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Modélisation des transferts hydriques isothermes

en milieu poreux Application au séchage

des matériaux à base de ciment

Marc MAINCUY Olivier COUSSY Robert EYMARD

ÉTUDES ET RECHERCHES DES LABORATOIRES DES PONTS ET CHAUSSÉES

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Laboratoire Central des Ponts et Chaussées

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Modélisation des transferts hydriques isothermes en milieu poreux

Application au séchage des matériaux à base de ciment

Marc MAINGUY Olivier COUSSY Robert EYMARD

Juillet 1999

Laboratoire Central des Ponts et Chaussées 58, bd Lefebvre, F 75732 Paris Cedex 15

Marc MAINGUY Ingénieur de l'Institut Galilée, Doctorant au sein du Service Modélisation pour l'ingénieur, Laboratoire Central des Ponts et Chaussées.

Olivier COUSSY Directeur de recherche, Chef du Service Modélisation pour !'Ingénieur, Laboratoire Central des Ponts et Chaussées.

Robert EYMARD Directeur de la recherche, Ecole Nationale des Ponts et Chaussées.

Pour commander cet ouvrage: Laboratoire Central des Ponts et Chaussées Bureau de diffusion de l'IST 58, boulevard Lefebvre, F 75732 Paris Cedex 15 Téléphone 0140435226 -Télécopie 0140435495

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© 1999 - LCPC

Sommaire

Résumé 5

Présentation par V. Baroghel Bouny 7

Introduction générale 11

1 Diffusion des gaz 1.1 Introduction .

17 17 17 19

1.2 1.3 1.4

Vitesse de référence d'un mélange ........ . Vitesse de diffusion par rapport à une vitesse de référence . Cas diun mélange binaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1.4.1 Loi de Fick . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1.4.2 Comparaison des vitesses de référence molaire et massique moyennes 25 1.4.3 Cas d'un mélange à pression constante . . . 25 1.4.4 Expression du coefficient de diffusion binaire . . 27 1.4.5 Comparaison des vitesses des deux constituants 29

2 Modélisation macroscopique des transferts hydriques en milieu poreux 33 2.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 2.2 Milieu poreux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 2.3 Bibliographie sur les modèles de transfert hydrique . 36 2.4 Modélisation avec prise en compte de la pression de gaz . 38

2.4.1 Hypothèses . . . . . . . . . . . . 38 2.4.2 Conservation de la masse . . . . . . . . . . 39 2.4.3 Equilibre liquide - vapeur de l'eau . . . . . 41 2.4.4 Etude thermodynamique de la dissipation de transport 43 2.4.5 Effets capillaires . . . . . . . 48 2.4.6 Résumé du modèle . . . . . . . . 49

2.5 Cas limite d'un milieu faiblement perméable 51 2.6 Modélisation par une seule équation de diffusion à pression de gaz constante 53

3 Modélisation numérique du séchage des matériaux peu perméables à base de ciment. Application à la détermination de leur perméabilité 59 3.1 Introduction 59 3.2 Description de l'expérience modélisée 60

3.2.1 Les matériaux . . . . . . . 60 3.2.2 Les isothermes . . . . . . . . . . . . . . 60 3.2.3 Perméabilités rel~tives à l'eau et au gaz . 64

3

3.2.4 Facteur de résistance à la diffusion 3.2.5 Les conditions initiales .. 3.2.6 Les conditions aux limites

64 66 67

3.3 Méthode de résolution numérique 67 3.3.1 Introduction . . . . . 67 3.3.2 Resumé du problème continu et choix des variables 68 3.3.3 Discrétisation par les volumes finis 70 3.3.4 Expressions de la perte de masse 7 4

3.4 Comparaison des résultats numériques du modèle de référence avec des résultats expérimentaux . . . . . . . . . . . . . . . 77 3.4.1 Identification de la perméabilité absolue ou intrinsèque . 77 3.4.2 Interprétation des résultats: existence d'une surpression de gaz . 80

3.5 Comparaison des modélisations. Identification des moteurs du séchage . 86 3.5.1 Comparaison modèle de référence - modèle simplifié . . . . . 86 3.5.2 Comparaison modèle de référence - équation de diffusion à pression

de gaz constante 87 3.6 Conclusion . . . . . . 95

Conclusion générale

Annexes

A Diffusion dans un mélange ternaire A.l Equations de diffusion: loi de Fick généralisée ..... . A.2 Equations de Maxwell-Stefan . . . . . A.3 Un exemple: mélange air sec, vapeur d'eau et gaz carbonique .

B Viscosité des gaz

C Pression de vapeur saturante en fonction de la température

99

105

107 107 108 110

113

115

D Identification du coefficient de diffusion d'une équation de diffusion simple 119 D .1 Calcul à partir de la perte de masse . . . . . . D.2 Calcul à partir de mesure en gammadensimétrie

E Calage de la relation pression capillaire - saturation

Bibliographie

4

119 . 120

121

125

Modélisation des transferts hydriques isothermes en milieu poreux. Application au séchage des matériaux à base de ciment.

Marc MAINGut: Olivier COUSSY: Robert EYMARD

L'analyse du séchage des matériaux cirnentaires est un sujet d'importance pour la durabilité des struc­tures du Génie civil. C'est en effet l'évolution de la phase liquide qui influe sur la durée de vie de ces structures, en conditionnant notamment les transports d'agents agressifs dans les matériaux. Dans cet esprit, le présent rapport étudie le séchage de bétons et pâtes de ciment en combinant théorie et résul­tats expérimentaux.

La modélisation du séchage des milieux poreux est souvent réalisée en supposant que la pression de gaz dans le matériau reste constamment égale à la pression atmosphérique de l'atmosphère environ­nante. La confrontation de résultats expérimentaux et théoriques révèle que cette hypothèse est inadé­quate pour rendre compte de la perte de masse observée pendant le séchage de matériaux à base cimentaire faiblement perméables. De fait, pour de tels matériaux, toute variation de la pression de gaz ne peut se dissiper rapidement puisque aucun transport Darcéen du gaz ne peut s'opérer de façon signi­ficative. Ainsi, dans le cas du séchage des matériaux cimentaires, l'évaporation couplée avec la diffusion en phase gazeuse provoque une surpression de gaz qui se propage vers l'intérieur du matériau et contri­bue activement à l'uniformisation des concentrations molaires. Par conséquent, la diffusion de la vapeur d'eau n'est rapidement plus active dans le transport d'humidité, principalement assuré par un mouve­ment d'eau liquide. Il est alors paradoxal, pour des matériaux faiblement perméables, que le processus de séchage puisse être en fin de compte assuré par le transport Darcéen de l'eau sous forme liquide et son évaporation au bord des échantillons en contact avec l'atmosphère environnante. Ce paradoxe est attribuable à l'importance des effets capillaires dans les matériaux d'étude, les dépressions capillaires étant à l'origine du transport d'eau sous forme liquide.

L'analyse de ces phénomènes est conduite à partir d'une modélisation macroscopique d'un système multiphasique impliquant en particulier deux constituants gazeux (l'air sec et la vapeur d'eau) et une phase liquide d'eau pure. Des considérations de thermodynamique macroscopique permettent la for­mulation des lois de transfert de Darcy et de Fick, cette dernière étant écrite sous une forme en accord avec celle issue de la théorie cinétique des gaz. Une résolution numérique par la méthode des volumes finis permet alors l'accès aux données nécessaires à la comparaison avec l'expérience et à l'analyse des résultats.

Ce travail a donné lieu à la rédaction d'un article sownis à la revue "International Journal of Heat and Mass Transfer'' (47).

Abstract-----------------

Modelling of isothermal hydrie transfers in porow media. Application to the drying of cement-based materials.

Marc MAINGU'( Olivier COUSSY, Robert EYMARD

Analysis of the drying of cement-based materials is important for the durability of Civil Engineering structures. It is the evolution of the liquid phase that influences the'life of these structures, in particular by acting on the transport of aggressive substances in the materials. In tlùs spirit, this report applies a com­bination of theory and experimental results to the study of the drying of concret es and cernent pastes.

The drying of porous media is often modelled by asswning that the gas pressure in the material remains constant and equal to the pressure of the surrounding atmosphere. Comparison of experimental and theoretical results shows that this hypothesis cannot account for the loss of mass observed during the drying oflow-permeability cement-based materials. AB it happens, in such materials, a variation of gas pressure can not dissipate rapidly because no significant Darcean transport of the gas is possible. Thus, when cement-based materials dry, evaporation combined with diffusion in the gaseous phase causes an excess gas pressure that propagates within the material and con tribut es actively to uni.formization of the molar concentrations. In consequence, the diffusion of water vapor rapidly ceases to be a factor in the transport of moisture, which is effected mainly by a movement of liquid water. This leads ta the apparent paradox that drying in low-permeability materials is accomplished by the Darcean transport of water in liquid form and its evaporation at the edge of the samples in contact with the surrounding atmosphere. This paradox can be ascribed to the importance of capillary effects in the materials studied, since capil­lary vacuums lie behind the transport of water in liquid form.

These phenomena are analyzed using a macroscopic model of a multiphase system involving i:h particu­lar two gaseous constituents (dry air and water vapor) and one liquid phase of pure water. Macroscopic thermodynamic considerations allow the formulation of Darcy's and Fick's transfer laws, the latter written in a form in agreement with that derived from the kinetic theory of gases. A numerical solution byt the fini­te volumes method then gives access to the data necessary for comparison with experiment and analy­sis of the results.

This work has been written up in an article subrnitted to the "International Journal of Heat and Mass 'Iransfer" ( 4 7)

Présentation par

Véronique Baroghel Bouny Chef de la Section MDB (Division BCC - LCPC)

Chargée du Thème de Recherche OA 9

Le Thème de Recherche du LCPC "Transferts dans les Bétons et Durabilité des Ouvrages" (OA 9) a débuté en 1995 avec la volonté de mener une action coordonnée entre le réseau des LPC, les laboratoires universitaires et du CNRS, et l'industrie en pointe dans le do­maine de la durabilité des bétons, afin de parvenir à des résultats significatifs en la matière.

L'objectif général de ce programme était de fournir des éléments quantitatifs pour une meilleure maîtrise de la durée de vie des ouvrages en béton armé ou précontraint. Plus précisément, les trois sujets proposés dans le Thème visaient à prévoir l'aptitude des bétons aux transferts sous forme liquide ou gazeuse, à partir d'une description pertinente des caractéristiques microstructurales et des propriétés hydriques du matériau, et grâce à la compréhension des processus physico-chimiques mis en jeu. Dans une telle approche deux étapes apparaissaient indispensables: - analyser correctement tous les mécanismes physiques et chimiques en jeu dans les pro­cessus de carbonatation (sujet n° 2 du Thème) ou de pénétration des chlorures (sujet n° 3), causes majeures de la corrosion des armatures du béton armé, ou encore de façon plus basique dans le séchage du béton {sujet n° 1), - être capable de déterminer les coefficients de transfert (perméabilité, diffusivité) qui peuvent être qualifiés d 1indicateurs de durabilité.

L'ambition de ces recherches étant notamment de traiter le cas de la pénétration des agents agressifs en conditions non saturées, cas le plus répandu in situ, il était essentiel de résoudre correctement le problème des transferts d'humidité dans les bétons et d'être en mesure de prédire correctement le séchage des matériaux. C'est dans cette otique que s'ins­crit le présent rapport, rédigé par Marc Mainguy, Olivier Coussy et Robert Eymard, qui synthétise les travaux effectués par les auteurs dans le cadre du Thème de Recherche OA 9.

Ce document concerne la modélisation des transferts hydriques isothermes en milieu po­reux et traite de l'application au séchage des matériaux: à base de ciment. La démarche est basée sur une approche macroscopique continue des transferts de masse en milieu poreux. Les lois de transport sont obtenues à partir d'une étude thermodynamique et le modèle est mis en œuvre numériquement par une méthode de volumes finis. Les résultats des simulations numériques ont été comparés aux données expérimentales obtenues sur des bétons et des pâtes de ciment durcies étudiées dans le cadre du Thème .de Recherche.

7

Ces travaux ont fourni des conclusions majeures dans l'ana1}1ie des transferts d'humi­dité) et de là, des transferts des ions chlorures en conditions non saturées. L'existence de surpressions de gaz au cours du séchage d)un matériau faiblement perméable implique que l'hypothèse couramment faite de pression constante n'est pas valide. Il est nécessaire d'effectuer l'analyse et la modélisation des transferts d'humidité à pression non constante pour parvenir à rendre compte des cinétiques observées expérimentalement. Un éclairage nouveau est alors apporté sur Fimportance relative des différents modes des transport de l'humidité au cours du séchage d'un matériau peu perméable à moyen et long terme. Seuls les mouvements d'humidité sous forme liquide (selon la loi de Darcy) contribuent significativement aux transferts.

De plus, comme le suggèrent les auteurs dans leurs conclusions, une application intéres­sante de ces travaux théoriques consisterait en la mise au point d'une méthode indirecte de détermination de la perméabilité à l'eau liquide, combinant modèle et expérience, pour les matériaux faiblement perméables. Cette méthode serait basée sur le suivi de la perte relative de masse d'une éprouvette soumise à un séchage. Il deviendrait alors possible d'accéder à cet indicateur pour bon nombre de formulations de béton destinées aux ou­vrages d'art et en particulier pour les BHP, la mesure directe de perméabilité à iieau étant inopérante dans ce dernier cas.

En outre, ce document est la parfaite illustration du succès d'une approche pluridisci­plinaire au sein du LCPC, combinant expérience et modélisation dans le domaine de la durabilité, et associant spécialistes du béton et modélisateurs des transferts.

8

INTRODUCTION GENERALE

Introduction générale

La bonne prédiction du transfert de l'humidité dans les bétons est déterminante pour les études de durabilité des structures du Génie civil. Le transport des contaminants dont cette durabilité dépend est en effet souvent assuré principalement en phase liquide comme c'est par exemple le cas des ions chlores, apportés par les sels de deverglaçage ou l'envi­ronnement marin. Lorsque la distance de pénétration des chlorures devient importante, il peut se produire une corrosion des armatures métalliques (voir [681) et à terme la rupture de la structure métallique. En phase gazeuse, le contaminant extérieur peut être le gaz carbonique. Lorsque le béton est partiellement désaturé en eau liquide, le dioxyde de car­bone pénètre au coeur du matériau par diffusion gazeuse. En se dissolvant dans la solution interstitielle du matériau, le dioxyde de carbone peut alors provoquer une dissolution par­tielle de la phase solide du béton (voir [15]). La structure devient alors plus fragile. Enfin, la diminution de la teneur en eau dans le béton (ou plus simplement son séchage), en­gendre des effets capillaires importants. Ces derniers peuvent induire des fortes contraintes de traction dans le matériau et des risques de fissuration lorsque le retrait du matériau est empêché (voir [18], [42]). Dans les exemples précédents, les propriétés (en particulier mécaniques) du matériau sont affectées. La maîtrise de la durabilité des structures exige ainsi de comprendre et de prévoir comment s'effectuent les transferts d'humidité dans les matériaux cimentaires. La principale cause de changement de teneur en eau liquide des matériaux cimentaires des structures du Génie civil est leur séchage. Une bonne prédiction de ce séchage ne peut s'effectuer qu'avec la connaissance de certains paramètres propres au matériau étudié. Beaucoup de ces paramètres sont accessibles par des mesures classiques. C'est en particu­lier le cas de la porosité et de la perméabilité au gaz et, dans une moindre mesure, celui de la relation entre la pression capillaire et la saturation en eau du matériau à travers des expériences de sorption isotherme (voir (6], (69]). D'autres paramètres clés du maté­riau restent néanmoins plus difficilement accessibles par des mesures classiques. C'est en particulier le cas de la très faible perméabilité à l'eau des matériaux à base cimentaire dont la mesure directe nécessiterait le recours à des gradients de pression de l'eau liquide souvent trop élevés pour les perméamètres traditionnels. L'analyse des transferts d'humi­dité dans les bétons intervenant au cours de leur séchage nous conduira à proposer une méthode alternative de la mesure de la perméabilité intrinsèque à travers l'analyse de la perte en poids subie au cours du séchage qui met en jeu des gradients de pression très élévés provoquant des flux d'eau liquides significatifs. Visant souvent à représenter les mêmes phénomènes physiques, les modélisations des trans­ferts hydriques sont pourtant variées et complexes. Il est ainsi souvent mal aisé de cerner le domaine exact de validité des hypothèses qui tendent à simplifier ces modélisations pour fournir â l'ingénieur un outil qui soit plus immédiatement opérationnel. Ceci rend souvent difficile une caractérisation des propriétés de transfert d'un matériau particulier qui soit

11

à la fois întrinsèque, quantitative et validée. De fait cette caractérisation est fortement tributaire du modèle retenu in fine pour représenter les transferts hydriques. Ceci est d'autant plus marqué pour des matériaux peu perméables comme le sont les matériaux à base cimentaire.

Parmi les hypothèses les plus couramment utilisées pour décrire le séchage des milieux poreux, on trouve souvent l'hypothèse d'une pression de gaz constante et uniforme dans le matériau et égale à la pression atmosphérique. Cette hypothèse, naturelle pour les sols, repose sur une idée assez familière. Toute variation de la pression du gaz au sein du maté­riau, quelle qu'en soit son origine, se dissipera quasi-instantanément (à l'échelle du temps de séchage) sous l'action de très rapides transports convectifs Darcéen du mélange gazeux qui sont rendus possibles par la forte perméabilité du matériau au gaz du fait de sa faible viscosité. Cette hypothèse permet de nombreuses simplifications dans la modélisation et conduît en particulier à une équation unique de diffusion gouvernant la teneur en eau (voir [9], [21], [41], [84]). Cette hypothèse, ou d'ailleurs toute autre hypothèse conduisant à une équation de diffusion unique pour décrire le séchage des matériaux, est attrayante car elle permet d'identifier un coefficient global de diffusion hydrique à partir des résultats expérimentaux accessibles, qu'ils soient sous forme de perte de poids (voir [6], [59]) ou de profils en humidité ou teneur en eau (voir [21], [59], [60], [85], [86]). Malheureusement, cette démarche d'identification ne valide en rien la théorie utilisée dont elle en suppose a priori la validité des hypothèses. Elle ne permet ainsi pas une compréhension avérée des processus de transport mis en jeu au cours du séchage.

D'autres modèles plus complets ont donc été mis en oeuvre. Ces modèles considèrent sépa­rément les phases liquide et gazeuse qui occupent l'espace poreux du matériau. Dans cette approche, la phase gaseuse est constituée d'un mélange à deux constituants: l'air sec et la vapeur d'eau. La pression du mélange n'est pas nécessairement constante. Le mouvement de ces constituants est régi par la diffusion gazeuse et le transport Darcéen du gaz dans son ensemble. Ce dernier.nécessite le choix d'une vitesse de référence satisfaisant la loi de Darcy. Ce choix diffère selon les auteurs puisque certains retiennent une vitesse massique moyenne (voir [5], [24], [58]) alors que d'autres préfèrent une vitesse molaire moyenne (voir [1], [74]). Même si les voies empruntées par ces auteurs sont un peu différentes, elles ont le mérite de ne pas faire d'hypothèses a priori et de considérer tous les phénomènes possibles au cours d'un séchage. Par la comparaison in fine entre les résultats qu'elles prédisent et les résultats expérimentaux, ces approches doivent permettre une meilleure compréhension des phénomènes réellement actifs au cours du séchage. En outre, si tous les paramètres d'un modèle sont a priori connus, cette comparaison doit conduire à sa validation. Inversement, si un paramètre est inconnu au départ, il peut être identifié à par­tir du résultat expérimental. Dans la perspective finale d'une caractérisation plus fiable des propriétés intrinsèques de transferts hydriques des matériaux à base cimentaire, c'est cette démarche plus complète qui a été retenue dans ce rapport. Cependant, afin de bien comprendre la différence entre les deux démarches évoquées, celle basée sur une pression de gaz constante et conduisant à une seule équation de diffusion a été parallèlement mise en oeuvre dans cette étude. La comparaison entre les deux modèles permet en particulier de comprendre les restrictions imposées lorsque l'on suppose la pression de la phase ga­zeuse constante et uniforme, restrictions qui se révèleront inadéquates pour les matériaux faiblement perméables.

12

Le plan de ce rapport est le suivant :

Comme préalable et comme référent commun possible à toutes les modélisations, la loi de Fick de la diffusion d'un gaz par rapport à un autre est tout d'abord rappelée, hors du contexte plus spécifique des milieux poreux. Nous soulignons en particulier le fait que l'expression de la vitesse de diffusion d'un constituant dépend du choix retenu pour décrire la vitesse du mélange. Les différentes formulations possibles de cette loi de diffusion sont précisées, ainsi que l'expression du coefficient de diffusion qu'elles introduisent, en liaison avec la théorie cinétique des gaz.

Dans la deiJ:xième partie, les éléments d'une modélisation macroscopique isotherme du sé­chage d'un milieu poreux sont présentés. Cette modélisation considère une phase liquide d'eau pure et incompressible et un mélange gazeux idéal constitué d'air sec et de vapeur d'eau. La formulation des différentes lois de transferts hydriques au sein du milieu poreux est alors entreprise. Cette formulation est replacée dans le cadre de la thermodynamique des processus irréversibles qui donne un argument décisif en faveur du choix d'une vi­tesse molaire moyenne à retenir dans la loi de Darcy de conduction du mélange gazeux, disqualifiant ainsi d'autres choix a priori envisageables. Il est alors possible de procéder aux modifications à apporter à la loi de Fick pour la prise en compte des effets spéci­fiques aux milieux poreux. On étudie aussi plus particulièrement le cas limite d'un milieu faiblement perméable. Le cas d'une modélisation des transferts hydriques à partir d'une unique équation de difflision à pression de mélange gazeux constante est finalement abordé.

La dernière partie est consacrée à une comparaison entre les résultats d'une expérience de séchage sur des matériaux à base de ciment [6] et ceux issus d'une mise en œuvre numérique des modèles introduits dans la deuxième partie et fondée sur la méthode des volumes finis (voir 128)). Dans un premier temps, la comparaison du modèle complet per­met d'identifier, à partir de l'histoire des pertes de poids d'éprouvette en pâte de ciment ou béton, la perméabilité dite absolue ou intrinsèque du matériau cimentaire d'étude. Cette identification est discriminante puisque, pour représenter l'histoire complète expérimen­tale des pertes en poids, une seule valeur numérique est à déterminer. L'étude des résultats permet en outre de montrer le rôle prédominant du mouvement d'eau liquide dans le sé­chage. On procède alors à la comparaison du modèle complet avec les autres modèles introduits dans la deuxième partie. Dans le cas limite d'un milieu faiblement perméable, cette comparaison souligne la faible importance du transport Darcéen du gaz. Enfin, on montre la forte sous-estimation de la perméabilité intrinsèque à laquelle conduirait une identification menée à partir de la seule équation de diffusion non linéaire à pression de gaz constante. On constate en particulier que cette équation ne permet pas une bonne reproduction des résultats expérimentaux.

Les principaux points mis en évidence dans cette étude sont repris dans la conclusion de ce rapport.

13

DIFFUSION DES GAZ

Chapitre 1

Diffusion des gaz

1.1 Introduction

La diffusion de la vapeur d'eau à travers l'air est un phénomène qui doit être pris en compte dans les modèles de séchage. Le phénomène de diffusion d'un gaz par rapport à un autre est régi par la loi de Fick. Cette dernière loi nécessite la définition d'une vitesse de référence du mélange gazeux au sein duquel s'effectue la diffusion. Dans ce premier chapitre nous rappelons tout d'abord quelques éléments de la théorie des transferts de masses gazeuses par diffusion. Considérons un mélange idéal de deux gaz 1 A et B, initialement au repos, à pression totale de gaz constante p9 , et supposons que la concentration en .4. (respectivement en B) dans la partie droite de l'espace est plus grande (respectivement plus petite) que sa concentration dans la partie gauche de l'espace. La diffusion du gaz A vers la gauche et celle du gaz B vers la droite traduit alors la tendance spontanée du rétablissement de l'uniformité de leur état dans tout l'espace. Si les vitesses de diffusion de ces deux gaz sont différentes, il va se créer des variations de pression totale du gaz par rapport à la pression de départ p9 . Cette variation de pression du mélange gazeux engendre donc également un mouvement global du gaz. Le mouvement d'un constituant est donc la superposition du mouvement advectif global du mélange gazeux (qui tend à égaliser sa pression) et du mouvement diffusif de ce constituant à travers le mélange gazeux (qui tend uniformiser son état). La formulation de la loi de diffusion des masses gazeuses nécessite donc le choix d'une vitesse de référence pour le mélange gazelL"'{, vitesse dont dépendra l'expression de la vitesse ou du flux de diffusion.

1.2 Vitesse de référence d'un mélange

Dans cc paragraphe, nous rappelons les expressions des différentes vitesses de référence possibles. Ces expressions ainsi que les lois de diffusion qui en découlent sont présentées dans \78\. ::'-Jous nous plaçons maintenant dans le cas d'un mélange gazeux comportant n consti­tuants. La vitesse de référence du gaz est une combinaison des n vitesses vi de chaque constituant:

n

v; = :Laivi, i=I

17

(U)

avec, v; vitesse de référence du gaz pour les poids ai, m.s- 1

vi vitesse du constituant gazeux i, m.s- 1

a; poids de la vitesse de référence. 1-J Les poids ai servant à définir la vitesse de référence doivent vérifier:

{1.2)

Nous allons maintenant introduire les vitesses de référence les plus usuelles. Ils nous faut avant cela introduire différentes notations:

p; masse volumique du constituant gazeux i, kg.m-3

n

p, masse volumique du mélange gazeux: p9 = L Pü kg.m-3

i=l

g_ P; .- p, concentration massique en constituant gazeux i, 1-1

C; concentration molaire en constituant gazeux i, mole.m-3

n

Cg concentration du mélange gazeux: c9 = L ci, mole.m-3

i=l

C· - Ci concentration molaire en constituant gazeux i . 1-l . -c,

TAB. 1.1 - Notations massiques et molaires

Les vitesses de référence les plus utilisées sont la vitesse molaire moyenne v: et la vitesse massique moyenne ou vitesse barycentrique v~ :

n

v~ = l::Civi {1.3) i=l

n

vP = "'E-v· g L.J i 1 (1.4) i=l

Certains auteurs 125]. 170] et 176] considèrent également comme vitesse de référence une vitesse volumique moyenne définie par:

vitesse volumique moyenne du mélange, volume molaire partiel du constituant i.

18

{1.5)

Le volume molaire partiel est entièrement défini dans par exemple [27] page 18. On re­tiendra simplement que Pon a toujours Pégalité suivante:

n V = L n;v; (1.6)

i=l avec, V volume occupé par le mélange gazeux, m3

~ nombre de moles du constituant i présentes dans le mélange gazeux. mole

On déduit de {1.6) que les poids a, = e;v; de (1.5) vérifient bien (1.2) car:

LCivi = L nivi = 1 i i V

(1.7)

On peut montrer que dans le cas d'un mélange idéal de gaz parfait les vitesses de réfé­rence volumique et molaire moyennes sont identiques. Pour cela, on utilise une définition explicite du volume molaire partiel Vi du constituant i donnée par [27] page 19:

avec, µ;

Pi n

Pg = LPi i=l

- (àµ;) Vi= Ôpg Tn·

' ' potentiel chimique molaire du constituant i, pression partielle de gaz du constituant i,

pression totale du mélange gazeux.

J.mole-1

Pa

Pa

(1.8)

De plus, dans le cas d'un mélange idéal de gaz parfait ( :: ) Tn = ~· Donc,

' ' v· - (8µ•) (8P•) - .!_c - .!_ -v {1.9)

i - &pi Tn· âpg Tn- - Ci t - Cg -, ] ' J

avec V le volume par mole de gaz ou volume molaire. Si l'on calcule les poids ai relatifs à la vitesse de référence volumique moyenne dans le cas d'un mélange idéal de gaz parfaits, on a:

- C; ai = CiVi = - = Ci·

Cg {1.10)

En conclusion, dans le cas d'un mélange de gaz parfaits, les vitesses de référence volu­mique et molaire moyennes sont identiques.

Enfin il est également possible de prendre un constituant particulier du mélange gazeux pour définir la vitesse de référence du gaz. On choisit alors en général celle du constituant majoritaire dans le mélange. En repérant par l'indices ce constituant particulier, ce choix de vitesse de référence correspond à un poids a5 = 1 et les autres poids nuls.

1.3 Vitesse de diffusion par rapport à une vitesse de

référence

Nous allons n1aintenant exprimer les vitesses et les flux de diffusion des constituants sui­vant la vitesse de référence choisie et la nature physique du flux. Nous introduisons tout

19

d'abord les vitesses molaire et massique de chaque constituant i:

wf = CiVi

wf = Pivi vitesse molaire du constituant i du mélange gazeux, vitesse massique du constituant i du mélange gazeux.

mole.m-2 .s- 1

kg.m- 2 .s- 1

Bien entendu ces vitesses sont liées entre elles par l'intermédiaire de la masse molaire de chaque constituant :

wf= Miwf Pi i avec, Mi = - masse molaire du constituant i du mélange gazeux. kg.moze­c;

(1.11)

Nous pouvons aussi définir les vitesses massique ou molaire de diffusion du constituant gazeux i par rapport à la vitesse de référence du gaz:

avec, JP •

J' • J? •

Jf • J' • JY •

Pi (vï - v:), ci (vi - v~),

e; (v; - v;J.

vitesse massique de diffusion du constituant i par rapport à la vitesse de référence v~ du gaz, vitesse molaire de diffusion du constituant i par rapport à la vitesse de référence v~ du gaz, vitesse molaire de diffusion du constituant i par rapport à la vitesse de référence v; du gaz.

(1.12)

(1.13)

(1.14)

On déduit des expressions (1.12) à (1.14) les relations entre la vitesse massique ou molaire de chaque constituant i et sa vitesse massique ou molaire de diffusion :

w~ • Pi V:+ Jf, (1.15)

w~ • CîV~ + Jf, (1.16)

w' • ctv;+Jf. (1.17)

Il est possible d'exprimer la différence entre les vitesses de référence massique·et molaire moyennes en fonction de la différence entre les vitesses de diffusion massique Jf et molaire Ji pour tout constituant du mélange. En effet, utilisant (1.11) et les deux expressions (1.15) et (1.16) on obtient:

(1.18)

Nous allons maintenant donner une propriété reliant les vitesses molaire ou massique de di_ffusion de tous les constituants gazeux relatifs à la même vitesse de référence v~, v~ ou vv· g·

n n

2:Jf 2;Pi (v; - v~) = 0 (1.19) i=l i=l

20

i=l n

L viJf i=l

n

:L c, t v, - v~l = o i=l

n

L 'ÜiCi (vi - v!) = 0 i=l

(1.20)

(1.21)

Chaque équation (1.19) à (1.21) est obtenue à partir de la définition (1.12) à (1.14) de ces vitesses, de la définition des vitesses de référence du gaz (1.3) à (1.5) ainsi que de la propriété (1.2) 'des poids de cette vitesse. A ce stade des seules définitions aucune vitesse de référence n'est à privilègier a priori. La question ne se posera que lors de la formulation des lois physiques, en particulier celle de la conduction d'un mélange gazeux à travers un milieu poreux, à savoir la loi de Darcy. Le tableau 1.2 récapitule les différentes expressions des vitesses de référence ainsi que les relations sur les vitesses massique ou molaire de àiffusion qui en découlent.

poids vitesse de référence vitesse de diffusion propriété sur les vitesses de diffusion n n

E, v~ = LEivi J~ = p·(v· - vP) 1 i 1 g 2:;Jf =0 i=l i=l

n n

c, v: = z:=civi Jf = ci(vi - v:) :LJf =Ü i=l i=l n n

Ci'Üi V L -Vg = CiViVi Ji= ci(vi - v:) LviJi = o i=l i=l

TAB. 1.2 - Récapitulatif des vitesses de référence

Nous allons maintenant retourner au cas d'un mélange à deux constituants afin de pouvoir énoncer la loi de Fick. Le cas d'un mélange ideal de trois constituants gazeux est présenté en annexe A.

1.4 Cas d'un mélange binaire

On considère ici un mélange de deux gaz repérés respectivement par les indices 1 et 2. Dans ce paragraphe, nous allons donner l'expression de la loi de Fick de diffusion mutuelle d'un gaz dans l'autre telle qu'issue de la théorie cinétique des gaz pour une vitesse de référence molaire moyenne. Nous en déduirons alors les expressions de la loi de Fick pour les autres vitesses de référence. Nous donnons également l'expression du coefficient de diffusion issu de la théorie cinétique des gaz.

1.4.1 Loi de Fick

La loi de Fick donne l'expression du flux de diffusion du constituant 1 ou 2 relativement au mélange gazeux. Sa forme diffère suivant le choix de la vitesse de référence adopté pour le mélange gazeux. Dans le cas d'une vitesse de référence molaire moyenne, la loi de Fick s'écrit:

21

Ji= -D; c, grad C; (1.22)

Cette expression est donnée dans de nombreux ouvrages: [25] page 252, [70] page 579, [76] chapitre 2.0 and [78] page 50. Cette expression ne suppose aucune hypothèse sur la pression totale de gaz du mélange et sa température. (1.22) est donc valable pour une pression totale de gaz et une température variables.

Le coefficient Di qui apparaît dans cette relation s'appelle le coefficient de diffusion du constituant i et a la dimension m2

/ s. Nous donnons son expression à partir des résultats de la théorie cinétique des gaz [36] dans la partie 1.4.4. On peut néanmoins déja montrer que ce coefficient est le même pour les deux constituants du mélange. En effet, sommant (1.22) sur les deux constituants et utilisant la propriété (1.20) et la relation C, + C2 = 1, on obtient:

On en déduit que les coefficients de diffusion pour les deux constituants du mélange sont égaux à un même coefficient D. Dans le cas d'une vitesse de référence molaire moyenne, nous réécrivons donc la loi de Fick (1.22) sous la forme:

Jf = -Dc9 grad Ci (1.23)

Nous allons maintenant obtenir à l'aide de (1.23) l'expression de la loi de Fick corres­pondant au choix d'une vitesse de référence massique moyenne. Fixons i = 1 et utilisons (1.13) et la définition de la vitesse molaire moyenne (1.3), on obtient alors:

(1.24)

Nous pouvons faire de même avec la vitesse massique de diffusion par rapport à v~:

(1.25)

On déduit donc de (1.24) et (1.25) l'expression de la vitesse de diffusion massique par rapport à v~ comme fonction de la vitesse de diffusion molaire par rapport à v;:

JP _ P1E2J" _MM c'J" 1- 1- 1 2 1

c1C2 P9

(1.26)

On obtient donc à l'aide de (1.23) une première expression de la loi de Fick dans le cas d'une vitesse de référence massique:

2

Ji= -D M 1 M2 c9 grad C1 p,

{l.27)

Nous allons modifier cette relation pour faire apparaître une forme plus connue de l'ex­pression de la vitesse de diffusion massique à partir du gradient de E 1. Pour cela il nous faut écrire la relation liant E1 et C1.

22

On a:

Comme

on en déduit

E- c Comme E1 +E2 = 1 et c' = M;....2.. par définition de C; et E;, on en déduit successivement:

i Pg

âC1 M1M2 C1C2 = _l_P~ àE1 (M2E1 + M1E2)2 E1E2 M1M2 ~

(1.28)

Combinant (1.27) et {1.28) , on obtient une forme plus connue de la loi de Fick pour le constituant 1 dans le cas d 'une vitesse de référence massique moyenne :

Comme (1.23) cette expression est valable pour une pression totale du mélange gazeux et une température variables. On obtiendrait le même résultat pour le deuxième constituant et l'on peut écrire :

Jf = -D Pg grad E; (1.29)

Jf = -D Cg grad C;

Jf = - D Pg grad E; =

p2

M Mg D grad E,

1 2Cg

M1M22. - ---"-g D grad C,

Pg

(1.30)

Ces expressions sont identiques à celles que l'on peut t rouver dans [25J page 252 et [76J chapitre 2. La loi de Fick peut être également formulée en adoptant une vitesse de référence volu­mique. Écrivant

{l.31)

on obtient à l'aide de (1.24) et (1.31) la relation entre Ji, vitesse molaire de diffusion par rapport à v~ et JL vitesse molaire de diffusion par rapport à v~:

Ji = C1C2ii2. J~ = C2ii2 J~ {1.32) c1C2 C2

Grâce à (1.23) on en déduit alors une première expression de la loi de Fick en adoptant une vitesse de référence volumique (pour j =/:- i) :

(1.33)

23

Dans le cas d'un mélange de gaz parfaits, Jf =Ji car Ci= C(Ui. Dans le cas contraire, il est possible d'obtenir une expression plus connue de la vitesse molaire de diffusion lorsque la pression et la température du mélange restent constantes. Pour cela on doit calculer la dérivée partielle de C1 par rapport à c1 à température et pression constantes. Par définition du volume molaire partiel ({27] page 18) on peut écrire:

On en déduit

( dV)r,., = v1 dn1 + v,dn,

Pour la quantité spécifique ii = ...!.., et utilisant C1 + C2 = 1, on a finalement: Cg

(dv)r,p, = (v1 - v,) dC1

qui entraîne

( âv ) (- _ ) -- = V1 -V2

8C1 T,pg

On en déduit la dérivée partielle de c9 par rapport à C1 à température et pression constantes

(ÔCg) l( __ ) '(- _) -- = -- V1 - V2 = -C V1 - V2 8C1 Tp v2 9

' ' A l'aide de (1.7), (1.34) on établit ainsi:

( ÔC1) âC1 T ,p,

(â(C1cg))

8C1 T,pg

= Cg - C1Cg(ii1 - ii2)

Cg(l - C1V1 + C1V2)) 2-

Cg V2

(1.34)

A partir de (1.23), (1.32) et l'expression précédente, on établit ainsi une deuxième ex­pression de la vitesse de diffusion molaire par rapport à la vitesse volumique moyenne à température et pression constantes:

Jr =-De~, Cg ( ~~11 ) p, grad C1 = -D grad C1

On obtiendrait un résultat similaire pour le second constituant gazeux. Finalement l'ex­pression de la loi de Fick, dans le cas d'une vitesse de référence volumique et sous tem­pérature et pression de gaz constantes, s'écrit:

JT = -D grad c; (l.35)

24

Cette expression est celle que l'on peut également t rouver dans [10] page 138, [25] page 252, [70J page 579 et aussi [78J page 51. C'est la vitesse de référence volumique moyenne qui conduit à une expression de la loi de diffusion molaire ne faisant apparaître que le seul coefficient de diffusion D en facteur d 'un gradient. C'est sans doute cette raison qui en fait l'expression la plus souvent utilisée pour décrire la diffusion dans un mélange à deux constituants. Cette forme simple de la loi de Fick n'est toutefois valide que sous température et pression du mélange gazeux constantes. Cette dernière hypothèse n 'étant pas toujours justifiée pour décrire la phase gazeuse d 'un milieu poreux lors de son séchage, on préfére en général les expressions (1.23) et (1.29).

1.4.2 Comparaison des vitesses de référence molaire et massique moyennes

Dans cette partie, on cherche à calculer l'écart entre la vitesse molaire moyenne et la vitesse massique moyenne en fonction du coefficient de diffusion. Pour cela on reprend l'expression (1.18) de cette différence de vitesse en fonction des vitesses de diffusion. On peut maintenant utiliser les différentes expressions de la loi de Fick (1.30) pour exprimer la différence des vitesses de diffusion en fonction du coefficient de diffusion et d 'un gradient. Par exemple, pour le constituant 1 et pour un gradient de concentration massique, on a :

Cette expression, la relation p; = M;e;, et les expressions des concentrations E ; et C; conduisent à une première expression de la différence des vitesses molaire et massique moyennes en fonction du gradient de E 1 :

C1 - E1 v~ - v~ = EiE

2 D grad E 1 (1.36)

Cette équation et la relation (1.28) nous donnent une exprnssion équivalente de la diffé­rence de vitesse en fonction du gradient de C1:

(1.37)

Les relations (1.36) et (1.37) mettent en évidence la différence entre les vitesses molaire et massique moyennes pour un mélange binaire sousmis à une diffusion. Elles montrent en particulier qu'il est différent d 'appliquer la loi de Darcy à l'une ou l'autre de ces vitesses.

1.4.3 Cas d 'un m élange à pression constante

Lorsque l'on s'intéresse au cas de la diffusion dans les milieux poreux, on est souvent amené à faire l'hypothèse que la pression tot ale du mélange est constante et égale à la pression atmosphérique. Afin de mieux comprendre ce qu'implique cette hypothèse sur les vitesses de référence, nous allons l 'envisager dans le cas d 'un milieu non poreux constitué d 'un mélange idéal de deux gaz parfaits 1 et 2.

25

Ecrivons les équations de conservation du nombre de moles des gaz 1 et 2. On a, avec les notations introduites dans les parties précédentes, et pour une vitesse de référence molaire moyenne:

OC1 d. ( c) 8t + IV w 1 =

àc2 d. ( <) 7it + lV W2

OC1 d. ( c JC) et+ lV C1Vg+ 1 =Ü

0c2 d. ( C JC) fit+ IV C2Vg + 2 = Ü } {l.38)

Sommant les deux relations de (1.38) et utilisant c9 = c1 +c2 et (1.20), on obtient l'équation de conservation du nombre total de moles du mélange:

~:+div (c9v~) = 0 (1.39)

Comme p9 = KI'c9 , si la pression de gaz est constante, v~ est alors solution de:

div V~ = Ü (1.40)

Comme le font remarquer Hirschfelder, Curtis et Bird [36} page 518, cette équation n'im­plique pas nécessairement que la vitesse molaire moyenne est indépendante de la coordon­née d'espace. Ce résultat n'est en fait valide que pour un problème unidirectionnel. Dans le cas contraire, on peut simplement dire que la vitesse molaire moyenne est à divergence nulle. Si l'on veut obtenir un résultat similaire à (1.40) sur la vitesse massique moyenne) on peut procéder de la même façon à partir des équations de conservation de la masse des gaz 1 et 2 et de l'expression des vitesses massiques de diffusion par rapport à la vitesse massique moyenne ( 1.15) :

op, d. ( P) Tt+ lV W1

OfJ2 d. ( P) ai+ !V W2

0~1 +div {p1v; +Ji)= 0

°Ji' +div (fJ2V~ + J~) = Ü } (1.41)

On divise la première équation par M1 et la seconde par M 2• On somme ces deux nouvelles équations et on utilise Pi = Mici et c1 + c2 = c9 pour obtenir:

ac, + div (c vP + _'._y + - 1-JP) = 0 àt '• Mi 1

M,2

On utilise l'expression des vitesses de diffusion massiques (1.29). On a alors

~:+div (c,v~+ (~2 - ~)p9DgradE1 ) =Ü

Cette dernière équation peut se transformer sous la forme:

~+div (c,(v; + E~~E~1 )D grad E 1) = 0

Si la pression de gaz est constante, v~ est donc solution de 1 :

div v; +div (E1 - Ci D grad E 1) = 0

E1E2

1. L'équation (1.43) aurait pu être établie directement à partir de (1.36) et {l.40).

26

(1.42)

(1.43)

On remarque à l'aide de (l.43L que pour un problème sans diffusion v~ est alors comme v~ à divergence nulle. Dans le cas contraire, et même pour une diffusion unidirectionnelle, la vitesse massique moyenne ne pourra être considérée constante.

1.4.4 Expression du coefficient de diffusion binaire

La théorie cinétique des gaz prédit la valeur du coefficient de diffusion D dans le cas d'un mélange binaire et pour une pression totale de gaz faible à modérée. Ce résultat, dû à Chapman et Enskog, est établi à partir de la résolution de } 'équation de Boltzmann. Ces auteurs expriment le coefficient de diffusion D d'un constituant du mélange binaire gazeux à partir d'intégrales dites de collision. Dans le cas d'un mélange idéal de gaz parfait on a d'après [70] page 582:

avec, D T p, M,

M

D _ 0.00266 T 312

- p,v'Ma20.v

coefficient de diffusion, température, pression totale du mélange, masse molaire du constituant gazeux i,

M 1M 2 M=2M M,

1 + 2

distance caractéristique, intégrale de collision.

cm2/s K bar kg/mol

[-]

A. [-]

(1.44)

On trouve une expression similaire à (1.44) dans (33} page 4, et où l'auteur propose de prendre un coefficient très proche du coefficient 0.00266 de (1.44):

1, 858 10-7 X v'2 X 104 = 0.00263

Les intégrales de collision ont des valeurs différentes selon le type de gaz. Pour les gaz non polaires on utilise un potentiel de Lennard-Jones, alors que pour les gaz polaires on utilise le potentiel de Stockmayer. Nous utilisons les résultats issus du potentiel non polaire de Lennard-Jones pour les appliquer au cas du mélange gazeux air sec et vapeur d'eau. Pour un gaz particulier d'indice i, ce potentiel est défini à partir d'une energie €î et d'une longueur caractéristique ai· Les valeurs de ces paramètres se trouvent dans [70} page 733 pour certains gaz. Ils permettent d'en déduire l'énergie et la longueur caractéristique du mélange des deux gaz d'indices 1 et 2:

(1.45)

(1.46)

Enfin on trouve des approximations de l'intégrale de collision dans de nombreuses réfé­kT

rences. Cette intégrale est fonction de la température adimensionnée T* = -, avec k E

constante de Boltzmann [J.K-1]. Ici encore nous utilisons l'expression présentée dans [70]:

27

0 (T') 1.06036 0.19300 1.03587 1.76474 D = (T•)D-15610 + exp(0.47635T') + exp(l.52996T') + exp(3.89411 T') (1.47)

kT avec T* = -.

<

Appliquons ces résultats au cas de la diffusion de la vapeur d'eau par rapport à un air sec à 296K et sous une pression de 1 bar. On a M.= 28.96 g/mol et Mv = 18.01 g/mol, donc M = 22.21. D'autre part, on tire du tableau page 733 de [70):

Œa = 3.711 A <a = 78.6 k

Les valeurs caractéristiques de la vapeur d'eau ne sont pas données dans (70)i on utilise donc les valeurs données dans [80) page 64:

Œv = 2.649 A <v = 356. k

Donc, on obtient Œ = 3.18 A et T• = 1.77. On calcule donc à l'aide de (1.47) la valeur flv = 1.124 de l'intégrale de collision . Finalement, on obtient une valeur du coefficient de diffusion à 296K et sous 1 bar de pression égale à 0.253 cm2 / s. Cette valeur est très proche de celle obtenue par le même type de calcul dans [80) ainsi que des résultats expé­rimentaux présentés dans cet article.

Enfin en tenant compte de l'expression (1.44) du coefficient de diffusion, on peut facile­ment prendre en compte sa dépendance en pression totale par l'intermédiaire d'un facteur l/Pg· Cela est moins facile pour la dépendance en température, car la température in­tervient directement dans (1.44) mais aussi par Fintermédiaire de l'intégrale de collision. Finalement, nous donnons la formule proposée dans [80] et basée sur la théorie cinétique ainsi que des résultats expérimentaux:

avec, Dva T Ta= 273 p, Patm = 101325

Patm ( T ) 1.88 D = Dva(p9 , T) = 0.217 - ,,_, Pg .io

coefficient de diffusion de la vapeur d'eau dans l'air, température, température de référence, pression totale du mélange 1

pression de référence ou pression atmosphérique.

cm2 /s K K Pa Pa

(1.48)

Les expressions données dans ce paragraphe sont valides dans le domaine des pressions basses à modérées. Si l'on s'intéresse au domaine des hautes pressions, le facteur 1/p9 n'est pas suffisant pour traduire l'influence des fortes pressions. L'expression du coefficient de diffusion doit donc être modifiée. On pourra voir à ce sujet [70] page 589. Enfin, la théorie cinétique des gaz donne aussi une estimation de la valeur de la viscosité d'un gaz. Cette estimation est décrite en annexe B.

28

1.4.5 Comparaison des vitesses des deux constituants

Il sera par la suite intéressant de disposer d'une expression de la différence de vitesse entre les deux constituants du mélange binaire. On se place ici dans le cas où la vitesse de référence est la vitesse molaire moyenne v~, avec ainsi:

dont on déduit

Cg --D grad C1

c, Cg

+-D grad C1 c,

(Cg Cg) D v, - v2 = - - + - D grad C1 = --- grad C1 C1 C2 C1C2

(1.49)

On a donc montré que la connaissance des vitesses molaires de diffusion par rapport à la vitesse de référence molaire moyenne nous donne la différence des vitesses des deux constituants. Reciproquement on montre que, connaissant cette différence de vitesses et la vitesse de référence étant la vitesse molaire moyenne, on peut retrouver l'expression des vitesses molaires de diffusion relatives à la vitesse de référence. Par exemple pour retrouver (1.23) pour le premier constituant, on multiplie (1.49) par C2. On a alors:

C2v 1 - C2v 2 = (C1 + C2)v1 - v~ = - ~ grad C1

Ce qui implique bien le résultat attendu. On a ainsi démontré1 que pour une vitesse de référence fixée à la vitesse molaire moyenne on a:

{ J~ = c1 (v1 -v~) = -cgDgradC1

J~ = c,(v2 - v~) = -cg D grad C2

D {::::} v1 - v2 = --- grad C1 c,c,

Cette équivalence est essentielle car montre que l'on peut travailler indifférement avec l'une ou l'autre des formulations. La deuxième formulation est cependant plus intéréssante que la première car elle ne fait intervenir qu'une équation. De plus, elle est parfaitement symétrique et donc ne privilégie aucun des deux constituants. Ce résultat nous sera en particulier utile pour l'étude des dissipations thermodynamiques dans le chapitre 2. En effet, la différence des vitesses des deux constituants contient alors toute l'information relative à la diffusion.

Nous pouvons faire le même calcul que (1.49) dans le cas ou l'on a choisi la vitesse barycentrique. On a alors:

v 1 - v' = _ P9 D grad E 1 • P1

v 2 - vP = + P9 D grad E1 g P2

On en déduit la même expression que (1.49), mais avec E 1 comme variable dans le terme en gradient :

D v1 - V2 = --- grad E1 E 1 E2

29

(1.50)

On démontre aussi une équivalence semblable à celle obtenue pour la vitesse molaire moyenne. Pour une vitesse de référence fixée à la vitesse massique moyenne on a:

{ J'{ = p,(v1 -v~) = -pu D grad E,

J~ = 0(v2 - v;J = -pu D grad E2

Le cas où un constituant du mélange est immobile est souvent étudié. Ainsi, dans leur article sur la diffusion de la vapeur d'eau dans Pair [80], De Vries et Kruger proposent de prendre une expression de la vitesse massique Wv de vapeur d'eau dans le cas d 1un mélange de gaz parfaits à pression totale constante sous la forme:

D Mv Pu ad D Pu d Wv = - va -R - gr Pv = - va - gra Pv

Tpa Pa (L51)

Cette expression comme ils le disent correspond à un air sec stagnant, c'est à dire à une vitesse Va de l'air sec nulle. En effet, si l'on fait Va= 0 dans (1.49) en remplacant les indices 1 et 2 par v et a, on obtient à pression totale constante:

D,a d C D Pu d Vv =-CC gra v = - va -- gra Pv

v a PvPa

Donc la vitesse massique de la vapeur d'eau wv correspondante est:

Mvp9 Wv = PvVv = -Dva rYP- grad Pv

IU Pa

On retrouve donc bien l'expression (1.51). Ainsi, le facteur Pu/Pa qui différencie (1.23) de {1.51) à pression de gaz constante n'est pas destiné à prendre en compte des concentrations non négligeables de vapeur d'eau, mais correspond à un air sec immobile. Cependant, cette expression présente peu d'intérêt, puisque une expérience où la vapeur d'eau se déplace, l'air sec reste immobile et la pression totale reste égale à la pression atmosphérique, est irréalisable.

30

MODELISATION MACROSCOPIQUE

DES TRANSFERTS HYDRIQUES EN MILIEU POREUX

Chapitre 2

Modélisation macroscopique des transferts hydriques en milieu poreux

2.1 Introduction

Dans ce chapitre) nous introduisons différents modèles mathématiques décrivant les trans­ferts hydriques isotherme en milieu poreux. Ces transferts d'eau isothermes se produisent lorsque le matériau est placé dans un environnement dont l'humidité relative diffère de l'humidité relative interne du matériau. On parle alors d'adsorption ou de désorption. Les mouvements de la phase liquide peuvent aussi se produire lorsque l'on place le mi­lieu poreux au contact d'eau liquide. On parle alors d'imbibition. Dans ce chapitre, nous commençons par décrire le milieu poreux comme la superposition de trois phases: solide, liquide et gazeuse. Nous utilisons une approche macroscopique qui moyenne les hétéro­généités du milieu poreux sur un volume élémentaire représentatif. Cette approche nous permet de décrire les transferts d'eau par un système d'équations aux dérivées partielles continues. Après avoir rappeler les principaux modèles de la littérature, on propose une modélisation des transferts hydriques. Notre modèle considère la phase gaseuze consti­tuée d'air sec et de vapeur d'eau. Ces constituants gazeux peuvent bouger par diffusion et mouvement Darcéen du gaz. La phase liquide obéit aussi à une loi de Darcy. Les différentes expressions des lois de comportement des fluides sont identifiées à l'aide de la thermodynamique. Enfin, on prend aussi en compte les effets capillaires et l'équilibre thermodynamique de l'eau sous forme liquide et gazeuse. A partir de ce premier modèle, il est possible d'obtenir une version simplifiée dans laquelle on néglige le transport Darcéen du gaz devant le trausport diffusif. Finalement, un autre modèle basé sur une équation de diffusion non linéaire et l1hypothèse d'une pression de gaz constante est aussi présenté.

2.2 Milieu poreux

Les milieux poreux sont des milieux constitués d'une phase solide et de la phase com­plémentaire à cette phase solide et occupée par un ou plusieurs fluides. Cette dernière phase doit être partiellement connectée pour que le transport des fluides à travers le mi­lieu poreux soit possible. Les relations présentées dans le chapitre précédent décrivent les transferts diffusifs de matière hors milieu poreux. Ces relations peuvent être utilisées pour décrire le transport diffusif des gaz dans le résau poreux, c'est à dire à l'échelle microsco-

33

pique. A cette échelle, le matériau est bien entendu trop complexe pour être exactement décrit par un modèle. Pour cette raison, différentes théories sont utilisées pour décrire le comportement des fluides d'un milieu poreux. Citons par exemple les méthodes de réseau b33ées sur la notion de percolation 140, 67j, de gaz sur réseaux l65J et enfin les méthodes d'homogénéisation 13, 13].

Notre approche dite 11 macroscopique 11 est basée sur l'existence d'un Volume Elementaire Représentatif (V.E.R). Ce volume permet la définition de qu.antité macroscopique (par exemple une pression, une porosité ... ) comme la moyenne sur ce V.E.R de la même quantité prise à Féchelle microscopique. La taille de ce V.E.R doit être suffisament grande pour que les hétérogénéités présentes à Féchelle microscopique ne soient plus apparentes à l'échelle macroscopique (voir par exemple 121] page 79, 140] chapitre 4 page 6, 131] page 6 et [10] page 11). Si l'on note l le rayon de la boule servant de volume de référence pour la prise de moyenne alors l > lmin· Ce rayon est bien entendu limité par la dimension du milieu que Fon étudie: l < L. Il existe aussi d'après Bear [lOJ page 18 une autre limite supérieure caractérisée par la distance à partir de laquelle la distribution spatiale d'une quantité caractérisant l'espace vide du milieu poreux dévie d'un comportement linéaire l < lmax < L. Les deux limites peuvent être représentées par la figure 2.1 où l'on regarde la variation de la porosité en fonction du rayon l de la boule servant de volume de réfé­rence pour la prise de moyenne. La taille du V .E.R peut ainsi être définie dans l'intervalle

(lmin1 lmaz)·

porosité($)

effets microscopiques milieu non-homogène

V.E.R milieu homogène

l mn

FIG. 2.1 - Porosité en fonction de la taille du V.E.R

On suppose maintenant l'existence d'un V.E.R pour les matériaux que l'on utilisera par la suite. On peut ainsi obtenir les équations gérant les transferts de fluide dans le milieu po­reux à l'échelle macroscopique, par prise de moyenne sur le V.E.R des équations données à l'échelle microscopique. Cette méthode est décrite dans IIOJ page 35, où Bear décrit les règles de passage micro-macro en particulier lorsqu'on prend la moyenne d'une quantité définie à partir de dérivées spatiales. Cette technique est aussi présentée par Daian [23], et utilisée par Moyne [52) sur l'équation de la chaleur, et par Plumb et Whitaker 164] sur une équation de convection-diffusion en l'absence d'adsorption et de réaction chimique. Cette démarche conduit dans ce dernier cas à l'existence d'un terme de dispersion qui

34

vient s'ajouter au terme de diffusion. Ne-Zheng Sun définit la dispersion hydrodynamique comme le résultat combiné de la diffusion moléculaire et d'une dispersion mécanique (177] page 20). Selon Ne-Zheng Sun, cette dispersion mécanique traduit les variations à l'échelle microscopique de la distribution des vitesses du fluide dans le réseau poreux. Ces varia­tions microscopiques favorisent alors la dispersion du fluide dans le milieu poreux. Ce phénomène se traduit donc à l'échelle macroscopique par un tenseur de dispersion qui s'ajoute en général aux effets diffusifs. Par exemple, dans !74] Sleep et Sykes utilisent dans leur expression de la loi de Fick un tenseur de dispersion qui prend en compte les effets de dispersion mécanique et de diffusion moléculaire. Dans notre étude, la dispersion mécanique sera négligée devant les effets diffusifs.

Nous pouvons maintenant introduire certaines définitions et notations utiles dans les mo­dèles de transfert d'eau en milieu poreux. On considère un volume Vt de référence d'un milieu poreux, constitué d'une phase solide aussi appelée matrice solide. La partie res­tante du milieu poreux est le volume poreux connecté et se compose d'une phase liquide et gazeuse. Comme nous nous plaçons à l'échelle macroscopique, le milieu poreux peut être représenté schématiquement par la figure 2.2 dans le cas d'une répartition homogène de la porosité et des phases liquide et ga:zeuse.

phase gazeuse: air sec+ vapeur d'eau

phase liquide : eau pure

v,

V t

FIG. 2.2 - Représentation macroscopique d 1un milieu poreux

On introduit les volumes occupés par chacune des phases:

- volume occupé par la phase liquide: VI,

- volume occupé par la phase gazeuse: V9 ,

- volume occupé par la phase solide: Ys,

- volume total du matériau poreux: Vt = Vi + V9 +Ys-On définit alors les quantités macroscopiques suivantes:

- une teneur en eau volumique: V,

q,, =V,'

35

(2.1)

- une teneur en gaz volumique:

- une porosité totale du milieu:

- une saturation en eau:

- une saturation en gaz :

- une teneur en eau massique:

V, </>g = vt'

</J1 V, s, = ""i = V, + V,,

(2.2)

{2.3)

(2.4)

(2.5)

(2.6)

avec Ps masse volumique apparente du milieu poreux. Cette masse volumique est définie par rapport au volume total vt du matériau, même si sa partie solide n'occupe en réalité que l'espace Vs· On note ms la ma.sse à sec du matériau, et l'on suppose que cette masse est assimilable à la masse de solide {on néglige raisonnablement la partie due au gaz). La masse volumique apparente du matériau poreux peut alors être calculée par:

m, Ps=-

V,

2.3 Bibliographie sur les modèles de transfert hydrique

La bibliographie sur des modèles macroscopiques décrivant les transferts d'eau en mi­lieu poreux est très riche et très ancienne. Nous commençons donc par décrire certains travaux que nous jugeons représentatifs de l'évolution des modèles macroscopiques de transfert d'eau en milieu poreux. Nous citons après d'autres références très proches de celles décrites ici ainsi que d'autres travaux sur les milieux poreux pouvant s'adapter à notre sujet. Nous renvoyons le lecteur à Moyne [51] pour une bibliographie plus complète des transferts hydriques en milieu poreux.

Philip [62, 63] est Pun des premiers auteurs à décrire les transferts hydriques en milieu poreux. Il justifie l'application de la loi de Darcy à la phase liquide d'un système non saturé à partir de résultats expérimentaux. Il précise alors que la perméabilité au liquide décroit très rapidement en fonction de la teneur en eau car:

1. la section disponible pour les flux de liquide décroit avec la teneur en eau,

2. les plus gros pores se vident au début quand la teneur en eau diminue. Comme de plus la perméabilité varie en fonction du carré du rayon des pores dans le cas de cylindre, on s'attend à ce qu'elle diminue encore plus rapidement en fonction de la teneur en eau,

36

3. au fur et à mesure que la teneur en eau diminue, de plus en plus d'ilots liquides se forment diminuant ainsi la continuité de la phase liquide. Les mouvements d'eau diminuent donc et se produisent alors à partir d'évapO.:condensation dans le réseau poreux.

Pour la phase gazeuse, il exprime le mouvement diffusif de la vapeur d 'eau à partir du gradient de la masse volumique de vapeur. Cette loi de diffusion est modifiée par la ré­duction d 'espace offerte au gaz, une tortuosité et un facteur devant prendre en compte le fait que sa condition aux limites porte sur l'air et non pas la vapeur d 'eau.

Bénet [llJ considère la phase gazeuse comme constituée d 'air sec et de vapeur d 'eau. Le modèle qu'il décrit est fondé sur une étude thermodynamique des processus irréver­sibles et met en évidence la source d'entropie de son système. Il peut alors, à partir de chaque dissipation, identifier les moteurs de chaque transfert. Son étude prend en compte le changement de phase de l'eau et un transfert de chaleur entre la phase solide et les autres phases. Il fait le choix d 'une vitesse massique moyenne (ou barycentrique) pour décrire la vitesse du mélange gazeux. Il suppose enfin que cette vitesse de référence est négligeable et que la pression de gaz est constante. Pour le traitement de l'équilibre eau liquide - vapeur d 'eau, il distingue deux domaines séparés par une teneur en eau critique dite d 'adsorption maximale. Pour des teneurs en eau supérieures à cette valeur crit ique on est dans le domaine dit humide. Dans ce domaine les effets capillaires sont faibles et ne jouent par conséquent pas sur l 'équilibre liquide - vapeur de l'eau. La pression au dessus de la solution interstitielle est donc donnée par la pression de vapeur saturante. Pour des teneurs en eau inférieures à la teneur en eau critique, les effets capillaires sont beaucoup plus importants (le rayon des ménisques des pores cylindriques sont très faibles) de sorte qu'il y a modification de l'équilibre liquide - vapeur. Cette modification est alors donnée par la loi de Kelvin.

Daian [21 , 22, 23J décrit les processus fondamentaux de t ransfert isotherme en milieu poreux pour la phase gazeuse et la phase liquide. Pour la phase gazeuse, il ne considère pas de t ransfert visqueux global du mélange sous l'effet d'un gradient de pression totale (Darcy). Il étudie plus particulièrement la diffusion moléculaire sous forme libre et avec effet Knudsen lorsque les diamètres des pores d sont très petits devant le libre parcours moyen lm des molécules du gaz. Dans le cas de l 'effusion, il donne une expression du flux massique d'effusion de la vapeur d'eau basée sur une étude microscopique dans un pore cylindrique de grande longueur devant son rayon. Cette expression a alors la même forme que celle issue de la diffusion libre, ce qui lui permet de regrouper les deux modes de dif­fusion en une unique expression. Enfin, il constate un effet des pores de diamètre inférieur à 25 A sur la viscosité dynamique de l'eau.

Moyne [4, 24, 51, 52J est l 'un des premiers à prendre en compte les mouvements du mé­lange gazeux sous gradient de pression. Il considère aussi une phase gazeuse constituée d'air sec et de vapeur d 'eau, et un régime non isotherme. Il justifie la prise en compte du gradient de pression totale par la forte sensibilité de la conductivité thermique apparente au mouvement de la phase gazeuse. D'autre part , il souligne dans [24J la contradiction entre les hypothèses d'une pression totale constante en phase gazeuse et l'immobilité du composant inerte de la phase gazeuse (l 'air sec), faite dans de nombreux modèles. Moyne fait le choix d'une vitesse de référence du mélange barycentrique. Par conséquent il ex-

37

prime la vitesse de diffusion d'un constituant en fonction du gradient de sa concentration massique. A l'échelle macroscopique, il introduit un facteur de résistance à la diffusion devant sa vitesse de diffusion pour prendre en compte la réduction de l'espace disponible à la diffusion, la tortuosité, et d'autres effets décrits dans [24[ page 2227.

Nous citons aussi les travaux de Bazant [8, 9J basés sur une équation de diffusion non linéaire de la teneur en eau. Crausse (19] étudie les transferts couplés de chaleur et d'hu­midité à partir de deux équations de diffusion non linéaires écrites en saturation et tem­pérature. La modélisation utilisée par Perré [57] est très proche de celle de Moyne. Nicolas [54] utilise la thermodynamique des milieux continus pour identifier les lois phénoménolo­giques de transfert (Darcy, Fick et Fourier). Enfin, de nombreux modèles macroscopiques décrivant le comportement d'un milieu poreux saturé par plusieurs phases à base de dif­férents constituants sont présents dans la littérature. Citons les travaux de Adenekan, Patzek et Pruess [l] et Sleep et Sykes [74]. Ces travaux ont été développés en vue de la modélisation de système triphasique eau-air-huile en sous-sol. Cependant leur généralité les rend applicables à la modélisation des transports d'eau dans les matériaux du génie civil. Citons aussi les travaux de Wang [82] et Beckermann [81] qui modélisent les diffé­rentes phases fluides du milieu poreux comme un seul élément afin de réduire le nombre d'équations à résoudre.

2.4 Modélisation avec prise en compte de la pression de gaz

2.4.1 Hypothèses

Ce modèle est basé sur la thermodynamique des milieux poreux ouverts, et est décrit dans Il 7]. Le milieu poreux est vu comme la superposition d'une particule liquide 1 d'une particule gazeuse et d'un squelette. Ce dernier comprend l'ensemble constitué de la phase solide ou matrice solide du milieu poreux et l'espace poreux connecté occupé par les fluides eau et gaz. Dans cette vision, la matrice solide peut éventuellement contenir une porosité occluse. De la même manière, les particules liquide ou gazeuse sont constituées de la phase liquide ou gazeuse et de l'espace complémentaire à la phase considérée dans le milieu po­reux. L'intérêt de cette vision réside alors dans l'expression de toute quantité physique comme somme de trois quantités attachées respectivement au squelette et aux particules. On peut alors obtenir une extension des résultats de la thermodynamique classique aux milieux poreux. Le squelette peut être considérée comme déformable si l'on s'intéresse par exemple au re­trait d'un milieu poreux pendant son séchage [42]. Dans le cas qui nous intéresse, le séchage simple d'un milieu poreux, nous considérons ce squelette indéformable. Cette hypothèse simplifie la modélisation 1 car les vitesses des fluides par rapport au squelette sont alors des vitesses absolues et non pas relatives comme c'est le cas quand le squelette est déformable.

D'autre part on fera par la suite un certain nombre d'hypothèse qui permettent de sim­plifier la modélisation.

La phase liquide est considérée comme de l'eau pure. Ceci n'est bien entendu pas le cas des matériaux à base de ciment car la solution interstitielle contient alors

38

différentes espèces ioniques issues en particulier de la réaction d'hydratation du ciment. Cette hypothèse est nécessaire pour ne pas avoir à prendre en compte les perturbations induites par la présence de ces ions sur l'équilibre liquide-vapeur de l'eau, la masse volumique de l'eau ou encore sa viscosité. Elle se justifie par le faible effet des concentrations en espèces ioniques en solution sur la ma.sse volumique ou sur l'équilibre liquide-vapeur.

- La phase liquide est incompressible. Cette hypothèse nous permet de ne pas prendre en compte de dépendance de la masse volumique en fonction de la pression de la solution interstitielle. Cette hypothèse est très souvent admise, cependant l'eau se trouvant en traction au sein du milieu poreux, il convient donc d'étudier l'effet de fortes pressions négatives sur la masse volumique. Les résultats de Mercury et Tardy {49] montrent ainsi une faible variation du volume molaire de l'eau jusqu'à des pressions de liquide de moins 1000 bars.

- La phase gazeuse est constituée d'un mélange gazeux d'air sec et de vapeur d'eau. Ces deux gaz sont supposés se comporter comme des gaz parfaits, et le mélange obeit aussi à la loi des gaz parfaits (mélange idéal).

- Nous supposons aussi que la température est uniforme et constante au sein du milieu poreux. Cette hypothèse se justifie dans le cas de milieu poreux à forte conductivité thermique et à faible perméabilité. Néanmoins, l'hypothèse d'isothermie peut être relaxée dans l'extension de ce modèle faite par Malinsky 148].

- Le mélange gazeux n'est pas forcément à pression totale constante et égale à la pression atmosphérique. En effet, des variations de la pression totale du gaz peuvent se produire lors d'imbibition, ou à la suite des phénomènes d'évaporation ou de condensation de l'eau. Les surpressions ou dépressions engendrées au sein du milieu sont alors d'autant plus importantes que le milieu poreux est peu perméable.

- Il n'y a pas de prise en compte des forces de gravité. Ces dernières sont négligées devant les forces capillaires. Cette hypothèse ne pose pas de problème pour la phase gazeuse, et est aussi particulièrement vraie pour la phase liquide à faible saturation. Elle paraît moins probable à saturation proche de 1 car alors les forces capillaires sont quasi-nulles. Cependant, la perméabilité à l'eau étant maximale à saturation proche de 1, les effets de gravité pourront aussi être négligés devant les forces dues aux pressions de liquide à forte saturation.

2.4.2 Conservation de la masse

Ce modèle est basé sur les travaux de Coussy 116], Il 7] et Lassabatère [42]. Nous en repre­nons ici les principales étapes, et nous utilisons les résultats du chapitre 1 sur la diffusion des gaz pour identifier un paramètre de diffusion. Ce modèle de séchage repose princi­palement sur les équations macroscopiques de conservation de la masse de chacun des constituants présents au sein du milieu poreux. On écrit donc la conservation de la masse d'eau liquide et des masses de vapeur d'eau et d'air sec présents sous forme gazeuze dans un volume élémentaire df!.:

39

avec, m,dn

m,dn

W;

àm1 [)f,

àm, àt

am.

àt

= -·div W1 o H20

- ml-tg conservation masse d'eau liquide

= -div Wv o H20

+ml-tg conservation masse de vapeur d'eau

= -div Wa conservation masse d'air sec

masse d 1eau liquide contenue dans le volume élémentaire kg dfl, masse d'air sec (i =a) ou vapeur d'eau (i = v) contenue kg dans le volume élémentaire dn, masse d'eau qui passe de la phase liquide à gazeuse dans kg le volume élémentaire df2 et pendant le temps dt,

j (2.7)

vecteur vitesse massique du constituant i = l, a, v, de kg.m-2 .s-1

sorte que div wi dfl dt réprésente les échanges de masse en constituant i avec l'extérieur du volume élémentaire dfl pendant le temps dt

Ce modèle considère donc d'éventuels transferts de masse de la phase liquide vers la phase gazeuse. Comme c'est le même constituant qui disparaît en phase vapeur pour apparaître en phase liquide, on a bien entendu:

0 H20 ° H20 m l-+g = -m g-+l

D'autre part, on adopte la convention ffi~~ 2 0 s'il y a évaporation et ffi~~ ~ 0 s'il y condensation.

Les termes Tn.j intervenant dans (2. 7) peuvent s'exprimer facilement à partir de la porosité totale et de la saturation en eau liquide:

m1 = <P1P1 mv </JgPv mo. </JyPo.

</!s1p1 } </>(l - s,)p, <f!(l - s,)p.

avec, Pt masse volumique de l'eau, P; masse volumique de l'air sec (i =a) ou de la vapeur d'eau (i = v).

kg.m-3

kg.m-3

(2.8)

Les quantités </!1, </!9, </!et s1 sont définies par les relations (2.1) à (2.4) en prenant comme volume de référence dfl. On complète les équations de conservation de la masse par des équations d'état. La masse volumique de Peau liquide est supposée indépendante de la pression du liquide. Quant aux masses volumiques des gaz air sec et vapeur d'eau, elles sont reliées aux pressions partielles de ces constituants par la loi des gaz parfaits:

(2.9)

40

avec, Pi M, R T

pression partielle du constituant i, masse molaire du constituant i, constante des gaz parfaits, température du mélange gazeux.

Pa kg.mole- 1

J.K- 1 .mole-1

K

Le mélange étant idéal, la pression totale de gaz est la somme des pressions partielles d'air sec et de vapeur d'eau :

Pg =Po.+ Pv

D'autre part, on introduit les concentrations molaires en gaz 1 :

C. _Pi 1 - Pg

2.4.3 Equilibre liquide - vapeur de l'eau

(2.10)

(2.11)

L'équilibre thermodynamique entre les deux phases de l'eau est régi par l'égalité des potentiels massiques de Gibbs 9i de l'eau liquide et de la vapeur d'eau. Le potentiel de Gibbs g; est défini pour les trois fluides: liquide (i = l), vapeur d'eau (i = v) et air sec {i =a). Ce potentiel massique est aussi souvent dénommé enthalpie libre massique et est défini par rapport à la masse de chaque fluide {i =a, v ou l). Son expression est donnée par:

avec,

g,(p,, T) = ei + ~ - Ts, Pi

Si entropie interne par unité de masse du fluide i, ei énergie interne par unité de masse du fluide i.

De plus, le potentiel Yi vérifie les relations suivantes [38]:

&g, =

&p, 1 &g, -

-=-Si &T Pi

L'équilibre thermodynamique des deux phases de l'eau peut donc être traduit par:

g. (p., T) = g, (p,, T)

(2.12)

(2.13)

Le cas d'un changement de phase non dissipatif donc instantané conduit à la relation de Clapeyron:

dg.(p., T) = dg1(p1, T) (2.14)

Dans le cas isotherme, l'équation (2.14) et la première des relations (2.13) permettent d'exprimer l'équilibre thermodynamique par:

dp, = dp,

Pv Pt (2.15) 1

1. La concentration Ci ainsi définie est la même que celle introduite dans le chapitre 1 sur la diffusion des gaz. En effet, les gaz étant supposés parfaits, on a Pi == RTci

41

Il peut être intéressant d'exprimer l'équilibre thermodynamique sous une forme intégrée plutôt que sous la forme différentielle (2.15). Pour cela on remplace dans cette dernière équation la masse volumique de la vapeur d'eau par son expression donnée dans la loi (2.9) des gaz parfaits. On obtient:

(2.16)

On intègre cette relation par rapport à un état de référence où les variables Pv et Pl sont connues et notées avec un exposant *· Le liquide étant supposé incompressible, on obtient :

p,: ln p: = p, - PÎ (2.17) v Pv

On choisit comme état de référence un équilibre thermodynamique liquide-vapeur de l'eau sans effet capillaire et à pression atmosphérique. Dans ce cas, la pression de liquide est égale à la pression de gaz elle même égale à la pression atmosphérique. Enfin, la pression de vapeur d'eau est la pression de vapeur saturante pour une pression de liquide égale à la pression atmosphérique:

p; = Patm P; = Pvs (Patm)

La valeur de la pression de vapeur saturante pour une pression de liquide égale à la pression atmosphérique (p., (Patm)) dépend de la température. Cette valeur peut être calculée à partir de la relation (C.12) donnée en annexe C. Par la suite nous notons simplement par Pvs la pression de vapeur saturante pour une pression de liquide égale à la pression atmosphérique. Donc (2.17) devient:

Pl RT ln Pv =Pl - Patm (2.18) Mv Pvs

Le rapport des pressions de vapeur d'eau intervenant dans (2.18) correspond à la définition de l'humidité relative hr 2 :

h, = !'3'... (2.19) Pv,

Donc avec cette définition de l'humidité relative conforme aux valeurs que peuvent nous donner les expérimentateurs, on obtient la forme intégrée de (2.15):

RT P1Mlnh, =p1-Patm (2.20)

V

Il nous faut maintenant donner une expression pour les différents flux intervenant dans les équations de conservation de la masse (2.7). La forme des expressions de ces flux va être obtenue à partir de l'étude de la dissipation thermodynamique liée à la conduction des fluides. Nous appelons cette dissipation, la dissipation de transport.

2. D'autres choix de pressions de référence étaient possibles dans (2.17). En particulier, le choix d'un état de référence où la pression du liquide est égale à la pression du gaz non fixée paraît intéressant. Ce choix permet en effet de faire apparaître directement la pression capillaire dans le membre de droite de (2.17). Cependant, la pression de vapeur d'eau de référence devient alors la pression de vapeur saturante pour une pression de liquide êgale à la pression de gaz non fixêe: Pvs(p9). On peut alors définir une humidité relative h; = Pv/Pvs(p9 ) différente de celle introduite en (2.19). Cette humidité relative h; est en effet à la différence de celle introduite par (2.19) une fonction de la pression de gaz.

42

2.4.4 Etude thermodynamique de la dissipation de transport

Cette dissipation provient de l'étude thermodynamique de notre problème Il 7, 18J. Elle est en particulier basée sur l'écriture du premier et du deuxième principe de la ther­modynamique. Dans le cas où l'on suppose la dissipation de transport ~T indépendante des autres dissipations thermodynamiques, les vitesses massiques des trois fluides doivent vérifier ! 'inégalité suivante:

w· <l>T = - L ~ grad P• 2: 0 (2.21)

i=a,v,l Pi

Fixons maintenant une vitesse de référence pour le mélange gazeux de la forme:

v:=aaVa+avVv {2.22)

avec aa + av = 1. C'est par la suite cette vitesse qui obéira à la loi de Darcy. Comme w1 = <l>lPlV1 et pour i =a et v, wi = <P9PiVj, la dissipation Wr peut s'écrire comme somme de deux termes :

(2.23)

avec,

-<Pi v1 grad Pi - </J9 v: grad p9 (2.24)

-1;9 (vv - v;) grad Pv -1;9 (va - v;) grad Pa

-1;9 a.(vv - v.) grad Pv - </Jg av(v. - Yv) grad Pa

-1;9 (vv - v.) (aagrad Pv - avgrad Pa) (2.25)

La dissipation <Pj? est la dissipation associée au transport Darcéen des fluides car elle contient les vitesses de référence de chaque fluide associées aux gradients de pression de chaque fluide. La dissipation <L>j'. est quant à elle la dissipation associée au transport dif­fusif des constituants gazeux. En effet, au paragraphe 1.4.5 nous avons montré que la différence des vitesses des deux constituants présents en phase gazeuse contenait toute l'information relative la diffusion.

Si l'on suppose (2.21):

ces deux dissipations découplées l'une de l'autre, on doit avoir d'après

Etude de la dissipation liêe au transport Darcéen: 4>,j? 2: 0

Les lois les plus simples de conduction des deux phases satisfaisant cette dernière inégalité sont les lois linéaires de la forme:

</J1v1 -Kn grad Pt - K1g grad p9

c/J9 v~ = -Kg1 grad P1 - Kgg grad p9

(2.26)

(2.27)

avec, K 81 = K 18. L'utilisation des tenseurs Kij permet de traiter le cas des milieux poreux anisotropes. Cependant) afin d'alléger les notations, nous nous restreignons désormais au cas des matériaux isotropes.

43

Les relations (2.26) et (2.27) peuvent être comparées avec celles obtenues par Bénet [11] page 63 où apparaissent en plus un couplage dû aux effets thermiques et un autre dû aux forces de gravité s'exerçant sur chaque fluide. Le fait que les termes k1

9 et k91 soient non nuls

traduit le couplage visqueux entre les mouvements des phases liquide et gazeuse {16J. Ce couplage entre les vitesses de chacune des phases est aussi obtenu par Auriault et Sanchez­Palencia [3] et Whitaker [83] dans le cas de deux fluides incompressibles non miscibles saturant un milieu poreux rigide. Les auteurs procèdent tous à partir des équations de Navier-Stokes à l'échelle microscopique. Auriault et Sanchez-Palencia [3] utilisent une technique d'homogénéisation et un développement asymptotique basé. sur la méthode des deux échelles. Whitaker (83] opère par prise de moyenne des équations données à l'échelle microscopique sur un volume de moyenne. Il évalue un couplage important entre les vitesses des deux phases quand le rapport des viscosités de la phase mouillante sur la phase non mouillante est d'ordre 1. Dans notre cas, ce rapport s'évalue approximativement au rapport de la viscosité de l'eau sur celle de l'air sec:

1. 10-3 "" 0.6 10-2 1.810 5

On peut donc raisonnablement ne pas prendre en compte ce couplage 3 . Cette simplifi­cation revient à négliger les effets visqueux de l'interface liquide-gaz devant les forces de pression s'exercant sur chaque fluide. Les lois de conduction de chaque fluide prennent alors la forme classique des lois de Darcy découplées:

<jJ1v 1 = - k1 grad p1

</J9 v: = - k9 grad p9

Les coefficients k1 et k9 représentent respectivement les perméabilités du milieu poreux au liquide et au gaz. Ces coefficients sont inversement proportionnels à la viscosité dynamique de chaque fluide. Il est aussi courant de les relier à une perméabilité absolue 4 du milieu poreux au moyen de perméabilités dites relatives:

avec, k, k

T/i V;

k k kt= -krl = --krl

TJ1 PtVt

perméabilité au fluide i du milieu poreux, perméabilité absolue ou intrinsèque du milieu poreux, viscosité dynamique du fluide i, viscosité cinématique du fluide i, masse volumique du fluide i, perméabilité relative au fluide i.

m 3.s.kg-1

m2

kg.m-1 .s-1

m2.s-1

kg.m-3

[-]

En annexe B, nous décrivons comment la viscosité des gaz peut être calculée à pression modérée à partir des résultats de la théorie cinétique des gaz. La viscosité d'un gaz dépend

3. Citons aussi les travaux expérimentaux de Zarcone [87J. Cet auteur montre que dans le cas du sable, les termes croisés de perméabilité k 91 et k19 peuvent être négligés pour les couples mercure/eau et huile/eau.

4. Dans le cas particulier d'un milieu poreux constitué d'un cylindre de rayon r, la perméabilité absolue du milieu poreux va.ut r 2 /8. Cette expression est issue de l'expression du champ des vitesses dans un écoulement de Poiseuille ({37] page 92).

44

en particulier de sa composition. Dans notre cas, on se place à des faibles températures de l'ordre de 20° C. A cette température, la concentration en vapeur d'eau est très faible, nous pouvons donc prendre comme valeur de la viscosité du gaz celle d'un air sec à 20° C (annexe B):

719 ""1.8 io-5 kg.m- 1.s-1

Pour la viscosité de l'eau, on trouve des valeurs dans de nombreuses tables [61} page 10 ou [44] page 6-193. Les effets de l'augmentation de la pression du liquide sur sa viscosité sont donnés-·dans [70] page 436. Cependant comme il n'existe pas de résultat quand le liquide se trouve en traction, on suppose ces effets négligeables. On utilise donc la formule donnée par Pezzani dans [61] page 4:

(T) = 2 414 _5 ( 570.58058) 71' · 10 exp T - 139.85

avec 7}1 en kg.m-1 .s-1 et T température en Kelvin. Par exemple pour une température de 20° C et une pression de liquide de une atmosphère on a:

7J1 :e 1.002 10-3 kg.m- 1.s-1

En ce qui concerne la perméabilité relative au fluide, elle doit prendre en compte les effets des autres phases sur le mouvement du fluide. Elle doit en particulier décrire la différence de comportement du fluide suivant sa quantité présente dans le milieu comme le décrit Philip [62]. La perméabilité relative est une fonction normalisée comprise entre 0 et 1, que nous exprimons comme une fonction de la saturation en eau liquide s1• Différentes expressions sont proposées dans la littérature pour le gaz comme pour le liquide. Nous utilisons dans le chapitre suivant des expressions basées sur le modèle de Mualem.

On a alors:

k <f>1v1 = - - k,.1(s1) grad p,,

7/l k

<f>9 v; = - - k,.9 (si) grad p9 7/g

Etude de la dissipation liée au transport diffusif: Il>~ > 0

(2.28)

(2.29)

L'expression (2.25) ne privilégie encore aucune des vitesses de référence introduites dans la partie sur la diffusion des gaz. Comme ici la pression du mélange gazeux peut varier, deux choix des coefficients ai sont possibles pour notre modèle. Le choix d'un coefficient ai égale à la concentration molaire conduit à une vitesse molaire moyenne. L'autre choix d'un coefficient ai égale à la concentration massique conduit à une vitesse massique moyenne. Nous étudions maintenant l'influence de ces choix sur l'expression de la dissipation de transport diffusif:

•choix d'une vitesse molaire moyenne: v; = v~ =Cava+ Cvvv

4': -<f;9 (vv - Va) (C, grad Pv - Cv grad Pa)

-</>9 (vv - v.) (p9 Ca grad Cv - p9 Cv grad C.)

= -</>9 (vv - v.) p9 grad Cv

45

(2.30)

•choix d'une vitesse massique moyenne: v; = v~ = Eava + Evvv

<!>F T -4'9 (vv - v.) (Ea grad Pv - Ev grad Pa)

= -</Jg (vv - Va) PvPa grad (gv - g.) p,

(2.31)

Pour cette dernière expression, on a utilisé la première des relations (2.13) et Ei = PiPg pour exprimer <I>f à l'aide d 1un seul gradient. Ce résultat est alors similaire à celui de Bé­net [11] page 63 qui considère la vitesse barycentrique comme vitesse de référence du gaz 5

.

On va maintenant reformuler (2.31) afin de faire apparaître un gradient de Cv ou Ev· Ce sont en effet ces quantités qui interviennent dans la loi de Fick (1.30) dans le cas d'une vitesse de référence massique moyenne. On utilise Pi = Ci p9 , donc grad Pi = Ci grad p9 + p9 grad C;. Donc comme Cv +Ca= 1, (2.31) devient

<l>f -4'9 (vv - v.) (Ea grad Pv - Ev grad Pa) -4'9 (vv - v.) [E.(C.grad p9 + p9grad Cv) - E.(C.grad p9 + p9grad C.)]

-4'9 (vv - va) (p9grad Cv + (E.Cv - E.C.)grad p9 ) (2.32)

Si on compare les deux expressions (2.30) et (2.32) de la dissipation cllf, on constate que seule l'expression (2.30) obtenue à partir de la vitesse molaire moyenne nous conduira à une expression de même nature que (1.49) ou (1.50) sans faire l'hypothèse d'une pression totale de gaz constante. Le seul choix possible des coefficients a; dans (2.22) est donc celui des concentrations molaires moyennes. On choisit par conséquent d'après (2.29), d'appli­quer la loi de Darcy du mélange gazeux à la vitesse molaire moyenne. Ce choix est aussi celui de Adenekan, Patzek et Pruess [1] et Sleep and Sykes [74] qui écrivent la conservation de la masse sous forme molaire.

Remarquons cependant qu'une majorité d'auteurs utilisent la vitesse massique moyenne comme vitesse de référence obeissant à la loi de Darcy: Bénet [11), Bonnet [12)i Kari [41], Lichtner [43], Moyne [4, 24], Nasrallah [53], Perré [57] et Wang [82]. Enfin, citons les travaux de H.3.upl et al. [35] qui, même s'ils utilisent une vitesse massique moyenne, expriment la vitesse massique de diffusion de la vapeur d'eau comme somme de deux termes. Le pre1nier, en gradient de Eü correspond au terme généralement utilisé pour la diffusion. Le second, en gradient de pression de gaz, peut s'interpréter comme issu du terme en gradient de pression de gaz dans (2.32).

La vitesse de référence du mélange gazeux est maintenant fixée à la vitesse molaire moyenne. On utilise donc une loi linéaire satisfaisant la positivité de (2.30) pour décrire

5. Cependant, il ne suppose pas la dissipation thermique indépendante de la dissipation liée à la diffusion des gaz. Par conséquent, il déduit de l'existence d'une relation linéaire entre les flux et les forces, une expression du flux de diffusion de la vapeur d'eau en fonction du gradient de la différence de potentiel (Bv - Ba) et du gradient de température. Ainsi, une répartition de température non homogène dans le milieu poreux peut générer un flux de diffusion de matière: c'est l'effet Soret. Réciproquement, un gradient de différence de potentiel peut entraîner des échanges de chaleur dans le milieu: c'est l'effet Dufour. On pourra aussi voir à ce sujet [25) page 273. Dans notre cas, en régime isotherme, ce couplage n'a pas lieu d'être pris en compte.

46

la différence des vitesses des deux constituants. Il existe donc un terme Je, a priori non constant et positif, tel que:

cjJ9 (vv - va)= - f' grad Cv (2.33)

Nous allons maintenant identifier en partie le coefficient Je en comparant cette expression avec l'expression (1.49) de la différence des vitesses issue de la loi de Fick. Dans le cas d'un mélange d'air sec et de vapeur d'eau, et en utilisant l'expression (1.48) du coefficient de diffusion donnée par De Vries et Kruger !BO], (1.49) se réécrit:

avec

avec Dva(Pg, T) = Dva(T)/Pg T Ta= 273 Patm = 101325

Dva(T) Vv - Va= --C C grad Cv·

a vPg

(T)i." Dva (T) = 0.217 Patm -Ta

coefficient de diffusion de la vapeur d'eau dans l'air, température, température de référence, pression de référence ou pression atmosphérique.

(2.34)

{2.35)

cm2/s K K Pa

Donc la comparaison de (2.33) et (2.34) nous donne une forme plus précise de la différence des vitesses en fonction du coefficient de diffusion:

Dva(T) { ) c/J9 (vv - v.) = - -CC f s1 grad Cv.

a vPg (2.36)

Comme Degiovanni et Moyne, nous avons introduit un facteur J de "résistance à la diffu­sion" qui différencie les seconds membres de (2.34) et (2.36). Ce facteur peut être interprété comme l'analogue de la perméabilité relative introduite dans la loi de Darcy (2.29). Il doit prendre en compte la réduction de l'espace offert au gaz pour diffuser, les effets de tortuo­sité et les effets dus à la présence des phases liquide et solide sur la diffusion. Ce facteur dépend donc de la saturation en eau liquide. D'autres effets de ce facteur sont mentionnés par Degiovanni et Moyne dans 124) page 2227.

En résumé, d'après (2.29), (2.36) et l'expression des flux massiques en fonction des vitesses (wi = c/>9 pivi), on obtient les deux expressions suivantes:

{

C Wv C Wa _ v-+ .- -Pv Pa

Wv _ Wa _

Pv Pa

k - - k,9 (si) grad p9

T)g

( ) D,.(T) d C - J s, -C C gra v Pg v a

La combinaison de ces deux équations entraîne:

Wv = -Pv~ k,9(s1) grad p9 - J(si)RTMv Dva(T) grad Cv (2.38) T)g

w. =-p.~ k,9 (s,) grad p9 - f(si)RMa Dva(T) grad Ca (2.39) 1Jg T

47

(2.37)

Quant à la phase liquide on rappelle le résultat obtenue en (2.28):

(2.40)

2.4.5 Effets capillaires

Pour que notre modèle de transfert hydrique soit complet 1 on doit encore se donner l'ex­pression de la pression capillaire en fonction de la saturation en eau liquide. A l'échelle d'un pore, lorsque deux phases fluides sont présentes, elles sont séparées par une inter­face courbe. La pression est discontinue à la traversée <le cette interface. La différence de pression entre la phase non mouillante et la phase mouillante est la pression capillaire et est donnée par la loi de Laplace qui traduit l'équilibre mécanique du ménisque (voir par exemple [40] page 1.5):

P2 - Pi = <>112 (_!._ + _!._) R1 R,

avec, P2 P1 R,, Œ1/2

R,

pression du fluide non mouillant , pression du fluide mouillant , rayon de courbure principaux de l'interface courbe, tension de surface de l'interface 1/2.

Pa Pa m N.m-1 ou kg.s- 2

A l'échelle macroscopique, on introduit la pression capillaire entre deux fluides comme la différence de pression entre le fluide non mouillant et le fluide mouillant. Il s'agit donc d'une différence de pression macroscopique [34J. Dans notre cas, le fluide mouillant est l'eau et le fluide non mouillant le gaz. On fait l'hypothèse que cette différence de pression n'est une fonction que de la saturation en eau liquide:

(2.41)

Cette relation est la transcription macroscopique de la loi de Laplace. Elle peut être dé­montrée à partir de l'étude thermodynamique de notre système ([17] page 417) dans le cas d'un milieu isotrope, à matrice indéformable et en condition isotherme. La fonction Pc dépend du matériau choisi, mais aussi de la paire de fluides saturants et de la température. De plus, la relation Pc(sl) n'est pas la même lorsque le matériau se désorbe ou au contraire se charge en eau. Ce phénomène se traduit par une courbe de sorption différente de la courbe de désorption. On parle alors d'hystérésis pour le matériau ( voir Daian [21] page 24 ou Madjoudj [46] page 5). Dans le chapitre suivant où nous comparons des résultats expérimentaux et numériques, nous ne nous intéressons qu'à la première désorption du matériau.

De nombreux auteurs utilisent les résultats de Leverett qui conduisent à exprimer la pression capillaire sous la forme:

48

avec, Pc = Pg - Pt St

<71/ g

</> K J

pression capillaire, Pa saturation en eau liquide, tension de surface de l'interface liquide/ gaz, N.m-1 ou kg.s-2

porosité totale, perméabilité absolue, m 2

fonction de Leverett.

(2.42)

La fonction de Leverett J ainsi définie est sans dimension. Cette fonction présente l'in­térêt de ne plus dépendre des propriétés des fluides saturants. Ainsi, la relation pression capillaire - saturation du couple de fluides w / o:1 peut être calculée à partir de celle du couple w/o:2 de même phase mouillante w (voir [26], (29J ou [751) à partir de:

p~I<>• (si) p~/<> 2 ( s1) (2.43)

Enfin, selon Leverett, le facteur ./ifK de (2.42) permettrait de rendre la fonction de Leverett indépendante des propriétés du matériau (au moins pour les matériaux sableux [29, 341) .

Nous décrivons dans le chapitre 3 comment cette relation Pc(s1) peut-être identifiée à partir de 1· isotherme de sorption. La transformation de ces données permet en effet le calcul de certains points de la relation pression capillaire-saturation. On procède alors en général par calage d'une famille de courbes à plusieurs paramètres sur ces points.

2.4.6 Résumé du modèle

1. conservation de la masse avec échange liquide-vapeur :

ô - div W1

o H20 ât (<f>p1si) = m1~9 cons. eau liq.

ô ât ( <f>Pv( l - s1)) = - div W v + o H20

m,~g cons. vap. d 'eau (2.44)

! (<f>Po( l - si)) -div W a cons. air sec

2. mélange air sec et vapeur d'eau supposé idéal:

(2.45)

Pg =Po + Pv (2.46)

49

3. expressions des flux: • Darcy pour la vitesse molaire moyenne du gaz + Fick air sec et vapeur d'eau:

-pv~ k,9(s1) grad p9 t;;::,Dva(T) J(s1) grad Cv ry, IU

-p.:. k,9 (s1) grad p9 ':rDva(T) J(s1) grad Ca 1 Wv =

Wa

• Darcy eau liquide: k

w 1 = - p,- kc1(s1) grad Pi ry,

4. expression du terme d'échange liquide-vapeur:

(2.47)

(2.48)

•équilibre thermodynamique liquide-vapeur instantané 6 (Clapeyron isotherme):

~-~=0 ~~ Pv Pt

5. relation pression capillaire-saturation: • équilibre mécanique pression-tension de surface (Laplace):

p9 - Pi= p,(s1) (2.50)

Les tableaux 2.1 et 2.2 donnent respectivement les principales inconnues et équations du système non linéaire à résoudre.

saturation en eau S/ 1

masse volumique des constituants gazeux Pv, Pa 2

pression capillaire p, 1

pressions de gaz p,, Pa, p, 3

vitesses massiques des constituants gazeux Wv, Wa 2 X 3

vitesse massique de l'eau liquide w, 1 X 3

terme d'échange liquide-vapeur "HzO ml--+g 1

nombre total d'inconnues 17

TAB. 2.1 - Bilan des inconnues du modèle de transfert hydrique isotherme

Dans la suite de ce document, nous désignons ce modèle de transfert hydrique isotherme en milieu poreux comme modèle de référence. Le modèle de référence présente de nom­breux couplages et non-linéarités rendant impossibles l'obtention de solutions analytiques et difficiles des développements numériques. Nous allons donc étudier un cas limite de ce modèle permettant une simplification. Cette simplification repose sur le fait que le transport Darcéen du gaz peut être négligé devant le transport diffusif si le milieu est peu perméable. Nous présentons donc ce cas limite dans la partie suivante en introduisant le nombre de Péclet associé à l'air sec pour justifier notre démarche.

6. La forme intégrée de cette équation est donnée par la relation (2.18).

50

conservation de la masse (2.44) 3

loi des gaz parfait (2.45) 2

mélange idéal (2.46) 1

vitesses massiques des constituants gazeux (2.47) 2 X 3

vitesse massique de l'eau liquide (2.48) 1 X 3

équilibre liquide-vapeur (2.49) 1

relation pression capillaire - saturation (2.50) 1

nombre total d'équations 17

TAB. 2.2 - Bilan des équations du modèle de transfert hydrique isotherme

2.5 Cas limite d'un milieu faiblement perméable

Dans cette partie, nous nous intéressons uniquement à l'expression des flux de vapeur d'eau et d'air sec en phase gazeuse. Nous rappelons donc leurs expressions données par (2.47):

{

Wv =

Wa =

k -pv-k,9 (s,) grad p9

T/g k

-p.- k,9 (s,) grad p9 T/g

:;n .. (T) J(s1) grad c. :;n .. (T) f(s1) grad c.

Chacun de ces deux flux comportent deux termes: le premier en gradient de pression de gaz que nous associons au transport Darcéen ou convectif du gaz. Le second terme est en gradient de concentration et nous l'associons à la diffusion gazeuse. Nous allons maintenant donner une condition permettant de négliger le transport Darcéen devant le transport diffusif pour chacun des constituants gazeux. On commence donc par réécrire les expressions des flux gazeux en supposant qu'initialement la pression de gaz p~ni, les concentrations en vapeur d'eau c~ni et en air sec c~ni étaient uniformément réparties dans le matériau. On a donc:

{

Wv =

Wa =

k -p.- k,9 (s,) grad b.p9

T/g k

-p.-k,9 (s,) grad b.p9 T/g

1:;,Dva(T) f(s,) grad b.Cv

:;n .. (T) f(s1) grad b.C. (2.51)

avec D..p9

= p9

-p!ni, D..Cv = Cv-C~ni et !),.Ca =Ca -C~ni = (l-Cv)-(1-C~ni) = -!),.Cv. On normalise maintenant les gradients intervenant dans les expressions des flux afin de pouvoir comparer des termes de même ordre. Cette normalisation s'effectue à partir des variables adimensionnalisées notées avec une barre :

X= x* X (2.52)

Les grandeurs notées avec un astérisque sont les jauges associées aux variables et telles que les grandeurs adimensionnées soient d'ordre un (i.e. X= 0(1)). Si l'on introduit ces transformations dans (2.51), on obtient:

51

f Wv =

Wa =

k ( D.;---p.- k,9 s1) - grad 6.p9 T/g x*

k ( "";---pa - k,9 s1) - grad D.p, + TJo x*

M, ( ) ( 6.; -­,,,.,,D •• T f si) - grad 6.C, IU X'

Ma ( ) !( ) D.; -· -,,,-,-, Dva T St - grad 6.C, .a; x•

(2.53)

Les termes .6.Cv et .6.p9 sont donc d'ordre 1. Nous supposons maintenant que leurs gra­dients sont de même ordre, ce qui nous permet d'écrire:

lgrad 6.p9 1

~-~=0(1) lgrad 6.C.1

La comparaison du mouvement Darcéen de la vapeur d'eau par rapport à son mouvement diffusif s'évalue donc à partir du rapport des termes en facteur des gradients dans l'ex­pression (2.53) de la vitesse massique de la vapeur d'eau. On construit ainsi un nombre sans dimension de Péclet de la vapeur d'eau:

p· = kp. k,.9(s,) l"";I ' 1)9 D,.(T) f(s1) 16.;I

(2.54)

De même, on a un nombre de Péclet de l'air sec:

•- kp.k,9 (s1) i"";i P, - 1)9 D,.(T) f(s,) ID.:I (2.55)

Dans la gamme de température qui nous intéresse, la pression d'air sec est bien supérieure à la pression de la vapeur d'eau 7 • Donc, P; ::S P:. Ainsi, dans le but d'obtenir une condi­tion permettant de négliger le transport Darcéen de la vapeur d'eau et de l'air sec devant leur transport diffusifrespectif, nous n'étudions que le nombre de Péclet associé à Pair sec.

Examinons maintenant les termes présents dans (2.55). Pour un matériau poreux particu­lier, les termes k, TJg et Dva (T) sont connus. Il est aussi possible d'obtenir une majoration ou une minoration des termes en saturation en phase liquide en supposant que cette satu­ration reste comprise entre sa valeur imposée au bord et sa valeur initiale. Cependant, les termes restant ne peuvent pas être estimés a priori. Par exemple dans le cas du séchage, on impose au bord du matériau une concentration en vapeur d'eau C! inférieure à la concentration initiale c~ni. Pendant un certain temps, la concentration en vapeur d'eau au cœur du matériau va rester égale à c~ni. Durant cette période on a l..6.~I = c~ni - cz. Cependant, après cette période la diffusion devient moins forte et on ne peut plus évaluer l..6.~ 1- De même, les termes Pa et 1,6.; 1 sont indéterminés et ne peuvent être majorés à partir des conditions initiales et aux limites. En effet, nous verrons dans la partie 3.4.2 que dans le cas du séchage, il apparaît une surpression de gaz dans le matériau dont la valeur maximale ne peut être évaluée a priori. La seule façon de connaître la valeur du nombre de Péclet de l'air sec est donc de réaliser un calcul numérique du problème de référence. Ce calcul sera réalisé dans le chapitre suivant, et permettra la détermination

7. A 20° C, la pression de vapeur saturante de l'eau est environ de 2300 Pa alors que la pression totale de gaz est de l'ordre de 105 Pa.

52

de l'évolution temporelle de P: dans la partie 3.4.2. Nous pourrons alors dire dans le cas du matériau CO testé, si le transport Darcéen du gaz est négligeable devant le t ransport diffusif. Remarquons que dans ce cas, on justifiera également la non prise en compte de la dispersion du gaz dans le modèle [2J.

On suppose maintenant que le nombre de Péclet de l'air sec est très faible. On peut alors réexprimer les flux massiques de vapeur d 'eau et d'air sec sous la forme:

{

Mv ( Wv = - KI'Dvc T) f (si) grad Cv

Mc Wa = - KI'Dvc(T) f(s1) grad Cc

(2.56)

Le système à résoudre est alors constitué des équations (2.44,2.45,2.46,2.48,2.49,2.50) et (2.56). Dans la suite du document, nous dénomons ce modèle par modèle simplifié. Il sera comparé numériquement au modèle de référence dans la partie 3.5.l. Le modèle simplifié présente encore de nombreux couplages. Cependant, on ne peut pas le simplifier davantage en supposant par exemple la pression de gaz constante. En effet, c'est parce que la perméabilité au gaz est très faible que l'on peut négliger le transport Darcéen de l'air sec devant le transport diffusif. De plus, c'est le transport Darcéen de l'air sec qui peut rétablir une pression de gaz uniforme dans le matériau et non le transport diffusif qui uniformise les concentrations. Or nous verrons dans la partie 3.4.2 qu'il se produit des fortes surpressions de gaz dans les matériaux t estés. Ces surpressions sont donc très lentes à s'évacuer. L'hypothèse d 'une pression de gaz uniforme dans le matériau est alors mise en défaut. Il y a donc contradiction entre les hypothèses de faible perméabilité au gaz et une pression de gaz uniforme dans le matériau.

Nous présentons dans la partie suivante un autre modèle basé sur la modélisation des transferts d 'eau par une seule équation de diffusion. Ce modèle est le plus souvent utilisé dans la littérature. Il repose sur une expression du flux total de vapeur d 'eau selon la loi de Fick et l'hypothèse d 'une pression de gaz constante. L'intérêt de ce modèle réside dans sa simplicité. Une seule équation de diffusion permet en effet de traiter facilement des problèmes où l 'aspect hydrique est couplé avec d'autres phénomènes (effets mécaniques, présence d 'espèces chimiques en phase liquide ... ).

2.6 Modélisation par une seule équation de diffusion à

pression de gaz constante

Dans cette partie on introduit une seule équation de diffusion pour décrire les transferts hydriques en milieu poreux. Cette équation de diffusion repose en premier lieu sur l'hy­pothèse d 'une pression de gaz constante et uniforme:

Pg = Pctm (2.57)

A l 'aide de cette hypothèse, on peut obtenir la relation de Kelvin-Laplace qui relie la pression de vapeur d 'eau dans le matériau à la pression capillaire. Cette relation peut être obtenue à partir des relations (2.18) et (2.57) qui entraînent:

53

(2.58)

Donc, la définition (2.41) de la pression capillaire permet d'exprimer la pression de vapeur d'eau à partir de la saturation en eau liquide par:

Pv = p,, exp (- ;~,P,( s,)) (2.59)

Cette modélisation des transferts hydriques en milieu poreux repose sur l'hypothèse d1un

transport purement diffusif de la vapeur d'eau. On suppose donc que la vitesse mas­sique de la vapeur d'eau est donnée par:

Wv = - ;:;n,.(T) f(s,) grad :: (2.60)

avec D,.(T) donné par la relation (2.35) et f(s 1) facteur de résistance à la diffusion introduit dans la relation (2.36). On utilise alors l'hypothèse (2.57), la relation (2.59) et la loi des gaz parfaits pour réexprimer la vitesse massique de la vapeur d'eau sous la forme:

( M,) 2 ( ) p~( s1) ( M, ( ))

Wv = RT Dvaf S1 p,Pvsexp - RTp1Pc Si grad s, (2.61)

avec D,. = D,. (T). Patm

On suppose que le mouvement de l'eau liquide obéit à la loi de Darcy. On est donc dans le même cas que pour le modèle de référence, et on déduit de (2.48) et (2.50) et de l'hypothèse (2.57) de pression de gaz constante:

(2.62)

On cherche à décrire les transferts hydriques à partir d'une seule équation de diffusion. Pour cela on étudie la conservation de la masse d'eau sous forme vapeur et liquide:

~ (rjJp1s1) + ~ (rpp,(1 - s1)) =-div w 1 - div Wv (2.63)

On veut maintenant simplifier le premier membre de (2.63). Or la masse de vapeur d'eau est en général négligeable devant la masse d'eau liquide 8 . Cependant, rien n'indique que ce résultat reste vrai pour les dérivées temporelles de ces termes. Afin d'étudier la validité de cette simplification souvent utilisée (121] page 91, 124]), réexprimons le premier terme de (2.63) sous la forme:

8. La pression de vapeur d'eau est toujours inférieure à la pression de vapeur saturante. Donc, d'après la loi des gaz parfaits, on a la majoration suivante de la masse volumique de la vapeur d'eau: Pv = PvM11 /RT::; p118 M 11 /RT. A la température de 20°C, la pression de vapeur saturante est égale à environ 2300Pa. On en déduit donc un majorant de la masse volumique de la vapeur d'eau: p11 ::; 0.017 kg.m-3 < < Pi= IOOOkg.m-3•

54

= <i>[P1 + (1 - si) àp, - p,] àst àst àt

1>[Pt - (1- St) (M") 2

p"p'(st) - p ]àst (2.64) KI' Plc vat

Dans cette expression, nous pouvons négliger la masse volumique de la vapeur d'eau devant celle de l'eau liquide. Nous étudions maintenant si le deuxième terme du membre de droite de (2.64) est aussi négligeable devant la masse volumique de l'eau liquide. Pour cela nous introduisons le nombre Me sans dimension:

(2.65)

Ce nombre n'est a priori pas toujours petit car la pression capillaire tend vers plus l'infini quand la saturation en phase liquide tend vers O. On peut cependant chercher un majorant de Me pour des saturations en eau liquide strictement positives. On a en effet Pv :S Pvs et dans le cas du séchage (1 - St) S (1 - st}. Donc,

(2.66)

Ce nombre adimensionné sera calculé dans la partie 3.5.2 et Me << 1 justifie la simpli­fication de la dérivée temporelle de la masse d'eau vapeur devant celle de la masse d'eau liquide. On pourra alors écrire :

'.!__ (</>PtSt) =-div W1 - div Wv àt

(2.67)

En conclusion, si l'on part de la relation {2.67) et que l'on utilise les expressions (2.61) et (2.62) on obtient le résultat suivant:

qui s'écrit donc sous la forme:

~t =div (D(st) grad st) (2.68)

avec,

P,,(st) (k ) ( M, )' !( ) ( M, ( l)) D(st) = --</>- ;;/c1(st + RTpt D"' St p,, exp - R:Tp/' St (2.69)

L1équation (2.68) constitue donc une nouvelle modélisation des transferts hydriques en milieu poreux. Dans la suite de ce rapport, nous y faisons référence comme équation de diffusion â pression de gaz constante. Cette équation est souvent utilisée pour décrire les transferts d'eau en milieu poreux. Elle peut aussi être transformée en une équation de diffusion sur la pression de vapeur d'eau à partir de (2.59), sur l'humidité relative à partir

55

de la définition (2.19), sur la teneur en eau volumique </J1 = <f>s1 ou enfin sur la teneur en eau massique w à partir de (2.6). Beaucoup d'auteurs utilisent le fait que les transferts d 1eau peuvent être décrits par une équation de la forme (2.68) pour identifier le coefficient de diffusion D à partir de résultats expérimentaux. Certaines des méthodes permettant le calcul du coefficient de diffusion sont présentées en annexe D. Cependant, le coefficient de diffusion de l'équation (2.68) regroupe les mouvements de vapeur d'eau, d'eau liquide et les effets capillaires. Il est donc difficile d'évaluer l'importance de chaque phénomène à partir d'un coefficient de diffusion identifié expérimentalement.

L'équation de diffusion (2.68) repose principalement sur l'expression (2.60) du flux mas­sique de vapeur d'eau et l'hypothèse d'une pression de gaz uniforme et constante dans le matériau. Nous verrons dans la partie (3.4.2) que cette dernière hypothèse n'est pas vérifiée par le modèle de référence. Nous comparons donc dans la partie 3.5.2 les résul­tats de ce modèle avec ceux du modèle de référence. Enfin, on montre toujours dans la partie 3.5.2 que ce modèle ne reproduit pas convenablement les résultats expérimentaux de Baroghel-Bouny [6]. En particulier, il ne permet pas une identification fiable de la perméabilité intrinsèque du milieu poreux.

56

MODELISATION

NUMERIQUE DU SECHAGE DES

MATERIAUX PEU PERMEABLES A

BASE DE CIMENT. APPLICATION

A LA DETERMINATION DE LEUR PERMEABILITE

Chapitre 3

Modélisation numérique du séchage des matériaux peu perméables à base de ciment. Application à la détermination de leur perméabilité

3.1 Introduction

Dans ce chapitre, nous voulons confronter les différentes modélisations des transferts hy­driques isothermes du chapitre 2 à des résultats expérimentaux. Les expériences modélisées sont des séchages isothermes d'éprouvettes à base de ciment. Nous commençons donc par présenter les matériaux utilisés: deux bétons et deux pâtes de ciment. Nous décri­vons ensuite les conditions expérimentales ainsi que les conditions initiales et aux limites utilisées dans la modélisation. Nous introduisons aussi les données et .les paramètres né­cessaires à la modélisation: relation pression capillaire - saturation, perméabilités relatives et facteur de résistance à la diffusion.

Les différents modèles du chapitre 2 sont résolus numériquement par la méthode des volumes finis. Nous décrivons plus particulièrement la mise en oeuvre de cette méthode dans le cas du modèle de référence. La comparaison entre la modélisation et l'expérience s'effectue à partir des courbes de perte de poids des éprouvettes en fonction du temps. On identifie ainsi la perméabilité absolue des matériaux testés. Ces valeurs de perméabilité peuvent alors être comparées avec des valeurs obtenues expérimentalement ou avec le modèle de Katz-Thompson. Nous pouvons alors commenter les résultats de la modélisation et évaluer Je nombre de Péclet de l 'air sec introduit dans la section 2.5. Nous avons alors une idée de l'importance relative du transport convectif du gaz devant le transport diffusif. Cette idée est ensuite précisée lors de la comparaison du modèle simplifié négligeant le transport Darcéen du gaz avec Je modèle de référence. Enfin nous comparons les résultats de l'équation de diffusion à pression de gaz constante de la section 2.6 avec ceux du modèle de référence. Les comparaisons des différentes modélisations sont éffectuées pour le matériau CO avec les données présentées au début de ce chapitre. A l'issue de ces comparaisons on est capable de préciser les phénomènes réellement actifs lors du séchage des matériaux testés.

59

3.2 Description de l'expérience modélisée

3.2.1 Les matériaux

Les expériences modélisées ont été réalisées au L.C.P.C. Elles sont entièrement décrites dans [6J. Les matériaux testés sont deux pâtes de ciment CO et CH et deux bétons BO et BH. Ces matériaux ont été fabriqués à partir de ciment CPA 55 HTS du Teil. Les formulations en 0 désignent des matériaux ordinaires et celles en H des. matériaux à très hautes performances. Les formulations et les caractéristiques des composants anhydres de ces matériaux sont données en annexe X de [6]. Nous donnons simplement dans le tableau 3.1 le rapport eau sur ciment (E/C) de ces matériaux.

matériaux BO BH CO CH

rapport E/C 0.487 0.267 0.348 0.196

TAB. 3.1 - Rapport E/C des matériaux utilisés

Les caractéristiques géométriques des matériaux sont les suivantes: il s'agit d'éprouvettes cylindriques de 16 centimètres de diamètre et de 10 centimètres de hauteur. On suppose un comportement isotrope du matériau dans tous les plans perpendiculaires à l'axe du cylindre. On fait aussi l'hypothèse qu'initialement la répartition des différentes phases est homogène dans tous ces plans. Enfin, les contours des éprouvettes ont été protégés des transferts hydriques par du papier d'aluminium. On peut alors supposer que les phé­nomèmes de transfert ne s'effectuent que dans la direction de l'axe de l'éprouvette. Le problème se rapporte ainsi à un problème unidirectionnel.

3.2.2 Les isothermes

Les isothermes d'adsorption ou de désorption d'eau sont essentielles à notre étude car elle permettent l'identification de la relation entre la pression capillaire et la saturation en eau liquide. Ces courbes sont déterminées expérimentalement dans [6J page 293 par des pesées successives sur des petits échantillons voire des broyats à 23° C. On obtient ainsi un certain nombre de points d'équilibre hydrique du matériau caractérisés par une humidité relative et une teneur en eau massique. Chaque isotherme peut être transformée en une courbe pression capillaire en fonction de la saturation en eau liquide à l'aide des modifications suivantes :

1. la teneur en eau massique est transformée en une saturation en eau liquide à l'aide des relations (2.4) et (2.6). On obtient:

p, w = -1>s1

p,

avec Ps masse volumique apparente du matériau sec.

(3.1)

2. Les courbes de sorption sont mesurées dans une ambiance à pression atmosphérique. Les points d'équilibre de la courbe de sorption correspondent donc à une pression de

60

gaz égale à la pression atmosphérique. L'humidité relative de ces points peut ainsi être transformée en une pression capillaire par la loi de Kelvin-Laplace. Cette loi peut être déduite de la relation (2.58) et des définitions de l'humidité relative (2.19) et de la pression capillaire (2.41):

(3.2)

Le passage d 'une isotherme sous la forme ( h,, w) à la relation pression capillaire - satura­tion nécessite donc la connaissance de la porosité et de la masse volumique de chaqu'un des matériaux. La porosité est donnée dans l6J page 341. Cette porosité est une porosité volumique totale correspondant à toute la gamme de pores du matériau et à été calcuée à partir des isothermes et d'une mesure de porosimétrie au mercure. C'est cette poro­sité qu 'il nous faut prendre en compte dans notre modèle car tous les pores du matériau peuvent participer aux t ransferts sous forme gazeuse et liquide. La masse volumique a été évaluée à partir de la masse à sec des différents échantillons ayant servis au calcul de l'isotherme. Les porosités et masses volumiques retenues pour cette étude sont regroupées dans le tableau 3.2.

matériaux BO BH CO CH

porosité totale [m3 / m3] 0.122 0.082 0.303 0.204

masse volumique apparente à sec [kg/m3] 2286 2385 1717 2086

TAB. 3.2 - Porosité et masse volumique des matériaux utilisés

Dans ce document nous ne nous intéressons qu'au premier séchage des éprouvettes. Nous n'utilisons donc que les isothermes de première désorption. A partir de ces isothermes, des relations (3.1) et (3.2) et des valeurs données dans le tableau 3.2 nous calculons des points de la relation pression capillaire-saturation. Ces points sont représentés sur la figure 3.1. Afin d 'avoir une relation régulière entre la pression capillaire et la saturation plutôt qu 'une relation linéaire par morceaux, nous allons caler une courbe sur les points de la figure 3.1. De plus cette relation continue nous permettra dans la section 3.2.3 le calcul des expressions des perméabilités relatives en fonction de la saturation en eau liquide. La famille de courbes que nous allons caler sur les données précédentes est à deux paramètres a et b et est définie par :

(3.3)

Cette famille de courbes correspond à celle introduite par Van Genuchten [79] sous la forme:

(3.4)

Les auteurs qui utilisent cette relation font souvent l'hypothèse suivante sur les paramètres de (3.4) :

m = 1-1/n (3.5)

61

300 0 " X

~ 250 BO 0

~ BH *

" 200 0 ... X CO + ~

CH X

~ ·s.. 150 0 H X

"' " 0 * X c 100 0 ·;; 0 + * X OO + " 50 ~ 0 *+ X

"" 0 * + X +x

0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

saturation en eau liquide [-]

FIG. 3.1 - Relation pression capillaire-saturation discontinue pour BO, BH, CO et CH

Cette relation permet par la suite de nombreuses simplifications pour l'obtention des expressions des perméabilités relatives. Avec cette hypothèse, les expressions (3.3) et (3.4) sont équivalentes avec l'identification:

b = 1/m a= l/o:

La technique pour trouver les paramètres optimuns de (3.3) est détaillée en annexe E. Cette méthode consiste à minimiser l'écart quadratique entre la fonction (3.3) et les points expérimentaux. Les valeurs de paramètres a et b obtenues pour les différents matériaux sont résumées dans le tableau 3.3.

matériaux BO BH CO CH paramètre a [ M pa J 18.6236645 46.9364098 37.5479395 96.2837027

paramètre b [-J 2.274838 2.060056 2.168403 1.953966

TAB. 3.3 - Paramètres de la relation pression capillaire - saturation (3.3)

Les courbes issues de ces calages sont présentées sur les figures 3.3 pour les bétons et les pâtes de ciment. L'optimisation a été effectuée sans prendre en compte les points obte­nus aux fortes humidités relatives à cause des risques d'erreur expérimentale importants. En effet, les teneurs en eau aux fortes humidités ne reflètent pas toujours l'état réel de saturation du matériau. Par exemple, à 100% d'humidité relative le matériau n'est pas nécessairement saturé en eau. De plus, les valeurs de la teneur en eau aux fortes humidités sont très sensibles à des faibles variations de température. Enfin, ces relations sont don­nées pour une température de 23° C. On peut cependant encore les considérer utilisables à la température de 20° C à laquelle sont réalisés les essais que Pon cherche à modéliser.

62

';:;'

"" 6 " ~ ;§ ï:L "' " " .9 OO OO e o.

300

250

200

150

100

50

0 0

donnees BO a calage BO

donnees BH • calage BH

0.2 0.4 0.6 0.8 1 saturation en eau liquide [-]

FIG. 3.2 - Relation pression capillaire-saturation pour BO et BH

300

';:;' 250 "" 6 " 200

~ 150 "ê-" " 100 .9 OO OO

" 50 ~ o.

0 0 0.2 0.4

donnees CO + calage CO

donnees CH x calage CH

0.6 0.8 saturation en eau liquide [-]

1

FIG. 3.3 - Relation pression capillaire-saturation pour CO et CH

63

3.2.3 Perméabilités relatives à l'eau et au gaz

L'expression de la relation pression capillaire - saturation peut être utilisée pour calculer les expressions des perméabilités relatives à l'eau et au gaz. En effet, sous l'hypothèse (3.5) Van Genuchten [79] a montré que la perméabilité relative à l'eau est donnée par:

( ( l/m)m)2 k,i(s1) = .,fti 1 - 1 - s, (3.6)

Cette relation est obtenue par combinaison de l'expression de la relation pression capil­laire - saturation avec l'expression de la conductivité hydraulique du matériau basée sur la distribution poreuse de Mualem. La perméabilité relative apparaît alors sous forme intégrale et peut être évaluée sous une forme non intégrale à l'aide de la relation (3.4) quand la relation (3.5) est satisfaite. L'expression (3.6) était à l'origine utilisée pour les sols. Savage at Janssen [71] ont montré qu'elle pouvait aussi s'appliquer aux matériaux à base de ciment. Pour la perméabilité au gaz, on utilise l'expression donnée dans [56} et basée sur une extension du modèle de Mualem [45J:

( l/m)2m k,9 (s1) = F, 1 - s1 (3.7)

Les courbes de perméabilités relatives à l'eau et au gaz obtenues respectivement à l'aide des expressions (3.6) et (3.7) et des paramètres issus du tableau 3.3 sont représentées sur les figures 3.4 pour les bétons et 3.5 pour les pâtes de ciment. On peut remarquer sur ces figures un comportement presque linéaire de la perméabilité relative au gaz en fonction de la saturation en eau liquide pour chaque matériau. En revanche, toujours pour chaque matériau, la perméabilité relative à l'eau varie de façon fortement non linéaire. En particulier, on constate que les mouvements d'eau liquide deviennent difficiles voir impossibles en dessous d'une saturation en eau liquide de 0.4. Cette dernière valeur peut ainsi être interprétée comme la valeur de la saturation en eau liquide à partir de laquelle la phase liquide devient discontinue dans le milieu poreux.

3.2.4 Facteur de résistance à la diffusion

L'expression la plus simple pour décrire les effets de résistance du milieu poreux à la diffusion est donnée par Phililp [62, 63] et reprise par Daian dans [21 J page 65 et Bonnet [12] page 42:

Dma.cro = Dmicro J = Dmîcro 7</Jg (3.8)

Cette expression considère que le coefficient de diffusion au sein du milieu poreux est proportionnel au coefficient de diffusion donné à l'échelle microscopique, c'est à dire hors milieu poreux. Le facteur de proportionnalité s'exprime à partir de la réduction d'espace offerte au gaz pour diffuser </J9 . On multiplie en général ce facteur <P9 par une tortuosité 7

traduisant l'allongement du chemin à parcourir par le gaz pour traverser le milieu poreux. Millington [50J a proposé une expression de la tortuosité qui permet une expression plus explicite du facteur de résistance à la diffusion sous la forme:

(3.9)

64

BO ....!... 1~--------i . ··. ·· ... ·· .......... -.. -... -. _ __, :ê0.5 .. . . :.0 ro •

BH :I 1~--------·. 1 .................. -----''-----' :ê0.5 • •• •. :.0 • ro

Q) Q)

E

fil_ OO 0.5 1

E

fil_ OO 0.5 1 saturation en eau liquide [-] saturation en eau liquide [-]

FIG. 3.4 - Perméabilités relatives pour B O et BH

CO :I 1~--------. i ............. '--._ .-.. -... -. ...;:..._____, ~0.5 .. ..

:c "",. ro • Q)

E

fil_ OO 0.5 1 saturation en eau liquide [-]

CH :I 1 ·· .. ·. · .. ·. · ........ -.. --"-----' -~ 0.5 •

:.0 ro Q)

ê

. . .

~ OO 0.5 1 saturation en eau liquide [-]

FIG. 3.5 - Perméabilités relatives pour CO et CH

65

Les expressions (3.8) et (3.9) sont identiques si la tortuosité T de la relation (3.8) est définie par:

T = cPl/3 (1 - S1) 7f 3

L'expression (3.9) est reprise par de nombreux auteurs: Adenekan et al. [l], Baver et Gardner [7] page 245, Bénet [11] page 108, Ben Nasrallah et al. [53), Simunek et Suarez [72], Sleep et Sykes [73]. Nous adoptons aussi cette expression, ce qui nous permet d'écrire le facteur de résistance à la diffusion sous la forme:

(3.10)

3. 2. 5 Les conditions initiales

Après leur fabrication, les éprouvettes ont été protégées des échanges avec l'extérieur pendant 2 ans. A l'issue de cette période, la réaction d'hydratation est terminée et le matériau a atteint un équilibre hydrique. L'humidité relative au sein du matériau est alors uniforme, et sa valeur h~ est donnée par les courbes décrivant l'autodessiccation du matériau ([6J page 214). Les valeurs de l'humidité relative initiale de chacun des matériaux testés sont regroupées dans le tableau 3.4.

matériaux BO BH CO CH humidité relative interne 0.90 0.65 0.85 0.75

TAB. 3.4 - Humidité relative interne de chaque matériau au début de l'expérience

La deuxième condition initiale porte sur la pression totale de gaz. On suppose qu'au départ du séchage la pression de gaz p~ est uniforme dans les matériaux et égale à la pression atmosphérique. On a donc les deux conditions suivantes:

(3.11)

Ces deux conditions initiales sont équivalentes à donner les pressions de vapeur d'eau et d'air sec dans l'éprouvette au début de l'expérience de séchage:

{

h Pv h' { · ' = - = r Pv = h~Pvs Pvs {::} i i

p9

= p~ Pa = Pg - Pv (3.12)

avec Pvs pression de vapeur saturante pour un liquide à la pression atmosphérique. Il est donc nécessaire de connaître la valeur de la pression de vapeur saturante à une température donnée pour calculer les conditons initiales en pressions partielles de vapeur d'eau et d'air sec. On utilise pour ce calcul l'expression de la pression de vapeur saturante introduite en annexe C. Enfin, il faut calculer le niveau d'eau dans les éprouvettes au départ de l'expérience. Ce calcul peut être fait en supposant que l'état interne initial des éprouvettes correspond à un équilibre thermodynamique. Comme la pression de gaz initiale dans les éprouvettes est la pression atmosphérique, on peut utiliser la relation (3.2) pour calculer la saturation initiale en eau liquide s; :

66

(3.13)

On utilise alors Fexpression (3.3) de la pression capillaire en fonction de la saturation et les valeurs des paramètres a et b issues du tableau 3.3 pour déterminer la valeur de s}. L'humidité relative initiale étant supposée constante dans le matériau, la saturation initiale en eau liquide sera aussi constante dans l'éprouvette.

3.2.6 Les conditions aux limites

Au temps zéro, les éprouvettes sont disposées dans une ambiance à 50 % d'humidité relative et à pression atmosphérique. La première condition aux limites est donc hr = h~ = 0.5 aux deux extrémités de l'éprouvette. La seconde condition aux limites porte sur la pression totale de gaz qui est imposée aux bords de l'éprouvette: p9 = p~ = Patm·

Comme pour les conditions initiales, ces deux conditions sont équivalentes à imposer les pressions de vapeur d'eau et d'air sec:

{ h, = ~ h: ~ { p" = h:p"' = p:

Pvs -....-,- bb Pg = Patm P! Pa = Pg-Pv = p~

(3.14)

On suppose aussi que l'équilibre thermodynamique de l'eau sous forme liquide et gazeuse est vérifié au bord du matériau. De même que pour la condition initiale, cette hypothèse revient à imposer la saturation en eau liquide au bord du matériau. La valeur sf de la saturation en eau liquide au bord de l1éprouvette peut être calculée en fonction de h~ à partir de la relation

RT , ( ') Pl M lnhr = -Pc s1 "

(3.15)

Comme pour la saturation initiale en eau liquide, la valeur de sf peut être déterminée à partir de l'expression (3.3) de la pression capillaire et des valeurs des paramètres a et b issues du tableau 3.3.

Les conditions aux limites et initiales sont résumées sur la figure 3.6.

3.3 Méthode de résolution numérique

3.3.1 Introduction

Différentes méthodes de résolution numérique sont envisageables pour résoudre les modèles de transfert hydrique isotherme présentés dans le chapitre 2: éléments finis, différences finies et volumes finis. Le choix des inconnues et des équations principales est aussi différent suivant les auteurs. La méthode des éléments finis est utilisée par Malinsky [48] dans le code de calcul CESAR-LCPC [39], Degiovanni et Moyne [4, 51] et Crausse [19]. Ces auteurs prennent en compte des effets thermiques dans leur modélisation. Malinsky utilise comme inconnues les pressions partielles de vapeur d'eau et d'air sec et la température. Degiovanni et Moyne utilisent la teneur en eau, la pression totale de gaz et la température. Enfin, Crausse utilise la méthode des élements finis sur un système à deux équations en teneur en

67

Conditions aux

limites

l hb b hi i

r Pu r Pu

Pb - Pb pi - pi g a g a

Kelvin-Laplace sb l

Kelvin-Laplace si l

FIG. 3.6 - Conditions aux limites et initiales

eau et température {la pression de gaz est supposée constante). Citons aussi les travaux de Nicolas [54) qui utilise une approche mixte volumes finis et éléments finis. Ces inconnues sont la température et les masses volumiques apparentes de l'air sec, de la vapeur d'eau et de Peau liquide. Nicolas discrétise par éléments finis les termes de transport liés à la température et par volumes finis les termes liés au transport de masse. Les méthodes de différences finies et de volumes finis sont très proches. En particulier, pour un problème lD, ces deux méthodes sont équivalentes si la méthode des différences finies est écrite sous forme conservative. Ainsi la méthode utilisée par Daian [21J page 287 pour résoudre une équation de diffusion non linéaire en humidité relative est une méthode de volumes finis. Cette dernière méthode est la plus souvent utilisée car elle respecte parfaitement les équations de conservation. En outre elle s'adapte assez facilement à des problèmes de dimension deux et trois. Cette méthode est ainsi utilisée par Perré en une et deux dimensions d'espace [57, 58]. Elle est aussi utilisée par Adenekan et al. [lJ, où les auteurs utilisent un schéma décentré amont pour approcher les termes de transport Darcéen de leur modèle. Nous choisissons aussi la méthode des volumes finis pour modéliser les transferts d'eau en milieu poreux. Nous présentons donc maintenant la mise en oeuvre de cette méthode pour la résolution approchée du problème de référence de la section 2.4.6.

3.3.2 Resumé du problème continu et choix des variables

Le problème à résoudre est résumé dans la partie 2.4.6. Ce modèle comporte beaucoup d'inconnues et il nous faut choisir dans le tableau 2.1 les plus adaptées à la modélisation. Les variables ainsi retenues deviendront les inconnues principales du problème discret. En ce qui concerne les équations à discrétiser, on utilise les trois équations de conserva­tion de la masse (2.44). La méthode des volumes finis est en effet parfaitement adaptée à la résolution de ces équations. On choisit donc les inconnues qui apparaissent dans les

68

équations (2.44) : la saturation en eau S1, le terme d 'échange liquide - vapeur m~0 et les pressions partielles de vapeur d 'eau et d'air sec. Ces pressions partielles sont préfé~ées aux masses volumiques car elles permettent un calcul plus facile de la pression de gaz p

9 et des concentrations molaires C;. Les vitesses massiques des gaz (2.47) et d'eau liquide (2.48) peuvent alors s'exprimer assez simplement en fonction de ces quatres inconnues. Pour l 'expression de la vitesse massique de l 'eau liquide, la pression d'eau liquide peut être exprimée en fonction des inconnues si, Pv et Po. à partir de la relation (2.50). On a alors trois équations (2.44) et quatre inconnues S1, Pv , Po. et m~~. La quatrième équation est alors donnée par l'équation restante (2.49) qui décrit l'équilibre eau-vapeur.

Le système à résoudre est donc :

,i.. âs1 d. '!'Plat + IV W t = o HzO

- m,_,g

Mv â (p . if> RT ât v(l - s1)) +div Wv

M .. â (p ( . r/>R:rât .. l-s1))+d1vwa

o H20 + ml-+g

= 0 (3.16)

R:r 1 -M d(lnpv) - -d(p9 - Pc(s1))

V Pt = 0

avec les vitesses massiques w; données par:

(3.17)

Le système d 'équations (3.16) pourrait être réduit davantage. Par exemple, on peut faire disparaître le terme d'échange liquide - vapeur par addition des deux premières équations de (3.16). Il est aussi possible d 'exprimer la pression partielle d'air sec en fonction de la pression de vapeur d 'eau et de la saturation en eau liquide à partir de (2.18) et (2.50) . Cependant, notre but n 'est pas ici de réduire au plus le nombre d'équation du système (3.16). En effet, la résolution numérique unidimensionnelle de ce système ne nous posant pas de problème particulier, nous pouvons le traiter avec les quatre inconnues si, Pv, Pa. et m~~ . On doit alors résoudre un système d 'équations plus simples et moins couplées que si l'on avait réduit au plus le nombre d'inconnue.

Les conditions initiales sont présentées dans la partie 3.2.5. Ces conditions permettent le calcul des valeurs des pressions partielles d'air sec, de vapeur d 'eau et de la saturation init iale en eau. De plus, aucune condition initiale sur le terme d'échange liquide - vapeur n 'est nécessaire. On a donc, au temps zéro et pour tous les points de l'éprouvette :

(3.18)

69

Les conditions aux limites sont présentées dans la partie 3.2.6. Elles sont de type Dirichlet sur les pressions partielles d 'air sec et de vapeur d 'eau et la saturation en eau liquide. On a donc, aux deux extrémités de l'éprouvette et pour tous les temps positifs:

{

p,, = P~ Pa = P! St = S~

(3.19)

La résolution du système (3.16) ne nécessite aucune condition aux limites sur le flux d'eau liquide. En effet, si l 'on additionne les deux premières équations de (3.16) on a trois équations et trois inconnues St, p,, et Pa· Ce système peut alors être résolu avec les trois conditions aux limites de type Dirichlet imposées sur St, Pv et Pa au bord du domaine. Le terme d 'échange liquide - vapeur à l'intérieur du matériau peut alors être calculé à partir de la première ou de la deuxième équation du système (3.16). Cependant, il n'est pas possible de déterminer individuellement les flux d 'eau liquide et gazeux aux bords du milieu. En effet, on ne peut calculer que le flux global d 'eau sortant du milieu sous forme liquide et gazeuse. De façon équivalente, on ne peut calculer que le flux d'eau liquide au bord cumulé avec la quantité d 'eau condensée au bord.

3.3.3 Discrétisation par les volumes finis

On note n le domaine de calul ID représentant l'éprouvette. La discrétisation de ce do­maine est représentée sur la figure 3. 7. Le domaine n y est recouvert par un nombre fini de segment Pi que nous appelons par la suite des volumes de contrôle. Les centres Xi des volumes de contrôle sont les points où sont localisées les inconnues discrètes de notre pro­blème. La demi longueur des volumes de contrôle aux extémités de n permet de garder un pas constant entre les centres x; . Les conditions aux limites sont imposées sur ces deux volumes de contrôles situés aux extrémités. On trouvera une description générale de la méthode des volumes finis dans [28].

Maillage des volumes de contrôle :

Maillage des centres des volumes de contrôle :

r 1

FIG. 3.7 - Discrétisation spatiale ID par des volumes finis

70

Pour un volume de contrôle p, on introduit les notations suivantes:

- mp la longueur du volume de contrôle p,

- N(p) l'ensemble de.s voisins du volume de contrôle p. Par exemple sur la figure 3.7, l'ensemble des voisins de P2 est N(p2) = {p1, p3 }. On a aussi N(p0 ) ={pi}

Pour un volume de contrôle p fixé, soit q un des voisins de p (q E N(p)). Alors on peut définir:

- epq l'interface commune à pet q,

- mpq la mesure de cette interface (mpq = 1 en lD) ,

- dpq = lxp - xq l, la distance du centre de p au centre de q.

Pour deux voisins p et q on définit aussi la quantité Tpq par Tpq = mpq. dpq

Ces notations s'étendent sans difficultés aux cas 2D et 3D. Par exemple en deux dimen­sions, mp représente la surface du volume de contrôle p et epq la longueur de son interface commune avec q. Pour simplifier la présentation du schéma numérique, nous nous plaçons dans le cas lD représenté sur la figure 3.7. On dispose donc de N + 1 volumes de contrôle. Les volumes de contrôle situés aux bords du domaine sont les numéros 0 et N.

La discrétisation en temps est notée avec un exposant n. Le pas de temps est noté dt et définit le temps n + 1 par tn+l = tn +dt. Les inconnues s1, Pv, Pa et m1!.~ au temps tn et localisées au point Xp du volume de contrôle p sont notées respectivement {si};, {Pv};, {Pa}; et {m1..!~ };. Au bord du matériau, on ne considère pas l'inconnue {m~~}; mais une inconnue notée x; qui représente la quantité d'eau évaporée additionnée avec le flux sortant d'eau liquide. Nous explicitons plus précisement la signification de cette inconnue au bord aprés la présentation du schéma numérique.

Le schéma numérique de volumes finis est donné par:

(i) conditions initiales: pour les volumes de contrôle p = 0, ... , N ,

{

{ s1}~ = si 0 - i {Pv }p - Pv

{ }o _ i

Pa p - Pa

(3.20)

(ii) conditions aux limites : pour tous les n ~ 0 et pour les volumes de contrôle p = 0 et N,

{Pv};+l = P~ {Pa};+i = P~

<f>p1mp {si};+~; {si};+ L Tpq{w1};: 1 = - x;+l (3.21) qEN(p)

_.!_ ({ }n+I _ { }n) = RT1 {pv};+l P Pz P Pt p M n { }n

1 v Pv p

71

(iii) schéma numérique implicite: pour tous les n :2'.: 0 et pour les volumes de contrôle p= l , ... ,N- l,

(3.22)

avec les termes d 'échanges {w;};:1 donnés par:

(3.23)

et,

{sg}; 1 - {si}; {sg};+l = 1 - {s1};+1

{pg}; {Pv}; + {Pa}; {Pg};+1 {Pv};+l + {Pa};+l

{Pi}; {Pg}; - Pc({s1};) {P1};+1 {pg};+i - Pc( { s1};+1)

Le système (3.22) constitue la version discrétisée du système (3.16). Nous avons utilisé une approximation d'Euler des dérivées en temps et une discrétisation de type volumes finis pour les flux aux interfaces de deux volumes de contrôle. Cette discrétisation correspond à l'intégration sur un volume de contrôle des termes en divergence et à l'approximation sur les bords de ce volume de contrôle des dérivées normales et des termes en facteur. Comme les phénomènes dominants sont diffusifs, la moyenne des valeurs sur les deux vo­lumes de contrôle voisins est une bonne approximation des termes en facteur des dérivées normales. Le schéma décrit est alors parfaitement conservatif. De plus, nous utilisons une approximation implicite des flux dans (3.23) afin d'obtenir une meilleure stabilité de notre schéma numérique. La dernière équation de (3.22) correspond à l'intégration de la dernière équation de (3.16) entre le temps tn et le temps tn+1

.

Le système (3.21) traduit les conditions aux limites. On y retrouve les conditions sur les pressions de vapeur d'eau et d 'air sec. La dernière équation revient à imposer la saturation

72

en eau liquide car les pressions de vapeur d 'eau et d 'air· sec sont fixées. Nous explicitons maintenant davantage la troisième équation du système (3.21) qui fait intervenir l'inconnue x;+i au bord du maillage. Cette équation traduit la conservation de la masse d 'eau liquide pour les volumes de contrôle situés au bord. Soit p un volume de contrôle en contact avec le bÔrd de l'éprouvette (p = 0 ou N). La conservation de la masse d 'eau liquide sur ce volume de contrôle s'écrit :

,1.. asl d' _ o H 20 'l'Pl'{ft + lV W1 - - ml~g

Intégrons cette équation sur p x ( tn, tn+l). Alors,

4'P1 f (s1(tn+ 1 ) - s1(tn))dx+ tn+i ( w,.n d"( dt = - t n+• ( m;_:.~dxdt (3.24) lp ltn lôp l tn lp

avec n normale orientée vers l'extérieur de p. On introduit maintenant l'approximation de la saturation en eau liquide sur p:

{s1}; = ~ f s1W) dx m,, 1,,

Donc si on utilise (3.25) dans (3.24), on obtient:

(3.25)

tn+l r f m,{'_:.~ dxdt

ltn lp (3.26)

Le bord âp du volume de contrôle p est constitué des interfaces epq avec les volumes de contrôle q voisins de p (q E N(p)) et d'une partie 'Yp den ('Y,, = ôp n ân). Donc,

r w, .n d'Y = L 1 W1.n d"( + h W1 .n d"( lôp qEN(p) epq Ô"/p

On utilise l'approximation implicite des flux d 'eau liquide entre les volumes de contrôle p et q introduite par la troisième équation de (3.23). Donc (3.26) devient:

efJp1mp ({s1};+1- {s1};) +dt L Tpq{w1}~+1 = qEN(p)

- rtn+I ( r m{'.:.~ dx + r WJ.ll d"() dt l tn lp l&,p

(3.27)

Donc si on choisit une approximation implicite du membre de droite de (3.27) et on utilise l'expression du pas de temps dt= tn+1 - tn , on obtient:

,i.. {s1};+1

- {si}; + ~ T. {w }n+l = 'l'Ptmp dt ~ pq i pq

qEN(p)

- ( m{'_:.~ (tn+l) dX - ( W1.n (tn+I) d"( lp l&,p

(3.28)

Donc le terme x;+i de la troisième équation de (3.21) peut être défini par:

x;+l = i m~.3.~(tn+l) dx + J&-yp W1.n (tn+l) d"( (3.29)

Ce terme correspond donc à l'approximation implicite du taux de changement de phase sur l'élément p du bord cumulé avec le flux d 'eau liquide sortant à travers la surface 'Yp·

73

En dehors des inconnnues si, Pv et Pa, nous avons donc une inconnue de signification dif­férente selon que l'on se trouve au bord ou dans le domaine de calcul. Dans le matériau, l'inconnue est { m~~ }; et représente la quantité d'eau évaporée. Au bord du matériau, l'inconnue est x; et s'interprète comme la quantité d'eau évaporée sur le bord cumulée avec le flux sortant d'eau liquide.

Le système (3.22) doit être résolu avec les conditions aux limites (3.21) pour obtenir les solutions approchées { St};+1, {Pv};+1, {Pa};+1 et { ffi~~};+ 1 au temps tn+i _ Ce problème est alors fortement non linéaire à cause des non linérarités présentes dans le modèle: relation pression capillaire - saturation, logarithme de la pression de vapeur d'eau ... Il faut aussi tenir compte des non linéarités dues au choix de l'approximation implicite des vitesses massiques. La solution de ce système peut cependant être calculée au moyen de la méthode itérative de Newton-Raphson [66]. Enfin, le pas de temps est automatiquement ajusté en fonction de la variation relative des inconnues.

3.3.4 Expressions de la perte de masse

On note M(t) la masse des fluides présents dans le matériau à l'instant t. Si rl est le domaine occupé par le matériau, M(t) peut être calculée à partir de l'expression suivante:

M(t) = l </> [p,s, + (Pv + p.)(1 - si)] dx (3.30)

La variation de masse !.l.M(t) à l'instant test définie comme la différence de masse du ma­tériau entre l'instant t et l'instant initial t0 . La phase solide du matériau étant invariable, on a l'expression suivante de sa variation de masse:

r r' ( as, a ) !>.M(t) = M(t) - M(to) =ln},,</> Ptat + at[(Pv + p.)(1- s,)] dtdx (3.31)

Le problème étudié étant un séchage, la variation de masse sera négative. On parlera donc dans ce document de perte de masse avec la convention de signe que la perte de masse est une quantité positive(= -~M(t)). Si l'on tient compte des équations de conservation de la masse du système (3.16), la variation de masse du matériau peut être évaluée à partir des flux de masse aux bords du matériau car

t>.M(t) = - {' {div (w1 + w. + w.) dxdt lto ln

- r' r (w,.n + w •. n + w •. n) dx dt lto lan. Cette quantité pourrait être calculée numériquement car le flux total d'eau (sous forme liquide et gazeuse) est connu au bord du matériau. Cependant, la masse de gaz étant négligeable dans M(t), nous avons choisi d'approcher la masse du matériau par la masse d'eau sous forme liquide:

M(t) '°' M1(t) = l <f>p1s1 dx (3.32)

On choisit aussi d'approcher la variation de masse du matériau à l'instant t par la variation de masse d'eau liquide t>.M1(t):

l 1' as, t>.M(t) '°' t>.M1(t) = M1(t) - M1(t0 ) = </>p1-a dt dx n t0 t

(3.33)

74

Si l'on tient compte de l'équation de conservation de la masse d 'eau liquide du système (3.16), la variation de masse d 'eau liquide du matériau peut être évaluée à partir de l'expression suivante :

- t { (div W1 + m~~) dxdt 110 ln { t { W1.ll dx dt+ { t { m~_:.~ dx dt l to loo l to ln (3.34)

Dans la suite de ce document, on assimile cette quantité à la variation de masse du matériau. t:.M1(t) va pouvoir être déterminée numériquement car le flux d 'eau liquide sortant du matériau cumulé avec le taux de changement de phase à son bord est une inconnue calculée au bord. En effet, du point de vue discret, la masse d 'eau liquide présente dans le matériau au temps t" est:

N

Mî = L </>pi { si}; (3.35) p= O

La variation de masse d 'eau liquide dans le matériau entre les instants t'" et t"+i est donc

N

t:.Mî-+n+I = M['+1 - M[' = L </>Pi ({si};+I - {si};)

p=O (3.36)

Si l'on tient compte de la troisième équation dans les systèmes (3.21) et (3.22), (3.36) devient

t:.Mï-+n+I = -dt L ( L Tpq{w1}~+I + x;+1)

p=O,N qEN(p)

N-1

-dt L ( L Tpq{w1 } ;:1 + mp{m~~ };+ 1 ) p=I qEN(p)

(3.37)

Donc, comme l'équation (3.23) des flux d'eau liquide est conservative, (3.37) devient

N -1

t:.Mî-+n+i = - k( :L x;+1 + :L mp{m~-!~ };+1) p=O,N p= I

(3.38)

Cette expression permet donc le calcul de la variation de masse d'eau liquide entre les instants t" et tn+1 . De plus, d 'après l'expression (3.29) de x;+i, (3.38) constitue une ap­proximation de l'expression (3.34) entre t" et t"+1•

Dans la suite de ce rapport, nous identifions les modes de transport de l'humidité lors du séchage des matériaux cimentaires présentés au début de ce chapitre. Ces modes de transport peuvent être mis en évidence si l'on connaît la région du matériau qui contribue le plus à sa perte de masse. Afin d 'identifier cette région, nous allons introduire une variation partielle de masse sur un domaine S"h en contact avec le bord du matériau. On définit donc une zone nL c n telle que an c 80.L . La variation partielle de masse d 'eau liquide sur S°2L entre les instants to et t peut ainsi être définie par :

t:.Mht) = 1t r W 1.n dx dt + 1t r m~~ dx dt to lan to lnL

(3.39)

75

Cette variation partielle de masse nous renseigne sur la contribution du domaine nL à la perte totale de masse du matériau entre les instants t0 et t. Elle prend en compte la quantité d'eau sortant du matériau par ses bords sous forme liquide entre les instants to et t ainsi que la quantité d'eau évaporée sur le domaine nL entre les mêmes instants. Une nouvelle fois, comme nous étudions le séchage, la quantité !::J.Mf(t) est négative, et on appelle perte partielle de masse sur nL entre les instants to et t la quantité opposée à D.M,'(t). D.M,L(t) ne doit pas être confondue avec la variation de masse en eau liquide du domaine nL. En effet, d'après (3.34) la variation de masse d'eau liquide sur nL peut être calculée par :

lt { W1.ndxdt+lt { m~~dxdt

t0 JanL to JnL

Comme an c anL, cette quantité diffère de D.M,L(t) par un terme lié aux flux d'eau liquide sur la partie du bord de nL différente de celle du bord de n. Ce terme manquant représente en fait l'apport massique d'eau liquide par le bord de OL différent de celui de 0.

La variation partielle de masse d'eau liquide sur nL entre les instants t-o et t peut être comparée à la variation totale de masse d'eau liquide entre les mêmes instants. La diffé­rence entre ces deux termes réprésente la quantité d'eau évaporée sur la partie de n non recouverte par OL {le domaine O\OL) entre les instants t0 et t. En effet, d'après (3.34) et (3.39) on a:

(3.40)

Et en particulier quand 0 = OL, les deux variations sont égales: D.M,(t) = D.Mht). Pour faciliter la représentation de l::J.M1L(t), nous avons choisi de le normaliser par la variation totale de masse d'eau liquide du matériau. On introduit donc un nombre Rf(t) défini par:

(3.41)

Le calcul de ce rapport nous permettra une meilleure identification de la partie du ma­tériau qui contribue le plus à sa perte de poids. Des résultats numériques sur l'évolution temporelle de ce nombre sont présentés dans la partie 3.5.2 pour le modèle de référence ainsi que pour l'équation de diffusion à pression de gaz constante. On y représente par exemple le nombre Rf(t) obtenu à partir de la variation partielle de masse d'eau liquide aux bords den. Ce cas limite permet de repésenter la contribution de la quantité d'eau li­quide perdue aux bords du matériau entre les instants t 0 et t à la variation totale de masse d'eau liquide du matériau entre les mêmes instants. Du point de vue discret, D.M/(t) (donc Rf(t)) peut être calculé par une expression similaire à (3.38) dans laquelle on ne garderait que les volumes de contrôle dans nL pour le deuxième terme du membre de droite. En particulier, dans le cas de la variation partielle de masse d'eau liquide aux bords de n on n'utilise que le premier membre de droite de (3.38).

76

3.4 Comparaison des résultats numériques du modèle de référence avec des résultats expérimentaux

3.4.1 Identification de la perméabilité absolue ou intrinsèque

La résolution numérique du modèle de référence de la section 2.4.6 par la méthode de­volumes finis a été réalisée en language C. On connaît tous les paramètres nécessaires à un calcul, sauf la perméabilité absolue des matériaux testés. En effet, la porosité a été donnée dans la section 3.2.1, la relation pression capillaire - saturation dans la partie 3.2.2, les perméabilités relatives à l'eau liquide et au gaz dans la section 3.2.3 et le facteur de résistance à la diffusion dans la section 3.2.4. Enfin, les données physiques du modèle sont résumées dans le tableau 3.5. La perméabilité intrinsèque ou absolue des matériaux est donc le seul paramètre inconnu du modèle de référence.

masse volumique de l'eau Pt= 1000 kg/m3

constante des gaz parfaits R = 8.3147 J/(K.mol)

masse molaire de l'eau Mv = 0.018 kg/mol

masse molaire de l'air sec Ma = 0.02896 kg/ mol

température T = 293 K

pression de vapeur saturante Pvs = 2.333 103 Pa

pression atmosphérique Patm = 1.01325 105 Pa

viscosité dynamique du gaz Tlg = 1.8 10-s kg/(ms)

viscosité dynamique de l'eau Tlt = 1. 10-3 kg/ (ms)

TAB. 3.5 - Données physiques du modèle de séchage isotherme

Nous allons maintenant identifier ce paramètre inconnu pour chacun de nos matériaux à partir des cinétiques expérimentales de séchage de chaque matériau. On va donc comparer les pertes de masse expérimentales des éprouvettes avec les pertes de masse prédites par la résolution numérique du modèle de référence. Les résultats expérimentaux de perte de masse en fonction du temps sont donnés par Ba~oghel-Bouny j6] page 370. Les pertes de masse du modèle de référence sont évaluées à partir de l'expression (3.38).

Le choix de la perte de masse pour comparer les résultats expérimentaux et numériques nous apparaît comme le plus judicieux car l'incertitude sur les mesures de masse est très faible. Ceci n'aurait pas été le cas si l'on avait procédé par exemple à partir de mesure en gammadensimétrie. Un autre intérêt de la perte de masse est que nous n'avons pas besoin de comparer les résultats expérimentaux et numériques sur toute la longueur de l'éprouvette car la perte de poids est une variable globale. Enfin, nous allons identifier la perméabilité absolue par calage sur toute une gamme de temps. La valeur de perméabilité ainsi calculée permettra alors une bonne modélisation sur toute cette gamme de temps. On a pas le même résultat si on travail avec des profils en eau obtenus à des instants différents. En effet, dans ce cas on n'est pas sûr d'identifier des valeurs proches de la

77

perméabilité à partir de chaque profil.

On procède alors par calage des courbes de perte de masse numérique par rapport aux courbes expérimentales de Baroghel-Bouny. On joue alors sur la valeur de la perméabilité absolue de chaque matériau jusqu'à trouver celle qui permette la "meilleure" reproduction des cinétiques de séchage expérimentales de chaque matériau. Les valeurs de perméabilité absolue ainsi identifiées pour les matériaux BO, BH, CO et CH sont données dans le tableau 3.6.

matériaux BO BH CO CH

perméabilité absolue (m2) 3. 10-21 s.10-22 1. 10-21 0.310-22

TAB. 3.6 - Perméabilités par comparaison des pertes de masse expérimentales et numé­

riques

Les courbes expérimentales de perte relative de masse de nos matériaux sont représen­tées sur la figure 3.8 par des points. On a aussi tracé en traits continus sur cette figure les pertes relatives de masse numériques qui ont permis l'obtention des perméabilités absolues du tableau 3.6. On constate sur cette figure que la modélisation permet une très bonne reproduction des cinétiques de perte de masse à partir d'un seul paramètre. Ce résultat, même s'il sagit d'un calage, n'était a priori pas évident étant donné la complexité du problème modélisé.

Les valeurs des perméabilités obtenues pour les pâtes de ciment sont très bonnes car elles sont comparables à celles obtenues par la méthode de Katz-Thompson [32]. Cette théorie prédit pour les pâtes de ciment la valeur de la perméabilité absolue du matériau à partir d'un diamètre de pore critique et d'un facteur de formation. Le diamètre de pore critique se calcule à partir d'une courbe d'intrusion de mercure obtenue par porosimétrie au mercure. Le facteur de formation peut quant à lui se calculer à partir du coefficient de diffusion des ions chlorures dans le matériau. Le calcul est détaillé dans [6] page 367 pour les matériaux CO et CH. Les résultats sont donnés dans le tableau 3. 7.

matériaux CO CH

perméabilité absolue ( m2) 3. 10-21 2. 10-22

TAB. 3.7 - Perméabilités absolues des pâtes de ciment par la méthode de Katz-Thompson

L'accord entre les tableaux 3.6 et 3.7 est très satisfaisant étant donné l'incertitude sur la mesure du diamètre critique pour la méthode de Katz-Thompson. En ce qui concerne notre modèle, il y a des risques d'erreur assez importants sur la relation pression capillaire - saturation et aussi sur les perméabilités relatives. Il existe enfin une incertitude sur l'état initial du matériau et sur les conditions aux limites appliquées pendant l'expérience. En conséquence) la différence entre les valeurs de perméabilité des tableaux 3.6 et 3. 7 des

78

~ ~

2.5

<l> 2 (/) (/) <Il E <l>

~1 .5 > ~ ~ ~ Ql a.

BO numérique O o BO expérience

CO numérique a a CO expérience

BH numérique V BH expérience

CH numérique ~ ~ CH expérience

CH

BH

50 100 150 200 250 temps de séchage [jours]

300 350

FIG. 3.8 - Calage des pertes de masse du modèle de référence sur les pertes de masse expérimentales

pâtes de ciment est tout à fait acceptable.

Nous n'avons pas de valeurs de référence pour les bétons. Des expériences sont actuel­lement en cours au LCPC pour déterminer ces perméabilités absolues au moyen d'un perméamètre à gaz. Les premiers résultats obtenus pour les bétons donnent des valeurs de perméabilité intrinsèque plus importantes que celles obtenues par le calage. Par exemple, pour le béton BO, l'ordre de grandeur de la perméabilité absolue au gaz à sec est de 10-18 m2

. Cette valeur est donc bien différente de la valeur donnée dans le tableau 3.6. Or nous allons voir par la suite que le mouvement Darcéen du gaz joue très peu sur les ré­sultats numériques du modèle de référence. On en conclut que les valeurs de perméabilité obtenues par calage correspondent à une perméabilité à l'eau. Ceci est aussi comfirmé par l'accord de nos résultats sur les pâtes de ciment avec la théorie de Katz-Thompson. En effet, cette théorie utilise pour le calcul d 'une perméabilité des mesures effectuées sur un fluide (mercure). On s'aperçoit alors de la forte différence entre les valeurs de la perméa­bilité absolue mesurées à l'eau et celles mesurées au gaz. Cette différence remet en cause le concept de perméabilité absolue utilisé pour écrire les lois de Darcy des phases liquide (2.28) et gazeuse (2.29). On peut même plus généralement s'interroger sur la validité de ces lois pour les matériaux à base cimentaire.

79

3.4.2 Interprétation des résultats : existence d'une surpression de gaz

On a représenté sur les figures 3.9 et 3.10 les profils en eau dans les différents matériaux obtenus à partir de la résolution numérique du modèle de référence. Ces profils sont tra­cés aux mêmes instants que les mesures de gammadensimétrie effectuées sur les quatres éprouvettes et présentés dans [6] page 371. La comparaison qualitativ~ des résultats nu­mériques et expérimentaux est très satisfaisante.

CO CH

0.9 _ .... --- .. - -... --..... ï , .... .----· ------------';'0.8 .. . i . :g ; , . ------ -... ........ " i , , ---go.1 ---" ! ' , - " Ojour .. . , , .. ~0.6

., , , ~0.6 6 iours ., , Ojour 62 JOUrS .. , .,

.§o.s : 61ours so.s 127 JOUrS 62 JOUrs 358 )0Ur5

ë 128 JOUrs ~ ~0.4 353 Jours ~0.4 "' "'

0.3 0.3

0.20 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.20 0.02 0.04 0.06 x[m) x[m)

FIG. 3.9 - Saturation en eau liquide dans les pâtes de ciment

BO

0.9

ï -;o.81o---""'"---------=-----.1 :g

" go.1 " .. ~0.6

0 .3

--------------- .... -----~- ............ .. .. .. -.. --- - ---

Ojour 7 iours

63 iours 128 JOurs 356 iours

-----.

0.9

ï -;o.8

~ go.1

" .. ~o.e I .. .§o.s; ;: ... ... ë ~0.4

0.3

BH

0 jour 71ours

62 JOUrs 127 JOUrs 359 JOUrs

---

0.08 0.1

0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 °·20---o~.0-2--0-.04---o~.06---o~.08~---'o.1 x[m) x[m)

FIG. 3.10 - Saturation en eau liquide dans les bétons

80

CO o.1e~-----~-----------.

0.17

0·10'===0:_02'""'==0.=04===0=.oso===o:_o7a==='o_, x(m]

CH 0.18,------~-----------.

0.17

• ~0.16

&o.1s • ~0.14 :r\ .. .. 0 ••• ~0.13·• · g

io.12 " 0.11

--

0 jour 1 1our s1ours

621ours 3581ours

FIG. 3.11 - Pression totale de gaz dans les pâtes de ciment

80 0.18•~-----~-----------.

~0.15 • ~ j0.14

c:0.13 .Q •

!0.12: " ' 0.11

.............. .. ............ ........ _ ......

Ojour 1 JOUr 7 iours

63 Jours / 356 jOUrs /

\.... _;·'·

................... _. __ .... /·""''

,;

0· 1ol===o"'.0"2===0.=04===00"_0"•~=~0~.oa'""'=""='o.1 x[m]

BH 0.18~-----~------~---,

0.17

0.02

Ojour 1 jOUr 71ours

62 Jours 359 JOUrS

0.04 0.06 x(m]

0.08

FIG. 3.12 - Pression totale de gaz dans les bétons

81

CO CH 0.18•------------------ 0.18-------------~--~

0.17

0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 x(m]

0.17

;f'0.16

" go.15

•

O jour 1 JOUf 6Jours

62JOUfS 35Biours

"ii:0.14 !-.· .. 'b !.;. .... ·

' . . ..

c ··-.Q0.13 '• ._

Ïo.12

0.11

;-. \·' \ .... .. '

:.' ~ ........ \...... ... ....... _ . ... .. ____ ....

0.02 0.04 0.06 x[m)

FIG. 3.13 - Pression d'air sec dans les pâtes de ciment

BO 0.181~---------~-----~

~0.17 (/~ ...........

lf0.16 ;:

" . -- ................... ____ .......... ..

i0.15

·iiio.14 'o e .*0.13 ,

C.0.12:

0.11

~-·---·-------~ .. . .· k' O jour

11our ,' ·._ • 7 JOUrs \... 63JOUrs

3561ours l ' , \....... _,,-·-

.. , ,·' ............. -- ___, ... 0· 110'---o~.~02---0-.04---o.~o-o--o-.os~---'o.1

x[m]

BH 0.18

0.17 O jour

;f'0.16 1 /0Uf

" 7 JOUrs

'0'0.15 62 JOUrs

m 359 JOUrs

0.02 0.04 0.06 x[m]

FIG. 3.14 - Pression d 1air sec dans les bétons

82

0.1

0.0B 0.1

CO o.02s---~-----------~

:;: _ra o.02r---,.-------,==,,,,~-----..,..--1

io.015 /' ............ -----------....... \

~ f ... /' ---------------------------~"'_ ........ \ .Q 0.01

~ go.oos 8

0.02 0.04

O~ur 1 eure 1 jour 61ours

62jOUr8

0.06 0.08 0.1 x[mJ

CH 0.025---~-------------.

:;: :::i 0.02

~ 5 i ..... 8_0.015 • •' ~ ;,/ ffi ------·----------------c 0.01

~ O~ur 1 eure

• 1 jour ê0.005 6 JOUrs 8 62JOUrs

OO 0.02 0.04 0.06 0.08 x(m]

....... \ \ ~ .. . ;

0.1

FIG. 3.15 - Concentration molaire en vapeur d'eau dans les pâtes de ciment

BO 0.025~-----------------,

:;: ;:> 0.02

~ ' :g_o.01s ~ :;; Î 001

go.oos 8

---- -- --- --- -- -- --- --- -- --

002

Ojour 1 heure 1 jour 7JOUrS

63Jours

0.04 0.06 x{m]

0.08 0.1

BH o.02s---~-------------,

:;: :::1 0.02

~ ' :g_o.01st---.,,~------------•-=.--t g! _ ............. -· --------------·---- ......... . fi • ---- -·---.Q 0.01

lo.oos 8

0.02

ajour 1 heure 1 jour 7 JOUrS

62 JOUrs

0.04 0.06 x{m]

0.08 0.1

FIG. 3.16 - Concentration molaire en vapeur d'eau dans les bétons

83

Nous avons aussi représenté sur les figures 3.11 et 3.12 la répartition de la pression totale de gaz dans les différents matériaux. On constate que cette pression n'est pas constante. Une surpression apparaît au début de l'expérience à chaque extrémité de l'éprouvette. Cette surpression se propage alors jusqu'au cœur de l'éprouvette et ne diminue qu'à partir de temps grands. Ce phénomène s'explique par le changement de phase de l'eau pendant le séchage du matériau. Il y a alors évaporation, donc augmentation de la pression de la phase gazeuse. Etant donné la faible perméabilité des matériaux, cette surpression est très lente à s'évacuer. Il faudrait donc attendre des temps très grands pour retrouver une pression de gaz uniforme dans nos échantillons.

La surpression de gaz observée sur les figures 3.11 et 3.12 étant très rarement mise en évi­dence, nous allons l'expliciter davantage. Etudions plus particulièrement l'équation gérant la pression totale de gaz. Cette équation peut être obtenue en additionnant les équations de conservation de la masse de vapeur d'eau et d'air sec (2.44) pondérées respectivement par les facteurs KT/ Mv et KT/ M. :

~ (</>pg(I - s1)) = -RTdiv (Wv Wa) KI' 0 HzO

M + M +Mm'~• V a V

(3.42)

De plus, si on utilise les relations (2.37), (2.45) et C; = p.fpg, on obtient:

(Wv Wa) k ( ) RT M + M = - Pg - k,g s1 grad Pg V a T}g

(3.43)

Donc la combinaison de (3.42) et (3.43) donne une équation portant principalement sur la pression totale de gaz :

â . ( k ) RT o 8 , 0 ât (q)p9(1 - s,)) =div p9 ry, k,g(s1) grad p9 + M, m1~9 (3.44)

La variation de pression de gaz observée sur les figures 3.11 et 3.12 ne peut pas être expliquée par la diminution de la saturation en eau. En effet, la baisse de la teneur en eau ne peut que diminuer la pression de gaz. Nous supposons donc pour simplifier, que la saturation en eau reste constante dans le temps. En l'absence d'évaporation, (3.44) prend donc la forme :

q)(l - s1) â:: =div (Pg :. k,9(s1) grad p9) (3.45)

Dans ces conditions (absence d'évaporation et saturation constante dans le temps), au­cune variation de la pression de gaz n'est susceptible de se produire car la condition aux limites n'engendre pas de variation de la pression de gaz. L'augmentation de la pression de gaz observée sur les figures 3.11 et 3.12 ne peut donc être imputée qu'à l'évaporation.

On pense alors que cette surpression de gaz est due à la pression de vapeur d'eau. Or la pression de vapeur d'eau ne peut pas dépasser la pression de vapeur saturante. En effet, dans l'équation (2.18) le terme (p1-Patm) = (pg-Patm -p,) est négatif de par l'importance des effets capillaires. Or les surpressions de gaz observées sur les figures 3.11 et 3.12 sont supérieures à 30000 Pa alors que la pression de vapeur saturante de l'eau à 20 degrés Celsius est d'environ 2300 Pa. Ces surpressions ne peuvent donc être attribuées qu'à l'air sec. Ce résultat se vérifie numériquement sur les figures 3.13 et 3.14 où ron a représenté

84

les pressions d'air sec obtenues avec le modèle de référence pour les quatre matériaux.

Il peut paraître étonnant que l'air sec pénètre en si forte quantité dans le matériau. Or, on peut constater sur la figure 3.17, qu'au départ du séchage du matériau CO, le trans­port Darcéen du gaz est négligeable devant le transport diffusif1 . La figure 3.17 représente l'évolution temporelle de la valeur maximale (sur tout le matériau CO) du nombre de Pé­clet de l'air sec introduit dans la section 2.5. Pour le matériau CO, cette valeur maximale est inférieure à 5% pendant les huit premiers jours de séchage. Donc pendant les premiers jours du séchage, on peut considérer que seul le mouvement diffusif des gaz est important. Or on a montré que la surpression de gaz observée sur les figures 3.11 et 3.12 était due à une forte évaporation. Une quantité importante d'eau se vaporise et est évacuée par diffusion gazeuse vers l'extérieur car la pression de vapeur d'eau ne peut pas augmenter au dela de 2300 Pa. Le flux diffusif sortant de vapeur d'eau est simultané à un flux diffusif entrant d'air sec. L'air sec entrant génère alors la surpression de gaz observée sur les figures 3.11 et 3.12.

CO 1.4

1.2 I 0 ~ 1 0

~ ~0.8 ;; 13 ·~ a..0.6 ~

"' ~0.4 E 0 c

0.2

0 0 50 100 150 200 250 300 350 400

temps de séchage [jours]

FIG. 3.17 - Evolution de la valeur maximale dans CO du nombre de Péclet de l'air sec au cours du séchage

On constate aussi sur les figures 3.15 qu'à l'issue des premiers jours de séchage du matériau CO, le profil en concentration molaire de vapeur d'eau (ou d'air sec) est pratiquement uniforme dans le matériau. La diffusion gazeuse est ainsi presque terminée à l'issue de ces premiers jours de séchage. De plus, d'après la figure 3.17, les deux modes de transport (diffusion et mouvement Darcéen) s'équilibrent après le premier mois de séchage. On peut

1. La faible importance du transport Darcéen du gaz est liée à la faible perméabilité des milieux poreux étudiés. Cependant, ces matériaux sont suffi.sa.ment perméables pour que l'on puisse identifier une perméabilité à l'eau liquide.

85

donc penser que pour des temps de séchage grands, le transport diffusif et Darcéen des gaz deviennent peu importants. Le mouvement de la phase liquide serait alors le seul moteur du séchage (l'eau liquide se déplace vers les extrémités de l'échantillon où elle s'évapore instantanément). Nous allons préciser les moteurs du séchage dans la section suivante en comparant les résultats numériques des différentes modélisations présentées dans le chapitre 2.

3.5 Comparaison des modélisations. Identification des moteurs du séchage

De façon simplifiée, deux modes de transport de l'humidité sont possibles lors du séchage isotherme. Le premier mode correspond à un mouvement de l'eau en phase liquide puis à une évaporation au bord du matériau. Pour le second mode, l'évaporation s'effectue à l'intérieur du matériau et l'eau est ensuite évacuée sous forme gazeuse. On se pose alors la question de savoir à quels modes de transport peuvent être associés les modèles présentés dans le chapitre 2? La réponse à cette question va être obtenue en comparant les résultats numériques de ces différentes modélisations.

3.5.1 Comparaison modèle de référence - modèle simplifié

Nous avons calculé dans la section précédente la valeur du nombre de Péclet de l'air sec pour le matériau CO. Nous avons vu sur la figure 3.17 que le transport diffusif était pré­pondérant au début du séchage. Puis après environ un mois de séchage, les deux modes de transport du gaz (diffusion et convection) s'équilibrent. Le modèle simplifié de la section 2.5 est basé sur l'hypothèse d'un transport Darcéen de l'air sec et de la vapeur d'eau né­gligeable devant leur transport diffusif respectif. D'après la figure 3.17 ce modèle semble bien adapté pendant les premiers jours de séchage. Après, les deux modes de transport ayant la même importance, le modèle simplifié proposé apparaît moins bien adapté. Pour se rendre compte d'une différence entre les deux modèles à des temps grands, nous avons programmé le modèle simplifié avec une méthode de volumes finis. On choisit de prendre comme matériau de comparaison la pâte de ciment ordinaire CO. Les données nécessaires au calcul ont donc toutes été présentées au début de ce chapitre. On prend comme per­méabilité absolue de la pâte de ciment CO, la valeur obtenue dans la section précédente (tableau 3.6).

Les pressions de gaz et les concentrations en air sec obtenues par les deux modèles (mo­dèle de référence et modèle simplifié) sont présentées sur les figures 3.19 et 3.20. On ne constate pas d'écart entre les deux modélisations. Ceci confirme donc la faible importance du transport Darcéen du gaz devant le transport diffusif aux premiers jours de séchage. De plus, même pour des temps plus importants, il n'apparaît pas diécart entre les deux modélisations. Par exemple, les pertes relatives de masse obtenues à partir du modèle simplifié et représentées sur la figure 3.18 permettemt une aussi bonne représentation des résultats expérimentaux que le modèle complet. Le mouvement Darcéen des gaz ne joue donc aucun rôle dans le modèle de référence. Ceci s'explique en fait par la faible perméabilité des matériaux testés. On peut en conclure que le transport diffusif des gaz devient rapidement négligeable. En effet, s'il ne l'était pas, le transport Darcéen du gaz

86

2.5

0 50

CO

a 1:11 résutats expérimentaux modèle simplifié

100 150 200 250 temps de séchage [jours}

300 350

FIG. 3.18 - Perte de masse du modèle de référence et du modèle simplifié pour CO

influencerait le séchage d'après la figure 3.17. Donc pour les deux modèles comparés dans cette section, la diffusion des gaz devient rapidement négligeable. Ceci se constate aussi sur les figures 3.15 et 3.16 où les concentrations en vapeur d'eau deviennent rapide­ment uniformes dans les matériaux. Le seul transfert actif dans les deux modélisations est alors le mouvement de la phase liquide. On est donc dans le cas du premier mode de transport de l'humidité: l'eau liquide se déplace dans le matériau pour venir s'évaporer à ses extémités. Le mouvement de la phase liquide entraîne une baisse de la saturation en eau au cœur des matériaux (voir les figures 3.9 et 3.10). Cette diminution de la saturation en eau liquide provoque alors l'abaissement de la surpression de gaz dans les matériaux (voir les figures 3.11 et 3.12).

3.5.2 Comparaison modèle de référence - équation de diffusion à pression de gaz constante

Dans cette partie, on compare les résultats du modèle de référence avec ceux de l'équa­tion de diffusion à pression de gaz constante obtenue dans la partie 2.6. Cette équation repose sur une expression purement diffusive de la vitesse massique de la vapeur d'eau en gradient de Cv et l'hypothèse d'une pression de gaz constante. On a aussi supposé que la variation temporelle de la masse de la vapeur d'eau était négligeable devant celle de l'eau liquide. Cette hypothèse peut être justifiée à partir du nombre M' défini par (2.65). Une majoration de ce nombre est donnée par (2.66). On doit alors évaluer la dérivée de la pression capillaire par rapport à la saturation en eau liquide. On a d'après (3.3):

p;(s,) =a (1- b) (sï' - lt'i' s1•- 1

Les valeurs des coefficients a et b utilisés sont données dans le tableau 3.3. On peut alors montrer que pour le matériau CO,

87

Modèle de référence

0.17

'l ,.,, ... -.. :?:0.16 i ~ .... ,

";::;' t: ~ ...... - -............... ...... ... ~0.15 .: ~~.... '>... ; -8 \ ,,. ... , ..... ... .. "' i

0 14 . , ....... .. .. _____ ... ... ,,

t· A A ~0.13 ·' \ Ojour • o °\ 1 JOUr / <0 \ 6 JOUrs i :io.12 ' ·, 62 iours ,· Q. ·..... 353 JOU rs ,_,.,.

0.11 ·· ·· ·· ·· ·· ·· ·· ·· ·· ·- · ·· ··"·· ·

0.02 0.04 0.06 0.08 x[m)

0.1

"' "O

0.17

,0.14

~0.13 0 <;; :l0.12 ' i:i

0.11

Modèle simplifié

, _ ... .. ------... , .. >~

'-, # , ......... .. ........

.~... .. ..... ............... -' Ï· O jour i

\ 1 JOUr / \ 6 JOUrS ; '· 62 JOUrS .... ·;;

····--···-...•. _:~_'.::.: .. / 0.02 0.04 0.06 0.08

x[m)

. .

0.1

FIG. 3.19 - Pression de gaz du modèle de référence et du modèle simplifié pour CO

Modèle de référence

ï g-o.99i-.,....=-- - --------- - -=,....,,...o( "' ......... --- .. ... ______ ____________ .... ... -·· ~ ................... --.......... _,_ .......................... · -~0.98 °§ ë g 0 0.97 ()

0.02

O jour 1 JOUr 6 iours

62 iours 353 JOUrs

0.04 0.06 x[m)

0.08 0.1

Modèle simplifié

0 jour 1 JOUr 61ours

62 JOUrs 353 JOurs

0·960~---o.·o-2 ___ 0 •. 04 ___ 0~.06---o~.os---o~.1

x (m)

FIG. 3.20 - Concentration molaire en air sec du modèle de référence et du modèle simplifié pour CO

88

On déduit de (2.66) la majoration M' :S 0.00003. Il est donc justifié de négliger le second terme du premier membre de (2.63) devant le premier terme. Nous avons vu sur les figures 3.11 et 3.12 que la pression de gaz ne pouvait pas être supposée constante. Il y a donc a priori peu de chance que les deux modèles (modèle de référence et équation de diffusion à pression de gaz constante) donnent des résultats semblables. Le but de cette partie est donc de quantifier l'écart entre ces deux modèles et d'étudier si les modes de transfert qu'ils mettent en jeu sont différents.

On a résolu numériquement l'équation (2.68) de diffusion non linéaire au moyen de la méthode des volumes finis. La perte de masse numérique peut alors être calculée à chaque instant à partir de la masse d 1eau présente dans le matériau. On a représenté sur la figure 3.21 les pertes relatives de masse obtenues par le modèle de référence et l'équation de dif­fusion à pression de gaz constante pour le matériau CO. La perte de masse de l'équation de diffusion à pression de gaz constante a été calculée pour la valeur de la perméabilité absolue donnée dans le tableau 3.6.

4.5

4 "#­';"3.5 • • ~ 3 • ~2.5

~ 2 ~

-ê 1.5 il.

0

. · • • •

• •

50

/

_____ ,,

.··

•

CO

.·· .. · . . .. •'

.. .. .. ..

• résutats expérimentaux modèle de référence équation de diffusion

1 OO 150 200 250 300 350 400 temps de séchage [jours]

FIG. 3.21 - Perte de masse du modèle de référence et de l'équation de diffusion à pression de gaz constante pour CO

On constate sur la figure 3.21 une forte différence entre les deux modèles. L'équation de diffusion à pression de gaz constante surestime la perte de masse pendant le séchage. Cette différence se constate aussi sur les profils en saturation en phase liquide (figures 3.23) et les concentrations molaires en vapeur d'eau (figures 3.24). Non seulement les variations de masse des deux modèles sont différentes, mais c'est aussi le cas des moteurs du séchage. Ceci se constate sur la figure 3.22 où l'on a représenté la quantité Rf(t) introduite par

89

l'expression (3.41). Cette expression définit Rf(t) comme le rapport de la masse d'eau li­quide perdue au bord du matériau (ou sur un domaine rli accolant au bord) entre l'instant initial et le temps t sur la perte totale de masse d'eau liquide du matériau entre les mêmes instants. Rf(t) représente donc la contribution des éléments situés aux bords du matériau à la perte de masse. Les résultats des deux modélisations sont alors très différents. Dans le cas du modèle de référence le rapport Rf(t) aux bords reste presque égal à un au cours du temps (courbe modèle de référence aux bords de la figure 3.22). Cela signifie que l'eau ne s'évapore qu'aux bords du matériau où elle est apportée par mouvement de la phase liciuide. On est donc dans le cas du premier mode de transport de l'humidité possible. Dans le cas de l'équation de diffusion à pression de gaz constante, le rapport Rf(t) aux bords chute rapidement (courbe équation de diffusion aux bords): après avoir évaporé le surplus d'eau initialement présent au bord, l'évaporation a lieu davantage à l'intérieur du matériau. Les phénomênes de transfert mis en oeuvre par l'équation de diffusion à pres­sion de gaz constante sont donc plus proches du second mode de transport. Afin d'évaluer dans quelle zone du matériau s'effectue l'évaporation, on a représenté le rapport Rf(t) pour différents domaines nL identifiés par différents pourcentages sur la figure 3.22. Par exemple, 20% correspond à un domaine OL constitué des deux intervalles (O cm, 1 cm) et (9cm, lOcm). L'étude de la figure 3.22 montre ainsi que pendant les trente premiers jours de séchage, toute l'évaporation a lieu dans le premier centimêtre en bordure d'éprouvette. Aprês, l'évaporation se fait un peu plus au centre du matériau. Les mouvements d'eau sous forme liquide ne sont pas pour autant absents dans l'équation de diffusion à pression de gaz constante. Cependant, par rapport au modèle de référence, l'eau liquide s'évapore avant d'atteindre le bord de ! 'éprouvette.

. ;

Jo.s !

=- '· •

' ' ' ,, ...........

CO

modèle de référence aux bords équation de diffusion aux bords équation de diffusion sur 5 % équation de diffusion sur 10 % équation de diffusion sur 20 %

......... ----- ..... ----'lr:-

0.4

\

0.2

-...... ............ "'- ......... -.... , .. ________ _ ...... ________ _

......... _ -----------------------------

50 100 150 200 250 300 350 400 temps de séchage Dours]

FIG. 3.22-: Evolution du rapport Rf(t) pour le modèle de référence et le modèle simplifié pour CO

Nous avons aussi effectué une simulation avec le modèle de référence en forçant la pres­sion totale de gaz à rester constante. Pour cela, on considére une perméabilité au gaz

90

très grande de façon à ce que les surpressions observées sur les figures 3.11 soient ins­tantanément évacuées. Ce calcul peut être réalisé en prenant une très faible valeur de la viscosité dynamique du gaz. Ainsi, on a constaté qu'une valeur de la viscosité du gaz ry9 = 1.10-15 kg/ms permettait d'assurer une pression totale de gaz constante dans le matériau CO. La valeur ry9 = 1.10-10 kg/ms permet d'assurer une pression totale de gaz constante à environ 13 près. Ces valeurs n'ont bien entendu aucun sens physique, mais permettent-·d'obtenir le résultat numérique du modèle de référence pour une pression de gaz constante. On donne ainsi plus d'importance au transport Darcéen de Pair sec (d'après l'expression (2.55L le nombre de Péclet de l'air sec augmente quand la viscosité du gaz diminue). On évite alors la création d'une surpression de gaz due à Pair sec comme c'était le cas pour le modèle de référence sur les figures 3.13 et 3.14. Les résultats obtenus par cette méthode sont alors très proches de ceux de l'équation de diffusion à pression de gaz constante. Ceci signifie que seul le transport diffusif de la vapeur d'eau est actif dans le cas du modèle de référence 11 forcé 11 à pression de gaz constante. En résumé et dans ce cas, on a principalement un transfert Darcéen de l'air sec et un transfert diffusif de la vapeur d'eau. Cette situation peut s'expliquer à partir des nombres de Péclet de l'air sec et de l'eau. On rappelle donc ici les expressions de ces nombres introduites par (2.54) et (2.55):

pv= kp.k,g(s1) 16.;1 ' ~9 D •• (T) J(s,) li!.~I

Le rapport du nombre de Péclet de l'eau sur celui de l'air sec fait intervenir un facteur Pv/Pa· Ce rapport sera donc faible (de l'ordre de 2.10-2 à 20° C) étant donné la faible valeur de la pression de vapeur saturante. Par conséquent, le transport Darcéen de l'air sec pourrait être dominant devant son transport diffusif alors que ce serait le contraire pour la vapeur d'eau. De fait, la réalisati9n d'une pression totale de gaz constante dans le matériau repose sur l'hypothèse d'une viscosité (resp. d'une perméabilité au gaz) 105 fois plus faible (resp. plus forte) que la valeur physique attendue. L'hypothèse d'une pression de gaz constante apparaît donc comme très peu probable et remet fortement en cause la modélisation par l'équation de diffusion à pression de gaz constante.

Maintenant que nous avons vu que les moteurs du séchage du modèle de référence et de l'équation de diffusion à pression de gaz constante étaient différents, nous allons expliquer pourquoi la surpression de gaz engendre une telle différence.

Dans le cas du modèle de référence, nous avons constaté sur les figures 3.11 et 3.12 l'appa­rition, au départ du séchage, d'une surpression de gaz en forme de 11 bosse 11

• Or, la pression de gaz influence les mouvements de la phase liquide car Pl = p9 - Pc(s1). Au départ du séchage, les effets capillaires sont les mêmes dans les deux modélisations (modèle de réfé­rence et équation de diffusion à pression de gaz constante) car les saturations initiales sont identiques. Donc la surpression de gaz du modèle de référence engendre un mouvement Darcéen de l'eau liquide différent de celui de l'équation de diffusion à pression constante. Au bord de l'éprouvette, la pression de gaz étant croissante (figures 3.11), la surpression de gaz accélère la sortie de l'eau sous forme liquide. En revanche, à l'intérieur du matériau, la pression de gaz étant décroissante {figures 3.11), la surpression de gaz empèche l'eau liquide de sortir.

91

Modèle de référence Equation de diffusion

1 0.9[~.~.-~.·~-::::.:-::-:::-:::-::--:::--::::-::-:::-:::--::.::--::::::-"--~1 -;-a.a ,. ,,,,,,........ ............. "\ "C i ...... ~ ::; ! ,' , ..... ----------·-.... .. • ~0.7; /' .. -- ....... , \,. \ . " .. _, .. " ... <1>0.s:• •• •• •• •· ~ O jour c: : 61ours ~ 0·5 621ours - 126 iours ~ 0.4 353 iours •

0.3 0.3

0.9'-77--:::::==::::::::--~-.::1 ~ 1 ·' .. .. .. \ -;o.a l ,'"' .. • ~ ;.· \\ go.1 !: ,; ::;i !' -------- ~.;, . .. __ ...... -.. ~0.6 :: .. , • . . -- ------ •, . c: • ........ ~ ..... _.. •• ~.Q 0.5 0 jour _ 11our

~o.4 s~J~~~ 353 JOUrs

0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.20 0.02 0.04 0.06 0.08 o.i x[m} x[mJ

FIG. 3.23 - Saturation en eau liquide du modèle de référence et de l'équation de diffusion à pression de gaz constante pour CO

Modèle de référence 0.025•~-----~------~--,

I ::;i 0.02:~-------=~--------1

_:i: ........... ,-·····-··-.. u • :g_o.015 ~ a; c: 0.01

t go.oos 8

0.02

Ojour 1 JOUr 6 JOUrs

62 JOUrs 3531ours

0.04 0.06 x[m]

0.08 0.1

Equation de diffusion 0.025•~-----~------~--,

a 0.01

io.005 8

0.02

Ojour 1 JOUr 6jours

62JOUrS 353iours

0.04 0.06 x{m]

0.08 0.1

FIG. 3.24 - Concentration molaire en vapeur d'eau du modèle de référence et de l'équation de diffusion à pression de gaz constante pour CO

92

Modèle de référence Equation de diffusion 2 2

,_ ! '\

· .. ~ 0

.......... , .. -"' ... .. ~ 0 . .

Q. . Q. . ~

. ~

. - 1 . - 1 .

'2- . e>- . . :;;- . :;;-~ -2 .

Ojour ~ - 2 Ojour "' .

"' -- 1 heure -;;- 1 heure ., 1 jour 1 jour ; -c - 3 ;-c - 3 6jours 6jours

-4 62jours

-4 62jours

-50 0.01 0.02 0.03 0.04 o.os - 50 0.01 0.02 0.03 0.04 o.os x[m) x[m]

FIG. 3.25 - Mouvement d'eau liquide du modèle de référence et de l'équation de diffusion à pression de gaz constante pour CO

0

-200

Ë -300 ~ Q. i : ~ -400 ;.

? ! : -500 !o :;;- .. ., ;. ::;, -600 ~

-;;- I ;_i:. -700 ' . -800 ~ -900

i i !

Modèle de référence

------ .. -.. -.. -.. -

Ojour 1 heure 1 jour 6jours

62jours -;;-;-c - 700

-800

-900

Equation de diffusion

Ojour 1 heure 1 jour 6jours

62 jours

-10000L.i..~~-o-.o-1 ~~-o~.02..,....~~o-.03~~~~0~.04~~--:-'o.os x[m)

FIG. 3.26 - Mouvement d'eau liquide du modèle de référence et de l'équation de diffusion à pression de gaz constante pour CO

93

Ces phénomènes peuvent être observés sur les figures 3.25 et 3.26. Sur ces figures, on a représenté le terme kr1(s1) grad p1 intervenant dans l1expression de la vitesse massique d'eau liquide w1. Les figures 3.25 et 3.26 rendent donc compte du mouvement de la phase liquide dans le matériau CO à différents temps. Pour des raisons de symétrie, on a tracé k,i( s1) grad (P1) sur la moitié du matériau. Une valeur négative sur les figures 3.25 et 3.26 correspond à un mouvement d'eau dirigé vers le bord x = 0 de l'éprouvette. On observe donc principalement sur les figures 3.25 un mouvement d'eau liquide sortant. Dans le cas du modèle de référence, on constate sur cette figure un changement de signe du gradient de la pression de liquide qui ne peut être attribué qu'au gradient de la pression de gaz. La surpression de gaz génère donc un transport Darcéen de l'eau liquide vers le cœur du matériau. Cet effet est totalement absent dans la modélisation par l'équation de dif­fusion à pression de gaz constante. Les figures 3.26 sont les mêmes que les figures 3.25 mais représentées à une échelle plus grande. On voit ainsi un mouvement d'eau liquide au bord de l'éprouvette plus important dans le cas du modèle de référence que dans le cas de l'équation de diffusion à pression de gaz constante. Cet effet est aussi imputable à la surpression de gaz au bord du matériau.

Dans le cas de l'équation de diffusion à pression de gaz constante le plus faible mouve­ment d'eau liquide au bord est compensé par une évaporation plus importante dans le matériau (figure 3.22). La concentration en vapeur d'eau n'est donc pas uniforme aussi rapidement que dans le cas du modèle de référence (voir figures 3.24). L'eau évaporée est ensuite évacuée par diffusion en phase gazeuse. Ce transport gazeux étant relativement rapide (voir figures 3.24 où la concentration en vapeur d'eau est rapidement uniforme) la perte de masse de l'équation de diffusion à pression de gaz constante est plus forte que pour le modèle de référence. Enfin, l'évaporation à l'intérieur du matériau provoque une forme plus 11 creusée" du profil de saturation en eau liquide (voir figures 3.23). A l'inverse, dans le cas du modèle de référence, l'évaporation s'effectue presque entièrement au bord où l'eau liquide est apportée avec l'aide de la surpression de gaz. Il n'y a qu'une faible évaporation dans le matériau au départ qui génère la surpression de gaz (mais qui ne compte que très peu dans le bilan de masse d'après la figure 3.22). La diffusion gazeuse est donc rapidement terminée comme le montre la figure 3.24. Enfin, la surpression de gaz crée un transport d'eau liquide vers le cœur du matériau. Ceci engendre une forme moins aplanie du profil en saturation en eau liquide (voir figures 3.23), plus proche de celle observée par gammadensimétrie (voir [6) page 371).

Admettons maintenant que l'équation de diffusion à pression de gaz constante (2.68) constitue la bonne modélisation du séchage. On se propose alors identifier la perméabilité absolue à partir de ce modèle et non plus à partir du modèle de référence comme nous l'avons fait dans la partie 3.4.l. On joue donc sur la perméabilité absolue du matériau afin de caler les pertes de masse numériques de l'équation de diffusion à pression de gaz constante sur les résultats expérimentaux de Baroghel-Bouny. Comme ce modèle sures­time les pertes de masse expérimentales du matériau CO (figure 3.21), on va réduire la valeur de la perméabilité absolue. Or, on constate sur la figure 3.27 que même en rédui­sant la perméabilité absolue du matériau CO, on arrive mal à se rapprocher des résultats expérimentaux. De plus, lorsque la perméabilité absolue atteint la valeur de 10-24m2 , les mouvements d'eau liquide ne contribuent plus au séchage de l'échantillon (cf équation (2.69) avec k = 0). On ne peut alors plus diminuer la perte de masse en jouant sur ce

94

paramètre. Enfin, l'écart entre une courbe de perte relative de masse de la figure 3.27 et la courbe obtenue pour la perméabilité de 10-24 m2 permet de quantifier l'importance des mouvements d'eau liquide. L'équation de diffusion non linéaire (2.68) apparaît donc mal adaptée à une bonne reproduction des résultats expérimentaux. De plus, on risque de commettre une erreur importante si l'on identifie la perméabilité absolue à partir de ce modèle. Les effets "ralentissant" de la surpression de gaz semblent donc ne pas pouvoir être ignorés dans la modélisation.

4.5

4

~ 03.5 OO OO

~ 3

"' ~2.5 > ~ 2 ~

-ê 1.5

"' Q.

0 50

•

• k = 1. 10-21 m2

k= 5. 10-22 m2

k = 1. 10-22 m2

k = 1. 10-24 m2

• • expérience

1 OO 150 200 250 300 350 . 400 temps de séchage [jours]

FIG. 3.27 - Calage des pertes de masse de l'équation de diffusion à pression de gaz constante sur les pertes de masse expérimentales de CO

3.6 Conclusion

La confrontation de nos modèles entre eux et avec les résultats expérimentaux de Baroghel­Bouny [6] est donc très enrichissante. Le calage du modèle de référence sur les résultats expérimentaux de perte de masse permet l'identification d'une perméabilité absolue du matériau dont la valeur est très proche de celle prédite par la théorie de Katz-Thompson. Dans cette modélisation, le mouvement Darcéen du gaz peut être considéré comme né­gligeable. On a aussi pu identifier les phénomènes réellement actifs lors du séchage des matériaux à base de ciment. On peut ainsi distinguer deux étapes lors du séchage iso­therme des matériaux BO, BH, CO et CH testés:

l. Une première étape pendant laquelle la diffusion de la vapeur d'eau et de l1air sec sont importantes. Pendant cette période la concentration molaire en vapeur d'eau s'uniformise dans le matériau. En même temps, l'évaporation dans le matériau génère

95

une surpression de gaz. La pression de vapeur d'eau étant limitée par la pression de vapeur saturante, la surpression de gaz est attribuée à l'air sec. L'air sec pénètre en forte quantité dans le matériau car la vapeur d'eau évaporée sort du milieu poreux par diffusion.

2. A l'issue de cette première étape la surpression de gaz â atteint le cœur du matériau et la concentration molaire en vapeur d'eau est quasiment uniforme dans)e matériau. Le mouvement diffusif des gaz est alors presque nul. Les transferts ne s'effectuent plus que par transport Darcéen de la phase liquide. L'eau liquide se déplace du co eur du matériau vers ces extrémités où elle s'évapore. Il y a ainsi diminution de la saturation en eau liquide et donc abaissement de la surpression de gaz apparue au départ.

96

CONCLUSION GENERALE

Conclusion générale

Dans ce document 1 on a commencé par rappeler les différentes expressions de la loi de Fick issues de la théorie cinétique des gaz. Nous avons souligné que les expressions des vitesses de diffusion étaient fonction du choix de la vitesse de référence retenue pour décrire la vitesse du mélange. Pour les mélanges gazeux à pression non constante, ces expressions font intervenir le gradient de la fraction massique ou molaire d'un des deux constituants du mélange. Toujours à partir des résultats de la théorie cinétique des gaz, cette étude préliminaire nous a permis de calculer le coefficient de diffusion de la vapeur d'eau dans l'air. Ce coefficient joue un rôle prépondérant sur la cinétique des transferts hydriques en milieu poreux. Nous avons en particulier pu voir qu'il était de Fordre de io-s m 2 /s. Pour comparaison, l'ordre de grandeur du coefficient de diffusion pour les liquides est de io-9 m 2 / s et de io-14 à io-24 m2 / s pour" tes solides. Hors des milieux poreux, la diffu­sion des gaz est donc un phénomène assez rapide. Cussler par exemple (voir [20]) précise que la diffusion des gaz progresse de 10 cm en une minute. On peut donc s'attendre à ce que ce phénomène, par rapport aux autres phénomènes mis en jeu au cours d'un sé­chage, reste assez rapide au sein d'un milieu poreux, même si ce dernier est peu perméable.

Dans la deuxième partie de ce document, on a introduit un modèle de référence pour décrire les mouvements isothermes d'humidité en milieu poreux. Ce modèle est basé sur une représentation macroscopique continue des phases gazeuse et liquide occupant l'es­pace poreux du matériau. La phase liquide est supposée être de l'eau pure, et la phase gazeuse un mélange idéal de vapeur d'eau et d'air sec à pression variable. L'équilibre ther­modynamique entre les deux phases liquide et gazeuse du constituant eau est régi par la loi de Kelvin. La différence entre les pressions des phases liquide et gazeuse est la pres­sion capillaire supposée ne dépendre que de la saturation en eau liquide présente dans le matériau. Les lois de transfert des différents constituants ont été obtenues à partir d'une étude thermodynamique des dissipations d'énergie. Le mouvement de la phase liquide est régi par une loi de Darcy comportant deux paramètres principaux, une perméabilité intrinsèque du matériau et une perméabilité relative du matériau à l'eau. Cette dernière traduit la variation de la perméabilité du matériau au fur et à mesure de sa désaturation. Le mouvement de chacun des constituants gazeux est la superposition d'un mouvement de convection, associé au mouvement Darcéen global du gaz, et d'un mouvement diffusif par rapport à ce mouvement global, engendré par les gradients en fractions molaires des constituants. L'importance relative de chacun des modes de transfert peut être étudiée au moyen d'un nombre de Péclet qui rend compte du phénomène majeur. Les faibles nombres de Péclet traduisent un comportement dominé par la diffusion et les forts nombres par une plus grande importance du transport convectif. Le cas le plus délicat est bien entendu celui où les deux modes de transport sont d'importance comparable. L'étude thermody­namique a permis de montrer que la loi de Darcy devait être appliquée à la vitesse molaire

99

moyenne du mélange gazeux. Cette nouvelle loi fait alors intervenir la même perméabi­lité intrinsèque au matériau que celle introduite dans la loi de Darcy de la phase liquide. On y considère aussi une perméabilité relative au gaz fonction de la teneur en eau du matériau. Enfin, la loi de Fick a été formulée en parfait accord avec la loi donnée hors milieu poreux et introduite dans la première partie de ce rapport. On a alors procédé aux modifications à apporter à la loi de Fick pour la prise en compte des effets spécifiques aux milieux poreux. Ces modifications traduisent simplement la réduction de l'espace offert au gaz pour diffuser et l'allongement du chemin qu'il doit parcourir pour traverser le milieu poreux (tortuosité). Ces deux effets sont regroupés dans un paramètre dénommé facteur de résistance à la diffusion (en phase gazeuse).

En plus de ce modèle de référence, on a introduit deux autres modèles. Le premier est associé aux milieux faiblement perméables. Comme la diffusion gazeuse est un phénomène relativement rapide, ce modèle repose sur l'idée que dans le cas des milieux faiblement perméables, le transport convectif des constituants gazeux peut être négligé devant leur transport diffusif. Dans cette approche, le transport Darcéen de la phase liquide est traité de la même façon que dans le cas du modèle de référence. Le deuxième modéle repose sur l'hypothèse couramment rencontrée d'une pression de la phase gazeuse constante et uniforme dans le milieu poreux, et égale à la pression atnosphérique. Dans cette démarche, le mouvement Darcéen du gaz doit être suffisamment important pour que toute variation de la pression du gaz soit dissipée quasi-instantanément à l'echelle du temps de séchage par des mouvements importants de l'air sec. En outre, ce modèle suppose un mode de transfert contraire pour la vapeur d'eau pour laquelle on ne considère qu'un transfert diffusif. Ces deux hypothèses peuvent apparaître contradictoires, mais sont cependant justifiables par la relation entre les nombres de Péclet de la vapeur d'eau (P:) et de l'air sec {P:):

pv=Pvpa ' ' Pa

Le rapport des pressions partielles de vapeur d'eau sur air sec (Pv/Pa) est de l'ordre du rapport de la pression de vapeur saturante sur la pression atmosphérique. Pour des tem­pératures autour de 20° C, ce rapport est donc très faible, ce qui explique que l'on puisse avoir un grand nombre de Péclet pour l'air sec et un faible nombre de Péclet pour la vapeur d'eau.

Dans la dernière partie, on a confronté les résultats issus du modèle de référence avec ceux issus d'une expérience de séchage isotherme. Les expérience de séchage ont été réalisées au LCPC sur deux pâtes de ciment (CO et CH) et deux bétons {BO et BH) (voir [6]). Les éprouvettes étaient cylindriques (diamètre 16 cm par hauteur 10 cm) et isolées sur leur pourtour afin de réaliser un séchage unidirectionnel. L'humidité relative initiale de ces matériaux a pu être obtenue par des mesures d'autodessiccation sur les matériaux testés (voir [6]). Les éprouvettes ont ensuite été soumises à un séchage isotherme dans une ambiance à humidité relative fixée égale à 50 %. La différence d'humidité relative interne et externe entraîne alors une diffusion en phase gazeuse. Parallèlement) la condition aux limites d'équilibre thermodynamique impose une saturation en eau liquide plus faible aux bords de l'échantillon. Les effets capillaires mettent alors la phase liquide en mouvement. Les pertes de poids des éprouvettes au cours de l'expérience sont mesurées par des pesées à différents instants. Le séchage est terminé quand l'humidité relative interne dans toute

100

l'éprouvette s'est égalisée avec l'humidité relative externe. Notons que la durée du séchage isotherme peut être très grande pour les matériaux à base cimentaire (plus d'un an pour les éprouvettes considérées dans cette étude).

La porosité et la masse volumique apparente à sec des matériaux étaient connues. On a aussi montré comment on pouvait déterminer la relation entre la pression capillaire et la saturation en eau de chaque matériau à partir des isothermes de désorption mesurées expérimentalement. Une famille de courbe à deux paramètres nous a permis une bonne approximation de ces résulats expérimentaux. Les perméabilités relatives à l'eau et au gaz sont des données difficilement accessibles pour les matériaux à base cimentaire. Nous avons donc eu recours à des expressions analytiques souvent utilisées pour les sols et liées aux paramètres ayant permis d'approcher la relation entre pression capillaire et satura­tion. Nous avons aussi utilisé une expression analytique pour le facteur de rèsistance à la diffusion en phase gazeuse dépendant de la porosité et de la saturation en eau du ma­tériau. Le seul paramètre inconnu est alors la perméabilité intrinsèque du matériau étudié.

Le modèle de référence a été mis en œuvre numériquement par une méthode de volumes finis. Un programme informatique a ainsi été réalisé en langage Cet permet en particulier le calcul de la perte de masse de l'échantillon au cours du temps. On a ainsi pu identifier la perméabilité absolue ou intrinsèque des matériaux poreux testés par calage des résultats numériques sur des résultats expérimentaux de séchage. Les rèsultats obtenus avec le modèle de référence sont très satisfaisants. En particulier, il est assez remarquable que l'on puisse représenter la perte de masse d'une façon aussi précise à partir d'un seul paramètre. De plus, les valeurs de perméabilité obtenues pour les pâtes de ciment sont assez proches de celles données par le modèle de Katz-Thompson. Les expériences de séchage sont faciles à réaliser et mettent en jeu des gradients de pression de liquide élevées. Pour des matériaux peu perméables la mesure de leur perméabilité intrinsèque apparaît plus accessible par ce type d'expérience qu'à partir d'une expérience directe qui requèrerait des gradients de pression en eau liquide trop élevées par rapport à ceux envisageables pour les perméamètres à eau traditionnels. La méthode ici proposée semble donc mieux adaptée à la mesure de la perméabilité intrinsèque à l'eau des matériaux à base cimentaire. Le mouvement d 'eau liquide qui peut se produire sur des structures en béton exposées aux conditions extérieures climatiques semble aussi bien décrit par le modèle de référence ici élaboré. Les résultats numériques de notre modélisation ont mis en évidence une forte variation de la pression totale de gaz. On constate numériquement l'apparition d'une surpression de gaz importante dans les matériaux testés. De part la faibie perméabilité de ces ma­tériaux, le transfert Darcéen du gaz est inexistant. La diffusion de la vapeur d'eau vers l'extérieur du matériau, alimentée par l'évaporation de l'eau à l'intérieur du matériau, est donc accompagnée par une entrée d 'air sec par diffusion symétrique. C'est cette entrée d'air sec qui provoque la surpression de gaz dans le matériau et met environ une à deux semaines pour atteindre le coeur de l'échantillon. Cette courte durée est liée à l'absence de mouvement convectif Darcéen qui ne vient pas s'opposer à la diffusion inverse des constituants gazeux et à une faible évaporation dans le matériau. Après cette période la diffusion en phase gazeuse est presque inactive. Les rèsultats numériques ont ainsi montré le rôle prédominant des transferts d 'eau liquide sur la perte de poids. Cette dernière est assurée par le mouvement de l'eau sous forme liquide jusqu'aux bords de l'échantillon où

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l'eau s'évapore. Les résultats obtenus dans le cas limite d'un matériau faiblement per­méable ont confirmé le rôle négligeable du transfert Darcéen du gaz pour les matériaux cimentaires testés. Le modèle de référence et le modèle dérivé de ce modèle mais où on néglige tout mouvement Darcéen donnent en effet les mêmes résultats. Enfin, signalons que le rôle prédominant du transfert de l'eau sous forme liquide a par ailleurs pu être vérifié en comparant le modèle de référence avec une équation de diffusion basée unique­ment sur le transfert de l'eau liquide sans évaporation dans le matériau si ce n'est au seul contact avec l'atmosphère extérieure. Ce calcul non présenté dans ce rapport a montré que ce dernier modèle redonnait quasiment les mêmes pertes de masse que celles obtenues à partir du modèle de référence et à partir desquelles il autorise une méthode très simple d'identification de la perméabilité. L'équation de diffusion à pression de gaz constante a par contre largement surestimé la perte de masse du matériau. Cette différence est liée au fait que comme l'on suppose la pression de gaz constante, la diffusion en phase gazeuse ne peut pas être terminée tant que la pression partielle de vapeur d'eau n'est pas uniforme dans le matériau. Du fait de l1équilibre entre les phases du même constituant eau, cette pression de vapeur est liée à la saturation en phase liquide si bien que que les modes de transfert de l'humidité en phase liquide et vapeur sont actifs simultanément du début à la fin du séchage. La diffusion de la vapeur est donc beaucoup plus importante dans cette modélisation et participe à la perte de poids du matériau. Il n'en est pas de même pour le modèle de référence pour lequel le moteur de la diffusion est le gradient de la fraction molaire de vapeur (Cv) et non pas celui de la pression partielle de vapeur d 1eau (pv)· Dans ce dernier modèle1 la surpression de gaz joue un rôle essentiel, puisque elle permet d'annuler les effets de la diffusion gazeuse sans pour autant que la pression de vapeur soit uniforme dans le matériau. En quelque sorte, ii existe un degré de liberté supplémentaire par rapport au modèle à pression de gaz constante. Par ailleurs, nous avons retrouvé les résultats obtenus avec Féquation de diffusion à pression de gaz constante en utilisant le modèle de référence avec une viscosité du gaz plus faible que la viscosité réelle du gaz. Cependant, ce calcul a nécessité une valeur si faible de la viscosité du gaz que l'hypothèse d'une pression de gaz constante semble irréaliste pour les matériaux à base cimentaire faiblement perméables. Enfin, il nous a été impossible de caler correctement, à partir de la perméabilité intrinsèque, les résultats expérimentaux de séchage en utilisant l'équation de diffusion à pression de gaz constante. Même en annulant complètement cette perméabilité, ce modèle surestime les résultats expérimentaux car le transfert diffusif de la vapeur d'eau y est trop important. Une identification de la perméabilité intrinsèque à partir de ce modèle peut donc conduire à des résultats fortement érronés.

Toutefois, les résultats ci-dessus rappelés doivent être nuancés par la différence de valeur de la perméabilité intrinsèque mesurée avec un gaz et de l'eau liquide dans le cas des :rnatériaux à base cimentaire (voir [55J). Les valeurs mesurées avec un gaz pour les maté­riaux à base cimentaire sont en effet de l'ordre de io- 17 à 10-19 m2 (ordre de grandeur qui semble confirmé par des mesures à l'éthanol), alors que celles mesurées avec àe l'eau sont de l'ordre de io-:9 à 10-21 m2 . Il est même difficile de mesurer une valeur lorsque l'on se situe en dessous des io-21 m2. Cette différence est généralement imputée à une forte interaction physique entre les molécules d'eau et la matrice cimentaire à proximité des parois internes délimitant l'espace poreux du matériau. L'écoulement de l'eau liquide dans les matériaux cimentaires n'est alors décrit par la loi de Darcy que sous réserve de

102

l'introduction d'une perméabilité intrinsèque à l'eau effective, différente de la valeur de la perméabilité intrinsèque mesurable au gaz. Par rapport à l'analyse précédente la valeur plus importante de la perméabilité au gaz diminue les valeurs des surpressions de gaz initialement prédites sur les matériaux testés. Un calcul a montré que ces surpressions sont ramenées à une valeur d'environ 20 % de celle de la pression atmosphérique pour les matériaux CO et BO testés dans cette étude au lieu des 60% trouvés initialement. Cette nouvelle modélisation redonne en effet plus d'importance au transfert diffusif de l'humidité en phase gazeuse dans le matériau. Elle conduit à un ordre de grandeur de la perméabilité "intrinsèque" à l'eau environ dix fois plus faible (environ 10-22 m2 au lieu de 10-21 m2 ) 1 ceci de façon à réduire le mouvement de l'eau liquide et à retrouver les pertes de poids expérimentales. La méthode précédemment évoquée d'identification de la perméabilité "intrinsèque" à l'eau liquide nécessiterait alors la mesure séparée de la perméabilité "intrinsèque" au gaz.

103

ANNEXES

Annexe A

Diffusion dans un mélange ternaire

Le cas d'un mélange idéal à trois constituants gazeux ne présente pas d'intérêt dans le cas du séchage puisque l'on n'y considère que deux constituants gazeux: la vapeur d'eau et l'air sec. Cependant si l'on veut modéliser par exemple la carbonatation d'un milieu poreux non saturé, il est nécessaire de faire intervenir un troisième constituant gazeux: le dioxyde de carbone. On est alors bien en présence d'un mélange ternaire gazeux.

A.1 Equations de diffusion : loi de Fick généralisée

Dans le cas de trois constituants, la diffusion se couple entre les constituants comme le souligne Smith [76] dans son chapitre 4.4. En effet, dans le cas d'un mélange binaire la diffusion relative s'opère à partir d'une seule force motrice et il n'y a qu'un seul flux indépendant. Au contraire, dans le cas d'un mélange ternaire, on est en présence de deux forces motrices indépendantes, et il y a deux :flux de diffusion indépendants. Pour une vitesse de référence molaire moyenne, on a:

J< 1 c1 (v1 - v~) -Dfi c9 grad C1 - Df;cg grad C2

,c "2 = c2(v2 - v~) -D§i. Cg grad C1 - D~cg grad C2 (A.1)

T< ' <) -J~ - J~ v3 C3~V3-Vg

ou encore,

_ lr Di, Di, ] [ grad C1 ] - - Cg D{i D~ grad C2 (A.2)

---------DF

Ces exoressions constituent l'équivalent des lois de Fick pour un mélange ternaire. Les coeffici~nts Df; de ce système sont des coefficients de diffusion (m2

/ s) mais différent des coefficients de diffusion d'un système binaire. Ils ne sont a priori pas symétriques, et peuvent même être négatifs. Enfin, alors q~e le coefficient de àiffusion d'un mélange bi­naire est inàépendant de la composition du système, les coefficients Df'j dépendent de ia composition du mélange. Ces coefficients sont donc des fonctions des concentrations molaires Ci pour i = 1, 2 et 3 en plus des variables température et pression totale. Il est toutefois possible d'obtenir une expression de ces coefficients en fonction des coefficients de diffusion binaires à partir des équations de Maxwell-Stefan.

107

A.2 Equations de Maxwell-Stefan.

Les équations de Maxwell-Stefan constituent la forme la plus pratique pour décrire la diffusion dans les systèmes à plusieurs constituants. Ces équations sont démontrées dans [78] à partir de la conservation de la quantité de mouvement lors de collisions élastiques dans un mélange idéal à deux constituants. Ces expressions se généralisent alors aux mélanges à plusieurs constituants sous la forme l70J page 596 ou 178] page 19:

d; = _ f: C;C;(v, - vj)

i=I Dii (A.3)

où di représente la force motrice pour la diffusion du constituant i dans le mélange.

Les Dij sont les coefficients de diffusion binaires et sont donc par conséquent positifs et symétriques. Ils dépendent de la température et de la pression totale mais sont indépen­dants de la composition du système. Si Pon exprime dans (A.3) les vitesses Vi de chaque constituant en fonction de sa vitesse molaire wf = civil on obtient alors

d; = :t ( C;wj - C;wf) i=l cgDii

(A.4)

Cette dernière équation peut être réexprimée en fonction des flux de diffusion molaires par rapport à v~ à l'aide de w~ = CiV~ + Jf. Finalement,

n CJ< C 'c 'C""' i j - jJi di= L,,

j=l CgDij (A.5)

Nous allons maintenant montrer comment il est possible d'exprimer les coefficients de diffusion de la loi de Fick généralisée (A.2) pour un mélange ternaire (les DG) à partir des coefficients de diffusion de l'équation de Maxwell-Stefan (les Dmn).

On se place dans le cas d'un mélange idéal de gaz parfaits à température et pression constantes, les forces motrices de diffusion s'écrivent (78]:

d; = grad C; (A.6)

On utilise alors les relations (1.20) et (A.5) et (A.6) écrites pour i = 1 et 2. On obtient:

r grad C1 l Cg '

[ grad C2

B

( 1 1

-Ci---) D12 D13

1 ( 1 1 -+C1 --­D23 JJ21 lJ23)

On peut ainsi obtenir l'expression de la matrice QF par inversion de B:

Le calcul du déterminant de la matrice B nous donne:

108

] r JC 1 : I (A.7)

L J2 J

C1 ( 1 1 ) C2 ( 1 1 ) 1 Di3 D21 - D23 + D23 D 12 - Di3 + D13 D23

C1 C2 C3 --- + --- + ---D 13D21 D23D12 D13D23

Donc en utilisant la symétrie des coefficients Dii• on obtient:

(A.8)

Finalement, on calcule :

(A.9)

D~ (A.10)

B 12 C1D23(D13 - D12) = ----;;: = C1D23 + C2D13 + C3D12

(A.11)

D{i = C2D13(D23 - D21)

(A.12)

Ces expressions sont identiques à celles données par Taylor et Krishna dans [78] page 80. En fait les coefficients D{; sont liés entre eux par une relation car il peuvent s'exprimer à partir des trois coefficients de diffusion binaires D12 , D13 et Dz3. Plus généralement, pour un système à n constituants, on a (n - 1)2 coefficients de diffusion dans la loi de Fick généralisée. L'utilisation des relations d 'Onsager permet de réduire ce nombre à ~n(n -1 ) coefficients (125] page 246 ou [36] page 715). Donc dans le cas d 'un mélange ternaire, il n'y a bien que trois coefficients de diffusion réellement indépendants. De Groot et Mazur [25] donnent les relations liant ces coefficients de diffusion page 264. Dans le cas d 'un mélange ternaire ils obtiennent 1

:

On vérifie alors facilement que les coefficients de diffusion définis par (A.9-A.12) vérifient bien la relation précédente. On peut aussi déduire des relations (A.9-A.12) ou des relations de Maxwell-Stefan une expression simple du coefficient de diffusion de Fick quand un constituant est fortement majoritaire. Si par exemple C3 --? 1 alors pour i = 1 et 2, C; --? 0, D[; --? Di3 et pour i "/; j D{; --? O. A partir des mêmes relations, on peut aussi montrer que lorsque tous les coefficients de diffusion binaires sont proches : Dii --? D pour tout i "/; j alors D[; --? D et pour i # j D{; --? O.

1. étant donné les expressions choisies par de Groot et Mazur [25) page 261 pour les flux de diffusion, on a les relations suivantes entre leurs coefficients de diffusion Df; et les notres D{; : Dff = D[; et pour i différent de j : M; Df} = M; D{;

109

A.3 Un exemple: mélange air sec, vapeur d'eau et gaz carbonique

Si l'on s'intéresse à la carbonatation d'un milieu poreux non saturé à base de ciment, il faut étudier le mélange îdéal de gaz parfaits, eau sous forme de vapeur {v), dioxyde de carbonne (c) et air sec (a). On calcule alors les valeurs des coefficients de diffusion binaires de chacun des couples de gaz possibles: a - v, a - c et v - c. Fixons nous une température de 20° C. Les données utilisées pour la vapeur d'eau et l'air sec sont les mêmes que celles présentées dans le cas d'un mélange binaire. Pour le diox}rde de carbone, les valeurs de l'énergie et de la longueur caractéristique sont issues du tableau page 733 de [70]. L'ensemble des paramètres utilisés pour le calcul des coefficients de diffusion binaires est récapitulé dans le tableau A.l. Les étapes intermédiaires du calcul sont présentées dans le tableau A.2.

air sec vapeur d'eau dioxyde de carbone

masse molaire [g.mol-1] M.= 28.96 Mv = 18.01 M, = 44.01

longueur caractéristique IÂJ "· =3.711 crv = 2.649 cr, = 3.941

énergie caractéristique [J] •• = 78.6 k <v=356k <,= 195.2 k

TAB. A.l - Paramètres nécessaires aux calculs des coefficients de diffusion binaires

Pour appliquer ces résultats au cas d'un milieu poreux non saturé, il suffit alors de calculer la matrice DF reliant les flux aux gradients de concentration à l'aide des expressions (A.9-A.12). La prise en compte du milieu poreux se fait alors 11 simplement" par l'intermédiaire d'un coefficient devant cette matrice (facteur de résistance à la diffusion) et prenant en compte les effets de la réduction d'espace offert au gaz et de tortuosité.

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a-v a-c v-c

2 M;M;

Mi+M1 [-] M •• = 22.21 M0 , = 34.93 M" = 25.56

1 a;;= 2(a; +a;) 1A.1 a •• = 3.180 a0 , = 3.826 avc = 3.295

f.ij = ,fti4 [J] ••• = 167.28 k •• , = 123.87 k '" = 263.61 k

Tij [-] r:v = 1.75 r:c = 2.37 r:c = 1.11

intégrale de collision [-] nD' = 1.128 nl) = i.018 nïJ = 1.369

coefficient de diffusion a [cm2 .s-1] D •• = 0.248 D., = 0.152 D" = 0.178 Pg Pg Pg

TAB. A.2 - Calcul des coefficients de diffusion binaires à 20° C

a pour une pression totale de gaz p9 donnée en [bar]

111

Annexe B

Viscosité des gaz

On a donné dans la section 1.4.4 une expression du coefficient de diffusion pour un mélange binaire à pression modérée. Cette expression provenait des résultats de la théorie cinétique des gaz. Cette théorie permet aussi le calcul des viscosités dynamiques des gaz. Dans le cas d 'un gaz pur, on peut se référer à [70] page 391, [33] page 4 ou [36] page 528. Tous ces auteurs donnent l'expression suivante de la viscosité d 'un gaz :

avec, T/ viscosité dynamique, T température, M masse molaire du constituant gazeux, a distance caractéristique, n'I intégrale de collision.

kg.m- 1.s-1

K g/mol A. H

Pour les gaz non polaires, 0 11 peut se calculer à partir de l'expression suivante:

avec, n11 T f

a k

,..., T 1.16145 0.52487 2.16178 H ( ") - + +----~

11 - (T•)0.14874 exp(0. 77320 T• ) exp(2.43787T•)

intégrale de collision. température, énergie caractéristique, distance caractéristique, constante de Boltzmann

[-] K J

T" = kT température adimensionnée [-] . f

(B.l)

(B.2)

Appliquons ces résultats au cas de l 'air sec, de la vapeur d 'eau et du dioxyde de carbone pour une température de 20°C. On utilise donc les données du tableau A.l pour calculer les viscosités. Les résultats sont résumés dans le tableau B.l.

Pour un mélange gazeux de plusieurs constituants, on trouvera des expressions de la viscosité du mélange dans {70) page 404, (33} page 14 et [36} page 529. Ces expressions expriment généralement la viscosité du mélange comme une combinaison linéaire des vis­cosités de chaque constituant. Les coefficients sont alors fonctions des concentrations C; ,

113

a V c

température adimensionée 1-1 r: = 3.73 r: = 0.82 r; = i.so

intégrale de collision 1-1 n~ = o.985 n~ = 1.764 n~ = i.313

viscosité dynamique kg.m-1.s-1 'la = 1.81 10-5 1/v = 1.57 10-5 'k = 1.49 10-5

TAB. B.1 - Calcul des viscosités dynamiques à 20' C

masses molaires Mi et des viscosités T/i de tous les constituants. Dans le cas du séchage iso­therme, comme nous travaillons à des températures de l'ordre de 20° C, la concentration en vapeur d'eau est très faible. On pourra donc prendre la viscosité de l'air sec comme viscosité du mélange gazeux air sec et vapeur d 1eau. Cette hypothèse est renforcée par le fait que la viscosité dynamique de la vapeur d'eau est assez proche de celle de l'air sec.

114

Annexe C

Pression de vapeur saturante en fonction de la température

La pression de vapeur saturante a une très grande influence sur les cinétiques de séchage et les états d'équilibre. Il est donc important de bien évaluer cette fonction pour une température donnée. La pression de vapeur saturante a été introduite dans (2.18) pour intégrer l'équation (2.15). On a ainsi défini une pression de vapeur saturante pour une pression de liquide égale à la pression atmosphérique. Pour déterminer cette fonction de la température, nous allons étudier l'équilibre thermodynamique d'une eau liquide pure en contact avec une phase gazeuse idéale constituée de vapeur d'eau et d'air sec. On note Pv (respectivement Pa) la pression partielle de vapeur d'eau (respectivement d'air sec) et pz la pression de la phase liquide. L'équilibre thermodynamique à la température T se traduit par l'égalité des potentiels massiques de Gibbs de l'eau et de sa vapeur. On peut alors en déduire:

dpv dp, - - - = (sv - s,) dT (C.1) Pv Pl

avec Pi masse volumique et si entropie massique de l'eau en phase i (i = let v). On se place dans le cas particulier où il n'y a pas d'effet capillaire, et la pression totale de la phase gazeuse est constante et égale à la pression atmosphérique. Dans ce cas particulier, la phase liquide se trouve à pression constante égale à la pression atmosphérique. La pression de la vapeur d'eau est donc la pression de vapeur saturante pour une pression de liquide égale à la pression atmosphérique. Il s'agit donc de la fonction Pvs de la température que nous cherchons à calculer. L'équation (C.l) devient alors:

dp., ( )T -- = Sv-Sl d Pv

De plus, la vapeur d'eau satisfait la loi des gaz parfaits:

Pvs Mv = Pvfil'

La combinaison de (C.2) et (C.3) entraîne:

RT dp., _ ( )dT ----Sv-Si Mv Pvs

115

(C.2)

(C.3)

(C.4)

Les entropies massiques si sont a priori des fonctions de la température T et de la pression Pi· Cependant, loin de la température critique, les entropies ne dépendent significativement que des chaleurs spécifiques à pression constante. Ces dernières peuvent être supposées constantes dans un domaine de température restreint. La chaleur latente molaire de va­porisation [l-+v = Mv(sv - s1)T peut alors être approximée par une fonction affine de la température:

l'~"(T) =A - ET (C.5)

Donc, l'équilibre thermodynamique peut être décri par:

dp., = A - ET dT (C.6) Pvs RT2

Donc, si on intègre (C.6) par rapport à un état de référence noté avec un indice 0 on obtient:

(C.7)

Finalement, loin de la température critique de l'eau (374° C), la pression de vapeur satu­rante peut être approchée par:

A E lnp,,(T) = " - RT - R ln T (C.8)

On va maintenant évaluer les coefficients de l'équation (C.8) à partir de la formule de Regnault. Cette formule approche la chaleur latente de vaporisation massique loin de la température critique de l'eau sous la forme ([14] page 260):

L'~"(t) = 606.5 + 0.695t (C.9)

avec L1-+v(t) chaleur latente massique en kcal/kg et t température en degrés Celsius. Donc, utilisant 1 kcal = 4.1855 kJ et la masse molaire de l'eau, on obtient:

l'~"(T) = (59987.55 + 52.36T) (C.10)

avec l 1~"(T) chaleur latente molaire en J/mole et T température en Kelvin. Les valeurs des constantes A et B de (C.10) et la constante des gaz parfaits (R = 8.3147 J.K- 1.mol-1)

peuvent être introduites dans (C.8) pour obtenir:

7214.64 lnp,,(T) =" - T - 6.2973 ln T (Cll)

avec p., en Pa et T en K. Il reste encore à identifier la constante a de (C.11). Cette iden­tification ne peut être faite qu'à partir d'une valeur de la pression de vapeur saturante pour une température donnée. On utilise donc les valeurs expérimentales de la pression de vapeur saturante données par Fleury et Mathieu dans [30] page 308 à différentes tem­pératures. Chaque couple de valeurs (T,Pvs) permet le calcul d'une valeur du paramètre a. La moyenne de ces valeurs est Œ = 68.148.

On a ainsi obtenu l'expression de la pression de vapeur saturante en fonction de la tem­pérature pour une pression de liquide constante et égale à la pression atmosphérique.

116

>< 0.18 <1l .0

0.16 Cii donnees experimentales [30 ] • J..)

0 .14 relation (C .12 ) c:: <1l >< :l 0.12 .w <1l

"' 0. 1 >< :l Cii 0.08 o. <1l > 0.06 Cii 'C

c 0.04 0 .....

0.02 "' "' Cii >< 0 p.

270 280 290 300 310 320 330 Temperature [ K]

FIG. C.l - Pression de vapeur saturante en fonction de la température

En résumé, pour une température donnée en Kelvin, on obtient une pression de vapeur saturante en Pa par :

7214.64 Inp.,.(T) = 68.148- T 6.2973 lnT (C.12)

On vérifie sur la figure C. l que la relation (C. 12) s'accorde parfaitement avec les valeurs expérimentales de Fleury et Mathieu [30J page 308.

117

Annexe D

Identification du coefficient de diffusion d'une équation de diffusion simple

D .1 Calcul à partir de la perte de masse

Cette méthode est présentée dans [6] page 360. Nous décrivons ici rapidement les diffé­rentes étapes permettant le calcul d'un coefficient de diffusion.

1. Hypothèse D constant sur [ h~, h;J,

2. résolution analytique sur [O,L] de l'équation de diffusion avec des conditions aux limites de type Dirichlet en 0 et L :

3. on peut alors exprimer la perte de masse ôm(t) à un instant t en fonction du coefficient de diffusion :

~m(t) = F(t, D) (D.1)

4. comme on connaît ~m(t0 ) expérimentalement, on calcule D par inversion de (D.1) au temps to.

Avantages: • mesure à partir de la perte de poids donc fiable, • on peut faire plusieurs calculs de D à différents temps, • pas d'hypothèse de milieu infini.

Inconvénients : • on s'aperçoit que D est non constant, • l'équilibre doit être atteint (répartition homogène de la teneur en eau) au début et à la fin de chaque palier, • impossible de dissocier les modes de transfert mis en jeux.

119

D.2 Calcul à partir de mesure en gammadensimétrie

Cette méthode est beaucoup plus employée que la précédente. On la trouvera utilisée dans par exemple [21] page 113, [60] ... Elle nécessite en particulier une source radioactive de gammadensimétrie donnant la répartition de la masse volumique du matériau. On décrit rapidement le principe de la mesure:

On cherche à résoudre

{

8w a ( 8w) - - - D(w)- = 0 ât 8x ax

• Milieu poreux lD semi infini • C.I homogène en espace w;

• C.L homogène en temps w1 La solution w de ce problème est alors auto-similaire. La transformation de Boltzman:

u = ..Jt permet alors d 'obtenir (voir par exemple [21] page 254):

Avantage :

(J)

ro. 1

1 1 ri=w D(w) = - dw u dTJ. 2_ ri=w;

du

FIG. D.l - Calcul de D (w) à partir d'un profil w(u)

• pas besoin de l 'hypothèse D constant.

Inconvénients : •la solution n'est pas réellement auto similaire: problème de l 'homogénéité des conditions initiales et aux limites, et de l 'hypothèse milieu semi infini, • mesures en gammadensimétrie peu précises. Or , Il faut un bon nombre de points et une

certaine régularité pour calculer la dérivée ~ , • impossible de dissocier les modes de transfert mis en jeux.

120

Annexe E

Calage de la relation pression capillaire - saturation

On connaît un nombre n de point (si i p~) de la courbe pression capillaire. On cherche les paramètres a et b qui minimisent la fonctionnelle :

J(a, b) = f (P,(s', a, b) - p;)' (E.l) i=l

avec Pc( s, a, b) la fonction qui sert à approcher les points discrets. Cette fonction dépend des deux paramètres a et b et s'écrit:

( _, ) l-l/b

p,(s,a,b) =a s -1 (E.2)

Il s'agit donc d'un problème de minimisation qui peut se résumer sous la forme:

Trouver a et b tels que J(a, b) =min J(a, /3)

o,P (E.3)

Pour simplifier1 on note maintenant par x le couple de paramètres (a, b). Si un minimun existe, il est caractérisé par la relation :

F(x) = grad xJ = 0 (E4)

Une méthode itérative de Newton peut alors être utilisée pour résoudre cette équation. Partant d'une valeur x0 de départ, on peut définir la suite {xk}kElN par:

(E.5)

avec Oxk caractérisé par:

(E.6)

avec H(xk) matricejacobiène de F prise en Xk, ce qui correspond ici au hessien la fonction J pris en xk· On est donc ammené à résoudre:

121

J __ [ 8,J(xk) - &,J(x.) 1 (E.7)

Il nous faut donc évaluer les quantités suivantes pour o: et f3 égales à a ou b:

n

&nJ(xk) = L 2 (p,(s', Xk) - PD &nph', xk) (E.8) i=l

n

&p&0 J(xk) = L 2 [&0 p,(s', x,)&pph', x,) + (p,(s',x,) - p;) &p&0 p,(s', x,)j (E.9) i=l

Il nous reste maintenant à calculer les dérivées partielles de la fonction Pc par rapport à ces deux paramètres :

et,

( b )1-1/b 1 s- - 1 = ;;p,(s, x)

= a (s-' - l)l-1/b (ln(s-• - 1) _ (l - ~) s-'Ins) b2 b s-'-1

= p,(s,x) Cn(s~:-1) - (1-D :~:~~)

( _, )1-1/b (ln(s-' -1) ( 1) s-'Ins)'

&,&,p,(s,x) =as -1 b' - 1-z; ,_,_1

+as - - + 1-- -----~-2 ( _, l)l-1/b ( ln(s-• -1) s-•1ns ( 1) (s-'Ins s-"Ins))

b3 b2(s-'-l) b s-•-1 s-'-1

&.éi,,p,( s, X) ( 8_, - l)1-1/b (ln(s-• - 1) _ (l _ ~) s-'Ins)

b2 b s-'-1 1 - &,p,(s, x) a

122

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Document publié par le LCPC sous le N° 502 276 Dépôt légal 3e trimestre 1999

ISBN 2-7208-2760-6 Impression LCPC