1

MISE AU POINT DES NOTIONS DE GEOMETRIE

I. Triangles :

1. Droites remarquables :

a. Médiatrices d’un triangle :

• Médiatrice d’un segment : La médiatrice d’un segment est la droite perpendiculaire

à ce segment en son milieu.

• Propriété fondamentale : Tous les points de la médiatrice d’un segment sont

équidistants des deux extrémités du segment.

• Propriété :

Les médiatrices des cotés d’un triangle sont concourantes : Leur point de concours est

le centre du cercle circonscrit au triangle.

b. Hauteurs d’un triangle :

• La hauteur issue d’un sommet du triangle est la droite qui passe par ce sommet et qui

est perpendiculaire au coté opposé. On parle aussi de hauteur relative à un coté.

• Propriété :

Les hauteurs d’un triangle sont concourantes : Leur point de concours s’appelle

l’orthocentre du triangle.

2

c. Bissectrices d’un triangle

• La bissectrice d’un angle est la droite qui partage l’angle en deux angles égaux.

• Propriété fondamentale : Tout point situé sur la bissectrice d’un angle est

équidistant des côtés de cet angle.

• Propriété :

Les bissectrices des 3 angles d’un triangle sont concourantes. Leur point d’intersection O est équidistant des trois côtés du triangle. C’est le centre du cercle inscrit dans le

triangle.

d. Médianes d’un triangle :

• La médiane issue d’un sommet du triangle est la droite qui passe par ce sommet et

par le milieu du coté opposé. On parle aussi de médiane relative à un coté.

• Propriété :

Les médianes d’un triangle sont concourantes. Leur point de concours G s’appelle le

centre de gravité du triangle.

3

2. Aire du triangle :

II. Quadrilatères :

1. Classification des quadrilatères :

A = ch

2 h

c

4

2. Classification basée sur les propriétés des diagonales

5

3. Périmètres et aires des quadrilatères :

III. Polygones :

6

Définitions :

Un polygone est une figure géométrique plane possédant autant de côtés que de sommets.

Exemples :

hexagone (6 côtés, 6 sommets), pentagone (5 côtés, 5 sommets), dodécagone (12 côtés, 12

sommets ).

Les quadrilatères sont aussi des polygones.

Un segment joignant deux sommets n’appartenant pas à un même côté est une diagonale du

polygone.

Un polygone régulier est un polygone inscriptible dans un cercle et dont tous les côtés ont

même longueur.

Propriété :

Tous les angles d’un polygone régulier sont égaux. Les angles au centre du cercle

déterminés par deux sommets consécutifs sont égaux.

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La somme des amplitudes des angles d’un polygone ayant n côtés est (n-2)x180°.

IV. Angles

1. Définitions :

Angles complémentaires : deux angles dont la somme est égale à 90° sont appelés des angles

complémentaires.

Angles supplémentaires : deux angles dont la somme est égale à 180° sont appelés des

angles supplémentaires.

Angles opposés par le sommet : (xx') et (yy') sont deux droites sécantes en O.

xOy et x'Oy' sont opposés par le sommet.

xOy' et x'Oy sont opposés par le sommet.

Angles adjacents : deux angles ayant un sommet commun, un côté commun et qui sont situés

de part et d'autre de ce côté commun sont appelés adjacents.

y' x

O

y x'

8

∆

d'

d

Angles déterminés par deux droites d et d' coupées par une droite :

Angles alternes-

internes

Angles alternes-

externes

Angles correspondants

Deux angles sont alternes-internes lorsqu’ils sont situés:

• de part et d’autre de la droite ∆ ;

• entre les droites d et d’

Deux angles sont alternes-externes lorsqu’ils sont situés:

• de part et d’autre de la droite ∆ ;

• « à l’extérieur » des droites d et d’

Deux angles sont correspondants lorsqu’ils sont situés :

• d’un même côté de la droite ∆ ;

• l’un entre les droites d et d’ , l’autre pas.

2. Propriétés:

• Deux angles opposés par le sommet ont même mesure.

• Deux angles alternes-internes déterminés par deux parallèles et une sécante ont même mesure.

• Deux angles alternes-externes déterminés par deux parallèles et une sécante ont même mesure.

• Deux angles correspondants déterminés par deux parallèles et une sécante ont même mesure.

∆

d'

d ∆

d'

d

y' x

O

y x'

9

Réciproques :

• Si deux droites déterminent avec une sécante deux angles alternes-internes de même mesure, les deux droites sont parallèles.

• Si deux droites déterminent avec une sécante deux angles alternes-externes de même

mesure, les deux droites sont parallèles.

• Si deux droites déterminent avec une sécante deux angles correspondants de même mesure, les deux droites sont parallèles.

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BASES : GEOMETRIE ( exercices)

Exercice 1 : Les droites remarquables et la droite d’Euler

• Construire le triangle ABC tel que AB = 6cm BC = 9cm et AC = 8cm .

• Tracer deux hauteurs se coupant en H

• Tracer deux médianes se coupant en M

• Tracer deux médiatrices se coupant en T

• Tracer deux bissectrices se coupant en B

• Tracer avec précision la droite HT

• Que dire du point M ?

• Tracer le cercle circonscrit et le cercle inscrit au triangle ABC

Exercice 2 :

1. Construire le point C tel que la droite d soit axe de symétrie du triangle ABC obtenu.

2. Quelle est la nature du triangle ABC obtenu ? Justifier.

3. Justifier que les angles A ˆ B C et A ˆ C B sont de même mesure.

4. Montrer que d est à la fois médiatrice , hauteur, bissectrice et médiane du triangle

ABC.

Exercice 3 : Construction de triangles

1. Construire un triangle PIC rectangle et isocèle en I tel que |PC| = 6 cm.

2. Tracer un triangle SAC rectangle en A tel que |SA| = 4 cm et |CS| = 5 cm.

3. Construire un triangle ABC ayant pour aire 24 cm2.

4. Construire un triangle isocèle BOL, de sommet B, de hauteur 6 cm et tel que

°= 40ˆLOB

5. Construire un triangle équilatéral BUS dont les hauteurs mesurent 4 cm.

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Exercice 4 : Construction en utilisant les propriétés des quadrilatères

• Construire un parallélogramme dont les côtés mesurent 6 cm et 4 cm et une diagonale

mesure 8 cm. Construire en rouges les médianes, en bleu les diagonales et en noir les

hauteurs . Enoncer éventuellement les caractéristiques de ces droites remarquables

dans un parallélogramme.

• Construire un losange dont une diagonale mesure 5 cm et un côté 6,5 cm. Construire

en rouges les médianes, en bleu les diagonales et en noir les hauteurs . Enoncer

éventuellement les caractéristiques de ces droites remarquables dans un losange.

• Construire un rectangle dont les diagonales mesurent 6 cm et forment entre elles un

angle de 40°. Construire en rouges les médianes, en bleu les diagonales et en noir les

hauteurs . Enoncer éventuellement les caractéristiques de ces droites remarquables

dans un losange.

Exercice 5 : Construction de polygones

• Construire un pentagone régulier,

• Construire un hexagone régulier

Exercice 6 : Somme des angles d’un polygone

Décomposer chacun de ces polygones en triangles qui, sans se chevaucher, recouvrent

parfaitement le polygone.les sommets des triangles sont ceux du polygone.

En déduire dans chaque cas la somme des angles du polygone.

Exercice 7 : Calcul d’aire

RSTU est un parallélogramme.

a) Calculer l’aire A de RSTU.

b) En déduire la longueur ST.

4 cm

3,2 cm

R S

H

TU

6 cm

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Exercice 8 : calcul d’aire

Une allée, dont les bords sont parallèles, traverse un jardin rectangulaire planté d’une

pelouse.

a) Calculer l’aire de l’allée.

b) Calculer l’aire de la pelouse.

Exercice 9 Calcul de volume : exercice corrigé

FORMULAIRE :

Volume du cylindre : B × h

B étant l'aire du disque de base,

h étant la hauteur du cylindre.

Volume du cône : 3

1×B×h

B étant l'aire du disque de base,

h étant la hauteur du cône.

Un cube a des arêtes de 8 cm. Un cône de révolution a une base de 8 cm de diamètre et une

hauteur de 8 cm.

1) Calculer le volume du cube.

2) a) Calculer la valeur exacte du volume du cône.

b) Quel est le volume du cône arrondi au cm3 ?

3) On place le cône à l'intérieur du cube. Occupe-t-il plus de 30 % du volume du cube ?

Justifier votre réponse.

8

8

8

8

8

13

Correction:

1) Le cube a pour volume le produit de ses dimensions (longueur×largeur×hauteur):

8×8×8 = 83 = 512

Le volume du cube est 512 cm3.

2) a) La base est un disque de rayon r = 4 cm et la hauteur h mesure 8cm.

Le volume du cône est:

V =1

3B × h avec B = πr

2, r = 4 et h = 8

V =1

3π × 4 2

× 8

V =16 × 8

3π

V =128

3π

Le volume du cône est128π

3cm3 .

b) Avec la calculatrice, en prenant 3,1415926…comme valeur approchée de π , le volume

est environ 134,041286…

Donc le volume du cône arrondi au cm3 est 134.

3) Calculons 30% de 512:

0,3×512 = 153,6

Par rapport au résultat obtenu au 2) b), le volume V du cône vérifie:

V < 135 donc V < 153,6.

Par suite, le cône occupe moins de 30 % du cube.

Exercice 10 : Calcul de volume

Un réservoir d'eau est formé d'une partie cylindrique et d'une partie conique.

1. Donner, en dm3, le volume exact de la partie cylindrique en utilisant le nombre π

2. Donner, en dm3, le volume exact de la partie conique en utilisant le nombre π

3. Donner le volume exact du réservoir, puis sa valeur arrondie à 1 dm3

près.

4. Ce réservoir peut-il contenir 1000 litres? Justifier la réponse.

14

Exercice 11 : les angles opposés par le sommet, correspondants ou alternes internes

Compléter avec :

opposés par le sommet ; alternes-internes ; alternes-externes, correspondants,

ˆ A 1 et ˆ B 3 sont………… ˆ A 1 et ˆ B 1 sont ……….. ˆ A 2 et ˆ B 4 sont ………. .. ˆ A 1 et ˆ A 3 sont …………

………….

Exercice 12 :

( AB)// ( DC) et (AD)//(BC)

Compléter les phrases suivantes avec:

opposés par le sommet ; alternes-internes ; alternes-externes, correspondants,

supplémentaires, complémentaires.

A

B

(δ)

(d)

(d')

1

2 4

3

1

2

4

3

15

x

y

v

u w

zA

B

52°

x

y

v

u w

zA

B

52°

Exercice 13 :

Dans la figure ci-contre, les droites (xz) et (uw) sont parallèles

et z ˆ A v mesure 127°.

Calculer la mesure de l’angle y ˆ B w puis celle de y ˆ B u.

Exercice 14 : Dans la figure ci-contre, les droites (xz) et (uw) sont

parallèles et y ˆ A x mesure 52°.

Calculer l’angle y ˆ B u.

Exercice 15 :

Calculer la mesure de l’angle t ˆ B v puis celle de t ˆ B u .

A

B

y

v

z

x

u

w

127°

16

Exercice 16 :

Donner en justifiant ta réponse, la mesure des angles I ˆ P n , E ˆ P m et E ˆ P I , sachant que les

droites (mn) et (rs) sont parallèles.

m

Pn

sI

E

rL

40° 60°

Exercice 17 :

1. Que peut-on dire des droites (AB) et (CD) ? Pourquoi ?

2. Quelle est la mesure du supplémentaire de l’angle B ˆ A D ?

3. Tracer la droite passant par B et parallèle à la droite (AD). Cette droite coupe la droite

(CD) en E. Placer E.

4. Quelle est la mesure de l’angle A ˆ B E ?. Que représente la droite (BE) pour l’angle A ˆ B C ?

Expliquer la réponse.

17

DEVOIR GEOMETRIE

18

Calculer x pour chaque figure de 1 à 10 (chaque figure est tracée à main levée).

x 52°

60°

1

A

B C

28°

x 7

A

B

C

D

x

60°

105°

2

A

D

B C

28°

x

4 E

D C

B

A

x

65°

3

A

C

E

D

B

18° x

5

C D

B

A

50°

120°

x

6

C

B

A

D

19

//

32°

67°

x 8 E

F

A D

C

B

C

82°

x

9

A

B

D

C

x

140°

10

A

B

D

20

Calculer le plus d’angles dans chaque figure de 11 à 13.

32°

11

A

B

C

D

G

H

J

E

F

I

L M

K

C

50°

12

A

B

F D

E

48°

13

A

B

C

D

E