mathematiques_psi.pdf

Ministre de lenseignement suprieur et de la recherche, 2013 http://www.enseignementsup-recherche.gouv.fr

Programmes des classes prparatoires aux Grandes Ecoles

Filire : scientifique

Voie : Physique et sciences de lingnieur (PSI)

Discipline : Mathmatiques

Seconde anne

Classe prparatoire PSIProgramme de mathmatiques

Table des matires

Objectifs de formation 2Description et prise en compte des comptences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2Unit de la formation scientifique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3Architecture et contenu du programme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4Organisation du texte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4Usage de la libert pdagogique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

Programme 6Algbre linaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

A - Complments sur les espaces vectoriels, les endomorphismes et les matrices . . . . . . . . . . . . . . 6B - Rduction des endomorphismes et des matrices carres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

Espaces prhilbertiens rels, espaces euclidiens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9A - Espaces prhilbertiens rels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9B - Isomtries et endomorphismes symtriques dun espace euclidien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

Espaces vectoriels norms de dimension finie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11Suites et sries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

A - Sries numriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12B - Suites et sries de fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13C - Sries entires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

Fonctions vectorielles, arcs paramtrs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16Intgration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17Probabilits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

A- Espaces probabiliss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19B - Variables alatoires discrtes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

Calcul diffrentiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24quations diffrentielles linaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

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Mathmatiques PSI1/26

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Le programme de mathmatiques de PSI, dans le prolongement de ceux de premire anne, sinscrit entre deuxcontinuits : en amont avec les programmes rnovs du lyce, en aval avec les enseignements dispenss dans lesgrandes coles, et plus gnralement les poursuites dtudes universitaires. Il est conu pour amener progressivementtous les tudiants au niveau requis pour poursuivre avec succs un cursus dingnieur, de chercheur, denseignant, descientifique, et aussi pour leur permettre de se former tout au long de la vie.

Objectifs de formation

La formation mathmatique en classe prparatoire scientifique vise deux objectifs : lacquisition dun solide bagage de connaissances et de mthodes permettant notamment de passer de la perception

intuitive de certaines notions leur appropriation, afin de pouvoir les utiliser un niveau suprieur, en math-matiques et dans les autres disciplines. Ce degr dappropriation suppose la matrise du cours, cest--dire desdfinitions, noncs et dmonstrations des thormes figurant au programme ;

le dveloppement de comptences utiles aux scientifiques, quils soient ingnieurs, chercheurs ou enseignants, pouridentifier les situations auxquelles ils sont confronts, dgager les meilleures stratgies pour les rsoudre, prendreavec un recul suffisant des dcisions dans un contexte complexe.

Pour rpondre cette double exigence, et en continuit avec les programmes de mathmatiques du lyce, les pro-grammes des classes prparatoires dfinissent un corpus de connaissances et de capacits, et explicitent six grandescomptences quune activit mathmatique permet de dvelopper : sengager dans une recherche, mettre en uvre des stratgies : dcouvrir une problmatique, lanalyser, la trans-

former ou la simplifier, exprimenter sur des exemples, formuler des hypothses, identifier des particularits ou desanalogies ;

modliser : extraire un problme de son contexte pour le traduire en langage mathmatique, comparer un modle la ralit, le valider, le critiquer ;

reprsenter : choisir le cadre (numrique, algbrique, gomtrique. . .) le mieux adapt pour traiter un problme oureprsenter un objet mathmatique, passer dun mode de reprsentation un autre, changer de registre ;

raisonner, argumenter : effectuer des infrences inductives et dductives, conduire une dmonstration, confirmerou infirmer une conjecture ;

calculer, utiliser le langage symbolique : manipuler des expressions contenant des symboles, organiser les dif-frentes tapes dun calcul complexe, effectuer un calcul automatisable la main ou laide dun instrument(calculatrice, logiciel. . .), contrler les rsultats ;

communiquer lcrit et loral : comprendre les noncs mathmatiques crits par dautres, rdiger une solutionrigoureuse, prsenter et dfendre un travail mathmatique.

Description et prise en compte des comptences

Sengager dans une recherche, mettre en uvre des stratgiesCette comptence vise dvelopper les attitudes de questionnement et de recherche, au travers de relles activitsmathmatiques, prenant place au sein ou en dehors de la classe. Les diffrents temps denseignement (cours, travauxdirigs, heures dinterrogation) doivent privilgier la dcouverte et lexploitation de problmatiques, la rflexion surles dmarches suivies, les hypothses formules et les mthodes de rsolution. Le professeur ne saurait limiter sonenseignement un cours dogmatique : afin de dvelopper les capacits dautonomie des tudiants, il doit les amener se poser eux-mmes des questions, prendre en compte une problmatique mathmatique, utiliser des outilslogiciels, et sappuyer sur la recherche et lexploitation, individuelle ou en quipe, de documents.Les travaux proposs aux tudiants en dehors des temps denseignement doivent combiner la rsolution dexercicesdentranement relevant de techniques bien rpertories et ltude de questions plus complexes. Poses sous forme deproblmes ouverts, elles alimentent un travail de recherche individuel ou collectif, ncessitant la mobilisation dunlarge ventail de connaissances et de capacits.

ModliserLe programme prsente des notions, mthodes et outils mathmatiques permettant de modliser ltat et lvolutionde systmes dterministes ou alatoires issus de la rencontre du rel et du contexte, et ventuellement du traitementqui en a t fait par la mcanique, la physique, la chimie, les sciences de lingnieur. Ces interprtations viennenten retour clairer les concepts fondamentaux de lanalyse, de lalgbre linaire, de la gomtrie ou des probabilits.La modlisation contribue ainsi de faon essentielle lunit de la formation scientifique et valide les approchesinterdisciplinaires. cet effet, il importe de promouvoir ltude de questions mettant en uvre des interactionsentre les diffrents champs de connaissance scientifique (mathmatiques et physique, mathmatiques et chimie,mathmatiques et sciences industrielles, mathmatiques et informatique).




ReprsenterUn objet mathmatique se prte en gnral des reprsentations issues de diffrents cadres ou registres : algbrique,gomtrique, graphique, numrique. laborer une reprsentation, changer de cadre, traduire des informations dansplusieurs registres sont des composantes de cette comptence. Ainsi, en analyse, le concept de fonction sapprhende travers diverses reprsentations (graphique, numrique, formelle) ; en algbre, un problme linaire se prte desreprsentations de nature gomtrique, matricielle ou algbrique ; un problme de probabilits peut recourir unarbre, un tableau, des ensembles. Le recours rgulier des figures ou des croquis permet de dvelopper une visiongomtrique des objets abstraits et favorise de fructueux transferts dintuition.

Raisonner, argumenterLa pratique du raisonnement est au cur de lactivit mathmatique. Bas sur llaboration de liens dductifs ouinductifs entre diffrents lments, le raisonnement mathmatique permet de produire une dmonstration, qui en est laforme aboutie et communicable. La prsentation dune dmonstration par le professeur (ou dans un document) permetaux tudiants de suivre et dvaluer lenchanement des arguments qui la composent ; la pratique de la dmonstrationleur apprend crer et exprimer eux-mmes de tels arguments. Lintrt de la construction dun objet mathmatiqueou de la dmonstration dun thorme repose sur ce quelles apportent la comprhension mme de lobjet ou duthorme : prciser une perception intuitive, analyser la porte des hypothses, clairer une situation, exploiter etrinvestir des concepts et des rsultats thoriques.

Calculer, manipuler des symboles, matriser le formalisme mathmatiqueLe calcul et la manipulation des symboles sont omniprsents dans les pratiques mathmatiques. Ils en sont descomposantes essentielles, insparables des raisonnements qui les guident ou quen sens inverse ils outillent.Mener efficacement un calcul simple fait partie des comptences attendues des tudiants. En revanche, les situationsdont la gestion manuelle ne relverait que de la technicit seront traites laide doutils de calcul formel ou numrique.La matrise des mthodes de calcul figurant au programme ncessite aussi la connaissance de leur cadre dapplication,lanticipation et le contrle des rsultats quelles permettent dobtenir.

Communiquer lcrit et loralLa phase de mise au point dun raisonnement et de rdaction dune solution permet de dvelopper les capacitsdexpression. La qualit de la rdaction et de la prsentation, la clart et la prcision des raisonnements constituent desobjectifs trs importants. La qualit de structuration des changes entre le professeur et sa classe, entre le professeuret chacun de ses tudiants, entre les tudiants eux-mmes, doit galement contribuer dvelopper des capacitsde communication (coute et expression orale) travers la formulation dune question, dune rponse, dune ide,dhypothses, largumentation de solutions ou lexpos de dmonstrations. Les travaux individuels ou en petitsgroupes proposs aux tudiants en dehors du temps denseignement, au lyce ou la maison (interrogations orales,devoirs libres, comptes rendus de travaux dirigs ou dinterrogations orales) contribuent fortement dvelopper cettecomptence. La communication utilise des moyens diversifis : les tudiants doivent tre capables de prsenter untravail clair et soign, lcrit ou loral, au tableau ou laide dun dispositif de projection.

Lintgration des comptences la formation des tudiants permet chacun deux de grer ses propres apprentissagesde manire responsable en reprant ses points forts et ses points faibles et en suivant leur volution. Les comptencesse recouvrent largement et il importe de les considrer globalement : leur acquisition doit se faire dans le cadre desituations suffisamment riches pour ncessiter la mobilisation de plusieurs dentre elles.

Unit de la formation scientifique

Il est important de mettre en valeur linteraction entre les diffrentes parties du programme, tant au niveau du cours quedes thmes des travaux proposs aux tudiants. titre dexemple, la gomtrie apparat comme un champ dutilisationdes concepts dvelopps en algbre linaire et euclidienne ; les probabilits utilisent le vocabulaire ensembliste etillustrent certains rsultats danalyse.Percevoir la globalit et la complexit du monde rel exige le croisement des regards disciplinaires. Ainsi, les ma-thmatiques interagissent avec des champs de connaissances partags par dautres disciplines. Aussi le programmevalorise-t-il linterprtation des concepts de lanalyse, de lalgbre linaire, de la gomtrie et des probabilits en termesde paramtres modlisant ltat et lvolution de systmes mcaniques, physiques ou chimiques (mouvement, vitesseet acclration, signaux continus ou discrets, mesure de grandeurs, incertitudes. . .).La coopration des enseignants dune mme classe ou dune mme discipline et, plus largement, celle de lensembledes enseignants dun cursus donn, doit contribuer de faon efficace et cohrente la qualit de ces interactions.Il importe aussi que le contenu culturel et historique des mathmatiques ne soit pas sacrifi au profit de la seuletechnicit. En particulier, il peut savrer pertinent danalyser linteraction entre un contexte historique et social donn,une problmatique spcifique et la construction, pour la rsoudre, doutils mathmatiques.




Architecture et contenu du programme

Ltude de chaque domaine du programme (analyse, algbre, probabilits) permet de dvelopper des aptitudes auraisonnement et la modlisation, et dtablir des liens avec les autres disciplines.Afin de contribuer au dveloppement des comptences de modlisation et de reprsentation, le programme prconisele recours des figures gomtriques pour aborder lalgbre linaire, les espaces euclidiens, les fonctions dune ouplusieurs variables relles, les fonctions vectorielles.

Le programme dalgbre comprend deux volets. Le premier prolonge ltude de lalgbre linaire aborde en premireanne et aboutit la thorie de la rduction dont il dveloppe quelques applications. Le second, consacr aux espacesprhilbertiens rels et lalgbre euclidienne, met laccent sur les relations entre les points de vue vectoriel, matricielet gomtrique, notamment travers une tude spcifique aux dimensions deux et trois, et lnonc du thormespectral.Le vocabulaire sur les structures algbriques est introduit au fur et mesure des besoins.

Le programme danalyse est introduit par un chapitre de topologie des espaces vectoriels norms. Celui-ci sattache dvelopper et illustrer les notions gnrales dans le cadre de la dimension finie avant daborder celui des espacesfonctionnels. Lintroduction des normes de la convergence uniforme, en moyenne ou en moyenne quadratique pose lecadre topologique de ltude des suites et sries de fonctions, qui aboutit aux thormes classiques de rgularit etdinterversion. Cette tude bnficie de lintroduction de nouveaux outils relatifs aux sries numriques, permettant decomplter lapproche qui en a t faite en premire anne.Le chapitre sur les sries entires permet de construire des fonctions de variable complexe et de fournir un outil pour larsolution dquations diffrentielles linaires.La gnralisation aux fonctions valeurs dans Rn des rsultats danalyse relle tudis en premire anne fournit, avecune tude modeste des arcs paramtrs, une nouvelle occasion de relier les registres analytique et gomtrique.Ltude de lintgration, entame en premire anne dans le cadre des fonctions continues sur un segment, se pour-suit dans celui des fonctions continues par morceaux sur un intervalle quelconque. Lintgrale gnralise est unintermdiaire lintroduction de la notion de fonction intgrable, qui permet dnoncer les thormes classiques surlintgration des suites et sries de fonctions et sur les intgrales paramtre.Le chapitre relatif au calcul diffrentiel plusieurs variables est limit au cas des fonctions numriques de deuxou trois variables relles. Il fournit des mthodes et des outils oprationnels pour rsoudre des problmes pouvanttre issus dautres disciplines scientifiques (recherche dextremums, quations aux drives partielles). Il comporteun paragraphe prsentant les premires notions de gomtrie diffrentielle et favorise ainsi les interprtations etvisualisations gomtriques.Ltude des quations et des systmes diffrentiels est limite au cas linaire, dont les interventions sont frquentestant en mathmatiques que dans les autres disciplines scientifiques. Lutilisation dans ce cadre du thorme de Cauchypermet dtablir la structure de lensemble des solutions, illustrant la pertinence des outils de lalgbre linaire pourrsoudre des problmes dorigine analytique. Le cas particulier o les coefficients sont constants permet de mettre enuvre des techniques de rduction matricielle.

Lenseignement des probabilits prsente brivement le formalisme de Kolmogorov, qui sera repris dans le cursusultrieur des tudiants. Son objectif majeur est ltude des variables alatoires discrtes, en prolongement des variablesfinies tudies en premire anne, ce qui permet dlargir aux processus stochastiques temps discret le champ dessituations relles se prtant une modlisation probabiliste.La loi faible des grands nombres permet de justifier a posteriori lapproche frquentiste dune probabilit pour unschma de Bernoulli, dj voque dans le cursus antrieur des tudiants. Lingalit qui la sous-tend prcise la vitessede convergence de cette approximation et valide linterprtation de la variance comme indicateur de dispersion.Ce chapitre a vocation interagir avec le reste du programme.

Organisation du texte

Les programmes dfinissent les objectifs de lenseignement et dcrivent les connaissances et les capacits exigibles destudiants ; ils prcisent aussi certains points de terminologie et certaines notations. Ils fixent clairement les limites respecter tant au niveau de lenseignement qu celui des preuves dvaluation, y compris par les oprateurs deconcours.Le programme est dclin en chapitres. Chaque chapitre comporte un bandeau dfinissant les objectifs essentiels etdlimitant le cadre dtude des notions qui lui sont relatives et un texte prsent en deux colonnes : gauche figurentles contenus du programme (connaissances et mthodes) ; droite un commentaire indique les capacits exigibles destudiants, prcise quelques notations ainsi que le sens ou les limites donner certaines questions. Dans le cadre desa libert pdagogique et dans le respect de la cohrence de la formation globale, le professeur dcide de lorganisationde son enseignement et du choix de ses mthodes.




En particulier, lordre de prsentation des diffrents chapitres ne doit pas tre interprt comme un modle deprogression. Parmi les connaissances (dfinitions, notations, noncs, dmonstrations, mthodes, algorithmes. . .) etles capacits de mobilisation de ces connaissances, le texte du programme dlimite trois catgories : celles qui sont exigibles des tudiants : il sagit de lensemble des points figurant dans la colonne de gauche des

diffrents chapitres ; celles qui sont indiques dans les bandeaux et la colonne de droite comme tant hors programme . Elles ne doivent

pas tre traites et ne peuvent faire lobjet daucune preuve dvaluation ; celles qui relvent dactivits possibles ou souhaitables, mais qui ne sont pas exigibles des tudiants. Il sagit des

activits proposes pour illustrer les diffrentes notions du programme (visualisations laide de loutil informatique,activits en lien avec les autres disciplines).

Pour les dmonstrations des thormes dont lnonc figure au programme et qui sont repres dans la colonne dedroite par la locution dmonstration non exigible , le professeur est libre dapprcier, selon le cas, sil est souhaitablede dmontrer en dtail le rsultat considr, dindiquer seulement lide de sa dmonstration, ou de ladmettre.Afin de faciliter lorganisation du travail des tudiants et de montrer lintrt des notions tudies, il convient denaborder lenseignement en coordination avec les autres disciplines scientifiques.Les liens avec les disciplines scientifiques et technologiques sont identifis par le symbole PC pour la physique et lachimie, SI pour les sciences industrielles de lingnieur et I pour linformatique.

Usage de la libert pdagogique

Dans le cadre de la libert pdagogique qui lui est reconnue par la loi, le professeur choisit ses mthodes, sa progression,ses problmatiques. Il peut organiser son enseignement en respectant deux grands principes directeurs : pdagogue, il privilgie la mise en activit des tudiants en vitant tout dogmatisme : lacquisition des connaissances

et des capacits est en effet dautant plus efficace que les tudiants sont acteurs de leur formation. Quel que soitle contexte (cours, travaux dirigs), la pdagogie mise en uvre dveloppe la participation, la prise dinitiative etlautonomie des tudiants ;

didacticien, il choisit le contexte favorable lacquisition des connaissances et au dveloppement des comptences.La mise en perspective dune problmatique avec lhistoire des socits, des sciences et des techniques, mais aussides questions dactualit ou des dbats dides, permet de motiver son enseignement.




Programme

Algbre linaire

Dans toute cette partie, K dsigne R ou C.

A - Complments sur les espaces vectoriels, les endomorphismes et les matrices

Le programme est organis autour de trois objectifs : consolider les acquis de la classe de premire anne ; tudier de nouveaux concepts : somme de plusieurs sous-espaces vectoriels, sous-espaces stables, polynmes de matrices,

trace, formes linaires, hyperplans ; passer du point de vue gomtrique au point de vue matriciel et inversement.Le programme valorise les interprtations gomtriques et prconise lillustration des notions et des rsultats par denombreuses figures.

CONTENUS CAPACITS & COMMENTAIRES

a) Produit et somme despaces vectoriels

Produit dun nombre fini despaces vectoriels ; dimensiondans le cas o ces espaces sont de dimension finie.Somme, somme directe dune famille finie de sous-espaces vectoriels ; sous-espaces supplmentaires.Base dun espace vectoriel E de dimension finie adapte un sous-espace vectoriel F de E ; base dun espace vec-toriel E de dimension finie adapte une dcompositionen somme directe E =Ei .

Dcomposition en somme directe obtenue par fraction-nement dune base.

Si F1, . . . ,Fp sont des sous-espaces de dimension finie,alors :

dim( p

i=1Fi

)

pi=1

dim(Fi )

avec galit si et seulement si la somme est directe.Si E1, . . . ,Ep sont des sous-espaces vectoriels de E tels que

E =p

i=1Ei et si ui L (Ei ,F ) pour tout i , alors il existe une

unique application u L (E ,F ) telle que u|Ei = ui pourtout i .

b) Matrices et endomorphismes

Polynme dune matrice carre, dun endomorphisme.Polynme annulateur.

Applications au calcul de linverse et des puissances.

Matrices dfinies par blocs, oprations.Sous-espace vectoriel stable par un endomorphisme, en-domorphisme induit.

Les tudiants doivent savoir traduire matriciellementla stabilit dun sous-espace vectoriel par un endomor-phisme et interprter en termes dendomorphismes unematrice triangulaire ou diagonale par blocs.

Si f et g commutent alors le noyau et limage de f sontstables par g .Matrices semblables. Interprtation en termes dendo-morphisme.

La notion de matrices quivalentes est hors programme.

Trace dune matrice carre. Linarit, trace dune trans-pose, dun produit.Invariance de la trace par similitude. Trace dun endo-morphisme dun espace de dimension finie.





c) Dterminants

Exemples de dterminants. Les tudiants doivent savoir calculer le dterminantdune matrice triangulaire par blocs, et connatre lex-pression dun dterminant de Vandermonde. I : calcul dun dterminant.

d) Formes linaires et hyperplans en dimension finie

Formes linaires sur unK-espace vectoriel E de dimen-sion finie.

Ltude de la dualit est hors programme.

Hyperplan dunK-espace vectoriel de dimension finie n. Les tudiants doivent savoir caractriser un hyperplancomme noyau dune forme linaire non nulle, suppl-mentaire dune droite, sous-espace de dimension n 1.

quations dun hyperplan dans une base. Deux quations linaires dfinissent le mme hyperplansi et seulement si elles sont proportionnelles.

Exemples des droites et des plans en dimensions 2 et 3.

B - Rduction des endomorphismes et des matrices carres

La rduction des endomorphismes et des matrices carres permet dapprofondir les notions tudies en premire anne.Elle sera applique ltude des isomtries et des endomorphismes symtriques dun espace euclidien. Il est attendu destudiants quils matrisent les deux points de vue suivants : laspect gomtrique (sous-espaces propres, sous-espaces stables) ; laspect algbrique (critres de rduction reposant sur les polynmes annulateurs).Lapplication des rsultats de la rduction la recherche des solutions dune rcurrence linaire coefficients constantscre un nouveau pont entre lalgbre et lanalyse et anticipe ltude des quations diffrentielles linaires dont la rsolutionrepose sur des outils similaires.Ltude des classes de similitude est hors programme ainsi que la notion de polynme minimal.


a) lments propres

Droite stable par un endomorphisme.Valeur propre, vecteur propre, sous-espace propre dunendomorphisme, dune matrice carre.

Les tudiants doivent savoir que si u et v commutent, lessous-espaces propres de u sont stables par v .

Spectre dun endomorphisme en dimension finie, dunematrice carre.

Notation Sp(u). La notion de valeur spectrale est horsprogramme. SI : matrice dinductance : inductance cyclique et in-ductance homopolaire.

Les sous-espaces propres sont en somme directe.Polynme caractristique dune matrice, dun endomor-phisme.

Par convention le polynme caractristique est unitaire.Notations A , u .

Les valeurs propres sont les racines du polynme carac-tristique.Expressions du dterminant et de la trace en fonction desvaleurs propres dans le cas o le polynme caractris-tique est scind.Multiplicit dune valeur propre. Majoration de la dimen-sion dun sous-espace propre.Polynme caractristique dun endomorphisme induitsur un sous-espace stable.





b) Diagonalisation

Un endomorphisme est dit diagonalisable sil existe unebase dans laquelle sa matrice est diagonale.Une matrice est dite diagonalisable si elle est semblable une matrice diagonale.Un endomorphisme est diagonalisable si et seulement sila somme des dimensions de ses sous-espaces propresest gale la dimension de lespace.Un endomorphisme est diagonalisable si et seulementsi son polynme caractristique est scind sur le corpsde base K et si, pour toute valeur propre, la dimensiondu sous-espace propre associ est gale sa multiplicitdans le polynme caractristique.Un endomorphisme dun espace vectoriel de dimen-sion n admettant n valeurs propres distinctes est dia-gonalisable.

Interprtation matricielle de ces rsultats.

Calcul des puissances dune matrice diagonalisable.Application la rsolution des rcurrences linaires coefficients constants.

Les tudiants doivent savoir traduire matriciellement unerelation de rcurrence linaire.

c) Diagonalisation et polynmes annulateurs

Thorme de Cayley-Hamilton. Dmonstration non exigible.Un endomorphisme de E est diagonalisable si et seule-ment sil admet un polynme annulateur scind racinessimples.

Dmonstration non exigible.Interprtation matricielle de ce rsultat.Le thorme de dcomposition des noyaux est hors pro-gramme.

Un endomorphisme u est diagonalisable si et seulementsil admet

Sp(u)

(X ) pour polynme annulateur.Lendomorphisme induit par un endomorphisme diago-nalisable sur un sous-espace vectoriel stable est diagona-lisable.

d) Trigonalisation

Un endomorphisme est dit trigonalisable sil existe unebase dans laquelle sa matrice est triangulaire suprieure.Une matrice est dite trigonalisable si elle est semblable une matrice triangulaire suprieure.Un endomorphisme est trigonalisable si et seulement sison polynme caractristique est scind sur le corpsK.

Dmonstration non exigible.Interprtation matricielle de ce rsultat.

En particulier, toute matrice de Mn(C) est trigonalisable. La technique gnrale de trigonalisation nest pas au pro-gramme. On se limite dans la pratique des exemplessimples en petite dimension et tout exercice de trigonali-sation effective doit comporter une indication. I : calcul de la valeur propre de plus grand module laide du quotient des traces de deux puissances itresconscutives.




Espaces prhilbertiens rels, espaces euclidiens

Lobjectif de ce chapitre est triple : gnraliser les outils de gomtrie vectorielle euclidienne du plan et de lespace des dimensions quelconques ; tudier les isomtries vectorielles et les matrices orthogonales, notamment dans le cas des dimensions 2 et 3 en insistant

sur les reprsentations gomtriques ; aborder la rduction des endomorphismes symtriques et des matrices symtriques relles.

A - Espaces prhilbertiens rels

Lobjectif majeur est le thorme de projection orthogonale et lexistence de la meilleure approximation quadratique. Onsappuie sur des exemples de gomtrie du plan et de lespace pour illustrer les diffrentes notions.


a) Produit scalaire et norme associe

Espace prhilbertien rel, espace euclidien. Notations x, y, (x|y), x y .Les tudiants doivent savoir manipuler les identits re-marquables sur les normes (dveloppement de u v2,identit de polarisation).

Exemples de rfrence : produit scalaire euclidien cano-nique sur Rn , produit scalaire sur Mn(R), produits sca-laires dfinis par une intgrale sur C 0([a,b],R).

Application gomtrique dans le cas du produit scalaireusuel du plan ou de lespace, quations de plans et dedroites.

Ingalit de Cauchy-Schwarz. Cas dgalit.Norme associe au produit scalaire. Cas dgalit dans lingalit triangulaire.

b) Orthogonalit

Vecteurs orthogonaux, sous-espaces orthogonaux, ortho-gonal dun sous-espace vectoriel.Famille orthogonale, orthonormale (ou orthonorme).Toute famille orthogonale de vecteurs non nuls est libre.Thorme de Pythagore.Algorithme dorthonormalisation de Gram-Schmidt. I : calcul dune base orthonorme de polynmes pour

diffrents exemples de produit scalaire. I : dcomposition QR dune matrice inversible.

c) Bases orthonormales dun espace euclidien

Existence de bases orthonormales.Coordonnes dun vecteur dans une base orthonormale.Expressions du produit scalaire et de la norme dans unebase orthonormale.

Expression X TY du produit scalaire de deux vecteurs x ety de coordonnes X et Y dans une base orthonormale.Les tudiants doivent savoir calculer au moyen du pro-duit scalaire les coefficients de la matrice dun endomor-phisme dans une base orthonormale.

d) Projection orthogonale sur un sous-espace de dimension finie

Supplmentaire orthogonal dun sous-espace V de di-mension finie.

Notation V .

Projection orthogonale pV sur un sous-espace V de di-mension finie.

Les tudiants doivent savoir dterminer pV (x) en calcu-lant son expression dans une base orthonormale de V ouen rsolvant un systme linaire traduisant lorthogona-lit de x pV (x) aux vecteurs dune famille gnratricede V .I : programmation de ces mthodes.

Ingalit de Bessel : pour tout x E , pV (x) x.





pV (x) est lunique vecteur y0 de V tel que

x y0 = minyV

x y

La distance de x V , note d(x,V ), est gale ce mini-mum.Application gomtrique des calculs de distances dansle plan ou lespace.

e) Formes linaires sur un espace euclidien

Reprsentation dune forme linaire laide dun produitscalaire.Vecteur normal un hyperplan. Les tudiants doivent savoir calculer la distance dun vec-

teur un hyperplan, la distance dun vecteur une droite.

B - Isomtries et endomorphismes symtriques dun espace euclidien

Les objectifs de cette partie sont les suivants : tablir les liens entre les registres gomtrique et matriciel en dimension quelconque ; dcrire les isomtries et les matrices orthogonales en dimensions deux et trois ; noncer les formes gomtrique et matricielle du thorme spectral.La notion dadjoint est hors programme.


a) Isomtries vectorielles dun espace euclidien

Un endomorphisme dun espace euclidien E est une iso-mtrie vectorielle sil conserve la norme.

Autre dnomination : automorphisme orthogonal.

Caractrisations par la conservation du produit scalaire,par limage dune base orthonormale.Groupe orthogonal. Notation O(E).Stabilit de lorthogonal dun sous-espace stable.

b) Matrices orthogonales

Une matrice de Mn(R) est dite orthogonale si lendomor-phisme de Rn qui lui est canoniquement associ est uneisomtrie vectorielle.

Caractrisation comme matrice de changement de baseorthonormale.

Caractrisation par lune des relations M M T = In ouM TM = In .

Interprtation en termes de colonnes et de lignes.

Caractrisation dune isomtrie vectorielle laide de samatrice dans une base orthonormale.Groupe orthogonal dordre n. Notations On(R), O(n).Dterminant dune matrice orthogonale. Groupe spcialorthogonal.

Notations SOn(R), SO(n).

c) Espace euclidien orient de dimension 2 ou 3

Orientation. Bases orthonormales directes.Dterminant dune famille de vecteurs dans une baseorthonormale directe : produit mixte.

Notations [ #u , #v ], [ #u , #v , #w ].Interprtation gomtrique comme aire ou volume.

Produit vectoriel. Calcul dans une base orthonormaledirecte.

PC : moment cintique, force de Laplace.

Orientation dun plan ou dune droite dans un espaceeuclidien orient de dimension 3.

d) Isomtries vectorielles dun plan euclidien

Dtermination des matrices de O2(R), de SO2(R). Commutativit de SO2(R).





Mesure de langle dune rotation dun plan euclidienorient.

criture complexe dune rotation.

Produit de deux matrices de rotation. Compose de deuxrotations dun plan euclidien.Classification des isomtries vectorielles dun plan eucli-dien.

e) Isomtries dun espace euclidien de dimension 3

Rduction en base orthonormale dune isomtrie vecto-rielle dun espace euclidien de dimension 3.

Interprtation matricielle.

Dans un espace euclidien orient de dimension 3, axe etmesure de langle dune rotation.

f ) Rduction des endomorphismes symtriques et des matrices symtriques relles

Endomorphisme symtrique dun espace euclidien.Si B est une base orthonormale de E et u un endomor-phisme de E , alors u est symtrique si et seulement siMatB(u) est symtrique.Thorme spectral : tout endomorphisme symtriquedun espace euclidien admet une base orthonormale devecteurs propres.

Dmonstration non exigible.

Interprtation matricielle : pour toute matrice symtriquerelle A, il existe une matrice diagonale relle D et unematrice orthogonale P telles que A = PDP1.

Espaces vectoriels norms de dimension finie

Ce chapitre vise les objectifs suivants : gnraliser au cas des espaces vectoriels de dimension finie surK=R ou C certaines notions (convergence de suites,

limite et continuit de fonctions) tudies en premire anne dans le cadre de lanalyse relle, indispensables pouraborder ltude des suites de matrices, des fonctions valeurs vectorielles et du calcul diffrentiel ;

prparer lintroduction de la norme de la convergence uniforme, afin de fournir un cadre topologique la convergencedes suites et sries de fonctions.

Laspect gomtrique de certains concepts topologiques gagne tre illustr par de nombreuses figures.


a) Normes

Norme sur un espace vectoriel rel ou complexe ; espacevectoriel norm.

Normes usuelles surKp .

Distance associe une norme.Boule ouverte, boule ferme, sphre.Partie convexe. Convexit des boules.Partie borne, suite borne, fonction borne.

b) Suites dun espace vectoriel norm de dimension finie

Convergence dune suite. Exemples de suites de matrices.Une suite convergente est borne.Toute suite extraite dune suite convergente est conver-gente.La convergence dune suite et la valeur de sa limite nedpendent pas du choix de la norme.

Rsultat admis, qui pourra tre illustr sur les normesusuelles dfinies surKp .





Ltude de la convergence dune suite se ramne cellede ses coordonnes dans une base.

c) Topologie dun espace vectoriel norm de dimension finie

Ltude topologique dun espace vectoriel norm de di-mension finie se ramne celle deKp muni dune norme.

Rsultat admis.

Point intrieur une partie. Partie ouverte. Une boule ouverte est un ouvert.Point adhrent une partie. Partie ferme. Caractrisation squentielle.

Une boule ferme, une sphre sont des ferms.Intrieur, adhrence, frontire. Ces notions sont illustres par des figures. Seules les dfi-

nitions sont au programme.

e) Limite et continuit en un point.

Limite dune fonction en un point adhrent son do-maine de dfinition.Caractrisation squentielle de la limite.quivalence entre lexistence dune limite et celle deslimites des coordonnes de la fonction dans une base delespace darrive.Oprations algbriques sur les limites, composition.Continuit en un point. Lien avec la continuit des coor-donnes.

f ) Continuit sur une partie

Oprations algbriques, composition. Si f est une application continue de E dans R alors len-semble dfini par f (x) > 0 est un ouvert et les ensemblesdfinis par f (x) = 0 ou f (x) 0 sont des ferms.

Toute fonction relle continue sur une partie ferme bor-ne est borne et atteint ses bornes.


Fonction lipschitzienne. Toute fonction lipschitzienne estcontinue.Toute application linaire sur un espace de dimensionfinie est lipschitzienne.

La notion de norme subordonne est hors programme.

Continuit des applications multilinaires et polyno-miales surKn .

Exemple du dterminant.

Suites et sries

A - Sries numriques

Cette partie a pour objectif de consolider et dlargir les acquis de premire anne sur les sries, notamment la convergenceabsolue, en vue de ltude des probabilits discrtes et des sries de fonctions.La semi-convergence nest pas un objectif du programme.


a) Complments sur les sries valeurs relles

Thorme de comparaison entre une srie et une int-grale : si f est une fonction continue par morceaux sur[0,+[, positive et dcroissante, alors la srie f (n)converge si et seulement si f est intgrable sur [0,+[.Formule de Stirling : quivalent de n!. Dmonstration non exigible.Rgle de dAlembert.





Thorme spcial des sries alternes, majoration etsigne du reste.

La transformation dAbel est hors programme.

b) Produit de Cauchy de deux sries

Le produit de Cauchy de deux sries

un et

vn denombres complexes est la srie

wn avec :

wn =

p+q=nuq vp .

Si les sries

un et

vn sont absolument convergentesalors la srie

wn lest aussi et

+n=0

wn =( +

p=0up

)( +q=0

vq).


B - Suites et sries de fonctions

Lobjectif de ce chapitre est de dfinir diffrents modes de convergence dune suite ou dune srie de fonctions et dtudierla stabilit des proprits de ces fonctions par passage la limite. En prolongement du chapitre sur les espaces vectorielsnorms de dimension finie, un lien est tabli avec lutilisation de la norme de la convergence uniforme.Les fonctions sont dfinies sur un intervalle I de R et valeurs dans R ou C.


a) Modes de convergence dune suite ou dune srie de fonctions

Convergence simple, convergence uniforme dune suitede fonctions.La convergence uniforme entrane la convergencesimple.Norme de la convergence uniforme sur lespace des fonc-tions bornes valeurs dans R ou C.Convergence simple, convergence uniforme, conver-gence normale dune srie de fonctions.

Pour tablir la convergence normale de

fn , les tu-diants doivent savoir utiliser une srie numrique conver-gente

n majorante, cest--dire telle que pour tout n,

fn n .La convergence normale entrane la convergence uni-forme.

b) Rgularit de la limite dune suite de fonctions

Continuit de la limite dune suite de fonctions : si ( fn)converge uniformment vers f sur I et si, pour tout n, fnest continue sur I , alors f est continue sur I .

Adaptation au cas o la convergence est uniforme surtout segment de I .

Thorme de la double limite : soit ( fn) une suite de fonc-tions convergeant uniformment vers f sur I et a uneextrmit de I (ventuellement infinie) ; si, pour tout n,fn admet une limite `n en a, alors la suite (`n) admet unelimite `, f admet une limite en a et cette limite est gale `.

Dmonstration hors programme.

Interversion limite-intgrale : si une suite ( fn) de fonc-tions continues converge uniformment vers f sur [a,b]alors b

alim

n+ fn(t )dt = limn+ b

afn(t )dt .





Drivabilit de la limite dune suite de fonctions : si ( fn)est une suite de fonctions de classe C 1 sur I qui convergesimplement sur I vers f et telle que la suite ( f n) convergeuniformment sur I vers h, alors f est de classe C 1 sur Iet f = h.


Extension aux fonctions de classe C k . Les tudiants peuvent appliquer directement le thormeconcluant au caractre C k de la limite sous lhypothse

de convergence simple des ( f ( j )n ) pour 0 j k 1 et deconvergence uniforme de ( f (k)n ) sur tout segment de I .

c) Rgularit de la somme dune srie de fonctions

Continuit de la somme : si la srie

fn converge uni-formment sur I et si, pour tout n, fn est continue sur I ,

alors sa somme+n=0

fn est continue sur I .


Thorme de la double limite : soit ( fn) une suite de fonc-tions dfinies sur I et a une extrmit de I (ventuelle-ment infinie) ; si la srie

fn converge uniformment

sur I , de somme S, et si, pour tout n, fn admet une li-mite `n en a alors la srie

`n converge, la fonction S

admet une limite en a et :

+n=0

fn(x) xa

+n=0

`n .


Intgration terme terme dune srie de fonctions : soit( fn) une suite de fonctions continues sur [a,b] ; si la srie

fn converge uniformment sur [a,b] alors la srie desintgrales est convergente et on a : b

a

+n=0

fn(t )dt =+n=0

ba

fn(t )dt .

Drivation terme terme dune srie de fonctions : soit( fn) une suite de fonctions de classe C 1 sur I ; si la s-rie

fn converge simplement sur I et si la srie

f n

converge uniformment sur I , alors la somme+n=0

fn est

de classe C 1 sur I et sa drive est+n=0

f n .

Adaptation au cas o la convergence est uniforme surtout segment de I .Extension aux fonctions de classe C k : les tudiantspeuvent appliquer directement le thorme concluant aucaractre C k de la somme.




C - Sries entires

Les objectifs de ce chapitre sont les suivants : tudier la convergence dune srie entire de variable complexe et mettre en vidence la notion de rayon de convergence ; tudier les proprits de sa somme en se limitant la continuit dans le cas dune variable complexe ; tablir les dveloppements en srie entire des fonctions usuelles.La thorie des sries entires sera applique au cas des sries gnratrices dans le chapitre ddi aux variables alatoiresdiscrtes et la recherche de solutions dquations diffrentielles linaires.


a) Rayon de convergence

Lemme dAbel : si la suite(an zn0

)est borne alors, pour

tout nombre complexe z tel que |z| < |z0|, la srie

an zn

est absolument convergente.Rayon de convergence R dfini comme borne suprieuredans R de lensemble des rels positifs tels que la suite(ann) est borne.

Pour |z| < R, la srie an zn converge absolument.Disque ouvert de convergence, intervalle de convergence.Si Ra est le rayon de convergence de

an z

n , et Rb celuide

bn z

n , alors :si an =O(bn), alors Ra Rb ;si an bn , alors Ra = Rb .

Les sries entires

an zn et

nan z

n ont mme rayonde convergence.Utilisation de la rgle de dAlembert.Rayon de convergence de la somme et du produit deCauchy de deux sries entires.

b) Rgularit de la somme

Convergence normale dune srie entire dune variablerelle sur tout segment inclus dans lintervalle ouvert deconvergence.Continuit de la somme sur lintervalle ouvert de conver-gence.

On admet la continuit de la somme dune srie entiredune variable complexe sur le disque ouvert de conver-gence.Ltude des proprits de la somme au bord de lintervalleou du disque de convergence nest pas un objectif duprogramme.

Primitivation dune srie entire dune variable relle surlintervalle ouvert de convergence.Caractre C de la somme dune srie entire dune va-riable relle sur lintervalle ouvert de convergence et ob-tention des drives par drivation terme terme.Expression des coefficients dune srie entire au moyendes drives successives en 0 de sa somme.

c) Dveloppement en srie entire au voisinage de 0 dune fonction dune variable relle

Fonction dveloppable en srie entire sur un intervalle]r,r [.Srie de Taylor dune fonction de classe C .Unicit du dveloppement en srie entire.





Dveloppements des fonctions usuelles. Les tudiants doivent connatre les dveloppements ensrie entire des fonctions : exponentielle, cosinus, sinus,cosinus et sinus hyperboliques, x 7 Arctanx, x 7 ln(1+x)et x 7 (1+x).Les tudiants doivent savoir dvelopper une fonction ensrie entire laide dune quation diffrentielle linaire.

d) Sries gomtrique et exponentielle dune variable complexe

Dveloppement de1

1 z sur le disque unit ouvert.Dveloppement de exp(z) sur C

Fonctions vectorielles, arcs paramtrs

Lobjectif de ce chapitre est double : gnraliser aux fonctions valeurs dans Rn la notion de drive dune fonction numrique, en vue notamment de

prparer le chapitre sur les quations diffrentielles ; formaliser des notions gomtriques (arc paramtr, tangente) et cinmatiques (vitesse, acclration) rencontres dans

dautres disciplines scientifiques.Toutes les fonctions sont dfinies sur un intervalle I de R et valeurs dans Rn .


a) Drivabilit et oprations sur les fonctions drivables

Drivabilit en un point.Drivabilit sur un intervalle.

Taux daccroissement et dveloppement limit dordreun.Interprtations gomtrique et cinmatique. PC, SI : vecteur vitesse.

Combinaison linaire de fonctions drivables.Drive de L f , B( f , g ), f o f et g sont drivableset valeurs vectorielles, L est linaire, B est bilinaire, est drivable et valeurs relles.

Application au produit scalaire et au dterminant dansune base de R2 de deux fonctions vectorielles.

b) Fonctions de classe C k

Fonction de classe C k , de classe C sur un intervalle. PC, SI : vecteur acclration.Oprations sur les fonctions de classe C k , de classe C . Brve extension des rsultats du paragraphe prcdent.

c) Arcs paramtrs

Arc paramtr de classe C k , avec k N.Point rgulier, tangente en un point rgulier.Construction darcs plans. Les tudiants doivent savoir utiliser des dveloppements

limits pour dterminer lallure dun arc au voisinagedun point et des dveloppements asymptotiques pourtudier ses branches infinies. I : trac darcs paramtrs.Ltude des arcs dfinis par une quation polaire est horsprogramme.

Longueur dun arc paramtr de classe C 1. Les notions dabscisse curviligne et de paramtrage ad-missible sont hors programme.




Intgration

Lobjectif de ce chapitre est multiple : tendre la notion dintgrale tudie en premire anne des fonctions continues par morceaux sur un intervalle

quelconque par le biais des intgrales gnralises Dfinir, dans le cadre des fonctions continues par morceaux, la notion de fonction intgrable Complter le chapitre ddi aux suites et aux sries de fonctions par le thorme de la convergence domine et le

thorme dintgration terme terme tudier les fonctions dfinies par des intgrales dpendant dun paramtre.Les fonctions considres sont dfinies sur un intervalle de R et valeurs relles ou complexes.


a) Fonctions continues par morceaux

Fonctions continues par morceaux sur un intervalle de R.Intgrale sur un segment dune fonction continue parmorceaux.

Brve extension des rsultats sur les fonctions continuestudis en premire anne. Aucune construction nestexigible.

b) Intgrales gnralises sur [a,+[Si f est une application valeurs complexes continue

par morceaux sur [a,+[ alors lintgrale +

af (t )dt est

dite convergente si x

af (t )dt a une limite finie lorsque x

tend vers +. Si tel est le cas, on note +

af (t )dt cette

limite.

Intgrale divergente.

Si f est continue par morceaux sur [a,+[ et valeurspositives, alors

+a

f (t)dt converge si et seulement si

x 7 x

af (t )dt est majore.

c) Intgrales gnralises sur un intervalle quelconque

Adaptation du paragraphe prcdent aux fonctions conti-nues par morceaux dfinies sur un intervalle ouvert ousemi-ouvert de R.

Notation b

af (t )dt .

Intgrales de rfrence : +

1tdt ,

10

tdt . Les tudiants doivent connatre la nature de 1

0ln(t)dt

et +

0et dt selon le signe de .

Proprits des intgrales gnralises : linarit, positi-vit, croissance, relation de Chasles.Changement de variable : si : ],[ ]a,b[ estune bijection strictement croissante de classe C 1, etsi f : ]a,b[ C est continue par morceaux alors

( f )(u)(u)du est convergente si et seulement si ba

f (t)dt est convergente et, si tel est le cas, elles sont

gales.

Adaptation au cas o est strictement dcroissante.

Intgration par parties sur un intervalle quelconque : ba

f (t )g (t )dt = [ f g ]ba b

af (t )g (t )dt .

Lexistence des limites du produit f g aux bornes de lin-tervalle assure que les intgrales de f g et f g sont demme nature. Notation

[f g

]ba .





d) Intgrales absolument convergentes et fonctions intgrables

Intgrale absolument convergente.La convergence absolue implique la convergence et dansce cas, la valeur absolue (ou le module) de lintgrale estinfrieure ou gale lintgrale de la valeur absolue (oudu module).

Dans le cas dune fonction valeurs relles, la dmonstra-tion utilise les parties positive et ngative de la fonction.

Une fonction continue par morceaux sur un intervalle Iest dite intgrable sur I si son intgrale sur I est absolu-ment convergente.

Notations

If (t )dt ,

I

f .

Pour f et g fonctions continues par morceaux sur[a,+[ : si | f | |g |, alors lintgrabilit de g implique celle de f

sur [a,+[. si f (x) =

x O(g (x)

), alors lintgrabilit de g implique

celle de f sur [a,+[. si f (x)

x+ g (x), alors lintgrabilit de f est quiva-lente celle de g sur [a,+[.

Adaptation au cas dun intervalle quelconque.

Si f est continue et intgrable sur I , alors

I| f (t)|dt = 0

implique f = 0.Espace vectoriel des fonctions continues par morceauxintgrables sur I .Espace vectoriel des fonctions continues par morceauxde carr intgrable sur I .Le produit de deux fonctions de carr intgrable est int-grable. Ingalit de Cauchy-Schwarz.

Structure prhilbertienne de lespace des fonctions conti-nues de carr intgrable sur I et valeurs relles.

e) Suites et sries de fonctions intgrables

Thorme de convergence domine :si ( fn) est une suite de fonctions continues par morceauxsur I convergeant simplement sur I vers une fonction fcontinue par morceaux et telle quil existe une fonction continue par morceaux et intgrable sur I vrifiant| fn | pour tout n, alors les fonctions fn et f sont int-grables sur I et :

Ifn(t )dt

n+

I

f (t )dt .

Dmonstration hors programme.Lhypothse de continuit par morceaux de f , imposepar les limitations du programme, na pas limportancede lhypothse de domination.

Thorme dintgration terme terme :si ( fn) est une suite de fonctions continues par morceauxet intgrables sur I , telle que la srie

fn converge sim-

plement vers une fonction f continue par morceaux sur I

et telle que la srie

I| fn(t)|dt converge, alors f est

intgrable sur I et :I

f (t )dt =+n=0

I

fn(t )dt .

Dmonstration hors programme.Lhypothse de continuit par morceaux de la somme,impose par les limitations du programme, na pas lim-

portance de lhypothse de convergence de

I| fn |.





f ) Intgrales paramtre

Thorme de continuit :si I et J sont deux intervalles de R et f une fonction dfi-nie sur I J , telle que : pour tout x I , t 7 f (x, t ) est continue par morceaux

sur J ; pour tout t J , x 7 f (x, t ) est continue sur I ; il existe une fonction positive, continue par mor-

ceaux et intgrable sur J , telle que pour tout (x, t ) IJ ,on ait | f (x, t )| (t ) ;

alors la fonction x 7

Jf (x, t )dt est continue sur I .

Dmonstration non exigible.Adaptation au cas o lhypothse de domination est vri-fie sur tout segment de I .

Thorme de drivation :si I et J sont deux intervalles de R et f une fonction dfi-nie sur I J , telle que : pour tout x I , t 7 f (x, t ) est continue par morceaux

et intgrable sur J ; pour tout t J , x 7 f (x, t ) est de classe C 1 sur I ; pour tout x I , t 7 f

x(x, t ) est continue par morceaux

sur J ; il existe une fonction positive, continue par mor-

ceaux et intgrable sur J , telle que pour tout (x, t ) IJ ,on ait

fx (x, t )(t ) ;

alors la fonction g : x 7

Jf (x, t )dt est de classe C 1 sur I

et on a sur I :

g (x) =

J

f

x(x, t )dt .

Dmonstration non exigible.Adaptation au cas o lhypothse de domination est vri-fie sur tout segment de I . PC : transformes de Fourier. SI : transforme de Laplace, thorme de la valeurinitiale, thorme de la valeur finale.

Extension aux fonctions de classe C k .

Probabilits

Les chapitres de probabilits permettent de dvelopper les comptences suivantes : modliser des situations alatoires par le choix dun espace probabilis ou de variables alatoires adquats ; matriser un formalisme spcifique aux probabilits.

A- Espaces probabiliss

Cette partie a pour objectif la mise en place du cadre gnral de la thorie des probabilits permettant daborder ltude deprocessus stochastiques temps discret. Cette mise en place se veut minimale. En particulier : la notion de tribu ne doit donner lieu aucun dveloppement thorique autre que sa dfinition ; la construction despaces probabiliss nest pas un objectif du programme.


a) Ensembles dnombrables

Un ensemble est dit dnombrable sil est en bijectionavecN. Ensembles finis ou dnombrables.

Un ensemble fini ou dnombrable peut tre dcrit enextension sous la forme {xn ; n N}.

Dnombrabilit de Z, dun produit cartsien de deux en-sembles dnombrables.

Toute autre connaissance sur la dnombrabilit est horsprogramme.





b) Espace probabilis

Si est un ensemble, on appelle tribu sur une partieA de lensemble P () des parties de telle que :

i. A ,ii. pour tout A A , A =\ A A ,

iii. pour toute suite (An)n0 dlments de A , la runion+n=0

An appartient A .

Lensemble est lunivers ; il nest en gnral pas prcis.Les lments de A sont les vnements. Les tudiantsdoivent savoir expliciter un vnement partir dautresvnements en utilisant la runion, lintersection et lecomplmentaire. On fait le parallle entre le vocabulaireprobabiliste et le vocabulaire ensembliste.

Si est un ensemble et A une tribu sur , on appelleprobabilit sur (,A ) une application P : A [0,1] telleque :

i. P () = 1,ii. pour toute suite (An)n0 dvnements incompa-

tibles,

P(+

n=0An

)=

+n=0

P (An).

On appelle espace probabilis un triplet (,A ,P ) o Aest une tribu et P une probabilit sur (,A ).Proprits :

+n=0

An A . Continuit croissante : si (An)n0 est une suite dvne-

ments telle que, pour tout n, on ait An An+1, alors :

limn+P (An) = P

(+n=0

An).

Continuit dcroissante : si (An)n0 est une suite dv-nements telle que, pour tout n, on ait An+1 An , alors :

limn+P (An) = P

(+n=0

An).

Sous additivit : si (An)nN est une suite dvnements,alors :

P(+

n=0An

)

+n=0

P (An).

c) Conditionnement et indpendance

Si A et B sont deux vnements tels que P (B) > 0, onappelle probabilit conditionnelle de A sachant B le rel

PB (A) = P (AB)P (B)

Notation PB (A) = P (A | B). Lapplication PB est une pro-babilit sur (,A ).Ce paragraphe tend rapidement les concepts et rsultatsvus dans le cadre des univers finis.

Formule des probabilits composes.Systme complet dnombrable dvnements.Formule des probabilits totales : si (An)nN est un sys-tme complet dvnements, alors la srie

P (B An)

converge et

P (B) =+n=0

P (B An) =+n=0

P (B | An) P (An)On adopte la convention P (B | An) P (An) = 0 lorsqueP (An) = 0.La formule reste valable dans le cas dune suite (An)nNdvnements deux deux incompatibles tels que+

n=0 P (An) = 1.Formule de Bayes.





Indpendance de deux vnements. Si P (B) > 0, lindpendance de A et B quivaut P (A | B) = P (A).

Indpendance mutuelle dune famille finie dvne-ments.

Lindpendance deux deux nentrane pas lindpen-dance mutuelle.

B - Variables alatoires discrtes

Les objectifs de cette partie sont les suivants : tendre la notion de variable alatoire finie des variables dont limage est un ensemble dnombrable fournir des outils permettant, sur des exemples simples, ltude de processus stochastiques temps discret exposer deux rsultats asymptotiques : lapproximation de la loi binomiale par la loi de Poisson et la loi faible des

grands nombres introduire les fonctions gnratrices et utiliser les proprits des sries entires.La construction despaces probabiliss modlisant une suite dexpriences alatoires est hors programme, on admetlexistence de tels espaces. Les diffrents types de convergence probabiliste (presque sre, en probabilit, en loi, en moyenne)sont hors programme.Toutes les variables alatoires mentionnes dans le programme sont implicitement supposes discrtes.


a) Gnralits

Une variable alatoire discrte X sur (, A ) est une ap-plication dfinie sur dont limage est finie ou dnom-brable et telle que limage rciproque de tout lment deX () appartient A .

Pour tout U X (), X 1(U ) est un vnement.Notations (X U ), {X U }.

Loi dune variable alatoire discrte.Fonction de rpartition dune variable alatoire relle.Croissance, limites en et en +.

FX (x) = P (X x). Ltude des proprits de continuitdes fonctions de rpartition nest pas au programme.

Si X prend ses valeurs dans { xn n 0 }, les xn tant dis-tincts, et si (pn)n0 est une suite de rels positifs vrifiant+n=0

pn = 1, alors il existe une probabilit P sur (,A ) telleque P (X = xn) = pn pour tout n N.


Couple de variables alatoires discrtes. Loi conjointe etlois marginales

Extension aux variables discrtes des notions tudies enpremire anne sur les variables finies.

Loi conditionnelle de Y sachant (X = x).Deux variables alatoires X et Y discrtes dfinies sur unespace probabilis (,A ,P ) sont dites indpendantes si,pour tout (x, y) X ()Y (),

P (X = x,Y = y) = P (X = x)P (Y = y).

Si X et Y sont indpendantes, alors, pour toute partieA X () et toute partie B Y (), on a

P (X A,Y B) = P (X A)P (Y B)


Variables mutuellement indpendantes. Extension sans dmonstration aux variables discrtes desnotions et des rsultats vus en premire anne.

Si X et Y sont des variables alatoires indpendantes,alors pour toutes fonctions f et g , alors f (X ) et g (Y ) sontindpendantes.





Suite de variables alatoires indpendantes (deux deuxou mutuellement).

La dmonstration de lexistence dun espace probabi-lis portant une suite de variables alatoires mutuelle-ment indpendantes de lois discrtes donns est horsprogramme.Application la modlisation dun jeu de pile ou faceinfini par une suite de variables alatoires de Bernoullimutuellement indpendantes.

b) Esprance et variance

La variable alatoire relle discrte X valeurs dans unensemble dnombrable {xn ; n 0} est dite desprancefinie si la srie

xnP (X = xn) est absolument conver-

gente ; si tel est le cas, on appelle esprance de X , not

E(X ), le rel+n=0

xnP (X = xn).

On admet que la somme+n=0

xnP (X = xn) ne dpend pasde lordre dnumration. PC : nergie moyenne de systmes spectre discret.

Si X est valeurs dansN, alors E(X ) =+n=1

P (X n).Thorme du transfert : si X est une variable alatoireet f une application valeurs relles dfinie sur limage{xn , n N} de X , alors f (X ) est desprance finie si etseulement si la srie P (X = xn) f (xn) converge absolu-ment. Dans ce cas, on a :

E( f (X )) =+n=0

P (X = xn) f (xn).


Linarit de lesprance. Dmonstration non exigible.Positivit, croissance de lesprance.Si X et Y sont deux variables alatoires discrtes indpen-dantes, alors E(X Y ) = E(X )E(Y ).


Si la variable alatoire X 2 est desprance finie, alors Xest elle-mme desprance finie.Si X 2 est desprance finie, la variance de X est le relV(X ) = E((X E(X ))2)= E(X 2)E(X )2.cart type (X ) =

V(X ).

Pour a et b rels et X variable alatoire relle, relationV(aX +b) = a2 V(X ).Ingalits de Markov, de Bienaym-Tchebychev. Brve extension des rsultats obtenus dans le cadre dun

univers fini.Variance dune somme finie de variables alatoires ; casde variables deux deux indpendantes.Covariance, coefficient de corrlation. Notations : Cov(X ,Y ) et (X ,Y ).Encadrement 1 (X ,Y ) 1. Ingalit de Cauchy-Schwarz.

c) Variables alatoires valeurs dansN

Fonction gnratrice dune variable alatoire valeursdansN :

GX (t ) = E(t X ) =+n=0

P (X = n)t n .

Le rayon de convergence est au moins gal 1.

La loi dune variable alatoire X valeurs dansN est ca-ractrise par sa fonction gnratrice GX .

La variable alatoire X admet une esprance E(X ) si etseulement si GX est drivable en 1 et, si tel est le cas,E(X ) =G X (1).






La variable alatoire X admet une variance si et seule-ment si GX est deux fois drivable en 1.

Dmonstration non exigible. Les tudiants doivent savoirretrouver lexpression de V(X ) en fonction de G X (1) et deG X (1) en cas dexistence.

Srie gnratrice dune somme de deux v.a. indpen-dantes.

d) Lois usuelles

Pour p dans ]0,1[, loi gomtrique de paramtre p : la va-riable alatoire X suit une loi gomtrique de paramtrep si et seulement si

k N, P (X = k) = p(1p)k1.

Notation X ,G (p).La loi gomtrique peut tre interprte comme rang dupremier succs dans une suite illimite dpreuves deBernoulli indpendantes et de mme paramtre p.

Srie gnratrice, esprance et variance.Caractrisation comme loi sans mmoire :

P (X > n +k | X > n) = P (X > k).

Loi de Poisson de paramtre . Srie gnratrice, esp-rance et variance. Somme de deux variables indpen-dantes suivant une loi de Poisson.

Notation X ,P (). PC : compteur Geiger.

e) Rsultats asymptotiques

Approximation de la loi binomiale par la loi de Poisson :si, pour tout n, Xn , B(n, pn) et si limn+ npn = ,alors, pour tout k N, on a

limn+P (Xn = k) = e

k

k !.

Interprtation de la loi de Poisson comme loi des vne-ments rares. I : simulation de cette approximation.La notion de convergence en loi est hors programme.

Loi faible des grands nombres : si (Xn)n1 est une suitede variables alatoires deux deux indpendantes etde mme loi admettant un moment dordre 2, alors, si

Sn =n

k=1Xk , m = E(X1) et =(X1), on a pour tout > 0,

P

( 1n Sn m )n 0.

Estimation : pour tout > 0,

P

( 1n Sn m ) 2n2 .

I : simulation dune suite de tirages.




Calcul diffrentiel

Ce chapitre est consacr ltude des fonctions de Rp dans R. Il est ax sur la mise en place doutils permettant de traiterdes applications du calcul diffrentiel lanalyse et la gomtrie : rsolution dquations aux drives partielles, problmesdextremums, courbes, surfaces. On se limite en pratique au cas p 3.


a) Fonctions de classe C 1

Drives partielles dordre 1 en un point dune fonctiondfinie sur un ouvert U de Rp valeurs dans R.

Notations i f (a), f

xi(a).

Une fonction est dite de classe C 1 sur U si ses drivespartielles dordre 1 existent et sont continues sur U .Oprations sur les fonctions de classe C 1.Une fonction de classe C 1 sur U admet en tout point ade U un dveloppement limit dordre 1.

Dmonstration non exigible.Une fonction de classe C 1 sur U est continue sur U .

Diffrentielle de f en a. Elle est dfinie comme lapplication linaire df (a) de Rp

dans R : (h1, . . . ,hp ) 7p

i=1hii f (a).

Notation df (a) h.

b) Rgle de la chane

Drive de t 7 f (x1(t ), . . . , xp (t )). Interprtation gomtrique : drive le long dun arc C 1.Application au calcul des drives partielles de(u, v) 7 f (x(u, v), y(u, v)). Les tudiants doivent connatre le cas particulier des co-ordonnes polaires.Caractrisation des fonctions constantes sur un ouvertconvexe.

c) Gradient

Dans Rp muni de sa structure euclidienne canonique,gradient dune fonction de classe C 1.

Le gradient est dfini par ses coordonnes.Notation f (a).

Relation h Rp , df (a) h = ( f (a) | h). PC : champ lectrostatique, loi de Fourier.

d) Applications gomtriques

Courbe du plan dfinie par une quation f (x, y) = 0 avecf de classe C 1.Point rgulier.quation de la tangente en un point rgulier. On admet lexistence dun paramtrage local de

classe C 1.En un point o il est non nul, le gradient de f est ortho-gonal aux lignes de niveau f (x, y) = et orient dans lesens des valeurs croissantes de f .

PC : lignes quipotentielles et lignes de champ. I :trac de lignes de niveau.

Surface dfinie par une quation f (x, y, z) = 0 avec f declasse C 1.Point rgulier.Courbes traces sur une surface. Cas particulier des courbes coordonnes dune surface

dquation z = g (x, y).Plan tangent une surface en un point rgulier dfinicomme le plan orthogonal au gradient et passant par lepoint.

Tangentes aux courbes rgulires de classe C 1 traces surla surface.

e) Drives partielles dordre deux

Drives partielles dordre 2 dune fonction de deux outrois variables valeurs dans R.

Fonction de classe C 2. Notations 2i , j f ,2 f

xix j.





Thorme de Schwarz. Dmonstration hors programme.Exemples dquations aux drives partielles du premieret du second ordre.

Les tudiants doivent tre capables dutiliser un change-ment de variables dans les deux cas suivants : transfor-mation affine, passage en coordonnes polaires. PC : quation du transport, quation de la diffusionthermique, quation de propagation.

f ) Extremums dune fonction de Rp dans R

Extremum local, global.Si une fonction de classe C 1 sur un ouvert de Rp admetun extremum local en un point, alors celui-ci est un pointcritique.Recherche dextremums globaux sur une partie fermeborne de Rp .

PC et SI : mcanique et lectricit.

quations diffrentielles linaires

Ltude des quations diffrentielles linaires scalaires dordres un et deux, commence en premire anne, se poursuitpar celle des systmes diffrentiels linaires dordre 1 et des quations scalaires coefficients non constants, en mettantlaccent sur les quations dordre deux. On sattache dvelopper la fois les aspects thorique et pratique : la forme des solutions ; le thorme de Cauchy linaire ; le lien entre les quations scalaires et les systmes diffrentiels dordre un ; la rsolution explicite.Ce chapitre favorise les interactions avec les autres disciplines scientifiques.

Dans tout ce chapitre, K dsigne R ou C et I est un intervalle de R.


a) Systmes diffrentiels

quation de la forme X = A(t )X +B(t ) o A : I Mn(K)et B : I Mn,1(K) sont continues.Forme des solutions : somme dune solution particulireet de la solution gnrale de lquation homogne.Thorme de Cauchy linaire : existence et unicit de lasolution dun problme de Cauchy.

Dmonstration hors programme. I : Mthode dEuler pour la recherche dune solutionapproche dun problme de Cauchy.

Isomorphisme entre Mn,1(K) et lespace vectoriel dessolutions de X = A(t )X .

Dimension de lespace vectoriel des solutions.

Systme diffrentiel linaire coefficients constantsX = AX .Rsolution lorsque A est une matrice diagonalisable. Exemples de rsolution dans le cas o A est trigonali-

sable. PC : comportement asymptotique des solutions enfonction du spectre de A.

b) quations diffrentielles linaires scalaires

quation diffrentielle scalaire dordre 2 coefficientscontinus y +a(t )y +b(t )y = c(t ).

Les tudiants doivent savoir crire cette quation sous laforme dun systme diffrentiel X = A(t )X +B(t ).

Forme des solutions : somme dune solution particulireet de la solution gnrale de lquation homogne.

La recherche dune solution particulire de lquationcomplte doit comporter des indications.

Thorme de Cauchy linaire : existence et unicit de lasolution dun problme de Cauchy.





Espace vectoriel des solutions de lquation homogne,dimension.

Exemples dutilisation de dveloppements en srie en-tire pour la recherche de solutions.

Cas des quations coefficients constants. On relie les rsultats obtenus en premire anne laidede lquation caractristique la rduction de la matricedu systme diffrentiel associ.Les tudiants doivent savoir trouver une solution particu-lire de lquation complte pour un second membre dela forme A cos(t ) ou A sin(t ).La mthode de la variation des constantes est hors pro-gramme.




Maths-PSI-Copyright.pdfObjectifs de formationDescription et prise en compte des comptencesUnit de la formation scientifiqueArchitecture et contenu du programmeOrganisation du texteUsage de la libert pdagogique

ProgrammeAlgbre linaireA - Complments sur les espaces vectoriels, les endomorphismes et les matrices B - Rduction des endomorphismes et des matrices carres

Espaces prhilbertiens rels, espaces euclidiensA - Espaces prhilbertiens relsB - Isomtries et endomorphismes symtriques d'un espace euclidien

Espaces vectoriels norms de dimension finie Suites et sriesA - Sries numriques B - Suites et sries de fonctions C - Sries entires

Fonctions vectorielles, arcs paramtrs Intgration Probabilits A- Espaces probabilissB - Variables alatoires discrtes

Calcul diffrentielquations diffrentielles linaires

mathematiques_psi.pdf

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