@Claudio Araujo 28/09/2013

CERDI – Ecole d’Economie - UdA 1

MacroéconométrieII. Approche alternative aux mécanismes dynamiques :

la modélisation VAR

Claudio Araujo

CERDI, Université d’Auvergne

Clermont-Ferrand, France

www.cerdi.org

http://www.cerdi.org/claudio-araujo/perso/

1. Fondements et représentation du modèle VAR

• La représentation VAR (modèles vectoriels autorégressifs) estune généralisation des modèles autorégressifs (AR).

• Un modèle VAR est une forme réduite surdéterminée d’un modèleà équation simultanées (inclusion de plus de retards quenécessaire).

• Les variables sélectionnées, issues du modèle théorique, onttoutes, a priori, le même statut. Par exemple, dans un modèle dedemande : le prix dépend de ses propres valeurs passées et desvaleurs passées de la demande ; de même la demande dépendde ses propres valeurs passées et des valeurs passées du prix.

• Toutes les variables sont endogènes et on n’a donc pas besoinde décider quelles variables sont exogènes.

• En principe, on s’intéresse à des relations purement statistiques,mais son utilisation dépasse largement ce cadre.

@Claudio Araujo 28/09/2013

CERDI – Ecole d’Economie - UdA 2

• La critique de Sims et la modélisation VAR– Sims (1980, 1982) rejette l’approche conventionnelle des modèles structurels

(les relations économiques ne sont pas gouvernées par la simultanéité)

– La représentation des comportements économiques en termes de modèlesstructurels entraîne trop de contraintes d’identification.

• La modélisation VAR est « a-théorique ». Elle privilégie la structuredes données au détriment de la théorie économique.

• Rappel :– Processus autorégressif d’ordre p : AR(p)

• Γ(L) Yt = c + εt

– Processus de moyenne mobile d’ordre q : MA(q)

• Yt = c + Ψ(L) εt

– Processus autorégressif d’ordre p de moyenne mobile d’ordre q : ARMA(p,q)

• Γ(L) Yt = c + Ψ(L) εt

– Processus autorégressif d’ordre p intégré d’ordre d de moyenne mobiled’ordre q : ARIMA(p,d,q)

• Γ(L) (1 – L)d Yt = c + Ψ(L) εt

1. Fondements et représentation du modèle VAR

• Un modèle VAR d’ordre p se définit comme la représentationautorégressive vectorielle d’une variable aléatoire Yt de dimension(K,1) :

• Le vecteur Yt comprend K variables stationnaires, le vecteur A0 etla matrice Ap regroupent les paramètres à estimer du modèle.

• Exemple d’écriture d’un VAR(2)

1. Fondements et représentation du modèle VAR

tptpttt Ε+ΥΑ++ΥΑ+ΥΑ+Α=Υ −−− K22110

=Ε

=Α

=Α

=Υ

tk

t

t

t

kpkkpkpk

pkpp

pkpp

p

tk

t

t

t

y

yy

,

,2

,1

2

1

0

,,2,1

,2,22,21

,1,12,11

,

,2

,1

;;;

ε

εε

α

αα

ααα

αααααα

MML

MOMMLL

M

{tttt

t

t

t

t

t

t

t

t

y

y

aa

aa

y

y

aa

aa

a

a

y

y

ΕΥ

−

−

ΑΥ

−

−

ΑΑΥ

+

+

+

=

−−

2

1

22

21

2,222,21

2,122,11

12

11

1,221,21

1,121,11

02

01

2

1

22110

εε

32144344213214434421321321

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CERDI – Ecole d’Economie - UdA 3

• Tout VAR stationnaire admet une représentation moyenne mobileinfinie vectorielle (théorème de Wold) :

• Représentation canonique : écriture du VAR sous forme VMA.– Et-j : vecteur des innovations canoniques

– Et-j : plus petite partie non prévisible de chacune des variables composantle système VAR

• Les innovations canoniques permettent d’analyser desmécanismes de propagation par le biais des fonctions de réponseaux impulsions.

• Ces innovations peuvent être interprétées comme des chocs.

• Les réponses des différentes séries yit aux différentes innovationsεjs (s ≤ t) sont définit à partir des multiplicateurs dynamiques :

• Θij : effet du choc j sur la variable i, à τ périodes après le choc.

1. Fondements et représentation du modèle VAR

∑∞

=−ΕΘ+=Υ

0jjtjt µ

js

itstij

y

ε∂∂=Θ −,

2. Interprétation économique du modèle VAR

• Si les impulsions sont non corrélées instantanément, il est

possible de mesurer la contribution de chaque impulsion à la

dynamique des différentes variables du système

• Si les impulsions sont corrélées instantanément, il est nécessaire

d’effectuer une orthogonalisation « statique ». Mais cette

technique a l’inconvénient de ne pas permettre une interprétation

économique des impulsions

• L’identification et l’interprétation économique des impulsions peut

être obtenue en utilisant un VAR structurel (SVAR) – Shapiro,

Watson (1988) ; Blanchard, Quah (1989)

@Claudio Araujo 28/09/2013

CERDI – Ecole d’Economie - UdA 4

• Développement du SVAR

– A chaque date les innovations canoniques s’expriment comme une

combinaison linéaire des chocs structurels ωt

– P est une matrice de passage à estimer

– Le VAR s’écrit donc :

– Dès que la matrice P a été estimée, on obtient l’estimation du modèle VAR

– Passage des chocs estimés aux chocs structurels (interprétation

économique) :

– Le SVAR permet d’estimer et anticiper les effets d’une politique

économique

– Difficulté : définition de la structure de la matrice de passage

• Décomposition Cholesky

• Référence à la théorie économique

1. Interprétation économique du modèle VAR

tt ωε Ρ=

t

p

jjtjt ΕΡ+ΥΑΡ+ΑΡ=ΥΡ −

=−

−−− ∑ 1

1

10

11

tt εω ˆˆˆ 1−Ρ=

3. Exemple d’un VAR

i) y1t cause y2t ii) y2t cause y1t

Un choc sur y2t à un instant ta une conséquence sur y2tmais pas sur y1t

Un choc sur y1t à un instant t a uneconséquence sur y1t et sur y2t

Un choc sur y1t à un instantt a une conséquence sur y1tmais pas sur y2t

Un choc sur y2t à un instant t a uneconséquence sur y2t et sur y1t

Soit le le modèle VAR estimé suivant :

y1,t = 0.084 y1,t-1 – 0.181 y2,t-1 + 7.210

y2,t = – 0.159 y1,t-1 + 0.220 y2,t-1 + 1.559

( ) ( )( ) ( ) [ ]08.12817.644

7.64404.3660221

211−

−=

=∑ε εεε

εεεVarCov

CovVar

2 possibilités

@Claudio Araujo 28/09/2013

CERDI – Ecole d’Economie - UdA 5

� Période 1 : Calcul des chocs initiaux, choc sur y1t

σε1 = √ 3660.04 = 60.49 σε2 = 60.49 × cov(ε1,ε2)/σ²ε1t = – 10.66

� Période 2 :

01.1266.1022.049.6016.002.766.10180.049.60084.0

2

1

−=−×+×−=∆=−×−×=∆

t

t

yy

� Période 1 : Calcul des chocs initiaux, choc sur y2t

σε1 = 0 σε2 = √ 1281.08 – (cov(ε1,ε2))²/σ²ε1t = 34.16

� Période 2 :

53.716.3422.0016.017.616.34180.00084.0

2

1

=×+×−=∆−=×−×=∆

t

t

yy

i) y1t cause instantanément y2t

� Période 1 : Calcul des chocs initiaux, choc sur y1t

σε1 = √ σ²ε1t – cov(ε1t,ε2t)² / σ²ε2t = 57.75 σε2 = 0

� Période 2 :

23.9022.075.5716.087.40180.075.57084.0

2

1

−=×+×−=∆=×−×=∆

t

t

yy

� Période 1 : Calcul des chocs initiaux, choc sur y2t

σε1 = 35.79 × cov(ε1,ε2)/σ²ε2t = – 18.01 σε2 = 35.79

� Période 2 :

76.1079.3522.001.1816.098.779.35180.001.18084.0

2

1

=×+−×−=∆−=×−−×=∆

t

t

yy

ii) y2t cause instantanément y1t

@Claudio Araujo 28/09/2013

CERDI – Ecole d’Economie - UdA 6

� La décomposition de la variance de l’erreur de prévision a pourobjectif de calculer pour chacune des innovations sa contribution à lavariance de l’erreur.

Interprétation :

Si un choc sur ε1t n’affecte pas la variance de l’erreur de y2t , alors y2t estconsidéré comme exogène (y2t évolue indépendamment de ε1t)

Si un choc sur ε1t affecte fortement la variance de l’erreur de y2t , alors y2test considéré comme endogène.

Décomposition de la variance de y1 Décomposition de la variance de y2

Période SE y1 y2 Période SE y1 y2

1 60.50 100.00 0.00 1 35.79 8.86 91.14

2 61.22 98.98 1.02 2 38.50 17.40 82.60

3 61.31 98.89 1.11 3 38.77 18.10 81.90

… … … … … … … …

� La variance de l’erreur de prévision dey1,t est due à 99% a sespropres innovations et à 1% à celles dey2,t

� La variance de l’erreur de prévision dey2,t est due à 20% ày1,t

et à 80% ày2,t

� Un choc sury2,t a plus d’impact sury1,t que l’impact d’unchoc dey1,t en a sury2,t

i) y1t cause instantanément y2t

@Claudio Araujo 28/09/2013

CERDI – Ecole d’Economie - UdA 7

Décomposition de la variance de y1 Décomposition de la variance de y2

Période SE y1 y2 Période SE y1 y2

1 60.50 91.14 8.86 1 35.79 0.00 100.00

2 61.22 89.64 10.36 2 38.50 5.75 94.25

3 61.31 89.49 10.51 3 38.77 6.19 93.81

… … … … … … … …

� La variance de l’erreur de prévision dey1,t est due à ~ 90% ases propres innovations et à 10% à celles dey2,t.� La variance de l’erreur de prévision dey2,t est due à 6% ày1,t

et à 94% ày2,t.� Un choc sury2,t a plus d’impact sury1,t que l’impact d’unchoc dey1,t en a sury2,t.

ii) y2t cause instantanément y1t