COLLEGE PRIVE LAC DE LESPERANCE

B.P. : 13450 TEL : 22 20 95 21 YAOUNDE Anne Scol. 2011-2012 Dpartement de : MATHS SEQUENCE N4 Examinateur : NOLABIA Epreuve de : MATHEMATIQUES Classe : TD Dure : 4 H / Coef : 4

Exercice 1 : (5pts) Soit 4ZZP 32 328 23 ZZ 7Z

1. a) Calculer iP , iP b) Montrer quil existe un polynme Q du second degr que lon, dterminera, tel que : pour tout Z C, ZP = ZQZ 12 2) Rsoudre dans lensemble des nombres complexes lquation 0 ZP Le plan est rapport au repre orthonormal direct vu,,0 (unit graphique : 2 c m) 2. Placer dans ce repre les points A, B, C et D daffixes respectives

iZ A , iZB , 3 CZ +2i 34 Z -2i Montrer que ces 4 points appartiennent au cercle de diamtre > @.CD

4. Montrer quil existe une rotation de centre 0 qui transforme C en .D Calculer dune valeur entire approche un degr prs dune mesure de langle de cette rotation.

5- Calculer sous forme algbrique, puis sous forme trigonomtrique le rapport CA

CB

ZZZZ

Interprter gomtriquement le module et largument de ce rapport. 6- Dterminer la forme rduite de la similitude s telle que BAs et DCs Dterminer limage par cette similitude de la droite dquation xy Exercice 2 : (4pts)

A)

t d

0.....0....1ln1

2

2

xsiexxfxsixxf

x

On dsigne par C sa courbe reprsentative 1) Etudier la drivabilit et la continuit de f en 0 (0,75pt) 2) Etudier les branches infinies de ;C dmontrer que la parabole * dquation 2xy est asymptote C en f (0,75pt) 3. Complter ltude de f et construire * et C (1pt) B. Soit

121

x

x

eexg

1) Dterminer deux nombres rels a et b tels que Rx 12

xx

ebeaxf (1pt)

2) En dduire les primitives de g sur R (0,5pt)

PROBLEME : (10pts) Le but du problme est ltude et la reprsentation graphique de la fonction f dfinie sur R par

z

00

0....1

2

f

xsie

xxf x

dans les parties A et ,B on tudie des fonctions auxiliaires ncessaires ltude du signe de la drive de .f

Partie A on considre la fonction h dfinie sur @ >f,0 par xh =xex

1. a) Dterminer lim xh et lim h x

00

to

xx

fox

b) Donne le tableau de variation de h . 2. En remarquant que ,2 eh t Montrer quil existe dans @ >1,0 un unique rel D tel que .2hh D Vrifier que 40,0