les polynômes formels à une indéterminée à coefficients dans un corps k

9
! " # $ # # % × + %$ &&’ $ ( ) * + + # , + ’ -)) & + & . # # = > ) / , 0 × 1 = = $ % # $ % # + = + $ % = × $ % 2 = - = + = = . # 0 × # $ # # % × + ) "3 # 0 ( # = $ % = $ % # , & . # = > & . # = > ’ " . $# # ,% = + > " + + # + ) 4 & × * = = $ % # $ % # & . # = > & . # = > ’ 5 = × $ % + > # . = ’ ( * + > 6 $ # % * = + # > > % # < + + $ " . = . = # . = " . = = = + " × ) 0+ & 0 " 0 1 1’ " # $ . % 1 0 ( # = $ % # - = $ % = + $ . % touscours.net

Upload: achraf-ourti

Post on 27-Jun-2015

100 views

Category:

Education


1 download

DESCRIPTION

Groupes, Permutations, Anneaux, Arithmétique dans Z, Corps commutatif, Les polynômes formels à une indéterminée à coefficients dans un corps K, Fonctions polynomiales, racines, Espaces vectoriels, K-algèbres, Espaces vectoriels de type fini, Matrices, Déterminants, Fractions rationnelles, Produit scalaire sur un R-ev, Espace vectoriel euclidien, R-ev euclidien orienté de dimension 2, R-ev euclidien orienté de dimension 3, Espaces affines, Géométrie dans un espace affine euclidien

TRANSCRIPT

Page 1: Les polynômes formels à une indéterminée à coefficients dans un corps K

����������� �������� ������ ���������������������������� ��� ������ �

������������������ ���� ��!

"�� ����������# $##% ×+� �� ���������� %����������$&������&��'

����������������$(����

)*����� �+�� ������� ���� �+������� ���#����,�� �� �������� �������

�+�������������'

�-� �)�)����&���� � ��+�� ������� �

�∈� ����� &���

� .## =>∀∈∃ �����

)/���������������,��� 0��× ����������� ��1�����

������� �������� ���� ∈== ∈∈ $%#$% #���� ��

�∈+=+ ��� ���� $%

���∈=× ���� $% �2 ��

=−

=+==∈∀

���

��

�� �����.

#�

���� �

0 �� × ��� ������� �� ��� �� ����� ����� ������� ���� # �� $##% ×+

�� � � ��

����������������'

) "�3�#0� ������������������ ������������ ���� '

(� �����# ��∈= ���� $% ��

����� �� ∈= ∈$% # ���� �� �,� �� �∈� ��� &��

�.# =>∀ ���� �� �∈� ��� &��

�.# =>∀ ���� ' "���

�.$##��,% =+>∀ �� ����� '

"��� �� + � ��������������+�������������#�������� ∈+ '

) 4������ &��× � �������������� ������������ ���� '

*������������� ���� ∈== ∈∈ $%#$% # �∈� ���&��

�.# =>∀ ���� �� �∈� ���&��

�.# =>∀ ���� '5���� �����

�∈=× ���� $%

���� ��� +>∀ #�

.=� '(�������

*��� ��� +> '���� �������� 6$#% �∈� �

*� �� =+ #���� �� > �� � >

%��� ���� � ≤ �� �� ≤ #������ ���� <+≤+ $

"����

.=�� ���

.=� # ����

.=���

"����

.== �=+ ��

�� �� '

"������� ∈× '

) 0�+� ������&������ ����������� �������0 �� �

� '

"���0� �� ������1������������1�'

"���� #�� ������ ∈�$.% � ��1������������������0�������������

�� '

(������# ������ �� ∈= ∈$% #����

����� �� ∈−= ∈$% ��

�� ∈=+ ��� $.% '

��������� �����������������������������������������������������������������������

touscours.net

Page 2: Les polynômes formels à une indéterminée à coefficients dans un corps K

����������� �������� ������ ���������������������������� ��� ������ ������������������� ����6 ��!

) ����× �× � ��1�����������������1�%���× � ����������1� �������� �$

7��,� ��������������× #�+� � '''$.#.# %���

=�

(������������ �∈= �� � $% �1��

� . = ��

�.# =≥∀ � � '

*������� ����� �� ∈= ∈$% '

���� �∈= ���� $% #�2 ���

��

�� �� � � =×=== �=+

� .

"��� ��� = #��������������1��� ��� = #������ ���������������× '"� �������1�����× ��0�*�����

����������� ������ ∈=== ∈∈∈ $%#$%#$% '���� �

�∈=+× ����� $%$% #�2#�������� �∈� �

����=+=+

+

↑=+↑=+

+=+=+=��

��

��

��

��

�� �����������

�� ��� ��������������1���#� ������1

���� �����

1����� �������

$%

(��∈=×+× ������� $% #�2#�������� �∈� �

��=+=+

+=��

��

�� ����� '

"��� ������� ×+×=+× $%

(� �������������� ×+×=×+×=+×=×+ $%$%

� ������1�����× �*�����

����������� ������ ∈=== ∈∈∈ $%#$%#$% '

���� �∈=× ���� $% #�2#�������� �∈� # �

=+=

��

�� �� '

(��∈=×× ������ $%$% #�2#�������� �∈� # �

=+=

���

��� ��

"��� �� �� �=++

+

↑=+ =+↑=+ =+

=���

����

�=

��

��

����

����

�=

���

��

��� ��

��

���

��

�� ����������

��� ��������������1

������ ������1���

1����� �������

���������� #������8���∈=×× ������ $%$% #�2#�������� �∈� �

�=++

=���

��� ���� '

"+�2 ������ ××=×× $%$% #������ ����������× � ����������1�'

"��� $##% ×+�� � �����������������������'

9$(����6����������������� ��'

*���

λλλφλφ

:����#'''$.#.#%$%

��

��

=→�

� '

���� φ � ��������� ����3������+������,�

$%$%'''$.#.#%'''$.#.#%'''$.#.#%$% µφλφµλµλµλφ +=+=+=+•������

$%$%'''$.#.#'''$%.#.#%'''$.#.#%$% µφλφµλλµλµφ ===•������

touscours.net

Page 3: Les polynômes formels à une indéterminée à coefficients dans un corps K

����������� �������� ������ ���������������������������� ��� ������ �

������������������ ����; ��!

<� �����������������,������������

�����

��

∈=∈∈

��

��

����

$%'''$.#.#%'''$.#.#%

$%$%

����������µλ

�1�� �=+

=��

�� ��� '

"��� λµ== ..���� � .=� ���

.=�� ����'

����� � #'''$.#.# %$ % ==• φ

• (����# � '''$.#.#%'''$.#.#%����

µλ = #���� �1�������� µλ =

������ �&����# $%�φ � ��� �� ���������� #� ���������+������ $##% ×+� '

%/����&�+=�� ���������������� �� >$/�1� ����������������������#

�-� �)�)��������������#�������&�� �∈λ #λ ��λ: '��� �#���� �∈µλ# ��

���� ∈# %�1��

�∈= �� $%:λ #�∈= ���� $% $�

��� ∈===• ������ $%#'''$.#.#%: λλλ �2 �

��

�� �� � λ== �=+

"����∈== ������� $%#'''$##% 6 . λλλλλ

��� µλµλ +=+• $%

���� λλλ +=+• $%

$%$% �� µλλµ =•

���� � =×=×=ו���

:

�� ������� ��� ����������� �� ������� '

�$(����;����������������+������������

*�����+����������� ����������

#'''$.#.# #.%����

=�

�-� �)�)�����∈= ��� $%δ �2

� =δ �� { }

�� .# ? =∈∀ �� δ

���� �

� ∈=∈∀ �

� �� $%# $% �2� $% =�

� �� { }�

� .#? $% =∈∀ �

� ��

"���� ��������������������� ���'

���� .=� � '''$.#.# % .

����

== ��

*��� �∈� # ���� �� &���∈= �

� � $% $% �2� $% =�

� �� { }�

� .#? $% =∈∀ �

� ��

���� �∈

+ == ��

�� ���� $%

/2�

==≠

==∈∀ −

=+�

. �.

. �#

.

$%

.

$%

$%

� ��

� δδ

δβα

βα�

*���#���� .≠� #�

+=+≠

== − �

�.$%

��

�� ��

��

"����∈

++ = �

� � $% $ %

@�������������������

*������∈ '���� � +�����������������&�� �� ��������

�∈

=��

���� �2�� �� ����� ������� #��� ��������+�������������'

touscours.net

Page 4: Les polynômes formels à une indéterminée à coefficients dans un corps K

����������� �������� ������ ���������������������������� ��� ������ ������������������� ����A ��!

"���� ��������

*������∈ '

• � +������∈= ���� $% # ��� �+������� ��� ����� � ������ �+�� ������� ����#

�� �� ������������� +� '/���� ��

������

���

���

����

+++=

+++=+++=

=

'''

'''$.#.# #.#'''.#.%''''''$.#.# #.%'''$.#.# %

'''$.#.##.#'''.#.%''''''$.#.##.%'''$.#.#%

'''$.#.##'''#%

.

.

.

.

.

�������������

����������

��

"+�2 �+�,� ����� ��� �� �� ������∈��

� �� �2 �� �� ��� ��� � ������ �+��

�����������'

• B���������+���������

*� ��∈∈

=�� �

� ���� #�2�� �� ���� �� ������ ��������+�������������'

���� �

��

� ∈∈∈

∈ === �� ��

��� ������ $%$% '

C�����������

) �� ������� ���� ����� ���3��� ���� �� �� ������

∈��

��� #�2 �� ��

��� �� ������� ��� ��� � ������ �+�� ������� ���� %�� ������ �� �����

�∈��� $% $'

7� ��������� �������� ������ ���������������������������� ��� �'

) ������������ ��������+������������'

) �+�� ������� �� �������� ���� ������������� ����������� ��� � � �

���� DE�� '

"$(����A������� ���#��������������

• @��� DE�� �∈ +�����������������&�� �� �� ����� �∈

=��

���� �2 ��

�� ����� ������� ������ ��������+�������������'

��� �# ��

� ������� =∈∀�=��∈∈

#�

��

• $#D#E% ×+�� � ���������#������ ��� �� ������'

• *� �∈

=��

���� #�� �∈

=��

���� �2�� �� ������ ������������� +� ����

�� ������������� +� #���� �

�=

=�

����.

# �=

=�

����.

����====

+=+=+=+�

��

� �������������....

$% #�2 $#��,% ��� =

touscours.net

Page 5: Les polynômes formels à une indéterminée à coefficients dans un corps K

����������� �������� ������ ���������������������������� ��� ������ ������������������� ����F ��!

[ ][ ]

[ ][ ]

[ ] [ ] [ ] [ ]�� �� �

����

+

=

+

==+∈∈

+

==+∈∈

+

∈∈

+

∈∈==

===

==��

���

���

���

�=×

��

��

���

���

��

���

���

��

��

��������

�������������

.. #.##.. #.##.

#.

#.

#.

#...

$$%%

/2 �=+

=��

�� ���

���������$"���������

*��� DE�� �∈ # �∈

=��

���� �2�� �� ����� ������� ������ ��������+��

�����������'

• *� DE. ���

= #�-� �)�)�����

.=� �� .=� '���� �

� .# =∈∀ ��� '/��������

&���� �������� ∞−

• *����# DE. ���

≠ �� ���� �� �,� �� �∈� ��� &���

.≠�� ' /� ���� ����

���������� { }�

� .#��, ≠∈= ���� %��� &���+�� ������ ����1���#����3���

����� �� ������ ��������+�������������$'�� �����������������'

��� ��

�������� DE�� �∈ # { }∞−∪∈ ����� #������+�&��1�������

��

∈⇔≠ �� � ���. DE

�� �������� �������. ����,���������� { }�

� .?∈λ

�� �������� ������� ����,���������� ��� + �1�� .≠�

�� �������� �������� ����,���������� �=

���.

�1�� .≠�� '

�� �������� ������� �≤ ����,���������� �=

���.

�+�� ��������� ������� � ����� DE��� G�������������# DE. �� �+� ������&��

�#�� ������� �������� ��� ���� '

9$���������

*����� DE# ��� �∈ �� �∈λ '���� �

$$%H#%���$���%H#

����

. ����$���%

$$%##%������$���%

$���#��,%���$���%

−∞=−∞×∈∀=∈∀•�

∞−≠

=•

−∞=−∞+−∞−∞=+−∞∈∀+=ו≤+•

������

��

������

����

���

λλ

"���� ��������

) �� .==�� �1�����'

touscours.net

Page 6: Les polynômes formels à une indéterminée à coefficients dans un corps K

����������� �������� ������ ���������������������������� ��� ������ �

������������������ ���� ��!

) *� .=� �� .≠� %�� .≠� �� .=� $#���� ������ ����������� �'

) 4��������� � .≠� �� .≠� �

5���� � ���= �� �� ���= '

• /��� � $#��,% �� = '

/�� �=

=�

����.

#�� �=

=�

����.

"��� �=

+=+�

�� �����.

$% #���� ��� ≤+ $���%

���

����

����

����

�=ו ��

==

� ������..

�2�

.≠� ���

.≠��

"����

'''

.

+=× +

� �����

�=

=•

����.

λλ �1���

.≠�

• I� ������1������������������������ ���'

C�����������

) *��� �������������������#������� �

��� +����������������������

����� �� ������������������������'

) ������1������#����������������������������������� �.'

) �� +������� �� ����������� �� �� # �� �

��� +������� �� ������J����� ��

������'

) B����������������� ��������������� &�� ���������������������� � '

����������������� ��������$#D#E% ×+����

@��������

$#D#E% ×+�� � ����������������'

"���� ��������

) "�3�# $#D#E% ×+�� � �����������������������{ }�

. '

) *��������������� DE# ��� �∈ # ���� �� &���

.=��

4������ &�+���� ��

.��. == �� '

*���� �� &�����#�-� �)�)����&����

.��. ≠≠ �� '

*��������� ��� ���#��� == '��� �# �∈�# '

���� �=

=

����.

�� �=

=�

����.

#�1���

.≠� ���

.≠��

4�� ���� ��������������� �� + � ��

.≠��� #�����

.≠�� #��&��� ��,���'

���������� ��������

���� ������$���% += # �� � −∞=+ �� ������ # ���� ��������� ���

−∞=���� # ��� −∞=���� '

touscours.net

Page 7: Les polynômes formels à une indéterminée à coefficients dans un corps K

����������� �������� ������ ���������������������������� ��� ������ �

������������������ ����K ��!

@��������

�� ������� ��1�� ���� �� $#D#E% ×+�� ����,���������� ������� �� { }�

� .? '

"���� ��������

• *��� DE�� �∈ '*��� ���1�� ����#���� ���,� �� DE�� �∈ ���&��� =�� '

���� .������ =+ �� '/�# { }∞−∪∈ ��� ���#��� '

"��� .������ == ��

• I������&������# � { }�

� .?∈= λ� #���� λ ���������1�� � −λ '

"��� −= λ� � ���1�� ����'

"����������

*����� DE# ��� �∈ '/����&���� ��������������&���� �����1� ������

��� &�+���,� �� DE�� �∈ ���&�� ��� = '

"����������

*����� DE# ��� �∈ '/����&������ ���� ���� ��� &�����1� �������1� �

�%��&���&��1��������&�+���,� �� { }�

� .?∈λ ���&�� �� λ= $

"���� ������������������� ��

• *� �� λ= �1�� { }�

� .?∈λ ���� ���1� ������ � �� −= λ �������1� �

�'

• *�� ��1� �� ��� ��1� �� ���� �� �,� �� DE-# ��� �∈ ��� &�� ��� = ��

-��� = ' "��� -���� = ' "�����

.$- % =− ��� # �+�2# ����� DE�� � �

�������# ����

.=� ���� -=�� '

o *��

.=� #���� �

.=� ������1� ���������,� �� DE�� �∈ ���&��

�.== ��� '

o *�� -=�� #���� �� ���1�� ����#���� { }

�� .?∈= λ� #���� �� λ= '

�$"�1� ����������������� DE��'

@��������

*����� DE# ��� �∈ #�1���

.≠� '

���� ���,� �������&�������� $#% �� �+������� �� DE�� ��� &�� ���� +=

�� $���%$���% �� < '

/����&���� ���&���������� ����1� �����������������������&���� ���

�� ����� ����1� ���������������������'

"���� ��������

• B�������

*� ���� += #�1�� $���%$���% �� <

(� -- ���� += #�1�� $���%$-���% �� < #

���� ����� −=− -$-% '"��������

$-���#��,%���

$-���%$-���%$���%

��

�����

−=−+

��� �# $���%$-���%$���% ���� <−+ #���� �∉− $-���% �� '"��� .-=−�� '

"��� ��� −=× -.�

# ��� �� =- '

"+�2�+�������'

touscours.net

Page 8: Les polynômes formels à une indéterminée à coefficients dans un corps K

����������� �������� ������ ���������������������������� ��� ������ �

������������������ ����L ��!

• (,� ������

*��� { }�

� .?DE��∈ #������� �∈ ����������������������� � '

4������ �������������&�� $%# ��� �∈∀ #�2�

������������ � <+=∈∃∈∀= �����#DE$#%D#E$% 6��

) "�3�# $.%� � �1���#��� &�� � .��� ≤� #����

o *��� ≥ #������ ��� +×=�

. #���� $#.% ��

���1����'

o *��� .= # �� ���� { }�

� .?∈= �� �� �����

.$% += − ���� # ���� ��

������ $.#%

���− ���1����'

) *��� �∈� # ���� �� $%�� '*������� �������� +≤ � '

���� � +������ �� ��� ��

���

� �������

+

+ +++= ����2

.

.

'''

'

*���� �� +≤ � %��� ���� ���������# ��� +×=�

. �� $#.% ��

���1����$

/����������������

���

$% ������������

�� ��

� +−+=

++

<

−+−+

−+−+

�������� ��������� �������

"������ ���� ��

���

� ����������

−+−+

−+−+ −+=

66 ���#

$%

/�# �� ≤6��� '"��� 6 ���� += �1�� 6

DE$#% ��� �∈ �� � <$���% '

"���

$% ������� �

� ++= −+−+ '

(,������

666 6;F +=−−+= ������

6;$%66$ %

66666$ %

;6;

;;;;6;

−−+=−−−++=−−+=−−+−+=

����������

����������

�!�"���������������������������������������$"���������#���������

*��� DE�� �∈ '� +����� �∈

=��

���� �2 �� �� ��� ��� � ������ �+���������

����#�� �� +� '"��� �=

=�

� ���.

*��� DE�� �∈ '

/����� �∈

=��

����� $%: # ��� �=

=�

�����.

$%:

@��������

*����� DE# 6 ��� �∈ �� DE�� �∈ # DE��∈λ '���� �

λλ =

×=×

+=+

$%:

$%:$%:$$%:%

$%:$%:$$%:%

6 6

6 6

�������

�������

touscours.net

Page 9: Les polynômes formels à une indéterminée à coefficients dans un corps K

����������� �������� ������ ���������������������������� ��� ������ �

������������������ ����! ��!

"���� ��������

*����� �∈

=��

���� # �∈

=��

����6 '

/���������� �∈� ���&�� �� ≤ ��� �� �� ≤6��� '/������ �

�=

+=+•�

�� �����.

6 $%

"��� $$%:%$%$%:$%: 6

...

6 ���������������

��

� +=+=+=+ ���===

�=

=ו�

�����6

.

6 �2 �=+

=��

�� ���

�� �� ����== =+≤≤

+

=====�

���

���

���

�=�

��

��

� ����������������6

.

6

.#...

6 $%:$%:

λλλλ ===• .. '$%':$%: ����

I����&���

���������� +�������� ���� ��

���� ���� DE�� �∈ # �+�����������

$%:DEDE

���

��

�� → � � �� ���������� �� ��

�+������ $#D#E% ×+�� %��� ����3������� ��3�����$'

I����&���

���� DE. �� �∉ �� ��� ��� �� ���� ���# $%: ���� � ���3����1�'

9$�������� ���� #������

/� ���� ����&�����

. ≠+ %�-� �)�)����&��� �+� ��� ����������+�����

6�������� $#% +� $

"����������

*��� DE�� �∈

/����&���� �������� &�� $%$%$% ����� ==−

/����&���� ���������� &�� $%$%$% ����� −=−=−

����� ������

�� ����� ��� �������� ��

� .# 6 =∈∀ +���

�� ������� ��� �������� ��

� .# 6 =∈∀ ���

"���� ��������

�∈

−=−��

� ���� $ %$% '

��

��

.'6#

#$ %#����� �"���

6

6 6

=∈∀⇔=−∈∀⇔=−∈∀⇔

+

++

����

��

�������

/�# 6 6 6 6 $ %'6 ++++ +=+= ���� ������

'/�� ���� �&�����

. ≠+ '

"�����

�� .#.'6# 6 6 =∈∀⇔=∈∀ ++ �� ����

/��������8������������'

touscours.net