7 translation vecteurs

7/25/2019 7 Translation Vecteurs

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Yvan Monka Acadmie de Strasbourg www.maths-et-tiques.fr

TRANSLATION ET VECTEURS

Activits de groupe : La Translation (Partie1) :

http://www.maths-et-tiques.fr/telech/trans_gr1.pdf

La Translation (Partie2) :http://www.maths-et-tiques.fr/telech/trans_gr2.pdf

Activit conseille Activit conseillep150 activit1 : Attention, aglisse !

p148 activit1 : Attention, aglisse !

ODYSSE 2de HATIER Edition2010 ODYSSE 2de HATIER Edition2014

I. Translation

Exemple :B

80m Une translation est un glissement :A - avec une direction donne :

cble du tlphrique, la droite (AB),- avec un sens donn :

le tlphrique monte de A vers B,- avec une longueur donne :

80m, longueur AB

On dit que :Le tlphrique T est limage du tlphrique T par la translation qui transforme Aen B.

Dfinition :Soit P et P deux points distincts du plan.

On appelle translation qui envoie P sur P la transformation dont limage Fdune

figure Fest obtenue en faisant glisser la figure F:

- selon la direction de la droite (PP),- dans le sens de P vers P,- dune longueur gale PP.

T

T

P

PF

F


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Mthode : Construire limage dune figure par une translation

Soit tla translation qui transforme A en A.Construire limage BCDE du trapze BCDE par la translation t.

Exercices conseills En devoir Exercices conseills En devoirp171 n1 3 p171 n4 p166 n1 4 p166 n5


II. Vecteurs

1. Dfinition :

Dfinition :Soit tla translation qui envoie A sur A, B sur B et C sur C.Les couples de points (A ; A), (B ; B) et (C ; C) dfinissent un vecteurcaractris par :- une direction : celle de la droite (AA),- un sens : de A vers A,- une longueur : la longueur AA.


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On note u!

ce vecteur et on crit : u!

=

AA'

! "!!

.

On dit que AA'! "!!

est un reprsentant de u!

.

BB '

! "!!

etCC'! "!!!

sont galement des reprsentants deu!

.

Remarque :

La longueur dun vecteur est aussi appele la norme du vecteur.

vecteur vient du latin vehere (conduire, transporter)

Le mot a t introduit en 1925 et la notation AB

! "!!

en 1920.A lorigine des vecteurs, un italien, Giusto Bellavitis(1803-1880) qui les dsignaitcomme segments quipollents.

Activits de groupe :

http://www.maths-et-tiques.fr/telech/Act_vect.pdf

TP info : Bonhommes et dromadaires :

http://www.maths-et-tiques.fr/telech/bonhom.pdfhttp://www.maths-et-tiques.fr/telech/droma.pdf

2. Egalit de vecteurs

Dfinition :

Les vecteurs AB! "!!

et CD! "!!

sont gaux lorsquils ont mme direction, mme sens etmme longueur.

On note AB! "!!

= CD! "!!

.

Exemple :

Ci-dessous, on peut poser : u!

= AB! "!!

= CD! "!!

.

AB

! "!!

et CD! "!!

sont des reprsentants du vecteur u!

.

C

C

B

B

A

A

A

C

DB

AB

! "!!

CD

! "!!

u

!


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Proprit du paralllogramme :Soit A, B, C et D quatre points deux deux distincts.

Dire que les vecteurs AB! "!!

et CD! "!!

sont gaux revient dire que le quadrilatreABDC est un paralllogramme, ventuellement aplati.

Dmonstration :

- Si AB! "!!

= CD! "!!

, la translation de vecteur AB! "!!

transforme le point C en D. Lessegments [AB] et [CD] ont donc mme longueur et mme direction.Le quadrilatre non crois ABDC est donc un paralllogramme ventuellementaplati.

- Rciproquement : Les cts opposs dun paralllogramme sont parallles et de

mme longueur donc les vecteursAB

! "!!

etCD

! "!!

, dfinis laide des segments [AB]et [CD] dun paralllogramme ABDC, sont gaux.

Mthode :

A partir du paralllogramme ABCD, construire les points E, F, G et H tels que :

DE

! "!!

= BC! "!!

CF

! "!!

= DC! "!!

BG

! "!!

= AB! "!!

HA

! "!!

= BC! "!!

Exercices conseills En devoir Exercices conseills En devoir-p171 n5, 6Ex 1 et 2 (page15)-p177 n77Ex 4 6 (page15)

Ex 3 (page15) -p166 n5Ex 1 et 2 (page15)-p170 n58Ex 4 6 (page15)

Ex 3 (page15)


B

A

D

C

DCB

A

H

AG

B

D

CF

E

A

D

B

C


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Proprit du milieu :Dire que B est le milieu du segment [AC] revient dire

que AB! "!!

et BC! "!!

sont gaux.

3. Vecteur nul

Dfinition :

Un vecteur AB! "!!

est nul lorsque les points A et B sont confondus.

On note : AB! "!!

= 0!

.

Remarque :

Pour tout point M, on a : MM! "!!!

= 0!

.

4. Vecteurs opposs

Il ne faut pas confondre sens et direction !Une droite dfinit une direction, ci-dessous la direction de la droite (AB).Cependant une direction possde deux sens, ici de A vers B ou de B vers

A .

Dfinition :Deux vecteurs sont opposs lorsquils ont la mme direction, la mme longueuret quils sont de sens contraire.

AB

! "!!

et BA! "!!

sont des vecteurs opposs.

On note BA! "!!

= -

AB

! "!!

Exercices conseills En devoir Exercices conseills En devoirp172 n8 et 9p171 n7p178 n90

p178 n87 p173 n67, 68p176 n111*

p176 n108


A

B

CB

A

AB

! "!!

BC

! "!!

A

BAB

! "!!

BA

! "!!


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III. Somme de vecteurs

1. Dfinition

Exemple :

Soit t1la translation de vecteur u!

et t2est la translation de vecteur v

!

.

Appliquer la translation t1puis la translation t2:t1 t2

M M1 M2

revient appliquer la translation t de vecteurw!"

:t

M M2

Proprit :La compose (ou lenchanement) de deux translations est une translation.

Dfinition :

u

!

et v!

sont deux vecteurs quelconques.

On appelle sommedes vecteurs u!

et v!

, note u!

+

v

!

, le vecteurw!"

associ la

translation compose des translations de vecteursu!

et v!

.

2. Une relation fondamentale

La relation de Chasles :

Pour tous points A, B et C du plan, on a : AC! "!!

= AB! "!!

+ BC! "!!

.

Remarque :

Dans le triangle ABC, on a galement les relations : AB! "!!

= AC! "!!

+ CB! "!!

BC

! "!!

= BA! "!!

+ AC! "!!

.

AB

! "!!

AC

! "!!

BC

! "!!

A C

B


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Michel Chasles (Fr, 1793-1880) : La relation nest pas de lui, mais nomme ainsi enhommage ses travaux sur les vecteurs.Homme naf, on raconte quil fut ruin en achetant de fausses lettres (Jeanne darc sa mre, Vercingtorix Csar,!) !

Mthode :Simplifier les critures :

a) AM! "!!!

+ MN! "!!!

b) MP! "!!

+ AM! "!!!

c) OP! "!!

+ KO! "!!

+ NK! "!!

d) MN! "!!!

+ NM! "!!!

e) MO! "!!!

+ PM! "!!!

+ OP! "!!

f) KN! "!!

ON! "!!

+ OK! "!!

a) AM! "!!!

+ MN! "!!!

b) MP! "!!

+ AM! "!!!

c) OP! "!!

+ KO! "!!

+ NK! "!!

= AN! "!!

= AM! "!!!

+ MP! "!!

= KO! "!!

+ OP! "!!

+ NK! "!!

= AP! "!!

= KP! "!!

+ NK! "!!

= NK! "!!

+ KP! "!!

= NP! "!!

d) MN! "!!!

+ NM! "!!!

e) MO! "!!!

+ PM! "!!!

+ OP! "!!

f) KN! "!!

ON! "!!

+ OK! "!!

= MM! "!!!

= MO! "!!!

+ OP! "!!

+ PM! "!!!

= KN! "!!

+ NO! "!!

+ OK! "!!

= 0!

= MP! "!!

+ PM! "!!!

= KO! "!!

+ OK! "!!

= MM! "!!!

= KK! "!!

= 0!

= 0!

Exercices conseills En devoir Exercices conseills En devoirEx 7 9 (page15et 16)

p172 n21

p172 n20 p167 n18, 19,21

p173 n77p174 n79, 80

p167 n20


TP conseill TP conseillTP Tice2 p163 : Dmontrer avecles vecteursTP Tice3 p163 : Somme nulle

p162 TP5 : Dmontrer avec lesvecteursp163 TP6 : Somme nulle


3. Consquence :

Proprit caractristique du paralllogramme :

Dire que ABCD est un paralllogramme revient dire que AC! "!!

= AB! "!!

+ AD! "!!

,B

A

C

D


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Dmonstration :

Daprs la relation de Chasles, lgalit AC! "!!

= AB! "!!

+ AD! "!!

peut scrire :

AD

! "!!

+DC

! "!!

= AB

! "!!

+AD

! "!!

soitDC

! "!!

= AB

! "!!

,soit encore : ABCD est un paralllogramme.

4. Diffrence de deux vecteurs

Dfinition :

u

!

et v!

sont deux vecteurs quelconques.

On appelle diffrencedu vecteur u!

avec le vecteur v!

, le vecteur not u!

- v!

, tel

que : u!

- v!

= u!

+ (-

v

!

).

Mthode : Construire un point dfini partir dune somme de vecteurs

Soit un triangle ABC.

Construire le point F tel que AF! "!!

= BA! "!!

+ BC! "!!

C

F

A

B

BA

! "!!

AF

! "!!

BC

! "!!

C

A

B


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On construit partir de A (origine de

AF

! "!!

) le vecteur BA! "!!

+ BC! "!!

en mettant bout

bout les vecteurs BA! "!!

et BC! "!!

.

On a ainsi construit un vecteur AF! "!!

et donc le point F.

Activit de groupe : Course dorientation

http://www.maths-et-tiques.fr/telech/Course_vect.pdf

Exercices conseills En devoir Exercices conseills En devoirEx 10 12(page16)

p166 n9 p167 n13


IV. Produit dun vecteur par un rel

1. Dfinition

Exemple :

Soit u!

un vecteur du plan.

Appliquer 5 fois la translation de vecteur u!

revient appliquer la translation de vecteur

w

!"

= u!

+ u!

+ u!

+ u!

+ u!

= 5

u

!

Remarques :

- Les vecteurs 5

u

!

et u!

ont la mme direction et le mme sens.

- La norme du vecteur 5

u

!

est gale 5 fois la norme du vecteur u!

.

Dfinition :

u

!

est un vecteur quelconque diffrent de 0!

et kun nombre rel non nul.

On appelle produitdu vecteur u!

par le rel k, le vecteur not k

u

!

:

- de mme direction que u!

,

- de mme sens que u!

si k > 0 et de sens contraire si k < 0,

- de norme gale : k fois la norme de u!

si k > 0,

-k fois norme de u!

si k < 0.

u

!"

ku!"

ku!"

k > 0 : k < 0 :


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Remarque :

Si u!

= 0!

ou k= 0 alors k

u

!

= 0!

.

Exemples :

Les vecteurs u!

, 1,5

u

!

et -3

u

!

ont la mme direction.

u

!

et1,5

u

!

sont de mme sens.

u

!

et -3

u

!

sont de sens contraire.

La norme du vecteur 1,5

u

!

est gale 1,5 fois la norme de u!

.

La norme du vecteur -3

u

!

est gale 3 fois la norme de u!

.

Exercices conseills En devoir Exercices conseills En devoirEx 13 et 14(page16)p172 n18, 19

p167 n16p173 n75, 76

p167 n17


Mthode :Reprsenter un vecteur dfini comme produit et somme de vecteurs

1) Soit deux vecteurs u!

et v!

.

Reprsenter les vecteurs suivants :2

u

!

, -

v

!

, 2

u

!

v!

.

2) Soit trois points A, B et C.

Reprsenter le vecteur BC! "!!

3

AC

! "!!

.

1)

u

!"

1,5u

!"

-3u!"

u

!"

v

!

BC

A


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Pour reprsenter le vecteur 2

u

!

, on place bout bout deux vecteursu!

.

Pour reprsenter le vecteur

v

!

, on reprsente un vecteur de mme direction et

mme longueur que v!

mais de sens oppos.

Pour reprsenter le vecteur 2

u

!

-

v

!

ou 2

u

!

+(-

v

!

), on place bout bout les

vecteurs 2

u

!

et

v

!

.

Dans le chemin de vecteurs ainsi construit, le vecteur 2

u

!

-

v

!

a pour origine

lorigine du vecteur 2

u

!

et pour extrmit lextrmit du vecteur

v

!

.

On obtiendrait le mme rsultat en commenant par placer le vecteur

v

!

et

ensuite le vecteur 2

u

!

.

2)

Pour reprsenter le vecteur BC! "!!

- 3

AC

! "!!

ouBC! "!!

+ (-3

AC

! "!!

), on place bout bout

les vecteursBC

! "!!

et-3

AC

! "!!

.

Exercices conseills Exercices conseills

Ex 15 17(page16)p172 n10 12

p166 n6, 7, 8p173 n69

p166 n10


Mthode : Construire un point vrifiant une galit vectorielle

1) Soit deux vecteurs u!

et v!

et un point O du plan.

Construire le point A tel que OA

! "!!

= 3

u

!

- v!

.

2) Soit trois points A, B, C du plan.

Construire le point M tel que AM! "!!!

= -

AB

! "!!

+ 3

AC

! "!!

.

BC

A

BC

! "!!

-3

AC

! "!!

BC

! "!!

-3

AC

! "!!

AC

B

u

!"

v

!

O


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1)

Pour reprsenter le vecteur OA! "!!

= 3

u

!

- v!

, on place bout bout partir du point

O les vecteurs 3

u

!

et-

v

!

.

Le point A se trouve lextrmit du vecteur -

v

!

dans le chemin de vecteursainsi construit.

2)

Pour reprsenter le vecteurAM! "!!!

= -

AB

! "!!

+ 3

AC

! "!!

, on place bout bout partir de

A les vecteurs-

AB

! "!!

et3

AC

! "!!

.

Le point M se trouve lextrmit du vecteur3

AC

! "!!

dans le chemin devecteurs ainsi construit.

Exercices conseills En devoir Exercices conseills En devoir- Ex 18 20(page17)

p172 n14, 15*- Ex 21 et 22(page17)

p172 n13 p167 n14p173 n70, 71,

72

p167 n15


M

AC

B

AM

! "!!!

= -

AB

! "!!

+ 3

AC

! "!!

3

AC

! "!!

-

AB

! "!!


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Mthode : Exprimer par lecture graphique un vecteur en fonction dautresvecteurs

Par lecture graphique, exprimer le vecteur u!

en fonction des vecteurs a!

et b!

.

On construit un chemin de vecteurs a!

et b

!

mis bout bout reliant lorigine

et lextrmit du vecteur u!

.

On compte ainsi le nombre de vecteurs a!

et b!

formant le chemin .

u

!

= 3a!"

+ 3

b

!

.

Exercices conseills Exercices conseills

Ex 23, 24(page17)p172 n16 et 17

p167 n11p173 n73, 74

p167 n12


2. Colinarit

Dfinition :

Deux vecteurs non nuls u!

et v!

sont colinaires signifie quils ont mme direction

cest dire quil existe un nombre rel ktel que u!

= k

v

!

.

Remarque :Le vecteur nul est colinaire tout vecteur du plan.

Exemple :

v

!

= -3

u

!

u

!

et v!

sont colinaires.

u

!"

v!

= -3u!"

u

!"

b

!

a

!"


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Mthode : Dmontrer que des vecteurs sont colinaires

On donne u!

un vecteur du plan.

Soit un vecteurv

!

tel que -4

u

!

+ 3

v

!

=0

!

.Dmontrer que les vecteurs u

!

et v!

sont colinaires.

-4

u

!

+ 3

v

!

= 0!

-4

u

!

= -3

v

!

4

3

u

!

= v!

Il existe un nombre rel k= 4

3

tel que v!

= k

u

!

.

Donc u!

et v!

sont donc colinaires.

Proprits :1) A, B, C et D tant quatre points deux deux distincts du plan.

Dire que les droites (AB) et (CD) sont parallles revient dire que les vecteurs

AB

! "!!

et CD! "!!

sont colinaires.

2) Dire que les points distincts A, B et C sont aligns revient dire que les

vecteurs AB! "!!

et AC! "!!

sont colinaires.

Exercices conseills En devoir Exercices conseills En devoirp173 n28 34 p173 n35 p167 n22 24

p170 n60, 61p174 n86, 88,89

p167 n25


TP conseill TP conseillp168 TP1, 2 et 3 p178 n117, 118, 119


Hors du cadre de la classe, aucune reproduction, mme partielle, autres que celles prvues l'article L 122-5 du code de

la proprit intellectuelle, ne peut tre faite de ce site sans l'autorisation expresse de l'auteur.

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Exercice 1


a) Construire le point M tel que AM! "!!!

=BC

! "!!

.

b) Construire le point N tel que BN! "!!

=AC

! "!!

.

c) Construire le point P tel que CP! "!!

=BC

! "!!

.

Exercice 2

Soit un carr ABCD.

a) Construire le point R tel que AR! "!!

=CB

! "!!

.

b) Construire le point S tel que DS! "!!

=BC

! "!!

.

c) Construire le point T tel que BT! "!!

= AC

! "!!

.

Exercice 3

Soit un triangle MNP rectangle en M.

a) Construire le point A tel que AM! "!!!

=MP

! "!!

.

b) Construire le point B tel que MB! "!!

=PN

! "!!

.

a) Construire le point C tel que CP! "!!

= NM

! "!!!

.

Exercice 4

Soit deux paralllogrammes ABCD et CDEF.

a) Donner deux vecteurs gaux au vecteur AB! "!!

.b) Quel est la nature du quadrilatre ABFE ? Justifier.

Exercice 5

Soit un paralllogramme ABCD.

a) Construire le point E tel que BE! "!!

= AB

! "!!

.

b) Quel est la nature du quadrilatre BECD ? Justifier.

Exercice 6

Soit un rectangle ABCD.

a) Construire le point M tel que CM! "!!!

= DB

! "!!

.b) Quel est la nature du quadrilatre BMCD ? Justifier.

Exercice 7

Dans chaque cas, appliquer la relation de Chasles pour exprimer le plus simplementpossible les sommes de vecteurs :

a) AB! "!!

+ BC

! "!!

b) AB! "!!

+CA

! "!!

c) AB! "!!

+ CA

! "!!

+ BD

! "!!

Exercice 8


a) AB! "!!

! AC

! "!!

b) CB! "!!

! AB

! "!!

c) AB! "!!

! DB

! "!!

! AD

! "!!


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Exercice 9


a) MP! "!!

! NP

! "!!

b) MN! "!!!

+ MP

! "!!

! PN

! "!!

c) NP! "!!

! MP

! "!!

+ MN

! "!!!

Exercice 10

Soit un triangle ABC.a) Construire le point D tel que AD

! "!!

= BC

! "!!

+ BA

! "!!

.

b) Construire le point E tel que AE! "!!

= AB

! "!!

+ AC

! "!!

.

Exercice 11


a) Construire le point D tel que CD! "!!

=CA

! "!!

+ BC

! "!!

.

b) Construire le point E tel que BE! "!!

= CB

! "!!

+ AC

! "!!

.

Exercice 12

Soit un carr ABCD.a) Construire le point E tel que BE

! "!!

= DC

! "!!

+ DB

! "!!

.

b) Construire le point F tel que CF! "!!

= AD

! "!!

+ BA

! "!!

.

Exercice 13

Dans chaque cas, exprimer le plus simplement possible les sommes de vecteurs :

a) 2u!

+ 3u

!

+ 4u

!

b) u!

+5u!

!2u!

c) 7u!

! 5u!

+ u

!

Exercice 14

Dans chaque cas, exprimer le plus simplement possible les sommes de vecteurs :

a) 7a

!

!3a

!

!9a

!

b) 4b

!

! 3b

!

!b

!

( ) c)1

2c

!

!

3

2c

!

+ c

!

Exercice 15

a) Reproduire sur un quadrillage les deux points A et B.

b) Reprsenter les vecteurs a!

et b!

tels que :

a

!

= 2AB

" !""

et b!

=!BA" !""

Exercice 16

a) Reproduire sur un quadrillage les trois points A, B et C.


et b!

tels que :

a

!

= AB

" !""

+ BC

" !""

et b!

= AB" !""

!BC

" !""

Exercice 17

a) Reproduire sur un quadrillage les trois points A, B et C.


et b!

tels que :

a

!

= 2AB

" !""

+ AC

" !""

et b!

= AB" !""

!2AC" !""


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17 sur 17


Exercice 18

Soit A, B et C trois points du plan.Reproduire la figure ci-dessous en respectant lequadrillage puis construire le point M tel que

AM

! "!!!

= AB

! "!!

+ AC

! "!!

.

Exercice 19

Soit A, B et C trois points du plan.Reproduire la figure ci-dessous en respectant le quadrillage puis

construire le point N tel que AN! "!!

= 2AB

! "!!

+ AC

! "!!

.

Exercice 20

Soit A, B et C trois points du plan.Reproduire la figure ci-dessous en respectant le quadrillage puis

construire le point P tel que AP! "!!

= 3AB

! "!!

! AC

! "!!

.

Exercice 21Dans chaque cas, appliquer la relation de Chasles pour exprimer le plus simplementpossible les sommes de vecteurs :

a) 2AB! "!!

+ 2BC

! "!!

b) 2AD! "!!

+ BD

! "!!

! 3AD

! "!!

c) AB! "!!

+ CA

! "!!

! DB

! "!!

!CD

! "!!

Exercice 22

Soit A, B et C quatre points du plan.Dmontrer les galits suivantes.

a) AB! "!!

+ BC

! "!!

+CA

! "!!

= 0

"

b) AB! "!!

+CA

! "!!

!CB

! "!!

= 0

"

c) AC! "!!

+ BC

! "!!

+ AB

! "!!

= 2AC

! "!!

Exercice 23

Dans chaque cas, exprimer le vecteur u!


et b!

.a) b)

Exercice 24

Dans chaque cas, exprimer le vecteur u!


et b!

.

a) b)

7 translation vecteurs

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