les étapes du calcul de la hauteur du soleil à d’exposition...

André E.Bouchard Ph.D 1

Les étapes du calcul de la HAUTEUR du soleil àMontréal pour l’inauguration de la nouvelle salle

d’exposition du Musée de Pointe-à-Callière de Montréal le 17 mai 2017.

Exposition permanente du cadran solaire du XVIIe siècle.

Ma troisième participation

en tant que gnomoniste (2016-2017)

au Musée.

Communication présentée à la 24e Rencontre annuelle de la Commission des Cadrans solaires du Québec(CCSQ), à Trois-Rivières, le 21 octobre 2017.


Rappel de mes interventions au Musée

1) 2008-2009: descriptiondes fragments en tant que cadran solaire (du XVIIe siècle), vertical déclinant avec déclinaison Ouest de 2 degrés.

2) 2009: participation à la vitrine temporairede présentation du cadran, le 18 avril 2009, avec ICOMOS Canada, dans le cadre de la Journée

internationale des monuments et des sites.

3) 2016-2017: ma participation àl’exposition permanente du cadran, en calculant la hauteur du soleil, le 17 mai 2016, jour de la fondation

de Ville-Marie (Montréal) en 1642


Mandat: (30 mars 2016)M. Bouchard. Tel que discuté, nous aurons besoin de votre expertise, d’ ici votre départ en juin prochain,

pour les éléments suivants :

- obtention de plans techniques de la maquette et du style afin de pouvoir reproduire l’objet à une

échelle 2:1. J’ai à mon bureau la maquette que vous nous avez présentée ce matin, donc si l’équipe de

design souhaite la consulter, je pourrai aussi la mettre à leur disposition;

- à partir des plans de la vitrine qui vous ont été remis ce matin, fournir les détails sur le positionnement

possible de la source d’éclairage (en hauteur, en longueur, et selon l’angle et la direction) pour donner

une marque du temps qui serait autour du 17 mai (ou du moins, ce qu’ il est possible de faire avec ces

contraintes).

- nous souhaiterons également que vous relisiez le texte qui accompagnera cette vitrine afin d’en valider

le contenu scientifique.

Par la suite, une fois que des plans et devis seront assez avancés, nous pourrons aussi faire appel àvotre

expertise pour les valider.

En vous souhaitant une excellente fin de journée, je vous dis à très bientôt,

Élisabeth Côté

Chargée de projets/ Project Manager

Pointe-à-Callière, citéd'archéologie et d'histoire de Montréal

350, place Royale

Montréal (Québec) H2Y 3Y5


Première récapitulation de la hauteur du Soleil :

h= 67º 56’

Le 21 juin, à midi, au zénith du Soleil

Latitude de Montréal : 45º 31’ (ou 45,5º )

Angle alpha : 23º 27’

Angle i : 22º 04’

Simulations et hypothèses


(petit exercice de trigonométrie)

Mon ombre projetée sur le sol, le 21 juin à midi

Taille : 1,7 m

Ombre : 1,44 m hauteur du Soleil (h

1,7 m

1,7 m

Côté opposé (Θ 1,44 m

90° 1,44 m

Coté adjacent la valeur de l’angle Θ donne celle de h

1)

2)

3)


Trouver la valeur de l’angle Θ

Selon les formules suivantes:

arcΘ = -π/2 < Θ > π/2

tan Θ = côté opposé / côté adjacent;

tan Θ = 1,7 / 1,44 ou tan Θ = 1,7 divisé par 1,44

En utilisant une calculatrice scientifique,

Obtenons d’abord le radian,

Puis transformons cette valeur en degrés: rad *180/ π

(le radian multiplié par 180 degrés, divisé par 3,1416)


Donc:

-obtenons la valeur en radian : 1.18 radian

-puis convertissons cette valeur en degrés: hauteur =1.18*180/ π

Donc la hauteur du Soleil : h =67º36’


Cadran horizontal

Style: valeur de la latitude

du lieu: 45 degrés 31minutes

Cadran vertical

L’angle du style:

Valeur de la co-latitudedu lieu (90 – latitude)

(90 – 45,5 )= 44,5 degrés

ou 45,5°


C’est en été, que l’ombre est la plus longueet c’est en hiver que l’ombre est la plus courte

Pour un cadran horizontal

C’est en été, que l’ombre est la plus courte et que c’est en hiver que l’ombre est la plus longue.

☆☆☆☆ Étoile polaire

Pour un cadran verticalhiver

été

été hiver

23°27’

23°27’


Le cadran ou la maquette devront être orientés plein Sud pour avoir un maximum de luminosité:

-il faudra déterminer les dimensions de la maquette dans la vitrine;

-il faut tenir compte de la hauteur du Soleil un 21 juin, àmidi, pour profiter du zénith du Soleil à cette date;

-il faudra retenir la longueur de l’ombre en été pour un cadran vertical.

Donc, la représentation sommaire du dessin d’Élisabeth devra au moins être corrigée. Je me propose de calculer la hauteur de la maquette dans la vitrine en tenant compte du style et de l’angle du style (selon la co-latitude).


Deuxième récapitulation de la hauteur du Soleil :

par géométrie et astronomie

-Sur un cercle (représentation de la surface de la terre, je vais tracer horizontalementle plan de l’écliptique, et verticalementune perpendiculaire au plan de l’écliptique passant par le centre de la terre.

-Cela me permet de construire l’axe de rotation®de la terre, terminé par un angle de 23°27’par rapport à la perpendiculaire de l’écliptique. Ce sera l’angle de déclinaison alpha (ɑ): donc ɑ = 23°27’


Traçons une perpendiculaire à la ligne de rotation de la Terre, et nous avons la ligne de l’ équateur.

L’équateur, étant une ligne imaginaireà la surface de la Terre, son trait ne doit pas déborder de la surface de la Terre.


ɑ

ɑ )

Nous constatons que les deux angles alpha (ɑ) sont identiques.

Mais à l’étape suivante, il faudra

positionner la latitudede la localité(Montréal), pour laquelle nous cherchons la hauteur du Soleil.


ɑ

M

Montréal étant située à une latitude de 45° 31’Nord, notre mesure est donc, àpartir de l’ équateur, un angleforméd’une telle valeur de latitude.

M: Montréal

Lat: 45° 31’ N

ou 45,5° N


ɑ

M

Nous pouvons faire la même chose de l’autre côté de la Terre.

Construisons donc un autre angle de latitude de 45° 31’.

Mais pour savoir laquelle

de ces deux positions doit être retenue,

(à gauche (1) ou à droite (2) de

l’ axe de rotation )

il faut donc se référer à la date du jour retenu.

Soit le 21 juin.

Angle de la latitude

45°31’ Angle de la

latitude

(1)

(2)

Axe de rotation


ɑ

ɑ

M

Par l’ astronomie, le 21 juin, nous savons que les rayons du Soleil sont

perpendicu-lairesau Tropique du Canceràcette date.

À droite, nousavons donc lesrayonsdu Soleil.

Construisons donc la Tangenteau cercle, passant par Montréal. Cette tangente est perpendiculaireau rayon partant du centre de la Terre (angle de 90°).

90°


ɑ

ɑ

M

Ensuite nous dessinons un rayon du Soleil arrivant directement sur Montréal.


ɑ

ɑ

Mi )

i )

h

Ainsi, nous pouvons retrouver le mêmeangle iau centre de la Terre, le rayon solaire étant parallèleau plan de l’écliptiqueet présentant donc le même angle avec une droite sécante. (une droite qui coupe une ligne ou un plan).

Cette droite sécanteest représentée par le rayon venant du centre de la Terre et passant par Montréal(M).

rayon

solaire


ɑ

ɑ )

Mi

i )

h

Nous pouvons repérer alors que l’angle i est égal

à la latitude du lieu

moins

l’angle alpha (α).

Lat.= 45° 31’ N.

(α) = 23° 27 ‘

Angle i= latitude –

l’angle (α) alpha,

Soit

Angle i= 22° 04’

donc i est égalà45° 31’ MOINS 23° 27’


ɑ

ɑ

Mi

i

h

Mais l’angle recherché est celui de la HAUTEUR du Soleil. ( h ).

Nous savons que la hauteur du Soleil est l’angle d’incidence formé de deux angles complémentaires

et qu’il suffit de retirerla valeur de l’angle ide 90°, pour obtenir la valeur de l’angle h .

Lat.= 45° 31’ N.

(α) = 23° 27 ‘.

i + h = 90°

Angle h = 90° –

l’ angle i,

(angle i= 22° 04’)

donc

h = 67° 56 mindonc h est égal à90° MOINS 22° 04‘. Soit : 67° 56 min

) Angle de la hauteur du Soleil


ɑ

ɑ

M

Ainsi nous obtenons un angle hde 67°56’comme étant celui de la hauteur du Soleil àMontréal, pour un 21 juin.

Hauteur du Soleil =

67°56’

angle h

C’est la même valeur que celle calculée par mon ombre projetée le 21 juin à midi.


Troisième récapitulation de la hauteur du Soleil :

h= 64º selon des calculs d’un logiciel.

Pour une date différente. Soit celle

du 17 mai, à midi, au zénith du Soleil

date de la fondation de Ville-Marie (Montréal, en 1642)

Latitude de Montréal : 45º 31’ (ou 45,5º )

Angle alpha : 23º 27’

Angle i : 22º 04’

Simulations et hypothèses


D’après cette grille de calcul le 17 mai 2016, et en tenant compte du la position du soleil ce jour-là à

11h 51m (heure solaire)

ou à 12h 51 m (heure avancée de l’Est)

Le soleil sera à son zénith (au Transit)

à 64° d’altitude.

Avec une présentation de quelques images de cette application dans la nouvelle salle d’exposition du

Musée de Pointe-à-Callière.

André E.Bouchard Ph.D 25La vitrine, la maquette et le cadran


Quelle heure est-il?Véritable trésor du patrimoine montréalais, ce cadran solaire a été fabriqué spécialement pour être utilisé à Montréal: ses graduations correspondent à la localisation de la ville.

Cet objet de luxe était accroché sur la surface sud d’un bâtiment du fort de Ville-Marie ou du domaine de Callière. On pouvait y lire l’heure – et même le moment des équinoxes – en suivant l’ombre du gnomon sur les lignes horaires. La maquette qui le reproduit, en y ajoutant des repères, signale qu’il est midi à l’heure solaire, le 17 mai…jour anniversaire de la fondation de Montréal.

Cadran solaire en ardoise ! 17e siècle Ses fragments ayant été découverts peu à peu et à différents endroits, son identification a donné du fil à retordre aux spécialistes. S’agissait-il de tuiles de toiture? D’un rapporteur d’angles? Puis la lumière fut !

La vitrine et les textes explicatifs


Présentation du cadran dans la brochure produite par le Musée, lors de l’inauguration de la nouvelle salle d’exposition, le 17 mai 2017.

les étapes du calcul de la hauteur du soleil à d’exposition...

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