mecst_td_5_corr

Ecole des Ponts ParisTechMcanique des structures

TD 5 et 6: contraintes dans les sections des poutres

7-21 novembre 2013

1 Enonc

1.1 Gomtrie des surfacesCalculer les moments principaux dinertie des section donnes.

1.2 Effort normal et flexionPour les sections donnes, tracer laxe de sollicitation et laxe neutre et dessiner les diagrammes

des contraintes normales pour les sollicitations suivantes, donnes par rapport au barycentre et aux axeshorizontal, x1, et vertical, x2 :

N M1 M2kN kNm kNm

1) 50 0.45 02) 30 0.25 0.153) 0 0.5 0.2

(N effort normal, Mi moment flchissant par rapport laxe xi).

1.3 Effort tranchant et torsionPour les sections donnes, dessiner les diagrammes des contraintes tangentielles pour les sollicitations

suivantes, donnes par rapport au barycentre et aux axes horizontal, x1, et vertical, x2 :

V1 V2 TkN kN kNm

1) 10 0 02) 0 10 03) 0 0 0.1

(Vi effort tranchant suivant laxe xi, T moment de torsion).

2 Corrig

2.1 IPEPour se donner des valeurs numriques, prendre h = 200 mm, b = 100 mm, a1 = 5.6 mm, a2 = 8.5

mm (mesures dun IPE200).

1

2.1 IPE

h

b

a1

a2

a2

Les calculs se font en ngligeant les termes en a21, a22 et a1a2. Laire de la surface est :

A = ha1 + 2ba2 .

La section a deux axes de symtrie, le barycentre se trouve leur croisement. Les axes parallles auxsemelles et lme de la section sont principales dinertie. Les moments dinertie sont :

I11 =a1h

3

12+ 2a2b

(h

2

)2; I22 =

a2b3

6.

Les rayons de giration sont :

1 =

I11A

; 2 =

I22A

.

Pour une sollicitation deffort normal et flexion, on calcule les coordonnes du centre de pression :

xN 1 = M2N

; xN 2 =M1N

;

et les intersections entre laxe neutre et les axes 1 et 2 :

x1 = 22

xN 1; x2 =

21

xN 2.

Laxe de sollicitation forme avec laxe 1 langle :

= arctan(M1M2

);

la direction de laxe neutre par rapport laxe 1 est donne par langle :

= arctan

(I11I22

1

tan

)= arctan

(

21

22

xN 1xN 2

);

Ecole des Ponts ParisTech cours Mcanique des structures 2

2.1 IPE

laxe neutre est parallle aux tangentes lellipse centrale dinertie aux points dintersection de cet ellipseavec laxe de sollicitation.

Si les valeurs obtenus de xN 1 et xN 2 (intersections entre laxe neutre et les axes du repre) ne per-mettent pas de dessiner aisment laxe neutre, la connaissance de langle pourra simplifier la tche.

La solution dun problme de flexion simple avec effort normal peut tre reprsente comme lafigure suivante ; la position de laxe neutre peut tre identifie en comparant le diagramme des contraintesdues N avec celui des contraintes dues M1 (ou M2). Pour donner le rsultat, on trace laxe de sollici-tation, le centre de pression et laxe neutre et on dessine le diagramme des contraintes normales.

x1

x2

N

A

M1I11

h2

M1I11

h

2

max

min

+ =

axe neutre

xN 2

x2

centre depression

N

A

axe desollicitation

Si laxe neutre ne coupe pas la section, les contraintes auront le mme signe en tout point de celle-ci ;dans des tels cas, lorsque laxe neutre sloigne trop de la section, son dessin doit tre omis.

x1

x2

N

AM1I11

h2

M1I11

h

2

max

min

+ =

axe neutre

xN 2

x2

centre depression

axe desollicitation

N

A

NA


2.1 IPE

En situation de flexion compose dvie, lintersection de laxe neutre avec un axe du repre corres-pond au point o la contrainte due leffort normal est gale et oppose celle due la flexion droiteautour de lautre axe (voir limage suivante). Pour indiquer dans le dessin le signe des contraintes nor-males, on adopte la convention que les flches diriges vers la section reprsentent des compressions,celles sloignant des tractions.

x1

x2

N

A

M1I11

h2

M1I11

h

2

max

min

axe

neutre

xN 2

x2

centre depression

axe de sollicitation

N

A

M2I22

b2

M2I22

b

2

xN 1x1

NA

En flexion simple dvie laxe neutre passe par le barycentre, sa direction se trouve par le calcul delangle o par lidentification de deux points contrainte nulle sur la section (voir image suivante, lespoints contrainte nulle sont pris sur les deux semelles).


2.1 IPE

x1

x2

M1I11

h2

M1I11

h

2

max

min

axe

neut

re

axe du mo

ment

M2I22

b2

M2I22

b

2


M1 +M2

M1I11

h2

M1I11

h

2

Les valeurs numriques pour lexemple donn sont les suivantes

h b a1 a2 A I11 I22 1 2mm mm mm mm cm2 cm4 cm4 mm mm200 100 5.6 8.5 28.2 2073.33 141.67 85.7 22.4

La gomtrie de lexemple est reprsente ci-dessous


2.1 IPE

0 50mm

85.7

22.4

100

200

5.6

8.5

On trace laxe de sollicitation et laxe neutre et on dessine les diagrammes des contraintes normalespour les sollicitations suivantes, donnes par rapport au barycentre et aux axes horizontal, x1, et vertical,x2, du dessin :

N M1 M2kN kNm kNm

1) 50 0.45 02) 30 0.25 0.153) 0 0.5 0.2

(N effort normal, Mi moment flchissant par rapport laxe xi).Pour le premier cas (effort normal et flexion droite, laxe neutre est parallle laxe 1), on a le valeurs

et la reprsentation graphique suivants :

N M1 M2 xN 1 xN 2 x1 x2 min max GkN kNm kNm mm mm mm mm rad rad MPa MPa MPa50 0.45 0 0.0 9.0 -816.9 pi/2 0 15.6 19.9 17.7


2.1 IPE

9.0

19.9 MPa

x1

x2

centre de pression

15.6 MPa

Pour le deuxime cas, la situation est de flexion compose dvie ; on obtient les valeurs et la repr-sentation suivants :

N M1 M2 xN 1 xN 2 x1 x2 min max GkN kNm kNm mm mm mm mm rad rad MPa MPa MPa30 0.25 0.15 -5.0 8.3 100.4 -882.3 -1.030 1.457 4.1 17.1 10.6

(-59.0) (83.5)


2.1 IPE

5.0

8.3x1

x2

centre de pression


dire

ctio

n de

l'ax

e ne

utre

17.1 MPa4.1 MPa

59.0

83.5

axe

neut

re

100.4

On remarque que les intersections de laxe neutre avec les axes du repre sobtiennent par la construc-tion des deux triangles rectangles (dont un reprsent dans limage). La construction se base sur le faitque les rayons de giration de la section sont les termes du milieux dans les proportions :

x1/2 = 2/xN 1 ; x2/1 = 1/xN 2qui est une proprit analogue celle de la hauteur relative lhypotnuse dun triangle rectangle parrapport aux projections des deux autres cots sur lhypotnuse.

Pour le troisime jeu de valeurs la condition est de flexion dvie sans effort normal, laxe de solli-citation est normal laxe du moment resultant, le centre de pression se trouve linfini et laxe neutrepasse par le barycentre. La solution est dcrite par les valeurs et la reprsentation suivants :

N M1 M2 xN 1 xN 2 x1 x2 min max GkN kNm kNm mm mm mm mm rad rad MPa MPa MPa0 0.50 0.20 0.0 0.0 -1.190 1.402 -9.5 9.5 0.0

(-68.2) (80.3)


2.1 IPE

x1

x2


axe

neut

re

9.5 MPa-9.5 MPa

68.2

80.3

Les contraintes tangentielles se calculent par la formule de Jourawski.On dnote par A les points de jonction entre semelle et me (la symtrie des problmes permet de ne

pas distinguer ces points). Les moments statiques qui permettent de caractriser la solution sont

SA1 =a2hb

4; SG1 =

a2hb

2+a1h

2

8; SA2 = S

G2 =

a2b2

8

Les contraintes tangentielles :

A1 =V1S

A2

I22a2+V2S

A1

I11a2; A2 =

V22SA1

I11a1; G2 =

V2SG1

I11a1.

Valeurs numriques :

V1 V2 T A1 A2 G2kN kN kNm MPa MPa MPa10.0 0.0 0.0 8.8


2.1 IPE

x1

x2

8.8 MPa

V1 V2 T A1 A2 G2kN kN kNm MPa MPa MPa0.0 10.0 0.0 2.4 7.3 9.7


2.2 T

x1

x2

2.4 MPa

7.4 MPa

9.7 MPa

2.2 TPour se donner des valeurs numriques, prendre h = 100 mm, b = 80 mm, a1 = 6 mm, a2 = 8 mm.

h

b

a1

a2


2.2 T

Les calculs se font toujours en ngligeant les termes en a21, a22 et a1a2. Laire de la surface est :

A = ha1 + ba2 .

La section a un axe de symtrie (laxe de lme qui sera pris comme axe 2), le barycentre se trouve surcet axe et une distance de la base de lme mesure sur x2 :

xG2 =hba2 +

h2a12

A.

Les axes parallles aux semelles et lme de la section sont principales dinertie. Les moments dinertiesont :

I11 =a1h

3

12+ a2b (h xG2)2 + a1h

(h

2 xG2

)2; I22 =

a2b3

12.

Les rayons de giration, les coordonnes du centre de pression, les intersections entre laxe neutre et lesaxes 1 et 2 et les directions de laxe de sollicitation et de laxe neutre sont donnes par les mmes formulesque pour lexercice prcdent.

Dans le cas de flexion simple et effort normal le diagramme des contraintes sera, comme dans ledessin suivant, facilement trac comme somme des deux diagrammes de sollicitation pure. La sectionntant pas symtrique par rapport laxe 1, les contraintes maximales et minimales de flexion pure nontpas la mme valeur absolue, la partie de la section plus loigne du barycentre exprimant la contraintemaximale en valeur absolue.

x1

x2

N

A

max

min

+ =

axe neutre

xN 2

x2

centre depression

axe desollicitation

M1I11

(xG2 h)

M1I11

(h xG2)

xG2

Si le centre de pression sort de laxe de symtrie de la section, il est toujours possible de dessinerle diagramme des contraintes comme somme des diagrammes de sollicitation pure. Les intersections delaxe neutre avec les axes principales et centrales dinertie (pris comme axes du repre) correspondentaux valeurs des contraintes de flexion pure (ventuellement prolong lextrieur de la section, commedans la figure suivante) gales et opposs la contrainte deffort normal pur.


2.2 T

x1

x2

N

A

min

axe n

eutre

xN 2

x2

centre depression


N

A

M2I22

b2

M2I22

b

2

xN 1x1

max

N

A

M1I11

(xG2 h)

M1I11

(h xG2)

xG2

En condition de flexion dvie pure, laxe neutre passe par le barycentre ; il pourra tre dtermin parle calcul de son inclination sur laxe 1 ou par la recherche dun point contrainte nulle sur le bord dela section (comme le point en figure sur lextrados de la semelle).


2.2 T

x1

x2

max

min

axe n

eutre

axe dumoment

M2I22

b2

M2I22

b

2


M1 +M2

M1I11

(xG2 h)

M1I11

(h xG2)

M1I11

(xG2 h)

xG2

Valeurs numriques et gomtrie pour lexemple donn :

h b a1 a2 A I11 I22 1 2mm mm mm mm cm2 cm4 cm4 mm mm100 80 6 8 12.4 127.42 34.13 32.1 16.6


2.2 T

0 30 mm

32.1

16.6

80

100

6.0

8.0

75.8

Les sollicitations de calcul sont les mmes de lexercice prcdent.Pour la premire condition on obtient (il sagit de flexion compose droite avec axe neutre parallle

laxe 1)

N M1 M2 xN 1 xN 2 x1 x2 min max GkN kNm kNm mm mm mm mm rad rad MPa MPa MPa50 0.45 0.00 0.0 9.0 -114.2 pi/2 0 31.8 67.1 40.3

9.0

31.8 MPa

centre de pression

x1

x2

67.1 MPa

40.3 MPa

Pour la deuxime :N M1 M2 xN 1 xN 2 x1 x2 min max GkN kNm kNm mm mm mm mm rad rad MPa MPa MPa30 0.25 0.15 -5.0 8.3 55.1 -123.3 -1.030 1.151 1.9 39.1 24.2

(-59.0) (65.9)


2.2 T

8.3

1.9 MPa

centre de pression

x1

x2

39.1 MPa

24.2 MPa

5.0


123.3

55.1

axe n

eutre

65.9

59.0

Pour la troisime (axe neutre passant par le barycentre, comme pour lexercice prcdent)


(-68.2) (56.2)


2.2 T

-32.9 MPa

x1

x2

29.7 MPa


axe n

eutre

23.4 MPa

x1

x2


2.3 L

x1

x2

20.3 MPa

22.6 MPa

7.6 MPa

2.3 LPour se donner des valeurs numriques, prendre h = 100 mm, b = 80 mm, a1 = 6 mm, a2 = 8 mm.

h

b

a1

a2

Les calculs se font toujours en ngligeant les termes en a21, a22 et a1a2. Laire de la surface est donc :

A = ha1 + ba2 .

La section na pas daxe de symtrie, on se donne la position du barycentre par rapport au point gacuhede la base de lme :

xG1 =b2a22

A; xG2 =

hba2 +h2a12

A.

Les axes parallles aux semelles et lme de la section ne sont pas principales dinertie. Les momentsdinertie sont :

I 11 =a1h

3

12+ a2b (h xG2)2 + a1h

(xG2

h

2

)2;


2.3 L

I 22 =a2b

3

12+ a2b

(b

2 xG1

)2+ a1hxG

21 ;

I 12 = ba2 (h xG2)(b

2 xG1

)+ ha1

(xG2

h

2

)xG1

Les axes principaux dinertie sont identits par la rotation (dans le sens trigonomtrique) :

= 12

arctan

(2I 12

I 11 I 22

)et

I11 = I11 cos

2 + I 22 sin2 I 12 sin cos ; I22 = I 11 sin2 + I 22 cos2 + I 12 sin cos

En se rfrent aux axes principaux dinertie, les rayons de giration, les coordonnes du centre depression, lintersection entre laxe neutre et les axes 1 et 2 sont donnes par les mmes formules delexercice prcdent.

Valeurs numriques pour lexemple donn :

h b a1 a2 A xG1 xG2 I11 I

22 I

12

mm mm mm mm cm2 mm mm cm4 cm4 cm4 rad100 80 6 8 12.4 20.6 75.8 127.42 83.68 61.94 -0.6157

(-35.3)

I11 I22 1 2cm4 cm4 mm mm

171.23 39.87 37.2 17.9

80

100

20.6

75.8

6

8

37.217.9

x1

x2

35.3

0 50 mm


2.3 L

Pour les calculs des contraintes, il convient de se donner les moments dans le systme principal par lechangement :

M1 = M1 cos +M2 sin ; M2 = M1 sin +M2 cos .La solution pour le premier chargement est :

N M1 M2 M1 M2kN kNm kNm kNm kNm50 0.45 0.00 0.37 0.26

xN 1 xN 2 x1 x2 min max Gmm mm mm mm rad rad MPa MPa MPa-5.2 7.3 61.9 -187.9 -0.955 1.253 18.5 73.7 40.3

(-54.7) (71.8)

Le dessin ci-dessous montre les lments gomtriques caractrisant la position de laxe neutre.


2.3 L

5.2

x1

x2

7.3

187.9

61.9

axe de sollicitationax

e ne

utre

71.78

54.72

La solution est entirement reprsente dans limage suivante.


2.3 L

5.2

x1

x2

7.3

187.9

61.9

0.45 kNm

50 kN

axe de sollicitationax

e ne

utre

71.78

54.72

73.7 MPa

18.6 MPa40.3 MPa

Pour le deuxime cas de chargement, la solution est :



(-23.8) (84.1)

Tracement de laxe neutre :


2.3 L

9.0

x1

x2

3.9

36.1 axe de sollicitation

axe

neut

re

84.15

23.76

Dessin de la solution :

9.0

x1

x2

3.9

36.1

0.25 kNm

30 kN


axe

neut

re

84.15

23.76

47.28 MPa

3.02 MPa

0.15 kNm

Pour le troisime cas la solution est :


2.3 L


xN 1 xN 2 x1 x2 min max Gmm mm mm mm rad rad MPa MPa MPa 0.0 0.0 -0.575 1.421 -36.3 43.1 0.0

(-32.9) (81.4)

x1

x2

0.50 kNm


axe

neut

re

81.43

32.92

43.1 MPa-36.3 MPa

0.20 kNm

Pour calculer les contraintes dues leffort tranchant, il faut se rfrer aux axes principaux dinertie dela section et dcomposer la sollicitation sur ces axes pour ensuite valuer sparment les effets de chaquecomposante. Les diagrammes auront dans tous les cas une allure parabolique. Le maximum des parabolesse trouve aux croisements entre laxe de llment de section considr et laxe dinertie orthogonal ladirection de leffort tranchant tudi. Dans la figure ci-dessous, reprsentant les contraintes pour une sol-licitation deffort tranchant parallle laxe 2, les deux paraboles ont leurs maximum en correspondancedes points A et B.


2.4 U

x1

x2

A

B

G

smaxamax

Ces points dextremum se dplacent si la sollicitation est parallle a laxe 1, comme dans la figureci-dessous.

2.4 UPour se donner des valeurs numriques, prendre h = 100 mm, b = 50 mm, a1 = 6 mm, a2 = 8 mm.

h

b

a1

a2

a2


2.4 U


A = ha1 + 2ba2 .

La section na pas daxe de symtrie, on se donne la position du barycentre par rapport au centre de labase de lme mesure sur :

xG1 =b2a2A

; xG2 = 0 .

Les axes parallles aux semelles et lme de la section ne sont pas principales dinertie. Les momentsdinertie sont :

I11 =a1h

3

12+ a2b

(h

2

)2;

I22 =a2b

3

6+ a2b

(b

2 xG1

)2+ a1hxG

21 .

Les rayons de giration, les coordonnes du centre de pression, lintersection entre laxe neutre et lesaxes 1 et 2 sont donnes par les mmes formules de lexercice prcdent.

Valeurs numriques pour lexemple donn (les coordonnes du barycentre sont donnes par rapportau centre de lme) :

h b a1 a2 A xG1 xG2 I11 I22 1 2mm mm mm mm cm2 mm mm cm4 cm4 mm mm100 50 6 8 14.0 14.3 0.0 150.00 33.50 32.7 15.5

x1

x2

14.3

32.7

15.5

0 30 mm

Les rponses aux sollicitations indiques sont, dans le premier cas



2.4 U

x1

x2

+ =

axe neutre

axe desollicitation

9.0

119.120.7 MPa

50.7 MPa

35.7 MPa -15.0 MPa

15.0 MPa

centre depression

dans le deuxime :


(-59.0) (69.6)


2.4 U

x1

x2

axe n

eutre

axe de

sollicitation

8.3

47.8

6.7 MPa

45.8 MPa

centre depression

5.0

128.6

21.4 MPa

et dans le troisime (flexion dvie sans effort normal, axe neutre passant par le barycentre)


(-68.2) (60.8)


2.5 Section non standard

x1

x2

axe n

eutre

axe desollicitation

38.0 MPa-25.2 MPa

60.8

68.2

2.5 Section non standardPour se donner des valeurs numriques, prendre h = 140 mm, a = 6.5 mm.

h

h/2

h/2

aa

a

a

Les calculs se font en ngligeant les termes en a2. Laire de la surface est :

A =5

2ah .



La section na pas daxe de symtrie, on se donne la position du barycentre par rapport au point en bas gauche :

xG1 =ah2

2

A=

1

5h ; xG2 =

9ah2

8

A=

9

20h .

Les axes parallles aux cots de la section ne sont pas principales dinertie. Les moments dinertie parrapport des axes parallles aux cots de la section et passant par le barycentre sont :

I11 =67

160ah3 ; I22 =

47

240ah3 ; I12 = 3

80ah3 ;

Langle entre les semelles de la section et laxe principal dinertie majeur est

=1

2arctan

54

127= 0.201 rad (= 11.5).

Valeurs numriques pour lexemple donn (les coordonnes du barycentre sont donnes par rapportau point en bas et gauche de la section) :

h a A xG1 xG2 I11 I

22 I

12

mm mm cm2 mm mm cm4 cm4 cm4 rad140 6.5 22.8 28.0 63.0 663.90 349.29 -66.89 0.2010

(11.5)

I11 I22 1 2cm4 cm4 mm mm

677.52 335.66 54.6 38.4

x1

x2

38.4

63.0

28.0

54.6

11.5

0 50mm

Pour les calculs des contraintes, il convient de se donner les moments dans le systme principal par lechangement :

M1 = M1 cos +M2 sin ; M2 = M1 sin +M2 cos .La solution pour le premier chargement est :



N M1 M2 M1 M2kN kNm kNm kNm kNm50 0.45 0.00 0.44 -0.09

xN 1 xN 2 x1 x2 min max Gmm mm mm mm rad rad MPa MPa MPa1.8 8.8 -821.0 -337.7 1.370 0.390 16.1 26.7 22.0

(78.5) (-22.4)

La solution est reprsente ci-dessous

x1

x2

11.5

axe desollicitation

direction de l'axe neutre

1.8

8.8 9.0

22.4

78.5

16.1 MPa

26.7 MPa

22.0 MPa

Pour le deuxime :



(-70.6) (35.5)



x1

x2

axe de

sollicitation

directio

n de l'

axe ne

utre

3.2

9.2

35.5

70.6

16.9 MPa

9.5 MPa

13.2 MPa

Pour le troisime


xN 1 xN 2 x1 x2 min max Gmm mm mm mm rad rad MPa MPa MPa 0.0 0.0 -1.391 0.351 -6.68 6.30 0.0

(-79.7) (20.1)


2.6 Tube section rectangulaire

x1

x2 axe de

sollicitation

direction d

e l'axe neu

tre20.1

79.7

6.3 MPa

-6.68 MPa

2.6 Tube section rectangulairePour se donner des valeurs numriques, prendre h = 300 mm, b = 200 mm, a1 = 5 mm, a2 = 20

mm.



h

b

a1

a2


A = 2ha2 + 2ba1 .

La section a deux axes de symtrie, le barycentre se trouve leur croisement. Les axes parallles auxsemelles et lme de la section sont principales dinertie. Les moments dinertie sont :

I11 = 2a2h

3

12+ 2a1b

(h

2

)2; I22 = 2

a1b3

12+ 2a2h

(b

2

)2.

Les rayons de giration, les coordonnes du centre de pression, lintersection entre laxe neutre et lesaxes 1 et 2 sont donnes par les mmes formules de lexercice prcdent.

Valeurs numriques pour lexemple donn :

h b a1 a2 A I11 I22 1 2mm mm mm mm cm2 cm4 cm4 mm mm300 200 5 20 140.0 13500 12667 98.2 95.1

Les rponses aux sollicitations indiques sont, dans le premier cas :


dans le deuxime :


(-59.0) (32.6)



et dans le troisime :


(-68.2) (23.1)


mecst_td_5_corr

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