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MAT 2300 : devoir 4Géodésique et le théorème de Gauss-BonnetDate de remise : le 8 décembre au cours. (Le devoir peut se mériter 115%).
1. Soit la paramétrisation x(u, v) = (coshu cos v, coshu sin v, u) de la caténoïde. Noter quecette paramétrisation d’une surface de révolution ne respecte pas l’hypothèse simplifica-trice que la courbe génératrice (coshu, u) soit paramétrée par sa longueur d’arc.
(10) (a) Montrer que la relation de Clairaut et le fait qu’une géodésique est toujours paramé-trée par (un multiple de) sa longueur d’arc réduisent les équations géodésiques aux deuxéquations
v ′ cosh2 u = c et (u ′2 + v ′2) cosh2 u = 1
où c est une constante.(10) (b) Le reste de l’exercice étudie le comportement des géodésiques en fonction de la constante
c. Donner la solution explicite des géodésiques dans le cas c = 0.(10) (c) Monter que, pour c = 1, la fonction u = u(s) satisfait u ′ = ± tanhu/ coshu qui a,
comme une de ses solutions, u(s) = f−1(s) où f−1 est la fonction inverse de
f(u) = s0 + coshu+ log tanh u2
où s0 est une constante.(10) (d) Toujours pour c = 1, montrer que la fonction v = v(s) a les comportements asympto-
tiquesv ′ −→
s→−∞ 1 et v −→s→∞ v0
où v0 est une constante. Justifier la conclusion suivante : les géodésiques avec c = 1 s’en-roulent autour du cercle u = 0 pour les valeurs de s → −∞ et convergent asymptotique-ment vers un méridien pour s→ +∞.
(15) (e) La figure ci-contre représente deux géodé-siques sur la caténoïde, l’une avec c > 1 etl’autre avec c < 1. (En fait, les deux valeurs dec sont très voisines de 1.) Répondre aux troissous-questions en justifiant vos réponses.(i) La géodésique rouge correspond à c < 1
ou c > 1 ?(ii) Quelle est le minimum umin =
mins∈R |u(s)| le long de la géodésiquerouge ? (La réponse devrait être en fonctionde c.)
(iii) L’exercice # 18 (c), p. 66 (voir tp du 8 no-vembre) a montré que l’hélicoïde et la caté-noïde sont localement isométriques. Décri-vez qualitativement la géodésique sur l’hé-licoïde qui peut être construite à partir dela géodésique bleu sur la caténoïde.
Out[834]=
1
2. (Variante de l’exercice # 8, p. 90 du manuel) Soit le paraboloïde M paramétrisé par~x(u, v) = (u cos v, u sin v, u2), 0 < u <∞ et v ∈ (0, 2π). SoitMr le sous-ensemble obtenu enrestreignant le paramètre u à 0 < u < r <∞.
(10) (a) Calculer la courbure géodésique ainsi que∫κg ds pour le cercle frontière ∂Mr deMr.
(10) (b) Calculer χ(Mr).
(10) (c) Calculer la courbure gaussienne K ainsique la courbure totale
∫ ∫MrKdA pour le
sous-ensemble Mr. Vérifier le théorème deGauss-Bonnet pour cette (sous-)surface.
(10) (d) Calculer les limites limr→∞ ∫κg ds et
limr→∞ ∫ ∫KdA. Expliquer la relation entre
la courbure totale de M et l’image de M parl’application de Gauss.
Out[28]=
(20) 3. Les solides platoniciens — Un solide de Platon est un polyèdre convexe régulier, c’est-à-dire dont toutes les faces sont des polygones réguliers identiques. On tiendra pour acquisque le centre de masse d’un solide de Platon est à égale distance de tous ses sommets et qu’ilest donc possible de « gonfler » un polyèdre platonicien pour qu’il repose sur une sphère :il suffit d’envoyer chaque point x des arêtes vers x/||x||. L’image d’une arête est alors un arcde grand cercle. Voici par exemple le « gonflement » du cube :
Out[434]=
Démontrer :Théorème : Il existe au plus cinq solides platoniciens.Suggestion : soit A le nombre d’arêtes, n le nombre de côtés des faces et m le nombre defaces se rencontrant à chaque sommet. Montrer d’abord que
1
n+1
m=1
A+1
2.
Out[438]=
2