Collection

CHELLES

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InvariancesdchelleDes changementsdtats la turbulenceMichel

LagusAnnick

Lesne

Belin8, rue Frou 75278 Paris Cedex 06www.editions-belin.com

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La collection chelles Privilgiant les savoirs les plus actuels, la collection chelles propose des ouvragesscientifiques rdigs par des auteurs qui font autorit dans leur domaine. Par laprsentation simple de questions rputes complexes, elle exprime une certaine ide delenseignement des sciences, en relation troite avec le monde de la recherche et de sesapplications.La collection chelles sadresse ltudiant de 2e et 3e cycles universitaires, comme auchercheur ou lingnieur. Elle est dirige par Michel Lagus (ESPCI) et Annick Lesne(Universit Paris VI).Dans la mme collectionGouttes, bulles, perles et ondes, Pierre-Gilles de Gennes, Franoise Brochard-Wyart, David Qur, 2002.ADN, mots et modles, Stphane Robin, Franois Rodolphe, Sophie Schbath, 2003.Introduction la microfluidique, Patrick Tabeling, 2003.Lhritage de Kolmogorov en physique, Roberto Livi, Angelo Vulpiani (sous la dir. de), 2003.Liquides. Solutions, dispersions, mulsions, gels, Bernard Cabane, Sylvie Hnon, 2003. paratreDe la macromolcule au matriau polymre, Jean-Louis Halary, Franoise Lauprtre.Les nanosciences. Les nanotechnologies. Tome 1, Philippe Houdy, Claire Dupas, Marcel Lamany (sousla dir. de).Lhritage de Kolmogorov en mathmatiques, ric Charpentier, Nicola Nikolski (sous la dir. de).

REMERCIEMENTS

Les auteurs remercient Pierre-Gilles de Gennes, Pierre Papon, Pierre Sonigoet Jean-Marc Victor pour leurs encouragements et leurs conseils ; Paul Sotta,Rodolphe Vuilleumier et tout particulirement Laurent Pezard pour leurs relecturesattentives ; et bien sr, leurs partenaires aux ditions Belin, sans le travaildesquels ce livre n'aurait pas abouti.

Photo de couverture : Sunset/BringardLe code de la proprit intellectuelle nautorise que les copies ou reproductions strictement rserves lusage priv ducopiste et non destines une utilisation collective [article L. 122-5] ; il autorise galement les courtes citations effectuesdans un but dexemple ou dillustration. En revanche toute reprsentation ou reproduction intgrale ou partielle, sans leconsentement de lauteur ou de ses ayants droit ou ayants cause, est illicite [article L. 122-4]. La loi 95-4 du 3 janvier 1994a confi au C.F.C. (Centre franais de lexploitation du droit de copie, 20, rue des Grands-Augustins, 75006 Paris), lexclusivitde la gestion du droit de reprographie. Toute photocopie duvres protges, excute sans son accord pralable, constitueune contrefaon sanctionne par les articles 425 et suivants du Code pnal.

ditions Belin, 2003

ISSN (en cours)

ISBN 978-2-7011-3175-7

T ABLE

` RESDES MATIE

Preface . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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Chapitre 1 L ES CHANGEMENTS D E TAT DE LA MATIE` RE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2 Les changements detat brisent une symetrie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3 Observations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3.1 Bifurcations et divergences au point critique liquide-vapeur . . . . . . . .3.2 Les exposants critiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3.3 Lhelium superfluide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4 Mode`les . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4.1 Le mode`le du gaz parfait . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4.2 Le magnetisme, les mode`les, le mode`le dIsing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4.3 Un mode`le minimal de transition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4.4 Le fluide de Van der Waals. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4.5 Laimant de Weiss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4.6 Luniversalite de lapproche champ moyen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4.7 Mode`le dIsing 2D. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5 Luniversalite des comportements critiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5.1 Des mesures extremement precises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5.2 Inadequation des mode`les et universalite des exposants . . . . . . . . . . . .6 Les limites de lapproximation du champ moyen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6.1 La theorie de Landau-Ginzburg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6.2 Les variations spatiales du parame`tre dordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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Chapitre 2 L A GE OME TRIE FRACTALE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1 La notion de dimension fractale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.1 Structures fractales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.2 La dimension fractale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.3 Lauto-similarite (ou invariance dechelle) dune structure fractale .2 Structures fractales naturelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.1 Des proprietes fractales statistiques et limitees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.2 Origine des structures fractales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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Chapitre 3 L UNIVERSALITE COMME CONSE QUENCE DE L INVARIANCE CHELLE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .DE1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.1 Zoom arrie`re et decimation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2 Lois dechelle, invariance dechelle et hypothe`se du scaling . . . . . . . . . . . .2.1 Lois dechelle de Widom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.2 Divergence de j et hypothe`se du scaling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.3 Lois dechelle revisitees par la decimation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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TABLE DES MATIRES

3 Transitions et hamiltoniens mode`les . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3.1 Le nombre de composantes du parame`tre dordre . . . . . . . . . . . . . . . . . .3.2 Les interactions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3.3 Le mode`le dIsing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4 La resolution du proble`me dIsing a` 1D et 2D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4.1 Les matrices de transfert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4.2 Les proprietes du mode`le dIsing 1D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4.3 Les proprietes du mode`le dIsing 2D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5 La renormalisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5.1 Bre`ve histoire dun concept . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5.2 Les etapes dune renormalisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5.3 Le flot de renormalisation dans un espace de mode`les. . . . . . . . . . . . . .5.4 Remarques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6 Les transitions de phase decrites par la renormalisation . . . . . . . . . . . . . . . .6.1 Exemples de renormalisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6.2 Developpement en 5 4 d . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6.3 Dans un espace a` une dimension. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6.4 Et dans un espace a` deux dimensions ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6.5 Le mode`le XY a` 2 dimensions : la transition de Kosterlitz-Thouless .7 Et dans les situations reelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7.1 Basculement dune classe duniversalite a` une autre . . . . . . . . . . . . . . . tablissement de lequilibre et exposants critiques dynamiques . . . .7.2 E7.3 Decomposition spinodale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7.4 Transitions et invariance dechelle dans un syste`me de taille finie . .8 Conclusion : du bon usage dun mode`le . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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Chapitre 4 L A DIFFUSION . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1 Diffusion : ce quon observe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.1 Lagitation thermique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.2 Le mouvement brownien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.3 Auto-similarite des trajectoires. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.4 Fronts de diffusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.5 La diffusion : un mouvement a` part . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2 Lequation de diffusion et ses variantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.1 Loi de Fick et equation de diffusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.2 Invariance dechelle de lequation de diffusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.3 Diffusion dans un milieu poreux. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3 Descriptions stochastiques de la diffusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3.1 Marche aleatoire ideale et diffusion normale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3.2 Modelisation mathematique : le processus de Wiener . . . . . . . . . . . . . . .4 Dune echelle a` lautre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4.1 Comment sont reliees les differentes descriptions . . . . . . . . . . . . . . . . . .4.2 Formule dEinstein et theore`me de fluctuation-dissipation . . . . . . . . .4.3 Irreversibilite de la diffusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5 Diffusion anormale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5.1 Origines possibles des anomalies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5.2 Vols de Levy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5.3 Mouvements browniens fractals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5.4 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5.5 La dimension spectrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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TABLE DES MATIRES

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Chapitre 5 L A TRANSITION DE PERCOLATION . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2 Statistique des amas et transition magnetique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3 La renormalisation des mode`les de percolation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4 La structure de lamas infini au seuil de percolation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5 Proprietes dynamiques au voisinage dune transition de percolation . . . .6 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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Chapitre 6 C ONFORMATION SPATIALE DES POLYME` RES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.1 De remarquables proprietes dechelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.2 La longueur de persistance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2 Conformations dun polyme`re flexible isole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.1 Polyme`res et marches aleatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.2 Marches aleatoires auto-evitantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.3 Le role du solvant : le point Q . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.4 Lois dechelle pour un polyelectolyte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3 Les outils theoriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3.1 La theorie de Flory. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3.2 Bons solvants, mauvais solvants et point Q : la theorie deFlory-Huggins . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3.3 Approches par renormalisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4 Solutions de polyme`res . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4.1 Fondus de polyme`res . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4.2 Solutions semi-diluees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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Chapitre 7 L ES CUPRATES SUPRACONDUCTEURS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1 La supraconductivite et les supraconducteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.1 Mecanismes et proprietes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.2 Les familles de composes supraconducteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.3 Applications : des telecommunications a` lamagneto-encephalographie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2 Le diagramme de phase des cuprates supraconducteurs . . . . . . . . . . . . . . . .2.1 Le dopage des cuprates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.2 La transition thermique dans les cuprates. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3 Les transitions quantiques dans les supraconducteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . .3.1 Transition supraconducteur-isolant liee a` lepaisseur dun film . . . . .3.2 Transitions liees au dopage dans les composes cuprates . . . . . . . . . . . .4 Un domaine ouvert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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Chapitre 8 C ROISSANCE ET RUGOSITE DES INTERFACES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.1 Mode`les discrets, equations continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.2 Les exposants caracteristiques de la croissance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.3 Correlations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.4 Le mode`le de croissance aleatoire. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2 Approche lineaire incluant une relaxation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . tude des symetries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.1 E2.2 Lequation dEdwards-Wilkinson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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TABLE DES MATIRES

3 Lequation de Kardar-Parisi-Zhang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3.1 Construction de lequation KPZ a` partir darguments physiques . . . .3.2 Les exposants KPZ a` partir darguments dechelle . . . . . . . . . . . . . . . . . .4 La renormalisation dynamique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4.1 Les equations du flot de renormalisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4.2 Les regimes KPZ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5 Lepitaxie par jets moleculaires ou MBE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . quation MBE lineaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5.1 E5.2 Lequation MBE non lineaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6 La transition rugueuse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6.1 Mode`le continu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6.2 Renormalisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6.3 La transition rugueuse hors dequilibre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7 Les classes duniversalite de la croissance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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Chapitre 9 S YSTE` MES DYNAMIQUES , CHAOS ET TURBULENCE . . . . . . . . . . . . . . .1 Une vision differente de levolution dun syste`me . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.1 Une geometrie de la dynamique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.2 La notion de bifurcation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.3 Analogie avec les transitions de phase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.4 Formes normales et stabilite structurelle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2 Le chaos deterministe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.1 Quelques exemples remarquables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.2 Description statistique et ergodicite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.3 Les ingredients essentiels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.4 Transition vers le chaos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.5 Portee et limites de la notion de chaos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3 Le chaos pour fonder la mecanique statistique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3.1 Lhypothe`se ergodique de Boltzmann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3.2 Hypothe`se chaotique et mecanique statistique hors dequilibre . . . .3.3 Chaos et phenome`nes de transport. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4 Lintermittence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4.1 Lintermittence apre`s une bifurcation nud-col . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4.2 Lintermittence on-off . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5 La turbulence developpee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5.1 Invariance dechelle des equations de lhydrodynamique . . . . . . . . . . . .5.2 Le seuil de turbulence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5.3 Une image qualitative : la cascade de Richardson. . . . . . . . . . . . . . . . . . .5.4 Des lois dechelle empiriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5.5 La theorie de Kolmogorov (1941) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5.6 Pour aller dans les details : lanalyse multifractale . . . . . . . . . . . . . . . . . .5.7 Un domaine encore ouvert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

262264264267271273275276279280285290291291293294295295297300300301302303304305306

Chapitre 10 P HE NOME` NES CRITIQUES AUTO - ORGANISE S . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1 Un nouveau concept : la criticalite auto-organisee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.1 Le tas de sable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.2 Les feux de foret . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.3 Les ingredients essentiels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.4 En pratique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

312312312315317318

TABLE DES MATIRES

7

2 Exemples. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.1 Fronts de diffusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.2 Trafic routier et embouteillages . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.3 Tremblements de terre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.4 Gonflement des poumons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . cosyste`mes et evolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.5 E2.6 Autres exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3.1 Vers des schemas explicatifs : boucles de retroaction et stabilitemarginale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3.2 Succe`s et reserves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

319319320320322322323324

Chapitre 11 I NVARIANCE D E CHELLE EN BIOLOGIE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2 Universalite dans le metabolisme des syste`mes vivants . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.1 Observation de lois dechelle allometriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.2 Les explications proposees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.3 Fiabilite de la loi dechelle : des objections ! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.4 Autres exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3 Correlations a` longue portee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3.1 Sequences codantes et non codantes dans lADN . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3.2 Le rythme cardiaque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . lectro-encephalogramme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3.3 E4 Conclusion : une approche des syste`mes complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

328328330330331335336336336339341342

Chapitre 12 P UISSANCE ET LIMITES DES APPROCHES D E CHELLE . . . . . . . . . .1 La criticalite et les lois dechelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2 Determination experimentale de lois dechelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3 La renormalisation et le statut des mode`les . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4 Des perspectives ouvertes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

345345346348349

324325

Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351

P RE FACE

Lopalescence dun fluide pre`s de son point critique est un objet de curiosite depuisplus de cent ans. Mais lorganisation du fluide, lorsquil hesite entre liquide etvapeur, nest comprise que depuis 40 ans grace a` une reflexion profonde de LeoKadanoff. Il y a la` un acquis culturel majeur.On connaissait par ailleurs dautres syste`mes self similaires : les fractals (objetsresultant de constructions geometriques assez simples) et aussi les ecoulementsturbulents (que nous matrisons encore mal). Mais lexemple des points critiquesest devenu lexemple-cle : difficile, mais accessible au raisonnement, et suffisamment vaste pour presenter des familles de comportement tre`s variees.Les techniques de calcul (le groupe de renormalisation ) sont detaillees dans denombreux ouvrages, et synthetisees dans un beau texte de Toulouse et Pfeuty. Maisil fallait un livre panorama : le voici. Il part des liquides et des gaz, mais il montreaussi les echelles multiples que lon rencontre dans le mouvement brownien, dansles polyme`res flexibles, ou dans les amas de percolation. Et il ne manque pas daudace, pour aborder des questions encore ouvertes : les cuprates supraconducteurs,la turbulence... Le the`me le plus polemique, qui apparat au dernier chapitre, estcelui de la criticalite self induite . Pour certains, cest un univers nouveau ; pourdautres, un univers verbal. Mais en tout cas, le present livre donne une imageaccessible des cas encore incertains. Et, plus generalement, il invite a` reflechir.Bon programme pour des jeunes curieux de science.Pierre-Gilles de Gennes

I NTRODUCTION

La description physique de notre environnement consiste a` relier quelques grandeurs essentielles par des lois, des grandeurs identifiees a` partir de lobservation,dexperiences et de verifications a posteriori. Une difficulte frequente est de relierles proprietes dun syste`me observe a` une echelle donnee, a` celles des echellesinferieures et superieures. En general, on separe les echelles en moyennant lesgrandeurs sur les echelles inferieures et en traitant comme des constantes lesgrandeurs variant sur des echelles superieures. De telles descriptions ne sont pastoujours utilisables, par exemple dans les situations ou` de multiples grandeursphysiques entrent en jeu. Cest le cas des syste`mes dits critiques pour lesquelsdes echelles spatiales etalees sur plusieurs ordres de grandeur jouent toutes unrole essentiel. Nous decrivons ici de nouvelles approches adaptees a` ces situations,parmi lesquelles les changements detat de la matie`re qui furent les premiers proble`mes abordes. On connat aujourdhui une grande variete de situations critiquesdans la nature. Lobjectif de ce livre est de degager les caracteristiques communesa` ces phenome`nes. La notion centrale de longueur (ou de temps) de coherencepermet de caracteriser les phenome`nes critiques par la taille (ou la duree) desfluctuations. Les premiers exemples traites sont des phenome`nes critiques spatiaux, associes a` la divergence de la longueur de coherence, les transitions dephase du second ordre et la transition de percolation. Nous decrivons ensuite desphenome`nes critiques temporels, voire spatio-temporels, associes a` lapparition duchaos.Difficulte nouvelle, la description de ces phenome`nes sans echelle caracteristiquedoit etre globale, en impliquant simultanement toutes les echelles, en sattachanta` comprendre leur organisation mutuelle. Plus precisement, la facon dont les differentes echelles sont couplees les unes aux autres devient determinante. Desconcepts-cles sont introduits : linvariance dechelle et luniversalite. Lemergence

10

INTRODUCTION

de ces idees a ete un tournant de la physique moderne en renouvelant profondement letude de certains phenome`nes physiques. Lanalyse des caracteristiques a`une echelle donnee ce`de la place a` linvestigation des mecanismes de couplageentre les differentes echelles. Un outil essentiel, la renormalisation, permet cetteanalyse, il etablit des lois dechelle, demontre le caracte`re universel des comportements physiques au sein de classes et leur insensibilite aux details microscopiques. Luniversalite dune propriete en decoule, comme une propriete crucialeen ce quelle legitime lemploi de mode`les rudimentaires. Un mode`le reduit auxcaracteristiques essentielles suffit ainsi a` decrire les caracteristiques communes a`tous les mode`les dune classe duniversalite. Parmi les exemples abordes dans cetouvrage, le cele`bre mode`le dIsing, la percolation, lapplication logistique ...Pour terminer cette introduction, il est juste de rendre hommage a` Pierre Curie,qui eut cette intuition remarquable lors de son travail de the`se, en 1895 : Il y ades analogies entre la fonction f (I ,H ,T ) 5 0 relative a` un corps magnetique et lafonction f (D,p,T ) 5 0 relative a` un fluide. Lintensite daimantation I corresponda` la densite D, lintensite du champ H correspond a` la pression p, la temperale dans les deux cas. [...] La manie`re dont varieture absolue T joue le meme rolintensite daimantation en fonction de la temperature dans le voisinage de latemperature de transformation, le champ restant constant, rappelle la facon dontvarie la densite dun fluide en fonction de la temperature dans le voisinage de latemperature critique (la pression restant constante). Lanalogie a lieu entre lescourbes I 5 w(T ), que nous avons obtenues, et les courbes D 5 w(T ) correspondant aux pressions critiques. La figure 14, construite avec les donnees determineespar M. Amagat sur lacide carbonique, et la figure 15, construite dapre`s mes experiences sur le fer, permettent de saisir cette analogie. 8017060

0,8

500,6I 40

D400

0,4

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300

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Fig. 14

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20017515012510075

0,2

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760

Fig. 15

770

C HAPITRE

1L ES

TATCHANGEMENTS D E` REDE LA MATIE

1. IntroductionCest un fait dexperience et ce fut une superbe enigme durant un sie`cle : lamatie`re pure se transforme de facon spectaculaire a` des temperatures extremement precises. Au XIXe sie`cle, des savants pionniers de Gay-Lussac a` Van derWaals effectue`rent des mesures minutieuses sur letat des fluides, ouvrant la voieaux descriptions microscopiques qui fondent aujourdhui nos sciences de la nature.Letude des proprietes des gaz de faible densite permit lintroduction de la temperature absolue comme mesure de lenergie cinetique des molecules. La grandegeneralite du comportement thermique et mecanique de gaz aux proprietes chimiques pourtant fort diverses etait ainsi elucidee. La thermodynamique et sesinterpretations microscopiques naissaient alors sur la vague de ce succe`s. Cependant, les pionniers de lobservation des fluides sattaque`rent egalement a` la description des transformations liquide-vapeur, et leur decouvrirent une autre bellegeneralite peu evidente a priori : dans un gaz dilue, les molecules sont presqueisolees et lon comprend que les proprietes chimiques importent peu, mais quenest-il dans un liquide ou` les molecules sont en interaction permanente ?` laube du XXe sie`cle, letude des transformations magnetiques elargit le champAdes changements detat etudies. Puis sajoutent dautres situations ou` lon observeune modification brutale de la structure microscopique de la matie`re : les alliagesmetalliques, les melanges binaires de fluides, la superfluidite de lhelium et biendautres... Des questions se posent devant les observations experimentales : pourquoi ces transformations ont-elles lieu a` une temperature aussi precise ? Et quelleest lorigine de leur ressemblance etonnamment independante de la nature desproprietes physiques qui se transforment ? Il a fallu attendre les annees 1970 pour

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INVARIANCES DCHELLE

quune reponse satisfaisante puisse etre proposee a` ces questions. Mais avant tout,pourquoi ces transformations se produisent-elles ?Une lecture nave du deuxie`me principe de la thermodynamique pourrait laisserpenser que tout syste`me physique doit evoluer vers un desordre maximal pourpeu que lobservateur soit patient. Cependant, cette formulation est valide uniquement pour un syste`me isole. Dans la situation plus frequente ou` le syste`meechange de lenergie avec son environnement, le deuxie`me principe peut etre schematise par les deux re`gles simples : a` haute temperature, le syste`me evolue vers un etat dequilibre ou` son desordreest grand, comme sil etait isole ; a` basse temperature, au contraire, il a tendance a` sordonner pour reduire sonenergie interne.Lenjeu de letude des changements detat, discute aux chapitres 1 et 3, est precisement de determiner a` quelle temperature se situe la limite entre les deux regimes,et dans quelles conditions se produit la transition.

Entropie, energie interne et transitionLaugmentation de lentropie prevue par le deuxie`me principe de la thermodynamiquefournit un crite`re devolution des syste`mes isoles vers lequilibre thermodynamique :le syste`me evolue vers un etat a` desordre microscopique plus eleve. Valide uniquementpour les syste`mes isoles, ce crite`re devolution doit etre modifie si le syste`me consi`dere echange de lenergie avec son environnement (la situation la plus frequente). Atemperature constante par exemple, un syste`me ferme evolue vers un etat denergielibre, F 5 U T S, minimale a` lequilibre.` haute temperature, cest le terme entropique T S qui domine : le syste`meAevolue vers un etat dentropie plus elevee. En revanche, a` basse temperature, cestle terme energetique U qui domine, ce qui implique une evolution du syste`me versun etat dequilibre a` energie interne plus basse.` la temperature de transition, les termes entropiques et energetiques sont du memeAordre de grandeur.

En effet, les molecules ou les electrons peuvent diminuer leur energie en sorganisant dans des configurations regulie`res. Ces configurations simposent dansune region de temperature suffisamment basse pour que lagitation thermiquene domine plus. Ainsi apparat-il spontanement dans les aimants (ou materiauxferromagnetiques) une aimantation macroscopique, au-dessous dune temperature dite de Curie, qui est leffet dune orientation identique de laimantationsur tous les sites atomiques. De la meme facon, lorsque lon refroidit un gaz, il seliquefie ou se solidifie. Bien que le desordre re`gne dans letat liquide, il apparat un ordre de densite au sens ou` les molecules se confinent spontanementdans des regions denses. On peut citer bien dautres situations physiques ou` lamatie`re change detat lorsque la temperature sabaisse, dans les materiaux ferroelectriques, les cristaux liquides, les supraconducteurs, les superfluides, etc.Quant a` lorganisation fine de cet ordre a` lequilibre, elle a interroge les physiciens pendant un sie`cle : ils etaient incapables de calculer correctement ce que

1. LES CHANGEMENTS DTAT DE LA MATIRE

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prevoyait la thermodynamique au voisinage dun changement detat. Pour comprendre les raisons de leur entetement a` resoudre ce proble`me, il faut soulignerla finesse avec laquelle les etudes experimentales montraient une universalite descomportements dit critiques au voisinage immediat des changements detat. Onaura une idee de lextreme precision de ces mesures si lon conside`re le resultatde William Thompson (Lord Kelvin) qui etablit au XIXe sie`cle la variation du pointde fusion de la glace en fonction de la pression appliquee, 0,00812 C pour uneatmosphe`re !Letude des phenome`nes critiques amorcee par Cagnard de Latour en 1822 connutun grand essor avec le travail de T. Andrews a` partir de 1867. En 1869, celui-ciobserva une opalescence spectaculaire au voisinage du point critique du dioxydede carbone.Lopalescence critique est une des seules situations ou` le desordre microscopiquefait irruption jusque dans notre champ visuel : lors du chauffage dun tube fermecontenant un fluide a` la densite critique, le menisque separant gaz et liquidesepaissit, devient trouble et diffus puis disparat sur place. Le tube ne contientplus alors quun fluide homoge`ne. Au refroidissement, le menisque reapparat, defacon plus spectaculaire encore, au milieu dun brouillard opalescent1 .Andrews interpreta fort justement cette opalescence comme leffet de fluctuationsgeantes de la densite du fluide, un signe de lhesitation de la matie`re entre lesdeux etats liquide et gazeux. Ces fluctuations geantes sont observees dans toutesles transitions dites de second ordre. Les theories proposees au debut du XXe sie`clepar Einstein, Ornstein et Zernike puis Landau permettent de rendre quantitativelintuition dAndrews : les predictions de ces derniers sappliquent tre`s bien a` certaines situations physiques par exemple les transitions ferroelectrique ou supraconductrice ; cependant, des ecarts notables avec ces descriptions sont observesau voisinage de la transition pour la plupart des autres changements detats. Cestnotamment le cas des transitions liquide-vapeur et des transitions magnetiques.Le plus etonnant, et le plus agacant, est que luniversalite manifestee par desressemblances flagrantes entre les comportements critiques de ces syste`mes physiques fort differents, echappera entie`rement aux descriptions theoriques pendantun sie`cle.Les deux premiers types de changement detat a` avoir ete etudies en detail, correspondent a` des situations physiques a priori tre`s differentes, qui nous guiderontau cours de ce chapitre dintroduction : la transition ferromagnetisme paramagnetisme dans un solide cristallin, la transition liquide vapeur dans un fluide desordonne.La disparition reversible de laimantation du fer au-dessus de 770 C est connuedepuis la Renaissance, mais Pierre Curie etudia le premier les variations thermiques du magnetisme, dans son travail de the`se soutenu en 1895. Son nom estainsi associe a` la temperature critique de la transition ferromagnetisme paramagnetisme, ainsi qua` la loi de variation du paramagnetisme en fonction de latemperature. De nombreux physiciens se sont illustres au cours de la premie`re1

Le lecteur interesse pourra trouver quelques images sur les sites internet :http://www.palais-decouverte.fr/discip/physique/phyptcri.htmhttp://www.physics.brown.edu/Studies/Demo/thermo/demo/4c5010.htm

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INVARIANCES DCHELLE

moitie du XXe sie`cle en proposant des descriptions de cette transition2 . Il sagissait, au depart, de decrire la facon dont laimantation varie en fonction de la temperature et du champ magnetique applique, puis ces travaux ont donne naissancea` la theorie plus generale des transitions de phase. Une premie`re description dela transition liquide vapeur fut proposee en 1873 par Van der Waals, egalement dans son travail de the`se. Cette description, qui fait lobjet du 4.4, rendcompte du changement detat liquide-vapeur de facon globalement satisfaisante,mais ne le decrit pas correctement dans la region critique. Il en est de meme pourla description proposee en 1907 par Pierre Weiss pour lapparition daimantationdans un materiau magnetique, description qui utilise le meme type dapproximation nommee champ moyen. Elle conduit au meme comportement et presente lememe desaccord avec les mesures dans la region critique.Dans cette region critique ou` la temperature est proche de la transition, lesmecanismes qui regissent letat du syste`me sont complexes. Le fait que la matie`resoit desordonnee a` haute temperature et ordonnee a` basse temperature nimplique pas que la transformation doive seffectuer a` une temperature precise :elle pourrait aussi bien setaler sur une large gamme de temperature commecest le cas pour des melanges complexes ou des syste`mes de tre`s petite taille.La description de Van der Waals et celle de Weiss prevoient bien une transition a`une temperature precise, mais quen serait-il dans le cas dune resolution exactepouvait-on se demander jusquen 1944 ? Cette annee-la`, le physicien Lars Onsagerresolut sans approximation un mode`le de transition ferromagnetique dont lesresultats montrent une transition bien precise pour un syste`me de tre`s grandetaille. Pour autant lenigme etait loin detre resolue, ces resultats exacts etant endesaccord a` la fois avec lexperience et avec les previsions du type champ moyen :le myste`re sepaississait. Malgre dinnombrables tentatives, il faut attendre quunsie`cle se soit ecoule apre`s les travaux de Van der Waals pour quune theorie soiten mesure dameliorer notablement ces descriptions et rende enfin compte deluniversalite que confirmaient toutes les experiences. La puissance de cettenouvelle approche dechelle permit ensuite de lappliquer a` des champs tre`sdivers.

2. Les changements dtat brisent une symtrieAvant dintroduire les descriptions de Van der Waals et de Weiss, precisons cetteidee dun ordre modifie lors de la transition. Lordre qui nous interesse dans lestransitions de phase abaisse lenergie interne, mais comme nous lavons vu pour latransformation liquide-vapeur, il ne conduit pas necessairement a` une organisationregulie`re, cristalline, de la matie`re. Il faut lui trouver une definition plus generale.Le physicien russe Lev Landau a propose en 1937 un concept qui permet dunifierle traitement des transitions de phase. On definit pour chaque transition un parame`tre dordre, une quantite physique nulle aux temperatures superieures a` la temperature critique Tc , puis qui augmente progressivement lorsque lon abaisse latemperature au-dessous de Tc jusqua` prendre une valeur maximale a` temperature2

Leon Brillouin, Paul Ehrenfest, Ernest Ising, Lev Landau, Paul Langevin, Louis Neel, KammerlingOnnes, Lars Onsager, Pierre Weiss pour nen citer que quelques uns (par ordre alphabetique).

1. LES CHANGEMENTS DTAT DE LA MATIRE

15

nulle. Lordre peut etre mesure par un scalaire par exemple la variation de densitedun fluide ou par un vecteur comme laimantation. Il setablit en general sousplusieurs formes ou dans differentes orientations. Pour nos deux cas exemplaires : il existe plusieurs directions possibles pour laimantation, le fluide peut choisir letat gazeux ou liquide.

Paramtre d'ordre

Le syste`me sordonne suivant lune de ces1,5orientations ou dans lun de ces etats :1la transition correspond dans le diagramme0,5(parame`tre dordre, temperature) aux deuxchemins quun syste`me peut emprunter lors0de labaissement de la temperature auTc0,5dessous de Tc (FIG. 1.1), et a` la relativemodification de symetrie. Isotrope et homo1ge`ne au-dessus de la temperature critique,1,5la matie`re bifurque, a` basse temperature,Tempraturedans une region macroscopique donnee, versune orientation magnetique, ou une densite Figure 1.1. La caractristique gnrale despreferentielle. En labsence dexcitation exte- transitions de phase du second ordre est de fairerieure ici le champ magnetique applique apparatre un nouveau type dordre au-dessousdune temprature critique Tc . On mesure ltaou la pesanteur rien ne permet de pre- blissement de cet ordre par un paramtre dordrevoir a` partir des equations ou des conditions qui peut en gnral prendre plusieurs valeurs.aux limites qui determinent le syste`me, la Dans le schma ci-dessus, qui correspond parbranche choisie en un point donne de les- exemple laimantation dun solide mesure suivant un axe cristallin, il peut prendre deux valeurspace et a` un instant donne. Il sagit dune bri- opposes.sure spontanee de symetrie, qui viole le principe etabli par Curie, selon lequel les comportements physiques qui resultent de certaines equations obeissent a` la symetrie deces equations et de leurs conditions aux limites. Selon la proposition de Landau,le niveau dordre dun etat est mesure par cet ecart a` la symetrie de depart.Dans le cas des transitions ferromagnetisme paramagnetisme et liquide vapeur, ce parame`tre dordre est respectivement : laimantation (comme ecart a` letat haute temperature daimantation nulle), la difference de densite entre le liquide et le gaz (comme ecart a` letat indifferencie du fluide hypercritique).Cette caracterisation dune transition de phase par la modification de la symetriedun syste`me sous leffet de la temperature est tre`s generale.Suivant la terminologie introduite par Ehrenfest, les transitions de phase peuvent` la temperature dune transition du premieretre du premier ou du second ordre. Aordre, il apparat au sein du syste`me des regions macroscopiques de proprietescomple`tement differentes, glace et liquide par exemple sil sagit de la fusion deleau. Dune region a` lautre la configuration microscopique change de facon dis` lechelle macroscopique, cela se traduit par une discontinuite de cercontinue. Ataines derivees premie`res des potentiels thermodynamiques, et notamment, parlexistence dune chaleur latente de transition.

INVARIANCES DCHELLE

Lors des transitions de phase du secondordre, les derivees premie`res des potentiels thermodynamiques sont au contrairecontinues, tandis que certaines deriveessecondes divergent. Aucun changement discontinu nest observe a` lechelle microscopique, mais seulement une divergence de lataille caracteristique des fluctuations.` mesure que lon sapproche de la tempeArature critique, se multiplient des regionsdordre tre`s etendues enchevetrees dans desregions de desordre egalement tre`s etendues. Cette difference est bien illustree surle diagramme (densite, temperature) dunfluide (FIG. 1.2). On abaisse la temperature dun fluide hypercritique dont on fixe levolume, cest-a`-dire la densite moyenne. Sila densite du fluide est differente de la densite critique, la transition liquide vapeurest du premier ordre (fle`che en pointilles).En revanche, si la densite du fluide est egalea` la densite critique, la transition est dusecond ordre. Seules nous interesseront lestransitions du second ordre.

43

LiquideL

Densit

16

2C

1

G

0Gaz1

TempratureFigure 1.2. La transition liquide vapeur estdu premier ordre (flche en pointills) si la densitdu fluide est diffrente de la densit critique, soiten tout autre point que C. Dans ce cas, lorsquelon abaisse la temprature jusqu la courbe decoexistence (point L) il apparat des bulles de gaz(point G) de densit trs diffrente de celle dufluide de dpart. Si la densit du fluide est la densit critique, la transition est du second ordre : aupoint critique C, il se forme des rgions microscopiques de type liquide et de type gaz dont les densits sont gales en ce point, puis se diffrencientde faon continue avec la temprature.

3. Observations3.1. Bifurcations et divergences au point critique liquide-vapeurDans notre environnement, la matie`re est le plus souvent constituee de melangeset de structures complexes ; cependant, les cycles naturels conduisent parfois a`la purification de certains corps. Levaporation, la condensation, la filtration parles sols, purifient ainsi leau dont depend notre vie. Leau est le premier corpspur dont nous observons quotidiennement les transformations. Ses changementsdetat sont particuliers : la glace, a` linverse de limmense majorite des solides,se contracte de 7 % lorsquelle fond. Cela a des consequences spectaculaires, lesicebergs qui flottent, les roches qui eclatent lors du gel... Sans cette particularite,la Terre naurait pas le meme aspect : la banquise ne flotterait pas et ne joueraitpas son role disolant thermique efficace, lequilibre thermique de la plane`te seraitprofondement different et la vie ny serait pas apparue, du moins telle que nousla connaissons. Cette anomalie de leau vient des interactions electriques puissantes nommees liaisons hydroge`ne entre les molecules. La glace ordinaire choisitune structure de type diamant, peu dense, qui lui permet dutiliser au mieux cesinteractions pour abaisser son energie, cest-a`-dire augmenter sa cohesion. Dansleau liquide, les liaisons hydroge`ne jouent egalement un role important, mais ledesordre leur permet datteindre une plus grande compacite.

1. LES CHANGEMENTS DTAT DE LA MATIRE

17

50

40

p (bar)

30

C

20

10

10

B

A

1

100

2

1000

3

(kg . m

)

Figure 1.3. Isothermes de leau dans le diagramme pression 5 f(densit) (daprs Binney et al. 1992).

Lv (KJ g1)

La FIG. 1.3 represente, sur un reseau disothermes, la pression en fonction de ladensite pour leau. Le point C est le point critique (pc 5 22 bar, rc 5 0,323 kg/m3 ,Tc 5 647 K 5 374 C). Lorsque lon change la temperature dun recipientferme contenant de leau, la transformation liquide-vapeur seffectue a` une densite moyenne fixe, avec une chaleur latente donnee. Si la densite moyenne de leaudans le recipient est differente de rc la chaleur latente est non nulle, tandis quele liquide et la vapeur conservent chacun la meme densite durant toute la transformation : seule change la proportion des deux phases. La transformation est dupremier ordre comme nous en avons lhabitude a` 100 C, temperature debullition a` la pression atmospherique. Au contraire, si la densite moyenne a la valeurcritique, les densites des deux phases sont strictement egales au point critique.Lorsque la temperature de transition augmente, la chaleur latente de la transformation liquide-vapeur diminue progressivement pour sannuler continu ment a`Tc (FIG. 1.4).La chaleur latente de leau se comporte2,5qualitativement comme laimantation du2fer en fonction de la temperature : ellecaracterise de la meme facon la brisure de1,5symetrie qui apparat a` Tc lorsque la tem1perature baisse. En pratique, on choisitlecart de densite Dr (FIG. 1.3) entre les0,5phases vapeur (point A) et liquide (point0B) comme parame`tre dordre de la trans700600400500T (K)formation. En dessous de la courbe decoexistence en pointilles, definie par cespoints, les etats homoge`nes correspon- Figure 1.4. Chaleur latente de la transformationdants sont inaccessibles pour de leau en liquide-vapeur de leau en fonction de la tempraturede transition (daprs Binney et al. 1992).equilibre thermodynamique.

18

INVARIANCES DCHELLE

` la temperature critique, lisotherme presente un palier horizontal a` la densiteAcritique : la compressibilite kc diverge (voir lexemple du xenon sur la FIG. 1.5) :

1 r kc ( T ) 5(1.1)r c p Tc4

5

10

Figure 1.5. Compressibilit duxnon, la densit critique, enfonction de la temprature. Lacompressibilit diverge au pointcritique. La variation obit une loide puissance dont lexposant est 1,21, les prfacteurs tant diffrents de chaque ct du pointcritique (daprs I.W. Smith et al.1971).

Compressibilit rduite,

T

( g2 /erg cm3 )

10

T+

6

10

T

7

10

4

10

3

2

10

Temprature rduite, t

10

=

2

5 x 10

T TcTc

3.2. Les exposants critiquesLorsque la temperature est proche de la temperature critique, on observe que laplupart des quantites physiques impliquees presentent un comportement en loi` la quantite x est nommee exposant critique (FIG . 1.5).de puissance (T Tc )x ouNous verrons plus loin quun tel comportement est la signature de mecanismesT Tcphysiques precis. On utilisera un ecart de temperature reduit t 5pourTcdecrire de facon generale les comportements critiques (TAB . 1.1). Lexposantassocie au parame`tre dordre, est conventionnellement nomme b. Sa valeurexperimentale est environ 0,32 pour la transition liquide-vapeur et 0,36 pourla transition ferromagnetique-paramagnetique. La divergence de la compressibilite kc et de la susceptibilite magnetique x est caracterisee par lexposantcritique g. Sa valeur est voisine de 1,24 pour la transition liquide-vapeur deleau (voir figure 1.5 ou` g 5 1,21 pour le xenon), et de 1,33 pour la transitionferromagnetique-paramagnetique du nickel. Lexposant a caracterise conventionnellement la divergence de la chaleur specifique, lexposant d la variation duparame`tre dordre en fonction de la pesanteur ou du champ magnetique h a`T 5 Tc , lexposant h la dependance spatiale des correlations (voir plus bas) etlexposant n la longueur de coherence j. Nous introduisons ces deux dernie`resquantites physiques au 6, dans le contexte de lapproximation du champ moyen.

1. LES CHANGEMENTS DTAT DE LA MATIRE

19

Les valeurs de ces exposants sont etonnamment robustes par rapport aux changements de syste`me physique. Non seulement elles sont les memes pour la transformation liquide-vapeur de tous les fluides (FIG. 1.19) mais on les retrouve dans dessituations apparemment fort differentes : nous presentons au paragraphe suivantdeux exemples de transitions dans les melanges binaires de liquides et les alliages,ou` les memes valeurs dexposants sont observees.Exposant

Proprit physique

Expression

a

Chaleur spcifique

C t a

b

Paramtre dordre f(T)

m tb

g

SusceptibilitCompressibilit

x t g

d

Paramtre dordre Tc , f(h) ou f( p)

m(Tc ,h) h1/d

h

Fonction de corrlation

G(Tc ,r) r (d 2 1 h)

n

Longueur de cohrence

j t n

Tableau 1.1. Dfinition des exposants critiques.

La fonction de correlation G(r) dune quantite f (x) est une grandeur statistiqueparticulie`rement utile dans lanalyse de la structure spatiale dun syste`me.Elle est definie comme la moyenne spatiale sur tous les couples de points(r0 ,r0 1 r) du produit des ecarts a` la moyenne de la fonction f (x) en r et en 0 :

G(r) 5 f (r) f (r) f (0) f (0) 5 f (r)f (0) f (r) f (0)(1.2)La fonction de correlation peutetree a` 1 : G(r 5 0) 5 1, en divisant

normalise2lexpression precedente par f (0)2 f (0) . Si le syste`me considere est isotrope,la fonction G(r) ne depend que du module r et non pas de la direction r. Normalement la fonction G(r) montre une dependance exponentielle en r :

G(r) er/jou` j definit la longueur caracteristique ou de correlation du syste`me. Nous utiliserons plus generalement le terme longueur de coherence j pour caracteriserlechelle des variations spatiales du parame`tre dordre dans un syste`me physiquedonne. La longueur de correlation est une evaluation formelle parmi dautres dela longueur de coherence. La dependance en loi de puissance, de la fonctionG(r), G(r) r (d 2 1 h) , est la signature typique dun comportement critiqueet refle`te la divergence de la longueur de correlation j.La bifurcation qui accompagne le point critique est egalement observee pourdautres proprietes, par exemple les proprietes dynamiques.La figure 1.6 illustre la bifurcation telle que lon peut lobserver dans lethane dontle point critique est facilement accessible (Tc 5 32,32 C, rc 5 0,207 kg/m3 )pour deux proprietes dynamiques, le coefficient dautodiffusion des molecules, etle temps de relaxation de resonance magnetique nucleaire.

3.2.1. Melanges binaires et alliagesLe meme type dobservation peut etre effectue au point critique de melangesbinaires de liquides ou pour des alliages metalliques : bifurcations et divergences

INVARIANCES DCHELLE

permettent de mesurer les exposants critiques correspondants. Lorsque leur composition est egale a` la composition critique, on observe une separation de phaseau-dessous de la temperature critique.341814

Fluidehypercritique

26Fluidehypercritique

106

Liquide

30

VapeurT1(s )

D11(cm2/s x 104)

22Tc = 32,32 C

18Liquide

Tc

14

2

Vapeur

1010

20304050Temprature (C)

0

60

10

20

30

40

50

60

Temprature (C)

Turbitid (cm 1)

Figure 1.6. Transformation liquide-vapeur de lthane. Variation du coefficient dautodiffusion (a) et du temps derelaxation T1 de rsonance magntique nuclaire (b), au voisinage de la temprature critique (daprs Critical Phenomena 1965).

11

10

2

10

Figure 1.7. Lopalescence critique mesure par la divergencede la turbidit du liquide linverse de la profondeur dabsorption de la lumire au voisinage du point critique de dmixtiondans un mlange cyclohexane-aniline la concentration critique(daprs Calmettes et al. 1972).

2

1

101T Tc (C)

3,20C6H5NO2C6H14x 10 (cal / cm sec C)

La FIG. 1.7 presente les variations de laturbidite du melange cyclohexane-anilineau point critique. Des mesures particulie`rement precises ont ete effectuees sur cesyste`me, qui ont permis de caracteriseren detail son comportement critique. Dansle cas des melanges binaires, il est egalement possible dobserver bifurcation etdivergences sur des proprietes de transport(FIG. 1.8 et FIG. 1.9).

10

3,10

4

20

3,00Figure 1.8. Bifurcation de la conductivit thermique dunmlange binaire observe lors de sa dmixtion (daprs Critical Phenomena 1965).

19,520,0Temprature (C)

20,5

Vitesse du son (m/s)

1300

mlangeAnilineHexane

1200

1100

1000

Tc = 68,3

56 58 60 62 64 66 68 70 72 74Temprature (C)

Absorption par longueur d'onde

1. LES CHANGEMENTS DTAT DE LA MATIRE

0,3

21

mlangeTrithylamineEau

0,2

0,1

Tc = 17,9

010 12 14 16 18 20 22 24 26 28Temprature (C)

Figure 1.9. Bifurcation de la vitesse du son (mlange Aniline/Hexane) et divergence de labsorption sonore (mlangetrithylamine/eau) (daprs Critical Phenomena 1965).

3.2.2. Lordre magnetique et lordre supraconducteur dans un solideLes changements detat illustres aux paragraphes precedents sont induits par desmodifications de la position des atomes ou des molecules dans lespace. Les configurations des electrons dans un solide peuvent aussi evoluer a` basse temperaturealors que la position des noyaux atomiques reste pratiquement inchangee. Il sagitegalement de changements detat de la matie`re au cours desquels ses proprietes electriques, optiques, etc. se modifient profondement. Il existe divers typesdordre electronique dans un solide. Nous en illustrons ici deux principaux : lordremagnetique et lordre supraconducteur. La transition supraconductrice est introduite brie`vement au chapitre 7. Retenons pour linstant quil sagit de la condensation delectrons associes par paires dans un etat lie denergie plus faible quesils restaient celibataires. Dans presque tous les materiaux connus, la supraconductivite et lordre magnetique sexcluent lun lautre (FIG. 1.10 et FIG. 1.11). Onconnat cependant des materiaux contenant plusieurs types delectrons, ou` unefamille conduit a` la supraconductivite tandis quune autre est responsable de proprietes magnetiques. Les quelques cas ou` lon soupconne que les memes electronspourraient presenter les deux proprietes simultanement sont fort controverses.Une quinzaine delements sont ferromagnetiques a` letat solide, tandis que lasupraconductivite est observee dans une cinquantaine delements, soit plus dela moitie des elements stables. Les temperatures de Curie relatives a` la transitionferromagnetique depassent 1 000 K (1 390 K pour le cobalt), tandis que les temperatures critiques de la supraconductivite natteignent pas 10 K (9,25 K pour le niobium). Pour les elements les energies caracteristiques du magnetisme sont ainsiplus de cent fois superieures a` celles de la supraconductivite, bien que cette dernie`re soit trois fois plus frequemment choisie a` basse temperature par les corte`geselectroniques. Cette difference est due a` la sensibilite particulie`re du magnetismea` la regularite parfaite du reseau cristallin. Il est frappant que certains alliages

11

7s2

6d7s2

Ac

89

La5d6s26,0

57

Y394ds62(2,5)

3d4s

Sc

11

6d 7s1,38

Pa912

2

4f 6sU923

Nq604f 46s219

5d 6s4,47

Ta 733 2

Nb414d45s29,25

3d 4s25,4

23V3

25f 6d7s2 5f 6d7s0,251,4

3

Th902 2

Pr59

5d 6s0,13

Hf 722 2

Ce584f 26s21,7 12

4f 6s20,1

Lu7114

Zr404d25s20,81

3d 4s20,4

Ti222

2

Np

93

4f 6s

5

Pm61

5d 6s0,018

74W4 2

Mo424d85s0,92

3d 4s312

24Cr5

Pu

94

Sm624f 66s2106

5d 6s1,70

75Re5 2

Tc434d55s7,8

3d 4s96

25Mn8 2

Am

95

Eu634f 76s289

5d 6s0,66

76Os6 2

Ru444d75s0,49

3d 4s1040

26Fe6 2

45

5d96s

Pt

78

4d

10

Pd46

3d 4s628

28Ni5 2

Cm

96

Bk

97

Gd64Tb6572924f 5d6s 4f 5d6s293229

5d0,11

77Ir9

4d 5s

8

Rh

3d 4s1390

27Co7 2

Cu

29

Zn3010

B

5

C62

2

Es

99

98

Cf

Ho674f 116s2132

5d 6s4,15

Hg 8010 2

Cd484d105s20,52

49

Fm

100

Ho684f 126s295

6s 6p2,38

Tl812

In5s25p3,4

Md

101

Tm694f 136s256

6s 6p7,19

Pb822 2

Sn505s25p23,72

32Ga2 2

4s 4p3d 4s2 4s 4p0,851,08(7,5) (6,3)

Dy664f 106s2178

5d106s

Au

79

4d 5s

10

Ag47

3d 4s

10

31Ga2

3s 3p2(7,1)

Si142

al1323s 3p1,18

2s 2p

2s 2p

2

N73

4f 6s2

7014

Yb

6s 6p(8,5)

Bl832 3

Sb515s25p3(3,5)

4s 4p(0,5)

33As2 3

3s 3p2(5,8)

P152

2s 2p

2

O82s22p424

9

F

2

5

6s26p4

Po

84

Te525s25p4(4,3)

4s 4p(6,9)

Se342 4

3s23p4

S

16

2

6s26p5

At

85

5s 5p

2

I535

5

4s 4p

Br

35

3s23p5

Cl

17

2s 2p

6s26p6

Rn86

5s25p6

Xe54

4s24p6

Kr36

3s23p6

Ar18

2s22p2

Ne10

Figure 1.10. Les proprits lectroniques des lments basse temprature. En gris fonc, les matriaux magntiques dont la temprature de Curie est indique en bas de lacase. La temprature de transition des lments supraconducteurs basse temprature est indique dans les cases gris clair. Lorsque la temprature est entre parenthse, lasupraconductivit a t observe sous pression. Des lments comme le cuivre, lor ou largent ne prsentent aucune de ces proprits basse temprature (daprs Conciseencyclopedia of magnetic & superconducting materials, Ed. Jan Evetts, Pergamon press, Oxford 1992).

7s

Ra

88

87

Fr

6s(5,4)

Ba562

5s

Cs6s(1,5)

55

5s

Sr38

Rb37

2

4s2

Ca

20

3s2

Mg

12

4s

K

19

3s

Na

2s

4

Be2s20,026

Is2

1s

Li3

He2

H1

Magntisme

Supraconductivit

22INVARIANCES DCHELLE

23

1. LES CHANGEMENTS DTAT DE LA MATIRE

metalliques comme tungste`ne-molybde`ne, ne deviennent supraconducteurs quelorsquils sont desordonnes a` lechelle atomique (FIG. 1.12) : le magnetisme nestplus un gain energetique important dans un materiau desordonne, au contraire dela supraconductivite. Ces deux familles de transitions sont sensibles aux conditionsphysiques comme la pression.1500

Priode 4

Co

1000

8Se

Fe

Ge

V

4

Ni

CoCr

00,0

Zn Ga

Mn

Ti

0,2

0,4

0,6

As

01,0

0,8

Nb

Priode 5

8

TCurie (K)

Tc

TeSr

In Sn Sb

Pd

4

Y

Figure 1.11. Temprature de Curie(chelle de gauche) et temprature critique de supraconductivit(chelle de droite) des principauxlments ferromagntiques (carrs)ou supraconducteurs (cercles) pourles sries 4, 5 et 6 du tableau deMendeleiev. La couleur des cerclescorrespond aux conditions dobservation de la supraconductivit :cercles gris pour des matriauxmassifs, cercles blancs pour desmesures sous pression, cercles grisfonc pour des films ultraminces.

Mo

Zr

0,00,2300Priode 6

Ru

Cd

Rh

0,4

0,6

01,0

0,8

GdBiTb

200Ba

DyLa

HoSmEu

100Cs

00,0

8

Pb

CeCe Nd

0,2

Ta

ErTm

HgTl

L Hf

ReOsW

Ir

0,40,80,6Remplissage de la couche

Figure 1.12. Supraconductivit dalliages mtalliques en fonction du nombre dlectrons sur la couche priphrique : en tiretles alliages cristalliss, en continu les alliages dsordonns sousforme de verres mtalliques (daprs Concise encyclopedia ofmagnetic & superconducting materials, Ed. Jan Evetts, Pergamonpress, Oxford 1992).

4

01,0

Tc de supraconductivit (K)

Fe

Ca

500

24

INVARIANCES DCHELLE

3.3. Lhlium superfluide

p (atm)

Parmi tous les elements, lhelium presente` pression atmospheSdes proprietes uniques. Arique, il ne se solidifie pas quelle que soitBla temperature, et ce nest quau-dessus deL25,025 atmosphe`res quil se solidifie a` tempeHeIIHeIrature nulle (FIG. 1.13). Cette particulariteLest due au fait que les atomes dheliumV1,0presentent de faibles interactions mutuelles tant en outre lecomme tous les gaz rares. E2,74,2T (K)plus leger dentre eux, les mouvements depoint zero des atomes prevus par la mecanique quantique sont suffisamment impor- Figure 1.13. Le diagramme de phase de lhtants pour que letat solide soit instable a` lium 4 (daprs Morandi et al. 2001).temperature nulle.La caracteristique essentielle de lisotope helium 4 est cependant quil posse`dedeux phases liquides, une phase liquide normale et une phase superfluide dont laviscosite est nulle. Lautre isotope stable 3 He de lhelium presente lui aussi unephase superfluide, mais au-dessous dune temperature de 2,7 millikelvins, millefois plus basse que celle de la transition superfluide de 4 He. Ces deux transitionscorrespondent a` des mecanismes physiques differents, qui sont cependant apparentes tous deux a` la supraconductivite (voir le chapitre 7).Pourquoi sinteresser autant a` une physique certes riche, mais qui ne concernequun seul element ? Une premie`re raison est que lon dispose dun corpus considerable de resultats experimentaux dune extreme precision sur la transition superfluide, accumules depuis les annees 1930 grace a` la possibilite de purifier parfaitement le gaz et aux moyens cryogeniques puissants utilises. Lhelium lui-meme estla base de tous les cryostats. Une autre raison reside dans la nature quantique de latransition superfluide : le parame`tre dordre est une fonction donde complexe. Latransition superfluide et la supraconductivite sont les meilleures illustrations dela situation physique mode`le XY ou` le parame`tre dordre est une quantite a` deuxcomposantes reelles. Traditionnellement, les situations ou` le nombre n de composantes du parame`tre dordre est 1 ou 3 sont respectivement nommees mode`ledIsing (n 5 1, voir 4.2 de ce chapitre) et mode`le de Heisenberg (n 5 3).

4. Modles4.1. Le modle du gaz parfaitLes transitions de phase sont dues aux interactions microscopiques, entre spinspour le magnetisme ou entre molecules pour la transition liquide vapeur. Il estfort difficile de prendre en compte de facon rigoureuse ces interactions, notamment parce quelles ne sont pas additives (leur effet ne double pas lorsque la tailledu syste`me est multipliee par deux). Il nest pas inutile de rappeler brie`vementles proprietes du mode`le du gaz parfait ou` lon neglige totalement les interactionsentre molecules. Depuis lantiquite, les gaz de Geist (esprit) nom propose aueXVII sie`cle par Van Helmont ont represente un etat ideal de la matie`re. Les

1. LES CHANGEMENTS DTAT DE LA MATIRE

25

physiciens du XIXe sie`cle ont tire de letude de letat gazeux un mode`le de gazparfait, simple et efficace. Ce mode`le suppose pourtant que les molecules presentent simultanement deux proprietes contradictoires : elles sont supposees interagir peu, au sens ou` leur energie dinteraction doitetre negligeable par rapport a` leur energie cinetique, elles sont supposees interagir souvent, le gaz parfait devant etre a` lequilibre a`chaque instant.Moyennant cette pirouette conceptuelle, le mode`le du gaz parfait represente labase de toute description thermodynamique. Son equation detat secrit pv 5 kTou` v est le volume moyen occupe par chaque molecule, p la pression et T la temperature absolue et k la constante de Boltzmann. En se fondant sur cette loi empirique, Gay-Lussac proposa en 1802 lexistence dun zero absolu de temperature,zero absolu dont Lord Kelvin fixa la valeur extremement precise de 273,15 C undemi-sie`cle plus tard. Pour la plupart des proprietes des gaz reels et des solutionsdiluees, cette description simplifiee est suffisamment precise. Si lon conside`remaintenant les proprietes paramagnetiques dun aimant, suivant la loi de Curiequi neglige toute interaction entre les spins, laimantation moyenne M est relieeau champ magnetique applique H et a` la temperature T par la relation :CM5 H(1.3)TCette relation peut etre rapprochee de lequation detat des gaz parfaits si lonexprime dans cette dernie`re le volume moyen occupe par une molecule, en fonction de la densite moleculaire n 5 1/v :1pn5(1.4)kTDans les deux cas, la variable intensive respectivement M et n poprotionnelleau champ exterieur applique la pression p pour le gaz et le champ magnetiqueH pour laimant est inversement proportionnelle a` la temperature. Comme nousle montrons ci-dessous, cette proportionnalite est la consequence du fait que lesmode`les negligent toute interaction entre les molecules du gaz ou entre les spinsde laimant. La forme de ces lois exprime les proprietes thermiques moyennescalculees pour une seule particule, que lon multiplie ensuite par le nombre departicules. Par exemple, dans le cas dun syste`me de N spins mj 5 m, laimantation moyenne m par spin est obtenue a` partir de la definition de la moyenne dunevariable thermodynamique :

Mi eEi /kT1 i

m55(1.5)NNeEi /kTi

ou` Ei lenergie totale du syste`me dans la configuration i de lensemble {mj }des moments du syste`me. En faisant apparatre explicitement ces moments, onobtient : P mj H /kTmj e j1 {m j } jm5(1.6) P mj H /kTnej{m j }

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INVARIANCES DCHELLE

Le calcul est tre`s simple dans ce cas puisque lon neglige toute interaction entreles spins. En effet, m est alors simplement la valeur moyenne de laimantation dunspin isole :m emH /kT memH /kT5 m tanh(mH /kT )(1.7)emH /kT 1 emH /kTSi lenergie dexcitation mH reste petite devant lagitation thermique kT , ce quicorrespond a` la situation la plus frequente, au premier ordre en mH /kT la reponseM de N spins est proportionnelle a` la cause :

m5

mH(1.8)kTCette reponse pour de faibles energies dexcitation Eex 5 mH se presente sous laforme generale suivante

M 5 Nm

Eex(1.9)kTPour les gaz parfaits, ou` le volume occupe par une molecule est vm , on retrouveainsi la loi n 5 p/kT :1 pvmn5(1.10)vm kTUn autre exemple dapplication de la loi (eq. 1.9) concerne la pression osmotiquequi gonfle les cellules biologiques proportionnellement a` la concentration de selquelles contiennent : la relation entre la concentration et la pression est tre`sexactement la meme que celle du gaz parfait tant que la concentration nest pastrop elevee. Autre exemple, lelasticite entropique L dune longue chane de polyme`re a` laquelle on applique une force de traction F . Si lon suppose que les Nchanons de longueur a les monome`res sont sans interaction, on peut evaluersimplement la relation entre L et F :FaL 5 Na(1.11)kTCF dorigine entropique, ouCela conduit a` une elasticite L 5` la raideur estTproportionnelle a` la temperature. Consequence etonnante : soumis a` une forceconstante, un materiau polyme`re par exemple un morceau de caoutchouc secontracte lorsquon le chauffe, ce qui peut etre verifie experimentalement. Maiscontrairement au cas des gaz, le mode`le ci-dessus est insuffisant pour decrirequantitativement lelasticite des polyme`res dont les interactions entre chanonsne peuvent etre negligees. Nous discutons plus loin cette question dite du volumeexclu des polyme`res au chapitre 6.Reponse 5 Reponse maximale

4.2. Le magntisme, les modles, le modle dIsingPour aller plus loin, cest-a`-dire tenter de prendre en compte les interactions entreparticules ou entre spins, il faut construire des mode`les, les resoudre et discuterleur pertinence comme outil de representation de la realite. Cest traditionnellement dans le magnetisme que les physiciens ont puise leurs premie`res descriptionset cest du magnetisme que sont issus la plupart des mode`les utilises.

1. LES CHANGEMENTS DTAT DE LA MATIRE

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Le ferromagnetisme, propriete de presenter une aimantation en labsence dexcitation exterieure, presente toutes sortes dapplications : cest notamment gracea` lui que nous archivons aujourdhui une immense quantite dinformations surnos disques durs . Mais la raison de la place particulie`re du magnetisme dansla modelisation des changements detat est liee a` une situation microscopiquesimple, bien plus simple par exemple que celle des fluides : les spins des atomesy sont consideres comme fixes et regulie`rement disposes. Le mode`le de laimantparfait que nous venons de presenter ne prevoit aucune aimantation spontanee :chaque spin etant independant de son voisin, rien ne le pousse a` sorienter dansune direction plutot quune autre en labsence dun champ magnetique applique.Pour se rapprocher de la realite, il est necessaire de modeliser les interactions.Le mode`le dIsing, propose par W. Lenz en 1920 et resolu a` une dimension parErnest Ising en 1925, est le plus simple que lon puisse imaginer. Malgre cela, ilpermet de decrire rigoureusement laimantation dun solide et ses transitions dansla region critique, ainsi quun grand nombre de changements detat sans rapportapparent avec le magnetisme.Laimant de la FIG. 1.14est a` basse temperature :lensemble des spinsNest globalement orientemais lagitation therSmique oriente quelquesspins en sens oppose dela majorite. Ising decritle cas le plus simple dunreseau regulier de spins Figure 1.14. Laimantation dun matriau est la somme des aimantations1/2, ou` la projection de dues aux spins des lectrons situs sur chacun de ses atomes. La phylaimantation dun spin sique quantique stipule que la mesure physique quantique de laimantationdun spin-spin suivant une direction donne, ne peut prendre que quelquessur une direction don- valeurs trs prcises. Dans le cas le plus simple, celui de spins 1/2, ce sontnee de lespace ne peut uniquement deux valeurs opposes que lon peut observer. Ising a proposprendre que deux valeurs un modle simple o chaque spin est plac sur un rseau rgulier et peutopposees. On choisit des prendre les valeurs 1 1 (noir) ou 1 (blanc), symbolis ici par un damier.Le mme modle peut tre appliqu aux alliages et aux mlanges binaires.unites adaptees de faconque ces valeurs mesurables soient 1 1 et 1.Grace a` ce mode`le, on peut representer simplement letat dun aimant contenantde tre`s nombreux spins, par exemple a` laide dun damier dont les cases sontnoires si les spins y sont dans letat 1 1, ou blanches sils sont dans letat 1(FIG. 1.14). Sous cette forme, le mode`le dIsing sapplique bien a` letude de lordredans un alliage binaire constitue de deux sortes datomes, noirs ou blancs. Nomme gaz sur reseau , ce mode`le conduit en outre a` des conclusions utiles lorsquilest applique a` la transformation liquide-vapeur : une case noire represente alorsun emplacement dans lespace, noir sil est occupe par une molecule, ou blanc silest vide.Dans la majorite des situations reelles, deux spins voisins sattirent quand ils ont lameme orientation leur energie est alors abaissee de la valeur J, et se repoussentquand ils ont des orientations opposees leur energie est alors augmentee de lavaleur J (FIG. 1.15). La quantite J se calcule a` partir de la description quantique

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INVARIANCES DCHELLE

microscopique du materiau. Si J est positif, le materiau est dit ferromagnetique,sinon il est antiferromagnetique. Le fer, le cobalt, le nickel et bien dautres metauxsont des exemples de metaux ferromagnetiques qui presentent une aimantationspontanee au-dessous de leur temperature critique.Voyons comment se comportent deux spinsJJisoles du reste de lunivers, lorsque la tem` tre`s basse temperature,perature change. Alagitation thermique ne joue plus aucunrole, et le syste`me de deux spins est dans undes deux etats de plus basse energie ou` laiJJmantation est maximale, cest-a`-dire un etatou` les deux spins ont la meme orientation.Au contraire, a` tre`s haute temperature cestAttractionRpulsionlagitation qui domine, assurant la meme probabilite doccupation a` tous les etats. On Figure 1.15. Les quatre situations possiblesobtient lexpression generale de la moyenne dun ensemble de deux spins en interaction ferde la valeur absolue de m, laimantation rap- romagntique : les spins abaissent leur nerportee a` un moment, en appliquant leq. 1.5 : gie lorsquils sont dans la mme direction, etils augmentent leur nergie, sils sont dans desPdirections opposes.

J /kTmj mkj ,kabsmj ej1 {m j }m5(1.12) J /kT P mj mkNj ,ke{m j }

Dans le cas de deux spins de valeur 1 1 ou 1, laimantation rapportee a` sa valeurmaximale vaut 1 pour les deux etats ou` les spins sont alignes, et 0 pour les deuxetats ou` ils sont opposes. En sommant sur les quatre configurations de la FIG. 1.15on obtient :12 2 x2x2m5 25(1.13)2 2 x 1 2 x 2x2 1 x 2ou` x 5 eJ /kT est le facteur de Boltzmann correspondant a` deux spins voisins dememe orientation. Laimantation m est egale a` 1/2 a` haute temperature (x 5 1).Ce resultat, etonnant car on sattendrait a` une aimantation spontanee nulle a`haute temperature, est du a` lextreme petitesse du syste`me : il ny a pas assez despins pour que laimantation tende vers zero a` haute temperature. Pour le verifier, on peut effectuer le meme calcul sur un micro-aimant un peu plus grand, unsyste`me de 4 spins.Sur la FIG . 1.16 sont representes les 16 etats possibles dun tel micro-aimant de` basse temperature, laimantation est maximale, et laimant occupe lun4 spins. Ades deux etats ou` tous les spins sont alignes. Cet exemple permet dillustrer unedifficulte essentielle de la prise en compte des interactions : lenergie resultant deces interactions netant pas additive, les outils habituels de la thermodynamiquene fonctionnent pas (lenergie due aux interactions crot plus vite que la taille` haute temperature, lagitation thermique donne autant de chancedu syste`me). Aa` chaque etat. En ponderant chaque etat par la valeur absolue de laimantationcorrespondante, on calcule la moyenne de la valeur absolue de laimantation mrapportee a` laimantation maximale (5 4) de la meme facon que pour deux spins.

1. LES CHANGEMENTS DTAT DE LA MATIRE

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On obtient ainsi :

m5

1 4 x4 1 2 8 x 0 1 4 x4x4 1 25 440442x 1 12x 1 2xx 1 6 1 x 4

(1.14)

Les tats microscopiques d'un aimant contenant 4 spins(pour un champ magntique appliqu H = 0)Spinsen bas

Aimantation

nergie

0

4

4J

1

2

0

2

0

0

3

2

0

4

4

4J

nergie+ 4J

Figure 1.16. Un systme de 4 spins peut se trouver dans 24 5 16 tats microscopiques distincts si chaquespin peut prendre soit ltat 1 1 (en noir) soit ltat 1 (en blanc). Ces tats sont rangs ici en cinq familles paraimantation dcroissante : lorsque tous les spins sont dans ltat 1 1 laimantation est maximale et gale 4. Si 1, 2,3, ou 4 spins sont dans ltat 1, elle vaut respectivement 2, 0, 2 ou 4. Si lon compte les nergies dinteractionsuivant la rgle de la FIG. 1.15, on identifie trois familles : a) les 2 tats o tous les spins sont aligns avec lnergieminimale et gale 4J b) 12 tats o lnergie est nulle car il y a autant dinteractions attractives que dinteractionsrpulsives c) 2 tats dnergie maximale 4J o les spins 1 1 et 1 sont alterns ce qui conduit des interactionstoutes rpulsives.

Aimantation

(en units d'aimantation maximale)

La FIG . 1.17 montre la comparaison decette transition en fonction de la tem1,0Modle d'Ising 2D (Onsager)perature pour les micro-aimants de 2 et4 spins. Elle seffectue progressivementlorsque la temperature T est telle queMicro-aimant 2 spinskT est de lordre de lenergie dinterac0,5tion J. La transition est ici etalee surMicro-aimant 4 spinsdes temperatures variant de 1 a` 10 enunites J/k , mais les changements detatque nous observons dans la realite se pro0,01010010,1duisent pour une temperature extremeTemprature (J/k)ment precise. Cette finesse de la transition vient du tre`s grand nombre de spinsimpliques. Avant les annees 1970, seule Figure 1.17. Laimantation de deux micro-aimants de2 ou 4 spins montre une transition progressive quandla transition du mode`le dIsing sur un la temprature varie. Laimantation du modle dIsing reseau carre a` 2 dimensions avait ete pre- 2 dimensions calcule exactement par Onsager montrevue par un calcul rigoureux, celui de Lars au contraire une transition trs nette.Onsager en 1944. La FIG . 1.17 montreque dans ce mode`le la transition se produit dans une fenetre de temperature particulie`rement etroite comparativement au cas des micro-aimants. Nous reviendronssur cette resolution exacte qui jeta le trouble dans la communaute des physiciens,apre`s avoir fascine les mathematiciens par sa complexite formelle. Auparavant,

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INVARIANCES DCHELLE

nous introduisons la description classique des transitions dans le cadre de lapproximation dite du champ moyen.

4.3. Un modle minimal de transitionDeux ingredients sont indispensables dans tout mode`le de transition ordredesordre : lexistence dinteractions entre les particules, une valeur maximale du parame`tre dordre.Ce dernier point est intuitif aussi bien dans les aimants tous les spins sont alignes que dans les gaz toutes les molecules se touchent lorsquon atteintletat liquide. Cette idee a ete clairement exprimee en 1683 par Bernoulli quisopposait a` la loi de Boyle-Mariotte : suivant celle-ci, le volume dun gaz pourrait etre reduit a` zero par une tre`s grande pression. Sa densite serait alors infinieremarquait Bernoulli. Il montrait quau contraire elle se sature a` la valeur de ladensite du liquide et que celui-ci est pratiquement incompressible. Si lon utiliseces deux proprietes, quelle est lidee la plus economique qui prevoit lapparitiondune transition au sein dun grand syste`me de particules ?Lidee de champ moyen est dameliorerdune facon minimale le mode`le de lareponse lineaire, pour prendre en compteles interactions : on suppose quune partiede la force appliquee sur le syste`me lechamp magnetique ou la pression vientSystmeRponseForcephysiquedu syste`me lui-meme.Cette force reinjectee par lensemble desparticules sur chacune delles est le champRponse = A x [Force + a (Rponse)]moyen.Pour le gaz, cette idee repose sur le fait que plus la densite du fluide est importante, plus les interactions contribuent a` une force attractive entre les molecules :les effets de la densite (la reponse) doivent sajouter aux effets de la pressionexterieure. De meme pour laimant, les effets de laimantation moyenne des spinsvoisins doivent sajouter au champ magnetique applique. Cette reecriture de lareponse lineaire ... nest plus lineaire en general ! Elle fait apparatre une proprietecomple`tement nouvelle : meme en labsence de champ exterieur, il peut exister unereponse qui sauto-entretient. Il suffit pour cela que le poids de la retroaction acree un champ moyen dintensite suffisante. Voyons les resultats que donne cettemethode pour les gaz puis pour les aimants.

4.4. Le fluide de Van der WaalsEn 1873, Johannes Van der Waals propose la premie`re application de cette ideeaux gaz : il part de la loi de Gay-Lussac en ajoutant a` la pression une pressioninterne comme champ moyen . Il suppose que cette pression interne depend dela densite :1{p 1 a(n)}n5(1.15)kT

1. LES CHANGEMENTS DTAT DE LA MATIRE

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Pression rduite

Cette relation montre que la densite n dufluide peut rester grande meme si la prest = 0,05sion est tre`s faible : un etat condense existet=0a` basse temperature quelle que soit la pres1sion. La pression interne remplace alorsla pression appliquee de lexterieur. Ent = 0,05pratique, Van der Waals choisit une pression interne proportionnelle au carre deCourbe de saturationla densite a(n) 5 a 3 n2 en raisonnant0,5ainsi : la pression interne est proportion00,511,52nelle au nombre de molecules par uniteDensit rduitede volume n, multipliee par linfluence detoutes les molecules voisines sur chacune Figure 1.18. Les isothermes tels quils sont prvuspar lquation de Van der Waals au voisinage de ladelles. Cette influence etant egalementT Tcproportionnelle a` la densite n, on trouve le temprature critique t 5 Tc 5 0.resultat de Van der Waals. Pour que le mode`le conduise a` une transition de phase,il faut le rendre plus realiste en introduisant une limite maximale de la densite1/b. Lequation detat de Van der Waals est connue sous la forme equivalente, aupremier ordre :(1.16)( p 1 a/v 2 )(v b) 5 kTou` v 5 1/n est le volume moyen occupe par une molecule. Cette equation detatdecrit correctement les transitions liquide vapeur, sauf pre`s du point critiquecomme nous le verrons plus loin. Elle prevoit lexistence dun point critique, ou`lisotherme correspondante posse`de un point dinflexion de pente nulle, pour lesvaleurs suivantes :

vc 5 3b

pc 5 8a/27kb

Tc 5 a/27b2

(1.17)

Si lon utilise les parame`tres reduits, p, f, u, qui sont respectivement, p, v , T ,rapportes a` leur valeur critique, on obtient une equation detat universelle :(p 1 3 / f2 )(3f 1) 5 8u

(1.18)

1Gaz RelsTemprature rduite

Figure 1.19.La rgion dquilibreliquide vapeur est limite par la courbede saturation de la vapeur sur le diagrammetemprature/densit. Elle est reprsenteici pour diffrents corps de faon fairecorrespondre leurs points critiques (daprsGuggenheim 1945). Les courbes sont trsvoisines les unes des autres. Ltude numrique de la forme de cette courbe de saturationuniverselle conduit la loi empirique deGuggenheim dexposant 1/3 (courbe engris). En noir la courbe de saturation dduitede la loi de Van der Waals qui utilise lapproximation du champ moyen. Lexposant 1/2prvu ne correspond pas lexprience.

Van der Waals

0,550

1Densit rduite

2

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INVARIANCES DCHELLE

La plupart des gaz reels obeissent tre`s bien a` cette loi des etats correspondants,selon laquelle leur equation detat en parame`tres reduits est universelle. LaFIG . 1.19 represente les courbes de coexistence de huit gaz differents dans lescoordonnees reduites (1/f , u) : celles-ci sont remarquablement superposees.Cependant, la courbe de coexistence universelle que lon deduit de lequationde Van der Waals (eq. 1.18) ne rend pas du tout compte de