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TP de Physique : Les oscillateurs électroniques 1

LES OSCILLATEURS ELECTRONIQUES

Table des matières

1 Génération d’un signal quasisinusoïdal 21.1 Principe d’un oscillateur à boucle de réaction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.1.1 Structure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.1.2 Conditions d’oscillations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.1.3 Condition nécessaire d’oscillations sinusoïdales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2 Exemple de l’oscillateur à pont de Wien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.2.1 Filtre de Wien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.2.2 Oscillateur à pont de Wien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.3 Exemple de l’oscillateur à résistance négative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.3.1 Résistance négative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.3.2 Résistance négative à amplificateur opérationnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.3.3 Oscillateur à résistance négative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2 Comparateurs simples et à hystérésis 62.1 Comparateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.1.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.1.2 Comparateurs simples à A.O. idéal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.2 Comparateur à hystérésis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.3 Multivibrateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.3.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.3.2 Principe d’un multivibrateur astable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.3.3 Réalisation d’un multivibrateur astable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

3 Oscillateur sinusoïdal à pont de Wien (système bouclé non inverseur) 103.1 Théorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103.2 Expériences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

4 Oscillateur sinusoïdal à réseau déphaseur RC (système bouclé inverseur) 104.1 Théorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104.2 Expériences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

5 Oscillateur de relaxation : multivibrateur astable 115.1 Théorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115.2 Expérience . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

6 Oscillateur à résistance négative - Portrait de phase 116.1 Schéma théorique de l’oscillateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116.2 Théorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

6.2.1 Résistance négative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116.2.2 Equation différentielle du 2eme ordre en v(t) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126.2.3 Démarrage des oscillations et régime établi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126.2.4 Portrait de phase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

6.3 Expérience . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12


LES OSCILLATEURS ELECTRONIQUESThéorie

Objectif :

— Comment utiliser un système commandé pour générer un signal sinusoïdal.— Etude des comparateurs.

1 Génération d’un signal quasisinusoïdal

1.1 Principe d’un oscillateur à boucle de réaction

1.1.1 Structure

Il s’agit d’un système bouclé qui génère un signal sinusoïdal en l’absence de signal d’entrée :— la chaîne directe est constituée par un amplificateur (A),— la chaîne de retour est un filtre obtenu avec un quadripôle passif (B).

B

A se=0

r

ε+

-

B'= -B

A

B

A se=0

r

ε+

- s

1.1.2 Conditions d’oscillations

— D’un point de vue théorique, le système sera le siège d’oscillations sinusoïdales à la fréquence f0 si l’ensemble chaîne

directe + chaîne de retour + comparateur a une fonction de transfertHens (p) =A(p)

1+A(p)B(p) telle que |Hens (j2πf0)| = 1

et Arg(Hens (j2πf0)) = 2kπ avec k entier. En effet dans de telles conditions, si le signal est présent il pourra se maintenirdans le circuit. Mais il reste tout de même le problème de l’apparition de ce signal. De plus la réalisation expérimentaleexacte des conditions précédentes est difficile.

— Pour modéliser l’apparition du signal il faut considérer qu’à un instant donné il apparaît une microtension dansle circuit. En procédent comme dans le chapitre précédent (Ch I : Systèmes linéaires asservis § 3.1.2. : Immunité auxperturbations) on ajoute une perturbation dans le cicuit à un instant donné ; on a alors :— pour un système stable, le régime libre tend vers zéro et les effets de la perturbation disparaissent.— pour un système instable il y a alors deux cas possibles :

— le système évolue vers un état stable dans son domaine non linéaire (saturation permanente sans oscillation),— le système évolue vers son domaine non linéaire sans état stable (le système oscille).

— Nous savons que le système est instable s’il existe au moins une racine de l’équation caractéristique∑m

k=0 bk.rk = 0 à

partie réelle positive (on obtient l’équation caractéristique en annulant le dénominateur de la fonction de transfert :1− A (p)B′ (p) = 0). Pour un tel système, on se trouve dans le cas ”état stable dans son domaine non linéaire” si la

valeur de saturation Ssat est telle que

A(0)×B′(0)× Ssat ≥ Ssat si Ssat > 0A(0)×B′(0)× Ssat ≤ Ssat si Ssat < 0

(le signal Ssat est permanent).

Réponse d’un système à une perturbation


Conclusion :

Un circuit bouclé fonctionne en oscillateur si :— il existe au moins une racine de A(p)×B′(p) = 1 à partie réelle positive,— le ”gain de boucle” en régime permanent est tel que A(0)×B′(0) < 1.

1.1.3 Condition nécessaire d’oscillations sinusoïdales

On se place dans le cas particulier où la chaîne d’action est telle que A(p) = A0 = cste et la chaîne de retour est un filtrepasse-bande du second ordre avec

B(p) =Bmax

1 +Q( pωo+ ωo

p )⇒ B′(p) =

−Bmax1 +Q( p

ωo+ ωo

p )

— la première condition pour obtenir des oscillations s’écrit ”il existe au moins une racine de A(p)× B′(p) = 1 à partieréelle positive” soit ”il existe au moins une racine de A0 ×

−Bmax

1+Q( pωo+ωo

p) = 1 (E) à partie réelle positive”

(E)⇒−Ao ×Bmax = 1 +Q

(p

ωo+ωop

)

⇒

(p

ωo

)2+1 +Ao ×Bmax

Q

(p

ωo

)+ 1 = 0

cette condition est donc vérifiée si 1+Ao×Bmax

Q < 0 soit Ao ×Bmax < (−1) ;

— la deuxième condition A(0)×B′(0) < 1 est vérifiée car A(0)×B′(0) = A0 × 0 = 0 < 1 ;

— si l’on veut des oscillations sinusoïdales la solution de l’équation H(p) = S(p)E(p) doit être une fonction pratiquement

sinusoïdale. Après disparition de la perturbation E(p) :

E(p) = 0 ⇒S(p)

H(p)= 0

⇒S(p)(A

1−A.B′

) = 0

⇒ (1−Ao.B′) .S(p) = 0

⇒

(

1 +Ao.Bmax

1 +Q( pωo+ ωo

p )

)

.S(p) = 0

⇒

((p

ωo

)2+

(1 +Ao.Bmax

Q.ωo

).p

ωo+ 1

)

.S(p) = 0

⇒

(d2s

dt2

)+ ωo

(1 +Ao.Bmax

Q

).

(ds

dt

)+ ω2o.s = 0

les solutions de cette équation seront pratiquement sinusoïdales si les parties réelles des solutions de l’équation carac-téristique sont proches de zéro, c’est à dire 1+Ao.Bmax

Q → 0 tout en restant négatif pour assurer l’instabilité.

Cette condition est réalisée si Ao ×Bmax → (−1)− et Q 1.On peut retrouver ce résultat en remarquant que Ao ×Bmax → (−1) correspond au cas ou l’équation du second ordrevérifiée par le signal de sortie est celle d’un oscillateur harmonique. L’inégalité Ao × Bmax < (−1) donne un régimedivergent.

Conclusion :

En notant Ao l’amplification de la chaîne directe, Bmax l’amplification maximale du filtre passe-bande etQ son facteur de qualité alors :

— la condition d’oscillation est Ao ×Bmax < (−1) ;— la condition d’oscillation sinusoïdale est Ao ×Bmax < (−1) et Q 1 (avec Ao ×Bmax → (−1)− si Q n’estpas suffisament élevé) ;

— la fréquence fo des oscillations est celle de résonance du filtre.


1.2 Exemple de l’oscillateur à pont de Wien

1.2.1 Filtre de Wien

On considère le circuit ci-dessus (pont de Wien). La fonction de transfert est donnée par (pont diviseur de tension) :

B(p) =ZRC//

ZRC// + ZRCserie=

13

1 + 13

(RCp+ 1

RCp

)

Il s’agit bien d’un filtre passe-bande. Son facteur de qualité est Q = 13 . Sa fréquence de résonnance est fo =

12πRC et son

amplifiation maximale est Bmax =13 .

1.2.2 Oscillateur à pont de Wien

— Identification de la chaîne directe et de la chaîne de retour :l’amplificateur non inverseur joue le rôle de chaîne directe avec une amplification Ao =

R1+R2

R1

= cste alors que le pont

de Wien joue le rôle de chaîne de retour avec B′(p) =1

3

1+ 1

3 (RCp+ 1

RCp )⇒ B(p) =

(− 1

3)1+ 1

3(RCp+ 1

RCp )⇒ Bmax = −1/3.

— Condition nécessaire d’oscillations sinusoïdales :le facteur de qualité n’étant pas très élevé (Q = 1/3) il faut doncAo×Bmax → (−1)− c’est à dire

(R1+R2

R1

)(−13

)→ (−1)−

et donc R1+R2

R1

→ 3+..On choisira donc les résistances de manière à avoir R2 ≈ 2R1. Pour qu’il y ait effectivement apparition des oscillations(obtention d’un régime libre légèrement divergent) on prendra Ao 3 donc R2 2R1. Dans de telle condition,l’oscillation est amorcée à la moindre perturbation, et croit jusqu’à une légère saturation de l’amplificateur ; cetteoscillation est quasi-sinusoïdale.

Remarque : On peut remplacer le pont de Wien par un filtre beaucoup plus sélectif (circuit bouchon RLC par exemple).

1.3 Exemple de l’oscillateur à résistance négative

1.3.1 Résistance négative

Il existe différents dipôles dont une partie de la caractéristique correspond à une résistance dynamique négative (diodetunnel, lampe au néon,...). Ils sont soit de type N , soit de type S.


Caractéristique d’un dipôle : a) en N b) en S

Il est également possible de simuler un tel comportement avec un montage à A.O..

1.3.2 Résistance négative à amplificateur opérationnel

Dipôle à résistance dynamique en S avec A.O.

— Lorsque l’amplificateur opérationnel fonctionne en régime linéaire ve = −R′ie avec R′ = R3

R1

R2

.

— si vs = Vsat alors ie =ve−Vsat

R1

; cela correspond à ie < −R2Vsat

R1(R2+R3).

— si vs = −Vsat alors ie =ve+Vsat

R1

; cela correspond à ie > −R2Vsat

R1(R2+R3).

On obtient le tracé ci-dessus avec veA =R3

R2+R3

Vsat = −veA′ et ieA = −R2Vsat

R1(R2+R3)= −ieA′ .

1.3.3 Oscillateur à résistance négative

Oscillateur à résistance négative

On réalise un circuit RLC série. On ajoute dans ce circuit une résistance négative −R′. Il y a 3 cas :— si R > R′ l’intensité dans le circuit tend vers zéro ;— si R = R′ l’intensité dans le circuit est une fonction sinusoïdale du temps de pulsation ωo =

1√LC

;


— si R < R′ l’amplitude des oscillations augmente au cours du temps et le phénomène est limité par la non linéarité desdifférents éléments du circuit.

Pour observer les oscillations il faut donc R′ légérement supérieur à R. Le dipôle à résistance négativecompense les pertes du circuit oscillant faiblement amorti auquel il est associé. Cette compensation assurel’entretien des oscillations dont l’amplitude est limitée par les non-linéarités de l’A.O..

2 Comparateurs simples et à hystérésis

2.1 Comparateurs

2.1.1 Définition

Un comparateur de tension est un composant à deux entrées et une sortie dont la valeur est fonction de la tensiondifférentielle d’entrée ε = v2 − v1. La tension de sortie ne prend donc que deux valeurs vbas et vhaut associées au signe de latension ε (ε = 0 est exclue).

Représentation symbolique d’un comparateur

2.1.2 Comparateurs simples à A.O. idéal

Le comparateur simple est réalisé à l’aide d’un amplificateur opérationnel en boucle ouverte. On impose la valeur seuilvref sur l’une des deux bornes de l’A.O.. On obtient alors les caractéristiques ci-dessous :

2.2 Comparateur à hystérésis

Les comparateurs précédents sont sensibles au bruit : si la tension d’entrée ve est voisine de la tension de référence vref ,une tension de bruit peut alors provoquer le basculement du comparateur. Pour corriger ce défaut on utilise un comparateurà hystérésis : on effectue une boucle de rétroaction positive sur un amplificateur opérationnel (les fronts de commutationseront également plus verticaux).


— Le montage est identique à celui de l’amplificateur inverseur ou non inverseur mais en permutant les bornes inverseuseset non inverseuses de l’amplificateur opérationnel :

— Le fonctionnement est instable : la sortie ne peut donc prendre que deux valeurs ; le lien entre l’entrée et la sortie estun cycle d’hystérésis.— Cas du comparateur non inverseur :

d’après le théorème de Millman

ε = v+ − v− =R2ve +R1vsR1 +R2

− Vref

— on suppose que l’amplificateur opérationnel est saturé positivement ;dans ce cas :

vs = +Vsat et ε > 0⇒ ε =R2ve +R1Vsat

R1 +R2− Vref > 0

⇒ ve >R1 +R2

R2Vref −

R1R2

Vsat = ve1

le basculement de vs = +Vsat à vs = −Vsat se fait pour la tension de seuil ve = ve1, au point de fonctionnement B.— si l’amplificateur opérationnel est saturé négativement :

vs = −Vsat et ε < 0⇒ ε =R2ve −R1Vsat

R1 +R2− Vref < 0

⇒ ve <R1 +R2

R2Vref +

R1R2

Vsat = ve2

le basculement de vs = −Vsat à vs = +Vsat se fait pour la tension de seuil ve = ve2, au point de fonctionnementB′.

— Cas du comparateur inverseur :— on suppose que l’amplificateur opérationnel est saturé positivement ;

dans ce cas :

ve <R2

R1 +R2Vref +

R1R1 +R2

Vsat = ve2

le basculement de vs = +Vsat à vs = −Vsat se fait pour la tension de seuil ve = ve2, au point de fonctionnement B.


— si l’amplificateur opérationnel est saturé négativement :

ve >R2

R1 +R2Vref −

R1R1 +R2

Vsat = ve1

le basculement de vs = −Vsat à vs = +Vsat se fait pour la tension de seuil ve = ve2, au point de fonctionnementB′.

— Le comparateur inverseur a l’avantage d’avoir une impédance d’entrée très grande alors que l’impédance d’entrée ducomparateur non inverseur est égale à R1.

— On obtient les cycles d’hystérésis ci-dessous qui se déformeront en régime dynamique si la fréquence augmente :

AB

A' B'

ve

vs

0

Vsat

-Vsat

ve2ve1

Caractéristique statique de transfert d'un

comparateur non inverseur à hystérésis

A B

A'B'

ve

vs

0

Vsat

-Vsat

ve2ve1

Caractéristique statique de transfert

d'un comparateur inverseur à hystérésis

— On choisit Vref = 0 ; La valeur de la sortie lorsqu’on annule l’entrée dépend des états antérieurs du système : fonctionmémoire.

2.3 Multivibrateurs

2.3.1 Définition

Un multivibrateur ou bascule est un circuit possédant deux états de fonctionnement :— si les deux états sont instables, on a alors un oscillateur de relaxation appelé multivibrateur astable.— si l’un des deux états est stable et l’autre instable, on a alors un multivibrateur monostable qui peut être utilisé

pour introduire un retard.— si les deux états sont stables, on a alors un circuit mémoire appelé multivibrateur bistable.Nous étudions dans la suite le cas du multivibrateur astable.

2.3.2 Principe d’un multivibrateur astable

Le montage est constitué de deux éléments :— un comparateur à hystérésis— un circuit qui amènera le point de fonctionnement du comparateur vers un point de basculement B ou B′.

2.3.3 Réalisation d’un multivibrateur astable

Plusieurs montages sont possibles et nous étudions le cas où le deuxième circuit est un intégrateur.

Modèle à un seul amplificateur opérationnel

A B

A'B'

ve

vs

0

Vsat

-Vsat

ve2ve1

Intégrateur

non inverseur

tt


— Schéma fonctionnel :le montage comporte un comparateur inverseur à hystérésis et un intégrateur non inverseur.

— Réalisation :dans le modèle à 1 seul A.O. l’intégrateur est rudimentaire puisque qu’il s’agit d’un circuit RC.

— Chronogramme :les tensions ve et vs sont T−périodique et T est donnée par :

T = 2τ ln

(1 + k

1− k

)avec τ = RC et k =

R1R1 +R2

Modèle à deux amplificateurs opérationnels

Intégrateur

inverseur

tt

AB

A' B'

ve

vs

0

Vsat

-Vsat

ve2ve1

— Schéma fonctionnel :le montage comporte un comparateur non inverseur à hystérésis et un intégrateur inverseur.

— Réalisation :dans le modèle à 2 A.O. l’intégrateur est plus performant puisque qu’il s’agit d’un circuit à A.O..

— Chronogramme :les tensions ve et vs sont T−périodique et T est donnée par :

T = 4R1R2

RC


LES OSCILLATEURS ELECTRONIQUESMise en œuvre expérimentale

3 Oscillateur sinusoïdal à pont de Wien (système bouclé non inverseur)

On choisira R1 = 10kΩ, R = 15kΩ, C = 22nF et R2 =boites A.O.I.P. (×10,×102,×103,×104Ω)

3.1 Théorie

La fonction de transfert de la chaîne directe est un réel positif A = R1+R2

R1

= 1 +K avec K = R2

R1

La fonction de transfert de la chaîne de réaction, constituée par le réseau de Wien (RC) série et (RC)//, est B =(RC)//

(RC)//+(RC)série soit B(jω) = 13+j(RCω− 1

RCω )Les conditions d’oscillations s’écrivent donc :

— condition de phase : Arg[A.B(jωo)] = 0, donc B(jωo) est réel, soit RCω− 1RCω = 0, donc ωo =

1RC ou fo =

12πRC =

482Hz ;— condition de module : (1+K).1/3 ≥ 1, soit K = R2/R1 ≥ 2. Le gain de l’amplificateur, égal à 1+K, doit donc êtreA ≥ 3.

3.2 Expériences

Réaliser le montage avec les valeurs proposées (on mesurera R1 à l’ohmètre).Régler R2 pour obtenir des oscillations et déterminer l’intervalle acceptable de K = R2/R1 produisant des oscillations quasi- sinusoïdales.Mesurer la fréquence des oscillations ; comparer à la valeur fo =

12πRC .

Mesurer l’amplitude du signal quasi-sinusoïdal ; conclure.Vérifier que la forme du signal est meilleure en (+) qu’en (−), puisqu’on bénéficie du filtrage dû au bloc B de réaction.

4 Oscillateur sinusoïdal à réseau déphaseur RC (système bouclé inverseur)

On choisira R1 = 10kΩ, R2 =potentiomètre 470 kΩ, R = 10kΩ, C = 22nF

4.1 Théorie

La chaîne directe est montée en ampli inverseur dont la fonction de transfert est un réel négatif A = −R1/R2.La fonction de transfert de la chaîne de rétroaction, constituée par un réseau déphaseur à trois cellules (RC) est, si on poseX = RCω, B(jω) = 1

(1−5/X2)+j(1/X3−6/X) .

Les conditions d’oscillations s’écrivent donc :— condition de phase : Arg[A(jωo).B(jωo)] = π, donc B(jωo) est réel positif, soit ωo =

1√6RC

ou fo =1

2π√6RC

;

— condition de module :∣∣∣−R2

R1

. 11−5/X2

∣∣∣ ≥ 1, soit R2/R1 ≥ 29.


4.2 Expériences

Réaliser le montage oscillateurDéterminer expérimentalement la valeur minimale R2 min de R2 en dessous de laquelle il n’existe pas d’oscillation. ComparerR2 min à la valeur théorique 29R1.Mesurer la fréquence du signal obtenu. Comparer à la valeur théorique fo =

12π√6RC

.

Mesurer l’amplitude du signal obtenu ; était-ce prévisible ?

5 Oscillateur de relaxation : multivibrateur astable

5.1 Théorie

Le multivibrateur astable, représenté ci-dessous, délivre des signaux carrés de période T = 2R1C ln[1 + 2(R2/R3)].

5.2 Expérience

Réaliser le montage avec C = 0, 1µF ; R1 = 10kΩ et R2 et R3 sont des boites A.O.I.P. (×100, ×1000Ω).Visualiser les signaux, et pour quelques couples de valeurs de R2 et R3,vérifier que les caractéristiques du signal observé sonten accord avec la théorie.Déterminer les valeurs à adopter pour R2 etR3 pour obtenir des créneaux dont la période est 4ms. Vérifier expérimentalement.

6 Oscillateur à résistance négative - Portrait de phase

6.1 Schéma théorique de l’oscillateur

6.2 Théorie

6.2.1 Résistance négative

Montrer rapidement que la caractéristique tension-courant d’entrée v = f(i) du module entouré en pointillés est, si l’A.O.de tension de saturation ±Vsat est supposé idéal, et si on pose α = Rn/(Rn +R) :

— en régime de fonctionnement linéaire : v = −Rn.i, avec v ≤ αVsat ;— en saturation haute (vs = +Vsat) : v = R.i+ Vsat, avec v ≥ αVsat ;— en saturation basse (vs = −Vsat) : v = R.i− Vsat, avec v ≤ αVsat.La loi des intensités au noeud N s’écrit iL + iC + iR + i(v) = 0.


6.2.2 Equation différentielle du 2eme ordre en v(t)

on distingue 2 cas :

1. en régime linéaire (|v| ≤ αVsat), i(v) = −(1/Rn)v, et donc 1L

∫v.dt+C dv

dt +1Rpv− 1

Rnv = 0 ou, après dérivation par

rapport au temps

..v + 2mω

.v + ω2v = 0 (1)

avec m =√

L4C

(1Rp− 1

Rn

)et ω = 1√

LC;

2. en régime saturé (|v| ≥ αVsat), i(v) = −(v ± Vsat)/Rn, et donc 1L

∫v.dt+ C dv

dt +1Rpv + 1

Rn(v ± Vsat) = 0 ou, après

dérivation par rapport au temps

..v + 2pω

.v + ω2v = 0 (2)

avec p =√

L4C

(1Rp+ 1

Rn

).

6.2.3 Démarrage des oscillations et régime établi

L’équation (1) admet des solutions v(t) divergentes si m < 0 ou si Rp > Rn. L’oscillation démarre, v(t) oscille enaugmentant son amplitude, jusqu’à la saturation. Alors il s’établit un régime régi par (2), où l’A.O. est saturé, avec p > 0 etalors v(t) oscille avec une amplitude décroissante, etc...

6.2.4 Portrait de phase

La ”trajectoire” dans le plan de phase, lieu des pointe d’abscisse x = v et d’ordonnée y =.v paramétrée par le temps, est

— en démarrage d’oscillations (m < 0), une spirale qui diverge à partir de O(v = 0,.v = 0) ;

— en régime oscillatoire établi (linéaire limite), une ellipse de centre O, car la solution est v(t) = Vo cos(ωt + ϕ) et.v(t) = −ωVo sin(ωt+ ϕ);

— en régime saturé avec p > 0, une spirale qui converge vers O.

6.3 Expérience

Réaliser le montage ci-dessus avec L = 0, 042H, C = 0, 1µF ; si on veut m = −0, 75, p = 0, 52 et α.V sat = 5V, il fautchoisir Rn = 725Ω, R = 2Rn et Rp = 1090Ω ; pour avoir des valeurs normalisées, on passe à Rn = 680Ω, R = 1500Ω etRp = 1000Ω. Mais, puisque le courant doit être limité à 20mA, et puisque le diviseur (R,Rn) ne modifie rien si on changeR et Rn en maintenant le rapport R/Rn constant, on peut donc adopter les valeurs des résistances du montage ci-dessousRn = 68 kΩ et R = 100 kΩ.On a ajouté une faible résistance (r = 47Ω) dans la branche capacitive pour observer une tension proportionnelle à l’intensitéic = C.dv/dt, donc proportionnelle à la tension v(t). Utilisez l’oscilloscope :

— en mode analogique pour mesurer la fréquence qu’on comparera à f = 12π√LC

et pour observer, en X−Y , le portrait

de phase en régime établi ;— en mode numérique pour afficher puis imprimer le portrait de phase et v(t) en régime transitoire et en régime établi ;

on placera en A le module pointillé.

lesoscillateurselectroniques …psi.physique.massena.free.fr/pdf/divers/tp03complet.pdf · compense...

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