méthodes d_encadrement

1

Mécanique non linéaire

Les méthodes d’encadrement

[email protected]

2

Les méthodes d’encadrement

Pour un matériau à comportement rigide parfaitement plastique :

0.. ** pikikikikikik

s Statiquement Admissible PFDCLF

CompatiblitéCLD

e Cinématiquement Admissible

3

Les méthodes d’encadrementThéorème des travaux virtuels

Pour tout champ de contrainte statiquement admissible associé à un champ de déformation cinématiquement admissible, le travail des efforts extérieurs est égal au travail de déformation de la structure augmenté du travail des quantités d'accélération galiléennes.

v iiv ijijv iis ii dvudvdvufdsu

s iis iis ii dsudsudsu

s ii dsu Travail des efforts surfaciques imposés à déplacements inconnus

s ii dsu Travail des efforts surfaciques inconnus à déplacements imposés

4

Les méthodes d’encadrementThéorème des puissances virtuelles

Pour tout champ de contrainte statiquement admissible associé à un champ de déformation cinématiquement admissible, la puissance des efforts extérieurs est égal à la puissance de déformation de la structure augmentée de la puissance des quantités d'accélération galiléennes.

v iivij

ijv iis iis ii dvvdvdvvfdsvdsv

5

Les méthodes d’encadrementDéfinitions

Principe fondamental de la dynamique

Conditions aux limites sur les forces

Champ statiquement admissible

Critère de plasticité en tout point : Champ plastiquement admissible

Champ statiquement et plastiquement admissible

Ensemble des champs de contrainte

Champ de contrainte licite

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Les méthodes d’encadrementDéfinitions Ensemble des

champs de déformation

Equations de compatibilité

Conditions aux limitessur les déplacements

Champ cinématiquementadmissible

Champ plastiquementadmissible

Ensemble des champs de contrainte

Champ cinématiquementet plastiquement admissible

Champ de déformation licite

7

Les méthodes d’encadrementThéorème cinématique« Théorème de la borne supérieure »

Champ de déformation actuelle licite

Vecteur déplacement associé

La fonctionnelle

est minimale pour le champ de déplacement solution du problème.

*

u*

*

s iiv iiv iiv ijij dsudvufdvudvuG ******

Tenseur contrainte lié par la loi d’écoulement plastique

8

Les méthodes d’encadrementThéorème statique

« Théorème de la borne inférieure »

* Champ de contrainte licite* Vecteurs contrainte sur la surface

La fonctionnelle est maximale pour le champ de contrainte solution du problème.

dsuH is i

**

9

Applications à la mise en formeMéthode des tranches

Découpe virtuelle en tranches infiniment minces

Choix d’un modèle de frottement au contact

Equations d’équilibre d’une tranche

Choix d’un critère de plasticité

Loi d’écoulement

Résolution d’équations différentielles

EFFORT RESULTANT

10


Modèle de frottement

Modèle de Coulomb

La contrainte tangentielle est proportionnelle à la contrainte normale de la surface de contact mais reste limitée à la valeur de glissement

yy

g

En pratique on prend : 3g

yyk

11


Modèle de frottement

Modèle de la couche limite

La contrainte tangentielle est proportionnelle à la limite

d’écoulement du matériau

contact parfaitement lubrifié :m = 0contact parfaitement collant : m = 1

03 m

Presse

Interface

Matière

12


Exemple : forgeage d’une barre

Barre parallélépipédiqueHauteur h Largeur 2a Longueur l

h

a a

Longueur très grandePlateaux de presse indéformablesMatériau rigide parfaitement plastique

zyx EEE

,, Axes principaux

xE

yE

)(xfM Frottement outil - pièce

13



xE

yE

x

dx

Equilibre d’une tranche d’épaisseur dx

14



x

dx

Equilibre d’une tranche d’épaisseur dxh

a a xE

yE

sxx (x) sxx (x + dx)

syy (x)

syy (x)

t(x)

t(x)

03

22

h

m

hdx

d xx

03

20 ax

h

mxx

15



Loi de normalité

h

a a xE

yE


syy (x)

syy (x)

t(x)

t(x)

ikik

f

Critère Von Misès

22

202 2, JJf ik

ikikik

ss

ff

16



Déformation axiale actuelle

h

a a xE

yE


syy (x)

syy (x)

t(x)

t(x)

Etat plan de déformation

3zzyyxx

zzzzzz s

0zz

yyxxzz 2

1

17



Critère Von Misès

h

a a xE

yE


syy (x)

syy (x)

t(x)

t(x)

220

222 22 exxzzzzyyyyxx

22

3

4eyyxx

1

3

2ax

h

meyy

18



Effort de compression

xE

yE

1

3

2ax

h

meyy

a

yy dxlF0

2

2

3

2

h

amlaF e

19

Applications à la mise en formeMéthode de la borne supérieure

Travail réel des réactions d’appui

s iiv iiv iiv ijijs ii dsudvufdvudvdsu *****

Tenseur déformation licite *ij

Travail virtuel de déformation

Travail virtuel des quantités d’accélération

Travail virtuel des forces de volume

Travail virtuel des forces de surface imposées

s ii dsu0

Nul ou positif

Nul en quasi statique

Souvent négligeable

s iiv ijij dsudv ***

20


Quel que soit le champ de déformation licite choisi, l'énergie dissipée par déformation plastique et frottement est supérieure à l'énergie motrice

s iiv ijij dsudv ***

21


Exemple : poinçonnement d’un massif semi infini

Poinçon infiniment rigide

Massif rigide parfaitement plastique

22





Formation d’un bourrelet

23



Coin sous le poinçon Zones d’écoulement latéral

Métal remontant (formation du bourrelet) Métal immobile

AB BCC

D

24



Coin sous le poinçon Zones d’écoulement latéral

Métal remontant (formation du bourrelet) Métal immobile

D

Les zones ont un comportement de solides indéformablesL’énergie est essentiellement dissipée aux frontièresTriangles rectangles isocèles

25



D

AB

C

dUx

dUy

d

a

b

cDéplacement A / D :

Déplacement B / A :

Déplacement C / B :

Déplacement D / C :

u2

2u

Calcul des déplacements relatifs

2u

Déplacement B / D :

u

u

26



D

AB

C

Calcul des énergies dissipées aux contacts

e

E

E

y

x

umax I

II

II

I

0 axel'sur

0

00

axel'sur

0 axel'sur

max

max

zz

y

y

y

y

xx

uE

uuxe

ue

xuex

ux

E

uE

I : solide indéformable immobile

III : solide indéformable mobile

II : couche d’interface

27



D

AB

C


e

E

E

y

x

umax I

II

II

I

Dans la couche II

zyx EEE

e

ue

u

,,000

002

02

0

max

max

Avec Von Misès

ikikp

équiéqui 3

2

3

max

e

uéqui

28



D

AB

C


e

E

E

y

x

umax I

II

II

I

Energie dissipée parunité de volumeEnergie dissipée parunité de surface de contact

3max

e

uW e

équie

3maxu

W es

29



D

AB

C


Lignes Surface (longueur)

entre A et B

entre B et C

entre C et D

entre D et B

u W

22a 2u 34 eua

22a 2u 32 eua

22a 2u 32 eua

a4 u 34 eua

30



D

AB

C


Energie totale dissipée

312 eu

aW

Si choix de triangles isocèles simples

32

16 euaW

31



D

AB

C

Calcul de la force motrice

Force motrice réelle uFE

Application du théorème de la borne supérieure3

12 eaF

Pression moyenne maximale eemoy a

Fp 46,3

3

6

2

32

Applications à la mise en formeMéthode de la borne inférieure

La fonctionnelle est maximale pour le

champ de contrainte réel

dsuH is i

**

L’énergie motrice obtenue à partir d’un champ de contrainte licite est inférieure à l’énergie motrice réelle.

33





Zone sous le poinçon

zyxzz

yy

EEE

,,00

00

000

Autre zone

zyxzz EEE

,,00

000

000

34



Etat plan de déformation 2

yyxx

zz

Critère Von Misès eyyxx 3

2

Zone sous le poinçon eyy 3

2

Pression de contact eemoyp 15,13

2

35



Zone sous le poinçon Autre zone

zyxzz

yy

xx

EEE

,,00

00

00

zyxzz

xx

EEE

,,00

000

00

Autre solution

eemoyp 31,23

4

36

Applications à la mise en formeConclusion


Méthodes donnant un encadrement de la solution

emoye p 31,227,3

Solution exacte eemoyp

97,2

3

2

Méthode de la borne supérieure plus évidente et plus sécurisante

méthodes d_encadrement

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