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MECANIQUE DU BETON

Licence de Génie Civil (L3)

Université Paul Sabatier Toulouse III

Un mètre cube de béton (représentant la production et la « consommation » mondiale annuelle de béton par habitant).

PARTIE 2

CARACTERISTIQUES MECANIQUES A COURT TERME

Compression simple (uniaxiale)

En France, l’essai de compression simple est conduit sur des éprouvettes cylindriques.

Si on le conduit en imposant la contrainte et la vitesse de chargement, on obtient une loi de comportement jusqu’à la rupture.

Si on le conduit en imposant la déformation et la vitesse de déformation, on obtient une loi de comportement appréhendant le comportement au-delà de la contrainte maximale supportée par le matériau (on parle de phase « post-pic »).

Compression simple (uniaxiale)

Presses hydrauliques de 600T à gauche, 300T à droite

Résistance en compression du béton

La résistance fcj, à l’âge j, ou fréquemment à l’âge de référence de 28 jours fc28, est le paramètre de base caractérisant un béton. A 28j la résistance varie de 20MPa pour les bétons ordinaires à +400 MPa pour les bétons de poudres réactives de type Ductal©. Un béton de 90MPa de résistance est un béton de haute performance (BHP).

La résistance dépend notamment de la classe de ciment, du dosage en ciment, du rapport ciment/eau, de la compacité du squelette granulaire, de la nature des granulats.

Le BAEL, le BPEL et l'Eurocode 2 (EN 1992-1-1:2004) permettent de calculer des ouvrages dont le béton a une résistance allant jusqu’à Cmax=90MPa.

Si cette valeur est déterminée sur des éprouvettes cubiques, Cmax est portée à 105MPa.

Résistance instantanée (norme EN 206-1)

Elle est obtenue par un essai à vitesse de contrainte contrôlée. La contrainte atteint une valeur maximale considérée comme étant la valeur de résistance du béton.

Résistance encompression du béton

(selon EN 192-1-1:2004)

fck = classe (cylindre)fck,cube = classe (cubes)fcm = moyenne

La résistance à la compression, à l'âge de 28 jours, dite "valeur caractéristique " se mesure par des essais de compression simple sur éprouvettes cylindriques de section 200 cm2 et de hauteur double de leur diamètre (les éprouvettes sont dites "16-32").

Elle est notée fc28 et s'exprime en MPa et correspond dans la norme à la valeur de la résistance au dessous de laquelle peuvent se situer au plus 5% de la population de tous les résultats des essais. Cette résistance caractéristique est donc bien inférieure à la valeur moyenne des résultats d’essai.

Résistance caractéristique en compression du béton

p x= 12

e−1

2 x−

2

Exemple : moyenne = 35 Mpa, écart-type = 5 Mpa, valeur caractéristique = 27 MPa

0,0 10,0 20,0 30,0 40,0 50,0 60,00,000

0,010

0,020

0,030

0,040

0,050

0,060

0,070

0,080

0,090

1/MPa

Fractile = 5%

On introduit la loi normale centrée réduite par :


t = 12

e− t 2

2

La loi normale décrivant la densité de probabilité de la variable aléatoire « résistance mécanique » est ainsi modélisée par .

p x= 1

x−

La résistance caractéristique X est telle que la probabilité d'apparition d'une résistance x plus petite que X est inférieure à 5%.

P x X =0,05=∫0

X 1

x− dx=∫0

X− u du

La loi normale décrivant la densité de probabilité de la variable aléatoire « résistance mécanique » est ainsi modélisée par .

On introduit la fonction « erf » telle que : erf x =∫0

xu du

Ainsi : P x X =erf X − =0,05

On introduit la fonction « erf » telle que :

Or : erf −1,64 =0,05

Ainsi :

Donc : X =−1,64×


exercice

Dans un laboratoire, on réalise un essai de compression simple à contrainte contrôlée, sur une série de N= éprouvettes 16x32.

On obtient les résultats suivants →

Travail demandé :• Calculer la contrainte de compression • Classer les résistances par ordre croissant• Denombrer le nombre d'éprouvettes par intervalle de résistance (de 5 en 5 Mpa)• Tracer l'histogramme des répartitions• Calculer la moyenne• Calculer l'écart-type• Tracer la fonction de densité de probabilité gaussienne• Calculer la résistance caractéristique

Sample # kN

1 778,11

2 645,41

3 723,82

4 828,38

5 569,01

6 930,92

7 755,99

8 677,58

9 866,58

10 788,16

11 892,71

12 639,38

13 760,01


exercice

# MPA

5 28,30

12 31,80

2 32,10

8 33,70

3 36,00

7 37,60

13 37,80

1 38,70

10 39,20

4 41,20

9 43,10

11 44,40

6 46,30

tranche effectif

20-25 0

25-30 1

30-35 3

35-40 5

40-45 3

45-50 1

50-55 0

Mpa*

moyenne 37,71

Écart-type 5,3

val car 29,02

Variation de la résistance avec l’âge du béton

Du fait du durcissement, toute chose égale par ailleurs, la résistance augmente avec le temps. Les classes de ciment élevée favorise des vitesses d’hydratation plus rapides. Les classes R notamment.

Les ouvrages sont chargés de plus en plus tôt après le coulage aussi est il utile de pouvoir estimer la résistance du béton avant le délai de référence de 28j.

Au-delà de 28 jours, la résistance évolue encore mais dans une bien moindre mesure. Le règlement BAEL limite la résistance à fc28.

−⋅

⋅= jC

ccj eff281

28

C est un coefficient dépendant du type de ciment. La formule donne une valeur de résistance limite allant de 1.22 à 1.46 fois la valeur à 28 jours.

fcj versus age (modele CEB-FIP 1990)

0.00

5.00

10.00

15.00

20.00

25.00

30.00

0 100 200 300 400 500 600

age (jour)

rési

stan

ce (f

c28=

20M

pa, C

=0.3

)

Les prescriptions de l’Eurocode 2 sont basées sur le modèle CEB-FIP

Effet d’une contrainte soutenue

Si les actions permanentes G dues à la gravité sont élevées (et provoquent une contrainte « soutenue » σo, celle-ci peut aboutir à la rupture du béton. Ce phénomène est aggravé du fait de l’existence de charges variables supplémentaires (actions variables fréquentes Qf) induisant un supplément de contrainte.

c’est la raison pour laquelle, le règlement BAEL traduit ce phénomène par une résistance de calcul réduite

cjc ffθ85.0=

Avec θ=1 si la durée probable d’application de la combinaison des actions est supérieure à 24h et θ=0.85 sinon. Rappelons que fcj est plafonné à fc28 par le règlement BAEL.

Ce phénomène peut être interprété comme suit : Lorsque le béton est durablement soumis à une contrainte soutenue, celle-ci provoque l’apparition d’un endommagement sous forme de microfissures qui se développent peu à peu avec le temps en affaiblissant le matériau.

EFFET D'UNE CONTRAINTE SOUTENUE

0.00

5.00

10.00

15.00

20.00

25.00

30.00

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90

âge (jour)

cont

rain

te s

oute

nue

de ru

ptur

e M

Pa

B20 chargé à 2 jours

On peut exprimer empiriquement la résistance instantanée fc (fonction du temps d'hydratation) en fonction de la contrainte soutenue de rupture σu, de la date d’application t0, et du temps d’application du de la contrainte jusqu’à la rupture.

Effet d’une contrainte soutenue

( ) ( )uucu ddtf log03.010 ×−×+=σ

(où du est exprimé en secondes). Cette loi montre la compétition qui existe entre l’augmentation de résistance instantanée due à l’hydratation et l’endommagement due à la contrainte soutenue.

REDUCTION DE LA CONTRAINTE INSTANTANEE

76%

77%

78%

79%

80%

81%

82%

83%

0 100 200 300 400 500

durée application de la contrainte soutenue

% d

e ré

duct

ion

de fc

j

Effet d’un chargement cyclique

On considère un béton soumis à des cycles de contraintes d’amplitude constante variant entre σmin et σmax= σmin+ ∆σfu.

On peut exprimer la contrainte de rupture σmax= σmin+ ∆σfu en fonction de la résistance instantanée fc (formule de Hsu 1981).

La durée de chargement jusqu’à la rupture est du=nu.T où T est la période de chargement,

nu est le nombre de cycles ayant provoqué ladite rupture. On note R= σmin/ σmax.

( )

⋅

⋅

−−⋅−×−⋅+= uucu nR

FFTdtf log03.011log03.01

000σ

F0 est obtenu à partir d’essais où T=1s et R=0 (σmin=0). On obtient F0~0.06 pour les bétons ordinaires.

À noter que si R=1, l’expérience est celle de la contrainte soutenue.

Dans les règles Françaises, le risque de fatigue est écarté dans la mesure où la contrainte de compression de service est limitée à 0.6 fcj.

L’Eurocode 2 applicable aux ponts exige toutefois une vérification à la fatigue selon des formules intégrant des coefficients de sécurité.

Module d'élasticité

Le module instantané est défini dans les règles BAEL et BPEL par :

E ij=11000 f cj1 /3

Ce module est employé pour les états limites de service (hypothèse d'un comportement élastique du béton).

Loi de comportement (modèle de calcul d'analyse structurale non linéaire)

Les règles EN 1992-1-1:2004 (Eurocode 2) définit une loi de comportement en compression (relation contrainte-déformation) par :

c

f cm= k −2

1k−2

La courbe représentative dépend des paramètres suivants :• La résistance moyenne fcm (cf. tableau)• Le module sécant Ecm entre 0 et 0,4.fcm.• La déformation au pic de contrainte• La déformation ultime (rupture)

E cm=22 f cm

10 0.3

GPa ;=c

C1; k=1.05 E cm

c1

f cm

Fig. 3.2 Eurocode E2

Extrait du tableau 3.1 des Eurocodes

Exercice

CAS DE L'ANALYSE STRUCTURALE NON-LINEAIRE

Utiliser les formules de l'Eurocode pour calculer la contrainte normale correspondant à une déformation de 3.10-3 pour un béton de la classe fck=40 Mpa.• Calculer fcm• Calculer et vérifier Ecm• Relever les déformations au pic et à la rupture• Calculer k• Déduire la contrainte

Loi de comportement simplifiée (parabole-rectangle)

Les règles EN 1992-1-1:2004 (Eurocode 2) définit une loi de comportement utilisable pour le calcul des sections de béton armé :

La courbe présente une première partie parabolique puis un seuil ; elle dépend des paramètres suivants :• La résistance caractéristique fck• La déformation au pic de contrainte• La déformation ultime (rupture)• L'exposant n

Les règles définissent, de plus, une résistance de calcul amoindrie par rapport à la résistance caractéristique.Fig. 3.3 Eurocode E2

f cd=a ccf ck

caveca cc=1 et c=1.5 ;

c

f cd=[1−1− c

C2n]

Extrait du tableau 3.1 des EurocodesLoi de comportement simplifiée (parabole-rectangle)

Exercice

CALCUL DES SECTIONS DE BETON ARME AUX ETATS LIMITES ULTIMES

Utiliser les formules de l'Eurocode pour calculer la contrainte normale correspondant à une déformation de 1.5.10-3 pour un béton de la classe fck=25 Mpa.• Calculer fcd• Relever les déformations au pic et à la rupture• Relever n • Déduire la contrainte

Résistance en traction du béton

La résistance à la traction uniaxiale ftj est le second paramètre caractérisant le béton après la résistance à la compression fcj . On peut l'obtenir expérimentalement avec trois types d'essais

Résistance en traction du béton : traction par fendage

Résistance en traction du béton :

traction directe sur éprouvette diabolo

éprouvettes en forme de diabolo. Les têtes viennent s’encastrer dans les plateaux de chargement, puis mise en compression par serrage. La partie centrale de l’éprouvette constitue la partie testée en traction.

Problèmes possibles : démoulage des éprouvettes difficile (moulage dans des coffrages en nylon composés de 2 parties uniquement, afin d’éviter les jeux entre les différentes pièces du moule, pour une cylindricité maximale et réduction des problèmes d’excentricités et d’aspérités à la surface. Utilisation d’huile de décoffrage ou de PTFE (téflon ®) pour faciliter l’extraction du moule.→ la proportion d’éprouvettes cassées à l’issue du démoulage s'avère important (de l’ordre de 30%).

Résistance en traction du béton :

traction directe sur éprouvette cylindriqueet dispositif 'rotule'

Résistance en traction du béton

Comme ordre de grandeur on retiendra que, approximativement : ftj ~1/10 fcj .

Une corrélation largement validée est :

Formule retenue dans l'Eurocode 2, où ψ~0,3

A noter que les résultats obtenus expérimentalement par traction directe ou par fendage différent de 1 à 20%. La dispersion vient du fait que la résistance à la traction est fortement dépendante de la localisation des défauts qui amorcent la rupture. L'estimation de la résistance à la traction obtenue par un essai de flexion surestime cette valeur (l'effet d'échelle est plus sensible).

Lorsque fcj<40 Mpa, le BAEL 1991 admet la relation

f tj= . f cj2/3

f tj=0,60,06 f cj

Exercice : Retrouver la valeur de la résistance fctm pour un béton de la classe fck=30MPa selon les Eurocodes 2. Comparer à la valeur que donne le BAEL.

FATIGUE DU BETON

Phénomène de fatigue - définition

Fatigue = processus lent de dégradation de la microstructure par apparition de microfissures lorsqu’il est sollicité par un chargement répété. Le réseau de microfissures (décohésion diffuse) progresse avec le nombre de cycles. C’est un processus irréversible qui peut conduire à la rupture pour un niveau de sollicitation très inférieur à la résistance statique.

Exemples :• fatigue des chaussées• pistes aéroportuaires• structures off-shore• ponts• risque sismique

Premières études:

Wöhler (1860), Palmgren (1924), Miner (1945), Kachanov (1958)

Considère (1898) pour le béton

Fatigue - caractérisation et phases

On peut instrumenter l’éprouvette de béton soumise à un chargement répété (par exemple une compression) par des microphones détectant les émissions acoustiques (événements) accompagnant l’initiation et la propagation de la fissuration.

D’autres mesures peuvent être réalisées : mesure de déformations, analyse d’image de la surface, affaiblissement de la vitesse de propagation d’ondes acoustiques…

Le comptage des évènements m peut ainsi être reporté au nombre d’évènements ultimes mu : ω=m/mu.On peut aussi rapporter le nombre de cycles n au nombre de cycles ultimes nu : η=n/nu.

Fatigue - caractérisation et phases

2) Phase secondaire (accommodation) où la vitesse de dégradation est stable (majeure partie de la vie du matériau – jusqu'à 80% ou 90% du temps nécessaire à la rupture) ;

3) Phase terminale où le processus de dégradation s’accélère pour mener à la rupture.

A noter que l’affaiblissement du matériau se traduit macroscopiquement par une réduction progressive de son module d’élasticité et le développement d’une déformation résiduelle après déchargement.

La courbe {η, ω} fait apparaître 3 phases:

1) Phase initiale d’amorçage correspondant à une évolution rapide de la dégradation du béton ;

Fatigue - courbe de Wöhler

La relation entre la sollicitation (caractérisée par une contrainte dite d’endurance) et le nombre de cycles menant à la rupture pour un matériau ou une structure donnée est présenté dans un diagramme {σ,nu}. Dans ce cas l’un des paramètres du cycle est fixé (contrainte moyenne ou amplitude de contrainte).

Fatigue - courbe de Wöhler

De nouveau on peut distinguer 3 types (ou domaines) de fatigue selon l’intensité de la contrainte d’endurance :1. Fatigue à petit nombre de cycles <1000

2. Fatigue à grand nombre de cycles : 1000<nu<10 millions

3. Fatigue à très grand nombre de cycles : nu>10 millions

Pour prendre en compte le caractère vieillissant du béton, la représentation est faite dans un diagramme où l’endurance est rapportée à la résistance statique

cjfσσ ='

Fatigue - compétition avec la durée du chargement dans le cas du béton

A noter que lorsque la contrainte d’endurance est élevée, le processus de dégradation est plus gouverné par la durée du chargement que par son caractère cyclique (voir l’effet d’une contrainte soutenue).

Inversement, l’existence d’une limite de fatigue en dessous de laquelle l’endurance du béton serait illimitée n’est pas formellement établie.

Le domaine (2) peut être ajusté par une droite dans un repère semi-log :

unLog⋅−= βασ '

Fatigue – notion d’endommagement

Lors de l’application de la sollicitation cyclique, on observe, dans le diagramme {ε,σ}, deux phénomènes : une réduction du module ED par rapport au module initial E0 , le développement d’une déformation irréversible εD de sorte que, à chaque cycle :

( )DDE εεσ −⋅= ( )DDE εεσ −⋅=

Fatigue – notion d’endommagement

On peut tracer les déformations maxi et mini en fonction du nombre (réduit) de cycles η=n/nu. On obtient les courbes en S déjà décrite. En phase II, il a été montré que la déformation maxi suivait une loi :

Bu

An

dnd

=maxε

C’est la relation de Sparks & Menzies.

L’affaiblissement du module est caractérisé par un facteur d’endommagement D (variant entre 0 pour le matériau sain et 1) tel que :

[ ] 01 EDED ⋅−=

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