RAPPORT SUR LES TRAVAUX EFFECTUÉS

VINCENT PECASTAING

Mes recherches portent sur les dynamiques de groupes de Lie sur des structures géométriquesrigides. Mes travaux se sont jusqu’à maintenant principalement concentrés sur des problèmes degéométrie conforme lorentzienne, notamment sur une généralisation d’une conjecture de Lich-nerowicz. Un de mes résultats à ce sujet s’appuie sur la théorie générale des isométries localesdes structures A-rigides de Gromov. Je me suis également intéressé à certains résultats de cettethéorie dans le cadre des géométries de Cartan.

Table des matières

1. Thématiques générales 12. Structure du groupe conforme d’une variété lorentzienne compacte 23. Géométrie et dynamique des actions conformes de groupes de Lie 54. Généralisations pseudo-riemanniennes 75. Orbites des automorphismes locaux des géométries de Cartan 8Références 10

1. Thématiques générales

Soit (M, g) une variété pseudo-riemannienne. Une autre métrique g′ sur M est dite conformeà g s’il existe ϕ ∈ C∞(M), ϕ > 0, telle que g′ = ϕg. On note [g] = g′, g′ conforme à g la classeconforme de g. Si f : (M, g)→ (N,h) est un difféomorphisme local, on dit que f est conforme sif∗h est conforme à g. On note Conf(M, g) le groupe des difféomorphismes conformes de (M, g).Lorsque M est de dimension au moins 3, ce groupe admet une unique structure différentielle quien fait un groupe de Lie agissant différentiablement surM . C’est une manifestation de la rigiditédes structures conformes en dimension au moins 3.

Les principaux problèmes sur lesquels ma thèse et mes travaux récents ont porté se formulentcomme suit.

Question 1. Quels groupes de Lie peuvent agir conformément sur une variété lorentziennecompacte ? Ou encore plus finement : est-il possible de classer les groupes de Lie de la formeConf(M, g), où (Mn, g), n > 3, est une variété lorentzienne compacte ?

Question 2. Lorsque l’on sait qu’un groupe donné peut agir, peut-on décrire la géométrie desvariétés sur lesquelles il agit ? et que peut-on dire de sa dynamique ?

Ces questions sont closes en signature définies positives depuis les années 1970 (voir §3),d’où l’intérêt porté au cas lorentzien. Je m’intéresse également aux questions analogues en toutesignature (p, q), et mes recherches s’ouvrent naturellement vers d’autres types de structuresgéométriques en lien avec la géométrie pseudo-riemannienne.

Date: 14 mars 2017.1

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Ces problématiques s’inscrivent dans le cadre de la description des actions différentiablesG → Diff(M) de groupes de Lie sur des variétés compactes. Traditionnellement, on aborde ceproblème en supposant que G préserve une donnée géométrique sur M , telle qu’un tenseur mé-trique, une connexion linéaire ou encore une forme symplectique. L’idée est qu’en étudiant cetteproblématique avec un spectre large de structures géométriques, on parvient à une descriptionde plus en plus détaillée des actions supposées seulement différentiables.

Mon travail se place ainsi dans la situation où G préserve une classe conforme de métriquespseudo-riemanniennes. Ce choix est en outre motivé par le fait que ces dernières sont de bonsexemples de structures paraboliques, le problème décrit ci-dessus étant encore très ouvert pource type de structures (j’y reviens dans le programme de projet de recherche).

2. Structure du groupe conforme d’une variété lorentzienne compacte

Un des principaux objectifs de ma thèse était d’obtenir une classification des groupes conformesdes variétés lorentziennes compactes. La motivation était d’étendre au groupe conforme un ré-sultat dû à Adams, Stuck [AS97a, AS97b] et - indépendamment - Zeghib [Zeg98] qui classe àisomorphisme local près les possibilités pour la composante neutre Isom(M, g)0 du groupe desisométries d’une variété lorentzienne compacte.

2.1. Motivations : Groupes d’isométries et théorème d’Adams-Stuck-Zeghib. Rappe-lons que par le théorème d’Ascoli, les isométries d’une variété riemannienne compacte formentun groupe de Lie compact. En dehors du cadre défini positif, on perd la donnée d’une distanceinvariante. Néanmoins, que la métrique soit riemannienne ou non, son groupe d’isométries pré-serve sa connexion de Levi-Civita. C’est ce qui rigidifie la situation. Qui plus est, si un groupeagit par isométries sur une variété pseudo-riemannienne (M, g), alors il préserve le volume dvolg,donc une mesure finie de support total si M est compacte. On parle de structure unimodulaire.

On se retrouve notamment dans le champ d’action de travaux fondateurs de Zimmer dans lesannées 1980 sur les actions mesurées de groupes de Lie semi-simples sur des G-structures (voir[Zim86b, Zim84a] notamment). En géométrie lorentzienne, ils conduisirent notamment au :

Théorème d’Adams-Stuck-Zeghib. A isomorphisme local près, Isom(M, g)0 est de la formeS ×K ×Rk, où K est un groupe de Lie semi-simple compact, et si non trivial, S est localementisomorphe à SL(2,R), à un groupe de Heisenberg Heis(2d+ 1), d > 1, ou encore à un groupe deHeisenberg tordu, i.e. un produit semi-direct résoluble bien choisi de la forme S1 n Heis(2d+ 1).

Quelques exemples. Si Γ < SL(2,R) est un réseau cocompact, alors la métrique de Killingde SL(2,R) induit une métrique lorentzienne invariant à gauche sur SL(2,R)/Γ. Par le mêmeprocédé, lorsque G = S1nHeis(2d+1) est un groupe de Heisenberg tordu, on peut construire unemétrique lorentzienne invariante à gauche sur des quotients compacts G/Γ, et on peut déformercette métrique pour la rendre seulement Heis(2d+ 1)-invariante.

Il est à l’heure actuelle encore difficile d’étudier les dynamiques lorentziennes de groupes dis-crets. Néanmoins, on peut considérer qu’on est parvenu à un degré satisfaisant de compréhensiondes groupes d’isométries des variétés lorentziennes compactes, et on aimerait un résultat analoguepour leurs groupes conformes. Les groupes d’isométries étant classés, on prend la

Définition 1. Soit G < Conf(M, g) un groupe de Lie agissant conformément sur une variétépseudo-riemannienne. On dit que G est inessentiel s’il existe g′ ∈ [g] telle que G < Isom(M, g′).Sinon, G est dit essentiel.

Notons que tout groupe compact est inessentiel : il suffit de moyenner avec sa mesure de Haarpour trouver une métrique invariante dans la classe conforme.

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2.2. Groupes conformes essentiels : État de l’art.

Des exemples. Considérons l’espace de Minkowski privé de son origine R1,n−1 \0. Le groupegénéré par une homothétie non triviale, disons < 2 id >, agit librement proprement discontinû-ment et conformément, et nous obtenons au quotient une variété difféomorphe à Sn−1×S1 munied’une classe conforme lorentzienne, dite variété de Hopf. Comme CO(1, n−1) agit conformémentsur le revêtement en normalisant < 2 id >, nous obtenons au quotient une action conforme deS1 ×O(1, n− 1) sur cette variété.

DansRPn+1, considérons le projectivisé du cône isotrope épointé deR2,n. C’est une quadriquelisse difféomorphe à (S1 × Sn−1)/Z2 et on vérifie que la forme quadratique de R2,n y induit uneclasse conforme lorentzienne. Il s’agit de l’Univers d’Einstein lorentzien, noté Ein1,n−1. Il estpar construction muni d’une action conforme transitive de PO(2, n). Il s’agit en fait de l’espacemodèle de la géométrie conforme lorentzienne, cf §5.1. Cette construction se généralise en toutesignature (p, q), où l’on dispose d’un Univers d’Einstein Einp,q, doublement revêtu par Sp × Sq,dont le groupe conforme est PO(p+ 1, q + 1).

Dans un registre plus élaboré, en quotientant un ouvert strict de Ein1,n−1 par des « groupesde Schottky lorentziens », Frances construit dans [Fra05], pour chaque g > 2, une infinité destructures conformes lorentziennes sur S1×(S1×Sn−2)(g−1)] dont le groupe conforme est essentielet localement isomorphe à SL(2,R)× SO(n− 1).

Travaux antérieurs en rang maximal. Dans [Zim87], Zimmer s’intéresse à des actions degroupes de Lie semi-simples sur des structures géométriques compactes non-unimodulaire, nepréservant a priori pas de mesure finie. Il formule des restrictions sur le groupe en considérant ladynamique de certains sous-groupes moyennables - qui préservent automatiquement une mesurefinie par compacité.

En géométrie conforme, ses conclusions deviennent : Si un groupe de Lie G semi-simple sansfacteur compact agit conformément sur (M, g) pseudo-riemannienne compacte de signature (p, q),p 6 q, alors RgR(G) 6 p+1. Cette borne est optimale puisque l’on dispose de l’Univers d’Einsteinde même signature. Bader et Nevo prouvent alors dans [BN02] que lorsque G est simple etde rang maximal, alors il est localement isomorphe à SO(p + 1, k + 1), p 6 k 6 q. Enfin,Frances et Zeghib complètent ce travail en prouvant dans [FZ05] que dans le même contexte,alors la variété elle-même doit être un quotient du revêtement universel de Einp,q par un groupediscret monogène. On pourra consulter [BFM09] pour des généralisations de ces observations auxgéométries paraboliques.

Groupes nilpotents d’indice maximal. Dans [FM10], Frances et Melnick étendent ces ré-sultats au cas nilpotent. Ils prouvent que si N est un groupe de Lie nilpotent connexe agissantconformément sur (M, g) compacte de signature (p, q), alors il est d’indice de nilpotence au plus2 min(p, q) + 1. Si la borne est atteinte, alors (M, g) est conforme à un quotient du revêtementuniversel de Einp,q par un groupe monogène.

2.3. Groupes conformes lorentziens : Contributions.

Actions conformes de groupes simples de rang 1. L’objet du début de ma thèse a été decompléter la description de Bader et Nevo en signature lorentzienne. J’obtiens :

Théorème 1. Soit G un groupe de Lie semi-simple sans facteur compact. Si G agit conformé-ment sur une variété lorentzienne compacte de dimension n > 3, alors il se plonge localementdans SO(2, n). Autrement dit, il est localement isomorphe à

— SO(1, k), 2 6 k 6 n ;— SU(1, k), 2 6 k 6 n/2 ;— SO(2, k), 3 6 k 6 n ;

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— SO(1, k)× SO(1, k′), k, k′ > 2, k + k′ 6 max(n, 4).

Ce travail a fait l’objet de l’article [Pec15b], qui sera finalement incorporé dans [Pec17]. Ils’agissait essentiellement de déterminer parmi les groupes de rang 1 ceux qui peuvent agir surune variété lorentzienne compacte.

Idées de preuve. À isomorphisme local près, les groupes de rang 1 sont SO(1, k), SU(1, k),Sp(1, k), k > 2, et le groupe exceptionnel F−204 . L’approche de [Pec15b] consiste à utiliser le ré-sultat principal de [BFM09] pour construire - en quelque sorte - un plongement de sous-algèbresnilpotentes bien choisies de g dans so(2, n), ce qui exclut d’office Sp(1, k) et F−204 . LorsqueSO(1, k) ou SU(1, k) agissent, je caractérise certaines orbites singulières dans la variété, ce quidonne une borne sur k. Par exemple, je montre que si G = SO(1, k), k > 4, alors M contient unpoint fixe de G, ou une sphère riemannienne Sk−1 ou un fibré en cercles ou en droites au-dessusde Sk−1. Dans tous les cas, on déduit n > k.

Comme on le verra plus loin, mes travaux sur les aspects géométriques des dynamiquesconformes ([Pec16a]) impliquent ce résultat. Néanmoins, l’approche de [Pec15b] reste intéres-sante car elle est directe, et permet d’avoir des résultats analogues dans d’autres signatures,voire d’autres géométries paraboliques (cf §4), alors qu’un résultat analogue à [Pec16a] sembleencore difficile d’accès dans d’autres signatures.

Décomposition de Levi du groupe conforme. Soit G = Conf(Mn, g)0 la composante neutredu groupe conforme d’une variété lorentzienne compacte de dimension n > 3. Une fois que l’onsait décrire les groupes semi-simples qui peuvent se plonger dans G, il est naturel de s’intéresser àla même problématique mais avec des groupes résolubles. En effet, on dispose d’une décompositionde Levi g ' sn rad(g), où s est une sous-algèbre semi-simple de g et rad(g) son radical résoluble.Si l’on peut caractériser les actions conformes de groupes résolubles, on peut espérer pouvoirreconstruire ainsi les algèbres de Lie des groupes conformes.

Actions conformes de groupes nilpotents. Dans ma thèse, je me suis intéressé au cas desgroupes nilpotents. De façon analogue au cas semi-simple, j’ai complété le résultat de [FM10] ensignature lorentzienne pour finalement obtenir ([Pec14] Ch. 7) :

Théorème 2. Soient (Mn, g), n > 3, une variété lorentzienne compacte, et N un groupe de Lieconnexe, nilpotent et non abélien. Si N agit fidèlement et conformément sur (M, g), alors il seplonge localement dans SO(2, n). De plus, si N est essentiel, alors g est conformément plate surun ouvert non-vide de M .

Rappelons qu’une métrique g est dite conformément plate si tout point admet un voisinageV tel que g|V est conforme à une métrique plate sur V . Notamment, tous les exemples du §2.2sont conformément plats. Par un théorème de Liouville, si g est une algèbre de Lie de champsde vecteurs conformes sur un ouvert conformément plat, alors g se plonge dans so(p+ 1, q + 1).

Idées de preuve. Le résultat de Frances et Melnick caractérise les groupes nilpotents d’indice(maximal) 3. Il fallait donc s’intéresser à ceux d’indice 2. Pour tout Z ∈ [n, n]\0, je prouve queN est inessentiel si et seulement si le champ de vecteurs conforme associé à Z ne s’annule pas.Dans cette situation, par le théorème d’Adams-Stuck-Zeghib, N 'loc Heis(2d+ 1)×Rk, que l’onpeut explicitement plonger dans SO(2, n). Dans le cas contraire, en analysant la dynamique deZ au voisinage de ses singularités et en utilisant des résultats antérieurs, je prouve qu’un ouvertde M est conformément plat, ce qui fournit le plongement voulu.

LorsqueN est abélien, de dimension au moins 2, j’ai pu récemment vérifier qu’il agit localementlibrement sur un ouvert dense de la variété. Ceci implique en particulier dimN 6 dimM . Onvérifie alors que toutes les situations se produisent sur Ein1,n−1.

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L’existence d’un ouvert conformément plat dans le cas essentiel a des conséquences intéres-santes. Soient G = Conf(M, g)0 et N(G) < Rad(G) son nilradical. Supposons N(G) non abélien.J’ai récemment prouvé que G est essentiel si et seulement si N(G) est essentiel. Autrement dit,si N(G) fixe une métrique dans la classe conforme, alors il en va de même pour G. Ainsi,• soit G est inessentiel, et par le théorème d’Adams-Stuck-Zeghib G 'loc S ×K ×Rk avecS un groupe de Heisenberg ou un groupe de Heisenberg tordu ;

• soit N(G) est essentiel, et alors G se plonge localement dans SO(2, n).

3. Géométrie et dynamique des actions conformes de groupes de Lie

Soit (Mn, g), n > 3, une variété lorentzienne compacte. Les résultats précédents suggèrentque si son groupe conforme est essentiel, alors à isomorphisme local près, il apparaît égalementdans le groupe conforme de Ein1,n−1. Il est alors naturel de se demander si en fait la géométrieconforme de (M, g) est reliée à celle de Ein1,n−1.

Le théorème de Ferrand-Obata. L’idée selon laquelle la géométrie d’une variété pseudo-riemannienne est prescrite par son groupe conforme est illustrée en signature riemannienne parun très beau théorème de Ferrand et Obata [Fer71, Fer96, Oba71]. Ce résultat, motivé par uneconjecture de Lichnerowicz, dit qu’une variété riemannienne (Mn, g) ayant un groupe conformeessentiel est conforme à la sphère Sn ou l’espace euclidien En. En signature définie positive,supposer Conf(M, g) essentiel revient à supposer qu’il agit non proprement sur M . Ce résultatnous dit donc que certaines dynamiques conformes ont des conséquences sur la géométrie.

Conjecture de Lichnerowicz généralisée. Lorsque la métrique n’est pas définie positive,la diversité - notamment au niveau topologique - des exemples exhibés par Frances [Fra05](voir §2.2) montre qu’il n’est pas raisonnable d’espérer une classification des variétés pseudo-riemanniennes dont le groupe conforme est essentiel. Néanmoins, en signature lorentzienne, tousles exemples essentiels compacts que l’on sait produire sont conformément plats. C’est ce quimotive la

Conjecture 1. Si une variété lorentzienne compacte (M, g) admet un groupe conforme essentiel,alors g est conformément plate.

On retrouve cette conjecture dans la littérature sous l’appellation conjecture de Lichnerowiczgénéralisée. Citons [Ale85] où Alekseevsky donne notamment des métriques non-conformémentplates sur Rn admettant un flot conforme essentiel (voir également [KR95, KR97, Fra15] dansd’autres signatures).

Comme expliqué précédemment, j’ai partiellement confirmé cette conjecture lorsque Conf(M, g)0a un nilradical non abélien car il existe toujours un ouvert conformément plat. En particulier, si(M, g) est analytique, g est bien conformément plate.

Preuve de la conjecture dans le cas semi-simple. Mon résultat le plus important a étéde démontrer la conjecture précédente dans le cas où la variété admet une action conforme d’ungroupe de Lie semi-simple.

Rappelons qu’en rang 2 (maximal possible), la variété doit être un quotient de Ein1,n−1

.Ma contribution se situe donc au niveau des actions de groupes de rang 1, et spécialement des"plus petits", i.e. PSL(2,R) et ses revêtements, c’est à dire lorsque l’hypothèse est la plus faiblepossible. On obtient alors beaucoup d’exemples, comme on peut le voir sur les exemples du§2.2 : tous admettent des actions conformes essentielles de SL(2,R). Ceci laisse peu d’espoirpour décrire la géométrie globale même lorsqu’un groupe semi-simple agit essentiellement.

Le théorème ci-dessous a d’abord été démontré dans ma thèse dans le cas où (M, g) estanalytique, et a fait l’objet de la publication [Pec15a]. C’est durant ma première année de postdoc

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que j’ai réussi à l’étendre au cas C∞ ([Pec16a]). Le point clé de la preuve analytique n’était pasgénéralisable - comme c’est souvent le cas dans la littérature sur les structures géométriquesrigides - et j’ai fait appel à des techniques de dynamique différentiable dans le cas lisse.

Théorème 3. Soient (Mn, g), n > 3, une variété lorentzienne compacte et G un groupe de Liesemi-simple connexe agissant conformément sur M . Alors,• soit G est inessentiel, d’où G 'loc SL(2,R)×K, avec K semi-simple compact ;• soit (M, g) est conformément plate.

Dans le cas où G est inessentiel, la géométrie de la variété est décrite par Gromov dans [Gro88]§5 : à revêtement et quotient isométriques près, c’est un produit de l’exemple de la section 2.1 avecune variété riemannienne compacte. Voici quelques idées de preuve dans le cas G = PSL(2,R).

Cas C∞ : méthodes dynamiques. L’étape essentielle de la preuve consiste à décrire les fermésminimaux G-invariants K ⊂M . On prouve qu’il y a trois possibilités :• K est un point fixe ;• K est une orbite circulaire de la forme PSL(2,R)/Aff+(R) ' RP 1 ;• K est une orbite dégénérée de dimension 2, difféomorphe à un tore.

Ceci montre notamment que K est toujours une G-orbite compacte de dimension < dimG.L’isotropie de ces orbites contient toujours des éléments hyperboliques, dont la dynamique - quel’on parvient à expliciter - force la courbure conforme à s’annuler au voisinage deK. Enfin, commeG.x est un fermé invariant pour tout x ∈M , il contient un tel K, au voisinage duquel la métriqueest conformément plate, et nous obtenons que toute G-orbite visite un ouvert conformément plat,ce qui propage la platitude conforme à M .

Dynamiquement, nous avons ainsi un nombre fini de lieux singuliers dans M , qui sont desorbites de "basse dimension" et que l’on retrouve dans l’adhérence de toute G-orbite. Cetteobservation, qui s’oppose notamment aux exemples homogènes inessentiels du §2.2, apparaîtdans d’autres contextes et semble révéler un phénomène général sur la dynamique des groupessemi-simples sur des géométries paraboliques (voir §4, ainsi que le projet de recherche).

Dans le cas des actions lorentziennes essentielles de PSL(2,R) et ses revêtements, pour carac-tériser les compacts minimaux, j’ai fait appel à des techniques de dynamiques non-uniformémenthyperboliques (théorie de Pesin) pour démontrer l’existence d’orbites compactes, via l’existenced’orbites périodiques du flot généré par un groupe à un paramètre hyperbolique de PSL(2,R).

Approche analytique. Lorsque (M, g) est analytique, on peut contourner la difficulté dyna-mique précédente en utilisant un résultat de la théorie de Gromov sur les A-structures rigides,qui n’est valide qu’en régularité analytique (voir §5.3). C’est l’approche choisie dans ma thèseet l’article [Pec15a]. Dans la situation décrite ci-dessus, il m’a permis d’exhiber un flot de trans-formations conformes locales qui ne provient pas de l’action de G. L’existence de ce flot localpeut être comparée à l’énoncé du théorème du centralisateur de Gromov ([Gro88], voir également[Fer02], [MZ08]). C’est en considérant la dynamique de ce flot que je suis parvenu à prouver qu’unouvert (donc toute la variété par analyticité) est conformément plat.

Corollaire : Facteur de Levi du groupe conforme. Soit G = Conf(M, g)0. De façon ana-logue au cas nilpotent, on démontre que s’il existe H < G localement isomorphe à SL(2,R), i.e.si g/ rad(g) est non-compacte, alors G est essentiel si et seulement si H est essentiel. Dans cettesituation, G est soit inessentiel, et donc localement isomorphe à SL(2,R)×K×Rk, soit essentielet se plonge localement dans SO(2, n) (cf Théorème 2).

Finalement, on distingue trois possibilités pour le groupe conforme d’une variété lorentziennecompacte.• Soit c’est un groupe de la liste du théorème d’Adams-Stuck-Zeghib ;• Soit il se plonge localement dans SO(2, n) ;

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• Soit il n’admet aucun facteur de Levi non compact et son nilradical est abélien. Son algèbrede Lie s’écrit donc kn r, avec k semi-simple compacte et r résoluble avec nilradical abélien.

Les exemples typiques de telles r sont des extensions affines de sous-algèbres abéliennes degl(Rk), comme le groupe affine ou SOL. Parmi ces cas là, je sais démontrer que le groupe conformese plonge dans SO(2, n) dans certaines situations, notamment si r contient une copie de SOL.

Complétude de la (G,X)-structure associée. Une métrique conformément plate de signa-ture (p, q) définit naturellement une structure de (G,X)-variété sur M , où G = PO(p+ 1, q+ 1)

et X = Einp,q

. Soit ρ : π1(M)→ G le morphisme d’holonomie. Comme cela est fait dans [FZ05],on peut vérifier que la (G,X)-structure est complète dès que ρ est à valeurs dans un sous-groupecompact de G. En utilisant ceci et le théorème précédent, il est facile de déduire :

Corollaire 1. Soit (M, g) une variété lorentzienne compacte de dimension au moins 3. Si ungroupe de Lie localement isomorphe à SU(1, k), k > 2, agit conformément sur M , alors (M, g)

est conforme à Γ \ Ein1,n−1

, où Γ < Conf(Ein1,n−1

) est un groupe discret agissant librementproprement discontinûment.

Ceci étend au rang 1 le Théorème 3 de [FZ05], qui n’est pas valable pour l’autre famille degroupes de rang 1 qui peut agir (i.e. les SO(1, k)).

4. Généralisations pseudo-riemanniennes

Les résultats déjà existants sur les actions conformes de groupes de Lie semi-simples sur desstructures conformes (voire paraboliques) bornent le rang réel du groupe et caractérisent lasituation en rang maximal. Aussi, on comprend encore mal ce qui se passe quand un groupe depetit rang agit.

Pour réussir à dire des choses en petit rang, on peut changer de point de vue pour rendre lasituation extrémale en un autre sens. Au lieu de se demander quels groupes peuvent agir sur unevariété donnée, on peut se donner un groupe et se demander sur quelles variétés il agit.

Question 3. Soit G un groupe de Lie semi-simple sans facteur compact. Pour quelles valeursde (p, q) existe-t-il (M, g) compacte de signature (p, q) sur laquelle G agit conformément ?

En particulier, quel est l’indice minimal d’une métrique sur laquelle G peut agir ?

C’est la question que je me suis posée à la base dans les cas de Sp(1, k) et F−204 puisque jesavais qu’il n’agissent pas en signature lorentzienne. La réponse est donnée par le

Théorème 4 ([Pec17]). Soient (M, g) une variété pseudo-riemannienne compacte de signature(p, q) et G un groupe de Lie simple de rang 1 agissant conformément sur M .• Si G = Sp(1, k), k > 2, alors min(p, q) > 3.• Si G = F−204 , alors min(p, q) > 9.

On peut vérifier que Sp(1, k) → SO(4, 4k) et que F−204 → SO(10, 16), prouvant qu’ils agissentconformément sur Ein3,4k−1 et Ein9,15 respectivement. Ceci assure que les bornes précédentessont optimales, et que les groupes agissent pour tous les indices supérieurs.

Si on suit le parallèle avec les travaux en rang maximal, il est logique de se demander si lagéométrie ne serait pas prescrite lorsque l’indice de la métrique est optimal. Par le Théorème 3,c’est vrai pour SU(1, k) pour qui l’indice optimal est 1. C’est également le cas pour Sp(1, k).

Théorème 5 ([Pec17]). Si Sp(1, k), k > 2, agit conformément sur une variété compacte (M, g)de signature (3, n), n > 3, alors g est conformément plate.

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La preuve est très naturelle et s’applique rigoureusement identiquement au cas d’une actionconforme de SU(1, k) sur une variété lorentzienne compacte. On montre qu’il existe dans lavariété une unique orbite compacte, conforme à un univers d’Einstein, qui est dans l’adhérencede toutes les autres orbites et qui admet un voisinage conformément plat.

Dans le cas de SU(1, k), cette orbite est l’espace total du fibré S1 → Ein1,2k−1 → ∂HkC et

dans le cas de Sp(1, k), celui du fibré Sp(1) → Ein3,4k−1 → ∂HkH. On pourra mettre ce fait en

perspective avec un théorème de Nevo et Zimmer, [NZ09], cf projet de recherche.

Conséquences en géométrie CR. Étant donnée M2n+1 munie d’une structure CR dont laforme de Levi est de signature (p, q), p+q = n, sous des hypothèses raisonnables, Cap étend dans[Cap02] la fibration de Fefferman : on lui associe fonctoriellement un fibré en cercles P → Mmuni d’une classe conforme [g] de signature (2p+ 1, 2q + 1) sur P .

Soit alors G simple de rang 1 agissant par automorphismes CR sur une géométrie CR compactevérifiant les hypothèses de Cap. Alors :

(1) Nous retrouvons que si G = Sp(1, k), alors la forme de Levi n’est pas définie positive (maisceci découle en fait de résultats antérieurs, [Sch95, Web77])

(2) Nous obtenons que si G = Sp(1, k) et si la forme de Levi est de signature (1, n− 1), alorsla géométrie est plate i.e. localement isomorphe à son modèle (cf §5.1)

(3) Nous obtenons que si G = F−204 , alors la forme de Levi est de signature (p, q), avecmin(p, q) > 4. (Je ne sais pas si c’est optimal).

5. Orbites des automorphismes locaux des géométries de Cartan

La preuve analytique du Théorème 3 s’appuie fondamentalement sur des propriétés généralesdes structures géométriques A-rigides, telles que les définit Gromov dans [Gro88]. Précisément,j’ai utilisé une formulation récente de cette théorie dans le formalisme des géométries de Cartan,dûe à Melnick ([Mel11]).

En essayant de comprendre la nature de l’ouvert dense qui apparaît dans le cas lisse (cf §5.3),je me suis aperçu que la preuve de Melnick, proposée en régularité analytique, s’étendait malen C∞. J’ai alors travaillé sur une nouvelle démonstration de ce résultat. Ceci m’a égalementconduit à m’intéresser à l’homogénéité locale des structures rigides, car le résultat de Gromovpeut être vu comme un raffinement d’un théorème de Singer en géométrie riemannienne ([Sin60]).Ces travaux ont conduit à la publication [Pec16b].

5.1. Géométries de Cartan. Le concept de géométrie de Cartan a été progressivement in-troduit par É. Cartan à partir des années 1920, alors que ce dernier formalisait une notion deconnexion conforme. Dans l’approche moderne, une géométrie de Cartan sur une variété diffé-rentielle M modélise un espace homogène courbé. Elle se définit donc relativement à un espacehomogène X = G/H, appelé espace modèle de la géométrie.

Cette notion englobe un très large spectre de structures géométriques : parmi les plus célèbresexemples, nous pouvons citer les métriques pseudo-riemanniennes, les connexions affines, lesstructures conformes de dimension au moins 3, les structures CR Lévi non-dégénérées ou encoreles classes projectives de connexions affines.

Quel que soit X, on dispose d’une bonne notion de courbure et de dérivation covariante. Lepremier résultat que j’ai obtenu caractérise les géométries de Cartan localement homogènes àl’aide de la courbure et d’un nombre fini de ses dérivées covariantes, généralisant un théorèmede Singer en géométrie riemannienne ([Sin60]).

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5.2. Homogénéité locale des géométries de Cartan. Fixons (M, C) une géométrie de Car-tan d’espace modèle G/H. Nous dirons que (M, C) est localement homogène si pour tous pointsx, y ∈M , il existe un automorphisme local f ∈ Autloc(M, C) tel que f(x) = y. Plus généralement,on appelle Autloc-orbites les classes d’équivalence de points de M pour la relation « il existe unautomorphisme local envoyant x sur y ».

Pour tout r > 1, la courbure et ses r premières dérivées covariantes permettent de définir uneapplication continue

ψr : M → Er,

où Er est un espace topologique a priori non séparé. Ces applications ψr sont en fait des inva-riants, au sens où pour tout automorphisme local f , nous avons ψr f = ψr là où f est défini.Ainsi, si (M, C) est localement homogène, tous les ψr doivent être constants sur M . Le théorèmede Singer et la généralisation que je lui ai donnée assurent la réciproque, et montrent en plusqu’il suffit de s’arrêter à un ordre qui ne dépend que du modèle de la géométrie.

Théorème 6 ([Pec16b], [Sin60]). Soit (M, C) une géométrie de Cartan de X = G/H. Alors(M, C) est localement homogène si et seulement si l’application ψdimH est constante.

Singer donnait une condition équivalente à celle énoncée ci-dessus faisant intervenir le tenseurde courbure R d’une variété riemannienne (Mn, g) et ses dérivées covariantes∇rR, jusqu’à l’ordren(n − 1)/2. Si nous considérons maintenant une variété affine (Mn,∇), avec ∇ sans torsion, lethéorème précédent assure qu’avec les mêmes hypothèses, mais allant cette fois jusqu’à l’ordren2, la connexion ∇ est localement homogène (le modèle étant l’espace affine Aff(Rn)/GL(Rn)).

En application du Théorème 6, on peut retrouver un célèbre résultat de Gromov, originellementénoncé pour les structures géométriques A-rigides.

Théorème (Théorème de l’orbite dense, [Gro88], [Pec16b]). Soit (M, C) une géométrie de Cartanmodelée sur un espace homogène X = G/H tel que le groupe Adg(H) < GL(g) est algébrique. S’ilexiste une Autloc-orbite qui est dense, alors un ouvert dense de (M, C) est localement homogène.

On peut penser par exemple au cas où un groupe discret d’automorphismes admet une orbitedense. La compréhension de cet ouvert dense un peu mystérieux fait partie de l’objet de re-cherches actuelles (voir notamment [DG13], [DM15]). Même en régularité analytique et en bassedimension, sa description nécessite un travail élaboré.

5.3. Allure générale des Autloc-orbites. Une géométrie de Cartan est localement homogènelorsqu’elle n’admet qu’une seule Autloc-orbite. Aussi, le Théorème 6 suggère qu’en toute généra-lité, les niveaux ψr = constante pourraient coïncider avec les Autloc-orbites de la géométrie.Ceci se produit à l’échelle locale, lorsque l’on se restreint à un ouvert dense de la variété, appeléouvert d’intégrabilité. On rejoint alors des résultats de K. Nomizu en géométrie riemannienne([Nom60]).

Théorème 7 ([Mel11],[Pec16b]). Soit (M, C) une géométrie de Cartan d’espace modèle X =G/H. Il existe un ouvert dense Ω ⊂ M à l’intérieur duquel les niveaux ψdimG = constantecoïncident localement avec les Autloc-orbites.

Lorsque (M, C) est compacte et analytique, il existe r = r(M, C) > 0 tel que, partout, lesniveaux ψr = constante coïncident localement avec les Autloc-orbites.

La version analytique est formulée et prouvée par Melnick ([Mel11]), et se déduit à peu defrais de mon approche (je le détaille dans ma thèse §4.4).

C’est ce résultat qui est utilisé dans la preuve analytique du Théorème 3, cf §3. Ce qui rendcette dernière difficile à étendre en C∞ est que l’on a besoin d’utiliser le résultat précédent dans

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le compact K, qui a de bonnes raisons d’être d’intérieur vide, et pourrait ainsi se situer dansM \ Ω si on retire l’analyticité.

Enfin, en corollaire du Théorème 7, on retrouve un autre résultat de Gromov décrivant l’agen-cement des Autloc-orbites sur un ouvert dense.

Théorème 8 ([Gro88], [Pec16b]). Soit (M, C) une géométrie de Cartan, d’espace modèle X =G/H telle que le groupe Adg(H) < GL(g) est algébrique. Alors, il existe un ouvert dense Ω ⊂M ,qui se décompose en une union finie

Ω = Ω1 ∪ · · · ∪ Ωk,

où chaque Ωi est un ouvert Autloc-invariant dans lequel toutes les Autloc-orbites sont des sous-variétés fermées ayant toutes même dimension.

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