les pages personnelles au lal - chapitre 4 …d’après le théorème de l’énergie...

Chapitre 4

Magnetostatique

Sommaire

4.1 Action du champ magnetique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

4.2 Magnetostatique du vide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

4.3 Dipoles magnetiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

Introduction

Certains e!ets magnetiques sont connus depuis l’Antiquite, en particulier l’attraction exerceesur le fer par la magnetite 1. Le lien avec l’electricite fut etabli au debut du 19e siecle. Pourles memes raisons qu’en electrostatique (§ 2.1.3), l’action a distance decrivant les e!etsmagnetostatiques a ete progressivement remplacee par une action locale, celle du champmagnetique.

1. Du nom de la ville de Magnesie, en Asie Mineure, d’ou etaient originaires les premiers aimants naturelsconnus dans l’Antiquite.

Notes de cours d’electromagnetisme classique,Licence 3 et Magistere de Physique Fondamentale, P. Puzo (2010 - 2011)

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4.1 Action du champ magnetique

Comme on l’a deja vu (§ 1.5.2), on peut definir le champ magnetique de plusieurs facons, lieesa la force de Lorentz ou a l’action sur un fil parcouru par un courant. Le champ magnetiques’exprime en Tesla (T) 2.

La table 4.1 donne quelques ordres de grandeur de champs magnetiques. On pourra retenirqu’en France, la composante horizontale de !B vaut ! 0, 2 G et que sa composante verticalevaut ! 0, 4 G.

Surface d’une etoile a neutrons 108 TDans une bobine supraconductrice de petit volume 10 - 50 TDans d’un gros electroaimant 2 TProximite d’un petit barreau aimante 10! 2 TSurface de la Terre 2 - 4 10! 5 TEspace interstellaire 10! 10 TSur Terre, derriere un excellent blindage magnetique 10! 14 T

Table 4.1 – Quelques valeurs typiques de champs magnetiques.

4.1.1 Action d’un champ !B sur une charge

Force exercee sur une charge ponctuelle

Une particule de charge q et de vitesse !v soumise a l’action d’un champ electromagnetique( !E, !B) subit la force de Lorentz :

!F = q ( !E+!v " !B) (4.1)

On en deduit en particulier qu’une particule au repos ne subit pas l’influence d’un champmagnetique.

Dans le cas ou la particule se deplace dans une region de l’espace ou il n’existe pas de champ!E, elle subira simplement la force magnetique :

!Fm = q !v " !B (4.2)

Comme la puissance associee a la force magnetique !Fm est toujours nulle 3, la puissance PL

associee a la force de Lorentz vaut :

PL = q !E .!v (4.3)

2. On utilise couramment egalement le Gauss (G) defini par 1 G = 10! 4 T. Attention, l’unite du systemeMKSA est bien le Tesla !

3. Le travail de cette force est toujours nul car :

!Fm .!v dt =!

q !v " !B"

.!v dt # 0

D’apres le theoreme de l’energie cinetique, on en deduit que la force magnetique ne modifie pas l’energiecinetique d’une charge. En particulier, elle ne peut pas mettre en mouvement une charge initialement aurepos. On dit que le champ magnetique ne travaille pas.


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Remarque 1 : On a defini (§ 2.1.3) le champ electrostatique comme le rapport entre la forceelectrostatique et la charge electrique statique sur laquelle la force s’applique a la limite descharges nulles. On ne peut pas faire de meme pour le champ magnetique car on ne connaıtpas de charge magnetique libre.

Remarque 2 : Comme sa definition fait intervenir un produit vectoriel, !B depend d’une

convention d’orientation de l’espace (§ 1.5.2). En particulier, !B serait de signe contraire sila convention d’orientation de l’espace allait de !ux a !uz puis a !uy, au lieu de la conventionusuelle, alors que le champ electrique !E resterait inchange. Contrairement aux vecteurs quine dependent pas de l’orientation de l’espace, !B se transforme en l’oppose de son symetriquelors d’une operation de symetrie par rapport a un plan. C’est un pseudo-vecteur, ou vecteuraxial.

Remarque 3 : Le champ !E de la force de Lorentz est le champ electrique et non le champelectrostatique car cette expression reste valable meme pour des champs dependants dutemps.

Application : Visualisation de traces dans une chambre a bulles

La figure 4.2 represente les traces de particules dans une chambre a bulles 4. La chambre estremplie d’hydrogene liquide et placee dans un champ magnetique intense (typiquement 1 T).Une particule neutre - car ne laissant pas de trace - entre dans la chambre (fleche du haut)et heurte l’electron d’un atome d’hydrogene, auquel elle communique une grande impulsion(fleche du bas). Au cours de la reaction, une paire electron-positron de basse energie est creee(pour la conservation de la charge, ne pas oublier l’ion !). Ces deux particules spiralent dansle champ !B jusqu’a ce que leur vitesse soit inferieure au seuil de detection dans la chambre.

Remarque : Les chambres a bulles ont ete utilisees en physique des hautes energies jusquevers 1980. Elles sont remplacees de nos jours par d’autres types de detecteurs, notammentdes chambres a fils.

Application : Mesure de m/q a l’aide d’un spectrometre

On peut deduire de la force de Lorentz une methode pour mesurer la masse des particuleschargees, ou plus precisement leur rapport masse/charge. Par exemple, la figure 4.3 schema-tise un spectrometre de masse permettant d’etudier des ions positifs (pour des ions negatifs,il su"t d’inverser le sens du champ magnetique). Un ion positif est courbe dans une zoneou regne un champ !B constant. En reprenant les notations de la figure 4.3, on peut montrer

4. Le principe d’une chambre a bulles (1952) repose sur le fait qu’on peut, dans certaines conditions,observer un corps a l’etat liquide a une temperature superieure a la temperature d’ebullition a la pressionou l’on opere. Ceci est represente par la partie FE de l’isotherme de la figure 4.1. C’est le phenomene deretard a la vaporisation (on cree dans ce cas un liquide surchau!e). Le liquide existe alors seul sous unepression inferieure a la pression d’equilibre liquide-vapeur. Il est instable et une tres faible perturbation faitapparaıtre des bulles de vapeur dans le liquide. Il n’y a plus ensuite qu’a prendre une photo pour obtenir lafigure 4.2.Anterieurement, on utilisait un principe similaire dans les chambres a brouillard, base cette fois sur la partieBC de l’isotherme de la figure 4.1. On creait ainsi une vapeur sursaturee en instabilite. Le passage desparticules chargees liquefiait localement le gaz et materialisait la trace.


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T<Tc

p

B A

VVc

CD

E

F

G

Figure 4.1 – Diagramme de Watt pour une iso-therme calculee selon l’equation de van der Waals(pour T < Tc). Les etats correspondants a FE cor-respondent a du liquide surchau!e. La perturbationinduite dans le milieu par des particules chargees yfait apparaıtre des bulles de long de la trajectoiredes particules.

Figure 4.2 – Une particule incidentenon chargee (en haut) donne naissance aun electron et un positron en heurtantl’electron d’un atome d’ydrogene. Dans unchamp !B uniforme, on visualise les troistraces des particules chargees (figure ex-traite de [15, page 158]).

(voir par exemple [15, page 167]) que la distance x a laquelle l’ion vient frapper la paroi dela chambre s’ecrit :

x =

$8V

B

#

m

q(4.4)

Figure 4.3 – Principe d’un spectro-metre de masse (figure extraite de [15,page 168]).

et B croisésFilament Ecran

Vers une pompe à vide

Zone de champs E

Figure 4.4 – Schema du systeme utilise parJ.J. Thomson a Cambridge en 1877 pour mettre enevidence l’electron.

Application : decouverte de l’electron

La figure 4.4 represente schematiquement l’appareil utilise par J.J. Thomson pour mettreen evidence l’electron en 1897. Les particules chargees (dont on sait maintenant que ce sontdes electrons) sont emises par le filament et accelerees par une di!erence de potentiel. Elles


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passent ensuite a travers une zone de longueur L ou coexistent des champs croises !E et !B(c’est-a-dire que !E % !B). Les forces qui s’exercent sur les particules les devient du centre del’ecran. En notant y la deviation a la sortie de la zone dans laquelle les champs coexistent,on peut facilement montrer que :

m

q=

B2 L2

2 y E(4.5)

Outre leur signe negatif (venant du sens de deflexion), J.J. Thomson a ainsi montre que cesparticules chargees etaient 1000 fois plus legeres que l’atome d’hydrogene (en fait 1836 fois).Ceci est considere comme la ”decouverte” de l’electron.

On peut noter que l’utilisation des champs croises est a la base de tous les tubes cathodiquesdes televiseurs.

4.1.2 Action d’un champ !B sur un courant

Force magnetique exercee sur une distribution volumique de courant

Dans le cas d’une distribution volumique de charge " constituee d’une seule espece de chargesde vitesse moyenne !v, la force qui s’exerce sur un element de volume dV est :

d!F = !Fv dV avec !Fv = " ( !E+!v " !B) (4.6)

ou !Fv est la densite volumique de force. L’equation (4.6) est lineaire en fonction de la densitevolumique. On en deduit que si le milieu est constitue de plusieurs especes de charges, ladensite volumique de force est maintenant :

!Fv = " !E + !J " !B (4.7)

ou " et !J sont les densites volumiques totales de charge et de courant. Dans ce cas, lapuissance elementaire dPL de la force de Lorentz s’ecrit :

dPL = " !E .!v dV = !J . !E dV (4.8)

Application : e!et Hall

En 1879, Hall a montre que les electrons de conduction dans un conducteur metalliqueetaient devies par un champ magnetique. La figure 4.5 a represente une bande de cuivre delargeur # et d’epaisseur h dont les porteurs de charge (les electrons) derivent a la vitesse vdde bas en haut. Si on etablit un champ externe !B, une force magnetique agira sur chacundes electrons et les repoussera transitoirement vers le cote droit de la bande, creant donc surle cote gauche une accumulation de charges positives. La separation des charges positives etnegatives cree donc un champ electrique oriente de la gauche vers la droite (figure 4.5 b), qui atendance a repousser les electrons vers la gauche. La force electrostatique exercee sur chaqueelectron croıt jusqu’a annuler la force magnetique. En regime permanent (figure 4.5 b), leselectrons de conduction se deplacent le long du conducteur sans s’accumuler sur les cotes.Si les porteurs de charges etaient charges positivement, le champ electrique serait inverse


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Figure 4.5 – L’e!et Hall est l’apparition d’un di!erence de potentiel entre les faces laterales d’unconducteur place dans un champ !B. La mesure de cette tension permet de remonter a la densitevolumique des porteurs de charges. Inversement, connaissant la densite de porteurs, on peut endeduire une mesure directionnelle du champ magnetique (figures extraites de [15, page 162]).

(figure 4.5 c). Comme ceci n’est jamais observe, on en deduit que les porteurs de chargessont charges negativement.

On appelle tension de Hall la di!erence de potentiel VH = E d mesuree entre les faceslaterales du conducteur en regime permanent. Si le cote gauche du conducteur (en reprenantles notations de la figure 4.5) est a un potentiel superieur au cote droit, cela signifie que lesporteurs de charge sont charges negativement. On peut par ailleurs montrer que la densitevolumique n des porteurs de charge s’ecrit :

n =B i

VH h e

Pour de l’argent avec n ! 6, 0 1022 cm! 3, on obtient VH ! 10 µV pour d = 10 mm,h = 0, 1 mm, I = 10 A et B = 1 T. Par contre, pour des semi-conducteurs (pour lesquels npeut valoir jusqu’a 1016 cm! 3), on peut obtenir des valeurs de VH de l’ordre du millivolt.

En utilisant un semi-conducteur pour lequel la densite volumique n est connue, l’e!et Hallpeut servir a mesurer le champ magnetique sur les trois axes !ux, !uy et !uz (ce sont les sondesa e!et Hall). Il peut egalement servir a mesurer la vitesse de derive vd des porteurs decharges, si on connait le champ magnetique : en deplacant la bande de metal dans le champmagnetique, la tension VH s’annule lorsque sa vitesse est egale (au signe pres) a la vitessedes porteurs de charges.

Application : pompe electromagnetique

On considere un tube isolant de section rectangulaire (figure 4.6). Deux electrodes metalliquesen regard permettent d’y faire circuler un courant electrique transverse. En appliquant un


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champ !B orthogonal, les porteurs de charges sont soumis a la force magnetique qu’ils trans-mettent aux autres molecules du conducteur liquide, le mettant ainsi en mouvement. Ceprincipe permet de realiser une pompe (sans aucune piece mobile !).

B

I

JF

Figure 4.6 – Une pompe electromagnetiqueest un ensemble comprenant deux electrodestraversees par un courant : la force magnetiqueexercee sur les electrons est transmise au li-quide qui se met en mouvement.

I

O

B

IHgliquide

Figure 4.7 – Une roue de Barlow est consti-tuee d’un disque circulaire conducteur plongedans un bain de mercure liquide, le tout situedans un champ !B uniforme.

Application : roue de Barlow

La roue de Barlow est le plus simple des moteurs electriques (figure 4.7). Un disque circulaireconducteur de rayon R est plonge dans un champ magnetique !B uniforme parallele a l’axede rotation du disque. Un courant d’intensite I traverse le disque de son axe en un point dela peripherie ou il est plonge dans un bain de mercure. On peut montrer que le disque estsoumis a une force qui tend a le faire tourner et que le moment # de cette force par rapportau centre du disque vaut :

# =R2 I B

2(4.9)

Force magnetique exercee sur une distribution surfacique de courant

Un element de surface dS de densite surfacique de courant !Js est soumis a la force d!F =dq !v " !B = !Js " !B dS. La densite surfacique de force !Fs (telle que d!F = !Fs dS) est donc :

!Fs = !Js " !B (4.10)

Force magnetique exercee sur une distribution lineique de courant

Un element de longueur d# parcouru par un courant I est soumis a la force, dite force deLaplace :

d!F = dq !v " !B = I d!#" !B (4.11)

Cette relation est connue sous le nom de loi de Laplace.


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Action d’un champ magnetique sur un conducteur

D’apres la loi de Laplace, un champ magnetique va donc exercer une action mecanique surun conducteur filiforme (figure 4.8).

B B B

i ii = 0

Figure 4.8 – Un fil dans un champ magnetique est soumis a une force decrite par la loi de Laplace.

Action d’un champ magnetique sur un circuit ferme

On considere un circuit filiforme ferme (C) parcouru par un courant I. Dans un champmagnetique !B uniforme, la resultante !F des forces qui s’appliquent sur le circuit s’ecrit :

!F =

$

(C)

I d!#" !B = I

%$

(C)

d!#

&

" !B = !0 (4.12)

Le circuit n’est donc soumis qu’a un couple dont le moment !# par rapport a un point Os’ecrit :

!# = !M" !B (4.13)

ou !M = I !S est par definition le moment dipolaire magnetique du circuit.

Application : la balance de Cotton

La balance de Cotton 5 est un instrument de mesure absolu du champ magnetique, qui n’aplus aujourd’hui qu’un interet anthropologique, puisqu’on utilise plus de nos jours que desfluxmetres. Le principe de cette mesure est d’equilibrer par le poids m!g la force de Laplacequi s’exerce sur le troncon BC de longueur a situe dans le champ magnetique (figure 4.9).Qualitativement, on montre que :

B =mg

I a

ON

OO"(4.14)

Cette methode repose sur l’hypothese que les forces de Laplace qui s’exercent sur les tronconsAB et CD se compensent.

4.2 Magnetostatique du vide

On appelle magnetostatique l’etude des champs magnetiques constants, crees par des aimantspermanents ou par des courants constants. En e!et, des charges electriques se deplacant avitesse constante, creent des courants permanents dont les e!ets magnetiques, independantsdu temps, entrent dans le cadre de cette etude.

5. Aime Cotton (1869 - 1950), physicien francais.


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ON

m g

I

B CB

O’

A

D

Figure 4.9 – Balance de Cotton : le poids m!g equilibre la force de Laplace qui s’exerce sur letroncon BC.

4.2.1 Aimants permanents - Lignes de champ

On peut representer les champs magnetiques par des lignes de champ, tout comme les champselectriques, en utilisant le meme formalisme 6. Toutes les lignes de champ traversent l’aimant,et elles forment toutes des boucles fermees (meme si cela ne semble pas evident sur la figure).La figure 4.10 represente les lignes de champ pour trois types communs d’aimant permanent.On appelle pole Sud l’extremite d’un aimant par laquelle les lignes de champ y penetrent etpole Nord l’extremite par laquelle les lignes de champ quittent l’aimant.

SNS

N

Figure 4.10 – Lignes de champ d’un aimant en U (gauche), d’un aimant en C (milieu) et d’unbarreau aimante (droite).

Remarque : La Terre possede un champ magnetique produit dans son noyau par desphenomenes encore mal connus. On le detecte a l’aide d’une boussole, dont le pole Nord estattire vers le nord de la Terre. Le pole Sud du champ magnetique terrestre est donc situevers l’Arctique.

6. C’est-a-dire qu’en tout point, !B est tangent a la ligne de champ et que l’espacement entre les lignes dechamp traduit la valeur du champ !B.


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4.2.2 Champ !B produit par un courant : loi de Biot et Savart

Circuit filiforme parcouru par un courant constant

En 1819, Oersted observa qu’un courant electrique dans un fil deviait les dipoles magne-tiques permanents places aux environs. Biot et Savart ont etablit en 1820 la loi experimen-tale reliant l’induction magnetique !B aux courants 7 :

!B =µ0

4 $

$

(C)

I d!#" !u

r2(4.15)

en notant d!# un element de longueur de circuit pointant dans le sens du courant de norme I(figure 4.11) et !u = !r/r le rayon vecteur joignant l’element de circuit d!l et le point de mesureM . La constante µ0 est la permeabilite magnetique du vide et vaut 4$ 10!7 N/A2 ou H/mdans le systeme international.

dl

P

M

u

(C)

I

PM

dB

I

udl

(C)

Figure 4.11 – La loi de Biot et Savart (a gauche) donne le champ !B induit par un courantcirculant dans un fil. Attention, une formulation locale de cette loi (a droite) peut induire en erreur(voir texte).

Remarque 1 : Cette expression de !B correspond bien a un vecteur axial a cause de la

presence du produit vectoriel d!#" !u.

Remarque 2 : Il faut faire attention a ne pas donner de forme di!erentielle de cette loi : unelement de courant isole ne peut exister en magnetostatique (au contraire de l’electrostatiqueou on peut imaginer une charge ponctuelle isolee) car il transporterait en permanence descharges d’un bout a l’autre du circuit, ce qui n’est pas compatible avec une densite volumiquede charge constante. Suite a la forme de la loi de Biot et Savart, on est tente de dire que lechamp d !B cree par une portion infinitesimale de circuit d!# est de la forme :

d !B =µ0

4 $

I d!#" !u

r2(4.16)

Attention, meme si on trouve ceci dans de nombreux ouvrages (par exemple [15, page 185]),c’est faux ! Rien ne prouve que la contribution e!ective de chaque element de courant soitdonne par (4.16) 8. La loi de Biot et Savart est une loi integrale.

7. Historiquement, la loi de Biot et Savart n’etait pas formulee ainsi puisque l’introduction de µ0 estulterieure.

8. De meme, on ne peut pas deduire que f(x) = g(x) sur l’intervalle [a, b] si on a :

' b

af(x) dx =

' b

ag(x) dx


100

Remarque 3 : La loi de Biot et Savart ne depend que du courant qui circule et est valablequelque soit la vitesse des particules qui creent le courant. Cette vitesse est tres faible dansun conducteur metallique (de l’ordre de quelques cm/s), mais peut etre voisine de c dans unfaisceau d’electrons de plusieurs GeV, qu’on peut assimiler a un courant. Dans tous les cas,le champ mesure est en accord avec la loi de Biot et Savart. Il est remarquable que cette loisoit valable sur plus de 10 ordres de grandeur !

Densite volumique de courants constants

Dans le cas d’une densite volumique de courant !J , la loi de Biot et Savart (4.15) devient :

!B(M) =µ0

4 $

'''

(V )

!J(P )"&&'PM

PM3d3P (4.17)

Remarque sur Biot et Savart

On peut remarquer que formellement, la relation de Biot et Savart (4.15) a pour homologueen electrostatique :

!E =1

4 $ %0

'''

" !u

r2dV

qui donne l’expression du champ !E cree par une distribution de charges ". Pour une distri-bution de charges fixes, cette relation n’est que la forme integrale de la loi de Coulomb :

!E =1

4 $ %0

q

r2!u

On pourrait se demander s’il existe une forme locale a (4.15). On pourrait chercher a faireapparaıtre une forme locale en ecrivant !J = n q !v avec les notations usuelles. On retomberaitbien sur (4.15) par integration si le champ magnetique cree par une particule de vitesse !vs’ecrivait :

!B =µ0

4 $q !v " !r

r3(4.18)

Il n’en est rien. On montrera e!ectivement (4.18) au chapitre 9, mais uniquement pour uneparticule en mouvement rectiligne uniforme non relativiste. La relation (4.15) ne supposerien sur les vitesses et les accelerations des particules chargees qui creent le champ et restevalable tant que la densite de courant macroscopique qui traduit le mouvement des chargesreste independante du temps.

4.2.3 Forces d’interaction entre courants permanents

Interaction entre circuits filiformes

La loi de Biot et Savart permet de calculer le champ cree en un point M2 par un circuit (C1)parcouru par le courant I1 (figure 4.12) :

!B(M2) =µ0

4 $

$

(C1)

I1d!#1 " !r12

r312avec !r12 =

&&&&'M1M2


101

dl1dl2

r12

(C )

(C )

I 2

I 1

1

2

M 1

M 2

Figure 4.12 – L’interaction entre deux circuits filiformes suit la loi de l’action et de la reaction.

Un element d!#2 du circuit (C2) est donc soumis a la force de Laplace :

d!F12 =µ0

4 $I1 I2 d!#2 "

%$

(C1)

d!#1 "!r12r312

&

soit :!F12 =

µ0

4 $I1 I2

$

(C1)

$

(C2)

d!#2 "%

d!#1 "!r12r312

&

(4.19)

en integrant sur le circuit (C2). Un calcul simple (voir par exemple [9, page 193]) conduit a :

!F12 = & µ0

4 $I1 I2

$

(C1)

$

(C2)

(d!#1 . d!#2)!r12r312

(4.20)

En permutant les indices, on obtient l’expression !F21 de la force exercee sur le circuit (C1)par le circuit (C2). Comme !r12 = & !r21, on a finalement :

!F12 = & !F21 (4.21)

Ce resultat montre que les forces totales s’exercant entre deux circuits parcourus par descourants constants obeissent au principe de l’action et de la reaction.

Remarque : Cette loi est une loi integrale et n’est pas valable si on considere des portionsde circuit (decoule du caractere integral de la loi de Biot et Savart).

Interaction entre deux courants paralleles

On considere deux fils paralleles, parcourus par des courants I1 et I2. Le conducteur (C1)cree en tout point du conducteur (C2) un champ magnetique perpendiculaire au plan definipar les deux conducteurs et de module B = µ0 I1/(2 $ d) (comme on le verra au § 4.2.7). Surune portion de longueur # du conducteur (C2), il exerce une force !F telle que :

!F =µ0

2 $

I1 I2 #

d!u (4.22)

Cette force est attractive si I1 et I2 sont de meme sens, repulsive dans le cas contraire.

Definition de l’ampere

La definition de l’ampere est basee sur la force s’exercant entre deux fils paralleles (4.22).On pourra retenir que l’ampere est l’intensite d’un courant constant qui, maintenue dans


102

d

(C )

(C )I

I 1

2F

B

1

2

u

Figure 4.13 – La force s’exercant entre deux conducteurs parcourus par des courants est attractivesi les courants sont de meme sens et repulsive dans le cas contraire.

deux conducteurs paralleles, rectilignes, infinis et espaces de un metre, produit entre cesconducteurs une force de 2,0 10! 7 N par metre de longueur.

Remarque : Cette definition de l’ampere revient a fixer la valeur de µ0. Depuis 1981,la valeur de c sert de definition au metre. La permittivite du vide %0 = 1/µ0c2 est doncegalement fixee.

Application : canon a rails magnetique

La force entre deux conducteurs paralleles est a la base du principe du canon a rails magne-tique (figures 4.14 et 4.15). Un courant de forte intensite est envoye dans un des rails, passedans un fusible conducteur (une feuille de cuivre par exemple) et retourne a la source decourant le long du 2e rail.

Figure 4.14 – Un canon a rails magnetiqueest un ensemble de deux conducteurs paral-leles dans lesquels circule un courant de forteintensite (figure extraite de [15, page 190]).

Figure 4.15 – Lorsque le fusible a fondu, le gazconducteur exerce une force !F sur le projectileet lui donne une acceleration pouvant atteindre106 g (figure extraite de [15, page 190]).

Lorsque le courant est etabli, le fusible se vaporise et se transforme en gaz conducteur quirempli l’espace entre les rails. Le champ !B exerce une force !F sur le gaz sous l’e!et ducourant i qui y circule. Le gaz pousse le projectile et lui donne une acceleration pouvantatteindre 106 g. Le projectile peut atteindre 10 km/s en 1 ms. Certains visionnaires veulentse servir de ce systeme pour envoyer des satellites dans l’espace !

Force magnetique entre particules chargees

Si les particules chargees ont une vitesse faible devant la vitesse de la lumiere, on peut utiliserl’expression (4.18) pour obtenir le champ cree par une particule (1) a l’endroit ou se trouve


103

une particule (2), c’est-a-dire la force !F12 exercee par la particule (1) sur la particule (2) :

!F12 = q2 !v2 "%

µ0

4 $

q1 !v1 " !r12r312

&

=µ0

4 $q1 q2 !v2 "

!v1 " !r12r312

(4.23)

Cette expression n’etant pas symetrique (!F12 (= & !F21), le principe de l’action et de la reactionn’est pas verifiee dans l’interaction de deux particules chargees en mouvement. Ceci est duau fait que l’interaction n’est pas instantanee. Pour obtenir (4.18), on etait sorti du cadre dela magnetostatique !

4.2.4 Proprietes de !B - Potentiel vecteur - Jauge de Coulomb

Proprietes de !B

On peut montrer (voir par exemple [14, pages 190 et suivantes]) que la loi de Biot et Savarta deux consequences importantes :

1. Conservation du flux magnetique

Cette conservation s’exprime par :

)''

(S)

!B . d !S =

'''

(V )

!* . !B dV = 0

On dit que !B est a flux conservatif. Cette relation a deux consequences importantes :• Le flux de !B a travers une surface fermee est toujours nul (figure 4.16) car :

!* . !B = 0 (4.24)

• Il n’existe pas de monopole magnetique 9. En fait, on n’a jamais pu mettre en evidenceexperimentalement l’existence des monopoles magnetiques. En 1931,Dirac a montreque l’existence d’un seul monopole magnetique dans l’univers expliquerait (selon lui !)la nature discrete de la charge electrique 10.

2. Theoreme d’Ampere

La circulation de !B sur un contour ferme (C) quelconque verifie le theoreme d’Ampere :

$

(C)

!B . d!# = µ0 Ienlace (4.25)

Le courant total enlace Ienlace par le circuit etant l’integrale sur (S) de la densite decourant !J , on ecrira egalement :

$

(C)

!B . d!# =

''

(S)

µ0!J . d !S

9. Ceci avait deja ete pressenti par Gilbert vers 1600 a partir du fait qu’un aimant permanent qui sebrise redonne deux aimants aux proprietes magnetiques identiques.10. Si vous etes interesses, voir [14, pages 286 a 294] pour une discussion de tres haut niveau.


104

(S)

BB

B

B

Figure 4.16 – Le flux de !B a tra-vers une surface fermee est toujoursnul.

B(M)

dl

SI 1

I 2

M

I3

(C)

Figure 4.17 – Le theoreme d’Ampere relie le couranttotal traversant une surface a l’integrale du champ ma-gnetique sur le contour ferme (C) sur lequel il s’appuie.On a ici Ienlace = I1 & I2.

En transformant le 1er terme a l’aide du theoreme de Stokes (A.20), on obtient finale-ment :

!*" !B = µ0!J (4.26)

Cette relation est connue sous le nom de de forme locale du theoreme d’Ampere.

Le theoreme d’Ampere permet de determiner le champ !B si l’integrale de (4.25) estcalculable, c’est-a-dire dans la pratique si le systeme presente un degre de symetriesu"sant.

Potentiel vecteur - Jauge de Coulomb

D’apres (A.14), la conservation du flux magnetique exprimee par (4.24) entraıne qu’il existeun champ de vecteur !A tel que :

!B = !*" !A (4.27)

Cette relation sert de definition au potentiel vecteur !A. En appellant (C) un contour quel-conque ferme et oriente et (S) une surface s’appuyant sur (C) et orientee dans le meme sens(figure 4.18), on deduit d’apres (A.20) que :

''

(S)

!B . d !S =

$

(C)

!A . d!#

Ce flux ne depend pas de la surface (S) mais uniquement du contour (C).

Remarque : Le potentel vecteur !A est un vrai vecteur (ou vecteur polaire). En e!et, par

changement du sens dans le triedre de reference, !B et !* changent de signe, donc !A resteinvariant.

En considerant un champ scalaire &(M), le rotationnel du champ vectoriel associe !A " =!A+ !*(&) s’ecrit !*" !A " = !*" !A = !B d’apres (A.15). On en deduit que le potentielvecteur !A dont derive !B est defini a un gradient pres.


105

Figure 4.18 – Le flux de !B a travers une surface ouverte (S) s’appuyant sur un contour (C) nedepend que du potentiel vecteur !A sur le contour.

On admettra qu’il est possible de definir le potentiel vecteur a une constante pres par lacondition de jauge :

!* . !A = 0 (4.28)

Cette jauge, particulierement utilisee en magnetostatique, s’appelle la jauge de Coulomb.Dans cette jauge, (4.27) permet d’ecrire une relation analogue a l’equation de Poisson (2.19)de l’electrostatique :

$ !A + µ0!J = !0 (4.29)

Remarque : Attention a la signification du laplacien vectoriel. Il n’est egal au laplacien descoordonnees qu’en coordonnees cartesiennes (§ A.3). De maniere generale, il faut le calculera partir de $ !A # !*(!* . !A)& !*"(!*" !A).

4.2.5 Expressions integrees de !A et !B

Cas general

En imposant de plus de maniere arbitraire que !A = !0 a l’infini, on peut montrer qu’en jaugede Coulomb, la resolution de l’equation de Poisson (4.29) conduit a :

!A(M) =µ0

4$

'''

(D)

!J(P )

PMd3P (4.30)

ou l’integrale est e!ectuee sur la distribution volumique de courant decrite par le pointcourant P . On peut alors donner une expression integree pour le champ magnetique !B :

!B(M) =µ0

4$

'''

(D)

!J(P )" !PM

PM3d3P (4.31)

On peut remarquer que cette relation n’est autre que (4.17), qui avait ete deduite directementde la loi de Biot et Savart.

Cas d’un circuit filiforme

Lorsque la distribution de courant est filiforme, de section negligeable s, on peut negligerles variations de !J sur s. En appelant I le courant qui parcourt le fil (I d!# = !j s d#), les


106

expressions du potentiel vecteur (4.30) et du champ magnetique (4.31) crees par le circuitdeviennent :

!A(M) =µ0

4$

$

(C)

I(P )

PMd!# et !B(M) =

µ0

4$

$

(C)

I(P )d!#" !PM

PM3(4.32)

On retrouve bien la loi de Biot et Savart.

4.2.6 Resume - Methodes de calcul du champ !B

En resume, la magnetostatique du vide se traite par un ensemble d’equations resumees dansle tableau ci-dessous.

Formulationdi!erentielle !*" !B = µ0

!J !* . !B = 0en champ

Formulationdi!erentielle $ !A+ µ0

!J = !0 !B = !*" !Aen potentiel (!* . !A = 0)Formulation

integree(

!B . d!# = µ0 I))

(S)!B . d !S = 0

en champ

Il existe plusieurs methodes pour calculer le champ magnetique. Les principales d’entre ellessont :

1. Calcul direct par l’integrale vectorielle

En jauge de Coulomb, on peut calculer !B grace a :

!B(M) =µ0

4$

'''

(D)

!J(P )" !PM

PM3d3P (4.33)

2. Calcul indirect a l’aide du potentiel vecteur

En jauge de Coulomb, on doit resoudre :

$ !A = &µ0!J (4.34)

3. Calcul direct a l’aide du theoreme d’Ampere

$

(C)

!B . d!# =

''

(S)

µ0!J . d!S (4.35)

4. Calcul a l’aide du potentiel scalaire magnetique

Comme on le verra au § 4.3.2, on peut parfois definir un potentiel scalaire magnetique%m. On a alors la possibilite de resoudre :

$%m = 0 puis !B = & !*(%m) (4.36)


107

4.2.7 Quelques calculs classiques

Les exemples donnes ci-dessous sont detailles par exemple dans [9, chapitre 11].

1. Champ du fil infiniOn peut facilement montrer que le champ magnetique cree a la distance R d’un filinfini est orthoradial et vaut :

!B =µ0 I

2 $R!u! (4.37)

En prenant I = 10 A et R = 10 cm, on obtient B = 2, 0 10! 5 T, ce qui reste unchamp magnetique faible en regard du champ terrestre. Pour augmenter notablementla valeur du champ, on doit donc utiliser des bobinages comportants un grand nombred’enroulements qui contribuent chacun comme (4.37).

2. Champ sur l’axe d’une spire circulaireOn prend les notations de la figure 4.19. On trouve que le champ !B est dirige suivantl’axe de la spire et vaut :

!B(M) = B0 sin3(') !n avec B0 =µ0 I

2Ret sin(') =

R

r(4.38)

ou B0 represente le champ sur l’axe au centre de la spire. Les lignes de champ sontrepresentees de maniere qualitative sur la figure 4.20. Plus on se rapproche de la spire,plus les lignes de champ s’apparentent a celles du fil infini.

M

OP

R

r!

uI

z

Figure 4.19 – Le champ sur l’axed’une spire circulaire est porte par l’axede la spire.

Figure 4.20 – Allure des lignes de champ de la spirecirculaire. Le plan de la figure contient l’axe de laspire. Les deux points gras representent la spire decourant (figure extraite de [9, page 202]).

3. Champ du solenoıde fini a section circulaire

!Baxe =µ0 n I

2(cos('2)& cos('1)) !uz (4.39)

4. Champ du solenoıde infini

!Bint = µ0 n I !uz et !Bext = !0 (4.40)


108

4.2.8 Continuite du champ !B et du potentiel !A

Les proprietes de continuite/discontinuite du champ !B et du potentiel !A au voisinage dedistributions de courant dependent de la nature de ces distributions. En particulier, onaura :

1. Courants lineiques

Le fil est alors une singularite de la densite !J . En appliquant le theoreme d’Amperesur un cercle centre sur le fil et de rayon a, on voit que le champ !B croıt comme 1/aquand a ' 0.

On en deduit que !A possede une singularite logarithmique sur le fil.

2. Courants volumiques

D’apres la forme de (4.31), la seule singularite possible pour !B se situe en r = 0, soitP ' M . On considere un volume spherique de rayon a centre autour d’un point Mquelconque. On note Jm un majorant de la densite volumique de courant J . L’integraledonnant la contribution de cette sphere a !B est majoree par :

µ0

4 $

'''

(r#a)

Jmr2

dV =µ0

4 $Jm

' a

0

1

r24 $ r2 dr = µ0 Jm a (4.41)

ce qui montre que !B doit etre continu sur tout l’espace puisque cette majoration tendvers zero avec a.

Le meme calcul en partant de (4.30) montre que !A est continu sur tout l’espace.

3. Courants surfaciques

On considere une nappe de courant (&) de forme quelconque, de densite surfaciquede courant !K, separant deux milieux (1) et (2) de densites volumiques de courantrespectives !j1 et !j2 (figures 4.21 et 4.22). Les champs magnetiques !B1 et !B2 sont desfonctions de classe C1 mais ne sont pas definis sur la nappe de courant (&).

Composante normale de !B

En utilisant le meme raisonnement que precedemment pour la composante normale de!E (§ 1.6), on peut montrer que la composante normale de !B est continue :

( !B2 & !B1) . !n1$2 = 0 (4.42)

Composante tangentielle de !B

Le theoreme de Stokes (A.20) applique a la forme locale du theoreme d’Ampere entraıneque :

$

(C)

!B . d!# =

''

(S)

µ0!J.!t dS (4.43)

L’integrale de droite de cette relation s’ecrit µ0!K .!t$#, tandis que l’integrale de gauche

s’ecrit a la limite des faibles epaisseurs :$

!B . d!# = (!t" !n1$2) . ( !B2 & !B1)$# (4.44)


109

1

2

1!>2n

Volume (V)

1B

2B

K

Figure 4.21 – Volume de controle qui amenela continuite de la composante normale de !B.

1

2

1!>2n

t

Contour (C)

1B

2B

K

Figure 4.22 – Surface de controle qui amenela discontinuite de la composante tangentiellede !B.

soit finalement :

(!t" !n1$2) . ( !B2 & !B1) = µ0!K .!t (4.45)

dont on deduit que :

!n1$2 "( !B2 & !B1) = µ0!K (4.46)

qui montre que la composante tangentielle de !E est discontinue au passage de la nappede courant.

Il est important de souligner qu’en realite, le champ magnetique !B est continu de classeC1. La discontinuite donnee par (4.46) n’est due qu’a l’approximation faiteen negligeant l’epaisseur de la nappe de courant.

Potentiel vecteur !A

On considere un disque de rayon a centre autour d’un point M quelconque. On note Jmun majorant de la densite surfacique de courant JS. L’integrale donnant la contributionde ce disque a !A est majoree par :

µ0

4 $

''

(r#a)

Jmr

dS =µ0

4 $Jm

' a

0

1

r2 $ r dr =

µ0

2Jm a (4.47)

ce qui montre que !A doit etre continu sur tout l’espace puisque cette majoration tendvers zero avec a.

4.3 Dipoles magnetiques

Un dipole magnetique est une boucle de courant de petite dimension, dont on etudie les e!etsa grande distance (par rapport aux dimensions de la boucle). Leur importance theorique estconsiderable pour un grand nombre de raisons :• Un circuit localise se comporte comme un dipole magnetique pour tous les e!ets a grandedistance.


110

• On n’a jamais pu mettre en evidence des charges magnetiques, qui seraient le pendantdes charges electriques. Les sources ultimes du magnetisme de la matiere sont les dipolesmagnetiques correspondant aux petites boucles de courant dues aux electrons orbitantautour des noyaux.

• Les particules elementaires, habituellement considerees comme des points materiels (elec-tron, proton, neutron), portent en general un moment magnetique. Le champ magnetiquecree par ces particules est celui d’un dipole magnetique ponctuel.

• Enfin, un dipole magnetique sert de base a la description du champ magnetique terrestre.

La table 4.2 donne quelques ordres de grandeur pour les moments dipolaires magnetiques.

Moment magnetique terrestre 8,0 1022 J/TPetit barreau aimante 5 J/TElectron 9,3 10! 24 J/TProton 1,4 10! 26 J/T

Table 4.2 – Quelques valeurs typiques de moment dipolaires magnetiques.

Dans toute la suite, on considerera une spire de rayon a, situee dans le plan Oxy, et on seplacera en un point M a grande distance devant la dimension de la boucle de courant.

4.3.1 Potentiel et champ d’un dipole

En introduisant le moment magnetique dipolaire de la spire !M = I $ a2 !uz = I !S, on montre(voir par exemple [10, page 212]) que le potentiel vecteur !A s’ecrit a grande distance :

!A ! µ0

4 $

*

!M" !ur

r2

+

(4.48)

Cette relation montre que la distribution de courant est entierement caracterisee par sonmoment magnetique.

Le champ magnetique s’obtient par !B = !*" !A. On obtient apres calculs :

!B ! µ0

4 $

3 ( !M . !ur) !ur & !Mr3

(4.49)

Cette expression est analogue a l’expression (2.43) du champ electrique cree par un dipoleelectrostatique de moment dipolaire !p, moyennant les transpositions 1/%0 ' µ0 et !p ' !M.On en deduit donc que, loin du dipole, la topographie des lignes de champ du dipole magne-tique (figure 4.50) doit etre identique 11 a celle des lignes de champ du dipole electrostatique(figure 2.9).

11. !B et !M sont des vecteurs axiaux. Les lignes de champ de !E et !B sont identiques loin des sources carle plan perpendiculaire au moment dipolaire en O est plan de symetrie pour le moment magnetique, maisplan d’antisymetrie pour le moment electrique.


111

Figure 4.23 – Lignes de champ a grande distance du dipole magnetique (figure extraite de [9, page213]).

Neanmoins, au voisinage des sources, les lignes de champs sont di!erentes (figure 4.24) carles relations qui existent entre les champs !E et !B et leurs sources " et !J sont tres di!erentes :

Electrostatique !*" !E = !0 !* . !E = "/%0

Magnetostatique !*" !B = µ0!J !* . !B = 0

En coordonnees polaires, on a :

Br =µ0

4 $

2M cos (

r3et B! =

µ0

4 $

M sin (

r3(4.50)

Cette expression montre que le champ a grande distance de tout circuit localise decroıtcomme 1/r3.

4.3.2 Notion de potentiel scalaire magnetique

En dehors des sources du champ !B, on a !*" !B = !0. D’apres (A.15), on en deduit qu’il doitexister une fonction %m telle que !B = & !*(%m). On obtient :

%m =µ0

4 $

!m.!r

r3(4.51)

ou %m est le potentiel scalaire magnetique. Le champ !B cree par un dipole magnetique derivedu potentiel scalaire magnetique %m.

4.3.3 Action mecanique d’un champ sur un dipole magnetique

On considere une boucle de courant de moment !M, plongee dans un champ magnetique !B.


112

Figure 4.24 – Lignes de champ du dipole electrostatique (gauche) et du dipole magnetique (droite)au voisinage des sources (figure extraite de [9, page 213]).

Cas d’un champ uniforme

Si on considere que le champ !B est uniforme sur le circuit, l’action du champ sur le circuitse resume d’apres ce qu’on a vu au § 4.1.2 a un couple de moment !# qui tend a orienter lemoment magnetique selon les lignes de champ :

!# = !M" !B (4.52)

Cas d’un champ quelconque

Si au contraire on tient compte des inhomogeneites du champ !B, on montre (voir parexemple [2, page 89] ou [14, page 200]) que la resultante !F des forces de Laplace sur lecircuit s’ecrit :

!F = !*!

!M . !*"

(4.53)

Remarque : Comme en electrostatique ou le moment dipolaire catacterisait completementle dipole (§ 2.4.2), une boucle de courant est entierement caracterisee par son moment ma-gnetique !M.

4.3.4 Liens avec les aimants permanents - Hypothese d’Ampere

L’hypothese d’Ampere consiste a admettre que tout element de volume dV d’un materiauaimante se comporte comme une boucle de courant de moment !M tel que :

dM = M dV (4.54)

ou le coe"cient de proportionnalite M est l’aimantation du materiau, l’orientation etantfournie par la regle de Maxwell du tire-bouchon (figure 4.25).


113

Figure 4.25 – On peut modeliser les ef-fets d’une boucle de courant par un di-pole magnetique situe en son centre. C’estl’hypothese d’Ampere (voir texte).

Pôle nordgéographique

S mS

mN

M "

O

#

r

NPôle nordgéomagnétique

Figure 4.26 – Le champ magnetique terrestrepeut etre modelise par un moment magnetique situeau centre de la terre, incline par rapport a l’axe derotation terrestre.

4.3.5 Champ magnetique terrestre

Gauss a montre qu’en 1re approximation, le champ magnetique terrestre pouvait etre assimileau champ d’un dipole magnetique place au centre de la terre et incline par rapport a l’axede rotation de la terre.

On note ' la latitude magnetique, telle que definie sur la figure 4.26. L’angle oriente ( = $+'correspond a l’angle utilise habituellement, vu l’orientation du moment magnetique de l’Arc-tique (pour le pole Sud du dipole) vers l’Antarctique (pour le pole Nord) : les lignes du champterrestre penetrent donc dans la Terre vers l’Arctique et en ressortent vers l’Antarctique (fi-gure 4.26). D’apres ce qu’on a vu precedemment, les lignes de champ sont de la former = r0 sin2 ( = r0 sin2 ' puisqu’elles ont la meme forme que celles du dipole electrosta-tique. A la surface de la terre (r = RT = 6371 km), la norme du champ magnetique a pourexpression d’apres (4.50), le long d’une ligne de champ :

B(RT , ') =,

B2r + B2

!

-1/2=

µ0

4 $

m

R3T

$1 + 3 cos2 '

sin6 '

A l’equateur magnetique (' = $/2), on mesure que le champ vaut approximativement 32 µT.Comme de plus :

B!

RT , ' =$

2

"

=µ0

4 $

m

R3T

On en deduit la valeur du moment magnetique terrestre m = 78 1021 Am2. La composantehorizontale de ce champ (soit approximativement B!) en France est d’environ 20 µT (soit0,2 G) et la composante verticale d’environ 40 µT (soit 0,4 G).

Exercice 4.1 : Quelques calculs classiques en magnetostatique

Calculer le champ !B et le potentiel-vecteur !A crees par :


114

1. Un fil rectiligne infini.

2. Un fil rectiligne infini de section non negligeable.

3. Un troncon rectiligne.

4. Une spire circulaire.

5. Une bobine torique.

6. Un solenoıde infini.

7. Un solenoıde fini.


115 Notes de cours d’electromagnetisme classique,Licence 3 et Magistere de Physique Fondamentale, P. Puzo (2010 - 2011)

116

Chapitre 5

Milieux magnetiques

Sommaire

5.1 Sources microscopiques de l’aimantation en regime statique . . 118

5.2 Etude macroscopique de l’aimantation en regime statique . . . 119

5.3 Aimantation en regime variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

5.4 Les divers types de milieux magnetiques . . . . . . . . . . . . . 126

5.5 Aspects energetiques des milieux magnetiques . . . . . . . . . . 131

Introduction

Par definition, l’aimantation !M d’un corps sera sa densite volumique de moments magne-tiques :

!M =d!m

dV(5.1)

A partir de l’observation du champ macroscopique cree a l’exterieur d’un barreau aimante etd’un solenoıde (figure 5.1), l’hypothese d’Ampere relie l’aimantation macroscopique !M liee ala structure interne des materiaux magnetiques et la magnetostatique.

Figure 5.1 – L’hypothese d’Ampere permet de relier le comportement d’un barreau aimante (agauche) et d’un solenoıde circulaire (a droite).


117

5.1 Sources microscopiques de l’aimantation en regimestatique

Ce paragraphe resume les proprietes des divers dipoles magnetiques qui peuvent apparaıtreau niveau atomique.

5.1.1 Moment magnetique orbital atomique

On considere une particule de charge q et de vitesse !v qui decrit une trajectoire de surfaceS en creant en tout point de l’espace un champ !B. Physiquement, la situation est analoguea une boucle de courant parcourue par une intensite moyenne I et possedant un momentmagnetique !m = I !S.

Comme le vecteur surface peut s’ecrire !S = 1/2"(

(C) !r" d!r, le moment magnetique se metsous la forme :

!m =q

2T

$

(C)

!r " d!r

dtdt =

1

2T

$

(C)

(!r " q !v) dt (5.2)

Cette forme peut se generamiser a tout mouvement, tant que la particule reste confinee dansune region finie de l’espace.

On ecrira finalement que le moment magnetique orbital associe a toute particule chargee enmouvement se met sous la forme :

!m =1

2+!r " q !v, (5.3)

ou le symbole <> represente la moyenne temporelle.

5.1.2 Moment cinetique orbital atomique

Pour un mouvement a force centrale, le moment cinetique !) et le moment magnetique !massocies au mouvement d’une particule chargee sont des constantes du mouvement :

!) = !r " (m!v) =&&'Cste et !m =

1

2!r " (q !v) =

q

2m!) (5.4)

ou q est la charge de la particule, m sa masse et !v sa vitesse. On constate une proportionaliteentre le moment magnetique !m et le moment cinetique !), le coe"cient de proportionaliteetant caracteristique de la particule.

Cette propriete est tout a fait generale et se met sous la forme :

!m = * !) (5.5)

ou * est appele le rapport gyromagnetique de la particule.

Le modele de Bohr de l’atome d’hydrogene permet de montrer que pour des electrons, lerapport gyromagnetique vaut *e = & e/(2me).


118

Qualitativement, l’experience pemet d’obtenir des resultats compatible avec (5.5). Quanti-tativement, on remarque des di!erences. Typiquement, on obtient pour des electrons :

*e = g " & e

2me(5.6)

ou g ! 2 est appele facteur de Lande et s’explique par la mecanique quantique.

5.2 Etude macroscopique de l’aimantation en regimestatique

Les sources macroscopiques du champ magnetique peuvent en premiere approximation etreconsiderees comme des dipoles magnetiques.

5.2.1 Approche intuitive des charges d’aimantation

On considere tout d’abord un milieu uniformement aimante (figure 5.2). On peut facilementse convaincre que la presence de moments magnetiques identiques dans la matiere va etreequivalente, sur le plan des e!ets produits, a un courant surfacique qui circulerait a la surfacede separation entre le milieu magnetique et le milieu exterieur.

Figure 5.2 – Une aimantation uniforme engendre en surface des charges d’aimantation.

Dans le cas d’une aimantation non uniforme (figure 5.3), on retrouvera l’e!et precedentauquel il faudra superposer l’e!et de courants volumiques dans la matiere.

Figure 5.3 – Une aimantation non uniforme engendre des charges d’aimantation en surface maisegalement en volume.

Il est donc assez intuitif d’imaginer que les excedents locaux de courants lies dus a l’aiman-tation sont equivalents a des courants d’aimantation.


119

5.2.2 Densites de courant equivalentes

De maniere quantitative, le potentiel-vecteur !A cree au point Q par une densite volumiquede moments magnetiques s’ecrit :

!A(Q) =µ0

4 $

'''

Milieu

!M(P )" !r

r3d3P avec !r = !rQ &!rP =

&'PQ (5.7)

En utilisant (A.10) et !r /r3 = !*P (1/r), on peut reecrire (5.7) sous la forme :

!A(Q) = & µ0

4 $

'''

Milieu

!*P "*

!M

r

+

d3P +µ0

4 $

'''

Milieu

!*P " !M

rd3P (5.8)

En utilisant la formule du rotationnel (A.21), on obtient :

!A(Q) =µ0

4 $

''

Milieu

!M " !n

rdS +

µ0

4 $

'''

Milieu

!*P " !M

rd3P (5.9)

ou !n est une normale sortante du milieu magnetique. On en deduit le potentiel-vecteur !A(donc egalement le champ !B qui en decoule) est identique au celui qui serait produit par unedistribution macroscopique de courants caracterisee par une densite volumique !JM et unedensite surfacique !J

s

M valant respectivement :

!JM = !*" !M et !Js

M = !M " !n (5.10)

Il est important de noter que dans le cas d’une aimantation !M uniforme, !JM # !0.

A l’echelle macroscopique, rien ne distingue un champ !B du a des dipoles magnetiques d’unchamp !B du aux courants d’aimantation. Ceci peut etre par exemple applique au cas d’unbarreau uniformement aimante (figure 5.4) pour lequel on a :

!JM = !0 et !Js

M = M !u! (5.11)

Figure 5.4 – Sur le plan du champ cree, le comportement d’un barreau uniformement aimanteest assimilable a une densite superficielle de courant.


120

5.2.3 Vecteur !H

Le champ !B engendre par une distribution qui comporterait a la fois des courants libres (dedensite !J libre) et des courants d’aimantation (de densite !JM) est de la forme :

!*" !B = µ0

!

!Jlibre + !JM"

soit encore !*"*

!B

µ0& !M

+

= !J libre (5.12)

Il est donc naturel d’introduire le vecteur !H definit par :

!H =!B

µ0& !M (5.13)

5.2.4 Exemple de la sphere magnetique - Notion de champ dema-gnetisant

On suppose une sphere uniformement aimantee. D’apres (5.7), le potentiel-vecteur !A du ala sphere s’ecrit :

!A =µ0

4 $

'''

Milieu

!M(P )" !r

r3d3P =

µ0

4 $!M "

'''

Milieu

!r

r3d3P (5.14)

puisque l’aimantation !M est uniforme.

On peut proceder par analogie electrostatique. En e!et, on sait que le champ !E cree par unesphere de rayon a et de densite de charges " uniforme s’ecrit :

!E ="

4 $ %0

'''

Sphre

!r

r3d3P (5.15)

et qu’avec le theoreme de Gauss, on obtient les champs a l’interieur ( !Ei) et a l’exterieur ( !Ee)de la sphere :

!Ei ="

3 %0!r et !Ee =

"

3 %0

a3

r2!ur (5.16)

On en deduit les expressions du potentiel-vecteur a l’interieur et a l’exterieur de la sphereuniformement aimantee :

!Ai =µ0

3!M " !r et !Ae =

µ0

3!M " a3

r2!ur (5.17)

Sachant que le potentiel-vecteur d’un champ !B uniforme est !A = !B " !r/2, on en deduitqu’a l’interieur de la sphere magnetique, !Bi (et donc egalement !H i) sont uniformes et valent(figure 5.5) :

!Bi =2

3µ0

!M et !H i =!Bi

µ0& !M = &

!M

3(5.18)


121

A l’exterieur de la sphere, (5.17) indique que le champ est identique a celui d’un dipolemagnetique de moment !m = 4/3 $ a3 " !M place en O. On obtient donc (figure 5.5) :

!Be =µ0

4 $

%

3 (!m. !ur) !ur & !m

r3

&

et !He =!Be

µ0(5.19)

La figure 5.5 represente le champ !B cree par une sphere magnetique d’aimantation !M uni-forme. Contrairement au cas d’une sphere uniformement polarisee, ce sont les composantesnormales du champ !E qui sont continues.

Figure 5.5 – Lignes de champ !B creees par une sphere d’aimantation !M uniforme.

On peut generaliser le champ trouve a l’interieur de la sphere et montrer qu’il est toujoursde sens oppose a !M . On l’appelle parfois champ demagnetisant. Attention, cette appellationest historique et n’est reliee a aucun processus physique de suppression de l’aimantation.

5.2.5 Relations constitutives

Corps diamagnetiques et paramagnetiques

On considere un milieu non aimante qui acquiert une (faible) aimantation sous l’action d’unchamp !B. Pour un corps anisotrope, on aura :

!M =1

µ0[+m] !B (5.20)

Dans cette relation, [+m] est le tenseur des susceptibilites magnetiques dont on peut montrerqu’il existe une base sur laquelle il se met sous la forme :

[+m] =

.

/

/

/

/

0

+1 0 0

0 +2 0

0 0 +3

1

2

2

2

2

3

(5.21)


122

ou les elements diagonaux +i sont les susceptibilites magnetiques principales.

Pour un corps homogene et isotrope, on aura plutot :

!M = +m

!B

µ0(5.22)

ou +m est un nombre sans dimension representant la susceptibilite magnetique du milieu.

Dans la tres grande majorite des cas, +m est tres faible et negatif : c’est la signature dudiamagnetisme. Pour certains corps, +m est un peu plus eleve mais positif : c’est la signaturedu paramagnetisme. Pour les deux cas, on a :

M - B

µ0et !H =

!B

µ0&M !

!B

µ0(5.23)

On peut donc alors ecrire (5.22) sous la forme :

!M = +m!H (5.24)

Attention, cette relation n’est plus valable dans le cas des corps ferromagnetiques.

Corps ferromagnetiques

Les proprietes magnetiques les plus intenses sont celles de quelques corps de la famille dufer (fer, nickel, gadolinium, etc..). Pour ces corps, le rapport entre B et H peut atteindreplusieurs milliers. C’est la signature du ferromagnetisme.

L’aimantation d’un corps ferromagnetique depend de maniere complexe de la maniere dontle champ !B est applique, mais egalement de l’histoire du materiau. Il n’existe pas de relationanalytique simple reliant dans tous les cas B a H pour un corps ferromagnetique.

Milieux lineaires, homogenes et isotropes

Par analogie avec le cas des milieux dielectriques, on definit unmilieu lhi par l’existence d’unequantite µ appelee permeabilite magnetique (ou de maniere equivalente une permeabiliterelative µr) telle que :

!B = µ0 µr!H = µ !H en posant µr = 1 + +m (5.25)

La premeabilite relative est tres legerement inferieure a 1 pour un milieu diamagnetique ettres legerement superieure a 1 pour un milieu paramagnetique. Pour un milieu ferromagne-tique, lorsque µr est defini, il est tres largement superieur a 1 (voir § 5.4.3).

5.2.6 Separation de deux milieux lhi

Dans le cas d’une aimantation statique, les equations de Maxwell dans un milieu magnetique(non dielectrique) prennent la forme suivante :

4

5

6

5

7

!* . !E ="libre%0

(MG)

!*" !H = !J libre (MA)

4

6

7

!*" !E = !0 (MF)

!* . !B = 0 (M%)(5.26)


123

Dans un modele surfacique, on en deduit les relations de passage entre les valeurs des champsdans les regions (1) et (2) separees par une surface (S). Par analogie avec le § 1.6, on obtientimmediatement :• la continuite de la composante tangentielle de !E.• la continuite de la composante normale de !B.• la discontinuite de la composante normale de !E en presence d’une densite superficielle decharges libres )libre.

• la discontinuite de la composante tangentielle de !H en presence de courants superficielslibres !Klibre.

On peut resumer ceci sous la forme :

4

6

7

!ET2= !ET1

!BN2= !BN1

4

5

6

5

7

!EN2& !EN1

=)libre

%0!n1$2

!HT2& !HT1

= !Klibre " !n1$2

(5.27)

2!1

B 1

B 2(2)

(1)

n1!>2 !

Figure 5.6 – Le champ magnetique se refracte a la traversee entre deux milieux magnetiques lhi.

Si de plus la surface de separation entre les deux milieux (supposes lhi a partir de maintenant)ne comporte pas de charges libres ()libre = 0 et !Klibre = !0), les deux conditions sur ET etHT peuvent s’ecrire, avec les notations de la figure 5.6 :

B1 cos('1) = B2 cos('2) etB1

µ1sin('1) =

B2

µ2sin('2)

dont on deduit :

tan('1)

µ1=

tan('2)

µ2(5.28)

Cette relation caracterise la refraction des lignes du champ !B a la traversee de la surface deseparation de deux milieux magnetiques lhi.

On en deduit une regle tres generale : les milieux aimantes dont la susceptibilite est eleveeguident les lignes de champ (figure 5.7).


124

Figure 5.7 – Les lignes du champ !B cree par deux bobines se repartissent dans (presque) toutl’espace (a gauche), tandis qu’avec un noyau de fer doux (a droite), les lignes de champ sontcanalisees.

5.3 Aimantation en regime variable

5.3.1 Equations de Maxwell

Dans le cas tres formel d’un milieu qui peut a la fois posseder des charges libres et des chargesliees dues a une polarisation !P et a une aimantation !M , les equations de Maxwell s’ecrivent :

4

5

5

6

5

5

7

!* . !D = "libre (MG)

!*" !H = !J libre+, !D

,t(MA)

4

5

5

6

5

5

7

!*" !E = & , !B

,t(MF)

!* . !B = 0 (M%)

(5.29)

De maniere equivalente, on peut rempacer (MG) et (MA) par :

!* . !E ="tot%0

et !*" !B = µ0!J tot+

1

c2, !E

,t

avec

"tot = "libre & !* . !P et !J tot = !J libre +, !P

,t+ !*" !M

Les equations de Maxwell (5.29) s’ecrivent alors :

4

5

5

5

6

5

5

5

7

!* . !E ="tot%0

(MG)

!*" !B = µ0!J tot +

1

c2, !E

,t(MA)

4

5

5

6

5

5

7

!*" !E = & , !B

,t(MF)

!* . !B = 0 (M%)

(5.30)

Les deux expressions (5.29) et (5.30) sont equivalentes et ne prejugent en rien des proprietesdu milieu (par exemple, on n’a rien suppose sur un eventuel comportement lhi).

On peut facilement montrer que l’equation de conservation de la charge (1.3) reste valable,aussi bien pour les charges libres que pour les charges liees.


125

5.3.2 Une nouvelle forme pour u et !R

En utilisant la forme locale (1.3) de la conservation de la charge, on a pu prouver au § 1.3.1l’existence d’un couple (u, !R) donne par (1.22). En adoptant le formalisme macroscopique

(5.29), on cherche un nouveau couple (u", !R") qui utiliserait uniquement les charges libres.

Si un tel couple existe, d’apres l’equation locale de conservation de l’energie (1.20) il doitverifier :

!* . !R" +,u"

,t= & !Jlibre . !E (5.31)

On montre facilement que dans ce cas, l’identite de Poynting (1.21) s’ecrit ici :

!* .!

!E " !H"

+ !E ., !D

,t+ !H .

, !B

,t= & !Jlibre . !E (5.32)

Dans le cas particulier d’un milieu lhi, on peut poser :

du" = !E . d !D + !H . d !B = d

%

%E2

2+

B2

2µ

&

(5.33)

puisque !D = % !E et !B = µ !H.

Dans ce cas, l’identite de Poynting (5.32) prend une forme identique a la forme locale de laconseervation de l’energie (5.31) si on pose :

u" =1

2

!

!E . !D + !B . !H"

et !R"= !E " !H

5.4 Les divers types de milieux magnetiques

A l’aide du theoreme de superposition, on peut traiter separemment le cas des atomes nepossedant pas un moment magnetique permament de celui des atomes qui en possedent un.

5.4.1 Diamagnetisme

Le diamagnetisme, associe au mouvement orbital des electrons, concerne tous les types demateriaux. On supposera que l’atome etudie ne porte pas de moment magnetique permanent.

On montre que pour un milieu contenant n atomes par unite de volume a symetrie spheriquea Z electrons, la susceptibilite diamagnetique +m se met sous la forme :

+m = & µ0 nZ e2

6me< r2 > (5.34)

ou < r2 > represente le rayon quadratique moyen des electrons.

De maniere generale, on notera que le diamagnetisme est tres faible (de +m ! 10! 9 pour lesgaz a +m ! 10! 6 pour les solides).

Remarque : On modelise parfois les supraconducteurs comme des corps diamagnetiquesparfaits (+m = & 1). Attention, ceci n’est qu’une modelisation.


126

5.4.2 Paramagnetisme

Le paramagnetisme concerne les milieux qui portent des moments magnetiques permanentsqui n’interagissent quasiment pas entre eux.

La theorie classique dit que l’energie d’interaction du moment magnetique m de l’atome dansun champ !B = B !uz est donnee par :

W = & !m. !B = mB cos(() (5.35)

et que la probabilite d’un etat d’energie W (donc la probabilite d’un angle () est propor-tionnelle a exp(&W/kBT ). Tous les angles sont donc accessibles.

La comparaison avec l’expression de l’energie d’un dipole dans un champ !E montre quele calcul classique du paramagnetisme est formellement identique a celui de la polarisationd’orientation (§ 3.1.4). D’apres (3.10), l’aimantation !M d’un volume contenant n dipolesmagnetiques par unite de volume est de la forme :

!M = nmL(x) !uz ou L(x) = coth(x)& 1

xavec x =

mB

kB T(5.36)

ou la fonction L(x) est la fonction de Langevin (figure 3.6). Au voisinage de la temperatureordinaire, on a x - 1. On en deduit que la susceptibilite +m se met sous la forme :

+m =C

Tou C =

nµ0 m2

3 kB(5.37)

C est la constante de Curie. On remarque que +m > 0.

En realite, la mecanique quantique nous indique que l’energie ne peut prendre que des valeursdiscretes puisque la projection µz du moment magnetique ne peut prendre que des valeursdiscretes exprimees en fonction du magneton de Bohr µB :

µz = &mJ g µB ou µB = |*e| ! =! e

2me= 9, 27 10! 24 J/T (5.38)

ou g le facteur de Lande et mJ peut prendre toutes les 2 J + 1 valeurs entieres entre & J etJ . On a alors :

!M = n < µz > !uz (5.39)

ou :

< µz > = g µB

mJ8

!mJ

&mJ AJ

mJ8

!mJ

AJ

avec AJ = exp

%

& mJ g µB B

kB T

&

(5.40)

Apres calcul, on montre que :

M(x) = n g µB JBJ(x) ou x =J g µB B

kB T(5.41)

ou BJ(x) est la fonction de Brillouin (figure 5.8) definie par :

BJ(x) =2 J + 1

2 Jcoth

%

2 J + 1

2 Jx

&

& 1

2 Jcoth

! x

2 J

"

(5.42)

Dans le cas d’un systeme a deux niveaux (J = 1/2), on a immediatement B1/2(x) = th x.


127

Figure 5.8 – Fonction de Brillouin BJ(x) pour quelques valeurs de J .

Loi de Curie

Le 1er cas limite de (5.41) correspond au cas usuel pour lequel µB B - kB T . On a alorsBJ(x) ! (J + 1)/J " x/3. On en deduit la loi de Curie :

+m =µ0 nµeff

3 kB Tavec µeff = g µB

9

J (J + 1) (5.43)

De maniere generale, on notera que le paramagnetisme correspond a une susceptibilite posi-tive qui varie en 1/T , et qu’en ordre de grandeur, on a +m ! 10! 4.

Aimantation a saturation

Le 2e cas limite de (5.41) correspond a µB B . kB T , ce qui entraıne BJ(x) ! 1. On endeduit alors que l’aimantation tend vers une valeur constante Ms qui verifie :

M ! Ms avec Ms = n g µB (5.44)

Force subie par les materiaux dia ou paramagnetiques en champ !B

Un volume dV d’un materiau magnetique se comporte comme un dipole de moment elemen-taire dm = M dV . Il subit dans un champ !B inhomogene une force de densite :

d!F

dV=

*

!M ., !B

,x

+

!ux +

*

!M ., !B

,y

+

!uy +

*

!M ., !B

,z

+

!uz (5.45)

Si le materiau est dia ou paramagnetique, on a d’apres (5.22) :

dFx

dV= +m

!B

µ0.d !B

dx=

+m

2µ0

dB2

dx

dFy

dV=

+m

2µ0

dB2

dy

dFz

dV=

+m

2µ0

dB2

dz(5.46)

soit finalement :d!F

dV=

+m

2µ0

!*B2 (5.47)

On en deduit que les corps paramagnetiques sont attires vers les regions de champ intense,alors que les corps diamagnetiques sont repousses vers les zones de champ faible (figure 5.9).


128

Figure 5.9 – Influence d’un champ B inhomogene sur un corps diamagnetique tel que le bismuth(a gauche) et sur un corps paramagnetique comme le chlorure ferrique (a droite).

5.4.3 Ferromagnetisme

Courbe de premiere aimantation

On considere tout d’abord un echantillon qui n’a jamais ete aimante. La courbe de premiereaimantation (figure 5.10) presente trois zones caracteristiques :

1. une zone lineaire

2. une zone a croissance plus rapide

3. une zone de saturation

Figure 5.10 – Courbes de premiere aimantation pour un materiau ferromagnetique.

Au dela d’une temperature critique, la temperature de Curie Tf , un corps ferromagnetiquedevient paramagnetique. La transition de phase est representee sur la figure 5.11. Il suit alorsla loi de Curie-Weiss :

+m =C

T &'(5.48)

ou ( est la temperature de Curie paramagnetique.


129

Figure 5.11 – Variations de l’aimantation M et de la susceptibilite magnetique "m en fonctionde la temperature pour un corps ferromagnetique.

L’etude experimentale de l’aimantation d’un corps ferromagnetique peut s’e!ectuer a l’aided’un anneau de Rowland (figure 5.12). En definissant la permeabilite magnetique µr par :

µr =B

µ0H(5.49)

on peut obetnir une caracteristique du milieu. Attention, l’expression (5.49) n’est pas lineaire(voir figure 5.13 pour l’exemple du mumetal).

Figure 5.12 – La configuration dite de l’anneau de Rowland permet d’etudier la permeabilite desmilieux magnetiques.

Cycles d’hysteresis

Si on considere un materiau initialement non aimante, on peut lui faire decrire la courbede premiere aimantation en augmentant H. Par contre, en diminuant H, on ne parcourtpas la courbe de premiere aimantation mais la courbe caracteristique d’un cycle d’hysteresis(figure 5.14).

On distingue des ferromagnetiques doux des ferromagnetiques durs (figure 5.15). Les premiersont un cycle d’hysteresis dont la surface est faible, ce qui entraıne une faible dissipation depuissance au cours d’un cycle. Les seconds ont une exciation cœrcitive elevee pour eviterune desaimantation accidentelle. Cela entraıne generalement une dissipation de puissancerelativement elevee au cours d’un cycle.


130

Figure 5.13 – Variation de B en fonction de H (a gauche) et permeabilite magnetique (a droite)du mumetal.

Figure 5.14 – Cycle d’hysteresis decrit par un materiau ferromagnetique.

5.5 Aspects energetiques des milieux magnetiques

On montre qu’en cas d’absence de couplage entre un milieu lhi et les courants libres dumilieux, le travail magnetique peut se mettre sous trois formes di!erentes :

1. L’energie magnetostatique du vide (externe au milieu magnetique) s’ecrit :

W1 =

'''

Espace

µ0!H . d !H dV (5.50)

2. L’energie fournie au milieu magnetique introduit dans le champ (energie interne aumilieu magnetique) s’ecrit :

W2 =

'''

Espace

µ0!H . d !M dV (5.51)

3. Enfin, l’energie fournie par le generateur en introduisant le mileiu magnetique dans lechamp s’ecrit :

Wm =

'''

Espace

!H . d !B dV (5.52)


131

Figure 5.15 – Variation de M en fonction de H pour les ferromagnetiques doux et les ferroma-gnetiques durs.

Cette derniere relation ne fait que traduire la conservation de l’energie puisque !B =µ0 ( !H + !M).


132

Chapitre 6

Induction electromagnetique

Sommaire

6.1 Force electromagnetique d’induction . . . . . . . . . . . . . . . . 134

6.2 Travail des forces de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

6.3 Theorie de l’induction electromagnetique . . . . . . . . . . . . . 135

6.4 Coe!cients d’induction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

6.5 Energie emmagasinee dans un systeme de circuits . . . . . . . . 148

6.6 Applications de l’induction electromagnetique . . . . . . . . . . 150


133

6.1 Force electromagnetique d’induction

On considere un circuit ferme C1 parcouru par un courant I1 (figure 6.1). Le circuit C2 necomprend qu’un galvanometre. L’experience montre qu’un courant induit apparaıt dans C2

des qu’on modifie le courant dans C1, ou la position relative de C1 et C2, ou les deux a lafois.

On interpretre cette experience par le fait que les porteurs de charges de C2 sont mis enmouvement sous l’action de forces motrices fm dont la circulation est non nulle :

e =1

q

$

C2

!fm . d!#

La variation du flux % du champ a travers C1 entraıne l’apparition d’un courant induit dansC2.

Figure 6.1 –

On considere une courbe fermee orientee C et une charge q soumise a un champ de forces!Fm(r, t) proportionnel a q. La force electromotrice e(t) est par definition :

e(t) =1

q

$

C

!Fm(r, t) . d!# (6.1)

Une etude experimentale a amene Fadaray a enoncer :

e(t) = &d%

dt(6.2)

Le signe & dans la loi de Faraday (6.2) est la traduction de la loi de Lenz.

6.2 Travail des forces de Laplace

On a vu que la force exercee par un champ !B sur un conducteur metallique etait la force deLaplace (4.11). Cette force s’exerce en fait sur les porteurs de charges du conducteur et esttransmise a ce dernier par l’intermediaire de sa structure cristalline. On notera bien que lechamp !B qui intervient dans (4.11) est le champ total qui s’exerce sur l’element de longueurd!#.


134

6.2.1 Cas d’un champ quelconque

On considere un circuit filiforme dans un champ !B (figure 6.2). On note i(t) l’intensite ducourant dans le circuit a l’instant t. Au cours d’un deplacement elementaire d!r, le travail dela force de Laplace est :

-2W = d!F . d!r = i (d!#" !B) . d!r = i !B . (d!r " d!#) (6.3)

soit :

-2W = i -2&c avec -2&c = !B . (d!r " d!#) (6.4)

La quantite signee -2&c est par definition le flux coupe par l’element de longueur d!# pendantson deplacement d!r. En integrant sur tout le circuit C, on obtient finalement :

-W = i -&ce (6.5)

ou -&ce est le flux coupe par le circuit C au cours de son deplacement elementaire. Il estimportant de noter que (6.5) ne suppose rien sur i ni sur !B.

Figure 6.2 – Figure 6.3 –

6.2.2 Cas particulier d’un champ permanent

6.3 Theorie de l’induction electromagnetique

6.3.1 Circuit mobile dans un champ magnetique constant

On considere une portion AB de conducteur, rigide, deplacee a la vitesse !ve dans un referentielou regne un champ !B constant. Une charge libre du conducteur se deplacera a la vitesse !vapar rapport au referentiel ou le champ !B est constant. On a !va = !ve + !v0 ou !v0 est la vitesse


135

de la charge par rapport au conducteur 1. Cette charge libre sera soumise a la composantemagnetique de la force de Lorentz !Fm = q (!ve + !v0)" !B.

La circulation de cette force est par definition la force electromotrice :

eAB =1

q

' B

A

!Fm . d!# =

' B

A

!

!ve " !B"

. d!# +

' B

A

!

!v0 " !B"

. d!# (6.6)

Dans cette equation, le 2e terme est nul car il s’agit d’un produit mixte dont deux termes(!v0 et d!#) sont paralleles. Finalement, on peut ecrire :

eAB =1

dt

' B

A

!

(!ve dt)" !B"

. d!# (6.7)

Comme le conducteur a ete deplace de dr = ve dt pendant dt, on peut ecrire :!

(!ve dt)" !B"

. d!# =!

d!r " !B"

. d!# = &!

d!r " d!#"

. !B (6.8)

ou la 2e egalite vient des proprietes du produit mixte. Finalement, on aura :

eAB = & 1

dt

' B

A

!

d!r " d!#"

. !B (6.9)

Le produit mixte dans l’integrale represente le flux de !B a travers l’element de surface d!r"d!#.C’est la surface balayee par l’element de longueur d!# du circuit pendant l’intervalle dt. Laquantite d!r " d!# est appelee le flux coupe par le circuit pendant dt.

Cas d’un circuit ouvert

Dans le cas d’un circuit ouvert, la force magnetique !Fm deplace les porteurs de charge jusqu’ace qu’elle soit equilibree par le champ electrostatique ainsi cree. La di!erence de potentielaux extremites du circuit est la force electromotrice induite.

Cas d’un circuit ferme

Dans le cas d’un circuit ferme, un courant induit se forme dans le conducteur. Le flux coupepar le circuit est la variation du flux de !B a travers le circuit, soit :

d& =

'

(C)

!

d!r " d!#"

. !B (6.10)

On obtient alors la loi de Faraday :

e = & d&

dt(6.11)

Dans le cas d’un circuit mobile dans un champ magnetique constant, l’origine physique dela fem d’induction est l’action de la composante magnetique de la force de Lorentz (4.1) surles charges libres du conducteur.

1. En prenant la loi de composition classique des vitesses, on se place implicitement dans le cas des vitessesfaibles devant la vitesse de la lumiere dans le vide (voir plus loin dans le meme paragraphe).


136

6.3.2 Circuit fixe dans un champ magnetique variable

On doit ici considerer des porteurs de charge initialement au repos, mis en mouvement dansun conducteur qui ne subit aucune modification de forme ou de temperature. Les causesproduisant les forces motrices sont a rechercher cette fois a l’exterieur du circuit, c’est-a-diredans les variations du champ magnetique !B.

On suppose que la loi de Faraday est valable pour un circuit fixe dans un champ magnetiquevariable. On peut ecrire :

e(t) =

$

(C)

!E . !d# = & d%

dt(6.12)

Ceci s’ecrit a l’aide du theoreme de Stokes (A.20) :

''

(S)

(!*" !E) . d!S = & d

dt

%''

(S)

!B . d!S

&

= &''

(S)

, !B

,t. d!S (6.13)

Comme ceci doit etre valable pour toute surface (S) s’appuyant sur le contour (C), on endeduit l’equation locale :

!*" !E = & , !B

,t(6.14)

Cette relation est connue sous la nom de forme locale de la loi de Faraday 2.

Remarque : Cette relation n’est autre qu’une des quatre equations de Maxwell. Si aucontraire on postule les equations de Maxwell, on peut refaire ce calcul de maniere inverseepour retrouver la loi de Faraday pour un circuit fixe dans un champ magnetique variable.

Comme !B(t) est toujours a flux conservatif, on peut ecrire de maniere equivalente que lechamp !B derive d’un potentiel vecteur !A (dependant a priori du temps) defini par :

!B = !*" !A (6.15)

La relation locale (6.14) permet alors d’ecrire :

!*" !E = !*"*

& , !A

,t

+

soit !*"*

!E+, !A

,t

+

= !0 (6.16)

On en deduit que le vecteur !E+, !A/,t derive d’un potentiel scalaire V tel que :

!E = & !*(V )& , !A

,t(6.17)

Remarque 1 : Pour des champs stationnaires, V s’identifie avec le potentiel scalaire electro-

statique. On est alors tente d’interpreter le terme en , !A/,t comme etant le champ electriqueinduit. Il faut faire tres attention : le potentiel vecteur !A n’est defini qu’a un gradient pres

(le potentiel vecteur !A"= !A+ !*(() redonne le meme champ !B pour tout champ scalaire

(). Au cours de cette transformation de jauge, on doit simultanement transformer V en

2. Faraday a enonce la loi de l’induction sous sa forme integrale, mais sa formulation di!erentielle est duea Maxwell.


137

V " = V & ,(/,t pour conserver le meme champ !E. La separation du champ !E en deuxtermes, dont l’un est a circulation nulle, est arbitraire et n’a pas de sens physique. Seule lasomme des deux termes a un sens physique.

Remarque 2 : Cette conclusion est fausse dans le cas de l’ARQS. En e!et, dans le cadrede cette approximation, on peut utiliser les equations de la magnetostatique pour obtenir lechamp !B. En utilisant la forme locale du theoreme de Gauss (et en imposant la conditionde Jauge de Coulomb), on montre facilement qu’on obtient :

$V = & "

%0et $ !A = &µ0

!J (6.18)

Dans le cadre de l’ARQS, les potentiels V et !A sont donc obtenus separement. On peut alorsidentifier le champ electrique induit avec , !A/,t, qu’on appelle alors champ de Neumann.

Remarque 3 : Si ce qui est enonce ici est vrai, il doit en etre de meme dans le vide,independamment de tout support materiel. On verra plus tard (§ 6.6.3) que c’est bien le cas.

Remarque 4 : Une experience simple permet de visualiser l’existence du courant induit. Onutilise pour cela un anneau conducteur (Cu ou Al) pose sur un electroaimant tel qu’indiquefigure 6.4. En reliant la bobine a un generateur alternatif, on observe que l’anneau saute enl’air : les courants qui le parcourent s’opposent a la variation du flux du champ magnetiquequi le traverse. On montre que ce sont des courants car une petite coupure dans l’anneaul’empeche de sauter en l’air.

Figure 6.4 – Un anneau conducteur est repousse par un electroaimant a courant variable (figureextraite de [4, tome I, page 278]).

6.3.3 Deux interpretations di!erentes de l’induction

En resume, on peut interpreter l’induction electromagnetique de deux facons di!erentes :

1. En champ variable, les porteurs de charge du conducteur subissent l’influence d’unchamp electrique induit.

2. Dans un circuit mobile dans un champ constant, les porteurs de charges subissentl’influence de la composante magnetique de la force de Lorentz.


138

La loi de Faraday semble ainsi etre des seuls exemples en physique ou deux phenomenescompletement di!erents a priori se traduisent pas la meme loi. En fait, il n’en est rien. cesdeux phenomenes ont une interpretation commune.

6.3.4 Lien avec la relativite

La loi de Faraday est-elle fondamentale ?

Le calcul precedent a ete e!ectue en considerant les forces !ve" !B qui s’appliquent sur chaqueporteur de charge au meme instant. Or deux cas di!erents sont a considerer :

1. Dans le referentiel R" en translation par rapport au referentiel R du laboratoire, lecircuit est immobile, c’est-a-dire que la force electromotrice e"(t") mesure la force quis’exerce sur les porteurs de charge a l’instant t".

2. Dans le referentiel R, le circuit n’est plus immobile. La relativite nous enseigne que lasimultaneite est alors perdue. La force electromotrice e(t) ne peut pas mesurer exacte-ment la force qui s’exerce sur les porteurs de charge a l’instant t.

En fait, les e!ets de l’induction electromagnetique ne sont donnes par la loi de Faraday qu’au1er ordre en ve/c.

La loi de Faraday n’est pas une loi exacte de l’electromagnetisme, au meme titre que lesequations de Maxwell. Elle n’est valable que dans la limite des basses vitesses d’entraınement.

Expression des champs dans les deux referentiels R et R"

On obtiendra les memes observables dans les deux referentiels (force elecromotrice e(t) etdensite volumique !J) si les forces de Lorentz exprimees dans les deux referentiels sont egales.Ceci s’ecrit :

q ( !E + !v " !B) = q ( !E " + !v" " !B") avec !v = !v" + !ve (6.19)

Comme ceci est valable pour toutes les vitesses d’entrainement !ve, on en deduit que :

!E " = !E + !ve " !B avec !B" = !B (6.20)

On considere par exemple le cas d’un fil deplace dans un champ. Il sera au repos dans R" eten mouvement dans R (figure 6.5). On observe :• DansR, la force de Lorentz qui s’applique sur les porteurs de charge les deplace. Un champelectrique ES apparaıt et s’oppose a !ve " !B.

• Dans R", le conducteur baigne dans le champ electrique !E ". Comme il est au repos, ladensite superficielle de charge s’ajuste pour annuler le champ total a l’interieur.

Un paradoxe

On suppose comme postulat de base que les equations de Maxwell ont des formes identiquesdans R et R".


139

B

+ + + +

! ! ! ! ! !

+ + + +

B

Conducteur fixe dans R’Conducteur mobile dans R

E’

Es

veve x B

Figure 6.5 – L’action du champ electromagnetique sur un conducteur ne s’explique pas de lameme facon selon que le conducteur est en mouvement ou au repos.

En utilisant la loi de transformation des champs electriques donnee ci-dessus, on montrefacilement que :

"" = " & 1

c2!ve . !J et !J = !J " (6.21)

On obtient ainsi la limite magnetique de l’electromagnetisme (c’est-a-dire la juxtapositionde l’electromagnetisme et de la loi de composition classique des vitesses). Cela correspond al’ARQS pour lesquels il existe au moins un referentiel dans lequel E - cB.

Par contre, on pourrait montrer qu’en considerant cette fois un modele de particules chargeesen mouvement dans un changement de referentiel galileen, on obtient :

"" = " et !J = !J " & "!ve (6.22)

On obtient ainsi la limite electrique de l’electromagnetisme (c’est-a-dire la juxtaposition del’electromagnetisme et de la loi de composition classique des positions). Cela correspond al’electrostatique et de maniere generale aux systemes pour lesquels E . cB.

Cet exemple (base sur [11, page 330]) montre donc, que meme a basse vitesse (puisqu’onutilise les formes classiques des lois de transformation), il existe une incompatibilite fonda-mentale entre l’electromagnetisme et la relativite galileenne. Ceci ne pourra etre regle qu’enutilisant les formes relativistes des lois de transformation des champs (chapitre 9)

6.3.5 Cas general : circuit quelconque dans un champ magnetiquequelconque

Dans le cas general, une variation du flux magnetique a travers un circuit est due a lasuperposition des deux e!ets etudies dans les deux paragraphes precedents. On note (C) laposition d’un circuit a l’instant t et (C ") sa position a l’instant t + dt. La variation d% du


140

flux % du champ magnetique !B a travers le circuit entre les instants t et t+ dt s’ecrit :

d% = %(t+ dt) & %(t) =

''

(S!)

!B(t+ dt) . d!S " &''

(S)

!B(t) . d!S

=

%''

(S!)

!B(t+ dt) . d!S " &''

(S)

!B(t+ dt) . d!S

&

+

+

%''

(S)

!B(t+ dt) . d!S &''

(S)

!B(t) . d!S

&

(6.23)

Dans cette expression, le 1er terme represente la variation du flux due au deplacement ducircuit en supposant !B constant, tandis que le 2e terme represente la variation du flux duea une variation du champ !B, le circuit etant immobile.

Le principe de superposition permet d’ajouter les e!ets et de montrer que la force electro-matrice totale e(t) s’ecrit :

e(t) = & d%

dt=

$

(C)

*

!ve " !B&, !A

,t

+

. d!# (6.24)

On appelle parfois champ electromoteur la quantite !ve " !B&, !A/,t.

Remarque 1 : Il est abusif, meme si on le fait dans ce cas precis, de parler de champ pour

!ve " !B qui depend de la position par l’intermediaire de la vitesse du conducteur mobile etde !B. On a egalement deja vu au § 6.3.2 que , !A/,t n’etait pas le champ induit en dehorsde l’ARQS.

Remarque 2 : On pourra retenir que dans le referentiel (R) du laboratoire, le champ elec-trique est donne par :

!E(R) = & !*(V ) & , !A

,t(6.25)

et que le champ electrique dans le referentiel (R") lie au conducteur est donne par :

!E(R!) = !E(R) + !ve " !B si ve - c (6.26)

Dans tous les cas d’interet pratique, la force electromotrice d’induction est donnee par :

e(t) =

$

(C)

!

!E(R)+!ve " !B"

. d!# =1

q

$

(C)

!FL . d!# (6.27)

ou !FL est la force de Lorentz qui agit sur un porteur de charge.

6.3.6 Cas particuliers : exceptions a la regle du flux

Il existe quelques exemples classiques de ”refutation” de la regle du flux (dus a Faraday enparticulier). En fait, ces exemples ne font que preciser les regles d’application de cette loi.En particulier, l’utilisation de la regle du flux suppose que le circuit ferme est bien defini.C’est-a-dire qu’il doit y avoir un circuit, et que les courants induits doivent l’emprunter !


141

Exemple d’un systeme ou le flux ne varie pas, alors qu’il existe une fem

La figure 6.6 donne un exemple de systeme ou le flux du champ !B ne varie pas, alors memequ’on mesure une fem. Quand le disque de Faraday 3 tourne, le circuit (c’est-a-dire la regionde l’espace ou se trouvent les courants) ne bouge pas. En regime stationnaire, le flux a traversle circuit ne varie donc pas.

Plus qualitativement, en reprenant les notations de la figure 6.7, on peut montrer (voir parexemple [2, page 113]) qu’une charge q dans le disque est entraınee a la vitesse !v et qu’ilexiste dans le disque un champ electromoteur !Em = !v " !B.

Figure 6.6 – Le disque de Faraday est un sys-teme ou l’on mesure une fem alors que le flux duchamp !B ne varie pas (figure extraite de [4, tomeI, page 290]).

$

B

(%)

O

A

Bmv

dFq

Figure 6.7 – Un disque de Faraday plongedans un champ !B produit sur une charge qun champ electromoteur oriente selon OA (lecourant entre sur le disque en O et en ressorten A).

Comme la charge est forcement situee entre O et A, le champ electromoteur est situe dansla direction OA et a pour norme Eem = v B = . r B. La force electromotrice d’induction evaut donc :

e =

' a

0

Eem dr = .B

' a

0

r dr =.B a2

2(6.28)

ou a est le rayon du disque. On mesure donc une force electromotrice alors que le flux duchamp magnetique ne varie pas dans le circuit puisque celui-ci occupe toujours la memeposition OA dans l’espace.

Exemple d’un systeme ou le flux varie, alors qu’il n’existe pas de fem

La figure 6.8 donne un exemple assez academique de systeme ou le flux du champ !B varie,alors meme qu’on ne mesure pas de fem. Ce systeme est constitue de deux plaques metalliquesa bord arrondis, placees dans un champ !B uniforme. Chaque plaque est reliee aux bornesd’un galvanometre. En faisant basculer les plaques d’un petit angle, le point de contact passede P a P ".

3. On appelle generalement roue de Barlow le dispositif de la figure 4.7 ou le disque conducteur plongedans un bain de mercure et disque de Faraday le dispositif derive (perfectionne par Faraday) de la figure 6.6ou le courant quitte le disque par un contact metallique glissant sur sa tranche.


142

Le flux magnetique entre les etats initiaux et finaux varie considerablement (la surface entreles lignes pointillees peut etre faite tres grande par construction). Par contre, le balancemententre P et P " peut etre rendu tres lent, ce qui empeche l’apparition d’une fem.

Figure 6.8 – Ce dispositif est un systeme oule flux du champ magnetique varie sans qu’onmesure de fem (figure extraite de [4, tome I,page 290]).

Figure 6.9 – Le circuit constitue d’un enrou-lement de spires dans un champ !B, ferme parun curseur mobile, n’est le siege d’aucun cou-rant induit (figure extaite de [11, page 332]).

Systemes avec commutation

On donne maintenant une derniere erreur classique, venant d’une mauvaise comprehensionde la regle du flux. La figure 6.9 represente un systeme constitue d’un enroulement de spiresdans un champ !B constant, ferme par un curseur mobile. Lorsqu’on deplace le curseur, lenombre de spires constituant le circuit varie donc le flux de !B a travers le circuit varieegalement. Experimentalement, on ne mesure pourtant aucun courant induit.

Ce resultat peut paraıtre surprenant, mais en y reflechissant bien, on remarque que :• Il n’y a pas de champ de Neumann, car le champ !B ne varie pas.• Il n’y a pas de deplacement du circuit, car les spires restent immobiles (seul le curseurbouge).

Il est donc coherent de ne pas mesurer de fem aux bornes du circuit.

Conclusion

On voit sur ces quelques exemples les precautions d’emploi a la regle du flux. De manieregenerale, elle ne peut s’appliquer que sur des circuits sur lesquels le materiau du circuitreste identique. Quand ce materiau varie, il faut revenir aux deux lois fondamentales :

!*" !E = & , !B

,tet !F = q

!

!E + !v " !B"

(6.29)


143

6.3.7 Auto-induction et induction entre circuits couples

Auto-induction

D’apres l’expression du coe"cient d’auto-induction (§ 6.4.2), une force electromotrice induited’auto-induction e(t) apparaıt lorsque le courant dans un circuit varie :

e = &LdI

dt(6.30)

Cette force electromotrice s’oppose a la variation du courant I. Elle interdit toute disconti-nuite dans l’intensite, et oppose un certaine inertie au courant.

Induction entre circuits couples

Pour des circuits fixes, une variation de courant dans l’un des circuits entraıne une variationde flux a travers tous les circuits (lui compris), donc une force electromotrice induite danschaque circuit, due au couplage entre les circuits. On peut deduire que la force electromotriceinduite dans le circuit (Ci) se met sous la forme :

ei(t) =d%i

dt= &

8

j

MijdIjdt

(6.31)

En notant Ei la somme de toutes les autres forces electromotrices du circuit (Ci) (ei noncomprise) et Ri la resistance du circuit (Ci), la loi des mailles s’ecrira finalement sur le circuit(Ci) :

Ei &8

j

MijdIjdt

& Ri Ii = 0 (6.32)

Ce systeme de n equations couplees regit l’evolution des courants dans les conducteurs.

Remarque : Si le circuit (Ci) est mobile, son deplacement se traduira par une variation duflux magnetique (puisque les coe"cients Mij (ou i (= j) varient). Les forces electromotricescorrespondantes sont alors a inclure dans Ei.

6.3.8 Retour sur le travail des forces de Laplace

Une particule chargee placee dans un champ magnetique est soumise a la composante ma-gnetique !Fm de la force de Lorentz. On a vu que cette force ne travaillait pas, que le champ!B soit statique ou non.

Par ailleurs, lorsqu’on deplace dans un champ magnetique un conducteur parcouru par unedistribution de courant, il est soumis a la force de Laplace qui traduit macroscopiquementl’action de la force de Lorentz sur les porteurs de charges du conducteur. Le travail decette force est note -WL. Ce travail n’est pas nul car la force de Laplace n’est qu’une desmanifestations macroscopiques de la force magnetique.

Un exemple classique est schematise par la figure 6.10 ou l’on deplace un cadre rectangulairerigide parcouru par un courant I perpendiculairement au champ magnetique externe !B, entre


144

les position ABCD et A"B"C "D". On suppose que le champ est nul sur les troncons CD etC "D", et qu’il est uniforme dans la region des troncons AB et A"B". Le travail des forces deLaplace se ramene au travail qui s’exerce sur la portion AB du conducteur. On a :

-WL = !F .&&'AA" avec !FL = I

&'AB " !B soit -WL = I d%c (6.33)

ou d%c = aB # est l’augmentation du flux de !B a travers le circuit, c’est-a-dire le flux coupepar le circuit. On pourrait montrer (voir par exemple [11, page 309]) que ce resultat segeneralise a tous les circuits se deplacant dans un champ !B, qu’ils soient deformables ounon.

A’D’D A

B B’C’C B

al

Figure 6.10 – Le travail des forces de Laplace appliquees au circuit se calcule a partir du fluxcoupe (voir texte).

Il faut faire bien attention au cas ou le champ magnetique n’est pas constant. La variationtotale du flux comprend alors un terme provenant de la variation temporelle de !B, qu’il nefaut pas prendre en compte dans l’expression du travail des forces de Laplace. En resume, letravail des forces de Laplace peut toujours se mettre sous la forme :

-WL = I -% (6.34)

a condition de ne considerer dans la variation du flux -% que les contributions dues au depla-cement du circuit, d’en exclure les eventuelles contributions dues aux variations temporellesde !B, et de considerer des intervalles de temps dt su"sament petits pour que l’intensite Isoit constante.

Remarque : L’expression (6.34) donne le travail des forces de Laplace lors du deplacementd’un circuit dans un champ magnetique externe. Or le passage du courant I dans le circuitprovoque l’apparition d’un champ magnetique. Si le circuit est deformable, il y aura travaildes forces de Laplace internes au circuit.

Exercice 6.1 : Etablissement d’un courant dans un circuit

On considere le circuit de la figure ci-contre. Etablirce qui se passe lorsqu’on ferme l’interrupteur a t = 0.

U

RK

L

I


145

Un transformateur est constitue de deux enroulementscouples, le primaire (1) et le secondaire (2). Quel estle rapport de transformation entre la tension appli-quee sur le primaire e1 et la tension e2 delivree par lesecondaire ?

Exercice 6.2 : Principe du transformateur

6.4 Coe"cients d’induction

6.4.1 Coe"cients d’induction mutuelle entre circuits

On considere deux circuits filiformes (C1) et (C2) parcourus respectivement par des courantsI1 et I2 et produisant des champs magnetiques !B1 et !B2 (figure 6.11).

dl1dl2

r12

(C )

(C )

I 2

I 1

1

2

M 1

M 2

Figure 6.11 – Interaction de deux circuits magnetiques (figure identique a la figure 4.12).

En utilisant l’expression (4.32) du potentiel vecteur d’un circuit filiforme, on montre imme-diatement que le flux magnetique %12 envoye par le circuit (C1) a travers le circuit (C2)s’ecrit avec des notations evidentes :

%12 =

''

(S2)

!B1 . d!S2 =

$

(C2)

!A1 . d!#2 =µ0

4 $I1

$

(C2)

*

$

(C1)

d!#1r12

+

. d!#2 (6.35)

soit finalement, en intervertissant les integrales qui portent sur des variables independantes :

%12 = M21 I1 avec M21 =µ0

4 $

$

(C1)

$

(C2)

d!#1 . d!#2r12

(6.36)

Cette expression donnant le coe"cient d’induction mutuelle M21 (ou inductance mutuelle)des deux circuits est appelee formule de Neumann. L’inductance se mesure en Henry (H).


146

Remarque 1 : L’inductance mutuelle de deux circuits ne depend que de leurs formes et deleurs positions relatives. C’est une grandeur purement geometrique.

Remarque 2 : La symetrie de la formule de Neumann (6.36) montre qu’en inversant lesindices on obtient :

M12 = M21 (6.37)

Remarque 3 : Le signe de l’inductance mutuelle depend des orientations des courants surles circuits.

Remarque 4 : On peut generaliser ceci a un ensemble de n circuits. En considerant uncircuit (Ci), les flux dus a tous les autres circuits (Cj) (avec i (= j) a travers le circuit (Ci)s’additionnent :

%i =8

j %=i

%ji =8

j %=i

Mij Ij (6.38)

ou Mij est le coe"cient d’induction mutuelle entre les circuits (Ci) et (Cj).

6.4.2 Coe"cients d’auto-induction

Le champ magnetique !B cree en tout point de l’espace par le circuit (C) est proportionnel al’intensite I qui le traverse. Le flux % de ce champ !B a travers le circuit (C) l’est egalement.On peut donc poser :

% = L I (6.39)

ou L est appele coe"cient d’auto-induction du circuit, ou inductance propre, ou self-induction,ou self. Ce coe"cient s’exprime en Henry (H).

Remarque 1 : Le coe"cient d’auto-induction L ne depend que des caracteristiques geome-triques du circuit (C).

Remarque 2 : On peut montrer que le coe"cient d’auto-induction L est toujours positif.

Remarque 3 : On ne peut pas calculer le coe"cient d’auto-induction a l’aide de la formulede Neumann (6.36) car cette expression diverge pour r12 ' 0. Il faut alors abandonnerl’approximation du circuit filiforme et calculer le flux en decomposant le circuit en tubesde courant elementaires parcourus chacun par le courant dI. Ces calculs sont generalementpenibles. On verra plus tard que le coe"cient d’auto-induction peut etre obtenu a l’aide deconsiderations energetiques.

Remarque 4 : Comme le potentiel vecteur !A ne diverge pas a la traversee d’une nappe de

courant (seul le champ !B y subit une discontinuite), on peut calculer le coe"cient d’auto-induction dans les cas ou il existe une densite surfacique de courant.


147

6.4.3 Matrice inductance

Cas general

Si on considere un ensemble de circuits, le flux total %i a travers le circuit (Ci) est donnepar la somme des flux dus aux autres circuits et de son flux propre :

%i =8

j %=i

Mij Ij + Li Ii =8

j

[M ]ij Ij (6.40)

ou les coe"cients Mij definissent la matrice inductance [M ].

Remarque 1 : On peut montrer que la matrice inductance [M ] est symetrique et que sescoe"cients diagonaux Mii sont positifs.

Remarque 2 : Chaque coe"cient Mij de la matrice inductance [M ] ne depend que descircuits (Ci) et (Cj). En electrostatique, les coe"cients Cij dependent au contraire de tousles conducteurs.

Cas de deux circuits couples

Si on ne considere que deux circuits, on peut introduire le coe"cient de couplage magnetiquek defini par :

k =|M |$L1 L2

(6.41)

On peut montrer que 0 / k / 1. Le couplage sera dit serre si k ! 1 et l,che si k ! 0. Pourun couplage ideal (k # 1), toutes les lignes de champ creees par le circuit (C1) traversentle circuit (C2), et reciproquement. C’est cette condition que l’on essaye de realiser pour untransformateur (§ 6.3.7).

6.5 Energie emmagasinee dans un systeme de circuits

6.5.1 Cas d’un seul circuit

On considere un seul circuit rigide et fixe (figure 6.12). En fermant l’interrupteur, la loid’Ohm generalisee s’ecrit :

U & Ldi

dt= R i soit i(t) =

U

R

!

1& e&R t/L"

(6.42)

Le courant dans le circuit croıt jusqu’a sa valeur finale I = U/R.

L’energie totale dW fournie par la fem U(t) pendant l’intervalle dt s’ecrit :

dW = U(t) i(t) dt = L i di + R i2 dt (6.43)

ou le 2e terme traduit le degagement de chaleur par e!et Joule dans le circuit et le 1er termetraduit l’e!et d’auto-induction. Cet e!et est di!erent selon le signe de la variation de courantdi :


148

U

RK

L

I U

L

R

1

1

1

I1

U

L

R2

I 22

2

M

Figure 6.12 – L’energie magnetique stockee dans un ou plusieurs circuits fait apparaıtre lesinductances et les mutuelles (voir texte).

• Lors de l’etablissement du courant (di > 0), L i di represente l’energie necessaire pourmodifier le champ magnetique associe au circuit. L’energie magnetique totale associee ace processus est :

Um =

' &

0

L idi

dtdt =

' I

0

L i di =1

2L I2 (6.44)

Um est l’energie potentielle associee aux forces d’induction qui s’exercent sur le circuit.• Lors de la coupure du courant (di < 0), on obtient :

0 = Ldi

dt+R i soit i(t) = I0 exp

%

& R t

L

&

(6.45)

On dissipe alors par e!et Joule l’energie w :

w =

' &

0

R i2 dt = &' &

0

L idi

dtdt = &

' I

0

L i di =1

2L I2 (6.46)

L’energie Um qui avait ete initialement stockee dans la circuit, est donc recuperable, parexemple sous forme de travail si la resistance etait remplacee par un moteur. On l’appellel’energie magnetique.

6.5.2 Cas de deux circuits

On considere deux circuits rigides, fixes et couples (figure 6.12). On peut ecrire avec desnotations evidentes :

4

5

5

5

6

5

5

5

7

U1 & d%1

dt= R1 i1 avec %1(t) = L1 i1(t) +M i2(t)

U2 & d%2

dt= R2 i2 avec %2(t) = L2 i2(t) +M i1(t)

ou L1 et L2 sont constantes (car les circuits sont rigides), ainsi que M (car les circuits sontfixes).

On en deduit le bilan energetique :

e1 i1 + e2 i2 =d%1

dti1 +

d%2

dti2 +R1 i

21 +R2 i

22 (6.47)


149

Une partie de la puissance fournie par le generateur est dissipee par e!et Joule. Une autrepartie sert a creer les fem qui s’opposent aux variations du courant. Cette derniere puissancecorrespond au travail -WG :

-WG = i1 d%1 + i2 d%2 (6.48)

Ce resultat general ne suppose rien du lien entre les courants et les flux. Dans le cas particuierou se lien est lineaire :

%1 = L1 i1 +M i2 et %2 = L2 i2 +M i1 (6.49)

En supposant que M , L1 et L2 sont constants, (6.48) devient :

-WG = L1 i1 di1 + L2 i2 di2 +M (i1 di2 + i2 di1) (6.50)

Comme -WG = dUm, on en deduit que :

Um =1

2L1 i

21 +

1

2L2 i

22 +M i1 i2 (6.51)

Le bilan energetique (6.47) devient alors :

e1 i1 + e2 i2 =dUm

dti1 +R1 i

21 +R2 i

22 (6.52)

d’ou on obtient finalement :

Um =1

2(i1 %1 + i2 %2) (6.53)

6.5.3 Generalisation

En generalisant, on montre que :

Um =1

2

8

k

ik %k (6.54)

Um est le travail e!ectue contre les forces qui s’exercent sur les porteurs de charges dues al’induction.

Pour une distribution continue, on montre que :

Um =1

2

'''

(D)

!Jlibre . !AdV =1

2

'''

(Espace)

B2

2µ0dV (6.55)

6.6 Applications de l’induction electromagnetique

6.6.1 Couplage entre deux bobines

Il existe de nombreux exemples pratiques du couplage entre deux bobines. Les figures 6.13et 6.14 en donnent deux. Dans le 1er, le couplage sera quasiment ideal pour deux bobinesenroulees l’une sur l’autre. Dans le 2e, on montre, avec cette fois un couplage non ideal, quele generateur de courant alternatif qui alimente la 1re bobine cree par induction une forceelectromotrice dans la 2e bobine, su"sante pour que l’ampoule s’allume.


150

Figure 6.13 – Couplage entre deux bobines(figure extraite de [4, tome I, page 300]).

Figure 6.14 – Couplage entre deux bobines(figure extraite de [4, tome I, page 276]).

6.6.2 Solenoıde infini

Le champ magnetique est uniforme a l’interieur du solenoıde (B = µ0 n I) et nul a l’exterieur.Si on entoure le solenoıde d’une boucle conductrice en faisant varier le courant I, on constantel’apparition d’une fem aux bornes de la boucle, alors qu’elle se situe physiquement a unendroit ou le champ !B est nul en permanence !

Ceci vient du fait que le potentiel vecteur !A n’est pas nul sur la boucle et que les porteursde charges y sont mis en mouvement par le champ induit & , !A/,t.

Quantitativement, pour un solenoıde de section circulaire a, on a, a une distance r de l’axe :

A! =µ0 n I a2

2 rsoit E! = & µ0 n a2

2 r

dI

dt(6.56)

Par ailleurs, le flux de !B a travers un cercle (C) centre sur l’axe du solenoıde vaut :

% = $ a2 B = $ a2 µ0 n I (6.57)

On retrouve bien que :$

(C)

!E . d!l = & d%

dt(6.58)

Par contre, si la boucle n’entoure pas le solenoıde, il n’y aura pas de variation du flux duchamp magnetique a travers le circuit (puisque !B est nul), donc pas de force electromotriceinduite sur un circuit ferme.

6.6.3 Principe du betatron

Le betatron est un type d’accelerateur de particules dont le principe est d’utiliser les va-riations d’un champ magnetique pour accelerer des particules chargees a l’aide du champ


151

electrique induit 4. On peut montrer (voir par exemple [2, page 115]) que si on augmente lechamp !B su"samment lentement pour que sa variation relative soit tres faible pendant quel’electron decrit une trajectoire circulaire dans l’accelerateur, le champ !Eem induit exerce surl’electron la force !Fem donnee par :

!Fem = & e !Eem = e, !A

,tsoit Fem =

e r

2

dB

dt(6.59)

puisque le potentiel vecteur !A dont derive le champ !B est !A = !B"!r/2. La force est tangentea la trajectoire (figure 6.15), et son sens est tel qu’elle accelere l’electron.

Remarque 1 : Le seul interet de citer le betatron dans ce chapitre est de montrer que dansle vide, un champ magnetique variable cree egalement des forces motrices. Ceci prouve quele champ electromoteur est un champ reel, independant du support materiel ohmique queconstituent les circuits utilises jusqu’a present.

Remarque 2 : On voit sur l’exemple precedent qu’au contraire du champ electrostatique,le champ electrique induit peut avoir des lignes de champ qui se referment sur elles-memes(figure 6.16).

yx

z

B

O

Fem

Figure 6.15 – Dans un betatron, le champ!Eem induit accelere les electrons.

Figure 6.16 – Champ electrique induit dansun betatron.

6.6.4 Quantite d’electricite deplacee par induction dans un circuit

On considere un circuit indeformable plonge dans un champ magnetique. On note &1 et &2

le flux suppose constant du champ magnetique traversant le circuit aux instants initiauxet finaux t1 et t2. Comme le flux est constant, le courant qui parcourt le circuit est nul :i1 = i2 = 0. Par contre, le flux traversant le circuit peut varier entre les instants initiaux etfinaux, par deplacement du circuit dans !B constant et/ou par variation de !B.

Le courant i qui parcourt le circuit verifie :

& d&

dt& L

dI

dt= R i (6.60)

4. Si vous etes (un peu) curienx, voir [4, page 291]. Si vous etes (tres) curieux, voir D.C. Carey, The opticsof charged particles beams, Harwood Academic Publishers, 1997.


152

La quantite d’electricite Q qui a traverse une section droite du circuit entre t1 et t2 s’ecrit :

Q =

' t2

t1

i dt = & L

R

' t2

t1

di & 1

R

' t2

t1

d& (6.61)

La 1re integrale est nulle car par hypothese le courant est nul a t1 et t2. D’ou :

Q = & 1

R$& avec $& = &2 & &1 (6.62)

La quantite d’electricite qui traverse le circuit ne depend que de la di!erence entre les fluxinitiaux et finaux. La mesure de Q permet donc de remonter a la variation du flux, donca la variation du champ magnetique. Les appareils utilisant ce principe sont appeles desfluxmetres.

6.6.5 Les courants de Foucault

Dans un conducteur filiforme, le trajet du courant induit est geometriquement bien defini. Cen’est plus le cas dans un conducteur volumique, ou les courants induits circulent dans la massedu conducteur. On les appelle les courants de Foucault. Si le conducteur est reel et presenteune conductivite finie, les courants de Foucault seront amortis car l’energie qu’ils recoiventsera dissipee par e!et Joule. Si au contraire les courants de Foucault sont recherches, ilsdoivent etre entretenus dans un conducteur reel par une force electromotrice, ce qui s’obtienten faisant varier un champ magnetique sur le conducteur ou en deplacant le conducteur dansun champ fixe.

Plus qualitativement, on considere un materiau conducteur, place dans un champ magnetiqueexterieur applique !Ba suppose uniforme sur tout le volume du conducteur. Il apparaıt enregime variable un champ electrique induit !E1 et des courants induits de densite volumique!J1 tels que :

!*" !E1 = & , !Ba

,tet !J1 = * !E1 (6.63)

Cas d’un champ !B uniforme

On suppose en 1re approximation que le champ magnetique !B local reste identique au champexterieur applique !Ba :

!B(t) = Ba(t) !uz (6.64)

En prenant les notations de la figure 6.17, le courant induit !J1(t) s’ecrit :

!J1(t) = * E1(r, t) !u" (6.65)

Ceci montre que les lignes de courant sont des cercles concentriques centres sur l’axe Oz.

On montre alors facilement (voir par exemple [10, page 293]) que pour une variation sinu-soıdale de la forme !Ba = Bam cos(. t) !uz, on a :

!J1 =* . r

2Bam sin(. t) !u" (6.66)


153

O

x

y

a

z

M

J

B (t)

&

Figure 6.17 – Le courant induit !J1 est orthogonalau champ !Ba applique.

Figure 6.18 – En divisant la section d’unconducteur par n, on diminue les pertesdues aux courants de Foucault par n2.

Dans ce cas, la puissance volumique dissipee par e!et Joule sera de la forme :

dPdV

= !E1 . !J1 =J21

*soit apres calculs < P > =

* .2

16B2

am a2 (6.67)

ou < P > represente la puissance moyennee sur le temps et a le rayon du conducteur. On endeduit que la puissance dissipee est d’autant plus elevee que . est elevee et que le conducteurest massif.

De maniere concomitante, on diminue la puissance dissipee par les courants de Foucault endivisant (dans la direction orthogonale au champ !B) les conducteurs en feuilles ou fibresseparees par un isolant (figure 6.18). D’apres (6.67), en remplacant le conducteur de rayona par des fibres de rayon a/n et en conservant le volume total, les pertes moyennes parunite de volume sont divisees par n2. On utilise ceci dans les noyaux des bobines et dans lestransformateurs ou on utilise des toles feuilletees parallelement au champ magnetique pourreduire l’influence des courants de Foucault.

De maniere opposee, on augmente la frequence du champ !B lorsqu’on veut obtenir un echauf-fement important du conducteur. C’est par exemple le cas dans un four a induction ou lemateriau conducteur est chau!e alors que le creuset qui le contient reste froid.

Cas d’un champ !B quelconque

On a suppose jusqu’a present que le champ magnetique !B restait uniforme dans le conduc-teur. En fait, on doit considerer que le courant induit !J1 cree un champ !B1 qui se superposeau champ externe applique !Ba. Le theoreme d’Ampere permet alors d’ecrire :

!*"*

!Ba + !B1

µ0

+

= !*"*

!B1

µ0

+

= !J1 car !*"( !Ba) = 0 (6.68)

Cette relation devient meme caduque des que le regime devient rapidement variable. Dans cecas, il n’est plus possible de negliger la modification de !J due a !B1. On a alors !J = !J1 + !J2,


154

ou !J2 satisfait la loi de Faraday :

!*"*

!J2*

+

+, !B1

,t= !0

La densite volumique !J2 produit a son tour une modification du champ magnetique !B2 qui,d’apres le theoreme d’Ampere, vaut :

!*"*

!B2

µ0

+

= !J2

En poursuivant ce raisonnement, on voit que !B et !J se mettent sous la forme de developpe-ments en serie :

!B = !Ba + !B1 + !B2 + . . . + !Bn!1 + . . . et !J = !J1 + !J2 + . . . + !Jn + . . .

avec :

!*"*

!Bn

µ0

+

= !Jn et !*"*

!Jn+1

*

+

+, !Bn

,t= !0

Remarque : Lorsque la frequence est tres elevee, il est souvent plus simple de resoudre

numeriquement les equations globales auxquelles satisfont les champs totaux !B et !J , soit :

!*"*

!B

µ0

+

= !J et !*"*

!J

*

+

+, !B

,t= !0

lorsque l’ARQS reste valable.

Illustration experimentale

Une experience classique consiste a suspendre une plaque conductrice (cuivre ou aluminiumpar exemple) entre les poles d’un electro-aimant (figure 6.19). On constate experimentalementque la plaque ralentit fortement puis s’arrete lorsqu’elle penetre dans l’entrefer de l’electro-aimant si celui-ci est alimente.

Lorsque la plaque penetre dans l’entrefer de l’electroaimant, il apparaıt un courant induitqui s’oppose a la variation de flux a travers la plaque (figure 6.20). L’intensite et la forme descourants dependent enormement de la geometrie de la plaque. Neanmoins, en accord avecle modele simpliste developpe ci-dessus, les e!ets des courants sont extremement reduits sion pratique plusieurs fentes dans la plaque (figure 6.21), dans une direction orthogonale a ladirection du champ !B.

On applique ceci au freinage electromagnetique qui equipe certains poids lourds (figure 6.22).On peut montrer que les courants de Foucault engendres dans un disque solidaire des rouessont proportionnels a la vitesse et au carre du champ !B. Ce type de freinage n’est donce"cace qu’a grande vitesse et ne peut pas remplacer les freins a friction, mais leur apporteun complement interessant a haute vitesse.


155

Figure 6.19 – Le freinage du pendule montre les forces dues aux courants de Foucault (figureextraite de [4, tome I, page 280]).

Figure 6.20 – Les courants de Foucault dansle pendule conducteur (figure extraite de [4,tome I, page 281]).

Figure 6.21 – Les e!ets des courants de Fou-cault sont diminues en pratiquant des fentesdans la plaque, dans une direction telle qu’ellesempechent la propagation des courants (figureextraite de [4, tome I, page 281]).


156

Figure 6.22 – Des que le courant passe dans l’electroaimant, le disque est freine (figure extraitede J.M. Brebec et al., Electromagnetisme 2eme annee MP-MP* PT-PT*, HPrepa, Hachette, Paris,1998 page 201).


157

les pages personnelles au lal - chapitre 4 …d’après le théorème de l’énergie...

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