localisation robuste multi-capteurs et multi-mod`eles

222
´ Ecole Doctorale Sciences et Ing´ enierie epartement : Sciences et Technologies de l’Information et de la Communication N o d’ordre : ....................... TH ` ESE pr ´ esent ´ ee pour obtenir le grade de : Docteur de l’Universit´ e d’Evry Val d’Essonne Mention Traitement du signal et des images par Alexandre NDJENG NDJENG Titre de la th` ese : Localisation robuste multi-capteurs et multi-mod` eles Soutenue le 14/09/2009 devant la commission d’examen compos´ ee de : Patrick RIVES INRIA-Sophia Antipolis Rapporteur Roland CHAPUIS LASMEA - Univ. B.P. de Clermont Ferrand Rapporteur Vincent NIMIER ONERA - Chˆatillon Examinateur Fawzi NASHASHIBI ENSMP - Paris Examinateur Denis GINGRAS IMSI - Universit´ e de Sherbrooke Examinateur Dominique GRUYER INRETS/LIVIC-Versailles Co-encadrant ebastien GLASER LCPC/LIVIC-Versailles Co-encadrant Didier AUBERT INRETS - LIVIC-Versailles Directeur de th` ese Laboratoire sur les Interactions V´ ehicule-Infrastructures-Conducteur UMR INRETS/LCPC

Upload: others

Post on 01-Mar-2022

5 views

Category:

Documents


0 download

TRANSCRIPT

Page 1: Localisation robuste multi-capteurs et multi-mod`eles

Ecole DoctoraleSciences et Ingenierie

Departement : Sciences et Technologies

de l’Information et de la Communication

No d’ordre : .......................

THESE

presentee pour obtenir le grade de :

Docteur de l’Universite d’Evry Val d’Essonne

Mention Traitement du signal et des images

par

Alexandre NDJENG NDJENG

Titre de la these :

Localisation robustemulti-capteurs et multi-modeles

Soutenue le 14/09/2009 devant la commission d’examen composee de :

Patrick RIVES INRIA-Sophia Antipolis RapporteurRoland CHAPUIS LASMEA - Univ. B.P. de Clermont Ferrand RapporteurVincent NIMIER ONERA - Chatillon ExaminateurFawzi NASHASHIBI ENSMP - Paris ExaminateurDenis GINGRAS IMSI - Universite de Sherbrooke ExaminateurDominique GRUYER INRETS/LIVIC-Versailles Co-encadrantSebastien GLASER LCPC/LIVIC-Versailles Co-encadrantDidier AUBERT INRETS - LIVIC-Versailles Directeur de these

Laboratoire sur les Interactions Vehicule-Infrastructures-ConducteurUMR INRETS/LCPC

Page 2: Localisation robuste multi-capteurs et multi-mod`eles
Page 3: Localisation robuste multi-capteurs et multi-mod`eles

A mon Pere, a ma Mere et Marthe Aline

Page 4: Localisation robuste multi-capteurs et multi-mod`eles
Page 5: Localisation robuste multi-capteurs et multi-mod`eles

Remerciements

Au moment ou je redige cette partie, la reconnaissance prend en moi tout son sensde sentiment le plus profond de la nature humaine. En effet, je ne saurai jamais remer-cier assez tous ceux qui, de pres ou de loin, m’ont accompagne dans ce long et difficile,mais passionnant parcours du doctorat. Mon encadrement, ma famille et mes amis, m’ontconstamment encourage, soutenu et rendu l’espoir de continuer lorsque j’en perdais lacapacite. Surtout, ils ont supporte et sans rancoeur mes humeurs, tout en se rejouissantde tous mes succes. Pour leur generosite, leur patience et leurs conseils sages, je leur doistoute ma reconnaissance. La liste des personnes que je voudrais remercier est tres longuepour les quelques lignes dont je dispose. De plus mon habilete a manier les mots est tropfaible pour pouvoir exprimer toute ma gratitude. Toutefois je tiens a exprimer ma recon-naissance :

– au Laboratoire sur les Interactions Vehicule-Infrastructures-Conducteur (LIVIC) etl’ecole doctorale Science & Ingenierie de l’universite d’Evry Val d’Essonne, pouravoir rendu possible l’accomplissement de ce grand reve que fut pour moi le docto-rat ;

– a M. Didier Aubert, directeur de recherche au LIVIC, M. Dominique Gruyer et M.Sebastien Glaser, tous deux charges de recherche au LIVIC, pour m’avoir encadredurant ces trois dernieres annees ; leur guide et leur disponibilite ont ete tres effi-caces, me permettant developper une grande autonomie ;

– a M. Patrick Rives, directeur de recherche a l’INRIA et M. Roland Chapuis, Pro-fesseur a l’universite Blaise Pascal, pour l’attention qu’ils ont portee a ce travail, enme faisant l’honneur d’etre mes rapporteurs de these ;

– a M. Denis Gringras, professeur a l’Universite de Sherbrooke, M. Fawzi Nashashibi,ingenieur de recherche a l’ENSMP et M. Vincent Nimier, ingenieur de recherche al’ONERA, pour avoir accepte de participer au jury, et pour leur critiques construc-tives sur mon manuscrit et son contenu ;

i

Page 6: Localisation robuste multi-capteurs et multi-mod`eles

Remerciements

– a M. Saıd Mammar, Professeur a l’Universite d’Evry-Val d’Essonne, pour l’interetqu’il a manifeste pour cette these et ses excellentes suggestions ;

– a tout le personnel du LIVIC pour les discussions et les remarques utiles sur montravail, et en particulier M. Jacques Erlich, directeur du laboratoire ;

– a M. Alain Lambert, enseignant-chercheur a l’universite de Paris XI Orsay, pour sesprecieux conseils, et pour m’avoir fait gagner en confiance quant a notre raisonne-ment ;

– a ma famille : Jean-Pierre, Esther, Ruben, Marcelline, Pierre, Pierre Loti, Chantale,Maximilien, Anicet, Victorien, pour ce que j’ai de plus cher : l’amour qu’elle ne selasse de me temoigner quoique separes par des milliers de kilometres ;

– a Grace Adeline, pour son soutien inconditionnel, et sa grande capacite a me redon-ner espoir lorsque je suis au bord du decouragement ;

A toutes ces personnes et a beaucoup d’autres, dont les noms ne figurent pas sur cetteliste restreinte, un grand merci.

ii

Page 7: Localisation robuste multi-capteurs et multi-mod`eles
Page 8: Localisation robuste multi-capteurs et multi-mod`eles

Table des matieres

Remerciements ii

Table des matieres iv

Table des figures xi

Resume 1

1 Introduction generale 31.1 Contexte Generale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2 Module de localisation pour l’aide a la conduite . . . . . . . . . . . . . . . 51.3 Situation dans le contexte et plan de la these . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2 La localisation de vehicules routiers : etat de l’art 92.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.2 Systemes de positionnement par satellites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.2.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.2.2 Description des systemes de positionnement par satellites . . . . . . 10

2.2.2.1 GPS NAVSTAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.2.2.2 GLONASS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.2.2.3 GALILEO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.2.3 Principe du positionnement par satellites . . . . . . . . . . . . . . . 112.2.3.1 Positionnement absolu par satellites . . . . . . . . . . . . 112.2.3.2 Positionnement relatif par satellites . . . . . . . . . . . . . 122.2.3.3 Positionnement par mesure de phase . . . . . . . . . . . . 12

2.2.4 Erreurs du systeme GPS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.2.4.1 Erreurs dues a la geometrie des satellites . . . . . . . . . . 132.2.4.2 Erreurs dues a la refraction dans l’atmosphere . . . . . . . 142.2.4.3 Erreurs dues aux trajets multiples . . . . . . . . . . . . . 15

v

Page 9: Localisation robuste multi-capteurs et multi-mod`eles

Table des matieres Table des matieres

2.2.5 Systemes SBAS et GNSS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.3 Localisation a base de capteurs proprioceptifs . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.3.2 La localisation inertielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.3.2.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.3.2.2 Principe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.3.2.3 Reperes et coordonnees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.3.2.4 Capteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.3.2.5 Avantages et inconvenients . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.3.3 L’odometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242.3.3.1 Definition et principe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242.3.3.2 Modele odometrique de type tricycle du vehicule routier . 242.3.3.3 Avantages et inconvenients de l’odometrie . . . . . . . . . 25

2.4 Approches d’hybridation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262.5 Algorithmes de fusion pour la localisation hybride . . . . . . . . . . . . . . 27

2.5.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272.5.2 Le filtrage de Kalman . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.5.2.1 Presentation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272.5.2.2 Implantation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292.5.2.3 Remarques et conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.5.3 Filtre de Kalman etendu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292.5.3.1 Presentation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292.5.3.2 Implantation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302.5.3.3 Remarques et conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.5.4 Filtre de Kalman inodore (UKF) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312.5.4.1 Fondement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312.5.4.2 Implantation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322.5.4.3 Remarque et conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.5.5 Filtre DD1 & DD2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342.5.5.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342.5.5.2 L’interpolation de Stirling . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342.5.5.3 Implantation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342.5.5.4 Remarques et conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

2.5.6 Filtre a particules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362.5.6.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362.5.6.2 Implantation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362.5.6.3 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

2.6 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

3 Fusion hybride multi-modeles 393.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393.2 Estimation multi-modeles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

3.2.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403.2.2 Position du probleme et formulation de l’approche . . . . . . . . . . 413.2.3 Methodes d’estimation multi-modeles . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

3.2.3.1 Estimation multi-modeles par commutation . . . . . . . . 423.2.3.2 Estimation par detection multi-modeles . . . . . . . . . . 443.2.3.3 Estimation par fusion de modeles . . . . . . . . . . . . . . 44

vi

Page 10: Localisation robuste multi-capteurs et multi-mod`eles

Table des matieres Table des matieres

3.2.3.4 Estimation par test multi-hypotheses . . . . . . . . . . . . 473.3 Structure de l’algorithme IMM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

3.3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 493.3.2 Formulation et implantation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

3.3.2.1 L’interaction : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 503.3.2.2 Le filtrage specifique : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 513.3.2.3 Le calcul des vraisemblances et mise a jour des probabilites : 513.3.2.4 L’estimation d’etat global ou Fusion : . . . . . . . . . . . . 51

3.3.3 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 513.4 Application de l’IMM en localisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

3.4.1 Modeles cinematiques du vehicule routier . . . . . . . . . . . . . . . 523.4.1.1 Systemes a temps continu . . . . . . . . . . . . . . . . . . 523.4.1.2 Systemes a temps discret . . . . . . . . . . . . . . . . . . 553.4.1.3 Derivation de la matrice de bruit systeme . . . . . . . . . 553.4.1.4 Expression des modeles d’evolution . . . . . . . . . . . . . 56

3.4.2 Criteres d’activation des modeles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 613.4.2.1 Zones d’activations des modeles . . . . . . . . . . . . . . . 613.4.2.2 Detection de la marche arriere . . . . . . . . . . . . . . . . 613.4.2.3 Expression de la variance des modeles . . . . . . . . . . . 633.4.2.4 Matrice de transition de Markov . . . . . . . . . . . . . . 64

3.4.3 Modele de mesure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 653.4.4 Resultats experimentaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

3.4.4.1 Scenario 1 : cercle pur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 663.4.4.2 Scenario 2 : Ligne droite, Stop&Go et marche arriere . . . 693.4.4.3 Scenario 3 : aller-retour-aller sur piste reelle . . . . . . . . 71

3.4.5 Limites de l’approche IMM classique en localisation . . . . . . . . . 743.4.5.1 Scenario 4 : manoeuvres de parking . . . . . . . . . . . . . 743.4.5.2 Scenario 5 : Masquage du GPS . . . . . . . . . . . . . . . 77

3.5 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

4 Nouvelle approche de mise a jour des vraisem-

blances dans l’IMM 814.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 814.2 Modelisation du systeme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

4.2.1 Modes et modeles d’evolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 834.2.2 Modeles de comportements de capteurs proprioceptifs . . . . . . . . 83

4.2.2.1 Sous-modeles de comportement centres en 0 : d0 = 0 . . . 854.2.2.2 Sous-modeles de comportement pour |dm| ≈ 0 . . . . . . . 854.2.2.3 Sous-modeles de comportement pour |dm| >> 0 . . . . . . 86

4.2.3 Influence du parametre α . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 874.2.4 Representation d’etat des modeles contraints . . . . . . . . . . . . . 90

4.3 Calcul des vraisemblances . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 944.3.1 Les modeles de mesure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 944.3.2 Vraisemblances des modeles d’evolution contraints . . . . . . . . . . 954.3.3 Strategie de fusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

4.4 Application a la localisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1034.4.1 Scenario 4 : manoeuvres de parking avec des capteurs asynchrones . 104

vii

Page 11: Localisation robuste multi-capteurs et multi-mod`eles

Table des matieres Table des matieres

4.4.2 Scenario 5 : masquage GPS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1074.5 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

5 Correction des mesures de capteurs propriocep-

tifs 1115.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1115.2 Debruitage des capteurs proprioceptifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

5.2.1 Limites de l’analyse de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1125.2.1.1 Approche usuelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1125.2.1.2 Analyse de Fourier a fenetres (ou a court terme) . . . . . 112

5.2.2 L’analyse par Ondelettes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1135.2.2.1 Bref historique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1135.2.2.2 Principe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1145.2.2.3 Implantation : transformee discrete . . . . . . . . . . . . . 117

5.2.3 Extraction du bruit par seuillage de coefficients d’ondelettes . . . . 1185.2.3.1 Representation par coefficients d’ondelettes . . . . . . . . 1205.2.3.2 Approche de seuillage des coefficients d’ondelettes . . . . . 1205.2.3.3 Application au debruitage de signaux en post-traitement . 1225.2.3.4 Approche de debruitage en ligne . . . . . . . . . . . . . . 126

5.3 Autres sources d’erreurs et corrections . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1305.3.1 Correction du biais des capteurs inertiels . . . . . . . . . . . . . . . 1335.3.2 Influence de l’angle de devers de la chaussee . . . . . . . . . . . . . 1375.3.3 Amelioration de l’hybridation IMU/Odometrie : scenario 6 . . . . . 141

5.4 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

6 Protocole de comparaison des approches de loca-

lisation et applications 1456.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1456.2 Mesure de la performance d’un estimateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

6.2.1 Mesures de la precision . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1476.2.1.1 L’erreur quadratique moyenne RMSE . . . . . . . . . . . 1476.2.1.2 L’erreur euclidienne moyenne AEE . . . . . . . . . . . . . 1476.2.1.3 L’erreur geometrique moyenne GAE . . . . . . . . . . . . 148

6.2.2 Consistance d’un estimateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1506.2.2.1 Variables aleatoires suivant une loi du χ2 (ou Khi-deux) . 1506.2.2.2 Construction d’un intervalle de confiance par la loi χ2 . . 1516.2.2.3 Definition et tests statistiques pour la consistance de filtres 151

6.2.3 Etude de la credibilite d’un estimateur . . . . . . . . . . . . . . . . 1546.2.3.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1546.2.3.2 Critere de la NEES moyenne ou ANEES . . . . . . . . . . 1546.2.3.3 Indice de Non-Credibilite . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155

6.2.4 Contenu en information et incertitude de l’estimation . . . . . . . . 1566.2.5 Robustesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158

6.2.5.1 Generalites sur la robustesse . . . . . . . . . . . . . . . . . 1586.2.5.2 Definition et evaluation de la robustesse . . . . . . . . . . 158

6.3 Simulations Monte Carlo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158

viii

Page 12: Localisation robuste multi-capteurs et multi-mod`eles

Table des matieres Table des matieres

6.3.1 Description du scenario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1586.3.2 Resultats et discussions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160

6.3.2.1 Scenario 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1606.4 Tests sur pistes reelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170

6.4.1 Description des scenarios de tests . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1706.4.2 Ressources embarquees sur vehicule et architecture . . . . . . . . . 1726.4.3 Reglage des filtres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172

6.5 Resultats et discussions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1746.5.1 Scenario 8 : Stop&Go . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1746.5.2 Scenario 9 : masquage GPS et simulation de tunnels . . . . . . . . . 1766.5.3 Scenario 10 : piste routiere avec sauts GPS . . . . . . . . . . . . . . 181

6.6 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185

7 Conclusion generale et perspectives 187

Bibliographie 191

Annexes 197Annexe A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199Annexe B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201Annexe C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202

Publications de l’auteur 204

ix

Page 13: Localisation robuste multi-capteurs et multi-mod`eles

Table des figures

2.1 Constellation de satellites NAVSTAR du systeme GPS . . . . . . . . . . . . . . . . 102.2 Principe de la triangulation a partir de satellites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.3 Calcul des coordonnees du recepteur. Source : D. Gruyer, cours Master Universte d’Evry 132.4 IMU a plate-forme stabilisee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.5 Principe d’une centrale inertielle a plate-forme stabilisee . . . . . . . . . . . . . . . 182.6 Principe d’une centrale inertielle strap-down . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.7 Reperes inertiel (I), ECEF (e) et de navigation (n) . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.8 Reperes lie ou mobile (m) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.9 L’effet Sagnac. La ligne interrompue est le chemin pris par le faisceau qui parcourt

la fibre dans le sens de rotation. La ligne continue est le faisceau voyageant contre la

rotation. θ est l’angle par lequel le gyroscope tourne tandis que les faisceaux effectuent

leurs parcours. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.10 Modele cinematique de type tricycle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.11 Algorithme recursif du filtre de Kalman . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282.12 Principe de la transformation SUT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312.13 Principe de conversion des donnees de l’espace polaire vers l’espace cartesien, pour EKF

et UKF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

3.1 Decomposition de l’espace de fonctionnement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413.2 Estimation multi-modeles par commutation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 433.3 Estimation par fusion multi-modeles : 2 modeles dans cet exemple . . . . . . . . . . . 453.4 Schema de l’approche d’estimation par Test Multi-Hypotheses . . . . . . . . . . . . . 473.5 Structure de l’algorithme IMM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 503.6 Schema d’activation des modeles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 623.7 Variance du modele CV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 633.8 Variance du modele CA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 633.9 Variance du modele CS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 633.10 Variance du modele CR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 633.11 Variance du modele CT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 643.12 Exemples de transitions illustrant l’equation (3.87) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 653.13 Resultats du positionnement au scenario 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

xi

Page 14: Localisation robuste multi-capteurs et multi-mod`eles

Table des figures Table des figures

3.14 Erreur du positionnement au scenario 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 673.15 Estimation de la vitesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 673.16 probabilites des modeles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 683.17 Enveloppes a 3σ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 683.18 Estimation de la vitesse au scenario 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 693.19 Erreur du positionnement au scenario 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 703.20 Scenario 2 : probabilites des modeles au scenario 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 703.21 Scenario 2 : enveloppes a 3σ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 713.22 Piste de test pour le scenario 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 723.23 Erreur sur les axes X et Y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 723.24 Estimation de la vitesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 733.25 Probabilites des modeles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 733.26 Piste de test : scenario 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 753.27 Vitesse : scenario 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 753.28 Probabilites : scenario 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 763.29 Zoom probabilites (10 1eres secondes) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 763.30 Vitesse simulee : scenario 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 773.31 Vitesse de lacet : scerario 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 783.32 Piste de test : scenario 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 783.33 Probabilites des modeles : scenario 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

4.1 Modele de comportement ideal pour des valeurs non nulles . . . . . . . . . . . . . . 844.2 Modele de comportement ideal d’un capteur pour des valeurs proches de 0 . . . . . . . 844.3 Representation gaussienne pour un sous-modele a 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . 854.4 Calcul de sous-modeles successifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 864.5 Representation gaussienne pour des sous-modeles proches de 0 . . . . . . . . . . . . 874.6 Representation gaussienne pour des sous-modeles de centres eloignes de 0 . . . . . . . 884.7 Distributions pour α = 1, 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 884.8 Distributions pour α = 1, 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 894.9 Distributions pour α = 2, 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 894.10 Distributions pour α = 0, 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 904.11 Distributions pour α = 0, 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 904.12 Distributions pour α = 0, 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 914.13 Differents blocs de la modelisation sous contrainte . . . . . . . . . . . . . . . . . . 964.14 Vraisemblances des modeles de l’IMM dans l’exemple 1 : ici, pas de mise a jour avec des

capteurs proprioceptifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 974.15 Vraisemblances des modeles de l’IMM dans l’exemple 1 : ici, mise a jour par modelisation

sous contraintes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 984.16 Reference et trajectoire sortie par l’IMM : ici, pas de mise a jour avec des capteurs

proprioceptifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 984.17 Reference et trajectoire sortie par l’IMM : mise a jour par modelisation sous contraintes 994.18 Vitesse simulee du vehicule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1004.19 Vraisemblances des modeles de l’IMM dans l’exemple 2 : mises a jour classiques en

utilisant des donnees GPS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1004.20 Vraisemblances des modeles de l’IMM dans l’exemple 2 : mises a jour par modelisation

sous contraintes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1014.21 Vraisemblances des modeles de l’IMM dans l’exemple 3 : pas de mises a jour en cas de

masquage du signal GPS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

xii

Page 15: Localisation robuste multi-capteurs et multi-mod`eles

Table des figures Table des figures

4.22 Vraisemblances des modeles de l’IMM dans l’exemple 3 : mises a jour par modelisation

sous contraintes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1024.23 Algorithme de localisation par approche IMM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1034.24 Probabilites obtenues par l’approche classique : scenario 4 . . . . . . . . . . . . . . 1044.25 Probabilites obtenues a partir de modeles contraints : scenario 4 . . . . . . . . . . . 1054.26 Probabilites obtenues par fusion IMU-Odometre-GPS : scenario 4 . . . . . . . . . . . 1064.27 Estimation de la vitesse par fusion IMU-Odometre-GPS : scenario 4 . . . . . . . . . 1064.28 Probabilites obtenues par fusion IMU-Odometre-GPS : scenario 5 . . . . . . . . . . . 1074.29 Trajectoire generee par l’IMM associant le calcul des probabilites classique et l’utilisation

des modeles contraints : scenario 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

5.1 Exemples d’ondelettes, m represente le nombre de moments nuls . . . . . . . . . . . 1165.2 Algorithme de decomposition en ondelettes de Mallat [Mallat, 1999]. Le vecteur des

coefficients d’endelettes est note cp, dp, dp−1, · · · , d2, d1. p represente la profondeur de

la decomposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1195.3 Geometrie d’un mouvement plan curvilineaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1225.4 Reconstruction de la trajectoire apres debruitage par seuillage d’ondelettes de type Coif-

flet ayant 2, 3 et 4 moments nuls . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1235.5 Erreur de reconstruction de la trajectoire apres debruitage par ondelettes Coifflet . . . . 1245.6 Reconstruction de la trajectoire apres debruitage par seuillage d’ondelettes de type Dau-

bechies ayant 6, 8 et 10 moments nuls . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1245.7 Erreur de reconstruction de la trajectoire apres debruitage Daubechies . . . . . . . . . 1255.8 Reconstruction de la trajectoire apres debruitage par seuillage d’ondelettes de type Symm-

let ayant 4, 6 et 8 moments nuls . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1255.9 Erreur de reconstruction de la trajectoire apres debruitage Symmlet . . . . . . . . . . 1265.10 Reconstruction de la trajectoire apres debruitage par seuillage d’ondelettes de type Symm-

let ayant 8 moments nuls, puis par filtrage passe bas d’ordre 2 (LPF2) avec une frequence

de coupure a 1Hz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1275.11 Erreur de reconstruction de la trajectoire apres debruitage des signaux . . . . . . . . . 1275.12 Debruitage des donnees d’acceleration longitudinale. . . . . . . . . . . . . . . . . . 1285.13 Debruitage des donnees d’acceleration laterale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1285.14 Debruitage des donnees de la vitesse de lacet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1295.15 Debruitage en ligne des donnees d’accelerations acceleration longitudinale . . . . . . . 1315.16 Debruitage en ligne des donnees d’accelerations laterale . . . . . . . . . . . . . . . 1315.17 Debruitage en ligne des donnees de la vitesse de lacet . . . . . . . . . . . . . . . . 1325.18 Positionnement sur une trajectoire complexe simulee avec debruitage en ligne de donnees

d’accelerations et de la vitesse de lacet : ondelettes de type Symmlet ayant 8 moments nuls1325.19 Erreur du positionnement sur la trajectoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1335.20 Representation du biais d’un capteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1345.21 Centrale inertielle MicroStrain 3DM-G . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1355.22 Mesures brutes d’accelerometres et gyroscope de lacet . . . . . . . . . . . . . . . . . 1355.23 Zoom sur la vitesse de lacet brute a l’arret (150 s) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1365.24 Positionnement a partir d’accelerations et vitesse de lacet brutes (equation (5.31) . . . 1365.25 Mesures de capteurs debiaisees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1375.26 Positionnement a partir des mesures debiaisees (equation (5.31) . . . . . . . . . . . 1385.27 Schema de l’angle de devers de la chaussee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1395.28 Corrections de l’acceleration laterale (en haut), de la vitesse de lacet (au milieu) et de

l’angle de braquage des roues (en bas) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140

xiii

Page 16: Localisation robuste multi-capteurs et multi-mod`eles

Table des figures Table des figures

5.29 Positionnement par fusion IMU/Odometre avec et sans prise en compte de l’angle de

devers de la chaussee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1415.30 Amelioration du positionnement par fusion IMU/Odometre . . . . . . . . . . . . . . 142

6.1 AEE vs RMSE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1486.2 AEE vs RMSE vs GAE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1496.3 Densite de probabilite d’une distribution χ2 ayant 5 degres de liberte . . . . . . . . . 1526.4 Ellipse d’incertitude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1576.5 Trajectoire moyenne apres 20 essais Monte Carlo pour le scenario 7 . . . . . . . . . 1606.6 RMSE pour le scenario 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1616.7 AEE pour le scenario 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1616.8 GAE pour le scenario 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1626.9 Axe X (Est) : enveloppe a 2σ et erreur de positionnement pour le scenario 7 . . . . . 1636.10 Axe Y (Nord) : enveloppe a 2σ et erreur de positionnement pour le scenario 7 . . . . . 1636.11 NEES pour le scenario 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1646.12 ANEES pour le scenario 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1656.13 NCI pour le scenario 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1656.14 RMSE pour le scenario 7bis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1666.15 AEE pour le scenario 7bis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1676.16 GAE pour le scenario 7bis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1676.17 Axe X (Est) : enveloppe a 2σ et erreur de positionnement pour le scenario 7bis . . . . 1686.18 Axe Y (Nord) : enveloppe a 2σ et erreur de positionnement pour le scenario 7bis . . . 1686.19 NEES pour le scenario 7bis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1696.20 ANEES pour le scenario 7bis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1696.21 NCI pour le scenario 7bis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1706.22 Scenario 8 : trajectoire sur piste routiere en STOP&GO . . . . . . . . . . . . . . . 1716.23 Vitesse scenario 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1716.24 Scenario 9 : trajectoire sur piste routiere simulant des non linearites dans des tunnels . 1726.25 Scenario 10 : piste de test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1736.26 Scenario 10 : vitesse du vehicule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1736.27 Vehicule experimental CARLA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1756.28 Vehicule experimental : materiel PC embarque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1756.29 Scenario 8 : erreur de positionnement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1776.30 Scenario 8 : enveloppe a 2σ : (a) suivant l’axe Est ; (b) suivant l’axe Nord . . . . . . . 1776.31 NIS scenario 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1786.32 Erreur de positionnement dans le scenario 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1796.33 Ellipses d’incertitude dans le scenario 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1796.34 Erreurs sur les axes Est (au dessus), Nord (milieu) et aires des ellipses d’incertitude

dans le scenario 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1806.35 Erreur de positionnement pour le scenario 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1826.36 Enveloppes a 3σ pour l’IMM : scenario 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1826.37 Enveloppes a 3σ pour le PF : scenario 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1826.38 Enveloppes a 3σ pour l’EKF : scenario 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1836.39 Enveloppes a 3σ pour le DD1 : scenario 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1836.40 Enveloppes a 3σ pour l’UKF : scenario 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1836.41 Enveloppes a 3σ pour le DD2 : scenario 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1836.42 NIS pour le scenario 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184

xiv

Page 17: Localisation robuste multi-capteurs et multi-mod`eles

Resume

De nombreux travaux de recherches sont menes depuis quelques annees dans le but de fournirune solution precise et integre au probleme de la localisation de vehicules routiers. Ces recherchessont en majorite fondees sur la theorie probabiliste de l’estimation. Elles utilisent la fusion multi-capteurs et le filtrage de Kalman mono-modele, au travers de variantes adaptees aux systemesnon lineaires ; l’unique modele complexe etant suppose decrire toute la dynamique du vehicule.Nous proposons dans cette these une approche multi-modeles. Cette etude derive d’une analysemodulaire de la dynamique du vehicule, c’est-a-dire que l’espace d’evolution est pris comme unespace discret : plusieurs modeles simples et dedies chacun a une manoeuvre particuliere sontgeneres, ce qui ameliore la robustesse face aux defauts de modelisation du systeme. Il s’agit d’unevariante de l’algorithme IMM, qui prend en compte l’asynchronisme des capteurs embarquesdans le processus d’estimation de l’etat du vehicule. Pour cela, une nouvelle modelisation souscontraintes est developpee, ce qui permet de mettre a jour la vraisemblance des modeles integresmeme en l’absence de mesures provenant de capteurs exteroceptifs. Toutefois, la performanced’un tel systeme necessite d’utiliser des donnees de bonne qualite. Plusieurs operations sontpresentees, illustrant la correction du biais des capteurs, des bruits de mesures ainsi que la priseen compte de l’angle de devers de la chaussee. La methodologie developpee est validee a traversune comparaison avec les algorithmes de fusion probabilistes EKF, UKF, DD1, DD2 et le filtrageparticulaire. Cette comparaison est fondee sur des mesures courantes de precision et de confiance,puis sur l’utilisation de criteres statistiques de consistance et de credibilite, a partir de scenariossynthetiques et ensuite des donnees reelles.

Mots cles : localisation, fusion de donnees multi-capteurs, IMM, fusion multi-modeles,correction des donnees capteurs, comparaison d’estimateurs, filtrage de Kalman

1

Page 18: Localisation robuste multi-capteurs et multi-mod`eles

Resume

Abstract

Many research works have been devoted in the last years to providing an accurate andhigh integrity solution to the problem outdoor vehicles localization. These research efforts aremainly based on the probability estimation theory. They use multi-sensor fusion approach anda single-model based Kalman filtering, through some variants adapted to nonlinear systems.The single complex model that is used is assumed to describe the dynamics of the vehicle. Werather propose a multiple model approach in this thesis. The presented study derives from amodular analysis of the dynamics of the vehicle, ie the evolution of the vehicle is consideredas a discrete process, which combines several simple models. Each model is dedicated to aparticular manoeuvre of the vehicle. This evolution space discretizing will improves the systemrobustness to modelling defects. Our approach is a variant of the IMM algorithm, which takesinto account the asynchronism of the embedded sensors. In order to achieve this goal, a newsystem constrained modelling is developed, which allows to update the various models likelihoodeven in absence of exteroceptive sensors. However, the performance of such a system requiresthe use of good quality data. Several operations are presented, illustrating the corrections on thesensors bias, measurements noise and taking into account the road bank angle. The developedmethodology is validated through a comparison with the probabilistic fusion algorithms EKF,UKF, DD1, DD2 and particle filtering. This comparison is based on measurements of accuracyand confidence, then the use of statistical consistency and credibility measures, from simulationscenarios and then real data.

Keywords : localization, multi-sensors data fusion, IMM, multiple model estimation, sensordata correction, comparison of estimators, Kalman filtering

A. Ndjeng Ndjeng 2

Page 19: Localisation robuste multi-capteurs et multi-mod`eles

Chapitre 1

Introduction generale

Les vehicules intelligents ont pour mission, d’aider le conducteur a une meilleure compre-hension et interpretation de l’environnement, tout en l’assistant dans la prise de decisions, sanstoutefois le deresponsabiliser. Ces vehicules sont ainsi dotes d’un ensemble de dispositifs quivisent a ameliorer l’activite de conduite, en termes de confort et de securite.

1.1 Contexte Generale

Cette these aborde la problematique de la localisation. Ce theme, depuis quelques annees,recoit une attention particuliere des chercheurs et ingenieurs qui concoivent et developpent dessystemes d’aide a la conduite automobile, notamment dans le cadre de projets de recherche.

Parmi leurs multiples objectifs, les projets europeens CVIS1 et SafeSpot2 visent a ameliorer lasecurite de l’activite de conduite automobile a travers une cooperation vehicule-infrastructure.Ceci passe generalement par une meilleure perception de l’environnement du vehicule, a basede systemes de fusion de donnees multi-capteurs embarques sur le vehicule, ou installes sur l’in-frastructure. Cette fusion requiert, entre autres, la connaissance de la precision des capteurs.Dans le cadre du projet americain EDMap3, plusieurs etudes sont menees sur cette problema-tique de perception. Celles-ci identifient trois niveaux de precision du positionnement selon letype d’application, identifies comme WHATROAD4, WHICHLANE5 et WHEREINLANE6. Parexemple, les applications pour lesquelles il est necessaire d’estimer les ecarts lateraux du vehiculea l’interieur de la voie vont utiliser ce dernier niveau de precision.Toutes les etudes menees dans ces projets concluent sur l’aspect critique de la phase de locali-sation, dans des applications de navigation, de controle ou d’alerte. Pour cela, les algorithmesutilises doivent satisfaire plusieurs proprietes dont la precision, la confiance autant que la robus-

1site Internet www.cvisproject.org2site Internet www.safespot-eu.org3Enhanced Digital Map project : www-nrd.nhtsa.dot.gov4Quelle route ? Precision de l’ordre du decametre.5Quelle voie de circulation ? Precision sur quelques metres.6Ou dans la voie ? Precision du positionnement dans la voie, de l’ordre du metre.

3

Page 20: Localisation robuste multi-capteurs et multi-mod`eles

1.1. Contexte Generale Introduction generale

tesse.

Reprenant Gutmann et Olson [Gutmann et al., 1998],[Olson, 2000], localiser un mobile revient aestimer sa pose, c’est-a-dire sa position, son orientation et/ou sa vitesse, partant d’un ensemblede mesures de capteurs. Ces capteurs informent sur l’etat dynamique et/ou l’environnementproche du vehicule. La localisation peut alors etre estimee soit a partir d’informations mono-capteur, ou d’une fusion de donnees multi-capteurs. En robotique mobile, elle intervient en tantqu’application source d’informations utiles pour un ensemble de modules en aval du systeme.Dans le cadre des vehicules ou des systemes de transports intelligents, il existe de nombreusesapplications a la localisation, dont nous presentons trois principales classes :

Classe 1 : les systemes de navigation autonome, dont l’objectif est d’accroitre le confort etd’assurer des alertes de longue echeance ;

Classe 2 : les systemes dedies a la securisation de la conduite, en environnement dynamique ounon, ouvert ou totalement obstrue, encore appeles systemes d’alertes de courte echeanceou de controle ;

Classe 3 : les systemes de communication et de maintenance de l’infrastructure

Les systemes de navigation :

La navigation autonome et securisee est aujourd’hui l’un des defis les plus importants a re-lever en robotique mobile. L’organisation reguliere de competitions du type DARPA Challenge7

en est une illustration. Que le vehicule soit totalement autonome ou pas, la complexite des mis-sions en perpetuelle croissance rend l’activite de navigation toujours plus critique.Dans le cas particulier des vehicules routiers non autonomes, les systemes de navigation ontpour role principal d’accroitre le confort de l’activite de conduite. Ils permettent entre autres, laselection d’une route optimale (chemin le plus court, chemin le moins congestionne, chemin leplus economique ou le plus ecologique ...), pour atteindre l’objectif, c’est-a-dire le point d’arrivee.Toutefois, dans le but d’accomplir une mission, le choix d’une route seul ne suffit pas. En effet,l’environnement routier est dynamique et l’activite de conduite automobile se caracterise par defortes interactions avec les autres usagers, ainsi qu’avec l’infrastructure. Il est alors necessairede concevoir des systemes qui vont assister le conducteur dans les differentes phases de prisede decisions a une echelle temporelle courte : ce sont des systemes d’alertes ou de controle, quenous decrivons dans la deuxieme classe.

Les systemes de controle :

Dans la robotique mobile a vitesse elevee ou a changement frequent de la dynamique avecdes non-linearites, il est necessaire en plus d’accomplir la mission de navigation, de garantir lebon deroulement. Cet objectif est plus ou moins atteint, a travers la mise en place de modulesaccomplissant les taches suivantes :

– le controle longitudinal :

il est assure par un ensemble de modules dedies a la surveillance et la regulation dela vitesse d’un vehicule. Pour cela, il y a une prise en compte du trace de la route, de lavitesse des vehicules precedents ainsi que des caracteristiques d’obstacles.– Les modules ACC (Adaptive Cruise Control) dedies au controle de la distance et vitesse

en fonction de l’evolution du vehicule precedent sur la meme voie ;

7Le DARPA (Defense Advanced Research Projects Agency) : Agence du departement d’Etat a ladefense des Etats-Unis, chargee de projets de recherche militaire.

A. Ndjeng Ndjeng 4

Page 21: Localisation robuste multi-capteurs et multi-mod`eles

Introduction generale 1.2. Module de localisation pour l’aide a la conduite

– Les modules qui adaptent l’orientation des phares en fonction des situations ;– Les systemes SAVV (systemes de mesure du risque et de recommandation de vitesse a

l’approche d’un virage) qui informent le conducteur du risque a l’approche d’un viragea vitesse elevee ;

– Les systemes d’alerte en cas de probabilite de collision ;– Les assistances en situation Stop&Go

– le controle lateral :

son role est de garantir une trajectoire sure au vehicule. Pour cela il est necessaire depositionner le vehicule dans l’axe de la route. Quelques dispositifs permettent d’assister leconducteur dans l’accomplissement de cette tache ; il s’agit de– systemes d’alerte a la sortie de route ou de voie non volontaire– modules d’assistance au maintien de voie– assistances au changement de voie et anticollision lateraleCes dispositifs exploitent generalement des ressources telles que des detecteurs de mar-quages intervoies ou de bord de route, detecteurs de bandes magnetiques ou des systemesde localisation par GPS differentiel ou par mesure de phase.

En conclusion, l’une des premieres etapes vers les systemes de pilotage autonome est l’associa-tion des modules de controle longitudinale et laterale.

Pour garantir le bon fonctionnement de certains des algorithmes de controle decrits ci-dessus, ilest parfois necessaire de recueillir des informations provenant de l’infrastructure. Dans la troi-sieme classe d’applications de la localisation, nous decrivons des modules de communication avecl’infrastructure, utilises egalement pour en estimer des attributs et en assurer la maintenance.

Maintenance de l’infrastructure et communication :

Les systemes embarques servant a communiquer avec l’infrastructure connaissent un reel es-sor depuis quelques annees, malgre la difficulte liee au deploiement de modules communicantssur la route. Grace a ces systemes, le conducteur peut etre informe des accidents, des sectionsen travaux ou des changements de configurations de l’infrastructure dans une zone particuliere,identifiee sur une carte a partir de la position du vehicule equipe. Par ailleurs, la localisationest tres utile dans les systemes de reconstruction 3D de la route a base d’observateurs ou de lavision embarquee. Cette derniere tache s’accompagne generalement de la maintenance et la misea jour des donnees de l’infrastructure, connaissant la position du vehicule qui se localise.

1.2 Module de localisation pour l’aide a la conduite

De nos jours, les detecteurs de marquages semblent bien fonctionner lorsque la visibiliteest bonne et les marquages au sol en bonne etat. Ceci n’est pas toujours le cas par temps depluie. L’utilisation des bandes magnetiques pose quant a elle le probleme des perturbationselectromagnetiques, de filtrage ainsi que le deploiement sur le reseau routier. D’autres solutionsexperimentales utilisees en localisation concernent les amers, detectes a partir de systemes radarou laser. Une fois de plus le deploiement de telles solutions se confronte aux problemes de coutsaussi bien que des aleas climatiques. Les systemes de positionnement satellitaire (GPS, Glonass,Galileo etc.) sont presentes comme des capteurs absolus car ils fournissent une mesure directede la position du mobile dans le referentiel terrestre. Ils posent cependant plusieurs problemeslorsque les applications visees concernent le controle actif dans les systemes d’aide a la conduite.Ces problemes sont lies a la faible cadence de l’information (1Hz), l’erreur sur le positionnement

5 A. Ndjeng Ndjeng

Page 22: Localisation robuste multi-capteurs et multi-mod`eles

1.3. Situation dans le contexte et plan de la these Introduction generale

(plusieurs metres), la perte ou degradation (multi trajets) du signal en utilisation dynamiquedans un environnement routier (en ville et sans cartographie, dans un tunnel, etc.). Il est alorsimpossible d’identifier precisement la voie sur laquelle se trouve le vehicule, en utilisant seul cecapteur, compte tenu du fait qu’il manque actuellement l’adequation de la cartographie avec cetype d’applications (la cartographie actuelle n’est pas suffisamment precises).

La mise au point d’assistances a la conduite actives requiert une localisation precise, integreet robuste du vehicule (projets ARCOS, SafeSpot). Pour atteindre cet objectif, le module delocalisation s’appuie sur des algorithmes de fusion hybride multi-capteurs. Ceux-ci reposent surune modelisation de la dynamique du vehicule a travers un modele bien connu et simple, celuide la bicyclette [Naab & Reichart, 1994]. Des modeles plus sophistiques existent, mais ils neseront pas abordes dans cette these. La fusion hybride consiste alors a combiner au mieux l’en-semble des donnees multi-capteurs, eventuellement heterogenes, afin d’obtenir une informationde localisation de meilleure qualite. Les systemes de localisation utilisent des donnees provenantde deux types de capteurs.

– Les capteurs proprioceptifs mesurent l’etat de la dynamique intrinseque du vehicule (ac-celeration, vitesse des roues, rotation etc.) ; il s’agit d’odometres, de capteurs inertiels, decodeurs d’angle au volant etc.

– Quant aux capteurs exteroceptifs, ils sont capables de mesurer les caracteristiques de l’en-vironnement exterieur du vehicule. Il s’agit de recepteurs GPS, de cameras, de telemetreslaser, etc.

Le fonctionnement global des algorithmes de localisation se deroule en deux etapes : une pre-miere etape, dite de prediction, est basee sur le modele dynamique d’evolution du vehicule ; laseconde etape est quant a elle une correction de la phase de prediction a l’aide d’un ensembled’observations fournies par des capteurs embarques sur le vehicule. Cette phase de correctionpermet d’obtenir une estimation des variables d’etat du systeme observe.

Les etapes de prediction et de correction sont recursives, bien qu’il soit possible que plusieursetapes de prediction s’enchaınent avant une etape de correction, et reciproquement. Ceci pro-vient de la dependance du systeme vis-a-vis des capteurs proprioceptifs et exteroceptifs utiliseset donc de leur asynchronisme. Chacune des etapes utilise le dernier vecteur d’etat connu dumobile, qu’il soit issu d’une prediction ou d’une estimation.

1.3 Situation dans le contexte et plan de la these

Cette these est inspiree par cette demarche qui est adoptee dans la plupart des systemesde localisation actuels par fusion multi-capteurs. Cependant, dans notre methodologie, la loca-lisation des vehicules routiers est etudiee a travers une approche fondee sur les algorithmes ditsmulti-modeles interagissant. L’estimateur IMM8, egalement fonde sur une approche bayesiennedu filtrage, est caracterise par un banc de filtre de Kalman lineaires concurrents et dedies chacuna une manoeuvre particuliere du vehicule. Pour evaluer l’impact de chaque filtre dans le proces-sus d’estimation une probabilite est calculee en associant l’evolution du systeme a un processusmarkovien. Cette technique trouve ses origines dans les systemes de poursuite de cibles aeriennesou terrestres ayant des changements frequents de la dynamique.Cependant son application au probleme de la localisation se confronte a une serie de difficultes :une des plus importantes est l’asynchronisme des capteurs, qui ne favorise pas la mise a jourreguliere des probabilites d’activation des modeles integres ; il se pose egalement le probleme dela generation des modeles d’evolution qui ont une description pertinente de la dynamique reelledu vehicule.

8Interacting Multiple Model

A. Ndjeng Ndjeng 6

Page 23: Localisation robuste multi-capteurs et multi-mod`eles

Introduction generale 1.3. Situation dans le contexte et plan de la these

Avant de presenter les solutions proposees pour resoudre ces problemes et avoir un systeme delocalisation precise mais surtout robuste, le chapitre deux revient d’abord sur la localisation sousdifferentes approches classiques. Dans un premier temps, les differents principes de fonctionne-ment des capteurs embarques sur le vehicule sont presentes. Dans ce chapitre, nous decrivons etcaracterisons le positionnement par radionavigation, par integration de donnees inertielles puis,par odometrie. Par la suite, plusieurs algorithmes de localisation fondes sur l’approche par fusionmulti-capteurs a travers un filtrage bayesien sont presentes. La plupart de ces algorithmes sontderives du filtre de Kalman [Kalman, 1960] et utilises pour l’estimation d’etat de systemes nonlineaire : il s’agit du filtre de Kalman etendu (EKF), le filtre de Kalman non biaise (UKF), lesfiltres de Kalman a differences divisees d’ordre 1 et 2 (DD1 et DD2), puis le filtre a particulesclassique ou filtrage particulaire (PF).

Les estimateurs decrits au deuxieme chapitre ont la particularite d’utiliser un unique modeled’evolution pour decrire la dynamique du systeme. Lorsque cette modelisation correspond a larealite, les resultats d’estimation de la localisation sont alors satisfaisants en termes de precisionou de robustesse pour les applications securitaires. Lorsqu’au contraire le modele utilise est unefausse representation de la realite, la degradation de la localisation peut etre spectaculaire.C’est pour resoudre ce probleme de robustesse par rapport aux defauts de modelisation quel’approche IMM est presentee au chapitre trois. L’apport de cette approche est effectif dans dessituations de conduites particulieres telles que les fortes accelerations, des freinages brusques ouencore des virages a vitesse importante. Dans ce chapitre, la derivation des modeles lineairesdedies a des dynamiques particulieres du vehicule est presentee, suivie de l’implantation de l’al-gorithme et des tests sur des bases de donnees simulees et reelles.

Afin de mettre a jour les probabilites des differents filtres concurrents dans l’IMM classique,il est necessaire d’avoir une information d’un capteur exteroceptif (dans notre cas, une positionGPS). Or, la frequence du capteur GPS est generalement inferieure a la frequence des capteursproprioceptifs. De ce fait entre deux positions GPS il n’est pas possible de mettre a jour cesprobabilites. Pour palier cette limite de l’IMM en localisation de vehicules routiers, une nouvellemodelisation sous contraintes du systeme est presentee au quatrieme chapitre. Celle-ci permet,grace aux mesures d’accelerometres, du gyroscope de lacet et de l’odometre, d’obtenir une eva-luation des vraisemblances des differents modeles d’evolution. Par consequent, et d’apres lesresultats des tests presentes, l’asynchronisme des capteurs ne constitue plus une limite a l’appli-cation de l’IMM en localisation.

Une des conditions au bon fonctionnement des algorithmes de localisation, est la caracterisationet correction des defauts des capteurs utilisees. Au chapitre 5, deux principaux defauts de cap-teurs sont identifies : il s’agit du biais (statique et dynamique) ainsi que le bruit sur les mesures).Dans ce chapitre, quelques methodes sont presentees et utilisees pour corriger ces defauts touten cherchant a evaluer leur influence en localisation. De la meme maniere, une etude permet icide montrer l’influence des attributs de l’infrastructure, en l’occurrence l’angle de devers de lachaussee. Il est des lors montre que, grace a la prise en compte des corrections des defauts descapteurs, puis de l’influence de l’angle de devers de la chaussee, le positionnement a l’estime estnettement amelioree.

Le chapitre six porte sur la definition d’un protocole de comparaison d’estimateurs de loca-lisation. Le but de la comparaison n’est pas seulement d’etablir une hierarchie en termes deperformances des algorithmes, mais aussi et surtout de proposer une correspondance adequateentre methodes, capteurs et scenarios. Six methodes sont mises en concurrence : l’EKF, l’UKF,le DD1, le DD2, le PF et l’IMM. Les scenarios generes soit par la methode de Monte Carloou a partir de collectes de donnees sur piste reelle montrent qu’il n’est possible d’etablir une

7 A. Ndjeng Ndjeng

Page 24: Localisation robuste multi-capteurs et multi-mod`eles

1.3. Situation dans le contexte et plan de la these Introduction generale

hierarchie entre ces approches, que lorsque des criteres statistiquement fondes sont clairementdefinis. Ce chapitre revient alors sur des mesures de precision, de consistance, de confiance et decredibilite pour evaluer l’exactitude et l’auto-evaluation de chaque estimateur.

Le chapitre sept presente les conclusions et perspectives du travail qui a fait l’objet de cettethese.

A. Ndjeng Ndjeng 8

Page 25: Localisation robuste multi-capteurs et multi-mod`eles

Chapitre 2

La localisation de vehicules routiers : etat de l’art

2.1 Introduction

Ce chapitre decrit quelques approches de localisation classiques de vehicules routiers, et plusgeneralement en robotique mobile d’exterieur. Nous revenons particulierement sur les concepts defonctionnement des methodes de positionnement absolu par radionavigation puis la localisationa l’estime par odometrie et par des capteurs inertiels. Les avantages et les inconvenients dechaque methode sont presentes en vue d’une application dans un systeme hybride. Dans lesecteur automobile, les imperfections des capteurs utilises pour la localisation constituent unecontrainte importante, car la qualite du resultat est souvent correlee a un cout important. Pourassurer une localisation precise, robuste et integre a partir de capteurs bas cout, il est importantd’explorer les methodes de fusion hybride. Celles-ci permettent d’exploiter la redondance et lacomplementarite des donnees issues des capteurs, afin d’en extraire une information robuste, touten reduisant l’influence des defauts de chaque capteur. Dans la derniere partie de ce chapitre,nous presentons cinq approches differentes de filtrage Bayesien, le but etant de proceder a unecompensation des erreurs de positionnement, de vitesse et d’orientation de chaque capteur.

2.2 Systemes de positionnement par satellites

2.2.1 Introduction

Les systemes de positionnement et de navigation par satellite sont fondes sur la determi-nation de la position a partir de la methode par triangulation. Celle-ci necessite de connaıtrela position d’au moins quatre satellites et la mesure de la pseudo-distance entre la position durecepteur (inconnue) et celle de chaque satellite (connue). Parmi les systemes de positionnementpar satellites existant ou en construction, on peut en presenter trois [Thurston, 2002] ou plutotquatre ! Deux d’entre eux sont deja operationnels, il s’agit du systeme americain GPS NAVS-TAR et du systeme russe GLONASS. Le troisieme est un systeme europeen appele GALILEO,en cours de developpement.Plus recemment, il a ete revele que la Chine est en train de se doter de son propre systemede navigation et de positionnement par satellite (premiers satellites lances entre 2000 et 2003).

9

Page 26: Localisation robuste multi-capteurs et multi-mod`eles

2.2. Systemes de positionnement par satellites Etat de l’art

Cette nouvelle constellation appelee Beidou (ou Beidou Navigation System, la Grande Ourse enChinois), devait etre operationnelle des 2008, et il ne s’agirait dans un premier temps que d’unecomposante regionale.

2.2.2 Description des systemes de positionnement par satellites

2.2.2.1 GPS NAVSTAR

Le systeme GPS (Global Positioning System) a ete mis en oeuvre par le ministere de ladefense americaine des les annees 1970. Il est de ce fait entierement sous le controle americain etleur permet une disponibilite selective du signal en cryptant certaines informations. Ce systemeest compose de 24 satellites NAVSTAR sur 6 orbites inclinees de 55 et situees a une altitude de20184km (voir figure (FIG. 2.1)).

Il comporte 5 stations au sol dont la principale se trouve aux Etats-Unis. Le systeme GPS est

Fig. 2.1 – Constellation de satellites NAVSTAR du systeme GPS

actuellement le plus utilise car il est gratuit, et permet une localisation avec une precision del’ordre de 10m a 2σ. Il faut neanmoins rappeler que certaines zones geographiques ne sont pascouvertes et que la qualite du signal peut volontairement etre degradee par les administrateursdu systeme.

2.2.2.2 GLONASS

GLONASS (GLObal NAvigation Satellite System) [Glonass, 2002] est l’equivalent russe duGPS. Ce systeme a ete developpe a partir de 1982 par les militaires Russes et est operationneldepuis 1987. GLONASS est compose de 24 satellites repartis sur 3 orbites inclinee de 64, 8et situees a 19130km d’altitude. Cette repartition permet une reorganisation plus rapide dessatellites en cas de panne. La particularite de ce systeme est que chaque satellite possede sapropre frequence d’emission, ce qui augmente la resistance au brouillage. Avec 5 stations au sol,GLONASS ne compte a l’heure actuelle que 7 satellites operationnels.

A. Ndjeng Ndjeng 10

Page 27: Localisation robuste multi-capteurs et multi-mod`eles

Etat de l’art 2.2. Systemes de positionnement par satellites

2.2.2.3 GALILEO

GALILEO [Benedicto & Lidwig, 2001; Galileo, 2002] est le systeme de positionnement par sa-tellites initie par l’Union Europeenne et l’Agence Spatiale Europeenne. La necessite d’un systemede positionnement europeen repond au besoin d’independance face au systeme GPS americain.Ce systeme novateur et performant, actuellement en phase de deploiement, supprime les restric-tions (precision et fiabilite) du GPS tout en restant entierement sous controle civil. Il est donca la fois concurrent et complementaire du GPS.En phase d’exploitation commerciale prevue des 2012, le systeme GALILEO sera compose de27 satellites actifs et trois de secours, places sur 3 orbites situees a 23616km d’altitude. Lacomposante terrestre comprend 2 centres de controles coordonnant un minimum de 20 autresstations au sol. De plus, GALILEO diffusera 10 signaux sur 3 bandes de frequences : 6 signauxdedies aux services gratuits, 2 signaux pour les services commerciaux et 2 pour le service publicreglemente. Ces services sont detailles ci-dessous :

– Service ouvert (OS : Open Service)– Service commercial (CS : Commercial Service)– Service de la surete de la vie (SOL : safety of Life service)– Service de recherche et secours (SAR : Search And Rescue service)– Service public reglemente (PRS : Public Regulated service)

2.2.3 Principe du positionnement par satellites

On distingue deux methodes de positionnement par satellites. La premiere, appelee position-nement absolu, utilise une simple triangulation a partir des informations emises par les satellitesvisibles. La deuxieme, appelee positionnement relatif par satellites, utilise une station de basedont la position est parfaitement connue. Cette station transmet aux recepteurs les correctionsdes erreurs de triangulation, permettant ainsi un positionnement plus precis.

2.2.3.1 Positionnement absolu par satellites

Le positionnement par satellite obeit au principe de la triangulation. Les ondes radio emisespar chaque satellite (possedant une horloge atomique) sur deux porteuses L1 et L2 sont precise-ment datees. Les signaux emis sont codes selon des frequences pseudo aleatoires. Une repliquede la sequence du code du satellite est generee par le recepteur en meme temps que le satellite.Le decalage que doit subir la replique afin de coıncider avec le code recu correspond au temps depropagation, pris par le signal pour parcourir la distance satellite-recepteur. Cette difference detemps multipliee par la vitesse de la lumiere dans le vide donne une mesure de distance appeleepseudo distance.Une seule distance n’est pas suffisante pour determiner une position. Theoriquement il faut rea-liser la meme operation que precedemment avec deux autres satellites pour obtenir trois pseudo-distances, connaissant les coordonnees de chaque satellite. Or, le signal envoye par chaque satel-lite contient un code qui lui est propre ; il peut donc etre identifie par le recepteur qui connaıtles ephemerides des differents satellites. Le recepteur peut ainsi obtenir les coordonnees des troissatellites au moment de l’emission du signal. La position du recepteur est obtenue comme uneintersection de trois spheres. Chaque sphere a pour centre un des trois satellites et pour rayonla pseudo distance separant ce satellite du recepteur.Dans la pratique, les erreurs de synchronisation d’horloge entre les satellites et le recepteur

ne permettent d’obtenir dans un repere a trois dimensions, qu’une vaste zone contenant le re-cepteur. Ces erreurs peuvent etre traduite comme une quatrieme inconnue dans le processus detriangulation, ainsi une mesure d’une quatrieme pseudo-distance permet de resoudre ce problemeet de fournir les coordonnees tridimensionnelles, ainsi qu’une estimation de l’erreur d’horloge du

11 A. Ndjeng Ndjeng

Page 28: Localisation robuste multi-capteurs et multi-mod`eles

2.2. Systemes de positionnement par satellites Etat de l’art

Fig. 2.2 – Principe de la triangulation a partir de satellites

recepteur. Le principe de ce calcul est illustre a la figure (FIG. 2.3).Les positions des satellites Pi = xSi

, ySi, zSi etant connues et les pseudo-distances ρi mesu-

rees. Les coordonnees du recepteurs P = xR, yR, zR sont alors obtenues a partir du systemed’equations (2.1).

(xSi− xR)2 + (ySi

− yR)2 + (zSi− zR)2 = ρi (2.1)

2.2.3.2 Positionnement relatif par satellites

Les systemes GPS dit differentiels, a l’instar du DGPS (GPS differentiel), fonctionnent dela meme maniere que le systeme de positionnement GPS absolu, mais ils offrent une meilleureperformance. Ici le recepteur est equipe d’un boıtier supplementaire permettant de recevoir descorrections fournies par des stations DGPS. Le principe de ce positionnement est simple : lesmesures effectuees en un lieu de position bien connue sont comparees aux valeurs theoriques. Ladifference obtenue permet de fournir des corrections retransmises vers le recepteur qui les integredans le calcul de sa position, ameliorant considerablement sa precision. Ces corrections sont in-tegrees soit directement dans le calcul de la position, ou dans la mesure des pseudo-distances.

La technologie DGPS augmente considerablement la precision du positionnement, permettantde passer a une erreur de l’ordre de 1m a 2σ. L’inconvenient d’un tel systeme est principa-lement sa portee, qui n’excede pas une centaine de kilometres autour des stations d’emission.Cette couverture peut neanmoins etre amelioree grace a la retransmission des corrections parl’intermediaire de satellites geostationnaires.

2.2.3.3 Positionnement par mesure de phase

Certains recepteurs exploitent directement la phase sur les ondes porteuses L1 et L2 a traversle dephasage entre le satellite et le recepteur. Ce dephasage est obtenu en comparant la phasedu signal recu par le recepteur et la phase du signal genere par l’oscillateur a quartz interne aurecepteur et qui est une replique du signal satellite. Cette mesure de phase permet d’obtenir unedistance satellite-recepteur a partir d’un produit avec la longueur d’onde (19, 0cm pour L1 et24, 4cm pour L2). Ces donnees peuvent etre traitees soit de maniere postoperatoire a l’aide de

A. Ndjeng Ndjeng 12

Page 29: Localisation robuste multi-capteurs et multi-mod`eles

Etat de l’art 2.2. Systemes de positionnement par satellites

P1 (connue)

P2 (connue)

P (inconnue)

ρρρρ1 ρρρρ 2

P3 (connue)

P4 (connue)ρρρρ 3

ρρρρ 4

Fig. 2.3 – Calcul des coordonnees du recepteur. Source : D. Gruyer, cours Master Universte d’Evry

logiciels specialises, soit en temps reel, auquel cas on parle de RTK1, interessant pour sa precisionde l’ordre de 1 a 5cm. L’inconvenient majeur de cette technique de positionnement reste la phased’initialisation et de reinitialisation pouvant prendre plusieurs dizaines de secondes, ce qui peutetre tres penalisant dans des situations de perte frequente du signal GPS (milieu urbain). D’autrepart le prix du GPS RTK reste tres eleve par rapport aux recepteurs classiques.

2.2.4 Erreurs du systeme GPS

Le positionnement par satellite peut etre altere par de nombreuses sources d’erreurs. Celles-cisont liees soit a la constellation des satellites, soit a la traversee du signal emis dans l’atmosphere,ou alors a sa reception.

2.2.4.1 Erreurs dues a la geometrie des satellites

Selon la maniere dont la constellation des satellites est disposee, la degradation de la precisionpeut etre plus ou moins importante dans certaines zones notamment. La qualite du position-nement depend donc fortement de l’elevation des satellites et de leurs positions relatives parrapport au recepteur. Cette qualite peut etre caracterisee par le calcul des facteurs de degra-dation geometriques appeles DOP2 et donnant ainsi une idee de la confiance a apporter a unemesure.

Remarques : La degradation de precision geometrique GDOP3 est un parametre qui permet de

1Real Time Kinematic2Dilution Of Precision3Geometrical Dilution Of Precision

13 A. Ndjeng Ndjeng

Page 30: Localisation robuste multi-capteurs et multi-mod`eles

2.2. Systemes de positionnement par satellites Etat de l’art

quantifier l’impact de la configuration des satellites. Ce parametre indique dans quelle propor-tion les erreurs de mesures de distance se propagent dans les inconnues a resoudre (coordonneeset parametre d’horloge). Le facteur GDOP indique l’effet de la configuration des satellites surla precision du positionnement instantane. Il peut etre vu comme le rapport entre l’erreur depositionnement et l’erreur de la pseudo distance mesuree entre le satellite et le recepteur. Lefacteur GDOP peut etre representee par trois composantes : une premiere liee a la positiontridimensionnelle PDOP4, une deuxieme composante horizontale HDOP5, et une composanteverticale VDOP6. La constellation GPS a ete concue de facon a ce que le PDOP n’excede quetres rarement une valeur de 6, lorsqu’il n’y a pas d’obstructions pour masquer les signaux dessatellites. D’une facon generale, un PDOP de 6 ou moins est considere comme bon. A l’inverse,un PDOP superieur a 6 deteriore la qualite du positionnement.

2.2.4.2 Erreurs dues a la refraction dans l’atmosphere

– Dans l’ionosphereLes ondes radio issue des satellites du systeme GPS orbitant a 20184km d’altitude doiventtraverser en premier l’ionosphere. Leur propagation est alors perturbee comme toute ondeelectromagnetique traversant un milieu conducteur (l’ionosphere est composee d’ions etd’electrons). Cette perturbation se manifeste par un retard et conduit a une surestimationdu temps de propagation du signal, et donc de la distance satellite-recepteur.

Deux approches sont souvent envisagees pour la correction de l’effet de l’ionosphere sur dessignaux GPS. La premiere approche, utilisee pour des recepteurs mono-frequence, consistea utiliser un modele presente sous forme d’une fonction sinusoıdale a huit parametres [Klo-buchar, 1986]. Ces parametres sont estimes par la station de controle principale transmitaux satellites, puis aux recepteurs dans le message de navigation. Pour les recepteurs bi-frequence, on utilise le caractere dispersif de l’ionosphere pour corriger son effet. Le retardionospherique pour les mesures de phase du GPS est alors approche par

∆Lionoph = − a

f2TEC (2.2)

Ou a ≈ 40.3m3.s−2 [Hofmann-Wellenhof et al., 2001], f est la frequence porteuse et TECle contenu total en electrons. Ce dernier terme est determine a partir d’une combinaisondes observations sur les frequences L1 et L2. De nombreux details sur ces corrections sontpresentes par Hernandez-Pajares et al. [Hernandez-Pajarez et al., 2007].

– Dans la troposphereC’est surtout la teneur en vapeur d’eau de cette couche basse qui affecte la propagation desondes GPS a travers un retard, appele retard tropospherique. On le divise generalementen deux termes. Le premier, appele retard hydrostatique, est de l’ordre de 2.3m au zenithet reste quasiment constant. Un second terme appele retard humide, peut fluctuer de5cm a 80cm au zenith. Il est beaucoup plus variable dans le temps, et garde un caracterealeatoire, ce qui rend difficile sa correction a priori. Afin d’etablir les mesures d’imprecisiondes pseudo-distances qui en decoulent, il est donc necessaire d’estimer la composantezenithale du retard tropospherique (ZTD) au cours du traitement. Cette estimation estfondee sur une modelisation de la troposphere, qui suit le formalisme presente a l’equation(2.3), [Davis et al., 1991]

∆Ltropo = ∆Ltropo,zh ·mfh + ∆Ltropo,zw ·mfw (2.3)

4Position Dilution Of Precision5Horizontal Dilution Of Precision6Vertical Dilution Of Precision

A. Ndjeng Ndjeng 14

Page 31: Localisation robuste multi-capteurs et multi-mod`eles

Etat de l’art 2.2. Systemes de positionnement par satellites

Tab. 2.1 – Erreurs du systeme GPS et DGPSSource d’erreurs erreurs GPS (m) erreurs DGPS (m)

Horloge atomique 10, 5 0Geometrie de la constellation 10 0

Traversee ionosphere 3, 9 0, 4Traversee troposphere 9, 8 a 19, 6 0, 2Precision recepteur 2, 9 0, 3Reflexions parasites 2, 4 0, 6

Total en moyenne 10 en moyenne 1

Ou ∆Ltropo,zh et ∆Ltropo,zw representent respectivement le retard hydrostatique et le retardhumide, pris au zenith. mfh et mfw sont les fonctions de projection hydrostatique ethumide. D’autre details sur ces corrections sont repris par Elosegui et al. et Santerre[Elosegui et al., 1995; Santerre, 1989].

2.2.4.3 Erreurs dues aux trajets multiples

Le phenomene des trajets multiples est du a la reflexion des ondes emises incidentes parune surface proche de l’antenne du recepteur, et interfere avec le signal direct. La consequencede ce phenomene est l’augmentation de la distance satellite-recepteur, et donc de la duree dutrajet, d’ou un calcul errone du positionnement. Cependant les erreurs sur le signal dues a cephenomene sont moins importantes que celles dues a la traversee de l’atmosphere [Seeber, 1993].

Les erreurs ci-dessus ne s’additionnent pas en pratique, mais elles ont plutot tendance a s’annuler.Comme le montre le tableau (TAB. 2.1), la precision du GPS est estimee a 10m, celle obtenueen mode differentiel incluant diverses corrections est d’environ 1m.

2.2.5 Systemes SBAS et GNSS

Le SBAS7 est un systeme de satellites geostationnaires qui ameliore la precision, l’integrite,et la disponibilite des signaux de base du GPS [Waegli & Gillieron, 2003; Hughes & Team,2005; Benedicto et al., Jan. 1999]. Ceci inclut le WAAS8 en Amerique du Nord, EGNOS9 lesysteme geostationnaire europeen, le systeme MSAS10 japonais, et le systeme SNAS11 chinois.Ces systemes sont concus au depart pour ameliorer la securite des applications de navigationaerienne et maritime. Le role des satellites geostationnaires est de transmettre aux utilisateursdes corrections precises (orbites GPS, horloges, atmosphere) calculee par un reseau importantde stations de controle au sol, et des donnees d’integrite du systeme. Le gain de precision enpositionnement absolu permet d’atteindre une precision de 1 a 2m (horizontal ou vertical) etune precision decimetrique en positionnement differentiel.

Le systeme GNSS12 est construit a travers l’interoperabilite des systemes de radionavigation(GPS, GLONASS, SBAS). Une fois GALILEO operationnel, le GNSS reposera essentiellementsur les deux systemes GPS et GALILEO[Abuhadrous, 2005]. L’interet du GNSS est d’associer al’interoperabilite, l’independance des systemes, ce qui accroıt la continuite de service en cas de

7Satellite-Based Augmentation System8Wide Area Augmentation System9European Geostationary Navigation Overlay System

10Multifunctional Transport Satellite-based Augmentation System11Satellite Navigation Augmentation System12Global Navigation Satellite System

15 A. Ndjeng Ndjeng

Page 32: Localisation robuste multi-capteurs et multi-mod`eles

2.3. Localisation a base de capteurs proprioceptifs Etat de l’art

defaillance de l’un et une plus grande integrite du systeme de navigation.

Dans le domaine automobile les conditions de visibilite sont souvent degradees par des bati-ments, tunnels ou parfois le feuillage dense. Avec la sensibilite aux phenomenes de multi trajets,ces inconvenients peuvent limiter la disponibilite du signal, la precision et l’integrite du posi-tionnement. Par ailleurs, le GPS fournit directement une information de position. Les mesuresde vitesse ou d’angle de lacet ne peuvent etre deduites qu’a partir de positions calculees suc-cessives. Pour pallier ces inconvenients, il est necessaire d’utiliser d’autres capteurs embarques,dont le domaine de fonctionnement n’est pas limite par l’environnement du vehicule. Il s’agitprincipalement de capteurs a caractere proprioceptif.

2.3 Localisation a base de capteurs proprioceptifs

2.3.1 Introduction

La localisation a l’estime utilise des capteurs proprioceptifs pour determiner la position, le capet la vitesse d’un vehicule, partant d’une configuration initiale connue. Dans ce cas, les mesuresdes capteurs sont integrees pour estimer la position courante du vehicule. Parmi les techniquesles plus souvent utilisees, nous nous interessons dans ce paragraphe a la localisation inertielle(capteurs inertiels), ainsi qu’a l’odometrie (odometres). Cependant, d’autres systemes peuventetre utilises pour mesurer la dynamique du vehicule, il s’agit notamment de codeurs optiquesd’angle au volant, les ABS13 disposes sur les roues de la voiture, ou encore les dispositifs ESP. Lescodeurs optiques ou le dispositif ESP14 permettent de mesurer des rotations elementaires de rouesautour de l’axe de lacet, alors qu’a partir des ABS on peut obtenir les vitesses de rotation desroues. Il existe differentes methodes de localisation en fonction du nombre de capteurs necessaireset de leur disposition sur le vehicule. Les capteurs inertiels (accelerometres et gyrometres) sontle plus souvent utilises conjointement, dans des centrales inertielles.

2.3.2 La localisation inertielle

2.3.2.1 Introduction

La localisation inertielle est une technique utilisant des mesures fournies par des accelero-metres et des gyroscopes. Ces donnees sont employees pour estimer la position et l’orientationd’un objet relativement a un point de depart, a une orientation et a une vitesse connus.Les capteurs inertiels sont employes dans une grande etendue d’applications dans les domainesaeriens, l’aerospatial, la navigation maritime, ainsi qu’en robotique mobile. Les avancees recentesdans la construction des dispositifs appeles MEMS15 ont permis de fabriquer des systemes denavigation inertielle de petites tailles, legers et economiques.

2.3.2.2 Principe

La localisation inertielle repose sur les mesures fournies par les capteurs contenus dans uneIMU16. Ce nom est du a l’utilisation des proprietes inertielles de la matiere et de la lumiere.L’IMU est un dispositif compose de trois accelerometres et trois gyroscopes [Kelly, 1994; Stovall,1997]. Afin de realiser le systeme de localisation ou de navigation appele INS17, il faut associer

13Anti-lock Braking System14Electronic Stability Program15Micro-Electro-Mechanical Systems16Inertial Measurement Unit17Inertial Navigation System

A. Ndjeng Ndjeng 16

Page 33: Localisation robuste multi-capteurs et multi-mod`eles

Etat de l’art 2.3. Localisation a base de capteurs proprioceptifs

a l’IMU un calculateur de type integrateur. Partant des lois de la mecanique de Newton, etconnaissant l’orientation spatiale des composantes accelerometriques a, on obtient la localisationdu vehicule selon les equations suivantes :

vitesse v =

a dt (2.4)

position p =

v dt (2.5)

orientation Ψ =

ω dt (2.6)

Presque toutes les IMUs sont montees suivant l’architectures a plate-formes stabilisees encoreappelee Gimbaled INS ou suivant l’architecture a composantes lies encore appelee Strapdown,decrites ci-dessous. La difference entre les deux categories repose sur le repere de reference danslaquelle les gyroscopes et les accelerometres fonctionnent.

Systemes a plate-formes stabilisees :Dans ce type de systemes, les capteurs inertiels sont montes sur une plate-forme qui est isolee

couples moteurs

accéléromètres

gyroscopes

plate-forme stable

armatures

sorties d’angles

Fig. 2.4 – IMU a plate-forme stabilisee

de tout mouvement de rotation externe. En d’autres termes la plate-forme est maintenue dansl’alignement du repere global (inertiel). Ceci est realise en montant la plate-forme utilisant desarmatures qui garantissent sa liberte de mouvement suivant chaque axe, tel qu’illustre a la figure(FIG. 2.4) extraite de [Woodman, 2007]. La plate-forme sur laquelle sont montes les gyroscopesest stable et permet de detecter toutes les rotations. Ces signaux sont introduits de nouveau dansdes couples moteurs qui font tourner les armatures afin d’annuler l’effet des rotations, conservantainsi l’alignement de la plate-forme sur le repere global.Une fois realises, les accelerometres montes sur la plate-forme sont utilises pour mesurer la forcespecifique sur chaque axe de navigation. Ces mesures sont alors traitees pour calculer la positiondu vehicule par double integration. L’attitude du vehicule est mesuree comme angles relatifs

17 A. Ndjeng Ndjeng

Page 34: Localisation robuste multi-capteurs et multi-mod`eles

2.3. Localisation a base de capteurs proprioceptifs Etat de l’art

entre la plate-forme et les axes de vehicule ; ce schema d’exploitation est presente a la figure(FIG. 2.5). Ces systemes sont couteux et employes le plus souvent dans des applications exi-geant une precision elevee.

Systemes a plates-formes liees :Dans des systemes a plates-formes liees les capteurs inertiels sont montes rigidement sur le ve-hicule. Ainsi, les mesures effectuees sont lues dans le repere mobile (propre au vehicule) plutotque dans le repere global (inertiel). Le principe de ce type de systeme est presente a la figure(FIG. 2.6). Dans des systemes a composants lies ou systemes strap-down, les capteurs mesurentla dynamique du vehicule de sorte que les mesures et l’etat du vehicule soient obtenues de ma-niere continue. Par consequent, la charge de calcul est augmentee, en comparaison aux systemesa plates-formes stabilisees. Un tel inconvenient est actuellement sans probleme grace aux ame-liorations importantes en informatique. D’ailleurs, les systemes a composants lies permettent lareduction de la taille d’IMU (miniaturisation) aussi bien que son cout, mais au prix d’une moinsbonne precision. Avec leur structure tres simple, leur faible encombrement spatial et leur forteresistance aux chocs, ces systemes sont particulierement appropries pour le domaine automobile.Plus de details a propos des systemes a plates-formes stabilisees et systemes a composantes lieespeuvent etre trouves dans [Grewal et al., 2001; Kayton & Fried, n.d.; Shaikh et al., n.d.].

AccAcc ééllééromrom èètrestres GyroscopesGyroscopes

∫∫ PositionPosition

Position et Position et vitesse vitesse àà t = 0t = 0

MGr

)(mMar

fr

+

-

Attitude

Acc. globale

Véhicule

AsservissementLiaison cardan

Fig. 2.5 – Principe d’une centrale inertielle a plate-forme stabilisee

2.3.2.3 Reperes et coordonnees

Les mesures de capteurs inertiels peuvent etre prises en compte dans l’etat du vehicule atravers quatre systemes de coordonnees.

Repere inertiel (I) :Il s’agit d’un repere galileen non-tournant, dont l’origine est le centre de la Terre, l’axe ZI etantdirige vers le Pole Nord, tandis que XI et YI sont tous les deux dans le plan de l’equateur, l’axeXI etant dirige vers le point d’intersection entre le plan orbital et le plan equatorial. Les troisaxes restent toujours dans leurs directions respectives. Ce systeme est illustre a la figure (FIG.2.7).

A. Ndjeng Ndjeng 18

Page 35: Localisation robuste multi-capteurs et multi-mod`eles

Etat de l’art 2.3. Localisation a base de capteurs proprioceptifs

AccAcc ééllééromrom èètrestres

GyroscopesGyroscopes ∫

∫∫ PositionPositionChangement Changement de repde rep èèrere

Position et Position et vitesse vitesse àà t = 0t = 0

MGr

IMar

fr

+

-

Attitude

Acc. globale

Variation Angulaire

Véhicule

Fig. 2.6 – Principe d’une centrale inertielle strap-down

Repere ECEF18 (e) :Le repere ECEF est lie a la Terre. Il est deduit du repere inertielle par une rotation autour del’axe commun de Z (ZI ou ZECEF ) d’un angle ΩE . L’axe XECEF du repere ECEF est sur lemeridien de Greenwich. Ce systeme est egalement illustre a la figure (FIG. 2.7).

Repere LGRF19 ou Repere de Navigation (n) :Il est defini par un plan tangent a un point fixe sur la surface de la terre. Ce point est l’origine dece repere local. L’axe du Nord est dirige vers le vrai Nord, l’axe Est indique l’Est et le troisiemeaxe est oriente vers le bas (non necessairement vers le centre de la Terre), tel que le systeme decoordonnees realise un triedre direct. L’axe oriente vers le bas est perpendiculaire a l’ellipsoıdede reference. La figure (FIG. 2.7) illustre ces axes.

Repere lie (mobile) (m) :Le repere mobile est definie par un triedre orthogonale (Xm, Ym, Zm) lie au mobile, dont leschema est represente a la figure (FIG. 2.8. Les axes sont supposes alignes avec ceux du repered’IMU. Au cas ou Xm est defini comme axe vers l’avant, c’est-a-dire l’axe dans la direction dudeplacement, Xm s’appellerait l’axe de roulis. Ym est alors defini car l’axe de tangage et Zm quicomplete le triedre de reference direct est l’axe de lacet ou axe de cap.

2.3.2.4 Capteurs

Accelerometres :Une maniere simple et tout a fait generale de comprendre le principe d’un accelerometre est del’imaginer comme un dispositif qui mesure la force appliquee sur un element de masse afin de

18Earth-Centred Earth-Fixed19Local Geodetic Reference Frame

19 A. Ndjeng Ndjeng

Page 36: Localisation robuste multi-capteurs et multi-mod`eles

2.3. Localisation a base de capteurs proprioceptifs Etat de l’art

Fig. 2.7 – Reperes inertiel (I), ECEF (e) et de navigation (n)

Sens d’évolution

Fig. 2.8 – Reperes lie ou mobile (m)

A. Ndjeng Ndjeng 20

Page 37: Localisation robuste multi-capteurs et multi-mod`eles

Etat de l’art 2.3. Localisation a base de capteurs proprioceptifs

l’accelerer. Lorsqu’il est solidaire du vehicule, il mesure alors son acceleration. Des details ausujet de divers principes d’accelerometres peuvent etre trouves dans [Grewal et al., 2001] ; maisfondamentalement il peut etre considere comme un ressort muni d’une masse m a une extremite(l’autre etant lie au vehicule experimental). En supposant que cette masse m est une masseponctuelle positionnee en M , la deuxieme loi de Newton lui est appliquee dans le repere inertiel(I) et aboutit a l’equation suivante :

m · ~aM |I = ~FR + ~FD +m · ~GM (2.7)

ou

– ~aM |I est l’acceleration de la masse ponctuelle m en M relativement a (I).

– ~FR est la force de reaction resultante appliquee a la masse ponctuelle, suite au mouvementdu vehicule.

– ~FD est une perturbation regroupant toutes les forces de friction, d’attenuation mecanique,etc.

– ~GM est la force de gravitation universelle appliquee a la masse m en M .

Si on neglige l’effet des perturbations ~FD, l’equation (2.7) equivaut alors a

~f =~FRm

= ~aM |I − ~GM (2.8)

ou ~f est appelee force specifique. Il s’agit de la vraie acceleration mesuree par l’accelerometre.

Les accelerometres sont montes orthogonalement dans l’IMU, dont les axes peuvent etre illustrescomme sur la figure (FIG. 2.8). Lorsque cette unite de mesure est egalement solidaire du vehicule,la mesure d’acceleration est faite dans le repere propre, c’est-a-dire le repere mobile (m). Parconsequent, l’accelerometre fait les mesures dans le repere inertiel (I), et celles-ci sont exprimeesdans le repere mobile (m).

En raison du processus de fabrication des capteurs, les mesures sont affectees par des erreurs quivarient dans le temps, la temperature, de meme que par des vibrations provenant du phenomenede la collecte de donnees. L’impact de ces erreurs sur l’exactitude de mesures est etroitementlie a la qualite du capteur et a la technologie utilisee. Neanmoins, un modele de sortie communpeut etre etabli. L’equation (2.9) donne le premier modele general d’ordre 1 de la sortie d’unaccelerometre :

aout = (1 + SFa) · f + ba + na (2.9)

ou

– aout est la sortie de l’accelerometre– SFa est le facteur d’echelle qui affecte la vrai acceleration– ba est le terme de biais– na est le bruit de l’accelerometre

La plupart des accelerometres utilisent des capteurs electromecaniques. Le succes de cette tech-nologie est du aux prix raisonnables, mais aussi parce qu’aucune technologie alternative n’a pului succeder a part les accelerometres a quartz resonant utilises dans le guidage de missiles.[Kayton & Fried, n.d.] decrit plus en detail la realisation technologique et les differents principesde fonctionnement des capteurs inertiels.

Gyroscopes :Le gyroscope est le capteur utilise pour calculer l’attitude d’un systeme de navigation inertielle.Il mesure la vitesse de rotation suivant l’axe ou il est monte, dans le repere (I). Plus de detailssur les differentes technologies de gyroscopes et sur les principes de fonctionnement se trouvent,

21 A. Ndjeng Ndjeng

Page 38: Localisation robuste multi-capteurs et multi-mod`eles

2.3. Localisation a base de capteurs proprioceptifs Etat de l’art

par exemple, dans [Kayton & Fried, n.d.; Grewal et al., 2001]. Le modele general d’ordre 1 desortie d’un gyroscope est donne a l’equation (2.10) :

ωout = (1 + SFω) · ωtrue + bω + nω (2.10)

ou– ωout est la sortie du gyroscope– ωtrue est la vrai vitesse de rotation mesuree par le capteur– SFω est le facteur d’echelle qui affecte la vrai vitesse de rotation– bω est le terme de biais– nω est le bruit du gyroscope

Trois categories de gyroscopes se demarquent aujourd’hui sur le marche : les FOG (Fiber OpticGyros), les RLG (Ring Laser Gyros) et les gyroscopes a MEMS.

– Les FOG :Un gyroscope a fibres optiques (FOG) emploie l’interference de la lumiere pour mesurer lavitesse angulaire. Un FOG est constitue d’un enroulement de la fibre optique. Pour mesurerla rotation, deux faisceaux lumineux sont emis dans l’enroulement, dans des directionsopposees. Si le capteur subit une rotation alors le faisceau qui le parcourt dans le sensde cette rotation aura un parcours plus long que celui du faisceau voyageant dans le sensde la contre-rotation. Ce phenomene, connu sous le nom d’effet de Sagnac, est illustre ala figure (FIG. 2.9). Quand les deux faisceaux sortent de la la fibre ils sont combines. Eneffet, la difference de phase introduite par l’effet de Sagnac occasionne leur interference,ce qui a pour resultat un faisceau combine dont l’intensite depend de la vitesse angulaire.Il est des lors possible de mesurer la vitesse angulaire en mesurant l’intensite du faisceaucombine.

– Les RLG :Des gyroscopes a laser (RLG) sont egalement fondes sur l’effet de Sagnac. La differenceentre un FOG et un RLG est que dans un RLG, des rayons laser sont dirigees autour d’unchemin ferme utilisant des miroirs plutot qu’une fibre optique.La precision d’un gyroscope optique depend en grande partie de la longueur du parcoursde la lumiere (plus cette longueur est grande et meilleure est la precision) ; or elle estcontrainte par la taille du dispositif.

– Les gyroscopes a MEMS :Les gyroscopes optiques ont un nombre de composants important et restent donc chers.En revanche les capteurs a MEMS construits en utilisant des techniques de micro-usinagedu silicium ont un nombre de composants plus faible : un gyroscope a MEMS peut etreconstitue uniquement de trois composants. Ceci en fait des capteurs relativement bonmarche pour la fabrication. Les gyroscopes a MEMS utilisent l’effet de Coriolis, qui ditque dans un repere tournant a la vitesse angulaire ω, une masse m se deplacant a la vitessev subit une force :

Fc = −2m(ω ∧ v) (2.11)

Les gyroscopes a MEMS contiennent des elements vibrants qui mesurent l’effet de Co-riolis. Quand le gyroscope a subit une rotation, la vitesse angulaire peut etre calculee enmesurant la rotation secondaire sur un axe vibrant perpendiculaire a l’axe du capteur.

A. Ndjeng Ndjeng 22

Page 39: Localisation robuste multi-capteurs et multi-mod`eles

Etat de l’art 2.3. Localisation a base de capteurs proprioceptifs

Sortie des faisceaux

Point d’entrée des faisceaux

Fig. 2.9 – L’effet Sagnac. La ligne interrompue est le chemin pris par le faisceau qui parcourt la fibredans le sens de rotation. La ligne continue est le faisceau voyageant contre la rotation. θ est l’angle parlequel le gyroscope tourne tandis que les faisceaux effectuent leurs parcours.

A l’heure actuelle la precision des gyroscopes a MEMS n’egale pas celle des gyroscopesoptiques. Cependant ils offrent un certain nombre d’avantages : une taille reduite, unfaible encombrement spatial, une forte resistance aux chocs, une faible consommation etun faible temps d’initialisation. Plus de details sont fournis dans [Woodman, 2007].

Les mesures des gyroscopes et des accelerometres sont affectees par le meme type d’erreurs.L’impact de ces erreurs sur l’exactitude des mesures depend de la qualite des capteurs quisont utilises. Compare a la dynamique qui est mesuree (pour les vehicules routiers) par cescapteurs, ces erreurs sont souvent faibles, mais puisque les mesures sont integrees, elles diminuentsignificativement la performance de la navigation inertielle au fur et a mesure que le tempsaugmente ; cet impact sera illustre au chapitre (5).

2.3.2.5 Avantages et inconvenients

En somme, les systemes de localisation inertielle presentent de nombreux avantages, maisegalement des inconvenients lies a leur exploitation dans les applications de vehicules intelligents[Abuhadrous, 2005].

Les avantages :– Les plate-formes inertielles peuvent fournir une solution de localisation complete : po-

sition, vitesse, cap, acceleration et rotation, partant d’une configuration initiale connue(par exemple a partir d’un point de la carte connu, ou d’une position GPS).

– Les centrales inertielles sont totalement autonomes et independantes de tout dispositifexterieur.

– Leurs frequences d’echantillonnage elevees en comparaison de celles du GPS (jusqu’a150 Hz) en font des capteurs tres interessants pour la conduite automatisee.

23 A. Ndjeng Ndjeng

Page 40: Localisation robuste multi-capteurs et multi-mod`eles

2.3. Localisation a base de capteurs proprioceptifs Etat de l’art

– Ces systemes tendent a etre miniaturises, reduisant ainsi leur encombrement spatial.De plus la precision de ces systemes est tres bonne a court terme, lorsqu’ils sont bieninitialises.

Les inconvenients :– Une des limites majeures des centrales inertielles est la forte derive due aux effets du

biais et de la marche aleatoire (cf. Chapitre (5)).– La localisation fournie n’est pas absolue. La position et la vitesse sont toujours calculees

relativement a des conditions initiales.

2.3.3 L’odometrie

2.3.3.1 Definition et principe

La localisation par odometrie consiste a integrer les rotations elementaires des roues du vehi-cule pour en deduire une estimation de l’etat courant (position et cap), a partir d’un etat connu[Bonnifait, 2005]. Montes sur les roues du vehicule, les odometres mesurent le nombre de tourseffectues par les roues pendant une periode de temps a travers des codeurs incrementaux. Enpratique, cette information est utilisee sur une courte periode pour en deduire une mesure dela vitesse de rotation des roues. La precision de la mesure depend de la resolution du codeur.A partir de la difference de distance parcourue par la roue droite et la roue gauche, l’odometriedifferentielle permet d’obtenir en plus, une information d’orientation du vehicule, lorsqu’on sup-pose les glissements negligeables. En pratique, ces grandeurs cinematiques sont deduites a partird’un modele d’evolution, lequel sert a fusionner les differentes mesures de capteurs.

2.3.3.2 Modele odometrique de type tricycle du vehicule routier

Dans ce modele, on considere le vehicule comme ayant deux roues arriere et une roue direc-trice avant. Le vecteur d’etat est decrit par la pose [x, y,Ψ]T , ou [x, y]T represente le vecteur deposition, et ψ l’angle de cap. L’angle de braquage de la roue avant est represente par δ, fournipar un codeur dangle au volant couple a un modele de la colonne de direction (cf. figure (FIG.2.10)) ; il souvent utilise pour le calcul de l’angle de cap.Les odometres peuvent etre montes sur les roues arrieres ou sur la roue avant, conduisant res-pectivement aux deux formulations (2.12) et (2.13).

xy

Ψ

=

cos(Ψ)sin(Ψ)

tanδ

l

vlon (2.12)

xy

Ψ

=

cos(Ψ) cos(δ)sin(Ψ) sin(δ)

tanδ

l

vlon (2.13)

ou vlon est la vitesse longitudinale du vehicule et l la distance entre les deux essieux. Noussupposons dans cette etude que la route est plane, parfaitement horizontale (pas de declivite nide devers), qu’il n’y a pas de glissement et que l reste constant. En admettant que l’angle debraquage de la roue directrice est connu a tout instant, et les odometres montes sur les rouesarrieres, on integre dans le temps x, y et ψ pour obtenir la localisation du vehicule entre lesinstants k−1 et k selon l’une des equations (2.15) ou (2.14) [Abuhadrous, 2005; Bonnifait, 2005;Laneurit, 2006].

xk = xk−1 + ∆Tvk cos(Ψk−1)yk = yk−1 + ∆Tvk sin(Ψk−1)

Ψk = Ψk−1 + ∆T1

lvk tan(δk)

(2.14)

A. Ndjeng Ndjeng 24

Page 41: Localisation robuste multi-capteurs et multi-mod`eles

Etat de l’art 2.3. Localisation a base de capteurs proprioceptifs

lonv

latv

kψδ

l

kx

ky

Fig. 2.10 – Modele cinematique de type tricycle

En presence d’un gyrometre et de la mesure de la vitesse de lacet ω, on peut combiner lesinformations odometriques, pour formuler le modele cinematique de l’equation (2.15) :

xk = xk−1 + ∆Tvk cos(Ψk−1 + ∆Tωk/2)yk = yk−1 + ∆Tvk sin(Ψk−1 + ∆Tωk/2)Ψk = Ψk−1 + ∆Tωk

(2.15)

Le terme de la vitesse est obtenu par la formule

vk = vlon =[Ntk −Ntk−1]

∆T×METER PER TOP (2.16)

ouNtk represente la mesure odometrique (nombre de tops) a l’instant k, etMETER PER TOPest le facteur de conversion traduisant la distance parcourue par top (m/top).

Le modele presente dans cette etude est realiste sous la contrainte qu’a tout instant δ ≤ δmax ≤π/2 ; en d’autres termes, l’angle de braquage de la roue directrice doit etre bornee [Latombe,1990; Kelly, 2000]. Cette contrainte peut etre exprimee en fonction du rayon de courbure ins-tantanee maximal Rmax et de la vitesse longitudinale :

|Ψ| ≤ |vlon|Rmax avec Rmax =l

tan(δRmax)(2.17)

2.3.3.3 Avantages et inconvenients de l’odometrie

L’odometrie est aujourd’hui tres repandue en robotique mobile, du fait de sa facile mise enoeuvre, son faible cout ainsi que sa cadence d’acquisition de mesures tres elevee. Ce systeme estautonome et fournit une bonne precision a court terme.

Cependant, une meilleure precision est souhaitable a moyen et long terme. En effet, les systemesutilisant l’odometrie derivent a cause du patinage des roues, des glissements etc. Par consequentles mesures de distance et d’angle accumulent des erreurs avec le temps, mais pas la mesurede la vitesse. Par ailleurs pour avoir une information absolue ou une information en 3D, il faut

25 A. Ndjeng Ndjeng

Page 42: Localisation robuste multi-capteurs et multi-mod`eles

2.4. Approches d’hybridation Etat de l’art

associer un capteur externe (par exemple le GPS).

Toutes les erreurs de l’odometrie peuvent etre divisees en deux categories :– les erreurs systematiques sont dues a un mauvais parametrage mecanique du vehicule ou

des capteurs (diametres de roues differents, longueur de l’entraxe, non alignement desroues, resolution des codeurs, frequence d’echantillonnage inexacte ...)

– les erreurs non systematiques sont liees aux contacts roues/chaussee. Elles presentent uncaractere aleatoire et dependent de la qualite de la chaussee (irregularites, presence verglas...).

2.4 Approches d’hybridation

Dans les paragraphes precedents, nous avons fait un tour d’horizon de quelques capteurs per-mettant a un vehicule d’estimer son deplacement et de se localiser de maniere autonome dans sonenvironnement. A ce jour, les capteurs utilises ont beneficie du developpement de technologiesperformantes (composants integres, fibres optiques, lasers...). La consequence de ce developpe-ment se traduit en particulier par une amelioration de la precision, une miniaturisation et unebaisse des couts de production.

On distingue d’une part la localisation absolue qui utilise des constellations de satellites. Cetteapproche a l’avantage de ne pas diverger a long terme, de couvrir le monde entier (ou presque),et d’etre facilement mise en oeuvre.Cependant, elle reste tres dependante de l’environnement du vehicule (presence ou non dansun canyon urbain, occultation des satellites dans une foret, un tunnel etc.) ; pour une meilleureprecision et une cadence de mesures elevee, il est necessaire d’utiliser des recepteurs tres couteux.

D’autre part, la localisation a l’estime a l’avantage d’etre rapide (cadence de mesures elevee),peu couteuse et beneficie d’une mise en oeuvre facile. En plus, les systemes INS permettentd’obtenir directement la position, la vitesse, les angles et les accelerations.Le principal inconvenient de cette approche est qu’elle diverge a moyen terme. L’odometrie estsensible aux conditions de roulement et ne permet qu’une localisation 2D. Quant a l’INS, seulscertains capteurs tres couteux ont une precision importante.

En prenant en compte les remarques precedentes, il apparaıt clairement que le GPS (capteurexteroceptif) sous ses formes actuelles (LRK, Differentiel,...), ou les capteurs proprioceptifs (odo-metres, IMU) ne sont pas suffisamment precis et robuste pour etre utilises seuls dans une loca-lisation fiable d’un vehicule. Pour repondre a ce probleme, il est imperatif d’utiliser une fusionde ces capteurs de nature differente et plutot complementaire, afin d’ameliorer la precision et larobustesse de la localisation : c’est la localisation hybride. Son principe est d’utiliser des informa-tions exteroceptives (positionnement absolu) pour recaler regulierement (recalage dynamique)l’estimation du systeme de localisation a l’estime. Cette approche permet notamment de pallierles problemes de derives rencontres avec des capteurs proprioceptifs.

De nombreuses techniques de fusion pour la localisation hybride existent dans la litterature. Unetres bonne etude bibliographique en est presentee dans [Gruyer et al., 2004]. On peut regrouperles plus utilisees dans plusieurs categories [Laneurit, 2006] :

1. Les approches analytiques comprenant le filtre de Kalman et ses extensions (cf. Paragraphe(2.5)) : Moindres carres, Kalman etendu etc., ou les filtres a particules. Plus recemment,de nouvelles approches fondees sur une analyse modulaire de l’espace d’evolution ont eteexplorees, c’est la fusion hybride multi-modeles. Elle sera largement presentee dans la suitede cette these (cf. Chapitres (3) et (4)).

A. Ndjeng Ndjeng 26

Page 43: Localisation robuste multi-capteurs et multi-mod`eles

Etat de l’art 2.5. Algorithmes de fusion pour la localisation hybride

2. Les approches ensemblistes : methodes a erreur bornee [Halbwachs, 1997], methode paranalyse d’intervalles [Kieffer, 1999; Seignez et al., 2005].

3. Les approches fondees sur la theorie des croyances [Royere, 2002], [Najjar & Bonnifait,2002] ou la theorie des possibilites [Oussalah, 1998], plus utilisees pour le map-matching.

Dans le Paragraphe (2.5), nous reviendrons brievement sur quelques unes des techniques defusion parmi les plus utilisees. Nous presenterons notamment le filtrage de Kalman et quelquesextensions, ainsi que le filtre a particules classique.

2.5 Algorithmes de fusion pour la localisation hy-

bride

2.5.1 Introduction

Parmi les methodes de fusion pour la localisation connues, les plus utilisees sont fondees surune approche Bayesienne du filtrage [Gruyer et al., 2004]. En effet plusieurs travaux exploitent lefiltre de Kalman etendu EKF 20 comme outil de fusion [Gutmann et al., 1998; Razei & Sengupta,2005; Maybeck, 1990] (adapte aux fonctions non lineaires). Cet estimateur utilise le developpe-ment de Taylor d’ordre 1 des fonctions d’evolution, de mesure et ainsi que la commande dusysteme, pour contourner les non linearites de cette derniere. Ce filtre a montre une certaine fia-bilite dans de nombreuses situations de conduite ; cependant, ses principales limites proviennentd’instabilites causees par une forte non linearite dans le systeme reel et non prise en comptedans le modele. Plus recemment d’autres variantes du filtre de Kalman ont ete presentees dansla litterature. Les plus connues sont l’UKF 21, le DD1 & DD2 22. Une etude tres interessantesde ces methodes est presentees par Mourllion [Mourllion, 2006], qui reprend les travaux de leursinventeurs et en montre une application a la localisation [Mourllion et al., 2005; Wan & Merwe,2000; Julier & Uhlmann, 1997; Ito & Xiong, 2000].Dans ce paragraphe, nous presenterons egalement une approche de filtrage Monte Carlo, a savoirle filtre a particules classique [David, 2004]. Notons que dans toutes ces methodes, l’estimateurutilise un unique modele d’evolution du vehicule (cf. Equation (2.15)).

2.5.2 Le filtrage de Kalman

2.5.2.1 Presentation

Le filtre de Kalman est un outil mathematique recursif permettant d’estimer l’etat d’unprocessus [Kalman, 1960]. Il est recommande lorsque l’imprecision sur les donnees traitees peutetre interpretee comme un bruit aleatoire, dont la distribution est connue a priori. Ce filtrepermet donc de realiser la fusion de donnees imparfaites. Lorsque le systeme est modelise pardes equations lineaires, l’estimation d’etat realisee est optimale au sens de la minimisation de lavariance de l’erreur d’estimation a posteriori. Le filtre de Kalman est donc caracterise par sa ca-pacite a fournir en sortie, l’erreur commise sur l’estimation a travers une matrice de covariance.Il est utilise dans de nombreuses applications dont la fusion de donnees, le suivi de cibles ou lalocalisation [Bonnifait & Garcia, 1996; Gutmann et al., 2001].Dans les systemes de localisation hybride, l’etat du vehicule (position et cap) est estime a partirde donnees de capteurs proprioceptifs et exteroceptifs. En supposant connue a priori la distri-bution des bruits, ce probleme d’estimation se ramene a la resolution d’un systeme d’equationsfondes sur deux modeles : le modele de processus et le modele de mesure. Notre approche de

20Extended Kalman Filter21Unscented Kalman Filter ou filtre de Kalman sans biais22Divided Differences Kalman Filter of 1st and 2nd order

27 A. Ndjeng Ndjeng

Page 44: Localisation robuste multi-capteurs et multi-mod`eles

2.5. Algorithmes de fusion pour la localisation hybride Etat de l’art

la localisation etant numerique, ceci necessite d’exploiter des donnees echantillonnees a traversune version discrete de cet estimateur. Soit la fonction de transition f et la fonction de mesureou d’observation h, le probleme d’estimation se pose ainsi qu’il suit :

Xk|k−1 = f(Xk−1|k−1, uk, wk) wk N (0, Qk)

Yk = h(Xk|k−1, vk) vk N (0, Rk)(2.18)

Xk|k−1 est le vecteur d’etat predit a l’instant k, wk et vk representent respectivement le bruit duprocessus et le bruit de mesure, ils sont supposes blancs Gaussiens, centree et independants avecune matrice de variances-covariances Qk et Rk, respectivement, symetriques definies positive.Le filtre de Kalman est a deux entrees : uk (la commande) et Yk les observations et il se decomposeen trois etapes principales tel qu’illustre a la figure (FIG. 2.11). Si on suppose que le signal utile

Initialisation

CommandeCapteurs proprioceptifs

Données de mise à jourCapteurs extéroceptifs

Prédiction

Correction

00X

11ˆ

−− kkX

kkX

ku

kY1

ˆ−kkX

00P

1−kkP

kkP

11 −− kkP

Fig. 2.11 – Algorithme recursif du filtre de Kalman

X et le signal observe Y peuvent etre representes par un modele d’etat gaussien markovien,alors :

Xk|k−1 = Ak|k−1Xk−1|k−1 +Bkuk + wk wk N (0, Qk)

Yk = HkXk|k−1 + vk vk N (0, Rk)(2.19)

avec :– Ak la matrice d’evolution du systeme de l’instant k − 1 a l’instant k,– Bk la matrice de commande a l’instant k,– Hk la matrice de mesure a l’instant k,– uk la commande supposee connue, a l’instant k,– wk le bruit de processus a l’instant k,– Qk la matrice de variances-covariances du bruit de processus a l’instant k,– vk le bruit de mesure a l’instant k,– Rk la matrice de variances-covariances du bruit de mesure a l’instant k.

Les bruits sont consideres comme independants entre eux et independants de l’etat, Gaussiens,blancs et centres.Soit un modele (Ak|k−1,Bk,Hk,X0,P0,Qk,Rk), etant donne un vecteur de mesures,

Zk = (Yk, uk, Yk, uk, · · · , Y0, u0)

le probleme consiste a chercher un estimateur (optimal) de Xk note Xk|i. Trois situations sedistinguent alors :

A. Ndjeng Ndjeng 28

Page 45: Localisation robuste multi-capteurs et multi-mod`eles

Etat de l’art 2.5. Algorithmes de fusion pour la localisation hybride

Premier cas : k = i⇒ filtrage

Deuxieme cas : k > i⇒ prediction

Troisieme cas : k < i⇒ lissage

2.5.2.2 Implantation

L’implantation du filtre de Kalman est detaillee dans la suite. La table (TAB. 2.2) montresuccessivement les etapes d’initialisation du filtre, la phase de prediction ainsi que la correction.En pratique, le reglage du filtre est effectue de maniere a gerer un compromis : on doit faire

Tab. 2.2 – Le filtrage de Kalman

– Initialisation : dans cette etape, les valeurs initiales du vecteur d’etat, X0, la matrice de variances-covariances de l’erreur d’estimation P0, la matrice de variances-covariances du bruit de processus Q0

ainsi que la matrice de variances-covariances du bruit de mesure R0 sont calculees.

X0 = E[X0]

P0 = E[(X0 − X0)(X0 − X0)T ]

Q0 = E[(w − w)(w − w)T ]R0 = E[(v − v)(v − v)T ]

(2.20)

∀k ∈ [1, . . . ,∞[– Prediction :

Xk|k−1 = Ak|k−1Xk−1|k−1 +Bk−1uk−1

Pk|k−1 = Ak|k−1Pk−1|k−1ATk|k−1 +Qk−1

(2.21)

– Correction :Kk = Pk|k−1H

Tk

[HkPk|k−1H

Tk +Rk

]−1

Xk|k = Xk|k−1 +Kk

[Yk −HkXk|k−1

]

Pk|k = (I −KkHk)Pk|k−1

(2.22)

ou Kk represente le gain de Kalman a l’instant k, I est la matrice identite de meme taille que Pk|k−1.

croıtre artificiellement Pk|i en evitant l’inconsistance du filtre, et sans toutefois perdre l’infor-mation sur l’estimee [Mourllion, 2006; Lefebre et al., 2004].

2.5.2.3 Remarques et conclusion

Le filtre de Kalman est optimal au sens du minimum de variance a posteriori pour l’es-timation des systemes lineaires. Il ne tient compte que de l’etat precedent et s’appuie sur unmodele d’evolution du systeme. Afin d’assurer la stabilite et une convergence rapide du filtre,une attention particuliere est accordee au reglage de l’algorithme, et notamment l’evaluation dubruit de processus. Malheureusement, il est difficile d’utiliser des modeles de processus lineairespour la localisation des vehicules routiers car ceux-ci sont tres manIJuvrant. Par linearisation dusysteme autour de l’estimee a un instant donne, on obtient des estimateurs certes sous optimaux,mais mieux adaptes a notre problematique, et dont le plus connu est le filtre de Kalman etendu(EKF).

2.5.3 Filtre de Kalman etendu

2.5.3.1 Presentation

La section (2.5.2) a presente le filtre de Kalman adapte a un systeme lineaire (la fonctiond’evolution f et la fonction de mesure h sont lineaires). Or, comme nous le disions, les systemesreels sur une scene routiere ont une evolution non lineaire. Des lors, dans le systeme d’equations

29 A. Ndjeng Ndjeng

Page 46: Localisation robuste multi-capteurs et multi-mod`eles

2.5. Algorithmes de fusion pour la localisation hybride Etat de l’art

(2.18) les fonctions f et/ou h sont non lineaires. Ces non linearites presentes dans le systemerendent inapplicable le filtre de Kalman classique, il devient donc necessaire de l’adapter. Unedes approches les plus intuitives est de lineariser les fonctions non lineaires a travers un develop-pement de Taylor autour de l’etat estime ; on se retrouve alors dans un cas similaire a un filtragede Kalman lineaire classique, c’est le Filtrage de Kalman etendu (EKF). Cette approche estimplantee de facon analogue au filtrage de Kalman classique. La seule difference concerne l’uti-lisation des matrices issues des fonctions d’evolution et de mesures. Dans un filtre de Kalmanclassique, les matrices Ak et Hk sont directement issues des fonctions d’evolution, de mesureet de commande. A l’oppose, dans un EKF estimant un processus non lineaire, ces matricesrepresentent des Jacobiennes des fonctions du systeme.

2.5.3.2 Implantation

L’implantation du filtre EKF est detaillee dans la table (TAB. 2.3). En plus des etapespresentees a la table (TAB. 2.2), nous montrons ici, les differentes equations d’obtention desmatrices Jacobiennes du systeme.

Tab. 2.3 – Algorithme EKF– Initialisation :

X0 = E[X0]

P0 = E[(X0 − X0)(X0 − X0)T ]

Q0 = E[(w − w)(w − w)T ]R0 = E[(v − v)(v − v)T ]

(2.23)

∀k ∈ [1, . . . ,∞[– Calcul des matrices Jacobiennes des fonctions du systeme :

Axk= ∇xf(X,uk, w)|

X=Xk−1|k−1

Hk = ∇xh(X, v)|X=Xk|k

(2.24)

– Prediction :Xk|k−1 = f(Xk−1|k−1, uk, w)Pk|k−1 = Axk

Pk−1|k−1ATxk

+Qk−1(2.25)

– Correction :Kk = Pk|k−1H

Tk

[HkPk|k−1H

Tk +Rk

]−1

Xk|k = Xk|k−1 +Kk

[

Yk − h(Xk|k−1, vk)]

Pk|k = (I −KkHk)Pk|k−1

(2.26)

Kk est le gain du filtre.

2.5.3.3 Remarques et conclusion

L’EKF suit le meme principe que le filtrage de Kalman classique. Seule la linearisation ap-porte une modification : les matrices d’evolution et de mesure sont des Jacobiennes des fonctionsnon lineaires utilisees. Cette variante du filtrage de Kalman est son adaptation aux systemesnon linaires la plus connue.Les limites de cette approche concernent entre autres :

– la condition de derivabilite des fonctions non lineaires du systeme qui n’est pas toujourssatisfaite, le calcul des matrices Jacobiennes pouvant alors s’averer impossible ;

– la linearisation au premier ordre (serie de Taylor) peut tronquer des termes significatifs(non linearites d’ordre 2 et plus)

A. Ndjeng Ndjeng 30

Page 47: Localisation robuste multi-capteurs et multi-mod`eles

Etat de l’art 2.5. Algorithmes de fusion pour la localisation hybride

Enfin, il est important de remarquer qu’avec ce filtre etendu, rien ne permet d’affirmer la conver-gence. En effet, si le passage d’une estimation a une autre tend a sortir de la zone de linearite,alors le modele linearise n’est plus valable et il est possible que le filtre diverge.

2.5.4 Filtre de Kalman inodore (UKF)

2.5.4.1 Fondement

La Scaled Unscented Transformation (SUT) est une methode de calcul des statistiques d’unevariable aleatoire qui suit une transformation non lineaire [Julier & Uhlmann, 1997]. Nousconsiderons une variable X qui se propage aleatoirement a travers une fonction non lineairef , Z = f(X). On choisit un ensemble de points sigma, deterministes, de moyenne X (moyennede X) et de covariance PXX (la covariance de X). La fonction non lineaire est appliquee achaque point pour produire un nuage de points transformes ayant les statistiques Z et le Pzz,tel qu’illustre a la figure (FIG. 2.12).

La variable aleatoire X de dimension n est approchee par 2n+1 points ponderes qui sont utilises

Fonction non linéaire

Fig. 2.12 – Principe de la transformation SUT

pour calculer les statistiques de Z et definis dans les equations suivantes. Pour le i = 0 · · ·n

X0 = X W(m)0 =

κ

(n+ λ)

W(c)0 =

κ

(n+ λ)+ 1− α2 + β

Xi = X + (√

(n+ κ)Pxx)i W(m)i = W

(c)i =

1

2(n+ λ)

Xi+n = X − (√

(n+ κ)Pxx)i W(m)i+n == W

(c)i+n =

1

2(n+ λ)

(2.27)

ou λ = α2(n+κ)−n est le premier parametre d’echelle ; κ ∈ R est le second parametre d’echelle.α, tel que 0 < α < 1, est le parametre de repartition des sigma points autour de X. β ≥ 0est utilise pour prendre en compte la connaissance a priori de la distribution de X. Pour unedistribution gaussienne, par exemple, β = 2 est une valeur appropriee [Julier & Uhlmann, 1997].(√

(n+ κ)Pxx) est la ie ligne ou colonne de la racine carree matricielle de (n + κ)Pxx (facteurde Cholesky triangulaire inferieur). Wi est le poids du ie point.

31 A. Ndjeng Ndjeng

Page 48: Localisation robuste multi-capteurs et multi-mod`eles

2.5. Algorithmes de fusion pour la localisation hybride Etat de l’art

La transformation est construite suivant les etapes ci-dessous :– Les points Sigma sont propages a travers la fonction non lineaire. Pour i = 0, · · · , 2n

Yi = f [Xi] (2.28)

– La moyenne est calculee :

Y =2n∑

i=0

W(m)i Yi (2.29)

– La covariance :

Pyy =2n∑

i=0

W(c)i [Yi − Y ][Yi − Y ]T (2.30)

2.5.4.2 Implantation

Le filtre UKF est fonde sur l’utilisation de la SUT. Cette transformation repose sur l’ideequ’il est plus simple d’approcher une distribution gaussienne que d’approcher une fonction ouune transformation non lineaire. L’implantation de l’UKF est presentee a la table (TAB. 2.4).

2.5.4.3 Remarque et conclusion

Cette approche a ete developpee initialement pour traiter les cas fortement non lineaires enevitant la phase de linearisation faite dans l’EKF. En fait le principe de ce filtre est de prendre unensemble de points sigma caracterisant les statistiques des donnees en entree et d’obtenir ainsiune meilleure representation de cette connaissance. Cependant, la propriete d’independance desmesures n’est pas valide. En effet, dans la phase de prediction, les donnees utilisees proviennentde capteurs odometriques et d’une IMU (cf. modele d’evolution a l’Equation (2.14), ce quisignifie que ces mesures (vitesse −→ distance et vitesse de lacet −→ angle de cap) sont dans unreferentiel polaire. La transformation qui va les ramener dans un repere cartesien va entraınerune dependance entre les variables d’etats.La figure (FIG. 2.13) presente la difference entre l’approche EKF et l’approche UKF, concernant

Fig. 2.13 – Principe de conversion des donnees de l’espace polaire vers l’espace cartesien, pour EKFet UKF

l’integration des donnees odometriques r et gyroscopiques θ a travers la fonction non lineairef . Une etude recente a montre que ce filtre n’est pas tres adapte a la problematique de lalocalisation a l’estime [Mourllion et al., 2005]. En effet, L’UKF presente, dans ces conditions,un retard spatial du a la strategie de conversion des mesures de l’espace polaire vers l’espacecartesien. Ce retard s’accumule dans le temps et degrade la qualite de ce filtre en comparaison,par exemple, a l’EKF. Nous reviendrons sur ces aspects de comparaisons au chapitre (6).

A. Ndjeng Ndjeng 32

Page 49: Localisation robuste multi-capteurs et multi-mod`eles

Etat de l’art 2.5. Algorithmes de fusion pour la localisation hybride

Tab. 2.4 – Algorithme UKF– Initialisation :

Cf. Table (TAB. 2.3)∀k ∈ [1, . . . ,∞[,

– Prediction - Correction :

[a] Calcul des Sigma points

Xk−1|k−1 =[

Xk−1|k−1 Xk−1|k−1 ± ξ√

Pk−1|k−1

]

(2.31)

[b] Prediction

Xk|k−1 = f [Xk−1|k−1, uk−1]

Xk|k−1 =

2n∑

i=0

W(m)i Xk|k−1,i

Pk|k−1 =

2n∑

i=0

W(c)i

[

Xk|k−1,i − Xk|k−1

] [

Xk|k−1,i − Xk|k−1

]T

+Qk

X ∗k|k−1 =

[

Xk−1|k−1 Xk−1|k−1 ± ξ√Pk−1|k−1

]

Zk = h[X ∗k|k−1]

Zk =

2n∑

i=0

W(m)i Zk,i

(2.32)

[c] Correction

PZkZk=

2n∑

i=0

W(c)i [Zk,i − Zk][Zk,i − Zk]T

PXk|k−1Zk=

2n∑

i=0

W(c)i [X ∗

k|k−1,i − Xk|k−1][Zk,i − Zk]T

Kk = PXk|k−1ZkP−1

ZkZk

Xk|k = Xk|k−1 +Kk(Zk − Zk)Pk|k = Pk|k−1 −KkPZkZk

KTk

(2.33)

ξ =√L+ λ, L la dimension de l’etat.

33 A. Ndjeng Ndjeng

Page 50: Localisation robuste multi-capteurs et multi-mod`eles

2.5. Algorithmes de fusion pour la localisation hybride Etat de l’art

2.5.5 Filtre DD1 & DD2

2.5.5.1 Introduction

La formulation de ces filtres a ete proposee par Norgaard [Norgaard et al., 2000]. Le DD1et le DD2 sont fondes sur l’interpolation de Stirling, et leurs methodes d’implantation sont tressemblables. Dans le DD1, nous sommes limites a l’ordre 1 et dans le DD2 les fonctions sontinterpolees a l’ordre 2. Les filtres DD1 & DD2 different de l’EKF par le fait que les matricesJacobiennes sont ici remplacees par les differences divisees.

2.5.5.2 L’interpolation de Stirling

L’interpolation de Stirling est obtenue sur la base des deux operateurs presentes a l’Equation(2.34) et a l’Equation (2.35). Considerons un intervalle de dimension 1 de longueur ξ :

δf(X) = f(X +ξ

2)− f(X − ξ

2) (2.34)

µf(X) =1

2(f(X +

ξ

2) + f(X − ξ

2)) (2.35)

La formule de l’interpolation de Stirling est obtenue en appliquant les deux operateurs ci-dessusa la valeur moyenne µX et non directement a X. L’interpolation donne alors, si on calcule jusqu’al’ordre 2 :

f(X) ≃ f(µX) + f(′)DD(µX)(X − µX) +

f(′′)DD(µX)

2!(X − µX)2 (2.36)

ou µX est la valeur moyenne de la distribution X et

f(′)DD(µX) =

f(µX + ξ)− f(µX − ξ)2ξ

(2.37)

f(′′)DD(µX) =

f(µX + ξ) + f(µX − ξ)− 2f(µX)

ξ2(2.38)

2.5.5.3 Implantation

Au depart, une decomposition de Cholesky est introduite afin de calculer les parametressuivants :Matrice de covariance du bruit de processus :

Q = SwSTw (2.39)

Matrice de covariance du bruit de mesure :

R = SvSTv (2.40)

Matrice de covariance predite de l’erreur d’estimation :

Pk|k−1 = SXk|k−1STXk|k−1

(2.41)

Matrice de covariance corrigee de l’erreur d’estimation :

Pk|k = SXk|kSTXk|k

(2.42)

S.j represente la colonne j des matrices des differences divisees S... Ces matrices sont definies tantpour DD1 que pour DD2 et presentees dans la table (TAB. 2.5). L’algorithme d’implantationde DD1 et DD2 est presentee a la table (TAB. 2.6).

A. Ndjeng Ndjeng 34

Page 51: Localisation robuste multi-capteurs et multi-mod`eles

Etat de l’art 2.5. Algorithmes de fusion pour la localisation hybride

Tab. 2.5 – Matrices caracteristiques pour DD1 & DD2– Matrices caracteristiques pour le premier ordre :

S(1)

XX(i, j) =

(

fi(Xk + ξSXk|k,j , uk, wk)− fi(Xk − ξSXk|k,j , uk, wk))

/2ξ

S(1)Xw(i, j) =

(

fi(Xk, uk, wk + ξSw,j)− fi(Xk, uk, wk − ξSw,j))

/2ξ

S(1)ZX(i, j) =

(

hi(Xk + ξSXk|k−1,j , vk)− hi(Xk − ξSXk|k−1,j , vk))

/2ξ

S(1)Zv (i, j) =

(

hi(Xk, vk + ξSv,j)− hi(Xk, vk − ξSv,j))

/2ξ

(2.43)

– Matrices caracteristiques pour le second ordre :

S(2)

XX(i, j) =

ξ2 − 1

2ξ2

(

fi(Xk + ξSXk|k,j , uk, wk) + fi(Xk − ξSXk|k,j , uk, wk)− 2fi(Xk, uk, wk))

S(2)Xw(i, j) =

ξ2 − 1

2ξ2

(

fi(Xk, uk, wk + ξSw,j)− fi(Xk, uk, wk + ξSw,j)− fi(Xk, uk, wk))

S(2)ZX(i, j) =

ξ2 − 1

2ξ2

(

hi(Xk + ξSXk|k−1,j , vk) + hi(Xk − ξSXk|k−1,j , vk)− 2hi(Xk, vk))

S(2)Zv (i, j) =

ξ2 − 1

2ξ2

(

hi(Xk, vk + ξSv,j) + hi(Xk, vk − ξSv,j)− 2hi(Xk, vk))

(2.44)

Tab. 2.6 – Algorithmes DD1 & DD2– Initialisation :

Cf. table (TAB. 2.3)– Prediction : ∀k ∈ [1, . . . ,∞[

Xk|k−1 = f(Xk−1|k−1, uk, wk) (2.45)

Calculer S(1,2)

XX, S

(1,2)Xw (table (2.5))

Calculer SXk|k−1par triangulation Householder.

– Correction :Calculer Zk, S

(1ou2)ZX et S

(1ou2)Zv (cf. table (TAB. 2.5))

Ensuite, PZZ et SZ .Le gain de Kalman Kk est obtenu en resolvant l’equation

Kk[SzSTz ] = Pxz (2.46)

Xk|k est obtenu par

Xk|k = Xk|k−1 +Kk(zk − zk) (2.47)

Calculer enfin SXk|kpar triangulation Householder afin d’obtenir Pk|k.

35 A. Ndjeng Ndjeng

Page 52: Localisation robuste multi-capteurs et multi-mod`eles

2.5. Algorithmes de fusion pour la localisation hybride Etat de l’art

2.5.5.4 Remarques et conclusion

Des tests menes montrent que le DD2 fait apparaıtre les memes problemes de retard quel’UKF. Or, le DD1 fournit un positionnement equivalent a l’EKF. Les filtres d’ordre 1 (DD1 etEKF) permettent d’obtenir un ensemble de positions probables generalement plus precises, avecune ellipse d’imprecision plus petite que ce qui est fourni par les filtres d’ordre 2. Ces elementsde comparaison seront largement commentes au chapitre 6.

2.5.6 Filtre a particules

2.5.6.1 Introduction

Le filtrage a particules ou methode de Monte Carlo sequentielle [Doucet et al., 2001] est unetechnique tres efficace pour estimer sequentiellement l’etat cache d’un systeme dynamique nonlineaire. Le calcul de cette estimation depend de la densite de probabilite a posteriori de l’etatcache sachant les observations. Cependant, dans le cas d’un systeme dynamique non lineairecette densite ne peut pas etre determinee analytiquement ; il faut utiliser des approximationsnumeriques. Le filtrage particulaire fait une approximation de la densite a posteriori avec desechantillons ponderes appeles particules, qui evoluent dans le temps selon les lois dynamiques dusysteme considere. Cette evolution permet l’estimation sequentielle de l’etat cache. A la differencedes variantes du filtrage de Kalman presentees plus haut, le filtre a particules classique ne faitaucune hypothese sur le systeme ni sur les densites de probabilite (le systeme peut etre nonlineaire et non Gaussien).

Remarques :

– L’avantage principal de ce filtre est qu’il peut traiter des cas de fortes non linearites (dansles modeles de vehicules routiers) et des cas de densites de probabilite non gaussiennes (ilest parfois necessaire d’utiliser des densites de probabilite non gaussiennes afin de resoudreles problemes d’initialisation [Zamora-Izquierdo et al., 2008]).

– L’implantation du filtre a particules pose quelques problemes, notamment la degeneres-cence de particules (qui peut etre resolue grace a un re echantillonnage).

– Le filtre a particules necessite beaucoup plus de temps de calcul qu’un EKF classique.– La precision de ce type de filtre depend du nombre de particules utilisees.

2.5.6.2 Implantation

Pour ce filtre, nous utilisons le meme vecteur d’etat, la meme commande, la meme fonctiond’evolution et le meme ensemble des capteurs que dans les approches precedentes. L’algorithmedu filtrage particulaire est resume a la table (TAB. 2.7).

2.5.6.3 Conclusion

L’utilisation du filtre a particules en localisation necessite un espace memoire ajustable enfonction du type de la precision voulue [Seignez, 2006]. Dans notre etude, le filtre qui a ete testecomporte 1000 particules. Ce nombre peut evoluer au cours de l’experimentation en fonction dela qualite de la localisation.Un des inconvenients majeurs de cette approche est qu’elle utilise des donnees aleatoires danstoutes les etapes de l’algorithme, soit pour bruiter les donnees odometriques (prediction), soitpour re-echantillonner les particules (correction). Par ailleurs, si aucune particule ne se trouve surla configuration reelle du vehicule apres plusieurs estimations, alors le filtre peut tout simplementdiverger.

A. Ndjeng Ndjeng 36

Page 53: Localisation robuste multi-capteurs et multi-mod`eles

Etat de l’art 2.5. Algorithmes de fusion pour la localisation hybride

Tab. 2.7 – Algorithme du filtre a particules– Initialisation :

La position peut etre initialisee a partir des premiers points GPS. Pour generer des particules, une dis-tribution gaussienne dont la moyenne est la position initiale et dont la matrice de variances-covariancesest

P (0) =

[σ2

x 00 σ2

x

]

(2.48)

Dans l’equation (2.48), σ· est l’ecart-type en position dans chaque direction. N particules sontgenerees, leurs positions etant reparties suivant une distribution gaussienne de variances-covariancesP (0). Pour chaque particule, un angle de cap est aussi obtenu aleatoirement. Le poids de chaqueparticule est 1/N.

– Prediction :Comme pour les filtres de Kalman, la prediction de la pose entre l’instant k − 1 et k est donnee enutilisant la meme fonction d’evolution f utilisee a l’equation (2.18). Cependant, cette prediction estoperee pour chaque particule i selon l’equation

X(i)k = f(X

(i)k−1, u

(i)k , w

(i)k ) w(i)

N (0, Q(i)k ) (2.49)

Dans l’equation (2.49), tous les bruits w(i)k sont mutuellement independants entre les particules et aussi

dans le temps. Pour estimer le vecteur d’etat et sa matrice de variances-covariances, on pose :

Xk =N∑

i=1

ω(i)k X

(i)k

P(i)k =

N∑

i=1

ω(i)k

(

(X(i)k − Xk)(X

(i)k − Xk)T

)(2.50)

ou ω(i)k est le poids de la particule i a l’instant k.

– Correction :Yk est le vecteur d’observations a l’instant k. On suppose que la loi d’observation est Gaussienne,c’est-a-dire

p(Yk|Xk) N (Hk, Rk) (2.51)

On calcule alors recursivement de nouveaux poids, mais en gardant les memes particules (ce processusaugmente le poids de la particule la plus probable) :

ω∗(i)k = ω

(i)k p(Yk|X(i)

k ) (2.52)

c’est-a-dire

ω∗(i)k|k−1 = ω

(i)k−1|k−1

1√det 2πRk

exp

(

−1

2(Yk −HkX

(i)k|k−1)

TR−1k (Yk −HkX

(i)k|k−1)

) (2.53)

Le symbole ∗ dans les equations (2.52) et (2.53) indique des poids pas encore normalises. Des que lespoids ont ete actualises, le vecteur d’etat et sa matrice de variances-covariances sont obtenus a partirde l’equation (2.50).

37 A. Ndjeng Ndjeng

Page 54: Localisation robuste multi-capteurs et multi-mod`eles

2.6. Conclusion Etat de l’art

2.6 Conclusion

Ce chapitre a montre qu’il existe de nombreuses techniques pour la localisation relative,absolue ou hybride d’objets mobiles dans un environnement connu ou inconnu. Chacune de cesmethodes propose une gestion complete ou partielle des imperfections sur les donnees provenantdes capteurs afin d’estimer la localisation d’un vehicule. Les approches presentees sont essentiel-lement fondees sur une modelisation gaussienne des bruits et des incertitudes.De part l’approche mono-modele du processus d’evolution du vehicule presentee, pour realiserune localisation fiable, il est necessaire que le modele utilise decrive toute la situation reelleobservee. Par consequent cette modelisation doit prendre en compte un nombre adequat deparametres et d’hypotheses qui affectent et decrivent le comportement du vehicule. Les mo-deles ont un domaine d’application specifique et leur complexite peut fortement croıtre avecle nombre de parametres ou d’hypotheses consideres. Une solution a ce probleme est proposeedans [Julier, 1997]. En decomposant l’espace d’evolution du vehicule, on arrive a optimiser desmodeles dynamiques simples pour differentes manoeuvres du vehicule. A partir d’une fusion dedonnees des capteurs, il est possible de caracteriser a chaque instant l’influence de chaque modeledans le systeme, avant de proceder a une combinaison des sorties : c’est la localisation hybridemulti-modeles, qui est presentee au chapitre (3).

A. Ndjeng Ndjeng 38

Page 55: Localisation robuste multi-capteurs et multi-mod`eles

Chapitre 3

Fusion hybride multi-modeles

[Ndjeng et al., 2007, 2008b]

3.1 Introduction

Le chapitre (2) a presente de nombreuses approches de localisation mono ou multi-capteurs.Parmi celles-ci, les techniques fondees sur la fusion hybride multi-capteurs connaissent un reelessor dans le domaine des applications de la conduite automatisee. Un des interets principaux deces approches repose sur la gestion des imperfections entre les differentes ressources embarquees,en exploitant la redondance et la complementarite des informations.Or, l’ensemble de ces methodes de fusion pour la localisation utilise un unique modele d’evolu-tion non lineaire. Pour se rapprocher au mieux du cas reel tout en restant robuste, ce type demodelisation doit prendre en compte un nombre important de parametres et d’hypotheses quidecrivent le systeme reel. La consequence en est que la complexite d’une telle modelisation peutcroıtre tres vite en fonction du nombre d’hypotheses qui sont prises en compte.

Pouvoir modeliser des systemes complexes est souvent tres difficile, et cela releve generalementd’une approximation des phenomenes physiques mis en jeu. Dans la realite, chaque systemecomplexe peut etre theoriquement decompose en plusieurs modeles plus simples et plus faciles amettre en oeuvre. Ainsi chacun de ces sous modeles du systeme considere representera son fonc-tionnement sur un sous espace ou mode de fonctionnement. L’utilisation de la complementariteet de la redondance de ces sous modeles permettra alors, apres une etape de fusion, de couvrirl’espace de fonctionnement se rapprochant d’une modelisation complexe du systeme.Cette facon de traiter les problemes complexes par une approche multi-modeles est apparue aumilieu des annees 60 et est tres largement exposee dans la litterature. En effet depuis les travauxde Magill [Magill, 1965] avec les multi-modeles dits autonomes, ces techniques ont ete appliqueesdans d’innombrables domaines. Il s’agit entre autres de la modelisation des systemes dynamiquesfortement manIJuvrant et de l’estimation. D’autres applications portent sur le controle et le diag-nostique de systemes etc. L’approche multi-modeles a connu un franc succes, notamment dans

39

Page 56: Localisation robuste multi-capteurs et multi-mod`eles

3.2. Estimation multi-modeles Approches multi-modeles

les fonctions de pistage de cibles aeriennes ou de controle du trafic aerien. En effet, les objets apister et les systemes de mesures ayant fortement evolue (mobilite accrue, complexification desmanoeuvres, furtivite des structures et systemes multi-capteurs), il a ete mis en evidence queles algorithmes classiques de suivi fondes sur le filtrage mono-modele devenaient peu adaptes aces nouveaux systemes. Les avancees apportees par Blom [Blom, 1984] avec les multi modelesdits cooperatifs et ayant abouti a l’algorithme IMM (Multi-Modeles Interactifs) ont permis depopulariser ces nouvelles approches. L’IMM a principalement ete appliquee pour resoudre desproblemes de suivi d’objet ayant une dynamique fortement non lineaire. Ceci est, entre autre, lecas des objets de type vehicules routiers, avions et missiles. Blom et Bar Shalom, ainsi que desequipes de l’ONERA ont utilise cette technique avec succes depuis de nombreuses annees surtoutpour des applications militaires. Celles-ci traitent surtout les problemes de suivi de trajectoirede cibles ayant des changements frequents de comportement [Bar-Shalom & Li, 1993; Blackman& Popoli, 1999; Pannetier, 2006].

Dans les applications sur des vehicules routiers, Toledo-Moreo [Moreo et al., 2007] montre qu’ilest possible d’ameliorer l’integrite des systemes de navigation utilisant soit des capteurs GNSS,soit des capteurs inertiels ou alors la fusion des deux, en utilisant une approche multi-capteurset multi-modeles. Kaempschen [Kaempchen et al., 2004] presente un systeme IMM qui assurela fonction de suivi de vehicules routiers a partir d’un systeme video integre sur un autre ve-hicule. Un autre exemple interessant montre dans [Zhao & Thorpe, 1998], un algorithme IMMpermettant de detecter des manoeuvres de changement de voie a base de signaux laser, radar etde la vision. L’utilisation de l’IMM a permis de rendre plus robuste la localisation de vehiculeset notamment, au cours des manoeuvres de type parking, ou de fortes perturbations externes[Ndjeng et al., 2007, 2008b].

Ce chapitre revient sur les generalites des systemes multi-modeles et presente l’algorithme IMM.Celui-ci s’inspire principalement de la methode de fusion MHT1. Nous presentons egalementla derivation des differents modeles cinematiques utilises et modeles de bruits associes dansl’architecture de l’IMM, ainsi que quelques resultats experimentaux en localisation.

3.2 Estimation multi-modeles

3.2.1 Introduction

Les approches multi-modeles offrent un nombre important d’avantages par rapport aux ap-proches mono modeles. En effet, l’utilisation de modeles multiples permet d’adopter une visionmodulaire d’un probleme. Plutot que de developper un modele complexe qui doit prendre encompte tous les types de comportements possibles du systeme reel, un certain nombre de modelesplus simples permettent de reduire la complexite en partitionnant l’espace de fonctionnement.Chaque modele a alors ses propres proprietes et en les combinant nous obtenons une represen-tation plus exhaustive de l’espace de fonctionnement du systeme. Le choix d’une strategie defusion de donnees appropriee des sorties de chaque modele permet alors d’obtenir une estimationde l’etat du systeme. De plus l’utilisation de la redondance de certains modeles sur une partiede leur espace de fonctionnement permet d’ameliorer la fiabilite et la robustesse de l’estimationdu systeme. La figure (FIG. 3.1) nous montre un exemple de decomposition de l’espace de fonc-tionnement et la deduction de l’espace d’interet.Remarque : Afin de mieux cerner les systemes multi-modeles, nous distinguons expressementles regimes de fonctionnement d’un systeme ou modes d’evolution (dans le cas de la robotiquemobile) des modeles d’evolution. Les modes representent qualitativement le systeme, alors que

1Multi-Hypothesis Testing

A. Ndjeng Ndjeng 40

Page 57: Localisation robuste multi-capteurs et multi-mod`eles

Approches multi-modeles 3.2. Estimation multi-modeles

les modeles (systemes d’equations) sont une formulation mathematique, et donc une approxi-mation, de leur evolution dans un mode (regime) donne.

Dans ce probleme d’estimation multi-modeles, 4 principales strategies ont initialement ete pro-

Espace de fonctionnement du système

Sou

s-es

pace

d’

appl

icat

ion

du m

odèl

e 1

Sous-espace d’application du modèle 3

Sous-espace d’application du modèle 2

Fig. 3.1 – Decomposition de l’espace de fonctionnement

posees. Celles-ci sont antecedentes a l’algorithme IMM qui s’inspire du test multi-hypotheses etde la fusion multi-modeles. Ces strategies sont :

1. la commutation multi-modeles

2. la detection multi-modeles

3. le test multi-hypotheses

4. la fusion de modeles

Bien que les details de ces strategies soient differents, les trois premieres emploient fondamen-talement la meme approche. Le concepteur indique un ensemble de modeles. A chaque iterationun seul de ces modeles est considere comme correct et tous les autres sont incorrects. Ces dif-ferentes strategies emploient differents types de tests pour identifier quel est le modele correct.Une fois que celui-ci a ete identifie, l’information de tous les autres modeles est negligee. Laderniere strategie (fusion multi-modeles), quant a elle, utilise les modeles du processus commesources d’information et les predictions de leurs evolutions sont considerees comme des mesuresprovenant de capteurs virtuels. Par consequent, la fusion multi-modeles peut etre vue commeune strategie de fusion multi-capteurs. Un algorithme de mise a jour des donnees fonde sur lefiltre de Kalman ou un des filtres derives peut alors etre employe pour fusionner les differentesestimations des systemes.

3.2.2 Position du probleme et formulation de l’approche

On considere un ensemble de Nm modeles d’evolution fondes chacun sur une hypothesesimple2 et unique. On obtient alors Nm systemes approximatifs, fondes chacun sur un modeled’evolution. Le i(eme) systeme est ainsi decrit en utilisant le modele d’evolution a l’equation

2les hypotheses sont de type : le mobile a une acceleration constante, ou encore le mobile prend unvirage a vitesse constante etc.

41 A. Ndjeng Ndjeng

Page 58: Localisation robuste multi-capteurs et multi-mod`eles

3.2. Estimation multi-modeles Approches multi-modeles

(3.1) et le modele de mesure a l’equation (3.2) :

X(i)(k|k − 1) = f (i)(X(i)(k − 1|k − 1), u(i)(k), w(i)(k)) i ∈ [1 · · ·Nm] (3.1)

Y (i)(k) = h(i)(X(i)(k|k − 1), v(i)(k)) (3.2)

X(i)(k|k − 1) est le vecteur d’etat predit a l’instant k du ieme modele candidat. En localisationde vehicules routiers, par exemple, ce vecteur peut s’exprimer comme

X(i)(k|k − 1) = [x(i)(k|k − 1), y(i)(k|k − 1), x(i)(k|k − 1), y(i)(k|k − 1)]T

avec[x(i)(k|k − 1), y(i)(k|k − 1)]T les coordonnees de position[x(i)(k|k − 1), y(i)(k|k − 1)]T le vecteur vitesseu(i)(k) le vecteur de commande a l’instant kw(i)(k) et v(i)(k) le bruit de processus et de mesure, respectivement, consideres comme blancs,gaussiens, centres et independantsY (i)(k) est le vecteur de mesures du modele i.

L’espace d’etat du systeme approximatif est lie au veritable etat de systeme reel Xr, en utilisantl’equation structurelle suivante :

X(i)(k) = g(i)(X(i)r (k|k − 1)) (3.3)

Le probleme consiste alors a trouver l’estimation d’une variable d’interet X(k|k) avec une co-variance PXX(k|k) qui prend en compte tous les modeles approches, et tels que la trace de lamatrice de covariance PXX(k|k) soit minimisee. La strategie n’est pas limitee simplement a lacombinaison des estimations pour la construction de la mise a jour du vecteur d’etat. Elle peutegalement etre rebouclee et utilisee par chacun des systemes d’approximation afin d’avoir uneinfluence sur leurs estimations.

Deux proprietes doivent etre satisfaites pour s’assurer du bon fonctionnement du systeme multi-modeles. Si on suppose que l’espace de fonctionnement du systeme et la zone d’applicabilite desmodeles sont connus, alors :

Propriete 1 : l’estimation doit etre consistante. Les estimations deviennent inconsistantes quandle decalage entre la covariance estimee et la covariance vraie devient important.

Propriete 2 : l’augmentation de la complexite du filtre en utilisant plusieurs modeles au lieud’un seul modele doit entraıner une meilleure performance, notamment en termes de ro-bustesse.

Dans la section suivante, nous presentons les strategies d’estimation multi-modeles les plus cou-rantes.

3.2.3 Methodes d’estimation multi-modeles

3.2.3.1 Estimation multi-modeles par commutation

L’approche la plus simple pour l’estimation multi-modeles est la commutation entre modeles.Cette approche est simple et facilite l’utilisation d’un grand nombre de modeles. L’idee princi-pale est illustree a la figure (FIG. 3.2).Nous disposons initialement de Nm filtres avec un modele d’evolution par filtre. Tous les filtresfonctionnent independamment les uns des autres en parallele, et appliquent les memes etapes detraitement des donnees. Chaque filtre enchaıne les etapes de prediction, de correction et d’esti-mation du vecteur d’etat du systeme. La combinaison des informations des differents modeles

A. Ndjeng Ndjeng 42

Page 59: Localisation robuste multi-capteurs et multi-mod`eles

Approches multi-modeles 3.2. Estimation multi-modeles

Modèle 1 Filtre 1

Modèle 2 Filtre 2

Modèle Nm Filtre Nm

Choix du filtre

(décision)Processus réel

Estimation

Estimation 1

Estimation Nm

Fig. 3.2 – Estimation multi-modeles par commutation

est simple : on suppose qu’a chaque instant k un seul modele est la solution au probleme. Lasortie du selecteur correspond a la sortie du filtre qui emploie le modele approprie. Le problemeest donc de pouvoir identifier ce mode actif. La fusion en sortie du systeme est donnee par :

M(X(1)(k), · · · , X(Nm)(k)) = δ1(k)X(1)(k) + · · ·+ δNm(k)X(Nm)(k) (3.4)

ou

δi(k) =1 si le mode i est actif0 si le mode i est nonactif

(3.5)

etNm∑

i=1

δi(k) = 1 (3.6)

Puisqu’un seul modele peut etre selectionne a chaque iteration, il y a une seule valeur de δi(k)qui est egale a l’unite. La combinaison de l’information des filtres a pour seul but, le calcul dela sortie du systeme global. Il n’existe pas d’etape d’interaction ou de recombinaison entre eux.L’etape critique de cette approche est de determiner la logique de commutation adaptee auprobleme, sachant que la determination des valeurs de δi(k) depend fortement de l’applicationtraitee.

Le systeme de navigation d’une navette spatiale [Ewell, 1988], par exemple, emploie deux modelesd’evolution differents qui correspondent au vol en phase d’acceleration et au vol en phase decroisiere. Le modele d’acceleration est employe quand l’acceleration depasse une limite predefinie.Quand l’acceleration est en dessous d’un certain seuil, la navette est en mode de croisiere. Lacommutation sur la base des mesures (ou des estimations) peut rendre la machine instable si lecritere est bruite et sa valeur moyenne est proche du seuil de commutation [Middleton et al.,Jan. 1989]. Une solution pour ameliorer cette approche est d’utiliser une commutation a based’hysteresis qui n’agit que lorsqu’il y a une difference significative dans l’execution des differentsmodeles [Morse et al., Sept. 1992]. Bien que cette approche d’estimation et ses variantes soient

43 A. Ndjeng Ndjeng

Page 60: Localisation robuste multi-capteurs et multi-mod`eles

3.2. Estimation multi-modeles Approches multi-modeles

simples a implanter, il en ressort un nombre significatif de problemes. Le plus important est quele choix de la logique de commutation est souvent arbitraire et doit etre elabore empiriquement.Il n’y a generalement aucune demonstration ni aucune justification theorique que la logique decommutation est correcte.

3.2.3.2 Estimation par detection multi-modeles

L’approche par detection est une version plus sophistiquee de l’estimation par commutationentre modeles. Plutot que de commuter sur la base de divers seuils ad hoc, on detecte le mo-dele le moins complexe qui est capable de decrire le comportement du systeme reel, sur la based’un compromis biais/variance. Plus un modele est complexe, plus sa description du systemeest proche de la realite, et son biais devient progressivement plus petit. Cependant, un modelecomplexe inclut plus d’etats. Le resultat (le choix) doit donc etre obtenu en utilisant les infor-mations sur l’etat et la variance de tous les filtres.Par exemple, si un vehicule roule sur une ligne droite, alors un modele tres simple lineaire peutetre employe. Cependant, quand le vehicule effectue un virage, les effets de sa dynamique etles glissements du vehicule doivent etre pris en compte. En s’assurant que le modele le moinscomplexe est employe a chaque instant et dans toutes les configurations possibles du vehicule,la variance du compromis biais/variance est reduite au minimum de sorte que le modele ne soitpas excessivement complexe pour les manoeuvres en question.

La fusion des sorties de modeles a la meme forme que les equations (3.4) et (3.5). Aucune informa-tion n’est propagee d’un modele a un autre. Une methode pour tester qu’un modele correspondou pas au modele reel est d’employer les techniques de reduction des modeles. Celles-ci exa-minent comment un modele d’ordre superieur peut etre approche par un modele d’ordre reduit.Une propriete importante a satisfaire par les schemas de reduction d’un modele est la capacitea evaluer l’importance relative que les differents etats ont sur le comportement du systeme. Siun certain nombre d’etats ont tres peu d’effet sur la sortie, alors ils peuvent etre supprimes sansintroduire d’erreur significative [Silvermann et al., Aug. 1983].

Exemple : Un modele dynamique d’un vehicule peut inclure des parametres de rigidite de pneudans le vecteur d’etat afin de modeliser un certain nombre de parametres physiques dans le pneu,et qui changent dans le temps. Quand le vehicule roule dans une ligne droite les forces et desangles de glissement sont petits, rendant les parametres de rigidite des pneus non observables.Dans cette situation, le filtre devrait commuter vers un modele d’ordre inferieur qui ne prendpas les parametres de rigidite des pneus en consideration.

Les deux approches qui ont ete decrites jusqu’ici utilisent des essais deterministes pour identifierquel modele simple est approprie au comportement du modele reel. L’alternative est de conside-rer des methodes probabilistes. Nous allons donc a present voir comment obtenir des approchesplus rigoureuses s’appuyant sur des probabilites.

3.2.3.3 Estimation par fusion de modeles

L’approche par fusion multi-modeles traite chaque modele d’evolution comme un capteurvirtuel. Le i(eme) modele est equivalent a un capteur qui mesure la valeur predite X(i)(k|k− 1),laquelle mesure est bruitee par l’erreur de prediction. Afin de calculer l’estimation de l’etat dusysteme, on peut utiliser les memes principes et les memes techniques que celles deja employeesdans les problemes de fusion multi-capteurs. La figure (FIG. 3.3) illustre tres succinctementcette methode pour un systeme utilisant 2 filtres avec 2 modeles approximatifs. Dans la phasede prediction, chaque filtre predit le futur etat du systeme. Le filtre 1 (resp. Nm) propage saprediction pour le filtre Nm (resp. 1) qui la traite comme si c’etait une observation. Chaque filtre

A. Ndjeng Ndjeng 44

Page 61: Localisation robuste multi-capteurs et multi-mod`eles

Approches multi-modeles 3.2. Estimation multi-modeles

est alors mis a jour en utilisant la prediction des autres filtres ainsi que les donnees provenantdes capteurs.

En utilisant un modele de processus, la prediction donne une information synthetique de toutesles informations et de toutes les observations recues precedemment. De ce fait, l’estimation al’instant k n’est pas limitee a l’utilisation des informations contenues dans le vecteur de mesuresY (i)(k) a l’instant courant.L’etape de prediction : La prediction permet la fusion temporelle avec toutes les donnees

Modèle 1 Filtre 1

Modèle Nm Filtre Nm

Estimation

Processus réel,

capteurs

Sortie

Estimation 1

Estimation Nm

Prédiction du filtre Nm

Prédiction du filtre 1

Fig. 3.3 – Estimation par fusion multi-modeles : 2 modeles dans cet exemple

des mesures passees. La methode de fusion des donnees est plus efficace si nous prenons enconsideration la forme de la representation de l’information utilisee par l’etape de prediction dufiltre de Kalman [Maybeck, 1982]. La quantite d’information contenue dans une estimation X(i)

est definie comme etant l’inverse de sa matrice de variances-covariances. Soit K le gain du filtrede Kalman, cette matrice, lors de la prediction, peut etre recrite comme suit :

P (i)(k|k) = P (i)(k|k − 1)−K(i)(k)H(i)(k)P (i)(k|k − 1) (3.7)

soitP (i)(k|k)P (i)−1

(k|k − 1) = 1−K(i)(k)H(i)(k) (3.8)

On peut utiliser ce resultat pour recrire le gain de Kalman [Maybeck, 1982] :

K(i)(k) = P (i)(k|k)H(i)T (k)R(i)−1(k) (3.9)

ou R(k) est la matrice de variances-covariances du bruit de mesure. La mise a jour du vecteurd’etat (estimation) devient alors :

X(i)(k|k) = P (i)(k|k)[

P (i)−1(k|k − 1)X(i)(k|k − 1) +H(i)T

(k)R(i)−1(k)Y (i)(k)

]

(3.10)

Une expression semblable peut etre trouvee pour la matrice d’information :

P (i)−1(k|k − 1) = P (i)−1

(k|k − 1) +H(i)T

(k)R(i)−1(k)H(i)(k) (3.11)

45 A. Ndjeng Ndjeng

Page 62: Localisation robuste multi-capteurs et multi-mod`eles

3.2. Estimation multi-modeles Approches multi-modeles

L’estimation dans l’equation (3.10) est donc une moyenne ponderee de la prediction et de l’ob-servation. Intuitivement les poids doivent etre inversement proportionnels a leurs covariancesrespectives. Dans l’equation (3.10) la prediction et l’observation sont traitees de facon similairepar le filtre de Kalman. Il est donc possible de considerer la prediction du filtre 1 comme obser-vation pour le filtre Nm. La prediction X(i)(k|k− 1) et la matrice de covariance P (i)(k|k− 1) dufiltre 1 peuvent alors etre utilisees pour mettre a jour le filtre Nm.

L’etape de fusion : L’approche utilisee ici est fondamentalement differente des autres approchesdecrites precedemment. Plutot que de supposer que seul un modele d’evolution est correct, tousles modeles sont traites en tant que descriptions valides du systeme reel. A un moment donne, unmodele peut etre meilleur que les autres, mais ceci ne signifie pas que le modele qui correspondle moins au systeme reel n’apporte aucune information utile. Au contraire, puisque tous les mo-deles sont capables de fournir des predictions consistantes, ils fournissent tous des informationspotentiellement utiles.Chaque modele d’evolution produit sa propre estimation d’une partie ou de la totalite du vec-teur d’etat. Les differentes estimations peuvent etre fusionnees efficacement et rigoureusementa l’aide d’un estimateur groupe [Julier & Durrant-Whyte, 1996].

On definit

Z(k|k) =

X(1)(k|k)...

X(Nm)(k|k)

(3.12)

H(k) =

I...I

(3.13)

ou I est la matrice identite.

PZZ(k|k) =

PX(1)X(1)(k|k) PX(1)X(2)(k|k) · · · PX(1)X(Nm)(k|k)PX(2)X(1)(k|k) PX(2)X(2)(k|k) · · · PX(2)X(Nm)(k|k)

......

. . ....

PX(Nm)X(1)(k|k) PX(Nm)X(2)(k|k) · · · PX(Nm)X(Nm)(k|k)

(3.14)

Les estimations a la sortie sont alors donnees par

PXX(k|k) = (H(k)TP−1ZZ(k|k)H(k))−1 (3.15)

X(k|k) = P−1ZZ(k|k)PXX(k|k)H(k))TZ(k|k) (3.16)

Il y a plusieurs avantages a l’utilisation de cette methode. D’abord, il n’est pas necessaire desupposer que le vrai systeme physique commute de mode en mode. Il n’est pas necessaire nonplus de concevoir une regle qui va decider quel mode doit etre utilise a un instant courant. Danscette approche, l’information est utilisee plus efficacement en etant fusionnee dans l’etape decorrection du filtrage de Kalman (mise a jour de predictions).

Si nous supposons que le filtre 1 est le modele correct, ceci est caracterise par le fait que saprediction a une plus petite covariance que celle du filtre Nm. Le filtre Nm va alors pondererfortement la prediction du filtre 1 dans sa mise a jour. Reciproquement, le filtrer 1 integrerafaiblement (poids faible) l’information de la prediction du filtre Nm. Le resultat en est quel’information la plus correcte disposera du poids le plus grand.

A. Ndjeng Ndjeng 46

Page 63: Localisation robuste multi-capteurs et multi-mod`eles

Approches multi-modeles 3.2. Estimation multi-modeles

3.2.3.4 Estimation par test multi-hypotheses

Parmi les strategies d’estimation multi-modeles decrites dans la litterature [Julier & Uhl-mann, 1997], le test multi-hypotheses (MHT) [Magill, 1965] est sans doute la plus courammentutilisee. Plutot que d’employer des seuils pour definir des regions d’applicabilite, chaque modeleest considere comme un candidat pour etre le modele vrai. Pour chaque modele, on emet l’hy-pothese qu’il soit le vrai modele. La probabilite que cette hypothese soit correcte est evaluee enutilisant la sequence d’observations. A chaque iteration, on assigne au modele le plus precis laplus grande probabilite et ainsi ce modele va majoritairement determiner le comportement del’estimateur. La figure (FIG. 3.4) montre la structure de cette methode. Chaque modele est misen application dans son propre filtre et la seule interaction entre les differents modeles se produitdans l’etape de combinaison des estimations en sortie des filtres. La sortie de l’estimateur estdonc une fonction des estimations faites par les differents filtres.La methode MHT repose sur les deux propositions suivantes :

Modèle 1 Filtre 1

Modèle 2 Filtre 2

Modèle Nm Filtre Nm

Combinaison des

estimés

Processus réel,

capteurs

Est

imat

ion

Estimation 1

Estimation Nm

Calcul des

probabilités

Fig. 3.4 – Schema de l’approche d’estimation par Test Multi-Hypotheses

P1 : Le modele vrai est l’un des modeles candidats.

P2 : Le modele vrai ete utilise depuis l’instant t = 0.

Des lors il en decoule un ensemble de Nm hypotheses H(i), une pour chaque modele. Pour lei(eme) modele on a :

H(i) : M (i) est le modele vrai.

A partir de la premiere proposition, il n’y a aucune hypothese nulle parce que le modele qui estvrai est l’un des modeles de l’ensemble des candidats. La probabilite que le modeleM (i) est vrai at = k, conditionne par les mesures Y (k) jusqu’a cet instant, est notee µ(i)(k) = Pr(M (i)|Y (k)).La probabilite initiale que le modele M (j) est correct est donnee par µ(j)(0). La probabiliteassignee a chaque modele change avec le temps en fonction des informations disponibles. Chaquefiltre predit l’etat du systeme selon les equations du filtre de Kalman. On evalue l’evolution de

47 A. Ndjeng Ndjeng

Page 64: Localisation robuste multi-capteurs et multi-mod`eles

3.2. Estimation multi-modeles Approches multi-modeles

µ(i) de k − 1 a k en utilisant la regle de Bayes.

µ(i)(k) = Pr(M (i)|Y (k)) avec Y (k) = y(1), y(2) · · · y(k)= Pr(M (i)|Y (k), Y (k − 1))

=Pr(Y (k)|Y (k − 1),M (i))Pr(M (j)|Y (k − 1))

Pr(Y (k)|Y (k − 1))

=Pr(Y (k)|Y (k − 1),M (i))Pr(M (j)|Y (k − 1))µ(i)(k − 1)∑

j

Pr(Y (k)|Y (k − 1),M (j))Pr(M (j)|Y (k − 1))

(3.17)

Le terme Pr(Y (k)|Y (k−1),M (i)) est la probabilite que l’observation Y (k) predite par le modeleM (i) est correcte. Cette probabilite peut etre calculee directement a partir des mises a jour del’erreur de prediction (encore appelee innovation ou residu) r(i)(k) = Y (k)− h(i)(X(i)(k|k− 1)).On suppose generalement que le residu suit une loi gaussienne de moyenne nulle et de covarianceS(i)(k). On peut en deduire la vraisemblance du modele i :

Λ(i)(k) =1

(2π)d/2√

detS(i)(k)exp

−1

2(r(i)(k))T (S(i)(k))−1r(i)(k)

(3.18)

Ou d est la dimension de l’innovation. La matrice de variances-covariances de l’innovation S(i)(k)est obtenue a partir du filtre de Kalman :

S(i)(k) = H(i)(k)P (i)(k)(H(i)(k))T +R(i)(k) (3.19)

L’approche est recursive. Une fois la vraisemblance d’un modele Λ(i)(k) calculee, sa nouvelleprobabilite µ(i)(k) est obtenue en fonction de la probabilite precedente et de la vraisemblance,selon l’equation (3.20).

µ(i)(k) =Λ(i)(k)µ(i)(k − 1)

Nm∑

j=1

Λ(j)(k)µ(j)(k − 1)

(3.20)

La valeur estimee en sortie de l’estimateur multi-modeles est obtenue a travers une fusion dessorties des differents filtres, suivant le critere de la minimisation de l’erreur quadratique moyenne(estimateur MMSE3) :

X(k|k) = E [X(k)|Y (k)]

= MMSE(X(1)(k|k), · · · , X(m)(k|k))

= E

[Nm∑

i=1

X(i)(k|k)Pr(M (i)|Y (k))

]

=

Nm∑

i

X(i)(k|k)µ(i)(k)

(3.21)

Ceci correspond a une somme des estimations des differents filtres ponderees par leurs probabi-lites d’activation. On peut des lors parler de fusion multi-sources ponderee.A partir des deux propositions P1 et P2, la matrice de variances-covariances de l’erreur d’estima-tion de l’etat par le systeme est obtenue comme l’erreur quadratique moyenne MSE4 du vecteurd’etat du systeme [Bar-Shalom et al., 2001].

P (k|k) = MSE(X(k|k)|Y (k))

=

Nm∑

i=1

[

P (i)(k|k) + (X(i)(k|k)− X(k|k))(X(i)(k|k)− X(k|k))T]

µ(i)(k)(3.22)

3Minimum Mean Square Error4Mean-Square Error

A. Ndjeng Ndjeng 48

Page 65: Localisation robuste multi-capteurs et multi-mod`eles

Approches multi-modeles 3.3. Structure de l’algorithme IMM

AvecMSE(X|Y ) = E

[

(X − X)(X − X)T |Y]

etP (i)(k|k) = MSE

(

X(i)(k|k)|Y (k))

la matrice de variances-covariances obtenue avec le filtre i.L’approche MHT a ete developpee initialement pour des problemes lies a l’identification dessystemes. Dans ce type de probleme, il apparaıt generalement qu’au cours du temps, un modeleacquiert une probabilite superieure aux autres. Ceci indique que les valeurs des parametres dece modele sont les plus significatives dans l’identification du systeme. La forme de base duMHT a ete largement utilisee dans les problemes de suivi de cibles aeriennes, caracterisees pardifferents modeles de mouvement qui correspondent a differents types de manoeuvres [Li &Jilkov, 2003]. Or, l’experience a revele de nombreux problemes pratiques dans son application,et notamment, il ne favorise pas de changement du modele dominant. En effet la performancede l’algorithme MHT depend principalement de la separabilite (difference significative) entre lescaracteristiques residuelles des filtres corrects et filtres non adaptes. Cette difference est parfoisdifficile a etablir. Or, parmi de nombreux developpements visant a pallier ces faiblesses, lesmulti-modeles interactifs IMM connaissent sans doute le plus grand succes, et cela justifie notrechoix.

3.3 Structure de l’algorithme IMM

3.3.1 Introduction

La formulation de l’IMM a ete developpee par Blom [Blom, 1984], qui fonda cet estimateursur l’hypothese que les equations du systeme decrivent un processus de chaıne de Markov. Dansce cas l’etat de cette chaıne represente, pour un intervalle de temps donne, un mode d’evolutiondu systeme (choisi dans l’ensemble des modes candidats). Le processus markovien ainsi pose estcaracterise par sa matrice de probabilite de transition d’un mode a un autre, connue a priori.L’estimateur IMM est utilise pour predire et mettre a jour l’etat d’un systeme en utilisantdeux ou plusieurs modeles. La matrice de transition de Markov est utilisee en association avecl’approche MHT pour fournir les probabilites de commutation d’un mode de fonctionnement ivers un mode de fonctionnement j [Blom & Bar-Shalom, 1988]. Les probabilites des modelessont mises a jour a chaque nouvelle mesure, et elles sont employes pour calculer l’etat suivant(nouvelle estimation).

3.3.2 Formulation et implantation

Si on suppose que les Nm modeles decrivent tous des modes de fonctionnement du systeme,alors le modele i est represente par les equations (3.1) et (3.2). On traite generalement desmodeles simples et lineaires, ce qui permet de recrire ces equations sous la forme ci-dessous :

X(i)(k|k − 1) = F (i)(k)X(i)(k − 1|k − 1) +B(i)(k)u(i)(k) +D(i)(k)w(i)(k) i ∈ [1 · · ·Nm] (3.23)

Y (i)(k) = H(i)(k)X(i)(k|k − 1) + v(i)(k) (3.24)

Notons que :– F (i)(k) est la matrice d’evolution de l’etat du systeme dans le mode d’evolution noteM (i)(k).

– B(i)(k) est la matrice de commande.

49 A. Ndjeng Ndjeng

Page 66: Localisation robuste multi-capteurs et multi-mod`eles

3.3. Structure de l’algorithme IMM Approches multi-modeles

– D(i)(k) est la matrice de gain du bruit.

– H(i)(k) est la matrice de mesure.

Les bruits w(i)(k) et v(i)(k) sont toujours supposes blancs, gaussiens, centres et mutuellementindependants. Leurs matrices de variances-covariances sont respectivement Q(i)(k) (bruit deprocessus) et R(i)(k) (bruit de mesure).Les commutations entre differents modeles sont gerees selon une chaıne de Markov a etats finis,suivant les probabilites de passer de M (i)(k − 1) a M (j)(k)

πij = Pr

M (j)(k)|M (i)(k − 1)

(3.25)

S’il n’exite pas de connaissance a priori sur les N2m probabilites πij , elle peuvent etre initialisees

a la meme valeur 1N2

m.

L’estimateur IMM, schematisees a la figure (FIG. 3.5), suit un processus recursif qui se decom-pose en plusieurs etapes a chaque iteration.Cette figure presente la structure de l’algorithme IMM. A chaque iteration, l’algorithme IMM

Estimation mixte

Fusion

Calcul de la vraisemblance

Mise à jour des ProbabilitésInteraction

Calcul des probabilités

mixtes

Modèle de transition de Markov

)11(ˆ )( −− kkX j

)11()( −− kkX j

)(ˆ kkX

)(kjΛ

)()( kjµ

)1()( −kijµ

ijΠ

Processus réel,

capteurs Modèle 1 Filtre 1

Modèle 2 Filtre 2

Modèle Nm Filtre Nm

Fig. 3.5 – Structure de l’algorithme IMM

execute quatre etapes pour fournir une estimation globale de l’etat du systeme :

3.3.2.1 L’interaction :

Cette etape fait la particularite de l’algorithme IMM, car il consiste a reequilibrer tous lesmodeles en fonction de leurs poids (probabilites) a l’instant precedent. Pour un modele i candidata l’instant k, a partir de l’estimee du filtre de Kalman a l’instant k − 1 ainsi que sa probabilite,on en obtient successivement la probabilite predite (equation (3.26)), les probabilites mixtes(equation (3.27)), les etats et matrices de covariances mixtes (equations (3.28) et (3.29)).

µ(i)(k|k − 1) =∑

j

πjiµ(j)(k − 1|k − 1) (3.26)

A. Ndjeng Ndjeng 50

Page 67: Localisation robuste multi-capteurs et multi-mod`eles

Approches multi-modeles 3.3. Structure de l’algorithme IMM

µ(j|i)(k − 1|k − 1) = πjiµ(j)(k − 1)/µ(i)(k|k − 1) (3.27)

X(i)(k − 1|k − 1) =∑

j

X(j)(k − 1|k − 1)µj|i(k − 1|k − 1) (3.28)

P (i)(k−1|k−1) =∑

j

µj|i(k−1|k−1)[P (j)(k−1|k−1)+∆X(ij)(k−1)(∆X(ij)(k−1))T ] (3.29)

avec∆X(ij)(k − 1) = (X(i)(k − 1|k − 1)− X(j)(k − 1|k − 1)) (3.30)

3.3.2.2 Le filtrage specifique :

Dans cette etape, chaque filtre de Kalman predit un nouvel etat a partir des valeurs mixteset des donnees de capteurs proprioceptifs. Ensuite, chaque etat predit est mis a jour a partir desmesures des capteurs exteroceptifs.

Prediction :

X(i)(k|k − 1) = F (i)(k)X(i)(k − 1|k − 1) +B(i)(k)u(i)(k)

P (i)(k|k − 1) = F (i)(k)P (i)(k − 1|k − 1)(F (i)(k))T +Q(i)(k − 1)(3.31)

Correction :

K(i)(k) = P (i)(k|k − 1)(H(i)(k))T (H(i)(k)P (i)(k|k − 1)(H(i)(k))T +R(i)(k))−1

X(i)(k|k) = X(i)(k|k − 1) +K(k)(Y (k)− h(X(i)(k|k − 1), v(k)))

P (i)(k|k) = (I −K(i)(k)H(i)(k))P (i)(k|k − 1)

(3.32)

Ou K(k) est le gain du filtre specifique i a l’instant k, I la matrice identite.

3.3.2.3 Le calcul des vraisemblances et mise a jour des probabilites :

La vraisemblance de chaque modele Λ(i)(k) est calculee a partir de son innovation r(i)(k) etde la covariance de cette innovation notee S(i)(k), suivant l’equation (3.18). La probabilite estalors deduite en utilisant les valeurs predites a l’etape d’interaction, suivant l’equation (3.20).

3.3.2.4 L’estimation d’etat global ou Fusion :

A ce niveau de l’algorithme, nous disposons de Nm vecteurs d’etat et Nm matrices devariances-covariances. Il est maintenant necessaire de choisir une strategie afin d’obtenir uneestimation globale du systeme. Plusieurs methodes sont envisageables. On peut par exemplechoisir la sortie du modele ayant la plus grande probabilite d’activation. Cependant, en locali-sation de vehicules routiers, il est rare qu’un seul modele decrive exactement toute la situationreelle observee. Afin de garantir une plus grande robustesse de la localisation, notre choix consistea fusionner les sorties des differents filtres a travers une moyenne ponderee par les probabilites.Cette methode, qui se trouve etre la plus utilisee, est fondee sur l’estimateur MMSE pour obte-nir le vecteur d’etat du systeme, voir equation (3.21) ; la matrice de covariance de l’estimationest obtenue en prenant l’erreur quadratique moyenne MSE du vecteur d’etat obtenu tel quepresentee a l’equation (3.22).

3.3.3 Conclusion

L’approche multi-modeles est interessante car nous pouvons remplacer l’utilisation d’un mo-dele non lineaire (cf. Chapitre (2)) par un ensemble de modeles simples et lineaires, valables dansdes situations bien specifiques. Ceci permet d’utiliser pour chaque modele simple, un filtre de

51 A. Ndjeng Ndjeng

Page 68: Localisation robuste multi-capteurs et multi-mod`eles

3.4. Application de l’IMM en localisation Approches multi-modeles

Kalman lineaire et optimale, qui minimise la variance sur chaque composante du vecteur d’etat.D’autre part, grace a l’etape d’interaction (encore appelee reinitialisation ou recombinaison),l’IMM apporte une solution aux limite de l’approche MHT dont elle s’inspire, en favorisant plusla commutation entre <<modeles vrais>>.

Dans le cas des transports routiers, la fusion hybride multi-modeles requiert la definition d’unensemble de parametres specifiques a ces types d’applications. Le paragraphe suivant exposel’application de l’IMM a la localisation de vehicules routiers.

3.4 Application de l’IMM en localisation

Le comportement d’un vehicule sur la route depend de plusieurs parametres lies au conduc-teur, a l’environnement, et au vehicule lui-meme. Cette dependance rend complexe et incertainela modelisation de ce systeme. Afin d’augmenter la precision et la robustesse de l’estimation dela position et de la vitesse du vehicule, nous proposons dans ce paragraphe, une solution quiconsiste a fusionner les donnees fournies par plusieurs capteurs. L’outil de fusion est l’algorithmedes multi-modeles interactifs IMM presente au paragraphe (3.3).

L’idee principale de l’IMM est d’analyser les estimations fournies par des filtres attribuees auxdifferents modes d’evolution. En fusionnant toutes les estimations des differents filtres au lieud’en choisir une seule supposee vraie, l’IMM realise une estimation par commutation douce.L’une des etapes fondamentales dans ce processus est la definition de l’ensemble des modeles autiliser et le parametrage de leurs bruits associes.

3.4.1 Modeles cinematiques du vehicule routier

3.4.1.1 Systemes a temps continu

Afin de deriver des modeles cinematiques qui seront utilises dans l’algorithme IMM, il estnecessaire de considerer qu’a un instant donne le vehicule etudie a une dynamique lineaireconstante. Considerons l’equation generale des systemes dynamiques lineaires stochastiques :a un instant t donne,

X(t) = A(t)X(t) +B(t)u(t) +D(t)w(t) (3.33)

X est le vecteur d’etat du systeme de dimension n. Il peut etre represente par :

X = [x y x y]T (3.34)

Ou x, y, x et y representent respectivement la position longitudinale et laterale, la vitesselongitudinale et laterale.

– A la matrice du systeme,

– B le gain d’entree ou matrice de commande,

– u la commande en entree,

– D la matrice de gain du bruit du systeme,

– w le bruit de processus.L’equation (3.33) admet une solution generale qui permet d’exprimer le vecteur d’etat en fonctiond’une valeur initiale et d’une matrice dite de transition du systeme :

X(t) = F (t, t0)X(t0) +

∫ t

t0

F (t, τ) [B(τ)u(τ) +D(τ)w(τ)] dτ (3.35)

A. Ndjeng Ndjeng 52

Page 69: Localisation robuste multi-capteurs et multi-mod`eles

Approches multi-modeles 3.4. Application de l’IMM en localisation

La matrice de transition de l’etat du systeme est notee F (t, t0). Elle represente le modele ma-thematique de l’evolution de l’etat du systeme lineaire, en fonction de l’etat initial. Elle obeitaux trois proprietes suivantes :

Propriete 1 :dF (t, t0)

dt= A(t)F (t, t0) (3.36)

Propriete 2 :

F (t2, t0) = F (t2, t1)F (t1, t0), ∀t1 (3.37)

Propriete 3 :

F (t, t) = I(Identite) (3.38)

Les equations (3.37) et (3.38) impliquent que

F (t, t0) = F (t0, t)−1 (3.39)

En general cette matrice n’a pas une forme explicite. Cependant il est possible d’en ressortirune expression mathematique, des lors que la matrice du systeme, A(t), verifie la relation decommutativite suivante :

A(t)

∫ t

t0

A(τ)dτ =

∫ t

t0

A(τ)dτA(t) (3.40)

ce qui permet de deduire que

F (t, t0) = e∫ t

t0A(τ)dτ

(3.41)

La relation de commutativite presentee a l’equation (3.40) est verifiee a deux conditions :

condition 1 : Le systeme est a temps invariant

condition 2 : A(t) est une matrice diagonale

Or, si le systeme est a temps invariant, en supposant que t0 = 0, on a alors

F (t) ∼= F (t, 0) = eAt (3.42)

A etant de dimension n× n.

Pour evaluer l’expression eAt, le moyen le plus simple est de proceder par un developpement enserie, soit :

eAt =∞∑

k=0

(At)k

k!= I +At+

1

2A2t2 + · · · (3.43)

ou I est la matrice identite de dimension n× n.Cette methode est generalement utilisee dans le but de generer des modeles d’evolution lineairede type polynomial.

Une autre approche bien pratique, mais moins triviale est la transformee de Laplace inverse :

eAt = L−1[(sI −A)−1

](3.44)

La principale difficulte ici reside dans l’inversion de la matrice sI − A, notamment pour dessystemes complexes.

La methode d’evaluation de eAt la plus utilisee, car elle permet une meilleure modelisation des

53 A. Ndjeng Ndjeng

Page 70: Localisation robuste multi-capteurs et multi-mod`eles

3.4. Application de l’IMM en localisation Approches multi-modeles

manoeuvres plus complexes du vehicule, est fondee sur une technique d’interpolation polyno-miale. Pour cela, on calcule dans un premier temps les Np valeurs propres λi de la matrice Aayant chacune une multiplicite mi. On a alors

Np∑

i=1

mi = n

On cherche ensuite un polynome de degre n− 1 note g(λ), deduit du spectre de la matrice A telque :

g(λ) =n−1∑

k=0

gkλk = eλt (3.45)

Cela signifie que

dj

dλjg(λ)|λ=λi

=dj

dλjeλt|λ=λi

(3.46)

avec

i = 1 · · ·Np

j = 0 · · ·mi − 1

De ce qui precede, on deduit finalement que

eAt = g(A) (3.47)

Exemple de calcul pour le modele d’evolution dans un virage constant :Soit un mobile evoluant a vitesse constante sur un virage avec une vitesse angulaire constanteω (vitesse de lacet du vehicule fournie par un gyroscope), les equations du mouvement dans leplan (x, y) sont donnees par :

x = −ωy (3.48)

y = ωx (3.49)

La representation de ce mouvement dans l’espace d’etat non bruite est donnee par

X = AX (3.50)

avec

A =

0 0 1 00 0 0 10 0 0 −ω0 0 ω 0

(3.51)

ou X est le vecteur d’etat repris de l’equation (3.34).Par application de la methode par interpolation polynomiale, on montre que :

1. Les valeurs propres de A sont 0, 0, −jω et jω.

2. L’evaluation de la matrice de transition par interpolation polynomiale donne alors

eAt =

1 0 sin(ωt)ω

cos(ωt)−1ω

0 1 1−cos(ωt)ω

sin(ωt)ω

0 0 cos(ωt) − sin(ωt)0 0 sin(ωt) cos(ωt)

(3.52)

A. Ndjeng Ndjeng 54

Page 71: Localisation robuste multi-capteurs et multi-mod`eles

Approches multi-modeles 3.4. Application de l’IMM en localisation

3.4.1.2 Systemes a temps discret

Dans les systemes a temps discret, les entrees sont considerees non continue et s’exprimepar :

u(t) = u(tk)

avec

tk ≤ t < tk+1

L’equation d’etat (3.35) peut des lors etre recrite sous la forme

X(tk+1) = F (tk+1, tk)X(tk) +B(tk+1, tk)u(tk) + w(tk) (3.53)

Dans le domaine discret, il es possible de simplifier la notation des parametres de l’equationci-dessus :

– la matrice de transition

F (tk+1, tk) = F (tk+1 − tk) = eA(tk+1−tk) ∼= F (k) (3.54)

– le gain d’entrees ou matrice de commande

B(tk+1, tk) =

∫ tk+1

tk

eA(tk+1−τ)Bdτ ∼= B(k) (3.55)

– le vecteur de bruit d’etat

w(tk) =

∫ tk+1

tk

eA(tk+1−τ)Dw(τ)dτ ∼= w(k) (3.56)

Au final, l’equation d’etat du systeme lineaire a temps discret peut s’ecrire

X(k + 1) = F (k)X(k) +B(k)u(k) + w(k) (3.57)

Une autre approche applicable dans certain cas (modele polynomiaux) [Blackman & Popoli,1999; Bar-Shalom & Li, 1993] suggere qu’au lieu de deduire le modele a temps non continu pardiscretisation du modele continu (Eq. (3.57)), on peut definir directement un modele a tempsdiscret. Dans ce cas le bruit de processus, de memes caracteristiques qu’en continu, est pris encompte a travers un gain Γ(k). L’equation (3.57) devient alors

X(k + 1) = F (k)X(k) +B(k)u(k) + Γw(k) (3.58)

3.4.1.3 Derivation de la matrice de bruit systeme

On considere que le bruit de processus est un bruit Gaussien, blanc et de moyenne nulle.Ceci permet d’ecrire que,

E [w(k)] = 0E[w(k)w(j)T

]= Q(k)δk,j

(3.59)

ou δk,j est la fonction delta de Kroeneker.On montre aisement que la matrice de variances-covariances du bruit de processus est obtenuepar la formule :

Q(k) =

∫ tk+1

tk

eA(tk+1−τ)DW (τ)DT (eA(tk+1−τ))Tdτ (3.60)

avec :

W (k) = E[w(k), w(k)T ] = qσ2w

(3.61)

55 A. Ndjeng Ndjeng

Page 72: Localisation robuste multi-capteurs et multi-mod`eles

3.4. Application de l’IMM en localisation Approches multi-modeles

Ce terme est en general independant du temps et peut agir sous forme de contrainte ou variancedu modele. Il est utilise pour adapter la partie temporelle de la matrice du bruit du modele,notee Q∗(k), au type de manoeuvre selon les equations (3.62) et (3.63) :

Q(k) = qσ2w·Q∗(k) (3.62)

ou

Q∗(k) =

∫ tk+1

tk

eA(tk+1−τ)D ·DT (eA(tk+1−τ))Tdτ (3.63)

Lorsque l’evolution de l’etat du systeme est decrite suivant l’equation (3.58), la matrice devariances-covariances du bruit de processus est obtenue directement a partir de l’equation (3.64) :

Q(k) = E[Γ(k)w(k)w(k)TΓ(k)T

](3.64)

Γ est le gain du bruit. Si on suppose la dynamique du mobile constante pendant une periodealors Γ est un vecteur constant.Par ailleurs, il est bien connu que pour des modeles polynomiaux (Ex. modeles de Wiener,[Blackman & Popoli, 1999]), w(k) est pris comme un scalaire sur chaque direction de l’espaced’etat, c’est-a-dire

E[w(k)w(j)T

]= qσ2

wδkj (3.65)

Et de l’equation (3.64), on deduit alors que :

Q(k) = E[Γ(k)w(k)w(k)TΓ(k)T

]

= E[Γw(k)w(k)TΓT

]

= Γqσ2wΓT

(3.66)

3.4.1.4 Expression des modeles d’evolution

L’approche par discretisation de l’espace d’evolution (illustrations a la figure (FIG. 3.1))permet de deriver des modeles cinematiques simples si on suppose qu’a un instant donne, levehicule etudie a une dynamique lineaire et constante.Plusieurs modeles cinematiques decrivant le vehicule routier dans differents modes d’evolutionont ete developpes. Ces modeles representent le comportement du mobile dans un plan. Ondistingue notamment :

– le modele a vitesse constante CV5,– le modele a acceleration constante CA6,– le modele en virage avec une vitesse de lacet constante CT7,– le modele du vehicule a l’arret CS8,– le modele du vehicule en marche arriere CR9 [Ndjeng et al., 2008b].

L’utilisation du multi-modeles pour representer les differents modes de conduite du vehicule estfavorable d’un point de vue pratique. En realite, dans une ligne droite a vitesse constante oules manoeuvres de type Stop&Go, les modeles CV, CA et CS sont suffisants pour representerl’etat du vehicule. Cependant, dans les secteurs urbains avec intersections, ou les montagnes, lemodele CT est necessaire pour decrire les virages. Le modele CR peut, quant a lui, etre tresutile dans le cas des manoeuvres de parking.

Modele CV :

5Constant Velocity6Constant Acceleration7Constant Turn8Constant Stop9Constant Rear

A. Ndjeng Ndjeng 56

Page 73: Localisation robuste multi-capteurs et multi-mod`eles

Approches multi-modeles 3.4. Application de l’IMM en localisation

Ce modele represente un mouvement stationnaire du vehicule : il repose sur les hypothesessuivantes :

– le vehicule ne tourne pas– le vehicule n’accelere et ne decelere pas

Le modele CV est deduit de l’evaluation de eACV ∆T par une serie limitee a l’ordre 1. La matrice

de transition, pour le vecteur d’etat X defini a l’equation (3.34), est donnee, pour une periodeconstante non nulle ∆T par :

FCV (∆T ) = eACV ∆T I +ACV ∆T

=

1 0 ∆T 00 1 0 ∆T0 0 1 00 0 0 1

(3.67)

avec

ACV =

0 0 1 00 0 0 10 0 0 00 0 0 0

(3.68)

Cette matrice ACV est deduite de la partie non bruite de l’equation (3.33).

Pour ce modele, on fait l’hypothese que le bruit est genere a travers les termes de vitesse (bruitd’origine odometrique). La matrice de gain du bruit est alors definie par

DCV =

0 00 01 00 1

(3.69)

Les equations (3.62) et (3.63) permettent d’obtenir, pour le modele CV :

QCV (∆T ) = qCVσ2w

∫ ∆T

0FCVD ·DT (FCV )Tdτ (3.70)

= qCVσ2w

∫ T

0

∆T − τ 00 ∆T − τ1 00 1

·[∆T − τ 0 1 0

0 ∆T − τ 0 1

]

= qCVσ2w

∫ ∆T

0

(∆T − τ)2 0 ∆T − τ 00 (∆T − τ)2 0 ∆T − τ

∆T − τ 0 1 00 ∆T − τ 0 1

Et finalement,

QCV (∆T ) = qCVσ2w

1

3∆T 3 0

1

2∆T 2 0

01

3∆T 3 0

1

2∆T 2

1

2∆T 2 0 ∆T 0

01

2∆T 2 0 ∆T

(3.71)

Le terme de variance du modele CV qCVσ2w

sera discute au paragraphe (3.4.2). Globalement lebruit de ce modele sera faible dans des configurations d’evolution rectiligne a vitesse constante,

57 A. Ndjeng Ndjeng

Page 74: Localisation robuste multi-capteurs et multi-mod`eles

3.4. Application de l’IMM en localisation Approches multi-modeles

mais il grossit dans les autres modes d’evolution.

Modele CA :

Le modele CA represente le mouvement d’un vehicule en mode acceleration. L’hypothese debase ici est que le vecteur acceleration [x y]T fourni par les accelerometres, agit comme uneentree bruitee du systeme et reste constant pendant une periode d’echantillonnage ∆T . Pournos applications de localisation de vehicules routiers, le developpement du terme eA

CA∆T estidentique a celui de eA

CV ∆T . La difference entre les deux modeles apparaıt au niveau de la ma-trice de commande B. Pour le modele CV, cette matrice est nulle alors que pour la modele CAelle vaut :

BCA(∆T ) =

1

2∆T 2 0

01

2∆T 2

∆T 00 ∆T

(3.72)

Ce modele peut etre considere comme polynomial a l’ordre 2. Le bruit de processus est issu destermes de vitesse et d’acceleration (bruits des odometres et des accelerometres). Ce bruit estmodelise selon les equations (3.64) et (3.66), avec le gain ΓCA defini par :

ΓCA(∆T ) =

1

2∆T 2 0

01

2∆T 2

∆T 00 ∆T

(3.73)

La matrice de bruit de CA est alors deduite :

QCA(∆T ) = qCAσ2w

1

4∆T 4 0

1

2∆T 3 0

01

4∆T 4 0

1

2∆T 3

1

2∆T 3 0 ∆T 2 0

01

2∆T 3 0 ∆T 2

(3.74)

Le modele CA decrit le mode acceleration qui est un mode dynamique. Par consequent, sa ma-trice de bruit est differente de celle du modele CV, bien que ces deux modeles utilisent la memematrice de transition.

Modele CT :

Les hypotheses et la matrice de transition du modele decrivant la manoeuvre du vehicule aupassage par un virage a vitesses lineaire et angulaire constantes ont ete presentees au paragraphe(3.4.1.1). La vitesse de lacet ω est supposee constante et connue a chaque periode d’echantillon-nage (elle est fournie par le gyroscope de lacet). Cependant nous distinguons dans cette etudedeux cas de figure pour la matrice de transition de l’etat ainsi que pour la matrice de bruit. Onprend pour le modele CT le meme vecteur d’etat que pour CV et CA.

1er cas : |ω| >> 0

A. Ndjeng Ndjeng 58

Page 75: Localisation robuste multi-capteurs et multi-mod`eles

Approches multi-modeles 3.4. Application de l’IMM en localisation

La matrice de transition est

FCT|ω>>0(ω,∆T ) =

1 0 sin(ω∆T )ω

cos(ω∆T )−1ω

0 1 1−cos(ω∆T )ω

sin(ω∆T )ω

0 0 cos(ω∆T ) − sin(ω∆T )0 0 sin(ω∆T ) cos(ω∆T )

(3.75)

Dans ce cas la matrice de variances-covariances du bruit de processus est obtenue demaniere similaire a celle du modele CV ; elle vaut alors :

QCT|ω>>0(ω,∆T ) = (3.76)

qCTσ2w

2(ω∆T−sin(ω∆T ))ω3 0 1−cos(ω∆T )

ω2ω∆T−sin(ω∆T )

ω2

0 2(ω∆T−sin(ω∆T ))ω3 −ω∆T−sin(ω∆T )

ω21−cos(ω∆T )

ω2

1−cos(ω∆T )ω2 −ω∆T−sin(ω∆T )

ω2 ∆T 0ω∆T−sin(ω∆T )

ω21−cos(ω∆T )

ω2 0 ∆T

2eme cas : |ω| ≈ 0La matrice de transition de l’etat du systeme, FCT (ω,∆T ), est obtenue par developpementde Taylor a l’ordre 1 de la matrice presentee dans le 1er cas :

FCT|ω≈0(ω,∆T ) =

1 0 ∆T −ω∆T 2/20 1 ω∆T 2/2 ∆T0 0 1− (ω∆T )2/2 −ω∆T0 0 ω∆T 1− (ω∆T )2/2

(3.77)

La matrice de variances-covariances du bruit est toujours deduite de la meme maniere quepour le modele CV :

QCT|ω≈0(ω,∆T ) = (3.78)

qCTσ2w

120∆T 5ω2 + 1

3∆T 3 0 12∆T 2 1

20∆T 5ω3 + 16∆T 3ω

0 120∆T 5ω2 + 1

3∆T 3 − 120∆T 5ω3 − 1

6∆T 3 12∆T 2

12∆T 2 − 1

20∆T 5ω3 − 16∆T 3 1

20∆T 5ω4 + ∆T 0120∆T 5ω3 + 1

6∆T 3 12∆T 2 0 1

20∆T 5ω4 + ∆T

Distinguer les cas ou ω est proche ou non de 0 permet notamment de garder un ensemble demodeles fixes dans toutes les situations de conduite, tout en evitant de creer une instabilite dusysteme lorsque ω ≈ 0.

Modeles CS et CR :

Le modele CV a souvent ete utilise pour decrire des situations stationnaires et notammentdes arrets [Kaempchen et al., 2004]. Cependant en presence de donnees provenant de capteursfortement bruites, ce modele peut etre une source de derive du systeme. Il est important d’iden-tifier des situations d’arret, notamment en presence de capteurs bas cout, car cela peut servir al’activation des modules d’auto-calibrage.

Le modele CR decrit des mouvements de marche arriere [Ndjeng et al., 2008b], [Patwardhanet al., 1997], [Rajamani et al., 2003], [Kim & Oh, 1999]. Ce modele utilise la vitesse odometriquevlon longitudinale et l’angle de cap courant comme des entrees connues.

59 A. Ndjeng Ndjeng

Page 76: Localisation robuste multi-capteurs et multi-mod`eles

3.4. Application de l’IMM en localisation Approches multi-modeles

modele CS : Ce modele a une formulation tres proche du modele CV, mais il ne s’active quelorsque la vitesse est proche de 0. Son equation d’evolution est :

xk|k−1 = xk−1|k−1 + xk−1|k−1∆T

yk|k−1 = yk−1|k−1 + yk−1|k−1∆T

xk|k−1 = 0

yk|k−1 = 0

(3.79)

modele CR : On suppose que le vehicule est conduit en marche arriere, alors son equationd’evolution s’ecrit :

xk|k−1 = xk−1|k−1 + xk−1|k−1∆T

yk|k−1 = yk−1|k−1 + yk−1|k−1∆T

xk|k−1 = Vxyk|k−1 = Vy

(3.80)

Dans ces equations,

Vx = −vlon cos(ψ)

est la composante de la vitesse sur l’axe (x) ;

Vy = −vlon sin(ψ)

est la composante de la vitesse sur l’axe (y).ψ est l’angle de cap courant et vlon la vitesse odometrique non signee.

Ces deux derniers modeles ont donc la meme matrice de transition :

FCS(∆T ) = FCR(∆T ) =

1 0 ∆T 00 1 0 ∆T0 0 0 00 0 0 0

(3.81)

A la difference du modele CS, la matrice de commande de CR est non nulle et vaut :

BCR(∆T ) =

0 00 0Vx 00 Vy

(3.82)

Pour ces deux modeles, on suppose que la source du bruit est le terme de vitesse. Leurs matricesde variances-covariances du bruit de processus sont alors obtenues de facon similaire au modeleCV.On obtient pour CS :

QCS(∆T ) = qCSσ2w

1

3∆T 3 0 0 0

01

3∆T 3 0 0

0 0 λCS 00 0 0 λCS

(3.83)

A. Ndjeng Ndjeng 60

Page 77: Localisation robuste multi-capteurs et multi-mod`eles

Approches multi-modeles 3.4. Application de l’IMM en localisation

le terme λCS traduit un faible bruit sur la vitesse lorsque le vehicule est a l’arret.Pour le modele CR, on a :

QCR(∆T ) = qCRσ2w

1

3∆T 3 0 0 0

01

3∆T 3 0 0

0 0 λCR 00 0 0 λCR

(3.84)

Tout comme le terme λCS , λCR traduit le bruit sur la vitesse lorsque le vehicule est en marchearriere.

3.4.2 Criteres d’activation des modeles

3.4.2.1 Zones d’activations des modeles

La figure (FIG. 3.6) presente un schema d’activation des 5 modeles cinematiques presentesplus haut, en fonction de la vitesse d’evolution signee Vs. Lorsque le vehicule est en marchearriere, Vs est negative, sinon elle est positive. Sur chaque bande horizontale, nous pouvonsidentifier un modele et sa zone d’activite.

Pour l’arret et des situations proches de l’arret, le modele CS n’est actif que lorsque Vs ∈[−ǫCS , ǫCS ]. Le terme ǫCS represente une vitesse tres faible, assimilable a un bruit (ǫCS ≈0.5ms−1).

Le modele CR est actif lorsque la vitesse du vehicule est negative et comprise dans l’intervalle[VCRmax, ǫCR]. VCRmax est la vitesse maximale (en valeur absolue) atteignable par le vehiculeen marche arriere.

La zone d’activation du modele CA fait le lien entre la zone d’arret et les mouvements de marcheavant. En effet, la limite ǫCA est inferieure a ǫCTCV , cette derniere marquant le debut d’activationde CV et CT.

Remarque : Les frontieres des zones d’activation ne sont par rigides. En d’autres termes, plusla couleur de la bande est foncee, plus la probabilite d’activation dans cette zone peut etre elevee,selon la manoeuvre en cours. Pour un modele quelconque i, le controle de cette zone d’activation

se fait a travers le terme de variance du modele q(i)σ2

w. Ce terme est controle a partir des fonctions

d’affaiblissement presentee au paragraphe (3.4.2.3).

3.4.2.2 Detection de la marche arriere

Certains odometres bas couts ne fournissent pas une vitesse du vehicule signee. De plus ilest difficile d’obtenir cette information directement a partir des capteurs bas cout embarques.Dans cette these, nous proposons une solution pour detecter, dans ces conditions, le signe dela vitesse, et donc les phases de marche arriere. Cette solution consiste en un algorithme quiexploite les donnees d’accelerations a travers un integrateur contraint par le signe de la vitesse.L’algorithme (1) presente le deroulement de notre solution. L’objectif de cet algorithme est d’at-tribuer un signe a la vitesse odometrique, partant des mesures d’accelerations longitudinale duvehicule. On affecte a la vitesse a un instant, la vitesse a l’instant precedent augmentee de lacomposante accelerometrique. Si le signe de cette nouvelle vitesse est different du signe de lavitesse a l’iteration precedente, alors il est inverse, selon la regle : on ne peut pas passer directe-ment d’un mode marche avant a une marche arriere, il est necessaire d’avoir un arret.

61 A. Ndjeng Ndjeng

Page 78: Localisation robuste multi-capteurs et multi-mod`eles

3.4. Application de l’IMM en localisation Approches multi-modeles

0CRε CAεCSε− CSε CTCVε

maxCRv

CR model

CS model

CA model

CV model

CT model

].[Speed Signed 1−smVS

Modèle CR

Modèle CS

Modèle CA

Modèle CV

Modèle CT

Vitesse signée

Fig. 3.6 – Schema d’activation des modeles

Alg. 1 Detection du signe de la vitesseRequire: Vitesse odometrique non signee : vlon,

Vitesse odometrique signee : Vs,bruit sur la vitesse odometrique : ǫV ,Acceleration longitudinale : γx,Vitesse maximale atteignable en marche arriere : vCRmax,Periode : ∆T

integrateur : g

vitesse signee precedente : past Vs ← Vsvitesse signee courante : new Vs ← g(Vs,γx,∆T ) + ǫV = Vs + γx∆T + ǫV

if vlon ≈ 0 OR vlon ≥ |vCRmax| thenvitesse signee courante : new Vs ← vlon

end ifif sign(new Vs) 6= sign(past Vs) then

signe de la vitesse signee courante : sign(new Vs) ← sign(past Vs)end if

if new Vs ≥ 0 thenVs ← vlon : vehicule avance ou a l’arret

elseVs ← −vlon : vehicule en marche arriere

end if

A. Ndjeng Ndjeng 62

Page 79: Localisation robuste multi-capteurs et multi-mod`eles

Approches multi-modeles 3.4. Application de l’IMM en localisation

3.4.2.3 Expression de la variance des modeles

Afin d’associer les mesures de capteurs embarques a l’evaluation du bruit de processus dusysteme, une fonction d’affaiblissement est implantee ; cette fonction resulte des courbes de Be-zier et est detaillee dans [Gruyer, 1999]. Elle prend en entree des mesures de capteurs et fournitles variances des modeles integres.

Fig. 3.7 – Variance du modele CV Fig. 3.8 – Variance du modele CA

Fig. 3.9 – Variance du modele CS Fig. 3.10 – Variance du modele CR

Les figures (FIG. 3.7) a (FIG. 3.11) illustrent les variances obtenues pour chaque modele. Cesfonctions permettent, a partir des mesures de l’acceleration, de la vitesse de lacet, et de la vi-

tesse signee, d’obtenir les termes q(·)σ2

wqui modulent la partie temporelle du bruit de processus

Q∗(i)(k) (cf. Paragraphe (3.4.1.4)). Generalement, nous supposons q(·)σ2

wcontenu dans l’intervalle

[0, 5, 5amax], avec amax la valeur maximale de l’acceleration. Ces valeurs sont choisie experi-mentalement de maniere a assurer une bonne stabilite du systeme [Blackman & Popoli, 1999],et peuvent varier d’un scenario a un autre. Plus les mesures de l’acceleration et de la vitessede lacet croissent, plus les ecarts-type respectifs des modeles CA et CT decroissent, confirmantainsi le mode d’evolution reel. Au contraire, l’ecart-type du modele CV va croıtre, signifiantl’eloignement d’un etat stationnaire. Lorsque le bruit du modele CV grandit, ce dernier perd en

63 A. Ndjeng Ndjeng

Page 80: Localisation robuste multi-capteurs et multi-mod`eles

3.4. Application de l’IMM en localisation Approches multi-modeles

Fig. 3.11 – Variance du modele CT

influence sur le comportement du systeme.Le modele CR (cf. figure (FIG. 3.10)) a une variance elevee lorsque la vitesse du vehicule estpositive, mais elle decroıt au fur et a mesure qu’elle s’eloigne de 0 dans les valeurs negatives.Comparativement aux autres modeles, la variance de CS est plus selective, obeissant a la courbede la figure (FIG. 3.9). Lorsque la vitesse signee avoisine 0, ce modele a un bruit tres faible ;mais celui-ci grandit rapidement des que |Vs| ≥ |ǫSC |.

3.4.2.4 Matrice de transition de Markov

Les elements diagonaux de cette matrice, πii, representent la probabilite que le vehicule restedans le mode i. Ils sont obtenus par la relation

πii = 1− ∆T

τi(3.85)

ou τi est la duree moyenne de sejour en mode i et ∆T la periode d’echantillonnage. Les elementsnon diagonaux sont obtenus par une formule similaire :

πij =nijni

(1− πii) (3.86)

avec nij le nombre de transitions a l’instant k du mode i vers le mode j, ni le nombre totalde transitions partant du mode i. Le calcul de cette matrice sur la base des formules ci-dessuspermet de la mettre a jour a chaque iteration. L’inconvenient pour une telle approche, est queau fil du temps, il sera de plus en plus probable que le systeme demeure dans certains modes,et que certaines transitions possibles deviennent simplement improbables.

Pour pallier cet inconvenient, il est conseille d’utiliser une matrice constante, ce qui favorise lecontrole par l’operateur des regles de transitions entre modeles dans le systeme. Pour un IMMavec l’ensemble de modeles CV,CA,CT,CS,CR on peut supposer que les transitions entremodeles sont faibles, avec une forte probabilite de rester dans le mode courant. Par exemple :partant de l’arret, les transitions permises sont de l’arret vers la marche arriere : CS7−→CR, oude l’arret vers le mode accelere : CS 7−→CA. Des exemples de transitions sont illustres a traversla matrice ci-dessous (equation (3.87))

A. Ndjeng Ndjeng 64

Page 81: Localisation robuste multi-capteurs et multi-mod`eles

Approches multi-modeles 3.4. Application de l’IMM en localisation

πij(k) =

0, 80 0, 10 0, 10 0, 00 0, 000, 10 0, 70 0, 05 0, 10 0, 050, 10 0, 10 0, 80 0, 00 0, 000, 00 0, 05 0, 00 0, 90 0, 050, 00 0, 00 0, 00 0, 10 0, 90

transitions partant de→ CVtransitions partant de→ CAtransitions partant de→ CTtransitions partant de→ CStransitions partant de→ CR

(3.87)

Chaque ligne de cette matrice comporte les probabilites de passer d’un mode a un autre. Parexemple, la probabilite de reste en mode CV a l’instant k est 0, 80, et la probabilite de passer duCA au CS est de 0, 10. La somme des elements sur chaque ligne est egale a 1, ce qui justifie queles transitions suivent un processus semi-Markovien. La figure (FIG. 3.12) illustre l’ensemble destransitions decrites a l’equation (3.87).

CS

CA

CR

CV

CT

0,80

0,80

0,90

0,70

0,05

0,10

0,10

0,10

0,05

0,10

0,05

0,10

0,10

0,90

0,10

0,10

Fig. 3.12 – Exemples de transitions illustrant l’equation (3.87)

3.4.3 Modele de mesure

Pour chaque filtre implante dans l’algorithme de localisation IMM, le modele de mesure estobtenu suivant l’equation (3.24). Le vecteur d’observations Y (i) est directement obtenu a partirdes positions donnees par un systeme GPS :

Y(i)k = [xGNSS(k), yGNSS(k)]T (3.88)

La matrice d’observation H est donnee par

H =

[1 0 0 00 1 0 0

]

(3.89)

La fonction d’autocorrelation du bruit de mesure v(i)k du modele i est

E[v(i)i v

(i)j ] = Rδij (3.90)

ou R est la matrice de variances-covariances du bruit de mesure.

3.4.4 Resultats experimentaux

Un algorithme IMM reposant sur l’ensemble des cinq modeles d’evolution et de bruits pre-sentes ci-dessus a ete teste en localisation. Pour evaluer ses performances, il est necessaire de

65 A. Ndjeng Ndjeng

Page 82: Localisation robuste multi-capteurs et multi-mod`eles

3.4. Application de l’IMM en localisation Approches multi-modeles

valider dans un premier temps, l’ensemble du parametrage utilise. Pour cela, des bases de don-nees de simulations ont ete utilisees. Ces donnees sont choisies avec un bruit faible et decriventdeux scenarios caracteristiques. Par la suite, des donnees reelles provenant de plusieurs capteursbruites (GPS, gyroscope de lacet et accelerometres) sont utilisees afin d’evaluer la precision etla robustesse de cette approche.

3.4.4.1 Scenario 1 : cercle pur

Pour generer la trajectoire de reference, nous avons fixe une vitesse de lacet de 0, 03rad/s apartir du point de coordonnees (0, 0) en coordonnees cartesiennes, le temps variant de 0 a 200savec une periode d’echantillonnage de 100ms. La vitesse du vehicule part de 0 au demarrage pouratteindre une valeur constante de 19m.s − 1. A l’arrivee, le vehicule decelere progressivementpour atteindre a nouveau la vitesse nulle. Les points GPS sont simules avec un bruit blancgaussien d’ecart type de 2m (valeur DGPS). Ces points sont utilises pour recaler les differentsfiltres (CA, CV, CT, CS et CR) implantes dans l’IMM. Les figures (FIG. 3.13) et (FIG. 3.14)

Référence

Points GPS

Fig. 3.13 – Resultats du positionnement au scenario 1

presentent respectivement, le positionnement sortie par l’IMM et l’erreur de cette sortie. Pourle scenario 1, l’erreur du positionnement IMM vaut en moyenne 0, 4m. La valeur maximale decette erreur, 1, 65m, est observee autour de 20s de parcours. A cet instant, les figures (FIG. 3.15)et (FIG. 3.16) revele que la vitesse cesse de croıtre et le CT acquiert la plus grande probabilite.Celle-ci atteint alors une valeur de 0, 75. Durant toute la phase ou la vitesse est constante, laprobabilite de CT va se trouver toujours autour de cette valeur. Lors de la phase de decelerationqui commence a 180s, la probabilite d’activation du modele CA croıt, mais le modele CT restedominant. La courbe des probabilites decrit bien le type de parcours du vehicule, il s’agit d’unvirage de rayon constant et a vitesse constante. L’estimation de cette vitesse par l’IMM presenteune faible erreur. En effet la valeur maximale de l’erreur sur la vitesse estimee est de 0, 5m/s.Elle est observee au demarrage du vehicule et lors de la phase de deceleration (180− 200s). Elleprovient du bruit sur les accelerometres qui est integre dans le modele CA (qui a une probabilitenon negligeable dans ces phases du parcours).

A. Ndjeng Ndjeng 66

Page 83: Localisation robuste multi-capteurs et multi-mod`eles

Approches multi-modeles 3.4. Application de l’IMM en localisation

Temps [s]

Err

eur

de p

ositi

onne

men

t [m

]

Fig. 3.14 – Erreur du positionnement au scenario 1

Vitesse réelleVitesse IMMErreur sur la vitesse

Temps [s]

Vite

sse

Fig. 3.15 – Estimation de la vitesse

67 A. Ndjeng Ndjeng

Page 84: Localisation robuste multi-capteurs et multi-mod`eles

3.4. Application de l’IMM en localisation Approches multi-modeles

CA

CT

CT

CA

CS

Pro

babi

lités

Temps [s]

Fig. 3.16 – probabilites des modeles

Temps [s]

Temps [s]

[m]

[m]

Erreur suivant XEnveloppe suivant X

Erreur suivant YEnveloppe suivant Y

Fig. 3.17 – Enveloppes a 3σ

A. Ndjeng Ndjeng 68

Page 85: Localisation robuste multi-capteurs et multi-mod`eles

Approches multi-modeles 3.4. Application de l’IMM en localisation

La figure (FIG. 3.17) presente les ecarts suivant l’axe X et suivant l’axe Y par rapport a lareference, ainsi que les enveloppes a 3σ suivant chaque axe10. Sur cette figure, nous constatonsque l’ecart sur chaque axe est entierement contenu dans l’enveloppe correspondante, sans quecelle-ci ne soit trop grande. Par ailleurs, ces enveloppes fluctuent tres peu autour d’une valeurmoyenne. L’amplitude maximale de ces fluctuations, apres la phase de demarrage, est de 20cm.On en conclut que pour ce scenario, l’estime exacte se trouve dans l’enveloppe de confiance del’estimateur, et l’erreur reelle se trouve bien autour de 0. Les erreurs de positionnement sur lesdeux axes reste donc consistante avec les erreurs reelles durant ce scenario.

3.4.4.2 Scenario 2 : Ligne droite, Stop&Go et marche arriere

Il s’agit d’un parcours constitue d’une ligne droite, partant du point de coordonnees (0, 0),avec des phases d’acceleration et de freinage. Dans une deuxieme partie du parcours le vehiculeeffectue une marche arriere tout en restant sur la meme trajectoire. La figure (FIG. 3.18) presentela vitesse du vehicule. Lorsque celle-ci est negative, alors le vehicule est en marche arriere. Audemarrage le vehicule avance avec une acceleration de 0, 5m.s−2. Lorsqu’il entreprend la marchearriere, son acceleration est plus faible et vaut 0, 3m.s−2. Le vehicule marque deux arrets d’uneduree de 10s chacun a 175s et 190s.

Vitesse réelleVitesse IMMErreur sur la vitesse

Temps [s]

Vite

sse

Fig. 3.18 – Estimation de la vitesse au scenario 2

Les figures (FIG. 3.18) et (FIG. 3.19) montrent que l’estimation de la position et de la vitessefournie par l’IMM est de bonne qualite. L’erreur moyenne du positionnement est de 0, 45m, avecun maximum a 1, 9m, qui intervient lorsque la marche arriere est entamee. La figure (FIG. 3.20)presente les probabilites des differents modeles d’evolution. Parmi les cinq modeles CV, CA,CT, CS et CR mis en concurrence, le CA, le CV, le CS et le CR restent successivement lesplus dominants. La figure (FIG. 3.20) illustre bien que la probabilite d’activation du modele CTinitialisee a 0, 20 reste globalement proche de 0, 0 durant le parcours : ce scenario se caracterisedonc par une absence de dynamique laterale sur le vehicule.

10l’enveloppe a 3σ permet de representer 99, 7% des valeurs d’erreur

69 A. Ndjeng Ndjeng

Page 86: Localisation robuste multi-capteurs et multi-mod`eles

3.4. Application de l’IMM en localisation Approches multi-modeles

Temps [s]

Err

eur

de p

ositi

onne

men

t [m

]

Fig. 3.19 – Erreur du positionnement au scenario 2

CS CA

CVCA

CS

CRCA

CS

CA

CV

Pro

babi

lités

Temps [s]

Fig. 3.20 – Scenario 2 : probabilites des modeles au scenario 2

A. Ndjeng Ndjeng 70

Page 87: Localisation robuste multi-capteurs et multi-mod`eles

Approches multi-modeles 3.4. Application de l’IMM en localisation

Temps [s]

Temps [s]

[m]

[m]

Erreur suivant XEnveloppe suivant X

Erreur suivant YEnveloppe suivant Y

Fig. 3.21 – Scenario 2 : enveloppes a 3σ

En comparant les courbes de la vitesse estimee et les differentes probabilites, nous constatonseffectivement la domination du modele CA pendant les phases d’acceleration : 0−20s et 60−75s.Durant les phases d’acceleration en marche arriere (90− 110s et 170− 190s), l’influence du CRl’emporte sur celle du CA. Le modele CV devient actif en l’absence de manoeuvres, c’est-a-direlorsque la vitesse est constante. De meme la probabilite du modele CS est la plus elevee lorsquele vehicule est a l’arret.L’alternance entre les modeles induit une erreur du positionnement tres faible, car dans ce cas,les bruits sur les donnees sont faibles, et le passage d’un modele vrai a un autre est rapide.Ainsi l’ecart moyen du positionnement pour ce scenario, sur chaque axe est toujours comprisdans l’enveloppe a 3σ correspondante, tel qu’illustre a la figure (FIG. 3.21). Une fois de plusnous concluons que l’IMM reste consistant pour ce scenario quant a l’estimation des erreurs depositionnement.

3.4.4.3 Scenario 3 : aller-retour-aller sur piste reelle

Les capteurs utilises dans le 3eme scenario sont : une IMU Crossbow VG400 qui fournitdes accelerations sur les axes longitudinal, lateral et vertical, ainsi que des vitesses de rotation(vitesses de roulis, de tangage et de lacet), un capteur odometrique qui fournit la vitesse des rouesdu vehicule et un GPS bas cout (Trimble AG132) de faible precision ≈ 5m. Les informationscapteurs sont fournies a 10Hz.Dans ce scenario, la partie de la piste routiere de Satory qui a ete utilisee est une ligne droite,

illustree a la figure (FIG. 3.22). La courbe de vitesse odometrique deduite de ce parcours estillustree a la figure (FIG. 3.24). Elle montre une vitesse negative lorsque le vehicule est en marchearriere. La figure (FIG. 3.25) presente les differentes probabilites des 5 modeles CV, CA, CT, CSet CR integres dans le systeme. Nous observons un arret de courte duree apres 75s (modele CS),juste avant de changer le sens d’evolution (de marche avant vers marche arriere ou vice-versa).Durant la marche arriere (entre 75s et 140s), la probabilite moyenne du modele CR est a 97%,

71 A. Ndjeng Ndjeng

Page 88: Localisation robuste multi-capteurs et multi-mod`eles

3.4. Application de l’IMM en localisation Approches multi-modeles

Fig. 3.22 – Piste de test pour le scenario 3

Fig. 3.23 – Erreur sur les axes X et Y

A. Ndjeng Ndjeng 72

Page 89: Localisation robuste multi-capteurs et multi-mod`eles

Approches multi-modeles 3.4. Application de l’IMM en localisation

Fig. 3.24 – Estimation de la vitesse

CA : freinage

CS : arrêt

CR : marche arrière

CS : arrêt

CA : accélération

Fig. 3.25 – Probabilites des modeles

73 A. Ndjeng Ndjeng

Page 90: Localisation robuste multi-capteurs et multi-mod`eles

3.4. Application de l’IMM en localisation Approches multi-modeles

confirmant ainsi la domination de ce mode d’evolution. Durant les phases de marche avant, nousavons une acceleration (modele CA) suivie d’une evolution a vitesse constante (modele CV).

L’algorithme IMM fournit une tres bonne estimation de la vitesse du vehicule dans ce scenario,voir figure (FIG. 3.24) ; et l’erreur de positionnement sur chaque axe reste tres faible, avec unevaleur maximale a 0, 53m en longitudinale et moins de 0, 15m en laterale. L’erreur laterale estplus faible, car le parcours s’effectue sur une ligne droite, on peut donc negliger la dynamiquelaterale. La probabilite d’activation du modele CT est constamment tres faible (≈ 0, 05), ce quicorrespond bien a la situation reelle.

3.4.5 Limites de l’approche IMM classique en localisation

Dans l’approche IMM classique, decrite et illustree dans les paragraphes precedents, l’evalua-

tion des probabilites d’activation µ(i)k|k est obtenue a partir de l’etat predit par le filtre specifique i

et des observations exteroceptives (position GPS) (voir equations (3.18) et (3.20)). Ceci pose unprobleme fondamental en cas d’absence du signal GPS soit parce que la frequence des capteursGPS bas cout est faible par rapport a la frequence des capteurs proprioceptifs, soit a cause d’uneobstruction du signal des satellites. Dans ce cas, certaines erreurs du systeme de localisation sontsimplement inevitables comme nous le montrons dans les paragraphes (3.4.5.1) et (3.4.5.2).

3.4.5.1 Scenario 4 : manoeuvres de parking

Le scenario 4 a ete realise dans le cadre d’une campagne de mesures pour le projet euro-peen CVIS-POMA a Goteborg. Dans ce scenario, nous ne traitons que la partie relative auxmanoeuvres de parking a basse vitesse. La figure (FIG. 3.26) illustre ce parcours, compose dephases de ralentissement en virage, d’arrets et re-demarrage en marche avant ou marche arriere.Dans ce scenario, les donnees de la centrale inertielle (accelerations et vitesse de lacet) sontfournies par une plateforme de mesures, a 10Hz. On a utilise la vitesse odometrique issue duCAN a 30Hz et un GPS de faible precision (bas cout) pour le recalage des filtres. Les donneesGPS ont une cadence de 5Hz.

Il a ete mis en evidence, pour le scenario 4, deux phases de marche arriere (vitesse signeenegative), telles qu’illustrees a la figure (FIG. 3.27). Le signe de la vitesse dans ce scenario aete obtenu en utilisant l’algorithme (1). En comparant cette figure aux courbes de probabilitesa la figure (FIG. 3.28), on observe une forte correlation. Les etapes de parcours du vehiculepeuvent ainsi etre identifiee, en dehors de la premiere phase de marche arriere a tres faible vi-tesse (≈ 0, 6m/s). Pendant les arrets, la probabilite du modele CS est la plus grande, de l’ordrede 99%. De meme pendant la deuxieme marche arriere, c’est le modele CR qui est le plus actifavec une probabilite moyenne superieure a 90%.

Au cours de cette experience, nous avons, globalement, une estimation acceptable de la vitesse duvehicule. Les valeurs maximales de l’ecart par rapport a la vitesse observee (pres de 0, 5m.s−1)sont obtenues lorsque le vehicule sort d’un etat de type <<arret>> (a 12s, 28s et 40s). Cetteerreur est non seulement due au bruit introduit par l’inertie du systeme lors du changement demode d’evolution, mais elle provient egalement de la non mise a jour rapide des probabilitesdes modeles. La figure (FIG. 3.29) revele que les probabilites obtenues dans ce scenario ont uneforme en escalier : en effet, elle ne sont mises a jour que toutes les 200ms secondes alors que lalocalisation est fournie toutes les 40ms. Ce non renouvellement des probabilites induit l’erreursur la vitesse visible a la figure (FIG. 3.27).Dans le paragraphe (3.4.5.2), nous montrons de maniere plus claire cet inconvenient, tant sur lepositionnement, que sur l’estimation de la vitesse.

A. Ndjeng Ndjeng 74

Page 91: Localisation robuste multi-capteurs et multi-mod`eles

Approches multi-modeles 3.4. Application de l’IMM en localisation

stop

stop

Rear going

Fig. 3.26 – Piste de test : scenario 4

Vitesse réelle

Vitesse IMM

Vitesse réelle signée

Temps [s]

Vite

sse

Fig. 3.27 – Vitesse : scenario 4

75 A. Ndjeng Ndjeng

Page 92: Localisation robuste multi-capteurs et multi-mod`eles

3.4. Application de l’IMM en localisation Approches multi-modeles

CT

CA

CV

CR

CSP

roba

bilit

és

Temps [s]

Fig. 3.28 – Probabilites : scenario 4

CT

CR

CVCA

CS

Pro

babi

lités

Temps [s]

Zoom sur les probabilités

Fig. 3.29 – Zoom probabilites (10 1eres secondes)

A. Ndjeng Ndjeng 76

Page 93: Localisation robuste multi-capteurs et multi-mod`eles

Approches multi-modeles 3.5. Conclusion

3.4.5.2 Scenario 5 : Masquage du GPS

Ce scenario simule une trajectoire complexe (lignes droites et virages) parcourue pendant200s (voir figure (FIG. 3.32). Les donnees utilisees proviennent alors d’un GPS, deux accelero-metres, un gyroscope de lacet et un odometre simules. Seules les donnees de recalage GPS ontete bruitees par un bruit blanc gaussien d’ecart-type 3m. Les signaux du gyroscope de lacet etla vitesse odometrique apparaissent respectivement en figures (FIG. 3.31) et (FIG. 3.30).

Le mobile part d’un arret puis accelere sur une ligne droite. Avant de prendre le virage, il reduit

Fig. 3.30 – Vitesse simulee : scenario 5

sa vitesse et la garde constante jusqu’a la sortie du 2eme virage. Apres le premier virage, unmasquage GPS est simule, entre tMiGPS

= 105s a tMfGPS= 175s (voir figure (FIG. 3.32)). Dans

cette phase du parcours il n’y a plus de signal GPS et le filtre IMM evolue en prediction pureet sans remise a jour des probabilites, pour fournir une localisation a l’estime.

La figure (FIG. 3.32) montre la sortie du positionnement donnee par l’IMM. Le masquage duGPS intervient alors que le mobile aborde une ligne droite avec une vitesse constante. A l’ins-tant tMiGPS

, la derniere mise a jour des probabilites donne le modele CV dominant, avec uneprobabilite de 0, 8. Durant toute la periode du masquage, les valeurs des probabilites a tMiGPS

restent inchangees (voir figure (FIG. 3.33)).

Garder les probabilites des modeles constantes a pour consequence directe la non prise en comptedu 2eme virage. En effet, le modele CV etant tres dominant, l’estimateur IMM ne peut pas re-soudre la localisation sur ce parcours complexe.

3.5 Conclusion

Reduire l’erreur de la localisation des vehicules tout en rendant celle-ci plus robuste estune exigence forte pour le developpement des systemes automatises d’aide a la conduite. Pour

77 A. Ndjeng Ndjeng

Page 94: Localisation robuste multi-capteurs et multi-mod`eles

3.5. Conclusion Approches multi-modeles

Fig. 3.31 – Vitesse de lacet : scerario 5

105s

175s

Recalage GPS

IMM : localisation à l’estime

Référence

Points GPS

Fig. 3.32 – Piste de test : scenario 5

A. Ndjeng Ndjeng 78

Page 95: Localisation robuste multi-capteurs et multi-mod`eles

Approches multi-modeles 3.5. Conclusion

CSCA CV CA

CT

CVCA

CR

CS

GPSMitGPSMft

Pro

babi

lités

Temps [s]

Fig. 3.33 – Probabilites des modeles : scenario 5

atteindre ce but, la technique de fusion multi-capteurs multi-modeles a ete presentee dans cechapitre. Notre etude a ete focalisee sur l’approche IMM qui ameliore la plupart des techniquesmulti-modeles rencontrees dans la litterature.

L’algorithme IMM presente emploie cinq modeles simples et lineaires. Il s’agit du modele a vi-tesse constante CV, le modele a acceleration constante CA, le modele en virage avec vitessede lacet constante CT, le modele du vehicule a l’arret CS et le modele de marche arriere CR.Chaque modele correspond a une description mathematique d’un mode d’evolution ou situationde conduite, sur la base d’hypotheses simples. Les modeles sont implantes en parallele avec unephase de filtrage pour chacun, construite a l’aide d’un filtre de Kalman lineaire. L’utilisation dece filtre nous permet alors d’obtenir une estimation robuste de l’etat du vehicule.

Les principaux defauts lies a l’utilisation de l’IMM en localisation proviennent generalementd’une mauvaise evaluation des probabilites d’activation. Ceci peut etre une consequence de lapresence de bruit sur les mesures d’accelerations et des vitesses de rotation utilisees commedes entrees, tout comme d’un mauvais parametrage, notamment de la matrice de transition deMarkov. Toutefois, ces problemes peuvent facilement etre resolus d’une part, en traitant les im-perfections des capteurs avant leur utilisation (cf. chapitre 5), d’autre part a travers des tests destabilite du systeme [BLA99].Le probleme fondamental releve dans ce chapitre concerne surtout la non mise a jour des proba-bilites des modeles en cas d’absence de donnee de recalage exteroceptives. Ceci pourrait reduireconsiderablement le domaine d’applicabilite de l’IMM en localisation de vehicules routiers. Ilest donc necessaire de pourvoir mettre a jour les probabilites pour garder la modelisation dusysteme reel fiable. Pour cela, nous avons developpe une nouvelle approche dans cette these ; elles’inspire de la theorie des probabilites et fait l’objet du prochain chapitre.

79 A. Ndjeng Ndjeng

Page 96: Localisation robuste multi-capteurs et multi-mod`eles

3.5. Conclusion Approches multi-modeles

A. Ndjeng Ndjeng 80

Page 97: Localisation robuste multi-capteurs et multi-mod`eles

Chapitre 4

Nouvelle approche de mise a jour des vraisemblances

dans l’IMM

[Ndjeng et al., 2009b]

4.1 Introduction

Le chapitre (3) a ete l’occasion de presenter plusieurs approches de fusion hybride multi-modeles. Celles-ci, fondees sur une caracterisation modulaire de l’espace d’evolution du vehi-cule, sont connues sous le nom d’estimateurs multi-modeles. L’accent a notamment ete portesur l’IMM (multi-modeles interactifs) qui est devenu l’approche multi-modeles la plus utilisee.L’interet d’utiliser l’IMM en localisation de vehicules routiers vient du fait que cet algorithmeest tres robuste pour l’estimation des systemes dont la dynamique change frequemment et demaniere importante. Cette qualite est traduite par le fait que l’IMM favorise la transition d’unmodele d’evolution dominant vers un autre a travers une etape de reinitialisation encore appeleeinteraction.

S’inspirant de l’approche de fusion par tests multi-hypotheses (MHT), l’algorithme IMM clas-sique fournit, en presence de donnees de correction, une estimation de la probabilite d’activationde chaque modele integre [Bar-Shalom, 1992; Blom, 1984; Li & Jilkov, 2003; Ndjeng et al.,2008b]. Cette demarche traditionnelle consiste donc a utiliser des observations issues de cap-teurs exteroceptifs (dans notre cas le GPS), pour evaluer la vraisemblance de chaque modelecandidat a travers le calcul de son innovation. Toutefois, cette application classique de l’IMM auprobleme de la localisation de vehicules routiers [Ndjeng et al., 2008b, 2007; Kaempchen et al.,2004] fait surgir quelques faiblesses :

– la premiere est liee a un parametrage inadequat (matrice de transition de Markov, variancedes modeles etc.). Quelques solutions alors proposees par Blackman et Popoli [Blackman& Popoli, 1999], consistent a regler les parametres de l’algorithme en fonction de la dy-namique des capteurs utilises, en mettant a jour regulierement la matrice des probabilitesde transition ;

81

Page 98: Localisation robuste multi-capteurs et multi-mod`eles

4.2. Modelisation du systeme Mise a jour des vraisemblances

– la deuxieme concerne la non mise a jour des vraisemblances des differents modeles lorsqueles donnees de recalage GPS sont absentes. Cette faiblesse a pour consequence directede biaiser la modelisation du systeme. Traditionnellement, la solution utilisee consiste asynchroniser tous les capteurs utilises a la frequence du GPS. Or, ce capteur a generalementune frequence faible associee a un bruit non negligeable. De plus, ses donnees peuventsimplement etre absentes, notamment lorsque le vehicule traverse une zone non couvertepar des signaux satellites (canyons urbains, forets ou tunnels). Ces conditions degradeesvont fortement limiter la robustesse de la localisation. Si on choisit de garder constant leregime globale des probabilites en cas d’absence du GPS, on genere une incertitude sur lemode d’evolution vrai entre deux donnees GPS consecutives. Il en decoule alors un defautde localisation, et potentiellement une divergence du systeme.

Dans ce chapitre, nous proposons une solution a ce probleme. L’approche etudiee se fonde sur unemodelisation du comportement des capteurs proprioceptifs, afin de pouvoir prendre en compte lecomportement relatif du vehicule, et notamment les transitions entre les differents modes d’evo-lution, en l’absence de donnees GPS. Cette modelisation concerne les capteurs acceleretriques,gyrometriques et odometriques. Cette modelisation est soutenue par deux hypotheses :

H1 il est possible d’identifier des situations de conduite a partir de mesures de capteurs pro-prioceptifs [Chikhi, 2006]

H2 le comportement des accelerometres, gyroscopes ou odometres peut etre represente par desmodeles gaussiens [Ndjeng et al., 2009; Hasler, 2007].

Une nouvelle modelisation sous contraintes du systeme sera appliquee, avec redefinition des mo-deles d’evolution CV, CA, CT, CS et CR presentes au chapitre (3), sur la base de la connaissancedes comportements identifiables a partir des capteurs proprioceptifs. Nous tenons a rappeler quedans cette approche, il n’est pas question de modeliser le bruit des capteurs, mais de modeliser,a l’aide des capteurs, des modes de comportements homogenes avec ceux utilises classiquement.

La structure de ce chapitre se presente ainsi : dans un premier temps, nous developpons la nou-velle modelisation du systeme utilisant des connaissances dont nous disposons sur les capteursproprioceptifs. Par la suite, nous detaillons la methode utilisee pour estimer les vraisemblancesdes modeles d’evolution redefinis. Cette etude s’achevera alors par une application de cette nou-velle approche a la localisation de vehicules routiers en utilisant les scenarios 4 et 5 decrit auchapitre (3).

4.2 Modelisation du systeme

Dans le systeme de localisation multi-modeles mis en oeuvre au cours de cette these, cinqmodes d’evolution pour un vehicule routier sont identifies, chacun decrivant une situation parti-culiere de conduite. Nous entendons par mode d’evolution un type de comportement du vehiculelie a la configuration de l’infrastructure ou a la situation de conduite (exemple : le mode en lignedroite, le mode en virage, le mode en marche arriere, le mode en acceleration, etc.). Le modeled’evolution est une representation mathematique approximative et donc une simplification d’unmode d’evolution donne. Or, a la difference des systemes appliques a la poursuite de cibles [Li& Jilkov, 2005, 2003], nous avons generalement autant de modes que de modeles d’evolution enlocalisation de vehicules routiers. Ceci provient du fait que les matrices de transition s’adaptentgeneralement aux situations en utilisant des mesures de capteurs embarques. Par exemple, lamatrice de transition du modele CT est mise a jour a chaque nouvelle valeur de la vitesse delacet.

A. Ndjeng Ndjeng 82

Page 99: Localisation robuste multi-capteurs et multi-mod`eles

Mise a jour des vraisemblances 4.2. Modelisation du systeme

Tab. 4.1 – Description des modes d’evolution ou situation de conduiteModes d’evolution Descriptif Donnees capteurs

Mode 1

vitesse de lacet : ω = 0ligne droite, vitesse constante acceleration longi : γlon = 0

acceleration laterale : γlat = 0V > 0

Mode 2V > 0

acceleration constante acceleration longi : γlon = cte

acceleration laterale : γlat = cte

Mode 3V > 0

virage, vitesse de lacet constante acceleration laterale : γlat = cte

vitesse de lacet : ω = cte

Mode 4vitesse : V ≈ 0

arret accelerations : γlon,γlat = 0vitesse de lacet : ω = 0

Mode 5 marche arriere vitesse : V < 0

4.2.1 Modes et modeles d’evolution

Il est possible de modeliser l’evolution locale du vehicule a partir d’informations de cap-teurs embarques. Pour cela, l’approche classique consiste a definir des situations de conduitescomme des modes de fonctionnement ou modes d’evolution, a partir des mesures collectees parces capteurs. Par exemple, Fouzi Chikhi decrit dans sa these de doctorat [Chikhi, 2006], desmodes d’evolution complexes, identifiables a partir des mesures d’accelerations. Cette demarchelui permet d’activer un modele dynamique longitudinal, lateral ou couple, en fonction de la si-tuation de conduite.L’approche que nous proposons est differente. Les connaissances dont nous disposons sur lescapteurs mesurant les accelerations, la vitesse de lacet ainsi que la vitesse du vehicule, sontutilisees afin de decrire les cinq modes d’evolution plus simples que ceux presente dans [Chikhi,2006]. Ces modes sont ensuite transcrits en modeles d’evolution. Le tableau (TAB. 4.1) montrela correspondance entre les modes d’evolution du vehicule et les capteurs utilises pour les carac-teriser.Partant donc de ce tableau, il est possible de specifier pour chaque situation de conduite, une

modelisation liee au comportement des capteurs utilises pour sa description. Cette modelisationest fondee sur une mesure de confiance, pour une situation ponctuelle donnee. Plus loin, la vrai-semblance des modeles ainsi construits est evaluee a partir des mesures de capteurs a utiliserpour la description de chaque situation. De cette maniere, partant du vecteur de mesures de cap-teurs proprioceptifs [γlon, γlat, ω, V ], ou γlon et γlat sont les accelerations longitudinale et laterale,ω la vitesse de lacet et V la vitesse, il est possible d’avoir une description du fonctionnement duvehicule.

4.2.2 Modeles de comportements de capteurs proprioceptifs

En fonction d’un type de parcours ou d’une manoeuvre donnee, il est possible d’identifiera priori, un modele de comportement des capteurs proprioceptifs embarques. Par exemple, lorsdu demarrage du vehicule, nous pouvons supposer avec une confiance elevee, que l’accelerationlongitudinale sera grande ; ce comportement peut alors etre modelise par la courbe a la figure(FIG. 4.1). De la meme maniere, la vitesse de lacet, lorsque le vehicule est dans un virage, seraelevee. Or, sur une ligne droite, cette vitesse de lacet sera vraisemblablement proche de zero,

83 A. Ndjeng Ndjeng

Page 100: Localisation robuste multi-capteurs et multi-mod`eles

4.2. Modelisation du systeme Mise a jour des vraisemblances

telle qu’illustree a la figure (FIG. 4.2).Pour modeliser le comportement d’un capteur, une decomposition du modele global (voir figures

Fig. 4.1 – Modele de comportement ideal pour des valeurs non nulles

Fig. 4.2 – Modele de comportement ideal d’un capteur pour des valeurs proches de 0

(FIG. 4.1) et (FIG. 4.2)) en densites de probabilite est faite. Celle-ci permet d’avoir une homo-geneite entre le modele de comportement et le modele de la mesure capteur (modelisation pro-babiliste gaussienne). Ainsi le comportement d’un capteur utilise une approche multi-modeles,ou chaque sous-modele caracterise un sous-espace de fonctionnement. Dans ces conditions, ilest possible de calculer la vraisemblance entre le modele de comportement d’un capteur et unemesure provenant du meme type de capteur.De cette maniere et pour chaque capteur, le modele de comportement sur toute la zone de fonc-tionnement est constitue d’un ensemble de distributions gaussiennes (approche multi-modeles).Afin de reconstruire les modeles ideaux representes en figure (FIG. 4.1) et figure (FIG. 4.2),une relation deterministe est construite entre les sous-modeles successifs (voir equations (4.1) et(4.2)) en fonction du type du capteur et de la manoeuvre en cours. L’objectif de cette relationest double :

A. Ndjeng Ndjeng 84

Page 101: Localisation robuste multi-capteurs et multi-mod`eles

Mise a jour des vraisemblances 4.2. Modelisation du systeme

– Eviter des minima locaux entre les sous-modeles.– Assurer la continuite afin de se rapprocher du modele de comportement ideal.

Dans cette representation, on peut alors deduire un vecteur de donnees issues des sous-modelesde comportement des capteurs, et capable de decrire un mode fonctionnement du systeme.On caracterise ainsi des modeles d’evolution contraints, homogenes aux modeles classiques, cardecrivant les memes modes d’evolutions du vehicule.

Dans le but de decrire les differents modes d’evolution du systeme et de satisfaire la descriptiondes modeles derives, nous distinguons trois sous-espaces de comportement des capteurs utilises :

– Sous-espace autour de 0 : les sous-modeles de comportement sont centres en di = 0 ;– Sous-espace proche de 0 : les sous-modeles de comportement sont centres en di, de faible

amplitude, sans toutefois etre egale a 0 : di ≈ 0 et di 6= 0 ;– Sous-espace eloigne de 0 : les sous-modeles de comportement sont centres en di >> 0.

4.2.2.1 Sous-modeles de comportement centres en 0 : d0 = 0

Lorsque, pour la description d’un mode, les sous-modeles sont centres en di (di = d0 = 0),alors nous utilisons une distribution gaussienne g0 centree en 0 et de variance σsous−modle :g0 N (0, σsous−modle). Ce sera le cas, par exemple, pour l’accelerometre longitudinal en modevitesse constante, ou du gyrometre de lacet en mode ligne droite ou arret. Une telle distributionest illustree a la figure (FIG. 4.3).

Fig. 4.3 – Representation gaussienne pour un sous-modele a 0

4.2.2.2 Sous-modeles de comportement pour |dm| ≈ 0

Dans ce cas, plusieurs distributions sont construites autour de 0 en partant de la distributiong0 decrite plus haut, selon la regle suivante :On considere deux distributions gaussiennes g0 et g1 de parametres respectifs (m0, σ0) connus,

85 A. Ndjeng Ndjeng

Page 102: Localisation robuste multi-capteurs et multi-mod`eles

4.2. Modelisation du systeme Mise a jour des vraisemblances

Fig. 4.4 – Calcul de sous-modeles successifs

et (m1, σ1) recherches (voir figure (FIG. 4.4)). g1 est construite de telle maniere que l’intersectionentre les deux distributions soit le sommet (point le plus vraisemblable) de g1. Par ailleurs, lerapport entre les variances des deux distributions est note α, fixe par l’operateur. Le centre dela distribution g1 peut des lors etre calcule en fonction de m0, σ0 et α > 1, selon les formulessuivantes :

σ1 = ασ0

etm1 = m0 + σ0

√2 logα

(4.1)

De la meme maniere, la distribution g2 peut etre obtenue en connaissant les parametres de g1.Plus loin nous montrerons l’influence du parametre α dans cette representation. L’ensemble desdistributions obtenues pour des donnees proches de 0, pour α = 1, 5 et σ0 = 0, 1 est representea la figure (FIG. 4.5). Lorsque nous sommes en presence de plusieurs distributions pour un typede comportement, etant donnee la mesure du capteur collectee, dm, le choix est porte sur lesous-modele qui maximise la vraisemblance de cette mesure. A la figure (FIG. 4.5) par exemple,le sous-modele retenu est celui dont la moyenne est m2. Lorsque la mesure est tres proche de 0,alors on retrouve la distribution g0.

4.2.2.3 Sous-modeles de comportement pour |dm| >> 0

L’etude est similaire a celle menee ci-dessus. Plusieurs distributions sont construites suivantdes regles proche du cas precedent : g0 et g1 ont pour point d’intersection, le sommet de ladistribution g0 ; on considere alors 0 < α < 1. Des lors, la formule d’obtention de la nouvellemoyenne m1 devient :

σ1 = ασ0

et

m1 = m0 + ασ0

−2 log (α)

(4.2)

Dans ce cas, si on prend par exemple α = 0, 6 et σ0 = 1, l’illustration de l’ensemble des sous-modeles obtenus est a la figure (FIG. 4.6).

A. Ndjeng Ndjeng 86

Page 103: Localisation robuste multi-capteurs et multi-mod`eles

Mise a jour des vraisemblances 4.2. Modelisation du systeme

Fig. 4.5 – Representation gaussienne pour des sous-modeles proches de 0

De la meme maniere que precedemment, le sous-modele retenu est celui qui maximise la vrai-semblance pour une mesure dM est celle qui maximise sa densite de probabilite. Il s’agit dansnotre exemple, de la distribution de moyenne m2.

Remarque :Dans cette modelisation, differents parametres sont fixes : les centres des modeles de comporte-ment sont pris dans l’intervalle [−1; 1] ; on pose ensuite σ0 = 0, 1 lorsque α > 1, et σ0 = 1 lorsqueα < 1. Ces parametres ne sont donc pas fonction des plages de fonctionnement des differentscapteurs, dont les mesures sont ramenees a l’intervalle [−1; 1], lors du calcul des mises a jour(au paragraphe (4.3)).

4.2.3 Influence du parametre α

Le parametre empirique α permet d’affiner la modelisation du comportement d’un capteur al’aide de distributions gaussiennes. En effet, plus α est proche de 1, plus les variances et centresde distribution successifs sont proches les uns des autres. Dans ce cas, le nombre de distributionsdevient important et le systeme est peu discriminant. La consequence en est que les transitionsentre les modeles integres ne sont pas favorisees, et le systeme aura tendance a conserver le modecourant.

Lorsque les centres de sous-modeles sont proches de 0, plus α s’eloigne de 1, moins il y a dedistributions, et le systeme devient discriminant. Les figures (FIG. 4.7), (FIG. 4.8) et (FIG. 4.9)illustrent bien cette influence. Sur chaque figure, nous avons en (a) l’ensemble des distributionsobtenues (sous-modeles). En (b) nous representons une projection de ces distributions sur leplan (sous-modele - Densite de probabilite).Lorsque les centres de sous-modeles sont eloignes de 0, le nombre de distributions croıt lorsque αdiminue. Pour de faibles valeurs de α, les distributions se concentrent sur les valeurs maximalesdes mesures, tel qu’illustre a la figure (FIG. 4.10). Lorsque α est proche de 1 (voir figure (FIG.

87 A. Ndjeng Ndjeng

Page 104: Localisation robuste multi-capteurs et multi-mod`eles

4.2. Modelisation du systeme Mise a jour des vraisemblances

Fig. 4.6 – Representation gaussienne pour des sous-modeles de centres eloignes de 0

(a) (b)

Fig. 4.7 – Distributions pour α = 1, 1

A. Ndjeng Ndjeng 88

Page 105: Localisation robuste multi-capteurs et multi-mod`eles

Mise a jour des vraisemblances 4.2. Modelisation du systeme

(a) (b)

Fig. 4.8 – Distributions pour α = 1, 7

(a) (b)

Fig. 4.9 – Distributions pour α = 2, 0

89 A. Ndjeng Ndjeng

Page 106: Localisation robuste multi-capteurs et multi-mod`eles

4.2. Modelisation du systeme Mise a jour des vraisemblances

4.12)), on obtient un ensemble des distributions tres proches, ne favorisant pas une modelisationdiscriminante.

(a) (b)

Fig. 4.10 – Distributions pour α = 0, 4

(a) (b)

Fig. 4.11 – Distributions pour α = 0, 7

En effet plus la modelisation des comportements de capteurs est discriminante, plus les vrai-semblances deduites seront differentes a deux instant differents. Par contre si cette modelisationest trop discriminante, c’est-a-dire que les centres et les variances de distributions successivessont tres eloignes, alors on observe des ecarts de vraisemblance tres importants entre les modelesd’evolution. Le systeme perd alors en souplesse dans les transitions d’un modele d’evolutionvrai a un autre. Ces transitions se ramenent alors a une estimation par detection multi-modele,presentee au paragraphe (3.2.3.2).Utiliser des valeurs intermediaires de α permet de resoudre ce probleme. Dans les experiencesque nous avons realisees, les valeurs comprises entre 0, 6 et 0, 7, puis entre 1, 4 et 1, 5 ont etetestees et retenues comme les plus adaptees a notre systeme. Partant de cette modelisation descomportements des capteurs proprioceptifs, nous allons definir les vecteurs d’etat et matrices devariances-covariances contraints des differents modeles. Ce sera l’objet du prochain paragraphe.

4.2.4 Representation d’etat des modeles contraints

Nous parlons de modeles contraints parce que, comme nous le verrons dans la suite, lesvecteurs d’etat et matrices de variances-covariances sont connus a priori. Cette modelisation est

A. Ndjeng Ndjeng 90

Page 107: Localisation robuste multi-capteurs et multi-mod`eles

Mise a jour des vraisemblances 4.2. Modelisation du systeme

(a) (b)

Fig. 4.12 – Distributions pour α = 0, 9

deduite de la modelisation du comportement des capteurs proprioceptifs vue plus haut.Considerons qu’a un instant k nous disposons des mesures d’accelerations, de la vitesse delacet ainsi que de la vitesse lineaire. Chacune d’elle peut etre projetee sur un sous-modele decomportement du capteur correspondant, apres avoir ete reduite a l’intervalle [−1; 1].

Vitesse proche de 0 : Vm(k) N (mV (k), σmV (k)) (4.3)

Vitesse elevee : VM (k) N (MV (k), σMV (k)) (4.4)

Acceleration longitudinale : γlon(k) N (mγlon(k), σγlat

(k)) (4.5)

Acceleration laterale : γlat(k) N (mγlat(k), σγlat

(k)) (4.6)

Vitesse de lacet : ω(k) N (mω(k), σω(k)) (4.7)

Les valeurs des centres et des variances de ces distributions sont utilisees pour definir les vecteursd’etat et les matrices de covariances-covariances des modeles contraints. En realite, les centresde ces distributions peuvent etre recueillis dans un unique vecteur d’etat contraint qui decrit lesysteme

Xc(k) = [mγlon(k) mγlat(k) mω(k) mMV (k)]

(4.8)

ou– mγlon

(k) et mγlat(k) sont les moyennes des sous-modeles sur lesquel sont projetees, a l’ins-

tant k, les mesures fournies respectivement par l’accelerometre longitudinal, et lateral.

– mω(k) est la moyenne du sous-modele sur lequel est projete, a l’instant k, la vitesse delacet,

– mMV (k) est la composante de la vitesse (vitesse faible ou elevee), elle decoule d’un sous-modele du comportement du capteur odometrique.

En consequence, chaque modele (d’evolution) etant une representation partielle de l’espace d’evo-lution, aura un vecteur d’etat Xc(i)(k) qui est une partition du vecteur total Xc(k).

Pour modeliser l’evolution du vehicule sur la base de capteurs proprioceptifs, nous consideronsles modes d’evolution presentes au tableau (TAB. 4.1, utilisant les modeles de comportementdes capteurs proprioceptifs (equations (4.3) a (4.7)). Le tableau (TAB. 4.2) met en relation lesmodeles contraints cCV , cCA, cCT , cCS et cCR (respectivement pour CV , CA, CT , CSet CR contraints), avec les modeles de capteurs utilises. Ce tableau permet alors d’ecrire lesvecteurs d’etat et matrices de variances-covariances des modeles contraints.

91 A. Ndjeng Ndjeng

Page 108: Localisation robuste multi-capteurs et multi-mod`eles

4.2. Modelisation du systeme Mise a jour des vraisemblances

Tab. 4.2 – Mise en relation entre modeles d’evolution contraints et modeles de compor-tement des capteursModele contraint Modeles de comportement des capteurs

acc. lon γlon acc. lat γlat vit. lacet ω vitesse V

cCV

vrai

sem

blan

ce

vrai

sem

blan

ce

vrai

sem

blan

ce

cCA

cCT

cCS

vrai

sem

blan

ce

vrai

sem

blan

ce

vrai

sem

blan

ce

cCR

A. Ndjeng Ndjeng 92

Page 109: Localisation robuste multi-capteurs et multi-mod`eles

Mise a jour des vraisemblances 4.2. Modelisation du systeme

– Le modele CV contraint, cCV, est caracterise l’utilisation des modeles de comportementlies aux accelerations et a la vitesse de lacet pour des valeurs nulles. Son vecteur d’etatest fixe, a chaque instant k, par :

XcCV (k) = [mγlon(k) mγlat(k) mω(k)]T = [0 0 0]T (4.9)

La matrice de variances-covariances du bruit de ce modele est deduite des variances desdistributions qui representent les accelerations et la vitesse de lacet collectees :

P cCV (k) = qCVσ2w

σacc γlon0 0

0 σacc γlat0

0 0 σgyro ω

(4.10)

avec : σacc γlonla variance du bruit de l’accelerometre longitudinal,

σacc γlonla variance du bruit de l’accelerometre lateral et

σgyro ω la variance du bruit du gyroscope.

– Le modele CA contraint, cCA, utilise, quant a lui, les donnees d’accelerations, indepen-damment de la vitesse de lacet ou de la vitesse. Son vecteur d’etat est alors contrainta :

XcCA(k) = [mγlon(k) mγlat(k)]T (4.11)

et sa matrice de variances-covariances est deduite de la modelisation des donnees d’acce-lerometres (selon les equations (4.5) et (4.6)) :

P cCA(k) = qCAσ2w

(σγlon

(k) 00 σγlat

(k)

)

(4.12)

ou σγlon(k) et σγlat

(k) sont les variances respectives des distributions des mesures d’acce-lerations.

– Le modele CT contraint, cCT, utilise les modeles de comportement de l’accelerometrelaterale et du gyroscope de lacet, de sorte que sont vecteur d’etat est :

XcCT (k) = [mγlat(k) mω(k)]T (4.13)

et la matrice de variances-covariances est deduite des distributions, aux equations (4.6) et(4.7) :

P cCT (k) = qCTσ2w

(σγlat

(k) 00 σω(k)

)

(4.14)

ou σω(k) est la variance du modele de la mesure de vitesse de lacet.

– Pour le vehicule a l’arret, le modele CS contraint, note cCS, a une representation prochedu modele cCV. Il s’agit en fait d’un CV contraint a de faibles vitesses, tel qu’illustre autableau (TAB. 4.2). Le vecteur d’etat est alors

XcCS(k) = [mγlon(k) mγlat(k) mω(k) mMV (k)]T = [0 0 0 mV (k)]T (4.15)

avec mV (k) le centre de la distribution sur laquelle est projetee une vitesse proche de 0.Pour ce modele la matrice de variances-covariances associe la variance des accelerometres,celle du gyroscope de lacet deja definies, ainsi que la variance deduite de la modelisationdu comportement de l’odometre pour de faibles valeurs de la vitesse (autour de σmV (k)) :

P cCS(k) = qCSσ2w

σacc γlon0 0 0

0 σacc γlat0 0

0 0 σgyro ω 00 0 0 σmV (k)

(4.16)

93 A. Ndjeng Ndjeng

Page 110: Localisation robuste multi-capteurs et multi-mod`eles

4.3. Calcul des vraisemblances Mise a jour des vraisemblances

– Le modele de marche arriere cCR est contraint par une vitesse non nulle negative. Sonvecteur d’etat est alors

XcCR(k) = [−MV (k)] (4.17)

avec MV (k) le centre de la distribution qui modelise le comportement de l’odometre pourdes valeurs de vitesses importantes. Sa matrice de variances-covariances est alors de di-mension 1 (equation (4.4)) :

P cCR(k) = qCRσ2wσMV (k) (4.18)

σMV (k) etant la variance de la distribution dont le centre est MV (k).

Dans cette representation d’etat, q(i)σ2

wagit comme une contrainte supplementaire sur le modele

i (variance), tel que defini au paragraphe (3.4.1.3). Sa valeur est fonction de la dynamique descapteurs.

4.3 Calcul des vraisemblances

4.3.1 Les modeles de mesure

Afin d’obtenir la vraisemblance de chaque modele contraint, on considere un vecteur demesures total, pris comme l’ensemble des donnees collectees par les capteurs proprioceptifs :

Y c(k) = [γlon(k) γlat(k) ω(k) V (k)]T (4.19)

Le vecteur d’observation pour un modele contraint i, note Y c(i)(k), est une partition du vec-teur total Y c(k). Il est associe a une matrice d’observation identite de dimension dim(Y c(i)) ×dim(Y c(i)).La matrice de variances-covariances du bruit de mesure est directement deduite du bruit generepar les capteurs utilises par ce modele. Les differents modeles de mesures sont alors representesdans les equations suivantes :

– Modele cCVvecteur de mesures

Y cCV (k) = [γlon(k) γlat(k) ω(k)]T (4.20)

matrice de variances-covariances du bruit de mesures

RcCV (k) = P cCV (k) (4.21)

– Modele cCAvecteur de mesure

Y cCA(k) = [γlon(k) γlat(k)]T (4.22)

matrice de variances-covariances du bruit de mesures

RcCA(k) =

(σacc γlon

00 σacc γlat

)

(4.23)

A. Ndjeng Ndjeng 94

Page 111: Localisation robuste multi-capteurs et multi-mod`eles

Mise a jour des vraisemblances 4.3. Calcul des vraisemblances

– Modele CTvecteur de mesures

Y cCT (k) = [γlat(k) ω(k)]T (4.24)

matrice de variances-covariances du bruit de mesures

RcCT (k) =

(σacc γlat

00 σgyro ω

)

(4.25)

– Modele CSla mesure est

Y CS(k) = [γlon(k) γlat(k) ω(k) V (k)]T (4.26)

la matrice de variances-covariances du bruit de mesures

RCS(k) =

σacc γlon0 0 0

0 σacc γlat0 0

0 0 σgyro ω 00 0 0 σodo V

(4.27)

ou σodo V est la variance du bruit de l’odometre.

– Modele CRvecteur de mesures

Y CR(k) = [V (k)] (4.28)

matrice de variances-covariances du bruit de mesures

RCR(k) = σodo V (4.29)

Remarque :La nouvelle modelisation presentee dans ce chapitre peut etre resumee a travers la figure (FIG.4.13).Dans cette representation, toutes les phases de modelisation (modelisation de l’evolution du

vehicule et modelisation du comportement des capteurs proprioceptifs, a gauche)se distinguentde la phase de prise en compte des mesures de capteurs (a droite). Celles-ci sont utilisees pourcalculer la vraisemblance de chaque modele contraint.

4.3.2 Vraisemblances des modeles d’evolution contraints

Afin d’obtenir la vraisemblance de chaque modele i contraint, il est important d’evaluer soninnovation, qui est la difference entre le vecteur d’etat contraint et le vecteur d’observationsassocie1 :

yc(i)(k) = Y c(i)(k)−Xc(i)(k) (4.30)

Sous l’hypothese que cette innovation est egalement distribuee suivant une loi gaussienne dememe dimension, la vraisemblance du modele contraint i est obtenue suivant la formule

Λc(i)(k) =−0.5(yc(i)(k))T (Sc(i)(k))−1yc(i)(k)

2π det (Sc(i)(k))(4.31)

1Dans l’etude de la mise a jour des vraisemblances a partir de donnees de capteurs proprioceptifs,l’innovation exprime surtout une erreur de la modelisation sous contraintes. En effet, sans informationexteroceptive, la notion de verite terrain n’a pas de sens ici. Calculer l’innovation revient donc a evaluerla correspondance entre un modele contraint et les donnees de capteurs proprioceptifs qui decrivent unecertaine dynamique du systeme

95 A. Ndjeng Ndjeng

Page 112: Localisation robuste multi-capteurs et multi-mod`eles

4.3. Calcul des vraisemblances Mise a jour des vraisemblances

Fig. 4.13 – Differents blocs de la modelisation sous contrainte

avec Sc(i)(k) la matrice de variances-covariances de l’innovation du modele i, qui peut etresimplifiee par la relation

Sc(i)(k) = P c(i)(k) +Rc(i)(k) (4.32)

Exemples d’application2 :Nous presentons trois exemples qui permettent d’illustrer cette approche d’estimation de lavraisemblance par une modelisation sous contraintes. Dans un premier temps nous observonsl’impact de cette methode sur une trajectoire purement circulaire, avec des capteurs tres faible-ment bruites. Puis, une comparaison est effectuee entre les valeurs de vraisemblances obtenuesen utilisant l’approche classique avec un GPS, et celles obtenues avec notre methode. Enfin, undernier exemple presente l’evaluation des vraisemblances avec et sans GPS dans un cas pluscomplexe.

Exemple 1 : scenario 1 (voir chapitre 3)Ce premier exemple repose sur une trajectoire de type cercle pur, c’est-a-dire que la vitesse delacet du mobile est constante et l’acceleration tangentielle est nulle. Apres 20s de parcours, unmasquage GPS est simule et seule des donnees proprioceptives sont presentes.Les figures (FIG. 4.14) et (FIG. 4.15) presentent l’estimation des vraisemblances des 5 modelesintegres dans l’IMM. En (FIG. 4.14), ces vraisemblances sont obtenues en utilisant l’approcheclassique : en presence du GPS, elles sont mises a jour, sinon elles gardent le derniere valeur misea jour. Par consequent lors du masquage GPS, les vraisemblances reste constantes, et celles duCT, CA et CV restent proches autour de 0, 005. Or, la probabilite du modele CT devrait etreplus elevee. La trajectoire issue d’une telle modelisation est presentee a la figure (FIG. 4.16).

2Dans tous ces exemples, les courbes de vraisemblances obtenues en appliquant notre approche sontbien celles des modeles contraints. Cependant, nous les identifions comme les vraisemblances des modelesclassiques, afin de realiser la comparaison pour un meme mode d’evolution.

A. Ndjeng Ndjeng 96

Page 113: Localisation robuste multi-capteurs et multi-mod`eles

Mise a jour des vraisemblances 4.3. Calcul des vraisemblances

L’IMM diverge tres rapidement des que le signal GPS de mise a jour est absent. Cependant, cettedivergence peut etre corrigee en introduisant notre approche de modelisation sous contraintes.En effet, la figure (FIG. 4.15) qui presente les vraisemblances montre une meilleure selection du

CA CT CA

CS

CA

CV

Vra

isem

blan

ces

Temps [s]

Fig. 4.14 – Vraisemblances des modeles de l’IMM dans l’exemple 1 : ici, pas de mise a jour avec descapteurs proprioceptifs

modele CT entre les instants tGPSoff= 20s et tGPSon = 80s, avec une vraisemblance de l’ordre

de 0, 01. Durant cette phase tous les autres modeles ont une vraisemblance qui est proche de0. Ainsi, la trajectoire obtenue et presentee a la figure (FIG. 4.17) est plus proche, et presqueconfondue avec la reference.

Exemple 2 : scenario 2 (voir chapitre (3))L’objectif de cet exemple est de montrer que les valeurs des vraisemblances des modeles, pourun parametrage adequat (valeur de α), gardent les memes ordres de grandeur que dans une mo-delisation classique avec des mesures GPS. Ce scenario simule un parcours en ligne droite avecdes phases d’acceleration, de freinage, de mouvement uniforme en marche avant ou en marchearriere, ainsi que des arrets. La vitesse de ce mobile est presentee a la figure (FIG. 4.18). Lorsquecette vitesse est negative alors le vehicule est en marche arriere.Dans un premier temps les vraisemblances des modeles sont evaluees par la methode classiqueen utilisant l’information GPS. Elles sont alors presentees a la figure (FIG. 4.19). Par la suite,une perte GPS est simulee des 2s. Le systeme estime alors ces vraisemblances a partir d’unemodelisation sous contraintes ; les valeurs obtenues sont illustrees a la figure (FIG. 4.20). Lacomparaison de ces deux figures fait ressortir quelques remarques :

– avec l’approche classique, seul le mode a l’arret (modele CS) se demarque considerablementdes autres modeles, qui ont des vraisemblances proches. Autour des zones d’arrets, lesvraisemblances des modeles CA, CV et CR croissent egalement, mais pour differentesraisons :

a- le CA et CR restent actifs autour des zones de faibles vitesses selon les criteres d’ac-tivations definis au paragraphe (3.4.2).

97 A. Ndjeng Ndjeng

Page 114: Localisation robuste multi-capteurs et multi-mod`eles

4.3. Calcul des vraisemblances Mise a jour des vraisemblances

CACT

CA

CS

sec180=offGPStsec20=

onGPSt

Pro

babi

lités

Temps [s]

Vra

isem

blan

ces

Fig. 4.15 – Vraisemblances des modeles de l’IMM dans l’exemple 1 : ici, mise a jour par modelisationsous contraintes

sec20=offGPStsec180=

onGPSt

Recalage GPS

Référence

Points GPS

Fig. 4.16 – Reference et trajectoire sortie par l’IMM : ici, pas de mise a jour avec des capteurs pro-prioceptifs

A. Ndjeng Ndjeng 98

Page 115: Localisation robuste multi-capteurs et multi-mod`eles

Mise a jour des vraisemblances 4.3. Calcul des vraisemblances

sec20=offGPStsec180=

onGPSt

Référence

Points GPS

Fig. 4.17 – Reference et trajectoire sortie par l’IMM : mise a jour par modelisation sous contraintes

b- le modele CV represente des etats stationnaires, mais dans une moindre mesure lesarrets.

– La faible discrimination des modeles dans l’approche classique est surtout liee a la manieredont l’innovation, dont derive la vraisemblance, est obtenue. Celle-ci est assujettie a uneincertitude importante a cause du bruit sur les observations GPS.

– L’approche par modelisation sous contraintes, a partir des donnees inertielles et odome-triques, presente une meilleure discrimination des vraisemblances. Celles-ci, obtenues parcette methode permettent de determiner clairement le modele dominant, quelle que soitla phase de l’evolution.

Exemple 3 :Cet exemple reprend le scenario 5 simulant un masquage GPS sur une trajectoire complexe,presente au chapitre precedent. Les figures (FIG. 4.21) et (FIG. 4.22) montrent bien qu’avecl’approche classique, les vraisemblances sont constantes durant le masquage GPS, ce qui estcorrige avec la nouvelle modelisation. En effet, la figure (FIG. 4.22) revele qu’il est possibled’identifier les differents modes d’evolution du systeme, meme en l’absence du GPS. Des vrai-semblances bien discriminees vont aboutir a des valeurs de probabilites proches de 1 ou de 0.Celles-ci sont etudiees et presentees plus loin dans ce chapitre, ainsi que l’amelioration apporteesen localisation pour ce scenario.

4.3.3 Strategie de fusion

Les vraisemblances des differents modeles contraints ayant ete obtenues, celles-ci peuvent etreaffectees directement comme vraisemblances de modeles non contraints : Λ(i)(k) ←− Λc(i)(k).

99 A. Ndjeng Ndjeng

Page 116: Localisation robuste multi-capteurs et multi-mod`eles

4.3. Calcul des vraisemblances Mise a jour des vraisemblances

Fig. 4.18 – Vitesse simulee du vehicule

CA

CV

CA

CS

CR

CS

Pro

babi

lités

Temps [s]

Vra

isem

blan

ces

Fig. 4.19 – Vraisemblances des modeles de l’IMM dans l’exemple 2 : mises a jour classiques en utilisantdes donnees GPS

A. Ndjeng Ndjeng 100

Page 117: Localisation robuste multi-capteurs et multi-mod`eles

Mise a jour des vraisemblances 4.3. Calcul des vraisemblances

CACV

CACS

CR

CS

sec2=offGPSt

Pro

babi

lités

Temps [s]

Vra

isem

blan

ces

Fig. 4.20 – Vraisemblances des modeles de l’IMM dans l’exemple 2 : mises a jour par modelisation souscontraintes

CS

CV CA CTCV

CA CA

CS

GPSMitGPSMft

Temps [s]

Vra

isem

blan

ces

Fig. 4.21 – Vraisemblances des modeles de l’IMM dans l’exemple 3 : pas de mises a jour en cas demasquage du signal GPS

101 A. Ndjeng Ndjeng

Page 118: Localisation robuste multi-capteurs et multi-mod`eles

4.3. Calcul des vraisemblances Mise a jour des vraisemblances

CV

CTCA

CV

CA

GPSMitGPSMft

Temps [s]

Vra

isem

blan

ces

Fig. 4.22 – Vraisemblances des modeles de l’IMM dans l’exemple 3 : mises a jour par modelisation souscontraintes

Des lors les probabilites de chaque modele peuvent etre obtenues comme a l’equation (3.20) :

µ(i)(k|k) =Λ(i)(k)µ(i)(k|k − 1)

Nm∑

j=1

Λ(j)(k)µ(j)(k|k − 1)

=Λc(i)(k)µ(i)(k|k − 1)

Nm∑

j=1

Λc(j)(k)µ(j)(k|k − 1)

(4.33)

ou Nm est le nombre de modeles integres et µ(i)(k|k − 1) la probabilite du modele i, predite al’etape d’interaction.

Il existe plusieurs techniques utilisees pour calculer la sortie de l’IMM. Dans certaines applica-tions, par exemple, le resultat du filtre ayant la plus grande probabilite est choisi comme sortieglobal.Cependant, notre choix porte sur l’utilisation de l’estimateur MMSE pour calculer le vecteurd’etat global. En effet, ceci revient a calculer une moyenne des estimations specifiques pondereepar leurs probabilites respectives. Le vecteur d’etat en sortie est alors une estimation globale quipermet de conserver une inertie dans l’evolution du systeme (transition douce), tout en redui-sant l’influence des modeles les moins adaptes a une situation donnee. Puis, l’estimateur MSEest applique au vecteur d’etat global Xk|k, pour obtenir la matrice de variances-covariances del’erreur d’estimation Pk|k, selon les equations (4.34) et (4.35).Les donnees de recalage GPS etant absentes, les vecteurs d’etat et matrices de variances-covariances des differents filtres specifiques ne sont pas mis a jours. La fusion en sortie del’IMM est alors operee sur les valeurs predites par les differents filtres classiques, associees auxprobabilites obtenues a partir des modeles contraints. Ce systeme permet donc une localisationa l’estime utilisant l’IMM, avec mise a jour des vraisemblances des modeles classiques integres.

X(k|k) =

Nm∑

i=1

X(i)(k|k − 1)µ(i)(k|k) (4.34)

A. Ndjeng Ndjeng 102

Page 119: Localisation robuste multi-capteurs et multi-mod`eles

Mise a jour des vraisemblances 4.4. Application a la localisation

P (k|k) =

Nm∑

i=1

µ(i)(k|k)[

P (i)(k|k) +(

X(k|k)− X(i)(k|k − 1))(

X(k|k)− X(i)(k|k − 1))T]

(4.35)

4.4 Application a la localisation

L’approche IMM, presentee ci-dessus, est appliquee a la localisation de vehicules routiers. Elleintegre a la fois une modelisation classique (modeles CV, CA, CT, CS et CR), et une modelisationsous contraintes utilisant des informations de capteurs proprioceptifs (modeles cCV, cCA, cCT,cCS et cCR). La demarche suivie est conditionnee par la presence ou non d’une position GPSfiable, selon le schema de la figure (FIG. 4.23).

Données de recalage GPS

disponibles ?

Xo = Pose initiale

Données de Prédiction :

IMU, OdomètreInteraction et modèle

d’évolution (Intégration de données en prédiction)

OUI NON

Fusion des estimations

Données

GPS

Mise à jour classique des filtres et des

vraisemblances

États prédits et mise àjour des

vraisemblances par modèles contraints

Tests de cohérenceModélisation sous

contraintes

Sortie de localisation IMM

Fig. 4.23 – Algorithme de localisation par approche IMM

Apres l’initialisation du systeme, l’interaction permet, a partir d’un modele semi markovien,de reequilibrer tous les filtres integres. On obtient des lors des vecteurs d’etat et matrices devariances-covariances mixtes. Ces elements sont transformes a travers les modeles d’evolutionclassiques, pour devenir les etats predits des filtres.En presence de donnees GPS, l’algorithme recursif se deroule comme presente au paragraphe(3.3). Lorsque ces donnees de recalages sont indisponibles, alors la modelisation sous contraintesdu systeme est operee, a partir de donnees de l’IMU et de l’odometre. La fusion en sortie del’IMM associe alors les vecteurs d’etat et les matrices de variances-covariances predits avecles probabilites des modeles mises a jour a partir de modeles contraints. Cet algorithme a eteimplante et utilise dans les scenarios 4 et 5 decrit au chapitre (3).

103 A. Ndjeng Ndjeng

Page 120: Localisation robuste multi-capteurs et multi-mod`eles

4.4. Application a la localisation Mise a jour des vraisemblances

4.4.1 Scenario 4 : manoeuvres de parking avec des capteursasynchrones

Le scenario 4 decrit des manoeuvres de parking et utilise un ensemble de capteurs asyn-chrones (GPS, IMU et Odometre), la frequence du GPS etant inferieure a celles des capteursproprioceptifs. L’approche IMM classique a d’abord ete utilisee. Celle-ci consiste, lorsque le GPSest absent, a garder l’ensemble des probabilites constantes aux valeurs de la derniere mise a jour.Dans ce scenario, nous observions donc un ensemble de courbes de probabilites en forme d’es-caliers, illustrees a la figure (FIG. 4.24).

Avec la nouvelle approche, cette faiblesse est corrigee. Les vraisemblances des differents mo-deles sont mises a jour a chaque nouvelle mesure proprioceptive, en utilisant la modelisationsous contraintes presentee plus haut. Ceci permet d’estimer plus frequemment la probabilite dechaque modele, et d’eviter ainsi qu’elle decrive une forme d’escalier, tel qu’illustre a la figure(FIG. 4.24)(zoom sur les 15 premieres secondes).La figure (FIG. 4.25) presente les courbes de probabilites des modeles, obtenues uniquement

CS

CT

CA

CRCS

CACV

CA

CT

CT

CS

CR

CV

CA

CS

Fig. 4.24 – Probabilites obtenues par l’approche classique : scenario 4

a partir d’une modelisation sous contraintes de l’espace d’evolution, il n’y a donc aucune misea jour GPS. Neanmoins, il est possible d’identifier tous les modes d’evolution du vehicule. Eneffet, la modelisation du systeme utilisant l’IMU et l’odometre donne des resultats semblables aune modelisation classique avec GPS, en termes d’identification de manoeuvres. De plus, la misea jour a partir de donnees de capteurs proprioceptifs permet bien d’identifier la decelerationavant le premier arret (8s), ainsi que la premiere courte phase de marche arriere (12− 14s). Parailleurs, cette nouvelle modelisation permet non seulement de connaıtre plus precisement la zonede changement de manoeuvre, c’est-a-dire l’alternance entre un mode de fonctionnement et unautre, mais aussi de la reduire. Ces qualites sont conservees lorsque nous associons l’approcheclassique d’estimation des probabilites, et l’approche par modelisation sous contraintes. La fi-gure (FIG. 4.26) presente les courbes de probabilites des differents modeles, obtenues par fusionmulti-capteurs GPS-IMU-Odometre, telle que schematisee a la figure (FIG. 4.23). Il est interes-sant de remarquer que ces probabilites ressemblent plus a celles de la figure (FIG. 4.25) qu’a

A. Ndjeng Ndjeng 104

Page 121: Localisation robuste multi-capteurs et multi-mod`eles

Mise a jour des vraisemblances 4.4. Application a la localisation

CS

CT

CRCS

CACV

CT

CR

Fig. 4.25 – Probabilites obtenues a partir de modeles contraints : scenario 4

celles de la figure (FIG. 4.24). En effet, la mise a jour des vraisemblances de modeles par GPSintervient toutes les 200ms, et celle utilisant l’IMU et l’odometre toutes les 40ms. L’estimationglobale des probabilites va tendre vers celle de la methode la plus frequente. Cette tendanceest due au fait que les probabilites estimees sont reinjectees dans l’etape d’interaction afin dereinitialiser les filtres.

En introduisant la nouvelle approche de mise a jour des vraisemblances des modeles, l’estima-tion globale des probabilites est amelioree. Toutes les manoeuvres sont identifiees et les tempsde transitions entres modeles vrais sont raccourcis. Une consequence de ces qualites est unemeilleure estimation de la vitesse du vehicule.La vitesse du vehicule, estimee en appliquant l’estimation des probabilites par fusion GPS-IMU-Odometre est presentee a la figure (FIG. 4.27). Nous constatons une nette amelioration de cetteestimation en comparaison avec l’approche IMM classique. En effet, la vitesse IMM est presqueconfondue a la vitesse reelle non signee du vehicule. De tres faibles ecarts apparaissent surtoutlors des phases de forte acceleration et deceleration (autour de 8s et de 41s). Ces ecarts de l’ordrede 0, 2m/s restent neanmoins inferieurs a la valeur obtenue avec l’approche classique, soit en-viron 0, 5m/s. La source de cette erreur n’est pas liee aux transitions d’une situation d’arret aune autre, comme dans l’approche classique. Elle est plutot introduite par la difference entrela vitesse fournie par l’odometre et celle estimee en utilisant les accelerations (dans le modeleCA)3.

3En effet, les forces generees au niveau du contact entre le pneumatique et la chaussee, necessaires al’acceleration, sont fonction du glissement. D’ou la difference entre la vitesse reelle et la vitesse odome-trique. En realite, il faudrait disposer d’un capteur de type correvit pour mesurer avec precision cettedifference

105 A. Ndjeng Ndjeng

Page 122: Localisation robuste multi-capteurs et multi-mod`eles

4.4. Application a la localisation Mise a jour des vraisemblances

CS

CT

CRCS

CACV

CT

CR

Fig. 4.26 – Probabilites obtenues par fusion IMU-Odometre-GPS : scenario 4

Fig. 4.27 – Estimation de la vitesse par fusion IMU-Odometre-GPS : scenario 4

A. Ndjeng Ndjeng 106

Page 123: Localisation robuste multi-capteurs et multi-mod`eles

Mise a jour des vraisemblances 4.4. Application a la localisation

4.4.2 Scenario 5 : masquage GPS

Ce scenario est la simulation d’une trajectoire complexe comprenant 2 virages a vitesseconstante. Entre ces deux virages, a l’instant tMiGPS

= 105s il y a interruption du signal GPSjusqu’a tMfGPS

= 175s. Le systeme passe alors en mode de mise a jour des vraisemblances apartir des mesures d’accelerations, de la vitesse de lacet et de la vitesse du vehicule.

CACV CA

CT

CV CT

CACV

CA

GPSMitGPSMft

Temps [s]

Pro

babi

lités

Fig. 4.28 – Probabilites obtenues par fusion IMU-Odometre-GPS : scenario 5

La figure (FIG. 4.28) presente l’estimation des probabilites deduites des vraisemblances presen-tees a la figure (FIG. 4.22). Avant l’instant tMiGPS

= 105s et apres tMfGPS= 175s, la mise a jour

des vraisemblances est assuree de facon classique, en utilisant les donnees GPS presentes. Entreces deux instants, le systeme evolue en prediction pure et utilise la modelisation sous contraintespour evaluer le regime global des probabilites. Au point tMiGPS

le modele CV est le plus vrai-semblable. Sa probabilite reste la plus elevee jusqu’au virage, qui est entrepris sans changementde vitesse. Le CT devient alors le plus vraisemblable. A la sortie du virage, le modele CA prendl’avantage car il y a une acceleration de courte duree sur la ligne droite. Apres un bref parcoursa vitesse constante (modele CV dominant), le vehicule freine et s’arrete. La description apporteepar les probabilites est bel et bien conforme a la realite decrite par les vitesses et les virages auchapitre precedent (cf. figures (FIG. 3.30) et (FIG. 3.31)).

Il est important de remarquer que, pour ce scenario, les probabilites des modeles CV et CT lorsde la phase de prediction pure sont proche de 1. Ceci n’est pas le cas pour les probabilites duCA ou des modeles les plus vraisemblables en presence de GPS, hormis le CS. Les donnees GPSutilises dans ce scenario sont bruitees, alors que celles des capteurs proprioceptifs sont parfaite-ment connues. Or, comme nous l’avons deja dit, ce bruit apporte une incertitude sur l’estimationde l’innovation de chaque modele, en vue de l’estimation de sa vraisemblance. Par consequent,la probabilite des modeles les plus vraisemblables est rarement saturee a 1. Ceci n’est pas le casen prediction pure, pour des donnees d’IMU et odometriques faiblement bruitees ; auquel casl’incertitude est uniquement introduite par la modelisation de ces donnees. Si ces donnees sontelles aussi tres bruitees (ce qui est le cas en pratique), les probabilites ne seront pas saturees a

107 A. Ndjeng Ndjeng

Page 124: Localisation robuste multi-capteurs et multi-mod`eles

4.5. Conclusion Mise a jour des vraisemblances

1 (voir le scenario 4, figure (FIG. 4.25)).

GPSMit

GPSMft

Référence

Points GPS

Fig. 4.29 – Trajectoire generee par l’IMM associant le calcul des probabilites classique et l’utilisation desmodeles contraints : scenario 5

Le positionnement qui est obtenu en prediction pure est bien meilleur que dans l’approche clas-sique. En effet, une bonne estimation des probabilites induit un meilleur positionnement. Lafigure (FIG. 4.29) revele que la mise a jour des vraisemblances en prediction pure permet deresoudre les problemes de derive observes avec l’approche classique, au deuxieme virage. La tra-jectoire de l’IMM est quasiment confondue a la trajectoire de reference. Globalement, l’objectifde pouvoir identifier et evaluer les manoeuvres en prediction pure est atteint. Il est possible demettre a jour les vraisemblances des modeles dans l’IMM en presence de donnees de recalageGPS ou non.

4.5 Conclusion

Ce chapitre a presente une approche originale de mise a jour des vraisemblances des modelesdans l’IMM. Traditionnellement dans les applications de navigation autonomes, les probabilitesdes modes d’evolution sont obtenues a partir du calcul d’innovations, en utilisant une positionde GPS comme vraie observation. Malheureusement dans les environnements exterieurs et lesapplications temps reel, plusieurs situations peuvent degrader une mise a jour continue des vrai-semblances. D’une part, une faible frequence du GPS par rapport a la frequence des capteursproprioceptifs entraıne des courbes de probabilites ayant la forme d’escaliers. D’autre part, unmasquage du signal GPS peut causer la derive du systeme quand une non linearite se produitdans ce temps.

Afin de surmonter ces limitations, la methode developpee utilise une nouvelle modelisation dusysteme, contrainte par les mesures de capteurs proprioceptifs. Celle-ci consiste a representerchaque mesure d’accelerometre, de gyroscope de lacet ou d’odometre par une distribution Gaus-sienne. L’evolution du systeme peut alors etre representee par un vecteur d’etat constitue des

A. Ndjeng Ndjeng 108

Page 125: Localisation robuste multi-capteurs et multi-mod`eles

Mise a jour des vraisemblances 4.5. Conclusion

moyennes respectives des distributions selectionnees. Chaque modele est represente par une par-tition de ce vecteur, en tant que sous partie du systeme global : c’est la modelisation souscontraintes.L’algorithme de localisation qui en resulte utilise l’IMM, avec des phases de mise a jour desvraisemblances qui s’adaptent a la presence ou non d’une position GPS fiable. Il peut donc etreemploye pour une localisation plus robuste de vehicules en milieu exterieur :Si la position GPS est presente, alors l’approche classique de mise a jour des probabilites estutilisees ;Sinon, la nouvelle modelisation avec des modeles d’evolution contraints est appliquee.

Avec cette approche, il est possible d’identifier divers modes d’evolution et d’estimer les proba-bilites en presence ou non des donnees de GPS. Les tests presentes dans ce chapitre ont montreune amelioration du positionnement et de l’estimation de la vitesse par notre algorithme, lorsquele signal GPS est absent.

Les performances de cette approche dependent principalement de deux parametres :

1. α est un scalaire dont la valeur, fixee experimentalement par l’operateur, se trouve autourde 1. Il s’agit du rapport entre les variances de deux distributions normales consecu-tives, qui representent les sous-modeles de comportement d’un capteur. L’influence de ceparametre est capitale, dans la mesure ou il permet d’affiner la representation des com-portements de capteurs, et donc l’evaluation des vraisemblances en phase de predictionpure.

2. Les imperfections sur les donnees jouent egalement un role tres important dans l’evalua-tion des vraisemblances utilisant une modelisation sous contraintes. En effet, les differentessituations de conduite (modes d’evolution) sont mieux identifiees lorsque les mesures re-presentent effectivement la realite. Par consequent, il est necessaire d’evaluer, caracteriseret traiter les imperfections sur les mesures de capteurs. Il s’agit notamment du bruit, dubiais, mais aussi des defauts de mesures introduites par les attributs de la route. Cetteetude fera l’objet du chapitre (5).

109 A. Ndjeng Ndjeng

Page 126: Localisation robuste multi-capteurs et multi-mod`eles

4.5. Conclusion Mise a jour des vraisemblances

A. Ndjeng Ndjeng 110

Page 127: Localisation robuste multi-capteurs et multi-mod`eles

Chapitre 5

Correction des mesures de capteurs proprioceptifs

[Ndjeng et al., 2008a; Ndjeng, 2007]

5.1 Introduction

Les etudes, presentees dans les chapitres precedents, montrent que la qualite de la localisa-tion depend des donnees collectees par les differents capteurs, quelle que soit l’approche adoptee.L’approche par hybridation utilisant un GPS et des capteurs proprioceptifs permet de fournirune localisation a l’estime entre deux points GPS. De cette maniere les systemes de localisationhybride fournissent une sortie a une frequence plus elevee que celle d’un capteur GPS seul. Dansles algorithmes classiques d’hybridation utilisant un unique filtre derive du filtre de Kalman etpresentes au chapitre (2), les donnees de capteurs proprioceptifs permettent d’alimenter unique-ment le modele d’evolution. Or dans l’approche multi-modeles ces donnees sont en plus utiliseespour realiser une modelisation sous contraintes du systeme, presentee au chapitre (4).

La demarche qui consiste a fournir une localisation a l’estime en utilisant un modele d’evolution,ou un ensemble de modeles contraints, constitue une avancee considerable en robotique mobile.En effet pour des applications dediees a la securite, l’information de localisation alimente gene-ralement de nombreux autres modules dedies a l’anti-collision, au map-matching etc. Elle doitdonc etre fournie a une grande frequence (plus grande que celle d’un GPS classique). Cepen-dant, la principale limitation des methodes de localisation a l’estime est leur drive, qui resultedes defauts sur les mesures des capteurs proprioceptifs. Les donnees utilisees dans ce type delocalisation sont influencees par le biais et le bruit des capteurs, ainsi que la non prise en comptedes attributs de la route, tels que l’angle de devers local.

Dans la majorite des etudes presentees dans la litterature, la correction des mesures des capteursproprioceptifs est activee afin de prendre en consideration les erreurs liees soit a la fabricationdes capteurs, soit au processus de collecte de donnees [Barshan & Durrant-Whyte, 1994], [Bar-Shalom & Li, 1990], [Marselli, 1998]. De ce fait on suppose generalement que pour ces capteurs,

111

Page 128: Localisation robuste multi-capteurs et multi-mod`eles

5.2. Debruitage des capteurs proprioceptifs Correction des mesures

les principales sources d’erreurs sont le biais et le bruit des mesures. Afin de representer celles-ci,seuls les termes dominants sont consideres [Sukkarieh, 2000], selon l’equation suivante :

mi = miT + bmi+ η (5.1)

ou η est le bruit blanc du signal, bmiest le biais residuel du capteur, miT est la vraie mesure et

mi est la mesure fourni par le capteur.Pour ce qui concerne l’influence de l’angle de devers local, la litterature actuelle presente quelquesetudes visant a corriger les accelerations et les mesures de vitesses de rotations de centralesinertielles ; la plus significative a ete menee par Tseng [Tseng et al., 2007]. En effet, cet auteurpresente un systeme d’equation qui met en relation les mesures inertielles reelles du vehicule etles valeurs fournies par l’IMU. Cependant, l’impact des corrections deductibles sur la trajectoiredu vehicule n’est pas clairement montre.

L’objectif de ce chapitre est de montrer qu’en corrigeant convenablement les donnees de capteursinertiels (biais, bruit, influence de l’angle de devers), il est possible d’ameliorer considerablementla localisation a l’estime. Les differentes methodes de correction sont presentees ; et les testsen localisation sont effectues en utilisant un modele cinematique non lineaire comme methodede fusion. Notre etude se focalise alors sur deux types de centrales inertielles ayant des coutstres differents : la premiere est une Crossbow VG400CA (Gyroscopes a fibre optique), puis uneseconde centrale inertielle de bas de gamme : MicroStrain 3DM-GX1 (gyroscope a MEMS).

5.2 Debruitage des capteurs proprioceptifs

5.2.1 Limites de l’analyse de Fourier

5.2.1.1 Approche usuelle

L’analyse de Fourier est, a ce jour, l’un des outils les plus puissants et les plus utilises,developpes par les mathematiciens et les physiciens pour l’analyse des signaux. Elle est batiesur la base du concept physique de frequence (spatiale ou temporelle). Cependant, elle se reveleimparfaitement adaptee a la description de signaux rencontres couramment. En effet, l’analysede Fourier atteint ses performances optimales dans un contexte particulier, lorsque les signauxetudies presentent certaines proprietes d’invariance par translation : on parle de contexte ou designaux stationnaires [Torresani, 1997].En pratique, l’hypothese de signaux stationnaires devient rapidement non adaptee. On peutciter comme exemple, une musique composee de notes differentes (do, re, si, la ...), caracteriseeschacune par une frequence fondamentale et ayant une duree finie. Il est alors difficile de decrireune note par une analyse spectrale usuelle, qui utilise des fonctions trigonometriques de dureeinfinie. Pour des signaux dont la frequence varie dans le temps, il est necessaire de mettre enplace une analyse temps-frequence, laquelle permet de localiser des periodicites dans le temps.Pour cela, il semble preferable de calculer la transformee de Fourier en local, c’est-a-dire surun segment du signal centre sur l’instant d’interet, et non pas sur l’integralite du signal : c’estl’analyse de Fourier a fenetre.

5.2.1.2 Analyse de Fourier a fenetres (ou a court terme)

Cette analyse a ete mise au point pour deux raisons principales :

1. obtenir une meilleure representation des signaux non-stationnaires

2. fournir des informations sur le signal dans l’espace temporel et, en meme temps, dansl’espace frequentiel.

A. Ndjeng Ndjeng 112

Page 129: Localisation robuste multi-capteurs et multi-mod`eles

Correction des mesures 5.2. Debruitage des capteurs proprioceptifs

Dans cette approche, un signal S(t) est segmente en differentes plages ou fenetre de longueursfixees. Chaque plage est etudiee separement des autres par l’analyse spectrale traditionnelle deFourrier. Lorsque le signal comporte des transitions brusques, la segmentation est effectuee enutilisant des fenetres ponderees, dont les poids sont plus faibles aux extremites. Les coefficientsde cette representation dependent alors de deux parametres :

1. la frequence fHz

2. la position de la fenetre b

WSfHz,b=

S(t)w(t− b)e−2jπfHztdt (5.2)

la fonction w etant ici la fenetre choisie pour analyser le signal. Parmi les plus connues on dis-tingue les fenetres de Hanning, de Hamming et de Gauss. Dans ce dernier cas, la transformationa ete nommee transformation de Gabor, et la fenetre analysante prend alors le nom de Gaborette.On obtient ainsi une decomposition du signal S selon une nouvelle base de fonctions. Les coef-ficients expriment ce qui se passe pour la frequence fHz autour de l’instant b.En effet, la transformee de Fourier a fenetres considere implicitement un signal non station-naire comme une succession de situations quasi-stationnaires, a l’echelle de la fenetre w(t). Laresolution temporelle d’une telle analyse est fixee par la largeur de la fenetre, la resolution fre-quentielle etant fixee par la largeur de la transformee de Fourier. Ces deux largeurs de fenetresetant antagonistes, on se trouve donc en presence d’un compromis entre les resolutions tempo-relle et frequentielle. Celui-ci se fait toujours au detriment de la detection ou de la localisationde certaines frequences dans les cas d’une fenetre fixe. En effet :

– pour un signal fortement non-stationnaire, une bonne resolution temporelle est requise,ce qui impose de travailler avec une fenetre w(t) courte, limitant en retour la resolutionfrequentielle ;

– reciproquement, si une analyse frequentielle finie est necessaire, une fenetre w(t) longuedoit etre utilisee, ce qui a pour double effet de moyenner les contributions frequentiellessur la duree de la fenetre et de reduire la resolution temporelle.

Il s’agit la de l’inconvenient principal de l’analyse de Fourier a fenetres. Bien que fournissant unerepresentation admissible d’un signal non-stationnaire, la transformee de Fourier ne permet pasune analyse a la fois locale et precise en frequence. En effet, les informations temps/frequencerestent couplees par un compromis limite par la relation d’incertitude, sur la localisation a lafois en temps et en frequence. Une solution ne privilegiant aucune echelle particuliere mais quiest generalisee a toutes les echelles existe : c’est la transformee en ondelette.

5.2.2 L’analyse par Ondelettes

5.2.2.1 Bref historique

Le terme d’ondelette est surtout utilise pour designer une onde dont l’energie est concentreeautour d’un instant. Les premiers travaux concernant les analyses en ondelettes sont accordes aMorlet. En 1975, dans ses recherches pour le compte de Elf-Aquitaine, il tente de localiser descouches petroliferes. Il se trouve confronte a la difficulte d’identifier la composition frequentielleinstantanee d’un signal. L’outil phare de l’epoque se trouve etre l’analyse de Fourier, presenteplus haut. Cette approche n’a malheureusement pas fourni des resultats notables dans ses re-cherches sur l’identification de phenomenes transitoires. Morlet entreprend alors de developperdes motifs analysant, resolument tournes vers l’analyse et la synthese d’evenements transitoires.Il fonde sa strategie de recherche sur la construction de fonctions caracterisees par un nombred’oscillations donne dans une fenetre temporelle. Celles-ci peuvent cependant etre dilatees oucontractees. Aide par Grossmann, il donne ainsi naissance au concept d’ondelettes. Les analyseseffectuees avec de tels motifs lui fournissent, a partir d’un signal uni-dimensionnel, un champ de

113 A. Ndjeng Ndjeng

Page 130: Localisation robuste multi-capteurs et multi-mod`eles

5.2. Debruitage des capteurs proprioceptifs Correction des mesures

valeurs bi-dimensionnel a partir duquel il peut reconstruire le signal via une integrale double.Le cout et la precision des calculs mobilises limitent neanmoins les performances de l’outil. En1985 Meyer et Grossmann formalisent le concept mathematique d’ondelettes puis en 1990 Mallat[Mallat, 1989] donne un nouvel elan aux analyses en ondelettes en definissant, dans le cadre desanalyses multi-resolutions, des ondelettes orthogonales. Par ailleurs, il definit les algorithmes detransformation en ondelettes rapides en s’inspirant des travaux sur les algorithmes pyramidauxde Burt et Adelson [Burt & Adelson, 1983]. Jusqu’a cette date, les efforts de conceptualisationdes analyses en ondelettes sont essentiellement orientes sur la definition des espaces fonctionnelsd’analyse et la structure algorithmique des calculs, les motifs analysants ne se distinguant pasveritablement par des proprietes pertinentes. En 1988 une reponse est apportee a ce problemepar Daubechies [Daubechies, 1988] qui propose un ensemble de fonctions a support temporelfini. Les analyses en ondelettes connaissent aujourd’hui un vaste champ d’applications allant del’imagerie medicale [Zheng et al., 1999] a la synthese vocale [Kobayashi et al., 1998], en passantpar la gravitation ondulatoire [Klimenko & Mitselmakher, 1998].

5.2.2.2 Principe

De facon analogue a l’analyse de Fourier, les analyses en ondelettes realisent la transfor-mation integrale d’un signal donne par projection sur un ensemble de fonctions. Contrairementa la transformee de Fourier, qui n’utilise que les fonctions sinus et cosinus, la transformee enondelettes fait usage d’une infinite de bases de fonctions. Dans le cas des analyses en ondelettes,ces dernieres fonctions sont toutes deduites par dilatation et translation d’une unique fonctionde reference localisee en temps et en frequence. De telles analyses fournissent une caracterisationd’un signal donne dans le plan temps/frequence.

Afin de rendre compte du comportement frequentiel instantane des signaux etudies, on considereune fonction ψ(t) ∈ L1(R) ∩ L2(R) (L1(R) est l’espace de Hilbert des fonctions integrables, etL2(R) celui des fonctions de carres integrables) bien localisee dans le plan temps-frequence. Onlui associe une famille d’ondelettes ψ(b,a)(t), engendrees par des translations et des dilatationsde ψ(t) :

ψ(b,a)(t) =1

(t− ba

)

(5.3)

On rappelle que dans l’espace de Hilbert L2(R), le produit scalaire f et g est defini par :

〈f, g〉 =

f(t)g∗(t)dt (5.4)

avec g∗ le conjugue complexe de g.

La description du plan temps/frequence donnee par les ondelettes ψ(b,a)(t) est differente de celledeductible par une analyse de Fourier a fenetre. En effet, on peut toujours supposer que ψ(t)est bien localisee autour de l’origine t = 0, sans perte de generalite. Cependant, la transformede Fourier ψ(fHz) =

∫∞−∞ ψ(t)e−2jπfHztdt n’a quant a elle aucune raison d’etre localisee autour

de l’origine des frequences (fHz = 0). Nous supposons donc ψ(fHz) bien localisee autour dupoint (fHz = fHz0 > 0). Dans ces conditions, ψ(b,a)(t) est bien localisee dans une region du

plan temps/frequence centree sur le point de coordonnees (b,fHz0a

). Ce qui signifie que l’on peut

poser par exemple, que pour ǫ > 0,

|ψ(t)| ≤ c (1 + |t|)−1−ǫ∣∣∣ψ(fHz)

∣∣∣ ≤ c (1 + |fHz|)−1−ǫ (5.5)

De plus, ce domaine est une version dilatee (en t) et contractee (en fHz) du domaine dans lequelest localisee ψ(t) (on suppose ici a > 1).

A. Ndjeng Ndjeng 114

Page 131: Localisation robuste multi-capteurs et multi-mod`eles

Correction des mesures 5.2. Debruitage des capteurs proprioceptifs

Definition :Etant donnee un ondelette analysante ψ(t) ∈ L1(R) ∩ L2(R), la transformee continue enondelette associee (TO) d’un signal S(t) ∈ L2(R) est definie par

TS(b, a) =⟨S, ψ(b,a)

⟩=

1

a

S(t)ψ∗

(t− ba

)

dt (5.6)

Le nombre (reel ou complexe) TS(b, a) contient des informations concernant le signal S(t) al’echelle a pres du point b. La paire (b, a) ∈ R ∩ R+ constitue le parametre temps/echelle del’analyse.

Remarque 1 :

Grace au facteur1

a, les ondelettes ψ(b,a) sont normalisees de sorte que

∥∥ψ(b,a)

∥∥

1= ‖ψ‖1, ou ‖·‖1

est la norme de l’espace L1(R, dt) des fonctions integrables :

‖f‖1 =

∫ ∞

−∞|f(t)| dt < +∞ (5.7)

On trouve differentes normalisations dans la litterature, et en particulier la normalisation L2 qui

revient a definir ψ(b,a)(t) =1√aψ

(t− ba

)

. Dans ce cas, la transformee en ondelette du signal

S(t) s’ecrit :

TS(b, a) =⟨S, ψ(b,a)

⟩=

1√a

S(t)ψ∗

(t− ba

)

dt (5.8)

ψ(b,a) joue le meme role que e−2jπfHz dans la transformee de Fourier. On peut alors definir uneinverse de cette transformee, qui depend du choix de l’ondelette analysante ψ. Cela signifie que∀S(t) ∈ L2(R), on peut reconstruire ce signal en partant de sa transformee en ondelette :

S(t) = c−1ψ

∫ ∞

0

da

a2

∫ ∞

−∞

⟨S, ψ(b,a)

⟩ψ(b,a)(t)db (5.9)

Theoreme 5.2.1 () Theoreme : Soit ψ(t) ∈ L1(R) ∩ L2(R), telle que le nombre cψ definipar

cψ =

∫ ∞

0

∣∣∣ψ(afHz)

∣∣∣

2 da

a(5.10)

soit fini, different de 0 et independant de fHz ∈ R. Alors S(t) ∈ L2(R) admet la decompositionsuivante :

S(t) =1

∫ ∞

−∞

∫ ∞

0TS(b, a)ψ(b,a)(t)

da

adb, (5.11)

au sens de la convergence forte dans L2(R, dt), c’est-a-dire que :

limǫ→0

∥∥∥∥∥S − c−1

ψ

∫ 1/ǫ

ǫ

∫ ∞

−∞TS(b, a)ψ(b,a)db

da

a

∥∥∥∥∥

= 0 (5.12)

La demonstration formelle est assez simple. on considere d’abord

da(t) =

dbTS(b, a)ψ(b,a)(t)db

Alors da(t) ∈ L2(R, db) et da(fHz) = S(fHz)∣∣∣ψ(afHz)

∣∣∣

2, et on conclut en utilisant l’invariance

par dilatation de la mesureda

a.

115 A. Ndjeng Ndjeng

Page 132: Localisation robuste multi-capteurs et multi-mod`eles

5.2. Debruitage des capteurs proprioceptifs Correction des mesures

L’hypothese faite sur l’ondelette pour obtenir ce theoreme est appelee condition d’admissibilite.

Remarque 2 :Supposer l’independance de cψ par rapport a fHz dans l’equation (5.10 revient a supposerl’independance par rapport au signe de fHz. En particulier, cette propriete est automatiquementverifiee si l’ondelette ψ(t) est reelle. Une consequence immediate de l’hypothese de finitude decψ est que l’integrale de l’ondelette ψ(t) doit absolument s’annuler, c’est-a-dire

ψ(t)dt = 0.

En termes de traitement du signal, une ondelette admissible est un filtre passe bande.

Remarque 3 :Le choix de l’ondelette a utiliser depend du type d’analyse a realiser et du signal pris en compte.Toutefois nous pouvons citer deux proprietes essentielles que doit satisfaire l’ondelette.

P1 Posseder des moments nuls d’ordre suffisant et un support compact. On dit que ψ possedeun moment nul d’ordre k si :

[(d

dfHz

)k

ψ

]

(0) = 0 =

tkψ(t)dt, k = 0, 1, . . . (5.13)

P2 Une consequence importante de cette propriete est que les valeurs de TS(b, a) sont influenceespar la regularite du signal S, car plus S est reguliere, plus k augmente. ∀α > 0 (parametrede regularite), une fonction f est α-reguliere au sens de Lipschitz/Holder en un point t0,si et seulement si il existe un polynome P (t) de degre n < α, tel que

|f(t)− P (t)| ≤ c |t− t0|α (5.14)

ou c est une constante et f est de classe Cn, n > α. La regularite du signal represente sacontinuite et celle de ses derivees. La figure (FIG. 5.1) represente des exemples d’ondelettede familles Coiflet, Daubechies ou Symmlet, couramment utilisees en traitement du signalmono-dimensionnel discret.

(Coiflet m=3) (Daubechies m=4) (Symmlet m=8)

Fig. 5.1 – Exemples d’ondelettes, m represente le nombre de moments nuls

Bien qu’elle ne fasse pas usage de la transformee de Fourier, l’analyse en ondelette a aussi desresolutions temporelles et frequentielles liees et antagonistes. La difference principale avec latransformee de Fourier a fenetres est que ces resolutions ne sont pas identiques en tous les pointsdu plan temps/frequence :

A. Ndjeng Ndjeng 116

Page 133: Localisation robuste multi-capteurs et multi-mod`eles

Correction des mesures 5.2. Debruitage des capteurs proprioceptifs

– dans le cas de changements brusques ou de structures tres localisees, la transformee enondelettes existera essentiellement dans le domaine des petites echelles, apte a analyserles details fins du signal. Cependant, puisque ces petites echelles sont traduites par uneondelette analysante de support temporel reduit, alors le support frequentiel sera etendu,ce qui limite la resolution frequentielle absolue ;

– reciproquement, une resolution frequentielle importante n’est possible qu’avec une onde-lette analysante longue, soit a de grandes echelles d’observation. Dans la zone du plantemps/frequence ou ce gain en resolution frequentielle est possible, celui-ci se fait doncencore au detriment de la resolution temporelle.

Cependant, l’analyse en ondelette presente l’avantage de ne pas correspondre a une resolutionfixee a priori par le choix du signal analysant : il s’agit fondamentalement d’une analyse multi-echelles.

5.2.2.3 Implantation : transformee discrete

L’un des interets principaux de la transformation en ondelettes continues est son invariancepar dilatation-translation. Un autre interet majeur est que, a a fixe, la transformation S 7−→TS(a, b) s’apparente a une convolution (avec fonction deduite de l’ondelette analysante

ψ(−t/a)√a

).

Enfin, le signal S(t) est transforme en l’information redondante TS(a, b) s’exprimant a l’aide d’unnoyau-reproduisant [Lemarie-Rieusset, 1992].Dans nos applications les signaux sont etudies dans une version discretisee. L’implantation dela transformee en ondelettes se fera donc au moyen de la transformee en ondelette rapide. Laversion discrete de la transformation de Grossmann et Morlet permet d’eliminer completementla redondance des valeurs de TS(a, b). La transformee en ondelettes discretes a ete introduiteen 1985 par Lemarie-Rieusset et Y. Meyer [Lemarie-Rieusset & Meyer, 1986]. Elle se fondesur le fait qu’il est possible de definir une serie d’ondelettes analogue a une serie de Fourier,partant d’une ondelettes analysante dite ondelette mere. Cette serie d’ondelettes consiste arepresenter un signal par un ensemble de fonctions reelles et orthogonales, qui derivent de diversestransformations d’une seule ondelette mere. Ces fonctions sont alors dites ondelettes ”filles”. Ladecomposition de notre signal S(t) peut alors s’ecrire

S(t) =∑

i

ciψi(t) (5.15)

Dans cette equation (equation (5.15)), les fonctions ψi(t) constituent une base d’ondelettes prisecomme une base orthonormee de L2(R), les coefficients ci sont obtenus a partir du produitscalaire entre S(t) et les fonctions ψi(t), selon l’equation (5.16)

ci = 〈S(t), ψi(t)〉 =

S(t)ψi(t)dt (5.16)

Les equations (5.15) et (5.16) presentent une formulation generale de la decomposition ortho-gonale, elles sont donc identiques aux equations appliquees au cas particulier de l’analyse deFourier. Or partant de leur definition, les fonctions de la base d’ondelettes utilisee dans les seriesd’ondelettes ont deux indices. L’equation (5.15 est alors recrite :

S(t) =∑

i∈Z

k∈Z

ci,kψi,k(t) (5.17)

L’equation (5.17 presente alors une decomposition en serie d’ondelettes du signal S(t), et l’en-semble des coefficients ci,k correspond a la transformee en ondelettes discretes (DWT) de S(t).

Proprietes : [Burrus et al., 1988]

117 A. Ndjeng Ndjeng

Page 134: Localisation robuste multi-capteurs et multi-mod`eles

5.2. Debruitage des capteurs proprioceptifs Correction des mesures

P1 Une serie d’ondelettes correspond a une decomposition en dimension 2 ; la dimension propredu signal n’ayant pas une importance determinante dans sa representation.

P2 La decomposition en serie d’ondelettes fournit une localisation temps/frequence du signal.Ceci implique qu’une grande partie de l’energie du signal sera representee par quelquescoefficients.

P3 La complexite de l’algorithme de la DWT est au plus de l’ordre de O(n log (n)) (n etant lataille du signal), c’est-a-dire aussi complexe que la transformee de Fourier discrete (DFT)lorsque celle-ci est calculee en utilisant l’algorithme rapide FFT. Mais pour certains typed’ondelettes, cette complexite peut etre reduite a l’ordre O(n).

P4 Les fonctions de la base d’ondelettes sont issues de transformations de l’ondelette mere detypes translations et mises a echelle, selon la formule suivante :

ψi,k(t) = 2i/2ψ(2it− k), i, k ∈ Z (5.18)

P5 La plupart des fonctions de la base d’ondelettes satisfont les conditions d’une analyse multiresolution. Cette propriete s’exprime aussi par le fait que si un ensemble de signaux estrepresente dans une base d’ondelettes deduites de la translation ψ(t − k) de l’ondelettemere ψ, alors un ensemble encore plus important de fonctions, y compris l’ensemble initial,peut etre represente par un nouvel ensemble d’ondelettes de bases deduites de ψ(2t −k). L’algorithme de la transformee en ondelettes rapide (FWT) utilise notamment cettepropriete ; il est l’equivalent de la FFT pour la decomposition en ondelettes.

P5 Les coefficients de faible resolution peuvent etre calcules a partir de coefficients de hauteresolution, suivant un algorithme de bancs de filtres (voir figure (5.2)). En effet dans unetransformee en ondelettes, le signal est analyse par passage a travers un banc de filtresnon uniforme, dont chaque filtre se deduit d’un filtre passe-bande unique par homothetie.Dans un tel filtrage, qui est dit a Q-constant, c’est la bande passante relative (rapportbande passante absolue/frequence centrale) de chacun de ces filtres qui est une constante,d’ou une resolution frequentielle absolue d’autant plus reduite que l’echelle d’analyse estassociee a une frequence plus elevee.

5.2.3 Extraction du bruit par seuillage de coefficients d’onde-lettes

On suppose que le signal que l’on souhaite debruiter est de la forme :

Xi = S(ti) + σǫi, i = 1, . . . , n (5.19)

ou– Xi est la donnee mesuree,– S(ti) le signal (inconnu) de taille n contamine par le bruit– ǫi est une variable aleatoire normale N (0, 1) et σ represente l’ecart-type ou niveau du

bruit.Dans cette equation, on suppose que le terme de biais (voir equation (5.1)) est negligeable.Partant de ce modele, il apparaıt que l’objectif de l’extraction du bruit est, pour un ensemblede valeurs de Xi, de reconstruire le signal original S sans autre connaissance sur sa structure.L’approche traditionnelle d’extraction de bruit modelise le bruit comme un signal de hautefrequence qui s’additionne au signal original. Afin de determiner ces hautes frequences on peuttout a fait utiliser la transformes de Fourier ; le debruitage consiste alors a les filtrer. Cependantcette demarche montre certaines faiblesses, notamment lorsque le signal original contient del’information utile dans les memes frequences que le bruit. Dans ce cas, utiliser la transformeede Fourier pour extraire le bruit conduit a une perte certaine d’information.

A. Ndjeng Ndjeng 118

Page 135: Localisation robuste multi-capteurs et multi-mod`eles

Correction des mesures 5.2. Debruitage des capteurs proprioceptifs

La transformee en ondelettes est mieux adaptees pour le debruitage des signaux semblables acelui decrit ci-dessus. En effet, le signal est analyse a partir d’une representation temps/frequence,qui permet une meilleure separation entre les frequences du bruit et celles du signal utile. Le bruitest alors represente par un signal de haute frequence consistant sur tout le domaine temporel ;ainsi, son identification sera plus facile.Le debruitage par seuillage des coefficients d’ondelettes, revient a ” l’extraction d’une structurecoherente ” du signal mesure. L’hypothese de depart porte sur le bruit σǫ, qui est considerecomme non coherent par rapport a une base de formes d’onde predefinie, c’est-a-dire non correleavec ces formes d’onde. Les coefficients de la decomposition du bruit sur la base sont alors faibles.Afin d’obtenir une transformation rapide et non-redondante, l’algorithme le plus souvent utiliseest la decomposition discrete sur une base orthonormee d’ondelettes de Mallat [Mallat, 1999](voir figure (5.2)) (decomposition simple et reconstruction exacte)1. L’interet d’une projectionsur une base orthonormee vient du fait qu’on autorise ainsi la conservation de l’energie d’unerepresentation a l’autre.C’est lorsque la representation du bruit est achevee que son extraction peut commencer. La

Fig. 5.2 – Algorithme de decomposition en ondelettes de Mallat [Mallat, 1999]. Le vecteur des coeffi-cients d’endelettes est note cp, dp, dp−1, · · · , d2, d1. p represente la profondeur de la decomposition

strategie la plus courante pour debruiter un signal consiste a annuler les coefficients associesaux frequences du bruit. Les methodes d’extraction du bruit different alors uniquement par lamaniere dont ces coefficients sont obtenus a partir de la representation. Il existe de nombreusesmethodes d’extraction de bruit a base de seuillage des coefficients d’ondelettes. Dans cette these,notre choix s’est porte sur le seuillage classique et la determination du seuil universel introduitpar Dohono [Dohono & Johnstone, 1995].

1Si l’interet d’une telle decomposition ne semble plus faire de doute, le choix de la base de projectionpeut etre discute selon l’application. Pour notre application ce choix s’est effectue entre trois bases :Daubechies, Coiflet et Symmlet.

119 A. Ndjeng Ndjeng

Page 136: Localisation robuste multi-capteurs et multi-mod`eles

5.2. Debruitage des capteurs proprioceptifs Correction des mesures

5.2.3.1 Representation par coefficients d’ondelettes

Avant de decrire les methodes de seuillage de coefficients d’ondelettes, commencons par pre-senter une description alternative de l’analyse par ondelettes utile pour l’extraction du bruit.Dans cette description, on suppose dans un premier temps que la representation des signaux estrealisee en utilisant des bases d’ondelettes periodiques sur l’intervalle [0, 1]. Puis, les fonctions debases sont generees par dilatation (mise a l’echelle) et translations d’une fonction d’echelle com-pacte φ, encore appelee ondelette ”pere”, et une ondelette mere ψ decrite plus haut. L’avantagede cette approche est que les familles d’ondelettes generees favorisent l’integration de differentesapproches de lissage et de moments nuls. Ceci a pour consequence la representation de plu-sieurs signaux en utilisant peu de coefficients d’ondelettes, avec une decomposition en ondelettesunique. Soit notre signal S(t), sa decomposition en serie d’ondelettes a partir d’une ondelettepere et une ondelette mere est donnee a l’equation (5.20) :

S(t) =2i0−1∑

k=0

αi0,kφi0,k(t) +∞∑

i=i0

2i−1∑

k=0

βi,kψi,k(t), i0 ≥ 0, t ∈ [0, 1] (5.20)

ou i0 est le niveau de resolution primaire,αi0,k et βi,k sont obtenus par des produits scalaires, selon les equations (5.21) et (5.22).

αi0,k = 〈S, φi0,k〉 =

∫ 1

0S(t)φi0,k(t)dt, i0 ≥ 0, k = 0, 1, 2i0 − 1 (5.21)

βi,k = 〈S, ψi,k〉 =

∫ 1

0S(t)ψi,k(t)dt, i ≥ i0 ≥ 0, k = 0, 1, ˙2i − 1 (5.22)

Lorsque la transformee en ondelettes discretes est utilisee, alors les coefficients ci0,k (coefficientsd’echelle discrets), et di,k (coefficients d’ondelettes discrets) sont utilises, au lieu des coefficientscontinus αi0,k et βi,k. Les parametres discrets peuvent etre calcules approximativement a partirdes coefficients continus en appliquant a ces derniers un facteur

√n. L’equation (5.19) permet

alors d’obtenir, en appliquant la DWT :

ci0,k = ci0,k + σǫi,k, k = 0, 1, 2i0 − 1 (5.23)

di,k = di,k + σǫi,k, i = i0, . . . J − 1 k = 0, 1, ˙2i − 1 (5.24)

avec n = 2J la taille du signal.

5.2.3.2 Approche de seuillage des coefficients d’ondelettes

Une approche simple (la plus simple !) de debruitage de signaux consiste a negliger les coef-ficients d’ondelettes associees au bruit. On utilise alors les coefficients restants pour reconstruirele signal d’interet qui est sans bruit. Dans cette strategie, les coefficients d’ondelettes di,k sontimplicitement les seuls representatifs du signal original ; des lors, pour reconstruire parfaitementle signal S, il est necessaire de les identifier et d’eliminer tous les autres coefficients.Dans l’approche classique dite de penalisation lineaire, chaque coefficient d’ondelettes est affectepar un retrecissement lineaire particulier, associe a son niveau de resolution. Une expressionmathematique pour ce type de retrecissement est donnee a l’equation (5.25) :

di,k =di,k

1 + λ · 2(2is)(5.25)

Dans cette equation, s exprime l’indice de lissage connu du signal S ; λ est le facteur de lissagedont la determination est critique pour ce type d’analyse.Le seuillage lineaire est indique uniquement pour des signaux homogenes dans l’espace et ayant

A. Ndjeng Ndjeng 120

Page 137: Localisation robuste multi-capteurs et multi-mod`eles

Correction des mesures 5.2. Debruitage des capteurs proprioceptifs

un niveau de regularite important [Hernandez-Fajardo et al., 2008]. Lorsque ces conditions d’ho-mogeneite et de regularite ne sont pas satisfaites, il est plus commode d’utiliser un seuillaged’ondelettes non lineaire.Dohono a propose une strategie de seuillage non lineaire [Dohono & Johnstone, 1995]. Seloncelle-ci, le seuillage peut etre effectue en appliquant une regle de seuillage : ”seuillage dur” ou”seuillage doux”. Les expressions mathematiques de ces differents seuillages sont presentees auxequations (5.26) et (5.27).

seuillage dur : δHλ

(

di,k

)

=

0 si∣∣∣di,k

∣∣∣ ≤ λ

di,k si∣∣∣di,k

∣∣∣ > λ

(5.26)

seuillage doux : δSλ

(

di,k

)

=

0 si∣∣∣di,k

∣∣∣ ≤ λ

di,k − λ si∣∣∣di,k

∣∣∣ > λ

di,k + λ si∣∣∣di,k

∣∣∣ < −λ

(5.27)

Dans ces deux methodes, le role du parametre λ est critique, car il determine la destruction, lareduction ou bien l’augmentation de la valeur du coefficient d’ondelette.Le seuillage dur, a cause de sa discontinuite, peut parfois s’averer instable et plus sensible auxmoindres changements dans le signal. D’un autre cote, le seuillage doux peut etre a l’origine d’unbiais lorsque les vrais coefficients sont eleves [Dohono & Johnstone, 1995]. Dans cette etude, nosdiscussions se sont concentrees sur ces deux types de seuillage, qui restent neanmoins les pluspopulaires.

Un probleme apparaıt lors de l’application de ces approches de seuillage, a savoir le choix duseuil λ. Plusieurs methodes permettant de specifier la valeur de ce parametre existent ; on peutles classer dans deux groupes : le seuillage dit ”global” et le seuillage dit ”a niveau”. Dans lapremiere classe, le seuil λ est applique a tous les coefficients d’ondelettes ; et dans la seconde, ilest possible d’avoir un seuil adapte a chaque niveau de resolution.

Cependant, toutes les approches de seuillage de coefficients d’ondelettes necessite l’estimationdu niveau du bruit σ ajoute au signal. Dohono [Dohono & Johnstone, 1995] montre qu’au lieude prendre directement ce niveau de bruit comme son ecart-type, il est plus adequat de l’estimera partir de coefficients d’ondelettes, a travers l’equation empirique (5.28).

σ =median

(∣∣∣dJ−1,k

∣∣∣

)

0.6745, k = 0, 1, . . . , 2J−1 − 1 (5.28)

A partir de ce moment, Dohono propose un seuil dit ”universel” λU , deduit du niveau de bruitet applicable a tous les coefficients d’ondelettes :

λU = σ√

2 log n (5.29)

Il montre par la suite qu’en utilisant ce seuil, il y a une forte probabilite que dans la transformeeen ondelette, l’echantillon dont la transformee est nulle sera estime a zero [Dohono & Johnstone,1995].

121 A. Ndjeng Ndjeng

Page 138: Localisation robuste multi-capteurs et multi-mod`eles

5.2. Debruitage des capteurs proprioceptifs Correction des mesures

5.2.3.3 Application au debruitage de signaux en post-traitement

Dans cette partie nous allons tester le debruitage par ondelettes sur un ensemble de signauxbruites par simulation. Pour cela, nous reprenons la trajectoire de reference du scenario 5 pre-sente dans les deux chapitres precedents. Puis nous appliquons une bruit blancs gaussien auxaccelerations (ecart-type : 0, 3m/s2) et a la vitesse de lacet (ecart-type : 0, 01rad/s) simulees.Nous avons teste trois bases d’ondelettes : Daubechies, Symmlet et Coifflet, avec plusieurs mo-ments nuls. Les resultats de l’analyse presentes concernent les 2000 premiers echantillons.

Reconstruction de la trajectoire complexe :

Pour reconstruire la trajectoire, nous appliquons les equations de la cinematique d’un mouve-ment plan curvilineaire. Les donnees d’accelerations longitudinale et laterale ainsi que la vitessede lacet sont utilisees dans ces equations.La figure (FIG. 5.3) presente une configuration d’un mouvement plan curvilineaire, commande

y

xxVx &=

yVy &=

ψlonγ

latγ

VTraj

ectoire

Mouvement plan curvilinéaire

X

Y

O

Fig. 5.3 – Geometrie d’un mouvement plan curvilineaire

par les deux accelerations γlon (acceleration longitudinale ou tangentielle) et γlat (accelerationlaterale ou normale), et par la vitesse de lacet Ψ (l’angle de cap etant Ψ). Les accelerations sontexprimees dans le repere fixe (O,X, Y ) a travers l’expression

[xy

]

=

[cos (Ψ) sin (Ψ)sin (Ψ) cos (Ψ)

] [γlonγlat

]

(5.30)

A. Ndjeng Ndjeng 122

Page 139: Localisation robuste multi-capteurs et multi-mod`eles

Correction des mesures 5.2. Debruitage des capteurs proprioceptifs

ou x et y expriment les accelerations respectives sur les axes X et Y . Le systeme discret peutalors se mettre sous la forme suivante, ou ∆T est la periode d’echantillonnage :

si l’odometre est disponible : V (k) = vlon selon l’equation (2.16si les accelerations sont disponibles : V (k) = V (k − 1) + γlon(k)×∆T

Ψ(k) = Ψ(k − 1) + Ψ(k)×∆T

x(k) = x(k − 1) + x(k − 1)×∆T + 0, 5× x(k)∆T 2

y(k) = y(k − 1) + y(k − 1)×∆T + 0, 5× y(k)∆T 2

x(k) = V (k)× cos (Ψ(k))y(k) = V (k)× sin (Ψ(k))

(5.31)

Comparaison entre differentes bases d’ondelettes :

Les figures (FIG. 5.4) a (FIG. 5.9) presentent chacune, pour un type d’ondelette donne

Traj. débruitée Coif. 2

Traj. débruitée Coif. 3

Traj. débruitée Coif. 4

Traj. bruitée

Référence

Fig. 5.4 – Reconstruction de la trajectoire apres debruitage par seuillage d’ondelettes de type Coiffletayant 2, 3 et 4 moments nuls

et pour plusieurs moments nuls, la reconstruction de la trajectoire ainsi que la precision de cettereconstruction. Pour chaque type d’ondelettes, les nombres de moments nuls sont choisis demaniere a reduire le plus possible l’erreur de reconstruction. En utilisant les donnees bruitees,cette erreur, apres 2100m de parcours est de 56, 5m. Avec des ondelettes de type Daubechiesavec 6 moments nuls, l’erreur est reduite avec un maximum a 11, 5m et une moyenne a 8m. Pourdes ondelettes de type Coiflet ayant 4 moments nuls, nous avons une erreur maximale de memeordre, mais avec une moyenne plus petite a 6m. Parmi les trois bases d’ondelettes etudiees, letype Symmlet avec 8 moments nuls apporte la meilleure reconstruction. En effet l’erreur maxi-male obtenu avec cette base est 8, 5m, avec une valeur moyenne de 5, 3m.

123 A. Ndjeng Ndjeng

Page 140: Localisation robuste multi-capteurs et multi-mod`eles

5.2. Debruitage des capteurs proprioceptifs Correction des mesures

Erreur traj. débruitée Coif. 2

Erreur traj. bruitée

Erreur traj. débruitée Coif. 3

Erreur traj. débruitée Coif. 4er

reur

[m]

Temps [s]

Fig. 5.5 – Erreur de reconstruction de la trajectoire apres debruitage par ondelettes Coifflet

Traj. débruitée Daub. 6

Traj. débruitée Daub. 8

Traj. débruitée Daub. 10

Traj. bruitée

Référence

Fig. 5.6 – Reconstruction de la trajectoire apres debruitage par seuillage d’ondelettes de type Daubechiesayant 6, 8 et 10 moments nuls

A. Ndjeng Ndjeng 124

Page 141: Localisation robuste multi-capteurs et multi-mod`eles

Correction des mesures 5.2. Debruitage des capteurs proprioceptifs

Erreur traj. débruitée Daub. 6

Erreur traj. bruitée

Erreur traj. débruitée Daub. 8

Erreur traj. débruitée Daub. 10er

reur

[m]

Temps [s]

Fig. 5.7 – Erreur de reconstruction de la trajectoire apres debruitage Daubechies

Traj. débruitée Sym. 4

Traj. débruitée Sym. 6

Traj. débruitée Sym. 8

Traj. bruitée

Référence

Fig. 5.8 – Reconstruction de la trajectoire apres debruitage par seuillage d’ondelettes de type Symmletayant 4, 6 et 8 moments nuls

125 A. Ndjeng Ndjeng

Page 142: Localisation robuste multi-capteurs et multi-mod`eles

5.2. Debruitage des capteurs proprioceptifs Correction des mesures

Erreur traj. débruitée Sym. 4

Erreur traj. bruitée

Erreur traj. débruitée Sym. 6

Erreur traj. débruitée Sym. 8

erre

ur [m

]

Temps [s]

Fig. 5.9 – Erreur de reconstruction de la trajectoire apres debruitage Symmlet

Comparaison avec un filtre passe bas :En figure (FIG. 5.10, nous superposons les trajectoires, puis sur la figure (FIG. 5.11) les erreursde reconstruction, obtenues par seuillage des coefficients d’ondelettes de type Symmlet ayant8 moments nuls, puis par filtrage passe-bas d’ordre 2 (LPF22) avec la frequence de coupure a1Hz. Le filtrage passe bas ameliore legerement la reconstruction a partir de signaux bruites, maisses performances restent faibles, en comparaison avec le seuillage des coefficients d’ondelettes,notamment dans notre exemple. Le LPF2 permet de reconstruire la trajectoire avec une erreurmaximale de l’ordre de 52m apres le parcours de 2100m.Les figures (FIG. 5.12), (FIG. 5.13) et (FIG. 5.14) presentent l’effet du debruitage par ondelette

puis par LPF2 sur les signaux d’accelerations et de la vitesse de lacet. Il ressort de ces figures, quele debruitage par LPF2 contient plus d’oscillations que celui par seuillage d’ondelettes, lesquellescorrespondent en partie au bruit. Ces oscillations vont biaiser l’estimation de la vitesse (a partirde l’acceleration longitudinale), puis celle du cap (a partir de la vitesse de lacet), aboutissant aune fausse reconstruction de la trajectoire. Ce phenomene est observe pendant toutes les phasesdu parcours (dynamique constante ou fortes variations). Or, le seuillage des coefficients d’on-delettes permet un meilleur lissage des signaux dans toutes les phases du parcours. Il existe defaibles oscillations, mais celles-ci apparaissent surtout au niveau des limites de la fenetre globaled’analyse (voir figures (FIG. 5.12) et (FIG. 5.12)). Ce phenomene encore appele effets de bords,constitue l’une des difficultes a surmonter lorsque le debruitage est fait en ligne.

5.2.3.4 Approche de debruitage en ligne

Dans la suite, nous traiterons le debruitage par seuillage des coefficients d’ondelettes de typeSymmlet avec 8 moments nuls.L’extraction du bruit par seuillage d’ondelettes en ligne est fondee sur une approche a fenetreglissante [Xia et al., 2007; Cortes et al., 2008; Hasler, 2007]. Dans un premier temps, les donneessont utilisees telles qu’elles proviennent de capteurs tant que la fenetre n’est pas remplie (buffer

2Low Pass Filter of 2nd order

A. Ndjeng Ndjeng 126

Page 143: Localisation robuste multi-capteurs et multi-mod`eles

Correction des mesures 5.2. Debruitage des capteurs proprioceptifs

Traj. débruitée LPF2

Traj. débruitée Sym. 8

Traj. bruitée

Référence

Fig. 5.10 – Reconstruction de la trajectoire apres debruitage par seuillage d’ondelettes de type Symmletayant 8 moments nuls, puis par filtrage passe bas d’ordre 2 (LPF2) avec une frequence de coupure a 1Hz

Erreur traj. débruitée LPF 2

Erreur traj. bruitée

Erreur traj. débruitée Sym. 8

erre

ur [m

]

Temps [s]

Fig. 5.11 – Erreur de reconstruction de la trajectoire apres debruitage des signaux

127 A. Ndjeng Ndjeng

Page 144: Localisation robuste multi-capteurs et multi-mod`eles

5.2. Debruitage des capteurs proprioceptifs Correction des mesures

Temps [s]

Acc. longi. bruitée

Acc. longi. Débruitée par LPF2Acc. longi. Débruitée par ond. Sym. 8

Fig. 5.12 – Debruitage des donnees d’acceleration longitudinale.

Temps [s]Temps [s]

Acc. lat. bruitée

Acc. lat. Débruitée par LPF2Acc. lat. Débruitée par ond. Sym.8

Fig. 5.13 – Debruitage des donnees d’acceleration laterale

A. Ndjeng Ndjeng 128

Page 145: Localisation robuste multi-capteurs et multi-mod`eles

Correction des mesures 5.2. Debruitage des capteurs proprioceptifs

Temps [s]Temps [s]

Vit. lacet bruitée

Vit. lacet Débruitée par LPF2Vit. lacet Débruitée par ond. Sym. 8

Fig. 5.14 – Debruitage des donnees de la vitesse de lacet

de taille reglable). Des que la largeur de la fenetre est atteinte le processus d’extraction du bruitcommence. La fenetre glisse alors a chaque pas de temps, en gardant sa largeur fixe.Soient le signal S discret et un intervalle de temps ts entre S(i) et S(i+1). On definit une fenetreWi de largeur lW par :

Wi =pas de fenetre si i < lS

[S(i− lS + 1), S(i− lS + 2), · · · , S(i)] si i ≥ lS(5.32)

S(i) est le ieme element du signal discret S. lS est la longueur du signal delimite par la fenetreWi. Si cette derniere n’est pas etendue3, alors lS = lW .

On utilise une analyse multi resolution presentee dans les paragraphes ci-dessus. Si on supposeque les coefficients discrets ci0,k sont egaux a Wi(k), la transformee en ondelettes discretes al’interieur de la fenetre Wi permet alors de deduire les coefficients d’echelle ci,k et les coefficientsd’ondelettes di,k. A l’instant i, il n’est necessaire de calculer que la valeur debruitee d’indice lS .

Wi(lS) est cette valeur, qui est egale a ci0,lS , et qui contient la partie debruitee S(i).

S(i) = Wi(lS) = ci0,lS (5.33)

Extension de la fenetre :Il est bien connu que l’extension du signal permet de reduire les effets de distorsion observes auxbords de signaux apres un debruitage par ondelettes. Plusieurs techniques d’extension existent,parmi lesquelles l’utilisation de zeros ou l’extension periodique, etc. L’extension par des zeros oupar un signal periodique (valeur courante S(i)) a pour consequence, d’ajouter de la discontinuiteau bord du signal debruite. Xia et al. [Xia et al., 2007] proposent une approche d’extension qui

3l’extension de la fenetre glissante est generalement utilisee pour traiter les effets de bords

129 A. Ndjeng Ndjeng

Page 146: Localisation robuste multi-capteurs et multi-mod`eles

5.3. Autres sources d’erreurs et corrections Correction des mesures

semble mieux adaptee a un debruitage temps reel, car elle assure la continuite du signal debruite.Celle-ci utilise la donnee S(i) ainsi que celle qui la precede, pour etendre la fenetre glissante :on parle alors d’extension symetrique

Wi =

pas de fenetre si i < lS

S(i− lS + 1), S(i− lS + 2), · · · , S(i),

extension︷ ︸︸ ︷

S(i), · · · , S(i− lS + 2), S(i− lS + 1)

si i ≥ lS

(5.34)

Application au positionnement :

La technique de debruitage en ligne presentee ci-dessus est appliquee au scenario de simula-tion d’une trajectoire complexe avec un niveau de bruit plus faible (ecart-type du bruit desaccelerometres : 0, 1m/sec2, bruit du gyro : 0, 005rad/sec). Nous prenons la taille de la fenetreglissante a 512 elements (buffer de 256 elements et son symetrique). Jusqu’au point d’indice256, une fenetre (symetrique) de taille 128 est utilisee. Dans cette etude, la base d’ondelettes deSymmlet avec 8 moments nuls est testee.Les figures (FIG. 5.15), (FIG. 5.16) et (FIG. 5.17) presentent les signaux d’accelerations et de lavitesse de lacet. L’approche de debruitage en ligne permet d’avoir une bonne description de ladynamique du mobile, dans la mesure ou les distortions du signal debruite sont tres faibles parrapport au signal original bruite. Celles-ci sont plus visibles lorsque la dynamique du capteurest non nulle. Reduire les oscillations et eliminer des artefacts dans un signal debruite en ligneest un probleme critique. Ainsi, le developpement d’une approche d’extension des fenetres (lon-gueur des fenetres, largeur, methode d’extension etc.) et le choix des parametres d’ondelettes(base, nombre de moments nuls etc.) sont des etapes capitales qui doivent etre ajustables, afind’atteindre les objectifs du temps reel.La trajectoire obtenue a la suite du debruitage en ligne est presentee a la figure (FIG. 5.18).Nous observons qu’en utilisant le debruitage en ligne la trajectoire obtenue se superpose pra-tiquement a la reference, meme apres le deuxieme virage. Or, le parcours estime a partir dedonnees bruitees s’ecarte progressivement de cette reference, pour atteindre 18m d’ecart a la finde l’experience (voir figure (FIG. 5.19)). L’erreur maximale, en utilisant des capteurs debruites,est obtenue apres le premier virage et vaut 4, 7m (autour de 80sec). Cet ecart reste neanmoinslargement inferieur a celui obtenu avec des capteurs bruites.

Dans le but de localiser de maniere robuste des vehicules, il est donc possible d’operer un pre-traitement des capteurs a travers un debruitage par ondelettes en ligne. Cette approche peutetre utilisee dans des applications temps reel, et contribue a attenuer efficacement le bruit surdes signaux. Le principal inconvenient d’une telle technique reside dans le compromis entre lataille de la fenetre glissante, qui influence la qualite du debruitage, et le temps de calcul. Plusla taille de la fenetre est importante, meilleure sont les signaux resultants, avec notamment peud’artefacts ; cependant, le debruitage est plus gourmand en temps de calcul et en ressourcesinformatiques. Par la suite, nous allons etendre notre etude a des capteurs reels, en relevantd’autres sources d’erreurs propres ou derivees de l’infrastructure.

5.3 Autres sources d’erreurs et corrections

Comme il a ete dit au chapitre (2), il existe de nombreuses sources d’erreurs pour des capteursproprioceptifs. Le paragraphe (5.2) a presente une approche de debruitage en ligne fondee surla theorie des ondelettes. Les resultats obtenus montrent que cette approche est efficace pour

A. Ndjeng Ndjeng 130

Page 147: Localisation robuste multi-capteurs et multi-mod`eles

Correction des mesures 5.3. Autres sources d’erreurs et corrections

Début débruitage Temps [s]

Acc. longi bruitée Signal débruitée par ond. Sym. 8

Fig. 5.15 – Debruitage en ligne des donnees d’accelerations acceleration longitudinale

Start denoising Temps [s]Début débruitage Temps [s]

Acc. lat. bruitée Signal débruitée par ond. Sym. 8

Fig. 5.16 – Debruitage en ligne des donnees d’accelerations laterale

131 A. Ndjeng Ndjeng

Page 148: Localisation robuste multi-capteurs et multi-mod`eles

5.3. Autres sources d’erreurs et corrections Correction des mesures

Start denoising Temps [s]Début débruitage Temps [s]

Vit. De lacet bruitée Signal débruitée par ond. Sym. 8

Fig. 5.17 – Debruitage en ligne des donnees de la vitesse de lacet

Fig. 5.18 – Positionnement sur une trajectoire complexe simulee avec debruitage en ligne de donneesd’accelerations et de la vitesse de lacet : ondelettes de type Symmlet ayant 8 moments nuls

A. Ndjeng Ndjeng 132

Page 149: Localisation robuste multi-capteurs et multi-mod`eles

Correction des mesures 5.3. Autres sources d’erreurs et corrections

Temps [s]

erre

ur [m

]

Erreur traj. bruitée Erreur traj. débruitée Sym. 8

Fig. 5.19 – Erreur du positionnement sur la trajectoire

extraire du bruit, et peut etre appliquee en temps reel. Cependant, les mesures de capteursproprioceptifs peuvent etre affectees par d’autres sources d’erreurs, et notamment le biais, ou lanon prise en compte de parametres 3D de la route, tels que l’angle de devers de la chaussee.

5.3.1 Correction du biais des capteurs inertiels

Le bruit et le biais s’averent etre les deux sources predominantes d’erreurs dans les capteursinertiels (voir figure (FIG. 5.20)). Prenons l’exemple de la vitesse de lacet Ψ fournie par ungyroscope de lacet :

Ψsortie = Ψentree + δΨerreur = Ψentree + δΨbiais + νΨ (5.35)

Dans cette equation δΨbiais est le terme de biais et νΨ le bruit additif. L’integration de l’equa-tion (5.35 permet alors d’obtenir la variation de cap (en supposant qu’il n’y ait pas d’erreurssupplementaires dues a l’integration) :

∆Ψsortie = ∆Ψentree + δ∆Ψbiaist+

νΨdt (5.36)

ou∫νΨdt est le terme de la marche aleatoire. L’equation (5.36) revele que l’erreur causee par le

biais sur la vitesse de lacet croıt lineairement avec le temps dans l’estimation du cap. En effet,le biais peut etre determine lorsque le systeme est a l’arret. Cependant il evolue dans le tempset en fonction de la temperature du capteur, notamment lorsque les composants electroniquess’echauffent (par exemple, Crossbow indique 10 minutes de temps de prechauffage) ; on parlealors de derive du biais. Dans la litterature, celle-ci est surtout modelisee a partir d’une marchealeatoire dΨ :

δΨbiais = δΨ0 + dΨt (5.37)

Cette modelisation considere que le biais est constant pendant une courte periode de temps (etnotamment pendant la phase de prechauffage) et permet d’en obtenir un ordre de grandeur.

133 A. Ndjeng Ndjeng

Page 150: Localisation robuste multi-capteurs et multi-mod`eles

5.3. Autres sources d’erreurs et corrections Correction des mesures

entrée

sortie

Biais du capteur

Mesure vraie

Mesure biaisée

Fig. 5.20 – Representation du biais d’un capteur

Les erreurs dues au phenomene de derive du biais peuvent etre modelisees comme un processusmarkovien de premier ordre [Maybeck, 1979], selon l’equation

Ψbiais(k) = −βΨΨbiais(k − 1) + ωΨ (5.38)

Cette modelisation a ete adoptee dans [Abuhadrous, 2005], et elle permet de prendre en compte

l’evolution du biais en fonction du temps correlation1

βΨ

de la variable aleatoire dΨ, ωΨ etant

un bruit blanc gaussien.

Elimination pratique du biais d’une centrale inertielle :

La centrale inertielle, dont nous proposons d’etudier le biais, est une centrale de bas de gammeMicroStrain 3DM-GX1 (voir figure (FIG. 5.21)).Les figures (FIG. 5.22) et (FIG. 5.23) montrent les donnees brutes fournies par la CI (accelera-tions et vitesse angulaire de lacet). Pendant les arrets, le moteur continue a tourner, generantdes vibrations (voir figure (FIG. 5.23).Lorsqu’aucune correction n’est effectuee sur le biais, la trajectoire obtenue est alors fausse, tellequ’illustree a la figure (FIG. 5.24). Dans cette etude nous supposons negligeable la derive dubiais, en considerant que seul le biais statique occasionne la derive du systeme.Les biais initiaux sont elimines dans les accelerometres et les gyroscopes lorsque le vehicule est al’arret. Au debut de l’acquisition, la voiture est au repos pour une duree de 150s. On determineles valeurs moyennes des accelerations et des vitesses angulaires pendant cette periode. Ensuite,on les soustrait des mesures effectuees ulterieurement. Cette operation de calibrage est reprise achaque fois que le vehicule passe par un arret de duree considerable, afin de compenser la derivedue au biais statique. En outre, cette derive est consideree relativement basse pour cette centraleinertielle. En effet, des collectes de donnees d’environ 5mn sont possibles sans qu’une nouvellecalibration ne soit necessaire.L’evaluation des signaux lors de la phase d’arret initiale du vehicule a permis de trouver les biais

A. Ndjeng Ndjeng 134

Page 151: Localisation robuste multi-capteurs et multi-mod`eles

Correction des mesures 5.3. Autres sources d’erreurs et corrections

Fig. 5.21 – Centrale inertielle MicroStrain 3DM-G

Zoom à l’arrêt

Temps [s]

Vit de lacet biaisée et bruitée

Acc. lat biaisée et bruitée

Acc. longi. biaisée et bruitée

Fig. 5.22 – Mesures brutes d’accelerometres et gyroscope de lacet

135 A. Ndjeng Ndjeng

Page 152: Localisation robuste multi-capteurs et multi-mod`eles

5.3. Autres sources d’erreurs et corrections Correction des mesures

Temps [s]

Fig. 5.23 – Zoom sur la vitesse de lacet brute a l’arret (150 s)

RéférenceTraj. biaisée

Fig. 5.24 – Positionnement a partir d’accelerations et vitesse de lacet brutes (equation (5.31)

A. Ndjeng Ndjeng 136

Page 153: Localisation robuste multi-capteurs et multi-mod`eles

Correction des mesures 5.3. Autres sources d’erreurs et corrections

suivants :

Acceleration longitudinale : biais initial statique = −2, 225m/s2

Acceleration laterale : biais initial statique = −0, 55m/s2

Vitesse de lacet : biais initial statique = −0, 0163rad/s

Les figures (FIG. 5.25) et (FIG. 5.26) permettent alors de voir l’effet d’un bon calibrage descapteurs sur le positionnement. En (a), les signaux apres extraction du biais sont presentes.Pendant la phase d’arret, les accelerations et la vitesse de lacet sont bien a zero. Apres extrac-tion du biais, la trajectoire reconstruite du vehicule est tres proche de la reference (voir figure(FIG. 5.26). L’ecart maximum est atteint autour du point de coordonnees (800, 0), et il vaut12m.

Temps [s]

Vit de lacet débiaisée et bruitée

Acc. lat débiaisée et bruitée

Acc. longi. débiaisée et bruitée

Fig. 5.25 – Mesures de capteurs debiaisees

5.3.2 Influence de l’angle de devers de la chaussee

Dans la majorite des systemes de navigation hybride actuels, la representation des mesures selimite aux termes les plus significatifs comprenant le biais et le bruit additif, selon les equations(5.1) et (5.35).En ce qui concerne l’influence des attributs de la routes, une etude tres interessante a ete meneepar Tseng et al [Tseng et al., 2007], visant a corriger les accelerations et vitesses de rotationsfournies par une centrale inertielle. Cependant ces auteurs n’ont pas montre l’impact de ces cor-rections dans les problemes de positionnement. En effet, l’angle de devers permet a la chausseed’avoir une influence sur la dynamique du vehicule a travers les forces laterales sur les roues. Lemodele cinematique de type tricycle et les modeles CA, CV, CT... utilises en localisation sontconcus pour une route plane. Or, la route n’est pas plane. Les mesures de capteurs doivent doncetre adaptees, a travers la prise en compte de l’angle de devers, dans des modeles d’evolutionsans devers. L’hypothese d’une route plane perd sa validite dans de nombreuses situations deconduite, et notamment lorsque le vehicule prend un virage. Dans cette situation, l’angle dedevers de la chaussee (voir figure (FIG. 5.27)) permet de reduire les forces laterales qui agissent

137 A. Ndjeng Ndjeng

Page 154: Localisation robuste multi-capteurs et multi-mod`eles

5.3. Autres sources d’erreurs et corrections Correction des mesures

RéférenceTraj. débiaisée

Fig. 5.26 – Positionnement a partir des mesures debiaisees (equation (5.31)

sur les roues, a travers une anticipation de l’acceleration laterale [Glaser, 2004]. Des lors lesmesures d’accelerations, de la vitesse de lacet ainsi que de l’angle de braquage des roues devrontetre adaptees a la modelisation utilisee pour la localisation [Ndjeng et al., 2008a; Tseng et al.,2007].Afin d’evaluer l’influence de l’angle de devers de la chaussee en localisation, nous realisons le po-sitionnement du vehicule de test sur une piste reelle, sans utiliser des donnees de recalage GPS.Malheureusement, il est difficile de mesurer directement ce parametre a partir des capteurs bascout embarques sur le vehicule. Une approche recente, etudiee au LIVIC, consiste a l’estimera travers un observateur de type PI4 a entrees inconnues. Les details de cet algorithme sontpresentes dans [Sebsadji et al., 2008]. Des lors, l’angle de devers de la route sera pris comme uneentree connue du systeme de localisation.

Adaptation des mesures de capteurs :

Le systeme d’equations (5.39) ci-dessous presente le lien entre les mesures de la centrale inertielleet les parametres exactes de la dynamique du vehicule [Tseng et al., 2007].

φ = p+ (q sinφ+ r cosφ) tan θ (i)

θ = q cosφ− r sinφ (ii)

Ψ = (q sinφ+ r cosφ) sec θ (iii)vlon = γlon + rvlat − qvz + g sin θ (iv)vlat = γlat − rvlon + pvz − g sinφ cos θ (v)vz = γz + qvlon − pvz − g cosφ cos θ (vi)

(5.39)

Les triplets (φ, θ,Ψ) et (φ, θ, Ψ) representent respectivement les valeurs exactes des angles d’Eu-ler du vehicule (le roulis φ, le tangage θ et le lacet Ψ) et leurs vitesses angulaires associees. Lestrois vitesses angulaires de roulis, de tangage et de lacet fournies par la centrale inertielle sont

4Proportionnel Integral

A. Ndjeng Ndjeng 138

Page 155: Localisation robuste multi-capteurs et multi-mod`eles

Correction des mesures 5.3. Autres sources d’erreurs et corrections

Z

latlon

Fig. 5.27 – Schema de l’angle de devers de la chaussee

respectivement notees p, q et r. (vlon, vlat, vz) representent respectivement les trois accelerationsexactes du vehicule, suivant les axes longitudinal, lateral et vertical. Leurs valeurs estimees parles accelerometres sont notees γlon, γlat et γz respectivement.

Pour simplifier ces equations, on suppose que le vehicule n’est pas sur une trajectoire limite :– il n’y a pas de dynamique suivant l’axe vertical (Z) :

γz ∼= vz ∼= 0 (5.40)

– la derive du systeme est negligeablevlat ∼= 0 (5.41)

– l’angle de tangage et la pente de la route sont negligeables

θ ∼= 0 (5.42)

En outre, nous considerons que l’angle de devers estime est assimilable a l’angle de roulis du ve-hicule. Des lors les equations (5.39(iii)) et (5.39(v)) deviennent respectivement (5.43) et (5.44) :

Ψ = (q sinφ+ r cosφ) (5.43)

etvlat = γlat − rvlon − g sinφ (5.44)

La vitesse de lacet est adaptee suivant l’equation (5.43), en fonction de la vitesse de tangage etla vitesse de lacet estimees par les gyroscopes et l’angle de devers estime. L’acceleration lateraleest quant a elle corrigee suivant l’equation (5.44). Cette correction utilise la valeur estimee parl’accelerometre sur l’axe lateral, la vitesse de lacet fournie par le gyroscope de lacet, la vitesselongitudinale et l’angle de devers estime, g etant l’acceleration de la pesanteur (9 = 9, 81m/s2).

Adaptation de l’angle de braquage des roues :L’angle de braquage des roues avant peut s’ecrire :

δ = Arctan(l

R) (5.45)

139 A. Ndjeng Ndjeng

Page 156: Localisation robuste multi-capteurs et multi-mod`eles

5.3. Autres sources d’erreurs et corrections Correction des mesures

ou R est le rayons de courbure du virage et l la distance entre le train avant et le train arriere.De plus, on peut ecrire

vlat =v2lon

R(5.46)

Les deux equations (5.45) et (5.46) permettent alors de deduire la correction de l’angle debraquage des roues selon l’equation (5.47) :

δ = Arctan[tanδ − rl

vlon− lg sinφ

v2lon

] (5.47)

δ est l’angle de braquage des roues non corrigees.La figure (FIG. 5.28) presente les corrections operees sur l’acceleration laterale, la vitesse de lacetet l’angle de braquage des roues. Cette experience a ete menee sur la piste de test de Satory enutilisant une centrale inertielle Crossbow VG400 C100 sans correction de biais ni de bruit.

Fig. 5.28 – Corrections de l’acceleration laterale (en haut), de la vitesse de lacet (au milieu) et del’angle de braquage des roues (en bas)

Nous remarquons tout de suite que l’acceleration laterale adaptee a la modelisation cinematiquesur-estime generalement la mesure de la centrale inertielle, notamment dans les virages. L’ecartmaximum entre la valeur fournie par l’accelerometre sur l’axe lateral et la valeur corrigee at-teint 2m/s2 dans des virages serres, ce qui est important lorsqu’on considere que la dynamiquemaximale du systeme qui ne depasse pas 4m/s2 au cours de cette experience.Sur ce meme parcours, le gyroscope de lacet fournit une vitesse de lacet tres proche de la valeurcorrigee. L’influence de l’angle de devers sur ce parametre est donc plus faible. Sur la figure (FIG.5.28) (au milieu), la courbe bleue represente 10 fois l’ecart entre la valeur mesuree et la valeurcorrigee. C’est surtout dans les virages que cet ecart devient non nul, mais il reste globalementtres faible.De meme que pour l’acceleration laterale, la correction sur l’angle de braquage des roues per-met de montrer qu’il est necessaire d’adapter ce parametre a la modelisation utilisee, surtout

A. Ndjeng Ndjeng 140

Page 157: Localisation robuste multi-capteurs et multi-mod`eles

Correction des mesures 5.3. Autres sources d’erreurs et corrections

dans les virages. En dehors de ces zones (lorsque le braquage est nul), alors l’effet des correc-tions est nul. Par la suite, nous observerons l’influence des corrections introduites par la prise encompte de l’angle de devers, l’extraction du bruit et du biais statique en localisation, en utilisantuniquement des capteurs proprioceptifs (Odometre sur CAN et Crossbow VG400 C100).

5.3.3 Amelioration de l’hybridation IMU/Odometrie : scenario6

Dans cette partie nous estimons la position du vehicule sur la piste de test de Satory, apartir d’une fusion IMU/Odometrie, selon l’equation (5.31) (scenario 6). Les pre-traitementsdes donnees de capteurs proprioceptifs consistent dans un premier temps a prendre en comptel’angle de devers de la piste, puis a extraire le biais statique et le bruit en ligne.

La figure (FIG. 5.29) presente une premiere amelioration du positionnement par une fusionIMU/Odometre. L’initialisation etant faite en utilisant quelques points du GPS RTK, le systemeevolue alors suivant les equations (5.31), en utilisant des donnees d’accelerations, de la vitessede lacet et de la vitesse odometrique.

Trajectoire obtenue avec des données brutes

Trajectoire obtenue àpartir de la correction de

l’angle de dévers

Route de référence

25m

45m

Fig. 5.29 – Positionnement par fusion IMU/Odometre avec et sans prise en compte de l’angle de deversde la chaussee

Apres 3400m de parcours le point d’arrivee de la trajectoire deduite des donnees brutes sanspre-traitement est a 70m du point de reference. Cet ecart important s’explique par une deriveprogressive du systeme due au biais statique, aux bruits des capteurs, mais aussi a la nonprise en compte de l’influence de l’angle de devers. La derive est d’autant plus importanteque la trajectoire de reference comporte des virages de devers important, ce qui justifie uneforte dynamique laterale. Lorsque la correction utilisant l’angle de devers est introduite, l’ecartdu point final par rapport a la reference est reduite a 45m, soit une amelioration de 25m.Apres l’initialisation le systeme suis assez fidelement la reference, jusqu’au point de coordonnees

141 A. Ndjeng Ndjeng

Page 158: Localisation robuste multi-capteurs et multi-mod`eles

5.3. Autres sources d’erreurs et corrections Correction des mesures

(−500, 250). C’est en ce point que la derive du systeme commence a croitre considerablement.Cette zone est caracterisee par l’angle de devers le plus important sur la piste (pres de 12Deg)et un virage tres serre. Sur les courbes a la figure (FIG. 5.28), il s’agit des points d’indices 1250a 1400. L’acceleration laterale est largement sous estimee (pres de 2m/s2) et l’ecart entre lavitesse de lacet brute et celle corrigee est aussi important. Malheureusement, le biais statiquen’etant pas encore pris en compte, l’effet de la correction en utilisant l’angle de devers n’est passuffisant pour reduire plus cette derive. Par la suite, les corrections sur le biais et le bruit sontoperees en plus de celle utilisant l’angle de devers, ce qui permet de resoudre ce probleme dederive.

Zone 1

Zone 2

Trajectoire obtenue avec des données brutes

Trajectoire obtenue àpartir de la correction de

l’angle de dévers

Trajectoire obtenue en associant les corrections de biais, du dévers et le

débruitage en ligne par ondelettes Sym. 8

Fig. 5.30 – Amelioration du positionnement par fusion IMU/Odometre

Lorsque les corrections de biais statiques des capteurs sont associees au debruitage en ligne desdonnees, la derive observee apres le virage en U (autour du point (-500,250)) est corrigee. Lafigure (FIG. 5.30) presente trois trajectoires en plus de la reference ; les deux premieres on etepresentees a la figure (FIG. 5.29), et la troisieme associe les trois types de corrections sur lesdonnees de l’IMU et de l’Odometre : correction du biais, correction du bruit et correction parprise en compte de l’angle de devers. Cette derniere courbe est globalement fidele a la trajectoirede reference et ne presente qu’une tres faible derive. En effet, les ecarts les plus importantsapparaissent dans les zones 1 et 2 delimitees sur la figure (FIG. 5.30). En zone 1 l’ecart maximumavec la reference est de 7m, et il atteint 9m dans la zone 2. Au point d’arrivee, l’ecart a lareference n’est alors plus que de 5m. Ces ordres de grandeur sont comparables a l’erreur d’unGPS classique (bas cout), et montrent que les corrections effectuees en pre-traitement de donneespermettent d’ameliorer considerablement la localisation a partir de capteurs proprioceptifs.

A. Ndjeng Ndjeng 142

Page 159: Localisation robuste multi-capteurs et multi-mod`eles

Correction des mesures 5.4. Conclusion

5.4 Conclusion

Dans ce chapitre, trois approches de correction de mesures de capteurs proprioceptifs ont etepresentees. Dans un premiers temps, nous avons expose l’analyse en ondelettes, puis l’approchede debruitage des signaux fondees sur le seuillage de coefficients d’ondelettes. Notre choix sejustifie par le fait que les approches classiques d’analyse frequentielle presentent des limites,notamment lorsque la frequence du signal utile est proche de la frequence du bruit. L’etudemulti-resolution permet de localiser des caracteristiques dans le domaine temporel et dans ledomaine frequentiel, et ainsi d’extraire plus efficacement le signal utile. Une des principales diffi-cultes ici concerne alors l’exploitation de cette methode en ligne, afin d’extraire en temps reel lebruit des signaux. L’approche presentee dans ce chapitre se fonde sur les fenetres glissantes, dontla largeur determine un compromis entre le temps d’execution et l’efficacite dans l’extraction dubruit.Une deuxieme methode de correction presentee concerne l’estimation du biais des capteurs. Lebiais est une source d’erreur importante et doit imperativement etre extrait des mesures decapteurs. Nous avons presente deux types de biais : le biais statique et la derive du biais. Lebiais statique peut etre estime au debut de l’experience et a chaque phase d’arret du vehicule, lemoteur etant en marche. La valeur estimee est alors soustraite de toutes les mesures ulterieuresdu capteur. Il existe plusieurs modeles permettant d’estimer la derive du biais ; l’un des plusutilises est le modele d’evolution decrivant un processus markovien. Cependant dans notre etudenous supposons negligeable le phenomene de derive du biais.La derniere correction presentee dans ce chapitre concerne la prise en compte de l’angle de deversde la chaussee. Cette correction est necessaire, car elle permet d’adapter les mesures des capteursproprioceptifs aux modeles d’evolution de route plane, utilises en localisation. Ceci permet uneamelioration du positionnement par fusion IMU/Odometre.

Les resultats presentes sur des donnees de simulation ou sur des donnees reelles, montrent qu’encorrigeant convenablement les mesures des capteurs proprioceptifs, il est possible d’ameliorerconsiderablement la localisation meme sans capteur GPS. Sur piste reelle complexe, les erreursmaximales obtenues sont de l’ordre de l’erreur GPS, partant des ecarts de l’ordre de 70m lors-qu’aucune correction n’est operee.Dans tout ce chapitre, nous avons utilise un unique modele d’evolution non lineaire pour fu-sionner les accelerations, la vitesse de lacet et la vitesse odometrique, l’accent ayant ete mis surles methodes de correction de donnees. Cependant, il serait interessant d’evaluer la localisationsous un autre angle, en mettant en concurrence les methodes de fusion presentees dans cettethese et pour differents types de scenarios : il s’agit de l’EKF, l’UKF, le DD1, le DD2, le filtre aparticules et enfin l’IMM. Une etude comparative de leurs performances fera l’objet du prochainchapitre.

143 A. Ndjeng Ndjeng

Page 160: Localisation robuste multi-capteurs et multi-mod`eles

5.4. Conclusion Correction des mesures

A. Ndjeng Ndjeng 144

Page 161: Localisation robuste multi-capteurs et multi-mod`eles

Chapitre 6

Protocole de comparaison des approches de

localisation et applications

[Ndjeng et al., 2009]

6.1 Introduction

Dans les chapitres precedents, nous avons montre qu’il existe en robotique d’exterieur et pourles transports routiers, plusieurs solutions bien connues au probleme de la localisation. Celles-cisont fondees, pour la plupart, sur des systemes de radionavigation (GPS, GLONASS et bientotGALILEO). Malheureusement, ces systemes fournissent une localisation partiellement integre.En effet, il est bien connu que le GPS ne fonctionne normalement que dans un environnementouvert, avec une bonne visibilite d’au moins quatre satellites ayant une bonne repartition spa-tiale. A defaut, il peut generer des aberrations en cas de masquage du signal notamment dansune zone urbaine, dans une foret ou dans un tunnel. Il est alors necessaire de proceder a l’hy-bridation d’informations de radionavigation par celles issues d’autres capteurs dont la validiten’est pas directement liee a l’environnement du vehicule : ce sont des capteurs proprioceptifs(odometres, gyroscopes, accelerometres, codeurs d’angle au volant etc.).

Les chapitres (2), (3) et (4) ont presente quelques methodes d’hybridation. Elles consistent a fu-sionner des donnees issues de capteurs proprioceptifs et exteroceptifs embarques1. L’hybridationest operee a l’aide d’un estimateur qui utilise un ou plusieurs modeles cinematiques du vehiculeet qui a generalement pour vecteur d’etat : la position, le cap et/ou la vitesse du vehicule. Dansce chapitre, nous nous focalisons non pas sur la presentation theorique des estimateurs de lalocalisation, mais sur une demarche de comparaison de leurs performances dans plusieurs typesde situations.

1Dans notre approche nous supposons que nous n’avons aucune autre source d’information en dehorsdes capteurs embarques

145

Page 162: Localisation robuste multi-capteurs et multi-mod`eles

6.2. Mesure de la performance d’un estimateur Comparaison et applications

Les algorithmes d’estimation de parametres ou de signaux sont largement utilises en science eten ingenierie. En depit de la solidite des fondements theoriques d’un estimateur, ses caracteris-tiques et performances doivent etre evaluees en pratique. Ceci permet entre autres, de verifiersa validite pour une application donnee, demontrer sa performance et realiser une comparaisonobjective avec d’autres estimateurs. Ceci est d’autant plus utile que les estimateurs sont concussur la base d’un ensemble d’hypotheses, qui ne sont pas toujours transparentes pour les utilisa-teurs. Leur interet est generalement porte sur le fait qu’ils fonctionnent convenablement pourles applications considerees.Sachant que la qualite de la localisation depend des donnees provenant de differents capteurs(voir chapitre (5)) [Ndjeng et al., 2008a],[Ndjeng et al., 2009], la performance de l’estimateurchoisi peut presenter de la variabilite, et doit etre evaluee au sens statistique. En pratique, onprocede dans un premier temps par des simulations numeriques en appliquant la methode deMonte-Carlo, avant une experimentation sur des donnees terrain. L’approche par simulationest tres interessante : en effet, disposant d’une reference connue et generees aleatoirement, ilest possible d’evaluer pertinemment la capacite de chaque methode a estimer ces trajectoires.Ceci permet d’aboutir a une comparaison objective de performances sur la base de criteres bienchoisis.

6.2 Mesure de la performance d’un estimateur

Le probleme cle dans la comparaison d’estimateurs est le choix de criteres et leur interpre-tation concernant l’evaluation des performances des algorithmes. Dans ce chapitre, nous deve-loppons un protocole de comparaison d’estimateurs de la localisation reposant sur trois famillesde criteres d’evaluation :

1. la precision [Drummond et al., 1998],[Li & Zhao, 2001],[Drummond, 1999] est evalueea partir des trois mesures : l’erreur quadratique moyenne-RMSE2, l’erreur euclidiennemoyenne-AEE3 et enfin l’erreur geometrique moyenne-GAE4 ;

2. la consistance et la credibilite de chaque estimateur sont evaluees a partir de trois criteresfondes sur la norme de l’erreur d’estimation fournie par chaque algorithme : il s’agit de laNEES5, l’ANEES6 et enfin le NCI7 [Drummond et al., 1998; Li et al., 2002; Drummond,1999; Bar-Shalom & Li, 1993; Bar-Shalom & Birmiwal, 1983]. D’autres criteres fondessur le contenu en information [Lefebre et al., 2004; Zamora-Izquierdo et al., 2008] dechaque filtre, a travers des enveloppes a 2 ou a 3σ, ainsi que des ellipses d’incertitude sontpresentes ;

3. enfin la robustesse des estimateurs est evaluee en utilisant des moyennes statistiques deparametres de localisation sur des mesures ponctuelles particulierement aberrantes, oulors des scenarios de conduite en situation limite.

Traditionnellement, la precision occupe une place de choix parmi les caracteristiques de perfor-mance, a condition d’avoir une reference fiable. Or, il est maintenant bien connu que pour laplupart des applications, un reglage de filtre qui garantit la precision seule, aux depends d’autrescaracteristiques telles que la robustesse ou la consistance n’est pas recommande. En effet, la pre-cision est la caracteristique qui revele le niveau d’exactitude d’un estimateur, c’est-a-dire sacapacite a reproduire l’information vraie. A la precision, il est souvent associe un indicateur dela coherence de l’estimation a travers une nouvelle caracteristique : la consistance. Elle permet de

2Root-Mean-Square Error3Average Euclidian Error4Geometric Average Error5Normalized Estimation Error Square6Average Normalized Estimation Error Square7Non-Credibility Index

A. Ndjeng Ndjeng 146

Page 163: Localisation robuste multi-capteurs et multi-mod`eles

Comparaison et applications 6.2. Mesure de la performance d’un estimateur

mesurer la capacite de l’estimateur a evaluer la qualite de l’estimee, a travers une auto evaluationdes erreurs d’estimation. Une autre caracteristique des estimateurs est la credibilite, directementdeduite de la consistance. Cette propriete permet de conclure sur la qualite de l’estimateur, asavoir s’il est trop optimiste ou pessimiste. Le contenu en information quant a lui permet d’eva-luer la fiabilite de l’estimation fournie. En presence de mesures de capteurs de mauvaise qualiteou de donnees aberrantes, la sensibilite des estimateurs est evaluee a travers une mesure de larobustesse.

Rappels sur des notations :Les notations suivantes sont adoptees dans ce paragraphe. X est le vecteur d’etat exact de di-mension nX a estimer, son estimee est X et l’erreur d’estimation X = X − X. La matrice devariances-covariances de l’erreur quadratique moyenne (MSE) exacte de X est notee Σ. Cellequi est fournie par l’estimateur sera appelee P . Lors des simulations, nous supposons que ni lemodele d’evolution, ni les capteurs utilises ne sont biaises. Pour chaque scenario, le nombre totald’essais independants Monte Carlo (ayant N echantillons chacun) est note M , l’indice i repre-sente des lors le ieme essai. Enfin, la norme euclidienne d’un vecteur a sera notee ||a||2 =

√aTa,

ou aT est la transposee du vecteur a.

6.2.1 Mesures de la precision

La precision des estimateurs est evaluee a partir de trois types d’erreur, qui se distinguentpar la signification ou l’interpretation donnee a leur mesure.

6.2.1.1 L’erreur quadratique moyenne RMSE

Il s’agit de la mesure de precision la plus connue. Elle est definie par :

RMSE(X) =

√√√√

(

1

M

M∑

i=1

||Xi||22

)

=

√√√√

(

1

M

M∑

i=1

XTi Xi

)

(6.1)

Cette grandeur peut etre interpretee comme le parametre statistique appele ecart-type. Pourdes estimateurs de parametres scalaires non biaises, il s’agit de l’approximation la plus naturellede l’ecart type de l’erreur d’estimation. De ce fait, la RMSE est un parametre utile pour desanalyses probabilistes, quoique n’ayant pas une interpretation physique simple.La popularite de la RMSE provient surtout du fait qu’il s’agit en general de la meilleure ap-

proximation sur un echantillon fini, de l’erreur standard√

E[XT X]. Celle-ci constitue le critere

d’optimalite le plus utilise en termes d’erreurs (MSE), et reste le plus mathematiquement elabore.

6.2.1.2 L’erreur euclidienne moyenne AEE

L’erreur euclidienne moyenne, notee AEE, est definie par :

AEE(X) =1

M

M∑

i=1

||Xi||2 =1

M

M∑

i=1

XTi Xi (6.2)

Cette mesure est deduite du concept de la distance euclidienne ou norme euclidienne et estsouvent appelee Erreur Moyenne Absolue (MAE8). Alors que la RMSE est une approximation

de l’erreur standard√

E[XT X], l’AEE represente la moyenne des erreurs reelles E[||X||2] =

E[√

XT X]

. Plus l’une de ces mesures est faible, plus l’estimateur est precis.

8Mean Absolute Error

147 A. Ndjeng Ndjeng

Page 164: Localisation robuste multi-capteurs et multi-mod`eles

6.2. Mesure de la performance d’un estimateur Comparaison et applications

L’AEE exprime la distance moyenne entre l’estimee et le parametre a estimer, dans notre espacephysique (distance Euclidienne). Considerons l’illustration suivante : soient 10 erreurs d’estima-tion relevees : [ 1, 5 ; −2, 1 ; 2, 3 ; −2, 5 ; 3, 1 ; 6, 1 ; −2, 0 ; 1, 7 ; 0, 5 ; −1, 8m ], on obtient une AEEde 2, 36m et une RMSE de 2, 74m, tel qu’illustre a la figure (FIG. 6.1).

RMSE

AEE

Erreurs relevées

Fig. 6.1 – AEE vs RMSE

L’AEE exprime bien l’erreur moyenne en amplitude. Cependant, il n’est pas facile de donnerphysiquement une interpretation du RMSE en dehors du fait de sa pertinence dans des analysesprobabilistes, et notamment la caracterisation de la dispersion des erreurs. Par exemple, pourune erreur d’estimation X scalaire, ayant une distribution de type gaussien centre en zero et

d’ecart type σ, alors P

|X| < RMSE

≈ P

|X| < σ

= 0, 6826. Pour cette meme erreur et en

supposant l’estimateur non biaise, l’AEE apparaıt comme l’approximation naturelle de l’ecart

moyen a la reference E[∣∣∣X∣∣∣

]

, pour un echantillon fini. Et pour une distribution gaussienne

d’ecart type σ, E[∣∣∣X∣∣∣

]

= σ√

2/π ≈ 0, 8σ.

Par consequent, l’AEE peut etre convertie en RMSE si on suppose que l’erreur suit une dis-tribution gaussienne, alors que la RMSE ne peut etre convertie en AEE sans une connaissanceprecise de la distribution de l’erreur. Pour ces raisons Li recommande [Li & Zhao, 2001], pourl’evaluation de la precision d’estimateurs, d’utiliser l’AEE au lieu de la RMSE.

6.2.1.3 L’erreur geometrique moyenne GAE

La RMSE et l’AEE sont toutes deux basees sur une moyenne arithmetique de l’erreur. Or,il est connu que cette moyenne est largement influencee par de grandes valeurs d’erreurs, cetteinfluence etant cependant plus faible avec l’AEE qu’avec la RMSE. Pour palier a cette faiblesse,il est propose d’utiliser une moyenne geometrique : la GAE.L’erreur geometrique moyenne est definie par :

GAE(X) =

[M∏

i=1

XTi Xi

]1/M

(6.3)

A. Ndjeng Ndjeng 148

Page 165: Localisation robuste multi-capteurs et multi-mod`eles

Comparaison et applications 6.2. Mesure de la performance d’un estimateur

Afin d’optimiser son calcul numerique, on passe par le logarithme :

GAE(X) = 10LGAE(X) (6.4)

avec :

LGAE(X) =1

2M

M∑

i=1

log10 XTi Xi (6.5)

L’erreur GAE, fondee sur la moyenne geometrique, est plus robuste que les deux premieresmesures (RMSE et AEE). En effet, elle est moins sensible aux grandes valeurs d’ecarts reels.D’autre part, la GAE n’est jamais plus grande que l’AEE, elle meme jamais superieure a lavaleur RMSE. Ainsi on a theoriquement GAE ≤ AEE ≤ RMSE : l’impact des grandes erreursest plus important sur une RMSE et moins important sur une GAE, tel qu’illustre a la figure(FIG. 6.2).Reprenant l’exemple des dix mesures d’erreurs ci-dessus, nous obtenons alors une GAE de

RMSE

AEE

Erreurs relevées

GAE

Fig. 6.2 – AEE vs RMSE vs GAE

2, 004m ; l’ordre theorique entre les differentes moyennes est bien respecte. Le principal interetd’utiliser la GAE reside dans sa capacite a etre moins influencee par des valeurs d’erreurs tresgrandes, tout en restant proche de l’AEE. L’egalite entre ces erreurs existe uniquement lorsquele nombre d’essais se limite a 1 (M = 1), c’est le cas des tests sur pistes reelles.Par ailleurs, l’ecart entre la GAE, l’AEE et la RMSE peut servir a representer la presence defortes erreurs ponctuelles. Plus ces moyennes sont proches, plus les erreurs le long du trajetetaient proches (absence de pic d’erreur). Dans le cas ou GAE=AEE=RMSE, alors il n’y a pasde fluctuation au niveau de ces erreurs et l’erreur commune peut etre consideree comme un biais,et par consequent ce biais peut etre compense.

149 A. Ndjeng Ndjeng

Page 166: Localisation robuste multi-capteurs et multi-mod`eles

6.2. Mesure de la performance d’un estimateur Comparaison et applications

6.2.2 Consistance d’un estimateur

6.2.2.1 Variables aleatoires suivant une loi du χ2 (ou Khi-deux)

Rappels :

R1 : Soit une variable aleatoire V , on dit qu’elle suit une loi gamma de parametres p etθγ(parametre d’echelle), notee γ(p, θγ), si sa fonction de densite est :

f(x) =θpγ

Γ(p)e−θγxxp−11R+(x), p > 0, θγ > 0 (6.6)

ou

Γ(p) =

∫ +∞

0e−xxp−1dx (6.7)

Remarque :1R+(x) designe la fonction indicatrice de R

+, telle que 1R+(x) = 1 si x ∈ R+, et 0 sinon.

Si p = 1, la loi gamma γ(1, θγ) porte le nom de loi exponentielle de parametre θγ .

Theoreme 6.2.1 (Loi d’une somme de lois gamma) Soient deux variables aleatoiresV1 et V2 suivant respectivement une loi gamma de parametres (p, θγ) et (q, θγ) (V1

γ(p, θγ) et V2 γ(q, θγ)). Alors la variable aleatoire V1 + V2 suit une loi γ(p+ q, θγ).

R2 : Si V suit une loi normale d’esperance m et de variance σ2, c’est-a-dire V N (m,σ2)

alors la variable aleatoire U =V −mσ

suit loi normale d’esperance nulle et de variance 1,

dite loi normale centree reduite. Elle est notee U N (0, 1).

Theoreme 6.2.2 (Loi normale centree reduite) Si la variable aleatoire U suit une

loi normale centre reduite, alors la variable1

2U2 suit une loi γ(

1

2, 1), Cf. demonstration

en annexe

Definitions :On considere n variables aleatoires (V1, . . . , Vn) independantes suivant toutes une loi normaleN (0, 1).

La variable aleatoire Un =n∑

i=1

V 2i suit une loi du khi-deux a n degres de liberte, notee χ2(n).

Partant des theoremes (6.2.1) et (6.2.2), on montre que 12Un suit une loi γ(n2 ) = γ(n2 , 1). On en

deduit alors la densite de la loi Un :

fUn(x) =1

2n/2Γ(n2 )e−

x2

2 xn2−11R+(x) (6.8)

Theoreme 6.2.3 (Loi d’un vecteur derive d’un vecteur aleatoire normal) Soit un vec-teur aleatoire reel V de dimension p et de loi N (V ,Σ) (loi normale de moyenne V et de matricede variances-covariances Σ). Alors la variable aleatoire notee Y = (V − V )TΣ−1(V − V ) suitune loi du χ2

L’esperance et la variance de la variable aleatoire Un suivant une loi du χ2(n) sont donnees parles relations suivantes :

E [Un] = E

[n∑

i=1

V 2i

]

= n (6.9)

A. Ndjeng Ndjeng 150

Page 167: Localisation robuste multi-capteurs et multi-mod`eles

Comparaison et applications 6.2. Mesure de la performance d’un estimateur

et

V ar (Un) = E

[n∑

i=1

(V 2i − 1

)

]2

=n∑

i=1

E[(V 2i − 1

)2]

=n∑

i=1

(E[V 4i

]− 2E

[V 2i

]+ 1)

=n∑

i=1

(3− 2 + 1)

= 2n

(6.10)

sachant que le moment d’ordre 4 de la variable Vi N (0, 1) est par definition E[V 4i

]= 3σ4.

Remarque :Etant donne deux variables aleatoires independantes V1 et V2 suivant respectivement deux loisχ2 a n1 et n2 degres de liberte, alors la variable aleatoire V3 = V1 + V2 suit une loi χ2(n1 + n2).La distribution du χ2 est generalement utilisee pour tester la consistance des estimateurs d’etats,c’est-a-dire verifier que les erreurs reelles du systemes sont consistantes avec celles estimees etinversement.

6.2.2.2 Construction d’un intervalle de confiance par la loi χ2

On considere un nombre reel positif αθ tel que 0 ≤ αθ ≤ 1. Pour construire un intervalle deconfiance qui contiendra la valeur d’un parametre θ avec une probabilite donnee (1−αθ), encoreappelee niveau ou coefficient de confiance, on doit rechercher les bornes inferieure et superieurea et b de cet intervalle en resolvant l’equation

P (a ≤ θ ≤ b) = 1− αθ (6.11)

La probabilite αθ mesure le risque d’erreur de l’intervalle, c’est-a-dire la probabilite que l’inter-valle ne contienne pas la vraie valeur du parametre θ.Pour resoudre cette equation, on definit une fonction g(θ) dont on connaıt la loi de probabilite(dans notre cas la loi du χ2), et l’on recrit l’equation (6.11) sous la forme :

P (r1 ≤ g(θ) ≤ r1) = 1− αθ (6.12)

ou r1 et r2 sont les bornes inferieure et superieure donnees par la loi χ2. Elles delimitent l’in-tervalle de confiance au niveau de probabilite 1 − αθ. Pour determiner ces deux inconnues, on

repartit generalement le risque d’erreur en deux parties egalesαθ2

pour avoir un intervalle sy-

metrique.Sachant le nombre de degres de liberte, les valeurs de r1 et r2 peuvent etre obtenues directe-ment a partir de la table de la loi khi-deux. Chaque nombre de degres de liberte correspond aune distribution particuliere χ2. Sur la figure (FIG. 6.3) par exemple, la fonction de densite deprobabilite d’une distribution χ2 ayant 5 degres de liberte est illustree, ainsi qu’un intervalle deconfiance a 95%.

6.2.2.3 Definition et tests statistiques pour la consistance de filtres

Un estimateur d’etat (filtre) est dit consistant si ses erreurs d’estimation satisfont les deuxconditions aux equations (6.13) et (6.14) [Bar-Shalom & Li, 1993; Lefebre et al., 2004] :

E[

X − X]

≡ E[

X]

= 0 (6.13)

151 A. Ndjeng Ndjeng

Page 168: Localisation robuste multi-capteurs et multi-mod`eles

6.2. Mesure de la performance d’un estimateur Comparaison et applications

025.02 =θα

r1=0.831 r2=12.8

%951 =− θα

025.02 =θα

Fig. 6.3 – Densite de probabilite d’une distribution χ2 ayant 5 degres de liberte

E

[(

X − X)(

X − X)T]

≡ E[

XXT]

≤ P (6.14)

Cela signifie que pour un nombre fini d’echantillons (mesures), l’erreur d’estimation doit etreconsistante avec les proprietes statistiques theoriques suivantes :

1. Etre centree en 0 (c-a-d les estimees ne sont pas biaisees)

2. Avoir une matrice de variances-covariances plus grande que la MSE reelle du systeme.

Dans ce document nous avons retenu deux principaux criteres pour valider la consistance d’unestimateur :

C1 : les erreurs reelles sur l’etat du systeme doivent etre centrees en zero et avoir une matricede variances-covariances plus petite que celle fournie par le filtre ;

C2 : l’innovation doit egalement satisfaire cette propriete.

Parmi ces deux criteres, seul C2 peut etre teste avec des donnees reelles. Le critere C1, qui estreellement le plus important, ne peut etre teste qu’en simulation, car dans ce cas la referenceest parfaitement connue. Ce test s’effectue a travers le calcul de la NEES (Normalized (state)Estimation Error Squared), notee ǫ :

ǫ = XTP−1X (6.15)

Sous l’hypothese H0 que le filtre est consistant et que l’erreur X suit une loi gaussienne dematrice de variances-covariances P , alors ǫ suit une distribution de χ2 avec nX degres de liberte(nX etant la dimension de X). Alors d’apres l’equation (6.9),

E [ǫ] = nX (6.16)

Le test consiste alors a evaluer l’acceptabilite de l’egalite a l’equation (6.16).

Comme nous l’avons dit plus haut, l’evaluation de la consistance des filtres a partir de la sta-tistique ǫ (la NEES) est fondee sur des simulations. En utilisant l’approche Monte Carlo a M

A. Ndjeng Ndjeng 152

Page 169: Localisation robuste multi-capteurs et multi-mod`eles

Comparaison et applications 6.2. Mesure de la performance d’un estimateur

echantillons independants ayant chacun le meme nombre d’elementsN , on genere a chaque indicede temps k, M valeurs independantes de la variable aleatoire ǫ(k), notees ǫi(k), i = 1, 2, . . . ,M .Pour ces M echantillons, la valeur moyennes de la NEES est

ǫ(k) =1

M

M∑

i=1

ǫi(k) (6.17)

Il en decoule alors que Mǫ(k) suit, sous l’hypothese H0, une distribution de χ2 avec MnX degresde liberte.Des lors l’hypothese a l’equation (6.16), qui traduit le fait que les erreurs reelles d’estimationsont consistantes avec celles fournies par le filtre (critere C1), est acceptable si

ǫ(k) ∈ [r1, r2] (6.18)

ou l’intervalle de confiance (ou d’acceptabilite) [r1, r2] est determinee ainsi qu’il suit :

P [ǫ(k) ∈ [r1, r2]|H0] = 1− αθ (6.19)

Dans cette etude, nous choisissons le niveau de confiance a 1− αθ = 95%. Nous nous reportonsa la table des valeurs de χ2 fournie en annexe pour determiner l’intervalle [r1, r2].

Exemple :Si on prend αθ = 5%, nX = 2 (vecteur de position) et M = 20 tests independants Monte Carlo,soit 40 degres de liberte, alors on deduit de la table du χ2 que l’intervalle delimitant 95% deprobabilite de confiance est [r1, r2] = [24, 4/M, 59, 3/M ] = [1, 22, 2, 96]. Lorsque M = 1 (unseul essai, 2 degres de liberte), cet intervalle devient [0, 05, 7, 38]. L’intervalle est reduit avecun nombre important d’essais Monte Carlo, ce qui illustre une reduction de la variabilite (del’erreur) lorsque les essais sont repetes, tout en restant independants.

Mesure de la NIS :Le critere C2 est applique lorsque la verite terrain n’est connue qu’au travers d’observations(souvent de type points GPS) : c’est notamment le cas lors de tests sur pistes reelles. Le testde consistance peut des lors etre effectue en utilisant une nouvelle statistique appele la NIS(Normalized Innovation Squared) [Bar-Shalom & Li, 1993], et notee ǫν , telle que

ǫν = νTS−1ν (6.20)

ou ǫν represente l’innovation (encore appelee residu) du filtre et S la matrice de variances-covariances de ce residu.De la meme maniere que la NEES, sous l’hypothese que le filtre est consistant, la NIS ǫν suitune loi du χ2 avec nY (dimension du vecteur de mesures) degres de liberte. A partir de Mechantillons independants Monte Carlo, ayant une NIS ǫν , on calcule la moyenne

ǫν =1

M

M∑

i=1

ǫiν (6.21)

Le test effectue est alors similaire a celui decrit a l’equation (6.18). L’intervalle d’acceptation estdetermine en posant que Mǫν suit une loi χ2 avec MnY degres de liberte.

Conclusions du test

1. Si la statistique de l’erreur (NEES ou NIS) se trouve au dela de la borne superieure del’intervalle r2, alors :

153 A. Ndjeng Ndjeng

Page 170: Localisation robuste multi-capteurs et multi-mod`eles

6.2. Mesure de la performance d’un estimateur Comparaison et applications

– soit l’estimee est biaisee– soit les erreurs reelles sont tres grandes par rapport a celles estimees par le filtre– soit la covariance de l’erreur fournie par le filtre est trop faible.

2. Si au contraire la statistique calculee se trouve en dessous de la borne inferieure de l’in-tervalle r1, alors la covariance de l’erreur d’estimation fournie par le filtre est trop grandeen comparaison avec l’erreur reelle.

3. Lorsque la statistique de l’erreur se trouve dans l’intervalle d’acceptabilite, alors on conclutque le filtre est bien regle, et l’erreur estimee est consistante avec les erreurs reelles dusysteme.

6.2.3 Etude de la credibilite d’un estimateur

6.2.3.1 Definition

L’auto-evaluation d’un estimateur d’etat fournit des informations tres utiles concernant saperformance. Cependant ces informations ne sont pas toujours fiables, et peuvent parfois biaiserl’analyse du processus d’estimation. Par consequent il est important, dans la pratique, de carac-teriser le niveau de fiabilite de l’auto-evaluation d’un estimateur, aussi bien qualitativement quequantitativement. C’est ce que nous appelons credibilite d’un estimateur d’etat.Un filtre est dit credible a un niveau αc (0 ≤ αc ≤ 1) si la difference - evaluee par un rapport etnon par une soustraction - entre l’erreur reelle (l’erreur et sa matrice de variances-covariances) etl’erreur fournie par le filtre est statistiquement insignifiante a un niveau αc. Cela signifie que lesdeux paires de parametres peuvent etre traitees comme statistiquement egales [Li et al., 2002].

6.2.3.2 Critere de la NEES moyenne ou ANEES

Plusieurs mesures sont utilisees pour evaluer la credibilite des estimateurs. Parmi celles-ci,l’ANEES (Average NEES), notee Aǫ(k) et directement deduite de la NEES, qui est ici moyenneesur la dimension du vecteur d’etat :

Aǫ(k) =1

MnX

M∑

i=1

ǫi(k) (6.22)

Test de credibilite fonde sur l’ANEES :Dans cette partie nous supposons que l’erreur reelle du systeme suit une loi normale centree enzero et de matrice de variances-covariances Σ (X N (0,Σ)). Lorsque les hypotheses de baseet les approximations du filtre sont valides, alors la matrice de variances-covariances fourniepar le filtre et notee P devrait etre proche de la matrice Σ. Dans ce cas, la NEES ǫ (quiest une forme quadratique en X) devrait etre distribuee suivant une loi du χ2 standard. Par

consequent, l’ANEES Aǫ = 1MnX

M∑

i=1

ǫi est (approximativement) une somme de M variables

aleatoires χ2nX

. Cette somme peut etre reduite par le terme MnX a la variable χ2MnX

( 1MnX

),

ayant MnX degres de liberte, et un parametre θχ2 = 1MnX

de moyenne 1 et de variance 2MnX

.D’apres la transformation de Wilson et Hilferty (1931) [E.B.Wilson & M.M.Hilferty, 1931], unetelle distribution peut alors etre approchee par une Gaussienne :

Fχ2MnX

(x) = G(√

9MnX2

[(x

MnX

)1/3

− 1 +2

9MnX

])

(6.23)

ou G est la fonction de densite d’une loi gaussienne. Wilson et Hilferty ont par ailleurs montreque cette approximation est precise des que MnX > 5 [Johnson et al., 1994]. En supposant

A. Ndjeng Ndjeng 154

Page 171: Localisation robuste multi-capteurs et multi-mod`eles

Comparaison et applications 6.2. Mesure de la performance d’un estimateur

l’estimateur credible (plus precisement, en supposant X N (0, P )), pour MnX > 5 (ce qui estpresque toujours le cas), on peut construire des intervalles dits de probabilite [Li et al., 2002](et non de confiance, puisque les valeurs de l’ANEES sont aleatoires) tels qu’illustres a la table(6.1).

Tab. 6.1 – Exemples d’intervalles de probabilite pour l’ANEES, fondes sur l’approxima-tion de Wilson-HilfertyProbabilite Intervalle Intervalle pour MnX = 40

99%

[[

1− 29MnX

− 2, 576√

29MnX

]3

,[

1− 29MnX

+ 2, 576√

29MnX

]3]

[0, 516, 1, 670]

95%

[[

1− 29MnX

− 1, 96√

29MnX

]3

,[

1− 29MnX

+ 1, 96√

29MnX

]3]

[0, 610, 1, 483]

90%

[[

1− 29MnX

− 1, 645√

29MnX

]3

,[

1− 29MnX

+ 1, 645√

29MnX

]3]

[0, 662, 1, 393]

80%

[[

1− 29MnX

− 1, 282√

29MnX

]3

,[

1− 29MnX

+ 1, 282√

29MnX

]3]

[0, 726, 1, 295]

On remarque que les valeurs d’intervalles de l’ANEES changent peu, pour une large gamme deprobabilites. De plus ces intervalles ne sont pas symetriques par rapport a 1.Partant du principe d’evenements de faible probabilite d’occurrence, l’auto-evaluation d’un esti-mateur (c’est-a-dire l’hypothese qu’il est credible) doit etre rejetee lorsque l’ANEES se retrouveen dehors d’un l’intervalle de probabilite elevee (95% ou 99%). Dans ce cas, nous pouvons direque l’estimateur n’est pas credible avec au moins 95% ou 99% de confiance, ou alors, que leniveau de non-credibilite est d’au moins 95% ou 99%. L’evaluation de la credibilite obeit a laregle suivante : plus l’ANEES est proche de 1, plus l’estimateur est credible. Ce parametre estutilise comme mesure de credibilite au sens ou l’auto-evaluation par un filtre de la matrice MSEde l’erreur est statistiquement acceptable. Il s’agit des lors d’un indicateur de la pertinence deshypotheses et approximations utilisees dans l’estimateur. Lorsque l’ANEES est tres grande parrapport a 1, alors la vraie erreur d’estimation est plus importante que l’erreur estimee (filtreoptimiste) ; si au contraire l’ANEES est tres inferieure a 1, la vrai erreur est tres faible parrapport a l’erreur estimee (filtre pessimiste).

Malgre le fait que l’ANNES est un indicateur de credibilite d’un estimateur, il ne peut pas etreutilise comme une mesure de credibilite (c’est-a-dire qu’il ne permet pas d’avoir, pour un esti-mateur donne, un veritable niveau de credibilite). D’autre part, un des inconvenients majeursa utiliser l’ANEES est qu’il ne permet pas de comparer deux estimateurs sur la base de leurcredibilite. Ceci est du au fait que les proprietes de l’ANEES decoulent de celles de la NEES9.

6.2.3.3 Indice de Non-Credibilite

Le NCI (Non-Credibility Index) est presente comme l’indicateur universel le plus precis dela credibilite d’un estimateur. Et notamment, il garde la propriete d’invariance par rapport a ladimension de l’estimateur. Son calcul repose sur le principe que la difference entre P (matrice devariances-covariances de l’erreur d’estimation) et Σ (matrice de variances-covariances de l’erreurquadratique moyenne (MSE) exacte) est equivalente a la difference entre P−1 et Σ−1. Un moyenbien connu pour comparer les matrices P−1 et Σ−1 est de comparer les scalaires XTP−1X etXTΣ−1X ; ou X est l’erreur d’estimation. Une approche classique utilisee pour quantifier ladifference entre XTΣ−1X et XTP−1X se fait a travers la variable D definie par :

D = XTP−1X − XTΣ−1X (6.24)

9les objectifs premiers de la NEES concernent l’evaluation de la consistance d’un estimateur, et nonpas la comparaison entre estimateurs

155 A. Ndjeng Ndjeng

Page 172: Localisation robuste multi-capteurs et multi-mod`eles

6.2. Mesure de la performance d’un estimateur Comparaison et applications

Sachant que D est aleatoire et XTΣ−1X χ2nX

sous l’hypothese X N (0, P ), on peut natu-rellement prendre comme mesure de la difference, la moyenne de M echantillons independantsMonte Carlo :

D =1

M

M∑

i=1

Di = nX ×ANEES −1

M

M∑

i=1

XTi Σ−1

i Xi ≈ nX(ANEES − 1) (6.25)

Cette mesure est directement proportionnelle a l’ANEES, qui ne peut etre utilisee veritablementcomme mesure de credibilite. Le choix de la variable D comme difference n’est donc pas recom-mande.

Une autre approche (recommandee par [Li et al., 2002; Drummond, 1999]) consiste a calcu-ler la difference entre Σ−1 et P−1, a travers le rapport

ρ =XTP−1X

XTΣ−1X(6.26)

ρ est appelee variable de credibilite. Elle est en generale fonction de l’erreur aleatoire X. Sil’erreur est un vecteur, alors il s’agit du rapport entre les NEES : la NEES estimee normee parla NEES ideale. Dans ce cas, ρ ne peut pas etre utilisee comme mesure de la credibilite, parcequ’elle depend grandement de l’erreur aleatoire X. Afin donc de reduire l’incertitude sur ρ etsa sensibilite aux valeurs de X, nous appliquons la moyenne geometrique GAE presentee plushaut, preferable a une moyenne arithmetique, lors d’une simulation Monte Carlos.

[M∏

i=1

ρi

]1/M

=

[M∏

i=1

XTi P

−1i Xi

XTi Σ−1

i Xi

]1/M

=

[M∏

i=1

ǫiǫ∗i

]1/M

(6.27)

avec ǫi = XTi P

−1i Xi la NEES de l’estimateur et ǫ∗i = XT

i Σ−1i Xi la NEES de l’estimateur

parfaitement credible. Generalement Σi n’est pas connu. Cependant, on peut l’approcher par savaleur moyenne sur l’echantillon :

Σi ≈1

M

M∑

i=1

XiXTi (6.28)

L’utilisation de la fonction logarithmique nous permet alors de definir l’indice de non-credibilite(NCI) ainsi qu’il suit :

NCI =10

M

M∑

i=1

log10(ρi) =10

M

M∑

i=1

log10(ǫi)−10

M

M∑

i=1

log10(ǫ∗i ) (6.29)

La constante 10 est un facteur d’amplification, semblable a celui du rapport signal sur bruit(SNR) en puissance. Ainsi donc, le NCI est defini de facon analogue au SNR, c’est-a-dire lamoyenne, prise sur un echantillon, de 10 fois le logarithme du rapport des NEES, 10 log10(ρ), etexprime en dB.A l’aide de cet index, les niveaux de credibilite de differents estimateurs peuvent etre compares,a travers les valeurs absolues de leurs NCI respectifs : plus |NCI| est grande, moins l’estimateurest credible. Si NCI < 0, alors l’estimateur est pessimiste ; si au contraire NCI > 0, l’estimateurest optimiste.

6.2.4 Contenu en information et incertitude de l’estimation

La matrice de variances-covariances de l’erreur estimee par le filtre et notee P contientl’information de l’incertitude que le filtre a sur l’estimee. Cela se traduit par le fait que plus

A. Ndjeng Ndjeng 156

Page 173: Localisation robuste multi-capteurs et multi-mod`eles

Comparaison et applications 6.2. Mesure de la performance d’un estimateur

cette matrice est grande, plus le filtre est incertain sur l’estimee, et plus elle est petite, plus lefiltre est informatif. On releve alors ici un compromis : l’inconsistance du systeme peut etre eviteeen faisant croıtre artificiellement P (bruit de stabilisation), mais prendre P trop grande (plusgrande que ce qui est necessaire pour eviter l’inconsistance) revient a perdre de l’informationsur l’estimee. Pour plus de details sur les reglages de filtres (le filtre de Kalman en particulier),on peut consulter la these de doctorat de Mourllion [Mourllion, 2006].Or, il est bien connu que pour comparer directement des matrices, on peut utiliser deux scalaires :la trace ou le determinant ; le premier garde neanmoins une interpretation physique clair pour lesmatrices de variances-covariances de sous-systemes (sous-matrice de position ou de vitesse). Parconsequent, plus la trace d’une matrice de variances-covariances de l’erreur est grande, moinsce filtre est informatif, et inversement. Cette condition est aussi exploitee a travers l’analyse desenveloppes a nσ, n ∈ N

∗. Les valeurs σ (ecart-types de l’erreur d’estimation) sont deduites dela matrice de variances-covariances. Prenons l’exemple de la sous-matrice de position :

P(x,y)(k) =

[σ2xx(k) σ2

xy(k)

σ2xy(k) σ2

yy(k)

]

(6.30)

Pour n fixe, il est alors possible de construire deux enveloppes, une pour chaque direction, afind’evaluer l’incertitude du filtre sur chaque axe. Sous l’hypothese que l’erreur d’estimation suitune loi gaussienne, l’enveloppe a 2σ permet de delimiter 95% d’erreur. A 3σ, on delimite 99, 7%d’erreur theorique. Lorsque l’erreur de la localisation sur un axe est contenue dans l’enveloppe a3σ, alors le filtre a une bonne performance sur cet axe et l’erreur reelle est dite consistante avecl’erreur estimee (a travers la matrice P ).

De la meme maniere que les enveloppes a nσ, des ellipses permettent egalement d’evaluer l’in-certitude a posteriori sur la sortie du filtre (voir l’illustration a la figure (FIG. 6.4).

Fig. 6.4 – Ellipse d’incertitude

Un parametre pouvant servir a evaluer quantitativement l’incertitude des filtres est l’aire desellipses. Pour cela les valeurs propres de la matrice de variances-covariances P(x,y) sont d’abordcalculer. Les axes de l’ellipse Axex et Axey sont alors obtenus en ponderant ces valeurs proprespar un facteur κ =

−2 log(1− Pa), ou Pa est une probabilite d’appartenance. L’orientation del’ellipse est obtenue a partir des vecteurs propres de P(x,y) [Smith & Cheeseman, winter 1986].Plus l’aire de l’ellipse d’incertitude est grande, plus ce filtre est incertain de sa sortie.

157 A. Ndjeng Ndjeng

Page 174: Localisation robuste multi-capteurs et multi-mod`eles

6.3. Simulations Monte Carlo Comparaison et applications

6.2.5 Robustesse

6.2.5.1 Generalites sur la robustesse

Considerons un modele statistique dans lequel la loi de probabilite est determinee par unparametre θ a valeurs dans R

p. On cherche a estimer ce parametre a partir d’un echantillonX1, X2, . . . , Xn de la variable aleatoireX caracterisant ce phenomene. La theorie de l’estimationfournit de nombreuses methodes (estimateurs) qui, sous certaines conditions (de normalite parexemple), sont optimaux. Or, le fait meme de concevoir des estimateurs sur la base d’hypotheseset d’approximations decoule forcement sur un ecart entre la vraie loi de probabilite et celle quiest retenue. Cet ecart est plus ou moins important, en fonction de la pertinence des hypotheses etde l’exactitude des approximations. D’autre part, il peut y avoir parmi les observations quelquesvaleurs aberrantes, c’est-a-dire provenant d’un autre modele ou ayant ete perturbees par unphenomene parasite.On peut croire, si l’ecart entre les lois de probabilite ou si la proportion de valeurs aberrantessont faibles, que les proprietes statistiques seront faiblement alterees, et notamment, que l’ons’ecartera peu de l’optimalite. Malheureusement, cette notion intuitive d’une sorte de continuitedes proprietes est fausse dans de nombreux cas, et notamment dans de nombreuses situations deconduite en environnement routier, d’ou la necessite d’une etude de la robustesse des estimateursutilises.

6.2.5.2 Definition et evaluation de la robustesse

Un estimateur d’etat (ou filtre) est dit robuste s’il attenue l’effet d’observations aberrantesponctuelles, et si les proprietes restent stables au voisinage du modele theorique postule [Bosq& Lecoutre, 1992]. L’etude de la robustesse des estimateurs de la localisation vise a atteindreun double objectif :

– Evaluer l’impact des valeurs aberrantes ponctuelles dans l’estimation. Dans la pratique, laprincipale difficulte a ce niveau est de fixer la frontiere permettant de decider quelles me-sures de capteurs sont aberrantes ou non. Cette frontiere etant arbitraire, l’etude consisteranon pas a eliminer ces valeurs aberrantes, mais a les prendre en compte tout en observantl’impact sur les proprietes des estimateurs, et notamment la precision.

– Evaluer la continuite des proprietes de l’estimation dans des situations de conduite prochedes cas limites : freinage d’urgence, forte acceleration, contournement d’obstacle. Dans cessituations (decrites par des scenarios particuliers), il est important de verifier le compor-tement des differents estimateurs afin d’en ressortir un classement de performances.

6.3 Simulations Monte Carlo

6.3.1 Description du scenario

Pour generer la verite terrain, nous reprenons l’equation d’un mouvement plan curvilineaire,que l’on discretise en appliquant la methode d’Euler de 1er ordre. On obtient alors un modeled’evolution cinematique curvilineaire generalise :

x(t) = v(t) cos(Ψ(t))y(t) = v(t) sin(Ψ(t))v(t) = γlon(t)

Ψ(t) =γlat(t)

v(t)

(6.31)

Dans ce systeme d’equations, (x, y), v et Ψ sont respectivement la position du mobile dansun repere cartesien, la vitesse et l’angle de cap du vehicule. γlon et γlat representent les deux

A. Ndjeng Ndjeng 158

Page 175: Localisation robuste multi-capteurs et multi-mod`eles

Comparaison et applications 6.3. Simulations Monte Carlo

accelerations sur le plan horizontal (tangentielle et normale).Le systeme discret ci-dessous est alors deduit :

x(k) = x(k − 1) + ∆Tvk cos(Ψ(k − 1)) + ωx(k)y(k) = y(k − 1) + ∆Tvk sin(Ψ(k − 1)) + ωy(k)v(k) = v(k − 1) + ∆Tγlon(k) + ωv(k)

Ψ(k) = Ψ(k − 1) + ∆Tγlat(k)

v(k)+ ωψ(k)

(6.32)

ω(.)(k) est le bruit de discretisation, ∆T est la periode d’echantillonnage et k l’indice temporel.Pour chaque essai Monte Carlo i = 1, 2, · · · , M , on a :

x(i)(0) N(x(0), σ2

x

)et ω

(i)x (k) N

(0, σ2

ωx

),

y(i)(0) N(y(0), σ2

y

)et ω

(i)y (k) N

(

0, σ2ωy

)

,

v(i)(0) N(v(0), σ2

v0

)et ω

(i)v (k) N

(0, σ2

ωv

),

Ψ(i)(0) N(Ψ(0), σ2

Ψ

)et ω

(i)Ψ (k) N

(0, σ2

ωΨ

).

Pour nos simulations, les valeurs suivantes ont ete choisies :

x(0) = y(0) = 10m et σx(0) = σy(0) = 10−1m ;

v0 = 1m/s et σv0 = 0, 01m/s ;

Ψ0 = π/4 rad et σΨ(0) = 10−3rad

et enfin

σωx = σωy = 10−3m ; σωv = 10−3m/s ; σωΨ = 10−4rad

Un premier scenario a ete genere par l’approche Monte Carlo : celui-ci decrit un mouvementcomplexe avec des accelerations longitudinales et laterales simultanees ou non, avec des bruitscapteurs simules tres faibles. Dans un second scenario, les memes donnees sont utilisees, maisle bruit simule est equivalent a celui observe sur les capteurs reels ; il est pris ainsi qu’il suit :σωx = σωy = 2m ; σωv = 0.1m/s ; σωΨ = 0, 015rad ; σγlon

= 0, 25m/s2 et σγlat= 0, 4m/s2.

Pour construire la trajectoire correspondant a chacun des vingt essais par scenario, nous avonsconsidere des valeurs d’accelerations presentees au tableau (TAB. 6.2) :

Tab. 6.2 – Parametrage des accelerations en simulationScenarios 7 et 7bis

temps(s) γlon(k) γlat(k)

0, 0− 10 1, 0 0, 010, 1− 17, 5 −0, 2 1, 517, 6− 85 0, 0 0, 0

85, 1− 92, 5 0, 2 −1, 592, 5− 100 −1, 0 0, 0

La trajectoire moyenne obtenue pour ces scenarios, apres vingt essais Monte Carlo, est illustreea la figure (FIG. 6.5). Les parties encadrees sur cette figure correspondent a des zones de chan-gement de dynamique (acceleration longitudinale et/ou laterale). On remarquera par la suiteque ces zones influencent le comportement global des differents filtres.

159 A. Ndjeng Ndjeng

Page 176: Localisation robuste multi-capteurs et multi-mod`eles

6.3. Simulations Monte Carlo Comparaison et applications

Zones de variation de la dynamique

Fig. 6.5 – Trajectoire moyenne apres 20 essais Monte Carlo pour le scenario 7

6.3.2 Resultats et discussions

Scenario 7 : L’ensemble des resultats de comparaison presentes dans la suite porte sur sixestimateurs bayesiens : EKF, UKF, DD1, DD2, le filtre a particules et IMM. Les cinq premiersfiltres utilisent le meme modele d’evolution presente au chapitre (2), equation (2.15). L’IMMse fonde sur cinq modeles d’evolution qui sont le CV, le CA, le CT, le CS et le CR, decritsau chapitre (3). Pour tous ces modeles et dans le cas de tests par simulation, les bruits dusysteme sont regles en prenant en compte les differents bruits reels des parametres d’etat exacts :σωx = σωy = 10−3m et σωΨ = 10−4rad. D’autre part, les mesures simulees sont utilisees sanscorrection de bruit ou de biais.

6.3.2.1 Scenario 7

Ce scenario est caracterise par une succession de variations de la dynamique longitudinale etlaterale (cf. tableau (TAB. 6.2). Les courbes d’erreurs de positionnement sont illustrees sur lesfigures (FIG. 6.6), (FIG. 6.7 et (FIG. 6.8). Il ressort du tableau (TAB. 6.3) que la precisionmoyenne du positionnement de l’IMM sur tout le parcours est plus importante que celles desautres filtres. Avec une GAE de 0, 892m, une AEE de 0, 933m et une RMSE de 0, 969m, l’er-reur de l’IMM est plus faible que celle des filtres derives du filtre de Kalman d’ordre 2 (DD2et UKF) ; viennent ensuite les filtres d’ordre 1 (DD1 et EKF), puis, le filtre a particules. Cetordre est respecte en ce qui concerne la sensibilite aux perturbations exterieurs et variations dedynamiques. En regardant les valeurs maximales des trois mesures de precision, l’IMM apparaıtplus robuste pour un tel parcours, avec des valeurs d’erreurs maximales inferieures a celles desautres filtres. Cependant, la difference entre tous ces filtres en termes de precision est tres faible,elle est de l’ordre de 10cm en moyenne entre le filtre le plus precis (IMM) et le moins precis (PF).Nous retenons alors que globalement, et d’apres nos reglages, L’IMM reagit mieux aux change-ments de cap et de vitesse du mobile. Le filtre a particules, du fait de sa dependance elevee aux

A. Ndjeng Ndjeng 160

Page 177: Localisation robuste multi-capteurs et multi-mod`eles

Comparaison et applications 6.3. Simulations Monte Carlo

Temps [s]

Fig. 6.6 – RMSE pour le scenario 7

AE

E p

our

20 e

ssai

s M

onte

Car

lo [m

]

Temps [s]

Fig. 6.7 – AEE pour le scenario 7

161 A. Ndjeng Ndjeng

Page 178: Localisation robuste multi-capteurs et multi-mod`eles

6.3. Simulations Monte Carlo Comparaison et applications

GA

E p

our

20 e

ssai

s M

onte

Car

lo [m

]

Temps [s]

Fig. 6.8 – GAE pour le scenario 7

parametres de conception tels que le nombre de particules, ou l’approche de re-echantillonnage,semble moins adapte pour ce type de tests.Les enveloppes a 2σ (figures (FIG. 6.9) et (FIG. 6.10) permettent de voir que l’erreur sur les

deux axes X et Y est entierement contenue dans les enveloppes correspondantes durant tout lescenario. On peut en conclure que les erreurs estimees par les differents filtres sur chaque axesont consistantes avec les erreurs reelles (la reference etant bien connue). De plus ces filtres res-tent informatifs car les enveloppes ne sont pas exagerement grandes. Par ailleurs, ces enveloppesrestent tres proches les unes des autres. Elles grandissent dans des phases de changement dedynamique, ce qui signifie que ces zones correspondent bien a une augmentation de l’incertitudesur les estimees.

La NEES des differents filtres est presentee a la figure (FIG. 6.11). En effet l’intervalle d’accep-tation de l’hypothese de consistance dans ce scenario est [1, 221; 2, 967]. Le tableau (TAB. 6.3)revele que la NEES moyenne de tous les filtres se trouve bien dans cet intervalle. Globalement,nous pouvons admettre avec 95% de confiance, que l’ensemble des estimateurs compares dans cescenario sont bien consistants. Les courbes de NEES se trouvent a l’exterieur de cet intervallelors de la phase de demarrage (acceleration) ainsi qu’a l’arret (deceleration), zones qui corres-pondent a une incertitude eleve sur l’estimation.Les deux mesures de credibilite, l’ANEES et le NCI, sont representees respectivement en fi-gures (FIG. 6.12) et (FIG. 6.13). Ces mesures permettent d’evaluer la performance des filtres entermes d’auto-evaluation des estimations d’erreurs, et ainsi, de valider les reglages utilises lorsde leur implantation. L’ANEES est directement deduite de la NEES : l’examen de ses valeursmoyennes montre que si on considere l’intervalle de probabilite a 95% obtenu par l’approxima-tion de Wilson et Hilferty, on ne peut pas rejeter l’hypothese que tous les filtres sont crediblespour ce scenario. Pendant les phases de demarrage et d’arret en fin de parcours, l’ANEES detous les filtres est hors de l’intervalle, ce qui signifie que l’estimation des erreurs dans ces phasesde parcours n’est pas credible avec au moins 95% de confiance.L’observation du NCI confirme celle de l’ANEES. Avec une valeur negative de l’ordre de −5dB

A. Ndjeng Ndjeng 162

Page 179: Localisation robuste multi-capteurs et multi-mod`eles

Comparaison et applications 6.3. Simulations Monte Carlo

enveloppes

erreurs

Temps [s]

Fig. 6.9 – Axe X (Est) : enveloppe a 2σ et erreur de positionnement pour le scenario 7

enveloppeserreurs

Temps [s]

Fig. 6.10 – Axe Y (Nord) : enveloppe a 2σ et erreur de positionnement pour le scenario 7

163 A. Ndjeng Ndjeng

Page 180: Localisation robuste multi-capteurs et multi-mod`eles

6.3. Simulations Monte Carlo Comparaison et applications

aux deux extremites du parcours, tous les filtres presentent une estimation pessimiste des erreurset restent peu credibles pendant cette phase. Ces observations se justifient par la dynamique dusysteme dans cette zone, et qui expriment un reglage inadequat des filtres. Lorsque la dyna-mique du systeme ne change pas (parcours a vitesse constante), la NCI est proche de zero : lesfiltres sont alors credibles et bien regles pour cette partie du parcours. Globalement, les valeursmoyennes de NCI restent proches, mais leur analyse permet de voir que le filtre a particules,avec un NCI moyen de −0, 626dB reste le plus credible en terme d’auto-evaluation. A l’opposee,le NCI moyen de l’IMM est −1, 479dB. C’est la valeur absolue la plus importante de l’indice denon credibilite moyen. En effet, au debut et la fin du parcours, le mobile subit une dynamiquelongitudinale et une dynamique laterale importantes. Ce couplage renforce le conflit entre lesmodeles concurrents de l’IMM (CA et CT notamment), ce qui accentue l’incertitude de cet al-gorithme quant a son auto-evaluation, et degrade ainsi sa qualite. Lorsque le vehicule evolue surla ligne droite a vitesse constante, les probabilites des modeles non adaptes sont souvent nonnulles (a cause des bruits de capteurs notamment). Ceci augmente egalement l’incertitude surl’estimateur IMM, et son NCI reste grand, en comparaison avec celui des filtres mono-modele.

2.967

1.221

NE

ES

pou

r 20

ess

ais

Mon

te C

arlo

Temps [s]

Fig. 6.11 – NEES pour le scenario 7

Tab. 6.3 – Resultats de la comparaison globale pour le scenario 7GAE (m) AEE (m) RMSE (m) NEES ANEES NCI (dB)

moy. max. moy. max. moy. max. moy. max. moy. max. moy. max.|.|

IMM 0,892 1,137 0,933 1,151 0,969 1,180 1,446 2,327 0,723 1,163 −1, 479 6, 537EKF 0, 912 1, 168 0, 950 1, 181 0, 982 1, 194 1, 586 2, 474 0, 793 1, 237 −0, 957 5, 672UKF 0, 909 1, 166 0947 1, 180 0, 979 1, 193 1, 579 2, 470 0, 789 1, 235 −0, 985 5, 725DD1 0, 912 1, 168 0, 950 1, 181 0, 982 1, 194 1, 586 2, 474 0, 793 1, 237 −0, 957 5, 670DD2 0, 909 1, 166 0, 947 1, 180 0, 979 1, 193 1, 579 2, 470 0, 789 1, 235 −0, 985 5, 724PF 0, 947 1, 170 0, 960 1, 182 0, 989 1, 198 1, 721 2, 651 0, 860 1, 325 -0,626 5,184

Scenario 7bis :

A. Ndjeng Ndjeng 164

Page 181: Localisation robuste multi-capteurs et multi-mod`eles

Comparaison et applications 6.3. Simulations Monte Carlo

Intervalle de probabilité

1.483

0.610

AN

EE

S p

our

20 e

ssai

s M

onte

Car

lo

Temps [s]

Fig. 6.12 – ANEES pour le scenario 7

NC

I pou

r 20

ess

ais

Mon

te C

arlo

[dB

]

Temps [s]

Fig. 6.13 – NCI pour le scenario 7

165 A. Ndjeng Ndjeng

Page 182: Localisation robuste multi-capteurs et multi-mod`eles

6.3. Simulations Monte Carlo Comparaison et applications

Les figures (FIG. 6.14) a (FIG 6.18) montrent que la precision des estimateurs est tres prochede celle obtenue lorsque les donnees ont un bruit plus faible. Par consequent, malgre un bruitimportant sur les donnees, l’effet du filtrage lors du calcul du positionnement reste efficace.

Fig. 6.14 – RMSE pour le scenario 7bis

Par ailleurs, la table (TAB 6.4) confirme l’ordre de performance etabli au scenario 7. L’obser-vation des figures de la NEES, l’ANEES et du NCI (FIG. 6.19, 6.20 et 6.21), dont les valeursmoyennes et maximales sont reprises a la table (TAB. 6.4), revele un rapprochement entre lesfiltres IMM et PF. En plus d’avoir un des enveloppes a 2σ proches, les figures (FIG. 6.19) et(FIG. 6.20) montrent que seuls ces deux filtres garantissent, pour ce scenario et en dehors deszones de demarrage et d’arret, une propriete de consistance et de credibilite.

Tab. 6.4 – Resultats de la comparaison globale pour le scenario 7bisGAE (m) AEE (m) RMSE (m) NEES ANEES NCI (dB)

moy. max. moy. max. moy. max. moy. max. moy. max. moy. max.|.|

IMM 0,890 1,115 0,933 1,151 0,969 1,180 1,606 2,513 0,803 1,256 −1, 025 6, 222EKF 0, 923 1, 237 0, 955 1, 262 0, 983 1, 286 2, 314 3, 293 1, 157 1, 646 0, 708 4, 100UKF 0, 920 1, 223 0, 952 1, 249 0, 980 1, 274 2, 305 3, 289 1, 152 1, 644 0, 681 4, 159DD1 0, 923 1, 238 0, 955 1, 263 0, 983 1, 287 2, 315 3, 294 1, 157 1, 647 0, 710 4, 095DD2 0, 920 1, 223 0, 952 1, 249 0, 980 1, 274 2, 305 3, 289 1, 152 1, 644 0, 681 4, 159PF 0, 950 1, 250 0, 995 1, 305 0, 999 1, 324 2, 060 3, 080 1, 031 1, 540 0,167 4,071

Ces resultats revelent un rapprochement des comportements de l’IMM et du filtre a par-ticules, lorsque les donnees capteurs simulees sont bruitees. Alors que les performances de cesdeux estimateurs restent acceptables en termes de precision et de consistance, celles des filtresderives du filtre de Kalman ont un comportement plus degrade. Ce constat est confirme dans laplupart des tests sur donnees reelles, presentes dans la suite de ce chapitre.

A. Ndjeng Ndjeng 166

Page 183: Localisation robuste multi-capteurs et multi-mod`eles

Comparaison et applications 6.3. Simulations Monte Carlo

Fig. 6.15 – AEE pour le scenario 7bis

Fig. 6.16 – GAE pour le scenario 7bis

167 A. Ndjeng Ndjeng

Page 184: Localisation robuste multi-capteurs et multi-mod`eles

6.3. Simulations Monte Carlo Comparaison et applications

Fig. 6.17 – Axe X (Est) : enveloppe a 2σ et erreur de positionnement pour le scenario 7bis

Fig. 6.18 – Axe Y (Nord) : enveloppe a 2σ et erreur de positionnement pour le scenario 7bis

A. Ndjeng Ndjeng 168

Page 185: Localisation robuste multi-capteurs et multi-mod`eles

Comparaison et applications 6.3. Simulations Monte Carlo

Fig. 6.19 – NEES pour le scenario 7bis

Fig. 6.20 – ANEES pour le scenario 7bis

169 A. Ndjeng Ndjeng

Page 186: Localisation robuste multi-capteurs et multi-mod`eles

6.4. Tests sur pistes reelles Comparaison et applications

Fig. 6.21 – NCI pour le scenario 7bis

6.4 Tests sur pistes reelles

6.4.1 Description des scenarios de tests

Afin d’etendre la comparaison des differents algorithmes de localisation aux donnees terrain,des mesures ont ete effectuees sur trois types de parcours :

1. le huitieme scenario est un parcours de type Stop&Go avec de tres fortes accelerationset decelerations, valeurs proches de g (acceleration de la pesanteur). Cette trajectoire estmarquee par un faible double virage (droite-gauche) avant la mi-parcours suivi immedia-tement par un fort ralentissement. Sur la ligne droite, le vehicule re-accelere, avant defreiner brusquement a la fin de la ligne droite. Ce parcours, ainsi que la vitesse qui lecaracterise, sont illustres en figures (FIG. 6.22) et (FIG. 6.23).

2. A l’instar du scenario 8, le scenario 9 s’est deroule sur une partie de la piste routiere deSatory. Durant ce test, le capteur GPS classique etait arrete de temps en temps (voir figure(FIG. 6.24), les filtres evoluaient alors en prediction pure, avec des capteurs proprioceptifs(IMU, Odometre et codeur d’angle au volant). La mise a jour etant assuree des que lesignal GPS est a nouveau present. On a ainsi simule le parcours du vehicule experimentala travers des tunnels ou autres zones de masquage GPS, comprenant des non linearitesdans le parcours (Stop&Go, virages etc.).

3. Le scenario 10 est un parcours d’environ 5, 4km, constitue de la piste routiere de Satoryet de la piste du Val d’Or. Dans la zone du Val d’Or (encadre, voir figure (FIG. 6.25),

A. Ndjeng Ndjeng 170

Page 187: Localisation robuste multi-capteurs et multi-mod`eles

Comparaison et applications 6.4. Tests sur pistes reelles

Fig. 6.22 – Scenario 8 : trajectoire sur piste routiere en STOP&GO

Fig. 6.23 – Vitesse scenario 8

171 A. Ndjeng Ndjeng

Page 188: Localisation robuste multi-capteurs et multi-mod`eles

6.4. Tests sur pistes reelles Comparaison et applications

Fig. 6.24 – Scenario 9 : trajectoire sur piste routiere simulant des non linearites dans des tunnels

on observe des erreurs de positionnement GPS ainsi que des masquages frequents. Cessituations sont frequentes dans un environnement urbain ou dans des zones de foret.Comparer la performance de differents algorithmes de localisation dans une telle zone estinteressant, car on peut ainsi evaluer leur robustesse lorsque le signal GPS est degrade.

6.4.2 Ressources embarquees sur vehicule et architecture

Les test sont realises en utilisant l’un des vehicules experimentaux du LIVIC (CARLA), pre-sente a la figure (FIG. 6.27) et (FIG. 6.28). Les donnees experimentales utilisees sont fourniespar une centrale inertielle Crossbow VG400 (vitesse de lacet Ψ et accelerations γlon et γlat). Lescapteurs odometriques sont montes sur les roues avant du vehicule experimental, et fournissentla vitesse du vehicule vlon. Un codeur volant permet d’enregistrer l’angle de braquage δ. Un GPSbas cout informe directement sur la position absolue, utilisee comme seule mesure de correction.Pendant les essais sur piste, la trajectoire de reference est obtenue en utilisant une GPS RTK(Thales), avec une precision de l’ordre de 10−2m pour un environnement ouvert. L’initialisationdes filtres est realisee a partir de mesures du GPS bas cout.

6.4.3 Reglage des filtres

Les six filtres compares sont implantes sur une plateforme de test, developpee conjointementpar le LIVIC : D. Gruyer, B. Mourrlion et A. Ndjeng Ndjeng (IMM, EKF, UKF, DD1 et DD2)et l’IEF : A. Lambert, E. Seignez 10(Filtre a particules).

Le reglage des filtres a ete effectue en suivant une approche experimentale rigoureuse. Sur labase de simulations decrivant successivement un type de parcours particulier, chaque reglage est

10Institut d’Electronique Fondamentale de l’universite de Paris-Sud 11, UMR CNRS 8622

A. Ndjeng Ndjeng 172

Page 189: Localisation robuste multi-capteurs et multi-mod`eles

Comparaison et applications 6.4. Tests sur pistes reelles

Fig. 6.25 – Scenario 10 : piste de test

Fig. 6.26 – Scenario 10 : vitesse du vehicule

173 A. Ndjeng Ndjeng

Page 190: Localisation robuste multi-capteurs et multi-mod`eles

6.5. Resultats et discussions Comparaison et applications

valide a partir d’une reconstruction de la trajectoire exacte. Ces parcours decrivent un cerclepure, puis une ligne droite avec des phases de vitesse constante, d’acceleration et de freinage.Les parametres de conception des filtres EKF, UKF, DD1 et DD2 sont les memes que ceux etu-dies et presentes dans la these de Mourllion [Mourllion, 2006]. Ces reglages, supposes optimauxpar les inventeurs et experts des methodes de localisation et presentes a la table (TAB. 6.5),semblent convenir a nos applications de localisation de vehicules routiers. En effet, la qualitedes resultats est faiblement influencee lorsque l’on teste un jeu de parametres differents maisproches de ces valeurs optimales.Le parametrage de l’IMM est conforme a celui presente au chapitre 3. Quant au filtre a parti-cules, il a ete implante a partir de 1000 particules. La technique de re-echantillonnage utiliseeest fondee sur le critere de Kong.Pour tous ces filtres, les memes bruits systeme, 10−2m pour la position sur les deux axes et

Tab. 6.5 – Parametrage de conception des algorithmes de localisationAlgorithme Parametres

IMM

nombre de modeles cinq : CA CV CT SC CRbruits augmentes systeme σxx = σyy = 0.01 et σvx = σvy = 0.005

matrice de transition de Markov cf. equation (3.87)

EKFmodele d’evolution tricycle : cf. equation 2.15

bruits systeme σxx = σyy = 0.01 et σΨΨ = 0.001

UKF

modele d’evolution tricycle : cf. equation 2.15bruits systeme σxx = σyy = 0.01 et σΨΨ = 0.001

parametre d’echelle κ = 0parametre de repartition α = 0.5

parametre du type de distribution β = 2

DD 1&2modele d’evolution tricycle : cf. equation 2.15

bruits systeme σxx = σyy = 0.01 et σΨΨ = 0.001

pas de discretisation spatiale ξ =√

3 (bruit gaussien : ξ2 = 3)

PF

modele d’evolution particulaire tricycle : cf. equation 2.15bruits systeme σxx = σyy = 0.01 et σΨΨ = 0.001

nombre de particules N = 1000re-echantillonnage critere de Kong

0, 001rad pour le cap, ont ete utilises. Quant a l’IMM, on a en plus suppose egaux a 0.005m/s, lestermes de bruit sur la vitesse. Pour les modeles integres dans l’IMM, les matrices de variances-covariances du bruit du systeme sont augmentees de termes definis en fonction de la periode descapteurs, telles que presentees aux chapitres (3) et (4), ceci afin de mieux prendre en compte lephenomene de transition d’un modele a un autre.Enfin, les tests presentes ci-dessous se font sans correction de bruit ni du biais des capteurs,le but principale dans ce chapitre etant d’evaluer egalement la robustesse des algorithmes delocalisation implantes.

6.5 Resultats et discussions

6.5.1 Scenario 8 : Stop&Go

Dans ce scenario sur piste reelle, le vehicule realise le parcours avec des accelerations etfreinages importants. L’observation des courbes d’erreur de positionnement sur la figure (FIG.

A. Ndjeng Ndjeng 174

Page 191: Localisation robuste multi-capteurs et multi-mod`eles

Comparaison et applications 6.5. Resultats et discussions

Fig. 6.27 – Vehicule experimental CARLA

Fig. 6.28 – Vehicule experimental : materiel PC embarque

175 A. Ndjeng Ndjeng

Page 192: Localisation robuste multi-capteurs et multi-mod`eles

6.5. Resultats et discussions Comparaison et applications

6.29), des courbes d’enveloppes a 2σ sur la figure (FIG. 6.30) ainsi que le tableau (TAB. 6.6)permettent de dire que :

– Les mesures de precision, GAE, AEE et RMSE fournissent la meme valeur d’erreur depositionnement pour chaque filtre. L’ordre etabli sur le parcours, du filtre le plus pre-cis au moins precis est le suivant : IMM (0, 570m en moyenne), PF (0, 614m), DD2 etUKF (0, 634m), EKF (0, 639m) et enfin DD1 (0, 640m). Quant a la sensibilite aux fortesdynamiques, les colonnes de valeurs maximales permettent de classer, du plus au moinsrobuste : IMM(1, 480m), UKF (1, 683m), DD2 (1, 687m), PF (1, 750m), DD1 (1, 787m)et enfin EKF (1, 788m). L’IMM, grace a sa representation modulaire de l’evolution duvehicule, permet de reduire les erreurs de positionnement dans ces situations de fortes nonlinearites. Les filtres d’ordre 2 (DD2 et UKF), derives du filtrage de Kalman, presententensuite une bonne performance en termes de precision. En effet, grace a la prise en comptedes non linearites a l’ordre 2, ces filtres ameliorent la precision des filtres d’ordre 1 ainsique du filtre a particules, de l’ordre de 10cm.

– Les enveloppes a 2σ (figure (FIG. 6.30) de l’IMM fluctuent moins que celles des autresfiltres. Les plus grandes fluctuations sont observees sur les enveloppes du PF. Les filtresderives du filtre de Kalman (EKF, UKF, DD1 et DD2) ont des estimations d’erreurs tresproches ; par consequent leurs enveloppes sont presque confondues. Le parametrage desfiltres utilise aboutit, pour ce scenario, a la consistance des erreurs d’estimation (matricesde variances-covariances) avec les ecarts reels par rapport a la trajectoire de reference(obtenue ici en utilisant un GPS RTK Thales).

– Afin de confirmer la mesure ci-dessus fondee sur les enveloppes d’incertitudes, nous utili-sons la NIS (statistique analogue a la NEES11). L’intervalle d’acceptation de l’hypothesede la consistance est [0, 05; 7, 37]. Toutes les valeurs moyennes et maximales de NIS desdifferents filtres se trouvent bien dans cet intervalle, confirmant ainsi la consistance detous les filtres.

Tab. 6.6 – Resultats de comparaison globale pour le scenario 8 : les colonnes Env. X etEnv. Y exprime l’incertitude moyenne et maximale sur le positionnement. Les valeurspresentees sont deduites des enveloppes a 2σ.

Erreur (m) Env. X (m) Env. Y (m) NISmoy. max. moy. max. moy. max. moy. max.

IMM 0,570 1,480 0, 815 1, 692 0, 784 1, 692 0, 455 4, 140EKF 0, 639 1, 788 0, 563 1,690 0, 853 1,691 0, 433 3,406UKF 0, 634 1, 693 0, 567 1,690 0, 856 1,691 0, 454 3, 890DD1 0, 642 1, 787 0, 564 1,690 0, 854 1,691 0,432 3,406DD2 0, 634 1, 687 0, 567 1,690 0, 854 1,691 0, 454 3, 890PF 0, 614 1, 750 0,502 1, 891 0,729 1, 813 0, 641 5, 907

6.5.2 Scenario 9 : masquage GPS et simulation de tunnels

L’erreur de positionnement dans ce scenario est illustree a la figure (FIG. 6.32). Tout d’abord,nous remarquons que, en presence de signaux GPS, toutes les methodes montrent des erreurs

11Utiliser la NEES pour evaluer la consistance lorsqu’on a un seul essai n’est pas tres adequat, cardans ce cas les erreurs sont correlees et ne suivent pas une distribution χ2. Aussi, il est possible d’obtenirpour un seul essai avec un filtre lineaire consistant, une valeur de la NEES a l’exterieur de l’intervalled’acceptation de l’hypothese de consistance. Et inversement, il est possible d’avoir pour un seul essai etpour un filtre inconsistant, un comportement de filtre consistant. Selon Bar Shalom [Bar-Shalom et al.,2001], il est necessaire d’examiner globalement les filtres non lineaires a travers plusieurs essais MonteCarlo afin de conclure sur leur consistance

A. Ndjeng Ndjeng 176

Page 193: Localisation robuste multi-capteurs et multi-mod`eles

Comparaison et applications 6.5. Resultats et discussions

Fig. 6.29 – Scenario 8 : erreur de positionnement

(a) (b)

Fig. 6.30 – Scenario 8 : enveloppe a 2σ : (a) suivant l’axe Est ; (b) suivant l’axe Nord

177 A. Ndjeng Ndjeng

Page 194: Localisation robuste multi-capteurs et multi-mod`eles

6.5. Resultats et discussions Comparaison et applications

Fig. 6.31 – NIS scenario 4

comparables. Les differences importantes apparaissent lorsque le GPS est absent. Nous avonsalors une illustration interessante de la theorie : en effet, les filtres testes sont theoriquementdifferents dans la maniere dont ils gerent le processus d’evolution non-lineaire. Ces differencestheoriques sont presentes dans [Lefebre et al., 2004] et [Mourllion et al., 2005] pour ce quiconcerne les filtres EKF, UKF, DD1 et DD2.

Dans ce scenario, le modele de mesure GPS est lineaire. Ainsi, la phase de correction n’apportepas d’importantes differences entre les filtres. Toutefois, au cours des masquages de GPS, lafigure (FIG. 6.32) fait apparaıtre quatre groupes de filtres :

1. Le filtre a particules apporte une meilleure precision du positionnement durant les mas-quages GPS.

2. Avec nos reglages, l’IMM a une performance tres comparable au filtre a particules.

3. Les filtres d’ordre 1 (EKF et DD1) derives du filtre de Kalman ameliore considerablementles performances des filtres d’ordre 2, notamment lorsque la duree du masquage devientimportante.

4. Enfin, les filtres d’ordre 2 (DD2 et UKF) accusent un retard spatial visible lorsqu’ilsfonctionnent en prediction pure.

Au cours du premier masquage du GPS, l’erreur moyenne du filtre a particules est de , 51m,celle de l’IMM est de 3, 10m. L’EKF et le DD1, avec des erreurs moyenne respectives de 3, 95met 3, 90m sont plus precis de pres de 50cm que le DD2 et l’UKF (4, 51m et 4, 49m d’erreurrespective). Ces resultats sont presentes au tableau (TAB. 6.7).Au cours du deuxieme masquage GPS, les differences entre les erreurs des differents filtres sontreduites a environ 15cm pour les valeurs moyennes et 50cm pour les valeurs maximales. Maisl’ordre de precision reste le meme que lors du premier masquage GPS.La figure (FIG. 6.34) presente l’erreur de positionnement l’axe Est et l’axe Nord. Elle reveleque l’ecart sur l’axe Est est comparable a celui sur l’axe Nord. L’explication se trouve dans

A. Ndjeng Ndjeng 178

Page 195: Localisation robuste multi-capteurs et multi-mod`eles

Comparaison et applications 6.5. Resultats et discussions

Fig. 6.32 – Erreur de positionnement dans le scenario 9

Fig. 6.33 – Ellipses d’incertitude dans le scenario 9

179 A. Ndjeng Ndjeng

Page 196: Localisation robuste multi-capteurs et multi-mod`eles

6.5. Resultats et discussions Comparaison et applications

Fig. 6.34 – Erreurs sur les axes Est (au dessus), Nord (milieu) et aires des ellipses d’incertitude dansle scenario 9

la modelisation des non linearites sur les deux axes par les filtres. Le filtre a particules reduitl’erreur sur l’axe Est, et montre ainsi une bonne modelisation des non linearites sur cet axe. Cen’est le cas pour les non linearites sur l’axe Nord, notamment lors du deuxieme masquage GPS.L’IMM realise un ponderation de modeles dedies (CV, CA, CT, CS et CR), ce qui lui permet dereduire l’influence des modeles non realistes et de reduire l’erreur sur l’axe Nord. Les filtres dedeuxieme ordre UKF et DD2 quant a eux ont une modelisation qui favorise un retard spatial.En presence de non linearite sur la trajectoire, ces filtres reagissent comme si le vehicule tourneplus tot que ce qui devrait etre. En fait, le biais entre les estimees de premier ordre et celles desecond ordre vient de la maniere dont elles sont calculees. La position et la vitesse sont calculeesdans un premier temps dans l’espace polaire, et le resultat est retourne dans l’espace cartesien.Cette conversion polaire vers cartesien a ete debattue dans [Mourllion et al., 2005]. Il en decoulealors une erreur cumulee de filtres de second ordre, qui se traduit par un retard spatial et justifiele mauvais comportement des filtres d’ordre 2 lors d’un long masquage du GPS.La figure (FIG. 6.34) (en bas) presente l’aire des ellipses d’incertitudes des differentes approches,lesquelles sont illustrees a la figure (FIG. 6.33). Nous avons fait un zoom sur les ellipses lors dudeuxieme masquage. Ces figures revelent que, avec nos reglages, l’ellipse du PF croit moins vitelors des deux masquages et presente l’aire la plus petite de toutes les ellipses : ce filtre garde doncune meilleure confiance en son estimation. Les aires de tous les filtres derives du filtre de Kalmanrestent tres proches, et plus grande que l’aire de l’ellipse de l’IMM lors du premier masquage.A la fin du deuxieme masquage GPS, l’ellipse de l’IMM grandit et devient importante, tous engardant les valeurs des deux axes proches. Ceci est, une fois de plus la consequence du conflitqui apparait entre les modeles (CA, CV et CT) dans des situations ou plusieurs manoeuvressont concurrentes : sortie du virage avec acceleration du vehicule. Dans ce type de situations, ily a une augmentation de l’incertitude sur la sortie de l’IMM.L’incertitude croıt plus rapidement au cours du premier masquage GPS. Cette partie du scenarioest caracterise par des non linearites sur la trajectoire de faible ampleur, combinee a une longueperiode sans correction. Au cours du deuxieme masquage GPS, la trajectoire est fortement non

A. Ndjeng Ndjeng 180

Page 197: Localisation robuste multi-capteurs et multi-mod`eles

Comparaison et applications 6.5. Resultats et discussions

Tab. 6.7 – Erreurs de positionnement pendant les masquages du signal GPS (scenario 9)Methode Masquage GPS 1 [20− 75s] Masquage GPS 2 [100− 130s]

Erreur moy. (m) Erreur max. (m) Erreur moy. (m) Erreur max. (m)

IMM 3, 10 4, 15 8,92 15, 21EKF 3, 95 4, 31 9, 08 15, 78UKF 4, 49 6, 40 9, 18 16, 10DD1 3, 90 4, 30 9, 08 15, 78DD2 4, 51 6, 41 9, 20 16, 11PF 2,51 3,85 10, 05 15,15

lineaire, et le masquage a dure 30s. Ces observations revelent que la croissance des ellipsesd’incertitude pendant le masquage GPS est fonction en plus de la duree du masquage, maisaussi des non linearites dans le systeme (notamment pour l’IMM) : plus la non-linearite estforte, plus la croissance des ellipses d’incertitudes est importante.

6.5.3 Scenario 10 : piste routiere avec sauts GPS

Dans le scenario 10, le vehicule experimental effectue un tour complet de la piste routiere deSatory et la piste du Val d’Or. L’etude du comportement des differents algorithmes sur la pistedu Val d’Or est motivee par la mauvaise qualite des donnees GPS. Dans cette partie precisement,la reference est obtenue a partir d’une centrale inertielle precise (IXEA) pour pallier le manqued’information GPS RTK fiable.En analysant tout le parcours (tableau (TAB. 6.8)), on constate que l’IMM est plus precis queles autres filtres en terme de positionnement global, avec une erreur moyenne de 2, 832m. Cetestimateur garde egalement une meilleure robustesse face aux bruits sur les donnees GPS, avecune erreur maximale a 8, 485m, soit la moitie de l’erreur maximale des autres filtres, voir figure(FIG. 6.35) et tableau (TAB. 6.8).Les figures (FIG. 6.36) a (FIG. 6.41) montrent que toutes les enveloppes a 3σ des filtres fluctuentde maniere importante. Les tableaux (TAB. 6.8) et (TAB. 6.9) revelent qu’en dehors de la zonedu Val d’Or, ou la difference entre la taille moyenne de l’enveloppe et la taille maximale desenveloppes est de l’ordre de 15m suivant l’axe Est et de pres de 17m suivant l’axe Nord, l’IMMpresente les enveloppes les moins fluctuantes, demontrant ainsi une meilleure robustesse de cetalgorithme.Pour l’ensemble des filtres, l’erreur de positionnement sur chaque axe se trouve globalement al’interieur de l’enveloppe a 3σ. Il existe des lors, peu de points ou les erreurs estimees ne sont pasconsistante avec l’erreur reelle, a l’exception de la zone du Val d’Or (traversee entre 125sec et225sec). Ceci montre que les filtres utilises sont bien regles. Par ailleurs, la statistique de la NISpermet de confirmer cette propriete : elle est entierement contenue dans l’intervalle [0, 05; 7, 38].La figure (FIG. 6.42) et les tableaux (TAB. 6.8) et (TAB. 6.9) permettent de conclure que tousles filtres sont consistants en termes d’innovation, selon ce critere.

181 A. Ndjeng Ndjeng

Page 198: Localisation robuste multi-capteurs et multi-mod`eles

6.5. Resultats et discussions Comparaison et applications

Fig. 6.35 – Erreur de positionnement pour le scenario 10

Fig. 6.36 – Enveloppes a 3σ pour l’IMM : sce-nario 10

Fig. 6.37 – Enveloppes a 3σ pour le PF : scena-rio 10

A. Ndjeng Ndjeng 182

Page 199: Localisation robuste multi-capteurs et multi-mod`eles

Comparaison et applications 6.5. Resultats et discussions

Fig. 6.38 – Enveloppes a 3σ pour l’EKF : sce-nario 10

Fig. 6.39 – Enveloppes a 3σ pour le DD1 : sce-nario 10

Fig. 6.40 – Enveloppes a 3σ pour l’UKF : sce-nario 10

Fig. 6.41 – Enveloppes a 3σ pour le DD2 : sce-nario 10

Tab. 6.8 – Resultats de comparaison globale pour le scenario 10Erreur (m) Env. Est (m) Env. Nord (m) NIS

moy. max. moy. max. moy. max. moy. max.

IMM 2,832 8,485 5, 119 20, 087 5,035 13,658 0, 577 7, 320EKF 3, 093 15, 274 5, 100 18, 687 5, 486 22, 737 0,236 3, 754UKF 3, 186 14, 732 5, 119 18, 560 5, 490 22, 249 0, 347 3, 795DD1 3, 093 15, 939 5, 099 18, 587 5, 486 22, 737 0, 245 3, 762DD2 3, 185 14, 740 5, 119 18, 560 5, 490 22, 249 0, 344 3, 712PF 3, 040 16, 308 3,958 15,588 6, 294 21, 889 0, 299 3,477

183 A. Ndjeng Ndjeng

Page 200: Localisation robuste multi-capteurs et multi-mod`eles

6.5. Resultats et discussions Comparaison et applications

Fig. 6.42 – NIS pour le scenario 10

Tab. 6.9 – Resultats de comparaison pour le scenario 10 : zone du Val d’OrAEE (m) Env. Est (m) Env. Nord (m) NIS

moy. max. moy. max. moy. max. moy. max.

IMM 2,866 8,485 5,400 20, 087 5, 604 13,658 0, 843 7, 320EKF 3, 894 15, 274 5, 638 18, 687 5, 836 22, 737 0,392 3, 754UKF 3, 895 14, 732 5, 648 18, 560 5, 828 22, 249 0, 432 3, 795DD1 3, 889 15, 939 5, 632 18, 587 5, 817 22, 737 0, 419 3, 762DD2 3, 894 14, 740 5, 648 18, 560 5, 825 22, 249 0, 431 3, 712PF 3, 687 16, 308 5, 449 15,588 5,596 21, 889 0, 526 3,477

A. Ndjeng Ndjeng 184

Page 201: Localisation robuste multi-capteurs et multi-mod`eles

Comparaison et applications 6.6. Conclusion

6.6 Conclusion

Dans ce chapitre, une etude experimentale comparative de six filtres utilises en localisationde vehicules (EKF, UKF, DD1, DD2, IMM et filtre a particules) a ete presentee. Precedemmentles travaux de Mourllion et Lefevre [Lefebre et al., 2004; Mourllion et al., 2005] montraient degrandes differences ainsi que des similitudes entre les filtres derives du filtre de Kalman pourles systemes non lineaires. Lefebre [Lefebre et al., 2004] presente des differences theoriques etMourllion [Mourllion et al., 2005] analyse des differences au cours de la phase de predictionpure avec les filtres derives du filtre de Kalman. Toutefois, des experiences pratiques prenant encompte l’ensemble du processus de la localisation (a la fois prediction et correction) presententdes differences mineures. Les decalages observes au cours de l’etape de prediction en termes deprecision et d’incertitude (en raison de la linearisation, de l’utilisation des sigmas points, de lamodelisation modulaire ou particulaire) sont fortement reduites au cours de l’etape de correction.Par ailleurs l’utilisation de nouveaux criteres de comparaison permet, grace a des scenarios issusde simulations, d’etablir la performance des approches concurrentes en termes de precision,consistance et credibilite des estimations d’erreurs. Selon nos experiences, le choix d’un filtredepend de la situation ; c’est-a-dire la presence et la qualite de donnees de correction, ou lapresence de fortes non linearites sur la trajectoire. Par consequent

– s’il n’y a pas d’absence du signal GPS pendant une longue periode au cours de la naviga-tion, ou si le signal GPS est de bonne qualite (si l’etape de correction fonctionne de faconefficace), il n’est pas facile de proposer un meilleur filtre. L’utilisation de l’un ou l’autreparmi les filtres presentes n’ameliore pas de facon significative la precision, ainsi que laconfiance en chaque estimee.

– si le signal GPS est de mauvaise qualite, en presence de fortes non-linearites, nous devrionsconsiderer dans l’ordre suivant, du plus au moins robuste : l’IMM, le filtre a Particules,l’UKF et le DD2, puis enfin les filtres d’ordre 1 (DD1 et EKF) qui ont des comportementstres proches.

– si le signal GPS est absent pendant un long moment (masquage du GPS en milieu urbainou dans un tunnel), les filtres PF et IMM fournissent une meilleure localisation en com-paraison aux filtres derives du filtre de Kalman. Cependant, l’EKF et le DD1 permettentd’eviter le retard spatial observe avec les filtres d’ordre 2 UKF et DD2, tout en restantplus robuste, comme indique dans [Mourllion et al., 2005].

Il ressort de ce chapitre que le bon fonctionnement des estimateurs de la localisation reste de-pendant des reglages des filtres. Afin de valider ces reglages, les enveloppes d’incertitude, lesmesures de consistance et de credibilite fondees sur des approches statistiques sont utilisees ensimulation Monte Carlo. Avec l’interet de connaıtre exactement la reference sur plusieurs essaisindependants, cette demarche permet ainsi d’avoir une evaluation objective de la localisation.Plus generalement, les six filtres etudies peuvent etre regroupes par paire, sur la base de leursperformances. EKF et DD1, UKF et DD2, et enfin IMM et PF. Conceptuellement, il a etemontre que les filtres du premier groupe realisent une linearisation du premier ordre des fonc-tions non lineaires. Pour les filtres du second groupe, cette linearisation est operee au secondordre [Mourllion et al., 2005]. En observant de pres leur fonctionnement, l’IMM et le PF sontegalement proches. En effet, le PF (ayant N particules) peut etre vu comme un IMM ayant Nparticules (les modeles) differentes les unes des autres. Cette difference, dans le cas ou la fre-quence d’echantillonnage est elevee (relativement a la frequence de fonctionnement du systeme),peut etre consideree comme un bruit.L’analogie de fonctionnement entre ces deux filtres peut etre ramenee a l’utilisation de probabi-lites pour chaque particule (PF) ou pour chaque modele (IMM). Leurs resultats consistent alorsa utiliser un operateur de fusion des vecteurs d’etat ponderes (pour chaque particule et pourchaque modele). Pour le filtre a particules, la ponderation est donnee par les poids associes achaque particule ; pour l’IMM, cette ponderation est donnee par les probabilites des modeles.

185 A. Ndjeng Ndjeng

Page 202: Localisation robuste multi-capteurs et multi-mod`eles

6.6. Conclusion Comparaison et applications

La difference majeure entre ces deux estimateurs concerne l’etape dite de re-echantillonnageoperee a chaque periode pour le filtre a particules. Pour l’IMM, la mise a jour des modeles estrealisee a chaque nouvelle position GPS.Le fait que dans certaines situations la comparaison ne propose pas de filtre favori, en termesde precision, consistance et/ou robustesse, peut avoir pour consequence l’utilisation d’autrescriteres :

– Le temps de calcul est un critere important, dans la mesure ou il permet de valider l’im-plantation d’algorithmes en temps reel, notamment pour des applications sources d’infor-mation telles que la localisation. Pour un tel critere, les approches de type filtre a particulesrestent defavorisees a cause du temps d’execution necessaire eleve, pour un grand nombrede particules. La question ouverte dans ce chapitre est alors la suivante : les filtres IMMet PF ayant montre globalement les meilleures performances, peut-on concevoir un filtrequi associerait les qualites de ces deux estimateurs ?

– Parmi toutes les approches presentees, seule l’IMM permet, grace a l’estimation des pro-babilites d’activation des modeles, d’avoir une identification des manoeuvres courantes duvehicules. Cette identification peut etre tres utile pour l’implantation d’autres applicationsde type auto-diagnostic ou map-matching intelligent.

*

A. Ndjeng Ndjeng 186

Page 203: Localisation robuste multi-capteurs et multi-mod`eles

Chapitre 7

Conclusion generale et perspectives

Bilan de la these

L’objectif principal de cette these a ete la conception d’un systeme de localisation de vehi-cules routiers, fonde sur une fusion de donnees multi-capteurs et multi-modeles. Le systemequi est presente dans ce manuscrit ameliore la robustesse des approches classiques de filtragemono-modele, notamment par rapport aux defauts de modelisation du systeme reel. L’interetd’etudier une methode multi-modeles provient de la complexification des manoeuvres, et doncde la dynamique du vehicule dans des situations de conduite peu courantes (freinage d’urgence,Stop&Go, manoeuvres de parking). En effet, il est difficile de modeliser toutes ces differentessituations a partir d’un unique modele sans augmenter fortement sa complexite. Les modelesmultiples permettent d’avoir une approche modulaire de la dynamique du systeme, et ainsi deprendre en compte chaque manoeuvre comme un etat discret.En pratique, chaque modele est integre dans un filtre de Kalman lineaire, qui interagit avecles autres filtres du systeme a travers la reinitialisation de son vecteur d’etat et sa matricede variances-covariances. Lors de cette etape, l’evolution du systeme est modelisee comme unprocessus semi-markovien dont les etats sont constitues par les modes d’evolution discrets dusysteme. Lorsqu’un modele, decrivant le mode d’evolution i, semble etre une meilleure represen-tation du systeme reel, alors l’estimation de sa vraisemblance est la plus grande et la probabilitedu filtre correspondant i est la plus importante. Tous les filtres evoluent en parallele ; la strategiede fusion en sortie du systeme, fondee sur l’estimateur MMSE, permet d’avoir une estimationrobuste de la pose du vehicule. De cette maniere, on retient les qualites des modeles les plusvraisemblables, et on reduit l’influence des modeles les moins vraisemblables.

L’un des defis a relever pour un systeme de localisation est la gestion de l’asynchronisme descapteurs embarques. Generalement les capteurs proprioceptifs ont une frequence plus importanteque les capteurs exteroceptifs. Or la vraisemblance des modeles integres dans l’algorithme multi-modeles n’est habituellement mise a jour, qu’en presence de mesures de capteurs exteroceptifs.Nous avons developpe dans cette these, une approche de mise a jour des vraisemblances fondeesur une modelisation sous contraintes de la dynamique du vehicule. Des lors, la probabilite desdifferents filtres specifiques est mise a jour en presence d’une mesure GPS ou de la centrale iner-tielle. Par consequent, la localisation utilisant notre approche reste robuste dans des scenarios de

187

Page 204: Localisation robuste multi-capteurs et multi-mod`eles

Conclusion et perspectives

type virage et/ou acceleration dans un tunnel ou dans un canyon urbain (absence de signal GPS).

Toutefois, le bon fonctionnement d’un tel systeme necessite d’utiliser des donnees capteurs debonne qualite. Un ensemble de methodes sont reprises dans cette theses ; elles visent a corrigerle biais, ainsi qu’a extraire le bruit de mesure des accelerometres et du gyroscope de lacet. L’ex-traction du bruit se fait a travers un seuillage de coefficients d’ondelettes a fenetre glissante. Uneetude comparative avec un filtrage de Butterworth passe bas a permis de conclure sur le choixde cette methode. A ces corrections, il est associe la prise en compte de l’angle de devers de lachaussee pour ameliorer les mesures de la centrale inertielle. Nous montrons experimentalementque chacune de ces corrections a un impact non negligeable, dans le processus de localisation al’estime des vehicules routiers, et peut etre exploitee par d’autres systemes utilisant les mesuresde capteurs embarques.

Afin de valider notre methodologie, une etude comparative a ete menee a partir de divers scena-rios complexes : d’abord sur des donnees synthetiques, puis sur des mesures reelles. Les donneessynthetiques sont issues de simulations de type Monte Carlo. L’interet d’utiliser ce type de testsest la bonne connaissance de la reference exacte, et ensuite la possibilite de reduire la variabilitedes estimateurs grace a un nombre important d’essais.L’ordre de performance est etabli a partir de plusieurs criteres, en fonction de scenario etu-die. Les criteres presentes dans cette these sont constitues de mesures de la precision et de laconfiance, puis de l’estimation de la consistance ainsi que de la credibilite des estimateurs. Lesmesures de precision utilisees concernent l’erreur quadratique moyenne qui est statistiquementequivalente a un ecart type, l’erreur euclidienne moyenne, physiquement plus significative, puisl’erreur geometrique moyenne qui est plus robuste. La confiance des filtres est mesurees a tra-vers l’evolution des enveloppes a 2 ou 3σ ou des ellipses d’incertitudes correspondantes, toutesdeduites des matrices de variances-covariances d’erreurs estimees. La consistance est estimee enutilisant des mesures statistiques de la NEES et de la NIS. Ces mesures sont respectivementdeduites de l’erreur d’estimation et de l’innovation de chaque filtre. La credibilite est mesuree atravers deux mesures deduites de la NEES : il s’agit de la NEES moyenne (ANEES) et du NCI(indice de non credibilite).Selon nos experiences, le choix d’une approche de localisation depend du scenario - presence etqualite des donnees de correction, ou presence de fortes non linearites sur la trajectoire - et bienevidemment, du critere utilise.

Perspectives

Les perspectives d’evolution du travail presente dans ce document sont multiples. Dans un pre-miers temps, il conviendrait de developper de nouveaux modeles d’evolution dans l’algorithmede localisation, plus representatifs de la dynamique reelle. En guise d’exemple, le modele CTpeut etre decompose, afin de distinguer les virages a gauche des virages a droites. De meme,on pourrait distinguer les accelerations des freinages, en partant par exemple du modele CA.Ceci devrait permettre une meilleure quantification de l’erreur sur l’odometrie. L’interet d’unetelle decomposition est de pouvoir utiliser des modeles encore plus specialises pour une meilleuredescription du systeme. Une application qui peut beneficier d’une telle decomposition est no-tamment le map-matching

Dans cette these l’evaluation des vraisemblances des modeles est fondee sur la theorie des pro-babilites. Or, afin de mieux gerer les conflits entre les differents capteurs, ainsi que l’imprecisionsur les donnees utilisees, il peut etre envisageable d’utiliser une autre modelisation utilisant desmasses de croyance, a partir desquelles une probabilite pignistique peut etre deduite : ces travauxsont actuellement menes au LIVIC par Dominique Gruyer.

A. Ndjeng Ndjeng 188

Page 205: Localisation robuste multi-capteurs et multi-mod`eles

Conclusion et perspectives

Sur la base de cette approche innovante, l’IMM peut etre utilise comme systeme de detectiondes points de dysfonctionnement provenant d’erreurs de capteurs, ou de defauts de modelisation.De telles detections constituent de reelles avancees pour les systemes d’aides a la conduite.Par ailleurs, l’integration de capteurs supplementaires de proximite, de type camera, sera utilepour la detection de marquages dans le cas de routes structurees ou de bord de route dans lecas contraire. L’information d’ecart lateral qu’on peut en deduire est utile pour le recalage del’estimateur de localisation en lateral, puis son maintien dans la voie de circulation.

D’autre part nous avons constate dans cette these, qu’il existe de nombreuses similitudes entermes de performances entre l’IMM et le filtre a particule PF. Ces deux filtres presentent debonnes qualites de precision et de robustesse, ainsi que de credibilite. Des lors, la question de laconception d’un estimateur qui associerait les qualites de ces deux filtres est d’un grand interetpour la robotique mobile.

Enfin, une localisation precise, obtenue en prenant en compte d’autres parametres de l’infra-structure tels que la pente ou l’adherence, peut etre associee a des systemes d’estimation desattributs de la route, afin de decrire cette dernieres sous forme d’une carte numerique 3D. Cescartes sont utiles pour la gestion du trafic, la maintenance de l’infrastructure ainsi que son ins-trumentation en modules de communication V2I par exemple...

189 A. Ndjeng Ndjeng

Page 206: Localisation robuste multi-capteurs et multi-mod`eles

Bibliographie

Abuhadrous, I. 2005. Systeme embarque temps reel de localisation et de modelisation 3d parfusion multi-capteur. Ph.D. thesis, Ecole des Mines de Paris.

Bar-Shalom, Y. 1992. Multitarget-multisensor tracking : Applications and advances. Vol. II.Norwood, MA : Artech House.

Bar-Shalom, Y., & Birmiwal, K. 1983. Consistency and robustness of pdaf for targettracking in cluttered environments. Automatica, 19(3), 431–437.

Bar-Shalom, Y., & Li, X. R. 1990. Multitarget-multisensor tracking : Advanced applications.Norwood,MA : Storrs.

Bar-Shalom, Y., & Li, X. R. 1993. Estimation and tracking : Principles, techniques, andsoftware. Boston, MA : Artech House. Reprinted by YBS Publishing, 1998.

Bar-Shalom, Y., Li, X. R., & Kirubarajan, T. 2001. Estimation with application totracking and navigation.

Barshan, B., & Durrant-Whyte, H. F. 1994. Evaluation of solid-state gyroscope for ro-botics applications. IEEE tans. on instrumentation and measurement, 44(1), 61–67.

Benedicto, J., & Lidwig, D. 2001 (1-3 Oct.). Galileo system and architecture. In : Digitalsignal processing technique for space communication workshop.

Benedicto, J., Michel, P., & Ventura-Traverset, J. Jan. 1999. EGNOS first europeanimplementation of gnss : project overview status. Air & space europe, 1(1), 58–64.

Blackman, S., & Popoli, R. 1999. Multitarget-multisensor tracking : Advanced applications.Norwood,MA : Artech House.

Blom, H. A. 1984. An efficient filter for abruptly changing systems. Proc. 23rd conf. decisionand control, 656–658.

Blom, H. A. P., & Bar-Shalom, Y. 1988. The interacting multiple model algorithm forsystems with markovian switching coefficients. IEEE tans. on aut. control, 33(8), 780–783.

Bonnifait, P. 2005 (Dec.). Contribution a la localisation d’automobiles. application a l’aide ala conduite. Tech. rept. Synthese scientifique pour l’obtention de l’HDR de l’UTC.

191

Page 207: Localisation robuste multi-capteurs et multi-mod`eles

Bibliographie Bibliographie

Bonnifait, P., & Garcia, G. 1996. A multisensor localization algorithm for mobile robotsand its real-time experimentation validation. In : IEEE international conference icraS96.

Bosq, D., & Lecoutre, J.-P. 1992. Analyse et prevision des series chronologiques : Methodesparametriques et non parametriques. Paris : Masson.

Burrus, C. S., Gopinath, R. A., & Guo, H. 1988. Introduction to wavelets and waveletstransforms : A primer. Prentice-Hall.

Burt, P., & Adelson, E. 1983. The laplacian pyramid as a compact image code. IEEEtransactions on communications, COM-31(4), 532U540.

Chikhi, F. 2006. Systeme predictif et preventif d’aide a la conduite. Ph.D. thesis, UniversiteVersailles Saint Quentin en Yvelines.

Cortes, G., Gruyer, D., & Ndjeng, A. Ndjeng. 2008 (Dec). Debruitage par ondelettes.Tech. rept. Rapport interne, LIVIC-INRETS/LCPC.

Daubechies, I. 1988. Orthonormal bases of compactly supported wavelets. Commun. on pureand app. math., 41, 909U996.

David, M. 2004. Methodes de monte-carlo sequentielle. Tech. rept. Institut de Recherches enCommunications et Cybernetique de Nantes.

Davis, J., Herring, T., & Shapiro, I. 1991. Effects of atmospheric modeling errors on thedetermination of baseline vectors from very long baseline interferometry. Journal of geophysicalresearch, 96, 643–650.

Dohono, D. L., & Johnstone, I. M. 1995. Adaptive to unknown smoothness via waveletshrinkage. Journ. of the american statistical association, 90 :12008211(1224).

Doucet, A., Freitas, J. F. G. De, & Gordon, N. J. 2001. Sequential monte carlo methodsin practice.

Drummond, O. E. 1999. Methodologies for performance evaluation of multitarget multisensortracking. Pages 355–369 of : Spie conf. on signal and data processing of small targets, vol.3809.

Drummond, O. E., Li, X. R., & He, C. 1998. Comparison of various static multiple-modelestimation algorithms. Pages 510–527 of : Spie conf. on signal and data processing of smalltargets, vol. 3373.

E.B.Wilson, & M.M.Hilferty. 1931. The distribution of chi-square. Proc. nat. acad. sci.,17, 684–688.

Elosegui, P., Davis, J. L., Jaldehag, R. T. K., Johansson, J. M., Niell, A. E., &

Shapiro, I. I. 1995. Geodesy using the global positioning system : The effects of signalscattering on estimates of site position. Journal of geophysical research, 100, 9921–9934.

Ewell, J. J. 1988. Space shuttle orbiter entry through land navigation. In : IEEE internationalconference on intelligent robots and systems irosS88.

Galileo. 2002. Mission high level definition version 3.0. Tech.rept. European Commission and European Space Agency, http ://europa.eu.int/comm/dgs/energy transport/galileo/documents/technical en.htm.

A. Ndjeng Ndjeng 192

Page 208: Localisation robuste multi-capteurs et multi-mod`eles

Bibliographie Bibliographie

Glaser, S. 2004. Modelisation et analyse d’un vehicule en trajectoires limites, application audeveloppement de systemes d’aide a la conduite. Ph.D. thesis, Universite d’Evry Val d’Essonne,France.

Glonass. 2002. Interface and control document version 5.0. Tech. rept. Coordinational Scien-tific Information Center, Russian Federation Ministry of Defense, http : //www.glonass −center.ru/public en.html.

Grewal, M.S., Weill, L.R., & Andrews, A.P. 2001. Avionics navigation systems, secondedition.

Gruyer, D. 1999. Etude du traitement de donnees imparfaites pour le suivi multi-objet. appli-cation aux situations routieres. Ph.D. thesis, UTC, Compiegne.

Gruyer, D., Lambert, A., & Mourllion, B. 2004 (Fevrier). Etat de l’art des strategie defusion de donnees pour la localisation. Tech. rept. Livrable Projet ARCOS T3.2.

Gutmann, J. S., Burgard, W., Fox, D., & Konolige, K. 1998. An experimental compa-rison of localization methods. In : Int. conf. on intelligent robots and systems (IROS).

Gutmann, J. S., Weigel, T., & Nebel, B. 2001. A fast, accurate, and robust methodfor self-localization in polygonal environments using laser range finders. Advanced roboticsjournal, 14(8), 651–668.

Halbwachs, J. E. 1997. Estimation a erreur bornee pour la generation d’hypotheses multiplesde localisation d’un vehicule. Ph.D. thesis, Universite Technologique de Compiegne.

Hasler, Y. 2007 (Aout). Localisation par approche multi-modeles : etude du bruit de capteursinertiels. Tech. rept. Rapport de stage, LIVIC-INRETS/LCPC.

Hernandez-Fajardo, I., Evangelatos, G., Kougioumtzoglou, I., & Ming, X. 2008(Dec.). Signal denoising using wavelet-based methods. Tech. rept. George R. Brown School ofEngineering, Rice University, Houston.

Hernandez-Pajarez, M., Juan, J. M., Sanz, J., & Orus, R. 2007. Second order ionos-pheric term in gps : implementation and impact on geodetic estimates. Journal of geophysicalresearch, 112 :8417-+.

Hofmann-Wellenhof, B., Lichtenegger, H., & Collins, J. 2001. Gps : Theory andpractice. fifth, revised edition. Springer-Verlag.

Hughes, W. J., & Team, WAAS. 2005 (May). Wide area augmentation system performanceanalysis. Tech. rept.

Ito, K., & Xiong, K. 2000. Gaussian filters for nonlinear filtering problems. In IEEE tran-saction on automatic control, 45(5).

Johnson, N. L., Kotz, S., & Balakrishnan, N. 1994. Continuous univariate distributions.Vol. 1. New York : Wiley, 2nd edition.

Julier, S. J. 1997. Process models for the navigation of high speed land vehicles. Ph.D. thesis,University of Oxford, Departement of Engineering Science.

Julier, S. J., & Uhlmann, J.K. 1997 (September). A new extension of the kalman filterto nonlinear systems. In : SPIE aerosense international symposium on aerospace/defensesensing, simulation and controls.

193 A. Ndjeng Ndjeng

Page 209: Localisation robuste multi-capteurs et multi-mod`eles

Bibliographie Bibliographie

Julier, S.J., & Durrant-Whyte, H. F. 1996. A horizontal model fusion paradigm. In :SPIE proceedings on signal and data processing of small targets.

Kaempchen, N., Weiss, K., Schaffer, M., & Dietmayer, K. J. C. 2004 (June). IMMobject tracking for high dynamic driving maneuvers. In : IEEE intell. vehicle symp.

Kalman, R. E. 1960. A new approach to linear filtering and prediction system. Transactionsof the ASME-journal of basic engineering, 82(D), 35–45.

Kayton, M., & Fried, W. Global positioning systems, inertial navigation, and integration.

Kelly, A. 1994 (2 May). Modern inertial and satellite navigation systems. Tech. rept.CMU-RI-TR- 94-15, Robotics Institute Carnegie Mellon University.

Kelly, A. 2000. Some useful results for closed-form propagation of error in vehicle odometry.Cmu-ri-tr-00-20. Robotics Institute, Carnegie Mellon University.

Kieffer, M. 1999. Estimation ensembliste par analyse par intervalle : Application a la locali-sation de vehicules. Ph.D. thesis, Universite de Paris Sud.

Kim, D. H., & Oh, J. H. 1999. Experiments of backward tracking for trailer system. In :IEEE international conference on robotics and automation.

Klimenko, S., & Mitselmakher, G. 1998. A wavelet method for detection of gravitationalwave bursts. Quantum gravity, 21, 1819U1830.

Klobuchar, J. 1986. Design and characteristics of the gps ionospheric time-delay algorithmfor single-frequency users. Pages 280–286 of : Plan’86 - position location and navigationsymposium.

Kobayashi, M., Sakamoto, M., N., T. S. Y. H. M., & Suzuki, M. 1998. Wavelet analysisused in text-to-speech synthesis. IEEE circuits & systems ii, 1125U1129.

Laneurit, L. 2006. Perception multisensorielle pour la localisation de robot mobile en environ-nement exterieur, application aux vehicules routiers. Ph.D. thesis, Universite Blaise Pascal UClermont II.

Latombe, J. C. 1990. Robot motion planning. Kluwer Academic Publishers.

Lefebre, T., Bruyninckx, H., & Schutter, J. De. 2004. Kalman filters for nonlinearsystems : A comparison of performances. The international journal of control, 77(7).

Lemarie-Rieusset, P. G. 1992. Sur l’existence des analyses multi-resolutions en theorie desondelettes. Revista matematica iberoamericana, 8(3), 457–475.

Lemarie-Rieusset, P. G., & Meyer, Y. 1986. Ondelettes et bases hilbertiennes. Revistamatematica iberoamericana, 2, 1–18.

Li, X. R., & Jilkov, V. P. 2003. Survey of maneuvering target tracking. part i : Dynamicmodels. IEEE transactions on aerospace and electronic systems, 39(4), 1333–1364.

Li, X. R., & Jilkov, V. P. 2005. Survey of maneuvering target tracking. part v : Multiplemodel methods. IEEE transactions on aerospace and electronic systems, 41(4).

Li, X. R., & Zhao, Z. 2001 (May). Practical measures for performance evaluation of estimatorsand filters. In : Workshop on estimation, tracking, and fusion - a tribute to yaakov bar-shalom.

A. Ndjeng Ndjeng 194

Page 210: Localisation robuste multi-capteurs et multi-mod`eles

Bibliographie Bibliographie

Li, X. R., Zhao, Z., & Jilkov, V. P. 2002 (July). Estimator’s credibility and its measures.In : International federation of automatic control (ifac) 15th world congress.

Magill, D. T. 1965. Optimal adaptive estimation of sampled stochastic processes. IEEEtransactions on automatic control, AC-10(4), 434–439.

Mallat, S. 1989. A theory for multiresolution signal decomposition : The wavelet representa-tion. IEEE trans. pattern anal. mach. intell., 11(7), 674U693.

Mallat, S. 1999. A wavelet tour of signal processing. Academic Press.

Marselli, C. 1998. Data processing of a navigation microsystem. Ph.D. thesis, University ofNeuchatel, Switzerland.

Maybeck, P. S. 1979. Stochastic models, estimation and control. Vol. 1. Chap. 1.

Maybeck, P. S. 1982. Stochastic models, estimation and control. Vol. II. New York AcademicPress.

Maybeck, P. S. 1990. Autonomous robot vehicles. I. Cox and G. Wilfong. Chap. The KalmanFilter : An Intoduction to Concept, pages 194–204.

Middleton, R. H., Goodwin, G. C., Hill, D. J., & Mayne, D. Q. Jan. 1989. Designissues in adaptive control. IEEE trans. on automatic control, 33(1), 50–58.

Moreo, R. T., Izquierdo, A. Z., Minarro, B. U., & Skamerta, A. F. G. 2007. High-integrity IMM-EKF-based road vehicle navigation with low-cost gps/sbas/ins. IEEE tans. onintelligent transportation systems, 8(3), 491–511.

Morse, A. S., Mayne, D. Q., & Goodwin, G. C. Sept. 1992. Applications of hysterisisswitching in parameter adaptive control. IEEE trans. on automatic control, 37(9), 1343–1353.

Mourllion, B. 2006. Communication dans un systeme de perception etendue. applicationa la diminution du risque routier. Ph.D. thesis, Laboratoire sur les Interactions Vehicule-Infrastructures-conducteur, LCPC/INRETS, Universite de Paris XI Orsay.

Mourllion, B., Gruyer, D., Lambert, A., & GlaserR, S. 2005. Kalman filters predictivesteps comparison for vehicle localization. In : International conference on intelligent robotsand systems. IEEE/RSJ.

Naab, K., & Reichart, G. 1994. Driver assistance systems for lateral and longitudinal vehicleguidance-heading controland active cruise support. Pages 449–454 of : Avec’94.

Najjar, M.E. El, & Bonnifait, P. 2002 (June). A road reduction method using multi-criteriafusion. In : IEEE intelligent vehicle symposium.

Ndjeng, A. N. 2007 (December). Fusion multi-capteurs en localisation de vehicules, caracteri-sation de bruits. Tech. rept. Actes INRETS.

Ndjeng, A. N., Glaser, S., & Gruyer, D. 2007 (June). A multiple model localizationsystem for outdoor vehicles. In : IEEE/intelligent vehicles symposium.

Ndjeng, A. N., Gruyer, D., & Glaser, S. 2008a (Oct.). Improvement of the proprioceptive-sensors based EKF and IMM localization. In : IEEE/intelligent transportation systems confe-rence.

195 A. Ndjeng Ndjeng

Page 211: Localisation robuste multi-capteurs et multi-mod`eles

Bibliographie Bibliographie

Ndjeng, A. N., Gruyer, D., & Glaser, S. 2008b (Oct.). Low cost sensors ego localizationwith IMM approach for unusual maneuvers. In : IEEE/intelligent transportation systemsconference.

Ndjeng, A. N., Gruyer, D., Lambert, A., Mourrlion, B., & Glaser, S. 2009 (12-17 May). Experimental comparison of bayesian outdoor vehicle localization filters. In :IEEE/ICRA 2009 - workshop on safe navigation in open and dynamic environments applica-tion to autonomous vehicles.

Ndjeng, A. N., Gruyer, D., & GlaserR, S. 2009b. New likelihood updating for the immapproach. application to outdoor vehicles localization. In : International conference on intel-ligent robots and systems. IEEE/RSJ.

Norgaard, M., Poulsen, N. K., & Ravn, O. 2000. Advances in derivative-free state es-timation for nonlinear systems. Revised edition of the technical report IMM-rep-1998-15.Technical University of Denmark.

Olson, C. F. 2000. Probabilistic self-localization for mobile robot. IEEE transaction on roboticsand automation, 16(1), 55–66.

Oussalah, M. 1998. Fusion de donnees par la theorie des possibilites, application a la locali-sation d’un robot mobile. Ph.D. thesis, Universite d’Evry Val d’Essonne.

Pannetier, B. 2006. Fusion de donnees pour la surveillance d’un champ de bataille. Ph.D.thesis, DTIM-ONERA/Universite Joseph Fourier-Grenoble 1.

Patwardhan, S., Tan, Han-Shue, Guldner, J., & Tomisuka, M. 1997 (June). Lanefollowing during backward driving for front wheel steered vehicles. In : American controlconference.

Rajamani, R., Zhu, C., & Alexander, L. 2003. Lateral control of a backward driven front-steering vehicle. Control engineering practice, 11, 531–540.

Razei, S., & Sengupta, R. 2005 (August). Kalman filter based integration of dgps and vehiclesensors for localization. In : IEEE int conference on mechatronics and automation.

Royere, C. 2002. Contribution a la resolution du conflit dans la theorie de l’evidence. ap-plication a la perception et la localisation des vehicules intelligents. Ph.D. thesis, UniversiteTechnologique de Compiegne.

Santerre, R. 1989. Gps satellite sky distribution : impact on the propagation of some importanterrors in precise relative positioning. Tech. rept. 145. Departement of Surveying Engineering- University of New Brunswick.

Sebsadji, Y., Glaser, S., & Mammar, S. 2008 (June). Vehicle roll and road bank angleestimation. In : International federation of automatic control world congress.

Seeber, G. 1993. Satellite geodesy : foundations, methods and applications. De gruyter.

Seignez, E. 2006. etude et comparaison experimentale de methodes de localisation multicapteurs.Ph.D. thesis, IEF, Universite de Paris Sud Orsay.

Seignez, E., Kieffer, M., & Lambert, A. 2005 (April). Experimental vehicle localizationby bounded-error state estimation using interval analysis. In : Int. conf. on robotic andautomation.

A. Ndjeng Ndjeng 196

Page 212: Localisation robuste multi-capteurs et multi-mod`eles

Bibliographie Bibliographie

Shaikh, K., Sharif, R., Nagi, F., Jamaluddin, H., & Mansor, S. Inertial navigationsensors, data processing and integration with gps for mobile mapping. Tech. rept.

Silvermann, L., Shookoohi, S., & Dooren, P. M. Van. Aug. 1983. Linear time-variablesystems : Balancing and model reduction. IEEE trans. on automatic control, 28(8), 810–822.

Smith, R. C., & Cheeseman, P. winter 1986. On the representation and estimation of spatialuncertainty. Int. journal of robotic research, 5(4).

Stovall, S.H. 1997 (2 May). Basic inertial navigation. Tech. rept. Naval Air Warfare CenterWeapon Division, California, USA.

Sukkarieh, S. 2000. Low cost, high integrity, aided inertial navigation systems for autonomousland vehicles. Ph.D. thesis, Australian Center for Field Robotics, Dept. of Mechanical andmecatronic Engineering, University of Sydney, Sydney, Australia.

Thurston, J. 2002. Galileo, glonass and navstar : A report on gps for gis people. Tech. rept.http : //www.gisvisionmag.com.

Torresani, B. 1997 (Avril). Ondelettes, analyse temps-frequence et signaux non-stationnaires.Tech. rept. Montpellier.

Tseng, H. E., Xu, L., & Hrovat, D. 2007. Estimation of land vehicle roll and pitch angles.Vehicle system dynamics, 45(05), 433–443.

Waegli, A., & Gillieron, P. Y. 2003. Le concept d’integrite d’egnos. Tech. rept. EPFL,Laboratoire de Topometrie / Geomatique, Publie dans Geomatique Suisse.

Wan, E. A., & Merwe, R. V. D. 2000. The unscented kalman filter for nonlinear estimation.Adaptive systems for signal processing, communication and control (ASSPCC).

Woodman, O. J. 2007 (August). An introduction to inertial navigation. Tech. rept. Universityof Cambridge, Computer laboratory, UCAM-CL-TR-696.

Xia, R., Meng, K., Qian, F., & Wang, Z.-L. 2007. Online wavelet denoising via a movingwindow. Acta automatica sinica, 33(9).

Zamora-Izquierdo, M. A., Betaille, D. F., Peyret, F., & Joly, C. 2008. Comparativestudy of extended kalman filter, linearised kalman filter and particle filter applied to low-costgps-based hybrid positioning system for land vehicles. Int. journ. on intelligent informationand database systems, 2(2), 149–166.

Zhao, L., & Thorpe, C. 1998. Qualitative and quantitative car tracking from a range imagesequence. In : IEEE comput. soc. conf. on comput. and pattern recogn.

Zheng, L., Chan, A.K., W., G. M. S., & Liu, J. 1999 (May). Detection of carcinoma massesfor screening mammography using dwt based multiresolution markov random field. Tech. rept.Houston.

197 A. Ndjeng Ndjeng

Page 213: Localisation robuste multi-capteurs et multi-mod`eles

Bibliographie Bibliographie

A. Ndjeng Ndjeng 198

Page 214: Localisation robuste multi-capteurs et multi-mod`eles

Annexe A

Demonstration de l’egalite a l’equation 3.60

On note le bruit de processus w(k) d’un modele lineaire tel que

E [w(k)] = 0E[w(k)w(j)T

]= Q(k)δk,j

ou δk,j est la fonction delta de KroenekerLa matrice de variances-covariances du bruit de processus est obtenue par la formule

Q(k) =

∫ tk+1

tk

eA(tk+1−τ)DW (τ)D′(eA(tk+1−τ))Tdτ

avecW (k) = E[w(k), w(k)T ]

Preuve :

En effet,

E[w(k)w(j)T

]= E

∫ tk+1

tk

e(tk+1−τ1)ADw(τ1)dτ1

[∫ tj+1

tj

e(tj+1−τ2)ADw(τ2)dτ2

]T

= E

∫ tk+1

tk

∫ tj+1

tj

e(tk+1−τ1)ADw(τ1) (w(τ2))T DT e(tj+1−τ2)AT

dτ1dτ2

=

∫ tk+1

tk

∫ tj+1

tj

e(tk+1−τ1)ADE[

w(τ1) (w(τ2))T]

DT e(tj+1−τ2)AT

dτ1dτ2

=

∫ tk+1

tk

∫ tj+1

tj

e(tk+1−τ1)ADW (τ1)δ(τ1 − τ2)DT e(tj+1−τ2)AT

dτ1dτ2

=

∫ tk+1

tk

e(tk+1−τ1)ADW (τ1)DT e(tj+1−τ2)AT

dτ1

199

Page 215: Localisation robuste multi-capteurs et multi-mod`eles

Annexe A

A. Ndjeng Ndjeng 200

Page 216: Localisation robuste multi-capteurs et multi-mod`eles

Annexe B

Annexe B.1 : Preuve du theoreme 6.2.2

La fonction de densite de probabilite de la loi normale centree reduite s’ecrit

f(u) =1√2πe−u2

2 (u ∈ R)

En appliquant, par exemple, la technique de la fonction muette, on a

1√2π

R

h

(u2

2

)

e−u2

2 du =

2

π

R

h

(u2

2

)

e−u2

2 du

=

2

π

R

h(y)e−ydy√2y

=1√π

R

h(y)y−12 e−ydy

=

R

1

Γ(12)y−

12 e−yh(y)dy

D’ou CQFD

Annexe B.2 : Preuve du theoreme 6.2.3

Nous nous limiterons au cas ou m = 0.Σ−1 etant une matrice symetrique et definie positive, il existe une matrice orthogonale A telleque :

Σ−1 = ATDA

ou D est la matrice diagonale des valeurs propres de Σ−1.

XTΣ−1X = (AX)TD(AX)

Le vecteur AX, image par application lineaire d’un vecteur gaussien, est egalement gaussien, dematrice de variances-covariances D−1, et d’esperance nulle. En posant Z = AX, on a :

XTΣ−1X =

p∑

i=1

Z2i

V ar(Zi)

201

Page 217: Localisation robuste multi-capteurs et multi-mod`eles

Annexe B

qui, par definition, suit une loi χ2(p).D’ou CQFD

A. Ndjeng Ndjeng 202

Page 218: Localisation robuste multi-capteurs et multi-mod`eles

Annexe C

Table de la loi χ2

Valeur de χ2 pour laquelle la probabilite d’une valeur inferieure a χ2 suivant le nombre n dedegres de liberte est αθ = Fn(χ

2).

Tab. 1 – Table des valeurs de χ2

n αθ 0,005 0,010 0,025 0,050 0,100 0,250 0,500 0,750 0,900 0,950 0,975 0,990 0,995

1 0,0000 0,0002 0,0010 0,0039 0,0158 0,102 0,455 1,32 2,71 3,84 5,02 6,63 7,882 0,0100 0,0201 0,0506 0,103 0,211 0,575 1,39 2,77 4,61 5,99 7,38 9,21 10,63 0,0717 0,115 0,216 0,352 0,584 1,21 2,37 4,11 6,25 7,81 9,35 11,3 12,84 0,207 0,297 0,484 0,711 1,06 1,92 3,36 5,39 7,78 9,49 11,1 13,3 14,95 0,412 0,554 0,831 1,15 1,61 2,67 4,35 6,63 9,24 11,1 12,8 15,1 16,76 0,676 0,872 1,24 1,64 2,20 3,45 5,35 7,84 10,6 12,6 14,4 16,8 18,57 0,989 1,24 1,69 2,17 2,83 4,25 6,35 9,04 12,0 14,1 16,0 18,5 20,38 1,34 1,65 2,18 2,73 3,49 5,07 7,34 10,2 13,4 15,5 17,5 20,1 22,09 1,73 2,09 2,70 3,33 4,17 5,90 8,34 11,4 14,7 16,9 19,0 21,7 23,610 2,16 2,56 3,25 3,94 4,87 6,74 9,34 12,5 16,0 18,3 20,5 23,2 25,211 2,60 3,05 3,82 4,57 5,58 7,58 10,3 13,7 17,3 19,7 21,9 24,7 26,812 3,07 3,57 4,40 5,23 6,30 8,44 11,3 14,8 18,5 21,0 23,3 26,2 28,313 3,57 4,11 5,01 5,89 7,04 9,30 12,3 16,0 19,8 22,4 24,7 27,7 29,814 4,07 4,66 5,63 6,57 7,79 10,2 13,3 17,1 21,1 23,7 26,1 29,1 31,315 4,60 5,23 6,26 7,26 8,55 11,0 14,3 18,2 22,3 25,0 27,5 30,6 32,816 5,14 5,81 6,91 7,96 9,31 11,9 15,3 19,4 23,5 26,3 28,8 32,0 34,317 5,70 6,41 7,56 8,67 10,1 12,8 16,3 20,5 24,8 27,6 32,0 33,4 35,718 6,26 7,01 8,23 9,39 10,9 13,7 17,3 21,6 26,0 28,9 31,5 34,8 37,219 6,84 7,63 8,91 10,1 11,7 14,6 18,3 22,7 27,2 30,1 32,9 36,2 38,620 7,43 8,26 9,56 10,9 12,4 15,5 19,3 23,8 28,4 31,4 34,2 37,6 40,021 8,03 8,90 10,3 11,6 13,2 16,3 20,3 24,9 29,6 32,7 35,5 38,9 41,422 8,64 9,54 11,0 12,3 14,0 17,2 21,3 26,0 30,8 33,9 36,8 40,3 42,823 9,26 10,2 11,7 13,1 14,8 18,1 22,3 27,1 32,0 35,2 38,1 41,6 44,224 9,89 10,9 12,4 13,8 15,7 19,0 23,3 28,2 33,2 36,4 39,4 43,0 45,625 10,5 11,5 13,1 14,6 16,5 19,9 24,3 29,3 34,4 37,7 40,6 44,3 46,926 11,2 12,2 13,8 15,4 17,3 20,8 25,3 30,1 35,6 38,9 41,9 45,6 48,327 11,8 12,9 14,6 16,2 18,1 21,7 26,3 31,5 36,7 40,1 43,2 47,0 49,628 12,5 13,6 15,3 16,9 18,9 22,7 27,3 32,6 37,9 41,3 44,5 48,3 51,029 13,1 14,3 16,0 17,7 19,8 23,6 28,3 33,7 39,1 42,6 45,7 49,6 52,330 13,8 15,0 16,8 18,5 20,6 24,5 29,3 34,8 40,3 43,8 47,0 50,9 53,740 20,7 22,2 24,4 26,5 29,1 33,7 39,3 45,6 51,8 55,8 59,3 63,7 66,850 28,0 29,7 32,4 34,8 37,7 42,9 49,3 56,3 63,2 67,5 71,4 76,2 79,560 35,5 37,5 40,5 43,2 46,5 52,3 59,3 67,0 74,4 79,1 83,3 88,4 92,070 43,3 45,4 48,8 51,7 55,3 61,7 69,3 77,6 85,5 90,5 95,0 100,4 104,280 51,2 53,5 57,2 60,4 64,3 71,1 79,3 88,1 96,6 101,9 106,6 112,4 116,390 59,2 61,8 65,6 69,1 73,3 80,6 89,3 98,6 107,6 113,1 118,1 124,1 128,3100 67,3 70,1 74,2 77,9 82,4 90,1 99,3 109,1 118,5 124,3 129,6 135,8 140,2

203

Page 219: Localisation robuste multi-capteurs et multi-mod`eles

Liste des publications

Pour les grandes valeurs de n, la loi de probabilite de χ2 tend vers une loi normale de moyennen et de variance 2n.

A. Ndjeng Ndjeng 204

Page 220: Localisation robuste multi-capteurs et multi-mod`eles

Publications de l’auteur

Rapports Techniques

[1] A. NDJENG NDJENG, Fusion multi-capteurs en localisation de vehicules, caracteri-

sation des bruits, tech. rep., Les collections de l’INRETS : Accroıtre la securite des personnes,Pages 115-128, Dec. 2007.

[2] A. NDJENG NDJENG, Fusion de donnees pour la localisation : approche multi-modeles,tech. rep., Les collections de l’INRETS : Innovations pour des transports plus surs, plus efficaceset plus attractifs, Pages 199-210, Avril 2007.

Proceedings des congres internationaux

[3] A. NDJENG NDJENG, S. GLASER, and D. GRUYER, A multiple model localization

system for outdoor vehicles, in IEEE/Intelligent Vehicles Symposium, (Istanbul), June 2007.

[4] A. NDJENG NDJENG, D. GRUYER, and S. GLASER, Improvement of the proprioceptive-

sensors based EKF and IMM localization, in IEEE/Intelligent Transportation Systems Confe-rence, (Beijing, China), Oct. 2008.

[5] A. NDJENG NDJENG, D. GRUYER, and S. GLASER, Low cost sensors ego locali-

zation with IMM approach for unusual maneuvers, in IEEE/Intelligent Transportation SystemsConference, (Beijing, China), Oct. 2008.

[6] A. NDJENG NDJENG, D. GRUYER, A. LAMBERT, B. MOURLLION, and S. GLA-SER, Experimental comparison of bayesian outdoor vehicle localization filters, in IEEE/ICRA2009 - Workshop on Safe navigation in open and dynamic environments, Application to auto-nomous vehicles, (Kobe-Japan), 12-17 May 2009.

[7] A. NDJENG NDJENG, A. LAMBERT, D. GRUYER, and S. GLASER, Experimental

comparison of kalman filters for vehicle localization, in IEEE/Intelligent Vehicles 2009, (Xi’an-Shaanxi - China), 3-5 June 2009.

[8] A. NDJENG NDJENG, D. GRUYER, and S. GLASER, New likelihood updating for

205

Page 221: Localisation robuste multi-capteurs et multi-mod`eles

Liste des publications

the IMM approach, application to outdoor vehicles localization, in IEEE/RSJ IROS 2009 - In-ternational Conference on Intelligent Robots and Systems, (St. Louis, MO, USA), 11-15 October2009

Revues Internationales

[9] A. NDJENG NDJENG, D. GRUYER, S. GLASER, and A. LAMBERT, Low cost IMU-

Odometer-GPS ego localization with IMM for unusual maneuvers, Int. Journal on InformationFusion. Special Issue on Cognitive Automobiles. Accepte pour publication en 2009.

A. Ndjeng Ndjeng 206

Page 222: Localisation robuste multi-capteurs et multi-mod`eles