logistique pert mpm gant : cours de plannification 0

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FACULTE DES SCIENCES ECONOMIQUES, SOCIALES ET DE GESTION DE REIMS

INSTITUT REMOIS DE GESTION

Seconde année de Master Management

Cours de Monsieur GAIGNETTE

année universitair e 2009 -20 l0

RECHERCHE OPERATIONNELLE / METHODES D'AIDE A LA DECISION

Support de cours numéro 0

RAPPELS : ELEMENTS DE LA THBORIE DES GRAPHES

Section I - Notion de base en théorie des graphes. .............3I.1 - Graphes orientés ......................3I.2-Entrée, sortie, boucle, chemin, circuit, etc ........... .......3I.2 - Graphes non orientés..... ...........5

Section II -Les différentes représentations d'un graphe orienté ..........5II.1 - Représentation sagittale ..........6II.2- Présentation algébrique ............6II.3 - Matrice booléenne. ..................6II.4 - Dictionnaire des suivants .....-......... ..........7II.5 - Dictionnaire des précéden1s............... .......7

Section III - Niveaux ou rangs des sommets d'un graphe orienté

10Série d'exercices

Université de Reims - Faculté des Sciences Economiques, Sociales et de Gestion - Antonin Gaignette

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ELEMENTS DE LA THEORIE DES GRAPHES

Commençons par un exemple introductif : un agent commercial part de Paris pour vendre desproduits à des magasins situés dans trois villes de Province. I1 connaît la durée approximativedes déplacements entre les villes (en heures) et cherche dans quel ordre il doit les visiter afinde perdre le moins de temps possible.

On peut représenter le problème sous la forme d'un schéma formé de points, appelés sommets,et de flèches, dénommées arcs.

fu,r*r*hoh- ç,,[tA"I'

La durée du trajet << aller > peut différer de celle du << retour >> en raison de travaux, etc. Leslongueurs des flèches ne sont pas proportionnelles au temps.

Il est possible de représenter le problème de façon matricielle (lecture dans le sens ( colonne

- ligne >) :

Toute une série de problèmes peut se représenter ainsi par un schéma formé de points réunispar des segments orientés ou non. La résolution de ces problèmes (problèmes de circulationdans un réseau ou problèmes de traitement complexe d'opérations successives) a conduit àl'élaboration d'une théorie mathématique spécifique dans le cadre de la rechercheopérationnelle : la théorie des graphes. C'est I'ensemble constitué des points et des segmentsque I'on appelle un graphe.

Le concept de graphe permet de schématiser les liaisons, les possibilités de communication etles relations d'ordre d'une structure. Il offre en plus la possibilité d'en étudier l'évolution.

P A B C

P 0 5 4 2

A 4 0 2 3

B 4 2 0 2

C 1 3 3 0


t

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Section I - Notion de base en théorie des graphes

I.1 - Graphes orientés

Un graplre orienté est défini par la connaissance de deux ensembles : 'o le premier est constitué d'éléments appelés sommets,o le second est composé d'arcs, un axc étant un couple orienté de sommets.

Soit G un graphe. On note G : (X, Y), X étant I'ensemble des sommets et Y celui des arcs.Ainsi, si:

o X: (4, B, C, D, E)o y:(A-A; A-B; B-C; C-C; C-B; C-D; C-E; D-D; D-E)

Il est possible de représenter le graphe G: (X, 9 de la manière suivante :

/

At\l_)

['\ /'\\\/)\,r --z ,_,(

U- +=-r

Dans cet exemple, I'arc A-B a pour origine le sommet A et pour extrémité le sommet B. Ondit aussi que B est un suivant (ou successeur) de A et que A est un précédent (ou antécédent)de B. r."_rclr*Ëe^c *F

7r_*7",.,

I.2 - Entrée. sortie. boucle. chemin" circuit. etc ...

Un sommet est une entrée (une racine) s'il ne possède pas de précédent. Dans l'exemple ci-dessus, le sommet A est une entrée.

Un sommet est une sortie s'il ne possède pas de suivant. Toujours dans le même exemple, lesommet E est une sortie.

Une boucle est un arc dont les extrémités sont confondues. Les arcs A-A, C-C et D-D sont desboucles.

Un chemin est une succession d'arcs (ou une suite de sommets) tels que I'extrémité de chacuncoihcide avec I'origine du suivant. Ainsi, A-A-B-C-E est un chemin.

f6 - nelli s

On définit comme antérieurs d'un sommet tous les sommets qui le précèdent immédiatementou non. Ainsi, toujours dans notre exemple, le sommet D a comme antérieurs les sommets A,B et C puisqu'il est possible d'emprunter le chemin A-B-C-D. Toutefois, seul le sommet C estun précédent de D puisqu'il le précède immédiatement.

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Un circuit est un chemin tel que I'origine du premier arc coihcide avec I'extrémité du dernier.Autrement dit, un circuit est un chemin qui revient à son point de départ. Le chemin C-B-Cest un circuit.

Un chemin simple est un chemin qui ne passe pas plus d'une fois par ihaque arc ; A-A-B-C-Best un chemin simple.

Un chemin élémentaire est un chemin qui ne passe pas plus d'une fois par chaque sommet; A-B-C est un chemin élémentaire.

Un graphe connexe est un graphe dont les sommets sont tels qu'il existe un chemin les relianttous ; A-A-B-C-D-E par exemple.

Un chemin hamiltonien est un chemin qui passe une fois et une seule par chaque sommet dugraphe ; A-B-C-D-E par exemple.

Un chemin eulérien est un chemin qui passe une fois et une seule par chaque arc ; il n'y en apas dans notre exemple.

Un graphe partiel G'd'un graphe G: (X, Y) est un graphe dont les sommets sont ceux de G etdont I'ensemble des arcs est inclus dans Y.

G': (X', y') avec y'<y

j)Un sous-graphe G' dlun graphe G : (X, Y) est un graphe dont I'ensemble des sommets estinclus dans X et dont les arcs, ou arêtes, sont ceux dont les extrémités se trouvent dans X'.

G': (X', y') avec X'<X

-(\

/ \lA rcUUUn arbre est un graphe connexe sans circuit. Notre exemple est un arbre. Un arbre à nsommets aura donc (n - 1) arcs.

B

t

\ \c

U


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Une arborescence est un graphe orienté dont chaque sommet est I'exfiémité d'au plus un arc. Ilpossède donc toujours un sommet sans précédent, autrement dit une entrée, et il existe, poutout sommet, un chemin unique reliant I'entrée à ce sommet.

"'-t IDJ ,/\GH

EF/\/r

I.2 - Graphes non orientés

On parle de graphe non orienté lorsque le graphe n'est pas fléché. Cela signifie que le lienentre deux sommets traduit un phénomène concret où les deux sens sont possiblessystématiquement et les flèches n'ont plus de sens.

,.-\' /'\

/ \ /

),L:Dans un graphe non orienté, le couple A-B n'est plus appelé un arc mais une arête.

Une chaîne est une suite de sommets. On parlait de chemins dans les graphes orientés.

Un cycle est une chaîne fermée. On parlait de circuit dans les graphes orientés.

*-'

\

Section II - Les différentes renrésentations d'un graphe orienté

Il existe différente manière de représenter un graphe orienté :

o représentationsagittale,o présentationalgébrique,o matriciellebooléenne.

La présentation matricielle permet d'établir deux autres représentations :

o présentation par le dictionnaire des suivants,o présentation par le dictionnaire des précédents.

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II.1 - Représentation sagittale

Tout graphe peut être représenté par un ensemble de sommets reliés entre eux par des arcsfléchés. La disposition des sommets dans le plan peut être quelconque ainsi qor lu longueurdes arcs. Prenons l'exemple représenté sous forme du dessin suivant :

A ---------------+ B

C'est ce que l'on nomme la représentation sagittale.

II.2 - Présentation algebrique

Fournir la présentation d'un graphe sous sa forme algébrique G : (X, Y) revient à identifierses sommets X et ses arcs Y.Ainsi, dans l'exemple précédent:

o X: (A, B, C, D, E, F)o Y: (A-B ; B-C ; B-D ; C-E ; D-E ;E-F ;F-D ; F-A)

II.3 - Matrice booléenne

Un graphe peut également être représenté à I'aide d'une matrice booléenne. Chaque case de lamatrice est associée à un arc dans l'ordre < départ - arrivée >>. Si I'arc existe, on note ( 1 >,s'il n'existe pas, on note ( 0 >.

Il est très facile à partir de cette matrice de construire le dictionnaire des suivants et ledictionnaire des précédents.

\_._..-_--------.---}

A B C D E F

A 0 I 0 0 0 0

B 0 0 I I 0 0

C 0 0 0 0 I 0

D 0 0 0 0 I 0

E 0 0 0 0 0 I

F I 0 0 I 0 0


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II.4 - Dictionnaire des zuivants

Pour chaque sommet du graphe, le dictionnaire des suivants dresse la liste de ses suivants.Dans notre exemple, le dictionnaire des suivants est :

II.5 - Dictionnaire des précédents

Pour chaque sommet du graphe, le dictionnaire des précédentsprécédents. Dans notre exemple, le dictionnaire des précédents est :

dresse la liste de ses

Section III - Niveaux ou rangs des sommets d'un graphe orienté sanscircuit

Considérons un graphe G sans circuit. Pour en obtenir une représentation plus lisible, il estsouhaitable de la tracer en dirigeant toutes les flèches dans le même sens, en général degauche à droite. Cela est possible puisque le graphe est supposé sans circuit. Pour ce faire, onplacera d'abord les sommets sans précédent. Par définition, ces sommets sont affectés duniveau 0. Les sommets de niveau I sont ceux dont les précédents ont été affectés du niveau 0,etc.

Le classement par niveaux des sommets d'un graphe orienté sans circuit permetl'ordonnancement de ces sommets et facilite la construction du graphe.

Pratiquement, pour déterminer le niveau (ou rang) de tous les sommets du graphe G, on suiwales étapes suivantes :

1. déterminer le dictionnaire des précédents du graphe G ;2. relever tous les sommets sans précédent : ils ont pour niveau 0 ;


t__

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considérer le dictionnaire des précédents obtenu à partir de celui de G ensupprimant (dans les deux colonnes) tous les sommets de niveau 0 ; on obtientle dictionnaire d'un sous-graphe G' ;

relever tous les sommets de G', sans précédent : ils ont pour niveau I ;supprimer dans le dictionnaire des précédents de GÎ, tous les sommets deniveau 1, etc.

Ce processus a une fin puisqu'un graphe a un nombre fini de points et puisqu'il n'y a pas decircuit.

Pour gagner du temps, lorsque I'algorithme est bien compris, on travaille sur un seuldictionnaire des précédents (celui de G) dans lequel on barre les sommets au fur et à mesureque leur niveau est déterminé.

Exemple d'application : on part du dictionnaire des précédents suivant.

Il y a deux sommets sans précédents : les sommets 3 et 5. On leur affecte le niveau 0.On reconstruit maintenant le dictionnaire des précédents en supprimant les sommets 3 et 5.

3.

4.5.

Il y a un sommet sans précédents :

le dictionnaire des précédents en lele sommet 6. On lui affecte le niveausupprimant.

I et l'on reconstruit

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Il y a deux sommets sans précédents : les sommets 4 et 7. On leur affecte le niveau 2 etl'onreconstruit le dictionnaire des précédents en les supprimant.

Il y a un sommet sans précédents : le sommet 1. On lui affecte le niveau 3 et I'on reconstruitle dictionnaire des précédents en le supprimant.

On affecte au sommet 2lenivear4.

En résumé :

o niveau 0o niveau Io niveau2o niveau 3o niveau 4

sommets 3 et 5sommet 6sommets 4 et7sommet Isommet 2

Pour tracer la représentation sagittale, ilniveaux croissants, puis d'indiquer lesprécédents.

suffit de placer les sommets de gauche à droite pararcs du graphe en utilisant le dictionnaire des

N4N3N2N1No

On pourra vérifier que le niveau d'un sommet est égal au nombre maximum d'arcs que I'onpeut trouver sur un chemin joignant un sommet de niveau 0 à ce sommet.Ainsi, le sommet 4 a pour niveau 2 et on voit aisément que le chemin 5-6-4 comporte deuxarcs et qu'iln'y a pas de chemin partant d'un sommet de niveau 0 et aboutissant au sommet 4qui comporte plus de deux arcs.


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Série d'exercices

Exercice numéro I

Soit les sommets d'un graphe valué dont on connaît les sommets antérieurs :

2,4,8,9

2,3,5

Les arcs sont affectés des valeurs suivantes :

l) Construire le dictionnaire des précédents.

2) Ordonnancer en niveaux.

3) Dessiner la représentation sagittale.

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Exercice numéro 2

l) Ordonnancezpar niveaux le graphe dont vous avezle dictionnaire des antérieurs et donnez-en une représentation sagittale.'

2) Même question en ne retenant cette fois ci que les précédents de chacun des sommets.

D,H,G,J,P

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Exercice numéro I

1) Dictionnaire des précédents :

sommet antérieurs précédents

2 1,3 1,3

3

4 1 I

5 J 3

6 2,4,8,9 8,9

7 2,3,5 2,5

8 1,2,3,4,5 2,4,5

I lr4 4

l0 7,8,9 7,8,9

2 et 4 sont anterieurs à 84 est antérieur à 9

3 est antérieur à2 et5

I et 3 sont antérieurs à23 est anterieur à 5

I estantérieur à4

2) Ordonnancement en niveaux

Les sommets I et 3 sont sans précédent ; on leur affecte le niveau 0.

On réécrit le dictionnaire des précédents en supprimant les sommets 1 et 3.

Les sommets 2, 4 et 5 sont sans précédent ; on leur affecte le niveau 1.

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On réécrit le dictionnaire des précédents en supprimant les sommets 2,4 et 5.

Les sommets 7, 8 et 9 sont sans précédent ; on leur affecte le niveau 2.

On réécrit le dictionnaire des précédents en supprimant les sommets 7,8 et9.

Les sommets 6 et 10 sont sans précédent ; on leur affecte le niveau 3.

3) Représentation sagittale.

No Nr N3N2


r

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Exercice numéro 2

Commengons par déterminer les niveaux de chaque sommet. Les sommets B et M sont sansantérieur ; on leur affecte le niveau 0.

:

On réécrit le dictionnaire des antérieurs en supprimant les sommets B et M.

Les sommets D, F P et Q sont sans antérieur; on leur affecte le niveau 1.

On réécrit le dictionnaire des antérieurs en supprimant les sommets D, F P et Q.

Les sommets G et H sont sans antérieur; on leur affecte le niveau 2.

on réécrit le dictionnaire des antérieurs en supprimant les sommets G et H.

Le sommet J est sans antérieur; on lui affecte le niveau 3.

On réécrit le dictionnaire des antérieurs en supprimant le sommet J.

Le sommet R est sans précédent ; on lui affecte le niveau 4.

D,H,G,J,P


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En résumé :

o niveau 0o niveau 1

o niveau 2o niveau 3

o niveau 4

Représentation sagittale :

No N1

sommets B et Msommets D, F, P et Qsommets'G et Hsommet Jsommet R

N4N3N2

2) Dictionnaire des précédents

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Représentation sagittale :

N1

P

N4N3N2

M G

UniversitÉde Rcime " Faôùltéd€E Sciencos Economique., Ssci"l"r a d" G"rtioo - Aotooio G"ignetæ

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