lʼindice des champs de vecteurs sur les courbes de cohen–macaulay

Bull. Sci. math. 137 (2013) 791–804www.elsevier.com/locate/bulsci

L’indice des champs de vecteurs sur les courbesde Cohen–Macaulay

A.G. Aleksandrov

Institut du Contrôle Automatique de l’Académie des sciences de Russie, 65, rue Profsoyuznaya, GSP-7,Moscou, 117997, Fédération de Russie

Reçu le 17 mars 2013

Disponible sur Internet le 23 avril 2013

Résumé

Dans cet article une nouvelle méthode pour calculer l’index topologique d’un champ de vecteurs surles courbes de Cohen–Macaulay est décrite. Cette méthode est basée sur les propriétés des formes diffé-rentielles méromorphes régulières qui sont utilisés pour le calcul de l’indice homologique des champs devecteurs introduits par X. Gómez-Mont. En particulier, nous montrons comment calculer l’indice sur lescourbes de Gorenstein et les intersections complètes quasi-homogènes, sur les courbes monômiales, sur lescourbes gauches de Cohen–Macaulay, et d’autres. Contrairement aux articles précédents sur ce sujet, nousne utilisons pas la technique des suites spectrales ou les systèmes de calcul symbolique sur ordinateurs.© 2013 Elsevier Masson SAS. Tous droits réservés.

Abstract

In this paper a new method for computing the topological index of a vector field at Cohen–Macaulaycurves is described. It is based on properties of regular meromorphic differential forms which are used forcomputing the homological index of vectors fields introduced by X. Gómez-Mont. In particular, we showhow to compute the index at quasihomogeneous Gorenstein curves and complete intersections, at monomialcurves, at Cohen–Macaulay space curves, and others. In contrast to previous articles on this subject we donot use the technique of spectral sequences, or computer algebra systems for symbolic calculations.© 2013 Elsevier Masson SAS. Tous droits réservés.

MSC : 32S30 ; 32S50

Mots-clés : Indice topologique ; Indice homologique ; Complexe de De Rham contracté ; Complexe dualisant ;Formes différentielles méromorphe régulière ; Courbes de Cohen–Macaulay ; Torsion ; Cotorsion

Adresse e-mail : [email protected].

0007-4497/$ – see front matter © 2013 Elsevier Masson SAS. Tous droits réservés.http://dx.doi.org/10.1016/j.bulsci.2013.04.006

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0. Introduction

Dans cet article, nous développons une idée de la note [5, §5], pour le calcul de l’indicehomologique sur les courbes de Cohen–Macaulay. Le point crucial de notre approche est quel’homologie de complexe de De Rham contracté tronqué peut être calculée avec l’aide du com-plexe dualisant contracté dont les éléments sont les formes différentielles méromorphe régulièreintroduits dans le contexte de la théorie des résidus et de dualité [6,20,18]. Contrairement auxarticles précédents sur ce sujet ([13,19,8], etc.), nous ne utilisons pas la technique des suitesspectrales ou les systèmes de calcul symbolique sur ordinateurs.

Dans les premières sections nous rappelons quelques définitions et notions fondamentales.Presque tous sont bien connus et étudiés dans un contexte plus général ; ils sont souvent ex-ploités dans nombreux sujets en rapport avec la théorie des singularités, géométrie analytique,théorie des résidus, etc. Notre objectif ici est seulement de les unifier et de considérer des appli-cations dans certaines situations spéciales. Alors quelques méthodes simples de calcul de l’indexhomologique sont discutées ; cettes méthodes sont appliquées dans des situations différentes se-lon les types concrets des singularités de la courbe. Ainsi, nous montrons peu à peu commentcalculer l’index en cas des courbes de Gorenstein quasi-homogènes, les intersections complètes1-dimensionnelles, les courbes monômiales, les courbes de Cohen–Macaulay de codimensiondeux, et d’autres.

1. Complexe de De Rham et l’indice homologique

Soit X un représentant d’un germe (X,o) d’espace analytique, plongé dans un voisinage ou-vert U de l’origine dans Cm avec les coordonnées z1, . . . , zm ; ce plongement est déterminé parle choix d’un ensemble de générateurs de l’ideal maximal de OX,o. Par la suite, on appelle sou-vent X ou (X,o) la singularité. Alors X est donné par un idéal I ⊂ OU , qui est engendré parune suite de fonctions holomorphe f1, . . . , fk ∈ OU . Soit Ω

pX , p � 0, le module des germes de

p-formes différentielles régulières holomorphes sur X, et soit Der(X) = HomOX(Ω1

X,OX) leOX-module des champs de vecteurs réguliers sur X. Alors, pour tout élément V ∈ Der(X) leproduit intérieur (contraction) des champs de vecteurs et formes différentielles induit un homo-morphisme ιV : Ωp

X −→ Ωp−1X . Ainsi donc, puisque ι2V = 0, la famille des modules Ω

pX , p � 0,

est munie par une structure de complexe décroissant. Ce complexe est appelé le complexe deDe Rham contracté. Remarquons que Ω

pX = 0 si p > m ou p < 0, et de plus, en général, Ω

pX �= 0

si 0 � p � m. Les groupes de ιV -homologie sont désignés par H∗(Ω•X, ιV ).

Définition 1. Supposons dimX � 1. Le complexe contracté tronqué de De Rham (Ω•X, ιV ) est

défini comme suit

0 −→ ΩnX

ιV−→ Ωn−1X

ιV−→ Ωn−2X −→ · · · −→ Ω1

X

ιV−→ OX −→ 0.

Supposons que tous les groupes d’homologie de (Ω•X,o, ιV ) soient des espaces vectoriels de

dimension finie. D’après [14], la caractéristique d’Euler–Poincaré

χ(Ω•

X,o, ιV) =

n∑i=0

(−1)i dimk Hi

(Ω•

X,o, ιV)

s’appelle l’indice homologique du champ de vecteurs V au point o et est noté Indhom,o(V ).

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Remarque. Le concept d’indice homologique a été introduit dans [14] pour les champs de vec-teurs définis sur un germe d’espace analytique complexe réduit de dimension pure n � 1 avecdes groupes d’homologie Hi(Ω

•X,o, ιV ) finis. Dans les points non singuliers de X l’indice homo-

logique du champ V coïncide avec l’indice topologique ou indice de Poincaré–Hopf local [14] ;pour les hypersurfaces (et les intersections complètes) à singularités isolées l’indice homologiquedans le point singulier est égal à GSV-indice, etc.

2. Formes différentielles méromorphe régulière

Rappelons que X est un germe de Cohen–Macaulay si et seulement si X posséde les propriétésde Serre (Sk) pour tout k ∈ Z (voir [15]). De plus, pour k′ > k la propriété (Sk′) implique (Sk).

Alors pour que un germ X soit réduit, il faut et il suffit que X vérifie les propriétés (S1) et (R0),c’est pourquoi les germes 1-dimensionnel réduits sont Cohen–Macaulay. De même, pour que X

soit normal, il faut et il suffit que X vérifie les propriétés (S2) et (R1) (critère de Serre), de cefait que les germes normaux 2-dimensionnel réduits sont Cohen–Macaulay également. De plus,un germe normal X n’a un groupe de classes de diviseur discret (ce qu’on a appelé la propriétéDCG) si et seulement si X vérifie les propriétés (S3) et (R2) (Théorème de Danilov–Samuel),etc.

Supposons maintenant que un germe X de dimension n � 1 posséde un complexe dualisant,par exemple, X est un germe de Cohen–Macaulay. Alors (voir [16]) le module de Grothendieckdualisant de X est défini comme suit :

ωnX = Extm−n

OCm

(OX,Ωm

Cm

).

Il est bien connu que TorsωnX = 0, c’est-à-dire le module dualisant n’a pas de torsion.

Définition 2. Pour tout p � 0, le module ωpX des p-formes différentielles régulières méromorphes

sur X est localement défini comme l’ensemble des germes de formes différentiel méromorphede degré p sur X tels que ω ∧ η ∈ ωn

X pour tout η ∈ Ωn−pX . En d’autres termes (voir [6,20,18]),

ωpX

∼= HomOX

(Ω

n−pX ,ωn

X

) ∼= Extm−nOCm

(Ω

n−pX ,Ωm

Cm

). (1)

Par conséquent, les faisceaux correspondants sont les OX-modules cohérents. D’autres défini-tions équivalentes de ces faisceaux en termes de normalisation de Noether et trace (voir [20,6]),en termes de courants résiduels (voir [4]), etc., sont bien connues. Évidemment, ω

pX = 0 pour

p > n puisque Ωn−pX = 0. De plus, ω

pX = 0 pour p < 0 parce que Ω

pX

∼= TorsΩpX pour p > n et

ωnX n’a pas de torsion.

Il est facile aussi de voir que la différentiation de De Rham d , aussi bien que la contractionιV , sont naturellement prolongées du complexe Ω•

X à la famille des modules ωpX , 0 � p � n ;

cette famille est munie d’une structure de complexe croissant (ω•X,d) ou décroissant (ω•

X, ι∗V ),

respectivement. En particulier, la contraction ι∗V : ωpX −→ ω

p−1X est naturellement définie comme

le morphisme dual de l’action ιV sur le complexe Ω•X en vue de la présentation (1).

Soit X un germe de dimension n� 1, soit Z = SingX son lieu singulier et c = codim(Z,X).Notons j : X \ Z −→ X l’inclusion naturelle.

Lemme 1. (Voir [6].) Il existe l’inclusion naturelle ωpX ⊆ j∗j∗Ωp

X pour tout p � 0. Si c � 1,alors H0

Z(ΩpX) = 0, c’est-à-dire ω

pX n’a pas de Z-torsion ; si c � 2, alors H1

Z(ΩpX) = 0, c’est-à-

dire ωpX n’a pas de cotorsion pour tous p � 0.


3. Le module canonique

Pour plus de commodité, dans tout ce qui suit nous noterons le corps de base par k, les al-gèbres analytiques locales de germes (Cm,0) et (X,o) par P = (P,mP ) et par A = (A,m),respectivement, si bien que A = P/I , où I est généré par une suite d’éléments f1, . . . , fk ∈ A.

Alors Ω•A

∼= ∧•Ω1A, où Ω1

A est le module de différentielles de Kähler, Der(A) =HomA(Ω1

A,A) est le module de k-différenciation de A, etc.Nous supposons aussi que A est l’anneau de Cohen–Macaulay de dimension 1 correspondant

à une singularité de courbe réduite X de dimension de plongement m � 2, m = dimk m/m2. Dansce cas

ω1A

∼= Extm−1P

(A,Ωm

P

) ∼= HomA

(A,ω1

A

), ω0

A∼= HomA

(Ω1

A,ω1A

).

En d’autres termes, soit I(k) l’enveloppe injectif du corps résiduel k = A/m, et KA =HomA(H 1

m(A),I(k)) le module canonique de A. Alors KA∼= ω1

A ⊂ Ω1A ⊗A F/A, où F est

l’anneau total des fractions de A (voir [17]). De plus, il y a une suite exacte de A-modules

0 −→ TorsΩ1A −→ Ω1

A

cA−→ ω1A −→ (

ω1A

)t −→ 0, (2)

où cA est l’application canonique (voir [22]). Il résulte de la définition que Ker(cA) = TorsΩ1A

∼=H 0

m(Ω1A) est le sous-module de torsion de Ω1

A, tandis que Coker(cA) = (ω1A)t contenu dans

H 1m(Ω1

A) est la cotorsion de la singularité de courbe. En particulier, les modules de torsion etcotorsion sont concentrés dans la singularité (A,m), et, par conséquent, ils sont des espacesvectoriels de dimension finie.

Dans les notations de la section 2, ω1X est isomorphe au module dualisant de Grothendieck de

la singularité de courbe, où ω1X ⊂ j∗j∗Ω1

X est l’inclusion naturelle et Z = SingX = {o}, tandis

que TorsΩ1X

∼= H 0{o}(Ω1X), (ω1

X)t ⊂ H 1{o}(Ω1X), et cX est l’application canonique induite par la

multiplication de la classe fondamentale du germe X.

Assertion 1. Soit A la normalisation d’un singularité A de dimension 1 dans son anneau totaldes fractions F , et soit C = Ann A/A est le conducteur de A dans A. Alors ω1

A∼= Ω1

A, ω1

A∼=

C · ω1A, et m · ω0

A⊆ C · ω0

A.

Démonstration. L’existence de deux isomorphismes est bien connue (voir [21, (3.2)]), tandisque l’inclusion est évidente. �Proposition 1. Soit V ∈ Derk(A) un k-différentiation d’une algèbre analytique 1-dimensionnelleréduite A. Alors il y a une extension naturelle V de V sur la normalisation de A si bien que lediagramme suivant dont les lignes sont exactes

0 −→ TorsΩ1A −→ Ω1

A

cA−→ ω1A −→ (ω1

A)t −→ 0

↓ιV ↓ιV ↓0 −→ Ω0

A∼= A −→ ω0

A −→ (ω0A)t −→ 0,

(3)

est commutatif ; ici ω0A = HomA(Ω1

A,ω1A), A ↪→ ω0

A est l’inclusion canonique, (ω0A)t ∼=

Ext1A((ω1A)t ,ω1

A), la flèche verticale ιV est la contraction le long de V , opérant sur Ω1A, tandis

que ι ˜ est induite par l’extension de V .
V


Démonstration. En premier lieu remarquons que si char(k) = 0, alors tout champ de vecteursV sur la singularité de courbe A peut être prolongé à sa normalisation A aussi bien qu’à tout leanneau des fractions F de A (voir [10, Lemma 2.33]) ; cette extension est notée par V ∈ Derk(A).Ainsi,

ιV

(Ω1

A

) = ιV

(ω1

A

) = ιV

(C · ω1

A

) = C · ιV(ω1

A

),

et la flèche verticale ιV du diagramme est bien définie. De plus, sous les hypothèses A est unanneau locale de Cohen–Macaulay de dimension de Krull 1. Alors HomA(k,ω1

A) = 0, et, parconséquent, HomA(M,ω1

A) = 0 pour tout A-module M de type fini avec SuppM ⊆ {m}. SoitΩ1

A = Ω1A/TorsΩ1

A. Appliquant le foncteur HomA(•,ω1A) pour les suite exactes suivantes

0 −→ TorsΩ1A −→ Ω1

A −→ Ω1A −→ 0, 0 −→ Ω1

A

cA−→ ω1A −→ (

ω1A

)t −→ 0, (4)

obtenues de la suite (2) on obtient un isomorphisme naturel HomA(Ω1A,ω1

A) ∼= HomA(Ω1A,ω1

A),et les quatre premiers termes de la suite exacte longue correspondante

0 −→ HomA

(ω1

A,ω1A

) −→ HomA

(Ω1

A,ω1A

) −→ Ext1A((

ω1A

)t,ω1

A

) −→ Ext1A(ω1

A,ω1A

),

depuis les supports de TorsΩ1A et (ω1

A)t sont contenues dans le point singulier {m}. Enfin, laproposition 6.1 d) de [17] implique que Ext1A(ω1

A,ω1A) = 0, HomA(ω1

A,ω1A) ∼= A, et il y a une

suite exacte canonique

0 −→ A −→ HomA

(Ω1

A,ω1A

) −→ Ext1A((

ω1A

)t,ω1

A

) −→ 0, (5)

où l’inclusion A −→ HomA(Ω1A,ω1

A) est donnée par la correspondance 1A → cA (voir détailsdans [21, §3]). Il n’est pas difficile à vérifier, que cA est compatible avec la contraction ιV ainsique avec son extension ιV , et diagramme (3), une combinaison de dernière suite exacte et (2),est commutatif. �Corollaire 1. (Cf. [5, Assertion 1].) Sous les mêmes hypothèses suppose également que le champde vecteurs V a une singularité isolée. Alors TorsΩ1

A = Ker(ιV ).

Démonstration. L’inclusion TorsΩ1A ⊆ Ker(ιV ) suit directement de diagram commutatif (3).

D’autre part, le support de K1 = Ker(ιV : Ω1A −→ A) est concentré au point singulier du germe

réduit (A,m). La condition de cohérence alors implique que A-module K1 est un espace vecto-riel de dimension finie sur le corps de base, cela veut dire que K1 est un module de torsion. Enparticulier, K1 ⊆ H 0{m}(Ω1

A) ∼= TorsΩ1A, et cela achève la démonstration. �

Corollaire 2. (Cf. [18, (4.4)].) Les longueurs des deux modules de cotorsion de la singularité A

sont égales, c’est-à-dire �((ω1A)t ) = �((ω0

A)t ).

Remarque. De la même manière, on peut vérifier facilement que (ω1A)t ∼= Ext1A((ω0

A)t ,ω1A)

(voir [18]). En effet, appliquant le foncteur HomA(•,ω1A) à la ligne du bas du diagramme (3),

on a

0 −→ HomA

(ω0

A,ω1A

) −→ ω1A −→ Ext1A

((ω0

A

)t,ω1

A

) −→ 0.

Par définition, les modules à gauche de cette suite est isomorphe à HomA(HomA(Ω1A,ω1

A),ω1A),

tandis que le dernier est isomorphe à HomA(HomA(Ω1A,ω1

A),ω1A) ∼= Ω1

A. Cela nous donne lasuite exacte (4) à droite.


Remarque. Il convient de souligner que ω0A ⊇ A, et, en général, ω0

A �= A. En particulier,ω0

A contient toutes les fonctions méromorphes localement bornées (que l’on aussi appelle faible-ment holomorphe) sur le germe de courbe X associé à A (voir [6]). Autrement dit, ω0

X contientle sous-module π∗(OX) composé de tous les germes de fonctions méromorphes sur X qui de-viennent holomorphe sur la normalisation π : X −→ X (voir [24]).

4. Le complexe contracté des formes méromorphes régulières

Pour simplifier les notations convenons d’écrire souvent ιV au lieu de ιV . Ainsi, il découle dela démonstration de Proposition 1 que le complexe

0 −→ ω1A

ιV−→ ω0A −→ 0

est bien définie ; il est appelé le complexe de formes différentielles méromorphes régulièrescontracté sur A et notée par (ω•

A, ιV ).

Proposition 2. Sous les hypothèses et les notations de la Proposition 1, on a

H1(ω•A, ιV ) = 0.

Démonstration. Par définition, ιV (ω1A) = ιV (C · ω1

A) = C · ιV (ω1A). Puisque V (C) ⊆ C, alors

V (m) ⊆ m (cf. [10]), et, par conséquent, Ker(ιV : ω1A

−→ ω0A) = 0. D’autre part, le conducteur

C est l’élément maximal de l’ensemble d’idéaux de A qui sont les idéaux de l’anneau A desidéaux principaux. Il n’est pas difficile de vérifier que C = (θ)A, où l’élément θ ∈ mA est nondiviseur de zéro (voir [21, 3.1 b)]). Donc, Ker(ιV : ω1

A −→ ω0A) = 0. �

Assertion 2. Sous les mêmes hypothèses supposons en plus que le champ de vecteurs V est unesingularité isolée sur le germe de (X,o). Alors

dimk H0(ω•

A, ιV) = dimk H0

(Ω•

A, ιV),

et cette dimension est égale à dimk A/JoV , où JoV est l’idéal de A, généré par les coefficientsde V . Il en résulte que

χ(ω•

A, ιV) = dimk H0

(ω•

A, ιV) − dimk H1

(ω•

A, ιV) = dimk A/JoV .

Démonstration. Le diagramme (3) produit la suite exacte suivant

0 −→ Ker((

ω1A

)t −→ (ω0

A

)t) −→ Coker(ιV ) −→ Coker(ιV )

−→ Coker((

ω1A

)t −→ (ω0

A

)t) −→ 0.

La différence des longueurs des modules à gauche et à droite de cette suite ne dépend pas duchamp de vecteur V ; elle est égale à la différence des longueurs de (ω1

A)t et de (ω0A)t , et qui,

en fait, est zéro (voir [18, (4.4)]). Par conséquent, les longueurs de deux modules du milieusont égales. Comme les deux modules sont concentrés au point singulier, ils sont les espaces dedimension finie de la même dimension. Il reste à noter que Coker(ιV ) ∼= H0(ω

•A, ιV ), tandis que

Coker(ιV ) ∼= H0(Ω•A, ιV ) ∼= A/JoV ; et cela achève la démonstration. �


5. L’index et modules de torsion

Il est clair que ιV (TorsΩ1A) = 0 et le diagramme (3) implique la suite exacte suivante de

complexes contractés :

0 −→ (Tors Ω•

A, ιV) −→ (

Ω•A, ιV

) cA−→ (ω•

A, ιV) −→ (

ω•A

)t −→ 0. (6)

Théorème 1. Sous les hypothèses de l’assertion 2 on a

Indhom,o(V ) = dimk A/JoV − dimk TorsΩ1A.

Démonstration. Par le Corollaire 2, la caractéristique d’Euler du complexe de cotorsion (ω•A)t

est égal à zéro. Par conséquent, la suite exacte (6) implique l’égalité

χ(Ω•

A, ιV) = χ

(ω•

A, ιV) − χ

(Tors Ω•

A, ιV).

Évidemment, χ(Tors Ω•A, ιV ) = −dimk TorsΩ1

A, et l’assertion 2 accomplit la démonstra-tion. �

Il en résulte que le calcul de l’indice homologique pour les courbes se ramène au calcul desdimensions du module de torsion de différentiels de Kähler et de l’algèbre quotient A/JoV .

Remarque. Il est bien connu que pour une singularité 1-dimensionnel Gorenstein réduite ladimension du module de torsion est égale au nombre de Tjurina de la singularité, c’est-à-diredimk TorsΩ1

A = τ(A), et τ(A) = dimk T 1(A), où T 1(A) est la cohomologie cotangent premièrede A.

Dans le cas général on peut calculer la dimension de torsion en termes de differentes de Noe-ther et de Dedekind avec l’aide d’une formule par R. Berger [7]. Il y a également de nombreuxarticles où le torsion de module des différentiels de Kähler est calculé explicitement pour lescourbes des types différents.

6. Modules gradués et série de Poincaré

Un anneau (commutatif) A est appelé gradué s’il s’agit d’une somme directe A = ⊕ν∈Z Aν

de groupes abéliens Aν tels que AνAλ ⊆ Aν+λ pour tous les entiers ν,λ ∈ Z. Les éléments deAν sont appelés homogènes de degré ν. Nous allons toujours supposer que A0 ⊇ k, où k est uncorps et que la k-algèbre gradué A est de type fini. Ensuite, tout A-module gradué M est unesomme directe de ses sous-groupes (composants homogènes), de sorte que M = ⊕

ν∈Z Mν etAνMλ ⊆ Mν+λ pour tout ν,λ ∈ Z. Désignons par M(λ) un A-module gradué obtenu à partir deM pour le décalage à gauche par λ ∈ Z, i.e. [M(λ)]ν = Mν+λ. Un homomorphisme (homogène)de degré λ de A-module gradués M et N est un morphisme A-linéaire f : M −→ N tel quef (Mν) ⊆ Nνλ = [N(λ)]ν pour tous ν ∈ Z.

Soit M = ⊕ν∈Z Mν un A-module Z-gradué ayant composantes homogènes des longueurs fi-

nies, c’est-à-dire �A(Mν) < ∞. Alors la série formelle de Laurent P(M;x) = ∑ν∈Z �A(Mν)xν

est appelée la série de Poincaré de M . Si la longueur du module M est fini, alors la série P(M;x)

est habituellement appelé le polynôme de Poincaré. Voici quelques propriétés simples de la sériede Poincaré :

(1) P(M;1) = �A(M), si M est longueur fini ;


(2) P(M(λ);x) = x−λP(M;x), λ ∈ Z ;(3) pour la suite exacte de modules Z-gradués

0 −→ Mn −→ · · · −→ M1 −→ M0 −→ 0,

dans lequel tous les homomorphismes sont de degré zéro, nous avons l’identité suivante

n∑i=0

(−1)iP(Mi;x) = 0.

Rappelons que si A est un anneau local, qui contient un sous-anneau isomorphe à k, le corpsrésiduel de A, alors pour tout A-module M on a

�A(M) = �k(M) = dimk(M),

si bien que sous nos hypothèses le module M peut être considéré comme un espace vectoriel surle corps k, et P(M;x) comme la série de Poincaré de l’espace vectoriel.

Dans ce qui suit, pour simplifier, nous supposons que A est une algèbre analytique local ayantle corps résiduel k ∼=C.

D’après [3] ou [5], nous considérons maintenant une complexe décroissant gradué de A-modules

(C•, ∂) : 0 −→ Cn∂n−→ · · · −→ C1

∂1−→ C0 −→ 0, (7)

dont toutes les composantes homogènes des groupes d’homologie Hi(C•), i � 0, sont les espacesvectoriels de dimension finie.

Définition 3. La fonction génératrice de l’homologie de (C•, ∂) est définie comme suit

GHP (C•;x, y) =n∑

i=0

(−1)iP(Hi(C•);x

)yi,

où P(Hi(C•);x) est le polynôme ou la série de Poincaré des groupes d’homologie des espacesvectoriels gradués.

Si tous les groupes d’homologie sont finis, la valeur de la fonction génératrice en x = y = 1est alors égale à la caractéristique d’Euler–Poincaré du complexe C•, i.e., GHP (C•;1,1) =χ(C•). Notez aussi que la fonction génératrice peut être considérée comme une variante de laχy -caractéristique utilisée par F. Hirzebruch dans un contexte similaire.

Assertion 3. Supposons que toutes les composantes homogènes du complexe décroissant (7)de A-modules gradués sont les espaces vectoriels de dimension finie, et les différentielles ducomplexe sont des homomorphismes homogènes de même degré v ∈ Z. Alors

GHP

(C•;x, xv

) =n∑

i=0

(−1)ixivP(Ci;x),

et si tous les groupes d’homologie soient les espaces vectoriels de dimension finie, on a

χ(C•) = GHP (C•;1) = (GHP (C•;x)

)∣∣x=1.


Démonstration. Procédez de manière similaire à la démonstration du Théorème 1 dans [5]. �En particulier, cela signifie que dans le cas gradué l’indice homologique est égale à la somme

des nombres entiers dont chacun est égal à la somme alternèe des dimensions des pièces gra-duées correspondantes de groupes d’homologie, ou, équivalemment, à la somme alternée desdimensions des pièces graduées correspondants de tous les termes du complexe de De Rhamcontracté.

7. Le cas 1-dimensionnel gradué

Supposons maintenant que A = P/I est une algèbre analytique locale Z-gradué correspon-dant à un germe X quasi-homogène. Alors l’idéal I est engendré par une suite de fonctionsf1, . . . , fk quasi-homogène de degrés pondérés d1, . . . , dk par rapport aux variables z1, . . . , zm

de poids w1, . . . ,wm (voir [5]). Autrement dit, le type d’homogénéité de la singularité est(d1, . . . , dk;w1, . . . ,wm) ∈ Zk × Zm. Alors tous les modules Ω

pA , p � 0, aussi bien que

Der(A) sont gradués en vertu des relations suivantes : degfj = degdfj = dj , j = 1, . . . , k,deg zi = degdzi = wi , i = 1, . . . ,m. En particulier, le degré pondéré de ∂/∂zi est égale à −wi ,i = 1, . . . ,m. De plus, si V est un élément homogène de Der(A) alors son extension V est aussihomogène. En particulier, tous les groupes d’homologie des complexes (Ω•

A, ιV ) et (ω•A, ιV )

sont des espaces vectoriels gradués.

Théorème 2. Soit A une algèbre analytique graduée réduite de dimension 1 et V ∈ Derk(A) unek-différentiation de degré pondéré v. Alors

Indhom,o(V ) = (P

(Ω0

A;x) − xvP(Ω1

A;x))∣∣x=1,

Indhom,o(V ) = (P

(ω0

A;x) − xvP(ω1

A;x))∣∣x=1 − dimk TorsΩ1

A.

Démonstration. Il est similaire à la démonstration du Théorème 1. �8. Courbes de Gorenstein

Rappelons maintenant que si A est une k-algèbre analytique Gorenstein de dimension 1, alorsle module dualisant ω1

A est libre de rang 1, si bien que ω1A

∼= A(η), où η est un générateur de ω1A.

Donc, la suite exacte (5) implique l’inclusion suivante

A −→ HomA

(Ω1

A,ω1A

) ∼= Derk(A).

L’image de A ne dépend pas du choix du générateur η ; il est noté DA et ses éléments sontappelés par dérivations triviaux (ou, équivalemment, différentiations triviaux) de A sur k. Il estbien connu que DA est un A-module libre de rang 1 et Derk(A)/DA

∼= J−1A /A, où JA

∼= cA(Ω1A)

est l’idéal de Jacobi de A.Dans ce cas A est gradué si et seulement si A/JA ou, équivalemment, Derk(A)/DA sont les

A-modules cycliques (voir [21]). Le générateur du module de celui-ci a le degré pondéré égaleau zéro ; on l’appelle souvent la k-différentiation d’Euler de A, ou le champ de vecteurs d’Eulerde X.

Corollaire 3. Soit A une k-algèbre analytique Gorenstein réduite de dimension 1, et soit V ∈Derk(A) une k-différentiation de degré pondéré v. Alors


Indhom,o(V ) = (x−cP

(Derk(A);x) − xv−cP(A;x)

)∣∣x=1 − τ(A),

où c = −deg(η), deg(η) est le degré pondéré du générateur canonique du module dualisant ω1A,

et τ(A) est le nombre de Tjurina de la singularité A. En particulier, pour le champ de vecteursd’Euler on a

Indhom,o(V0) = x−c(P

(Derk(A);x) − P(A;x)

)∣∣x=1 − τ(A).

Démonstration. En vertu des définitions ci-dessus, il y a les isomorphismes naturels

ω1A

∼= A[−c], ω0A

∼= HomA

(Ω1

A,ω1A

) ∼= Derk(A)[−c],et les identités suivantes pour les polynômes de Poincaré :

P(ω1

A;x) = x−cP(A;x), P(ω0

A;x) = x−cP(Derk(A);x)

.

En outre, dans le cas Gorenstein on a dimk TorsΩ1A = τ(A) (voir section 5). Donc, Théorème 2

implique l’égalité désirée. �Remarque. Il est utile de remarquer que pour les courbes de Gorenstein quasi-homogène on a�((ω1

A)t ) = �(Derk(A)/DA) = μ(A), c’est-à-dire la longueur du module cotorsion premier estégal au nombre de Milnor de la singularité (voir [21, Satz 1]).

Basés sur les considérations précédentes nous allons discuter ensuite quelques exemples inté-ressants où le calcul de l’indice est un exercice aisé.

9. L’intersections complètes

Soit A une courbe intersection complète de type (d1, . . . , dm−1;w1, . . . ,wm) ∈ Zk+ × Z

m+.Alors η = dz1 ∧ · · · ∧ dzm/df1 ∧ · · · ∧ dfm−1, si bien que c = −deg(η) = ∑

dj − ∑wi , d’ici

P(A;x) =∏(

1 − xdj)/∏(

1 − xwi),

P(Ω1

A;x) = P(A;x) rest=0 t−2∏(

1 + txwi)/∏(

1 + txdj) (

voir [3, Lemma (3.2)]),

P(TorsΩ1

A;x) = 1 + P(A;x) rest=0 t−2(1 + t)−1∏(

1 + txwi)/∏(

1 + txdj)

(voir [3, Theorem (3.2)]

),

P(ω1

A;x) = x−cP(A;x),

P(ω0

A;x) = x−cP(Derk(A);x) = 1 + x−cP(A;x)

(voir [3, (6.1), (6.4)]

),

et, de plus, dimk TorsΩ1A = μ(A) = τ(A). Comme conséquence on obtient que

Indhom,o(V ) = (1 + (

x−c − xv−c)P(A;x)

)∣∣x=1 − μ(A),

Indhom,o(V0) = 1 − μ(A).

Ainsi pour intersection de deux quadriques homogènes en espace de dimension 3 de type(2,2;1,1,1) on obtient P(TorsΩ1

A;x) = 3x2 + 2x3, τ(A) = μ(A) = 5, et

Indhom,o(V ) = (1 + x−1(1 + x)2(1 + x + · · · + xv−1))∣∣

x=1 − 5 = 4(v − 1),

P((

ω0A

)t ;x) = P((

ω1A

)t ;x) = x−1 + 3 + x,

etc.


Remarque. Il est très utile de comparer la expression ci-dessus pour l’indice homologique avec laformule dans [5], où le cas général de singularité isolée d’intersection complète quasi-homogènea été examiné en utilisant une autre méthode.

Notez que le type d’intersections complètes quasi-homogènes avec singularitèes isolées dedimension positive est défini uniquement, excepté le cas d’une hypersurface de l’ordre 2 (voir[3, (6.4)]), et le module Der(A) est généré par le champ de vecteurs d’Euler modulo des champsde vecteurs hamiltoniens (voir [3, Théorème 6.1]).

10. Courbes monômiales

Évidemment, toutes les composantes irréductibles d’une courbe quasi-homogène ayant unparametrization monômiale ; en d’autres termes, ces composants sont des courbes monômiales.Ainsi pour toute courbe monômiale soit H ⊆ N son semi-groupe de valeur, ou, équivalemment,semi-groupe numérique. Donc, son algèbre analytique duale est générée par les monômes th,h ∈ H , ou A ∼= k〈H 〉 par brièveté. Alors

P(A;x) =∑ν∈H

xν = 1 +∑

ν∈H+xν, P

(Der(A);x) =

∑ν∈End(H)

xν = 1 + xc + · · · ,

où H+ = H \ {0}, End(H) = {ν ∈ N: ν + H+ ⊂ H }, si bien que H ⊆ End(H) et c = dimk A/C

est le degré de conducteur de A dans A (voir [23]). Pour les courbes monômiales de Gorensteinon a [End(H) : H ] = 1. Alors Corollaire 3 donne la relation suivante pour l’indice de champ devecteurs d’Euler sur une courbe monômiale de Gorenstein

Indhom,o(V0) = 1 − τ(A).

On peut aussi calculer explicitement les dimensions de tous les composants gradués de lacohomologie cotangent première T 1(A) ∼= Ext1A(Ω1

A,A) des singularités en termes de leurssemi-groupes numériques (voir, par exemple, [23,9,12]), etc.

Soit maintenant X le germe d’un courbe monômial de type (8,9,10;3,4,5), plongé dans C3

avec les coordonnées x, y, z et défini par les mineurs d’ordre maximal de la matrice

Q =[

x y z

y z x2

], si bien que I = (f1, f2, f3),

où f1 = xz − y2, f2 = x3 − yz, f3 = x2y − y2,

et A ∼= k〈t3, t4, t5〉. C’est la courbe célèbre de F.S. Macaulay (1916). On peut verifier que δ(A) =dimk A/A = 2 et le degré du conducteur c est égal à δ +1 = 3 si bien que c �= 2δ. Il en résulte quela singularité n’est pas Gorenstein. En outre, τ(A) = 5, μ(A) = 4 (voir [1]), et on peut vérifierque dimk TorsΩ1

A = 5 par les calculs faciles suivants. Il est aisé de voir que le module de torsionest engendré sur A par les 6 différentiels de Kähler suivants :

4y dx − 3x dy, 4z dx − 3y dy, 5z dx − 3x dz,

4x2 dx − 3z dy, 5x2 dx − 3y dz, 5xy dx − 3z dz;nous les désignons par ω1, . . . ,ω6, respectivement. On peut verifier facilement que

2ω6 − xω1 = 3df3, 2ω2 − ω3 = 3df1, ω4 + ω5 = 3df2.

En particulier, ω1, ω2, ω4 sont générateurs sur A de la module de torsion par modulo dI =(df1, df2, df3). De plus, on a les congruences suivantes :


xω4 ≡ y df1 + x df2 (mod I ),

yω4 ≡ 2y df2 − x df3 (mod I ),

−zω4 ≡ x2 df1 − 3z df2 + 2y df3 (mod I ),

c’est-à-dire

xω4 ≡ yω4 ≡ zω4 ≡ 0(mod (I, dI )

);et de la même façon on déduit

x2ω2 ≡ yω2 ≡ zω2 ≡ 0(mod

(I, dI, (x, y, z)ω4

)),

x2ω1 ≡ zω1 ≡ 0(mod (I, dI, yω2, yω4)

),

xω2 ≡ yω1 (modf2).

Cela signifie que TorsΩ1A est généré sur k par les 5 différentiels de Kähler ω1, xω1, yω1,ω2,ω4,

d’où le résultat. Il s’ensuit que pour le calcul de l’indice on peut utiliser le Théorème 1.

11. Le cas de codimension deux

Soit maintenant A une courbe de Cohen–Macaulay de codimension deux. Ainsi, A = P/I

et par le théorème de Hilbert–Burch l’idéal I est engendré par les mineurs d’ordre maximal dequelque (n + 1) × n-matrice N qui définit la suite exacte suivante

0 −→ P n N−→ P n+1 −→ P −→ A −→ 0.

Puisque la hauteur de l’idéal I est égale deux, alors HomP (A,P ) = Ext1P (A,P ) = 0. Parconséquent, la suite exacte duale nous donne une résolution libre pour le module canoniqueKA = Ext2P (A,P ) ∼= ω1

A de la singularité A :

0 −→ P ∨ −→ P n+1∨ NT−→ P n∨ −→ KA −→ 0,

où M∨ = HomP (M,P ) pour tout P -module M , et NT est la matrice transposée. Par exemple,dans le cas de la courbe de Macaulay ci-dessus, on a n = 2 et N = QT. Compte tenu de lagraduation naturelle de tous les modules on peut calculer la série de Poincaré P(ω1

A;x) entermes de degrés pondérés des entrées de la matrice N , et ainsi de suite.

D’autre part, dans bien de cas on peut également décrire le module des différentiels de Kählerpar des calculs élémentaires. Ainsi, dans les notations de la section 10 nous considérons main-tenant le germe de l’union des trois axes coordonnées dans C3 ; il est le germe d’une courbe decodimension 2 définie par les mineurs maximaux de la matrice

Q =[

x 0 z

0 y z

],

si bien que I = (xy, yz, xz). En d’autres termes, c’est un cône affin sur trois points génériquesdans P

2. Fixons la graduation dans lequelle degx = degy = deg z = 1. Il n’est pas difficile decalculer la série de Poincaré de A et de Ω1

A directement. Plus précise, dimk A0 = 1, dimk Aν = 3pour tous ν � 1, dimk(Ω

1A)ν = 3 pour tous ν � 1, ν �= 2, dimk(Ω

1A)2 = 6, et tous les autres

composants gradués sont triviaux. D’où il vient que pour le calcul de l’indice on peut utiliserl’assertion 3. D’ailleurs, on peut verifier que δ(A) = 2 et c = δ + 1 �= 2δ si bien que la singularité


A n’est pas Gorenstein aussi. D’après [1], on a τ(A) = 3 et μ(A) = 2. De plus, le module de tor-sion est engendré sur k par les trois différentiels z dx, x dy, y dz, c’est-à-dire dimk TorsΩ1

A = 3,d’où l’on tire que dimk(ω

1A)t = dimk(ω

0A)t = 2, etc.

Remarque. De la même manière, on peut calculer l’indice sur les courbes de Gorenstein de co-dimension 3, sur les cônes affins dont les bases sont les schémes projectives zéro-dimensionelles(voir [11]), sur les bouquets de courbes monômiales (voir [2]), et bien d’autres.

Remerciements

Je tiens à remercier très vivement Enrico Boasso pour son aide inappréciable dans la prépara-tion de la version finale de l’article.

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lʼindice des champs de vecteurs sur les courbes de cohen–macaulay

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