m2-bac 2010 varianta 5.docx

8/17/2019 M2-BAC 2010 VARIANTA 5.docx

1/14

Subiectul I

1. Să se calculeze .

Rezolvare:

.

2. Să se rezolve în inecuaţia: .

Rezolvare: Rezolvăm mai întâi în inecuaţia .Determinăm rădăcinile ecuaţiei

.Calculăm

.A oi

!sau

!adică

"i .

A"adar mulţimea soluţiilor reale ale inecuaţiei este

iar mulţimea soluţiilor între#i ale aceleia"i inecuaţii este

.

$. Să se determine inversa %uncţiei bi&ective .


2/14

Rezolvare: 'entru a #ăsi inversa %uncţiei bi&ective %( vom rezolva în mulţimea ecuaţia

(

unde ) este un arametru din mulţimea .Avem:

( entru .'rin urmare( inversa %uncţiei % este %uncţia

(dată de le#ea

.

*. Să se determine numărul %uncţiilor cu ro rietatea că .

Rezolvare: +umărul %uncţiilor cu ro rietatea

că ( ,-at este e#al cu numărul %uncţiilor de,nite e mulţimea cu

valori în mulţimea ( adică cu

.


3/14

ntrucât a oate lua * valori di%erite( rezultă că numărul %uncţiilor cu ro rietatea

că este e#al cu

.

/. Să se determine coordonatele vâr%ului D al aralelo#ramului A0CD "tiind că .Rezolvare: A0CD este aralelo#ram dacă "i numai dacă se#mentele AC "i 0D au acela"i mi&loc 3cu alte cuvinte(

dia#onalele lui se în&umătăţesc4.5ie 6 mi&locul se#mentului AC . Atunci

!adică

! .Coordonatele mi&locului se#mentului 0D sunt

!sau

! .'unem condiţia ca mi&locul se#mentului AC să coincidă cu mi&locul se#mentului 0D :

!

!

!

! .

Deci( .

7. 8riun#9iul A0C are "i lun#imea razei cercului circumscris e#ală cu 1. Să se calculeze lun#imea laturii AC.Rezolvare: Con%orm teoremei sinusurilor( avem


4/14


5/14


6/14

c4 Să observăm că sunt $ minori de ordinul $ care conţin ultima coloană a matricei 6( "i anume:

a4 ! b4 "i c4 .'entru ,ecare din minorii de mai sus e-istă câte un minor de ordinul 2 nenul din care ace"tia să se obţină rin bordarea

cu elementele cores unzătoare ale ultimei linii( res ectiv coloane. Ace"ti minori de ordinul 2 sunt( res ectiv:

a4 ! b4 "i c4 .A"adar( dacă unul din minorii de ordinul $ care conţin ultima coloană a matricei 6 este nul( atunci ale#ând minorul deordinul 2 nenul cores unzător du ă cum s;a văzut mai sus( din acesta se obţin doar 2 minori de ordinul $ rin bordare

cu elementele liniei "i coloanelor rămase( dintre care unul este nul rin i oteză iar altul este minorul care este nuldu ă cum s;a văzut la ct. b4.'rin urmare( ran#ul matricei 6 este 2.

2. 'e mulţimea de,nim le#ea de com oziţie .a4 Să se arate că le#ea este asociativă.

b4 Să se determine elementele simetrizabile ale mulţimii în ra ort cu le#ea .

c4 Să se rezolve ecuaţia .Rezolvare:a4 ?e#ea este asociativă dacă "i numai dacă

3A4.A"adar( le#ea de com oziţie este asociativă.

b4 8rebuie să determinăm mai întâi elementul neutru al le#ii de com oziţie . +umărul este element neutruentru le#ea de com oziţie dacă "i numai dacă

.A"adar( numărul între# ;1 este elementul neutru al le#ii de com oziţie .

+umărul este simetrizabil în ra ort cu le#ea dacă "i numai dacă e-istă ast%el încât


7/14

.

Această ecuaţie în -> are soluţie unică entru orice "i această soluţie este:

.

n concluzie( orice număr între# -( este simetrizabil în ra ort cu le#ea "i simetricul său în ra ort cu aceastăle#e este

.

c4 6ulţimea este arte stabilă a mulţimii în ra ort cu le#ea de com oziţie .

ntr;adevăr( ,e două numere oarecare. Atunci

"i .n lus

"i rin urmare adică .

6ai mult( din cele arătate la ct. a4 "i b4 rezultă că este un #ru "i c9iar mai mult( un #ruabelian.5uncţia

este un izomor,sm de #ru uri de la #ru ul la #ru ul multi licativ al numerelor între#inenule.


8/14

ntr;adevăr( %uncţia % este bi&ectivă "i în lus

.Acestea ,ind stabilite( utem trece la rezolvarea ecuaţiei din enunţ.Să observăm mai întâi că ;7@/ nu este soluţie a ecuaţiei

întrucât .

A"adar( utem restrân#e rezolvarea ecuaţiei la mulţimea .

.

'rin urmare( soluţia ecuaţiei date este . Subiectul III

1. Se consideră %uncţia .a4 Să se calculeze derivata %uncţiei %.b4 Să se determine unctele #ra,cului %uncţiei %( în care tan#enta la #ra,c este aralelă cu drea ta de

ecuaţie .

c4 Să se arate că dacă ( atunci .Rezolvare:

a4 5uncţia % este derivabilă e "i în lus( entru orice - din ( avem:


9/14


10/14


11/14

'rin urmare(

.

Deci( %uncţia % este crescătoare e .'rin urmare(

(adică

( c.c.t.d.

2. Se consideră %uncţia "i

"irul .

a4 Să se arate că .

b4 Să se calculeze .

c4 Să se arate că "irul este conver#ent.Rezolvare:a4 Calculăm

.

'entru orice avem


12/14

.Să demonstrăm rima ine#alitate.

( 3A4.Bi acum cea de a doua ine#alitate

( 3A4.'rin urmare

.

b4 5ie .Atunci

.Deci

.

c4 Birul este strict crescător.

ntr;adevăr( (


13/14


14/14

adică "irul este măr#init.

Birul ,ind monoton "i măr#init( rezultă că este conver#ent( c.c.t.d.

m2-bac 2010 varianta 5.docx

Documents