loi normale
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Etude de la loi normale
La loi normale représente une distribution théorique qui est parfaitement connue sur le plan mathématique. Elle a été définie par Laplace et Gauss. L’équation de la courbe de fréquence d’une distribution normale ne dépend que de deux paramètres :
la moyenne de la variable et
l’écart-type de la variable
m
loi normale
x
Y
Une courbe normale est symétrique par rapport à l’axe vertical qui passe par la moyenne.L’axe des x est assymptote
Cette courbe possède deux points d’inflexion situés à égale distance de l’axe de symétrie, ils ont pour abscisses :m et m
si x suit une loi normale :
on notera simplement
f x ex m
( )( )
1
2
2
22
x N m ( ; )
comme pour toutes les courbes de fréquence, l’aire limitée par ces courbes normales est égale à 1.
loi normale
x
Y
x N m ( ; )
La loi normale centrée réduite
Si on a
Alors
x N m ( ; )
)1;0(Nmx
z
l’équation de la loi normale centrée réduite est :
2
2
2
1)(
z
ezf
loi normale centrée réduite
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
-3 -2,5 -2 -1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 z
f(z)
)()( zfzf
loi normale centrée réduite
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
-3 -2,5 -2 -1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 z
f(z)
A chaque valeur absolue de z on peut associer une aire située à l’extérieur de l’intervalle [-z ;+z] correspondant à la fréquence P. Ces différentes valeurs possibles de z et de P sont données dans la table statistique de la loi normale centrée réduite.
Si z = 1,54 on trouve la valeur de P dans la case à l’intersection de la ligne 1,5 et de la colonne ,04 soit P=0,124.
Lorsque z suit une loi normale centrée réduite, on trouve donc 12,4% des valeurs de z à l’extérieur de l’intervalle ] -1,54 + 1,54 [.
z 0 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09
0 1 0,992 0,984 0,976 0,968 0,96 0,952 0,944 0,936 0,928
0,1 0,92 0,912 0,904 0,897 0,889 0,881 0,873 0,865 0,857 0,849
0,2 0,841 0,834 0,826 0,818 0,81 0,803 0,795 0,787 0,779 0,772
0,3 0,764 0,757 0,749 0,741 0,734 0,726 0,719 0,711 0,704 0,697
0,4 0,689 0,682 0,674 0,667 0,66 0,653 0,646 0,638 0,631 0,624
0,5 0,617 0,61 0,603 0,596 0,589 0,582 0,575 0,569 0,562 0,555
0,6 0,549 0,542 0,535 0,529 0,522 0,516 0,509 0,503 0,497 0,49
0,7 0,484 0,478 0,472 0,465 0,459 0,453 0,447 0,441 0,435 0,43
0,8 0,424 0,418 0,412 0,407 0,401 0,395 0,39 0,384 0,379 0,373
0,9 0,368 0,363 0,358 0,352 0,347 0,342 0,337 0,332 0,327 0,322
1 0,317 0,313 0,308 0,303 0,298 0,294 0,289 0,285 0,28 0,276
1,1 0,271 0,267 0,263 0,258 0,254 0,25 0,246 0,242 0,238 0,234
1,2 0,23 0,226 0,222 0,219 0,215 0,211 0,208 0,204 0,201 0,197
1,3 0,194 0,19 0,187 0,184 0,18 0,177 0,174 0,171 0,168 0,165
1,4 0,162 0,159 0,156 0,153 0,15 0,147 0,144 0,142 0,139 0,136
1,5 0,134 0,131 0,129 0,126 0,124 0,121 0,119 0,116 0,114 0,112
1,6 0,11 0,107 0,105 0,103 0,101 0,099 0,097 0,095 0,093 0,091
1,7 0,089 0,087 0,085 0,084 0,082 0,08 0,078 0,077 0,075 0,073
1,8 0,072 0,07 0,069 0,067 0,066 0,064 0,063 0,061 0,06 0,059
1,9 0,057 0,056 0,055 0,054 0,052 0,051 0,05 0,049 0,048 0,047
2 0,046 0,044 0,043 0,042 0,041 0,04 0,039 0,038 0,038 0,037
2,1 0,036 0,035 0,034 0,033 0,032 0,032 0,031 0,03 0,029 0,029
2,2 0,028 0,027 0,026 0,026 0,025 0,024 0,024 0,023 0,023 0,022
2,3 0,021 0,021 0,02 0,02 0,019 0,019 0,018 0,018 0,017 0,017
2,4 0,016 0,016 0,016 0,015 0,015 0,014 0,014 0,014 0,013 0,013
2,5 0,012 0,012 0,012 0,011 0,011 0,011 0,01 0,01 0,01 0,01
2,6 0,009 0,009 0,009 0,009 0,008 0,008 0,008 0,008 0,007 0,007
2,7 0,007 0,007 0,007 0,006 0,006 0,006 0,006 0,006 0,005 0,005
2,8 0,005 0,005 0,005 0,005 0,005 0,004 0,004 0,004 0,004 0,004
2,9 0,004 0,004 0,004 0,003 0,003 0,003 0,003 0,003 0,003 0,003
)1;0(Nz
z
-1,96 0 +1,96
P z 1 96 1 96 0 95, : , ,
pour une loi normale centrée réduite, 95% des z appartiennent à l’intervalle [-1,96 :+1,96]
calcul d’une fréquence pour une distribution normale on cherche la fréquence de
)8;40(Nx Asoitx 52
)1;0(8
40N
xz
5,1
8
12
8
405252
zx
067,02
134,05,1 P
Pz
%7,6Asoit
)8;40(Nx
x x m 52 1 5, )1;0(Nz
5,1zloi normale centrée réduite
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
-3 -2,5 -2 -1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 z
f(z)
loi normale
x
40
8 1
0x z
)1;0(Nmx
z
x N ( ; )170 20
on cherche la fréquence de x soit B 160 180:
loi normale
x170
20
zx
N 170
200 1 ( ; )
loi normale
x170
20
x z
x z
160160 170
20
10
200 5
180180 170
20
10
200 5
,
,
383,01617,05,0 PPz soit B 38 3%,
loi normale centrée réduite
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
-3 -2,5 -2 -1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 z
f(z) x N
x x m m
( ; )
: , : ,
170 20
160180 0 5 0 5
)1;0(Nz
z 0 5 0 5, : ,
loi normale
x
Y
à l’inverse, on peut trouver une valeur à partir d’une fréquence.
on cherche la valeur limite des 30% les plus faibles
)8;40(Nx
6,03,02
PP
52,0603,0
53,0596,0
zP
zP
)1;0(8
40N
xz
8,35
408525,08
40525,0
x
xx
loi normale
x
Y
P z x
)1;0(Nz
Pz
20 3 0 525 , ,
8,35
)8525,0(40525,0
x
mx