Mention Physique - L2 - Annee 2008-2009Licence de Sciences et Technologies

LP 206: Mathematiques pour physiciens 1

TD N◦4: Series de Fourier I.

I- Applications immediates.

A) 1) Ecrire la serie de Fourier de la fonction 2π-periodique definie par:

f(x) = π − x si 0 < x < 2π (1)

et etudier sa convergence.2) En considerant l’expression obtenue au 1) pour x = π/2, montrer que:

π

4=

+∞∑

p=0

(−1)p 1

2p + 1. (2)

B) 1) Ecrire la serie de Fourier de la fonction paire, 2π-periodique definie par:

f(x) = π − x si 0 ≤ x ≤ π (3)

et etudier sa convergence. Comparer avec le cas presente au A).2) Peut-on deriver cette serie de Fourier ? Si oui, ecrire la serie derivee et etudiersa convergence.3) Montrer que:

π2

8=

+∞∑

p=0

1

(2p + 1)2. (4)

∗ C) Soient les fonctions periodiques:

f(x) =1 − r cos x

1 − 2r cos x + r2, g(x) =

r sin x

1 − 2r cos x + r2(5)

ou r designe un reel donne tel que −1 < r < +1.1) Former l’expression simplifiee de f(x) + ig(x).2) En deduire les series de Fourier de f et g.

3) Calculer et integrer par rapport a r les fonctions f(r)−1r

et g(r)r

. En deduire les series de

Fourier des fonctions ln(1 − 2r cos x + r2) et arctan

(

r sin x

1 − r cos x

)

.

1

∗ II- Decomposition en produit infini desin(πx)

πx.

1) Ecrire la serie de Fourier de la fonction 2π-periodique, paire et egale a cosλx pour0 < x < π, λ etant un reel non entier. Que devient cette serie pour λ entier ?2) Montrer que la serie:

1

π

+∞∑

n=1

2x

x2 − n2(6)

converge uniformement sur l’intervalle ] − 1, +1[ vers la fonction cotan(πx) −1

πx.

3) En deduire, par integration que:

sin(πx)

πx=

+∞∏

n=1

(

1 −x2

n2

)

(7)

pour tout x ∈] − 1, +1[.

III- Egalite de Parseval.

En supposant que le developpement en serie de Fourier d’une fonction f , periodiquede periode T , converge uniformement, montrer que:

2

T

∫ + T

2

−T

2

[f(t)]2 dt =a2

0

2+

+∞∑

n=1

(

a2n + b2

n

)

. (8)

Interpreter geometriquement puis physiquement (en considerant, par exemple, f commel’amplitude d’une onde lumineuse de lumiere blanche dispersee par un prisme) cette egalite.Application: Determiner la serie de Fourier de la fonction periodique de periode 2l definiepar: f(x) = l2 − x2 pour −l ≤ x ≤ +l. En deduire l’egalite:

π2

6=

∞∑

n=1

1

n2(9)

puis, via l’egalite de Parseval:π4

90=

∞∑

n=1

1

n4. (10)

IV- Calcul d’une intensite efficace.

L’intensite i(t) d’un courant electrique periodique de periode 2π est donnee par

i(t) =t

π+ 1 si − π < t < π . (11)

1) Ecrire sa serie de Fourier et en deduire le spectre energetique de ce courant.2) L’intensite efficace Ieff est definie par:

Ieff =

√

1

T

∫ T

0

i2(t) dt . (12)

2

Calculer Ieff :— par un calcul direct, en utilisant l’expression analytique de i(t).— a l’aide de l’egalite de Parseval.

∗ V- Phenomene de Gibbs.

1) Ecrire la serie de Fourier de la fonction f(x) 2π-periodique, impaire, egale a π/4 si0 < x < π.2) On designe par fn(x) la somme partielle des n premiers termes de la serie. Montrer que:

fn(x) =1

2

∫ x

0

sin(2nt)

sin tdt . (13)

Indication: calculer f ′

n(x) puis 2 sin xf ′

n(x).3) Etudier graphiquement la fonction fn sur l’intervalle [0, π]. Montrer que y = fn(x)effectue des oscillations autour de la valeur y = π/4 et calculer l’ordonnee yn de son premiermaximum.4) Evaluer sommairement y2, y3, y4 et montrer que yn tend, quand n tend vers l’infini, nonpas vers π/4 mais vers la valeur:

M =1

2

∫ π

0

sin u

udu >

π

4. (14)

∗ VI- Representation de |x|.

1) Developper en serie de Fourier la fonction periodique | sin(πt)| de periode 1.2) On pose x = sin(πt). Exprimer cos(2πnt) sous la forme d’un polynome en x. Pour cefaire on posera:

cos(2πnt) = Re{

[cos(πt) + i sin(πt)]2n}

(15)

que l’on developpera a l’aide de la formule du binome.3) En deduire une representation de la fonction |x| par une serie de polynomes dansl’intervalle [−1, 1].

VII- Filtre.

Soit A une application lineaire qui, a une fonction f(t) du type eiωt, associe la fonctionξ(ω)eiωt. A est appele filtre frequentiel (pourquoi ?) et ξ(ω) fonction de transfert.Soit f une fonction developpable en serie de Fourier:

f(t) =∑

n

aneinωt . (16)

Que vaut A[f(t)] ?1) Donner la serie de Fourier d’une fonction creneau f de periode T , f(t) = −1 sur [0, T/2[et f(t) = +1 sur [T/2, T [.2) Montrer que, pour ξ(ω) = 1/(iω), le filtre A est un integrateur.3) En deduire le developpement en serie de Fourier d’une fonction triangle s’annulant ent = 0 et en t = T et prenant sa valeur extremale −T/2 en t = T/2.4) On considere maintenant un filtre A caracterise par la fonction de transfertξ(ω) = 1/(1+ iω/ω0). Ce type de filtre correspond a un circuit RC. Le montrer, c’est a dire

3

R

C

Ve Vs

Figure 1: Circuit RC.

calculer le rapport entre le signal de sortie Vs et le signal d’entree Ve pour un tel circuit.Que vaut ω0? Quel est l’effet du filtre sur une fonction f pour ω ≫ ω0 ? Quel est l’interetd’un tel filtre ?5) On considere maintenant le cas ω ≪ ω0.a) Montrer qu’il existe une valeur N ≫ 1 telle que, quel soit n ≥ N , nω/ω0 ≥ 1 et telleque, quel que soit n < N , nω/ω0 < 1.b) Que devient la fonction de transfert pour les harmoniques de pulsation nω pour n ≪ Net pour n ≫ N ?c) Pourquoi la fonction creneau, apres passage par un tel filtre, est-elle quasiment inchangee ?d) Montrer que la serie de Fourier de la fonction creneau, apres passage par le filtre, estabsolument convergente. En deduire que la fonction A[f(t)] est continue.6) Dessiner sommairement le graphe de Vs(t) pour ω/ω0 ≪ 1, ≫ 1 et ≈ 1, etreinterpreter les resultats en termes de charge et de decharge d’un condensateur.

Corrige des exercices ∗

I-C.1) Soient les fonctions periodiques:

f(x) =1 − r cos x

1 − 2r cos x + r2, g(x) =

r sin x

1 − 2r cos x + r2(17)

On forme

f(x) + ig(x) =1 − re−ix

1 − 2r cos x + r2

et on note que 1 − 2r cos x + r2 = |1 − reix|2 = (1 − reix)(1 − re−ix).2) La serie de Fourier de f + ig s’en deduit

f(x) + ig(x) =1

1 − reix=

∞∑

n=0

rneinx (18)

(c’est une serie geometrique !), donc en prenant la partie reelle et la partie imaginaire

f(x) =

∞∑

n=0

rn cos nx g(x) =

∞∑

n=1

rn sin nx (19)

4

3) Notons que f(r)−1r

= cos x−r1−2r cos x+r2 = −1

2ddr

ln(1−2r cos x+r2) et que g(r)r

= ddr

Arctan sinx1−u cos x

.En integrant f(r) − 1)/r et g(r)/r par rapport a r, on obtient donc

ln(1 − 2r cos x + r2) = −2∞

∑

n=1

rn

ncos nx Arctan

sin x

1 − u cosx=

∞∑

n=1

rn

nsin nx . (20)

Autre facon de proceder, on calcule le logarithme (complexe) ln(1 − reix) = −∑

∞

n=1rn

neinx

mais aussi = ln |1 − reix| + iArg(1 − reix) = 12ln(1 − 2r cos x + r2) + iArctan − sin x

1−u cos x, donc en

prenant a nouveau partie reelle et partie imaginaire, on retrouve (20).

II- Decomposition en produit infini desin(πx)

πx.

1) La fonction f en question est 2π-periodique, paire, continue sur IR et derivable sauf aux

points d’abcisse x = (2k+1)π. Elle est donc developpable en serie de cosinus, la convergence

etant uniforme sur IR.

On a:

an =1

π

∫ +π

−π

cos λx cos nx dx = (−1)n 2λ

π

sin λπ

λ2 − n2. (21)

Il vient, en particulier, pour n = 0:

a0 = 2sin λπ

λπ. (22)

D’ou:

f(x) =λ sin(λπ)

π

{

1

λ2+ 2

+∞∑

n=1

(−1)n cos(nx)

λ2 − n2

}

. (23)

Pour λ = p entier on trouve evidemment f(x) = cos px.

2) Pour x = π on a f(π) = cos(λπ). Sachant que cos(nπ) = (−1)n on obtient:

π cotan(λπ) =1

λ+

+∞∑

n=1

2λ

λ2 − n2. (24)

C’est bien le resultat demande moyennant le changement de λ en x. La convergence de la

serie est uniforme sur ]−1, 1[ puisque son terme general 1/(x2−n2), n ≥ 2 est majore, pour

tout x ∈]− 1, 1[, par 1/(n2 − 1) qui est le terme general d’une serie convergente (Theoreme

M de Weierstrass).

3) Consequence de la convergence uniforme, la serie precedente peut etre integree terme a

terme. Remarquons d’abord que l’on a:

cotanπx −1

πx=

1

π

d

dx

(

lnsin πx

πx

)

(25)

d’ou:

5

lnsin πx

πx=

∫ x

0

π

(

cotanπu −1

πu

)

du =

∫ x

0

+∞∑

n=1

2u

u2 − n2du

=

+∞∑

n=1

∫ x

0

2u

u2 − n2du (convergence uniforme de la serie)

=+∞∑

n=1

ln

(

1 −x2

n2

)

(26)

d’ou:

sin πx

πx=

+∞∏

n=1

(

1 −x2

n2

)

(27)

pour tout x ∈] − 1, +1[.

V- Phenomene de Gibbs.

1) La fonction impaire f presente des discontinuites en x = kπ. Sa serie de Fourier est uneserie en sinus dont le coefficients bn sont donnes par:

bn =1

π

∫ π

−π

f(x) sin nx dx =1 − cos nπ

2n. (28)

Si n = 2p, b2p = 0 et si n = 2p − 1, b2p−1 =1

2p − 1, pour p ≥ 1.

La serie de Fourier de f s’ecrit donc:

f(x) =+∞∑

p=1

sin(2p − 1)x

2p − 1. (29)

Elle converge ponctuellement vers: 1/2(f(x + 0) + f(x − 0)). En particulier, la somme estnulle pour x = 0 et x = π et est egale a π/4 sur l’intervalle ouvert ]0, π[.2) On a:

fn(x) =n

∑

p=1

sin(2p − 1)x

2p − 1. (30)

Notons d’abord que fn(0) = 0.Ensuite remarquons que la derivee de f s’ecrit:

f ′

n(x) =n

∑

p=1

cos(2p − 1)x . (31)

Il s’ensuit que: 2 sin x f ′

n(x) =

n∑

p=1

2 sin x cos(2p − 1)x = 2 sin x cos x + 2 sinx cos 3x + · · ·+ 2 sin x cos(2n − 1)x (32)

qui se rearrange en:2 sin x f ′

n(x) = sin 2nx . (33)

6

D’ou:

f ′

n(x) =sin 2nx

2 sin x. (34)

On ecrit alors que fn est la primitive de f ′

n qui s’annule en x = 0, c’est a dire:

fn(x) =

∫ x

0

f ′

n(t) dt =1

2

∫ x

0

sin 2nt

sin tdt . (35)

3) Sur l’intervalle [0, π] la fonction fn est extremum aux points xk =kπ

2n, k = 1, 2, . . . , 2n−1.

Il est alors facile d’etablir le tableau de variation de f et de constater que f oscille autourde la valeur π/4. On denombre n maxima sur [0, π]. De plus, la courbe est symetrique parrapport a π/2.On a represente les cas n = 1, 2, 3 et 4 et la droite y = π/4 sur la figure.

0.5 1 1.5 2 2.5 3

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0.5 1 1.5 2 2.5 3

0.2

0.4

0.6

0.8

0.5 1 1.5 2 2.5 3

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

0.5 1 1.5 2 2.5 3

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

Figure 2: Courbes f1(x),f2(x),f3(x), f4(x) et y = π/4.

Le premier maximum est situe en x = π/2n. Son ordonnee est donnee par:

yn =1

2

∫ π

2n

0

sin 2nt

sin tdt = sin

( π

2n

)

+1

3sin

(

3π

2n

)

+ · · · +1

(2n − 1)sin

(

(2n − 1)π

2n

)

(36)

4) Numeriquement on trouve: y1 = 1, y2 = 0.942, y3 = 0.933 et y4 = 0.930 valeurssuperieures a π/4 = 0.785....

7

Pour trouver la limite de yn on ecrit:

yn =1

2

∫ π

2n

0

sin 2nt

sin tdt =

1

2

{

∫ π

2n

0

sin 2nt

tdt +

∫ π

2n

0

sin 2nt

(

1

sin t−

1

t

)

dt

}

. (37)

La premiere integrale s’ecrit, en posant 2nt = u:

1

2

∫ π

0

sin u

udu (38)

qui ne depend pas de n. La deuxieme integrale est majoree en module par:

∫ π

2n

0

∣

∣

∣

∣

1

sin t−

1

t

∣

∣

∣

∣

dt . (39)

Celle-ci est l’integrale d’une fonction continue bornee par A sur l’intervalle [0, π/2n]. On adonc la majoration suivante:

∣

∣

∣

∣

∣

∫ π

2n

0

sin 2nt

[

1

sin t−

1

t

]

dt

∣

∣

∣

∣

∣

≤πA

2n(40)

qui indique que la deuxieme integrale de (37) tend vers 0 quand n tend vers l’infini. Parconsequent:

limn→∞

yn = M =1

2

∫ π

0

sin u

udu . (41)

Numeriquement on trouve M = 0.926 > π/4.En fait on peut prouver directement cette inegalite de la facon suivante: pour tout u ∈]0, π[:

1 −u

π<

sin u

u(42)

donc∫ π

0

(

1 −u

π

)

du <

∫ π

0

sin u

udu (43)

soit π/4 < M .

VI- Representation de |x|.

1) On a sans problemes: bn = 0 et:

an = 2

∫ 1

0

f(t) cos 2πnt dt =4

π

1

1 − 4n2(44)

pour tout n ≥ 0.D’ou:

f(t) =2

π−

4

π

+∞∑

n=1

cos 2πnt

4n2 − 1(45)

qui converge uniformement sur IR.

8

2) On developpe:

[cos(πt) + i sin(πt)]2n =

2n∑

k=0

Ck2n ik (sin πt)k(cos πt)2n−k . (46)

Chaque terme de rang impair est imaginaire pur. En ne gardant que les termes de rang pair(k = 2p) on a:

cos(2πnt) =

n∑

p=0

C2p2n (−1)p (sin πt)2p(cos πt)2(n−p) . (47)

Comme (sin πt)2 = x2 et (cos πt)2 = 1 − x2 on ecrit:

cos(2πnt) =n

∑

p=0

C2p2n (−1)p x2p(1 − x2)n−p ≡ Pn(x) (48)

pour −1 ≤ x ≤ +1.3) En substituant cos(2πnt) par son expression polynomiale dans la serie de Fourier de laquestion 1) on trouve:

|x| =2

π−

4

π

+∞∑

n=1

Pn(x)

4n2 − 1=

2

π−

4

π

+∞∑

n=1

n∑

p=0

C2p2n

(−1)p

4n2 − 1x2p(1 − x2)n−p . (49)

La convergence uniforme de la serie de Fourier assure la convergence uniforme de cette seriede polynomes vers |x| sur l’intervalle [−1, +1].

Remarque 1: Si on fait, par exemple, x = 0 on a Pn(0) = 1 et:

+∞∑

n=1

1

4n2 − 1=

1

2. (50)

Remarque 2: On a P1(x) = 1− 2x2, P2(x) = 1− 8x2 +8x4, P4(x) = 1− 18x2 +48x4 − 32x6.D’ou:

|x| ≃2

π−

4

π

(

3

7−

12

7x2 +

40

21x4 −

32

35x6

)

. (51)

9