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Mécanique du vol – Tome 2 – Qualité de vol des avions – Édition 2005 – fascicule 1/2

MÉCANIQUE DU VOL

TOME 2

QUALITÉS DE VOL DES AVIONS

Fascicule 1/2

P. GUICHETEAU

ONERA Tel. 01 69 93 63 54 Fax 01 69 93 63 00

E-mail : [email protected]

Ce document est la propriété intellectuelle de Philippe Guicheteau (ONERA) sur 45

Mécanique du vol – Tome 2 – Qualités de vol des avions – Édition 2005

sur 45 Ce document est la propriété intellectuelle de Philippe Guicheteau (ONERA)


TABLE DES MATIERES

1. INTRODUCTION .................................................................................................................................. 5

2. ÉQUATIONS DU MOUVEMENT ....................................................................................................... 7

2.1 ÉQUATIONS GENERALES..................................................................................................................... 7 2.2 EQUATIONS DU MOUVEMENT SIMPLIFIEES ..................................................................................... 11 2.3 SEPARATION DES MOUVEMENTS ...................................................................................................... 12

3. ÉQUILIBRE DU MOUVEMENT LONGITUDINAL ...................................................................... 15

3.1 RETOUR SUR LES EQUATIONS........................................................................................................... 15 3.2 MODELISATION DES ACTIONS AERODYNAMIQUES ......................................................................... 16 3.3 CONDITIONS D’EQUILIBRE ............................................................................................................... 20 3.4 PREMIERE APPROCHE DE LA REPONSE AUX COMMANDES ............................................................. 22 3.5 STABILITE STATIQUE LONGITUDINALE ET MANOEUVRABILITE .................................................... 24

4. PETITS MOUVEMENTS LONGITUDINAUX................................................................................ 29

4.1 PRINCIPE DE LA LINEARISATION...................................................................................................... 29 4.2 STABILITE DES SYSTEMES DIFFERENTIELS LINEAIRES................................................................... 29 4.3 ÉQUATIONS LINEARISEES DU MOUVEMENT..................................................................................... 32 4.4 OSCILLATION D’INCIDENCE ............................................................................................................. 37 4.5 OSCILLATION PHYGOÏDE.................................................................................................................. 40 4.6 RAPPEL DE PROPULSION................................................................................................................... 43

5. BIBLIOGRAPHIE RAPIDE ............................................................................................................... 45



1. Introduction La mécanique du vol atmosphérique est une branche particulière de la mécanique générale consacrée à l’étude du mouvement des aéronefs pour le décrire, le quantifier, le modifier éventuellement et, plus généralement, pour aider à la conception de véhicules aériens dotés de capacités définies a priori. Comme tout corps de l’espace, l’aéronef, assimilé généralement à un solide indéformable, est à chaque instant en équilibre sous l’action des forces qui lui sont directement appliquées et des forces d’inertie. L’étude du mouvement du véhicule réduit à son centre de masse requiert la mise en œuvre des théorèmes généraux de la mécanique du solide et de nombreuses autres connaissances relatives à l’aérodynamique, l’énergétique et à l’automatique pour ne citer que les plus importantes. Ceci confère à cette discipline une difficulté particulière qui nécessite un effort de synthèse important. En mécanique du vol, on distingue les performances des qualités de vol.

• Les performances traitent des trajectoires des aéronefs permettant de concevoir et d’optimiser le transport d’une charge d’un point à un autre. Elles ne s’intéressent donc, dans la plupart des cas, qu’au mouvement du centre de masse sous l’action des forces appliquées. Le plus souvent ces trajectoires sont dans un plan vertical confondu avec le plan de symétrie de l’avion.

• Les qualités de vol sont consacrées à l’étude et à l’optimisation des qualités intrinsèques de stabilité et de maniabilité de l’avion. Elles s’intéressent à l’ensemble des mouvements de l’avion, notamment autour du centre de masse sous l’effet des couples.

Pour simplifier, on dira que les performances analysent ce que l’avion est capable de faire alors que les qualités de vol étudient sa maniabilité et sa stabilité. Ce cours de qualités de vol traitera de la stabilité des équilibres des aéronefs dans différentes conditions de vol. Après avoir rappelé les hypothèses générales de la mécanique du vol déjà abordées dans le tome 1 relatifs aux performances des aéronefs, les équations générales du mouvement sont présentées. Puis les conditions de séparation des mouvements longitudinaux et transversaux ouvrent la voie, pour chacun d’eux, à l’étude des conditions d’équilibres, de la stabilité des dits équilibres vis à vis des perturbations des paramètres de vol et atmosphériques ainsi qu’à l’analyse de la réponse de l’aéronef à une action sur ses commandes. Ensuite, les critères de qualités de vol usuellement utilisés dans l’industrie sont passés en revue. Puis, les lois de pilotage classiques conçues pour améliorer le comportement des aéronefs pour satisfaire les critères précédemment énoncés sont présentées. Pour conclure, les cas de vol dits non linéaires en raison de l’existence de couples gyroscopiques importants ou/et d’incidence élevée seront abordés. Comme vous pourrez le constater et contrairement au tome 1, le document que vous avez entre les mains n’est qu’une première ébauche électronique, très imparfaite en raison du peu de temps à ma disposition cette année, du cours en version papier proposé les années précédentes que je vous encourage vivement à critiquer. N’hésitez donc pas à le parcourir avec un esprit curieux, à remettre en cause tous les résultats présentés et à me faire part de vos commentaires. Quels qu’ils soient, ils seront toujours accueillis avec bienveillance et intérêt. Ils permettront l’édition d’une version corrigée probablement plus complète pour vos successeurs. Je vous en remercie par avance. P. Guicheteau



Note aux élèves Si d’aventure, cette année en vous frottant aux exercices ou plus tard dans votre arrière professionnelle, il vous arrivait de rencontrer des déconvenues en appliquant les résultats énoncés dans ce cours, résistez à l’immédiate et confortable tentation de maudire la terre entière en commençant par ce p… de cours et ce c… de professeur qui vous l’a enseigné. Veillez tout d’abord à vérifier que les hypothèses que vous avez adoptées pour traiter votre problème ne sont pas trop restrictives (i.e. ne dénaturent pas trop le problème original) et qu’elles correspondent bien à celles énoncées en cours. Ensuite, pensez à remettre en cause votre démarche calculatoire.

• Assurez-vous des unités des grandeurs que vous manipulez car vous pouvez être victime de pièges sournois embusqués au sein même de vos données (degré au lieu de radian par exemple).

• Évaluez, si possible, l’ordre de grandeur du résultat en vous fondant sur les données numériques présentées dans le cours.

• Vérifiez l’enchaînement de vos calculs. Une erreur de frappe ou de programmation est à la portée de tout le monde. Ne martyrisez pas votre calculette pour autant. Elle ne fait que vous renvoyer l’image de votre demande.

• Enfin, ce n’est pas parce que c’est inscrit sur l’écran de la calculette que le résultat est correct. Comparez-le avec des résultats connus sur d’autres avions par exemple.

Dans les cas plus vicieux où les hypothèses de votre problème sortent du cadre du cours, l’Aventure commence. Je vous conseille alors de reprendre tranquillement le raisonnement du cours en essayant de l’aménager pour tenir compte des écarts sur ses fondements plutôt que de vous précipiter, tête la première, vers d’autres sources peut être moins validées, notamment Internet. Enfin, après avoir échappé à toutes ces ignominieuses chausse-trappes, je vous souhaite d’être rempli de l’indicible joie de constater que généralement ça marche comme écrit dans le cours et ainsi de conforter votre confiance dans ce qui vous a été enseigné pour la prochaine fois où, n’en doutez pas, vous rencontrez de nouvelles difficultés qui vous aideront à bâtir votre propre expérience. P. Guicheteau (10/2005)



2. Équations du mouvement Avant d’aborder l’étude du comportement des aéronefs, il faut revenir sur les équations qui décrivent leur évolution dans le temps et l’espace pour faire apparaître la complexité du problème et énoncer les hypothèses simplificatrices qui permettront une approche accessible et néanmoins réaliste des phénomènes les plus importants des qualités de vol.

2.1 Équations générales

2.1.1 Équations de force D’après les hypothèses générales de la mécanique du vol énoncées dans le tome 1, un repère lié à la Terre est supposé galiléen. Pour mémoire, dans un repère galiléen, le théorème de la quantité de mouvement appliqué à un point matériel s’exprime par la relation suivante

∑ =Φdt

Vmd kext

)(r

r i( 2.1 )

Si l'on suppose que l’avion est un solide et que sa masse ne varie pas pendant les intervalles d'intégration, on peut utiliser l’extension de la relation précédente au cas du système matériel et réécrire la précédente formule sous la forme

∑ =ΦdtVdm k

ext)(

rr

i( 2.2 )

dans laquelle :

ext∑Φr

est la somme des forces extérieures, m est la masse de l’avion,

kVr

est le vecteur vitesse absolue du centre de masse dans le repère galiléen,

dtVmd k )(r

est la dérivée du vecteur vitesse de rotation autour du centre de masse par rapport au temps dans le repère galiléen.

Les forces extérieures qui s’appliquent sur l’aéronef sont :

• l'effet de la pesanteur : gmr

• la résultante des efforts de nature aérodynamique : ARr

• la résultante des forces de propulsion : FR

r

Par définition, la vitesse absolue, par rapport à un repère lié à la terre, est composée dans le cas d'une atmosphère turbulente de deux termes, le premier étant la vitesse de l'avion par rapport à l'air, le second étant la vitesse de la masse d'air par rapport à la terre.

wk VVVvrr

+=

2.1.1.1 Projection dans le repère avion Après avoir exprimé l’accélération du vecteur vitesse aérodynamique absolue dans le repère avion et projeté l’ensemble de la relation dans le repère avion, la relation i( 2.2 ) s'écrit :

avion

FA

avionavion

wavionterreavion

avion mRRg

dtVdV

dtVd

avion/

//

///

/

rrr

rrr

v+

+=+∧Ω+ i( 2.3 )

dans laquelle :


Philippe Guicheteau

Il serait plus judicieux de parler de l’extension au solide, voir cours de perfo


avionV/

r est le vecteur vitesse aérodynamique projeté dans le repère avion

[ ]Tavion wvuV =/

r

aviondtVd

/

r

est la dérivée temporelle du vecteur vitesse aérodynamique dans le repère avion projeté dans le repère avion

[ ]Tavion

wvudtVd

&&&

r

=/

terreavion /Ωr

est le vecteur rotation angulaire du repère lié à l’avion par rapport au repère terrestre (galiléen) projeté dans le repère avion

[ ]Tterreavion rqp=Ω /

r

avion

w

dtVd

/

r

est la dérivée temporelle du vecteur vitesse vent dans le repère galiléen projeté dans le repère avion

[ ]Tzyxavion

w

dtVd γγγ=

/

r

aviong /r

est le vecteur accélération de pesanteur projeté dans le repère avion [ ]Tzyxavion gggg =/

r

AavionR/

r est le vecteur résultante des efforts aérodynamiques projeté dans le repère avion

[ ]TAAAAavion ZYXR =/

r

FavionR/

r est le vecteur résultante des efforts de poussée projeté dans le repère avion

[ ]TFFFFavion ZYXR =/

r

La relation précédente s’écrit alors sous une forme directement applicable au cours.

( )( )

ϕθγ

ϕθγ

θγ

coscos)(

sincos

sin

mgZZmqupvwm

mgYYmpwruvm

mgXXmrvqwum

FAz

FAy

FAx

++=+−+

++=+−+

−+=+−+

&

&

&

i( 2.4 )

Dans le cas général d'une atmosphère mobile, la vitesse locale de l'atmosphère est fonction de l'espace et du temps. Il en est de même pour son accélération qui dépend des composantes de la vitesse absolue de l’aéronef par rapport à la Terre.

HHV

yyV

xxV

tV

dtVd wwww

Terre

ww

&r

&

r

&

rrrr

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

γ +++=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= 0

00

0

L'accélération due au vent comprend donc généralement un terme instationnaire et des termes rendant compte des gradients de vents parmi lesquels le gradient de vent en fonction de l'altitude est prépondérant conduisant ainsi à une relation approchée très utilisée en pratique.

HHV

tV

dtVd ww

ww &

rrr

r

∂∂

∂∂γ +==

2.1.1.2 Projection dans le repère aérodynamique Pour les besoins de l’étude du mouvement longitudinal de l’avion, il est aisé, comme pour le calcul des performances, d’exprimer les forces et l’équation i( 2.2 ) dans le repère aérodynamique.

aero

Fa

Aa

aeroaero

waeroterreaero

aero mRRg

dtVdV

dtVd

aero/

//

///

/

rrr

rrr

v+

+=+∧Ω+ i( 2.5 )



aéroV/

r est le vecteur vitesse aérodynamique projeté dans le repère aérodynamique

[ ]Taéro VV 00/ =r

aérodtVd

/

r

est la dérivée temporelle du vecteur vitesse aérodynamique dans le repère aérodynamique projeté dans le repère aérodynamique

[ ]Taéro

VdtVd 00

/

&r

=

terreaéro /Ωr

est le vecteur rotation angulaire du repère aérodynamique par rapport au repère terrestre (galiléen) projeté dans le repère aérodynamique

[ ][ ]Taaaterreavion

Tavionaéro

terreavionavionaéroterreaéro

rqpaéro

aéro

=Ω

−=Ω

Ω+Ω=Ω

/

/

/

/

///

cossinr

&&&r

rrr

ββαβα

aéro

w

dtVd

/

r

est la dérivée temporelle du vecteur vitesse vent dans le repère galiléen projeté dans le repère aérodynamique

[ ]Tzayaxaaéro

w

dtVd γγγ=

/

r

aérog /r

est le vecteur accélération de pesanteur projeté dans le repère aérodynamique [ ]Tzayaxaaéro gggg =/

r

AaéroaR /

r est le vecteur résultante des efforts aérodynamiques projeté dans le repère

aérodynamique

[ ]TAa

Aa

Aa

Aaéroa ZYXR =/

r

FaéroaR /

r est le vecteur résultante des efforts de poussée projeté dans le repère

aérodynamique

[ ]TFa

Fa

Fa

Faéroa ZYXR =/

r

La relation précédente s’écrit alors sous une forme directement applicable au cours.

( )za

Fa

Aazaa

yaF

aA

ayaa

xaFa

Aaxa

mgZZmqmV

mgYYmrmV

mgXXmVm

++=+−

++=++

++=+

γβα

γβ

γ

)cos( &

&

&

i( 2.6 )

Après avoir exprimé les composantes du vecteur rotation de l’avion par rapport à la terre dans les repères avion et aérodynamique.

[ ]⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

+−−+−++

=⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

ααβαββαβαββα

cossinsinsincossincos

cossinsincoscos

rprqp

rqp

rqp

Trqp

T

a

a

a

la relation i( 2.6 ) s’exprime sous une autre forme également directement applicable au cours.

)sinsincossincos()(cos

)cossin()(

βαββαγβα

ααγβ

γ

rqpmVgmZZmV

rpmVgmYYmV

mmgXXVm

zazaFa

Aa

yayaF

aA

a

xaxaFa

Aa

−+−+−−−−=

+−−−++=

−++=

&

&

&

i( 2.7 )

2.1.2 Équations de moment L'avion étant supposé rigide, le théorème du moment cinétique s'exprime en fonction du vecteur rotation du mobile par rapport à un repère lié à la terre (supposé galiléen) et du tenseur d'inertie. En reprenant les



notations du tome 1 la dérivée du moment cinétique projetée dans le repère avion s’exprime de la façon suivante

[ ] [ ] ∑=Ω∧Ω+Ω

extterreavionGterreavionterreavion

G QIdt

dIrrr

r

/// . i( 2.8 )

dans laquelle :

extQ∑r

est la somme des moments extérieurs par rapport au centre de masse FA

extQQQrrr

+=∑

[ ]GI est la matrice d’inertie de l’avion,

[ ]⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−−−−

=CDEDBFEFA

IG

terreavion /Ωr

est le vecteur vitesse de rotation autour du centre de masse par rapport au temps dans le repère galiléen projeté dans le repère avion.

[ ]Tterreavion rqp=Ω /

r

dtd terreavion /Ωr

est la dérivée du vecteur vitesse de rotation autour du centre de masse par rapport au temps dans le repère avion projeté dans le repère avion.

[ ]Tterreavion rqpdt

d&&&

r

=Ω /

Si l'on considère que les moments extérieurs

extQ∑r

se décomposent de la façon suivante :

• le moment dû aux efforts aérodynamique : βα βα&

v&

vvr&&AAA

statiqueA QQQQ ++=

• le moment dû à la propulsion : FQr

on obtient la relation :

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡⋅⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−−−−

∧⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

+++

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡⋅⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−−−−

rqp

CDEDBFEFA

rqp

NNMMLL

NML

NML

rqp

CDEDBFEFA

FA

FA

FA

A

A

A

A

A

A

βα

β

β

β

α

α

α

&&

&

&

&

&

&

&

&

&

&

laquelle se simplifie si les termes instationnaires sont nuls.

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡⋅⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−−−−

∧⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

+++

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡⋅⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−−−−

rqp

CDEDBFEFA

rqp

NNMMLL

rqp

CDEDBFEFA

FA

FA

FA

&

&

&

2.1.3 Équations cinématiques L’évolution des angles d’attitude est donnée par les relations établies dans le tome 1.

( )

θϕϕψ

ϕϕθ

ϕϕθϕ

coscossinsincos

cossin

rqrq

rqtgp

+=

−=

++=

&

&

&



On observera que les évolutions de l’angle de roulis et de l’angle d’azimut ne sont pas continue quand l’assiette longitudinale est égale à 2π± . Aussi quand les évolutions de l’avion seront telles que l’assiette longitudinale pourrait atteindre des valeurs très élevées (vrille notamment), on n’oubliera pas de remplacer les trois angles d’assiette par les quatre quaternions définis dans le chapitre 3 tome 1 Si on appelle T l'origine du repère terrestre et ( )Hyx −,, 00 l’évolution des coordonnées du centre de masse du mobile dans ce repère est donnée par la relation suivante

( )wk VVV

dtTGd vrr

+==

d'où

( )00

000

000

w

w

w

wwH

vvyuux

+−=

+=+=

&

&

&

2.1.4 Récapitulatif En résumé, le mouvement d’un aéronef est décrit par un système différentiel non linéaire du premier ordre de dimension 12 de la forme suivante

( )ww GVUXFdtdX ,,,=

dans laquelle :

X est le vecteur d’état [ ]THyxrqpwvuX 00ϕθψ=

U est le vecteur de commande [ ]TxnmlU δδδδ=

wV est le vecteur vitesse du vent dans le repère terrestre.. [ ]TwHwywxw VVVV 00=

wG est le gradient du vecteur vitesse du vent dans le repère terrestre. Attention, c’est une matrice.

T

wwww H

VyV

xVG ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=

∂∂

∂∂

∂∂

rrr

00

F est le vecteur de fonctions non linéaires de l’état, de la commande et du vent Partant de conditions initiales, l’intégration du système différentiel permettra de rendre compte de l’évolution de l’aéronef dans l’espace et dans le temps..

2.2 Équations du mouvement simplifiées Si l’on considère que la position horizontale et l’azimut de l’aéronef n’ont aucune influence sur l’évolution du système (le Terre est supposée homogène et non tournante), le vecteur d’état devient de dimension neuf. Si de plus le vent est constamment nul, en temps et en espace, le système peut être réécrit sous la forme suivante.

( )UXFdtdX ,=

dans laquelle :



X est le vecteur d’état

[ ]THrqpwvuX ϕθ= U est le vecteur de commande

[ ]TxnmlU δδδδ= Si de plus les termes aérodynamiques instationnaires sont nuls et que la matrice d’inertie est diagonale, les équations du mouvement que nous allons étudier dans ce cours se ramènent au système de 9 équations suivant.

( )( )

( )( )( )

( )ϕθϕθθ

ϕϕθϕϕϕθ

ϕθ

ϕθ

θ

coscossincossincossin

sincos

coscos)(sincos

sin

wvuHrqtgp

rq

NNpqABrCMMrpCAqB

LLqrBCpAmgZZqupvwm

mgYYpwruvmmgXXrvqwum

FA

FA

FA

FA

FA

FA

−−=

++=−=

+=−+

+=−+

+=−+

++=−+

++=−+

−+=−+

&

&

&

&

&

&

&

&

&

Pour les besoins de l’étude du mouvement longitudinal, les trois premières équations du système ci-dessus pourront être remplacées par le système i( 2.7 ). Bien entendu il arrivera que certaines hypothèses ayant conduit au système différentiel ci-dessus seront remises en cause pour étudier l’influence d’un facteur particulier (vent, matrice d’inertie, couple gyroscopiques…) sur le comportement de l’aéronef. Quand cela sera, les équations nécessaires aux études particulières considérées seront au préalable réécrites. Le système différentiel ci-dessus est complexe et de grande dimension. Pour analyser dans le détail ses propriétés, nous allons rechercher, si elles existent, les conditions de vol qui permettent de le ramener à l’étude d’un système plus restreint.

2.3 Séparation des mouvements Les neuf variables d'état peuvent être classées en deux groupes distincts. Le groupe des cinq variables longitudinales comprend les vitesses longitudinale et normale, la vitesse de tangage, l'assiette longitudinale et l'altitude. Pour des études particulières, les vitesses longitudinale et normale peuvent être remplacées par l’incidence et le dérapage.

[ ] [ ]TLT

L HqVXouHqwuX θαθ == Le groupe des quatre variables transversales comprend la vitesse transversale, les vitesses de roulis et de lacet ainsi que l'angle de gîte. Là encore, il peut arriver que la vitesse transversale soit remplacée par le dérapage.

[ ] [ ]TTT

T rpXourpvX ϕβϕ == Comme les variables d’état, les commandes peuvent également être classées en deux groupes en fonction de leur mode d’action. Le groupe des deux commandes longitudinales comprend la commande de profondeur et la manette des gaz maniée de manière symétrique pour l'ensemble des propulseurs.



[ ]TxmLU δδ= Le groupe des deux commandes transversales comprend les braquages de la gouverne de gauchissement et de direction.

[ ]TnlTU δδ= Il apparaît alors clairement que cette décomposition conduit à transformer le système de neuf équations en deux sous systèmes couplés, le système longitudinal dépendant des variables d’état transversales et vice versa.

( )

( )

ϕθϕθθϕϕθ

ϕθθ

coscossincossinsincos

coscos)(sin

wvuHrq

MMrpCAqBmgZZqupvwmmgXXrvqwum

FA

FA

FA

−−=

−=

+=−+

++=−+

−+=−+

&

&

&

&

&

( )( )( )

( )ϕϕθϕ

ϕθ

cossin

sincos

rqtgpNNpqABrC

LLqrBCpAmgYYpwruvm

FA

FA

FA

++=+=−+

+=−+

++=−+

&

&

&

&

Système longitudinal

Système transversal

Pour faciliter l’analyse, il convient alors de rechercher s’il est possible de trouver des régimes de vol pratiques pour lesquels cette décomposition est valide.

2.3.1 Existence d’un mouvement longitudinal découplé Pour qu’un tel mouvement existe il faut que le système transversal soit constamment à l’équilibre quelles que soient les vapeurs prises par l’état et les commandes longitudinales.

FA

FA

FA

NNLLYY

+=

+=

+=

000

Puisque nous avons supposé que le vecteur poussée de l’aéronef appartenait au plan de symétrie, il ne créé ni force latérale ni moments de roulis et de lacet. Il ne reste donc que les actions aérodynamiques qui peuvent être non nulles. On supposera qu’en l’absence de dérapage, la force latérale est nulle et que les moments le sont également. Cette hypothèse valide en pratique à faible incidence sera explicitée lors de l’étude des coefficients aérodynamiques associés aux mouvements transversaux. Moyennant ces hypothèses, il existera des mouvements longitudinaux découplés des mouvements transversaux à dérapage nul et ailes horizontales. Il en résultera une trajectoire de l’aéronef comprise dans un plan vertical. Ce sont précisément les hypothèses adoptées pour tous les cas de vol traités dans le cours de performances hormis le cas du virage. Cette propriété ayant été établie, il sera possible d’étudier le comportement du mouvement longitudinal indépendamment du mouvement transversal d’autant que les perturbations longitudinales de ce mouvement conservent cette propriété de découplage.

2.3.2 Existence d’un mouvement transversal découplé Pour qu’un tel mouvement existe il faut que le système longitudinal soit constamment à l’équilibre quelles que soient les vapeurs prises par l’état et les commandes transversales.



( )

( )

ϕθϕθθϕϕ

ϕθ

θ

coscossincossin0sincos0

coscos)(sin

wvurq

MMrpCAmgZZqupvmmgXXrvqwm

FA

FA

FA

−−=−=

+=−

++=−

−+=−

Puisque que ce système comprend des produits de variables transversales, il ne pourra être vérifié que pour des valeurs particulières, s’il en existe, des variables longitudinales. En toute rigueur, il n’est donc pas possible de découpler le mouvement transversal du mouvement longitudinal. En imposant des vitesses angulaires petites voire nulles, un dérapage nul et les ailes horizontales, la condition d’existence d’un mouvement transversal découplé est transformée.

θθ

θ

θ

cossin000

cos0sin0

wuq

MMmgZZmgXX

FA

FA

FA

−==

+=

++=

−+=

Lorsque le dérapage est petit voire nul, l’études des coefficients aérodynamiques montrent qu’ils en sont indépendants. Il en est de même pour la propulsion. Moyennant ces restriction, on considérera qu’un mouvement transversal découplé autour d’un vol à dérapage nul, ailes horizontales peut exister. Il sera donc légitime d’étudier le comportement transversal de l’avion en vol longitudinal soumis à des perturbations transversales.

2.3.3 Conclusion L’étude découplée des systèmes longitudinaux et transversaux n’est valide qu’autour de vol à dérapage nul, ailes horizontales. L’étude fine du comportement de l’avion en virage ne pourra être réalisée qu’en mettant en œuvre le système de dimension 9.



3. Équilibre du mouvement longitudinal Dans ce chapitre nous allons revenir sur les hypothèses adoptées pour l’étude du mouvement rectiligne uniforme, montrer qu’elles étaient justifiées et prolonger l’analyse des équilibres.

3.1 Retour sur les équations Pour mémoire, la figure ci-dessous rappelle les différents repères concernés.

• ( )000 zyOx fixe et galiléen,

• ( )Oxyz avion,

• ( )aaa zyOx aérodynamique, qui sont positionnés les uns par rapport aux autres en introduisant les angles :

• θ assiette longitudinale • α incidence, • aγ pente aérodynamique, aussi pente

de la trajectoire en l’absence de vent. Dans ces conditions, et seulement dans celles là :

aγαθ +=

En dérivant la relation géométrique liant l'assiette longitudinale, l'incidence et la pente de la trajectoire, on obtient la relation

αγ && −= q Le mouvement du centre de masse de l'avion est donné par les relations suivantes

γ

γ

cos

sin0

VH

Vx

=

=&

&

3.1.1 Équations de force dans le repère aérodynamique Comme nous l'avons vu précédemment et puisque l'avion est assimilé à un solide rigide, l'accélération du mouvement est donnée par la formule

aero

Fa

Aa

aeroaeroterreaeroaero m

RRgV

dtVd

aero/

////

/

rrrrr

v+

+=∧Ω+

dans laquelle

aéroV/

r est le vecteur vitesse aérodynamique projeté dans le repère aérodynamique

[ ]Taéro VV 00/ =r

aérodtVd

/

r

est la dérivée temporelle du vecteur vitesse aérodynamique dans le repère aérodynamique projeté dans le repère aérodynamique

[ ]Taéro

VdtVd 00

/

&r

=

terreaéro /Ωr

est le vecteur rotation angulaire du repère aérodynamique par rapport au repère terrestre (galiléen) projeté dans le repère aérodynamique

[ ] [ ]TTTerreaéro q

aéro0000

// γα &&r

=−=Ω



aérog /r

est le vecteur accélération de pesanteur projeté dans le repère aérodynamique [ ]Taéro ggg γγ sin0cos/ −=

r

AaéroaR /

r est le vecteur résultante des efforts aérodynamiques projeté dans le repère

aérodynamique

[ ]TAa

Aa

Aaéroa ZXR 0/ =

r

FaéroaR /

r est le vecteur résultante des efforts de poussée projeté dans le repère

aérodynamique ( ) ( )[ ]TF

aéroa FFR ϖαϖα ++= cos0sin/

r

d'où l'on tire les deux relations suivantes

( )( ) A

a

Aa

ZFmgmV

XFmgVm

++−=−

+++−=

ϖαγγ

ϖαγ

sincos

cossin&

&

dans lesquelles

AaX est la projection de la résultante des efforts aérodynamiques sur l’axe en

fonction du coefficient de traînée ( si vers l'arrière) ( aOx )

0>xC AaX

xAa CSVX 2

21 ρ−=

AaZ est la projection de la résultante des efforts aérodynamiques sur l’axe ( )aOz en

fonction du coefficient de portance ( si vers le haut) 0>zC AaZ

zAa CSVZ 2

21 ρ−=

3.1.2 Équation de moment Le seul mouvement de rotation du repère avion autour du centre de gravité de l'avion est dû à la vitesse de tangage. En reprenant la formule de la dérivée du moment cinétique du chapitre précédent i( 2.8 ), on obtient la relation

FA MMqB +=&

dans laquelle

AM est le moment de tangage dû aux efforts aérodynamiques exprimé en fonction du coefficient de moment de tangage. Par convention, indique un moment

cabreur et un moment piqueur.

0>mC0<mC

mA ClSVM 2

21 ρ=

FM est le moment de tangage dû aux efforts de poussée Il sera supposé nul excepté dans certains de vol pour lesquels l’hypothèse sera levée.

3.2 Modélisation des actions aérodynamiques Comme il a été dit pendant le cours de performances, les actions aérodynamiques dépendent des conditions de vol et des actions sur les gouvernes. Pour faciliter l’analyse des phénomènes présentés dans ce tome 2, il est habituel de considérer que chaque coefficient aérodynamique dépend linéairement de l’état et des commandes autour d’un point de vol donné même si l’on sait que ce n’est pas vrai dans tout le domaine de vol. Les résultats que nous obtiendrons seront cependant suffisamment généraux pour garder de l’intérêt.

VlC

VqlCmCCCC iiqmiiii

αδα αδα&

&++++= 0



3.2.1 Influence de l’incidence Un accroissement d’incidence crée une force de portance quasiment proportionnelle à l’accroissement d’incidence lorsque l’incidence de départ est faible (inférieure ou égale à environ 10°). En conséquence le terme est positif. αzC L’accroissement de portance étant appliquée au foyer de l’appareil, il en résulte l’apparition d’un coefficient de moment de tangage autour du centre de masse.

αα zF

m Cl

xC =

Suivant que le foyer est en arrière du centre de masse ou en avant, le terme sera négatif ou positif (Cf. Cours de performances §5.3.5).

αmC

En considérant que le coefficient de traînée est défini par la polaire, l’influence d’un accroissement de l’incidence n’est pas indépendante du point de vol autour duquel l’accroissement est réalisé.

αα α zzz

zx CkCCkCC 22 =∂∂

=

Si l’on accepte que le coefficient de portance soit linéaire en fonction de l’incidence, il apparaît alors que le terme C est déjà linéaire en incidence! αx

3.2.2 Influence du braquage de la gouverne de profondeur Un braquage positif (vers le bas par convention) de la gouverne de profondeur crée un accroissement de portance au niveau du foyer de la gouverne de profondeur quasiment proportionnel à l’accroissement de l’incidence locale sur la gouverne. Il en résulte un terme positif mais petit par rapport à la portance crée par la voilure. Ce terme sera souvent négligé.

mzC δ

Un braquage positif de la gouverne de profondeur crée de la portance dirigée vers le haut au niveau de la gouverne qui crée à son tour un moment de tangage négatif puisque son point d’application (le foyer de la gouverne) de coordonnées [ ]TEE zx 0 dans le repère avion est situé en arrière du centre de masse.

mzE

mm Cl

xC δδ =

Le terme est donc négatif. Il est d’autant plus négatif que la distance entre le centre de masse et le foyer de la gouverne est élevée. La gouverne de profondeur est donc un élément de commande qui génèrent essentiellement du moment de tangage.

mmC δ

L’effet d’un braquage de la gouverne de profondeur sur la traînée, supposée parabolique, est similaire à l’effet de l’incidence.

mzzz

zmx CkCm

CkCC δδ δ22 =

∂∂

=



3.2.3 Influence de la vitesse de tangage Une vitesse de tangage autour du centre de masse a pour conséquence l’apparition d’une vitesse aérodynamique en tout point de l’avion hormis le centre de masse différente de la vitesse aérodynamique du centre de masse qui définit les conditions de vol de l’appareil. Au niveau de la gouverne de profondeur une vitesse de tangage positive crée un accroissement de l’incidence locale qui entraîne un accroissement de la portance zEC∆ sur la gouverne. Rapporté à la vitesse

angulaire réduite cet accroissement définit le coefficient qui est positif. zqC

VqlCqCC zqzqzE ==∆ *

Démonstration La composition des vitesses fournit la relation qui permet de calculer les composantes de la vitesse aérodynamique au foyer de la gouverne de profondeur.

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−

+=

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛∧

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛+⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

E

E

E

E

E

E

E

qxwvqzu

z

xq

wvu

wvu

00

0

Lorsque l’incidence est faible Vw≈α . Comme est petit en valeur absolue par rapport à ,

l’incidence au niveau de la gouverne est donnée par la relation suivante. Ez Ex

( ) ( ) Vqx

Vqx

Vw

qxwqzu

qxw EE

EE

EE −=−≈

−++

−≈ αα

22

L’abscisse de la gouverne de profondeur étant négative, une vitesse de tangage positive induit donc un accroissement de l’incidence. La portance induite conduit à la définition du coefficient .par l’intermédiaire de l’intervention de la

longueur de référence et du gradient de portance de la gouverne de profondeur rapportée à la surface de référence de l’avion.

zqC

αzEC

VqlC

Vql

lxC

VqxCC zq

EzE

EzEzE =−=−=∆ αα

Comme pour l’efficacité de la profondeur, cet accroissement de portance à l’arrière du centre de masse induit un moment de tangage piqueur.

VqlC

VqxCC mq

EzEmE =−=∆ α

Le terme est négatif. C’est donc un terme d’amortissement qui s’oppose au mouvement de tangage cabreur.

mqC

Nous passons ici sous silence l’influence de la vitesse de tangage sur la traînée. Celle-ci sera traitée directement par la polaire via l’effet de la variation de portance.



Pratiquement ce type de mouvement à vitesse de tangage non nulle et incidence constante correspond à une partie de boucle dans un plan vertical, pendant un temps suffisamment court pour considérer l’incidence constante ou bien à la trajectoire représentée par l’illustration (a) de la figure ci-contre. Dans ce cas, la vitesse de tangage est la dérivée de l’assiette longitudinale. Pour bien comprendre la différence entre l’influence de la vitesse de tangage et celle de l’incidence, l’illustration (b) présente le mouvement de l’avion à vitesse de tangage nulle et incidence variable.

3.2.4 Influence de la vitesse de variation de l’incidence Jusqu’à présent nous avons considéré que la variation de l’écoulement induite par une modification des conditions de vol avait un effet immédiat sur les coefficients aérodynamiques que nous avons définis. Même si cette hypothèse peut être considérée comme valide au faibles incidences et dans le cadre de ce cours, elle doit être remise en cause pour des cas de vol à grande incidence. C’est la raison pour laquelle l’effet de la vitesse de variation de l’incidence est traité rapidement ici. Une variation d’incidence survient quand l’orientation du vecteur vitesse aérodynamique change par rapport à l’avion. C’est par exemple le cas où sous une perturbation atmosphérique l’avion pénètre dans une zone de vent vertical. Cette variation de l’orientation de l’écoulement est vue par la gouverne de profondeur avec un retard lié au temps mis par cette variation d’incidence locale pour parcourir la distance entre le centre de masse et la gouverne. Il en résulte un accroissement de la portance sur la gouverne de profondeur qui induit un moment de tangage piqueur lequel s’oppose à la variation de l’incidence.

0

0

<=∆

>=∆

VlCC

VlCC

mmE

zzE

α

α

α

α

&

&

&

&

Pratiquement le terme de portance est généralement négligé. Seul le terme lié au moment de tangage est pris en compte pour les mouvements à grande incidence. Ce faisant, il faut aussi garder en tête que ce coefficient est très difficile à mesurer en soufflerie car ces dernières ne sont généralement pas équipées pour modifier l’orientation du vecteur vitesse aérodynamique par rapport à l’aéronef sans créer de mouvement de tangage. La mesure classique, et la plus simple, de l’influence des vitesses de tangage et de variation temporelle de l’incidence réalisée en soufflerie repose sur une méthode dite des oscillations forcées qui combine l’effet de la variation temporelle de l’incidence et de celui d’une vitesse de tangage. Ce mouvement complexe est généralement assimilé à une seule vitesse de tangage donc à un terme qui est quelquefois décomposé (par expérience!!!) entre

et .

mqC

mqC α&mC Pour les avions de combat destinés à évoluer à grande incidence, des montages spéciaux permettent d’accéder directement à ces deux grandeurs.

Illustration montage en soufflerie



3.2.5 Résumé sur les coefficients aérodynamiques longitudinaux Le tableau ci-dessous rappelle de façon synthétique les résultats fondamentaux sur les coefficients aérodynamiques longitudinaux.

α mδ q α& 0>

zC 0> 0> 0> 0>

mC 00 <> ou 0< 0< 0<

3.2.6 Récapitulatif En l’absence de vent, en négligeant le moment induit par la poussée et en introduisant des hypothèses complémentaires sur la formulation des efforts aérodynamiques, valides seulement à faible incidence et sous faible facteur de charge, le système d’équations que l’on va discuter est le suivant. Bien évidemment, nous reconnaîtrons le système différentiel déjà rencontré à l’occasion du cours de performances.

( )

( ) ( )

a

a

mqmmmm

mzzza

xa

Vdt

dH

VqlCmCCCSlV

dtdB

FmCCCSVmgdtdmV

FCSVmgdtdVm

γ

γαθ

δαρθ

ϖαδαργγ

ϖαργ

δα

δα

sin

21

sin21cos

cos21sin

02

2

2

02

2

=

+=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +++=

+−++−=−

++−−=

&&&

i( 3.1 )

3.3 Conditions d’équilibre À l’équilibre, le premier membre du système d’équations différentielles est nul.

( )

( ) ( )

a

a

mqmmmm

mzzza

xa

Vdt

dHq

VqlCmCCCSlV

FmCCCSVmg

FCSVmg

γ

γα

δαρ

ϖαδαργ

ϖαργ

δα

δα

sin0

0210

sin21cos0

cos21sin0

02

02

2

==

+==

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +++=

+−++−=

++−−=

&&

La dernière équation montre que le vol doit être à altitude constante et par conséquent pente nulle. Nous retrouvons donc les premières conclusions que nous avons tirées du cours de performance. Par extension, on considérera qu’un vol à pente constante, mais faible, sera un vol équilibré pendant un court intervalle de temps au cours duquel l’influence de la variation d’altitude sera négligeable.

3.3.1 Équilibre à incidence donnée Maintenant, examinons l’avant dernière équation dont la validité est limitée au cas de vol dans un plan vertical, ailes horizontales et bien sûr dérapage nul. Il s’ensuit que la vitesse de tangage est nulle. Toutefois, on n’a l’habitude de considérer que le point bas d’une boucle est un état d’équilibre car, en ce point l’assiette longitudinale varie peu.



L’équilibre de l’équation de moment conduit à établir une relation entre le braquage de la gouverne et l’incidence de vol.

Vql

CC

CmCC

CVqlCmCC

m

mq

m

mmm

m

mqmmm

αα

δ

α

δ δδα −

+−=

++−= 0

0

Cette relation permet de retrouver le résultat utilisé dans le cours de performance selon lequel en vol en palier stabilisé, à vitesse de tangage nulle, l’incidence de vol ne dépend que du braquage de la gouverne de profondeur sous réserve, bien entendu, que l’équilibre des forces soit satisfait. Il est indépendant de l’altitude de vol et de la vitesse aérodynamique Le pilote est donc maître de l’incidence du vol par le biais de la gouverne de profondeur.

mm

mmn C

CCmδ

ααδ +−==

0)1(

À une incidence donnée, on peut donc déterminer la portance et la traînée du vol équilibré puis ensuite déterminer la poussée nécessaire au vol et la vitesse aérodynamique pour le vol rectiligne stabilisé. Si, de plus, on suppose que l'incidence et la pente sont petites alors la portance équilibrée annule l'effet de la pesanteur et, si l'incidence est donnée, la vitesse l'est aussi. Il en découle naturellement que le pilote est maître de la vitesse par la gouverne de profondeur

zaCSVmg 2

21 ρ=

La vitesse et l'incidence étant maintenant fixées, l'examen de l'équation de traînée, en supposant que la pente de la trajectoire est petite, révèle que le pilote est maître de la pente de la trajectoire par la poussée.

xaCSVmgF 2

21 ργ +=

Enfin, à pente nulle, la vitesse aérodynamique et l'incidence sont reliées par la relation:

( )ϖαρ ++=

tgCCSmgV

xaza

122

3.3.2 Équilibre à poussée donnée Cette étude a déjà été réalisée au titre du cours de performances. Pour mémoire, à régime donné, la poussée d’un GTR peut être considérée constante avec la vitesse. À pente nulle, la poussée équilibre la traînée et, compte tenu de la forme parabolique de la polaire équilibrée, on observe l’existence de deux points d’équilibre pour une valeur donnée de la poussée. En changeant le régime moteur, on conserve les deux points d’équilibre jusqu’au point de traînée minimale. Le vol à une vitesse supérieure à la vitesse de traînée minimale est appelé vol au premier régime (faible incidence). Le vol à une vitesse inférieure à la vitesse de traînée minimale est appelé vol au second régime (incidence élevée).



Hormis l’incidence qui est différente, qu’est ce qui distingue les équilibres A et B? Pour répondre à cette question, examinons sommairement le retour à l’équilibre du système soumis à une perturbation initiale de la vitesse aérodynamique. Un accroissement de la vitesse aérodynamique au point A entraîne un accroissement de la traînée lequel entraîne un ralentissement de la vitesse perturbée et l’avion revient à l’état d’équilibre initial. Par un raisonnement analogue, l’avion revient à son état initial après une diminution initiale de la vitesse aérodynamique. Ce point d’équilibre est donc considéré comme stable vis à vis de cette perturbation. Au second régime, un accroissement de la vitesse aérodynamique au point B entraîne un accroissement de la vitesse aérodynamique puisque la poussée disponible est supérieure à la poussée nécessaire à l’équilibre. La vitesse aérodynamique va donc continuer de croître jusqu’au point A où les conditions d’équilibre seront à nouveau réunies. Lorsque la perturbation entraîne une diminution de la vitesse aérodynamique du point B, la traînée augmente conduisant à un nouveau ralentissement de la vitesse aérodynamique puisque la poussée disponible n’est pas suffisante. Dans les deux cas, on observe que le point B est instable vis à vis des perturbations sur la vitesse. Dans la pratique, le vol est réalisé au premier régime ou au voisinage du point C. On note quand même une exception : l’approche des avions lourds se fait au deuxième régime. La régulation d’approche permet de créer localement un point d’équilibre stable.

3.3.3 Conclusion À chaque position de la profondeur correspond une incidence fonction du centrage puisque l’efficacité de la profondeur est pratiquement indépendante du centrage. Le pilote est donc maître de l'incidence en jouant sur la profondeur. Il est maître de la vitesse en agissant sur la poussée.

L'équilibre étant maintenant obtenu, on peut se demander ce qui se passe si :

• le pilote modifie les valeurs du braquage de la profondeur et de la poussée, • une perturbation atmosphérique provoque une variation du vecteur vitesse (en grandeur et direction)

ou une variation, d'incidence.

La réponse à la première question concerne l'étude du pilotage. La réponse à la deuxième question concerne l'étude de la stabilité de l'équilibre qui comporte plusieurs volets suivant les conditions d’équilibre du système.

• dite stabilité statique à n=1 0=q• dite stabilité statique en manœuvre ou maniabilité cteq =

auxquels il faut adjoindre la notion de stabilité dynamique lorsqu’on analyse le mouvement autour du centre de masse.

3.4 Première approche de la réponse aux commandes Dans ce chapitre nous allons examiner, de façon très simplifiée, la modification d’un vol en palier stabilisé initial en faisant une action sur les deux gouvernes longitudinales. Pour cette analyse, nous négligerons les mouvements transitoires, même s’ils peuvent être importants, permettant de passer d’un état d’équilibre à un autre. Ces mouvements seront traités plus loin dans le cours. À l’équilibre initial en palier, la portance équilibre la pesanteur et la poussée équilibre la traînée. Pour simplifier l’écriture des équations, nous considérerons que les paramètres du vol initial ont tous l’indice 0 et que les paramètres du vol équilibré après l’action sur les commandes ont l’indice 1.

)0(2

00

)0(2

000

21

21

z

x

CSVmg

CSVF

ρ

ρ

=

=

3.4.1 Action sur la gouverne de profondeur Nous allons supposer que la poussée initiale est constante et égale à la valeur qui équilibre le vol en palier initial. Que se passe-t-il lorsque la gouverne de profondeur affiche un braquage différent de celui



correspondant à l’équilibre initial? Pour la démonstration, supposons que la variation du braquage de la gouverne de profondeur conduise à une augmentation de l’incidence par le biais de l’équilibre de l’équation de moment. Pratiquement cet accroissement de l’incidence sera créé par un moment à cabrer de l’avion induit par une variation négative du braquage de la gouverne de profondeur.

mmmCB

SlVq δρδ ∆=

2

2

&

Ces variations de l’incidence sont traduites dans les équations de mouvement par la modification des forces de portance et de traînée en présence.

z

xa

CSVmgdtdmV

FCSVmgdtdVm

2

02

21

21

ργ

ργ

−=−

+−−=

À l’instant initial, l’accroissement de l’incidence entraîne une variation positive de la pente de la trajectoire et un ralentissement de la vitesse aérodynamique dus à l’accroissement de la traînée et de la portance.

( )

( ))0()1(2

)0()1(2

2121

zz

xx

CCSVdtdmV

CCSVdtdVm

−−=−

−−=

ργ

ρ

À l’instant final, lorsque le premier membre des équations différentielles sera nul, la vitesse aérodynamique sera plus faible qu’à l’instant initial si la variation de la pente est faible en raison de l’équilibre de sustentation et la pente de la trajectoire de l’appareil sera liée à la finesse.

a

zz

ff

CVCV

γ=−

=

10

)1(2

1)0(2

0

11

Au premier régime, l’accroissement de l’incidence entraîne un accroissement de la finesse. Sur une sollicitation à cabrer, l’avion se stabilisera sur une trajectoire montante. La réponse finale de l’avion est donc du même sens que la réponse initiale. Au second régime, l’accroissement de l’incidence entraîne une diminution de la finesse. Sur une sollicitation initiale à cabrer, l’avion se stabilisera sur une trajectoire descendante. La réponse finale de l’avion est donc du sens contraire de celui de la réponse initiale. Du point de vue du pilotage, deux cas se présentent.

• Si la tâche du pilote est de maintenir la vitesse constante et qu’une action à cabrer a fait diminuer la vitesse, il lui suffit de commander une action à piquer pour retrouver la vitesse initiale quel que soit le régime de vol.

• Si la tâche du pilote est de maintenir la pente d’une trajectoire ou une altitude constante, sa réaction sera différente suivant qu’il sera au premier ou second régime. Au premier régime, l’action à cabrer fait gagner de l’altitude. Il faudra donc qu’il commande une action à piquer pour retrouver les conditions initiales. Au second régime, l’action à cabrer lui fera perdre de l’altitude. Il lui faudra donc commander une action à piquer pour retrouver l’altitude initiale. Dans ce dernier cas il faut noter qu’il devra toujours piloter en commandant une action initiale de sens contraire au résultat final escompté ce qui conduit à un accroissement de sa tâche de pilotage.

3.4.2 Action sur la poussée Nous allons supposer que l’incidence est constante et égale à la valeur qui équilibre le vol en palier initial. Que se passe-t-il lorsque la poussée est augmentée? Pour cela introduisons la nouvelle poussée dans les équations du mouvement.



)0(2

1)0(2

21

21

z

xa

CSVmgdtdmV

FCSVmgdtdVm

ργ

ργ

−=−

+−−=

À l’instant initial, l’accroissement de la poussée entraîne une accélération de l’appareil en palier

)0(2

01

210 zCSVmg

FFdtdVm

ρ−=

−=

À l’instant final, lorsque le premier membre des équations différentielles sera nul, la pente de la trajectoire de l’appareil sera liée à la variation de la poussée. Un accroissement de la poussée entraînera donc une augmentation de la pente de la trajectoire sans augmentation de la vitesse aérodynamique tant que la variation de la masse volumique de l’air sera négligeable d’après l’équation de sustentation.

amgFF γ=− 01

3.5 Stabilité statique longitudinale et manoeuvrabilité Les notions de stabilité statique longitudinale et de stabilité statique longitudinale en manœuvre ou maniabilité sont une première approche de la stabilité globale d’un vol stabilisé en négligeant l’effet de la vitesse de tangage sur les coefficients aérodynamiques ce qui revient à considérer que le mouvement de rotation l’avion autour de son centre de masse est infiniment lent. Cette hypothèse simplificatrice adaptée aux avions de transport est aussi utilisée pour les avions de combat en toute première approximation de l’étude plus général de la stabilité de l’équilibre objet du chapitre suivant.

3.5.1 Stabilité statique La stabilité statique d’un avion en équilibre en vol en palier est sa capacité à retourner naturellement à son équilibre après l’avoir quitté sous l’effet d’une perturbation initiale de l’incidence du vol. Un avion sera dit stable statique si la variation du moment de tangage induit par la perturbation d’incidence a pour effet de ramener l’avion à l’équilibre initial, c’est à dire à un moment de tangage nul, le braquage de la gouverne de profondeur n’étant pas affecté par le mouvement.

0<∂∂α

AM

D’après la définition du foyer de l’avion, la condition ci-dessus se ramène à une condition sur l’abscisse du foyer.

00 <=⇒<==∂∂

lx

CCC

lxCM F

z

mz

Fm

A

α

αααα

Ainsi, pour qu’un avion soit stable statique, il faut que le foyer soit situé en arrière du centre de masse. Dans ces conditions un accroissement de l’incidence crée une augmentation de la portance en arrière du centre de masse. Il en résulte un moment de tangage négatif (piqueur) qui a tendance à réduire l’écart d’incidence initial. Pratiquement le pilote n’a aucune action à réaliser pour assurer le retour à l’équilibre. Précédemment, nous avions remarqué que la position du centre de masse par rapport au foyer avait une influence sur le gradient de portance équilibré par rapport à l’incidence. Examinons maintenant les conséquences de ce critère de stabilité sur le braquage de la gouverne de profondeur en fonction de la vitesse aérodynamique du vol. La définition des coefficients de portance et de moment de tangage vue au §3.2 peut être réécrite en faisant intervenir la position du foyer de l’appareil et celui de la gouverne de profondeur.



mCCCC

mCl

xCl

xCC

mzzzz

mzE

zF

mm

δα

δα

δα

δα

++=

++=

0

0

L’écriture de la condition d’équilibre conduit à exprimer le braquage d’équilibre de la gouverne profondeur en fonction de la position du foyer de l’appareil et donc en fonction de sa stabilité.

( ) mzFE

zF

CxxCxmm

δ

δδ−

−= 0

Le braquage de la gouverne de profondeur varie linéairement en fonction du coefficient de portance équilibré que l’on peut transcrire immédiatement en incidence. Quant à la pente de la courbe dépend directement de la nature de la stabilité statique de l’appareil. Attention cependant à ne pas généraliser ce résultat à tous les régimes de vol notamment au passage en vol supersonique et son recul associé du foyer qui peut localement modifié l’apparence des courbes. L’introduction de la condition de sustentation permet de réécrire la relation précédente en fonction la masse de l’appareil et des conditions de vol.

( ) 202SVmg

Cxxxmm

mzFE

F

ρδδ

δ−−=

En fonction de la vitesse ou pour une pression dynamique donnée, le braquage de la gouverne de profondeur varie de façon hyperbolique pour une masse donnée. La pente de la courbe est croissante quand l’avion est stable statique et décroissante dans le cas contraire. À noter que ce tracé du braquage de la gouverne de profondeur à même altitude pour plusieurs incidence et donc vitesses est un moyen pour établir la stabilité statique d’un appareil en vol.

Démonstration De l’expression des coefficients aérodynamiques à l’équilibre, on déduit :

( ) mCl

xl

xCCl

xC mzFE

zzF

m δδ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+−+= 000

L’expression du braquage de la gouverne de profondeur en découle directement.

( ) ( ) ( ) zmzFE

F

mzFE

zF

mzFE

zFm CCxx

xmCxx

CxCxxCxlCm

δδδ

δδ−−

+=−

−−−

−= 000

L’empennage étant situé à l’arrière de l’appareil, le terme exprimant la proportionnalité du braquage vis à vis du coefficient de portance est du signe de l’abscisse du foyer par rapport au centre de gravité. Il est donc négatif quand l’avion est stable statique.



En introduisant la condition de sustentation l’expression du braquage en fonction de la vitesse aérodynamique est immédiate et sa dépendance vis à vis de la vitesse est de même nature que celle qui avait été observée vis à vis du coefficient de portance en notant que la vitesse d’équilibre en palier est d’autant plus forte que l’incidence, donc le coefficient de portance, est faible.

( ) 202SVmg

Cxxxmm

mzFE

F

ρδδ

δ−−

+=

3.5.2 Stabilité en manœuvre ou manoeuvrabilité Comme indiqué plus haut, la notion de stabilité en manœuvre est l’extension de la notion de stabilité statique aux cas de vols avec une vitesse de tangage non nulle celle du point de manœuvre dénommé usuellement H1. Par analogie avec la notion de foyer, le point de manœuvre est le point d’application de l’accroissement de portance sous l’effet d’une perturbation de l’incidence d’équilibre. En ce point, le moment de tangage est constant vis à vis de l’incidence.

lxM m

n

A1

)1(

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

>α

Pour les mêmes raisons que pour le foyer, on dira qu’un avion est stable en manœuvre si le point de manœuvre est situé en arrière du centre de masse.

3.5.2.1 Point bas d’une ressource De l'équilibre des forces au point bas de la ressource d’une boucle dans le plan vertical décrite à la vitesse angulaire, on obtient la relation entre la vitesse de tangage et le facteur de charge.

1−= ng

Vq

On dispose également d’une relation entre le facteur de charge et le coefficient de portance équilibrée.

eqCzamgSVn

2

2ρ=

Le coefficient de moment de tangage s’écrit en fonction de la vitesse et du facteur de charge.

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+++= 1

2

2

20 eqqeqmeq CzamgSV

VglCmmCmCmCmCm ρδα δα

La condition de stabilité statique sur le moment de tangage s’exprime alors sous la forme :

02

<+ ααρ Cza

mSlCmCm q

Par analogie avec le foyer, on définit le point de manœuvre, dit manche bloqué puisque le braquage de la gouverne de profondeur est supposé constant, au point bas de la ressource comme le point auquel s’applique l’accroissement de portance quand l’incidence croît.

mSlCm

lx

mSlCm

CzaCm

CzaCm

qf

qctem 22

ρρ

α

α

δ

+=+=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

Puisque le coefficient est négatif, le point de manœuvre au point bas de la ressource sera derrière le foyer de l’appareil. Il est donc plus stable au point bas de la ressource qu’en vol rectiligne.

qCm



3.5.2.2 Virage L'avion est en équilibre en vol en virage dans le plan horizontal décrit avec la vitesse angulaire Ω . L’équilibre des forces en présence vu pendant le cours de performances conduit aux relations suivantes :

( )

ngV

gVnΩ

=

Ω+=

1

22

sin

1

ϕ

Le vecteur rotation étant vertical, ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=

Ω=Ω=

nn

Vg

ngVq 1sin

2

1ϕ

Le coefficient de moment de tangage s’écrit en fonction de la vitesse et du facteur de charge.

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+++=

nn

VglCmmCmCmCmCm qeqmeq

120 δα δα

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+++=

eqeqqeqmeq CzaSV

mgCzamgSV

VglCmmCmCmCmCm 2

2

202

2 ρρδα δα

La condition de stabilité statique sur le moment de tangage s’exprime alors sous la forme :

0112 2 <⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ++ αα

ρ Czanm

SlCmCm q

Par analogie avec le foyer, on définit le point de manœuvre, dit manche bloqué puisque le braquage de la gouverne de profondeur est supposé constant, en virage comme le point auquel s’applique l’accroissement de portance quand l’incidence croît.

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ++=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

2211

211

2 nmSlCm

lx

nmSlCm

CzaCm

CzaCm

qf

qctem

ρρ

α

α

δ

En conclusion, la stabilité en virage est encore meilleure que la stabilité au point d’une ressource. Cette stabilité diminue quand l’altitude, la charge alaire et la masse augmentent et quand le coefficient d’amortissement du moment de tangage diminue. Dernier point à noter, on peut fort bien imaginer un avion instable statique mais stable en manœuvre.

3.5.2.3 Position de la gouverne de profondeur en manoeuvre En considérant toujours que les forces propulsives n’induisent pas de moment au centre de masse, l’équilibre en rotation autour du centre de masse se résume à l’équation générale

)(0 20 nkVglCmmCmCmCm qeqmeq +++= δα δα

qui peut être approchée par la relation suivante en supposant que la portance équilibrée est nulle à l’incidence nulle et que son gradient par rapport à l’incidence est proche de celui de la courbe de portance non équilibrée.

)(20 220 nkVglCmmCm

SVnmg

CzaCmCm qeqm ++

∂∂

+= δρ δ

dans laquelle :



1)( −= nnk au point bas d’une ressource

nnnk 1)( −= en virage

Le braquage de la gouverne de la gouverne de profondeur en vol rectiligne s’exprimant sous la forme :

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

−−== 20

)1(21SVmg

CzaCm

CmCmCmm

mmn ρ

δδδ

le braquage en manœuvre est lui relié par la relation suivante

( )⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

−∂∂

−=− = )(12122)1()( nk

VglCm

SVmgn

CzaCm

Cmmm q

mnn ρ

δδδ

Pour un facteur de charge supérieur à 1 et un avion statiquement stable :

• la position de la gouverne de profondeur sera donc plus à cabrer qu’en vol rectiligne uniforme.

• à même facteur de charge, le braquage de la profondeur en virage sera plus à cabrer qu’au point bas de la ressource.

L’illustration ci-contre présente l’évolution du braquage de la gouverne de profondeur en fonction du facteur de charge pour un Mach, une masse et une altitude donnée. Une autre conclusion issue de la relation ci-dessus est que le braquage diminue lorsque la vitesse augmente, alors qu’il augmente lorsque l’altitude augmente à facteur de charge donné.

Dernier point. Les avions de combat disposant d’une terme d’amortissement en tangage faible, on utilise le fait qu’alors les braquages en manœuvre sont quasiment les mêmes qu’en vol rectiligne pour tracer avec précision les courbes de braquages en virage qu’il est plus facile de maintenir qu’un vol en palier à incidence élevée. Sur les avions non pourvu de commandes de vol électriques, il existe une relation directe entre position de la gouverne de profondeur et effort au manche et la notion de braquage par g est importante. Le braquage par g est l’expression de la pente de variation du braquage de la gouverne en fonction du facteur de charge. C’est donc directement la pente des courbes tracées plus haut. Pour les avions munis de commandes de vol électriques, il n’y a plus de relation entre la position de la gouverne de profondeur et l’effort au manche. Cependant, pour que le pilote est la sensation de l’effort au manche, le système de commandes de vol restitue un effort au manche proche de celui qu’il aurait à réaliser s’il agissait directement sur le braquage de la gouverne. C’est effort est extrêmement important pour juger de la maniabilité d’un appareil puisqu’un effort trop faible conduit à des évolutions difficiles à doser. A contrario, un effort trop important rend un avion peu manoeuvrable. Sur les avions de combat, on obtient un bon compromis entre stabilité et manoeuvrabilité en simulant une marge statique de l’ordre de 5%, un peu plus pour des avions étrangers.


Philippe Guicheteau

parler du transsonique et de l’influence de q aux basses vitesses

Philippe Guicheteau

parler des avions civils et compléter les avions de combat…


4. PETITS MOUVEMENTS LONGITUDINAUX Autour d’un état d’équilibre, l’analyse de la stabilité statique n’est pas suffisante pour rendre compte du mouvement réel de l’appareil avec suffisamment de précision. D’un autre côté, l’analyse du système différentiel du mouvement longitudinal n’est pas simple puisque le système est non linéaire et que seule la simulation peut rendre fidèlement compte du comportement de l’appareil.

Pour s’affranchir de la complexité de l’analyse d’un système différentiel non linéaire dont la théorie mathématique est encore en évolution, on va approcher le système différentiel initial par un système différentiel linéaire autour des états d’équilibre. Cette simplification heureusement valide dans une grande partie du domaine de vol des avions nous ouvrira la porte de l’arsenal des outils mathématiques dévolus à l’analyse des systèmes linéaires et nous permettra ainsi d’étudier, dans des conditions réalistes, le comportement des avions dont l’équilibre est perturbé soit par des phénomènes extérieurs, soit par des actions sur les commandes.

4.1 Principe de la linéarisation Soit un système différentiel non linéaire de la forme :

( )uxfx ,=& i( 4.1 ) dans laquelle :

x est le vecteur d’état u est un vecteur de paramètre ou de commande f est un vecteur de fonctions non linéaires de classe C1

Dans un voisinage limité autour d’un point de fonctionnement défini par ( )00 ,ux nous pouvons étudier le comportement de ce système différentiel en effectuant un développement limité au premier ordre des fonctions non linéaires.

( )( ) ( )

duufdx

xfuxfx

uxux 0000 ,,00 , ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

+=&

Si, de plus, le point de fonctionnement considéré est un point d’équilibre du système c’est à dire tel que

, on obtient alors l’équation différentielle linéaire valide seulement pour des petites modifications de l’état et des paramètres du système autour du point de linéarisation.

( 00 ,0 uxf= )

( ) ( )du

ufdx

xfx

uxux 0000 ,,⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

=&

Cette simplification permet de mettre en œuvre les techniques classiques de l’automatique linéaire pour étudier la stabilité des états d’équilibre du système initial.

4.2 Stabilité des systèmes différentiels linéaires Soit un système différentiel linéaire

UBXAX .. +=& dans lequel :

X est le vecteur d’état de dimension n U est le vecteur de paramètre ou de commande de dimension m A et B sont des matrices respectivement (n,n) et (n,m)

L’étude de la stabilité du mouvement libre est réalisée en déterminant les racines de l’équation algébrique :

0)( =− nIADet λ



dans laquelle λ sont les valeurs propres de la matrice A . Les racines de l’équation sont réelles ( jλ ) ou/et imaginaires ( ) et la composante du système initial admet pour solution :

ivuj ±='λ kx

∑∑==

++=n

j

kjj

tukj

n

j

tkjk tveDeCx jj

11)sin( φλ

où dépendent des conditions initiales. ),,( kj

kj

kj DC φ

Un avantage du calcul de la matrice des valeurs propres et de la matrice des vecteurs propres est de pouvoir faire un changement de repère dans lequel le système initial se comporte comme un ensemble de sous systèmes du premier ou du deuxième ordre découplés que l’on peut étudier séparément parce que découplés.

Démonstration À la matrice des valeurs propres on associe la matrice des vecteurs propres M et on définit un nouveau vecteur d’état.

MXZ = Dans ce nouvel espace le système initial est transformé en un ensemble de systèmes découplés du premier ou du second ordre que l’on pourra traiter séparément puisque que la matrice des valeurs propres est diagonale par bloc.

[ ]ZZMAMZ λ== −1&

4.2.1 Système du premier ordre Le système est décrit sous la forme 0=− xx λ& et la solution temporelle est donnée par . texx λ

0=La stabilité du mouvement est décrite par le tableau suivant :

dans lequel on nomme :

21t le temps au bout duquel l’amplitude du mouvement a diminué de moitié

2t le temps au bout duquel l’amplitude du mouvement a doublé

À titre d’illustration, la figure ci-contre représente l’évolution système stable perturbé en fonction de la valeur de l’amortissement.

4.2.2 Système du second ordre Le système est décrit par l’équation 0=++ bxxax &&& et suivant le signe du déterminant de l’équation caractéristique son comportement est différent. Il est oscillatoire si le déterminant est négatif ou le composé de deux mouvements du premier ordre dans le cas contraire.



4.2.2.1 Deux valeurs propres conjuguées Avec cette hypothèse, le système initial peut être réécrit sous la forme :

02 2 =++ xxx ωξω &&& Les valeurs propres sont :

2

2,1

1 ξωξω

λ

−±−=

±=

i

ivu

D’où :

2

22

22

122

ξω

ππ

ξ

ω

−==

+−=

+=

vT

vuuvu

Suivant le signe deξ , le système sera stable ( )0>ξ

ou instable ( )0<ξ . À titre d’illustration, la figure ci-contre représente l’évolution système stable perturbé en fonction de la valeur de l’amortissement pour une pulsation donnée.

À partir des essais en vol, on peut calculer 21t le temps au bout duquel l’amplitude du mouvement a diminué

de moitié et 21c le nombre de cycles pour un amortissement moitié.

Ttc

ut

2121

21 693.0

=

−=

On peut ainsi exprimer l’amortissement du mouvement en fonction de ces deux grandeurs

2

21

21

22ln1

12

2ln

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

=

tTt

T

π

πξ

En négligeant le terme au carré sous le radical, on obtient alors une valeur de l’amortissement approchée par excès :

2121

11.011.0ct

T=≅ξ

4.2.2.2 Deux valeurs propres réelles Avec cette hypothèse, le système initial peut être réécrit sous la forme :

0=++ cxbx &&& Les valeurs propres sont :

24

24 2

2

2

1cbbcbb −−−

=−+−

= λλ



La stabilité est décrite par le tableau suivant.

Coefficients 0<b 0>b 0<c 1mode stable

1 mode instable 0>c 2 modes

stables 2 modes instables

4.3 Équations linéarisées du mouvement Pour établir le système différentiel linéarisé autour d’un état d’équilibre dont tous les paramètres seront indicés avec la valeur 0, on repart des équations complètes du mouvement longitudinal réécrites ici sous une forme adaptée à l’étude des petits mouvements

( )

( )

a

a

Fa

aaa

aa

VH

qB

MMq

mVF

mVZ

Vg

mF

mXgV

γ

γαθ

ϖαγγ

ϖαγ

sin

sincos

cossin

=

+==

+=

++−−=

+++−=

&

&&&

&

&

&

dans lesquelles :

xa CSVX2

2ρ−= est l’opposée de la traînée

za CSVZ2

2ρ−= est l’opposée de la portance

ma CSlVM2

2ρ= est le moment de tangage

Les variables d’état du système linéarisé sont :

α∆ La variation d’incidence autour de la valeur d’équilibre V∆ La variation de la vitesse aérodynamique autour de la valeur d’équilibre q∆ La variation de la vitesse de tangage autour de la valeur d’équilibre θ∆ La variation de l’assiette longitudinale autour de la valeur d’équilibre H∆ La variation de l‘altitude autour de la valeur d’équilibre

Les variables de commande sont :

mδ∆ Le braquage de la gouverne de profondeur autour de la valeur d’équilibre

xδ∆ La variation de la position de la manette des gaz autour de la valeur d’équilibre

xFF δ∆=∆ max On linéarise la modélisation des coefficients aérodynamiques autour du point d’équilibre sous la forme :

VlC

VqlCxCmCCHCVCCC qxmHV

αδδα αδδα&

&

∆+

∆+∆+∆+∆+∆+∆+= 0

On exprime la poussée sous la forme déjà vue dans le cours de performance dans laquelle les coefficients ( )µλ, de la nature du propulseur.



µλ

ρρ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

000 V

VFF

Enfin on rappelle, pour mémoire, la loi d’évolution de la masse volumique de l’air en fonction de l’altitude :

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−==

dHdT

Rg

TdHd

H11

0

ρρ

ρ

avec

mHmsimHsiT

H

H

20000110001057688.111000/0276632.0

4 <<−=

<−=−ρ

ρ

4.3.1 Linéarisation de l’équation de traînée Pour faire apparaître l’incidence comme variable d’état on utilise la relation géométrique entre l’assiette longitudinale, l’incidence et la pente aérodynamique.

( ) ( )ϖααθ +++−−= cossinmF

mXgV a&

La linéarisation fait apparaître les termes suivants :

( )

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∆∂

+=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛+⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

−−=∂∂

−

VC

VlC

VCavec

VV

VF

VCSVCSV

mVV

xxVx

xx

α

ϖαλρρ

α

λ

&

&

&

)0(

1

)0()0(

)0(2)0()0()0()0()0( cos

211

( ) ( )

( )

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∆∂

+=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

−+=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

−+−=∂∂

αα

α

ϖαα

ρ

ϖαα

ραθα

αα&

&

&xxx

x

x

CVlCCavec

palierenFCSVm

g

FCSVm

gV

)0()0(2

)0()0(

)0()0(2

)0()0()0()0(

sin211

sin211cos

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∆∂

+=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

−=∂∂

qC

VlC

Vl

qCavec

qC

mSlV

qV

xxqx

x

α

ρ

α&

&

&

2)0()0(

( ) palierengggVVa

a

−=−=−−=∂∂

=∂∂

)0()0()0( coscos γαθγθ

&&

( )

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∆∂

+=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛+

∂∂

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

−∂∂

−=∂∂

−

HC

VlC

HCavec

HF

HCSVCSV

HmHV

xxHx

xx

α

ϖαρρρ

ρµρρ

α

µ

&

&

&

)0(

1

00

)0(2)0()0()0(

2)0( cos

21

211



⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∆∂

+=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

−=∂∂

mxmx

m

x

m

x

m

CVlCCavec

Cm

SVV

δα

δ

δρ

δ

αδ&

&

&

2

2)0()0(

( )ϖαδ

+=∂∂

)0(max cosm

FVx

&

4.3.2 Linéarisation de l’équation de portance Pour faire apparaître l’incidence comme variable d’état on utilise la relation géométrique entre l’assiette longitudinale, l’incidence et la pente aérodynamique.

( ) ( )ϖααθα +−+−+= sincosmVF

mVZ

Vgq a&


( ) ( )

( ) palierenVV

VF

mVmVF

VCVC

mS

Vg

CmSl

VV

VF

mVmVF

VCVC

mS

Vg

CmSlV

zz

z

zz

z

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛+⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

+−−+

=

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛+⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

+−−−+

=∂∂

−

−

ϖαλρρ

ϖαλραθρ

α

λ

α

λ

α

)0(

1

)0()0(

)0(2

)0(

)0(2

)0(

)0(

1

)0()0(

)0(2

)0(

)0()0()0(2

)0(

sin21

1

sin2

cos1

1

&

&

&

( ) ( )

( ) palierenmVFC

mSV

CmSl

mVFC

mSV

Vg

CmSl

z

z

z

z

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−−

+=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−−−

+=

∂∂

ϖαρ

ρ

ϖαρ

αθραα

α

α

α

α

)0(

2)0()0(

)0()0()0(

)0()0(

cos21

1

cos2

sin1

1

&

&

&

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

+=

∂∂

zq

z

CmSl

CmSlq 2

11

1 )0(ρρ

α

α&

&

( ) palierenVg

CmSlV

g

CmSl a

zza

0sin1

1sin1

1)0()0()0( =

+−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −−

+=

∂∂

=∂∂ γραθργ

αθα

αα &&

&&

( )⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛+

∂∂

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

−∂∂

−+

=∂∂

−

ϖαρρρ

ρµρρ

ρα

µ

α

)0(

1

00

)0()0()0( sin

221

1HmV

FHC

mSV

CHm

SV

CmSlH

zz

z &

&

mz

zm

CmSV

CmSl δ

α

ρρδ

α21

1 )0()0(

&

&

+−=

∂∂

( )ϖαρδα

α

++

−=∂∂

)0(max sin

1

1mVF

CmSl

zx

&

&



4.3.3 Linéarisation de l’équation de moment

BMMq Fa +=&

Pour simplifier, on suppose qu’il n’y a pas de moment dû à la propulsion. Dans ces conditions, la linéarisation fait apparaître les termes suivants :

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∆∂

+=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

=+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

=∂∂

VC

VlC

VCavec

VC

BSlV

CBSlV

VC

BSlV

Vq

mmVm

mm

m

α

ρρρ

α&

&

&

022

2)0()0(

)0()0()0(

2)0()0(

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∆∂

+=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

=∂∂

αα

α

αρ

α

αα&

&

&mmm

m

CVlCCavec

CB

SlVq2

2)0()0(

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∆∂

+=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

=∂∂

qC

VlC

Vl

qCavec

qC

BSlV

qq

mmqm

m

α

ρ

α&

&

&

2

2)0()0(

0=∂∂

=∂∂

a

qqγθ&&

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∆∂

+=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

+=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

=∂∂

HC

VlC

HCavec

HC

BSlV

HC

BSlV

CB

SlVHH

q

mmHm

mmm

α

ρρρ

α&

&

&

20

22

2)0(

2)0(

)0(

2)0(

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∆∂

+=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

=∂∂

mmmm

m

m

m

m

m

CVlCCavec

CB

SlVq

δα

δ

δρ

δ

αδ&

&

&

2

2)0()0(

0=∂∂

x

qδ&

4.3.4 Linéarisation de l’équation cinématique q=θ&


0=∂∂Vθ&

0=∂∂αθ&

1=∂∂

qθ&



0=∂∂

=∂∂

aγθ

θθ &&

0=∂∂Hθ&

0=∂∂

mδθ&

0=∂∂

xδθ&

4.3.5 Linéarisation de la vitesse ascensionnelle Pour faire apparaître l’incidence comme variable d’état on utilise la relation géométrique entre l’assiette longitudinale, l’incidence et la pente aérodynamique.

( )αθ −= sinVH& La linéarisation fait apparaître les termes suivants :

( ) palierenVH 0sin )0()0( =−=∂∂ αθ&

( ) palierenVVVHa )0()0()0()0()0()0( coscos −=−=−−=

∂∂ γαθα

&

0=∂∂

qH&

( ) palierenVVVHHa

a)0()0()0()0()0()0( coscos ==−=

∂∂

=∂∂ γαθ

γθ

&&

0=∂∂HH&

0=∂∂

m

Hδ

&

0=∂∂

x

Hδ

&

4.3.6 Système longitudinal linéarisé Une fois toutes les manipulations effectuées, on peut enfin écrire le système longitudinal linéarisé sous sa forme générale.

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∆∆

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

+

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

∆∆∆∆∆

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

∆∆∆∆∆

x

m

m

xm

xm

q

VV

H

q

V

HH

qqq

Vq

HqV

HVV

qVV

VV

H

q

V

δδ

δ

δα

δα

δδ

θ

α

θα

α

αθαα

ααα

θα

θ

α

0000

0

000

00100

00 &

&&

&&

&&

&&&

&&&&&

&&&&&

&

&&

&

&



Système que l’on peut réarranger sous une forme plus adéquate à l’étude des petits mouvements.

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∆∆

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

∂∂

−∂∂

−

∂∂

∂∂∂∂

∂∂

∂∂

+

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

∆∆∆∆∆

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

∂∂

∂∂

∂∂

−∂∂

−∂∂

−∂∂

−∂∂

−

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

∆∆∆∆∆

x

m

xm

xm

m

xm

a

a

a

a

a

a

VV

q

H

Vq

HHHVq

HVV

VV

qVV

Vq

qqq

HVq

H

Vq

δδ

δα

δα

δδ

δ

δα

δα

γ

α

γα

αγααα

αα

γα

α

αγααα

αα

γ

α

00

0

000

1

00

&&

&&

&

&&

&&

&&&&&

&&&&&

&&&

&&&&&

&

&

&

&

&

Ce calcul des valeurs propres du système libre met généralement en évidence trois mouvements quasiment découplés dont deux modes oscillatoires et un mouvement amorti. Un mouvement oscillatoire est lent et produit un mouvement du centre de masse dans le plan vertical, l’autre est rapide et correspond à une rotation autour du centre de masse. Cette analyse globale du comportement de l’avion conduit à simplifier le système initial en faisant apparaître deux sous systèmes découplés qui vont être étudiés dans les paragraphes suivants.

4.4 Oscillation d’incidence Ce mouvement à courte période, de 0.5 à quelques secondes, est analogue à celui d’une girouette stable. Il se produit sur tous les avions stables en raison du rappel en incidence. Il ne peut être observé que si l’amortissement en tangage lié à la vitesse de tangage est suffisamment faible comme sur les avions rapides. Il peut alors être désagréable, voire dangereux, pour la structure et pour le pilote.

4.4.1 Analyse simplifiée Sous l’effet d’une perturbation de l’incidence de vol, on observe pratiquement que la pente de la trajectoire demeure quasiment constante et que le mouvement résultant est une rotation autour du centre de masse. Compte tenu de la relation géométrique liant l’assiette longitudinale, l’incidence et la pente de la trajectoire, l’équation de moment de tangage peut être réécrite sous la forme d’une équation différentielle du deuxième ordre.

022

22

=∆−∆− αραρα αmmq CB

SlVCB

VSl&&&

Cette équation indique que le mouvement sera oscillatoire amorti si l’avion est stable statique.

α

α

ρξ

ρω

m

mq

m

CC

BSll

CBSlV

−

−=

−=

22

2

L’amortissement dépend de l’altitude de vol mais est indépendant de la vitesse. Dans la réalité, on observe qu’il est faible et que la pseudo période du mouvement peut être approchée par la relation suivante :

( )αρπ

ωπ

mCSlB

VT

−=≈

222

La pseudo période du mouvement varie de façon hyperbolique en fonction de la vitesse et elle croît avec l’altitude.



4.4.2 Analyse détaillée Il s’agit ici d’analyser le sous système découplé représentatif du mouvement de rotation autour du centre de masse en considérant que le module de la vitesse aérodynamique est constant et que la pente de la trajectoire est nulle à l’équilibre.

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∆∆

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

∂∂

∂∂

∂∂

+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∆∆

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∆∆

x

m

m

xmqqqq

qq δ

δ

δ

δα

δα

α

αα

ααα

α

0&

&&

&&

&&

&

&

En raison de difficulté de mesure des termes aérodynamiques exprimant l’influence de la vitesse de variation de l’incidence et de leur faible influence sur le mouvement de l’avion à faible incidence, ces termes seront négligés. De même l’influence de la vitesse de tangage sur le coefficient de portance sera également négligée. L’analyse des petits mouvements autour de l’équilibre est donc ramenée à l’analyse des valeurs propres du système ci-dessous.

( )⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∆∆

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡+−−

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∆∆

qCB

VSlC

BSlV

mVFC

mSV

qmqm

z αρρ

ϖαρ

α

α

α

22

1cos2

)0(2

)0(2

)0()0(

)0()0()0(

&

&

Le calcul des valeurs propres du système conduit à résoudre l’équation du second degré ci-dessous.

( )

( ) 0cos222

cos22

)0()0()0()0(

2)0(

2)0()0(

)0()0()0()0(

2)0(2

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−−⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+++−+

ϖαρρρ

λϖαρρ

λ

αα

α

mVFC

mSV

CB

VSlC

BSlV

mVFC

mSV

CB

VSl

zmqm

zmq

Si on identifie cette équation à celle d’un mouvement oscillatoire, on peut en calculer les caractéristiques dans lesquelles on reconnaît les termes provenant de l’analyse simplifiée.

( )⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−−⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−= ϖα

ρρρω αα )0(

)0()0()0(2

)0(2

)0()0( cos222 mV

FCmSV

CB

VSlC

BSlV

zmqm

( )ω

ϖαρρ

ξα

2

cos22 )0(

)0()0()0(2

)0( +++−= mV

FCmSV

CB

VSlzmq

4.4.3 Pratiquement Les figures suivantes montrent l’évolution de la pseudo période et de l’amortissement de l’oscillation d’incidence extraites du calcul des valeurs propres du système discuté au §4.3.6 pour deux avions typiques; pour un avion de transport gros porteur et un avion de combat. On retrouve la forme hyperbolique de la pseudo période à iso altitude. À vitesse donnée la pseudo période croît avec l’altitude. En subsonique, la position de foyer étant fixe par rapport à l’avion, la pseudo période est indépendante de l’incidence. Toutes ces observations sont cohérentes avec ce qui avait été conclu de l’analyse simplifiée.



Pseudo période de l’oscillation d’incidence

Avion de transport gros porteur Avion de combat L’amortissement est quasiment indépendant de l’incidence mais il décroît proportionnellement avec l’accroissement de l’altitude. À noter également que ce mouvement est peu amorti; l’amortissement de l’avion de combat étant plus petit que celui de l’avion de transport dans les mêmes conditions de vol.

Amortissement de l’oscillation d’incidence

Avion de transport gros porteur Avion de combat



4.5 Oscillation phygoïde L’oscillation phygoïde est un mouvement à longue période (> 20 s) au cours duquel les mouvements de tangage de l'avion sont très lents et les couples d'inertie peuvent être négligés. Dans ce mouvement la vitesse, l’altitude et l’assiette de l’avion varient autour d’une position moyenne l'incidence et la hauteur totale variant peu. A contrario, un avion centré au foyer n'a pas de phygoïde, puisqu'il n'y a pas de tenue d'incidence.

4.5.1 Analyse simplifiée L’explication simplifiée du mouvement repose sur les notions de hauteur totale et de foyer. Le mouvement débute à partir de conditions de vol stabilisé par une perturbation de vitesse ou d'altitude. L'existence des oscillations est alors démontrée par des considérations très simples d'échange d'énergies potentielle et cinétique. Mais cet échange n'est possible, dans les conditions du calcul, que si l'incidence reste constante ce qui se trouve approximativement vérifié par l'expérience. Et l'incidence reste à peu près constante parce que consécutivement à la perturbation, la stabilité longitudinale statique provoque un rappel en incidence dont la rapidité (ordre de la seconde) est sans commune mesure avec la lenteur des échanges d'énergie. La hauteur totale étant constante, il en découle une relation liant la variation d’altitude à une variation de la vitesse aérodynamique lorsque le vent est nul

dVgVdH gpot

0

−=

D’autre part, En supposant que la variation de la masse volumique est négligeable dans le mouvement, on peut aussi établir un relation entre l’accélération verticale du mouvement et la variation de la vitesse aérodynamique.

dVg

SVCdtHd

m zgpot

02

2 ρ=

On obtient alors l’équation différentielle simplifiée du mode phygoïde dans le plan vertical.

020

20

2

2

=+ gpotgpot dH

Vg

dtHd

Nous sommes en présence d’une oscillation entretenue dont il est possible d’extraire une valeur approchée de la période du mouvement.

00 45.02 VVg

T ≈=π

Démonstration L’altitude totale étant constante en l’absence en l’absence de vent

dVgVdHcte

gVH

mgEH gpotgeomt

0

2

2−=⇒=+==

À l’équilibre initial, la portance équilibre l’effet de la pesanteur et si l’on néglige l’effet de la variation de la masse volumique en fonction de l’altitude, on obtient les relations suivantes qui permettent d’obtenir l’équation différentielle du mouvement

20

02

00

22 V

mgSCCSVmg zz =⇒= ρρ

Cette formule approchée donne un ordre de grandeur convenable de la période réelle, sauf si la régulation des moteurs a fait trop varier la poussée (cas fréquent des hélices) ou si le centrage est très arrière (basses vitesses). Elles sont inapplicables aux avions qui possèdent une voilure très travaillée (soufflages, etc.).



4.5.2 Analyse détaillée Quand on veut analyser plus finement la réponse de l’avion à une perturbation sur la vitesse et l’altitude à incidence constante, on ne peut pas dissocier le mouvement oscillatoire objet de ce présent chapitre et le mouvement amorti objet du chapitre suivant. Le système complet à traiter est de dimension 3.

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∆∆

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

∂∂

−∂∂

−

∂∂

∂∂

+⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

∆∆∆

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

∂∂

∂∂

−∂∂

−∂∂

−

∂∂

∂∂

∂∂

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

∆∆∆

x

m

xm

xm

a

a

a

a

a

VV

H

V

HHV

HVV

VV

H

V

δδ

δα

δα

δδ

γ

γ

αγααγ

γ

0000

&&

&&

&

&&&

&&&

&

&

&

L’étude de la stabilité revient au calcul des valeurs propres du système libre suivant.

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

∆∆∆

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

+−++−+

−−−

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

∆∆∆

H

V

V

tgfV

gVgtg

fVg

Vg

fVg

Vg

fVg

H

V

aH

H

a γϖαρµϖαλ

ρµλ

γ

00'

10'

22'

1'

2

0

000

000

000

&

&

&

L’équation caractéristique est alors de degré 3 de la forme :

322

13 AsAsAs +++

avec

( )

( ) ( )

( )µλρ

µρλϖαϖαρ

λ

2'

''12

'2

0

2

3

20

00

02

01

−=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

++⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

−−=

H

HH

fVgA

Vg

ftg

ftg

VggA

fVgA

( ϖα ++= 0tgCCf

x

z ) , la finesse de l’avion motorisé.

Les solutions de cette équation conduisent à deux modes différents. L’oscillation phygoïde correspond aux deus racines imaginaires conjuguées. La racine réelle correspond au mouvement amorti décrit dans le paragraphe suivant. Les caractéristiques de la phygoïde issues de l’équation précédente sont la pseudo période et l’amortissement caractérisé par la partie réelle de la solution complexe de l’équation caractéristique.

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−+−

−−≈ℜ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

≈ 222

'2)(

2

2

0

0

0

λρρ

λµ

ρ

πH

HH V

gfVgs

Vgg

T



4.5.3 Pratiquement La pseudo période du mouvement est quasiment linéaire en fonction de la vitesse comme prévu par l’analyse simplifiée du mouvement. Cette grandeur est indépendante du type de moteur installé. Les courbes se différencient en fonction de l’altitude en raison de Hρ qui est discontinue à l’altitude-pression de 11000m (cf. cours de performances)

Pseudo période de l’oscillation phygoïde

Avion de transport gros porteur Avion de combat

Partie réelle de la valeur propre associée à l’oscillation phygoïde

Avion de transport gros porteur Avion de combat Le mouvement est d’autant plus amorti que l’on utilise des moteurs dans l’ordre suivant (valeur absolue de la partie réelle de la racine croissante) : statoréacteur ( )2=λ , réacteur en supersonique, réacteur simple flux subsonique, réacteur double flux et moteur à hélice.



Il convient également de noter que l’amortissement est inversement proportionnel à la finesse et plus important à faible vitesse. Ici aussi, on retrouve la discontinuité, toute théorique, liée à la discontinuité de

Hρ .

4.6 Rappel de propulsion Ce mouvement correspond à la racine réelle de l’équation du troisième degré du paragraphe précédent dont une bonne approximation est fournie par la relation suivante :

( )

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−≈−≈

H

H

VgfV

gAAs

ρ

λµρ

00

2

31 2'

2

Ce mouvement sera d’autant plus amorti que la valeur absolue de la racine sera grande ce qui classe les différents types de propulsion dans l’ordre d’amortissement croissant suivant : Fusée ( )02 =− λµ ,

Statoréacteur, réacteur supersonique, réacteur simple flux subsonique et moteur à hélice ( )32 =− λµ .

Amortissement du rappel de propulsion

Avion de transport gros porteur Avion de combat Dans l’illustration ci-dessus, on notera que l’amortissement est beaucoup plus important pour un avion de combat que pour un avion de transport car la finesse de l’avion de combat est plus faible que celle de l’avion de transport. Toutefois, cet amortissement est très faible dans les deux cas et ce mouvement est souvent négligé.



5. Bibliographie rapide

[1] La mécanique du vol – Performances des avions et des engins, L. GEORGE, J.F.VERNET, J.C. WANNER, DUNOD 1969

Ouvrage de base, disponible maintenant uniquement en bibliothèques. [2] Dynamique du vol et pilotage des avions, J.C. WANNER, Note ONERA n° 1983-1

Ouvrage simple, mériterait une réédition. [3] Dynamics of flight, B. ETKINS, John Wiley&Sons, Inc., Dernière édition, 1971

Ouvrage de base sur les qualités de vol. [4] Introduction to Aircraft Flight Dynamics, L.V. SCHMIDT, AIAA Education Series, 1998

Le plus moderne sur les qualités de vol. [5] Modeling and Simulation of Aerospace Vehicle Dynamics, P.H. Zipfel, AIAA Education Series, 2000

Ouvrage spécialisé dans la simulation numérique mais néanmoins très complet sur beaucoup de systèmes aérospatiaux actuels.


mcanique du vol -...

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