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-
Ecole des Ponts ParisTechMcanique des structures
TD 5 et 6: contraintes dans les sections des poutres
7-21 novembre 2013
1 Enonc
1.1 Gomtrie des surfacesCalculer les moments principaux dinertie des section donnes.
1.2 Effort normal et flexionPour les sections donnes, tracer laxe de sollicitation et laxe neutre et dessiner les diagrammes
des contraintes normales pour les sollicitations suivantes, donnes par rapport au barycentre et aux axeshorizontal, x1, et vertical, x2 :
N M1 M2kN kNm kNm
1) 50 0.45 02) 30 0.25 0.153) 0 0.5 0.2
(N effort normal, Mi moment flchissant par rapport laxe xi).
1.3 Effort tranchant et torsionPour les sections donnes, dessiner les diagrammes des contraintes tangentielles pour les sollicitations
suivantes, donnes par rapport au barycentre et aux axes horizontal, x1, et vertical, x2 :
V1 V2 TkN kN kNm
1) 10 0 02) 0 10 03) 0 0 0.1
(Vi effort tranchant suivant laxe xi, T moment de torsion).
2 Corrig
2.1 IPEPour se donner des valeurs numriques, prendre h = 200 mm, b = 100 mm, a1 = 5.6 mm, a2 = 8.5
mm (mesures dun IPE200).
1
-
2.1 IPE
h
b
a1
a2
a2
Les calculs se font en ngligeant les termes en a21, a22 et a1a2. Laire de la surface est :
A = ha1 + 2ba2 .
La section a deux axes de symtrie, le barycentre se trouve leur croisement. Les axes parallles auxsemelles et lme de la section sont principales dinertie. Les moments dinertie sont :
I11 =a1h
3
12+ 2a2b
(h
2
)2; I22 =
a2b3
6.
Les rayons de giration sont :
1 =
I11A
; 2 =
I22A
.
Pour une sollicitation deffort normal et flexion, on calcule les coordonnes du centre de pression :
xN 1 = M2N
; xN 2 =M1N
;
et les intersections entre laxe neutre et les axes 1 et 2 :
x1 = 22
xN 1; x2 =
21
xN 2.
Laxe de sollicitation forme avec laxe 1 langle :
= arctan(M1M2
);
la direction de laxe neutre par rapport laxe 1 est donne par langle :
= arctan
(I11I22
1
tan
)= arctan
(
21
22
xN 1xN 2
);
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2.1 IPE
laxe neutre est parallle aux tangentes lellipse centrale dinertie aux points dintersection de cet ellipseavec laxe de sollicitation.
Si les valeurs obtenus de xN 1 et xN 2 (intersections entre laxe neutre et les axes du repre) ne per-mettent pas de dessiner aisment laxe neutre, la connaissance de langle pourra simplifier la tche.
La solution dun problme de flexion simple avec effort normal peut tre reprsente comme lafigure suivante ; la position de laxe neutre peut tre identifie en comparant le diagramme des contraintesdues N avec celui des contraintes dues M1 (ou M2). Pour donner le rsultat, on trace laxe de sollici-tation, le centre de pression et laxe neutre et on dessine le diagramme des contraintes normales.
x1
x2
N
A
M1I11
h2
M1I11
h
2
max
min
+ =
axe neutre
xN 2
x2
centre depression
N
A
axe desollicitation
Si laxe neutre ne coupe pas la section, les contraintes auront le mme signe en tout point de celle-ci ;dans des tels cas, lorsque laxe neutre sloigne trop de la section, son dessin doit tre omis.
x1
x2
N
AM1I11
h2
M1I11
h
2
max
min
+ =
axe neutre
xN 2
x2
centre depression
axe desollicitation
N
A
NA
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2.1 IPE
En situation de flexion compose dvie, lintersection de laxe neutre avec un axe du repre corres-pond au point o la contrainte due leffort normal est gale et oppose celle due la flexion droiteautour de lautre axe (voir limage suivante). Pour indiquer dans le dessin le signe des contraintes nor-males, on adopte la convention que les flches diriges vers la section reprsentent des compressions,celles sloignant des tractions.
x1
x2
N
A
M1I11
h2
M1I11
h
2
max
min
axe
neutre
xN 2
x2
centre depression
axe de sollicitation
N
A
M2I22
b2
M2I22
b
2
xN 1x1
NA
En flexion simple dvie laxe neutre passe par le barycentre, sa direction se trouve par le calcul delangle o par lidentification de deux points contrainte nulle sur la section (voir image suivante, lespoints contrainte nulle sont pris sur les deux semelles).
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2.1 IPE
x1
x2
M1I11
h2
M1I11
h
2
max
min
axe
neut
re
axe du mo
ment
M2I22
b2
M2I22
b
2
axe de sollicitation
M1 +M2
M1I11
h2
M1I11
h
2
Les valeurs numriques pour lexemple donn sont les suivantes
h b a1 a2 A I11 I22 1 2mm mm mm mm cm2 cm4 cm4 mm mm200 100 5.6 8.5 28.2 2073.33 141.67 85.7 22.4
La gomtrie de lexemple est reprsente ci-dessous
Ecole des Ponts ParisTech cours Mcanique des structures 5
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2.1 IPE
0 50mm
85.7
22.4
100
200
5.6
8.5
On trace laxe de sollicitation et laxe neutre et on dessine les diagrammes des contraintes normalespour les sollicitations suivantes, donnes par rapport au barycentre et aux axes horizontal, x1, et vertical,x2, du dessin :
N M1 M2kN kNm kNm
1) 50 0.45 02) 30 0.25 0.153) 0 0.5 0.2
(N effort normal, Mi moment flchissant par rapport laxe xi).Pour le premier cas (effort normal et flexion droite, laxe neutre est parallle laxe 1), on a le valeurs
et la reprsentation graphique suivants :
N M1 M2 xN 1 xN 2 x1 x2 min max GkN kNm kNm mm mm mm mm rad rad MPa MPa MPa50 0.45 0 0.0 9.0 -816.9 pi/2 0 15.6 19.9 17.7
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2.1 IPE
9.0
19.9 MPa
x1
x2
centre de pression
15.6 MPa
Pour le deuxime cas, la situation est de flexion compose dvie ; on obtient les valeurs et la repr-sentation suivants :
N M1 M2 xN 1 xN 2 x1 x2 min max GkN kNm kNm mm mm mm mm rad rad MPa MPa MPa30 0.25 0.15 -5.0 8.3 100.4 -882.3 -1.030 1.457 4.1 17.1 10.6
(-59.0) (83.5)
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2.1 IPE
5.0
8.3x1
x2
centre de pression
axe de sollicitation
dire
ctio
n de
l'ax
e ne
utre
17.1 MPa4.1 MPa
59.0
83.5
axe
neut
re
100.4
On remarque que les intersections de laxe neutre avec les axes du repre sobtiennent par la construc-tion des deux triangles rectangles (dont un reprsent dans limage). La construction se base sur le faitque les rayons de giration de la section sont les termes du milieux dans les proportions :
x1/2 = 2/xN 1 ; x2/1 = 1/xN 2qui est une proprit analogue celle de la hauteur relative lhypotnuse dun triangle rectangle parrapport aux projections des deux autres cots sur lhypotnuse.
Pour le troisime jeu de valeurs la condition est de flexion dvie sans effort normal, laxe de solli-citation est normal laxe du moment resultant, le centre de pression se trouve linfini et laxe neutrepasse par le barycentre. La solution est dcrite par les valeurs et la reprsentation suivants :
N M1 M2 xN 1 xN 2 x1 x2 min max GkN kNm kNm mm mm mm mm rad rad MPa MPa MPa0 0.50 0.20 0.0 0.0 -1.190 1.402 -9.5 9.5 0.0
(-68.2) (80.3)
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2.1 IPE
x1
x2
axe de sollicitation
axe
neut
re
9.5 MPa-9.5 MPa
68.2
80.3
Les contraintes tangentielles se calculent par la formule de Jourawski.On dnote par A les points de jonction entre semelle et me (la symtrie des problmes permet de ne
pas distinguer ces points). Les moments statiques qui permettent de caractriser la solution sont
SA1 =a2hb
4; SG1 =
a2hb
2+a1h
2
8; SA2 = S
G2 =
a2b2
8
Les contraintes tangentielles :
A1 =V1S
A2
I22a2+V2S
A1
I11a2; A2 =
V22SA1
I11a1; G2 =
V2SG1
I11a1.
Valeurs numriques :
V1 V2 T A1 A2 G2kN kN kNm MPa MPa MPa10.0 0.0 0.0 8.8
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2.1 IPE
x1
x2
8.8 MPa
V1 V2 T A1 A2 G2kN kN kNm MPa MPa MPa0.0 10.0 0.0 2.4 7.3 9.7
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2.2 T
x1
x2
2.4 MPa
7.4 MPa
9.7 MPa
2.2 TPour se donner des valeurs numriques, prendre h = 100 mm, b = 80 mm, a1 = 6 mm, a2 = 8 mm.
h
b
a1
a2
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2.2 T
Les calculs se font toujours en ngligeant les termes en a21, a22 et a1a2. Laire de la surface est :
A = ha1 + ba2 .
La section a un axe de symtrie (laxe de lme qui sera pris comme axe 2), le barycentre se trouve surcet axe et une distance de la base de lme mesure sur x2 :
xG2 =hba2 +
h2a12
A.
Les axes parallles aux semelles et lme de la section sont principales dinertie. Les moments dinertiesont :
I11 =a1h
3
12+ a2b (h xG2)2 + a1h
(h
2 xG2
)2; I22 =
a2b3
12.
Les rayons de giration, les coordonnes du centre de pression, les intersections entre laxe neutre et lesaxes 1 et 2 et les directions de laxe de sollicitation et de laxe neutre sont donnes par les mmes formulesque pour lexercice prcdent.
Dans le cas de flexion simple et effort normal le diagramme des contraintes sera, comme dans ledessin suivant, facilement trac comme somme des deux diagrammes de sollicitation pure. La sectionntant pas symtrique par rapport laxe 1, les contraintes maximales et minimales de flexion pure nontpas la mme valeur absolue, la partie de la section plus loigne du barycentre exprimant la contraintemaximale en valeur absolue.
x1
x2
N
A
max
min
+ =
axe neutre
xN 2
x2
centre depression
axe desollicitation
M1I11
(xG2 h)
M1I11
(h xG2)
xG2
Si le centre de pression sort de laxe de symtrie de la section, il est toujours possible de dessinerle diagramme des contraintes comme somme des diagrammes de sollicitation pure. Les intersections delaxe neutre avec les axes principales et centrales dinertie (pris comme axes du repre) correspondentaux valeurs des contraintes de flexion pure (ventuellement prolong lextrieur de la section, commedans la figure suivante) gales et opposs la contrainte deffort normal pur.
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2.2 T
x1
x2
N
A
min
axe n
eutre
xN 2
x2
centre depression
axe de sollicitation
N
A
M2I22
b2
M2I22
b
2
xN 1x1
max
N
A
M1I11
(xG2 h)
M1I11
(h xG2)
xG2
En condition de flexion dvie pure, laxe neutre passe par le barycentre ; il pourra tre dtermin parle calcul de son inclination sur laxe 1 ou par la recherche dun point contrainte nulle sur le bord dela section (comme le point en figure sur lextrados de la semelle).
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-
2.2 T
x1
x2
max
min
axe n
eutre
axe dumoment
M2I22
b2
M2I22
b
2
axe de sollicitation
M1 +M2
M1I11
(xG2 h)
M1I11
(h xG2)
M1I11
(xG2 h)
xG2
Valeurs numriques et gomtrie pour lexemple donn :
h b a1 a2 A I11 I22 1 2mm mm mm mm cm2 cm4 cm4 mm mm100 80 6 8 12.4 127.42 34.13 32.1 16.6
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2.2 T
0 30 mm
32.1
16.6
80
100
6.0
8.0
75.8
Les sollicitations de calcul sont les mmes de lexercice prcdent.Pour la premire condition on obtient (il sagit de flexion compose droite avec axe neutre parallle
laxe 1)
N M1 M2 xN 1 xN 2 x1 x2 min max GkN kNm kNm mm mm mm mm rad rad MPa MPa MPa50 0.45 0.00 0.0 9.0 -114.2 pi/2 0 31.8 67.1 40.3
9.0
31.8 MPa
centre de pression
x1
x2
67.1 MPa
40.3 MPa
Pour la deuxime :N M1 M2 xN 1 xN 2 x1 x2 min max GkN kNm kNm mm mm mm mm rad rad MPa MPa MPa30 0.25 0.15 -5.0 8.3 55.1 -123.3 -1.030 1.151 1.9 39.1 24.2
(-59.0) (65.9)
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2.2 T
8.3
1.9 MPa
centre de pression
x1
x2
39.1 MPa
24.2 MPa
5.0
axe de sollicitation
123.3
55.1
axe n
eutre
65.9
59.0
Pour la troisime (axe neutre passant par le barycentre, comme pour lexercice prcdent)
N M1 M2 xN 1 xN 2 x1 x2 min max GkN kNm kNm mm mm mm mm rad rad MPa MPa MPa0 0.50 0.20 0.0 0.0 -1.190 0.981 -32.9 29.7 0.0
(-68.2) (56.2)
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-
2.2 T
-32.9 MPa
x1
x2
29.7 MPa
axe de sollicitation
axe n
eutre
23.4 MPa
x1
x2
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-
2.3 L
x1
x2
20.3 MPa
22.6 MPa
7.6 MPa
2.3 LPour se donner des valeurs numriques, prendre h = 100 mm, b = 80 mm, a1 = 6 mm, a2 = 8 mm.
h
b
a1
a2
Les calculs se font toujours en ngligeant les termes en a21, a22 et a1a2. Laire de la surface est donc :
A = ha1 + ba2 .
La section na pas daxe de symtrie, on se donne la position du barycentre par rapport au point gacuhede la base de lme :
xG1 =b2a22
A; xG2 =
hba2 +h2a12
A.
Les axes parallles aux semelles et lme de la section ne sont pas principales dinertie. Les momentsdinertie sont :
I 11 =a1h
3
12+ a2b (h xG2)2 + a1h
(xG2
h
2
)2;
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-
2.3 L
I 22 =a2b
3
12+ a2b
(b
2 xG1
)2+ a1hxG
21 ;
I 12 = ba2 (h xG2)(b
2 xG1
)+ ha1
(xG2
h
2
)xG1
Les axes principaux dinertie sont identits par la rotation (dans le sens trigonomtrique) :
= 12
arctan
(2I 12
I 11 I 22
)et
I11 = I11 cos
2 + I 22 sin2 I 12 sin cos ; I22 = I 11 sin2 + I 22 cos2 + I 12 sin cos
En se rfrent aux axes principaux dinertie, les rayons de giration, les coordonnes du centre depression, lintersection entre laxe neutre et les axes 1 et 2 sont donnes par les mmes formules delexercice prcdent.
Valeurs numriques pour lexemple donn :
h b a1 a2 A xG1 xG2 I11 I
22 I
12
mm mm mm mm cm2 mm mm cm4 cm4 cm4 rad100 80 6 8 12.4 20.6 75.8 127.42 83.68 61.94 -0.6157
(-35.3)
I11 I22 1 2cm4 cm4 mm mm
171.23 39.87 37.2 17.9
80
100
20.6
75.8
6
8
37.217.9
x1
x2
35.3
0 50 mm
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-
2.3 L
Pour les calculs des contraintes, il convient de se donner les moments dans le systme principal par lechangement :
M1 = M1 cos +M2 sin ; M2 = M1 sin +M2 cos .La solution pour le premier chargement est :
N M1 M2 M1 M2kN kNm kNm kNm kNm50 0.45 0.00 0.37 0.26
xN 1 xN 2 x1 x2 min max Gmm mm mm mm rad rad MPa MPa MPa-5.2 7.3 61.9 -187.9 -0.955 1.253 18.5 73.7 40.3
(-54.7) (71.8)
Le dessin ci-dessous montre les lments gomtriques caractrisant la position de laxe neutre.
Ecole des Ponts ParisTech cours Mcanique des structures 20
-
2.3 L
5.2
x1
x2
7.3
187.9
61.9
axe de sollicitationax
e ne
utre
71.78
54.72
La solution est entirement reprsente dans limage suivante.
Ecole des Ponts ParisTech cours Mcanique des structures 21
-
2.3 L
5.2
x1
x2
7.3
187.9
61.9
0.45 kNm
50 kN
axe de sollicitationax
e ne
utre
71.78
54.72
73.7 MPa
18.6 MPa40.3 MPa
Pour le deuxime cas de chargement, la solution est :
N M1 M2 M1 M2kN kNm kNm kNm kNm30 0.25 0.15 0.12 0.27
xN 1 xN 2 x1 x2 min max Gmm mm mm mm rad rad MPa MPa MPa-9.0 3.9 36.1 -352.7 -0.414 1.469 3.0 47.3 24.2
(-23.8) (84.1)
Tracement de laxe neutre :
Ecole des Ponts ParisTech cours Mcanique des structures 22
-
2.3 L
9.0
x1
x2
3.9
36.1 axe de sollicitation
axe
neut
re
84.15
23.76
Dessin de la solution :
9.0
x1
x2
3.9
36.1
0.25 kNm
30 kN
axe de sollicitation
axe
neut
re
84.15
23.76
47.28 MPa
3.02 MPa
0.15 kNm
Pour le troisime cas la solution est :
Ecole des Ponts ParisTech cours Mcanique des structures 23
-
2.3 L
N M1 M2 M1 M2kN kNm kNm kNm kNm0 0.50 0.20 0.29 0.45
xN 1 xN 2 x1 x2 min max Gmm mm mm mm rad rad MPa MPa MPa 0.0 0.0 -0.575 1.421 -36.3 43.1 0.0
(-32.9) (81.4)
x1
x2
0.50 kNm
axe de sollicitation
axe
neut
re
81.43
32.92
43.1 MPa-36.3 MPa
0.20 kNm
Pour calculer les contraintes dues leffort tranchant, il faut se rfrer aux axes principaux dinertie dela section et dcomposer la sollicitation sur ces axes pour ensuite valuer sparment les effets de chaquecomposante. Les diagrammes auront dans tous les cas une allure parabolique. Le maximum des parabolesse trouve aux croisements entre laxe de llment de section considr et laxe dinertie orthogonal ladirection de leffort tranchant tudi. Dans la figure ci-dessous, reprsentant les contraintes pour une sol-licitation deffort tranchant parallle laxe 2, les deux paraboles ont leurs maximum en correspondancedes points A et B.
Ecole des Ponts ParisTech cours Mcanique des structures 24
-
2.4 U
x1
x2
A
B
G
smaxamax
Ces points dextremum se dplacent si la sollicitation est parallle a laxe 1, comme dans la figureci-dessous.
2.4 UPour se donner des valeurs numriques, prendre h = 100 mm, b = 50 mm, a1 = 6 mm, a2 = 8 mm.
h
b
a1
a2
a2
Ecole des Ponts ParisTech cours Mcanique des structures 25
-
2.4 U
Les calculs se font toujours en ngligeant les termes en a21, a22 et a1a2. Laire de la surface est :
A = ha1 + 2ba2 .
La section na pas daxe de symtrie, on se donne la position du barycentre par rapport au centre de labase de lme mesure sur :
xG1 =b2a2A
; xG2 = 0 .
Les axes parallles aux semelles et lme de la section ne sont pas principales dinertie. Les momentsdinertie sont :
I11 =a1h
3
12+ a2b
(h
2
)2;
I22 =a2b
3
6+ a2b
(b
2 xG1
)2+ a1hxG
21 .
Les rayons de giration, les coordonnes du centre de pression, lintersection entre laxe neutre et lesaxes 1 et 2 sont donnes par les mmes formules de lexercice prcdent.
Valeurs numriques pour lexemple donn (les coordonnes du barycentre sont donnes par rapportau centre de lme) :
h b a1 a2 A xG1 xG2 I11 I22 1 2mm mm mm mm cm2 mm mm cm4 cm4 mm mm100 50 6 8 14.0 14.3 0.0 150.00 33.50 32.7 15.5
x1
x2
14.3
32.7
15.5
0 30 mm
Les rponses aux sollicitations indiques sont, dans le premier cas
N M1 M2 xN 1 xN 2 x1 x2 min max GkN kNm kNm mm mm mm mm rad rad MPa MPa MPa50 0.45 0.00 0.0 9.0 -119.1 pi/2 0 20.7 50.7 35.7
Ecole des Ponts ParisTech cours Mcanique des structures 26
-
2.4 U
x1
x2
+ =
axe neutre
axe desollicitation
9.0
119.120.7 MPa
50.7 MPa
35.7 MPa -15.0 MPa
15.0 MPa
centre depression
dans le deuxime :
N M1 M2 xN 1 xN 2 x1 x2 min max GkN kNm kNm mm mm mm mm rad rad MPa MPa MPa30 0.25 0.15 -5.0 8.3 47.8 -128.6 -1.030 1.214 6.7 45.8 21.4
(-59.0) (69.6)
Ecole des Ponts ParisTech cours Mcanique des structures 27
-
2.4 U
x1
x2
axe n
eutre
axe de
sollicitation
8.3
47.8
6.7 MPa
45.8 MPa
centre depression
5.0
128.6
21.4 MPa
et dans le troisime (flexion dvie sans effort normal, axe neutre passant par le barycentre)
N M1 M2 xN 1 xN 2 x1 x2 min max GkN kNm kNm mm mm mm mm rad rad MPa MPa MPa0 0.50 0.20 0.0 0.0 -1.190 1.062 -25.2 38.0 0.0
(-68.2) (60.8)
Ecole des Ponts ParisTech cours Mcanique des structures 28
-
2.5 Section non standard
x1
x2
axe n
eutre
axe desollicitation
38.0 MPa-25.2 MPa
60.8
68.2
2.5 Section non standardPour se donner des valeurs numriques, prendre h = 140 mm, a = 6.5 mm.
h
h/2
h/2
aa
a
a
Les calculs se font en ngligeant les termes en a2. Laire de la surface est :
A =5
2ah .
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-
2.5 Section non standard
La section na pas daxe de symtrie, on se donne la position du barycentre par rapport au point en bas gauche :
xG1 =ah2
2
A=
1
5h ; xG2 =
9ah2
8
A=
9
20h .
Les axes parallles aux cots de la section ne sont pas principales dinertie. Les moments dinertie parrapport des axes parallles aux cots de la section et passant par le barycentre sont :
I11 =67
160ah3 ; I22 =
47
240ah3 ; I12 = 3
80ah3 ;
Langle entre les semelles de la section et laxe principal dinertie majeur est
=1
2arctan
54
127= 0.201 rad (= 11.5).
Valeurs numriques pour lexemple donn (les coordonnes du barycentre sont donnes par rapportau point en bas et gauche de la section) :
h a A xG1 xG2 I11 I
22 I
12
mm mm cm2 mm mm cm4 cm4 cm4 rad140 6.5 22.8 28.0 63.0 663.90 349.29 -66.89 0.2010
(11.5)
I11 I22 1 2cm4 cm4 mm mm
677.52 335.66 54.6 38.4
x1
x2
38.4
63.0
28.0
54.6
11.5
0 50mm
Pour les calculs des contraintes, il convient de se donner les moments dans le systme principal par lechangement :
M1 = M1 cos +M2 sin ; M2 = M1 sin +M2 cos .La solution pour le premier chargement est :
Ecole des Ponts ParisTech cours Mcanique des structures 30
-
2.5 Section non standard
N M1 M2 M1 M2kN kNm kNm kNm kNm50 0.45 0.00 0.44 -0.09
xN 1 xN 2 x1 x2 min max Gmm mm mm mm rad rad MPa MPa MPa1.8 8.8 -821.0 -337.7 1.370 0.390 16.1 26.7 22.0
(78.5) (-22.4)
La solution est reprsente ci-dessous
x1
x2
11.5
axe desollicitation
direction de l'axe neutre
1.8
8.8 9.0
22.4
78.5
16.1 MPa
26.7 MPa
22.0 MPa
Pour le deuxime :
N M1 M2 M1 M2kN kNm kNm kNm kNm30 0.25 0.15 0.28 0.10
xN 1 xN 2 x1 x2 min max Gmm mm mm mm rad rad MPa MPa MPa-3.2 9.2 456.0 -325.0 -1.231 0.619 9.5 16.9 13.2
(-70.6) (35.5)
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-
2.5 Section non standard
x1
x2
axe de
sollicitation
directio
n de l'
axe ne
utre
3.2
9.2
35.5
70.6
16.9 MPa
9.5 MPa
13.2 MPa
Pour le troisime
N M1 M2 M1 M2kN kNm kNm kNm kNm0 0.50 0.20 0.53 0.10
xN 1 xN 2 x1 x2 min max Gmm mm mm mm rad rad MPa MPa MPa 0.0 0.0 -1.391 0.351 -6.68 6.30 0.0
(-79.7) (20.1)
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-
2.6 Tube section rectangulaire
x1
x2 axe de
sollicitation
direction d
e l'axe neu
tre20.1
79.7
6.3 MPa
-6.68 MPa
2.6 Tube section rectangulairePour se donner des valeurs numriques, prendre h = 300 mm, b = 200 mm, a1 = 5 mm, a2 = 20
mm.
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-
2.6 Tube section rectangulaire
h
b
a1
a2
Les calculs se font toujours en ngligeant les termes en a21, a22 et a1a2. Laire de la surface est :
A = 2ha2 + 2ba1 .
La section a deux axes de symtrie, le barycentre se trouve leur croisement. Les axes parallles auxsemelles et lme de la section sont principales dinertie. Les moments dinertie sont :
I11 = 2a2h
3
12+ 2a1b
(h
2
)2; I22 = 2
a1b3
12+ 2a2h
(b
2
)2.
Les rayons de giration, les coordonnes du centre de pression, lintersection entre laxe neutre et lesaxes 1 et 2 sont donnes par les mmes formules de lexercice prcdent.
Valeurs numriques pour lexemple donn :
h b a1 a2 A I11 I22 1 2mm mm mm mm cm2 cm4 cm4 mm mm300 200 5 20 140.0 13500 12667 98.2 95.1
Les rponses aux sollicitations indiques sont, dans le premier cas :
N M1 M2 xN 1 xN 2 x1 x2 min max GkN kNm kNm mm mm mm mm rad rad MPa MPa MPa50 0.45 0.00 0.0 9.0 -1071.4 pi/2 0 3.0 4.1 3.6
dans le deuxime :
N M1 M2 xN 1 xN 2 x1 x2 min max GkN kNm kNm mm mm mm mm rad rad MPa MPa MPa30 0.25 0.15 -5.0 8.3 1809.5 -1157.1 -1.030 0.569 1.7 2.5 2.1
(-59.0) (32.6)
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-
2.6 Tube section rectangulaire
et dans le troisime :
N M1 M2 xN 1 xN 2 x1 x2 min max GkN kNm kNm mm mm mm mm rad rad MPa MPa MPa0 0.50 0.20 0.0 0.0 -1.190 0.403 -0.713 0.713 0.0
(-68.2) (23.1)
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