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Loi d’une v.a continueLois à densité classiques (autre que la loi normale)
loi normale
Cours 2: Variables aléatoires continues, loinormale
Clément RauLaboratoire de Mathématiques de ToulouseUniversité Paul Sabatier-IUT GEA Ponsan
Module: Stat inférentielles
Clément Rau Cours 2: Variables aléatoires continues, loi normale
Loi d’une v.a continueLois à densité classiques (autre que la loi normale)
loi normale
1 Loi d’une v.a continueDéfinitionProblématiqueDensité et calcul de probabilité d’événementsParamètres d’une loi continue
2 Lois à densité classiques (autre que la loi normale)Loi uniformeLoi exponentielle
3 loi normaleLoi normale centrée réduiteLoi normale généraleLa loi normale comme limite en loiQuelques lois classiques dérivées de la loi normale : χ2,Student, Fisher-Snedecor
Clément Rau Cours 2: Variables aléatoires continues, loi normale
Loi d’une v.a continueLois à densité classiques (autre que la loi normale)
loi normale
DéfinitionProblématiqueDensité et calcul de probabilité d’événementsParamètres d’une loi continue
1 Loi d’une v.a continueDéfinitionProblématiqueDensité et calcul de probabilité d’événementsParamètres d’une loi continue
2 Lois à densité classiques (autre que la loi normale)Loi uniformeLoi exponentielle
3 loi normaleLoi normale centrée réduiteLoi normale généraleLa loi normale comme limite en loiQuelques lois classiques dérivées de la loi normale : χ2,Student, Fisher-Snedecor
Clément Rau Cours 2: Variables aléatoires continues, loi normale
Loi d’une v.a continueLois à densité classiques (autre que la loi normale)
loi normale
DéfinitionProblématiqueDensité et calcul de probabilité d’événementsParamètres d’une loi continue
Définition
DefinitionUne variable aléatoire est une application de l’univers Ω dans R
X : Ω −→ Rω 7−→ X (ω)
Une variable aléatoire est généralement désignée par unelettre majuscule X ,Y , etc. La variable aléatoire est ditecontinue si l’ensemble X (Ω) est un intervalle (ou une réuniond’intervalles) de R.Exemple : X :=taille d’un individu
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loi normale
DéfinitionProblématiqueDensité et calcul de probabilité d’événementsParamètres d’une loi continue
Définition
DefinitionUne variable aléatoire est une application de l’univers Ω dans R
X : Ω −→ Rω 7−→ X (ω)
Une variable aléatoire est généralement désignée par unelettre majuscule X ,Y , etc. La variable aléatoire est ditecontinue si l’ensemble X (Ω) est un intervalle (ou une réuniond’intervalles) de R.Exemple : X :=taille d’un individu
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DéfinitionProblématiqueDensité et calcul de probabilité d’événementsParamètres d’une loi continue
Problemes que soulévent cette définition
La description d’une loi continue diffère de celles des loisdiscrètes puisque pour une variable aléatoire continue X , laprobabilité que X prenne une valeur bien précise x est nulle,P[X = x ] = 0 . Il y a en effet une infinité de valeurs dans R oudans un intervalle, et au regard de toutes ces valeurs précises,le poids de la valeur particulière est tellement insignifiant qu’ilen est nul !Ex : si X =taille d’un individu, alors P(X = 1,8245756) = 0Il n’est ainsi pas possible de définir la loi de X par la donnéedes probabilités des événements élémentaires. Par contre, ilest possible de déduire les probabilités que X prenne sesvaleurs dans une partie de R à partir de la fonction derépartition definie par :
F (x) = P[X ≤ x ] = P[X < x ].Clément Rau Cours 2: Variables aléatoires continues, loi normale
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DéfinitionProblématiqueDensité et calcul de probabilité d’événementsParamètres d’une loi continue
Problemes que soulévent cette définition
La description d’une loi continue diffère de celles des loisdiscrètes puisque pour une variable aléatoire continue X , laprobabilité que X prenne une valeur bien précise x est nulle,P[X = x ] = 0 . Il y a en effet une infinité de valeurs dans R oudans un intervalle, et au regard de toutes ces valeurs précises,le poids de la valeur particulière est tellement insignifiant qu’ilen est nul !Ex : si X =taille d’un individu, alors P(X = 1,8245756) = 0Il n’est ainsi pas possible de définir la loi de X par la donnéedes probabilités des événements élémentaires. Par contre, ilest possible de déduire les probabilités que X prenne sesvaleurs dans une partie de R à partir de la fonction derépartition definie par :
F (x) = P[X ≤ x ] = P[X < x ].Clément Rau Cours 2: Variables aléatoires continues, loi normale
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DéfinitionProblématiqueDensité et calcul de probabilité d’événementsParamètres d’une loi continue
Problemes que soulévent cette définition
La description d’une loi continue diffère de celles des loisdiscrètes puisque pour une variable aléatoire continue X , laprobabilité que X prenne une valeur bien précise x est nulle,P[X = x ] = 0 . Il y a en effet une infinité de valeurs dans R oudans un intervalle, et au regard de toutes ces valeurs précises,le poids de la valeur particulière est tellement insignifiant qu’ilen est nul !Ex : si X =taille d’un individu, alors P(X = 1,8245756) = 0Il n’est ainsi pas possible de définir la loi de X par la donnéedes probabilités des événements élémentaires. Par contre, ilest possible de déduire les probabilités que X prenne sesvaleurs dans une partie de R à partir de la fonction derépartition definie par :
F (x) = P[X ≤ x ] = P[X < x ].Clément Rau Cours 2: Variables aléatoires continues, loi normale
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DéfinitionProblématiqueDensité et calcul de probabilité d’événementsParamètres d’une loi continue
Quelques propriétés de la fonction de répartition
PropositionOn a les propriétés suivantes :
1 F est une continue,2 limx→−∞ F (x) = 0 et limx→+∞ F (x) = 1,3 F est une fonction croissante,4 Pour tous a,b ∈ R et a < b,
F (b)− F (a) = P[a < X ≤ b].
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DéfinitionProblématiqueDensité et calcul de probabilité d’événementsParamètres d’une loi continue
Densité
DefinitionUne variable aléatoire possède une densité si sa fonction derépartition F est dérivable. La dérivée notée f est appeléedensité de probabilité de la variable aléatoire X.
PropositionDe ce fait,
P[a ≤ X ≤ b] =
∫ b
af (t)dt ,
et la probabilité de trouver X dans un intervalle [a,b] donné,apparaît comme l’aire d’une partie du graphique située entre lacourbe de la densité f et l’axe des abscisses.
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DéfinitionProblématiqueDensité et calcul de probabilité d’événementsParamètres d’une loi continue
Origine de ces points de vue : histogramme desfréquences d’une série regroupée par classe dontl’amplitude des classes devient "petites"...
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Origine de ces points de vue : histogramme desfréquences d’une série regroupée par classe dontl’amplitude des classes devient "petites"...
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DéfinitionProblématiqueDensité et calcul de probabilité d’événementsParamètres d’une loi continue
Quelques propriétés de la densité
Proposition1 ∀x ∈ R, f (x) ≥ 0.2 ∫ +∞
−∞f (x)dx = 1.
3
P[a < X ≤ b] = F (b)− F (a) =
∫ b
af (x)dx .
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DéfinitionProblématiqueDensité et calcul de probabilité d’événementsParamètres d’une loi continue
Paramètres d’une loi continue
PropositionSoit X une variable aléatoire continue de Ω dans R de densitéf . On calcule espérance et variance à l’aide des formulessuivantes :
E(X ) =
∫R
t f (t) dt ,
et
var(X ) = E[(X − E(X ))2] =
∫R
(t − E(X ))2 f (t) dt
= E(X 2)− E(X )2 =
∫R
t2f (t) dt − (
∫R
t f (t) dt)2.
Comparer ces formules avec le cas discret...Clément Rau Cours 2: Variables aléatoires continues, loi normale
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DéfinitionProblématiqueDensité et calcul de probabilité d’événementsParamètres d’une loi continue
Paramètres d’une loi continue
PropositionSoit X une variable aléatoire continue de Ω dans R de densitéf . On calcule espérance et variance à l’aide des formulessuivantes :
E(X ) =
∫R
t f (t) dt ,
et
var(X ) = E[(X − E(X ))2] =
∫R
(t − E(X ))2 f (t) dt
= E(X 2)− E(X )2 =
∫R
t2f (t) dt − (
∫R
t f (t) dt)2.
Comparer ces formules avec le cas discret...Clément Rau Cours 2: Variables aléatoires continues, loi normale
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Loi uniformeLoi exponentielle
1 Loi d’une v.a continueDéfinitionProblématiqueDensité et calcul de probabilité d’événementsParamètres d’une loi continue
2 Lois à densité classiques (autre que la loi normale)Loi uniformeLoi exponentielle
3 loi normaleLoi normale centrée réduiteLoi normale généraleLa loi normale comme limite en loiQuelques lois classiques dérivées de la loi normale : χ2,Student, Fisher-Snedecor
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Loi uniformeLoi exponentielle
Loi uniforme
Cette loi modélise un phénomène uniforme sur un intervalledonné.
DefinitionLa v.a. X suit une loi uniforme sur l’intervalle borné [a; b] si ellea une densité f constante sur cet intervalle et nulle en dehors.Elle est notée U([a; b]). Sa densité est alors,
f (x) =
1/(b − a) si x ∈ [a; b],0 sinon
Cette loi est l’équivalent continue de la loi discréte equirépartie.Son espérance est E[X ] = (b + a)/2 et sa variance estVar(X ) = (b − a)2/12.
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Loi uniformeLoi exponentielle
Loi uniforme
Cette loi modélise un phénomène uniforme sur un intervalledonné.
DefinitionLa v.a. X suit une loi uniforme sur l’intervalle borné [a; b] si ellea une densité f constante sur cet intervalle et nulle en dehors.Elle est notée U([a; b]). Sa densité est alors,
f (x) =
1/(b − a) si x ∈ [a; b],0 sinon
Cette loi est l’équivalent continue de la loi discréte equirépartie.Son espérance est E[X ] = (b + a)/2 et sa variance estVar(X ) = (b − a)2/12.
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Loi uniformeLoi exponentielle
Proposition
Si X est une v.a de loi uniforme sur [a; b] alors pour toutintervalle I de R :
P(X ∈ I) =l([a; b] ∩ I)
l([a; b]),
où l(J) désigne la longueur de l’intervalle J (ex : l([a ;b])=b-a).
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Loi uniformeLoi exponentielle
Loi exponentielle
DefinitionSoit α un réel strictement positif. La v.a X suit une loiexponentielle de paramètre α, notée E(α), si elle admet pourdensité :
f (x) = αe−αx1[0;+∞[(x).
Son espérance est E(X ) = 1/α et sa variance estvar(X ) = 1/α2.
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Loi uniformeLoi exponentielle
Loi exponentielle
DefinitionSoit α un réel strictement positif. La v.a X suit une loiexponentielle de paramètre α, notée E(α), si elle admet pourdensité :
f (x) = αe−αx1[0;+∞[(x).
Son espérance est E(X ) = 1/α et sa variance estvar(X ) = 1/α2.
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Loi uniformeLoi exponentielle
Les lois exponentielles sont souvent utilisées pour modéliserdes temps d’attente ou des durées de vie.Par exemple, les temps d’attente à partir de maintenant duprochain tremblement de terre, de la prochaine panne d’unappareil, de la prochaine désintégration dans un réacteurnucléaire suivent des lois exponentielles.
Le paramètre α désigne alors l’inverse du temps d’attentemoyen.
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Loi uniformeLoi exponentielle
Les lois exponentielles sont souvent utilisées pour modéliserdes temps d’attente ou des durées de vie.Par exemple, les temps d’attente à partir de maintenant duprochain tremblement de terre, de la prochaine panne d’unappareil, de la prochaine désintégration dans un réacteurnucléaire suivent des lois exponentielles.
Le paramètre α désigne alors l’inverse du temps d’attentemoyen.
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Loi uniformeLoi exponentielle
Les lois exponentielles sont souvent utilisées pour modéliserdes temps d’attente ou des durées de vie.Par exemple, les temps d’attente à partir de maintenant duprochain tremblement de terre, de la prochaine panne d’unappareil, de la prochaine désintégration dans un réacteurnucléaire suivent des lois exponentielles.
Le paramètre α désigne alors l’inverse du temps d’attentemoyen.
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Loi normale centrée réduiteLoi normale généraleLa loi normale comme limite en loiQuelques lois classiques dérivées de la loi normale : χ2, Student, Fisher-Snedecor
1 Loi d’une v.a continueDéfinitionProblématiqueDensité et calcul de probabilité d’événementsParamètres d’une loi continue
2 Lois à densité classiques (autre que la loi normale)Loi uniformeLoi exponentielle
3 loi normaleLoi normale centrée réduiteLoi normale généraleLa loi normale comme limite en loiQuelques lois classiques dérivées de la loi normale : χ2,Student, Fisher-Snedecor
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Loi normale centrée réduiteLoi normale généraleLa loi normale comme limite en loiQuelques lois classiques dérivées de la loi normale : χ2, Student, Fisher-Snedecor
Introduction
La loi normale est apparu naturellement (d’où son nom) commelimite de certains processus. Ce point sera developpé dans lechapitre "Théorème central limite"C’est la loi la plus connue des probabilités, parfois sous levocable loi de Laplace-Gauss et caractérisée par une célèbre"courbe en cloche".
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Introduction
La loi normale est apparu naturellement (d’où son nom) commelimite de certains processus. Ce point sera developpé dans lechapitre "Théorème central limite"C’est la loi la plus connue des probabilités, parfois sous levocable loi de Laplace-Gauss et caractérisée par une célèbre"courbe en cloche".
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Définition, loi normale centrée réduite
DefinitionLa loi normale centrée réduite est une la loi continue, d’unev.a. X à valeurs dans X (Ω) = R tout entier, définie à partir de ladensité
f (x) =1√2π
e−x2
2
Il n’existe par contre pas d’expression simple de sa fonction derépartition autre que la formule intégrale
∀a ∈ R, F (a) =
∫ a
−∞f (t)dt
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Définition, loi normale centrée réduite
DefinitionLa loi normale centrée réduite est une la loi continue, d’unev.a. X à valeurs dans X (Ω) = R tout entier, définie à partir de ladensité
f (x) =1√2π
e−x2
2
Il n’existe par contre pas d’expression simple de sa fonction derépartition autre que la formule intégrale
∀a ∈ R, F (a) =
∫ a
−∞f (t)dt
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Allure de la densité normale centrée réduite
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Loi normale centrée réduiteLoi normale généraleLa loi normale comme limite en loiQuelques lois classiques dérivées de la loi normale : χ2, Student, Fisher-Snedecor
RemarqueDans les pratiques, les probabilités d’événements de v.a.suivant une loi normales sont répertoriées dans des tablesfacilement manipulables.
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Table de la loi normale centrée réduite
On lit par exemple P(X ≤ 0,64) = 0,7389.Clément Rau Cours 2: Variables aléatoires continues, loi normale
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On lit par exemple P(X ≤ 0,64) = 0,7389.Clément Rau Cours 2: Variables aléatoires continues, loi normale
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Remarque
Il existe des tables "inverses" qui à un nombre r ∈ [0,1] associeur tel que P(X ≤ ur ) = r (cf TD)
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Paramètres de la loi normale centrée réduite
Un calcul intégral plus élaboré donne :
Proposition (Espérance et variance)
E[X ] = 0,V (X ) = 1.
Exo : Vérifier la valeur de l’espérance ! ! !
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Paramètres de la loi normale centrée réduite
Un calcul intégral plus élaboré donne :
Proposition (Espérance et variance)
E[X ] = 0,V (X ) = 1.
Exo : Vérifier la valeur de l’espérance ! ! !
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Loi normale générale
On dit que X suit une N (µ, σ), si la densité est :
f (x) =1
σ√
2πe
−(x−µ)2
2σ2
L’usage d’un changement de variable t = (x−µ)σ permet de se
ramener à un calcul d’intégrale à partir de la loi N (0,1), ce quinous permettra de consulter les tables existant pour la loistandard précédente. On a le théorème suivant :
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Loi normale générale
On dit que X suit une N (µ, σ), si la densité est :
f (x) =1
σ√
2πe
−(x−µ)2
2σ2
L’usage d’un changement de variable t = (x−µ)σ permet de se
ramener à un calcul d’intégrale à partir de la loi N (0,1), ce quinous permettra de consulter les tables existant pour la loistandard précédente. On a le théorème suivant :
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Loi normale générale
On dit que X suit une N (µ, σ), si la densité est :
f (x) =1
σ√
2πe
−(x−µ)2
2σ2
L’usage d’un changement de variable t = (x−µ)σ permet de se
ramener à un calcul d’intégrale à partir de la loi N (0,1), ce quinous permettra de consulter les tables existant pour la loistandard précédente. On a le théorème suivant :
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Loi normale générale
ThéorèmeSoit X une variable aléatoire de loi normale N (µ, σ) et Z lavariable aléatoire définie par
Z =X − µσ
,
alors Z suit une loi normale centrée réduite N (0,1).
Attention, certains auteurs utilisent la notation N (µ, σ2) et pasN (µ, σ).
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Loi normale générale
ThéorèmeSoit X une variable aléatoire de loi normale N (µ, σ) et Z lavariable aléatoire définie par
Z =X − µσ
,
alors Z suit une loi normale centrée réduite N (0,1).
Attention, certains auteurs utilisent la notation N (µ, σ2) et pasN (µ, σ).
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Paramètres
On a également :
Proposition (Espérance et variance)
E[X ] = µ,
V (X ) = σ2.
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Allure de la densité en fonction de µ et σ
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Manipulation de la loi normale
Considérons X une v. a. qui suit une loi N (6,2)(σ(X ) vaut donc ici 2 et E(X ) = 6)Et soit Z une v.a. de loi N (0,1), on a par exemple
P[X ≤ 7] = P[X − 6
2≤ 7− 6
2]
= P[Z ≤ 1
2]
= 0.6915.
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Manipulation de la loi normale
Considérons X une v. a. qui suit une loi N (6,2)(σ(X ) vaut donc ici 2 et E(X ) = 6)Et soit Z une v.a. de loi N (0,1), on a par exemple
P[X ≤ 7] = P[X − 6
2≤ 7− 6
2]
= P[Z ≤ 1
2]
= 0.6915.
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Manipulation de la loi normale
Considérons X une v. a. qui suit une loi N (6,2)(σ(X ) vaut donc ici 2 et E(X ) = 6)Et soit Z une v.a. de loi N (0,1), on a par exemple
P[X ≤ 7] = P[X − 6
2≤ 7− 6
2]
= P[Z ≤ 1
2]
= 0.6915.
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Manipulation de la loi normale
Considérons X une v. a. qui suit une loi N (6,2)(σ(X ) vaut donc ici 2 et E(X ) = 6)Et soit Z une v.a. de loi N (0,1), on a par exemple
P[X ≤ 7] = P[X − 6
2≤ 7− 6
2]
= P[Z ≤ 1
2]
= 0.6915.
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Concentration autour de la moyenne
Dans l’intervalle [m − σ,m + σ] de longueur 2σ et centré autourde la moyenne, on peut calculer qu’il y a 68% des individus,lorsque qu’une v.a. suit une loi N (m, σ) :
P[m − σ ≤ X ≤ m + σ] = 0.68
On établit aussi que 95% d’un échantillon représentatif d’une loinormale N (m, σ) est approximativement situé entre m − 2σ etm + 2σ. Plus exactement,
P[m − 1.96σ ≤ X ≤ m + 1.96σ] = 0.95
et on a mème 99,7% des individus entre m − 3σ et m + 3σ :
P[m − 3σ ≤ X ≤ m + 3σ] = 0.997
Clément Rau Cours 2: Variables aléatoires continues, loi normale
Loi d’une v.a continueLois à densité classiques (autre que la loi normale)
loi normale
Loi normale centrée réduiteLoi normale généraleLa loi normale comme limite en loiQuelques lois classiques dérivées de la loi normale : χ2, Student, Fisher-Snedecor
Concentration autour de la moyenne
Dans l’intervalle [m − σ,m + σ] de longueur 2σ et centré autourde la moyenne, on peut calculer qu’il y a 68% des individus,lorsque qu’une v.a. suit une loi N (m, σ) :
P[m − σ ≤ X ≤ m + σ] = 0.68
On établit aussi que 95% d’un échantillon représentatif d’une loinormale N (m, σ) est approximativement situé entre m − 2σ etm + 2σ. Plus exactement,
P[m − 1.96σ ≤ X ≤ m + 1.96σ] = 0.95
et on a mème 99,7% des individus entre m − 3σ et m + 3σ :
P[m − 3σ ≤ X ≤ m + 3σ] = 0.997
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Concentration autour de la moyenne
Dans l’intervalle [m − σ,m + σ] de longueur 2σ et centré autourde la moyenne, on peut calculer qu’il y a 68% des individus,lorsque qu’une v.a. suit une loi N (m, σ) :
P[m − σ ≤ X ≤ m + σ] = 0.68
On établit aussi que 95% d’un échantillon représentatif d’une loinormale N (m, σ) est approximativement situé entre m − 2σ etm + 2σ. Plus exactement,
P[m − 1.96σ ≤ X ≤ m + 1.96σ] = 0.95
et on a mème 99,7% des individus entre m − 3σ et m + 3σ :
P[m − 3σ ≤ X ≤ m + 3σ] = 0.997
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Loi d’une v.a continueLois à densité classiques (autre que la loi normale)
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Concentration autour de la moyenne
Autrement dit, lorsque l’on a une variable aléatoire qui suit uneloi normale N (m, σ), on est "pratiquement sûr" que la valeur sesituera entre m − 3σ et m + 3σ.
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Concentration autour de la moyenne
Autrement dit, lorsque l’on a une variable aléatoire qui suit uneloi normale N (m, σ), on est "pratiquement sûr" que la valeur sesituera entre m − 3σ et m + 3σ.
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La loi normale comme limite en loi
Proposition
Soit Sn binomiale B(n; p) et U ∼ N (0; 1). On a :
Sn − np√
npqL−→
n→∞U,
qui peut également s’écrire
SnL−→
n→∞N (np;
√npq).
Dans la pratique, on considère que l’approximation est bonnelorsque n ≥ 30, n · p ≥ 5 et n · (1− p) > 5
p ne doit donc pas être trop proche de 0 ou de 1.
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Loi normale centrée réduiteLoi normale généraleLa loi normale comme limite en loiQuelques lois classiques dérivées de la loi normale : χ2, Student, Fisher-Snedecor
La loi normale comme limite en loi
Cette propriété est une conséquence du Théoréme centrallimite que l’on abordera au chapitre suivant.Ne pas confondre l’approximation de la loi de poisson parune binomiale et celle de la loi normale ! ! !
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Loi d’une v.a continueLois à densité classiques (autre que la loi normale)
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Loi normale centrée réduiteLoi normale généraleLa loi normale comme limite en loiQuelques lois classiques dérivées de la loi normale : χ2, Student, Fisher-Snedecor
La loi normale comme limite en loi
Cette propriété est une conséquence du Théoréme centrallimite que l’on abordera au chapitre suivant.Ne pas confondre l’approximation de la loi de poisson parune binomiale et celle de la loi normale ! ! !
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Loi normale centrée réduiteLoi normale généraleLa loi normale comme limite en loiQuelques lois classiques dérivées de la loi normale : χ2, Student, Fisher-Snedecor
Loi du Khi-deux
DefinitionSoient X1, ...,Xn des v.a indépendantes de même loi N (0,1).Posons
Z =∑
i=1...n
X 2i ,
par définition la v.a. Z suit une loi du khi-deux à n degré(s) deliberté (abréviation d.d.l.). On la note χ2(n).
Quelques Propriétés :- Z ≥ 0, cette loi n’est donc pas symétrique,- Z admet une densité,- E(Z ) = n et Var(Z ) = 2n
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Loi du Khi-deux
DefinitionSoient X1, ...,Xn des v.a indépendantes de même loi N (0,1).Posons
Z =∑
i=1...n
X 2i ,
par définition la v.a. Z suit une loi du khi-deux à n degré(s) deliberté (abréviation d.d.l.). On la note χ2(n).
Quelques Propriétés :- Z ≥ 0, cette loi n’est donc pas symétrique,- Z admet une densité,- E(Z ) = n et Var(Z ) = 2n
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Allure de la densité d’un χ2
FIGURE: Densité de la loi χ2(k).
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Loi de Student
Definition
Soient X ∼ N (0,1) et Y ∼ χ2(n). Posons T = X√Y/n
. Alors T
suit une loi de Student à n degré de liberté et on la note T (n)ou Student(k)
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Allure de la densité de Student
FIGURE: Densité de la loi de Student(n).
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Loi de Fisher-Snedecor
DefinitionSoient X et Y deux variables aléatoires indépendantes tellesque X ∼ χ2(n) et Y ∼ χ2(m). Alors, on dit que la variable
Z =XnYm
suit une loi de Fisher-Snedecor(n,m). On la note F(n,m)
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Loi d’une v.a continueLois à densité classiques (autre que la loi normale)
loi normale
Loi normale centrée réduiteLoi normale généraleLa loi normale comme limite en loiQuelques lois classiques dérivées de la loi normale : χ2, Student, Fisher-Snedecor
Allure de la densité de Fisher-Snedecor
FIGURE: Densité de la loi de Fisher-Snedecor F(d1,d2).
Clément Rau Cours 2: Variables aléatoires continues, loi normale
Loi d’une v.a continueLois à densité classiques (autre que la loi normale)
loi normale
Loi normale centrée réduiteLoi normale généraleLa loi normale comme limite en loiQuelques lois classiques dérivées de la loi normale : χ2, Student, Fisher-Snedecor
Ces trois derniéres lois seront utiles dans la théorie des tests.L’expression explicite des densités de ces lois n’est pas àconnaître (sauf pour la loi normale). Des tables statistiques etdes logiciels permettent de les manipuler.
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Loi d’une v.a continueLois à densité classiques (autre que la loi normale)
loi normale
Loi normale centrée réduiteLoi normale généraleLa loi normale comme limite en loiQuelques lois classiques dérivées de la loi normale : χ2, Student, Fisher-Snedecor
Ces trois derniéres lois seront utiles dans la théorie des tests.L’expression explicite des densités de ces lois n’est pas àconnaître (sauf pour la loi normale). Des tables statistiques etdes logiciels permettent de les manipuler.
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