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Les calculatrices sont autorises.

* * *

NB : Le candidat attachera la plus grande importance la clart, la prcision et la concision de

la rdaction.

Si un candidat est amen reprer ce qui peut lui sembler tre une erreur dnonc, il le signalera sur

sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives quil a t amen

prendre.

* * *

QUELQUES UTILISATIONS DES PROJECTEURS

Notations et objectifs :

Dans tout le texte E dsigne un R-espace vectoriel de dimension finie n 1. On note idlendomorphisme identit de E,

Mn(R) le R-espace vectoriel des matrices relles carres de

taille n.Si E1 et E2 sont des sous-espaces vectoriels de E supplmentaires, cest--dire E = E1 E2,on appelle projecteur sur E1 paralllement E2 lendomorphisme p de E qui, un vecteur xde E se dcomposant comme x = x1 + x2, avec (x1, x2) E1 E2, associe le vecteur x1.On rappelle que si A est une matrice de Mn(R), la matrice exponentielle de A est la matrice :

exp(A) =+k=0

Ak

k!.

De mme si u est un endomorphisme de E, lexponentielle de u est lendomorphisme :

exp(u) =+k=0

uk

k!.

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SESSION 2010 MPM2006

EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE MP

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MATHEMATIQUES 2

Dure : 4 heures

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Dans les parties II. et III., on propose une mthode de calcul dexponentielle de matrice laidede projecteurs spectraux dans les cas diagonalisable et non diagonalisable. Dans la dernirepartie IV., on utilise les projections orthogonales pour calculer des distances des parties.

Les quatre parties sont indpendantes.

I. Questions prliminaires

1. Soit les matrices A =

0 10 0

et B =

0 01 0

.

Calculer exp(A), exp(B), exp(A) exp(B) et exp(A + B) (pour exp(A + B), on donnera larponse en utilisant les fonctions ch et sh).

2. Rappeler sans dmontration, une condition suffisante pour que deux matrices A et B deMn(R) vrifient lgalit exp(A)exp(B) = exp(A + B).

II. Un calcul dexponentielle de matrice laide des projecteurs spectraux, casdiagonalisable

Soit A Mn(R) une matrice diagonalisable dont les valeurs propres sont :1 < 2 < < r,

o r dsigne un entier vrifiant 1 r n.

3. Polynme interpolateur de Lagrange : on note Rr1[X] le R-espace vectoriel des polynmes coefficients rels de degr infrieur ou gal r 1.On considre lapplication linaire de Rr1[X] dans Rr dfinie par :

P (P(1), P(2), . . . , P (r)).

Dterminer le noyau de , puis en dduire quil existe un unique polynme L de Rr1[X] telque pour tout i {1, . . . , r}, L(i) = ei .

4. Pour i {1, . . . , r}, on dfinit le polynme li de Rr1[X] par :

li(X) =

rk = 1

k = i

X

k

i k .

(a) Calculer li(j) selon les valeurs de i et j dans {1, . . . , r}.(b) En dduire une expression du polynme L comme une combinaison linaire des polynmes

li avec i {1, . . . , r}.5. Une proprit de lexponentielle : soit P une matrice inversible de Mn(R) et D une matrice

de Mn(R).(a) Justifier que lendomorphisme de

Mn(R) dfini par M

P M P1 est une application

continue.(b) En dduire que :

exp(P DP1) = P exp(D)P1.

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6. Dduire des questions 3. et 5. que exp(A) = L(A).7. On suppose que E est munie dune base Bet on dsigne par v lendomorphisme de E dont la

matrice par rapport Best A. Soit une valeur propre de v, et x un vecteur propre associ.Dmontrer que pour tout polynme P R[X], on a :

P(v)(x) = P()x.

8. Soit i {1, . . . , r}, on note Ei = Ker(v i id) le sous-espace propre de v associ i.(a) Dmontrer que lendomorphisme de E, pi = li(v) est le projecteur sur Ei, paralllement

r

k = 1

k = i

Ek (on dit que les pi sont les projecteurs spectraux de v).

(b) En dduire une expression de exp(A) comme une combinaison linaire de matrices deprojecteurs.

III. Un calcul dexponentielle de matrice laide des projecteurs spectraux, casnon diagonalisable

Soit u un endomorphisme de E dont le polynme minimal est (X 1)2(X 2).9. Lendomorphisme u est-il diagonalisable ? Justifier la rponse.

10. crire, sans justifier, un exemple de matrice triangulaire de M3(R) dont lendomorphismecanoniquement associ a pour polynme minimal (X 1)2(X 2).

11. Dmontrer, sans aucun calcul, que E = Ker(u id)2 Ker(u 2 id).12. On considre les endomorphismes de E : p = (u id)2 et q = u (2 id u). Calculer p + q.

13. Dmontrer que lendomorphisme p est le projecteur sur Ker(u 2 id), paralllement Ker(u id)2. Que dire de lendomorphisme q ?14. Soit x un lment de E.

(a) Prciser (u 2 id) (p(x)).(b) Dterminer un nombre rel tel que pour tout entier naturel k, uk p = kp.(c) En dduire que exp(u) p = p o est un rel dterminer.

15. Que vaut pour tout entier k 2, (u id)k q ?Dmontrer que exp(u)q = u q o est un rel dterminer (on pourra crire en justifiantque exp(u) = exp(id) exp(u id) ).

16. crire enfin lendomorphisme exp(u) comme un polynme en u.

IV. Calcul de distances laide de projecteurs orthogonaux

Dans cette partie, on suppose en plus que lespace E est muni dun produit scalaire < , >, cequi lui confre une structure despace euclidien. On rappelle que la norme euclidienne associe,note , est dfinie par :

x E, x = < x,x >.Si F est un sous-espace vectoriel de E, on note F son orthogonal, et on appelle projecteur

orthogonal sur F, not pF le projecteur sur F, paralllement F

.Enfin, si x est un vecteur de E, la distance euclidienne de x F, note d(x, F) est le rel :

d(x, F) = inf{x y | y F}.

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17. Thorme de la projection orthogonale : soit F un sous-espace vectoriel de E et x un vecteurde E. Rappeler sans dmonstration, la formule permettant de calculer d(x, F) laide duvecteur pF(x).

18. Cas des hyperplans : soit n un vecteur non nul de E et H lhyperplan de E orthogonal n, cest dire H = (Vect {n}). Exprimer pour x E, la distance d(x, H) en fonction de< x, n > et de

n

.

19. Une application : dans cette question uniquement, E = Mn(R) muni de son produit scalairecanonique : si A et B sont dans Mn(R), en notant Tr la trace,

< A, B > = Tr(tAB).

Enfin on note H lensemble des matrices de Mn(R) dont la trace est nulle.(a) Justifier que H est un hyperplan de Mn(R) et dterminer H.(b) Si M est une matrice de Mn(R), dterminer la distance d(M, H).

20.Et pour une norme non euclidienne ?

Dans cette questionE

=R2

est muni de la norme infinienote N : si x = (x1, x2) R2, N(x) = max{|x1|, |x2|}. On pose F = Vect {(1, 0)} etx = (1, 1). Dterminer la distance infinie du vecteur x F, cest--dire le rel :

d(x, F) = inf{N(x y) | y F},

et prciser lensemble des vecteurs m pour lesquels cette distance est atteinte, cest--dired(x, F) = N(x m). Commenter.

Fin de lnonc

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