଵ + ଶ + ଷ+ ସ
ସݑ =
౮౮ୡ୭ୱథଶminus
౯౯ୡ୭ୱథସ +
ୱ୧୬థ Φθ
ୡ୭ୱథ
ହݑ =
౮౮ୡ୭ୱథୡ୭ୱϴ ଵminus
౯౯ୡ୭ୱథୡ୭ୱϴ ଷ +ୱ୧୬థ Φ
మ
ୡ୭ୱథ+
ୗ୧୬ థ Φθ
ୡ୭ୱϴ(244)
ݑ =
ଵ minus
ଶ +
ଷ minus
ସ
On peut eacutecrire lrsquoeacutequation (244) sous la forme matricielle suivante
⎝
⎜⎜⎜⎛
ଷݑ
ସݑ
ହݑ
⎠ݑ
⎟⎟⎟⎞
= Q
⎝
⎜⎜⎜⎛
ଵ
ଶ
ଷ
ସ⎠
⎟⎟⎟⎞
+
⎝
⎜⎜⎜⎜⎛
0
ୱ୧୬థథ θ
ୡ୭ୱథ
ୱ୧୬థథమ
ୡ୭ୱథ+
ୱ୧୬థథ θ
େ୭ୱθ
0 ⎠
⎟⎟⎟⎟⎞
(245)
Avec
=
⎝
⎜⎜⎜⎜⎛
1
0
౯౯ ୡ୭ୱథ େθ
1
౮౮ୡ୭ୱథ
0
minus
1
0
minus
౯౯ ୡ୭ୱథ େθ
1
minus
౮౮ୡ୭ୱథ
0
minus
⎠
⎟⎟⎟⎟⎞
(246)
Chapitre 2 MODELISATION DrsquoUN DRONE A QUATRE HELICES
37
Ougrave
I =
⎝
⎜⎜⎜⎜⎛
0
ୱ୧୬థథ θ
ୡ୭ୱథ
ୱ୧୬థథమ
ୡ୭ୱథ+
ୱ୧୬థథ θ
େθ
0 ⎠
⎟⎟⎟⎟⎞
=
⎝
⎜⎜⎜⎛
ଷݑ
ସݑ
ହݑ
⎠ݑ
⎟⎟⎟⎞
(247)
Les forces sont calculeacutees agrave partir de lrsquoeacutequation suivante
f =
⎝
⎜⎜⎜⎛
ଵ
ଶ
ଷ
ସ⎠
⎟⎟⎟⎞
= Qଵ( minus I) (248)
Les caracteacuteristiques physiques du drone sont donneacutees par
l= 023 mIxx =224931 10-7 kg m2
Iyy =224931 10-7 kg m2
Izz =224931 10-7 kg m2
KT = 10-5 N S2
KM =9 10-6 N S2 mm =2 Kg
25 Conclusion
Dans ce chapitre nous avons preacutesenteacute le modegravele dynamique de mini-heacutelicoptegravere en
utilisant une approche Newton Euler Pour modeacuteliser cette dynamique nous avons vu que
plusieurs niveaux de repreacutesentation peuvent ecirctre considegraveres dynamique des actionneurs
dynamique des rotors processus de geacuteneacuteration de la reacutesultante des forces et des moments
dynamique du solide Ce dernier niveau de repreacutesentation indeacutependant de la configuration
de veacutehicule choisie est celui que nous utiliserons pour la synthegravese de lois de commande
Nous avons preacutesenteacute une modeacutelisation couramment utiliseacutee dans la litteacuterature permettant
de repreacutesenter la dynamique drsquoun drone miniature avec cette approche de type meacutecanique
du solide Le modegravele non lineacuteaire agrave six degreacutes de liberteacute obtenu est sous-actionneacute Cette
Chapitre 2 MODELISATION DrsquoUN DRONE A QUATRE HELICES
38
derniegravere proprieacuteteacute rend complexe la synthegravese de lois de commande Dans le chapitre
suivant la commande du drone par la technique du mode glissant est discuteacutee et appliqueacutee
ainsi que par la commande mode glissant floue
Chapitre3 COMMANDE PAR MODE GLISSANT ET FLOU-GLISSANT
38
Chapitre 3
COMMANDE PAR MODE GLISSANT ET FLOUGLISSANT
Chapitre3 COMMANDE PAR MODE GLISSANT ET FLOU-GLISSANT
39
3 COMMANDE PAR MODE GLISSANT ET FLOUE GLISSANT
31 Introduction
Malgreacute les efforts consideacuterables de la communauteacute automatique le problegraveme lieacute agrave
la commande drsquoun drone agrave modegravele reacuteduit pour les manouvres dans les diffeacuterents axes reste
un problegraveme difficile agrave reacutesoudre Cette difficulteacute est due principalement aux changements
des forces aeacuterodynamiques exerceacutees sur le drone en fonction des paramegravetres de
lrsquoenvironnement dans lequel il eacutevolueacute
Ce chapitre sera consacreacute agrave la conception des lois de commande non lineacuteaires
baseacutees sur la technique du mode glissant pour la commande des mouvements selon les
diffeacuterents axes Dans la premiegravere partie nous preacutesenterons quelques eacuteleacutements de la theacuteorie
par mode glissants agrave structure variable
La deuxiegraveme partie sera consacreacutee agrave la mise on œuvre et agrave la validation de ces techniques
de commande pour la stabilisation et le suivi de trajectoire du drone X4
Nous effectuons des tests en simulations de ces lois de commande dans diffeacuterentes
manouvres et sceacutenarios
32 Theacuteorie de la commande par mode de glissement
321 Systegraveme agrave structure variable
La commande par mode de glissement a connu un deacuteveloppement theacuteorique au
deacutebut des anneacutees 60 gracircce agrave la reacutesolution de lrsquoeacutequation diffeacuterentielle agrave second membre
discontinu par le matheacutematicien Russe A Fillipov [40 41] suivi des recherches de S
emelyanov en 1967 et de V Utkin en 1977 [42 43 44]
Le reacuteglage par modes de glissement est un mode de fonctionnement particulier des
systegravemes agrave structure variable Un systegraveme agrave structure variable est un systegraveme pouvant
changer de structure en faisant commuter sa commande entre deux valeurs suivant une
logique de commutation bien speacutecifique
Dans les systegravemes agrave structure variable avec mode glissant la trajectoire drsquoeacutetat est ameneacutee
vers une surface (hyperplan) puis agrave lrsquoaide de la loi de commutation elle est obligeacutee de
Chapitre3 COMMANDE PAR MODE GLISSANT ET FLOU-GLISSANT
40
rester au voisinage de cette surface Cette derniegravere est dite surface de glissement et le
mouvement le long de laquelle se produit est dit le mouvement de glissement La
trajectoire dans le plan de phase (systegraveme deuxiegraveme ordre) est constitueacutee de trois parties
distinctes (figure 31) [45 46 42 43]
Le mode de convergence (MC)
Durant lequel la variable agrave reacutegler se deacuteplace de nrsquoimporte quel point initial dans le plan de
phase est tend vers la surface de commutation (ݕݔ) = 0 Ce mode est caracteacuteriseacute par la
loi de commande et le critegravere de convergence
Le mode glissement (MG)
Durant lequel la variable drsquoeacutetat a atteint la surface de glissement et tend vers lrsquoorigine du
plan de phase La dynamique dans ce mode est caracteacuteriseacutee par le choix de la surface de
glissement (x y)
Le mode du reacutegime permanent (MRP)
Il est ajouteacute pour lrsquoeacutetude de la reacuteponse du systegraveme autour de sont point drsquoeacutequilibre (origine
du plan de phase) il est caracteacuteriseacute par la qualiteacute et les performances de la commande
Figure 31 Diffeacuterents modes pour la trajectoire dans le plan de phase
322 Conception de la commande par modes glissants
Syntheacutetiser une loi de commande par modes glissants revient en premier lieu agrave choisir la
surface de glissement qui permet la convergence de la trajectoire drsquoeacutetat du systegraveme vers le
point drsquoeacutequilibre deacutesireacute en second lieu agrave eacutetablir la condition drsquoexistence du mode de
glissement qui est relieacutee agrave la convergence de la trajectoire drsquoeacutetat vers le point drsquoeacutequilibre
et en troisiegraveme lieu agrave deacuteterminer la loi de commande qui aura pour rocircle de maintenir les
MC
MRP
MG
( ) =
Chapitre3 COMMANDE PAR MODE GLISSANT ET FLOU-GLISSANT
41
conditions de glissement (attractiviteacute) (Annexe A) En drsquoautre termes la conception de la
loi de commande par modes glissants est reacutealiseacutee en trois eacutetapes [47 48 43 45]
3221 Le choix de la surface de glissement (S)
La surface de glissement est un hyperplan dans lrsquoespace drsquoeacutetat global et repreacutesente
le comportement dynamique deacutesireacute La trajectoire drsquoeacutetat du systegraveme doit atteindre cette
surface Il nrsquoexiste pas de critegravere pour le choix drsquoune surface de glissement approprieacutee
Le choix de la surface du glissement identifieacutee par le nombre et sa forme deacutepend de
lrsquoapplication et lrsquoobjectif deacutesireacute
Consideacuterons le systegraveme non lineacuteaire deacutecrit par lrsquoeacutequation drsquoeacutetat suivante
=ሶݔ +ݔ(ݐݔ)ܣ ݑ(ݐݔ)ܤ (31)
La surface de glissement est une fonction scalaire telle que lrsquoerreur sur la variable agrave reacutegler
glisse sur cette surface et tend vers lrsquoorigine du plan de phase Nous trouvons dans la
litteacuterature diffeacuterentes formes de la surface dont chacune donne de meilleures performances
pour certaines utilisations
Dans certains ouvrage [48 49 42 43 44] on trouve une forme de la surface de
glissement qui est fonction de lrsquoeacutecart sur la variable agrave reacutegler x elle est donneacutee par
(ݔ) = ቀப
ப୲+ λቁ
ଵ
e(ݔ) (32)
Cette surface est drsquousage tregraves pratique car elle minimise le nombre des paramegravetres de
synthegravese de la surface (un seul coefficient) [50]
Ougrave lrsquoeacutecart de la variable agrave reacutegler est (ݔ) = ݔ minus ݔ estߣ une constante positive qui
repreacutesente la pente de la surface de glissement et r le degreacute relatif du systegraveme La
surface de glissement est fonction de lrsquoapplication et lrsquoobjectif viseacutes
La strateacutegie de commande consiste agrave garantir que les trajectoires du systegraveme se deacuteplacent
et tendent vers la surface de glissement (ݔ) = 0
Cette derniegravere et avec une condition initiale e(0) = 0 et (ݐݔ) = 0 devient une eacutequation
homogegravene qui possegravede une solution unique (ݔ) = 0
Chapitre3 COMMANDE PAR MODE GLISSANT ET FLOU-GLISSANT
42
Figure 32 Surface de glissement
3 222 La condition de convergence et drsquoexistence
Les conditions drsquoexistante et de convergence du mode de glissement sont des critegraveres
qui permettent aux dynamiques du systegraveme de converger vers la surface de glissement et
drsquoy rester indeacutependamment de la perturbation Il yrsquoa deux consideacuterations correspondantes
au mode de convergence de lrsquoeacutetat du systegraveme [46]
a) La fonction directe de commutation
Crsquoest la premiegravere condition de convergence Elle est proposeacutee et eacutetudieacutee par Emilyanov
et Utkin [42 43] Il srsquoagit de donner agrave la surface une dynamique convergente vers zeacutero
Elle est donneacutee par
(ݔ) gt 0 Lorsque (ݔ) lt 0
S (x) lt 0 Lorsque S(x) gt 0
Ces deux ineacutegaliteacutes peuvent ecirctre formuleacutes par la condition suffisante suivante
(ݔ) (ݔ) lt 0
b) La fonction de Lyapunov
La fonction de Lyapunov [46 43 44 ] est une fonction scalaire positive (Ѵ(ݔ) gt 0)
pour les variables drsquoeacutetats du systegraveme la loi de commande doit faire deacutecroicirctre cette fonction
(Ѵ (ݔ) lt 0) lrsquoideacutee est de choisir une fonction scalaire S(x) qui garantit lrsquoattraction de la
variable agrave controcircler vers sa valeur de reacutefeacuterence et de construire une commande u telle que
Ѵ(ݔ) =ଵ
ଶଶ(ݔ) (3 3)
( )=0
Chapitre3 COMMANDE PAR MODE GLISSANT ET FLOU-GLISSANT
43
La deacuteriveacutee de cette fonction est Ѵ(ݔ) = (ݔ) (ݔ) (3 4)
Pour que la fonction Ѵ(x) deacutecroitre il suffit drsquoassurer que sa deacuteriveacutee est neacutegative Ceci
nrsquoest permis que si la condition (34) est veacuterifieacutee Lrsquoeacutequation (33) explique que le carreacute de
la distance vers la surface mesureacutee par ଶ(ݔ) diminue tout le temps contraignant la
trajectoire du systegraveme agrave se diriger vers la surface dans les deux cocircteacutes [50]
3223 Deacutetermination de la commande
Une fois la surface de glissement S choisie stable de sorte que la sortie du systegraveme
converge vers une sortie deacutesireacutee la convergence du mode glissant est assureacutee on eacutelabore
une commande qui forcera les eacutetats du systegraveme agrave atteindre le point drsquoeacutequilibre tout en
maintenant la condition du mode glissant
La structure drsquoun controcircleur par mode de glissement peut ecirctre deacutecomposeacutee en une somme
de deux commandes [51 52 43 44 53]
ݑ = ݑ + ݑ (35)
ݑ eacutetant la commande eacutequivalente qui sert agrave maintenir lrsquoeacutetat sur la surface de glissement
(ݔ) = 0 et ݑ eacutetant la commande stabilisante (elle est deacutetermineacutee afin de veacuterifier la
condition de convergence en deacutepit de lrsquoimpreacutecision sur les paramegravetres et le modegravele)
La deacuteriveacutee totale par rapport au temps de cette surface est
S(ݐݔ) =partS
partt=
partS
ݔpart∙ ሶݔ (36)
Comme lrsquoeacutequation drsquoeacutetat est
=ሶݔ +ݔ(ݐݔ)ܣ ݑ(ݐݔ)ܤ + ݑ(ݐݔ)ܤ (37)
On a alors
S(ݐݔ) =partS
partt=
part
part௫∙ ൫ݔ(ݐݔ)ܣ+ +൯ݑ(ݐݔ)ܤ
partS
part௫ݑ(ݐݔ)ܤ (38)
En reacutegime ideacuteale la deacuteriveacutee de la surface est nulle la commande appliqueacutee au systegraveme est
la commande eacutequivalente ݑ par conseacutequent
൜ݑ = 0
(ݐݔ) = 0 (39)
Si la matrice ቀడௌ
డ௫∙ ቁest(ݐݔ)ܤ inversible lrsquoexpression de la commande eacutequivalente est
donneacutee par
=minusቀݑడௌ
డ௫∙ ቁ(ݐݔ)ܤ
ଵ
∙డௌ
డ௫∙ (ݐݔ)ܣ (310)
Chapitre3 COMMANDE PAR MODE GLISSANT ET FLOU-GLISSANT
44
Donc en remplaccedilant la commande eacutequivalente par son expression (310) dans (38) on
obtient
S(ݐݔ) =partS
ݔpart∙ (ݐݔ)ܤ ∙ ݑ (311)
Nous choisissons pour simplifier une surface de glissement qui veacuterifie la relation
பୗ
ப௫∙ (ݐݔ)ܤ = ܫ (312)
Ougrave I est la matrice identiteacute
Ainsi
(ݐݔ) = ݑ (313)
La commande discontinue est choisie de maniegravere agrave satisfaire la condition suffisante
drsquoexistence des modes glissants Il existe plusieurs formes pour cette commande ougrave la
condition drsquoexistence est veacuterifieacutee
ݑ = ܭminus ݏ ( ) (314)
Ougrave sign(( ((ݐݔ) est la fonction deacutefinie par
s (( ((ݐݔ) = ൜ݏ 1minus (ݐݔ) lt 0
1 ݏ (ݐݔ) gt 0 (315)
Avec K gt 0
(ݔ) (ݔ) = ܭminus ݏ ( ) lt 0 (316)
Ou encore
= ܭminus | | lt 0 (317)
323 Le pheacutenomegravene de reacuteticence
Le pheacutenomegravene de reacuteticence ℎݐݐ ݎ (fig33) est le principal inconveacutenient de la
technique de commande par mode glissant aux systegravemes physiques Ce pheacutenomegravene
conduit quelque fois agrave un nombre eacuteleveacute drsquooscillations de la trajectoire du systegraveme autour de
la surface de glissement est donc agrave des sollicitations excessives des actionneurs pouvant
provoquer leur usure rapide ainsi que des pertes eacutenergeacutetiques non neacutegligeables au niveau
des circuits de puissance eacutelectrique Il est ducirc drsquoune part agrave lrsquoimperfection des eacuteleacutements de
commutation ou des limites technologiques telles que les retards aux niveaux des
commutations [45 50]
Chapitre3 COMMANDE PAR MODE GLISSANT ET FLOU-GLISSANT
45
Figure 33 Pheacutenomegravene de chattering
324 Adoucissement de la commutation
Pour remeacutedier agrave lrsquoeffet de broutement de nombreuses eacutetudes ont eacuteteacute effectueacutees dans le
but de reacuteduire ou drsquoeacuteliminer ce pheacutenomegravene [ 50] Lrsquoune drsquoentre elles consiste agrave remplacer
la fonction sign par des approximations continues de type grand gain dans un voisinage de
la surface telles que la fonction de saturation deacutefinie par (voir figure 34)
Figure 34 Fonctions de commutation
La fonction sat(S(t)) est exactement eacutegale agrave la commutation sign(S(t)) agrave lexteacuterieur de la
couche limite φ Par conseacutequent ceci rend lanalyse vis-agrave-vis des erreurs de perturbation
plus facile Ceci nest pas le cas des autres fonctions comme smooth et comarctg pour
lesquels le choix de φ nest pas simple
33 Stabilisation du drone X4 par la meacutethode mode glissant
Dans cette partie en nous basant sur la strateacutegie de controcircle par mode glissant
deacutecrite dans les paragraphes preacuteceacutedents nous deacuteveloppons un vecteur de commande
ݐeacuteݎ
( )=0
sat (S(t))
φ
minusφ S(t)
Smooth(S(t))
S(t)
Penteଵ
ఝ Penteଵ
ଵఝ
arctg(S(t)
S(t)
Chapitre3 COMMANDE PAR MODE GLISSANT ET FLOU-GLISSANT
46
assurant le suivi et la stabiliteacute du quadri-rotors Rappelons le modegravele dynamique du X4
preacutesenteacute sous sa forme simplifieacutee suivante
=ሷݔ minus ଷݑߠݏ =ሷݕ emptyݏ ଷݑߠݏ =ሷݖ ߠݏ ଷݑ emptyݏ minus (318)
ߠ = ସݑempty = ହݑ = ݑ
331 Commande par mode glissant du systegraveme de translation lineacuteaire
3311 Controcircle de lrsquoaltitude
Nous remarquons que la commande u3 agit directement sur la variable drsquoaltitude z
contrairement aux commandes u4 et u5 qui agissent sur les variables x et y agrave travers les
angles ߠ et empty
Consideacuterons lrsquoeacutequation
=ሷݖ cos ଷݑ(empty) cos(ߠ) minus (319)
La surface est deacuteduite de lrsquoeacutequation (34) ougrave le degreacute relatif est pris eacutegal agrave deux afin que la
commande ଷݑ apparaisse explicitement dans sa deacuteriveacutee Elle est donneacutee par
(ݖ) = ሶ௭ + ௭ߣ ௭ (320)
Avec
௭ = ݖ minus z
ሶ௭ = ሶݖ minus ሶݖ
La deacuteriveacutee de la surface est
(ݖ) = ௭ + ௭ߣ ሶ௭ (321)
Avec ሷ௭ = ሷݖ minus ሷݖ
On remplace ሷparݖ sa valeur deacutecrite par lrsquoeacutequation (318) la deacuteriveacutee de la surface devient
(ݖ) = ሷݖ minus (ୡ୭ୱ(ఏ)ୡ୭ୱ (empty)
ଷݑ minus ) + ሶݖ)௭ߣ minus (ሶݖ (322)
Nous constatons donc que la commande apparaicirct explicitement dans la deacuteriveacutee de la
surface
Nous deacutecomposant la commande de lrsquoaltitude u3 en deux parties ଷݑ et ଷݑ
Chapitre3 COMMANDE PAR MODE GLISSANT ET FLOU-GLISSANT
47
ଷݑ = ଷݑ + ଷݑ (323)
En substituant lrsquoeacutequation 323 dans 322 nous obtenons
(ݖ) = ሷݖ minus (ୡ୭ୱ(ఏ)ୡ୭ୱ (empty)
( ଷݑ + (ଷݑ minus ) + ሶݖ)௭ߣ minus (ሶݖ (324)
Durant la mode de convergence et le reacutegime permanent nous avons la surface de
glissement (ݖ) = 0 ceci implique que sa deacuteriveacutee (ݖ) = 0 et la commande
discontinue ଷݑ = 0 drsquoougrave la grandeur de commande eacutequivalente
ଷݑ =
௦(ఏ)௦ (empty)൬ + ሶݖ௭ቀߣ+ሷݖ minus ሶቁ൰ݖ (325)
Durant le mode de convergence en remplaccedilant lrsquoexpression de la commande eacutequivalente
dans lrsquoexpression de la deacuteriveacutee de la surface nous obtenons
(ݖ) = minus௦(ఏ)௦ (empty)
ଷݑ (326)
Nous posons ଷݑ = ௭ ݏ ( ((ݖ) (327)
Afin de veacuterifier la condition de stabiliteacute de Layapunov S(z) S(z) lt 0 le paramegravetre ௭ doit
ecirctre positif
Drsquoougrave la commande ଷݑ devient comme suit
ଷݑ =
௦(ఏ)௦ (empty)൬ + ሶݖ௭ቀߣ+ሷݖ minus +ሶቁ൰ݖ ௭ ݏ ((ݖ)ݏ) (328)
33 12 Controcircle de deacuteplacement lineacuteaire suivant les axes et y
A partir du modegravele du X4 donneacute par lrsquoeacutequation (243) on voit clairement que le
deacuteplacement suivant les axes x et y deacutepend de la commande de pousseacutee ଷݑ Drsquoougrave
lrsquoorientation du vecteur total de pousseacutee ଷݑ responsable pour atteindre les mouvements
lineacuteaires deacutesireacutes Si nous consideacuterons ux = sin(ϴ) et uy = cos(ϴ)sin (empty) les orientations du
vecteur responsable pour les mouvements suivant les axes x et y respectivement Nous
pouvons par la suite tirer les angles pitch et roulis deacutesireacutes pour calculer les commandes ux
et uy
A partir du modegravele du drone le systegraveme dynamique des mouvements horizontale est
deacutefinis par
൜=ሷݔ minus ݏ ߠ) ଷݑ(
=ሷݕ cos (empty) ݏ (ߠ) ଷݑ (329)
Chapitre3 COMMANDE PAR MODE GLISSANT ET FLOU-GLISSANT
48
La loi de commande est obtenue par lrsquoutilisation de la technique mode glissant [54 55 56]
Les surfaces de glissement selon les axes x et y sont donneacutees par
(ݔ) = ሶ௫ + ௫ߣ ௫ (330)
(ݕ) = ሶ௬ + ௭ߣ ௬ (331)
Avec ex et ey les erreurs de positions qui sont deacutefinis par
௫ = ݔ minus ݔ
௬ = ݕ minus ݕ
Les mecircmes eacutetapes sont utiliseacutees pour deacuteterminer les commande de positions ௫etݑ ௬ݑ
௫ݑ =
௨య൫minusߣ௫൫ݔሶ minus minusሶ൯ݔ minusሷ൯ݔ ௫ ݏ ((ݔ)ݏ)ݐ (332)
௬ݑ =
௨య൫ߣ௬൫ݕሶ minus +ሶ൯ݕ +ሷ൯ݕ ௬ ݏ ((ݕ)ݏ)ݐ (333)
332 Commande par mode glissant du systegraveme de rotation
3321 Commande de lrsquoangle de roulis
Dans cette section on veut eacutetablir une commande par mode glissant qui assure
lrsquoorientation du drone par lrsquoangle empty (roulis)
Le degreacute relatif eacutegal agrave deux drsquoougrave la surface de glissement est deacutefinie par
(empty) = ሶempty + emptyߣ empty (334)
Avec
empty = empty minusempty
ሶempty = empty minus empty
La deacuteriveacutee de la surface est
(empty) = empty + emptyߣ ሶempty (335)
Avec ሷempty = empty minus empty
On remplace empty par sa valeur deacutecrite par lrsquoeacutequation (318) la deacuteriveacutee de la surfacedevient
(empty) = empty minus ହݑ + empty)emptyߣ minus empty) (336)
Nous constatons donc que la commande apparaicirct explicitement dans la deacuteriveacutee de la
surface
Nous deacutecomposant la commande de lrsquoaltitude u5 en deux parties ହݑ et ହݑ
ହݑ = ହݑ + ହݑ (337)
En substituant lrsquoeacutequation 337 dans 336 nous obtenons
(empty) = empty minus ହݑ ) + (ହݑ + empty)emptyߣ minus empty) (338)
Chapitre3 COMMANDE PAR MODE GLISSANT ET FLOU-GLISSANT
49
Durant le mode de convergence et le reacutegime permanent nous avons la surface de
glissement (empty) = 0 ceci implique que sa deacuteriveacutee (empty) = 0 et la commande
discontinue ହݑ = 0 drsquoougrave la grandeur de commande eacutequivalente
ହݑ = empty+ߣemptyቀempty minus emptyቁ (339)
En remplaccedilant lrsquoexpression de la commande eacutequivalente dans lrsquoexpression de la deacuteriveacutee de
la surface nous obtenons
(empty) = ହݑ minus (340)Nous posons
ହݑ = kempty sign(s(empty)) (341)
Afin de veacuterifier la condition de stabiliteacute de Laypunov (empty) (empty) lt 0 le paramegravetre empty
doit ecirctre positif
Drsquoougrave la commande ହݑ devient comme suit
ହݑ = empty+ߣemptyቀempty minus emptyቁ+ empty ݏ ( (empty)) (342)
3321 Commande des angles de tangage et de lacet
En suivant les mecircmes eacutetapes deacutecrites preacuteceacutedemment pour deacuteterminer les commandes de
tangage et de lacet ce qui nous donne [54 55 56]
ସݑ = ߠఏቀߣ+ߠ minus +ቁߠ ఏܭ ݏ ((ߠ)ݏ) (343)
ݑ = +ߣట ቀ minus ቁ+ kట sign(s()) (344)
Avec(ߠ) = ሶఏ + ఏߣ ఏ (345)
() = ሶట + టߣ ట (346)
34 Planification de trajectoire et reacutesultats de simulations
Nous travaillons avec une trajectoire en ligne droite le long des axes etݔݖ ݕ et nous
effectuons des trajectoires de type arc ou bien demi-cercle La stabilisation point par point
est utiliseacutee avec la planification de mouvement Le drone doit voler dans la direction ݖ (vol
vertical) suivi par un mouvement suivant ݔ ensuite par un mouvement suivant ݕ [2 15]
La trajectoire de reacutefeacuterence pour le vol vertical est parameacutetreacutee par lrsquoeacutequation suivante
(ݐ)ݖ = ℎௗ௧ఱ
௧ఱାቀ భ௧ቁ
ఱ (347)
Chapitre3 COMMANDE PAR MODE GLISSANT ET FLOU-GLISSANT
50
Avec h lrsquoaltitude deacutesireacutee de 10 m et Tଵ est le temps final Sachant que la valeur finale
drsquoune phase du vol est la valeur initiale du mouvement suivant x On peut eacutecrire la
trajectoire de reacutefeacuterence suivant x comme
(ݐ)ݔ = ℎௗቀ௧
భቁఱ
ቀ௧ మቁ
ఱା൬
భቀ௧ మቁ൰
ఱ (348)
On peut eacutecrire le mouvement suivant y avec la formule suivante
(ݐ)ݕ = ℎௗቀ௧
మቁఱ
ቀ௧ యቁఱା൬
మቀ௧ యቁ൰
ఱ (349)
ଶ est le temps final du mouvement le long de ݔ
ଷ est le temps final du mouvement le long de ݕ
Ces trajectoires sont soumises agrave des contraintes de performance qui sont
(0)ݖ = ൫ݔ ଵ൯=ݕ൫
ଶ൯= 0
൫ݖ ଵ൯= ൫ݔ
ଶ൯=ݕ൫ ଷ൯= ℎௗ
ሶ(0)ݖ = ሶ൫ݔ ଵ൯=ݕሶ൫
ଶ൯= 0
ሶ൫ݖ ଵ൯= ሶ൫ݔ
ଶ൯=ݕሶ൫ ଷ൯= 0 (350)
ሷ(0)ݖ = ሷ൫ݔ ଵ൯=ݕሷ൫
ଶ൯= 0
ሷ൫ݖ ଵ൯= ሷ൫ݔ
ଶ൯=ݕሷ൫ ଷ൯= 0
Minimiser le temps de deacuteplacement implique que lrsquoengin acceacutelegravere au deacutepart et deacuteceacutelegravere agrave
lrsquoarriver
La figure 35 illustre les trajectoires de reacutefeacuterences des vols suivant les directions x et y
ainsi que le vol vertical z Le drone effectue un mouvement vertical de 10 m puis un
mouvement suivant x drsquoune distance de 10 m ensuite un mouvement suivant y de la mecircme
Chapitre3 COMMANDE PAR MODE GLISSANT ET FLOU-GLISSANT
51
distance
Figure 35 Geacuteneacuteration de trajectoire avec =
Nous travaillons aussi avec des trajectoires pour faire par exemple des virages Un virage
est mateacuterialiseacute par un arc de cercle de rayon ߩ et drsquoangle (ݐ)ߙ (angle de virage)
Cette deacutependance du temps de ߙ implique qursquoon peut planifier la maniegravere dont on veut
aborder le virage Ainsi on peut planifier une acceacuteleacuteration ou une deacuteceacuteleacuteration dans un
virage De mecircme lrsquoangle ߙ qui agit directement sur le comportement du lacet peut
prendre des valeurs entre zeacutero pour un changement de direction ou ߨ2 pour contourner
un carrefour
Nous proposons de connecter etݖ ݔ agrave travers les eacutequations suivantes
ቊ(ݐ)ௗݔ = +൯(ݐ)ߙcos൫ߩminus ߩ
(ݐ)ௗݖ = +൯(ݐ)ߙsin൫ߩminus ߩ (351)
Et pour la transition de reacutefeacuterence entre ݔ et ݕ on prend
ቊ(ݐ)ௗݔ = +൯(ݐ)ߙsin൫ߩ ௗ൫ݔ
ଶ൯
(ݐ)ௗݕ = +൯(ݐ)ߙsin൫ߩminus ߩ (352)
Pour assurer la continuiteacute entre les deacuteriveacutees par rapport au temps de (ݐ)ௗݔ et (ݐ)ௗݕ crsquoest-agravedire en vitesse on a
0 5 10 15 20 250
2
4
6
8
10
12
z-re
f(m
)
temps (s)
0 5 10 15 20 250
2
4
6
8
10
12
x-r
ef(m
)
temps (s)
0 5 10 15 20 250
2
4
6
8
10
12
y-r
ef(m
)
temps (s)
05
10
0
10
200
5
10
x-deacuteplacementy-deacuteplacementz-
deacutep
lace
men
t
Chapitre3 COMMANDE PAR MODE GLISSANT ET FLOU-GLISSANT
52
(ݐ)ߙ =ఈ(௧ ௧)ఱ
(௧ ௧)ఱା(௧ ௧)ఱ(353)
Ougrave numeacuteriquement =ߩ 2 ௗߙ = ఈగ
ଶ( ఈ = 12) ݐ = ݏ6 ݐ = ݏ8 ௗ൫ݔ
ଶ൯=
ௗ൫ݕ ଷ൯= ℎௗ + =ߩ 10
Figure 36 une trajectoire de reacutefeacuterence avec arcs
Simulation numeacuterique
Dans cette partie nous testons numeacuteriquement la performance du vecteur de commande
deacuteveloppeacute preacuteceacutedemment en utilisant logiciel Matlab Simulink
Les coefficients de gain kx ky kz ఏ empty associeacutes respectivement aux paramegravetres x y z ߠempty et sont donneacutes par ( 5 4 10 10 5)
௭ߣ = 2 ௫ߣ = 5 ௬ߣ = 2 ఏ=10ߣ et emptyߣ = 5
Par la suite nous affichons les reacutesultats numeacuteriques du suivi de trajectoire de reacutefeacuterence en
absence et en preacutesence des perturbations
02
46
810
1214
02
46
810
120
2
4
6
8
10
12
Deacuteplacement suivant (x)Deacuteplacement suivant (y)
Deacutepla
cem
ent
suiv
ant
(z)
Chapitre3 COMMANDE PAR MODE GLISSANT ET FLOU-GLISSANT
53
Figure 37 La trajectoire de reacutefeacuterence et reacuteelle en cas droites
Figure 38 Les commandes u3 u4 u5 des connexions droites
02
46
810
12
02
46
810
120
2
4
6
8
10
12
Deacuteplacement suivant (x)Deacuteplacement suivant (y)
Deacute
pla
ce
me
nt
su
iva
nt
(z)
Trajectoire reacuteelle
Trajectoire reacutefeacuterence
0 5 10 15 20 250
20
40
u3(N
)
0 5 10 15 20 25-10
0
10
u4(N
m)
0 5 10 15 20 25-10
0
10
u5(N
m)
temps (s)
Chapitre3 COMMANDE PAR MODE GLISSANT ET FLOU-GLISSANT
54
Figure 39 Les erreurs pour des connections droites
Figure 310 Les angles de tangage et de roulis pour des connections droites
0 5 10 15 20 25 30 35-5
0
5x 10
-4
z-e
rreur(m
)
0 5 10 15 20 25 30 35-5
0
5x 10
-3
x-e
rreur(m
)
0 5 10 15 20 25 30 35-5
0
5x 10
-5
y-e
rreur(m
)
temps (s)
0 5 10 15 20 25
-05
0
05
angle
theta
(rad)
0 5 10 15 20 25
-05
0
05
angle
phi(rad)
temps (s)
Chapitre3 COMMANDE PAR MODE GLISSANT ET FLOU-GLISSANT
55
Figure 311 La trajectoire de reacutefeacuterence et reacuteelle en cas drsquoarcs
Figure 312 Les commandes u3 u4 u5 des connexions drsquoarcs
0
5
10
15
0
5
10
150
5
10
15
deacuteplacement suivant (x)deacuteplacement suivant (y)
deacutepla
cem
entsuiv
ant(z
)
Trajectoire reacuteelle
Trajectoire reacutefeacuterence
0 5 10 15 20 25 30 350
20
40
u3(N
)
0 5 10 15 20 25 30 35
-10
0
10
u4(N
m)
0 5 10 15 20 25 30 35-10
0
10
u5(N
m)
temps (s)
Chapitre3 COMMANDE PAR MODE GLISSANT ET FLOU-GLISSANT
56
Figure 313 Les erreurs pour des connexions drsquoarcs
Figure 314 Les angles de tangage et de roulis en cas drsquoarcs
0 5 10 15 20 25 30 35-5
0
5x 10
-4
z-e
rreur(m
)
0 5 10 15 20 25 30 35-5
0
5x 10
-3
x-e
rreurr
(m)
0 5 10 15 20 25 30 35-5
0
5x 10
-5
y-e
rreur(m
)
temps (s)
0 5 10 15 20 25 30 35
-05
0
05
angle
theta
(rad)
0 5 10 15 20 25 30 35
-05
0
05
angle
phi(rad)
temps (s)
Chapitre3 COMMANDE PAR MODE GLISSANT ET FLOU-GLISSANT
57
Figure 315 La trajectoire de reacutefeacuterence et reacuteelle en cas des demi-cercles
Figure 316 Les commandes u3 u4 u5 pour des connexions demi-cercles
-10
010
20
30
-5
0
5
100
5
10
15
20
25
deacuteplacement suivant (x)deacuteplacement suivant (y)
deacutepla
cem
entsuiv
ant(z
)
Trajectoire reacuteelle
Trajectoire reacutefeacuterence
0 10 20 30 40 50 60 70 80 900
10
20
30
u3(N
)
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90-5
0
5
u4(N
m)
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90-5
0
5
u5(N
m)
temps (s)
Chapitre3 COMMANDE PAR MODE GLISSANT ET FLOU-GLISSANT
58
Figure 317 Les erreurs pour des connexions demi-cercles
Figure 318 Les angles pour des connexions demi-cercles
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90-2
0
2x 10
-3
z-e
rreur(m
)
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90-5
0
5x 10
-4
x-e
rreur(m
)
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90-5
0
5x 10
-4
y-e
rreur(m
)
temps (s)
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90
-05
0
05
angle
theta
(rad)
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90
-05
0
05
angle
phi(rad)
temps (s)
Chapitre3 COMMANDE PAR MODE GLISSANT ET FLOU-GLISSANT
59
Figure 319 La trajectoire de reacutefeacuterence et reacuteelle en cas des demi-cercles
Figure 320 La trajectoire de reacutefeacuterence et reacuteelle en cas drsquoheacutelicoiumldale
-4
-20
2
4
-2
0
2
40
5
10
15
20
25
deacuteplacement suivant (x)deacuteplacement suivant (y)
deacutepla
cem
entsuiv
ant(z
)
Trajectoire reacuteelle
Trajectoire reacutefeacuterence
0
5
10
15
0
5
10
150
5
10
15
deacuteplacement suivant (x)deacuteplacement suivant (y)
deacutepla
cem
ent
suiv
ant
(z) Trajectoire reacuteelle
Trajectoire reacutefeacuterence
Chapitre3 COMMANDE PAR MODE GLISSANT ET FLOU-GLISSANT
60
Figure 321 La trajectoire de reacutefeacuterence et reacuteelle en cas drsquoun cocircne
Les figures 37 38 et 39 illustrent respectivement la reacutealisation des connexions droites
les signaux de commandes et des erreurs Nous constatons que la trajectoire parcourue par
le drone suit la trajectoire deacutesireacutee avec des erreurs de tregraves faibles valeurs Pour les
commandes la condition de lrsquoeacutetat drsquoeacutequilibre est toujours veacuterifieacutee apregraves avoir effectueacute une
manœuvre ଷݑ) est approximativement eacutegale agrave mg et les commandes ସݑ et ହݑ tendent vers
zero)
La figure (310) preacutesente lrsquoeacutevolution des angles de tangage et de roulis nous observons que
ces angles ne se manifestent que lors drsquoun mouvement effectueacute respectivement suivant les
axes ݔ et ݕ et tendent vers la valeur zeacutero apregraves avoir fait lrsquoorientation deacutesireacutee
Les figures (311) et (315) montrent respectivement la bonne poursuite de la trajectoire
reacuteelle vers sa reacutefeacuterence pour des connexions arcs et demi-cercle
Les figures (312) (313) et (314) illustrent respectivement les reacutesultats de simulation
pour la reacutealisation des connexions en arcs les signaux de commandes les erreurs et les
angles de tangage et de roulis
Les figures (316) et (317) quant agrave elles illustrent respectivement les signaux de
commande et les erreurs de poursuite pour des connexions en demi-cercle La condition de
lrsquoeacutetat drsquoeacutequilibre dans ce cas est toujours veacuterifieacutee apregraves avoir effectueacute les manouvres en
demi-cercle
-2
-10
1
2
-2
-1
0
1
20
1
2
3
4
5
deacuteplacement suivant (x)deacuteplacement suivant (x)deacuteplacement suivant (y)
deacutepla
cem
entsuiv
ant(z
)
trajectoire reacuteelle
Trajectoire reacutefeacuterence
Chapitre3 COMMANDE PAR MODE GLISSANT ET FLOU-GLISSANT
61
Drsquoapregraves la figure (318) on voit bien que les angles de tangage et de roulis tendent vers la
valeur zeacutero apregraves avoir fait lrsquoorientation deacutesireacutee
Les figures (319) (320) et (321) montrent la bonne poursuite des trajectoires reacuteelles agrave
leurs reacutefeacuterences en 3D pour des connexions demi-cercle (deuxiegraveme forme) heacutelicoiumldale et
cocircne respectivement Drsquoapregraves ces figures on voit clairement les bonnes performances de la
commande par mode glissant
341 Etude de robustesse
Nous nous inteacuteressons dans cette partie aux tests de la robustesse des controcircleurs
deacuteveloppeacutes Nous nous placcedilons toujours dans le cadre de la commande du drone X4 dans
le cas de lrsquoinfluence du vent suivant les diffeacuterents axes du mouvement
Selon le principe drsquoinertie (lois du mouvement de Newton) aucune eacutenergie nrsquoest
neacutecessaire pour maintenir le mouvement uniforme drsquoun corps dans le vide Dans le cas du
X4 une reacutesistance ou une force de traineacutee srsquooppose au mouvement de celui-ci en vol et
crsquoest le travail de cette force qui entraine une consommation suppleacutementaire drsquoeacutenergie aux
niveaux des actionneurs et qui affaiblit ses capaciteacutes en vol Cette force de reacutesistance peut
ecirctre calculeacutee comme suit [15]
=ܨଵ
ଶ௫ܥ ܣߩ
ଶ (354)
Fi la force de traineacutee suivant lrsquoaxe i en [N]
V est la vitesse relative en [ms]
A lrsquoaire caracteacuteristique de la surface frontale de la structure du drone [m2]
ρ la masse volumique du drone en [Kgm3]
Lrsquoexpression de lrsquoeacutequation 3 65 introduit un coefficient de traineacutee sans dimention Cx qui
deacutepend de la structure du X4 et qui est deacutetermineacute expeacuterimentalement en soufflerie
Ce coefficient vaut dans le cas du drone X4
-Cx = 005 suivant le deacuteplacement dans les directions x et y
-Cx = 008 suivant le deacuteplacement dans la direction z
Lrsquoaire caracteacuteristique A de la surface frontale de la structure drone est eacutegale agrave A =
0031[m2] avec une masse volumique estimeacutee eacutegale agrave ρ =122 [Kgm3]
Reacutesultat de simulation
Dans cette partie nous testons numeacuteriquement la performance du vecteur de
commande deacuteveloppeacute preacuteceacutedemment en preacutesence des perturbations externes qui sont
donneacutes par
Chapitre3 COMMANDE PAR MODE GLISSANT ET FLOU-GLISSANT
62
Ax =Ay = Az = 67 N pour t1=15s t2=20s et t3=30s
Ap = Aq = Ar = 1 Nm pour t4 = 32s et t5 = 35s
Les figures (322) (323) (324) (325) (326) illustrent les reacutesultats de la simulation dans
le cas drsquoune force de traineacutee opposeacutee de Ftrn = 65 N pour les deacuteplacements suivant les
directions z x et y respectivement Ainsi lrsquoapplication drsquoun couple reacutesistant pour les
orientations ߠ et empty de valeur 1Nm Drsquoapregraves ces figures on remarque que les erreurs sont
importantes et peuvent augmenter avec lrsquoaugmentation de la perturbation
Figure 322 La trajectoire de reacutefeacuterence et reacuteelle en cas des demi-cercles
02
46
810
1214
0
5
10
150
2
4
6
8
10
12
diplacement suivant (x)diplacement suivant (y)
dip
lacem
ent
suiv
ant
(z)
Trajectoire reacuteelle
trajectoire reacutefeacuterence
0 5 10 15 20 25 30 35 400
50
u3(N
)
0 5 10 15 20 25 30 35 40-60-40-20
020
u4(N
m)
0 5 10 15 20 25 30 35 40
-50
0
50
u5(N
m)
temps (s)
Chapitre3 COMMANDE PAR MODE GLISSANT ET FLOU-GLISSANT
63
Figure 323 Les commandes u3 u4 u5 des connexions demi-cercles
Figure 324 Les erreurs pour des connexions demi-cercles
Figure 325 Les angles pour des connexions demi-cercles
0 5 10 15 20 25 30 35 40
-05
0
05
1
angle
theta
(rad)
0 5 10 15 20 25 30 35 40
-1
-05
0
05
1
angle
phi(r
ad)
temps (s)
0 5 10 15 20 25 30 35 40-05
0
05
z-e
rreur
(m)
0 5 10 15 20 25 30 35 40-05
0
05
x-e
rreurr
(m)
0 5 10 15 20 25 30 35 40
-05
0
05
y-e
rreur
(m)
temps (s)
Chapitre3 COMMANDE PAR MODE GLISSANT ET FLOU-GLISSANT
64
Figure 326 Les forces pour des connexions demi-cercles
35 Commande du drone par mode glissant agrave action inteacutegrale
Lrsquoutilisation des fonctions drsquoadoucissement empecircche lrsquoexistence dun mode de glissement
ideacuteal Par conseacutequent il est important de connaicirctre le comportement du systegraveme boucleacute
lorsque nous introduisons une des fonctions dadoucissement preacuteceacutedentes
Dans le but de compenser lrsquoerreur en reacutegime permanent on peut ajouter un terme inteacutegral
dans la surface de glissement [57 58 59] Ce perfectionnement (agrave lrsquoinstar drsquoautres) est
introduit a priori et justifieacute par des essais sur des systegravemes particuliers
Notre objectif dans ce paragraphe est de concevoir une nouvelle approche baseacutee sur la
theacuteorie de la commande agrave structure variable en introduisant lrsquoaction inteacutegrale sans
toutefois perdre les proprieacuteteacutes de la commande par mode glissant
Dans cette partie nous preacutesentons la deacutetermination de la loi de commande pour la
direction suivant lrsquoaxe z par lrsquointroduction de lrsquoaction inteacutegral dans la surface
La surface de glissement sera deacutefinie par
0 5 10 15 20 25 30 35 400
5
10
15F
1(N
)
0 5 10 15 20 25 30 35 400
5
10
15
F2
(N)
0 5 10 15 20 25 30 35 4005
1015
F3
(N)
0 5 10 15 20 25 30 35 4005
1015
F4
(N)
temps (s)
Chapitre3 COMMANDE PAR MODE GLISSANT ET FLOU-GLISSANT
65
(ݖ) = ሶ௭ + ௭ߣ ௭ + int ௭ݐ (355)
Ainsi que sa deacuteriveacutee est
(ݖ) = ௭ + ௭ߣ ሶ௭ + ௭ (356)
La commande drsquoaltitude ଷݑ est calculeacutee par la relation suivante
ଷݑ = ଷݑ + ଷݑ (357)
La commande ݑ est deacutetermineacutee par reacutegime glissant ideacuteal
ଷݑ =
௦ ఏ ௦ empty൬ + ሷݖ + ሶݖ௭ቀߣ minus +ሶቁݖ ൫ݖ minus ൯൰ݖ (358)
Par la technique du mode glissant on deacuteduit la forme suivante pour la commande ଷݑ
ଷݑ =
௦ ఏ ௦ empty൬ + ሷݖ + ሶݖ௭ቀߣ minus +ሶቁݖ ቀݖ minus minusቁ൰ݖ ௭ ݏ )ݐ ((ݖ) (359)
Nous suivons les mecircmes eacutetapes deacutecrites preacuteceacutedemment pour deacuteterminer les commandes du
drone X4 ce qui nous donne
⎩⎪⎪⎪⎨
⎪⎪⎪⎧ ௫ݑ =
௨య൫minusߣ௫൫ݔሶ minus minusሶ൯ݔ ሷݔ + k୧൫x ndash x ൯൯minus ௫ ݏ ൫ݐ ൯(ݔ)
௬ݑ =
௨యቀߣ௬൫ݕሶ minus +ሶ൯ݕ ሷݕ + k୧൫y ndash y ൯ቁndash ௬ ݏ )ݐ (ݕ)
ସݑ = ఏߣ+ߠ ቀߠ ndash +ቁߠ k୧൫ߠ ndashߠ൯+ ఏܭ ݏ ൯(ߠ)ݏ൫ݐ
ହݑ = empty+ߣempty ቀempty minus emptyቁ+ k୧൫empty minus empty ൯+ empty ݏ ൫ݐ (empty)൯
ݑ = +ߣట ቀ minus ቁ+ k୧൫ minus ൯+ kట sat(S())
(360)
351 Reacutesultats de simulations
Nous preacutesentons dans cette partie les reacutesultats du controcircle mode glissant associeacute agrave une
action inteacutegrale pour la commande du X4 avec perturbation Nous traitons dans cette partie
lrsquoexemple de la reacutealisation des connections demi-cercles pour les mouvements z x y Le
gain ki=2 dans notre simulation En conservant les mecircmes coefficients de gain utiliseacutes
preacuteceacutedemment
Les figures (327) (328) (329) et (330) repreacutesentent respectivement la reacutealisation en
3D lrsquoerreur la commande et les angles pour la trajectoire de connexion de type demi-
cercle en preacutesence de la perturbation externe Nous remarquons de ces figures que la
robustesse de la commande est veacuterifieacutee numeacuteriquement En effet avec une telle force de
traineacutee la commande produit des valeurs assez raisonnables assurant le suivi du drone agrave sa
trajectoire de reacutefeacuterence
Chapitre3 COMMANDE PAR MODE GLISSANT ET FLOU-GLISSANT
66
Les figures (331) (332) et (333) montrent la comparaison entre la commande mode
glissant et le mode glissant agrave action inteacutegrale Drsquoapregraves ces figure on voit clairement que la
commande mode glissant agrave action inteacutegrale est la mieux adapteacutee agrave des trajectoires de
connexions de type demi-cercle arcs et heacutelicoiumldale
Figure 327 La trajectoire de reacutefeacuterence et reacuteelle en cas des demi-cercles
Figure 328 Les erreurs pour des connexions demi-cercles
0 5 10 15 20 25 30 35 40-05
0
05
z-e
rreur
(m)
0 5 10 15 20 25 30 35 40-05
0
05
x-e
rreurr
(m)
0 5 10 15 20 25 30 35 40
-05
0
05
y-e
rreur
(m)
temps (s)
02
46
810
1214
0
5
10
150
5
10
15
Deacuteplacement suivant (x)Deacuteplacement suivant (y)
Deacutepla
cem
ent
suiv
ant
(z)
Trajectoire reacuteelle
Trajectoire reacutefeacuterence
Chapitre3 COMMANDE PAR MODE GLISSANT ET FLOU-GLISSANT
67
Figure 329 Les commandes pour des connexions demi-cercles
Figure 330 Les angles pour des connexions demi-cercles
0 5 10 15 20 25 30 35 400
50
u3(N
)
0 5 10 15 20 25 30 35 40-60-40-20
020
u4(N
m)
0 5 10 15 20 25 30 35 40
-50
0
50
u5(N
m)
temps (s)
0 5 10 15 20 25 30 35 40
-05
0
05
1
angle
theta
(rad)
0 5 10 15 20 25 30 35 40
-1
-05
0
05
1
angle
phi(r
ad)
temps (s)
Chapitre3 COMMANDE PAR MODE GLISSANT ET FLOU-GLISSANT
68
Figure 331 La trajectoire de reacutefeacuterence et reacuteelle en cas des demi-cercles
Figure 332 La trajectoire de reacutefeacuterence et reacuteelle en cas des connexions arcs
02
46
810
1214
0
5
10
150
5
10
15
Deacuteplacement suivant (x)Deacuteplacement suivant (y)
Deacutepla
cem
ent
suiv
ant
(z)
Trajectoire reacuteelle PIMG
Trajectoire reacutefeacuterence
Trajectoire reacuteelle MG
02
46
810
1214
0
5
10
150
5
10
15
Deacuteplacement suivant (x)Deacuteplacement suivant (y)
Deacutepla
cem
ent
suiv
ant
(z)
Trajectoire reacuteelle MG
trajectoire reacutefeacuterence
trajectoire reacuteelle PI MG
Chapitre3 COMMANDE PAR MODE GLISSANT ET FLOU-GLISSANT
69
Figure 333 La trajectoire de reacutefeacuterence et reacuteelle en cas heacutelicoiumldale
36 Commande du drone par un controcircleur flou-glissant
Le majeur inconveacutenient du mode de glissement est que la commande discontinue
produit pheacutenomegravene de broutement ou chattering Notons que le broutement peut exciter
des dynamiques hautes freacutequences neacutegligeacutees menant parfois agrave lrsquoinstabiliteacute Afin drsquoeacuteliminer
ou de minimiser ce pheacutenomegravene plusieurs meacutethodes ont eacuteteacute deacuteveloppeacutees [45 60 61 62
63 64 65 66 67 68 69] Dans notre travail nous avons introduit des hybridations entre la
logique flou et le mode glissant afin de reacuteduire le pheacutenomegravene de broutement et drsquoameacuteliorer
drsquoavantage les performances du controcircle du drone Apregraves avoir introduit le principe des
approches proposeacutees nous preacutesentons leurs mises en œuvre pour la commande de notre
quadri-rotors
Dans notre travail nous avons proposeacutes une nouvelle structure des controcircleurs flou-
glissant Dans cette structure un meacutecanisme drsquoinfeacuterence flou est utiliseacute pour geacuteneacuterer et
drsquoune faccedilon douce la composante discontinue de la loi de commande par mode glissant
(SMC) La figure (334) montre le scheacutema bloc de la strateacutegie de control proposeacute [70 71]
-3-2
-10
12
3
-3-2
-10
12
30
10
20
30
40
Deacuteplacement suivant (x)Deacuteplacement suivant (y)
Deacutepla
cem
ent
suiv
ant
(z)
Trajectoire reacuteelle MG
Trajectoire reacutefeacuterence
Trajectoire reacuteelle PIMG
Chapitre3 COMMANDE PAR MODE GLISSANT ET FLOU-GLISSANT
70
Figure 334 Controcircleur par mode glissant flou
Dans le controcircleur flou-glissant proposeacute la surface (s) preacutesente lrsquoentreacutee des implications
des bases de regravegles
Puisque les donneacutees manipuleacutees dans le meacutecanisme agrave infeacuterence flou sont baseacutees sur la
theacuteorie des sous ensemble flous [70 71] les ensembles flous associeacutes utiliseacutes dans la
geacuteneacuteration de la base de regravegle sont deacutefinies comme
Si S est GN Alors un est TGSi S est NP Alors un est GSi S est JZ Alors un est MNSi S est PP Alors un est PSi S est GP Alors un est TP
Avec GN MN JZ MP et GP sont les termes linguistiques de la variable drsquoentreacutee s
deacutefinies respectivement par Grand Neacutegative Moyen Negative Just Zero Moyen
Positive et Grand Positive
Et pour la variable de sortie un les termes linguistiques TG G MN P TP sont deacutefinis
respectivement par Tregraves Grand Grand Moyen Petit Tregraves Petit
Les fonctions drsquoappartenances associeacutees agrave ses variables drsquoentreacutee et de sortie sont
preacutesenteacutees dans les figures suivantes
Chapitre3 COMMANDE PAR MODE GLISSANT ET FLOU
Figure 335
Figure 3
361 Reacutesultats de simulations
Nous preacutesentons dans cette partie les reacutesultats du controcircle flou
du drone X4 en preacutesence de perturbation
sont ke= 10 et ks = 10
preacuteceacutedemment
Les figures (337) (338) et
demi-cercle les signaux de commandes et des erreurs Nous constatons que la trajectoire
parcourue par le drone suit la
Tregraves
-3k2
COMMANDE PAR MODE GLISSANT ET FLOU
71
35 Fonction dappartenance de lentreacutee S
336 Fonction dappartenance de la sortie u
1 Reacutesultats de simulations
Nous preacutesentons dans cette partie les reacutesultats du controcircle flou-glissant pour la commande
en preacutesence de perturbation Les gains drsquoentreacutee et de sortie du controcircleur flou
= 10 En conservant les mecircmes coefficients de gain utiliseacutes
et (339) illustrent respectivement la reacutealisation des connexions
cercle les signaux de commandes et des erreurs Nous constatons que la trajectoire
parcourue par le drone suit la trajectoire deacutesireacutee avec des erreurs de tregraves faibles valeurs
Tregraves petit Petit Moyenne Grand Tregraves Grand
k2-k2-k k00
COMMANDE PAR MODE GLISSANT ET FLOU-GLISSANT
S(t)
un
glissant pour la commande
et de sortie du controcircleur flou
En conservant les mecircmes coefficients de gain utiliseacutes
la reacutealisation des connexions
cercle les signaux de commandes et des erreurs Nous constatons que la trajectoire
avec des erreurs de tregraves faibles valeurs
Tregraves Grand
3k2
Chapitre3 COMMANDE PAR MODE GLISSANT ET FLOU-GLISSANT
72
La figure (340) preacutesente lrsquoeacutevolution des angles de tangage et de roulis nous observons que
ces angles se manifestent que lors drsquoun mouvement effectueacute respectivement suivant les
axes ݔ et ݕ
La figure (341) preacutesente lrsquoeacutevolution des forces des quatre moteurs on remarque que ces
forces ne deacutepassent pas les limites physiques des actionneurs et la somme de ces forces
satisfait la condition drsquoeacutequilibre apregraves que le drone effectue ses mouvements deacutesireacutes
Figure 337 La trajectoire de reacutefeacuterence et reacuteelle en cas des demi-cercles
-20
24
68
1012
14
-5
0
5
10
150
5
10
15
Deacuteplacement suivant (x)Deacuteplacement suivant (y)
Deacutepla
cem
ent
suiv
ant
(z) Trajectoire reacuteelle
Trajectoire reacutefeacuterence
Chapitre3 COMMANDE PAR MODE GLISSANT ET FLOU-GLISSANT
73
Figure 338 Les commandes pour des connexions demi-cercles
Figure 339 les erreurs pour des connexions demi-cercles
0 5 10 15 20 25 30 35 400
20
40
u3(N
)
0 5 10 15 20 25 30 35 40-40
-20
0
20
40
u4(N
m)
0 5 10 15 20 25 30 35 40-40
-20
0
20
40
u5(N
m)
temps (s)
0 5 10 15 20 25 30 35 40-05
0
05
z-e
rreur
(m)
0 5 10 15 20 25 30 35 40-05
0
05
x-e
rreurr
(m)
0 5 10 15 20 25 30 35 40
-05
0
05
y-e
rreur
(m)
temps (s)
Chapitre3 COMMANDE PAR MODE GLISSANT ET FLOU-GLISSANT
74
0 5 10 15 20 25 30 35 40
-05
0
05
1
angle
theta
(rad)
0 5 10 15 20 25 30 35 40
-1
-05
0
05
1
angle
phi(r
ad)
temps (s)
Figure 340 les angles pour des connexions demi-cercles
Figure 341 Les forces pour des connexions demi-cercles
0 5 10 15 20 25 30 35 4005
1015
F1
(N)
0 5 10 15 20 25 30 35 4005
1015
F2
(N)
0 5 10 15 20 25 30 35 4005
1015
F3
(N)
0 5 10 15 20 25 30 35 4005
1015
F4
(N)
temps (s)
Chapitre3 COMMANDE PAR MODE GLISSANT ET FLOU-GLISSANT
75
37 Conclusion
Dans ce chapitre nous avons preacutesenteacute le principe de la commande par mode de
glissement appliqueacute sur un drone agrave quatre heacutelices La commande par mode glissant
(approche non lineacuteaire) consiste agrave choisir le nombre et la forme de surface de glissement
neacutecessaire pour la deacutetermination de la loi de commande Le pheacutenomegravene de chattering qui
caracteacuterise cette commande a eacuteteacute reacuteduit par lrsquoadoucissement de la fonction de commande
Afin drsquoameacuteliorer les performances statiques nous avons proposeacute une approche appeleacutee
mode glissant agrave action inteacutegral pour eacuteliminer lrsquoerreur en preacutesence des perturbations Pour
ameacuteliorer drsquoavantage les performances de la commande SMC nous avons proposeacute une
approche drsquohybridation entre le mode glissant et la logique floue La structure du
controcircleur flou-glissant heacuterite la proprieacuteteacute drsquointerpolation du controcircle de la logique floue
et la robustesse du controcircle par mode glissement Cette approche est baseacutee sur lrsquoutilisation
drsquoun systegraveme agrave une infeacuterence floue qui geacutenegravere la commande discontinueacutee de la loi de
commande par mode de glissement agrave action inteacutegrale Par conseacutequent il le rend robuste
pour le temps de control de plus le controcircleur flou reacuteduit le pheacutenomegravene de broutement
(chattering)
Chapitre4 COMMANDE ROBUST PAR LA THECHNIQUE DU BACKTEPPING
74
Chapitre 4
COMMANDE NON LINEAIRE PAR BACKSTEPPING
Chapitre4 COMMANDE ROBUST PAR LA THECHNIQUE DU BACKTEPPING
75
4 COMMANDE ROBUSTE PAR LA THECHNIQUE DU BACKSTEPPING
41 Introduction
La theacuteorie de Lyapunov est un outil tregraves important dans la theacuteorie de controcircle des
systegravemes non lineacuteaires Cependant son utilisation est souvent entraveacutee par les difficulteacutes
de trouver une fonction de Lyapunov pour un systegraveme donneacute Si elle est trouveacutee le
systegraveme est connu pour ecirctre stable mais la tache de trouver une telle fonction est souvent
laisseacutee agrave lrsquoimagination et agrave lrsquoexpeacuterience du concepteur La technique du Backstepping est
une meacutethode systeacutematique pour la conception du controcircle non lineacuteaire qui peut ecirctre
appliqueacutee agrave une grande classe de systegravemes Le nom backstepping se reacutefegravere agrave la nature
reacutecursive de la proceacutedure de synthegravese Dans un premier temps seul un sous-systegraveme du
systegraveme original est consideacutereacute pour lequel une loi de controcircle fictive est construite Puis la
conception est eacutetendue en plusieurs eacutetapes jusquagrave lrsquoobtention drsquoune loi de controcircle pour le
systegraveme tout en entier Avec la loi de commande une fonction de Lyapunov pour le
systegraveme controcircleacute est progressivement construite
La technique du backstepping a connu un regain drsquoattention gracircce aux travaux de
Kokotovic qui a fourni un cadre matheacutematique pour la conception de lois de controcircle pour
diffeacuterents systegravemes non lineacuteaires en utilisant la cette technique [72] Durant les anneacutees
suivantes des manuscrits ont eacuteteacute eacutediteacutes par Krstic et autres [73 74 75]
Nous utiliserons cette technique du backstepping pour deacutevelopper des lois de controcircle pour
le controcircle des mouvements selon les axes z ndash x ndash y ainsi qursquoune eacutetude de robustesse
42 Historique et domaines drsquoapplication du backstepping
Lrsquoideacutee de base du backstepping est de laisser certains eacutetats du systegraveme agir en tant
qursquoentreacutees virtuelles La mecircme ideacutee est utiliseacutee dans la conception de controcircle en cascade
et eacutegalement dans la theacuteorie de la perturbation singuliegravere [76] Le backstepping qui utilise
une forme du systegraveme en chaicircne drsquointeacutegrateurs apregraves une transformation de coordonneacutees
drsquoun systegraveme triangulaire et en se basant sur la meacutethode directe de Lyapunov (Annexe A)
A partir de lagrave il est possible de concevoir systeacutematiquement et de maniegravere reacutecursive des
Chapitre4 COMMANDE ROBUST PAR LA THECHNIQUE DU BACKTEPPING
76
controcircleurs et les fonctions de Lyapunov correspondantes Bien que la technique du
backstepping ait une histoire plutocirct courte mais rien nrsquoempecircche quand-mecircme de trouver de
nombreuses applications pratiques dans la litteacuterature On en donne ici un court aperccedilu
Elle est appliqueacutee dans les systegravemes eacutelectriques par exemple dans [77] ou a eacuteteacute
proposeacutee une commande en temps reacuteel de la vitesse drsquoun moteur synchrone agrave aimant
permanent par la technique du backestepping adaptative non lineacuteaire On peut maintenant
la retrouver dans une grande varieacuteteacute de controcircle de moteurs eacutelectriques [78 79 80] On
trouve eacutegalement des travaux dans lrsquoaeacuteronautique qui correspond au controcircle drsquoun
heacutelicoptegravere miniature Dans [28] une loi de commande adaptative utilisant les techniques
reacutecursives et robustes du backstepping a eacuteteacute proposeacutee Altug dans [25 26 27] a proposeacute un
controcircle stabilisant en utilisant lrsquoasservissement visuel Ainsi cette technique a eacuteteacute
proposeacutee pour la commande drsquoautomobile [81]
43 Conception de la commande par backstepping
La commande par backstepping ne doit pas ecirctre vue comme un proceacutedeacute rigide mais
plutocirct comme une philosophie de conception qui peut ecirctre plieacutee et tordue pour satisfaire les
besoins speacutecifiques du systegraveme agrave commander Nous pouvons exploiter la flexibiliteacute du
backstepping en ce qui concerne le choix des commandes virtuelles des fonctions
stabilisantes initiales et des fonctions de Lyapunov Nous avons effectueacute une eacutetude de
stabiliteacute en se basant sur la commande backstepping et en utilisant la fonction de
Lyapunov
431 Algorithme de base pour la meacutethode du backstepping
En utilisant lrsquoapproche backstepping comme un algorithme reacutecursif pour la
synthegravese de lois de commande On considegravere le cas des systegravemes non lineacuteaires drsquoordre deux
de la forme
x=f(x)+g(x)u (41)
X est lrsquoeacutetat du systegraveme X isin realn
u Lrsquoentreacutee de commande u isin real
Supposons que le systegraveme (41) peut apregraves une transformation ecirctre mis sous la forme
chaineacutee comme suit
x1 = fଵ(xଵ) + gଵ (xଵ) xଶ (42)
x2= fଶ(xଶ) + gଶ (xଶ) u (43)
Chapitre4 COMMANDE ROBUST PAR LA THECHNIQUE DU BACKTEPPING
77
On deacutesire faire suivre agrave la sortie y = xଵ la trajectoire yr Cette trajectoire est supposeacutee
connue et uniformeacutement borneacutee et puisque le systegraveme et du deuxiegraveme ordre alors le design
srsquoeffectue en deux eacutetapes [82]
Premiegravere eacutetape
On considegravere drsquoabord lrsquoeacutequation (42) ou la variable drsquoeacutetat xଶ est traiteacutee comme une
commande virtuelle et lrsquoon deacutefinit la premiegravere valeur de reacutefeacuterence
xଵ = y (44)
La premiegravere variable drsquoerreur se deacutefinit par
eଵ = xଵ minus xଵ (45)
ሶଵ= ሶଵݔ minus ሶଵݔ (46)
On utilisant lrsquoeacutequation (42) le systegraveme drsquoeacutequation (46) srsquoeacutecrit
e1 = ଵ(ݔଵ) + gଵ (ଵݔ) ଶݔ minus ሶଵݔ (47)
Pour un tel systegraveme il agrave eacuteteacute montreacute que la fonction candidate constitue un bon choix de la
fonction de Lyapunov
ଵ( ଵ) =ଵ
ଶ ଵଶ (48)
Sa deacuteriveacutee est donneacutee par
Vଵ(eଵ) = eଵ eଵ = eଵ [ ଵ(ݔଵ) + gଵ(ݔଵ) ଶݔ minus [ሶଵݔ (49)
Un choix judicieux xଶ rendrait Vଵ(eଵ) neacutegative et assurerait la stabiliteacute de lrsquoorigine du sous
systegraveme deacutecrit par lrsquoeacutequation (42)
Prenons comme valeur de ଶݔ la fonction aଵ telle que
ଵ(ݔଵ) + gଵ(ݔଵ) ଵ minus =ሶଵݔ minus kଵeଵ (410)
Ougrave kଵ gt 0 est un paramegravetre de design
xଶ= aଵ=ଵ
భ(୶భ)[minus kଵeଵ + xଵminus fଵ(xଵ)] (411)
et la deacuteriveacutee srsquoeacutecrit
ଵ( ଵ) = minus ଵ ଵଶ le 0 (412)
Drsquoougrave la stabiliteacute asymptotique de lrsquoorigine de lrsquoeacutequation (45)
Deuxiegraveme eacutetape
On considegravere le sous-systegraveme drsquoeacutequation (43) et lrsquoon deacutefinit la nouvelle variable
drsquoerreur
eଶ = xଶ minus aଵ (413)
Chapitre4 COMMANDE ROBUST PAR LA THECHNIQUE DU BACKTEPPING
78
Cette eacutequation repreacutesente lrsquoeacutecart entre la variable drsquoeacutetat xଶ et sa valeur deacutesireacutee aଵ lrsquoerreur
ଶ nrsquoest pas instantaneacutement nulle Le design dans cette eacutetape consiste alors agrave la forcer agrave
srsquoannuler
Les eacutequations du systegraveme agrave commander dans lrsquoespace (eଵ eଶ) srsquoeacutecrivent
ሶଵ = ଵ(ݔଵ) + ଵ ( ଶ + ଵ) minus ሶଵݔ (414)
ሶଶ = ଶ(ݔଶ) + ଶ minusݑ ሶଵ (415)
On agrave choisit comme fonction de Lyapunov
ଶ( ଵ ଶ) = ଵ( ଵ) +ଵ
ଶ ଶଶ (416)
Sa deacuteriveacutee
2( ଵ ଶ) =ଵ + ଶ ሶଶ= ଵ ሶଵ + ଶ ሶଶ (417)
2( ଵ ଶ) = ଵ [ ଵ(ݔଵ) + ଵ ( ଶ+ ଵ) [ሶଵݔ + ଶ [ ଶ(ݔଶ) + ଶ minusݑ ሶଵ] (418)
2( ଵ ଶ) = ଵ [ ଵ(ݔଵ) + ଵ ଶ+ ଵ ଵ minus ሶଵݔ ] + ଶ [ ଶ(ݔଶ) + ଶ minusݑ ሶଵ] (419)
2( ଵ ଶ) = minus ଵ ଵଶ + ଶ [ ଶ(ݔଶ) + ଶ ݑ + ଵ ଵminus ሶଵ] (420)
Pour garantir la stabiliteacute il faut que lrsquoeacutequation suivante soit eacutegale agrave minus kଶeଶ avec kଶ gt0
ଶ(ݔଶ) + ଶ ݑ + ଵ ଵminus ሶଵ= minus ଶ ଶ (421)
La commande est
ݑ =ଵ
మ[minus ଶ ଶ+ ሶଵ minus ଵ ଵ minus ଶ(ݔଶ)] (422)
Avec le choix de ଶ on agrave
2( ଵ ଶ) = minus ଵ ଵଶ minus ଶ ଶ
ଶ (423)
On a garantie la stabiliteacute asymptotique du systegraveme
44 Stabilisation du drone X4 par la meacutethode du backstepping
Nous proposons drsquoappliquer la technique de backstepping pour le controcircle drsquoun drone
de type X4 dont la dynamique du modegravele a eacuteteacute deacutetermineacutee dans le chapitre 2
La strateacutegie de controcircle adopteacute est reacutesumeacutee en deux sous-systegravemes le premier est lieacute au
controcircle de la translation et le deuxiegraveme est lieacute au controcircle de la rotation comme il est
exposeacute sous le scheacutema synoptique suivant [83]
Chapitre4 COMMANDE ROBUST PAR LA THECHNIQUE DU BACKTEPPING
79
Figure 41 Scheacutema bloc de commande du drone par backstepping
Le systegraveme 243 peut ecirctre reacuteeacutecrit dans lrsquoespace drsquoeacutetat sous la forme = ()
Avec U vecteur drsquoentreacute et X vecteur drsquoeacutetat
Tel que
X = hellipଵݔ] hellip [ଵଶݔ T = [ ݖ ݔሶݖ ݕሶݔ ሶݕ θ θ empty empty ψ ψ ] T isin real12
X = f (X U) =
⎝
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎛
ଶݔଵ
emptyݏ ଷݑߠݏ minus
ସݔ
minusଵ
ଷݑ௫ݑݔ
ଵ
௬ݑ ଷݑݔସݑଵݔହݑଵଶݔݑ ⎠
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎞
(424)
441 Commande du systegraveme de translation lineacuteaire
4411 Controcircle de lrsquoaltitude
On commande le mouvement selon lrsquoaxe z en utilisant la technique du backstepping le
modegravele en y est donneacute par
ߠ
X4-FlyerModelReacutefeacuterence
BacksteppingControcircle
BacksteppingControcircle
ݖݕݔ
ଷݑ
ହݑସݑ ݑ௬ݑ௫ݑ
ݖݕݔ
Chapitre4 COMMANDE ROBUST PAR LA THECHNIQUE DU BACKTEPPING
80
=ሷݖ emptyݏ ଷݑߠݏ minus (425)
La commande par backstepping du vol vertical est deacuteveloppeacutee ci-dessous
Premiegravere eacutetape
Initialement nous consideacuterons lrsquoobjectif de poursuite de lrsquoaltitude z vers sa trajectoire
deacutesireacutee On deacutefinit pour cela une erreur de poursuite
e௭ଵ = ݖ minus ݖ (426)Sa deacuteriveacutee srsquoeacutecrit
ሶ௭ଵ = ሶݖ minus ሶݖ (427)
Le but eacutetant donc de faire tendre cette erreur vers zeacutero Pour ce faire on considegravere une
fonction de Lyapunov quadratique en eଵ
V (e௭ଵ) =ଵ
ଶe௭ଵଶ (428)
La deacuteriveacutee de la fonction de Lyapunov srsquoeacutecrit
( ௭ଵ) = ௭ଵ ሶ௭ଵ= ௭ଵ ሶݖ) minus (ሶݖ (429)
La convergence de e௭ଵ vers zeacutero est obtenue en assurant que V(e௭ଵ) est neacutegative Etant
donneacute que lrsquoentreacutee de commande nrsquoapparait pas encore dans lrsquoexpression de V(e௭ଵ) on
deacutefinit une entreacutee fictive ayant pour forme
ଶݔ = ሶݖ + k௭ଵe௭ଵ (430)
Ougrave ௭ଵ est une constante positive
Cette commande assure
( ௭ଵ)= minus ௭ଵ ௭ଵଶ le0 (431)
Deuxiegraveme eacutetape
La deuxiegraveme eacutetape consiste agrave redeacutefinir une autre erreur agrave compenser
e௭ଶ= minus ሶݖ ሶrefݖ minus k௭ଵe௭ଵ (432)
Sa deacuteriveacutee srsquoeacutecrit comme suit
e௭ଶ= minus ሷݖ ሷrefݖ minus k௭ଵe௭ଵ (433)
Chapitre4 COMMANDE ROBUST PAR LA THECHNIQUE DU BACKTEPPING
81
Afin drsquoeacuteliminer cette erreur la fonction candidate de Lyapunov V( ௭ଵ) preacuteceacutedente de
lrsquoeacutequation (428) est augmenteacutee drsquoun autre terme qui va prendre en charge la nouvelle
erreur qui a eacuteteacute introduite preacuteceacutedemment
V ( ௭ଵ ௭ଶ) =ଵ
ଶ( ௭ଵଶ
+ ௭ଶଶ ) (434)
Ainsi que sa deacuteriveacutee
( ௭ଵ ௭ଶ) = ௭ଵ ሶ௭ଵ+ ௭ଶ ሶ௭ଶ (435)
( ௭ଵ ௭ଶ) = ௭ଵ (minus ௭ଵ ௭ଵ minus ௭ଶ) + ௭ଶ minus ሷݖ) ሷݖ minus ௭ଵ ሶ௭ଵ) (436)
( ௭ଵ ௭ଶ) =minus ௭ଵ ௭ଶ minus ௭ଵ ௭ଵଶ + ௭ଶ minus ሷݖ) ሷݖ minus ௭ଵ(minus ௭ଵ ௭ଵ minus ௭ଶ)) (437)
( ௭ଵ ௭ଶ) = minus ௭ଵ ௭ଵଶ + ௭ଶ [
ଵ
minusݑߠݏܥemptyݏܥ minus ሷݖ minus ௭ଵ(minus ௭ଵ ௭ଵ minus ௭ଶ)minus ௭ଵ)]
(438)
La proceacutedure de la meacutethode du backstepping srsquoarrecircte jusqursquoagrave lrsquoapparition de la commandeu3
Afin de satisfaire la condition de Lyaponov (V(eଵ eଶ) le 0 ) on pose
௦empty௦ఏ
minus ₃ݑ minus minusሷݖ k௭ଵ(minus k௭ଵe௭ଵ minus e௭ଶ)minus e௭ଵ) = minus k௭ଶe௭ଶ (439)
Ce qui nous donne la loi de commande suivant lrsquoaxe z
= ₃ݑ
௦empty௦ఏሷݖ) + + (1 minus ௭ଵ
ଶ ) ଵ minus ( ௭ଵ + ௭ଶ) ௭ଶ) (440)
Ougrave k௭ଶ est une constante positive
De telle sorte ( ௭ଵ ௭ଶ) = minus ௭ଵ ௭ଵ
ଶ minus ௭ଶ ௭ଶଶ le 0 (441)
Ce qui nous assure la stabiliteacute du mouvement suivant lrsquoaxe z
44 12 Controcircle de deacuteplacement lineacuteaire suivant les axes et y
A partir du modegravele du drone le systegraveme dynamique des mouvements horizontales est deacutefini
par
൜ =ሷݔ ଷݑ௫ݑminus=ሷݕ ଷݑ௬ݑ
(442)
Avec ex1 et ey1 sont les erreurs de positions sont deacutefinis par
ቄ௫ଵ = ݔ minus ݔ
௬ଵ = ݕ minus ݕ (443)
Chapitre4 COMMANDE ROBUST PAR LA THECHNIQUE DU BACKTEPPING
82
Les erreurs des vitesses lineacuteaires des positions x et y sont deacutefinies par
൜௫ଶ = minusሶݔ ሶݔ minus ௫ଵ ௫ଵ
௬ଶ = minusሶݕ ሶݕ minus ௬ଵ ௬ଵ
(444)
Les mecircmes eacutetapes sont utiliseacutees pour deacuteterminer les commandes de positions ௫ݑ et ௬ݑ qui
sont donneacutees par
௫ݑ =
௨యሷݔ) + (1 minus ௫ଵ
ଶ ) ௫ଵ minus ( ௫ଵ + ௫ଶ) ௫ଶ) (445)
௬ݑ =
௨యሷݕ) + ൫1 minus ௬ଵ
ଶ ൯ ௬ଵ minus ( ௬ଵ + ௬ଶ) ௬ଶ) (446)
Avec ( ௫ଵ ௫ଶ ௬ଵ ௬ଶ)gt0
442 Commande par backstepping du systegraveme de rotation
4421 Commande de lrsquoangle de roulis
Dans cette section on veut eacutetablir une commande par backstepping qui assure lrsquoorientation
du drone par lrsquoangle empty (roulis)
Premiegravere eacutetape
Premiegraverement on doit avoir une sortie qui suit une trajectoire deacutesireacutee emptyref en introduisant
lrsquoerreur de la position angulaire (lrsquoangle de roulis)
eemptyଵ= emptyref minus empty (447)Sa deacuteriveacutee srsquoeacutecrit
eemptyଵ= empty minus empty (448)
Ougrave les deux eacutequations (447) (448) sont associeacutees agrave la fonction de Lyapunov suivante
V (eemptyଵ) =ଵ
ଶeempty1
2 (449)
La deacuteriveacutee de la fonction de Lyapunov srsquoeacutecrit
V(eemptyଵ) = eemptyଵ eemptyଵ= eemptyଵ (emptyref (ଵݔminus (450)
Lrsquoeacutetat ଵݔ est ensuite utiliseacute comme commande intermeacutediaire afin de garantir la stabiliteacute
de lrsquoeacutequation (447) On deacutefinit pour cela une commande virtuelle
ଵݔ = emptyref + emptyଵ emptyଵ avec emptyଵ gt0 (451)
ሶଵݔ = emptyref + emptyଵ ሶemptyଵ (452)
Agrave partir des eacutequations (450) et (451) on obtient
( emptyଵ) = minus emptyଵ emptyଵଶ (453)
Chapitre4 COMMANDE ROBUST PAR LA THECHNIQUE DU BACKTEPPING
83
Deuxiegraveme eacutetape
Agrave cette eacutetape une nouvelle erreur engendreacutee
eemptyଶ= empty minus empty minus kemptyଵeemptyଵ (454)
Sa deacuteriveacutee srsquoeacutecrit comme suit
eemptyଶ = empty minus emptyrefminus kemptyଵ eemptyଵ (455)
Afin drsquoeacuteliminer cette erreur la fonction candidate de Lyapunov (eemptyଵ) preacuteceacutedente de
lrsquoeacutequation (449) est augmenteacutee drsquoun autre terme qui va prendre en charge la nouvelle
erreur qui a eacuteteacute introduite preacuteceacutedemment
V (eemptyଵeemptyଶ) =ଵ
ଶ(eemptyଵଶ + eemptyଶ
ଶ ) (456)
Ainsi que sa deacuteriveacutee
V(eemptyଵ eemptyଶ) = eemptyଵ (minuskemptyଵ eemptyଵ minus eemptyଶ) + eemptyଶ (empty minus emptyref ndash kemptyଵ eemptyଵ) (457)
V(eemptyଵ eemptyଶ) = minus eemptyଵ eemptyଶ minus kemptyଵ eemptyଵଶ + eemptyଶ (empty minus emptyref minuskemptyଵ (minuskemptyଵe୴ଵ minus eemptyଶ)) (458)
V(eemptyଵ eemptyଶ) = minus kemptyଵ eemptyଵଶ + eemptyଶ ହݑ] minus emptyref minus kemptyଵ (minuskemptyଵeemptyଵ minus eemptyଶ) minuseemptyଵ] (459)
Afin de satisfaire la condition de Lyapunov (V(eemptyଵ eemptyଶ) le 0 ) on pose
ହݑ minus emptyref minus kemptyଵ (minuskemptyଵeemptyଵ minus eemptyଶ) minuseemptyଵ= minuskemptyଶ eemptyଶ (460)
Drsquoougrave lrsquoexpression de la commande du roulis est donneacutee par
ହݑ = emptyref + emptyଵ (1 minus emptyଵଶ ) minus emptyଶ ( emptyଵ + emptyଶ) (461)
Avec kemptyଵ kemptyଶ sont des constantes positives de design lesquelles deacuteterminent la
dynamique de la boucle fermeacutee
4421 Commande des angles de tangage et de lacet
Nous suivons les mecircmes eacutetapes deacutecrites preacuteceacutedemment pour deacuteterminer les commande de
tangage et de lacet ce qui nous donne [84 85]
ସݑ = +ߠ ఏଵ൫1 minus ఏଵଶ ൯minus ఏଶ( ఏଵ + ఏଶ) (462)
ݑ = + టଵ൫1 minus టଵଶ ൯minus టଶ( టଵ + టଶ ) (463)
Avec ( ఏଵ ఏଶ టଵ టଶ) gt0
Chapitre4 COMMANDE ROBUST PAR LA THECHNIQUE DU BACKTEPPING
84
45 Reacutesultats de simulations
Les performances sont eacutevalueacutees par le biais drsquoune simulation numeacuterique dans les mecircmes
conditions de fonctionnement preacutesenteacutes dans le chapitre preacuteceacutedent
Les paramegravetres des coefficients du polynocircme de Hurwitz du controcircleur sont choisis par
௭ଵ =8 ௭ଶ = 5 ௫ଵ = 5 ௫ଶ = 5 ௬ଵ = 4 ௬ଶ = 2 kemptyଵ = 55 kemptyଶ = 2 ఏଵ = 75
ఏଶ = 10 టଵ = 2 టଶ = 4
Figure 42 La trajectoire de reacutefeacuterence et reacuteelle en cas des connexions cercles
0
10
20
30
-5
0
5
100
5
10
15
20
25
30
Deacuteplacement suivant (x)Deacuteplacement suivant (y)
Deacutepla
cem
entsuiv
ant(z
)
Trajectoire reacuteelle
Trajectoire reacutefeacuterence
Chapitre4 COMMANDE ROBUST PAR LA THECHNIQUE DU BACKTEPPING
85
Figure 43 Les commandes u3 u4 u5 des connexions cercle
Figure 44 Les erreurs de deacuteplacement en cas des connections cercle
0 10 20 30 40 50 60 70 80 9010
20
30
u3(N
)
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90-5
0
5
u4(N
m)
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90-5
0
5
u5(N
m)
temps (s)
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90-004
-002
0
002
004
z-e
rreur(m
)
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90-002
0
002
x-e
rreur(m
)
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90-002
0
002
y-e
rreur(m
)
temps (s)
Chapitre4 COMMANDE ROBUST PAR LA THECHNIQUE DU BACKTEPPING
86
Figure 45 Les angles de tangage et de roulis en cas des connections cercle
Figure 46 Les forces en cas des connections cercle
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90
-05
0
05angle
theta
(rad)
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90
-05
0
05
angle
phi(rad)
temp (s)
0 10 20 30 40 50 60 70 80 900
5
F1
(N)
0 10 20 30 40 50 60 70 80 900
5
F2
(N)
0 10 20 30 40 50 60 70 80 900
5
F3
(N)
0 10 20 30 40 50 60 70 80 900
5
F4
(N)
temps (s)
Chapitre4 COMMANDE ROBUST PAR LA THECHNIQUE DU BACKTEPPING
87
La figure (43) qui repreacutesente les signaux de commandes u3 u4 et u5 deacutemontrent que la
condition de lrsquoeacutetat drsquoeacutequilibre et toujours veacuterifieacutee apregraves avoir effectueacute une manœuvre (u3 =
mg et u4 = u5 =0)
La figure (44) montre que lrsquoerreur suivant les trois directions converge vers zeacutero Cela
prouve que la trajectoire parcourue par le drone suit la trajectoire souhaiteacutee (figure (42))
avec des erreurs de tregraves faibles valeurs
Dans la figure (45) on voit que les angles de tangage ߠ et de roulis empty se manifestent lors
dun mouvement effectueacute respectivement suivant laxe de mouvement x et y en tendant vers
la valeur zeacutero drsquoeacutequilibre apregraves avoir effectuer le mouvement drsquoavancement
Pour que le drone retrouve sa stabiliteacute autour de la trajectoire de reacutefeacuterence nous constatons
que les commandes u4 et u5 produisent des forces corrigeant respectivement les erreurs du
suivi des angles ߠ et empty agrave leurs trajectoires de reacutefeacuterence nulles figure (43)
Dans la figure (46) nous remarquons que les quatre commandes ne deacutepassent pas les
limites physiques des rotors du drone et la somme de ces forces satisfirent la condition
drsquoeacutequilibre
451 Etude de robustesse
Dans cette partie nous testons numeacuteriquement la robustesse de commande retrouveacutee pour
assurer le suivi de trajectoire face agrave des perturbations dynamiques dues agrave linfluence du
vent suivant les diffeacuterents axes du mouvement
En geacuteneacuteral en mouvement aeacuterien le vent geacutenegravere une force de reacutesistance ou de traicircneacutee
sopposant au mouvement Dans le cas du drone le travail de cette force entraine une
consommation suppleacutementaire deacutenergie au niveau des actionneurs qui affaiblit ses
capaciteacutes en vol Les valeurs des forces reacutesistances sont (Ax = Ay = Az = 65 N)
Chapitre4 COMMANDE ROBUST PAR LA THECHNIQUE DU BACKTEPPING
88
Figure 47 La trajectoire de reacutefeacuterence et reacuteelle en preacutesence de perturbation
Figure 48 Les commandes en preacutesence de perturbation
05
1015
2025
30
-4-2
02
46
80
5
10
15
20
25
30
Deacuteplacement suivant (x)Deacuteplacement suivant (y)
Deacutepla
cem
ent
suiv
ant
(z)
Trajectoire reacuteelle
Trajectoire reacutefeacuterence
0 10 20 30 40 50 60 70 80 900
20
40
u3(N
)
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90-20
-10
0
10
u4(N
m)
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90-10
0
10
20
u5(N
m)
temps (s)
Chapitre4 COMMANDE ROBUST PAR LA THECHNIQUE DU BACKTEPPING
89
Figure 49 Les erreurs en preacutesence de perturbations
Figure 410 Les angles de tangage et de roulis en preacutesence de perturbation
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90
0
02
04z-e
rreur
(m)
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90
0
02
04
x-e
rreurr
(m)
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90
0
02
04
y-e
rreur
(m)
temps (s)
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90
-05
0
05
1
angle
theta
(rad)
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90
-1
-05
0
05
1
angle
phi(r
ad)
temps (s)
Chapitre4 COMMANDE ROBUST PAR LA THECHNIQUE DU BACKTEPPING
90
En preacutesence de force de reacutesistance nous remarquons que la robustesse de la commande
nrsquoest pas veacuterifieacutee En effet avec une telle force de reacutesistance le drone suit sa trajectoire de
reacutefeacuterence avec des erreurs comme le montrent les figures preacuteceacutedentes Ces erreurs peuvent
ecirctre importantes avec lrsquoaugmentation de la force de traineacutee
Il est clair que la structure du controcircleur geacuteneacutereacute par la version classique du backstepping
est composeacutee drsquoune action proportionnelle agrave laquelle est ajouteacutee action deacuteriveacutee sur les
erreurs Une telle structure rend le systegraveme sensible aux bruits et aux perturbations
externes des erreurs statiques non nulles persistent cet inconveacutenient srsquoexplique par
lrsquoabsence de la correction de ces perturbations afin drsquoeacuteliminer ces erreurs deux meacutethodes
sont proposeacutees la premiegravere consiste agrave doter les reacutegulateurs obtenus drsquoune action inteacutegrale
Lrsquoideacutee principale de la meacutethode se reacutesume agrave introduire drsquoune maniegravere virtuelle un
inteacutegrateur cette introduction neacutecessite une modification de la proceacutedure de design La
deuxiegraveme meacutethode consiste agrave estimer la perturbation externe (force de traineacutee) agrave lrsquoaide
drsquoun controcircleur adaptatif
46 Backstepping avec action inteacutegrale
Lrsquoabsence drsquointeacutegrateur dans la loi de commande entraicircne une erreur statique constante
non nulle La solution de ce problegraveme est la conception drsquoune nouvelle version du
backstepping doteacutee drsquoune action inteacutegrale (figure 411) Ceci revient agrave introduire des
inteacutegrateurs dans le modegravele du X4 et proceacuteder agrave lrsquoapplication de la meacutethode
conventionnelle de backstepping sur ce nouveau modegravele Lrsquoaction inteacutegrale sera transfeacutereacutee
automatiquement agrave la loi de commande [86]
Figure 411 Le scheacutema bloc du backstepping avec action inteacutegrale
Action inteacutegraleBackstepping
Inteacutegrale Backstepping
Commande robuste appliqueacute au Modegravele du X4
Systegraveme de translation et de rotation
Chapitre4 COMMANDE ROBUST PAR LA THECHNIQUE DU BACKTEPPING
91
461 Commande de lrsquoaltitude
Le modegravele est eacutecrit sous la forme chaineacutee drsquoapregraves lrsquoeacutequation (424)
ሶଵݔ = 2ݔ
ሶଶݔ = =ሷݖଵ
Cߠ Sempty ndashଷݑ (464)
Premiegravere eacutetape
La premiegravere variable drsquoerreur se deacutefinit par
௭ଵ= ݖ minus z (465)
On deacuterivant (465) par rapport au temps on obtient
ሶ௭ଵ=ݖሶ minus =ሶݖ ሶݖ minus ଶݔ (466)
Pour srsquooccuper mieux drsquoincertitudes et de perturbation nous allons ajouter une action
inteacutegrale sur lrsquoerreur de poursuite drsquoaltitude agrave la fonction stabilisante
Si on considegravere que ଶݔ notre commande virtuelle nous proceacutedons agrave eacutetablir une fonction
stabilisante comme suit
ଶݔ = +ሶݖ ௭ଵ ௭ଵ + ଵߣ ଵ (467)
Avec ௭ଵߣଵ sont des constants positifs et ଵ = int e௭ଵ( ) est lrsquointeacutegrale de lrsquoerreur de
poursuite drsquoaltitude
Deuxiegraveme eacutetape
Il nest pas possible dagir directement sur lrsquoeacutetat ଶݔ il est donc peu probable que cet eacutetat
suit exactement cette trajectoire cest pourquoi un autre terme derreur est introduit
eଶ = ଶݔ minus ሶݖ (468)
La deacuteriveacutee de lrsquoeacutequation (468) donne
ሶ௭ଶ ሶଶݔ= minus =ݖ ሷrefݖ + k௭ଵeଵ+ ଵߣ ሶଵ minus ݖ (469)
ሶ௭ଶ = k௭ଵ ሶrefݖ) minus (ሶݖ + ଵe௭ଵߣ minus ݖ ሷݖ+ (470)
Par lrsquoutilisation drsquoeacutequations (467) et (468) nous reacuteeacutecrivons la dynamique drsquoerreur de
poursuite drsquoaltitude comme suit
eଵ= minus ௭ଵ ௭ଵ minus ଵߣ ଵ + e௭ଶ (471)
Par le remplacement de ݖ dans lrsquoeacutequation (470) par son expression correspondante la
commande u3 apparaisse dans lrsquoeacutequation (472)
ሶ௭ଶ= ௭ଵ (minus ௭ଵ ௭ଵ minus ଵߣ ଵ + ௭ଶ) ଵߣ+ ௭ଵ + ሷrefݖ minusଵ
( (ߠ)ݏ ଷݑ()ݏ + ) (472)
Chapitre4 COMMANDE ROBUST PAR LA THECHNIQUE DU BACKTEPPING
92
La dynamique deacutesireacutee de lrsquoerreur de poursuite de vitesse est donneacutee par
e௭ଶ = minus ௭ଶe௭ଶ minus e௭ଵ (473)
La commande finale de ଷݑ est la suivante
ଷݑ =
௦(ఏ)௦(థ )(+ e௭ଵ (1minusk௭ଵ
ଶ (ଵߣ+ + e௭ଶ (k௭ଵ+ k௭ଶ) ሷref minus k௭ଵݖ+ ଵߣ ଵ) (474)
Analyse de la stabiliteacute
Afin de prouver la stabiliteacute la fonction de Lyapunov (e௭ଵ e௭ଶ) est choisie comme suite
( ௭ଵ ௭ଶ) =ଵ
ଶ ௭ଵ
ଶ + ௭ଶଶ + ଵߣ ଵ
ଶ ൧ (475)
En effectuant la deacuteriveacutee de cette fonction et en substituant lrsquoeacutequation (471) et (473) la
relation suivante est trouveacutee
( ௭ଵ ௭ଶ) = minus ௭ଵ ௭ଵଶ minus ௭ଶ ௭ଶ
ଶ le 0 (476)
De cette faccedilon la fonction V(eଵ eଶ) respecterait en tous points les critegraveres de
Lyapunov La loi de commande deacuteduite fait en sorte que ( ௭ଵ ௭ଶ) est toujours positif et
que ( ௭ଵ ௭ଶ) soit toujours neacutegatif peu importe les valeurs que peuvent prendre les
eacutetats
Nous suivant les mecircmes eacutetapes deacutecrites preacuteceacutedemment pour deacuteterminer les commandes du
drone X4 ce qui nous donne [87]
⎩⎪⎪⎪⎨
⎪⎪⎪⎧
௫ݑ =
௨యሷݔ) + (1 minus ௫ଵ
ଶ + (ଶߣ ௫ଵ minus ( ௫ଵ + ௫ଶ) ௫ଶ minus ௫ଵ ଶߣ ଶ)
௬ݑ =
௨యሷݕ) + ൫1 minus ௬ଵ
ଶ + ଷ൯ߣ ௬ଵ minus ( ௬ଵ + ௬ଶ) ௬ଶ minus ௬ଵ ଷߣ ଷ)
ସݑ = +ߠ ఏଵ൫1 ndash ఏଵଶ + minusସ൯ߣ ఏଶ ( ఏଵ + ఏଶ) ndash ఏଵ ସߣ ସ
ହݑ = ݎempty + emptyଵ (1 minus emptyଵଶ + (ହߣ minus emptyଶ ( emptyଵ + emptyଶ) minus emptyଵ ହߣ ହ
ݑ = + టଵ൫1 minus టଵଶ + minus൯ߣ టଶ( టଵ + టଶ) minus టଵ ߣ
(477)
Avec (ߣହߣସߣଷߣଶߣ) sont des constants positifs et ( ଶ ଷ ସ ହ ) sont les inteacutegrales
des erreurs de poursuite de position tangage roulis et lacet respectivement
Chapitre4 COMMANDE ROBUST PAR LA THECHNIQUE DU BACKTEPPING
93
462 Reacutesultats de simulations
Nous preacutesentons dans cette partie les reacutesultats du controcircle Inteacutegrale Backstepping pour la
commande du drone X4 En conservant les mecircmes coefficients de gain utiliseacutes
preacuteceacutedemment
Avec ଵߣ = 5 ଶߣ = 5 ଷߣ = 4 ସߣ = 2 ହߣ = 5 ߣ = 2
Suivi de trajectoire sans perturbations
Les figures 412 413 414 415 et 416 repreacutesentent respectivement la reacutealisation en 3D
la commande lrsquoerreur les angles et les forces pour la trajectoire de connexions de type
demi-cercle Nous remarquons qursquoagrave lrsquoeacutequilibre la commande u3 est toujours veacuterifieacutee (u3
est approximativement eacutegal agrave mg) Ces figures montrent que la tacircche est reacutealiseacutee drsquoune
maniegravere tregraves satisfaisante en respectant les contraintes imposeacutee
Figure 412 La trajectoire de reacutefeacuterence et reacuteelle
0
5
10
15
0
5
10
150
5
10
15
Deacuteplacement suivant (x)Deacuteplacement suivant (y)
Deacutepla
cem
ent
suiv
ant
(z) Trajectoire reacuteel
Trajecoire reacutefeacuterence
Chapitre4 COMMANDE ROBUST PAR LA THECHNIQUE DU BACKTEPPING
94
Figure 413 Les commandes sans preacutesence de perturbation
Figure 414 Les erreurs sans preacutesence de perturbations
0 5 10 15 20 25 30 35 40
10
20
30u3(N
)
0 5 10 15 20 25 30 35 40-40
-20
0
20
u4(N
m)
0 5 10 15 20 25 30 35 40-40
-20
0
20
40
60
u5(N
m)
temps (s)
0 5 10 15 20 25 30 35 40
-2
0
2x 10
-3
z-e
rreur
(m)
0 5 10 15 20 25 30 35 40-4-20246
x 10-3
x-e
rreur
(m)
0 5 10 15 20 25 30 35 40-2
0
2x 10
-3
y-e
rreur
(m)
temps (s)
Chapitre4 COMMANDE ROBUST PAR LA THECHNIQUE DU BACKTEPPING
95
Figure 415 Les angles de tangage et de roulis sans preacutesence de perturbation
Figure 416 Les forces sans preacutesence de perturbation
0 5 10 15 20 25 30 35 40
-05
0
05
1angle
theta
(rad)
0 5 10 15 20 25 30 35 40-1
-05
0
05
1
angle
phi(r
ad)
temps (s)
0 5 10 15 20 25 30 35 400
5
10
F1
(N)
0 5 10 15 20 25 30 35 400
5
10
F2
(N)
0 5 10 15 20 25 30 35 400
5
10
F3
(N)
0 5 10 15 20 25 30 35 400
5
10
F4
(N)
temps (s)
Chapitre4 COMMANDE ROBUST PAR LA THECHNIQUE DU BACKTEPPING
96
Suivi de trajectoire avec perturbations
Dans cette partie nous testons numeacuteriquement la robustesse de commande retrouveacutee pour
assurer le suivi de trajectoire face agrave des perturbations dynamiques dues agrave linfluence du
vent suivant les diffeacuterents axes de mouvement
Figure 417 La trajectoire de reacutefeacuterence et reacuteelle en preacutesence de perturbation
Figure 418 Les erreurs en preacutesence de perturbations
05
1015
2025
30
-5
0
5
100
10
20
30
Deacuteplacement suivant (x)Deacuteplacement suivant (y)
Deacutepla
cem
ent
suiv
ant
(z)
Trajectoire reacuteelle
Trajectoire reacutefeacuterence
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90
0
02
04
z-e
rreur
(m)
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90
0
02
04
x-e
rreurr
(m)
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90
0
02
04
y-e
rreur
(m)
temps (s)
Chapitre4 COMMANDE ROBUST PAR LA THECHNIQUE DU BACKTEPPING
97
Figure 419 Les commandes en preacutesence de perturbations
Figure 420 Les angles de tangage et de roulis en preacutesence de perturbation
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90
-05
0
05
1
angle
theta
(rad)
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90
-1
-05
0
05
1
angle
phi(r
ad)
temps (s)
0 10 20 30 40 50 60 70 80 900
20
40
u3(N
)
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90-20
-10
0
10
u4(N
m)
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90-10
0
10
20
u5(N
m)
temps (s)
Chapitre4 COMMANDE ROBUST PAR LA THECHNIQUE DU BACKTEPPING
98
Figure 421 Les forces en preacutesence de perturbation
Figure 422 La trajectoire de reacutefeacuterence et reacuteelle en preacutesence de perturbation
-3-2
-10
12
3
-3-2
-10
12
30
10
20
30
40
50
Deacuteplacement suivant (x)Deacuteplacement suivant (y)
Deacutepla
cem
ent
suiv
ant
(z)
Trajectoire reacuteelle
Trajectoire reacutefeacuterence
0 10 20 30 40 50 60 70 80 900
5
10
F1
(N)
0 10 20 30 40 50 60 70 80 900
5
10
F2
(N)
0 10 20 30 40 50 60 70 80 900
5
10
F3
(N)
0 10 20 30 40 50 60 70 80 900
5
10
F4
(N)
temps (s)
Chapitre4 COMMANDE ROBUST PAR LA THECHNIQUE DU BACKTEPPING
99
Figure 423 La trajectoire de reacutefeacuterence et reacuteelle en preacutesence de perturbation
Figure 424 Comparaison entre le controcircleur bakstepping et Inteacutegral Backsteppingpour des connexions demi cercle en preacutesence de perturbation
-2-15
-1-05
005
115
-3-2
-10
120
1
2
3
4
5
6
x-displacementy-displacement
z-d
ispla
cem
ent
Trajectoire reacuteelle
Trajectoire reacutefeacuterence
05
1015
2025
30
-5
0
5
100
10
20
30
Deacuteplacement suivant (x)Deacuteplacement suivant (y)
Deacutepla
cem
ent
suiv
ant
(z)
Trajectoire reacuteelle IB
Trajectoire reacutefeacuterence
Trajectoire reacuteelle B
Chapitre4 COMMANDE ROBUST PAR LA THECHNIQUE DU BACKTEPPING
100
Dans les figures (417- 424) nous remarquons que la robustesse de la commande est
veacuterifieacutee numeacuteriquement En effet avec telles forces de reacutesistance la commande produit
des valeurs assez raisonnables assurant le suivi du drone agrave sa trajectoire de reacutefeacuterence avec
des erreurs ne deacutepassant pas 20 cm pour les variables x z et y Pour assurer les virages les
angles de tangage et de roulis varient au cours du suivi de trajectoire
47 Backstepping adaptative
La commande adaptative est une solution ougrave les paramegravetres sont inconnus ougrave
eacutevoluant dans le temps Dans ce cas ces paramegravetres sont estimeacutes par des lois drsquoadaptations
ces derniegraveres nous permettent drsquoapprocher les valeurs reacuteelles du systegraveme rendant ainsi la
commande dynamique deacutependante de lrsquoeacutevolution des paramegravetres [10 46 47 59]
Dans cette partie on va preacutesenter la deuxiegraveme proposition pour eacuteliminer lrsquoerreur statique
due agrave la preacutesence drsquoune perturbation Le scheacutema bloc simplifieacute de la commande du
backstepping adaptative appliqueacute au vol vertical est repreacutesenteacute par la figure (425)
Figure 425 Le scheacutema bloc du backstepping adaptative
471 Commande de lrsquoaltitude
La loi de commande geacuteneacutereacutee en utilisant la technique du backstepping avec estimateur
deacutebutera par la deacutefinition de la premiegravere valeur drsquoerreur de position [28]
Premiegravere eacutetape
e௭ଵ= ݖ minus z (478)
Ainsi que sa vitesse lineacuteaire est donneacutee par
e௭ଵ= ሶݖ minus ሶݖ (479)
On choisira la fonction de Lyapunov
V (e௭ଵ) =ଵ
ଶeଵଶ (480)
Perturbation
Backstepping adaptative(Commande de lrsquoaltitude)
Model du X4Reacutefeacuterence zzref
ଷݑ
-
+
Chapitre4 COMMANDE ROBUST PAR LA THECHNIQUE DU BACKTEPPING
101
Sa deacuteriveacutee
V(e௭ଵ) = e௭ଵe௭ଵ= e௭ଵ ሶݖ) minus (ሶݖ (481)
Soit xଶ le controcircleur virtuel sa loi de commande est deacutefinie par
xଶ = ሶݖ + k௭ଵe௭ଵ (482)
Deuxiegraveme eacutetape
En introduisant la nouvelle valeur drsquoerreur noteacutee e௭ଶ qui est eacutegale agrave la diffeacuterence entre la
vraie valeur de la vitesse ሶetݖ la commande virtuelle xଶ alors
e௭ଶ = ሶݖ + k௭ଵe௭ଵminus ሶݖ (483)
e௭ଵ = minus k௭ଵe௭ଵ + e௭ଶ (484)
A cette eacutetape la fonction de Lyapunov va ecirctre diffeacuterente de la preacuteceacutedente et ceci est due agrave
lrsquointroduction drsquoune force inconnue ௭ܣ (force de traineacutee) Lrsquoajout drsquoun estimateur est
neacutecessaire pour estimer ௭ܣ la fonction de Lyapunov est augmenteacutee
V (e௭ଵ e௭ଶ (ଵߛ =1
2eଵଶ +
ଵ
ଶeଶଶ +
1
భߛ2௭෪ܣ
ଶ (485)
Lrsquoajout de ce nouveau terme permet drsquoannuler lrsquoerreur due agrave lrsquoestimation de la force ௭ܣ
ߛଵ
est un paramegravetre de design qui doit toujours ecirctre positif
Ougrave ௭෪ܣ repreacutesente lrsquoerreur entre ௭ܣ et ௭ܣ (force estimeacutee)
௭෪ܣ = ௭ܣ minus ௭ܣ (486)
A lrsquoaide de ce choix on obtient
V൫e௭ଵ e௭ଶ ߛଵ൯= e௭ଵe௭ଵ + e௭ଶe௭ଶ+
ଵ
ఊ1
௭෪ܣ ௭ܣ (487)
Pour que le systegraveme soit stable il faut que sa deacuteriveacutee soit toujours neacutegative
V൫e௭ଵ e௭ଶ ߛଵ൯= e௭ଵ(minus k௭ଵe௭ଵ + e௭ଶ)+ e௭ଶ (k௭ଵ(minusk௭ଵe௭ଵ + eଶ) minus +ሷݖ (ሷݖ +
1
భߛ௭෪ܣ ௭ܣ
(488)
= minus k௭ଵeଵଶ + eଶ ሷ+(1ݖ) minus kଵ
ଶ )e௭ଵ + k௭ଵeଶ minusߠݏ 3ݑemptyݏ
+ g +
ෝݖܣ
)
+1
భߛ௭෪ܣ ௭ܣ) minus
భߛ
eଶ ) (489)
La dynamique qui va ecirctre attribueacutee agrave ௭ܣ est baseacutee sur le fait qursquoelle doit annuler le terme
inconnu ௭ܣ
௭ܣ =ఊ1
e2ݖ (490)
Chapitre4 COMMANDE ROBUST PAR LA THECHNIQUE DU BACKTEPPING
102
Pour garantir la stabiliteacute de Lyapunov
ሷ+(1ݖ minus kଵଶ )e௭ଵ + k௭ଵeଶ minus
ߠݏ 3ݑ emptyݏ
+ g +
= minusk௭ଶeଶ (491)
La loi de commande qui stabilise le vol vertical est
ଷݑ =
ߠݏ emptyݏ+ሷݖ) g + e௭ଵ(1minusk௭ଵ
ଶ ) + eଶ(k௭ଵ + k௭ଶ) minusෝݖܣ
) (492)
La force ௭ܣ apparaicirct dans la commande ଷݑ et lrsquoeffet de celle-ci va se montrer dans les
reacutesultats de simulation
Nous suivons les mecircmes eacutetapes deacutecrites preacuteceacutedemment pour deacuteterminer les commandes du
drone X4 ce qui nous donne
⎩⎪⎪⎪⎨
⎪⎪⎪⎧ ௫ݑ =
௨యሷݔ) + (1 minus ௫ଵ
ଶ ) ௫ଵ minus ( ௫ଵ + ௫ଶ) ௫ଶ) minus
௬ݑ =
௨యሷݕ) + ൫1 minus ௬ଵ
ଶ ൯ ௬ଵ minus ( ௬ଵ + ௬ଶ) ௬ଶ) minus
ସݑ = +ߠ ఏଵ൫1 minus ఏଵଶ ൯minus ఏଶ ( ఏଵ + ఏଶ)
ହݑ = ݎempty + emptyଵ (1 minus emptyଵଶ ) minus emptyଶ ( emptyଵ + emptyଶ)
u = ψ
+eψଵ൫1 minus kψଵଶ ൯minus eψଶ(kψଵ + kψଶ )
(493)
ܣ ܣ sont les forces de reacutesistances estimeacutees suivants les axes x y respectivement
Leurs deacuteriveacutees sont deacutefinie par ܣ =ఊ2
e2ݔ ܣ =
ఊ3
e2ݕ
Avec ଶߛ et ଷߛ sont des constants positifs
472 Reacutesultats de simulations
Nous nous inteacuteressons dans cette partie aux tests de la robustesse du controcircleur
backstepping adaptative Nous reprenons les mecircmes tests effectueacutes par le controcircleur
Backstepping Nous traitons dans cette partie lrsquoexemple de la reacutealisation des connections
demi-cercles pour les mouvements z x y en preacutesence de perturbation
Avec les gains ଵ=10ߛ ଶ=20ߛ et ଷ=30ߛ
Chapitre4 COMMANDE ROBUST PAR LA THECHNIQUE DU BACKTEPPING
103
Figure 426 La trajectoire de reacutefeacuterence et reacuteelle en preacutesence de perturbation
Figure 427 Les commandes en preacutesence de perturbation
0 5 10 15 20 25 30 35 40 450
20
40
u3
(N)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45-40
-20
0
20
u4
(Nm
)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
-200
2040
u5
(Nm
)
temps (s)
02
46
810
1214
0
5
10
15
200
5
10
15
Deacuteplacement suivant (x)Deacuteplacement suivant (y)
Deacutepla
cem
ent
suiv
ant
(z)
Trajectoire reacuteelle
Trajectoire reacutefeacuterence
Chapitre4 COMMANDE ROBUST PAR LA THECHNIQUE DU BACKTEPPING
104
Figure 428 Les erreurs en preacutesence de perturbation
Figure 429 Les forces en preacutesence de perturbation
0 5 10 15 20 25 30 35 40 450
5
10
F1
(N)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 450
5
10
F2
(N)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 450
5
10
F3
(N)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 450
5
10
F4
(N)
temps (s)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45-01
0
01
02z-e
rreur
(m)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45-01
0
01
02
x-e
rreurr
(m)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45-01
0
01
02
y-e
rreur
(m)
temps (s)
Chapitre4 COMMANDE ROBUST PAR LA THECHNIQUE DU BACKTEPPING
105
Figure 430 Estimation des forces de traineacutee suivant les deacuteplacements zxy
La simulation agrave eacuteteacute faite sur le mecircme proceacutedeacute les figures (426-429) montrent
clairement que la loi de commande adaptative proposeacutees est stable malgreacute la preacutesence de
terme de perturbation lrsquoerreur statique est annuleacute et le suivi de la trajectoire est assureacute
nous pouvons voir aussi que la perturbation additionneacutee ne cause pas de problegraveme vis-agrave-vis
de la performance de la loi de commande cette derniegravere stabilise asymptotiquement les
principales erreurs du systegraveme En outre la figure (430) montre que ෩(erreur)ܣ converge
vers zeacutero ou encore ௫௬௭ܣ (estimeacutee) converge vers sa vraie valeur ௫௬௭ܣ (inconnue)
4 8 Commande Hybride
Depuis quelques anneacutees beaucoup de recherches ont eacuteteacute effectueacutees dans le domaine
de la commande des systegravemes non lineacuteaires Le mode glissant-backstepping fait partie de
ces nouvelles meacutethodes de controcircle celui-ci au mecircme algorithme que le backstepping mis
agrave part le deuxiegraveme sous systegraveme on remplace lrsquoerreur par la surface de glissement et la
commande comprend deux termes ݑ) = ݑ + (ݑ Un terme continu appeleacutee commande
eacutequivalente et un terme discontinu appeleacutee commande de commutation Le but de cette
proceacutedure est de garantir une stabiliteacute avant lrsquointroduction du mode glissant
0 5 10 15 20 25 30 35 40 450
5
10A
z-F
orc
e(N
))
0 5 10 15 20 25 30 35 40 450
5
10
Ax-F
orc
e(N
)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 450
5
10
Ay-F
orc
e(N
)
temps (s)
force estimeacutee
force reacuteelle
force estimeacutee
force reacuteelle
force estimeacutee
force reacuteelle
Chapitre4 COMMANDE ROBUST PAR LA THECHNIQUE DU BACKTEPPING
106
481 Application du mode glissant-Backstepping pour le drone X4
Dans cette partie on a utiliseacute le backstepping approche comme un algorithme
reacutecursif pour controcircler le drone X4 nous simplifions toutes les eacutetapes de calcul agrave propos
des erreurs et les fonctions de Lyapunov dans le chemin suivant
= ቐ
minusݔ ݔ isin [1 3 5 7 9 11]
minusݔ ሶ(ݔ ଵ) minus ( ଵ)
isin 2 4 6 8 1012
(494)
Avec gt 0 isin 112
ଵ
ଶ ଶ isin 1357911
et = (495)
( ଵ) +ଵ
ଶ ଶ isin 24681012
Nous allons appliquer cette meacutethode pour commander la dynamique de lrsquoaltitude z du
drone X4 les autres lois de commandes seront deacuteduites par les mecircmes proceacutedures et seront
donneacutee directement La premiegravere eacutetape dans ce controcircleur est similaire agrave celui de la
commande par backstepping agrave action inteacutegrale
Drsquoougrave la surface de glissement S est utiliseacute agrave la place de eଶ deacutefinis par
௭ = ௭ଶ = minusሶݖ ሶݖ minus ௭ଵ ௭ଵ minus ଵߣ ଵ (496)
Le choix de la de commande pour une surface de glissement attractive se pose sur la
deacuteriveacutee de lrsquoeacutequation (496) doit satisfaire la condition ൫SS lt 0൯
௭ = minus ଵݏ )ݐ ௭) minus ଶ ௭
= minusሷݖ ሷݖ minus ௭ଵ ሶ௭ଵ minus ଵߣ ௭ଵ
=ଵ
emptyݏ ଷݑߠݏ minus minus ሷݖ minus ௭ଵ ሶ௭ଵ minus ଵߣ ௭ଵ (497)
La loi de commande qui stabilise le vol vertical est
ଷݑ =
௦empty௦ఏ൫ݖሷ + + ௭ଵ ሶ௭ଵ + ଵߣ ௭ଵ minus ଵݏ )ݐ ௭) minus ଶ ௭൯ (498)
Avec ଵ et ଶ sont des gains positives
Chapitre4 COMMANDE ROBUST PAR LA THECHNIQUE DU BACKTEPPING
107
Analyse de la stabiliteacute
Afin de prouver la stabiliteacute la fonction de Lyapunov (e௭ଵ S௭) est choisie comme suite
(e௭ଵ S௭) =ଵ
ଶe௭ଵଶ + ௭
ଶ + ଵߣ ଵଶ ൧ (499)
Afin de prouver la stabiliteacute asymptotique du systegraveme sur lensemble nous avons besoin
dexprimer (471) comme suit
ሶ௭ଵ = minus ௭ minus ௭ଵ ௭ଵ minus ଵߣ ଵ (4100)
La deacuteriveacutee de lrsquoeacutequation 499 donne
= ଵߣ ௭ଵ ଵ + ௭ଵ ሶ௭ଵ + ௭௭ (4101)
Par lrsquointroduction des eacutequations drsquoerreurs de poursuite en vitesse de ௭ଵ et ௭ donne
= minus ௭ଵ ௭ଵଶ minus ଵ ௭
ଶ minus |ଵݍ ௭| le 0 (4102)
Avec
௭ = minus ଵݏ )ݐ ௭) minus ଶ ௭ + ௭ଵ (103)
La stabiliteacute Asymptotique Global est eacutegalement assureacutee agrave partir de la fonction et le fait
que ( ௭ଵ ௭) lt 0 forall( ௭ଵ ௭) ne 0 and (0) = 0 et en appliquant le theacuteoregraveme de LaSalle
Les mecircmes eacutetapes sont utiliseacutees pour deacuteduire les commandes ux uy u4 u5 et u6 [88]
⎩⎪⎪⎨
⎪⎪⎧ ௫ݑ =
௨యሷݔ) + ௫ଵ ሶ௫ଵ+ߣଶe୶ଵ minus ଷݏ )ݐ ௫) minus ସ ௫)
௬ݑ =
௦ఏ௨య൫ݕሷ + ௬ଵ ሶ௬ଵ + ଷe୷ଵߣ minus ହݏ ൫ݐ ௬൯minus ௬൯
ସݑ = ߠ + ఏଵ ሶఏଵ + ସeఏଵߣ minus ݏ )ݐ ఏ) minus ఏ
ହݑ = empty + emptyଵ ሶemptyଵ + ହeemptyଵߣ minus ଽݏ )ݐ empty) minus ଵ empty
ݑ = + టଵ ሶటଵ + eటଵߣ minus ଵଵݏ ൫ݐ ట൯minus ଵଶ ట
( 4104)
Avec ( ଵ ଶ ଷ ସ ହ ଽ ଵ ଵଵ ଵଶ ) sont des gains positives
Ougrave ௫ ௬ ఏ empty et ట sont les surfaces de glissement deacutefinies par le systegraveme drsquoeacutequation
suivant
Chapitre4 COMMANDE ROBUST PAR LA THECHNIQUE DU BACKTEPPING
108
⎩⎪⎪⎨
⎪⎪⎧
௫ = e୶ଶ = x minus x minus k୶ଵe୶ଵ minus ଶߣ ଶ
௬ = e୷ଶ = y minus y minus k୷ଵe୷ଵ minus ଷߣ ଵ
ఏ = eఏଶ = minusߠ ߠ minus kఏଵeఏଵ minus ସߣ ସ
empty = eemptyଶ = empty minus empty minus kemptyଵeemptyଵ minus ହߣ ହ
ట = eటଶ = minus minus kటଵeటଵ minus ߣ
(4105)
482 Reacutesultats de simulation
Lrsquoobjectif de cette simulation est de montrer la robustesse de la loi de commande
lorsque qursquoune perturbation externe est appliqueacutee
Les paramegravetres de simulation sont
ଵ =10 ଷ = 1 ହ = 10 = 2 ଽ = 10 ଵଵ = 2 ௭ଵ =8 ଶ = 5 ௫ଵ = 5 ସ =
5 ௬ଵ = 4 = 2 kemptyଵ = 55 k = 2 ఏଵ = 75 ଵ = 10 టଵ = 2 ଵଶ = 4
ଵߣ = 5 ଶߣ = 5 ଷߣ = 4 ସߣ = 2 ହߣ = 5 ߣ = 2
Les figures 431 437 et 438 montrent que les deux commandes ont permis le suivi des
trajectoires deacutesireacutees La diffeacuterence entre les deux commandes se voit dans la figure 436 ougrave
les erreurs de suivi sont moins importantes en utilisant la commande robuste backstepping-
mode glissant que la commande inteacutegrale backstepping Les simulations montrent donc
que la commande hybride est plus efficace que la commande Inteacutegrale Backstepping IB
Figure 431 La trajectoire de reacutefeacuterence et reacuteelle en preacutesence de perturbation
0
5
10
15
0
5
10
150
5
10
15
x-displacementy-displacement
z-d
ispla
cem
ent
Trajectoire reacuteelle
Trajectoire reacutefeacuterence
Chapitre4 COMMANDE ROBUST PAR LA THECHNIQUE DU BACKTEPPING
109
Figure 432 Les commandes en preacutesence de perturbation
Figure 433 Les erreurs en preacutesence de perturbation
0 5 10 15 20 25 30 35 40 450
20
40
u3(N
)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45-40
-20
0
20
u4(N
m)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
-200
2040
u5(N
m)
temps (s)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45-01
0
01
02
z-e
rreur
(m)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45-01
0
01
02
x-e
rreurr
(m)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45-01
0
01
02
y-e
rreur
(m)
temps (s)
Chapitre4 COMMANDE ROBUST PAR LA THECHNIQUE DU BACKTEPPING
110
Figure 434 Les angles en preacutesence de perturbation
Figure 435 Les forces en preacutesence de perturbation
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
-05
0
05
1
angle
theta
(rad)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
-1
-05
0
05
1
angle
phi(r
ad)
temps (s)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 4505
10
F1
(N)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 450
5
10
F2
(N)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 450
5
10
F3
(N)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 450
5
10
F4
(N)
temps (s)
Chapitre4 COMMANDE ROBUST PAR LA THECHNIQUE DU BACKTEPPING
111
Figure 436 Les erreurs de suivi en z x et y pour les deux commandes
Figure 437 La trajectoire de reacutefeacuterence et reacuteelle en preacutesence de perturbation
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45-01
0
01
02
z-e
rre
ur
(m)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45-01
0
01
02
x-e
rre
urr
(m)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45-01
0
01
02
y-e
rre
ur
(m)
temps (s)
IB
IBMG
IB
IBMG
IB
IBMG
0
5
10
15
0
5
10
150
5
10
15
x-displacementy-displacement
z-d
ispla
cem
ent
Trajectoire reacuteelle
Trajectoire reacutefeacuterence
Chapitre4 COMMANDE ROBUST PAR LA THECHNIQUE DU BACKTEPPING
112
Figure 438 La trajectoire de reacutefeacuterence et reacuteelle en preacutesence de perturbation
49 Conclusion
Nous avons preacutesenteacute dans ce chapitre une contribution agrave lrsquoapplication de la commande
par backstepping et la commande hybride backstepping mode glissant afin de stabiliser le
drone X4 On a proposeacute un algorithme de commande qui stabilise le drone en utilisant la
technique du backstepping et en se basant sur la meacutethode directe de Lyapunov Cette
technique a eacuteteacute appliqueacutee avec succegraves pour concevoir des algorithmes de commandes qui
assurent la poursuite de ces trajectoires En effet en preacutesence drsquoune perturbation un
comportement peu deacutesirable et observeacute des erreurs statiques persistent Afin drsquoeacuteliminer
cet inconveacutenient on a eacutetudieacute les deux approches la premiegravere consiste agrave introduire drsquoune
maniegravere virtuelle une action inteacutegrale qui permet une nette ameacutelioration des performances
et la deuxiegraveme approche est le backstepping adaptatif lrsquoideacutee consiste agrave estimer la force de
traineacutee comme perturbation et suivant la proceacutedure du backstepping le controcircleur prend
en compte la perturbation et lrsquoeffet de celle-ci est eacutelimineacute Les reacutesultats obtenus ont montreacute
lrsquoefficaciteacute de lrsquoutilisation de ce type de commande et ceci est deacutemontreacute par les bonnes
performances du controcircleur (rejet de perturbation)
Pour renforcer la robustesse face aux perturbations externes des deux commandes une
commande hybride entre le mode glissant et le backstepping inteacutegrale agrave eacuteteacute proposeacutee afin
-2-15
-1-05
005
115
-3
-2
-1
0
1
20
1
2
3
4
5
6
x-displacementy-displacement
z-d
ispla
cem
ent
Trajectoire reacuteelle
Trajectoire reacutefeacuterence
Chapitre4 COMMANDE ROBUST PAR LA THECHNIQUE DU BACKTEPPING
113
drsquoameacuteliorer les performances dynamique et statique Nous avons preacutesenteacute dans cette partie
la synthegravese et la stabiliteacute de la commande hybride que nous avons appliqueacutee pour le drone
X4
Les reacutesultats de simulation ont confirmeacute les bonnes performances du controcircleur utiliseacute qui
assure sous certaines conditions la poursuite de la trajectoire
CONCLUSION GENERALE ET PRESPECTIVE
113
CONCLUSION GENERALE ETPRESPECTIVE
CONCLUSION GENERALE ET PRESPECTIVE
114
CONCLUSION GENERALE ET PRESPECTIVE
Durant ces derniegraveres anneacutees la robotique aeacuterienne a fait de grand progregraves Cet
inteacuterecirct est justifieacute par les avanceacutees technologiques reacutecentes qui rendent possibles la
conception et la construction des mini-drones et par le domaine drsquoapplication civile et
militaire tregraves vaste de ces aeacuteronefs Les drones sont classifieacutes en trois cateacutegories principales
les avions les dirigeables et les heacutelicoptegraveres Le travail reacutealiseacute dans cette thegravese rentre dans
ce cadre de recherche sur la commande de mini-veacutehicules aeacuteriens capables de reacutealiser du
vol stationnaire et en particulier du quadrirotor Notre objectif est de deacutevelopper des
commandes avanceacutees drsquoune part et drsquoautre part de proposer des meacutethodes drsquohybridations
entre ces techniques de commande assurant la stabiliteacute du drone (X4) et leurs poursuites
aux trajectoires planifieacutees
Nous nous sommes tout drsquoabord inteacuteresseacutes agrave attribuer au drone un modegravele
repreacutesentatif qui reflegravete sa dynamique de translation et celle de rotation en neacutegligeant les
forces aeacuterodynamiques et les effets gyroscopiques Ce modegravele a eacuteteacute eacutelaboreacute en utilisant la
meacutethode Newtonienne en se basant sur quelques hypothegraveses simplificatrices adopteacutees en
litteacuterature
Nous avons eacutelaboreacute dans un premier temps la synthegravese drsquoune loi de commande agrave
structure variable tel que le mode glissant Dans ce type de commande lrsquoapproche non
lineacuteaire a eacuteteacute traiteacutee et preacutesente lrsquoavantage de se rapprocher du systegraveme reacuteel sans passer
neacutecessairement par le modegravele lineacuteaire Cette commande a donneacute des reacutesultats inteacuteressants
concernant la poursuite de trajectoires simples telles que le suivi de lignes droites et
complexes (demi-cercle arcs hellip)
En preacutesences des perturbations des erreurs statiques persistent Une structure de
reacuteglage par mode de glissement agrave action inteacutegrale a eacuteteacute aussi preacutesenteacutee afin drsquoobtenir des
meilleurs performances Les reacutesultats de simulation nous montrent la robustesse et la
performance de ce type de reacutegulateur Cependant le signal de commande obtenu par ce
reacutegulateur preacutesente des variations brusques dues au pheacutenomegravene de broutements
(chatterring)
Afin de reacuteduire les effets du pheacutenomegravene de broutement et drsquoameacuteliorer davantage
les performances de stabilisation du X4 une hybridation entre la logique floue et le mode
de glissement agrave action inteacutegrale a eacuteteacute proposeacutee
CONCLUSION GENERALE ET PRESPECTIVE
115
Une autre commande non lineacuteaire a eacuteteacute proposeacutee agrave savoir un reacutegulateur de type
backstepping Ce reacutegulateur est baseacute sur une reacutecente meacutethodologie faisant appel agrave la
fonction de Layapunov La synthegravese a conduit agrave un controcircleur non lineacuteaire globalement
asymptotiquement stable Cette technique a eacuteteacute appliqueacutee avec succegraves pour concevoir des
algorithmes de commandes qui assurent le deacuteplacement du drone drsquoune position initiale
vers une position drsquoeacutequilibre deacutesireacutee Le reacutegulateur backstepping dont la conception est de
type PD preacutesente lrsquoinconveacutenient de la persistance de lrsquoerreur statique en preacutesence de
perturbation Pour y remeacutedier deux solutions ont eacuteteacute proposeacutees agrave savoir lrsquoajout drsquoune
action inteacutegrale au controcircleur virtuel (la commande inteacutegrale backstepping) et la deuxiegraveme
revient agrave estimer la perturbation (la commande backstepping adaptatif) cette approche a la
flexibiliteacute de speacutecifier les structures finales deacutesirables pour les lois des paramegravetres estimeacutes
Une approche drsquohybridation entre le backstepping inteacutegrale et le mode glissant a eacuteteacute
preacutesenteacutee pour augmenter davantage les performances de controcircleur
Les reacutesultats obtenus agrave ce propos sont assez motivant pour lancer une concreacutetisation
pratique de ces commandes
Outre les perspectives de travail mentionneacutees dans les conclusions des diffeacuterentes
parties de ce document une extension des travaux effectueacutes dans le cadre de cette thegravese
peut ecirctre reacutealiseacutee en consideacuterant les points suivants
Les approches proposeacutees ont eacuteteacute adapteacutees pour lrsquoacuteelaboration de lois de guidage-pilotage
en utilisant un niveau de modeacutelisation de la dynamique drsquoun drone miniature `agrave voilure
tournante baseacute sur une repreacutesentation de type meacutecanique du solide Une extension de ces
travaux peut consister en lrsquoapplication des meacutethodes proposeacutees agrave des modegraveles plus
deacutetailleacutes repreacutesentatifs drsquoune configuration de veacutehicule donneacutee et prenant en compte une
repreacutesentation de son aeacuterodynamique
Enfin une analyse de la robustesse des approches proposeacutees peut ecirctre eacutetudieacutee en
poursuite agrave cette thegravese afin de garantir dans quelle mesure les proprieacuteteacutes de stabiliteacute
eacutetablies sont conserveacutees en preacutesence drsquoerreurs de modegraveles en preacutesence de perturbations
impreacutevisibles telles que les rafales de vent En effet comme perspective ces conditions
reacuteelles peuvent ecirctre consideacutereacutees dans lrsquoeacutelaboration de la commande dans le but
drsquoaugmenter le domaine de fonctionnement du quadrirotor (agrave lrsquointeacuterieur ou bien agrave
lrsquoexteacuterieur) Dans le mecircme esprit nous nrsquoavons pas consideacutereacute le problegraveme des retards de
mesure ou de communication entre le drone et la base de controcircle Il nous semble
envisageable de consideacuterer ce problegraveme en se basant sur les reacutesultats obtenus pour la
CONCLUSION GENERALE ET PRESPECTIVE
116
stabilisation par commande agrave structure variable de systegravemes avec retard et la stabilisation
avec la commande hybride
Le choix des paramegravetres de reacuteglage de la commande non-lineacuteaire proposeacutee pour la
stabilisation du quadrirotor nrsquoest pas optimiseacute en lrsquoeacutetat actuel Il est par conseacutequent tout agrave
fait envisageable drsquooptimiser ces choix dans le but drsquoameacuteliorer le comportement global du
systegraveme de renforcer la stabiliteacute ou encore drsquoameacuteliorer la robustesse de la commande
ANNEXE
113
ANNEXES
ANNEXE
117
ANNEXE A
A1 Theacuteorie de lyapunov
Le concept du controcircle par Backstepping est baseacute sur la theacuteorie de Lyapunov Lebut est de construire de proche en proche une loi de commande ramenant le systegraveme versdes eacutetats deacutesireacutes En drsquoautres termes on souhaite faire de lrsquoeacutetat deacutesireacute un eacutetat drsquoeacutequilibrestable en boucle fermeacuteeDans cette section nous deacutefinissons la notion de la stabiliteacute au sens de Lyapunov et nouspassons en revue les principaux outils utilisables pour prouver la stabiliteacute drsquoun systegraveme nonlineacuteaire Cette section est inspireacutee essentiellement des travaux de Khalil auquel nous nousreferons pour les preuves des theacuteoregravemes de stabiliteacute [89]On considegravere le systegraveme non lineacuteaire drsquoeacutecrit par lrsquoeacutequation diffeacuterentielle suivante
=ሶݔ (ݐݔ) A1Ougrave f est une fonction deacutefinie de ℝtimesℝା rarr ℝ x isin Rn est le vecteur drsquoeacutetat du systegravemeUn eacutetat xe du systegraveme est un point drsquoeacutequilibre stable srsquoil satisfait
(ݔ) = 0 A2Les proprieacuteteacutes de stabiliteacute de ce point drsquoeacutequilibre sont caracteacuteriseacutees par la deacutefinition ci-dessous
Deacutefinition A1 (Stabliteacute au sens de Lyapunov)Un point drsquoeacutequilibre x = x du systegraveme (A1) est ndash un eacutetat drsquoeacutequilibre stable si et seulement si pour tout ε gt 0 il existe δ(ε) gt 0 tel que
(0)ݔ minus ݔ lt ε ⟹ (ݐ)ݔ minus ݔ lt ߝ leݐ forall 0ndash un eacutetat drsquoeacutequilibre asymptotiquement stable srsquoil est stable et srsquoil existe ߜ gt 0 tel que
(0)ݔ minus ݔ lt ⟹ߜ lim௧⟶ஶ
(ݐ)ݔ = ݔ
ndash un eacutetat drsquoeacutequilibre globalement asymptotiquement stable (GAS) si pour tout eacutetat initialx0 x(0) isin ℝ il est stable et
lim௧rarrஶ
(ݐ)ݔ = (0)ݔ forall ݔ
On introduit maintenant quelques concepts usuels de fonctions de LyapunovDeacutefinition A2ndash Une fonction scalaire V (x) est deacutefinie positive dans une boule de Rn de rayon K si 1) V (x) gt 0 forall x ne 0 et x isin ℝ୬ x lt K2) V (x) = 0 pour x = 0ndash La fonction scalaire V (x) est deacutefinie neacutegative dans une boule de ℝ୬ de rayon K si 1) V (x) lt 0 forall x ne 0 et x isin ℝ୬ x lt K2) V (x) = 0 pour x = 0ndash La fonction scalaire (ݔ) est semi-deacutefinie positive si (ݔ) ge 0
Theacuteoregraveme A3 Consideacuterons le systegraveme deacutecrit par lrsquoeacutequation (A1) avec (0) = 0 Soit (ݔ) une fonction scalaire deacutefinie positive non borneacutee continue et diffeacuterentiable Si
V(x) = Vx f(x) lt 0 x ne 0 (A3)
alors x = 0 est un point drsquoeacutequilibre globalement asymptotiquement stable
ANNEXE
118
La fonction deacutefinie positive (ݔ) satisfaisant (ݔ) le 0 est appeleacutee fonction de Lyapunovdu systegraveme
Theacuteoregraveme A4 (LaSalle-Yoshizawa) [90]
Soit =ݔ 0 un point drsquoeacutequilibre de (A1) et on suppose que f est localement Lipschitz en xSoitV ℝ rarr ℝା une fonction continue et diffeacuterentiable deacutefinie positive radialement nonborneacutee telle que
=ௗ
ௗ௫(ݔ) (ݐݔ) le minus (ݔ) le 0 leݐ forall 0 niݔ ℝ (A4)
ougrave (ݔ) est une fonction continue alors toutes les solutions de (A1) sont globalementuniformeacutement borneacutees et satisfont
lim௧rarrஶ
( ((ݐ)ݔ) = 0 (A5)
de plus si (ݔ) est deacutefinie positive alors le point drsquoeacutequilibre ݔ = 0 est globalementuniformeacutement asymptotiquement stable
A2 Commande par la meacutethode de Lyapunov
Nous allons donner dans cette section une meacutethode de synthegravese drsquoune loi de commandebaseacutee sur la theorie de Lyapunov On considegravere le systegraveme non lineacuteaire drsquoeacutecrit par
=ሶݔ f(x u) (A6)Ougrave x est lrsquoeacutetat du systegraveme et ݑ est lrsquoentreacutee de commandeLrsquoobjectif du controcircle est de ramener le vecteur drsquoeacutetat agrave lrsquoorigine et que lrsquoorigine devienneun point drsquoeacutequilibre asymptotiquement stable Lrsquoentreacutee de commande est choisie de laforme
ݑ = (ݔ)ߙ (A7)La dynamique du systegraveme en boucle fermeacutee devient
=ሶݔ ((ݔ)ߙݔ) (A8)
Pour montrer que le systegraveme est GAS nous devons construire une fonction de Lyapnuov
(ݔ) satisfaisant les conditions du theacuteoregraveme (A3) Lapproche la plus simple pour trouver
(ݔ)ߙ est de seacutelectionner une fonction deacutefinie positive (ݔ) radialement non borneacutee et
puis choisir (ݔ)ߙ tel que
= (ݔ)ݔ ((ݔ)ߙݔ) lt 0 x ne 0 (A9)On doit faire un choix adeacutequat de pour veacuterifier (A9) Ce qui nous amegravene agrave donner ladeacutefinition suivante
Deacutefinition A5 (Fonction de Lyapunov candidate) Une fonction (ݔ) scalaire lissedeacutefinie positive et radialement non borneacutee est appeleacutee fonction de Lyapunov candidatepour le systegraveme (A6) si
inf௨ݔ (ݑݔ) lt 0 x ne 0 (A10)
Etant donneacutee une (fonction de Lyapunov candidate (CLF)) pour le systegraveme (A8) on peuttrouver une loi de controcircle stabilisant globalement le systegraveme En effet lrsquoexistence de
ANNEXE
119
cette loi est eacutequivalent de (CLF) Cela veut dire que pour toute loi de controcircle stabilisanteon peut trouver une (CLF) correspondante et vis-versa Cela est veacuterifie dans le theacuteoregraveme[91] Pour illustrer cette approche on considegravere le systegraveme suivant
=ሶݔ (ݔ) + ݑ(ݔ) (A11)Ce systegraveme est affine en la commande On suppose que la (CLF) du systegraveme est connueSontag a proposeacute dans [92] un choix particulier de loi de controcircle donneacutee par
ݑ = (ݔ)ߙ = minusାradicమାమ
(A12)
Ougrave= (ݔ)ݔ (ݔ)= (ݔ)(ݔ)ݔ
Cette loi de commande nous donne
= )(ݔ)ݔ (ݔ) + (ݑ(ݔ) = + ൬minusାradicమାమ
൰= minusradic ଶ + ଶ (A13)
Elle rend donc lrsquoorigine (GAS) Lrsquoeacutequation (A12) est connue sous le nom de la formule deSontag Freeman et Primbs [93] ont propose une approche ou la commande u est choisiepour minimiser Lrsquoeffort du controcircle neacutecessaire pour satisfaire
le minus (ݔ) (A14)
A3 Eacuteleacutements theacuteoriques des modes glissantsOn introduit des eacuteleacutements theacuteoriques neacutecessaires agrave la compreacutehension de la
commande par modes glissants Plus particuliegraverement nous rappelons les conditionsdrsquoexistence du mode glissant
Figure A1 ndash Comportement en dehors de la surface de glissement
A31 Existence du mode glissementA311 Deacutefinitions
Nous consideacuterons le systegraveme non lineacuteaire drsquoeacutecrit par
=ሶݔ (ݐݑݔ) (A15)Ougrave ndash x est lrsquoeacutetat du systegraveme eacutevoluant dans une varieacuteteacute diffeacuterentiable caracteacuterisant le domainephysique de fonctionnement du systegraveme
S = 0
ANNEXE
120
ndash f le champ de vecteurs complet dans ℝ
ndash u la commande ou lrsquoentreacutee du systegraveme appartient a Ω inclut dans ℝ veacuterifiant
(ݐݔ)ݑ = ൜(ݐݔ)ାݑ ݏ (ݐݔ) ≺ 0
(ݐݔ)ݑ ݏ (ݐݔ) ≻ 0
Cette commande discontinue est appeleacutee Commande a Structure Variable(CSV) ou biencommande par modes glissantsLa fonction S(x t) est appeleacutee surface de glissement elle partage lrsquoespace en deux partiesdistinctes Un systegraveme est deacutefini comme eacutetant un systegraveme a structure variable commutantentre deux structures si par on deacutefinit deux champs de vecteurs ା (x u t) (x u t) detel sorte que le systegraveme (A15) puisse ecirctre eacutecrit sous la forme ci-dessous
=ሶݔ (ݐݑݔ) = (ݐݔ) = ൜ା(ݐݔ) ݏ (ݐݔ) ≺ 0
(ݐݔ) ݏ (ݐݔ) ≻ 0
Pour eacutevoquer lrsquoexistence du mode de glissement il faut que la surface de commutation(ݐݔ) soit attractive des deux cotes Lrsquointerpreacutetation geacuteomeacutetrique eacutequivaut agrave dire que les
deux vecteurs vitesses + et minus doivent ecirctres dirigeacutes vers la surface de commutationCette notion drsquoattractiviteacute peut ecirctre locale ou globale (figure (A1))
A32 Conditions drsquoexistence du mode glissantLe theacuteoregraveme ci-dessous donne les conditions drsquoexistence du mode glissant
Theacuteoregraveme A6 Un domaine Dg de dimension (n-1) est dit un domaine de glissement si etseulement si dans un domaine Ω contenant Dg il existe une fonction de Lyapunov ( (ݐݔ gt 0 continucircment diffeacuterentiable par rapport agrave tous ses arguments et satisfaisantles conditions suivantes
i) ( (ݐݔ gt 0 est deacutefinie positive par rapport a S
൜( (ݐݔ ≻ 0 (ݐݔ0) = 0
ݏ ne 0
ii) Sur la sphegravere = ρ forall x isin Ω forall t gt 0 les relations suivantes sont veacuterifieacutees ii minus a) inf
ௌୀV ( (ݐݔ = ℎ ℎ gt 0
ii minus b) supௌୀ
V ( (ݐݔ = ܪ ܪ gt 0
Avec ℎ et ܪ deacutependant de S et ℎ ne 0 si ρ ne 0
iii) La deacuteriveacutee totale de ( (ݐݔ le long des trajectoires du systegraveme a unmaximum neacutegatif pour tout x de agrave lrsquoexclusion de la surface de commutationpour laquelle la commande u nrsquoest pas deacutefinie et la deacuteriveacutee de ( (ݐݔnrsquoexiste pas
iv) Il est possible de choisir une fonction de Lyapunov baseacutee sur la physique dusystegraveme (cas des robots manipulateurs par exemple) mais il nrsquoexiste aucune
ANNEXE
121
meacutethode geacuteneacuterale qui permette de trouver une fonction de Lyapunov Pourcertaines classes de systegravemes une approche possible consiste agrave choisir lesformes suivantes
⎩⎪⎨
⎪⎧ ݔ) (ݐ =
ଶ
2
ݔ) (ݐ =ସ
4 ݔ) (ݐ = | |
Pour illustrer le reacutesultat fourni par le theacuteoregraveme preacuteceacutedent nous optons pour une
fonction de Lyapunov de type quadratique ݔ) (ݐ =ௌమ
ଶ Pour que la surface soit
attractive sur tout le domaine il suffit queௗ
ௗ௧ ݔݐ) ) lt 0 Ceci eacutequivaut agrave
SS˙ lt 0 (A16)
Cette condition(A16) permet drsquoassurer une convergence asymptotique vers lasurface S = 0 Tregraves souvent cette condition est remplaceacutee par
SS˙ le minusη |S| (A17)
Ougrave η est une quantiteacute strictement positive Cette condition assure la convergence vers S =0 en un temps fini tfini
ANNEXE
122
ANNEXE B
La commande mode glissant preacutesente certaine limites par exemple le problegraveme de
chattering en preacutesence de la fonction sgn (voir figure si-dessous)
Figure B1 La commande u3 en cas des connexions droite
Dans cette partie nous testons numeacuteriquement la performance du vecteur de commande
(mode glissant) deacuteveloppeacute preacuteceacutedemment dont les conditions initiales sont choisis
diffeacuterentes de zeacutero
Figure B2 La trajectoire de reacutefeacuterence et reacuteelle en cas drsquoun cocircne
0 1 2 3 4 5 6 7 80
5
10
15
20
25
30
35
40
U3(N
)
Temps (s)
-2-15
-1-05
005
115
-3
-2
-1
0
1
20
1
2
3
4
5
6
Deacuteplacement suivant (x)
X 1
Y 1
Z 2984
Deacuteplacement suivant (y)
Deacutepla
cem
ent
suiv
ant
(z)
Trajectoire reacuteelle
Trajectoire reacuteference
ANNEXE
123
Figure B3 Les forces en cas drsquoun cocircne
Figure B4 Les angles en cas drsquoun cocircne
0 5 10 15 20 25 30 35 40 450
5
10
F1
(N)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 450
5
10
F2
(N)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 450
5
10
F3
(N)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 4505
10
F4
(N)
temps (s)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
-05
0
05
1
angle
theta
(rad)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
-1
0
1
angle
phi(r
ad)
temps (s)
ANNEXE
124
Figure B5 La trajectoire de reacutefeacuterence et reacuteelle en cas des demi-cercles
Figure B6 Les forces en cas des demi-cercles
0 5 10 15 20 25 30 35 40 450
5
10
F1
(N)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 450
5
10
F2
(N)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 450
5
10
F3
(N)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 450
5
10
F4
(N)
temps (s)
0
5
10
15
0
5
10
15
200
2
4
6
8
10
12
Deacuteplacement suivant (x)
X 1
Y 1
Z 3
Deacuteplacement suivant (y)
Deacutepla
cem
ent
suiv
ant
(z)
Trajectoire reacuteelle
Trajectoire reacutefeacuterence
ANNEXE
125
Figure B7 Les forces en cas des demi-cercles
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
-05
0
05
1
angle
theta
(rad)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
-1
-05
0
05
1
angle
phi(r
ad)
temps (s)
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Reacutesumeacute
Lrsquointeacuterecirct scientifique de la thegravese est lrsquoeacutetude de stabilisation avec planification de trajectoire pour undrone agrave quatre heacutelices Apregraves la modeacutelisation du systegraveme plusieurs commandes ont eacuteteacute reacutealiseacutees pour lapoursuite de trajectoires simples telles que le suivi de lignes droites et complexes La stabiliteacute descontrocircleurs utiliseacutes a eacuteteacute veacuterifieacutee ainsi que la robustesse en preacutesence des perturbations
Dans la premiegravere partie nous nous somme pencheacutes sur la synthegravese drsquoun controcircleur par mode glissant (SMC)pour la stabilisation du drone X4 Cependant le signal de commande obtenu par cette technique preacutesentedes variations brusques dues au pheacutenomegravene de broutement Afin de reacuteduire les effets de ce pheacutenomegravene etdrsquoameacuteliorer davantage les performances de controcircle du X4 une hybridation entre la logique floue et le modede glissement a eacuteteacute proposeacutee
Par la suite nous avons preacutesenteacute la technique de commande du backstepping pour la stabilisation du droneCe reacutegulateur est baseacutee sur une reacutecente meacutethodologie faisant appel agrave la fonction da lyapunov Le controcircleurbackstepping dont la conception est de type PD preacutesente lrsquoinconveacutenient de la persistance de lrsquoerreur statiqueen preacutesence de perturbation Pour y remeacutedier des solutions ont eacuteteacute proposeacutees agrave savoir la commande InteacutegralBackstepping la commande backstepping adaptatif et une hybridation entre le mode glissant a eacuteteacute proposeacuteeafin drsquoameacuteliorer les performances de reacuteglage
Mot-cleacutes Drone quadrirotor commande par mode glissant commande par backstepping commandehybride stabiliteacute
Abstract
The scientific interest of this thesis work can be mainly seen in the study of the stabilization with
path planning for a four propellers UAV type Starting with dynamical modeling the system several
controllers were designed for the tracking of simple trajectories such as the follow-up of straight lines and
more complex ones The stability of the proposed controllers was checked as well as their robustness in the
presence of various disturbances
In the first part we focused on the synthesis of a sliding mode controller (SMC) for the stabilization of an X4UAV However the control signal obtained from this technique shows sudden undesirable variations due tothe phenomenon of chattering To reduce the effects of this phenomenon and to further improve the controlperformance applied to the X4 hybrid technique between fuzzy logic and sliding mode has been proposed
Subsequently we introduced the backstepping control technique to stabilize the drone This controllerdesign relies on a recent methodology using the Lyapunov function The backstepping controllerrsquos structurewhich is of PD type has the disadvantage of the persistence of the static error in the presence of disturbancesTo overcome this drawback some solutions have been proposed namely Integral Backstepping control theadaptive backstepping technique and its hybridization with the sliding mode control has been applied toimprove the control performances
Keywords quadrocopter drone sliding mode control backstepping control hybrid control stability and
robustness
الملخص
بدونودواراتبأربعودفعـھارفعـھایتمعمودیـة التيطائـرة في التحـكموالنمـذجةدراسـةإلىتطرقـناھذا في عمـلنا
تخراجـاسإلى تستندواحدةللتحكم خطیتینغیرتقنـیتین على اعتمدناقدوالنموذجلاستخراجقانون نیوتنطیاراستعملنا في التحكمإظھار
تحقـیقھوھذامنوالھدفباكیستیبنإجراءاتإلىالأخرىوالإنزلاق لات حا نوعمنحصینالنموذج أثناءطیاربدونطائرةالاستقرارو
الریاحتأثیر حالة ومسار معین رصد حالة في التقنـیات المعتـمدة متانة وفعالیةالتجارب نتائج بینتوقدمسارھارصدواشتغالھا
الباكستیبن تقنیةالانزلاق حالاتنوعمنحصینتحكم دوارات أربعذاتطائرةطائرةالمفتاحیةالكلمات
SOMMAIRE
ii
324 Adoucicement de la commande 4533 Stabilisation du drone X4 par la meacutethode mode glissant 45
331 Commande par mode glissant du systegraveme de translation lineacuteaire 463311 Controcircle de lrsquoaltitude 463312 Controcircle de deacuteplacement lineacuteaire suivant les axes ݔ et y 47
332 Commande par mode glissant du systegraveme de rotation 483321 Commande de lrsquoangle de roulis 483322 Commande des angles de tangage et de lacet 49
34 Planification de trajectoire et reacutesultats de simulations 49341 Etude de robustesse 60
35 Commande du drone par mode glissant agrave action inteacutegrale 64351 Reacutesultats de simulations 65
36 Commande du drone par un controcircleur flou-glissant 69361 Reacutesultats de simulations 71
37 Conclusion 74
4 COMMANDE ROBUSTE PAR BACKSTEPPING 7541 Introduction 75
42 Historique et domaines drsquoapplication du backstepping 7543 Conception de la commande par backstepping 76
431 Algorithme de base pour la meacutethode du backstepping 7644 Stabilisation du drone X4 par la meacutethode du backstepping 76
441 Commande du systegraveme de translation lineacuteaire 784411 Controcircle de lrsquoaltitude 794412 Controcircle de deacuteplacement lineacuteaire suivant les axes ݔ et y 81
442 Commande par backstepping du systegraveme de rotation 824421 Commande de lrsquoangle de roulis 824422 Commande des angles de tangage et de lacet 83
45 Reacutesultats de simulations 83451 Etude de robustesse 87
46 Backstepping avec action inteacutegrale 90461 Commande de lrsquoaltitude 90462 Reacutesultats de simulations 93
47 Backstepping adaptative 100471 Commande de lrsquoaltitude 100472 Reacutesultats de simulations 102
48 Commande hybride 105481 Application du mode glissant-Backstepping pour le drone X4 106482 Reacutesultats de simulations 108
49 Conclusion 112
CONCLUSION GENERALE ET PRESPECTIVE 114
ANNEXE A 117
ANNEXE B 122
BIBLIOGRAPHIE 127
LISTE DES TABLEAUX
iii
LISTE DES FIGURES
Figure 11 Premier drone 4Figure 12 (A) Dirigeable (B) Drone agrave ailes battants (C) Drone agrave ailes fixes 6Figure 13 Heacutelicoptegravere thermique 6Figure 14 Heacutelicoptegravere classique 7Figure 15 (A) T-wing (B) Hovereye de Bertin Tech (C) Le Birotan 8Figure 16 (A)Tri-rotor du laborat Heudiasyc (B)Le vectron (C) Heacutelicoptegraver auto-stable 9Figure 17 Heacutelicoptegravere de Bothezat 9Figure 18 Drones agrave quatre heacutelices (A)Quadri-rotor IBSC (B) Quadri-rotor pensylvania 10Figure 19 Batterie pour le X4 11Figure 110 (A) Heacutelice (B) Moteur eacutelectrique 12Figure 111 (A) Capteur agrave ultrasons (B) Cameacutera (C)Systegraveme de positionnement geacuteneacuteral 13Figure 112 Centrale inertielle (B) Carte intelligente 15Figure 113 Description drsquoun systegraveme de drone 16
Figure 21 Quadri-rotors X4 23Figure 22 Sens de rotation des rotors de X4 24Figure 23 les deux repegraveres du drone inertiel et local 26Figure 24 Rotations successives deacutefinissant les pseudos angles drsquoEuler 28Figure 25 Description des forces appliqueacutees agrave la pale 32
Figure 31 Diffeacuterents modes pour la trajectoire dans le plan de phase 40Figure 32 Surface de glissement 42Figure 33 Pheacutenomegravene de chattering 45Figure 34 Fonctions de commutation 45
Figure 35 Geacuteneacuteration de trajectoire avec h = 10m 50Figure 36 une trajectoire de reacutefeacuterence avec arcs 51Figure 37 La trajectoire de reacutefeacuterence et reacuteelle en cas droites 52Figure 38 Les commandes u3 u4 u5 des connexions droites 53Figure 39 Les erreurs pour des connections droites 53Figure 310 Les angles de tangage et de roulis pour des connections droites 54Figure 311 La trajectoire de reacutefeacuterence et reacuteelle en cas drsquoarcs 54Figure 312 Les commandes u3 u4 u5des connexions drsquoarcs 55Figure 313 Les erreurs pour des connexions drsquoarcs 55Figure 314 Les angles de tangage et de roulis en cas drsquoarcs 56Figure 315 La trajectoire de reacutefeacuterence et reacuteelle en cas des demi-cercles 56Figure 316 Les commandes u3 u4 u5 des connexions demi-cercles 57Figure 317 Les erreurs pour des connexions demi-cercles 57Figure 318 Les angles pour des connexions demi-cercles 58Figure 319 La trajectoire de reacutefeacuterence et reacuteelle en cas des demi-cercles 58Figure 320 La trajectoire de reacutefeacuterence et reacuteelle en cas drsquoheacutelicoiumldale 59Figure 321 La trajectoire de reacutefeacuterence et reacuteelle en cas drsquoun cocircne 59Figure 322 La trajectoire de reacutefeacuterence et reacuteelle en cas des demi-cercles 61Figure 323 Les commandes u3 u4 u5 des connexions demi-cercles 62Figure 324 Les erreurs pour des connexions demi-cercles 62Figure 325 Les angles pour des connexions demi-cercles 63Figure 326 Les forces pour des connexions demi-cercles 63Figure 327 La trajectoire de reacutefeacuterence et reacuteelle en cas des demi-cercles 65
LISTE DES TABLEAUX
iv
Figure 328 Les erreurs pour des connexions demi-cercles 66Figure 329 Les commandes pour des connexions demi-cercles 66Figure 330 Les angles pour des connexions demi-cercles 67Figure 331 La trajectoire de reacutefeacuterence et reacuteelle en cas des demi-cercles 67Figure 332 La trajectoire de reacutefeacuterence et reacuteelle en cas des connexions arcs 68Figure 333 La trajectoire de reacutefeacuterence et reacuteelle en cas heacutelicoiumldale 68Figure 334 Controcircleur par mode glissant flou 69Figure 335 Fonction dappartenance de lentreacutee S(t) 70Figure 336 Fonction dappartenance de la sortie un 70Figure 337 La trajectoire de reacutefeacuterence et reacuteelle en cas des demi-cercles 71Figure 338 Les commandes pour des connexions demi-cercles 72Figure 339 les erreurs pour des connexions demi-cercles 72Figure 340 les angles pour des connexions demi-cercles 73Figure 341 Les forces pour des connexions demi-cercles 73
Figure 41 Scheacutema bloc de commande du drone par backsteppingFigure 42 La trajectoire de reacutefeacuterence et reacuteelle en cas des connexions cercles 84Figure 43 Les commandes u3 u4 u5 des connexions cercle Figure 44 Les erreurs de deacuteplacement en cas des connections cercleFigure 45 Les angles de tangage et de roulis en cas des connections cercleFigure 46 Les forces en cas des connections cercleFigure 47 La trajectoire de reacutefeacuterence et reacuteelle en preacutesence de perturbation 88Figure 48 Les commandes en preacutesence de perturbation 88Figure 49 Les erreurs en preacutesence de perturbations 89410 Les angles de tangage et de roulis en preacutesence de perturbation 89Figure 411 Le scheacutema bloc du backstepping avec action inteacutegrale 90Figure 412 La trajectoire de reacutefeacuterence et reacuteelle 93Figure 413 Les commandes sans preacutesence de perturbation 94Figure 414 Les erreurs sans preacutesence de perturbations 94Figure 415 Les angles de tangage et de roulis sans preacutesence de perturbation 95Figure 416 Les forces sans preacutesence de perturbation 95Figure 417 La trajectoire de reacutefeacuterence et reacuteelle en preacutesence de perturbation 96Figure 418 Les erreurs en preacutesence de perturbations 96Figure 419 Les commandes en preacutesence de perturbations 97Figure 420 Les angles de tangage et de roulis en preacutesence de perturbation 97Figure 421 Les forces en preacutesence de perturbation 98Figure 422 La trajectoire de reacutefeacuterence et reacuteelle en preacutesence de perturbation 98Figure 423 La trajectoire de reacutefeacuterence et reacuteelle en preacutesence de perturbation 99Figure 424 Comparaison entre le controcircleur B et IB pour des connexions demi cercle 99Figure 425 Le scheacutema bloc du backstepping adaptative 100Figure 426 La trajectoire de reacutefeacuterence et reacuteelle en preacutesence de perturbation 103Figure 427 Les commandes en preacutesence de perturbation 103Figure 428 Les erreurs en preacutesence de perturbation 104Figure 433 Les erreurs en preacutesence de perturbation 109Figure 434 Les angles en preacutesence de perturbation 110Figure 435 Les forces en preacutesence de perturbation 110Figure 436 Les erreurs de suivi en z x et y pour les deux commandes 111Figure 437 La trajectoire de reacutefeacuterence et reacuteelle en preacutesence de perturbation 111Figure 438 La trajectoire de reacutefeacuterence et reacuteelle en preacutesence de perturbation 112
LISTE DES TABLEAUX
v
LISTE DES TABLEAUX
6
INTRODUCTION GENERALE
0
INTRODUCTION GENERALE
INTRODUCTION GENERALE
1
INTRODUCTION GENERALE
Dans les derniegraveres anneacutees les avances technologiques ont permis la conception et
la construction de mini-avions ou mini-heacutelicoptegravere avec des capaciteacutes toujours plus
deacuteveloppeacutees pour reacutealiser des vols autonome Ces appareils sont connus sous le nom de
drones Crsquoest -agrave-dire les drones sont des engins volants autonomes ou semi-autonomes
capables drsquoeffectuer des missions en vol sans pilotage humain agrave bort Pour cette raison les
drones sont connus aussi par leur appellation anglaise UAV (Unmanned Aerial Vehicle)
Ces appareils sont des veacutehicules complexes et difficiles agrave commander Il faut noter que
contrairement au robot manipulateur la plupart des ces systegravemes sont sous ndashactionneacutes (le
nombre drsquoentreacutees de commande est inferieur au nombre de degreacutes de liberteacute) En effet le
manque drsquoactionneurs pour ces engins induit une grande difficulteacute dans la conception de la
commande Neacuteanmoins lrsquointeacuterecirct de leur eacutetude vient de leur versatiliteacute et de leur
manœuvrabiliteacute leur permettant lrsquoexeacutecution drsquoun grand nombre de taches
Les applications des drones ne cessent drsquoaugmenter tant dans le domaine civil que
militaire Parmi les applications nous pouvons citer par exemple la surveillance de trafic
urbain ou des lignes eacutelectriques agrave haute tension [15] lrsquointervention dans des
environnements hostiles repeacuterage de mines la deacutetection de feux de forets dans les
missions de recherche et de sauvetage Enfin dans toutes les applications aeacuteriennes ougrave
lrsquointervention humaine devient difficile ou dangereuse
La recherche sur les drones est baseacutee principalement sur une eacutetude pluridisciplinaire
touchant le domaine eacutelectronique automatique informatique temps reacuteel aeacuterodynamique
traitement de signal communication Pour cette raison le nombre drsquoindustriels et
drsquouniversiteacutes qui srsquointeacuteressent aux robots aeacuterien ne cesse drsquoaugmenter
La conception de drones est diviseacutee essentiellement en deux parties la partie
algorithmique et la partie mateacuterielle Bien qursquoil existe un certain nombre de difficulteacutes
associeacutees agrave ce travail les chercheurs et les concepteurs se sont impliqueacutes de maniegravere
intense dans ces deux activiteacutes pour faire des contributions dans ce domaine La partie
algorithmique concerne le deacuteveloppement des lois de commande Dans cette branche les
automaticiens sont inteacuteresseacutes de plus en plus agrave lrsquoeacutetude et au deacuteveloppent des lois de
commande tant lineacuteaires que non lineacuteaire pour gouverner la dynamique de ces veacutehicules
La deuxiegraveme partie concerne le deacuteveloppement de la plate-forme expeacuterimentale ou
autopilote qui sera embarqueacutee dans le veacutehicule
INTRODUCTION GENERALE
2
Lrsquoobjectif de la thegravese est de deacutevelopper des strateacutegies de commande non lineacuteaires
pour le controcircle du drone En effet deux meacutethodes sont proposeacutees la commande par mode
glissant et la commande par backstepping
La commande agrave structure variable ou le mode glissant est une technique de
commande non lineacuteaire elle est caracteacuteriseacutee par la discontinuiteacute de la commande par une
surface de commutation Sa dynamique est alors insensible aux perturbations exteacuterieurs et
parameacutetriques tant que les conditions de reacutegime glissant sont assureacutees [45 50] Dans cette
voie nous allons utiliser la commande par mode glissant (Sliding Mode Control ou SMC)
pour la stabilisation drsquoun drone agrave quatre heacutelices Cependant le signal de commande obtenu
par un SMC preacutesente des variations brusques dues au pheacutenomegravene de broutement
(chaterring) ce qui peut exciter les hautes freacutequences et les non lineacuteariteacutes non modeacutelisables
[45 50 48 76] En effectuant une hybridation entre la logique floue et le mode de
glissement nous essayerons de reacuteduire les effets de pheacutenomegravene de broutement et
drsquoameacuteliorer drsquoavantage les performances du controcircleur
La theacuteorie de Lyapunov nous offre des outils tregraves puissants pour lrsquoanalyse de la
stabiliteacute des systegravemes ces mecircmes outils peuvent ecirctre utiliseacutes pour la synthegravese des lois de
commande Crsquoest dans ce contexte que se situe le backstepping cette commande agrave eacuteteacute
introduite au deacutebut des anneacutees 90 par plusieurs chercheurs on citera ente autres P
Kokotovic H Khalil Kanellakopoulos [72 73 74 75] Lrsquoapplication de cette derniegravere se
trouve dans le domaine de lrsquoaeacuteronautique [28] dans les systegravemes complexes tel que la
robotique les reacuteseaux eacutelectriques ainsi que les machines eacutelectriques [77 78 79 80] on
peut deacutefinir cette lois de commande comme eacutetant une proceacutedure reacutecursive qui combine
entre le choix de la fonction de Lyapunov et la synthegravese de la loi de commande [82] Cette
meacutethode transforme le problegraveme de synthegravese de loi de commande pour le systegraveme global agrave
une synthegravese de seacutequence de commande pour des systegravemes reacuteduits En exploitant la
flexibiliteacute de ces derniers le backstepping peut reacutepondre aux problegravemes de reacutegulation de
poursuite et de robustesse avec des conditions moins restrictives que drsquoautres meacutethodes
[82] Lrsquoingeacuteniositeacute de lrsquoideacutee nous a conduit agrave proposeacute lrsquoutilisation de cette loi de
commande non lineacuteaire pour la commande du drone quadri-rotor Une approche de
commande inteacutegral backstepping adaptatif sera preacutesenteacutee
INTRODUCTION GENERALE
3
Ce manuscrit de thegravese est structureacute de la maniegravere suivante en quatre chapitres
Chapitre 1
Dans ce chapitre nous preacutesenterons une classification des drones pour nous placer dans le
contexte de ce domaine de recherche Une eacutetude bibliographique preacutesente certaines
meacutethodes de geacuteneacuteration drsquoalgorithmes de commande pour les drones
Chapitre 2
Dans ce chapitre la modeacutelisation de drone heacutelicoptegravere quadri-rotor est preacutesenteacutee Cette
modeacutelisation est eacutetablie en prenant en consideacuteration les forces aeacuterodynamiques Une
expression deacutetailleacutee du coefficient de Coriolis des termes gyroscopique et centrifuge est
donneacutee
Chapitre 3
Le troisiegraveme chapitre concerne la commande agrave structure variable ougrave lrsquoapproche non
lineacuteaire par mode glissants est traiteacutee On introduit quelques aspects meacutethodologiques
neacutecessaires pour la compreacutehension des systegravemes agrave structures variables Cette technique
sera appliqueacutee pour controcircler la trajectoire du drone en utilisant une stabilisation point par
point Une autre structure de reacuteglage par mode de glissement agrave action inteacutegrale sera aussi
preacutesenteacutee Ensuite une approche drsquohybridation entre le mode glissant et la logique floue
sera proposeacutee
Chapitre 4
Le chapitre quatre quant agrave lui est consacreacute agrave la conception de la deuxiegraveme loi de
commande non lineacuteaire baseacutee sur la technique du backstepping pour la commande des
mouvements selon les axes Z X Y Une approche de commande backstepping adaptative
sera preacutesenteacutee Une hybridation entre la commande par backstepping et par mode glissant
est aussi proposeacutee dans le but drsquoavoir un controcircleur plus performant Une eacutetude de la
robustesse est effectueacutee vis-agrave-vis de la perturbation du vent suivant les diffeacuterentes
directions du mouvement
Ce manuscrit srsquoachegraveve par un ensemble de commentaires et de remarques geacuteneacuterales
sur les reacutesultats obtenus et quelques discussions sur les perspectives agrave mener
Chapitre 1 ETAT DE LrsquoART
3
Chapitre 1
ETAT DE LrsquoART
Chapitre 1 ETAT DE LrsquoART
4
1 ETAT DE LrsquoART
11 Introduction
Le mot drone est dorigine anglaise signifiant bourdon ou bourdonnement Il
est communeacutement employeacute en Franccedilais en reacutefeacuterence au bruit que font certains bourdons en
volant Les drones sont des aeacuteronefs capables de voler et deffectuer une mission sans
preacutesence humaine agrave bord Cette premiegravere caracteacuteristique essentielle justifie leur deacutesignation
de Uninhabited (ou Unmanned Aerial Vehicle UAV)
En fait ce sont les lourdes pertes subies pendant la seconde guerre mondiale par les avions
dobservation de chacun des antagonistes qui suscitegraverent lideacutee dun engin dobservation
militaire sans eacutequipage (ni pilote ni observateur)
Les premiers drones apparurent en 1960 (fig11) tel le R20 de Nord-Aviation denvergure
320 m et de longueur 544m deacuterivant de lengin de cible CT20 Toutefois lideacutee des
drones trottait dans les esprits depuis bien longtemps Un Anglais aurait inventeacute le concept
dans les anneacutees 1890 en inteacutegrant agrave un cerf-volant un appareil photographique [1]
Et au fil des anneacutees les chercheurs nont pas cesseacute dameacuteliorer ces machines au niveaude
Figure 11 Premier drone
Chapitre 1 ETAT DE LrsquoART
5
la taille jusquagrave atteindre la cateacutegorie de drone miniature qui englobe tous les drones dont
lenvergure est infeacuterieure agrave 50 centimegravetres pouvant descendre mecircme agrave quelques
centimegravetres seulement (on parle dans ce cas de drones miniatures)
Le terme miniature ne reflegravete pas un simple changement deacutechelle par rapport aux drones
primaires conventionnels En effet compte tenu de leurs tailles de leurs rapports
masseinertie et de leurs sensibiliteacutes aux vents la dynamique de ces drones miniatures se
trouve ecirctre tregraves diffeacuterente de celle des engins de grande dimension
En fait la vocation principale des drones est lobservation et la surveillance aeacuteriennes
vocation utiliseacutee jusquagrave preacutesent surtout agrave des fins militaires (actuellement 90 pour cent du
marcheacute mondial des drones)
Ainsi tous les drones quils soient autonomes ou non requiegraverent la preacutesence au sol dau
moins un opeacuterateur pour recueillir en temps reacuteel les beacuteneacutefices de la mission celui-ci
reccediloit analyse et enregistre les informations transmises par le drone [2]
Aujourdhui les progregraves reacutealiseacutes agrave la fois dans les performances des drones et leurs
eacutequipements leur confegraverent un tregraves large potentiel dutilisation dans le domaine civil la
lutte contre les risques naturels (volcan feux de forecircts surveillance des zones agrave risque
centrales nucleacuteaires) controcircle du trafic routier lobservation des champs agricoles ou des
troupeaux veacuterification de leacutetat des ouvrages darts (ponts viaducs) [1]
On distingue toutefois deux cateacutegories de drones ceux qui requiegraverent effectivement
lassistance dun pilote au sol par exemple pour les phases de deacutecollage et datterrissage et
ceux qui sont entiegraverement autonomes
Cette autonomie de pilotage peut seacutetendre agrave la prise de deacutecision opeacuterationnelle pour reacuteagir
face agrave tout eacuteveacutenement aleacuteatoire en cours de mission elle constitue la deuxiegraveme
caracteacuteristique essentielle des drones
De mecircme on peut classer les drones en trois cateacutegories principales (fig12)
Drones agrave voilure tournante type heacutelicoptegravere
Drone agrave voilure fixe
Plus lourd que lair type avion
Plus leacuteger que lair type Dirigeable
Drones agrave ailes battantes type oiseau ou insecte
Chapitre 1 ETAT DE LrsquoART
6
Figure 12 (A) Dirigeable (B) Drone agrave ailes battants (C) Drone agrave ailes fixes
12 Drones agrave voilures tournantes
Dans cette partie nous eacutetalons les diffeacuterents types de drones agrave voilures tournantes
121 Drones Mono-rotor
Ce type de drone passe par des phases de deacuteveloppement bien remarquables suite agrave
linteacuterecirct quon y porte En effet ce sont des drones offrant la possibiliteacute de voler comme un
avion normal donc un deacuteplacement rapide et bien eacuteconome en eacutenergie Nous preacutesentons
Heacutelicoptegravere thermique (fig13) Cet heacutelicoptegravere thermique deacuteveloppeacute au sein du
laboratoire Heudiasyc (Heuristique et diagnostique des systegravemes complexes) a une
structure meacutecanique originale pour effectuer un deacuteplacement horizontal cet appareil est
censeacute effectuer une inclinaison au niveau de ses heacutelices afin de faire apparaitre une
diffeacuterence de pression lui permettant davancer
Cette originaliteacute meacutecanique engendre un systegraveme dynamique beaucoup plus complexe par
rapport aux autres modegraveles
Figure 13 Heacutelicoptegravere thermique
Chapitre 1 ETAT DE LrsquoART
7
122 Drone Bi-rotors
Cette cateacutegorie est elle mecircme subdiviseacutee en deux sous cateacutegories
1) Bi-rotors agrave un ou deux plateaux cycliques
Heacutelicoptegravere classique rotor principal et rotor de queue ce dernier sert
principalement agrave compenser le couple geacuteneacutereacute par le rotor principal En fait le rotor
principal permet la monteacutee et la descente ainsi que la translation avant arriegravere et
lateacuterale mecircme par contre le rotor de queue permet le controcircle du lacet
Heacutelicoptegravere en tandem deux rotors tournant en sens inverse autour de deux axes
diffeacuterents
Heacutelicoptegravere co-axial deux rotors tournant en sens inverse autour du mecircme axe Un
exemple de cet engin est mis dans le commerce par Hirobo
Figure 14 Heacutelicoptegravere classique
2) Pales agrave pas fixe Voler agrave pas fixe implique labsence de plateaux cycliques et en
absence de ces plateaux il est impossible de geacuteneacuterer une force et trois moments
pour controcircler un systegraveme agrave 6 degreacutes de liberteacute Afin de creacuteer les moments
manquants il est primordial dajouter soit des ailerons soit des meacutecanismes pour
faire pivoter les ailerons et produire ces moments en question Nous citons dans
cette sous cateacutegorie
T-wing de lUniversiteacute de Sydney drone bi-rotor placeacute sur deux axes diffeacuterents
tournant en sens opposeacutes ou dans le mecircme sens et pour la production des moments
neacutecessaires ce drone est muni dailerons
Chapitre 1 ETAT DE LrsquoART
8
Le Hover eye de Bertin technologie Cest un drone dont la configuration est tregraves
compacte deux rotors contrarotatifs sur le mecircme axe et des ailerons dans le flux
dair des rotors
Le Birotan Drone agrave configuration compact posseacutedant deux rotors pivotant sur
deux axes preacutesentant un faible couple de tangage
Figure 15 (A) T-wing (B) Hover eye (C) Le Birotan
113 Drone tri-rotors
Dans cette cateacutegorie nous connaissons
Trirotor Heacutelicoptegravere posseacutedant trois rotors deux en avant tournant dans le sens
contraire et un en arriegravere avec orientation reacuteglable Des expeacuteriences ont eacuteteacute faites
sur cet heacutelicoptegravere au sein du laboratoire Heudiasyc
Le vectron Cest un heacutelicoptegravere dont le corps est circulaire renfermant trois rotors
tournant dans le mecircme sens Pour compenser le couple le corps lui mecircme tourne en
sens opposeacutes des rotors Pour obtenir les couples de tangage et de roulis les trois
rotors tournent avec des vitesses varieacutees agrave des instants bien preacutecis Des travaux de
recherche ont eacuteteacute effectueacutes au LIRMM
Heacutelicoptegravere auto-stable Cest un heacutelicoptegravere agrave trois rotors deux coaxiaux tournant
en sens opposeacutes agrave pas fixe et le troisiegraveme est placeacute sur la queue de lheacutelicoptegravere
pour obtenir le couple de tangage Cet heacutelicoptegravere a la proprieacuteteacute decirctre stable gracircce
au fait quil existe une articulation entre les pales du rotor principal et laxe du rotor
Neacuteanmoins cet appareil ne peut ecirctre utiliseacute que dans des endroits fermeacutes
Chapitre 1 ETAT DE LrsquoART
9
Figure 16 (A) Tri-rotor du laboratoire Heudiasyc (B) Le vectron(C) Heacutelicoptegravere auto-stable
124 Drone quadri-rotors
Le premier quadri-rotors remonte agrave 1921 En effet en 1921 les corps dair de
larmeacutee Ameacutericaine ont attribueacute un contrat aux Dr George de Bothezat et Ivan Jerome pour
deacutevelopper une machine agrave vol vertical
Ces derniers ont mis sur pied une machine volante de 1678 Kg dont le fuselage est conccedilu
sous forme dun X Chaque bras du fuselage eacutetait de 9m de longueur tenant agrave son extreacutemiteacute
un rotor de 8m de diamegravetre environ
Cependant bien que de Bothezat ait deacutemontreacute quil eacutetait theacuteoriquement possible agrave son
heacutelicoptegravere de voler et quil eacutetait theacuteoriquement bien stable cet avion na pas pu reacutealiser les
performances escompteacutees par exemple on lui demandait de voler agrave une altitude de 100m
alors que pour cause de surpoids laltitude maximale quil a pu atteindre eacutetait juste de 5m
Ainsi suite agrave sa complexiteacute meacutecanique son manque de puissance son insensibiliteacuteetc
cet heacutelicoptegravere agrave quatre rotors na pas pu satisfaire son cahier de charge
Figure 17 Heacutelicoptegravere de Bothezat
Chapitre 1 ETAT DE LrsquoART
10
Pour les drones miniatures les chercheurs se sont inspireacutes de ce geacuteant quadri-rotors et ont
mis sur pied des drones lui ressemblant
Les heacutelicoptegraveres agrave quatre heacutelices sont des quadrirotors agrave quatre moteurs installeacutes sur
une croix geacuteneacuteralement en fibre de carbone drsquoougrave leur appellation les heacutelicoptegraveres X4 Des
exemples sont repreacutesenteacutes dans la figure 18
Figure 18 Drones agrave quatre heacutelices (A) Quadri-rotor du laboratoire IBSC(B) Quadri-rotor pensylvania
Afin de compenser les anti-couples des moteurs creacuteeacutes par la rotation des heacutelices le moteur
avant et arriegravere tournent dans le sens des aiguilles dune montre tandis que les autres
moteurs tournent dans le sens inverse De plus les heacutelices utiliseacutees sont agrave pas fixe Le
tangage de ce drone est obtenu par diffeacuterence de vitesse de rotation des rotors avant et
arriegravere geacuteneacuterant un deacuteplacement suivant laxe des x Le deacuteplacement suivant laxe des y est
produit par un angle de roulis Ce dernier est obtenu par une diffeacuterence de vitesse des
moteurs lateacuteraux Le lacet srsquoobtient en augmentant la vitesse des moteurs avant et arriegravere
en reacuteduisant la vitesse des moteurs lateacuteraux
Au centre de la croix se trouve un cylindre central contenant
Une centrale inertielle
Une carte intelligente
Une batterie
Un GPS (Global Positionning System)
Une cameacutera CDD
Des capteurs ultrason
Une station de base
Chapitre 1 ETAT DE LrsquoART
11
13 Composantes du quadri-rotors
Durant ces derniegraveres anneacutees le deacuteveloppement des drones connait un essor croissant
surtout au niveau des capteurs des moteurs des batteries et des cartes eacutelectroniques qui
sont de plus en plus leacutegers et plus performants
Ces nouvelles qualiteacutes requises par ces composantes amplifient la performance du drone au
niveau de son autonomie et de ses capaciteacutes du vol En fait le grand problegraveme rencontreacute
par les drones cest la dureacutee du vol qui est lieacutee aux diffeacuterents composants utiliseacutes batterie
moteur et heacutelices Ainsi il faut faire un choix judicieux pour ces composants eacutetudier
lautonomie reacuteelle des batteries deacuteterminer la consommation des moteurs et la geacuteomeacutetrie
des heacutelices
Plus geacuteneacuteralement nous classons les composants du drone en trois cateacutegories
Batterie
Propulseurs
Capteurs
131 Les batteries
Lautonomie de tout engin est directement lieacute agrave leacutenergie quil peut avoir donc agrave la qualiteacute
de la batterie dont il est pourvu Le deacuteveloppement des batteries ne cesse de nous eacutetonner
de plus en plus leacutegegraveres de plus en plus autonomes donc une contribution importante au
deacuteveloppement des drones
Figure 19 Batterie pour le X4
Chapitre 1 ETAT DE LrsquoART
12
132 Les propulseurs
Les heacutelices
Le drone X4 dispose de quatre heacutelices ayant un certain taux de flexibiliteacute lui permettant de
pouvoir assurer la propulsion de tout le robot volant de masse estimeacutee agrave 2Kg Ainsi
chacune doit geacuteneacuterer une force de pousseacutee de 49N agrave leacutequilibre Dautre part les pales
utiliseacutees dans la fabrication du X4 ont une forme vrilleacutee leur procurant un bon rendement
au niveau de la pousseacutee donc une eacuteconomie au niveau de leacutenergie [2]
Moteur eacutelectrique
Dans le but de rendre le X4 silencieux et davoir le bon rapport puissancepoids le moteur
eacutelectrique du type brushless est le plus utiliseacute En plus et suite agrave son bobinage fixeacute au
stator ce moteur a une inertie consideacuterablement reacuteduite une reacuteduction au niveau de la
consommation du courant lors du deacutemarrage et une rapide eacutevacuation de la tempeacuterature
neacuteanmoins il neacutecessite un circuit de commande speacuteciale bien complexe et bien cher
Fig 110 (A) Heacutelice (B) Moteur eacutelectrique
133 Capteurs
Les capteurs servent principalement agrave effectuer des mesures tridimensionnelles
(position vitesse orientation acceacuteleacuteration ) permettant dalimenter des entreacutees en temps
reacuteel pour les lois de commande
Ces mesures sont effectueacutees par diffeacuterents types de capteurs
Capteurs agrave ultrasons
Un capteur agrave ultrason est composeacute de trois compartiments
Chapitre 1 ETAT DE LrsquoART
13
Emetteur
Reacuteceacutepteur
Microcontrocircleur PIC
Il sert agrave deacutetecter lobstacle et agrave mesurer la distance de seacuteparation Se munir uniquement
dun capteur agrave ultrason pour la mesure de position peut donner des reacutesultats erroneacutes En
effet en couvrant les lieux londe peut tomber sur diffeacuterents obstacles agrave chaque instant et agrave
des distances diffeacuterentes Il est donc primordial de lassocier agrave un autre capteur de position
Cameacutera
Le capteur le plus riche en donneacutees pouvant exister est une cameacutera En geacuteneacuteral nous
pouvons classer les cameacuteras en deux cateacutegories
Cameacutera numeacuterique
Cameacutera analogique
Le choix de la cameacutera deacutepend de son embarquabiliteacute ses capaciteacutes de calculs et de
lapplication mecircme
Systegraveme de positionnement geacuteneacuteral GPS
Le GPS est un systegraveme de positionnement par satellites assez preacutecis la preacutecision
pouvant atteindre le megravetre en preacutesence de filtrage Lutilisation de la localisation par le
systegraveme GPS est tregraves vaste elle touche plusieurs domaines le transport (aeacuterien maritime
) eacutetude geacuteographique assistance aux eacutequipe de secours
Figure 111 (A) Capteur agrave ultrasons (B) Cameacutera (C) Systegraveme depositionnement geacuteneacuteral
Chapitre 1 ETAT DE LrsquoART
14
Centrale inertielle
La centrale inertielle est une carte inteacutegrant trois types de capteurs
Trois gyroscopes Le mot gyroscope est un mot grec signifiant qui regarde la rotation
Un gyroscope est un appareil qui exploite le principe de la conservation du moment
angulaire en meacutecanique des solides
Trois magneacutetomegravetres un magneacutetomegravetre est un appareil qui sert agrave mesurer laimantation
dun systegraveme Dans notre cas le magneacutetomegravetre sert agrave calculer le champ magneacutetique terrestre
Trois acceacuteleacuteromegravetres un acceacuteleacuteromegravetre est un capteur qui fixeacute agrave un mobile permet de
mesurer lacceacuteleacuteration de ce dernier
Ces capteurs forment un triegravedre orthogonal servant agrave mesurer en temps reacuteel les
mouvements du drone (acceacuteleacuteration vitesse angulaire) Ces mesures sont exprimeacutees dans
un triegravedre direct deacutefini comme le systegraveme de coordonneacutees fixe du capteur Ce systegraveme est
aligneacute avec le boicirctier de la centrale inertielle
En inteacutegrant la mesure de lacceacuteleacuteration triaxiale donneacutee par lacceacuteleacuteromegravetre nous
reacutecupeacuterons la mesure de la vitesse en linteacutegrant une deuxiegraveme fois nous aurons la
position
Or cette inteacutegration engendre une erreur au niveau des mesures En effet toute mesure
effectueacutee par la carte inertielle peut ecirctre entacheacutee derreurs de mesures dues aux bruits des
moteurs et par inteacutegration ces erreurs augmentent
Ainsi un filtrage numeacuterique associeacute aux mesures savegravere neacutecessaire En reacutecupeacuterant la
matrice dattitude preacutedite par inteacutegration des gyros nous constatons quelle est bruiteacutee par
rapport agrave la matrice dattitude mesureacutee
En litteacuterature les algorithmes de filtrage classiquement utiliseacutes sont de type filtrage
compleacutementaire ou filtrage de Kalman (classique ou eacutetendu)
Linconveacutenient de ces algorithmes cest quils sont lineacuteaires et nexploitent pas le groupe
des matrices de rotation SO(3) et lalgegravebre de Lie qui lui est associeacutee La creacuteation
dalgorithme de filtrage approprieacute est alors recommandeacute (filtrage non-lineacuteaire exploitant la
structure du Groupe SO(3) et la varieacuteteacute sous-jacente associeacutee [3 4 5])
Chapitre 1 ETAT DE LrsquoART
15
Carte intelligente
La carte intelligente peut ecirctre compareacutee au cerveau du drone cest son eacuteleacutement
principal Elle gegravere lensemble des capteurs embarqueacutes sur la machine sauf la cameacutera qui
transmet ses donneacutees images agrave la base au sol ougrave elles sont traiteacutees
Dautres cartes peuvent ecirctre incorporeacutees dans le drone afin de renforcer ses liens
avec la base au sol (carte pour liaison radio [5]) et dautres lui fournissant plus
dinformations pour raffiner les donneacutees (carte de gestion dun ensemble de proximiteacute varieacute
[40])
Figure 112 (A) Centrale inertielle (B) Carte intelligente
14 Systegraveme drsquoacquisition embarqueacute du X4
La mise en œuvre dun ou de plusieurs drones fait appel agrave diffeacuterents eacuteleacutements
constituant un systegraveme de drone Ce systegraveme a deux composantes un segment air
composeacute du drone de sa charge utile et de son systegraveme de transmission et un segment sol
constitueacute dun ensemble de mateacuteriels et de un ou plusieurs opeacuterateurs humains ayant un
degreacute dintervention plus ou moins eacuteleveacute On distingue encore dans la composante sol deux
cateacutegories de mateacuteriels ceux assurant le lancement et la reacutecupeacuteration des drones
(catapulte filets etc) auxquels sajoutent les moyens techniques neacutecessaires agrave la
maintenance et au reconditionnement des drones identiquement aux proceacutedeacutes
dexploitation des avions et ceux ayant pour objectif la conduite de la mission en assurant
les fonctions de la gestion du vol et de la navigation la reacuteception des donneacutees envoyeacutees
par le drone leurs analyse et interpreacutetation ainsi que leur enregistrement
Chapitre 1 ETAT DE LrsquoART
16
Figure 113 Description drsquoun systegraveme de drone
15 Applications et perspectives
Actuellement les drones occupent une place importante dans le domaine civil et
militaire En effet ces engins sans pilote preacutesentent de nombreux avantages [6]
Il faut noter que sur ce point le champ drsquoaction des drones ne cesse de srsquoeacutelargir ces
derniers temps En effet leur deacuteveloppement sur une large gamme ainsi que les progregraves
reacutealiseacutes au niveau des systegravemes embarqueacutes (guidage pilotage et liaisons) a inciteacute les
forces armeacutees agrave inteacutegrer le systegraveme de drone dans la panoplie des moyens aeacuteriens en
compleacutement des systegravemes classiques On peut distinguer trois types drsquoapplications des
drones dans le domaine militaire
La premiegravere et principale vocation des drones est la surveillance et le
renseignement Les drones reacutepondent de mieux en mieux aux exigences opeacuterationnelles
modernes Les eacutevolutions technologiques rapides des systegravemes embarqueacutes ont permet
drsquoeacutelargir leur domaine drsquoapplication De nos jours on peut les utiliser comme support au
combat notamment dans la deacutesignation drsquoobjectifs ou comme relais de communication ou
moyen de brouillage La troisiegraveme et derniegravere cateacutegorie drsquoapplications est le combat
proprement dit mais cette derniegravere application neacutecessite des drones agrave hautes performances
conccedilus speacutecialement pour ce type de missions
Les applications potentielles des drones dans le domaine civil sont diverses et ce
gracircce agrave leur souplesse et leur polyvalence demploi En effet les drones peuvent reacutepondre agrave
Chapitre 1 ETAT DE LrsquoART
17
un besoin qui nest pas couvert par un avion piloteacute Cest le cas des missions qui peuvent
ecirctre consideacutereacutees comme dangereuses peacutenibles physiquement pour leacutequipage ou
ennuyeuses Les applications potentielles peuvent se diviser en plusieurs grandes
cateacutegories drsquoabord la surveillance et lrsquoobservation ougrave on peut citer les eacutetudes
scientifiques (de lrsquoatmosphegravere des sols et des oceacuteans ou les preacutevisions meacuteteacuteorologiques)
la surveillance drsquourgence telle que les incendies de forecircts volcans recherche et sauvetage
eacutevaluation des deacutegacircts en cas de catastrophes naturelles etc On peut citer eacutegalement des
missions exploitant le segment air telles que le transport de fret la cartographie
lrsquoutilisation par lrsquoindustrie cineacutematographique etc Ils peuvent en outre ecirctre utiliseacutes dans
des missions speacutecifiques comme relais de communication ou dans des missions
dangereuses (deacutetection de radiations et de gaz toxiques)
Lexpeacuterience deacutejagrave acquise avec les drones et leurs deacuteveloppements technologiques
potentiels permettent daffirmer que leur rocircle va consideacuterablement saccroicirctre tant dans les
domaines civil que militaire Dans le domaine civil en couvrant des besoins auxquels les
avions classiques ne peuvent pas toujours satisfaire Dans le domaine militaire en
compleacutetant voire en remplaccedilant les avions pour certaines missions dangereuses ou de tregraves
longue dureacutee
Gracircce agrave leur inteacuterecirct tactique les drones constituent agrave la fois une opportuniteacute
industrielle exceptionnelle et un facteur dimpulsion nouvelle pour la recherche Cependant
la geacuteneacuteralisation de lrsquoemploi des systegravemes de drone reste exposeacutee agrave des difficulteacutes qui sont
lieacutees principalement agrave lrsquointeacutegration des drones dans la circulation aeacuterienne et le
perfectionnement des systegravemes de transmission des donneacutees (porteacutee et deacutebit) Enfin des
progregraves sont agrave reacutealiser eacutegalement dans les domaines des performances de lrsquoengin volant
des charges utiles du systegraveme embarqueacute et de leur fiabiliteacute
Toutes ces missions neacutecessitent un controcircle performant de lrsquoappareil et par
conseacutequent des informations preacutecises sur son eacutetat absolu et ou relatif agrave son environnement
16 Modes de vol
Geacuteneacuteralement il existe trois modes qui deacutecrivent la direction de vol de lrsquoengin ces
modes sont
Vol vertical
Vol stationnaire
Vol de translation
Chapitre 1 ETAT DE LrsquoART
18
161 Vol vertical (ascendant ou descendant)
Dans le vol vertical la reacutesultante aeacuterodynamique et le poids total sont deux forces
ayant la mecircme direction mais de sens opposeacute Le vol est ascendant ou descendant suivant
que lrsquoeffet aeacuterodynamique est supeacuterieur ou infeacuterieur au poids de lrsquoappareil Crsquoest-agrave-dire les
moteurs devront augmenter ou diminues le couple de forces geacuteneacutereacute afin que la vitesse de
rotation des heacutelices augmentent ou diminuent Pour effectuer un vol vertical du drone X4 il
faut respecter ces conditions fondamentales
-Les quatre forces des moteurs f1 f2 f3 et f4 doivent fonctionner en mecircme temps afin
drsquoobtenir lrsquoeacutequilibre de lrsquoensemble
-Pour atteindre la consigne nous agissons sur les quatre moteurs simultaneacutement
(augmentations et diminutions des forces)
-Si on atteint la reacutefeacuterence on garde ces forces constantes sum F = mg
m la masse totale de lrsquoengin
162 Vol stationnaire
Ce vol est obtenu lorsque les normes de la force sustentatrice et celle de pesanteur
sont eacutegales et opposeacutees Dans ce cas nous pouvons constater que lrsquoappareil reste
immobile
163 Vol de translation
Correspond agrave tout vol en avant en arriegravere ou sur le coteacute Pour obtenir un
mouvement de translation selon lrsquoaxe lsquoxrsquo ou lsquoyrsquo il suffit de reacutealiser un roulis ou un tangage
en augmentant la vitesse drsquoun moteur et en diminuant celle du moteur du mecircme axe avec la
mecircme quantiteacute pour conserver la portance intacte
Pour le mouvement du lacet (rotation sur lui-mecircme) il faut augmenter la vitesse
drsquoune paire de moteur du mecircme axe et diminuer drsquoautant celle de lrsquoautre paire Le sens de
mouvement du lacet deacutependra du sens de rotation qursquoon aura choisi pour les paires de
moteurs
17 Revues bibliographiques sur les drones quadri-rotors
Cette nouvelle geacuteneacuteration drsquoengins miniatures autonomes connue sous le nom de
Drones miniatures a susciteacute un grand inteacuterecirct ainsi une diversiteacute de modegraveles et de
configurations ont vu le jour
Chapitre 1 ETAT DE LrsquoART
19
Le drone quadri-rotors eacutetait et est lune des configurations les plus eacutetudieacutees
Plusieurs eacutequipes de chercheurs du monde entier se sont lanceacutees dans le domaine de
conception dune loi de commande simple robuste et facilement embarquable Ce domaine
est bien vaste touchant plusieurs speacutecialiteacutes (automatique aeacuterodynamique robotique)
171 Commandes en litteacuterature
Plusieurs travaux consacreacutes agrave la conception de diffeacuterentes commandes ont eacuteteacute
publieacutes il y a ceux qui preacutesentent des lois de commande baseacutees sur le systegraveme lineacuteariseacute des
drones et dautres traitants le modegravele en entier
En consideacuterant une lineacutearisation du modegravele dynamique de leur quadri-rotors [7] PPound
et al [8] ont deacuteveloppeacute un algorithme de controcircle stabilisant leur modegravele Des tests
numeacuteriques ont eacuteteacute effectueacutes confirmant la validiteacute de cette commande
Une meacutethode de stabilisation et de poursuite de trajectoire baseacutee sur la notion de platitude
eacutetait conccedilue dans [9 10] Cette meacutethode a eacuteteacute appliqueacutee sur le systegraveme lineacuteariseacute du quadri-
rotors X4 Elle a assureacute la poursuite du drone vers une trajectoire planifieacutee Des tests
numeacuteriques ont eacuteteacute faits
Dans [11 12] une configuration dun quadri-rotors nommeacute OS4 est preacutesenteacutee En se
limitant agrave un systegraveme simplifieacute du modegravele du OS4 un algorithme de controcircle de type
PID a eacuteteacute eacutelaboreacute En consideacuterant ensuite un modegravele plus complet une commande LQ est
geacuteneacutereacutee Ces commandes preacutesenteacutees arrivent agrave stabiliser le modegravele entier neacuteanmoins elles
sont assez sensibles aux perturbations pouvant affecter le systegraveme
Dans [13] Chen et Huzmezan ont obtenu un modegravele lineacuteariseacute quils ont utiliseacute pour
syntheacutetiser un controcircleur de type H1 Ils ont testeacute leur algorithme sur une plateforme
pivotant librement autour dun point
Dans [14] deux commandes non lineacuteaires sont eacutelaboreacutees pour la stabilisation du quadri-
rotors OS4 La premiegravere approche est baseacutee sur la technique du backstepping tandis que
la deuxiegraveme utilise la technique de modes glissants Des tests pratiques ont eacuteteacute appliqueacutes
sur une plate-forme au sol non embarqueacutee validant les reacutesultats theacuteoriques des deux
approches
En utilisant deux meacutethodes dapproches diffeacuterentes dans [15] K Zemalache Meguenni a
eacutetudieacute la stabiliteacute et la poursuite de trajectoire pour deux quadri-rotors diffeacuterents (X4 et
XSF)
Chapitre 1 ETAT DE LrsquoART
20
En premier temps en combinant la technique de backstepping agrave lapproche de Lyapunov
deux algorithmes associeacutes aux deux modegraveles ont eacuteteacute syntheacutetiseacutes Les reacutesultats des deux
modegraveles ont eacuteteacute testeacutes numeacuteriquement pour le suivi de trajectoires planifieacutees point agrave point
En second temps une commande baseacutee sur la theacuteorie de la logique floue eacutetait eacutelaboreacutee
pour le drone XSF des tests numeacuteriques ont eacuteteacute effectueacutes
Dans [16] une lineacutearisation robuste par retour drsquoeacutetat mixeacute avec le controcircleur GHinfin lineacuteaire
est appliqueacutee Une saturation des actionneurs et des contraintes sur la sortie de lrsquoespace
drsquoeacutetat sont introduites pour analyser le cas deacutefavorable pour la commande Les reacutesultats
obtenus prouvent que le systegraveme global devient robuste lorsque les fonctions pondeacutereacutees
sont choisies judicieusement Le fonctionnement du controcircleur est illustreacute dans une eacutetude
de simulation qui tient compte des incertitudes sur les paramegravetres et les perturbations
externes
Dans [17] la conception de larchitecture informatique embarqueacutee pour la commande dun
quadri-rotors et dun avion miniature est preacutesenteacutee La modeacutelisation dynamique des deux
engins eacutetait eacutetablie au moyen de la meacutethodologie de Newton-Euler en prenant en compte
les forces et les moments aeacuterodynamiques En utilisant la technique de saturations
emboiteacutees baseacutee principalement sur lapproche de Lyapunov deux commandes non
lineacuteaires eacutetaient eacutelaboreacutees pour le quadri-rotors
Deux autres commandes lineacuteaires ont eacuteteacute syntheacutetiseacutees pour les deux drones Des eacutetudes de
robustesse des commandes ont eacuteteacute preacutesenteacutees et des tests expeacuterimentaux des algorithmes
en temps reacuteel ont eacuteteacute appliqueacutes sur une plateforme
Inspireacute des travaux [18] effectueacutes sur la stabilisation du PVTOL (Planar Vehicle Take of
and Landing) P Castillo [19 20 21] a preacutesenteacute la conception dune commande non
lineacuteaire pour un quadri-rotors dont le modegravele est obtenu par la meacutethode dEuler-Lagrange
en tenant compte de la dynamique des moteurs Cette commande est baseacutee sur la technique
des saturations emboiteacutees fondeacutee principalement sur lapproche de Lyapunov Des
plateformes expeacuterimentales ont eacuteteacute reacutealiseacutees pour appliquer et tester les lois de commande
proposeacutees
Se basant sur le formalisme de Newton-Euler T Hamel et al [22] ont eacutetabli la
modeacutelisation dynamique dun quadri-rotors prenant en compte la dynamique des moteurs et
les effets aeacuterodynamiques et gyroscopiques des rotors
Dans [23] les auteurs ont deacutemontreacute que lapplication des approches 2D des
asservissements visuels peuvent ecirctre exploiteacutes pour la commande des systegravemes sous
actionneacutees
Chapitre 1 ETAT DE LrsquoART
21
En supposant que la direction du motif est cette fois ci fixe dans le repegravere cameacutera ce
reacutesultat a pu ecirctre eacutelargi en donnant naissance agrave un asservissement visuel purement 2D [24]
plus complexe suite agrave la dynamique de zeacutero introduite par cette hypothegravese Des tests
numeacuteriques ont eacuteteacute faits validant ce reacutesultat
E Altug et al [25 26 27] ont proposeacutes un algorithme de controcircle pour stabiliser le quadri-
rotor en utilisant la vision comme capteur principal Cette technique se compose drsquoune
cameacutera terrestre et drsquoune cameacutera embarqueacutee sur lrsquoheacutelicoptegravere et sont utiliseacutees pour estimer
les eacutetats de lrsquoheacutelicoptegravere Lrsquoalgorithme de la pose est compareacute par la simulation agrave drsquoautres
meacutethodes drsquoestimation de la pose (telles que la meacutethode de quatre points et la meacutethode de
steacutereacuteo vision) et srsquoavegravere moins sensible aux erreurs dans le plan image Ils ont eacutetudieacute deux
techniques pour la commande la premiegravere utilise une commande par lineacutearisation tandis
que la deuxiegraveme utilise la technique de backstepping
18 Conclusion
Dans ce chapitre nous avons preacutesenteacute un bref aperccedilu sur quelques mini-
heacutelicoptegraveres autonomes existant en sattardant sur les drones agrave voilures tournantes et leurs
eacutequipements
Ensuite nous avons citeacute un ensemble de travaux portant sur la stabilisation des drones agrave
quatre rotors existants en litteacuterature
Dans le chapitre suivant nous traiterons le problegraveme de la modeacutelisation par le formalisme
de Newton-Euler pour le quadri-rotor afin drsquoappliquer les techniques de commande non
lineacuteaire Il srsquoagit drsquoun modegravele caracteacuterisant des veacutehicules sous actionneacutes
Chapitre 2 MODELISATION DrsquoUN DRONE A QUATRE HELICES
22
Chapitre 2
MODELISATION DUN DRONE A QUATRE HELICES
Chapitre 2 MODELISATION DrsquoUN DRONE A QUATRE HELICES
22
2 MODELISATION DrsquoUN DRONE A QUATRE HELICES
21 Introduction
Tout corps meacutecanique eacutevoluant en temps continu peut ecirctre deacutecrit par un systegraveme
deacutequations diffeacuterentielles reacutegissant sa dynamique Il srsquoagit drsquoeacutetablir le modegravele
matheacutematique de la dynamique du drone agrave quatre heacutelices Pour atteindre ce but nous
avons recours agrave des eacutetudes meacutecaniques telles que lapproche Newtonienne et celle dEuler-
Lagrange
Dans la litteacuterature pour aborder la modeacutelisation dengin volant de nombreux travaux se
sont inspireacutes de la dynamique dun corps rigide associeacute au fuselage auquel se rajoutent les
forces aeacuterodynamiques geacuteneacutereacutees par les rotors [28 29 19 30 31 32 33 15]
Cette ideacutee a eacuteteacute choisie afin de pouvoir contourner la difficulteacute de la question de la
flexibiliteacute de la machine Cette flexibiliteacute est supposeacutee neacutegligeable
Certaines propositions de modeacutelisation du drone sont preacutesenteacutees dans la litteacuterature telles
celles baseacutees sur le formalisme de Newton [28 22 23] lieacutees principalement au repegravere
local et celles baseacutees sur le formalisme dEuler-Lagrange [29 19 30 20 31 32 15] lieacutees
au repegravere global supposeacute fixe
Dans ce chapitre nous preacutesentons la dynamique pour un drone capable de vol
drsquoavancement rapide et de vol stationnaire ou quasi-stationnaire Un tel modegravele peut ecirctre
acheveacute dans un repegravere local lieacute au drone ou dans un repegravere global supposeacute fixe Nous
eacutevoquons le modegravele global qui sera traiteacute de point de vue commande en stabilisation et en
poursuite
En premier lieu nous preacutesentons la configuration du veacutehicule et son principe de
fonctionnement Nous nous inteacuteressons eacutegalement aux diffeacuterents repegraveres suscitant notre
attention
Ensuite nous nous occupons de la modeacutelisation du X4 en calculant son moment dinertie
et en ayant recours au formalisme Newton nous deacuteterminons son modegravele dynamique
Enfin nous achevons ce chapitre par une conclusion
Chapitre 2 MODELISATION DrsquoUN DRONE A QUATRE HELICES
23
22 Heacutelicoptegraveres agrave quatre heacutelices
En geacuteneacuteral un heacutelicoptegravere agrave quatre heacutelices est un heacutelicoptegravere posseacutedant quatre rotors
assurant son deacuteplacement [2]
Depuis les anneacutees 50 de nouveaux types dheacutelicoptegraveres de faible dimension
teacuteleacutecommandeacutes sont apparus Ils permettent de reacutealiser des missions dangereuses ou
inaccessibles agrave lecirctre humain Ainsi nous pouvons citer les mini-heacutelicoptegraveres agrave quatre
heacutelices appeleacutes couramment X4 (fig21) vu leur forme en X
Figure 21 Quadri-rotors X4
221 Fonctionnement du X4
Les X4 sont des mini-heacutelicoptegraveres preacutesenteacutes sous forme de croix geacuteneacuteralement
fabriqueacutes en fibre de carbone Au bout de chaque tige de la croix on fixe une heacutelice
Afin deacuteliminer les anti-couples des heacutelices entre elles et permettre la stabiliteacute en lacet les
heacutelices voisines tournent dans des sens inverses avec un pas fixe
Pour assurer un deacuteplacement suivant laxe des x le drone X4 fait un angle de tangage ߠ
obtenu par une diffeacuterence de vitesse de rotation des rotors avant et arriegravere ensuite il suit
cet axe lors du retour agrave leacutegaliteacute des vitesses de rotation des rotors
De maniegravere similaire le deacuteplacement du X4 suivant laxe des y est assureacute par un angle de
roulis empty obtenu suite agrave une diffeacuterence des vitesses de rotation des rotors lateacuteraux
Le lacet sobtient en augmentant la vitesse des moteurs avant et arriegravere tout en reacuteduisant la
vitesse des moteurs lateacuteraux Les quadri-rotors eacutetant commandeacutes par la diffeacuterence des
vitesses de rotation des rotors il est important que lon puisse varier rapidement la vitesse
de rotation des moteurs Pour cela il convient dutiliser des pales tregraves leacutegegraveres (en fibre de
carbone par exemple) et des rapports de reacuteduction relativement grands
Chapitre 2 MODELISATION DrsquoUN DRONE A QUATRE HELICES
24
Figure 22 Sens de rotation des rotors de X4
23 Modeacutelisation du drone quadri-rotors X4
Le modegravele dynamique de quadri-rotor est donneacute par le formalisme de Newton-Euler
Pour pouvoir deacuteterminer le modegravele dynamique le quadri-rotor est assimileacute agrave une structure
rigide et symeacutetrique drsquoougrave lrsquohypothegravese que la matrice drsquoinertie est diagonale Les heacutelices
sont eacutegalement supposeacutees rigides pour pouvoir neacutegliger lrsquoeffet de leur deacuteformation lors de
la portance et la traineacutee de chaque moteur qui sont proportionnelles au carreacute de la vitesse
de rotation des rotors ce qui est une approximation tregraves proche du comportement
aeacuterodynamique et le repegravere lieacute agrave cette structure est geacuteneacuteralement supposeacute confondu avec
son centre de graviteacute Cela nous emmegravene agrave consideacuterer la dynamique du quadri-rotor
comme celle drsquoun corps solide dans lrsquoespace [15 34] Les conditions atmospheacuteriques sont
la condition standard de pression et de tempeacuterature
231 Caracteacuteristiques physiques
Les caracteacuteristiques physiques du quadri-rotor preacutesenteacutees dans cette section ont eacuteteacute
eacutetudieacutees en deacutetail par McKerrow [35] La masse totale du quadri-rotor m est la somme de
la masse de la croix (mc) les masses des quatre rotors consideacutereacutes comme identiques
( isin 1234 ) et la masse de lrsquoeacutelectronique et batterie (mb)
m = m1 + m2 + m3 + m4 + mc + mb
Sens horaireSens antihoraire
Chapitre 2 MODELISATION DrsquoUN DRONE A QUATRE HELICES
25
La structure du quadri-rotor est consideacutereacutee parfaitement symeacutetrique et en conseacutequence la
matrice drsquoinertie IG est diagonale
ܫ = ቌ
௫௫ܫ 0 00 ௬௬ܫ 0
0 0 ௭௭ܫ
ቍ (21)
avec ௫௫ܫ repreacutesente lrsquoinertie autour de lrsquoaxe ଵܧ
qui passe entre le centre de la croix et les
rotors (avant-arriegravere) ௬௬ܫ repreacutesente lrsquoinertie autour de lrsquoaxe ଶܧ
qui passe entre le centre de
la croix et les rotors (droite-gauche) et finalement ௭௭ܫ repreacutesente lrsquoinertie autour de lrsquoaxe
ଷܧ
perpendiculaire au plan de ଵܧ
et ଶܧ
(voir figure 23)
Lrsquoinertie ௫௫ܫ est la somme de lrsquoinertie de la croix (௫ܫ) lrsquoinertie des quatre moteurs ୫ܫ) ୶ଵ
୫ܫ ୶ଶ ୫ܫ ୶ଷ et ୫ܫ ୶ସ) et lrsquoinertie de lrsquoeacutelectronique (ୠ୶ܫ) autour du point drsquointersection de la
croix
௫௫ܫ = ௫ܫ + ܫ ௫ଵ + ܫ ௫ଶ + ܫ ௫ଷ + ܫ ௫ସ + ௫ܫ (22)
On peut suivre la mecircme deacutemarche pour trouver les expressions des inerties ௬௬ܫ et ௭௭ܫ
Lrsquoinertie de la croix autour du point drsquointersection est donneacutee par
௫ܫ = ௬ܫ = (ଶ)మ
ଵଶ+
ௗమ
ଶ(23)
௭ܫ = (ଶ)మ
(24)
Ougrave d est le diamegravetre des poutres qui constituent la croix et l est la distance entre le centre
de la croix et un des quatre rotors Pour trouver les inerties des moteurs McKerrow [35]
considegravere le moteur comme un cylindre de longueur pm avec un rayon rm alors lrsquoinertie du
moteur avant autour du point drsquointersection de la croix est
ܫ ௫ଵ = భ
మ
ସ+
మ
ଷ(25)
ܫ ௬ଵ = భ
మ
ସ+
మ
ଷ+ ଵ
ଶ (26)
ܫ ௭ଵ = భ
మ
ଶ+ ଵ
ଶ (27)
Lrsquoeacutelectronique et la batterie srsquoaccrochant au-dessous de lrsquointersection agrave une distance l0 sont
modeacuteliseacutees par un paralleacuteleacutepipegravede rectangulaire avec des dimensions ab wb et hb
Chapitre 2 MODELISATION DrsquoUN DRONE A QUATRE HELICES
26
௫ܫ = (௪
మାమ)మ
ଵଶ+
ଶ (28)
௬ܫ = (
మାమ)మ
ଵଶ+
ଶ (29)
௭ܫ = (௪
మାమ)మ
ଵଶ(210)
Le mouvement du drone est reacutegi par un modegravele dynamique preacutesentant le lien entre les
entreacutees du systegraveme et les sorties agrave controcircler Il faut maintenant deacutefinir le domaine
drsquoeacutevolution du robot (repegravere inertiel) et la relation matrice de passage qui le lie au drone
(repegravere local)
232 Repegraveres et matrices de passage
Lrsquoeacutetude du mouvement drsquoun drone eacutevoluant dans lrsquoespace requiert la connaissance
de sa position et de son orientation Cette localisation neacutecessite le choix drsquoau moins deux
repegraveres Le premier repegravere est le repegravere inertiel global RO reacutefeacuterence Le repegravere inertiel est
lieacute agrave la terre et peut ecirctre consideacutereacute comme Galinien RO (Ex Ey Ez) est orienteacute comme
indiqueacute sur la figure 23 A savoir Ex est orienteacute vers le nord Ey est orienteacute vers lrsquoest et Ez
orienteacute vers le haut
On deacutefinit un repegravere local ayant comme origine le centre de graviteacute G du drone Le repegravere
RG ଵܧ)
ଶܧ
ଷܧ
) appeleacute aussi repegravere relatif agrave la meacutecanique de vol dont les axes sont lieacutees agrave
la geacuteomeacutetrie de lrsquoappareil
Figure 23 Repegraveres du drone inertiel et local
Chapitre 2 MODELISATION DrsquoUN DRONE A QUATRE HELICES
27
La relation entre le repegravere du drone noteacute (RG) et le repegravere inertiel (RO) peut ecirctre donneacutee
par la matrice de rotation orthogonale de dimension 3 times 3 La contrainte dorthogonaliteacute
reacuteduit le nombre de paramegravetre neacutecessaire pour preacutesenter cette matrice agrave trois paramegravetres Il
existe plusieurs maniegraveres de parameacutetrer la matrice de rotation dont le choix deacutepend de
lapplication en question
La parameacutetrisation de la matrice de rotation par les angles dEuler est souvent utiliseacutee dans
les applications de robotique Elle permet dobtenir la matrice de rotation globale par trois
rotations eacuteleacutementaires autour des axes ଵܧ
ଶܧ
et ଷܧ
respectivement
Le parameacutetrage de cette matrice seffectue par le vecteur
ଶߟ = ߠ) Ф) (211)
Consideacuterons le vecteur de coordonneacutees geacuteneacuteraliseacutees q isin ℝ deacutefini par
(ݐ)ݍ = (ߠݖݕݔ) ni ݐ ℝ
Ougrave x y z deacutefinissent la position du centre de graviteacute du mini-heacutelicoptegravere X4 par rapport au
repegravere inertiel RO (Ex Ey Ez)
Lrsquoorientation du mini-heacutelicoptegravere X4 est donneacutee par les angles drsquoEuler ߠ) Ф) qui
repreacutesente respectivement le tangage le roulis et le lacet
Le passage du triegravedre ை(ܧ௫ܧ௬ܧ௭) au triegravedre ଵܧ)
ଶܧ
ଷܧ
) est reacutealiseacute par trois
rotations successives figure 24
൫ܧ௫ܧ௬ܧ௭൯ுψሱሮ (௭ܧ)
ுഇሱሮ ଵܧ)
)
ுemptyሱሮ ଵܧ)
ଶܧ
ଷܧ
) (212)
Ougrave ൫ܧ௫ܧ௬ܧ௭൯ est la base du repegravere RO ൫ܧଵ
ଶܧ
ଷܧ൯est la base du repegravere locale
drone
RG(ܧ௭) et ଵܧ)
) sont les bases intermeacutediaires et టܪ ఏܪ et emptyܪ les matrices
de rotations orthogonales
Hభψ est la matrice de rotation de lrsquoangle autour de Oz1 appeleacute lacet au cap deacutefinie
par
టܪ = ൭ݏ ݏ 0
ݏminus ݏ 00 0 1
൱ (213)
Chapitre 2 MODELISATION DrsquoUN DRONE A QUATRE HELICES
28
H୷భ est la matrice de rotation de lrsquoangle θ autour de Oy1 appeleacute tangage ou assiette
deacutefinie par
ఏܪ = ൭ߠݏ 0 minus ߠݏ0 1 0
ߠݏ 0 ߠݏ൱ (214)
H୶మథ est la matrice de rotation de lrsquoangle autour de Ox2 appeleacute roulis ou gite
deacutefinie par
థܪ = ൭1 0 00 ݏ ݏ0 minus ݏ ݏ
൱ (215)
Figure 24 Rotations successives deacutefinissant les pseudos angles drsquoEuler
La transformation qui permet de passer du repegravere local vers le repegravere global ை est
donneacutee par
= టܪ ఏܪ థܪ (216)
Chapitre 2 MODELISATION DrsquoUN DRONE A QUATRE HELICES
29
Telle que
=
൭
ݏ ߠݏ ߠݏ ݏ minus ߠݏݏ ݏ minusߠݏ ݏ ݏ ݏߠݏ ݏ + ݏ ݏ ݏߠݏߠݏ ݏ ݏ + ݏ ݏ ݏ ݏߠݏ minus ݏ ߠݏ ߠݏ ݏ
൱(217)
R est une matrice de rotation orthogonale de deacuteterminant uniteacute ayant pour inverse sa
transposeacutee
Ce type de matrice forme un groupe appeleacute groupe des matrices orthogonales speacuteciales
dordre 3 noteacute SO(3) deacutefini par [36]
(3) = isin ℝଷtimesଷ = ܫ ݐ ()ݐ = 1
Gracircce agrave cette matrice de rotation R nous pouvons eacutetablir une relation entre la vitesse du
mini-heacutelicoptegravere exprimeacutee dans son propre repegravere mobile et sa vitesse exprimeacutee dans le
repegravere inertiel
233 Transformation des vitesses
Dans ce paragraphe nous mettons en eacutevidence la relation qui lie les vitesses du
drone exprimeacutees dans le repegravere local avec leurs expressions exprimeacutees dans le repegravere
inertiel
Soient
υଵ la vitesse lineacuteaire du mini-heacutelicoptegravere exprimeacutee dans le repegravere local RG
ηଵ = (x y z) vecteur position du centre de graviteacute du mini-heacutelicoptegravere par rapport au
repegravere inertiel RO
Ainsi nous pouvons eacutetablir la relation suivante qui fait le lien entre la vitesse locale du X4
flyer et sa vitesse exprimeacutee dans le repegravere inertiel
ଵߟ = ଵ (218)
De mecircme nous pouvons aussi eacutetablir une relation entre la vitesse angulaire du mini
heacutelicoptegravere exprimeacutee dans le repegravere local et celle exprimeacutee dans le repegravere inertiel
Soient
υଶ = (p q r) la vitesse angulaire du mini-heacutelicoptegravere exprimeacutee dans le repegravere local RG
ηଶ = (θ ϕ ψ) la vitesse angulaire du mini-heacutelicoptegravere exprimeacutee dans le repegravere inertiel
Ainsi nous pouvons eacutetablir la relation suivante
ଶߟ = ܬ ଶ (219)
Chapitre 2 MODELISATION DrsquoUN DRONE A QUATRE HELICES
30
Grace agrave la relation (212) nous avons
υଶ = ϕ ଵܧሬሬሬሬሬ+ θVሬሬ+ ψEሬሬሬሬ
= ϕ ଵܧሬሬሬሬሬ+ θቂcos(ϕ)ܧଶ
ሬሬሬሬሬminus sin(ϕ)ܧଷሬሬሬሬሬቃ+ ψቂminussin(θ)ܧଵ
ሬሬሬሬሬ+ cos(θ) Wሬሬሬቃ
= ϕ ଵܧሬሬሬሬሬ+ θቂcos(ϕ)ܧଶ
ሬሬሬሬሬminus sin(ϕ)ܧଷሬሬሬሬሬቃ
minus ψቂsin(θ)ܧଵሬሬሬሬሬminus cos(θ)ቀsin(ϕ)ܧଶ
ሬሬሬሬሬ+ cos(ϕ)ܧଷሬሬሬሬሬቁቃ
= ൫ϕ minus ψ sin(θ)൯ܧଵሬሬሬሬሬ+ ൫θ cos(ϕ) + ψcos(θ) sin(ϕ)൯ܧଶ
ሬሬሬሬሬ
minus ൫θ sin(ϕ) minus ψ cos(θ) cos(ϕ)൯ܧଷሬሬሬሬሬ
Ainsi nous avons
ቆpqrቇ= ቌ
1 0 minussin(θ)
0 cos(ϕ) cos(θ)sin(ϕ)
0 minussin(ϕ) cos(θ)cos(ϕ)ቍቌ
ϕ
θψ
ቍ (220)
Donc
Jଵ = ቌ
1 0 minussin(θ)
0 cos(ϕ) cos(θ)sin(ϕ)
0 minussin(ϕ) cos(θ)cos(ϕ)ቍ (221)
Drsquoougrave
J = ൮
1 sin(ϕ)tg(θ) minussin(θ)tg(θ)
0 cos(ϕ) minussin(ϕ)
0ୱ୧୬(ம)
ୡ୭ୱ()
ୡ୭ୱ(ம)
ୡ୭ୱ()
൲ (222)
La matrice J est deacutefinie pour tout θ ne
ଶ+ kπ avec k isin ℤ
En conclusion la relation cineacutematique srsquoeacutecrit
ቀυଵυଶቁ= ൬
R 0ଷlowastଷ
0ଷlowastଷ Jଵ൰൬
ηଵηଶ൰ (223)
Cette relation preacutesente une singulariteacute en θ = plusmn
ଶ
Or physiquement cette valeur est agrave eacuteviter car au voisinage de plusmn
ଶil y aura un
renversement du mini-heacutelicoptegravere Ainsi cette valeur nrsquoest pas atteignable par le mini-
heacutelicoptegravere cest-agrave-dire cette singulariteacute ne preacutesente pas une limitation agrave cette
parameacutetrisation
Chapitre 2 MODELISATION DrsquoUN DRONE A QUATRE HELICES
31
234 Forces Aeacuterodynamiques
Des eacutetudes en soufflerie ont permis de mettre en eacutevidence les diffeacuterentes forces
aeacuterodynamiques appliqueacutees sur les pales et leurs expressions [3738]
Dune maniegravere geacuteneacuterale les actions de lair se deacutecomposent en deux forces
Une force parallegravele agrave la vitesse de lair et de mecircme sens la traineacutee D
Une force perpendiculaire agrave la vitesse de lair la portance L
La somme vectorielle de ces deux forces constitue la reacutesultante des forces
aeacuterodynamiques
Force de portance
La pale se comporte comme une aile tournante de sorte que chaque eacuteleacutement de la pale dr
est en contact avec le flux dair avec une vitesse V induisant une force de portance [38]
dL =ଵ
ଶρCVଶds (224)
Ougrave ρ la densiteacute de lair C le coefficient de portance de lair il deacutepend de la forme du
profil et de langle dattaque (α = γ minus ϕ) (fig 25)
Ainsi pour un propulseur agrave n pales (2 pour le X4) la force de portance quon note f est
f =n
2 ρන VଶC୫ (r)C(r) dr
బ
=୬
ଶ ρ ωଶ int rଶC୫ (r) C(r) dr
బ
Avec
ܥ la corde de la pale (les pales sont similaires)
ω la vitesse angulaire de la pale
le rayon de pale
La force de portance a pour expression
f=ܭωsup2 (225)
Le calcul du coefficient de pousseacutee est souvent complexe Il est essentiel drsquoeacutelaborer
un processus expeacuterimental qui laisse deacuteterminer le coefficient de portance(K)
Chapitre 2 MODELISATION DrsquoUN DRONE A QUATRE HELICES
32
Figure 25 Description des forces appliqueacutees agrave la pale
Force de reacutesistance ou de traineacutee
Gracircce agrave de multiples tests en soufflerie les chercheurs ont pu deacuteterminer lexpression
de la force de traineacutee qui deacutepend directement du profil de la pale et de langle dincidence
[15 37]
Pour un propulseur agrave n pales la force de traineacutee a pour expression
ܯ =
2ߩ න ܥ ݎଶݎ(ݎ)ܥ(ݎ)
ோ
ோభ
Qursquoon note simplement
ܯ = ெܭ ଶ (226)
Avec
ܥ le coefficient de traineacute de lair il deacutepend de la forme du profil et de langle
drsquoattaque
ெܭ le coefficient de reacutesistance agrave deacuteterminer expeacuterimentalement
235 Modegravele dynamique du quadrirotor
Plusieurs auteurs ont eacutetudieacute la modeacutelisation du quadri-rotor Cette eacutetape est
consideacutereacutee comme le premier pas pour construire les lois de commande Le modegravele
Chapitre 2 MODELISATION DrsquoUN DRONE A QUATRE HELICES
33
dynamique obtenu repreacutesente la relation drsquoune part entre les forces et les couples
aeacuterodynamiques provoqueacutes par la rotation des rotors et lrsquoengin et drsquoautre part les
acceacuteleacuterations et de rotations du centre de masse du quadri-rotor Nous preacutesenterons drsquoabord
la dynamique de translation des cordonneacutees carteacutesiennes de la position et la vitesse dans le
repegravere terrestre fixe Ensuite la dynamique de rotation qui deacutecrit lrsquoattitude du drone et son
orientation dans le repegravere terrestre fixe est preacutesenteacutee
Le quadri-rotor est modeacuteliseacute en premiegravere approximation comme un solide indeacuteformable
La position du centre de masse G est deacutefinie par ܩ = (ݖݕݔ) et si on deacuterive une fois
par rapport agrave RG on trouve la vitesse G tel queௗைതതതത
ௗ௧= (ሶݖሶݕሶݔ) On deacuterive deuxiegraveme fois
par rapport agrave RG pour trouver son acceacuteleacuterationௗమைതതതത
ௗ௧మ= (ሷݖሷݕሷݔ)
Pour eacutelaborer la commande on deacutetaille le modegravele dans le repegravere fixe inertiel
Lrsquoeacutequation fondamental de la dynamique est donneacutee par
ௗ ௩ሬ
ௗ௧= ଵሬሬሬ (227)
ௗூಸఆሬሬ
ௗ௧= ଶሬሬሬ (228)
Ougrave υ repreacutesente la vitesse lineacuteaire du drone au centre de graviteacute G Ω la vitesse de
rotation de fuselage par rapport agrave Rୋ et (τ1τ2) les forces et les mouvements exteacuterieurs
soient le poids les forces et les moments aeacuterodynamiques et des propulseurs
2351 La dynamique de translation
La dynamique de translation du quadri-rotor est repreacutesenteacutee par lrsquoeacutequation
dynamique de Newton qui relie lrsquoacceacuteleacuteration lineacuteaire du centre de masse du quadri-rotor
et les forces externes agissant sur le quadri-rotor [7 38 39]
ௗsup2ை
ௗ௧sup2= fraslሬሬሬሬߛ R (229)
Il convient drsquoeacutecrire pour la translation
fraslሬሬሬሬሬߛ R = - eሬ + R ψ θ empty ሬݑ (230)
avec eሬ vecteur uniteacute de E
repreacutesente la constante gravitationnelle
ݑ la pousseacutee appeleacutee aussi entreacutee collective
Chapitre 2 MODELISATION DrsquoUN DRONE A QUATRE HELICES
34
=ሬݑ sum పሬሬସ
ୀଵ (231)
ሬሬሬሬሬߛ൘ = minus Ԧ௭ + ݑ Ԧଷ empty ߠ (232)
eሬଷ vecteur uniteacute de eሬ= (eሬଵ eሬଶ eሬଷ) porteacute par Eଷ
On montre que ݑ eሬଷ = (0 0 ݑଷ
) ougrave ݑଷ
= ଵ + ଶ + ଷ + ସ
La dynamique de translation est reacutegie par
= ሷݔ minus ଷݑߠ
ݕ = ߠݏܥ Sin ଷݑ (233)
=ሷݖ Cosݏܥߠ ଷݑ ndash
2352 Dynamique de rotation
La dynamique de rotation est deacutefinie par rapport au repegravere local mais exprimeacutee dans le
repegravere inertiel Le moment cineacutetique est deacutefinit par
Ԧߪ = ܫ ሬߗ (234)
Alors que la vitesse angulaire dans le repegravere local
=ሬߗ ଶߟܬ Ԧ (235)
A partir des eacutequations (234) et (235) on obtient
=ԦGߪ ܫ ଶߟܬ Ԧ
On pose ߎ = ܫ ܬ et en utilisant lrsquoeacutequation preacuteceacutedente la dynamique des momentssrsquoeacutecrit
ߎ ଶሬሬߟ + ߎ ሬሬextܯsum=ଶሷԦߟ (236)
Ougrave les moments exteacuterieurs par rapport agrave G ( i= i=1hellip4 qui repreacutesente la distance entre G et
i et qui sont identiques)
ሬሬextܯsum = ߠ Ԧ1 + empty Ԧ2+ ψ Ԧ3 (237)
Chapitre 2 MODELISATION DrsquoUN DRONE A QUATRE HELICES
35
Finalement les couples sont donneacutes par
=ߠ ( 2 ndash 4)empty = ( 1 ndash 3) (238)ψ = K ( 1 ndash 2 + 3 ndash 4)
Lrsquoeacutequation peut ecirctre eacutecrite comme
=ሷߟ ୋߎ minus]1-(ߟ) (ߟ)ୋߎ [ሶߟ (239)
Avec = ( ߠ empty ψ )t comme des commandes auxiliaires et
ୋߎ ቌ=(ߟ)
௫௫ܫ emptyݏܥ 0 00 ߠݏܥ emptyݏܥ௬௬ܫ 0
0 0 ௭௭ܫ
ቍ (240)
Dans un premier temps le modegravele donneacute ci-dessus peut ecirctre lineacuteariseacute par les lois de
commande deacutecoupleacutees suivantes
=ߠ ௫௫ܫ minus empty empty ߠ + ௫௫ܫ ǁ emptyݏܥempty = ௬௬ܫ minus sup2 empty ߠݏܥ empty minus emptyݏܥ௬௬ܫ ߠ empty ߠ + ௬௬ܫ emptyǁ emptyݏܥߠݏܥ (241)
ψ = ௭௭ܫ ǁψ
Le modegravele dynamique deacutecoupleacute de la rotation peut ecirctre eacutecrit sous la forme suivante
=ሷߟ ǁ (242)avec
ǁ= (ߠ empty ψ) T
En utilisant le systegraveme drsquoeacutequations 233 et 242 la dynamique du drone peut ecirctre deacutecrite
par les eacutequations suivantes
=ሷݔ - S 3ݑߠ
ݕ = Cߠݏ S empty 3ݑ
=ሷݖ C3ݑ emptyݏܥߠݏ ndash (243)
ߠ = ߠ
empty = empty
ψ = ψ
Chapitre 2 MODELISATION DrsquoUN DRONE A QUATRE HELICES
36
24 Etude des forces deacuteveloppeacutees
On srsquoattache dans cette partie agrave expliciter les actionneurs qui agissent sur le drone il
srsquoagit des quatre forces deacuteveloppeacutees par les heacutelices Afin de calculer la matrice des
actionneurs on construit une matrice qui permet la connexion entre les actionneurs et les
commandes en effet pour trouver ces forces il faut que la matrice Q soit inversible Les
relations entre les forces deacuteveloppeacutees par les actionneurs (les quartes moteurs brushless)
et les commandes dans les diffeacuterentes directions sont introduites pour le systegraveme X4 par
les relations suivantes [15]
ଷݑ = ଵ + ଶ + ଷ+ ସ
ସݑ =
౮౮ୡ୭ୱథଶminus
౯౯ୡ୭ୱథସ +
ୱ୧୬థ Φθ
ୡ୭ୱథ
ହݑ =
౮౮ୡ୭ୱథୡ୭ୱϴ ଵminus
౯౯ୡ୭ୱథୡ୭ୱϴ ଷ +ୱ୧୬థ Φ
మ
ୡ୭ୱథ+
ୗ୧୬ థ Φθ
ୡ୭ୱϴ(244)
ݑ =
ଵ minus
ଶ +
ଷ minus
ସ
On peut eacutecrire lrsquoeacutequation (244) sous la forme matricielle suivante
⎝
⎜⎜⎜⎛
ଷݑ
ସݑ
ହݑ
⎠ݑ
⎟⎟⎟⎞
= Q
⎝
⎜⎜⎜⎛
ଵ
ଶ
ଷ
ସ⎠
⎟⎟⎟⎞
+
⎝
⎜⎜⎜⎜⎛
0
ୱ୧୬థథ θ
ୡ୭ୱథ
ୱ୧୬థథమ
ୡ୭ୱథ+
ୱ୧୬థథ θ
େ୭ୱθ
0 ⎠
⎟⎟⎟⎟⎞
(245)
Avec
=
⎝
⎜⎜⎜⎜⎛
1
0
౯౯ ୡ୭ୱథ େθ
1
౮౮ୡ୭ୱథ
0
minus
1
0
minus
౯౯ ୡ୭ୱథ େθ
1
minus
౮౮ୡ୭ୱథ
0
minus
⎠
⎟⎟⎟⎟⎞
(246)
Chapitre 2 MODELISATION DrsquoUN DRONE A QUATRE HELICES
37
Ougrave
I =
⎝
⎜⎜⎜⎜⎛
0
ୱ୧୬థథ θ
ୡ୭ୱథ
ୱ୧୬థథమ
ୡ୭ୱథ+
ୱ୧୬థథ θ
େθ
0 ⎠
⎟⎟⎟⎟⎞
=
⎝
⎜⎜⎜⎛
ଷݑ
ସݑ
ହݑ
⎠ݑ
⎟⎟⎟⎞
(247)
Les forces sont calculeacutees agrave partir de lrsquoeacutequation suivante
f =
⎝
⎜⎜⎜⎛
ଵ
ଶ
ଷ
ସ⎠
⎟⎟⎟⎞
= Qଵ( minus I) (248)
Les caracteacuteristiques physiques du drone sont donneacutees par
l= 023 mIxx =224931 10-7 kg m2
Iyy =224931 10-7 kg m2
Izz =224931 10-7 kg m2
KT = 10-5 N S2
KM =9 10-6 N S2 mm =2 Kg
25 Conclusion
Dans ce chapitre nous avons preacutesenteacute le modegravele dynamique de mini-heacutelicoptegravere en
utilisant une approche Newton Euler Pour modeacuteliser cette dynamique nous avons vu que
plusieurs niveaux de repreacutesentation peuvent ecirctre considegraveres dynamique des actionneurs
dynamique des rotors processus de geacuteneacuteration de la reacutesultante des forces et des moments
dynamique du solide Ce dernier niveau de repreacutesentation indeacutependant de la configuration
de veacutehicule choisie est celui que nous utiliserons pour la synthegravese de lois de commande
Nous avons preacutesenteacute une modeacutelisation couramment utiliseacutee dans la litteacuterature permettant
de repreacutesenter la dynamique drsquoun drone miniature avec cette approche de type meacutecanique
du solide Le modegravele non lineacuteaire agrave six degreacutes de liberteacute obtenu est sous-actionneacute Cette
Chapitre 2 MODELISATION DrsquoUN DRONE A QUATRE HELICES
38
derniegravere proprieacuteteacute rend complexe la synthegravese de lois de commande Dans le chapitre
suivant la commande du drone par la technique du mode glissant est discuteacutee et appliqueacutee
ainsi que par la commande mode glissant floue
Chapitre3 COMMANDE PAR MODE GLISSANT ET FLOU-GLISSANT
38
Chapitre 3
COMMANDE PAR MODE GLISSANT ET FLOUGLISSANT
Chapitre3 COMMANDE PAR MODE GLISSANT ET FLOU-GLISSANT
39
3 COMMANDE PAR MODE GLISSANT ET FLOUE GLISSANT
31 Introduction
Malgreacute les efforts consideacuterables de la communauteacute automatique le problegraveme lieacute agrave
la commande drsquoun drone agrave modegravele reacuteduit pour les manouvres dans les diffeacuterents axes reste
un problegraveme difficile agrave reacutesoudre Cette difficulteacute est due principalement aux changements
des forces aeacuterodynamiques exerceacutees sur le drone en fonction des paramegravetres de
lrsquoenvironnement dans lequel il eacutevolueacute
Ce chapitre sera consacreacute agrave la conception des lois de commande non lineacuteaires
baseacutees sur la technique du mode glissant pour la commande des mouvements selon les
diffeacuterents axes Dans la premiegravere partie nous preacutesenterons quelques eacuteleacutements de la theacuteorie
par mode glissants agrave structure variable
La deuxiegraveme partie sera consacreacutee agrave la mise on œuvre et agrave la validation de ces techniques
de commande pour la stabilisation et le suivi de trajectoire du drone X4
Nous effectuons des tests en simulations de ces lois de commande dans diffeacuterentes
manouvres et sceacutenarios
32 Theacuteorie de la commande par mode de glissement
321 Systegraveme agrave structure variable
La commande par mode de glissement a connu un deacuteveloppement theacuteorique au
deacutebut des anneacutees 60 gracircce agrave la reacutesolution de lrsquoeacutequation diffeacuterentielle agrave second membre
discontinu par le matheacutematicien Russe A Fillipov [40 41] suivi des recherches de S
emelyanov en 1967 et de V Utkin en 1977 [42 43 44]
Le reacuteglage par modes de glissement est un mode de fonctionnement particulier des
systegravemes agrave structure variable Un systegraveme agrave structure variable est un systegraveme pouvant
changer de structure en faisant commuter sa commande entre deux valeurs suivant une
logique de commutation bien speacutecifique
Dans les systegravemes agrave structure variable avec mode glissant la trajectoire drsquoeacutetat est ameneacutee
vers une surface (hyperplan) puis agrave lrsquoaide de la loi de commutation elle est obligeacutee de
Chapitre3 COMMANDE PAR MODE GLISSANT ET FLOU-GLISSANT
40
rester au voisinage de cette surface Cette derniegravere est dite surface de glissement et le
mouvement le long de laquelle se produit est dit le mouvement de glissement La
trajectoire dans le plan de phase (systegraveme deuxiegraveme ordre) est constitueacutee de trois parties
distinctes (figure 31) [45 46 42 43]
Le mode de convergence (MC)
Durant lequel la variable agrave reacutegler se deacuteplace de nrsquoimporte quel point initial dans le plan de
phase est tend vers la surface de commutation (ݕݔ) = 0 Ce mode est caracteacuteriseacute par la
loi de commande et le critegravere de convergence
Le mode glissement (MG)
Durant lequel la variable drsquoeacutetat a atteint la surface de glissement et tend vers lrsquoorigine du
plan de phase La dynamique dans ce mode est caracteacuteriseacutee par le choix de la surface de
glissement (x y)
Le mode du reacutegime permanent (MRP)
Il est ajouteacute pour lrsquoeacutetude de la reacuteponse du systegraveme autour de sont point drsquoeacutequilibre (origine
du plan de phase) il est caracteacuteriseacute par la qualiteacute et les performances de la commande
Figure 31 Diffeacuterents modes pour la trajectoire dans le plan de phase
322 Conception de la commande par modes glissants
Syntheacutetiser une loi de commande par modes glissants revient en premier lieu agrave choisir la
surface de glissement qui permet la convergence de la trajectoire drsquoeacutetat du systegraveme vers le
point drsquoeacutequilibre deacutesireacute en second lieu agrave eacutetablir la condition drsquoexistence du mode de
glissement qui est relieacutee agrave la convergence de la trajectoire drsquoeacutetat vers le point drsquoeacutequilibre
et en troisiegraveme lieu agrave deacuteterminer la loi de commande qui aura pour rocircle de maintenir les
MC
MRP
MG
( ) =
Chapitre3 COMMANDE PAR MODE GLISSANT ET FLOU-GLISSANT
41
conditions de glissement (attractiviteacute) (Annexe A) En drsquoautre termes la conception de la
loi de commande par modes glissants est reacutealiseacutee en trois eacutetapes [47 48 43 45]
3221 Le choix de la surface de glissement (S)
La surface de glissement est un hyperplan dans lrsquoespace drsquoeacutetat global et repreacutesente
le comportement dynamique deacutesireacute La trajectoire drsquoeacutetat du systegraveme doit atteindre cette
surface Il nrsquoexiste pas de critegravere pour le choix drsquoune surface de glissement approprieacutee
Le choix de la surface du glissement identifieacutee par le nombre et sa forme deacutepend de
lrsquoapplication et lrsquoobjectif deacutesireacute
Consideacuterons le systegraveme non lineacuteaire deacutecrit par lrsquoeacutequation drsquoeacutetat suivante
=ሶݔ +ݔ(ݐݔ)ܣ ݑ(ݐݔ)ܤ (31)
La surface de glissement est une fonction scalaire telle que lrsquoerreur sur la variable agrave reacutegler
glisse sur cette surface et tend vers lrsquoorigine du plan de phase Nous trouvons dans la
litteacuterature diffeacuterentes formes de la surface dont chacune donne de meilleures performances
pour certaines utilisations
Dans certains ouvrage [48 49 42 43 44] on trouve une forme de la surface de
glissement qui est fonction de lrsquoeacutecart sur la variable agrave reacutegler x elle est donneacutee par
(ݔ) = ቀப
ப୲+ λቁ
ଵ
e(ݔ) (32)
Cette surface est drsquousage tregraves pratique car elle minimise le nombre des paramegravetres de
synthegravese de la surface (un seul coefficient) [50]
Ougrave lrsquoeacutecart de la variable agrave reacutegler est (ݔ) = ݔ minus ݔ estߣ une constante positive qui
repreacutesente la pente de la surface de glissement et r le degreacute relatif du systegraveme La
surface de glissement est fonction de lrsquoapplication et lrsquoobjectif viseacutes
La strateacutegie de commande consiste agrave garantir que les trajectoires du systegraveme se deacuteplacent
et tendent vers la surface de glissement (ݔ) = 0
Cette derniegravere et avec une condition initiale e(0) = 0 et (ݐݔ) = 0 devient une eacutequation
homogegravene qui possegravede une solution unique (ݔ) = 0
Chapitre3 COMMANDE PAR MODE GLISSANT ET FLOU-GLISSANT
42
Figure 32 Surface de glissement
3 222 La condition de convergence et drsquoexistence
Les conditions drsquoexistante et de convergence du mode de glissement sont des critegraveres
qui permettent aux dynamiques du systegraveme de converger vers la surface de glissement et
drsquoy rester indeacutependamment de la perturbation Il yrsquoa deux consideacuterations correspondantes
au mode de convergence de lrsquoeacutetat du systegraveme [46]
a) La fonction directe de commutation
Crsquoest la premiegravere condition de convergence Elle est proposeacutee et eacutetudieacutee par Emilyanov
et Utkin [42 43] Il srsquoagit de donner agrave la surface une dynamique convergente vers zeacutero
Elle est donneacutee par
(ݔ) gt 0 Lorsque (ݔ) lt 0
S (x) lt 0 Lorsque S(x) gt 0
Ces deux ineacutegaliteacutes peuvent ecirctre formuleacutes par la condition suffisante suivante
(ݔ) (ݔ) lt 0
b) La fonction de Lyapunov
La fonction de Lyapunov [46 43 44 ] est une fonction scalaire positive (Ѵ(ݔ) gt 0)
pour les variables drsquoeacutetats du systegraveme la loi de commande doit faire deacutecroicirctre cette fonction
(Ѵ (ݔ) lt 0) lrsquoideacutee est de choisir une fonction scalaire S(x) qui garantit lrsquoattraction de la
variable agrave controcircler vers sa valeur de reacutefeacuterence et de construire une commande u telle que
Ѵ(ݔ) =ଵ
ଶଶ(ݔ) (3 3)
( )=0
Chapitre3 COMMANDE PAR MODE GLISSANT ET FLOU-GLISSANT
43
La deacuteriveacutee de cette fonction est Ѵ(ݔ) = (ݔ) (ݔ) (3 4)
Pour que la fonction Ѵ(x) deacutecroitre il suffit drsquoassurer que sa deacuteriveacutee est neacutegative Ceci
nrsquoest permis que si la condition (34) est veacuterifieacutee Lrsquoeacutequation (33) explique que le carreacute de
la distance vers la surface mesureacutee par ଶ(ݔ) diminue tout le temps contraignant la
trajectoire du systegraveme agrave se diriger vers la surface dans les deux cocircteacutes [50]
3223 Deacutetermination de la commande
Une fois la surface de glissement S choisie stable de sorte que la sortie du systegraveme
converge vers une sortie deacutesireacutee la convergence du mode glissant est assureacutee on eacutelabore
une commande qui forcera les eacutetats du systegraveme agrave atteindre le point drsquoeacutequilibre tout en
maintenant la condition du mode glissant
La structure drsquoun controcircleur par mode de glissement peut ecirctre deacutecomposeacutee en une somme
de deux commandes [51 52 43 44 53]
ݑ = ݑ + ݑ (35)
ݑ eacutetant la commande eacutequivalente qui sert agrave maintenir lrsquoeacutetat sur la surface de glissement
(ݔ) = 0 et ݑ eacutetant la commande stabilisante (elle est deacutetermineacutee afin de veacuterifier la
condition de convergence en deacutepit de lrsquoimpreacutecision sur les paramegravetres et le modegravele)
La deacuteriveacutee totale par rapport au temps de cette surface est
S(ݐݔ) =partS
partt=
partS
ݔpart∙ ሶݔ (36)
Comme lrsquoeacutequation drsquoeacutetat est
=ሶݔ +ݔ(ݐݔ)ܣ ݑ(ݐݔ)ܤ + ݑ(ݐݔ)ܤ (37)
On a alors
S(ݐݔ) =partS
partt=
part
part௫∙ ൫ݔ(ݐݔ)ܣ+ +൯ݑ(ݐݔ)ܤ
partS
part௫ݑ(ݐݔ)ܤ (38)
En reacutegime ideacuteale la deacuteriveacutee de la surface est nulle la commande appliqueacutee au systegraveme est
la commande eacutequivalente ݑ par conseacutequent
൜ݑ = 0
(ݐݔ) = 0 (39)
Si la matrice ቀడௌ
డ௫∙ ቁest(ݐݔ)ܤ inversible lrsquoexpression de la commande eacutequivalente est
donneacutee par
=minusቀݑడௌ
డ௫∙ ቁ(ݐݔ)ܤ
ଵ
∙డௌ
డ௫∙ (ݐݔ)ܣ (310)
Chapitre3 COMMANDE PAR MODE GLISSANT ET FLOU-GLISSANT
44
Donc en remplaccedilant la commande eacutequivalente par son expression (310) dans (38) on
obtient
S(ݐݔ) =partS
ݔpart∙ (ݐݔ)ܤ ∙ ݑ (311)
Nous choisissons pour simplifier une surface de glissement qui veacuterifie la relation
பୗ
ப௫∙ (ݐݔ)ܤ = ܫ (312)
Ougrave I est la matrice identiteacute
Ainsi
(ݐݔ) = ݑ (313)
La commande discontinue est choisie de maniegravere agrave satisfaire la condition suffisante
drsquoexistence des modes glissants Il existe plusieurs formes pour cette commande ougrave la
condition drsquoexistence est veacuterifieacutee
ݑ = ܭminus ݏ ( ) (314)
Ougrave sign(( ((ݐݔ) est la fonction deacutefinie par
s (( ((ݐݔ) = ൜ݏ 1minus (ݐݔ) lt 0
1 ݏ (ݐݔ) gt 0 (315)
Avec K gt 0
(ݔ) (ݔ) = ܭminus ݏ ( ) lt 0 (316)
Ou encore
= ܭminus | | lt 0 (317)
323 Le pheacutenomegravene de reacuteticence
Le pheacutenomegravene de reacuteticence ℎݐݐ ݎ (fig33) est le principal inconveacutenient de la
technique de commande par mode glissant aux systegravemes physiques Ce pheacutenomegravene
conduit quelque fois agrave un nombre eacuteleveacute drsquooscillations de la trajectoire du systegraveme autour de
la surface de glissement est donc agrave des sollicitations excessives des actionneurs pouvant
provoquer leur usure rapide ainsi que des pertes eacutenergeacutetiques non neacutegligeables au niveau
des circuits de puissance eacutelectrique Il est ducirc drsquoune part agrave lrsquoimperfection des eacuteleacutements de
commutation ou des limites technologiques telles que les retards aux niveaux des
commutations [45 50]
Chapitre3 COMMANDE PAR MODE GLISSANT ET FLOU-GLISSANT
45
Figure 33 Pheacutenomegravene de chattering
324 Adoucissement de la commutation
Pour remeacutedier agrave lrsquoeffet de broutement de nombreuses eacutetudes ont eacuteteacute effectueacutees dans le
but de reacuteduire ou drsquoeacuteliminer ce pheacutenomegravene [ 50] Lrsquoune drsquoentre elles consiste agrave remplacer
la fonction sign par des approximations continues de type grand gain dans un voisinage de
la surface telles que la fonction de saturation deacutefinie par (voir figure 34)
Figure 34 Fonctions de commutation
La fonction sat(S(t)) est exactement eacutegale agrave la commutation sign(S(t)) agrave lexteacuterieur de la
couche limite φ Par conseacutequent ceci rend lanalyse vis-agrave-vis des erreurs de perturbation
plus facile Ceci nest pas le cas des autres fonctions comme smooth et comarctg pour
lesquels le choix de φ nest pas simple
33 Stabilisation du drone X4 par la meacutethode mode glissant
Dans cette partie en nous basant sur la strateacutegie de controcircle par mode glissant
deacutecrite dans les paragraphes preacuteceacutedents nous deacuteveloppons un vecteur de commande
ݐeacuteݎ
( )=0
sat (S(t))
φ
minusφ S(t)
Smooth(S(t))
S(t)
Penteଵ
ఝ Penteଵ
ଵఝ
arctg(S(t)
S(t)
Chapitre3 COMMANDE PAR MODE GLISSANT ET FLOU-GLISSANT
46
assurant le suivi et la stabiliteacute du quadri-rotors Rappelons le modegravele dynamique du X4
preacutesenteacute sous sa forme simplifieacutee suivante
=ሷݔ minus ଷݑߠݏ =ሷݕ emptyݏ ଷݑߠݏ =ሷݖ ߠݏ ଷݑ emptyݏ minus (318)
ߠ = ସݑempty = ହݑ = ݑ
331 Commande par mode glissant du systegraveme de translation lineacuteaire
3311 Controcircle de lrsquoaltitude
Nous remarquons que la commande u3 agit directement sur la variable drsquoaltitude z
contrairement aux commandes u4 et u5 qui agissent sur les variables x et y agrave travers les
angles ߠ et empty
Consideacuterons lrsquoeacutequation
=ሷݖ cos ଷݑ(empty) cos(ߠ) minus (319)
La surface est deacuteduite de lrsquoeacutequation (34) ougrave le degreacute relatif est pris eacutegal agrave deux afin que la
commande ଷݑ apparaisse explicitement dans sa deacuteriveacutee Elle est donneacutee par
(ݖ) = ሶ௭ + ௭ߣ ௭ (320)
Avec
௭ = ݖ minus z
ሶ௭ = ሶݖ minus ሶݖ
La deacuteriveacutee de la surface est
(ݖ) = ௭ + ௭ߣ ሶ௭ (321)
Avec ሷ௭ = ሷݖ minus ሷݖ
On remplace ሷparݖ sa valeur deacutecrite par lrsquoeacutequation (318) la deacuteriveacutee de la surface devient
(ݖ) = ሷݖ minus (ୡ୭ୱ(ఏ)ୡ୭ୱ (empty)
ଷݑ minus ) + ሶݖ)௭ߣ minus (ሶݖ (322)
Nous constatons donc que la commande apparaicirct explicitement dans la deacuteriveacutee de la
surface
Nous deacutecomposant la commande de lrsquoaltitude u3 en deux parties ଷݑ et ଷݑ
Chapitre3 COMMANDE PAR MODE GLISSANT ET FLOU-GLISSANT
47
ଷݑ = ଷݑ + ଷݑ (323)
En substituant lrsquoeacutequation 323 dans 322 nous obtenons
(ݖ) = ሷݖ minus (ୡ୭ୱ(ఏ)ୡ୭ୱ (empty)
( ଷݑ + (ଷݑ minus ) + ሶݖ)௭ߣ minus (ሶݖ (324)
Durant la mode de convergence et le reacutegime permanent nous avons la surface de
glissement (ݖ) = 0 ceci implique que sa deacuteriveacutee (ݖ) = 0 et la commande
discontinue ଷݑ = 0 drsquoougrave la grandeur de commande eacutequivalente
ଷݑ =
௦(ఏ)௦ (empty)൬ + ሶݖ௭ቀߣ+ሷݖ minus ሶቁ൰ݖ (325)
Durant le mode de convergence en remplaccedilant lrsquoexpression de la commande eacutequivalente
dans lrsquoexpression de la deacuteriveacutee de la surface nous obtenons
(ݖ) = minus௦(ఏ)௦ (empty)
ଷݑ (326)
Nous posons ଷݑ = ௭ ݏ ( ((ݖ) (327)
Afin de veacuterifier la condition de stabiliteacute de Layapunov S(z) S(z) lt 0 le paramegravetre ௭ doit
ecirctre positif
Drsquoougrave la commande ଷݑ devient comme suit
ଷݑ =
௦(ఏ)௦ (empty)൬ + ሶݖ௭ቀߣ+ሷݖ minus +ሶቁ൰ݖ ௭ ݏ ((ݖ)ݏ) (328)
33 12 Controcircle de deacuteplacement lineacuteaire suivant les axes et y
A partir du modegravele du X4 donneacute par lrsquoeacutequation (243) on voit clairement que le
deacuteplacement suivant les axes x et y deacutepend de la commande de pousseacutee ଷݑ Drsquoougrave
lrsquoorientation du vecteur total de pousseacutee ଷݑ responsable pour atteindre les mouvements
lineacuteaires deacutesireacutes Si nous consideacuterons ux = sin(ϴ) et uy = cos(ϴ)sin (empty) les orientations du
vecteur responsable pour les mouvements suivant les axes x et y respectivement Nous
pouvons par la suite tirer les angles pitch et roulis deacutesireacutes pour calculer les commandes ux
et uy
A partir du modegravele du drone le systegraveme dynamique des mouvements horizontale est
deacutefinis par
൜=ሷݔ minus ݏ ߠ) ଷݑ(
=ሷݕ cos (empty) ݏ (ߠ) ଷݑ (329)
Chapitre3 COMMANDE PAR MODE GLISSANT ET FLOU-GLISSANT
48
La loi de commande est obtenue par lrsquoutilisation de la technique mode glissant [54 55 56]
Les surfaces de glissement selon les axes x et y sont donneacutees par
(ݔ) = ሶ௫ + ௫ߣ ௫ (330)
(ݕ) = ሶ௬ + ௭ߣ ௬ (331)
Avec ex et ey les erreurs de positions qui sont deacutefinis par
௫ = ݔ minus ݔ
௬ = ݕ minus ݕ
Les mecircmes eacutetapes sont utiliseacutees pour deacuteterminer les commande de positions ௫etݑ ௬ݑ
௫ݑ =
௨య൫minusߣ௫൫ݔሶ minus minusሶ൯ݔ minusሷ൯ݔ ௫ ݏ ((ݔ)ݏ)ݐ (332)
௬ݑ =
௨య൫ߣ௬൫ݕሶ minus +ሶ൯ݕ +ሷ൯ݕ ௬ ݏ ((ݕ)ݏ)ݐ (333)
332 Commande par mode glissant du systegraveme de rotation
3321 Commande de lrsquoangle de roulis
Dans cette section on veut eacutetablir une commande par mode glissant qui assure
lrsquoorientation du drone par lrsquoangle empty (roulis)
Le degreacute relatif eacutegal agrave deux drsquoougrave la surface de glissement est deacutefinie par
(empty) = ሶempty + emptyߣ empty (334)
Avec
empty = empty minusempty
ሶempty = empty minus empty
La deacuteriveacutee de la surface est
(empty) = empty + emptyߣ ሶempty (335)
Avec ሷempty = empty minus empty
On remplace empty par sa valeur deacutecrite par lrsquoeacutequation (318) la deacuteriveacutee de la surfacedevient
(empty) = empty minus ହݑ + empty)emptyߣ minus empty) (336)
Nous constatons donc que la commande apparaicirct explicitement dans la deacuteriveacutee de la
surface
Nous deacutecomposant la commande de lrsquoaltitude u5 en deux parties ହݑ et ହݑ
ହݑ = ହݑ + ହݑ (337)
En substituant lrsquoeacutequation 337 dans 336 nous obtenons
(empty) = empty minus ହݑ ) + (ହݑ + empty)emptyߣ minus empty) (338)
Chapitre3 COMMANDE PAR MODE GLISSANT ET FLOU-GLISSANT
49
Durant le mode de convergence et le reacutegime permanent nous avons la surface de
glissement (empty) = 0 ceci implique que sa deacuteriveacutee (empty) = 0 et la commande
discontinue ହݑ = 0 drsquoougrave la grandeur de commande eacutequivalente
ହݑ = empty+ߣemptyቀempty minus emptyቁ (339)
En remplaccedilant lrsquoexpression de la commande eacutequivalente dans lrsquoexpression de la deacuteriveacutee de
la surface nous obtenons
(empty) = ହݑ minus (340)Nous posons
ହݑ = kempty sign(s(empty)) (341)
Afin de veacuterifier la condition de stabiliteacute de Laypunov (empty) (empty) lt 0 le paramegravetre empty
doit ecirctre positif
Drsquoougrave la commande ହݑ devient comme suit
ହݑ = empty+ߣemptyቀempty minus emptyቁ+ empty ݏ ( (empty)) (342)
3321 Commande des angles de tangage et de lacet
En suivant les mecircmes eacutetapes deacutecrites preacuteceacutedemment pour deacuteterminer les commandes de
tangage et de lacet ce qui nous donne [54 55 56]
ସݑ = ߠఏቀߣ+ߠ minus +ቁߠ ఏܭ ݏ ((ߠ)ݏ) (343)
ݑ = +ߣట ቀ minus ቁ+ kట sign(s()) (344)
Avec(ߠ) = ሶఏ + ఏߣ ఏ (345)
() = ሶట + టߣ ట (346)
34 Planification de trajectoire et reacutesultats de simulations
Nous travaillons avec une trajectoire en ligne droite le long des axes etݔݖ ݕ et nous
effectuons des trajectoires de type arc ou bien demi-cercle La stabilisation point par point
est utiliseacutee avec la planification de mouvement Le drone doit voler dans la direction ݖ (vol
vertical) suivi par un mouvement suivant ݔ ensuite par un mouvement suivant ݕ [2 15]
La trajectoire de reacutefeacuterence pour le vol vertical est parameacutetreacutee par lrsquoeacutequation suivante
(ݐ)ݖ = ℎௗ௧ఱ
௧ఱାቀ భ௧ቁ
ఱ (347)
Chapitre3 COMMANDE PAR MODE GLISSANT ET FLOU-GLISSANT
50
Avec h lrsquoaltitude deacutesireacutee de 10 m et Tଵ est le temps final Sachant que la valeur finale
drsquoune phase du vol est la valeur initiale du mouvement suivant x On peut eacutecrire la
trajectoire de reacutefeacuterence suivant x comme
(ݐ)ݔ = ℎௗቀ௧
భቁఱ
ቀ௧ మቁ
ఱା൬
భቀ௧ మቁ൰
ఱ (348)
On peut eacutecrire le mouvement suivant y avec la formule suivante
(ݐ)ݕ = ℎௗቀ௧
మቁఱ
ቀ௧ యቁఱା൬
మቀ௧ యቁ൰
ఱ (349)
ଶ est le temps final du mouvement le long de ݔ
ଷ est le temps final du mouvement le long de ݕ
Ces trajectoires sont soumises agrave des contraintes de performance qui sont
(0)ݖ = ൫ݔ ଵ൯=ݕ൫
ଶ൯= 0
൫ݖ ଵ൯= ൫ݔ
ଶ൯=ݕ൫ ଷ൯= ℎௗ
ሶ(0)ݖ = ሶ൫ݔ ଵ൯=ݕሶ൫
ଶ൯= 0
ሶ൫ݖ ଵ൯= ሶ൫ݔ
ଶ൯=ݕሶ൫ ଷ൯= 0 (350)
ሷ(0)ݖ = ሷ൫ݔ ଵ൯=ݕሷ൫
ଶ൯= 0
ሷ൫ݖ ଵ൯= ሷ൫ݔ
ଶ൯=ݕሷ൫ ଷ൯= 0
Minimiser le temps de deacuteplacement implique que lrsquoengin acceacutelegravere au deacutepart et deacuteceacutelegravere agrave
lrsquoarriver
La figure 35 illustre les trajectoires de reacutefeacuterences des vols suivant les directions x et y
ainsi que le vol vertical z Le drone effectue un mouvement vertical de 10 m puis un
mouvement suivant x drsquoune distance de 10 m ensuite un mouvement suivant y de la mecircme
Chapitre3 COMMANDE PAR MODE GLISSANT ET FLOU-GLISSANT
51
distance
Figure 35 Geacuteneacuteration de trajectoire avec =
Nous travaillons aussi avec des trajectoires pour faire par exemple des virages Un virage
est mateacuterialiseacute par un arc de cercle de rayon ߩ et drsquoangle (ݐ)ߙ (angle de virage)
Cette deacutependance du temps de ߙ implique qursquoon peut planifier la maniegravere dont on veut
aborder le virage Ainsi on peut planifier une acceacuteleacuteration ou une deacuteceacuteleacuteration dans un
virage De mecircme lrsquoangle ߙ qui agit directement sur le comportement du lacet peut
prendre des valeurs entre zeacutero pour un changement de direction ou ߨ2 pour contourner
un carrefour
Nous proposons de connecter etݖ ݔ agrave travers les eacutequations suivantes
ቊ(ݐ)ௗݔ = +൯(ݐ)ߙcos൫ߩminus ߩ
(ݐ)ௗݖ = +൯(ݐ)ߙsin൫ߩminus ߩ (351)
Et pour la transition de reacutefeacuterence entre ݔ et ݕ on prend
ቊ(ݐ)ௗݔ = +൯(ݐ)ߙsin൫ߩ ௗ൫ݔ
ଶ൯
(ݐ)ௗݕ = +൯(ݐ)ߙsin൫ߩminus ߩ (352)
Pour assurer la continuiteacute entre les deacuteriveacutees par rapport au temps de (ݐ)ௗݔ et (ݐ)ௗݕ crsquoest-agravedire en vitesse on a
0 5 10 15 20 250
2
4
6
8
10
12
z-re
f(m
)
temps (s)
0 5 10 15 20 250
2
4
6
8
10
12
x-r
ef(m
)
temps (s)
0 5 10 15 20 250
2
4
6
8
10
12
y-r
ef(m
)
temps (s)
05
10
0
10
200
5
10
x-deacuteplacementy-deacuteplacementz-
deacutep
lace
men
t
Chapitre3 COMMANDE PAR MODE GLISSANT ET FLOU-GLISSANT
52
(ݐ)ߙ =ఈ(௧ ௧)ఱ
(௧ ௧)ఱା(௧ ௧)ఱ(353)
Ougrave numeacuteriquement =ߩ 2 ௗߙ = ఈగ
ଶ( ఈ = 12) ݐ = ݏ6 ݐ = ݏ8 ௗ൫ݔ
ଶ൯=
ௗ൫ݕ ଷ൯= ℎௗ + =ߩ 10
Figure 36 une trajectoire de reacutefeacuterence avec arcs
Simulation numeacuterique
Dans cette partie nous testons numeacuteriquement la performance du vecteur de commande
deacuteveloppeacute preacuteceacutedemment en utilisant logiciel Matlab Simulink
Les coefficients de gain kx ky kz ఏ empty associeacutes respectivement aux paramegravetres x y z ߠempty et sont donneacutes par ( 5 4 10 10 5)
௭ߣ = 2 ௫ߣ = 5 ௬ߣ = 2 ఏ=10ߣ et emptyߣ = 5
Par la suite nous affichons les reacutesultats numeacuteriques du suivi de trajectoire de reacutefeacuterence en
absence et en preacutesence des perturbations
02
46
810
1214
02
46
810
120
2
4
6
8
10
12
Deacuteplacement suivant (x)Deacuteplacement suivant (y)
Deacutepla
cem
ent
suiv
ant
(z)
Chapitre3 COMMANDE PAR MODE GLISSANT ET FLOU-GLISSANT
53
Figure 37 La trajectoire de reacutefeacuterence et reacuteelle en cas droites
Figure 38 Les commandes u3 u4 u5 des connexions droites
02
46
810
12
02
46
810
120
2
4
6
8
10
12
Deacuteplacement suivant (x)Deacuteplacement suivant (y)
Deacute
pla
ce
me
nt
su
iva
nt
(z)
Trajectoire reacuteelle
Trajectoire reacutefeacuterence
0 5 10 15 20 250
20
40
u3(N
)
0 5 10 15 20 25-10
0
10
u4(N
m)
0 5 10 15 20 25-10
0
10
u5(N
m)
temps (s)
Chapitre3 COMMANDE PAR MODE GLISSANT ET FLOU-GLISSANT
54
Figure 39 Les erreurs pour des connections droites
Figure 310 Les angles de tangage et de roulis pour des connections droites
0 5 10 15 20 25 30 35-5
0
5x 10
-4
z-e
rreur(m
)
0 5 10 15 20 25 30 35-5
0
5x 10
-3
x-e
rreur(m
)
0 5 10 15 20 25 30 35-5
0
5x 10
-5
y-e
rreur(m
)
temps (s)
0 5 10 15 20 25
-05
0
05
angle
theta
(rad)
0 5 10 15 20 25
-05
0
05
angle
phi(rad)
temps (s)
Chapitre3 COMMANDE PAR MODE GLISSANT ET FLOU-GLISSANT
55
Figure 311 La trajectoire de reacutefeacuterence et reacuteelle en cas drsquoarcs
Figure 312 Les commandes u3 u4 u5 des connexions drsquoarcs
0
5
10
15
0
5
10
150
5
10
15
deacuteplacement suivant (x)deacuteplacement suivant (y)
deacutepla
cem
entsuiv
ant(z
)
Trajectoire reacuteelle
Trajectoire reacutefeacuterence
0 5 10 15 20 25 30 350
20
40
u3(N
)
0 5 10 15 20 25 30 35
-10
0
10
u4(N
m)
0 5 10 15 20 25 30 35-10
0
10
u5(N
m)
temps (s)
Chapitre3 COMMANDE PAR MODE GLISSANT ET FLOU-GLISSANT
56
Figure 313 Les erreurs pour des connexions drsquoarcs
Figure 314 Les angles de tangage et de roulis en cas drsquoarcs
0 5 10 15 20 25 30 35-5
0
5x 10
-4
z-e
rreur(m
)
0 5 10 15 20 25 30 35-5
0
5x 10
-3
x-e
rreurr
(m)
0 5 10 15 20 25 30 35-5
0
5x 10
-5
y-e
rreur(m
)
temps (s)
0 5 10 15 20 25 30 35
-05
0
05
angle
theta
(rad)
0 5 10 15 20 25 30 35
-05
0
05
angle
phi(rad)
temps (s)
Chapitre3 COMMANDE PAR MODE GLISSANT ET FLOU-GLISSANT
57
Figure 315 La trajectoire de reacutefeacuterence et reacuteelle en cas des demi-cercles
Figure 316 Les commandes u3 u4 u5 pour des connexions demi-cercles
-10
010
20
30
-5
0
5
100
5
10
15
20
25
deacuteplacement suivant (x)deacuteplacement suivant (y)
deacutepla
cem
entsuiv
ant(z
)
Trajectoire reacuteelle
Trajectoire reacutefeacuterence
0 10 20 30 40 50 60 70 80 900
10
20
30
u3(N
)
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90-5
0
5
u4(N
m)
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90-5
0
5
u5(N
m)
temps (s)
Chapitre3 COMMANDE PAR MODE GLISSANT ET FLOU-GLISSANT
58
Figure 317 Les erreurs pour des connexions demi-cercles
Figure 318 Les angles pour des connexions demi-cercles
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90-2
0
2x 10
-3
z-e
rreur(m
)
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90-5
0
5x 10
-4
x-e
rreur(m
)
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90-5
0
5x 10
-4
y-e
rreur(m
)
temps (s)
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90
-05
0
05
angle
theta
(rad)
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90
-05
0
05
angle
phi(rad)
temps (s)
Chapitre3 COMMANDE PAR MODE GLISSANT ET FLOU-GLISSANT
59
Figure 319 La trajectoire de reacutefeacuterence et reacuteelle en cas des demi-cercles
Figure 320 La trajectoire de reacutefeacuterence et reacuteelle en cas drsquoheacutelicoiumldale
-4
-20
2
4
-2
0
2
40
5
10
15
20
25
deacuteplacement suivant (x)deacuteplacement suivant (y)
deacutepla
cem
entsuiv
ant(z
)
Trajectoire reacuteelle
Trajectoire reacutefeacuterence
0
5
10
15
0
5
10
150
5
10
15
deacuteplacement suivant (x)deacuteplacement suivant (y)
deacutepla
cem
ent
suiv
ant
(z) Trajectoire reacuteelle
Trajectoire reacutefeacuterence
Chapitre3 COMMANDE PAR MODE GLISSANT ET FLOU-GLISSANT
60
Figure 321 La trajectoire de reacutefeacuterence et reacuteelle en cas drsquoun cocircne
Les figures 37 38 et 39 illustrent respectivement la reacutealisation des connexions droites
les signaux de commandes et des erreurs Nous constatons que la trajectoire parcourue par
le drone suit la trajectoire deacutesireacutee avec des erreurs de tregraves faibles valeurs Pour les
commandes la condition de lrsquoeacutetat drsquoeacutequilibre est toujours veacuterifieacutee apregraves avoir effectueacute une
manœuvre ଷݑ) est approximativement eacutegale agrave mg et les commandes ସݑ et ହݑ tendent vers
zero)
La figure (310) preacutesente lrsquoeacutevolution des angles de tangage et de roulis nous observons que
ces angles ne se manifestent que lors drsquoun mouvement effectueacute respectivement suivant les
axes ݔ et ݕ et tendent vers la valeur zeacutero apregraves avoir fait lrsquoorientation deacutesireacutee
Les figures (311) et (315) montrent respectivement la bonne poursuite de la trajectoire
reacuteelle vers sa reacutefeacuterence pour des connexions arcs et demi-cercle
Les figures (312) (313) et (314) illustrent respectivement les reacutesultats de simulation
pour la reacutealisation des connexions en arcs les signaux de commandes les erreurs et les
angles de tangage et de roulis
Les figures (316) et (317) quant agrave elles illustrent respectivement les signaux de
commande et les erreurs de poursuite pour des connexions en demi-cercle La condition de
lrsquoeacutetat drsquoeacutequilibre dans ce cas est toujours veacuterifieacutee apregraves avoir effectueacute les manouvres en
demi-cercle
-2
-10
1
2
-2
-1
0
1
20
1
2
3
4
5
deacuteplacement suivant (x)deacuteplacement suivant (x)deacuteplacement suivant (y)
deacutepla
cem
entsuiv
ant(z
)
trajectoire reacuteelle
Trajectoire reacutefeacuterence
Chapitre3 COMMANDE PAR MODE GLISSANT ET FLOU-GLISSANT
61
Drsquoapregraves la figure (318) on voit bien que les angles de tangage et de roulis tendent vers la
valeur zeacutero apregraves avoir fait lrsquoorientation deacutesireacutee
Les figures (319) (320) et (321) montrent la bonne poursuite des trajectoires reacuteelles agrave
leurs reacutefeacuterences en 3D pour des connexions demi-cercle (deuxiegraveme forme) heacutelicoiumldale et
cocircne respectivement Drsquoapregraves ces figures on voit clairement les bonnes performances de la
commande par mode glissant
341 Etude de robustesse
Nous nous inteacuteressons dans cette partie aux tests de la robustesse des controcircleurs
deacuteveloppeacutes Nous nous placcedilons toujours dans le cadre de la commande du drone X4 dans
le cas de lrsquoinfluence du vent suivant les diffeacuterents axes du mouvement
Selon le principe drsquoinertie (lois du mouvement de Newton) aucune eacutenergie nrsquoest
neacutecessaire pour maintenir le mouvement uniforme drsquoun corps dans le vide Dans le cas du
X4 une reacutesistance ou une force de traineacutee srsquooppose au mouvement de celui-ci en vol et
crsquoest le travail de cette force qui entraine une consommation suppleacutementaire drsquoeacutenergie aux
niveaux des actionneurs et qui affaiblit ses capaciteacutes en vol Cette force de reacutesistance peut
ecirctre calculeacutee comme suit [15]
=ܨଵ
ଶ௫ܥ ܣߩ
ଶ (354)
Fi la force de traineacutee suivant lrsquoaxe i en [N]
V est la vitesse relative en [ms]
A lrsquoaire caracteacuteristique de la surface frontale de la structure du drone [m2]
ρ la masse volumique du drone en [Kgm3]
Lrsquoexpression de lrsquoeacutequation 3 65 introduit un coefficient de traineacutee sans dimention Cx qui
deacutepend de la structure du X4 et qui est deacutetermineacute expeacuterimentalement en soufflerie
Ce coefficient vaut dans le cas du drone X4
-Cx = 005 suivant le deacuteplacement dans les directions x et y
-Cx = 008 suivant le deacuteplacement dans la direction z
Lrsquoaire caracteacuteristique A de la surface frontale de la structure drone est eacutegale agrave A =
0031[m2] avec une masse volumique estimeacutee eacutegale agrave ρ =122 [Kgm3]
Reacutesultat de simulation
Dans cette partie nous testons numeacuteriquement la performance du vecteur de
commande deacuteveloppeacute preacuteceacutedemment en preacutesence des perturbations externes qui sont
donneacutes par
Chapitre3 COMMANDE PAR MODE GLISSANT ET FLOU-GLISSANT
62
Ax =Ay = Az = 67 N pour t1=15s t2=20s et t3=30s
Ap = Aq = Ar = 1 Nm pour t4 = 32s et t5 = 35s
Les figures (322) (323) (324) (325) (326) illustrent les reacutesultats de la simulation dans
le cas drsquoune force de traineacutee opposeacutee de Ftrn = 65 N pour les deacuteplacements suivant les
directions z x et y respectivement Ainsi lrsquoapplication drsquoun couple reacutesistant pour les
orientations ߠ et empty de valeur 1Nm Drsquoapregraves ces figures on remarque que les erreurs sont
importantes et peuvent augmenter avec lrsquoaugmentation de la perturbation
Figure 322 La trajectoire de reacutefeacuterence et reacuteelle en cas des demi-cercles
02
46
810
1214
0
5
10
150
2
4
6
8
10
12
diplacement suivant (x)diplacement suivant (y)
dip
lacem
ent
suiv
ant
(z)
Trajectoire reacuteelle
trajectoire reacutefeacuterence
0 5 10 15 20 25 30 35 400
50
u3(N
)
0 5 10 15 20 25 30 35 40-60-40-20
020
u4(N
m)
0 5 10 15 20 25 30 35 40
-50
0
50
u5(N
m)
temps (s)
Chapitre3 COMMANDE PAR MODE GLISSANT ET FLOU-GLISSANT
63
Figure 323 Les commandes u3 u4 u5 des connexions demi-cercles
Figure 324 Les erreurs pour des connexions demi-cercles
Figure 325 Les angles pour des connexions demi-cercles
0 5 10 15 20 25 30 35 40
-05
0
05
1
angle
theta
(rad)
0 5 10 15 20 25 30 35 40
-1
-05
0
05
1
angle
phi(r
ad)
temps (s)
0 5 10 15 20 25 30 35 40-05
0
05
z-e
rreur
(m)
0 5 10 15 20 25 30 35 40-05
0
05
x-e
rreurr
(m)
0 5 10 15 20 25 30 35 40
-05
0
05
y-e
rreur
(m)
temps (s)
Chapitre3 COMMANDE PAR MODE GLISSANT ET FLOU-GLISSANT
64
Figure 326 Les forces pour des connexions demi-cercles
35 Commande du drone par mode glissant agrave action inteacutegrale
Lrsquoutilisation des fonctions drsquoadoucissement empecircche lrsquoexistence dun mode de glissement
ideacuteal Par conseacutequent il est important de connaicirctre le comportement du systegraveme boucleacute
lorsque nous introduisons une des fonctions dadoucissement preacuteceacutedentes
Dans le but de compenser lrsquoerreur en reacutegime permanent on peut ajouter un terme inteacutegral
dans la surface de glissement [57 58 59] Ce perfectionnement (agrave lrsquoinstar drsquoautres) est
introduit a priori et justifieacute par des essais sur des systegravemes particuliers
Notre objectif dans ce paragraphe est de concevoir une nouvelle approche baseacutee sur la
theacuteorie de la commande agrave structure variable en introduisant lrsquoaction inteacutegrale sans
toutefois perdre les proprieacuteteacutes de la commande par mode glissant
Dans cette partie nous preacutesentons la deacutetermination de la loi de commande pour la
direction suivant lrsquoaxe z par lrsquointroduction de lrsquoaction inteacutegral dans la surface
La surface de glissement sera deacutefinie par
0 5 10 15 20 25 30 35 400
5
10
15F
1(N
)
0 5 10 15 20 25 30 35 400
5
10
15
F2
(N)
0 5 10 15 20 25 30 35 4005
1015
F3
(N)
0 5 10 15 20 25 30 35 4005
1015
F4
(N)
temps (s)
Chapitre3 COMMANDE PAR MODE GLISSANT ET FLOU-GLISSANT
65
(ݖ) = ሶ௭ + ௭ߣ ௭ + int ௭ݐ (355)
Ainsi que sa deacuteriveacutee est
(ݖ) = ௭ + ௭ߣ ሶ௭ + ௭ (356)
La commande drsquoaltitude ଷݑ est calculeacutee par la relation suivante
ଷݑ = ଷݑ + ଷݑ (357)
La commande ݑ est deacutetermineacutee par reacutegime glissant ideacuteal
ଷݑ =
௦ ఏ ௦ empty൬ + ሷݖ + ሶݖ௭ቀߣ minus +ሶቁݖ ൫ݖ minus ൯൰ݖ (358)
Par la technique du mode glissant on deacuteduit la forme suivante pour la commande ଷݑ
ଷݑ =
௦ ఏ ௦ empty൬ + ሷݖ + ሶݖ௭ቀߣ minus +ሶቁݖ ቀݖ minus minusቁ൰ݖ ௭ ݏ )ݐ ((ݖ) (359)
Nous suivons les mecircmes eacutetapes deacutecrites preacuteceacutedemment pour deacuteterminer les commandes du
drone X4 ce qui nous donne
⎩⎪⎪⎪⎨
⎪⎪⎪⎧ ௫ݑ =
௨య൫minusߣ௫൫ݔሶ minus minusሶ൯ݔ ሷݔ + k୧൫x ndash x ൯൯minus ௫ ݏ ൫ݐ ൯(ݔ)
௬ݑ =
௨యቀߣ௬൫ݕሶ minus +ሶ൯ݕ ሷݕ + k୧൫y ndash y ൯ቁndash ௬ ݏ )ݐ (ݕ)
ସݑ = ఏߣ+ߠ ቀߠ ndash +ቁߠ k୧൫ߠ ndashߠ൯+ ఏܭ ݏ ൯(ߠ)ݏ൫ݐ
ହݑ = empty+ߣempty ቀempty minus emptyቁ+ k୧൫empty minus empty ൯+ empty ݏ ൫ݐ (empty)൯
ݑ = +ߣట ቀ minus ቁ+ k୧൫ minus ൯+ kట sat(S())
(360)
351 Reacutesultats de simulations
Nous preacutesentons dans cette partie les reacutesultats du controcircle mode glissant associeacute agrave une
action inteacutegrale pour la commande du X4 avec perturbation Nous traitons dans cette partie
lrsquoexemple de la reacutealisation des connections demi-cercles pour les mouvements z x y Le
gain ki=2 dans notre simulation En conservant les mecircmes coefficients de gain utiliseacutes
preacuteceacutedemment
Les figures (327) (328) (329) et (330) repreacutesentent respectivement la reacutealisation en
3D lrsquoerreur la commande et les angles pour la trajectoire de connexion de type demi-
cercle en preacutesence de la perturbation externe Nous remarquons de ces figures que la
robustesse de la commande est veacuterifieacutee numeacuteriquement En effet avec une telle force de
traineacutee la commande produit des valeurs assez raisonnables assurant le suivi du drone agrave sa
trajectoire de reacutefeacuterence
Chapitre3 COMMANDE PAR MODE GLISSANT ET FLOU-GLISSANT
66
Les figures (331) (332) et (333) montrent la comparaison entre la commande mode
glissant et le mode glissant agrave action inteacutegrale Drsquoapregraves ces figure on voit clairement que la
commande mode glissant agrave action inteacutegrale est la mieux adapteacutee agrave des trajectoires de
connexions de type demi-cercle arcs et heacutelicoiumldale
Figure 327 La trajectoire de reacutefeacuterence et reacuteelle en cas des demi-cercles
Figure 328 Les erreurs pour des connexions demi-cercles
0 5 10 15 20 25 30 35 40-05
0
05
z-e
rreur
(m)
0 5 10 15 20 25 30 35 40-05
0
05
x-e
rreurr
(m)
0 5 10 15 20 25 30 35 40
-05
0
05
y-e
rreur
(m)
temps (s)
02
46
810
1214
0
5
10
150
5
10
15
Deacuteplacement suivant (x)Deacuteplacement suivant (y)
Deacutepla
cem
ent
suiv
ant
(z)
Trajectoire reacuteelle
Trajectoire reacutefeacuterence
Chapitre3 COMMANDE PAR MODE GLISSANT ET FLOU-GLISSANT
67
Figure 329 Les commandes pour des connexions demi-cercles
Figure 330 Les angles pour des connexions demi-cercles
0 5 10 15 20 25 30 35 400
50
u3(N
)
0 5 10 15 20 25 30 35 40-60-40-20
020
u4(N
m)
0 5 10 15 20 25 30 35 40
-50
0
50
u5(N
m)
temps (s)
0 5 10 15 20 25 30 35 40
-05
0
05
1
angle
theta
(rad)
0 5 10 15 20 25 30 35 40
-1
-05
0
05
1
angle
phi(r
ad)
temps (s)
Chapitre3 COMMANDE PAR MODE GLISSANT ET FLOU-GLISSANT
68
Figure 331 La trajectoire de reacutefeacuterence et reacuteelle en cas des demi-cercles
Figure 332 La trajectoire de reacutefeacuterence et reacuteelle en cas des connexions arcs
02
46
810
1214
0
5
10
150
5
10
15
Deacuteplacement suivant (x)Deacuteplacement suivant (y)
Deacutepla
cem
ent
suiv
ant
(z)
Trajectoire reacuteelle PIMG
Trajectoire reacutefeacuterence
Trajectoire reacuteelle MG
02
46
810
1214
0
5
10
150
5
10
15
Deacuteplacement suivant (x)Deacuteplacement suivant (y)
Deacutepla
cem
ent
suiv
ant
(z)
Trajectoire reacuteelle MG
trajectoire reacutefeacuterence
trajectoire reacuteelle PI MG
Chapitre3 COMMANDE PAR MODE GLISSANT ET FLOU-GLISSANT
69
Figure 333 La trajectoire de reacutefeacuterence et reacuteelle en cas heacutelicoiumldale
36 Commande du drone par un controcircleur flou-glissant
Le majeur inconveacutenient du mode de glissement est que la commande discontinue
produit pheacutenomegravene de broutement ou chattering Notons que le broutement peut exciter
des dynamiques hautes freacutequences neacutegligeacutees menant parfois agrave lrsquoinstabiliteacute Afin drsquoeacuteliminer
ou de minimiser ce pheacutenomegravene plusieurs meacutethodes ont eacuteteacute deacuteveloppeacutees [45 60 61 62
63 64 65 66 67 68 69] Dans notre travail nous avons introduit des hybridations entre la
logique flou et le mode glissant afin de reacuteduire le pheacutenomegravene de broutement et drsquoameacuteliorer
drsquoavantage les performances du controcircle du drone Apregraves avoir introduit le principe des
approches proposeacutees nous preacutesentons leurs mises en œuvre pour la commande de notre
quadri-rotors
Dans notre travail nous avons proposeacutes une nouvelle structure des controcircleurs flou-
glissant Dans cette structure un meacutecanisme drsquoinfeacuterence flou est utiliseacute pour geacuteneacuterer et
drsquoune faccedilon douce la composante discontinue de la loi de commande par mode glissant
(SMC) La figure (334) montre le scheacutema bloc de la strateacutegie de control proposeacute [70 71]
-3-2
-10
12
3
-3-2
-10
12
30
10
20
30
40
Deacuteplacement suivant (x)Deacuteplacement suivant (y)
Deacutepla
cem
ent
suiv
ant
(z)
Trajectoire reacuteelle MG
Trajectoire reacutefeacuterence
Trajectoire reacuteelle PIMG
Chapitre3 COMMANDE PAR MODE GLISSANT ET FLOU-GLISSANT
70
Figure 334 Controcircleur par mode glissant flou
Dans le controcircleur flou-glissant proposeacute la surface (s) preacutesente lrsquoentreacutee des implications
des bases de regravegles
Puisque les donneacutees manipuleacutees dans le meacutecanisme agrave infeacuterence flou sont baseacutees sur la
theacuteorie des sous ensemble flous [70 71] les ensembles flous associeacutes utiliseacutes dans la
geacuteneacuteration de la base de regravegle sont deacutefinies comme
Si S est GN Alors un est TGSi S est NP Alors un est GSi S est JZ Alors un est MNSi S est PP Alors un est PSi S est GP Alors un est TP
Avec GN MN JZ MP et GP sont les termes linguistiques de la variable drsquoentreacutee s
deacutefinies respectivement par Grand Neacutegative Moyen Negative Just Zero Moyen
Positive et Grand Positive
Et pour la variable de sortie un les termes linguistiques TG G MN P TP sont deacutefinis
respectivement par Tregraves Grand Grand Moyen Petit Tregraves Petit
Les fonctions drsquoappartenances associeacutees agrave ses variables drsquoentreacutee et de sortie sont
preacutesenteacutees dans les figures suivantes
Chapitre3 COMMANDE PAR MODE GLISSANT ET FLOU
Figure 335
Figure 3
361 Reacutesultats de simulations
Nous preacutesentons dans cette partie les reacutesultats du controcircle flou
du drone X4 en preacutesence de perturbation
sont ke= 10 et ks = 10
preacuteceacutedemment
Les figures (337) (338) et
demi-cercle les signaux de commandes et des erreurs Nous constatons que la trajectoire
parcourue par le drone suit la
Tregraves
-3k2
COMMANDE PAR MODE GLISSANT ET FLOU
71
35 Fonction dappartenance de lentreacutee S
336 Fonction dappartenance de la sortie u
1 Reacutesultats de simulations
Nous preacutesentons dans cette partie les reacutesultats du controcircle flou-glissant pour la commande
en preacutesence de perturbation Les gains drsquoentreacutee et de sortie du controcircleur flou
= 10 En conservant les mecircmes coefficients de gain utiliseacutes
et (339) illustrent respectivement la reacutealisation des connexions
cercle les signaux de commandes et des erreurs Nous constatons que la trajectoire
parcourue par le drone suit la trajectoire deacutesireacutee avec des erreurs de tregraves faibles valeurs
Tregraves petit Petit Moyenne Grand Tregraves Grand
k2-k2-k k00
COMMANDE PAR MODE GLISSANT ET FLOU-GLISSANT
S(t)
un
glissant pour la commande
et de sortie du controcircleur flou
En conservant les mecircmes coefficients de gain utiliseacutes
la reacutealisation des connexions
cercle les signaux de commandes et des erreurs Nous constatons que la trajectoire
avec des erreurs de tregraves faibles valeurs
Tregraves Grand
3k2
Chapitre3 COMMANDE PAR MODE GLISSANT ET FLOU-GLISSANT
72
La figure (340) preacutesente lrsquoeacutevolution des angles de tangage et de roulis nous observons que
ces angles se manifestent que lors drsquoun mouvement effectueacute respectivement suivant les
axes ݔ et ݕ
La figure (341) preacutesente lrsquoeacutevolution des forces des quatre moteurs on remarque que ces
forces ne deacutepassent pas les limites physiques des actionneurs et la somme de ces forces
satisfait la condition drsquoeacutequilibre apregraves que le drone effectue ses mouvements deacutesireacutes
Figure 337 La trajectoire de reacutefeacuterence et reacuteelle en cas des demi-cercles
-20
24
68
1012
14
-5
0
5
10
150
5
10
15
Deacuteplacement suivant (x)Deacuteplacement suivant (y)
Deacutepla
cem
ent
suiv
ant
(z) Trajectoire reacuteelle
Trajectoire reacutefeacuterence
Chapitre3 COMMANDE PAR MODE GLISSANT ET FLOU-GLISSANT
73
Figure 338 Les commandes pour des connexions demi-cercles
Figure 339 les erreurs pour des connexions demi-cercles
0 5 10 15 20 25 30 35 400
20
40
u3(N
)
0 5 10 15 20 25 30 35 40-40
-20
0
20
40
u4(N
m)
0 5 10 15 20 25 30 35 40-40
-20
0
20
40
u5(N
m)
temps (s)
0 5 10 15 20 25 30 35 40-05
0
05
z-e
rreur
(m)
0 5 10 15 20 25 30 35 40-05
0
05
x-e
rreurr
(m)
0 5 10 15 20 25 30 35 40
-05
0
05
y-e
rreur
(m)
temps (s)
Chapitre3 COMMANDE PAR MODE GLISSANT ET FLOU-GLISSANT
74
0 5 10 15 20 25 30 35 40
-05
0
05
1
angle
theta
(rad)
0 5 10 15 20 25 30 35 40
-1
-05
0
05
1
angle
phi(r
ad)
temps (s)
Figure 340 les angles pour des connexions demi-cercles
Figure 341 Les forces pour des connexions demi-cercles
0 5 10 15 20 25 30 35 4005
1015
F1
(N)
0 5 10 15 20 25 30 35 4005
1015
F2
(N)
0 5 10 15 20 25 30 35 4005
1015
F3
(N)
0 5 10 15 20 25 30 35 4005
1015
F4
(N)
temps (s)
Chapitre3 COMMANDE PAR MODE GLISSANT ET FLOU-GLISSANT
75
37 Conclusion
Dans ce chapitre nous avons preacutesenteacute le principe de la commande par mode de
glissement appliqueacute sur un drone agrave quatre heacutelices La commande par mode glissant
(approche non lineacuteaire) consiste agrave choisir le nombre et la forme de surface de glissement
neacutecessaire pour la deacutetermination de la loi de commande Le pheacutenomegravene de chattering qui
caracteacuterise cette commande a eacuteteacute reacuteduit par lrsquoadoucissement de la fonction de commande
Afin drsquoameacuteliorer les performances statiques nous avons proposeacute une approche appeleacutee
mode glissant agrave action inteacutegral pour eacuteliminer lrsquoerreur en preacutesence des perturbations Pour
ameacuteliorer drsquoavantage les performances de la commande SMC nous avons proposeacute une
approche drsquohybridation entre le mode glissant et la logique floue La structure du
controcircleur flou-glissant heacuterite la proprieacuteteacute drsquointerpolation du controcircle de la logique floue
et la robustesse du controcircle par mode glissement Cette approche est baseacutee sur lrsquoutilisation
drsquoun systegraveme agrave une infeacuterence floue qui geacutenegravere la commande discontinueacutee de la loi de
commande par mode de glissement agrave action inteacutegrale Par conseacutequent il le rend robuste
pour le temps de control de plus le controcircleur flou reacuteduit le pheacutenomegravene de broutement
(chattering)
Chapitre4 COMMANDE ROBUST PAR LA THECHNIQUE DU BACKTEPPING
74
Chapitre 4
COMMANDE NON LINEAIRE PAR BACKSTEPPING
Chapitre4 COMMANDE ROBUST PAR LA THECHNIQUE DU BACKTEPPING
75
4 COMMANDE ROBUSTE PAR LA THECHNIQUE DU BACKSTEPPING
41 Introduction
La theacuteorie de Lyapunov est un outil tregraves important dans la theacuteorie de controcircle des
systegravemes non lineacuteaires Cependant son utilisation est souvent entraveacutee par les difficulteacutes
de trouver une fonction de Lyapunov pour un systegraveme donneacute Si elle est trouveacutee le
systegraveme est connu pour ecirctre stable mais la tache de trouver une telle fonction est souvent
laisseacutee agrave lrsquoimagination et agrave lrsquoexpeacuterience du concepteur La technique du Backstepping est
une meacutethode systeacutematique pour la conception du controcircle non lineacuteaire qui peut ecirctre
appliqueacutee agrave une grande classe de systegravemes Le nom backstepping se reacutefegravere agrave la nature
reacutecursive de la proceacutedure de synthegravese Dans un premier temps seul un sous-systegraveme du
systegraveme original est consideacutereacute pour lequel une loi de controcircle fictive est construite Puis la
conception est eacutetendue en plusieurs eacutetapes jusquagrave lrsquoobtention drsquoune loi de controcircle pour le
systegraveme tout en entier Avec la loi de commande une fonction de Lyapunov pour le
systegraveme controcircleacute est progressivement construite
La technique du backstepping a connu un regain drsquoattention gracircce aux travaux de
Kokotovic qui a fourni un cadre matheacutematique pour la conception de lois de controcircle pour
diffeacuterents systegravemes non lineacuteaires en utilisant la cette technique [72] Durant les anneacutees
suivantes des manuscrits ont eacuteteacute eacutediteacutes par Krstic et autres [73 74 75]
Nous utiliserons cette technique du backstepping pour deacutevelopper des lois de controcircle pour
le controcircle des mouvements selon les axes z ndash x ndash y ainsi qursquoune eacutetude de robustesse
42 Historique et domaines drsquoapplication du backstepping
Lrsquoideacutee de base du backstepping est de laisser certains eacutetats du systegraveme agir en tant
qursquoentreacutees virtuelles La mecircme ideacutee est utiliseacutee dans la conception de controcircle en cascade
et eacutegalement dans la theacuteorie de la perturbation singuliegravere [76] Le backstepping qui utilise
une forme du systegraveme en chaicircne drsquointeacutegrateurs apregraves une transformation de coordonneacutees
drsquoun systegraveme triangulaire et en se basant sur la meacutethode directe de Lyapunov (Annexe A)
A partir de lagrave il est possible de concevoir systeacutematiquement et de maniegravere reacutecursive des
Chapitre4 COMMANDE ROBUST PAR LA THECHNIQUE DU BACKTEPPING
76
controcircleurs et les fonctions de Lyapunov correspondantes Bien que la technique du
backstepping ait une histoire plutocirct courte mais rien nrsquoempecircche quand-mecircme de trouver de
nombreuses applications pratiques dans la litteacuterature On en donne ici un court aperccedilu
Elle est appliqueacutee dans les systegravemes eacutelectriques par exemple dans [77] ou a eacuteteacute
proposeacutee une commande en temps reacuteel de la vitesse drsquoun moteur synchrone agrave aimant
permanent par la technique du backestepping adaptative non lineacuteaire On peut maintenant
la retrouver dans une grande varieacuteteacute de controcircle de moteurs eacutelectriques [78 79 80] On
trouve eacutegalement des travaux dans lrsquoaeacuteronautique qui correspond au controcircle drsquoun
heacutelicoptegravere miniature Dans [28] une loi de commande adaptative utilisant les techniques
reacutecursives et robustes du backstepping a eacuteteacute proposeacutee Altug dans [25 26 27] a proposeacute un
controcircle stabilisant en utilisant lrsquoasservissement visuel Ainsi cette technique a eacuteteacute
proposeacutee pour la commande drsquoautomobile [81]
43 Conception de la commande par backstepping
La commande par backstepping ne doit pas ecirctre vue comme un proceacutedeacute rigide mais
plutocirct comme une philosophie de conception qui peut ecirctre plieacutee et tordue pour satisfaire les
besoins speacutecifiques du systegraveme agrave commander Nous pouvons exploiter la flexibiliteacute du
backstepping en ce qui concerne le choix des commandes virtuelles des fonctions
stabilisantes initiales et des fonctions de Lyapunov Nous avons effectueacute une eacutetude de
stabiliteacute en se basant sur la commande backstepping et en utilisant la fonction de
Lyapunov
431 Algorithme de base pour la meacutethode du backstepping
En utilisant lrsquoapproche backstepping comme un algorithme reacutecursif pour la
synthegravese de lois de commande On considegravere le cas des systegravemes non lineacuteaires drsquoordre deux
de la forme
x=f(x)+g(x)u (41)
X est lrsquoeacutetat du systegraveme X isin realn
u Lrsquoentreacutee de commande u isin real
Supposons que le systegraveme (41) peut apregraves une transformation ecirctre mis sous la forme
chaineacutee comme suit
x1 = fଵ(xଵ) + gଵ (xଵ) xଶ (42)
x2= fଶ(xଶ) + gଶ (xଶ) u (43)
Chapitre4 COMMANDE ROBUST PAR LA THECHNIQUE DU BACKTEPPING
77
On deacutesire faire suivre agrave la sortie y = xଵ la trajectoire yr Cette trajectoire est supposeacutee
connue et uniformeacutement borneacutee et puisque le systegraveme et du deuxiegraveme ordre alors le design
srsquoeffectue en deux eacutetapes [82]
Premiegravere eacutetape
On considegravere drsquoabord lrsquoeacutequation (42) ou la variable drsquoeacutetat xଶ est traiteacutee comme une
commande virtuelle et lrsquoon deacutefinit la premiegravere valeur de reacutefeacuterence
xଵ = y (44)
La premiegravere variable drsquoerreur se deacutefinit par
eଵ = xଵ minus xଵ (45)
ሶଵ= ሶଵݔ minus ሶଵݔ (46)
On utilisant lrsquoeacutequation (42) le systegraveme drsquoeacutequation (46) srsquoeacutecrit
e1 = ଵ(ݔଵ) + gଵ (ଵݔ) ଶݔ minus ሶଵݔ (47)
Pour un tel systegraveme il agrave eacuteteacute montreacute que la fonction candidate constitue un bon choix de la
fonction de Lyapunov
ଵ( ଵ) =ଵ
ଶ ଵଶ (48)
Sa deacuteriveacutee est donneacutee par
Vଵ(eଵ) = eଵ eଵ = eଵ [ ଵ(ݔଵ) + gଵ(ݔଵ) ଶݔ minus [ሶଵݔ (49)
Un choix judicieux xଶ rendrait Vଵ(eଵ) neacutegative et assurerait la stabiliteacute de lrsquoorigine du sous
systegraveme deacutecrit par lrsquoeacutequation (42)
Prenons comme valeur de ଶݔ la fonction aଵ telle que
ଵ(ݔଵ) + gଵ(ݔଵ) ଵ minus =ሶଵݔ minus kଵeଵ (410)
Ougrave kଵ gt 0 est un paramegravetre de design
xଶ= aଵ=ଵ
భ(୶భ)[minus kଵeଵ + xଵminus fଵ(xଵ)] (411)
et la deacuteriveacutee srsquoeacutecrit
ଵ( ଵ) = minus ଵ ଵଶ le 0 (412)
Drsquoougrave la stabiliteacute asymptotique de lrsquoorigine de lrsquoeacutequation (45)
Deuxiegraveme eacutetape
On considegravere le sous-systegraveme drsquoeacutequation (43) et lrsquoon deacutefinit la nouvelle variable
drsquoerreur
eଶ = xଶ minus aଵ (413)
Chapitre4 COMMANDE ROBUST PAR LA THECHNIQUE DU BACKTEPPING
78
Cette eacutequation repreacutesente lrsquoeacutecart entre la variable drsquoeacutetat xଶ et sa valeur deacutesireacutee aଵ lrsquoerreur
ଶ nrsquoest pas instantaneacutement nulle Le design dans cette eacutetape consiste alors agrave la forcer agrave
srsquoannuler
Les eacutequations du systegraveme agrave commander dans lrsquoespace (eଵ eଶ) srsquoeacutecrivent
ሶଵ = ଵ(ݔଵ) + ଵ ( ଶ + ଵ) minus ሶଵݔ (414)
ሶଶ = ଶ(ݔଶ) + ଶ minusݑ ሶଵ (415)
On agrave choisit comme fonction de Lyapunov
ଶ( ଵ ଶ) = ଵ( ଵ) +ଵ
ଶ ଶଶ (416)
Sa deacuteriveacutee
2( ଵ ଶ) =ଵ + ଶ ሶଶ= ଵ ሶଵ + ଶ ሶଶ (417)
2( ଵ ଶ) = ଵ [ ଵ(ݔଵ) + ଵ ( ଶ+ ଵ) [ሶଵݔ + ଶ [ ଶ(ݔଶ) + ଶ minusݑ ሶଵ] (418)
2( ଵ ଶ) = ଵ [ ଵ(ݔଵ) + ଵ ଶ+ ଵ ଵ minus ሶଵݔ ] + ଶ [ ଶ(ݔଶ) + ଶ minusݑ ሶଵ] (419)
2( ଵ ଶ) = minus ଵ ଵଶ + ଶ [ ଶ(ݔଶ) + ଶ ݑ + ଵ ଵminus ሶଵ] (420)
Pour garantir la stabiliteacute il faut que lrsquoeacutequation suivante soit eacutegale agrave minus kଶeଶ avec kଶ gt0
ଶ(ݔଶ) + ଶ ݑ + ଵ ଵminus ሶଵ= minus ଶ ଶ (421)
La commande est
ݑ =ଵ
మ[minus ଶ ଶ+ ሶଵ minus ଵ ଵ minus ଶ(ݔଶ)] (422)
Avec le choix de ଶ on agrave
2( ଵ ଶ) = minus ଵ ଵଶ minus ଶ ଶ
ଶ (423)
On a garantie la stabiliteacute asymptotique du systegraveme
44 Stabilisation du drone X4 par la meacutethode du backstepping
Nous proposons drsquoappliquer la technique de backstepping pour le controcircle drsquoun drone
de type X4 dont la dynamique du modegravele a eacuteteacute deacutetermineacutee dans le chapitre 2
La strateacutegie de controcircle adopteacute est reacutesumeacutee en deux sous-systegravemes le premier est lieacute au
controcircle de la translation et le deuxiegraveme est lieacute au controcircle de la rotation comme il est
exposeacute sous le scheacutema synoptique suivant [83]
Chapitre4 COMMANDE ROBUST PAR LA THECHNIQUE DU BACKTEPPING
79
Figure 41 Scheacutema bloc de commande du drone par backstepping
Le systegraveme 243 peut ecirctre reacuteeacutecrit dans lrsquoespace drsquoeacutetat sous la forme = ()
Avec U vecteur drsquoentreacute et X vecteur drsquoeacutetat
Tel que
X = hellipଵݔ] hellip [ଵଶݔ T = [ ݖ ݔሶݖ ݕሶݔ ሶݕ θ θ empty empty ψ ψ ] T isin real12
X = f (X U) =
⎝
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎛
ଶݔଵ
emptyݏ ଷݑߠݏ minus
ସݔ
minusଵ
ଷݑ௫ݑݔ
ଵ
௬ݑ ଷݑݔସݑଵݔହݑଵଶݔݑ ⎠
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎞
(424)
441 Commande du systegraveme de translation lineacuteaire
4411 Controcircle de lrsquoaltitude
On commande le mouvement selon lrsquoaxe z en utilisant la technique du backstepping le
modegravele en y est donneacute par
ߠ
X4-FlyerModelReacutefeacuterence
BacksteppingControcircle
BacksteppingControcircle
ݖݕݔ
ଷݑ
ହݑସݑ ݑ௬ݑ௫ݑ
ݖݕݔ
Chapitre4 COMMANDE ROBUST PAR LA THECHNIQUE DU BACKTEPPING
80
=ሷݖ emptyݏ ଷݑߠݏ minus (425)
La commande par backstepping du vol vertical est deacuteveloppeacutee ci-dessous
Premiegravere eacutetape
Initialement nous consideacuterons lrsquoobjectif de poursuite de lrsquoaltitude z vers sa trajectoire
deacutesireacutee On deacutefinit pour cela une erreur de poursuite
e௭ଵ = ݖ minus ݖ (426)Sa deacuteriveacutee srsquoeacutecrit
ሶ௭ଵ = ሶݖ minus ሶݖ (427)
Le but eacutetant donc de faire tendre cette erreur vers zeacutero Pour ce faire on considegravere une
fonction de Lyapunov quadratique en eଵ
V (e௭ଵ) =ଵ
ଶe௭ଵଶ (428)
La deacuteriveacutee de la fonction de Lyapunov srsquoeacutecrit
( ௭ଵ) = ௭ଵ ሶ௭ଵ= ௭ଵ ሶݖ) minus (ሶݖ (429)
La convergence de e௭ଵ vers zeacutero est obtenue en assurant que V(e௭ଵ) est neacutegative Etant
donneacute que lrsquoentreacutee de commande nrsquoapparait pas encore dans lrsquoexpression de V(e௭ଵ) on
deacutefinit une entreacutee fictive ayant pour forme
ଶݔ = ሶݖ + k௭ଵe௭ଵ (430)
Ougrave ௭ଵ est une constante positive
Cette commande assure
( ௭ଵ)= minus ௭ଵ ௭ଵଶ le0 (431)
Deuxiegraveme eacutetape
La deuxiegraveme eacutetape consiste agrave redeacutefinir une autre erreur agrave compenser
e௭ଶ= minus ሶݖ ሶrefݖ minus k௭ଵe௭ଵ (432)
Sa deacuteriveacutee srsquoeacutecrit comme suit
e௭ଶ= minus ሷݖ ሷrefݖ minus k௭ଵe௭ଵ (433)
Chapitre4 COMMANDE ROBUST PAR LA THECHNIQUE DU BACKTEPPING
81
Afin drsquoeacuteliminer cette erreur la fonction candidate de Lyapunov V( ௭ଵ) preacuteceacutedente de
lrsquoeacutequation (428) est augmenteacutee drsquoun autre terme qui va prendre en charge la nouvelle
erreur qui a eacuteteacute introduite preacuteceacutedemment
V ( ௭ଵ ௭ଶ) =ଵ
ଶ( ௭ଵଶ
+ ௭ଶଶ ) (434)
Ainsi que sa deacuteriveacutee
( ௭ଵ ௭ଶ) = ௭ଵ ሶ௭ଵ+ ௭ଶ ሶ௭ଶ (435)
( ௭ଵ ௭ଶ) = ௭ଵ (minus ௭ଵ ௭ଵ minus ௭ଶ) + ௭ଶ minus ሷݖ) ሷݖ minus ௭ଵ ሶ௭ଵ) (436)
( ௭ଵ ௭ଶ) =minus ௭ଵ ௭ଶ minus ௭ଵ ௭ଵଶ + ௭ଶ minus ሷݖ) ሷݖ minus ௭ଵ(minus ௭ଵ ௭ଵ minus ௭ଶ)) (437)
( ௭ଵ ௭ଶ) = minus ௭ଵ ௭ଵଶ + ௭ଶ [
ଵ
minusݑߠݏܥemptyݏܥ minus ሷݖ minus ௭ଵ(minus ௭ଵ ௭ଵ minus ௭ଶ)minus ௭ଵ)]
(438)
La proceacutedure de la meacutethode du backstepping srsquoarrecircte jusqursquoagrave lrsquoapparition de la commandeu3
Afin de satisfaire la condition de Lyaponov (V(eଵ eଶ) le 0 ) on pose
௦empty௦ఏ
minus ₃ݑ minus minusሷݖ k௭ଵ(minus k௭ଵe௭ଵ minus e௭ଶ)minus e௭ଵ) = minus k௭ଶe௭ଶ (439)
Ce qui nous donne la loi de commande suivant lrsquoaxe z
= ₃ݑ
௦empty௦ఏሷݖ) + + (1 minus ௭ଵ
ଶ ) ଵ minus ( ௭ଵ + ௭ଶ) ௭ଶ) (440)
Ougrave k௭ଶ est une constante positive
De telle sorte ( ௭ଵ ௭ଶ) = minus ௭ଵ ௭ଵ
ଶ minus ௭ଶ ௭ଶଶ le 0 (441)
Ce qui nous assure la stabiliteacute du mouvement suivant lrsquoaxe z
44 12 Controcircle de deacuteplacement lineacuteaire suivant les axes et y
A partir du modegravele du drone le systegraveme dynamique des mouvements horizontales est deacutefini
par
൜ =ሷݔ ଷݑ௫ݑminus=ሷݕ ଷݑ௬ݑ
(442)
Avec ex1 et ey1 sont les erreurs de positions sont deacutefinis par
ቄ௫ଵ = ݔ minus ݔ
௬ଵ = ݕ minus ݕ (443)
Chapitre4 COMMANDE ROBUST PAR LA THECHNIQUE DU BACKTEPPING
82
Les erreurs des vitesses lineacuteaires des positions x et y sont deacutefinies par
൜௫ଶ = minusሶݔ ሶݔ minus ௫ଵ ௫ଵ
௬ଶ = minusሶݕ ሶݕ minus ௬ଵ ௬ଵ
(444)
Les mecircmes eacutetapes sont utiliseacutees pour deacuteterminer les commandes de positions ௫ݑ et ௬ݑ qui
sont donneacutees par
௫ݑ =
௨యሷݔ) + (1 minus ௫ଵ
ଶ ) ௫ଵ minus ( ௫ଵ + ௫ଶ) ௫ଶ) (445)
௬ݑ =
௨యሷݕ) + ൫1 minus ௬ଵ
ଶ ൯ ௬ଵ minus ( ௬ଵ + ௬ଶ) ௬ଶ) (446)
Avec ( ௫ଵ ௫ଶ ௬ଵ ௬ଶ)gt0
442 Commande par backstepping du systegraveme de rotation
4421 Commande de lrsquoangle de roulis
Dans cette section on veut eacutetablir une commande par backstepping qui assure lrsquoorientation
du drone par lrsquoangle empty (roulis)
Premiegravere eacutetape
Premiegraverement on doit avoir une sortie qui suit une trajectoire deacutesireacutee emptyref en introduisant
lrsquoerreur de la position angulaire (lrsquoangle de roulis)
eemptyଵ= emptyref minus empty (447)Sa deacuteriveacutee srsquoeacutecrit
eemptyଵ= empty minus empty (448)
Ougrave les deux eacutequations (447) (448) sont associeacutees agrave la fonction de Lyapunov suivante
V (eemptyଵ) =ଵ
ଶeempty1
2 (449)
La deacuteriveacutee de la fonction de Lyapunov srsquoeacutecrit
V(eemptyଵ) = eemptyଵ eemptyଵ= eemptyଵ (emptyref (ଵݔminus (450)
Lrsquoeacutetat ଵݔ est ensuite utiliseacute comme commande intermeacutediaire afin de garantir la stabiliteacute
de lrsquoeacutequation (447) On deacutefinit pour cela une commande virtuelle
ଵݔ = emptyref + emptyଵ emptyଵ avec emptyଵ gt0 (451)
ሶଵݔ = emptyref + emptyଵ ሶemptyଵ (452)
Agrave partir des eacutequations (450) et (451) on obtient
( emptyଵ) = minus emptyଵ emptyଵଶ (453)
Chapitre4 COMMANDE ROBUST PAR LA THECHNIQUE DU BACKTEPPING
83
Deuxiegraveme eacutetape
Agrave cette eacutetape une nouvelle erreur engendreacutee
eemptyଶ= empty minus empty minus kemptyଵeemptyଵ (454)
Sa deacuteriveacutee srsquoeacutecrit comme suit
eemptyଶ = empty minus emptyrefminus kemptyଵ eemptyଵ (455)
Afin drsquoeacuteliminer cette erreur la fonction candidate de Lyapunov (eemptyଵ) preacuteceacutedente de
lrsquoeacutequation (449) est augmenteacutee drsquoun autre terme qui va prendre en charge la nouvelle
erreur qui a eacuteteacute introduite preacuteceacutedemment
V (eemptyଵeemptyଶ) =ଵ
ଶ(eemptyଵଶ + eemptyଶ
ଶ ) (456)
Ainsi que sa deacuteriveacutee
V(eemptyଵ eemptyଶ) = eemptyଵ (minuskemptyଵ eemptyଵ minus eemptyଶ) + eemptyଶ (empty minus emptyref ndash kemptyଵ eemptyଵ) (457)
V(eemptyଵ eemptyଶ) = minus eemptyଵ eemptyଶ minus kemptyଵ eemptyଵଶ + eemptyଶ (empty minus emptyref minuskemptyଵ (minuskemptyଵe୴ଵ minus eemptyଶ)) (458)
V(eemptyଵ eemptyଶ) = minus kemptyଵ eemptyଵଶ + eemptyଶ ହݑ] minus emptyref minus kemptyଵ (minuskemptyଵeemptyଵ minus eemptyଶ) minuseemptyଵ] (459)
Afin de satisfaire la condition de Lyapunov (V(eemptyଵ eemptyଶ) le 0 ) on pose
ହݑ minus emptyref minus kemptyଵ (minuskemptyଵeemptyଵ minus eemptyଶ) minuseemptyଵ= minuskemptyଶ eemptyଶ (460)
Drsquoougrave lrsquoexpression de la commande du roulis est donneacutee par
ହݑ = emptyref + emptyଵ (1 minus emptyଵଶ ) minus emptyଶ ( emptyଵ + emptyଶ) (461)
Avec kemptyଵ kemptyଶ sont des constantes positives de design lesquelles deacuteterminent la
dynamique de la boucle fermeacutee
4421 Commande des angles de tangage et de lacet
Nous suivons les mecircmes eacutetapes deacutecrites preacuteceacutedemment pour deacuteterminer les commande de
tangage et de lacet ce qui nous donne [84 85]
ସݑ = +ߠ ఏଵ൫1 minus ఏଵଶ ൯minus ఏଶ( ఏଵ + ఏଶ) (462)
ݑ = + టଵ൫1 minus టଵଶ ൯minus టଶ( టଵ + టଶ ) (463)
Avec ( ఏଵ ఏଶ టଵ టଶ) gt0
Chapitre4 COMMANDE ROBUST PAR LA THECHNIQUE DU BACKTEPPING
84
45 Reacutesultats de simulations
Les performances sont eacutevalueacutees par le biais drsquoune simulation numeacuterique dans les mecircmes
conditions de fonctionnement preacutesenteacutes dans le chapitre preacuteceacutedent
Les paramegravetres des coefficients du polynocircme de Hurwitz du controcircleur sont choisis par
௭ଵ =8 ௭ଶ = 5 ௫ଵ = 5 ௫ଶ = 5 ௬ଵ = 4 ௬ଶ = 2 kemptyଵ = 55 kemptyଶ = 2 ఏଵ = 75
ఏଶ = 10 టଵ = 2 టଶ = 4
Figure 42 La trajectoire de reacutefeacuterence et reacuteelle en cas des connexions cercles
0
10
20
30
-5
0
5
100
5
10
15
20
25
30
Deacuteplacement suivant (x)Deacuteplacement suivant (y)
Deacutepla
cem
entsuiv
ant(z
)
Trajectoire reacuteelle
Trajectoire reacutefeacuterence
Chapitre4 COMMANDE ROBUST PAR LA THECHNIQUE DU BACKTEPPING
85
Figure 43 Les commandes u3 u4 u5 des connexions cercle
Figure 44 Les erreurs de deacuteplacement en cas des connections cercle
0 10 20 30 40 50 60 70 80 9010
20
30
u3(N
)
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90-5
0
5
u4(N
m)
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90-5
0
5
u5(N
m)
temps (s)
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90-004
-002
0
002
004
z-e
rreur(m
)
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90-002
0
002
x-e
rreur(m
)
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90-002
0
002
y-e
rreur(m
)
temps (s)
Chapitre4 COMMANDE ROBUST PAR LA THECHNIQUE DU BACKTEPPING
86
Figure 45 Les angles de tangage et de roulis en cas des connections cercle
Figure 46 Les forces en cas des connections cercle
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90
-05
0
05angle
theta
(rad)
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90
-05
0
05
angle
phi(rad)
temp (s)
0 10 20 30 40 50 60 70 80 900
5
F1
(N)
0 10 20 30 40 50 60 70 80 900
5
F2
(N)
0 10 20 30 40 50 60 70 80 900
5
F3
(N)
0 10 20 30 40 50 60 70 80 900
5
F4
(N)
temps (s)
Chapitre4 COMMANDE ROBUST PAR LA THECHNIQUE DU BACKTEPPING
87
La figure (43) qui repreacutesente les signaux de commandes u3 u4 et u5 deacutemontrent que la
condition de lrsquoeacutetat drsquoeacutequilibre et toujours veacuterifieacutee apregraves avoir effectueacute une manœuvre (u3 =
mg et u4 = u5 =0)
La figure (44) montre que lrsquoerreur suivant les trois directions converge vers zeacutero Cela
prouve que la trajectoire parcourue par le drone suit la trajectoire souhaiteacutee (figure (42))
avec des erreurs de tregraves faibles valeurs
Dans la figure (45) on voit que les angles de tangage ߠ et de roulis empty se manifestent lors
dun mouvement effectueacute respectivement suivant laxe de mouvement x et y en tendant vers
la valeur zeacutero drsquoeacutequilibre apregraves avoir effectuer le mouvement drsquoavancement
Pour que le drone retrouve sa stabiliteacute autour de la trajectoire de reacutefeacuterence nous constatons
que les commandes u4 et u5 produisent des forces corrigeant respectivement les erreurs du
suivi des angles ߠ et empty agrave leurs trajectoires de reacutefeacuterence nulles figure (43)
Dans la figure (46) nous remarquons que les quatre commandes ne deacutepassent pas les
limites physiques des rotors du drone et la somme de ces forces satisfirent la condition
drsquoeacutequilibre
451 Etude de robustesse
Dans cette partie nous testons numeacuteriquement la robustesse de commande retrouveacutee pour
assurer le suivi de trajectoire face agrave des perturbations dynamiques dues agrave linfluence du
vent suivant les diffeacuterents axes du mouvement
En geacuteneacuteral en mouvement aeacuterien le vent geacutenegravere une force de reacutesistance ou de traicircneacutee
sopposant au mouvement Dans le cas du drone le travail de cette force entraine une
consommation suppleacutementaire deacutenergie au niveau des actionneurs qui affaiblit ses
capaciteacutes en vol Les valeurs des forces reacutesistances sont (Ax = Ay = Az = 65 N)
Chapitre4 COMMANDE ROBUST PAR LA THECHNIQUE DU BACKTEPPING
88
Figure 47 La trajectoire de reacutefeacuterence et reacuteelle en preacutesence de perturbation
Figure 48 Les commandes en preacutesence de perturbation
05
1015
2025
30
-4-2
02
46
80
5
10
15
20
25
30
Deacuteplacement suivant (x)Deacuteplacement suivant (y)
Deacutepla
cem
ent
suiv
ant
(z)
Trajectoire reacuteelle
Trajectoire reacutefeacuterence
0 10 20 30 40 50 60 70 80 900
20
40
u3(N
)
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90-20
-10
0
10
u4(N
m)
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90-10
0
10
20
u5(N
m)
temps (s)
Chapitre4 COMMANDE ROBUST PAR LA THECHNIQUE DU BACKTEPPING
89
Figure 49 Les erreurs en preacutesence de perturbations
Figure 410 Les angles de tangage et de roulis en preacutesence de perturbation
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90
0
02
04z-e
rreur
(m)
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90
0
02
04
x-e
rreurr
(m)
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90
0
02
04
y-e
rreur
(m)
temps (s)
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90
-05
0
05
1
angle
theta
(rad)
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90
-1
-05
0
05
1
angle
phi(r
ad)
temps (s)
Chapitre4 COMMANDE ROBUST PAR LA THECHNIQUE DU BACKTEPPING
90
En preacutesence de force de reacutesistance nous remarquons que la robustesse de la commande
nrsquoest pas veacuterifieacutee En effet avec une telle force de reacutesistance le drone suit sa trajectoire de
reacutefeacuterence avec des erreurs comme le montrent les figures preacuteceacutedentes Ces erreurs peuvent
ecirctre importantes avec lrsquoaugmentation de la force de traineacutee
Il est clair que la structure du controcircleur geacuteneacutereacute par la version classique du backstepping
est composeacutee drsquoune action proportionnelle agrave laquelle est ajouteacutee action deacuteriveacutee sur les
erreurs Une telle structure rend le systegraveme sensible aux bruits et aux perturbations
externes des erreurs statiques non nulles persistent cet inconveacutenient srsquoexplique par
lrsquoabsence de la correction de ces perturbations afin drsquoeacuteliminer ces erreurs deux meacutethodes
sont proposeacutees la premiegravere consiste agrave doter les reacutegulateurs obtenus drsquoune action inteacutegrale
Lrsquoideacutee principale de la meacutethode se reacutesume agrave introduire drsquoune maniegravere virtuelle un
inteacutegrateur cette introduction neacutecessite une modification de la proceacutedure de design La
deuxiegraveme meacutethode consiste agrave estimer la perturbation externe (force de traineacutee) agrave lrsquoaide
drsquoun controcircleur adaptatif
46 Backstepping avec action inteacutegrale
Lrsquoabsence drsquointeacutegrateur dans la loi de commande entraicircne une erreur statique constante
non nulle La solution de ce problegraveme est la conception drsquoune nouvelle version du
backstepping doteacutee drsquoune action inteacutegrale (figure 411) Ceci revient agrave introduire des
inteacutegrateurs dans le modegravele du X4 et proceacuteder agrave lrsquoapplication de la meacutethode
conventionnelle de backstepping sur ce nouveau modegravele Lrsquoaction inteacutegrale sera transfeacutereacutee
automatiquement agrave la loi de commande [86]
Figure 411 Le scheacutema bloc du backstepping avec action inteacutegrale
Action inteacutegraleBackstepping
Inteacutegrale Backstepping
Commande robuste appliqueacute au Modegravele du X4
Systegraveme de translation et de rotation
Chapitre4 COMMANDE ROBUST PAR LA THECHNIQUE DU BACKTEPPING
91
461 Commande de lrsquoaltitude
Le modegravele est eacutecrit sous la forme chaineacutee drsquoapregraves lrsquoeacutequation (424)
ሶଵݔ = 2ݔ
ሶଶݔ = =ሷݖଵ
Cߠ Sempty ndashଷݑ (464)
Premiegravere eacutetape
La premiegravere variable drsquoerreur se deacutefinit par
௭ଵ= ݖ minus z (465)
On deacuterivant (465) par rapport au temps on obtient
ሶ௭ଵ=ݖሶ minus =ሶݖ ሶݖ minus ଶݔ (466)
Pour srsquooccuper mieux drsquoincertitudes et de perturbation nous allons ajouter une action
inteacutegrale sur lrsquoerreur de poursuite drsquoaltitude agrave la fonction stabilisante
Si on considegravere que ଶݔ notre commande virtuelle nous proceacutedons agrave eacutetablir une fonction
stabilisante comme suit
ଶݔ = +ሶݖ ௭ଵ ௭ଵ + ଵߣ ଵ (467)
Avec ௭ଵߣଵ sont des constants positifs et ଵ = int e௭ଵ( ) est lrsquointeacutegrale de lrsquoerreur de
poursuite drsquoaltitude
Deuxiegraveme eacutetape
Il nest pas possible dagir directement sur lrsquoeacutetat ଶݔ il est donc peu probable que cet eacutetat
suit exactement cette trajectoire cest pourquoi un autre terme derreur est introduit
eଶ = ଶݔ minus ሶݖ (468)
La deacuteriveacutee de lrsquoeacutequation (468) donne
ሶ௭ଶ ሶଶݔ= minus =ݖ ሷrefݖ + k௭ଵeଵ+ ଵߣ ሶଵ minus ݖ (469)
ሶ௭ଶ = k௭ଵ ሶrefݖ) minus (ሶݖ + ଵe௭ଵߣ minus ݖ ሷݖ+ (470)
Par lrsquoutilisation drsquoeacutequations (467) et (468) nous reacuteeacutecrivons la dynamique drsquoerreur de
poursuite drsquoaltitude comme suit
eଵ= minus ௭ଵ ௭ଵ minus ଵߣ ଵ + e௭ଶ (471)
Par le remplacement de ݖ dans lrsquoeacutequation (470) par son expression correspondante la
commande u3 apparaisse dans lrsquoeacutequation (472)
ሶ௭ଶ= ௭ଵ (minus ௭ଵ ௭ଵ minus ଵߣ ଵ + ௭ଶ) ଵߣ+ ௭ଵ + ሷrefݖ minusଵ
( (ߠ)ݏ ଷݑ()ݏ + ) (472)
Chapitre4 COMMANDE ROBUST PAR LA THECHNIQUE DU BACKTEPPING
92
La dynamique deacutesireacutee de lrsquoerreur de poursuite de vitesse est donneacutee par
e௭ଶ = minus ௭ଶe௭ଶ minus e௭ଵ (473)
La commande finale de ଷݑ est la suivante
ଷݑ =
௦(ఏ)௦(థ )(+ e௭ଵ (1minusk௭ଵ
ଶ (ଵߣ+ + e௭ଶ (k௭ଵ+ k௭ଶ) ሷref minus k௭ଵݖ+ ଵߣ ଵ) (474)
Analyse de la stabiliteacute
Afin de prouver la stabiliteacute la fonction de Lyapunov (e௭ଵ e௭ଶ) est choisie comme suite
( ௭ଵ ௭ଶ) =ଵ
ଶ ௭ଵ
ଶ + ௭ଶଶ + ଵߣ ଵ
ଶ ൧ (475)
En effectuant la deacuteriveacutee de cette fonction et en substituant lrsquoeacutequation (471) et (473) la
relation suivante est trouveacutee
( ௭ଵ ௭ଶ) = minus ௭ଵ ௭ଵଶ minus ௭ଶ ௭ଶ
ଶ le 0 (476)
De cette faccedilon la fonction V(eଵ eଶ) respecterait en tous points les critegraveres de
Lyapunov La loi de commande deacuteduite fait en sorte que ( ௭ଵ ௭ଶ) est toujours positif et
que ( ௭ଵ ௭ଶ) soit toujours neacutegatif peu importe les valeurs que peuvent prendre les
eacutetats
Nous suivant les mecircmes eacutetapes deacutecrites preacuteceacutedemment pour deacuteterminer les commandes du
drone X4 ce qui nous donne [87]
⎩⎪⎪⎪⎨
⎪⎪⎪⎧
௫ݑ =
௨యሷݔ) + (1 minus ௫ଵ
ଶ + (ଶߣ ௫ଵ minus ( ௫ଵ + ௫ଶ) ௫ଶ minus ௫ଵ ଶߣ ଶ)
௬ݑ =
௨యሷݕ) + ൫1 minus ௬ଵ
ଶ + ଷ൯ߣ ௬ଵ minus ( ௬ଵ + ௬ଶ) ௬ଶ minus ௬ଵ ଷߣ ଷ)
ସݑ = +ߠ ఏଵ൫1 ndash ఏଵଶ + minusସ൯ߣ ఏଶ ( ఏଵ + ఏଶ) ndash ఏଵ ସߣ ସ
ହݑ = ݎempty + emptyଵ (1 minus emptyଵଶ + (ହߣ minus emptyଶ ( emptyଵ + emptyଶ) minus emptyଵ ହߣ ହ
ݑ = + టଵ൫1 minus టଵଶ + minus൯ߣ టଶ( టଵ + టଶ) minus టଵ ߣ
(477)
Avec (ߣହߣସߣଷߣଶߣ) sont des constants positifs et ( ଶ ଷ ସ ହ ) sont les inteacutegrales
des erreurs de poursuite de position tangage roulis et lacet respectivement
Chapitre4 COMMANDE ROBUST PAR LA THECHNIQUE DU BACKTEPPING
93
462 Reacutesultats de simulations
Nous preacutesentons dans cette partie les reacutesultats du controcircle Inteacutegrale Backstepping pour la
commande du drone X4 En conservant les mecircmes coefficients de gain utiliseacutes
preacuteceacutedemment
Avec ଵߣ = 5 ଶߣ = 5 ଷߣ = 4 ସߣ = 2 ହߣ = 5 ߣ = 2
Suivi de trajectoire sans perturbations
Les figures 412 413 414 415 et 416 repreacutesentent respectivement la reacutealisation en 3D
la commande lrsquoerreur les angles et les forces pour la trajectoire de connexions de type
demi-cercle Nous remarquons qursquoagrave lrsquoeacutequilibre la commande u3 est toujours veacuterifieacutee (u3
est approximativement eacutegal agrave mg) Ces figures montrent que la tacircche est reacutealiseacutee drsquoune
maniegravere tregraves satisfaisante en respectant les contraintes imposeacutee
Figure 412 La trajectoire de reacutefeacuterence et reacuteelle
0
5
10
15
0
5
10
150
5
10
15
Deacuteplacement suivant (x)Deacuteplacement suivant (y)
Deacutepla
cem
ent
suiv
ant
(z) Trajectoire reacuteel
Trajecoire reacutefeacuterence
Chapitre4 COMMANDE ROBUST PAR LA THECHNIQUE DU BACKTEPPING
94
Figure 413 Les commandes sans preacutesence de perturbation
Figure 414 Les erreurs sans preacutesence de perturbations
0 5 10 15 20 25 30 35 40
10
20
30u3(N
)
0 5 10 15 20 25 30 35 40-40
-20
0
20
u4(N
m)
0 5 10 15 20 25 30 35 40-40
-20
0
20
40
60
u5(N
m)
temps (s)
0 5 10 15 20 25 30 35 40
-2
0
2x 10
-3
z-e
rreur
(m)
0 5 10 15 20 25 30 35 40-4-20246
x 10-3
x-e
rreur
(m)
0 5 10 15 20 25 30 35 40-2
0
2x 10
-3
y-e
rreur
(m)
temps (s)
Chapitre4 COMMANDE ROBUST PAR LA THECHNIQUE DU BACKTEPPING
95
Figure 415 Les angles de tangage et de roulis sans preacutesence de perturbation
Figure 416 Les forces sans preacutesence de perturbation
0 5 10 15 20 25 30 35 40
-05
0
05
1angle
theta
(rad)
0 5 10 15 20 25 30 35 40-1
-05
0
05
1
angle
phi(r
ad)
temps (s)
0 5 10 15 20 25 30 35 400
5
10
F1
(N)
0 5 10 15 20 25 30 35 400
5
10
F2
(N)
0 5 10 15 20 25 30 35 400
5
10
F3
(N)
0 5 10 15 20 25 30 35 400
5
10
F4
(N)
temps (s)
Chapitre4 COMMANDE ROBUST PAR LA THECHNIQUE DU BACKTEPPING
96
Suivi de trajectoire avec perturbations
Dans cette partie nous testons numeacuteriquement la robustesse de commande retrouveacutee pour
assurer le suivi de trajectoire face agrave des perturbations dynamiques dues agrave linfluence du
vent suivant les diffeacuterents axes de mouvement
Figure 417 La trajectoire de reacutefeacuterence et reacuteelle en preacutesence de perturbation
Figure 418 Les erreurs en preacutesence de perturbations
05
1015
2025
30
-5
0
5
100
10
20
30
Deacuteplacement suivant (x)Deacuteplacement suivant (y)
Deacutepla
cem
ent
suiv
ant
(z)
Trajectoire reacuteelle
Trajectoire reacutefeacuterence
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90
0
02
04
z-e
rreur
(m)
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90
0
02
04
x-e
rreurr
(m)
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90
0
02
04
y-e
rreur
(m)
temps (s)
Chapitre4 COMMANDE ROBUST PAR LA THECHNIQUE DU BACKTEPPING
97
Figure 419 Les commandes en preacutesence de perturbations
Figure 420 Les angles de tangage et de roulis en preacutesence de perturbation
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90
-05
0
05
1
angle
theta
(rad)
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90
-1
-05
0
05
1
angle
phi(r
ad)
temps (s)
0 10 20 30 40 50 60 70 80 900
20
40
u3(N
)
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90-20
-10
0
10
u4(N
m)
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90-10
0
10
20
u5(N
m)
temps (s)
Chapitre4 COMMANDE ROBUST PAR LA THECHNIQUE DU BACKTEPPING
98
Figure 421 Les forces en preacutesence de perturbation
Figure 422 La trajectoire de reacutefeacuterence et reacuteelle en preacutesence de perturbation
-3-2
-10
12
3
-3-2
-10
12
30
10
20
30
40
50
Deacuteplacement suivant (x)Deacuteplacement suivant (y)
Deacutepla
cem
ent
suiv
ant
(z)
Trajectoire reacuteelle
Trajectoire reacutefeacuterence
0 10 20 30 40 50 60 70 80 900
5
10
F1
(N)
0 10 20 30 40 50 60 70 80 900
5
10
F2
(N)
0 10 20 30 40 50 60 70 80 900
5
10
F3
(N)
0 10 20 30 40 50 60 70 80 900
5
10
F4
(N)
temps (s)
Chapitre4 COMMANDE ROBUST PAR LA THECHNIQUE DU BACKTEPPING
99
Figure 423 La trajectoire de reacutefeacuterence et reacuteelle en preacutesence de perturbation
Figure 424 Comparaison entre le controcircleur bakstepping et Inteacutegral Backsteppingpour des connexions demi cercle en preacutesence de perturbation
-2-15
-1-05
005
115
-3-2
-10
120
1
2
3
4
5
6
x-displacementy-displacement
z-d
ispla
cem
ent
Trajectoire reacuteelle
Trajectoire reacutefeacuterence
05
1015
2025
30
-5
0
5
100
10
20
30
Deacuteplacement suivant (x)Deacuteplacement suivant (y)
Deacutepla
cem
ent
suiv
ant
(z)
Trajectoire reacuteelle IB
Trajectoire reacutefeacuterence
Trajectoire reacuteelle B
Chapitre4 COMMANDE ROBUST PAR LA THECHNIQUE DU BACKTEPPING
100
Dans les figures (417- 424) nous remarquons que la robustesse de la commande est
veacuterifieacutee numeacuteriquement En effet avec telles forces de reacutesistance la commande produit
des valeurs assez raisonnables assurant le suivi du drone agrave sa trajectoire de reacutefeacuterence avec
des erreurs ne deacutepassant pas 20 cm pour les variables x z et y Pour assurer les virages les
angles de tangage et de roulis varient au cours du suivi de trajectoire
47 Backstepping adaptative
La commande adaptative est une solution ougrave les paramegravetres sont inconnus ougrave
eacutevoluant dans le temps Dans ce cas ces paramegravetres sont estimeacutes par des lois drsquoadaptations
ces derniegraveres nous permettent drsquoapprocher les valeurs reacuteelles du systegraveme rendant ainsi la
commande dynamique deacutependante de lrsquoeacutevolution des paramegravetres [10 46 47 59]
Dans cette partie on va preacutesenter la deuxiegraveme proposition pour eacuteliminer lrsquoerreur statique
due agrave la preacutesence drsquoune perturbation Le scheacutema bloc simplifieacute de la commande du
backstepping adaptative appliqueacute au vol vertical est repreacutesenteacute par la figure (425)
Figure 425 Le scheacutema bloc du backstepping adaptative
471 Commande de lrsquoaltitude
La loi de commande geacuteneacutereacutee en utilisant la technique du backstepping avec estimateur
deacutebutera par la deacutefinition de la premiegravere valeur drsquoerreur de position [28]
Premiegravere eacutetape
e௭ଵ= ݖ minus z (478)
Ainsi que sa vitesse lineacuteaire est donneacutee par
e௭ଵ= ሶݖ minus ሶݖ (479)
On choisira la fonction de Lyapunov
V (e௭ଵ) =ଵ
ଶeଵଶ (480)
Perturbation
Backstepping adaptative(Commande de lrsquoaltitude)
Model du X4Reacutefeacuterence zzref
ଷݑ
-
+
Chapitre4 COMMANDE ROBUST PAR LA THECHNIQUE DU BACKTEPPING
101
Sa deacuteriveacutee
V(e௭ଵ) = e௭ଵe௭ଵ= e௭ଵ ሶݖ) minus (ሶݖ (481)
Soit xଶ le controcircleur virtuel sa loi de commande est deacutefinie par
xଶ = ሶݖ + k௭ଵe௭ଵ (482)
Deuxiegraveme eacutetape
En introduisant la nouvelle valeur drsquoerreur noteacutee e௭ଶ qui est eacutegale agrave la diffeacuterence entre la
vraie valeur de la vitesse ሶetݖ la commande virtuelle xଶ alors
e௭ଶ = ሶݖ + k௭ଵe௭ଵminus ሶݖ (483)
e௭ଵ = minus k௭ଵe௭ଵ + e௭ଶ (484)
A cette eacutetape la fonction de Lyapunov va ecirctre diffeacuterente de la preacuteceacutedente et ceci est due agrave
lrsquointroduction drsquoune force inconnue ௭ܣ (force de traineacutee) Lrsquoajout drsquoun estimateur est
neacutecessaire pour estimer ௭ܣ la fonction de Lyapunov est augmenteacutee
V (e௭ଵ e௭ଶ (ଵߛ =1
2eଵଶ +
ଵ
ଶeଶଶ +
1
భߛ2௭෪ܣ
ଶ (485)
Lrsquoajout de ce nouveau terme permet drsquoannuler lrsquoerreur due agrave lrsquoestimation de la force ௭ܣ
ߛଵ
est un paramegravetre de design qui doit toujours ecirctre positif
Ougrave ௭෪ܣ repreacutesente lrsquoerreur entre ௭ܣ et ௭ܣ (force estimeacutee)
௭෪ܣ = ௭ܣ minus ௭ܣ (486)
A lrsquoaide de ce choix on obtient
V൫e௭ଵ e௭ଶ ߛଵ൯= e௭ଵe௭ଵ + e௭ଶe௭ଶ+
ଵ
ఊ1
௭෪ܣ ௭ܣ (487)
Pour que le systegraveme soit stable il faut que sa deacuteriveacutee soit toujours neacutegative
V൫e௭ଵ e௭ଶ ߛଵ൯= e௭ଵ(minus k௭ଵe௭ଵ + e௭ଶ)+ e௭ଶ (k௭ଵ(minusk௭ଵe௭ଵ + eଶ) minus +ሷݖ (ሷݖ +
1
భߛ௭෪ܣ ௭ܣ
(488)
= minus k௭ଵeଵଶ + eଶ ሷ+(1ݖ) minus kଵ
ଶ )e௭ଵ + k௭ଵeଶ minusߠݏ 3ݑemptyݏ
+ g +
ෝݖܣ
)
+1
భߛ௭෪ܣ ௭ܣ) minus
భߛ
eଶ ) (489)
La dynamique qui va ecirctre attribueacutee agrave ௭ܣ est baseacutee sur le fait qursquoelle doit annuler le terme
inconnu ௭ܣ
௭ܣ =ఊ1
e2ݖ (490)
Chapitre4 COMMANDE ROBUST PAR LA THECHNIQUE DU BACKTEPPING
102
Pour garantir la stabiliteacute de Lyapunov
ሷ+(1ݖ minus kଵଶ )e௭ଵ + k௭ଵeଶ minus
ߠݏ 3ݑ emptyݏ
+ g +
= minusk௭ଶeଶ (491)
La loi de commande qui stabilise le vol vertical est
ଷݑ =
ߠݏ emptyݏ+ሷݖ) g + e௭ଵ(1minusk௭ଵ
ଶ ) + eଶ(k௭ଵ + k௭ଶ) minusෝݖܣ
) (492)
La force ௭ܣ apparaicirct dans la commande ଷݑ et lrsquoeffet de celle-ci va se montrer dans les
reacutesultats de simulation
Nous suivons les mecircmes eacutetapes deacutecrites preacuteceacutedemment pour deacuteterminer les commandes du
drone X4 ce qui nous donne
⎩⎪⎪⎪⎨
⎪⎪⎪⎧ ௫ݑ =
௨యሷݔ) + (1 minus ௫ଵ
ଶ ) ௫ଵ minus ( ௫ଵ + ௫ଶ) ௫ଶ) minus
௬ݑ =
௨యሷݕ) + ൫1 minus ௬ଵ
ଶ ൯ ௬ଵ minus ( ௬ଵ + ௬ଶ) ௬ଶ) minus
ସݑ = +ߠ ఏଵ൫1 minus ఏଵଶ ൯minus ఏଶ ( ఏଵ + ఏଶ)
ହݑ = ݎempty + emptyଵ (1 minus emptyଵଶ ) minus emptyଶ ( emptyଵ + emptyଶ)
u = ψ
+eψଵ൫1 minus kψଵଶ ൯minus eψଶ(kψଵ + kψଶ )
(493)
ܣ ܣ sont les forces de reacutesistances estimeacutees suivants les axes x y respectivement
Leurs deacuteriveacutees sont deacutefinie par ܣ =ఊ2
e2ݔ ܣ =
ఊ3
e2ݕ
Avec ଶߛ et ଷߛ sont des constants positifs
472 Reacutesultats de simulations
Nous nous inteacuteressons dans cette partie aux tests de la robustesse du controcircleur
backstepping adaptative Nous reprenons les mecircmes tests effectueacutes par le controcircleur
Backstepping Nous traitons dans cette partie lrsquoexemple de la reacutealisation des connections
demi-cercles pour les mouvements z x y en preacutesence de perturbation
Avec les gains ଵ=10ߛ ଶ=20ߛ et ଷ=30ߛ
Chapitre4 COMMANDE ROBUST PAR LA THECHNIQUE DU BACKTEPPING
103
Figure 426 La trajectoire de reacutefeacuterence et reacuteelle en preacutesence de perturbation
Figure 427 Les commandes en preacutesence de perturbation
0 5 10 15 20 25 30 35 40 450
20
40
u3
(N)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45-40
-20
0
20
u4
(Nm
)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
-200
2040
u5
(Nm
)
temps (s)
02
46
810
1214
0
5
10
15
200
5
10
15
Deacuteplacement suivant (x)Deacuteplacement suivant (y)
Deacutepla
cem
ent
suiv
ant
(z)
Trajectoire reacuteelle
Trajectoire reacutefeacuterence
Chapitre4 COMMANDE ROBUST PAR LA THECHNIQUE DU BACKTEPPING
104
Figure 428 Les erreurs en preacutesence de perturbation
Figure 429 Les forces en preacutesence de perturbation
0 5 10 15 20 25 30 35 40 450
5
10
F1
(N)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 450
5
10
F2
(N)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 450
5
10
F3
(N)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 450
5
10
F4
(N)
temps (s)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45-01
0
01
02z-e
rreur
(m)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45-01
0
01
02
x-e
rreurr
(m)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45-01
0
01
02
y-e
rreur
(m)
temps (s)
Chapitre4 COMMANDE ROBUST PAR LA THECHNIQUE DU BACKTEPPING
105
Figure 430 Estimation des forces de traineacutee suivant les deacuteplacements zxy
La simulation agrave eacuteteacute faite sur le mecircme proceacutedeacute les figures (426-429) montrent
clairement que la loi de commande adaptative proposeacutees est stable malgreacute la preacutesence de
terme de perturbation lrsquoerreur statique est annuleacute et le suivi de la trajectoire est assureacute
nous pouvons voir aussi que la perturbation additionneacutee ne cause pas de problegraveme vis-agrave-vis
de la performance de la loi de commande cette derniegravere stabilise asymptotiquement les
principales erreurs du systegraveme En outre la figure (430) montre que ෩(erreur)ܣ converge
vers zeacutero ou encore ௫௬௭ܣ (estimeacutee) converge vers sa vraie valeur ௫௬௭ܣ (inconnue)
4 8 Commande Hybride
Depuis quelques anneacutees beaucoup de recherches ont eacuteteacute effectueacutees dans le domaine
de la commande des systegravemes non lineacuteaires Le mode glissant-backstepping fait partie de
ces nouvelles meacutethodes de controcircle celui-ci au mecircme algorithme que le backstepping mis
agrave part le deuxiegraveme sous systegraveme on remplace lrsquoerreur par la surface de glissement et la
commande comprend deux termes ݑ) = ݑ + (ݑ Un terme continu appeleacutee commande
eacutequivalente et un terme discontinu appeleacutee commande de commutation Le but de cette
proceacutedure est de garantir une stabiliteacute avant lrsquointroduction du mode glissant
0 5 10 15 20 25 30 35 40 450
5
10A
z-F
orc
e(N
))
0 5 10 15 20 25 30 35 40 450
5
10
Ax-F
orc
e(N
)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 450
5
10
Ay-F
orc
e(N
)
temps (s)
force estimeacutee
force reacuteelle
force estimeacutee
force reacuteelle
force estimeacutee
force reacuteelle
Chapitre4 COMMANDE ROBUST PAR LA THECHNIQUE DU BACKTEPPING
106
481 Application du mode glissant-Backstepping pour le drone X4
Dans cette partie on a utiliseacute le backstepping approche comme un algorithme
reacutecursif pour controcircler le drone X4 nous simplifions toutes les eacutetapes de calcul agrave propos
des erreurs et les fonctions de Lyapunov dans le chemin suivant
= ቐ
minusݔ ݔ isin [1 3 5 7 9 11]
minusݔ ሶ(ݔ ଵ) minus ( ଵ)
isin 2 4 6 8 1012
(494)
Avec gt 0 isin 112
ଵ
ଶ ଶ isin 1357911
et = (495)
( ଵ) +ଵ
ଶ ଶ isin 24681012
Nous allons appliquer cette meacutethode pour commander la dynamique de lrsquoaltitude z du
drone X4 les autres lois de commandes seront deacuteduites par les mecircmes proceacutedures et seront
donneacutee directement La premiegravere eacutetape dans ce controcircleur est similaire agrave celui de la
commande par backstepping agrave action inteacutegrale
Drsquoougrave la surface de glissement S est utiliseacute agrave la place de eଶ deacutefinis par
௭ = ௭ଶ = minusሶݖ ሶݖ minus ௭ଵ ௭ଵ minus ଵߣ ଵ (496)
Le choix de la de commande pour une surface de glissement attractive se pose sur la
deacuteriveacutee de lrsquoeacutequation (496) doit satisfaire la condition ൫SS lt 0൯
௭ = minus ଵݏ )ݐ ௭) minus ଶ ௭
= minusሷݖ ሷݖ minus ௭ଵ ሶ௭ଵ minus ଵߣ ௭ଵ
=ଵ
emptyݏ ଷݑߠݏ minus minus ሷݖ minus ௭ଵ ሶ௭ଵ minus ଵߣ ௭ଵ (497)
La loi de commande qui stabilise le vol vertical est
ଷݑ =
௦empty௦ఏ൫ݖሷ + + ௭ଵ ሶ௭ଵ + ଵߣ ௭ଵ minus ଵݏ )ݐ ௭) minus ଶ ௭൯ (498)
Avec ଵ et ଶ sont des gains positives
Chapitre4 COMMANDE ROBUST PAR LA THECHNIQUE DU BACKTEPPING
107
Analyse de la stabiliteacute
Afin de prouver la stabiliteacute la fonction de Lyapunov (e௭ଵ S௭) est choisie comme suite
(e௭ଵ S௭) =ଵ
ଶe௭ଵଶ + ௭
ଶ + ଵߣ ଵଶ ൧ (499)
Afin de prouver la stabiliteacute asymptotique du systegraveme sur lensemble nous avons besoin
dexprimer (471) comme suit
ሶ௭ଵ = minus ௭ minus ௭ଵ ௭ଵ minus ଵߣ ଵ (4100)
La deacuteriveacutee de lrsquoeacutequation 499 donne
= ଵߣ ௭ଵ ଵ + ௭ଵ ሶ௭ଵ + ௭௭ (4101)
Par lrsquointroduction des eacutequations drsquoerreurs de poursuite en vitesse de ௭ଵ et ௭ donne
= minus ௭ଵ ௭ଵଶ minus ଵ ௭
ଶ minus |ଵݍ ௭| le 0 (4102)
Avec
௭ = minus ଵݏ )ݐ ௭) minus ଶ ௭ + ௭ଵ (103)
La stabiliteacute Asymptotique Global est eacutegalement assureacutee agrave partir de la fonction et le fait
que ( ௭ଵ ௭) lt 0 forall( ௭ଵ ௭) ne 0 and (0) = 0 et en appliquant le theacuteoregraveme de LaSalle
Les mecircmes eacutetapes sont utiliseacutees pour deacuteduire les commandes ux uy u4 u5 et u6 [88]
⎩⎪⎪⎨
⎪⎪⎧ ௫ݑ =
௨యሷݔ) + ௫ଵ ሶ௫ଵ+ߣଶe୶ଵ minus ଷݏ )ݐ ௫) minus ସ ௫)
௬ݑ =
௦ఏ௨య൫ݕሷ + ௬ଵ ሶ௬ଵ + ଷe୷ଵߣ minus ହݏ ൫ݐ ௬൯minus ௬൯
ସݑ = ߠ + ఏଵ ሶఏଵ + ସeఏଵߣ minus ݏ )ݐ ఏ) minus ఏ
ହݑ = empty + emptyଵ ሶemptyଵ + ହeemptyଵߣ minus ଽݏ )ݐ empty) minus ଵ empty
ݑ = + టଵ ሶటଵ + eటଵߣ minus ଵଵݏ ൫ݐ ట൯minus ଵଶ ట
( 4104)
Avec ( ଵ ଶ ଷ ସ ହ ଽ ଵ ଵଵ ଵଶ ) sont des gains positives
Ougrave ௫ ௬ ఏ empty et ట sont les surfaces de glissement deacutefinies par le systegraveme drsquoeacutequation
suivant
Chapitre4 COMMANDE ROBUST PAR LA THECHNIQUE DU BACKTEPPING
108
⎩⎪⎪⎨
⎪⎪⎧
௫ = e୶ଶ = x minus x minus k୶ଵe୶ଵ minus ଶߣ ଶ
௬ = e୷ଶ = y minus y minus k୷ଵe୷ଵ minus ଷߣ ଵ
ఏ = eఏଶ = minusߠ ߠ minus kఏଵeఏଵ minus ସߣ ସ
empty = eemptyଶ = empty minus empty minus kemptyଵeemptyଵ minus ହߣ ହ
ట = eటଶ = minus minus kటଵeటଵ minus ߣ
(4105)
482 Reacutesultats de simulation
Lrsquoobjectif de cette simulation est de montrer la robustesse de la loi de commande
lorsque qursquoune perturbation externe est appliqueacutee
Les paramegravetres de simulation sont
ଵ =10 ଷ = 1 ହ = 10 = 2 ଽ = 10 ଵଵ = 2 ௭ଵ =8 ଶ = 5 ௫ଵ = 5 ସ =
5 ௬ଵ = 4 = 2 kemptyଵ = 55 k = 2 ఏଵ = 75 ଵ = 10 టଵ = 2 ଵଶ = 4
ଵߣ = 5 ଶߣ = 5 ଷߣ = 4 ସߣ = 2 ହߣ = 5 ߣ = 2
Les figures 431 437 et 438 montrent que les deux commandes ont permis le suivi des
trajectoires deacutesireacutees La diffeacuterence entre les deux commandes se voit dans la figure 436 ougrave
les erreurs de suivi sont moins importantes en utilisant la commande robuste backstepping-
mode glissant que la commande inteacutegrale backstepping Les simulations montrent donc
que la commande hybride est plus efficace que la commande Inteacutegrale Backstepping IB
Figure 431 La trajectoire de reacutefeacuterence et reacuteelle en preacutesence de perturbation
0
5
10
15
0
5
10
150
5
10
15
x-displacementy-displacement
z-d
ispla
cem
ent
Trajectoire reacuteelle
Trajectoire reacutefeacuterence
Chapitre4 COMMANDE ROBUST PAR LA THECHNIQUE DU BACKTEPPING
109
Figure 432 Les commandes en preacutesence de perturbation
Figure 433 Les erreurs en preacutesence de perturbation
0 5 10 15 20 25 30 35 40 450
20
40
u3(N
)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45-40
-20
0
20
u4(N
m)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
-200
2040
u5(N
m)
temps (s)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45-01
0
01
02
z-e
rreur
(m)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45-01
0
01
02
x-e
rreurr
(m)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45-01
0
01
02
y-e
rreur
(m)
temps (s)
Chapitre4 COMMANDE ROBUST PAR LA THECHNIQUE DU BACKTEPPING
110
Figure 434 Les angles en preacutesence de perturbation
Figure 435 Les forces en preacutesence de perturbation
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
-05
0
05
1
angle
theta
(rad)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
-1
-05
0
05
1
angle
phi(r
ad)
temps (s)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 4505
10
F1
(N)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 450
5
10
F2
(N)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 450
5
10
F3
(N)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 450
5
10
F4
(N)
temps (s)
Chapitre4 COMMANDE ROBUST PAR LA THECHNIQUE DU BACKTEPPING
111
Figure 436 Les erreurs de suivi en z x et y pour les deux commandes
Figure 437 La trajectoire de reacutefeacuterence et reacuteelle en preacutesence de perturbation
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45-01
0
01
02
z-e
rre
ur
(m)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45-01
0
01
02
x-e
rre
urr
(m)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45-01
0
01
02
y-e
rre
ur
(m)
temps (s)
IB
IBMG
IB
IBMG
IB
IBMG
0
5
10
15
0
5
10
150
5
10
15
x-displacementy-displacement
z-d
ispla
cem
ent
Trajectoire reacuteelle
Trajectoire reacutefeacuterence
Chapitre4 COMMANDE ROBUST PAR LA THECHNIQUE DU BACKTEPPING
112
Figure 438 La trajectoire de reacutefeacuterence et reacuteelle en preacutesence de perturbation
49 Conclusion
Nous avons preacutesenteacute dans ce chapitre une contribution agrave lrsquoapplication de la commande
par backstepping et la commande hybride backstepping mode glissant afin de stabiliser le
drone X4 On a proposeacute un algorithme de commande qui stabilise le drone en utilisant la
technique du backstepping et en se basant sur la meacutethode directe de Lyapunov Cette
technique a eacuteteacute appliqueacutee avec succegraves pour concevoir des algorithmes de commandes qui
assurent la poursuite de ces trajectoires En effet en preacutesence drsquoune perturbation un
comportement peu deacutesirable et observeacute des erreurs statiques persistent Afin drsquoeacuteliminer
cet inconveacutenient on a eacutetudieacute les deux approches la premiegravere consiste agrave introduire drsquoune
maniegravere virtuelle une action inteacutegrale qui permet une nette ameacutelioration des performances
et la deuxiegraveme approche est le backstepping adaptatif lrsquoideacutee consiste agrave estimer la force de
traineacutee comme perturbation et suivant la proceacutedure du backstepping le controcircleur prend
en compte la perturbation et lrsquoeffet de celle-ci est eacutelimineacute Les reacutesultats obtenus ont montreacute
lrsquoefficaciteacute de lrsquoutilisation de ce type de commande et ceci est deacutemontreacute par les bonnes
performances du controcircleur (rejet de perturbation)
Pour renforcer la robustesse face aux perturbations externes des deux commandes une
commande hybride entre le mode glissant et le backstepping inteacutegrale agrave eacuteteacute proposeacutee afin
-2-15
-1-05
005
115
-3
-2
-1
0
1
20
1
2
3
4
5
6
x-displacementy-displacement
z-d
ispla
cem
ent
Trajectoire reacuteelle
Trajectoire reacutefeacuterence
Chapitre4 COMMANDE ROBUST PAR LA THECHNIQUE DU BACKTEPPING
113
drsquoameacuteliorer les performances dynamique et statique Nous avons preacutesenteacute dans cette partie
la synthegravese et la stabiliteacute de la commande hybride que nous avons appliqueacutee pour le drone
X4
Les reacutesultats de simulation ont confirmeacute les bonnes performances du controcircleur utiliseacute qui
assure sous certaines conditions la poursuite de la trajectoire
CONCLUSION GENERALE ET PRESPECTIVE
113
CONCLUSION GENERALE ETPRESPECTIVE
CONCLUSION GENERALE ET PRESPECTIVE
114
CONCLUSION GENERALE ET PRESPECTIVE
Durant ces derniegraveres anneacutees la robotique aeacuterienne a fait de grand progregraves Cet
inteacuterecirct est justifieacute par les avanceacutees technologiques reacutecentes qui rendent possibles la
conception et la construction des mini-drones et par le domaine drsquoapplication civile et
militaire tregraves vaste de ces aeacuteronefs Les drones sont classifieacutes en trois cateacutegories principales
les avions les dirigeables et les heacutelicoptegraveres Le travail reacutealiseacute dans cette thegravese rentre dans
ce cadre de recherche sur la commande de mini-veacutehicules aeacuteriens capables de reacutealiser du
vol stationnaire et en particulier du quadrirotor Notre objectif est de deacutevelopper des
commandes avanceacutees drsquoune part et drsquoautre part de proposer des meacutethodes drsquohybridations
entre ces techniques de commande assurant la stabiliteacute du drone (X4) et leurs poursuites
aux trajectoires planifieacutees
Nous nous sommes tout drsquoabord inteacuteresseacutes agrave attribuer au drone un modegravele
repreacutesentatif qui reflegravete sa dynamique de translation et celle de rotation en neacutegligeant les
forces aeacuterodynamiques et les effets gyroscopiques Ce modegravele a eacuteteacute eacutelaboreacute en utilisant la
meacutethode Newtonienne en se basant sur quelques hypothegraveses simplificatrices adopteacutees en
litteacuterature
Nous avons eacutelaboreacute dans un premier temps la synthegravese drsquoune loi de commande agrave
structure variable tel que le mode glissant Dans ce type de commande lrsquoapproche non
lineacuteaire a eacuteteacute traiteacutee et preacutesente lrsquoavantage de se rapprocher du systegraveme reacuteel sans passer
neacutecessairement par le modegravele lineacuteaire Cette commande a donneacute des reacutesultats inteacuteressants
concernant la poursuite de trajectoires simples telles que le suivi de lignes droites et
complexes (demi-cercle arcs hellip)
En preacutesences des perturbations des erreurs statiques persistent Une structure de
reacuteglage par mode de glissement agrave action inteacutegrale a eacuteteacute aussi preacutesenteacutee afin drsquoobtenir des
meilleurs performances Les reacutesultats de simulation nous montrent la robustesse et la
performance de ce type de reacutegulateur Cependant le signal de commande obtenu par ce
reacutegulateur preacutesente des variations brusques dues au pheacutenomegravene de broutements
(chatterring)
Afin de reacuteduire les effets du pheacutenomegravene de broutement et drsquoameacuteliorer davantage
les performances de stabilisation du X4 une hybridation entre la logique floue et le mode
de glissement agrave action inteacutegrale a eacuteteacute proposeacutee
CONCLUSION GENERALE ET PRESPECTIVE
115
Une autre commande non lineacuteaire a eacuteteacute proposeacutee agrave savoir un reacutegulateur de type
backstepping Ce reacutegulateur est baseacute sur une reacutecente meacutethodologie faisant appel agrave la
fonction de Layapunov La synthegravese a conduit agrave un controcircleur non lineacuteaire globalement
asymptotiquement stable Cette technique a eacuteteacute appliqueacutee avec succegraves pour concevoir des
algorithmes de commandes qui assurent le deacuteplacement du drone drsquoune position initiale
vers une position drsquoeacutequilibre deacutesireacutee Le reacutegulateur backstepping dont la conception est de
type PD preacutesente lrsquoinconveacutenient de la persistance de lrsquoerreur statique en preacutesence de
perturbation Pour y remeacutedier deux solutions ont eacuteteacute proposeacutees agrave savoir lrsquoajout drsquoune
action inteacutegrale au controcircleur virtuel (la commande inteacutegrale backstepping) et la deuxiegraveme
revient agrave estimer la perturbation (la commande backstepping adaptatif) cette approche a la
flexibiliteacute de speacutecifier les structures finales deacutesirables pour les lois des paramegravetres estimeacutes
Une approche drsquohybridation entre le backstepping inteacutegrale et le mode glissant a eacuteteacute
preacutesenteacutee pour augmenter davantage les performances de controcircleur
Les reacutesultats obtenus agrave ce propos sont assez motivant pour lancer une concreacutetisation
pratique de ces commandes
Outre les perspectives de travail mentionneacutees dans les conclusions des diffeacuterentes
parties de ce document une extension des travaux effectueacutes dans le cadre de cette thegravese
peut ecirctre reacutealiseacutee en consideacuterant les points suivants
Les approches proposeacutees ont eacuteteacute adapteacutees pour lrsquoacuteelaboration de lois de guidage-pilotage
en utilisant un niveau de modeacutelisation de la dynamique drsquoun drone miniature `agrave voilure
tournante baseacute sur une repreacutesentation de type meacutecanique du solide Une extension de ces
travaux peut consister en lrsquoapplication des meacutethodes proposeacutees agrave des modegraveles plus
deacutetailleacutes repreacutesentatifs drsquoune configuration de veacutehicule donneacutee et prenant en compte une
repreacutesentation de son aeacuterodynamique
Enfin une analyse de la robustesse des approches proposeacutees peut ecirctre eacutetudieacutee en
poursuite agrave cette thegravese afin de garantir dans quelle mesure les proprieacuteteacutes de stabiliteacute
eacutetablies sont conserveacutees en preacutesence drsquoerreurs de modegraveles en preacutesence de perturbations
impreacutevisibles telles que les rafales de vent En effet comme perspective ces conditions
reacuteelles peuvent ecirctre consideacutereacutees dans lrsquoeacutelaboration de la commande dans le but
drsquoaugmenter le domaine de fonctionnement du quadrirotor (agrave lrsquointeacuterieur ou bien agrave
lrsquoexteacuterieur) Dans le mecircme esprit nous nrsquoavons pas consideacutereacute le problegraveme des retards de
mesure ou de communication entre le drone et la base de controcircle Il nous semble
envisageable de consideacuterer ce problegraveme en se basant sur les reacutesultats obtenus pour la
CONCLUSION GENERALE ET PRESPECTIVE
116
stabilisation par commande agrave structure variable de systegravemes avec retard et la stabilisation
avec la commande hybride
Le choix des paramegravetres de reacuteglage de la commande non-lineacuteaire proposeacutee pour la
stabilisation du quadrirotor nrsquoest pas optimiseacute en lrsquoeacutetat actuel Il est par conseacutequent tout agrave
fait envisageable drsquooptimiser ces choix dans le but drsquoameacuteliorer le comportement global du
systegraveme de renforcer la stabiliteacute ou encore drsquoameacuteliorer la robustesse de la commande
ANNEXE
113
ANNEXES
ANNEXE
117
ANNEXE A
A1 Theacuteorie de lyapunov
Le concept du controcircle par Backstepping est baseacute sur la theacuteorie de Lyapunov Lebut est de construire de proche en proche une loi de commande ramenant le systegraveme versdes eacutetats deacutesireacutes En drsquoautres termes on souhaite faire de lrsquoeacutetat deacutesireacute un eacutetat drsquoeacutequilibrestable en boucle fermeacuteeDans cette section nous deacutefinissons la notion de la stabiliteacute au sens de Lyapunov et nouspassons en revue les principaux outils utilisables pour prouver la stabiliteacute drsquoun systegraveme nonlineacuteaire Cette section est inspireacutee essentiellement des travaux de Khalil auquel nous nousreferons pour les preuves des theacuteoregravemes de stabiliteacute [89]On considegravere le systegraveme non lineacuteaire drsquoeacutecrit par lrsquoeacutequation diffeacuterentielle suivante
=ሶݔ (ݐݔ) A1Ougrave f est une fonction deacutefinie de ℝtimesℝା rarr ℝ x isin Rn est le vecteur drsquoeacutetat du systegravemeUn eacutetat xe du systegraveme est un point drsquoeacutequilibre stable srsquoil satisfait
(ݔ) = 0 A2Les proprieacuteteacutes de stabiliteacute de ce point drsquoeacutequilibre sont caracteacuteriseacutees par la deacutefinition ci-dessous
Deacutefinition A1 (Stabliteacute au sens de Lyapunov)Un point drsquoeacutequilibre x = x du systegraveme (A1) est ndash un eacutetat drsquoeacutequilibre stable si et seulement si pour tout ε gt 0 il existe δ(ε) gt 0 tel que
(0)ݔ minus ݔ lt ε ⟹ (ݐ)ݔ minus ݔ lt ߝ leݐ forall 0ndash un eacutetat drsquoeacutequilibre asymptotiquement stable srsquoil est stable et srsquoil existe ߜ gt 0 tel que
(0)ݔ minus ݔ lt ⟹ߜ lim௧⟶ஶ
(ݐ)ݔ = ݔ
ndash un eacutetat drsquoeacutequilibre globalement asymptotiquement stable (GAS) si pour tout eacutetat initialx0 x(0) isin ℝ il est stable et
lim௧rarrஶ
(ݐ)ݔ = (0)ݔ forall ݔ
On introduit maintenant quelques concepts usuels de fonctions de LyapunovDeacutefinition A2ndash Une fonction scalaire V (x) est deacutefinie positive dans une boule de Rn de rayon K si 1) V (x) gt 0 forall x ne 0 et x isin ℝ୬ x lt K2) V (x) = 0 pour x = 0ndash La fonction scalaire V (x) est deacutefinie neacutegative dans une boule de ℝ୬ de rayon K si 1) V (x) lt 0 forall x ne 0 et x isin ℝ୬ x lt K2) V (x) = 0 pour x = 0ndash La fonction scalaire (ݔ) est semi-deacutefinie positive si (ݔ) ge 0
Theacuteoregraveme A3 Consideacuterons le systegraveme deacutecrit par lrsquoeacutequation (A1) avec (0) = 0 Soit (ݔ) une fonction scalaire deacutefinie positive non borneacutee continue et diffeacuterentiable Si
V(x) = Vx f(x) lt 0 x ne 0 (A3)
alors x = 0 est un point drsquoeacutequilibre globalement asymptotiquement stable
ANNEXE
118
La fonction deacutefinie positive (ݔ) satisfaisant (ݔ) le 0 est appeleacutee fonction de Lyapunovdu systegraveme
Theacuteoregraveme A4 (LaSalle-Yoshizawa) [90]
Soit =ݔ 0 un point drsquoeacutequilibre de (A1) et on suppose que f est localement Lipschitz en xSoitV ℝ rarr ℝା une fonction continue et diffeacuterentiable deacutefinie positive radialement nonborneacutee telle que
=ௗ
ௗ௫(ݔ) (ݐݔ) le minus (ݔ) le 0 leݐ forall 0 niݔ ℝ (A4)
ougrave (ݔ) est une fonction continue alors toutes les solutions de (A1) sont globalementuniformeacutement borneacutees et satisfont
lim௧rarrஶ
( ((ݐ)ݔ) = 0 (A5)
de plus si (ݔ) est deacutefinie positive alors le point drsquoeacutequilibre ݔ = 0 est globalementuniformeacutement asymptotiquement stable
A2 Commande par la meacutethode de Lyapunov
Nous allons donner dans cette section une meacutethode de synthegravese drsquoune loi de commandebaseacutee sur la theorie de Lyapunov On considegravere le systegraveme non lineacuteaire drsquoeacutecrit par
=ሶݔ f(x u) (A6)Ougrave x est lrsquoeacutetat du systegraveme et ݑ est lrsquoentreacutee de commandeLrsquoobjectif du controcircle est de ramener le vecteur drsquoeacutetat agrave lrsquoorigine et que lrsquoorigine devienneun point drsquoeacutequilibre asymptotiquement stable Lrsquoentreacutee de commande est choisie de laforme
ݑ = (ݔ)ߙ (A7)La dynamique du systegraveme en boucle fermeacutee devient
=ሶݔ ((ݔ)ߙݔ) (A8)
Pour montrer que le systegraveme est GAS nous devons construire une fonction de Lyapnuov
(ݔ) satisfaisant les conditions du theacuteoregraveme (A3) Lapproche la plus simple pour trouver
(ݔ)ߙ est de seacutelectionner une fonction deacutefinie positive (ݔ) radialement non borneacutee et
puis choisir (ݔ)ߙ tel que
= (ݔ)ݔ ((ݔ)ߙݔ) lt 0 x ne 0 (A9)On doit faire un choix adeacutequat de pour veacuterifier (A9) Ce qui nous amegravene agrave donner ladeacutefinition suivante
Deacutefinition A5 (Fonction de Lyapunov candidate) Une fonction (ݔ) scalaire lissedeacutefinie positive et radialement non borneacutee est appeleacutee fonction de Lyapunov candidatepour le systegraveme (A6) si
inf௨ݔ (ݑݔ) lt 0 x ne 0 (A10)
Etant donneacutee une (fonction de Lyapunov candidate (CLF)) pour le systegraveme (A8) on peuttrouver une loi de controcircle stabilisant globalement le systegraveme En effet lrsquoexistence de
ANNEXE
119
cette loi est eacutequivalent de (CLF) Cela veut dire que pour toute loi de controcircle stabilisanteon peut trouver une (CLF) correspondante et vis-versa Cela est veacuterifie dans le theacuteoregraveme[91] Pour illustrer cette approche on considegravere le systegraveme suivant
=ሶݔ (ݔ) + ݑ(ݔ) (A11)Ce systegraveme est affine en la commande On suppose que la (CLF) du systegraveme est connueSontag a proposeacute dans [92] un choix particulier de loi de controcircle donneacutee par
ݑ = (ݔ)ߙ = minusାradicమାమ
(A12)
Ougrave= (ݔ)ݔ (ݔ)= (ݔ)(ݔ)ݔ
Cette loi de commande nous donne
= )(ݔ)ݔ (ݔ) + (ݑ(ݔ) = + ൬minusାradicమାమ
൰= minusradic ଶ + ଶ (A13)
Elle rend donc lrsquoorigine (GAS) Lrsquoeacutequation (A12) est connue sous le nom de la formule deSontag Freeman et Primbs [93] ont propose une approche ou la commande u est choisiepour minimiser Lrsquoeffort du controcircle neacutecessaire pour satisfaire
le minus (ݔ) (A14)
A3 Eacuteleacutements theacuteoriques des modes glissantsOn introduit des eacuteleacutements theacuteoriques neacutecessaires agrave la compreacutehension de la
commande par modes glissants Plus particuliegraverement nous rappelons les conditionsdrsquoexistence du mode glissant
Figure A1 ndash Comportement en dehors de la surface de glissement
A31 Existence du mode glissementA311 Deacutefinitions
Nous consideacuterons le systegraveme non lineacuteaire drsquoeacutecrit par
=ሶݔ (ݐݑݔ) (A15)Ougrave ndash x est lrsquoeacutetat du systegraveme eacutevoluant dans une varieacuteteacute diffeacuterentiable caracteacuterisant le domainephysique de fonctionnement du systegraveme
S = 0
ANNEXE
120
ndash f le champ de vecteurs complet dans ℝ
ndash u la commande ou lrsquoentreacutee du systegraveme appartient a Ω inclut dans ℝ veacuterifiant
(ݐݔ)ݑ = ൜(ݐݔ)ାݑ ݏ (ݐݔ) ≺ 0
(ݐݔ)ݑ ݏ (ݐݔ) ≻ 0
Cette commande discontinue est appeleacutee Commande a Structure Variable(CSV) ou biencommande par modes glissantsLa fonction S(x t) est appeleacutee surface de glissement elle partage lrsquoespace en deux partiesdistinctes Un systegraveme est deacutefini comme eacutetant un systegraveme a structure variable commutantentre deux structures si par on deacutefinit deux champs de vecteurs ା (x u t) (x u t) detel sorte que le systegraveme (A15) puisse ecirctre eacutecrit sous la forme ci-dessous
=ሶݔ (ݐݑݔ) = (ݐݔ) = ൜ା(ݐݔ) ݏ (ݐݔ) ≺ 0
(ݐݔ) ݏ (ݐݔ) ≻ 0
Pour eacutevoquer lrsquoexistence du mode de glissement il faut que la surface de commutation(ݐݔ) soit attractive des deux cotes Lrsquointerpreacutetation geacuteomeacutetrique eacutequivaut agrave dire que les
deux vecteurs vitesses + et minus doivent ecirctres dirigeacutes vers la surface de commutationCette notion drsquoattractiviteacute peut ecirctre locale ou globale (figure (A1))
A32 Conditions drsquoexistence du mode glissantLe theacuteoregraveme ci-dessous donne les conditions drsquoexistence du mode glissant
Theacuteoregraveme A6 Un domaine Dg de dimension (n-1) est dit un domaine de glissement si etseulement si dans un domaine Ω contenant Dg il existe une fonction de Lyapunov ( (ݐݔ gt 0 continucircment diffeacuterentiable par rapport agrave tous ses arguments et satisfaisantles conditions suivantes
i) ( (ݐݔ gt 0 est deacutefinie positive par rapport a S
൜( (ݐݔ ≻ 0 (ݐݔ0) = 0
ݏ ne 0
ii) Sur la sphegravere = ρ forall x isin Ω forall t gt 0 les relations suivantes sont veacuterifieacutees ii minus a) inf
ௌୀV ( (ݐݔ = ℎ ℎ gt 0
ii minus b) supௌୀ
V ( (ݐݔ = ܪ ܪ gt 0
Avec ℎ et ܪ deacutependant de S et ℎ ne 0 si ρ ne 0
iii) La deacuteriveacutee totale de ( (ݐݔ le long des trajectoires du systegraveme a unmaximum neacutegatif pour tout x de agrave lrsquoexclusion de la surface de commutationpour laquelle la commande u nrsquoest pas deacutefinie et la deacuteriveacutee de ( (ݐݔnrsquoexiste pas
iv) Il est possible de choisir une fonction de Lyapunov baseacutee sur la physique dusystegraveme (cas des robots manipulateurs par exemple) mais il nrsquoexiste aucune
ANNEXE
121
meacutethode geacuteneacuterale qui permette de trouver une fonction de Lyapunov Pourcertaines classes de systegravemes une approche possible consiste agrave choisir lesformes suivantes
⎩⎪⎨
⎪⎧ ݔ) (ݐ =
ଶ
2
ݔ) (ݐ =ସ
4 ݔ) (ݐ = | |
Pour illustrer le reacutesultat fourni par le theacuteoregraveme preacuteceacutedent nous optons pour une
fonction de Lyapunov de type quadratique ݔ) (ݐ =ௌమ
ଶ Pour que la surface soit
attractive sur tout le domaine il suffit queௗ
ௗ௧ ݔݐ) ) lt 0 Ceci eacutequivaut agrave
SS˙ lt 0 (A16)
Cette condition(A16) permet drsquoassurer une convergence asymptotique vers lasurface S = 0 Tregraves souvent cette condition est remplaceacutee par
SS˙ le minusη |S| (A17)
Ougrave η est une quantiteacute strictement positive Cette condition assure la convergence vers S =0 en un temps fini tfini
ANNEXE
122
ANNEXE B
La commande mode glissant preacutesente certaine limites par exemple le problegraveme de
chattering en preacutesence de la fonction sgn (voir figure si-dessous)
Figure B1 La commande u3 en cas des connexions droite
Dans cette partie nous testons numeacuteriquement la performance du vecteur de commande
(mode glissant) deacuteveloppeacute preacuteceacutedemment dont les conditions initiales sont choisis
diffeacuterentes de zeacutero
Figure B2 La trajectoire de reacutefeacuterence et reacuteelle en cas drsquoun cocircne
0 1 2 3 4 5 6 7 80
5
10
15
20
25
30
35
40
U3(N
)
Temps (s)
-2-15
-1-05
005
115
-3
-2
-1
0
1
20
1
2
3
4
5
6
Deacuteplacement suivant (x)
X 1
Y 1
Z 2984
Deacuteplacement suivant (y)
Deacutepla
cem
ent
suiv
ant
(z)
Trajectoire reacuteelle
Trajectoire reacuteference
ANNEXE
123
Figure B3 Les forces en cas drsquoun cocircne
Figure B4 Les angles en cas drsquoun cocircne
0 5 10 15 20 25 30 35 40 450
5
10
F1
(N)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 450
5
10
F2
(N)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 450
5
10
F3
(N)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 4505
10
F4
(N)
temps (s)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
-05
0
05
1
angle
theta
(rad)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
-1
0
1
angle
phi(r
ad)
temps (s)
ANNEXE
124
Figure B5 La trajectoire de reacutefeacuterence et reacuteelle en cas des demi-cercles
Figure B6 Les forces en cas des demi-cercles
0 5 10 15 20 25 30 35 40 450
5
10
F1
(N)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 450
5
10
F2
(N)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 450
5
10
F3
(N)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 450
5
10
F4
(N)
temps (s)
0
5
10
15
0
5
10
15
200
2
4
6
8
10
12
Deacuteplacement suivant (x)
X 1
Y 1
Z 3
Deacuteplacement suivant (y)
Deacutepla
cem
ent
suiv
ant
(z)
Trajectoire reacuteelle
Trajectoire reacutefeacuterence
ANNEXE
125
Figure B7 Les forces en cas des demi-cercles
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
-05
0
05
1
angle
theta
(rad)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
-1
-05
0
05
1
angle
phi(r
ad)
temps (s)
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Reacutesumeacute
Lrsquointeacuterecirct scientifique de la thegravese est lrsquoeacutetude de stabilisation avec planification de trajectoire pour undrone agrave quatre heacutelices Apregraves la modeacutelisation du systegraveme plusieurs commandes ont eacuteteacute reacutealiseacutees pour lapoursuite de trajectoires simples telles que le suivi de lignes droites et complexes La stabiliteacute descontrocircleurs utiliseacutes a eacuteteacute veacuterifieacutee ainsi que la robustesse en preacutesence des perturbations
Dans la premiegravere partie nous nous somme pencheacutes sur la synthegravese drsquoun controcircleur par mode glissant (SMC)pour la stabilisation du drone X4 Cependant le signal de commande obtenu par cette technique preacutesentedes variations brusques dues au pheacutenomegravene de broutement Afin de reacuteduire les effets de ce pheacutenomegravene etdrsquoameacuteliorer davantage les performances de controcircle du X4 une hybridation entre la logique floue et le modede glissement a eacuteteacute proposeacutee
Par la suite nous avons preacutesenteacute la technique de commande du backstepping pour la stabilisation du droneCe reacutegulateur est baseacutee sur une reacutecente meacutethodologie faisant appel agrave la fonction da lyapunov Le controcircleurbackstepping dont la conception est de type PD preacutesente lrsquoinconveacutenient de la persistance de lrsquoerreur statiqueen preacutesence de perturbation Pour y remeacutedier des solutions ont eacuteteacute proposeacutees agrave savoir la commande InteacutegralBackstepping la commande backstepping adaptatif et une hybridation entre le mode glissant a eacuteteacute proposeacuteeafin drsquoameacuteliorer les performances de reacuteglage
Mot-cleacutes Drone quadrirotor commande par mode glissant commande par backstepping commandehybride stabiliteacute
Abstract
The scientific interest of this thesis work can be mainly seen in the study of the stabilization with
path planning for a four propellers UAV type Starting with dynamical modeling the system several
controllers were designed for the tracking of simple trajectories such as the follow-up of straight lines and
more complex ones The stability of the proposed controllers was checked as well as their robustness in the
presence of various disturbances
In the first part we focused on the synthesis of a sliding mode controller (SMC) for the stabilization of an X4UAV However the control signal obtained from this technique shows sudden undesirable variations due tothe phenomenon of chattering To reduce the effects of this phenomenon and to further improve the controlperformance applied to the X4 hybrid technique between fuzzy logic and sliding mode has been proposed
Subsequently we introduced the backstepping control technique to stabilize the drone This controllerdesign relies on a recent methodology using the Lyapunov function The backstepping controllerrsquos structurewhich is of PD type has the disadvantage of the persistence of the static error in the presence of disturbancesTo overcome this drawback some solutions have been proposed namely Integral Backstepping control theadaptive backstepping technique and its hybridization with the sliding mode control has been applied toimprove the control performances
Keywords quadrocopter drone sliding mode control backstepping control hybrid control stability and
robustness
الملخص
بدونودواراتبأربعودفعـھارفعـھایتمعمودیـة التيطائـرة في التحـكموالنمـذجةدراسـةإلىتطرقـناھذا في عمـلنا
تخراجـاسإلى تستندواحدةللتحكم خطیتینغیرتقنـیتین على اعتمدناقدوالنموذجلاستخراجقانون نیوتنطیاراستعملنا في التحكمإظھار
تحقـیقھوھذامنوالھدفباكیستیبنإجراءاتإلىالأخرىوالإنزلاق لات حا نوعمنحصینالنموذج أثناءطیاربدونطائرةالاستقرارو
الریاحتأثیر حالة ومسار معین رصد حالة في التقنـیات المعتـمدة متانة وفعالیةالتجارب نتائج بینتوقدمسارھارصدواشتغالھا
الباكستیبن تقنیةالانزلاق حالاتنوعمنحصینتحكم دوارات أربعذاتطائرةطائرةالمفتاحیةالكلمات
LISTE DES TABLEAUX
iii
LISTE DES FIGURES
Figure 11 Premier drone 4Figure 12 (A) Dirigeable (B) Drone agrave ailes battants (C) Drone agrave ailes fixes 6Figure 13 Heacutelicoptegravere thermique 6Figure 14 Heacutelicoptegravere classique 7Figure 15 (A) T-wing (B) Hovereye de Bertin Tech (C) Le Birotan 8Figure 16 (A)Tri-rotor du laborat Heudiasyc (B)Le vectron (C) Heacutelicoptegraver auto-stable 9Figure 17 Heacutelicoptegravere de Bothezat 9Figure 18 Drones agrave quatre heacutelices (A)Quadri-rotor IBSC (B) Quadri-rotor pensylvania 10Figure 19 Batterie pour le X4 11Figure 110 (A) Heacutelice (B) Moteur eacutelectrique 12Figure 111 (A) Capteur agrave ultrasons (B) Cameacutera (C)Systegraveme de positionnement geacuteneacuteral 13Figure 112 Centrale inertielle (B) Carte intelligente 15Figure 113 Description drsquoun systegraveme de drone 16
Figure 21 Quadri-rotors X4 23Figure 22 Sens de rotation des rotors de X4 24Figure 23 les deux repegraveres du drone inertiel et local 26Figure 24 Rotations successives deacutefinissant les pseudos angles drsquoEuler 28Figure 25 Description des forces appliqueacutees agrave la pale 32
Figure 31 Diffeacuterents modes pour la trajectoire dans le plan de phase 40Figure 32 Surface de glissement 42Figure 33 Pheacutenomegravene de chattering 45Figure 34 Fonctions de commutation 45
Figure 35 Geacuteneacuteration de trajectoire avec h = 10m 50Figure 36 une trajectoire de reacutefeacuterence avec arcs 51Figure 37 La trajectoire de reacutefeacuterence et reacuteelle en cas droites 52Figure 38 Les commandes u3 u4 u5 des connexions droites 53Figure 39 Les erreurs pour des connections droites 53Figure 310 Les angles de tangage et de roulis pour des connections droites 54Figure 311 La trajectoire de reacutefeacuterence et reacuteelle en cas drsquoarcs 54Figure 312 Les commandes u3 u4 u5des connexions drsquoarcs 55Figure 313 Les erreurs pour des connexions drsquoarcs 55Figure 314 Les angles de tangage et de roulis en cas drsquoarcs 56Figure 315 La trajectoire de reacutefeacuterence et reacuteelle en cas des demi-cercles 56Figure 316 Les commandes u3 u4 u5 des connexions demi-cercles 57Figure 317 Les erreurs pour des connexions demi-cercles 57Figure 318 Les angles pour des connexions demi-cercles 58Figure 319 La trajectoire de reacutefeacuterence et reacuteelle en cas des demi-cercles 58Figure 320 La trajectoire de reacutefeacuterence et reacuteelle en cas drsquoheacutelicoiumldale 59Figure 321 La trajectoire de reacutefeacuterence et reacuteelle en cas drsquoun cocircne 59Figure 322 La trajectoire de reacutefeacuterence et reacuteelle en cas des demi-cercles 61Figure 323 Les commandes u3 u4 u5 des connexions demi-cercles 62Figure 324 Les erreurs pour des connexions demi-cercles 62Figure 325 Les angles pour des connexions demi-cercles 63Figure 326 Les forces pour des connexions demi-cercles 63Figure 327 La trajectoire de reacutefeacuterence et reacuteelle en cas des demi-cercles 65
LISTE DES TABLEAUX
iv
Figure 328 Les erreurs pour des connexions demi-cercles 66Figure 329 Les commandes pour des connexions demi-cercles 66Figure 330 Les angles pour des connexions demi-cercles 67Figure 331 La trajectoire de reacutefeacuterence et reacuteelle en cas des demi-cercles 67Figure 332 La trajectoire de reacutefeacuterence et reacuteelle en cas des connexions arcs 68Figure 333 La trajectoire de reacutefeacuterence et reacuteelle en cas heacutelicoiumldale 68Figure 334 Controcircleur par mode glissant flou 69Figure 335 Fonction dappartenance de lentreacutee S(t) 70Figure 336 Fonction dappartenance de la sortie un 70Figure 337 La trajectoire de reacutefeacuterence et reacuteelle en cas des demi-cercles 71Figure 338 Les commandes pour des connexions demi-cercles 72Figure 339 les erreurs pour des connexions demi-cercles 72Figure 340 les angles pour des connexions demi-cercles 73Figure 341 Les forces pour des connexions demi-cercles 73
Figure 41 Scheacutema bloc de commande du drone par backsteppingFigure 42 La trajectoire de reacutefeacuterence et reacuteelle en cas des connexions cercles 84Figure 43 Les commandes u3 u4 u5 des connexions cercle Figure 44 Les erreurs de deacuteplacement en cas des connections cercleFigure 45 Les angles de tangage et de roulis en cas des connections cercleFigure 46 Les forces en cas des connections cercleFigure 47 La trajectoire de reacutefeacuterence et reacuteelle en preacutesence de perturbation 88Figure 48 Les commandes en preacutesence de perturbation 88Figure 49 Les erreurs en preacutesence de perturbations 89410 Les angles de tangage et de roulis en preacutesence de perturbation 89Figure 411 Le scheacutema bloc du backstepping avec action inteacutegrale 90Figure 412 La trajectoire de reacutefeacuterence et reacuteelle 93Figure 413 Les commandes sans preacutesence de perturbation 94Figure 414 Les erreurs sans preacutesence de perturbations 94Figure 415 Les angles de tangage et de roulis sans preacutesence de perturbation 95Figure 416 Les forces sans preacutesence de perturbation 95Figure 417 La trajectoire de reacutefeacuterence et reacuteelle en preacutesence de perturbation 96Figure 418 Les erreurs en preacutesence de perturbations 96Figure 419 Les commandes en preacutesence de perturbations 97Figure 420 Les angles de tangage et de roulis en preacutesence de perturbation 97Figure 421 Les forces en preacutesence de perturbation 98Figure 422 La trajectoire de reacutefeacuterence et reacuteelle en preacutesence de perturbation 98Figure 423 La trajectoire de reacutefeacuterence et reacuteelle en preacutesence de perturbation 99Figure 424 Comparaison entre le controcircleur B et IB pour des connexions demi cercle 99Figure 425 Le scheacutema bloc du backstepping adaptative 100Figure 426 La trajectoire de reacutefeacuterence et reacuteelle en preacutesence de perturbation 103Figure 427 Les commandes en preacutesence de perturbation 103Figure 428 Les erreurs en preacutesence de perturbation 104Figure 433 Les erreurs en preacutesence de perturbation 109Figure 434 Les angles en preacutesence de perturbation 110Figure 435 Les forces en preacutesence de perturbation 110Figure 436 Les erreurs de suivi en z x et y pour les deux commandes 111Figure 437 La trajectoire de reacutefeacuterence et reacuteelle en preacutesence de perturbation 111Figure 438 La trajectoire de reacutefeacuterence et reacuteelle en preacutesence de perturbation 112
LISTE DES TABLEAUX
v
LISTE DES TABLEAUX
6
INTRODUCTION GENERALE
0
INTRODUCTION GENERALE
INTRODUCTION GENERALE
1
INTRODUCTION GENERALE
Dans les derniegraveres anneacutees les avances technologiques ont permis la conception et
la construction de mini-avions ou mini-heacutelicoptegravere avec des capaciteacutes toujours plus
deacuteveloppeacutees pour reacutealiser des vols autonome Ces appareils sont connus sous le nom de
drones Crsquoest -agrave-dire les drones sont des engins volants autonomes ou semi-autonomes
capables drsquoeffectuer des missions en vol sans pilotage humain agrave bort Pour cette raison les
drones sont connus aussi par leur appellation anglaise UAV (Unmanned Aerial Vehicle)
Ces appareils sont des veacutehicules complexes et difficiles agrave commander Il faut noter que
contrairement au robot manipulateur la plupart des ces systegravemes sont sous ndashactionneacutes (le
nombre drsquoentreacutees de commande est inferieur au nombre de degreacutes de liberteacute) En effet le
manque drsquoactionneurs pour ces engins induit une grande difficulteacute dans la conception de la
commande Neacuteanmoins lrsquointeacuterecirct de leur eacutetude vient de leur versatiliteacute et de leur
manœuvrabiliteacute leur permettant lrsquoexeacutecution drsquoun grand nombre de taches
Les applications des drones ne cessent drsquoaugmenter tant dans le domaine civil que
militaire Parmi les applications nous pouvons citer par exemple la surveillance de trafic
urbain ou des lignes eacutelectriques agrave haute tension [15] lrsquointervention dans des
environnements hostiles repeacuterage de mines la deacutetection de feux de forets dans les
missions de recherche et de sauvetage Enfin dans toutes les applications aeacuteriennes ougrave
lrsquointervention humaine devient difficile ou dangereuse
La recherche sur les drones est baseacutee principalement sur une eacutetude pluridisciplinaire
touchant le domaine eacutelectronique automatique informatique temps reacuteel aeacuterodynamique
traitement de signal communication Pour cette raison le nombre drsquoindustriels et
drsquouniversiteacutes qui srsquointeacuteressent aux robots aeacuterien ne cesse drsquoaugmenter
La conception de drones est diviseacutee essentiellement en deux parties la partie
algorithmique et la partie mateacuterielle Bien qursquoil existe un certain nombre de difficulteacutes
associeacutees agrave ce travail les chercheurs et les concepteurs se sont impliqueacutes de maniegravere
intense dans ces deux activiteacutes pour faire des contributions dans ce domaine La partie
algorithmique concerne le deacuteveloppement des lois de commande Dans cette branche les
automaticiens sont inteacuteresseacutes de plus en plus agrave lrsquoeacutetude et au deacuteveloppent des lois de
commande tant lineacuteaires que non lineacuteaire pour gouverner la dynamique de ces veacutehicules
La deuxiegraveme partie concerne le deacuteveloppement de la plate-forme expeacuterimentale ou
autopilote qui sera embarqueacutee dans le veacutehicule
INTRODUCTION GENERALE
2
Lrsquoobjectif de la thegravese est de deacutevelopper des strateacutegies de commande non lineacuteaires
pour le controcircle du drone En effet deux meacutethodes sont proposeacutees la commande par mode
glissant et la commande par backstepping
La commande agrave structure variable ou le mode glissant est une technique de
commande non lineacuteaire elle est caracteacuteriseacutee par la discontinuiteacute de la commande par une
surface de commutation Sa dynamique est alors insensible aux perturbations exteacuterieurs et
parameacutetriques tant que les conditions de reacutegime glissant sont assureacutees [45 50] Dans cette
voie nous allons utiliser la commande par mode glissant (Sliding Mode Control ou SMC)
pour la stabilisation drsquoun drone agrave quatre heacutelices Cependant le signal de commande obtenu
par un SMC preacutesente des variations brusques dues au pheacutenomegravene de broutement
(chaterring) ce qui peut exciter les hautes freacutequences et les non lineacuteariteacutes non modeacutelisables
[45 50 48 76] En effectuant une hybridation entre la logique floue et le mode de
glissement nous essayerons de reacuteduire les effets de pheacutenomegravene de broutement et
drsquoameacuteliorer drsquoavantage les performances du controcircleur
La theacuteorie de Lyapunov nous offre des outils tregraves puissants pour lrsquoanalyse de la
stabiliteacute des systegravemes ces mecircmes outils peuvent ecirctre utiliseacutes pour la synthegravese des lois de
commande Crsquoest dans ce contexte que se situe le backstepping cette commande agrave eacuteteacute
introduite au deacutebut des anneacutees 90 par plusieurs chercheurs on citera ente autres P
Kokotovic H Khalil Kanellakopoulos [72 73 74 75] Lrsquoapplication de cette derniegravere se
trouve dans le domaine de lrsquoaeacuteronautique [28] dans les systegravemes complexes tel que la
robotique les reacuteseaux eacutelectriques ainsi que les machines eacutelectriques [77 78 79 80] on
peut deacutefinir cette lois de commande comme eacutetant une proceacutedure reacutecursive qui combine
entre le choix de la fonction de Lyapunov et la synthegravese de la loi de commande [82] Cette
meacutethode transforme le problegraveme de synthegravese de loi de commande pour le systegraveme global agrave
une synthegravese de seacutequence de commande pour des systegravemes reacuteduits En exploitant la
flexibiliteacute de ces derniers le backstepping peut reacutepondre aux problegravemes de reacutegulation de
poursuite et de robustesse avec des conditions moins restrictives que drsquoautres meacutethodes
[82] Lrsquoingeacuteniositeacute de lrsquoideacutee nous a conduit agrave proposeacute lrsquoutilisation de cette loi de
commande non lineacuteaire pour la commande du drone quadri-rotor Une approche de
commande inteacutegral backstepping adaptatif sera preacutesenteacutee
INTRODUCTION GENERALE
3
Ce manuscrit de thegravese est structureacute de la maniegravere suivante en quatre chapitres
Chapitre 1
Dans ce chapitre nous preacutesenterons une classification des drones pour nous placer dans le
contexte de ce domaine de recherche Une eacutetude bibliographique preacutesente certaines
meacutethodes de geacuteneacuteration drsquoalgorithmes de commande pour les drones
Chapitre 2
Dans ce chapitre la modeacutelisation de drone heacutelicoptegravere quadri-rotor est preacutesenteacutee Cette
modeacutelisation est eacutetablie en prenant en consideacuteration les forces aeacuterodynamiques Une
expression deacutetailleacutee du coefficient de Coriolis des termes gyroscopique et centrifuge est
donneacutee
Chapitre 3
Le troisiegraveme chapitre concerne la commande agrave structure variable ougrave lrsquoapproche non
lineacuteaire par mode glissants est traiteacutee On introduit quelques aspects meacutethodologiques
neacutecessaires pour la compreacutehension des systegravemes agrave structures variables Cette technique
sera appliqueacutee pour controcircler la trajectoire du drone en utilisant une stabilisation point par
point Une autre structure de reacuteglage par mode de glissement agrave action inteacutegrale sera aussi
preacutesenteacutee Ensuite une approche drsquohybridation entre le mode glissant et la logique floue
sera proposeacutee
Chapitre 4
Le chapitre quatre quant agrave lui est consacreacute agrave la conception de la deuxiegraveme loi de
commande non lineacuteaire baseacutee sur la technique du backstepping pour la commande des
mouvements selon les axes Z X Y Une approche de commande backstepping adaptative
sera preacutesenteacutee Une hybridation entre la commande par backstepping et par mode glissant
est aussi proposeacutee dans le but drsquoavoir un controcircleur plus performant Une eacutetude de la
robustesse est effectueacutee vis-agrave-vis de la perturbation du vent suivant les diffeacuterentes
directions du mouvement
Ce manuscrit srsquoachegraveve par un ensemble de commentaires et de remarques geacuteneacuterales
sur les reacutesultats obtenus et quelques discussions sur les perspectives agrave mener
Chapitre 1 ETAT DE LrsquoART
3
Chapitre 1
ETAT DE LrsquoART
Chapitre 1 ETAT DE LrsquoART
4
1 ETAT DE LrsquoART
11 Introduction
Le mot drone est dorigine anglaise signifiant bourdon ou bourdonnement Il
est communeacutement employeacute en Franccedilais en reacutefeacuterence au bruit que font certains bourdons en
volant Les drones sont des aeacuteronefs capables de voler et deffectuer une mission sans
preacutesence humaine agrave bord Cette premiegravere caracteacuteristique essentielle justifie leur deacutesignation
de Uninhabited (ou Unmanned Aerial Vehicle UAV)
En fait ce sont les lourdes pertes subies pendant la seconde guerre mondiale par les avions
dobservation de chacun des antagonistes qui suscitegraverent lideacutee dun engin dobservation
militaire sans eacutequipage (ni pilote ni observateur)
Les premiers drones apparurent en 1960 (fig11) tel le R20 de Nord-Aviation denvergure
320 m et de longueur 544m deacuterivant de lengin de cible CT20 Toutefois lideacutee des
drones trottait dans les esprits depuis bien longtemps Un Anglais aurait inventeacute le concept
dans les anneacutees 1890 en inteacutegrant agrave un cerf-volant un appareil photographique [1]
Et au fil des anneacutees les chercheurs nont pas cesseacute dameacuteliorer ces machines au niveaude
Figure 11 Premier drone
Chapitre 1 ETAT DE LrsquoART
5
la taille jusquagrave atteindre la cateacutegorie de drone miniature qui englobe tous les drones dont
lenvergure est infeacuterieure agrave 50 centimegravetres pouvant descendre mecircme agrave quelques
centimegravetres seulement (on parle dans ce cas de drones miniatures)
Le terme miniature ne reflegravete pas un simple changement deacutechelle par rapport aux drones
primaires conventionnels En effet compte tenu de leurs tailles de leurs rapports
masseinertie et de leurs sensibiliteacutes aux vents la dynamique de ces drones miniatures se
trouve ecirctre tregraves diffeacuterente de celle des engins de grande dimension
En fait la vocation principale des drones est lobservation et la surveillance aeacuteriennes
vocation utiliseacutee jusquagrave preacutesent surtout agrave des fins militaires (actuellement 90 pour cent du
marcheacute mondial des drones)
Ainsi tous les drones quils soient autonomes ou non requiegraverent la preacutesence au sol dau
moins un opeacuterateur pour recueillir en temps reacuteel les beacuteneacutefices de la mission celui-ci
reccediloit analyse et enregistre les informations transmises par le drone [2]
Aujourdhui les progregraves reacutealiseacutes agrave la fois dans les performances des drones et leurs
eacutequipements leur confegraverent un tregraves large potentiel dutilisation dans le domaine civil la
lutte contre les risques naturels (volcan feux de forecircts surveillance des zones agrave risque
centrales nucleacuteaires) controcircle du trafic routier lobservation des champs agricoles ou des
troupeaux veacuterification de leacutetat des ouvrages darts (ponts viaducs) [1]
On distingue toutefois deux cateacutegories de drones ceux qui requiegraverent effectivement
lassistance dun pilote au sol par exemple pour les phases de deacutecollage et datterrissage et
ceux qui sont entiegraverement autonomes
Cette autonomie de pilotage peut seacutetendre agrave la prise de deacutecision opeacuterationnelle pour reacuteagir
face agrave tout eacuteveacutenement aleacuteatoire en cours de mission elle constitue la deuxiegraveme
caracteacuteristique essentielle des drones
De mecircme on peut classer les drones en trois cateacutegories principales (fig12)
Drones agrave voilure tournante type heacutelicoptegravere
Drone agrave voilure fixe
Plus lourd que lair type avion
Plus leacuteger que lair type Dirigeable
Drones agrave ailes battantes type oiseau ou insecte
Chapitre 1 ETAT DE LrsquoART
6
Figure 12 (A) Dirigeable (B) Drone agrave ailes battants (C) Drone agrave ailes fixes
12 Drones agrave voilures tournantes
Dans cette partie nous eacutetalons les diffeacuterents types de drones agrave voilures tournantes
121 Drones Mono-rotor
Ce type de drone passe par des phases de deacuteveloppement bien remarquables suite agrave
linteacuterecirct quon y porte En effet ce sont des drones offrant la possibiliteacute de voler comme un
avion normal donc un deacuteplacement rapide et bien eacuteconome en eacutenergie Nous preacutesentons
Heacutelicoptegravere thermique (fig13) Cet heacutelicoptegravere thermique deacuteveloppeacute au sein du
laboratoire Heudiasyc (Heuristique et diagnostique des systegravemes complexes) a une
structure meacutecanique originale pour effectuer un deacuteplacement horizontal cet appareil est
censeacute effectuer une inclinaison au niveau de ses heacutelices afin de faire apparaitre une
diffeacuterence de pression lui permettant davancer
Cette originaliteacute meacutecanique engendre un systegraveme dynamique beaucoup plus complexe par
rapport aux autres modegraveles
Figure 13 Heacutelicoptegravere thermique
Chapitre 1 ETAT DE LrsquoART
7
122 Drone Bi-rotors
Cette cateacutegorie est elle mecircme subdiviseacutee en deux sous cateacutegories
1) Bi-rotors agrave un ou deux plateaux cycliques
Heacutelicoptegravere classique rotor principal et rotor de queue ce dernier sert
principalement agrave compenser le couple geacuteneacutereacute par le rotor principal En fait le rotor
principal permet la monteacutee et la descente ainsi que la translation avant arriegravere et
lateacuterale mecircme par contre le rotor de queue permet le controcircle du lacet
Heacutelicoptegravere en tandem deux rotors tournant en sens inverse autour de deux axes
diffeacuterents
Heacutelicoptegravere co-axial deux rotors tournant en sens inverse autour du mecircme axe Un
exemple de cet engin est mis dans le commerce par Hirobo
Figure 14 Heacutelicoptegravere classique
2) Pales agrave pas fixe Voler agrave pas fixe implique labsence de plateaux cycliques et en
absence de ces plateaux il est impossible de geacuteneacuterer une force et trois moments
pour controcircler un systegraveme agrave 6 degreacutes de liberteacute Afin de creacuteer les moments
manquants il est primordial dajouter soit des ailerons soit des meacutecanismes pour
faire pivoter les ailerons et produire ces moments en question Nous citons dans
cette sous cateacutegorie
T-wing de lUniversiteacute de Sydney drone bi-rotor placeacute sur deux axes diffeacuterents
tournant en sens opposeacutes ou dans le mecircme sens et pour la production des moments
neacutecessaires ce drone est muni dailerons
Chapitre 1 ETAT DE LrsquoART
8
Le Hover eye de Bertin technologie Cest un drone dont la configuration est tregraves
compacte deux rotors contrarotatifs sur le mecircme axe et des ailerons dans le flux
dair des rotors
Le Birotan Drone agrave configuration compact posseacutedant deux rotors pivotant sur
deux axes preacutesentant un faible couple de tangage
Figure 15 (A) T-wing (B) Hover eye (C) Le Birotan
113 Drone tri-rotors
Dans cette cateacutegorie nous connaissons
Trirotor Heacutelicoptegravere posseacutedant trois rotors deux en avant tournant dans le sens
contraire et un en arriegravere avec orientation reacuteglable Des expeacuteriences ont eacuteteacute faites
sur cet heacutelicoptegravere au sein du laboratoire Heudiasyc
Le vectron Cest un heacutelicoptegravere dont le corps est circulaire renfermant trois rotors
tournant dans le mecircme sens Pour compenser le couple le corps lui mecircme tourne en
sens opposeacutes des rotors Pour obtenir les couples de tangage et de roulis les trois
rotors tournent avec des vitesses varieacutees agrave des instants bien preacutecis Des travaux de
recherche ont eacuteteacute effectueacutes au LIRMM
Heacutelicoptegravere auto-stable Cest un heacutelicoptegravere agrave trois rotors deux coaxiaux tournant
en sens opposeacutes agrave pas fixe et le troisiegraveme est placeacute sur la queue de lheacutelicoptegravere
pour obtenir le couple de tangage Cet heacutelicoptegravere a la proprieacuteteacute decirctre stable gracircce
au fait quil existe une articulation entre les pales du rotor principal et laxe du rotor
Neacuteanmoins cet appareil ne peut ecirctre utiliseacute que dans des endroits fermeacutes
Chapitre 1 ETAT DE LrsquoART
9
Figure 16 (A) Tri-rotor du laboratoire Heudiasyc (B) Le vectron(C) Heacutelicoptegravere auto-stable
124 Drone quadri-rotors
Le premier quadri-rotors remonte agrave 1921 En effet en 1921 les corps dair de
larmeacutee Ameacutericaine ont attribueacute un contrat aux Dr George de Bothezat et Ivan Jerome pour
deacutevelopper une machine agrave vol vertical
Ces derniers ont mis sur pied une machine volante de 1678 Kg dont le fuselage est conccedilu
sous forme dun X Chaque bras du fuselage eacutetait de 9m de longueur tenant agrave son extreacutemiteacute
un rotor de 8m de diamegravetre environ
Cependant bien que de Bothezat ait deacutemontreacute quil eacutetait theacuteoriquement possible agrave son
heacutelicoptegravere de voler et quil eacutetait theacuteoriquement bien stable cet avion na pas pu reacutealiser les
performances escompteacutees par exemple on lui demandait de voler agrave une altitude de 100m
alors que pour cause de surpoids laltitude maximale quil a pu atteindre eacutetait juste de 5m
Ainsi suite agrave sa complexiteacute meacutecanique son manque de puissance son insensibiliteacuteetc
cet heacutelicoptegravere agrave quatre rotors na pas pu satisfaire son cahier de charge
Figure 17 Heacutelicoptegravere de Bothezat
Chapitre 1 ETAT DE LrsquoART
10
Pour les drones miniatures les chercheurs se sont inspireacutes de ce geacuteant quadri-rotors et ont
mis sur pied des drones lui ressemblant
Les heacutelicoptegraveres agrave quatre heacutelices sont des quadrirotors agrave quatre moteurs installeacutes sur
une croix geacuteneacuteralement en fibre de carbone drsquoougrave leur appellation les heacutelicoptegraveres X4 Des
exemples sont repreacutesenteacutes dans la figure 18
Figure 18 Drones agrave quatre heacutelices (A) Quadri-rotor du laboratoire IBSC(B) Quadri-rotor pensylvania
Afin de compenser les anti-couples des moteurs creacuteeacutes par la rotation des heacutelices le moteur
avant et arriegravere tournent dans le sens des aiguilles dune montre tandis que les autres
moteurs tournent dans le sens inverse De plus les heacutelices utiliseacutees sont agrave pas fixe Le
tangage de ce drone est obtenu par diffeacuterence de vitesse de rotation des rotors avant et
arriegravere geacuteneacuterant un deacuteplacement suivant laxe des x Le deacuteplacement suivant laxe des y est
produit par un angle de roulis Ce dernier est obtenu par une diffeacuterence de vitesse des
moteurs lateacuteraux Le lacet srsquoobtient en augmentant la vitesse des moteurs avant et arriegravere
en reacuteduisant la vitesse des moteurs lateacuteraux
Au centre de la croix se trouve un cylindre central contenant
Une centrale inertielle
Une carte intelligente
Une batterie
Un GPS (Global Positionning System)
Une cameacutera CDD
Des capteurs ultrason
Une station de base
Chapitre 1 ETAT DE LrsquoART
11
13 Composantes du quadri-rotors
Durant ces derniegraveres anneacutees le deacuteveloppement des drones connait un essor croissant
surtout au niveau des capteurs des moteurs des batteries et des cartes eacutelectroniques qui
sont de plus en plus leacutegers et plus performants
Ces nouvelles qualiteacutes requises par ces composantes amplifient la performance du drone au
niveau de son autonomie et de ses capaciteacutes du vol En fait le grand problegraveme rencontreacute
par les drones cest la dureacutee du vol qui est lieacutee aux diffeacuterents composants utiliseacutes batterie
moteur et heacutelices Ainsi il faut faire un choix judicieux pour ces composants eacutetudier
lautonomie reacuteelle des batteries deacuteterminer la consommation des moteurs et la geacuteomeacutetrie
des heacutelices
Plus geacuteneacuteralement nous classons les composants du drone en trois cateacutegories
Batterie
Propulseurs
Capteurs
131 Les batteries
Lautonomie de tout engin est directement lieacute agrave leacutenergie quil peut avoir donc agrave la qualiteacute
de la batterie dont il est pourvu Le deacuteveloppement des batteries ne cesse de nous eacutetonner
de plus en plus leacutegegraveres de plus en plus autonomes donc une contribution importante au
deacuteveloppement des drones
Figure 19 Batterie pour le X4
Chapitre 1 ETAT DE LrsquoART
12
132 Les propulseurs
Les heacutelices
Le drone X4 dispose de quatre heacutelices ayant un certain taux de flexibiliteacute lui permettant de
pouvoir assurer la propulsion de tout le robot volant de masse estimeacutee agrave 2Kg Ainsi
chacune doit geacuteneacuterer une force de pousseacutee de 49N agrave leacutequilibre Dautre part les pales
utiliseacutees dans la fabrication du X4 ont une forme vrilleacutee leur procurant un bon rendement
au niveau de la pousseacutee donc une eacuteconomie au niveau de leacutenergie [2]
Moteur eacutelectrique
Dans le but de rendre le X4 silencieux et davoir le bon rapport puissancepoids le moteur
eacutelectrique du type brushless est le plus utiliseacute En plus et suite agrave son bobinage fixeacute au
stator ce moteur a une inertie consideacuterablement reacuteduite une reacuteduction au niveau de la
consommation du courant lors du deacutemarrage et une rapide eacutevacuation de la tempeacuterature
neacuteanmoins il neacutecessite un circuit de commande speacuteciale bien complexe et bien cher
Fig 110 (A) Heacutelice (B) Moteur eacutelectrique
133 Capteurs
Les capteurs servent principalement agrave effectuer des mesures tridimensionnelles
(position vitesse orientation acceacuteleacuteration ) permettant dalimenter des entreacutees en temps
reacuteel pour les lois de commande
Ces mesures sont effectueacutees par diffeacuterents types de capteurs
Capteurs agrave ultrasons
Un capteur agrave ultrason est composeacute de trois compartiments
Chapitre 1 ETAT DE LrsquoART
13
Emetteur
Reacuteceacutepteur
Microcontrocircleur PIC
Il sert agrave deacutetecter lobstacle et agrave mesurer la distance de seacuteparation Se munir uniquement
dun capteur agrave ultrason pour la mesure de position peut donner des reacutesultats erroneacutes En
effet en couvrant les lieux londe peut tomber sur diffeacuterents obstacles agrave chaque instant et agrave
des distances diffeacuterentes Il est donc primordial de lassocier agrave un autre capteur de position
Cameacutera
Le capteur le plus riche en donneacutees pouvant exister est une cameacutera En geacuteneacuteral nous
pouvons classer les cameacuteras en deux cateacutegories
Cameacutera numeacuterique
Cameacutera analogique
Le choix de la cameacutera deacutepend de son embarquabiliteacute ses capaciteacutes de calculs et de
lapplication mecircme
Systegraveme de positionnement geacuteneacuteral GPS
Le GPS est un systegraveme de positionnement par satellites assez preacutecis la preacutecision
pouvant atteindre le megravetre en preacutesence de filtrage Lutilisation de la localisation par le
systegraveme GPS est tregraves vaste elle touche plusieurs domaines le transport (aeacuterien maritime
) eacutetude geacuteographique assistance aux eacutequipe de secours
Figure 111 (A) Capteur agrave ultrasons (B) Cameacutera (C) Systegraveme depositionnement geacuteneacuteral
Chapitre 1 ETAT DE LrsquoART
14
Centrale inertielle
La centrale inertielle est une carte inteacutegrant trois types de capteurs
Trois gyroscopes Le mot gyroscope est un mot grec signifiant qui regarde la rotation
Un gyroscope est un appareil qui exploite le principe de la conservation du moment
angulaire en meacutecanique des solides
Trois magneacutetomegravetres un magneacutetomegravetre est un appareil qui sert agrave mesurer laimantation
dun systegraveme Dans notre cas le magneacutetomegravetre sert agrave calculer le champ magneacutetique terrestre
Trois acceacuteleacuteromegravetres un acceacuteleacuteromegravetre est un capteur qui fixeacute agrave un mobile permet de
mesurer lacceacuteleacuteration de ce dernier
Ces capteurs forment un triegravedre orthogonal servant agrave mesurer en temps reacuteel les
mouvements du drone (acceacuteleacuteration vitesse angulaire) Ces mesures sont exprimeacutees dans
un triegravedre direct deacutefini comme le systegraveme de coordonneacutees fixe du capteur Ce systegraveme est
aligneacute avec le boicirctier de la centrale inertielle
En inteacutegrant la mesure de lacceacuteleacuteration triaxiale donneacutee par lacceacuteleacuteromegravetre nous
reacutecupeacuterons la mesure de la vitesse en linteacutegrant une deuxiegraveme fois nous aurons la
position
Or cette inteacutegration engendre une erreur au niveau des mesures En effet toute mesure
effectueacutee par la carte inertielle peut ecirctre entacheacutee derreurs de mesures dues aux bruits des
moteurs et par inteacutegration ces erreurs augmentent
Ainsi un filtrage numeacuterique associeacute aux mesures savegravere neacutecessaire En reacutecupeacuterant la
matrice dattitude preacutedite par inteacutegration des gyros nous constatons quelle est bruiteacutee par
rapport agrave la matrice dattitude mesureacutee
En litteacuterature les algorithmes de filtrage classiquement utiliseacutes sont de type filtrage
compleacutementaire ou filtrage de Kalman (classique ou eacutetendu)
Linconveacutenient de ces algorithmes cest quils sont lineacuteaires et nexploitent pas le groupe
des matrices de rotation SO(3) et lalgegravebre de Lie qui lui est associeacutee La creacuteation
dalgorithme de filtrage approprieacute est alors recommandeacute (filtrage non-lineacuteaire exploitant la
structure du Groupe SO(3) et la varieacuteteacute sous-jacente associeacutee [3 4 5])
Chapitre 1 ETAT DE LrsquoART
15
Carte intelligente
La carte intelligente peut ecirctre compareacutee au cerveau du drone cest son eacuteleacutement
principal Elle gegravere lensemble des capteurs embarqueacutes sur la machine sauf la cameacutera qui
transmet ses donneacutees images agrave la base au sol ougrave elles sont traiteacutees
Dautres cartes peuvent ecirctre incorporeacutees dans le drone afin de renforcer ses liens
avec la base au sol (carte pour liaison radio [5]) et dautres lui fournissant plus
dinformations pour raffiner les donneacutees (carte de gestion dun ensemble de proximiteacute varieacute
[40])
Figure 112 (A) Centrale inertielle (B) Carte intelligente
14 Systegraveme drsquoacquisition embarqueacute du X4
La mise en œuvre dun ou de plusieurs drones fait appel agrave diffeacuterents eacuteleacutements
constituant un systegraveme de drone Ce systegraveme a deux composantes un segment air
composeacute du drone de sa charge utile et de son systegraveme de transmission et un segment sol
constitueacute dun ensemble de mateacuteriels et de un ou plusieurs opeacuterateurs humains ayant un
degreacute dintervention plus ou moins eacuteleveacute On distingue encore dans la composante sol deux
cateacutegories de mateacuteriels ceux assurant le lancement et la reacutecupeacuteration des drones
(catapulte filets etc) auxquels sajoutent les moyens techniques neacutecessaires agrave la
maintenance et au reconditionnement des drones identiquement aux proceacutedeacutes
dexploitation des avions et ceux ayant pour objectif la conduite de la mission en assurant
les fonctions de la gestion du vol et de la navigation la reacuteception des donneacutees envoyeacutees
par le drone leurs analyse et interpreacutetation ainsi que leur enregistrement
Chapitre 1 ETAT DE LrsquoART
16
Figure 113 Description drsquoun systegraveme de drone
15 Applications et perspectives
Actuellement les drones occupent une place importante dans le domaine civil et
militaire En effet ces engins sans pilote preacutesentent de nombreux avantages [6]
Il faut noter que sur ce point le champ drsquoaction des drones ne cesse de srsquoeacutelargir ces
derniers temps En effet leur deacuteveloppement sur une large gamme ainsi que les progregraves
reacutealiseacutes au niveau des systegravemes embarqueacutes (guidage pilotage et liaisons) a inciteacute les
forces armeacutees agrave inteacutegrer le systegraveme de drone dans la panoplie des moyens aeacuteriens en
compleacutement des systegravemes classiques On peut distinguer trois types drsquoapplications des
drones dans le domaine militaire
La premiegravere et principale vocation des drones est la surveillance et le
renseignement Les drones reacutepondent de mieux en mieux aux exigences opeacuterationnelles
modernes Les eacutevolutions technologiques rapides des systegravemes embarqueacutes ont permet
drsquoeacutelargir leur domaine drsquoapplication De nos jours on peut les utiliser comme support au
combat notamment dans la deacutesignation drsquoobjectifs ou comme relais de communication ou
moyen de brouillage La troisiegraveme et derniegravere cateacutegorie drsquoapplications est le combat
proprement dit mais cette derniegravere application neacutecessite des drones agrave hautes performances
conccedilus speacutecialement pour ce type de missions
Les applications potentielles des drones dans le domaine civil sont diverses et ce
gracircce agrave leur souplesse et leur polyvalence demploi En effet les drones peuvent reacutepondre agrave
Chapitre 1 ETAT DE LrsquoART
17
un besoin qui nest pas couvert par un avion piloteacute Cest le cas des missions qui peuvent
ecirctre consideacutereacutees comme dangereuses peacutenibles physiquement pour leacutequipage ou
ennuyeuses Les applications potentielles peuvent se diviser en plusieurs grandes
cateacutegories drsquoabord la surveillance et lrsquoobservation ougrave on peut citer les eacutetudes
scientifiques (de lrsquoatmosphegravere des sols et des oceacuteans ou les preacutevisions meacuteteacuteorologiques)
la surveillance drsquourgence telle que les incendies de forecircts volcans recherche et sauvetage
eacutevaluation des deacutegacircts en cas de catastrophes naturelles etc On peut citer eacutegalement des
missions exploitant le segment air telles que le transport de fret la cartographie
lrsquoutilisation par lrsquoindustrie cineacutematographique etc Ils peuvent en outre ecirctre utiliseacutes dans
des missions speacutecifiques comme relais de communication ou dans des missions
dangereuses (deacutetection de radiations et de gaz toxiques)
Lexpeacuterience deacutejagrave acquise avec les drones et leurs deacuteveloppements technologiques
potentiels permettent daffirmer que leur rocircle va consideacuterablement saccroicirctre tant dans les
domaines civil que militaire Dans le domaine civil en couvrant des besoins auxquels les
avions classiques ne peuvent pas toujours satisfaire Dans le domaine militaire en
compleacutetant voire en remplaccedilant les avions pour certaines missions dangereuses ou de tregraves
longue dureacutee
Gracircce agrave leur inteacuterecirct tactique les drones constituent agrave la fois une opportuniteacute
industrielle exceptionnelle et un facteur dimpulsion nouvelle pour la recherche Cependant
la geacuteneacuteralisation de lrsquoemploi des systegravemes de drone reste exposeacutee agrave des difficulteacutes qui sont
lieacutees principalement agrave lrsquointeacutegration des drones dans la circulation aeacuterienne et le
perfectionnement des systegravemes de transmission des donneacutees (porteacutee et deacutebit) Enfin des
progregraves sont agrave reacutealiser eacutegalement dans les domaines des performances de lrsquoengin volant
des charges utiles du systegraveme embarqueacute et de leur fiabiliteacute
Toutes ces missions neacutecessitent un controcircle performant de lrsquoappareil et par
conseacutequent des informations preacutecises sur son eacutetat absolu et ou relatif agrave son environnement
16 Modes de vol
Geacuteneacuteralement il existe trois modes qui deacutecrivent la direction de vol de lrsquoengin ces
modes sont
Vol vertical
Vol stationnaire
Vol de translation
Chapitre 1 ETAT DE LrsquoART
18
161 Vol vertical (ascendant ou descendant)
Dans le vol vertical la reacutesultante aeacuterodynamique et le poids total sont deux forces
ayant la mecircme direction mais de sens opposeacute Le vol est ascendant ou descendant suivant
que lrsquoeffet aeacuterodynamique est supeacuterieur ou infeacuterieur au poids de lrsquoappareil Crsquoest-agrave-dire les
moteurs devront augmenter ou diminues le couple de forces geacuteneacutereacute afin que la vitesse de
rotation des heacutelices augmentent ou diminuent Pour effectuer un vol vertical du drone X4 il
faut respecter ces conditions fondamentales
-Les quatre forces des moteurs f1 f2 f3 et f4 doivent fonctionner en mecircme temps afin
drsquoobtenir lrsquoeacutequilibre de lrsquoensemble
-Pour atteindre la consigne nous agissons sur les quatre moteurs simultaneacutement
(augmentations et diminutions des forces)
-Si on atteint la reacutefeacuterence on garde ces forces constantes sum F = mg
m la masse totale de lrsquoengin
162 Vol stationnaire
Ce vol est obtenu lorsque les normes de la force sustentatrice et celle de pesanteur
sont eacutegales et opposeacutees Dans ce cas nous pouvons constater que lrsquoappareil reste
immobile
163 Vol de translation
Correspond agrave tout vol en avant en arriegravere ou sur le coteacute Pour obtenir un
mouvement de translation selon lrsquoaxe lsquoxrsquo ou lsquoyrsquo il suffit de reacutealiser un roulis ou un tangage
en augmentant la vitesse drsquoun moteur et en diminuant celle du moteur du mecircme axe avec la
mecircme quantiteacute pour conserver la portance intacte
Pour le mouvement du lacet (rotation sur lui-mecircme) il faut augmenter la vitesse
drsquoune paire de moteur du mecircme axe et diminuer drsquoautant celle de lrsquoautre paire Le sens de
mouvement du lacet deacutependra du sens de rotation qursquoon aura choisi pour les paires de
moteurs
17 Revues bibliographiques sur les drones quadri-rotors
Cette nouvelle geacuteneacuteration drsquoengins miniatures autonomes connue sous le nom de
Drones miniatures a susciteacute un grand inteacuterecirct ainsi une diversiteacute de modegraveles et de
configurations ont vu le jour
Chapitre 1 ETAT DE LrsquoART
19
Le drone quadri-rotors eacutetait et est lune des configurations les plus eacutetudieacutees
Plusieurs eacutequipes de chercheurs du monde entier se sont lanceacutees dans le domaine de
conception dune loi de commande simple robuste et facilement embarquable Ce domaine
est bien vaste touchant plusieurs speacutecialiteacutes (automatique aeacuterodynamique robotique)
171 Commandes en litteacuterature
Plusieurs travaux consacreacutes agrave la conception de diffeacuterentes commandes ont eacuteteacute
publieacutes il y a ceux qui preacutesentent des lois de commande baseacutees sur le systegraveme lineacuteariseacute des
drones et dautres traitants le modegravele en entier
En consideacuterant une lineacutearisation du modegravele dynamique de leur quadri-rotors [7] PPound
et al [8] ont deacuteveloppeacute un algorithme de controcircle stabilisant leur modegravele Des tests
numeacuteriques ont eacuteteacute effectueacutes confirmant la validiteacute de cette commande
Une meacutethode de stabilisation et de poursuite de trajectoire baseacutee sur la notion de platitude
eacutetait conccedilue dans [9 10] Cette meacutethode a eacuteteacute appliqueacutee sur le systegraveme lineacuteariseacute du quadri-
rotors X4 Elle a assureacute la poursuite du drone vers une trajectoire planifieacutee Des tests
numeacuteriques ont eacuteteacute faits
Dans [11 12] une configuration dun quadri-rotors nommeacute OS4 est preacutesenteacutee En se
limitant agrave un systegraveme simplifieacute du modegravele du OS4 un algorithme de controcircle de type
PID a eacuteteacute eacutelaboreacute En consideacuterant ensuite un modegravele plus complet une commande LQ est
geacuteneacutereacutee Ces commandes preacutesenteacutees arrivent agrave stabiliser le modegravele entier neacuteanmoins elles
sont assez sensibles aux perturbations pouvant affecter le systegraveme
Dans [13] Chen et Huzmezan ont obtenu un modegravele lineacuteariseacute quils ont utiliseacute pour
syntheacutetiser un controcircleur de type H1 Ils ont testeacute leur algorithme sur une plateforme
pivotant librement autour dun point
Dans [14] deux commandes non lineacuteaires sont eacutelaboreacutees pour la stabilisation du quadri-
rotors OS4 La premiegravere approche est baseacutee sur la technique du backstepping tandis que
la deuxiegraveme utilise la technique de modes glissants Des tests pratiques ont eacuteteacute appliqueacutes
sur une plate-forme au sol non embarqueacutee validant les reacutesultats theacuteoriques des deux
approches
En utilisant deux meacutethodes dapproches diffeacuterentes dans [15] K Zemalache Meguenni a
eacutetudieacute la stabiliteacute et la poursuite de trajectoire pour deux quadri-rotors diffeacuterents (X4 et
XSF)
Chapitre 1 ETAT DE LrsquoART
20
En premier temps en combinant la technique de backstepping agrave lapproche de Lyapunov
deux algorithmes associeacutes aux deux modegraveles ont eacuteteacute syntheacutetiseacutes Les reacutesultats des deux
modegraveles ont eacuteteacute testeacutes numeacuteriquement pour le suivi de trajectoires planifieacutees point agrave point
En second temps une commande baseacutee sur la theacuteorie de la logique floue eacutetait eacutelaboreacutee
pour le drone XSF des tests numeacuteriques ont eacuteteacute effectueacutes
Dans [16] une lineacutearisation robuste par retour drsquoeacutetat mixeacute avec le controcircleur GHinfin lineacuteaire
est appliqueacutee Une saturation des actionneurs et des contraintes sur la sortie de lrsquoespace
drsquoeacutetat sont introduites pour analyser le cas deacutefavorable pour la commande Les reacutesultats
obtenus prouvent que le systegraveme global devient robuste lorsque les fonctions pondeacutereacutees
sont choisies judicieusement Le fonctionnement du controcircleur est illustreacute dans une eacutetude
de simulation qui tient compte des incertitudes sur les paramegravetres et les perturbations
externes
Dans [17] la conception de larchitecture informatique embarqueacutee pour la commande dun
quadri-rotors et dun avion miniature est preacutesenteacutee La modeacutelisation dynamique des deux
engins eacutetait eacutetablie au moyen de la meacutethodologie de Newton-Euler en prenant en compte
les forces et les moments aeacuterodynamiques En utilisant la technique de saturations
emboiteacutees baseacutee principalement sur lapproche de Lyapunov deux commandes non
lineacuteaires eacutetaient eacutelaboreacutees pour le quadri-rotors
Deux autres commandes lineacuteaires ont eacuteteacute syntheacutetiseacutees pour les deux drones Des eacutetudes de
robustesse des commandes ont eacuteteacute preacutesenteacutees et des tests expeacuterimentaux des algorithmes
en temps reacuteel ont eacuteteacute appliqueacutes sur une plateforme
Inspireacute des travaux [18] effectueacutes sur la stabilisation du PVTOL (Planar Vehicle Take of
and Landing) P Castillo [19 20 21] a preacutesenteacute la conception dune commande non
lineacuteaire pour un quadri-rotors dont le modegravele est obtenu par la meacutethode dEuler-Lagrange
en tenant compte de la dynamique des moteurs Cette commande est baseacutee sur la technique
des saturations emboiteacutees fondeacutee principalement sur lapproche de Lyapunov Des
plateformes expeacuterimentales ont eacuteteacute reacutealiseacutees pour appliquer et tester les lois de commande
proposeacutees
Se basant sur le formalisme de Newton-Euler T Hamel et al [22] ont eacutetabli la
modeacutelisation dynamique dun quadri-rotors prenant en compte la dynamique des moteurs et
les effets aeacuterodynamiques et gyroscopiques des rotors
Dans [23] les auteurs ont deacutemontreacute que lapplication des approches 2D des
asservissements visuels peuvent ecirctre exploiteacutes pour la commande des systegravemes sous
actionneacutees
Chapitre 1 ETAT DE LrsquoART
21
En supposant que la direction du motif est cette fois ci fixe dans le repegravere cameacutera ce
reacutesultat a pu ecirctre eacutelargi en donnant naissance agrave un asservissement visuel purement 2D [24]
plus complexe suite agrave la dynamique de zeacutero introduite par cette hypothegravese Des tests
numeacuteriques ont eacuteteacute faits validant ce reacutesultat
E Altug et al [25 26 27] ont proposeacutes un algorithme de controcircle pour stabiliser le quadri-
rotor en utilisant la vision comme capteur principal Cette technique se compose drsquoune
cameacutera terrestre et drsquoune cameacutera embarqueacutee sur lrsquoheacutelicoptegravere et sont utiliseacutees pour estimer
les eacutetats de lrsquoheacutelicoptegravere Lrsquoalgorithme de la pose est compareacute par la simulation agrave drsquoautres
meacutethodes drsquoestimation de la pose (telles que la meacutethode de quatre points et la meacutethode de
steacutereacuteo vision) et srsquoavegravere moins sensible aux erreurs dans le plan image Ils ont eacutetudieacute deux
techniques pour la commande la premiegravere utilise une commande par lineacutearisation tandis
que la deuxiegraveme utilise la technique de backstepping
18 Conclusion
Dans ce chapitre nous avons preacutesenteacute un bref aperccedilu sur quelques mini-
heacutelicoptegraveres autonomes existant en sattardant sur les drones agrave voilures tournantes et leurs
eacutequipements
Ensuite nous avons citeacute un ensemble de travaux portant sur la stabilisation des drones agrave
quatre rotors existants en litteacuterature
Dans le chapitre suivant nous traiterons le problegraveme de la modeacutelisation par le formalisme
de Newton-Euler pour le quadri-rotor afin drsquoappliquer les techniques de commande non
lineacuteaire Il srsquoagit drsquoun modegravele caracteacuterisant des veacutehicules sous actionneacutes
Chapitre 2 MODELISATION DrsquoUN DRONE A QUATRE HELICES
22
Chapitre 2
MODELISATION DUN DRONE A QUATRE HELICES
Chapitre 2 MODELISATION DrsquoUN DRONE A QUATRE HELICES
22
2 MODELISATION DrsquoUN DRONE A QUATRE HELICES
21 Introduction
Tout corps meacutecanique eacutevoluant en temps continu peut ecirctre deacutecrit par un systegraveme
deacutequations diffeacuterentielles reacutegissant sa dynamique Il srsquoagit drsquoeacutetablir le modegravele
matheacutematique de la dynamique du drone agrave quatre heacutelices Pour atteindre ce but nous
avons recours agrave des eacutetudes meacutecaniques telles que lapproche Newtonienne et celle dEuler-
Lagrange
Dans la litteacuterature pour aborder la modeacutelisation dengin volant de nombreux travaux se
sont inspireacutes de la dynamique dun corps rigide associeacute au fuselage auquel se rajoutent les
forces aeacuterodynamiques geacuteneacutereacutees par les rotors [28 29 19 30 31 32 33 15]
Cette ideacutee a eacuteteacute choisie afin de pouvoir contourner la difficulteacute de la question de la
flexibiliteacute de la machine Cette flexibiliteacute est supposeacutee neacutegligeable
Certaines propositions de modeacutelisation du drone sont preacutesenteacutees dans la litteacuterature telles
celles baseacutees sur le formalisme de Newton [28 22 23] lieacutees principalement au repegravere
local et celles baseacutees sur le formalisme dEuler-Lagrange [29 19 30 20 31 32 15] lieacutees
au repegravere global supposeacute fixe
Dans ce chapitre nous preacutesentons la dynamique pour un drone capable de vol
drsquoavancement rapide et de vol stationnaire ou quasi-stationnaire Un tel modegravele peut ecirctre
acheveacute dans un repegravere local lieacute au drone ou dans un repegravere global supposeacute fixe Nous
eacutevoquons le modegravele global qui sera traiteacute de point de vue commande en stabilisation et en
poursuite
En premier lieu nous preacutesentons la configuration du veacutehicule et son principe de
fonctionnement Nous nous inteacuteressons eacutegalement aux diffeacuterents repegraveres suscitant notre
attention
Ensuite nous nous occupons de la modeacutelisation du X4 en calculant son moment dinertie
et en ayant recours au formalisme Newton nous deacuteterminons son modegravele dynamique
Enfin nous achevons ce chapitre par une conclusion
Chapitre 2 MODELISATION DrsquoUN DRONE A QUATRE HELICES
23
22 Heacutelicoptegraveres agrave quatre heacutelices
En geacuteneacuteral un heacutelicoptegravere agrave quatre heacutelices est un heacutelicoptegravere posseacutedant quatre rotors
assurant son deacuteplacement [2]
Depuis les anneacutees 50 de nouveaux types dheacutelicoptegraveres de faible dimension
teacuteleacutecommandeacutes sont apparus Ils permettent de reacutealiser des missions dangereuses ou
inaccessibles agrave lecirctre humain Ainsi nous pouvons citer les mini-heacutelicoptegraveres agrave quatre
heacutelices appeleacutes couramment X4 (fig21) vu leur forme en X
Figure 21 Quadri-rotors X4
221 Fonctionnement du X4
Les X4 sont des mini-heacutelicoptegraveres preacutesenteacutes sous forme de croix geacuteneacuteralement
fabriqueacutes en fibre de carbone Au bout de chaque tige de la croix on fixe une heacutelice
Afin deacuteliminer les anti-couples des heacutelices entre elles et permettre la stabiliteacute en lacet les
heacutelices voisines tournent dans des sens inverses avec un pas fixe
Pour assurer un deacuteplacement suivant laxe des x le drone X4 fait un angle de tangage ߠ
obtenu par une diffeacuterence de vitesse de rotation des rotors avant et arriegravere ensuite il suit
cet axe lors du retour agrave leacutegaliteacute des vitesses de rotation des rotors
De maniegravere similaire le deacuteplacement du X4 suivant laxe des y est assureacute par un angle de
roulis empty obtenu suite agrave une diffeacuterence des vitesses de rotation des rotors lateacuteraux
Le lacet sobtient en augmentant la vitesse des moteurs avant et arriegravere tout en reacuteduisant la
vitesse des moteurs lateacuteraux Les quadri-rotors eacutetant commandeacutes par la diffeacuterence des
vitesses de rotation des rotors il est important que lon puisse varier rapidement la vitesse
de rotation des moteurs Pour cela il convient dutiliser des pales tregraves leacutegegraveres (en fibre de
carbone par exemple) et des rapports de reacuteduction relativement grands
Chapitre 2 MODELISATION DrsquoUN DRONE A QUATRE HELICES
24
Figure 22 Sens de rotation des rotors de X4
23 Modeacutelisation du drone quadri-rotors X4
Le modegravele dynamique de quadri-rotor est donneacute par le formalisme de Newton-Euler
Pour pouvoir deacuteterminer le modegravele dynamique le quadri-rotor est assimileacute agrave une structure
rigide et symeacutetrique drsquoougrave lrsquohypothegravese que la matrice drsquoinertie est diagonale Les heacutelices
sont eacutegalement supposeacutees rigides pour pouvoir neacutegliger lrsquoeffet de leur deacuteformation lors de
la portance et la traineacutee de chaque moteur qui sont proportionnelles au carreacute de la vitesse
de rotation des rotors ce qui est une approximation tregraves proche du comportement
aeacuterodynamique et le repegravere lieacute agrave cette structure est geacuteneacuteralement supposeacute confondu avec
son centre de graviteacute Cela nous emmegravene agrave consideacuterer la dynamique du quadri-rotor
comme celle drsquoun corps solide dans lrsquoespace [15 34] Les conditions atmospheacuteriques sont
la condition standard de pression et de tempeacuterature
231 Caracteacuteristiques physiques
Les caracteacuteristiques physiques du quadri-rotor preacutesenteacutees dans cette section ont eacuteteacute
eacutetudieacutees en deacutetail par McKerrow [35] La masse totale du quadri-rotor m est la somme de
la masse de la croix (mc) les masses des quatre rotors consideacutereacutes comme identiques
( isin 1234 ) et la masse de lrsquoeacutelectronique et batterie (mb)
m = m1 + m2 + m3 + m4 + mc + mb
Sens horaireSens antihoraire
Chapitre 2 MODELISATION DrsquoUN DRONE A QUATRE HELICES
25
La structure du quadri-rotor est consideacutereacutee parfaitement symeacutetrique et en conseacutequence la
matrice drsquoinertie IG est diagonale
ܫ = ቌ
௫௫ܫ 0 00 ௬௬ܫ 0
0 0 ௭௭ܫ
ቍ (21)
avec ௫௫ܫ repreacutesente lrsquoinertie autour de lrsquoaxe ଵܧ
qui passe entre le centre de la croix et les
rotors (avant-arriegravere) ௬௬ܫ repreacutesente lrsquoinertie autour de lrsquoaxe ଶܧ
qui passe entre le centre de
la croix et les rotors (droite-gauche) et finalement ௭௭ܫ repreacutesente lrsquoinertie autour de lrsquoaxe
ଷܧ
perpendiculaire au plan de ଵܧ
et ଶܧ
(voir figure 23)
Lrsquoinertie ௫௫ܫ est la somme de lrsquoinertie de la croix (௫ܫ) lrsquoinertie des quatre moteurs ୫ܫ) ୶ଵ
୫ܫ ୶ଶ ୫ܫ ୶ଷ et ୫ܫ ୶ସ) et lrsquoinertie de lrsquoeacutelectronique (ୠ୶ܫ) autour du point drsquointersection de la
croix
௫௫ܫ = ௫ܫ + ܫ ௫ଵ + ܫ ௫ଶ + ܫ ௫ଷ + ܫ ௫ସ + ௫ܫ (22)
On peut suivre la mecircme deacutemarche pour trouver les expressions des inerties ௬௬ܫ et ௭௭ܫ
Lrsquoinertie de la croix autour du point drsquointersection est donneacutee par
௫ܫ = ௬ܫ = (ଶ)మ
ଵଶ+
ௗమ
ଶ(23)
௭ܫ = (ଶ)మ
(24)
Ougrave d est le diamegravetre des poutres qui constituent la croix et l est la distance entre le centre
de la croix et un des quatre rotors Pour trouver les inerties des moteurs McKerrow [35]
considegravere le moteur comme un cylindre de longueur pm avec un rayon rm alors lrsquoinertie du
moteur avant autour du point drsquointersection de la croix est
ܫ ௫ଵ = భ
మ
ସ+
మ
ଷ(25)
ܫ ௬ଵ = భ
మ
ସ+
మ
ଷ+ ଵ
ଶ (26)
ܫ ௭ଵ = భ
మ
ଶ+ ଵ
ଶ (27)
Lrsquoeacutelectronique et la batterie srsquoaccrochant au-dessous de lrsquointersection agrave une distance l0 sont
modeacuteliseacutees par un paralleacuteleacutepipegravede rectangulaire avec des dimensions ab wb et hb
Chapitre 2 MODELISATION DrsquoUN DRONE A QUATRE HELICES
26
௫ܫ = (௪
మାమ)మ
ଵଶ+
ଶ (28)
௬ܫ = (
మାమ)మ
ଵଶ+
ଶ (29)
௭ܫ = (௪
మାమ)మ
ଵଶ(210)
Le mouvement du drone est reacutegi par un modegravele dynamique preacutesentant le lien entre les
entreacutees du systegraveme et les sorties agrave controcircler Il faut maintenant deacutefinir le domaine
drsquoeacutevolution du robot (repegravere inertiel) et la relation matrice de passage qui le lie au drone
(repegravere local)
232 Repegraveres et matrices de passage
Lrsquoeacutetude du mouvement drsquoun drone eacutevoluant dans lrsquoespace requiert la connaissance
de sa position et de son orientation Cette localisation neacutecessite le choix drsquoau moins deux
repegraveres Le premier repegravere est le repegravere inertiel global RO reacutefeacuterence Le repegravere inertiel est
lieacute agrave la terre et peut ecirctre consideacutereacute comme Galinien RO (Ex Ey Ez) est orienteacute comme
indiqueacute sur la figure 23 A savoir Ex est orienteacute vers le nord Ey est orienteacute vers lrsquoest et Ez
orienteacute vers le haut
On deacutefinit un repegravere local ayant comme origine le centre de graviteacute G du drone Le repegravere
RG ଵܧ)
ଶܧ
ଷܧ
) appeleacute aussi repegravere relatif agrave la meacutecanique de vol dont les axes sont lieacutees agrave
la geacuteomeacutetrie de lrsquoappareil
Figure 23 Repegraveres du drone inertiel et local
Chapitre 2 MODELISATION DrsquoUN DRONE A QUATRE HELICES
27
La relation entre le repegravere du drone noteacute (RG) et le repegravere inertiel (RO) peut ecirctre donneacutee
par la matrice de rotation orthogonale de dimension 3 times 3 La contrainte dorthogonaliteacute
reacuteduit le nombre de paramegravetre neacutecessaire pour preacutesenter cette matrice agrave trois paramegravetres Il
existe plusieurs maniegraveres de parameacutetrer la matrice de rotation dont le choix deacutepend de
lapplication en question
La parameacutetrisation de la matrice de rotation par les angles dEuler est souvent utiliseacutee dans
les applications de robotique Elle permet dobtenir la matrice de rotation globale par trois
rotations eacuteleacutementaires autour des axes ଵܧ
ଶܧ
et ଷܧ
respectivement
Le parameacutetrage de cette matrice seffectue par le vecteur
ଶߟ = ߠ) Ф) (211)
Consideacuterons le vecteur de coordonneacutees geacuteneacuteraliseacutees q isin ℝ deacutefini par
(ݐ)ݍ = (ߠݖݕݔ) ni ݐ ℝ
Ougrave x y z deacutefinissent la position du centre de graviteacute du mini-heacutelicoptegravere X4 par rapport au
repegravere inertiel RO (Ex Ey Ez)
Lrsquoorientation du mini-heacutelicoptegravere X4 est donneacutee par les angles drsquoEuler ߠ) Ф) qui
repreacutesente respectivement le tangage le roulis et le lacet
Le passage du triegravedre ை(ܧ௫ܧ௬ܧ௭) au triegravedre ଵܧ)
ଶܧ
ଷܧ
) est reacutealiseacute par trois
rotations successives figure 24
൫ܧ௫ܧ௬ܧ௭൯ுψሱሮ (௭ܧ)
ுഇሱሮ ଵܧ)
)
ுemptyሱሮ ଵܧ)
ଶܧ
ଷܧ
) (212)
Ougrave ൫ܧ௫ܧ௬ܧ௭൯ est la base du repegravere RO ൫ܧଵ
ଶܧ
ଷܧ൯est la base du repegravere locale
drone
RG(ܧ௭) et ଵܧ)
) sont les bases intermeacutediaires et టܪ ఏܪ et emptyܪ les matrices
de rotations orthogonales
Hభψ est la matrice de rotation de lrsquoangle autour de Oz1 appeleacute lacet au cap deacutefinie
par
టܪ = ൭ݏ ݏ 0
ݏminus ݏ 00 0 1
൱ (213)
Chapitre 2 MODELISATION DrsquoUN DRONE A QUATRE HELICES
28
H୷భ est la matrice de rotation de lrsquoangle θ autour de Oy1 appeleacute tangage ou assiette
deacutefinie par
ఏܪ = ൭ߠݏ 0 minus ߠݏ0 1 0
ߠݏ 0 ߠݏ൱ (214)
H୶మథ est la matrice de rotation de lrsquoangle autour de Ox2 appeleacute roulis ou gite
deacutefinie par
థܪ = ൭1 0 00 ݏ ݏ0 minus ݏ ݏ
൱ (215)
Figure 24 Rotations successives deacutefinissant les pseudos angles drsquoEuler
La transformation qui permet de passer du repegravere local vers le repegravere global ை est
donneacutee par
= టܪ ఏܪ థܪ (216)
Chapitre 2 MODELISATION DrsquoUN DRONE A QUATRE HELICES
29
Telle que
=
൭
ݏ ߠݏ ߠݏ ݏ minus ߠݏݏ ݏ minusߠݏ ݏ ݏ ݏߠݏ ݏ + ݏ ݏ ݏߠݏߠݏ ݏ ݏ + ݏ ݏ ݏ ݏߠݏ minus ݏ ߠݏ ߠݏ ݏ
൱(217)
R est une matrice de rotation orthogonale de deacuteterminant uniteacute ayant pour inverse sa
transposeacutee
Ce type de matrice forme un groupe appeleacute groupe des matrices orthogonales speacuteciales
dordre 3 noteacute SO(3) deacutefini par [36]
(3) = isin ℝଷtimesଷ = ܫ ݐ ()ݐ = 1
Gracircce agrave cette matrice de rotation R nous pouvons eacutetablir une relation entre la vitesse du
mini-heacutelicoptegravere exprimeacutee dans son propre repegravere mobile et sa vitesse exprimeacutee dans le
repegravere inertiel
233 Transformation des vitesses
Dans ce paragraphe nous mettons en eacutevidence la relation qui lie les vitesses du
drone exprimeacutees dans le repegravere local avec leurs expressions exprimeacutees dans le repegravere
inertiel
Soient
υଵ la vitesse lineacuteaire du mini-heacutelicoptegravere exprimeacutee dans le repegravere local RG
ηଵ = (x y z) vecteur position du centre de graviteacute du mini-heacutelicoptegravere par rapport au
repegravere inertiel RO
Ainsi nous pouvons eacutetablir la relation suivante qui fait le lien entre la vitesse locale du X4
flyer et sa vitesse exprimeacutee dans le repegravere inertiel
ଵߟ = ଵ (218)
De mecircme nous pouvons aussi eacutetablir une relation entre la vitesse angulaire du mini
heacutelicoptegravere exprimeacutee dans le repegravere local et celle exprimeacutee dans le repegravere inertiel
Soient
υଶ = (p q r) la vitesse angulaire du mini-heacutelicoptegravere exprimeacutee dans le repegravere local RG
ηଶ = (θ ϕ ψ) la vitesse angulaire du mini-heacutelicoptegravere exprimeacutee dans le repegravere inertiel
Ainsi nous pouvons eacutetablir la relation suivante
ଶߟ = ܬ ଶ (219)
Chapitre 2 MODELISATION DrsquoUN DRONE A QUATRE HELICES
30
Grace agrave la relation (212) nous avons
υଶ = ϕ ଵܧሬሬሬሬሬ+ θVሬሬ+ ψEሬሬሬሬ
= ϕ ଵܧሬሬሬሬሬ+ θቂcos(ϕ)ܧଶ
ሬሬሬሬሬminus sin(ϕ)ܧଷሬሬሬሬሬቃ+ ψቂminussin(θ)ܧଵ
ሬሬሬሬሬ+ cos(θ) Wሬሬሬቃ
= ϕ ଵܧሬሬሬሬሬ+ θቂcos(ϕ)ܧଶ
ሬሬሬሬሬminus sin(ϕ)ܧଷሬሬሬሬሬቃ
minus ψቂsin(θ)ܧଵሬሬሬሬሬminus cos(θ)ቀsin(ϕ)ܧଶ
ሬሬሬሬሬ+ cos(ϕ)ܧଷሬሬሬሬሬቁቃ
= ൫ϕ minus ψ sin(θ)൯ܧଵሬሬሬሬሬ+ ൫θ cos(ϕ) + ψcos(θ) sin(ϕ)൯ܧଶ
ሬሬሬሬሬ
minus ൫θ sin(ϕ) minus ψ cos(θ) cos(ϕ)൯ܧଷሬሬሬሬሬ
Ainsi nous avons
ቆpqrቇ= ቌ
1 0 minussin(θ)
0 cos(ϕ) cos(θ)sin(ϕ)
0 minussin(ϕ) cos(θ)cos(ϕ)ቍቌ
ϕ
θψ
ቍ (220)
Donc
Jଵ = ቌ
1 0 minussin(θ)
0 cos(ϕ) cos(θ)sin(ϕ)
0 minussin(ϕ) cos(θ)cos(ϕ)ቍ (221)
Drsquoougrave
J = ൮
1 sin(ϕ)tg(θ) minussin(θ)tg(θ)
0 cos(ϕ) minussin(ϕ)
0ୱ୧୬(ம)
ୡ୭ୱ()
ୡ୭ୱ(ம)
ୡ୭ୱ()
൲ (222)
La matrice J est deacutefinie pour tout θ ne
ଶ+ kπ avec k isin ℤ
En conclusion la relation cineacutematique srsquoeacutecrit
ቀυଵυଶቁ= ൬
R 0ଷlowastଷ
0ଷlowastଷ Jଵ൰൬
ηଵηଶ൰ (223)
Cette relation preacutesente une singulariteacute en θ = plusmn
ଶ
Or physiquement cette valeur est agrave eacuteviter car au voisinage de plusmn
ଶil y aura un
renversement du mini-heacutelicoptegravere Ainsi cette valeur nrsquoest pas atteignable par le mini-
heacutelicoptegravere cest-agrave-dire cette singulariteacute ne preacutesente pas une limitation agrave cette
parameacutetrisation
Chapitre 2 MODELISATION DrsquoUN DRONE A QUATRE HELICES
31
234 Forces Aeacuterodynamiques
Des eacutetudes en soufflerie ont permis de mettre en eacutevidence les diffeacuterentes forces
aeacuterodynamiques appliqueacutees sur les pales et leurs expressions [3738]
Dune maniegravere geacuteneacuterale les actions de lair se deacutecomposent en deux forces
Une force parallegravele agrave la vitesse de lair et de mecircme sens la traineacutee D
Une force perpendiculaire agrave la vitesse de lair la portance L
La somme vectorielle de ces deux forces constitue la reacutesultante des forces
aeacuterodynamiques
Force de portance
La pale se comporte comme une aile tournante de sorte que chaque eacuteleacutement de la pale dr
est en contact avec le flux dair avec une vitesse V induisant une force de portance [38]
dL =ଵ
ଶρCVଶds (224)
Ougrave ρ la densiteacute de lair C le coefficient de portance de lair il deacutepend de la forme du
profil et de langle dattaque (α = γ minus ϕ) (fig 25)
Ainsi pour un propulseur agrave n pales (2 pour le X4) la force de portance quon note f est
f =n
2 ρන VଶC୫ (r)C(r) dr
బ
=୬
ଶ ρ ωଶ int rଶC୫ (r) C(r) dr
బ
Avec
ܥ la corde de la pale (les pales sont similaires)
ω la vitesse angulaire de la pale
le rayon de pale
La force de portance a pour expression
f=ܭωsup2 (225)
Le calcul du coefficient de pousseacutee est souvent complexe Il est essentiel drsquoeacutelaborer
un processus expeacuterimental qui laisse deacuteterminer le coefficient de portance(K)
Chapitre 2 MODELISATION DrsquoUN DRONE A QUATRE HELICES
32
Figure 25 Description des forces appliqueacutees agrave la pale
Force de reacutesistance ou de traineacutee
Gracircce agrave de multiples tests en soufflerie les chercheurs ont pu deacuteterminer lexpression
de la force de traineacutee qui deacutepend directement du profil de la pale et de langle dincidence
[15 37]
Pour un propulseur agrave n pales la force de traineacutee a pour expression
ܯ =
2ߩ න ܥ ݎଶݎ(ݎ)ܥ(ݎ)
ோ
ோభ
Qursquoon note simplement
ܯ = ெܭ ଶ (226)
Avec
ܥ le coefficient de traineacute de lair il deacutepend de la forme du profil et de langle
drsquoattaque
ெܭ le coefficient de reacutesistance agrave deacuteterminer expeacuterimentalement
235 Modegravele dynamique du quadrirotor
Plusieurs auteurs ont eacutetudieacute la modeacutelisation du quadri-rotor Cette eacutetape est
consideacutereacutee comme le premier pas pour construire les lois de commande Le modegravele
Chapitre 2 MODELISATION DrsquoUN DRONE A QUATRE HELICES
33
dynamique obtenu repreacutesente la relation drsquoune part entre les forces et les couples
aeacuterodynamiques provoqueacutes par la rotation des rotors et lrsquoengin et drsquoautre part les
acceacuteleacuterations et de rotations du centre de masse du quadri-rotor Nous preacutesenterons drsquoabord
la dynamique de translation des cordonneacutees carteacutesiennes de la position et la vitesse dans le
repegravere terrestre fixe Ensuite la dynamique de rotation qui deacutecrit lrsquoattitude du drone et son
orientation dans le repegravere terrestre fixe est preacutesenteacutee
Le quadri-rotor est modeacuteliseacute en premiegravere approximation comme un solide indeacuteformable
La position du centre de masse G est deacutefinie par ܩ = (ݖݕݔ) et si on deacuterive une fois
par rapport agrave RG on trouve la vitesse G tel queௗைതതതത
ௗ௧= (ሶݖሶݕሶݔ) On deacuterive deuxiegraveme fois
par rapport agrave RG pour trouver son acceacuteleacuterationௗమைതതതത
ௗ௧మ= (ሷݖሷݕሷݔ)
Pour eacutelaborer la commande on deacutetaille le modegravele dans le repegravere fixe inertiel
Lrsquoeacutequation fondamental de la dynamique est donneacutee par
ௗ ௩ሬ
ௗ௧= ଵሬሬሬ (227)
ௗூಸఆሬሬ
ௗ௧= ଶሬሬሬ (228)
Ougrave υ repreacutesente la vitesse lineacuteaire du drone au centre de graviteacute G Ω la vitesse de
rotation de fuselage par rapport agrave Rୋ et (τ1τ2) les forces et les mouvements exteacuterieurs
soient le poids les forces et les moments aeacuterodynamiques et des propulseurs
2351 La dynamique de translation
La dynamique de translation du quadri-rotor est repreacutesenteacutee par lrsquoeacutequation
dynamique de Newton qui relie lrsquoacceacuteleacuteration lineacuteaire du centre de masse du quadri-rotor
et les forces externes agissant sur le quadri-rotor [7 38 39]
ௗsup2ை
ௗ௧sup2= fraslሬሬሬሬߛ R (229)
Il convient drsquoeacutecrire pour la translation
fraslሬሬሬሬሬߛ R = - eሬ + R ψ θ empty ሬݑ (230)
avec eሬ vecteur uniteacute de E
repreacutesente la constante gravitationnelle
ݑ la pousseacutee appeleacutee aussi entreacutee collective
Chapitre 2 MODELISATION DrsquoUN DRONE A QUATRE HELICES
34
=ሬݑ sum పሬሬସ
ୀଵ (231)
ሬሬሬሬሬߛ൘ = minus Ԧ௭ + ݑ Ԧଷ empty ߠ (232)
eሬଷ vecteur uniteacute de eሬ= (eሬଵ eሬଶ eሬଷ) porteacute par Eଷ
On montre que ݑ eሬଷ = (0 0 ݑଷ
) ougrave ݑଷ
= ଵ + ଶ + ଷ + ସ
La dynamique de translation est reacutegie par
= ሷݔ minus ଷݑߠ
ݕ = ߠݏܥ Sin ଷݑ (233)
=ሷݖ Cosݏܥߠ ଷݑ ndash
2352 Dynamique de rotation
La dynamique de rotation est deacutefinie par rapport au repegravere local mais exprimeacutee dans le
repegravere inertiel Le moment cineacutetique est deacutefinit par
Ԧߪ = ܫ ሬߗ (234)
Alors que la vitesse angulaire dans le repegravere local
=ሬߗ ଶߟܬ Ԧ (235)
A partir des eacutequations (234) et (235) on obtient
=ԦGߪ ܫ ଶߟܬ Ԧ
On pose ߎ = ܫ ܬ et en utilisant lrsquoeacutequation preacuteceacutedente la dynamique des momentssrsquoeacutecrit
ߎ ଶሬሬߟ + ߎ ሬሬextܯsum=ଶሷԦߟ (236)
Ougrave les moments exteacuterieurs par rapport agrave G ( i= i=1hellip4 qui repreacutesente la distance entre G et
i et qui sont identiques)
ሬሬextܯsum = ߠ Ԧ1 + empty Ԧ2+ ψ Ԧ3 (237)
Chapitre 2 MODELISATION DrsquoUN DRONE A QUATRE HELICES
35
Finalement les couples sont donneacutes par
=ߠ ( 2 ndash 4)empty = ( 1 ndash 3) (238)ψ = K ( 1 ndash 2 + 3 ndash 4)
Lrsquoeacutequation peut ecirctre eacutecrite comme
=ሷߟ ୋߎ minus]1-(ߟ) (ߟ)ୋߎ [ሶߟ (239)
Avec = ( ߠ empty ψ )t comme des commandes auxiliaires et
ୋߎ ቌ=(ߟ)
௫௫ܫ emptyݏܥ 0 00 ߠݏܥ emptyݏܥ௬௬ܫ 0
0 0 ௭௭ܫ
ቍ (240)
Dans un premier temps le modegravele donneacute ci-dessus peut ecirctre lineacuteariseacute par les lois de
commande deacutecoupleacutees suivantes
=ߠ ௫௫ܫ minus empty empty ߠ + ௫௫ܫ ǁ emptyݏܥempty = ௬௬ܫ minus sup2 empty ߠݏܥ empty minus emptyݏܥ௬௬ܫ ߠ empty ߠ + ௬௬ܫ emptyǁ emptyݏܥߠݏܥ (241)
ψ = ௭௭ܫ ǁψ
Le modegravele dynamique deacutecoupleacute de la rotation peut ecirctre eacutecrit sous la forme suivante
=ሷߟ ǁ (242)avec
ǁ= (ߠ empty ψ) T
En utilisant le systegraveme drsquoeacutequations 233 et 242 la dynamique du drone peut ecirctre deacutecrite
par les eacutequations suivantes
=ሷݔ - S 3ݑߠ
ݕ = Cߠݏ S empty 3ݑ
=ሷݖ C3ݑ emptyݏܥߠݏ ndash (243)
ߠ = ߠ
empty = empty
ψ = ψ
Chapitre 2 MODELISATION DrsquoUN DRONE A QUATRE HELICES
36
24 Etude des forces deacuteveloppeacutees
On srsquoattache dans cette partie agrave expliciter les actionneurs qui agissent sur le drone il
srsquoagit des quatre forces deacuteveloppeacutees par les heacutelices Afin de calculer la matrice des
actionneurs on construit une matrice qui permet la connexion entre les actionneurs et les
commandes en effet pour trouver ces forces il faut que la matrice Q soit inversible Les
relations entre les forces deacuteveloppeacutees par les actionneurs (les quartes moteurs brushless)
et les commandes dans les diffeacuterentes directions sont introduites pour le systegraveme X4 par
les relations suivantes [15]
ଷݑ = ଵ + ଶ + ଷ+ ସ
ସݑ =
౮౮ୡ୭ୱథଶminus
౯౯ୡ୭ୱథସ +
ୱ୧୬థ Φθ
ୡ୭ୱథ
ହݑ =
౮౮ୡ୭ୱథୡ୭ୱϴ ଵminus
౯౯ୡ୭ୱథୡ୭ୱϴ ଷ +ୱ୧୬థ Φ
మ
ୡ୭ୱథ+
ୗ୧୬ థ Φθ
ୡ୭ୱϴ(244)
ݑ =
ଵ minus
ଶ +
ଷ minus
ସ
On peut eacutecrire lrsquoeacutequation (244) sous la forme matricielle suivante
⎝
⎜⎜⎜⎛
ଷݑ
ସݑ
ହݑ
⎠ݑ
⎟⎟⎟⎞
= Q
⎝
⎜⎜⎜⎛
ଵ
ଶ
ଷ
ସ⎠
⎟⎟⎟⎞
+
⎝
⎜⎜⎜⎜⎛
0
ୱ୧୬థథ θ
ୡ୭ୱథ
ୱ୧୬థథమ
ୡ୭ୱథ+
ୱ୧୬థథ θ
େ୭ୱθ
0 ⎠
⎟⎟⎟⎟⎞
(245)
Avec
=
⎝
⎜⎜⎜⎜⎛
1
0
౯౯ ୡ୭ୱథ େθ
1
౮౮ୡ୭ୱథ
0
minus
1
0
minus
౯౯ ୡ୭ୱథ େθ
1
minus
౮౮ୡ୭ୱథ
0
minus
⎠
⎟⎟⎟⎟⎞
(246)
Chapitre 2 MODELISATION DrsquoUN DRONE A QUATRE HELICES
37
Ougrave
I =
⎝
⎜⎜⎜⎜⎛
0
ୱ୧୬థథ θ
ୡ୭ୱథ
ୱ୧୬థథమ
ୡ୭ୱథ+
ୱ୧୬థథ θ
େθ
0 ⎠
⎟⎟⎟⎟⎞
=
⎝
⎜⎜⎜⎛
ଷݑ
ସݑ
ହݑ
⎠ݑ
⎟⎟⎟⎞
(247)
Les forces sont calculeacutees agrave partir de lrsquoeacutequation suivante
f =
⎝
⎜⎜⎜⎛
ଵ
ଶ
ଷ
ସ⎠
⎟⎟⎟⎞
= Qଵ( minus I) (248)
Les caracteacuteristiques physiques du drone sont donneacutees par
l= 023 mIxx =224931 10-7 kg m2
Iyy =224931 10-7 kg m2
Izz =224931 10-7 kg m2
KT = 10-5 N S2
KM =9 10-6 N S2 mm =2 Kg
25 Conclusion
Dans ce chapitre nous avons preacutesenteacute le modegravele dynamique de mini-heacutelicoptegravere en
utilisant une approche Newton Euler Pour modeacuteliser cette dynamique nous avons vu que
plusieurs niveaux de repreacutesentation peuvent ecirctre considegraveres dynamique des actionneurs
dynamique des rotors processus de geacuteneacuteration de la reacutesultante des forces et des moments
dynamique du solide Ce dernier niveau de repreacutesentation indeacutependant de la configuration
de veacutehicule choisie est celui que nous utiliserons pour la synthegravese de lois de commande
Nous avons preacutesenteacute une modeacutelisation couramment utiliseacutee dans la litteacuterature permettant
de repreacutesenter la dynamique drsquoun drone miniature avec cette approche de type meacutecanique
du solide Le modegravele non lineacuteaire agrave six degreacutes de liberteacute obtenu est sous-actionneacute Cette
Chapitre 2 MODELISATION DrsquoUN DRONE A QUATRE HELICES
38
derniegravere proprieacuteteacute rend complexe la synthegravese de lois de commande Dans le chapitre
suivant la commande du drone par la technique du mode glissant est discuteacutee et appliqueacutee
ainsi que par la commande mode glissant floue
Chapitre3 COMMANDE PAR MODE GLISSANT ET FLOU-GLISSANT
38
Chapitre 3
COMMANDE PAR MODE GLISSANT ET FLOUGLISSANT
Chapitre3 COMMANDE PAR MODE GLISSANT ET FLOU-GLISSANT
39
3 COMMANDE PAR MODE GLISSANT ET FLOUE GLISSANT
31 Introduction
Malgreacute les efforts consideacuterables de la communauteacute automatique le problegraveme lieacute agrave
la commande drsquoun drone agrave modegravele reacuteduit pour les manouvres dans les diffeacuterents axes reste
un problegraveme difficile agrave reacutesoudre Cette difficulteacute est due principalement aux changements
des forces aeacuterodynamiques exerceacutees sur le drone en fonction des paramegravetres de
lrsquoenvironnement dans lequel il eacutevolueacute
Ce chapitre sera consacreacute agrave la conception des lois de commande non lineacuteaires
baseacutees sur la technique du mode glissant pour la commande des mouvements selon les
diffeacuterents axes Dans la premiegravere partie nous preacutesenterons quelques eacuteleacutements de la theacuteorie
par mode glissants agrave structure variable
La deuxiegraveme partie sera consacreacutee agrave la mise on œuvre et agrave la validation de ces techniques
de commande pour la stabilisation et le suivi de trajectoire du drone X4
Nous effectuons des tests en simulations de ces lois de commande dans diffeacuterentes
manouvres et sceacutenarios
32 Theacuteorie de la commande par mode de glissement
321 Systegraveme agrave structure variable
La commande par mode de glissement a connu un deacuteveloppement theacuteorique au
deacutebut des anneacutees 60 gracircce agrave la reacutesolution de lrsquoeacutequation diffeacuterentielle agrave second membre
discontinu par le matheacutematicien Russe A Fillipov [40 41] suivi des recherches de S
emelyanov en 1967 et de V Utkin en 1977 [42 43 44]
Le reacuteglage par modes de glissement est un mode de fonctionnement particulier des
systegravemes agrave structure variable Un systegraveme agrave structure variable est un systegraveme pouvant
changer de structure en faisant commuter sa commande entre deux valeurs suivant une
logique de commutation bien speacutecifique
Dans les systegravemes agrave structure variable avec mode glissant la trajectoire drsquoeacutetat est ameneacutee
vers une surface (hyperplan) puis agrave lrsquoaide de la loi de commutation elle est obligeacutee de
Chapitre3 COMMANDE PAR MODE GLISSANT ET FLOU-GLISSANT
40
rester au voisinage de cette surface Cette derniegravere est dite surface de glissement et le
mouvement le long de laquelle se produit est dit le mouvement de glissement La
trajectoire dans le plan de phase (systegraveme deuxiegraveme ordre) est constitueacutee de trois parties
distinctes (figure 31) [45 46 42 43]
Le mode de convergence (MC)
Durant lequel la variable agrave reacutegler se deacuteplace de nrsquoimporte quel point initial dans le plan de
phase est tend vers la surface de commutation (ݕݔ) = 0 Ce mode est caracteacuteriseacute par la
loi de commande et le critegravere de convergence
Le mode glissement (MG)
Durant lequel la variable drsquoeacutetat a atteint la surface de glissement et tend vers lrsquoorigine du
plan de phase La dynamique dans ce mode est caracteacuteriseacutee par le choix de la surface de
glissement (x y)
Le mode du reacutegime permanent (MRP)
Il est ajouteacute pour lrsquoeacutetude de la reacuteponse du systegraveme autour de sont point drsquoeacutequilibre (origine
du plan de phase) il est caracteacuteriseacute par la qualiteacute et les performances de la commande
Figure 31 Diffeacuterents modes pour la trajectoire dans le plan de phase
322 Conception de la commande par modes glissants
Syntheacutetiser une loi de commande par modes glissants revient en premier lieu agrave choisir la
surface de glissement qui permet la convergence de la trajectoire drsquoeacutetat du systegraveme vers le
point drsquoeacutequilibre deacutesireacute en second lieu agrave eacutetablir la condition drsquoexistence du mode de
glissement qui est relieacutee agrave la convergence de la trajectoire drsquoeacutetat vers le point drsquoeacutequilibre
et en troisiegraveme lieu agrave deacuteterminer la loi de commande qui aura pour rocircle de maintenir les
MC
MRP
MG
( ) =
Chapitre3 COMMANDE PAR MODE GLISSANT ET FLOU-GLISSANT
41
conditions de glissement (attractiviteacute) (Annexe A) En drsquoautre termes la conception de la
loi de commande par modes glissants est reacutealiseacutee en trois eacutetapes [47 48 43 45]
3221 Le choix de la surface de glissement (S)
La surface de glissement est un hyperplan dans lrsquoespace drsquoeacutetat global et repreacutesente
le comportement dynamique deacutesireacute La trajectoire drsquoeacutetat du systegraveme doit atteindre cette
surface Il nrsquoexiste pas de critegravere pour le choix drsquoune surface de glissement approprieacutee
Le choix de la surface du glissement identifieacutee par le nombre et sa forme deacutepend de
lrsquoapplication et lrsquoobjectif deacutesireacute
Consideacuterons le systegraveme non lineacuteaire deacutecrit par lrsquoeacutequation drsquoeacutetat suivante
=ሶݔ +ݔ(ݐݔ)ܣ ݑ(ݐݔ)ܤ (31)
La surface de glissement est une fonction scalaire telle que lrsquoerreur sur la variable agrave reacutegler
glisse sur cette surface et tend vers lrsquoorigine du plan de phase Nous trouvons dans la
litteacuterature diffeacuterentes formes de la surface dont chacune donne de meilleures performances
pour certaines utilisations
Dans certains ouvrage [48 49 42 43 44] on trouve une forme de la surface de
glissement qui est fonction de lrsquoeacutecart sur la variable agrave reacutegler x elle est donneacutee par
(ݔ) = ቀப
ப୲+ λቁ
ଵ
e(ݔ) (32)
Cette surface est drsquousage tregraves pratique car elle minimise le nombre des paramegravetres de
synthegravese de la surface (un seul coefficient) [50]
Ougrave lrsquoeacutecart de la variable agrave reacutegler est (ݔ) = ݔ minus ݔ estߣ une constante positive qui
repreacutesente la pente de la surface de glissement et r le degreacute relatif du systegraveme La
surface de glissement est fonction de lrsquoapplication et lrsquoobjectif viseacutes
La strateacutegie de commande consiste agrave garantir que les trajectoires du systegraveme se deacuteplacent
et tendent vers la surface de glissement (ݔ) = 0
Cette derniegravere et avec une condition initiale e(0) = 0 et (ݐݔ) = 0 devient une eacutequation
homogegravene qui possegravede une solution unique (ݔ) = 0
Chapitre3 COMMANDE PAR MODE GLISSANT ET FLOU-GLISSANT
42
Figure 32 Surface de glissement
3 222 La condition de convergence et drsquoexistence
Les conditions drsquoexistante et de convergence du mode de glissement sont des critegraveres
qui permettent aux dynamiques du systegraveme de converger vers la surface de glissement et
drsquoy rester indeacutependamment de la perturbation Il yrsquoa deux consideacuterations correspondantes
au mode de convergence de lrsquoeacutetat du systegraveme [46]
a) La fonction directe de commutation
Crsquoest la premiegravere condition de convergence Elle est proposeacutee et eacutetudieacutee par Emilyanov
et Utkin [42 43] Il srsquoagit de donner agrave la surface une dynamique convergente vers zeacutero
Elle est donneacutee par
(ݔ) gt 0 Lorsque (ݔ) lt 0
S (x) lt 0 Lorsque S(x) gt 0
Ces deux ineacutegaliteacutes peuvent ecirctre formuleacutes par la condition suffisante suivante
(ݔ) (ݔ) lt 0
b) La fonction de Lyapunov
La fonction de Lyapunov [46 43 44 ] est une fonction scalaire positive (Ѵ(ݔ) gt 0)
pour les variables drsquoeacutetats du systegraveme la loi de commande doit faire deacutecroicirctre cette fonction
(Ѵ (ݔ) lt 0) lrsquoideacutee est de choisir une fonction scalaire S(x) qui garantit lrsquoattraction de la
variable agrave controcircler vers sa valeur de reacutefeacuterence et de construire une commande u telle que
Ѵ(ݔ) =ଵ
ଶଶ(ݔ) (3 3)
( )=0
Chapitre3 COMMANDE PAR MODE GLISSANT ET FLOU-GLISSANT
43
La deacuteriveacutee de cette fonction est Ѵ(ݔ) = (ݔ) (ݔ) (3 4)
Pour que la fonction Ѵ(x) deacutecroitre il suffit drsquoassurer que sa deacuteriveacutee est neacutegative Ceci
nrsquoest permis que si la condition (34) est veacuterifieacutee Lrsquoeacutequation (33) explique que le carreacute de
la distance vers la surface mesureacutee par ଶ(ݔ) diminue tout le temps contraignant la
trajectoire du systegraveme agrave se diriger vers la surface dans les deux cocircteacutes [50]
3223 Deacutetermination de la commande
Une fois la surface de glissement S choisie stable de sorte que la sortie du systegraveme
converge vers une sortie deacutesireacutee la convergence du mode glissant est assureacutee on eacutelabore
une commande qui forcera les eacutetats du systegraveme agrave atteindre le point drsquoeacutequilibre tout en
maintenant la condition du mode glissant
La structure drsquoun controcircleur par mode de glissement peut ecirctre deacutecomposeacutee en une somme
de deux commandes [51 52 43 44 53]
ݑ = ݑ + ݑ (35)
ݑ eacutetant la commande eacutequivalente qui sert agrave maintenir lrsquoeacutetat sur la surface de glissement
(ݔ) = 0 et ݑ eacutetant la commande stabilisante (elle est deacutetermineacutee afin de veacuterifier la
condition de convergence en deacutepit de lrsquoimpreacutecision sur les paramegravetres et le modegravele)
La deacuteriveacutee totale par rapport au temps de cette surface est
S(ݐݔ) =partS
partt=
partS
ݔpart∙ ሶݔ (36)
Comme lrsquoeacutequation drsquoeacutetat est
=ሶݔ +ݔ(ݐݔ)ܣ ݑ(ݐݔ)ܤ + ݑ(ݐݔ)ܤ (37)
On a alors
S(ݐݔ) =partS
partt=
part
part௫∙ ൫ݔ(ݐݔ)ܣ+ +൯ݑ(ݐݔ)ܤ
partS
part௫ݑ(ݐݔ)ܤ (38)
En reacutegime ideacuteale la deacuteriveacutee de la surface est nulle la commande appliqueacutee au systegraveme est
la commande eacutequivalente ݑ par conseacutequent
൜ݑ = 0
(ݐݔ) = 0 (39)
Si la matrice ቀడௌ
డ௫∙ ቁest(ݐݔ)ܤ inversible lrsquoexpression de la commande eacutequivalente est
donneacutee par
=minusቀݑడௌ
డ௫∙ ቁ(ݐݔ)ܤ
ଵ
∙డௌ
డ௫∙ (ݐݔ)ܣ (310)
Chapitre3 COMMANDE PAR MODE GLISSANT ET FLOU-GLISSANT
44
Donc en remplaccedilant la commande eacutequivalente par son expression (310) dans (38) on
obtient
S(ݐݔ) =partS
ݔpart∙ (ݐݔ)ܤ ∙ ݑ (311)
Nous choisissons pour simplifier une surface de glissement qui veacuterifie la relation
பୗ
ப௫∙ (ݐݔ)ܤ = ܫ (312)
Ougrave I est la matrice identiteacute
Ainsi
(ݐݔ) = ݑ (313)
La commande discontinue est choisie de maniegravere agrave satisfaire la condition suffisante
drsquoexistence des modes glissants Il existe plusieurs formes pour cette commande ougrave la
condition drsquoexistence est veacuterifieacutee
ݑ = ܭminus ݏ ( ) (314)
Ougrave sign(( ((ݐݔ) est la fonction deacutefinie par
s (( ((ݐݔ) = ൜ݏ 1minus (ݐݔ) lt 0
1 ݏ (ݐݔ) gt 0 (315)
Avec K gt 0
(ݔ) (ݔ) = ܭminus ݏ ( ) lt 0 (316)
Ou encore
= ܭminus | | lt 0 (317)
323 Le pheacutenomegravene de reacuteticence
Le pheacutenomegravene de reacuteticence ℎݐݐ ݎ (fig33) est le principal inconveacutenient de la
technique de commande par mode glissant aux systegravemes physiques Ce pheacutenomegravene
conduit quelque fois agrave un nombre eacuteleveacute drsquooscillations de la trajectoire du systegraveme autour de
la surface de glissement est donc agrave des sollicitations excessives des actionneurs pouvant
provoquer leur usure rapide ainsi que des pertes eacutenergeacutetiques non neacutegligeables au niveau
des circuits de puissance eacutelectrique Il est ducirc drsquoune part agrave lrsquoimperfection des eacuteleacutements de
commutation ou des limites technologiques telles que les retards aux niveaux des
commutations [45 50]
Chapitre3 COMMANDE PAR MODE GLISSANT ET FLOU-GLISSANT
45
Figure 33 Pheacutenomegravene de chattering
324 Adoucissement de la commutation
Pour remeacutedier agrave lrsquoeffet de broutement de nombreuses eacutetudes ont eacuteteacute effectueacutees dans le
but de reacuteduire ou drsquoeacuteliminer ce pheacutenomegravene [ 50] Lrsquoune drsquoentre elles consiste agrave remplacer
la fonction sign par des approximations continues de type grand gain dans un voisinage de
la surface telles que la fonction de saturation deacutefinie par (voir figure 34)
Figure 34 Fonctions de commutation
La fonction sat(S(t)) est exactement eacutegale agrave la commutation sign(S(t)) agrave lexteacuterieur de la
couche limite φ Par conseacutequent ceci rend lanalyse vis-agrave-vis des erreurs de perturbation
plus facile Ceci nest pas le cas des autres fonctions comme smooth et comarctg pour
lesquels le choix de φ nest pas simple
33 Stabilisation du drone X4 par la meacutethode mode glissant
Dans cette partie en nous basant sur la strateacutegie de controcircle par mode glissant
deacutecrite dans les paragraphes preacuteceacutedents nous deacuteveloppons un vecteur de commande
ݐeacuteݎ
( )=0
sat (S(t))
φ
minusφ S(t)
Smooth(S(t))
S(t)
Penteଵ
ఝ Penteଵ
ଵఝ
arctg(S(t)
S(t)
Chapitre3 COMMANDE PAR MODE GLISSANT ET FLOU-GLISSANT
46
assurant le suivi et la stabiliteacute du quadri-rotors Rappelons le modegravele dynamique du X4
preacutesenteacute sous sa forme simplifieacutee suivante
=ሷݔ minus ଷݑߠݏ =ሷݕ emptyݏ ଷݑߠݏ =ሷݖ ߠݏ ଷݑ emptyݏ minus (318)
ߠ = ସݑempty = ହݑ = ݑ
331 Commande par mode glissant du systegraveme de translation lineacuteaire
3311 Controcircle de lrsquoaltitude
Nous remarquons que la commande u3 agit directement sur la variable drsquoaltitude z
contrairement aux commandes u4 et u5 qui agissent sur les variables x et y agrave travers les
angles ߠ et empty
Consideacuterons lrsquoeacutequation
=ሷݖ cos ଷݑ(empty) cos(ߠ) minus (319)
La surface est deacuteduite de lrsquoeacutequation (34) ougrave le degreacute relatif est pris eacutegal agrave deux afin que la
commande ଷݑ apparaisse explicitement dans sa deacuteriveacutee Elle est donneacutee par
(ݖ) = ሶ௭ + ௭ߣ ௭ (320)
Avec
௭ = ݖ minus z
ሶ௭ = ሶݖ minus ሶݖ
La deacuteriveacutee de la surface est
(ݖ) = ௭ + ௭ߣ ሶ௭ (321)
Avec ሷ௭ = ሷݖ minus ሷݖ
On remplace ሷparݖ sa valeur deacutecrite par lrsquoeacutequation (318) la deacuteriveacutee de la surface devient
(ݖ) = ሷݖ minus (ୡ୭ୱ(ఏ)ୡ୭ୱ (empty)
ଷݑ minus ) + ሶݖ)௭ߣ minus (ሶݖ (322)
Nous constatons donc que la commande apparaicirct explicitement dans la deacuteriveacutee de la
surface
Nous deacutecomposant la commande de lrsquoaltitude u3 en deux parties ଷݑ et ଷݑ
Chapitre3 COMMANDE PAR MODE GLISSANT ET FLOU-GLISSANT
47
ଷݑ = ଷݑ + ଷݑ (323)
En substituant lrsquoeacutequation 323 dans 322 nous obtenons
(ݖ) = ሷݖ minus (ୡ୭ୱ(ఏ)ୡ୭ୱ (empty)
( ଷݑ + (ଷݑ minus ) + ሶݖ)௭ߣ minus (ሶݖ (324)
Durant la mode de convergence et le reacutegime permanent nous avons la surface de
glissement (ݖ) = 0 ceci implique que sa deacuteriveacutee (ݖ) = 0 et la commande
discontinue ଷݑ = 0 drsquoougrave la grandeur de commande eacutequivalente
ଷݑ =
௦(ఏ)௦ (empty)൬ + ሶݖ௭ቀߣ+ሷݖ minus ሶቁ൰ݖ (325)
Durant le mode de convergence en remplaccedilant lrsquoexpression de la commande eacutequivalente
dans lrsquoexpression de la deacuteriveacutee de la surface nous obtenons
(ݖ) = minus௦(ఏ)௦ (empty)
ଷݑ (326)
Nous posons ଷݑ = ௭ ݏ ( ((ݖ) (327)
Afin de veacuterifier la condition de stabiliteacute de Layapunov S(z) S(z) lt 0 le paramegravetre ௭ doit
ecirctre positif
Drsquoougrave la commande ଷݑ devient comme suit
ଷݑ =
௦(ఏ)௦ (empty)൬ + ሶݖ௭ቀߣ+ሷݖ minus +ሶቁ൰ݖ ௭ ݏ ((ݖ)ݏ) (328)
33 12 Controcircle de deacuteplacement lineacuteaire suivant les axes et y
A partir du modegravele du X4 donneacute par lrsquoeacutequation (243) on voit clairement que le
deacuteplacement suivant les axes x et y deacutepend de la commande de pousseacutee ଷݑ Drsquoougrave
lrsquoorientation du vecteur total de pousseacutee ଷݑ responsable pour atteindre les mouvements
lineacuteaires deacutesireacutes Si nous consideacuterons ux = sin(ϴ) et uy = cos(ϴ)sin (empty) les orientations du
vecteur responsable pour les mouvements suivant les axes x et y respectivement Nous
pouvons par la suite tirer les angles pitch et roulis deacutesireacutes pour calculer les commandes ux
et uy
A partir du modegravele du drone le systegraveme dynamique des mouvements horizontale est
deacutefinis par
൜=ሷݔ minus ݏ ߠ) ଷݑ(
=ሷݕ cos (empty) ݏ (ߠ) ଷݑ (329)
Chapitre3 COMMANDE PAR MODE GLISSANT ET FLOU-GLISSANT
48
La loi de commande est obtenue par lrsquoutilisation de la technique mode glissant [54 55 56]
Les surfaces de glissement selon les axes x et y sont donneacutees par
(ݔ) = ሶ௫ + ௫ߣ ௫ (330)
(ݕ) = ሶ௬ + ௭ߣ ௬ (331)
Avec ex et ey les erreurs de positions qui sont deacutefinis par
௫ = ݔ minus ݔ
௬ = ݕ minus ݕ
Les mecircmes eacutetapes sont utiliseacutees pour deacuteterminer les commande de positions ௫etݑ ௬ݑ
௫ݑ =
௨య൫minusߣ௫൫ݔሶ minus minusሶ൯ݔ minusሷ൯ݔ ௫ ݏ ((ݔ)ݏ)ݐ (332)
௬ݑ =
௨య൫ߣ௬൫ݕሶ minus +ሶ൯ݕ +ሷ൯ݕ ௬ ݏ ((ݕ)ݏ)ݐ (333)
332 Commande par mode glissant du systegraveme de rotation
3321 Commande de lrsquoangle de roulis
Dans cette section on veut eacutetablir une commande par mode glissant qui assure
lrsquoorientation du drone par lrsquoangle empty (roulis)
Le degreacute relatif eacutegal agrave deux drsquoougrave la surface de glissement est deacutefinie par
(empty) = ሶempty + emptyߣ empty (334)
Avec
empty = empty minusempty
ሶempty = empty minus empty
La deacuteriveacutee de la surface est
(empty) = empty + emptyߣ ሶempty (335)
Avec ሷempty = empty minus empty
On remplace empty par sa valeur deacutecrite par lrsquoeacutequation (318) la deacuteriveacutee de la surfacedevient
(empty) = empty minus ହݑ + empty)emptyߣ minus empty) (336)
Nous constatons donc que la commande apparaicirct explicitement dans la deacuteriveacutee de la
surface
Nous deacutecomposant la commande de lrsquoaltitude u5 en deux parties ହݑ et ହݑ
ହݑ = ହݑ + ହݑ (337)
En substituant lrsquoeacutequation 337 dans 336 nous obtenons
(empty) = empty minus ହݑ ) + (ହݑ + empty)emptyߣ minus empty) (338)
Chapitre3 COMMANDE PAR MODE GLISSANT ET FLOU-GLISSANT
49
Durant le mode de convergence et le reacutegime permanent nous avons la surface de
glissement (empty) = 0 ceci implique que sa deacuteriveacutee (empty) = 0 et la commande
discontinue ହݑ = 0 drsquoougrave la grandeur de commande eacutequivalente
ହݑ = empty+ߣemptyቀempty minus emptyቁ (339)
En remplaccedilant lrsquoexpression de la commande eacutequivalente dans lrsquoexpression de la deacuteriveacutee de
la surface nous obtenons
(empty) = ହݑ minus (340)Nous posons
ହݑ = kempty sign(s(empty)) (341)
Afin de veacuterifier la condition de stabiliteacute de Laypunov (empty) (empty) lt 0 le paramegravetre empty
doit ecirctre positif
Drsquoougrave la commande ହݑ devient comme suit
ହݑ = empty+ߣemptyቀempty minus emptyቁ+ empty ݏ ( (empty)) (342)
3321 Commande des angles de tangage et de lacet
En suivant les mecircmes eacutetapes deacutecrites preacuteceacutedemment pour deacuteterminer les commandes de
tangage et de lacet ce qui nous donne [54 55 56]
ସݑ = ߠఏቀߣ+ߠ minus +ቁߠ ఏܭ ݏ ((ߠ)ݏ) (343)
ݑ = +ߣట ቀ minus ቁ+ kట sign(s()) (344)
Avec(ߠ) = ሶఏ + ఏߣ ఏ (345)
() = ሶట + టߣ ట (346)
34 Planification de trajectoire et reacutesultats de simulations
Nous travaillons avec une trajectoire en ligne droite le long des axes etݔݖ ݕ et nous
effectuons des trajectoires de type arc ou bien demi-cercle La stabilisation point par point
est utiliseacutee avec la planification de mouvement Le drone doit voler dans la direction ݖ (vol
vertical) suivi par un mouvement suivant ݔ ensuite par un mouvement suivant ݕ [2 15]
La trajectoire de reacutefeacuterence pour le vol vertical est parameacutetreacutee par lrsquoeacutequation suivante
(ݐ)ݖ = ℎௗ௧ఱ
௧ఱାቀ భ௧ቁ
ఱ (347)
Chapitre3 COMMANDE PAR MODE GLISSANT ET FLOU-GLISSANT
50
Avec h lrsquoaltitude deacutesireacutee de 10 m et Tଵ est le temps final Sachant que la valeur finale
drsquoune phase du vol est la valeur initiale du mouvement suivant x On peut eacutecrire la
trajectoire de reacutefeacuterence suivant x comme
(ݐ)ݔ = ℎௗቀ௧
భቁఱ
ቀ௧ మቁ
ఱା൬
భቀ௧ మቁ൰
ఱ (348)
On peut eacutecrire le mouvement suivant y avec la formule suivante
(ݐ)ݕ = ℎௗቀ௧
మቁఱ
ቀ௧ యቁఱା൬
మቀ௧ యቁ൰
ఱ (349)
ଶ est le temps final du mouvement le long de ݔ
ଷ est le temps final du mouvement le long de ݕ
Ces trajectoires sont soumises agrave des contraintes de performance qui sont
(0)ݖ = ൫ݔ ଵ൯=ݕ൫
ଶ൯= 0
൫ݖ ଵ൯= ൫ݔ
ଶ൯=ݕ൫ ଷ൯= ℎௗ
ሶ(0)ݖ = ሶ൫ݔ ଵ൯=ݕሶ൫
ଶ൯= 0
ሶ൫ݖ ଵ൯= ሶ൫ݔ
ଶ൯=ݕሶ൫ ଷ൯= 0 (350)
ሷ(0)ݖ = ሷ൫ݔ ଵ൯=ݕሷ൫
ଶ൯= 0
ሷ൫ݖ ଵ൯= ሷ൫ݔ
ଶ൯=ݕሷ൫ ଷ൯= 0
Minimiser le temps de deacuteplacement implique que lrsquoengin acceacutelegravere au deacutepart et deacuteceacutelegravere agrave
lrsquoarriver
La figure 35 illustre les trajectoires de reacutefeacuterences des vols suivant les directions x et y
ainsi que le vol vertical z Le drone effectue un mouvement vertical de 10 m puis un
mouvement suivant x drsquoune distance de 10 m ensuite un mouvement suivant y de la mecircme
Chapitre3 COMMANDE PAR MODE GLISSANT ET FLOU-GLISSANT
51
distance
Figure 35 Geacuteneacuteration de trajectoire avec =
Nous travaillons aussi avec des trajectoires pour faire par exemple des virages Un virage
est mateacuterialiseacute par un arc de cercle de rayon ߩ et drsquoangle (ݐ)ߙ (angle de virage)
Cette deacutependance du temps de ߙ implique qursquoon peut planifier la maniegravere dont on veut
aborder le virage Ainsi on peut planifier une acceacuteleacuteration ou une deacuteceacuteleacuteration dans un
virage De mecircme lrsquoangle ߙ qui agit directement sur le comportement du lacet peut
prendre des valeurs entre zeacutero pour un changement de direction ou ߨ2 pour contourner
un carrefour
Nous proposons de connecter etݖ ݔ agrave travers les eacutequations suivantes
ቊ(ݐ)ௗݔ = +൯(ݐ)ߙcos൫ߩminus ߩ
(ݐ)ௗݖ = +൯(ݐ)ߙsin൫ߩminus ߩ (351)
Et pour la transition de reacutefeacuterence entre ݔ et ݕ on prend
ቊ(ݐ)ௗݔ = +൯(ݐ)ߙsin൫ߩ ௗ൫ݔ
ଶ൯
(ݐ)ௗݕ = +൯(ݐ)ߙsin൫ߩminus ߩ (352)
Pour assurer la continuiteacute entre les deacuteriveacutees par rapport au temps de (ݐ)ௗݔ et (ݐ)ௗݕ crsquoest-agravedire en vitesse on a
0 5 10 15 20 250
2
4
6
8
10
12
z-re
f(m
)
temps (s)
0 5 10 15 20 250
2
4
6
8
10
12
x-r
ef(m
)
temps (s)
0 5 10 15 20 250
2
4
6
8
10
12
y-r
ef(m
)
temps (s)
05
10
0
10
200
5
10
x-deacuteplacementy-deacuteplacementz-
deacutep
lace
men
t
Chapitre3 COMMANDE PAR MODE GLISSANT ET FLOU-GLISSANT
52
(ݐ)ߙ =ఈ(௧ ௧)ఱ
(௧ ௧)ఱା(௧ ௧)ఱ(353)
Ougrave numeacuteriquement =ߩ 2 ௗߙ = ఈగ
ଶ( ఈ = 12) ݐ = ݏ6 ݐ = ݏ8 ௗ൫ݔ
ଶ൯=
ௗ൫ݕ ଷ൯= ℎௗ + =ߩ 10
Figure 36 une trajectoire de reacutefeacuterence avec arcs
Simulation numeacuterique
Dans cette partie nous testons numeacuteriquement la performance du vecteur de commande
deacuteveloppeacute preacuteceacutedemment en utilisant logiciel Matlab Simulink
Les coefficients de gain kx ky kz ఏ empty associeacutes respectivement aux paramegravetres x y z ߠempty et sont donneacutes par ( 5 4 10 10 5)
௭ߣ = 2 ௫ߣ = 5 ௬ߣ = 2 ఏ=10ߣ et emptyߣ = 5
Par la suite nous affichons les reacutesultats numeacuteriques du suivi de trajectoire de reacutefeacuterence en
absence et en preacutesence des perturbations
02
46
810
1214
02
46
810
120
2
4
6
8
10
12
Deacuteplacement suivant (x)Deacuteplacement suivant (y)
Deacutepla
cem
ent
suiv
ant
(z)
Chapitre3 COMMANDE PAR MODE GLISSANT ET FLOU-GLISSANT
53
Figure 37 La trajectoire de reacutefeacuterence et reacuteelle en cas droites
Figure 38 Les commandes u3 u4 u5 des connexions droites
02
46
810
12
02
46
810
120
2
4
6
8
10
12
Deacuteplacement suivant (x)Deacuteplacement suivant (y)
Deacute
pla
ce
me
nt
su
iva
nt
(z)
Trajectoire reacuteelle
Trajectoire reacutefeacuterence
0 5 10 15 20 250
20
40
u3(N
)
0 5 10 15 20 25-10
0
10
u4(N
m)
0 5 10 15 20 25-10
0
10
u5(N
m)
temps (s)
Chapitre3 COMMANDE PAR MODE GLISSANT ET FLOU-GLISSANT
54
Figure 39 Les erreurs pour des connections droites
Figure 310 Les angles de tangage et de roulis pour des connections droites
0 5 10 15 20 25 30 35-5
0
5x 10
-4
z-e
rreur(m
)
0 5 10 15 20 25 30 35-5
0
5x 10
-3
x-e
rreur(m
)
0 5 10 15 20 25 30 35-5
0
5x 10
-5
y-e
rreur(m
)
temps (s)
0 5 10 15 20 25
-05
0
05
angle
theta
(rad)
0 5 10 15 20 25
-05
0
05
angle
phi(rad)
temps (s)
Chapitre3 COMMANDE PAR MODE GLISSANT ET FLOU-GLISSANT
55
Figure 311 La trajectoire de reacutefeacuterence et reacuteelle en cas drsquoarcs
Figure 312 Les commandes u3 u4 u5 des connexions drsquoarcs
0
5
10
15
0
5
10
150
5
10
15
deacuteplacement suivant (x)deacuteplacement suivant (y)
deacutepla
cem
entsuiv
ant(z
)
Trajectoire reacuteelle
Trajectoire reacutefeacuterence
0 5 10 15 20 25 30 350
20
40
u3(N
)
0 5 10 15 20 25 30 35
-10
0
10
u4(N
m)
0 5 10 15 20 25 30 35-10
0
10
u5(N
m)
temps (s)
Chapitre3 COMMANDE PAR MODE GLISSANT ET FLOU-GLISSANT
56
Figure 313 Les erreurs pour des connexions drsquoarcs
Figure 314 Les angles de tangage et de roulis en cas drsquoarcs
0 5 10 15 20 25 30 35-5
0
5x 10
-4
z-e
rreur(m
)
0 5 10 15 20 25 30 35-5
0
5x 10
-3
x-e
rreurr
(m)
0 5 10 15 20 25 30 35-5
0
5x 10
-5
y-e
rreur(m
)
temps (s)
0 5 10 15 20 25 30 35
-05
0
05
angle
theta
(rad)
0 5 10 15 20 25 30 35
-05
0
05
angle
phi(rad)
temps (s)
Chapitre3 COMMANDE PAR MODE GLISSANT ET FLOU-GLISSANT
57
Figure 315 La trajectoire de reacutefeacuterence et reacuteelle en cas des demi-cercles
Figure 316 Les commandes u3 u4 u5 pour des connexions demi-cercles
-10
010
20
30
-5
0
5
100
5
10
15
20
25
deacuteplacement suivant (x)deacuteplacement suivant (y)
deacutepla
cem
entsuiv
ant(z
)
Trajectoire reacuteelle
Trajectoire reacutefeacuterence
0 10 20 30 40 50 60 70 80 900
10
20
30
u3(N
)
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90-5
0
5
u4(N
m)
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90-5
0
5
u5(N
m)
temps (s)
Chapitre3 COMMANDE PAR MODE GLISSANT ET FLOU-GLISSANT
58
Figure 317 Les erreurs pour des connexions demi-cercles
Figure 318 Les angles pour des connexions demi-cercles
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90-2
0
2x 10
-3
z-e
rreur(m
)
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90-5
0
5x 10
-4
x-e
rreur(m
)
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90-5
0
5x 10
-4
y-e
rreur(m
)
temps (s)
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90
-05
0
05
angle
theta
(rad)
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90
-05
0
05
angle
phi(rad)
temps (s)
Chapitre3 COMMANDE PAR MODE GLISSANT ET FLOU-GLISSANT
59
Figure 319 La trajectoire de reacutefeacuterence et reacuteelle en cas des demi-cercles
Figure 320 La trajectoire de reacutefeacuterence et reacuteelle en cas drsquoheacutelicoiumldale
-4
-20
2
4
-2
0
2
40
5
10
15
20
25
deacuteplacement suivant (x)deacuteplacement suivant (y)
deacutepla
cem
entsuiv
ant(z
)
Trajectoire reacuteelle
Trajectoire reacutefeacuterence
0
5
10
15
0
5
10
150
5
10
15
deacuteplacement suivant (x)deacuteplacement suivant (y)
deacutepla
cem
ent
suiv
ant
(z) Trajectoire reacuteelle
Trajectoire reacutefeacuterence
Chapitre3 COMMANDE PAR MODE GLISSANT ET FLOU-GLISSANT
60
Figure 321 La trajectoire de reacutefeacuterence et reacuteelle en cas drsquoun cocircne
Les figures 37 38 et 39 illustrent respectivement la reacutealisation des connexions droites
les signaux de commandes et des erreurs Nous constatons que la trajectoire parcourue par
le drone suit la trajectoire deacutesireacutee avec des erreurs de tregraves faibles valeurs Pour les
commandes la condition de lrsquoeacutetat drsquoeacutequilibre est toujours veacuterifieacutee apregraves avoir effectueacute une
manœuvre ଷݑ) est approximativement eacutegale agrave mg et les commandes ସݑ et ହݑ tendent vers
zero)
La figure (310) preacutesente lrsquoeacutevolution des angles de tangage et de roulis nous observons que
ces angles ne se manifestent que lors drsquoun mouvement effectueacute respectivement suivant les
axes ݔ et ݕ et tendent vers la valeur zeacutero apregraves avoir fait lrsquoorientation deacutesireacutee
Les figures (311) et (315) montrent respectivement la bonne poursuite de la trajectoire
reacuteelle vers sa reacutefeacuterence pour des connexions arcs et demi-cercle
Les figures (312) (313) et (314) illustrent respectivement les reacutesultats de simulation
pour la reacutealisation des connexions en arcs les signaux de commandes les erreurs et les
angles de tangage et de roulis
Les figures (316) et (317) quant agrave elles illustrent respectivement les signaux de
commande et les erreurs de poursuite pour des connexions en demi-cercle La condition de
lrsquoeacutetat drsquoeacutequilibre dans ce cas est toujours veacuterifieacutee apregraves avoir effectueacute les manouvres en
demi-cercle
-2
-10
1
2
-2
-1
0
1
20
1
2
3
4
5
deacuteplacement suivant (x)deacuteplacement suivant (x)deacuteplacement suivant (y)
deacutepla
cem
entsuiv
ant(z
)
trajectoire reacuteelle
Trajectoire reacutefeacuterence
Chapitre3 COMMANDE PAR MODE GLISSANT ET FLOU-GLISSANT
61
Drsquoapregraves la figure (318) on voit bien que les angles de tangage et de roulis tendent vers la
valeur zeacutero apregraves avoir fait lrsquoorientation deacutesireacutee
Les figures (319) (320) et (321) montrent la bonne poursuite des trajectoires reacuteelles agrave
leurs reacutefeacuterences en 3D pour des connexions demi-cercle (deuxiegraveme forme) heacutelicoiumldale et
cocircne respectivement Drsquoapregraves ces figures on voit clairement les bonnes performances de la
commande par mode glissant
341 Etude de robustesse
Nous nous inteacuteressons dans cette partie aux tests de la robustesse des controcircleurs
deacuteveloppeacutes Nous nous placcedilons toujours dans le cadre de la commande du drone X4 dans
le cas de lrsquoinfluence du vent suivant les diffeacuterents axes du mouvement
Selon le principe drsquoinertie (lois du mouvement de Newton) aucune eacutenergie nrsquoest
neacutecessaire pour maintenir le mouvement uniforme drsquoun corps dans le vide Dans le cas du
X4 une reacutesistance ou une force de traineacutee srsquooppose au mouvement de celui-ci en vol et
crsquoest le travail de cette force qui entraine une consommation suppleacutementaire drsquoeacutenergie aux
niveaux des actionneurs et qui affaiblit ses capaciteacutes en vol Cette force de reacutesistance peut
ecirctre calculeacutee comme suit [15]
=ܨଵ
ଶ௫ܥ ܣߩ
ଶ (354)
Fi la force de traineacutee suivant lrsquoaxe i en [N]
V est la vitesse relative en [ms]
A lrsquoaire caracteacuteristique de la surface frontale de la structure du drone [m2]
ρ la masse volumique du drone en [Kgm3]
Lrsquoexpression de lrsquoeacutequation 3 65 introduit un coefficient de traineacutee sans dimention Cx qui
deacutepend de la structure du X4 et qui est deacutetermineacute expeacuterimentalement en soufflerie
Ce coefficient vaut dans le cas du drone X4
-Cx = 005 suivant le deacuteplacement dans les directions x et y
-Cx = 008 suivant le deacuteplacement dans la direction z
Lrsquoaire caracteacuteristique A de la surface frontale de la structure drone est eacutegale agrave A =
0031[m2] avec une masse volumique estimeacutee eacutegale agrave ρ =122 [Kgm3]
Reacutesultat de simulation
Dans cette partie nous testons numeacuteriquement la performance du vecteur de
commande deacuteveloppeacute preacuteceacutedemment en preacutesence des perturbations externes qui sont
donneacutes par
Chapitre3 COMMANDE PAR MODE GLISSANT ET FLOU-GLISSANT
62
Ax =Ay = Az = 67 N pour t1=15s t2=20s et t3=30s
Ap = Aq = Ar = 1 Nm pour t4 = 32s et t5 = 35s
Les figures (322) (323) (324) (325) (326) illustrent les reacutesultats de la simulation dans
le cas drsquoune force de traineacutee opposeacutee de Ftrn = 65 N pour les deacuteplacements suivant les
directions z x et y respectivement Ainsi lrsquoapplication drsquoun couple reacutesistant pour les
orientations ߠ et empty de valeur 1Nm Drsquoapregraves ces figures on remarque que les erreurs sont
importantes et peuvent augmenter avec lrsquoaugmentation de la perturbation
Figure 322 La trajectoire de reacutefeacuterence et reacuteelle en cas des demi-cercles
02
46
810
1214
0
5
10
150
2
4
6
8
10
12
diplacement suivant (x)diplacement suivant (y)
dip
lacem
ent
suiv
ant
(z)
Trajectoire reacuteelle
trajectoire reacutefeacuterence
0 5 10 15 20 25 30 35 400
50
u3(N
)
0 5 10 15 20 25 30 35 40-60-40-20
020
u4(N
m)
0 5 10 15 20 25 30 35 40
-50
0
50
u5(N
m)
temps (s)
Chapitre3 COMMANDE PAR MODE GLISSANT ET FLOU-GLISSANT
63
Figure 323 Les commandes u3 u4 u5 des connexions demi-cercles
Figure 324 Les erreurs pour des connexions demi-cercles
Figure 325 Les angles pour des connexions demi-cercles
0 5 10 15 20 25 30 35 40
-05
0
05
1
angle
theta
(rad)
0 5 10 15 20 25 30 35 40
-1
-05
0
05
1
angle
phi(r
ad)
temps (s)
0 5 10 15 20 25 30 35 40-05
0
05
z-e
rreur
(m)
0 5 10 15 20 25 30 35 40-05
0
05
x-e
rreurr
(m)
0 5 10 15 20 25 30 35 40
-05
0
05
y-e
rreur
(m)
temps (s)
Chapitre3 COMMANDE PAR MODE GLISSANT ET FLOU-GLISSANT
64
Figure 326 Les forces pour des connexions demi-cercles
35 Commande du drone par mode glissant agrave action inteacutegrale
Lrsquoutilisation des fonctions drsquoadoucissement empecircche lrsquoexistence dun mode de glissement
ideacuteal Par conseacutequent il est important de connaicirctre le comportement du systegraveme boucleacute
lorsque nous introduisons une des fonctions dadoucissement preacuteceacutedentes
Dans le but de compenser lrsquoerreur en reacutegime permanent on peut ajouter un terme inteacutegral
dans la surface de glissement [57 58 59] Ce perfectionnement (agrave lrsquoinstar drsquoautres) est
introduit a priori et justifieacute par des essais sur des systegravemes particuliers
Notre objectif dans ce paragraphe est de concevoir une nouvelle approche baseacutee sur la
theacuteorie de la commande agrave structure variable en introduisant lrsquoaction inteacutegrale sans
toutefois perdre les proprieacuteteacutes de la commande par mode glissant
Dans cette partie nous preacutesentons la deacutetermination de la loi de commande pour la
direction suivant lrsquoaxe z par lrsquointroduction de lrsquoaction inteacutegral dans la surface
La surface de glissement sera deacutefinie par
0 5 10 15 20 25 30 35 400
5
10
15F
1(N
)
0 5 10 15 20 25 30 35 400
5
10
15
F2
(N)
0 5 10 15 20 25 30 35 4005
1015
F3
(N)
0 5 10 15 20 25 30 35 4005
1015
F4
(N)
temps (s)
Chapitre3 COMMANDE PAR MODE GLISSANT ET FLOU-GLISSANT
65
(ݖ) = ሶ௭ + ௭ߣ ௭ + int ௭ݐ (355)
Ainsi que sa deacuteriveacutee est
(ݖ) = ௭ + ௭ߣ ሶ௭ + ௭ (356)
La commande drsquoaltitude ଷݑ est calculeacutee par la relation suivante
ଷݑ = ଷݑ + ଷݑ (357)
La commande ݑ est deacutetermineacutee par reacutegime glissant ideacuteal
ଷݑ =
௦ ఏ ௦ empty൬ + ሷݖ + ሶݖ௭ቀߣ minus +ሶቁݖ ൫ݖ minus ൯൰ݖ (358)
Par la technique du mode glissant on deacuteduit la forme suivante pour la commande ଷݑ
ଷݑ =
௦ ఏ ௦ empty൬ + ሷݖ + ሶݖ௭ቀߣ minus +ሶቁݖ ቀݖ minus minusቁ൰ݖ ௭ ݏ )ݐ ((ݖ) (359)
Nous suivons les mecircmes eacutetapes deacutecrites preacuteceacutedemment pour deacuteterminer les commandes du
drone X4 ce qui nous donne
⎩⎪⎪⎪⎨
⎪⎪⎪⎧ ௫ݑ =
௨య൫minusߣ௫൫ݔሶ minus minusሶ൯ݔ ሷݔ + k୧൫x ndash x ൯൯minus ௫ ݏ ൫ݐ ൯(ݔ)
௬ݑ =
௨యቀߣ௬൫ݕሶ minus +ሶ൯ݕ ሷݕ + k୧൫y ndash y ൯ቁndash ௬ ݏ )ݐ (ݕ)
ସݑ = ఏߣ+ߠ ቀߠ ndash +ቁߠ k୧൫ߠ ndashߠ൯+ ఏܭ ݏ ൯(ߠ)ݏ൫ݐ
ହݑ = empty+ߣempty ቀempty minus emptyቁ+ k୧൫empty minus empty ൯+ empty ݏ ൫ݐ (empty)൯
ݑ = +ߣట ቀ minus ቁ+ k୧൫ minus ൯+ kట sat(S())
(360)
351 Reacutesultats de simulations
Nous preacutesentons dans cette partie les reacutesultats du controcircle mode glissant associeacute agrave une
action inteacutegrale pour la commande du X4 avec perturbation Nous traitons dans cette partie
lrsquoexemple de la reacutealisation des connections demi-cercles pour les mouvements z x y Le
gain ki=2 dans notre simulation En conservant les mecircmes coefficients de gain utiliseacutes
preacuteceacutedemment
Les figures (327) (328) (329) et (330) repreacutesentent respectivement la reacutealisation en
3D lrsquoerreur la commande et les angles pour la trajectoire de connexion de type demi-
cercle en preacutesence de la perturbation externe Nous remarquons de ces figures que la
robustesse de la commande est veacuterifieacutee numeacuteriquement En effet avec une telle force de
traineacutee la commande produit des valeurs assez raisonnables assurant le suivi du drone agrave sa
trajectoire de reacutefeacuterence
Chapitre3 COMMANDE PAR MODE GLISSANT ET FLOU-GLISSANT
66
Les figures (331) (332) et (333) montrent la comparaison entre la commande mode
glissant et le mode glissant agrave action inteacutegrale Drsquoapregraves ces figure on voit clairement que la
commande mode glissant agrave action inteacutegrale est la mieux adapteacutee agrave des trajectoires de
connexions de type demi-cercle arcs et heacutelicoiumldale
Figure 327 La trajectoire de reacutefeacuterence et reacuteelle en cas des demi-cercles
Figure 328 Les erreurs pour des connexions demi-cercles
0 5 10 15 20 25 30 35 40-05
0
05
z-e
rreur
(m)
0 5 10 15 20 25 30 35 40-05
0
05
x-e
rreurr
(m)
0 5 10 15 20 25 30 35 40
-05
0
05
y-e
rreur
(m)
temps (s)
02
46
810
1214
0
5
10
150
5
10
15
Deacuteplacement suivant (x)Deacuteplacement suivant (y)
Deacutepla
cem
ent
suiv
ant
(z)
Trajectoire reacuteelle
Trajectoire reacutefeacuterence
Chapitre3 COMMANDE PAR MODE GLISSANT ET FLOU-GLISSANT
67
Figure 329 Les commandes pour des connexions demi-cercles
Figure 330 Les angles pour des connexions demi-cercles
0 5 10 15 20 25 30 35 400
50
u3(N
)
0 5 10 15 20 25 30 35 40-60-40-20
020
u4(N
m)
0 5 10 15 20 25 30 35 40
-50
0
50
u5(N
m)
temps (s)
0 5 10 15 20 25 30 35 40
-05
0
05
1
angle
theta
(rad)
0 5 10 15 20 25 30 35 40
-1
-05
0
05
1
angle
phi(r
ad)
temps (s)
Chapitre3 COMMANDE PAR MODE GLISSANT ET FLOU-GLISSANT
68
Figure 331 La trajectoire de reacutefeacuterence et reacuteelle en cas des demi-cercles
Figure 332 La trajectoire de reacutefeacuterence et reacuteelle en cas des connexions arcs
02
46
810
1214
0
5
10
150
5
10
15
Deacuteplacement suivant (x)Deacuteplacement suivant (y)
Deacutepla
cem
ent
suiv
ant
(z)
Trajectoire reacuteelle PIMG
Trajectoire reacutefeacuterence
Trajectoire reacuteelle MG
02
46
810
1214
0
5
10
150
5
10
15
Deacuteplacement suivant (x)Deacuteplacement suivant (y)
Deacutepla
cem
ent
suiv
ant
(z)
Trajectoire reacuteelle MG
trajectoire reacutefeacuterence
trajectoire reacuteelle PI MG
Chapitre3 COMMANDE PAR MODE GLISSANT ET FLOU-GLISSANT
69
Figure 333 La trajectoire de reacutefeacuterence et reacuteelle en cas heacutelicoiumldale
36 Commande du drone par un controcircleur flou-glissant
Le majeur inconveacutenient du mode de glissement est que la commande discontinue
produit pheacutenomegravene de broutement ou chattering Notons que le broutement peut exciter
des dynamiques hautes freacutequences neacutegligeacutees menant parfois agrave lrsquoinstabiliteacute Afin drsquoeacuteliminer
ou de minimiser ce pheacutenomegravene plusieurs meacutethodes ont eacuteteacute deacuteveloppeacutees [45 60 61 62
63 64 65 66 67 68 69] Dans notre travail nous avons introduit des hybridations entre la
logique flou et le mode glissant afin de reacuteduire le pheacutenomegravene de broutement et drsquoameacuteliorer
drsquoavantage les performances du controcircle du drone Apregraves avoir introduit le principe des
approches proposeacutees nous preacutesentons leurs mises en œuvre pour la commande de notre
quadri-rotors
Dans notre travail nous avons proposeacutes une nouvelle structure des controcircleurs flou-
glissant Dans cette structure un meacutecanisme drsquoinfeacuterence flou est utiliseacute pour geacuteneacuterer et
drsquoune faccedilon douce la composante discontinue de la loi de commande par mode glissant
(SMC) La figure (334) montre le scheacutema bloc de la strateacutegie de control proposeacute [70 71]
-3-2
-10
12
3
-3-2
-10
12
30
10
20
30
40
Deacuteplacement suivant (x)Deacuteplacement suivant (y)
Deacutepla
cem
ent
suiv
ant
(z)
Trajectoire reacuteelle MG
Trajectoire reacutefeacuterence
Trajectoire reacuteelle PIMG
Chapitre3 COMMANDE PAR MODE GLISSANT ET FLOU-GLISSANT
70
Figure 334 Controcircleur par mode glissant flou
Dans le controcircleur flou-glissant proposeacute la surface (s) preacutesente lrsquoentreacutee des implications
des bases de regravegles
Puisque les donneacutees manipuleacutees dans le meacutecanisme agrave infeacuterence flou sont baseacutees sur la
theacuteorie des sous ensemble flous [70 71] les ensembles flous associeacutes utiliseacutes dans la
geacuteneacuteration de la base de regravegle sont deacutefinies comme
Si S est GN Alors un est TGSi S est NP Alors un est GSi S est JZ Alors un est MNSi S est PP Alors un est PSi S est GP Alors un est TP
Avec GN MN JZ MP et GP sont les termes linguistiques de la variable drsquoentreacutee s
deacutefinies respectivement par Grand Neacutegative Moyen Negative Just Zero Moyen
Positive et Grand Positive
Et pour la variable de sortie un les termes linguistiques TG G MN P TP sont deacutefinis
respectivement par Tregraves Grand Grand Moyen Petit Tregraves Petit
Les fonctions drsquoappartenances associeacutees agrave ses variables drsquoentreacutee et de sortie sont
preacutesenteacutees dans les figures suivantes
Chapitre3 COMMANDE PAR MODE GLISSANT ET FLOU
Figure 335
Figure 3
361 Reacutesultats de simulations
Nous preacutesentons dans cette partie les reacutesultats du controcircle flou
du drone X4 en preacutesence de perturbation
sont ke= 10 et ks = 10
preacuteceacutedemment
Les figures (337) (338) et
demi-cercle les signaux de commandes et des erreurs Nous constatons que la trajectoire
parcourue par le drone suit la
Tregraves
-3k2
COMMANDE PAR MODE GLISSANT ET FLOU
71
35 Fonction dappartenance de lentreacutee S
336 Fonction dappartenance de la sortie u
1 Reacutesultats de simulations
Nous preacutesentons dans cette partie les reacutesultats du controcircle flou-glissant pour la commande
en preacutesence de perturbation Les gains drsquoentreacutee et de sortie du controcircleur flou
= 10 En conservant les mecircmes coefficients de gain utiliseacutes
et (339) illustrent respectivement la reacutealisation des connexions
cercle les signaux de commandes et des erreurs Nous constatons que la trajectoire
parcourue par le drone suit la trajectoire deacutesireacutee avec des erreurs de tregraves faibles valeurs
Tregraves petit Petit Moyenne Grand Tregraves Grand
k2-k2-k k00
COMMANDE PAR MODE GLISSANT ET FLOU-GLISSANT
S(t)
un
glissant pour la commande
et de sortie du controcircleur flou
En conservant les mecircmes coefficients de gain utiliseacutes
la reacutealisation des connexions
cercle les signaux de commandes et des erreurs Nous constatons que la trajectoire
avec des erreurs de tregraves faibles valeurs
Tregraves Grand
3k2
Chapitre3 COMMANDE PAR MODE GLISSANT ET FLOU-GLISSANT
72
La figure (340) preacutesente lrsquoeacutevolution des angles de tangage et de roulis nous observons que
ces angles se manifestent que lors drsquoun mouvement effectueacute respectivement suivant les
axes ݔ et ݕ
La figure (341) preacutesente lrsquoeacutevolution des forces des quatre moteurs on remarque que ces
forces ne deacutepassent pas les limites physiques des actionneurs et la somme de ces forces
satisfait la condition drsquoeacutequilibre apregraves que le drone effectue ses mouvements deacutesireacutes
Figure 337 La trajectoire de reacutefeacuterence et reacuteelle en cas des demi-cercles
-20
24
68
1012
14
-5
0
5
10
150
5
10
15
Deacuteplacement suivant (x)Deacuteplacement suivant (y)
Deacutepla
cem
ent
suiv
ant
(z) Trajectoire reacuteelle
Trajectoire reacutefeacuterence
Chapitre3 COMMANDE PAR MODE GLISSANT ET FLOU-GLISSANT
73
Figure 338 Les commandes pour des connexions demi-cercles
Figure 339 les erreurs pour des connexions demi-cercles
0 5 10 15 20 25 30 35 400
20
40
u3(N
)
0 5 10 15 20 25 30 35 40-40
-20
0
20
40
u4(N
m)
0 5 10 15 20 25 30 35 40-40
-20
0
20
40
u5(N
m)
temps (s)
0 5 10 15 20 25 30 35 40-05
0
05
z-e
rreur
(m)
0 5 10 15 20 25 30 35 40-05
0
05
x-e
rreurr
(m)
0 5 10 15 20 25 30 35 40
-05
0
05
y-e
rreur
(m)
temps (s)
Chapitre3 COMMANDE PAR MODE GLISSANT ET FLOU-GLISSANT
74
0 5 10 15 20 25 30 35 40
-05
0
05
1
angle
theta
(rad)
0 5 10 15 20 25 30 35 40
-1
-05
0
05
1
angle
phi(r
ad)
temps (s)
Figure 340 les angles pour des connexions demi-cercles
Figure 341 Les forces pour des connexions demi-cercles
0 5 10 15 20 25 30 35 4005
1015
F1
(N)
0 5 10 15 20 25 30 35 4005
1015
F2
(N)
0 5 10 15 20 25 30 35 4005
1015
F3
(N)
0 5 10 15 20 25 30 35 4005
1015
F4
(N)
temps (s)
Chapitre3 COMMANDE PAR MODE GLISSANT ET FLOU-GLISSANT
75
37 Conclusion
Dans ce chapitre nous avons preacutesenteacute le principe de la commande par mode de
glissement appliqueacute sur un drone agrave quatre heacutelices La commande par mode glissant
(approche non lineacuteaire) consiste agrave choisir le nombre et la forme de surface de glissement
neacutecessaire pour la deacutetermination de la loi de commande Le pheacutenomegravene de chattering qui
caracteacuterise cette commande a eacuteteacute reacuteduit par lrsquoadoucissement de la fonction de commande
Afin drsquoameacuteliorer les performances statiques nous avons proposeacute une approche appeleacutee
mode glissant agrave action inteacutegral pour eacuteliminer lrsquoerreur en preacutesence des perturbations Pour
ameacuteliorer drsquoavantage les performances de la commande SMC nous avons proposeacute une
approche drsquohybridation entre le mode glissant et la logique floue La structure du
controcircleur flou-glissant heacuterite la proprieacuteteacute drsquointerpolation du controcircle de la logique floue
et la robustesse du controcircle par mode glissement Cette approche est baseacutee sur lrsquoutilisation
drsquoun systegraveme agrave une infeacuterence floue qui geacutenegravere la commande discontinueacutee de la loi de
commande par mode de glissement agrave action inteacutegrale Par conseacutequent il le rend robuste
pour le temps de control de plus le controcircleur flou reacuteduit le pheacutenomegravene de broutement
(chattering)
Chapitre4 COMMANDE ROBUST PAR LA THECHNIQUE DU BACKTEPPING
74
Chapitre 4
COMMANDE NON LINEAIRE PAR BACKSTEPPING
Chapitre4 COMMANDE ROBUST PAR LA THECHNIQUE DU BACKTEPPING
75
4 COMMANDE ROBUSTE PAR LA THECHNIQUE DU BACKSTEPPING
41 Introduction
La theacuteorie de Lyapunov est un outil tregraves important dans la theacuteorie de controcircle des
systegravemes non lineacuteaires Cependant son utilisation est souvent entraveacutee par les difficulteacutes
de trouver une fonction de Lyapunov pour un systegraveme donneacute Si elle est trouveacutee le
systegraveme est connu pour ecirctre stable mais la tache de trouver une telle fonction est souvent
laisseacutee agrave lrsquoimagination et agrave lrsquoexpeacuterience du concepteur La technique du Backstepping est
une meacutethode systeacutematique pour la conception du controcircle non lineacuteaire qui peut ecirctre
appliqueacutee agrave une grande classe de systegravemes Le nom backstepping se reacutefegravere agrave la nature
reacutecursive de la proceacutedure de synthegravese Dans un premier temps seul un sous-systegraveme du
systegraveme original est consideacutereacute pour lequel une loi de controcircle fictive est construite Puis la
conception est eacutetendue en plusieurs eacutetapes jusquagrave lrsquoobtention drsquoune loi de controcircle pour le
systegraveme tout en entier Avec la loi de commande une fonction de Lyapunov pour le
systegraveme controcircleacute est progressivement construite
La technique du backstepping a connu un regain drsquoattention gracircce aux travaux de
Kokotovic qui a fourni un cadre matheacutematique pour la conception de lois de controcircle pour
diffeacuterents systegravemes non lineacuteaires en utilisant la cette technique [72] Durant les anneacutees
suivantes des manuscrits ont eacuteteacute eacutediteacutes par Krstic et autres [73 74 75]
Nous utiliserons cette technique du backstepping pour deacutevelopper des lois de controcircle pour
le controcircle des mouvements selon les axes z ndash x ndash y ainsi qursquoune eacutetude de robustesse
42 Historique et domaines drsquoapplication du backstepping
Lrsquoideacutee de base du backstepping est de laisser certains eacutetats du systegraveme agir en tant
qursquoentreacutees virtuelles La mecircme ideacutee est utiliseacutee dans la conception de controcircle en cascade
et eacutegalement dans la theacuteorie de la perturbation singuliegravere [76] Le backstepping qui utilise
une forme du systegraveme en chaicircne drsquointeacutegrateurs apregraves une transformation de coordonneacutees
drsquoun systegraveme triangulaire et en se basant sur la meacutethode directe de Lyapunov (Annexe A)
A partir de lagrave il est possible de concevoir systeacutematiquement et de maniegravere reacutecursive des
Chapitre4 COMMANDE ROBUST PAR LA THECHNIQUE DU BACKTEPPING
76
controcircleurs et les fonctions de Lyapunov correspondantes Bien que la technique du
backstepping ait une histoire plutocirct courte mais rien nrsquoempecircche quand-mecircme de trouver de
nombreuses applications pratiques dans la litteacuterature On en donne ici un court aperccedilu
Elle est appliqueacutee dans les systegravemes eacutelectriques par exemple dans [77] ou a eacuteteacute
proposeacutee une commande en temps reacuteel de la vitesse drsquoun moteur synchrone agrave aimant
permanent par la technique du backestepping adaptative non lineacuteaire On peut maintenant
la retrouver dans une grande varieacuteteacute de controcircle de moteurs eacutelectriques [78 79 80] On
trouve eacutegalement des travaux dans lrsquoaeacuteronautique qui correspond au controcircle drsquoun
heacutelicoptegravere miniature Dans [28] une loi de commande adaptative utilisant les techniques
reacutecursives et robustes du backstepping a eacuteteacute proposeacutee Altug dans [25 26 27] a proposeacute un
controcircle stabilisant en utilisant lrsquoasservissement visuel Ainsi cette technique a eacuteteacute
proposeacutee pour la commande drsquoautomobile [81]
43 Conception de la commande par backstepping
La commande par backstepping ne doit pas ecirctre vue comme un proceacutedeacute rigide mais
plutocirct comme une philosophie de conception qui peut ecirctre plieacutee et tordue pour satisfaire les
besoins speacutecifiques du systegraveme agrave commander Nous pouvons exploiter la flexibiliteacute du
backstepping en ce qui concerne le choix des commandes virtuelles des fonctions
stabilisantes initiales et des fonctions de Lyapunov Nous avons effectueacute une eacutetude de
stabiliteacute en se basant sur la commande backstepping et en utilisant la fonction de
Lyapunov
431 Algorithme de base pour la meacutethode du backstepping
En utilisant lrsquoapproche backstepping comme un algorithme reacutecursif pour la
synthegravese de lois de commande On considegravere le cas des systegravemes non lineacuteaires drsquoordre deux
de la forme
x=f(x)+g(x)u (41)
X est lrsquoeacutetat du systegraveme X isin realn
u Lrsquoentreacutee de commande u isin real
Supposons que le systegraveme (41) peut apregraves une transformation ecirctre mis sous la forme
chaineacutee comme suit
x1 = fଵ(xଵ) + gଵ (xଵ) xଶ (42)
x2= fଶ(xଶ) + gଶ (xଶ) u (43)
Chapitre4 COMMANDE ROBUST PAR LA THECHNIQUE DU BACKTEPPING
77
On deacutesire faire suivre agrave la sortie y = xଵ la trajectoire yr Cette trajectoire est supposeacutee
connue et uniformeacutement borneacutee et puisque le systegraveme et du deuxiegraveme ordre alors le design
srsquoeffectue en deux eacutetapes [82]
Premiegravere eacutetape
On considegravere drsquoabord lrsquoeacutequation (42) ou la variable drsquoeacutetat xଶ est traiteacutee comme une
commande virtuelle et lrsquoon deacutefinit la premiegravere valeur de reacutefeacuterence
xଵ = y (44)
La premiegravere variable drsquoerreur se deacutefinit par
eଵ = xଵ minus xଵ (45)
ሶଵ= ሶଵݔ minus ሶଵݔ (46)
On utilisant lrsquoeacutequation (42) le systegraveme drsquoeacutequation (46) srsquoeacutecrit
e1 = ଵ(ݔଵ) + gଵ (ଵݔ) ଶݔ minus ሶଵݔ (47)
Pour un tel systegraveme il agrave eacuteteacute montreacute que la fonction candidate constitue un bon choix de la
fonction de Lyapunov
ଵ( ଵ) =ଵ
ଶ ଵଶ (48)
Sa deacuteriveacutee est donneacutee par
Vଵ(eଵ) = eଵ eଵ = eଵ [ ଵ(ݔଵ) + gଵ(ݔଵ) ଶݔ minus [ሶଵݔ (49)
Un choix judicieux xଶ rendrait Vଵ(eଵ) neacutegative et assurerait la stabiliteacute de lrsquoorigine du sous
systegraveme deacutecrit par lrsquoeacutequation (42)
Prenons comme valeur de ଶݔ la fonction aଵ telle que
ଵ(ݔଵ) + gଵ(ݔଵ) ଵ minus =ሶଵݔ minus kଵeଵ (410)
Ougrave kଵ gt 0 est un paramegravetre de design
xଶ= aଵ=ଵ
భ(୶భ)[minus kଵeଵ + xଵminus fଵ(xଵ)] (411)
et la deacuteriveacutee srsquoeacutecrit
ଵ( ଵ) = minus ଵ ଵଶ le 0 (412)
Drsquoougrave la stabiliteacute asymptotique de lrsquoorigine de lrsquoeacutequation (45)
Deuxiegraveme eacutetape
On considegravere le sous-systegraveme drsquoeacutequation (43) et lrsquoon deacutefinit la nouvelle variable
drsquoerreur
eଶ = xଶ minus aଵ (413)
Chapitre4 COMMANDE ROBUST PAR LA THECHNIQUE DU BACKTEPPING
78
Cette eacutequation repreacutesente lrsquoeacutecart entre la variable drsquoeacutetat xଶ et sa valeur deacutesireacutee aଵ lrsquoerreur
ଶ nrsquoest pas instantaneacutement nulle Le design dans cette eacutetape consiste alors agrave la forcer agrave
srsquoannuler
Les eacutequations du systegraveme agrave commander dans lrsquoespace (eଵ eଶ) srsquoeacutecrivent
ሶଵ = ଵ(ݔଵ) + ଵ ( ଶ + ଵ) minus ሶଵݔ (414)
ሶଶ = ଶ(ݔଶ) + ଶ minusݑ ሶଵ (415)
On agrave choisit comme fonction de Lyapunov
ଶ( ଵ ଶ) = ଵ( ଵ) +ଵ
ଶ ଶଶ (416)
Sa deacuteriveacutee
2( ଵ ଶ) =ଵ + ଶ ሶଶ= ଵ ሶଵ + ଶ ሶଶ (417)
2( ଵ ଶ) = ଵ [ ଵ(ݔଵ) + ଵ ( ଶ+ ଵ) [ሶଵݔ + ଶ [ ଶ(ݔଶ) + ଶ minusݑ ሶଵ] (418)
2( ଵ ଶ) = ଵ [ ଵ(ݔଵ) + ଵ ଶ+ ଵ ଵ minus ሶଵݔ ] + ଶ [ ଶ(ݔଶ) + ଶ minusݑ ሶଵ] (419)
2( ଵ ଶ) = minus ଵ ଵଶ + ଶ [ ଶ(ݔଶ) + ଶ ݑ + ଵ ଵminus ሶଵ] (420)
Pour garantir la stabiliteacute il faut que lrsquoeacutequation suivante soit eacutegale agrave minus kଶeଶ avec kଶ gt0
ଶ(ݔଶ) + ଶ ݑ + ଵ ଵminus ሶଵ= minus ଶ ଶ (421)
La commande est
ݑ =ଵ
మ[minus ଶ ଶ+ ሶଵ minus ଵ ଵ minus ଶ(ݔଶ)] (422)
Avec le choix de ଶ on agrave
2( ଵ ଶ) = minus ଵ ଵଶ minus ଶ ଶ
ଶ (423)
On a garantie la stabiliteacute asymptotique du systegraveme
44 Stabilisation du drone X4 par la meacutethode du backstepping
Nous proposons drsquoappliquer la technique de backstepping pour le controcircle drsquoun drone
de type X4 dont la dynamique du modegravele a eacuteteacute deacutetermineacutee dans le chapitre 2
La strateacutegie de controcircle adopteacute est reacutesumeacutee en deux sous-systegravemes le premier est lieacute au
controcircle de la translation et le deuxiegraveme est lieacute au controcircle de la rotation comme il est
exposeacute sous le scheacutema synoptique suivant [83]
Chapitre4 COMMANDE ROBUST PAR LA THECHNIQUE DU BACKTEPPING
79
Figure 41 Scheacutema bloc de commande du drone par backstepping
Le systegraveme 243 peut ecirctre reacuteeacutecrit dans lrsquoespace drsquoeacutetat sous la forme = ()
Avec U vecteur drsquoentreacute et X vecteur drsquoeacutetat
Tel que
X = hellipଵݔ] hellip [ଵଶݔ T = [ ݖ ݔሶݖ ݕሶݔ ሶݕ θ θ empty empty ψ ψ ] T isin real12
X = f (X U) =
⎝
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎛
ଶݔଵ
emptyݏ ଷݑߠݏ minus
ସݔ
minusଵ
ଷݑ௫ݑݔ
ଵ
௬ݑ ଷݑݔସݑଵݔହݑଵଶݔݑ ⎠
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎞
(424)
441 Commande du systegraveme de translation lineacuteaire
4411 Controcircle de lrsquoaltitude
On commande le mouvement selon lrsquoaxe z en utilisant la technique du backstepping le
modegravele en y est donneacute par
ߠ
X4-FlyerModelReacutefeacuterence
BacksteppingControcircle
BacksteppingControcircle
ݖݕݔ
ଷݑ
ହݑସݑ ݑ௬ݑ௫ݑ
ݖݕݔ
Chapitre4 COMMANDE ROBUST PAR LA THECHNIQUE DU BACKTEPPING
80
=ሷݖ emptyݏ ଷݑߠݏ minus (425)
La commande par backstepping du vol vertical est deacuteveloppeacutee ci-dessous
Premiegravere eacutetape
Initialement nous consideacuterons lrsquoobjectif de poursuite de lrsquoaltitude z vers sa trajectoire
deacutesireacutee On deacutefinit pour cela une erreur de poursuite
e௭ଵ = ݖ minus ݖ (426)Sa deacuteriveacutee srsquoeacutecrit
ሶ௭ଵ = ሶݖ minus ሶݖ (427)
Le but eacutetant donc de faire tendre cette erreur vers zeacutero Pour ce faire on considegravere une
fonction de Lyapunov quadratique en eଵ
V (e௭ଵ) =ଵ
ଶe௭ଵଶ (428)
La deacuteriveacutee de la fonction de Lyapunov srsquoeacutecrit
( ௭ଵ) = ௭ଵ ሶ௭ଵ= ௭ଵ ሶݖ) minus (ሶݖ (429)
La convergence de e௭ଵ vers zeacutero est obtenue en assurant que V(e௭ଵ) est neacutegative Etant
donneacute que lrsquoentreacutee de commande nrsquoapparait pas encore dans lrsquoexpression de V(e௭ଵ) on
deacutefinit une entreacutee fictive ayant pour forme
ଶݔ = ሶݖ + k௭ଵe௭ଵ (430)
Ougrave ௭ଵ est une constante positive
Cette commande assure
( ௭ଵ)= minus ௭ଵ ௭ଵଶ le0 (431)
Deuxiegraveme eacutetape
La deuxiegraveme eacutetape consiste agrave redeacutefinir une autre erreur agrave compenser
e௭ଶ= minus ሶݖ ሶrefݖ minus k௭ଵe௭ଵ (432)
Sa deacuteriveacutee srsquoeacutecrit comme suit
e௭ଶ= minus ሷݖ ሷrefݖ minus k௭ଵe௭ଵ (433)
Chapitre4 COMMANDE ROBUST PAR LA THECHNIQUE DU BACKTEPPING
81
Afin drsquoeacuteliminer cette erreur la fonction candidate de Lyapunov V( ௭ଵ) preacuteceacutedente de
lrsquoeacutequation (428) est augmenteacutee drsquoun autre terme qui va prendre en charge la nouvelle
erreur qui a eacuteteacute introduite preacuteceacutedemment
V ( ௭ଵ ௭ଶ) =ଵ
ଶ( ௭ଵଶ
+ ௭ଶଶ ) (434)
Ainsi que sa deacuteriveacutee
( ௭ଵ ௭ଶ) = ௭ଵ ሶ௭ଵ+ ௭ଶ ሶ௭ଶ (435)
( ௭ଵ ௭ଶ) = ௭ଵ (minus ௭ଵ ௭ଵ minus ௭ଶ) + ௭ଶ minus ሷݖ) ሷݖ minus ௭ଵ ሶ௭ଵ) (436)
( ௭ଵ ௭ଶ) =minus ௭ଵ ௭ଶ minus ௭ଵ ௭ଵଶ + ௭ଶ minus ሷݖ) ሷݖ minus ௭ଵ(minus ௭ଵ ௭ଵ minus ௭ଶ)) (437)
( ௭ଵ ௭ଶ) = minus ௭ଵ ௭ଵଶ + ௭ଶ [
ଵ
minusݑߠݏܥemptyݏܥ minus ሷݖ minus ௭ଵ(minus ௭ଵ ௭ଵ minus ௭ଶ)minus ௭ଵ)]
(438)
La proceacutedure de la meacutethode du backstepping srsquoarrecircte jusqursquoagrave lrsquoapparition de la commandeu3
Afin de satisfaire la condition de Lyaponov (V(eଵ eଶ) le 0 ) on pose
௦empty௦ఏ
minus ₃ݑ minus minusሷݖ k௭ଵ(minus k௭ଵe௭ଵ minus e௭ଶ)minus e௭ଵ) = minus k௭ଶe௭ଶ (439)
Ce qui nous donne la loi de commande suivant lrsquoaxe z
= ₃ݑ
௦empty௦ఏሷݖ) + + (1 minus ௭ଵ
ଶ ) ଵ minus ( ௭ଵ + ௭ଶ) ௭ଶ) (440)
Ougrave k௭ଶ est une constante positive
De telle sorte ( ௭ଵ ௭ଶ) = minus ௭ଵ ௭ଵ
ଶ minus ௭ଶ ௭ଶଶ le 0 (441)
Ce qui nous assure la stabiliteacute du mouvement suivant lrsquoaxe z
44 12 Controcircle de deacuteplacement lineacuteaire suivant les axes et y
A partir du modegravele du drone le systegraveme dynamique des mouvements horizontales est deacutefini
par
൜ =ሷݔ ଷݑ௫ݑminus=ሷݕ ଷݑ௬ݑ
(442)
Avec ex1 et ey1 sont les erreurs de positions sont deacutefinis par
ቄ௫ଵ = ݔ minus ݔ
௬ଵ = ݕ minus ݕ (443)
Chapitre4 COMMANDE ROBUST PAR LA THECHNIQUE DU BACKTEPPING
82
Les erreurs des vitesses lineacuteaires des positions x et y sont deacutefinies par
൜௫ଶ = minusሶݔ ሶݔ minus ௫ଵ ௫ଵ
௬ଶ = minusሶݕ ሶݕ minus ௬ଵ ௬ଵ
(444)
Les mecircmes eacutetapes sont utiliseacutees pour deacuteterminer les commandes de positions ௫ݑ et ௬ݑ qui
sont donneacutees par
௫ݑ =
௨యሷݔ) + (1 minus ௫ଵ
ଶ ) ௫ଵ minus ( ௫ଵ + ௫ଶ) ௫ଶ) (445)
௬ݑ =
௨యሷݕ) + ൫1 minus ௬ଵ
ଶ ൯ ௬ଵ minus ( ௬ଵ + ௬ଶ) ௬ଶ) (446)
Avec ( ௫ଵ ௫ଶ ௬ଵ ௬ଶ)gt0
442 Commande par backstepping du systegraveme de rotation
4421 Commande de lrsquoangle de roulis
Dans cette section on veut eacutetablir une commande par backstepping qui assure lrsquoorientation
du drone par lrsquoangle empty (roulis)
Premiegravere eacutetape
Premiegraverement on doit avoir une sortie qui suit une trajectoire deacutesireacutee emptyref en introduisant
lrsquoerreur de la position angulaire (lrsquoangle de roulis)
eemptyଵ= emptyref minus empty (447)Sa deacuteriveacutee srsquoeacutecrit
eemptyଵ= empty minus empty (448)
Ougrave les deux eacutequations (447) (448) sont associeacutees agrave la fonction de Lyapunov suivante
V (eemptyଵ) =ଵ
ଶeempty1
2 (449)
La deacuteriveacutee de la fonction de Lyapunov srsquoeacutecrit
V(eemptyଵ) = eemptyଵ eemptyଵ= eemptyଵ (emptyref (ଵݔminus (450)
Lrsquoeacutetat ଵݔ est ensuite utiliseacute comme commande intermeacutediaire afin de garantir la stabiliteacute
de lrsquoeacutequation (447) On deacutefinit pour cela une commande virtuelle
ଵݔ = emptyref + emptyଵ emptyଵ avec emptyଵ gt0 (451)
ሶଵݔ = emptyref + emptyଵ ሶemptyଵ (452)
Agrave partir des eacutequations (450) et (451) on obtient
( emptyଵ) = minus emptyଵ emptyଵଶ (453)
Chapitre4 COMMANDE ROBUST PAR LA THECHNIQUE DU BACKTEPPING
83
Deuxiegraveme eacutetape
Agrave cette eacutetape une nouvelle erreur engendreacutee
eemptyଶ= empty minus empty minus kemptyଵeemptyଵ (454)
Sa deacuteriveacutee srsquoeacutecrit comme suit
eemptyଶ = empty minus emptyrefminus kemptyଵ eemptyଵ (455)
Afin drsquoeacuteliminer cette erreur la fonction candidate de Lyapunov (eemptyଵ) preacuteceacutedente de
lrsquoeacutequation (449) est augmenteacutee drsquoun autre terme qui va prendre en charge la nouvelle
erreur qui a eacuteteacute introduite preacuteceacutedemment
V (eemptyଵeemptyଶ) =ଵ
ଶ(eemptyଵଶ + eemptyଶ
ଶ ) (456)
Ainsi que sa deacuteriveacutee
V(eemptyଵ eemptyଶ) = eemptyଵ (minuskemptyଵ eemptyଵ minus eemptyଶ) + eemptyଶ (empty minus emptyref ndash kemptyଵ eemptyଵ) (457)
V(eemptyଵ eemptyଶ) = minus eemptyଵ eemptyଶ minus kemptyଵ eemptyଵଶ + eemptyଶ (empty minus emptyref minuskemptyଵ (minuskemptyଵe୴ଵ minus eemptyଶ)) (458)
V(eemptyଵ eemptyଶ) = minus kemptyଵ eemptyଵଶ + eemptyଶ ହݑ] minus emptyref minus kemptyଵ (minuskemptyଵeemptyଵ minus eemptyଶ) minuseemptyଵ] (459)
Afin de satisfaire la condition de Lyapunov (V(eemptyଵ eemptyଶ) le 0 ) on pose
ହݑ minus emptyref minus kemptyଵ (minuskemptyଵeemptyଵ minus eemptyଶ) minuseemptyଵ= minuskemptyଶ eemptyଶ (460)
Drsquoougrave lrsquoexpression de la commande du roulis est donneacutee par
ହݑ = emptyref + emptyଵ (1 minus emptyଵଶ ) minus emptyଶ ( emptyଵ + emptyଶ) (461)
Avec kemptyଵ kemptyଶ sont des constantes positives de design lesquelles deacuteterminent la
dynamique de la boucle fermeacutee
4421 Commande des angles de tangage et de lacet
Nous suivons les mecircmes eacutetapes deacutecrites preacuteceacutedemment pour deacuteterminer les commande de
tangage et de lacet ce qui nous donne [84 85]
ସݑ = +ߠ ఏଵ൫1 minus ఏଵଶ ൯minus ఏଶ( ఏଵ + ఏଶ) (462)
ݑ = + టଵ൫1 minus టଵଶ ൯minus టଶ( టଵ + టଶ ) (463)
Avec ( ఏଵ ఏଶ టଵ టଶ) gt0
Chapitre4 COMMANDE ROBUST PAR LA THECHNIQUE DU BACKTEPPING
84
45 Reacutesultats de simulations
Les performances sont eacutevalueacutees par le biais drsquoune simulation numeacuterique dans les mecircmes
conditions de fonctionnement preacutesenteacutes dans le chapitre preacuteceacutedent
Les paramegravetres des coefficients du polynocircme de Hurwitz du controcircleur sont choisis par
௭ଵ =8 ௭ଶ = 5 ௫ଵ = 5 ௫ଶ = 5 ௬ଵ = 4 ௬ଶ = 2 kemptyଵ = 55 kemptyଶ = 2 ఏଵ = 75
ఏଶ = 10 టଵ = 2 టଶ = 4
Figure 42 La trajectoire de reacutefeacuterence et reacuteelle en cas des connexions cercles
0
10
20
30
-5
0
5
100
5
10
15
20
25
30
Deacuteplacement suivant (x)Deacuteplacement suivant (y)
Deacutepla
cem
entsuiv
ant(z
)
Trajectoire reacuteelle
Trajectoire reacutefeacuterence
Chapitre4 COMMANDE ROBUST PAR LA THECHNIQUE DU BACKTEPPING
85
Figure 43 Les commandes u3 u4 u5 des connexions cercle
Figure 44 Les erreurs de deacuteplacement en cas des connections cercle
0 10 20 30 40 50 60 70 80 9010
20
30
u3(N
)
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90-5
0
5
u4(N
m)
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90-5
0
5
u5(N
m)
temps (s)
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90-004
-002
0
002
004
z-e
rreur(m
)
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90-002
0
002
x-e
rreur(m
)
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90-002
0
002
y-e
rreur(m
)
temps (s)
Chapitre4 COMMANDE ROBUST PAR LA THECHNIQUE DU BACKTEPPING
86
Figure 45 Les angles de tangage et de roulis en cas des connections cercle
Figure 46 Les forces en cas des connections cercle
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90
-05
0
05angle
theta
(rad)
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90
-05
0
05
angle
phi(rad)
temp (s)
0 10 20 30 40 50 60 70 80 900
5
F1
(N)
0 10 20 30 40 50 60 70 80 900
5
F2
(N)
0 10 20 30 40 50 60 70 80 900
5
F3
(N)
0 10 20 30 40 50 60 70 80 900
5
F4
(N)
temps (s)
Chapitre4 COMMANDE ROBUST PAR LA THECHNIQUE DU BACKTEPPING
87
La figure (43) qui repreacutesente les signaux de commandes u3 u4 et u5 deacutemontrent que la
condition de lrsquoeacutetat drsquoeacutequilibre et toujours veacuterifieacutee apregraves avoir effectueacute une manœuvre (u3 =
mg et u4 = u5 =0)
La figure (44) montre que lrsquoerreur suivant les trois directions converge vers zeacutero Cela
prouve que la trajectoire parcourue par le drone suit la trajectoire souhaiteacutee (figure (42))
avec des erreurs de tregraves faibles valeurs
Dans la figure (45) on voit que les angles de tangage ߠ et de roulis empty se manifestent lors
dun mouvement effectueacute respectivement suivant laxe de mouvement x et y en tendant vers
la valeur zeacutero drsquoeacutequilibre apregraves avoir effectuer le mouvement drsquoavancement
Pour que le drone retrouve sa stabiliteacute autour de la trajectoire de reacutefeacuterence nous constatons
que les commandes u4 et u5 produisent des forces corrigeant respectivement les erreurs du
suivi des angles ߠ et empty agrave leurs trajectoires de reacutefeacuterence nulles figure (43)
Dans la figure (46) nous remarquons que les quatre commandes ne deacutepassent pas les
limites physiques des rotors du drone et la somme de ces forces satisfirent la condition
drsquoeacutequilibre
451 Etude de robustesse
Dans cette partie nous testons numeacuteriquement la robustesse de commande retrouveacutee pour
assurer le suivi de trajectoire face agrave des perturbations dynamiques dues agrave linfluence du
vent suivant les diffeacuterents axes du mouvement
En geacuteneacuteral en mouvement aeacuterien le vent geacutenegravere une force de reacutesistance ou de traicircneacutee
sopposant au mouvement Dans le cas du drone le travail de cette force entraine une
consommation suppleacutementaire deacutenergie au niveau des actionneurs qui affaiblit ses
capaciteacutes en vol Les valeurs des forces reacutesistances sont (Ax = Ay = Az = 65 N)
Chapitre4 COMMANDE ROBUST PAR LA THECHNIQUE DU BACKTEPPING
88
Figure 47 La trajectoire de reacutefeacuterence et reacuteelle en preacutesence de perturbation
Figure 48 Les commandes en preacutesence de perturbation
05
1015
2025
30
-4-2
02
46
80
5
10
15
20
25
30
Deacuteplacement suivant (x)Deacuteplacement suivant (y)
Deacutepla
cem
ent
suiv
ant
(z)
Trajectoire reacuteelle
Trajectoire reacutefeacuterence
0 10 20 30 40 50 60 70 80 900
20
40
u3(N
)
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90-20
-10
0
10
u4(N
m)
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90-10
0
10
20
u5(N
m)
temps (s)
Chapitre4 COMMANDE ROBUST PAR LA THECHNIQUE DU BACKTEPPING
89
Figure 49 Les erreurs en preacutesence de perturbations
Figure 410 Les angles de tangage et de roulis en preacutesence de perturbation
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90
0
02
04z-e
rreur
(m)
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90
0
02
04
x-e
rreurr
(m)
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90
0
02
04
y-e
rreur
(m)
temps (s)
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90
-05
0
05
1
angle
theta
(rad)
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90
-1
-05
0
05
1
angle
phi(r
ad)
temps (s)
Chapitre4 COMMANDE ROBUST PAR LA THECHNIQUE DU BACKTEPPING
90
En preacutesence de force de reacutesistance nous remarquons que la robustesse de la commande
nrsquoest pas veacuterifieacutee En effet avec une telle force de reacutesistance le drone suit sa trajectoire de
reacutefeacuterence avec des erreurs comme le montrent les figures preacuteceacutedentes Ces erreurs peuvent
ecirctre importantes avec lrsquoaugmentation de la force de traineacutee
Il est clair que la structure du controcircleur geacuteneacutereacute par la version classique du backstepping
est composeacutee drsquoune action proportionnelle agrave laquelle est ajouteacutee action deacuteriveacutee sur les
erreurs Une telle structure rend le systegraveme sensible aux bruits et aux perturbations
externes des erreurs statiques non nulles persistent cet inconveacutenient srsquoexplique par
lrsquoabsence de la correction de ces perturbations afin drsquoeacuteliminer ces erreurs deux meacutethodes
sont proposeacutees la premiegravere consiste agrave doter les reacutegulateurs obtenus drsquoune action inteacutegrale
Lrsquoideacutee principale de la meacutethode se reacutesume agrave introduire drsquoune maniegravere virtuelle un
inteacutegrateur cette introduction neacutecessite une modification de la proceacutedure de design La
deuxiegraveme meacutethode consiste agrave estimer la perturbation externe (force de traineacutee) agrave lrsquoaide
drsquoun controcircleur adaptatif
46 Backstepping avec action inteacutegrale
Lrsquoabsence drsquointeacutegrateur dans la loi de commande entraicircne une erreur statique constante
non nulle La solution de ce problegraveme est la conception drsquoune nouvelle version du
backstepping doteacutee drsquoune action inteacutegrale (figure 411) Ceci revient agrave introduire des
inteacutegrateurs dans le modegravele du X4 et proceacuteder agrave lrsquoapplication de la meacutethode
conventionnelle de backstepping sur ce nouveau modegravele Lrsquoaction inteacutegrale sera transfeacutereacutee
automatiquement agrave la loi de commande [86]
Figure 411 Le scheacutema bloc du backstepping avec action inteacutegrale
Action inteacutegraleBackstepping
Inteacutegrale Backstepping
Commande robuste appliqueacute au Modegravele du X4
Systegraveme de translation et de rotation
Chapitre4 COMMANDE ROBUST PAR LA THECHNIQUE DU BACKTEPPING
91
461 Commande de lrsquoaltitude
Le modegravele est eacutecrit sous la forme chaineacutee drsquoapregraves lrsquoeacutequation (424)
ሶଵݔ = 2ݔ
ሶଶݔ = =ሷݖଵ
Cߠ Sempty ndashଷݑ (464)
Premiegravere eacutetape
La premiegravere variable drsquoerreur se deacutefinit par
௭ଵ= ݖ minus z (465)
On deacuterivant (465) par rapport au temps on obtient
ሶ௭ଵ=ݖሶ minus =ሶݖ ሶݖ minus ଶݔ (466)
Pour srsquooccuper mieux drsquoincertitudes et de perturbation nous allons ajouter une action
inteacutegrale sur lrsquoerreur de poursuite drsquoaltitude agrave la fonction stabilisante
Si on considegravere que ଶݔ notre commande virtuelle nous proceacutedons agrave eacutetablir une fonction
stabilisante comme suit
ଶݔ = +ሶݖ ௭ଵ ௭ଵ + ଵߣ ଵ (467)
Avec ௭ଵߣଵ sont des constants positifs et ଵ = int e௭ଵ( ) est lrsquointeacutegrale de lrsquoerreur de
poursuite drsquoaltitude
Deuxiegraveme eacutetape
Il nest pas possible dagir directement sur lrsquoeacutetat ଶݔ il est donc peu probable que cet eacutetat
suit exactement cette trajectoire cest pourquoi un autre terme derreur est introduit
eଶ = ଶݔ minus ሶݖ (468)
La deacuteriveacutee de lrsquoeacutequation (468) donne
ሶ௭ଶ ሶଶݔ= minus =ݖ ሷrefݖ + k௭ଵeଵ+ ଵߣ ሶଵ minus ݖ (469)
ሶ௭ଶ = k௭ଵ ሶrefݖ) minus (ሶݖ + ଵe௭ଵߣ minus ݖ ሷݖ+ (470)
Par lrsquoutilisation drsquoeacutequations (467) et (468) nous reacuteeacutecrivons la dynamique drsquoerreur de
poursuite drsquoaltitude comme suit
eଵ= minus ௭ଵ ௭ଵ minus ଵߣ ଵ + e௭ଶ (471)
Par le remplacement de ݖ dans lrsquoeacutequation (470) par son expression correspondante la
commande u3 apparaisse dans lrsquoeacutequation (472)
ሶ௭ଶ= ௭ଵ (minus ௭ଵ ௭ଵ minus ଵߣ ଵ + ௭ଶ) ଵߣ+ ௭ଵ + ሷrefݖ minusଵ
( (ߠ)ݏ ଷݑ()ݏ + ) (472)
Chapitre4 COMMANDE ROBUST PAR LA THECHNIQUE DU BACKTEPPING
92
La dynamique deacutesireacutee de lrsquoerreur de poursuite de vitesse est donneacutee par
e௭ଶ = minus ௭ଶe௭ଶ minus e௭ଵ (473)
La commande finale de ଷݑ est la suivante
ଷݑ =
௦(ఏ)௦(థ )(+ e௭ଵ (1minusk௭ଵ
ଶ (ଵߣ+ + e௭ଶ (k௭ଵ+ k௭ଶ) ሷref minus k௭ଵݖ+ ଵߣ ଵ) (474)
Analyse de la stabiliteacute
Afin de prouver la stabiliteacute la fonction de Lyapunov (e௭ଵ e௭ଶ) est choisie comme suite
( ௭ଵ ௭ଶ) =ଵ
ଶ ௭ଵ
ଶ + ௭ଶଶ + ଵߣ ଵ
ଶ ൧ (475)
En effectuant la deacuteriveacutee de cette fonction et en substituant lrsquoeacutequation (471) et (473) la
relation suivante est trouveacutee
( ௭ଵ ௭ଶ) = minus ௭ଵ ௭ଵଶ minus ௭ଶ ௭ଶ
ଶ le 0 (476)
De cette faccedilon la fonction V(eଵ eଶ) respecterait en tous points les critegraveres de
Lyapunov La loi de commande deacuteduite fait en sorte que ( ௭ଵ ௭ଶ) est toujours positif et
que ( ௭ଵ ௭ଶ) soit toujours neacutegatif peu importe les valeurs que peuvent prendre les
eacutetats
Nous suivant les mecircmes eacutetapes deacutecrites preacuteceacutedemment pour deacuteterminer les commandes du
drone X4 ce qui nous donne [87]
⎩⎪⎪⎪⎨
⎪⎪⎪⎧
௫ݑ =
௨యሷݔ) + (1 minus ௫ଵ
ଶ + (ଶߣ ௫ଵ minus ( ௫ଵ + ௫ଶ) ௫ଶ minus ௫ଵ ଶߣ ଶ)
௬ݑ =
௨యሷݕ) + ൫1 minus ௬ଵ
ଶ + ଷ൯ߣ ௬ଵ minus ( ௬ଵ + ௬ଶ) ௬ଶ minus ௬ଵ ଷߣ ଷ)
ସݑ = +ߠ ఏଵ൫1 ndash ఏଵଶ + minusସ൯ߣ ఏଶ ( ఏଵ + ఏଶ) ndash ఏଵ ସߣ ସ
ହݑ = ݎempty + emptyଵ (1 minus emptyଵଶ + (ହߣ minus emptyଶ ( emptyଵ + emptyଶ) minus emptyଵ ହߣ ହ
ݑ = + టଵ൫1 minus టଵଶ + minus൯ߣ టଶ( టଵ + టଶ) minus టଵ ߣ
(477)
Avec (ߣହߣସߣଷߣଶߣ) sont des constants positifs et ( ଶ ଷ ସ ହ ) sont les inteacutegrales
des erreurs de poursuite de position tangage roulis et lacet respectivement
Chapitre4 COMMANDE ROBUST PAR LA THECHNIQUE DU BACKTEPPING
93
462 Reacutesultats de simulations
Nous preacutesentons dans cette partie les reacutesultats du controcircle Inteacutegrale Backstepping pour la
commande du drone X4 En conservant les mecircmes coefficients de gain utiliseacutes
preacuteceacutedemment
Avec ଵߣ = 5 ଶߣ = 5 ଷߣ = 4 ସߣ = 2 ହߣ = 5 ߣ = 2
Suivi de trajectoire sans perturbations
Les figures 412 413 414 415 et 416 repreacutesentent respectivement la reacutealisation en 3D
la commande lrsquoerreur les angles et les forces pour la trajectoire de connexions de type
demi-cercle Nous remarquons qursquoagrave lrsquoeacutequilibre la commande u3 est toujours veacuterifieacutee (u3
est approximativement eacutegal agrave mg) Ces figures montrent que la tacircche est reacutealiseacutee drsquoune
maniegravere tregraves satisfaisante en respectant les contraintes imposeacutee
Figure 412 La trajectoire de reacutefeacuterence et reacuteelle
0
5
10
15
0
5
10
150
5
10
15
Deacuteplacement suivant (x)Deacuteplacement suivant (y)
Deacutepla
cem
ent
suiv
ant
(z) Trajectoire reacuteel
Trajecoire reacutefeacuterence
Chapitre4 COMMANDE ROBUST PAR LA THECHNIQUE DU BACKTEPPING
94
Figure 413 Les commandes sans preacutesence de perturbation
Figure 414 Les erreurs sans preacutesence de perturbations
0 5 10 15 20 25 30 35 40
10
20
30u3(N
)
0 5 10 15 20 25 30 35 40-40
-20
0
20
u4(N
m)
0 5 10 15 20 25 30 35 40-40
-20
0
20
40
60
u5(N
m)
temps (s)
0 5 10 15 20 25 30 35 40
-2
0
2x 10
-3
z-e
rreur
(m)
0 5 10 15 20 25 30 35 40-4-20246
x 10-3
x-e
rreur
(m)
0 5 10 15 20 25 30 35 40-2
0
2x 10
-3
y-e
rreur
(m)
temps (s)
Chapitre4 COMMANDE ROBUST PAR LA THECHNIQUE DU BACKTEPPING
95
Figure 415 Les angles de tangage et de roulis sans preacutesence de perturbation
Figure 416 Les forces sans preacutesence de perturbation
0 5 10 15 20 25 30 35 40
-05
0
05
1angle
theta
(rad)
0 5 10 15 20 25 30 35 40-1
-05
0
05
1
angle
phi(r
ad)
temps (s)
0 5 10 15 20 25 30 35 400
5
10
F1
(N)
0 5 10 15 20 25 30 35 400
5
10
F2
(N)
0 5 10 15 20 25 30 35 400
5
10
F3
(N)
0 5 10 15 20 25 30 35 400
5
10
F4
(N)
temps (s)
Chapitre4 COMMANDE ROBUST PAR LA THECHNIQUE DU BACKTEPPING
96
Suivi de trajectoire avec perturbations
Dans cette partie nous testons numeacuteriquement la robustesse de commande retrouveacutee pour
assurer le suivi de trajectoire face agrave des perturbations dynamiques dues agrave linfluence du
vent suivant les diffeacuterents axes de mouvement
Figure 417 La trajectoire de reacutefeacuterence et reacuteelle en preacutesence de perturbation
Figure 418 Les erreurs en preacutesence de perturbations
05
1015
2025
30
-5
0
5
100
10
20
30
Deacuteplacement suivant (x)Deacuteplacement suivant (y)
Deacutepla
cem
ent
suiv
ant
(z)
Trajectoire reacuteelle
Trajectoire reacutefeacuterence
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90
0
02
04
z-e
rreur
(m)
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90
0
02
04
x-e
rreurr
(m)
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90
0
02
04
y-e
rreur
(m)
temps (s)
Chapitre4 COMMANDE ROBUST PAR LA THECHNIQUE DU BACKTEPPING
97
Figure 419 Les commandes en preacutesence de perturbations
Figure 420 Les angles de tangage et de roulis en preacutesence de perturbation
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90
-05
0
05
1
angle
theta
(rad)
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90
-1
-05
0
05
1
angle
phi(r
ad)
temps (s)
0 10 20 30 40 50 60 70 80 900
20
40
u3(N
)
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90-20
-10
0
10
u4(N
m)
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90-10
0
10
20
u5(N
m)
temps (s)
Chapitre4 COMMANDE ROBUST PAR LA THECHNIQUE DU BACKTEPPING
98
Figure 421 Les forces en preacutesence de perturbation
Figure 422 La trajectoire de reacutefeacuterence et reacuteelle en preacutesence de perturbation
-3-2
-10
12
3
-3-2
-10
12
30
10
20
30
40
50
Deacuteplacement suivant (x)Deacuteplacement suivant (y)
Deacutepla
cem
ent
suiv
ant
(z)
Trajectoire reacuteelle
Trajectoire reacutefeacuterence
0 10 20 30 40 50 60 70 80 900
5
10
F1
(N)
0 10 20 30 40 50 60 70 80 900
5
10
F2
(N)
0 10 20 30 40 50 60 70 80 900
5
10
F3
(N)
0 10 20 30 40 50 60 70 80 900
5
10
F4
(N)
temps (s)
Chapitre4 COMMANDE ROBUST PAR LA THECHNIQUE DU BACKTEPPING
99
Figure 423 La trajectoire de reacutefeacuterence et reacuteelle en preacutesence de perturbation
Figure 424 Comparaison entre le controcircleur bakstepping et Inteacutegral Backsteppingpour des connexions demi cercle en preacutesence de perturbation
-2-15
-1-05
005
115
-3-2
-10
120
1
2
3
4
5
6
x-displacementy-displacement
z-d
ispla
cem
ent
Trajectoire reacuteelle
Trajectoire reacutefeacuterence
05
1015
2025
30
-5
0
5
100
10
20
30
Deacuteplacement suivant (x)Deacuteplacement suivant (y)
Deacutepla
cem
ent
suiv
ant
(z)
Trajectoire reacuteelle IB
Trajectoire reacutefeacuterence
Trajectoire reacuteelle B
Chapitre4 COMMANDE ROBUST PAR LA THECHNIQUE DU BACKTEPPING
100
Dans les figures (417- 424) nous remarquons que la robustesse de la commande est
veacuterifieacutee numeacuteriquement En effet avec telles forces de reacutesistance la commande produit
des valeurs assez raisonnables assurant le suivi du drone agrave sa trajectoire de reacutefeacuterence avec
des erreurs ne deacutepassant pas 20 cm pour les variables x z et y Pour assurer les virages les
angles de tangage et de roulis varient au cours du suivi de trajectoire
47 Backstepping adaptative
La commande adaptative est une solution ougrave les paramegravetres sont inconnus ougrave
eacutevoluant dans le temps Dans ce cas ces paramegravetres sont estimeacutes par des lois drsquoadaptations
ces derniegraveres nous permettent drsquoapprocher les valeurs reacuteelles du systegraveme rendant ainsi la
commande dynamique deacutependante de lrsquoeacutevolution des paramegravetres [10 46 47 59]
Dans cette partie on va preacutesenter la deuxiegraveme proposition pour eacuteliminer lrsquoerreur statique
due agrave la preacutesence drsquoune perturbation Le scheacutema bloc simplifieacute de la commande du
backstepping adaptative appliqueacute au vol vertical est repreacutesenteacute par la figure (425)
Figure 425 Le scheacutema bloc du backstepping adaptative
471 Commande de lrsquoaltitude
La loi de commande geacuteneacutereacutee en utilisant la technique du backstepping avec estimateur
deacutebutera par la deacutefinition de la premiegravere valeur drsquoerreur de position [28]
Premiegravere eacutetape
e௭ଵ= ݖ minus z (478)
Ainsi que sa vitesse lineacuteaire est donneacutee par
e௭ଵ= ሶݖ minus ሶݖ (479)
On choisira la fonction de Lyapunov
V (e௭ଵ) =ଵ
ଶeଵଶ (480)
Perturbation
Backstepping adaptative(Commande de lrsquoaltitude)
Model du X4Reacutefeacuterence zzref
ଷݑ
-
+
Chapitre4 COMMANDE ROBUST PAR LA THECHNIQUE DU BACKTEPPING
101
Sa deacuteriveacutee
V(e௭ଵ) = e௭ଵe௭ଵ= e௭ଵ ሶݖ) minus (ሶݖ (481)
Soit xଶ le controcircleur virtuel sa loi de commande est deacutefinie par
xଶ = ሶݖ + k௭ଵe௭ଵ (482)
Deuxiegraveme eacutetape
En introduisant la nouvelle valeur drsquoerreur noteacutee e௭ଶ qui est eacutegale agrave la diffeacuterence entre la
vraie valeur de la vitesse ሶetݖ la commande virtuelle xଶ alors
e௭ଶ = ሶݖ + k௭ଵe௭ଵminus ሶݖ (483)
e௭ଵ = minus k௭ଵe௭ଵ + e௭ଶ (484)
A cette eacutetape la fonction de Lyapunov va ecirctre diffeacuterente de la preacuteceacutedente et ceci est due agrave
lrsquointroduction drsquoune force inconnue ௭ܣ (force de traineacutee) Lrsquoajout drsquoun estimateur est
neacutecessaire pour estimer ௭ܣ la fonction de Lyapunov est augmenteacutee
V (e௭ଵ e௭ଶ (ଵߛ =1
2eଵଶ +
ଵ
ଶeଶଶ +
1
భߛ2௭෪ܣ
ଶ (485)
Lrsquoajout de ce nouveau terme permet drsquoannuler lrsquoerreur due agrave lrsquoestimation de la force ௭ܣ
ߛଵ
est un paramegravetre de design qui doit toujours ecirctre positif
Ougrave ௭෪ܣ repreacutesente lrsquoerreur entre ௭ܣ et ௭ܣ (force estimeacutee)
௭෪ܣ = ௭ܣ minus ௭ܣ (486)
A lrsquoaide de ce choix on obtient
V൫e௭ଵ e௭ଶ ߛଵ൯= e௭ଵe௭ଵ + e௭ଶe௭ଶ+
ଵ
ఊ1
௭෪ܣ ௭ܣ (487)
Pour que le systegraveme soit stable il faut que sa deacuteriveacutee soit toujours neacutegative
V൫e௭ଵ e௭ଶ ߛଵ൯= e௭ଵ(minus k௭ଵe௭ଵ + e௭ଶ)+ e௭ଶ (k௭ଵ(minusk௭ଵe௭ଵ + eଶ) minus +ሷݖ (ሷݖ +
1
భߛ௭෪ܣ ௭ܣ
(488)
= minus k௭ଵeଵଶ + eଶ ሷ+(1ݖ) minus kଵ
ଶ )e௭ଵ + k௭ଵeଶ minusߠݏ 3ݑemptyݏ
+ g +
ෝݖܣ
)
+1
భߛ௭෪ܣ ௭ܣ) minus
భߛ
eଶ ) (489)
La dynamique qui va ecirctre attribueacutee agrave ௭ܣ est baseacutee sur le fait qursquoelle doit annuler le terme
inconnu ௭ܣ
௭ܣ =ఊ1
e2ݖ (490)
Chapitre4 COMMANDE ROBUST PAR LA THECHNIQUE DU BACKTEPPING
102
Pour garantir la stabiliteacute de Lyapunov
ሷ+(1ݖ minus kଵଶ )e௭ଵ + k௭ଵeଶ minus
ߠݏ 3ݑ emptyݏ
+ g +
= minusk௭ଶeଶ (491)
La loi de commande qui stabilise le vol vertical est
ଷݑ =
ߠݏ emptyݏ+ሷݖ) g + e௭ଵ(1minusk௭ଵ
ଶ ) + eଶ(k௭ଵ + k௭ଶ) minusෝݖܣ
) (492)
La force ௭ܣ apparaicirct dans la commande ଷݑ et lrsquoeffet de celle-ci va se montrer dans les
reacutesultats de simulation
Nous suivons les mecircmes eacutetapes deacutecrites preacuteceacutedemment pour deacuteterminer les commandes du
drone X4 ce qui nous donne
⎩⎪⎪⎪⎨
⎪⎪⎪⎧ ௫ݑ =
௨యሷݔ) + (1 minus ௫ଵ
ଶ ) ௫ଵ minus ( ௫ଵ + ௫ଶ) ௫ଶ) minus
௬ݑ =
௨యሷݕ) + ൫1 minus ௬ଵ
ଶ ൯ ௬ଵ minus ( ௬ଵ + ௬ଶ) ௬ଶ) minus
ସݑ = +ߠ ఏଵ൫1 minus ఏଵଶ ൯minus ఏଶ ( ఏଵ + ఏଶ)
ହݑ = ݎempty + emptyଵ (1 minus emptyଵଶ ) minus emptyଶ ( emptyଵ + emptyଶ)
u = ψ
+eψଵ൫1 minus kψଵଶ ൯minus eψଶ(kψଵ + kψଶ )
(493)
ܣ ܣ sont les forces de reacutesistances estimeacutees suivants les axes x y respectivement
Leurs deacuteriveacutees sont deacutefinie par ܣ =ఊ2
e2ݔ ܣ =
ఊ3
e2ݕ
Avec ଶߛ et ଷߛ sont des constants positifs
472 Reacutesultats de simulations
Nous nous inteacuteressons dans cette partie aux tests de la robustesse du controcircleur
backstepping adaptative Nous reprenons les mecircmes tests effectueacutes par le controcircleur
Backstepping Nous traitons dans cette partie lrsquoexemple de la reacutealisation des connections
demi-cercles pour les mouvements z x y en preacutesence de perturbation
Avec les gains ଵ=10ߛ ଶ=20ߛ et ଷ=30ߛ
Chapitre4 COMMANDE ROBUST PAR LA THECHNIQUE DU BACKTEPPING
103
Figure 426 La trajectoire de reacutefeacuterence et reacuteelle en preacutesence de perturbation
Figure 427 Les commandes en preacutesence de perturbation
0 5 10 15 20 25 30 35 40 450
20
40
u3
(N)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45-40
-20
0
20
u4
(Nm
)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
-200
2040
u5
(Nm
)
temps (s)
02
46
810
1214
0
5
10
15
200
5
10
15
Deacuteplacement suivant (x)Deacuteplacement suivant (y)
Deacutepla
cem
ent
suiv
ant
(z)
Trajectoire reacuteelle
Trajectoire reacutefeacuterence
Chapitre4 COMMANDE ROBUST PAR LA THECHNIQUE DU BACKTEPPING
104
Figure 428 Les erreurs en preacutesence de perturbation
Figure 429 Les forces en preacutesence de perturbation
0 5 10 15 20 25 30 35 40 450
5
10
F1
(N)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 450
5
10
F2
(N)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 450
5
10
F3
(N)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 450
5
10
F4
(N)
temps (s)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45-01
0
01
02z-e
rreur
(m)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45-01
0
01
02
x-e
rreurr
(m)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45-01
0
01
02
y-e
rreur
(m)
temps (s)
Chapitre4 COMMANDE ROBUST PAR LA THECHNIQUE DU BACKTEPPING
105
Figure 430 Estimation des forces de traineacutee suivant les deacuteplacements zxy
La simulation agrave eacuteteacute faite sur le mecircme proceacutedeacute les figures (426-429) montrent
clairement que la loi de commande adaptative proposeacutees est stable malgreacute la preacutesence de
terme de perturbation lrsquoerreur statique est annuleacute et le suivi de la trajectoire est assureacute
nous pouvons voir aussi que la perturbation additionneacutee ne cause pas de problegraveme vis-agrave-vis
de la performance de la loi de commande cette derniegravere stabilise asymptotiquement les
principales erreurs du systegraveme En outre la figure (430) montre que ෩(erreur)ܣ converge
vers zeacutero ou encore ௫௬௭ܣ (estimeacutee) converge vers sa vraie valeur ௫௬௭ܣ (inconnue)
4 8 Commande Hybride
Depuis quelques anneacutees beaucoup de recherches ont eacuteteacute effectueacutees dans le domaine
de la commande des systegravemes non lineacuteaires Le mode glissant-backstepping fait partie de
ces nouvelles meacutethodes de controcircle celui-ci au mecircme algorithme que le backstepping mis
agrave part le deuxiegraveme sous systegraveme on remplace lrsquoerreur par la surface de glissement et la
commande comprend deux termes ݑ) = ݑ + (ݑ Un terme continu appeleacutee commande
eacutequivalente et un terme discontinu appeleacutee commande de commutation Le but de cette
proceacutedure est de garantir une stabiliteacute avant lrsquointroduction du mode glissant
0 5 10 15 20 25 30 35 40 450
5
10A
z-F
orc
e(N
))
0 5 10 15 20 25 30 35 40 450
5
10
Ax-F
orc
e(N
)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 450
5
10
Ay-F
orc
e(N
)
temps (s)
force estimeacutee
force reacuteelle
force estimeacutee
force reacuteelle
force estimeacutee
force reacuteelle
Chapitre4 COMMANDE ROBUST PAR LA THECHNIQUE DU BACKTEPPING
106
481 Application du mode glissant-Backstepping pour le drone X4
Dans cette partie on a utiliseacute le backstepping approche comme un algorithme
reacutecursif pour controcircler le drone X4 nous simplifions toutes les eacutetapes de calcul agrave propos
des erreurs et les fonctions de Lyapunov dans le chemin suivant
= ቐ
minusݔ ݔ isin [1 3 5 7 9 11]
minusݔ ሶ(ݔ ଵ) minus ( ଵ)
isin 2 4 6 8 1012
(494)
Avec gt 0 isin 112
ଵ
ଶ ଶ isin 1357911
et = (495)
( ଵ) +ଵ
ଶ ଶ isin 24681012
Nous allons appliquer cette meacutethode pour commander la dynamique de lrsquoaltitude z du
drone X4 les autres lois de commandes seront deacuteduites par les mecircmes proceacutedures et seront
donneacutee directement La premiegravere eacutetape dans ce controcircleur est similaire agrave celui de la
commande par backstepping agrave action inteacutegrale
Drsquoougrave la surface de glissement S est utiliseacute agrave la place de eଶ deacutefinis par
௭ = ௭ଶ = minusሶݖ ሶݖ minus ௭ଵ ௭ଵ minus ଵߣ ଵ (496)
Le choix de la de commande pour une surface de glissement attractive se pose sur la
deacuteriveacutee de lrsquoeacutequation (496) doit satisfaire la condition ൫SS lt 0൯
௭ = minus ଵݏ )ݐ ௭) minus ଶ ௭
= minusሷݖ ሷݖ minus ௭ଵ ሶ௭ଵ minus ଵߣ ௭ଵ
=ଵ
emptyݏ ଷݑߠݏ minus minus ሷݖ minus ௭ଵ ሶ௭ଵ minus ଵߣ ௭ଵ (497)
La loi de commande qui stabilise le vol vertical est
ଷݑ =
௦empty௦ఏ൫ݖሷ + + ௭ଵ ሶ௭ଵ + ଵߣ ௭ଵ minus ଵݏ )ݐ ௭) minus ଶ ௭൯ (498)
Avec ଵ et ଶ sont des gains positives
Chapitre4 COMMANDE ROBUST PAR LA THECHNIQUE DU BACKTEPPING
107
Analyse de la stabiliteacute
Afin de prouver la stabiliteacute la fonction de Lyapunov (e௭ଵ S௭) est choisie comme suite
(e௭ଵ S௭) =ଵ
ଶe௭ଵଶ + ௭
ଶ + ଵߣ ଵଶ ൧ (499)
Afin de prouver la stabiliteacute asymptotique du systegraveme sur lensemble nous avons besoin
dexprimer (471) comme suit
ሶ௭ଵ = minus ௭ minus ௭ଵ ௭ଵ minus ଵߣ ଵ (4100)
La deacuteriveacutee de lrsquoeacutequation 499 donne
= ଵߣ ௭ଵ ଵ + ௭ଵ ሶ௭ଵ + ௭௭ (4101)
Par lrsquointroduction des eacutequations drsquoerreurs de poursuite en vitesse de ௭ଵ et ௭ donne
= minus ௭ଵ ௭ଵଶ minus ଵ ௭
ଶ minus |ଵݍ ௭| le 0 (4102)
Avec
௭ = minus ଵݏ )ݐ ௭) minus ଶ ௭ + ௭ଵ (103)
La stabiliteacute Asymptotique Global est eacutegalement assureacutee agrave partir de la fonction et le fait
que ( ௭ଵ ௭) lt 0 forall( ௭ଵ ௭) ne 0 and (0) = 0 et en appliquant le theacuteoregraveme de LaSalle
Les mecircmes eacutetapes sont utiliseacutees pour deacuteduire les commandes ux uy u4 u5 et u6 [88]
⎩⎪⎪⎨
⎪⎪⎧ ௫ݑ =
௨యሷݔ) + ௫ଵ ሶ௫ଵ+ߣଶe୶ଵ minus ଷݏ )ݐ ௫) minus ସ ௫)
௬ݑ =
௦ఏ௨య൫ݕሷ + ௬ଵ ሶ௬ଵ + ଷe୷ଵߣ minus ହݏ ൫ݐ ௬൯minus ௬൯
ସݑ = ߠ + ఏଵ ሶఏଵ + ସeఏଵߣ minus ݏ )ݐ ఏ) minus ఏ
ହݑ = empty + emptyଵ ሶemptyଵ + ହeemptyଵߣ minus ଽݏ )ݐ empty) minus ଵ empty
ݑ = + టଵ ሶటଵ + eటଵߣ minus ଵଵݏ ൫ݐ ట൯minus ଵଶ ట
( 4104)
Avec ( ଵ ଶ ଷ ସ ହ ଽ ଵ ଵଵ ଵଶ ) sont des gains positives
Ougrave ௫ ௬ ఏ empty et ట sont les surfaces de glissement deacutefinies par le systegraveme drsquoeacutequation
suivant
Chapitre4 COMMANDE ROBUST PAR LA THECHNIQUE DU BACKTEPPING
108
⎩⎪⎪⎨
⎪⎪⎧
௫ = e୶ଶ = x minus x minus k୶ଵe୶ଵ minus ଶߣ ଶ
௬ = e୷ଶ = y minus y minus k୷ଵe୷ଵ minus ଷߣ ଵ
ఏ = eఏଶ = minusߠ ߠ minus kఏଵeఏଵ minus ସߣ ସ
empty = eemptyଶ = empty minus empty minus kemptyଵeemptyଵ minus ହߣ ହ
ట = eటଶ = minus minus kటଵeటଵ minus ߣ
(4105)
482 Reacutesultats de simulation
Lrsquoobjectif de cette simulation est de montrer la robustesse de la loi de commande
lorsque qursquoune perturbation externe est appliqueacutee
Les paramegravetres de simulation sont
ଵ =10 ଷ = 1 ହ = 10 = 2 ଽ = 10 ଵଵ = 2 ௭ଵ =8 ଶ = 5 ௫ଵ = 5 ସ =
5 ௬ଵ = 4 = 2 kemptyଵ = 55 k = 2 ఏଵ = 75 ଵ = 10 టଵ = 2 ଵଶ = 4
ଵߣ = 5 ଶߣ = 5 ଷߣ = 4 ସߣ = 2 ହߣ = 5 ߣ = 2
Les figures 431 437 et 438 montrent que les deux commandes ont permis le suivi des
trajectoires deacutesireacutees La diffeacuterence entre les deux commandes se voit dans la figure 436 ougrave
les erreurs de suivi sont moins importantes en utilisant la commande robuste backstepping-
mode glissant que la commande inteacutegrale backstepping Les simulations montrent donc
que la commande hybride est plus efficace que la commande Inteacutegrale Backstepping IB
Figure 431 La trajectoire de reacutefeacuterence et reacuteelle en preacutesence de perturbation
0
5
10
15
0
5
10
150
5
10
15
x-displacementy-displacement
z-d
ispla
cem
ent
Trajectoire reacuteelle
Trajectoire reacutefeacuterence
Chapitre4 COMMANDE ROBUST PAR LA THECHNIQUE DU BACKTEPPING
109
Figure 432 Les commandes en preacutesence de perturbation
Figure 433 Les erreurs en preacutesence de perturbation
0 5 10 15 20 25 30 35 40 450
20
40
u3(N
)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45-40
-20
0
20
u4(N
m)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
-200
2040
u5(N
m)
temps (s)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45-01
0
01
02
z-e
rreur
(m)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45-01
0
01
02
x-e
rreurr
(m)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45-01
0
01
02
y-e
rreur
(m)
temps (s)
Chapitre4 COMMANDE ROBUST PAR LA THECHNIQUE DU BACKTEPPING
110
Figure 434 Les angles en preacutesence de perturbation
Figure 435 Les forces en preacutesence de perturbation
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
-05
0
05
1
angle
theta
(rad)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
-1
-05
0
05
1
angle
phi(r
ad)
temps (s)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 4505
10
F1
(N)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 450
5
10
F2
(N)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 450
5
10
F3
(N)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 450
5
10
F4
(N)
temps (s)
Chapitre4 COMMANDE ROBUST PAR LA THECHNIQUE DU BACKTEPPING
111
Figure 436 Les erreurs de suivi en z x et y pour les deux commandes
Figure 437 La trajectoire de reacutefeacuterence et reacuteelle en preacutesence de perturbation
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45-01
0
01
02
z-e
rre
ur
(m)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45-01
0
01
02
x-e
rre
urr
(m)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45-01
0
01
02
y-e
rre
ur
(m)
temps (s)
IB
IBMG
IB
IBMG
IB
IBMG
0
5
10
15
0
5
10
150
5
10
15
x-displacementy-displacement
z-d
ispla
cem
ent
Trajectoire reacuteelle
Trajectoire reacutefeacuterence
Chapitre4 COMMANDE ROBUST PAR LA THECHNIQUE DU BACKTEPPING
112
Figure 438 La trajectoire de reacutefeacuterence et reacuteelle en preacutesence de perturbation
49 Conclusion
Nous avons preacutesenteacute dans ce chapitre une contribution agrave lrsquoapplication de la commande
par backstepping et la commande hybride backstepping mode glissant afin de stabiliser le
drone X4 On a proposeacute un algorithme de commande qui stabilise le drone en utilisant la
technique du backstepping et en se basant sur la meacutethode directe de Lyapunov Cette
technique a eacuteteacute appliqueacutee avec succegraves pour concevoir des algorithmes de commandes qui
assurent la poursuite de ces trajectoires En effet en preacutesence drsquoune perturbation un
comportement peu deacutesirable et observeacute des erreurs statiques persistent Afin drsquoeacuteliminer
cet inconveacutenient on a eacutetudieacute les deux approches la premiegravere consiste agrave introduire drsquoune
maniegravere virtuelle une action inteacutegrale qui permet une nette ameacutelioration des performances
et la deuxiegraveme approche est le backstepping adaptatif lrsquoideacutee consiste agrave estimer la force de
traineacutee comme perturbation et suivant la proceacutedure du backstepping le controcircleur prend
en compte la perturbation et lrsquoeffet de celle-ci est eacutelimineacute Les reacutesultats obtenus ont montreacute
lrsquoefficaciteacute de lrsquoutilisation de ce type de commande et ceci est deacutemontreacute par les bonnes
performances du controcircleur (rejet de perturbation)
Pour renforcer la robustesse face aux perturbations externes des deux commandes une
commande hybride entre le mode glissant et le backstepping inteacutegrale agrave eacuteteacute proposeacutee afin
-2-15
-1-05
005
115
-3
-2
-1
0
1
20
1
2
3
4
5
6
x-displacementy-displacement
z-d
ispla
cem
ent
Trajectoire reacuteelle
Trajectoire reacutefeacuterence
Chapitre4 COMMANDE ROBUST PAR LA THECHNIQUE DU BACKTEPPING
113
drsquoameacuteliorer les performances dynamique et statique Nous avons preacutesenteacute dans cette partie
la synthegravese et la stabiliteacute de la commande hybride que nous avons appliqueacutee pour le drone
X4
Les reacutesultats de simulation ont confirmeacute les bonnes performances du controcircleur utiliseacute qui
assure sous certaines conditions la poursuite de la trajectoire
CONCLUSION GENERALE ET PRESPECTIVE
113
CONCLUSION GENERALE ETPRESPECTIVE
CONCLUSION GENERALE ET PRESPECTIVE
114
CONCLUSION GENERALE ET PRESPECTIVE
Durant ces derniegraveres anneacutees la robotique aeacuterienne a fait de grand progregraves Cet
inteacuterecirct est justifieacute par les avanceacutees technologiques reacutecentes qui rendent possibles la
conception et la construction des mini-drones et par le domaine drsquoapplication civile et
militaire tregraves vaste de ces aeacuteronefs Les drones sont classifieacutes en trois cateacutegories principales
les avions les dirigeables et les heacutelicoptegraveres Le travail reacutealiseacute dans cette thegravese rentre dans
ce cadre de recherche sur la commande de mini-veacutehicules aeacuteriens capables de reacutealiser du
vol stationnaire et en particulier du quadrirotor Notre objectif est de deacutevelopper des
commandes avanceacutees drsquoune part et drsquoautre part de proposer des meacutethodes drsquohybridations
entre ces techniques de commande assurant la stabiliteacute du drone (X4) et leurs poursuites
aux trajectoires planifieacutees
Nous nous sommes tout drsquoabord inteacuteresseacutes agrave attribuer au drone un modegravele
repreacutesentatif qui reflegravete sa dynamique de translation et celle de rotation en neacutegligeant les
forces aeacuterodynamiques et les effets gyroscopiques Ce modegravele a eacuteteacute eacutelaboreacute en utilisant la
meacutethode Newtonienne en se basant sur quelques hypothegraveses simplificatrices adopteacutees en
litteacuterature
Nous avons eacutelaboreacute dans un premier temps la synthegravese drsquoune loi de commande agrave
structure variable tel que le mode glissant Dans ce type de commande lrsquoapproche non
lineacuteaire a eacuteteacute traiteacutee et preacutesente lrsquoavantage de se rapprocher du systegraveme reacuteel sans passer
neacutecessairement par le modegravele lineacuteaire Cette commande a donneacute des reacutesultats inteacuteressants
concernant la poursuite de trajectoires simples telles que le suivi de lignes droites et
complexes (demi-cercle arcs hellip)
En preacutesences des perturbations des erreurs statiques persistent Une structure de
reacuteglage par mode de glissement agrave action inteacutegrale a eacuteteacute aussi preacutesenteacutee afin drsquoobtenir des
meilleurs performances Les reacutesultats de simulation nous montrent la robustesse et la
performance de ce type de reacutegulateur Cependant le signal de commande obtenu par ce
reacutegulateur preacutesente des variations brusques dues au pheacutenomegravene de broutements
(chatterring)
Afin de reacuteduire les effets du pheacutenomegravene de broutement et drsquoameacuteliorer davantage
les performances de stabilisation du X4 une hybridation entre la logique floue et le mode
de glissement agrave action inteacutegrale a eacuteteacute proposeacutee
CONCLUSION GENERALE ET PRESPECTIVE
115
Une autre commande non lineacuteaire a eacuteteacute proposeacutee agrave savoir un reacutegulateur de type
backstepping Ce reacutegulateur est baseacute sur une reacutecente meacutethodologie faisant appel agrave la
fonction de Layapunov La synthegravese a conduit agrave un controcircleur non lineacuteaire globalement
asymptotiquement stable Cette technique a eacuteteacute appliqueacutee avec succegraves pour concevoir des
algorithmes de commandes qui assurent le deacuteplacement du drone drsquoune position initiale
vers une position drsquoeacutequilibre deacutesireacutee Le reacutegulateur backstepping dont la conception est de
type PD preacutesente lrsquoinconveacutenient de la persistance de lrsquoerreur statique en preacutesence de
perturbation Pour y remeacutedier deux solutions ont eacuteteacute proposeacutees agrave savoir lrsquoajout drsquoune
action inteacutegrale au controcircleur virtuel (la commande inteacutegrale backstepping) et la deuxiegraveme
revient agrave estimer la perturbation (la commande backstepping adaptatif) cette approche a la
flexibiliteacute de speacutecifier les structures finales deacutesirables pour les lois des paramegravetres estimeacutes
Une approche drsquohybridation entre le backstepping inteacutegrale et le mode glissant a eacuteteacute
preacutesenteacutee pour augmenter davantage les performances de controcircleur
Les reacutesultats obtenus agrave ce propos sont assez motivant pour lancer une concreacutetisation
pratique de ces commandes
Outre les perspectives de travail mentionneacutees dans les conclusions des diffeacuterentes
parties de ce document une extension des travaux effectueacutes dans le cadre de cette thegravese
peut ecirctre reacutealiseacutee en consideacuterant les points suivants
Les approches proposeacutees ont eacuteteacute adapteacutees pour lrsquoacuteelaboration de lois de guidage-pilotage
en utilisant un niveau de modeacutelisation de la dynamique drsquoun drone miniature `agrave voilure
tournante baseacute sur une repreacutesentation de type meacutecanique du solide Une extension de ces
travaux peut consister en lrsquoapplication des meacutethodes proposeacutees agrave des modegraveles plus
deacutetailleacutes repreacutesentatifs drsquoune configuration de veacutehicule donneacutee et prenant en compte une
repreacutesentation de son aeacuterodynamique
Enfin une analyse de la robustesse des approches proposeacutees peut ecirctre eacutetudieacutee en
poursuite agrave cette thegravese afin de garantir dans quelle mesure les proprieacuteteacutes de stabiliteacute
eacutetablies sont conserveacutees en preacutesence drsquoerreurs de modegraveles en preacutesence de perturbations
impreacutevisibles telles que les rafales de vent En effet comme perspective ces conditions
reacuteelles peuvent ecirctre consideacutereacutees dans lrsquoeacutelaboration de la commande dans le but
drsquoaugmenter le domaine de fonctionnement du quadrirotor (agrave lrsquointeacuterieur ou bien agrave
lrsquoexteacuterieur) Dans le mecircme esprit nous nrsquoavons pas consideacutereacute le problegraveme des retards de
mesure ou de communication entre le drone et la base de controcircle Il nous semble
envisageable de consideacuterer ce problegraveme en se basant sur les reacutesultats obtenus pour la
CONCLUSION GENERALE ET PRESPECTIVE
116
stabilisation par commande agrave structure variable de systegravemes avec retard et la stabilisation
avec la commande hybride
Le choix des paramegravetres de reacuteglage de la commande non-lineacuteaire proposeacutee pour la
stabilisation du quadrirotor nrsquoest pas optimiseacute en lrsquoeacutetat actuel Il est par conseacutequent tout agrave
fait envisageable drsquooptimiser ces choix dans le but drsquoameacuteliorer le comportement global du
systegraveme de renforcer la stabiliteacute ou encore drsquoameacuteliorer la robustesse de la commande
ANNEXE
113
ANNEXES
ANNEXE
117
ANNEXE A
A1 Theacuteorie de lyapunov
Le concept du controcircle par Backstepping est baseacute sur la theacuteorie de Lyapunov Lebut est de construire de proche en proche une loi de commande ramenant le systegraveme versdes eacutetats deacutesireacutes En drsquoautres termes on souhaite faire de lrsquoeacutetat deacutesireacute un eacutetat drsquoeacutequilibrestable en boucle fermeacuteeDans cette section nous deacutefinissons la notion de la stabiliteacute au sens de Lyapunov et nouspassons en revue les principaux outils utilisables pour prouver la stabiliteacute drsquoun systegraveme nonlineacuteaire Cette section est inspireacutee essentiellement des travaux de Khalil auquel nous nousreferons pour les preuves des theacuteoregravemes de stabiliteacute [89]On considegravere le systegraveme non lineacuteaire drsquoeacutecrit par lrsquoeacutequation diffeacuterentielle suivante
=ሶݔ (ݐݔ) A1Ougrave f est une fonction deacutefinie de ℝtimesℝା rarr ℝ x isin Rn est le vecteur drsquoeacutetat du systegravemeUn eacutetat xe du systegraveme est un point drsquoeacutequilibre stable srsquoil satisfait
(ݔ) = 0 A2Les proprieacuteteacutes de stabiliteacute de ce point drsquoeacutequilibre sont caracteacuteriseacutees par la deacutefinition ci-dessous
Deacutefinition A1 (Stabliteacute au sens de Lyapunov)Un point drsquoeacutequilibre x = x du systegraveme (A1) est ndash un eacutetat drsquoeacutequilibre stable si et seulement si pour tout ε gt 0 il existe δ(ε) gt 0 tel que
(0)ݔ minus ݔ lt ε ⟹ (ݐ)ݔ minus ݔ lt ߝ leݐ forall 0ndash un eacutetat drsquoeacutequilibre asymptotiquement stable srsquoil est stable et srsquoil existe ߜ gt 0 tel que
(0)ݔ minus ݔ lt ⟹ߜ lim௧⟶ஶ
(ݐ)ݔ = ݔ
ndash un eacutetat drsquoeacutequilibre globalement asymptotiquement stable (GAS) si pour tout eacutetat initialx0 x(0) isin ℝ il est stable et
lim௧rarrஶ
(ݐ)ݔ = (0)ݔ forall ݔ
On introduit maintenant quelques concepts usuels de fonctions de LyapunovDeacutefinition A2ndash Une fonction scalaire V (x) est deacutefinie positive dans une boule de Rn de rayon K si 1) V (x) gt 0 forall x ne 0 et x isin ℝ୬ x lt K2) V (x) = 0 pour x = 0ndash La fonction scalaire V (x) est deacutefinie neacutegative dans une boule de ℝ୬ de rayon K si 1) V (x) lt 0 forall x ne 0 et x isin ℝ୬ x lt K2) V (x) = 0 pour x = 0ndash La fonction scalaire (ݔ) est semi-deacutefinie positive si (ݔ) ge 0
Theacuteoregraveme A3 Consideacuterons le systegraveme deacutecrit par lrsquoeacutequation (A1) avec (0) = 0 Soit (ݔ) une fonction scalaire deacutefinie positive non borneacutee continue et diffeacuterentiable Si
V(x) = Vx f(x) lt 0 x ne 0 (A3)
alors x = 0 est un point drsquoeacutequilibre globalement asymptotiquement stable
ANNEXE
118
La fonction deacutefinie positive (ݔ) satisfaisant (ݔ) le 0 est appeleacutee fonction de Lyapunovdu systegraveme
Theacuteoregraveme A4 (LaSalle-Yoshizawa) [90]
Soit =ݔ 0 un point drsquoeacutequilibre de (A1) et on suppose que f est localement Lipschitz en xSoitV ℝ rarr ℝା une fonction continue et diffeacuterentiable deacutefinie positive radialement nonborneacutee telle que
=ௗ
ௗ௫(ݔ) (ݐݔ) le minus (ݔ) le 0 leݐ forall 0 niݔ ℝ (A4)
ougrave (ݔ) est une fonction continue alors toutes les solutions de (A1) sont globalementuniformeacutement borneacutees et satisfont
lim௧rarrஶ
( ((ݐ)ݔ) = 0 (A5)
de plus si (ݔ) est deacutefinie positive alors le point drsquoeacutequilibre ݔ = 0 est globalementuniformeacutement asymptotiquement stable
A2 Commande par la meacutethode de Lyapunov
Nous allons donner dans cette section une meacutethode de synthegravese drsquoune loi de commandebaseacutee sur la theorie de Lyapunov On considegravere le systegraveme non lineacuteaire drsquoeacutecrit par
=ሶݔ f(x u) (A6)Ougrave x est lrsquoeacutetat du systegraveme et ݑ est lrsquoentreacutee de commandeLrsquoobjectif du controcircle est de ramener le vecteur drsquoeacutetat agrave lrsquoorigine et que lrsquoorigine devienneun point drsquoeacutequilibre asymptotiquement stable Lrsquoentreacutee de commande est choisie de laforme
ݑ = (ݔ)ߙ (A7)La dynamique du systegraveme en boucle fermeacutee devient
=ሶݔ ((ݔ)ߙݔ) (A8)
Pour montrer que le systegraveme est GAS nous devons construire une fonction de Lyapnuov
(ݔ) satisfaisant les conditions du theacuteoregraveme (A3) Lapproche la plus simple pour trouver
(ݔ)ߙ est de seacutelectionner une fonction deacutefinie positive (ݔ) radialement non borneacutee et
puis choisir (ݔ)ߙ tel que
= (ݔ)ݔ ((ݔ)ߙݔ) lt 0 x ne 0 (A9)On doit faire un choix adeacutequat de pour veacuterifier (A9) Ce qui nous amegravene agrave donner ladeacutefinition suivante
Deacutefinition A5 (Fonction de Lyapunov candidate) Une fonction (ݔ) scalaire lissedeacutefinie positive et radialement non borneacutee est appeleacutee fonction de Lyapunov candidatepour le systegraveme (A6) si
inf௨ݔ (ݑݔ) lt 0 x ne 0 (A10)
Etant donneacutee une (fonction de Lyapunov candidate (CLF)) pour le systegraveme (A8) on peuttrouver une loi de controcircle stabilisant globalement le systegraveme En effet lrsquoexistence de
ANNEXE
119
cette loi est eacutequivalent de (CLF) Cela veut dire que pour toute loi de controcircle stabilisanteon peut trouver une (CLF) correspondante et vis-versa Cela est veacuterifie dans le theacuteoregraveme[91] Pour illustrer cette approche on considegravere le systegraveme suivant
=ሶݔ (ݔ) + ݑ(ݔ) (A11)Ce systegraveme est affine en la commande On suppose que la (CLF) du systegraveme est connueSontag a proposeacute dans [92] un choix particulier de loi de controcircle donneacutee par
ݑ = (ݔ)ߙ = minusାradicమାమ
(A12)
Ougrave= (ݔ)ݔ (ݔ)= (ݔ)(ݔ)ݔ
Cette loi de commande nous donne
= )(ݔ)ݔ (ݔ) + (ݑ(ݔ) = + ൬minusାradicమାమ
൰= minusradic ଶ + ଶ (A13)
Elle rend donc lrsquoorigine (GAS) Lrsquoeacutequation (A12) est connue sous le nom de la formule deSontag Freeman et Primbs [93] ont propose une approche ou la commande u est choisiepour minimiser Lrsquoeffort du controcircle neacutecessaire pour satisfaire
le minus (ݔ) (A14)
A3 Eacuteleacutements theacuteoriques des modes glissantsOn introduit des eacuteleacutements theacuteoriques neacutecessaires agrave la compreacutehension de la
commande par modes glissants Plus particuliegraverement nous rappelons les conditionsdrsquoexistence du mode glissant
Figure A1 ndash Comportement en dehors de la surface de glissement
A31 Existence du mode glissementA311 Deacutefinitions
Nous consideacuterons le systegraveme non lineacuteaire drsquoeacutecrit par
=ሶݔ (ݐݑݔ) (A15)Ougrave ndash x est lrsquoeacutetat du systegraveme eacutevoluant dans une varieacuteteacute diffeacuterentiable caracteacuterisant le domainephysique de fonctionnement du systegraveme
S = 0
ANNEXE
120
ndash f le champ de vecteurs complet dans ℝ
ndash u la commande ou lrsquoentreacutee du systegraveme appartient a Ω inclut dans ℝ veacuterifiant
(ݐݔ)ݑ = ൜(ݐݔ)ାݑ ݏ (ݐݔ) ≺ 0
(ݐݔ)ݑ ݏ (ݐݔ) ≻ 0
Cette commande discontinue est appeleacutee Commande a Structure Variable(CSV) ou biencommande par modes glissantsLa fonction S(x t) est appeleacutee surface de glissement elle partage lrsquoespace en deux partiesdistinctes Un systegraveme est deacutefini comme eacutetant un systegraveme a structure variable commutantentre deux structures si par on deacutefinit deux champs de vecteurs ା (x u t) (x u t) detel sorte que le systegraveme (A15) puisse ecirctre eacutecrit sous la forme ci-dessous
=ሶݔ (ݐݑݔ) = (ݐݔ) = ൜ା(ݐݔ) ݏ (ݐݔ) ≺ 0
(ݐݔ) ݏ (ݐݔ) ≻ 0
Pour eacutevoquer lrsquoexistence du mode de glissement il faut que la surface de commutation(ݐݔ) soit attractive des deux cotes Lrsquointerpreacutetation geacuteomeacutetrique eacutequivaut agrave dire que les
deux vecteurs vitesses + et minus doivent ecirctres dirigeacutes vers la surface de commutationCette notion drsquoattractiviteacute peut ecirctre locale ou globale (figure (A1))
A32 Conditions drsquoexistence du mode glissantLe theacuteoregraveme ci-dessous donne les conditions drsquoexistence du mode glissant
Theacuteoregraveme A6 Un domaine Dg de dimension (n-1) est dit un domaine de glissement si etseulement si dans un domaine Ω contenant Dg il existe une fonction de Lyapunov ( (ݐݔ gt 0 continucircment diffeacuterentiable par rapport agrave tous ses arguments et satisfaisantles conditions suivantes
i) ( (ݐݔ gt 0 est deacutefinie positive par rapport a S
൜( (ݐݔ ≻ 0 (ݐݔ0) = 0
ݏ ne 0
ii) Sur la sphegravere = ρ forall x isin Ω forall t gt 0 les relations suivantes sont veacuterifieacutees ii minus a) inf
ௌୀV ( (ݐݔ = ℎ ℎ gt 0
ii minus b) supௌୀ
V ( (ݐݔ = ܪ ܪ gt 0
Avec ℎ et ܪ deacutependant de S et ℎ ne 0 si ρ ne 0
iii) La deacuteriveacutee totale de ( (ݐݔ le long des trajectoires du systegraveme a unmaximum neacutegatif pour tout x de agrave lrsquoexclusion de la surface de commutationpour laquelle la commande u nrsquoest pas deacutefinie et la deacuteriveacutee de ( (ݐݔnrsquoexiste pas
iv) Il est possible de choisir une fonction de Lyapunov baseacutee sur la physique dusystegraveme (cas des robots manipulateurs par exemple) mais il nrsquoexiste aucune
ANNEXE
121
meacutethode geacuteneacuterale qui permette de trouver une fonction de Lyapunov Pourcertaines classes de systegravemes une approche possible consiste agrave choisir lesformes suivantes
⎩⎪⎨
⎪⎧ ݔ) (ݐ =
ଶ
2
ݔ) (ݐ =ସ
4 ݔ) (ݐ = | |
Pour illustrer le reacutesultat fourni par le theacuteoregraveme preacuteceacutedent nous optons pour une
fonction de Lyapunov de type quadratique ݔ) (ݐ =ௌమ
ଶ Pour que la surface soit
attractive sur tout le domaine il suffit queௗ
ௗ௧ ݔݐ) ) lt 0 Ceci eacutequivaut agrave
SS˙ lt 0 (A16)
Cette condition(A16) permet drsquoassurer une convergence asymptotique vers lasurface S = 0 Tregraves souvent cette condition est remplaceacutee par
SS˙ le minusη |S| (A17)
Ougrave η est une quantiteacute strictement positive Cette condition assure la convergence vers S =0 en un temps fini tfini
ANNEXE
122
ANNEXE B
La commande mode glissant preacutesente certaine limites par exemple le problegraveme de
chattering en preacutesence de la fonction sgn (voir figure si-dessous)
Figure B1 La commande u3 en cas des connexions droite
Dans cette partie nous testons numeacuteriquement la performance du vecteur de commande
(mode glissant) deacuteveloppeacute preacuteceacutedemment dont les conditions initiales sont choisis
diffeacuterentes de zeacutero
Figure B2 La trajectoire de reacutefeacuterence et reacuteelle en cas drsquoun cocircne
0 1 2 3 4 5 6 7 80
5
10
15
20
25
30
35
40
U3(N
)
Temps (s)
-2-15
-1-05
005
115
-3
-2
-1
0
1
20
1
2
3
4
5
6
Deacuteplacement suivant (x)
X 1
Y 1
Z 2984
Deacuteplacement suivant (y)
Deacutepla
cem
ent
suiv
ant
(z)
Trajectoire reacuteelle
Trajectoire reacuteference
ANNEXE
123
Figure B3 Les forces en cas drsquoun cocircne
Figure B4 Les angles en cas drsquoun cocircne
0 5 10 15 20 25 30 35 40 450
5
10
F1
(N)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 450
5
10
F2
(N)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 450
5
10
F3
(N)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 4505
10
F4
(N)
temps (s)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
-05
0
05
1
angle
theta
(rad)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
-1
0
1
angle
phi(r
ad)
temps (s)
ANNEXE
124
Figure B5 La trajectoire de reacutefeacuterence et reacuteelle en cas des demi-cercles
Figure B6 Les forces en cas des demi-cercles
0 5 10 15 20 25 30 35 40 450
5
10
F1
(N)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 450
5
10
F2
(N)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 450
5
10
F3
(N)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 450
5
10
F4
(N)
temps (s)
0
5
10
15
0
5
10
15
200
2
4
6
8
10
12
Deacuteplacement suivant (x)
X 1
Y 1
Z 3
Deacuteplacement suivant (y)
Deacutepla
cem
ent
suiv
ant
(z)
Trajectoire reacuteelle
Trajectoire reacutefeacuterence
ANNEXE
125
Figure B7 Les forces en cas des demi-cercles
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
-05
0
05
1
angle
theta
(rad)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
-1
-05
0
05
1
angle
phi(r
ad)
temps (s)
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Reacutesumeacute
Lrsquointeacuterecirct scientifique de la thegravese est lrsquoeacutetude de stabilisation avec planification de trajectoire pour undrone agrave quatre heacutelices Apregraves la modeacutelisation du systegraveme plusieurs commandes ont eacuteteacute reacutealiseacutees pour lapoursuite de trajectoires simples telles que le suivi de lignes droites et complexes La stabiliteacute descontrocircleurs utiliseacutes a eacuteteacute veacuterifieacutee ainsi que la robustesse en preacutesence des perturbations
Dans la premiegravere partie nous nous somme pencheacutes sur la synthegravese drsquoun controcircleur par mode glissant (SMC)pour la stabilisation du drone X4 Cependant le signal de commande obtenu par cette technique preacutesentedes variations brusques dues au pheacutenomegravene de broutement Afin de reacuteduire les effets de ce pheacutenomegravene etdrsquoameacuteliorer davantage les performances de controcircle du X4 une hybridation entre la logique floue et le modede glissement a eacuteteacute proposeacutee
Par la suite nous avons preacutesenteacute la technique de commande du backstepping pour la stabilisation du droneCe reacutegulateur est baseacutee sur une reacutecente meacutethodologie faisant appel agrave la fonction da lyapunov Le controcircleurbackstepping dont la conception est de type PD preacutesente lrsquoinconveacutenient de la persistance de lrsquoerreur statiqueen preacutesence de perturbation Pour y remeacutedier des solutions ont eacuteteacute proposeacutees agrave savoir la commande InteacutegralBackstepping la commande backstepping adaptatif et une hybridation entre le mode glissant a eacuteteacute proposeacuteeafin drsquoameacuteliorer les performances de reacuteglage
Mot-cleacutes Drone quadrirotor commande par mode glissant commande par backstepping commandehybride stabiliteacute
Abstract
The scientific interest of this thesis work can be mainly seen in the study of the stabilization with
path planning for a four propellers UAV type Starting with dynamical modeling the system several
controllers were designed for the tracking of simple trajectories such as the follow-up of straight lines and
more complex ones The stability of the proposed controllers was checked as well as their robustness in the
presence of various disturbances
In the first part we focused on the synthesis of a sliding mode controller (SMC) for the stabilization of an X4UAV However the control signal obtained from this technique shows sudden undesirable variations due tothe phenomenon of chattering To reduce the effects of this phenomenon and to further improve the controlperformance applied to the X4 hybrid technique between fuzzy logic and sliding mode has been proposed
Subsequently we introduced the backstepping control technique to stabilize the drone This controllerdesign relies on a recent methodology using the Lyapunov function The backstepping controllerrsquos structurewhich is of PD type has the disadvantage of the persistence of the static error in the presence of disturbancesTo overcome this drawback some solutions have been proposed namely Integral Backstepping control theadaptive backstepping technique and its hybridization with the sliding mode control has been applied toimprove the control performances
Keywords quadrocopter drone sliding mode control backstepping control hybrid control stability and
robustness
الملخص
بدونودواراتبأربعودفعـھارفعـھایتمعمودیـة التيطائـرة في التحـكموالنمـذجةدراسـةإلىتطرقـناھذا في عمـلنا
تخراجـاسإلى تستندواحدةللتحكم خطیتینغیرتقنـیتین على اعتمدناقدوالنموذجلاستخراجقانون نیوتنطیاراستعملنا في التحكمإظھار
تحقـیقھوھذامنوالھدفباكیستیبنإجراءاتإلىالأخرىوالإنزلاق لات حا نوعمنحصینالنموذج أثناءطیاربدونطائرةالاستقرارو
الریاحتأثیر حالة ومسار معین رصد حالة في التقنـیات المعتـمدة متانة وفعالیةالتجارب نتائج بینتوقدمسارھارصدواشتغالھا
الباكستیبن تقنیةالانزلاق حالاتنوعمنحصینتحكم دوارات أربعذاتطائرةطائرةالمفتاحیةالكلمات
LISTE DES TABLEAUX
iv
Figure 328 Les erreurs pour des connexions demi-cercles 66Figure 329 Les commandes pour des connexions demi-cercles 66Figure 330 Les angles pour des connexions demi-cercles 67Figure 331 La trajectoire de reacutefeacuterence et reacuteelle en cas des demi-cercles 67Figure 332 La trajectoire de reacutefeacuterence et reacuteelle en cas des connexions arcs 68Figure 333 La trajectoire de reacutefeacuterence et reacuteelle en cas heacutelicoiumldale 68Figure 334 Controcircleur par mode glissant flou 69Figure 335 Fonction dappartenance de lentreacutee S(t) 70Figure 336 Fonction dappartenance de la sortie un 70Figure 337 La trajectoire de reacutefeacuterence et reacuteelle en cas des demi-cercles 71Figure 338 Les commandes pour des connexions demi-cercles 72Figure 339 les erreurs pour des connexions demi-cercles 72Figure 340 les angles pour des connexions demi-cercles 73Figure 341 Les forces pour des connexions demi-cercles 73
Figure 41 Scheacutema bloc de commande du drone par backsteppingFigure 42 La trajectoire de reacutefeacuterence et reacuteelle en cas des connexions cercles 84Figure 43 Les commandes u3 u4 u5 des connexions cercle Figure 44 Les erreurs de deacuteplacement en cas des connections cercleFigure 45 Les angles de tangage et de roulis en cas des connections cercleFigure 46 Les forces en cas des connections cercleFigure 47 La trajectoire de reacutefeacuterence et reacuteelle en preacutesence de perturbation 88Figure 48 Les commandes en preacutesence de perturbation 88Figure 49 Les erreurs en preacutesence de perturbations 89410 Les angles de tangage et de roulis en preacutesence de perturbation 89Figure 411 Le scheacutema bloc du backstepping avec action inteacutegrale 90Figure 412 La trajectoire de reacutefeacuterence et reacuteelle 93Figure 413 Les commandes sans preacutesence de perturbation 94Figure 414 Les erreurs sans preacutesence de perturbations 94Figure 415 Les angles de tangage et de roulis sans preacutesence de perturbation 95Figure 416 Les forces sans preacutesence de perturbation 95Figure 417 La trajectoire de reacutefeacuterence et reacuteelle en preacutesence de perturbation 96Figure 418 Les erreurs en preacutesence de perturbations 96Figure 419 Les commandes en preacutesence de perturbations 97Figure 420 Les angles de tangage et de roulis en preacutesence de perturbation 97Figure 421 Les forces en preacutesence de perturbation 98Figure 422 La trajectoire de reacutefeacuterence et reacuteelle en preacutesence de perturbation 98Figure 423 La trajectoire de reacutefeacuterence et reacuteelle en preacutesence de perturbation 99Figure 424 Comparaison entre le controcircleur B et IB pour des connexions demi cercle 99Figure 425 Le scheacutema bloc du backstepping adaptative 100Figure 426 La trajectoire de reacutefeacuterence et reacuteelle en preacutesence de perturbation 103Figure 427 Les commandes en preacutesence de perturbation 103Figure 428 Les erreurs en preacutesence de perturbation 104Figure 433 Les erreurs en preacutesence de perturbation 109Figure 434 Les angles en preacutesence de perturbation 110Figure 435 Les forces en preacutesence de perturbation 110Figure 436 Les erreurs de suivi en z x et y pour les deux commandes 111Figure 437 La trajectoire de reacutefeacuterence et reacuteelle en preacutesence de perturbation 111Figure 438 La trajectoire de reacutefeacuterence et reacuteelle en preacutesence de perturbation 112
LISTE DES TABLEAUX
v
LISTE DES TABLEAUX
6
INTRODUCTION GENERALE
0
INTRODUCTION GENERALE
INTRODUCTION GENERALE
1
INTRODUCTION GENERALE
Dans les derniegraveres anneacutees les avances technologiques ont permis la conception et
la construction de mini-avions ou mini-heacutelicoptegravere avec des capaciteacutes toujours plus
deacuteveloppeacutees pour reacutealiser des vols autonome Ces appareils sont connus sous le nom de
drones Crsquoest -agrave-dire les drones sont des engins volants autonomes ou semi-autonomes
capables drsquoeffectuer des missions en vol sans pilotage humain agrave bort Pour cette raison les
drones sont connus aussi par leur appellation anglaise UAV (Unmanned Aerial Vehicle)
Ces appareils sont des veacutehicules complexes et difficiles agrave commander Il faut noter que
contrairement au robot manipulateur la plupart des ces systegravemes sont sous ndashactionneacutes (le
nombre drsquoentreacutees de commande est inferieur au nombre de degreacutes de liberteacute) En effet le
manque drsquoactionneurs pour ces engins induit une grande difficulteacute dans la conception de la
commande Neacuteanmoins lrsquointeacuterecirct de leur eacutetude vient de leur versatiliteacute et de leur
manœuvrabiliteacute leur permettant lrsquoexeacutecution drsquoun grand nombre de taches
Les applications des drones ne cessent drsquoaugmenter tant dans le domaine civil que
militaire Parmi les applications nous pouvons citer par exemple la surveillance de trafic
urbain ou des lignes eacutelectriques agrave haute tension [15] lrsquointervention dans des
environnements hostiles repeacuterage de mines la deacutetection de feux de forets dans les
missions de recherche et de sauvetage Enfin dans toutes les applications aeacuteriennes ougrave
lrsquointervention humaine devient difficile ou dangereuse
La recherche sur les drones est baseacutee principalement sur une eacutetude pluridisciplinaire
touchant le domaine eacutelectronique automatique informatique temps reacuteel aeacuterodynamique
traitement de signal communication Pour cette raison le nombre drsquoindustriels et
drsquouniversiteacutes qui srsquointeacuteressent aux robots aeacuterien ne cesse drsquoaugmenter
La conception de drones est diviseacutee essentiellement en deux parties la partie
algorithmique et la partie mateacuterielle Bien qursquoil existe un certain nombre de difficulteacutes
associeacutees agrave ce travail les chercheurs et les concepteurs se sont impliqueacutes de maniegravere
intense dans ces deux activiteacutes pour faire des contributions dans ce domaine La partie
algorithmique concerne le deacuteveloppement des lois de commande Dans cette branche les
automaticiens sont inteacuteresseacutes de plus en plus agrave lrsquoeacutetude et au deacuteveloppent des lois de
commande tant lineacuteaires que non lineacuteaire pour gouverner la dynamique de ces veacutehicules
La deuxiegraveme partie concerne le deacuteveloppement de la plate-forme expeacuterimentale ou
autopilote qui sera embarqueacutee dans le veacutehicule
INTRODUCTION GENERALE
2
Lrsquoobjectif de la thegravese est de deacutevelopper des strateacutegies de commande non lineacuteaires
pour le controcircle du drone En effet deux meacutethodes sont proposeacutees la commande par mode
glissant et la commande par backstepping
La commande agrave structure variable ou le mode glissant est une technique de
commande non lineacuteaire elle est caracteacuteriseacutee par la discontinuiteacute de la commande par une
surface de commutation Sa dynamique est alors insensible aux perturbations exteacuterieurs et
parameacutetriques tant que les conditions de reacutegime glissant sont assureacutees [45 50] Dans cette
voie nous allons utiliser la commande par mode glissant (Sliding Mode Control ou SMC)
pour la stabilisation drsquoun drone agrave quatre heacutelices Cependant le signal de commande obtenu
par un SMC preacutesente des variations brusques dues au pheacutenomegravene de broutement
(chaterring) ce qui peut exciter les hautes freacutequences et les non lineacuteariteacutes non modeacutelisables
[45 50 48 76] En effectuant une hybridation entre la logique floue et le mode de
glissement nous essayerons de reacuteduire les effets de pheacutenomegravene de broutement et
drsquoameacuteliorer drsquoavantage les performances du controcircleur
La theacuteorie de Lyapunov nous offre des outils tregraves puissants pour lrsquoanalyse de la
stabiliteacute des systegravemes ces mecircmes outils peuvent ecirctre utiliseacutes pour la synthegravese des lois de
commande Crsquoest dans ce contexte que se situe le backstepping cette commande agrave eacuteteacute
introduite au deacutebut des anneacutees 90 par plusieurs chercheurs on citera ente autres P
Kokotovic H Khalil Kanellakopoulos [72 73 74 75] Lrsquoapplication de cette derniegravere se
trouve dans le domaine de lrsquoaeacuteronautique [28] dans les systegravemes complexes tel que la
robotique les reacuteseaux eacutelectriques ainsi que les machines eacutelectriques [77 78 79 80] on
peut deacutefinir cette lois de commande comme eacutetant une proceacutedure reacutecursive qui combine
entre le choix de la fonction de Lyapunov et la synthegravese de la loi de commande [82] Cette
meacutethode transforme le problegraveme de synthegravese de loi de commande pour le systegraveme global agrave
une synthegravese de seacutequence de commande pour des systegravemes reacuteduits En exploitant la
flexibiliteacute de ces derniers le backstepping peut reacutepondre aux problegravemes de reacutegulation de
poursuite et de robustesse avec des conditions moins restrictives que drsquoautres meacutethodes
[82] Lrsquoingeacuteniositeacute de lrsquoideacutee nous a conduit agrave proposeacute lrsquoutilisation de cette loi de
commande non lineacuteaire pour la commande du drone quadri-rotor Une approche de
commande inteacutegral backstepping adaptatif sera preacutesenteacutee
INTRODUCTION GENERALE
3
Ce manuscrit de thegravese est structureacute de la maniegravere suivante en quatre chapitres
Chapitre 1
Dans ce chapitre nous preacutesenterons une classification des drones pour nous placer dans le
contexte de ce domaine de recherche Une eacutetude bibliographique preacutesente certaines
meacutethodes de geacuteneacuteration drsquoalgorithmes de commande pour les drones
Chapitre 2
Dans ce chapitre la modeacutelisation de drone heacutelicoptegravere quadri-rotor est preacutesenteacutee Cette
modeacutelisation est eacutetablie en prenant en consideacuteration les forces aeacuterodynamiques Une
expression deacutetailleacutee du coefficient de Coriolis des termes gyroscopique et centrifuge est
donneacutee
Chapitre 3
Le troisiegraveme chapitre concerne la commande agrave structure variable ougrave lrsquoapproche non
lineacuteaire par mode glissants est traiteacutee On introduit quelques aspects meacutethodologiques
neacutecessaires pour la compreacutehension des systegravemes agrave structures variables Cette technique
sera appliqueacutee pour controcircler la trajectoire du drone en utilisant une stabilisation point par
point Une autre structure de reacuteglage par mode de glissement agrave action inteacutegrale sera aussi
preacutesenteacutee Ensuite une approche drsquohybridation entre le mode glissant et la logique floue
sera proposeacutee
Chapitre 4
Le chapitre quatre quant agrave lui est consacreacute agrave la conception de la deuxiegraveme loi de
commande non lineacuteaire baseacutee sur la technique du backstepping pour la commande des
mouvements selon les axes Z X Y Une approche de commande backstepping adaptative
sera preacutesenteacutee Une hybridation entre la commande par backstepping et par mode glissant
est aussi proposeacutee dans le but drsquoavoir un controcircleur plus performant Une eacutetude de la
robustesse est effectueacutee vis-agrave-vis de la perturbation du vent suivant les diffeacuterentes
directions du mouvement
Ce manuscrit srsquoachegraveve par un ensemble de commentaires et de remarques geacuteneacuterales
sur les reacutesultats obtenus et quelques discussions sur les perspectives agrave mener
Chapitre 1 ETAT DE LrsquoART
3
Chapitre 1
ETAT DE LrsquoART
Chapitre 1 ETAT DE LrsquoART
4
1 ETAT DE LrsquoART
11 Introduction
Le mot drone est dorigine anglaise signifiant bourdon ou bourdonnement Il
est communeacutement employeacute en Franccedilais en reacutefeacuterence au bruit que font certains bourdons en
volant Les drones sont des aeacuteronefs capables de voler et deffectuer une mission sans
preacutesence humaine agrave bord Cette premiegravere caracteacuteristique essentielle justifie leur deacutesignation
de Uninhabited (ou Unmanned Aerial Vehicle UAV)
En fait ce sont les lourdes pertes subies pendant la seconde guerre mondiale par les avions
dobservation de chacun des antagonistes qui suscitegraverent lideacutee dun engin dobservation
militaire sans eacutequipage (ni pilote ni observateur)
Les premiers drones apparurent en 1960 (fig11) tel le R20 de Nord-Aviation denvergure
320 m et de longueur 544m deacuterivant de lengin de cible CT20 Toutefois lideacutee des
drones trottait dans les esprits depuis bien longtemps Un Anglais aurait inventeacute le concept
dans les anneacutees 1890 en inteacutegrant agrave un cerf-volant un appareil photographique [1]
Et au fil des anneacutees les chercheurs nont pas cesseacute dameacuteliorer ces machines au niveaude
Figure 11 Premier drone
Chapitre 1 ETAT DE LrsquoART
5
la taille jusquagrave atteindre la cateacutegorie de drone miniature qui englobe tous les drones dont
lenvergure est infeacuterieure agrave 50 centimegravetres pouvant descendre mecircme agrave quelques
centimegravetres seulement (on parle dans ce cas de drones miniatures)
Le terme miniature ne reflegravete pas un simple changement deacutechelle par rapport aux drones
primaires conventionnels En effet compte tenu de leurs tailles de leurs rapports
masseinertie et de leurs sensibiliteacutes aux vents la dynamique de ces drones miniatures se
trouve ecirctre tregraves diffeacuterente de celle des engins de grande dimension
En fait la vocation principale des drones est lobservation et la surveillance aeacuteriennes
vocation utiliseacutee jusquagrave preacutesent surtout agrave des fins militaires (actuellement 90 pour cent du
marcheacute mondial des drones)
Ainsi tous les drones quils soient autonomes ou non requiegraverent la preacutesence au sol dau
moins un opeacuterateur pour recueillir en temps reacuteel les beacuteneacutefices de la mission celui-ci
reccediloit analyse et enregistre les informations transmises par le drone [2]
Aujourdhui les progregraves reacutealiseacutes agrave la fois dans les performances des drones et leurs
eacutequipements leur confegraverent un tregraves large potentiel dutilisation dans le domaine civil la
lutte contre les risques naturels (volcan feux de forecircts surveillance des zones agrave risque
centrales nucleacuteaires) controcircle du trafic routier lobservation des champs agricoles ou des
troupeaux veacuterification de leacutetat des ouvrages darts (ponts viaducs) [1]
On distingue toutefois deux cateacutegories de drones ceux qui requiegraverent effectivement
lassistance dun pilote au sol par exemple pour les phases de deacutecollage et datterrissage et
ceux qui sont entiegraverement autonomes
Cette autonomie de pilotage peut seacutetendre agrave la prise de deacutecision opeacuterationnelle pour reacuteagir
face agrave tout eacuteveacutenement aleacuteatoire en cours de mission elle constitue la deuxiegraveme
caracteacuteristique essentielle des drones
De mecircme on peut classer les drones en trois cateacutegories principales (fig12)
Drones agrave voilure tournante type heacutelicoptegravere
Drone agrave voilure fixe
Plus lourd que lair type avion
Plus leacuteger que lair type Dirigeable
Drones agrave ailes battantes type oiseau ou insecte
Chapitre 1 ETAT DE LrsquoART
6
Figure 12 (A) Dirigeable (B) Drone agrave ailes battants (C) Drone agrave ailes fixes
12 Drones agrave voilures tournantes
Dans cette partie nous eacutetalons les diffeacuterents types de drones agrave voilures tournantes
121 Drones Mono-rotor
Ce type de drone passe par des phases de deacuteveloppement bien remarquables suite agrave
linteacuterecirct quon y porte En effet ce sont des drones offrant la possibiliteacute de voler comme un
avion normal donc un deacuteplacement rapide et bien eacuteconome en eacutenergie Nous preacutesentons
Heacutelicoptegravere thermique (fig13) Cet heacutelicoptegravere thermique deacuteveloppeacute au sein du
laboratoire Heudiasyc (Heuristique et diagnostique des systegravemes complexes) a une
structure meacutecanique originale pour effectuer un deacuteplacement horizontal cet appareil est
censeacute effectuer une inclinaison au niveau de ses heacutelices afin de faire apparaitre une
diffeacuterence de pression lui permettant davancer
Cette originaliteacute meacutecanique engendre un systegraveme dynamique beaucoup plus complexe par
rapport aux autres modegraveles
Figure 13 Heacutelicoptegravere thermique
Chapitre 1 ETAT DE LrsquoART
7
122 Drone Bi-rotors
Cette cateacutegorie est elle mecircme subdiviseacutee en deux sous cateacutegories
1) Bi-rotors agrave un ou deux plateaux cycliques
Heacutelicoptegravere classique rotor principal et rotor de queue ce dernier sert
principalement agrave compenser le couple geacuteneacutereacute par le rotor principal En fait le rotor
principal permet la monteacutee et la descente ainsi que la translation avant arriegravere et
lateacuterale mecircme par contre le rotor de queue permet le controcircle du lacet
Heacutelicoptegravere en tandem deux rotors tournant en sens inverse autour de deux axes
diffeacuterents
Heacutelicoptegravere co-axial deux rotors tournant en sens inverse autour du mecircme axe Un
exemple de cet engin est mis dans le commerce par Hirobo
Figure 14 Heacutelicoptegravere classique
2) Pales agrave pas fixe Voler agrave pas fixe implique labsence de plateaux cycliques et en
absence de ces plateaux il est impossible de geacuteneacuterer une force et trois moments
pour controcircler un systegraveme agrave 6 degreacutes de liberteacute Afin de creacuteer les moments
manquants il est primordial dajouter soit des ailerons soit des meacutecanismes pour
faire pivoter les ailerons et produire ces moments en question Nous citons dans
cette sous cateacutegorie
T-wing de lUniversiteacute de Sydney drone bi-rotor placeacute sur deux axes diffeacuterents
tournant en sens opposeacutes ou dans le mecircme sens et pour la production des moments
neacutecessaires ce drone est muni dailerons
Chapitre 1 ETAT DE LrsquoART
8
Le Hover eye de Bertin technologie Cest un drone dont la configuration est tregraves
compacte deux rotors contrarotatifs sur le mecircme axe et des ailerons dans le flux
dair des rotors
Le Birotan Drone agrave configuration compact posseacutedant deux rotors pivotant sur
deux axes preacutesentant un faible couple de tangage
Figure 15 (A) T-wing (B) Hover eye (C) Le Birotan
113 Drone tri-rotors
Dans cette cateacutegorie nous connaissons
Trirotor Heacutelicoptegravere posseacutedant trois rotors deux en avant tournant dans le sens
contraire et un en arriegravere avec orientation reacuteglable Des expeacuteriences ont eacuteteacute faites
sur cet heacutelicoptegravere au sein du laboratoire Heudiasyc
Le vectron Cest un heacutelicoptegravere dont le corps est circulaire renfermant trois rotors
tournant dans le mecircme sens Pour compenser le couple le corps lui mecircme tourne en
sens opposeacutes des rotors Pour obtenir les couples de tangage et de roulis les trois
rotors tournent avec des vitesses varieacutees agrave des instants bien preacutecis Des travaux de
recherche ont eacuteteacute effectueacutes au LIRMM
Heacutelicoptegravere auto-stable Cest un heacutelicoptegravere agrave trois rotors deux coaxiaux tournant
en sens opposeacutes agrave pas fixe et le troisiegraveme est placeacute sur la queue de lheacutelicoptegravere
pour obtenir le couple de tangage Cet heacutelicoptegravere a la proprieacuteteacute decirctre stable gracircce
au fait quil existe une articulation entre les pales du rotor principal et laxe du rotor
Neacuteanmoins cet appareil ne peut ecirctre utiliseacute que dans des endroits fermeacutes
Chapitre 1 ETAT DE LrsquoART
9
Figure 16 (A) Tri-rotor du laboratoire Heudiasyc (B) Le vectron(C) Heacutelicoptegravere auto-stable
124 Drone quadri-rotors
Le premier quadri-rotors remonte agrave 1921 En effet en 1921 les corps dair de
larmeacutee Ameacutericaine ont attribueacute un contrat aux Dr George de Bothezat et Ivan Jerome pour
deacutevelopper une machine agrave vol vertical
Ces derniers ont mis sur pied une machine volante de 1678 Kg dont le fuselage est conccedilu
sous forme dun X Chaque bras du fuselage eacutetait de 9m de longueur tenant agrave son extreacutemiteacute
un rotor de 8m de diamegravetre environ
Cependant bien que de Bothezat ait deacutemontreacute quil eacutetait theacuteoriquement possible agrave son
heacutelicoptegravere de voler et quil eacutetait theacuteoriquement bien stable cet avion na pas pu reacutealiser les
performances escompteacutees par exemple on lui demandait de voler agrave une altitude de 100m
alors que pour cause de surpoids laltitude maximale quil a pu atteindre eacutetait juste de 5m
Ainsi suite agrave sa complexiteacute meacutecanique son manque de puissance son insensibiliteacuteetc
cet heacutelicoptegravere agrave quatre rotors na pas pu satisfaire son cahier de charge
Figure 17 Heacutelicoptegravere de Bothezat
Chapitre 1 ETAT DE LrsquoART
10
Pour les drones miniatures les chercheurs se sont inspireacutes de ce geacuteant quadri-rotors et ont
mis sur pied des drones lui ressemblant
Les heacutelicoptegraveres agrave quatre heacutelices sont des quadrirotors agrave quatre moteurs installeacutes sur
une croix geacuteneacuteralement en fibre de carbone drsquoougrave leur appellation les heacutelicoptegraveres X4 Des
exemples sont repreacutesenteacutes dans la figure 18
Figure 18 Drones agrave quatre heacutelices (A) Quadri-rotor du laboratoire IBSC(B) Quadri-rotor pensylvania
Afin de compenser les anti-couples des moteurs creacuteeacutes par la rotation des heacutelices le moteur
avant et arriegravere tournent dans le sens des aiguilles dune montre tandis que les autres
moteurs tournent dans le sens inverse De plus les heacutelices utiliseacutees sont agrave pas fixe Le
tangage de ce drone est obtenu par diffeacuterence de vitesse de rotation des rotors avant et
arriegravere geacuteneacuterant un deacuteplacement suivant laxe des x Le deacuteplacement suivant laxe des y est
produit par un angle de roulis Ce dernier est obtenu par une diffeacuterence de vitesse des
moteurs lateacuteraux Le lacet srsquoobtient en augmentant la vitesse des moteurs avant et arriegravere
en reacuteduisant la vitesse des moteurs lateacuteraux
Au centre de la croix se trouve un cylindre central contenant
Une centrale inertielle
Une carte intelligente
Une batterie
Un GPS (Global Positionning System)
Une cameacutera CDD
Des capteurs ultrason
Une station de base
Chapitre 1 ETAT DE LrsquoART
11
13 Composantes du quadri-rotors
Durant ces derniegraveres anneacutees le deacuteveloppement des drones connait un essor croissant
surtout au niveau des capteurs des moteurs des batteries et des cartes eacutelectroniques qui
sont de plus en plus leacutegers et plus performants
Ces nouvelles qualiteacutes requises par ces composantes amplifient la performance du drone au
niveau de son autonomie et de ses capaciteacutes du vol En fait le grand problegraveme rencontreacute
par les drones cest la dureacutee du vol qui est lieacutee aux diffeacuterents composants utiliseacutes batterie
moteur et heacutelices Ainsi il faut faire un choix judicieux pour ces composants eacutetudier
lautonomie reacuteelle des batteries deacuteterminer la consommation des moteurs et la geacuteomeacutetrie
des heacutelices
Plus geacuteneacuteralement nous classons les composants du drone en trois cateacutegories
Batterie
Propulseurs
Capteurs
131 Les batteries
Lautonomie de tout engin est directement lieacute agrave leacutenergie quil peut avoir donc agrave la qualiteacute
de la batterie dont il est pourvu Le deacuteveloppement des batteries ne cesse de nous eacutetonner
de plus en plus leacutegegraveres de plus en plus autonomes donc une contribution importante au
deacuteveloppement des drones
Figure 19 Batterie pour le X4
Chapitre 1 ETAT DE LrsquoART
12
132 Les propulseurs
Les heacutelices
Le drone X4 dispose de quatre heacutelices ayant un certain taux de flexibiliteacute lui permettant de
pouvoir assurer la propulsion de tout le robot volant de masse estimeacutee agrave 2Kg Ainsi
chacune doit geacuteneacuterer une force de pousseacutee de 49N agrave leacutequilibre Dautre part les pales
utiliseacutees dans la fabrication du X4 ont une forme vrilleacutee leur procurant un bon rendement
au niveau de la pousseacutee donc une eacuteconomie au niveau de leacutenergie [2]
Moteur eacutelectrique
Dans le but de rendre le X4 silencieux et davoir le bon rapport puissancepoids le moteur
eacutelectrique du type brushless est le plus utiliseacute En plus et suite agrave son bobinage fixeacute au
stator ce moteur a une inertie consideacuterablement reacuteduite une reacuteduction au niveau de la
consommation du courant lors du deacutemarrage et une rapide eacutevacuation de la tempeacuterature
neacuteanmoins il neacutecessite un circuit de commande speacuteciale bien complexe et bien cher
Fig 110 (A) Heacutelice (B) Moteur eacutelectrique
133 Capteurs
Les capteurs servent principalement agrave effectuer des mesures tridimensionnelles
(position vitesse orientation acceacuteleacuteration ) permettant dalimenter des entreacutees en temps
reacuteel pour les lois de commande
Ces mesures sont effectueacutees par diffeacuterents types de capteurs
Capteurs agrave ultrasons
Un capteur agrave ultrason est composeacute de trois compartiments
Chapitre 1 ETAT DE LrsquoART
13
Emetteur
Reacuteceacutepteur
Microcontrocircleur PIC
Il sert agrave deacutetecter lobstacle et agrave mesurer la distance de seacuteparation Se munir uniquement
dun capteur agrave ultrason pour la mesure de position peut donner des reacutesultats erroneacutes En
effet en couvrant les lieux londe peut tomber sur diffeacuterents obstacles agrave chaque instant et agrave
des distances diffeacuterentes Il est donc primordial de lassocier agrave un autre capteur de position
Cameacutera
Le capteur le plus riche en donneacutees pouvant exister est une cameacutera En geacuteneacuteral nous
pouvons classer les cameacuteras en deux cateacutegories
Cameacutera numeacuterique
Cameacutera analogique
Le choix de la cameacutera deacutepend de son embarquabiliteacute ses capaciteacutes de calculs et de
lapplication mecircme
Systegraveme de positionnement geacuteneacuteral GPS
Le GPS est un systegraveme de positionnement par satellites assez preacutecis la preacutecision
pouvant atteindre le megravetre en preacutesence de filtrage Lutilisation de la localisation par le
systegraveme GPS est tregraves vaste elle touche plusieurs domaines le transport (aeacuterien maritime
) eacutetude geacuteographique assistance aux eacutequipe de secours
Figure 111 (A) Capteur agrave ultrasons (B) Cameacutera (C) Systegraveme depositionnement geacuteneacuteral
Chapitre 1 ETAT DE LrsquoART
14
Centrale inertielle
La centrale inertielle est une carte inteacutegrant trois types de capteurs
Trois gyroscopes Le mot gyroscope est un mot grec signifiant qui regarde la rotation
Un gyroscope est un appareil qui exploite le principe de la conservation du moment
angulaire en meacutecanique des solides
Trois magneacutetomegravetres un magneacutetomegravetre est un appareil qui sert agrave mesurer laimantation
dun systegraveme Dans notre cas le magneacutetomegravetre sert agrave calculer le champ magneacutetique terrestre
Trois acceacuteleacuteromegravetres un acceacuteleacuteromegravetre est un capteur qui fixeacute agrave un mobile permet de
mesurer lacceacuteleacuteration de ce dernier
Ces capteurs forment un triegravedre orthogonal servant agrave mesurer en temps reacuteel les
mouvements du drone (acceacuteleacuteration vitesse angulaire) Ces mesures sont exprimeacutees dans
un triegravedre direct deacutefini comme le systegraveme de coordonneacutees fixe du capteur Ce systegraveme est
aligneacute avec le boicirctier de la centrale inertielle
En inteacutegrant la mesure de lacceacuteleacuteration triaxiale donneacutee par lacceacuteleacuteromegravetre nous
reacutecupeacuterons la mesure de la vitesse en linteacutegrant une deuxiegraveme fois nous aurons la
position
Or cette inteacutegration engendre une erreur au niveau des mesures En effet toute mesure
effectueacutee par la carte inertielle peut ecirctre entacheacutee derreurs de mesures dues aux bruits des
moteurs et par inteacutegration ces erreurs augmentent
Ainsi un filtrage numeacuterique associeacute aux mesures savegravere neacutecessaire En reacutecupeacuterant la
matrice dattitude preacutedite par inteacutegration des gyros nous constatons quelle est bruiteacutee par
rapport agrave la matrice dattitude mesureacutee
En litteacuterature les algorithmes de filtrage classiquement utiliseacutes sont de type filtrage
compleacutementaire ou filtrage de Kalman (classique ou eacutetendu)
Linconveacutenient de ces algorithmes cest quils sont lineacuteaires et nexploitent pas le groupe
des matrices de rotation SO(3) et lalgegravebre de Lie qui lui est associeacutee La creacuteation
dalgorithme de filtrage approprieacute est alors recommandeacute (filtrage non-lineacuteaire exploitant la
structure du Groupe SO(3) et la varieacuteteacute sous-jacente associeacutee [3 4 5])
Chapitre 1 ETAT DE LrsquoART
15
Carte intelligente
La carte intelligente peut ecirctre compareacutee au cerveau du drone cest son eacuteleacutement
principal Elle gegravere lensemble des capteurs embarqueacutes sur la machine sauf la cameacutera qui
transmet ses donneacutees images agrave la base au sol ougrave elles sont traiteacutees
Dautres cartes peuvent ecirctre incorporeacutees dans le drone afin de renforcer ses liens
avec la base au sol (carte pour liaison radio [5]) et dautres lui fournissant plus
dinformations pour raffiner les donneacutees (carte de gestion dun ensemble de proximiteacute varieacute
[40])
Figure 112 (A) Centrale inertielle (B) Carte intelligente
14 Systegraveme drsquoacquisition embarqueacute du X4
La mise en œuvre dun ou de plusieurs drones fait appel agrave diffeacuterents eacuteleacutements
constituant un systegraveme de drone Ce systegraveme a deux composantes un segment air
composeacute du drone de sa charge utile et de son systegraveme de transmission et un segment sol
constitueacute dun ensemble de mateacuteriels et de un ou plusieurs opeacuterateurs humains ayant un
degreacute dintervention plus ou moins eacuteleveacute On distingue encore dans la composante sol deux
cateacutegories de mateacuteriels ceux assurant le lancement et la reacutecupeacuteration des drones
(catapulte filets etc) auxquels sajoutent les moyens techniques neacutecessaires agrave la
maintenance et au reconditionnement des drones identiquement aux proceacutedeacutes
dexploitation des avions et ceux ayant pour objectif la conduite de la mission en assurant
les fonctions de la gestion du vol et de la navigation la reacuteception des donneacutees envoyeacutees
par le drone leurs analyse et interpreacutetation ainsi que leur enregistrement
Chapitre 1 ETAT DE LrsquoART
16
Figure 113 Description drsquoun systegraveme de drone
15 Applications et perspectives
Actuellement les drones occupent une place importante dans le domaine civil et
militaire En effet ces engins sans pilote preacutesentent de nombreux avantages [6]
Il faut noter que sur ce point le champ drsquoaction des drones ne cesse de srsquoeacutelargir ces
derniers temps En effet leur deacuteveloppement sur une large gamme ainsi que les progregraves
reacutealiseacutes au niveau des systegravemes embarqueacutes (guidage pilotage et liaisons) a inciteacute les
forces armeacutees agrave inteacutegrer le systegraveme de drone dans la panoplie des moyens aeacuteriens en
compleacutement des systegravemes classiques On peut distinguer trois types drsquoapplications des
drones dans le domaine militaire
La premiegravere et principale vocation des drones est la surveillance et le
renseignement Les drones reacutepondent de mieux en mieux aux exigences opeacuterationnelles
modernes Les eacutevolutions technologiques rapides des systegravemes embarqueacutes ont permet
drsquoeacutelargir leur domaine drsquoapplication De nos jours on peut les utiliser comme support au
combat notamment dans la deacutesignation drsquoobjectifs ou comme relais de communication ou
moyen de brouillage La troisiegraveme et derniegravere cateacutegorie drsquoapplications est le combat
proprement dit mais cette derniegravere application neacutecessite des drones agrave hautes performances
conccedilus speacutecialement pour ce type de missions
Les applications potentielles des drones dans le domaine civil sont diverses et ce
gracircce agrave leur souplesse et leur polyvalence demploi En effet les drones peuvent reacutepondre agrave
Chapitre 1 ETAT DE LrsquoART
17
un besoin qui nest pas couvert par un avion piloteacute Cest le cas des missions qui peuvent
ecirctre consideacutereacutees comme dangereuses peacutenibles physiquement pour leacutequipage ou
ennuyeuses Les applications potentielles peuvent se diviser en plusieurs grandes
cateacutegories drsquoabord la surveillance et lrsquoobservation ougrave on peut citer les eacutetudes
scientifiques (de lrsquoatmosphegravere des sols et des oceacuteans ou les preacutevisions meacuteteacuteorologiques)
la surveillance drsquourgence telle que les incendies de forecircts volcans recherche et sauvetage
eacutevaluation des deacutegacircts en cas de catastrophes naturelles etc On peut citer eacutegalement des
missions exploitant le segment air telles que le transport de fret la cartographie
lrsquoutilisation par lrsquoindustrie cineacutematographique etc Ils peuvent en outre ecirctre utiliseacutes dans
des missions speacutecifiques comme relais de communication ou dans des missions
dangereuses (deacutetection de radiations et de gaz toxiques)
Lexpeacuterience deacutejagrave acquise avec les drones et leurs deacuteveloppements technologiques
potentiels permettent daffirmer que leur rocircle va consideacuterablement saccroicirctre tant dans les
domaines civil que militaire Dans le domaine civil en couvrant des besoins auxquels les
avions classiques ne peuvent pas toujours satisfaire Dans le domaine militaire en
compleacutetant voire en remplaccedilant les avions pour certaines missions dangereuses ou de tregraves
longue dureacutee
Gracircce agrave leur inteacuterecirct tactique les drones constituent agrave la fois une opportuniteacute
industrielle exceptionnelle et un facteur dimpulsion nouvelle pour la recherche Cependant
la geacuteneacuteralisation de lrsquoemploi des systegravemes de drone reste exposeacutee agrave des difficulteacutes qui sont
lieacutees principalement agrave lrsquointeacutegration des drones dans la circulation aeacuterienne et le
perfectionnement des systegravemes de transmission des donneacutees (porteacutee et deacutebit) Enfin des
progregraves sont agrave reacutealiser eacutegalement dans les domaines des performances de lrsquoengin volant
des charges utiles du systegraveme embarqueacute et de leur fiabiliteacute
Toutes ces missions neacutecessitent un controcircle performant de lrsquoappareil et par
conseacutequent des informations preacutecises sur son eacutetat absolu et ou relatif agrave son environnement
16 Modes de vol
Geacuteneacuteralement il existe trois modes qui deacutecrivent la direction de vol de lrsquoengin ces
modes sont
Vol vertical
Vol stationnaire
Vol de translation
Chapitre 1 ETAT DE LrsquoART
18
161 Vol vertical (ascendant ou descendant)
Dans le vol vertical la reacutesultante aeacuterodynamique et le poids total sont deux forces
ayant la mecircme direction mais de sens opposeacute Le vol est ascendant ou descendant suivant
que lrsquoeffet aeacuterodynamique est supeacuterieur ou infeacuterieur au poids de lrsquoappareil Crsquoest-agrave-dire les
moteurs devront augmenter ou diminues le couple de forces geacuteneacutereacute afin que la vitesse de
rotation des heacutelices augmentent ou diminuent Pour effectuer un vol vertical du drone X4 il
faut respecter ces conditions fondamentales
-Les quatre forces des moteurs f1 f2 f3 et f4 doivent fonctionner en mecircme temps afin
drsquoobtenir lrsquoeacutequilibre de lrsquoensemble
-Pour atteindre la consigne nous agissons sur les quatre moteurs simultaneacutement
(augmentations et diminutions des forces)
-Si on atteint la reacutefeacuterence on garde ces forces constantes sum F = mg
m la masse totale de lrsquoengin
162 Vol stationnaire
Ce vol est obtenu lorsque les normes de la force sustentatrice et celle de pesanteur
sont eacutegales et opposeacutees Dans ce cas nous pouvons constater que lrsquoappareil reste
immobile
163 Vol de translation
Correspond agrave tout vol en avant en arriegravere ou sur le coteacute Pour obtenir un
mouvement de translation selon lrsquoaxe lsquoxrsquo ou lsquoyrsquo il suffit de reacutealiser un roulis ou un tangage
en augmentant la vitesse drsquoun moteur et en diminuant celle du moteur du mecircme axe avec la
mecircme quantiteacute pour conserver la portance intacte
Pour le mouvement du lacet (rotation sur lui-mecircme) il faut augmenter la vitesse
drsquoune paire de moteur du mecircme axe et diminuer drsquoautant celle de lrsquoautre paire Le sens de
mouvement du lacet deacutependra du sens de rotation qursquoon aura choisi pour les paires de
moteurs
17 Revues bibliographiques sur les drones quadri-rotors
Cette nouvelle geacuteneacuteration drsquoengins miniatures autonomes connue sous le nom de
Drones miniatures a susciteacute un grand inteacuterecirct ainsi une diversiteacute de modegraveles et de
configurations ont vu le jour
Chapitre 1 ETAT DE LrsquoART
19
Le drone quadri-rotors eacutetait et est lune des configurations les plus eacutetudieacutees
Plusieurs eacutequipes de chercheurs du monde entier se sont lanceacutees dans le domaine de
conception dune loi de commande simple robuste et facilement embarquable Ce domaine
est bien vaste touchant plusieurs speacutecialiteacutes (automatique aeacuterodynamique robotique)
171 Commandes en litteacuterature
Plusieurs travaux consacreacutes agrave la conception de diffeacuterentes commandes ont eacuteteacute
publieacutes il y a ceux qui preacutesentent des lois de commande baseacutees sur le systegraveme lineacuteariseacute des
drones et dautres traitants le modegravele en entier
En consideacuterant une lineacutearisation du modegravele dynamique de leur quadri-rotors [7] PPound
et al [8] ont deacuteveloppeacute un algorithme de controcircle stabilisant leur modegravele Des tests
numeacuteriques ont eacuteteacute effectueacutes confirmant la validiteacute de cette commande
Une meacutethode de stabilisation et de poursuite de trajectoire baseacutee sur la notion de platitude
eacutetait conccedilue dans [9 10] Cette meacutethode a eacuteteacute appliqueacutee sur le systegraveme lineacuteariseacute du quadri-
rotors X4 Elle a assureacute la poursuite du drone vers une trajectoire planifieacutee Des tests
numeacuteriques ont eacuteteacute faits
Dans [11 12] une configuration dun quadri-rotors nommeacute OS4 est preacutesenteacutee En se
limitant agrave un systegraveme simplifieacute du modegravele du OS4 un algorithme de controcircle de type
PID a eacuteteacute eacutelaboreacute En consideacuterant ensuite un modegravele plus complet une commande LQ est
geacuteneacutereacutee Ces commandes preacutesenteacutees arrivent agrave stabiliser le modegravele entier neacuteanmoins elles
sont assez sensibles aux perturbations pouvant affecter le systegraveme
Dans [13] Chen et Huzmezan ont obtenu un modegravele lineacuteariseacute quils ont utiliseacute pour
syntheacutetiser un controcircleur de type H1 Ils ont testeacute leur algorithme sur une plateforme
pivotant librement autour dun point
Dans [14] deux commandes non lineacuteaires sont eacutelaboreacutees pour la stabilisation du quadri-
rotors OS4 La premiegravere approche est baseacutee sur la technique du backstepping tandis que
la deuxiegraveme utilise la technique de modes glissants Des tests pratiques ont eacuteteacute appliqueacutes
sur une plate-forme au sol non embarqueacutee validant les reacutesultats theacuteoriques des deux
approches
En utilisant deux meacutethodes dapproches diffeacuterentes dans [15] K Zemalache Meguenni a
eacutetudieacute la stabiliteacute et la poursuite de trajectoire pour deux quadri-rotors diffeacuterents (X4 et
XSF)
Chapitre 1 ETAT DE LrsquoART
20
En premier temps en combinant la technique de backstepping agrave lapproche de Lyapunov
deux algorithmes associeacutes aux deux modegraveles ont eacuteteacute syntheacutetiseacutes Les reacutesultats des deux
modegraveles ont eacuteteacute testeacutes numeacuteriquement pour le suivi de trajectoires planifieacutees point agrave point
En second temps une commande baseacutee sur la theacuteorie de la logique floue eacutetait eacutelaboreacutee
pour le drone XSF des tests numeacuteriques ont eacuteteacute effectueacutes
Dans [16] une lineacutearisation robuste par retour drsquoeacutetat mixeacute avec le controcircleur GHinfin lineacuteaire
est appliqueacutee Une saturation des actionneurs et des contraintes sur la sortie de lrsquoespace
drsquoeacutetat sont introduites pour analyser le cas deacutefavorable pour la commande Les reacutesultats
obtenus prouvent que le systegraveme global devient robuste lorsque les fonctions pondeacutereacutees
sont choisies judicieusement Le fonctionnement du controcircleur est illustreacute dans une eacutetude
de simulation qui tient compte des incertitudes sur les paramegravetres et les perturbations
externes
Dans [17] la conception de larchitecture informatique embarqueacutee pour la commande dun
quadri-rotors et dun avion miniature est preacutesenteacutee La modeacutelisation dynamique des deux
engins eacutetait eacutetablie au moyen de la meacutethodologie de Newton-Euler en prenant en compte
les forces et les moments aeacuterodynamiques En utilisant la technique de saturations
emboiteacutees baseacutee principalement sur lapproche de Lyapunov deux commandes non
lineacuteaires eacutetaient eacutelaboreacutees pour le quadri-rotors
Deux autres commandes lineacuteaires ont eacuteteacute syntheacutetiseacutees pour les deux drones Des eacutetudes de
robustesse des commandes ont eacuteteacute preacutesenteacutees et des tests expeacuterimentaux des algorithmes
en temps reacuteel ont eacuteteacute appliqueacutes sur une plateforme
Inspireacute des travaux [18] effectueacutes sur la stabilisation du PVTOL (Planar Vehicle Take of
and Landing) P Castillo [19 20 21] a preacutesenteacute la conception dune commande non
lineacuteaire pour un quadri-rotors dont le modegravele est obtenu par la meacutethode dEuler-Lagrange
en tenant compte de la dynamique des moteurs Cette commande est baseacutee sur la technique
des saturations emboiteacutees fondeacutee principalement sur lapproche de Lyapunov Des
plateformes expeacuterimentales ont eacuteteacute reacutealiseacutees pour appliquer et tester les lois de commande
proposeacutees
Se basant sur le formalisme de Newton-Euler T Hamel et al [22] ont eacutetabli la
modeacutelisation dynamique dun quadri-rotors prenant en compte la dynamique des moteurs et
les effets aeacuterodynamiques et gyroscopiques des rotors
Dans [23] les auteurs ont deacutemontreacute que lapplication des approches 2D des
asservissements visuels peuvent ecirctre exploiteacutes pour la commande des systegravemes sous
actionneacutees
Chapitre 1 ETAT DE LrsquoART
21
En supposant que la direction du motif est cette fois ci fixe dans le repegravere cameacutera ce
reacutesultat a pu ecirctre eacutelargi en donnant naissance agrave un asservissement visuel purement 2D [24]
plus complexe suite agrave la dynamique de zeacutero introduite par cette hypothegravese Des tests
numeacuteriques ont eacuteteacute faits validant ce reacutesultat
E Altug et al [25 26 27] ont proposeacutes un algorithme de controcircle pour stabiliser le quadri-
rotor en utilisant la vision comme capteur principal Cette technique se compose drsquoune
cameacutera terrestre et drsquoune cameacutera embarqueacutee sur lrsquoheacutelicoptegravere et sont utiliseacutees pour estimer
les eacutetats de lrsquoheacutelicoptegravere Lrsquoalgorithme de la pose est compareacute par la simulation agrave drsquoautres
meacutethodes drsquoestimation de la pose (telles que la meacutethode de quatre points et la meacutethode de
steacutereacuteo vision) et srsquoavegravere moins sensible aux erreurs dans le plan image Ils ont eacutetudieacute deux
techniques pour la commande la premiegravere utilise une commande par lineacutearisation tandis
que la deuxiegraveme utilise la technique de backstepping
18 Conclusion
Dans ce chapitre nous avons preacutesenteacute un bref aperccedilu sur quelques mini-
heacutelicoptegraveres autonomes existant en sattardant sur les drones agrave voilures tournantes et leurs
eacutequipements
Ensuite nous avons citeacute un ensemble de travaux portant sur la stabilisation des drones agrave
quatre rotors existants en litteacuterature
Dans le chapitre suivant nous traiterons le problegraveme de la modeacutelisation par le formalisme
de Newton-Euler pour le quadri-rotor afin drsquoappliquer les techniques de commande non
lineacuteaire Il srsquoagit drsquoun modegravele caracteacuterisant des veacutehicules sous actionneacutes
Chapitre 2 MODELISATION DrsquoUN DRONE A QUATRE HELICES
22
Chapitre 2
MODELISATION DUN DRONE A QUATRE HELICES
Chapitre 2 MODELISATION DrsquoUN DRONE A QUATRE HELICES
22
2 MODELISATION DrsquoUN DRONE A QUATRE HELICES
21 Introduction
Tout corps meacutecanique eacutevoluant en temps continu peut ecirctre deacutecrit par un systegraveme
deacutequations diffeacuterentielles reacutegissant sa dynamique Il srsquoagit drsquoeacutetablir le modegravele
matheacutematique de la dynamique du drone agrave quatre heacutelices Pour atteindre ce but nous
avons recours agrave des eacutetudes meacutecaniques telles que lapproche Newtonienne et celle dEuler-
Lagrange
Dans la litteacuterature pour aborder la modeacutelisation dengin volant de nombreux travaux se
sont inspireacutes de la dynamique dun corps rigide associeacute au fuselage auquel se rajoutent les
forces aeacuterodynamiques geacuteneacutereacutees par les rotors [28 29 19 30 31 32 33 15]
Cette ideacutee a eacuteteacute choisie afin de pouvoir contourner la difficulteacute de la question de la
flexibiliteacute de la machine Cette flexibiliteacute est supposeacutee neacutegligeable
Certaines propositions de modeacutelisation du drone sont preacutesenteacutees dans la litteacuterature telles
celles baseacutees sur le formalisme de Newton [28 22 23] lieacutees principalement au repegravere
local et celles baseacutees sur le formalisme dEuler-Lagrange [29 19 30 20 31 32 15] lieacutees
au repegravere global supposeacute fixe
Dans ce chapitre nous preacutesentons la dynamique pour un drone capable de vol
drsquoavancement rapide et de vol stationnaire ou quasi-stationnaire Un tel modegravele peut ecirctre
acheveacute dans un repegravere local lieacute au drone ou dans un repegravere global supposeacute fixe Nous
eacutevoquons le modegravele global qui sera traiteacute de point de vue commande en stabilisation et en
poursuite
En premier lieu nous preacutesentons la configuration du veacutehicule et son principe de
fonctionnement Nous nous inteacuteressons eacutegalement aux diffeacuterents repegraveres suscitant notre
attention
Ensuite nous nous occupons de la modeacutelisation du X4 en calculant son moment dinertie
et en ayant recours au formalisme Newton nous deacuteterminons son modegravele dynamique
Enfin nous achevons ce chapitre par une conclusion
Chapitre 2 MODELISATION DrsquoUN DRONE A QUATRE HELICES
23
22 Heacutelicoptegraveres agrave quatre heacutelices
En geacuteneacuteral un heacutelicoptegravere agrave quatre heacutelices est un heacutelicoptegravere posseacutedant quatre rotors
assurant son deacuteplacement [2]
Depuis les anneacutees 50 de nouveaux types dheacutelicoptegraveres de faible dimension
teacuteleacutecommandeacutes sont apparus Ils permettent de reacutealiser des missions dangereuses ou
inaccessibles agrave lecirctre humain Ainsi nous pouvons citer les mini-heacutelicoptegraveres agrave quatre
heacutelices appeleacutes couramment X4 (fig21) vu leur forme en X
Figure 21 Quadri-rotors X4
221 Fonctionnement du X4
Les X4 sont des mini-heacutelicoptegraveres preacutesenteacutes sous forme de croix geacuteneacuteralement
fabriqueacutes en fibre de carbone Au bout de chaque tige de la croix on fixe une heacutelice
Afin deacuteliminer les anti-couples des heacutelices entre elles et permettre la stabiliteacute en lacet les
heacutelices voisines tournent dans des sens inverses avec un pas fixe
Pour assurer un deacuteplacement suivant laxe des x le drone X4 fait un angle de tangage ߠ
obtenu par une diffeacuterence de vitesse de rotation des rotors avant et arriegravere ensuite il suit
cet axe lors du retour agrave leacutegaliteacute des vitesses de rotation des rotors
De maniegravere similaire le deacuteplacement du X4 suivant laxe des y est assureacute par un angle de
roulis empty obtenu suite agrave une diffeacuterence des vitesses de rotation des rotors lateacuteraux
Le lacet sobtient en augmentant la vitesse des moteurs avant et arriegravere tout en reacuteduisant la
vitesse des moteurs lateacuteraux Les quadri-rotors eacutetant commandeacutes par la diffeacuterence des
vitesses de rotation des rotors il est important que lon puisse varier rapidement la vitesse
de rotation des moteurs Pour cela il convient dutiliser des pales tregraves leacutegegraveres (en fibre de
carbone par exemple) et des rapports de reacuteduction relativement grands
Chapitre 2 MODELISATION DrsquoUN DRONE A QUATRE HELICES
24
Figure 22 Sens de rotation des rotors de X4
23 Modeacutelisation du drone quadri-rotors X4
Le modegravele dynamique de quadri-rotor est donneacute par le formalisme de Newton-Euler
Pour pouvoir deacuteterminer le modegravele dynamique le quadri-rotor est assimileacute agrave une structure
rigide et symeacutetrique drsquoougrave lrsquohypothegravese que la matrice drsquoinertie est diagonale Les heacutelices
sont eacutegalement supposeacutees rigides pour pouvoir neacutegliger lrsquoeffet de leur deacuteformation lors de
la portance et la traineacutee de chaque moteur qui sont proportionnelles au carreacute de la vitesse
de rotation des rotors ce qui est une approximation tregraves proche du comportement
aeacuterodynamique et le repegravere lieacute agrave cette structure est geacuteneacuteralement supposeacute confondu avec
son centre de graviteacute Cela nous emmegravene agrave consideacuterer la dynamique du quadri-rotor
comme celle drsquoun corps solide dans lrsquoespace [15 34] Les conditions atmospheacuteriques sont
la condition standard de pression et de tempeacuterature
231 Caracteacuteristiques physiques
Les caracteacuteristiques physiques du quadri-rotor preacutesenteacutees dans cette section ont eacuteteacute
eacutetudieacutees en deacutetail par McKerrow [35] La masse totale du quadri-rotor m est la somme de
la masse de la croix (mc) les masses des quatre rotors consideacutereacutes comme identiques
( isin 1234 ) et la masse de lrsquoeacutelectronique et batterie (mb)
m = m1 + m2 + m3 + m4 + mc + mb
Sens horaireSens antihoraire
Chapitre 2 MODELISATION DrsquoUN DRONE A QUATRE HELICES
25
La structure du quadri-rotor est consideacutereacutee parfaitement symeacutetrique et en conseacutequence la
matrice drsquoinertie IG est diagonale
ܫ = ቌ
௫௫ܫ 0 00 ௬௬ܫ 0
0 0 ௭௭ܫ
ቍ (21)
avec ௫௫ܫ repreacutesente lrsquoinertie autour de lrsquoaxe ଵܧ
qui passe entre le centre de la croix et les
rotors (avant-arriegravere) ௬௬ܫ repreacutesente lrsquoinertie autour de lrsquoaxe ଶܧ
qui passe entre le centre de
la croix et les rotors (droite-gauche) et finalement ௭௭ܫ repreacutesente lrsquoinertie autour de lrsquoaxe
ଷܧ
perpendiculaire au plan de ଵܧ
et ଶܧ
(voir figure 23)
Lrsquoinertie ௫௫ܫ est la somme de lrsquoinertie de la croix (௫ܫ) lrsquoinertie des quatre moteurs ୫ܫ) ୶ଵ
୫ܫ ୶ଶ ୫ܫ ୶ଷ et ୫ܫ ୶ସ) et lrsquoinertie de lrsquoeacutelectronique (ୠ୶ܫ) autour du point drsquointersection de la
croix
௫௫ܫ = ௫ܫ + ܫ ௫ଵ + ܫ ௫ଶ + ܫ ௫ଷ + ܫ ௫ସ + ௫ܫ (22)
On peut suivre la mecircme deacutemarche pour trouver les expressions des inerties ௬௬ܫ et ௭௭ܫ
Lrsquoinertie de la croix autour du point drsquointersection est donneacutee par
௫ܫ = ௬ܫ = (ଶ)మ
ଵଶ+
ௗమ
ଶ(23)
௭ܫ = (ଶ)మ
(24)
Ougrave d est le diamegravetre des poutres qui constituent la croix et l est la distance entre le centre
de la croix et un des quatre rotors Pour trouver les inerties des moteurs McKerrow [35]
considegravere le moteur comme un cylindre de longueur pm avec un rayon rm alors lrsquoinertie du
moteur avant autour du point drsquointersection de la croix est
ܫ ௫ଵ = భ
మ
ସ+
మ
ଷ(25)
ܫ ௬ଵ = భ
మ
ସ+
మ
ଷ+ ଵ
ଶ (26)
ܫ ௭ଵ = భ
మ
ଶ+ ଵ
ଶ (27)
Lrsquoeacutelectronique et la batterie srsquoaccrochant au-dessous de lrsquointersection agrave une distance l0 sont
modeacuteliseacutees par un paralleacuteleacutepipegravede rectangulaire avec des dimensions ab wb et hb
Chapitre 2 MODELISATION DrsquoUN DRONE A QUATRE HELICES
26
௫ܫ = (௪
మାమ)మ
ଵଶ+
ଶ (28)
௬ܫ = (
మାమ)మ
ଵଶ+
ଶ (29)
௭ܫ = (௪
మାమ)మ
ଵଶ(210)
Le mouvement du drone est reacutegi par un modegravele dynamique preacutesentant le lien entre les
entreacutees du systegraveme et les sorties agrave controcircler Il faut maintenant deacutefinir le domaine
drsquoeacutevolution du robot (repegravere inertiel) et la relation matrice de passage qui le lie au drone
(repegravere local)
232 Repegraveres et matrices de passage
Lrsquoeacutetude du mouvement drsquoun drone eacutevoluant dans lrsquoespace requiert la connaissance
de sa position et de son orientation Cette localisation neacutecessite le choix drsquoau moins deux
repegraveres Le premier repegravere est le repegravere inertiel global RO reacutefeacuterence Le repegravere inertiel est
lieacute agrave la terre et peut ecirctre consideacutereacute comme Galinien RO (Ex Ey Ez) est orienteacute comme
indiqueacute sur la figure 23 A savoir Ex est orienteacute vers le nord Ey est orienteacute vers lrsquoest et Ez
orienteacute vers le haut
On deacutefinit un repegravere local ayant comme origine le centre de graviteacute G du drone Le repegravere
RG ଵܧ)
ଶܧ
ଷܧ
) appeleacute aussi repegravere relatif agrave la meacutecanique de vol dont les axes sont lieacutees agrave
la geacuteomeacutetrie de lrsquoappareil
Figure 23 Repegraveres du drone inertiel et local
Chapitre 2 MODELISATION DrsquoUN DRONE A QUATRE HELICES
27
La relation entre le repegravere du drone noteacute (RG) et le repegravere inertiel (RO) peut ecirctre donneacutee
par la matrice de rotation orthogonale de dimension 3 times 3 La contrainte dorthogonaliteacute
reacuteduit le nombre de paramegravetre neacutecessaire pour preacutesenter cette matrice agrave trois paramegravetres Il
existe plusieurs maniegraveres de parameacutetrer la matrice de rotation dont le choix deacutepend de
lapplication en question
La parameacutetrisation de la matrice de rotation par les angles dEuler est souvent utiliseacutee dans
les applications de robotique Elle permet dobtenir la matrice de rotation globale par trois
rotations eacuteleacutementaires autour des axes ଵܧ
ଶܧ
et ଷܧ
respectivement
Le parameacutetrage de cette matrice seffectue par le vecteur
ଶߟ = ߠ) Ф) (211)
Consideacuterons le vecteur de coordonneacutees geacuteneacuteraliseacutees q isin ℝ deacutefini par
(ݐ)ݍ = (ߠݖݕݔ) ni ݐ ℝ
Ougrave x y z deacutefinissent la position du centre de graviteacute du mini-heacutelicoptegravere X4 par rapport au
repegravere inertiel RO (Ex Ey Ez)
Lrsquoorientation du mini-heacutelicoptegravere X4 est donneacutee par les angles drsquoEuler ߠ) Ф) qui
repreacutesente respectivement le tangage le roulis et le lacet
Le passage du triegravedre ை(ܧ௫ܧ௬ܧ௭) au triegravedre ଵܧ)
ଶܧ
ଷܧ
) est reacutealiseacute par trois
rotations successives figure 24
൫ܧ௫ܧ௬ܧ௭൯ுψሱሮ (௭ܧ)
ுഇሱሮ ଵܧ)
)
ுemptyሱሮ ଵܧ)
ଶܧ
ଷܧ
) (212)
Ougrave ൫ܧ௫ܧ௬ܧ௭൯ est la base du repegravere RO ൫ܧଵ
ଶܧ
ଷܧ൯est la base du repegravere locale
drone
RG(ܧ௭) et ଵܧ)
) sont les bases intermeacutediaires et టܪ ఏܪ et emptyܪ les matrices
de rotations orthogonales
Hభψ est la matrice de rotation de lrsquoangle autour de Oz1 appeleacute lacet au cap deacutefinie
par
టܪ = ൭ݏ ݏ 0
ݏminus ݏ 00 0 1
൱ (213)
Chapitre 2 MODELISATION DrsquoUN DRONE A QUATRE HELICES
28
H୷భ est la matrice de rotation de lrsquoangle θ autour de Oy1 appeleacute tangage ou assiette
deacutefinie par
ఏܪ = ൭ߠݏ 0 minus ߠݏ0 1 0
ߠݏ 0 ߠݏ൱ (214)
H୶మథ est la matrice de rotation de lrsquoangle autour de Ox2 appeleacute roulis ou gite
deacutefinie par
థܪ = ൭1 0 00 ݏ ݏ0 minus ݏ ݏ
൱ (215)
Figure 24 Rotations successives deacutefinissant les pseudos angles drsquoEuler
La transformation qui permet de passer du repegravere local vers le repegravere global ை est
donneacutee par
= టܪ ఏܪ థܪ (216)
Chapitre 2 MODELISATION DrsquoUN DRONE A QUATRE HELICES
29
Telle que
=
൭
ݏ ߠݏ ߠݏ ݏ minus ߠݏݏ ݏ minusߠݏ ݏ ݏ ݏߠݏ ݏ + ݏ ݏ ݏߠݏߠݏ ݏ ݏ + ݏ ݏ ݏ ݏߠݏ minus ݏ ߠݏ ߠݏ ݏ
൱(217)
R est une matrice de rotation orthogonale de deacuteterminant uniteacute ayant pour inverse sa
transposeacutee
Ce type de matrice forme un groupe appeleacute groupe des matrices orthogonales speacuteciales
dordre 3 noteacute SO(3) deacutefini par [36]
(3) = isin ℝଷtimesଷ = ܫ ݐ ()ݐ = 1
Gracircce agrave cette matrice de rotation R nous pouvons eacutetablir une relation entre la vitesse du
mini-heacutelicoptegravere exprimeacutee dans son propre repegravere mobile et sa vitesse exprimeacutee dans le
repegravere inertiel
233 Transformation des vitesses
Dans ce paragraphe nous mettons en eacutevidence la relation qui lie les vitesses du
drone exprimeacutees dans le repegravere local avec leurs expressions exprimeacutees dans le repegravere
inertiel
Soient
υଵ la vitesse lineacuteaire du mini-heacutelicoptegravere exprimeacutee dans le repegravere local RG
ηଵ = (x y z) vecteur position du centre de graviteacute du mini-heacutelicoptegravere par rapport au
repegravere inertiel RO
Ainsi nous pouvons eacutetablir la relation suivante qui fait le lien entre la vitesse locale du X4
flyer et sa vitesse exprimeacutee dans le repegravere inertiel
ଵߟ = ଵ (218)
De mecircme nous pouvons aussi eacutetablir une relation entre la vitesse angulaire du mini
heacutelicoptegravere exprimeacutee dans le repegravere local et celle exprimeacutee dans le repegravere inertiel
Soient
υଶ = (p q r) la vitesse angulaire du mini-heacutelicoptegravere exprimeacutee dans le repegravere local RG
ηଶ = (θ ϕ ψ) la vitesse angulaire du mini-heacutelicoptegravere exprimeacutee dans le repegravere inertiel
Ainsi nous pouvons eacutetablir la relation suivante
ଶߟ = ܬ ଶ (219)
Chapitre 2 MODELISATION DrsquoUN DRONE A QUATRE HELICES
30
Grace agrave la relation (212) nous avons
υଶ = ϕ ଵܧሬሬሬሬሬ+ θVሬሬ+ ψEሬሬሬሬ
= ϕ ଵܧሬሬሬሬሬ+ θቂcos(ϕ)ܧଶ
ሬሬሬሬሬminus sin(ϕ)ܧଷሬሬሬሬሬቃ+ ψቂminussin(θ)ܧଵ
ሬሬሬሬሬ+ cos(θ) Wሬሬሬቃ
= ϕ ଵܧሬሬሬሬሬ+ θቂcos(ϕ)ܧଶ
ሬሬሬሬሬminus sin(ϕ)ܧଷሬሬሬሬሬቃ
minus ψቂsin(θ)ܧଵሬሬሬሬሬminus cos(θ)ቀsin(ϕ)ܧଶ
ሬሬሬሬሬ+ cos(ϕ)ܧଷሬሬሬሬሬቁቃ
= ൫ϕ minus ψ sin(θ)൯ܧଵሬሬሬሬሬ+ ൫θ cos(ϕ) + ψcos(θ) sin(ϕ)൯ܧଶ
ሬሬሬሬሬ
minus ൫θ sin(ϕ) minus ψ cos(θ) cos(ϕ)൯ܧଷሬሬሬሬሬ
Ainsi nous avons
ቆpqrቇ= ቌ
1 0 minussin(θ)
0 cos(ϕ) cos(θ)sin(ϕ)
0 minussin(ϕ) cos(θ)cos(ϕ)ቍቌ
ϕ
θψ
ቍ (220)
Donc
Jଵ = ቌ
1 0 minussin(θ)
0 cos(ϕ) cos(θ)sin(ϕ)
0 minussin(ϕ) cos(θ)cos(ϕ)ቍ (221)
Drsquoougrave
J = ൮
1 sin(ϕ)tg(θ) minussin(θ)tg(θ)
0 cos(ϕ) minussin(ϕ)
0ୱ୧୬(ம)
ୡ୭ୱ()
ୡ୭ୱ(ம)
ୡ୭ୱ()
൲ (222)
La matrice J est deacutefinie pour tout θ ne
ଶ+ kπ avec k isin ℤ
En conclusion la relation cineacutematique srsquoeacutecrit
ቀυଵυଶቁ= ൬
R 0ଷlowastଷ
0ଷlowastଷ Jଵ൰൬
ηଵηଶ൰ (223)
Cette relation preacutesente une singulariteacute en θ = plusmn
ଶ
Or physiquement cette valeur est agrave eacuteviter car au voisinage de plusmn
ଶil y aura un
renversement du mini-heacutelicoptegravere Ainsi cette valeur nrsquoest pas atteignable par le mini-
heacutelicoptegravere cest-agrave-dire cette singulariteacute ne preacutesente pas une limitation agrave cette
parameacutetrisation
Chapitre 2 MODELISATION DrsquoUN DRONE A QUATRE HELICES
31
234 Forces Aeacuterodynamiques
Des eacutetudes en soufflerie ont permis de mettre en eacutevidence les diffeacuterentes forces
aeacuterodynamiques appliqueacutees sur les pales et leurs expressions [3738]
Dune maniegravere geacuteneacuterale les actions de lair se deacutecomposent en deux forces
Une force parallegravele agrave la vitesse de lair et de mecircme sens la traineacutee D
Une force perpendiculaire agrave la vitesse de lair la portance L
La somme vectorielle de ces deux forces constitue la reacutesultante des forces
aeacuterodynamiques
Force de portance
La pale se comporte comme une aile tournante de sorte que chaque eacuteleacutement de la pale dr
est en contact avec le flux dair avec une vitesse V induisant une force de portance [38]
dL =ଵ
ଶρCVଶds (224)
Ougrave ρ la densiteacute de lair C le coefficient de portance de lair il deacutepend de la forme du
profil et de langle dattaque (α = γ minus ϕ) (fig 25)
Ainsi pour un propulseur agrave n pales (2 pour le X4) la force de portance quon note f est
f =n
2 ρන VଶC୫ (r)C(r) dr
బ
=୬
ଶ ρ ωଶ int rଶC୫ (r) C(r) dr
బ
Avec
ܥ la corde de la pale (les pales sont similaires)
ω la vitesse angulaire de la pale
le rayon de pale
La force de portance a pour expression
f=ܭωsup2 (225)
Le calcul du coefficient de pousseacutee est souvent complexe Il est essentiel drsquoeacutelaborer
un processus expeacuterimental qui laisse deacuteterminer le coefficient de portance(K)
Chapitre 2 MODELISATION DrsquoUN DRONE A QUATRE HELICES
32
Figure 25 Description des forces appliqueacutees agrave la pale
Force de reacutesistance ou de traineacutee
Gracircce agrave de multiples tests en soufflerie les chercheurs ont pu deacuteterminer lexpression
de la force de traineacutee qui deacutepend directement du profil de la pale et de langle dincidence
[15 37]
Pour un propulseur agrave n pales la force de traineacutee a pour expression
ܯ =
2ߩ න ܥ ݎଶݎ(ݎ)ܥ(ݎ)
ோ
ோభ
Qursquoon note simplement
ܯ = ெܭ ଶ (226)
Avec
ܥ le coefficient de traineacute de lair il deacutepend de la forme du profil et de langle
drsquoattaque
ெܭ le coefficient de reacutesistance agrave deacuteterminer expeacuterimentalement
235 Modegravele dynamique du quadrirotor
Plusieurs auteurs ont eacutetudieacute la modeacutelisation du quadri-rotor Cette eacutetape est
consideacutereacutee comme le premier pas pour construire les lois de commande Le modegravele
Chapitre 2 MODELISATION DrsquoUN DRONE A QUATRE HELICES
33
dynamique obtenu repreacutesente la relation drsquoune part entre les forces et les couples
aeacuterodynamiques provoqueacutes par la rotation des rotors et lrsquoengin et drsquoautre part les
acceacuteleacuterations et de rotations du centre de masse du quadri-rotor Nous preacutesenterons drsquoabord
la dynamique de translation des cordonneacutees carteacutesiennes de la position et la vitesse dans le
repegravere terrestre fixe Ensuite la dynamique de rotation qui deacutecrit lrsquoattitude du drone et son
orientation dans le repegravere terrestre fixe est preacutesenteacutee
Le quadri-rotor est modeacuteliseacute en premiegravere approximation comme un solide indeacuteformable
La position du centre de masse G est deacutefinie par ܩ = (ݖݕݔ) et si on deacuterive une fois
par rapport agrave RG on trouve la vitesse G tel queௗைതതതത
ௗ௧= (ሶݖሶݕሶݔ) On deacuterive deuxiegraveme fois
par rapport agrave RG pour trouver son acceacuteleacuterationௗమைതതതത
ௗ௧మ= (ሷݖሷݕሷݔ)
Pour eacutelaborer la commande on deacutetaille le modegravele dans le repegravere fixe inertiel
Lrsquoeacutequation fondamental de la dynamique est donneacutee par
ௗ ௩ሬ
ௗ௧= ଵሬሬሬ (227)
ௗூಸఆሬሬ
ௗ௧= ଶሬሬሬ (228)
Ougrave υ repreacutesente la vitesse lineacuteaire du drone au centre de graviteacute G Ω la vitesse de
rotation de fuselage par rapport agrave Rୋ et (τ1τ2) les forces et les mouvements exteacuterieurs
soient le poids les forces et les moments aeacuterodynamiques et des propulseurs
2351 La dynamique de translation
La dynamique de translation du quadri-rotor est repreacutesenteacutee par lrsquoeacutequation
dynamique de Newton qui relie lrsquoacceacuteleacuteration lineacuteaire du centre de masse du quadri-rotor
et les forces externes agissant sur le quadri-rotor [7 38 39]
ௗsup2ை
ௗ௧sup2= fraslሬሬሬሬߛ R (229)
Il convient drsquoeacutecrire pour la translation
fraslሬሬሬሬሬߛ R = - eሬ + R ψ θ empty ሬݑ (230)
avec eሬ vecteur uniteacute de E
repreacutesente la constante gravitationnelle
ݑ la pousseacutee appeleacutee aussi entreacutee collective
Chapitre 2 MODELISATION DrsquoUN DRONE A QUATRE HELICES
34
=ሬݑ sum పሬሬସ
ୀଵ (231)
ሬሬሬሬሬߛ൘ = minus Ԧ௭ + ݑ Ԧଷ empty ߠ (232)
eሬଷ vecteur uniteacute de eሬ= (eሬଵ eሬଶ eሬଷ) porteacute par Eଷ
On montre que ݑ eሬଷ = (0 0 ݑଷ
) ougrave ݑଷ
= ଵ + ଶ + ଷ + ସ
La dynamique de translation est reacutegie par
= ሷݔ minus ଷݑߠ
ݕ = ߠݏܥ Sin ଷݑ (233)
=ሷݖ Cosݏܥߠ ଷݑ ndash
2352 Dynamique de rotation
La dynamique de rotation est deacutefinie par rapport au repegravere local mais exprimeacutee dans le
repegravere inertiel Le moment cineacutetique est deacutefinit par
Ԧߪ = ܫ ሬߗ (234)
Alors que la vitesse angulaire dans le repegravere local
=ሬߗ ଶߟܬ Ԧ (235)
A partir des eacutequations (234) et (235) on obtient
=ԦGߪ ܫ ଶߟܬ Ԧ
On pose ߎ = ܫ ܬ et en utilisant lrsquoeacutequation preacuteceacutedente la dynamique des momentssrsquoeacutecrit
ߎ ଶሬሬߟ + ߎ ሬሬextܯsum=ଶሷԦߟ (236)
Ougrave les moments exteacuterieurs par rapport agrave G ( i= i=1hellip4 qui repreacutesente la distance entre G et
i et qui sont identiques)
ሬሬextܯsum = ߠ Ԧ1 + empty Ԧ2+ ψ Ԧ3 (237)
Chapitre 2 MODELISATION DrsquoUN DRONE A QUATRE HELICES
35
Finalement les couples sont donneacutes par
=ߠ ( 2 ndash 4)empty = ( 1 ndash 3) (238)ψ = K ( 1 ndash 2 + 3 ndash 4)
Lrsquoeacutequation peut ecirctre eacutecrite comme
=ሷߟ ୋߎ minus]1-(ߟ) (ߟ)ୋߎ [ሶߟ (239)
Avec = ( ߠ empty ψ )t comme des commandes auxiliaires et
ୋߎ ቌ=(ߟ)
௫௫ܫ emptyݏܥ 0 00 ߠݏܥ emptyݏܥ௬௬ܫ 0
0 0 ௭௭ܫ
ቍ (240)
Dans un premier temps le modegravele donneacute ci-dessus peut ecirctre lineacuteariseacute par les lois de
commande deacutecoupleacutees suivantes
=ߠ ௫௫ܫ minus empty empty ߠ + ௫௫ܫ ǁ emptyݏܥempty = ௬௬ܫ minus sup2 empty ߠݏܥ empty minus emptyݏܥ௬௬ܫ ߠ empty ߠ + ௬௬ܫ emptyǁ emptyݏܥߠݏܥ (241)
ψ = ௭௭ܫ ǁψ
Le modegravele dynamique deacutecoupleacute de la rotation peut ecirctre eacutecrit sous la forme suivante
=ሷߟ ǁ (242)avec
ǁ= (ߠ empty ψ) T
En utilisant le systegraveme drsquoeacutequations 233 et 242 la dynamique du drone peut ecirctre deacutecrite
par les eacutequations suivantes
=ሷݔ - S 3ݑߠ
ݕ = Cߠݏ S empty 3ݑ
=ሷݖ C3ݑ emptyݏܥߠݏ ndash (243)
ߠ = ߠ
empty = empty
ψ = ψ
Chapitre 2 MODELISATION DrsquoUN DRONE A QUATRE HELICES
36
24 Etude des forces deacuteveloppeacutees
On srsquoattache dans cette partie agrave expliciter les actionneurs qui agissent sur le drone il
srsquoagit des quatre forces deacuteveloppeacutees par les heacutelices Afin de calculer la matrice des
actionneurs on construit une matrice qui permet la connexion entre les actionneurs et les
commandes en effet pour trouver ces forces il faut que la matrice Q soit inversible Les
relations entre les forces deacuteveloppeacutees par les actionneurs (les quartes moteurs brushless)
et les commandes dans les diffeacuterentes directions sont introduites pour le systegraveme X4 par
les relations suivantes [15]
ଷݑ = ଵ + ଶ + ଷ+ ସ
ସݑ =
౮౮ୡ୭ୱథଶminus
౯౯ୡ୭ୱథସ +
ୱ୧୬థ Φθ
ୡ୭ୱథ
ହݑ =
౮౮ୡ୭ୱథୡ୭ୱϴ ଵminus
౯౯ୡ୭ୱథୡ୭ୱϴ ଷ +ୱ୧୬థ Φ
మ
ୡ୭ୱథ+
ୗ୧୬ థ Φθ
ୡ୭ୱϴ(244)
ݑ =
ଵ minus
ଶ +
ଷ minus
ସ
On peut eacutecrire lrsquoeacutequation (244) sous la forme matricielle suivante
⎝
⎜⎜⎜⎛
ଷݑ
ସݑ
ହݑ
⎠ݑ
⎟⎟⎟⎞
= Q
⎝
⎜⎜⎜⎛
ଵ
ଶ
ଷ
ସ⎠
⎟⎟⎟⎞
+
⎝
⎜⎜⎜⎜⎛
0
ୱ୧୬థథ θ
ୡ୭ୱథ
ୱ୧୬థథమ
ୡ୭ୱథ+
ୱ୧୬థథ θ
େ୭ୱθ
0 ⎠
⎟⎟⎟⎟⎞
(245)
Avec
=
⎝
⎜⎜⎜⎜⎛
1
0
౯౯ ୡ୭ୱథ େθ
1
౮౮ୡ୭ୱథ
0
minus
1
0
minus
౯౯ ୡ୭ୱథ େθ
1
minus
౮౮ୡ୭ୱథ
0
minus
⎠
⎟⎟⎟⎟⎞
(246)
Chapitre 2 MODELISATION DrsquoUN DRONE A QUATRE HELICES
37
Ougrave
I =
⎝
⎜⎜⎜⎜⎛
0
ୱ୧୬థథ θ
ୡ୭ୱథ
ୱ୧୬థథమ
ୡ୭ୱథ+
ୱ୧୬థథ θ
େθ
0 ⎠
⎟⎟⎟⎟⎞
=
⎝
⎜⎜⎜⎛
ଷݑ
ସݑ
ହݑ
⎠ݑ
⎟⎟⎟⎞
(247)
Les forces sont calculeacutees agrave partir de lrsquoeacutequation suivante
f =
⎝
⎜⎜⎜⎛
ଵ
ଶ
ଷ
ସ⎠
⎟⎟⎟⎞
= Qଵ( minus I) (248)
Les caracteacuteristiques physiques du drone sont donneacutees par
l= 023 mIxx =224931 10-7 kg m2
Iyy =224931 10-7 kg m2
Izz =224931 10-7 kg m2
KT = 10-5 N S2
KM =9 10-6 N S2 mm =2 Kg
25 Conclusion
Dans ce chapitre nous avons preacutesenteacute le modegravele dynamique de mini-heacutelicoptegravere en
utilisant une approche Newton Euler Pour modeacuteliser cette dynamique nous avons vu que
plusieurs niveaux de repreacutesentation peuvent ecirctre considegraveres dynamique des actionneurs
dynamique des rotors processus de geacuteneacuteration de la reacutesultante des forces et des moments
dynamique du solide Ce dernier niveau de repreacutesentation indeacutependant de la configuration
de veacutehicule choisie est celui que nous utiliserons pour la synthegravese de lois de commande
Nous avons preacutesenteacute une modeacutelisation couramment utiliseacutee dans la litteacuterature permettant
de repreacutesenter la dynamique drsquoun drone miniature avec cette approche de type meacutecanique
du solide Le modegravele non lineacuteaire agrave six degreacutes de liberteacute obtenu est sous-actionneacute Cette
Chapitre 2 MODELISATION DrsquoUN DRONE A QUATRE HELICES
38
derniegravere proprieacuteteacute rend complexe la synthegravese de lois de commande Dans le chapitre
suivant la commande du drone par la technique du mode glissant est discuteacutee et appliqueacutee
ainsi que par la commande mode glissant floue
Chapitre3 COMMANDE PAR MODE GLISSANT ET FLOU-GLISSANT
38
Chapitre 3
COMMANDE PAR MODE GLISSANT ET FLOUGLISSANT
Chapitre3 COMMANDE PAR MODE GLISSANT ET FLOU-GLISSANT
39
3 COMMANDE PAR MODE GLISSANT ET FLOUE GLISSANT
31 Introduction
Malgreacute les efforts consideacuterables de la communauteacute automatique le problegraveme lieacute agrave
la commande drsquoun drone agrave modegravele reacuteduit pour les manouvres dans les diffeacuterents axes reste
un problegraveme difficile agrave reacutesoudre Cette difficulteacute est due principalement aux changements
des forces aeacuterodynamiques exerceacutees sur le drone en fonction des paramegravetres de
lrsquoenvironnement dans lequel il eacutevolueacute
Ce chapitre sera consacreacute agrave la conception des lois de commande non lineacuteaires
baseacutees sur la technique du mode glissant pour la commande des mouvements selon les
diffeacuterents axes Dans la premiegravere partie nous preacutesenterons quelques eacuteleacutements de la theacuteorie
par mode glissants agrave structure variable
La deuxiegraveme partie sera consacreacutee agrave la mise on œuvre et agrave la validation de ces techniques
de commande pour la stabilisation et le suivi de trajectoire du drone X4
Nous effectuons des tests en simulations de ces lois de commande dans diffeacuterentes
manouvres et sceacutenarios
32 Theacuteorie de la commande par mode de glissement
321 Systegraveme agrave structure variable
La commande par mode de glissement a connu un deacuteveloppement theacuteorique au
deacutebut des anneacutees 60 gracircce agrave la reacutesolution de lrsquoeacutequation diffeacuterentielle agrave second membre
discontinu par le matheacutematicien Russe A Fillipov [40 41] suivi des recherches de S
emelyanov en 1967 et de V Utkin en 1977 [42 43 44]
Le reacuteglage par modes de glissement est un mode de fonctionnement particulier des
systegravemes agrave structure variable Un systegraveme agrave structure variable est un systegraveme pouvant
changer de structure en faisant commuter sa commande entre deux valeurs suivant une
logique de commutation bien speacutecifique
Dans les systegravemes agrave structure variable avec mode glissant la trajectoire drsquoeacutetat est ameneacutee
vers une surface (hyperplan) puis agrave lrsquoaide de la loi de commutation elle est obligeacutee de
Chapitre3 COMMANDE PAR MODE GLISSANT ET FLOU-GLISSANT
40
rester au voisinage de cette surface Cette derniegravere est dite surface de glissement et le
mouvement le long de laquelle se produit est dit le mouvement de glissement La
trajectoire dans le plan de phase (systegraveme deuxiegraveme ordre) est constitueacutee de trois parties
distinctes (figure 31) [45 46 42 43]
Le mode de convergence (MC)
Durant lequel la variable agrave reacutegler se deacuteplace de nrsquoimporte quel point initial dans le plan de
phase est tend vers la surface de commutation (ݕݔ) = 0 Ce mode est caracteacuteriseacute par la
loi de commande et le critegravere de convergence
Le mode glissement (MG)
Durant lequel la variable drsquoeacutetat a atteint la surface de glissement et tend vers lrsquoorigine du
plan de phase La dynamique dans ce mode est caracteacuteriseacutee par le choix de la surface de
glissement (x y)
Le mode du reacutegime permanent (MRP)
Il est ajouteacute pour lrsquoeacutetude de la reacuteponse du systegraveme autour de sont point drsquoeacutequilibre (origine
du plan de phase) il est caracteacuteriseacute par la qualiteacute et les performances de la commande
Figure 31 Diffeacuterents modes pour la trajectoire dans le plan de phase
322 Conception de la commande par modes glissants
Syntheacutetiser une loi de commande par modes glissants revient en premier lieu agrave choisir la
surface de glissement qui permet la convergence de la trajectoire drsquoeacutetat du systegraveme vers le
point drsquoeacutequilibre deacutesireacute en second lieu agrave eacutetablir la condition drsquoexistence du mode de
glissement qui est relieacutee agrave la convergence de la trajectoire drsquoeacutetat vers le point drsquoeacutequilibre
et en troisiegraveme lieu agrave deacuteterminer la loi de commande qui aura pour rocircle de maintenir les
MC
MRP
MG
( ) =
Chapitre3 COMMANDE PAR MODE GLISSANT ET FLOU-GLISSANT
41
conditions de glissement (attractiviteacute) (Annexe A) En drsquoautre termes la conception de la
loi de commande par modes glissants est reacutealiseacutee en trois eacutetapes [47 48 43 45]
3221 Le choix de la surface de glissement (S)
La surface de glissement est un hyperplan dans lrsquoespace drsquoeacutetat global et repreacutesente
le comportement dynamique deacutesireacute La trajectoire drsquoeacutetat du systegraveme doit atteindre cette
surface Il nrsquoexiste pas de critegravere pour le choix drsquoune surface de glissement approprieacutee
Le choix de la surface du glissement identifieacutee par le nombre et sa forme deacutepend de
lrsquoapplication et lrsquoobjectif deacutesireacute
Consideacuterons le systegraveme non lineacuteaire deacutecrit par lrsquoeacutequation drsquoeacutetat suivante
=ሶݔ +ݔ(ݐݔ)ܣ ݑ(ݐݔ)ܤ (31)
La surface de glissement est une fonction scalaire telle que lrsquoerreur sur la variable agrave reacutegler
glisse sur cette surface et tend vers lrsquoorigine du plan de phase Nous trouvons dans la
litteacuterature diffeacuterentes formes de la surface dont chacune donne de meilleures performances
pour certaines utilisations
Dans certains ouvrage [48 49 42 43 44] on trouve une forme de la surface de
glissement qui est fonction de lrsquoeacutecart sur la variable agrave reacutegler x elle est donneacutee par
(ݔ) = ቀப
ப୲+ λቁ
ଵ
e(ݔ) (32)
Cette surface est drsquousage tregraves pratique car elle minimise le nombre des paramegravetres de
synthegravese de la surface (un seul coefficient) [50]
Ougrave lrsquoeacutecart de la variable agrave reacutegler est (ݔ) = ݔ minus ݔ estߣ une constante positive qui
repreacutesente la pente de la surface de glissement et r le degreacute relatif du systegraveme La
surface de glissement est fonction de lrsquoapplication et lrsquoobjectif viseacutes
La strateacutegie de commande consiste agrave garantir que les trajectoires du systegraveme se deacuteplacent
et tendent vers la surface de glissement (ݔ) = 0
Cette derniegravere et avec une condition initiale e(0) = 0 et (ݐݔ) = 0 devient une eacutequation
homogegravene qui possegravede une solution unique (ݔ) = 0
Chapitre3 COMMANDE PAR MODE GLISSANT ET FLOU-GLISSANT
42
Figure 32 Surface de glissement
3 222 La condition de convergence et drsquoexistence
Les conditions drsquoexistante et de convergence du mode de glissement sont des critegraveres
qui permettent aux dynamiques du systegraveme de converger vers la surface de glissement et
drsquoy rester indeacutependamment de la perturbation Il yrsquoa deux consideacuterations correspondantes
au mode de convergence de lrsquoeacutetat du systegraveme [46]
a) La fonction directe de commutation
Crsquoest la premiegravere condition de convergence Elle est proposeacutee et eacutetudieacutee par Emilyanov
et Utkin [42 43] Il srsquoagit de donner agrave la surface une dynamique convergente vers zeacutero
Elle est donneacutee par
(ݔ) gt 0 Lorsque (ݔ) lt 0
S (x) lt 0 Lorsque S(x) gt 0
Ces deux ineacutegaliteacutes peuvent ecirctre formuleacutes par la condition suffisante suivante
(ݔ) (ݔ) lt 0
b) La fonction de Lyapunov
La fonction de Lyapunov [46 43 44 ] est une fonction scalaire positive (Ѵ(ݔ) gt 0)
pour les variables drsquoeacutetats du systegraveme la loi de commande doit faire deacutecroicirctre cette fonction
(Ѵ (ݔ) lt 0) lrsquoideacutee est de choisir une fonction scalaire S(x) qui garantit lrsquoattraction de la
variable agrave controcircler vers sa valeur de reacutefeacuterence et de construire une commande u telle que
Ѵ(ݔ) =ଵ
ଶଶ(ݔ) (3 3)
( )=0
Chapitre3 COMMANDE PAR MODE GLISSANT ET FLOU-GLISSANT
43
La deacuteriveacutee de cette fonction est Ѵ(ݔ) = (ݔ) (ݔ) (3 4)
Pour que la fonction Ѵ(x) deacutecroitre il suffit drsquoassurer que sa deacuteriveacutee est neacutegative Ceci
nrsquoest permis que si la condition (34) est veacuterifieacutee Lrsquoeacutequation (33) explique que le carreacute de
la distance vers la surface mesureacutee par ଶ(ݔ) diminue tout le temps contraignant la
trajectoire du systegraveme agrave se diriger vers la surface dans les deux cocircteacutes [50]
3223 Deacutetermination de la commande
Une fois la surface de glissement S choisie stable de sorte que la sortie du systegraveme
converge vers une sortie deacutesireacutee la convergence du mode glissant est assureacutee on eacutelabore
une commande qui forcera les eacutetats du systegraveme agrave atteindre le point drsquoeacutequilibre tout en
maintenant la condition du mode glissant
La structure drsquoun controcircleur par mode de glissement peut ecirctre deacutecomposeacutee en une somme
de deux commandes [51 52 43 44 53]
ݑ = ݑ + ݑ (35)
ݑ eacutetant la commande eacutequivalente qui sert agrave maintenir lrsquoeacutetat sur la surface de glissement
(ݔ) = 0 et ݑ eacutetant la commande stabilisante (elle est deacutetermineacutee afin de veacuterifier la
condition de convergence en deacutepit de lrsquoimpreacutecision sur les paramegravetres et le modegravele)
La deacuteriveacutee totale par rapport au temps de cette surface est
S(ݐݔ) =partS
partt=
partS
ݔpart∙ ሶݔ (36)
Comme lrsquoeacutequation drsquoeacutetat est
=ሶݔ +ݔ(ݐݔ)ܣ ݑ(ݐݔ)ܤ + ݑ(ݐݔ)ܤ (37)
On a alors
S(ݐݔ) =partS
partt=
part
part௫∙ ൫ݔ(ݐݔ)ܣ+ +൯ݑ(ݐݔ)ܤ
partS
part௫ݑ(ݐݔ)ܤ (38)
En reacutegime ideacuteale la deacuteriveacutee de la surface est nulle la commande appliqueacutee au systegraveme est
la commande eacutequivalente ݑ par conseacutequent
൜ݑ = 0
(ݐݔ) = 0 (39)
Si la matrice ቀడௌ
డ௫∙ ቁest(ݐݔ)ܤ inversible lrsquoexpression de la commande eacutequivalente est
donneacutee par
=minusቀݑడௌ
డ௫∙ ቁ(ݐݔ)ܤ
ଵ
∙డௌ
డ௫∙ (ݐݔ)ܣ (310)
Chapitre3 COMMANDE PAR MODE GLISSANT ET FLOU-GLISSANT
44
Donc en remplaccedilant la commande eacutequivalente par son expression (310) dans (38) on
obtient
S(ݐݔ) =partS
ݔpart∙ (ݐݔ)ܤ ∙ ݑ (311)
Nous choisissons pour simplifier une surface de glissement qui veacuterifie la relation
பୗ
ப௫∙ (ݐݔ)ܤ = ܫ (312)
Ougrave I est la matrice identiteacute
Ainsi
(ݐݔ) = ݑ (313)
La commande discontinue est choisie de maniegravere agrave satisfaire la condition suffisante
drsquoexistence des modes glissants Il existe plusieurs formes pour cette commande ougrave la
condition drsquoexistence est veacuterifieacutee
ݑ = ܭminus ݏ ( ) (314)
Ougrave sign(( ((ݐݔ) est la fonction deacutefinie par
s (( ((ݐݔ) = ൜ݏ 1minus (ݐݔ) lt 0
1 ݏ (ݐݔ) gt 0 (315)
Avec K gt 0
(ݔ) (ݔ) = ܭminus ݏ ( ) lt 0 (316)
Ou encore
= ܭminus | | lt 0 (317)
323 Le pheacutenomegravene de reacuteticence
Le pheacutenomegravene de reacuteticence ℎݐݐ ݎ (fig33) est le principal inconveacutenient de la
technique de commande par mode glissant aux systegravemes physiques Ce pheacutenomegravene
conduit quelque fois agrave un nombre eacuteleveacute drsquooscillations de la trajectoire du systegraveme autour de
la surface de glissement est donc agrave des sollicitations excessives des actionneurs pouvant
provoquer leur usure rapide ainsi que des pertes eacutenergeacutetiques non neacutegligeables au niveau
des circuits de puissance eacutelectrique Il est ducirc drsquoune part agrave lrsquoimperfection des eacuteleacutements de
commutation ou des limites technologiques telles que les retards aux niveaux des
commutations [45 50]
Chapitre3 COMMANDE PAR MODE GLISSANT ET FLOU-GLISSANT
45
Figure 33 Pheacutenomegravene de chattering
324 Adoucissement de la commutation
Pour remeacutedier agrave lrsquoeffet de broutement de nombreuses eacutetudes ont eacuteteacute effectueacutees dans le
but de reacuteduire ou drsquoeacuteliminer ce pheacutenomegravene [ 50] Lrsquoune drsquoentre elles consiste agrave remplacer
la fonction sign par des approximations continues de type grand gain dans un voisinage de
la surface telles que la fonction de saturation deacutefinie par (voir figure 34)
Figure 34 Fonctions de commutation
La fonction sat(S(t)) est exactement eacutegale agrave la commutation sign(S(t)) agrave lexteacuterieur de la
couche limite φ Par conseacutequent ceci rend lanalyse vis-agrave-vis des erreurs de perturbation
plus facile Ceci nest pas le cas des autres fonctions comme smooth et comarctg pour
lesquels le choix de φ nest pas simple
33 Stabilisation du drone X4 par la meacutethode mode glissant
Dans cette partie en nous basant sur la strateacutegie de controcircle par mode glissant
deacutecrite dans les paragraphes preacuteceacutedents nous deacuteveloppons un vecteur de commande
ݐeacuteݎ
( )=0
sat (S(t))
φ
minusφ S(t)
Smooth(S(t))
S(t)
Penteଵ
ఝ Penteଵ
ଵఝ
arctg(S(t)
S(t)
Chapitre3 COMMANDE PAR MODE GLISSANT ET FLOU-GLISSANT
46
assurant le suivi et la stabiliteacute du quadri-rotors Rappelons le modegravele dynamique du X4
preacutesenteacute sous sa forme simplifieacutee suivante
=ሷݔ minus ଷݑߠݏ =ሷݕ emptyݏ ଷݑߠݏ =ሷݖ ߠݏ ଷݑ emptyݏ minus (318)
ߠ = ସݑempty = ହݑ = ݑ
331 Commande par mode glissant du systegraveme de translation lineacuteaire
3311 Controcircle de lrsquoaltitude
Nous remarquons que la commande u3 agit directement sur la variable drsquoaltitude z
contrairement aux commandes u4 et u5 qui agissent sur les variables x et y agrave travers les
angles ߠ et empty
Consideacuterons lrsquoeacutequation
=ሷݖ cos ଷݑ(empty) cos(ߠ) minus (319)
La surface est deacuteduite de lrsquoeacutequation (34) ougrave le degreacute relatif est pris eacutegal agrave deux afin que la
commande ଷݑ apparaisse explicitement dans sa deacuteriveacutee Elle est donneacutee par
(ݖ) = ሶ௭ + ௭ߣ ௭ (320)
Avec
௭ = ݖ minus z
ሶ௭ = ሶݖ minus ሶݖ
La deacuteriveacutee de la surface est
(ݖ) = ௭ + ௭ߣ ሶ௭ (321)
Avec ሷ௭ = ሷݖ minus ሷݖ
On remplace ሷparݖ sa valeur deacutecrite par lrsquoeacutequation (318) la deacuteriveacutee de la surface devient
(ݖ) = ሷݖ minus (ୡ୭ୱ(ఏ)ୡ୭ୱ (empty)
ଷݑ minus ) + ሶݖ)௭ߣ minus (ሶݖ (322)
Nous constatons donc que la commande apparaicirct explicitement dans la deacuteriveacutee de la
surface
Nous deacutecomposant la commande de lrsquoaltitude u3 en deux parties ଷݑ et ଷݑ
Chapitre3 COMMANDE PAR MODE GLISSANT ET FLOU-GLISSANT
47
ଷݑ = ଷݑ + ଷݑ (323)
En substituant lrsquoeacutequation 323 dans 322 nous obtenons
(ݖ) = ሷݖ minus (ୡ୭ୱ(ఏ)ୡ୭ୱ (empty)
( ଷݑ + (ଷݑ minus ) + ሶݖ)௭ߣ minus (ሶݖ (324)
Durant la mode de convergence et le reacutegime permanent nous avons la surface de
glissement (ݖ) = 0 ceci implique que sa deacuteriveacutee (ݖ) = 0 et la commande
discontinue ଷݑ = 0 drsquoougrave la grandeur de commande eacutequivalente
ଷݑ =
௦(ఏ)௦ (empty)൬ + ሶݖ௭ቀߣ+ሷݖ minus ሶቁ൰ݖ (325)
Durant le mode de convergence en remplaccedilant lrsquoexpression de la commande eacutequivalente
dans lrsquoexpression de la deacuteriveacutee de la surface nous obtenons
(ݖ) = minus௦(ఏ)௦ (empty)
ଷݑ (326)
Nous posons ଷݑ = ௭ ݏ ( ((ݖ) (327)
Afin de veacuterifier la condition de stabiliteacute de Layapunov S(z) S(z) lt 0 le paramegravetre ௭ doit
ecirctre positif
Drsquoougrave la commande ଷݑ devient comme suit
ଷݑ =
௦(ఏ)௦ (empty)൬ + ሶݖ௭ቀߣ+ሷݖ minus +ሶቁ൰ݖ ௭ ݏ ((ݖ)ݏ) (328)
33 12 Controcircle de deacuteplacement lineacuteaire suivant les axes et y
A partir du modegravele du X4 donneacute par lrsquoeacutequation (243) on voit clairement que le
deacuteplacement suivant les axes x et y deacutepend de la commande de pousseacutee ଷݑ Drsquoougrave
lrsquoorientation du vecteur total de pousseacutee ଷݑ responsable pour atteindre les mouvements
lineacuteaires deacutesireacutes Si nous consideacuterons ux = sin(ϴ) et uy = cos(ϴ)sin (empty) les orientations du
vecteur responsable pour les mouvements suivant les axes x et y respectivement Nous
pouvons par la suite tirer les angles pitch et roulis deacutesireacutes pour calculer les commandes ux
et uy
A partir du modegravele du drone le systegraveme dynamique des mouvements horizontale est
deacutefinis par
൜=ሷݔ minus ݏ ߠ) ଷݑ(
=ሷݕ cos (empty) ݏ (ߠ) ଷݑ (329)
Chapitre3 COMMANDE PAR MODE GLISSANT ET FLOU-GLISSANT
48
La loi de commande est obtenue par lrsquoutilisation de la technique mode glissant [54 55 56]
Les surfaces de glissement selon les axes x et y sont donneacutees par
(ݔ) = ሶ௫ + ௫ߣ ௫ (330)
(ݕ) = ሶ௬ + ௭ߣ ௬ (331)
Avec ex et ey les erreurs de positions qui sont deacutefinis par
௫ = ݔ minus ݔ
௬ = ݕ minus ݕ
Les mecircmes eacutetapes sont utiliseacutees pour deacuteterminer les commande de positions ௫etݑ ௬ݑ
௫ݑ =
௨య൫minusߣ௫൫ݔሶ minus minusሶ൯ݔ minusሷ൯ݔ ௫ ݏ ((ݔ)ݏ)ݐ (332)
௬ݑ =
௨య൫ߣ௬൫ݕሶ minus +ሶ൯ݕ +ሷ൯ݕ ௬ ݏ ((ݕ)ݏ)ݐ (333)
332 Commande par mode glissant du systegraveme de rotation
3321 Commande de lrsquoangle de roulis
Dans cette section on veut eacutetablir une commande par mode glissant qui assure
lrsquoorientation du drone par lrsquoangle empty (roulis)
Le degreacute relatif eacutegal agrave deux drsquoougrave la surface de glissement est deacutefinie par
(empty) = ሶempty + emptyߣ empty (334)
Avec
empty = empty minusempty
ሶempty = empty minus empty
La deacuteriveacutee de la surface est
(empty) = empty + emptyߣ ሶempty (335)
Avec ሷempty = empty minus empty
On remplace empty par sa valeur deacutecrite par lrsquoeacutequation (318) la deacuteriveacutee de la surfacedevient
(empty) = empty minus ହݑ + empty)emptyߣ minus empty) (336)
Nous constatons donc que la commande apparaicirct explicitement dans la deacuteriveacutee de la
surface
Nous deacutecomposant la commande de lrsquoaltitude u5 en deux parties ହݑ et ହݑ
ହݑ = ହݑ + ହݑ (337)
En substituant lrsquoeacutequation 337 dans 336 nous obtenons
(empty) = empty minus ହݑ ) + (ହݑ + empty)emptyߣ minus empty) (338)
Chapitre3 COMMANDE PAR MODE GLISSANT ET FLOU-GLISSANT
49
Durant le mode de convergence et le reacutegime permanent nous avons la surface de
glissement (empty) = 0 ceci implique que sa deacuteriveacutee (empty) = 0 et la commande
discontinue ହݑ = 0 drsquoougrave la grandeur de commande eacutequivalente
ହݑ = empty+ߣemptyቀempty minus emptyቁ (339)
En remplaccedilant lrsquoexpression de la commande eacutequivalente dans lrsquoexpression de la deacuteriveacutee de
la surface nous obtenons
(empty) = ହݑ minus (340)Nous posons
ହݑ = kempty sign(s(empty)) (341)
Afin de veacuterifier la condition de stabiliteacute de Laypunov (empty) (empty) lt 0 le paramegravetre empty
doit ecirctre positif
Drsquoougrave la commande ହݑ devient comme suit
ହݑ = empty+ߣemptyቀempty minus emptyቁ+ empty ݏ ( (empty)) (342)
3321 Commande des angles de tangage et de lacet
En suivant les mecircmes eacutetapes deacutecrites preacuteceacutedemment pour deacuteterminer les commandes de
tangage et de lacet ce qui nous donne [54 55 56]
ସݑ = ߠఏቀߣ+ߠ minus +ቁߠ ఏܭ ݏ ((ߠ)ݏ) (343)
ݑ = +ߣట ቀ minus ቁ+ kట sign(s()) (344)
Avec(ߠ) = ሶఏ + ఏߣ ఏ (345)
() = ሶట + టߣ ట (346)
34 Planification de trajectoire et reacutesultats de simulations
Nous travaillons avec une trajectoire en ligne droite le long des axes etݔݖ ݕ et nous
effectuons des trajectoires de type arc ou bien demi-cercle La stabilisation point par point
est utiliseacutee avec la planification de mouvement Le drone doit voler dans la direction ݖ (vol
vertical) suivi par un mouvement suivant ݔ ensuite par un mouvement suivant ݕ [2 15]
La trajectoire de reacutefeacuterence pour le vol vertical est parameacutetreacutee par lrsquoeacutequation suivante
(ݐ)ݖ = ℎௗ௧ఱ
௧ఱାቀ భ௧ቁ
ఱ (347)
Chapitre3 COMMANDE PAR MODE GLISSANT ET FLOU-GLISSANT
50
Avec h lrsquoaltitude deacutesireacutee de 10 m et Tଵ est le temps final Sachant que la valeur finale
drsquoune phase du vol est la valeur initiale du mouvement suivant x On peut eacutecrire la
trajectoire de reacutefeacuterence suivant x comme
(ݐ)ݔ = ℎௗቀ௧
భቁఱ
ቀ௧ మቁ
ఱା൬
భቀ௧ మቁ൰
ఱ (348)
On peut eacutecrire le mouvement suivant y avec la formule suivante
(ݐ)ݕ = ℎௗቀ௧
మቁఱ
ቀ௧ యቁఱା൬
మቀ௧ యቁ൰
ఱ (349)
ଶ est le temps final du mouvement le long de ݔ
ଷ est le temps final du mouvement le long de ݕ
Ces trajectoires sont soumises agrave des contraintes de performance qui sont
(0)ݖ = ൫ݔ ଵ൯=ݕ൫
ଶ൯= 0
൫ݖ ଵ൯= ൫ݔ
ଶ൯=ݕ൫ ଷ൯= ℎௗ
ሶ(0)ݖ = ሶ൫ݔ ଵ൯=ݕሶ൫
ଶ൯= 0
ሶ൫ݖ ଵ൯= ሶ൫ݔ
ଶ൯=ݕሶ൫ ଷ൯= 0 (350)
ሷ(0)ݖ = ሷ൫ݔ ଵ൯=ݕሷ൫
ଶ൯= 0
ሷ൫ݖ ଵ൯= ሷ൫ݔ
ଶ൯=ݕሷ൫ ଷ൯= 0
Minimiser le temps de deacuteplacement implique que lrsquoengin acceacutelegravere au deacutepart et deacuteceacutelegravere agrave
lrsquoarriver
La figure 35 illustre les trajectoires de reacutefeacuterences des vols suivant les directions x et y
ainsi que le vol vertical z Le drone effectue un mouvement vertical de 10 m puis un
mouvement suivant x drsquoune distance de 10 m ensuite un mouvement suivant y de la mecircme
Chapitre3 COMMANDE PAR MODE GLISSANT ET FLOU-GLISSANT
51
distance
Figure 35 Geacuteneacuteration de trajectoire avec =
Nous travaillons aussi avec des trajectoires pour faire par exemple des virages Un virage
est mateacuterialiseacute par un arc de cercle de rayon ߩ et drsquoangle (ݐ)ߙ (angle de virage)
Cette deacutependance du temps de ߙ implique qursquoon peut planifier la maniegravere dont on veut
aborder le virage Ainsi on peut planifier une acceacuteleacuteration ou une deacuteceacuteleacuteration dans un
virage De mecircme lrsquoangle ߙ qui agit directement sur le comportement du lacet peut
prendre des valeurs entre zeacutero pour un changement de direction ou ߨ2 pour contourner
un carrefour
Nous proposons de connecter etݖ ݔ agrave travers les eacutequations suivantes
ቊ(ݐ)ௗݔ = +൯(ݐ)ߙcos൫ߩminus ߩ
(ݐ)ௗݖ = +൯(ݐ)ߙsin൫ߩminus ߩ (351)
Et pour la transition de reacutefeacuterence entre ݔ et ݕ on prend
ቊ(ݐ)ௗݔ = +൯(ݐ)ߙsin൫ߩ ௗ൫ݔ
ଶ൯
(ݐ)ௗݕ = +൯(ݐ)ߙsin൫ߩminus ߩ (352)
Pour assurer la continuiteacute entre les deacuteriveacutees par rapport au temps de (ݐ)ௗݔ et (ݐ)ௗݕ crsquoest-agravedire en vitesse on a
0 5 10 15 20 250
2
4
6
8
10
12
z-re
f(m
)
temps (s)
0 5 10 15 20 250
2
4
6
8
10
12
x-r
ef(m
)
temps (s)
0 5 10 15 20 250
2
4
6
8
10
12
y-r
ef(m
)
temps (s)
05
10
0
10
200
5
10
x-deacuteplacementy-deacuteplacementz-
deacutep
lace
men
t
Chapitre3 COMMANDE PAR MODE GLISSANT ET FLOU-GLISSANT
52
(ݐ)ߙ =ఈ(௧ ௧)ఱ
(௧ ௧)ఱା(௧ ௧)ఱ(353)
Ougrave numeacuteriquement =ߩ 2 ௗߙ = ఈగ
ଶ( ఈ = 12) ݐ = ݏ6 ݐ = ݏ8 ௗ൫ݔ
ଶ൯=
ௗ൫ݕ ଷ൯= ℎௗ + =ߩ 10
Figure 36 une trajectoire de reacutefeacuterence avec arcs
Simulation numeacuterique
Dans cette partie nous testons numeacuteriquement la performance du vecteur de commande
deacuteveloppeacute preacuteceacutedemment en utilisant logiciel Matlab Simulink
Les coefficients de gain kx ky kz ఏ empty associeacutes respectivement aux paramegravetres x y z ߠempty et sont donneacutes par ( 5 4 10 10 5)
௭ߣ = 2 ௫ߣ = 5 ௬ߣ = 2 ఏ=10ߣ et emptyߣ = 5
Par la suite nous affichons les reacutesultats numeacuteriques du suivi de trajectoire de reacutefeacuterence en
absence et en preacutesence des perturbations
02
46
810
1214
02
46
810
120
2
4
6
8
10
12
Deacuteplacement suivant (x)Deacuteplacement suivant (y)
Deacutepla
cem
ent
suiv
ant
(z)
Chapitre3 COMMANDE PAR MODE GLISSANT ET FLOU-GLISSANT
53
Figure 37 La trajectoire de reacutefeacuterence et reacuteelle en cas droites
Figure 38 Les commandes u3 u4 u5 des connexions droites
02
46
810
12
02
46
810
120
2
4
6
8
10
12
Deacuteplacement suivant (x)Deacuteplacement suivant (y)
Deacute
pla
ce
me
nt
su
iva
nt
(z)
Trajectoire reacuteelle
Trajectoire reacutefeacuterence
0 5 10 15 20 250
20
40
u3(N
)
0 5 10 15 20 25-10
0
10
u4(N
m)
0 5 10 15 20 25-10
0
10
u5(N
m)
temps (s)
Chapitre3 COMMANDE PAR MODE GLISSANT ET FLOU-GLISSANT
54
Figure 39 Les erreurs pour des connections droites
Figure 310 Les angles de tangage et de roulis pour des connections droites
0 5 10 15 20 25 30 35-5
0
5x 10
-4
z-e
rreur(m
)
0 5 10 15 20 25 30 35-5
0
5x 10
-3
x-e
rreur(m
)
0 5 10 15 20 25 30 35-5
0
5x 10
-5
y-e
rreur(m
)
temps (s)
0 5 10 15 20 25
-05
0
05
angle
theta
(rad)
0 5 10 15 20 25
-05
0
05
angle
phi(rad)
temps (s)
Chapitre3 COMMANDE PAR MODE GLISSANT ET FLOU-GLISSANT
55
Figure 311 La trajectoire de reacutefeacuterence et reacuteelle en cas drsquoarcs
Figure 312 Les commandes u3 u4 u5 des connexions drsquoarcs
0
5
10
15
0
5
10
150
5
10
15
deacuteplacement suivant (x)deacuteplacement suivant (y)
deacutepla
cem
entsuiv
ant(z
)
Trajectoire reacuteelle
Trajectoire reacutefeacuterence
0 5 10 15 20 25 30 350
20
40
u3(N
)
0 5 10 15 20 25 30 35
-10
0
10
u4(N
m)
0 5 10 15 20 25 30 35-10
0
10
u5(N
m)
temps (s)
Chapitre3 COMMANDE PAR MODE GLISSANT ET FLOU-GLISSANT
56
Figure 313 Les erreurs pour des connexions drsquoarcs
Figure 314 Les angles de tangage et de roulis en cas drsquoarcs
0 5 10 15 20 25 30 35-5
0
5x 10
-4
z-e
rreur(m
)
0 5 10 15 20 25 30 35-5
0
5x 10
-3
x-e
rreurr
(m)
0 5 10 15 20 25 30 35-5
0
5x 10
-5
y-e
rreur(m
)
temps (s)
0 5 10 15 20 25 30 35
-05
0
05
angle
theta
(rad)
0 5 10 15 20 25 30 35
-05
0
05
angle
phi(rad)
temps (s)
Chapitre3 COMMANDE PAR MODE GLISSANT ET FLOU-GLISSANT
57
Figure 315 La trajectoire de reacutefeacuterence et reacuteelle en cas des demi-cercles
Figure 316 Les commandes u3 u4 u5 pour des connexions demi-cercles
-10
010
20
30
-5
0
5
100
5
10
15
20
25
deacuteplacement suivant (x)deacuteplacement suivant (y)
deacutepla
cem
entsuiv
ant(z
)
Trajectoire reacuteelle
Trajectoire reacutefeacuterence
0 10 20 30 40 50 60 70 80 900
10
20
30
u3(N
)
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90-5
0
5
u4(N
m)
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90-5
0
5
u5(N
m)
temps (s)
Chapitre3 COMMANDE PAR MODE GLISSANT ET FLOU-GLISSANT
58
Figure 317 Les erreurs pour des connexions demi-cercles
Figure 318 Les angles pour des connexions demi-cercles
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90-2
0
2x 10
-3
z-e
rreur(m
)
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90-5
0
5x 10
-4
x-e
rreur(m
)
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90-5
0
5x 10
-4
y-e
rreur(m
)
temps (s)
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90
-05
0
05
angle
theta
(rad)
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90
-05
0
05
angle
phi(rad)
temps (s)
Chapitre3 COMMANDE PAR MODE GLISSANT ET FLOU-GLISSANT
59
Figure 319 La trajectoire de reacutefeacuterence et reacuteelle en cas des demi-cercles
Figure 320 La trajectoire de reacutefeacuterence et reacuteelle en cas drsquoheacutelicoiumldale
-4
-20
2
4
-2
0
2
40
5
10
15
20
25
deacuteplacement suivant (x)deacuteplacement suivant (y)
deacutepla
cem
entsuiv
ant(z
)
Trajectoire reacuteelle
Trajectoire reacutefeacuterence
0
5
10
15
0
5
10
150
5
10
15
deacuteplacement suivant (x)deacuteplacement suivant (y)
deacutepla
cem
ent
suiv
ant
(z) Trajectoire reacuteelle
Trajectoire reacutefeacuterence
Chapitre3 COMMANDE PAR MODE GLISSANT ET FLOU-GLISSANT
60
Figure 321 La trajectoire de reacutefeacuterence et reacuteelle en cas drsquoun cocircne
Les figures 37 38 et 39 illustrent respectivement la reacutealisation des connexions droites
les signaux de commandes et des erreurs Nous constatons que la trajectoire parcourue par
le drone suit la trajectoire deacutesireacutee avec des erreurs de tregraves faibles valeurs Pour les
commandes la condition de lrsquoeacutetat drsquoeacutequilibre est toujours veacuterifieacutee apregraves avoir effectueacute une
manœuvre ଷݑ) est approximativement eacutegale agrave mg et les commandes ସݑ et ହݑ tendent vers
zero)
La figure (310) preacutesente lrsquoeacutevolution des angles de tangage et de roulis nous observons que
ces angles ne se manifestent que lors drsquoun mouvement effectueacute respectivement suivant les
axes ݔ et ݕ et tendent vers la valeur zeacutero apregraves avoir fait lrsquoorientation deacutesireacutee
Les figures (311) et (315) montrent respectivement la bonne poursuite de la trajectoire
reacuteelle vers sa reacutefeacuterence pour des connexions arcs et demi-cercle
Les figures (312) (313) et (314) illustrent respectivement les reacutesultats de simulation
pour la reacutealisation des connexions en arcs les signaux de commandes les erreurs et les
angles de tangage et de roulis
Les figures (316) et (317) quant agrave elles illustrent respectivement les signaux de
commande et les erreurs de poursuite pour des connexions en demi-cercle La condition de
lrsquoeacutetat drsquoeacutequilibre dans ce cas est toujours veacuterifieacutee apregraves avoir effectueacute les manouvres en
demi-cercle
-2
-10
1
2
-2
-1
0
1
20
1
2
3
4
5
deacuteplacement suivant (x)deacuteplacement suivant (x)deacuteplacement suivant (y)
deacutepla
cem
entsuiv
ant(z
)
trajectoire reacuteelle
Trajectoire reacutefeacuterence
Chapitre3 COMMANDE PAR MODE GLISSANT ET FLOU-GLISSANT
61
Drsquoapregraves la figure (318) on voit bien que les angles de tangage et de roulis tendent vers la
valeur zeacutero apregraves avoir fait lrsquoorientation deacutesireacutee
Les figures (319) (320) et (321) montrent la bonne poursuite des trajectoires reacuteelles agrave
leurs reacutefeacuterences en 3D pour des connexions demi-cercle (deuxiegraveme forme) heacutelicoiumldale et
cocircne respectivement Drsquoapregraves ces figures on voit clairement les bonnes performances de la
commande par mode glissant
341 Etude de robustesse
Nous nous inteacuteressons dans cette partie aux tests de la robustesse des controcircleurs
deacuteveloppeacutes Nous nous placcedilons toujours dans le cadre de la commande du drone X4 dans
le cas de lrsquoinfluence du vent suivant les diffeacuterents axes du mouvement
Selon le principe drsquoinertie (lois du mouvement de Newton) aucune eacutenergie nrsquoest
neacutecessaire pour maintenir le mouvement uniforme drsquoun corps dans le vide Dans le cas du
X4 une reacutesistance ou une force de traineacutee srsquooppose au mouvement de celui-ci en vol et
crsquoest le travail de cette force qui entraine une consommation suppleacutementaire drsquoeacutenergie aux
niveaux des actionneurs et qui affaiblit ses capaciteacutes en vol Cette force de reacutesistance peut
ecirctre calculeacutee comme suit [15]
=ܨଵ
ଶ௫ܥ ܣߩ
ଶ (354)
Fi la force de traineacutee suivant lrsquoaxe i en [N]
V est la vitesse relative en [ms]
A lrsquoaire caracteacuteristique de la surface frontale de la structure du drone [m2]
ρ la masse volumique du drone en [Kgm3]
Lrsquoexpression de lrsquoeacutequation 3 65 introduit un coefficient de traineacutee sans dimention Cx qui
deacutepend de la structure du X4 et qui est deacutetermineacute expeacuterimentalement en soufflerie
Ce coefficient vaut dans le cas du drone X4
-Cx = 005 suivant le deacuteplacement dans les directions x et y
-Cx = 008 suivant le deacuteplacement dans la direction z
Lrsquoaire caracteacuteristique A de la surface frontale de la structure drone est eacutegale agrave A =
0031[m2] avec une masse volumique estimeacutee eacutegale agrave ρ =122 [Kgm3]
Reacutesultat de simulation
Dans cette partie nous testons numeacuteriquement la performance du vecteur de
commande deacuteveloppeacute preacuteceacutedemment en preacutesence des perturbations externes qui sont
donneacutes par
Chapitre3 COMMANDE PAR MODE GLISSANT ET FLOU-GLISSANT
62
Ax =Ay = Az = 67 N pour t1=15s t2=20s et t3=30s
Ap = Aq = Ar = 1 Nm pour t4 = 32s et t5 = 35s
Les figures (322) (323) (324) (325) (326) illustrent les reacutesultats de la simulation dans
le cas drsquoune force de traineacutee opposeacutee de Ftrn = 65 N pour les deacuteplacements suivant les
directions z x et y respectivement Ainsi lrsquoapplication drsquoun couple reacutesistant pour les
orientations ߠ et empty de valeur 1Nm Drsquoapregraves ces figures on remarque que les erreurs sont
importantes et peuvent augmenter avec lrsquoaugmentation de la perturbation
Figure 322 La trajectoire de reacutefeacuterence et reacuteelle en cas des demi-cercles
02
46
810
1214
0
5
10
150
2
4
6
8
10
12
diplacement suivant (x)diplacement suivant (y)
dip
lacem
ent
suiv
ant
(z)
Trajectoire reacuteelle
trajectoire reacutefeacuterence
0 5 10 15 20 25 30 35 400
50
u3(N
)
0 5 10 15 20 25 30 35 40-60-40-20
020
u4(N
m)
0 5 10 15 20 25 30 35 40
-50
0
50
u5(N
m)
temps (s)
Chapitre3 COMMANDE PAR MODE GLISSANT ET FLOU-GLISSANT
63
Figure 323 Les commandes u3 u4 u5 des connexions demi-cercles
Figure 324 Les erreurs pour des connexions demi-cercles
Figure 325 Les angles pour des connexions demi-cercles
0 5 10 15 20 25 30 35 40
-05
0
05
1
angle
theta
(rad)
0 5 10 15 20 25 30 35 40
-1
-05
0
05
1
angle
phi(r
ad)
temps (s)
0 5 10 15 20 25 30 35 40-05
0
05
z-e
rreur
(m)
0 5 10 15 20 25 30 35 40-05
0
05
x-e
rreurr
(m)
0 5 10 15 20 25 30 35 40
-05
0
05
y-e
rreur
(m)
temps (s)
Chapitre3 COMMANDE PAR MODE GLISSANT ET FLOU-GLISSANT
64
Figure 326 Les forces pour des connexions demi-cercles
35 Commande du drone par mode glissant agrave action inteacutegrale
Lrsquoutilisation des fonctions drsquoadoucissement empecircche lrsquoexistence dun mode de glissement
ideacuteal Par conseacutequent il est important de connaicirctre le comportement du systegraveme boucleacute
lorsque nous introduisons une des fonctions dadoucissement preacuteceacutedentes
Dans le but de compenser lrsquoerreur en reacutegime permanent on peut ajouter un terme inteacutegral
dans la surface de glissement [57 58 59] Ce perfectionnement (agrave lrsquoinstar drsquoautres) est
introduit a priori et justifieacute par des essais sur des systegravemes particuliers
Notre objectif dans ce paragraphe est de concevoir une nouvelle approche baseacutee sur la
theacuteorie de la commande agrave structure variable en introduisant lrsquoaction inteacutegrale sans
toutefois perdre les proprieacuteteacutes de la commande par mode glissant
Dans cette partie nous preacutesentons la deacutetermination de la loi de commande pour la
direction suivant lrsquoaxe z par lrsquointroduction de lrsquoaction inteacutegral dans la surface
La surface de glissement sera deacutefinie par
0 5 10 15 20 25 30 35 400
5
10
15F
1(N
)
0 5 10 15 20 25 30 35 400
5
10
15
F2
(N)
0 5 10 15 20 25 30 35 4005
1015
F3
(N)
0 5 10 15 20 25 30 35 4005
1015
F4
(N)
temps (s)
Chapitre3 COMMANDE PAR MODE GLISSANT ET FLOU-GLISSANT
65
(ݖ) = ሶ௭ + ௭ߣ ௭ + int ௭ݐ (355)
Ainsi que sa deacuteriveacutee est
(ݖ) = ௭ + ௭ߣ ሶ௭ + ௭ (356)
La commande drsquoaltitude ଷݑ est calculeacutee par la relation suivante
ଷݑ = ଷݑ + ଷݑ (357)
La commande ݑ est deacutetermineacutee par reacutegime glissant ideacuteal
ଷݑ =
௦ ఏ ௦ empty൬ + ሷݖ + ሶݖ௭ቀߣ minus +ሶቁݖ ൫ݖ minus ൯൰ݖ (358)
Par la technique du mode glissant on deacuteduit la forme suivante pour la commande ଷݑ
ଷݑ =
௦ ఏ ௦ empty൬ + ሷݖ + ሶݖ௭ቀߣ minus +ሶቁݖ ቀݖ minus minusቁ൰ݖ ௭ ݏ )ݐ ((ݖ) (359)
Nous suivons les mecircmes eacutetapes deacutecrites preacuteceacutedemment pour deacuteterminer les commandes du
drone X4 ce qui nous donne
⎩⎪⎪⎪⎨
⎪⎪⎪⎧ ௫ݑ =
௨య൫minusߣ௫൫ݔሶ minus minusሶ൯ݔ ሷݔ + k୧൫x ndash x ൯൯minus ௫ ݏ ൫ݐ ൯(ݔ)
௬ݑ =
௨యቀߣ௬൫ݕሶ minus +ሶ൯ݕ ሷݕ + k୧൫y ndash y ൯ቁndash ௬ ݏ )ݐ (ݕ)
ସݑ = ఏߣ+ߠ ቀߠ ndash +ቁߠ k୧൫ߠ ndashߠ൯+ ఏܭ ݏ ൯(ߠ)ݏ൫ݐ
ହݑ = empty+ߣempty ቀempty minus emptyቁ+ k୧൫empty minus empty ൯+ empty ݏ ൫ݐ (empty)൯
ݑ = +ߣట ቀ minus ቁ+ k୧൫ minus ൯+ kట sat(S())
(360)
351 Reacutesultats de simulations
Nous preacutesentons dans cette partie les reacutesultats du controcircle mode glissant associeacute agrave une
action inteacutegrale pour la commande du X4 avec perturbation Nous traitons dans cette partie
lrsquoexemple de la reacutealisation des connections demi-cercles pour les mouvements z x y Le
gain ki=2 dans notre simulation En conservant les mecircmes coefficients de gain utiliseacutes
preacuteceacutedemment
Les figures (327) (328) (329) et (330) repreacutesentent respectivement la reacutealisation en
3D lrsquoerreur la commande et les angles pour la trajectoire de connexion de type demi-
cercle en preacutesence de la perturbation externe Nous remarquons de ces figures que la
robustesse de la commande est veacuterifieacutee numeacuteriquement En effet avec une telle force de
traineacutee la commande produit des valeurs assez raisonnables assurant le suivi du drone agrave sa
trajectoire de reacutefeacuterence
Chapitre3 COMMANDE PAR MODE GLISSANT ET FLOU-GLISSANT
66
Les figures (331) (332) et (333) montrent la comparaison entre la commande mode
glissant et le mode glissant agrave action inteacutegrale Drsquoapregraves ces figure on voit clairement que la
commande mode glissant agrave action inteacutegrale est la mieux adapteacutee agrave des trajectoires de
connexions de type demi-cercle arcs et heacutelicoiumldale
Figure 327 La trajectoire de reacutefeacuterence et reacuteelle en cas des demi-cercles
Figure 328 Les erreurs pour des connexions demi-cercles
0 5 10 15 20 25 30 35 40-05
0
05
z-e
rreur
(m)
0 5 10 15 20 25 30 35 40-05
0
05
x-e
rreurr
(m)
0 5 10 15 20 25 30 35 40
-05
0
05
y-e
rreur
(m)
temps (s)
02
46
810
1214
0
5
10
150
5
10
15
Deacuteplacement suivant (x)Deacuteplacement suivant (y)
Deacutepla
cem
ent
suiv
ant
(z)
Trajectoire reacuteelle
Trajectoire reacutefeacuterence
Chapitre3 COMMANDE PAR MODE GLISSANT ET FLOU-GLISSANT
67
Figure 329 Les commandes pour des connexions demi-cercles
Figure 330 Les angles pour des connexions demi-cercles
0 5 10 15 20 25 30 35 400
50
u3(N
)
0 5 10 15 20 25 30 35 40-60-40-20
020
u4(N
m)
0 5 10 15 20 25 30 35 40
-50
0
50
u5(N
m)
temps (s)
0 5 10 15 20 25 30 35 40
-05
0
05
1
angle
theta
(rad)
0 5 10 15 20 25 30 35 40
-1
-05
0
05
1
angle
phi(r
ad)
temps (s)
Chapitre3 COMMANDE PAR MODE GLISSANT ET FLOU-GLISSANT
68
Figure 331 La trajectoire de reacutefeacuterence et reacuteelle en cas des demi-cercles
Figure 332 La trajectoire de reacutefeacuterence et reacuteelle en cas des connexions arcs
02
46
810
1214
0
5
10
150
5
10
15
Deacuteplacement suivant (x)Deacuteplacement suivant (y)
Deacutepla
cem
ent
suiv
ant
(z)
Trajectoire reacuteelle PIMG
Trajectoire reacutefeacuterence
Trajectoire reacuteelle MG
02
46
810
1214
0
5
10
150
5
10
15
Deacuteplacement suivant (x)Deacuteplacement suivant (y)
Deacutepla
cem
ent
suiv
ant
(z)
Trajectoire reacuteelle MG
trajectoire reacutefeacuterence
trajectoire reacuteelle PI MG
Chapitre3 COMMANDE PAR MODE GLISSANT ET FLOU-GLISSANT
69
Figure 333 La trajectoire de reacutefeacuterence et reacuteelle en cas heacutelicoiumldale
36 Commande du drone par un controcircleur flou-glissant
Le majeur inconveacutenient du mode de glissement est que la commande discontinue
produit pheacutenomegravene de broutement ou chattering Notons que le broutement peut exciter
des dynamiques hautes freacutequences neacutegligeacutees menant parfois agrave lrsquoinstabiliteacute Afin drsquoeacuteliminer
ou de minimiser ce pheacutenomegravene plusieurs meacutethodes ont eacuteteacute deacuteveloppeacutees [45 60 61 62
63 64 65 66 67 68 69] Dans notre travail nous avons introduit des hybridations entre la
logique flou et le mode glissant afin de reacuteduire le pheacutenomegravene de broutement et drsquoameacuteliorer
drsquoavantage les performances du controcircle du drone Apregraves avoir introduit le principe des
approches proposeacutees nous preacutesentons leurs mises en œuvre pour la commande de notre
quadri-rotors
Dans notre travail nous avons proposeacutes une nouvelle structure des controcircleurs flou-
glissant Dans cette structure un meacutecanisme drsquoinfeacuterence flou est utiliseacute pour geacuteneacuterer et
drsquoune faccedilon douce la composante discontinue de la loi de commande par mode glissant
(SMC) La figure (334) montre le scheacutema bloc de la strateacutegie de control proposeacute [70 71]
-3-2
-10
12
3
-3-2
-10
12
30
10
20
30
40
Deacuteplacement suivant (x)Deacuteplacement suivant (y)
Deacutepla
cem
ent
suiv
ant
(z)
Trajectoire reacuteelle MG
Trajectoire reacutefeacuterence
Trajectoire reacuteelle PIMG
Chapitre3 COMMANDE PAR MODE GLISSANT ET FLOU-GLISSANT
70
Figure 334 Controcircleur par mode glissant flou
Dans le controcircleur flou-glissant proposeacute la surface (s) preacutesente lrsquoentreacutee des implications
des bases de regravegles
Puisque les donneacutees manipuleacutees dans le meacutecanisme agrave infeacuterence flou sont baseacutees sur la
theacuteorie des sous ensemble flous [70 71] les ensembles flous associeacutes utiliseacutes dans la
geacuteneacuteration de la base de regravegle sont deacutefinies comme
Si S est GN Alors un est TGSi S est NP Alors un est GSi S est JZ Alors un est MNSi S est PP Alors un est PSi S est GP Alors un est TP
Avec GN MN JZ MP et GP sont les termes linguistiques de la variable drsquoentreacutee s
deacutefinies respectivement par Grand Neacutegative Moyen Negative Just Zero Moyen
Positive et Grand Positive
Et pour la variable de sortie un les termes linguistiques TG G MN P TP sont deacutefinis
respectivement par Tregraves Grand Grand Moyen Petit Tregraves Petit
Les fonctions drsquoappartenances associeacutees agrave ses variables drsquoentreacutee et de sortie sont
preacutesenteacutees dans les figures suivantes
Chapitre3 COMMANDE PAR MODE GLISSANT ET FLOU
Figure 335
Figure 3
361 Reacutesultats de simulations
Nous preacutesentons dans cette partie les reacutesultats du controcircle flou
du drone X4 en preacutesence de perturbation
sont ke= 10 et ks = 10
preacuteceacutedemment
Les figures (337) (338) et
demi-cercle les signaux de commandes et des erreurs Nous constatons que la trajectoire
parcourue par le drone suit la
Tregraves
-3k2
COMMANDE PAR MODE GLISSANT ET FLOU
71
35 Fonction dappartenance de lentreacutee S
336 Fonction dappartenance de la sortie u
1 Reacutesultats de simulations
Nous preacutesentons dans cette partie les reacutesultats du controcircle flou-glissant pour la commande
en preacutesence de perturbation Les gains drsquoentreacutee et de sortie du controcircleur flou
= 10 En conservant les mecircmes coefficients de gain utiliseacutes
et (339) illustrent respectivement la reacutealisation des connexions
cercle les signaux de commandes et des erreurs Nous constatons que la trajectoire
parcourue par le drone suit la trajectoire deacutesireacutee avec des erreurs de tregraves faibles valeurs
Tregraves petit Petit Moyenne Grand Tregraves Grand
k2-k2-k k00
COMMANDE PAR MODE GLISSANT ET FLOU-GLISSANT
S(t)
un
glissant pour la commande
et de sortie du controcircleur flou
En conservant les mecircmes coefficients de gain utiliseacutes
la reacutealisation des connexions
cercle les signaux de commandes et des erreurs Nous constatons que la trajectoire
avec des erreurs de tregraves faibles valeurs
Tregraves Grand
3k2
Chapitre3 COMMANDE PAR MODE GLISSANT ET FLOU-GLISSANT
72
La figure (340) preacutesente lrsquoeacutevolution des angles de tangage et de roulis nous observons que
ces angles se manifestent que lors drsquoun mouvement effectueacute respectivement suivant les
axes ݔ et ݕ
La figure (341) preacutesente lrsquoeacutevolution des forces des quatre moteurs on remarque que ces
forces ne deacutepassent pas les limites physiques des actionneurs et la somme de ces forces
satisfait la condition drsquoeacutequilibre apregraves que le drone effectue ses mouvements deacutesireacutes
Figure 337 La trajectoire de reacutefeacuterence et reacuteelle en cas des demi-cercles
-20
24
68
1012
14
-5
0
5
10
150
5
10
15
Deacuteplacement suivant (x)Deacuteplacement suivant (y)
Deacutepla
cem
ent
suiv
ant
(z) Trajectoire reacuteelle
Trajectoire reacutefeacuterence
Chapitre3 COMMANDE PAR MODE GLISSANT ET FLOU-GLISSANT
73
Figure 338 Les commandes pour des connexions demi-cercles
Figure 339 les erreurs pour des connexions demi-cercles
0 5 10 15 20 25 30 35 400
20
40
u3(N
)
0 5 10 15 20 25 30 35 40-40
-20
0
20
40
u4(N
m)
0 5 10 15 20 25 30 35 40-40
-20
0
20
40
u5(N
m)
temps (s)
0 5 10 15 20 25 30 35 40-05
0
05
z-e
rreur
(m)
0 5 10 15 20 25 30 35 40-05
0
05
x-e
rreurr
(m)
0 5 10 15 20 25 30 35 40
-05
0
05
y-e
rreur
(m)
temps (s)
Chapitre3 COMMANDE PAR MODE GLISSANT ET FLOU-GLISSANT
74
0 5 10 15 20 25 30 35 40
-05
0
05
1
angle
theta
(rad)
0 5 10 15 20 25 30 35 40
-1
-05
0
05
1
angle
phi(r
ad)
temps (s)
Figure 340 les angles pour des connexions demi-cercles
Figure 341 Les forces pour des connexions demi-cercles
0 5 10 15 20 25 30 35 4005
1015
F1
(N)
0 5 10 15 20 25 30 35 4005
1015
F2
(N)
0 5 10 15 20 25 30 35 4005
1015
F3
(N)
0 5 10 15 20 25 30 35 4005
1015
F4
(N)
temps (s)
Chapitre3 COMMANDE PAR MODE GLISSANT ET FLOU-GLISSANT
75
37 Conclusion
Dans ce chapitre nous avons preacutesenteacute le principe de la commande par mode de
glissement appliqueacute sur un drone agrave quatre heacutelices La commande par mode glissant
(approche non lineacuteaire) consiste agrave choisir le nombre et la forme de surface de glissement
neacutecessaire pour la deacutetermination de la loi de commande Le pheacutenomegravene de chattering qui
caracteacuterise cette commande a eacuteteacute reacuteduit par lrsquoadoucissement de la fonction de commande
Afin drsquoameacuteliorer les performances statiques nous avons proposeacute une approche appeleacutee
mode glissant agrave action inteacutegral pour eacuteliminer lrsquoerreur en preacutesence des perturbations Pour
ameacuteliorer drsquoavantage les performances de la commande SMC nous avons proposeacute une
approche drsquohybridation entre le mode glissant et la logique floue La structure du
controcircleur flou-glissant heacuterite la proprieacuteteacute drsquointerpolation du controcircle de la logique floue
et la robustesse du controcircle par mode glissement Cette approche est baseacutee sur lrsquoutilisation
drsquoun systegraveme agrave une infeacuterence floue qui geacutenegravere la commande discontinueacutee de la loi de
commande par mode de glissement agrave action inteacutegrale Par conseacutequent il le rend robuste
pour le temps de control de plus le controcircleur flou reacuteduit le pheacutenomegravene de broutement
(chattering)
Chapitre4 COMMANDE ROBUST PAR LA THECHNIQUE DU BACKTEPPING
74
Chapitre 4
COMMANDE NON LINEAIRE PAR BACKSTEPPING
Chapitre4 COMMANDE ROBUST PAR LA THECHNIQUE DU BACKTEPPING
75
4 COMMANDE ROBUSTE PAR LA THECHNIQUE DU BACKSTEPPING
41 Introduction
La theacuteorie de Lyapunov est un outil tregraves important dans la theacuteorie de controcircle des
systegravemes non lineacuteaires Cependant son utilisation est souvent entraveacutee par les difficulteacutes
de trouver une fonction de Lyapunov pour un systegraveme donneacute Si elle est trouveacutee le
systegraveme est connu pour ecirctre stable mais la tache de trouver une telle fonction est souvent
laisseacutee agrave lrsquoimagination et agrave lrsquoexpeacuterience du concepteur La technique du Backstepping est
une meacutethode systeacutematique pour la conception du controcircle non lineacuteaire qui peut ecirctre
appliqueacutee agrave une grande classe de systegravemes Le nom backstepping se reacutefegravere agrave la nature
reacutecursive de la proceacutedure de synthegravese Dans un premier temps seul un sous-systegraveme du
systegraveme original est consideacutereacute pour lequel une loi de controcircle fictive est construite Puis la
conception est eacutetendue en plusieurs eacutetapes jusquagrave lrsquoobtention drsquoune loi de controcircle pour le
systegraveme tout en entier Avec la loi de commande une fonction de Lyapunov pour le
systegraveme controcircleacute est progressivement construite
La technique du backstepping a connu un regain drsquoattention gracircce aux travaux de
Kokotovic qui a fourni un cadre matheacutematique pour la conception de lois de controcircle pour
diffeacuterents systegravemes non lineacuteaires en utilisant la cette technique [72] Durant les anneacutees
suivantes des manuscrits ont eacuteteacute eacutediteacutes par Krstic et autres [73 74 75]
Nous utiliserons cette technique du backstepping pour deacutevelopper des lois de controcircle pour
le controcircle des mouvements selon les axes z ndash x ndash y ainsi qursquoune eacutetude de robustesse
42 Historique et domaines drsquoapplication du backstepping
Lrsquoideacutee de base du backstepping est de laisser certains eacutetats du systegraveme agir en tant
qursquoentreacutees virtuelles La mecircme ideacutee est utiliseacutee dans la conception de controcircle en cascade
et eacutegalement dans la theacuteorie de la perturbation singuliegravere [76] Le backstepping qui utilise
une forme du systegraveme en chaicircne drsquointeacutegrateurs apregraves une transformation de coordonneacutees
drsquoun systegraveme triangulaire et en se basant sur la meacutethode directe de Lyapunov (Annexe A)
A partir de lagrave il est possible de concevoir systeacutematiquement et de maniegravere reacutecursive des
Chapitre4 COMMANDE ROBUST PAR LA THECHNIQUE DU BACKTEPPING
76
controcircleurs et les fonctions de Lyapunov correspondantes Bien que la technique du
backstepping ait une histoire plutocirct courte mais rien nrsquoempecircche quand-mecircme de trouver de
nombreuses applications pratiques dans la litteacuterature On en donne ici un court aperccedilu
Elle est appliqueacutee dans les systegravemes eacutelectriques par exemple dans [77] ou a eacuteteacute
proposeacutee une commande en temps reacuteel de la vitesse drsquoun moteur synchrone agrave aimant
permanent par la technique du backestepping adaptative non lineacuteaire On peut maintenant
la retrouver dans une grande varieacuteteacute de controcircle de moteurs eacutelectriques [78 79 80] On
trouve eacutegalement des travaux dans lrsquoaeacuteronautique qui correspond au controcircle drsquoun
heacutelicoptegravere miniature Dans [28] une loi de commande adaptative utilisant les techniques
reacutecursives et robustes du backstepping a eacuteteacute proposeacutee Altug dans [25 26 27] a proposeacute un
controcircle stabilisant en utilisant lrsquoasservissement visuel Ainsi cette technique a eacuteteacute
proposeacutee pour la commande drsquoautomobile [81]
43 Conception de la commande par backstepping
La commande par backstepping ne doit pas ecirctre vue comme un proceacutedeacute rigide mais
plutocirct comme une philosophie de conception qui peut ecirctre plieacutee et tordue pour satisfaire les
besoins speacutecifiques du systegraveme agrave commander Nous pouvons exploiter la flexibiliteacute du
backstepping en ce qui concerne le choix des commandes virtuelles des fonctions
stabilisantes initiales et des fonctions de Lyapunov Nous avons effectueacute une eacutetude de
stabiliteacute en se basant sur la commande backstepping et en utilisant la fonction de
Lyapunov
431 Algorithme de base pour la meacutethode du backstepping
En utilisant lrsquoapproche backstepping comme un algorithme reacutecursif pour la
synthegravese de lois de commande On considegravere le cas des systegravemes non lineacuteaires drsquoordre deux
de la forme
x=f(x)+g(x)u (41)
X est lrsquoeacutetat du systegraveme X isin realn
u Lrsquoentreacutee de commande u isin real
Supposons que le systegraveme (41) peut apregraves une transformation ecirctre mis sous la forme
chaineacutee comme suit
x1 = fଵ(xଵ) + gଵ (xଵ) xଶ (42)
x2= fଶ(xଶ) + gଶ (xଶ) u (43)
Chapitre4 COMMANDE ROBUST PAR LA THECHNIQUE DU BACKTEPPING
77
On deacutesire faire suivre agrave la sortie y = xଵ la trajectoire yr Cette trajectoire est supposeacutee
connue et uniformeacutement borneacutee et puisque le systegraveme et du deuxiegraveme ordre alors le design
srsquoeffectue en deux eacutetapes [82]
Premiegravere eacutetape
On considegravere drsquoabord lrsquoeacutequation (42) ou la variable drsquoeacutetat xଶ est traiteacutee comme une
commande virtuelle et lrsquoon deacutefinit la premiegravere valeur de reacutefeacuterence
xଵ = y (44)
La premiegravere variable drsquoerreur se deacutefinit par
eଵ = xଵ minus xଵ (45)
ሶଵ= ሶଵݔ minus ሶଵݔ (46)
On utilisant lrsquoeacutequation (42) le systegraveme drsquoeacutequation (46) srsquoeacutecrit
e1 = ଵ(ݔଵ) + gଵ (ଵݔ) ଶݔ minus ሶଵݔ (47)
Pour un tel systegraveme il agrave eacuteteacute montreacute que la fonction candidate constitue un bon choix de la
fonction de Lyapunov
ଵ( ଵ) =ଵ
ଶ ଵଶ (48)
Sa deacuteriveacutee est donneacutee par
Vଵ(eଵ) = eଵ eଵ = eଵ [ ଵ(ݔଵ) + gଵ(ݔଵ) ଶݔ minus [ሶଵݔ (49)
Un choix judicieux xଶ rendrait Vଵ(eଵ) neacutegative et assurerait la stabiliteacute de lrsquoorigine du sous
systegraveme deacutecrit par lrsquoeacutequation (42)
Prenons comme valeur de ଶݔ la fonction aଵ telle que
ଵ(ݔଵ) + gଵ(ݔଵ) ଵ minus =ሶଵݔ minus kଵeଵ (410)
Ougrave kଵ gt 0 est un paramegravetre de design
xଶ= aଵ=ଵ
భ(୶భ)[minus kଵeଵ + xଵminus fଵ(xଵ)] (411)
et la deacuteriveacutee srsquoeacutecrit
ଵ( ଵ) = minus ଵ ଵଶ le 0 (412)
Drsquoougrave la stabiliteacute asymptotique de lrsquoorigine de lrsquoeacutequation (45)
Deuxiegraveme eacutetape
On considegravere le sous-systegraveme drsquoeacutequation (43) et lrsquoon deacutefinit la nouvelle variable
drsquoerreur
eଶ = xଶ minus aଵ (413)
Chapitre4 COMMANDE ROBUST PAR LA THECHNIQUE DU BACKTEPPING
78
Cette eacutequation repreacutesente lrsquoeacutecart entre la variable drsquoeacutetat xଶ et sa valeur deacutesireacutee aଵ lrsquoerreur
ଶ nrsquoest pas instantaneacutement nulle Le design dans cette eacutetape consiste alors agrave la forcer agrave
srsquoannuler
Les eacutequations du systegraveme agrave commander dans lrsquoespace (eଵ eଶ) srsquoeacutecrivent
ሶଵ = ଵ(ݔଵ) + ଵ ( ଶ + ଵ) minus ሶଵݔ (414)
ሶଶ = ଶ(ݔଶ) + ଶ minusݑ ሶଵ (415)
On agrave choisit comme fonction de Lyapunov
ଶ( ଵ ଶ) = ଵ( ଵ) +ଵ
ଶ ଶଶ (416)
Sa deacuteriveacutee
2( ଵ ଶ) =ଵ + ଶ ሶଶ= ଵ ሶଵ + ଶ ሶଶ (417)
2( ଵ ଶ) = ଵ [ ଵ(ݔଵ) + ଵ ( ଶ+ ଵ) [ሶଵݔ + ଶ [ ଶ(ݔଶ) + ଶ minusݑ ሶଵ] (418)
2( ଵ ଶ) = ଵ [ ଵ(ݔଵ) + ଵ ଶ+ ଵ ଵ minus ሶଵݔ ] + ଶ [ ଶ(ݔଶ) + ଶ minusݑ ሶଵ] (419)
2( ଵ ଶ) = minus ଵ ଵଶ + ଶ [ ଶ(ݔଶ) + ଶ ݑ + ଵ ଵminus ሶଵ] (420)
Pour garantir la stabiliteacute il faut que lrsquoeacutequation suivante soit eacutegale agrave minus kଶeଶ avec kଶ gt0
ଶ(ݔଶ) + ଶ ݑ + ଵ ଵminus ሶଵ= minus ଶ ଶ (421)
La commande est
ݑ =ଵ
మ[minus ଶ ଶ+ ሶଵ minus ଵ ଵ minus ଶ(ݔଶ)] (422)
Avec le choix de ଶ on agrave
2( ଵ ଶ) = minus ଵ ଵଶ minus ଶ ଶ
ଶ (423)
On a garantie la stabiliteacute asymptotique du systegraveme
44 Stabilisation du drone X4 par la meacutethode du backstepping
Nous proposons drsquoappliquer la technique de backstepping pour le controcircle drsquoun drone
de type X4 dont la dynamique du modegravele a eacuteteacute deacutetermineacutee dans le chapitre 2
La strateacutegie de controcircle adopteacute est reacutesumeacutee en deux sous-systegravemes le premier est lieacute au
controcircle de la translation et le deuxiegraveme est lieacute au controcircle de la rotation comme il est
exposeacute sous le scheacutema synoptique suivant [83]
Chapitre4 COMMANDE ROBUST PAR LA THECHNIQUE DU BACKTEPPING
79
Figure 41 Scheacutema bloc de commande du drone par backstepping
Le systegraveme 243 peut ecirctre reacuteeacutecrit dans lrsquoespace drsquoeacutetat sous la forme = ()
Avec U vecteur drsquoentreacute et X vecteur drsquoeacutetat
Tel que
X = hellipଵݔ] hellip [ଵଶݔ T = [ ݖ ݔሶݖ ݕሶݔ ሶݕ θ θ empty empty ψ ψ ] T isin real12
X = f (X U) =
⎝
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎛
ଶݔଵ
emptyݏ ଷݑߠݏ minus
ସݔ
minusଵ
ଷݑ௫ݑݔ
ଵ
௬ݑ ଷݑݔସݑଵݔହݑଵଶݔݑ ⎠
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎞
(424)
441 Commande du systegraveme de translation lineacuteaire
4411 Controcircle de lrsquoaltitude
On commande le mouvement selon lrsquoaxe z en utilisant la technique du backstepping le
modegravele en y est donneacute par
ߠ
X4-FlyerModelReacutefeacuterence
BacksteppingControcircle
BacksteppingControcircle
ݖݕݔ
ଷݑ
ହݑସݑ ݑ௬ݑ௫ݑ
ݖݕݔ
Chapitre4 COMMANDE ROBUST PAR LA THECHNIQUE DU BACKTEPPING
80
=ሷݖ emptyݏ ଷݑߠݏ minus (425)
La commande par backstepping du vol vertical est deacuteveloppeacutee ci-dessous
Premiegravere eacutetape
Initialement nous consideacuterons lrsquoobjectif de poursuite de lrsquoaltitude z vers sa trajectoire
deacutesireacutee On deacutefinit pour cela une erreur de poursuite
e௭ଵ = ݖ minus ݖ (426)Sa deacuteriveacutee srsquoeacutecrit
ሶ௭ଵ = ሶݖ minus ሶݖ (427)
Le but eacutetant donc de faire tendre cette erreur vers zeacutero Pour ce faire on considegravere une
fonction de Lyapunov quadratique en eଵ
V (e௭ଵ) =ଵ
ଶe௭ଵଶ (428)
La deacuteriveacutee de la fonction de Lyapunov srsquoeacutecrit
( ௭ଵ) = ௭ଵ ሶ௭ଵ= ௭ଵ ሶݖ) minus (ሶݖ (429)
La convergence de e௭ଵ vers zeacutero est obtenue en assurant que V(e௭ଵ) est neacutegative Etant
donneacute que lrsquoentreacutee de commande nrsquoapparait pas encore dans lrsquoexpression de V(e௭ଵ) on
deacutefinit une entreacutee fictive ayant pour forme
ଶݔ = ሶݖ + k௭ଵe௭ଵ (430)
Ougrave ௭ଵ est une constante positive
Cette commande assure
( ௭ଵ)= minus ௭ଵ ௭ଵଶ le0 (431)
Deuxiegraveme eacutetape
La deuxiegraveme eacutetape consiste agrave redeacutefinir une autre erreur agrave compenser
e௭ଶ= minus ሶݖ ሶrefݖ minus k௭ଵe௭ଵ (432)
Sa deacuteriveacutee srsquoeacutecrit comme suit
e௭ଶ= minus ሷݖ ሷrefݖ minus k௭ଵe௭ଵ (433)
Chapitre4 COMMANDE ROBUST PAR LA THECHNIQUE DU BACKTEPPING
81
Afin drsquoeacuteliminer cette erreur la fonction candidate de Lyapunov V( ௭ଵ) preacuteceacutedente de
lrsquoeacutequation (428) est augmenteacutee drsquoun autre terme qui va prendre en charge la nouvelle
erreur qui a eacuteteacute introduite preacuteceacutedemment
V ( ௭ଵ ௭ଶ) =ଵ
ଶ( ௭ଵଶ
+ ௭ଶଶ ) (434)
Ainsi que sa deacuteriveacutee
( ௭ଵ ௭ଶ) = ௭ଵ ሶ௭ଵ+ ௭ଶ ሶ௭ଶ (435)
( ௭ଵ ௭ଶ) = ௭ଵ (minus ௭ଵ ௭ଵ minus ௭ଶ) + ௭ଶ minus ሷݖ) ሷݖ minus ௭ଵ ሶ௭ଵ) (436)
( ௭ଵ ௭ଶ) =minus ௭ଵ ௭ଶ minus ௭ଵ ௭ଵଶ + ௭ଶ minus ሷݖ) ሷݖ minus ௭ଵ(minus ௭ଵ ௭ଵ minus ௭ଶ)) (437)
( ௭ଵ ௭ଶ) = minus ௭ଵ ௭ଵଶ + ௭ଶ [
ଵ
minusݑߠݏܥemptyݏܥ minus ሷݖ minus ௭ଵ(minus ௭ଵ ௭ଵ minus ௭ଶ)minus ௭ଵ)]
(438)
La proceacutedure de la meacutethode du backstepping srsquoarrecircte jusqursquoagrave lrsquoapparition de la commandeu3
Afin de satisfaire la condition de Lyaponov (V(eଵ eଶ) le 0 ) on pose
௦empty௦ఏ
minus ₃ݑ minus minusሷݖ k௭ଵ(minus k௭ଵe௭ଵ minus e௭ଶ)minus e௭ଵ) = minus k௭ଶe௭ଶ (439)
Ce qui nous donne la loi de commande suivant lrsquoaxe z
= ₃ݑ
௦empty௦ఏሷݖ) + + (1 minus ௭ଵ
ଶ ) ଵ minus ( ௭ଵ + ௭ଶ) ௭ଶ) (440)
Ougrave k௭ଶ est une constante positive
De telle sorte ( ௭ଵ ௭ଶ) = minus ௭ଵ ௭ଵ
ଶ minus ௭ଶ ௭ଶଶ le 0 (441)
Ce qui nous assure la stabiliteacute du mouvement suivant lrsquoaxe z
44 12 Controcircle de deacuteplacement lineacuteaire suivant les axes et y
A partir du modegravele du drone le systegraveme dynamique des mouvements horizontales est deacutefini
par
൜ =ሷݔ ଷݑ௫ݑminus=ሷݕ ଷݑ௬ݑ
(442)
Avec ex1 et ey1 sont les erreurs de positions sont deacutefinis par
ቄ௫ଵ = ݔ minus ݔ
௬ଵ = ݕ minus ݕ (443)
Chapitre4 COMMANDE ROBUST PAR LA THECHNIQUE DU BACKTEPPING
82
Les erreurs des vitesses lineacuteaires des positions x et y sont deacutefinies par
൜௫ଶ = minusሶݔ ሶݔ minus ௫ଵ ௫ଵ
௬ଶ = minusሶݕ ሶݕ minus ௬ଵ ௬ଵ
(444)
Les mecircmes eacutetapes sont utiliseacutees pour deacuteterminer les commandes de positions ௫ݑ et ௬ݑ qui
sont donneacutees par
௫ݑ =
௨యሷݔ) + (1 minus ௫ଵ
ଶ ) ௫ଵ minus ( ௫ଵ + ௫ଶ) ௫ଶ) (445)
௬ݑ =
௨యሷݕ) + ൫1 minus ௬ଵ
ଶ ൯ ௬ଵ minus ( ௬ଵ + ௬ଶ) ௬ଶ) (446)
Avec ( ௫ଵ ௫ଶ ௬ଵ ௬ଶ)gt0
442 Commande par backstepping du systegraveme de rotation
4421 Commande de lrsquoangle de roulis
Dans cette section on veut eacutetablir une commande par backstepping qui assure lrsquoorientation
du drone par lrsquoangle empty (roulis)
Premiegravere eacutetape
Premiegraverement on doit avoir une sortie qui suit une trajectoire deacutesireacutee emptyref en introduisant
lrsquoerreur de la position angulaire (lrsquoangle de roulis)
eemptyଵ= emptyref minus empty (447)Sa deacuteriveacutee srsquoeacutecrit
eemptyଵ= empty minus empty (448)
Ougrave les deux eacutequations (447) (448) sont associeacutees agrave la fonction de Lyapunov suivante
V (eemptyଵ) =ଵ
ଶeempty1
2 (449)
La deacuteriveacutee de la fonction de Lyapunov srsquoeacutecrit
V(eemptyଵ) = eemptyଵ eemptyଵ= eemptyଵ (emptyref (ଵݔminus (450)
Lrsquoeacutetat ଵݔ est ensuite utiliseacute comme commande intermeacutediaire afin de garantir la stabiliteacute
de lrsquoeacutequation (447) On deacutefinit pour cela une commande virtuelle
ଵݔ = emptyref + emptyଵ emptyଵ avec emptyଵ gt0 (451)
ሶଵݔ = emptyref + emptyଵ ሶemptyଵ (452)
Agrave partir des eacutequations (450) et (451) on obtient
( emptyଵ) = minus emptyଵ emptyଵଶ (453)
Chapitre4 COMMANDE ROBUST PAR LA THECHNIQUE DU BACKTEPPING
83
Deuxiegraveme eacutetape
Agrave cette eacutetape une nouvelle erreur engendreacutee
eemptyଶ= empty minus empty minus kemptyଵeemptyଵ (454)
Sa deacuteriveacutee srsquoeacutecrit comme suit
eemptyଶ = empty minus emptyrefminus kemptyଵ eemptyଵ (455)
Afin drsquoeacuteliminer cette erreur la fonction candidate de Lyapunov (eemptyଵ) preacuteceacutedente de
lrsquoeacutequation (449) est augmenteacutee drsquoun autre terme qui va prendre en charge la nouvelle
erreur qui a eacuteteacute introduite preacuteceacutedemment
V (eemptyଵeemptyଶ) =ଵ
ଶ(eemptyଵଶ + eemptyଶ
ଶ ) (456)
Ainsi que sa deacuteriveacutee
V(eemptyଵ eemptyଶ) = eemptyଵ (minuskemptyଵ eemptyଵ minus eemptyଶ) + eemptyଶ (empty minus emptyref ndash kemptyଵ eemptyଵ) (457)
V(eemptyଵ eemptyଶ) = minus eemptyଵ eemptyଶ minus kemptyଵ eemptyଵଶ + eemptyଶ (empty minus emptyref minuskemptyଵ (minuskemptyଵe୴ଵ minus eemptyଶ)) (458)
V(eemptyଵ eemptyଶ) = minus kemptyଵ eemptyଵଶ + eemptyଶ ହݑ] minus emptyref minus kemptyଵ (minuskemptyଵeemptyଵ minus eemptyଶ) minuseemptyଵ] (459)
Afin de satisfaire la condition de Lyapunov (V(eemptyଵ eemptyଶ) le 0 ) on pose
ହݑ minus emptyref minus kemptyଵ (minuskemptyଵeemptyଵ minus eemptyଶ) minuseemptyଵ= minuskemptyଶ eemptyଶ (460)
Drsquoougrave lrsquoexpression de la commande du roulis est donneacutee par
ହݑ = emptyref + emptyଵ (1 minus emptyଵଶ ) minus emptyଶ ( emptyଵ + emptyଶ) (461)
Avec kemptyଵ kemptyଶ sont des constantes positives de design lesquelles deacuteterminent la
dynamique de la boucle fermeacutee
4421 Commande des angles de tangage et de lacet
Nous suivons les mecircmes eacutetapes deacutecrites preacuteceacutedemment pour deacuteterminer les commande de
tangage et de lacet ce qui nous donne [84 85]
ସݑ = +ߠ ఏଵ൫1 minus ఏଵଶ ൯minus ఏଶ( ఏଵ + ఏଶ) (462)
ݑ = + టଵ൫1 minus టଵଶ ൯minus టଶ( టଵ + టଶ ) (463)
Avec ( ఏଵ ఏଶ టଵ టଶ) gt0
Chapitre4 COMMANDE ROBUST PAR LA THECHNIQUE DU BACKTEPPING
84
45 Reacutesultats de simulations
Les performances sont eacutevalueacutees par le biais drsquoune simulation numeacuterique dans les mecircmes
conditions de fonctionnement preacutesenteacutes dans le chapitre preacuteceacutedent
Les paramegravetres des coefficients du polynocircme de Hurwitz du controcircleur sont choisis par
௭ଵ =8 ௭ଶ = 5 ௫ଵ = 5 ௫ଶ = 5 ௬ଵ = 4 ௬ଶ = 2 kemptyଵ = 55 kemptyଶ = 2 ఏଵ = 75
ఏଶ = 10 టଵ = 2 టଶ = 4
Figure 42 La trajectoire de reacutefeacuterence et reacuteelle en cas des connexions cercles
0
10
20
30
-5
0
5
100
5
10
15
20
25
30
Deacuteplacement suivant (x)Deacuteplacement suivant (y)
Deacutepla
cem
entsuiv
ant(z
)
Trajectoire reacuteelle
Trajectoire reacutefeacuterence
Chapitre4 COMMANDE ROBUST PAR LA THECHNIQUE DU BACKTEPPING
85
Figure 43 Les commandes u3 u4 u5 des connexions cercle
Figure 44 Les erreurs de deacuteplacement en cas des connections cercle
0 10 20 30 40 50 60 70 80 9010
20
30
u3(N
)
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90-5
0
5
u4(N
m)
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90-5
0
5
u5(N
m)
temps (s)
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90-004
-002
0
002
004
z-e
rreur(m
)
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90-002
0
002
x-e
rreur(m
)
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90-002
0
002
y-e
rreur(m
)
temps (s)
Chapitre4 COMMANDE ROBUST PAR LA THECHNIQUE DU BACKTEPPING
86
Figure 45 Les angles de tangage et de roulis en cas des connections cercle
Figure 46 Les forces en cas des connections cercle
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90
-05
0
05angle
theta
(rad)
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90
-05
0
05
angle
phi(rad)
temp (s)
0 10 20 30 40 50 60 70 80 900
5
F1
(N)
0 10 20 30 40 50 60 70 80 900
5
F2
(N)
0 10 20 30 40 50 60 70 80 900
5
F3
(N)
0 10 20 30 40 50 60 70 80 900
5
F4
(N)
temps (s)
Chapitre4 COMMANDE ROBUST PAR LA THECHNIQUE DU BACKTEPPING
87
La figure (43) qui repreacutesente les signaux de commandes u3 u4 et u5 deacutemontrent que la
condition de lrsquoeacutetat drsquoeacutequilibre et toujours veacuterifieacutee apregraves avoir effectueacute une manœuvre (u3 =
mg et u4 = u5 =0)
La figure (44) montre que lrsquoerreur suivant les trois directions converge vers zeacutero Cela
prouve que la trajectoire parcourue par le drone suit la trajectoire souhaiteacutee (figure (42))
avec des erreurs de tregraves faibles valeurs
Dans la figure (45) on voit que les angles de tangage ߠ et de roulis empty se manifestent lors
dun mouvement effectueacute respectivement suivant laxe de mouvement x et y en tendant vers
la valeur zeacutero drsquoeacutequilibre apregraves avoir effectuer le mouvement drsquoavancement
Pour que le drone retrouve sa stabiliteacute autour de la trajectoire de reacutefeacuterence nous constatons
que les commandes u4 et u5 produisent des forces corrigeant respectivement les erreurs du
suivi des angles ߠ et empty agrave leurs trajectoires de reacutefeacuterence nulles figure (43)
Dans la figure (46) nous remarquons que les quatre commandes ne deacutepassent pas les
limites physiques des rotors du drone et la somme de ces forces satisfirent la condition
drsquoeacutequilibre
451 Etude de robustesse
Dans cette partie nous testons numeacuteriquement la robustesse de commande retrouveacutee pour
assurer le suivi de trajectoire face agrave des perturbations dynamiques dues agrave linfluence du
vent suivant les diffeacuterents axes du mouvement
En geacuteneacuteral en mouvement aeacuterien le vent geacutenegravere une force de reacutesistance ou de traicircneacutee
sopposant au mouvement Dans le cas du drone le travail de cette force entraine une
consommation suppleacutementaire deacutenergie au niveau des actionneurs qui affaiblit ses
capaciteacutes en vol Les valeurs des forces reacutesistances sont (Ax = Ay = Az = 65 N)
Chapitre4 COMMANDE ROBUST PAR LA THECHNIQUE DU BACKTEPPING
88
Figure 47 La trajectoire de reacutefeacuterence et reacuteelle en preacutesence de perturbation
Figure 48 Les commandes en preacutesence de perturbation
05
1015
2025
30
-4-2
02
46
80
5
10
15
20
25
30
Deacuteplacement suivant (x)Deacuteplacement suivant (y)
Deacutepla
cem
ent
suiv
ant
(z)
Trajectoire reacuteelle
Trajectoire reacutefeacuterence
0 10 20 30 40 50 60 70 80 900
20
40
u3(N
)
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90-20
-10
0
10
u4(N
m)
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90-10
0
10
20
u5(N
m)
temps (s)
Chapitre4 COMMANDE ROBUST PAR LA THECHNIQUE DU BACKTEPPING
89
Figure 49 Les erreurs en preacutesence de perturbations
Figure 410 Les angles de tangage et de roulis en preacutesence de perturbation
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90
0
02
04z-e
rreur
(m)
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90
0
02
04
x-e
rreurr
(m)
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90
0
02
04
y-e
rreur
(m)
temps (s)
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90
-05
0
05
1
angle
theta
(rad)
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90
-1
-05
0
05
1
angle
phi(r
ad)
temps (s)
Chapitre4 COMMANDE ROBUST PAR LA THECHNIQUE DU BACKTEPPING
90
En preacutesence de force de reacutesistance nous remarquons que la robustesse de la commande
nrsquoest pas veacuterifieacutee En effet avec une telle force de reacutesistance le drone suit sa trajectoire de
reacutefeacuterence avec des erreurs comme le montrent les figures preacuteceacutedentes Ces erreurs peuvent
ecirctre importantes avec lrsquoaugmentation de la force de traineacutee
Il est clair que la structure du controcircleur geacuteneacutereacute par la version classique du backstepping
est composeacutee drsquoune action proportionnelle agrave laquelle est ajouteacutee action deacuteriveacutee sur les
erreurs Une telle structure rend le systegraveme sensible aux bruits et aux perturbations
externes des erreurs statiques non nulles persistent cet inconveacutenient srsquoexplique par
lrsquoabsence de la correction de ces perturbations afin drsquoeacuteliminer ces erreurs deux meacutethodes
sont proposeacutees la premiegravere consiste agrave doter les reacutegulateurs obtenus drsquoune action inteacutegrale
Lrsquoideacutee principale de la meacutethode se reacutesume agrave introduire drsquoune maniegravere virtuelle un
inteacutegrateur cette introduction neacutecessite une modification de la proceacutedure de design La
deuxiegraveme meacutethode consiste agrave estimer la perturbation externe (force de traineacutee) agrave lrsquoaide
drsquoun controcircleur adaptatif
46 Backstepping avec action inteacutegrale
Lrsquoabsence drsquointeacutegrateur dans la loi de commande entraicircne une erreur statique constante
non nulle La solution de ce problegraveme est la conception drsquoune nouvelle version du
backstepping doteacutee drsquoune action inteacutegrale (figure 411) Ceci revient agrave introduire des
inteacutegrateurs dans le modegravele du X4 et proceacuteder agrave lrsquoapplication de la meacutethode
conventionnelle de backstepping sur ce nouveau modegravele Lrsquoaction inteacutegrale sera transfeacutereacutee
automatiquement agrave la loi de commande [86]
Figure 411 Le scheacutema bloc du backstepping avec action inteacutegrale
Action inteacutegraleBackstepping
Inteacutegrale Backstepping
Commande robuste appliqueacute au Modegravele du X4
Systegraveme de translation et de rotation
Chapitre4 COMMANDE ROBUST PAR LA THECHNIQUE DU BACKTEPPING
91
461 Commande de lrsquoaltitude
Le modegravele est eacutecrit sous la forme chaineacutee drsquoapregraves lrsquoeacutequation (424)
ሶଵݔ = 2ݔ
ሶଶݔ = =ሷݖଵ
Cߠ Sempty ndashଷݑ (464)
Premiegravere eacutetape
La premiegravere variable drsquoerreur se deacutefinit par
௭ଵ= ݖ minus z (465)
On deacuterivant (465) par rapport au temps on obtient
ሶ௭ଵ=ݖሶ minus =ሶݖ ሶݖ minus ଶݔ (466)
Pour srsquooccuper mieux drsquoincertitudes et de perturbation nous allons ajouter une action
inteacutegrale sur lrsquoerreur de poursuite drsquoaltitude agrave la fonction stabilisante
Si on considegravere que ଶݔ notre commande virtuelle nous proceacutedons agrave eacutetablir une fonction
stabilisante comme suit
ଶݔ = +ሶݖ ௭ଵ ௭ଵ + ଵߣ ଵ (467)
Avec ௭ଵߣଵ sont des constants positifs et ଵ = int e௭ଵ( ) est lrsquointeacutegrale de lrsquoerreur de
poursuite drsquoaltitude
Deuxiegraveme eacutetape
Il nest pas possible dagir directement sur lrsquoeacutetat ଶݔ il est donc peu probable que cet eacutetat
suit exactement cette trajectoire cest pourquoi un autre terme derreur est introduit
eଶ = ଶݔ minus ሶݖ (468)
La deacuteriveacutee de lrsquoeacutequation (468) donne
ሶ௭ଶ ሶଶݔ= minus =ݖ ሷrefݖ + k௭ଵeଵ+ ଵߣ ሶଵ minus ݖ (469)
ሶ௭ଶ = k௭ଵ ሶrefݖ) minus (ሶݖ + ଵe௭ଵߣ minus ݖ ሷݖ+ (470)
Par lrsquoutilisation drsquoeacutequations (467) et (468) nous reacuteeacutecrivons la dynamique drsquoerreur de
poursuite drsquoaltitude comme suit
eଵ= minus ௭ଵ ௭ଵ minus ଵߣ ଵ + e௭ଶ (471)
Par le remplacement de ݖ dans lrsquoeacutequation (470) par son expression correspondante la
commande u3 apparaisse dans lrsquoeacutequation (472)
ሶ௭ଶ= ௭ଵ (minus ௭ଵ ௭ଵ minus ଵߣ ଵ + ௭ଶ) ଵߣ+ ௭ଵ + ሷrefݖ minusଵ
( (ߠ)ݏ ଷݑ()ݏ + ) (472)
Chapitre4 COMMANDE ROBUST PAR LA THECHNIQUE DU BACKTEPPING
92
La dynamique deacutesireacutee de lrsquoerreur de poursuite de vitesse est donneacutee par
e௭ଶ = minus ௭ଶe௭ଶ minus e௭ଵ (473)
La commande finale de ଷݑ est la suivante
ଷݑ =
௦(ఏ)௦(థ )(+ e௭ଵ (1minusk௭ଵ
ଶ (ଵߣ+ + e௭ଶ (k௭ଵ+ k௭ଶ) ሷref minus k௭ଵݖ+ ଵߣ ଵ) (474)
Analyse de la stabiliteacute
Afin de prouver la stabiliteacute la fonction de Lyapunov (e௭ଵ e௭ଶ) est choisie comme suite
( ௭ଵ ௭ଶ) =ଵ
ଶ ௭ଵ
ଶ + ௭ଶଶ + ଵߣ ଵ
ଶ ൧ (475)
En effectuant la deacuteriveacutee de cette fonction et en substituant lrsquoeacutequation (471) et (473) la
relation suivante est trouveacutee
( ௭ଵ ௭ଶ) = minus ௭ଵ ௭ଵଶ minus ௭ଶ ௭ଶ
ଶ le 0 (476)
De cette faccedilon la fonction V(eଵ eଶ) respecterait en tous points les critegraveres de
Lyapunov La loi de commande deacuteduite fait en sorte que ( ௭ଵ ௭ଶ) est toujours positif et
que ( ௭ଵ ௭ଶ) soit toujours neacutegatif peu importe les valeurs que peuvent prendre les
eacutetats
Nous suivant les mecircmes eacutetapes deacutecrites preacuteceacutedemment pour deacuteterminer les commandes du
drone X4 ce qui nous donne [87]
⎩⎪⎪⎪⎨
⎪⎪⎪⎧
௫ݑ =
௨యሷݔ) + (1 minus ௫ଵ
ଶ + (ଶߣ ௫ଵ minus ( ௫ଵ + ௫ଶ) ௫ଶ minus ௫ଵ ଶߣ ଶ)
௬ݑ =
௨యሷݕ) + ൫1 minus ௬ଵ
ଶ + ଷ൯ߣ ௬ଵ minus ( ௬ଵ + ௬ଶ) ௬ଶ minus ௬ଵ ଷߣ ଷ)
ସݑ = +ߠ ఏଵ൫1 ndash ఏଵଶ + minusସ൯ߣ ఏଶ ( ఏଵ + ఏଶ) ndash ఏଵ ସߣ ସ
ହݑ = ݎempty + emptyଵ (1 minus emptyଵଶ + (ହߣ minus emptyଶ ( emptyଵ + emptyଶ) minus emptyଵ ହߣ ହ
ݑ = + టଵ൫1 minus టଵଶ + minus൯ߣ టଶ( టଵ + టଶ) minus టଵ ߣ
(477)
Avec (ߣହߣସߣଷߣଶߣ) sont des constants positifs et ( ଶ ଷ ସ ହ ) sont les inteacutegrales
des erreurs de poursuite de position tangage roulis et lacet respectivement
Chapitre4 COMMANDE ROBUST PAR LA THECHNIQUE DU BACKTEPPING
93
462 Reacutesultats de simulations
Nous preacutesentons dans cette partie les reacutesultats du controcircle Inteacutegrale Backstepping pour la
commande du drone X4 En conservant les mecircmes coefficients de gain utiliseacutes
preacuteceacutedemment
Avec ଵߣ = 5 ଶߣ = 5 ଷߣ = 4 ସߣ = 2 ହߣ = 5 ߣ = 2
Suivi de trajectoire sans perturbations
Les figures 412 413 414 415 et 416 repreacutesentent respectivement la reacutealisation en 3D
la commande lrsquoerreur les angles et les forces pour la trajectoire de connexions de type
demi-cercle Nous remarquons qursquoagrave lrsquoeacutequilibre la commande u3 est toujours veacuterifieacutee (u3
est approximativement eacutegal agrave mg) Ces figures montrent que la tacircche est reacutealiseacutee drsquoune
maniegravere tregraves satisfaisante en respectant les contraintes imposeacutee
Figure 412 La trajectoire de reacutefeacuterence et reacuteelle
0
5
10
15
0
5
10
150
5
10
15
Deacuteplacement suivant (x)Deacuteplacement suivant (y)
Deacutepla
cem
ent
suiv
ant
(z) Trajectoire reacuteel
Trajecoire reacutefeacuterence
Chapitre4 COMMANDE ROBUST PAR LA THECHNIQUE DU BACKTEPPING
94
Figure 413 Les commandes sans preacutesence de perturbation
Figure 414 Les erreurs sans preacutesence de perturbations
0 5 10 15 20 25 30 35 40
10
20
30u3(N
)
0 5 10 15 20 25 30 35 40-40
-20
0
20
u4(N
m)
0 5 10 15 20 25 30 35 40-40
-20
0
20
40
60
u5(N
m)
temps (s)
0 5 10 15 20 25 30 35 40
-2
0
2x 10
-3
z-e
rreur
(m)
0 5 10 15 20 25 30 35 40-4-20246
x 10-3
x-e
rreur
(m)
0 5 10 15 20 25 30 35 40-2
0
2x 10
-3
y-e
rreur
(m)
temps (s)
Chapitre4 COMMANDE ROBUST PAR LA THECHNIQUE DU BACKTEPPING
95
Figure 415 Les angles de tangage et de roulis sans preacutesence de perturbation
Figure 416 Les forces sans preacutesence de perturbation
0 5 10 15 20 25 30 35 40
-05
0
05
1angle
theta
(rad)
0 5 10 15 20 25 30 35 40-1
-05
0
05
1
angle
phi(r
ad)
temps (s)
0 5 10 15 20 25 30 35 400
5
10
F1
(N)
0 5 10 15 20 25 30 35 400
5
10
F2
(N)
0 5 10 15 20 25 30 35 400
5
10
F3
(N)
0 5 10 15 20 25 30 35 400
5
10
F4
(N)
temps (s)
Chapitre4 COMMANDE ROBUST PAR LA THECHNIQUE DU BACKTEPPING
96
Suivi de trajectoire avec perturbations
Dans cette partie nous testons numeacuteriquement la robustesse de commande retrouveacutee pour
assurer le suivi de trajectoire face agrave des perturbations dynamiques dues agrave linfluence du
vent suivant les diffeacuterents axes de mouvement
Figure 417 La trajectoire de reacutefeacuterence et reacuteelle en preacutesence de perturbation
Figure 418 Les erreurs en preacutesence de perturbations
05
1015
2025
30
-5
0
5
100
10
20
30
Deacuteplacement suivant (x)Deacuteplacement suivant (y)
Deacutepla
cem
ent
suiv
ant
(z)
Trajectoire reacuteelle
Trajectoire reacutefeacuterence
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90
0
02
04
z-e
rreur
(m)
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90
0
02
04
x-e
rreurr
(m)
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90
0
02
04
y-e
rreur
(m)
temps (s)
Chapitre4 COMMANDE ROBUST PAR LA THECHNIQUE DU BACKTEPPING
97
Figure 419 Les commandes en preacutesence de perturbations
Figure 420 Les angles de tangage et de roulis en preacutesence de perturbation
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90
-05
0
05
1
angle
theta
(rad)
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90
-1
-05
0
05
1
angle
phi(r
ad)
temps (s)
0 10 20 30 40 50 60 70 80 900
20
40
u3(N
)
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90-20
-10
0
10
u4(N
m)
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90-10
0
10
20
u5(N
m)
temps (s)
Chapitre4 COMMANDE ROBUST PAR LA THECHNIQUE DU BACKTEPPING
98
Figure 421 Les forces en preacutesence de perturbation
Figure 422 La trajectoire de reacutefeacuterence et reacuteelle en preacutesence de perturbation
-3-2
-10
12
3
-3-2
-10
12
30
10
20
30
40
50
Deacuteplacement suivant (x)Deacuteplacement suivant (y)
Deacutepla
cem
ent
suiv
ant
(z)
Trajectoire reacuteelle
Trajectoire reacutefeacuterence
0 10 20 30 40 50 60 70 80 900
5
10
F1
(N)
0 10 20 30 40 50 60 70 80 900
5
10
F2
(N)
0 10 20 30 40 50 60 70 80 900
5
10
F3
(N)
0 10 20 30 40 50 60 70 80 900
5
10
F4
(N)
temps (s)
Chapitre4 COMMANDE ROBUST PAR LA THECHNIQUE DU BACKTEPPING
99
Figure 423 La trajectoire de reacutefeacuterence et reacuteelle en preacutesence de perturbation
Figure 424 Comparaison entre le controcircleur bakstepping et Inteacutegral Backsteppingpour des connexions demi cercle en preacutesence de perturbation
-2-15
-1-05
005
115
-3-2
-10
120
1
2
3
4
5
6
x-displacementy-displacement
z-d
ispla
cem
ent
Trajectoire reacuteelle
Trajectoire reacutefeacuterence
05
1015
2025
30
-5
0
5
100
10
20
30
Deacuteplacement suivant (x)Deacuteplacement suivant (y)
Deacutepla
cem
ent
suiv
ant
(z)
Trajectoire reacuteelle IB
Trajectoire reacutefeacuterence
Trajectoire reacuteelle B
Chapitre4 COMMANDE ROBUST PAR LA THECHNIQUE DU BACKTEPPING
100
Dans les figures (417- 424) nous remarquons que la robustesse de la commande est
veacuterifieacutee numeacuteriquement En effet avec telles forces de reacutesistance la commande produit
des valeurs assez raisonnables assurant le suivi du drone agrave sa trajectoire de reacutefeacuterence avec
des erreurs ne deacutepassant pas 20 cm pour les variables x z et y Pour assurer les virages les
angles de tangage et de roulis varient au cours du suivi de trajectoire
47 Backstepping adaptative
La commande adaptative est une solution ougrave les paramegravetres sont inconnus ougrave
eacutevoluant dans le temps Dans ce cas ces paramegravetres sont estimeacutes par des lois drsquoadaptations
ces derniegraveres nous permettent drsquoapprocher les valeurs reacuteelles du systegraveme rendant ainsi la
commande dynamique deacutependante de lrsquoeacutevolution des paramegravetres [10 46 47 59]
Dans cette partie on va preacutesenter la deuxiegraveme proposition pour eacuteliminer lrsquoerreur statique
due agrave la preacutesence drsquoune perturbation Le scheacutema bloc simplifieacute de la commande du
backstepping adaptative appliqueacute au vol vertical est repreacutesenteacute par la figure (425)
Figure 425 Le scheacutema bloc du backstepping adaptative
471 Commande de lrsquoaltitude
La loi de commande geacuteneacutereacutee en utilisant la technique du backstepping avec estimateur
deacutebutera par la deacutefinition de la premiegravere valeur drsquoerreur de position [28]
Premiegravere eacutetape
e௭ଵ= ݖ minus z (478)
Ainsi que sa vitesse lineacuteaire est donneacutee par
e௭ଵ= ሶݖ minus ሶݖ (479)
On choisira la fonction de Lyapunov
V (e௭ଵ) =ଵ
ଶeଵଶ (480)
Perturbation
Backstepping adaptative(Commande de lrsquoaltitude)
Model du X4Reacutefeacuterence zzref
ଷݑ
-
+
Chapitre4 COMMANDE ROBUST PAR LA THECHNIQUE DU BACKTEPPING
101
Sa deacuteriveacutee
V(e௭ଵ) = e௭ଵe௭ଵ= e௭ଵ ሶݖ) minus (ሶݖ (481)
Soit xଶ le controcircleur virtuel sa loi de commande est deacutefinie par
xଶ = ሶݖ + k௭ଵe௭ଵ (482)
Deuxiegraveme eacutetape
En introduisant la nouvelle valeur drsquoerreur noteacutee e௭ଶ qui est eacutegale agrave la diffeacuterence entre la
vraie valeur de la vitesse ሶetݖ la commande virtuelle xଶ alors
e௭ଶ = ሶݖ + k௭ଵe௭ଵminus ሶݖ (483)
e௭ଵ = minus k௭ଵe௭ଵ + e௭ଶ (484)
A cette eacutetape la fonction de Lyapunov va ecirctre diffeacuterente de la preacuteceacutedente et ceci est due agrave
lrsquointroduction drsquoune force inconnue ௭ܣ (force de traineacutee) Lrsquoajout drsquoun estimateur est
neacutecessaire pour estimer ௭ܣ la fonction de Lyapunov est augmenteacutee
V (e௭ଵ e௭ଶ (ଵߛ =1
2eଵଶ +
ଵ
ଶeଶଶ +
1
భߛ2௭෪ܣ
ଶ (485)
Lrsquoajout de ce nouveau terme permet drsquoannuler lrsquoerreur due agrave lrsquoestimation de la force ௭ܣ
ߛଵ
est un paramegravetre de design qui doit toujours ecirctre positif
Ougrave ௭෪ܣ repreacutesente lrsquoerreur entre ௭ܣ et ௭ܣ (force estimeacutee)
௭෪ܣ = ௭ܣ minus ௭ܣ (486)
A lrsquoaide de ce choix on obtient
V൫e௭ଵ e௭ଶ ߛଵ൯= e௭ଵe௭ଵ + e௭ଶe௭ଶ+
ଵ
ఊ1
௭෪ܣ ௭ܣ (487)
Pour que le systegraveme soit stable il faut que sa deacuteriveacutee soit toujours neacutegative
V൫e௭ଵ e௭ଶ ߛଵ൯= e௭ଵ(minus k௭ଵe௭ଵ + e௭ଶ)+ e௭ଶ (k௭ଵ(minusk௭ଵe௭ଵ + eଶ) minus +ሷݖ (ሷݖ +
1
భߛ௭෪ܣ ௭ܣ
(488)
= minus k௭ଵeଵଶ + eଶ ሷ+(1ݖ) minus kଵ
ଶ )e௭ଵ + k௭ଵeଶ minusߠݏ 3ݑemptyݏ
+ g +
ෝݖܣ
)
+1
భߛ௭෪ܣ ௭ܣ) minus
భߛ
eଶ ) (489)
La dynamique qui va ecirctre attribueacutee agrave ௭ܣ est baseacutee sur le fait qursquoelle doit annuler le terme
inconnu ௭ܣ
௭ܣ =ఊ1
e2ݖ (490)
Chapitre4 COMMANDE ROBUST PAR LA THECHNIQUE DU BACKTEPPING
102
Pour garantir la stabiliteacute de Lyapunov
ሷ+(1ݖ minus kଵଶ )e௭ଵ + k௭ଵeଶ minus
ߠݏ 3ݑ emptyݏ
+ g +
= minusk௭ଶeଶ (491)
La loi de commande qui stabilise le vol vertical est
ଷݑ =
ߠݏ emptyݏ+ሷݖ) g + e௭ଵ(1minusk௭ଵ
ଶ ) + eଶ(k௭ଵ + k௭ଶ) minusෝݖܣ
) (492)
La force ௭ܣ apparaicirct dans la commande ଷݑ et lrsquoeffet de celle-ci va se montrer dans les
reacutesultats de simulation
Nous suivons les mecircmes eacutetapes deacutecrites preacuteceacutedemment pour deacuteterminer les commandes du
drone X4 ce qui nous donne
⎩⎪⎪⎪⎨
⎪⎪⎪⎧ ௫ݑ =
௨యሷݔ) + (1 minus ௫ଵ
ଶ ) ௫ଵ minus ( ௫ଵ + ௫ଶ) ௫ଶ) minus
௬ݑ =
௨యሷݕ) + ൫1 minus ௬ଵ
ଶ ൯ ௬ଵ minus ( ௬ଵ + ௬ଶ) ௬ଶ) minus
ସݑ = +ߠ ఏଵ൫1 minus ఏଵଶ ൯minus ఏଶ ( ఏଵ + ఏଶ)
ହݑ = ݎempty + emptyଵ (1 minus emptyଵଶ ) minus emptyଶ ( emptyଵ + emptyଶ)
u = ψ
+eψଵ൫1 minus kψଵଶ ൯minus eψଶ(kψଵ + kψଶ )
(493)
ܣ ܣ sont les forces de reacutesistances estimeacutees suivants les axes x y respectivement
Leurs deacuteriveacutees sont deacutefinie par ܣ =ఊ2
e2ݔ ܣ =
ఊ3
e2ݕ
Avec ଶߛ et ଷߛ sont des constants positifs
472 Reacutesultats de simulations
Nous nous inteacuteressons dans cette partie aux tests de la robustesse du controcircleur
backstepping adaptative Nous reprenons les mecircmes tests effectueacutes par le controcircleur
Backstepping Nous traitons dans cette partie lrsquoexemple de la reacutealisation des connections
demi-cercles pour les mouvements z x y en preacutesence de perturbation
Avec les gains ଵ=10ߛ ଶ=20ߛ et ଷ=30ߛ
Chapitre4 COMMANDE ROBUST PAR LA THECHNIQUE DU BACKTEPPING
103
Figure 426 La trajectoire de reacutefeacuterence et reacuteelle en preacutesence de perturbation
Figure 427 Les commandes en preacutesence de perturbation
0 5 10 15 20 25 30 35 40 450
20
40
u3
(N)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45-40
-20
0
20
u4
(Nm
)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
-200
2040
u5
(Nm
)
temps (s)
02
46
810
1214
0
5
10
15
200
5
10
15
Deacuteplacement suivant (x)Deacuteplacement suivant (y)
Deacutepla
cem
ent
suiv
ant
(z)
Trajectoire reacuteelle
Trajectoire reacutefeacuterence
Chapitre4 COMMANDE ROBUST PAR LA THECHNIQUE DU BACKTEPPING
104
Figure 428 Les erreurs en preacutesence de perturbation
Figure 429 Les forces en preacutesence de perturbation
0 5 10 15 20 25 30 35 40 450
5
10
F1
(N)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 450
5
10
F2
(N)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 450
5
10
F3
(N)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 450
5
10
F4
(N)
temps (s)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45-01
0
01
02z-e
rreur
(m)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45-01
0
01
02
x-e
rreurr
(m)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45-01
0
01
02
y-e
rreur
(m)
temps (s)
Chapitre4 COMMANDE ROBUST PAR LA THECHNIQUE DU BACKTEPPING
105
Figure 430 Estimation des forces de traineacutee suivant les deacuteplacements zxy
La simulation agrave eacuteteacute faite sur le mecircme proceacutedeacute les figures (426-429) montrent
clairement que la loi de commande adaptative proposeacutees est stable malgreacute la preacutesence de
terme de perturbation lrsquoerreur statique est annuleacute et le suivi de la trajectoire est assureacute
nous pouvons voir aussi que la perturbation additionneacutee ne cause pas de problegraveme vis-agrave-vis
de la performance de la loi de commande cette derniegravere stabilise asymptotiquement les
principales erreurs du systegraveme En outre la figure (430) montre que ෩(erreur)ܣ converge
vers zeacutero ou encore ௫௬௭ܣ (estimeacutee) converge vers sa vraie valeur ௫௬௭ܣ (inconnue)
4 8 Commande Hybride
Depuis quelques anneacutees beaucoup de recherches ont eacuteteacute effectueacutees dans le domaine
de la commande des systegravemes non lineacuteaires Le mode glissant-backstepping fait partie de
ces nouvelles meacutethodes de controcircle celui-ci au mecircme algorithme que le backstepping mis
agrave part le deuxiegraveme sous systegraveme on remplace lrsquoerreur par la surface de glissement et la
commande comprend deux termes ݑ) = ݑ + (ݑ Un terme continu appeleacutee commande
eacutequivalente et un terme discontinu appeleacutee commande de commutation Le but de cette
proceacutedure est de garantir une stabiliteacute avant lrsquointroduction du mode glissant
0 5 10 15 20 25 30 35 40 450
5
10A
z-F
orc
e(N
))
0 5 10 15 20 25 30 35 40 450
5
10
Ax-F
orc
e(N
)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 450
5
10
Ay-F
orc
e(N
)
temps (s)
force estimeacutee
force reacuteelle
force estimeacutee
force reacuteelle
force estimeacutee
force reacuteelle
Chapitre4 COMMANDE ROBUST PAR LA THECHNIQUE DU BACKTEPPING
106
481 Application du mode glissant-Backstepping pour le drone X4
Dans cette partie on a utiliseacute le backstepping approche comme un algorithme
reacutecursif pour controcircler le drone X4 nous simplifions toutes les eacutetapes de calcul agrave propos
des erreurs et les fonctions de Lyapunov dans le chemin suivant
= ቐ
minusݔ ݔ isin [1 3 5 7 9 11]
minusݔ ሶ(ݔ ଵ) minus ( ଵ)
isin 2 4 6 8 1012
(494)
Avec gt 0 isin 112
ଵ
ଶ ଶ isin 1357911
et = (495)
( ଵ) +ଵ
ଶ ଶ isin 24681012
Nous allons appliquer cette meacutethode pour commander la dynamique de lrsquoaltitude z du
drone X4 les autres lois de commandes seront deacuteduites par les mecircmes proceacutedures et seront
donneacutee directement La premiegravere eacutetape dans ce controcircleur est similaire agrave celui de la
commande par backstepping agrave action inteacutegrale
Drsquoougrave la surface de glissement S est utiliseacute agrave la place de eଶ deacutefinis par
௭ = ௭ଶ = minusሶݖ ሶݖ minus ௭ଵ ௭ଵ minus ଵߣ ଵ (496)
Le choix de la de commande pour une surface de glissement attractive se pose sur la
deacuteriveacutee de lrsquoeacutequation (496) doit satisfaire la condition ൫SS lt 0൯
௭ = minus ଵݏ )ݐ ௭) minus ଶ ௭
= minusሷݖ ሷݖ minus ௭ଵ ሶ௭ଵ minus ଵߣ ௭ଵ
=ଵ
emptyݏ ଷݑߠݏ minus minus ሷݖ minus ௭ଵ ሶ௭ଵ minus ଵߣ ௭ଵ (497)
La loi de commande qui stabilise le vol vertical est
ଷݑ =
௦empty௦ఏ൫ݖሷ + + ௭ଵ ሶ௭ଵ + ଵߣ ௭ଵ minus ଵݏ )ݐ ௭) minus ଶ ௭൯ (498)
Avec ଵ et ଶ sont des gains positives
Chapitre4 COMMANDE ROBUST PAR LA THECHNIQUE DU BACKTEPPING
107
Analyse de la stabiliteacute
Afin de prouver la stabiliteacute la fonction de Lyapunov (e௭ଵ S௭) est choisie comme suite
(e௭ଵ S௭) =ଵ
ଶe௭ଵଶ + ௭
ଶ + ଵߣ ଵଶ ൧ (499)
Afin de prouver la stabiliteacute asymptotique du systegraveme sur lensemble nous avons besoin
dexprimer (471) comme suit
ሶ௭ଵ = minus ௭ minus ௭ଵ ௭ଵ minus ଵߣ ଵ (4100)
La deacuteriveacutee de lrsquoeacutequation 499 donne
= ଵߣ ௭ଵ ଵ + ௭ଵ ሶ௭ଵ + ௭௭ (4101)
Par lrsquointroduction des eacutequations drsquoerreurs de poursuite en vitesse de ௭ଵ et ௭ donne
= minus ௭ଵ ௭ଵଶ minus ଵ ௭
ଶ minus |ଵݍ ௭| le 0 (4102)
Avec
௭ = minus ଵݏ )ݐ ௭) minus ଶ ௭ + ௭ଵ (103)
La stabiliteacute Asymptotique Global est eacutegalement assureacutee agrave partir de la fonction et le fait
que ( ௭ଵ ௭) lt 0 forall( ௭ଵ ௭) ne 0 and (0) = 0 et en appliquant le theacuteoregraveme de LaSalle
Les mecircmes eacutetapes sont utiliseacutees pour deacuteduire les commandes ux uy u4 u5 et u6 [88]
⎩⎪⎪⎨
⎪⎪⎧ ௫ݑ =
௨యሷݔ) + ௫ଵ ሶ௫ଵ+ߣଶe୶ଵ minus ଷݏ )ݐ ௫) minus ସ ௫)
௬ݑ =
௦ఏ௨య൫ݕሷ + ௬ଵ ሶ௬ଵ + ଷe୷ଵߣ minus ହݏ ൫ݐ ௬൯minus ௬൯
ସݑ = ߠ + ఏଵ ሶఏଵ + ସeఏଵߣ minus ݏ )ݐ ఏ) minus ఏ
ହݑ = empty + emptyଵ ሶemptyଵ + ହeemptyଵߣ minus ଽݏ )ݐ empty) minus ଵ empty
ݑ = + టଵ ሶటଵ + eటଵߣ minus ଵଵݏ ൫ݐ ట൯minus ଵଶ ట
( 4104)
Avec ( ଵ ଶ ଷ ସ ହ ଽ ଵ ଵଵ ଵଶ ) sont des gains positives
Ougrave ௫ ௬ ఏ empty et ట sont les surfaces de glissement deacutefinies par le systegraveme drsquoeacutequation
suivant
Chapitre4 COMMANDE ROBUST PAR LA THECHNIQUE DU BACKTEPPING
108
⎩⎪⎪⎨
⎪⎪⎧
௫ = e୶ଶ = x minus x minus k୶ଵe୶ଵ minus ଶߣ ଶ
௬ = e୷ଶ = y minus y minus k୷ଵe୷ଵ minus ଷߣ ଵ
ఏ = eఏଶ = minusߠ ߠ minus kఏଵeఏଵ minus ସߣ ସ
empty = eemptyଶ = empty minus empty minus kemptyଵeemptyଵ minus ହߣ ହ
ట = eటଶ = minus minus kటଵeటଵ minus ߣ
(4105)
482 Reacutesultats de simulation
Lrsquoobjectif de cette simulation est de montrer la robustesse de la loi de commande
lorsque qursquoune perturbation externe est appliqueacutee
Les paramegravetres de simulation sont
ଵ =10 ଷ = 1 ହ = 10 = 2 ଽ = 10 ଵଵ = 2 ௭ଵ =8 ଶ = 5 ௫ଵ = 5 ସ =
5 ௬ଵ = 4 = 2 kemptyଵ = 55 k = 2 ఏଵ = 75 ଵ = 10 టଵ = 2 ଵଶ = 4
ଵߣ = 5 ଶߣ = 5 ଷߣ = 4 ସߣ = 2 ହߣ = 5 ߣ = 2
Les figures 431 437 et 438 montrent que les deux commandes ont permis le suivi des
trajectoires deacutesireacutees La diffeacuterence entre les deux commandes se voit dans la figure 436 ougrave
les erreurs de suivi sont moins importantes en utilisant la commande robuste backstepping-
mode glissant que la commande inteacutegrale backstepping Les simulations montrent donc
que la commande hybride est plus efficace que la commande Inteacutegrale Backstepping IB
Figure 431 La trajectoire de reacutefeacuterence et reacuteelle en preacutesence de perturbation
0
5
10
15
0
5
10
150
5
10
15
x-displacementy-displacement
z-d
ispla
cem
ent
Trajectoire reacuteelle
Trajectoire reacutefeacuterence
Chapitre4 COMMANDE ROBUST PAR LA THECHNIQUE DU BACKTEPPING
109
Figure 432 Les commandes en preacutesence de perturbation
Figure 433 Les erreurs en preacutesence de perturbation
0 5 10 15 20 25 30 35 40 450
20
40
u3(N
)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45-40
-20
0
20
u4(N
m)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
-200
2040
u5(N
m)
temps (s)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45-01
0
01
02
z-e
rreur
(m)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45-01
0
01
02
x-e
rreurr
(m)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45-01
0
01
02
y-e
rreur
(m)
temps (s)
Chapitre4 COMMANDE ROBUST PAR LA THECHNIQUE DU BACKTEPPING
110
Figure 434 Les angles en preacutesence de perturbation
Figure 435 Les forces en preacutesence de perturbation
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
-05
0
05
1
angle
theta
(rad)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
-1
-05
0
05
1
angle
phi(r
ad)
temps (s)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 4505
10
F1
(N)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 450
5
10
F2
(N)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 450
5
10
F3
(N)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 450
5
10
F4
(N)
temps (s)
Chapitre4 COMMANDE ROBUST PAR LA THECHNIQUE DU BACKTEPPING
111
Figure 436 Les erreurs de suivi en z x et y pour les deux commandes
Figure 437 La trajectoire de reacutefeacuterence et reacuteelle en preacutesence de perturbation
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45-01
0
01
02
z-e
rre
ur
(m)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45-01
0
01
02
x-e
rre
urr
(m)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45-01
0
01
02
y-e
rre
ur
(m)
temps (s)
IB
IBMG
IB
IBMG
IB
IBMG
0
5
10
15
0
5
10
150
5
10
15
x-displacementy-displacement
z-d
ispla
cem
ent
Trajectoire reacuteelle
Trajectoire reacutefeacuterence
Chapitre4 COMMANDE ROBUST PAR LA THECHNIQUE DU BACKTEPPING
112
Figure 438 La trajectoire de reacutefeacuterence et reacuteelle en preacutesence de perturbation
49 Conclusion
Nous avons preacutesenteacute dans ce chapitre une contribution agrave lrsquoapplication de la commande
par backstepping et la commande hybride backstepping mode glissant afin de stabiliser le
drone X4 On a proposeacute un algorithme de commande qui stabilise le drone en utilisant la
technique du backstepping et en se basant sur la meacutethode directe de Lyapunov Cette
technique a eacuteteacute appliqueacutee avec succegraves pour concevoir des algorithmes de commandes qui
assurent la poursuite de ces trajectoires En effet en preacutesence drsquoune perturbation un
comportement peu deacutesirable et observeacute des erreurs statiques persistent Afin drsquoeacuteliminer
cet inconveacutenient on a eacutetudieacute les deux approches la premiegravere consiste agrave introduire drsquoune
maniegravere virtuelle une action inteacutegrale qui permet une nette ameacutelioration des performances
et la deuxiegraveme approche est le backstepping adaptatif lrsquoideacutee consiste agrave estimer la force de
traineacutee comme perturbation et suivant la proceacutedure du backstepping le controcircleur prend
en compte la perturbation et lrsquoeffet de celle-ci est eacutelimineacute Les reacutesultats obtenus ont montreacute
lrsquoefficaciteacute de lrsquoutilisation de ce type de commande et ceci est deacutemontreacute par les bonnes
performances du controcircleur (rejet de perturbation)
Pour renforcer la robustesse face aux perturbations externes des deux commandes une
commande hybride entre le mode glissant et le backstepping inteacutegrale agrave eacuteteacute proposeacutee afin
-2-15
-1-05
005
115
-3
-2
-1
0
1
20
1
2
3
4
5
6
x-displacementy-displacement
z-d
ispla
cem
ent
Trajectoire reacuteelle
Trajectoire reacutefeacuterence
Chapitre4 COMMANDE ROBUST PAR LA THECHNIQUE DU BACKTEPPING
113
drsquoameacuteliorer les performances dynamique et statique Nous avons preacutesenteacute dans cette partie
la synthegravese et la stabiliteacute de la commande hybride que nous avons appliqueacutee pour le drone
X4
Les reacutesultats de simulation ont confirmeacute les bonnes performances du controcircleur utiliseacute qui
assure sous certaines conditions la poursuite de la trajectoire
CONCLUSION GENERALE ET PRESPECTIVE
113
CONCLUSION GENERALE ETPRESPECTIVE
CONCLUSION GENERALE ET PRESPECTIVE
114
CONCLUSION GENERALE ET PRESPECTIVE
Durant ces derniegraveres anneacutees la robotique aeacuterienne a fait de grand progregraves Cet
inteacuterecirct est justifieacute par les avanceacutees technologiques reacutecentes qui rendent possibles la
conception et la construction des mini-drones et par le domaine drsquoapplication civile et
militaire tregraves vaste de ces aeacuteronefs Les drones sont classifieacutes en trois cateacutegories principales
les avions les dirigeables et les heacutelicoptegraveres Le travail reacutealiseacute dans cette thegravese rentre dans
ce cadre de recherche sur la commande de mini-veacutehicules aeacuteriens capables de reacutealiser du
vol stationnaire et en particulier du quadrirotor Notre objectif est de deacutevelopper des
commandes avanceacutees drsquoune part et drsquoautre part de proposer des meacutethodes drsquohybridations
entre ces techniques de commande assurant la stabiliteacute du drone (X4) et leurs poursuites
aux trajectoires planifieacutees
Nous nous sommes tout drsquoabord inteacuteresseacutes agrave attribuer au drone un modegravele
repreacutesentatif qui reflegravete sa dynamique de translation et celle de rotation en neacutegligeant les
forces aeacuterodynamiques et les effets gyroscopiques Ce modegravele a eacuteteacute eacutelaboreacute en utilisant la
meacutethode Newtonienne en se basant sur quelques hypothegraveses simplificatrices adopteacutees en
litteacuterature
Nous avons eacutelaboreacute dans un premier temps la synthegravese drsquoune loi de commande agrave
structure variable tel que le mode glissant Dans ce type de commande lrsquoapproche non
lineacuteaire a eacuteteacute traiteacutee et preacutesente lrsquoavantage de se rapprocher du systegraveme reacuteel sans passer
neacutecessairement par le modegravele lineacuteaire Cette commande a donneacute des reacutesultats inteacuteressants
concernant la poursuite de trajectoires simples telles que le suivi de lignes droites et
complexes (demi-cercle arcs hellip)
En preacutesences des perturbations des erreurs statiques persistent Une structure de
reacuteglage par mode de glissement agrave action inteacutegrale a eacuteteacute aussi preacutesenteacutee afin drsquoobtenir des
meilleurs performances Les reacutesultats de simulation nous montrent la robustesse et la
performance de ce type de reacutegulateur Cependant le signal de commande obtenu par ce
reacutegulateur preacutesente des variations brusques dues au pheacutenomegravene de broutements
(chatterring)
Afin de reacuteduire les effets du pheacutenomegravene de broutement et drsquoameacuteliorer davantage
les performances de stabilisation du X4 une hybridation entre la logique floue et le mode
de glissement agrave action inteacutegrale a eacuteteacute proposeacutee
CONCLUSION GENERALE ET PRESPECTIVE
115
Une autre commande non lineacuteaire a eacuteteacute proposeacutee agrave savoir un reacutegulateur de type
backstepping Ce reacutegulateur est baseacute sur une reacutecente meacutethodologie faisant appel agrave la
fonction de Layapunov La synthegravese a conduit agrave un controcircleur non lineacuteaire globalement
asymptotiquement stable Cette technique a eacuteteacute appliqueacutee avec succegraves pour concevoir des
algorithmes de commandes qui assurent le deacuteplacement du drone drsquoune position initiale
vers une position drsquoeacutequilibre deacutesireacutee Le reacutegulateur backstepping dont la conception est de
type PD preacutesente lrsquoinconveacutenient de la persistance de lrsquoerreur statique en preacutesence de
perturbation Pour y remeacutedier deux solutions ont eacuteteacute proposeacutees agrave savoir lrsquoajout drsquoune
action inteacutegrale au controcircleur virtuel (la commande inteacutegrale backstepping) et la deuxiegraveme
revient agrave estimer la perturbation (la commande backstepping adaptatif) cette approche a la
flexibiliteacute de speacutecifier les structures finales deacutesirables pour les lois des paramegravetres estimeacutes
Une approche drsquohybridation entre le backstepping inteacutegrale et le mode glissant a eacuteteacute
preacutesenteacutee pour augmenter davantage les performances de controcircleur
Les reacutesultats obtenus agrave ce propos sont assez motivant pour lancer une concreacutetisation
pratique de ces commandes
Outre les perspectives de travail mentionneacutees dans les conclusions des diffeacuterentes
parties de ce document une extension des travaux effectueacutes dans le cadre de cette thegravese
peut ecirctre reacutealiseacutee en consideacuterant les points suivants
Les approches proposeacutees ont eacuteteacute adapteacutees pour lrsquoacuteelaboration de lois de guidage-pilotage
en utilisant un niveau de modeacutelisation de la dynamique drsquoun drone miniature `agrave voilure
tournante baseacute sur une repreacutesentation de type meacutecanique du solide Une extension de ces
travaux peut consister en lrsquoapplication des meacutethodes proposeacutees agrave des modegraveles plus
deacutetailleacutes repreacutesentatifs drsquoune configuration de veacutehicule donneacutee et prenant en compte une
repreacutesentation de son aeacuterodynamique
Enfin une analyse de la robustesse des approches proposeacutees peut ecirctre eacutetudieacutee en
poursuite agrave cette thegravese afin de garantir dans quelle mesure les proprieacuteteacutes de stabiliteacute
eacutetablies sont conserveacutees en preacutesence drsquoerreurs de modegraveles en preacutesence de perturbations
impreacutevisibles telles que les rafales de vent En effet comme perspective ces conditions
reacuteelles peuvent ecirctre consideacutereacutees dans lrsquoeacutelaboration de la commande dans le but
drsquoaugmenter le domaine de fonctionnement du quadrirotor (agrave lrsquointeacuterieur ou bien agrave
lrsquoexteacuterieur) Dans le mecircme esprit nous nrsquoavons pas consideacutereacute le problegraveme des retards de
mesure ou de communication entre le drone et la base de controcircle Il nous semble
envisageable de consideacuterer ce problegraveme en se basant sur les reacutesultats obtenus pour la
CONCLUSION GENERALE ET PRESPECTIVE
116
stabilisation par commande agrave structure variable de systegravemes avec retard et la stabilisation
avec la commande hybride
Le choix des paramegravetres de reacuteglage de la commande non-lineacuteaire proposeacutee pour la
stabilisation du quadrirotor nrsquoest pas optimiseacute en lrsquoeacutetat actuel Il est par conseacutequent tout agrave
fait envisageable drsquooptimiser ces choix dans le but drsquoameacuteliorer le comportement global du
systegraveme de renforcer la stabiliteacute ou encore drsquoameacuteliorer la robustesse de la commande
ANNEXE
113
ANNEXES
ANNEXE
117
ANNEXE A
A1 Theacuteorie de lyapunov
Le concept du controcircle par Backstepping est baseacute sur la theacuteorie de Lyapunov Lebut est de construire de proche en proche une loi de commande ramenant le systegraveme versdes eacutetats deacutesireacutes En drsquoautres termes on souhaite faire de lrsquoeacutetat deacutesireacute un eacutetat drsquoeacutequilibrestable en boucle fermeacuteeDans cette section nous deacutefinissons la notion de la stabiliteacute au sens de Lyapunov et nouspassons en revue les principaux outils utilisables pour prouver la stabiliteacute drsquoun systegraveme nonlineacuteaire Cette section est inspireacutee essentiellement des travaux de Khalil auquel nous nousreferons pour les preuves des theacuteoregravemes de stabiliteacute [89]On considegravere le systegraveme non lineacuteaire drsquoeacutecrit par lrsquoeacutequation diffeacuterentielle suivante
=ሶݔ (ݐݔ) A1Ougrave f est une fonction deacutefinie de ℝtimesℝା rarr ℝ x isin Rn est le vecteur drsquoeacutetat du systegravemeUn eacutetat xe du systegraveme est un point drsquoeacutequilibre stable srsquoil satisfait
(ݔ) = 0 A2Les proprieacuteteacutes de stabiliteacute de ce point drsquoeacutequilibre sont caracteacuteriseacutees par la deacutefinition ci-dessous
Deacutefinition A1 (Stabliteacute au sens de Lyapunov)Un point drsquoeacutequilibre x = x du systegraveme (A1) est ndash un eacutetat drsquoeacutequilibre stable si et seulement si pour tout ε gt 0 il existe δ(ε) gt 0 tel que
(0)ݔ minus ݔ lt ε ⟹ (ݐ)ݔ minus ݔ lt ߝ leݐ forall 0ndash un eacutetat drsquoeacutequilibre asymptotiquement stable srsquoil est stable et srsquoil existe ߜ gt 0 tel que
(0)ݔ minus ݔ lt ⟹ߜ lim௧⟶ஶ
(ݐ)ݔ = ݔ
ndash un eacutetat drsquoeacutequilibre globalement asymptotiquement stable (GAS) si pour tout eacutetat initialx0 x(0) isin ℝ il est stable et
lim௧rarrஶ
(ݐ)ݔ = (0)ݔ forall ݔ
On introduit maintenant quelques concepts usuels de fonctions de LyapunovDeacutefinition A2ndash Une fonction scalaire V (x) est deacutefinie positive dans une boule de Rn de rayon K si 1) V (x) gt 0 forall x ne 0 et x isin ℝ୬ x lt K2) V (x) = 0 pour x = 0ndash La fonction scalaire V (x) est deacutefinie neacutegative dans une boule de ℝ୬ de rayon K si 1) V (x) lt 0 forall x ne 0 et x isin ℝ୬ x lt K2) V (x) = 0 pour x = 0ndash La fonction scalaire (ݔ) est semi-deacutefinie positive si (ݔ) ge 0
Theacuteoregraveme A3 Consideacuterons le systegraveme deacutecrit par lrsquoeacutequation (A1) avec (0) = 0 Soit (ݔ) une fonction scalaire deacutefinie positive non borneacutee continue et diffeacuterentiable Si
V(x) = Vx f(x) lt 0 x ne 0 (A3)
alors x = 0 est un point drsquoeacutequilibre globalement asymptotiquement stable
ANNEXE
118
La fonction deacutefinie positive (ݔ) satisfaisant (ݔ) le 0 est appeleacutee fonction de Lyapunovdu systegraveme
Theacuteoregraveme A4 (LaSalle-Yoshizawa) [90]
Soit =ݔ 0 un point drsquoeacutequilibre de (A1) et on suppose que f est localement Lipschitz en xSoitV ℝ rarr ℝା une fonction continue et diffeacuterentiable deacutefinie positive radialement nonborneacutee telle que
=ௗ
ௗ௫(ݔ) (ݐݔ) le minus (ݔ) le 0 leݐ forall 0 niݔ ℝ (A4)
ougrave (ݔ) est une fonction continue alors toutes les solutions de (A1) sont globalementuniformeacutement borneacutees et satisfont
lim௧rarrஶ
( ((ݐ)ݔ) = 0 (A5)
de plus si (ݔ) est deacutefinie positive alors le point drsquoeacutequilibre ݔ = 0 est globalementuniformeacutement asymptotiquement stable
A2 Commande par la meacutethode de Lyapunov
Nous allons donner dans cette section une meacutethode de synthegravese drsquoune loi de commandebaseacutee sur la theorie de Lyapunov On considegravere le systegraveme non lineacuteaire drsquoeacutecrit par
=ሶݔ f(x u) (A6)Ougrave x est lrsquoeacutetat du systegraveme et ݑ est lrsquoentreacutee de commandeLrsquoobjectif du controcircle est de ramener le vecteur drsquoeacutetat agrave lrsquoorigine et que lrsquoorigine devienneun point drsquoeacutequilibre asymptotiquement stable Lrsquoentreacutee de commande est choisie de laforme
ݑ = (ݔ)ߙ (A7)La dynamique du systegraveme en boucle fermeacutee devient
=ሶݔ ((ݔ)ߙݔ) (A8)
Pour montrer que le systegraveme est GAS nous devons construire une fonction de Lyapnuov
(ݔ) satisfaisant les conditions du theacuteoregraveme (A3) Lapproche la plus simple pour trouver
(ݔ)ߙ est de seacutelectionner une fonction deacutefinie positive (ݔ) radialement non borneacutee et
puis choisir (ݔ)ߙ tel que
= (ݔ)ݔ ((ݔ)ߙݔ) lt 0 x ne 0 (A9)On doit faire un choix adeacutequat de pour veacuterifier (A9) Ce qui nous amegravene agrave donner ladeacutefinition suivante
Deacutefinition A5 (Fonction de Lyapunov candidate) Une fonction (ݔ) scalaire lissedeacutefinie positive et radialement non borneacutee est appeleacutee fonction de Lyapunov candidatepour le systegraveme (A6) si
inf௨ݔ (ݑݔ) lt 0 x ne 0 (A10)
Etant donneacutee une (fonction de Lyapunov candidate (CLF)) pour le systegraveme (A8) on peuttrouver une loi de controcircle stabilisant globalement le systegraveme En effet lrsquoexistence de
ANNEXE
119
cette loi est eacutequivalent de (CLF) Cela veut dire que pour toute loi de controcircle stabilisanteon peut trouver une (CLF) correspondante et vis-versa Cela est veacuterifie dans le theacuteoregraveme[91] Pour illustrer cette approche on considegravere le systegraveme suivant
=ሶݔ (ݔ) + ݑ(ݔ) (A11)Ce systegraveme est affine en la commande On suppose que la (CLF) du systegraveme est connueSontag a proposeacute dans [92] un choix particulier de loi de controcircle donneacutee par
ݑ = (ݔ)ߙ = minusାradicమାమ
(A12)
Ougrave= (ݔ)ݔ (ݔ)= (ݔ)(ݔ)ݔ
Cette loi de commande nous donne
= )(ݔ)ݔ (ݔ) + (ݑ(ݔ) = + ൬minusାradicమାమ
൰= minusradic ଶ + ଶ (A13)
Elle rend donc lrsquoorigine (GAS) Lrsquoeacutequation (A12) est connue sous le nom de la formule deSontag Freeman et Primbs [93] ont propose une approche ou la commande u est choisiepour minimiser Lrsquoeffort du controcircle neacutecessaire pour satisfaire
le minus (ݔ) (A14)
A3 Eacuteleacutements theacuteoriques des modes glissantsOn introduit des eacuteleacutements theacuteoriques neacutecessaires agrave la compreacutehension de la
commande par modes glissants Plus particuliegraverement nous rappelons les conditionsdrsquoexistence du mode glissant
Figure A1 ndash Comportement en dehors de la surface de glissement
A31 Existence du mode glissementA311 Deacutefinitions
Nous consideacuterons le systegraveme non lineacuteaire drsquoeacutecrit par
=ሶݔ (ݐݑݔ) (A15)Ougrave ndash x est lrsquoeacutetat du systegraveme eacutevoluant dans une varieacuteteacute diffeacuterentiable caracteacuterisant le domainephysique de fonctionnement du systegraveme
S = 0
ANNEXE
120
ndash f le champ de vecteurs complet dans ℝ
ndash u la commande ou lrsquoentreacutee du systegraveme appartient a Ω inclut dans ℝ veacuterifiant
(ݐݔ)ݑ = ൜(ݐݔ)ାݑ ݏ (ݐݔ) ≺ 0
(ݐݔ)ݑ ݏ (ݐݔ) ≻ 0
Cette commande discontinue est appeleacutee Commande a Structure Variable(CSV) ou biencommande par modes glissantsLa fonction S(x t) est appeleacutee surface de glissement elle partage lrsquoespace en deux partiesdistinctes Un systegraveme est deacutefini comme eacutetant un systegraveme a structure variable commutantentre deux structures si par on deacutefinit deux champs de vecteurs ା (x u t) (x u t) detel sorte que le systegraveme (A15) puisse ecirctre eacutecrit sous la forme ci-dessous
=ሶݔ (ݐݑݔ) = (ݐݔ) = ൜ା(ݐݔ) ݏ (ݐݔ) ≺ 0
(ݐݔ) ݏ (ݐݔ) ≻ 0
Pour eacutevoquer lrsquoexistence du mode de glissement il faut que la surface de commutation(ݐݔ) soit attractive des deux cotes Lrsquointerpreacutetation geacuteomeacutetrique eacutequivaut agrave dire que les
deux vecteurs vitesses + et minus doivent ecirctres dirigeacutes vers la surface de commutationCette notion drsquoattractiviteacute peut ecirctre locale ou globale (figure (A1))
A32 Conditions drsquoexistence du mode glissantLe theacuteoregraveme ci-dessous donne les conditions drsquoexistence du mode glissant
Theacuteoregraveme A6 Un domaine Dg de dimension (n-1) est dit un domaine de glissement si etseulement si dans un domaine Ω contenant Dg il existe une fonction de Lyapunov ( (ݐݔ gt 0 continucircment diffeacuterentiable par rapport agrave tous ses arguments et satisfaisantles conditions suivantes
i) ( (ݐݔ gt 0 est deacutefinie positive par rapport a S
൜( (ݐݔ ≻ 0 (ݐݔ0) = 0
ݏ ne 0
ii) Sur la sphegravere = ρ forall x isin Ω forall t gt 0 les relations suivantes sont veacuterifieacutees ii minus a) inf
ௌୀV ( (ݐݔ = ℎ ℎ gt 0
ii minus b) supௌୀ
V ( (ݐݔ = ܪ ܪ gt 0
Avec ℎ et ܪ deacutependant de S et ℎ ne 0 si ρ ne 0
iii) La deacuteriveacutee totale de ( (ݐݔ le long des trajectoires du systegraveme a unmaximum neacutegatif pour tout x de agrave lrsquoexclusion de la surface de commutationpour laquelle la commande u nrsquoest pas deacutefinie et la deacuteriveacutee de ( (ݐݔnrsquoexiste pas
iv) Il est possible de choisir une fonction de Lyapunov baseacutee sur la physique dusystegraveme (cas des robots manipulateurs par exemple) mais il nrsquoexiste aucune
ANNEXE
121
meacutethode geacuteneacuterale qui permette de trouver une fonction de Lyapunov Pourcertaines classes de systegravemes une approche possible consiste agrave choisir lesformes suivantes
⎩⎪⎨
⎪⎧ ݔ) (ݐ =
ଶ
2
ݔ) (ݐ =ସ
4 ݔ) (ݐ = | |
Pour illustrer le reacutesultat fourni par le theacuteoregraveme preacuteceacutedent nous optons pour une
fonction de Lyapunov de type quadratique ݔ) (ݐ =ௌమ
ଶ Pour que la surface soit
attractive sur tout le domaine il suffit queௗ
ௗ௧ ݔݐ) ) lt 0 Ceci eacutequivaut agrave
SS˙ lt 0 (A16)
Cette condition(A16) permet drsquoassurer une convergence asymptotique vers lasurface S = 0 Tregraves souvent cette condition est remplaceacutee par
SS˙ le minusη |S| (A17)
Ougrave η est une quantiteacute strictement positive Cette condition assure la convergence vers S =0 en un temps fini tfini
ANNEXE
122
ANNEXE B
La commande mode glissant preacutesente certaine limites par exemple le problegraveme de
chattering en preacutesence de la fonction sgn (voir figure si-dessous)
Figure B1 La commande u3 en cas des connexions droite
Dans cette partie nous testons numeacuteriquement la performance du vecteur de commande
(mode glissant) deacuteveloppeacute preacuteceacutedemment dont les conditions initiales sont choisis
diffeacuterentes de zeacutero
Figure B2 La trajectoire de reacutefeacuterence et reacuteelle en cas drsquoun cocircne
0 1 2 3 4 5 6 7 80
5
10
15
20
25
30
35
40
U3(N
)
Temps (s)
-2-15
-1-05
005
115
-3
-2
-1
0
1
20
1
2
3
4
5
6
Deacuteplacement suivant (x)
X 1
Y 1
Z 2984
Deacuteplacement suivant (y)
Deacutepla
cem
ent
suiv
ant
(z)
Trajectoire reacuteelle
Trajectoire reacuteference
ANNEXE
123
Figure B3 Les forces en cas drsquoun cocircne
Figure B4 Les angles en cas drsquoun cocircne
0 5 10 15 20 25 30 35 40 450
5
10
F1
(N)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 450
5
10
F2
(N)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 450
5
10
F3
(N)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 4505
10
F4
(N)
temps (s)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
-05
0
05
1
angle
theta
(rad)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
-1
0
1
angle
phi(r
ad)
temps (s)
ANNEXE
124
Figure B5 La trajectoire de reacutefeacuterence et reacuteelle en cas des demi-cercles
Figure B6 Les forces en cas des demi-cercles
0 5 10 15 20 25 30 35 40 450
5
10
F1
(N)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 450
5
10
F2
(N)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 450
5
10
F3
(N)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 450
5
10
F4
(N)
temps (s)
0
5
10
15
0
5
10
15
200
2
4
6
8
10
12
Deacuteplacement suivant (x)
X 1
Y 1
Z 3
Deacuteplacement suivant (y)
Deacutepla
cem
ent
suiv
ant
(z)
Trajectoire reacuteelle
Trajectoire reacutefeacuterence
ANNEXE
125
Figure B7 Les forces en cas des demi-cercles
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
-05
0
05
1
angle
theta
(rad)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
-1
-05
0
05
1
angle
phi(r
ad)
temps (s)
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126
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Reacutesumeacute
Lrsquointeacuterecirct scientifique de la thegravese est lrsquoeacutetude de stabilisation avec planification de trajectoire pour undrone agrave quatre heacutelices Apregraves la modeacutelisation du systegraveme plusieurs commandes ont eacuteteacute reacutealiseacutees pour lapoursuite de trajectoires simples telles que le suivi de lignes droites et complexes La stabiliteacute descontrocircleurs utiliseacutes a eacuteteacute veacuterifieacutee ainsi que la robustesse en preacutesence des perturbations
Dans la premiegravere partie nous nous somme pencheacutes sur la synthegravese drsquoun controcircleur par mode glissant (SMC)pour la stabilisation du drone X4 Cependant le signal de commande obtenu par cette technique preacutesentedes variations brusques dues au pheacutenomegravene de broutement Afin de reacuteduire les effets de ce pheacutenomegravene etdrsquoameacuteliorer davantage les performances de controcircle du X4 une hybridation entre la logique floue et le modede glissement a eacuteteacute proposeacutee
Par la suite nous avons preacutesenteacute la technique de commande du backstepping pour la stabilisation du droneCe reacutegulateur est baseacutee sur une reacutecente meacutethodologie faisant appel agrave la fonction da lyapunov Le controcircleurbackstepping dont la conception est de type PD preacutesente lrsquoinconveacutenient de la persistance de lrsquoerreur statiqueen preacutesence de perturbation Pour y remeacutedier des solutions ont eacuteteacute proposeacutees agrave savoir la commande InteacutegralBackstepping la commande backstepping adaptatif et une hybridation entre le mode glissant a eacuteteacute proposeacuteeafin drsquoameacuteliorer les performances de reacuteglage
Mot-cleacutes Drone quadrirotor commande par mode glissant commande par backstepping commandehybride stabiliteacute
Abstract
The scientific interest of this thesis work can be mainly seen in the study of the stabilization with
path planning for a four propellers UAV type Starting with dynamical modeling the system several
controllers were designed for the tracking of simple trajectories such as the follow-up of straight lines and
more complex ones The stability of the proposed controllers was checked as well as their robustness in the
presence of various disturbances
In the first part we focused on the synthesis of a sliding mode controller (SMC) for the stabilization of an X4UAV However the control signal obtained from this technique shows sudden undesirable variations due tothe phenomenon of chattering To reduce the effects of this phenomenon and to further improve the controlperformance applied to the X4 hybrid technique between fuzzy logic and sliding mode has been proposed
Subsequently we introduced the backstepping control technique to stabilize the drone This controllerdesign relies on a recent methodology using the Lyapunov function The backstepping controllerrsquos structurewhich is of PD type has the disadvantage of the persistence of the static error in the presence of disturbancesTo overcome this drawback some solutions have been proposed namely Integral Backstepping control theadaptive backstepping technique and its hybridization with the sliding mode control has been applied toimprove the control performances
Keywords quadrocopter drone sliding mode control backstepping control hybrid control stability and
robustness
الملخص
بدونودواراتبأربعودفعـھارفعـھایتمعمودیـة التيطائـرة في التحـكموالنمـذجةدراسـةإلىتطرقـناھذا في عمـلنا
تخراجـاسإلى تستندواحدةللتحكم خطیتینغیرتقنـیتین على اعتمدناقدوالنموذجلاستخراجقانون نیوتنطیاراستعملنا في التحكمإظھار
تحقـیقھوھذامنوالھدفباكیستیبنإجراءاتإلىالأخرىوالإنزلاق لات حا نوعمنحصینالنموذج أثناءطیاربدونطائرةالاستقرارو
الریاحتأثیر حالة ومسار معین رصد حالة في التقنـیات المعتـمدة متانة وفعالیةالتجارب نتائج بینتوقدمسارھارصدواشتغالھا
الباكستیبن تقنیةالانزلاق حالاتنوعمنحصینتحكم دوارات أربعذاتطائرةطائرةالمفتاحیةالكلمات
LISTE DES TABLEAUX
v
LISTE DES TABLEAUX
6
INTRODUCTION GENERALE
0
INTRODUCTION GENERALE
INTRODUCTION GENERALE
1
INTRODUCTION GENERALE
Dans les derniegraveres anneacutees les avances technologiques ont permis la conception et
la construction de mini-avions ou mini-heacutelicoptegravere avec des capaciteacutes toujours plus
deacuteveloppeacutees pour reacutealiser des vols autonome Ces appareils sont connus sous le nom de
drones Crsquoest -agrave-dire les drones sont des engins volants autonomes ou semi-autonomes
capables drsquoeffectuer des missions en vol sans pilotage humain agrave bort Pour cette raison les
drones sont connus aussi par leur appellation anglaise UAV (Unmanned Aerial Vehicle)
Ces appareils sont des veacutehicules complexes et difficiles agrave commander Il faut noter que
contrairement au robot manipulateur la plupart des ces systegravemes sont sous ndashactionneacutes (le
nombre drsquoentreacutees de commande est inferieur au nombre de degreacutes de liberteacute) En effet le
manque drsquoactionneurs pour ces engins induit une grande difficulteacute dans la conception de la
commande Neacuteanmoins lrsquointeacuterecirct de leur eacutetude vient de leur versatiliteacute et de leur
manœuvrabiliteacute leur permettant lrsquoexeacutecution drsquoun grand nombre de taches
Les applications des drones ne cessent drsquoaugmenter tant dans le domaine civil que
militaire Parmi les applications nous pouvons citer par exemple la surveillance de trafic
urbain ou des lignes eacutelectriques agrave haute tension [15] lrsquointervention dans des
environnements hostiles repeacuterage de mines la deacutetection de feux de forets dans les
missions de recherche et de sauvetage Enfin dans toutes les applications aeacuteriennes ougrave
lrsquointervention humaine devient difficile ou dangereuse
La recherche sur les drones est baseacutee principalement sur une eacutetude pluridisciplinaire
touchant le domaine eacutelectronique automatique informatique temps reacuteel aeacuterodynamique
traitement de signal communication Pour cette raison le nombre drsquoindustriels et
drsquouniversiteacutes qui srsquointeacuteressent aux robots aeacuterien ne cesse drsquoaugmenter
La conception de drones est diviseacutee essentiellement en deux parties la partie
algorithmique et la partie mateacuterielle Bien qursquoil existe un certain nombre de difficulteacutes
associeacutees agrave ce travail les chercheurs et les concepteurs se sont impliqueacutes de maniegravere
intense dans ces deux activiteacutes pour faire des contributions dans ce domaine La partie
algorithmique concerne le deacuteveloppement des lois de commande Dans cette branche les
automaticiens sont inteacuteresseacutes de plus en plus agrave lrsquoeacutetude et au deacuteveloppent des lois de
commande tant lineacuteaires que non lineacuteaire pour gouverner la dynamique de ces veacutehicules
La deuxiegraveme partie concerne le deacuteveloppement de la plate-forme expeacuterimentale ou
autopilote qui sera embarqueacutee dans le veacutehicule
INTRODUCTION GENERALE
2
Lrsquoobjectif de la thegravese est de deacutevelopper des strateacutegies de commande non lineacuteaires
pour le controcircle du drone En effet deux meacutethodes sont proposeacutees la commande par mode
glissant et la commande par backstepping
La commande agrave structure variable ou le mode glissant est une technique de
commande non lineacuteaire elle est caracteacuteriseacutee par la discontinuiteacute de la commande par une
surface de commutation Sa dynamique est alors insensible aux perturbations exteacuterieurs et
parameacutetriques tant que les conditions de reacutegime glissant sont assureacutees [45 50] Dans cette
voie nous allons utiliser la commande par mode glissant (Sliding Mode Control ou SMC)
pour la stabilisation drsquoun drone agrave quatre heacutelices Cependant le signal de commande obtenu
par un SMC preacutesente des variations brusques dues au pheacutenomegravene de broutement
(chaterring) ce qui peut exciter les hautes freacutequences et les non lineacuteariteacutes non modeacutelisables
[45 50 48 76] En effectuant une hybridation entre la logique floue et le mode de
glissement nous essayerons de reacuteduire les effets de pheacutenomegravene de broutement et
drsquoameacuteliorer drsquoavantage les performances du controcircleur
La theacuteorie de Lyapunov nous offre des outils tregraves puissants pour lrsquoanalyse de la
stabiliteacute des systegravemes ces mecircmes outils peuvent ecirctre utiliseacutes pour la synthegravese des lois de
commande Crsquoest dans ce contexte que se situe le backstepping cette commande agrave eacuteteacute
introduite au deacutebut des anneacutees 90 par plusieurs chercheurs on citera ente autres P
Kokotovic H Khalil Kanellakopoulos [72 73 74 75] Lrsquoapplication de cette derniegravere se
trouve dans le domaine de lrsquoaeacuteronautique [28] dans les systegravemes complexes tel que la
robotique les reacuteseaux eacutelectriques ainsi que les machines eacutelectriques [77 78 79 80] on
peut deacutefinir cette lois de commande comme eacutetant une proceacutedure reacutecursive qui combine
entre le choix de la fonction de Lyapunov et la synthegravese de la loi de commande [82] Cette
meacutethode transforme le problegraveme de synthegravese de loi de commande pour le systegraveme global agrave
une synthegravese de seacutequence de commande pour des systegravemes reacuteduits En exploitant la
flexibiliteacute de ces derniers le backstepping peut reacutepondre aux problegravemes de reacutegulation de
poursuite et de robustesse avec des conditions moins restrictives que drsquoautres meacutethodes
[82] Lrsquoingeacuteniositeacute de lrsquoideacutee nous a conduit agrave proposeacute lrsquoutilisation de cette loi de
commande non lineacuteaire pour la commande du drone quadri-rotor Une approche de
commande inteacutegral backstepping adaptatif sera preacutesenteacutee
INTRODUCTION GENERALE
3
Ce manuscrit de thegravese est structureacute de la maniegravere suivante en quatre chapitres
Chapitre 1
Dans ce chapitre nous preacutesenterons une classification des drones pour nous placer dans le
contexte de ce domaine de recherche Une eacutetude bibliographique preacutesente certaines
meacutethodes de geacuteneacuteration drsquoalgorithmes de commande pour les drones
Chapitre 2
Dans ce chapitre la modeacutelisation de drone heacutelicoptegravere quadri-rotor est preacutesenteacutee Cette
modeacutelisation est eacutetablie en prenant en consideacuteration les forces aeacuterodynamiques Une
expression deacutetailleacutee du coefficient de Coriolis des termes gyroscopique et centrifuge est
donneacutee
Chapitre 3
Le troisiegraveme chapitre concerne la commande agrave structure variable ougrave lrsquoapproche non
lineacuteaire par mode glissants est traiteacutee On introduit quelques aspects meacutethodologiques
neacutecessaires pour la compreacutehension des systegravemes agrave structures variables Cette technique
sera appliqueacutee pour controcircler la trajectoire du drone en utilisant une stabilisation point par
point Une autre structure de reacuteglage par mode de glissement agrave action inteacutegrale sera aussi
preacutesenteacutee Ensuite une approche drsquohybridation entre le mode glissant et la logique floue
sera proposeacutee
Chapitre 4
Le chapitre quatre quant agrave lui est consacreacute agrave la conception de la deuxiegraveme loi de
commande non lineacuteaire baseacutee sur la technique du backstepping pour la commande des
mouvements selon les axes Z X Y Une approche de commande backstepping adaptative
sera preacutesenteacutee Une hybridation entre la commande par backstepping et par mode glissant
est aussi proposeacutee dans le but drsquoavoir un controcircleur plus performant Une eacutetude de la
robustesse est effectueacutee vis-agrave-vis de la perturbation du vent suivant les diffeacuterentes
directions du mouvement
Ce manuscrit srsquoachegraveve par un ensemble de commentaires et de remarques geacuteneacuterales
sur les reacutesultats obtenus et quelques discussions sur les perspectives agrave mener
Chapitre 1 ETAT DE LrsquoART
3
Chapitre 1
ETAT DE LrsquoART
Chapitre 1 ETAT DE LrsquoART
4
1 ETAT DE LrsquoART
11 Introduction
Le mot drone est dorigine anglaise signifiant bourdon ou bourdonnement Il
est communeacutement employeacute en Franccedilais en reacutefeacuterence au bruit que font certains bourdons en
volant Les drones sont des aeacuteronefs capables de voler et deffectuer une mission sans
preacutesence humaine agrave bord Cette premiegravere caracteacuteristique essentielle justifie leur deacutesignation
de Uninhabited (ou Unmanned Aerial Vehicle UAV)
En fait ce sont les lourdes pertes subies pendant la seconde guerre mondiale par les avions
dobservation de chacun des antagonistes qui suscitegraverent lideacutee dun engin dobservation
militaire sans eacutequipage (ni pilote ni observateur)
Les premiers drones apparurent en 1960 (fig11) tel le R20 de Nord-Aviation denvergure
320 m et de longueur 544m deacuterivant de lengin de cible CT20 Toutefois lideacutee des
drones trottait dans les esprits depuis bien longtemps Un Anglais aurait inventeacute le concept
dans les anneacutees 1890 en inteacutegrant agrave un cerf-volant un appareil photographique [1]
Et au fil des anneacutees les chercheurs nont pas cesseacute dameacuteliorer ces machines au niveaude
Figure 11 Premier drone
Chapitre 1 ETAT DE LrsquoART
5
la taille jusquagrave atteindre la cateacutegorie de drone miniature qui englobe tous les drones dont
lenvergure est infeacuterieure agrave 50 centimegravetres pouvant descendre mecircme agrave quelques
centimegravetres seulement (on parle dans ce cas de drones miniatures)
Le terme miniature ne reflegravete pas un simple changement deacutechelle par rapport aux drones
primaires conventionnels En effet compte tenu de leurs tailles de leurs rapports
masseinertie et de leurs sensibiliteacutes aux vents la dynamique de ces drones miniatures se
trouve ecirctre tregraves diffeacuterente de celle des engins de grande dimension
En fait la vocation principale des drones est lobservation et la surveillance aeacuteriennes
vocation utiliseacutee jusquagrave preacutesent surtout agrave des fins militaires (actuellement 90 pour cent du
marcheacute mondial des drones)
Ainsi tous les drones quils soient autonomes ou non requiegraverent la preacutesence au sol dau
moins un opeacuterateur pour recueillir en temps reacuteel les beacuteneacutefices de la mission celui-ci
reccediloit analyse et enregistre les informations transmises par le drone [2]
Aujourdhui les progregraves reacutealiseacutes agrave la fois dans les performances des drones et leurs
eacutequipements leur confegraverent un tregraves large potentiel dutilisation dans le domaine civil la
lutte contre les risques naturels (volcan feux de forecircts surveillance des zones agrave risque
centrales nucleacuteaires) controcircle du trafic routier lobservation des champs agricoles ou des
troupeaux veacuterification de leacutetat des ouvrages darts (ponts viaducs) [1]
On distingue toutefois deux cateacutegories de drones ceux qui requiegraverent effectivement
lassistance dun pilote au sol par exemple pour les phases de deacutecollage et datterrissage et
ceux qui sont entiegraverement autonomes
Cette autonomie de pilotage peut seacutetendre agrave la prise de deacutecision opeacuterationnelle pour reacuteagir
face agrave tout eacuteveacutenement aleacuteatoire en cours de mission elle constitue la deuxiegraveme
caracteacuteristique essentielle des drones
De mecircme on peut classer les drones en trois cateacutegories principales (fig12)
Drones agrave voilure tournante type heacutelicoptegravere
Drone agrave voilure fixe
Plus lourd que lair type avion
Plus leacuteger que lair type Dirigeable
Drones agrave ailes battantes type oiseau ou insecte
Chapitre 1 ETAT DE LrsquoART
6
Figure 12 (A) Dirigeable (B) Drone agrave ailes battants (C) Drone agrave ailes fixes
12 Drones agrave voilures tournantes
Dans cette partie nous eacutetalons les diffeacuterents types de drones agrave voilures tournantes
121 Drones Mono-rotor
Ce type de drone passe par des phases de deacuteveloppement bien remarquables suite agrave
linteacuterecirct quon y porte En effet ce sont des drones offrant la possibiliteacute de voler comme un
avion normal donc un deacuteplacement rapide et bien eacuteconome en eacutenergie Nous preacutesentons
Heacutelicoptegravere thermique (fig13) Cet heacutelicoptegravere thermique deacuteveloppeacute au sein du
laboratoire Heudiasyc (Heuristique et diagnostique des systegravemes complexes) a une
structure meacutecanique originale pour effectuer un deacuteplacement horizontal cet appareil est
censeacute effectuer une inclinaison au niveau de ses heacutelices afin de faire apparaitre une
diffeacuterence de pression lui permettant davancer
Cette originaliteacute meacutecanique engendre un systegraveme dynamique beaucoup plus complexe par
rapport aux autres modegraveles
Figure 13 Heacutelicoptegravere thermique
Chapitre 1 ETAT DE LrsquoART
7
122 Drone Bi-rotors
Cette cateacutegorie est elle mecircme subdiviseacutee en deux sous cateacutegories
1) Bi-rotors agrave un ou deux plateaux cycliques
Heacutelicoptegravere classique rotor principal et rotor de queue ce dernier sert
principalement agrave compenser le couple geacuteneacutereacute par le rotor principal En fait le rotor
principal permet la monteacutee et la descente ainsi que la translation avant arriegravere et
lateacuterale mecircme par contre le rotor de queue permet le controcircle du lacet
Heacutelicoptegravere en tandem deux rotors tournant en sens inverse autour de deux axes
diffeacuterents
Heacutelicoptegravere co-axial deux rotors tournant en sens inverse autour du mecircme axe Un
exemple de cet engin est mis dans le commerce par Hirobo
Figure 14 Heacutelicoptegravere classique
2) Pales agrave pas fixe Voler agrave pas fixe implique labsence de plateaux cycliques et en
absence de ces plateaux il est impossible de geacuteneacuterer une force et trois moments
pour controcircler un systegraveme agrave 6 degreacutes de liberteacute Afin de creacuteer les moments
manquants il est primordial dajouter soit des ailerons soit des meacutecanismes pour
faire pivoter les ailerons et produire ces moments en question Nous citons dans
cette sous cateacutegorie
T-wing de lUniversiteacute de Sydney drone bi-rotor placeacute sur deux axes diffeacuterents
tournant en sens opposeacutes ou dans le mecircme sens et pour la production des moments
neacutecessaires ce drone est muni dailerons
Chapitre 1 ETAT DE LrsquoART
8
Le Hover eye de Bertin technologie Cest un drone dont la configuration est tregraves
compacte deux rotors contrarotatifs sur le mecircme axe et des ailerons dans le flux
dair des rotors
Le Birotan Drone agrave configuration compact posseacutedant deux rotors pivotant sur
deux axes preacutesentant un faible couple de tangage
Figure 15 (A) T-wing (B) Hover eye (C) Le Birotan
113 Drone tri-rotors
Dans cette cateacutegorie nous connaissons
Trirotor Heacutelicoptegravere posseacutedant trois rotors deux en avant tournant dans le sens
contraire et un en arriegravere avec orientation reacuteglable Des expeacuteriences ont eacuteteacute faites
sur cet heacutelicoptegravere au sein du laboratoire Heudiasyc
Le vectron Cest un heacutelicoptegravere dont le corps est circulaire renfermant trois rotors
tournant dans le mecircme sens Pour compenser le couple le corps lui mecircme tourne en
sens opposeacutes des rotors Pour obtenir les couples de tangage et de roulis les trois
rotors tournent avec des vitesses varieacutees agrave des instants bien preacutecis Des travaux de
recherche ont eacuteteacute effectueacutes au LIRMM
Heacutelicoptegravere auto-stable Cest un heacutelicoptegravere agrave trois rotors deux coaxiaux tournant
en sens opposeacutes agrave pas fixe et le troisiegraveme est placeacute sur la queue de lheacutelicoptegravere
pour obtenir le couple de tangage Cet heacutelicoptegravere a la proprieacuteteacute decirctre stable gracircce
au fait quil existe une articulation entre les pales du rotor principal et laxe du rotor
Neacuteanmoins cet appareil ne peut ecirctre utiliseacute que dans des endroits fermeacutes
Chapitre 1 ETAT DE LrsquoART
9
Figure 16 (A) Tri-rotor du laboratoire Heudiasyc (B) Le vectron(C) Heacutelicoptegravere auto-stable
124 Drone quadri-rotors
Le premier quadri-rotors remonte agrave 1921 En effet en 1921 les corps dair de
larmeacutee Ameacutericaine ont attribueacute un contrat aux Dr George de Bothezat et Ivan Jerome pour
deacutevelopper une machine agrave vol vertical
Ces derniers ont mis sur pied une machine volante de 1678 Kg dont le fuselage est conccedilu
sous forme dun X Chaque bras du fuselage eacutetait de 9m de longueur tenant agrave son extreacutemiteacute
un rotor de 8m de diamegravetre environ
Cependant bien que de Bothezat ait deacutemontreacute quil eacutetait theacuteoriquement possible agrave son
heacutelicoptegravere de voler et quil eacutetait theacuteoriquement bien stable cet avion na pas pu reacutealiser les
performances escompteacutees par exemple on lui demandait de voler agrave une altitude de 100m
alors que pour cause de surpoids laltitude maximale quil a pu atteindre eacutetait juste de 5m
Ainsi suite agrave sa complexiteacute meacutecanique son manque de puissance son insensibiliteacuteetc
cet heacutelicoptegravere agrave quatre rotors na pas pu satisfaire son cahier de charge
Figure 17 Heacutelicoptegravere de Bothezat
Chapitre 1 ETAT DE LrsquoART
10
Pour les drones miniatures les chercheurs se sont inspireacutes de ce geacuteant quadri-rotors et ont
mis sur pied des drones lui ressemblant
Les heacutelicoptegraveres agrave quatre heacutelices sont des quadrirotors agrave quatre moteurs installeacutes sur
une croix geacuteneacuteralement en fibre de carbone drsquoougrave leur appellation les heacutelicoptegraveres X4 Des
exemples sont repreacutesenteacutes dans la figure 18
Figure 18 Drones agrave quatre heacutelices (A) Quadri-rotor du laboratoire IBSC(B) Quadri-rotor pensylvania
Afin de compenser les anti-couples des moteurs creacuteeacutes par la rotation des heacutelices le moteur
avant et arriegravere tournent dans le sens des aiguilles dune montre tandis que les autres
moteurs tournent dans le sens inverse De plus les heacutelices utiliseacutees sont agrave pas fixe Le
tangage de ce drone est obtenu par diffeacuterence de vitesse de rotation des rotors avant et
arriegravere geacuteneacuterant un deacuteplacement suivant laxe des x Le deacuteplacement suivant laxe des y est
produit par un angle de roulis Ce dernier est obtenu par une diffeacuterence de vitesse des
moteurs lateacuteraux Le lacet srsquoobtient en augmentant la vitesse des moteurs avant et arriegravere
en reacuteduisant la vitesse des moteurs lateacuteraux
Au centre de la croix se trouve un cylindre central contenant
Une centrale inertielle
Une carte intelligente
Une batterie
Un GPS (Global Positionning System)
Une cameacutera CDD
Des capteurs ultrason
Une station de base
Chapitre 1 ETAT DE LrsquoART
11
13 Composantes du quadri-rotors
Durant ces derniegraveres anneacutees le deacuteveloppement des drones connait un essor croissant
surtout au niveau des capteurs des moteurs des batteries et des cartes eacutelectroniques qui
sont de plus en plus leacutegers et plus performants
Ces nouvelles qualiteacutes requises par ces composantes amplifient la performance du drone au
niveau de son autonomie et de ses capaciteacutes du vol En fait le grand problegraveme rencontreacute
par les drones cest la dureacutee du vol qui est lieacutee aux diffeacuterents composants utiliseacutes batterie
moteur et heacutelices Ainsi il faut faire un choix judicieux pour ces composants eacutetudier
lautonomie reacuteelle des batteries deacuteterminer la consommation des moteurs et la geacuteomeacutetrie
des heacutelices
Plus geacuteneacuteralement nous classons les composants du drone en trois cateacutegories
Batterie
Propulseurs
Capteurs
131 Les batteries
Lautonomie de tout engin est directement lieacute agrave leacutenergie quil peut avoir donc agrave la qualiteacute
de la batterie dont il est pourvu Le deacuteveloppement des batteries ne cesse de nous eacutetonner
de plus en plus leacutegegraveres de plus en plus autonomes donc une contribution importante au
deacuteveloppement des drones
Figure 19 Batterie pour le X4
Chapitre 1 ETAT DE LrsquoART
12
132 Les propulseurs
Les heacutelices
Le drone X4 dispose de quatre heacutelices ayant un certain taux de flexibiliteacute lui permettant de
pouvoir assurer la propulsion de tout le robot volant de masse estimeacutee agrave 2Kg Ainsi
chacune doit geacuteneacuterer une force de pousseacutee de 49N agrave leacutequilibre Dautre part les pales
utiliseacutees dans la fabrication du X4 ont une forme vrilleacutee leur procurant un bon rendement
au niveau de la pousseacutee donc une eacuteconomie au niveau de leacutenergie [2]
Moteur eacutelectrique
Dans le but de rendre le X4 silencieux et davoir le bon rapport puissancepoids le moteur
eacutelectrique du type brushless est le plus utiliseacute En plus et suite agrave son bobinage fixeacute au
stator ce moteur a une inertie consideacuterablement reacuteduite une reacuteduction au niveau de la
consommation du courant lors du deacutemarrage et une rapide eacutevacuation de la tempeacuterature
neacuteanmoins il neacutecessite un circuit de commande speacuteciale bien complexe et bien cher
Fig 110 (A) Heacutelice (B) Moteur eacutelectrique
133 Capteurs
Les capteurs servent principalement agrave effectuer des mesures tridimensionnelles
(position vitesse orientation acceacuteleacuteration ) permettant dalimenter des entreacutees en temps
reacuteel pour les lois de commande
Ces mesures sont effectueacutees par diffeacuterents types de capteurs
Capteurs agrave ultrasons
Un capteur agrave ultrason est composeacute de trois compartiments
Chapitre 1 ETAT DE LrsquoART
13
Emetteur
Reacuteceacutepteur
Microcontrocircleur PIC
Il sert agrave deacutetecter lobstacle et agrave mesurer la distance de seacuteparation Se munir uniquement
dun capteur agrave ultrason pour la mesure de position peut donner des reacutesultats erroneacutes En
effet en couvrant les lieux londe peut tomber sur diffeacuterents obstacles agrave chaque instant et agrave
des distances diffeacuterentes Il est donc primordial de lassocier agrave un autre capteur de position
Cameacutera
Le capteur le plus riche en donneacutees pouvant exister est une cameacutera En geacuteneacuteral nous
pouvons classer les cameacuteras en deux cateacutegories
Cameacutera numeacuterique
Cameacutera analogique
Le choix de la cameacutera deacutepend de son embarquabiliteacute ses capaciteacutes de calculs et de
lapplication mecircme
Systegraveme de positionnement geacuteneacuteral GPS
Le GPS est un systegraveme de positionnement par satellites assez preacutecis la preacutecision
pouvant atteindre le megravetre en preacutesence de filtrage Lutilisation de la localisation par le
systegraveme GPS est tregraves vaste elle touche plusieurs domaines le transport (aeacuterien maritime
) eacutetude geacuteographique assistance aux eacutequipe de secours
Figure 111 (A) Capteur agrave ultrasons (B) Cameacutera (C) Systegraveme depositionnement geacuteneacuteral
Chapitre 1 ETAT DE LrsquoART
14
Centrale inertielle
La centrale inertielle est une carte inteacutegrant trois types de capteurs
Trois gyroscopes Le mot gyroscope est un mot grec signifiant qui regarde la rotation
Un gyroscope est un appareil qui exploite le principe de la conservation du moment
angulaire en meacutecanique des solides
Trois magneacutetomegravetres un magneacutetomegravetre est un appareil qui sert agrave mesurer laimantation
dun systegraveme Dans notre cas le magneacutetomegravetre sert agrave calculer le champ magneacutetique terrestre
Trois acceacuteleacuteromegravetres un acceacuteleacuteromegravetre est un capteur qui fixeacute agrave un mobile permet de
mesurer lacceacuteleacuteration de ce dernier
Ces capteurs forment un triegravedre orthogonal servant agrave mesurer en temps reacuteel les
mouvements du drone (acceacuteleacuteration vitesse angulaire) Ces mesures sont exprimeacutees dans
un triegravedre direct deacutefini comme le systegraveme de coordonneacutees fixe du capteur Ce systegraveme est
aligneacute avec le boicirctier de la centrale inertielle
En inteacutegrant la mesure de lacceacuteleacuteration triaxiale donneacutee par lacceacuteleacuteromegravetre nous
reacutecupeacuterons la mesure de la vitesse en linteacutegrant une deuxiegraveme fois nous aurons la
position
Or cette inteacutegration engendre une erreur au niveau des mesures En effet toute mesure
effectueacutee par la carte inertielle peut ecirctre entacheacutee derreurs de mesures dues aux bruits des
moteurs et par inteacutegration ces erreurs augmentent
Ainsi un filtrage numeacuterique associeacute aux mesures savegravere neacutecessaire En reacutecupeacuterant la
matrice dattitude preacutedite par inteacutegration des gyros nous constatons quelle est bruiteacutee par
rapport agrave la matrice dattitude mesureacutee
En litteacuterature les algorithmes de filtrage classiquement utiliseacutes sont de type filtrage
compleacutementaire ou filtrage de Kalman (classique ou eacutetendu)
Linconveacutenient de ces algorithmes cest quils sont lineacuteaires et nexploitent pas le groupe
des matrices de rotation SO(3) et lalgegravebre de Lie qui lui est associeacutee La creacuteation
dalgorithme de filtrage approprieacute est alors recommandeacute (filtrage non-lineacuteaire exploitant la
structure du Groupe SO(3) et la varieacuteteacute sous-jacente associeacutee [3 4 5])
Chapitre 1 ETAT DE LrsquoART
15
Carte intelligente
La carte intelligente peut ecirctre compareacutee au cerveau du drone cest son eacuteleacutement
principal Elle gegravere lensemble des capteurs embarqueacutes sur la machine sauf la cameacutera qui
transmet ses donneacutees images agrave la base au sol ougrave elles sont traiteacutees
Dautres cartes peuvent ecirctre incorporeacutees dans le drone afin de renforcer ses liens
avec la base au sol (carte pour liaison radio [5]) et dautres lui fournissant plus
dinformations pour raffiner les donneacutees (carte de gestion dun ensemble de proximiteacute varieacute
[40])
Figure 112 (A) Centrale inertielle (B) Carte intelligente
14 Systegraveme drsquoacquisition embarqueacute du X4
La mise en œuvre dun ou de plusieurs drones fait appel agrave diffeacuterents eacuteleacutements
constituant un systegraveme de drone Ce systegraveme a deux composantes un segment air
composeacute du drone de sa charge utile et de son systegraveme de transmission et un segment sol
constitueacute dun ensemble de mateacuteriels et de un ou plusieurs opeacuterateurs humains ayant un
degreacute dintervention plus ou moins eacuteleveacute On distingue encore dans la composante sol deux
cateacutegories de mateacuteriels ceux assurant le lancement et la reacutecupeacuteration des drones
(catapulte filets etc) auxquels sajoutent les moyens techniques neacutecessaires agrave la
maintenance et au reconditionnement des drones identiquement aux proceacutedeacutes
dexploitation des avions et ceux ayant pour objectif la conduite de la mission en assurant
les fonctions de la gestion du vol et de la navigation la reacuteception des donneacutees envoyeacutees
par le drone leurs analyse et interpreacutetation ainsi que leur enregistrement
Chapitre 1 ETAT DE LrsquoART
16
Figure 113 Description drsquoun systegraveme de drone
15 Applications et perspectives
Actuellement les drones occupent une place importante dans le domaine civil et
militaire En effet ces engins sans pilote preacutesentent de nombreux avantages [6]
Il faut noter que sur ce point le champ drsquoaction des drones ne cesse de srsquoeacutelargir ces
derniers temps En effet leur deacuteveloppement sur une large gamme ainsi que les progregraves
reacutealiseacutes au niveau des systegravemes embarqueacutes (guidage pilotage et liaisons) a inciteacute les
forces armeacutees agrave inteacutegrer le systegraveme de drone dans la panoplie des moyens aeacuteriens en
compleacutement des systegravemes classiques On peut distinguer trois types drsquoapplications des
drones dans le domaine militaire
La premiegravere et principale vocation des drones est la surveillance et le
renseignement Les drones reacutepondent de mieux en mieux aux exigences opeacuterationnelles
modernes Les eacutevolutions technologiques rapides des systegravemes embarqueacutes ont permet
drsquoeacutelargir leur domaine drsquoapplication De nos jours on peut les utiliser comme support au
combat notamment dans la deacutesignation drsquoobjectifs ou comme relais de communication ou
moyen de brouillage La troisiegraveme et derniegravere cateacutegorie drsquoapplications est le combat
proprement dit mais cette derniegravere application neacutecessite des drones agrave hautes performances
conccedilus speacutecialement pour ce type de missions
Les applications potentielles des drones dans le domaine civil sont diverses et ce
gracircce agrave leur souplesse et leur polyvalence demploi En effet les drones peuvent reacutepondre agrave
Chapitre 1 ETAT DE LrsquoART
17
un besoin qui nest pas couvert par un avion piloteacute Cest le cas des missions qui peuvent
ecirctre consideacutereacutees comme dangereuses peacutenibles physiquement pour leacutequipage ou
ennuyeuses Les applications potentielles peuvent se diviser en plusieurs grandes
cateacutegories drsquoabord la surveillance et lrsquoobservation ougrave on peut citer les eacutetudes
scientifiques (de lrsquoatmosphegravere des sols et des oceacuteans ou les preacutevisions meacuteteacuteorologiques)
la surveillance drsquourgence telle que les incendies de forecircts volcans recherche et sauvetage
eacutevaluation des deacutegacircts en cas de catastrophes naturelles etc On peut citer eacutegalement des
missions exploitant le segment air telles que le transport de fret la cartographie
lrsquoutilisation par lrsquoindustrie cineacutematographique etc Ils peuvent en outre ecirctre utiliseacutes dans
des missions speacutecifiques comme relais de communication ou dans des missions
dangereuses (deacutetection de radiations et de gaz toxiques)
Lexpeacuterience deacutejagrave acquise avec les drones et leurs deacuteveloppements technologiques
potentiels permettent daffirmer que leur rocircle va consideacuterablement saccroicirctre tant dans les
domaines civil que militaire Dans le domaine civil en couvrant des besoins auxquels les
avions classiques ne peuvent pas toujours satisfaire Dans le domaine militaire en
compleacutetant voire en remplaccedilant les avions pour certaines missions dangereuses ou de tregraves
longue dureacutee
Gracircce agrave leur inteacuterecirct tactique les drones constituent agrave la fois une opportuniteacute
industrielle exceptionnelle et un facteur dimpulsion nouvelle pour la recherche Cependant
la geacuteneacuteralisation de lrsquoemploi des systegravemes de drone reste exposeacutee agrave des difficulteacutes qui sont
lieacutees principalement agrave lrsquointeacutegration des drones dans la circulation aeacuterienne et le
perfectionnement des systegravemes de transmission des donneacutees (porteacutee et deacutebit) Enfin des
progregraves sont agrave reacutealiser eacutegalement dans les domaines des performances de lrsquoengin volant
des charges utiles du systegraveme embarqueacute et de leur fiabiliteacute
Toutes ces missions neacutecessitent un controcircle performant de lrsquoappareil et par
conseacutequent des informations preacutecises sur son eacutetat absolu et ou relatif agrave son environnement
16 Modes de vol
Geacuteneacuteralement il existe trois modes qui deacutecrivent la direction de vol de lrsquoengin ces
modes sont
Vol vertical
Vol stationnaire
Vol de translation
Chapitre 1 ETAT DE LrsquoART
18
161 Vol vertical (ascendant ou descendant)
Dans le vol vertical la reacutesultante aeacuterodynamique et le poids total sont deux forces
ayant la mecircme direction mais de sens opposeacute Le vol est ascendant ou descendant suivant
que lrsquoeffet aeacuterodynamique est supeacuterieur ou infeacuterieur au poids de lrsquoappareil Crsquoest-agrave-dire les
moteurs devront augmenter ou diminues le couple de forces geacuteneacutereacute afin que la vitesse de
rotation des heacutelices augmentent ou diminuent Pour effectuer un vol vertical du drone X4 il
faut respecter ces conditions fondamentales
-Les quatre forces des moteurs f1 f2 f3 et f4 doivent fonctionner en mecircme temps afin
drsquoobtenir lrsquoeacutequilibre de lrsquoensemble
-Pour atteindre la consigne nous agissons sur les quatre moteurs simultaneacutement
(augmentations et diminutions des forces)
-Si on atteint la reacutefeacuterence on garde ces forces constantes sum F = mg
m la masse totale de lrsquoengin
162 Vol stationnaire
Ce vol est obtenu lorsque les normes de la force sustentatrice et celle de pesanteur
sont eacutegales et opposeacutees Dans ce cas nous pouvons constater que lrsquoappareil reste
immobile
163 Vol de translation
Correspond agrave tout vol en avant en arriegravere ou sur le coteacute Pour obtenir un
mouvement de translation selon lrsquoaxe lsquoxrsquo ou lsquoyrsquo il suffit de reacutealiser un roulis ou un tangage
en augmentant la vitesse drsquoun moteur et en diminuant celle du moteur du mecircme axe avec la
mecircme quantiteacute pour conserver la portance intacte
Pour le mouvement du lacet (rotation sur lui-mecircme) il faut augmenter la vitesse
drsquoune paire de moteur du mecircme axe et diminuer drsquoautant celle de lrsquoautre paire Le sens de
mouvement du lacet deacutependra du sens de rotation qursquoon aura choisi pour les paires de
moteurs
17 Revues bibliographiques sur les drones quadri-rotors
Cette nouvelle geacuteneacuteration drsquoengins miniatures autonomes connue sous le nom de
Drones miniatures a susciteacute un grand inteacuterecirct ainsi une diversiteacute de modegraveles et de
configurations ont vu le jour
Chapitre 1 ETAT DE LrsquoART
19
Le drone quadri-rotors eacutetait et est lune des configurations les plus eacutetudieacutees
Plusieurs eacutequipes de chercheurs du monde entier se sont lanceacutees dans le domaine de
conception dune loi de commande simple robuste et facilement embarquable Ce domaine
est bien vaste touchant plusieurs speacutecialiteacutes (automatique aeacuterodynamique robotique)
171 Commandes en litteacuterature
Plusieurs travaux consacreacutes agrave la conception de diffeacuterentes commandes ont eacuteteacute
publieacutes il y a ceux qui preacutesentent des lois de commande baseacutees sur le systegraveme lineacuteariseacute des
drones et dautres traitants le modegravele en entier
En consideacuterant une lineacutearisation du modegravele dynamique de leur quadri-rotors [7] PPound
et al [8] ont deacuteveloppeacute un algorithme de controcircle stabilisant leur modegravele Des tests
numeacuteriques ont eacuteteacute effectueacutes confirmant la validiteacute de cette commande
Une meacutethode de stabilisation et de poursuite de trajectoire baseacutee sur la notion de platitude
eacutetait conccedilue dans [9 10] Cette meacutethode a eacuteteacute appliqueacutee sur le systegraveme lineacuteariseacute du quadri-
rotors X4 Elle a assureacute la poursuite du drone vers une trajectoire planifieacutee Des tests
numeacuteriques ont eacuteteacute faits
Dans [11 12] une configuration dun quadri-rotors nommeacute OS4 est preacutesenteacutee En se
limitant agrave un systegraveme simplifieacute du modegravele du OS4 un algorithme de controcircle de type
PID a eacuteteacute eacutelaboreacute En consideacuterant ensuite un modegravele plus complet une commande LQ est
geacuteneacutereacutee Ces commandes preacutesenteacutees arrivent agrave stabiliser le modegravele entier neacuteanmoins elles
sont assez sensibles aux perturbations pouvant affecter le systegraveme
Dans [13] Chen et Huzmezan ont obtenu un modegravele lineacuteariseacute quils ont utiliseacute pour
syntheacutetiser un controcircleur de type H1 Ils ont testeacute leur algorithme sur une plateforme
pivotant librement autour dun point
Dans [14] deux commandes non lineacuteaires sont eacutelaboreacutees pour la stabilisation du quadri-
rotors OS4 La premiegravere approche est baseacutee sur la technique du backstepping tandis que
la deuxiegraveme utilise la technique de modes glissants Des tests pratiques ont eacuteteacute appliqueacutes
sur une plate-forme au sol non embarqueacutee validant les reacutesultats theacuteoriques des deux
approches
En utilisant deux meacutethodes dapproches diffeacuterentes dans [15] K Zemalache Meguenni a
eacutetudieacute la stabiliteacute et la poursuite de trajectoire pour deux quadri-rotors diffeacuterents (X4 et
XSF)
Chapitre 1 ETAT DE LrsquoART
20
En premier temps en combinant la technique de backstepping agrave lapproche de Lyapunov
deux algorithmes associeacutes aux deux modegraveles ont eacuteteacute syntheacutetiseacutes Les reacutesultats des deux
modegraveles ont eacuteteacute testeacutes numeacuteriquement pour le suivi de trajectoires planifieacutees point agrave point
En second temps une commande baseacutee sur la theacuteorie de la logique floue eacutetait eacutelaboreacutee
pour le drone XSF des tests numeacuteriques ont eacuteteacute effectueacutes
Dans [16] une lineacutearisation robuste par retour drsquoeacutetat mixeacute avec le controcircleur GHinfin lineacuteaire
est appliqueacutee Une saturation des actionneurs et des contraintes sur la sortie de lrsquoespace
drsquoeacutetat sont introduites pour analyser le cas deacutefavorable pour la commande Les reacutesultats
obtenus prouvent que le systegraveme global devient robuste lorsque les fonctions pondeacutereacutees
sont choisies judicieusement Le fonctionnement du controcircleur est illustreacute dans une eacutetude
de simulation qui tient compte des incertitudes sur les paramegravetres et les perturbations
externes
Dans [17] la conception de larchitecture informatique embarqueacutee pour la commande dun
quadri-rotors et dun avion miniature est preacutesenteacutee La modeacutelisation dynamique des deux
engins eacutetait eacutetablie au moyen de la meacutethodologie de Newton-Euler en prenant en compte
les forces et les moments aeacuterodynamiques En utilisant la technique de saturations
emboiteacutees baseacutee principalement sur lapproche de Lyapunov deux commandes non
lineacuteaires eacutetaient eacutelaboreacutees pour le quadri-rotors
Deux autres commandes lineacuteaires ont eacuteteacute syntheacutetiseacutees pour les deux drones Des eacutetudes de
robustesse des commandes ont eacuteteacute preacutesenteacutees et des tests expeacuterimentaux des algorithmes
en temps reacuteel ont eacuteteacute appliqueacutes sur une plateforme
Inspireacute des travaux [18] effectueacutes sur la stabilisation du PVTOL (Planar Vehicle Take of
and Landing) P Castillo [19 20 21] a preacutesenteacute la conception dune commande non
lineacuteaire pour un quadri-rotors dont le modegravele est obtenu par la meacutethode dEuler-Lagrange
en tenant compte de la dynamique des moteurs Cette commande est baseacutee sur la technique
des saturations emboiteacutees fondeacutee principalement sur lapproche de Lyapunov Des
plateformes expeacuterimentales ont eacuteteacute reacutealiseacutees pour appliquer et tester les lois de commande
proposeacutees
Se basant sur le formalisme de Newton-Euler T Hamel et al [22] ont eacutetabli la
modeacutelisation dynamique dun quadri-rotors prenant en compte la dynamique des moteurs et
les effets aeacuterodynamiques et gyroscopiques des rotors
Dans [23] les auteurs ont deacutemontreacute que lapplication des approches 2D des
asservissements visuels peuvent ecirctre exploiteacutes pour la commande des systegravemes sous
actionneacutees
Chapitre 1 ETAT DE LrsquoART
21
En supposant que la direction du motif est cette fois ci fixe dans le repegravere cameacutera ce
reacutesultat a pu ecirctre eacutelargi en donnant naissance agrave un asservissement visuel purement 2D [24]
plus complexe suite agrave la dynamique de zeacutero introduite par cette hypothegravese Des tests
numeacuteriques ont eacuteteacute faits validant ce reacutesultat
E Altug et al [25 26 27] ont proposeacutes un algorithme de controcircle pour stabiliser le quadri-
rotor en utilisant la vision comme capteur principal Cette technique se compose drsquoune
cameacutera terrestre et drsquoune cameacutera embarqueacutee sur lrsquoheacutelicoptegravere et sont utiliseacutees pour estimer
les eacutetats de lrsquoheacutelicoptegravere Lrsquoalgorithme de la pose est compareacute par la simulation agrave drsquoautres
meacutethodes drsquoestimation de la pose (telles que la meacutethode de quatre points et la meacutethode de
steacutereacuteo vision) et srsquoavegravere moins sensible aux erreurs dans le plan image Ils ont eacutetudieacute deux
techniques pour la commande la premiegravere utilise une commande par lineacutearisation tandis
que la deuxiegraveme utilise la technique de backstepping
18 Conclusion
Dans ce chapitre nous avons preacutesenteacute un bref aperccedilu sur quelques mini-
heacutelicoptegraveres autonomes existant en sattardant sur les drones agrave voilures tournantes et leurs
eacutequipements
Ensuite nous avons citeacute un ensemble de travaux portant sur la stabilisation des drones agrave
quatre rotors existants en litteacuterature
Dans le chapitre suivant nous traiterons le problegraveme de la modeacutelisation par le formalisme
de Newton-Euler pour le quadri-rotor afin drsquoappliquer les techniques de commande non
lineacuteaire Il srsquoagit drsquoun modegravele caracteacuterisant des veacutehicules sous actionneacutes
Chapitre 2 MODELISATION DrsquoUN DRONE A QUATRE HELICES
22
Chapitre 2
MODELISATION DUN DRONE A QUATRE HELICES
Chapitre 2 MODELISATION DrsquoUN DRONE A QUATRE HELICES
22
2 MODELISATION DrsquoUN DRONE A QUATRE HELICES
21 Introduction
Tout corps meacutecanique eacutevoluant en temps continu peut ecirctre deacutecrit par un systegraveme
deacutequations diffeacuterentielles reacutegissant sa dynamique Il srsquoagit drsquoeacutetablir le modegravele
matheacutematique de la dynamique du drone agrave quatre heacutelices Pour atteindre ce but nous
avons recours agrave des eacutetudes meacutecaniques telles que lapproche Newtonienne et celle dEuler-
Lagrange
Dans la litteacuterature pour aborder la modeacutelisation dengin volant de nombreux travaux se
sont inspireacutes de la dynamique dun corps rigide associeacute au fuselage auquel se rajoutent les
forces aeacuterodynamiques geacuteneacutereacutees par les rotors [28 29 19 30 31 32 33 15]
Cette ideacutee a eacuteteacute choisie afin de pouvoir contourner la difficulteacute de la question de la
flexibiliteacute de la machine Cette flexibiliteacute est supposeacutee neacutegligeable
Certaines propositions de modeacutelisation du drone sont preacutesenteacutees dans la litteacuterature telles
celles baseacutees sur le formalisme de Newton [28 22 23] lieacutees principalement au repegravere
local et celles baseacutees sur le formalisme dEuler-Lagrange [29 19 30 20 31 32 15] lieacutees
au repegravere global supposeacute fixe
Dans ce chapitre nous preacutesentons la dynamique pour un drone capable de vol
drsquoavancement rapide et de vol stationnaire ou quasi-stationnaire Un tel modegravele peut ecirctre
acheveacute dans un repegravere local lieacute au drone ou dans un repegravere global supposeacute fixe Nous
eacutevoquons le modegravele global qui sera traiteacute de point de vue commande en stabilisation et en
poursuite
En premier lieu nous preacutesentons la configuration du veacutehicule et son principe de
fonctionnement Nous nous inteacuteressons eacutegalement aux diffeacuterents repegraveres suscitant notre
attention
Ensuite nous nous occupons de la modeacutelisation du X4 en calculant son moment dinertie
et en ayant recours au formalisme Newton nous deacuteterminons son modegravele dynamique
Enfin nous achevons ce chapitre par une conclusion
Chapitre 2 MODELISATION DrsquoUN DRONE A QUATRE HELICES
23
22 Heacutelicoptegraveres agrave quatre heacutelices
En geacuteneacuteral un heacutelicoptegravere agrave quatre heacutelices est un heacutelicoptegravere posseacutedant quatre rotors
assurant son deacuteplacement [2]
Depuis les anneacutees 50 de nouveaux types dheacutelicoptegraveres de faible dimension
teacuteleacutecommandeacutes sont apparus Ils permettent de reacutealiser des missions dangereuses ou
inaccessibles agrave lecirctre humain Ainsi nous pouvons citer les mini-heacutelicoptegraveres agrave quatre
heacutelices appeleacutes couramment X4 (fig21) vu leur forme en X
Figure 21 Quadri-rotors X4
221 Fonctionnement du X4
Les X4 sont des mini-heacutelicoptegraveres preacutesenteacutes sous forme de croix geacuteneacuteralement
fabriqueacutes en fibre de carbone Au bout de chaque tige de la croix on fixe une heacutelice
Afin deacuteliminer les anti-couples des heacutelices entre elles et permettre la stabiliteacute en lacet les
heacutelices voisines tournent dans des sens inverses avec un pas fixe
Pour assurer un deacuteplacement suivant laxe des x le drone X4 fait un angle de tangage ߠ
obtenu par une diffeacuterence de vitesse de rotation des rotors avant et arriegravere ensuite il suit
cet axe lors du retour agrave leacutegaliteacute des vitesses de rotation des rotors
De maniegravere similaire le deacuteplacement du X4 suivant laxe des y est assureacute par un angle de
roulis empty obtenu suite agrave une diffeacuterence des vitesses de rotation des rotors lateacuteraux
Le lacet sobtient en augmentant la vitesse des moteurs avant et arriegravere tout en reacuteduisant la
vitesse des moteurs lateacuteraux Les quadri-rotors eacutetant commandeacutes par la diffeacuterence des
vitesses de rotation des rotors il est important que lon puisse varier rapidement la vitesse
de rotation des moteurs Pour cela il convient dutiliser des pales tregraves leacutegegraveres (en fibre de
carbone par exemple) et des rapports de reacuteduction relativement grands
Chapitre 2 MODELISATION DrsquoUN DRONE A QUATRE HELICES
24
Figure 22 Sens de rotation des rotors de X4
23 Modeacutelisation du drone quadri-rotors X4
Le modegravele dynamique de quadri-rotor est donneacute par le formalisme de Newton-Euler
Pour pouvoir deacuteterminer le modegravele dynamique le quadri-rotor est assimileacute agrave une structure
rigide et symeacutetrique drsquoougrave lrsquohypothegravese que la matrice drsquoinertie est diagonale Les heacutelices
sont eacutegalement supposeacutees rigides pour pouvoir neacutegliger lrsquoeffet de leur deacuteformation lors de
la portance et la traineacutee de chaque moteur qui sont proportionnelles au carreacute de la vitesse
de rotation des rotors ce qui est une approximation tregraves proche du comportement
aeacuterodynamique et le repegravere lieacute agrave cette structure est geacuteneacuteralement supposeacute confondu avec
son centre de graviteacute Cela nous emmegravene agrave consideacuterer la dynamique du quadri-rotor
comme celle drsquoun corps solide dans lrsquoespace [15 34] Les conditions atmospheacuteriques sont
la condition standard de pression et de tempeacuterature
231 Caracteacuteristiques physiques
Les caracteacuteristiques physiques du quadri-rotor preacutesenteacutees dans cette section ont eacuteteacute
eacutetudieacutees en deacutetail par McKerrow [35] La masse totale du quadri-rotor m est la somme de
la masse de la croix (mc) les masses des quatre rotors consideacutereacutes comme identiques
( isin 1234 ) et la masse de lrsquoeacutelectronique et batterie (mb)
m = m1 + m2 + m3 + m4 + mc + mb
Sens horaireSens antihoraire
Chapitre 2 MODELISATION DrsquoUN DRONE A QUATRE HELICES
25
La structure du quadri-rotor est consideacutereacutee parfaitement symeacutetrique et en conseacutequence la
matrice drsquoinertie IG est diagonale
ܫ = ቌ
௫௫ܫ 0 00 ௬௬ܫ 0
0 0 ௭௭ܫ
ቍ (21)
avec ௫௫ܫ repreacutesente lrsquoinertie autour de lrsquoaxe ଵܧ
qui passe entre le centre de la croix et les
rotors (avant-arriegravere) ௬௬ܫ repreacutesente lrsquoinertie autour de lrsquoaxe ଶܧ
qui passe entre le centre de
la croix et les rotors (droite-gauche) et finalement ௭௭ܫ repreacutesente lrsquoinertie autour de lrsquoaxe
ଷܧ
perpendiculaire au plan de ଵܧ
et ଶܧ
(voir figure 23)
Lrsquoinertie ௫௫ܫ est la somme de lrsquoinertie de la croix (௫ܫ) lrsquoinertie des quatre moteurs ୫ܫ) ୶ଵ
୫ܫ ୶ଶ ୫ܫ ୶ଷ et ୫ܫ ୶ସ) et lrsquoinertie de lrsquoeacutelectronique (ୠ୶ܫ) autour du point drsquointersection de la
croix
௫௫ܫ = ௫ܫ + ܫ ௫ଵ + ܫ ௫ଶ + ܫ ௫ଷ + ܫ ௫ସ + ௫ܫ (22)
On peut suivre la mecircme deacutemarche pour trouver les expressions des inerties ௬௬ܫ et ௭௭ܫ
Lrsquoinertie de la croix autour du point drsquointersection est donneacutee par
௫ܫ = ௬ܫ = (ଶ)మ
ଵଶ+
ௗమ
ଶ(23)
௭ܫ = (ଶ)మ
(24)
Ougrave d est le diamegravetre des poutres qui constituent la croix et l est la distance entre le centre
de la croix et un des quatre rotors Pour trouver les inerties des moteurs McKerrow [35]
considegravere le moteur comme un cylindre de longueur pm avec un rayon rm alors lrsquoinertie du
moteur avant autour du point drsquointersection de la croix est
ܫ ௫ଵ = భ
మ
ସ+
మ
ଷ(25)
ܫ ௬ଵ = భ
మ
ସ+
మ
ଷ+ ଵ
ଶ (26)
ܫ ௭ଵ = భ
మ
ଶ+ ଵ
ଶ (27)
Lrsquoeacutelectronique et la batterie srsquoaccrochant au-dessous de lrsquointersection agrave une distance l0 sont
modeacuteliseacutees par un paralleacuteleacutepipegravede rectangulaire avec des dimensions ab wb et hb
Chapitre 2 MODELISATION DrsquoUN DRONE A QUATRE HELICES
26
௫ܫ = (௪
మାమ)మ
ଵଶ+
ଶ (28)
௬ܫ = (
మାమ)మ
ଵଶ+
ଶ (29)
௭ܫ = (௪
మାమ)మ
ଵଶ(210)
Le mouvement du drone est reacutegi par un modegravele dynamique preacutesentant le lien entre les
entreacutees du systegraveme et les sorties agrave controcircler Il faut maintenant deacutefinir le domaine
drsquoeacutevolution du robot (repegravere inertiel) et la relation matrice de passage qui le lie au drone
(repegravere local)
232 Repegraveres et matrices de passage
Lrsquoeacutetude du mouvement drsquoun drone eacutevoluant dans lrsquoespace requiert la connaissance
de sa position et de son orientation Cette localisation neacutecessite le choix drsquoau moins deux
repegraveres Le premier repegravere est le repegravere inertiel global RO reacutefeacuterence Le repegravere inertiel est
lieacute agrave la terre et peut ecirctre consideacutereacute comme Galinien RO (Ex Ey Ez) est orienteacute comme
indiqueacute sur la figure 23 A savoir Ex est orienteacute vers le nord Ey est orienteacute vers lrsquoest et Ez
orienteacute vers le haut
On deacutefinit un repegravere local ayant comme origine le centre de graviteacute G du drone Le repegravere
RG ଵܧ)
ଶܧ
ଷܧ
) appeleacute aussi repegravere relatif agrave la meacutecanique de vol dont les axes sont lieacutees agrave
la geacuteomeacutetrie de lrsquoappareil
Figure 23 Repegraveres du drone inertiel et local
Chapitre 2 MODELISATION DrsquoUN DRONE A QUATRE HELICES
27
La relation entre le repegravere du drone noteacute (RG) et le repegravere inertiel (RO) peut ecirctre donneacutee
par la matrice de rotation orthogonale de dimension 3 times 3 La contrainte dorthogonaliteacute
reacuteduit le nombre de paramegravetre neacutecessaire pour preacutesenter cette matrice agrave trois paramegravetres Il
existe plusieurs maniegraveres de parameacutetrer la matrice de rotation dont le choix deacutepend de
lapplication en question
La parameacutetrisation de la matrice de rotation par les angles dEuler est souvent utiliseacutee dans
les applications de robotique Elle permet dobtenir la matrice de rotation globale par trois
rotations eacuteleacutementaires autour des axes ଵܧ
ଶܧ
et ଷܧ
respectivement
Le parameacutetrage de cette matrice seffectue par le vecteur
ଶߟ = ߠ) Ф) (211)
Consideacuterons le vecteur de coordonneacutees geacuteneacuteraliseacutees q isin ℝ deacutefini par
(ݐ)ݍ = (ߠݖݕݔ) ni ݐ ℝ
Ougrave x y z deacutefinissent la position du centre de graviteacute du mini-heacutelicoptegravere X4 par rapport au
repegravere inertiel RO (Ex Ey Ez)
Lrsquoorientation du mini-heacutelicoptegravere X4 est donneacutee par les angles drsquoEuler ߠ) Ф) qui
repreacutesente respectivement le tangage le roulis et le lacet
Le passage du triegravedre ை(ܧ௫ܧ௬ܧ௭) au triegravedre ଵܧ)
ଶܧ
ଷܧ
) est reacutealiseacute par trois
rotations successives figure 24
൫ܧ௫ܧ௬ܧ௭൯ுψሱሮ (௭ܧ)
ுഇሱሮ ଵܧ)
)
ுemptyሱሮ ଵܧ)
ଶܧ
ଷܧ
) (212)
Ougrave ൫ܧ௫ܧ௬ܧ௭൯ est la base du repegravere RO ൫ܧଵ
ଶܧ
ଷܧ൯est la base du repegravere locale
drone
RG(ܧ௭) et ଵܧ)
) sont les bases intermeacutediaires et టܪ ఏܪ et emptyܪ les matrices
de rotations orthogonales
Hభψ est la matrice de rotation de lrsquoangle autour de Oz1 appeleacute lacet au cap deacutefinie
par
టܪ = ൭ݏ ݏ 0
ݏminus ݏ 00 0 1
൱ (213)
Chapitre 2 MODELISATION DrsquoUN DRONE A QUATRE HELICES
28
H୷భ est la matrice de rotation de lrsquoangle θ autour de Oy1 appeleacute tangage ou assiette
deacutefinie par
ఏܪ = ൭ߠݏ 0 minus ߠݏ0 1 0
ߠݏ 0 ߠݏ൱ (214)
H୶మథ est la matrice de rotation de lrsquoangle autour de Ox2 appeleacute roulis ou gite
deacutefinie par
థܪ = ൭1 0 00 ݏ ݏ0 minus ݏ ݏ
൱ (215)
Figure 24 Rotations successives deacutefinissant les pseudos angles drsquoEuler
La transformation qui permet de passer du repegravere local vers le repegravere global ை est
donneacutee par
= టܪ ఏܪ థܪ (216)
Chapitre 2 MODELISATION DrsquoUN DRONE A QUATRE HELICES
29
Telle que
=
൭
ݏ ߠݏ ߠݏ ݏ minus ߠݏݏ ݏ minusߠݏ ݏ ݏ ݏߠݏ ݏ + ݏ ݏ ݏߠݏߠݏ ݏ ݏ + ݏ ݏ ݏ ݏߠݏ minus ݏ ߠݏ ߠݏ ݏ
൱(217)
R est une matrice de rotation orthogonale de deacuteterminant uniteacute ayant pour inverse sa
transposeacutee
Ce type de matrice forme un groupe appeleacute groupe des matrices orthogonales speacuteciales
dordre 3 noteacute SO(3) deacutefini par [36]
(3) = isin ℝଷtimesଷ = ܫ ݐ ()ݐ = 1
Gracircce agrave cette matrice de rotation R nous pouvons eacutetablir une relation entre la vitesse du
mini-heacutelicoptegravere exprimeacutee dans son propre repegravere mobile et sa vitesse exprimeacutee dans le
repegravere inertiel
233 Transformation des vitesses
Dans ce paragraphe nous mettons en eacutevidence la relation qui lie les vitesses du
drone exprimeacutees dans le repegravere local avec leurs expressions exprimeacutees dans le repegravere
inertiel
Soient
υଵ la vitesse lineacuteaire du mini-heacutelicoptegravere exprimeacutee dans le repegravere local RG
ηଵ = (x y z) vecteur position du centre de graviteacute du mini-heacutelicoptegravere par rapport au
repegravere inertiel RO
Ainsi nous pouvons eacutetablir la relation suivante qui fait le lien entre la vitesse locale du X4
flyer et sa vitesse exprimeacutee dans le repegravere inertiel
ଵߟ = ଵ (218)
De mecircme nous pouvons aussi eacutetablir une relation entre la vitesse angulaire du mini
heacutelicoptegravere exprimeacutee dans le repegravere local et celle exprimeacutee dans le repegravere inertiel
Soient
υଶ = (p q r) la vitesse angulaire du mini-heacutelicoptegravere exprimeacutee dans le repegravere local RG
ηଶ = (θ ϕ ψ) la vitesse angulaire du mini-heacutelicoptegravere exprimeacutee dans le repegravere inertiel
Ainsi nous pouvons eacutetablir la relation suivante
ଶߟ = ܬ ଶ (219)
Chapitre 2 MODELISATION DrsquoUN DRONE A QUATRE HELICES
30
Grace agrave la relation (212) nous avons
υଶ = ϕ ଵܧሬሬሬሬሬ+ θVሬሬ+ ψEሬሬሬሬ
= ϕ ଵܧሬሬሬሬሬ+ θቂcos(ϕ)ܧଶ
ሬሬሬሬሬminus sin(ϕ)ܧଷሬሬሬሬሬቃ+ ψቂminussin(θ)ܧଵ
ሬሬሬሬሬ+ cos(θ) Wሬሬሬቃ
= ϕ ଵܧሬሬሬሬሬ+ θቂcos(ϕ)ܧଶ
ሬሬሬሬሬminus sin(ϕ)ܧଷሬሬሬሬሬቃ
minus ψቂsin(θ)ܧଵሬሬሬሬሬminus cos(θ)ቀsin(ϕ)ܧଶ
ሬሬሬሬሬ+ cos(ϕ)ܧଷሬሬሬሬሬቁቃ
= ൫ϕ minus ψ sin(θ)൯ܧଵሬሬሬሬሬ+ ൫θ cos(ϕ) + ψcos(θ) sin(ϕ)൯ܧଶ
ሬሬሬሬሬ
minus ൫θ sin(ϕ) minus ψ cos(θ) cos(ϕ)൯ܧଷሬሬሬሬሬ
Ainsi nous avons
ቆpqrቇ= ቌ
1 0 minussin(θ)
0 cos(ϕ) cos(θ)sin(ϕ)
0 minussin(ϕ) cos(θ)cos(ϕ)ቍቌ
ϕ
θψ
ቍ (220)
Donc
Jଵ = ቌ
1 0 minussin(θ)
0 cos(ϕ) cos(θ)sin(ϕ)
0 minussin(ϕ) cos(θ)cos(ϕ)ቍ (221)
Drsquoougrave
J = ൮
1 sin(ϕ)tg(θ) minussin(θ)tg(θ)
0 cos(ϕ) minussin(ϕ)
0ୱ୧୬(ம)
ୡ୭ୱ()
ୡ୭ୱ(ம)
ୡ୭ୱ()
൲ (222)
La matrice J est deacutefinie pour tout θ ne
ଶ+ kπ avec k isin ℤ
En conclusion la relation cineacutematique srsquoeacutecrit
ቀυଵυଶቁ= ൬
R 0ଷlowastଷ
0ଷlowastଷ Jଵ൰൬
ηଵηଶ൰ (223)
Cette relation preacutesente une singulariteacute en θ = plusmn
ଶ
Or physiquement cette valeur est agrave eacuteviter car au voisinage de plusmn
ଶil y aura un
renversement du mini-heacutelicoptegravere Ainsi cette valeur nrsquoest pas atteignable par le mini-
heacutelicoptegravere cest-agrave-dire cette singulariteacute ne preacutesente pas une limitation agrave cette
parameacutetrisation
Chapitre 2 MODELISATION DrsquoUN DRONE A QUATRE HELICES
31
234 Forces Aeacuterodynamiques
Des eacutetudes en soufflerie ont permis de mettre en eacutevidence les diffeacuterentes forces
aeacuterodynamiques appliqueacutees sur les pales et leurs expressions [3738]
Dune maniegravere geacuteneacuterale les actions de lair se deacutecomposent en deux forces
Une force parallegravele agrave la vitesse de lair et de mecircme sens la traineacutee D
Une force perpendiculaire agrave la vitesse de lair la portance L
La somme vectorielle de ces deux forces constitue la reacutesultante des forces
aeacuterodynamiques
Force de portance
La pale se comporte comme une aile tournante de sorte que chaque eacuteleacutement de la pale dr
est en contact avec le flux dair avec une vitesse V induisant une force de portance [38]
dL =ଵ
ଶρCVଶds (224)
Ougrave ρ la densiteacute de lair C le coefficient de portance de lair il deacutepend de la forme du
profil et de langle dattaque (α = γ minus ϕ) (fig 25)
Ainsi pour un propulseur agrave n pales (2 pour le X4) la force de portance quon note f est
f =n
2 ρන VଶC୫ (r)C(r) dr
బ
=୬
ଶ ρ ωଶ int rଶC୫ (r) C(r) dr
బ
Avec
ܥ la corde de la pale (les pales sont similaires)
ω la vitesse angulaire de la pale
le rayon de pale
La force de portance a pour expression
f=ܭωsup2 (225)
Le calcul du coefficient de pousseacutee est souvent complexe Il est essentiel drsquoeacutelaborer
un processus expeacuterimental qui laisse deacuteterminer le coefficient de portance(K)
Chapitre 2 MODELISATION DrsquoUN DRONE A QUATRE HELICES
32
Figure 25 Description des forces appliqueacutees agrave la pale
Force de reacutesistance ou de traineacutee
Gracircce agrave de multiples tests en soufflerie les chercheurs ont pu deacuteterminer lexpression
de la force de traineacutee qui deacutepend directement du profil de la pale et de langle dincidence
[15 37]
Pour un propulseur agrave n pales la force de traineacutee a pour expression
ܯ =
2ߩ න ܥ ݎଶݎ(ݎ)ܥ(ݎ)
ோ
ோభ
Qursquoon note simplement
ܯ = ெܭ ଶ (226)
Avec
ܥ le coefficient de traineacute de lair il deacutepend de la forme du profil et de langle
drsquoattaque
ெܭ le coefficient de reacutesistance agrave deacuteterminer expeacuterimentalement
235 Modegravele dynamique du quadrirotor
Plusieurs auteurs ont eacutetudieacute la modeacutelisation du quadri-rotor Cette eacutetape est
consideacutereacutee comme le premier pas pour construire les lois de commande Le modegravele
Chapitre 2 MODELISATION DrsquoUN DRONE A QUATRE HELICES
33
dynamique obtenu repreacutesente la relation drsquoune part entre les forces et les couples
aeacuterodynamiques provoqueacutes par la rotation des rotors et lrsquoengin et drsquoautre part les
acceacuteleacuterations et de rotations du centre de masse du quadri-rotor Nous preacutesenterons drsquoabord
la dynamique de translation des cordonneacutees carteacutesiennes de la position et la vitesse dans le
repegravere terrestre fixe Ensuite la dynamique de rotation qui deacutecrit lrsquoattitude du drone et son
orientation dans le repegravere terrestre fixe est preacutesenteacutee
Le quadri-rotor est modeacuteliseacute en premiegravere approximation comme un solide indeacuteformable
La position du centre de masse G est deacutefinie par ܩ = (ݖݕݔ) et si on deacuterive une fois
par rapport agrave RG on trouve la vitesse G tel queௗைതതതത
ௗ௧= (ሶݖሶݕሶݔ) On deacuterive deuxiegraveme fois
par rapport agrave RG pour trouver son acceacuteleacuterationௗమைതതതത
ௗ௧మ= (ሷݖሷݕሷݔ)
Pour eacutelaborer la commande on deacutetaille le modegravele dans le repegravere fixe inertiel
Lrsquoeacutequation fondamental de la dynamique est donneacutee par
ௗ ௩ሬ
ௗ௧= ଵሬሬሬ (227)
ௗூಸఆሬሬ
ௗ௧= ଶሬሬሬ (228)
Ougrave υ repreacutesente la vitesse lineacuteaire du drone au centre de graviteacute G Ω la vitesse de
rotation de fuselage par rapport agrave Rୋ et (τ1τ2) les forces et les mouvements exteacuterieurs
soient le poids les forces et les moments aeacuterodynamiques et des propulseurs
2351 La dynamique de translation
La dynamique de translation du quadri-rotor est repreacutesenteacutee par lrsquoeacutequation
dynamique de Newton qui relie lrsquoacceacuteleacuteration lineacuteaire du centre de masse du quadri-rotor
et les forces externes agissant sur le quadri-rotor [7 38 39]
ௗsup2ை
ௗ௧sup2= fraslሬሬሬሬߛ R (229)
Il convient drsquoeacutecrire pour la translation
fraslሬሬሬሬሬߛ R = - eሬ + R ψ θ empty ሬݑ (230)
avec eሬ vecteur uniteacute de E
repreacutesente la constante gravitationnelle
ݑ la pousseacutee appeleacutee aussi entreacutee collective
Chapitre 2 MODELISATION DrsquoUN DRONE A QUATRE HELICES
34
=ሬݑ sum పሬሬସ
ୀଵ (231)
ሬሬሬሬሬߛ൘ = minus Ԧ௭ + ݑ Ԧଷ empty ߠ (232)
eሬଷ vecteur uniteacute de eሬ= (eሬଵ eሬଶ eሬଷ) porteacute par Eଷ
On montre que ݑ eሬଷ = (0 0 ݑଷ
) ougrave ݑଷ
= ଵ + ଶ + ଷ + ସ
La dynamique de translation est reacutegie par
= ሷݔ minus ଷݑߠ
ݕ = ߠݏܥ Sin ଷݑ (233)
=ሷݖ Cosݏܥߠ ଷݑ ndash
2352 Dynamique de rotation
La dynamique de rotation est deacutefinie par rapport au repegravere local mais exprimeacutee dans le
repegravere inertiel Le moment cineacutetique est deacutefinit par
Ԧߪ = ܫ ሬߗ (234)
Alors que la vitesse angulaire dans le repegravere local
=ሬߗ ଶߟܬ Ԧ (235)
A partir des eacutequations (234) et (235) on obtient
=ԦGߪ ܫ ଶߟܬ Ԧ
On pose ߎ = ܫ ܬ et en utilisant lrsquoeacutequation preacuteceacutedente la dynamique des momentssrsquoeacutecrit
ߎ ଶሬሬߟ + ߎ ሬሬextܯsum=ଶሷԦߟ (236)
Ougrave les moments exteacuterieurs par rapport agrave G ( i= i=1hellip4 qui repreacutesente la distance entre G et
i et qui sont identiques)
ሬሬextܯsum = ߠ Ԧ1 + empty Ԧ2+ ψ Ԧ3 (237)
Chapitre 2 MODELISATION DrsquoUN DRONE A QUATRE HELICES
35
Finalement les couples sont donneacutes par
=ߠ ( 2 ndash 4)empty = ( 1 ndash 3) (238)ψ = K ( 1 ndash 2 + 3 ndash 4)
Lrsquoeacutequation peut ecirctre eacutecrite comme
=ሷߟ ୋߎ minus]1-(ߟ) (ߟ)ୋߎ [ሶߟ (239)
Avec = ( ߠ empty ψ )t comme des commandes auxiliaires et
ୋߎ ቌ=(ߟ)
௫௫ܫ emptyݏܥ 0 00 ߠݏܥ emptyݏܥ௬௬ܫ 0
0 0 ௭௭ܫ
ቍ (240)
Dans un premier temps le modegravele donneacute ci-dessus peut ecirctre lineacuteariseacute par les lois de
commande deacutecoupleacutees suivantes
=ߠ ௫௫ܫ minus empty empty ߠ + ௫௫ܫ ǁ emptyݏܥempty = ௬௬ܫ minus sup2 empty ߠݏܥ empty minus emptyݏܥ௬௬ܫ ߠ empty ߠ + ௬௬ܫ emptyǁ emptyݏܥߠݏܥ (241)
ψ = ௭௭ܫ ǁψ
Le modegravele dynamique deacutecoupleacute de la rotation peut ecirctre eacutecrit sous la forme suivante
=ሷߟ ǁ (242)avec
ǁ= (ߠ empty ψ) T
En utilisant le systegraveme drsquoeacutequations 233 et 242 la dynamique du drone peut ecirctre deacutecrite
par les eacutequations suivantes
=ሷݔ - S 3ݑߠ
ݕ = Cߠݏ S empty 3ݑ
=ሷݖ C3ݑ emptyݏܥߠݏ ndash (243)
ߠ = ߠ
empty = empty
ψ = ψ
Chapitre 2 MODELISATION DrsquoUN DRONE A QUATRE HELICES
36
24 Etude des forces deacuteveloppeacutees
On srsquoattache dans cette partie agrave expliciter les actionneurs qui agissent sur le drone il
srsquoagit des quatre forces deacuteveloppeacutees par les heacutelices Afin de calculer la matrice des
actionneurs on construit une matrice qui permet la connexion entre les actionneurs et les
commandes en effet pour trouver ces forces il faut que la matrice Q soit inversible Les
relations entre les forces deacuteveloppeacutees par les actionneurs (les quartes moteurs brushless)
et les commandes dans les diffeacuterentes directions sont introduites pour le systegraveme X4 par
les relations suivantes [15]
ଷݑ = ଵ + ଶ + ଷ+ ସ
ସݑ =
౮౮ୡ୭ୱథଶminus
౯౯ୡ୭ୱథସ +
ୱ୧୬థ Φθ
ୡ୭ୱథ
ହݑ =
౮౮ୡ୭ୱథୡ୭ୱϴ ଵminus
౯౯ୡ୭ୱథୡ୭ୱϴ ଷ +ୱ୧୬థ Φ
మ
ୡ୭ୱథ+
ୗ୧୬ థ Φθ
ୡ୭ୱϴ(244)
ݑ =
ଵ minus
ଶ +
ଷ minus
ସ
On peut eacutecrire lrsquoeacutequation (244) sous la forme matricielle suivante
⎝
⎜⎜⎜⎛
ଷݑ
ସݑ
ହݑ
⎠ݑ
⎟⎟⎟⎞
= Q
⎝
⎜⎜⎜⎛
ଵ
ଶ
ଷ
ସ⎠
⎟⎟⎟⎞
+
⎝
⎜⎜⎜⎜⎛
0
ୱ୧୬థథ θ
ୡ୭ୱథ
ୱ୧୬థథమ
ୡ୭ୱథ+
ୱ୧୬థథ θ
େ୭ୱθ
0 ⎠
⎟⎟⎟⎟⎞
(245)
Avec
=
⎝
⎜⎜⎜⎜⎛
1
0
౯౯ ୡ୭ୱథ େθ
1
౮౮ୡ୭ୱథ
0
minus
1
0
minus
౯౯ ୡ୭ୱథ େθ
1
minus
౮౮ୡ୭ୱథ
0
minus
⎠
⎟⎟⎟⎟⎞
(246)
Chapitre 2 MODELISATION DrsquoUN DRONE A QUATRE HELICES
37
Ougrave
I =
⎝
⎜⎜⎜⎜⎛
0
ୱ୧୬థథ θ
ୡ୭ୱథ
ୱ୧୬థథమ
ୡ୭ୱథ+
ୱ୧୬థథ θ
େθ
0 ⎠
⎟⎟⎟⎟⎞
=
⎝
⎜⎜⎜⎛
ଷݑ
ସݑ
ହݑ
⎠ݑ
⎟⎟⎟⎞
(247)
Les forces sont calculeacutees agrave partir de lrsquoeacutequation suivante
f =
⎝
⎜⎜⎜⎛
ଵ
ଶ
ଷ
ସ⎠
⎟⎟⎟⎞
= Qଵ( minus I) (248)
Les caracteacuteristiques physiques du drone sont donneacutees par
l= 023 mIxx =224931 10-7 kg m2
Iyy =224931 10-7 kg m2
Izz =224931 10-7 kg m2
KT = 10-5 N S2
KM =9 10-6 N S2 mm =2 Kg
25 Conclusion
Dans ce chapitre nous avons preacutesenteacute le modegravele dynamique de mini-heacutelicoptegravere en
utilisant une approche Newton Euler Pour modeacuteliser cette dynamique nous avons vu que
plusieurs niveaux de repreacutesentation peuvent ecirctre considegraveres dynamique des actionneurs
dynamique des rotors processus de geacuteneacuteration de la reacutesultante des forces et des moments
dynamique du solide Ce dernier niveau de repreacutesentation indeacutependant de la configuration
de veacutehicule choisie est celui que nous utiliserons pour la synthegravese de lois de commande
Nous avons preacutesenteacute une modeacutelisation couramment utiliseacutee dans la litteacuterature permettant
de repreacutesenter la dynamique drsquoun drone miniature avec cette approche de type meacutecanique
du solide Le modegravele non lineacuteaire agrave six degreacutes de liberteacute obtenu est sous-actionneacute Cette
Chapitre 2 MODELISATION DrsquoUN DRONE A QUATRE HELICES
38
derniegravere proprieacuteteacute rend complexe la synthegravese de lois de commande Dans le chapitre
suivant la commande du drone par la technique du mode glissant est discuteacutee et appliqueacutee
ainsi que par la commande mode glissant floue
Chapitre3 COMMANDE PAR MODE GLISSANT ET FLOU-GLISSANT
38
Chapitre 3
COMMANDE PAR MODE GLISSANT ET FLOUGLISSANT
Chapitre3 COMMANDE PAR MODE GLISSANT ET FLOU-GLISSANT
39
3 COMMANDE PAR MODE GLISSANT ET FLOUE GLISSANT
31 Introduction
Malgreacute les efforts consideacuterables de la communauteacute automatique le problegraveme lieacute agrave
la commande drsquoun drone agrave modegravele reacuteduit pour les manouvres dans les diffeacuterents axes reste
un problegraveme difficile agrave reacutesoudre Cette difficulteacute est due principalement aux changements
des forces aeacuterodynamiques exerceacutees sur le drone en fonction des paramegravetres de
lrsquoenvironnement dans lequel il eacutevolueacute
Ce chapitre sera consacreacute agrave la conception des lois de commande non lineacuteaires
baseacutees sur la technique du mode glissant pour la commande des mouvements selon les
diffeacuterents axes Dans la premiegravere partie nous preacutesenterons quelques eacuteleacutements de la theacuteorie
par mode glissants agrave structure variable
La deuxiegraveme partie sera consacreacutee agrave la mise on œuvre et agrave la validation de ces techniques
de commande pour la stabilisation et le suivi de trajectoire du drone X4
Nous effectuons des tests en simulations de ces lois de commande dans diffeacuterentes
manouvres et sceacutenarios
32 Theacuteorie de la commande par mode de glissement
321 Systegraveme agrave structure variable
La commande par mode de glissement a connu un deacuteveloppement theacuteorique au
deacutebut des anneacutees 60 gracircce agrave la reacutesolution de lrsquoeacutequation diffeacuterentielle agrave second membre
discontinu par le matheacutematicien Russe A Fillipov [40 41] suivi des recherches de S
emelyanov en 1967 et de V Utkin en 1977 [42 43 44]
Le reacuteglage par modes de glissement est un mode de fonctionnement particulier des
systegravemes agrave structure variable Un systegraveme agrave structure variable est un systegraveme pouvant
changer de structure en faisant commuter sa commande entre deux valeurs suivant une
logique de commutation bien speacutecifique
Dans les systegravemes agrave structure variable avec mode glissant la trajectoire drsquoeacutetat est ameneacutee
vers une surface (hyperplan) puis agrave lrsquoaide de la loi de commutation elle est obligeacutee de
Chapitre3 COMMANDE PAR MODE GLISSANT ET FLOU-GLISSANT
40
rester au voisinage de cette surface Cette derniegravere est dite surface de glissement et le
mouvement le long de laquelle se produit est dit le mouvement de glissement La
trajectoire dans le plan de phase (systegraveme deuxiegraveme ordre) est constitueacutee de trois parties
distinctes (figure 31) [45 46 42 43]
Le mode de convergence (MC)
Durant lequel la variable agrave reacutegler se deacuteplace de nrsquoimporte quel point initial dans le plan de
phase est tend vers la surface de commutation (ݕݔ) = 0 Ce mode est caracteacuteriseacute par la
loi de commande et le critegravere de convergence
Le mode glissement (MG)
Durant lequel la variable drsquoeacutetat a atteint la surface de glissement et tend vers lrsquoorigine du
plan de phase La dynamique dans ce mode est caracteacuteriseacutee par le choix de la surface de
glissement (x y)
Le mode du reacutegime permanent (MRP)
Il est ajouteacute pour lrsquoeacutetude de la reacuteponse du systegraveme autour de sont point drsquoeacutequilibre (origine
du plan de phase) il est caracteacuteriseacute par la qualiteacute et les performances de la commande
Figure 31 Diffeacuterents modes pour la trajectoire dans le plan de phase
322 Conception de la commande par modes glissants
Syntheacutetiser une loi de commande par modes glissants revient en premier lieu agrave choisir la
surface de glissement qui permet la convergence de la trajectoire drsquoeacutetat du systegraveme vers le
point drsquoeacutequilibre deacutesireacute en second lieu agrave eacutetablir la condition drsquoexistence du mode de
glissement qui est relieacutee agrave la convergence de la trajectoire drsquoeacutetat vers le point drsquoeacutequilibre
et en troisiegraveme lieu agrave deacuteterminer la loi de commande qui aura pour rocircle de maintenir les
MC
MRP
MG
( ) =
Chapitre3 COMMANDE PAR MODE GLISSANT ET FLOU-GLISSANT
41
conditions de glissement (attractiviteacute) (Annexe A) En drsquoautre termes la conception de la
loi de commande par modes glissants est reacutealiseacutee en trois eacutetapes [47 48 43 45]
3221 Le choix de la surface de glissement (S)
La surface de glissement est un hyperplan dans lrsquoespace drsquoeacutetat global et repreacutesente
le comportement dynamique deacutesireacute La trajectoire drsquoeacutetat du systegraveme doit atteindre cette
surface Il nrsquoexiste pas de critegravere pour le choix drsquoune surface de glissement approprieacutee
Le choix de la surface du glissement identifieacutee par le nombre et sa forme deacutepend de
lrsquoapplication et lrsquoobjectif deacutesireacute
Consideacuterons le systegraveme non lineacuteaire deacutecrit par lrsquoeacutequation drsquoeacutetat suivante
=ሶݔ +ݔ(ݐݔ)ܣ ݑ(ݐݔ)ܤ (31)
La surface de glissement est une fonction scalaire telle que lrsquoerreur sur la variable agrave reacutegler
glisse sur cette surface et tend vers lrsquoorigine du plan de phase Nous trouvons dans la
litteacuterature diffeacuterentes formes de la surface dont chacune donne de meilleures performances
pour certaines utilisations
Dans certains ouvrage [48 49 42 43 44] on trouve une forme de la surface de
glissement qui est fonction de lrsquoeacutecart sur la variable agrave reacutegler x elle est donneacutee par
(ݔ) = ቀப
ப୲+ λቁ
ଵ
e(ݔ) (32)
Cette surface est drsquousage tregraves pratique car elle minimise le nombre des paramegravetres de
synthegravese de la surface (un seul coefficient) [50]
Ougrave lrsquoeacutecart de la variable agrave reacutegler est (ݔ) = ݔ minus ݔ estߣ une constante positive qui
repreacutesente la pente de la surface de glissement et r le degreacute relatif du systegraveme La
surface de glissement est fonction de lrsquoapplication et lrsquoobjectif viseacutes
La strateacutegie de commande consiste agrave garantir que les trajectoires du systegraveme se deacuteplacent
et tendent vers la surface de glissement (ݔ) = 0
Cette derniegravere et avec une condition initiale e(0) = 0 et (ݐݔ) = 0 devient une eacutequation
homogegravene qui possegravede une solution unique (ݔ) = 0
Chapitre3 COMMANDE PAR MODE GLISSANT ET FLOU-GLISSANT
42
Figure 32 Surface de glissement
3 222 La condition de convergence et drsquoexistence
Les conditions drsquoexistante et de convergence du mode de glissement sont des critegraveres
qui permettent aux dynamiques du systegraveme de converger vers la surface de glissement et
drsquoy rester indeacutependamment de la perturbation Il yrsquoa deux consideacuterations correspondantes
au mode de convergence de lrsquoeacutetat du systegraveme [46]
a) La fonction directe de commutation
Crsquoest la premiegravere condition de convergence Elle est proposeacutee et eacutetudieacutee par Emilyanov
et Utkin [42 43] Il srsquoagit de donner agrave la surface une dynamique convergente vers zeacutero
Elle est donneacutee par
(ݔ) gt 0 Lorsque (ݔ) lt 0
S (x) lt 0 Lorsque S(x) gt 0
Ces deux ineacutegaliteacutes peuvent ecirctre formuleacutes par la condition suffisante suivante
(ݔ) (ݔ) lt 0
b) La fonction de Lyapunov
La fonction de Lyapunov [46 43 44 ] est une fonction scalaire positive (Ѵ(ݔ) gt 0)
pour les variables drsquoeacutetats du systegraveme la loi de commande doit faire deacutecroicirctre cette fonction
(Ѵ (ݔ) lt 0) lrsquoideacutee est de choisir une fonction scalaire S(x) qui garantit lrsquoattraction de la
variable agrave controcircler vers sa valeur de reacutefeacuterence et de construire une commande u telle que
Ѵ(ݔ) =ଵ
ଶଶ(ݔ) (3 3)
( )=0
Chapitre3 COMMANDE PAR MODE GLISSANT ET FLOU-GLISSANT
43
La deacuteriveacutee de cette fonction est Ѵ(ݔ) = (ݔ) (ݔ) (3 4)
Pour que la fonction Ѵ(x) deacutecroitre il suffit drsquoassurer que sa deacuteriveacutee est neacutegative Ceci
nrsquoest permis que si la condition (34) est veacuterifieacutee Lrsquoeacutequation (33) explique que le carreacute de
la distance vers la surface mesureacutee par ଶ(ݔ) diminue tout le temps contraignant la
trajectoire du systegraveme agrave se diriger vers la surface dans les deux cocircteacutes [50]
3223 Deacutetermination de la commande
Une fois la surface de glissement S choisie stable de sorte que la sortie du systegraveme
converge vers une sortie deacutesireacutee la convergence du mode glissant est assureacutee on eacutelabore
une commande qui forcera les eacutetats du systegraveme agrave atteindre le point drsquoeacutequilibre tout en
maintenant la condition du mode glissant
La structure drsquoun controcircleur par mode de glissement peut ecirctre deacutecomposeacutee en une somme
de deux commandes [51 52 43 44 53]
ݑ = ݑ + ݑ (35)
ݑ eacutetant la commande eacutequivalente qui sert agrave maintenir lrsquoeacutetat sur la surface de glissement
(ݔ) = 0 et ݑ eacutetant la commande stabilisante (elle est deacutetermineacutee afin de veacuterifier la
condition de convergence en deacutepit de lrsquoimpreacutecision sur les paramegravetres et le modegravele)
La deacuteriveacutee totale par rapport au temps de cette surface est
S(ݐݔ) =partS
partt=
partS
ݔpart∙ ሶݔ (36)
Comme lrsquoeacutequation drsquoeacutetat est
=ሶݔ +ݔ(ݐݔ)ܣ ݑ(ݐݔ)ܤ + ݑ(ݐݔ)ܤ (37)
On a alors
S(ݐݔ) =partS
partt=
part
part௫∙ ൫ݔ(ݐݔ)ܣ+ +൯ݑ(ݐݔ)ܤ
partS
part௫ݑ(ݐݔ)ܤ (38)
En reacutegime ideacuteale la deacuteriveacutee de la surface est nulle la commande appliqueacutee au systegraveme est
la commande eacutequivalente ݑ par conseacutequent
൜ݑ = 0
(ݐݔ) = 0 (39)
Si la matrice ቀడௌ
డ௫∙ ቁest(ݐݔ)ܤ inversible lrsquoexpression de la commande eacutequivalente est
donneacutee par
=minusቀݑడௌ
డ௫∙ ቁ(ݐݔ)ܤ
ଵ
∙డௌ
డ௫∙ (ݐݔ)ܣ (310)
Chapitre3 COMMANDE PAR MODE GLISSANT ET FLOU-GLISSANT
44
Donc en remplaccedilant la commande eacutequivalente par son expression (310) dans (38) on
obtient
S(ݐݔ) =partS
ݔpart∙ (ݐݔ)ܤ ∙ ݑ (311)
Nous choisissons pour simplifier une surface de glissement qui veacuterifie la relation
பୗ
ப௫∙ (ݐݔ)ܤ = ܫ (312)
Ougrave I est la matrice identiteacute
Ainsi
(ݐݔ) = ݑ (313)
La commande discontinue est choisie de maniegravere agrave satisfaire la condition suffisante
drsquoexistence des modes glissants Il existe plusieurs formes pour cette commande ougrave la
condition drsquoexistence est veacuterifieacutee
ݑ = ܭminus ݏ ( ) (314)
Ougrave sign(( ((ݐݔ) est la fonction deacutefinie par
s (( ((ݐݔ) = ൜ݏ 1minus (ݐݔ) lt 0
1 ݏ (ݐݔ) gt 0 (315)
Avec K gt 0
(ݔ) (ݔ) = ܭminus ݏ ( ) lt 0 (316)
Ou encore
= ܭminus | | lt 0 (317)
323 Le pheacutenomegravene de reacuteticence
Le pheacutenomegravene de reacuteticence ℎݐݐ ݎ (fig33) est le principal inconveacutenient de la
technique de commande par mode glissant aux systegravemes physiques Ce pheacutenomegravene
conduit quelque fois agrave un nombre eacuteleveacute drsquooscillations de la trajectoire du systegraveme autour de
la surface de glissement est donc agrave des sollicitations excessives des actionneurs pouvant
provoquer leur usure rapide ainsi que des pertes eacutenergeacutetiques non neacutegligeables au niveau
des circuits de puissance eacutelectrique Il est ducirc drsquoune part agrave lrsquoimperfection des eacuteleacutements de
commutation ou des limites technologiques telles que les retards aux niveaux des
commutations [45 50]
Chapitre3 COMMANDE PAR MODE GLISSANT ET FLOU-GLISSANT
45
Figure 33 Pheacutenomegravene de chattering
324 Adoucissement de la commutation
Pour remeacutedier agrave lrsquoeffet de broutement de nombreuses eacutetudes ont eacuteteacute effectueacutees dans le
but de reacuteduire ou drsquoeacuteliminer ce pheacutenomegravene [ 50] Lrsquoune drsquoentre elles consiste agrave remplacer
la fonction sign par des approximations continues de type grand gain dans un voisinage de
la surface telles que la fonction de saturation deacutefinie par (voir figure 34)
Figure 34 Fonctions de commutation
La fonction sat(S(t)) est exactement eacutegale agrave la commutation sign(S(t)) agrave lexteacuterieur de la
couche limite φ Par conseacutequent ceci rend lanalyse vis-agrave-vis des erreurs de perturbation
plus facile Ceci nest pas le cas des autres fonctions comme smooth et comarctg pour
lesquels le choix de φ nest pas simple
33 Stabilisation du drone X4 par la meacutethode mode glissant
Dans cette partie en nous basant sur la strateacutegie de controcircle par mode glissant
deacutecrite dans les paragraphes preacuteceacutedents nous deacuteveloppons un vecteur de commande
ݐeacuteݎ
( )=0
sat (S(t))
φ
minusφ S(t)
Smooth(S(t))
S(t)
Penteଵ
ఝ Penteଵ
ଵఝ
arctg(S(t)
S(t)
Chapitre3 COMMANDE PAR MODE GLISSANT ET FLOU-GLISSANT
46
assurant le suivi et la stabiliteacute du quadri-rotors Rappelons le modegravele dynamique du X4
preacutesenteacute sous sa forme simplifieacutee suivante
=ሷݔ minus ଷݑߠݏ =ሷݕ emptyݏ ଷݑߠݏ =ሷݖ ߠݏ ଷݑ emptyݏ minus (318)
ߠ = ସݑempty = ହݑ = ݑ
331 Commande par mode glissant du systegraveme de translation lineacuteaire
3311 Controcircle de lrsquoaltitude
Nous remarquons que la commande u3 agit directement sur la variable drsquoaltitude z
contrairement aux commandes u4 et u5 qui agissent sur les variables x et y agrave travers les
angles ߠ et empty
Consideacuterons lrsquoeacutequation
=ሷݖ cos ଷݑ(empty) cos(ߠ) minus (319)
La surface est deacuteduite de lrsquoeacutequation (34) ougrave le degreacute relatif est pris eacutegal agrave deux afin que la
commande ଷݑ apparaisse explicitement dans sa deacuteriveacutee Elle est donneacutee par
(ݖ) = ሶ௭ + ௭ߣ ௭ (320)
Avec
௭ = ݖ minus z
ሶ௭ = ሶݖ minus ሶݖ
La deacuteriveacutee de la surface est
(ݖ) = ௭ + ௭ߣ ሶ௭ (321)
Avec ሷ௭ = ሷݖ minus ሷݖ
On remplace ሷparݖ sa valeur deacutecrite par lrsquoeacutequation (318) la deacuteriveacutee de la surface devient
(ݖ) = ሷݖ minus (ୡ୭ୱ(ఏ)ୡ୭ୱ (empty)
ଷݑ minus ) + ሶݖ)௭ߣ minus (ሶݖ (322)
Nous constatons donc que la commande apparaicirct explicitement dans la deacuteriveacutee de la
surface
Nous deacutecomposant la commande de lrsquoaltitude u3 en deux parties ଷݑ et ଷݑ
Chapitre3 COMMANDE PAR MODE GLISSANT ET FLOU-GLISSANT
47
ଷݑ = ଷݑ + ଷݑ (323)
En substituant lrsquoeacutequation 323 dans 322 nous obtenons
(ݖ) = ሷݖ minus (ୡ୭ୱ(ఏ)ୡ୭ୱ (empty)
( ଷݑ + (ଷݑ minus ) + ሶݖ)௭ߣ minus (ሶݖ (324)
Durant la mode de convergence et le reacutegime permanent nous avons la surface de
glissement (ݖ) = 0 ceci implique que sa deacuteriveacutee (ݖ) = 0 et la commande
discontinue ଷݑ = 0 drsquoougrave la grandeur de commande eacutequivalente
ଷݑ =
௦(ఏ)௦ (empty)൬ + ሶݖ௭ቀߣ+ሷݖ minus ሶቁ൰ݖ (325)
Durant le mode de convergence en remplaccedilant lrsquoexpression de la commande eacutequivalente
dans lrsquoexpression de la deacuteriveacutee de la surface nous obtenons
(ݖ) = minus௦(ఏ)௦ (empty)
ଷݑ (326)
Nous posons ଷݑ = ௭ ݏ ( ((ݖ) (327)
Afin de veacuterifier la condition de stabiliteacute de Layapunov S(z) S(z) lt 0 le paramegravetre ௭ doit
ecirctre positif
Drsquoougrave la commande ଷݑ devient comme suit
ଷݑ =
௦(ఏ)௦ (empty)൬ + ሶݖ௭ቀߣ+ሷݖ minus +ሶቁ൰ݖ ௭ ݏ ((ݖ)ݏ) (328)
33 12 Controcircle de deacuteplacement lineacuteaire suivant les axes et y
A partir du modegravele du X4 donneacute par lrsquoeacutequation (243) on voit clairement que le
deacuteplacement suivant les axes x et y deacutepend de la commande de pousseacutee ଷݑ Drsquoougrave
lrsquoorientation du vecteur total de pousseacutee ଷݑ responsable pour atteindre les mouvements
lineacuteaires deacutesireacutes Si nous consideacuterons ux = sin(ϴ) et uy = cos(ϴ)sin (empty) les orientations du
vecteur responsable pour les mouvements suivant les axes x et y respectivement Nous
pouvons par la suite tirer les angles pitch et roulis deacutesireacutes pour calculer les commandes ux
et uy
A partir du modegravele du drone le systegraveme dynamique des mouvements horizontale est
deacutefinis par
൜=ሷݔ minus ݏ ߠ) ଷݑ(
=ሷݕ cos (empty) ݏ (ߠ) ଷݑ (329)
Chapitre3 COMMANDE PAR MODE GLISSANT ET FLOU-GLISSANT
48
La loi de commande est obtenue par lrsquoutilisation de la technique mode glissant [54 55 56]
Les surfaces de glissement selon les axes x et y sont donneacutees par
(ݔ) = ሶ௫ + ௫ߣ ௫ (330)
(ݕ) = ሶ௬ + ௭ߣ ௬ (331)
Avec ex et ey les erreurs de positions qui sont deacutefinis par
௫ = ݔ minus ݔ
௬ = ݕ minus ݕ
Les mecircmes eacutetapes sont utiliseacutees pour deacuteterminer les commande de positions ௫etݑ ௬ݑ
௫ݑ =
௨య൫minusߣ௫൫ݔሶ minus minusሶ൯ݔ minusሷ൯ݔ ௫ ݏ ((ݔ)ݏ)ݐ (332)
௬ݑ =
௨య൫ߣ௬൫ݕሶ minus +ሶ൯ݕ +ሷ൯ݕ ௬ ݏ ((ݕ)ݏ)ݐ (333)
332 Commande par mode glissant du systegraveme de rotation
3321 Commande de lrsquoangle de roulis
Dans cette section on veut eacutetablir une commande par mode glissant qui assure
lrsquoorientation du drone par lrsquoangle empty (roulis)
Le degreacute relatif eacutegal agrave deux drsquoougrave la surface de glissement est deacutefinie par
(empty) = ሶempty + emptyߣ empty (334)
Avec
empty = empty minusempty
ሶempty = empty minus empty
La deacuteriveacutee de la surface est
(empty) = empty + emptyߣ ሶempty (335)
Avec ሷempty = empty minus empty
On remplace empty par sa valeur deacutecrite par lrsquoeacutequation (318) la deacuteriveacutee de la surfacedevient
(empty) = empty minus ହݑ + empty)emptyߣ minus empty) (336)
Nous constatons donc que la commande apparaicirct explicitement dans la deacuteriveacutee de la
surface
Nous deacutecomposant la commande de lrsquoaltitude u5 en deux parties ହݑ et ହݑ
ହݑ = ହݑ + ହݑ (337)
En substituant lrsquoeacutequation 337 dans 336 nous obtenons
(empty) = empty minus ହݑ ) + (ହݑ + empty)emptyߣ minus empty) (338)
Chapitre3 COMMANDE PAR MODE GLISSANT ET FLOU-GLISSANT
49
Durant le mode de convergence et le reacutegime permanent nous avons la surface de
glissement (empty) = 0 ceci implique que sa deacuteriveacutee (empty) = 0 et la commande
discontinue ହݑ = 0 drsquoougrave la grandeur de commande eacutequivalente
ହݑ = empty+ߣemptyቀempty minus emptyቁ (339)
En remplaccedilant lrsquoexpression de la commande eacutequivalente dans lrsquoexpression de la deacuteriveacutee de
la surface nous obtenons
(empty) = ହݑ minus (340)Nous posons
ହݑ = kempty sign(s(empty)) (341)
Afin de veacuterifier la condition de stabiliteacute de Laypunov (empty) (empty) lt 0 le paramegravetre empty
doit ecirctre positif
Drsquoougrave la commande ହݑ devient comme suit
ହݑ = empty+ߣemptyቀempty minus emptyቁ+ empty ݏ ( (empty)) (342)
3321 Commande des angles de tangage et de lacet
En suivant les mecircmes eacutetapes deacutecrites preacuteceacutedemment pour deacuteterminer les commandes de
tangage et de lacet ce qui nous donne [54 55 56]
ସݑ = ߠఏቀߣ+ߠ minus +ቁߠ ఏܭ ݏ ((ߠ)ݏ) (343)
ݑ = +ߣట ቀ minus ቁ+ kట sign(s()) (344)
Avec(ߠ) = ሶఏ + ఏߣ ఏ (345)
() = ሶట + టߣ ట (346)
34 Planification de trajectoire et reacutesultats de simulations
Nous travaillons avec une trajectoire en ligne droite le long des axes etݔݖ ݕ et nous
effectuons des trajectoires de type arc ou bien demi-cercle La stabilisation point par point
est utiliseacutee avec la planification de mouvement Le drone doit voler dans la direction ݖ (vol
vertical) suivi par un mouvement suivant ݔ ensuite par un mouvement suivant ݕ [2 15]
La trajectoire de reacutefeacuterence pour le vol vertical est parameacutetreacutee par lrsquoeacutequation suivante
(ݐ)ݖ = ℎௗ௧ఱ
௧ఱାቀ భ௧ቁ
ఱ (347)
Chapitre3 COMMANDE PAR MODE GLISSANT ET FLOU-GLISSANT
50
Avec h lrsquoaltitude deacutesireacutee de 10 m et Tଵ est le temps final Sachant que la valeur finale
drsquoune phase du vol est la valeur initiale du mouvement suivant x On peut eacutecrire la
trajectoire de reacutefeacuterence suivant x comme
(ݐ)ݔ = ℎௗቀ௧
భቁఱ
ቀ௧ మቁ
ఱା൬
భቀ௧ మቁ൰
ఱ (348)
On peut eacutecrire le mouvement suivant y avec la formule suivante
(ݐ)ݕ = ℎௗቀ௧
మቁఱ
ቀ௧ యቁఱା൬
మቀ௧ యቁ൰
ఱ (349)
ଶ est le temps final du mouvement le long de ݔ
ଷ est le temps final du mouvement le long de ݕ
Ces trajectoires sont soumises agrave des contraintes de performance qui sont
(0)ݖ = ൫ݔ ଵ൯=ݕ൫
ଶ൯= 0
൫ݖ ଵ൯= ൫ݔ
ଶ൯=ݕ൫ ଷ൯= ℎௗ
ሶ(0)ݖ = ሶ൫ݔ ଵ൯=ݕሶ൫
ଶ൯= 0
ሶ൫ݖ ଵ൯= ሶ൫ݔ
ଶ൯=ݕሶ൫ ଷ൯= 0 (350)
ሷ(0)ݖ = ሷ൫ݔ ଵ൯=ݕሷ൫
ଶ൯= 0
ሷ൫ݖ ଵ൯= ሷ൫ݔ
ଶ൯=ݕሷ൫ ଷ൯= 0
Minimiser le temps de deacuteplacement implique que lrsquoengin acceacutelegravere au deacutepart et deacuteceacutelegravere agrave
lrsquoarriver
La figure 35 illustre les trajectoires de reacutefeacuterences des vols suivant les directions x et y
ainsi que le vol vertical z Le drone effectue un mouvement vertical de 10 m puis un
mouvement suivant x drsquoune distance de 10 m ensuite un mouvement suivant y de la mecircme
Chapitre3 COMMANDE PAR MODE GLISSANT ET FLOU-GLISSANT
51
distance
Figure 35 Geacuteneacuteration de trajectoire avec =
Nous travaillons aussi avec des trajectoires pour faire par exemple des virages Un virage
est mateacuterialiseacute par un arc de cercle de rayon ߩ et drsquoangle (ݐ)ߙ (angle de virage)
Cette deacutependance du temps de ߙ implique qursquoon peut planifier la maniegravere dont on veut
aborder le virage Ainsi on peut planifier une acceacuteleacuteration ou une deacuteceacuteleacuteration dans un
virage De mecircme lrsquoangle ߙ qui agit directement sur le comportement du lacet peut
prendre des valeurs entre zeacutero pour un changement de direction ou ߨ2 pour contourner
un carrefour
Nous proposons de connecter etݖ ݔ agrave travers les eacutequations suivantes
ቊ(ݐ)ௗݔ = +൯(ݐ)ߙcos൫ߩminus ߩ
(ݐ)ௗݖ = +൯(ݐ)ߙsin൫ߩminus ߩ (351)
Et pour la transition de reacutefeacuterence entre ݔ et ݕ on prend
ቊ(ݐ)ௗݔ = +൯(ݐ)ߙsin൫ߩ ௗ൫ݔ
ଶ൯
(ݐ)ௗݕ = +൯(ݐ)ߙsin൫ߩminus ߩ (352)
Pour assurer la continuiteacute entre les deacuteriveacutees par rapport au temps de (ݐ)ௗݔ et (ݐ)ௗݕ crsquoest-agravedire en vitesse on a
0 5 10 15 20 250
2
4
6
8
10
12
z-re
f(m
)
temps (s)
0 5 10 15 20 250
2
4
6
8
10
12
x-r
ef(m
)
temps (s)
0 5 10 15 20 250
2
4
6
8
10
12
y-r
ef(m
)
temps (s)
05
10
0
10
200
5
10
x-deacuteplacementy-deacuteplacementz-
deacutep
lace
men
t
Chapitre3 COMMANDE PAR MODE GLISSANT ET FLOU-GLISSANT
52
(ݐ)ߙ =ఈ(௧ ௧)ఱ
(௧ ௧)ఱା(௧ ௧)ఱ(353)
Ougrave numeacuteriquement =ߩ 2 ௗߙ = ఈగ
ଶ( ఈ = 12) ݐ = ݏ6 ݐ = ݏ8 ௗ൫ݔ
ଶ൯=
ௗ൫ݕ ଷ൯= ℎௗ + =ߩ 10
Figure 36 une trajectoire de reacutefeacuterence avec arcs
Simulation numeacuterique
Dans cette partie nous testons numeacuteriquement la performance du vecteur de commande
deacuteveloppeacute preacuteceacutedemment en utilisant logiciel Matlab Simulink
Les coefficients de gain kx ky kz ఏ empty associeacutes respectivement aux paramegravetres x y z ߠempty et sont donneacutes par ( 5 4 10 10 5)
௭ߣ = 2 ௫ߣ = 5 ௬ߣ = 2 ఏ=10ߣ et emptyߣ = 5
Par la suite nous affichons les reacutesultats numeacuteriques du suivi de trajectoire de reacutefeacuterence en
absence et en preacutesence des perturbations
02
46
810
1214
02
46
810
120
2
4
6
8
10
12
Deacuteplacement suivant (x)Deacuteplacement suivant (y)
Deacutepla
cem
ent
suiv
ant
(z)
Chapitre3 COMMANDE PAR MODE GLISSANT ET FLOU-GLISSANT
53
Figure 37 La trajectoire de reacutefeacuterence et reacuteelle en cas droites
Figure 38 Les commandes u3 u4 u5 des connexions droites
02
46
810
12
02
46
810
120
2
4
6
8
10
12
Deacuteplacement suivant (x)Deacuteplacement suivant (y)
Deacute
pla
ce
me
nt
su
iva
nt
(z)
Trajectoire reacuteelle
Trajectoire reacutefeacuterence
0 5 10 15 20 250
20
40
u3(N
)
0 5 10 15 20 25-10
0
10
u4(N
m)
0 5 10 15 20 25-10
0
10
u5(N
m)
temps (s)
Chapitre3 COMMANDE PAR MODE GLISSANT ET FLOU-GLISSANT
54
Figure 39 Les erreurs pour des connections droites
Figure 310 Les angles de tangage et de roulis pour des connections droites
0 5 10 15 20 25 30 35-5
0
5x 10
-4
z-e
rreur(m
)
0 5 10 15 20 25 30 35-5
0
5x 10
-3
x-e
rreur(m
)
0 5 10 15 20 25 30 35-5
0
5x 10
-5
y-e
rreur(m
)
temps (s)
0 5 10 15 20 25
-05
0
05
angle
theta
(rad)
0 5 10 15 20 25
-05
0
05
angle
phi(rad)
temps (s)
Chapitre3 COMMANDE PAR MODE GLISSANT ET FLOU-GLISSANT
55
Figure 311 La trajectoire de reacutefeacuterence et reacuteelle en cas drsquoarcs
Figure 312 Les commandes u3 u4 u5 des connexions drsquoarcs
0
5
10
15
0
5
10
150
5
10
15
deacuteplacement suivant (x)deacuteplacement suivant (y)
deacutepla
cem
entsuiv
ant(z
)
Trajectoire reacuteelle
Trajectoire reacutefeacuterence
0 5 10 15 20 25 30 350
20
40
u3(N
)
0 5 10 15 20 25 30 35
-10
0
10
u4(N
m)
0 5 10 15 20 25 30 35-10
0
10
u5(N
m)
temps (s)
Chapitre3 COMMANDE PAR MODE GLISSANT ET FLOU-GLISSANT
56
Figure 313 Les erreurs pour des connexions drsquoarcs
Figure 314 Les angles de tangage et de roulis en cas drsquoarcs
0 5 10 15 20 25 30 35-5
0
5x 10
-4
z-e
rreur(m
)
0 5 10 15 20 25 30 35-5
0
5x 10
-3
x-e
rreurr
(m)
0 5 10 15 20 25 30 35-5
0
5x 10
-5
y-e
rreur(m
)
temps (s)
0 5 10 15 20 25 30 35
-05
0
05
angle
theta
(rad)
0 5 10 15 20 25 30 35
-05
0
05
angle
phi(rad)
temps (s)
Chapitre3 COMMANDE PAR MODE GLISSANT ET FLOU-GLISSANT
57
Figure 315 La trajectoire de reacutefeacuterence et reacuteelle en cas des demi-cercles
Figure 316 Les commandes u3 u4 u5 pour des connexions demi-cercles
-10
010
20
30
-5
0
5
100
5
10
15
20
25
deacuteplacement suivant (x)deacuteplacement suivant (y)
deacutepla
cem
entsuiv
ant(z
)
Trajectoire reacuteelle
Trajectoire reacutefeacuterence
0 10 20 30 40 50 60 70 80 900
10
20
30
u3(N
)
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90-5
0
5
u4(N
m)
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90-5
0
5
u5(N
m)
temps (s)
Chapitre3 COMMANDE PAR MODE GLISSANT ET FLOU-GLISSANT
58
Figure 317 Les erreurs pour des connexions demi-cercles
Figure 318 Les angles pour des connexions demi-cercles
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90-2
0
2x 10
-3
z-e
rreur(m
)
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90-5
0
5x 10
-4
x-e
rreur(m
)
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90-5
0
5x 10
-4
y-e
rreur(m
)
temps (s)
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90
-05
0
05
angle
theta
(rad)
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90
-05
0
05
angle
phi(rad)
temps (s)
Chapitre3 COMMANDE PAR MODE GLISSANT ET FLOU-GLISSANT
59
Figure 319 La trajectoire de reacutefeacuterence et reacuteelle en cas des demi-cercles
Figure 320 La trajectoire de reacutefeacuterence et reacuteelle en cas drsquoheacutelicoiumldale
-4
-20
2
4
-2
0
2
40
5
10
15
20
25
deacuteplacement suivant (x)deacuteplacement suivant (y)
deacutepla
cem
entsuiv
ant(z
)
Trajectoire reacuteelle
Trajectoire reacutefeacuterence
0
5
10
15
0
5
10
150
5
10
15
deacuteplacement suivant (x)deacuteplacement suivant (y)
deacutepla
cem
ent
suiv
ant
(z) Trajectoire reacuteelle
Trajectoire reacutefeacuterence
Chapitre3 COMMANDE PAR MODE GLISSANT ET FLOU-GLISSANT
60
Figure 321 La trajectoire de reacutefeacuterence et reacuteelle en cas drsquoun cocircne
Les figures 37 38 et 39 illustrent respectivement la reacutealisation des connexions droites
les signaux de commandes et des erreurs Nous constatons que la trajectoire parcourue par
le drone suit la trajectoire deacutesireacutee avec des erreurs de tregraves faibles valeurs Pour les
commandes la condition de lrsquoeacutetat drsquoeacutequilibre est toujours veacuterifieacutee apregraves avoir effectueacute une
manœuvre ଷݑ) est approximativement eacutegale agrave mg et les commandes ସݑ et ହݑ tendent vers
zero)
La figure (310) preacutesente lrsquoeacutevolution des angles de tangage et de roulis nous observons que
ces angles ne se manifestent que lors drsquoun mouvement effectueacute respectivement suivant les
axes ݔ et ݕ et tendent vers la valeur zeacutero apregraves avoir fait lrsquoorientation deacutesireacutee
Les figures (311) et (315) montrent respectivement la bonne poursuite de la trajectoire
reacuteelle vers sa reacutefeacuterence pour des connexions arcs et demi-cercle
Les figures (312) (313) et (314) illustrent respectivement les reacutesultats de simulation
pour la reacutealisation des connexions en arcs les signaux de commandes les erreurs et les
angles de tangage et de roulis
Les figures (316) et (317) quant agrave elles illustrent respectivement les signaux de
commande et les erreurs de poursuite pour des connexions en demi-cercle La condition de
lrsquoeacutetat drsquoeacutequilibre dans ce cas est toujours veacuterifieacutee apregraves avoir effectueacute les manouvres en
demi-cercle
-2
-10
1
2
-2
-1
0
1
20
1
2
3
4
5
deacuteplacement suivant (x)deacuteplacement suivant (x)deacuteplacement suivant (y)
deacutepla
cem
entsuiv
ant(z
)
trajectoire reacuteelle
Trajectoire reacutefeacuterence
Chapitre3 COMMANDE PAR MODE GLISSANT ET FLOU-GLISSANT
61
Drsquoapregraves la figure (318) on voit bien que les angles de tangage et de roulis tendent vers la
valeur zeacutero apregraves avoir fait lrsquoorientation deacutesireacutee
Les figures (319) (320) et (321) montrent la bonne poursuite des trajectoires reacuteelles agrave
leurs reacutefeacuterences en 3D pour des connexions demi-cercle (deuxiegraveme forme) heacutelicoiumldale et
cocircne respectivement Drsquoapregraves ces figures on voit clairement les bonnes performances de la
commande par mode glissant
341 Etude de robustesse
Nous nous inteacuteressons dans cette partie aux tests de la robustesse des controcircleurs
deacuteveloppeacutes Nous nous placcedilons toujours dans le cadre de la commande du drone X4 dans
le cas de lrsquoinfluence du vent suivant les diffeacuterents axes du mouvement
Selon le principe drsquoinertie (lois du mouvement de Newton) aucune eacutenergie nrsquoest
neacutecessaire pour maintenir le mouvement uniforme drsquoun corps dans le vide Dans le cas du
X4 une reacutesistance ou une force de traineacutee srsquooppose au mouvement de celui-ci en vol et
crsquoest le travail de cette force qui entraine une consommation suppleacutementaire drsquoeacutenergie aux
niveaux des actionneurs et qui affaiblit ses capaciteacutes en vol Cette force de reacutesistance peut
ecirctre calculeacutee comme suit [15]
=ܨଵ
ଶ௫ܥ ܣߩ
ଶ (354)
Fi la force de traineacutee suivant lrsquoaxe i en [N]
V est la vitesse relative en [ms]
A lrsquoaire caracteacuteristique de la surface frontale de la structure du drone [m2]
ρ la masse volumique du drone en [Kgm3]
Lrsquoexpression de lrsquoeacutequation 3 65 introduit un coefficient de traineacutee sans dimention Cx qui
deacutepend de la structure du X4 et qui est deacutetermineacute expeacuterimentalement en soufflerie
Ce coefficient vaut dans le cas du drone X4
-Cx = 005 suivant le deacuteplacement dans les directions x et y
-Cx = 008 suivant le deacuteplacement dans la direction z
Lrsquoaire caracteacuteristique A de la surface frontale de la structure drone est eacutegale agrave A =
0031[m2] avec une masse volumique estimeacutee eacutegale agrave ρ =122 [Kgm3]
Reacutesultat de simulation
Dans cette partie nous testons numeacuteriquement la performance du vecteur de
commande deacuteveloppeacute preacuteceacutedemment en preacutesence des perturbations externes qui sont
donneacutes par
Chapitre3 COMMANDE PAR MODE GLISSANT ET FLOU-GLISSANT
62
Ax =Ay = Az = 67 N pour t1=15s t2=20s et t3=30s
Ap = Aq = Ar = 1 Nm pour t4 = 32s et t5 = 35s
Les figures (322) (323) (324) (325) (326) illustrent les reacutesultats de la simulation dans
le cas drsquoune force de traineacutee opposeacutee de Ftrn = 65 N pour les deacuteplacements suivant les
directions z x et y respectivement Ainsi lrsquoapplication drsquoun couple reacutesistant pour les
orientations ߠ et empty de valeur 1Nm Drsquoapregraves ces figures on remarque que les erreurs sont
importantes et peuvent augmenter avec lrsquoaugmentation de la perturbation
Figure 322 La trajectoire de reacutefeacuterence et reacuteelle en cas des demi-cercles
02
46
810
1214
0
5
10
150
2
4
6
8
10
12
diplacement suivant (x)diplacement suivant (y)
dip
lacem
ent
suiv
ant
(z)
Trajectoire reacuteelle
trajectoire reacutefeacuterence
0 5 10 15 20 25 30 35 400
50
u3(N
)
0 5 10 15 20 25 30 35 40-60-40-20
020
u4(N
m)
0 5 10 15 20 25 30 35 40
-50
0
50
u5(N
m)
temps (s)
Chapitre3 COMMANDE PAR MODE GLISSANT ET FLOU-GLISSANT
63
Figure 323 Les commandes u3 u4 u5 des connexions demi-cercles
Figure 324 Les erreurs pour des connexions demi-cercles
Figure 325 Les angles pour des connexions demi-cercles
0 5 10 15 20 25 30 35 40
-05
0
05
1
angle
theta
(rad)
0 5 10 15 20 25 30 35 40
-1
-05
0
05
1
angle
phi(r
ad)
temps (s)
0 5 10 15 20 25 30 35 40-05
0
05
z-e
rreur
(m)
0 5 10 15 20 25 30 35 40-05
0
05
x-e
rreurr
(m)
0 5 10 15 20 25 30 35 40
-05
0
05
y-e
rreur
(m)
temps (s)
Chapitre3 COMMANDE PAR MODE GLISSANT ET FLOU-GLISSANT
64
Figure 326 Les forces pour des connexions demi-cercles
35 Commande du drone par mode glissant agrave action inteacutegrale
Lrsquoutilisation des fonctions drsquoadoucissement empecircche lrsquoexistence dun mode de glissement
ideacuteal Par conseacutequent il est important de connaicirctre le comportement du systegraveme boucleacute
lorsque nous introduisons une des fonctions dadoucissement preacuteceacutedentes
Dans le but de compenser lrsquoerreur en reacutegime permanent on peut ajouter un terme inteacutegral
dans la surface de glissement [57 58 59] Ce perfectionnement (agrave lrsquoinstar drsquoautres) est
introduit a priori et justifieacute par des essais sur des systegravemes particuliers
Notre objectif dans ce paragraphe est de concevoir une nouvelle approche baseacutee sur la
theacuteorie de la commande agrave structure variable en introduisant lrsquoaction inteacutegrale sans
toutefois perdre les proprieacuteteacutes de la commande par mode glissant
Dans cette partie nous preacutesentons la deacutetermination de la loi de commande pour la
direction suivant lrsquoaxe z par lrsquointroduction de lrsquoaction inteacutegral dans la surface
La surface de glissement sera deacutefinie par
0 5 10 15 20 25 30 35 400
5
10
15F
1(N
)
0 5 10 15 20 25 30 35 400
5
10
15
F2
(N)
0 5 10 15 20 25 30 35 4005
1015
F3
(N)
0 5 10 15 20 25 30 35 4005
1015
F4
(N)
temps (s)
Chapitre3 COMMANDE PAR MODE GLISSANT ET FLOU-GLISSANT
65
(ݖ) = ሶ௭ + ௭ߣ ௭ + int ௭ݐ (355)
Ainsi que sa deacuteriveacutee est
(ݖ) = ௭ + ௭ߣ ሶ௭ + ௭ (356)
La commande drsquoaltitude ଷݑ est calculeacutee par la relation suivante
ଷݑ = ଷݑ + ଷݑ (357)
La commande ݑ est deacutetermineacutee par reacutegime glissant ideacuteal
ଷݑ =
௦ ఏ ௦ empty൬ + ሷݖ + ሶݖ௭ቀߣ minus +ሶቁݖ ൫ݖ minus ൯൰ݖ (358)
Par la technique du mode glissant on deacuteduit la forme suivante pour la commande ଷݑ
ଷݑ =
௦ ఏ ௦ empty൬ + ሷݖ + ሶݖ௭ቀߣ minus +ሶቁݖ ቀݖ minus minusቁ൰ݖ ௭ ݏ )ݐ ((ݖ) (359)
Nous suivons les mecircmes eacutetapes deacutecrites preacuteceacutedemment pour deacuteterminer les commandes du
drone X4 ce qui nous donne
⎩⎪⎪⎪⎨
⎪⎪⎪⎧ ௫ݑ =
௨య൫minusߣ௫൫ݔሶ minus minusሶ൯ݔ ሷݔ + k୧൫x ndash x ൯൯minus ௫ ݏ ൫ݐ ൯(ݔ)
௬ݑ =
௨యቀߣ௬൫ݕሶ minus +ሶ൯ݕ ሷݕ + k୧൫y ndash y ൯ቁndash ௬ ݏ )ݐ (ݕ)
ସݑ = ఏߣ+ߠ ቀߠ ndash +ቁߠ k୧൫ߠ ndashߠ൯+ ఏܭ ݏ ൯(ߠ)ݏ൫ݐ
ହݑ = empty+ߣempty ቀempty minus emptyቁ+ k୧൫empty minus empty ൯+ empty ݏ ൫ݐ (empty)൯
ݑ = +ߣట ቀ minus ቁ+ k୧൫ minus ൯+ kట sat(S())
(360)
351 Reacutesultats de simulations
Nous preacutesentons dans cette partie les reacutesultats du controcircle mode glissant associeacute agrave une
action inteacutegrale pour la commande du X4 avec perturbation Nous traitons dans cette partie
lrsquoexemple de la reacutealisation des connections demi-cercles pour les mouvements z x y Le
gain ki=2 dans notre simulation En conservant les mecircmes coefficients de gain utiliseacutes
preacuteceacutedemment
Les figures (327) (328) (329) et (330) repreacutesentent respectivement la reacutealisation en
3D lrsquoerreur la commande et les angles pour la trajectoire de connexion de type demi-
cercle en preacutesence de la perturbation externe Nous remarquons de ces figures que la
robustesse de la commande est veacuterifieacutee numeacuteriquement En effet avec une telle force de
traineacutee la commande produit des valeurs assez raisonnables assurant le suivi du drone agrave sa
trajectoire de reacutefeacuterence
Chapitre3 COMMANDE PAR MODE GLISSANT ET FLOU-GLISSANT
66
Les figures (331) (332) et (333) montrent la comparaison entre la commande mode
glissant et le mode glissant agrave action inteacutegrale Drsquoapregraves ces figure on voit clairement que la
commande mode glissant agrave action inteacutegrale est la mieux adapteacutee agrave des trajectoires de
connexions de type demi-cercle arcs et heacutelicoiumldale
Figure 327 La trajectoire de reacutefeacuterence et reacuteelle en cas des demi-cercles
Figure 328 Les erreurs pour des connexions demi-cercles
0 5 10 15 20 25 30 35 40-05
0
05
z-e
rreur
(m)
0 5 10 15 20 25 30 35 40-05
0
05
x-e
rreurr
(m)
0 5 10 15 20 25 30 35 40
-05
0
05
y-e
rreur
(m)
temps (s)
02
46
810
1214
0
5
10
150
5
10
15
Deacuteplacement suivant (x)Deacuteplacement suivant (y)
Deacutepla
cem
ent
suiv
ant
(z)
Trajectoire reacuteelle
Trajectoire reacutefeacuterence
Chapitre3 COMMANDE PAR MODE GLISSANT ET FLOU-GLISSANT
67
Figure 329 Les commandes pour des connexions demi-cercles
Figure 330 Les angles pour des connexions demi-cercles
0 5 10 15 20 25 30 35 400
50
u3(N
)
0 5 10 15 20 25 30 35 40-60-40-20
020
u4(N
m)
0 5 10 15 20 25 30 35 40
-50
0
50
u5(N
m)
temps (s)
0 5 10 15 20 25 30 35 40
-05
0
05
1
angle
theta
(rad)
0 5 10 15 20 25 30 35 40
-1
-05
0
05
1
angle
phi(r
ad)
temps (s)
Chapitre3 COMMANDE PAR MODE GLISSANT ET FLOU-GLISSANT
68
Figure 331 La trajectoire de reacutefeacuterence et reacuteelle en cas des demi-cercles
Figure 332 La trajectoire de reacutefeacuterence et reacuteelle en cas des connexions arcs
02
46
810
1214
0
5
10
150
5
10
15
Deacuteplacement suivant (x)Deacuteplacement suivant (y)
Deacutepla
cem
ent
suiv
ant
(z)
Trajectoire reacuteelle PIMG
Trajectoire reacutefeacuterence
Trajectoire reacuteelle MG
02
46
810
1214
0
5
10
150
5
10
15
Deacuteplacement suivant (x)Deacuteplacement suivant (y)
Deacutepla
cem
ent
suiv
ant
(z)
Trajectoire reacuteelle MG
trajectoire reacutefeacuterence
trajectoire reacuteelle PI MG
Chapitre3 COMMANDE PAR MODE GLISSANT ET FLOU-GLISSANT
69
Figure 333 La trajectoire de reacutefeacuterence et reacuteelle en cas heacutelicoiumldale
36 Commande du drone par un controcircleur flou-glissant
Le majeur inconveacutenient du mode de glissement est que la commande discontinue
produit pheacutenomegravene de broutement ou chattering Notons que le broutement peut exciter
des dynamiques hautes freacutequences neacutegligeacutees menant parfois agrave lrsquoinstabiliteacute Afin drsquoeacuteliminer
ou de minimiser ce pheacutenomegravene plusieurs meacutethodes ont eacuteteacute deacuteveloppeacutees [45 60 61 62
63 64 65 66 67 68 69] Dans notre travail nous avons introduit des hybridations entre la
logique flou et le mode glissant afin de reacuteduire le pheacutenomegravene de broutement et drsquoameacuteliorer
drsquoavantage les performances du controcircle du drone Apregraves avoir introduit le principe des
approches proposeacutees nous preacutesentons leurs mises en œuvre pour la commande de notre
quadri-rotors
Dans notre travail nous avons proposeacutes une nouvelle structure des controcircleurs flou-
glissant Dans cette structure un meacutecanisme drsquoinfeacuterence flou est utiliseacute pour geacuteneacuterer et
drsquoune faccedilon douce la composante discontinue de la loi de commande par mode glissant
(SMC) La figure (334) montre le scheacutema bloc de la strateacutegie de control proposeacute [70 71]
-3-2
-10
12
3
-3-2
-10
12
30
10
20
30
40
Deacuteplacement suivant (x)Deacuteplacement suivant (y)
Deacutepla
cem
ent
suiv
ant
(z)
Trajectoire reacuteelle MG
Trajectoire reacutefeacuterence
Trajectoire reacuteelle PIMG
Chapitre3 COMMANDE PAR MODE GLISSANT ET FLOU-GLISSANT
70
Figure 334 Controcircleur par mode glissant flou
Dans le controcircleur flou-glissant proposeacute la surface (s) preacutesente lrsquoentreacutee des implications
des bases de regravegles
Puisque les donneacutees manipuleacutees dans le meacutecanisme agrave infeacuterence flou sont baseacutees sur la
theacuteorie des sous ensemble flous [70 71] les ensembles flous associeacutes utiliseacutes dans la
geacuteneacuteration de la base de regravegle sont deacutefinies comme
Si S est GN Alors un est TGSi S est NP Alors un est GSi S est JZ Alors un est MNSi S est PP Alors un est PSi S est GP Alors un est TP
Avec GN MN JZ MP et GP sont les termes linguistiques de la variable drsquoentreacutee s
deacutefinies respectivement par Grand Neacutegative Moyen Negative Just Zero Moyen
Positive et Grand Positive
Et pour la variable de sortie un les termes linguistiques TG G MN P TP sont deacutefinis
respectivement par Tregraves Grand Grand Moyen Petit Tregraves Petit
Les fonctions drsquoappartenances associeacutees agrave ses variables drsquoentreacutee et de sortie sont
preacutesenteacutees dans les figures suivantes
Chapitre3 COMMANDE PAR MODE GLISSANT ET FLOU
Figure 335
Figure 3
361 Reacutesultats de simulations
Nous preacutesentons dans cette partie les reacutesultats du controcircle flou
du drone X4 en preacutesence de perturbation
sont ke= 10 et ks = 10
preacuteceacutedemment
Les figures (337) (338) et
demi-cercle les signaux de commandes et des erreurs Nous constatons que la trajectoire
parcourue par le drone suit la
Tregraves
-3k2
COMMANDE PAR MODE GLISSANT ET FLOU
71
35 Fonction dappartenance de lentreacutee S
336 Fonction dappartenance de la sortie u
1 Reacutesultats de simulations
Nous preacutesentons dans cette partie les reacutesultats du controcircle flou-glissant pour la commande
en preacutesence de perturbation Les gains drsquoentreacutee et de sortie du controcircleur flou
= 10 En conservant les mecircmes coefficients de gain utiliseacutes
et (339) illustrent respectivement la reacutealisation des connexions
cercle les signaux de commandes et des erreurs Nous constatons que la trajectoire
parcourue par le drone suit la trajectoire deacutesireacutee avec des erreurs de tregraves faibles valeurs
Tregraves petit Petit Moyenne Grand Tregraves Grand
k2-k2-k k00
COMMANDE PAR MODE GLISSANT ET FLOU-GLISSANT
S(t)
un
glissant pour la commande
et de sortie du controcircleur flou
En conservant les mecircmes coefficients de gain utiliseacutes
la reacutealisation des connexions
cercle les signaux de commandes et des erreurs Nous constatons que la trajectoire
avec des erreurs de tregraves faibles valeurs
Tregraves Grand
3k2
Chapitre3 COMMANDE PAR MODE GLISSANT ET FLOU-GLISSANT
72
La figure (340) preacutesente lrsquoeacutevolution des angles de tangage et de roulis nous observons que
ces angles se manifestent que lors drsquoun mouvement effectueacute respectivement suivant les
axes ݔ et ݕ
La figure (341) preacutesente lrsquoeacutevolution des forces des quatre moteurs on remarque que ces
forces ne deacutepassent pas les limites physiques des actionneurs et la somme de ces forces
satisfait la condition drsquoeacutequilibre apregraves que le drone effectue ses mouvements deacutesireacutes
Figure 337 La trajectoire de reacutefeacuterence et reacuteelle en cas des demi-cercles
-20
24
68
1012
14
-5
0
5
10
150
5
10
15
Deacuteplacement suivant (x)Deacuteplacement suivant (y)
Deacutepla
cem
ent
suiv
ant
(z) Trajectoire reacuteelle
Trajectoire reacutefeacuterence
Chapitre3 COMMANDE PAR MODE GLISSANT ET FLOU-GLISSANT
73
Figure 338 Les commandes pour des connexions demi-cercles
Figure 339 les erreurs pour des connexions demi-cercles
0 5 10 15 20 25 30 35 400
20
40
u3(N
)
0 5 10 15 20 25 30 35 40-40
-20
0
20
40
u4(N
m)
0 5 10 15 20 25 30 35 40-40
-20
0
20
40
u5(N
m)
temps (s)
0 5 10 15 20 25 30 35 40-05
0
05
z-e
rreur
(m)
0 5 10 15 20 25 30 35 40-05
0
05
x-e
rreurr
(m)
0 5 10 15 20 25 30 35 40
-05
0
05
y-e
rreur
(m)
temps (s)
Chapitre3 COMMANDE PAR MODE GLISSANT ET FLOU-GLISSANT
74
0 5 10 15 20 25 30 35 40
-05
0
05
1
angle
theta
(rad)
0 5 10 15 20 25 30 35 40
-1
-05
0
05
1
angle
phi(r
ad)
temps (s)
Figure 340 les angles pour des connexions demi-cercles
Figure 341 Les forces pour des connexions demi-cercles
0 5 10 15 20 25 30 35 4005
1015
F1
(N)
0 5 10 15 20 25 30 35 4005
1015
F2
(N)
0 5 10 15 20 25 30 35 4005
1015
F3
(N)
0 5 10 15 20 25 30 35 4005
1015
F4
(N)
temps (s)
Chapitre3 COMMANDE PAR MODE GLISSANT ET FLOU-GLISSANT
75
37 Conclusion
Dans ce chapitre nous avons preacutesenteacute le principe de la commande par mode de
glissement appliqueacute sur un drone agrave quatre heacutelices La commande par mode glissant
(approche non lineacuteaire) consiste agrave choisir le nombre et la forme de surface de glissement
neacutecessaire pour la deacutetermination de la loi de commande Le pheacutenomegravene de chattering qui
caracteacuterise cette commande a eacuteteacute reacuteduit par lrsquoadoucissement de la fonction de commande
Afin drsquoameacuteliorer les performances statiques nous avons proposeacute une approche appeleacutee
mode glissant agrave action inteacutegral pour eacuteliminer lrsquoerreur en preacutesence des perturbations Pour
ameacuteliorer drsquoavantage les performances de la commande SMC nous avons proposeacute une
approche drsquohybridation entre le mode glissant et la logique floue La structure du
controcircleur flou-glissant heacuterite la proprieacuteteacute drsquointerpolation du controcircle de la logique floue
et la robustesse du controcircle par mode glissement Cette approche est baseacutee sur lrsquoutilisation
drsquoun systegraveme agrave une infeacuterence floue qui geacutenegravere la commande discontinueacutee de la loi de
commande par mode de glissement agrave action inteacutegrale Par conseacutequent il le rend robuste
pour le temps de control de plus le controcircleur flou reacuteduit le pheacutenomegravene de broutement
(chattering)
Chapitre4 COMMANDE ROBUST PAR LA THECHNIQUE DU BACKTEPPING
74
Chapitre 4
COMMANDE NON LINEAIRE PAR BACKSTEPPING
Chapitre4 COMMANDE ROBUST PAR LA THECHNIQUE DU BACKTEPPING
75
4 COMMANDE ROBUSTE PAR LA THECHNIQUE DU BACKSTEPPING
41 Introduction
La theacuteorie de Lyapunov est un outil tregraves important dans la theacuteorie de controcircle des
systegravemes non lineacuteaires Cependant son utilisation est souvent entraveacutee par les difficulteacutes
de trouver une fonction de Lyapunov pour un systegraveme donneacute Si elle est trouveacutee le
systegraveme est connu pour ecirctre stable mais la tache de trouver une telle fonction est souvent
laisseacutee agrave lrsquoimagination et agrave lrsquoexpeacuterience du concepteur La technique du Backstepping est
une meacutethode systeacutematique pour la conception du controcircle non lineacuteaire qui peut ecirctre
appliqueacutee agrave une grande classe de systegravemes Le nom backstepping se reacutefegravere agrave la nature
reacutecursive de la proceacutedure de synthegravese Dans un premier temps seul un sous-systegraveme du
systegraveme original est consideacutereacute pour lequel une loi de controcircle fictive est construite Puis la
conception est eacutetendue en plusieurs eacutetapes jusquagrave lrsquoobtention drsquoune loi de controcircle pour le
systegraveme tout en entier Avec la loi de commande une fonction de Lyapunov pour le
systegraveme controcircleacute est progressivement construite
La technique du backstepping a connu un regain drsquoattention gracircce aux travaux de
Kokotovic qui a fourni un cadre matheacutematique pour la conception de lois de controcircle pour
diffeacuterents systegravemes non lineacuteaires en utilisant la cette technique [72] Durant les anneacutees
suivantes des manuscrits ont eacuteteacute eacutediteacutes par Krstic et autres [73 74 75]
Nous utiliserons cette technique du backstepping pour deacutevelopper des lois de controcircle pour
le controcircle des mouvements selon les axes z ndash x ndash y ainsi qursquoune eacutetude de robustesse
42 Historique et domaines drsquoapplication du backstepping
Lrsquoideacutee de base du backstepping est de laisser certains eacutetats du systegraveme agir en tant
qursquoentreacutees virtuelles La mecircme ideacutee est utiliseacutee dans la conception de controcircle en cascade
et eacutegalement dans la theacuteorie de la perturbation singuliegravere [76] Le backstepping qui utilise
une forme du systegraveme en chaicircne drsquointeacutegrateurs apregraves une transformation de coordonneacutees
drsquoun systegraveme triangulaire et en se basant sur la meacutethode directe de Lyapunov (Annexe A)
A partir de lagrave il est possible de concevoir systeacutematiquement et de maniegravere reacutecursive des
Chapitre4 COMMANDE ROBUST PAR LA THECHNIQUE DU BACKTEPPING
76
controcircleurs et les fonctions de Lyapunov correspondantes Bien que la technique du
backstepping ait une histoire plutocirct courte mais rien nrsquoempecircche quand-mecircme de trouver de
nombreuses applications pratiques dans la litteacuterature On en donne ici un court aperccedilu
Elle est appliqueacutee dans les systegravemes eacutelectriques par exemple dans [77] ou a eacuteteacute
proposeacutee une commande en temps reacuteel de la vitesse drsquoun moteur synchrone agrave aimant
permanent par la technique du backestepping adaptative non lineacuteaire On peut maintenant
la retrouver dans une grande varieacuteteacute de controcircle de moteurs eacutelectriques [78 79 80] On
trouve eacutegalement des travaux dans lrsquoaeacuteronautique qui correspond au controcircle drsquoun
heacutelicoptegravere miniature Dans [28] une loi de commande adaptative utilisant les techniques
reacutecursives et robustes du backstepping a eacuteteacute proposeacutee Altug dans [25 26 27] a proposeacute un
controcircle stabilisant en utilisant lrsquoasservissement visuel Ainsi cette technique a eacuteteacute
proposeacutee pour la commande drsquoautomobile [81]
43 Conception de la commande par backstepping
La commande par backstepping ne doit pas ecirctre vue comme un proceacutedeacute rigide mais
plutocirct comme une philosophie de conception qui peut ecirctre plieacutee et tordue pour satisfaire les
besoins speacutecifiques du systegraveme agrave commander Nous pouvons exploiter la flexibiliteacute du
backstepping en ce qui concerne le choix des commandes virtuelles des fonctions
stabilisantes initiales et des fonctions de Lyapunov Nous avons effectueacute une eacutetude de
stabiliteacute en se basant sur la commande backstepping et en utilisant la fonction de
Lyapunov
431 Algorithme de base pour la meacutethode du backstepping
En utilisant lrsquoapproche backstepping comme un algorithme reacutecursif pour la
synthegravese de lois de commande On considegravere le cas des systegravemes non lineacuteaires drsquoordre deux
de la forme
x=f(x)+g(x)u (41)
X est lrsquoeacutetat du systegraveme X isin realn
u Lrsquoentreacutee de commande u isin real
Supposons que le systegraveme (41) peut apregraves une transformation ecirctre mis sous la forme
chaineacutee comme suit
x1 = fଵ(xଵ) + gଵ (xଵ) xଶ (42)
x2= fଶ(xଶ) + gଶ (xଶ) u (43)
Chapitre4 COMMANDE ROBUST PAR LA THECHNIQUE DU BACKTEPPING
77
On deacutesire faire suivre agrave la sortie y = xଵ la trajectoire yr Cette trajectoire est supposeacutee
connue et uniformeacutement borneacutee et puisque le systegraveme et du deuxiegraveme ordre alors le design
srsquoeffectue en deux eacutetapes [82]
Premiegravere eacutetape
On considegravere drsquoabord lrsquoeacutequation (42) ou la variable drsquoeacutetat xଶ est traiteacutee comme une
commande virtuelle et lrsquoon deacutefinit la premiegravere valeur de reacutefeacuterence
xଵ = y (44)
La premiegravere variable drsquoerreur se deacutefinit par
eଵ = xଵ minus xଵ (45)
ሶଵ= ሶଵݔ minus ሶଵݔ (46)
On utilisant lrsquoeacutequation (42) le systegraveme drsquoeacutequation (46) srsquoeacutecrit
e1 = ଵ(ݔଵ) + gଵ (ଵݔ) ଶݔ minus ሶଵݔ (47)
Pour un tel systegraveme il agrave eacuteteacute montreacute que la fonction candidate constitue un bon choix de la
fonction de Lyapunov
ଵ( ଵ) =ଵ
ଶ ଵଶ (48)
Sa deacuteriveacutee est donneacutee par
Vଵ(eଵ) = eଵ eଵ = eଵ [ ଵ(ݔଵ) + gଵ(ݔଵ) ଶݔ minus [ሶଵݔ (49)
Un choix judicieux xଶ rendrait Vଵ(eଵ) neacutegative et assurerait la stabiliteacute de lrsquoorigine du sous
systegraveme deacutecrit par lrsquoeacutequation (42)
Prenons comme valeur de ଶݔ la fonction aଵ telle que
ଵ(ݔଵ) + gଵ(ݔଵ) ଵ minus =ሶଵݔ minus kଵeଵ (410)
Ougrave kଵ gt 0 est un paramegravetre de design
xଶ= aଵ=ଵ
భ(୶భ)[minus kଵeଵ + xଵminus fଵ(xଵ)] (411)
et la deacuteriveacutee srsquoeacutecrit
ଵ( ଵ) = minus ଵ ଵଶ le 0 (412)
Drsquoougrave la stabiliteacute asymptotique de lrsquoorigine de lrsquoeacutequation (45)
Deuxiegraveme eacutetape
On considegravere le sous-systegraveme drsquoeacutequation (43) et lrsquoon deacutefinit la nouvelle variable
drsquoerreur
eଶ = xଶ minus aଵ (413)
Chapitre4 COMMANDE ROBUST PAR LA THECHNIQUE DU BACKTEPPING
78
Cette eacutequation repreacutesente lrsquoeacutecart entre la variable drsquoeacutetat xଶ et sa valeur deacutesireacutee aଵ lrsquoerreur
ଶ nrsquoest pas instantaneacutement nulle Le design dans cette eacutetape consiste alors agrave la forcer agrave
srsquoannuler
Les eacutequations du systegraveme agrave commander dans lrsquoespace (eଵ eଶ) srsquoeacutecrivent
ሶଵ = ଵ(ݔଵ) + ଵ ( ଶ + ଵ) minus ሶଵݔ (414)
ሶଶ = ଶ(ݔଶ) + ଶ minusݑ ሶଵ (415)
On agrave choisit comme fonction de Lyapunov
ଶ( ଵ ଶ) = ଵ( ଵ) +ଵ
ଶ ଶଶ (416)
Sa deacuteriveacutee
2( ଵ ଶ) =ଵ + ଶ ሶଶ= ଵ ሶଵ + ଶ ሶଶ (417)
2( ଵ ଶ) = ଵ [ ଵ(ݔଵ) + ଵ ( ଶ+ ଵ) [ሶଵݔ + ଶ [ ଶ(ݔଶ) + ଶ minusݑ ሶଵ] (418)
2( ଵ ଶ) = ଵ [ ଵ(ݔଵ) + ଵ ଶ+ ଵ ଵ minus ሶଵݔ ] + ଶ [ ଶ(ݔଶ) + ଶ minusݑ ሶଵ] (419)
2( ଵ ଶ) = minus ଵ ଵଶ + ଶ [ ଶ(ݔଶ) + ଶ ݑ + ଵ ଵminus ሶଵ] (420)
Pour garantir la stabiliteacute il faut que lrsquoeacutequation suivante soit eacutegale agrave minus kଶeଶ avec kଶ gt0
ଶ(ݔଶ) + ଶ ݑ + ଵ ଵminus ሶଵ= minus ଶ ଶ (421)
La commande est
ݑ =ଵ
మ[minus ଶ ଶ+ ሶଵ minus ଵ ଵ minus ଶ(ݔଶ)] (422)
Avec le choix de ଶ on agrave
2( ଵ ଶ) = minus ଵ ଵଶ minus ଶ ଶ
ଶ (423)
On a garantie la stabiliteacute asymptotique du systegraveme
44 Stabilisation du drone X4 par la meacutethode du backstepping
Nous proposons drsquoappliquer la technique de backstepping pour le controcircle drsquoun drone
de type X4 dont la dynamique du modegravele a eacuteteacute deacutetermineacutee dans le chapitre 2
La strateacutegie de controcircle adopteacute est reacutesumeacutee en deux sous-systegravemes le premier est lieacute au
controcircle de la translation et le deuxiegraveme est lieacute au controcircle de la rotation comme il est
exposeacute sous le scheacutema synoptique suivant [83]
Chapitre4 COMMANDE ROBUST PAR LA THECHNIQUE DU BACKTEPPING
79
Figure 41 Scheacutema bloc de commande du drone par backstepping
Le systegraveme 243 peut ecirctre reacuteeacutecrit dans lrsquoespace drsquoeacutetat sous la forme = ()
Avec U vecteur drsquoentreacute et X vecteur drsquoeacutetat
Tel que
X = hellipଵݔ] hellip [ଵଶݔ T = [ ݖ ݔሶݖ ݕሶݔ ሶݕ θ θ empty empty ψ ψ ] T isin real12
X = f (X U) =
⎝
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎛
ଶݔଵ
emptyݏ ଷݑߠݏ minus
ସݔ
minusଵ
ଷݑ௫ݑݔ
ଵ
௬ݑ ଷݑݔସݑଵݔହݑଵଶݔݑ ⎠
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎞
(424)
441 Commande du systegraveme de translation lineacuteaire
4411 Controcircle de lrsquoaltitude
On commande le mouvement selon lrsquoaxe z en utilisant la technique du backstepping le
modegravele en y est donneacute par
ߠ
X4-FlyerModelReacutefeacuterence
BacksteppingControcircle
BacksteppingControcircle
ݖݕݔ
ଷݑ
ହݑସݑ ݑ௬ݑ௫ݑ
ݖݕݔ
Chapitre4 COMMANDE ROBUST PAR LA THECHNIQUE DU BACKTEPPING
80
=ሷݖ emptyݏ ଷݑߠݏ minus (425)
La commande par backstepping du vol vertical est deacuteveloppeacutee ci-dessous
Premiegravere eacutetape
Initialement nous consideacuterons lrsquoobjectif de poursuite de lrsquoaltitude z vers sa trajectoire
deacutesireacutee On deacutefinit pour cela une erreur de poursuite
e௭ଵ = ݖ minus ݖ (426)Sa deacuteriveacutee srsquoeacutecrit
ሶ௭ଵ = ሶݖ minus ሶݖ (427)
Le but eacutetant donc de faire tendre cette erreur vers zeacutero Pour ce faire on considegravere une
fonction de Lyapunov quadratique en eଵ
V (e௭ଵ) =ଵ
ଶe௭ଵଶ (428)
La deacuteriveacutee de la fonction de Lyapunov srsquoeacutecrit
( ௭ଵ) = ௭ଵ ሶ௭ଵ= ௭ଵ ሶݖ) minus (ሶݖ (429)
La convergence de e௭ଵ vers zeacutero est obtenue en assurant que V(e௭ଵ) est neacutegative Etant
donneacute que lrsquoentreacutee de commande nrsquoapparait pas encore dans lrsquoexpression de V(e௭ଵ) on
deacutefinit une entreacutee fictive ayant pour forme
ଶݔ = ሶݖ + k௭ଵe௭ଵ (430)
Ougrave ௭ଵ est une constante positive
Cette commande assure
( ௭ଵ)= minus ௭ଵ ௭ଵଶ le0 (431)
Deuxiegraveme eacutetape
La deuxiegraveme eacutetape consiste agrave redeacutefinir une autre erreur agrave compenser
e௭ଶ= minus ሶݖ ሶrefݖ minus k௭ଵe௭ଵ (432)
Sa deacuteriveacutee srsquoeacutecrit comme suit
e௭ଶ= minus ሷݖ ሷrefݖ minus k௭ଵe௭ଵ (433)
Chapitre4 COMMANDE ROBUST PAR LA THECHNIQUE DU BACKTEPPING
81
Afin drsquoeacuteliminer cette erreur la fonction candidate de Lyapunov V( ௭ଵ) preacuteceacutedente de
lrsquoeacutequation (428) est augmenteacutee drsquoun autre terme qui va prendre en charge la nouvelle
erreur qui a eacuteteacute introduite preacuteceacutedemment
V ( ௭ଵ ௭ଶ) =ଵ
ଶ( ௭ଵଶ
+ ௭ଶଶ ) (434)
Ainsi que sa deacuteriveacutee
( ௭ଵ ௭ଶ) = ௭ଵ ሶ௭ଵ+ ௭ଶ ሶ௭ଶ (435)
( ௭ଵ ௭ଶ) = ௭ଵ (minus ௭ଵ ௭ଵ minus ௭ଶ) + ௭ଶ minus ሷݖ) ሷݖ minus ௭ଵ ሶ௭ଵ) (436)
( ௭ଵ ௭ଶ) =minus ௭ଵ ௭ଶ minus ௭ଵ ௭ଵଶ + ௭ଶ minus ሷݖ) ሷݖ minus ௭ଵ(minus ௭ଵ ௭ଵ minus ௭ଶ)) (437)
( ௭ଵ ௭ଶ) = minus ௭ଵ ௭ଵଶ + ௭ଶ [
ଵ
minusݑߠݏܥemptyݏܥ minus ሷݖ minus ௭ଵ(minus ௭ଵ ௭ଵ minus ௭ଶ)minus ௭ଵ)]
(438)
La proceacutedure de la meacutethode du backstepping srsquoarrecircte jusqursquoagrave lrsquoapparition de la commandeu3
Afin de satisfaire la condition de Lyaponov (V(eଵ eଶ) le 0 ) on pose
௦empty௦ఏ
minus ₃ݑ minus minusሷݖ k௭ଵ(minus k௭ଵe௭ଵ minus e௭ଶ)minus e௭ଵ) = minus k௭ଶe௭ଶ (439)
Ce qui nous donne la loi de commande suivant lrsquoaxe z
= ₃ݑ
௦empty௦ఏሷݖ) + + (1 minus ௭ଵ
ଶ ) ଵ minus ( ௭ଵ + ௭ଶ) ௭ଶ) (440)
Ougrave k௭ଶ est une constante positive
De telle sorte ( ௭ଵ ௭ଶ) = minus ௭ଵ ௭ଵ
ଶ minus ௭ଶ ௭ଶଶ le 0 (441)
Ce qui nous assure la stabiliteacute du mouvement suivant lrsquoaxe z
44 12 Controcircle de deacuteplacement lineacuteaire suivant les axes et y
A partir du modegravele du drone le systegraveme dynamique des mouvements horizontales est deacutefini
par
൜ =ሷݔ ଷݑ௫ݑminus=ሷݕ ଷݑ௬ݑ
(442)
Avec ex1 et ey1 sont les erreurs de positions sont deacutefinis par
ቄ௫ଵ = ݔ minus ݔ
௬ଵ = ݕ minus ݕ (443)
Chapitre4 COMMANDE ROBUST PAR LA THECHNIQUE DU BACKTEPPING
82
Les erreurs des vitesses lineacuteaires des positions x et y sont deacutefinies par
൜௫ଶ = minusሶݔ ሶݔ minus ௫ଵ ௫ଵ
௬ଶ = minusሶݕ ሶݕ minus ௬ଵ ௬ଵ
(444)
Les mecircmes eacutetapes sont utiliseacutees pour deacuteterminer les commandes de positions ௫ݑ et ௬ݑ qui
sont donneacutees par
௫ݑ =
௨యሷݔ) + (1 minus ௫ଵ
ଶ ) ௫ଵ minus ( ௫ଵ + ௫ଶ) ௫ଶ) (445)
௬ݑ =
௨యሷݕ) + ൫1 minus ௬ଵ
ଶ ൯ ௬ଵ minus ( ௬ଵ + ௬ଶ) ௬ଶ) (446)
Avec ( ௫ଵ ௫ଶ ௬ଵ ௬ଶ)gt0
442 Commande par backstepping du systegraveme de rotation
4421 Commande de lrsquoangle de roulis
Dans cette section on veut eacutetablir une commande par backstepping qui assure lrsquoorientation
du drone par lrsquoangle empty (roulis)
Premiegravere eacutetape
Premiegraverement on doit avoir une sortie qui suit une trajectoire deacutesireacutee emptyref en introduisant
lrsquoerreur de la position angulaire (lrsquoangle de roulis)
eemptyଵ= emptyref minus empty (447)Sa deacuteriveacutee srsquoeacutecrit
eemptyଵ= empty minus empty (448)
Ougrave les deux eacutequations (447) (448) sont associeacutees agrave la fonction de Lyapunov suivante
V (eemptyଵ) =ଵ
ଶeempty1
2 (449)
La deacuteriveacutee de la fonction de Lyapunov srsquoeacutecrit
V(eemptyଵ) = eemptyଵ eemptyଵ= eemptyଵ (emptyref (ଵݔminus (450)
Lrsquoeacutetat ଵݔ est ensuite utiliseacute comme commande intermeacutediaire afin de garantir la stabiliteacute
de lrsquoeacutequation (447) On deacutefinit pour cela une commande virtuelle
ଵݔ = emptyref + emptyଵ emptyଵ avec emptyଵ gt0 (451)
ሶଵݔ = emptyref + emptyଵ ሶemptyଵ (452)
Agrave partir des eacutequations (450) et (451) on obtient
( emptyଵ) = minus emptyଵ emptyଵଶ (453)
Chapitre4 COMMANDE ROBUST PAR LA THECHNIQUE DU BACKTEPPING
83
Deuxiegraveme eacutetape
Agrave cette eacutetape une nouvelle erreur engendreacutee
eemptyଶ= empty minus empty minus kemptyଵeemptyଵ (454)
Sa deacuteriveacutee srsquoeacutecrit comme suit
eemptyଶ = empty minus emptyrefminus kemptyଵ eemptyଵ (455)
Afin drsquoeacuteliminer cette erreur la fonction candidate de Lyapunov (eemptyଵ) preacuteceacutedente de
lrsquoeacutequation (449) est augmenteacutee drsquoun autre terme qui va prendre en charge la nouvelle
erreur qui a eacuteteacute introduite preacuteceacutedemment
V (eemptyଵeemptyଶ) =ଵ
ଶ(eemptyଵଶ + eemptyଶ
ଶ ) (456)
Ainsi que sa deacuteriveacutee
V(eemptyଵ eemptyଶ) = eemptyଵ (minuskemptyଵ eemptyଵ minus eemptyଶ) + eemptyଶ (empty minus emptyref ndash kemptyଵ eemptyଵ) (457)
V(eemptyଵ eemptyଶ) = minus eemptyଵ eemptyଶ minus kemptyଵ eemptyଵଶ + eemptyଶ (empty minus emptyref minuskemptyଵ (minuskemptyଵe୴ଵ minus eemptyଶ)) (458)
V(eemptyଵ eemptyଶ) = minus kemptyଵ eemptyଵଶ + eemptyଶ ହݑ] minus emptyref minus kemptyଵ (minuskemptyଵeemptyଵ minus eemptyଶ) minuseemptyଵ] (459)
Afin de satisfaire la condition de Lyapunov (V(eemptyଵ eemptyଶ) le 0 ) on pose
ହݑ minus emptyref minus kemptyଵ (minuskemptyଵeemptyଵ minus eemptyଶ) minuseemptyଵ= minuskemptyଶ eemptyଶ (460)
Drsquoougrave lrsquoexpression de la commande du roulis est donneacutee par
ହݑ = emptyref + emptyଵ (1 minus emptyଵଶ ) minus emptyଶ ( emptyଵ + emptyଶ) (461)
Avec kemptyଵ kemptyଶ sont des constantes positives de design lesquelles deacuteterminent la
dynamique de la boucle fermeacutee
4421 Commande des angles de tangage et de lacet
Nous suivons les mecircmes eacutetapes deacutecrites preacuteceacutedemment pour deacuteterminer les commande de
tangage et de lacet ce qui nous donne [84 85]
ସݑ = +ߠ ఏଵ൫1 minus ఏଵଶ ൯minus ఏଶ( ఏଵ + ఏଶ) (462)
ݑ = + టଵ൫1 minus టଵଶ ൯minus టଶ( టଵ + టଶ ) (463)
Avec ( ఏଵ ఏଶ టଵ టଶ) gt0
Chapitre4 COMMANDE ROBUST PAR LA THECHNIQUE DU BACKTEPPING
84
45 Reacutesultats de simulations
Les performances sont eacutevalueacutees par le biais drsquoune simulation numeacuterique dans les mecircmes
conditions de fonctionnement preacutesenteacutes dans le chapitre preacuteceacutedent
Les paramegravetres des coefficients du polynocircme de Hurwitz du controcircleur sont choisis par
௭ଵ =8 ௭ଶ = 5 ௫ଵ = 5 ௫ଶ = 5 ௬ଵ = 4 ௬ଶ = 2 kemptyଵ = 55 kemptyଶ = 2 ఏଵ = 75
ఏଶ = 10 టଵ = 2 టଶ = 4
Figure 42 La trajectoire de reacutefeacuterence et reacuteelle en cas des connexions cercles
0
10
20
30
-5
0
5
100
5
10
15
20
25
30
Deacuteplacement suivant (x)Deacuteplacement suivant (y)
Deacutepla
cem
entsuiv
ant(z
)
Trajectoire reacuteelle
Trajectoire reacutefeacuterence
Chapitre4 COMMANDE ROBUST PAR LA THECHNIQUE DU BACKTEPPING
85
Figure 43 Les commandes u3 u4 u5 des connexions cercle
Figure 44 Les erreurs de deacuteplacement en cas des connections cercle
0 10 20 30 40 50 60 70 80 9010
20
30
u3(N
)
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90-5
0
5
u4(N
m)
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90-5
0
5
u5(N
m)
temps (s)
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90-004
-002
0
002
004
z-e
rreur(m
)
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90-002
0
002
x-e
rreur(m
)
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90-002
0
002
y-e
rreur(m
)
temps (s)
Chapitre4 COMMANDE ROBUST PAR LA THECHNIQUE DU BACKTEPPING
86
Figure 45 Les angles de tangage et de roulis en cas des connections cercle
Figure 46 Les forces en cas des connections cercle
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90
-05
0
05angle
theta
(rad)
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90
-05
0
05
angle
phi(rad)
temp (s)
0 10 20 30 40 50 60 70 80 900
5
F1
(N)
0 10 20 30 40 50 60 70 80 900
5
F2
(N)
0 10 20 30 40 50 60 70 80 900
5
F3
(N)
0 10 20 30 40 50 60 70 80 900
5
F4
(N)
temps (s)
Chapitre4 COMMANDE ROBUST PAR LA THECHNIQUE DU BACKTEPPING
87
La figure (43) qui repreacutesente les signaux de commandes u3 u4 et u5 deacutemontrent que la
condition de lrsquoeacutetat drsquoeacutequilibre et toujours veacuterifieacutee apregraves avoir effectueacute une manœuvre (u3 =
mg et u4 = u5 =0)
La figure (44) montre que lrsquoerreur suivant les trois directions converge vers zeacutero Cela
prouve que la trajectoire parcourue par le drone suit la trajectoire souhaiteacutee (figure (42))
avec des erreurs de tregraves faibles valeurs
Dans la figure (45) on voit que les angles de tangage ߠ et de roulis empty se manifestent lors
dun mouvement effectueacute respectivement suivant laxe de mouvement x et y en tendant vers
la valeur zeacutero drsquoeacutequilibre apregraves avoir effectuer le mouvement drsquoavancement
Pour que le drone retrouve sa stabiliteacute autour de la trajectoire de reacutefeacuterence nous constatons
que les commandes u4 et u5 produisent des forces corrigeant respectivement les erreurs du
suivi des angles ߠ et empty agrave leurs trajectoires de reacutefeacuterence nulles figure (43)
Dans la figure (46) nous remarquons que les quatre commandes ne deacutepassent pas les
limites physiques des rotors du drone et la somme de ces forces satisfirent la condition
drsquoeacutequilibre
451 Etude de robustesse
Dans cette partie nous testons numeacuteriquement la robustesse de commande retrouveacutee pour
assurer le suivi de trajectoire face agrave des perturbations dynamiques dues agrave linfluence du
vent suivant les diffeacuterents axes du mouvement
En geacuteneacuteral en mouvement aeacuterien le vent geacutenegravere une force de reacutesistance ou de traicircneacutee
sopposant au mouvement Dans le cas du drone le travail de cette force entraine une
consommation suppleacutementaire deacutenergie au niveau des actionneurs qui affaiblit ses
capaciteacutes en vol Les valeurs des forces reacutesistances sont (Ax = Ay = Az = 65 N)
Chapitre4 COMMANDE ROBUST PAR LA THECHNIQUE DU BACKTEPPING
88
Figure 47 La trajectoire de reacutefeacuterence et reacuteelle en preacutesence de perturbation
Figure 48 Les commandes en preacutesence de perturbation
05
1015
2025
30
-4-2
02
46
80
5
10
15
20
25
30
Deacuteplacement suivant (x)Deacuteplacement suivant (y)
Deacutepla
cem
ent
suiv
ant
(z)
Trajectoire reacuteelle
Trajectoire reacutefeacuterence
0 10 20 30 40 50 60 70 80 900
20
40
u3(N
)
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90-20
-10
0
10
u4(N
m)
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90-10
0
10
20
u5(N
m)
temps (s)
Chapitre4 COMMANDE ROBUST PAR LA THECHNIQUE DU BACKTEPPING
89
Figure 49 Les erreurs en preacutesence de perturbations
Figure 410 Les angles de tangage et de roulis en preacutesence de perturbation
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90
0
02
04z-e
rreur
(m)
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90
0
02
04
x-e
rreurr
(m)
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90
0
02
04
y-e
rreur
(m)
temps (s)
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90
-05
0
05
1
angle
theta
(rad)
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90
-1
-05
0
05
1
angle
phi(r
ad)
temps (s)
Chapitre4 COMMANDE ROBUST PAR LA THECHNIQUE DU BACKTEPPING
90
En preacutesence de force de reacutesistance nous remarquons que la robustesse de la commande
nrsquoest pas veacuterifieacutee En effet avec une telle force de reacutesistance le drone suit sa trajectoire de
reacutefeacuterence avec des erreurs comme le montrent les figures preacuteceacutedentes Ces erreurs peuvent
ecirctre importantes avec lrsquoaugmentation de la force de traineacutee
Il est clair que la structure du controcircleur geacuteneacutereacute par la version classique du backstepping
est composeacutee drsquoune action proportionnelle agrave laquelle est ajouteacutee action deacuteriveacutee sur les
erreurs Une telle structure rend le systegraveme sensible aux bruits et aux perturbations
externes des erreurs statiques non nulles persistent cet inconveacutenient srsquoexplique par
lrsquoabsence de la correction de ces perturbations afin drsquoeacuteliminer ces erreurs deux meacutethodes
sont proposeacutees la premiegravere consiste agrave doter les reacutegulateurs obtenus drsquoune action inteacutegrale
Lrsquoideacutee principale de la meacutethode se reacutesume agrave introduire drsquoune maniegravere virtuelle un
inteacutegrateur cette introduction neacutecessite une modification de la proceacutedure de design La
deuxiegraveme meacutethode consiste agrave estimer la perturbation externe (force de traineacutee) agrave lrsquoaide
drsquoun controcircleur adaptatif
46 Backstepping avec action inteacutegrale
Lrsquoabsence drsquointeacutegrateur dans la loi de commande entraicircne une erreur statique constante
non nulle La solution de ce problegraveme est la conception drsquoune nouvelle version du
backstepping doteacutee drsquoune action inteacutegrale (figure 411) Ceci revient agrave introduire des
inteacutegrateurs dans le modegravele du X4 et proceacuteder agrave lrsquoapplication de la meacutethode
conventionnelle de backstepping sur ce nouveau modegravele Lrsquoaction inteacutegrale sera transfeacutereacutee
automatiquement agrave la loi de commande [86]
Figure 411 Le scheacutema bloc du backstepping avec action inteacutegrale
Action inteacutegraleBackstepping
Inteacutegrale Backstepping
Commande robuste appliqueacute au Modegravele du X4
Systegraveme de translation et de rotation
Chapitre4 COMMANDE ROBUST PAR LA THECHNIQUE DU BACKTEPPING
91
461 Commande de lrsquoaltitude
Le modegravele est eacutecrit sous la forme chaineacutee drsquoapregraves lrsquoeacutequation (424)
ሶଵݔ = 2ݔ
ሶଶݔ = =ሷݖଵ
Cߠ Sempty ndashଷݑ (464)
Premiegravere eacutetape
La premiegravere variable drsquoerreur se deacutefinit par
௭ଵ= ݖ minus z (465)
On deacuterivant (465) par rapport au temps on obtient
ሶ௭ଵ=ݖሶ minus =ሶݖ ሶݖ minus ଶݔ (466)
Pour srsquooccuper mieux drsquoincertitudes et de perturbation nous allons ajouter une action
inteacutegrale sur lrsquoerreur de poursuite drsquoaltitude agrave la fonction stabilisante
Si on considegravere que ଶݔ notre commande virtuelle nous proceacutedons agrave eacutetablir une fonction
stabilisante comme suit
ଶݔ = +ሶݖ ௭ଵ ௭ଵ + ଵߣ ଵ (467)
Avec ௭ଵߣଵ sont des constants positifs et ଵ = int e௭ଵ( ) est lrsquointeacutegrale de lrsquoerreur de
poursuite drsquoaltitude
Deuxiegraveme eacutetape
Il nest pas possible dagir directement sur lrsquoeacutetat ଶݔ il est donc peu probable que cet eacutetat
suit exactement cette trajectoire cest pourquoi un autre terme derreur est introduit
eଶ = ଶݔ minus ሶݖ (468)
La deacuteriveacutee de lrsquoeacutequation (468) donne
ሶ௭ଶ ሶଶݔ= minus =ݖ ሷrefݖ + k௭ଵeଵ+ ଵߣ ሶଵ minus ݖ (469)
ሶ௭ଶ = k௭ଵ ሶrefݖ) minus (ሶݖ + ଵe௭ଵߣ minus ݖ ሷݖ+ (470)
Par lrsquoutilisation drsquoeacutequations (467) et (468) nous reacuteeacutecrivons la dynamique drsquoerreur de
poursuite drsquoaltitude comme suit
eଵ= minus ௭ଵ ௭ଵ minus ଵߣ ଵ + e௭ଶ (471)
Par le remplacement de ݖ dans lrsquoeacutequation (470) par son expression correspondante la
commande u3 apparaisse dans lrsquoeacutequation (472)
ሶ௭ଶ= ௭ଵ (minus ௭ଵ ௭ଵ minus ଵߣ ଵ + ௭ଶ) ଵߣ+ ௭ଵ + ሷrefݖ minusଵ
( (ߠ)ݏ ଷݑ()ݏ + ) (472)
Chapitre4 COMMANDE ROBUST PAR LA THECHNIQUE DU BACKTEPPING
92
La dynamique deacutesireacutee de lrsquoerreur de poursuite de vitesse est donneacutee par
e௭ଶ = minus ௭ଶe௭ଶ minus e௭ଵ (473)
La commande finale de ଷݑ est la suivante
ଷݑ =
௦(ఏ)௦(థ )(+ e௭ଵ (1minusk௭ଵ
ଶ (ଵߣ+ + e௭ଶ (k௭ଵ+ k௭ଶ) ሷref minus k௭ଵݖ+ ଵߣ ଵ) (474)
Analyse de la stabiliteacute
Afin de prouver la stabiliteacute la fonction de Lyapunov (e௭ଵ e௭ଶ) est choisie comme suite
( ௭ଵ ௭ଶ) =ଵ
ଶ ௭ଵ
ଶ + ௭ଶଶ + ଵߣ ଵ
ଶ ൧ (475)
En effectuant la deacuteriveacutee de cette fonction et en substituant lrsquoeacutequation (471) et (473) la
relation suivante est trouveacutee
( ௭ଵ ௭ଶ) = minus ௭ଵ ௭ଵଶ minus ௭ଶ ௭ଶ
ଶ le 0 (476)
De cette faccedilon la fonction V(eଵ eଶ) respecterait en tous points les critegraveres de
Lyapunov La loi de commande deacuteduite fait en sorte que ( ௭ଵ ௭ଶ) est toujours positif et
que ( ௭ଵ ௭ଶ) soit toujours neacutegatif peu importe les valeurs que peuvent prendre les
eacutetats
Nous suivant les mecircmes eacutetapes deacutecrites preacuteceacutedemment pour deacuteterminer les commandes du
drone X4 ce qui nous donne [87]
⎩⎪⎪⎪⎨
⎪⎪⎪⎧
௫ݑ =
௨యሷݔ) + (1 minus ௫ଵ
ଶ + (ଶߣ ௫ଵ minus ( ௫ଵ + ௫ଶ) ௫ଶ minus ௫ଵ ଶߣ ଶ)
௬ݑ =
௨యሷݕ) + ൫1 minus ௬ଵ
ଶ + ଷ൯ߣ ௬ଵ minus ( ௬ଵ + ௬ଶ) ௬ଶ minus ௬ଵ ଷߣ ଷ)
ସݑ = +ߠ ఏଵ൫1 ndash ఏଵଶ + minusସ൯ߣ ఏଶ ( ఏଵ + ఏଶ) ndash ఏଵ ସߣ ସ
ହݑ = ݎempty + emptyଵ (1 minus emptyଵଶ + (ହߣ minus emptyଶ ( emptyଵ + emptyଶ) minus emptyଵ ହߣ ହ
ݑ = + టଵ൫1 minus టଵଶ + minus൯ߣ టଶ( టଵ + టଶ) minus టଵ ߣ
(477)
Avec (ߣହߣସߣଷߣଶߣ) sont des constants positifs et ( ଶ ଷ ସ ହ ) sont les inteacutegrales
des erreurs de poursuite de position tangage roulis et lacet respectivement
Chapitre4 COMMANDE ROBUST PAR LA THECHNIQUE DU BACKTEPPING
93
462 Reacutesultats de simulations
Nous preacutesentons dans cette partie les reacutesultats du controcircle Inteacutegrale Backstepping pour la
commande du drone X4 En conservant les mecircmes coefficients de gain utiliseacutes
preacuteceacutedemment
Avec ଵߣ = 5 ଶߣ = 5 ଷߣ = 4 ସߣ = 2 ହߣ = 5 ߣ = 2
Suivi de trajectoire sans perturbations
Les figures 412 413 414 415 et 416 repreacutesentent respectivement la reacutealisation en 3D
la commande lrsquoerreur les angles et les forces pour la trajectoire de connexions de type
demi-cercle Nous remarquons qursquoagrave lrsquoeacutequilibre la commande u3 est toujours veacuterifieacutee (u3
est approximativement eacutegal agrave mg) Ces figures montrent que la tacircche est reacutealiseacutee drsquoune
maniegravere tregraves satisfaisante en respectant les contraintes imposeacutee
Figure 412 La trajectoire de reacutefeacuterence et reacuteelle
0
5
10
15
0
5
10
150
5
10
15
Deacuteplacement suivant (x)Deacuteplacement suivant (y)
Deacutepla
cem
ent
suiv
ant
(z) Trajectoire reacuteel
Trajecoire reacutefeacuterence
Chapitre4 COMMANDE ROBUST PAR LA THECHNIQUE DU BACKTEPPING
94
Figure 413 Les commandes sans preacutesence de perturbation
Figure 414 Les erreurs sans preacutesence de perturbations
0 5 10 15 20 25 30 35 40
10
20
30u3(N
)
0 5 10 15 20 25 30 35 40-40
-20
0
20
u4(N
m)
0 5 10 15 20 25 30 35 40-40
-20
0
20
40
60
u5(N
m)
temps (s)
0 5 10 15 20 25 30 35 40
-2
0
2x 10
-3
z-e
rreur
(m)
0 5 10 15 20 25 30 35 40-4-20246
x 10-3
x-e
rreur
(m)
0 5 10 15 20 25 30 35 40-2
0
2x 10
-3
y-e
rreur
(m)
temps (s)
Chapitre4 COMMANDE ROBUST PAR LA THECHNIQUE DU BACKTEPPING
95
Figure 415 Les angles de tangage et de roulis sans preacutesence de perturbation
Figure 416 Les forces sans preacutesence de perturbation
0 5 10 15 20 25 30 35 40
-05
0
05
1angle
theta
(rad)
0 5 10 15 20 25 30 35 40-1
-05
0
05
1
angle
phi(r
ad)
temps (s)
0 5 10 15 20 25 30 35 400
5
10
F1
(N)
0 5 10 15 20 25 30 35 400
5
10
F2
(N)
0 5 10 15 20 25 30 35 400
5
10
F3
(N)
0 5 10 15 20 25 30 35 400
5
10
F4
(N)
temps (s)
Chapitre4 COMMANDE ROBUST PAR LA THECHNIQUE DU BACKTEPPING
96
Suivi de trajectoire avec perturbations
Dans cette partie nous testons numeacuteriquement la robustesse de commande retrouveacutee pour
assurer le suivi de trajectoire face agrave des perturbations dynamiques dues agrave linfluence du
vent suivant les diffeacuterents axes de mouvement
Figure 417 La trajectoire de reacutefeacuterence et reacuteelle en preacutesence de perturbation
Figure 418 Les erreurs en preacutesence de perturbations
05
1015
2025
30
-5
0
5
100
10
20
30
Deacuteplacement suivant (x)Deacuteplacement suivant (y)
Deacutepla
cem
ent
suiv
ant
(z)
Trajectoire reacuteelle
Trajectoire reacutefeacuterence
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90
0
02
04
z-e
rreur
(m)
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90
0
02
04
x-e
rreurr
(m)
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90
0
02
04
y-e
rreur
(m)
temps (s)
Chapitre4 COMMANDE ROBUST PAR LA THECHNIQUE DU BACKTEPPING
97
Figure 419 Les commandes en preacutesence de perturbations
Figure 420 Les angles de tangage et de roulis en preacutesence de perturbation
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90
-05
0
05
1
angle
theta
(rad)
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90
-1
-05
0
05
1
angle
phi(r
ad)
temps (s)
0 10 20 30 40 50 60 70 80 900
20
40
u3(N
)
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90-20
-10
0
10
u4(N
m)
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90-10
0
10
20
u5(N
m)
temps (s)
Chapitre4 COMMANDE ROBUST PAR LA THECHNIQUE DU BACKTEPPING
98
Figure 421 Les forces en preacutesence de perturbation
Figure 422 La trajectoire de reacutefeacuterence et reacuteelle en preacutesence de perturbation
-3-2
-10
12
3
-3-2
-10
12
30
10
20
30
40
50
Deacuteplacement suivant (x)Deacuteplacement suivant (y)
Deacutepla
cem
ent
suiv
ant
(z)
Trajectoire reacuteelle
Trajectoire reacutefeacuterence
0 10 20 30 40 50 60 70 80 900
5
10
F1
(N)
0 10 20 30 40 50 60 70 80 900
5
10
F2
(N)
0 10 20 30 40 50 60 70 80 900
5
10
F3
(N)
0 10 20 30 40 50 60 70 80 900
5
10
F4
(N)
temps (s)
Chapitre4 COMMANDE ROBUST PAR LA THECHNIQUE DU BACKTEPPING
99
Figure 423 La trajectoire de reacutefeacuterence et reacuteelle en preacutesence de perturbation
Figure 424 Comparaison entre le controcircleur bakstepping et Inteacutegral Backsteppingpour des connexions demi cercle en preacutesence de perturbation
-2-15
-1-05
005
115
-3-2
-10
120
1
2
3
4
5
6
x-displacementy-displacement
z-d
ispla
cem
ent
Trajectoire reacuteelle
Trajectoire reacutefeacuterence
05
1015
2025
30
-5
0
5
100
10
20
30
Deacuteplacement suivant (x)Deacuteplacement suivant (y)
Deacutepla
cem
ent
suiv
ant
(z)
Trajectoire reacuteelle IB
Trajectoire reacutefeacuterence
Trajectoire reacuteelle B
Chapitre4 COMMANDE ROBUST PAR LA THECHNIQUE DU BACKTEPPING
100
Dans les figures (417- 424) nous remarquons que la robustesse de la commande est
veacuterifieacutee numeacuteriquement En effet avec telles forces de reacutesistance la commande produit
des valeurs assez raisonnables assurant le suivi du drone agrave sa trajectoire de reacutefeacuterence avec
des erreurs ne deacutepassant pas 20 cm pour les variables x z et y Pour assurer les virages les
angles de tangage et de roulis varient au cours du suivi de trajectoire
47 Backstepping adaptative
La commande adaptative est une solution ougrave les paramegravetres sont inconnus ougrave
eacutevoluant dans le temps Dans ce cas ces paramegravetres sont estimeacutes par des lois drsquoadaptations
ces derniegraveres nous permettent drsquoapprocher les valeurs reacuteelles du systegraveme rendant ainsi la
commande dynamique deacutependante de lrsquoeacutevolution des paramegravetres [10 46 47 59]
Dans cette partie on va preacutesenter la deuxiegraveme proposition pour eacuteliminer lrsquoerreur statique
due agrave la preacutesence drsquoune perturbation Le scheacutema bloc simplifieacute de la commande du
backstepping adaptative appliqueacute au vol vertical est repreacutesenteacute par la figure (425)
Figure 425 Le scheacutema bloc du backstepping adaptative
471 Commande de lrsquoaltitude
La loi de commande geacuteneacutereacutee en utilisant la technique du backstepping avec estimateur
deacutebutera par la deacutefinition de la premiegravere valeur drsquoerreur de position [28]
Premiegravere eacutetape
e௭ଵ= ݖ minus z (478)
Ainsi que sa vitesse lineacuteaire est donneacutee par
e௭ଵ= ሶݖ minus ሶݖ (479)
On choisira la fonction de Lyapunov
V (e௭ଵ) =ଵ
ଶeଵଶ (480)
Perturbation
Backstepping adaptative(Commande de lrsquoaltitude)
Model du X4Reacutefeacuterence zzref
ଷݑ
-
+
Chapitre4 COMMANDE ROBUST PAR LA THECHNIQUE DU BACKTEPPING
101
Sa deacuteriveacutee
V(e௭ଵ) = e௭ଵe௭ଵ= e௭ଵ ሶݖ) minus (ሶݖ (481)
Soit xଶ le controcircleur virtuel sa loi de commande est deacutefinie par
xଶ = ሶݖ + k௭ଵe௭ଵ (482)
Deuxiegraveme eacutetape
En introduisant la nouvelle valeur drsquoerreur noteacutee e௭ଶ qui est eacutegale agrave la diffeacuterence entre la
vraie valeur de la vitesse ሶetݖ la commande virtuelle xଶ alors
e௭ଶ = ሶݖ + k௭ଵe௭ଵminus ሶݖ (483)
e௭ଵ = minus k௭ଵe௭ଵ + e௭ଶ (484)
A cette eacutetape la fonction de Lyapunov va ecirctre diffeacuterente de la preacuteceacutedente et ceci est due agrave
lrsquointroduction drsquoune force inconnue ௭ܣ (force de traineacutee) Lrsquoajout drsquoun estimateur est
neacutecessaire pour estimer ௭ܣ la fonction de Lyapunov est augmenteacutee
V (e௭ଵ e௭ଶ (ଵߛ =1
2eଵଶ +
ଵ
ଶeଶଶ +
1
భߛ2௭෪ܣ
ଶ (485)
Lrsquoajout de ce nouveau terme permet drsquoannuler lrsquoerreur due agrave lrsquoestimation de la force ௭ܣ
ߛଵ
est un paramegravetre de design qui doit toujours ecirctre positif
Ougrave ௭෪ܣ repreacutesente lrsquoerreur entre ௭ܣ et ௭ܣ (force estimeacutee)
௭෪ܣ = ௭ܣ minus ௭ܣ (486)
A lrsquoaide de ce choix on obtient
V൫e௭ଵ e௭ଶ ߛଵ൯= e௭ଵe௭ଵ + e௭ଶe௭ଶ+
ଵ
ఊ1
௭෪ܣ ௭ܣ (487)
Pour que le systegraveme soit stable il faut que sa deacuteriveacutee soit toujours neacutegative
V൫e௭ଵ e௭ଶ ߛଵ൯= e௭ଵ(minus k௭ଵe௭ଵ + e௭ଶ)+ e௭ଶ (k௭ଵ(minusk௭ଵe௭ଵ + eଶ) minus +ሷݖ (ሷݖ +
1
భߛ௭෪ܣ ௭ܣ
(488)
= minus k௭ଵeଵଶ + eଶ ሷ+(1ݖ) minus kଵ
ଶ )e௭ଵ + k௭ଵeଶ minusߠݏ 3ݑemptyݏ
+ g +
ෝݖܣ
)
+1
భߛ௭෪ܣ ௭ܣ) minus
భߛ
eଶ ) (489)
La dynamique qui va ecirctre attribueacutee agrave ௭ܣ est baseacutee sur le fait qursquoelle doit annuler le terme
inconnu ௭ܣ
௭ܣ =ఊ1
e2ݖ (490)
Chapitre4 COMMANDE ROBUST PAR LA THECHNIQUE DU BACKTEPPING
102
Pour garantir la stabiliteacute de Lyapunov
ሷ+(1ݖ minus kଵଶ )e௭ଵ + k௭ଵeଶ minus
ߠݏ 3ݑ emptyݏ
+ g +
= minusk௭ଶeଶ (491)
La loi de commande qui stabilise le vol vertical est
ଷݑ =
ߠݏ emptyݏ+ሷݖ) g + e௭ଵ(1minusk௭ଵ
ଶ ) + eଶ(k௭ଵ + k௭ଶ) minusෝݖܣ
) (492)
La force ௭ܣ apparaicirct dans la commande ଷݑ et lrsquoeffet de celle-ci va se montrer dans les
reacutesultats de simulation
Nous suivons les mecircmes eacutetapes deacutecrites preacuteceacutedemment pour deacuteterminer les commandes du
drone X4 ce qui nous donne
⎩⎪⎪⎪⎨
⎪⎪⎪⎧ ௫ݑ =
௨యሷݔ) + (1 minus ௫ଵ
ଶ ) ௫ଵ minus ( ௫ଵ + ௫ଶ) ௫ଶ) minus
௬ݑ =
௨యሷݕ) + ൫1 minus ௬ଵ
ଶ ൯ ௬ଵ minus ( ௬ଵ + ௬ଶ) ௬ଶ) minus
ସݑ = +ߠ ఏଵ൫1 minus ఏଵଶ ൯minus ఏଶ ( ఏଵ + ఏଶ)
ହݑ = ݎempty + emptyଵ (1 minus emptyଵଶ ) minus emptyଶ ( emptyଵ + emptyଶ)
u = ψ
+eψଵ൫1 minus kψଵଶ ൯minus eψଶ(kψଵ + kψଶ )
(493)
ܣ ܣ sont les forces de reacutesistances estimeacutees suivants les axes x y respectivement
Leurs deacuteriveacutees sont deacutefinie par ܣ =ఊ2
e2ݔ ܣ =
ఊ3
e2ݕ
Avec ଶߛ et ଷߛ sont des constants positifs
472 Reacutesultats de simulations
Nous nous inteacuteressons dans cette partie aux tests de la robustesse du controcircleur
backstepping adaptative Nous reprenons les mecircmes tests effectueacutes par le controcircleur
Backstepping Nous traitons dans cette partie lrsquoexemple de la reacutealisation des connections
demi-cercles pour les mouvements z x y en preacutesence de perturbation
Avec les gains ଵ=10ߛ ଶ=20ߛ et ଷ=30ߛ
Chapitre4 COMMANDE ROBUST PAR LA THECHNIQUE DU BACKTEPPING
103
Figure 426 La trajectoire de reacutefeacuterence et reacuteelle en preacutesence de perturbation
Figure 427 Les commandes en preacutesence de perturbation
0 5 10 15 20 25 30 35 40 450
20
40
u3
(N)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45-40
-20
0
20
u4
(Nm
)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
-200
2040
u5
(Nm
)
temps (s)
02
46
810
1214
0
5
10
15
200
5
10
15
Deacuteplacement suivant (x)Deacuteplacement suivant (y)
Deacutepla
cem
ent
suiv
ant
(z)
Trajectoire reacuteelle
Trajectoire reacutefeacuterence
Chapitre4 COMMANDE ROBUST PAR LA THECHNIQUE DU BACKTEPPING
104
Figure 428 Les erreurs en preacutesence de perturbation
Figure 429 Les forces en preacutesence de perturbation
0 5 10 15 20 25 30 35 40 450
5
10
F1
(N)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 450
5
10
F2
(N)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 450
5
10
F3
(N)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 450
5
10
F4
(N)
temps (s)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45-01
0
01
02z-e
rreur
(m)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45-01
0
01
02
x-e
rreurr
(m)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45-01
0
01
02
y-e
rreur
(m)
temps (s)
Chapitre4 COMMANDE ROBUST PAR LA THECHNIQUE DU BACKTEPPING
105
Figure 430 Estimation des forces de traineacutee suivant les deacuteplacements zxy
La simulation agrave eacuteteacute faite sur le mecircme proceacutedeacute les figures (426-429) montrent
clairement que la loi de commande adaptative proposeacutees est stable malgreacute la preacutesence de
terme de perturbation lrsquoerreur statique est annuleacute et le suivi de la trajectoire est assureacute
nous pouvons voir aussi que la perturbation additionneacutee ne cause pas de problegraveme vis-agrave-vis
de la performance de la loi de commande cette derniegravere stabilise asymptotiquement les
principales erreurs du systegraveme En outre la figure (430) montre que ෩(erreur)ܣ converge
vers zeacutero ou encore ௫௬௭ܣ (estimeacutee) converge vers sa vraie valeur ௫௬௭ܣ (inconnue)
4 8 Commande Hybride
Depuis quelques anneacutees beaucoup de recherches ont eacuteteacute effectueacutees dans le domaine
de la commande des systegravemes non lineacuteaires Le mode glissant-backstepping fait partie de
ces nouvelles meacutethodes de controcircle celui-ci au mecircme algorithme que le backstepping mis
agrave part le deuxiegraveme sous systegraveme on remplace lrsquoerreur par la surface de glissement et la
commande comprend deux termes ݑ) = ݑ + (ݑ Un terme continu appeleacutee commande
eacutequivalente et un terme discontinu appeleacutee commande de commutation Le but de cette
proceacutedure est de garantir une stabiliteacute avant lrsquointroduction du mode glissant
0 5 10 15 20 25 30 35 40 450
5
10A
z-F
orc
e(N
))
0 5 10 15 20 25 30 35 40 450
5
10
Ax-F
orc
e(N
)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 450
5
10
Ay-F
orc
e(N
)
temps (s)
force estimeacutee
force reacuteelle
force estimeacutee
force reacuteelle
force estimeacutee
force reacuteelle
Chapitre4 COMMANDE ROBUST PAR LA THECHNIQUE DU BACKTEPPING
106
481 Application du mode glissant-Backstepping pour le drone X4
Dans cette partie on a utiliseacute le backstepping approche comme un algorithme
reacutecursif pour controcircler le drone X4 nous simplifions toutes les eacutetapes de calcul agrave propos
des erreurs et les fonctions de Lyapunov dans le chemin suivant
= ቐ
minusݔ ݔ isin [1 3 5 7 9 11]
minusݔ ሶ(ݔ ଵ) minus ( ଵ)
isin 2 4 6 8 1012
(494)
Avec gt 0 isin 112
ଵ
ଶ ଶ isin 1357911
et = (495)
( ଵ) +ଵ
ଶ ଶ isin 24681012
Nous allons appliquer cette meacutethode pour commander la dynamique de lrsquoaltitude z du
drone X4 les autres lois de commandes seront deacuteduites par les mecircmes proceacutedures et seront
donneacutee directement La premiegravere eacutetape dans ce controcircleur est similaire agrave celui de la
commande par backstepping agrave action inteacutegrale
Drsquoougrave la surface de glissement S est utiliseacute agrave la place de eଶ deacutefinis par
௭ = ௭ଶ = minusሶݖ ሶݖ minus ௭ଵ ௭ଵ minus ଵߣ ଵ (496)
Le choix de la de commande pour une surface de glissement attractive se pose sur la
deacuteriveacutee de lrsquoeacutequation (496) doit satisfaire la condition ൫SS lt 0൯
௭ = minus ଵݏ )ݐ ௭) minus ଶ ௭
= minusሷݖ ሷݖ minus ௭ଵ ሶ௭ଵ minus ଵߣ ௭ଵ
=ଵ
emptyݏ ଷݑߠݏ minus minus ሷݖ minus ௭ଵ ሶ௭ଵ minus ଵߣ ௭ଵ (497)
La loi de commande qui stabilise le vol vertical est
ଷݑ =
௦empty௦ఏ൫ݖሷ + + ௭ଵ ሶ௭ଵ + ଵߣ ௭ଵ minus ଵݏ )ݐ ௭) minus ଶ ௭൯ (498)
Avec ଵ et ଶ sont des gains positives
Chapitre4 COMMANDE ROBUST PAR LA THECHNIQUE DU BACKTEPPING
107
Analyse de la stabiliteacute
Afin de prouver la stabiliteacute la fonction de Lyapunov (e௭ଵ S௭) est choisie comme suite
(e௭ଵ S௭) =ଵ
ଶe௭ଵଶ + ௭
ଶ + ଵߣ ଵଶ ൧ (499)
Afin de prouver la stabiliteacute asymptotique du systegraveme sur lensemble nous avons besoin
dexprimer (471) comme suit
ሶ௭ଵ = minus ௭ minus ௭ଵ ௭ଵ minus ଵߣ ଵ (4100)
La deacuteriveacutee de lrsquoeacutequation 499 donne
= ଵߣ ௭ଵ ଵ + ௭ଵ ሶ௭ଵ + ௭௭ (4101)
Par lrsquointroduction des eacutequations drsquoerreurs de poursuite en vitesse de ௭ଵ et ௭ donne
= minus ௭ଵ ௭ଵଶ minus ଵ ௭
ଶ minus |ଵݍ ௭| le 0 (4102)
Avec
௭ = minus ଵݏ )ݐ ௭) minus ଶ ௭ + ௭ଵ (103)
La stabiliteacute Asymptotique Global est eacutegalement assureacutee agrave partir de la fonction et le fait
que ( ௭ଵ ௭) lt 0 forall( ௭ଵ ௭) ne 0 and (0) = 0 et en appliquant le theacuteoregraveme de LaSalle
Les mecircmes eacutetapes sont utiliseacutees pour deacuteduire les commandes ux uy u4 u5 et u6 [88]
⎩⎪⎪⎨
⎪⎪⎧ ௫ݑ =
௨యሷݔ) + ௫ଵ ሶ௫ଵ+ߣଶe୶ଵ minus ଷݏ )ݐ ௫) minus ସ ௫)
௬ݑ =
௦ఏ௨య൫ݕሷ + ௬ଵ ሶ௬ଵ + ଷe୷ଵߣ minus ହݏ ൫ݐ ௬൯minus ௬൯
ସݑ = ߠ + ఏଵ ሶఏଵ + ସeఏଵߣ minus ݏ )ݐ ఏ) minus ఏ
ହݑ = empty + emptyଵ ሶemptyଵ + ହeemptyଵߣ minus ଽݏ )ݐ empty) minus ଵ empty
ݑ = + టଵ ሶటଵ + eటଵߣ minus ଵଵݏ ൫ݐ ట൯minus ଵଶ ట
( 4104)
Avec ( ଵ ଶ ଷ ସ ହ ଽ ଵ ଵଵ ଵଶ ) sont des gains positives
Ougrave ௫ ௬ ఏ empty et ట sont les surfaces de glissement deacutefinies par le systegraveme drsquoeacutequation
suivant
Chapitre4 COMMANDE ROBUST PAR LA THECHNIQUE DU BACKTEPPING
108
⎩⎪⎪⎨
⎪⎪⎧
௫ = e୶ଶ = x minus x minus k୶ଵe୶ଵ minus ଶߣ ଶ
௬ = e୷ଶ = y minus y minus k୷ଵe୷ଵ minus ଷߣ ଵ
ఏ = eఏଶ = minusߠ ߠ minus kఏଵeఏଵ minus ସߣ ସ
empty = eemptyଶ = empty minus empty minus kemptyଵeemptyଵ minus ହߣ ହ
ట = eటଶ = minus minus kటଵeటଵ minus ߣ
(4105)
482 Reacutesultats de simulation
Lrsquoobjectif de cette simulation est de montrer la robustesse de la loi de commande
lorsque qursquoune perturbation externe est appliqueacutee
Les paramegravetres de simulation sont
ଵ =10 ଷ = 1 ହ = 10 = 2 ଽ = 10 ଵଵ = 2 ௭ଵ =8 ଶ = 5 ௫ଵ = 5 ସ =
5 ௬ଵ = 4 = 2 kemptyଵ = 55 k = 2 ఏଵ = 75 ଵ = 10 టଵ = 2 ଵଶ = 4
ଵߣ = 5 ଶߣ = 5 ଷߣ = 4 ସߣ = 2 ହߣ = 5 ߣ = 2
Les figures 431 437 et 438 montrent que les deux commandes ont permis le suivi des
trajectoires deacutesireacutees La diffeacuterence entre les deux commandes se voit dans la figure 436 ougrave
les erreurs de suivi sont moins importantes en utilisant la commande robuste backstepping-
mode glissant que la commande inteacutegrale backstepping Les simulations montrent donc
que la commande hybride est plus efficace que la commande Inteacutegrale Backstepping IB
Figure 431 La trajectoire de reacutefeacuterence et reacuteelle en preacutesence de perturbation
0
5
10
15
0
5
10
150
5
10
15
x-displacementy-displacement
z-d
ispla
cem
ent
Trajectoire reacuteelle
Trajectoire reacutefeacuterence
Chapitre4 COMMANDE ROBUST PAR LA THECHNIQUE DU BACKTEPPING
109
Figure 432 Les commandes en preacutesence de perturbation
Figure 433 Les erreurs en preacutesence de perturbation
0 5 10 15 20 25 30 35 40 450
20
40
u3(N
)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45-40
-20
0
20
u4(N
m)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
-200
2040
u5(N
m)
temps (s)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45-01
0
01
02
z-e
rreur
(m)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45-01
0
01
02
x-e
rreurr
(m)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45-01
0
01
02
y-e
rreur
(m)
temps (s)
Chapitre4 COMMANDE ROBUST PAR LA THECHNIQUE DU BACKTEPPING
110
Figure 434 Les angles en preacutesence de perturbation
Figure 435 Les forces en preacutesence de perturbation
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
-05
0
05
1
angle
theta
(rad)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
-1
-05
0
05
1
angle
phi(r
ad)
temps (s)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 4505
10
F1
(N)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 450
5
10
F2
(N)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 450
5
10
F3
(N)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 450
5
10
F4
(N)
temps (s)
Chapitre4 COMMANDE ROBUST PAR LA THECHNIQUE DU BACKTEPPING
111
Figure 436 Les erreurs de suivi en z x et y pour les deux commandes
Figure 437 La trajectoire de reacutefeacuterence et reacuteelle en preacutesence de perturbation
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45-01
0
01
02
z-e
rre
ur
(m)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45-01
0
01
02
x-e
rre
urr
(m)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45-01
0
01
02
y-e
rre
ur
(m)
temps (s)
IB
IBMG
IB
IBMG
IB
IBMG
0
5
10
15
0
5
10
150
5
10
15
x-displacementy-displacement
z-d
ispla
cem
ent
Trajectoire reacuteelle
Trajectoire reacutefeacuterence
Chapitre4 COMMANDE ROBUST PAR LA THECHNIQUE DU BACKTEPPING
112
Figure 438 La trajectoire de reacutefeacuterence et reacuteelle en preacutesence de perturbation
49 Conclusion
Nous avons preacutesenteacute dans ce chapitre une contribution agrave lrsquoapplication de la commande
par backstepping et la commande hybride backstepping mode glissant afin de stabiliser le
drone X4 On a proposeacute un algorithme de commande qui stabilise le drone en utilisant la
technique du backstepping et en se basant sur la meacutethode directe de Lyapunov Cette
technique a eacuteteacute appliqueacutee avec succegraves pour concevoir des algorithmes de commandes qui
assurent la poursuite de ces trajectoires En effet en preacutesence drsquoune perturbation un
comportement peu deacutesirable et observeacute des erreurs statiques persistent Afin drsquoeacuteliminer
cet inconveacutenient on a eacutetudieacute les deux approches la premiegravere consiste agrave introduire drsquoune
maniegravere virtuelle une action inteacutegrale qui permet une nette ameacutelioration des performances
et la deuxiegraveme approche est le backstepping adaptatif lrsquoideacutee consiste agrave estimer la force de
traineacutee comme perturbation et suivant la proceacutedure du backstepping le controcircleur prend
en compte la perturbation et lrsquoeffet de celle-ci est eacutelimineacute Les reacutesultats obtenus ont montreacute
lrsquoefficaciteacute de lrsquoutilisation de ce type de commande et ceci est deacutemontreacute par les bonnes
performances du controcircleur (rejet de perturbation)
Pour renforcer la robustesse face aux perturbations externes des deux commandes une
commande hybride entre le mode glissant et le backstepping inteacutegrale agrave eacuteteacute proposeacutee afin
-2-15
-1-05
005
115
-3
-2
-1
0
1
20
1
2
3
4
5
6
x-displacementy-displacement
z-d
ispla
cem
ent
Trajectoire reacuteelle
Trajectoire reacutefeacuterence
Chapitre4 COMMANDE ROBUST PAR LA THECHNIQUE DU BACKTEPPING
113
drsquoameacuteliorer les performances dynamique et statique Nous avons preacutesenteacute dans cette partie
la synthegravese et la stabiliteacute de la commande hybride que nous avons appliqueacutee pour le drone
X4
Les reacutesultats de simulation ont confirmeacute les bonnes performances du controcircleur utiliseacute qui
assure sous certaines conditions la poursuite de la trajectoire
CONCLUSION GENERALE ET PRESPECTIVE
113
CONCLUSION GENERALE ETPRESPECTIVE
CONCLUSION GENERALE ET PRESPECTIVE
114
CONCLUSION GENERALE ET PRESPECTIVE
Durant ces derniegraveres anneacutees la robotique aeacuterienne a fait de grand progregraves Cet
inteacuterecirct est justifieacute par les avanceacutees technologiques reacutecentes qui rendent possibles la
conception et la construction des mini-drones et par le domaine drsquoapplication civile et
militaire tregraves vaste de ces aeacuteronefs Les drones sont classifieacutes en trois cateacutegories principales
les avions les dirigeables et les heacutelicoptegraveres Le travail reacutealiseacute dans cette thegravese rentre dans
ce cadre de recherche sur la commande de mini-veacutehicules aeacuteriens capables de reacutealiser du
vol stationnaire et en particulier du quadrirotor Notre objectif est de deacutevelopper des
commandes avanceacutees drsquoune part et drsquoautre part de proposer des meacutethodes drsquohybridations
entre ces techniques de commande assurant la stabiliteacute du drone (X4) et leurs poursuites
aux trajectoires planifieacutees
Nous nous sommes tout drsquoabord inteacuteresseacutes agrave attribuer au drone un modegravele
repreacutesentatif qui reflegravete sa dynamique de translation et celle de rotation en neacutegligeant les
forces aeacuterodynamiques et les effets gyroscopiques Ce modegravele a eacuteteacute eacutelaboreacute en utilisant la
meacutethode Newtonienne en se basant sur quelques hypothegraveses simplificatrices adopteacutees en
litteacuterature
Nous avons eacutelaboreacute dans un premier temps la synthegravese drsquoune loi de commande agrave
structure variable tel que le mode glissant Dans ce type de commande lrsquoapproche non
lineacuteaire a eacuteteacute traiteacutee et preacutesente lrsquoavantage de se rapprocher du systegraveme reacuteel sans passer
neacutecessairement par le modegravele lineacuteaire Cette commande a donneacute des reacutesultats inteacuteressants
concernant la poursuite de trajectoires simples telles que le suivi de lignes droites et
complexes (demi-cercle arcs hellip)
En preacutesences des perturbations des erreurs statiques persistent Une structure de
reacuteglage par mode de glissement agrave action inteacutegrale a eacuteteacute aussi preacutesenteacutee afin drsquoobtenir des
meilleurs performances Les reacutesultats de simulation nous montrent la robustesse et la
performance de ce type de reacutegulateur Cependant le signal de commande obtenu par ce
reacutegulateur preacutesente des variations brusques dues au pheacutenomegravene de broutements
(chatterring)
Afin de reacuteduire les effets du pheacutenomegravene de broutement et drsquoameacuteliorer davantage
les performances de stabilisation du X4 une hybridation entre la logique floue et le mode
de glissement agrave action inteacutegrale a eacuteteacute proposeacutee
CONCLUSION GENERALE ET PRESPECTIVE
115
Une autre commande non lineacuteaire a eacuteteacute proposeacutee agrave savoir un reacutegulateur de type
backstepping Ce reacutegulateur est baseacute sur une reacutecente meacutethodologie faisant appel agrave la
fonction de Layapunov La synthegravese a conduit agrave un controcircleur non lineacuteaire globalement
asymptotiquement stable Cette technique a eacuteteacute appliqueacutee avec succegraves pour concevoir des
algorithmes de commandes qui assurent le deacuteplacement du drone drsquoune position initiale
vers une position drsquoeacutequilibre deacutesireacutee Le reacutegulateur backstepping dont la conception est de
type PD preacutesente lrsquoinconveacutenient de la persistance de lrsquoerreur statique en preacutesence de
perturbation Pour y remeacutedier deux solutions ont eacuteteacute proposeacutees agrave savoir lrsquoajout drsquoune
action inteacutegrale au controcircleur virtuel (la commande inteacutegrale backstepping) et la deuxiegraveme
revient agrave estimer la perturbation (la commande backstepping adaptatif) cette approche a la
flexibiliteacute de speacutecifier les structures finales deacutesirables pour les lois des paramegravetres estimeacutes
Une approche drsquohybridation entre le backstepping inteacutegrale et le mode glissant a eacuteteacute
preacutesenteacutee pour augmenter davantage les performances de controcircleur
Les reacutesultats obtenus agrave ce propos sont assez motivant pour lancer une concreacutetisation
pratique de ces commandes
Outre les perspectives de travail mentionneacutees dans les conclusions des diffeacuterentes
parties de ce document une extension des travaux effectueacutes dans le cadre de cette thegravese
peut ecirctre reacutealiseacutee en consideacuterant les points suivants
Les approches proposeacutees ont eacuteteacute adapteacutees pour lrsquoacuteelaboration de lois de guidage-pilotage
en utilisant un niveau de modeacutelisation de la dynamique drsquoun drone miniature `agrave voilure
tournante baseacute sur une repreacutesentation de type meacutecanique du solide Une extension de ces
travaux peut consister en lrsquoapplication des meacutethodes proposeacutees agrave des modegraveles plus
deacutetailleacutes repreacutesentatifs drsquoune configuration de veacutehicule donneacutee et prenant en compte une
repreacutesentation de son aeacuterodynamique
Enfin une analyse de la robustesse des approches proposeacutees peut ecirctre eacutetudieacutee en
poursuite agrave cette thegravese afin de garantir dans quelle mesure les proprieacuteteacutes de stabiliteacute
eacutetablies sont conserveacutees en preacutesence drsquoerreurs de modegraveles en preacutesence de perturbations
impreacutevisibles telles que les rafales de vent En effet comme perspective ces conditions
reacuteelles peuvent ecirctre consideacutereacutees dans lrsquoeacutelaboration de la commande dans le but
drsquoaugmenter le domaine de fonctionnement du quadrirotor (agrave lrsquointeacuterieur ou bien agrave
lrsquoexteacuterieur) Dans le mecircme esprit nous nrsquoavons pas consideacutereacute le problegraveme des retards de
mesure ou de communication entre le drone et la base de controcircle Il nous semble
envisageable de consideacuterer ce problegraveme en se basant sur les reacutesultats obtenus pour la
CONCLUSION GENERALE ET PRESPECTIVE
116
stabilisation par commande agrave structure variable de systegravemes avec retard et la stabilisation
avec la commande hybride
Le choix des paramegravetres de reacuteglage de la commande non-lineacuteaire proposeacutee pour la
stabilisation du quadrirotor nrsquoest pas optimiseacute en lrsquoeacutetat actuel Il est par conseacutequent tout agrave
fait envisageable drsquooptimiser ces choix dans le but drsquoameacuteliorer le comportement global du
systegraveme de renforcer la stabiliteacute ou encore drsquoameacuteliorer la robustesse de la commande
ANNEXE
113
ANNEXES
ANNEXE
117
ANNEXE A
A1 Theacuteorie de lyapunov
Le concept du controcircle par Backstepping est baseacute sur la theacuteorie de Lyapunov Lebut est de construire de proche en proche une loi de commande ramenant le systegraveme versdes eacutetats deacutesireacutes En drsquoautres termes on souhaite faire de lrsquoeacutetat deacutesireacute un eacutetat drsquoeacutequilibrestable en boucle fermeacuteeDans cette section nous deacutefinissons la notion de la stabiliteacute au sens de Lyapunov et nouspassons en revue les principaux outils utilisables pour prouver la stabiliteacute drsquoun systegraveme nonlineacuteaire Cette section est inspireacutee essentiellement des travaux de Khalil auquel nous nousreferons pour les preuves des theacuteoregravemes de stabiliteacute [89]On considegravere le systegraveme non lineacuteaire drsquoeacutecrit par lrsquoeacutequation diffeacuterentielle suivante
=ሶݔ (ݐݔ) A1Ougrave f est une fonction deacutefinie de ℝtimesℝା rarr ℝ x isin Rn est le vecteur drsquoeacutetat du systegravemeUn eacutetat xe du systegraveme est un point drsquoeacutequilibre stable srsquoil satisfait
(ݔ) = 0 A2Les proprieacuteteacutes de stabiliteacute de ce point drsquoeacutequilibre sont caracteacuteriseacutees par la deacutefinition ci-dessous
Deacutefinition A1 (Stabliteacute au sens de Lyapunov)Un point drsquoeacutequilibre x = x du systegraveme (A1) est ndash un eacutetat drsquoeacutequilibre stable si et seulement si pour tout ε gt 0 il existe δ(ε) gt 0 tel que
(0)ݔ minus ݔ lt ε ⟹ (ݐ)ݔ minus ݔ lt ߝ leݐ forall 0ndash un eacutetat drsquoeacutequilibre asymptotiquement stable srsquoil est stable et srsquoil existe ߜ gt 0 tel que
(0)ݔ minus ݔ lt ⟹ߜ lim௧⟶ஶ
(ݐ)ݔ = ݔ
ndash un eacutetat drsquoeacutequilibre globalement asymptotiquement stable (GAS) si pour tout eacutetat initialx0 x(0) isin ℝ il est stable et
lim௧rarrஶ
(ݐ)ݔ = (0)ݔ forall ݔ
On introduit maintenant quelques concepts usuels de fonctions de LyapunovDeacutefinition A2ndash Une fonction scalaire V (x) est deacutefinie positive dans une boule de Rn de rayon K si 1) V (x) gt 0 forall x ne 0 et x isin ℝ୬ x lt K2) V (x) = 0 pour x = 0ndash La fonction scalaire V (x) est deacutefinie neacutegative dans une boule de ℝ୬ de rayon K si 1) V (x) lt 0 forall x ne 0 et x isin ℝ୬ x lt K2) V (x) = 0 pour x = 0ndash La fonction scalaire (ݔ) est semi-deacutefinie positive si (ݔ) ge 0
Theacuteoregraveme A3 Consideacuterons le systegraveme deacutecrit par lrsquoeacutequation (A1) avec (0) = 0 Soit (ݔ) une fonction scalaire deacutefinie positive non borneacutee continue et diffeacuterentiable Si
V(x) = Vx f(x) lt 0 x ne 0 (A3)
alors x = 0 est un point drsquoeacutequilibre globalement asymptotiquement stable
ANNEXE
118
La fonction deacutefinie positive (ݔ) satisfaisant (ݔ) le 0 est appeleacutee fonction de Lyapunovdu systegraveme
Theacuteoregraveme A4 (LaSalle-Yoshizawa) [90]
Soit =ݔ 0 un point drsquoeacutequilibre de (A1) et on suppose que f est localement Lipschitz en xSoitV ℝ rarr ℝା une fonction continue et diffeacuterentiable deacutefinie positive radialement nonborneacutee telle que
=ௗ
ௗ௫(ݔ) (ݐݔ) le minus (ݔ) le 0 leݐ forall 0 niݔ ℝ (A4)
ougrave (ݔ) est une fonction continue alors toutes les solutions de (A1) sont globalementuniformeacutement borneacutees et satisfont
lim௧rarrஶ
( ((ݐ)ݔ) = 0 (A5)
de plus si (ݔ) est deacutefinie positive alors le point drsquoeacutequilibre ݔ = 0 est globalementuniformeacutement asymptotiquement stable
A2 Commande par la meacutethode de Lyapunov
Nous allons donner dans cette section une meacutethode de synthegravese drsquoune loi de commandebaseacutee sur la theorie de Lyapunov On considegravere le systegraveme non lineacuteaire drsquoeacutecrit par
=ሶݔ f(x u) (A6)Ougrave x est lrsquoeacutetat du systegraveme et ݑ est lrsquoentreacutee de commandeLrsquoobjectif du controcircle est de ramener le vecteur drsquoeacutetat agrave lrsquoorigine et que lrsquoorigine devienneun point drsquoeacutequilibre asymptotiquement stable Lrsquoentreacutee de commande est choisie de laforme
ݑ = (ݔ)ߙ (A7)La dynamique du systegraveme en boucle fermeacutee devient
=ሶݔ ((ݔ)ߙݔ) (A8)
Pour montrer que le systegraveme est GAS nous devons construire une fonction de Lyapnuov
(ݔ) satisfaisant les conditions du theacuteoregraveme (A3) Lapproche la plus simple pour trouver
(ݔ)ߙ est de seacutelectionner une fonction deacutefinie positive (ݔ) radialement non borneacutee et
puis choisir (ݔ)ߙ tel que
= (ݔ)ݔ ((ݔ)ߙݔ) lt 0 x ne 0 (A9)On doit faire un choix adeacutequat de pour veacuterifier (A9) Ce qui nous amegravene agrave donner ladeacutefinition suivante
Deacutefinition A5 (Fonction de Lyapunov candidate) Une fonction (ݔ) scalaire lissedeacutefinie positive et radialement non borneacutee est appeleacutee fonction de Lyapunov candidatepour le systegraveme (A6) si
inf௨ݔ (ݑݔ) lt 0 x ne 0 (A10)
Etant donneacutee une (fonction de Lyapunov candidate (CLF)) pour le systegraveme (A8) on peuttrouver une loi de controcircle stabilisant globalement le systegraveme En effet lrsquoexistence de
ANNEXE
119
cette loi est eacutequivalent de (CLF) Cela veut dire que pour toute loi de controcircle stabilisanteon peut trouver une (CLF) correspondante et vis-versa Cela est veacuterifie dans le theacuteoregraveme[91] Pour illustrer cette approche on considegravere le systegraveme suivant
=ሶݔ (ݔ) + ݑ(ݔ) (A11)Ce systegraveme est affine en la commande On suppose que la (CLF) du systegraveme est connueSontag a proposeacute dans [92] un choix particulier de loi de controcircle donneacutee par
ݑ = (ݔ)ߙ = minusାradicమାమ
(A12)
Ougrave= (ݔ)ݔ (ݔ)= (ݔ)(ݔ)ݔ
Cette loi de commande nous donne
= )(ݔ)ݔ (ݔ) + (ݑ(ݔ) = + ൬minusାradicమାమ
൰= minusradic ଶ + ଶ (A13)
Elle rend donc lrsquoorigine (GAS) Lrsquoeacutequation (A12) est connue sous le nom de la formule deSontag Freeman et Primbs [93] ont propose une approche ou la commande u est choisiepour minimiser Lrsquoeffort du controcircle neacutecessaire pour satisfaire
le minus (ݔ) (A14)
A3 Eacuteleacutements theacuteoriques des modes glissantsOn introduit des eacuteleacutements theacuteoriques neacutecessaires agrave la compreacutehension de la
commande par modes glissants Plus particuliegraverement nous rappelons les conditionsdrsquoexistence du mode glissant
Figure A1 ndash Comportement en dehors de la surface de glissement
A31 Existence du mode glissementA311 Deacutefinitions
Nous consideacuterons le systegraveme non lineacuteaire drsquoeacutecrit par
=ሶݔ (ݐݑݔ) (A15)Ougrave ndash x est lrsquoeacutetat du systegraveme eacutevoluant dans une varieacuteteacute diffeacuterentiable caracteacuterisant le domainephysique de fonctionnement du systegraveme
S = 0
ANNEXE
120
ndash f le champ de vecteurs complet dans ℝ
ndash u la commande ou lrsquoentreacutee du systegraveme appartient a Ω inclut dans ℝ veacuterifiant
(ݐݔ)ݑ = ൜(ݐݔ)ାݑ ݏ (ݐݔ) ≺ 0
(ݐݔ)ݑ ݏ (ݐݔ) ≻ 0
Cette commande discontinue est appeleacutee Commande a Structure Variable(CSV) ou biencommande par modes glissantsLa fonction S(x t) est appeleacutee surface de glissement elle partage lrsquoespace en deux partiesdistinctes Un systegraveme est deacutefini comme eacutetant un systegraveme a structure variable commutantentre deux structures si par on deacutefinit deux champs de vecteurs ା (x u t) (x u t) detel sorte que le systegraveme (A15) puisse ecirctre eacutecrit sous la forme ci-dessous
=ሶݔ (ݐݑݔ) = (ݐݔ) = ൜ା(ݐݔ) ݏ (ݐݔ) ≺ 0
(ݐݔ) ݏ (ݐݔ) ≻ 0
Pour eacutevoquer lrsquoexistence du mode de glissement il faut que la surface de commutation(ݐݔ) soit attractive des deux cotes Lrsquointerpreacutetation geacuteomeacutetrique eacutequivaut agrave dire que les
deux vecteurs vitesses + et minus doivent ecirctres dirigeacutes vers la surface de commutationCette notion drsquoattractiviteacute peut ecirctre locale ou globale (figure (A1))
A32 Conditions drsquoexistence du mode glissantLe theacuteoregraveme ci-dessous donne les conditions drsquoexistence du mode glissant
Theacuteoregraveme A6 Un domaine Dg de dimension (n-1) est dit un domaine de glissement si etseulement si dans un domaine Ω contenant Dg il existe une fonction de Lyapunov ( (ݐݔ gt 0 continucircment diffeacuterentiable par rapport agrave tous ses arguments et satisfaisantles conditions suivantes
i) ( (ݐݔ gt 0 est deacutefinie positive par rapport a S
൜( (ݐݔ ≻ 0 (ݐݔ0) = 0
ݏ ne 0
ii) Sur la sphegravere = ρ forall x isin Ω forall t gt 0 les relations suivantes sont veacuterifieacutees ii minus a) inf
ௌୀV ( (ݐݔ = ℎ ℎ gt 0
ii minus b) supௌୀ
V ( (ݐݔ = ܪ ܪ gt 0
Avec ℎ et ܪ deacutependant de S et ℎ ne 0 si ρ ne 0
iii) La deacuteriveacutee totale de ( (ݐݔ le long des trajectoires du systegraveme a unmaximum neacutegatif pour tout x de agrave lrsquoexclusion de la surface de commutationpour laquelle la commande u nrsquoest pas deacutefinie et la deacuteriveacutee de ( (ݐݔnrsquoexiste pas
iv) Il est possible de choisir une fonction de Lyapunov baseacutee sur la physique dusystegraveme (cas des robots manipulateurs par exemple) mais il nrsquoexiste aucune
ANNEXE
121
meacutethode geacuteneacuterale qui permette de trouver une fonction de Lyapunov Pourcertaines classes de systegravemes une approche possible consiste agrave choisir lesformes suivantes
⎩⎪⎨
⎪⎧ ݔ) (ݐ =
ଶ
2
ݔ) (ݐ =ସ
4 ݔ) (ݐ = | |
Pour illustrer le reacutesultat fourni par le theacuteoregraveme preacuteceacutedent nous optons pour une
fonction de Lyapunov de type quadratique ݔ) (ݐ =ௌమ
ଶ Pour que la surface soit
attractive sur tout le domaine il suffit queௗ
ௗ௧ ݔݐ) ) lt 0 Ceci eacutequivaut agrave
SS˙ lt 0 (A16)
Cette condition(A16) permet drsquoassurer une convergence asymptotique vers lasurface S = 0 Tregraves souvent cette condition est remplaceacutee par
SS˙ le minusη |S| (A17)
Ougrave η est une quantiteacute strictement positive Cette condition assure la convergence vers S =0 en un temps fini tfini
ANNEXE
122
ANNEXE B
La commande mode glissant preacutesente certaine limites par exemple le problegraveme de
chattering en preacutesence de la fonction sgn (voir figure si-dessous)
Figure B1 La commande u3 en cas des connexions droite
Dans cette partie nous testons numeacuteriquement la performance du vecteur de commande
(mode glissant) deacuteveloppeacute preacuteceacutedemment dont les conditions initiales sont choisis
diffeacuterentes de zeacutero
Figure B2 La trajectoire de reacutefeacuterence et reacuteelle en cas drsquoun cocircne
0 1 2 3 4 5 6 7 80
5
10
15
20
25
30
35
40
U3(N
)
Temps (s)
-2-15
-1-05
005
115
-3
-2
-1
0
1
20
1
2
3
4
5
6
Deacuteplacement suivant (x)
X 1
Y 1
Z 2984
Deacuteplacement suivant (y)
Deacutepla
cem
ent
suiv
ant
(z)
Trajectoire reacuteelle
Trajectoire reacuteference
ANNEXE
123
Figure B3 Les forces en cas drsquoun cocircne
Figure B4 Les angles en cas drsquoun cocircne
0 5 10 15 20 25 30 35 40 450
5
10
F1
(N)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 450
5
10
F2
(N)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 450
5
10
F3
(N)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 4505
10
F4
(N)
temps (s)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
-05
0
05
1
angle
theta
(rad)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
-1
0
1
angle
phi(r
ad)
temps (s)
ANNEXE
124
Figure B5 La trajectoire de reacutefeacuterence et reacuteelle en cas des demi-cercles
Figure B6 Les forces en cas des demi-cercles
0 5 10 15 20 25 30 35 40 450
5
10
F1
(N)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 450
5
10
F2
(N)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 450
5
10
F3
(N)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 450
5
10
F4
(N)
temps (s)
0
5
10
15
0
5
10
15
200
2
4
6
8
10
12
Deacuteplacement suivant (x)
X 1
Y 1
Z 3
Deacuteplacement suivant (y)
Deacutepla
cem
ent
suiv
ant
(z)
Trajectoire reacuteelle
Trajectoire reacutefeacuterence
ANNEXE
125
Figure B7 Les forces en cas des demi-cercles
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
-05
0
05
1
angle
theta
(rad)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
-1
-05
0
05
1
angle
phi(r
ad)
temps (s)
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Reacutesumeacute
Lrsquointeacuterecirct scientifique de la thegravese est lrsquoeacutetude de stabilisation avec planification de trajectoire pour undrone agrave quatre heacutelices Apregraves la modeacutelisation du systegraveme plusieurs commandes ont eacuteteacute reacutealiseacutees pour lapoursuite de trajectoires simples telles que le suivi de lignes droites et complexes La stabiliteacute descontrocircleurs utiliseacutes a eacuteteacute veacuterifieacutee ainsi que la robustesse en preacutesence des perturbations
Dans la premiegravere partie nous nous somme pencheacutes sur la synthegravese drsquoun controcircleur par mode glissant (SMC)pour la stabilisation du drone X4 Cependant le signal de commande obtenu par cette technique preacutesentedes variations brusques dues au pheacutenomegravene de broutement Afin de reacuteduire les effets de ce pheacutenomegravene etdrsquoameacuteliorer davantage les performances de controcircle du X4 une hybridation entre la logique floue et le modede glissement a eacuteteacute proposeacutee
Par la suite nous avons preacutesenteacute la technique de commande du backstepping pour la stabilisation du droneCe reacutegulateur est baseacutee sur une reacutecente meacutethodologie faisant appel agrave la fonction da lyapunov Le controcircleurbackstepping dont la conception est de type PD preacutesente lrsquoinconveacutenient de la persistance de lrsquoerreur statiqueen preacutesence de perturbation Pour y remeacutedier des solutions ont eacuteteacute proposeacutees agrave savoir la commande InteacutegralBackstepping la commande backstepping adaptatif et une hybridation entre le mode glissant a eacuteteacute proposeacuteeafin drsquoameacuteliorer les performances de reacuteglage
Mot-cleacutes Drone quadrirotor commande par mode glissant commande par backstepping commandehybride stabiliteacute
Abstract
The scientific interest of this thesis work can be mainly seen in the study of the stabilization with
path planning for a four propellers UAV type Starting with dynamical modeling the system several
controllers were designed for the tracking of simple trajectories such as the follow-up of straight lines and
more complex ones The stability of the proposed controllers was checked as well as their robustness in the
presence of various disturbances
In the first part we focused on the synthesis of a sliding mode controller (SMC) for the stabilization of an X4UAV However the control signal obtained from this technique shows sudden undesirable variations due tothe phenomenon of chattering To reduce the effects of this phenomenon and to further improve the controlperformance applied to the X4 hybrid technique between fuzzy logic and sliding mode has been proposed
Subsequently we introduced the backstepping control technique to stabilize the drone This controllerdesign relies on a recent methodology using the Lyapunov function The backstepping controllerrsquos structurewhich is of PD type has the disadvantage of the persistence of the static error in the presence of disturbancesTo overcome this drawback some solutions have been proposed namely Integral Backstepping control theadaptive backstepping technique and its hybridization with the sliding mode control has been applied toimprove the control performances
Keywords quadrocopter drone sliding mode control backstepping control hybrid control stability and
robustness
الملخص
بدونودواراتبأربعودفعـھارفعـھایتمعمودیـة التيطائـرة في التحـكموالنمـذجةدراسـةإلىتطرقـناھذا في عمـلنا
تخراجـاسإلى تستندواحدةللتحكم خطیتینغیرتقنـیتین على اعتمدناقدوالنموذجلاستخراجقانون نیوتنطیاراستعملنا في التحكمإظھار
تحقـیقھوھذامنوالھدفباكیستیبنإجراءاتإلىالأخرىوالإنزلاق لات حا نوعمنحصینالنموذج أثناءطیاربدونطائرةالاستقرارو
الریاحتأثیر حالة ومسار معین رصد حالة في التقنـیات المعتـمدة متانة وفعالیةالتجارب نتائج بینتوقدمسارھارصدواشتغالھا
الباكستیبن تقنیةالانزلاق حالاتنوعمنحصینتحكم دوارات أربعذاتطائرةطائرةالمفتاحیةالكلمات
LISTE DES TABLEAUX
6
INTRODUCTION GENERALE
0
INTRODUCTION GENERALE
INTRODUCTION GENERALE
1
INTRODUCTION GENERALE
Dans les derniegraveres anneacutees les avances technologiques ont permis la conception et
la construction de mini-avions ou mini-heacutelicoptegravere avec des capaciteacutes toujours plus
deacuteveloppeacutees pour reacutealiser des vols autonome Ces appareils sont connus sous le nom de
drones Crsquoest -agrave-dire les drones sont des engins volants autonomes ou semi-autonomes
capables drsquoeffectuer des missions en vol sans pilotage humain agrave bort Pour cette raison les
drones sont connus aussi par leur appellation anglaise UAV (Unmanned Aerial Vehicle)
Ces appareils sont des veacutehicules complexes et difficiles agrave commander Il faut noter que
contrairement au robot manipulateur la plupart des ces systegravemes sont sous ndashactionneacutes (le
nombre drsquoentreacutees de commande est inferieur au nombre de degreacutes de liberteacute) En effet le
manque drsquoactionneurs pour ces engins induit une grande difficulteacute dans la conception de la
commande Neacuteanmoins lrsquointeacuterecirct de leur eacutetude vient de leur versatiliteacute et de leur
manœuvrabiliteacute leur permettant lrsquoexeacutecution drsquoun grand nombre de taches
Les applications des drones ne cessent drsquoaugmenter tant dans le domaine civil que
militaire Parmi les applications nous pouvons citer par exemple la surveillance de trafic
urbain ou des lignes eacutelectriques agrave haute tension [15] lrsquointervention dans des
environnements hostiles repeacuterage de mines la deacutetection de feux de forets dans les
missions de recherche et de sauvetage Enfin dans toutes les applications aeacuteriennes ougrave
lrsquointervention humaine devient difficile ou dangereuse
La recherche sur les drones est baseacutee principalement sur une eacutetude pluridisciplinaire
touchant le domaine eacutelectronique automatique informatique temps reacuteel aeacuterodynamique
traitement de signal communication Pour cette raison le nombre drsquoindustriels et
drsquouniversiteacutes qui srsquointeacuteressent aux robots aeacuterien ne cesse drsquoaugmenter
La conception de drones est diviseacutee essentiellement en deux parties la partie
algorithmique et la partie mateacuterielle Bien qursquoil existe un certain nombre de difficulteacutes
associeacutees agrave ce travail les chercheurs et les concepteurs se sont impliqueacutes de maniegravere
intense dans ces deux activiteacutes pour faire des contributions dans ce domaine La partie
algorithmique concerne le deacuteveloppement des lois de commande Dans cette branche les
automaticiens sont inteacuteresseacutes de plus en plus agrave lrsquoeacutetude et au deacuteveloppent des lois de
commande tant lineacuteaires que non lineacuteaire pour gouverner la dynamique de ces veacutehicules
La deuxiegraveme partie concerne le deacuteveloppement de la plate-forme expeacuterimentale ou
autopilote qui sera embarqueacutee dans le veacutehicule
INTRODUCTION GENERALE
2
Lrsquoobjectif de la thegravese est de deacutevelopper des strateacutegies de commande non lineacuteaires
pour le controcircle du drone En effet deux meacutethodes sont proposeacutees la commande par mode
glissant et la commande par backstepping
La commande agrave structure variable ou le mode glissant est une technique de
commande non lineacuteaire elle est caracteacuteriseacutee par la discontinuiteacute de la commande par une
surface de commutation Sa dynamique est alors insensible aux perturbations exteacuterieurs et
parameacutetriques tant que les conditions de reacutegime glissant sont assureacutees [45 50] Dans cette
voie nous allons utiliser la commande par mode glissant (Sliding Mode Control ou SMC)
pour la stabilisation drsquoun drone agrave quatre heacutelices Cependant le signal de commande obtenu
par un SMC preacutesente des variations brusques dues au pheacutenomegravene de broutement
(chaterring) ce qui peut exciter les hautes freacutequences et les non lineacuteariteacutes non modeacutelisables
[45 50 48 76] En effectuant une hybridation entre la logique floue et le mode de
glissement nous essayerons de reacuteduire les effets de pheacutenomegravene de broutement et
drsquoameacuteliorer drsquoavantage les performances du controcircleur
La theacuteorie de Lyapunov nous offre des outils tregraves puissants pour lrsquoanalyse de la
stabiliteacute des systegravemes ces mecircmes outils peuvent ecirctre utiliseacutes pour la synthegravese des lois de
commande Crsquoest dans ce contexte que se situe le backstepping cette commande agrave eacuteteacute
introduite au deacutebut des anneacutees 90 par plusieurs chercheurs on citera ente autres P
Kokotovic H Khalil Kanellakopoulos [72 73 74 75] Lrsquoapplication de cette derniegravere se
trouve dans le domaine de lrsquoaeacuteronautique [28] dans les systegravemes complexes tel que la
robotique les reacuteseaux eacutelectriques ainsi que les machines eacutelectriques [77 78 79 80] on
peut deacutefinir cette lois de commande comme eacutetant une proceacutedure reacutecursive qui combine
entre le choix de la fonction de Lyapunov et la synthegravese de la loi de commande [82] Cette
meacutethode transforme le problegraveme de synthegravese de loi de commande pour le systegraveme global agrave
une synthegravese de seacutequence de commande pour des systegravemes reacuteduits En exploitant la
flexibiliteacute de ces derniers le backstepping peut reacutepondre aux problegravemes de reacutegulation de
poursuite et de robustesse avec des conditions moins restrictives que drsquoautres meacutethodes
[82] Lrsquoingeacuteniositeacute de lrsquoideacutee nous a conduit agrave proposeacute lrsquoutilisation de cette loi de
commande non lineacuteaire pour la commande du drone quadri-rotor Une approche de
commande inteacutegral backstepping adaptatif sera preacutesenteacutee
INTRODUCTION GENERALE
3
Ce manuscrit de thegravese est structureacute de la maniegravere suivante en quatre chapitres
Chapitre 1
Dans ce chapitre nous preacutesenterons une classification des drones pour nous placer dans le
contexte de ce domaine de recherche Une eacutetude bibliographique preacutesente certaines
meacutethodes de geacuteneacuteration drsquoalgorithmes de commande pour les drones
Chapitre 2
Dans ce chapitre la modeacutelisation de drone heacutelicoptegravere quadri-rotor est preacutesenteacutee Cette
modeacutelisation est eacutetablie en prenant en consideacuteration les forces aeacuterodynamiques Une
expression deacutetailleacutee du coefficient de Coriolis des termes gyroscopique et centrifuge est
donneacutee
Chapitre 3
Le troisiegraveme chapitre concerne la commande agrave structure variable ougrave lrsquoapproche non
lineacuteaire par mode glissants est traiteacutee On introduit quelques aspects meacutethodologiques
neacutecessaires pour la compreacutehension des systegravemes agrave structures variables Cette technique
sera appliqueacutee pour controcircler la trajectoire du drone en utilisant une stabilisation point par
point Une autre structure de reacuteglage par mode de glissement agrave action inteacutegrale sera aussi
preacutesenteacutee Ensuite une approche drsquohybridation entre le mode glissant et la logique floue
sera proposeacutee
Chapitre 4
Le chapitre quatre quant agrave lui est consacreacute agrave la conception de la deuxiegraveme loi de
commande non lineacuteaire baseacutee sur la technique du backstepping pour la commande des
mouvements selon les axes Z X Y Une approche de commande backstepping adaptative
sera preacutesenteacutee Une hybridation entre la commande par backstepping et par mode glissant
est aussi proposeacutee dans le but drsquoavoir un controcircleur plus performant Une eacutetude de la
robustesse est effectueacutee vis-agrave-vis de la perturbation du vent suivant les diffeacuterentes
directions du mouvement
Ce manuscrit srsquoachegraveve par un ensemble de commentaires et de remarques geacuteneacuterales
sur les reacutesultats obtenus et quelques discussions sur les perspectives agrave mener
Chapitre 1 ETAT DE LrsquoART
3
Chapitre 1
ETAT DE LrsquoART
Chapitre 1 ETAT DE LrsquoART
4
1 ETAT DE LrsquoART
11 Introduction
Le mot drone est dorigine anglaise signifiant bourdon ou bourdonnement Il
est communeacutement employeacute en Franccedilais en reacutefeacuterence au bruit que font certains bourdons en
volant Les drones sont des aeacuteronefs capables de voler et deffectuer une mission sans
preacutesence humaine agrave bord Cette premiegravere caracteacuteristique essentielle justifie leur deacutesignation
de Uninhabited (ou Unmanned Aerial Vehicle UAV)
En fait ce sont les lourdes pertes subies pendant la seconde guerre mondiale par les avions
dobservation de chacun des antagonistes qui suscitegraverent lideacutee dun engin dobservation
militaire sans eacutequipage (ni pilote ni observateur)
Les premiers drones apparurent en 1960 (fig11) tel le R20 de Nord-Aviation denvergure
320 m et de longueur 544m deacuterivant de lengin de cible CT20 Toutefois lideacutee des
drones trottait dans les esprits depuis bien longtemps Un Anglais aurait inventeacute le concept
dans les anneacutees 1890 en inteacutegrant agrave un cerf-volant un appareil photographique [1]
Et au fil des anneacutees les chercheurs nont pas cesseacute dameacuteliorer ces machines au niveaude
Figure 11 Premier drone
Chapitre 1 ETAT DE LrsquoART
5
la taille jusquagrave atteindre la cateacutegorie de drone miniature qui englobe tous les drones dont
lenvergure est infeacuterieure agrave 50 centimegravetres pouvant descendre mecircme agrave quelques
centimegravetres seulement (on parle dans ce cas de drones miniatures)
Le terme miniature ne reflegravete pas un simple changement deacutechelle par rapport aux drones
primaires conventionnels En effet compte tenu de leurs tailles de leurs rapports
masseinertie et de leurs sensibiliteacutes aux vents la dynamique de ces drones miniatures se
trouve ecirctre tregraves diffeacuterente de celle des engins de grande dimension
En fait la vocation principale des drones est lobservation et la surveillance aeacuteriennes
vocation utiliseacutee jusquagrave preacutesent surtout agrave des fins militaires (actuellement 90 pour cent du
marcheacute mondial des drones)
Ainsi tous les drones quils soient autonomes ou non requiegraverent la preacutesence au sol dau
moins un opeacuterateur pour recueillir en temps reacuteel les beacuteneacutefices de la mission celui-ci
reccediloit analyse et enregistre les informations transmises par le drone [2]
Aujourdhui les progregraves reacutealiseacutes agrave la fois dans les performances des drones et leurs
eacutequipements leur confegraverent un tregraves large potentiel dutilisation dans le domaine civil la
lutte contre les risques naturels (volcan feux de forecircts surveillance des zones agrave risque
centrales nucleacuteaires) controcircle du trafic routier lobservation des champs agricoles ou des
troupeaux veacuterification de leacutetat des ouvrages darts (ponts viaducs) [1]
On distingue toutefois deux cateacutegories de drones ceux qui requiegraverent effectivement
lassistance dun pilote au sol par exemple pour les phases de deacutecollage et datterrissage et
ceux qui sont entiegraverement autonomes
Cette autonomie de pilotage peut seacutetendre agrave la prise de deacutecision opeacuterationnelle pour reacuteagir
face agrave tout eacuteveacutenement aleacuteatoire en cours de mission elle constitue la deuxiegraveme
caracteacuteristique essentielle des drones
De mecircme on peut classer les drones en trois cateacutegories principales (fig12)
Drones agrave voilure tournante type heacutelicoptegravere
Drone agrave voilure fixe
Plus lourd que lair type avion
Plus leacuteger que lair type Dirigeable
Drones agrave ailes battantes type oiseau ou insecte
Chapitre 1 ETAT DE LrsquoART
6
Figure 12 (A) Dirigeable (B) Drone agrave ailes battants (C) Drone agrave ailes fixes
12 Drones agrave voilures tournantes
Dans cette partie nous eacutetalons les diffeacuterents types de drones agrave voilures tournantes
121 Drones Mono-rotor
Ce type de drone passe par des phases de deacuteveloppement bien remarquables suite agrave
linteacuterecirct quon y porte En effet ce sont des drones offrant la possibiliteacute de voler comme un
avion normal donc un deacuteplacement rapide et bien eacuteconome en eacutenergie Nous preacutesentons
Heacutelicoptegravere thermique (fig13) Cet heacutelicoptegravere thermique deacuteveloppeacute au sein du
laboratoire Heudiasyc (Heuristique et diagnostique des systegravemes complexes) a une
structure meacutecanique originale pour effectuer un deacuteplacement horizontal cet appareil est
censeacute effectuer une inclinaison au niveau de ses heacutelices afin de faire apparaitre une
diffeacuterence de pression lui permettant davancer
Cette originaliteacute meacutecanique engendre un systegraveme dynamique beaucoup plus complexe par
rapport aux autres modegraveles
Figure 13 Heacutelicoptegravere thermique
Chapitre 1 ETAT DE LrsquoART
7
122 Drone Bi-rotors
Cette cateacutegorie est elle mecircme subdiviseacutee en deux sous cateacutegories
1) Bi-rotors agrave un ou deux plateaux cycliques
Heacutelicoptegravere classique rotor principal et rotor de queue ce dernier sert
principalement agrave compenser le couple geacuteneacutereacute par le rotor principal En fait le rotor
principal permet la monteacutee et la descente ainsi que la translation avant arriegravere et
lateacuterale mecircme par contre le rotor de queue permet le controcircle du lacet
Heacutelicoptegravere en tandem deux rotors tournant en sens inverse autour de deux axes
diffeacuterents
Heacutelicoptegravere co-axial deux rotors tournant en sens inverse autour du mecircme axe Un
exemple de cet engin est mis dans le commerce par Hirobo
Figure 14 Heacutelicoptegravere classique
2) Pales agrave pas fixe Voler agrave pas fixe implique labsence de plateaux cycliques et en
absence de ces plateaux il est impossible de geacuteneacuterer une force et trois moments
pour controcircler un systegraveme agrave 6 degreacutes de liberteacute Afin de creacuteer les moments
manquants il est primordial dajouter soit des ailerons soit des meacutecanismes pour
faire pivoter les ailerons et produire ces moments en question Nous citons dans
cette sous cateacutegorie
T-wing de lUniversiteacute de Sydney drone bi-rotor placeacute sur deux axes diffeacuterents
tournant en sens opposeacutes ou dans le mecircme sens et pour la production des moments
neacutecessaires ce drone est muni dailerons
Chapitre 1 ETAT DE LrsquoART
8
Le Hover eye de Bertin technologie Cest un drone dont la configuration est tregraves
compacte deux rotors contrarotatifs sur le mecircme axe et des ailerons dans le flux
dair des rotors
Le Birotan Drone agrave configuration compact posseacutedant deux rotors pivotant sur
deux axes preacutesentant un faible couple de tangage
Figure 15 (A) T-wing (B) Hover eye (C) Le Birotan
113 Drone tri-rotors
Dans cette cateacutegorie nous connaissons
Trirotor Heacutelicoptegravere posseacutedant trois rotors deux en avant tournant dans le sens
contraire et un en arriegravere avec orientation reacuteglable Des expeacuteriences ont eacuteteacute faites
sur cet heacutelicoptegravere au sein du laboratoire Heudiasyc
Le vectron Cest un heacutelicoptegravere dont le corps est circulaire renfermant trois rotors
tournant dans le mecircme sens Pour compenser le couple le corps lui mecircme tourne en
sens opposeacutes des rotors Pour obtenir les couples de tangage et de roulis les trois
rotors tournent avec des vitesses varieacutees agrave des instants bien preacutecis Des travaux de
recherche ont eacuteteacute effectueacutes au LIRMM
Heacutelicoptegravere auto-stable Cest un heacutelicoptegravere agrave trois rotors deux coaxiaux tournant
en sens opposeacutes agrave pas fixe et le troisiegraveme est placeacute sur la queue de lheacutelicoptegravere
pour obtenir le couple de tangage Cet heacutelicoptegravere a la proprieacuteteacute decirctre stable gracircce
au fait quil existe une articulation entre les pales du rotor principal et laxe du rotor
Neacuteanmoins cet appareil ne peut ecirctre utiliseacute que dans des endroits fermeacutes
Chapitre 1 ETAT DE LrsquoART
9
Figure 16 (A) Tri-rotor du laboratoire Heudiasyc (B) Le vectron(C) Heacutelicoptegravere auto-stable
124 Drone quadri-rotors
Le premier quadri-rotors remonte agrave 1921 En effet en 1921 les corps dair de
larmeacutee Ameacutericaine ont attribueacute un contrat aux Dr George de Bothezat et Ivan Jerome pour
deacutevelopper une machine agrave vol vertical
Ces derniers ont mis sur pied une machine volante de 1678 Kg dont le fuselage est conccedilu
sous forme dun X Chaque bras du fuselage eacutetait de 9m de longueur tenant agrave son extreacutemiteacute
un rotor de 8m de diamegravetre environ
Cependant bien que de Bothezat ait deacutemontreacute quil eacutetait theacuteoriquement possible agrave son
heacutelicoptegravere de voler et quil eacutetait theacuteoriquement bien stable cet avion na pas pu reacutealiser les
performances escompteacutees par exemple on lui demandait de voler agrave une altitude de 100m
alors que pour cause de surpoids laltitude maximale quil a pu atteindre eacutetait juste de 5m
Ainsi suite agrave sa complexiteacute meacutecanique son manque de puissance son insensibiliteacuteetc
cet heacutelicoptegravere agrave quatre rotors na pas pu satisfaire son cahier de charge
Figure 17 Heacutelicoptegravere de Bothezat
Chapitre 1 ETAT DE LrsquoART
10
Pour les drones miniatures les chercheurs se sont inspireacutes de ce geacuteant quadri-rotors et ont
mis sur pied des drones lui ressemblant
Les heacutelicoptegraveres agrave quatre heacutelices sont des quadrirotors agrave quatre moteurs installeacutes sur
une croix geacuteneacuteralement en fibre de carbone drsquoougrave leur appellation les heacutelicoptegraveres X4 Des
exemples sont repreacutesenteacutes dans la figure 18
Figure 18 Drones agrave quatre heacutelices (A) Quadri-rotor du laboratoire IBSC(B) Quadri-rotor pensylvania
Afin de compenser les anti-couples des moteurs creacuteeacutes par la rotation des heacutelices le moteur
avant et arriegravere tournent dans le sens des aiguilles dune montre tandis que les autres
moteurs tournent dans le sens inverse De plus les heacutelices utiliseacutees sont agrave pas fixe Le
tangage de ce drone est obtenu par diffeacuterence de vitesse de rotation des rotors avant et
arriegravere geacuteneacuterant un deacuteplacement suivant laxe des x Le deacuteplacement suivant laxe des y est
produit par un angle de roulis Ce dernier est obtenu par une diffeacuterence de vitesse des
moteurs lateacuteraux Le lacet srsquoobtient en augmentant la vitesse des moteurs avant et arriegravere
en reacuteduisant la vitesse des moteurs lateacuteraux
Au centre de la croix se trouve un cylindre central contenant
Une centrale inertielle
Une carte intelligente
Une batterie
Un GPS (Global Positionning System)
Une cameacutera CDD
Des capteurs ultrason
Une station de base
Chapitre 1 ETAT DE LrsquoART
11
13 Composantes du quadri-rotors
Durant ces derniegraveres anneacutees le deacuteveloppement des drones connait un essor croissant
surtout au niveau des capteurs des moteurs des batteries et des cartes eacutelectroniques qui
sont de plus en plus leacutegers et plus performants
Ces nouvelles qualiteacutes requises par ces composantes amplifient la performance du drone au
niveau de son autonomie et de ses capaciteacutes du vol En fait le grand problegraveme rencontreacute
par les drones cest la dureacutee du vol qui est lieacutee aux diffeacuterents composants utiliseacutes batterie
moteur et heacutelices Ainsi il faut faire un choix judicieux pour ces composants eacutetudier
lautonomie reacuteelle des batteries deacuteterminer la consommation des moteurs et la geacuteomeacutetrie
des heacutelices
Plus geacuteneacuteralement nous classons les composants du drone en trois cateacutegories
Batterie
Propulseurs
Capteurs
131 Les batteries
Lautonomie de tout engin est directement lieacute agrave leacutenergie quil peut avoir donc agrave la qualiteacute
de la batterie dont il est pourvu Le deacuteveloppement des batteries ne cesse de nous eacutetonner
de plus en plus leacutegegraveres de plus en plus autonomes donc une contribution importante au
deacuteveloppement des drones
Figure 19 Batterie pour le X4
Chapitre 1 ETAT DE LrsquoART
12
132 Les propulseurs
Les heacutelices
Le drone X4 dispose de quatre heacutelices ayant un certain taux de flexibiliteacute lui permettant de
pouvoir assurer la propulsion de tout le robot volant de masse estimeacutee agrave 2Kg Ainsi
chacune doit geacuteneacuterer une force de pousseacutee de 49N agrave leacutequilibre Dautre part les pales
utiliseacutees dans la fabrication du X4 ont une forme vrilleacutee leur procurant un bon rendement
au niveau de la pousseacutee donc une eacuteconomie au niveau de leacutenergie [2]
Moteur eacutelectrique
Dans le but de rendre le X4 silencieux et davoir le bon rapport puissancepoids le moteur
eacutelectrique du type brushless est le plus utiliseacute En plus et suite agrave son bobinage fixeacute au
stator ce moteur a une inertie consideacuterablement reacuteduite une reacuteduction au niveau de la
consommation du courant lors du deacutemarrage et une rapide eacutevacuation de la tempeacuterature
neacuteanmoins il neacutecessite un circuit de commande speacuteciale bien complexe et bien cher
Fig 110 (A) Heacutelice (B) Moteur eacutelectrique
133 Capteurs
Les capteurs servent principalement agrave effectuer des mesures tridimensionnelles
(position vitesse orientation acceacuteleacuteration ) permettant dalimenter des entreacutees en temps
reacuteel pour les lois de commande
Ces mesures sont effectueacutees par diffeacuterents types de capteurs
Capteurs agrave ultrasons
Un capteur agrave ultrason est composeacute de trois compartiments
Chapitre 1 ETAT DE LrsquoART
13
Emetteur
Reacuteceacutepteur
Microcontrocircleur PIC
Il sert agrave deacutetecter lobstacle et agrave mesurer la distance de seacuteparation Se munir uniquement
dun capteur agrave ultrason pour la mesure de position peut donner des reacutesultats erroneacutes En
effet en couvrant les lieux londe peut tomber sur diffeacuterents obstacles agrave chaque instant et agrave
des distances diffeacuterentes Il est donc primordial de lassocier agrave un autre capteur de position
Cameacutera
Le capteur le plus riche en donneacutees pouvant exister est une cameacutera En geacuteneacuteral nous
pouvons classer les cameacuteras en deux cateacutegories
Cameacutera numeacuterique
Cameacutera analogique
Le choix de la cameacutera deacutepend de son embarquabiliteacute ses capaciteacutes de calculs et de
lapplication mecircme
Systegraveme de positionnement geacuteneacuteral GPS
Le GPS est un systegraveme de positionnement par satellites assez preacutecis la preacutecision
pouvant atteindre le megravetre en preacutesence de filtrage Lutilisation de la localisation par le
systegraveme GPS est tregraves vaste elle touche plusieurs domaines le transport (aeacuterien maritime
) eacutetude geacuteographique assistance aux eacutequipe de secours
Figure 111 (A) Capteur agrave ultrasons (B) Cameacutera (C) Systegraveme depositionnement geacuteneacuteral
Chapitre 1 ETAT DE LrsquoART
14
Centrale inertielle
La centrale inertielle est une carte inteacutegrant trois types de capteurs
Trois gyroscopes Le mot gyroscope est un mot grec signifiant qui regarde la rotation
Un gyroscope est un appareil qui exploite le principe de la conservation du moment
angulaire en meacutecanique des solides
Trois magneacutetomegravetres un magneacutetomegravetre est un appareil qui sert agrave mesurer laimantation
dun systegraveme Dans notre cas le magneacutetomegravetre sert agrave calculer le champ magneacutetique terrestre
Trois acceacuteleacuteromegravetres un acceacuteleacuteromegravetre est un capteur qui fixeacute agrave un mobile permet de
mesurer lacceacuteleacuteration de ce dernier
Ces capteurs forment un triegravedre orthogonal servant agrave mesurer en temps reacuteel les
mouvements du drone (acceacuteleacuteration vitesse angulaire) Ces mesures sont exprimeacutees dans
un triegravedre direct deacutefini comme le systegraveme de coordonneacutees fixe du capteur Ce systegraveme est
aligneacute avec le boicirctier de la centrale inertielle
En inteacutegrant la mesure de lacceacuteleacuteration triaxiale donneacutee par lacceacuteleacuteromegravetre nous
reacutecupeacuterons la mesure de la vitesse en linteacutegrant une deuxiegraveme fois nous aurons la
position
Or cette inteacutegration engendre une erreur au niveau des mesures En effet toute mesure
effectueacutee par la carte inertielle peut ecirctre entacheacutee derreurs de mesures dues aux bruits des
moteurs et par inteacutegration ces erreurs augmentent
Ainsi un filtrage numeacuterique associeacute aux mesures savegravere neacutecessaire En reacutecupeacuterant la
matrice dattitude preacutedite par inteacutegration des gyros nous constatons quelle est bruiteacutee par
rapport agrave la matrice dattitude mesureacutee
En litteacuterature les algorithmes de filtrage classiquement utiliseacutes sont de type filtrage
compleacutementaire ou filtrage de Kalman (classique ou eacutetendu)
Linconveacutenient de ces algorithmes cest quils sont lineacuteaires et nexploitent pas le groupe
des matrices de rotation SO(3) et lalgegravebre de Lie qui lui est associeacutee La creacuteation
dalgorithme de filtrage approprieacute est alors recommandeacute (filtrage non-lineacuteaire exploitant la
structure du Groupe SO(3) et la varieacuteteacute sous-jacente associeacutee [3 4 5])
Chapitre 1 ETAT DE LrsquoART
15
Carte intelligente
La carte intelligente peut ecirctre compareacutee au cerveau du drone cest son eacuteleacutement
principal Elle gegravere lensemble des capteurs embarqueacutes sur la machine sauf la cameacutera qui
transmet ses donneacutees images agrave la base au sol ougrave elles sont traiteacutees
Dautres cartes peuvent ecirctre incorporeacutees dans le drone afin de renforcer ses liens
avec la base au sol (carte pour liaison radio [5]) et dautres lui fournissant plus
dinformations pour raffiner les donneacutees (carte de gestion dun ensemble de proximiteacute varieacute
[40])
Figure 112 (A) Centrale inertielle (B) Carte intelligente
14 Systegraveme drsquoacquisition embarqueacute du X4
La mise en œuvre dun ou de plusieurs drones fait appel agrave diffeacuterents eacuteleacutements
constituant un systegraveme de drone Ce systegraveme a deux composantes un segment air
composeacute du drone de sa charge utile et de son systegraveme de transmission et un segment sol
constitueacute dun ensemble de mateacuteriels et de un ou plusieurs opeacuterateurs humains ayant un
degreacute dintervention plus ou moins eacuteleveacute On distingue encore dans la composante sol deux
cateacutegories de mateacuteriels ceux assurant le lancement et la reacutecupeacuteration des drones
(catapulte filets etc) auxquels sajoutent les moyens techniques neacutecessaires agrave la
maintenance et au reconditionnement des drones identiquement aux proceacutedeacutes
dexploitation des avions et ceux ayant pour objectif la conduite de la mission en assurant
les fonctions de la gestion du vol et de la navigation la reacuteception des donneacutees envoyeacutees
par le drone leurs analyse et interpreacutetation ainsi que leur enregistrement
Chapitre 1 ETAT DE LrsquoART
16
Figure 113 Description drsquoun systegraveme de drone
15 Applications et perspectives
Actuellement les drones occupent une place importante dans le domaine civil et
militaire En effet ces engins sans pilote preacutesentent de nombreux avantages [6]
Il faut noter que sur ce point le champ drsquoaction des drones ne cesse de srsquoeacutelargir ces
derniers temps En effet leur deacuteveloppement sur une large gamme ainsi que les progregraves
reacutealiseacutes au niveau des systegravemes embarqueacutes (guidage pilotage et liaisons) a inciteacute les
forces armeacutees agrave inteacutegrer le systegraveme de drone dans la panoplie des moyens aeacuteriens en
compleacutement des systegravemes classiques On peut distinguer trois types drsquoapplications des
drones dans le domaine militaire
La premiegravere et principale vocation des drones est la surveillance et le
renseignement Les drones reacutepondent de mieux en mieux aux exigences opeacuterationnelles
modernes Les eacutevolutions technologiques rapides des systegravemes embarqueacutes ont permet
drsquoeacutelargir leur domaine drsquoapplication De nos jours on peut les utiliser comme support au
combat notamment dans la deacutesignation drsquoobjectifs ou comme relais de communication ou
moyen de brouillage La troisiegraveme et derniegravere cateacutegorie drsquoapplications est le combat
proprement dit mais cette derniegravere application neacutecessite des drones agrave hautes performances
conccedilus speacutecialement pour ce type de missions
Les applications potentielles des drones dans le domaine civil sont diverses et ce
gracircce agrave leur souplesse et leur polyvalence demploi En effet les drones peuvent reacutepondre agrave
Chapitre 1 ETAT DE LrsquoART
17
un besoin qui nest pas couvert par un avion piloteacute Cest le cas des missions qui peuvent
ecirctre consideacutereacutees comme dangereuses peacutenibles physiquement pour leacutequipage ou
ennuyeuses Les applications potentielles peuvent se diviser en plusieurs grandes
cateacutegories drsquoabord la surveillance et lrsquoobservation ougrave on peut citer les eacutetudes
scientifiques (de lrsquoatmosphegravere des sols et des oceacuteans ou les preacutevisions meacuteteacuteorologiques)
la surveillance drsquourgence telle que les incendies de forecircts volcans recherche et sauvetage
eacutevaluation des deacutegacircts en cas de catastrophes naturelles etc On peut citer eacutegalement des
missions exploitant le segment air telles que le transport de fret la cartographie
lrsquoutilisation par lrsquoindustrie cineacutematographique etc Ils peuvent en outre ecirctre utiliseacutes dans
des missions speacutecifiques comme relais de communication ou dans des missions
dangereuses (deacutetection de radiations et de gaz toxiques)
Lexpeacuterience deacutejagrave acquise avec les drones et leurs deacuteveloppements technologiques
potentiels permettent daffirmer que leur rocircle va consideacuterablement saccroicirctre tant dans les
domaines civil que militaire Dans le domaine civil en couvrant des besoins auxquels les
avions classiques ne peuvent pas toujours satisfaire Dans le domaine militaire en
compleacutetant voire en remplaccedilant les avions pour certaines missions dangereuses ou de tregraves
longue dureacutee
Gracircce agrave leur inteacuterecirct tactique les drones constituent agrave la fois une opportuniteacute
industrielle exceptionnelle et un facteur dimpulsion nouvelle pour la recherche Cependant
la geacuteneacuteralisation de lrsquoemploi des systegravemes de drone reste exposeacutee agrave des difficulteacutes qui sont
lieacutees principalement agrave lrsquointeacutegration des drones dans la circulation aeacuterienne et le
perfectionnement des systegravemes de transmission des donneacutees (porteacutee et deacutebit) Enfin des
progregraves sont agrave reacutealiser eacutegalement dans les domaines des performances de lrsquoengin volant
des charges utiles du systegraveme embarqueacute et de leur fiabiliteacute
Toutes ces missions neacutecessitent un controcircle performant de lrsquoappareil et par
conseacutequent des informations preacutecises sur son eacutetat absolu et ou relatif agrave son environnement
16 Modes de vol
Geacuteneacuteralement il existe trois modes qui deacutecrivent la direction de vol de lrsquoengin ces
modes sont
Vol vertical
Vol stationnaire
Vol de translation
Chapitre 1 ETAT DE LrsquoART
18
161 Vol vertical (ascendant ou descendant)
Dans le vol vertical la reacutesultante aeacuterodynamique et le poids total sont deux forces
ayant la mecircme direction mais de sens opposeacute Le vol est ascendant ou descendant suivant
que lrsquoeffet aeacuterodynamique est supeacuterieur ou infeacuterieur au poids de lrsquoappareil Crsquoest-agrave-dire les
moteurs devront augmenter ou diminues le couple de forces geacuteneacutereacute afin que la vitesse de
rotation des heacutelices augmentent ou diminuent Pour effectuer un vol vertical du drone X4 il
faut respecter ces conditions fondamentales
-Les quatre forces des moteurs f1 f2 f3 et f4 doivent fonctionner en mecircme temps afin
drsquoobtenir lrsquoeacutequilibre de lrsquoensemble
-Pour atteindre la consigne nous agissons sur les quatre moteurs simultaneacutement
(augmentations et diminutions des forces)
-Si on atteint la reacutefeacuterence on garde ces forces constantes sum F = mg
m la masse totale de lrsquoengin
162 Vol stationnaire
Ce vol est obtenu lorsque les normes de la force sustentatrice et celle de pesanteur
sont eacutegales et opposeacutees Dans ce cas nous pouvons constater que lrsquoappareil reste
immobile
163 Vol de translation
Correspond agrave tout vol en avant en arriegravere ou sur le coteacute Pour obtenir un
mouvement de translation selon lrsquoaxe lsquoxrsquo ou lsquoyrsquo il suffit de reacutealiser un roulis ou un tangage
en augmentant la vitesse drsquoun moteur et en diminuant celle du moteur du mecircme axe avec la
mecircme quantiteacute pour conserver la portance intacte
Pour le mouvement du lacet (rotation sur lui-mecircme) il faut augmenter la vitesse
drsquoune paire de moteur du mecircme axe et diminuer drsquoautant celle de lrsquoautre paire Le sens de
mouvement du lacet deacutependra du sens de rotation qursquoon aura choisi pour les paires de
moteurs
17 Revues bibliographiques sur les drones quadri-rotors
Cette nouvelle geacuteneacuteration drsquoengins miniatures autonomes connue sous le nom de
Drones miniatures a susciteacute un grand inteacuterecirct ainsi une diversiteacute de modegraveles et de
configurations ont vu le jour
Chapitre 1 ETAT DE LrsquoART
19
Le drone quadri-rotors eacutetait et est lune des configurations les plus eacutetudieacutees
Plusieurs eacutequipes de chercheurs du monde entier se sont lanceacutees dans le domaine de
conception dune loi de commande simple robuste et facilement embarquable Ce domaine
est bien vaste touchant plusieurs speacutecialiteacutes (automatique aeacuterodynamique robotique)
171 Commandes en litteacuterature
Plusieurs travaux consacreacutes agrave la conception de diffeacuterentes commandes ont eacuteteacute
publieacutes il y a ceux qui preacutesentent des lois de commande baseacutees sur le systegraveme lineacuteariseacute des
drones et dautres traitants le modegravele en entier
En consideacuterant une lineacutearisation du modegravele dynamique de leur quadri-rotors [7] PPound
et al [8] ont deacuteveloppeacute un algorithme de controcircle stabilisant leur modegravele Des tests
numeacuteriques ont eacuteteacute effectueacutes confirmant la validiteacute de cette commande
Une meacutethode de stabilisation et de poursuite de trajectoire baseacutee sur la notion de platitude
eacutetait conccedilue dans [9 10] Cette meacutethode a eacuteteacute appliqueacutee sur le systegraveme lineacuteariseacute du quadri-
rotors X4 Elle a assureacute la poursuite du drone vers une trajectoire planifieacutee Des tests
numeacuteriques ont eacuteteacute faits
Dans [11 12] une configuration dun quadri-rotors nommeacute OS4 est preacutesenteacutee En se
limitant agrave un systegraveme simplifieacute du modegravele du OS4 un algorithme de controcircle de type
PID a eacuteteacute eacutelaboreacute En consideacuterant ensuite un modegravele plus complet une commande LQ est
geacuteneacutereacutee Ces commandes preacutesenteacutees arrivent agrave stabiliser le modegravele entier neacuteanmoins elles
sont assez sensibles aux perturbations pouvant affecter le systegraveme
Dans [13] Chen et Huzmezan ont obtenu un modegravele lineacuteariseacute quils ont utiliseacute pour
syntheacutetiser un controcircleur de type H1 Ils ont testeacute leur algorithme sur une plateforme
pivotant librement autour dun point
Dans [14] deux commandes non lineacuteaires sont eacutelaboreacutees pour la stabilisation du quadri-
rotors OS4 La premiegravere approche est baseacutee sur la technique du backstepping tandis que
la deuxiegraveme utilise la technique de modes glissants Des tests pratiques ont eacuteteacute appliqueacutes
sur une plate-forme au sol non embarqueacutee validant les reacutesultats theacuteoriques des deux
approches
En utilisant deux meacutethodes dapproches diffeacuterentes dans [15] K Zemalache Meguenni a
eacutetudieacute la stabiliteacute et la poursuite de trajectoire pour deux quadri-rotors diffeacuterents (X4 et
XSF)
Chapitre 1 ETAT DE LrsquoART
20
En premier temps en combinant la technique de backstepping agrave lapproche de Lyapunov
deux algorithmes associeacutes aux deux modegraveles ont eacuteteacute syntheacutetiseacutes Les reacutesultats des deux
modegraveles ont eacuteteacute testeacutes numeacuteriquement pour le suivi de trajectoires planifieacutees point agrave point
En second temps une commande baseacutee sur la theacuteorie de la logique floue eacutetait eacutelaboreacutee
pour le drone XSF des tests numeacuteriques ont eacuteteacute effectueacutes
Dans [16] une lineacutearisation robuste par retour drsquoeacutetat mixeacute avec le controcircleur GHinfin lineacuteaire
est appliqueacutee Une saturation des actionneurs et des contraintes sur la sortie de lrsquoespace
drsquoeacutetat sont introduites pour analyser le cas deacutefavorable pour la commande Les reacutesultats
obtenus prouvent que le systegraveme global devient robuste lorsque les fonctions pondeacutereacutees
sont choisies judicieusement Le fonctionnement du controcircleur est illustreacute dans une eacutetude
de simulation qui tient compte des incertitudes sur les paramegravetres et les perturbations
externes
Dans [17] la conception de larchitecture informatique embarqueacutee pour la commande dun
quadri-rotors et dun avion miniature est preacutesenteacutee La modeacutelisation dynamique des deux
engins eacutetait eacutetablie au moyen de la meacutethodologie de Newton-Euler en prenant en compte
les forces et les moments aeacuterodynamiques En utilisant la technique de saturations
emboiteacutees baseacutee principalement sur lapproche de Lyapunov deux commandes non
lineacuteaires eacutetaient eacutelaboreacutees pour le quadri-rotors
Deux autres commandes lineacuteaires ont eacuteteacute syntheacutetiseacutees pour les deux drones Des eacutetudes de
robustesse des commandes ont eacuteteacute preacutesenteacutees et des tests expeacuterimentaux des algorithmes
en temps reacuteel ont eacuteteacute appliqueacutes sur une plateforme
Inspireacute des travaux [18] effectueacutes sur la stabilisation du PVTOL (Planar Vehicle Take of
and Landing) P Castillo [19 20 21] a preacutesenteacute la conception dune commande non
lineacuteaire pour un quadri-rotors dont le modegravele est obtenu par la meacutethode dEuler-Lagrange
en tenant compte de la dynamique des moteurs Cette commande est baseacutee sur la technique
des saturations emboiteacutees fondeacutee principalement sur lapproche de Lyapunov Des
plateformes expeacuterimentales ont eacuteteacute reacutealiseacutees pour appliquer et tester les lois de commande
proposeacutees
Se basant sur le formalisme de Newton-Euler T Hamel et al [22] ont eacutetabli la
modeacutelisation dynamique dun quadri-rotors prenant en compte la dynamique des moteurs et
les effets aeacuterodynamiques et gyroscopiques des rotors
Dans [23] les auteurs ont deacutemontreacute que lapplication des approches 2D des
asservissements visuels peuvent ecirctre exploiteacutes pour la commande des systegravemes sous
actionneacutees
Chapitre 1 ETAT DE LrsquoART
21
En supposant que la direction du motif est cette fois ci fixe dans le repegravere cameacutera ce
reacutesultat a pu ecirctre eacutelargi en donnant naissance agrave un asservissement visuel purement 2D [24]
plus complexe suite agrave la dynamique de zeacutero introduite par cette hypothegravese Des tests
numeacuteriques ont eacuteteacute faits validant ce reacutesultat
E Altug et al [25 26 27] ont proposeacutes un algorithme de controcircle pour stabiliser le quadri-
rotor en utilisant la vision comme capteur principal Cette technique se compose drsquoune
cameacutera terrestre et drsquoune cameacutera embarqueacutee sur lrsquoheacutelicoptegravere et sont utiliseacutees pour estimer
les eacutetats de lrsquoheacutelicoptegravere Lrsquoalgorithme de la pose est compareacute par la simulation agrave drsquoautres
meacutethodes drsquoestimation de la pose (telles que la meacutethode de quatre points et la meacutethode de
steacutereacuteo vision) et srsquoavegravere moins sensible aux erreurs dans le plan image Ils ont eacutetudieacute deux
techniques pour la commande la premiegravere utilise une commande par lineacutearisation tandis
que la deuxiegraveme utilise la technique de backstepping
18 Conclusion
Dans ce chapitre nous avons preacutesenteacute un bref aperccedilu sur quelques mini-
heacutelicoptegraveres autonomes existant en sattardant sur les drones agrave voilures tournantes et leurs
eacutequipements
Ensuite nous avons citeacute un ensemble de travaux portant sur la stabilisation des drones agrave
quatre rotors existants en litteacuterature
Dans le chapitre suivant nous traiterons le problegraveme de la modeacutelisation par le formalisme
de Newton-Euler pour le quadri-rotor afin drsquoappliquer les techniques de commande non
lineacuteaire Il srsquoagit drsquoun modegravele caracteacuterisant des veacutehicules sous actionneacutes
Chapitre 2 MODELISATION DrsquoUN DRONE A QUATRE HELICES
22
Chapitre 2
MODELISATION DUN DRONE A QUATRE HELICES
Chapitre 2 MODELISATION DrsquoUN DRONE A QUATRE HELICES
22
2 MODELISATION DrsquoUN DRONE A QUATRE HELICES
21 Introduction
Tout corps meacutecanique eacutevoluant en temps continu peut ecirctre deacutecrit par un systegraveme
deacutequations diffeacuterentielles reacutegissant sa dynamique Il srsquoagit drsquoeacutetablir le modegravele
matheacutematique de la dynamique du drone agrave quatre heacutelices Pour atteindre ce but nous
avons recours agrave des eacutetudes meacutecaniques telles que lapproche Newtonienne et celle dEuler-
Lagrange
Dans la litteacuterature pour aborder la modeacutelisation dengin volant de nombreux travaux se
sont inspireacutes de la dynamique dun corps rigide associeacute au fuselage auquel se rajoutent les
forces aeacuterodynamiques geacuteneacutereacutees par les rotors [28 29 19 30 31 32 33 15]
Cette ideacutee a eacuteteacute choisie afin de pouvoir contourner la difficulteacute de la question de la
flexibiliteacute de la machine Cette flexibiliteacute est supposeacutee neacutegligeable
Certaines propositions de modeacutelisation du drone sont preacutesenteacutees dans la litteacuterature telles
celles baseacutees sur le formalisme de Newton [28 22 23] lieacutees principalement au repegravere
local et celles baseacutees sur le formalisme dEuler-Lagrange [29 19 30 20 31 32 15] lieacutees
au repegravere global supposeacute fixe
Dans ce chapitre nous preacutesentons la dynamique pour un drone capable de vol
drsquoavancement rapide et de vol stationnaire ou quasi-stationnaire Un tel modegravele peut ecirctre
acheveacute dans un repegravere local lieacute au drone ou dans un repegravere global supposeacute fixe Nous
eacutevoquons le modegravele global qui sera traiteacute de point de vue commande en stabilisation et en
poursuite
En premier lieu nous preacutesentons la configuration du veacutehicule et son principe de
fonctionnement Nous nous inteacuteressons eacutegalement aux diffeacuterents repegraveres suscitant notre
attention
Ensuite nous nous occupons de la modeacutelisation du X4 en calculant son moment dinertie
et en ayant recours au formalisme Newton nous deacuteterminons son modegravele dynamique
Enfin nous achevons ce chapitre par une conclusion
Chapitre 2 MODELISATION DrsquoUN DRONE A QUATRE HELICES
23
22 Heacutelicoptegraveres agrave quatre heacutelices
En geacuteneacuteral un heacutelicoptegravere agrave quatre heacutelices est un heacutelicoptegravere posseacutedant quatre rotors
assurant son deacuteplacement [2]
Depuis les anneacutees 50 de nouveaux types dheacutelicoptegraveres de faible dimension
teacuteleacutecommandeacutes sont apparus Ils permettent de reacutealiser des missions dangereuses ou
inaccessibles agrave lecirctre humain Ainsi nous pouvons citer les mini-heacutelicoptegraveres agrave quatre
heacutelices appeleacutes couramment X4 (fig21) vu leur forme en X
Figure 21 Quadri-rotors X4
221 Fonctionnement du X4
Les X4 sont des mini-heacutelicoptegraveres preacutesenteacutes sous forme de croix geacuteneacuteralement
fabriqueacutes en fibre de carbone Au bout de chaque tige de la croix on fixe une heacutelice
Afin deacuteliminer les anti-couples des heacutelices entre elles et permettre la stabiliteacute en lacet les
heacutelices voisines tournent dans des sens inverses avec un pas fixe
Pour assurer un deacuteplacement suivant laxe des x le drone X4 fait un angle de tangage ߠ
obtenu par une diffeacuterence de vitesse de rotation des rotors avant et arriegravere ensuite il suit
cet axe lors du retour agrave leacutegaliteacute des vitesses de rotation des rotors
De maniegravere similaire le deacuteplacement du X4 suivant laxe des y est assureacute par un angle de
roulis empty obtenu suite agrave une diffeacuterence des vitesses de rotation des rotors lateacuteraux
Le lacet sobtient en augmentant la vitesse des moteurs avant et arriegravere tout en reacuteduisant la
vitesse des moteurs lateacuteraux Les quadri-rotors eacutetant commandeacutes par la diffeacuterence des
vitesses de rotation des rotors il est important que lon puisse varier rapidement la vitesse
de rotation des moteurs Pour cela il convient dutiliser des pales tregraves leacutegegraveres (en fibre de
carbone par exemple) et des rapports de reacuteduction relativement grands
Chapitre 2 MODELISATION DrsquoUN DRONE A QUATRE HELICES
24
Figure 22 Sens de rotation des rotors de X4
23 Modeacutelisation du drone quadri-rotors X4
Le modegravele dynamique de quadri-rotor est donneacute par le formalisme de Newton-Euler
Pour pouvoir deacuteterminer le modegravele dynamique le quadri-rotor est assimileacute agrave une structure
rigide et symeacutetrique drsquoougrave lrsquohypothegravese que la matrice drsquoinertie est diagonale Les heacutelices
sont eacutegalement supposeacutees rigides pour pouvoir neacutegliger lrsquoeffet de leur deacuteformation lors de
la portance et la traineacutee de chaque moteur qui sont proportionnelles au carreacute de la vitesse
de rotation des rotors ce qui est une approximation tregraves proche du comportement
aeacuterodynamique et le repegravere lieacute agrave cette structure est geacuteneacuteralement supposeacute confondu avec
son centre de graviteacute Cela nous emmegravene agrave consideacuterer la dynamique du quadri-rotor
comme celle drsquoun corps solide dans lrsquoespace [15 34] Les conditions atmospheacuteriques sont
la condition standard de pression et de tempeacuterature
231 Caracteacuteristiques physiques
Les caracteacuteristiques physiques du quadri-rotor preacutesenteacutees dans cette section ont eacuteteacute
eacutetudieacutees en deacutetail par McKerrow [35] La masse totale du quadri-rotor m est la somme de
la masse de la croix (mc) les masses des quatre rotors consideacutereacutes comme identiques
( isin 1234 ) et la masse de lrsquoeacutelectronique et batterie (mb)
m = m1 + m2 + m3 + m4 + mc + mb
Sens horaireSens antihoraire
Chapitre 2 MODELISATION DrsquoUN DRONE A QUATRE HELICES
25
La structure du quadri-rotor est consideacutereacutee parfaitement symeacutetrique et en conseacutequence la
matrice drsquoinertie IG est diagonale
ܫ = ቌ
௫௫ܫ 0 00 ௬௬ܫ 0
0 0 ௭௭ܫ
ቍ (21)
avec ௫௫ܫ repreacutesente lrsquoinertie autour de lrsquoaxe ଵܧ
qui passe entre le centre de la croix et les
rotors (avant-arriegravere) ௬௬ܫ repreacutesente lrsquoinertie autour de lrsquoaxe ଶܧ
qui passe entre le centre de
la croix et les rotors (droite-gauche) et finalement ௭௭ܫ repreacutesente lrsquoinertie autour de lrsquoaxe
ଷܧ
perpendiculaire au plan de ଵܧ
et ଶܧ
(voir figure 23)
Lrsquoinertie ௫௫ܫ est la somme de lrsquoinertie de la croix (௫ܫ) lrsquoinertie des quatre moteurs ୫ܫ) ୶ଵ
୫ܫ ୶ଶ ୫ܫ ୶ଷ et ୫ܫ ୶ସ) et lrsquoinertie de lrsquoeacutelectronique (ୠ୶ܫ) autour du point drsquointersection de la
croix
௫௫ܫ = ௫ܫ + ܫ ௫ଵ + ܫ ௫ଶ + ܫ ௫ଷ + ܫ ௫ସ + ௫ܫ (22)
On peut suivre la mecircme deacutemarche pour trouver les expressions des inerties ௬௬ܫ et ௭௭ܫ
Lrsquoinertie de la croix autour du point drsquointersection est donneacutee par
௫ܫ = ௬ܫ = (ଶ)మ
ଵଶ+
ௗమ
ଶ(23)
௭ܫ = (ଶ)మ
(24)
Ougrave d est le diamegravetre des poutres qui constituent la croix et l est la distance entre le centre
de la croix et un des quatre rotors Pour trouver les inerties des moteurs McKerrow [35]
considegravere le moteur comme un cylindre de longueur pm avec un rayon rm alors lrsquoinertie du
moteur avant autour du point drsquointersection de la croix est
ܫ ௫ଵ = భ
మ
ସ+
మ
ଷ(25)
ܫ ௬ଵ = భ
మ
ସ+
మ
ଷ+ ଵ
ଶ (26)
ܫ ௭ଵ = భ
మ
ଶ+ ଵ
ଶ (27)
Lrsquoeacutelectronique et la batterie srsquoaccrochant au-dessous de lrsquointersection agrave une distance l0 sont
modeacuteliseacutees par un paralleacuteleacutepipegravede rectangulaire avec des dimensions ab wb et hb
Chapitre 2 MODELISATION DrsquoUN DRONE A QUATRE HELICES
26
௫ܫ = (௪
మାమ)మ
ଵଶ+
ଶ (28)
௬ܫ = (
మାమ)మ
ଵଶ+
ଶ (29)
௭ܫ = (௪
మାమ)మ
ଵଶ(210)
Le mouvement du drone est reacutegi par un modegravele dynamique preacutesentant le lien entre les
entreacutees du systegraveme et les sorties agrave controcircler Il faut maintenant deacutefinir le domaine
drsquoeacutevolution du robot (repegravere inertiel) et la relation matrice de passage qui le lie au drone
(repegravere local)
232 Repegraveres et matrices de passage
Lrsquoeacutetude du mouvement drsquoun drone eacutevoluant dans lrsquoespace requiert la connaissance
de sa position et de son orientation Cette localisation neacutecessite le choix drsquoau moins deux
repegraveres Le premier repegravere est le repegravere inertiel global RO reacutefeacuterence Le repegravere inertiel est
lieacute agrave la terre et peut ecirctre consideacutereacute comme Galinien RO (Ex Ey Ez) est orienteacute comme
indiqueacute sur la figure 23 A savoir Ex est orienteacute vers le nord Ey est orienteacute vers lrsquoest et Ez
orienteacute vers le haut
On deacutefinit un repegravere local ayant comme origine le centre de graviteacute G du drone Le repegravere
RG ଵܧ)
ଶܧ
ଷܧ
) appeleacute aussi repegravere relatif agrave la meacutecanique de vol dont les axes sont lieacutees agrave
la geacuteomeacutetrie de lrsquoappareil
Figure 23 Repegraveres du drone inertiel et local
Chapitre 2 MODELISATION DrsquoUN DRONE A QUATRE HELICES
27
La relation entre le repegravere du drone noteacute (RG) et le repegravere inertiel (RO) peut ecirctre donneacutee
par la matrice de rotation orthogonale de dimension 3 times 3 La contrainte dorthogonaliteacute
reacuteduit le nombre de paramegravetre neacutecessaire pour preacutesenter cette matrice agrave trois paramegravetres Il
existe plusieurs maniegraveres de parameacutetrer la matrice de rotation dont le choix deacutepend de
lapplication en question
La parameacutetrisation de la matrice de rotation par les angles dEuler est souvent utiliseacutee dans
les applications de robotique Elle permet dobtenir la matrice de rotation globale par trois
rotations eacuteleacutementaires autour des axes ଵܧ
ଶܧ
et ଷܧ
respectivement
Le parameacutetrage de cette matrice seffectue par le vecteur
ଶߟ = ߠ) Ф) (211)
Consideacuterons le vecteur de coordonneacutees geacuteneacuteraliseacutees q isin ℝ deacutefini par
(ݐ)ݍ = (ߠݖݕݔ) ni ݐ ℝ
Ougrave x y z deacutefinissent la position du centre de graviteacute du mini-heacutelicoptegravere X4 par rapport au
repegravere inertiel RO (Ex Ey Ez)
Lrsquoorientation du mini-heacutelicoptegravere X4 est donneacutee par les angles drsquoEuler ߠ) Ф) qui
repreacutesente respectivement le tangage le roulis et le lacet
Le passage du triegravedre ை(ܧ௫ܧ௬ܧ௭) au triegravedre ଵܧ)
ଶܧ
ଷܧ
) est reacutealiseacute par trois
rotations successives figure 24
൫ܧ௫ܧ௬ܧ௭൯ுψሱሮ (௭ܧ)
ுഇሱሮ ଵܧ)
)
ுemptyሱሮ ଵܧ)
ଶܧ
ଷܧ
) (212)
Ougrave ൫ܧ௫ܧ௬ܧ௭൯ est la base du repegravere RO ൫ܧଵ
ଶܧ
ଷܧ൯est la base du repegravere locale
drone
RG(ܧ௭) et ଵܧ)
) sont les bases intermeacutediaires et టܪ ఏܪ et emptyܪ les matrices
de rotations orthogonales
Hభψ est la matrice de rotation de lrsquoangle autour de Oz1 appeleacute lacet au cap deacutefinie
par
టܪ = ൭ݏ ݏ 0
ݏminus ݏ 00 0 1
൱ (213)
Chapitre 2 MODELISATION DrsquoUN DRONE A QUATRE HELICES
28
H୷భ est la matrice de rotation de lrsquoangle θ autour de Oy1 appeleacute tangage ou assiette
deacutefinie par
ఏܪ = ൭ߠݏ 0 minus ߠݏ0 1 0
ߠݏ 0 ߠݏ൱ (214)
H୶మథ est la matrice de rotation de lrsquoangle autour de Ox2 appeleacute roulis ou gite
deacutefinie par
థܪ = ൭1 0 00 ݏ ݏ0 minus ݏ ݏ
൱ (215)
Figure 24 Rotations successives deacutefinissant les pseudos angles drsquoEuler
La transformation qui permet de passer du repegravere local vers le repegravere global ை est
donneacutee par
= టܪ ఏܪ థܪ (216)
Chapitre 2 MODELISATION DrsquoUN DRONE A QUATRE HELICES
29
Telle que
=
൭
ݏ ߠݏ ߠݏ ݏ minus ߠݏݏ ݏ minusߠݏ ݏ ݏ ݏߠݏ ݏ + ݏ ݏ ݏߠݏߠݏ ݏ ݏ + ݏ ݏ ݏ ݏߠݏ minus ݏ ߠݏ ߠݏ ݏ
൱(217)
R est une matrice de rotation orthogonale de deacuteterminant uniteacute ayant pour inverse sa
transposeacutee
Ce type de matrice forme un groupe appeleacute groupe des matrices orthogonales speacuteciales
dordre 3 noteacute SO(3) deacutefini par [36]
(3) = isin ℝଷtimesଷ = ܫ ݐ ()ݐ = 1
Gracircce agrave cette matrice de rotation R nous pouvons eacutetablir une relation entre la vitesse du
mini-heacutelicoptegravere exprimeacutee dans son propre repegravere mobile et sa vitesse exprimeacutee dans le
repegravere inertiel
233 Transformation des vitesses
Dans ce paragraphe nous mettons en eacutevidence la relation qui lie les vitesses du
drone exprimeacutees dans le repegravere local avec leurs expressions exprimeacutees dans le repegravere
inertiel
Soient
υଵ la vitesse lineacuteaire du mini-heacutelicoptegravere exprimeacutee dans le repegravere local RG
ηଵ = (x y z) vecteur position du centre de graviteacute du mini-heacutelicoptegravere par rapport au
repegravere inertiel RO
Ainsi nous pouvons eacutetablir la relation suivante qui fait le lien entre la vitesse locale du X4
flyer et sa vitesse exprimeacutee dans le repegravere inertiel
ଵߟ = ଵ (218)
De mecircme nous pouvons aussi eacutetablir une relation entre la vitesse angulaire du mini
heacutelicoptegravere exprimeacutee dans le repegravere local et celle exprimeacutee dans le repegravere inertiel
Soient
υଶ = (p q r) la vitesse angulaire du mini-heacutelicoptegravere exprimeacutee dans le repegravere local RG
ηଶ = (θ ϕ ψ) la vitesse angulaire du mini-heacutelicoptegravere exprimeacutee dans le repegravere inertiel
Ainsi nous pouvons eacutetablir la relation suivante
ଶߟ = ܬ ଶ (219)
Chapitre 2 MODELISATION DrsquoUN DRONE A QUATRE HELICES
30
Grace agrave la relation (212) nous avons
υଶ = ϕ ଵܧሬሬሬሬሬ+ θVሬሬ+ ψEሬሬሬሬ
= ϕ ଵܧሬሬሬሬሬ+ θቂcos(ϕ)ܧଶ
ሬሬሬሬሬminus sin(ϕ)ܧଷሬሬሬሬሬቃ+ ψቂminussin(θ)ܧଵ
ሬሬሬሬሬ+ cos(θ) Wሬሬሬቃ
= ϕ ଵܧሬሬሬሬሬ+ θቂcos(ϕ)ܧଶ
ሬሬሬሬሬminus sin(ϕ)ܧଷሬሬሬሬሬቃ
minus ψቂsin(θ)ܧଵሬሬሬሬሬminus cos(θ)ቀsin(ϕ)ܧଶ
ሬሬሬሬሬ+ cos(ϕ)ܧଷሬሬሬሬሬቁቃ
= ൫ϕ minus ψ sin(θ)൯ܧଵሬሬሬሬሬ+ ൫θ cos(ϕ) + ψcos(θ) sin(ϕ)൯ܧଶ
ሬሬሬሬሬ
minus ൫θ sin(ϕ) minus ψ cos(θ) cos(ϕ)൯ܧଷሬሬሬሬሬ
Ainsi nous avons
ቆpqrቇ= ቌ
1 0 minussin(θ)
0 cos(ϕ) cos(θ)sin(ϕ)
0 minussin(ϕ) cos(θ)cos(ϕ)ቍቌ
ϕ
θψ
ቍ (220)
Donc
Jଵ = ቌ
1 0 minussin(θ)
0 cos(ϕ) cos(θ)sin(ϕ)
0 minussin(ϕ) cos(θ)cos(ϕ)ቍ (221)
Drsquoougrave
J = ൮
1 sin(ϕ)tg(θ) minussin(θ)tg(θ)
0 cos(ϕ) minussin(ϕ)
0ୱ୧୬(ம)
ୡ୭ୱ()
ୡ୭ୱ(ம)
ୡ୭ୱ()
൲ (222)
La matrice J est deacutefinie pour tout θ ne
ଶ+ kπ avec k isin ℤ
En conclusion la relation cineacutematique srsquoeacutecrit
ቀυଵυଶቁ= ൬
R 0ଷlowastଷ
0ଷlowastଷ Jଵ൰൬
ηଵηଶ൰ (223)
Cette relation preacutesente une singulariteacute en θ = plusmn
ଶ
Or physiquement cette valeur est agrave eacuteviter car au voisinage de plusmn
ଶil y aura un
renversement du mini-heacutelicoptegravere Ainsi cette valeur nrsquoest pas atteignable par le mini-
heacutelicoptegravere cest-agrave-dire cette singulariteacute ne preacutesente pas une limitation agrave cette
parameacutetrisation
Chapitre 2 MODELISATION DrsquoUN DRONE A QUATRE HELICES
31
234 Forces Aeacuterodynamiques
Des eacutetudes en soufflerie ont permis de mettre en eacutevidence les diffeacuterentes forces
aeacuterodynamiques appliqueacutees sur les pales et leurs expressions [3738]
Dune maniegravere geacuteneacuterale les actions de lair se deacutecomposent en deux forces
Une force parallegravele agrave la vitesse de lair et de mecircme sens la traineacutee D
Une force perpendiculaire agrave la vitesse de lair la portance L
La somme vectorielle de ces deux forces constitue la reacutesultante des forces
aeacuterodynamiques
Force de portance
La pale se comporte comme une aile tournante de sorte que chaque eacuteleacutement de la pale dr
est en contact avec le flux dair avec une vitesse V induisant une force de portance [38]
dL =ଵ
ଶρCVଶds (224)
Ougrave ρ la densiteacute de lair C le coefficient de portance de lair il deacutepend de la forme du
profil et de langle dattaque (α = γ minus ϕ) (fig 25)
Ainsi pour un propulseur agrave n pales (2 pour le X4) la force de portance quon note f est
f =n
2 ρන VଶC୫ (r)C(r) dr
బ
=୬
ଶ ρ ωଶ int rଶC୫ (r) C(r) dr
బ
Avec
ܥ la corde de la pale (les pales sont similaires)
ω la vitesse angulaire de la pale
le rayon de pale
La force de portance a pour expression
f=ܭωsup2 (225)
Le calcul du coefficient de pousseacutee est souvent complexe Il est essentiel drsquoeacutelaborer
un processus expeacuterimental qui laisse deacuteterminer le coefficient de portance(K)
Chapitre 2 MODELISATION DrsquoUN DRONE A QUATRE HELICES
32
Figure 25 Description des forces appliqueacutees agrave la pale
Force de reacutesistance ou de traineacutee
Gracircce agrave de multiples tests en soufflerie les chercheurs ont pu deacuteterminer lexpression
de la force de traineacutee qui deacutepend directement du profil de la pale et de langle dincidence
[15 37]
Pour un propulseur agrave n pales la force de traineacutee a pour expression
ܯ =
2ߩ න ܥ ݎଶݎ(ݎ)ܥ(ݎ)
ோ
ோభ
Qursquoon note simplement
ܯ = ெܭ ଶ (226)
Avec
ܥ le coefficient de traineacute de lair il deacutepend de la forme du profil et de langle
drsquoattaque
ெܭ le coefficient de reacutesistance agrave deacuteterminer expeacuterimentalement
235 Modegravele dynamique du quadrirotor
Plusieurs auteurs ont eacutetudieacute la modeacutelisation du quadri-rotor Cette eacutetape est
consideacutereacutee comme le premier pas pour construire les lois de commande Le modegravele
Chapitre 2 MODELISATION DrsquoUN DRONE A QUATRE HELICES
33
dynamique obtenu repreacutesente la relation drsquoune part entre les forces et les couples
aeacuterodynamiques provoqueacutes par la rotation des rotors et lrsquoengin et drsquoautre part les
acceacuteleacuterations et de rotations du centre de masse du quadri-rotor Nous preacutesenterons drsquoabord
la dynamique de translation des cordonneacutees carteacutesiennes de la position et la vitesse dans le
repegravere terrestre fixe Ensuite la dynamique de rotation qui deacutecrit lrsquoattitude du drone et son
orientation dans le repegravere terrestre fixe est preacutesenteacutee
Le quadri-rotor est modeacuteliseacute en premiegravere approximation comme un solide indeacuteformable
La position du centre de masse G est deacutefinie par ܩ = (ݖݕݔ) et si on deacuterive une fois
par rapport agrave RG on trouve la vitesse G tel queௗைതതതത
ௗ௧= (ሶݖሶݕሶݔ) On deacuterive deuxiegraveme fois
par rapport agrave RG pour trouver son acceacuteleacuterationௗమைതതതത
ௗ௧మ= (ሷݖሷݕሷݔ)
Pour eacutelaborer la commande on deacutetaille le modegravele dans le repegravere fixe inertiel
Lrsquoeacutequation fondamental de la dynamique est donneacutee par
ௗ ௩ሬ
ௗ௧= ଵሬሬሬ (227)
ௗூಸఆሬሬ
ௗ௧= ଶሬሬሬ (228)
Ougrave υ repreacutesente la vitesse lineacuteaire du drone au centre de graviteacute G Ω la vitesse de
rotation de fuselage par rapport agrave Rୋ et (τ1τ2) les forces et les mouvements exteacuterieurs
soient le poids les forces et les moments aeacuterodynamiques et des propulseurs
2351 La dynamique de translation
La dynamique de translation du quadri-rotor est repreacutesenteacutee par lrsquoeacutequation
dynamique de Newton qui relie lrsquoacceacuteleacuteration lineacuteaire du centre de masse du quadri-rotor
et les forces externes agissant sur le quadri-rotor [7 38 39]
ௗsup2ை
ௗ௧sup2= fraslሬሬሬሬߛ R (229)
Il convient drsquoeacutecrire pour la translation
fraslሬሬሬሬሬߛ R = - eሬ + R ψ θ empty ሬݑ (230)
avec eሬ vecteur uniteacute de E
repreacutesente la constante gravitationnelle
ݑ la pousseacutee appeleacutee aussi entreacutee collective
Chapitre 2 MODELISATION DrsquoUN DRONE A QUATRE HELICES
34
=ሬݑ sum పሬሬସ
ୀଵ (231)
ሬሬሬሬሬߛ൘ = minus Ԧ௭ + ݑ Ԧଷ empty ߠ (232)
eሬଷ vecteur uniteacute de eሬ= (eሬଵ eሬଶ eሬଷ) porteacute par Eଷ
On montre que ݑ eሬଷ = (0 0 ݑଷ
) ougrave ݑଷ
= ଵ + ଶ + ଷ + ସ
La dynamique de translation est reacutegie par
= ሷݔ minus ଷݑߠ
ݕ = ߠݏܥ Sin ଷݑ (233)
=ሷݖ Cosݏܥߠ ଷݑ ndash
2352 Dynamique de rotation
La dynamique de rotation est deacutefinie par rapport au repegravere local mais exprimeacutee dans le
repegravere inertiel Le moment cineacutetique est deacutefinit par
Ԧߪ = ܫ ሬߗ (234)
Alors que la vitesse angulaire dans le repegravere local
=ሬߗ ଶߟܬ Ԧ (235)
A partir des eacutequations (234) et (235) on obtient
=ԦGߪ ܫ ଶߟܬ Ԧ
On pose ߎ = ܫ ܬ et en utilisant lrsquoeacutequation preacuteceacutedente la dynamique des momentssrsquoeacutecrit
ߎ ଶሬሬߟ + ߎ ሬሬextܯsum=ଶሷԦߟ (236)
Ougrave les moments exteacuterieurs par rapport agrave G ( i= i=1hellip4 qui repreacutesente la distance entre G et
i et qui sont identiques)
ሬሬextܯsum = ߠ Ԧ1 + empty Ԧ2+ ψ Ԧ3 (237)
Chapitre 2 MODELISATION DrsquoUN DRONE A QUATRE HELICES
35
Finalement les couples sont donneacutes par
=ߠ ( 2 ndash 4)empty = ( 1 ndash 3) (238)ψ = K ( 1 ndash 2 + 3 ndash 4)
Lrsquoeacutequation peut ecirctre eacutecrite comme
=ሷߟ ୋߎ minus]1-(ߟ) (ߟ)ୋߎ [ሶߟ (239)
Avec = ( ߠ empty ψ )t comme des commandes auxiliaires et
ୋߎ ቌ=(ߟ)
௫௫ܫ emptyݏܥ 0 00 ߠݏܥ emptyݏܥ௬௬ܫ 0
0 0 ௭௭ܫ
ቍ (240)
Dans un premier temps le modegravele donneacute ci-dessus peut ecirctre lineacuteariseacute par les lois de
commande deacutecoupleacutees suivantes
=ߠ ௫௫ܫ minus empty empty ߠ + ௫௫ܫ ǁ emptyݏܥempty = ௬௬ܫ minus sup2 empty ߠݏܥ empty minus emptyݏܥ௬௬ܫ ߠ empty ߠ + ௬௬ܫ emptyǁ emptyݏܥߠݏܥ (241)
ψ = ௭௭ܫ ǁψ
Le modegravele dynamique deacutecoupleacute de la rotation peut ecirctre eacutecrit sous la forme suivante
=ሷߟ ǁ (242)avec
ǁ= (ߠ empty ψ) T
En utilisant le systegraveme drsquoeacutequations 233 et 242 la dynamique du drone peut ecirctre deacutecrite
par les eacutequations suivantes
=ሷݔ - S 3ݑߠ
ݕ = Cߠݏ S empty 3ݑ
=ሷݖ C3ݑ emptyݏܥߠݏ ndash (243)
ߠ = ߠ
empty = empty
ψ = ψ
Chapitre 2 MODELISATION DrsquoUN DRONE A QUATRE HELICES
36
24 Etude des forces deacuteveloppeacutees
On srsquoattache dans cette partie agrave expliciter les actionneurs qui agissent sur le drone il
srsquoagit des quatre forces deacuteveloppeacutees par les heacutelices Afin de calculer la matrice des
actionneurs on construit une matrice qui permet la connexion entre les actionneurs et les
commandes en effet pour trouver ces forces il faut que la matrice Q soit inversible Les
relations entre les forces deacuteveloppeacutees par les actionneurs (les quartes moteurs brushless)
et les commandes dans les diffeacuterentes directions sont introduites pour le systegraveme X4 par
les relations suivantes [15]
ଷݑ = ଵ + ଶ + ଷ+ ସ
ସݑ =
౮౮ୡ୭ୱథଶminus
౯౯ୡ୭ୱథସ +
ୱ୧୬థ Φθ
ୡ୭ୱథ
ହݑ =
౮౮ୡ୭ୱథୡ୭ୱϴ ଵminus
౯౯ୡ୭ୱథୡ୭ୱϴ ଷ +ୱ୧୬థ Φ
మ
ୡ୭ୱథ+
ୗ୧୬ థ Φθ
ୡ୭ୱϴ(244)
ݑ =
ଵ minus
ଶ +
ଷ minus
ସ
On peut eacutecrire lrsquoeacutequation (244) sous la forme matricielle suivante
⎝
⎜⎜⎜⎛
ଷݑ
ସݑ
ହݑ
⎠ݑ
⎟⎟⎟⎞
= Q
⎝
⎜⎜⎜⎛
ଵ
ଶ
ଷ
ସ⎠
⎟⎟⎟⎞
+
⎝
⎜⎜⎜⎜⎛
0
ୱ୧୬థథ θ
ୡ୭ୱథ
ୱ୧୬థథమ
ୡ୭ୱథ+
ୱ୧୬థథ θ
େ୭ୱθ
0 ⎠
⎟⎟⎟⎟⎞
(245)
Avec
=
⎝
⎜⎜⎜⎜⎛
1
0
౯౯ ୡ୭ୱథ େθ
1
౮౮ୡ୭ୱథ
0
minus
1
0
minus
౯౯ ୡ୭ୱథ େθ
1
minus
౮౮ୡ୭ୱథ
0
minus
⎠
⎟⎟⎟⎟⎞
(246)
Chapitre 2 MODELISATION DrsquoUN DRONE A QUATRE HELICES
37
Ougrave
I =
⎝
⎜⎜⎜⎜⎛
0
ୱ୧୬థథ θ
ୡ୭ୱథ
ୱ୧୬థథమ
ୡ୭ୱథ+
ୱ୧୬థథ θ
େθ
0 ⎠
⎟⎟⎟⎟⎞
=
⎝
⎜⎜⎜⎛
ଷݑ
ସݑ
ହݑ
⎠ݑ
⎟⎟⎟⎞
(247)
Les forces sont calculeacutees agrave partir de lrsquoeacutequation suivante
f =
⎝
⎜⎜⎜⎛
ଵ
ଶ
ଷ
ସ⎠
⎟⎟⎟⎞
= Qଵ( minus I) (248)
Les caracteacuteristiques physiques du drone sont donneacutees par
l= 023 mIxx =224931 10-7 kg m2
Iyy =224931 10-7 kg m2
Izz =224931 10-7 kg m2
KT = 10-5 N S2
KM =9 10-6 N S2 mm =2 Kg
25 Conclusion
Dans ce chapitre nous avons preacutesenteacute le modegravele dynamique de mini-heacutelicoptegravere en
utilisant une approche Newton Euler Pour modeacuteliser cette dynamique nous avons vu que
plusieurs niveaux de repreacutesentation peuvent ecirctre considegraveres dynamique des actionneurs
dynamique des rotors processus de geacuteneacuteration de la reacutesultante des forces et des moments
dynamique du solide Ce dernier niveau de repreacutesentation indeacutependant de la configuration
de veacutehicule choisie est celui que nous utiliserons pour la synthegravese de lois de commande
Nous avons preacutesenteacute une modeacutelisation couramment utiliseacutee dans la litteacuterature permettant
de repreacutesenter la dynamique drsquoun drone miniature avec cette approche de type meacutecanique
du solide Le modegravele non lineacuteaire agrave six degreacutes de liberteacute obtenu est sous-actionneacute Cette
Chapitre 2 MODELISATION DrsquoUN DRONE A QUATRE HELICES
38
derniegravere proprieacuteteacute rend complexe la synthegravese de lois de commande Dans le chapitre
suivant la commande du drone par la technique du mode glissant est discuteacutee et appliqueacutee
ainsi que par la commande mode glissant floue
Chapitre3 COMMANDE PAR MODE GLISSANT ET FLOU-GLISSANT
38
Chapitre 3
COMMANDE PAR MODE GLISSANT ET FLOUGLISSANT
Chapitre3 COMMANDE PAR MODE GLISSANT ET FLOU-GLISSANT
39
3 COMMANDE PAR MODE GLISSANT ET FLOUE GLISSANT
31 Introduction
Malgreacute les efforts consideacuterables de la communauteacute automatique le problegraveme lieacute agrave
la commande drsquoun drone agrave modegravele reacuteduit pour les manouvres dans les diffeacuterents axes reste
un problegraveme difficile agrave reacutesoudre Cette difficulteacute est due principalement aux changements
des forces aeacuterodynamiques exerceacutees sur le drone en fonction des paramegravetres de
lrsquoenvironnement dans lequel il eacutevolueacute
Ce chapitre sera consacreacute agrave la conception des lois de commande non lineacuteaires
baseacutees sur la technique du mode glissant pour la commande des mouvements selon les
diffeacuterents axes Dans la premiegravere partie nous preacutesenterons quelques eacuteleacutements de la theacuteorie
par mode glissants agrave structure variable
La deuxiegraveme partie sera consacreacutee agrave la mise on œuvre et agrave la validation de ces techniques
de commande pour la stabilisation et le suivi de trajectoire du drone X4
Nous effectuons des tests en simulations de ces lois de commande dans diffeacuterentes
manouvres et sceacutenarios
32 Theacuteorie de la commande par mode de glissement
321 Systegraveme agrave structure variable
La commande par mode de glissement a connu un deacuteveloppement theacuteorique au
deacutebut des anneacutees 60 gracircce agrave la reacutesolution de lrsquoeacutequation diffeacuterentielle agrave second membre
discontinu par le matheacutematicien Russe A Fillipov [40 41] suivi des recherches de S
emelyanov en 1967 et de V Utkin en 1977 [42 43 44]
Le reacuteglage par modes de glissement est un mode de fonctionnement particulier des
systegravemes agrave structure variable Un systegraveme agrave structure variable est un systegraveme pouvant
changer de structure en faisant commuter sa commande entre deux valeurs suivant une
logique de commutation bien speacutecifique
Dans les systegravemes agrave structure variable avec mode glissant la trajectoire drsquoeacutetat est ameneacutee
vers une surface (hyperplan) puis agrave lrsquoaide de la loi de commutation elle est obligeacutee de
Chapitre3 COMMANDE PAR MODE GLISSANT ET FLOU-GLISSANT
40
rester au voisinage de cette surface Cette derniegravere est dite surface de glissement et le
mouvement le long de laquelle se produit est dit le mouvement de glissement La
trajectoire dans le plan de phase (systegraveme deuxiegraveme ordre) est constitueacutee de trois parties
distinctes (figure 31) [45 46 42 43]
Le mode de convergence (MC)
Durant lequel la variable agrave reacutegler se deacuteplace de nrsquoimporte quel point initial dans le plan de
phase est tend vers la surface de commutation (ݕݔ) = 0 Ce mode est caracteacuteriseacute par la
loi de commande et le critegravere de convergence
Le mode glissement (MG)
Durant lequel la variable drsquoeacutetat a atteint la surface de glissement et tend vers lrsquoorigine du
plan de phase La dynamique dans ce mode est caracteacuteriseacutee par le choix de la surface de
glissement (x y)
Le mode du reacutegime permanent (MRP)
Il est ajouteacute pour lrsquoeacutetude de la reacuteponse du systegraveme autour de sont point drsquoeacutequilibre (origine
du plan de phase) il est caracteacuteriseacute par la qualiteacute et les performances de la commande
Figure 31 Diffeacuterents modes pour la trajectoire dans le plan de phase
322 Conception de la commande par modes glissants
Syntheacutetiser une loi de commande par modes glissants revient en premier lieu agrave choisir la
surface de glissement qui permet la convergence de la trajectoire drsquoeacutetat du systegraveme vers le
point drsquoeacutequilibre deacutesireacute en second lieu agrave eacutetablir la condition drsquoexistence du mode de
glissement qui est relieacutee agrave la convergence de la trajectoire drsquoeacutetat vers le point drsquoeacutequilibre
et en troisiegraveme lieu agrave deacuteterminer la loi de commande qui aura pour rocircle de maintenir les
MC
MRP
MG
( ) =
Chapitre3 COMMANDE PAR MODE GLISSANT ET FLOU-GLISSANT
41
conditions de glissement (attractiviteacute) (Annexe A) En drsquoautre termes la conception de la
loi de commande par modes glissants est reacutealiseacutee en trois eacutetapes [47 48 43 45]
3221 Le choix de la surface de glissement (S)
La surface de glissement est un hyperplan dans lrsquoespace drsquoeacutetat global et repreacutesente
le comportement dynamique deacutesireacute La trajectoire drsquoeacutetat du systegraveme doit atteindre cette
surface Il nrsquoexiste pas de critegravere pour le choix drsquoune surface de glissement approprieacutee
Le choix de la surface du glissement identifieacutee par le nombre et sa forme deacutepend de
lrsquoapplication et lrsquoobjectif deacutesireacute
Consideacuterons le systegraveme non lineacuteaire deacutecrit par lrsquoeacutequation drsquoeacutetat suivante
=ሶݔ +ݔ(ݐݔ)ܣ ݑ(ݐݔ)ܤ (31)
La surface de glissement est une fonction scalaire telle que lrsquoerreur sur la variable agrave reacutegler
glisse sur cette surface et tend vers lrsquoorigine du plan de phase Nous trouvons dans la
litteacuterature diffeacuterentes formes de la surface dont chacune donne de meilleures performances
pour certaines utilisations
Dans certains ouvrage [48 49 42 43 44] on trouve une forme de la surface de
glissement qui est fonction de lrsquoeacutecart sur la variable agrave reacutegler x elle est donneacutee par
(ݔ) = ቀப
ப୲+ λቁ
ଵ
e(ݔ) (32)
Cette surface est drsquousage tregraves pratique car elle minimise le nombre des paramegravetres de
synthegravese de la surface (un seul coefficient) [50]
Ougrave lrsquoeacutecart de la variable agrave reacutegler est (ݔ) = ݔ minus ݔ estߣ une constante positive qui
repreacutesente la pente de la surface de glissement et r le degreacute relatif du systegraveme La
surface de glissement est fonction de lrsquoapplication et lrsquoobjectif viseacutes
La strateacutegie de commande consiste agrave garantir que les trajectoires du systegraveme se deacuteplacent
et tendent vers la surface de glissement (ݔ) = 0
Cette derniegravere et avec une condition initiale e(0) = 0 et (ݐݔ) = 0 devient une eacutequation
homogegravene qui possegravede une solution unique (ݔ) = 0
Chapitre3 COMMANDE PAR MODE GLISSANT ET FLOU-GLISSANT
42
Figure 32 Surface de glissement
3 222 La condition de convergence et drsquoexistence
Les conditions drsquoexistante et de convergence du mode de glissement sont des critegraveres
qui permettent aux dynamiques du systegraveme de converger vers la surface de glissement et
drsquoy rester indeacutependamment de la perturbation Il yrsquoa deux consideacuterations correspondantes
au mode de convergence de lrsquoeacutetat du systegraveme [46]
a) La fonction directe de commutation
Crsquoest la premiegravere condition de convergence Elle est proposeacutee et eacutetudieacutee par Emilyanov
et Utkin [42 43] Il srsquoagit de donner agrave la surface une dynamique convergente vers zeacutero
Elle est donneacutee par
(ݔ) gt 0 Lorsque (ݔ) lt 0
S (x) lt 0 Lorsque S(x) gt 0
Ces deux ineacutegaliteacutes peuvent ecirctre formuleacutes par la condition suffisante suivante
(ݔ) (ݔ) lt 0
b) La fonction de Lyapunov
La fonction de Lyapunov [46 43 44 ] est une fonction scalaire positive (Ѵ(ݔ) gt 0)
pour les variables drsquoeacutetats du systegraveme la loi de commande doit faire deacutecroicirctre cette fonction
(Ѵ (ݔ) lt 0) lrsquoideacutee est de choisir une fonction scalaire S(x) qui garantit lrsquoattraction de la
variable agrave controcircler vers sa valeur de reacutefeacuterence et de construire une commande u telle que
Ѵ(ݔ) =ଵ
ଶଶ(ݔ) (3 3)
( )=0
Chapitre3 COMMANDE PAR MODE GLISSANT ET FLOU-GLISSANT
43
La deacuteriveacutee de cette fonction est Ѵ(ݔ) = (ݔ) (ݔ) (3 4)
Pour que la fonction Ѵ(x) deacutecroitre il suffit drsquoassurer que sa deacuteriveacutee est neacutegative Ceci
nrsquoest permis que si la condition (34) est veacuterifieacutee Lrsquoeacutequation (33) explique que le carreacute de
la distance vers la surface mesureacutee par ଶ(ݔ) diminue tout le temps contraignant la
trajectoire du systegraveme agrave se diriger vers la surface dans les deux cocircteacutes [50]
3223 Deacutetermination de la commande
Une fois la surface de glissement S choisie stable de sorte que la sortie du systegraveme
converge vers une sortie deacutesireacutee la convergence du mode glissant est assureacutee on eacutelabore
une commande qui forcera les eacutetats du systegraveme agrave atteindre le point drsquoeacutequilibre tout en
maintenant la condition du mode glissant
La structure drsquoun controcircleur par mode de glissement peut ecirctre deacutecomposeacutee en une somme
de deux commandes [51 52 43 44 53]
ݑ = ݑ + ݑ (35)
ݑ eacutetant la commande eacutequivalente qui sert agrave maintenir lrsquoeacutetat sur la surface de glissement
(ݔ) = 0 et ݑ eacutetant la commande stabilisante (elle est deacutetermineacutee afin de veacuterifier la
condition de convergence en deacutepit de lrsquoimpreacutecision sur les paramegravetres et le modegravele)
La deacuteriveacutee totale par rapport au temps de cette surface est
S(ݐݔ) =partS
partt=
partS
ݔpart∙ ሶݔ (36)
Comme lrsquoeacutequation drsquoeacutetat est
=ሶݔ +ݔ(ݐݔ)ܣ ݑ(ݐݔ)ܤ + ݑ(ݐݔ)ܤ (37)
On a alors
S(ݐݔ) =partS
partt=
part
part௫∙ ൫ݔ(ݐݔ)ܣ+ +൯ݑ(ݐݔ)ܤ
partS
part௫ݑ(ݐݔ)ܤ (38)
En reacutegime ideacuteale la deacuteriveacutee de la surface est nulle la commande appliqueacutee au systegraveme est
la commande eacutequivalente ݑ par conseacutequent
൜ݑ = 0
(ݐݔ) = 0 (39)
Si la matrice ቀడௌ
డ௫∙ ቁest(ݐݔ)ܤ inversible lrsquoexpression de la commande eacutequivalente est
donneacutee par
=minusቀݑడௌ
డ௫∙ ቁ(ݐݔ)ܤ
ଵ
∙డௌ
డ௫∙ (ݐݔ)ܣ (310)
Chapitre3 COMMANDE PAR MODE GLISSANT ET FLOU-GLISSANT
44
Donc en remplaccedilant la commande eacutequivalente par son expression (310) dans (38) on
obtient
S(ݐݔ) =partS
ݔpart∙ (ݐݔ)ܤ ∙ ݑ (311)
Nous choisissons pour simplifier une surface de glissement qui veacuterifie la relation
பୗ
ப௫∙ (ݐݔ)ܤ = ܫ (312)
Ougrave I est la matrice identiteacute
Ainsi
(ݐݔ) = ݑ (313)
La commande discontinue est choisie de maniegravere agrave satisfaire la condition suffisante
drsquoexistence des modes glissants Il existe plusieurs formes pour cette commande ougrave la
condition drsquoexistence est veacuterifieacutee
ݑ = ܭminus ݏ ( ) (314)
Ougrave sign(( ((ݐݔ) est la fonction deacutefinie par
s (( ((ݐݔ) = ൜ݏ 1minus (ݐݔ) lt 0
1 ݏ (ݐݔ) gt 0 (315)
Avec K gt 0
(ݔ) (ݔ) = ܭminus ݏ ( ) lt 0 (316)
Ou encore
= ܭminus | | lt 0 (317)
323 Le pheacutenomegravene de reacuteticence
Le pheacutenomegravene de reacuteticence ℎݐݐ ݎ (fig33) est le principal inconveacutenient de la
technique de commande par mode glissant aux systegravemes physiques Ce pheacutenomegravene
conduit quelque fois agrave un nombre eacuteleveacute drsquooscillations de la trajectoire du systegraveme autour de
la surface de glissement est donc agrave des sollicitations excessives des actionneurs pouvant
provoquer leur usure rapide ainsi que des pertes eacutenergeacutetiques non neacutegligeables au niveau
des circuits de puissance eacutelectrique Il est ducirc drsquoune part agrave lrsquoimperfection des eacuteleacutements de
commutation ou des limites technologiques telles que les retards aux niveaux des
commutations [45 50]
Chapitre3 COMMANDE PAR MODE GLISSANT ET FLOU-GLISSANT
45
Figure 33 Pheacutenomegravene de chattering
324 Adoucissement de la commutation
Pour remeacutedier agrave lrsquoeffet de broutement de nombreuses eacutetudes ont eacuteteacute effectueacutees dans le
but de reacuteduire ou drsquoeacuteliminer ce pheacutenomegravene [ 50] Lrsquoune drsquoentre elles consiste agrave remplacer
la fonction sign par des approximations continues de type grand gain dans un voisinage de
la surface telles que la fonction de saturation deacutefinie par (voir figure 34)
Figure 34 Fonctions de commutation
La fonction sat(S(t)) est exactement eacutegale agrave la commutation sign(S(t)) agrave lexteacuterieur de la
couche limite φ Par conseacutequent ceci rend lanalyse vis-agrave-vis des erreurs de perturbation
plus facile Ceci nest pas le cas des autres fonctions comme smooth et comarctg pour
lesquels le choix de φ nest pas simple
33 Stabilisation du drone X4 par la meacutethode mode glissant
Dans cette partie en nous basant sur la strateacutegie de controcircle par mode glissant
deacutecrite dans les paragraphes preacuteceacutedents nous deacuteveloppons un vecteur de commande
ݐeacuteݎ
( )=0
sat (S(t))
φ
minusφ S(t)
Smooth(S(t))
S(t)
Penteଵ
ఝ Penteଵ
ଵఝ
arctg(S(t)
S(t)
Chapitre3 COMMANDE PAR MODE GLISSANT ET FLOU-GLISSANT
46
assurant le suivi et la stabiliteacute du quadri-rotors Rappelons le modegravele dynamique du X4
preacutesenteacute sous sa forme simplifieacutee suivante
=ሷݔ minus ଷݑߠݏ =ሷݕ emptyݏ ଷݑߠݏ =ሷݖ ߠݏ ଷݑ emptyݏ minus (318)
ߠ = ସݑempty = ହݑ = ݑ
331 Commande par mode glissant du systegraveme de translation lineacuteaire
3311 Controcircle de lrsquoaltitude
Nous remarquons que la commande u3 agit directement sur la variable drsquoaltitude z
contrairement aux commandes u4 et u5 qui agissent sur les variables x et y agrave travers les
angles ߠ et empty
Consideacuterons lrsquoeacutequation
=ሷݖ cos ଷݑ(empty) cos(ߠ) minus (319)
La surface est deacuteduite de lrsquoeacutequation (34) ougrave le degreacute relatif est pris eacutegal agrave deux afin que la
commande ଷݑ apparaisse explicitement dans sa deacuteriveacutee Elle est donneacutee par
(ݖ) = ሶ௭ + ௭ߣ ௭ (320)
Avec
௭ = ݖ minus z
ሶ௭ = ሶݖ minus ሶݖ
La deacuteriveacutee de la surface est
(ݖ) = ௭ + ௭ߣ ሶ௭ (321)
Avec ሷ௭ = ሷݖ minus ሷݖ
On remplace ሷparݖ sa valeur deacutecrite par lrsquoeacutequation (318) la deacuteriveacutee de la surface devient
(ݖ) = ሷݖ minus (ୡ୭ୱ(ఏ)ୡ୭ୱ (empty)
ଷݑ minus ) + ሶݖ)௭ߣ minus (ሶݖ (322)
Nous constatons donc que la commande apparaicirct explicitement dans la deacuteriveacutee de la
surface
Nous deacutecomposant la commande de lrsquoaltitude u3 en deux parties ଷݑ et ଷݑ
Chapitre3 COMMANDE PAR MODE GLISSANT ET FLOU-GLISSANT
47
ଷݑ = ଷݑ + ଷݑ (323)
En substituant lrsquoeacutequation 323 dans 322 nous obtenons
(ݖ) = ሷݖ minus (ୡ୭ୱ(ఏ)ୡ୭ୱ (empty)
( ଷݑ + (ଷݑ minus ) + ሶݖ)௭ߣ minus (ሶݖ (324)
Durant la mode de convergence et le reacutegime permanent nous avons la surface de
glissement (ݖ) = 0 ceci implique que sa deacuteriveacutee (ݖ) = 0 et la commande
discontinue ଷݑ = 0 drsquoougrave la grandeur de commande eacutequivalente
ଷݑ =
௦(ఏ)௦ (empty)൬ + ሶݖ௭ቀߣ+ሷݖ minus ሶቁ൰ݖ (325)
Durant le mode de convergence en remplaccedilant lrsquoexpression de la commande eacutequivalente
dans lrsquoexpression de la deacuteriveacutee de la surface nous obtenons
(ݖ) = minus௦(ఏ)௦ (empty)
ଷݑ (326)
Nous posons ଷݑ = ௭ ݏ ( ((ݖ) (327)
Afin de veacuterifier la condition de stabiliteacute de Layapunov S(z) S(z) lt 0 le paramegravetre ௭ doit
ecirctre positif
Drsquoougrave la commande ଷݑ devient comme suit
ଷݑ =
௦(ఏ)௦ (empty)൬ + ሶݖ௭ቀߣ+ሷݖ minus +ሶቁ൰ݖ ௭ ݏ ((ݖ)ݏ) (328)
33 12 Controcircle de deacuteplacement lineacuteaire suivant les axes et y
A partir du modegravele du X4 donneacute par lrsquoeacutequation (243) on voit clairement que le
deacuteplacement suivant les axes x et y deacutepend de la commande de pousseacutee ଷݑ Drsquoougrave
lrsquoorientation du vecteur total de pousseacutee ଷݑ responsable pour atteindre les mouvements
lineacuteaires deacutesireacutes Si nous consideacuterons ux = sin(ϴ) et uy = cos(ϴ)sin (empty) les orientations du
vecteur responsable pour les mouvements suivant les axes x et y respectivement Nous
pouvons par la suite tirer les angles pitch et roulis deacutesireacutes pour calculer les commandes ux
et uy
A partir du modegravele du drone le systegraveme dynamique des mouvements horizontale est
deacutefinis par
൜=ሷݔ minus ݏ ߠ) ଷݑ(
=ሷݕ cos (empty) ݏ (ߠ) ଷݑ (329)
Chapitre3 COMMANDE PAR MODE GLISSANT ET FLOU-GLISSANT
48
La loi de commande est obtenue par lrsquoutilisation de la technique mode glissant [54 55 56]
Les surfaces de glissement selon les axes x et y sont donneacutees par
(ݔ) = ሶ௫ + ௫ߣ ௫ (330)
(ݕ) = ሶ௬ + ௭ߣ ௬ (331)
Avec ex et ey les erreurs de positions qui sont deacutefinis par
௫ = ݔ minus ݔ
௬ = ݕ minus ݕ
Les mecircmes eacutetapes sont utiliseacutees pour deacuteterminer les commande de positions ௫etݑ ௬ݑ
௫ݑ =
௨య൫minusߣ௫൫ݔሶ minus minusሶ൯ݔ minusሷ൯ݔ ௫ ݏ ((ݔ)ݏ)ݐ (332)
௬ݑ =
௨య൫ߣ௬൫ݕሶ minus +ሶ൯ݕ +ሷ൯ݕ ௬ ݏ ((ݕ)ݏ)ݐ (333)
332 Commande par mode glissant du systegraveme de rotation
3321 Commande de lrsquoangle de roulis
Dans cette section on veut eacutetablir une commande par mode glissant qui assure
lrsquoorientation du drone par lrsquoangle empty (roulis)
Le degreacute relatif eacutegal agrave deux drsquoougrave la surface de glissement est deacutefinie par
(empty) = ሶempty + emptyߣ empty (334)
Avec
empty = empty minusempty
ሶempty = empty minus empty
La deacuteriveacutee de la surface est
(empty) = empty + emptyߣ ሶempty (335)
Avec ሷempty = empty minus empty
On remplace empty par sa valeur deacutecrite par lrsquoeacutequation (318) la deacuteriveacutee de la surfacedevient
(empty) = empty minus ହݑ + empty)emptyߣ minus empty) (336)
Nous constatons donc que la commande apparaicirct explicitement dans la deacuteriveacutee de la
surface
Nous deacutecomposant la commande de lrsquoaltitude u5 en deux parties ହݑ et ହݑ
ହݑ = ହݑ + ହݑ (337)
En substituant lrsquoeacutequation 337 dans 336 nous obtenons
(empty) = empty minus ହݑ ) + (ହݑ + empty)emptyߣ minus empty) (338)
Chapitre3 COMMANDE PAR MODE GLISSANT ET FLOU-GLISSANT
49
Durant le mode de convergence et le reacutegime permanent nous avons la surface de
glissement (empty) = 0 ceci implique que sa deacuteriveacutee (empty) = 0 et la commande
discontinue ହݑ = 0 drsquoougrave la grandeur de commande eacutequivalente
ହݑ = empty+ߣemptyቀempty minus emptyቁ (339)
En remplaccedilant lrsquoexpression de la commande eacutequivalente dans lrsquoexpression de la deacuteriveacutee de
la surface nous obtenons
(empty) = ହݑ minus (340)Nous posons
ହݑ = kempty sign(s(empty)) (341)
Afin de veacuterifier la condition de stabiliteacute de Laypunov (empty) (empty) lt 0 le paramegravetre empty
doit ecirctre positif
Drsquoougrave la commande ହݑ devient comme suit
ହݑ = empty+ߣemptyቀempty minus emptyቁ+ empty ݏ ( (empty)) (342)
3321 Commande des angles de tangage et de lacet
En suivant les mecircmes eacutetapes deacutecrites preacuteceacutedemment pour deacuteterminer les commandes de
tangage et de lacet ce qui nous donne [54 55 56]
ସݑ = ߠఏቀߣ+ߠ minus +ቁߠ ఏܭ ݏ ((ߠ)ݏ) (343)
ݑ = +ߣట ቀ minus ቁ+ kట sign(s()) (344)
Avec(ߠ) = ሶఏ + ఏߣ ఏ (345)
() = ሶట + టߣ ట (346)
34 Planification de trajectoire et reacutesultats de simulations
Nous travaillons avec une trajectoire en ligne droite le long des axes etݔݖ ݕ et nous
effectuons des trajectoires de type arc ou bien demi-cercle La stabilisation point par point
est utiliseacutee avec la planification de mouvement Le drone doit voler dans la direction ݖ (vol
vertical) suivi par un mouvement suivant ݔ ensuite par un mouvement suivant ݕ [2 15]
La trajectoire de reacutefeacuterence pour le vol vertical est parameacutetreacutee par lrsquoeacutequation suivante
(ݐ)ݖ = ℎௗ௧ఱ
௧ఱାቀ భ௧ቁ
ఱ (347)
Chapitre3 COMMANDE PAR MODE GLISSANT ET FLOU-GLISSANT
50
Avec h lrsquoaltitude deacutesireacutee de 10 m et Tଵ est le temps final Sachant que la valeur finale
drsquoune phase du vol est la valeur initiale du mouvement suivant x On peut eacutecrire la
trajectoire de reacutefeacuterence suivant x comme
(ݐ)ݔ = ℎௗቀ௧
భቁఱ
ቀ௧ మቁ
ఱା൬
భቀ௧ మቁ൰
ఱ (348)
On peut eacutecrire le mouvement suivant y avec la formule suivante
(ݐ)ݕ = ℎௗቀ௧
మቁఱ
ቀ௧ యቁఱା൬
మቀ௧ యቁ൰
ఱ (349)
ଶ est le temps final du mouvement le long de ݔ
ଷ est le temps final du mouvement le long de ݕ
Ces trajectoires sont soumises agrave des contraintes de performance qui sont
(0)ݖ = ൫ݔ ଵ൯=ݕ൫
ଶ൯= 0
൫ݖ ଵ൯= ൫ݔ
ଶ൯=ݕ൫ ଷ൯= ℎௗ
ሶ(0)ݖ = ሶ൫ݔ ଵ൯=ݕሶ൫
ଶ൯= 0
ሶ൫ݖ ଵ൯= ሶ൫ݔ
ଶ൯=ݕሶ൫ ଷ൯= 0 (350)
ሷ(0)ݖ = ሷ൫ݔ ଵ൯=ݕሷ൫
ଶ൯= 0
ሷ൫ݖ ଵ൯= ሷ൫ݔ
ଶ൯=ݕሷ൫ ଷ൯= 0
Minimiser le temps de deacuteplacement implique que lrsquoengin acceacutelegravere au deacutepart et deacuteceacutelegravere agrave
lrsquoarriver
La figure 35 illustre les trajectoires de reacutefeacuterences des vols suivant les directions x et y
ainsi que le vol vertical z Le drone effectue un mouvement vertical de 10 m puis un
mouvement suivant x drsquoune distance de 10 m ensuite un mouvement suivant y de la mecircme
Chapitre3 COMMANDE PAR MODE GLISSANT ET FLOU-GLISSANT
51
distance
Figure 35 Geacuteneacuteration de trajectoire avec =
Nous travaillons aussi avec des trajectoires pour faire par exemple des virages Un virage
est mateacuterialiseacute par un arc de cercle de rayon ߩ et drsquoangle (ݐ)ߙ (angle de virage)
Cette deacutependance du temps de ߙ implique qursquoon peut planifier la maniegravere dont on veut
aborder le virage Ainsi on peut planifier une acceacuteleacuteration ou une deacuteceacuteleacuteration dans un
virage De mecircme lrsquoangle ߙ qui agit directement sur le comportement du lacet peut
prendre des valeurs entre zeacutero pour un changement de direction ou ߨ2 pour contourner
un carrefour
Nous proposons de connecter etݖ ݔ agrave travers les eacutequations suivantes
ቊ(ݐ)ௗݔ = +൯(ݐ)ߙcos൫ߩminus ߩ
(ݐ)ௗݖ = +൯(ݐ)ߙsin൫ߩminus ߩ (351)
Et pour la transition de reacutefeacuterence entre ݔ et ݕ on prend
ቊ(ݐ)ௗݔ = +൯(ݐ)ߙsin൫ߩ ௗ൫ݔ
ଶ൯
(ݐ)ௗݕ = +൯(ݐ)ߙsin൫ߩminus ߩ (352)
Pour assurer la continuiteacute entre les deacuteriveacutees par rapport au temps de (ݐ)ௗݔ et (ݐ)ௗݕ crsquoest-agravedire en vitesse on a
0 5 10 15 20 250
2
4
6
8
10
12
z-re
f(m
)
temps (s)
0 5 10 15 20 250
2
4
6
8
10
12
x-r
ef(m
)
temps (s)
0 5 10 15 20 250
2
4
6
8
10
12
y-r
ef(m
)
temps (s)
05
10
0
10
200
5
10
x-deacuteplacementy-deacuteplacementz-
deacutep
lace
men
t
Chapitre3 COMMANDE PAR MODE GLISSANT ET FLOU-GLISSANT
52
(ݐ)ߙ =ఈ(௧ ௧)ఱ
(௧ ௧)ఱା(௧ ௧)ఱ(353)
Ougrave numeacuteriquement =ߩ 2 ௗߙ = ఈగ
ଶ( ఈ = 12) ݐ = ݏ6 ݐ = ݏ8 ௗ൫ݔ
ଶ൯=
ௗ൫ݕ ଷ൯= ℎௗ + =ߩ 10
Figure 36 une trajectoire de reacutefeacuterence avec arcs
Simulation numeacuterique
Dans cette partie nous testons numeacuteriquement la performance du vecteur de commande
deacuteveloppeacute preacuteceacutedemment en utilisant logiciel Matlab Simulink
Les coefficients de gain kx ky kz ఏ empty associeacutes respectivement aux paramegravetres x y z ߠempty et sont donneacutes par ( 5 4 10 10 5)
௭ߣ = 2 ௫ߣ = 5 ௬ߣ = 2 ఏ=10ߣ et emptyߣ = 5
Par la suite nous affichons les reacutesultats numeacuteriques du suivi de trajectoire de reacutefeacuterence en
absence et en preacutesence des perturbations
02
46
810
1214
02
46
810
120
2
4
6
8
10
12
Deacuteplacement suivant (x)Deacuteplacement suivant (y)
Deacutepla
cem
ent
suiv
ant
(z)
Chapitre3 COMMANDE PAR MODE GLISSANT ET FLOU-GLISSANT
53
Figure 37 La trajectoire de reacutefeacuterence et reacuteelle en cas droites
Figure 38 Les commandes u3 u4 u5 des connexions droites
02
46
810
12
02
46
810
120
2
4
6
8
10
12
Deacuteplacement suivant (x)Deacuteplacement suivant (y)
Deacute
pla
ce
me
nt
su
iva
nt
(z)
Trajectoire reacuteelle
Trajectoire reacutefeacuterence
0 5 10 15 20 250
20
40
u3(N
)
0 5 10 15 20 25-10
0
10
u4(N
m)
0 5 10 15 20 25-10
0
10
u5(N
m)
temps (s)
Chapitre3 COMMANDE PAR MODE GLISSANT ET FLOU-GLISSANT
54
Figure 39 Les erreurs pour des connections droites
Figure 310 Les angles de tangage et de roulis pour des connections droites
0 5 10 15 20 25 30 35-5
0
5x 10
-4
z-e
rreur(m
)
0 5 10 15 20 25 30 35-5
0
5x 10
-3
x-e
rreur(m
)
0 5 10 15 20 25 30 35-5
0
5x 10
-5
y-e
rreur(m
)
temps (s)
0 5 10 15 20 25
-05
0
05
angle
theta
(rad)
0 5 10 15 20 25
-05
0
05
angle
phi(rad)
temps (s)
Chapitre3 COMMANDE PAR MODE GLISSANT ET FLOU-GLISSANT
55
Figure 311 La trajectoire de reacutefeacuterence et reacuteelle en cas drsquoarcs
Figure 312 Les commandes u3 u4 u5 des connexions drsquoarcs
0
5
10
15
0
5
10
150
5
10
15
deacuteplacement suivant (x)deacuteplacement suivant (y)
deacutepla
cem
entsuiv
ant(z
)
Trajectoire reacuteelle
Trajectoire reacutefeacuterence
0 5 10 15 20 25 30 350
20
40
u3(N
)
0 5 10 15 20 25 30 35
-10
0
10
u4(N
m)
0 5 10 15 20 25 30 35-10
0
10
u5(N
m)
temps (s)
Chapitre3 COMMANDE PAR MODE GLISSANT ET FLOU-GLISSANT
56
Figure 313 Les erreurs pour des connexions drsquoarcs
Figure 314 Les angles de tangage et de roulis en cas drsquoarcs
0 5 10 15 20 25 30 35-5
0
5x 10
-4
z-e
rreur(m
)
0 5 10 15 20 25 30 35-5
0
5x 10
-3
x-e
rreurr
(m)
0 5 10 15 20 25 30 35-5
0
5x 10
-5
y-e
rreur(m
)
temps (s)
0 5 10 15 20 25 30 35
-05
0
05
angle
theta
(rad)
0 5 10 15 20 25 30 35
-05
0
05
angle
phi(rad)
temps (s)
Chapitre3 COMMANDE PAR MODE GLISSANT ET FLOU-GLISSANT
57
Figure 315 La trajectoire de reacutefeacuterence et reacuteelle en cas des demi-cercles
Figure 316 Les commandes u3 u4 u5 pour des connexions demi-cercles
-10
010
20
30
-5
0
5
100
5
10
15
20
25
deacuteplacement suivant (x)deacuteplacement suivant (y)
deacutepla
cem
entsuiv
ant(z
)
Trajectoire reacuteelle
Trajectoire reacutefeacuterence
0 10 20 30 40 50 60 70 80 900
10
20
30
u3(N
)
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90-5
0
5
u4(N
m)
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90-5
0
5
u5(N
m)
temps (s)
Chapitre3 COMMANDE PAR MODE GLISSANT ET FLOU-GLISSANT
58
Figure 317 Les erreurs pour des connexions demi-cercles
Figure 318 Les angles pour des connexions demi-cercles
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90-2
0
2x 10
-3
z-e
rreur(m
)
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90-5
0
5x 10
-4
x-e
rreur(m
)
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90-5
0
5x 10
-4
y-e
rreur(m
)
temps (s)
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90
-05
0
05
angle
theta
(rad)
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90
-05
0
05
angle
phi(rad)
temps (s)
Chapitre3 COMMANDE PAR MODE GLISSANT ET FLOU-GLISSANT
59
Figure 319 La trajectoire de reacutefeacuterence et reacuteelle en cas des demi-cercles
Figure 320 La trajectoire de reacutefeacuterence et reacuteelle en cas drsquoheacutelicoiumldale
-4
-20
2
4
-2
0
2
40
5
10
15
20
25
deacuteplacement suivant (x)deacuteplacement suivant (y)
deacutepla
cem
entsuiv
ant(z
)
Trajectoire reacuteelle
Trajectoire reacutefeacuterence
0
5
10
15
0
5
10
150
5
10
15
deacuteplacement suivant (x)deacuteplacement suivant (y)
deacutepla
cem
ent
suiv
ant
(z) Trajectoire reacuteelle
Trajectoire reacutefeacuterence
Chapitre3 COMMANDE PAR MODE GLISSANT ET FLOU-GLISSANT
60
Figure 321 La trajectoire de reacutefeacuterence et reacuteelle en cas drsquoun cocircne
Les figures 37 38 et 39 illustrent respectivement la reacutealisation des connexions droites
les signaux de commandes et des erreurs Nous constatons que la trajectoire parcourue par
le drone suit la trajectoire deacutesireacutee avec des erreurs de tregraves faibles valeurs Pour les
commandes la condition de lrsquoeacutetat drsquoeacutequilibre est toujours veacuterifieacutee apregraves avoir effectueacute une
manœuvre ଷݑ) est approximativement eacutegale agrave mg et les commandes ସݑ et ହݑ tendent vers
zero)
La figure (310) preacutesente lrsquoeacutevolution des angles de tangage et de roulis nous observons que
ces angles ne se manifestent que lors drsquoun mouvement effectueacute respectivement suivant les
axes ݔ et ݕ et tendent vers la valeur zeacutero apregraves avoir fait lrsquoorientation deacutesireacutee
Les figures (311) et (315) montrent respectivement la bonne poursuite de la trajectoire
reacuteelle vers sa reacutefeacuterence pour des connexions arcs et demi-cercle
Les figures (312) (313) et (314) illustrent respectivement les reacutesultats de simulation
pour la reacutealisation des connexions en arcs les signaux de commandes les erreurs et les
angles de tangage et de roulis
Les figures (316) et (317) quant agrave elles illustrent respectivement les signaux de
commande et les erreurs de poursuite pour des connexions en demi-cercle La condition de
lrsquoeacutetat drsquoeacutequilibre dans ce cas est toujours veacuterifieacutee apregraves avoir effectueacute les manouvres en
demi-cercle
-2
-10
1
2
-2
-1
0
1
20
1
2
3
4
5
deacuteplacement suivant (x)deacuteplacement suivant (x)deacuteplacement suivant (y)
deacutepla
cem
entsuiv
ant(z
)
trajectoire reacuteelle
Trajectoire reacutefeacuterence
Chapitre3 COMMANDE PAR MODE GLISSANT ET FLOU-GLISSANT
61
Drsquoapregraves la figure (318) on voit bien que les angles de tangage et de roulis tendent vers la
valeur zeacutero apregraves avoir fait lrsquoorientation deacutesireacutee
Les figures (319) (320) et (321) montrent la bonne poursuite des trajectoires reacuteelles agrave
leurs reacutefeacuterences en 3D pour des connexions demi-cercle (deuxiegraveme forme) heacutelicoiumldale et
cocircne respectivement Drsquoapregraves ces figures on voit clairement les bonnes performances de la
commande par mode glissant
341 Etude de robustesse
Nous nous inteacuteressons dans cette partie aux tests de la robustesse des controcircleurs
deacuteveloppeacutes Nous nous placcedilons toujours dans le cadre de la commande du drone X4 dans
le cas de lrsquoinfluence du vent suivant les diffeacuterents axes du mouvement
Selon le principe drsquoinertie (lois du mouvement de Newton) aucune eacutenergie nrsquoest
neacutecessaire pour maintenir le mouvement uniforme drsquoun corps dans le vide Dans le cas du
X4 une reacutesistance ou une force de traineacutee srsquooppose au mouvement de celui-ci en vol et
crsquoest le travail de cette force qui entraine une consommation suppleacutementaire drsquoeacutenergie aux
niveaux des actionneurs et qui affaiblit ses capaciteacutes en vol Cette force de reacutesistance peut
ecirctre calculeacutee comme suit [15]
=ܨଵ
ଶ௫ܥ ܣߩ
ଶ (354)
Fi la force de traineacutee suivant lrsquoaxe i en [N]
V est la vitesse relative en [ms]
A lrsquoaire caracteacuteristique de la surface frontale de la structure du drone [m2]
ρ la masse volumique du drone en [Kgm3]
Lrsquoexpression de lrsquoeacutequation 3 65 introduit un coefficient de traineacutee sans dimention Cx qui
deacutepend de la structure du X4 et qui est deacutetermineacute expeacuterimentalement en soufflerie
Ce coefficient vaut dans le cas du drone X4
-Cx = 005 suivant le deacuteplacement dans les directions x et y
-Cx = 008 suivant le deacuteplacement dans la direction z
Lrsquoaire caracteacuteristique A de la surface frontale de la structure drone est eacutegale agrave A =
0031[m2] avec une masse volumique estimeacutee eacutegale agrave ρ =122 [Kgm3]
Reacutesultat de simulation
Dans cette partie nous testons numeacuteriquement la performance du vecteur de
commande deacuteveloppeacute preacuteceacutedemment en preacutesence des perturbations externes qui sont
donneacutes par
Chapitre3 COMMANDE PAR MODE GLISSANT ET FLOU-GLISSANT
62
Ax =Ay = Az = 67 N pour t1=15s t2=20s et t3=30s
Ap = Aq = Ar = 1 Nm pour t4 = 32s et t5 = 35s
Les figures (322) (323) (324) (325) (326) illustrent les reacutesultats de la simulation dans
le cas drsquoune force de traineacutee opposeacutee de Ftrn = 65 N pour les deacuteplacements suivant les
directions z x et y respectivement Ainsi lrsquoapplication drsquoun couple reacutesistant pour les
orientations ߠ et empty de valeur 1Nm Drsquoapregraves ces figures on remarque que les erreurs sont
importantes et peuvent augmenter avec lrsquoaugmentation de la perturbation
Figure 322 La trajectoire de reacutefeacuterence et reacuteelle en cas des demi-cercles
02
46
810
1214
0
5
10
150
2
4
6
8
10
12
diplacement suivant (x)diplacement suivant (y)
dip
lacem
ent
suiv
ant
(z)
Trajectoire reacuteelle
trajectoire reacutefeacuterence
0 5 10 15 20 25 30 35 400
50
u3(N
)
0 5 10 15 20 25 30 35 40-60-40-20
020
u4(N
m)
0 5 10 15 20 25 30 35 40
-50
0
50
u5(N
m)
temps (s)
Chapitre3 COMMANDE PAR MODE GLISSANT ET FLOU-GLISSANT
63
Figure 323 Les commandes u3 u4 u5 des connexions demi-cercles
Figure 324 Les erreurs pour des connexions demi-cercles
Figure 325 Les angles pour des connexions demi-cercles
0 5 10 15 20 25 30 35 40
-05
0
05
1
angle
theta
(rad)
0 5 10 15 20 25 30 35 40
-1
-05
0
05
1
angle
phi(r
ad)
temps (s)
0 5 10 15 20 25 30 35 40-05
0
05
z-e
rreur
(m)
0 5 10 15 20 25 30 35 40-05
0
05
x-e
rreurr
(m)
0 5 10 15 20 25 30 35 40
-05
0
05
y-e
rreur
(m)
temps (s)
Chapitre3 COMMANDE PAR MODE GLISSANT ET FLOU-GLISSANT
64
Figure 326 Les forces pour des connexions demi-cercles
35 Commande du drone par mode glissant agrave action inteacutegrale
Lrsquoutilisation des fonctions drsquoadoucissement empecircche lrsquoexistence dun mode de glissement
ideacuteal Par conseacutequent il est important de connaicirctre le comportement du systegraveme boucleacute
lorsque nous introduisons une des fonctions dadoucissement preacuteceacutedentes
Dans le but de compenser lrsquoerreur en reacutegime permanent on peut ajouter un terme inteacutegral
dans la surface de glissement [57 58 59] Ce perfectionnement (agrave lrsquoinstar drsquoautres) est
introduit a priori et justifieacute par des essais sur des systegravemes particuliers
Notre objectif dans ce paragraphe est de concevoir une nouvelle approche baseacutee sur la
theacuteorie de la commande agrave structure variable en introduisant lrsquoaction inteacutegrale sans
toutefois perdre les proprieacuteteacutes de la commande par mode glissant
Dans cette partie nous preacutesentons la deacutetermination de la loi de commande pour la
direction suivant lrsquoaxe z par lrsquointroduction de lrsquoaction inteacutegral dans la surface
La surface de glissement sera deacutefinie par
0 5 10 15 20 25 30 35 400
5
10
15F
1(N
)
0 5 10 15 20 25 30 35 400
5
10
15
F2
(N)
0 5 10 15 20 25 30 35 4005
1015
F3
(N)
0 5 10 15 20 25 30 35 4005
1015
F4
(N)
temps (s)
Chapitre3 COMMANDE PAR MODE GLISSANT ET FLOU-GLISSANT
65
(ݖ) = ሶ௭ + ௭ߣ ௭ + int ௭ݐ (355)
Ainsi que sa deacuteriveacutee est
(ݖ) = ௭ + ௭ߣ ሶ௭ + ௭ (356)
La commande drsquoaltitude ଷݑ est calculeacutee par la relation suivante
ଷݑ = ଷݑ + ଷݑ (357)
La commande ݑ est deacutetermineacutee par reacutegime glissant ideacuteal
ଷݑ =
௦ ఏ ௦ empty൬ + ሷݖ + ሶݖ௭ቀߣ minus +ሶቁݖ ൫ݖ minus ൯൰ݖ (358)
Par la technique du mode glissant on deacuteduit la forme suivante pour la commande ଷݑ
ଷݑ =
௦ ఏ ௦ empty൬ + ሷݖ + ሶݖ௭ቀߣ minus +ሶቁݖ ቀݖ minus minusቁ൰ݖ ௭ ݏ )ݐ ((ݖ) (359)
Nous suivons les mecircmes eacutetapes deacutecrites preacuteceacutedemment pour deacuteterminer les commandes du
drone X4 ce qui nous donne
⎩⎪⎪⎪⎨
⎪⎪⎪⎧ ௫ݑ =
௨య൫minusߣ௫൫ݔሶ minus minusሶ൯ݔ ሷݔ + k୧൫x ndash x ൯൯minus ௫ ݏ ൫ݐ ൯(ݔ)
௬ݑ =
௨యቀߣ௬൫ݕሶ minus +ሶ൯ݕ ሷݕ + k୧൫y ndash y ൯ቁndash ௬ ݏ )ݐ (ݕ)
ସݑ = ఏߣ+ߠ ቀߠ ndash +ቁߠ k୧൫ߠ ndashߠ൯+ ఏܭ ݏ ൯(ߠ)ݏ൫ݐ
ହݑ = empty+ߣempty ቀempty minus emptyቁ+ k୧൫empty minus empty ൯+ empty ݏ ൫ݐ (empty)൯
ݑ = +ߣట ቀ minus ቁ+ k୧൫ minus ൯+ kట sat(S())
(360)
351 Reacutesultats de simulations
Nous preacutesentons dans cette partie les reacutesultats du controcircle mode glissant associeacute agrave une
action inteacutegrale pour la commande du X4 avec perturbation Nous traitons dans cette partie
lrsquoexemple de la reacutealisation des connections demi-cercles pour les mouvements z x y Le
gain ki=2 dans notre simulation En conservant les mecircmes coefficients de gain utiliseacutes
preacuteceacutedemment
Les figures (327) (328) (329) et (330) repreacutesentent respectivement la reacutealisation en
3D lrsquoerreur la commande et les angles pour la trajectoire de connexion de type demi-
cercle en preacutesence de la perturbation externe Nous remarquons de ces figures que la
robustesse de la commande est veacuterifieacutee numeacuteriquement En effet avec une telle force de
traineacutee la commande produit des valeurs assez raisonnables assurant le suivi du drone agrave sa
trajectoire de reacutefeacuterence
Chapitre3 COMMANDE PAR MODE GLISSANT ET FLOU-GLISSANT
66
Les figures (331) (332) et (333) montrent la comparaison entre la commande mode
glissant et le mode glissant agrave action inteacutegrale Drsquoapregraves ces figure on voit clairement que la
commande mode glissant agrave action inteacutegrale est la mieux adapteacutee agrave des trajectoires de
connexions de type demi-cercle arcs et heacutelicoiumldale
Figure 327 La trajectoire de reacutefeacuterence et reacuteelle en cas des demi-cercles
Figure 328 Les erreurs pour des connexions demi-cercles
0 5 10 15 20 25 30 35 40-05
0
05
z-e
rreur
(m)
0 5 10 15 20 25 30 35 40-05
0
05
x-e
rreurr
(m)
0 5 10 15 20 25 30 35 40
-05
0
05
y-e
rreur
(m)
temps (s)
02
46
810
1214
0
5
10
150
5
10
15
Deacuteplacement suivant (x)Deacuteplacement suivant (y)
Deacutepla
cem
ent
suiv
ant
(z)
Trajectoire reacuteelle
Trajectoire reacutefeacuterence
Chapitre3 COMMANDE PAR MODE GLISSANT ET FLOU-GLISSANT
67
Figure 329 Les commandes pour des connexions demi-cercles
Figure 330 Les angles pour des connexions demi-cercles
0 5 10 15 20 25 30 35 400
50
u3(N
)
0 5 10 15 20 25 30 35 40-60-40-20
020
u4(N
m)
0 5 10 15 20 25 30 35 40
-50
0
50
u5(N
m)
temps (s)
0 5 10 15 20 25 30 35 40
-05
0
05
1
angle
theta
(rad)
0 5 10 15 20 25 30 35 40
-1
-05
0
05
1
angle
phi(r
ad)
temps (s)
Chapitre3 COMMANDE PAR MODE GLISSANT ET FLOU-GLISSANT
68
Figure 331 La trajectoire de reacutefeacuterence et reacuteelle en cas des demi-cercles
Figure 332 La trajectoire de reacutefeacuterence et reacuteelle en cas des connexions arcs
02
46
810
1214
0
5
10
150
5
10
15
Deacuteplacement suivant (x)Deacuteplacement suivant (y)
Deacutepla
cem
ent
suiv
ant
(z)
Trajectoire reacuteelle PIMG
Trajectoire reacutefeacuterence
Trajectoire reacuteelle MG
02
46
810
1214
0
5
10
150
5
10
15
Deacuteplacement suivant (x)Deacuteplacement suivant (y)
Deacutepla
cem
ent
suiv
ant
(z)
Trajectoire reacuteelle MG
trajectoire reacutefeacuterence
trajectoire reacuteelle PI MG
Chapitre3 COMMANDE PAR MODE GLISSANT ET FLOU-GLISSANT
69
Figure 333 La trajectoire de reacutefeacuterence et reacuteelle en cas heacutelicoiumldale
36 Commande du drone par un controcircleur flou-glissant
Le majeur inconveacutenient du mode de glissement est que la commande discontinue
produit pheacutenomegravene de broutement ou chattering Notons que le broutement peut exciter
des dynamiques hautes freacutequences neacutegligeacutees menant parfois agrave lrsquoinstabiliteacute Afin drsquoeacuteliminer
ou de minimiser ce pheacutenomegravene plusieurs meacutethodes ont eacuteteacute deacuteveloppeacutees [45 60 61 62
63 64 65 66 67 68 69] Dans notre travail nous avons introduit des hybridations entre la
logique flou et le mode glissant afin de reacuteduire le pheacutenomegravene de broutement et drsquoameacuteliorer
drsquoavantage les performances du controcircle du drone Apregraves avoir introduit le principe des
approches proposeacutees nous preacutesentons leurs mises en œuvre pour la commande de notre
quadri-rotors
Dans notre travail nous avons proposeacutes une nouvelle structure des controcircleurs flou-
glissant Dans cette structure un meacutecanisme drsquoinfeacuterence flou est utiliseacute pour geacuteneacuterer et
drsquoune faccedilon douce la composante discontinue de la loi de commande par mode glissant
(SMC) La figure (334) montre le scheacutema bloc de la strateacutegie de control proposeacute [70 71]
-3-2
-10
12
3
-3-2
-10
12
30
10
20
30
40
Deacuteplacement suivant (x)Deacuteplacement suivant (y)
Deacutepla
cem
ent
suiv
ant
(z)
Trajectoire reacuteelle MG
Trajectoire reacutefeacuterence
Trajectoire reacuteelle PIMG
Chapitre3 COMMANDE PAR MODE GLISSANT ET FLOU-GLISSANT
70
Figure 334 Controcircleur par mode glissant flou
Dans le controcircleur flou-glissant proposeacute la surface (s) preacutesente lrsquoentreacutee des implications
des bases de regravegles
Puisque les donneacutees manipuleacutees dans le meacutecanisme agrave infeacuterence flou sont baseacutees sur la
theacuteorie des sous ensemble flous [70 71] les ensembles flous associeacutes utiliseacutes dans la
geacuteneacuteration de la base de regravegle sont deacutefinies comme
Si S est GN Alors un est TGSi S est NP Alors un est GSi S est JZ Alors un est MNSi S est PP Alors un est PSi S est GP Alors un est TP
Avec GN MN JZ MP et GP sont les termes linguistiques de la variable drsquoentreacutee s
deacutefinies respectivement par Grand Neacutegative Moyen Negative Just Zero Moyen
Positive et Grand Positive
Et pour la variable de sortie un les termes linguistiques TG G MN P TP sont deacutefinis
respectivement par Tregraves Grand Grand Moyen Petit Tregraves Petit
Les fonctions drsquoappartenances associeacutees agrave ses variables drsquoentreacutee et de sortie sont
preacutesenteacutees dans les figures suivantes
Chapitre3 COMMANDE PAR MODE GLISSANT ET FLOU
Figure 335
Figure 3
361 Reacutesultats de simulations
Nous preacutesentons dans cette partie les reacutesultats du controcircle flou
du drone X4 en preacutesence de perturbation
sont ke= 10 et ks = 10
preacuteceacutedemment
Les figures (337) (338) et
demi-cercle les signaux de commandes et des erreurs Nous constatons que la trajectoire
parcourue par le drone suit la
Tregraves
-3k2
COMMANDE PAR MODE GLISSANT ET FLOU
71
35 Fonction dappartenance de lentreacutee S
336 Fonction dappartenance de la sortie u
1 Reacutesultats de simulations
Nous preacutesentons dans cette partie les reacutesultats du controcircle flou-glissant pour la commande
en preacutesence de perturbation Les gains drsquoentreacutee et de sortie du controcircleur flou
= 10 En conservant les mecircmes coefficients de gain utiliseacutes
et (339) illustrent respectivement la reacutealisation des connexions
cercle les signaux de commandes et des erreurs Nous constatons que la trajectoire
parcourue par le drone suit la trajectoire deacutesireacutee avec des erreurs de tregraves faibles valeurs
Tregraves petit Petit Moyenne Grand Tregraves Grand
k2-k2-k k00
COMMANDE PAR MODE GLISSANT ET FLOU-GLISSANT
S(t)
un
glissant pour la commande
et de sortie du controcircleur flou
En conservant les mecircmes coefficients de gain utiliseacutes
la reacutealisation des connexions
cercle les signaux de commandes et des erreurs Nous constatons que la trajectoire
avec des erreurs de tregraves faibles valeurs
Tregraves Grand
3k2
Chapitre3 COMMANDE PAR MODE GLISSANT ET FLOU-GLISSANT
72
La figure (340) preacutesente lrsquoeacutevolution des angles de tangage et de roulis nous observons que
ces angles se manifestent que lors drsquoun mouvement effectueacute respectivement suivant les
axes ݔ et ݕ
La figure (341) preacutesente lrsquoeacutevolution des forces des quatre moteurs on remarque que ces
forces ne deacutepassent pas les limites physiques des actionneurs et la somme de ces forces
satisfait la condition drsquoeacutequilibre apregraves que le drone effectue ses mouvements deacutesireacutes
Figure 337 La trajectoire de reacutefeacuterence et reacuteelle en cas des demi-cercles
-20
24
68
1012
14
-5
0
5
10
150
5
10
15
Deacuteplacement suivant (x)Deacuteplacement suivant (y)
Deacutepla
cem
ent
suiv
ant
(z) Trajectoire reacuteelle
Trajectoire reacutefeacuterence
Chapitre3 COMMANDE PAR MODE GLISSANT ET FLOU-GLISSANT
73
Figure 338 Les commandes pour des connexions demi-cercles
Figure 339 les erreurs pour des connexions demi-cercles
0 5 10 15 20 25 30 35 400
20
40
u3(N
)
0 5 10 15 20 25 30 35 40-40
-20
0
20
40
u4(N
m)
0 5 10 15 20 25 30 35 40-40
-20
0
20
40
u5(N
m)
temps (s)
0 5 10 15 20 25 30 35 40-05
0
05
z-e
rreur
(m)
0 5 10 15 20 25 30 35 40-05
0
05
x-e
rreurr
(m)
0 5 10 15 20 25 30 35 40
-05
0
05
y-e
rreur
(m)
temps (s)
Chapitre3 COMMANDE PAR MODE GLISSANT ET FLOU-GLISSANT
74
0 5 10 15 20 25 30 35 40
-05
0
05
1
angle
theta
(rad)
0 5 10 15 20 25 30 35 40
-1
-05
0
05
1
angle
phi(r
ad)
temps (s)
Figure 340 les angles pour des connexions demi-cercles
Figure 341 Les forces pour des connexions demi-cercles
0 5 10 15 20 25 30 35 4005
1015
F1
(N)
0 5 10 15 20 25 30 35 4005
1015
F2
(N)
0 5 10 15 20 25 30 35 4005
1015
F3
(N)
0 5 10 15 20 25 30 35 4005
1015
F4
(N)
temps (s)
Chapitre3 COMMANDE PAR MODE GLISSANT ET FLOU-GLISSANT
75
37 Conclusion
Dans ce chapitre nous avons preacutesenteacute le principe de la commande par mode de
glissement appliqueacute sur un drone agrave quatre heacutelices La commande par mode glissant
(approche non lineacuteaire) consiste agrave choisir le nombre et la forme de surface de glissement
neacutecessaire pour la deacutetermination de la loi de commande Le pheacutenomegravene de chattering qui
caracteacuterise cette commande a eacuteteacute reacuteduit par lrsquoadoucissement de la fonction de commande
Afin drsquoameacuteliorer les performances statiques nous avons proposeacute une approche appeleacutee
mode glissant agrave action inteacutegral pour eacuteliminer lrsquoerreur en preacutesence des perturbations Pour
ameacuteliorer drsquoavantage les performances de la commande SMC nous avons proposeacute une
approche drsquohybridation entre le mode glissant et la logique floue La structure du
controcircleur flou-glissant heacuterite la proprieacuteteacute drsquointerpolation du controcircle de la logique floue
et la robustesse du controcircle par mode glissement Cette approche est baseacutee sur lrsquoutilisation
drsquoun systegraveme agrave une infeacuterence floue qui geacutenegravere la commande discontinueacutee de la loi de
commande par mode de glissement agrave action inteacutegrale Par conseacutequent il le rend robuste
pour le temps de control de plus le controcircleur flou reacuteduit le pheacutenomegravene de broutement
(chattering)
Chapitre4 COMMANDE ROBUST PAR LA THECHNIQUE DU BACKTEPPING
74
Chapitre 4
COMMANDE NON LINEAIRE PAR BACKSTEPPING
Chapitre4 COMMANDE ROBUST PAR LA THECHNIQUE DU BACKTEPPING
75
4 COMMANDE ROBUSTE PAR LA THECHNIQUE DU BACKSTEPPING
41 Introduction
La theacuteorie de Lyapunov est un outil tregraves important dans la theacuteorie de controcircle des
systegravemes non lineacuteaires Cependant son utilisation est souvent entraveacutee par les difficulteacutes
de trouver une fonction de Lyapunov pour un systegraveme donneacute Si elle est trouveacutee le
systegraveme est connu pour ecirctre stable mais la tache de trouver une telle fonction est souvent
laisseacutee agrave lrsquoimagination et agrave lrsquoexpeacuterience du concepteur La technique du Backstepping est
une meacutethode systeacutematique pour la conception du controcircle non lineacuteaire qui peut ecirctre
appliqueacutee agrave une grande classe de systegravemes Le nom backstepping se reacutefegravere agrave la nature
reacutecursive de la proceacutedure de synthegravese Dans un premier temps seul un sous-systegraveme du
systegraveme original est consideacutereacute pour lequel une loi de controcircle fictive est construite Puis la
conception est eacutetendue en plusieurs eacutetapes jusquagrave lrsquoobtention drsquoune loi de controcircle pour le
systegraveme tout en entier Avec la loi de commande une fonction de Lyapunov pour le
systegraveme controcircleacute est progressivement construite
La technique du backstepping a connu un regain drsquoattention gracircce aux travaux de
Kokotovic qui a fourni un cadre matheacutematique pour la conception de lois de controcircle pour
diffeacuterents systegravemes non lineacuteaires en utilisant la cette technique [72] Durant les anneacutees
suivantes des manuscrits ont eacuteteacute eacutediteacutes par Krstic et autres [73 74 75]
Nous utiliserons cette technique du backstepping pour deacutevelopper des lois de controcircle pour
le controcircle des mouvements selon les axes z ndash x ndash y ainsi qursquoune eacutetude de robustesse
42 Historique et domaines drsquoapplication du backstepping
Lrsquoideacutee de base du backstepping est de laisser certains eacutetats du systegraveme agir en tant
qursquoentreacutees virtuelles La mecircme ideacutee est utiliseacutee dans la conception de controcircle en cascade
et eacutegalement dans la theacuteorie de la perturbation singuliegravere [76] Le backstepping qui utilise
une forme du systegraveme en chaicircne drsquointeacutegrateurs apregraves une transformation de coordonneacutees
drsquoun systegraveme triangulaire et en se basant sur la meacutethode directe de Lyapunov (Annexe A)
A partir de lagrave il est possible de concevoir systeacutematiquement et de maniegravere reacutecursive des
Chapitre4 COMMANDE ROBUST PAR LA THECHNIQUE DU BACKTEPPING
76
controcircleurs et les fonctions de Lyapunov correspondantes Bien que la technique du
backstepping ait une histoire plutocirct courte mais rien nrsquoempecircche quand-mecircme de trouver de
nombreuses applications pratiques dans la litteacuterature On en donne ici un court aperccedilu
Elle est appliqueacutee dans les systegravemes eacutelectriques par exemple dans [77] ou a eacuteteacute
proposeacutee une commande en temps reacuteel de la vitesse drsquoun moteur synchrone agrave aimant
permanent par la technique du backestepping adaptative non lineacuteaire On peut maintenant
la retrouver dans une grande varieacuteteacute de controcircle de moteurs eacutelectriques [78 79 80] On
trouve eacutegalement des travaux dans lrsquoaeacuteronautique qui correspond au controcircle drsquoun
heacutelicoptegravere miniature Dans [28] une loi de commande adaptative utilisant les techniques
reacutecursives et robustes du backstepping a eacuteteacute proposeacutee Altug dans [25 26 27] a proposeacute un
controcircle stabilisant en utilisant lrsquoasservissement visuel Ainsi cette technique a eacuteteacute
proposeacutee pour la commande drsquoautomobile [81]
43 Conception de la commande par backstepping
La commande par backstepping ne doit pas ecirctre vue comme un proceacutedeacute rigide mais
plutocirct comme une philosophie de conception qui peut ecirctre plieacutee et tordue pour satisfaire les
besoins speacutecifiques du systegraveme agrave commander Nous pouvons exploiter la flexibiliteacute du
backstepping en ce qui concerne le choix des commandes virtuelles des fonctions
stabilisantes initiales et des fonctions de Lyapunov Nous avons effectueacute une eacutetude de
stabiliteacute en se basant sur la commande backstepping et en utilisant la fonction de
Lyapunov
431 Algorithme de base pour la meacutethode du backstepping
En utilisant lrsquoapproche backstepping comme un algorithme reacutecursif pour la
synthegravese de lois de commande On considegravere le cas des systegravemes non lineacuteaires drsquoordre deux
de la forme
x=f(x)+g(x)u (41)
X est lrsquoeacutetat du systegraveme X isin realn
u Lrsquoentreacutee de commande u isin real
Supposons que le systegraveme (41) peut apregraves une transformation ecirctre mis sous la forme
chaineacutee comme suit
x1 = fଵ(xଵ) + gଵ (xଵ) xଶ (42)
x2= fଶ(xଶ) + gଶ (xଶ) u (43)
Chapitre4 COMMANDE ROBUST PAR LA THECHNIQUE DU BACKTEPPING
77
On deacutesire faire suivre agrave la sortie y = xଵ la trajectoire yr Cette trajectoire est supposeacutee
connue et uniformeacutement borneacutee et puisque le systegraveme et du deuxiegraveme ordre alors le design
srsquoeffectue en deux eacutetapes [82]
Premiegravere eacutetape
On considegravere drsquoabord lrsquoeacutequation (42) ou la variable drsquoeacutetat xଶ est traiteacutee comme une
commande virtuelle et lrsquoon deacutefinit la premiegravere valeur de reacutefeacuterence
xଵ = y (44)
La premiegravere variable drsquoerreur se deacutefinit par
eଵ = xଵ minus xଵ (45)
ሶଵ= ሶଵݔ minus ሶଵݔ (46)
On utilisant lrsquoeacutequation (42) le systegraveme drsquoeacutequation (46) srsquoeacutecrit
e1 = ଵ(ݔଵ) + gଵ (ଵݔ) ଶݔ minus ሶଵݔ (47)
Pour un tel systegraveme il agrave eacuteteacute montreacute que la fonction candidate constitue un bon choix de la
fonction de Lyapunov
ଵ( ଵ) =ଵ
ଶ ଵଶ (48)
Sa deacuteriveacutee est donneacutee par
Vଵ(eଵ) = eଵ eଵ = eଵ [ ଵ(ݔଵ) + gଵ(ݔଵ) ଶݔ minus [ሶଵݔ (49)
Un choix judicieux xଶ rendrait Vଵ(eଵ) neacutegative et assurerait la stabiliteacute de lrsquoorigine du sous
systegraveme deacutecrit par lrsquoeacutequation (42)
Prenons comme valeur de ଶݔ la fonction aଵ telle que
ଵ(ݔଵ) + gଵ(ݔଵ) ଵ minus =ሶଵݔ minus kଵeଵ (410)
Ougrave kଵ gt 0 est un paramegravetre de design
xଶ= aଵ=ଵ
భ(୶భ)[minus kଵeଵ + xଵminus fଵ(xଵ)] (411)
et la deacuteriveacutee srsquoeacutecrit
ଵ( ଵ) = minus ଵ ଵଶ le 0 (412)
Drsquoougrave la stabiliteacute asymptotique de lrsquoorigine de lrsquoeacutequation (45)
Deuxiegraveme eacutetape
On considegravere le sous-systegraveme drsquoeacutequation (43) et lrsquoon deacutefinit la nouvelle variable
drsquoerreur
eଶ = xଶ minus aଵ (413)
Chapitre4 COMMANDE ROBUST PAR LA THECHNIQUE DU BACKTEPPING
78
Cette eacutequation repreacutesente lrsquoeacutecart entre la variable drsquoeacutetat xଶ et sa valeur deacutesireacutee aଵ lrsquoerreur
ଶ nrsquoest pas instantaneacutement nulle Le design dans cette eacutetape consiste alors agrave la forcer agrave
srsquoannuler
Les eacutequations du systegraveme agrave commander dans lrsquoespace (eଵ eଶ) srsquoeacutecrivent
ሶଵ = ଵ(ݔଵ) + ଵ ( ଶ + ଵ) minus ሶଵݔ (414)
ሶଶ = ଶ(ݔଶ) + ଶ minusݑ ሶଵ (415)
On agrave choisit comme fonction de Lyapunov
ଶ( ଵ ଶ) = ଵ( ଵ) +ଵ
ଶ ଶଶ (416)
Sa deacuteriveacutee
2( ଵ ଶ) =ଵ + ଶ ሶଶ= ଵ ሶଵ + ଶ ሶଶ (417)
2( ଵ ଶ) = ଵ [ ଵ(ݔଵ) + ଵ ( ଶ+ ଵ) [ሶଵݔ + ଶ [ ଶ(ݔଶ) + ଶ minusݑ ሶଵ] (418)
2( ଵ ଶ) = ଵ [ ଵ(ݔଵ) + ଵ ଶ+ ଵ ଵ minus ሶଵݔ ] + ଶ [ ଶ(ݔଶ) + ଶ minusݑ ሶଵ] (419)
2( ଵ ଶ) = minus ଵ ଵଶ + ଶ [ ଶ(ݔଶ) + ଶ ݑ + ଵ ଵminus ሶଵ] (420)
Pour garantir la stabiliteacute il faut que lrsquoeacutequation suivante soit eacutegale agrave minus kଶeଶ avec kଶ gt0
ଶ(ݔଶ) + ଶ ݑ + ଵ ଵminus ሶଵ= minus ଶ ଶ (421)
La commande est
ݑ =ଵ
మ[minus ଶ ଶ+ ሶଵ minus ଵ ଵ minus ଶ(ݔଶ)] (422)
Avec le choix de ଶ on agrave
2( ଵ ଶ) = minus ଵ ଵଶ minus ଶ ଶ
ଶ (423)
On a garantie la stabiliteacute asymptotique du systegraveme
44 Stabilisation du drone X4 par la meacutethode du backstepping
Nous proposons drsquoappliquer la technique de backstepping pour le controcircle drsquoun drone
de type X4 dont la dynamique du modegravele a eacuteteacute deacutetermineacutee dans le chapitre 2
La strateacutegie de controcircle adopteacute est reacutesumeacutee en deux sous-systegravemes le premier est lieacute au
controcircle de la translation et le deuxiegraveme est lieacute au controcircle de la rotation comme il est
exposeacute sous le scheacutema synoptique suivant [83]
Chapitre4 COMMANDE ROBUST PAR LA THECHNIQUE DU BACKTEPPING
79
Figure 41 Scheacutema bloc de commande du drone par backstepping
Le systegraveme 243 peut ecirctre reacuteeacutecrit dans lrsquoespace drsquoeacutetat sous la forme = ()
Avec U vecteur drsquoentreacute et X vecteur drsquoeacutetat
Tel que
X = hellipଵݔ] hellip [ଵଶݔ T = [ ݖ ݔሶݖ ݕሶݔ ሶݕ θ θ empty empty ψ ψ ] T isin real12
X = f (X U) =
⎝
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎛
ଶݔଵ
emptyݏ ଷݑߠݏ minus
ସݔ
minusଵ
ଷݑ௫ݑݔ
ଵ
௬ݑ ଷݑݔସݑଵݔହݑଵଶݔݑ ⎠
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎞
(424)
441 Commande du systegraveme de translation lineacuteaire
4411 Controcircle de lrsquoaltitude
On commande le mouvement selon lrsquoaxe z en utilisant la technique du backstepping le
modegravele en y est donneacute par
ߠ
X4-FlyerModelReacutefeacuterence
BacksteppingControcircle
BacksteppingControcircle
ݖݕݔ
ଷݑ
ହݑସݑ ݑ௬ݑ௫ݑ
ݖݕݔ
Chapitre4 COMMANDE ROBUST PAR LA THECHNIQUE DU BACKTEPPING
80
=ሷݖ emptyݏ ଷݑߠݏ minus (425)
La commande par backstepping du vol vertical est deacuteveloppeacutee ci-dessous
Premiegravere eacutetape
Initialement nous consideacuterons lrsquoobjectif de poursuite de lrsquoaltitude z vers sa trajectoire
deacutesireacutee On deacutefinit pour cela une erreur de poursuite
e௭ଵ = ݖ minus ݖ (426)Sa deacuteriveacutee srsquoeacutecrit
ሶ௭ଵ = ሶݖ minus ሶݖ (427)
Le but eacutetant donc de faire tendre cette erreur vers zeacutero Pour ce faire on considegravere une
fonction de Lyapunov quadratique en eଵ
V (e௭ଵ) =ଵ
ଶe௭ଵଶ (428)
La deacuteriveacutee de la fonction de Lyapunov srsquoeacutecrit
( ௭ଵ) = ௭ଵ ሶ௭ଵ= ௭ଵ ሶݖ) minus (ሶݖ (429)
La convergence de e௭ଵ vers zeacutero est obtenue en assurant que V(e௭ଵ) est neacutegative Etant
donneacute que lrsquoentreacutee de commande nrsquoapparait pas encore dans lrsquoexpression de V(e௭ଵ) on
deacutefinit une entreacutee fictive ayant pour forme
ଶݔ = ሶݖ + k௭ଵe௭ଵ (430)
Ougrave ௭ଵ est une constante positive
Cette commande assure
( ௭ଵ)= minus ௭ଵ ௭ଵଶ le0 (431)
Deuxiegraveme eacutetape
La deuxiegraveme eacutetape consiste agrave redeacutefinir une autre erreur agrave compenser
e௭ଶ= minus ሶݖ ሶrefݖ minus k௭ଵe௭ଵ (432)
Sa deacuteriveacutee srsquoeacutecrit comme suit
e௭ଶ= minus ሷݖ ሷrefݖ minus k௭ଵe௭ଵ (433)
Chapitre4 COMMANDE ROBUST PAR LA THECHNIQUE DU BACKTEPPING
81
Afin drsquoeacuteliminer cette erreur la fonction candidate de Lyapunov V( ௭ଵ) preacuteceacutedente de
lrsquoeacutequation (428) est augmenteacutee drsquoun autre terme qui va prendre en charge la nouvelle
erreur qui a eacuteteacute introduite preacuteceacutedemment
V ( ௭ଵ ௭ଶ) =ଵ
ଶ( ௭ଵଶ
+ ௭ଶଶ ) (434)
Ainsi que sa deacuteriveacutee
( ௭ଵ ௭ଶ) = ௭ଵ ሶ௭ଵ+ ௭ଶ ሶ௭ଶ (435)
( ௭ଵ ௭ଶ) = ௭ଵ (minus ௭ଵ ௭ଵ minus ௭ଶ) + ௭ଶ minus ሷݖ) ሷݖ minus ௭ଵ ሶ௭ଵ) (436)
( ௭ଵ ௭ଶ) =minus ௭ଵ ௭ଶ minus ௭ଵ ௭ଵଶ + ௭ଶ minus ሷݖ) ሷݖ minus ௭ଵ(minus ௭ଵ ௭ଵ minus ௭ଶ)) (437)
( ௭ଵ ௭ଶ) = minus ௭ଵ ௭ଵଶ + ௭ଶ [
ଵ
minusݑߠݏܥemptyݏܥ minus ሷݖ minus ௭ଵ(minus ௭ଵ ௭ଵ minus ௭ଶ)minus ௭ଵ)]
(438)
La proceacutedure de la meacutethode du backstepping srsquoarrecircte jusqursquoagrave lrsquoapparition de la commandeu3
Afin de satisfaire la condition de Lyaponov (V(eଵ eଶ) le 0 ) on pose
௦empty௦ఏ
minus ₃ݑ minus minusሷݖ k௭ଵ(minus k௭ଵe௭ଵ minus e௭ଶ)minus e௭ଵ) = minus k௭ଶe௭ଶ (439)
Ce qui nous donne la loi de commande suivant lrsquoaxe z
= ₃ݑ
௦empty௦ఏሷݖ) + + (1 minus ௭ଵ
ଶ ) ଵ minus ( ௭ଵ + ௭ଶ) ௭ଶ) (440)
Ougrave k௭ଶ est une constante positive
De telle sorte ( ௭ଵ ௭ଶ) = minus ௭ଵ ௭ଵ
ଶ minus ௭ଶ ௭ଶଶ le 0 (441)
Ce qui nous assure la stabiliteacute du mouvement suivant lrsquoaxe z
44 12 Controcircle de deacuteplacement lineacuteaire suivant les axes et y
A partir du modegravele du drone le systegraveme dynamique des mouvements horizontales est deacutefini
par
൜ =ሷݔ ଷݑ௫ݑminus=ሷݕ ଷݑ௬ݑ
(442)
Avec ex1 et ey1 sont les erreurs de positions sont deacutefinis par
ቄ௫ଵ = ݔ minus ݔ
௬ଵ = ݕ minus ݕ (443)
Chapitre4 COMMANDE ROBUST PAR LA THECHNIQUE DU BACKTEPPING
82
Les erreurs des vitesses lineacuteaires des positions x et y sont deacutefinies par
൜௫ଶ = minusሶݔ ሶݔ minus ௫ଵ ௫ଵ
௬ଶ = minusሶݕ ሶݕ minus ௬ଵ ௬ଵ
(444)
Les mecircmes eacutetapes sont utiliseacutees pour deacuteterminer les commandes de positions ௫ݑ et ௬ݑ qui
sont donneacutees par
௫ݑ =
௨యሷݔ) + (1 minus ௫ଵ
ଶ ) ௫ଵ minus ( ௫ଵ + ௫ଶ) ௫ଶ) (445)
௬ݑ =
௨యሷݕ) + ൫1 minus ௬ଵ
ଶ ൯ ௬ଵ minus ( ௬ଵ + ௬ଶ) ௬ଶ) (446)
Avec ( ௫ଵ ௫ଶ ௬ଵ ௬ଶ)gt0
442 Commande par backstepping du systegraveme de rotation
4421 Commande de lrsquoangle de roulis
Dans cette section on veut eacutetablir une commande par backstepping qui assure lrsquoorientation
du drone par lrsquoangle empty (roulis)
Premiegravere eacutetape
Premiegraverement on doit avoir une sortie qui suit une trajectoire deacutesireacutee emptyref en introduisant
lrsquoerreur de la position angulaire (lrsquoangle de roulis)
eemptyଵ= emptyref minus empty (447)Sa deacuteriveacutee srsquoeacutecrit
eemptyଵ= empty minus empty (448)
Ougrave les deux eacutequations (447) (448) sont associeacutees agrave la fonction de Lyapunov suivante
V (eemptyଵ) =ଵ
ଶeempty1
2 (449)
La deacuteriveacutee de la fonction de Lyapunov srsquoeacutecrit
V(eemptyଵ) = eemptyଵ eemptyଵ= eemptyଵ (emptyref (ଵݔminus (450)
Lrsquoeacutetat ଵݔ est ensuite utiliseacute comme commande intermeacutediaire afin de garantir la stabiliteacute
de lrsquoeacutequation (447) On deacutefinit pour cela une commande virtuelle
ଵݔ = emptyref + emptyଵ emptyଵ avec emptyଵ gt0 (451)
ሶଵݔ = emptyref + emptyଵ ሶemptyଵ (452)
Agrave partir des eacutequations (450) et (451) on obtient
( emptyଵ) = minus emptyଵ emptyଵଶ (453)
Chapitre4 COMMANDE ROBUST PAR LA THECHNIQUE DU BACKTEPPING
83
Deuxiegraveme eacutetape
Agrave cette eacutetape une nouvelle erreur engendreacutee
eemptyଶ= empty minus empty minus kemptyଵeemptyଵ (454)
Sa deacuteriveacutee srsquoeacutecrit comme suit
eemptyଶ = empty minus emptyrefminus kemptyଵ eemptyଵ (455)
Afin drsquoeacuteliminer cette erreur la fonction candidate de Lyapunov (eemptyଵ) preacuteceacutedente de
lrsquoeacutequation (449) est augmenteacutee drsquoun autre terme qui va prendre en charge la nouvelle
erreur qui a eacuteteacute introduite preacuteceacutedemment
V (eemptyଵeemptyଶ) =ଵ
ଶ(eemptyଵଶ + eemptyଶ
ଶ ) (456)
Ainsi que sa deacuteriveacutee
V(eemptyଵ eemptyଶ) = eemptyଵ (minuskemptyଵ eemptyଵ minus eemptyଶ) + eemptyଶ (empty minus emptyref ndash kemptyଵ eemptyଵ) (457)
V(eemptyଵ eemptyଶ) = minus eemptyଵ eemptyଶ minus kemptyଵ eemptyଵଶ + eemptyଶ (empty minus emptyref minuskemptyଵ (minuskemptyଵe୴ଵ minus eemptyଶ)) (458)
V(eemptyଵ eemptyଶ) = minus kemptyଵ eemptyଵଶ + eemptyଶ ହݑ] minus emptyref minus kemptyଵ (minuskemptyଵeemptyଵ minus eemptyଶ) minuseemptyଵ] (459)
Afin de satisfaire la condition de Lyapunov (V(eemptyଵ eemptyଶ) le 0 ) on pose
ହݑ minus emptyref minus kemptyଵ (minuskemptyଵeemptyଵ minus eemptyଶ) minuseemptyଵ= minuskemptyଶ eemptyଶ (460)
Drsquoougrave lrsquoexpression de la commande du roulis est donneacutee par
ହݑ = emptyref + emptyଵ (1 minus emptyଵଶ ) minus emptyଶ ( emptyଵ + emptyଶ) (461)
Avec kemptyଵ kemptyଶ sont des constantes positives de design lesquelles deacuteterminent la
dynamique de la boucle fermeacutee
4421 Commande des angles de tangage et de lacet
Nous suivons les mecircmes eacutetapes deacutecrites preacuteceacutedemment pour deacuteterminer les commande de
tangage et de lacet ce qui nous donne [84 85]
ସݑ = +ߠ ఏଵ൫1 minus ఏଵଶ ൯minus ఏଶ( ఏଵ + ఏଶ) (462)
ݑ = + టଵ൫1 minus టଵଶ ൯minus టଶ( టଵ + టଶ ) (463)
Avec ( ఏଵ ఏଶ టଵ టଶ) gt0
Chapitre4 COMMANDE ROBUST PAR LA THECHNIQUE DU BACKTEPPING
84
45 Reacutesultats de simulations
Les performances sont eacutevalueacutees par le biais drsquoune simulation numeacuterique dans les mecircmes
conditions de fonctionnement preacutesenteacutes dans le chapitre preacuteceacutedent
Les paramegravetres des coefficients du polynocircme de Hurwitz du controcircleur sont choisis par
௭ଵ =8 ௭ଶ = 5 ௫ଵ = 5 ௫ଶ = 5 ௬ଵ = 4 ௬ଶ = 2 kemptyଵ = 55 kemptyଶ = 2 ఏଵ = 75
ఏଶ = 10 టଵ = 2 టଶ = 4
Figure 42 La trajectoire de reacutefeacuterence et reacuteelle en cas des connexions cercles
0
10
20
30
-5
0
5
100
5
10
15
20
25
30
Deacuteplacement suivant (x)Deacuteplacement suivant (y)
Deacutepla
cem
entsuiv
ant(z
)
Trajectoire reacuteelle
Trajectoire reacutefeacuterence
Chapitre4 COMMANDE ROBUST PAR LA THECHNIQUE DU BACKTEPPING
85
Figure 43 Les commandes u3 u4 u5 des connexions cercle
Figure 44 Les erreurs de deacuteplacement en cas des connections cercle
0 10 20 30 40 50 60 70 80 9010
20
30
u3(N
)
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90-5
0
5
u4(N
m)
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90-5
0
5
u5(N
m)
temps (s)
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90-004
-002
0
002
004
z-e
rreur(m
)
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90-002
0
002
x-e
rreur(m
)
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90-002
0
002
y-e
rreur(m
)
temps (s)
Chapitre4 COMMANDE ROBUST PAR LA THECHNIQUE DU BACKTEPPING
86
Figure 45 Les angles de tangage et de roulis en cas des connections cercle
Figure 46 Les forces en cas des connections cercle
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90
-05
0
05angle
theta
(rad)
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90
-05
0
05
angle
phi(rad)
temp (s)
0 10 20 30 40 50 60 70 80 900
5
F1
(N)
0 10 20 30 40 50 60 70 80 900
5
F2
(N)
0 10 20 30 40 50 60 70 80 900
5
F3
(N)
0 10 20 30 40 50 60 70 80 900
5
F4
(N)
temps (s)
Chapitre4 COMMANDE ROBUST PAR LA THECHNIQUE DU BACKTEPPING
87
La figure (43) qui repreacutesente les signaux de commandes u3 u4 et u5 deacutemontrent que la
condition de lrsquoeacutetat drsquoeacutequilibre et toujours veacuterifieacutee apregraves avoir effectueacute une manœuvre (u3 =
mg et u4 = u5 =0)
La figure (44) montre que lrsquoerreur suivant les trois directions converge vers zeacutero Cela
prouve que la trajectoire parcourue par le drone suit la trajectoire souhaiteacutee (figure (42))
avec des erreurs de tregraves faibles valeurs
Dans la figure (45) on voit que les angles de tangage ߠ et de roulis empty se manifestent lors
dun mouvement effectueacute respectivement suivant laxe de mouvement x et y en tendant vers
la valeur zeacutero drsquoeacutequilibre apregraves avoir effectuer le mouvement drsquoavancement
Pour que le drone retrouve sa stabiliteacute autour de la trajectoire de reacutefeacuterence nous constatons
que les commandes u4 et u5 produisent des forces corrigeant respectivement les erreurs du
suivi des angles ߠ et empty agrave leurs trajectoires de reacutefeacuterence nulles figure (43)
Dans la figure (46) nous remarquons que les quatre commandes ne deacutepassent pas les
limites physiques des rotors du drone et la somme de ces forces satisfirent la condition
drsquoeacutequilibre
451 Etude de robustesse
Dans cette partie nous testons numeacuteriquement la robustesse de commande retrouveacutee pour
assurer le suivi de trajectoire face agrave des perturbations dynamiques dues agrave linfluence du
vent suivant les diffeacuterents axes du mouvement
En geacuteneacuteral en mouvement aeacuterien le vent geacutenegravere une force de reacutesistance ou de traicircneacutee
sopposant au mouvement Dans le cas du drone le travail de cette force entraine une
consommation suppleacutementaire deacutenergie au niveau des actionneurs qui affaiblit ses
capaciteacutes en vol Les valeurs des forces reacutesistances sont (Ax = Ay = Az = 65 N)
Chapitre4 COMMANDE ROBUST PAR LA THECHNIQUE DU BACKTEPPING
88
Figure 47 La trajectoire de reacutefeacuterence et reacuteelle en preacutesence de perturbation
Figure 48 Les commandes en preacutesence de perturbation
05
1015
2025
30
-4-2
02
46
80
5
10
15
20
25
30
Deacuteplacement suivant (x)Deacuteplacement suivant (y)
Deacutepla
cem
ent
suiv
ant
(z)
Trajectoire reacuteelle
Trajectoire reacutefeacuterence
0 10 20 30 40 50 60 70 80 900
20
40
u3(N
)
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90-20
-10
0
10
u4(N
m)
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90-10
0
10
20
u5(N
m)
temps (s)
Chapitre4 COMMANDE ROBUST PAR LA THECHNIQUE DU BACKTEPPING
89
Figure 49 Les erreurs en preacutesence de perturbations
Figure 410 Les angles de tangage et de roulis en preacutesence de perturbation
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90
0
02
04z-e
rreur
(m)
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90
0
02
04
x-e
rreurr
(m)
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90
0
02
04
y-e
rreur
(m)
temps (s)
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90
-05
0
05
1
angle
theta
(rad)
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90
-1
-05
0
05
1
angle
phi(r
ad)
temps (s)
Chapitre4 COMMANDE ROBUST PAR LA THECHNIQUE DU BACKTEPPING
90
En preacutesence de force de reacutesistance nous remarquons que la robustesse de la commande
nrsquoest pas veacuterifieacutee En effet avec une telle force de reacutesistance le drone suit sa trajectoire de
reacutefeacuterence avec des erreurs comme le montrent les figures preacuteceacutedentes Ces erreurs peuvent
ecirctre importantes avec lrsquoaugmentation de la force de traineacutee
Il est clair que la structure du controcircleur geacuteneacutereacute par la version classique du backstepping
est composeacutee drsquoune action proportionnelle agrave laquelle est ajouteacutee action deacuteriveacutee sur les
erreurs Une telle structure rend le systegraveme sensible aux bruits et aux perturbations
externes des erreurs statiques non nulles persistent cet inconveacutenient srsquoexplique par
lrsquoabsence de la correction de ces perturbations afin drsquoeacuteliminer ces erreurs deux meacutethodes
sont proposeacutees la premiegravere consiste agrave doter les reacutegulateurs obtenus drsquoune action inteacutegrale
Lrsquoideacutee principale de la meacutethode se reacutesume agrave introduire drsquoune maniegravere virtuelle un
inteacutegrateur cette introduction neacutecessite une modification de la proceacutedure de design La
deuxiegraveme meacutethode consiste agrave estimer la perturbation externe (force de traineacutee) agrave lrsquoaide
drsquoun controcircleur adaptatif
46 Backstepping avec action inteacutegrale
Lrsquoabsence drsquointeacutegrateur dans la loi de commande entraicircne une erreur statique constante
non nulle La solution de ce problegraveme est la conception drsquoune nouvelle version du
backstepping doteacutee drsquoune action inteacutegrale (figure 411) Ceci revient agrave introduire des
inteacutegrateurs dans le modegravele du X4 et proceacuteder agrave lrsquoapplication de la meacutethode
conventionnelle de backstepping sur ce nouveau modegravele Lrsquoaction inteacutegrale sera transfeacutereacutee
automatiquement agrave la loi de commande [86]
Figure 411 Le scheacutema bloc du backstepping avec action inteacutegrale
Action inteacutegraleBackstepping
Inteacutegrale Backstepping
Commande robuste appliqueacute au Modegravele du X4
Systegraveme de translation et de rotation
Chapitre4 COMMANDE ROBUST PAR LA THECHNIQUE DU BACKTEPPING
91
461 Commande de lrsquoaltitude
Le modegravele est eacutecrit sous la forme chaineacutee drsquoapregraves lrsquoeacutequation (424)
ሶଵݔ = 2ݔ
ሶଶݔ = =ሷݖଵ
Cߠ Sempty ndashଷݑ (464)
Premiegravere eacutetape
La premiegravere variable drsquoerreur se deacutefinit par
௭ଵ= ݖ minus z (465)
On deacuterivant (465) par rapport au temps on obtient
ሶ௭ଵ=ݖሶ minus =ሶݖ ሶݖ minus ଶݔ (466)
Pour srsquooccuper mieux drsquoincertitudes et de perturbation nous allons ajouter une action
inteacutegrale sur lrsquoerreur de poursuite drsquoaltitude agrave la fonction stabilisante
Si on considegravere que ଶݔ notre commande virtuelle nous proceacutedons agrave eacutetablir une fonction
stabilisante comme suit
ଶݔ = +ሶݖ ௭ଵ ௭ଵ + ଵߣ ଵ (467)
Avec ௭ଵߣଵ sont des constants positifs et ଵ = int e௭ଵ( ) est lrsquointeacutegrale de lrsquoerreur de
poursuite drsquoaltitude
Deuxiegraveme eacutetape
Il nest pas possible dagir directement sur lrsquoeacutetat ଶݔ il est donc peu probable que cet eacutetat
suit exactement cette trajectoire cest pourquoi un autre terme derreur est introduit
eଶ = ଶݔ minus ሶݖ (468)
La deacuteriveacutee de lrsquoeacutequation (468) donne
ሶ௭ଶ ሶଶݔ= minus =ݖ ሷrefݖ + k௭ଵeଵ+ ଵߣ ሶଵ minus ݖ (469)
ሶ௭ଶ = k௭ଵ ሶrefݖ) minus (ሶݖ + ଵe௭ଵߣ minus ݖ ሷݖ+ (470)
Par lrsquoutilisation drsquoeacutequations (467) et (468) nous reacuteeacutecrivons la dynamique drsquoerreur de
poursuite drsquoaltitude comme suit
eଵ= minus ௭ଵ ௭ଵ minus ଵߣ ଵ + e௭ଶ (471)
Par le remplacement de ݖ dans lrsquoeacutequation (470) par son expression correspondante la
commande u3 apparaisse dans lrsquoeacutequation (472)
ሶ௭ଶ= ௭ଵ (minus ௭ଵ ௭ଵ minus ଵߣ ଵ + ௭ଶ) ଵߣ+ ௭ଵ + ሷrefݖ minusଵ
( (ߠ)ݏ ଷݑ()ݏ + ) (472)
Chapitre4 COMMANDE ROBUST PAR LA THECHNIQUE DU BACKTEPPING
92
La dynamique deacutesireacutee de lrsquoerreur de poursuite de vitesse est donneacutee par
e௭ଶ = minus ௭ଶe௭ଶ minus e௭ଵ (473)
La commande finale de ଷݑ est la suivante
ଷݑ =
௦(ఏ)௦(థ )(+ e௭ଵ (1minusk௭ଵ
ଶ (ଵߣ+ + e௭ଶ (k௭ଵ+ k௭ଶ) ሷref minus k௭ଵݖ+ ଵߣ ଵ) (474)
Analyse de la stabiliteacute
Afin de prouver la stabiliteacute la fonction de Lyapunov (e௭ଵ e௭ଶ) est choisie comme suite
( ௭ଵ ௭ଶ) =ଵ
ଶ ௭ଵ
ଶ + ௭ଶଶ + ଵߣ ଵ
ଶ ൧ (475)
En effectuant la deacuteriveacutee de cette fonction et en substituant lrsquoeacutequation (471) et (473) la
relation suivante est trouveacutee
( ௭ଵ ௭ଶ) = minus ௭ଵ ௭ଵଶ minus ௭ଶ ௭ଶ
ଶ le 0 (476)
De cette faccedilon la fonction V(eଵ eଶ) respecterait en tous points les critegraveres de
Lyapunov La loi de commande deacuteduite fait en sorte que ( ௭ଵ ௭ଶ) est toujours positif et
que ( ௭ଵ ௭ଶ) soit toujours neacutegatif peu importe les valeurs que peuvent prendre les
eacutetats
Nous suivant les mecircmes eacutetapes deacutecrites preacuteceacutedemment pour deacuteterminer les commandes du
drone X4 ce qui nous donne [87]
⎩⎪⎪⎪⎨
⎪⎪⎪⎧
௫ݑ =
௨యሷݔ) + (1 minus ௫ଵ
ଶ + (ଶߣ ௫ଵ minus ( ௫ଵ + ௫ଶ) ௫ଶ minus ௫ଵ ଶߣ ଶ)
௬ݑ =
௨యሷݕ) + ൫1 minus ௬ଵ
ଶ + ଷ൯ߣ ௬ଵ minus ( ௬ଵ + ௬ଶ) ௬ଶ minus ௬ଵ ଷߣ ଷ)
ସݑ = +ߠ ఏଵ൫1 ndash ఏଵଶ + minusସ൯ߣ ఏଶ ( ఏଵ + ఏଶ) ndash ఏଵ ସߣ ସ
ହݑ = ݎempty + emptyଵ (1 minus emptyଵଶ + (ହߣ minus emptyଶ ( emptyଵ + emptyଶ) minus emptyଵ ହߣ ହ
ݑ = + టଵ൫1 minus టଵଶ + minus൯ߣ టଶ( టଵ + టଶ) minus టଵ ߣ
(477)
Avec (ߣହߣସߣଷߣଶߣ) sont des constants positifs et ( ଶ ଷ ସ ହ ) sont les inteacutegrales
des erreurs de poursuite de position tangage roulis et lacet respectivement
Chapitre4 COMMANDE ROBUST PAR LA THECHNIQUE DU BACKTEPPING
93
462 Reacutesultats de simulations
Nous preacutesentons dans cette partie les reacutesultats du controcircle Inteacutegrale Backstepping pour la
commande du drone X4 En conservant les mecircmes coefficients de gain utiliseacutes
preacuteceacutedemment
Avec ଵߣ = 5 ଶߣ = 5 ଷߣ = 4 ସߣ = 2 ହߣ = 5 ߣ = 2
Suivi de trajectoire sans perturbations
Les figures 412 413 414 415 et 416 repreacutesentent respectivement la reacutealisation en 3D
la commande lrsquoerreur les angles et les forces pour la trajectoire de connexions de type
demi-cercle Nous remarquons qursquoagrave lrsquoeacutequilibre la commande u3 est toujours veacuterifieacutee (u3
est approximativement eacutegal agrave mg) Ces figures montrent que la tacircche est reacutealiseacutee drsquoune
maniegravere tregraves satisfaisante en respectant les contraintes imposeacutee
Figure 412 La trajectoire de reacutefeacuterence et reacuteelle
0
5
10
15
0
5
10
150
5
10
15
Deacuteplacement suivant (x)Deacuteplacement suivant (y)
Deacutepla
cem
ent
suiv
ant
(z) Trajectoire reacuteel
Trajecoire reacutefeacuterence
Chapitre4 COMMANDE ROBUST PAR LA THECHNIQUE DU BACKTEPPING
94
Figure 413 Les commandes sans preacutesence de perturbation
Figure 414 Les erreurs sans preacutesence de perturbations
0 5 10 15 20 25 30 35 40
10
20
30u3(N
)
0 5 10 15 20 25 30 35 40-40
-20
0
20
u4(N
m)
0 5 10 15 20 25 30 35 40-40
-20
0
20
40
60
u5(N
m)
temps (s)
0 5 10 15 20 25 30 35 40
-2
0
2x 10
-3
z-e
rreur
(m)
0 5 10 15 20 25 30 35 40-4-20246
x 10-3
x-e
rreur
(m)
0 5 10 15 20 25 30 35 40-2
0
2x 10
-3
y-e
rreur
(m)
temps (s)
Chapitre4 COMMANDE ROBUST PAR LA THECHNIQUE DU BACKTEPPING
95
Figure 415 Les angles de tangage et de roulis sans preacutesence de perturbation
Figure 416 Les forces sans preacutesence de perturbation
0 5 10 15 20 25 30 35 40
-05
0
05
1angle
theta
(rad)
0 5 10 15 20 25 30 35 40-1
-05
0
05
1
angle
phi(r
ad)
temps (s)
0 5 10 15 20 25 30 35 400
5
10
F1
(N)
0 5 10 15 20 25 30 35 400
5
10
F2
(N)
0 5 10 15 20 25 30 35 400
5
10
F3
(N)
0 5 10 15 20 25 30 35 400
5
10
F4
(N)
temps (s)
Chapitre4 COMMANDE ROBUST PAR LA THECHNIQUE DU BACKTEPPING
96
Suivi de trajectoire avec perturbations
Dans cette partie nous testons numeacuteriquement la robustesse de commande retrouveacutee pour
assurer le suivi de trajectoire face agrave des perturbations dynamiques dues agrave linfluence du
vent suivant les diffeacuterents axes de mouvement
Figure 417 La trajectoire de reacutefeacuterence et reacuteelle en preacutesence de perturbation
Figure 418 Les erreurs en preacutesence de perturbations
05
1015
2025
30
-5
0
5
100
10
20
30
Deacuteplacement suivant (x)Deacuteplacement suivant (y)
Deacutepla
cem
ent
suiv
ant
(z)
Trajectoire reacuteelle
Trajectoire reacutefeacuterence
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90
0
02
04
z-e
rreur
(m)
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90
0
02
04
x-e
rreurr
(m)
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90
0
02
04
y-e
rreur
(m)
temps (s)
Chapitre4 COMMANDE ROBUST PAR LA THECHNIQUE DU BACKTEPPING
97
Figure 419 Les commandes en preacutesence de perturbations
Figure 420 Les angles de tangage et de roulis en preacutesence de perturbation
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90
-05
0
05
1
angle
theta
(rad)
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90
-1
-05
0
05
1
angle
phi(r
ad)
temps (s)
0 10 20 30 40 50 60 70 80 900
20
40
u3(N
)
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90-20
-10
0
10
u4(N
m)
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90-10
0
10
20
u5(N
m)
temps (s)
Chapitre4 COMMANDE ROBUST PAR LA THECHNIQUE DU BACKTEPPING
98
Figure 421 Les forces en preacutesence de perturbation
Figure 422 La trajectoire de reacutefeacuterence et reacuteelle en preacutesence de perturbation
-3-2
-10
12
3
-3-2
-10
12
30
10
20
30
40
50
Deacuteplacement suivant (x)Deacuteplacement suivant (y)
Deacutepla
cem
ent
suiv
ant
(z)
Trajectoire reacuteelle
Trajectoire reacutefeacuterence
0 10 20 30 40 50 60 70 80 900
5
10
F1
(N)
0 10 20 30 40 50 60 70 80 900
5
10
F2
(N)
0 10 20 30 40 50 60 70 80 900
5
10
F3
(N)
0 10 20 30 40 50 60 70 80 900
5
10
F4
(N)
temps (s)
Chapitre4 COMMANDE ROBUST PAR LA THECHNIQUE DU BACKTEPPING
99
Figure 423 La trajectoire de reacutefeacuterence et reacuteelle en preacutesence de perturbation
Figure 424 Comparaison entre le controcircleur bakstepping et Inteacutegral Backsteppingpour des connexions demi cercle en preacutesence de perturbation
-2-15
-1-05
005
115
-3-2
-10
120
1
2
3
4
5
6
x-displacementy-displacement
z-d
ispla
cem
ent
Trajectoire reacuteelle
Trajectoire reacutefeacuterence
05
1015
2025
30
-5
0
5
100
10
20
30
Deacuteplacement suivant (x)Deacuteplacement suivant (y)
Deacutepla
cem
ent
suiv
ant
(z)
Trajectoire reacuteelle IB
Trajectoire reacutefeacuterence
Trajectoire reacuteelle B
Chapitre4 COMMANDE ROBUST PAR LA THECHNIQUE DU BACKTEPPING
100
Dans les figures (417- 424) nous remarquons que la robustesse de la commande est
veacuterifieacutee numeacuteriquement En effet avec telles forces de reacutesistance la commande produit
des valeurs assez raisonnables assurant le suivi du drone agrave sa trajectoire de reacutefeacuterence avec
des erreurs ne deacutepassant pas 20 cm pour les variables x z et y Pour assurer les virages les
angles de tangage et de roulis varient au cours du suivi de trajectoire
47 Backstepping adaptative
La commande adaptative est une solution ougrave les paramegravetres sont inconnus ougrave
eacutevoluant dans le temps Dans ce cas ces paramegravetres sont estimeacutes par des lois drsquoadaptations
ces derniegraveres nous permettent drsquoapprocher les valeurs reacuteelles du systegraveme rendant ainsi la
commande dynamique deacutependante de lrsquoeacutevolution des paramegravetres [10 46 47 59]
Dans cette partie on va preacutesenter la deuxiegraveme proposition pour eacuteliminer lrsquoerreur statique
due agrave la preacutesence drsquoune perturbation Le scheacutema bloc simplifieacute de la commande du
backstepping adaptative appliqueacute au vol vertical est repreacutesenteacute par la figure (425)
Figure 425 Le scheacutema bloc du backstepping adaptative
471 Commande de lrsquoaltitude
La loi de commande geacuteneacutereacutee en utilisant la technique du backstepping avec estimateur
deacutebutera par la deacutefinition de la premiegravere valeur drsquoerreur de position [28]
Premiegravere eacutetape
e௭ଵ= ݖ minus z (478)
Ainsi que sa vitesse lineacuteaire est donneacutee par
e௭ଵ= ሶݖ minus ሶݖ (479)
On choisira la fonction de Lyapunov
V (e௭ଵ) =ଵ
ଶeଵଶ (480)
Perturbation
Backstepping adaptative(Commande de lrsquoaltitude)
Model du X4Reacutefeacuterence zzref
ଷݑ
-
+
Chapitre4 COMMANDE ROBUST PAR LA THECHNIQUE DU BACKTEPPING
101
Sa deacuteriveacutee
V(e௭ଵ) = e௭ଵe௭ଵ= e௭ଵ ሶݖ) minus (ሶݖ (481)
Soit xଶ le controcircleur virtuel sa loi de commande est deacutefinie par
xଶ = ሶݖ + k௭ଵe௭ଵ (482)
Deuxiegraveme eacutetape
En introduisant la nouvelle valeur drsquoerreur noteacutee e௭ଶ qui est eacutegale agrave la diffeacuterence entre la
vraie valeur de la vitesse ሶetݖ la commande virtuelle xଶ alors
e௭ଶ = ሶݖ + k௭ଵe௭ଵminus ሶݖ (483)
e௭ଵ = minus k௭ଵe௭ଵ + e௭ଶ (484)
A cette eacutetape la fonction de Lyapunov va ecirctre diffeacuterente de la preacuteceacutedente et ceci est due agrave
lrsquointroduction drsquoune force inconnue ௭ܣ (force de traineacutee) Lrsquoajout drsquoun estimateur est
neacutecessaire pour estimer ௭ܣ la fonction de Lyapunov est augmenteacutee
V (e௭ଵ e௭ଶ (ଵߛ =1
2eଵଶ +
ଵ
ଶeଶଶ +
1
భߛ2௭෪ܣ
ଶ (485)
Lrsquoajout de ce nouveau terme permet drsquoannuler lrsquoerreur due agrave lrsquoestimation de la force ௭ܣ
ߛଵ
est un paramegravetre de design qui doit toujours ecirctre positif
Ougrave ௭෪ܣ repreacutesente lrsquoerreur entre ௭ܣ et ௭ܣ (force estimeacutee)
௭෪ܣ = ௭ܣ minus ௭ܣ (486)
A lrsquoaide de ce choix on obtient
V൫e௭ଵ e௭ଶ ߛଵ൯= e௭ଵe௭ଵ + e௭ଶe௭ଶ+
ଵ
ఊ1
௭෪ܣ ௭ܣ (487)
Pour que le systegraveme soit stable il faut que sa deacuteriveacutee soit toujours neacutegative
V൫e௭ଵ e௭ଶ ߛଵ൯= e௭ଵ(minus k௭ଵe௭ଵ + e௭ଶ)+ e௭ଶ (k௭ଵ(minusk௭ଵe௭ଵ + eଶ) minus +ሷݖ (ሷݖ +
1
భߛ௭෪ܣ ௭ܣ
(488)
= minus k௭ଵeଵଶ + eଶ ሷ+(1ݖ) minus kଵ
ଶ )e௭ଵ + k௭ଵeଶ minusߠݏ 3ݑemptyݏ
+ g +
ෝݖܣ
)
+1
భߛ௭෪ܣ ௭ܣ) minus
భߛ
eଶ ) (489)
La dynamique qui va ecirctre attribueacutee agrave ௭ܣ est baseacutee sur le fait qursquoelle doit annuler le terme
inconnu ௭ܣ
௭ܣ =ఊ1
e2ݖ (490)
Chapitre4 COMMANDE ROBUST PAR LA THECHNIQUE DU BACKTEPPING
102
Pour garantir la stabiliteacute de Lyapunov
ሷ+(1ݖ minus kଵଶ )e௭ଵ + k௭ଵeଶ minus
ߠݏ 3ݑ emptyݏ
+ g +
= minusk௭ଶeଶ (491)
La loi de commande qui stabilise le vol vertical est
ଷݑ =
ߠݏ emptyݏ+ሷݖ) g + e௭ଵ(1minusk௭ଵ
ଶ ) + eଶ(k௭ଵ + k௭ଶ) minusෝݖܣ
) (492)
La force ௭ܣ apparaicirct dans la commande ଷݑ et lrsquoeffet de celle-ci va se montrer dans les
reacutesultats de simulation
Nous suivons les mecircmes eacutetapes deacutecrites preacuteceacutedemment pour deacuteterminer les commandes du
drone X4 ce qui nous donne
⎩⎪⎪⎪⎨
⎪⎪⎪⎧ ௫ݑ =
௨యሷݔ) + (1 minus ௫ଵ
ଶ ) ௫ଵ minus ( ௫ଵ + ௫ଶ) ௫ଶ) minus
௬ݑ =
௨యሷݕ) + ൫1 minus ௬ଵ
ଶ ൯ ௬ଵ minus ( ௬ଵ + ௬ଶ) ௬ଶ) minus
ସݑ = +ߠ ఏଵ൫1 minus ఏଵଶ ൯minus ఏଶ ( ఏଵ + ఏଶ)
ହݑ = ݎempty + emptyଵ (1 minus emptyଵଶ ) minus emptyଶ ( emptyଵ + emptyଶ)
u = ψ
+eψଵ൫1 minus kψଵଶ ൯minus eψଶ(kψଵ + kψଶ )
(493)
ܣ ܣ sont les forces de reacutesistances estimeacutees suivants les axes x y respectivement
Leurs deacuteriveacutees sont deacutefinie par ܣ =ఊ2
e2ݔ ܣ =
ఊ3
e2ݕ
Avec ଶߛ et ଷߛ sont des constants positifs
472 Reacutesultats de simulations
Nous nous inteacuteressons dans cette partie aux tests de la robustesse du controcircleur
backstepping adaptative Nous reprenons les mecircmes tests effectueacutes par le controcircleur
Backstepping Nous traitons dans cette partie lrsquoexemple de la reacutealisation des connections
demi-cercles pour les mouvements z x y en preacutesence de perturbation
Avec les gains ଵ=10ߛ ଶ=20ߛ et ଷ=30ߛ
Chapitre4 COMMANDE ROBUST PAR LA THECHNIQUE DU BACKTEPPING
103
Figure 426 La trajectoire de reacutefeacuterence et reacuteelle en preacutesence de perturbation
Figure 427 Les commandes en preacutesence de perturbation
0 5 10 15 20 25 30 35 40 450
20
40
u3
(N)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45-40
-20
0
20
u4
(Nm
)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
-200
2040
u5
(Nm
)
temps (s)
02
46
810
1214
0
5
10
15
200
5
10
15
Deacuteplacement suivant (x)Deacuteplacement suivant (y)
Deacutepla
cem
ent
suiv
ant
(z)
Trajectoire reacuteelle
Trajectoire reacutefeacuterence
Chapitre4 COMMANDE ROBUST PAR LA THECHNIQUE DU BACKTEPPING
104
Figure 428 Les erreurs en preacutesence de perturbation
Figure 429 Les forces en preacutesence de perturbation
0 5 10 15 20 25 30 35 40 450
5
10
F1
(N)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 450
5
10
F2
(N)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 450
5
10
F3
(N)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 450
5
10
F4
(N)
temps (s)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45-01
0
01
02z-e
rreur
(m)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45-01
0
01
02
x-e
rreurr
(m)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45-01
0
01
02
y-e
rreur
(m)
temps (s)
Chapitre4 COMMANDE ROBUST PAR LA THECHNIQUE DU BACKTEPPING
105
Figure 430 Estimation des forces de traineacutee suivant les deacuteplacements zxy
La simulation agrave eacuteteacute faite sur le mecircme proceacutedeacute les figures (426-429) montrent
clairement que la loi de commande adaptative proposeacutees est stable malgreacute la preacutesence de
terme de perturbation lrsquoerreur statique est annuleacute et le suivi de la trajectoire est assureacute
nous pouvons voir aussi que la perturbation additionneacutee ne cause pas de problegraveme vis-agrave-vis
de la performance de la loi de commande cette derniegravere stabilise asymptotiquement les
principales erreurs du systegraveme En outre la figure (430) montre que ෩(erreur)ܣ converge
vers zeacutero ou encore ௫௬௭ܣ (estimeacutee) converge vers sa vraie valeur ௫௬௭ܣ (inconnue)
4 8 Commande Hybride
Depuis quelques anneacutees beaucoup de recherches ont eacuteteacute effectueacutees dans le domaine
de la commande des systegravemes non lineacuteaires Le mode glissant-backstepping fait partie de
ces nouvelles meacutethodes de controcircle celui-ci au mecircme algorithme que le backstepping mis
agrave part le deuxiegraveme sous systegraveme on remplace lrsquoerreur par la surface de glissement et la
commande comprend deux termes ݑ) = ݑ + (ݑ Un terme continu appeleacutee commande
eacutequivalente et un terme discontinu appeleacutee commande de commutation Le but de cette
proceacutedure est de garantir une stabiliteacute avant lrsquointroduction du mode glissant
0 5 10 15 20 25 30 35 40 450
5
10A
z-F
orc
e(N
))
0 5 10 15 20 25 30 35 40 450
5
10
Ax-F
orc
e(N
)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 450
5
10
Ay-F
orc
e(N
)
temps (s)
force estimeacutee
force reacuteelle
force estimeacutee
force reacuteelle
force estimeacutee
force reacuteelle
Chapitre4 COMMANDE ROBUST PAR LA THECHNIQUE DU BACKTEPPING
106
481 Application du mode glissant-Backstepping pour le drone X4
Dans cette partie on a utiliseacute le backstepping approche comme un algorithme
reacutecursif pour controcircler le drone X4 nous simplifions toutes les eacutetapes de calcul agrave propos
des erreurs et les fonctions de Lyapunov dans le chemin suivant
= ቐ
minusݔ ݔ isin [1 3 5 7 9 11]
minusݔ ሶ(ݔ ଵ) minus ( ଵ)
isin 2 4 6 8 1012
(494)
Avec gt 0 isin 112
ଵ
ଶ ଶ isin 1357911
et = (495)
( ଵ) +ଵ
ଶ ଶ isin 24681012
Nous allons appliquer cette meacutethode pour commander la dynamique de lrsquoaltitude z du
drone X4 les autres lois de commandes seront deacuteduites par les mecircmes proceacutedures et seront
donneacutee directement La premiegravere eacutetape dans ce controcircleur est similaire agrave celui de la
commande par backstepping agrave action inteacutegrale
Drsquoougrave la surface de glissement S est utiliseacute agrave la place de eଶ deacutefinis par
௭ = ௭ଶ = minusሶݖ ሶݖ minus ௭ଵ ௭ଵ minus ଵߣ ଵ (496)
Le choix de la de commande pour une surface de glissement attractive se pose sur la
deacuteriveacutee de lrsquoeacutequation (496) doit satisfaire la condition ൫SS lt 0൯
௭ = minus ଵݏ )ݐ ௭) minus ଶ ௭
= minusሷݖ ሷݖ minus ௭ଵ ሶ௭ଵ minus ଵߣ ௭ଵ
=ଵ
emptyݏ ଷݑߠݏ minus minus ሷݖ minus ௭ଵ ሶ௭ଵ minus ଵߣ ௭ଵ (497)
La loi de commande qui stabilise le vol vertical est
ଷݑ =
௦empty௦ఏ൫ݖሷ + + ௭ଵ ሶ௭ଵ + ଵߣ ௭ଵ minus ଵݏ )ݐ ௭) minus ଶ ௭൯ (498)
Avec ଵ et ଶ sont des gains positives
Chapitre4 COMMANDE ROBUST PAR LA THECHNIQUE DU BACKTEPPING
107
Analyse de la stabiliteacute
Afin de prouver la stabiliteacute la fonction de Lyapunov (e௭ଵ S௭) est choisie comme suite
(e௭ଵ S௭) =ଵ
ଶe௭ଵଶ + ௭
ଶ + ଵߣ ଵଶ ൧ (499)
Afin de prouver la stabiliteacute asymptotique du systegraveme sur lensemble nous avons besoin
dexprimer (471) comme suit
ሶ௭ଵ = minus ௭ minus ௭ଵ ௭ଵ minus ଵߣ ଵ (4100)
La deacuteriveacutee de lrsquoeacutequation 499 donne
= ଵߣ ௭ଵ ଵ + ௭ଵ ሶ௭ଵ + ௭௭ (4101)
Par lrsquointroduction des eacutequations drsquoerreurs de poursuite en vitesse de ௭ଵ et ௭ donne
= minus ௭ଵ ௭ଵଶ minus ଵ ௭
ଶ minus |ଵݍ ௭| le 0 (4102)
Avec
௭ = minus ଵݏ )ݐ ௭) minus ଶ ௭ + ௭ଵ (103)
La stabiliteacute Asymptotique Global est eacutegalement assureacutee agrave partir de la fonction et le fait
que ( ௭ଵ ௭) lt 0 forall( ௭ଵ ௭) ne 0 and (0) = 0 et en appliquant le theacuteoregraveme de LaSalle
Les mecircmes eacutetapes sont utiliseacutees pour deacuteduire les commandes ux uy u4 u5 et u6 [88]
⎩⎪⎪⎨
⎪⎪⎧ ௫ݑ =
௨యሷݔ) + ௫ଵ ሶ௫ଵ+ߣଶe୶ଵ minus ଷݏ )ݐ ௫) minus ସ ௫)
௬ݑ =
௦ఏ௨య൫ݕሷ + ௬ଵ ሶ௬ଵ + ଷe୷ଵߣ minus ହݏ ൫ݐ ௬൯minus ௬൯
ସݑ = ߠ + ఏଵ ሶఏଵ + ସeఏଵߣ minus ݏ )ݐ ఏ) minus ఏ
ହݑ = empty + emptyଵ ሶemptyଵ + ହeemptyଵߣ minus ଽݏ )ݐ empty) minus ଵ empty
ݑ = + టଵ ሶటଵ + eటଵߣ minus ଵଵݏ ൫ݐ ట൯minus ଵଶ ట
( 4104)
Avec ( ଵ ଶ ଷ ସ ହ ଽ ଵ ଵଵ ଵଶ ) sont des gains positives
Ougrave ௫ ௬ ఏ empty et ట sont les surfaces de glissement deacutefinies par le systegraveme drsquoeacutequation
suivant
Chapitre4 COMMANDE ROBUST PAR LA THECHNIQUE DU BACKTEPPING
108
⎩⎪⎪⎨
⎪⎪⎧
௫ = e୶ଶ = x minus x minus k୶ଵe୶ଵ minus ଶߣ ଶ
௬ = e୷ଶ = y minus y minus k୷ଵe୷ଵ minus ଷߣ ଵ
ఏ = eఏଶ = minusߠ ߠ minus kఏଵeఏଵ minus ସߣ ସ
empty = eemptyଶ = empty minus empty minus kemptyଵeemptyଵ minus ହߣ ହ
ట = eటଶ = minus minus kటଵeటଵ minus ߣ
(4105)
482 Reacutesultats de simulation
Lrsquoobjectif de cette simulation est de montrer la robustesse de la loi de commande
lorsque qursquoune perturbation externe est appliqueacutee
Les paramegravetres de simulation sont
ଵ =10 ଷ = 1 ହ = 10 = 2 ଽ = 10 ଵଵ = 2 ௭ଵ =8 ଶ = 5 ௫ଵ = 5 ସ =
5 ௬ଵ = 4 = 2 kemptyଵ = 55 k = 2 ఏଵ = 75 ଵ = 10 టଵ = 2 ଵଶ = 4
ଵߣ = 5 ଶߣ = 5 ଷߣ = 4 ସߣ = 2 ହߣ = 5 ߣ = 2
Les figures 431 437 et 438 montrent que les deux commandes ont permis le suivi des
trajectoires deacutesireacutees La diffeacuterence entre les deux commandes se voit dans la figure 436 ougrave
les erreurs de suivi sont moins importantes en utilisant la commande robuste backstepping-
mode glissant que la commande inteacutegrale backstepping Les simulations montrent donc
que la commande hybride est plus efficace que la commande Inteacutegrale Backstepping IB
Figure 431 La trajectoire de reacutefeacuterence et reacuteelle en preacutesence de perturbation
0
5
10
15
0
5
10
150
5
10
15
x-displacementy-displacement
z-d
ispla
cem
ent
Trajectoire reacuteelle
Trajectoire reacutefeacuterence
Chapitre4 COMMANDE ROBUST PAR LA THECHNIQUE DU BACKTEPPING
109
Figure 432 Les commandes en preacutesence de perturbation
Figure 433 Les erreurs en preacutesence de perturbation
0 5 10 15 20 25 30 35 40 450
20
40
u3(N
)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45-40
-20
0
20
u4(N
m)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
-200
2040
u5(N
m)
temps (s)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45-01
0
01
02
z-e
rreur
(m)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45-01
0
01
02
x-e
rreurr
(m)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45-01
0
01
02
y-e
rreur
(m)
temps (s)
Chapitre4 COMMANDE ROBUST PAR LA THECHNIQUE DU BACKTEPPING
110
Figure 434 Les angles en preacutesence de perturbation
Figure 435 Les forces en preacutesence de perturbation
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
-05
0
05
1
angle
theta
(rad)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
-1
-05
0
05
1
angle
phi(r
ad)
temps (s)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 4505
10
F1
(N)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 450
5
10
F2
(N)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 450
5
10
F3
(N)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 450
5
10
F4
(N)
temps (s)
Chapitre4 COMMANDE ROBUST PAR LA THECHNIQUE DU BACKTEPPING
111
Figure 436 Les erreurs de suivi en z x et y pour les deux commandes
Figure 437 La trajectoire de reacutefeacuterence et reacuteelle en preacutesence de perturbation
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45-01
0
01
02
z-e
rre
ur
(m)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45-01
0
01
02
x-e
rre
urr
(m)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45-01
0
01
02
y-e
rre
ur
(m)
temps (s)
IB
IBMG
IB
IBMG
IB
IBMG
0
5
10
15
0
5
10
150
5
10
15
x-displacementy-displacement
z-d
ispla
cem
ent
Trajectoire reacuteelle
Trajectoire reacutefeacuterence
Chapitre4 COMMANDE ROBUST PAR LA THECHNIQUE DU BACKTEPPING
112
Figure 438 La trajectoire de reacutefeacuterence et reacuteelle en preacutesence de perturbation
49 Conclusion
Nous avons preacutesenteacute dans ce chapitre une contribution agrave lrsquoapplication de la commande
par backstepping et la commande hybride backstepping mode glissant afin de stabiliser le
drone X4 On a proposeacute un algorithme de commande qui stabilise le drone en utilisant la
technique du backstepping et en se basant sur la meacutethode directe de Lyapunov Cette
technique a eacuteteacute appliqueacutee avec succegraves pour concevoir des algorithmes de commandes qui
assurent la poursuite de ces trajectoires En effet en preacutesence drsquoune perturbation un
comportement peu deacutesirable et observeacute des erreurs statiques persistent Afin drsquoeacuteliminer
cet inconveacutenient on a eacutetudieacute les deux approches la premiegravere consiste agrave introduire drsquoune
maniegravere virtuelle une action inteacutegrale qui permet une nette ameacutelioration des performances
et la deuxiegraveme approche est le backstepping adaptatif lrsquoideacutee consiste agrave estimer la force de
traineacutee comme perturbation et suivant la proceacutedure du backstepping le controcircleur prend
en compte la perturbation et lrsquoeffet de celle-ci est eacutelimineacute Les reacutesultats obtenus ont montreacute
lrsquoefficaciteacute de lrsquoutilisation de ce type de commande et ceci est deacutemontreacute par les bonnes
performances du controcircleur (rejet de perturbation)
Pour renforcer la robustesse face aux perturbations externes des deux commandes une
commande hybride entre le mode glissant et le backstepping inteacutegrale agrave eacuteteacute proposeacutee afin
-2-15
-1-05
005
115
-3
-2
-1
0
1
20
1
2
3
4
5
6
x-displacementy-displacement
z-d
ispla
cem
ent
Trajectoire reacuteelle
Trajectoire reacutefeacuterence
Chapitre4 COMMANDE ROBUST PAR LA THECHNIQUE DU BACKTEPPING
113
drsquoameacuteliorer les performances dynamique et statique Nous avons preacutesenteacute dans cette partie
la synthegravese et la stabiliteacute de la commande hybride que nous avons appliqueacutee pour le drone
X4
Les reacutesultats de simulation ont confirmeacute les bonnes performances du controcircleur utiliseacute qui
assure sous certaines conditions la poursuite de la trajectoire
CONCLUSION GENERALE ET PRESPECTIVE
113
CONCLUSION GENERALE ETPRESPECTIVE
CONCLUSION GENERALE ET PRESPECTIVE
114
CONCLUSION GENERALE ET PRESPECTIVE
Durant ces derniegraveres anneacutees la robotique aeacuterienne a fait de grand progregraves Cet
inteacuterecirct est justifieacute par les avanceacutees technologiques reacutecentes qui rendent possibles la
conception et la construction des mini-drones et par le domaine drsquoapplication civile et
militaire tregraves vaste de ces aeacuteronefs Les drones sont classifieacutes en trois cateacutegories principales
les avions les dirigeables et les heacutelicoptegraveres Le travail reacutealiseacute dans cette thegravese rentre dans
ce cadre de recherche sur la commande de mini-veacutehicules aeacuteriens capables de reacutealiser du
vol stationnaire et en particulier du quadrirotor Notre objectif est de deacutevelopper des
commandes avanceacutees drsquoune part et drsquoautre part de proposer des meacutethodes drsquohybridations
entre ces techniques de commande assurant la stabiliteacute du drone (X4) et leurs poursuites
aux trajectoires planifieacutees
Nous nous sommes tout drsquoabord inteacuteresseacutes agrave attribuer au drone un modegravele
repreacutesentatif qui reflegravete sa dynamique de translation et celle de rotation en neacutegligeant les
forces aeacuterodynamiques et les effets gyroscopiques Ce modegravele a eacuteteacute eacutelaboreacute en utilisant la
meacutethode Newtonienne en se basant sur quelques hypothegraveses simplificatrices adopteacutees en
litteacuterature
Nous avons eacutelaboreacute dans un premier temps la synthegravese drsquoune loi de commande agrave
structure variable tel que le mode glissant Dans ce type de commande lrsquoapproche non
lineacuteaire a eacuteteacute traiteacutee et preacutesente lrsquoavantage de se rapprocher du systegraveme reacuteel sans passer
neacutecessairement par le modegravele lineacuteaire Cette commande a donneacute des reacutesultats inteacuteressants
concernant la poursuite de trajectoires simples telles que le suivi de lignes droites et
complexes (demi-cercle arcs hellip)
En preacutesences des perturbations des erreurs statiques persistent Une structure de
reacuteglage par mode de glissement agrave action inteacutegrale a eacuteteacute aussi preacutesenteacutee afin drsquoobtenir des
meilleurs performances Les reacutesultats de simulation nous montrent la robustesse et la
performance de ce type de reacutegulateur Cependant le signal de commande obtenu par ce
reacutegulateur preacutesente des variations brusques dues au pheacutenomegravene de broutements
(chatterring)
Afin de reacuteduire les effets du pheacutenomegravene de broutement et drsquoameacuteliorer davantage
les performances de stabilisation du X4 une hybridation entre la logique floue et le mode
de glissement agrave action inteacutegrale a eacuteteacute proposeacutee
CONCLUSION GENERALE ET PRESPECTIVE
115
Une autre commande non lineacuteaire a eacuteteacute proposeacutee agrave savoir un reacutegulateur de type
backstepping Ce reacutegulateur est baseacute sur une reacutecente meacutethodologie faisant appel agrave la
fonction de Layapunov La synthegravese a conduit agrave un controcircleur non lineacuteaire globalement
asymptotiquement stable Cette technique a eacuteteacute appliqueacutee avec succegraves pour concevoir des
algorithmes de commandes qui assurent le deacuteplacement du drone drsquoune position initiale
vers une position drsquoeacutequilibre deacutesireacutee Le reacutegulateur backstepping dont la conception est de
type PD preacutesente lrsquoinconveacutenient de la persistance de lrsquoerreur statique en preacutesence de
perturbation Pour y remeacutedier deux solutions ont eacuteteacute proposeacutees agrave savoir lrsquoajout drsquoune
action inteacutegrale au controcircleur virtuel (la commande inteacutegrale backstepping) et la deuxiegraveme
revient agrave estimer la perturbation (la commande backstepping adaptatif) cette approche a la
flexibiliteacute de speacutecifier les structures finales deacutesirables pour les lois des paramegravetres estimeacutes
Une approche drsquohybridation entre le backstepping inteacutegrale et le mode glissant a eacuteteacute
preacutesenteacutee pour augmenter davantage les performances de controcircleur
Les reacutesultats obtenus agrave ce propos sont assez motivant pour lancer une concreacutetisation
pratique de ces commandes
Outre les perspectives de travail mentionneacutees dans les conclusions des diffeacuterentes
parties de ce document une extension des travaux effectueacutes dans le cadre de cette thegravese
peut ecirctre reacutealiseacutee en consideacuterant les points suivants
Les approches proposeacutees ont eacuteteacute adapteacutees pour lrsquoacuteelaboration de lois de guidage-pilotage
en utilisant un niveau de modeacutelisation de la dynamique drsquoun drone miniature `agrave voilure
tournante baseacute sur une repreacutesentation de type meacutecanique du solide Une extension de ces
travaux peut consister en lrsquoapplication des meacutethodes proposeacutees agrave des modegraveles plus
deacutetailleacutes repreacutesentatifs drsquoune configuration de veacutehicule donneacutee et prenant en compte une
repreacutesentation de son aeacuterodynamique
Enfin une analyse de la robustesse des approches proposeacutees peut ecirctre eacutetudieacutee en
poursuite agrave cette thegravese afin de garantir dans quelle mesure les proprieacuteteacutes de stabiliteacute
eacutetablies sont conserveacutees en preacutesence drsquoerreurs de modegraveles en preacutesence de perturbations
impreacutevisibles telles que les rafales de vent En effet comme perspective ces conditions
reacuteelles peuvent ecirctre consideacutereacutees dans lrsquoeacutelaboration de la commande dans le but
drsquoaugmenter le domaine de fonctionnement du quadrirotor (agrave lrsquointeacuterieur ou bien agrave
lrsquoexteacuterieur) Dans le mecircme esprit nous nrsquoavons pas consideacutereacute le problegraveme des retards de
mesure ou de communication entre le drone et la base de controcircle Il nous semble
envisageable de consideacuterer ce problegraveme en se basant sur les reacutesultats obtenus pour la
CONCLUSION GENERALE ET PRESPECTIVE
116
stabilisation par commande agrave structure variable de systegravemes avec retard et la stabilisation
avec la commande hybride
Le choix des paramegravetres de reacuteglage de la commande non-lineacuteaire proposeacutee pour la
stabilisation du quadrirotor nrsquoest pas optimiseacute en lrsquoeacutetat actuel Il est par conseacutequent tout agrave
fait envisageable drsquooptimiser ces choix dans le but drsquoameacuteliorer le comportement global du
systegraveme de renforcer la stabiliteacute ou encore drsquoameacuteliorer la robustesse de la commande
ANNEXE
113
ANNEXES
ANNEXE
117
ANNEXE A
A1 Theacuteorie de lyapunov
Le concept du controcircle par Backstepping est baseacute sur la theacuteorie de Lyapunov Lebut est de construire de proche en proche une loi de commande ramenant le systegraveme versdes eacutetats deacutesireacutes En drsquoautres termes on souhaite faire de lrsquoeacutetat deacutesireacute un eacutetat drsquoeacutequilibrestable en boucle fermeacuteeDans cette section nous deacutefinissons la notion de la stabiliteacute au sens de Lyapunov et nouspassons en revue les principaux outils utilisables pour prouver la stabiliteacute drsquoun systegraveme nonlineacuteaire Cette section est inspireacutee essentiellement des travaux de Khalil auquel nous nousreferons pour les preuves des theacuteoregravemes de stabiliteacute [89]On considegravere le systegraveme non lineacuteaire drsquoeacutecrit par lrsquoeacutequation diffeacuterentielle suivante
=ሶݔ (ݐݔ) A1Ougrave f est une fonction deacutefinie de ℝtimesℝା rarr ℝ x isin Rn est le vecteur drsquoeacutetat du systegravemeUn eacutetat xe du systegraveme est un point drsquoeacutequilibre stable srsquoil satisfait
(ݔ) = 0 A2Les proprieacuteteacutes de stabiliteacute de ce point drsquoeacutequilibre sont caracteacuteriseacutees par la deacutefinition ci-dessous
Deacutefinition A1 (Stabliteacute au sens de Lyapunov)Un point drsquoeacutequilibre x = x du systegraveme (A1) est ndash un eacutetat drsquoeacutequilibre stable si et seulement si pour tout ε gt 0 il existe δ(ε) gt 0 tel que
(0)ݔ minus ݔ lt ε ⟹ (ݐ)ݔ minus ݔ lt ߝ leݐ forall 0ndash un eacutetat drsquoeacutequilibre asymptotiquement stable srsquoil est stable et srsquoil existe ߜ gt 0 tel que
(0)ݔ minus ݔ lt ⟹ߜ lim௧⟶ஶ
(ݐ)ݔ = ݔ
ndash un eacutetat drsquoeacutequilibre globalement asymptotiquement stable (GAS) si pour tout eacutetat initialx0 x(0) isin ℝ il est stable et
lim௧rarrஶ
(ݐ)ݔ = (0)ݔ forall ݔ
On introduit maintenant quelques concepts usuels de fonctions de LyapunovDeacutefinition A2ndash Une fonction scalaire V (x) est deacutefinie positive dans une boule de Rn de rayon K si 1) V (x) gt 0 forall x ne 0 et x isin ℝ୬ x lt K2) V (x) = 0 pour x = 0ndash La fonction scalaire V (x) est deacutefinie neacutegative dans une boule de ℝ୬ de rayon K si 1) V (x) lt 0 forall x ne 0 et x isin ℝ୬ x lt K2) V (x) = 0 pour x = 0ndash La fonction scalaire (ݔ) est semi-deacutefinie positive si (ݔ) ge 0
Theacuteoregraveme A3 Consideacuterons le systegraveme deacutecrit par lrsquoeacutequation (A1) avec (0) = 0 Soit (ݔ) une fonction scalaire deacutefinie positive non borneacutee continue et diffeacuterentiable Si
V(x) = Vx f(x) lt 0 x ne 0 (A3)
alors x = 0 est un point drsquoeacutequilibre globalement asymptotiquement stable
ANNEXE
118
La fonction deacutefinie positive (ݔ) satisfaisant (ݔ) le 0 est appeleacutee fonction de Lyapunovdu systegraveme
Theacuteoregraveme A4 (LaSalle-Yoshizawa) [90]
Soit =ݔ 0 un point drsquoeacutequilibre de (A1) et on suppose que f est localement Lipschitz en xSoitV ℝ rarr ℝା une fonction continue et diffeacuterentiable deacutefinie positive radialement nonborneacutee telle que
=ௗ
ௗ௫(ݔ) (ݐݔ) le minus (ݔ) le 0 leݐ forall 0 niݔ ℝ (A4)
ougrave (ݔ) est une fonction continue alors toutes les solutions de (A1) sont globalementuniformeacutement borneacutees et satisfont
lim௧rarrஶ
( ((ݐ)ݔ) = 0 (A5)
de plus si (ݔ) est deacutefinie positive alors le point drsquoeacutequilibre ݔ = 0 est globalementuniformeacutement asymptotiquement stable
A2 Commande par la meacutethode de Lyapunov
Nous allons donner dans cette section une meacutethode de synthegravese drsquoune loi de commandebaseacutee sur la theorie de Lyapunov On considegravere le systegraveme non lineacuteaire drsquoeacutecrit par
=ሶݔ f(x u) (A6)Ougrave x est lrsquoeacutetat du systegraveme et ݑ est lrsquoentreacutee de commandeLrsquoobjectif du controcircle est de ramener le vecteur drsquoeacutetat agrave lrsquoorigine et que lrsquoorigine devienneun point drsquoeacutequilibre asymptotiquement stable Lrsquoentreacutee de commande est choisie de laforme
ݑ = (ݔ)ߙ (A7)La dynamique du systegraveme en boucle fermeacutee devient
=ሶݔ ((ݔ)ߙݔ) (A8)
Pour montrer que le systegraveme est GAS nous devons construire une fonction de Lyapnuov
(ݔ) satisfaisant les conditions du theacuteoregraveme (A3) Lapproche la plus simple pour trouver
(ݔ)ߙ est de seacutelectionner une fonction deacutefinie positive (ݔ) radialement non borneacutee et
puis choisir (ݔ)ߙ tel que
= (ݔ)ݔ ((ݔ)ߙݔ) lt 0 x ne 0 (A9)On doit faire un choix adeacutequat de pour veacuterifier (A9) Ce qui nous amegravene agrave donner ladeacutefinition suivante
Deacutefinition A5 (Fonction de Lyapunov candidate) Une fonction (ݔ) scalaire lissedeacutefinie positive et radialement non borneacutee est appeleacutee fonction de Lyapunov candidatepour le systegraveme (A6) si
inf௨ݔ (ݑݔ) lt 0 x ne 0 (A10)
Etant donneacutee une (fonction de Lyapunov candidate (CLF)) pour le systegraveme (A8) on peuttrouver une loi de controcircle stabilisant globalement le systegraveme En effet lrsquoexistence de
ANNEXE
119
cette loi est eacutequivalent de (CLF) Cela veut dire que pour toute loi de controcircle stabilisanteon peut trouver une (CLF) correspondante et vis-versa Cela est veacuterifie dans le theacuteoregraveme[91] Pour illustrer cette approche on considegravere le systegraveme suivant
=ሶݔ (ݔ) + ݑ(ݔ) (A11)Ce systegraveme est affine en la commande On suppose que la (CLF) du systegraveme est connueSontag a proposeacute dans [92] un choix particulier de loi de controcircle donneacutee par
ݑ = (ݔ)ߙ = minusାradicమାమ
(A12)
Ougrave= (ݔ)ݔ (ݔ)= (ݔ)(ݔ)ݔ
Cette loi de commande nous donne
= )(ݔ)ݔ (ݔ) + (ݑ(ݔ) = + ൬minusାradicమାమ
൰= minusradic ଶ + ଶ (A13)
Elle rend donc lrsquoorigine (GAS) Lrsquoeacutequation (A12) est connue sous le nom de la formule deSontag Freeman et Primbs [93] ont propose une approche ou la commande u est choisiepour minimiser Lrsquoeffort du controcircle neacutecessaire pour satisfaire
le minus (ݔ) (A14)
A3 Eacuteleacutements theacuteoriques des modes glissantsOn introduit des eacuteleacutements theacuteoriques neacutecessaires agrave la compreacutehension de la
commande par modes glissants Plus particuliegraverement nous rappelons les conditionsdrsquoexistence du mode glissant
Figure A1 ndash Comportement en dehors de la surface de glissement
A31 Existence du mode glissementA311 Deacutefinitions
Nous consideacuterons le systegraveme non lineacuteaire drsquoeacutecrit par
=ሶݔ (ݐݑݔ) (A15)Ougrave ndash x est lrsquoeacutetat du systegraveme eacutevoluant dans une varieacuteteacute diffeacuterentiable caracteacuterisant le domainephysique de fonctionnement du systegraveme
S = 0
ANNEXE
120
ndash f le champ de vecteurs complet dans ℝ
ndash u la commande ou lrsquoentreacutee du systegraveme appartient a Ω inclut dans ℝ veacuterifiant
(ݐݔ)ݑ = ൜(ݐݔ)ାݑ ݏ (ݐݔ) ≺ 0
(ݐݔ)ݑ ݏ (ݐݔ) ≻ 0
Cette commande discontinue est appeleacutee Commande a Structure Variable(CSV) ou biencommande par modes glissantsLa fonction S(x t) est appeleacutee surface de glissement elle partage lrsquoespace en deux partiesdistinctes Un systegraveme est deacutefini comme eacutetant un systegraveme a structure variable commutantentre deux structures si par on deacutefinit deux champs de vecteurs ା (x u t) (x u t) detel sorte que le systegraveme (A15) puisse ecirctre eacutecrit sous la forme ci-dessous
=ሶݔ (ݐݑݔ) = (ݐݔ) = ൜ା(ݐݔ) ݏ (ݐݔ) ≺ 0
(ݐݔ) ݏ (ݐݔ) ≻ 0
Pour eacutevoquer lrsquoexistence du mode de glissement il faut que la surface de commutation(ݐݔ) soit attractive des deux cotes Lrsquointerpreacutetation geacuteomeacutetrique eacutequivaut agrave dire que les
deux vecteurs vitesses + et minus doivent ecirctres dirigeacutes vers la surface de commutationCette notion drsquoattractiviteacute peut ecirctre locale ou globale (figure (A1))
A32 Conditions drsquoexistence du mode glissantLe theacuteoregraveme ci-dessous donne les conditions drsquoexistence du mode glissant
Theacuteoregraveme A6 Un domaine Dg de dimension (n-1) est dit un domaine de glissement si etseulement si dans un domaine Ω contenant Dg il existe une fonction de Lyapunov ( (ݐݔ gt 0 continucircment diffeacuterentiable par rapport agrave tous ses arguments et satisfaisantles conditions suivantes
i) ( (ݐݔ gt 0 est deacutefinie positive par rapport a S
൜( (ݐݔ ≻ 0 (ݐݔ0) = 0
ݏ ne 0
ii) Sur la sphegravere = ρ forall x isin Ω forall t gt 0 les relations suivantes sont veacuterifieacutees ii minus a) inf
ௌୀV ( (ݐݔ = ℎ ℎ gt 0
ii minus b) supௌୀ
V ( (ݐݔ = ܪ ܪ gt 0
Avec ℎ et ܪ deacutependant de S et ℎ ne 0 si ρ ne 0
iii) La deacuteriveacutee totale de ( (ݐݔ le long des trajectoires du systegraveme a unmaximum neacutegatif pour tout x de agrave lrsquoexclusion de la surface de commutationpour laquelle la commande u nrsquoest pas deacutefinie et la deacuteriveacutee de ( (ݐݔnrsquoexiste pas
iv) Il est possible de choisir une fonction de Lyapunov baseacutee sur la physique dusystegraveme (cas des robots manipulateurs par exemple) mais il nrsquoexiste aucune
ANNEXE
121
meacutethode geacuteneacuterale qui permette de trouver une fonction de Lyapunov Pourcertaines classes de systegravemes une approche possible consiste agrave choisir lesformes suivantes
⎩⎪⎨
⎪⎧ ݔ) (ݐ =
ଶ
2
ݔ) (ݐ =ସ
4 ݔ) (ݐ = | |
Pour illustrer le reacutesultat fourni par le theacuteoregraveme preacuteceacutedent nous optons pour une
fonction de Lyapunov de type quadratique ݔ) (ݐ =ௌమ
ଶ Pour que la surface soit
attractive sur tout le domaine il suffit queௗ
ௗ௧ ݔݐ) ) lt 0 Ceci eacutequivaut agrave
SS˙ lt 0 (A16)
Cette condition(A16) permet drsquoassurer une convergence asymptotique vers lasurface S = 0 Tregraves souvent cette condition est remplaceacutee par
SS˙ le minusη |S| (A17)
Ougrave η est une quantiteacute strictement positive Cette condition assure la convergence vers S =0 en un temps fini tfini
ANNEXE
122
ANNEXE B
La commande mode glissant preacutesente certaine limites par exemple le problegraveme de
chattering en preacutesence de la fonction sgn (voir figure si-dessous)
Figure B1 La commande u3 en cas des connexions droite
Dans cette partie nous testons numeacuteriquement la performance du vecteur de commande
(mode glissant) deacuteveloppeacute preacuteceacutedemment dont les conditions initiales sont choisis
diffeacuterentes de zeacutero
Figure B2 La trajectoire de reacutefeacuterence et reacuteelle en cas drsquoun cocircne
0 1 2 3 4 5 6 7 80
5
10
15
20
25
30
35
40
U3(N
)
Temps (s)
-2-15
-1-05
005
115
-3
-2
-1
0
1
20
1
2
3
4
5
6
Deacuteplacement suivant (x)
X 1
Y 1
Z 2984
Deacuteplacement suivant (y)
Deacutepla
cem
ent
suiv
ant
(z)
Trajectoire reacuteelle
Trajectoire reacuteference
ANNEXE
123
Figure B3 Les forces en cas drsquoun cocircne
Figure B4 Les angles en cas drsquoun cocircne
0 5 10 15 20 25 30 35 40 450
5
10
F1
(N)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 450
5
10
F2
(N)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 450
5
10
F3
(N)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 4505
10
F4
(N)
temps (s)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
-05
0
05
1
angle
theta
(rad)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
-1
0
1
angle
phi(r
ad)
temps (s)
ANNEXE
124
Figure B5 La trajectoire de reacutefeacuterence et reacuteelle en cas des demi-cercles
Figure B6 Les forces en cas des demi-cercles
0 5 10 15 20 25 30 35 40 450
5
10
F1
(N)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 450
5
10
F2
(N)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 450
5
10
F3
(N)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 450
5
10
F4
(N)
temps (s)
0
5
10
15
0
5
10
15
200
2
4
6
8
10
12
Deacuteplacement suivant (x)
X 1
Y 1
Z 3
Deacuteplacement suivant (y)
Deacutepla
cem
ent
suiv
ant
(z)
Trajectoire reacuteelle
Trajectoire reacutefeacuterence
ANNEXE
125
Figure B7 Les forces en cas des demi-cercles
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
-05
0
05
1
angle
theta
(rad)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
-1
-05
0
05
1
angle
phi(r
ad)
temps (s)
BIBLIOGRAPHIE
126
BIBLIOGRAPHIE
BIBLIOGRAPHIE
127
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Reacutesumeacute
Lrsquointeacuterecirct scientifique de la thegravese est lrsquoeacutetude de stabilisation avec planification de trajectoire pour undrone agrave quatre heacutelices Apregraves la modeacutelisation du systegraveme plusieurs commandes ont eacuteteacute reacutealiseacutees pour lapoursuite de trajectoires simples telles que le suivi de lignes droites et complexes La stabiliteacute descontrocircleurs utiliseacutes a eacuteteacute veacuterifieacutee ainsi que la robustesse en preacutesence des perturbations
Dans la premiegravere partie nous nous somme pencheacutes sur la synthegravese drsquoun controcircleur par mode glissant (SMC)pour la stabilisation du drone X4 Cependant le signal de commande obtenu par cette technique preacutesentedes variations brusques dues au pheacutenomegravene de broutement Afin de reacuteduire les effets de ce pheacutenomegravene etdrsquoameacuteliorer davantage les performances de controcircle du X4 une hybridation entre la logique floue et le modede glissement a eacuteteacute proposeacutee
Par la suite nous avons preacutesenteacute la technique de commande du backstepping pour la stabilisation du droneCe reacutegulateur est baseacutee sur une reacutecente meacutethodologie faisant appel agrave la fonction da lyapunov Le controcircleurbackstepping dont la conception est de type PD preacutesente lrsquoinconveacutenient de la persistance de lrsquoerreur statiqueen preacutesence de perturbation Pour y remeacutedier des solutions ont eacuteteacute proposeacutees agrave savoir la commande InteacutegralBackstepping la commande backstepping adaptatif et une hybridation entre le mode glissant a eacuteteacute proposeacuteeafin drsquoameacuteliorer les performances de reacuteglage
Mot-cleacutes Drone quadrirotor commande par mode glissant commande par backstepping commandehybride stabiliteacute
Abstract
The scientific interest of this thesis work can be mainly seen in the study of the stabilization with
path planning for a four propellers UAV type Starting with dynamical modeling the system several
controllers were designed for the tracking of simple trajectories such as the follow-up of straight lines and
more complex ones The stability of the proposed controllers was checked as well as their robustness in the
presence of various disturbances
In the first part we focused on the synthesis of a sliding mode controller (SMC) for the stabilization of an X4UAV However the control signal obtained from this technique shows sudden undesirable variations due tothe phenomenon of chattering To reduce the effects of this phenomenon and to further improve the controlperformance applied to the X4 hybrid technique between fuzzy logic and sliding mode has been proposed
Subsequently we introduced the backstepping control technique to stabilize the drone This controllerdesign relies on a recent methodology using the Lyapunov function The backstepping controllerrsquos structurewhich is of PD type has the disadvantage of the persistence of the static error in the presence of disturbancesTo overcome this drawback some solutions have been proposed namely Integral Backstepping control theadaptive backstepping technique and its hybridization with the sliding mode control has been applied toimprove the control performances
Keywords quadrocopter drone sliding mode control backstepping control hybrid control stability and
robustness
الملخص
بدونودواراتبأربعودفعـھارفعـھایتمعمودیـة التيطائـرة في التحـكموالنمـذجةدراسـةإلىتطرقـناھذا في عمـلنا
تخراجـاسإلى تستندواحدةللتحكم خطیتینغیرتقنـیتین على اعتمدناقدوالنموذجلاستخراجقانون نیوتنطیاراستعملنا في التحكمإظھار
تحقـیقھوھذامنوالھدفباكیستیبنإجراءاتإلىالأخرىوالإنزلاق لات حا نوعمنحصینالنموذج أثناءطیاربدونطائرةالاستقرارو
الریاحتأثیر حالة ومسار معین رصد حالة في التقنـیات المعتـمدة متانة وفعالیةالتجارب نتائج بینتوقدمسارھارصدواشتغالھا
الباكستیبن تقنیةالانزلاق حالاتنوعمنحصینتحكم دوارات أربعذاتطائرةطائرةالمفتاحیةالكلمات
INTRODUCTION GENERALE
0
INTRODUCTION GENERALE
INTRODUCTION GENERALE
1
INTRODUCTION GENERALE
Dans les derniegraveres anneacutees les avances technologiques ont permis la conception et
la construction de mini-avions ou mini-heacutelicoptegravere avec des capaciteacutes toujours plus
deacuteveloppeacutees pour reacutealiser des vols autonome Ces appareils sont connus sous le nom de
drones Crsquoest -agrave-dire les drones sont des engins volants autonomes ou semi-autonomes
capables drsquoeffectuer des missions en vol sans pilotage humain agrave bort Pour cette raison les
drones sont connus aussi par leur appellation anglaise UAV (Unmanned Aerial Vehicle)
Ces appareils sont des veacutehicules complexes et difficiles agrave commander Il faut noter que
contrairement au robot manipulateur la plupart des ces systegravemes sont sous ndashactionneacutes (le
nombre drsquoentreacutees de commande est inferieur au nombre de degreacutes de liberteacute) En effet le
manque drsquoactionneurs pour ces engins induit une grande difficulteacute dans la conception de la
commande Neacuteanmoins lrsquointeacuterecirct de leur eacutetude vient de leur versatiliteacute et de leur
manœuvrabiliteacute leur permettant lrsquoexeacutecution drsquoun grand nombre de taches
Les applications des drones ne cessent drsquoaugmenter tant dans le domaine civil que
militaire Parmi les applications nous pouvons citer par exemple la surveillance de trafic
urbain ou des lignes eacutelectriques agrave haute tension [15] lrsquointervention dans des
environnements hostiles repeacuterage de mines la deacutetection de feux de forets dans les
missions de recherche et de sauvetage Enfin dans toutes les applications aeacuteriennes ougrave
lrsquointervention humaine devient difficile ou dangereuse
La recherche sur les drones est baseacutee principalement sur une eacutetude pluridisciplinaire
touchant le domaine eacutelectronique automatique informatique temps reacuteel aeacuterodynamique
traitement de signal communication Pour cette raison le nombre drsquoindustriels et
drsquouniversiteacutes qui srsquointeacuteressent aux robots aeacuterien ne cesse drsquoaugmenter
La conception de drones est diviseacutee essentiellement en deux parties la partie
algorithmique et la partie mateacuterielle Bien qursquoil existe un certain nombre de difficulteacutes
associeacutees agrave ce travail les chercheurs et les concepteurs se sont impliqueacutes de maniegravere
intense dans ces deux activiteacutes pour faire des contributions dans ce domaine La partie
algorithmique concerne le deacuteveloppement des lois de commande Dans cette branche les
automaticiens sont inteacuteresseacutes de plus en plus agrave lrsquoeacutetude et au deacuteveloppent des lois de
commande tant lineacuteaires que non lineacuteaire pour gouverner la dynamique de ces veacutehicules
La deuxiegraveme partie concerne le deacuteveloppement de la plate-forme expeacuterimentale ou
autopilote qui sera embarqueacutee dans le veacutehicule
INTRODUCTION GENERALE
2
Lrsquoobjectif de la thegravese est de deacutevelopper des strateacutegies de commande non lineacuteaires
pour le controcircle du drone En effet deux meacutethodes sont proposeacutees la commande par mode
glissant et la commande par backstepping
La commande agrave structure variable ou le mode glissant est une technique de
commande non lineacuteaire elle est caracteacuteriseacutee par la discontinuiteacute de la commande par une
surface de commutation Sa dynamique est alors insensible aux perturbations exteacuterieurs et
parameacutetriques tant que les conditions de reacutegime glissant sont assureacutees [45 50] Dans cette
voie nous allons utiliser la commande par mode glissant (Sliding Mode Control ou SMC)
pour la stabilisation drsquoun drone agrave quatre heacutelices Cependant le signal de commande obtenu
par un SMC preacutesente des variations brusques dues au pheacutenomegravene de broutement
(chaterring) ce qui peut exciter les hautes freacutequences et les non lineacuteariteacutes non modeacutelisables
[45 50 48 76] En effectuant une hybridation entre la logique floue et le mode de
glissement nous essayerons de reacuteduire les effets de pheacutenomegravene de broutement et
drsquoameacuteliorer drsquoavantage les performances du controcircleur
La theacuteorie de Lyapunov nous offre des outils tregraves puissants pour lrsquoanalyse de la
stabiliteacute des systegravemes ces mecircmes outils peuvent ecirctre utiliseacutes pour la synthegravese des lois de
commande Crsquoest dans ce contexte que se situe le backstepping cette commande agrave eacuteteacute
introduite au deacutebut des anneacutees 90 par plusieurs chercheurs on citera ente autres P
Kokotovic H Khalil Kanellakopoulos [72 73 74 75] Lrsquoapplication de cette derniegravere se
trouve dans le domaine de lrsquoaeacuteronautique [28] dans les systegravemes complexes tel que la
robotique les reacuteseaux eacutelectriques ainsi que les machines eacutelectriques [77 78 79 80] on
peut deacutefinir cette lois de commande comme eacutetant une proceacutedure reacutecursive qui combine
entre le choix de la fonction de Lyapunov et la synthegravese de la loi de commande [82] Cette
meacutethode transforme le problegraveme de synthegravese de loi de commande pour le systegraveme global agrave
une synthegravese de seacutequence de commande pour des systegravemes reacuteduits En exploitant la
flexibiliteacute de ces derniers le backstepping peut reacutepondre aux problegravemes de reacutegulation de
poursuite et de robustesse avec des conditions moins restrictives que drsquoautres meacutethodes
[82] Lrsquoingeacuteniositeacute de lrsquoideacutee nous a conduit agrave proposeacute lrsquoutilisation de cette loi de
commande non lineacuteaire pour la commande du drone quadri-rotor Une approche de
commande inteacutegral backstepping adaptatif sera preacutesenteacutee
INTRODUCTION GENERALE
3
Ce manuscrit de thegravese est structureacute de la maniegravere suivante en quatre chapitres
Chapitre 1
Dans ce chapitre nous preacutesenterons une classification des drones pour nous placer dans le
contexte de ce domaine de recherche Une eacutetude bibliographique preacutesente certaines
meacutethodes de geacuteneacuteration drsquoalgorithmes de commande pour les drones
Chapitre 2
Dans ce chapitre la modeacutelisation de drone heacutelicoptegravere quadri-rotor est preacutesenteacutee Cette
modeacutelisation est eacutetablie en prenant en consideacuteration les forces aeacuterodynamiques Une
expression deacutetailleacutee du coefficient de Coriolis des termes gyroscopique et centrifuge est
donneacutee
Chapitre 3
Le troisiegraveme chapitre concerne la commande agrave structure variable ougrave lrsquoapproche non
lineacuteaire par mode glissants est traiteacutee On introduit quelques aspects meacutethodologiques
neacutecessaires pour la compreacutehension des systegravemes agrave structures variables Cette technique
sera appliqueacutee pour controcircler la trajectoire du drone en utilisant une stabilisation point par
point Une autre structure de reacuteglage par mode de glissement agrave action inteacutegrale sera aussi
preacutesenteacutee Ensuite une approche drsquohybridation entre le mode glissant et la logique floue
sera proposeacutee
Chapitre 4
Le chapitre quatre quant agrave lui est consacreacute agrave la conception de la deuxiegraveme loi de
commande non lineacuteaire baseacutee sur la technique du backstepping pour la commande des
mouvements selon les axes Z X Y Une approche de commande backstepping adaptative
sera preacutesenteacutee Une hybridation entre la commande par backstepping et par mode glissant
est aussi proposeacutee dans le but drsquoavoir un controcircleur plus performant Une eacutetude de la
robustesse est effectueacutee vis-agrave-vis de la perturbation du vent suivant les diffeacuterentes
directions du mouvement
Ce manuscrit srsquoachegraveve par un ensemble de commentaires et de remarques geacuteneacuterales
sur les reacutesultats obtenus et quelques discussions sur les perspectives agrave mener
Chapitre 1 ETAT DE LrsquoART
3
Chapitre 1
ETAT DE LrsquoART
Chapitre 1 ETAT DE LrsquoART
4
1 ETAT DE LrsquoART
11 Introduction
Le mot drone est dorigine anglaise signifiant bourdon ou bourdonnement Il
est communeacutement employeacute en Franccedilais en reacutefeacuterence au bruit que font certains bourdons en
volant Les drones sont des aeacuteronefs capables de voler et deffectuer une mission sans
preacutesence humaine agrave bord Cette premiegravere caracteacuteristique essentielle justifie leur deacutesignation
de Uninhabited (ou Unmanned Aerial Vehicle UAV)
En fait ce sont les lourdes pertes subies pendant la seconde guerre mondiale par les avions
dobservation de chacun des antagonistes qui suscitegraverent lideacutee dun engin dobservation
militaire sans eacutequipage (ni pilote ni observateur)
Les premiers drones apparurent en 1960 (fig11) tel le R20 de Nord-Aviation denvergure
320 m et de longueur 544m deacuterivant de lengin de cible CT20 Toutefois lideacutee des
drones trottait dans les esprits depuis bien longtemps Un Anglais aurait inventeacute le concept
dans les anneacutees 1890 en inteacutegrant agrave un cerf-volant un appareil photographique [1]
Et au fil des anneacutees les chercheurs nont pas cesseacute dameacuteliorer ces machines au niveaude
Figure 11 Premier drone
Chapitre 1 ETAT DE LrsquoART
5
la taille jusquagrave atteindre la cateacutegorie de drone miniature qui englobe tous les drones dont
lenvergure est infeacuterieure agrave 50 centimegravetres pouvant descendre mecircme agrave quelques
centimegravetres seulement (on parle dans ce cas de drones miniatures)
Le terme miniature ne reflegravete pas un simple changement deacutechelle par rapport aux drones
primaires conventionnels En effet compte tenu de leurs tailles de leurs rapports
masseinertie et de leurs sensibiliteacutes aux vents la dynamique de ces drones miniatures se
trouve ecirctre tregraves diffeacuterente de celle des engins de grande dimension
En fait la vocation principale des drones est lobservation et la surveillance aeacuteriennes
vocation utiliseacutee jusquagrave preacutesent surtout agrave des fins militaires (actuellement 90 pour cent du
marcheacute mondial des drones)
Ainsi tous les drones quils soient autonomes ou non requiegraverent la preacutesence au sol dau
moins un opeacuterateur pour recueillir en temps reacuteel les beacuteneacutefices de la mission celui-ci
reccediloit analyse et enregistre les informations transmises par le drone [2]
Aujourdhui les progregraves reacutealiseacutes agrave la fois dans les performances des drones et leurs
eacutequipements leur confegraverent un tregraves large potentiel dutilisation dans le domaine civil la
lutte contre les risques naturels (volcan feux de forecircts surveillance des zones agrave risque
centrales nucleacuteaires) controcircle du trafic routier lobservation des champs agricoles ou des
troupeaux veacuterification de leacutetat des ouvrages darts (ponts viaducs) [1]
On distingue toutefois deux cateacutegories de drones ceux qui requiegraverent effectivement
lassistance dun pilote au sol par exemple pour les phases de deacutecollage et datterrissage et
ceux qui sont entiegraverement autonomes
Cette autonomie de pilotage peut seacutetendre agrave la prise de deacutecision opeacuterationnelle pour reacuteagir
face agrave tout eacuteveacutenement aleacuteatoire en cours de mission elle constitue la deuxiegraveme
caracteacuteristique essentielle des drones
De mecircme on peut classer les drones en trois cateacutegories principales (fig12)
Drones agrave voilure tournante type heacutelicoptegravere
Drone agrave voilure fixe
Plus lourd que lair type avion
Plus leacuteger que lair type Dirigeable
Drones agrave ailes battantes type oiseau ou insecte
Chapitre 1 ETAT DE LrsquoART
6
Figure 12 (A) Dirigeable (B) Drone agrave ailes battants (C) Drone agrave ailes fixes
12 Drones agrave voilures tournantes
Dans cette partie nous eacutetalons les diffeacuterents types de drones agrave voilures tournantes
121 Drones Mono-rotor
Ce type de drone passe par des phases de deacuteveloppement bien remarquables suite agrave
linteacuterecirct quon y porte En effet ce sont des drones offrant la possibiliteacute de voler comme un
avion normal donc un deacuteplacement rapide et bien eacuteconome en eacutenergie Nous preacutesentons
Heacutelicoptegravere thermique (fig13) Cet heacutelicoptegravere thermique deacuteveloppeacute au sein du
laboratoire Heudiasyc (Heuristique et diagnostique des systegravemes complexes) a une
structure meacutecanique originale pour effectuer un deacuteplacement horizontal cet appareil est
censeacute effectuer une inclinaison au niveau de ses heacutelices afin de faire apparaitre une
diffeacuterence de pression lui permettant davancer
Cette originaliteacute meacutecanique engendre un systegraveme dynamique beaucoup plus complexe par
rapport aux autres modegraveles
Figure 13 Heacutelicoptegravere thermique
Chapitre 1 ETAT DE LrsquoART
7
122 Drone Bi-rotors
Cette cateacutegorie est elle mecircme subdiviseacutee en deux sous cateacutegories
1) Bi-rotors agrave un ou deux plateaux cycliques
Heacutelicoptegravere classique rotor principal et rotor de queue ce dernier sert
principalement agrave compenser le couple geacuteneacutereacute par le rotor principal En fait le rotor
principal permet la monteacutee et la descente ainsi que la translation avant arriegravere et
lateacuterale mecircme par contre le rotor de queue permet le controcircle du lacet
Heacutelicoptegravere en tandem deux rotors tournant en sens inverse autour de deux axes
diffeacuterents
Heacutelicoptegravere co-axial deux rotors tournant en sens inverse autour du mecircme axe Un
exemple de cet engin est mis dans le commerce par Hirobo
Figure 14 Heacutelicoptegravere classique
2) Pales agrave pas fixe Voler agrave pas fixe implique labsence de plateaux cycliques et en
absence de ces plateaux il est impossible de geacuteneacuterer une force et trois moments
pour controcircler un systegraveme agrave 6 degreacutes de liberteacute Afin de creacuteer les moments
manquants il est primordial dajouter soit des ailerons soit des meacutecanismes pour
faire pivoter les ailerons et produire ces moments en question Nous citons dans
cette sous cateacutegorie
T-wing de lUniversiteacute de Sydney drone bi-rotor placeacute sur deux axes diffeacuterents
tournant en sens opposeacutes ou dans le mecircme sens et pour la production des moments
neacutecessaires ce drone est muni dailerons
Chapitre 1 ETAT DE LrsquoART
8
Le Hover eye de Bertin technologie Cest un drone dont la configuration est tregraves
compacte deux rotors contrarotatifs sur le mecircme axe et des ailerons dans le flux
dair des rotors
Le Birotan Drone agrave configuration compact posseacutedant deux rotors pivotant sur
deux axes preacutesentant un faible couple de tangage
Figure 15 (A) T-wing (B) Hover eye (C) Le Birotan
113 Drone tri-rotors
Dans cette cateacutegorie nous connaissons
Trirotor Heacutelicoptegravere posseacutedant trois rotors deux en avant tournant dans le sens
contraire et un en arriegravere avec orientation reacuteglable Des expeacuteriences ont eacuteteacute faites
sur cet heacutelicoptegravere au sein du laboratoire Heudiasyc
Le vectron Cest un heacutelicoptegravere dont le corps est circulaire renfermant trois rotors
tournant dans le mecircme sens Pour compenser le couple le corps lui mecircme tourne en
sens opposeacutes des rotors Pour obtenir les couples de tangage et de roulis les trois
rotors tournent avec des vitesses varieacutees agrave des instants bien preacutecis Des travaux de
recherche ont eacuteteacute effectueacutes au LIRMM
Heacutelicoptegravere auto-stable Cest un heacutelicoptegravere agrave trois rotors deux coaxiaux tournant
en sens opposeacutes agrave pas fixe et le troisiegraveme est placeacute sur la queue de lheacutelicoptegravere
pour obtenir le couple de tangage Cet heacutelicoptegravere a la proprieacuteteacute decirctre stable gracircce
au fait quil existe une articulation entre les pales du rotor principal et laxe du rotor
Neacuteanmoins cet appareil ne peut ecirctre utiliseacute que dans des endroits fermeacutes
Chapitre 1 ETAT DE LrsquoART
9
Figure 16 (A) Tri-rotor du laboratoire Heudiasyc (B) Le vectron(C) Heacutelicoptegravere auto-stable
124 Drone quadri-rotors
Le premier quadri-rotors remonte agrave 1921 En effet en 1921 les corps dair de
larmeacutee Ameacutericaine ont attribueacute un contrat aux Dr George de Bothezat et Ivan Jerome pour
deacutevelopper une machine agrave vol vertical
Ces derniers ont mis sur pied une machine volante de 1678 Kg dont le fuselage est conccedilu
sous forme dun X Chaque bras du fuselage eacutetait de 9m de longueur tenant agrave son extreacutemiteacute
un rotor de 8m de diamegravetre environ
Cependant bien que de Bothezat ait deacutemontreacute quil eacutetait theacuteoriquement possible agrave son
heacutelicoptegravere de voler et quil eacutetait theacuteoriquement bien stable cet avion na pas pu reacutealiser les
performances escompteacutees par exemple on lui demandait de voler agrave une altitude de 100m
alors que pour cause de surpoids laltitude maximale quil a pu atteindre eacutetait juste de 5m
Ainsi suite agrave sa complexiteacute meacutecanique son manque de puissance son insensibiliteacuteetc
cet heacutelicoptegravere agrave quatre rotors na pas pu satisfaire son cahier de charge
Figure 17 Heacutelicoptegravere de Bothezat
Chapitre 1 ETAT DE LrsquoART
10
Pour les drones miniatures les chercheurs se sont inspireacutes de ce geacuteant quadri-rotors et ont
mis sur pied des drones lui ressemblant
Les heacutelicoptegraveres agrave quatre heacutelices sont des quadrirotors agrave quatre moteurs installeacutes sur
une croix geacuteneacuteralement en fibre de carbone drsquoougrave leur appellation les heacutelicoptegraveres X4 Des
exemples sont repreacutesenteacutes dans la figure 18
Figure 18 Drones agrave quatre heacutelices (A) Quadri-rotor du laboratoire IBSC(B) Quadri-rotor pensylvania
Afin de compenser les anti-couples des moteurs creacuteeacutes par la rotation des heacutelices le moteur
avant et arriegravere tournent dans le sens des aiguilles dune montre tandis que les autres
moteurs tournent dans le sens inverse De plus les heacutelices utiliseacutees sont agrave pas fixe Le
tangage de ce drone est obtenu par diffeacuterence de vitesse de rotation des rotors avant et
arriegravere geacuteneacuterant un deacuteplacement suivant laxe des x Le deacuteplacement suivant laxe des y est
produit par un angle de roulis Ce dernier est obtenu par une diffeacuterence de vitesse des
moteurs lateacuteraux Le lacet srsquoobtient en augmentant la vitesse des moteurs avant et arriegravere
en reacuteduisant la vitesse des moteurs lateacuteraux
Au centre de la croix se trouve un cylindre central contenant
Une centrale inertielle
Une carte intelligente
Une batterie
Un GPS (Global Positionning System)
Une cameacutera CDD
Des capteurs ultrason
Une station de base
Chapitre 1 ETAT DE LrsquoART
11
13 Composantes du quadri-rotors
Durant ces derniegraveres anneacutees le deacuteveloppement des drones connait un essor croissant
surtout au niveau des capteurs des moteurs des batteries et des cartes eacutelectroniques qui
sont de plus en plus leacutegers et plus performants
Ces nouvelles qualiteacutes requises par ces composantes amplifient la performance du drone au
niveau de son autonomie et de ses capaciteacutes du vol En fait le grand problegraveme rencontreacute
par les drones cest la dureacutee du vol qui est lieacutee aux diffeacuterents composants utiliseacutes batterie
moteur et heacutelices Ainsi il faut faire un choix judicieux pour ces composants eacutetudier
lautonomie reacuteelle des batteries deacuteterminer la consommation des moteurs et la geacuteomeacutetrie
des heacutelices
Plus geacuteneacuteralement nous classons les composants du drone en trois cateacutegories
Batterie
Propulseurs
Capteurs
131 Les batteries
Lautonomie de tout engin est directement lieacute agrave leacutenergie quil peut avoir donc agrave la qualiteacute
de la batterie dont il est pourvu Le deacuteveloppement des batteries ne cesse de nous eacutetonner
de plus en plus leacutegegraveres de plus en plus autonomes donc une contribution importante au
deacuteveloppement des drones
Figure 19 Batterie pour le X4
Chapitre 1 ETAT DE LrsquoART
12
132 Les propulseurs
Les heacutelices
Le drone X4 dispose de quatre heacutelices ayant un certain taux de flexibiliteacute lui permettant de
pouvoir assurer la propulsion de tout le robot volant de masse estimeacutee agrave 2Kg Ainsi
chacune doit geacuteneacuterer une force de pousseacutee de 49N agrave leacutequilibre Dautre part les pales
utiliseacutees dans la fabrication du X4 ont une forme vrilleacutee leur procurant un bon rendement
au niveau de la pousseacutee donc une eacuteconomie au niveau de leacutenergie [2]
Moteur eacutelectrique
Dans le but de rendre le X4 silencieux et davoir le bon rapport puissancepoids le moteur
eacutelectrique du type brushless est le plus utiliseacute En plus et suite agrave son bobinage fixeacute au
stator ce moteur a une inertie consideacuterablement reacuteduite une reacuteduction au niveau de la
consommation du courant lors du deacutemarrage et une rapide eacutevacuation de la tempeacuterature
neacuteanmoins il neacutecessite un circuit de commande speacuteciale bien complexe et bien cher
Fig 110 (A) Heacutelice (B) Moteur eacutelectrique
133 Capteurs
Les capteurs servent principalement agrave effectuer des mesures tridimensionnelles
(position vitesse orientation acceacuteleacuteration ) permettant dalimenter des entreacutees en temps
reacuteel pour les lois de commande
Ces mesures sont effectueacutees par diffeacuterents types de capteurs
Capteurs agrave ultrasons
Un capteur agrave ultrason est composeacute de trois compartiments
Chapitre 1 ETAT DE LrsquoART
13
Emetteur
Reacuteceacutepteur
Microcontrocircleur PIC
Il sert agrave deacutetecter lobstacle et agrave mesurer la distance de seacuteparation Se munir uniquement
dun capteur agrave ultrason pour la mesure de position peut donner des reacutesultats erroneacutes En
effet en couvrant les lieux londe peut tomber sur diffeacuterents obstacles agrave chaque instant et agrave
des distances diffeacuterentes Il est donc primordial de lassocier agrave un autre capteur de position
Cameacutera
Le capteur le plus riche en donneacutees pouvant exister est une cameacutera En geacuteneacuteral nous
pouvons classer les cameacuteras en deux cateacutegories
Cameacutera numeacuterique
Cameacutera analogique
Le choix de la cameacutera deacutepend de son embarquabiliteacute ses capaciteacutes de calculs et de
lapplication mecircme
Systegraveme de positionnement geacuteneacuteral GPS
Le GPS est un systegraveme de positionnement par satellites assez preacutecis la preacutecision
pouvant atteindre le megravetre en preacutesence de filtrage Lutilisation de la localisation par le
systegraveme GPS est tregraves vaste elle touche plusieurs domaines le transport (aeacuterien maritime
) eacutetude geacuteographique assistance aux eacutequipe de secours
Figure 111 (A) Capteur agrave ultrasons (B) Cameacutera (C) Systegraveme depositionnement geacuteneacuteral
Chapitre 1 ETAT DE LrsquoART
14
Centrale inertielle
La centrale inertielle est une carte inteacutegrant trois types de capteurs
Trois gyroscopes Le mot gyroscope est un mot grec signifiant qui regarde la rotation
Un gyroscope est un appareil qui exploite le principe de la conservation du moment
angulaire en meacutecanique des solides
Trois magneacutetomegravetres un magneacutetomegravetre est un appareil qui sert agrave mesurer laimantation
dun systegraveme Dans notre cas le magneacutetomegravetre sert agrave calculer le champ magneacutetique terrestre
Trois acceacuteleacuteromegravetres un acceacuteleacuteromegravetre est un capteur qui fixeacute agrave un mobile permet de
mesurer lacceacuteleacuteration de ce dernier
Ces capteurs forment un triegravedre orthogonal servant agrave mesurer en temps reacuteel les
mouvements du drone (acceacuteleacuteration vitesse angulaire) Ces mesures sont exprimeacutees dans
un triegravedre direct deacutefini comme le systegraveme de coordonneacutees fixe du capteur Ce systegraveme est
aligneacute avec le boicirctier de la centrale inertielle
En inteacutegrant la mesure de lacceacuteleacuteration triaxiale donneacutee par lacceacuteleacuteromegravetre nous
reacutecupeacuterons la mesure de la vitesse en linteacutegrant une deuxiegraveme fois nous aurons la
position
Or cette inteacutegration engendre une erreur au niveau des mesures En effet toute mesure
effectueacutee par la carte inertielle peut ecirctre entacheacutee derreurs de mesures dues aux bruits des
moteurs et par inteacutegration ces erreurs augmentent
Ainsi un filtrage numeacuterique associeacute aux mesures savegravere neacutecessaire En reacutecupeacuterant la
matrice dattitude preacutedite par inteacutegration des gyros nous constatons quelle est bruiteacutee par
rapport agrave la matrice dattitude mesureacutee
En litteacuterature les algorithmes de filtrage classiquement utiliseacutes sont de type filtrage
compleacutementaire ou filtrage de Kalman (classique ou eacutetendu)
Linconveacutenient de ces algorithmes cest quils sont lineacuteaires et nexploitent pas le groupe
des matrices de rotation SO(3) et lalgegravebre de Lie qui lui est associeacutee La creacuteation
dalgorithme de filtrage approprieacute est alors recommandeacute (filtrage non-lineacuteaire exploitant la
structure du Groupe SO(3) et la varieacuteteacute sous-jacente associeacutee [3 4 5])
Chapitre 1 ETAT DE LrsquoART
15
Carte intelligente
La carte intelligente peut ecirctre compareacutee au cerveau du drone cest son eacuteleacutement
principal Elle gegravere lensemble des capteurs embarqueacutes sur la machine sauf la cameacutera qui
transmet ses donneacutees images agrave la base au sol ougrave elles sont traiteacutees
Dautres cartes peuvent ecirctre incorporeacutees dans le drone afin de renforcer ses liens
avec la base au sol (carte pour liaison radio [5]) et dautres lui fournissant plus
dinformations pour raffiner les donneacutees (carte de gestion dun ensemble de proximiteacute varieacute
[40])
Figure 112 (A) Centrale inertielle (B) Carte intelligente
14 Systegraveme drsquoacquisition embarqueacute du X4
La mise en œuvre dun ou de plusieurs drones fait appel agrave diffeacuterents eacuteleacutements
constituant un systegraveme de drone Ce systegraveme a deux composantes un segment air
composeacute du drone de sa charge utile et de son systegraveme de transmission et un segment sol
constitueacute dun ensemble de mateacuteriels et de un ou plusieurs opeacuterateurs humains ayant un
degreacute dintervention plus ou moins eacuteleveacute On distingue encore dans la composante sol deux
cateacutegories de mateacuteriels ceux assurant le lancement et la reacutecupeacuteration des drones
(catapulte filets etc) auxquels sajoutent les moyens techniques neacutecessaires agrave la
maintenance et au reconditionnement des drones identiquement aux proceacutedeacutes
dexploitation des avions et ceux ayant pour objectif la conduite de la mission en assurant
les fonctions de la gestion du vol et de la navigation la reacuteception des donneacutees envoyeacutees
par le drone leurs analyse et interpreacutetation ainsi que leur enregistrement
Chapitre 1 ETAT DE LrsquoART
16
Figure 113 Description drsquoun systegraveme de drone
15 Applications et perspectives
Actuellement les drones occupent une place importante dans le domaine civil et
militaire En effet ces engins sans pilote preacutesentent de nombreux avantages [6]
Il faut noter que sur ce point le champ drsquoaction des drones ne cesse de srsquoeacutelargir ces
derniers temps En effet leur deacuteveloppement sur une large gamme ainsi que les progregraves
reacutealiseacutes au niveau des systegravemes embarqueacutes (guidage pilotage et liaisons) a inciteacute les
forces armeacutees agrave inteacutegrer le systegraveme de drone dans la panoplie des moyens aeacuteriens en
compleacutement des systegravemes classiques On peut distinguer trois types drsquoapplications des
drones dans le domaine militaire
La premiegravere et principale vocation des drones est la surveillance et le
renseignement Les drones reacutepondent de mieux en mieux aux exigences opeacuterationnelles
modernes Les eacutevolutions technologiques rapides des systegravemes embarqueacutes ont permet
drsquoeacutelargir leur domaine drsquoapplication De nos jours on peut les utiliser comme support au
combat notamment dans la deacutesignation drsquoobjectifs ou comme relais de communication ou
moyen de brouillage La troisiegraveme et derniegravere cateacutegorie drsquoapplications est le combat
proprement dit mais cette derniegravere application neacutecessite des drones agrave hautes performances
conccedilus speacutecialement pour ce type de missions
Les applications potentielles des drones dans le domaine civil sont diverses et ce
gracircce agrave leur souplesse et leur polyvalence demploi En effet les drones peuvent reacutepondre agrave
Chapitre 1 ETAT DE LrsquoART
17
un besoin qui nest pas couvert par un avion piloteacute Cest le cas des missions qui peuvent
ecirctre consideacutereacutees comme dangereuses peacutenibles physiquement pour leacutequipage ou
ennuyeuses Les applications potentielles peuvent se diviser en plusieurs grandes
cateacutegories drsquoabord la surveillance et lrsquoobservation ougrave on peut citer les eacutetudes
scientifiques (de lrsquoatmosphegravere des sols et des oceacuteans ou les preacutevisions meacuteteacuteorologiques)
la surveillance drsquourgence telle que les incendies de forecircts volcans recherche et sauvetage
eacutevaluation des deacutegacircts en cas de catastrophes naturelles etc On peut citer eacutegalement des
missions exploitant le segment air telles que le transport de fret la cartographie
lrsquoutilisation par lrsquoindustrie cineacutematographique etc Ils peuvent en outre ecirctre utiliseacutes dans
des missions speacutecifiques comme relais de communication ou dans des missions
dangereuses (deacutetection de radiations et de gaz toxiques)
Lexpeacuterience deacutejagrave acquise avec les drones et leurs deacuteveloppements technologiques
potentiels permettent daffirmer que leur rocircle va consideacuterablement saccroicirctre tant dans les
domaines civil que militaire Dans le domaine civil en couvrant des besoins auxquels les
avions classiques ne peuvent pas toujours satisfaire Dans le domaine militaire en
compleacutetant voire en remplaccedilant les avions pour certaines missions dangereuses ou de tregraves
longue dureacutee
Gracircce agrave leur inteacuterecirct tactique les drones constituent agrave la fois une opportuniteacute
industrielle exceptionnelle et un facteur dimpulsion nouvelle pour la recherche Cependant
la geacuteneacuteralisation de lrsquoemploi des systegravemes de drone reste exposeacutee agrave des difficulteacutes qui sont
lieacutees principalement agrave lrsquointeacutegration des drones dans la circulation aeacuterienne et le
perfectionnement des systegravemes de transmission des donneacutees (porteacutee et deacutebit) Enfin des
progregraves sont agrave reacutealiser eacutegalement dans les domaines des performances de lrsquoengin volant
des charges utiles du systegraveme embarqueacute et de leur fiabiliteacute
Toutes ces missions neacutecessitent un controcircle performant de lrsquoappareil et par
conseacutequent des informations preacutecises sur son eacutetat absolu et ou relatif agrave son environnement
16 Modes de vol
Geacuteneacuteralement il existe trois modes qui deacutecrivent la direction de vol de lrsquoengin ces
modes sont
Vol vertical
Vol stationnaire
Vol de translation
Chapitre 1 ETAT DE LrsquoART
18
161 Vol vertical (ascendant ou descendant)
Dans le vol vertical la reacutesultante aeacuterodynamique et le poids total sont deux forces
ayant la mecircme direction mais de sens opposeacute Le vol est ascendant ou descendant suivant
que lrsquoeffet aeacuterodynamique est supeacuterieur ou infeacuterieur au poids de lrsquoappareil Crsquoest-agrave-dire les
moteurs devront augmenter ou diminues le couple de forces geacuteneacutereacute afin que la vitesse de
rotation des heacutelices augmentent ou diminuent Pour effectuer un vol vertical du drone X4 il
faut respecter ces conditions fondamentales
-Les quatre forces des moteurs f1 f2 f3 et f4 doivent fonctionner en mecircme temps afin
drsquoobtenir lrsquoeacutequilibre de lrsquoensemble
-Pour atteindre la consigne nous agissons sur les quatre moteurs simultaneacutement
(augmentations et diminutions des forces)
-Si on atteint la reacutefeacuterence on garde ces forces constantes sum F = mg
m la masse totale de lrsquoengin
162 Vol stationnaire
Ce vol est obtenu lorsque les normes de la force sustentatrice et celle de pesanteur
sont eacutegales et opposeacutees Dans ce cas nous pouvons constater que lrsquoappareil reste
immobile
163 Vol de translation
Correspond agrave tout vol en avant en arriegravere ou sur le coteacute Pour obtenir un
mouvement de translation selon lrsquoaxe lsquoxrsquo ou lsquoyrsquo il suffit de reacutealiser un roulis ou un tangage
en augmentant la vitesse drsquoun moteur et en diminuant celle du moteur du mecircme axe avec la
mecircme quantiteacute pour conserver la portance intacte
Pour le mouvement du lacet (rotation sur lui-mecircme) il faut augmenter la vitesse
drsquoune paire de moteur du mecircme axe et diminuer drsquoautant celle de lrsquoautre paire Le sens de
mouvement du lacet deacutependra du sens de rotation qursquoon aura choisi pour les paires de
moteurs
17 Revues bibliographiques sur les drones quadri-rotors
Cette nouvelle geacuteneacuteration drsquoengins miniatures autonomes connue sous le nom de
Drones miniatures a susciteacute un grand inteacuterecirct ainsi une diversiteacute de modegraveles et de
configurations ont vu le jour
Chapitre 1 ETAT DE LrsquoART
19
Le drone quadri-rotors eacutetait et est lune des configurations les plus eacutetudieacutees
Plusieurs eacutequipes de chercheurs du monde entier se sont lanceacutees dans le domaine de
conception dune loi de commande simple robuste et facilement embarquable Ce domaine
est bien vaste touchant plusieurs speacutecialiteacutes (automatique aeacuterodynamique robotique)
171 Commandes en litteacuterature
Plusieurs travaux consacreacutes agrave la conception de diffeacuterentes commandes ont eacuteteacute
publieacutes il y a ceux qui preacutesentent des lois de commande baseacutees sur le systegraveme lineacuteariseacute des
drones et dautres traitants le modegravele en entier
En consideacuterant une lineacutearisation du modegravele dynamique de leur quadri-rotors [7] PPound
et al [8] ont deacuteveloppeacute un algorithme de controcircle stabilisant leur modegravele Des tests
numeacuteriques ont eacuteteacute effectueacutes confirmant la validiteacute de cette commande
Une meacutethode de stabilisation et de poursuite de trajectoire baseacutee sur la notion de platitude
eacutetait conccedilue dans [9 10] Cette meacutethode a eacuteteacute appliqueacutee sur le systegraveme lineacuteariseacute du quadri-
rotors X4 Elle a assureacute la poursuite du drone vers une trajectoire planifieacutee Des tests
numeacuteriques ont eacuteteacute faits
Dans [11 12] une configuration dun quadri-rotors nommeacute OS4 est preacutesenteacutee En se
limitant agrave un systegraveme simplifieacute du modegravele du OS4 un algorithme de controcircle de type
PID a eacuteteacute eacutelaboreacute En consideacuterant ensuite un modegravele plus complet une commande LQ est
geacuteneacutereacutee Ces commandes preacutesenteacutees arrivent agrave stabiliser le modegravele entier neacuteanmoins elles
sont assez sensibles aux perturbations pouvant affecter le systegraveme
Dans [13] Chen et Huzmezan ont obtenu un modegravele lineacuteariseacute quils ont utiliseacute pour
syntheacutetiser un controcircleur de type H1 Ils ont testeacute leur algorithme sur une plateforme
pivotant librement autour dun point
Dans [14] deux commandes non lineacuteaires sont eacutelaboreacutees pour la stabilisation du quadri-
rotors OS4 La premiegravere approche est baseacutee sur la technique du backstepping tandis que
la deuxiegraveme utilise la technique de modes glissants Des tests pratiques ont eacuteteacute appliqueacutes
sur une plate-forme au sol non embarqueacutee validant les reacutesultats theacuteoriques des deux
approches
En utilisant deux meacutethodes dapproches diffeacuterentes dans [15] K Zemalache Meguenni a
eacutetudieacute la stabiliteacute et la poursuite de trajectoire pour deux quadri-rotors diffeacuterents (X4 et
XSF)
Chapitre 1 ETAT DE LrsquoART
20
En premier temps en combinant la technique de backstepping agrave lapproche de Lyapunov
deux algorithmes associeacutes aux deux modegraveles ont eacuteteacute syntheacutetiseacutes Les reacutesultats des deux
modegraveles ont eacuteteacute testeacutes numeacuteriquement pour le suivi de trajectoires planifieacutees point agrave point
En second temps une commande baseacutee sur la theacuteorie de la logique floue eacutetait eacutelaboreacutee
pour le drone XSF des tests numeacuteriques ont eacuteteacute effectueacutes
Dans [16] une lineacutearisation robuste par retour drsquoeacutetat mixeacute avec le controcircleur GHinfin lineacuteaire
est appliqueacutee Une saturation des actionneurs et des contraintes sur la sortie de lrsquoespace
drsquoeacutetat sont introduites pour analyser le cas deacutefavorable pour la commande Les reacutesultats
obtenus prouvent que le systegraveme global devient robuste lorsque les fonctions pondeacutereacutees
sont choisies judicieusement Le fonctionnement du controcircleur est illustreacute dans une eacutetude
de simulation qui tient compte des incertitudes sur les paramegravetres et les perturbations
externes
Dans [17] la conception de larchitecture informatique embarqueacutee pour la commande dun
quadri-rotors et dun avion miniature est preacutesenteacutee La modeacutelisation dynamique des deux
engins eacutetait eacutetablie au moyen de la meacutethodologie de Newton-Euler en prenant en compte
les forces et les moments aeacuterodynamiques En utilisant la technique de saturations
emboiteacutees baseacutee principalement sur lapproche de Lyapunov deux commandes non
lineacuteaires eacutetaient eacutelaboreacutees pour le quadri-rotors
Deux autres commandes lineacuteaires ont eacuteteacute syntheacutetiseacutees pour les deux drones Des eacutetudes de
robustesse des commandes ont eacuteteacute preacutesenteacutees et des tests expeacuterimentaux des algorithmes
en temps reacuteel ont eacuteteacute appliqueacutes sur une plateforme
Inspireacute des travaux [18] effectueacutes sur la stabilisation du PVTOL (Planar Vehicle Take of
and Landing) P Castillo [19 20 21] a preacutesenteacute la conception dune commande non
lineacuteaire pour un quadri-rotors dont le modegravele est obtenu par la meacutethode dEuler-Lagrange
en tenant compte de la dynamique des moteurs Cette commande est baseacutee sur la technique
des saturations emboiteacutees fondeacutee principalement sur lapproche de Lyapunov Des
plateformes expeacuterimentales ont eacuteteacute reacutealiseacutees pour appliquer et tester les lois de commande
proposeacutees
Se basant sur le formalisme de Newton-Euler T Hamel et al [22] ont eacutetabli la
modeacutelisation dynamique dun quadri-rotors prenant en compte la dynamique des moteurs et
les effets aeacuterodynamiques et gyroscopiques des rotors
Dans [23] les auteurs ont deacutemontreacute que lapplication des approches 2D des
asservissements visuels peuvent ecirctre exploiteacutes pour la commande des systegravemes sous
actionneacutees
Chapitre 1 ETAT DE LrsquoART
21
En supposant que la direction du motif est cette fois ci fixe dans le repegravere cameacutera ce
reacutesultat a pu ecirctre eacutelargi en donnant naissance agrave un asservissement visuel purement 2D [24]
plus complexe suite agrave la dynamique de zeacutero introduite par cette hypothegravese Des tests
numeacuteriques ont eacuteteacute faits validant ce reacutesultat
E Altug et al [25 26 27] ont proposeacutes un algorithme de controcircle pour stabiliser le quadri-
rotor en utilisant la vision comme capteur principal Cette technique se compose drsquoune
cameacutera terrestre et drsquoune cameacutera embarqueacutee sur lrsquoheacutelicoptegravere et sont utiliseacutees pour estimer
les eacutetats de lrsquoheacutelicoptegravere Lrsquoalgorithme de la pose est compareacute par la simulation agrave drsquoautres
meacutethodes drsquoestimation de la pose (telles que la meacutethode de quatre points et la meacutethode de
steacutereacuteo vision) et srsquoavegravere moins sensible aux erreurs dans le plan image Ils ont eacutetudieacute deux
techniques pour la commande la premiegravere utilise une commande par lineacutearisation tandis
que la deuxiegraveme utilise la technique de backstepping
18 Conclusion
Dans ce chapitre nous avons preacutesenteacute un bref aperccedilu sur quelques mini-
heacutelicoptegraveres autonomes existant en sattardant sur les drones agrave voilures tournantes et leurs
eacutequipements
Ensuite nous avons citeacute un ensemble de travaux portant sur la stabilisation des drones agrave
quatre rotors existants en litteacuterature
Dans le chapitre suivant nous traiterons le problegraveme de la modeacutelisation par le formalisme
de Newton-Euler pour le quadri-rotor afin drsquoappliquer les techniques de commande non
lineacuteaire Il srsquoagit drsquoun modegravele caracteacuterisant des veacutehicules sous actionneacutes
Chapitre 2 MODELISATION DrsquoUN DRONE A QUATRE HELICES
22
Chapitre 2
MODELISATION DUN DRONE A QUATRE HELICES
Chapitre 2 MODELISATION DrsquoUN DRONE A QUATRE HELICES
22
2 MODELISATION DrsquoUN DRONE A QUATRE HELICES
21 Introduction
Tout corps meacutecanique eacutevoluant en temps continu peut ecirctre deacutecrit par un systegraveme
deacutequations diffeacuterentielles reacutegissant sa dynamique Il srsquoagit drsquoeacutetablir le modegravele
matheacutematique de la dynamique du drone agrave quatre heacutelices Pour atteindre ce but nous
avons recours agrave des eacutetudes meacutecaniques telles que lapproche Newtonienne et celle dEuler-
Lagrange
Dans la litteacuterature pour aborder la modeacutelisation dengin volant de nombreux travaux se
sont inspireacutes de la dynamique dun corps rigide associeacute au fuselage auquel se rajoutent les
forces aeacuterodynamiques geacuteneacutereacutees par les rotors [28 29 19 30 31 32 33 15]
Cette ideacutee a eacuteteacute choisie afin de pouvoir contourner la difficulteacute de la question de la
flexibiliteacute de la machine Cette flexibiliteacute est supposeacutee neacutegligeable
Certaines propositions de modeacutelisation du drone sont preacutesenteacutees dans la litteacuterature telles
celles baseacutees sur le formalisme de Newton [28 22 23] lieacutees principalement au repegravere
local et celles baseacutees sur le formalisme dEuler-Lagrange [29 19 30 20 31 32 15] lieacutees
au repegravere global supposeacute fixe
Dans ce chapitre nous preacutesentons la dynamique pour un drone capable de vol
drsquoavancement rapide et de vol stationnaire ou quasi-stationnaire Un tel modegravele peut ecirctre
acheveacute dans un repegravere local lieacute au drone ou dans un repegravere global supposeacute fixe Nous
eacutevoquons le modegravele global qui sera traiteacute de point de vue commande en stabilisation et en
poursuite
En premier lieu nous preacutesentons la configuration du veacutehicule et son principe de
fonctionnement Nous nous inteacuteressons eacutegalement aux diffeacuterents repegraveres suscitant notre
attention
Ensuite nous nous occupons de la modeacutelisation du X4 en calculant son moment dinertie
et en ayant recours au formalisme Newton nous deacuteterminons son modegravele dynamique
Enfin nous achevons ce chapitre par une conclusion
Chapitre 2 MODELISATION DrsquoUN DRONE A QUATRE HELICES
23
22 Heacutelicoptegraveres agrave quatre heacutelices
En geacuteneacuteral un heacutelicoptegravere agrave quatre heacutelices est un heacutelicoptegravere posseacutedant quatre rotors
assurant son deacuteplacement [2]
Depuis les anneacutees 50 de nouveaux types dheacutelicoptegraveres de faible dimension
teacuteleacutecommandeacutes sont apparus Ils permettent de reacutealiser des missions dangereuses ou
inaccessibles agrave lecirctre humain Ainsi nous pouvons citer les mini-heacutelicoptegraveres agrave quatre
heacutelices appeleacutes couramment X4 (fig21) vu leur forme en X
Figure 21 Quadri-rotors X4
221 Fonctionnement du X4
Les X4 sont des mini-heacutelicoptegraveres preacutesenteacutes sous forme de croix geacuteneacuteralement
fabriqueacutes en fibre de carbone Au bout de chaque tige de la croix on fixe une heacutelice
Afin deacuteliminer les anti-couples des heacutelices entre elles et permettre la stabiliteacute en lacet les
heacutelices voisines tournent dans des sens inverses avec un pas fixe
Pour assurer un deacuteplacement suivant laxe des x le drone X4 fait un angle de tangage ߠ
obtenu par une diffeacuterence de vitesse de rotation des rotors avant et arriegravere ensuite il suit
cet axe lors du retour agrave leacutegaliteacute des vitesses de rotation des rotors
De maniegravere similaire le deacuteplacement du X4 suivant laxe des y est assureacute par un angle de
roulis empty obtenu suite agrave une diffeacuterence des vitesses de rotation des rotors lateacuteraux
Le lacet sobtient en augmentant la vitesse des moteurs avant et arriegravere tout en reacuteduisant la
vitesse des moteurs lateacuteraux Les quadri-rotors eacutetant commandeacutes par la diffeacuterence des
vitesses de rotation des rotors il est important que lon puisse varier rapidement la vitesse
de rotation des moteurs Pour cela il convient dutiliser des pales tregraves leacutegegraveres (en fibre de
carbone par exemple) et des rapports de reacuteduction relativement grands
Chapitre 2 MODELISATION DrsquoUN DRONE A QUATRE HELICES
24
Figure 22 Sens de rotation des rotors de X4
23 Modeacutelisation du drone quadri-rotors X4
Le modegravele dynamique de quadri-rotor est donneacute par le formalisme de Newton-Euler
Pour pouvoir deacuteterminer le modegravele dynamique le quadri-rotor est assimileacute agrave une structure
rigide et symeacutetrique drsquoougrave lrsquohypothegravese que la matrice drsquoinertie est diagonale Les heacutelices
sont eacutegalement supposeacutees rigides pour pouvoir neacutegliger lrsquoeffet de leur deacuteformation lors de
la portance et la traineacutee de chaque moteur qui sont proportionnelles au carreacute de la vitesse
de rotation des rotors ce qui est une approximation tregraves proche du comportement
aeacuterodynamique et le repegravere lieacute agrave cette structure est geacuteneacuteralement supposeacute confondu avec
son centre de graviteacute Cela nous emmegravene agrave consideacuterer la dynamique du quadri-rotor
comme celle drsquoun corps solide dans lrsquoespace [15 34] Les conditions atmospheacuteriques sont
la condition standard de pression et de tempeacuterature
231 Caracteacuteristiques physiques
Les caracteacuteristiques physiques du quadri-rotor preacutesenteacutees dans cette section ont eacuteteacute
eacutetudieacutees en deacutetail par McKerrow [35] La masse totale du quadri-rotor m est la somme de
la masse de la croix (mc) les masses des quatre rotors consideacutereacutes comme identiques
( isin 1234 ) et la masse de lrsquoeacutelectronique et batterie (mb)
m = m1 + m2 + m3 + m4 + mc + mb
Sens horaireSens antihoraire
Chapitre 2 MODELISATION DrsquoUN DRONE A QUATRE HELICES
25
La structure du quadri-rotor est consideacutereacutee parfaitement symeacutetrique et en conseacutequence la
matrice drsquoinertie IG est diagonale
ܫ = ቌ
௫௫ܫ 0 00 ௬௬ܫ 0
0 0 ௭௭ܫ
ቍ (21)
avec ௫௫ܫ repreacutesente lrsquoinertie autour de lrsquoaxe ଵܧ
qui passe entre le centre de la croix et les
rotors (avant-arriegravere) ௬௬ܫ repreacutesente lrsquoinertie autour de lrsquoaxe ଶܧ
qui passe entre le centre de
la croix et les rotors (droite-gauche) et finalement ௭௭ܫ repreacutesente lrsquoinertie autour de lrsquoaxe
ଷܧ
perpendiculaire au plan de ଵܧ
et ଶܧ
(voir figure 23)
Lrsquoinertie ௫௫ܫ est la somme de lrsquoinertie de la croix (௫ܫ) lrsquoinertie des quatre moteurs ୫ܫ) ୶ଵ
୫ܫ ୶ଶ ୫ܫ ୶ଷ et ୫ܫ ୶ସ) et lrsquoinertie de lrsquoeacutelectronique (ୠ୶ܫ) autour du point drsquointersection de la
croix
௫௫ܫ = ௫ܫ + ܫ ௫ଵ + ܫ ௫ଶ + ܫ ௫ଷ + ܫ ௫ସ + ௫ܫ (22)
On peut suivre la mecircme deacutemarche pour trouver les expressions des inerties ௬௬ܫ et ௭௭ܫ
Lrsquoinertie de la croix autour du point drsquointersection est donneacutee par
௫ܫ = ௬ܫ = (ଶ)మ
ଵଶ+
ௗమ
ଶ(23)
௭ܫ = (ଶ)మ
(24)
Ougrave d est le diamegravetre des poutres qui constituent la croix et l est la distance entre le centre
de la croix et un des quatre rotors Pour trouver les inerties des moteurs McKerrow [35]
considegravere le moteur comme un cylindre de longueur pm avec un rayon rm alors lrsquoinertie du
moteur avant autour du point drsquointersection de la croix est
ܫ ௫ଵ = భ
మ
ସ+
మ
ଷ(25)
ܫ ௬ଵ = భ
మ
ସ+
మ
ଷ+ ଵ
ଶ (26)
ܫ ௭ଵ = భ
మ
ଶ+ ଵ
ଶ (27)
Lrsquoeacutelectronique et la batterie srsquoaccrochant au-dessous de lrsquointersection agrave une distance l0 sont
modeacuteliseacutees par un paralleacuteleacutepipegravede rectangulaire avec des dimensions ab wb et hb
Chapitre 2 MODELISATION DrsquoUN DRONE A QUATRE HELICES
26
௫ܫ = (௪
మାమ)మ
ଵଶ+
ଶ (28)
௬ܫ = (
మାమ)మ
ଵଶ+
ଶ (29)
௭ܫ = (௪
మାమ)మ
ଵଶ(210)
Le mouvement du drone est reacutegi par un modegravele dynamique preacutesentant le lien entre les
entreacutees du systegraveme et les sorties agrave controcircler Il faut maintenant deacutefinir le domaine
drsquoeacutevolution du robot (repegravere inertiel) et la relation matrice de passage qui le lie au drone
(repegravere local)
232 Repegraveres et matrices de passage
Lrsquoeacutetude du mouvement drsquoun drone eacutevoluant dans lrsquoespace requiert la connaissance
de sa position et de son orientation Cette localisation neacutecessite le choix drsquoau moins deux
repegraveres Le premier repegravere est le repegravere inertiel global RO reacutefeacuterence Le repegravere inertiel est
lieacute agrave la terre et peut ecirctre consideacutereacute comme Galinien RO (Ex Ey Ez) est orienteacute comme
indiqueacute sur la figure 23 A savoir Ex est orienteacute vers le nord Ey est orienteacute vers lrsquoest et Ez
orienteacute vers le haut
On deacutefinit un repegravere local ayant comme origine le centre de graviteacute G du drone Le repegravere
RG ଵܧ)
ଶܧ
ଷܧ
) appeleacute aussi repegravere relatif agrave la meacutecanique de vol dont les axes sont lieacutees agrave
la geacuteomeacutetrie de lrsquoappareil
Figure 23 Repegraveres du drone inertiel et local
Chapitre 2 MODELISATION DrsquoUN DRONE A QUATRE HELICES
27
La relation entre le repegravere du drone noteacute (RG) et le repegravere inertiel (RO) peut ecirctre donneacutee
par la matrice de rotation orthogonale de dimension 3 times 3 La contrainte dorthogonaliteacute
reacuteduit le nombre de paramegravetre neacutecessaire pour preacutesenter cette matrice agrave trois paramegravetres Il
existe plusieurs maniegraveres de parameacutetrer la matrice de rotation dont le choix deacutepend de
lapplication en question
La parameacutetrisation de la matrice de rotation par les angles dEuler est souvent utiliseacutee dans
les applications de robotique Elle permet dobtenir la matrice de rotation globale par trois
rotations eacuteleacutementaires autour des axes ଵܧ
ଶܧ
et ଷܧ
respectivement
Le parameacutetrage de cette matrice seffectue par le vecteur
ଶߟ = ߠ) Ф) (211)
Consideacuterons le vecteur de coordonneacutees geacuteneacuteraliseacutees q isin ℝ deacutefini par
(ݐ)ݍ = (ߠݖݕݔ) ni ݐ ℝ
Ougrave x y z deacutefinissent la position du centre de graviteacute du mini-heacutelicoptegravere X4 par rapport au
repegravere inertiel RO (Ex Ey Ez)
Lrsquoorientation du mini-heacutelicoptegravere X4 est donneacutee par les angles drsquoEuler ߠ) Ф) qui
repreacutesente respectivement le tangage le roulis et le lacet
Le passage du triegravedre ை(ܧ௫ܧ௬ܧ௭) au triegravedre ଵܧ)
ଶܧ
ଷܧ
) est reacutealiseacute par trois
rotations successives figure 24
൫ܧ௫ܧ௬ܧ௭൯ுψሱሮ (௭ܧ)
ுഇሱሮ ଵܧ)
)
ுemptyሱሮ ଵܧ)
ଶܧ
ଷܧ
) (212)
Ougrave ൫ܧ௫ܧ௬ܧ௭൯ est la base du repegravere RO ൫ܧଵ
ଶܧ
ଷܧ൯est la base du repegravere locale
drone
RG(ܧ௭) et ଵܧ)
) sont les bases intermeacutediaires et టܪ ఏܪ et emptyܪ les matrices
de rotations orthogonales
Hభψ est la matrice de rotation de lrsquoangle autour de Oz1 appeleacute lacet au cap deacutefinie
par
టܪ = ൭ݏ ݏ 0
ݏminus ݏ 00 0 1
൱ (213)
Chapitre 2 MODELISATION DrsquoUN DRONE A QUATRE HELICES
28
H୷భ est la matrice de rotation de lrsquoangle θ autour de Oy1 appeleacute tangage ou assiette
deacutefinie par
ఏܪ = ൭ߠݏ 0 minus ߠݏ0 1 0
ߠݏ 0 ߠݏ൱ (214)
H୶మథ est la matrice de rotation de lrsquoangle autour de Ox2 appeleacute roulis ou gite
deacutefinie par
థܪ = ൭1 0 00 ݏ ݏ0 minus ݏ ݏ
൱ (215)
Figure 24 Rotations successives deacutefinissant les pseudos angles drsquoEuler
La transformation qui permet de passer du repegravere local vers le repegravere global ை est
donneacutee par
= టܪ ఏܪ థܪ (216)
Chapitre 2 MODELISATION DrsquoUN DRONE A QUATRE HELICES
29
Telle que
=
൭
ݏ ߠݏ ߠݏ ݏ minus ߠݏݏ ݏ minusߠݏ ݏ ݏ ݏߠݏ ݏ + ݏ ݏ ݏߠݏߠݏ ݏ ݏ + ݏ ݏ ݏ ݏߠݏ minus ݏ ߠݏ ߠݏ ݏ
൱(217)
R est une matrice de rotation orthogonale de deacuteterminant uniteacute ayant pour inverse sa
transposeacutee
Ce type de matrice forme un groupe appeleacute groupe des matrices orthogonales speacuteciales
dordre 3 noteacute SO(3) deacutefini par [36]
(3) = isin ℝଷtimesଷ = ܫ ݐ ()ݐ = 1
Gracircce agrave cette matrice de rotation R nous pouvons eacutetablir une relation entre la vitesse du
mini-heacutelicoptegravere exprimeacutee dans son propre repegravere mobile et sa vitesse exprimeacutee dans le
repegravere inertiel
233 Transformation des vitesses
Dans ce paragraphe nous mettons en eacutevidence la relation qui lie les vitesses du
drone exprimeacutees dans le repegravere local avec leurs expressions exprimeacutees dans le repegravere
inertiel
Soient
υଵ la vitesse lineacuteaire du mini-heacutelicoptegravere exprimeacutee dans le repegravere local RG
ηଵ = (x y z) vecteur position du centre de graviteacute du mini-heacutelicoptegravere par rapport au
repegravere inertiel RO
Ainsi nous pouvons eacutetablir la relation suivante qui fait le lien entre la vitesse locale du X4
flyer et sa vitesse exprimeacutee dans le repegravere inertiel
ଵߟ = ଵ (218)
De mecircme nous pouvons aussi eacutetablir une relation entre la vitesse angulaire du mini
heacutelicoptegravere exprimeacutee dans le repegravere local et celle exprimeacutee dans le repegravere inertiel
Soient
υଶ = (p q r) la vitesse angulaire du mini-heacutelicoptegravere exprimeacutee dans le repegravere local RG
ηଶ = (θ ϕ ψ) la vitesse angulaire du mini-heacutelicoptegravere exprimeacutee dans le repegravere inertiel
Ainsi nous pouvons eacutetablir la relation suivante
ଶߟ = ܬ ଶ (219)
Chapitre 2 MODELISATION DrsquoUN DRONE A QUATRE HELICES
30
Grace agrave la relation (212) nous avons
υଶ = ϕ ଵܧሬሬሬሬሬ+ θVሬሬ+ ψEሬሬሬሬ
= ϕ ଵܧሬሬሬሬሬ+ θቂcos(ϕ)ܧଶ
ሬሬሬሬሬminus sin(ϕ)ܧଷሬሬሬሬሬቃ+ ψቂminussin(θ)ܧଵ
ሬሬሬሬሬ+ cos(θ) Wሬሬሬቃ
= ϕ ଵܧሬሬሬሬሬ+ θቂcos(ϕ)ܧଶ
ሬሬሬሬሬminus sin(ϕ)ܧଷሬሬሬሬሬቃ
minus ψቂsin(θ)ܧଵሬሬሬሬሬminus cos(θ)ቀsin(ϕ)ܧଶ
ሬሬሬሬሬ+ cos(ϕ)ܧଷሬሬሬሬሬቁቃ
= ൫ϕ minus ψ sin(θ)൯ܧଵሬሬሬሬሬ+ ൫θ cos(ϕ) + ψcos(θ) sin(ϕ)൯ܧଶ
ሬሬሬሬሬ
minus ൫θ sin(ϕ) minus ψ cos(θ) cos(ϕ)൯ܧଷሬሬሬሬሬ
Ainsi nous avons
ቆpqrቇ= ቌ
1 0 minussin(θ)
0 cos(ϕ) cos(θ)sin(ϕ)
0 minussin(ϕ) cos(θ)cos(ϕ)ቍቌ
ϕ
θψ
ቍ (220)
Donc
Jଵ = ቌ
1 0 minussin(θ)
0 cos(ϕ) cos(θ)sin(ϕ)
0 minussin(ϕ) cos(θ)cos(ϕ)ቍ (221)
Drsquoougrave
J = ൮
1 sin(ϕ)tg(θ) minussin(θ)tg(θ)
0 cos(ϕ) minussin(ϕ)
0ୱ୧୬(ம)
ୡ୭ୱ()
ୡ୭ୱ(ம)
ୡ୭ୱ()
൲ (222)
La matrice J est deacutefinie pour tout θ ne
ଶ+ kπ avec k isin ℤ
En conclusion la relation cineacutematique srsquoeacutecrit
ቀυଵυଶቁ= ൬
R 0ଷlowastଷ
0ଷlowastଷ Jଵ൰൬
ηଵηଶ൰ (223)
Cette relation preacutesente une singulariteacute en θ = plusmn
ଶ
Or physiquement cette valeur est agrave eacuteviter car au voisinage de plusmn
ଶil y aura un
renversement du mini-heacutelicoptegravere Ainsi cette valeur nrsquoest pas atteignable par le mini-
heacutelicoptegravere cest-agrave-dire cette singulariteacute ne preacutesente pas une limitation agrave cette
parameacutetrisation
Chapitre 2 MODELISATION DrsquoUN DRONE A QUATRE HELICES
31
234 Forces Aeacuterodynamiques
Des eacutetudes en soufflerie ont permis de mettre en eacutevidence les diffeacuterentes forces
aeacuterodynamiques appliqueacutees sur les pales et leurs expressions [3738]
Dune maniegravere geacuteneacuterale les actions de lair se deacutecomposent en deux forces
Une force parallegravele agrave la vitesse de lair et de mecircme sens la traineacutee D
Une force perpendiculaire agrave la vitesse de lair la portance L
La somme vectorielle de ces deux forces constitue la reacutesultante des forces
aeacuterodynamiques
Force de portance
La pale se comporte comme une aile tournante de sorte que chaque eacuteleacutement de la pale dr
est en contact avec le flux dair avec une vitesse V induisant une force de portance [38]
dL =ଵ
ଶρCVଶds (224)
Ougrave ρ la densiteacute de lair C le coefficient de portance de lair il deacutepend de la forme du
profil et de langle dattaque (α = γ minus ϕ) (fig 25)
Ainsi pour un propulseur agrave n pales (2 pour le X4) la force de portance quon note f est
f =n
2 ρන VଶC୫ (r)C(r) dr
బ
=୬
ଶ ρ ωଶ int rଶC୫ (r) C(r) dr
బ
Avec
ܥ la corde de la pale (les pales sont similaires)
ω la vitesse angulaire de la pale
le rayon de pale
La force de portance a pour expression
f=ܭωsup2 (225)
Le calcul du coefficient de pousseacutee est souvent complexe Il est essentiel drsquoeacutelaborer
un processus expeacuterimental qui laisse deacuteterminer le coefficient de portance(K)
Chapitre 2 MODELISATION DrsquoUN DRONE A QUATRE HELICES
32
Figure 25 Description des forces appliqueacutees agrave la pale
Force de reacutesistance ou de traineacutee
Gracircce agrave de multiples tests en soufflerie les chercheurs ont pu deacuteterminer lexpression
de la force de traineacutee qui deacutepend directement du profil de la pale et de langle dincidence
[15 37]
Pour un propulseur agrave n pales la force de traineacutee a pour expression
ܯ =
2ߩ න ܥ ݎଶݎ(ݎ)ܥ(ݎ)
ோ
ோభ
Qursquoon note simplement
ܯ = ெܭ ଶ (226)
Avec
ܥ le coefficient de traineacute de lair il deacutepend de la forme du profil et de langle
drsquoattaque
ெܭ le coefficient de reacutesistance agrave deacuteterminer expeacuterimentalement
235 Modegravele dynamique du quadrirotor
Plusieurs auteurs ont eacutetudieacute la modeacutelisation du quadri-rotor Cette eacutetape est
consideacutereacutee comme le premier pas pour construire les lois de commande Le modegravele
Chapitre 2 MODELISATION DrsquoUN DRONE A QUATRE HELICES
33
dynamique obtenu repreacutesente la relation drsquoune part entre les forces et les couples
aeacuterodynamiques provoqueacutes par la rotation des rotors et lrsquoengin et drsquoautre part les
acceacuteleacuterations et de rotations du centre de masse du quadri-rotor Nous preacutesenterons drsquoabord
la dynamique de translation des cordonneacutees carteacutesiennes de la position et la vitesse dans le
repegravere terrestre fixe Ensuite la dynamique de rotation qui deacutecrit lrsquoattitude du drone et son
orientation dans le repegravere terrestre fixe est preacutesenteacutee
Le quadri-rotor est modeacuteliseacute en premiegravere approximation comme un solide indeacuteformable
La position du centre de masse G est deacutefinie par ܩ = (ݖݕݔ) et si on deacuterive une fois
par rapport agrave RG on trouve la vitesse G tel queௗைതതതത
ௗ௧= (ሶݖሶݕሶݔ) On deacuterive deuxiegraveme fois
par rapport agrave RG pour trouver son acceacuteleacuterationௗమைതതതത
ௗ௧మ= (ሷݖሷݕሷݔ)
Pour eacutelaborer la commande on deacutetaille le modegravele dans le repegravere fixe inertiel
Lrsquoeacutequation fondamental de la dynamique est donneacutee par
ௗ ௩ሬ
ௗ௧= ଵሬሬሬ (227)
ௗூಸఆሬሬ
ௗ௧= ଶሬሬሬ (228)
Ougrave υ repreacutesente la vitesse lineacuteaire du drone au centre de graviteacute G Ω la vitesse de
rotation de fuselage par rapport agrave Rୋ et (τ1τ2) les forces et les mouvements exteacuterieurs
soient le poids les forces et les moments aeacuterodynamiques et des propulseurs
2351 La dynamique de translation
La dynamique de translation du quadri-rotor est repreacutesenteacutee par lrsquoeacutequation
dynamique de Newton qui relie lrsquoacceacuteleacuteration lineacuteaire du centre de masse du quadri-rotor
et les forces externes agissant sur le quadri-rotor [7 38 39]
ௗsup2ை
ௗ௧sup2= fraslሬሬሬሬߛ R (229)
Il convient drsquoeacutecrire pour la translation
fraslሬሬሬሬሬߛ R = - eሬ + R ψ θ empty ሬݑ (230)
avec eሬ vecteur uniteacute de E
repreacutesente la constante gravitationnelle
ݑ la pousseacutee appeleacutee aussi entreacutee collective
Chapitre 2 MODELISATION DrsquoUN DRONE A QUATRE HELICES
34
=ሬݑ sum పሬሬସ
ୀଵ (231)
ሬሬሬሬሬߛ൘ = minus Ԧ௭ + ݑ Ԧଷ empty ߠ (232)
eሬଷ vecteur uniteacute de eሬ= (eሬଵ eሬଶ eሬଷ) porteacute par Eଷ
On montre que ݑ eሬଷ = (0 0 ݑଷ
) ougrave ݑଷ
= ଵ + ଶ + ଷ + ସ
La dynamique de translation est reacutegie par
= ሷݔ minus ଷݑߠ
ݕ = ߠݏܥ Sin ଷݑ (233)
=ሷݖ Cosݏܥߠ ଷݑ ndash
2352 Dynamique de rotation
La dynamique de rotation est deacutefinie par rapport au repegravere local mais exprimeacutee dans le
repegravere inertiel Le moment cineacutetique est deacutefinit par
Ԧߪ = ܫ ሬߗ (234)
Alors que la vitesse angulaire dans le repegravere local
=ሬߗ ଶߟܬ Ԧ (235)
A partir des eacutequations (234) et (235) on obtient
=ԦGߪ ܫ ଶߟܬ Ԧ
On pose ߎ = ܫ ܬ et en utilisant lrsquoeacutequation preacuteceacutedente la dynamique des momentssrsquoeacutecrit
ߎ ଶሬሬߟ + ߎ ሬሬextܯsum=ଶሷԦߟ (236)
Ougrave les moments exteacuterieurs par rapport agrave G ( i= i=1hellip4 qui repreacutesente la distance entre G et
i et qui sont identiques)
ሬሬextܯsum = ߠ Ԧ1 + empty Ԧ2+ ψ Ԧ3 (237)
Chapitre 2 MODELISATION DrsquoUN DRONE A QUATRE HELICES
35
Finalement les couples sont donneacutes par
=ߠ ( 2 ndash 4)empty = ( 1 ndash 3) (238)ψ = K ( 1 ndash 2 + 3 ndash 4)
Lrsquoeacutequation peut ecirctre eacutecrite comme
=ሷߟ ୋߎ minus]1-(ߟ) (ߟ)ୋߎ [ሶߟ (239)
Avec = ( ߠ empty ψ )t comme des commandes auxiliaires et
ୋߎ ቌ=(ߟ)
௫௫ܫ emptyݏܥ 0 00 ߠݏܥ emptyݏܥ௬௬ܫ 0
0 0 ௭௭ܫ
ቍ (240)
Dans un premier temps le modegravele donneacute ci-dessus peut ecirctre lineacuteariseacute par les lois de
commande deacutecoupleacutees suivantes
=ߠ ௫௫ܫ minus empty empty ߠ + ௫௫ܫ ǁ emptyݏܥempty = ௬௬ܫ minus sup2 empty ߠݏܥ empty minus emptyݏܥ௬௬ܫ ߠ empty ߠ + ௬௬ܫ emptyǁ emptyݏܥߠݏܥ (241)
ψ = ௭௭ܫ ǁψ
Le modegravele dynamique deacutecoupleacute de la rotation peut ecirctre eacutecrit sous la forme suivante
=ሷߟ ǁ (242)avec
ǁ= (ߠ empty ψ) T
En utilisant le systegraveme drsquoeacutequations 233 et 242 la dynamique du drone peut ecirctre deacutecrite
par les eacutequations suivantes
=ሷݔ - S 3ݑߠ
ݕ = Cߠݏ S empty 3ݑ
=ሷݖ C3ݑ emptyݏܥߠݏ ndash (243)
ߠ = ߠ
empty = empty
ψ = ψ
Chapitre 2 MODELISATION DrsquoUN DRONE A QUATRE HELICES
36
24 Etude des forces deacuteveloppeacutees
On srsquoattache dans cette partie agrave expliciter les actionneurs qui agissent sur le drone il
srsquoagit des quatre forces deacuteveloppeacutees par les heacutelices Afin de calculer la matrice des
actionneurs on construit une matrice qui permet la connexion entre les actionneurs et les
commandes en effet pour trouver ces forces il faut que la matrice Q soit inversible Les
relations entre les forces deacuteveloppeacutees par les actionneurs (les quartes moteurs brushless)
et les commandes dans les diffeacuterentes directions sont introduites pour le systegraveme X4 par
les relations suivantes [15]
ଷݑ = ଵ + ଶ + ଷ+ ସ
ସݑ =
౮౮ୡ୭ୱథଶminus
౯౯ୡ୭ୱథସ +
ୱ୧୬థ Φθ
ୡ୭ୱథ
ହݑ =
౮౮ୡ୭ୱథୡ୭ୱϴ ଵminus
౯౯ୡ୭ୱథୡ୭ୱϴ ଷ +ୱ୧୬థ Φ
మ
ୡ୭ୱథ+
ୗ୧୬ థ Φθ
ୡ୭ୱϴ(244)
ݑ =
ଵ minus
ଶ +
ଷ minus
ସ
On peut eacutecrire lrsquoeacutequation (244) sous la forme matricielle suivante
⎝
⎜⎜⎜⎛
ଷݑ
ସݑ
ହݑ
⎠ݑ
⎟⎟⎟⎞
= Q
⎝
⎜⎜⎜⎛
ଵ
ଶ
ଷ
ସ⎠
⎟⎟⎟⎞
+
⎝
⎜⎜⎜⎜⎛
0
ୱ୧୬థథ θ
ୡ୭ୱథ
ୱ୧୬థథమ
ୡ୭ୱథ+
ୱ୧୬థథ θ
େ୭ୱθ
0 ⎠
⎟⎟⎟⎟⎞
(245)
Avec
=
⎝
⎜⎜⎜⎜⎛
1
0
౯౯ ୡ୭ୱథ େθ
1
౮౮ୡ୭ୱథ
0
minus
1
0
minus
౯౯ ୡ୭ୱథ େθ
1
minus
౮౮ୡ୭ୱథ
0
minus
⎠
⎟⎟⎟⎟⎞
(246)
Chapitre 2 MODELISATION DrsquoUN DRONE A QUATRE HELICES
37
Ougrave
I =
⎝
⎜⎜⎜⎜⎛
0
ୱ୧୬థథ θ
ୡ୭ୱథ
ୱ୧୬థథమ
ୡ୭ୱథ+
ୱ୧୬థథ θ
େθ
0 ⎠
⎟⎟⎟⎟⎞
=
⎝
⎜⎜⎜⎛
ଷݑ
ସݑ
ହݑ
⎠ݑ
⎟⎟⎟⎞
(247)
Les forces sont calculeacutees agrave partir de lrsquoeacutequation suivante
f =
⎝
⎜⎜⎜⎛
ଵ
ଶ
ଷ
ସ⎠
⎟⎟⎟⎞
= Qଵ( minus I) (248)
Les caracteacuteristiques physiques du drone sont donneacutees par
l= 023 mIxx =224931 10-7 kg m2
Iyy =224931 10-7 kg m2
Izz =224931 10-7 kg m2
KT = 10-5 N S2
KM =9 10-6 N S2 mm =2 Kg
25 Conclusion
Dans ce chapitre nous avons preacutesenteacute le modegravele dynamique de mini-heacutelicoptegravere en
utilisant une approche Newton Euler Pour modeacuteliser cette dynamique nous avons vu que
plusieurs niveaux de repreacutesentation peuvent ecirctre considegraveres dynamique des actionneurs
dynamique des rotors processus de geacuteneacuteration de la reacutesultante des forces et des moments
dynamique du solide Ce dernier niveau de repreacutesentation indeacutependant de la configuration
de veacutehicule choisie est celui que nous utiliserons pour la synthegravese de lois de commande
Nous avons preacutesenteacute une modeacutelisation couramment utiliseacutee dans la litteacuterature permettant
de repreacutesenter la dynamique drsquoun drone miniature avec cette approche de type meacutecanique
du solide Le modegravele non lineacuteaire agrave six degreacutes de liberteacute obtenu est sous-actionneacute Cette
Chapitre 2 MODELISATION DrsquoUN DRONE A QUATRE HELICES
38
derniegravere proprieacuteteacute rend complexe la synthegravese de lois de commande Dans le chapitre
suivant la commande du drone par la technique du mode glissant est discuteacutee et appliqueacutee
ainsi que par la commande mode glissant floue
Chapitre3 COMMANDE PAR MODE GLISSANT ET FLOU-GLISSANT
38
Chapitre 3
COMMANDE PAR MODE GLISSANT ET FLOUGLISSANT
Chapitre3 COMMANDE PAR MODE GLISSANT ET FLOU-GLISSANT
39
3 COMMANDE PAR MODE GLISSANT ET FLOUE GLISSANT
31 Introduction
Malgreacute les efforts consideacuterables de la communauteacute automatique le problegraveme lieacute agrave
la commande drsquoun drone agrave modegravele reacuteduit pour les manouvres dans les diffeacuterents axes reste
un problegraveme difficile agrave reacutesoudre Cette difficulteacute est due principalement aux changements
des forces aeacuterodynamiques exerceacutees sur le drone en fonction des paramegravetres de
lrsquoenvironnement dans lequel il eacutevolueacute
Ce chapitre sera consacreacute agrave la conception des lois de commande non lineacuteaires
baseacutees sur la technique du mode glissant pour la commande des mouvements selon les
diffeacuterents axes Dans la premiegravere partie nous preacutesenterons quelques eacuteleacutements de la theacuteorie
par mode glissants agrave structure variable
La deuxiegraveme partie sera consacreacutee agrave la mise on œuvre et agrave la validation de ces techniques
de commande pour la stabilisation et le suivi de trajectoire du drone X4
Nous effectuons des tests en simulations de ces lois de commande dans diffeacuterentes
manouvres et sceacutenarios
32 Theacuteorie de la commande par mode de glissement
321 Systegraveme agrave structure variable
La commande par mode de glissement a connu un deacuteveloppement theacuteorique au
deacutebut des anneacutees 60 gracircce agrave la reacutesolution de lrsquoeacutequation diffeacuterentielle agrave second membre
discontinu par le matheacutematicien Russe A Fillipov [40 41] suivi des recherches de S
emelyanov en 1967 et de V Utkin en 1977 [42 43 44]
Le reacuteglage par modes de glissement est un mode de fonctionnement particulier des
systegravemes agrave structure variable Un systegraveme agrave structure variable est un systegraveme pouvant
changer de structure en faisant commuter sa commande entre deux valeurs suivant une
logique de commutation bien speacutecifique
Dans les systegravemes agrave structure variable avec mode glissant la trajectoire drsquoeacutetat est ameneacutee
vers une surface (hyperplan) puis agrave lrsquoaide de la loi de commutation elle est obligeacutee de
Chapitre3 COMMANDE PAR MODE GLISSANT ET FLOU-GLISSANT
40
rester au voisinage de cette surface Cette derniegravere est dite surface de glissement et le
mouvement le long de laquelle se produit est dit le mouvement de glissement La
trajectoire dans le plan de phase (systegraveme deuxiegraveme ordre) est constitueacutee de trois parties
distinctes (figure 31) [45 46 42 43]
Le mode de convergence (MC)
Durant lequel la variable agrave reacutegler se deacuteplace de nrsquoimporte quel point initial dans le plan de
phase est tend vers la surface de commutation (ݕݔ) = 0 Ce mode est caracteacuteriseacute par la
loi de commande et le critegravere de convergence
Le mode glissement (MG)
Durant lequel la variable drsquoeacutetat a atteint la surface de glissement et tend vers lrsquoorigine du
plan de phase La dynamique dans ce mode est caracteacuteriseacutee par le choix de la surface de
glissement (x y)
Le mode du reacutegime permanent (MRP)
Il est ajouteacute pour lrsquoeacutetude de la reacuteponse du systegraveme autour de sont point drsquoeacutequilibre (origine
du plan de phase) il est caracteacuteriseacute par la qualiteacute et les performances de la commande
Figure 31 Diffeacuterents modes pour la trajectoire dans le plan de phase
322 Conception de la commande par modes glissants
Syntheacutetiser une loi de commande par modes glissants revient en premier lieu agrave choisir la
surface de glissement qui permet la convergence de la trajectoire drsquoeacutetat du systegraveme vers le
point drsquoeacutequilibre deacutesireacute en second lieu agrave eacutetablir la condition drsquoexistence du mode de
glissement qui est relieacutee agrave la convergence de la trajectoire drsquoeacutetat vers le point drsquoeacutequilibre
et en troisiegraveme lieu agrave deacuteterminer la loi de commande qui aura pour rocircle de maintenir les
MC
MRP
MG
( ) =
Chapitre3 COMMANDE PAR MODE GLISSANT ET FLOU-GLISSANT
41
conditions de glissement (attractiviteacute) (Annexe A) En drsquoautre termes la conception de la
loi de commande par modes glissants est reacutealiseacutee en trois eacutetapes [47 48 43 45]
3221 Le choix de la surface de glissement (S)
La surface de glissement est un hyperplan dans lrsquoespace drsquoeacutetat global et repreacutesente
le comportement dynamique deacutesireacute La trajectoire drsquoeacutetat du systegraveme doit atteindre cette
surface Il nrsquoexiste pas de critegravere pour le choix drsquoune surface de glissement approprieacutee
Le choix de la surface du glissement identifieacutee par le nombre et sa forme deacutepend de
lrsquoapplication et lrsquoobjectif deacutesireacute
Consideacuterons le systegraveme non lineacuteaire deacutecrit par lrsquoeacutequation drsquoeacutetat suivante
=ሶݔ +ݔ(ݐݔ)ܣ ݑ(ݐݔ)ܤ (31)
La surface de glissement est une fonction scalaire telle que lrsquoerreur sur la variable agrave reacutegler
glisse sur cette surface et tend vers lrsquoorigine du plan de phase Nous trouvons dans la
litteacuterature diffeacuterentes formes de la surface dont chacune donne de meilleures performances
pour certaines utilisations
Dans certains ouvrage [48 49 42 43 44] on trouve une forme de la surface de
glissement qui est fonction de lrsquoeacutecart sur la variable agrave reacutegler x elle est donneacutee par
(ݔ) = ቀப
ப୲+ λቁ
ଵ
e(ݔ) (32)
Cette surface est drsquousage tregraves pratique car elle minimise le nombre des paramegravetres de
synthegravese de la surface (un seul coefficient) [50]
Ougrave lrsquoeacutecart de la variable agrave reacutegler est (ݔ) = ݔ minus ݔ estߣ une constante positive qui
repreacutesente la pente de la surface de glissement et r le degreacute relatif du systegraveme La
surface de glissement est fonction de lrsquoapplication et lrsquoobjectif viseacutes
La strateacutegie de commande consiste agrave garantir que les trajectoires du systegraveme se deacuteplacent
et tendent vers la surface de glissement (ݔ) = 0
Cette derniegravere et avec une condition initiale e(0) = 0 et (ݐݔ) = 0 devient une eacutequation
homogegravene qui possegravede une solution unique (ݔ) = 0
Chapitre3 COMMANDE PAR MODE GLISSANT ET FLOU-GLISSANT
42
Figure 32 Surface de glissement
3 222 La condition de convergence et drsquoexistence
Les conditions drsquoexistante et de convergence du mode de glissement sont des critegraveres
qui permettent aux dynamiques du systegraveme de converger vers la surface de glissement et
drsquoy rester indeacutependamment de la perturbation Il yrsquoa deux consideacuterations correspondantes
au mode de convergence de lrsquoeacutetat du systegraveme [46]
a) La fonction directe de commutation
Crsquoest la premiegravere condition de convergence Elle est proposeacutee et eacutetudieacutee par Emilyanov
et Utkin [42 43] Il srsquoagit de donner agrave la surface une dynamique convergente vers zeacutero
Elle est donneacutee par
(ݔ) gt 0 Lorsque (ݔ) lt 0
S (x) lt 0 Lorsque S(x) gt 0
Ces deux ineacutegaliteacutes peuvent ecirctre formuleacutes par la condition suffisante suivante
(ݔ) (ݔ) lt 0
b) La fonction de Lyapunov
La fonction de Lyapunov [46 43 44 ] est une fonction scalaire positive (Ѵ(ݔ) gt 0)
pour les variables drsquoeacutetats du systegraveme la loi de commande doit faire deacutecroicirctre cette fonction
(Ѵ (ݔ) lt 0) lrsquoideacutee est de choisir une fonction scalaire S(x) qui garantit lrsquoattraction de la
variable agrave controcircler vers sa valeur de reacutefeacuterence et de construire une commande u telle que
Ѵ(ݔ) =ଵ
ଶଶ(ݔ) (3 3)
( )=0
Chapitre3 COMMANDE PAR MODE GLISSANT ET FLOU-GLISSANT
43
La deacuteriveacutee de cette fonction est Ѵ(ݔ) = (ݔ) (ݔ) (3 4)
Pour que la fonction Ѵ(x) deacutecroitre il suffit drsquoassurer que sa deacuteriveacutee est neacutegative Ceci
nrsquoest permis que si la condition (34) est veacuterifieacutee Lrsquoeacutequation (33) explique que le carreacute de
la distance vers la surface mesureacutee par ଶ(ݔ) diminue tout le temps contraignant la
trajectoire du systegraveme agrave se diriger vers la surface dans les deux cocircteacutes [50]
3223 Deacutetermination de la commande
Une fois la surface de glissement S choisie stable de sorte que la sortie du systegraveme
converge vers une sortie deacutesireacutee la convergence du mode glissant est assureacutee on eacutelabore
une commande qui forcera les eacutetats du systegraveme agrave atteindre le point drsquoeacutequilibre tout en
maintenant la condition du mode glissant
La structure drsquoun controcircleur par mode de glissement peut ecirctre deacutecomposeacutee en une somme
de deux commandes [51 52 43 44 53]
ݑ = ݑ + ݑ (35)
ݑ eacutetant la commande eacutequivalente qui sert agrave maintenir lrsquoeacutetat sur la surface de glissement
(ݔ) = 0 et ݑ eacutetant la commande stabilisante (elle est deacutetermineacutee afin de veacuterifier la
condition de convergence en deacutepit de lrsquoimpreacutecision sur les paramegravetres et le modegravele)
La deacuteriveacutee totale par rapport au temps de cette surface est
S(ݐݔ) =partS
partt=
partS
ݔpart∙ ሶݔ (36)
Comme lrsquoeacutequation drsquoeacutetat est
=ሶݔ +ݔ(ݐݔ)ܣ ݑ(ݐݔ)ܤ + ݑ(ݐݔ)ܤ (37)
On a alors
S(ݐݔ) =partS
partt=
part
part௫∙ ൫ݔ(ݐݔ)ܣ+ +൯ݑ(ݐݔ)ܤ
partS
part௫ݑ(ݐݔ)ܤ (38)
En reacutegime ideacuteale la deacuteriveacutee de la surface est nulle la commande appliqueacutee au systegraveme est
la commande eacutequivalente ݑ par conseacutequent
൜ݑ = 0
(ݐݔ) = 0 (39)
Si la matrice ቀడௌ
డ௫∙ ቁest(ݐݔ)ܤ inversible lrsquoexpression de la commande eacutequivalente est
donneacutee par
=minusቀݑడௌ
డ௫∙ ቁ(ݐݔ)ܤ
ଵ
∙డௌ
డ௫∙ (ݐݔ)ܣ (310)
Chapitre3 COMMANDE PAR MODE GLISSANT ET FLOU-GLISSANT
44
Donc en remplaccedilant la commande eacutequivalente par son expression (310) dans (38) on
obtient
S(ݐݔ) =partS
ݔpart∙ (ݐݔ)ܤ ∙ ݑ (311)
Nous choisissons pour simplifier une surface de glissement qui veacuterifie la relation
பୗ
ப௫∙ (ݐݔ)ܤ = ܫ (312)
Ougrave I est la matrice identiteacute
Ainsi
(ݐݔ) = ݑ (313)
La commande discontinue est choisie de maniegravere agrave satisfaire la condition suffisante
drsquoexistence des modes glissants Il existe plusieurs formes pour cette commande ougrave la
condition drsquoexistence est veacuterifieacutee
ݑ = ܭminus ݏ ( ) (314)
Ougrave sign(( ((ݐݔ) est la fonction deacutefinie par
s (( ((ݐݔ) = ൜ݏ 1minus (ݐݔ) lt 0
1 ݏ (ݐݔ) gt 0 (315)
Avec K gt 0
(ݔ) (ݔ) = ܭminus ݏ ( ) lt 0 (316)
Ou encore
= ܭminus | | lt 0 (317)
323 Le pheacutenomegravene de reacuteticence
Le pheacutenomegravene de reacuteticence ℎݐݐ ݎ (fig33) est le principal inconveacutenient de la
technique de commande par mode glissant aux systegravemes physiques Ce pheacutenomegravene
conduit quelque fois agrave un nombre eacuteleveacute drsquooscillations de la trajectoire du systegraveme autour de
la surface de glissement est donc agrave des sollicitations excessives des actionneurs pouvant
provoquer leur usure rapide ainsi que des pertes eacutenergeacutetiques non neacutegligeables au niveau
des circuits de puissance eacutelectrique Il est ducirc drsquoune part agrave lrsquoimperfection des eacuteleacutements de
commutation ou des limites technologiques telles que les retards aux niveaux des
commutations [45 50]
Chapitre3 COMMANDE PAR MODE GLISSANT ET FLOU-GLISSANT
45
Figure 33 Pheacutenomegravene de chattering
324 Adoucissement de la commutation
Pour remeacutedier agrave lrsquoeffet de broutement de nombreuses eacutetudes ont eacuteteacute effectueacutees dans le
but de reacuteduire ou drsquoeacuteliminer ce pheacutenomegravene [ 50] Lrsquoune drsquoentre elles consiste agrave remplacer
la fonction sign par des approximations continues de type grand gain dans un voisinage de
la surface telles que la fonction de saturation deacutefinie par (voir figure 34)
Figure 34 Fonctions de commutation
La fonction sat(S(t)) est exactement eacutegale agrave la commutation sign(S(t)) agrave lexteacuterieur de la
couche limite φ Par conseacutequent ceci rend lanalyse vis-agrave-vis des erreurs de perturbation
plus facile Ceci nest pas le cas des autres fonctions comme smooth et comarctg pour
lesquels le choix de φ nest pas simple
33 Stabilisation du drone X4 par la meacutethode mode glissant
Dans cette partie en nous basant sur la strateacutegie de controcircle par mode glissant
deacutecrite dans les paragraphes preacuteceacutedents nous deacuteveloppons un vecteur de commande
ݐeacuteݎ
( )=0
sat (S(t))
φ
minusφ S(t)
Smooth(S(t))
S(t)
Penteଵ
ఝ Penteଵ
ଵఝ
arctg(S(t)
S(t)
Chapitre3 COMMANDE PAR MODE GLISSANT ET FLOU-GLISSANT
46
assurant le suivi et la stabiliteacute du quadri-rotors Rappelons le modegravele dynamique du X4
preacutesenteacute sous sa forme simplifieacutee suivante
=ሷݔ minus ଷݑߠݏ =ሷݕ emptyݏ ଷݑߠݏ =ሷݖ ߠݏ ଷݑ emptyݏ minus (318)
ߠ = ସݑempty = ହݑ = ݑ
331 Commande par mode glissant du systegraveme de translation lineacuteaire
3311 Controcircle de lrsquoaltitude
Nous remarquons que la commande u3 agit directement sur la variable drsquoaltitude z
contrairement aux commandes u4 et u5 qui agissent sur les variables x et y agrave travers les
angles ߠ et empty
Consideacuterons lrsquoeacutequation
=ሷݖ cos ଷݑ(empty) cos(ߠ) minus (319)
La surface est deacuteduite de lrsquoeacutequation (34) ougrave le degreacute relatif est pris eacutegal agrave deux afin que la
commande ଷݑ apparaisse explicitement dans sa deacuteriveacutee Elle est donneacutee par
(ݖ) = ሶ௭ + ௭ߣ ௭ (320)
Avec
௭ = ݖ minus z
ሶ௭ = ሶݖ minus ሶݖ
La deacuteriveacutee de la surface est
(ݖ) = ௭ + ௭ߣ ሶ௭ (321)
Avec ሷ௭ = ሷݖ minus ሷݖ
On remplace ሷparݖ sa valeur deacutecrite par lrsquoeacutequation (318) la deacuteriveacutee de la surface devient
(ݖ) = ሷݖ minus (ୡ୭ୱ(ఏ)ୡ୭ୱ (empty)
ଷݑ minus ) + ሶݖ)௭ߣ minus (ሶݖ (322)
Nous constatons donc que la commande apparaicirct explicitement dans la deacuteriveacutee de la
surface
Nous deacutecomposant la commande de lrsquoaltitude u3 en deux parties ଷݑ et ଷݑ
Chapitre3 COMMANDE PAR MODE GLISSANT ET FLOU-GLISSANT
47
ଷݑ = ଷݑ + ଷݑ (323)
En substituant lrsquoeacutequation 323 dans 322 nous obtenons
(ݖ) = ሷݖ minus (ୡ୭ୱ(ఏ)ୡ୭ୱ (empty)
( ଷݑ + (ଷݑ minus ) + ሶݖ)௭ߣ minus (ሶݖ (324)
Durant la mode de convergence et le reacutegime permanent nous avons la surface de
glissement (ݖ) = 0 ceci implique que sa deacuteriveacutee (ݖ) = 0 et la commande
discontinue ଷݑ = 0 drsquoougrave la grandeur de commande eacutequivalente
ଷݑ =
௦(ఏ)௦ (empty)൬ + ሶݖ௭ቀߣ+ሷݖ minus ሶቁ൰ݖ (325)
Durant le mode de convergence en remplaccedilant lrsquoexpression de la commande eacutequivalente
dans lrsquoexpression de la deacuteriveacutee de la surface nous obtenons
(ݖ) = minus௦(ఏ)௦ (empty)
ଷݑ (326)
Nous posons ଷݑ = ௭ ݏ ( ((ݖ) (327)
Afin de veacuterifier la condition de stabiliteacute de Layapunov S(z) S(z) lt 0 le paramegravetre ௭ doit
ecirctre positif
Drsquoougrave la commande ଷݑ devient comme suit
ଷݑ =
௦(ఏ)௦ (empty)൬ + ሶݖ௭ቀߣ+ሷݖ minus +ሶቁ൰ݖ ௭ ݏ ((ݖ)ݏ) (328)
33 12 Controcircle de deacuteplacement lineacuteaire suivant les axes et y
A partir du modegravele du X4 donneacute par lrsquoeacutequation (243) on voit clairement que le
deacuteplacement suivant les axes x et y deacutepend de la commande de pousseacutee ଷݑ Drsquoougrave
lrsquoorientation du vecteur total de pousseacutee ଷݑ responsable pour atteindre les mouvements
lineacuteaires deacutesireacutes Si nous consideacuterons ux = sin(ϴ) et uy = cos(ϴ)sin (empty) les orientations du
vecteur responsable pour les mouvements suivant les axes x et y respectivement Nous
pouvons par la suite tirer les angles pitch et roulis deacutesireacutes pour calculer les commandes ux
et uy
A partir du modegravele du drone le systegraveme dynamique des mouvements horizontale est
deacutefinis par
൜=ሷݔ minus ݏ ߠ) ଷݑ(
=ሷݕ cos (empty) ݏ (ߠ) ଷݑ (329)
Chapitre3 COMMANDE PAR MODE GLISSANT ET FLOU-GLISSANT
48
La loi de commande est obtenue par lrsquoutilisation de la technique mode glissant [54 55 56]
Les surfaces de glissement selon les axes x et y sont donneacutees par
(ݔ) = ሶ௫ + ௫ߣ ௫ (330)
(ݕ) = ሶ௬ + ௭ߣ ௬ (331)
Avec ex et ey les erreurs de positions qui sont deacutefinis par
௫ = ݔ minus ݔ
௬ = ݕ minus ݕ
Les mecircmes eacutetapes sont utiliseacutees pour deacuteterminer les commande de positions ௫etݑ ௬ݑ
௫ݑ =
௨య൫minusߣ௫൫ݔሶ minus minusሶ൯ݔ minusሷ൯ݔ ௫ ݏ ((ݔ)ݏ)ݐ (332)
௬ݑ =
௨య൫ߣ௬൫ݕሶ minus +ሶ൯ݕ +ሷ൯ݕ ௬ ݏ ((ݕ)ݏ)ݐ (333)
332 Commande par mode glissant du systegraveme de rotation
3321 Commande de lrsquoangle de roulis
Dans cette section on veut eacutetablir une commande par mode glissant qui assure
lrsquoorientation du drone par lrsquoangle empty (roulis)
Le degreacute relatif eacutegal agrave deux drsquoougrave la surface de glissement est deacutefinie par
(empty) = ሶempty + emptyߣ empty (334)
Avec
empty = empty minusempty
ሶempty = empty minus empty
La deacuteriveacutee de la surface est
(empty) = empty + emptyߣ ሶempty (335)
Avec ሷempty = empty minus empty
On remplace empty par sa valeur deacutecrite par lrsquoeacutequation (318) la deacuteriveacutee de la surfacedevient
(empty) = empty minus ହݑ + empty)emptyߣ minus empty) (336)
Nous constatons donc que la commande apparaicirct explicitement dans la deacuteriveacutee de la
surface
Nous deacutecomposant la commande de lrsquoaltitude u5 en deux parties ହݑ et ହݑ
ହݑ = ହݑ + ହݑ (337)
En substituant lrsquoeacutequation 337 dans 336 nous obtenons
(empty) = empty minus ହݑ ) + (ହݑ + empty)emptyߣ minus empty) (338)
Chapitre3 COMMANDE PAR MODE GLISSANT ET FLOU-GLISSANT
49
Durant le mode de convergence et le reacutegime permanent nous avons la surface de
glissement (empty) = 0 ceci implique que sa deacuteriveacutee (empty) = 0 et la commande
discontinue ହݑ = 0 drsquoougrave la grandeur de commande eacutequivalente
ହݑ = empty+ߣemptyቀempty minus emptyቁ (339)
En remplaccedilant lrsquoexpression de la commande eacutequivalente dans lrsquoexpression de la deacuteriveacutee de
la surface nous obtenons
(empty) = ହݑ minus (340)Nous posons
ହݑ = kempty sign(s(empty)) (341)
Afin de veacuterifier la condition de stabiliteacute de Laypunov (empty) (empty) lt 0 le paramegravetre empty
doit ecirctre positif
Drsquoougrave la commande ହݑ devient comme suit
ହݑ = empty+ߣemptyቀempty minus emptyቁ+ empty ݏ ( (empty)) (342)
3321 Commande des angles de tangage et de lacet
En suivant les mecircmes eacutetapes deacutecrites preacuteceacutedemment pour deacuteterminer les commandes de
tangage et de lacet ce qui nous donne [54 55 56]
ସݑ = ߠఏቀߣ+ߠ minus +ቁߠ ఏܭ ݏ ((ߠ)ݏ) (343)
ݑ = +ߣట ቀ minus ቁ+ kట sign(s()) (344)
Avec(ߠ) = ሶఏ + ఏߣ ఏ (345)
() = ሶట + టߣ ట (346)
34 Planification de trajectoire et reacutesultats de simulations
Nous travaillons avec une trajectoire en ligne droite le long des axes etݔݖ ݕ et nous
effectuons des trajectoires de type arc ou bien demi-cercle La stabilisation point par point
est utiliseacutee avec la planification de mouvement Le drone doit voler dans la direction ݖ (vol
vertical) suivi par un mouvement suivant ݔ ensuite par un mouvement suivant ݕ [2 15]
La trajectoire de reacutefeacuterence pour le vol vertical est parameacutetreacutee par lrsquoeacutequation suivante
(ݐ)ݖ = ℎௗ௧ఱ
௧ఱାቀ భ௧ቁ
ఱ (347)
Chapitre3 COMMANDE PAR MODE GLISSANT ET FLOU-GLISSANT
50
Avec h lrsquoaltitude deacutesireacutee de 10 m et Tଵ est le temps final Sachant que la valeur finale
drsquoune phase du vol est la valeur initiale du mouvement suivant x On peut eacutecrire la
trajectoire de reacutefeacuterence suivant x comme
(ݐ)ݔ = ℎௗቀ௧
భቁఱ
ቀ௧ మቁ
ఱା൬
భቀ௧ మቁ൰
ఱ (348)
On peut eacutecrire le mouvement suivant y avec la formule suivante
(ݐ)ݕ = ℎௗቀ௧
మቁఱ
ቀ௧ యቁఱା൬
మቀ௧ యቁ൰
ఱ (349)
ଶ est le temps final du mouvement le long de ݔ
ଷ est le temps final du mouvement le long de ݕ
Ces trajectoires sont soumises agrave des contraintes de performance qui sont
(0)ݖ = ൫ݔ ଵ൯=ݕ൫
ଶ൯= 0
൫ݖ ଵ൯= ൫ݔ
ଶ൯=ݕ൫ ଷ൯= ℎௗ
ሶ(0)ݖ = ሶ൫ݔ ଵ൯=ݕሶ൫
ଶ൯= 0
ሶ൫ݖ ଵ൯= ሶ൫ݔ
ଶ൯=ݕሶ൫ ଷ൯= 0 (350)
ሷ(0)ݖ = ሷ൫ݔ ଵ൯=ݕሷ൫
ଶ൯= 0
ሷ൫ݖ ଵ൯= ሷ൫ݔ
ଶ൯=ݕሷ൫ ଷ൯= 0
Minimiser le temps de deacuteplacement implique que lrsquoengin acceacutelegravere au deacutepart et deacuteceacutelegravere agrave
lrsquoarriver
La figure 35 illustre les trajectoires de reacutefeacuterences des vols suivant les directions x et y
ainsi que le vol vertical z Le drone effectue un mouvement vertical de 10 m puis un
mouvement suivant x drsquoune distance de 10 m ensuite un mouvement suivant y de la mecircme
Chapitre3 COMMANDE PAR MODE GLISSANT ET FLOU-GLISSANT
51
distance
Figure 35 Geacuteneacuteration de trajectoire avec =
Nous travaillons aussi avec des trajectoires pour faire par exemple des virages Un virage
est mateacuterialiseacute par un arc de cercle de rayon ߩ et drsquoangle (ݐ)ߙ (angle de virage)
Cette deacutependance du temps de ߙ implique qursquoon peut planifier la maniegravere dont on veut
aborder le virage Ainsi on peut planifier une acceacuteleacuteration ou une deacuteceacuteleacuteration dans un
virage De mecircme lrsquoangle ߙ qui agit directement sur le comportement du lacet peut
prendre des valeurs entre zeacutero pour un changement de direction ou ߨ2 pour contourner
un carrefour
Nous proposons de connecter etݖ ݔ agrave travers les eacutequations suivantes
ቊ(ݐ)ௗݔ = +൯(ݐ)ߙcos൫ߩminus ߩ
(ݐ)ௗݖ = +൯(ݐ)ߙsin൫ߩminus ߩ (351)
Et pour la transition de reacutefeacuterence entre ݔ et ݕ on prend
ቊ(ݐ)ௗݔ = +൯(ݐ)ߙsin൫ߩ ௗ൫ݔ
ଶ൯
(ݐ)ௗݕ = +൯(ݐ)ߙsin൫ߩminus ߩ (352)
Pour assurer la continuiteacute entre les deacuteriveacutees par rapport au temps de (ݐ)ௗݔ et (ݐ)ௗݕ crsquoest-agravedire en vitesse on a
0 5 10 15 20 250
2
4
6
8
10
12
z-re
f(m
)
temps (s)
0 5 10 15 20 250
2
4
6
8
10
12
x-r
ef(m
)
temps (s)
0 5 10 15 20 250
2
4
6
8
10
12
y-r
ef(m
)
temps (s)
05
10
0
10
200
5
10
x-deacuteplacementy-deacuteplacementz-
deacutep
lace
men
t
Chapitre3 COMMANDE PAR MODE GLISSANT ET FLOU-GLISSANT
52
(ݐ)ߙ =ఈ(௧ ௧)ఱ
(௧ ௧)ఱା(௧ ௧)ఱ(353)
Ougrave numeacuteriquement =ߩ 2 ௗߙ = ఈగ
ଶ( ఈ = 12) ݐ = ݏ6 ݐ = ݏ8 ௗ൫ݔ
ଶ൯=
ௗ൫ݕ ଷ൯= ℎௗ + =ߩ 10
Figure 36 une trajectoire de reacutefeacuterence avec arcs
Simulation numeacuterique
Dans cette partie nous testons numeacuteriquement la performance du vecteur de commande
deacuteveloppeacute preacuteceacutedemment en utilisant logiciel Matlab Simulink
Les coefficients de gain kx ky kz ఏ empty associeacutes respectivement aux paramegravetres x y z ߠempty et sont donneacutes par ( 5 4 10 10 5)
௭ߣ = 2 ௫ߣ = 5 ௬ߣ = 2 ఏ=10ߣ et emptyߣ = 5
Par la suite nous affichons les reacutesultats numeacuteriques du suivi de trajectoire de reacutefeacuterence en
absence et en preacutesence des perturbations
02
46
810
1214
02
46
810
120
2
4
6
8
10
12
Deacuteplacement suivant (x)Deacuteplacement suivant (y)
Deacutepla
cem
ent
suiv
ant
(z)
Chapitre3 COMMANDE PAR MODE GLISSANT ET FLOU-GLISSANT
53
Figure 37 La trajectoire de reacutefeacuterence et reacuteelle en cas droites
Figure 38 Les commandes u3 u4 u5 des connexions droites
02
46
810
12
02
46
810
120
2
4
6
8
10
12
Deacuteplacement suivant (x)Deacuteplacement suivant (y)
Deacute
pla
ce
me
nt
su
iva
nt
(z)
Trajectoire reacuteelle
Trajectoire reacutefeacuterence
0 5 10 15 20 250
20
40
u3(N
)
0 5 10 15 20 25-10
0
10
u4(N
m)
0 5 10 15 20 25-10
0
10
u5(N
m)
temps (s)
Chapitre3 COMMANDE PAR MODE GLISSANT ET FLOU-GLISSANT
54
Figure 39 Les erreurs pour des connections droites
Figure 310 Les angles de tangage et de roulis pour des connections droites
0 5 10 15 20 25 30 35-5
0
5x 10
-4
z-e
rreur(m
)
0 5 10 15 20 25 30 35-5
0
5x 10
-3
x-e
rreur(m
)
0 5 10 15 20 25 30 35-5
0
5x 10
-5
y-e
rreur(m
)
temps (s)
0 5 10 15 20 25
-05
0
05
angle
theta
(rad)
0 5 10 15 20 25
-05
0
05
angle
phi(rad)
temps (s)
Chapitre3 COMMANDE PAR MODE GLISSANT ET FLOU-GLISSANT
55
Figure 311 La trajectoire de reacutefeacuterence et reacuteelle en cas drsquoarcs
Figure 312 Les commandes u3 u4 u5 des connexions drsquoarcs
0
5
10
15
0
5
10
150
5
10
15
deacuteplacement suivant (x)deacuteplacement suivant (y)
deacutepla
cem
entsuiv
ant(z
)
Trajectoire reacuteelle
Trajectoire reacutefeacuterence
0 5 10 15 20 25 30 350
20
40
u3(N
)
0 5 10 15 20 25 30 35
-10
0
10
u4(N
m)
0 5 10 15 20 25 30 35-10
0
10
u5(N
m)
temps (s)
Chapitre3 COMMANDE PAR MODE GLISSANT ET FLOU-GLISSANT
56
Figure 313 Les erreurs pour des connexions drsquoarcs
Figure 314 Les angles de tangage et de roulis en cas drsquoarcs
0 5 10 15 20 25 30 35-5
0
5x 10
-4
z-e
rreur(m
)
0 5 10 15 20 25 30 35-5
0
5x 10
-3
x-e
rreurr
(m)
0 5 10 15 20 25 30 35-5
0
5x 10
-5
y-e
rreur(m
)
temps (s)
0 5 10 15 20 25 30 35
-05
0
05
angle
theta
(rad)
0 5 10 15 20 25 30 35
-05
0
05
angle
phi(rad)
temps (s)
Chapitre3 COMMANDE PAR MODE GLISSANT ET FLOU-GLISSANT
57
Figure 315 La trajectoire de reacutefeacuterence et reacuteelle en cas des demi-cercles
Figure 316 Les commandes u3 u4 u5 pour des connexions demi-cercles
-10
010
20
30
-5
0
5
100
5
10
15
20
25
deacuteplacement suivant (x)deacuteplacement suivant (y)
deacutepla
cem
entsuiv
ant(z
)
Trajectoire reacuteelle
Trajectoire reacutefeacuterence
0 10 20 30 40 50 60 70 80 900
10
20
30
u3(N
)
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90-5
0
5
u4(N
m)
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90-5
0
5
u5(N
m)
temps (s)
Chapitre3 COMMANDE PAR MODE GLISSANT ET FLOU-GLISSANT
58
Figure 317 Les erreurs pour des connexions demi-cercles
Figure 318 Les angles pour des connexions demi-cercles
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90-2
0
2x 10
-3
z-e
rreur(m
)
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90-5
0
5x 10
-4
x-e
rreur(m
)
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90-5
0
5x 10
-4
y-e
rreur(m
)
temps (s)
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90
-05
0
05
angle
theta
(rad)
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90
-05
0
05
angle
phi(rad)
temps (s)
Chapitre3 COMMANDE PAR MODE GLISSANT ET FLOU-GLISSANT
59
Figure 319 La trajectoire de reacutefeacuterence et reacuteelle en cas des demi-cercles
Figure 320 La trajectoire de reacutefeacuterence et reacuteelle en cas drsquoheacutelicoiumldale
-4
-20
2
4
-2
0
2
40
5
10
15
20
25
deacuteplacement suivant (x)deacuteplacement suivant (y)
deacutepla
cem
entsuiv
ant(z
)
Trajectoire reacuteelle
Trajectoire reacutefeacuterence
0
5
10
15
0
5
10
150
5
10
15
deacuteplacement suivant (x)deacuteplacement suivant (y)
deacutepla
cem
ent
suiv
ant
(z) Trajectoire reacuteelle
Trajectoire reacutefeacuterence
Chapitre3 COMMANDE PAR MODE GLISSANT ET FLOU-GLISSANT
60
Figure 321 La trajectoire de reacutefeacuterence et reacuteelle en cas drsquoun cocircne
Les figures 37 38 et 39 illustrent respectivement la reacutealisation des connexions droites
les signaux de commandes et des erreurs Nous constatons que la trajectoire parcourue par
le drone suit la trajectoire deacutesireacutee avec des erreurs de tregraves faibles valeurs Pour les
commandes la condition de lrsquoeacutetat drsquoeacutequilibre est toujours veacuterifieacutee apregraves avoir effectueacute une
manœuvre ଷݑ) est approximativement eacutegale agrave mg et les commandes ସݑ et ହݑ tendent vers
zero)
La figure (310) preacutesente lrsquoeacutevolution des angles de tangage et de roulis nous observons que
ces angles ne se manifestent que lors drsquoun mouvement effectueacute respectivement suivant les
axes ݔ et ݕ et tendent vers la valeur zeacutero apregraves avoir fait lrsquoorientation deacutesireacutee
Les figures (311) et (315) montrent respectivement la bonne poursuite de la trajectoire
reacuteelle vers sa reacutefeacuterence pour des connexions arcs et demi-cercle
Les figures (312) (313) et (314) illustrent respectivement les reacutesultats de simulation
pour la reacutealisation des connexions en arcs les signaux de commandes les erreurs et les
angles de tangage et de roulis
Les figures (316) et (317) quant agrave elles illustrent respectivement les signaux de
commande et les erreurs de poursuite pour des connexions en demi-cercle La condition de
lrsquoeacutetat drsquoeacutequilibre dans ce cas est toujours veacuterifieacutee apregraves avoir effectueacute les manouvres en
demi-cercle
-2
-10
1
2
-2
-1
0
1
20
1
2
3
4
5
deacuteplacement suivant (x)deacuteplacement suivant (x)deacuteplacement suivant (y)
deacutepla
cem
entsuiv
ant(z
)
trajectoire reacuteelle
Trajectoire reacutefeacuterence
Chapitre3 COMMANDE PAR MODE GLISSANT ET FLOU-GLISSANT
61
Drsquoapregraves la figure (318) on voit bien que les angles de tangage et de roulis tendent vers la
valeur zeacutero apregraves avoir fait lrsquoorientation deacutesireacutee
Les figures (319) (320) et (321) montrent la bonne poursuite des trajectoires reacuteelles agrave
leurs reacutefeacuterences en 3D pour des connexions demi-cercle (deuxiegraveme forme) heacutelicoiumldale et
cocircne respectivement Drsquoapregraves ces figures on voit clairement les bonnes performances de la
commande par mode glissant
341 Etude de robustesse
Nous nous inteacuteressons dans cette partie aux tests de la robustesse des controcircleurs
deacuteveloppeacutes Nous nous placcedilons toujours dans le cadre de la commande du drone X4 dans
le cas de lrsquoinfluence du vent suivant les diffeacuterents axes du mouvement
Selon le principe drsquoinertie (lois du mouvement de Newton) aucune eacutenergie nrsquoest
neacutecessaire pour maintenir le mouvement uniforme drsquoun corps dans le vide Dans le cas du
X4 une reacutesistance ou une force de traineacutee srsquooppose au mouvement de celui-ci en vol et
crsquoest le travail de cette force qui entraine une consommation suppleacutementaire drsquoeacutenergie aux
niveaux des actionneurs et qui affaiblit ses capaciteacutes en vol Cette force de reacutesistance peut
ecirctre calculeacutee comme suit [15]
=ܨଵ
ଶ௫ܥ ܣߩ
ଶ (354)
Fi la force de traineacutee suivant lrsquoaxe i en [N]
V est la vitesse relative en [ms]
A lrsquoaire caracteacuteristique de la surface frontale de la structure du drone [m2]
ρ la masse volumique du drone en [Kgm3]
Lrsquoexpression de lrsquoeacutequation 3 65 introduit un coefficient de traineacutee sans dimention Cx qui
deacutepend de la structure du X4 et qui est deacutetermineacute expeacuterimentalement en soufflerie
Ce coefficient vaut dans le cas du drone X4
-Cx = 005 suivant le deacuteplacement dans les directions x et y
-Cx = 008 suivant le deacuteplacement dans la direction z
Lrsquoaire caracteacuteristique A de la surface frontale de la structure drone est eacutegale agrave A =
0031[m2] avec une masse volumique estimeacutee eacutegale agrave ρ =122 [Kgm3]
Reacutesultat de simulation
Dans cette partie nous testons numeacuteriquement la performance du vecteur de
commande deacuteveloppeacute preacuteceacutedemment en preacutesence des perturbations externes qui sont
donneacutes par
Chapitre3 COMMANDE PAR MODE GLISSANT ET FLOU-GLISSANT
62
Ax =Ay = Az = 67 N pour t1=15s t2=20s et t3=30s
Ap = Aq = Ar = 1 Nm pour t4 = 32s et t5 = 35s
Les figures (322) (323) (324) (325) (326) illustrent les reacutesultats de la simulation dans
le cas drsquoune force de traineacutee opposeacutee de Ftrn = 65 N pour les deacuteplacements suivant les
directions z x et y respectivement Ainsi lrsquoapplication drsquoun couple reacutesistant pour les
orientations ߠ et empty de valeur 1Nm Drsquoapregraves ces figures on remarque que les erreurs sont
importantes et peuvent augmenter avec lrsquoaugmentation de la perturbation
Figure 322 La trajectoire de reacutefeacuterence et reacuteelle en cas des demi-cercles
02
46
810
1214
0
5
10
150
2
4
6
8
10
12
diplacement suivant (x)diplacement suivant (y)
dip
lacem
ent
suiv
ant
(z)
Trajectoire reacuteelle
trajectoire reacutefeacuterence
0 5 10 15 20 25 30 35 400
50
u3(N
)
0 5 10 15 20 25 30 35 40-60-40-20
020
u4(N
m)
0 5 10 15 20 25 30 35 40
-50
0
50
u5(N
m)
temps (s)
Chapitre3 COMMANDE PAR MODE GLISSANT ET FLOU-GLISSANT
63
Figure 323 Les commandes u3 u4 u5 des connexions demi-cercles
Figure 324 Les erreurs pour des connexions demi-cercles
Figure 325 Les angles pour des connexions demi-cercles
0 5 10 15 20 25 30 35 40
-05
0
05
1
angle
theta
(rad)
0 5 10 15 20 25 30 35 40
-1
-05
0
05
1
angle
phi(r
ad)
temps (s)
0 5 10 15 20 25 30 35 40-05
0
05
z-e
rreur
(m)
0 5 10 15 20 25 30 35 40-05
0
05
x-e
rreurr
(m)
0 5 10 15 20 25 30 35 40
-05
0
05
y-e
rreur
(m)
temps (s)
Chapitre3 COMMANDE PAR MODE GLISSANT ET FLOU-GLISSANT
64
Figure 326 Les forces pour des connexions demi-cercles
35 Commande du drone par mode glissant agrave action inteacutegrale
Lrsquoutilisation des fonctions drsquoadoucissement empecircche lrsquoexistence dun mode de glissement
ideacuteal Par conseacutequent il est important de connaicirctre le comportement du systegraveme boucleacute
lorsque nous introduisons une des fonctions dadoucissement preacuteceacutedentes
Dans le but de compenser lrsquoerreur en reacutegime permanent on peut ajouter un terme inteacutegral
dans la surface de glissement [57 58 59] Ce perfectionnement (agrave lrsquoinstar drsquoautres) est
introduit a priori et justifieacute par des essais sur des systegravemes particuliers
Notre objectif dans ce paragraphe est de concevoir une nouvelle approche baseacutee sur la
theacuteorie de la commande agrave structure variable en introduisant lrsquoaction inteacutegrale sans
toutefois perdre les proprieacuteteacutes de la commande par mode glissant
Dans cette partie nous preacutesentons la deacutetermination de la loi de commande pour la
direction suivant lrsquoaxe z par lrsquointroduction de lrsquoaction inteacutegral dans la surface
La surface de glissement sera deacutefinie par
0 5 10 15 20 25 30 35 400
5
10
15F
1(N
)
0 5 10 15 20 25 30 35 400
5
10
15
F2
(N)
0 5 10 15 20 25 30 35 4005
1015
F3
(N)
0 5 10 15 20 25 30 35 4005
1015
F4
(N)
temps (s)
Chapitre3 COMMANDE PAR MODE GLISSANT ET FLOU-GLISSANT
65
(ݖ) = ሶ௭ + ௭ߣ ௭ + int ௭ݐ (355)
Ainsi que sa deacuteriveacutee est
(ݖ) = ௭ + ௭ߣ ሶ௭ + ௭ (356)
La commande drsquoaltitude ଷݑ est calculeacutee par la relation suivante
ଷݑ = ଷݑ + ଷݑ (357)
La commande ݑ est deacutetermineacutee par reacutegime glissant ideacuteal
ଷݑ =
௦ ఏ ௦ empty൬ + ሷݖ + ሶݖ௭ቀߣ minus +ሶቁݖ ൫ݖ minus ൯൰ݖ (358)
Par la technique du mode glissant on deacuteduit la forme suivante pour la commande ଷݑ
ଷݑ =
௦ ఏ ௦ empty൬ + ሷݖ + ሶݖ௭ቀߣ minus +ሶቁݖ ቀݖ minus minusቁ൰ݖ ௭ ݏ )ݐ ((ݖ) (359)
Nous suivons les mecircmes eacutetapes deacutecrites preacuteceacutedemment pour deacuteterminer les commandes du
drone X4 ce qui nous donne
⎩⎪⎪⎪⎨
⎪⎪⎪⎧ ௫ݑ =
௨య൫minusߣ௫൫ݔሶ minus minusሶ൯ݔ ሷݔ + k୧൫x ndash x ൯൯minus ௫ ݏ ൫ݐ ൯(ݔ)
௬ݑ =
௨యቀߣ௬൫ݕሶ minus +ሶ൯ݕ ሷݕ + k୧൫y ndash y ൯ቁndash ௬ ݏ )ݐ (ݕ)
ସݑ = ఏߣ+ߠ ቀߠ ndash +ቁߠ k୧൫ߠ ndashߠ൯+ ఏܭ ݏ ൯(ߠ)ݏ൫ݐ
ହݑ = empty+ߣempty ቀempty minus emptyቁ+ k୧൫empty minus empty ൯+ empty ݏ ൫ݐ (empty)൯
ݑ = +ߣట ቀ minus ቁ+ k୧൫ minus ൯+ kట sat(S())
(360)
351 Reacutesultats de simulations
Nous preacutesentons dans cette partie les reacutesultats du controcircle mode glissant associeacute agrave une
action inteacutegrale pour la commande du X4 avec perturbation Nous traitons dans cette partie
lrsquoexemple de la reacutealisation des connections demi-cercles pour les mouvements z x y Le
gain ki=2 dans notre simulation En conservant les mecircmes coefficients de gain utiliseacutes
preacuteceacutedemment
Les figures (327) (328) (329) et (330) repreacutesentent respectivement la reacutealisation en
3D lrsquoerreur la commande et les angles pour la trajectoire de connexion de type demi-
cercle en preacutesence de la perturbation externe Nous remarquons de ces figures que la
robustesse de la commande est veacuterifieacutee numeacuteriquement En effet avec une telle force de
traineacutee la commande produit des valeurs assez raisonnables assurant le suivi du drone agrave sa
trajectoire de reacutefeacuterence
Chapitre3 COMMANDE PAR MODE GLISSANT ET FLOU-GLISSANT
66
Les figures (331) (332) et (333) montrent la comparaison entre la commande mode
glissant et le mode glissant agrave action inteacutegrale Drsquoapregraves ces figure on voit clairement que la
commande mode glissant agrave action inteacutegrale est la mieux adapteacutee agrave des trajectoires de
connexions de type demi-cercle arcs et heacutelicoiumldale
Figure 327 La trajectoire de reacutefeacuterence et reacuteelle en cas des demi-cercles
Figure 328 Les erreurs pour des connexions demi-cercles
0 5 10 15 20 25 30 35 40-05
0
05
z-e
rreur
(m)
0 5 10 15 20 25 30 35 40-05
0
05
x-e
rreurr
(m)
0 5 10 15 20 25 30 35 40
-05
0
05
y-e
rreur
(m)
temps (s)
02
46
810
1214
0
5
10
150
5
10
15
Deacuteplacement suivant (x)Deacuteplacement suivant (y)
Deacutepla
cem
ent
suiv
ant
(z)
Trajectoire reacuteelle
Trajectoire reacutefeacuterence
Chapitre3 COMMANDE PAR MODE GLISSANT ET FLOU-GLISSANT
67
Figure 329 Les commandes pour des connexions demi-cercles
Figure 330 Les angles pour des connexions demi-cercles
0 5 10 15 20 25 30 35 400
50
u3(N
)
0 5 10 15 20 25 30 35 40-60-40-20
020
u4(N
m)
0 5 10 15 20 25 30 35 40
-50
0
50
u5(N
m)
temps (s)
0 5 10 15 20 25 30 35 40
-05
0
05
1
angle
theta
(rad)
0 5 10 15 20 25 30 35 40
-1
-05
0
05
1
angle
phi(r
ad)
temps (s)
Chapitre3 COMMANDE PAR MODE GLISSANT ET FLOU-GLISSANT
68
Figure 331 La trajectoire de reacutefeacuterence et reacuteelle en cas des demi-cercles
Figure 332 La trajectoire de reacutefeacuterence et reacuteelle en cas des connexions arcs
02
46
810
1214
0
5
10
150
5
10
15
Deacuteplacement suivant (x)Deacuteplacement suivant (y)
Deacutepla
cem
ent
suiv
ant
(z)
Trajectoire reacuteelle PIMG
Trajectoire reacutefeacuterence
Trajectoire reacuteelle MG
02
46
810
1214
0
5
10
150
5
10
15
Deacuteplacement suivant (x)Deacuteplacement suivant (y)
Deacutepla
cem
ent
suiv
ant
(z)
Trajectoire reacuteelle MG
trajectoire reacutefeacuterence
trajectoire reacuteelle PI MG
Chapitre3 COMMANDE PAR MODE GLISSANT ET FLOU-GLISSANT
69
Figure 333 La trajectoire de reacutefeacuterence et reacuteelle en cas heacutelicoiumldale
36 Commande du drone par un controcircleur flou-glissant
Le majeur inconveacutenient du mode de glissement est que la commande discontinue
produit pheacutenomegravene de broutement ou chattering Notons que le broutement peut exciter
des dynamiques hautes freacutequences neacutegligeacutees menant parfois agrave lrsquoinstabiliteacute Afin drsquoeacuteliminer
ou de minimiser ce pheacutenomegravene plusieurs meacutethodes ont eacuteteacute deacuteveloppeacutees [45 60 61 62
63 64 65 66 67 68 69] Dans notre travail nous avons introduit des hybridations entre la
logique flou et le mode glissant afin de reacuteduire le pheacutenomegravene de broutement et drsquoameacuteliorer
drsquoavantage les performances du controcircle du drone Apregraves avoir introduit le principe des
approches proposeacutees nous preacutesentons leurs mises en œuvre pour la commande de notre
quadri-rotors
Dans notre travail nous avons proposeacutes une nouvelle structure des controcircleurs flou-
glissant Dans cette structure un meacutecanisme drsquoinfeacuterence flou est utiliseacute pour geacuteneacuterer et
drsquoune faccedilon douce la composante discontinue de la loi de commande par mode glissant
(SMC) La figure (334) montre le scheacutema bloc de la strateacutegie de control proposeacute [70 71]
-3-2
-10
12
3
-3-2
-10
12
30
10
20
30
40
Deacuteplacement suivant (x)Deacuteplacement suivant (y)
Deacutepla
cem
ent
suiv
ant
(z)
Trajectoire reacuteelle MG
Trajectoire reacutefeacuterence
Trajectoire reacuteelle PIMG
Chapitre3 COMMANDE PAR MODE GLISSANT ET FLOU-GLISSANT
70
Figure 334 Controcircleur par mode glissant flou
Dans le controcircleur flou-glissant proposeacute la surface (s) preacutesente lrsquoentreacutee des implications
des bases de regravegles
Puisque les donneacutees manipuleacutees dans le meacutecanisme agrave infeacuterence flou sont baseacutees sur la
theacuteorie des sous ensemble flous [70 71] les ensembles flous associeacutes utiliseacutes dans la
geacuteneacuteration de la base de regravegle sont deacutefinies comme
Si S est GN Alors un est TGSi S est NP Alors un est GSi S est JZ Alors un est MNSi S est PP Alors un est PSi S est GP Alors un est TP
Avec GN MN JZ MP et GP sont les termes linguistiques de la variable drsquoentreacutee s
deacutefinies respectivement par Grand Neacutegative Moyen Negative Just Zero Moyen
Positive et Grand Positive
Et pour la variable de sortie un les termes linguistiques TG G MN P TP sont deacutefinis
respectivement par Tregraves Grand Grand Moyen Petit Tregraves Petit
Les fonctions drsquoappartenances associeacutees agrave ses variables drsquoentreacutee et de sortie sont
preacutesenteacutees dans les figures suivantes
Chapitre3 COMMANDE PAR MODE GLISSANT ET FLOU
Figure 335
Figure 3
361 Reacutesultats de simulations
Nous preacutesentons dans cette partie les reacutesultats du controcircle flou
du drone X4 en preacutesence de perturbation
sont ke= 10 et ks = 10
preacuteceacutedemment
Les figures (337) (338) et
demi-cercle les signaux de commandes et des erreurs Nous constatons que la trajectoire
parcourue par le drone suit la
Tregraves
-3k2
COMMANDE PAR MODE GLISSANT ET FLOU
71
35 Fonction dappartenance de lentreacutee S
336 Fonction dappartenance de la sortie u
1 Reacutesultats de simulations
Nous preacutesentons dans cette partie les reacutesultats du controcircle flou-glissant pour la commande
en preacutesence de perturbation Les gains drsquoentreacutee et de sortie du controcircleur flou
= 10 En conservant les mecircmes coefficients de gain utiliseacutes
et (339) illustrent respectivement la reacutealisation des connexions
cercle les signaux de commandes et des erreurs Nous constatons que la trajectoire
parcourue par le drone suit la trajectoire deacutesireacutee avec des erreurs de tregraves faibles valeurs
Tregraves petit Petit Moyenne Grand Tregraves Grand
k2-k2-k k00
COMMANDE PAR MODE GLISSANT ET FLOU-GLISSANT
S(t)
un
glissant pour la commande
et de sortie du controcircleur flou
En conservant les mecircmes coefficients de gain utiliseacutes
la reacutealisation des connexions
cercle les signaux de commandes et des erreurs Nous constatons que la trajectoire
avec des erreurs de tregraves faibles valeurs
Tregraves Grand
3k2
Chapitre3 COMMANDE PAR MODE GLISSANT ET FLOU-GLISSANT
72
La figure (340) preacutesente lrsquoeacutevolution des angles de tangage et de roulis nous observons que
ces angles se manifestent que lors drsquoun mouvement effectueacute respectivement suivant les
axes ݔ et ݕ
La figure (341) preacutesente lrsquoeacutevolution des forces des quatre moteurs on remarque que ces
forces ne deacutepassent pas les limites physiques des actionneurs et la somme de ces forces
satisfait la condition drsquoeacutequilibre apregraves que le drone effectue ses mouvements deacutesireacutes
Figure 337 La trajectoire de reacutefeacuterence et reacuteelle en cas des demi-cercles
-20
24
68
1012
14
-5
0
5
10
150
5
10
15
Deacuteplacement suivant (x)Deacuteplacement suivant (y)
Deacutepla
cem
ent
suiv
ant
(z) Trajectoire reacuteelle
Trajectoire reacutefeacuterence
Chapitre3 COMMANDE PAR MODE GLISSANT ET FLOU-GLISSANT
73
Figure 338 Les commandes pour des connexions demi-cercles
Figure 339 les erreurs pour des connexions demi-cercles
0 5 10 15 20 25 30 35 400
20
40
u3(N
)
0 5 10 15 20 25 30 35 40-40
-20
0
20
40
u4(N
m)
0 5 10 15 20 25 30 35 40-40
-20
0
20
40
u5(N
m)
temps (s)
0 5 10 15 20 25 30 35 40-05
0
05
z-e
rreur
(m)
0 5 10 15 20 25 30 35 40-05
0
05
x-e
rreurr
(m)
0 5 10 15 20 25 30 35 40
-05
0
05
y-e
rreur
(m)
temps (s)
Chapitre3 COMMANDE PAR MODE GLISSANT ET FLOU-GLISSANT
74
0 5 10 15 20 25 30 35 40
-05
0
05
1
angle
theta
(rad)
0 5 10 15 20 25 30 35 40
-1
-05
0
05
1
angle
phi(r
ad)
temps (s)
Figure 340 les angles pour des connexions demi-cercles
Figure 341 Les forces pour des connexions demi-cercles
0 5 10 15 20 25 30 35 4005
1015
F1
(N)
0 5 10 15 20 25 30 35 4005
1015
F2
(N)
0 5 10 15 20 25 30 35 4005
1015
F3
(N)
0 5 10 15 20 25 30 35 4005
1015
F4
(N)
temps (s)
Chapitre3 COMMANDE PAR MODE GLISSANT ET FLOU-GLISSANT
75
37 Conclusion
Dans ce chapitre nous avons preacutesenteacute le principe de la commande par mode de
glissement appliqueacute sur un drone agrave quatre heacutelices La commande par mode glissant
(approche non lineacuteaire) consiste agrave choisir le nombre et la forme de surface de glissement
neacutecessaire pour la deacutetermination de la loi de commande Le pheacutenomegravene de chattering qui
caracteacuterise cette commande a eacuteteacute reacuteduit par lrsquoadoucissement de la fonction de commande
Afin drsquoameacuteliorer les performances statiques nous avons proposeacute une approche appeleacutee
mode glissant agrave action inteacutegral pour eacuteliminer lrsquoerreur en preacutesence des perturbations Pour
ameacuteliorer drsquoavantage les performances de la commande SMC nous avons proposeacute une
approche drsquohybridation entre le mode glissant et la logique floue La structure du
controcircleur flou-glissant heacuterite la proprieacuteteacute drsquointerpolation du controcircle de la logique floue
et la robustesse du controcircle par mode glissement Cette approche est baseacutee sur lrsquoutilisation
drsquoun systegraveme agrave une infeacuterence floue qui geacutenegravere la commande discontinueacutee de la loi de
commande par mode de glissement agrave action inteacutegrale Par conseacutequent il le rend robuste
pour le temps de control de plus le controcircleur flou reacuteduit le pheacutenomegravene de broutement
(chattering)
Chapitre4 COMMANDE ROBUST PAR LA THECHNIQUE DU BACKTEPPING
74
Chapitre 4
COMMANDE NON LINEAIRE PAR BACKSTEPPING
Chapitre4 COMMANDE ROBUST PAR LA THECHNIQUE DU BACKTEPPING
75
4 COMMANDE ROBUSTE PAR LA THECHNIQUE DU BACKSTEPPING
41 Introduction
La theacuteorie de Lyapunov est un outil tregraves important dans la theacuteorie de controcircle des
systegravemes non lineacuteaires Cependant son utilisation est souvent entraveacutee par les difficulteacutes
de trouver une fonction de Lyapunov pour un systegraveme donneacute Si elle est trouveacutee le
systegraveme est connu pour ecirctre stable mais la tache de trouver une telle fonction est souvent
laisseacutee agrave lrsquoimagination et agrave lrsquoexpeacuterience du concepteur La technique du Backstepping est
une meacutethode systeacutematique pour la conception du controcircle non lineacuteaire qui peut ecirctre
appliqueacutee agrave une grande classe de systegravemes Le nom backstepping se reacutefegravere agrave la nature
reacutecursive de la proceacutedure de synthegravese Dans un premier temps seul un sous-systegraveme du
systegraveme original est consideacutereacute pour lequel une loi de controcircle fictive est construite Puis la
conception est eacutetendue en plusieurs eacutetapes jusquagrave lrsquoobtention drsquoune loi de controcircle pour le
systegraveme tout en entier Avec la loi de commande une fonction de Lyapunov pour le
systegraveme controcircleacute est progressivement construite
La technique du backstepping a connu un regain drsquoattention gracircce aux travaux de
Kokotovic qui a fourni un cadre matheacutematique pour la conception de lois de controcircle pour
diffeacuterents systegravemes non lineacuteaires en utilisant la cette technique [72] Durant les anneacutees
suivantes des manuscrits ont eacuteteacute eacutediteacutes par Krstic et autres [73 74 75]
Nous utiliserons cette technique du backstepping pour deacutevelopper des lois de controcircle pour
le controcircle des mouvements selon les axes z ndash x ndash y ainsi qursquoune eacutetude de robustesse
42 Historique et domaines drsquoapplication du backstepping
Lrsquoideacutee de base du backstepping est de laisser certains eacutetats du systegraveme agir en tant
qursquoentreacutees virtuelles La mecircme ideacutee est utiliseacutee dans la conception de controcircle en cascade
et eacutegalement dans la theacuteorie de la perturbation singuliegravere [76] Le backstepping qui utilise
une forme du systegraveme en chaicircne drsquointeacutegrateurs apregraves une transformation de coordonneacutees
drsquoun systegraveme triangulaire et en se basant sur la meacutethode directe de Lyapunov (Annexe A)
A partir de lagrave il est possible de concevoir systeacutematiquement et de maniegravere reacutecursive des
Chapitre4 COMMANDE ROBUST PAR LA THECHNIQUE DU BACKTEPPING
76
controcircleurs et les fonctions de Lyapunov correspondantes Bien que la technique du
backstepping ait une histoire plutocirct courte mais rien nrsquoempecircche quand-mecircme de trouver de
nombreuses applications pratiques dans la litteacuterature On en donne ici un court aperccedilu
Elle est appliqueacutee dans les systegravemes eacutelectriques par exemple dans [77] ou a eacuteteacute
proposeacutee une commande en temps reacuteel de la vitesse drsquoun moteur synchrone agrave aimant
permanent par la technique du backestepping adaptative non lineacuteaire On peut maintenant
la retrouver dans une grande varieacuteteacute de controcircle de moteurs eacutelectriques [78 79 80] On
trouve eacutegalement des travaux dans lrsquoaeacuteronautique qui correspond au controcircle drsquoun
heacutelicoptegravere miniature Dans [28] une loi de commande adaptative utilisant les techniques
reacutecursives et robustes du backstepping a eacuteteacute proposeacutee Altug dans [25 26 27] a proposeacute un
controcircle stabilisant en utilisant lrsquoasservissement visuel Ainsi cette technique a eacuteteacute
proposeacutee pour la commande drsquoautomobile [81]
43 Conception de la commande par backstepping
La commande par backstepping ne doit pas ecirctre vue comme un proceacutedeacute rigide mais
plutocirct comme une philosophie de conception qui peut ecirctre plieacutee et tordue pour satisfaire les
besoins speacutecifiques du systegraveme agrave commander Nous pouvons exploiter la flexibiliteacute du
backstepping en ce qui concerne le choix des commandes virtuelles des fonctions
stabilisantes initiales et des fonctions de Lyapunov Nous avons effectueacute une eacutetude de
stabiliteacute en se basant sur la commande backstepping et en utilisant la fonction de
Lyapunov
431 Algorithme de base pour la meacutethode du backstepping
En utilisant lrsquoapproche backstepping comme un algorithme reacutecursif pour la
synthegravese de lois de commande On considegravere le cas des systegravemes non lineacuteaires drsquoordre deux
de la forme
x=f(x)+g(x)u (41)
X est lrsquoeacutetat du systegraveme X isin realn
u Lrsquoentreacutee de commande u isin real
Supposons que le systegraveme (41) peut apregraves une transformation ecirctre mis sous la forme
chaineacutee comme suit
x1 = fଵ(xଵ) + gଵ (xଵ) xଶ (42)
x2= fଶ(xଶ) + gଶ (xଶ) u (43)
Chapitre4 COMMANDE ROBUST PAR LA THECHNIQUE DU BACKTEPPING
77
On deacutesire faire suivre agrave la sortie y = xଵ la trajectoire yr Cette trajectoire est supposeacutee
connue et uniformeacutement borneacutee et puisque le systegraveme et du deuxiegraveme ordre alors le design
srsquoeffectue en deux eacutetapes [82]
Premiegravere eacutetape
On considegravere drsquoabord lrsquoeacutequation (42) ou la variable drsquoeacutetat xଶ est traiteacutee comme une
commande virtuelle et lrsquoon deacutefinit la premiegravere valeur de reacutefeacuterence
xଵ = y (44)
La premiegravere variable drsquoerreur se deacutefinit par
eଵ = xଵ minus xଵ (45)
ሶଵ= ሶଵݔ minus ሶଵݔ (46)
On utilisant lrsquoeacutequation (42) le systegraveme drsquoeacutequation (46) srsquoeacutecrit
e1 = ଵ(ݔଵ) + gଵ (ଵݔ) ଶݔ minus ሶଵݔ (47)
Pour un tel systegraveme il agrave eacuteteacute montreacute que la fonction candidate constitue un bon choix de la
fonction de Lyapunov
ଵ( ଵ) =ଵ
ଶ ଵଶ (48)
Sa deacuteriveacutee est donneacutee par
Vଵ(eଵ) = eଵ eଵ = eଵ [ ଵ(ݔଵ) + gଵ(ݔଵ) ଶݔ minus [ሶଵݔ (49)
Un choix judicieux xଶ rendrait Vଵ(eଵ) neacutegative et assurerait la stabiliteacute de lrsquoorigine du sous
systegraveme deacutecrit par lrsquoeacutequation (42)
Prenons comme valeur de ଶݔ la fonction aଵ telle que
ଵ(ݔଵ) + gଵ(ݔଵ) ଵ minus =ሶଵݔ minus kଵeଵ (410)
Ougrave kଵ gt 0 est un paramegravetre de design
xଶ= aଵ=ଵ
భ(୶భ)[minus kଵeଵ + xଵminus fଵ(xଵ)] (411)
et la deacuteriveacutee srsquoeacutecrit
ଵ( ଵ) = minus ଵ ଵଶ le 0 (412)
Drsquoougrave la stabiliteacute asymptotique de lrsquoorigine de lrsquoeacutequation (45)
Deuxiegraveme eacutetape
On considegravere le sous-systegraveme drsquoeacutequation (43) et lrsquoon deacutefinit la nouvelle variable
drsquoerreur
eଶ = xଶ minus aଵ (413)
Chapitre4 COMMANDE ROBUST PAR LA THECHNIQUE DU BACKTEPPING
78
Cette eacutequation repreacutesente lrsquoeacutecart entre la variable drsquoeacutetat xଶ et sa valeur deacutesireacutee aଵ lrsquoerreur
ଶ nrsquoest pas instantaneacutement nulle Le design dans cette eacutetape consiste alors agrave la forcer agrave
srsquoannuler
Les eacutequations du systegraveme agrave commander dans lrsquoespace (eଵ eଶ) srsquoeacutecrivent
ሶଵ = ଵ(ݔଵ) + ଵ ( ଶ + ଵ) minus ሶଵݔ (414)
ሶଶ = ଶ(ݔଶ) + ଶ minusݑ ሶଵ (415)
On agrave choisit comme fonction de Lyapunov
ଶ( ଵ ଶ) = ଵ( ଵ) +ଵ
ଶ ଶଶ (416)
Sa deacuteriveacutee
2( ଵ ଶ) =ଵ + ଶ ሶଶ= ଵ ሶଵ + ଶ ሶଶ (417)
2( ଵ ଶ) = ଵ [ ଵ(ݔଵ) + ଵ ( ଶ+ ଵ) [ሶଵݔ + ଶ [ ଶ(ݔଶ) + ଶ minusݑ ሶଵ] (418)
2( ଵ ଶ) = ଵ [ ଵ(ݔଵ) + ଵ ଶ+ ଵ ଵ minus ሶଵݔ ] + ଶ [ ଶ(ݔଶ) + ଶ minusݑ ሶଵ] (419)
2( ଵ ଶ) = minus ଵ ଵଶ + ଶ [ ଶ(ݔଶ) + ଶ ݑ + ଵ ଵminus ሶଵ] (420)
Pour garantir la stabiliteacute il faut que lrsquoeacutequation suivante soit eacutegale agrave minus kଶeଶ avec kଶ gt0
ଶ(ݔଶ) + ଶ ݑ + ଵ ଵminus ሶଵ= minus ଶ ଶ (421)
La commande est
ݑ =ଵ
మ[minus ଶ ଶ+ ሶଵ minus ଵ ଵ minus ଶ(ݔଶ)] (422)
Avec le choix de ଶ on agrave
2( ଵ ଶ) = minus ଵ ଵଶ minus ଶ ଶ
ଶ (423)
On a garantie la stabiliteacute asymptotique du systegraveme
44 Stabilisation du drone X4 par la meacutethode du backstepping
Nous proposons drsquoappliquer la technique de backstepping pour le controcircle drsquoun drone
de type X4 dont la dynamique du modegravele a eacuteteacute deacutetermineacutee dans le chapitre 2
La strateacutegie de controcircle adopteacute est reacutesumeacutee en deux sous-systegravemes le premier est lieacute au
controcircle de la translation et le deuxiegraveme est lieacute au controcircle de la rotation comme il est
exposeacute sous le scheacutema synoptique suivant [83]
Chapitre4 COMMANDE ROBUST PAR LA THECHNIQUE DU BACKTEPPING
79
Figure 41 Scheacutema bloc de commande du drone par backstepping
Le systegraveme 243 peut ecirctre reacuteeacutecrit dans lrsquoespace drsquoeacutetat sous la forme = ()
Avec U vecteur drsquoentreacute et X vecteur drsquoeacutetat
Tel que
X = hellipଵݔ] hellip [ଵଶݔ T = [ ݖ ݔሶݖ ݕሶݔ ሶݕ θ θ empty empty ψ ψ ] T isin real12
X = f (X U) =
⎝
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎛
ଶݔଵ
emptyݏ ଷݑߠݏ minus
ସݔ
minusଵ
ଷݑ௫ݑݔ
ଵ
௬ݑ ଷݑݔସݑଵݔହݑଵଶݔݑ ⎠
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎞
(424)
441 Commande du systegraveme de translation lineacuteaire
4411 Controcircle de lrsquoaltitude
On commande le mouvement selon lrsquoaxe z en utilisant la technique du backstepping le
modegravele en y est donneacute par
ߠ
X4-FlyerModelReacutefeacuterence
BacksteppingControcircle
BacksteppingControcircle
ݖݕݔ
ଷݑ
ହݑସݑ ݑ௬ݑ௫ݑ
ݖݕݔ
Chapitre4 COMMANDE ROBUST PAR LA THECHNIQUE DU BACKTEPPING
80
=ሷݖ emptyݏ ଷݑߠݏ minus (425)
La commande par backstepping du vol vertical est deacuteveloppeacutee ci-dessous
Premiegravere eacutetape
Initialement nous consideacuterons lrsquoobjectif de poursuite de lrsquoaltitude z vers sa trajectoire
deacutesireacutee On deacutefinit pour cela une erreur de poursuite
e௭ଵ = ݖ minus ݖ (426)Sa deacuteriveacutee srsquoeacutecrit
ሶ௭ଵ = ሶݖ minus ሶݖ (427)
Le but eacutetant donc de faire tendre cette erreur vers zeacutero Pour ce faire on considegravere une
fonction de Lyapunov quadratique en eଵ
V (e௭ଵ) =ଵ
ଶe௭ଵଶ (428)
La deacuteriveacutee de la fonction de Lyapunov srsquoeacutecrit
( ௭ଵ) = ௭ଵ ሶ௭ଵ= ௭ଵ ሶݖ) minus (ሶݖ (429)
La convergence de e௭ଵ vers zeacutero est obtenue en assurant que V(e௭ଵ) est neacutegative Etant
donneacute que lrsquoentreacutee de commande nrsquoapparait pas encore dans lrsquoexpression de V(e௭ଵ) on
deacutefinit une entreacutee fictive ayant pour forme
ଶݔ = ሶݖ + k௭ଵe௭ଵ (430)
Ougrave ௭ଵ est une constante positive
Cette commande assure
( ௭ଵ)= minus ௭ଵ ௭ଵଶ le0 (431)
Deuxiegraveme eacutetape
La deuxiegraveme eacutetape consiste agrave redeacutefinir une autre erreur agrave compenser
e௭ଶ= minus ሶݖ ሶrefݖ minus k௭ଵe௭ଵ (432)
Sa deacuteriveacutee srsquoeacutecrit comme suit
e௭ଶ= minus ሷݖ ሷrefݖ minus k௭ଵe௭ଵ (433)
Chapitre4 COMMANDE ROBUST PAR LA THECHNIQUE DU BACKTEPPING
81
Afin drsquoeacuteliminer cette erreur la fonction candidate de Lyapunov V( ௭ଵ) preacuteceacutedente de
lrsquoeacutequation (428) est augmenteacutee drsquoun autre terme qui va prendre en charge la nouvelle
erreur qui a eacuteteacute introduite preacuteceacutedemment
V ( ௭ଵ ௭ଶ) =ଵ
ଶ( ௭ଵଶ
+ ௭ଶଶ ) (434)
Ainsi que sa deacuteriveacutee
( ௭ଵ ௭ଶ) = ௭ଵ ሶ௭ଵ+ ௭ଶ ሶ௭ଶ (435)
( ௭ଵ ௭ଶ) = ௭ଵ (minus ௭ଵ ௭ଵ minus ௭ଶ) + ௭ଶ minus ሷݖ) ሷݖ minus ௭ଵ ሶ௭ଵ) (436)
( ௭ଵ ௭ଶ) =minus ௭ଵ ௭ଶ minus ௭ଵ ௭ଵଶ + ௭ଶ minus ሷݖ) ሷݖ minus ௭ଵ(minus ௭ଵ ௭ଵ minus ௭ଶ)) (437)
( ௭ଵ ௭ଶ) = minus ௭ଵ ௭ଵଶ + ௭ଶ [
ଵ
minusݑߠݏܥemptyݏܥ minus ሷݖ minus ௭ଵ(minus ௭ଵ ௭ଵ minus ௭ଶ)minus ௭ଵ)]
(438)
La proceacutedure de la meacutethode du backstepping srsquoarrecircte jusqursquoagrave lrsquoapparition de la commandeu3
Afin de satisfaire la condition de Lyaponov (V(eଵ eଶ) le 0 ) on pose
௦empty௦ఏ
minus ₃ݑ minus minusሷݖ k௭ଵ(minus k௭ଵe௭ଵ minus e௭ଶ)minus e௭ଵ) = minus k௭ଶe௭ଶ (439)
Ce qui nous donne la loi de commande suivant lrsquoaxe z
= ₃ݑ
௦empty௦ఏሷݖ) + + (1 minus ௭ଵ
ଶ ) ଵ minus ( ௭ଵ + ௭ଶ) ௭ଶ) (440)
Ougrave k௭ଶ est une constante positive
De telle sorte ( ௭ଵ ௭ଶ) = minus ௭ଵ ௭ଵ
ଶ minus ௭ଶ ௭ଶଶ le 0 (441)
Ce qui nous assure la stabiliteacute du mouvement suivant lrsquoaxe z
44 12 Controcircle de deacuteplacement lineacuteaire suivant les axes et y
A partir du modegravele du drone le systegraveme dynamique des mouvements horizontales est deacutefini
par
൜ =ሷݔ ଷݑ௫ݑminus=ሷݕ ଷݑ௬ݑ
(442)
Avec ex1 et ey1 sont les erreurs de positions sont deacutefinis par
ቄ௫ଵ = ݔ minus ݔ
௬ଵ = ݕ minus ݕ (443)
Chapitre4 COMMANDE ROBUST PAR LA THECHNIQUE DU BACKTEPPING
82
Les erreurs des vitesses lineacuteaires des positions x et y sont deacutefinies par
൜௫ଶ = minusሶݔ ሶݔ minus ௫ଵ ௫ଵ
௬ଶ = minusሶݕ ሶݕ minus ௬ଵ ௬ଵ
(444)
Les mecircmes eacutetapes sont utiliseacutees pour deacuteterminer les commandes de positions ௫ݑ et ௬ݑ qui
sont donneacutees par
௫ݑ =
௨యሷݔ) + (1 minus ௫ଵ
ଶ ) ௫ଵ minus ( ௫ଵ + ௫ଶ) ௫ଶ) (445)
௬ݑ =
௨యሷݕ) + ൫1 minus ௬ଵ
ଶ ൯ ௬ଵ minus ( ௬ଵ + ௬ଶ) ௬ଶ) (446)
Avec ( ௫ଵ ௫ଶ ௬ଵ ௬ଶ)gt0
442 Commande par backstepping du systegraveme de rotation
4421 Commande de lrsquoangle de roulis
Dans cette section on veut eacutetablir une commande par backstepping qui assure lrsquoorientation
du drone par lrsquoangle empty (roulis)
Premiegravere eacutetape
Premiegraverement on doit avoir une sortie qui suit une trajectoire deacutesireacutee emptyref en introduisant
lrsquoerreur de la position angulaire (lrsquoangle de roulis)
eemptyଵ= emptyref minus empty (447)Sa deacuteriveacutee srsquoeacutecrit
eemptyଵ= empty minus empty (448)
Ougrave les deux eacutequations (447) (448) sont associeacutees agrave la fonction de Lyapunov suivante
V (eemptyଵ) =ଵ
ଶeempty1
2 (449)
La deacuteriveacutee de la fonction de Lyapunov srsquoeacutecrit
V(eemptyଵ) = eemptyଵ eemptyଵ= eemptyଵ (emptyref (ଵݔminus (450)
Lrsquoeacutetat ଵݔ est ensuite utiliseacute comme commande intermeacutediaire afin de garantir la stabiliteacute
de lrsquoeacutequation (447) On deacutefinit pour cela une commande virtuelle
ଵݔ = emptyref + emptyଵ emptyଵ avec emptyଵ gt0 (451)
ሶଵݔ = emptyref + emptyଵ ሶemptyଵ (452)
Agrave partir des eacutequations (450) et (451) on obtient
( emptyଵ) = minus emptyଵ emptyଵଶ (453)
Chapitre4 COMMANDE ROBUST PAR LA THECHNIQUE DU BACKTEPPING
83
Deuxiegraveme eacutetape
Agrave cette eacutetape une nouvelle erreur engendreacutee
eemptyଶ= empty minus empty minus kemptyଵeemptyଵ (454)
Sa deacuteriveacutee srsquoeacutecrit comme suit
eemptyଶ = empty minus emptyrefminus kemptyଵ eemptyଵ (455)
Afin drsquoeacuteliminer cette erreur la fonction candidate de Lyapunov (eemptyଵ) preacuteceacutedente de
lrsquoeacutequation (449) est augmenteacutee drsquoun autre terme qui va prendre en charge la nouvelle
erreur qui a eacuteteacute introduite preacuteceacutedemment
V (eemptyଵeemptyଶ) =ଵ
ଶ(eemptyଵଶ + eemptyଶ
ଶ ) (456)
Ainsi que sa deacuteriveacutee
V(eemptyଵ eemptyଶ) = eemptyଵ (minuskemptyଵ eemptyଵ minus eemptyଶ) + eemptyଶ (empty minus emptyref ndash kemptyଵ eemptyଵ) (457)
V(eemptyଵ eemptyଶ) = minus eemptyଵ eemptyଶ minus kemptyଵ eemptyଵଶ + eemptyଶ (empty minus emptyref minuskemptyଵ (minuskemptyଵe୴ଵ minus eemptyଶ)) (458)
V(eemptyଵ eemptyଶ) = minus kemptyଵ eemptyଵଶ + eemptyଶ ହݑ] minus emptyref minus kemptyଵ (minuskemptyଵeemptyଵ minus eemptyଶ) minuseemptyଵ] (459)
Afin de satisfaire la condition de Lyapunov (V(eemptyଵ eemptyଶ) le 0 ) on pose
ହݑ minus emptyref minus kemptyଵ (minuskemptyଵeemptyଵ minus eemptyଶ) minuseemptyଵ= minuskemptyଶ eemptyଶ (460)
Drsquoougrave lrsquoexpression de la commande du roulis est donneacutee par
ହݑ = emptyref + emptyଵ (1 minus emptyଵଶ ) minus emptyଶ ( emptyଵ + emptyଶ) (461)
Avec kemptyଵ kemptyଶ sont des constantes positives de design lesquelles deacuteterminent la
dynamique de la boucle fermeacutee
4421 Commande des angles de tangage et de lacet
Nous suivons les mecircmes eacutetapes deacutecrites preacuteceacutedemment pour deacuteterminer les commande de
tangage et de lacet ce qui nous donne [84 85]
ସݑ = +ߠ ఏଵ൫1 minus ఏଵଶ ൯minus ఏଶ( ఏଵ + ఏଶ) (462)
ݑ = + టଵ൫1 minus టଵଶ ൯minus టଶ( టଵ + టଶ ) (463)
Avec ( ఏଵ ఏଶ టଵ టଶ) gt0
Chapitre4 COMMANDE ROBUST PAR LA THECHNIQUE DU BACKTEPPING
84
45 Reacutesultats de simulations
Les performances sont eacutevalueacutees par le biais drsquoune simulation numeacuterique dans les mecircmes
conditions de fonctionnement preacutesenteacutes dans le chapitre preacuteceacutedent
Les paramegravetres des coefficients du polynocircme de Hurwitz du controcircleur sont choisis par
௭ଵ =8 ௭ଶ = 5 ௫ଵ = 5 ௫ଶ = 5 ௬ଵ = 4 ௬ଶ = 2 kemptyଵ = 55 kemptyଶ = 2 ఏଵ = 75
ఏଶ = 10 టଵ = 2 టଶ = 4
Figure 42 La trajectoire de reacutefeacuterence et reacuteelle en cas des connexions cercles
0
10
20
30
-5
0
5
100
5
10
15
20
25
30
Deacuteplacement suivant (x)Deacuteplacement suivant (y)
Deacutepla
cem
entsuiv
ant(z
)
Trajectoire reacuteelle
Trajectoire reacutefeacuterence
Chapitre4 COMMANDE ROBUST PAR LA THECHNIQUE DU BACKTEPPING
85
Figure 43 Les commandes u3 u4 u5 des connexions cercle
Figure 44 Les erreurs de deacuteplacement en cas des connections cercle
0 10 20 30 40 50 60 70 80 9010
20
30
u3(N
)
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90-5
0
5
u4(N
m)
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90-5
0
5
u5(N
m)
temps (s)
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90-004
-002
0
002
004
z-e
rreur(m
)
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90-002
0
002
x-e
rreur(m
)
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90-002
0
002
y-e
rreur(m
)
temps (s)
Chapitre4 COMMANDE ROBUST PAR LA THECHNIQUE DU BACKTEPPING
86
Figure 45 Les angles de tangage et de roulis en cas des connections cercle
Figure 46 Les forces en cas des connections cercle
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90
-05
0
05angle
theta
(rad)
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90
-05
0
05
angle
phi(rad)
temp (s)
0 10 20 30 40 50 60 70 80 900
5
F1
(N)
0 10 20 30 40 50 60 70 80 900
5
F2
(N)
0 10 20 30 40 50 60 70 80 900
5
F3
(N)
0 10 20 30 40 50 60 70 80 900
5
F4
(N)
temps (s)
Chapitre4 COMMANDE ROBUST PAR LA THECHNIQUE DU BACKTEPPING
87
La figure (43) qui repreacutesente les signaux de commandes u3 u4 et u5 deacutemontrent que la
condition de lrsquoeacutetat drsquoeacutequilibre et toujours veacuterifieacutee apregraves avoir effectueacute une manœuvre (u3 =
mg et u4 = u5 =0)
La figure (44) montre que lrsquoerreur suivant les trois directions converge vers zeacutero Cela
prouve que la trajectoire parcourue par le drone suit la trajectoire souhaiteacutee (figure (42))
avec des erreurs de tregraves faibles valeurs
Dans la figure (45) on voit que les angles de tangage ߠ et de roulis empty se manifestent lors
dun mouvement effectueacute respectivement suivant laxe de mouvement x et y en tendant vers
la valeur zeacutero drsquoeacutequilibre apregraves avoir effectuer le mouvement drsquoavancement
Pour que le drone retrouve sa stabiliteacute autour de la trajectoire de reacutefeacuterence nous constatons
que les commandes u4 et u5 produisent des forces corrigeant respectivement les erreurs du
suivi des angles ߠ et empty agrave leurs trajectoires de reacutefeacuterence nulles figure (43)
Dans la figure (46) nous remarquons que les quatre commandes ne deacutepassent pas les
limites physiques des rotors du drone et la somme de ces forces satisfirent la condition
drsquoeacutequilibre
451 Etude de robustesse
Dans cette partie nous testons numeacuteriquement la robustesse de commande retrouveacutee pour
assurer le suivi de trajectoire face agrave des perturbations dynamiques dues agrave linfluence du
vent suivant les diffeacuterents axes du mouvement
En geacuteneacuteral en mouvement aeacuterien le vent geacutenegravere une force de reacutesistance ou de traicircneacutee
sopposant au mouvement Dans le cas du drone le travail de cette force entraine une
consommation suppleacutementaire deacutenergie au niveau des actionneurs qui affaiblit ses
capaciteacutes en vol Les valeurs des forces reacutesistances sont (Ax = Ay = Az = 65 N)
Chapitre4 COMMANDE ROBUST PAR LA THECHNIQUE DU BACKTEPPING
88
Figure 47 La trajectoire de reacutefeacuterence et reacuteelle en preacutesence de perturbation
Figure 48 Les commandes en preacutesence de perturbation
05
1015
2025
30
-4-2
02
46
80
5
10
15
20
25
30
Deacuteplacement suivant (x)Deacuteplacement suivant (y)
Deacutepla
cem
ent
suiv
ant
(z)
Trajectoire reacuteelle
Trajectoire reacutefeacuterence
0 10 20 30 40 50 60 70 80 900
20
40
u3(N
)
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90-20
-10
0
10
u4(N
m)
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90-10
0
10
20
u5(N
m)
temps (s)
Chapitre4 COMMANDE ROBUST PAR LA THECHNIQUE DU BACKTEPPING
89
Figure 49 Les erreurs en preacutesence de perturbations
Figure 410 Les angles de tangage et de roulis en preacutesence de perturbation
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90
0
02
04z-e
rreur
(m)
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90
0
02
04
x-e
rreurr
(m)
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90
0
02
04
y-e
rreur
(m)
temps (s)
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90
-05
0
05
1
angle
theta
(rad)
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90
-1
-05
0
05
1
angle
phi(r
ad)
temps (s)
Chapitre4 COMMANDE ROBUST PAR LA THECHNIQUE DU BACKTEPPING
90
En preacutesence de force de reacutesistance nous remarquons que la robustesse de la commande
nrsquoest pas veacuterifieacutee En effet avec une telle force de reacutesistance le drone suit sa trajectoire de
reacutefeacuterence avec des erreurs comme le montrent les figures preacuteceacutedentes Ces erreurs peuvent
ecirctre importantes avec lrsquoaugmentation de la force de traineacutee
Il est clair que la structure du controcircleur geacuteneacutereacute par la version classique du backstepping
est composeacutee drsquoune action proportionnelle agrave laquelle est ajouteacutee action deacuteriveacutee sur les
erreurs Une telle structure rend le systegraveme sensible aux bruits et aux perturbations
externes des erreurs statiques non nulles persistent cet inconveacutenient srsquoexplique par
lrsquoabsence de la correction de ces perturbations afin drsquoeacuteliminer ces erreurs deux meacutethodes
sont proposeacutees la premiegravere consiste agrave doter les reacutegulateurs obtenus drsquoune action inteacutegrale
Lrsquoideacutee principale de la meacutethode se reacutesume agrave introduire drsquoune maniegravere virtuelle un
inteacutegrateur cette introduction neacutecessite une modification de la proceacutedure de design La
deuxiegraveme meacutethode consiste agrave estimer la perturbation externe (force de traineacutee) agrave lrsquoaide
drsquoun controcircleur adaptatif
46 Backstepping avec action inteacutegrale
Lrsquoabsence drsquointeacutegrateur dans la loi de commande entraicircne une erreur statique constante
non nulle La solution de ce problegraveme est la conception drsquoune nouvelle version du
backstepping doteacutee drsquoune action inteacutegrale (figure 411) Ceci revient agrave introduire des
inteacutegrateurs dans le modegravele du X4 et proceacuteder agrave lrsquoapplication de la meacutethode
conventionnelle de backstepping sur ce nouveau modegravele Lrsquoaction inteacutegrale sera transfeacutereacutee
automatiquement agrave la loi de commande [86]
Figure 411 Le scheacutema bloc du backstepping avec action inteacutegrale
Action inteacutegraleBackstepping
Inteacutegrale Backstepping
Commande robuste appliqueacute au Modegravele du X4
Systegraveme de translation et de rotation
Chapitre4 COMMANDE ROBUST PAR LA THECHNIQUE DU BACKTEPPING
91
461 Commande de lrsquoaltitude
Le modegravele est eacutecrit sous la forme chaineacutee drsquoapregraves lrsquoeacutequation (424)
ሶଵݔ = 2ݔ
ሶଶݔ = =ሷݖଵ
Cߠ Sempty ndashଷݑ (464)
Premiegravere eacutetape
La premiegravere variable drsquoerreur se deacutefinit par
௭ଵ= ݖ minus z (465)
On deacuterivant (465) par rapport au temps on obtient
ሶ௭ଵ=ݖሶ minus =ሶݖ ሶݖ minus ଶݔ (466)
Pour srsquooccuper mieux drsquoincertitudes et de perturbation nous allons ajouter une action
inteacutegrale sur lrsquoerreur de poursuite drsquoaltitude agrave la fonction stabilisante
Si on considegravere que ଶݔ notre commande virtuelle nous proceacutedons agrave eacutetablir une fonction
stabilisante comme suit
ଶݔ = +ሶݖ ௭ଵ ௭ଵ + ଵߣ ଵ (467)
Avec ௭ଵߣଵ sont des constants positifs et ଵ = int e௭ଵ( ) est lrsquointeacutegrale de lrsquoerreur de
poursuite drsquoaltitude
Deuxiegraveme eacutetape
Il nest pas possible dagir directement sur lrsquoeacutetat ଶݔ il est donc peu probable que cet eacutetat
suit exactement cette trajectoire cest pourquoi un autre terme derreur est introduit
eଶ = ଶݔ minus ሶݖ (468)
La deacuteriveacutee de lrsquoeacutequation (468) donne
ሶ௭ଶ ሶଶݔ= minus =ݖ ሷrefݖ + k௭ଵeଵ+ ଵߣ ሶଵ minus ݖ (469)
ሶ௭ଶ = k௭ଵ ሶrefݖ) minus (ሶݖ + ଵe௭ଵߣ minus ݖ ሷݖ+ (470)
Par lrsquoutilisation drsquoeacutequations (467) et (468) nous reacuteeacutecrivons la dynamique drsquoerreur de
poursuite drsquoaltitude comme suit
eଵ= minus ௭ଵ ௭ଵ minus ଵߣ ଵ + e௭ଶ (471)
Par le remplacement de ݖ dans lrsquoeacutequation (470) par son expression correspondante la
commande u3 apparaisse dans lrsquoeacutequation (472)
ሶ௭ଶ= ௭ଵ (minus ௭ଵ ௭ଵ minus ଵߣ ଵ + ௭ଶ) ଵߣ+ ௭ଵ + ሷrefݖ minusଵ
( (ߠ)ݏ ଷݑ()ݏ + ) (472)
Chapitre4 COMMANDE ROBUST PAR LA THECHNIQUE DU BACKTEPPING
92
La dynamique deacutesireacutee de lrsquoerreur de poursuite de vitesse est donneacutee par
e௭ଶ = minus ௭ଶe௭ଶ minus e௭ଵ (473)
La commande finale de ଷݑ est la suivante
ଷݑ =
௦(ఏ)௦(థ )(+ e௭ଵ (1minusk௭ଵ
ଶ (ଵߣ+ + e௭ଶ (k௭ଵ+ k௭ଶ) ሷref minus k௭ଵݖ+ ଵߣ ଵ) (474)
Analyse de la stabiliteacute
Afin de prouver la stabiliteacute la fonction de Lyapunov (e௭ଵ e௭ଶ) est choisie comme suite
( ௭ଵ ௭ଶ) =ଵ
ଶ ௭ଵ
ଶ + ௭ଶଶ + ଵߣ ଵ
ଶ ൧ (475)
En effectuant la deacuteriveacutee de cette fonction et en substituant lrsquoeacutequation (471) et (473) la
relation suivante est trouveacutee
( ௭ଵ ௭ଶ) = minus ௭ଵ ௭ଵଶ minus ௭ଶ ௭ଶ
ଶ le 0 (476)
De cette faccedilon la fonction V(eଵ eଶ) respecterait en tous points les critegraveres de
Lyapunov La loi de commande deacuteduite fait en sorte que ( ௭ଵ ௭ଶ) est toujours positif et
que ( ௭ଵ ௭ଶ) soit toujours neacutegatif peu importe les valeurs que peuvent prendre les
eacutetats
Nous suivant les mecircmes eacutetapes deacutecrites preacuteceacutedemment pour deacuteterminer les commandes du
drone X4 ce qui nous donne [87]
⎩⎪⎪⎪⎨
⎪⎪⎪⎧
௫ݑ =
௨యሷݔ) + (1 minus ௫ଵ
ଶ + (ଶߣ ௫ଵ minus ( ௫ଵ + ௫ଶ) ௫ଶ minus ௫ଵ ଶߣ ଶ)
௬ݑ =
௨యሷݕ) + ൫1 minus ௬ଵ
ଶ + ଷ൯ߣ ௬ଵ minus ( ௬ଵ + ௬ଶ) ௬ଶ minus ௬ଵ ଷߣ ଷ)
ସݑ = +ߠ ఏଵ൫1 ndash ఏଵଶ + minusସ൯ߣ ఏଶ ( ఏଵ + ఏଶ) ndash ఏଵ ସߣ ସ
ହݑ = ݎempty + emptyଵ (1 minus emptyଵଶ + (ହߣ minus emptyଶ ( emptyଵ + emptyଶ) minus emptyଵ ହߣ ହ
ݑ = + టଵ൫1 minus టଵଶ + minus൯ߣ టଶ( టଵ + టଶ) minus టଵ ߣ
(477)
Avec (ߣହߣସߣଷߣଶߣ) sont des constants positifs et ( ଶ ଷ ସ ହ ) sont les inteacutegrales
des erreurs de poursuite de position tangage roulis et lacet respectivement
Chapitre4 COMMANDE ROBUST PAR LA THECHNIQUE DU BACKTEPPING
93
462 Reacutesultats de simulations
Nous preacutesentons dans cette partie les reacutesultats du controcircle Inteacutegrale Backstepping pour la
commande du drone X4 En conservant les mecircmes coefficients de gain utiliseacutes
preacuteceacutedemment
Avec ଵߣ = 5 ଶߣ = 5 ଷߣ = 4 ସߣ = 2 ହߣ = 5 ߣ = 2
Suivi de trajectoire sans perturbations
Les figures 412 413 414 415 et 416 repreacutesentent respectivement la reacutealisation en 3D
la commande lrsquoerreur les angles et les forces pour la trajectoire de connexions de type
demi-cercle Nous remarquons qursquoagrave lrsquoeacutequilibre la commande u3 est toujours veacuterifieacutee (u3
est approximativement eacutegal agrave mg) Ces figures montrent que la tacircche est reacutealiseacutee drsquoune
maniegravere tregraves satisfaisante en respectant les contraintes imposeacutee
Figure 412 La trajectoire de reacutefeacuterence et reacuteelle
0
5
10
15
0
5
10
150
5
10
15
Deacuteplacement suivant (x)Deacuteplacement suivant (y)
Deacutepla
cem
ent
suiv
ant
(z) Trajectoire reacuteel
Trajecoire reacutefeacuterence
Chapitre4 COMMANDE ROBUST PAR LA THECHNIQUE DU BACKTEPPING
94
Figure 413 Les commandes sans preacutesence de perturbation
Figure 414 Les erreurs sans preacutesence de perturbations
0 5 10 15 20 25 30 35 40
10
20
30u3(N
)
0 5 10 15 20 25 30 35 40-40
-20
0
20
u4(N
m)
0 5 10 15 20 25 30 35 40-40
-20
0
20
40
60
u5(N
m)
temps (s)
0 5 10 15 20 25 30 35 40
-2
0
2x 10
-3
z-e
rreur
(m)
0 5 10 15 20 25 30 35 40-4-20246
x 10-3
x-e
rreur
(m)
0 5 10 15 20 25 30 35 40-2
0
2x 10
-3
y-e
rreur
(m)
temps (s)
Chapitre4 COMMANDE ROBUST PAR LA THECHNIQUE DU BACKTEPPING
95
Figure 415 Les angles de tangage et de roulis sans preacutesence de perturbation
Figure 416 Les forces sans preacutesence de perturbation
0 5 10 15 20 25 30 35 40
-05
0
05
1angle
theta
(rad)
0 5 10 15 20 25 30 35 40-1
-05
0
05
1
angle
phi(r
ad)
temps (s)
0 5 10 15 20 25 30 35 400
5
10
F1
(N)
0 5 10 15 20 25 30 35 400
5
10
F2
(N)
0 5 10 15 20 25 30 35 400
5
10
F3
(N)
0 5 10 15 20 25 30 35 400
5
10
F4
(N)
temps (s)
Chapitre4 COMMANDE ROBUST PAR LA THECHNIQUE DU BACKTEPPING
96
Suivi de trajectoire avec perturbations
Dans cette partie nous testons numeacuteriquement la robustesse de commande retrouveacutee pour
assurer le suivi de trajectoire face agrave des perturbations dynamiques dues agrave linfluence du
vent suivant les diffeacuterents axes de mouvement
Figure 417 La trajectoire de reacutefeacuterence et reacuteelle en preacutesence de perturbation
Figure 418 Les erreurs en preacutesence de perturbations
05
1015
2025
30
-5
0
5
100
10
20
30
Deacuteplacement suivant (x)Deacuteplacement suivant (y)
Deacutepla
cem
ent
suiv
ant
(z)
Trajectoire reacuteelle
Trajectoire reacutefeacuterence
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90
0
02
04
z-e
rreur
(m)
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90
0
02
04
x-e
rreurr
(m)
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90
0
02
04
y-e
rreur
(m)
temps (s)
Chapitre4 COMMANDE ROBUST PAR LA THECHNIQUE DU BACKTEPPING
97
Figure 419 Les commandes en preacutesence de perturbations
Figure 420 Les angles de tangage et de roulis en preacutesence de perturbation
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90
-05
0
05
1
angle
theta
(rad)
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90
-1
-05
0
05
1
angle
phi(r
ad)
temps (s)
0 10 20 30 40 50 60 70 80 900
20
40
u3(N
)
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90-20
-10
0
10
u4(N
m)
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90-10
0
10
20
u5(N
m)
temps (s)
Chapitre4 COMMANDE ROBUST PAR LA THECHNIQUE DU BACKTEPPING
98
Figure 421 Les forces en preacutesence de perturbation
Figure 422 La trajectoire de reacutefeacuterence et reacuteelle en preacutesence de perturbation
-3-2
-10
12
3
-3-2
-10
12
30
10
20
30
40
50
Deacuteplacement suivant (x)Deacuteplacement suivant (y)
Deacutepla
cem
ent
suiv
ant
(z)
Trajectoire reacuteelle
Trajectoire reacutefeacuterence
0 10 20 30 40 50 60 70 80 900
5
10
F1
(N)
0 10 20 30 40 50 60 70 80 900
5
10
F2
(N)
0 10 20 30 40 50 60 70 80 900
5
10
F3
(N)
0 10 20 30 40 50 60 70 80 900
5
10
F4
(N)
temps (s)
Chapitre4 COMMANDE ROBUST PAR LA THECHNIQUE DU BACKTEPPING
99
Figure 423 La trajectoire de reacutefeacuterence et reacuteelle en preacutesence de perturbation
Figure 424 Comparaison entre le controcircleur bakstepping et Inteacutegral Backsteppingpour des connexions demi cercle en preacutesence de perturbation
-2-15
-1-05
005
115
-3-2
-10
120
1
2
3
4
5
6
x-displacementy-displacement
z-d
ispla
cem
ent
Trajectoire reacuteelle
Trajectoire reacutefeacuterence
05
1015
2025
30
-5
0
5
100
10
20
30
Deacuteplacement suivant (x)Deacuteplacement suivant (y)
Deacutepla
cem
ent
suiv
ant
(z)
Trajectoire reacuteelle IB
Trajectoire reacutefeacuterence
Trajectoire reacuteelle B
Chapitre4 COMMANDE ROBUST PAR LA THECHNIQUE DU BACKTEPPING
100
Dans les figures (417- 424) nous remarquons que la robustesse de la commande est
veacuterifieacutee numeacuteriquement En effet avec telles forces de reacutesistance la commande produit
des valeurs assez raisonnables assurant le suivi du drone agrave sa trajectoire de reacutefeacuterence avec
des erreurs ne deacutepassant pas 20 cm pour les variables x z et y Pour assurer les virages les
angles de tangage et de roulis varient au cours du suivi de trajectoire
47 Backstepping adaptative
La commande adaptative est une solution ougrave les paramegravetres sont inconnus ougrave
eacutevoluant dans le temps Dans ce cas ces paramegravetres sont estimeacutes par des lois drsquoadaptations
ces derniegraveres nous permettent drsquoapprocher les valeurs reacuteelles du systegraveme rendant ainsi la
commande dynamique deacutependante de lrsquoeacutevolution des paramegravetres [10 46 47 59]
Dans cette partie on va preacutesenter la deuxiegraveme proposition pour eacuteliminer lrsquoerreur statique
due agrave la preacutesence drsquoune perturbation Le scheacutema bloc simplifieacute de la commande du
backstepping adaptative appliqueacute au vol vertical est repreacutesenteacute par la figure (425)
Figure 425 Le scheacutema bloc du backstepping adaptative
471 Commande de lrsquoaltitude
La loi de commande geacuteneacutereacutee en utilisant la technique du backstepping avec estimateur
deacutebutera par la deacutefinition de la premiegravere valeur drsquoerreur de position [28]
Premiegravere eacutetape
e௭ଵ= ݖ minus z (478)
Ainsi que sa vitesse lineacuteaire est donneacutee par
e௭ଵ= ሶݖ minus ሶݖ (479)
On choisira la fonction de Lyapunov
V (e௭ଵ) =ଵ
ଶeଵଶ (480)
Perturbation
Backstepping adaptative(Commande de lrsquoaltitude)
Model du X4Reacutefeacuterence zzref
ଷݑ
-
+
Chapitre4 COMMANDE ROBUST PAR LA THECHNIQUE DU BACKTEPPING
101
Sa deacuteriveacutee
V(e௭ଵ) = e௭ଵe௭ଵ= e௭ଵ ሶݖ) minus (ሶݖ (481)
Soit xଶ le controcircleur virtuel sa loi de commande est deacutefinie par
xଶ = ሶݖ + k௭ଵe௭ଵ (482)
Deuxiegraveme eacutetape
En introduisant la nouvelle valeur drsquoerreur noteacutee e௭ଶ qui est eacutegale agrave la diffeacuterence entre la
vraie valeur de la vitesse ሶetݖ la commande virtuelle xଶ alors
e௭ଶ = ሶݖ + k௭ଵe௭ଵminus ሶݖ (483)
e௭ଵ = minus k௭ଵe௭ଵ + e௭ଶ (484)
A cette eacutetape la fonction de Lyapunov va ecirctre diffeacuterente de la preacuteceacutedente et ceci est due agrave
lrsquointroduction drsquoune force inconnue ௭ܣ (force de traineacutee) Lrsquoajout drsquoun estimateur est
neacutecessaire pour estimer ௭ܣ la fonction de Lyapunov est augmenteacutee
V (e௭ଵ e௭ଶ (ଵߛ =1
2eଵଶ +
ଵ
ଶeଶଶ +
1
భߛ2௭෪ܣ
ଶ (485)
Lrsquoajout de ce nouveau terme permet drsquoannuler lrsquoerreur due agrave lrsquoestimation de la force ௭ܣ
ߛଵ
est un paramegravetre de design qui doit toujours ecirctre positif
Ougrave ௭෪ܣ repreacutesente lrsquoerreur entre ௭ܣ et ௭ܣ (force estimeacutee)
௭෪ܣ = ௭ܣ minus ௭ܣ (486)
A lrsquoaide de ce choix on obtient
V൫e௭ଵ e௭ଶ ߛଵ൯= e௭ଵe௭ଵ + e௭ଶe௭ଶ+
ଵ
ఊ1
௭෪ܣ ௭ܣ (487)
Pour que le systegraveme soit stable il faut que sa deacuteriveacutee soit toujours neacutegative
V൫e௭ଵ e௭ଶ ߛଵ൯= e௭ଵ(minus k௭ଵe௭ଵ + e௭ଶ)+ e௭ଶ (k௭ଵ(minusk௭ଵe௭ଵ + eଶ) minus +ሷݖ (ሷݖ +
1
భߛ௭෪ܣ ௭ܣ
(488)
= minus k௭ଵeଵଶ + eଶ ሷ+(1ݖ) minus kଵ
ଶ )e௭ଵ + k௭ଵeଶ minusߠݏ 3ݑemptyݏ
+ g +
ෝݖܣ
)
+1
భߛ௭෪ܣ ௭ܣ) minus
భߛ
eଶ ) (489)
La dynamique qui va ecirctre attribueacutee agrave ௭ܣ est baseacutee sur le fait qursquoelle doit annuler le terme
inconnu ௭ܣ
௭ܣ =ఊ1
e2ݖ (490)
Chapitre4 COMMANDE ROBUST PAR LA THECHNIQUE DU BACKTEPPING
102
Pour garantir la stabiliteacute de Lyapunov
ሷ+(1ݖ minus kଵଶ )e௭ଵ + k௭ଵeଶ minus
ߠݏ 3ݑ emptyݏ
+ g +
= minusk௭ଶeଶ (491)
La loi de commande qui stabilise le vol vertical est
ଷݑ =
ߠݏ emptyݏ+ሷݖ) g + e௭ଵ(1minusk௭ଵ
ଶ ) + eଶ(k௭ଵ + k௭ଶ) minusෝݖܣ
) (492)
La force ௭ܣ apparaicirct dans la commande ଷݑ et lrsquoeffet de celle-ci va se montrer dans les
reacutesultats de simulation
Nous suivons les mecircmes eacutetapes deacutecrites preacuteceacutedemment pour deacuteterminer les commandes du
drone X4 ce qui nous donne
⎩⎪⎪⎪⎨
⎪⎪⎪⎧ ௫ݑ =
௨యሷݔ) + (1 minus ௫ଵ
ଶ ) ௫ଵ minus ( ௫ଵ + ௫ଶ) ௫ଶ) minus
௬ݑ =
௨యሷݕ) + ൫1 minus ௬ଵ
ଶ ൯ ௬ଵ minus ( ௬ଵ + ௬ଶ) ௬ଶ) minus
ସݑ = +ߠ ఏଵ൫1 minus ఏଵଶ ൯minus ఏଶ ( ఏଵ + ఏଶ)
ହݑ = ݎempty + emptyଵ (1 minus emptyଵଶ ) minus emptyଶ ( emptyଵ + emptyଶ)
u = ψ
+eψଵ൫1 minus kψଵଶ ൯minus eψଶ(kψଵ + kψଶ )
(493)
ܣ ܣ sont les forces de reacutesistances estimeacutees suivants les axes x y respectivement
Leurs deacuteriveacutees sont deacutefinie par ܣ =ఊ2
e2ݔ ܣ =
ఊ3
e2ݕ
Avec ଶߛ et ଷߛ sont des constants positifs
472 Reacutesultats de simulations
Nous nous inteacuteressons dans cette partie aux tests de la robustesse du controcircleur
backstepping adaptative Nous reprenons les mecircmes tests effectueacutes par le controcircleur
Backstepping Nous traitons dans cette partie lrsquoexemple de la reacutealisation des connections
demi-cercles pour les mouvements z x y en preacutesence de perturbation
Avec les gains ଵ=10ߛ ଶ=20ߛ et ଷ=30ߛ
Chapitre4 COMMANDE ROBUST PAR LA THECHNIQUE DU BACKTEPPING
103
Figure 426 La trajectoire de reacutefeacuterence et reacuteelle en preacutesence de perturbation
Figure 427 Les commandes en preacutesence de perturbation
0 5 10 15 20 25 30 35 40 450
20
40
u3
(N)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45-40
-20
0
20
u4
(Nm
)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
-200
2040
u5
(Nm
)
temps (s)
02
46
810
1214
0
5
10
15
200
5
10
15
Deacuteplacement suivant (x)Deacuteplacement suivant (y)
Deacutepla
cem
ent
suiv
ant
(z)
Trajectoire reacuteelle
Trajectoire reacutefeacuterence
Chapitre4 COMMANDE ROBUST PAR LA THECHNIQUE DU BACKTEPPING
104
Figure 428 Les erreurs en preacutesence de perturbation
Figure 429 Les forces en preacutesence de perturbation
0 5 10 15 20 25 30 35 40 450
5
10
F1
(N)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 450
5
10
F2
(N)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 450
5
10
F3
(N)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 450
5
10
F4
(N)
temps (s)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45-01
0
01
02z-e
rreur
(m)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45-01
0
01
02
x-e
rreurr
(m)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45-01
0
01
02
y-e
rreur
(m)
temps (s)
Chapitre4 COMMANDE ROBUST PAR LA THECHNIQUE DU BACKTEPPING
105
Figure 430 Estimation des forces de traineacutee suivant les deacuteplacements zxy
La simulation agrave eacuteteacute faite sur le mecircme proceacutedeacute les figures (426-429) montrent
clairement que la loi de commande adaptative proposeacutees est stable malgreacute la preacutesence de
terme de perturbation lrsquoerreur statique est annuleacute et le suivi de la trajectoire est assureacute
nous pouvons voir aussi que la perturbation additionneacutee ne cause pas de problegraveme vis-agrave-vis
de la performance de la loi de commande cette derniegravere stabilise asymptotiquement les
principales erreurs du systegraveme En outre la figure (430) montre que ෩(erreur)ܣ converge
vers zeacutero ou encore ௫௬௭ܣ (estimeacutee) converge vers sa vraie valeur ௫௬௭ܣ (inconnue)
4 8 Commande Hybride
Depuis quelques anneacutees beaucoup de recherches ont eacuteteacute effectueacutees dans le domaine
de la commande des systegravemes non lineacuteaires Le mode glissant-backstepping fait partie de
ces nouvelles meacutethodes de controcircle celui-ci au mecircme algorithme que le backstepping mis
agrave part le deuxiegraveme sous systegraveme on remplace lrsquoerreur par la surface de glissement et la
commande comprend deux termes ݑ) = ݑ + (ݑ Un terme continu appeleacutee commande
eacutequivalente et un terme discontinu appeleacutee commande de commutation Le but de cette
proceacutedure est de garantir une stabiliteacute avant lrsquointroduction du mode glissant
0 5 10 15 20 25 30 35 40 450
5
10A
z-F
orc
e(N
))
0 5 10 15 20 25 30 35 40 450
5
10
Ax-F
orc
e(N
)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 450
5
10
Ay-F
orc
e(N
)
temps (s)
force estimeacutee
force reacuteelle
force estimeacutee
force reacuteelle
force estimeacutee
force reacuteelle
Chapitre4 COMMANDE ROBUST PAR LA THECHNIQUE DU BACKTEPPING
106
481 Application du mode glissant-Backstepping pour le drone X4
Dans cette partie on a utiliseacute le backstepping approche comme un algorithme
reacutecursif pour controcircler le drone X4 nous simplifions toutes les eacutetapes de calcul agrave propos
des erreurs et les fonctions de Lyapunov dans le chemin suivant
= ቐ
minusݔ ݔ isin [1 3 5 7 9 11]
minusݔ ሶ(ݔ ଵ) minus ( ଵ)
isin 2 4 6 8 1012
(494)
Avec gt 0 isin 112
ଵ
ଶ ଶ isin 1357911
et = (495)
( ଵ) +ଵ
ଶ ଶ isin 24681012
Nous allons appliquer cette meacutethode pour commander la dynamique de lrsquoaltitude z du
drone X4 les autres lois de commandes seront deacuteduites par les mecircmes proceacutedures et seront
donneacutee directement La premiegravere eacutetape dans ce controcircleur est similaire agrave celui de la
commande par backstepping agrave action inteacutegrale
Drsquoougrave la surface de glissement S est utiliseacute agrave la place de eଶ deacutefinis par
௭ = ௭ଶ = minusሶݖ ሶݖ minus ௭ଵ ௭ଵ minus ଵߣ ଵ (496)
Le choix de la de commande pour une surface de glissement attractive se pose sur la
deacuteriveacutee de lrsquoeacutequation (496) doit satisfaire la condition ൫SS lt 0൯
௭ = minus ଵݏ )ݐ ௭) minus ଶ ௭
= minusሷݖ ሷݖ minus ௭ଵ ሶ௭ଵ minus ଵߣ ௭ଵ
=ଵ
emptyݏ ଷݑߠݏ minus minus ሷݖ minus ௭ଵ ሶ௭ଵ minus ଵߣ ௭ଵ (497)
La loi de commande qui stabilise le vol vertical est
ଷݑ =
௦empty௦ఏ൫ݖሷ + + ௭ଵ ሶ௭ଵ + ଵߣ ௭ଵ minus ଵݏ )ݐ ௭) minus ଶ ௭൯ (498)
Avec ଵ et ଶ sont des gains positives
Chapitre4 COMMANDE ROBUST PAR LA THECHNIQUE DU BACKTEPPING
107
Analyse de la stabiliteacute
Afin de prouver la stabiliteacute la fonction de Lyapunov (e௭ଵ S௭) est choisie comme suite
(e௭ଵ S௭) =ଵ
ଶe௭ଵଶ + ௭
ଶ + ଵߣ ଵଶ ൧ (499)
Afin de prouver la stabiliteacute asymptotique du systegraveme sur lensemble nous avons besoin
dexprimer (471) comme suit
ሶ௭ଵ = minus ௭ minus ௭ଵ ௭ଵ minus ଵߣ ଵ (4100)
La deacuteriveacutee de lrsquoeacutequation 499 donne
= ଵߣ ௭ଵ ଵ + ௭ଵ ሶ௭ଵ + ௭௭ (4101)
Par lrsquointroduction des eacutequations drsquoerreurs de poursuite en vitesse de ௭ଵ et ௭ donne
= minus ௭ଵ ௭ଵଶ minus ଵ ௭
ଶ minus |ଵݍ ௭| le 0 (4102)
Avec
௭ = minus ଵݏ )ݐ ௭) minus ଶ ௭ + ௭ଵ (103)
La stabiliteacute Asymptotique Global est eacutegalement assureacutee agrave partir de la fonction et le fait
que ( ௭ଵ ௭) lt 0 forall( ௭ଵ ௭) ne 0 and (0) = 0 et en appliquant le theacuteoregraveme de LaSalle
Les mecircmes eacutetapes sont utiliseacutees pour deacuteduire les commandes ux uy u4 u5 et u6 [88]
⎩⎪⎪⎨
⎪⎪⎧ ௫ݑ =
௨యሷݔ) + ௫ଵ ሶ௫ଵ+ߣଶe୶ଵ minus ଷݏ )ݐ ௫) minus ସ ௫)
௬ݑ =
௦ఏ௨య൫ݕሷ + ௬ଵ ሶ௬ଵ + ଷe୷ଵߣ minus ହݏ ൫ݐ ௬൯minus ௬൯
ସݑ = ߠ + ఏଵ ሶఏଵ + ସeఏଵߣ minus ݏ )ݐ ఏ) minus ఏ
ହݑ = empty + emptyଵ ሶemptyଵ + ହeemptyଵߣ minus ଽݏ )ݐ empty) minus ଵ empty
ݑ = + టଵ ሶటଵ + eటଵߣ minus ଵଵݏ ൫ݐ ట൯minus ଵଶ ట
( 4104)
Avec ( ଵ ଶ ଷ ସ ହ ଽ ଵ ଵଵ ଵଶ ) sont des gains positives
Ougrave ௫ ௬ ఏ empty et ట sont les surfaces de glissement deacutefinies par le systegraveme drsquoeacutequation
suivant
Chapitre4 COMMANDE ROBUST PAR LA THECHNIQUE DU BACKTEPPING
108
⎩⎪⎪⎨
⎪⎪⎧
௫ = e୶ଶ = x minus x minus k୶ଵe୶ଵ minus ଶߣ ଶ
௬ = e୷ଶ = y minus y minus k୷ଵe୷ଵ minus ଷߣ ଵ
ఏ = eఏଶ = minusߠ ߠ minus kఏଵeఏଵ minus ସߣ ସ
empty = eemptyଶ = empty minus empty minus kemptyଵeemptyଵ minus ହߣ ହ
ట = eటଶ = minus minus kటଵeటଵ minus ߣ
(4105)
482 Reacutesultats de simulation
Lrsquoobjectif de cette simulation est de montrer la robustesse de la loi de commande
lorsque qursquoune perturbation externe est appliqueacutee
Les paramegravetres de simulation sont
ଵ =10 ଷ = 1 ହ = 10 = 2 ଽ = 10 ଵଵ = 2 ௭ଵ =8 ଶ = 5 ௫ଵ = 5 ସ =
5 ௬ଵ = 4 = 2 kemptyଵ = 55 k = 2 ఏଵ = 75 ଵ = 10 టଵ = 2 ଵଶ = 4
ଵߣ = 5 ଶߣ = 5 ଷߣ = 4 ସߣ = 2 ହߣ = 5 ߣ = 2
Les figures 431 437 et 438 montrent que les deux commandes ont permis le suivi des
trajectoires deacutesireacutees La diffeacuterence entre les deux commandes se voit dans la figure 436 ougrave
les erreurs de suivi sont moins importantes en utilisant la commande robuste backstepping-
mode glissant que la commande inteacutegrale backstepping Les simulations montrent donc
que la commande hybride est plus efficace que la commande Inteacutegrale Backstepping IB
Figure 431 La trajectoire de reacutefeacuterence et reacuteelle en preacutesence de perturbation
0
5
10
15
0
5
10
150
5
10
15
x-displacementy-displacement
z-d
ispla
cem
ent
Trajectoire reacuteelle
Trajectoire reacutefeacuterence
Chapitre4 COMMANDE ROBUST PAR LA THECHNIQUE DU BACKTEPPING
109
Figure 432 Les commandes en preacutesence de perturbation
Figure 433 Les erreurs en preacutesence de perturbation
0 5 10 15 20 25 30 35 40 450
20
40
u3(N
)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45-40
-20
0
20
u4(N
m)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
-200
2040
u5(N
m)
temps (s)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45-01
0
01
02
z-e
rreur
(m)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45-01
0
01
02
x-e
rreurr
(m)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45-01
0
01
02
y-e
rreur
(m)
temps (s)
Chapitre4 COMMANDE ROBUST PAR LA THECHNIQUE DU BACKTEPPING
110
Figure 434 Les angles en preacutesence de perturbation
Figure 435 Les forces en preacutesence de perturbation
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
-05
0
05
1
angle
theta
(rad)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
-1
-05
0
05
1
angle
phi(r
ad)
temps (s)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 4505
10
F1
(N)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 450
5
10
F2
(N)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 450
5
10
F3
(N)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 450
5
10
F4
(N)
temps (s)
Chapitre4 COMMANDE ROBUST PAR LA THECHNIQUE DU BACKTEPPING
111
Figure 436 Les erreurs de suivi en z x et y pour les deux commandes
Figure 437 La trajectoire de reacutefeacuterence et reacuteelle en preacutesence de perturbation
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45-01
0
01
02
z-e
rre
ur
(m)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45-01
0
01
02
x-e
rre
urr
(m)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45-01
0
01
02
y-e
rre
ur
(m)
temps (s)
IB
IBMG
IB
IBMG
IB
IBMG
0
5
10
15
0
5
10
150
5
10
15
x-displacementy-displacement
z-d
ispla
cem
ent
Trajectoire reacuteelle
Trajectoire reacutefeacuterence
Chapitre4 COMMANDE ROBUST PAR LA THECHNIQUE DU BACKTEPPING
112
Figure 438 La trajectoire de reacutefeacuterence et reacuteelle en preacutesence de perturbation
49 Conclusion
Nous avons preacutesenteacute dans ce chapitre une contribution agrave lrsquoapplication de la commande
par backstepping et la commande hybride backstepping mode glissant afin de stabiliser le
drone X4 On a proposeacute un algorithme de commande qui stabilise le drone en utilisant la
technique du backstepping et en se basant sur la meacutethode directe de Lyapunov Cette
technique a eacuteteacute appliqueacutee avec succegraves pour concevoir des algorithmes de commandes qui
assurent la poursuite de ces trajectoires En effet en preacutesence drsquoune perturbation un
comportement peu deacutesirable et observeacute des erreurs statiques persistent Afin drsquoeacuteliminer
cet inconveacutenient on a eacutetudieacute les deux approches la premiegravere consiste agrave introduire drsquoune
maniegravere virtuelle une action inteacutegrale qui permet une nette ameacutelioration des performances
et la deuxiegraveme approche est le backstepping adaptatif lrsquoideacutee consiste agrave estimer la force de
traineacutee comme perturbation et suivant la proceacutedure du backstepping le controcircleur prend
en compte la perturbation et lrsquoeffet de celle-ci est eacutelimineacute Les reacutesultats obtenus ont montreacute
lrsquoefficaciteacute de lrsquoutilisation de ce type de commande et ceci est deacutemontreacute par les bonnes
performances du controcircleur (rejet de perturbation)
Pour renforcer la robustesse face aux perturbations externes des deux commandes une
commande hybride entre le mode glissant et le backstepping inteacutegrale agrave eacuteteacute proposeacutee afin
-2-15
-1-05
005
115
-3
-2
-1
0
1
20
1
2
3
4
5
6
x-displacementy-displacement
z-d
ispla
cem
ent
Trajectoire reacuteelle
Trajectoire reacutefeacuterence
Chapitre4 COMMANDE ROBUST PAR LA THECHNIQUE DU BACKTEPPING
113
drsquoameacuteliorer les performances dynamique et statique Nous avons preacutesenteacute dans cette partie
la synthegravese et la stabiliteacute de la commande hybride que nous avons appliqueacutee pour le drone
X4
Les reacutesultats de simulation ont confirmeacute les bonnes performances du controcircleur utiliseacute qui
assure sous certaines conditions la poursuite de la trajectoire
CONCLUSION GENERALE ET PRESPECTIVE
113
CONCLUSION GENERALE ETPRESPECTIVE
CONCLUSION GENERALE ET PRESPECTIVE
114
CONCLUSION GENERALE ET PRESPECTIVE
Durant ces derniegraveres anneacutees la robotique aeacuterienne a fait de grand progregraves Cet
inteacuterecirct est justifieacute par les avanceacutees technologiques reacutecentes qui rendent possibles la
conception et la construction des mini-drones et par le domaine drsquoapplication civile et
militaire tregraves vaste de ces aeacuteronefs Les drones sont classifieacutes en trois cateacutegories principales
les avions les dirigeables et les heacutelicoptegraveres Le travail reacutealiseacute dans cette thegravese rentre dans
ce cadre de recherche sur la commande de mini-veacutehicules aeacuteriens capables de reacutealiser du
vol stationnaire et en particulier du quadrirotor Notre objectif est de deacutevelopper des
commandes avanceacutees drsquoune part et drsquoautre part de proposer des meacutethodes drsquohybridations
entre ces techniques de commande assurant la stabiliteacute du drone (X4) et leurs poursuites
aux trajectoires planifieacutees
Nous nous sommes tout drsquoabord inteacuteresseacutes agrave attribuer au drone un modegravele
repreacutesentatif qui reflegravete sa dynamique de translation et celle de rotation en neacutegligeant les
forces aeacuterodynamiques et les effets gyroscopiques Ce modegravele a eacuteteacute eacutelaboreacute en utilisant la
meacutethode Newtonienne en se basant sur quelques hypothegraveses simplificatrices adopteacutees en
litteacuterature
Nous avons eacutelaboreacute dans un premier temps la synthegravese drsquoune loi de commande agrave
structure variable tel que le mode glissant Dans ce type de commande lrsquoapproche non
lineacuteaire a eacuteteacute traiteacutee et preacutesente lrsquoavantage de se rapprocher du systegraveme reacuteel sans passer
neacutecessairement par le modegravele lineacuteaire Cette commande a donneacute des reacutesultats inteacuteressants
concernant la poursuite de trajectoires simples telles que le suivi de lignes droites et
complexes (demi-cercle arcs hellip)
En preacutesences des perturbations des erreurs statiques persistent Une structure de
reacuteglage par mode de glissement agrave action inteacutegrale a eacuteteacute aussi preacutesenteacutee afin drsquoobtenir des
meilleurs performances Les reacutesultats de simulation nous montrent la robustesse et la
performance de ce type de reacutegulateur Cependant le signal de commande obtenu par ce
reacutegulateur preacutesente des variations brusques dues au pheacutenomegravene de broutements
(chatterring)
Afin de reacuteduire les effets du pheacutenomegravene de broutement et drsquoameacuteliorer davantage
les performances de stabilisation du X4 une hybridation entre la logique floue et le mode
de glissement agrave action inteacutegrale a eacuteteacute proposeacutee
CONCLUSION GENERALE ET PRESPECTIVE
115
Une autre commande non lineacuteaire a eacuteteacute proposeacutee agrave savoir un reacutegulateur de type
backstepping Ce reacutegulateur est baseacute sur une reacutecente meacutethodologie faisant appel agrave la
fonction de Layapunov La synthegravese a conduit agrave un controcircleur non lineacuteaire globalement
asymptotiquement stable Cette technique a eacuteteacute appliqueacutee avec succegraves pour concevoir des
algorithmes de commandes qui assurent le deacuteplacement du drone drsquoune position initiale
vers une position drsquoeacutequilibre deacutesireacutee Le reacutegulateur backstepping dont la conception est de
type PD preacutesente lrsquoinconveacutenient de la persistance de lrsquoerreur statique en preacutesence de
perturbation Pour y remeacutedier deux solutions ont eacuteteacute proposeacutees agrave savoir lrsquoajout drsquoune
action inteacutegrale au controcircleur virtuel (la commande inteacutegrale backstepping) et la deuxiegraveme
revient agrave estimer la perturbation (la commande backstepping adaptatif) cette approche a la
flexibiliteacute de speacutecifier les structures finales deacutesirables pour les lois des paramegravetres estimeacutes
Une approche drsquohybridation entre le backstepping inteacutegrale et le mode glissant a eacuteteacute
preacutesenteacutee pour augmenter davantage les performances de controcircleur
Les reacutesultats obtenus agrave ce propos sont assez motivant pour lancer une concreacutetisation
pratique de ces commandes
Outre les perspectives de travail mentionneacutees dans les conclusions des diffeacuterentes
parties de ce document une extension des travaux effectueacutes dans le cadre de cette thegravese
peut ecirctre reacutealiseacutee en consideacuterant les points suivants
Les approches proposeacutees ont eacuteteacute adapteacutees pour lrsquoacuteelaboration de lois de guidage-pilotage
en utilisant un niveau de modeacutelisation de la dynamique drsquoun drone miniature `agrave voilure
tournante baseacute sur une repreacutesentation de type meacutecanique du solide Une extension de ces
travaux peut consister en lrsquoapplication des meacutethodes proposeacutees agrave des modegraveles plus
deacutetailleacutes repreacutesentatifs drsquoune configuration de veacutehicule donneacutee et prenant en compte une
repreacutesentation de son aeacuterodynamique
Enfin une analyse de la robustesse des approches proposeacutees peut ecirctre eacutetudieacutee en
poursuite agrave cette thegravese afin de garantir dans quelle mesure les proprieacuteteacutes de stabiliteacute
eacutetablies sont conserveacutees en preacutesence drsquoerreurs de modegraveles en preacutesence de perturbations
impreacutevisibles telles que les rafales de vent En effet comme perspective ces conditions
reacuteelles peuvent ecirctre consideacutereacutees dans lrsquoeacutelaboration de la commande dans le but
drsquoaugmenter le domaine de fonctionnement du quadrirotor (agrave lrsquointeacuterieur ou bien agrave
lrsquoexteacuterieur) Dans le mecircme esprit nous nrsquoavons pas consideacutereacute le problegraveme des retards de
mesure ou de communication entre le drone et la base de controcircle Il nous semble
envisageable de consideacuterer ce problegraveme en se basant sur les reacutesultats obtenus pour la
CONCLUSION GENERALE ET PRESPECTIVE
116
stabilisation par commande agrave structure variable de systegravemes avec retard et la stabilisation
avec la commande hybride
Le choix des paramegravetres de reacuteglage de la commande non-lineacuteaire proposeacutee pour la
stabilisation du quadrirotor nrsquoest pas optimiseacute en lrsquoeacutetat actuel Il est par conseacutequent tout agrave
fait envisageable drsquooptimiser ces choix dans le but drsquoameacuteliorer le comportement global du
systegraveme de renforcer la stabiliteacute ou encore drsquoameacuteliorer la robustesse de la commande
ANNEXE
113
ANNEXES
ANNEXE
117
ANNEXE A
A1 Theacuteorie de lyapunov
Le concept du controcircle par Backstepping est baseacute sur la theacuteorie de Lyapunov Lebut est de construire de proche en proche une loi de commande ramenant le systegraveme versdes eacutetats deacutesireacutes En drsquoautres termes on souhaite faire de lrsquoeacutetat deacutesireacute un eacutetat drsquoeacutequilibrestable en boucle fermeacuteeDans cette section nous deacutefinissons la notion de la stabiliteacute au sens de Lyapunov et nouspassons en revue les principaux outils utilisables pour prouver la stabiliteacute drsquoun systegraveme nonlineacuteaire Cette section est inspireacutee essentiellement des travaux de Khalil auquel nous nousreferons pour les preuves des theacuteoregravemes de stabiliteacute [89]On considegravere le systegraveme non lineacuteaire drsquoeacutecrit par lrsquoeacutequation diffeacuterentielle suivante
=ሶݔ (ݐݔ) A1Ougrave f est une fonction deacutefinie de ℝtimesℝା rarr ℝ x isin Rn est le vecteur drsquoeacutetat du systegravemeUn eacutetat xe du systegraveme est un point drsquoeacutequilibre stable srsquoil satisfait
(ݔ) = 0 A2Les proprieacuteteacutes de stabiliteacute de ce point drsquoeacutequilibre sont caracteacuteriseacutees par la deacutefinition ci-dessous
Deacutefinition A1 (Stabliteacute au sens de Lyapunov)Un point drsquoeacutequilibre x = x du systegraveme (A1) est ndash un eacutetat drsquoeacutequilibre stable si et seulement si pour tout ε gt 0 il existe δ(ε) gt 0 tel que
(0)ݔ minus ݔ lt ε ⟹ (ݐ)ݔ minus ݔ lt ߝ leݐ forall 0ndash un eacutetat drsquoeacutequilibre asymptotiquement stable srsquoil est stable et srsquoil existe ߜ gt 0 tel que
(0)ݔ minus ݔ lt ⟹ߜ lim௧⟶ஶ
(ݐ)ݔ = ݔ
ndash un eacutetat drsquoeacutequilibre globalement asymptotiquement stable (GAS) si pour tout eacutetat initialx0 x(0) isin ℝ il est stable et
lim௧rarrஶ
(ݐ)ݔ = (0)ݔ forall ݔ
On introduit maintenant quelques concepts usuels de fonctions de LyapunovDeacutefinition A2ndash Une fonction scalaire V (x) est deacutefinie positive dans une boule de Rn de rayon K si 1) V (x) gt 0 forall x ne 0 et x isin ℝ୬ x lt K2) V (x) = 0 pour x = 0ndash La fonction scalaire V (x) est deacutefinie neacutegative dans une boule de ℝ୬ de rayon K si 1) V (x) lt 0 forall x ne 0 et x isin ℝ୬ x lt K2) V (x) = 0 pour x = 0ndash La fonction scalaire (ݔ) est semi-deacutefinie positive si (ݔ) ge 0
Theacuteoregraveme A3 Consideacuterons le systegraveme deacutecrit par lrsquoeacutequation (A1) avec (0) = 0 Soit (ݔ) une fonction scalaire deacutefinie positive non borneacutee continue et diffeacuterentiable Si
V(x) = Vx f(x) lt 0 x ne 0 (A3)
alors x = 0 est un point drsquoeacutequilibre globalement asymptotiquement stable
ANNEXE
118
La fonction deacutefinie positive (ݔ) satisfaisant (ݔ) le 0 est appeleacutee fonction de Lyapunovdu systegraveme
Theacuteoregraveme A4 (LaSalle-Yoshizawa) [90]
Soit =ݔ 0 un point drsquoeacutequilibre de (A1) et on suppose que f est localement Lipschitz en xSoitV ℝ rarr ℝା une fonction continue et diffeacuterentiable deacutefinie positive radialement nonborneacutee telle que
=ௗ
ௗ௫(ݔ) (ݐݔ) le minus (ݔ) le 0 leݐ forall 0 niݔ ℝ (A4)
ougrave (ݔ) est une fonction continue alors toutes les solutions de (A1) sont globalementuniformeacutement borneacutees et satisfont
lim௧rarrஶ
( ((ݐ)ݔ) = 0 (A5)
de plus si (ݔ) est deacutefinie positive alors le point drsquoeacutequilibre ݔ = 0 est globalementuniformeacutement asymptotiquement stable
A2 Commande par la meacutethode de Lyapunov
Nous allons donner dans cette section une meacutethode de synthegravese drsquoune loi de commandebaseacutee sur la theorie de Lyapunov On considegravere le systegraveme non lineacuteaire drsquoeacutecrit par
=ሶݔ f(x u) (A6)Ougrave x est lrsquoeacutetat du systegraveme et ݑ est lrsquoentreacutee de commandeLrsquoobjectif du controcircle est de ramener le vecteur drsquoeacutetat agrave lrsquoorigine et que lrsquoorigine devienneun point drsquoeacutequilibre asymptotiquement stable Lrsquoentreacutee de commande est choisie de laforme
ݑ = (ݔ)ߙ (A7)La dynamique du systegraveme en boucle fermeacutee devient
=ሶݔ ((ݔ)ߙݔ) (A8)
Pour montrer que le systegraveme est GAS nous devons construire une fonction de Lyapnuov
(ݔ) satisfaisant les conditions du theacuteoregraveme (A3) Lapproche la plus simple pour trouver
(ݔ)ߙ est de seacutelectionner une fonction deacutefinie positive (ݔ) radialement non borneacutee et
puis choisir (ݔ)ߙ tel que
= (ݔ)ݔ ((ݔ)ߙݔ) lt 0 x ne 0 (A9)On doit faire un choix adeacutequat de pour veacuterifier (A9) Ce qui nous amegravene agrave donner ladeacutefinition suivante
Deacutefinition A5 (Fonction de Lyapunov candidate) Une fonction (ݔ) scalaire lissedeacutefinie positive et radialement non borneacutee est appeleacutee fonction de Lyapunov candidatepour le systegraveme (A6) si
inf௨ݔ (ݑݔ) lt 0 x ne 0 (A10)
Etant donneacutee une (fonction de Lyapunov candidate (CLF)) pour le systegraveme (A8) on peuttrouver une loi de controcircle stabilisant globalement le systegraveme En effet lrsquoexistence de
ANNEXE
119
cette loi est eacutequivalent de (CLF) Cela veut dire que pour toute loi de controcircle stabilisanteon peut trouver une (CLF) correspondante et vis-versa Cela est veacuterifie dans le theacuteoregraveme[91] Pour illustrer cette approche on considegravere le systegraveme suivant
=ሶݔ (ݔ) + ݑ(ݔ) (A11)Ce systegraveme est affine en la commande On suppose que la (CLF) du systegraveme est connueSontag a proposeacute dans [92] un choix particulier de loi de controcircle donneacutee par
ݑ = (ݔ)ߙ = minusାradicమାమ
(A12)
Ougrave= (ݔ)ݔ (ݔ)= (ݔ)(ݔ)ݔ
Cette loi de commande nous donne
= )(ݔ)ݔ (ݔ) + (ݑ(ݔ) = + ൬minusାradicమାమ
൰= minusradic ଶ + ଶ (A13)
Elle rend donc lrsquoorigine (GAS) Lrsquoeacutequation (A12) est connue sous le nom de la formule deSontag Freeman et Primbs [93] ont propose une approche ou la commande u est choisiepour minimiser Lrsquoeffort du controcircle neacutecessaire pour satisfaire
le minus (ݔ) (A14)
A3 Eacuteleacutements theacuteoriques des modes glissantsOn introduit des eacuteleacutements theacuteoriques neacutecessaires agrave la compreacutehension de la
commande par modes glissants Plus particuliegraverement nous rappelons les conditionsdrsquoexistence du mode glissant
Figure A1 ndash Comportement en dehors de la surface de glissement
A31 Existence du mode glissementA311 Deacutefinitions
Nous consideacuterons le systegraveme non lineacuteaire drsquoeacutecrit par
=ሶݔ (ݐݑݔ) (A15)Ougrave ndash x est lrsquoeacutetat du systegraveme eacutevoluant dans une varieacuteteacute diffeacuterentiable caracteacuterisant le domainephysique de fonctionnement du systegraveme
S = 0
ANNEXE
120
ndash f le champ de vecteurs complet dans ℝ
ndash u la commande ou lrsquoentreacutee du systegraveme appartient a Ω inclut dans ℝ veacuterifiant
(ݐݔ)ݑ = ൜(ݐݔ)ାݑ ݏ (ݐݔ) ≺ 0
(ݐݔ)ݑ ݏ (ݐݔ) ≻ 0
Cette commande discontinue est appeleacutee Commande a Structure Variable(CSV) ou biencommande par modes glissantsLa fonction S(x t) est appeleacutee surface de glissement elle partage lrsquoespace en deux partiesdistinctes Un systegraveme est deacutefini comme eacutetant un systegraveme a structure variable commutantentre deux structures si par on deacutefinit deux champs de vecteurs ା (x u t) (x u t) detel sorte que le systegraveme (A15) puisse ecirctre eacutecrit sous la forme ci-dessous
=ሶݔ (ݐݑݔ) = (ݐݔ) = ൜ା(ݐݔ) ݏ (ݐݔ) ≺ 0
(ݐݔ) ݏ (ݐݔ) ≻ 0
Pour eacutevoquer lrsquoexistence du mode de glissement il faut que la surface de commutation(ݐݔ) soit attractive des deux cotes Lrsquointerpreacutetation geacuteomeacutetrique eacutequivaut agrave dire que les
deux vecteurs vitesses + et minus doivent ecirctres dirigeacutes vers la surface de commutationCette notion drsquoattractiviteacute peut ecirctre locale ou globale (figure (A1))
A32 Conditions drsquoexistence du mode glissantLe theacuteoregraveme ci-dessous donne les conditions drsquoexistence du mode glissant
Theacuteoregraveme A6 Un domaine Dg de dimension (n-1) est dit un domaine de glissement si etseulement si dans un domaine Ω contenant Dg il existe une fonction de Lyapunov ( (ݐݔ gt 0 continucircment diffeacuterentiable par rapport agrave tous ses arguments et satisfaisantles conditions suivantes
i) ( (ݐݔ gt 0 est deacutefinie positive par rapport a S
൜( (ݐݔ ≻ 0 (ݐݔ0) = 0
ݏ ne 0
ii) Sur la sphegravere = ρ forall x isin Ω forall t gt 0 les relations suivantes sont veacuterifieacutees ii minus a) inf
ௌୀV ( (ݐݔ = ℎ ℎ gt 0
ii minus b) supௌୀ
V ( (ݐݔ = ܪ ܪ gt 0
Avec ℎ et ܪ deacutependant de S et ℎ ne 0 si ρ ne 0
iii) La deacuteriveacutee totale de ( (ݐݔ le long des trajectoires du systegraveme a unmaximum neacutegatif pour tout x de agrave lrsquoexclusion de la surface de commutationpour laquelle la commande u nrsquoest pas deacutefinie et la deacuteriveacutee de ( (ݐݔnrsquoexiste pas
iv) Il est possible de choisir une fonction de Lyapunov baseacutee sur la physique dusystegraveme (cas des robots manipulateurs par exemple) mais il nrsquoexiste aucune
ANNEXE
121
meacutethode geacuteneacuterale qui permette de trouver une fonction de Lyapunov Pourcertaines classes de systegravemes une approche possible consiste agrave choisir lesformes suivantes
⎩⎪⎨
⎪⎧ ݔ) (ݐ =
ଶ
2
ݔ) (ݐ =ସ
4 ݔ) (ݐ = | |
Pour illustrer le reacutesultat fourni par le theacuteoregraveme preacuteceacutedent nous optons pour une
fonction de Lyapunov de type quadratique ݔ) (ݐ =ௌమ
ଶ Pour que la surface soit
attractive sur tout le domaine il suffit queௗ
ௗ௧ ݔݐ) ) lt 0 Ceci eacutequivaut agrave
SS˙ lt 0 (A16)
Cette condition(A16) permet drsquoassurer une convergence asymptotique vers lasurface S = 0 Tregraves souvent cette condition est remplaceacutee par
SS˙ le minusη |S| (A17)
Ougrave η est une quantiteacute strictement positive Cette condition assure la convergence vers S =0 en un temps fini tfini
ANNEXE
122
ANNEXE B
La commande mode glissant preacutesente certaine limites par exemple le problegraveme de
chattering en preacutesence de la fonction sgn (voir figure si-dessous)
Figure B1 La commande u3 en cas des connexions droite
Dans cette partie nous testons numeacuteriquement la performance du vecteur de commande
(mode glissant) deacuteveloppeacute preacuteceacutedemment dont les conditions initiales sont choisis
diffeacuterentes de zeacutero
Figure B2 La trajectoire de reacutefeacuterence et reacuteelle en cas drsquoun cocircne
0 1 2 3 4 5 6 7 80
5
10
15
20
25
30
35
40
U3(N
)
Temps (s)
-2-15
-1-05
005
115
-3
-2
-1
0
1
20
1
2
3
4
5
6
Deacuteplacement suivant (x)
X 1
Y 1
Z 2984
Deacuteplacement suivant (y)
Deacutepla
cem
ent
suiv
ant
(z)
Trajectoire reacuteelle
Trajectoire reacuteference
ANNEXE
123
Figure B3 Les forces en cas drsquoun cocircne
Figure B4 Les angles en cas drsquoun cocircne
0 5 10 15 20 25 30 35 40 450
5
10
F1
(N)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 450
5
10
F2
(N)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 450
5
10
F3
(N)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 4505
10
F4
(N)
temps (s)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
-05
0
05
1
angle
theta
(rad)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
-1
0
1
angle
phi(r
ad)
temps (s)
ANNEXE
124
Figure B5 La trajectoire de reacutefeacuterence et reacuteelle en cas des demi-cercles
Figure B6 Les forces en cas des demi-cercles
0 5 10 15 20 25 30 35 40 450
5
10
F1
(N)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 450
5
10
F2
(N)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 450
5
10
F3
(N)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 450
5
10
F4
(N)
temps (s)
0
5
10
15
0
5
10
15
200
2
4
6
8
10
12
Deacuteplacement suivant (x)
X 1
Y 1
Z 3
Deacuteplacement suivant (y)
Deacutepla
cem
ent
suiv
ant
(z)
Trajectoire reacuteelle
Trajectoire reacutefeacuterence
ANNEXE
125
Figure B7 Les forces en cas des demi-cercles
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
-05
0
05
1
angle
theta
(rad)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
-1
-05
0
05
1
angle
phi(r
ad)
temps (s)
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Reacutesumeacute
Lrsquointeacuterecirct scientifique de la thegravese est lrsquoeacutetude de stabilisation avec planification de trajectoire pour undrone agrave quatre heacutelices Apregraves la modeacutelisation du systegraveme plusieurs commandes ont eacuteteacute reacutealiseacutees pour lapoursuite de trajectoires simples telles que le suivi de lignes droites et complexes La stabiliteacute descontrocircleurs utiliseacutes a eacuteteacute veacuterifieacutee ainsi que la robustesse en preacutesence des perturbations
Dans la premiegravere partie nous nous somme pencheacutes sur la synthegravese drsquoun controcircleur par mode glissant (SMC)pour la stabilisation du drone X4 Cependant le signal de commande obtenu par cette technique preacutesentedes variations brusques dues au pheacutenomegravene de broutement Afin de reacuteduire les effets de ce pheacutenomegravene etdrsquoameacuteliorer davantage les performances de controcircle du X4 une hybridation entre la logique floue et le modede glissement a eacuteteacute proposeacutee
Par la suite nous avons preacutesenteacute la technique de commande du backstepping pour la stabilisation du droneCe reacutegulateur est baseacutee sur une reacutecente meacutethodologie faisant appel agrave la fonction da lyapunov Le controcircleurbackstepping dont la conception est de type PD preacutesente lrsquoinconveacutenient de la persistance de lrsquoerreur statiqueen preacutesence de perturbation Pour y remeacutedier des solutions ont eacuteteacute proposeacutees agrave savoir la commande InteacutegralBackstepping la commande backstepping adaptatif et une hybridation entre le mode glissant a eacuteteacute proposeacuteeafin drsquoameacuteliorer les performances de reacuteglage
Mot-cleacutes Drone quadrirotor commande par mode glissant commande par backstepping commandehybride stabiliteacute
Abstract
The scientific interest of this thesis work can be mainly seen in the study of the stabilization with
path planning for a four propellers UAV type Starting with dynamical modeling the system several
controllers were designed for the tracking of simple trajectories such as the follow-up of straight lines and
more complex ones The stability of the proposed controllers was checked as well as their robustness in the
presence of various disturbances
In the first part we focused on the synthesis of a sliding mode controller (SMC) for the stabilization of an X4UAV However the control signal obtained from this technique shows sudden undesirable variations due tothe phenomenon of chattering To reduce the effects of this phenomenon and to further improve the controlperformance applied to the X4 hybrid technique between fuzzy logic and sliding mode has been proposed
Subsequently we introduced the backstepping control technique to stabilize the drone This controllerdesign relies on a recent methodology using the Lyapunov function The backstepping controllerrsquos structurewhich is of PD type has the disadvantage of the persistence of the static error in the presence of disturbancesTo overcome this drawback some solutions have been proposed namely Integral Backstepping control theadaptive backstepping technique and its hybridization with the sliding mode control has been applied toimprove the control performances
Keywords quadrocopter drone sliding mode control backstepping control hybrid control stability and
robustness
الملخص
بدونودواراتبأربعودفعـھارفعـھایتمعمودیـة التيطائـرة في التحـكموالنمـذجةدراسـةإلىتطرقـناھذا في عمـلنا
تخراجـاسإلى تستندواحدةللتحكم خطیتینغیرتقنـیتین على اعتمدناقدوالنموذجلاستخراجقانون نیوتنطیاراستعملنا في التحكمإظھار
تحقـیقھوھذامنوالھدفباكیستیبنإجراءاتإلىالأخرىوالإنزلاق لات حا نوعمنحصینالنموذج أثناءطیاربدونطائرةالاستقرارو
الریاحتأثیر حالة ومسار معین رصد حالة في التقنـیات المعتـمدة متانة وفعالیةالتجارب نتائج بینتوقدمسارھارصدواشتغالھا
الباكستیبن تقنیةالانزلاق حالاتنوعمنحصینتحكم دوارات أربعذاتطائرةطائرةالمفتاحیةالكلمات
