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Files d’attente (1)
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Introduction
Vocabulaire
Caracteristiques
Notations de Kendall
Loi de Little
Modelisation dansle cadre Markovien
Processus de Poisson
File M/M/1
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Cours de Tronc Commun Scientifique
Recherche Operationnelle
Les files d’attente (1)
Frederic SurEcole des Mines de Nancy
www.loria.fr/∼sur/enseignement/RO/
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Les files d’attente (1)
1 Introduction
2 VocabulaireCaracteristiquesNotations de KendallLoi de Little
3 Modelisation dans le cadre MarkovienProcessus de PoissonFile M/M/1Autres files
4 Un exemple
5 Conclusion
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Exemples de files d’attente (1)
Noah’s ark, Edward Hicks, 1846.
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Exemples de files d’attente (2)
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Exemples de files d’attente (3)
St Pancras Station, Londres, AFP, dec. 2010.
“File” d’attente ?
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Exemples de files d’attente (4)
et :
Trafic aerien
Telecommunications (telephonie, call-centers)
Serveurs informatiques
. . .
Objectif : dimensionnement, organisation
par l’estimation de mesures de performance comme :
temps moyen d’attente
nombre moyen de clients dans la file
nombre de serveurs occupes
probabilite que la file soit vide / pleine
. . .
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Caracteristiques d’un systeme d’attente
"Clients"
File d’attente
.........
"Serveurs"
S1
1234
S2
Sn
“loi” d’arrivee des clients ?
“loi” de la duree des services ?
combien de serveurs ?
quelle est la taille de la file ?
comment s’organise la file ?
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Les notations de Kendall (1953)
File (systeme) d’attente decrite par :
A/B/m/N/S
ou :
A est la distribution des arrivees : stochastique oudeterministe ;
B est la distribution des temps de service : idem ;
m est le nombre de serveurs ;
N est le nombre maximum de clients dans le systeme ;
S est la discipline de service (FIFO, LIFO, RAND. . .)
Question : sous quelles conditions peut-on faire des calculs ?
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La loi de Little (1)
Arrivees
Departs
temps
t
1
2
3
4
5
6
7
2
3
1
4
5
Nombre d’arrivees / departs
A(t) nombre d’arrivees pendant [0, t]
D(t) nombre de departs pendant [0, t]
N(t) = A(t)− D(t) nombre de clients au temps t
Ti : temps de sejour (attente + service) du i-eme client
Remarque :
∫ t
0N(u)du =
A(t)∑
i=1
Ti − R(t)
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La loi de Little (1)
����������������
������������������������������
���������������������������������
���������
���
��� ���
������������������������
��������������� ����
������������
������������������
������������������
���������������������������������
�������������������������������������������������������������
Arrivees
Departs
temps
t
1
2
3
4
5
6
7
2
3
1
4
5
Nombre d’arrivees / departs
A(t) nombre d’arrivees pendant [0, t]
D(t) nombre de departs pendant [0, t]
N(t) = A(t)− D(t) nombre de clients au temps t
Ti : temps de sejour (attente + service) du i-eme client
Remarque :
∫ t
0N(u)du =
A(t)∑
i=1
Ti − R(t)
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La loi de Little (2)∫ t
0N(u)du =
A(t)∑
i=1
Ti − R(t)
Donc :
1
t
∫ t
0N(u)du =
A(t)
t
1
A(t)
A(t)∑
i=1
Ti −R(t)
t
Hypotheses : lorsque t → +∞1 1
t
∫ t0 N(u)→ N (nombre moyen de clients presents)
2A(t)t → λ (nombre moyen d’arrivees par unite de temps)
3
(∑A(t)i=1 Ti
)/A(t)→ T (temps de sejour moyen)
4R(t)t → 0
(hypot. 1,2,3 : “regime permanent” ; hypot. 4 : pas de cumul)11/28
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La loi de Little (3)
Proposition - loi de Little (1961)
N = λ · T
Autre version :Nf = λ · Tf
avec :– Nf : nombre moyen de clients dans la file d’attente– Tf : temps d’attente moyen (dans la file).(i.e. sans compter les clients en cours de service.)
Remarque : resultat general !−→ pas d’hypothese sur la distribution des arrivees ou destemps de services, ni sur la discipline de service.
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Exemple
Un serveur informatique a 5 processeurs recoit en moyenne1000 requetes par seconde.L’administrateur du serveur se rend compte que le serveurest occupe a 100%, et qu’en moyenne 8 requetes sont enattente.
Question 1 : quel est le temps moyen d’attente d’unerequete ? (attention au time-out)loi de Little : Tf = Nf /λ = 8/1000 sec.
Question 2 : quel est le temps moyen de traitement d’unerequete ?T − Tf = (N − Nf )/λ = (13− 8)/1000 = 5/1000 sec.
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Les clients n’ont pas de memoireHypotheses sur le nombre d’arrivees A(t) pendant [0, t] :
les nombres d’arrivees pendant des intervalles de tempsdisjoints sont independants (phenomene “sans memoire”)
Pr(A(t + h)− A(t) = 1) =h→0 λh + o(h)
Pr(A(t + h)− A(t) > 1) =h→0 o(h)
λ : taux d’arrivee (nombre par unite de temps).
Alors on peut montrer que
1 ∀t, A(t) suit une loi de Poisson de parametre λt :
∀k > 0, Pr(A(t) = k) = e−λt(λt)k
k!
2 le temps Tarr entre deux arrivees consecutives suit uneloi exponentielle :
∀t > 0, Pr(Tarr = t) = λe−λt
On dit que A(t) est un processus de Poisson.
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Processus de Poisson
0 10 20 30 40 50 60 70 80 900
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
t
A(t
)
(exemple avec λ = 0.2)
Proprietes : E (A(t)) = λt, E (Tarr) = 1/λ
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Les serveurs n’ont pas davantage de memoire. . .
Hypothese : la duree d’un service suit une loi exponentielle.
∀t > 0, Pr(Tserv = t) = µe−µt
De maniere equivalente, si S(t) est le nombre de servicespossibles pendant [0, t],∀t, S(t) suit une loi de Poisson :
∀k > 0, Pr(S(t) = k) = e−µt(µt)k
k!
Ici µ est le taux de service (ou nombre moyen de services parunite de temps) d’un serveur donne.(1/µ est la duree moyenne d’un service.)
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File M/M/1Exemple canonique : un serveur, file non-bornee.
Arrivees = processus de Poisson, taux d’arrivee λ
Duree des services exponentielle, taux de service µ−→ hypothese Markovienne (M) dans les deux cas
+ proba d’arrivee et service pendant [0, h] est o(h)
Si m < n :Pr(Nt+h = n|Nt = m) = Pr(A(t +h)−A(t) = n−m|Nt = m)
+o(h)
donc (cf def processus de Poisson)si m < n − 1 : Pr(Nt+h = n|Nt = m) = o(h)et : Pr(Nt+h = n|Nt = n − 1) = λh + o(h)
De meme (raisonnement sur les departs D(t)) :si m > n + 1 : Pr(Nt+h = n|Nt = m) = o(h)et : Pr(Nt+h = n|Nt = n + 1) = µh + o(h)
Vocabulaire : Nt = processus de Markov a temps continu.18/28
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File M/M/1 : vue comme une chaıne de Markov
Pr(Nt+h = n) = λh Pr(Nt = n − 1) + (1− λh − µh) Pr(Nt = n)
+µh Pr(Nt = n + 1) + o(h) (si n > 1 . . . )
D’ou la representation :
0��
λ
44 1��µ
tt
λ
44 2��µ
tt
λ
44 3��µ
tt
λ
33 . . .µ
tt
Remarque : chaıne ergodique ?
Formule des coupes (regime permanent) +∑+∞
n=0 pn = 1 :
λp0 = µp1
λp1 = µp2
. . .λpn = µpn+1
. . .
=⇒ ∀n, pn =
(λ
µ
)n
·(
1− λ
µ
)
. . .sous la condition τ = λ/µ < 1
τ : nombre moyen d’arrivees pendant la duree de service.19/28
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File M/M/1
Autres files
Un exemple
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File M/M/1 : proprietesSous condition : τ = λ/µ < 1
En regime permanent :
pn = τn(1− τ)
Nombre moyen de clients dans le systeme :
N =+∞∑
n=0
npn =τ
1− τ
Nombre moyen de clients dans la file d’attente :
Nf =+∞∑
n=1
(n − 1)pn =τ 2
1− τ
Temps de sejour moyen dans le systeme : (loi de Little)
T = N/λ =1
λ
τ
1− τTemps d’attente moyen dans la file : (loi de Little)
Tf = Nf /λ =1
λ
τ 2
1− τ20/28
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Autres files markoviennes(convention : on ne represente pas les boucles du graphe)
M/M/3
0λ
44 1
µtt
λ
44 2
2µtt
λ
44 3
3µtt
λ
44 4
3µtt
λ
33 . . .3µ
tt
M/M/2/4
0λ
44 1
µtt
λ
44 2
2µtt
λ
44 3
2µtt
λ
44 4
2µtt
−→ formule des coupes.−→ cf formulaire dans le polycopie.−→ attention, la formule de Little dit : T = N/λou λ est le taux d’entree effectif.Et dans le cas M/M/n/K ? T = N/
(λ(1− p(K ))
)
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Loi des departs hors du systeme
Attention : la loi des departs D(t) n’a pas de raison d’etrela loi de S(t).
−→ c’est le cas si les serveurs sont occupes en permanence−→ sinon le taux de depart est inferieur au taux de service.
Exemple : cas de s serveurs, taux de service individuel µ.Taux de service lorsque n serveurs sont occupes : nµ.
Justification : Si X ∼ E(α) et Y ∼ E(β) sontindependantes, alors : min(X ,Y ) ∼ E(α + β)
−→ Consequence sur la loi des departs :
si n > s clients dans le systeme, taux sµ
si n < s clients dans le systeme : taux nµ < sµ.
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Conclusion
Comparaison de differentes strategies
Des requetes sont envoyees sur un serveur, taux d’arrivee λ.Arbitrage entre trois types de serveurs :(ou trois types d’organisation de la file d’attente dans une
administration recevant du public)
1 processeur unique tres puissant de taux de service mµ,file M/M/1 ;
2 m processeurs legers independants de taux de service µ,file M/M/m commune ;
3 m processeurs legers independants de taux de service µ,chacun possedant une file M/M/1 dans laquelle unnouveau service entre “au hasard” (proba uniforme)
Question : temps de traitement moyen d’une requete ?
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Un exemple
Conclusion
Comparaison de differentes strategies
1 M/M/1, taux de service mµ, taux d’arrivee λ
T =1
λ
λ/(mµ)
1− λ/(mµ)
2 M/M/m, taux de service µ, taux d’arrivee λT donne par les formules du polycopie p. 63.cf formule Erlang-C.
3 equivaut a m files M/M/1 de taux de service µ et tauxd’arrivee λ/m
T =m
λ
λ/(mµ)
1− λ/(mµ)
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Loi de Little
Modelisation dansle cadre Markovien
Processus de Poisson
File M/M/1
Autres files
Un exemple
Conclusion
Comparaison de differentes strategiesExemple : m = 10, µ = 1
3 4 5 6 7 8 90
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
λ
tem
ps d
’atte
nte
cas 1
cas 2
cas 3
Remarque : λ < 10.Explication intuitive ?
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Processus de Poisson
File M/M/1
Autres files
Un exemple
Conclusion
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2 VocabulaireCaracteristiquesNotations de KendallLoi de Little
3 Modelisation dans le cadre MarkovienProcessus de PoissonFile M/M/1Autres files
4 Un exemple
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Autres files
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Conclusion
Conclusion
Deux cas vus aujourd’hui :
File d’attente generale : formules de Little.
File d’attente Markovienne : les calculs en regimepermanent / stationnaire sont faciles.
Prochaine seance :
Generalisation du cadre M/M(processus de naissance et de mort)
M/MX (Markov par lot)
M/G (loi de service generale)
reseaux de files d’attente.
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