mécanique des structures
DESCRIPTION
Introduction 2. Concepts utilisés en mécanique 3. Objectifs des calculs 4. Les outils pour le calcul 5. Définitions utiles 6. Conclusion. Mécanique des Structures. René Motro. Sommaire. 1. Introduction 1.1 Mécanique et construction 1.2 Constructions planes chargées dans leur plan - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
Département de Génie Civil. IUT Nîmes. Mécanique des Structures. R. Motro. Septembre 2007. 1
Mécanique des Structures
René Motro
1. Introduction
2. Concepts utilisés en mécanique
3. Objectifs des calculs
4. Les outils pour le calcul
5. Définitions utiles
6. Conclusion
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1. Introduction1.1 Mécanique et construction1.2 Constructions planes chargées dans leur plan1.3 Poutres, poteaux, murs
2. Concepts utilisés en mécanique2.1 Forces2.2 Moment d’une force par rapport à un point2.3 Déformation d’une fibre matérielle2.4 Contraintes 2.5 Loi de comportement d’un matériaupour une sollicitation donnée2.6 Déformée
3. Objectifs des calculs3.1 Equilibre de solides3.2 Résistance des matériaux3.3 Rigidité, stabilité de forme
4. Les outils pour le calcul4.1 Les vecteurs4.2 Intégrales définies et indéfinies4.3 Représentations des droites4.4 Distance d’un point à une droite4.5 Unités5. Définitions utiles5.1 Densité et masse volumique5.2 Pression au sein d’un liquide6. Conclusion
Sommaire
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Figure 1 Colonne de Diane (Grèce)1. I
ntr
od
uc
tio
n1.1 Mécanique et construction
Les paramètres de la construction :
« Forme » (géométrie) :• des composants• de l’ensemble
« Matériau »• caractéristiques (loi de comportement)
« Forces »• action de la pesanteur• pression à différents niveaux
« Assemblage » (structure)• mode de liaison des composants (empilement dans le cas de la colonne)
« Technologie »• mode de mise en oeuvre• résolution des difficultés opératoires
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Figure 2 Décomposition par plans de la construction
1. I
ntr
od
uc
tio
n1.2 Constructions planes chargées dans leur plan
Plan de référence pour les actions et la construction (ici plan vertical).
Appuis de la ferme
Actions
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Figure 3 Composition structurale d’un édifice gothique
1. I
ntr
od
uc
tio
n1.2 Constructions planes chargées dans leur plan
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1. I
ntr
od
uc
tio
n1.3 Poutres, poteaux, murs
Figure 4 Exemple de façade.
Mur
Linteau
Raidisseurs
Poutre
Poteaux
Longrine
Fondation
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2. C
on
cep
ts u
tilis
és
en
mé
can
iqu
e2.1 Les « principes » de Newton. 2.11 Isaac Newton
Figure 5 La “pomme”
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1642 - 1727
2. C
on
cep
ts u
tilis
és
en
mé
can
iqu
e2.1 Les « principes » de Newton. 2.11 Isaac Newton
Figure 6 Les écrits d’Isaac Newton.
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Point matériel : sa masse « m » est supposée concentrée au centre d’une sphère de rayon quasi nul qui se réduit à un point (problème d’échelle)
2. C
on
cep
ts u
tilis
és
en
mé
can
iqu
e2.1 Les « principes » de Newton. 2.12 Notion de point matériel
Figure 7 Simplification, modélisation
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Tout corps persévère dans l'état de repos, ou de mouvement uniforme en ligne droite, dans lequel il se trouve, à moins que quelque force n'agisse sur lui, et ne le contraigne à changer d'état.
2. C
on
cep
ts u
tilis
és
en
mé
can
iqu
e2.1 Les « principes » de Newton. 2.13 Premier principe
Figure 8 Illustration du principe d’inertie
1 Principe d’Inertie
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En A le point matériel est au repos. Il subit une action qui le met en mouvement.Le mouvement est rectiligne uniforme :•La trajectoire est une droite (AB)•La vitesse est constante•Le sens de déplacement dépend de celui de l’action initiale
A
B
2. C
on
cep
ts u
tilis
és
en
mé
can
iqu
e2.1 Les « principes » de Newton. 2.13 Principe d’inertie
Figure 9 Cas d’un solide au repos
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2.1 Les « principes » de Newton. 2.13 Principe d’Inertie
En présence d’autres corps (point B), le mouvement du point est perturbé. Il s’exerce des forces sur le point matériel, ces forces modifient le mouvement du point.
m
m
B
B
F
D
2. C
on
cep
ts u
tilis
és
en
mé
can
iqu
eFigure 10 Cas d’un solide en mouvement
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2. C
on
cep
ts u
tilis
és
en
mé
can
iqu
e2.1 Les « principes » de Newton. 2.14 Principe fondamental de la dynamique
L’accélération subie par un corps dans un référentiel galiléen est proportionnelle à la résultante des forces qu'il subit, et inversement proportionnelle à sa masse m.
2 Principe fondamental de la dynamique
m
Fa)1(
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L’unité de force est le Newton N
amF)1( « m » est la masse du corps en kg,
a est l’accélération en m/s2
Le poids est la force qui correspond à une accélération égale à l’accélération de la pesanteur soit
(2) g=9,81 m/s2.
(3) P = 9,81 N pour une masse de 1 kg soit :
daN1N10P)4( pour une masse de 1 kg
2. C
on
cep
ts u
tilis
és
en
mé
can
iqu
e2.1 Les « principes » de Newton. 2.14 Principe fondamental de la dynamique
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• Tout corps A exerçant une force sur un corps B subit une force d'intensité égale, de même direction mais de sens opposé, exercée par le corps B.
2. C
on
cep
ts u
tilis
és
en
mé
can
iqu
e2.1 Les « principes » de Newton. 2.15 Principe des actions réciproques
3 Principe des actions réciproques
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2. C
on
cep
ts u
tilis
és
en
mé
can
iqu
e2.1 Les « principes » de Newton. 2.15 Principe des actions réciproques
3 Principe des actions réciproques
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2. C
on
cep
ts u
tilis
és
en
mé
can
iqu
e2.1 Les « principes » de Newton. 2.15 Principe des actions réciproques
3 Principe des actions réciproques
Figure 11 Actions mutuelles de deux solides
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Support : droite définie par deux points, ou un point et une direction.(Ou une grandeur de type moment par rapport à un point ; voir ci après)
Sens
Intensité (module)
Les forces sont représentées par des « glisseurs » (vecteurs glissants)
2. C
on
cep
ts u
tilis
és
en
mé
can
iqu
e2.2 Modélisation des forces : vecteurs « glissants »
Mouvement rectiligne uniforme de translation:
• Trajectoire (droite = support) D• Sens (sens d’action) S• Intensité (F = ma)
Figure 12 Eléments de définition d’un glisseur
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2. C
on
cep
ts u
tilis
és
en
mé
can
iqu
e2.3 Moment d’une force par rapport à un point P 2.3.1 Illustrations physiques
Mise en mouvement de rotation d’un solide autour d’un axe, sous l’effet d’une force.
Figure 13 Mise en mouvement de rotation
Axe de rotation perpendiculaire au plan de la roue
Force F
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2. C
on
cep
ts u
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iqu
e2.3 Moment d’une force par rapport à un point P 2.3.1 Illustrations physiques
« Donnez-moi un point d'appui, je soulèverai le monde » (Archimède)
Le levier
Figure 13 Le principe du levier
P
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y
xO
2. C
on
cep
ts u
tilis
és
en
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iqu
e2.3 Moment d’une force par rapport à un point P 2.3.2 Vecteur moment par rapport à un point P
F
H
Support droite perpendiculaire en P au plan Oxy
Intensité
Avec d = PH (distance de P au support de F)Signe dépend de la convention choisie (ici positif avec la convention trigonométrique)
dFM
Figure 14 Vecteur moment par rapport à un point
M (F)/P
P
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2. C
on
cep
ts u
tilis
és
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mé
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iqu
e2.3 Moment d’une force par rapport à un point P 2.3.2 Vecteur moment par rapport à un point P
Remarques : on peut aussi calculer la valeur algébrique en utilisant la notion de produit vectoriel (voir compléments sur les vecteurs) dans le cas des systèmes plans chargés dans leur plan, on représente le vecteur moment avec une flèche circulaire tracée autour du point P, intersection de l’axe de rotation avec le plan du système
Figure 15 Représentation plane du vecteur moment par rapport à un point
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2. C
on
cep
ts u
tilis
és
en
mé
can
iqu
e2.4 Déformation d’une fibre matérielle 2.4.1 Fibre matérielle
Fibres matérielles et modélisation des solides
Fibre matérielle : cylindre de très grande longueur par rapport à son diamètre
Poutre modélisée selon une agglomération de fibres matérielles. En raison des symétries une vue en élévation suffit.
Figure 15 Fibre matérielle
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2. C
on
cep
ts u
tilis
és
en
mé
can
iqu
e2.4 Déformation d’une fibre matérielle 2.4.2 Fibre moyenne d’un poteau ou d’une poutre
La fibre moyenne est celle qui passe par le centre de gravité des sections droites
Cas d’une poutre droite à section droite rectangulaire de dimensions constantes b x h
Figure 16 Fibre moyenne d’une poutre ou d’un poteau
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2. C
on
cep
ts u
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e2.4 Déformation d’une fibre matérielle 2.4.2 Fibre moyenne dans le cas général
Figure 17 Fibre moyenne d’une poutre non rectiligne
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Allongement par traction
Raccourcissement par compression
2. C
on
cep
ts u
tilis
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en
mé
can
iqu
e2.4 Déformation d’une fibre matérielle 2.4.3 Traction, compression
Figure 18 Déformation d’une fibre matérielle
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2. C
on
cep
ts u
tilis
és
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mé
can
iqu
e2.4 Déformation d’une fibre matérielle 2.4.4 Déformation absolue, déformation relative
• Cas d’un essai de traction (allongement):– déplacement– déformation absolue
l– déformation relative
= l/lo
(Sans unité)– (lo distance initiale
entre A et B)
Figure 19 Déformations absolue et relative d’une fibre matérielle
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2. C
on
cep
ts u
tilis
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iqu
e2.5 Notion de contrainte 2.5.1 Contrainte normale
• A aire de la section droite, n fibre matérielles d’aire a (n.a = A).
• Si F est l’effort total, chaque fibre supporte un effort f =F/n, pour une aire a = A/n.
• Quand n tend vers l’infini, f et a tendent vers zéro
a
fdeitelimlaest
normaleeintcontraLa
Figure 20 Notion de “contrainte”
A
F
F
a
f
f
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2. C
on
cep
ts u
tilis
és
en
mé
can
iqu
e2.5 Notion de contrainte 2.5.2 Deux remarques
NotationLorsque des quantités deviennent petites (infiniment petites), on parle d’éléments
différentiels et on fait précéder la notation de la grandeur par la lettre « d ». Ici on notera df la force infiniment petite, et da l’aire de la section droite de la fibre matérielle.
Contraintes normale et tangenteDans le cas général les efforts df ne sont pas forcément alignés sur la fibre
matérielle. On distingue la composante horizontale et la composante verticale; à la première correspond la contrainte tangente (notée « t » ou « »), à la seconde la contrainte normale (notée « n » ou « »)
da
dfda
df
y
x
xdf
ydf df
Figure 21 Contraintes normale et tangente
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2. C
on
cep
ts u
tilis
és
en
mé
can
iqu
e2.6 Loi de comportement d’un matériau pour une sollicitation donnée.
On effectue des essais sur les matériaux en laboratoire. Pour un type d’action donnée (sollicitation en traction, compression…), on relève les déformations associées aux valeurs des efforts.La loi de comportement expérimentale associe les contraintes aux déformations relatives pour la sollicitation considérée.
Figure 22 Essais de flexion et de compression sur le béton
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2. C
on
cep
ts u
tilis
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en
mé
can
iqu
e2.6 Loi de comportement d’un matériau pour une sollicitation donnée.
Figure 23 Machine d’essai de traction
Figure 24 Essai sur sol (triaxial)
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• Exemple de loi de comportement en traction simple d’une tige d’acier.
2. C
on
cep
ts u
tilis
és
en
mé
can
iqu
e2.6 Loi de comportement d’un matériau pour une sollicitation donnée.
Contrainte de traction
Déformation relative
Figure 25 Loi de comportement
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2. C
on
cep
ts u
tilis
és
en
mé
can
iqu
e2.7 Déformées
La déformée d’une poutre est définie par la géométrie de sa fibre moyenne après application des actions.
Figure 26 Déformée d’une poutre sous deux charges concentrées
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3. L
es
ob
jec
tifs
du
ca
lcu
l3.1 Equilibre des solides
Figure 27 Pertes d’équilibre
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3. L
es
ob
jec
tifs
du
ca
lcu
l3.1 Equilibre des solides
Figure 28 Equilibres stable et instable
En A l’équilibre est instable
En B l’équilibre est stable
A
B
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3. L
es
ob
jec
tifs
du
ca
lcu
l3.2 Résistance des matériaux constitutifs
Figure 29 Rupture par épuisement de la résistance d’un ou plusieurs matériaux
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• Instabilités de forme
Flèche maximale verticale
Flèche maximale horizontale
3. L
es
ob
jec
tifs
du
ca
lcu
l3.3 Rigidité
Figure 30 Déformées et instabilités de forme
• Déformée
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4. L
es
ou
tils
po
ur
le c
alc
ul
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4. L
es
ou
tils
po
ur
le c
alc
ul
4.1 Vecteurs 4.1.1 Les différents vecteurs
Vecteur libre Direction Sens Intensité
Vecteur glissant Support rectiligne connu Sens Intensité
Vecteur lié Support rectiligne connu Origine Sens Intensité
P
(Résultante d’un ensemble de forces)
Force Moment d’un ensemble de forces /P
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4. L
es
ou
tils
po
ur
le c
alc
ul
4.1 Vecteurs 4.1.2 Opérations sur les vecteurs
vuw
w
u
v
Addition : le résultat est un vecteur libre si les deux vecteurs sont libres, lié s’ils sont liés.
Produit scalaire : le résultat est un réel
Produit vectoriel : le résultat
est un vecteur de direction perpendiculaire au plan des deux vecteurs, le module est un réel (soumis à des conventions de signe)
P
u
v
), sin( . . P
vuvu
)v,ucos(vu vus
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4. L
es
ou
tils
po
ur
le c
alc
ul
4.2 Intégrales définies et fonctions primitives
Les fonctions utilisées dans ce cours sont presque exclusivement des polynômes de la forme :
01i
i1n
1nn
n ax.a...x.a...x.ax.a)x(f
Il suffit de connaître la primitive et la dérivée du terme général :
iii x.af
1ii
i x.i.adx
df i
1i
ii C1i
x.aF
fonction
primitive dérivée
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4. L
es
ou
tils
po
ur
le c
alc
ul
4.2 Intégrales définies et fonctions primitives
Les deux types d’intégration qui apparaissent dans les calculs sont :
les intégrales définies entre deux bornes, ici 0 et a, (on calcule en fait une aire)
les intégrales indéfinies qui correspondent au calcul de la primitive F(x) d’une fonction f(x). La primitive est toujours définie à une constante près (ce qui justifie le qualificatif « indéfinies »).
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4. L
es
ou
tils
po
ur
le c
alc
ul
4.3 Equation d’une droite dans un plan x,y
Les droites sont omniprésentes dans les calculs relatifs aux forces. Elles peuvent être définies par
un point A et une direction (une « pente ») par deux points A et B
La forme la plus classique de son équation est :
0cy.bxa
cxb
ay
Que l’on retrouve aussi sous la forme :
corigine'làordonnéeb
a"m"pente
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4. L
es
ou
tils
po
ur
le c
alc
ul
4.4 Distance d’un point à une droite
D
Mettre l’équation de la droite D sous la forme ax+by+c=0La distance d au point P est donnée par
22
PP
ba
cybxad
P
x
d ?
y
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4. L
es
ou
tils
po
ur
le c
alc
ul
4.5 Unités
Système SI est basé sur les trois unités de référence : Masse « m » [M] Longueur « l » [L]Temps « t » [T]
Les grandeurs utilisées en mécanique ont une « dimension » en référence à ces trois unités de base,soit :
Accélération a, unité m/s/sForce F , unité newton NMoment M, unité m.NAllongement absolu l, unité m
Allongement relatif , sans dimension (rapport de deux quantités de même dimension), sans unité, s’exprime en pour cent ou pour mille.Aire, A, unité m2
Contrainte (ou pression) , unité Pa
a
F
M
l
A
2T.L
2T.L.M
22 T.L.M
L
2L
21 T.L.M
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5. D
éfi
nit
ion
s u
tile
s5.1 Densité d’un matériau
La masse volumique d’un matériau mesure la quantité de matériau contenue dans un volume donné. Le volume de référence est l’unité de volume, soit le m3. La notation utilisée pour cette grandeur est , l’unité est le kg/m3.
La densité d’un matériau est mesurée par le rapport de sa masse volumique à celle de l’eau notée e, classiquement égale à 1000 kg/m3. La densité, rapport de deux quantités de même « dimension », n’a pas d’unité (pas de dimension).
eau
matériaumatériaud
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5. D
éfi
nit
ion
s u
tile
s5.2 Pression au sein d’un fluide
La pression « p » au sein d’un fluide de masse volumique , à la profondeur h, est mesurée par le même nombre que le poids d’une colonne de ce liquide ayant pour hauteur h, et pour aire de section droite, l’unité d’aire.
Poids d’une colonne de liquide = volume x poids volumique = h x 1 x x g
D’où :
Avec g accélération de la pesanteur (prise égale à 10 m/s/s en première approximation).La pression s’exprime en Pascal (Pa) = 1N/m2.Cette pression s’exerce perpendiculairement à toute surface située à la profondeur considérée.
hgp
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6. C
on
clu
sio
n
Problème
InformationRéflexion
Résolution
Résultat
Bibliographie, documentation
Choix de la méthode et des outils
Examen critique, ordres de grandeur
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6. C
on
clu
sio
n
Mesure des grandeurs géométriques, puis calcul des grandeurs de référence :
Pour l’équilibre : forces et moments
Pour la résistance : sollicitation (efforts internes, déformations relatives comparées aux déformations relatives acceptées, contraintes comparées aux résistances)
Pour la rigidité : déplacements des fibres moyennes donnant accès aux déformées (la flèche maximale étant comparée aux valeurs acceptées)
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6. C
on
clu
sio
n