les polynômes formels à une indéterminée à coefficients dans un corps k
DESCRIPTION
Groupes, Permutations, Anneaux, Arithmétique dans Z, Corps commutatif, Les polynômes formels à une indéterminée à coefficients dans un corps K, Fonctions polynomiales, racines, Espaces vectoriels, K-algèbres, Espaces vectoriels de type fini, Matrices, Déterminants, Fractions rationnelles, Produit scalaire sur un R-ev, Espace vectoriel euclidien, R-ev euclidien orienté de dimension 2, R-ev euclidien orienté de dimension 3, Espaces affines, Géométrie dans un espace affine euclidienTRANSCRIPT
����������� �������� ������ ���������������������������� ��� ������ �
������������������ ���� ��!
"�� ����������# $##% ×+� �� ���������� %����������$&������&��'
����������������$(����
)*����� �+�� ������� ���� �+������� ���#����,�� �� �������� �������
�+�������������'
�-� �)�)����&���� � ��+�� ������� �
�∈� ����� &���
� .## =>∀∈∃ �����
)/���������������,��� 0��× ����������� ��1�����
������� �������� ���� ∈== ∈∈ $%#$% #���� ��
�∈+=+ ��� ���� $%
���∈=× ���� $% �2 ��
=−
=+==∈∀
�
�
���
��
�� �����.
#�
���� �
0 �� × ��� ������� �� ��� �� ����� ����� ������� ���� # �� $##% ×+
�� � � ��
����������������'
) "�3�#0� ������������������ ������������ ���� '
(� �����# ��∈= ���� $% ��
����� �� ∈= ∈$% # ���� �� �,� �� �∈� ��� &��
�.# =>∀ ���� �� �∈� ��� &��
�.# =>∀ ���� ' "���
�.$##��,% =+>∀ �� ����� '
"��� �� + � ��������������+�������������#�������� ∈+ '
) 4������ &��× � �������������� ������������ ���� '
*������������� ���� ∈== ∈∈ $%#$% # �∈� ���&��
�.# =>∀ ���� �� �∈� ���&��
�.# =>∀ ���� '5���� �����
�∈=× ���� $%
���� ��� +>∀ #�
.=� '(�������
*��� ��� +> '���� �������� 6$#% �∈� �
*� �� =+ #���� �� > �� � >
%��� ���� � ≤ �� �� ≤ #������ ���� <+≤+ $
"����
.=�� ���
.=� # ����
.=���
"����
.== �=+ ��
�� �� '
"������� ∈× '
) 0�+� ������&������ ����������� �������0 �� �
� '
"���0� �� ������1������������1�'
"���� #�� ������ ∈�$.% � ��1������������������0�������������
�� '
(������# ������ �� ∈= ∈$% #����
����� �� ∈−= ∈$% ��
�� ∈=+ ��� $.% '
��������� �����������������������������������������������������������������������
touscours.net
����������� �������� ������ ���������������������������� ��� ������ ������������������� ����6 ��!
) ����× �× � ��1�����������������1�%���× � ����������1� �������� �$
7��,� ��������������× #�+� � '''$.#.# %���
=�
(������������ �∈= �� � $% �1��
� . = ��
�.# =≥∀ � � '
*������� ����� �� ∈= ∈$% '
���� �∈= ���� $% #�2 ���
��
�� �� � � =×=== �=+
� .
"��� ��� = #��������������1��� ��� = #������ ���������������× '"� �������1�����× ��0�*�����
����������� ������ ∈=== ∈∈∈ $%#$%#$% '���� �
�∈=+× ����� $%$% #�2#�������� �∈� �
����=+=+
+
↑=+↑=+
+=+=+=��
�
��
�
��
��
��
�� �����������
�� ��� ��������������1���#� ������1
���� �����
1����� �������
$%
(��∈=×+× ������� $% #�2#�������� �∈� �
��=+=+
+=��
�
��
�� ����� '
"��� ������� ×+×=+× $%
(� �������������� ×+×=×+×=+×=×+ $%$%
� ������1�����× �*�����
����������� ������ ∈=== ∈∈∈ $%#$%#$% '
���� �∈=× ���� $% #�2#�������� �∈� # �
=+=
��
�� �� '
(��∈=×× ������ $%$% #�2#�������� �∈� # �
=+=
���
��� ��
"��� �� �� �=++
+
↑=+ =+↑=+ =+
=���
����
�=
��
�
�
��
�
����
����
�=
���
��
��� ��
��
���
�
��
�� ����������
�
�
��� ��������������1
������ ������1���
1����� �������
���������� #������8���∈=×× ������ $%$% #�2#�������� �∈� �
�=++
=���
��� ���� '
"+�2 ������ ××=×× $%$% #������ ����������× � ����������1�'
"��� $##% ×+�� � �����������������������'
9$(����6����������������� ��'
*���
λλλφλφ
:����#'''$.#.#%$%
�
��
��
=→�
� '
���� φ � ��������� ����3������+������,�
$%$%'''$.#.#%'''$.#.#%'''$.#.#%$% µφλφµλµλµλφ +=+=+=+•������
$%$%'''$.#.#'''$%.#.#%'''$.#.#%$% µφλφµλλµλµφ ===•������
touscours.net
����������� �������� ������ ���������������������������� ��� ������ �
������������������ ����; ��!
<� �����������������,������������
�����
��
∈=∈∈
��
��
�
����
$%'''$.#.#%'''$.#.#%
$%$%
����������µλ
�1�� �=+
=��
�� ��� '
"��� λµ== ..���� � .=� ���
.=�� ����'
����� � #'''$.#.# %$ % ==• φ
• (����# � '''$.#.#%'''$.#.#%����
µλ = #���� �1�������� µλ =
������ �&����# $%�φ � ��� �� ���������� #� ���������+������ $##% ×+� '
%/����&�+=�� ���������������� �� >$/�1� ����������������������#
�-� �)�)��������������#�������&�� �∈λ #λ ��λ: '��� �#���� �∈µλ# ��
���� ∈# %�1��
�∈= �� $%:λ #�∈= ���� $% $�
��� ∈===• ������ $%#'''$.#.#%: λλλ �2 �
��
�� �� � λ== �=+
"����∈== ������� $%#'''$##% 6 . λλλλλ
��� µλµλ +=+• $%
���� λλλ +=+• $%
$%$% �� µλλµ =•
���� � =×=×=ו���
:
�� ������� ��� ����������� �� ������� '
�$(����;����������������+������������
*�����+����������� ����������
#'''$.#.# #.%����
=�
�-� �)�)�����∈= ��� $%δ �2
� =δ �� { }
�� .# ? =∈∀ �� δ
���� �
� ∈=∈∀ �
�
�
� �� $%# $% �2� $% =�
� �� { }�
� .#? $% =∈∀ �
� ��
"���� ��������������������� ���'
���� .=� � '''$.#.# % .
����
== ��
*��� �∈� # ���� �� &���∈= �
�
�
� � $% $% �2� $% =�
� �� { }�
� .#? $% =∈∀ �
� ��
���� �∈
+ == ��
�� ���� $%
/2�
==≠
==∈∀ −
=+�
. �.
. �#
.
$%
.
$%
$%
�
� ��
�
�
�
�
�
� δδ
δβα
βα�
*���#���� .≠� #�
+=+≠
== − �
�.$%
��
�� ��
��
"����∈
++ = �
�
�
� � $% $ %
@�������������������
*������∈ '���� � +�����������������&�� �� ��������
�∈
=��
�
���� �2�� �� ����� ������� #��� ��������+�������������'
touscours.net
����������� �������� ������ ���������������������������� ��� ������ ������������������� ����A ��!
"���� ��������
*������∈ '
• � +������∈= ���� $% # ��� �+������� ��� ����� � ������ �+�� ������� ����#
�� �� ������������� +� '/���� ��
�
�
�
�
�
������
���
���
����
+++=
+++=+++=
=
'''
'''$.#.# #.#'''.#.%''''''$.#.# #.%'''$.#.# %
'''$.#.##.#'''.#.%''''''$.#.##.%'''$.#.#%
'''$.#.##'''#%
.
.
.
.
.
�������������
����������
��
"+�2 �+�,� ����� ��� �� �� ������∈��
�
� �� �2 �� �� ��� ��� � ������ �+��
�����������'
• B���������+���������
*� ��∈∈
=�� �
�
�
�
�
� ���� #�2�� �� ���� �� ������ ��������+�������������'
���� �
��
� ∈∈∈
∈ === �� ��
�
�
�
�
�
��� ������ $%$% '
C�����������
) �� ������� ���� ����� ���3��� ���� �� �� ������
∈��
�
��� #�2 �� ��
��� �� ������� ��� ��� � ������ �+�� ������� ���� %�� ������ �� �����
�∈��� $% $'
7� ��������� �������� ������ ���������������������������� ��� �'
) ������������ ��������+������������'
) �+�� ������� �� �������� ���� ������������� ����������� ��� � � �
���� DE�� '
"$(����A������� ���#��������������
• @��� DE�� �∈ +�����������������&�� �� �� ����� �∈
=��
�
���� �2 ��
�� ����� ������� ������ ��������+�������������'
��� �# ��
�
�
�
�
�
� ������� =∈∀�=��∈∈
#�
��
• $#D#E% ×+�� � ���������#������ ��� �� ������'
• *� �∈
=��
�
���� #�� �∈
=��
�
���� �2�� �� ������ ������������� +� ����
�� ������������� +� #���� �
�=
=�
�
�
����.
# �=
=�
�
�
����.
����====
+=+=+=+�
�
�
��
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� �������������....
$% #�2 $#��,% ��� =
touscours.net
����������� �������� ������ ���������������������������� ��� ������ ������������������� ����F ��!
[ ][ ]
[ ][ ]
[ ] [ ] [ ] [ ]�� �� �
����
+
=
+
==+∈∈
+
==+∈∈
+
∈∈
+
∈∈==
===
==��
���
���
���
�=×
��
�
�
�
��
���
���
�
�
��
���
���
�
�
�
��
�
�
�
��
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
��������
�������������
.. #.##.. #.##.
#.
#.
#.
#...
$$%%
/2 �=+
=��
�� ���
���������$"���������
*��� DE�� �∈ # �∈
=��
�
���� �2�� �� ����� ������� ������ ��������+��
�����������'
• *� DE. ���
= #�-� �)�)�����
.=� �� .=� '���� �
� .# =∈∀ ��� '/��������
&���� �������� ∞−
• *����# DE. ���
≠ �� ���� �� �,� �� �∈� ��� &���
.≠�� ' /� ���� ����
���������� { }�
� .#��, ≠∈= ���� %��� &���+�� ������ ����1���#����3���
����� �� ������ ��������+�������������$'�� �����������������'
��� ��
�������� DE�� �∈ # { }∞−∪∈ ����� #������+�&��1�������
��
∈⇔≠ �� � ���. DE
�� �������� �������. ����,���������� { }�
� .?∈λ
�� �������� ������� ����,���������� ��� + �1�� .≠�
�� �������� �������� ����,���������� �=
�
�
�
���.
�1�� .≠�� '
�� �������� ������� �≤ ����,���������� �=
�
�
�
���.
�+�� ��������� ������� � ����� DE��� G�������������# DE. �� �+� ������&��
�#�� ������� �������� ��� ���� '
9$���������
*����� DE# ��� �∈ �� �∈λ '���� �
$$%H#%���$���%H#
����
. ����$���%
$$%##%������$���%
$���#��,%���$���%
−∞=−∞×∈∀=∈∀•�
∞−≠
=•
−∞=−∞+−∞−∞=+−∞∈∀+=ו≤+•
������
��
������
����
���
�
λλ
"���� ��������
) �� .==�� �1�����'
touscours.net
����������� �������� ������ ���������������������������� ��� ������ �
������������������ ���� ��!
) *� .=� �� .≠� %�� .≠� �� .=� $#���� ������ ����������� �'
) 4��������� � .≠� �� .≠� �
5���� � ���= �� �� ���= '
• /��� � $#��,% �� = '
/�� �=
=�
�
�
����.
#�� �=
=�
�
�
����.
"��� �=
+=+�
�
�
�� �����.
$% #���� ��� ≤+ $���%
���
����
����
����
�=ו ��
==
�
�
�
�
�
�
� ������..
�2�
.≠� ���
.≠��
"����
'''
.
+=× +
≠
�
� �����
�=
=•
�
�
����.
λλ �1���
.≠�
• I� ������1������������������������ ���'
C�����������
) *��� �������������������#������� �
��� +����������������������
����� �� ������������������������'
) ������1������#����������������������������������� �.'
) �� +������� �� ����������� �� �� # �� �
��� +������� �� ������J����� ��
������'
) B����������������� ��������������� &�� ���������������������� � '
����������������� ��������$#D#E% ×+����
@��������
$#D#E% ×+�� � ����������������'
"���� ��������
) "�3�# $#D#E% ×+�� � �����������������������{ }�
. '
) *��������������� DE# ��� �∈ # ���� �� &���
.=��
4������ &�+���� ��
.��. == �� '
*���� �� &�����#�-� �)�)����&����
.��. ≠≠ �� '
*��������� ��� ���#��� == '��� �# �∈�# '
���� �=
=
�
�
����.
�� �=
=�
�
�
����.
#�1���
.≠� ���
.≠��
4�� ���� ��������������� �� + � ��
.≠��� #�����
.≠�� #��&��� ��,���'
���������� ��������
���� ������$���% += # �� � −∞=+ �� ������ # ���� ��������� ���
−∞=���� # ��� −∞=���� '
touscours.net
����������� �������� ������ ���������������������������� ��� ������ �
������������������ ����K ��!
@��������
�� ������� ��1�� ���� �� $#D#E% ×+�� ����,���������� ������� �� { }�
� .? '
"���� ��������
• *��� DE�� �∈ '*��� ���1�� ����#���� ���,� �� DE�� �∈ ���&��� =�� '
���� .������ =+ �� '/�# { }∞−∪∈ ��� ���#��� '
"��� .������ == ��
• I������&������# � { }�
� .?∈= λ� #���� λ ���������1�� � −λ '
"��� −= λ� � ���1�� ����'
"����������
*����� DE# ��� �∈ '/����&���� ��������������&���� �����1� ������
��� &�+���,� �� DE�� �∈ ���&�� ��� = '
"����������
*����� DE# ��� �∈ '/����&������ ���� ���� ��� &�����1� �������1� �
�%��&���&��1��������&�+���,� �� { }�
� .?∈λ ���&�� �� λ= $
"���� ������������������� ��
• *� �� λ= �1�� { }�
� .?∈λ ���� ���1� ������ � �� −= λ �������1� �
�'
• *�� ��1� �� ��� ��1� �� ���� �� �,� �� DE-# ��� �∈ ��� &�� ��� = ��
-��� = ' "��� -���� = ' "�����
.$- % =− ��� # �+�2# ����� DE�� � �
�������# ����
.=� ���� -=�� '
o *��
.=� #���� �
.=� ������1� ���������,� �� DE�� �∈ ���&��
�.== ��� '
o *�� -=�� #���� �� ���1�� ����#���� { }
�� .?∈= λ� #���� �� λ= '
�$"�1� ����������������� DE��'
@��������
*����� DE# ��� �∈ #�1���
.≠� '
���� ���,� �������&�������� $#% �� �+������� �� DE�� ��� &�� ���� +=
�� $���%$���% �� < '
/����&���� ���&���������� ����1� �����������������������&���� ���
�� ����� ����1� ���������������������'
"���� ��������
• B�������
*� ���� += #�1�� $���%$���% �� <
(� -- ���� += #�1�� $���%$-���% �� < #
���� ����� −=− -$-% '"��������
$-���#��,%���
$-���%$-���%$���%
��
�����
≤
−=−+
��� �# $���%$-���%$���% ���� <−+ #���� �∉− $-���% �� '"��� .-=−�� '
"��� ��� −=× -.�
# ��� �� =- '
"+�2�+�������'
touscours.net
����������� �������� ������ ���������������������������� ��� ������ �
������������������ ����L ��!
• (,� ������
*��� { }�
� .?DE��∈ #������� �∈ ����������������������� � '
4������ �������������&�� $%# ��� �∈∀ #�2�
������������ � <+=∈∃∈∀= �����#DE$#%D#E$% 6��
) "�3�# $.%� � �1���#��� &�� � .��� ≤� #����
o *��� ≥ #������ ��� +×=�
. #���� $#.% ��
���1����'
o *��� .= # �� ���� { }�
� .?∈= �� �� �����
.$% += − ���� # ���� ��
������ $.#%
���− ���1����'
) *��� �∈� # ���� �� $%�� '*������� �������� +≤ � '
���� � +������ �� ��� ��
���
�
�
�
� �������
≤
+
∈
+ +++= ����2
.
.
'''
�
'
*���� �� +≤ � %��� ���� ���������# ��� +×=�
. �� $#.% ��
���1����$
/����������������
�
���
$% ������������
�� ��
�
�
�
�
�
� +−+=
++
<
−+−+
−+−+
�������� ��������� �������
"������ ���� ��
���
�
�
�
� ����������
≤
−+−+
−+−+ −+=
66 ���#
$%
/�# �� ≤6��� '"��� 6 ���� += �1�� 6
DE$#% ��� �∈ �� � <$���% '
"���
$% ������� �
� ++= −+−+ '
(,������
666 6;F +=−−+= ������
6;$%66$ %
66666$ %
;6;
;;;;6;
−−+=−−−++=−−+=−−+−+=
����������
����������
�!�"���������������������������������������$"���������#���������
*��� DE�� �∈ '� +����� �∈
=��
�
���� �2 �� �� ��� ��� � ������ �+���������
����#�� �� +� '"��� �=
=�
�
�
� ���.
*��� DE�� �∈ '
/����� �∈
=��
�
����� $%: # ��� �=
=�
�
�
�����.
$%:
@��������
*����� DE# 6 ��� �∈ �� DE�� �∈ # DE��∈λ '���� �
λλ =
×=×
+=+
$%:
$%:$%:$$%:%
$%:$%:$$%:%
6 6
6 6
�
�������
�������
touscours.net
����������� �������� ������ ���������������������������� ��� ������ �
������������������ ����! ��!
"���� ��������
*����� �∈
=��
�
���� # �∈
=��
�
����6 '
/���������� �∈� ���&�� �� ≤ ��� �� �� ≤6��� '/������ �
�=
+=+•�
�
�
�� �����.
6 $%
"��� $$%:%$%$%:$%: 6
...
6 ���������������
�
�
��
�
�
�
�
�
�
�
� +=+=+=+ ���===
�=
=ו�
�
�
�����6
.
6 �2 �=+
=��
�� ���
�� �� ����== =+≤≤
+
=====�
�
���
���
���
�=�
�
�
�
�
�
�
��
�
��
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� ����������������6
.
6
.#...
6 $%:$%:
λλλλ ===• .. '$%':$%: ����
I����&���
���������� +�������� ���� ��
���� ���� DE�� �∈ # �+�����������
$%:DEDE
���
��
�
�� → � � �� ���������� �� ��
�+������ $#D#E% ×+�� %��� ����3������� ��3�����$'
I����&���
���� DE. �� �∉ �� ��� ��� �� ���� ���# $%: ���� � ���3����1�'
9$�������� ���� #������
/� ���� ����&�����
. ≠+ %�-� �)�)����&��� �+� ��� ����������+�����
6�������� $#% +� $
"����������
*��� DE�� �∈
/����&���� �������� &�� $%$%$% ����� ==−
/����&���� ���������� &�� $%$%$% ����� −=−=−
����� ������
�� ����� ��� �������� ��
� .# 6 =∈∀ +���
�� ������� ��� �������� ��
� .# 6 =∈∀ ���
"���� ��������
�∈
−=−��
�
�
� ���� $ %$% '
��
��
.'6#
#$ %#����� �"���
6
6 6
=∈∀⇔=−∈∀⇔=−∈∀⇔
+
++
�
����
�
��
�������
/�# 6 6 6 6 $ %'6 ++++ +=+= ���� ������
'/�� ���� �&�����
. ≠+ '
"�����
�� .#.'6# 6 6 =∈∀⇔=∈∀ ++ �� ����
/��������8������������'
touscours.net