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MECANIQUE DES STRUCTURES John BOTSIS, Professeur EPFL/DGM
OJECTIFS Connaître les lois, principes et théorèmes de base concernant le comportement des corps solides déformables, ainsi que les méthodes d’analyse de systèmes simples, statiques et hyperstatiques. Etre en mesure de calculer les composants et structures élémentaires de la construction mécanique. CONTENU 1. Propriétés des matériaux et équilibre intérieur : généralités –
hypothèses fondamentales – propriétés mécaniques des matériaux – efforts intérieurs et contraintes.
2. Traction et compression, cisaillement, torsion circulaire : définitions – calcul des contraintes et des déformations – analyse de l’état de contrainte, cercles de Mohr – énergie de déformation.
3. Flexion des poutres : définition – flexion pure – flexion simple – moments d’une aire plane – contraintes normales et tangentielles – analyse de l’état de contrainte, cercles de Mohr – énergie de déformation – calcul des lignes élastiques et des déformées.
4. Energie de déformation élastique : formes quadratiques de l’énergie élastique – théorèmes de Betti-Rayleigh, Maxwell, Castigliano et Menabrea – application aux systèmes statiques et hyperstatiques.
5. Flambage élastique des poutres droites : notion d’instabilité – cas fondamental et dérivés du flambage d’une poutre – flambement d’Euler – méthode approchée de Timoshenko.
6. Théorie de l’état de contrainte : théorème de Cauchy – matrice des contraintes – tricercles de Mohr – états limites, coefficient de sécurité et contrainte de comparaison – critères de rupture de Tresca, Mohr-Coulomb et von Mises.
MECANIQUE DES STRUCTURES John BOTSIS, Professeur EPFL/DGM
FORME DE L’ENSEIGNEMENT:
ex cathedra avec exercices hebdomadaires FORME DU CONTROLE: examen écrit SUPPORT DU COURS:
livre, et fascicules divers LIAISON AVEC AUTRES COURS: Préalable requis: Mécanique générale, Analyse, Algèbre linéaire, Métaux et alliages Préparation pour: Méthodes de conception, mécanique et assemblage, Mécanique vibratoire, Simulation numérique A, Mécanique des solides, Mécanique des milieux continus.
1
MECANIQUE DES STRUCTURES
Chapitre 1: équilibre intérieur d’un solide
préparé par
John BOTSIS, Professeur LMAF/STI/EPFL
2
buts du coursla mécanique des structures ou des matériauxse propose deux buts principaux :
le calcul des efforts intérieurs spécifiques ou contraintes, provoqués par les forces extérieures;
le calcul des déformations entraînées par les efforts intérieurs.
objectif essentiellement utilitaire :
assurer la sécurité et le bon fonctionnement des constructions, tout en guidant le choix des solutions les plus économiques.
3
buts du cours
La théorie de l’élasticité poursuit les mêmes buts que la mécanique des matériaux, mais par un cheminement mathématique rigoureux et sans le recours à des raisonnements qualitatifs basés sur l’expérience.
La théorie de l’élasticité et la mécanique des structures sont fondées toutes deux sur la loi de Hooke qui suppose une proportionnalité parfaite entre contraintes et déformations. Un corps qui suit la loi de Hooke est dit parfaitement élastique.
Malheureusement, les difficultés formelles rencontrées sont généralement si grandes qu’il se révèle impossible de donner une solution utilisable à la plus grande partie des problèmes de l’ingénieur.
Cependant, la théorie de l’élasticité permet seule de donner à certains résultats la généralité nécessaire et de juger de la valeur des hypothèses simplificatrices faites en mécanique des matériaux.
4
trois hypothèses fondamentales concernant
la constitution de la matière• la continuité, • l’homogénéité et • l’isotropie,
hypothèses fondamentales
deux hypothèses fondamentales relatives à
la nature des déformations• leur proportionnalité avec les contraintes et • leur grandeur très faible par rapport
aux dimensions du solide.
5
P•
0Ω
1Ω
3Ω
nΩ
définition d’un milieu continu
Considérons une série d’espacesΩn de volume Vn et de masse Mntelle que Ωn⊂ Ωn-1La suite de Mn/ Vn a une limite ρ(appelèe densité), si
• Le paramètre ρ est appelé densité du matériau au point P. • Si ρ est définie en chaque point du milieu et si elle est une fonction
continue de variables, le milieu est dit continu.• On peut définir la quantité du mouvement, l’énergie, etc.. de la même façon.
0n
nV
ρ→∞→
= n
n
MlimV
6
hypothèse d’homogénéité
P1•
0Ω
Pi
Pn
•
•
On admet que la matière est homogène
les propriétés mécaniques sont les mêmes en tout point de solide qui occupe l’espace 0Ω
Exemple E P1 = E P2 = E Pn
7
hypothèse d’isotropie
On admet que la matière est isotrope
les propriétés mécaniques sont identiques dans toutes les directions autour d’un point
0Ω
Pi
Pn•
•
8
hypothèse de proportionnalité
Dans un solide continu, les déformations sont liées
en tous points aux contraintes par des relations linéaires.
La mécanique des structures est basée sur la loi énoncée par Hooke en 1678 :
déformation
char
ge
9
hypothèse des petites déformations
L’expérience montre que dans les limites normales d’utilisation la Majorité des matériaux subit des déformations relativement faibles par rapport aux dimensions du solide.
C’est - à - direLes déformations ont une influence négligeable sur la position des points d’application ou sur la direction des forces extérieures.
Les conditions d’équilibre établies par la statique rationnelle pour les corps parfaits indéformables sont applicables sans autre aux solides réels.
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solide en équilibre en deux parties
Action globale de (B) sur (A) est remplacée par le torseur (R, M)
R = P1 + …+Pj
M = r1∧P1 + …+ rj∧Pj
principe de la coupe
11
décomposition de torseur (R, M)
N = effort normal = composante de R selon GxT = effort tranchant = projection normale de R dans le plan de FMt = moment de torsion = composante de M selon GxMf = moment de flexion = projection normale de M dans le plan de F
Mf = Mfj+ Mfk
T= Tyj+ Tzk
12
définition des contraintes
Vecteur de contrainteΔ →∞
Δ=
ΔF
P dPp = limF dF
13
définition des contraintes
FΔ
Contrainte au point M0 de la section F.
Sens positif des rotations
22 2τ σ= −pτ
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principe d’équivalence
∫∫ ∧=
∫∫=
F
F
dF)pr(M
pdFR
L’action des contraintes agissant sur une section d’un solide en équilibre est équivalente à l’action des forces extérieures, appliquées sur l’une ou l’autre des parties du solide séparées par la section considérée.
∫∫−=
∫∫=
∫∫ −=
∫∫=
∫∫=
∫∫=
Ffz
Ffy
Fyzt
Fzz
Fyy
F
ydF
zdF
dF)zy(
dF
dF
dF
σ
σ
ττ
τ
τ
σ
M
M
M
T
T
N
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On commence par étudier les cas particuliers très simples d’efforts intérieurs, puis on s’attache à des cas plus complexes par combinaison des résultats trouvés.
cas particuliers d’efforts intérieurs
traction ou compression simpleLe torseur (R, M) se réduit à l’effort normal N. cisaillement simpleLe torseur (R, M) se réduit à l’effort tranchant T.torsion simpleLe torseur (R, M) se réduit au moment de torsion Mt.flexion simpleLe torseur (R, M) se réduit à un moment de flexion Mfet un effort tranchant T, perpendiculaires entre eux.
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constantes d’élasticité
Module d’élasticité ou module de Young E
EFPl
l =Δ
ll /Δ=εE σε =
Allongement d’un barreau
Allongement spécifique d’un barreau
barreau en traction
FP =σ
Loi de Hooke
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constantes d’élasticité
Coefficient de Poisson
μεε −=Δ
=Δ
=Δ
=DD
BB
HH
t
μεε −=t Etσμε −=
Allongement transversal spécifique
18
dilatation thermique
Les solides se dilatent quand la température augmente
L’allongement thermique relatif est:
θαεθ Δ=
α : coefficient de dilatation thermiqueΔθ : variation de la température
dilatation gênée contraintes
1
MECANIQUE DES STRUCTURES
Chapitre 2: traction ou compression simple
préparé par
John BOTSIS, Professeur LMAF/STI/EPFL
2
traction ou compression simple
Le calcul des contraintes est facile si l’on admet les hypothèses suivantes- le solide est prismatique, une section normale F étant invariable selon l’axe x;- la section F' après déformation se déduit de F par simple translation selon l’axe x.
la seconde condition implique que l’hypothèse de Bernoulli soit satisfaite, à savoir
qu’une section plane avant déformation reste plane après déformation.
La section d’un solide travaille en traction simple quand le torseur des efforts intérieurs se réduit à une composante N
3
traction ou compression simple
FdFF
σσ =∫∫=N
FN
=σ
Pour que l’hypothèse de Bernoulli soitsatisfaite :
0 xy ==ττ.const =σ
∫∫−=
∫∫=
∫∫ −=
∫∫=
∫∫=
∫∫=
F
F
Fyz
Fz
Fy
F
ydF0
zdF0
dF)zy(0
dF0
dF0
dF
σ
σ
ττ
τ
τ
σN
= 0
4
distribution des contraintes : Principe de St-Venant
Si non : la section doit se trouver à une certaine distance des extrémités pour que l’hypothèse adoptée soit valable dans le cas d’une force concentrée.
principe de St-Venant
la contrainte σ est constante dans toute section d’un barreau si la force extérieure s’applique uniformément sur les extrémités
5
distribution des contraints : Principe de St-Venant
6
distribution des contraintes : effet de la section
D ’après la théorie de l’élasticité la différence relative entre la contrainte maximale réelle et σ = N/F est pour α = 10 deg. erreur relative de 1,3 %;
pour α = 30 deg. erreur relative de 13 %.
exemplecontrainte moyenne
FN
=σ
AttentionQuand la contrainte σ n’est plus constante dans toute la section, il apparaît des contraintes tangentielles même si l’effort tranchant T et le moment de torsion Mt sont nuls.
7
exemple: chargement mécanique
2ϕ1ϕ
2θ
L1 L2
H1
1θ
Δ
A
A′
BC
1B1C
PDonnées du problèmeL1; L2; H1; E; F
1 2; ; Pϕ ϕ
Configuration initiale ABCConfiguration finale A BC′
8
exemple: chargement mécanique
1 1 1 2cos ; cosAB ACθ θ= Δ = Δ1 2 1 2θ θ ϕ ϕ+ = +
1 12 1
;sin sin
ACAB PPAB ACFE FEϕ ϕ
= =2 1L L
2ϕ1ϕ
2θ
L1 L2
H1
1θ
Δ
A
A′
BC
1B1C
Péquilibre du joint
P
ABPACP
1 2
1 2
cos cossin sin
AC AB
AC AB
P P PP P
ϕ ϕϕ ϕ
+ ==
Géométrie de la déformation
Relation entre déformation - charge
Δ = ..
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exemple: chargement thermique
2ϕ1ϕ
2θ
L1 L2
H1
1θ
Δ
A
A′
BC
Données du problèmeL1; L2; H1 1 2; ; Tϕ ϕ Δ
Configuration initiale ABCConfiguration finale A BC′
Solution
1B1C
1 1 1 2cos ; cosAB ACθ θ= Δ = Δ
1 2 1 2θ θ ϕ ϕ+ = +
1 12 1
;sin sin
AB T AC Tα αϕ ϕ
= Δ = Δ2 1L L
Relation entre déformation - charge
Géométrie de la déformation
Δ = ..
10
exemples
11
exemples
P(x)
F(x)0σ
F(x)
N
0F
P(x)NF(x)0 +=σÉquilibre
dérivation
F(x)dxdP(x)
dP(x)dF(x)0
γ
σ
=
=
dxF(x)
dF(x)0σ
γ=
0/0F(x) σγxeF=solution
12
exemples
1N 2N;
1N P 2N
PNN =+ 21équilibre
22
22
11
11
FEN
FEN
cll
==δdéformation
13
exemples
∫=2/
011 dF)sinp(2Be2
πφσ
)Rd(BdF ϕ=
∫=2/
011 dsinpRB2Be2
πφφσ
pRBBe 22 11 =σ
pRe =11σ
anneau de cuivre
équilibre
pRe =22σanneau d’acier équilibre
2
2
1
11 E
RE
RRR σπσπθαππ =−Δ=Δ=Δl
Cu Ac
condition de déformation
14
contraintes principales
plans principauxet les axes correspondants axes principaux ou directions principales
De tels plans sont appelés
Dans le cas tri-dimensionnel,autour d’un point M0quelconque d’un solide
il existe toujours au moins trois plans normaux deux à deux sur lesquels les contraintes tangentielles sont nulles et les contraintes normales extrémales.
15
contraintes principales
x
yz2σ
1σ3σ
3σ
1σ
2σ
XY
Z
M0
P1P2 P3
P4
16
état de contrainte mono-dimensionnel
plan π passant par l’axelongitudinal de la poutre
( )0=σ0=τplan π est toujours une plan principal
plans principaux : M0xy ; M0xz ; M0yz
En tout point de F0 la contrainte est
0/ FNx =σ
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état de contrainte mono-dimensionnel
0
0
cos 0sin 0
x
x
F FF F
ϕ ϕ
ϕ ϕ
σ σ ϕ
τ σ ϕ
− =
+ =
φϕ cos/FF 0=
ϕϕστ
ϕσσ
ϕ
ϕ
sincos
cos
x
2x
−=
=Etant donné que
équilibre des forces selon la direction net selon la direction orthogonale
Fϕ ϕσFϕ ϕτ
0F cosxσ ϕ
sinx0F σ ϕ
18
état de contrainte mono-dimensionnel
ϕστ
ϕσσ
ϕ
ϕ
2sin2
)2cos1(2
x
x
−=
+=
ϕϕστ
ϕσσ
ϕ
ϕ
sincos
cos
x
2x
−=
=
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contrainte de cisaillement
ϕστ
ϕσσ
ϕ
ϕ
2sin2
)2cos1(2
x
x
−=
+= Pour 2/2 πϕ ±=
2x
maxστ = 2
xmin
στ −=
20
contrainte de cisaillement
Effet de cisaillement sur certains matériaux ductiles
pour les aciers doux, on constate l’apparition de stries qui sont appeléeslignes de Lüder
21
énergie de déformation
∫ Δ=∫=ΔΔ ll
l00
)(NddUU
∫ ΔΔ=Δl
lll 0
)(dEFU
EFNl
l =ΔLoi de Hooke
( )2
2l
l
Δ=
EFU
2lΔ
=NU
EFNU2
2l=
NN
l
Si N ou F sont variables
∫=l
0
2
2dx
EFNU
22
densité d’énergie de déformation
σε21u =
2E21u ε=
E21u
2σ=
Eσε =Loi de Hooke
23
énergie de déformation : domaine plastique
21 UUU +=
UU1=λ
0=λ
énergie totaleénergie élastique
énergie plastique
degré d’élasticitéparfaitement plastique
parfaitement élastique1=λ
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énergie de déformation: cas non-linéaire
les densités d’énergie de déformation correspondant àun matériau plastique parfait (λ = 0), un matériau plastique ordinaire (0 < λ < 1) un matériau élastique non linéaire (λ = 1)
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MECANIQUE DES STRUCTURES
Chapitre 3: état de contrainte bidimensionnel
préparé par
John BOTSIS, Professeur LMAF/STI/EPFL
2
contraintes principales
x
yz2σ
1σ3σ
3σ
1σ
2σ
XY
Z
M0
P1P2 P3
P4
3
Etat de contrainte bidimensionnel
élément infinitésimale
partie de la structure
4
Etat de contrainte bidimensionnel
élément infinitésimalesimplifié
élément infinitésimale
5
Etat de contrainte bidimensionnel
pas de contraintes de cisaillement
Quand l’une des trois contraintes principales est nulle,l’état des contraintes est dit bidimensionnel
élément du volume dxdydz
M0xyz : système des axes quelconqueM0XYZ : système des axes principauxσ1 >σ2 > σ3
contraintes principalesσ1 = σx, σ2 = σy < σx
et σ3 = σz = 0
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Etat de contrainte bidimensionnel
La conséquence du principe de superposition est:Chaque contrainte entraîne les mêmes déformations que si elle était appliquée seule et la déformation résultante est la somme des déformations partielles.
Hypothèses essentielles
- la loi de proportionnalité (loi de Hooke) est valable- le principe de superposition se tient
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Etat de contrainte bidimensionnel
principe de superpositiondes déformations
Ey
xyσ
με −=E
yyy
σε =
Ey
zyσ
με −=Effet de yσ
Ex
xxσε =
Ex
yxσμε −=
Ex
zxσμε −=Effet de xσ
Somme )(E1
yxx μσσε −= )(E1
xyy μσσε −= )(E xyz σσμε +
−=
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Etat de contrainte bidimensionnel
énergie de déformation
dVE2
dV21dxdydz
21dU
2x
xxxxxxxσεσεσ ==⋅=
énergie due à σx
dVE
dxdydzdU yxxyxxy
σμσεσ −=⋅=
Restitution d’énergie dans x due à la contraction latérale(provoqué par σy)
D’une façon similaire dVE2
dU2y
yσ
= (énergie due à σy)
9
Etat de contrainte bidimensionnel
x yxy x xydU = dydz dx dV
Eμσ σ
σ ε⋅ = −
Restitution d’énergie dans x due à la contraction latérale
Application de σx
dVE2
dU2x
xσ
=
Energie dans la direction x xσ
xσ
Energie dans la direction y
dVE2
dU2y
yσ
=yσ
yσ
xσxσ
Application de σy
10
Etat de contrainte bidimensionnel
dV22E
1dUdUdUdU yx
2y
2x
xyyx ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛−+=++= σμσ
σσ
Le travail total est
Densité d’énergie
Et la densité est
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛−+== yx
2y
2x
22E1
dVdUu σμσ
σσ
Attention : u est une fonction quadratique
11
Etat de contrainte bidimensionnel
Variation relative de volume
Volume avant déformation dxdydzdV =
Volume après déformation
)1(dz)1(dy)1(dxdV zyx εεε +++=
En négligeant les puissances supérieures à 1
)1(dVdV zyx' εεε +++=
zyx
'
dVdVdVv εεε ++=
−=
12
contraintes en un point M0
x
yz2σ
1σ3σ
3σ
1σ
2σ
XY
Z
M0
P1P2 P3
P4
13
contraintes en un point M0
M0
P1P2 P3
P4
M0
14
contraintes en un point M0
M0
15
Etat de contrainte bidimensionnelAnalyse des contraintes
16
état de contrainte bidimensionnel
cos sin 0
sin cos 0x x y y
x x y y
F F F
F F Fϕ ϕ
ϕ ϕ
σ σ ϕ σ ϕ
τ σ ϕ σ ϕ
− − =
+ − =
cossin
x
y
F FF F
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
=
=
ϕϕσστ
ϕσϕσσ
ϕ
ϕ
sincos)(
sincos
yx
2y
2x
−−=
+=
étant donné que
équilibre des forces selon la direction net selon la direction orthogonale
Analyse des contraintes
17
Etat de contrainte bidimensionnel
Contraintes sur deux sections parallèles infiniment voisines
ϕσσ
τ
ϕσσσσ
σ
ϕ
ϕ
2sin2
2cos22
yx
yxyx
−−=
−+
+=
sont de période π
Les contraintes σϕ et τϕprennent des valeurs identiques sur des sections parallèles
les équations
Analyse des contraintes
18
Etat de contrainte bidimensionnelContraintes de cisaillement
sur deux sections perpendiculaires
L’équilibre des moments en Mo donne0' =+ττ 'ττ −=
elles convergent vers une même arête ou divergent d’une même arête.
Analyse des contraintes
19
état de contrainte bidimensionnel : axes principaux
ϕϕσστ
ϕσϕσσ
ϕ
ϕ
sincos)(
sincos
yx
2y
2x
−−=
+=
ϕσσ
τ
ϕσσσσ
σ
ϕ
ϕ
2sin2
2cos22
yx
yxyx
−−=
−+
+=
Cercle de Mohr pour une section tournant autour de Moz
Analyse des contraintes
20
Etat de contrainte bidimensionnel
ϕσσ
τ
ϕσσσσ
σ
ϕ
ϕ
2sin2
2cos22
yx
yxyx
−−=
−+
+=
σ1 = σx, σ2 = σy < σx σ3 = σz = 0
a bcd
f
gh
eM0
.Plan M0xy a h
b
21
Etat de contrainte bidimensionnel
a bcd
f
gh
e .Plan M0yz
τφ
σφ
0 σy = σ2
σz= σ3= 0
σ1 = σxσ2 = σy < σxσ3 = σz = 0
Cercle Γyz
M0 z
d a
cy
σy
σφτφ
22
Etat de contrainte bidimensionnel
a bcd
f
gh
e
M0
.z
e h
dx
σx
σφτφ
Plan M0xz
τφ
σz= σ3= 0σφ
0 σx = σ1
σ1 = σxσ2 = σy < σxσ3 = σz = 0
Cercle Γxz
23
état de contrainte bidimensionnel
cercles de Mohr(ensemble)
σ1 = σxσ2 = σy < σxσ3 = σz = 0
24
état de contrainte bidimensionnel
Etat de contrainte pour une section tournant autourd’un axe autre que l’un des axes principaux
σ1 = σxσ2 = σy < σxσ3 = σz = 0
25
état de contrainte bidimensionnel
σx > σy > 0σz = 0
σx = σy > 0σz = 0
σx > 0, σy < 0σz = 0
cercles de Mohr(ensemble)
26
Etat de contrainte bidimensionnel
Axes de référence différents des axes principaux
( cos sin ) ( sin cos ) 0
( sin cos ) ( cos sin ) 0x x x y y x
x x x y y x
F F F
F F Fϕ ϕ
ϕ ϕ
σ σ ϕ τ ϕ σ ϕ τ ϕ
τ σ ϕ τ ϕ σ ϕ τ ϕ
− + − + =
+ − − − =
L’équilibre des forces conduit au système suivant
Analyse des contraintes
27
Etat de contrainte bidimensionnel
cos ; sinx yF F F Fϕ ϕϕ ϕ= =Etant donné que
Axes de référence différents des axes principaux
2 2
2 2
cos sin 2 sin cos
( )sin cos (cos sin )x y x
x y x
ϕ
ϕ
σ σ ϕ σ ϕ τ ϕ ϕ
τ σ σ ϕ ϕ τ ϕ ϕ
= + +
= − − + −
ϕτϕσσ
τ
ϕτϕσσσσ
σ
ϕ
ϕ
2cos2sin2
2sin2cos22
xyx
xyxyx
+−
−=
+−
++
=
( cos sin ) ( sin cos ) 0
( sin cos ) ( cos sin ) 0x x x y y x
x x x y y x
F F F
F F Fϕ ϕ
ϕ ϕ
σ σ ϕ τ ϕ σ ϕ τ ϕ
τ σ ϕ τ ϕ σ ϕ τ ϕ
− + − + =
+ − − − =
Analyse des contraintes
28
cercle de Mohr
ϕτϕσσ
τ
ϕτϕσσσσ
σ
ϕ
ϕ
2cos2sin2
2sin2cos22
xyx
xyxyx
+−
−=
+−
++
=
222
2Ryx =+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ +− φϕ τ
σσσ
[ ]ϕϕϕϕ
ϕτϕσσ
ϕτϕσσσσ
σϕ
2sin2sin2cos2cos
2sin2cos2/)(
2sin2cos22
00 +=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+
−=
+−
=+
−
RRR
R xyx
xyxyx
)(2cos2 0 ϕϕ
σσσϕ −=
+− Ryx
[ ]ϕϕϕϕ
ϕτϕσσ
ϕτϕσσ
τϕ
2cos2sin2sin2cos
2cos2sin2/)(
2cos2sin2
00 −−=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
−−=
+−
−=
RRR
R xyx
xyx
)(2sin 0ϕϕτϕ −−= R
( ) / 2x yσ σ−
xτR
02ϕ
Analyse des contraintes
29
Etat de contrainte bidimensionnel
22
0
( ) 2 ; 24
x y xx
x y
R tgσ σ ττ ϕ
σ σ−
= + =−
)(2sinR
)(2cosR2
0
0yx
ϕϕτ
ϕϕσσ
σ
ϕ
ϕ
−−=
−++
=22
2
2Ryx =+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ +− φϕ τ
σσσ
Analyse des contraintes
30
Etat de contrainte bidimensionnel
ϕτϕσσ
τ
ϕτϕσσσσ
σ
ϕ
ϕ
2cos2sin2
2sin2cos22
xyx
xyxyx
+−
−=
+−
++
=
Directions des contraintes principales
ϕϕ τϕ
σ=
)2(dd
τϕ = 0 pour σϕ extremum
022 x
x y
tg τϕσ σ
=−
Analyse des contraintes
31
Cercle de Mohr (en deux versions)
Construction ducercle de Mohr
yx
x0
2x
2yx
22tg
4)(
R
σστϕ
τσσ
−=
+−
=
Analyse des contraintes
32
Cercle de Mohr (en deux versions)
Construction ducercle de Mohr
Fx
Fy
Fφϕσ
xσ
yσ
ϕτ
xτ
yτ
Analyse des contraintes
33
Etat de contrainte bidimensionnel'
'
cos sinsin cos
x x yy x y
ϕ ϕ
ϕ ϕ
= +
= − +
x
y
x’
y’
xσxσ
yσ
yσ
xyτyxτ
yxτxyτ
ϕ
'xσ
'xσ
'yσ ''xyτ''yxτ
''xyτ 'yσ''yxτ
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
yyx
xyx
σττσ
état de contrainte
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛'''
'''
yxy
yxxσττσ
état de contrainte
?
y
x
Analyse des contraintes
34
Etat de contrainte bidimensionnel
'
'
' '
2 2
2 2
2 2
cos sin 2 sin cos
sin cos 2 sin cos
( )sin cos (cos sin )
x y xyx
x y xyy
x y xx y
σ σ ϕ σ ϕ τ ϕ ϕ
σ σ ϕ σ ϕ τ ϕ ϕ
τ σ σ ϕ ϕ τ ϕ ϕ
= + +
= + −
= − − + −
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
ϕϕϕϕ
σττσ
ϕϕϕϕ
σττσ
cossinsincos
cossinsincos
yyx
xyx
yxy
yxx'''
'''
'
'
cos sinsin cos
xxyy
ϕ ϕϕ ϕ
⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞=⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠
'
'
cos sinsin cos
x x yy x y
ϕ ϕ
ϕ ϕ
= +
= − +
Analyse des contraintes
35
Etat de contrainte bidimensionnel
'
'
' '
cos 2 2 sin 22 2
cos 2 2 sin 22 2
sin 2 cos 22
x y x yxyx
x y x yxyy
x yxyx y
σ σ σ σσ ϕ τ ϕ
σ σ σ σσ ϕ τ ϕ
σ στ ϕ τ ϕ
+ −= + +
+ −= − −
−= − +
yxyx '' σσσσ +=+
yx
xy0
22tan
σστ
ϕ−
=Directions principales
'
'
' '
2 2
2 2
2 2
cos sin 2 sin cos
sin cos 2 sin cos
( )sin cos (cos sin )
x y xyx
x y xyy
x y xx y
σ σ ϕ σ ϕ τ ϕ ϕ
σ σ ϕ σ ϕ τ ϕ ϕ
τ σ σ ϕ ϕ τ ϕ ϕ
= + +
= + −
= − − + −
Analyse des contraintes
1
MECANIQUE DES STRUCTURES
Chapitre 4: cisaillement simple
préparé par
John BOTSIS, Professeur LMAF/STI/EPFL
2
cisaillement simple - définition
0≠= Tdx
dM f
0=fM Le cisaillement simple ne peut jamais exister dans un solide entier.Il est réalisé de façon presque parfaite
La section normale F d’un solide est soumise au cisaillement simple quand le torseur des efforts intérieurs se réduit à l’effort tranchant T dans le plan de F
3
contrainte de cisaillement
exemples
4
contrainte de cisaillement - hypothèse
Hypothèse : fondée sur l’expérience
L’évaluation des contraintes dans une section soumise au cisaillement simple est basée sur l’hypothèse de Bernoulli:
la section F' après déformation se déduit de F par simple translation dans la direction de l’effort T,
une section plane avant déformation reste plane après déformation
5
contrainte de cisaillement - évaluation
FdFT yF
y ττ =∫∫=
∫∫=
∫∫=
∫∫=
Fz
Fy
F
dF0
dFT
dF0
τ
τ
σ
∫∫−=
∫∫=
∫∫ −=
F
F
Fyz
ydF0
zdF0
dF)zy(0
σ
σ
ττFT
y ==ττ
( )0TT zy ==
D’après l’hypothèse de Bernoulli 0z == στ
constante=yτ
6
cisaillement - déformation
τ⋅= dxG1dy
dxdy
=γ
Gτγ = (loi de Hooke)
o1,0≈γPour un acier
Considérons deux sections F1 & F2 infiniment proches ( )0dx →
faire l’hypothèse: dM = Tdx ≈ 0
7
cisaillement - analyse de l’état de contrainte
Par définition:0zyx === σσσ
axe principal M0zplan principal M0xy
N’oublions pas que les contraintes de cisaillement sur deux sections perpendiculaires:
convergent vers une même arête ou divergent d’une même arête.
8
cisaillement - analyse de l’état de contrainte
Considérons une section oblique Fϕ perpendiculaire au plan principal M0xy et tournant autour de l’axe M0z, sa normale n formant un angle ϕ avec l’axe M0x.
l’équilibre des forces conduit à:sin cos 0
cos sin 0x y
x y
F F F
F F Fϕ ϕ
ϕ ϕ
σ τ ϕ τ ϕ
τ τ ϕ τ ϕ
− − =
− + =
cosxF Fϕ ϕ= sinyF Fϕ ϕ=
Etant donné que
0
2 20
2 sin cos sin 2 cos 2( )
(cos sin ) cos 2 sin 2( )ϕ
ϕ
σ τ ϕ ϕ τ ϕ τ ϕ ϕ
τ τ ϕ ϕ τ ϕ τ ϕ ϕ
= = = −
= − = = − −
9
cisaillement - analyse de l’état de contrainte
0
0
cos 2( )
sin 2( )ϕ
ϕ
σ τ ϕ ϕ
τ τ ϕ ϕ
= −
= − −
222 ττσ ϕϕ =+
0
2 20
2 sin cos sin 2 cos 2( )
(cos sin ) cos 2 sin 2( )ϕ
ϕ
σ τ ϕ ϕ τ ϕ τ ϕ ϕ
τ τ ϕ ϕ τ ϕ τ ϕ ϕ
= = = −
= − = = − −
022πϕ⎛ ⎞=⎜ ⎟
⎝ ⎠
10
cisaillement - contraintes principales
cercles de Mohr état de contrainteautour d ’un point M0
11
cisaillement - déformation
0)21(E
)21(E
dVdVdVv
yx
zyx
'
=−−
=−+
=
++=−
=
μττμσσ
εεε
La variation de volume est nulle (au premier ordre)
variation de volume en cisaillement simple
12
cisaillement - énergie
1 1 12 2 2
dU Tdy F dx dVτ γ τγ= = ⋅ =
Énergie de déformationen cisaillement simple
Gτγ =
en utilisant la loi de Hooke
2Gu
2γ=
2u τγ=
G2u
2τ=
udV/dU =
2Eu
2ε=
2u σε=
E2u
2σ=
comparaison avec le cas mono-dimensionnel
13
relation entre E et G
GdxAA' τγ ==
)1(E12dx
)(E12dxACAA 21
'''
μ
μσσε
+=
−==
'''' AA2AA =
)1(E
2dx2G
dx μττ+⋅=
)1(2EGμ+
=
14
relation entre E et G
Gu
2
2τ=
cisaillement simple
état de contrainte ‘bidimensionnel’
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−+= 31
23
21
22E1u σμσσσ
( )μτ+= 1
Eu
2
)1(2EGμ+
= et 31 τστσ −==
1
MECANIQUE DES STRUCTURES
Chapitre 5: torsion simple
préparé par
John BOTSIS, Professeur LMAF/STI/EPFL
2
torsion circulaireexemple: arbre en torsion
3
torsion circulaire
zero torque
non-zero torque
barres circulaires en torsion
4
torsion circulaire
La section normale F d’un solide travaille à la torsion simplequand le torseur des efforts intérieurs se réduit au moment de torsion Mt perpendiculaire à F
5
torsion circulaire - hypothèseHypothèse : fondée sur l’expérience
adopter une nouvelle fois l’hypothèse de Bernoulli
Pour des barres circulaires en torsion, l’expérience montre qu’une section F' après déformation se déduit de la section originelle Fpar simple rotation dans le sens du moment de torsion Mt
6
torsion circulaire - contrainte
∫∫=
∫∫=
∫∫=
Fz
Fy
F
dF0
dF0
dF0
τ
τ
σ
∫∫−=
∫∫=
∫∫ −=
F
F
Fyzt
ydF0
zdF0
dF)zy(M
σ
σ
ττ
kr=τ
7
torsion circulaire - contrainte
θcosy r=
θθττ
θθττ
oskr
kr
ccos
sinsin
z
y
==
−=−=
θθθ
θθθ
π
π
dcosddFc0
dsinddFsin0
22
F
22
F
∫∫=∫∫=
∫∫−=∫∫−=
0
R
0
0
R
0
rrkosrk
rrkrk
∫∫=
∫∫=
Fz
Fy
dF0
dF0
τ
τ
kr=τ
θinrsz =( )θdddF rr=
8
torsion circulaire - contrainte
θcosy r=
θθττ
θθττ
oskr
kr
ccos
sinsin
z
y
==
−=−=
kr=τ
θinrsz =
∫∫ −=F
yzt dF)zy(M ττ
∫∫=F
2p dFI r
p
tIM
=k
kr=τ p
tIMr
=τ
∫∫=∫∫ +=F
2
F
222t dFdF)sinc(M rkosrk θθ
9
torsion circulaire
exemple: trouver la contraintes maximale dans l’arbre en torsion ci-dessous
t maxM =25NmR=5mm
p
t
IRM max
max =τ
2
4RI pπ
=t max
max 127, 4MPaτ = =3
2MπR
10
torsion circulaire - contrainte kr=τ
p
tIMr
=τ
2R
2RI
drr2dFI
4b
4c
p
R
R
3
F
2p
c
b
ππ
π
−=
∫=∫∫= r
Rc
Rb
Rb
Rc
11 Gγτ =22 Gγτ =
2
1
2
1GG
=ττ
Quand Rc ~ Rb
t3avp R2I π≈
t = Rc - Rb
11
torsion circulaire - déformation
' rBB dx dγ ϕ= =
rddxϕ γ=
Gτγ = (loi de Hooke)
t
p
Mddx GIϕ=
12
torsion circulaire - déformation
t
p
Mddx GIϕ=
t
p
MGI
ϕ =l
Intégration de 0 à l
Déformation angulaire totaleou angle de torsion quandMt est constant
13
torsion circulaire - état de contrainte
N’oublions pas que:les contraintes de cisaillement
sur deux sections perpendiculaires:convergent vers une même arête ou divergent d’une même arête.
14
torsion circulaire - état de contrainte
Par définition:0zyx === σσσ
plan principal M0xt
analye de l’état de contrainte
15
torsion circulaire - état de contrainte
Considérons une section oblique Fϕ perpendiculaire au plan principal M0xt et tournant autour de l’axe M0r, sa normale n formant un angle ϕ avec l’axe M0x.
sin cos 0cos sin 0
x t
x t
F F FF F Fϕ ϕ
ϕ ϕ
l’équilibre des forces donne:σ τ ϕ τ ϕ
τ τ ϕ τ ϕ
− − =
− + =
0
2 20
2 sin cos sin 2 cos 2( )
(cos sin ) cos 2 sin 2( )ϕ
ϕ
σ τ ϕ ϕ τ ϕ τ ϕ ϕ
τ τ ϕ ϕ τ ϕ τ ϕ ϕ
= = = −
= − = = − −
cosxF Fϕ ϕ= sintF Fϕ ϕ=
Etant donné que
16
torsion circulaire - cercle de Mohr
0
0
cos 2( )sin 2( )
ϕ
ϕ
σ τ ϕ ϕ
τ τ ϕ ϕ
= −
= − −
222 ττσ ϕϕ =+
022πϕ⎛ ⎞=⎜ ⎟
⎝ ⎠
0
2 20
2 sin cos sin 2 cos 2( )
(cos sin ) cos 2 sin 2( )ϕ
ϕ
σ τ ϕ ϕ τ ϕ τ ϕ ϕ
τ τ ϕ ϕ τ ϕ τ ϕ ϕ
= = = −
= − = = − −
17
torsion circulaire - cercle de Mohr
0
2 20
2 sin cos sin 2 cos 2( )
(cos sin ) cos 2 sin 2( )ϕ
ϕ
σ τ ϕ ϕ τ ϕ τ ϕ ϕ
τ τ ϕ ϕ τ ϕ τ ϕ ϕ
= = = −
= − = = − −
18
torsion circulaire - lignes isostatiquesles trajectoires des contraintes principales, c’est-à-direles courbes continuellement tangentes aux directions principales.Ces courbes, appelées lignes isostatiquessont des hélices à 45 en torsion circulaire
la déformationallonge les hélices selon la directionprincipale σ1 (traction)et raccourcit les hélices selon la direction principale σ3 (compression).
19
torsion circulaire - déformation
0)21(E
)21(EdV
dVdVv yxzyx
'=−
−=−
+=++=
−= μττμ
σσεεε
La variation relative de volume est nulle (au premier ordre)
variation de volume en torsion circulaire
comme en cisaillement simple
20
torsion circulaire - énergie
Énergie de déformation (spécifique)
max
22max
2
max
2u
G2G2u ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛==
Rrτ
τττ
G2u
2τ=
multiplions et divisons par τ2max
( )kr=τ
21
torsion circulaire - énergieÉnergie de déformation
ϕΔ=Δ tM21U
t
p
Mdx dx GIϕ ϕΔ≈ =
Δ
ϕtM21U =
t
p
MGI
ϕ =l
p
2t
GI2MU l
=
pour deux sections voisines
Mt
Δφ
Mt
(Mt (x): constant)
x
From: E. POPOV, Engineering Mechanics of Solids, Prentice Hall, 1990.
22
torsion circulaire - exemple
500 mm300 mm200 mm250 mm
Mtb =150 Nm Mtd =1000 Nm
Mt
x
Mt(x)
a b c d e
b c d et t t t
p p p pa b c d
M dx M dx M dx M dxGI GI GI GI
ϕ = + + +∫ ∫ ∫ ∫
a b c
(+)
23
torsion circulaire : exemple
x
y
G1 ; L1; Ip1
G2 ; L2; Ip2
M
M1
M2 Equilibre M + M1 + M2 = 0
Compatibilité ϕab = ϕbc
1p1
1tbc
2p2
2tabIG
LMIGLM
=
système hyperstatique
a
b
c
24
torsion circulaire
état de contrainte et rupture
25
torsion circulaire - exemple
26
torsion circulaire - exemple
T U=
Énergie élastique dans le ressort2
2t
p
MdUds GI
= ds n Dπ= ≈∫ l
/ 2tM PD≈moment de torsion
3
4
8nPDfGd
=
Travail fourni par la force P:
12
T Pf=
2 2 2 3
0 8 8p p
P D n P DU dsGI GI
π= =∫
l
27
torsion non - circulaire
zero torque non-zero torque
La section ne reste pas planeaprès l’application de MT
L’étude de la torsion de barreaux prismatiques à sectionpleine est basée sur la méthode de St.Venant.
28
torsion non - circulaire
)HB(M
2t
maxα
τ =
3( )tMd
dx G HBϕθ
β= =
Angle de torsion par unité de longueur
29
torsion non - circulaire
2t
max HeM3
=τ
3
3( )
tMddx G Heϕθ = =
Remplacer la hauteur H par la longueur Rϕ 2
tmax e
M3ϕ
τR
=
3
3(R )
tMddx G eϕθ
ϕ= =
section rectangulaire secteur de couronne
ϕ
30
torsion non - circulaire
2 2
3
16 ( )( )
tM H Bddx G HBϕθ
π+
= =
)HB(M16
2t
maxπ
τ =
3t
max BM20
=τ
20,133 ( )tMd
dx G FDϕθ = =
FD217,0Mt
max =τ106
t
p
Mddx GIϕθ = =
31
torsion non – circulaire de faible largeur
2t
max HeM3
=τ
3
3( )
tMddx G Heϕθ = =
Remplacer la hauteur H par la longueur 2B
2t
max Be2M3
=τ
3
3(2 )
tMddx G Beϕθ = =
section rectangulaire cornière à ailes égales
32
torsion non - circulaireProfil en U ou en I
32
31
2tmax Be2He
eM3+
=τ 3 31 2
3( 2 )
tMddx G He Beϕθ = =
+
33
torsion - exempleOn considère deux tubes circulaires à paroi mince de mêmes dimensions (longueur l, diamètres extérieur D1 et intérieur D2), mais dont l’un est fendu sur toute la longueur. Sachant que les deux tubes sont soumis au même moment de torsion Mt, calculer les contraintes de cisaillement maximales
2t
maxHeM3
=τ
)He(GM3
3t=θ
/ t
p
MGI
θ ϕ= =l
)DD(DM16
WM
IM
42
41
1t
p
t
p
tmax
−===π
τ R
32/DI 4p π=
2/)DD(H 21 += π2/)DD(e 21 −=
MPa01,6max =τ MPa127max =τ
1
MECANIQUE DES STRUCTURES
Chapitre 6: flexion des poutres droites
préparé par
John BOTSIS, Professeur LMAF/STI/EPFL
2
flexion des poutres droitesHypothèses:
1: l’effort tranchant est nul, la flexion simple est dite flexion pure
2: le moment de flexion Mf ne comporte qu’une composante
Mfz = M
perpendiculaire au plan Gxyappelé plan de flexion;
3: la fibre moyenne de la poutre est une droite et elle est donc confondue avec l’axe Gx.(les axes Gy et Gz sont principaux d’inertie).
3
flexion des poutres droites
flexion pure : le moment de flexion est constant le long de x
axe neutrepas de déformation
4
flexion des poutres droites - hypothèse
Hypothèse concernant la déformation de la section.
adopter une nouvelle fois l’hypothèse de Bernoullid’après laquelle une section plane avant déformation reste plane après déformation.
L’expérience montre que l’on peut admettre que, mise à part l’influence de la contraction latérale, la section F' après déformation se déduit de F par simple rotation autour du support de M (axe Gz).
5
flexion des poutres droites
ky=σ∫∫=
∫∫=
∫∫=
Fz
Fy
F
dF0
dF0
dF0
τ
τ
σ
∫∫=
∫∫−=
∫∫ −−=
F
F
Fyz
ydFM
zdF0
dF)zy(0
σ
σ
ττ
axe neutre
6
flexion pure des poutres droites
∫∫==F
2z dFyII
ky=σ
∫∫=∫∫=F
2
FdFyydFM kσ
IyM
=σ
axe neutre
F
0 ydFk= − ∫∫F
0 yzdFk= − ∫∫
7
flexion pure des poutres droites
IM1
maxd
=σ
IM2
mind
−=σ
y = d1
y = d2
1max W
M=σ
2min W
M−=σ
I=W1d1
axe neutre
moments de résistance à la flexion
I=W2d2I
yM=σ
8
flexion pure des poutres droites
convention de signe en flexion
(b) moment de flexion Mfy et trièdre de référence à droite.(a) moment de flexion Mfz et trièdre de référence à gauche;
9
flexion pure des poutres droites - déformation
IyM
=σ
on connaît
Eσε =
dxEIMd =θ
dxEIyMdx
Edx ==
σε
θρddx =
θε yddx =
EIM
dxd
=θ
EIM1
=ρ
θρddx =courbure
établir la déformation de la poutre (Chapitre 7)
10
flexion pure des poutres droites - déformationLa déformation latérale due à la flexion entraîne de la contraction ou dilatation latérale due aux contraintes normales. Compte tenu de la distribution des contraintes en flexion pure, il est facile de voir qu’une section rectangulaire par exemple se déforme comme le montre la figure
EIM1
'μ
ρμ
ρ==
Un raisonnement semblable au précédent permet de calculer la courbure
μ : désigne le coefficient de Poissondz
dφ
dφ
dzEIMydz
Edz
ddz
z
'
μσμε
ϕρ
==
=
dzEIyMyd
yddzz
μφ
ϕε
=
⋅=
11
flexion pure des poutres droites - exempleCalculons les contraintes dansune section d’une poutre rectangulaire
MPa208WM
IMy
1
maxmax ===σ
H = 6 cmB = 4 cmM = 5000Nm
IMy
=σ
12BHI
3=
MPa208WM
IMy
2
minmin −=−=−=σ
12
flexion pure des poutres droitesDistribution des contraintes normales
IMy
=σ
13
contraintes de cisaillement et de flexion
14
Contraintes tangentielles en flexion simple
Quand le moment de flexion varie le long de la poutre, il s’accompagne d’un effort tranchant
0)dTT(dxT =+++− p
0)dMM(2
dxdxTdxM =+++−− p
équilibre
dxdT
−=p
dxdMT =
L’effort tranchant provoque des contraintestangentielles dans la section
15
contraintes tangentielles en flexion simple
contraintes tangentielles(ou de cisaillement)
y
C
écoulement descontraintes tangentielles
τB
x
z
y
T
H
B
C
τ
16
contraintes tangentielles en flexion simpleConsidérons deux sections infiniment voisineset conservons les deux hypothèses
3: la fibre moyenne de la poutre est une droite et elle est donc confondue avec l’axe Gx.
2: le moment de flexion Mf ne comporte qu’une composante Mfz = M perpendiculaire au plan Gxyappelé plan de flexion;
dσ est le résultat de la variation de M
dτ est le résultat de la variation de T
17
contraintes tangentielles en flexion simple
Considérons l’équilibre de la section F’
TdxIydx
dxdM
Iydy
ydx
xd ==
∂∂
+∂∂
=σσσ
IyM
=σ )0dy( =
∫∫='F
'ydFIbTτ
0)2
d(bdx
dF)d(dF'' F
'
F
'
=+−
∫∫ ++∫∫−
ττ
σσσ
0dxd →τ
'
'
F
b dx= dσdFτ ∫∫
18
contraintes tangentielles en flexion simple
∫∫='F
'ydFIbTτ
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−=
+⋅−=∫∫=
22'
F
''
2/Hy1
8BHS
)y2/H(21)y2/H(BydFS
'
12BHI
3= Bb =
Calculons les contraintes tangentielles
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−=
2
2/Hy1
BHT
23τ
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−=
2
moy 2/Hy1
23ττ
19
contraintes tangentielles en flexion simple
y
contraintes tangentielles
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−=
2
2/Hy1
BHT
23τ
C
x
z
T
y
H
B
C
20
contraintes tangentielles en flexion simple
Distribution descontraintes tangentielles
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−=
2
2/Hy1
BHT
23τ
21
contraintes tangentielles en flexion simple
contraintes tangentielles : section circulaire
ψ
ψψψπ
ψ
33'
'2/ '2'3
F
'''
cosR32S
dcossinR2dFyS'
=
∫=∫∫=
4RI
4π=
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−=
=
2
moy
2moy
Ry1
34
cos34
ττ
ψττψcosR2b =
∫∫='F
'ydFIbTτψ
πτ 2
2 cosRT
34
=
'''' cosRz;sinRy ψψ ==
''22''' dcosR2dyz2dF ψψ==
utilisons les variables
22
contraintes normales & tangentielles
2211 BHBHF +=
F)2/HH(BH)2/H(BH 2122111
1++
=η
1212 HH ηη −+=
Géométrie de la section
3 32 22 2 1 1 1
1 1 2 2B H B H HI= + +B H ( +H ) - η F
3 12 2
contraintes tangentielles IbTS'
=τ
2/)y()y(BS
2/)y()y(BS
222'2
111'1
+⋅−=
−⋅+=
ηη
ηη222
221
yHHyηη
ηη≤≤−−−≤≤−
( )[ ]( )[ ]2
2
22
21
21
/y1I2
T)y(
/y1I2
T)y(
ηητ
ηητ
−=
−=
IMy)y( =σ
1min
2max
IM
IM
ησ
ησ
−=
=
contraintes normales
23
contraintes normales & tangentiellescontraintes tangentielles : section circulaire
sur la surface, les conditions aux limites ne sont pas satisfaites
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−=
2
moy Ry1
34ττφτ cos/
max moy2
4 T 43 R 3
τ τπ
= =
τ
maxτmaxτ
24
flexion des poutres - contraintes tangentielles
sur ces surfaces, les conditions aux limites
ne sont pas satisfaites
P
IbTS'
=τ
0=τ
0≠τ
0≠τ
a
a
a - a
25
flexion des poutres - contraintes tangentielles
apour satisfaire
l’équilibre
ItTS'
=τ
Pa
a - a
η≈h/2
26
flexion des poutres - contraintes tangentielles
ItTS'
=τ
max1
btF2 2
τ=
pour des contraintes on utilise
écoulement descontraintes tangentielles
q tτ=
η≈h/2
27
flexion simple - état de contrainte
IbTS'
x =τ
IyM
x =σ
0x =σxy ττ −=
Sur la face Fy
Sur la face Fx
Sur la face perpendiculaire a Gzles contraintes sont nulles
État de contrainte estbidimensionnel
28
flexion simple - état de contrainte
Considérons une section oblique Fϕ perpendiculaire au plan principal M0xy et tournant autour de l’axe M0z, sa normale n formant un angle ϕ avec l’axe M0x.
l’équilibre des forces conduit à:
Etant donné que
cos sin cos 0
sin cos sin 0x x x x y x
x x x x y x
F F F F
F F F Fϕ ϕ
ϕ ϕ
σ σ ϕ τ ϕ τ ϕ
τ σ ϕ τ ϕ τ ϕ
− − − =
+ − + =
cosxF Fϕ ϕ= sinyF Fϕ ϕ=
2
2 2
cos 2 sin cos
sin cos (cos sin )x x
x x
ϕ
ϕ
σ σ ϕ τ ϕ ϕ
τ σ ϕ ϕ τ ϕ ϕ
= +
= − + −
29
flexion simple - cercle de Mohr
x
x0
2x
2x
22tg
2R
στϕ
τσ
=
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
2x
2xx
1 22τσσσ +⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛+=
2x
2xx
3 22τσσσ +⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛−=
2x
2x
max 2R τστ +⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛==
0
0
(1 cos 2 ) sin 22
cos 2( )2
sin 2 cos 22sin 2( )
xx
x
xx
R
R
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
σσ ϕ τ ϕ
σσ ϕ ϕ
στ ϕ τ ϕ
τ ϕ ϕ
= + +
= + −
= − +
= − −
30
flexion des poutres droites - cercle de Mohr
x
x
02
00
2tg1
tg22tg
στ
ϕ
ϕϕ =
−=
x
x
02
00 2tg1
tg22tg
τσ
γ
γγ −=
−=
31
flexion des poutres droites - lignes isostatiquesles trajectoires des contraintes principales, c’est-à-direles courbes continuellement tangentes aux contraintes principales.Ces courbes, appelées lignes isostatiques
elles débouchent perpendiculairement ou tangentiellement sur les fibres extérieures de la poutre, puisque les contraintes de cisaillement sont en effet nulles en ces endroits;
elles rencontrent l’axe neutre selon un angle de ± π/4 car les points de cet axe sont soumis au cisaillement pur
3: compression 1: traction
32
flexion des poutres droites - lignes isostatiques
0' tg
dxdyy ϕ==
x
x
02
00
2tg1
tg22tg
στ
ϕ
ϕϕ =
−=
Équation différentielle régissant les courbes isostatiques
01y4y '
x
x2' =−−στ
Cette relation est également valable pour les lignes isostatiques en compression, puisque les angles 2ϕ0 et 2ψ0 caractérisant respectivement les contraintes principales σ1 de traction et σ3
de compression, ont la même tangente (2ϕ0 = 2ψ0 + π).
33
flexion des poutres droites - énergieÉnergie de déformation due au moment de flexion
θMd21dU =
θρddx =
EIM1
=ρ
dxEI2
MdU2
=
E2u
2σ=
IMy
=σ2
2
2y
EI2Mu =
34
flexion des poutres droitesdéformation due à l’effort tranchant
Les sections ne reste pas plane
IyM
=σ
IbTS'
x =τ
ne sont que approximatives
35
flexion des poutres droites - énergieÉnergie de déformation due à l’effort tranchant
dxT21Tdy
21dU T γ==
dxGF2TdU
2η=
G2u
2τ=
IbTS'
=τ
GFT
Gmoy η
τηγ ==
∫∫=∫∫=FF
udFdxudxdFdU
η : coefficient de forme
∫∫=F
2
2'
2
2dF
bS
GI2dxTdU
∫∫=F
2
2'
2 dFbS
IFη
1
MECANIQUE DES STRUCTURES
Chapitre 7: déformée des poutres droitesen flexion simple
préparé par
John BOTSIS, Professeur LMAF/STI/EPFL
2
déformée des poutres droites en flexionéquation différentielle de la déformée
( )
( ) 2/32'
''
2/12'
'
2'
'
y1
y1
y1dx
dxdxdy
y11
dsdx)tgyArc(dd1
+±=
+⋅⋅
+±=
⋅±=±=
ρ
θρ
ds
ds
EIM1
=ρ
''y1±=
ρ
Sous l’hypothèse des petites déformations
EIM1
=ρEI
My '' −=
3
déformée des poutres droites en flexionInfluence de l’effort tranchant
dxdyT γ=
GFTηγ = GF
Ty'T η=
Si la poutre supporteune charge continue p(x)
2
2
dx)x(Md
dx)x(dT)x(p −=−=
GF)x(M
GF)x(p
GFTy
'''''T ηηη =−==
4
déformée des poutres droites en flexion
)x(P)x(M −−= lchercher la déformée d’une poutre en console
EIMy '' −=
)x(PEIy '' −= l
1
2' C
2xPxPEIy +−= l
21' C0)0x(yC0)0x(y ====== ;
conditions aux limites
)x3(xEI6Py 2 −= l
EI3P 3l
=f
EI2Ptg
2l=≈ ββ
flèche maximale
rotation maximale
21
32CxC
6xP
2xPEIy ++−= l
5
déformée des poutres droites en flexiondéformée due à l ’effort tranchant pour une poutre en console
1T C0)0x(y ===condition aux limites
P)x(T =
GFPy'
T η=
1T CxGFPy +=η
xGFPyT η=
flèche maximale GFP
Tlη=f
GFP
T ηβ =rotation (constante)
6
déformée des poutres droites en flexiondéformée totale
flèche maximale
GFP
EI2P 2
t ηβ +=l
rotation totale
xGFPyT η=
)x3(xEI6Py 2 −= l
Tt yyy +=
due à l’effort tranchant
due au moment de flexion 'T
''t yyy +=
GFP
EI3P 3 ll η+=tf
η = 1,2F=BH=50 cm2
I=417 cm4
P=30 kNl=100 cmE=2,1x1011 PaG=0,8x1011Pa
11,4 mm
0,09 mm
0,98o
0,005o
7
déformée des poutres droites en flexiondéformée d’une poutre sur deux appuis
2pxx
2p)x(M
2−=
l
GFp)xx(
EI2p
GFp
EI)x(My 2''
t ηη −−−=−−= l
21
234
t CxC2
xGFp)
6x
12x(
EI2py ++−−= ηl
0)x(y0)0x(y tt ==== l ; conditions aux limites
)xx(GF2p)xx2x(
EI24py 2433
t −++−= lll η
)x2(GF2p)x4x6(
EI24py 323'
t −++−= lll η
GF8p
EIp
3845)2/x(y
24
ttll
l η+===f
GF2p
EI24p 4
ttll ηβα +==
8
déformée des poutres droites en flexiondéformée d’une poutre sur deux appuis : application
η = 1,2F=BH=50 cm2
I=417 cm4
p=200 kN/ml=100 cmE=2,1x1011 PaG=0,8x1011Pa
mm075,3GF8
pEI
p384
5 24
t =+=ll ηf 0
4
tt 567,0GF2p
EI24p
=+==ll ηβα
0,075 mm3,0 mm
0,017o0,55o
9
superposition des déformationsprincipe de superposition des efforts intérieurs
le moment total M en tout point de la ligne moyenmed’une poutre soumis à un cas de charge complexe,
comprenant des forces concentréesdes charges réparties et des momentsappliqués, est la somme des momentpartiels dus à chacune des contributions
∑∑ +∑ +====
q
1kk
n
1jj
m
1ii MMMM
10
superposition des déformations
p(x)P1 P2
P1
P2p(x)
+
+
1 2 ( )P P p xM M M M= + +
1 2 ( )
1 1 1 1
P P p xρ ρ ρ ρ= + +
1 2
'' '' '' ''( )P P p xy y y y= + +
11
superposition des déformationsprincipe de superposition des efforts intérieurs
∑∑ +∑ +====
q
1kk
n
1jj
m
1ii MMMM
∑∑ +∑ +====
q
1k k
n
1j j
m
1i i
1111ρρρρ
EIM1
=ρ
EIMy1 '' =−=
ρ
∑∑ +∑ +====
q
1k
''k
n
1j
''j
m
1i
''i
'' yyyy
∑∑ −∑ −−====
q
1k
kn
1j
jm
1i
i''EI
MEIM
EIMy
Même conditions aux limites
∑∑ +∑ +====
q
1kk
n
1jj
m
1ii yyyy
12
superposition des déformations - exemple
La déformée due à la charge concentréeLa déformée due à la charge répartieLa déformée provoquée par Mo
Négliger l’influence de l’effort tranchant et calculer la flèche au centre
)xx98(
EI18Py 32
1 −= l
)xx2x(EI24
py 3342 ll +−=
)xx(EI6
My 3203 −
−= l
l
En vertu du principe de la superposition, la flèche au centre de la poutre est
EIM
161
EIp
3865
EIP
129623)2/(y)2/(y)2/(yf
20
43
321lll
lll −+=++=
13
flexion des poutres droites - déformation
EI)x(My '' −=
Si la section de la poutre n’est pas constante, le moment d’inertieest une fonction de la variable x
)x(EI)x(My '' −=
Le plus souvent, la section varie de façon discontinue
L’équation reste valable pour chaque partie avec des conditions aux limites à chaque discontinuité
égalité de la déforméeégalité de la pente
1l 2l 3l
(1) (2) (3)
14
flexion des poutres droites - déformationexemple: poutre présentant deux tronçons
- séparer la déforméeen deux fonctions- satisfaire les conditions de compatibilité
)x(EI)x(My '' −=
l1
0''
1xMEIy −=
l10
1A11xMxR)x(M ==
21
31
01 CxC6xMEIy ++−=l
premier tronçon 0 < x1<l
)x1(MEIy2 20
''2
l−−=
)x1(MxRM)x(M 202B022
l−=−=
21
32
22
02 DxD)6x
2x(MEIy2 ++−−=
l
deuxième tronçon 0 < x2<l
15
flexion des poutres droites - déformationexemple: poutre présentant deux tronçons
21
31
01 CxC6xMEIy ++−=l
21
32
22
02 DxD)6x
2x(MEIy2 ++−−=
l
conditions aux limites
222
211
D0)0x(yC0)0x(y====== ;
)2/x(y)2/x(y
)2/x(y)2/x(y
2'21
'1
2211
ll
ll
=−==
===
conditions de compatibilité
8MC 0
1l
=8
M3D 01
l=
16
poutre d’égale résistance à la flexionPoutre d’égale résistance à la flexion : quand la contrainte sur les fibres extrêmesest indépendante de la variable x (le long de l ’axe de la poutre).
)x(W)x(M
0 =σ
0
)x(M)x(W
σ=
)x(H)x(B61)x(W 2=
0
200
00
0
0
2M
)x(MHB
M)x(MM6
)x(M6)x(H)x(B ===
σσ
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡= 2
000
0 HBM6σ
σo: valeur absolue de la contrainte|M(x)|: valeur absolue du momentW(x): le moment de resistance
2min
1max W
MWM −
== σσ ;
17
poutre d’égale résistance à la flexionDe la dernière relation
00 M
)x(MB)x(B =
00 M
)x(MH)x(H =
30
0 M)x(M
B)x(B = 30
0 M)x(M
H)x(H =
1:La section est de hauteur constante H(x)=Ho
0
200
00
0
0
2M
)x(MHB
M)x(MM6
)x(M6)x(H)x(B ===
σσ
2:La section est de largeur constante B(x)=Bo
3:La largeur et la hauteur sont proportionnelles H(x)=kB(x)
on peut définir les cas suivants:
)x(Ed)x(EI)x(W
)x(EI)x(My 00'' σσ
±=±=−=
18
poutre d’égale résistance à la flexion À partir des relations
)x(Ed)x(EI)x(W
)x(EI)x(My 00'' σσ
±=±=−=
dIW = )x(W
)x(M0 =σ
L’équation différentielle de la déformée d’une poutre d’egalerésistance prend la forme
La grandeur d(x) désigne la distance entre la fibre moyenneet la fibre extrême de la poutre
19
poutre d’égale résistance à la flexion
0
0''EH2y σ
−=
2Px)x(M =
2P)2/x(MM0l
l ===
l
xBM
)x(MB)x(B 0
00 ==
Avec d(x) = Ho/2
212
0
0 CxCxEH2y ++−=σ
0)x(y
0)0x(y' ==
==
l
)xx2(EH
y 2
0
0 −= lσ
0
20
EH)(y ll
σ==f
0
0
0
000 I4
HPI
)2/H(M l==σ
0
3
EI4P)(y l
l ==f
Pour une poutre de I(x) =Io = constant
0
3
EI6P)(y l
l ==f ; 50% moins
1
MECANIQUE DES STRUCTURES
Chapitre 8: fléxion déviée et flexion composée
préparé par
John BOTSIS, Professeur LMAF/STI/EPFL
2
flexion déviée et flexion composéedéfinitionSi le moment de flexion Mf comporte deux composantes Mfy et Mfzselon les deux axes principaux Gy et Gz de la section, la flexion est dite déviée.
les moments Mfy et Mfz sont des fonctions de x, de sorte que, l’effort tranchant T comporte également deux composantes Ty et Tzqui provoquent des contraintes tangentielles dans la section F.
(les axes Gy et Gz sont principaux d’inertie)
3
flexion déviéehypothèses : Pour le calcul des contraintes normales σ, nous supposons que :- le déplacement d’un point provoqué par le moment de flexion
est normal à la section;- une section plane avant déformation reste plane après déformation.
la contrainte normale en un point P(y, z) est une fonction linéaire de y et z
CBzAy ++=σ
A, B et C sont des constantes
4
flexion déviéecalcul des contraintes normales
choisissons un trièdre de référence à gauche
∫∫=
∫∫=
∫∫=
Fzz
Fyy
F
dFT
dFT
dF0
τ
τ
σ
∫∫=
∫∫−=
∫∫ −−=
Ffz
Ffy
Fyz
ydFM
zdFM
dF)zy(0
σ
σ
ττ
∫∫+∫∫+∫∫=FFF
dFCzdFBydFA0
CBzAy ++=σ0 0
C = 0
5
flexion déviéecalcul des contraintes normales
choisissons un trièdre de référence à gauche
∫∫=
∫∫=
∫∫=
Fzz
Fyy
F
dFT
dFT
dF0
τ
τ
σ
∫∫=
∫∫−=
∫∫ −−=
Ffz
Ffy
Fyz
ydFM
zdFM
dF)zy(0
σ
σ
ττ
BzAy +=σ
∫∫+∫∫=
∫∫−∫∫−=
FF
2fz
F
2
Ffy
zydFBdFyAM
dFzByzdFAM
zF
2fz
yF
2fy
AIdFyAM
BIdFzBM
=∫∫=
−=∫∫−=
6
flexion déviéecalcul des contraintes normales
BzAy +=σ
zF
2fz
yF
2fy
AIdFyAM
BIdFzBM
=∫∫=
−=∫∫−=
y
fy
z
fzI
MB
IMA −==
zI
MI
M
y
fy
z
fz −= yσ
αα sinMMcosMM ffzffy == ;
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=σ
yzf I
αcoszIαsinyM
7
flexion déviée
définition de l’axe neutre⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−==
yzfz I
αcoszI
αsinyM0σ
βytgII
ytgαzz
y ==
l’angle β entre l’axe neutreGn et l’axe principal Gy
En général l’axe neutre et le support de Mf sont différents. Ils ne coïncident (β = α) que dans les deux cas particuliers suivants :- les moments d’inertie Iy et Iz sont égaux (l’ellipse d’inertie se réduisant à un cercle), de sorte que tout système d’axes orthogonaux passant par G est principal d’inertie;
- le support de Mf est un axe principal, à savoir α = 0 ou α = π/2 (flexion simple).
8
flexion composée - définitionLa section d’une poutre est soumise à la flexion composéequand le torseur des efforts intérieurs comprend une composante normale Nou/et une composante de torsion Mt, en plus du moment de flexion Mfet de l’effort tranchant T.
On distingue:- la flexion composée de traction ou compression- la flexion composée de torsion;- la flexion composée générale (traction ou compression accompagnée de torsion).
flexion + tension flexion + compression
9
flexion composée
uNM
NM
fz
fy
+=
−= ν
calcul des contraintes
centre de pression
Réduction de N au centre G
zIvN
IuN
FN
yz−+= yσ
zI
MI
M
y
fy
z
fz −= yσ
F/Ii y2y =
F/Ii z2z =
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛++= 2
y2z i
vziuy1
FNσ
10
flexion composée
Recherche de l’axe neutre
0ivz
iuy1
FN
2y
2z
=⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛++=σ
1ivz
iuy
2y
2z
−=+Équation
de l’axe neutre
1iz
iy
2y
2
2z
2=+
ellipse d’inertieL’axe neutre est l’antipolairedu centre de pression A(u,v) par rapport à l’ellipse d’inertie
( )( )22
21
GBGDGA
GBGDGA
−=⋅
=⋅
ellipse d’inertie de la section
11
flexion composée
distribution de contrainte sur GA
1ivz
iuy
2y
2z
−=+compression tension
centre de pression
12
Flexion pure des poutres droites - déformation
G point le par passe n neutre axel':A
∞
∞→Si
la flexion composée devientflexion déviée pure
section)la à (tangent n est neutre axel' :AA
1
1→Si
section)la à (tangent n est neutre axel' :AA
2
2→Si
G point le par passe n neutre axel':A
∞−
−∞→Si
13
flexion composée
noyau central de la section
le noyau central est la partie de la section dans laquelle doit se trouver le centre de pression pour que les contraintes soient toutes de même signe.
1
MECANIQUE DES STRUCTURES
Chapitre 10: énergie de déformation élastique
préparé par
John BOTSIS, Professeur LMAF/STI/EPFL
2
énergie de déformation élastique - définitions
Considérons un système statique ou hyperstatique, astreint à un nombre quelconque de liaisons et soumis à n1 forces Fi et n2 moments Mj, tous indépendants.
Quand toutes les forces et tous les moments sont nuls, on dit que
le système se trouve dans son état initial ou naturel.
3
énergie de déformation élastique - définitions
Soient Di le déplacement de la force Fi et Φºj la rotation du moment Mjentre l’état initial du système et l’état final considéré.
Désignons par di et ϕj leurs projections respectives sur les supports de Fi et Mj
4
énergie de déformation élastique - définitions
Afin de simplifier l’écriture et de travailler avec des grandeurs scalaires, adoptons pour la suite la convention suivante :
- δi dénote un déplacement généralisé
(déplacement di ou rotation ϕi)
dans la direction de Pi.
- Pi désigne une force généralisée(amplitude de la force Fi
ou du moment Mi);
5
énergie de déformation élastiqueformule de Clapeyron
∑∑==
⋅==n
1iii
n
1ii dPdUdU λλδ
Pour calculer l’énergie élastique accumulée par le système : on fait croître toutes les forces Pi proportionnellement entre elles, depuis l’état initial jusqu’à l’état final, de sorte que l’équilibre du système reste constamment assuré.
λλδλδλ dPdPdU iiiii ⋅=⋅=
∑ ∫=
=n
1i
10ii dPU λλδ∑=
=
n
1iiiP
21U δ
Dans un état intermédiaire, les forces et les déplacements ont pour valeurs λ Pi et λ δi, λ étant un coefficient variant de 0 à 1
(n = n1 + n2)
Formule de Clapeyron
6
énergie de déformation élastiquecoefficients d’influence
jn
1j
inijii2i1i
ninjijiii22i11ii
P
.........
Pa...Pa...Pa...PaPa
∑=
+++++++=
+++++++=
=ija
δδδδδ
δ
coefficients d’influence:
La proportionnalité entre forces et déplacements permet d’appliquer le principe de superposition au système.Les déplacements δi sont donc des fonctions linéaires des forces généralisées
est la contribution de la force Pj au déplacement du point d’application de la force Pi dans la direction de cette dernière.
jijij Pa=δ
7
énergie de déformation élastiquecoefficients d’influence
Interprétation du coefficient d’influence aij
le coefficient de proportionnalité aij, appelé coefficient d’influence, est égal à la projection, sur la force généralisée Pi agissant au point Ai, du déplacement provoqué en ce point par une force unité appliquée au point Aj dans la direction de Pj
jijij Pa=δ
ij''
iii
ji'ji PàdûPdetdéplacemen
δ=
=
AA
AA
8
énergie de déformation élastiqueformule de Clapeyron
Forme finale de la formule de Clapeyron
∑==
n
1iiiP
21U δj
n
1ji P∑=
=ijaδ
jn
1j
inijii2i1i
ninjijiii22i11ii
P
.........
Pa...Pa...Pa...PaPa
∑=
+++++++=
+++++++=
=ija
δδδδδ
δ
formule de Clapeyron intermédiaire
∑ ∑== =
n
1iji
n
1jij PPa
21U
notons que c’est une expression quadratique des forces agissant sur le système
9
Considérons un corps élastique soumis à deux systèmes - de n forces généralisées Pi et- de m forces généralisées Qj,
agissant respectivement aux points Ai et Bj,
énergie de déformation élastiquethéorème de Betti-Rayleigh
10
énergie de déformation élastiquethéorème de Betti-Rayleigh
)P(n forces
P21)P(U
i
n
1iiii
∑==
δ
)Q(m forces Q21)Q(U j
m
1jjjj ∑=
=λ
Supposons d’abord que les forces Pi sont appliquées seules. L’énergie qu’elles fournissent au système élastique est donnée par
la formule de Clapeyron
Appliquons ensuite les m forces Qj, qui provoquent un déplacement λj – dans la direction des forces Qj – des points Bj. Le système étant linéaire, l’énergie correspondante a pour valeur
11
énergie de déformation élastiquethéorème de Betti-Rayleigh
∑==
n
1ii
'ii
' P)P(U δ
Ces forces (Qj) provoquent également un nouveau déplacement , selon la direction des forces Pi – des points d’application Ai.
'iδ
Les forces Pi étant indépendantes des déplacements , le nouveau travail qu’elles fournissent est égal à la somme
'iδ
12
énergie de déformation élastiquethéorème de Betti-Rayleigh
Dans l’état d’équilibre final, l’énergie de déformation totale est donnée par la somme des trois contributions
∑+∑+∑=++====
n
1ii
'i
m
1jjj
n
1iiii
'jiji PQ
21P
21)P(U)Q(U)P(U)Q,P(U δλδ
13
énergie de déformation élastiquethéorème de Betti-Rayleigh
∑==
m
1ij
'jj
' Q)Q(U λ
Procédons maintenant de manière inverse, en appliquant d’abord les forces Qj seules.
)P(n forces
P21)P(U
i
n
1iiii
∑==
δ
)Q(m forces
P21)Q(U
j
m
1jjjj
∑==
λ
Les forces Pi, appliquées ensuite, provoquent les mêmes déplacements antérieurs δi des points Ai,
Elles entraînent aussi un nouveau déplacement des points Bj, de telle manière que les forces Qjfournissent le travail supplémentaire
'jλ
14
énergie de déformation élastiquethéorème de Betti-Rayleigh
∑+∑+∑=++====
m
1jj
'j
n
1iii
m
1jjjj
'ijij QP
21Q
21)Q(U)P(U)Q(U)P,Q(U λδλ
Dans l’état d’équilibre final, l’énergie de déformation totale est donnée par la somme des trois contributions
15
énergie de déformation élastiquethéorème de Betti-Rayleigh
)P,Q(U)Q,P(U ijji =
∑=∑==
m
1jj
'j
n
1ii
'i QP λδ
∑+∑+∑=++====
n
1ii
'i
m
1jjj
n
1iiii
'jiji PQ
21P
21)P(U)Q(U)P(U)Q,P(U δλδ
∑+∑+∑=++====
m
1jj
'j
n
1iii
m
1jjjj
'ijij QP
21Q
21)Q(U)P(U)Q(U)P,Q(U λδλ
L’énergie ne dépend que de l’état final du système
théorème de réciprocité de Betti-Rayleigh :Dans un système élastique et proportionnel, le travail des forces Pi,
lors de la déformation imposée par des forces Qj, est égal au travail des forces Qj lors de la déformation imposée
par des forces Pi.
16
énergie de déformation élastiqueégalité des coefficients d’influence réciproques
Le théorème de réciprocité de Betti-Rayleigh exprime l’égalité de deux énergies et peut s’énoncer sous la forme plus restreinte de l’égalité des coefficients d’influence réciproques
jiij aa =
intervenant dans les relations
jijij Pa=δ
∑ ∑== =
n
1iji
n
1jij PPa
21U
17
énergie de déformation élastiquethéorème de Maxwell
cas particulier du théorème de Betti-Rayleigh
Celui-ci s’énonce de la manière suivante :Le déplacement généralisé provoqué en un point par une force généralisée unité appliquée en un second point est égal au déplacement généraliséprovoqué en ce dernier point par une force généralisée unité agissant au premier point, forces et déplacements étant associés.
1 Ni j
1 Ni j
1aiiii =δ 1a jiji =δ1a jjjj =δ1aijij =δ
jiij δδ = jiij aa =
explication
18
énergie de déformation élastiqueégalité des coefficients d’influence réciproques
iiiii Pa=δ 2iiiiiiii Pa
21P
21U == δ
jjjjj Pa=δ 2jjjjjjjj Pa
21P
21U == δ
Pour démontrer cette égalité, considérons un système déformépossédant une énergie de déformation U0.
Une nouvelle force Pi appliquée au point Ai provoque selon sa direction un déplacement δii de ce point
( )iii ,P δ
U0
AiA partir de ce nouvel état du système, appliquons au point Aj une force Pj, qui entraîne un déplacement δjj de ce point
Aj
( )jjj ,P δ
19
énergie de déformation élastiqueégalité des coefficients d’influence réciproques
( )jijij Pa=δ
jiijiijij PPaPU == δ
ijij2jjj
2iii0 PPaPa
21Pa
21UUU +++Δ+=
Cette force Pj, provoque en outre un nouveau déplacement δij au point Ai
de sorte que la force Pi, fournit un travail supplémentaire
Appelons ΔU le travail des autres forces lors de l’application de la force Pi, puis de la force Pj
L’énergie du système a pour expression
( ) ( )ijiii ,,P δδ
U0
AiAj
jjj ,P δ
20
énergie de déformation élastiqueégalité des coefficients d’influence réciproques
jjjjj Pa=δ
Lorsqu’à partir de l’état initial, on fait agir d’abord Pj au point Aj, le déplacement δjj de ce point et le travail de Pj ont pour valeur
et le travail de Pj est
2jjjjjjjj Pa
21P
21U == δ
La force Pi appliquée ensuite au point Aientraîne un déplacement δii de ce point et fournit un travail Uii
iiiii Pa=δ
2iiiiiiii Pa
21P
21U == δ
( ) ( )jijjj ,,P δδ
U0
Ai Aj
( )iii ,P δ
21
énergie de déformation élastiqueégalité des coefficients d’influence réciproques
La force Pi entraîne également un nouveau déplacement δji du point Ajet la force Pj fournit un travail supplémentaire Uji
jijijjiji PPaPU == δ
( )ijiji Pa=δ
et l’énergie totale du système vaut
jiji2iii
2jjj0 PPaPa
21Pa
21UUU +++Δ+=
( ) ( )jijjj ,,P δδ
U0
Ai Aj
( )iii ,P δ
22
énergie de déformation élastiqueégalité des coefficients d’influence réciproques
jiji2iii
2jjj0 PPaPa
21Pa
21UUU +++Δ+=ijij
2jjj
2iii0 PPaPa
21Pa
21UUU +++Δ+=
L’égalisation des énergies donne
jijiijij PPaPPa =
( ) ( )ijiii ,,P δδ
U0
AiAj
( )jjj ,P δ ( ) ( )jijjj ,,P δδ
U0
Ai Aj
( )iii ,P δ
23
énergie de déformation élastiqueégalité des coefficients d’influence réciproques
jiij aa =jijiijij PPaPPa =De cette dernière égalité
théorème de l’égalité des coefficients d’influence Dans un système élastique et proportionnel, les coefficients d’influence réciproques aij et aji relatifs aux déplacements des points d’application de deux forces extérieures Pi et Pj sont égaux.
( ) ( )ijiii ,,P δδ
U0
AiAj
( )jjj ,P δ ( ) ( )jijjj ,,P δδ
U0
Ai Aj
iii ,P δ
24
énergie de déformation élastique
kk P
U∂∂
=δ
théorème de CastiglianoLe déplacement δk d’une force généralisée Pk, agissant sur un système élastique et proportionnel, est égal à la dérivée partielle de l’énergie de déformation du système par rapport à cette force
( )kk ,P δ
AkAj
jP
mP
Am
le déplacement généralisé δk est la composante dans la direction de la force généralisée Pk(force ou moment) du déplacement ou de la rotation provoqué par l’ensemble des forces généraliséesappliquées au système
25
énergie de déformation élastiquethéorème de Castigliano
∑ ∑== =
n
1iji
n
1jij PPa
21U
'2kkkj
n
kj1j
kkjkn
ki1i
iik UPa21PPa
21PPa
21U ++∑+∑=
≠=
≠=
kkkjn
kj1j
kjn
ki1i
iikk
PaPa21Pa
21
PU
+∑+∑=∂∂
≠=
≠=
kkk
jn
1jkj
n
1iiki
jn
1jkj
n
1iiik
k
21
21
Pa21Pa
21
Pa21Pa
21
PU
δδδ =+=
∑+∑=
∑+∑=∂∂
==
==
démonstrationà partir de la formule de Clapeyron
isolons les 2n-1 termes qui dépendent de la force Pk
En dérivant cette expression par rapport à Pk
Et en réintégrant le troisième terme on obtient
Énergie indépendante de Pk
26
énergie de déformation élastiquethéorème de Castigliano
dxEF2
NU0
2
N ∫=l
dxGI2MU
0 p
2t
Mt ∫=l
∫=l
0
2f
M dxEI2
MUf
dxGF2T
U0
2
T ∫=lη
dxGF2Tdx
EI2Mdx
GI2Mdx
EF2NU
0
2
0
2f
0 p
2t
0
2∫+∫+∫+∫=llll η
dxEF2
NdU2
N =
dxGI2MdU
p
2t
Mt=
dxGF2T
dU2
Tη
=
dxEI2
MdU2f
Mf=
énergie de déformation due au moment de flexion
énergie de déformation due à l’effort tranchant
rappelons queénergie de déformation due à l’effort normal
énergie de déformation due au moment de torsion
Énergie totale
27
énergie de déformation élastiquethéorème de Castigliano
dxPT
GFTdx
PM
EIM
dxPM
GIMdx
PN
EFN
k00 k
ff
k
t
0 p
t
k0k ∂
∂∫+∫
∂∂
+∂∂
∫+∂∂
∫=llll ηδ
application
dxGF2Tdx
EI2M
dxGI2Mdx
EF2NU
0
2
0
2f
0 p
2t
0
2
∫+∫+
∫+∫=
ll
ll
η
kk P
U∂∂
=δ
28
énergie de déformation élastiquethéorème de Castigliano
0QQU
AV =∂∂
= avec δ
applicationpour calculer le déplacementd’un point où il n’y a pas de force
on applique au point dont on désire connaître le déplacement dans une direction donnée,une force Q arbitraire dans cette direction.
Après avoir calculé les efforts intérieurs et les dérivées partielles, il suffit d’annuler la force fictive Q.
29
énergie de déformation élastiquethéorème de Castigliano
VU
BV ∂∂
=δ
HU
BH ∂∂
=δ
PU
BP ∂∂
=δ
application
Déplacement vertical ou horizontald’un point
pour calculer le déplacement vertical ethorizontal d’un point où s’applique une force oblique, on considère séparémentl’influence des deux composantes.
30
énergie de déformation élastique
PxM 1f −= 1f x
PM
−=∂
∂11x0:I l≤≤
22x0:II l≤≤
PxM 2f −= 2f x
PM
−=∂
∂
PM 1t l= 1t
PM
l=∂
∂
1: flexion
2: torsion
20p
21
20
221
0
21
C
B
tt
p
fC
Af
dxGIPdxx
EIPdxx
EIP
dxP
MMGI
1dxP
MMEI1
221
∫+∫+∫=
∫ ∂∂
+∂
∂∫=
lll l
δ
( )GI
PEI3P 2
213
231
llll ++=δ
( )I2Ip =
exemple : calculer le déplacement vertical δ
31
énergie de déformation élastique Exemple: calculer pour la poutre encastrée le déplacement vertical δV, le déplacement horizontal δH ainsi que la rotation α au point A.
Pour calculer le déplacement δH et la rotation α, on introduit une force auxiliaire horizontale H et un moment auxiliaire M0
au point A.
32
énergie de déformation élastique
0MxHPR2M ++=
R2PM
=∂∂
xHM
=∂∂
1MM
0=
∂∂
hx0 ≤≤
0MsinHR)cos1(PRM +−−= ϕϕ
)cos1(RPM ϕ−=
∂∂
ϕsinRHM
−=∂∂
1MM
0=
∂∂
πϕ ≤≤0exemple
33
énergie de déformation élastique
déplacements
( ))h8R3EI2
PR
dxEIPR4d)cos1(
EIPR
dxPMM
EI1
2
h
0
2
0
23
C
Av
+=
∫+∫ −=
∂∂
∫=
π
ϕϕ
δ
π
( )22
h
00
3
C
AH
R2hEIPR
dxxEIPR2dsin)cos1(
EIPR
dxHMM
EI1
−=
∫+∫ −−=
∂∂
∫=
ϕϕϕ
δ
π
( )h2REIPR
dxEIPR2d)cos1(
EIPR
dxMMM
EI1
h
00
20
C
A
+=
∫+∫ −−=
∂∂
∫=
π
ϕϕ
α
π
1
MECANIQUE DES STRUCTURES
Chapitre 11: systèmes hyperstatiques
préparé par
John BOTSIS, Professeur LMAF/STI/EPFL
2
systèmes hyperstatiques - définitions
Les structures analysées jusqu’à ce stade n’étaient astreintes qu’au nombre de liaisons extérieures strictement nécessairespour définir leur position.
Pour des systèmes statiquement déterminés ou isostatiques, les réactions extérieures sont déterminées par les deux conditions d’équilibre suivantes :
Σ Re = 0 (somme des forces extérieures nulle);Σ Me= 0 (somme des moments extérieurs nulle),
correspondant à six conditions scalaires pour un système de l’espace et à trois conditions scalaires pour un système plan.
systèmes statiquement déterminés (isostatiques)
3
systèmes hyperstatiques - définitions
est alors nécessaire de recourir à des équations supplémentaires telles que des conditions de déformation pour définir
le comportement statique du système.
Quand les efforts intérieurs ne peuvent être déterminés en tout point par le simple jeu des équations d’équilibre,
le système est dit hyperstatique.
systèmes hyperstatiques
4
systèmes hyperstatiques - définitions
Quand le nombre p des liaisons extérieures dépasse le nombre des conditions d’équilibre, le système est
hyperstatique extérieurement,
la différencek = p – 6 pour un système de l’espace;k = p – 3 pour un système plan,
constituant l’ordre ou degré d’hyperstaticité extérieure.
systèmes hyperstatiques
5
systèmes hyperstatiques - définitions
Exemples: système hyperstatique extérieurement
k = p – 6 = 4
(p = 6+1+3)
k = p – 3 = 3
(p = 3+1+2)
6
systèmes hyperstatiques - analysePour calculer un système hyperstatique extérieurement S,
I: on remplace les k liaisons surabondantes par autant de forces généralisées inconnues R1, R2, ..., Rk appelées réactions hyperstatiques – ou hyperstatiques –et choisies arbitrairement parmi les p liaisons du système, de sorte que l’on obtient le système isostatique fondamental S' dérivé du système donné S;
II: on exprime ensuite les conditions d’équilibre du système S' ainsi que les efforts intérieurs en fonction des forces extérieures et des hyperstatiques choisies;on établit k conditions de déformation correspondant aux k liaisons supprimées et constituant les équations permettant de calculer les k hyperstatiques inconnues R1, R2, ..., Rk;
III: avec les valeurs R1, R2, ..., Rk, on obtient les autres réactions et les efforts intérieurs du système S.
7
systèmes hyperstatiques - définitionsRemarques
Pour qu’un système soit plan au sens de la statique, il ne suffit pas que les fibres moyennes du système matériel soient dans un plan, mais il faut encore que les forces extérieures agissent dans le même plan et que les moments extérieurs soient, vectoriellement, perpendiculaires à ce plan.
En vertu du principe de superposition, il est possible d’appliquer séparément au système S' les forces extérieures et les hyperstatiques, ou même chaque force et chaque hyperstatique séparément. Les conditions de déformation sont ensuite obtenues en ajoutant les effets des forces extérieures et des hyperstatiques.
8
systèmes hyperstatiques - définitionsLes hyperstatiques pouvant être choisies arbitrairement,
le système isostatique fondamental S' est également arbitraire.
parmi les (6·5·4)/(1·2·3) ou 20 possibilités, deux exemples de choix possible pour la structure de la figure
9
systèmes hyperstatiques - définitions
un système est hyperstatique intérieurement quand la connaissance
de toutes les réactions extérieures n’est pas suffisante pour calculer les efforts intérieurs.
système hyperstatique intérieurement
10
systèmes hyperstatiques - définitionssystème hyperstatique intérieurementsystème plan de barres articulées en treillis
Un telle structure est hyperstatique intérieurement d’ordre k = m + p – 2n,
- m désigne le nombre de barres, - p est le nombre de liaisons extérieures- n dénote le nombre total de nœuds.
11
systèmes hyperstatiques - définitionssystème hyperstatique intérieurement
système plan de barres articulées en treillis : on obtient un système isostatique fondamental S' du système donné S, en remplaçant
les k liaisons intérieures surabondantes par des forces hyperstatiques inconnues R1, R2, ..., Rk choisies parmi les efforts intérieurs.
Exemple : ordre k = 6 + 3 – 2(4) = 1
12
systèmes hyperstatiques - définitionssystème hyperstatique intérieurementSystème fermé, non articulé et comprenant une seule boucle
Une telle structure en forme de cadre ou d’anneau est hyperstatique intérieurement d’ordre 3 dans le plan et d’ordre 6 dans l’espace.
13
systèmes hyperstatiques - définitionssystème hyperstatique intérieurementsystème fermé, non articulé et comprenant une seule boucle
Pour obtenir un système isostatique fondamental S' du système donné S, il suffit de remplacer les k liaisons intérieures surabondantes par des forces hyperstatiques inconnues R1, R2, ..., Rk en coupant la boucle dans une section arbitraire et en considérant comme hyperstatiques les efforts intérieurs dans cette section (3 efforts intérieurs dans le plan, 6 dans l’espace).
exempleon peut choisir comme hyperstatiques intérieures les efforts NA, TA et MA
14
systèmes hyperstatiques - définitions
Remarques
Il arrive fréquemment qu’un système soit à la foishyperstatique extérieurement et intérieurement.
Tout élément de symétrie abaisse l’ordre d’hyperstaticitéd’une unité par axe de symétrie.
15
systèmes hyperstatiques - applicationCalculer les réactions aux points A et C du système S
choisissons comme hyperstatique Rla réaction horizontale HA au point A,on obtient le système isostatique S ’
réactions inconnues 2 + 2 = 4
le système S est hyperstatique
extérieurement d’ordre 4 – 3 = 1
(2)
(2)
k = p – 3
16
systèmes hyperstatiques - applicationCalculer les réactions aux points A et C du système S
BA HH =
équilibre
PVV BA =+
CC hHVaP += l
La quatrième équation nécessaire pour déterminer les réactions est donnée par la condition que le déplacement
horizontal d du point A est nul dans le système S'.
17
systèmes hyperstatiques - application
PEI6
)b(abhh 11l
l +== ϕδ
Déformation du système : deux étapes
l
aPV 1C =
0H 1C =
l
bPV 1A =
déplacementéquilibre
18
systèmes hyperstatiques - application
)h(EI3hHH
EI3hH
EI3hh
2A
A
3
A
2''
22''
2'22 +=+=+=+= l
lδϕδδδ
Déformation du système : deux étapes
AC2C HHH ==l
hHVV A2C2A ==équilibre
déplacement
19
systèmes hyperstatiques - application
)h(EI3hHH
EI3hH
EI3hh
2A
A
3
A
2''
22''
2'22 +=+=+=+= l
lδϕδδδ
Déformation du système : compatibilité
Condition à satisfaire021 =−= δδδ
PEI6
)b(abhh 11l
l +== ϕδ
P)1(2)1(HA ξξ
βαβ++
=
l
l
l
/h/b/a
===
ξβα
avec
20
systèmes hyperstatiques - applicationDéformation du système : compatibilité
P)1(2)1(HA ξξ
βαβ++
=BA HH =
PVV BA =+
CA hHVaP += l
P)1(2)1(HH BA ξξ
βαβ++
==
P)1(2)1(1hHaPV CC ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛++
−=−=ξββα
ll
P)1(2)1()1(VPV CA ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛++
+−=−=ξβαβα
21
systèmes hyperstatiques théorème de Menabrea
On a montré que la détermination des réactions d’un système hyperstatique extérieurement d’ordre k nécessite d’établir, en plus des conditions d’équilibre, k équations de déformation.
Rappel du théorème de Castigliano
0RU0
RU0
RU
k21=
∂∂
=∂∂
=∂∂ ...., , ,
Le théorème de Castigliano permet de trouver aisément ces conditions pour les systèmes dont les appuis sont invariables.
En effet, les réactions hyperstatiques R1, R2, ..., Rk ne pouvant fournir aucun travail au système, il suffit d’annuler les dérivées partielles de l’énergie de déformation par rapport à ces réactions, ce qui conduit aux relations complémentaires cherchées
22
systèmes hyperstatiques théorème de Menabrea
Enoncé du théorème de Menabrea
0RU0
RU0
RU
k21=
∂∂
=∂∂
=∂∂ ...., , ,
Les relations
traduisent le théorème de Menabrea sous sa forme originale :Les hyperstatiques correspondant aux liaisons surabondantes prennent les valeurs qui rendent stationnaire l’énergie de déformation du système.
Ce théorème a été complété par la suite sous la forme suivante :Les hyperstatiques correspondant aux liaisons surabondantes prennent les valeurs qui rendent minimale l’énergie de déformation du système.
23
systèmes hyperstatiques - applicationEn ne considérant que l’énergie de flexion, déterminer par le théorème de Menabrea les réactions aux points A et C de l’arc sur lequel s’applique un moment M0 au B.
système avec 5 liaisons
Il est hyperstatique extérieurement d’ordrek = 5 - 3 = 2
24
systèmes hyperstatiques - applicationChoisissons comme hyperstatiques les réactions
0CA MRV2M −=CA HH = CA VV =équilibre
conditions de déformation
0HU
C=
∂∂ 0
VU
C=
∂∂
25
systèmes hyperstatiques - applicationPour l’énergie de déformation on recourt à l’expression
0HU
C=
∂∂
0VU
C=
∂∂
dxGF2Tdx
EI2Mdx
GI2Mdx
EF2NU
0
2
0
2f
0 p
2t
0
2∫+∫+∫+∫=llll η
0 0 0
A
CC
1 M0= M RdEI H
ϕ∂∂∫
A
CC
1 M0= M RdEI V
ϕ∂∂∫
26
systèmes hyperstatiques - application
C
M R(1 cos )V
ϕ∂= − −
∂
Sur le tronçon CB de l’arc,
C CM = H Rsin - V R(1-cos )ϕ ϕC
M R(1 cos )V
ϕ∂= − −
∂
Sur le tronçon BA de l’arc,
C C 0M=H R sin V R(1 cos ) Mϕ ϕ− − +C
M R sinH
ϕ∂=
∂
C
M =R sinH
ϕ∂∂
systèmes hyperstatiques - application
27
systèmes hyperstatiques - application
C
M R sinH
ϕ∂=
∂
C
M R(1 cos )V
ϕ∂= − −
∂ C
1 M0 M RdEI H
A
C
ϕ∂=
∂∫
C
1 M0 M RdEI V
A
C
ϕ∂=
∂∫
[ ]π3
C C0
π20
π/2
R0= H sin -V (1-cos ) sin dEI
R M + sin dEI
ϕ ϕ ϕ ϕ
ϕ ϕ
∫
∫
[ ]3
C C0
20
/ 2
-R0 H sin -V (1-cos ) (1-cos )dEI
R M (1 cos )dEI
π
π
π
ϕ ϕ ϕ ϕ
ϕ ϕ
=
− −
∫
∫C
M R sinH
ϕ∂=
∂
C
M R(1 cos )V
ϕ∂= − −
∂
28
systèmes hyperstatiques - application
[ ]π3
C C0
π20
π/2
R0= H sin -V (1-cos ) sin dEI
R M + sin dEI
ϕ ϕ ϕ ϕ
ϕ ϕ
∫
∫
[ ]π3
C C0
π20
π/2
-R0= H sin -V (1-cos ) (1-cos )dEI
R M - (1-cos )dEI
ϕ ϕ ϕ ϕ
ϕ ϕ
∫
∫
RMV2H
20
CC −=−π
RM
22V
23H2 0
CCππ +
−=−−
29
systèmes hyperstatiques - application
RMV2H
20
CC −=−π
RM
22V
23H2 0
CCππ +
−=−−
0CA MRV2M −=
CA HH =
CA VV =163
28R
MHH 20
CA−
−==
ππ
16382
RMVV 2
20
CA−−+
==π
ππ
1634MM 2
2
0A−−
=π
ππ
30
systèmes hyperstatiques - applicationPar le théorème de Menabrea, trouver le moment hyperstatique intérieur au point B du cadre, puis calculer le déplacement relatif des points A et A'. On ne considérera que l’énergie de flexion.
31
systèmes hyperstatiques - applicationLe système est plan, mais possède deux axes de symétrie, de sorte que son degré d’hyperstaticité intérieure est ramené à
k = 3 – 2 = 1. La double symétrie permet de ne considérer que le quart du cadre.
On choisit comme hyperstatique intérieure le moment MB en B
0MU
B=
∂∂
32
systèmes hyperstatiques - applicationPour l ’énergie de déformation on recourt à l’expression(seule l’énergie de flexion est prise en compte)
dxEI2
MU0
2f∫=
l
∫∂∂
=A
B Bdx
MMM
EI40
∫ ∂∂
=A
Bdx
PMM
EI4δ
33
systèmes hyperstatiques - application
b)x0 (M)x(M B ≤≤= 0PM, 1
MM
B=
∂∂
=∂∂
moment de flexion et ses dérivées
a)x0 (x2PM)x(M ''
B' ≤≤= -
2x
PM, 1
MM '
B−=
∂∂
=∂∂
34
systèmes hyperstatiques - application
b)x0 (M)x(M B ≤≤=
0PM, 1
MM
B=
∂∂
=∂∂
a)x0 (x2PM)x(M ''
B' ≤≤= -
2x
PM, 1
MM '
B−=
∂∂
=∂∂
moment de flexion et ses dérivées
35
systèmes hyperstatiques - application
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−+=
∫ ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −+∫=
2PaaMbM
dxx2PMdxM0
2
BB
a
0
''B
b
0B
)ba(4PaM
2
B +=
∫ ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −−=
a
0
''
'B dx
2xx
2PM
EI4δ ba
b4aEI12
Pa3
++
=δ
déformation
1
MECANIQUE DES STRUCTURES
Chapitre 12: flambage des poutres droites
préparé par
John BOTSIS, Professeur LMAF/STI/EPFL
2
flambage des poutres droites - définitions
Dans les chapitres précédents, les déformations provoquées par les forces extérieures étaient très petites.
Sauf pour les systèmes hyperstatiques, elles avaient une influence nulle ou négligeable sur les efforts intérieurs.
Il s’agissait de systèmes élastiquement stables pour lesquels les grandes déformations ne se produisent qu’après le dépassement de la limite élastique du matériau, dans l’ensemble ou dans certaines parties du système.
3
flambage des poutres droites - définitionsIl arrive cependant qu’un système subisse, tout en restant stable, de grandes déformations sans que les contraintes n’atteignent nulle part la limite élastique
Le système est stable car la déformation a pour conséquence une diminution du moment de flexion. Dans l’exemple de la figure, le moment de flexion au point A passe ainsi de
Pour un tel cas, il est évident que l’influence des déformations sur les efforts intérieurs ne doit plus être négligée.
lPMA =
AHA M)(PM ∠−= δl à
4
flambage des poutres droites - définitions
D’autres systèmes sont par contre élastiquement instables.A partir d’un certain niveau des forces extérieures et sans pour autant que les contraintes n’aient encore atteint la limite élastique, ils subissent de grandes déformations entraînant une augmentation des efforts intérieurs et généralement la ruine du système.
A partir d’une certaine valeur des forces N, appelée charge critique, la flèche augmente brusquement, ce qui provoque une augmentation du moment de flexion en B qui passe de MB = N δ0 à M= N δ > MB.Ce phénomène d’instabilité élastique, entraînant la destruction du système, est appelé flambage ou flambement.une poutre élancée ayant une
flèche initiale δ0 au point Bet soumise à deux forces opposées N.
5
flambage des poutres droites - définitions
notions de stabilité et d’instabilité élastiques
Pour un petit déplacement horizontal δ , le ressort fournit une force de rappel R = k δ et la barre tourne d’un petit angle ϕ.
6
flambage des poutres droites - définitions
Etudions la stabilité du système en calculant le moment des forcesR et N au point C
Pour un petit déplacement horizontal δ , le ressort fournit une force de rappel R = k δ et la barre tourne d’un petit angle ϕ.
)Nkh(NhRMC −=−= δδ
7
flambage des poutres droites - définitions
Stabilité du système
)Nkh(NhRMC −=−= δδ
Trois possibilités se présentent:
N < k h (MC > 0); le système revient à sa position initiale;N > k h (MC < 0); le système s’effondre;N = k h (MC = 0); le système est instable,
il s’effondre quand même car la plus petite imperfection géométrique suffit pour le faire quitter sa position initiale(la force N = k h est la charge critique du système).
8
flambage des poutres droites - définitionsLe résultat précédent, basé sur l’équilibre des moments au point C, peut être retrouvé par comparaison du travail V fourni par la force extérieure à l’énergie U emmagasinée par le système
Nh21
N)cos1(htNV
2ϕ
ϕ
=
−==
222
2
kh21)sinh(k
21
k21R
21U
ϕϕ
δδ
==
==
Le système est alors stable, s’effondre ou est instable selon que l’énergie U est supérieure, inférieure ou égale au travail V(théorème de Lejeune-Dirichlet).
9
flambage des poutres droites Problème d’Euler
Considérons une poutre soumise à une charge de compression excentrée N, comme le montre la figure. Nous supposerons que la longueur l est grande en comparaison des dimensions linéaires de la section.
yz II ≤
10
flambage des poutres droites Problème d’Euler : cas fondamental
Considérons une poutre soumise à une charge de compression excentrée N, comme le montre la figure. Nous supposerons que la longueur l est grande en comparaison des dimensions linéaires de la section.
yz II ≤
11
flambage des poutres droitesProblème d’Euler : cas fondamental
Le cas de charge considéré est un cas particulier de la flexion composée examinée au chapitre 8, mais, la poutre étant élancée, il n’est plus possible de négliger la déformation dans l’expression du moment de flexion.
yz II ≤
12
flambage des poutres droites
)ye(NM −+−= δ
)ye(EINy '' −+= δ
)e(kyky 22'' +=+ δ)e(kxcosCkxsinCy 21 +++= δ
Problème d’Euler : cas fondamentalMoment de flexion
7) (CH EIMy '' −=
EINk2 =
13
flambage des poutres droitesProblème d’Euler : cas fondamental
)e(kxcosCkxsin 2 +++= δ1Cy
)kcos1)(e(y l−+= δ
)kcos1(kcos
el
l−=δ)kxcos1(
kcosey −=l
'1
2
y ( 0) 0y( 0) ( ) 0
x Cx C eδ= = == = + + =
δδ =−+== )kcos1)(e()y(x ll
14
flambage des poutres droitesFormule d ’Euler : cas fondamental
on remarque que la flèche δ n’est plus une fonction linéaire de la charge N et qu’elle tend même vers l’infini quand le dénominateur du membre droit de l’égalités’annule, c’est-à-dire pour
)kcos1(kcos
el
l−=δ
0cos k =l
15
flambage des poutres droitesFormule d ’Euler Charge critique2
2
2
C )n21(4
EIN +=l
π
EINk2 =
0,1,2,..)(n 2
=+= ),n21(kl
π
0kcos =l
16
flambage des poutres droitesFormule d ’Euler
22
2
C )n21(4
EIN +=l
π
)kxcos1(kcos
ey −=l
k/0 π=l
20
2
CEIN
l
π=
(la déformée est une sinusoïdeavec la demi-longueur d’onde)
)n21(k +=l2π
lln21
2k0 +==
π
17
flambage des poutres droites
lln21
2k0 +==
π
2
2
C 4EINl
π=
Formule d ’Eulercharge critique
n = 0; l0 = 2l , Nc0 = π2EI / 4l2
n = 1; l0 = 2l/3, Nc1 = 9 Nc0
n = 2; l0 = 2l/5,Nc2 = 25 Nc0
18
flambage des poutres droites
Remarques
- Seule la première charge critique Nc0 a une signification physique.Dès qu’elle est atteinte, la poutre subit une très grande déformationet se rompt ou se déforme de façon irréversible car les contraintesdépassent la limite élastique du matériau.
- Les autres charges critiques sont donc inaccessibles.
- Une théorie plus fine du problème permettrait de montrer que seule la première charge critique entre en ligne de compte.
Formule d ’Euler 22
2
C )n21(4
EIN +=l
π
19
flambage des poutres droites
Amplitude de la déformation
Quand la charge N est inférieure à la charge critique, la déformation prend la valeur donnée par la relation
)kxcos1(kcos
ey −=l
proportionnelle à l’excentricité, e
2
2
C 4EINl
π= la charge critique n’est pas fonction de e
Il est dès lors intéressant de rechercher la charge critique sans faire intervenir l’excentricité.
20
flambage des poutres droitesAmplitude de la déformationChoisissons, comme poutre, un autre cas, comme celui d’une poutre soumise à deux charges opposées
yNM =
EIMy '' −=
EINk2 =
kxcosCkxsin 2+= 1Cy0yky 2'' =+
ll ksinC0)x(C0)0x(
1
2
======
yy
21
flambage des poutres droitesAmplitude de la déformation
kxcosCkxsin 2+= 1Cy
ll ksinC0)x(C0)0x( 12 ====== y y
0C1 ≠
)1,2,3,....(n n == πlk
Si la constante C1 s’annule, la déformation est nulle partout et la poutre garde sa position initiale
Si le produit kl est égal à nπ, la charge est critique et satisfait la relation EI
Nn C2
22=
l
π( )EI/Nk2 =
22
flambage des poutres droitesLa figure illustre trois allures théoriques de la déformée :
n = 1; l0 = l, Nc adopte la valeur fondamentale Nc1 = π2EI / l2;n = 2; l0 = l/2, la charge critique vaut Nc2 = 4 Nc1;n = 3; l0 = l/3 et la charge critique prend la valeur Nc3 = 9 Nc1.
Comme précédemment – et pour les mêmes raisons –seule la première charge critique Nc1 est à considérer
20
2
2
22
2
2
CEI
)n/(EInEIN
lll
πππ===
23
flambage des poutres droiteskxsinC)x( 1=y2
0
2
CEIN
l
π=charge critique déformation
)1,2,3,....(n n == πlkProblèmes- Le coefficient C1 est indéterminé- Si la charge critique dépasse légèrement NC on a
π≠lk0ksinC1 =l
C1 = 0 Pas de déformation ???0ksin ≠l
24
flambage des poutres droiteskxsinC)x( 1=y2
0
2
CEIN
l
π=charge critique déformation
le problème vient du fait que l’on considère des petites déformationsEI/My '' −=
on peut eviter ce problème en considérant l’équation
( ) 2/32'
''
y1
y1
+=
ρ
25
flambage des poutres droites
remarques au point A, la charge atteint la valeur critique et l’instabilité démarre; sur la partie AB, la charge augmente très lentement, mais l’amplitude
de la déformation s’accroît très rapidement; au point B, la contrainte de flexion dépasse la limite élastique
σe du matériau; au point C, la poutre atteint sa résistance maximale σB; sur le tronçon CD, la charge diminue et la poutre s’effondre.
charge & contrainteaprès le flambage
26
flambage des poutres droites
20
2
CEIN
l
π=
lln21
2k0 +==
π
20
2
CEIN
l
π=
n0l
l =
27
cas dérivés du flambagecas dérivés du flambage d’une poutre
20
2C /EIN lπ= critique charge l0 est la distance entre
deux points d’inflexion de la déformée.
?
28
flambage d’une poutre hyperstatiquePoutre encastrée à une extrémité et guidée à l’autre
x)Q(NyM −−= l
EIx)Q(yky 2'' −
=+l
( )EI/Nk2 =
)(kcosksinCy 21 xNQxCx −++= l
lll
l
oskkyy(
ky
cCsinC0)x(N/QC0)0xN/QC0)0x(
21
2
1'
+===+===−===
conditions aux limites
29
flambage d’une poutre hyperstatique
lll
l
oskksin0)(y
0)0y(
k0)0(y
21
2
1'
cCCxNQCx
NQCx
+===
+===
−===)()kcoskk(sin
ky x
NQxx
NQ
−+−= ll
)lcos(sinNQ kkkk
0 ll −=
conditions aux limites
Poutre encastrée à une extrémité et guidée à l’autre
30
flambage d’une poutre hyperstatique
)cos(sinNQ
lll kkkk
0 −=
Cette égalité peut être satisfaite de deux manières- l’hyperstatique Q est nulle, entraînant les conditions C1 = C2 = 0;
la déformation s’annule alors partout et la poutre reste droite;- le facteur (sin kl - kl cos kl) est nul, la charge prenant dans ce cas
une valeur critique déterminée par l’équation tg kl = kl.
Poutre encastrée à une extrémité et guidée à l’autre
31
flambage d’une poutre hyperstatique
Intéressons-nous au plus petit produit kl satisfaisant tg kl = kl.
Ce produit, valable pour la première charge critique (qui est la seule significative), vaut kl = 4,4934
20
2
2
2
2
2
2
2
)7,0()6992,0()4934,4(
llll
EIEIEIEINCπππ
=≈==
Poutre encastrée à une extrémité et guidée à l’autre
32
flambage d’une poutre hyperstatique
)x(NQ)xx(ksin
kN)k(1Q
0
2−+−
+= l
ly
déformée de la poutre
Elle consiste en la somme d’une droite, passant par le point A,(le point d’inflexion situé en x0)
et d’une sinusoïde dont la demi-longueur d’onde est donnée par la condition
π=0kl lll 7,04934,40 ≈=π4934,4k =l
(qui est la même qu’avant)
Poutre encastrée à une extrémité et guidée à l’autre
33
flambage en dehors du domaine élastique
Limite de validité de la formule d’Euler
Remarques
- Le phénomène d’instabilité élastique correspond à la rupture d’équilibre d’un système.
- Il ne dépend que du module d’élasticité du matériau et des dimensions géométriques.
- La valeur des contraintes ne joue aucun rôle. - Cette affirmation n’est toutefois vraie qu’en-dessous
de la limite élastique du matériau.
- Il se peut que les contraintes de compression aient déjà dépassécette limite au moment de l’instabilité. Dans ce cas, la charge critique ne peut plus être calculée par la formule d’Euler ou les formules dérivées, valables seulement pour un matériau qui suit la loi de Hooke.
20
2
CEIN
l
π=
34
flambage en dehors du domaine élastique
FNC
C =σ 2
2
20
2
0
22
0
2
CE
)i/(EEi
FEI
λππππσ ====
lll
20
2
CEIN
l
π=
i0l=λ
Hyperbole d’Euler
limite de proportionnalité
Droite de Tetmayer
Courbe d’Engesser-Karmann
pp /E σπλ =
35
flambage en dehors du domaine élastique
)( pBCp
BCC σσλλσσ −−=
Hyperbole d’Euler
Droite de Tetmayer
Courbe d’Engesser-Karmann
Formule de Tetmayer
Matériau [MPa]S 235 (Ac37-2) σc =400 – 2,0λE 295 K (Ac50-2K) σc =720 – 4,7λEN AW-Al Cu4Mg1 T6 σc =630 – 6,6λ
36
flambage des poutres droites - exemple Calculer l’écart de température Δθ qui provoque le flambage
d’un tube de longueur l en acier S 235, articulé à ses extrémités A, B.
Déterminer les charge et contrainte critiques correspondantes et évaluer ces mêmes valeurs pour un tube encastré à ses extrémités.
Données numériques- Longueur du tube l = 2,5 m- Diamètre extérieur du tube D1 = 5 cm- Diamètre intérieur du tube D2 = 4 cm- Module d’élasticité de l’acier E = 2,1·1011 Pa- Coefficient de dilatation thermique α = 12·10–6 / ˚C
37
flambage des poutres droites - exemple
) (ii 0
0 llll
=== λ
)DD(4
F 22
21 −=
π
)DD(64
I 42
41 −=
π
F/Ii = 156=λ
104pλ =
Le flambageest
élastique
ECσθα ll =Δ
allongementthermique
Au moment où le flambage démarre
Raccourcissementdû à la compression
22C /E λπσ =
C340=Δθ
kN60EIN 20
2
C ==l
π
MPa85FN
C ==σ
Calculons l’écart de température Δθ
38
flambage des poutres droites - exemple
Déterminer les charge et contrainte critiques correspondantes et évaluer ces mêmes valeurs pour un tube encastré à ses extrémités.
Si la poutre est encastrée à ses deux extrémités, la longueur de flambage est réduite de moitié (l0 = l/2) et l’élancement devient
78i2i
0 ===llλ
156p =λ)( pBC
pBCC σσ
λλσσ −−=
Formule de Tetmayer
λσ 2400C −=(pour S235)
MPa244C =σkN173FN CC == σ
39
flambage des poutres droites - stabilitéNous avons montré au début de ce chapitre que l’on peut étudier la stabilité d’une structure en comparant, pour un déplacement virtuel compatible avec les liaisons, le travail des forces extérieures V à l’énergie U accumulée par le système.
Nh21
N)cos1(htNV
2ϕ
ϕ
=
−==
222
2
kh21)sinh(k
21
k21R
21U
ϕϕ
δδ
==
==
Le système est stable, s’effondre ou est instable selon que l’énergie U est supérieure, inférieure ou égale au travail V
40
flambage des poutres droites
Dans le cas particulier d’une poutre droite comprimée par une charge N, la méthode de Timoshenko consiste à :
- choisir une déformée convenable, satisfaisant aux conditions aux limites du problème;
- calculer le déplacement t de la force extérieure N, correspondant à cette déformée;
- déterminer l’énergie de déformation U du système, correspondant également à la déformée choisie.
Le système est alors instable si le travail V = t N de la force extérieure est égal à l’énergie de déformation U,
la charge critique correspondante ayant pour valeur
Méthode de Timoshenko
tUNC =
41
flambage des poutres droites - Timoshenko
La méthode présente l’avantage principal d’éviter l’intégration de l’équation différentielle du système.
Par contre, la déformée choisie étant arbitraire, la charge critique trouvée n’est qu’approximative. Elle est toujours supérieure à la valeur exacte car la déformée réelle prend spontanément la forme qui rend minimale la charge critique.
Par conséquent, si l’on choisit successivement plusieurs déformées, il faudra retenir celle qui donne la plus faible charge critique.
42
flambage des poutres droites - Timoshenko
on néglige le raccourcissement dû à la compression
[ ]1)y1(dxdx)dydx(dxdsdt 2/12'2/122 −+=−+=−=
déformée
43
flambage des poutres droites - Timoshenko
[ ]1)y1(dxdx)dydx(dxdsdt 2/12'2/122 −+=−+=−=
dxy211)y
211(dxdt 2'2' =⎥⎦
⎤⎢⎣⎡ −+≈( )1 22 211 1
2/' 'y y+ ≈ +
déformée
44
flambage des poutres droites - Timoshenkoénergie
dxy21dt 2'=
∫=l
0
2' dxy21t
En négligeantl’influence de la compression et
de l’effort tranchant
∫=l
0
2dx
EIM
21U
∫=l
0
2'' dxy2EIU
EI/My '' −=∫
∫==
l
l
0
2'
0
2''
Cdxy
dxyEI
tUN
formule de Timoshenko
45
flambage des poutres droites - TimoshenkoCommentaires- La formule conduit à la charge critique exacte lorsque la fonction ycoïncide avec la solution analytique du problème de flambage donné.- Dès lors que la déformée retenue dans la méthode de Timoshenko est généralement une fonction d’un ou plusieurs paramètresy(x) = y(x, α1, α2, ..., αi, ..., αp) où les αi (i = 1, 2, ..., p) la charge critique résultante est également fonction de ces paramètresNc = Nc(α1, α2, ..., αi, ..., αp)- Comme la meilleure valeur de la charge critique est la plus basse, il est possible d’améliorer la technique de Timoshenko en minimisant Ncpar rapport aux différents paramètres
et en retenant des p extrema de charges critiques tirés de ces conditions celui qui correspond au plus petit minimum.
0aN0
aN0
aN
p
C
2
C
1
C =∂∂
=∂∂
=∂∂ ...., , ,
46
flambage des poutres droites - Timoshenkoapplication
)2xcos1(yl
πδ −=
ll 2xsin
2y' ππδ=
ll 2xcos
4y 2
2'' πδπ=
∫=l
0
2' dxy21t ∫=
l
0
2'' dxy2EIU
Choisissons d’abord commedéformée la courbe exacte
lll
l
16dx
2xsin
8t
22
0
22
22 δππδπ=∫=
3
24
0
24
24
64EIdx
2xcos
32EIU
lll
l δππδπ=∫=
2
2
C4
EItUN
l
π==
valeur exacte
47
flambage des poutres droites - Timoshenkoapplication
Supposons maintenant que la fonction y(x) soit inconnue et prenons comme déformée celle que produit une force horizontale Qappliquée à l’extrémité supérieure de la poutre
)xx3(EI6Qy 32 −= l
48
flambage des poutres droites - Timoshenko
)xx3(EI6Qy 32 −= l
)xx2(EI2Qy 2' −= l )x(
EIQy '' −= l
22
52
0
222
2
IE15Qdx)xx2(
IE8Qt l
ll
=∫ −=
EI6Qdx)x(
EI2QU
322
0
2 ll
l=∫ −=
2'C
2EI5
tUN
l==
application
%3,12/
2/2/5N
NN2
2
C
C'C'
C +=−
=−
=π
πε
erreur relative
49
flambage des poutres droites - Timoshenko
remarquesIl est connu qu’une dérivation – et à plus forte raison une double dérivation – augmente la différence entre une fonction approchée et une fonction exacte.
On peut dès lors s’attendre à un résultat meilleur en utilisant directement la fonction approchée plutôt que sa dérivée seconde.
Pour cela, il suffit de calculer l’énergie de déformation en recourant à la relation
incluant explicitement le moment de flexion
plutôt qu’à l’expression
∫=l
0
2dx
EI2MU
∫=l
0
2'' dxy2EIU
50
flambage des poutres droites - Timoshenko
l
l
53
IE15Qt
2
22
52 δ==
EI70N17dx
EIM
21U
22
0
2 δll=∫=
2''C
17EI42
tUN
l==
application⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ −−−=−−= )xx3(
EI6QN)y(NM 32lδδ
EI3/Q 3l=δ
%13,0N
NN
C
C''C''
C +=−
=ε L’approximation est plus finemais les calculs sont plus longs.
erreur relative
51
flambage des poutres droites - Timoshenko
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −=
l2xcos1Cy π
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛=∫=
l
l
l
xsinx2
C41dxy
21t
22x
0
2'x
ππ
π
Déterminons par la méthode de Timoshenko la charge critique de flambage d’une poutre dû au poids propre q [Ν/m]
Supposons une déformée comme
42
0
2''2
EIC41dxy
2EIU ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛=∫=l
ll π
Energie de déformation
Déplacement vertical du point xy
qxt
x
EI = constant
application
52
flambage des poutres droites - Timoshenko
3crEI83,7q
l=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
∫ = 2
2222
0x
222
qC41dxqt
ππ ll
l
l
32
4
3crEI29,8
42EIq
ll≈
−=
ππ
Travail de la charge q
valeur théorique
En égalant l’énergie et le travail on obtient
y
qxt
x
la charge critique de flambage d’une poutre dû au poids propre q [Ν/m]
EI = constant
application
MECANIQUE DES STRUCTURES
Chapitre 13: théorie de l’état de contrainte
préparé par
John BOTSIS, Professeur LMAF/STI/EPFL
théorie de l’état de contrainte - définitions
Vecteur de contrainte sur l’élément de surface
nn0Fn dF
dPFPlimp
n
=ΔΔ
=→Δ
Contrainte tangentielle sur l’élément de surface
Contrainte normale sur l’élément de surface
x
y
z
yσ
yxτ
yzτ
( )yzyyxy τστ ,,ppn →→
contraintes principales
M
P1P2 P3
P4
2σ
1σ3σ
3σ
1σ
2σ
XY
Z
xz
y
xσ
yσ
zσ xyτ
xzτyxτ
yzτ
zxτzyτ
Comment peut-on trouver les contraintes principales &
les directions correspondantes ?
théorie de l’état de contrainte - définitions
npnp 'n
'n ⋅=⋅
Conditions d’équilibre du prisme
La projection d’une contrainte pn, relative à une face de normale n,sur la normale n' d’une autre face passant par le même point M0d’un milieu continu est égale à la projection de la contrainte p'n,relative à la face de normale n', sur la normale n.
Théorème de Cauchy
état de contrainte autour d’un pointétat de contrainte autour du point M0
9 composantes de contrainteautour d’un point
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
=Γ
zyzzx
yzyyx
xzxyx
στττστττσ
sous forme matricielle
( )
x
x xy xz
p
, ,σ τ τ
↓ ( )
y
yx y yz
p
, ,τ σ τ
↓
( )
z
zx zy z
p
, , ,τ τ σ
↓
( )n n n
n
X ,Y ,Z ,
p
↑
état de contrainte autour d’un point
ik
kj
ji
zx
yz
xy
⋅=⋅
⋅=⋅
⋅=⋅
pp
pp
pp
npnp 'n
'n ⋅=⋅
( )x x xy xzp , ,σ τ τ→
( )y yx y yzp , ,τ σ τ→
( )z zx zy zp , , ,τ τ σ→
zxxz
yzzy
xyyx
ττ
ττ
ττ
=
=
=
6 composantes des contraintesindépendantes autour d’un point
théorème de Cauchy
état de contrainte autour d’un point
zxxz
yzzy
xyyx
ττ
ττ
ττ
=
=
=
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
=Γ
zyzzx
yzyyx
xzxyx
στττστττσ
état de contrainte autour du point M0
avec
La matrice de contraintesest symétrique
théorie de l’état de contrainteContrainte sur une surface DFn
( )nnnn ,, p ZYX=( )γβα ,,n =
Par le théorème de Cauchyentre ΔFn et ΔFx
( ) ( )xzxyx
xzxyx
xXi
γτβτασ
γβαττσ
++=
⋅=⋅==⋅
,,,, npp nn
( )zzyzxyzyyxxzxyx γσβτατγτβσατγτβτασ ++++++= ,, pn
de la même façon on obtient Yn, Zn
Yn ZnXn
théorie de l’état de contrainte
2σ
1σ3σ
3σ
1σ
2σ
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
=Γ
zyzzx
yzyyx
xzxyx
στττστττσ
zxxzyzzyxyyx ττττττ === ; ; ⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛=Γ
3
2
1
000000
σ
σσ
Etat de contrainte : résumé
XY
Zxz
y
xσ
yσ
zσ xyτ
xzτyxτ
yzτ
zxτzyτ
théorie de l’état de contrainte
( )nnnn ,,p ZYX=
Etat de contrainte : résumé
yσyxτ
yzτx
z
y
zσ
zxτzyτ
xσ
xyτ
xzτ
( )zzyzxyzyyxxzxyx γσβτατγτβσατγτβτασ ++++++= ,, pn
Xn Yn Zn
npn Γ= ⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
=γβα
στττστττσ
zyzzx
yzyyx
xzxyx
pn
état de contrainte: forme quadratique
( )γατβγταβτγσβσασγβαψ zyyzxy2
z2
y2
x 22221),,( +++++=
( )zzyzxyzyyxxzxyx γσβτατγτβσατγτβτασ ++++++= ,, pn
Forme quadratique des contraintes
D’après la relation
la contrainte pn dérive d’un potentiel y(a, b, g) qui s’écrit
( )nnnn ,,p ZYX=∇= ψ
En effet, on vérifie immédiatement l’expression suivante
),,( γβαψ
état de contrainte: forme quadratique
),,(2
222
ZYXnpσ222
nn
γβαψ
γατβγταβτγσβσασ
γβα
=
+++++=
++=⋅=
zyyzxyzyx
nnn
Forme quadratique des contraintes
Si l’on passe du système de coordonnées xyzau référentiel XYZ formé des axes principaux M0X, M0Y et M0Zportant les contraintes principales respectives σ1, σ2 et σ3, on a
),,( γβαψ
( )23
22
212
1),,( γσβσασγβα ++=Ψ
( ) ( )321nnnn ,,,,p γσβσασ==Ψ∇= ZYX
),,(223
22
21nnnn γβαγσβσασγβασ Ψ=++=++= ZYX
état de contrainte – quadrique de quadrique des contraintes normales
),,(2
222
npσ222
nnnnn
γβαψ
γατβγταβτγσβσασ
γβα
=
+++++=
++=⋅=
zyyzxyzyx
ZYX
Considérons à nouveau l’expression générale de la contrainte normale σn
et étudions sa variation en fonction du vecteur normal n.
cherchons le lieu de l’extrémité d’un vecteur r dont la direction est celle du vecteur normal n
nσkr =nr r= de sorte que 2
2
rk
±=nσ
nσ
état de contrainte – quadrique des
),,r(r)r,r,()( γβαγβα === x,y,zr
n
avec
on a
zyyzxyzyx zyyzxyzyx τττσσσ 222 k 2222 +++++=±
On obtient donc l’équation de deux quadriques, appelées quadriques des contraintes normales.
Ces surfaces peuvent être, selon les signes des contraintesσx, σy et σz :
σ
état de contrainte - quadriquequadrique des contraintes normales
deux ellipsoïdes (l’un réel, l’autre imaginaire) la matière étant en traction selon toutes les directions autour du point M0-lorsque l’ellipsoïde réel correspond au signe positif dans l’équation - et en compression quand l’ellipsoïde réel correspond au signe négatif
)( 2k+
)( 2k−
n
deux hyperboloïdes conjugués –correspondant respectivement aux directions de traction et de compression –le cône asymptotique commun de ces hyperboloïdes donnant les directions pour lesquelles la contrainte normale σnest nulle (l’amplitude r tend vers l’infini lorsque la composante σn tend vers zéro).
σ
état de contrainte – ellipsoïde de Le lieu de l’extrémité d’un vecteur égal à la contrainte pn est également une quadrique, appelée ellipsoïde des contraintes totales.
Pour démontrer cette assertion, choisissons les axes principaux M0X, M0Y et M0Z comme référentiel, de sorte que les composantes du vecteur des contraintes pnsont données par les relations
( )( )321
nnnn
,, ,,p
γσβσασ== ZYX
1222 =++ γβαavec
3
2
1
γσβσασ
===
n
n
n
ZYX
123
2n
22
2n
21
2n =++
σσσZYX
np
état de contrainte - contraintes principales
Il arrive que les conditions du problème (conditions de symétrie par exemple) permettent de déterminer directement les axes principaux M0X, M0Y et M0Zet de choisir ces axes comme axes de référence.
En général cependant, il faut calculer la direction des axes principauxet l’amplitude des contraintes principales σ1, σ2 et σ3 à partir des contraintes déterminées pour les axes de référence M0x, M0y et M0zet résumées par la matrice
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
=Γ
zyzzx
yzyyx
xzxyx
στττστττσ
état de contrainte - contraintes principales
La contrainte pn est principale quand elle est normale à l’élément de surface sur lequel elle s’applique. Appelons σk (k = 1, 2, 3) les valeurs particulières de pn satisfaisant à cette condition et αk, βk et γk les cosinus directeurs correspondants. Les composantes de la contrainte σk sont ainsi
( ) ( )kkkkkkkkkk ,,,,σ σγσβσα== ZYX(σk est une grandeur scalaire)
Pour les mêmes valeurs des coefficients αk, βk et γk, les vecteurs σket pk coïncident, ce qui conduit, d’après la relation
( )zzyzxyzyyxxzxyx γσβτατγτβσατγτβτασ ++++++= ,, pn
à la condition suivante 0 =− kn σp
théorie de l’état de contrainte
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
=
k
k
k
zyzzx
yzyyx
xzxyx
γβα
στττστττσ
pn
kkk σα=X
Etat de contrainte : résuméAdmettons que le plan
défini par k est un plan principal
kkk σβ=Y
kkk σγ=Z
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛=
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
kk
kk
kk
k
k
k
σγσβσα
ZYX
( )kkkk ,,p ZYX=
yσ yxτyzτ
x
z
y
zσ
zxτzyτ
xσ
xyτ
xzτ k
état de contrainte - contraintes principales
0
kk
kk
kk
kkk
kkk
kkk
=⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛−
⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
++
++
++
σγσβσα
σγτβτα
τγσβτα
τγτβσα
zzyzx
yzyyx
xzxyx
0 =− kn σp Avec la condition
12k
2k
2k =++ γβα
Pour une solution non - triviale
0
k
k
k
=
−
−
−
σσττ
τσστ
ττσσ
zzyzx
yzyyx
xzxyx
état de contrainte - contraintes principales
0
k
k
k
=
−
−
−
σσττ
τσστ
ττσσ
zzyzx
yzyyx
xzxyx
03k22k1
3k =+−+− III σσσ
zyx σσσ ++=1I
yyx
xyx
xxz
zxz
zzy
yzy
στ
τσ
σττσ
στ
τσ
I2 ++=
zzyzx
yzyyx
xzxyx
σττ
τστ
ττσ
I3 =
I1, I2 et I3 sont les invariantsde la matrice de contraintes
Les trois racines sont les contraintes principales
état de contrainte -exemple 1
σ σ σ
Γ σ σ σσ σ σ
⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
0k
k
k
σ σ σ σσ σ σ σσ σ σ σ
−
− =−
03k22k1
3k =+−+− III σσσ
1I 3σ=
2
I 0
σ σ σ σ σ σσ σ σ σ σ σ
= + + =
3
I 0
σ σ σσ σ σσ σ σ
= =
1 2 33 ; 0; 0σ σ σ σ= = =
état de contrainte - exemple 2
00
0
τ τΓ τ τ
τ τ
⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
00 0
0
k
k
k
σ τ ττ σ ττ τ σ
−
− =−
03k22k1
3k =+−+− III σσσ
1I 0=
22
0 0 0 I 3
0 0 0τ τ τ
ττ τ τ
= + + = −
33
0 I 0 2
0
τ ττ τ ττ τ
= =
1 2 32 ; σ τ σ σ τ= = = −
théorie de l’état de contrainte
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=Γ
3
2
1
000000
σσ
σ
Etat de contrainte : résumé
Remarque: c’est un problème d'algèbre linéaire; c-à-dire c’est le problème de valeurs propres
2σ
1σ3σ
3σ
1σ
2σ
XY
Zxz
y
xσ
yσ
zσ xyτ
xzτyxτ
yzτ
zxτzyτ
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
=Γ
zyzzx
yzyyx
xzxyx
στττστττσ
théorie de l’état de contrainte - cercles de Mohr
Equations des cercles de MohrDans le système M0XYZ des axes principaux, choisis de manière que les contraintes principales soient classées comme suit
σ1 > σ2 > σ3
23
22
21 γσβσασ
γβασ
++=
++= nnnn ZYX
( ) ( ) ( )23
22
21
2n
2n
2n
222n
p
γσβσασ
τσ
++=
++=+= ZYXnn
théorie de l’état de contrainte - cercles de MohrEquations des cercles de Mohr
(a) 2n
2n
223
222
221 τσγσβσασ +=++
(b) n2
32
22
1 σγσβσασ =++
(c) 1222 =++ γβα
éliminons successivement deux des inconnues α, β et γ par des combinaisons linéaires appropriées, en multipliant les relations (b) et (c) respectivement par les facteurs α et β, en sommant les résultats obtenus et en y ajoutant l’équation (a) on arrive à
2nn
23
22
21 )()()()( τσγσβσασ +=++ ffff
n)1,2,3,( )( 2 =++= ibaf iii σσσ
où la grandeur f désigne une fonction définie de la manière suivante
théorie de l’état de contrainte - cercles de Mohr
Equations des cercles de Mohr
Pour que les coefficients β2 et γ2 disparaissent, il suffit de choisir a et b de façon que
n)1,2,3,( ))(()( 32 =−−= if iii σσσσσ
n)1,2,3,( )( 2 =++= ibaf iii σσσ
théorie de l’état de contrainte - cercles de MohrEquations des cercles de Mohr
(a) 2n
2n
223
222
221 τσγσβσασ +=++
(b) n2
32
22
1 σγσβσασ =++
(c) 1222 =++ γβα
En éliminant semblablement α2 et γ2, puis α2 et β2, on obtient les trois équations ci-après, dans lesquelles l’indice n est supprimépour simplifier l’écriture,
232
23121 ))(())(( τσσσσασσσσ +−−=−−
213
21232 ))(())(( τσσσσβσσσσ +−−=−−
221
22313 ))(())(( τσσσσγσσσσ +−−=−−
théorie de l’état de contrainte - cercles de MohrEquations des cercles de Mohr
Comme les carrés α2, β2 et γ2 sont positifs puisque les cosinus directeurs a, b et g doivent être réels, on établit, en tenant compte des inégalités
σ1 > σ2 > σ3
0))(( 232 ≥+−− τσσσσ
0))(( 213 ≤+−− τσσσσ
0))(( 221 ≥+−− τσσσσ
les conditions suivantes qu’ont à satisfaire les composantes s et t de la contrainte pn
théorie de l’état de contrainte - cercles de Mohr
Equations des cercles de Mohr 0))(( 232 ≥+−− τσσσσ
0))(( 213 ≤+−− τσσσσ
0))(( 221 ≥+−− τσσσσ
Dans le plan (s, t), les trois égalités apparaissant dans les relations constituent des équations de cercles, connus sous le nom de cercles de Mohr, de diamètres (σ1 – σ2), (σ1 – σ3) et (σ2 – σ3)
et de centres
(σ1 + σ2)/2, (σ1 + σ3)/2 et (σ2 + σ3)/2 situés sur l’axe des contraintes normales σ.
Les trois inégalités sont dès lors satisfaites pour tout point se trouvant dans la zone hachurée comprise entre ces cercles.
théorie de l’état de contrainte - cercles de Mohr
Equations des cercles de Mohr
contrainte de cisaillement maximale
La contrainte tangentielle τ passe par trois valeurs nulles relatives aux plans principaux et par six extrema désignés ± τ12, ± τ23 et ± τ31 dans la figure
Dans le plan (σ, τ), les points représentatifs de ces extrema ont pour coordonnées
)(21
)(21
)(21
1331
3223
2112
σστ
σστ
σστ
−±=±
−±=±
−±=±
)(21
);(21 ;)(
21
1331
32232112
σσσ
σσσσσσ
+±=
+=+=
Amplitudes des contraintes normales correspondant aux contraintes tangentielles maximales
théorie de l’état de contrainte
Théorie de l’état de contrainte
1
MECANIQUE DES STRUCTURES
Chapitre 15: critères de rupture de l’équilibre élastique
préparé par
John BOTSIS, Professeur LMAF/STI/EPFL
2
critères de rupture de l’équilibre élastique
GénéralitésAprès avoir déterminé le champ des contraintes dans une pièce,
l’ingénieur doit encore calculer la sécurité de cette pièce, compte tenu de la résistance limite du matériau utilisé.
Observations expérimentalesLes matériaux fragiles se cassent brusquement sans écoulement
plastique préalable. La limite d’élasticité et la limite de rupture sont atteintes simultanément.
Pour les matériaux ductiles, la limite de rupture est plus élevée que la limite élastique et il est alors nécessaire de distinguer la sécurité vis-à-vis de l’une ou de l’autre.
3
critères de rupture : théories de la rupture
théories de la rupture, basées sur certains critères de rupture sont nombreuses.
Parmi les plus connues
- Critère de Mohr-Coulomb- Critère de Tresca- Critére de von Mises- Critère de la plus grande contrainte normale- Critère du plus grand allongement
-Critère basé sur la fracture en supposant des fissures dans le matériau
4
critères de rupture : définitions
Considérons un élément de matière soumis aux contraintes principales σ1, σ2 et σ3, classées selon l’ordre
On appelle état limite de contrainte toute combinaison (σ1, σ2 et σ3) provoquant le dépassement de la limite élastique dans l’élément.
Généralités
321 σσσ ⟩⟩
5
critères de rupture : définitions
Coefficient de sécurité
A partir d’un état non limite (σ1, σ2 et σ3), opérons une homothétie du tenseur des contraintes en multipliant chaque contrainte par un nombre n.
La plus petite valeur de n pour laquelle (n σ1, n σ2, n σ3) est un état limite est appelée coefficient de sécurité.
6
critères de rupture : définitions
Les théories de la rupture, basées sur certains critères de rupture de l’équilibre élastique, ont pour but de permettre la prévision d’un état limite sur la base d’un petit nombre d’essais ou même d’un seul.
Rappelons que les essais classiques des matériaux sont la traction, la compression et la torsion .
7
critères de rupture : contrainte de comparaison
Un état (σ1, σ2 et σ3), présentant un coefficient de sécurité nvis-à-vis de l’état critique correspondant, peut être caractérisé par une contrainte de traction simple σg, offrant le même coefficient de sécurité n vis-à-vis de l’état critique en traction simple.
Cette contrainte est appelée contrainte de comparaisonou contrainte équivalente, sa valeur étant évidemment fonction du critère de rupture choisi.
8
critères de rupture : Mohr-CoulombCritère de Mohr-Coulomb
La rupture de l’équilibre élastique se produit quand le plus grand des cercles de Mohr, de diamètre (σ1 – σ3), devient tangent à une courbe du plan (σ, τ), appelée courbe intrinsèqueet caractérisant le comportement du matériau.
compression simple cisaillement pur traction simple
état quelconque
9
critères de rupture : Mohr-CoulombCritère de Mohr-CoulombRemarquesCe critère implique que la contrainte intermédiaire σ2 ne joue aucun rôle.
Dans sa partie centrale, constituant la portion la plus utile de la courbe elle peut être remplacée sans erreur appréciable par une droite tangente aux cercles correspondant à la traction simple et à la compression simple.
10
critères de rupture : Mohr-CoulombCalcul du coefficient de sécurité de l’état de contrainte
3'2
1'1
σσ
σσ
n
n
=
=
'
'
DTBT
CDAB
=
)(21
21
)(21
21
'3
'1
'3
'1
σσσ
σσσ
−−=
−−=
ec
et
CD
AB
ec
et
DT
BT
σσσ
σσσ
21)(
21
21)(
21
'3
'1
'
'3
'1
'
++=
−+=
(σ1, σ2 et σ3 )
11
critères de rupture : Mohr-CoulombCalcul du coefficient de sécurité de l’état de contrainte
)(21
21
)(21
21
'3
'1
'3
'1
σσσ
σσσ
−−=
−−=
ec
et
CD
AB
ec
et
DT
BT
σσσ
σσσ
21)(
21
21)(
21
'3
'1
'
'3
'1
'
++=
−+=
'
'
DTBT
CDAB
=
'3
'1 σσσσσσ etececet −=
)( 31 σσσσσσ etececet n −=
3'2
1'1
σσ
σσ
n
n
=
=
(σ1, σ2 et σ3 )
12
critères de rupture: Mohr-CoulombCalcul du coefficient de sécurité de l’état de contrainte
)( 31 σσσσσσ
etec
ecet
n −=
Il s’ensuit que le coefficient de sécurité nselon le critère de Mohr-Coulomb a pour valeur
313131 ασσσ
σσσσ
σσσσσ
σσ−
=−
=−
= et
ec
et
et
etec
ecetn
3131 ασσσσσσσσ −=−==
ec
etetg n
La contrainte de comparaison σg de l’état de contrainte considéré est donnée par l’expression
(σ1, σ2 et σ3 )
13
critères de rupture : Tresca
Critère de Tresca
Le critère de Tresca, nommé aussi critère du plus grand cisaillement ou critère de la contrainte tangentielle maximale, admet que la rupture survient dès que la plus grande contrainte de cisaillement
τ31 = (σ1 – σ3)/2
dépasse la valeur limite τe déterminée par l’essai de torsion.
Constituant un cas particulier de la théorie de Mohr, il convient bien pour les matériaux ductiles, mais non pour les matériaux fragiles.
14
critères de rupture : Tresca
Pour les matériaux ductiles, comme la plupart des aciers et des alliages d’aluminium, les contraintes élastiques de traction et de compression sont pratiquement égales σet = σec = σe
Sous cette hypothèse adoptée dans le critère de Tresca, la partie centrale de la courbe intrinsèque caractéristique du critère de Mohr-Coulomb devient une droite parallèle à l’axe des σ.
Critère de Tresca
15
critères de rupture : Tresca
eecet σσσ ==
313131 ασσσ
σσσσ
σσσσσ
σσ−
=−
=−
= et
ec
et
et
etec
ecetn 31 σσσ−
= en
31 σσσσ −==ne
g
31max ττ
ττ een ==
31max 22 ττσσ ===ne
g
2/)( 3131max σσττ −==
Critère de Tresca
16
critères de rupture : Tresca
e
e
e
σσσσσσσσσ
±=−±=−±=−
13
32
21
En s’affranchissant de la séquence, 321
représentation graphique du critère de Tresca
σσσ ⟩⟩on peut étendre la relation
sous les formes suivantes, valables à la limite de la rupture(σg = σe),
31 σσσσ −==ne
g
repère des contraintes principales six plans formant un
prisme hexagonal
17
critères de rupture : von Mises
Critère de von Misesle critère dit de von Mises ou critère du plus grand travail de distorsion suppose que la rupture est due à la part de l’énergie de déformation provoquée par les seules déformations angulaires.
Il peut ainsi s’énoncer comme suit:
L’énergie fournie pour augmenter ou diminuer le volume initial ne joue aucun rôle dans la rupture de l’équilibre élastique, seule l’énergie fournie pour déformer le volume entrant en ligne de compte
18
critères de rupture : von MisesCritère de von Mises
1: Le critère de von Mises a pour avantage, par rapport au critère de Mohr-Coulomb, de ne pas exiger le calcul préalable des contraintes principales, car il se base directement sur les termes de la matrice des contraintes
Remarques
déterminés pour les axes de référence M0xyz.
2: Ce critère tient compte de la contrainte intermédiaire σ2
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
=Γ
zyzzx
yzyyx
xzxyx
στττστττσ
19
critères de rupture : von Mises
M0
P1P2 P3
P4
[ ])(1zyxx E
σσμσε +−=
[ ])(1xzyy E
σσμσε +−=
[ ])(1xzyy E
σσμσε +−=
Critère de von Mises : densité de l’énergie de déformation
xyxy Gτγ 1
=
yzyz Gτγ 1
=
zxzx Gτγ 1
=( )zxzxyzyzxyxyzzyyxxu γτγτγτεσεσεσ +++++=21densité d’énergie
xz
y
xσ
yσ
zσ xyτxzτ
yxτyzτ
zxτzyτ
20
critères de rupture : von Mises
[ ])(1zyxx E
σσμσε +−=
[ ])(1xzyy E
σσμσε +−=
[ ])(1xzyy E
σσμσε +−=
( )zxzxyzyzxyxyzzyyxxu γτγτγτεσεσεσ +++++=21
xyxy Gτγ 1
=
yzyz Gτγ 1
=
zxzx Gτγ 1
=
( )[ ]( )222
222
21
221
zxyzxy
xzzyyxzyx
G
Eu
τττ
σσσσσσμσσσ
+++
++−++=
Critère de von Mises : densité de l’énergie de déformation
21
critères de rupture : von Mises
( )[ ]( )222
222
21
221
zxyzxy
xzzyyxzyx
G
Eu
τττ
σσσσσσμσσσ
+++
++−++=
( )[ ]13322123
22
21 2
21 σσσσσσμσσσ ++−++=E
u
Si les contraintes principales sont connues, la densité d’énergie prend la forme simplifiée ci-après
Critère de von Mises : densité de l’énergie de déformation
22
critères de rupture : von Mises
'3z
'2y
'1x
p
p
p
σσ
σσ
σσ
+=
+=
+=
)(31
zyxp σσσ ++=
l’état de contrainte peut être considéré comme la superposition d’une pression hydrostatique p et de contraintes
provoquant seulement la distorsion
'3
'2
'1 , , σσσ
dp uuu +=
densité d’énergie correspondant à la variation de volume
densité d’énergie de distorsion
Critère de von Mises : densité de l’énergie de déformation
23
critères de rupture : von Mises
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛⋅= pu pp ε
213
)(31p)21(
E1
zyxp εεεμε ++=−=
( ) ( )( )22 216121
23
zyxp Ep
Eu σσσμμ ++−=−=
La densité d’énergie de déformation correspondant à la variation de volume est égale au travail des trois contraintes p agissant selon les trois axes M0x, M0y et M0z
)(31
zyxp σσσ ++=
Critère de von Mises : densité de l’énergie de déformation
24
critères de rupture : von Mises
[ ]( )222
222
21
)()()(6
1
zxyzxy
xzxyyxpd
G
Euuu
τττ
σσσσσσμ
+++
−+−+−+
=−=
( )[ ]222222 6)()()(6
1zxyzxyxzxyyxd E
u τττσσσσσσμ+++−+−+−
+=
[ ]213
232
221d )()()(
E61u σσσσσσμ
−+−+−+
=
Pour aboutir à la densité d’énergie de distorsion, il suffit de soustraire de la densité d’énergie totale la densité d’énergie correspondant à la seule variation
Si les contraintes principales sont connues, la densité d’énergie prend la forme simplifiée ci-après
Critère de von Mises : densité de l’énergie de déformation
25
critères de rupture : von Mises
221 3
13
1gd EE
u σμσμ +=
+=
Dans l’essai de traction simple, la contrainte de comparaison σgest égale à σ1 et les deux autres contraintes principales σ2 et σ3sont nulles.
devient
[ ]213
232
221d )()()(
E61u σσσσσσμ
−+−+−+
=
la relation
Critère de von Mises : densité de l’énergie de déformation
26
critères de rupture : von Mises
( )222222 6)()()(2
1zxyzxyxzxyyxg τττσσσσσσσ +++−+−+−=
213
232
221g )()()(
21 σσσσσσσ −+−+−=
231
223
2122 τττσ ++=g
Critère de von Mises
La contrainte de comparaison de l’état de contrainte considérése détermine finalement par égalisation des relations
( )[ ]222222 6)()()(6
1zxyzxyxzxyyxd E
u τττσσσσσσμ+++−+−+−
+=
221 3
13
1gd EE
u σμσμ +=
+=
Si l’on connaît σ1 , σ2 , σ3
2/)( jiij σστ −=
27
critères de rupture : von Mises
( )222222 6)()()(2
1zxyzxyxzxyyxg τττσσσσσσσ +++−+−+−=
Critère de von Mises
Géométriquement, la relation
constitue l’équation du cylindre dit de von Mises, circonscrit au prisme hexagonal de Tresca
28
critères de rupture : von Mises
Le critère de von Mises est d’un usage commode, puisqu’il suffit d’appliquer l’une des relations
Critère de von Mises
Rappelons qu’il convient bien pour les matériaux ductiles mais non pour les matériaux fragiles, car il est fondé sur le seul essai de traction.
pour calculer σg et trouver le coefficient de sécurité n = σe/σg.
( )222222 6)()()(2
1zxyzxyxzxyyxg τττσσσσσσσ +++−+−+−=
213
232
221g )()()(
21 σσσσσσσ −+−+−=
231
223
2122 τττσ ++=g
Remarque
1
MECANIQUE DES STRUCTURES
Propriétés mécaniques des matériaux
préparé par
John BOTSIS, Professeur LMAF/STI/EPFL
2
éprouvette de traction
Les dimensions exactes de l’éprouvette dépendent du matériau
Ils sont standardisés pour la plupart des matériaux
3
résultats d’un essai de traction
linéarité
plasticité(écrouissage)
4
déformation ductile
pour des aciers doux on constate l ’apparition de stries qui sont appeléeslignes de Lüder
phénomène de striction
5
diagramme d’un matériau non - linéaire
AAt d
dE ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
εσ
AB
ABABE
εεσσ
−−
=
Module tangent Module sécant
6
résultats d’un essai de traction
la limite de proportionnalité σp
la limite conventionnelle de proportionnalité σ0,02
la limite apparente d’élasticité σe ou limite d’écoulementla limite conventionnelle d’élasticité σ0,2
la résistance à la traction σB
la contrainte réelle de rupture σ
7
Matériau Désignation ρ E μ σe σB εB α
VSM kg/m3 GPa – MPa MPa % 10–6/°C
Aciers deconstruction
S 235 (Ac37-2) 7850 210 0,27 235 400 25 12
E 295 (Ac50-2) 7850 210 0,27 295 540 19 12E 295 K (Ac50-2K) 7850 210 0,27 410 720 8 12
Acier de cémentation C10 7850 210 0,27 340 640 15 12Aciers d’amélioration C35E (Ck35) 7850 210 0,27 400 690 18 12
C45E (Ck45) 7850 210 0,27 460 750 16 12Aciers inoxydables X10CrNiS18 9 7900 200 0,30 200 600 35 16
X20Cr13 7900 200 0,30 550 850 12 16Fonte grise GG-25 7200 100 0,25 – 2001 1 10Fontes malléables GTS-35-10 7200 170 0,30 200 350 10 13
GTS-70-02 7200 170 0,30 530 700 2 13
Aluminium EN AW-Al 99.5 O 2700 69 0,33 25 80 30 24Alliages d’aluminium EN AW-Al MgSi T6 2700 70 0,33 250 280 10 23
EN AW-Al Zn4.5Mg1 T62 2770 73 0,33 320 390 9 23EN AW-Al Cu4Mg1 T63 2790 72 0,33 570 630 9 23
Cuivre recuit – 8900 120 0,35 40 210 50 17Alliages cuivre-zinc4 G-CuZn33Pb2 (coulé) 8500 80 0,34 50 180 55 18
CuZn38Pb2 (demi-dur) 8500 80 0,34 290 460 55 19Alliages cuivre-étain5 G-CuSn10 (coulé) 8800 90 0,30 120 250 15 18Zinc laminé – 7100 85 0,25 60 120 55 261 σBC = 800 MPa 2 Avional 3 Perunal 4 Laiton 5 Bronze
valeurs moyennes des caractéristiques mécaniques des principaux métaux et alliages
8
Matériau ρ E μ σB σBC α
kg/m3 GPa – MPa MPa 10–6/°C
Résine acrylique (plexiglas) 1180 3,0 0,36 55 701 90Polyamide (nylon) 1140 2,8 0,40 55 711 100Polystyrène 1050 3,5 0,40 48 72 126Polyéthylène 930 0,4 0,45 14 – 225Résine époxyde (araldite) 1120 4,5 0,40 48 210 60Polypropylène (bakélite) 920 1,0 0,37 35 – 100
Pyrocérame (verre polycristallin) 2500 86 0,25 140 – 2Carbure de Tungstène (carboloy) 15300 700 0,24 – 4100 4Céramique d’alumine (cermets) 3700 310 – 280 2400 71 La valeur indiquée correspond à la limite apparente d’élasticité σe
valeurs moyennes des caractéristiques mécaniques de quelques matériaux non métalliques
1
MECANIQUE DES STRUCTURES
efforts intérieurs dans les poutres
préparé par
John BOTSIS, Professeur LMAF/STI/EPFL
2
définition de poutre
Fibre : volume engendré par un élément dA
avec la condition
Poutre : volume engendré par une section A
3
liaisons
4
liaisons impropres
les réactions sont parallèles
5
liaisons impropres
les charges extérieures provoquentune moment autour du point O.
6
liaisons: poutre encastrée
poutre isostatique
nombre de liaisons = nombre de conditions d’équilibre
7
liaisons: poutre sur deux appuis
poutre isostatique ou statiquement déterminée
nombre de liaisons (réactions) = nombre de conditions d’équilibre
8
liaisons: poutre sur trois appuis
poutre hyperstatique ou statiquement indéterminée
nombre de liaisons (réactions) > nombre de conditions d’équilibre
9
principe de la coupeétapes du calcul des efforts intérieurs dans une poutre
1. Remplacer les liaisons par les réactions correspondantes
1* Calculer les réactions correspondantes
2. Effectuer, à l ’abscisse x, une coupe qui sépare la poutre en deux parties
3. Représenter l’effet d’une partie sur l’autre au moyen desefforts intérieurs, N, T et M
4. Déterminer ces efforts intérieurs en exprimant les conditions d’équilibre
10
principe de la coupe
11
charges concentrées
12
charges concentrées: exemple
13
charges concentrées: exemple
saut dû à la charge concentrée
14
charges concentrées: exemple
15
charge continue
équilibre de moments
16
charge continue : exemple
équilibre des forces et de moment
17
relations entre M, T et p(x)
équilibre
18
diagramme : discontinuité
+ -T - T = - PEquilibre
0MM =− −+x
yz
force concentrée
19
diagramme : discontinuité
Equilibre MeMM −=− −+x
yz
moment concentré
20
relations entre M, T et p(x)
dMT = dx
2
2
d Mp(x)= - dx
x
yz
équilibre et Δx vers zéro
dTp(x)= - dx
1
MECANIQUE DES STRUCTURES
Moments d’une aire plane
préparé par
John BOTSIS, Professeur LMAF/STI/EPFL
2
moment d’une aire plane F
∫∫=F
rdFS∫∫=F
x ydFS
∫∫=F
y xdFS
moments du 1er ordre
FS
dF
rdFs
F
F =∫∫
∫∫=
FS
dF
xdFy
F
F ==∫∫
∫∫ξ
FS
dF
ydFx
F
F ==∫∫
∫∫η
3
moment du 1er ordre - exemple
b
0Fb
F0
hx xdxxdFb 2ξ= = = b
3hdF xdxb
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠∫∫∫
∫∫ ∫
b
0Fb
F0
1 h hx xdxydF2 b b 1η= = = h
3hdF xdxb
⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠∫∫∫
∫∫ ∫x
y
x dx
xbhh
b
aire triangulaire
4
moment du 1er ordre - exemple
( )x
1 20F
x
1 2F0
x y (x) - y (x) dxxdFξ = =
dF (y (x) - y (x))dx
∫∫∫
∫∫ ∫
( )( )
( )
x
1 2 1 20F
x
1 2F0
1 y (x) + y (x) y (x) - y (x) dxydF2
η = =dF y (x) - y (x) dx
∫∫∫
∫∫ ∫
x
y
xdx
( )1 2y (x) - y (x)
1y (x) 2y (x)(x,y)
( )1 21 y (x) + y (x)2
aire définie par deux fonctions
5
moment du 1er ordre - exemple
∫∫
∫∫=
iF
iFi dF
xdFξ
∫∫
∫∫=
iF
iFi dF
ydFη
x
y
1ξ
1η
2ξ
3ξ
2η3η)1(
)2()3(
321
332211
FFFFFF
++++
=ηηηη
321
332211
FFFFFF
++++
=ξξξξ
aire plane composite
a b c
pour chaque section plane
pour l’aire plane composite
h
6
AL
M = xp(x)dx∫
p(x)p(x)dx
BA
P
L
P= p(x)dx∫moment autour de A
L L
charge totale
ξ p(x)dx= xp(x)dx∫ ∫
L
L
xp(x)dxξ =
p(x)dx
∫
∫x
x
y
y
Systèmes statiquement équivalents
x dxL
ξ
7
moment d’une aire plane F
∫∫=F
2p dFrI
∫∫=F
2x dFyI
∫∫=F
2y dFxI
moments du 2nd ordre
yxp III +=
∫∫=F
xy yxdFI
222 yxr +=avec
8
moment d’une aire plane F
9
moment d’une aire plane F
δ+= rr '
axx ' +=
byy' +=
effet d’une translation des axes de coordonnées
F)bSaS(2IdFrI 2xyp
F
2'p' δ+++=∫∫=
FbbS2IdFyI 2xx
F
2'x' ++=∫∫=
FaaS2IdFxI 2yy
F
2'y' ++=∫∫=
abFbSaSIdFyxI yxxyF
''yx '' +++=∫∫=
Quand O coïncide avec le centre d ’inertie
FII 2pp' δ+=
FbII 2xx' +=
FaII 2yy' +=
abFIdFyxI xyF
''yx '' +=∫∫=
10
moment d’une aire plane F
11
moment d’une aire plane F
cos sincos sin
u x yv y x
ϕ ϕϕ ϕ
= += −
effet d’une rotation des axes de coordonnées
2 2 2
2 2 2
2 2
cos sin 2 sin cos
sin cos 2 sin cos
( )sin cos (cos sin )
u x y xyF
v x y xyF
uv x y xyF
I v dF I I I
I u dF I I I
I uvdF I I I
ϕ ϕ ϕ ϕ
ϕ ϕ ϕ ϕ
ϕ ϕ ϕ ϕ
= = + −
= = + +
= = − + −
∫∫
∫∫
∫∫
12
moment d’une aire plane Feffet d’une rotation des axes de coordonnées
x y x yu xy
x y x yv xy
x yuv xy
I +I I II = + cos2 I sin2
2 2I +I I I
I = cos2 +I sin22 2
I II = sin2 +I cos2
2
ϕ ϕ
ϕ ϕ
ϕ ϕ
−−
−−
−
vuxyp IIIII +=+=
cos sincos sin
u x yv y x
ϕ ϕϕ ϕ
= += −
13
moment d’une aire plane Fmoments principaux d’inertie
uvvu I
)2(ddI
)2(ddI
−=−=ϕϕ
Pour les extrema des Iu & Iv
0Iuv =yx
xy
III2
2tg−
−=ϕ
x y x yu xy
x y x yv xy
x yuv xy
I +I I II = + cos2 I sin2
2 2I +I I I
I = cos2 +I sin22 2
I II = sin2 +I cos2
2
ϕ ϕ
ϕ ϕ
ϕ ϕ
−−
−−
−
14
moment d’une aire plane Fmoments principaux d’inertie
yx
xy
III2
2tg−
−=ϕIntroduire
dans
xy22
yxyx2
xy22
yxyx1
I4)II(21)II(
21I
I4)II(21)II(
21I
+−−+=
+−++=
Moments principaux d’inertie
x y x yu xy
x y x yv xy
x yuv xy
I +I I II = + cos2 I sin2
2 2I +I I I
I = cos2 +I sin22 2
I II = sin2 +I cos2
2
ϕ ϕ
ϕ ϕ
ϕ ϕ
−−
−−
−
15
moment d’une aire plane Fellipse d’inertie au point O
2 21 2cos sinuI I IF F F
ϕ ϕ= +
2 2 2 2 21 2cos sinui i iϕ ϕ= +
FIi 1
1 = FIi 2
2 =FIi u
u =avec
u
21iiiOP = ϕcos
iiixu
21=
ϕsiniiiyu
21=
1iy
ix
22
2
21
2=+
2 21 2cos sinuI I Iϕ ϕ= +
16
moment d’une aire plane Fellipse d’inertie au point O : exemple
17
deformation et moment d’inertie
zEIR=M
M M
R
y
zPoutre en flexion
E: module d’élasticité
MECANIQUE DES STRUCTURES John BOTSIS, Professeur EPFL/DGM
BIBLIOGRAPHIE FRANCAISE :
BAZERGUI, T. BUI-QUOC, A. BIRON, G. MCINTYRE, CH. LABERGE, Résistance des matériaux, 2e édition, Editions de l’Ecole polytechnique de Montréal, Montréal, 1999.
J. COURBON, Résistance des matériaux, Tomes 1 et 2, 3e édition, Dunod, Paris, 1971.
FR. FREY, Analyse des structures et milieux continus – Mécanique des structures, Traité de Génie Civil, Vol. 2, Presses polytechniques et universitaires romandes, Lausanne, 1994.
J. P. LARRALDE, Résistance des matériaux – I Sollicitations simples, II Sollicitations composées et systèmes hyperstatiques, III Exercices résolus, 3e édition, Collection des industries mécaniques (FIMTM), Masson, Paris, 1990.
CH. MASSONNET, S. CESCOTTO, Mécanique des matériaux, Bibliothèque des Universités – Génie Civil, De Boeck-Wesmael, Bruxelles, 1994.
W. A. NASH, Théorie et problèmes de résistance des maté-riaux, 4e édition, Série Schaum (Sciences de l’ingénieur), McGraw-Hill International, Londres, 2000.
S. P. TIMOSHENKO, Résistance des matériaux, Tome 1 : Théorie élémentaire et problèmes, Tome 2 : Théorie développée et problèmes, Dunod, Paris, 1990.
BIBLIOGRAPHIE ANGLAISE
R. C. HIBBELER, Mechanics of Materials, 7th edition, PEARSON, 2008.
A. BEDFORD & W. L. FOWLER, Engineering Mechanics,
Statics, Addison-Wesley, 1995.
E. P. POPOV, Engineering mechanics of Solids, PRENTICE HALL, 1998.
G. R. BUCHANAN, Mechanics of Materials, Holt,
Rinehart and Winston, Inc., 1988.
WEB ADDRESS OF THE COURSE
http://lmafsrv1.epfl.ch/botsis/MdS/
MECANIQUE DES STRUCTURES John BOTSIS, Professeur EPFL/DGM
BIBLIOGRAPHIE FRANCAISE :
BAZERGUI, T. BUI-QUOC, A. BIRON, G. MCINTYRE, CH. LABERGE, Résistance des matériaux, 2e édition, Editions de l’Ecole polytechnique de Montréal, Montréal, 1999.
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FR. FREY, Analyse des structures et milieux continus – Mécanique des structures, Traité de Génie Civil, Vol. 2, Presses polytechniques et universitaires romandes, Lausanne, 1994.
J. P. LARRALDE, Résistance des matériaux – I Sollicitations simples, II Sollicitations composées et systèmes hyperstatiques, III Exercices résolus, 3e édition, Collection des industries mécaniques (FIMTM), Masson, Paris, 1990.
CH. MASSONNET, S. CESCOTTO, Mécanique des matériaux, Bibliothèque des Universités – Génie Civil, De Boeck-Wesmael, Bruxelles, 1994.
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S. P. TIMOSHENKO, Résistance des matériaux, Tome 1 : Théorie élémentaire et problèmes, Tome 2 : Théorie développée et problèmes, Dunod, Paris, 1990.
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E. P. POPOV, Engineering mechanics of Solids, PRENTICE HALL, 1998.
G. R. BUCHANAN, Mechanics of Materials, Holt,
Rinehart and Winston, Inc., 1988.
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