mecst_td_5_corr

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Ecole des Ponts ParisTech Mécanique des structures TD 5 et 6: contraintes dans les sections des poutres 7-21 novembre 2013 1 Enoncé 1.1 Géométrie des surfaces Calculer les moments principaux d’inertie des section données. 1.2 Effort normal et flexion Pour les sections données, tracer l’axe de sollicitation et l’axe neutre et dessiner les diagrammes des contraintes normales pour les sollicitations suivantes, données par rapport au barycentre et aux axes horizontal, x 1 , et vertical, x 2 : N M 1 M 2 kN kNm kNm 1) 50 0.45 0 2) 30 0.25 0.15 3) 0 0.5 0.2 (N effort normal, M i moment fléchissant par rapport à l’axe x i ). 1.3 Effort tranchant et torsion Pour les sections données, dessiner les diagrammes des contraintes tangentielles pour les sollicitations suivantes, données par rapport au barycentre et aux axes horizontal, x 1 , et vertical, x 2 : V 1 V 2 T kN kN kNm 1) 10 0 0 2) 0 10 0 3) 0 0 0.1 (V i effort tranchant suivant l’axe x i , T moment de torsion). 2 Corrigé 2.1 IPE Pour se donner des valeurs numériques, prendre h = 200 mm, b = 100 mm, a 1 =5.6 mm, a 2 =8.5 mm (mesures d’un IPE200). 1

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  • Ecole des Ponts ParisTechMcanique des structures

    TD 5 et 6: contraintes dans les sections des poutres

    7-21 novembre 2013

    1 Enonc

    1.1 Gomtrie des surfacesCalculer les moments principaux dinertie des section donnes.

    1.2 Effort normal et flexionPour les sections donnes, tracer laxe de sollicitation et laxe neutre et dessiner les diagrammes

    des contraintes normales pour les sollicitations suivantes, donnes par rapport au barycentre et aux axeshorizontal, x1, et vertical, x2 :

    N M1 M2kN kNm kNm

    1) 50 0.45 02) 30 0.25 0.153) 0 0.5 0.2

    (N effort normal, Mi moment flchissant par rapport laxe xi).

    1.3 Effort tranchant et torsionPour les sections donnes, dessiner les diagrammes des contraintes tangentielles pour les sollicitations

    suivantes, donnes par rapport au barycentre et aux axes horizontal, x1, et vertical, x2 :

    V1 V2 TkN kN kNm

    1) 10 0 02) 0 10 03) 0 0 0.1

    (Vi effort tranchant suivant laxe xi, T moment de torsion).

    2 Corrig

    2.1 IPEPour se donner des valeurs numriques, prendre h = 200 mm, b = 100 mm, a1 = 5.6 mm, a2 = 8.5

    mm (mesures dun IPE200).

    1

  • 2.1 IPE

    h

    b

    a1

    a2

    a2

    Les calculs se font en ngligeant les termes en a21, a22 et a1a2. Laire de la surface est :

    A = ha1 + 2ba2 .

    La section a deux axes de symtrie, le barycentre se trouve leur croisement. Les axes parallles auxsemelles et lme de la section sont principales dinertie. Les moments dinertie sont :

    I11 =a1h

    3

    12+ 2a2b

    (h

    2

    )2; I22 =

    a2b3

    6.

    Les rayons de giration sont :

    1 =

    I11A

    ; 2 =

    I22A

    .

    Pour une sollicitation deffort normal et flexion, on calcule les coordonnes du centre de pression :

    xN 1 = M2N

    ; xN 2 =M1N

    ;

    et les intersections entre laxe neutre et les axes 1 et 2 :

    x1 = 22

    xN 1; x2 =

    21

    xN 2.

    Laxe de sollicitation forme avec laxe 1 langle :

    = arctan(M1M2

    );

    la direction de laxe neutre par rapport laxe 1 est donne par langle :

    = arctan

    (I11I22

    1

    tan

    )= arctan

    (

    21

    22

    xN 1xN 2

    );

    Ecole des Ponts ParisTech cours Mcanique des structures 2

  • 2.1 IPE

    laxe neutre est parallle aux tangentes lellipse centrale dinertie aux points dintersection de cet ellipseavec laxe de sollicitation.

    Si les valeurs obtenus de xN 1 et xN 2 (intersections entre laxe neutre et les axes du repre) ne per-mettent pas de dessiner aisment laxe neutre, la connaissance de langle pourra simplifier la tche.

    La solution dun problme de flexion simple avec effort normal peut tre reprsente comme lafigure suivante ; la position de laxe neutre peut tre identifie en comparant le diagramme des contraintesdues N avec celui des contraintes dues M1 (ou M2). Pour donner le rsultat, on trace laxe de sollici-tation, le centre de pression et laxe neutre et on dessine le diagramme des contraintes normales.

    x1

    x2

    N

    A

    M1I11

    h2

    M1I11

    h

    2

    max

    min

    + =

    axe neutre

    xN 2

    x2

    centre depression

    N

    A

    axe desollicitation

    Si laxe neutre ne coupe pas la section, les contraintes auront le mme signe en tout point de celle-ci ;dans des tels cas, lorsque laxe neutre sloigne trop de la section, son dessin doit tre omis.

    x1

    x2

    N

    AM1I11

    h2

    M1I11

    h

    2

    max

    min

    + =

    axe neutre

    xN 2

    x2

    centre depression

    axe desollicitation

    N

    A

    NA

    Ecole des Ponts ParisTech cours Mcanique des structures 3

  • 2.1 IPE

    En situation de flexion compose dvie, lintersection de laxe neutre avec un axe du repre corres-pond au point o la contrainte due leffort normal est gale et oppose celle due la flexion droiteautour de lautre axe (voir limage suivante). Pour indiquer dans le dessin le signe des contraintes nor-males, on adopte la convention que les flches diriges vers la section reprsentent des compressions,celles sloignant des tractions.

    x1

    x2

    N

    A

    M1I11

    h2

    M1I11

    h

    2

    max

    min

    axe

    neutre

    xN 2

    x2

    centre depression

    axe de sollicitation

    N

    A

    M2I22

    b2

    M2I22

    b

    2

    xN 1x1

    NA

    En flexion simple dvie laxe neutre passe par le barycentre, sa direction se trouve par le calcul delangle o par lidentification de deux points contrainte nulle sur la section (voir image suivante, lespoints contrainte nulle sont pris sur les deux semelles).

    Ecole des Ponts ParisTech cours Mcanique des structures 4

  • 2.1 IPE

    x1

    x2

    M1I11

    h2

    M1I11

    h

    2

    max

    min

    axe

    neut

    re

    axe du mo

    ment

    M2I22

    b2

    M2I22

    b

    2

    axe de sollicitation

    M1 +M2

    M1I11

    h2

    M1I11

    h

    2

    Les valeurs numriques pour lexemple donn sont les suivantes

    h b a1 a2 A I11 I22 1 2mm mm mm mm cm2 cm4 cm4 mm mm200 100 5.6 8.5 28.2 2073.33 141.67 85.7 22.4

    La gomtrie de lexemple est reprsente ci-dessous

    Ecole des Ponts ParisTech cours Mcanique des structures 5

  • 2.1 IPE

    0 50mm

    85.7

    22.4

    100

    200

    5.6

    8.5

    On trace laxe de sollicitation et laxe neutre et on dessine les diagrammes des contraintes normalespour les sollicitations suivantes, donnes par rapport au barycentre et aux axes horizontal, x1, et vertical,x2, du dessin :

    N M1 M2kN kNm kNm

    1) 50 0.45 02) 30 0.25 0.153) 0 0.5 0.2

    (N effort normal, Mi moment flchissant par rapport laxe xi).Pour le premier cas (effort normal et flexion droite, laxe neutre est parallle laxe 1), on a le valeurs

    et la reprsentation graphique suivants :

    N M1 M2 xN 1 xN 2 x1 x2 min max GkN kNm kNm mm mm mm mm rad rad MPa MPa MPa50 0.45 0 0.0 9.0 -816.9 pi/2 0 15.6 19.9 17.7

    Ecole des Ponts ParisTech cours Mcanique des structures 6

  • 2.1 IPE

    9.0

    19.9 MPa

    x1

    x2

    centre de pression

    15.6 MPa

    Pour le deuxime cas, la situation est de flexion compose dvie ; on obtient les valeurs et la repr-sentation suivants :

    N M1 M2 xN 1 xN 2 x1 x2 min max GkN kNm kNm mm mm mm mm rad rad MPa MPa MPa30 0.25 0.15 -5.0 8.3 100.4 -882.3 -1.030 1.457 4.1 17.1 10.6

    (-59.0) (83.5)

    Ecole des Ponts ParisTech cours Mcanique des structures 7

  • 2.1 IPE

    5.0

    8.3x1

    x2

    centre de pression

    axe de sollicitation

    dire

    ctio

    n de

    l'ax

    e ne

    utre

    17.1 MPa4.1 MPa

    59.0

    83.5

    axe

    neut

    re

    100.4

    On remarque que les intersections de laxe neutre avec les axes du repre sobtiennent par la construc-tion des deux triangles rectangles (dont un reprsent dans limage). La construction se base sur le faitque les rayons de giration de la section sont les termes du milieux dans les proportions :

    x1/2 = 2/xN 1 ; x2/1 = 1/xN 2qui est une proprit analogue celle de la hauteur relative lhypotnuse dun triangle rectangle parrapport aux projections des deux autres cots sur lhypotnuse.

    Pour le troisime jeu de valeurs la condition est de flexion dvie sans effort normal, laxe de solli-citation est normal laxe du moment resultant, le centre de pression se trouve linfini et laxe neutrepasse par le barycentre. La solution est dcrite par les valeurs et la reprsentation suivants :

    N M1 M2 xN 1 xN 2 x1 x2 min max GkN kNm kNm mm mm mm mm rad rad MPa MPa MPa0 0.50 0.20 0.0 0.0 -1.190 1.402 -9.5 9.5 0.0

    (-68.2) (80.3)

    Ecole des Ponts ParisTech cours Mcanique des structures 8

  • 2.1 IPE

    x1

    x2

    axe de sollicitation

    axe

    neut

    re

    9.5 MPa-9.5 MPa

    68.2

    80.3

    Les contraintes tangentielles se calculent par la formule de Jourawski.On dnote par A les points de jonction entre semelle et me (la symtrie des problmes permet de ne

    pas distinguer ces points). Les moments statiques qui permettent de caractriser la solution sont

    SA1 =a2hb

    4; SG1 =

    a2hb

    2+a1h

    2

    8; SA2 = S

    G2 =

    a2b2

    8

    Les contraintes tangentielles :

    A1 =V1S

    A2

    I22a2+V2S

    A1

    I11a2; A2 =

    V22SA1

    I11a1; G2 =

    V2SG1

    I11a1.

    Valeurs numriques :

    V1 V2 T A1 A2 G2kN kN kNm MPa MPa MPa10.0 0.0 0.0 8.8

    Ecole des Ponts ParisTech cours Mcanique des structures 9

  • 2.1 IPE

    x1

    x2

    8.8 MPa

    V1 V2 T A1 A2 G2kN kN kNm MPa MPa MPa0.0 10.0 0.0 2.4 7.3 9.7

    Ecole des Ponts ParisTech cours Mcanique des structures 10

  • 2.2 T

    x1

    x2

    2.4 MPa

    7.4 MPa

    9.7 MPa

    2.2 TPour se donner des valeurs numriques, prendre h = 100 mm, b = 80 mm, a1 = 6 mm, a2 = 8 mm.

    h

    b

    a1

    a2

    Ecole des Ponts ParisTech cours Mcanique des structures 11

  • 2.2 T

    Les calculs se font toujours en ngligeant les termes en a21, a22 et a1a2. Laire de la surface est :

    A = ha1 + ba2 .

    La section a un axe de symtrie (laxe de lme qui sera pris comme axe 2), le barycentre se trouve surcet axe et une distance de la base de lme mesure sur x2 :

    xG2 =hba2 +

    h2a12

    A.

    Les axes parallles aux semelles et lme de la section sont principales dinertie. Les moments dinertiesont :

    I11 =a1h

    3

    12+ a2b (h xG2)2 + a1h

    (h

    2 xG2

    )2; I22 =

    a2b3

    12.

    Les rayons de giration, les coordonnes du centre de pression, les intersections entre laxe neutre et lesaxes 1 et 2 et les directions de laxe de sollicitation et de laxe neutre sont donnes par les mmes formulesque pour lexercice prcdent.

    Dans le cas de flexion simple et effort normal le diagramme des contraintes sera, comme dans ledessin suivant, facilement trac comme somme des deux diagrammes de sollicitation pure. La sectionntant pas symtrique par rapport laxe 1, les contraintes maximales et minimales de flexion pure nontpas la mme valeur absolue, la partie de la section plus loigne du barycentre exprimant la contraintemaximale en valeur absolue.

    x1

    x2

    N

    A

    max

    min

    + =

    axe neutre

    xN 2

    x2

    centre depression

    axe desollicitation

    M1I11

    (xG2 h)

    M1I11

    (h xG2)

    xG2

    Si le centre de pression sort de laxe de symtrie de la section, il est toujours possible de dessinerle diagramme des contraintes comme somme des diagrammes de sollicitation pure. Les intersections delaxe neutre avec les axes principales et centrales dinertie (pris comme axes du repre) correspondentaux valeurs des contraintes de flexion pure (ventuellement prolong lextrieur de la section, commedans la figure suivante) gales et opposs la contrainte deffort normal pur.

    Ecole des Ponts ParisTech cours Mcanique des structures 12

  • 2.2 T

    x1

    x2

    N

    A

    min

    axe n

    eutre

    xN 2

    x2

    centre depression

    axe de sollicitation

    N

    A

    M2I22

    b2

    M2I22

    b

    2

    xN 1x1

    max

    N

    A

    M1I11

    (xG2 h)

    M1I11

    (h xG2)

    xG2

    En condition de flexion dvie pure, laxe neutre passe par le barycentre ; il pourra tre dtermin parle calcul de son inclination sur laxe 1 ou par la recherche dun point contrainte nulle sur le bord dela section (comme le point en figure sur lextrados de la semelle).

    Ecole des Ponts ParisTech cours Mcanique des structures 13

  • 2.2 T

    x1

    x2

    max

    min

    axe n

    eutre

    axe dumoment

    M2I22

    b2

    M2I22

    b

    2

    axe de sollicitation

    M1 +M2

    M1I11

    (xG2 h)

    M1I11

    (h xG2)

    M1I11

    (xG2 h)

    xG2

    Valeurs numriques et gomtrie pour lexemple donn :

    h b a1 a2 A I11 I22 1 2mm mm mm mm cm2 cm4 cm4 mm mm100 80 6 8 12.4 127.42 34.13 32.1 16.6

    Ecole des Ponts ParisTech cours Mcanique des structures 14

  • 2.2 T

    0 30 mm

    32.1

    16.6

    80

    100

    6.0

    8.0

    75.8

    Les sollicitations de calcul sont les mmes de lexercice prcdent.Pour la premire condition on obtient (il sagit de flexion compose droite avec axe neutre parallle

    laxe 1)

    N M1 M2 xN 1 xN 2 x1 x2 min max GkN kNm kNm mm mm mm mm rad rad MPa MPa MPa50 0.45 0.00 0.0 9.0 -114.2 pi/2 0 31.8 67.1 40.3

    9.0

    31.8 MPa

    centre de pression

    x1

    x2

    67.1 MPa

    40.3 MPa

    Pour la deuxime :N M1 M2 xN 1 xN 2 x1 x2 min max GkN kNm kNm mm mm mm mm rad rad MPa MPa MPa30 0.25 0.15 -5.0 8.3 55.1 -123.3 -1.030 1.151 1.9 39.1 24.2

    (-59.0) (65.9)

    Ecole des Ponts ParisTech cours Mcanique des structures 15

  • 2.2 T

    8.3

    1.9 MPa

    centre de pression

    x1

    x2

    39.1 MPa

    24.2 MPa

    5.0

    axe de sollicitation

    123.3

    55.1

    axe n

    eutre

    65.9

    59.0

    Pour la troisime (axe neutre passant par le barycentre, comme pour lexercice prcdent)

    N M1 M2 xN 1 xN 2 x1 x2 min max GkN kNm kNm mm mm mm mm rad rad MPa MPa MPa0 0.50 0.20 0.0 0.0 -1.190 0.981 -32.9 29.7 0.0

    (-68.2) (56.2)

    Ecole des Ponts ParisTech cours Mcanique des structures 16

  • 2.2 T

    -32.9 MPa

    x1

    x2

    29.7 MPa

    axe de sollicitation

    axe n

    eutre

    23.4 MPa

    x1

    x2

    Ecole des Ponts ParisTech cours Mcanique des structures 17

  • 2.3 L

    x1

    x2

    20.3 MPa

    22.6 MPa

    7.6 MPa

    2.3 LPour se donner des valeurs numriques, prendre h = 100 mm, b = 80 mm, a1 = 6 mm, a2 = 8 mm.

    h

    b

    a1

    a2

    Les calculs se font toujours en ngligeant les termes en a21, a22 et a1a2. Laire de la surface est donc :

    A = ha1 + ba2 .

    La section na pas daxe de symtrie, on se donne la position du barycentre par rapport au point gacuhede la base de lme :

    xG1 =b2a22

    A; xG2 =

    hba2 +h2a12

    A.

    Les axes parallles aux semelles et lme de la section ne sont pas principales dinertie. Les momentsdinertie sont :

    I 11 =a1h

    3

    12+ a2b (h xG2)2 + a1h

    (xG2

    h

    2

    )2;

    Ecole des Ponts ParisTech cours Mcanique des structures 18

  • 2.3 L

    I 22 =a2b

    3

    12+ a2b

    (b

    2 xG1

    )2+ a1hxG

    21 ;

    I 12 = ba2 (h xG2)(b

    2 xG1

    )+ ha1

    (xG2

    h

    2

    )xG1

    Les axes principaux dinertie sont identits par la rotation (dans le sens trigonomtrique) :

    = 12

    arctan

    (2I 12

    I 11 I 22

    )et

    I11 = I11 cos

    2 + I 22 sin2 I 12 sin cos ; I22 = I 11 sin2 + I 22 cos2 + I 12 sin cos

    En se rfrent aux axes principaux dinertie, les rayons de giration, les coordonnes du centre depression, lintersection entre laxe neutre et les axes 1 et 2 sont donnes par les mmes formules delexercice prcdent.

    Valeurs numriques pour lexemple donn :

    h b a1 a2 A xG1 xG2 I11 I

    22 I

    12

    mm mm mm mm cm2 mm mm cm4 cm4 cm4 rad100 80 6 8 12.4 20.6 75.8 127.42 83.68 61.94 -0.6157

    (-35.3)

    I11 I22 1 2cm4 cm4 mm mm

    171.23 39.87 37.2 17.9

    80

    100

    20.6

    75.8

    6

    8

    37.217.9

    x1

    x2

    35.3

    0 50 mm

    Ecole des Ponts ParisTech cours Mcanique des structures 19

  • 2.3 L

    Pour les calculs des contraintes, il convient de se donner les moments dans le systme principal par lechangement :

    M1 = M1 cos +M2 sin ; M2 = M1 sin +M2 cos .La solution pour le premier chargement est :

    N M1 M2 M1 M2kN kNm kNm kNm kNm50 0.45 0.00 0.37 0.26

    xN 1 xN 2 x1 x2 min max Gmm mm mm mm rad rad MPa MPa MPa-5.2 7.3 61.9 -187.9 -0.955 1.253 18.5 73.7 40.3

    (-54.7) (71.8)

    Le dessin ci-dessous montre les lments gomtriques caractrisant la position de laxe neutre.

    Ecole des Ponts ParisTech cours Mcanique des structures 20

  • 2.3 L

    5.2

    x1

    x2

    7.3

    187.9

    61.9

    axe de sollicitationax

    e ne

    utre

    71.78

    54.72

    La solution est entirement reprsente dans limage suivante.

    Ecole des Ponts ParisTech cours Mcanique des structures 21

  • 2.3 L

    5.2

    x1

    x2

    7.3

    187.9

    61.9

    0.45 kNm

    50 kN

    axe de sollicitationax

    e ne

    utre

    71.78

    54.72

    73.7 MPa

    18.6 MPa40.3 MPa

    Pour le deuxime cas de chargement, la solution est :

    N M1 M2 M1 M2kN kNm kNm kNm kNm30 0.25 0.15 0.12 0.27

    xN 1 xN 2 x1 x2 min max Gmm mm mm mm rad rad MPa MPa MPa-9.0 3.9 36.1 -352.7 -0.414 1.469 3.0 47.3 24.2

    (-23.8) (84.1)

    Tracement de laxe neutre :

    Ecole des Ponts ParisTech cours Mcanique des structures 22

  • 2.3 L

    9.0

    x1

    x2

    3.9

    36.1 axe de sollicitation

    axe

    neut

    re

    84.15

    23.76

    Dessin de la solution :

    9.0

    x1

    x2

    3.9

    36.1

    0.25 kNm

    30 kN

    axe de sollicitation

    axe

    neut

    re

    84.15

    23.76

    47.28 MPa

    3.02 MPa

    0.15 kNm

    Pour le troisime cas la solution est :

    Ecole des Ponts ParisTech cours Mcanique des structures 23

  • 2.3 L

    N M1 M2 M1 M2kN kNm kNm kNm kNm0 0.50 0.20 0.29 0.45

    xN 1 xN 2 x1 x2 min max Gmm mm mm mm rad rad MPa MPa MPa 0.0 0.0 -0.575 1.421 -36.3 43.1 0.0

    (-32.9) (81.4)

    x1

    x2

    0.50 kNm

    axe de sollicitation

    axe

    neut

    re

    81.43

    32.92

    43.1 MPa-36.3 MPa

    0.20 kNm

    Pour calculer les contraintes dues leffort tranchant, il faut se rfrer aux axes principaux dinertie dela section et dcomposer la sollicitation sur ces axes pour ensuite valuer sparment les effets de chaquecomposante. Les diagrammes auront dans tous les cas une allure parabolique. Le maximum des parabolesse trouve aux croisements entre laxe de llment de section considr et laxe dinertie orthogonal ladirection de leffort tranchant tudi. Dans la figure ci-dessous, reprsentant les contraintes pour une sol-licitation deffort tranchant parallle laxe 2, les deux paraboles ont leurs maximum en correspondancedes points A et B.

    Ecole des Ponts ParisTech cours Mcanique des structures 24

  • 2.4 U

    x1

    x2

    A

    B

    G

    smaxamax

    Ces points dextremum se dplacent si la sollicitation est parallle a laxe 1, comme dans la figureci-dessous.

    2.4 UPour se donner des valeurs numriques, prendre h = 100 mm, b = 50 mm, a1 = 6 mm, a2 = 8 mm.

    h

    b

    a1

    a2

    a2

    Ecole des Ponts ParisTech cours Mcanique des structures 25

  • 2.4 U

    Les calculs se font toujours en ngligeant les termes en a21, a22 et a1a2. Laire de la surface est :

    A = ha1 + 2ba2 .

    La section na pas daxe de symtrie, on se donne la position du barycentre par rapport au centre de labase de lme mesure sur :

    xG1 =b2a2A

    ; xG2 = 0 .

    Les axes parallles aux semelles et lme de la section ne sont pas principales dinertie. Les momentsdinertie sont :

    I11 =a1h

    3

    12+ a2b

    (h

    2

    )2;

    I22 =a2b

    3

    6+ a2b

    (b

    2 xG1

    )2+ a1hxG

    21 .

    Les rayons de giration, les coordonnes du centre de pression, lintersection entre laxe neutre et lesaxes 1 et 2 sont donnes par les mmes formules de lexercice prcdent.

    Valeurs numriques pour lexemple donn (les coordonnes du barycentre sont donnes par rapportau centre de lme) :

    h b a1 a2 A xG1 xG2 I11 I22 1 2mm mm mm mm cm2 mm mm cm4 cm4 mm mm100 50 6 8 14.0 14.3 0.0 150.00 33.50 32.7 15.5

    x1

    x2

    14.3

    32.7

    15.5

    0 30 mm

    Les rponses aux sollicitations indiques sont, dans le premier cas

    N M1 M2 xN 1 xN 2 x1 x2 min max GkN kNm kNm mm mm mm mm rad rad MPa MPa MPa50 0.45 0.00 0.0 9.0 -119.1 pi/2 0 20.7 50.7 35.7

    Ecole des Ponts ParisTech cours Mcanique des structures 26

  • 2.4 U

    x1

    x2

    + =

    axe neutre

    axe desollicitation

    9.0

    119.120.7 MPa

    50.7 MPa

    35.7 MPa -15.0 MPa

    15.0 MPa

    centre depression

    dans le deuxime :

    N M1 M2 xN 1 xN 2 x1 x2 min max GkN kNm kNm mm mm mm mm rad rad MPa MPa MPa30 0.25 0.15 -5.0 8.3 47.8 -128.6 -1.030 1.214 6.7 45.8 21.4

    (-59.0) (69.6)

    Ecole des Ponts ParisTech cours Mcanique des structures 27

  • 2.4 U

    x1

    x2

    axe n

    eutre

    axe de

    sollicitation

    8.3

    47.8

    6.7 MPa

    45.8 MPa

    centre depression

    5.0

    128.6

    21.4 MPa

    et dans le troisime (flexion dvie sans effort normal, axe neutre passant par le barycentre)

    N M1 M2 xN 1 xN 2 x1 x2 min max GkN kNm kNm mm mm mm mm rad rad MPa MPa MPa0 0.50 0.20 0.0 0.0 -1.190 1.062 -25.2 38.0 0.0

    (-68.2) (60.8)

    Ecole des Ponts ParisTech cours Mcanique des structures 28

  • 2.5 Section non standard

    x1

    x2

    axe n

    eutre

    axe desollicitation

    38.0 MPa-25.2 MPa

    60.8

    68.2

    2.5 Section non standardPour se donner des valeurs numriques, prendre h = 140 mm, a = 6.5 mm.

    h

    h/2

    h/2

    aa

    a

    a

    Les calculs se font en ngligeant les termes en a2. Laire de la surface est :

    A =5

    2ah .

    Ecole des Ponts ParisTech cours Mcanique des structures 29

  • 2.5 Section non standard

    La section na pas daxe de symtrie, on se donne la position du barycentre par rapport au point en bas gauche :

    xG1 =ah2

    2

    A=

    1

    5h ; xG2 =

    9ah2

    8

    A=

    9

    20h .

    Les axes parallles aux cots de la section ne sont pas principales dinertie. Les moments dinertie parrapport des axes parallles aux cots de la section et passant par le barycentre sont :

    I11 =67

    160ah3 ; I22 =

    47

    240ah3 ; I12 = 3

    80ah3 ;

    Langle entre les semelles de la section et laxe principal dinertie majeur est

    =1

    2arctan

    54

    127= 0.201 rad (= 11.5).

    Valeurs numriques pour lexemple donn (les coordonnes du barycentre sont donnes par rapportau point en bas et gauche de la section) :

    h a A xG1 xG2 I11 I

    22 I

    12

    mm mm cm2 mm mm cm4 cm4 cm4 rad140 6.5 22.8 28.0 63.0 663.90 349.29 -66.89 0.2010

    (11.5)

    I11 I22 1 2cm4 cm4 mm mm

    677.52 335.66 54.6 38.4

    x1

    x2

    38.4

    63.0

    28.0

    54.6

    11.5

    0 50mm

    Pour les calculs des contraintes, il convient de se donner les moments dans le systme principal par lechangement :

    M1 = M1 cos +M2 sin ; M2 = M1 sin +M2 cos .La solution pour le premier chargement est :

    Ecole des Ponts ParisTech cours Mcanique des structures 30

  • 2.5 Section non standard

    N M1 M2 M1 M2kN kNm kNm kNm kNm50 0.45 0.00 0.44 -0.09

    xN 1 xN 2 x1 x2 min max Gmm mm mm mm rad rad MPa MPa MPa1.8 8.8 -821.0 -337.7 1.370 0.390 16.1 26.7 22.0

    (78.5) (-22.4)

    La solution est reprsente ci-dessous

    x1

    x2

    11.5

    axe desollicitation

    direction de l'axe neutre

    1.8

    8.8 9.0

    22.4

    78.5

    16.1 MPa

    26.7 MPa

    22.0 MPa

    Pour le deuxime :

    N M1 M2 M1 M2kN kNm kNm kNm kNm30 0.25 0.15 0.28 0.10

    xN 1 xN 2 x1 x2 min max Gmm mm mm mm rad rad MPa MPa MPa-3.2 9.2 456.0 -325.0 -1.231 0.619 9.5 16.9 13.2

    (-70.6) (35.5)

    Ecole des Ponts ParisTech cours Mcanique des structures 31

  • 2.5 Section non standard

    x1

    x2

    axe de

    sollicitation

    directio

    n de l'

    axe ne

    utre

    3.2

    9.2

    35.5

    70.6

    16.9 MPa

    9.5 MPa

    13.2 MPa

    Pour le troisime

    N M1 M2 M1 M2kN kNm kNm kNm kNm0 0.50 0.20 0.53 0.10

    xN 1 xN 2 x1 x2 min max Gmm mm mm mm rad rad MPa MPa MPa 0.0 0.0 -1.391 0.351 -6.68 6.30 0.0

    (-79.7) (20.1)

    Ecole des Ponts ParisTech cours Mcanique des structures 32

  • 2.6 Tube section rectangulaire

    x1

    x2 axe de

    sollicitation

    direction d

    e l'axe neu

    tre20.1

    79.7

    6.3 MPa

    -6.68 MPa

    2.6 Tube section rectangulairePour se donner des valeurs numriques, prendre h = 300 mm, b = 200 mm, a1 = 5 mm, a2 = 20

    mm.

    Ecole des Ponts ParisTech cours Mcanique des structures 33

  • 2.6 Tube section rectangulaire

    h

    b

    a1

    a2

    Les calculs se font toujours en ngligeant les termes en a21, a22 et a1a2. Laire de la surface est :

    A = 2ha2 + 2ba1 .

    La section a deux axes de symtrie, le barycentre se trouve leur croisement. Les axes parallles auxsemelles et lme de la section sont principales dinertie. Les moments dinertie sont :

    I11 = 2a2h

    3

    12+ 2a1b

    (h

    2

    )2; I22 = 2

    a1b3

    12+ 2a2h

    (b

    2

    )2.

    Les rayons de giration, les coordonnes du centre de pression, lintersection entre laxe neutre et lesaxes 1 et 2 sont donnes par les mmes formules de lexercice prcdent.

    Valeurs numriques pour lexemple donn :

    h b a1 a2 A I11 I22 1 2mm mm mm mm cm2 cm4 cm4 mm mm300 200 5 20 140.0 13500 12667 98.2 95.1

    Les rponses aux sollicitations indiques sont, dans le premier cas :

    N M1 M2 xN 1 xN 2 x1 x2 min max GkN kNm kNm mm mm mm mm rad rad MPa MPa MPa50 0.45 0.00 0.0 9.0 -1071.4 pi/2 0 3.0 4.1 3.6

    dans le deuxime :

    N M1 M2 xN 1 xN 2 x1 x2 min max GkN kNm kNm mm mm mm mm rad rad MPa MPa MPa30 0.25 0.15 -5.0 8.3 1809.5 -1157.1 -1.030 0.569 1.7 2.5 2.1

    (-59.0) (32.6)

    Ecole des Ponts ParisTech cours Mcanique des structures 34

  • 2.6 Tube section rectangulaire

    et dans le troisime :

    N M1 M2 xN 1 xN 2 x1 x2 min max GkN kNm kNm mm mm mm mm rad rad MPa MPa MPa0 0.50 0.20 0.0 0.0 -1.190 0.403 -0.713 0.713 0.0

    (-68.2) (23.1)

    Ecole des Ponts ParisTech cours Mcanique des structures 35