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Leçon 26
Cours à apprendre : → Pages 1 , 2 et 3
III – Écart-type :
A- Variance
La variance d’une série, votée V est la moyenne des carrés des écarts de chaque valeur à la moyenne 𝐦 de la
série : Pour la série donnée par le tableau ci-contre, de moyenne 𝒎 et d’effectif total 𝑛1 + 𝑛2 + ⋯ + 𝑛𝑝 = 𝑁,
V = 𝑛1(𝑥1 – 𝐦)2+ 𝑛2(𝑥2 – 𝐦)2 + … + 𝑛𝑝(𝑥𝑝 – 𝐦)
2
𝑁
Valeur 𝑥1 𝑥2 … 𝑥𝑝
Effectif 𝑛1 𝑛2 … 𝑛𝑝
Dans la définition précédente la variance s’écrit également :
V = 𝑛1
𝑛 × (𝑥1 – 𝐦)2 +
𝑛2
𝑛 × (𝑥2 – 𝐦)2 + … +
𝑛𝑝
𝑛 × (𝑥𝑝 – 𝐦)
2 = f1 (× 𝑥1 – 𝐦)2 + f2 (× 𝑥2 – 𝐦)2 + ⋯ + fp (× 𝑥𝑝 – 𝐦)
2
B- Ecart-type
L’écart-type 𝜎 d’une série statistique est un de cette série statistique autour de la
moyenne. Concrètement il donne une certaine mesure de l’écart entre les valeurs de la série et la moyenne
de celle-ci :
➢ Plus l’écart-type 𝜎 d’une série est petit, plus les valeurs de la série sont concentrées autour de la
moyenne, donc ;
➢ Plus l’écart-type 𝜎 d’une série est grand, plus les valeurs de la série sont éloignées de la moyenne, donc
Nous pouvons aussi utiliser la calculatrice (voir vidéo Cliquez ici) pour déterminer l’écart-type .
On considère deux entreprises de 10 employés :
– L’entreprise 1 dans laquelle 5 employés gagnent 2 500 € et 5 employés gagnent 3 500 € par mois ;
– L’entreprise 2 dans laquelle 9 employés gagnent 1 200 € et 1 employé gagne 19 200 € par mois. Calculer la moyenne et l’écart-type dans chaque entreprise . Interpréter ces résultats .
Réponse :
Le salaire moyen dans l’entreprise 1 est 𝒎𝟏 = 5 × 2 500 + 5 × 3 500
10 = 3 000 € et dans l’entreprise 2
𝒎𝟐 = 9 × 1 200 + 1 × 19 200
10 = 3 000 € également .
L’écart-type 𝜎 d’une série est le nombre défini par 𝜎 = √V où V est la variance de la série .
2
𝜎1 = √ 5×(2500 – 3 )000
2+ 5×(3500 – 3 )000
2
10 =
𝜎2 = √ 9×(1200 – 3 )000 2+ 1×(19200 – 3 )000 2
10 =
Interprétation :
Le salaire moyen est le même dans les deux entreprises mais l’écart-type des salaires est plus élevé dans la 2e
entreprise ce qui signifie que les salaires dans la 1ère entreprise sont plus proches de la moyenne que dans la 2e
entreprise .
▪ On peut utiliser le couple (moyenne ; écart-type) pour et en .
▪ Les de la moyenne ont de l’influence sur l’écart-type, plus précisément
.
IV – Quartiles et écart interquartile :
Le 1er quartile Q1 (resp. le 3e quartile Q3) d’une série statistique est la plus petite valeur de la série telle
qu’au moins 25 % (resp. 75 %) des valeurs de la série lui soient inférieures ou égales.
On considère la série ordonnée de 9 valeurs 1 ; 3 ; 7 ; 8 ; 10 ; 11 ; 12 ; 12 ; 58 . Déterminer les 1er et 3e quartile de
cette série .
Réponse :
Plus de 25 % des valeurs ≤ 7 Plus de 75 % des valeurs ≤ 12
1 ; 3 ; 7 ; 8 ; 10 ; 11 ; 12 ; 12 ; 58 Donc Q1 =7 1 ; 3 ; 7 ; 8 ; 10 ; 11 ; 12 ; 12 ; 58 Donc Q3 = 12
Moins de 25 % des valeurs ≤ 7 Moins de 75 % des valeurs ≤ 12
Rang des quartiles
Pour une série ordonnée d’effectif 𝑁, Q1 (resp. Q3) est la k-ième valeur où k est le plus petit entier supérieur
ou égal à 𝑁
4 (rep.
3𝑁
4 ) .
On reprend la série du nombre de places disponibles
dans un train sur 20 trajets de l’ .
Calculer Q1 et Q3 .
Réponse :
➢ Pour calculer Q1 , On calcule 𝑁
4 =
20
4 = 5 donc Q1 est la 5e valeur, c’est-à-dire Q1 = 7
(car la série est 0 ; 0 ; 0 ; 0 ; 𝟎 ; 1 ; 2 ; 2 ; 2 ; 5 ; 6 ; 6 ; 6 ; 6 ; 6 ; 7 ; 7 ; 7 ; 7 ; 10) .
Valeur 0 1 2 5 6 7 10
Effectif 5 1 3 1 5 4 1
3
➢ Pour calculer Q3 , On calcule 3𝑁
4 =
3×20
4 = 15 donc Q3 est la 15e valeur, c’est-à-dire Q3 = 6
(car la série est 0 ; 0 ; 0 ; 0 ; 0 ; 1 ; 2 ; 2 ; 2 ; 5 ; 6 ; 6 ; 6 ; 6 ; 𝟔 ; 7 ; 7 ; 7 ; 7 ; 10) .
Médiane Pour une série ordonnée d’effectif 𝑁 , la médiane est :
▪ La valeur de rang 𝑁
2 + 0.5 𝑁 est impair ;
▪ La moyenne des valeurs de rang 𝑁
2 et
𝑁
2 +1 𝑁 est pair ;
Déterminer la médiane de la série de l’ .
Réponse :
𝑁 = 20 est pair. 20
2 = 10 et
20
2 + 1 = 11 .
la médiane est la moyenne des 10e et 11e valeurs, c’est-à-dire 5 + 6
2 = 5,5
Pour une série statistique de valeur minimale xmin et de valeur maximale xmax , chacun des intervalles
[xmin ; Q1] , [Q1; médiane] , [médiane ; Q3] et [Q3 ; xmax] contient % des valeurs de la série (et
environ 25% si la série est de grand effectif et constituée essentiellement de valeurs différentes).
L’écart interquartile d’une série statistique est Q3 − Q1 . Il s’agit d’un indicateur de dispersion.
On peut utiliser le couple (moyenne ; écart interquartile) pour et en .
Valeur 0 1 2 5 6 7 10
Effectif 5 1 3 1 5 4 1
4
Exercices à faire : Correction pages 5, 6, 7, 8
Exercice 5 : 1. Calculer l’écart-type 𝜎1 de la série des températures de l’exercice 1 .
2. Du 16 au 31 octobre 2018,
l’écart-type de la série des
températures à Sète était
𝜎2 = 5,2 °C. Durant quelle quinzaine d’octobre les Sétois ont-ils utilisé le plus de manteaux différents ?
Exercice 6 : Calculer la moyenne et l’écart-type de chaque série en utilisant des formules , puis vérifier à la calculatrice. Arrondir au
centième .
a) 125 ; 36 ; 12
b)
Exercice 7 : La série suivante donne le nombre de fois où Jody est allée courir durant 4 semaines : 3 ; 7 ; 0 ; 3.
1. Calculer la moyenne et l’écart-type de cette série en utilisant des formules .
2. Yanis a couru 3 ou 4 fois par semaine en alternant une semaine sur deux durant 4 semaines.
Qui a couru le plus régulièrement ?
Exercice 8 : Les températures moyennes dans les villes de Quimper et Grenoble sont relativement similaires mais le climat y est
très différent : à Quimper, les températures sont relativement douces toute l’année, alors qu’à Grenoble il fait très
froid l’hiver et très chaud l’été.
Laquelle de ces deux villes a le plus grand écart-type sur ses températures ?
Exercice 9 : L’espérance de vie dans les pays européens en 2015 est résumée dans le tableau ci-dessous (source : Ined).
1. Calculer la médiane Mℯ et les 1er et 3e quartiles Q1 et Q3 de cette série .
2. En déduire l’écart interquartile.
3. Les données pour l’Asie la même année montrent que Q′1 = 69, médiane Mℯ’ = 74 et Q′2 = 76 . Comparer les séries
des espérances de vie en Europe et en Asie en 2015.
Exercice 10 : Pour chaque série, calculer la médiane, les quartiles Q1 et Q3 et l’écart interquartile de la série .
a) 125 ; 36 ; 12 ; 5 ; 52 ; 64 ; 1
b)
Température (en °C) 20 21 22 23 24 25 26 27 Nombre de relevés 1 3 4 2 1 2 1 1
Valeur −5 −2 1
Effectif 3 4 15
Espérance de vie (en années) 71 72 73 74 75 76 77 78 79 81 82 83
Nombre de pays 1 1 1 1 5 2 4 4 1 9 9 5
Valeur −5 −2 1 6 8
Effectif 3 4 15 1 9
5
Exercice 5 : 3. Calculer l’écart-type 𝜎1 de la série des températures de l’exercice 1 .
4. Du 16 au 31 octobre 2018,
l’écart-type de la série des
températures à Sète était
𝜎2 = 5,2 °C. Durant quelle quinzaine d’octobre les Sétois ont-ils utilisé le plus de manteaux différents ?
Réponses :
1. On peut utiliser la formule du cours : 𝜎1 = √ 𝑛1(𝑥1 – 𝐦)
2+ 𝑛2(𝑥2 – 𝐦)
2 + … + 𝑛𝑝(𝑥𝑝 – 𝐦)
2
𝑁 ou bien la
calculatrice (voir vidéo Cliquez ici) :
On « vide » la liste L1 de la calculatrice :
On « vide » la liste L2 de la calculatrice de la même façon
On complète la liste L1 avec les valeurs de la série et la liste L2 avec les effectifs correspondants :
On demande à la calculatrice de calculer les paramètres statistiques de la série :
La calculatrice nous donne 𝝈𝟏 ≈ 𝟐
Température (en °C) 20 21 22 23 24 25 26 27 Nombre de relevés 1 3 4 2 1 2 1 1
Moyenne
Ecart-type
Médiane
1er quartile 3e quartile
6
2. 𝝈𝟐 > 𝝈𝟏 Implique que les températures lors de la deuxième partie du mois étaient réparties de façon moins
homogènes autour de la moyenne, autrement dit qu’elles étaient plus changeantes, ce qui explique des choix de
manteaux différents (plus ou moins chauds !).
Exercice 6 : Calculer la moyenne et l’écart-type de chaque série en utilisant des formules , puis vérifier à la calculatrice. Arrondir au
centième .
c) 125 ; 36 ; 12
d)
Réponses :
a) 𝐦 = 𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3
3 =
125 + 36 + 12
3 ≈ 𝟓𝟕, 𝟔𝟕
𝝈 = √ (𝑥1 − m)
2+ (𝑥2 − m)
2 + (𝑥3 − m)
2
3
≈ √ (125 − 57,67)
2+ (36 − 57,67)
2 + (12 − 57,67)
2
3 ≈ 𝟒𝟖, 𝟔𝟏
b) 𝐦 = 𝑛1×𝑥1 + 𝑛2× 𝑥2 + 𝑛3×𝑥3
𝑁 =
3×(−5) + 4×(−2) +1 ×15
3 + 4 + 15 ≈ 𝟎. 𝟑𝟔
𝝈 = √ 𝑛1×(𝑥1 – m)
2+ 𝑛2×(𝑥2 – m)
2 + 𝑛3×(𝑥3 – m)
2
𝑁
= √ 3×(−5 −(−0.36))
2+ 4×(−2 −(−0.36))
2 + 15×(1 −(−0.36))
2
3 + 4 + 15
≈ 𝟐, 𝟏𝟔
Exercice 7 : La série suivante donne le nombre de fois où Jody est allée courir durant 4 semaines : 3 ; 7 ; 0 ; 3.
3. Calculer la moyenne et l’écart-type de cette série en utilisant des formules .
4. Yanis a couru 3 ou 4 fois par semaine en alternant une semaine sur deux durant 4 semaines.
Qui a couru le plus régulièrement ?
Réponses :
1. mj = 𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3+𝑥4
4 =
3 + 7 + 0 + 3
4 = 3.25
𝜎𝑗 = √ (𝑥1 – mj)
2+ (𝑥2 – mj)
2 + (𝑥3 – mj)
2+ (𝑥4 – mj)
2
4
= √ (3 – 3,25)
2+ (7 – 3,25)
2 + (0 – 3,25)
2 +(3 – 3,25)
2
4 ≈ 𝟐, 𝟒𝟗
Valeur −5 −2 1
Effectif 3 4 15
Valeur −5 −2 1
Effectif 3 4 15
7
2. mY = 𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3+𝑥4
4 =
3 + 4 + 3 + 4
4 = 3.5
𝜎𝑌 = √ (𝑥1 –mY)
2+ (𝑥2 – mY)
2 + (𝑥3 – mY)
2+ (𝑥4 – mY)
2
4
= √ (3 – 3,5)
2+ (4 – 3,5)
2 + (3 – 3,5)
2 +(4 – 3,5)
2
4 ≈ 𝟎, 𝟓
On constate que 𝜎𝑌 < 𝜎𝑗 . Donc Yanis a couru plus régulièrement que Jody .
Exercice 8 : Les températures moyennes dans les villes de Quimper et Grenoble sont relativement similaires mais le climat y est
très différent : à Quimper, les températures sont relativement douces toute l’année, alors qu’à Grenoble il fait très
froid l’hiver et très chaud l’été.
Laquelle de ces deux villes a le plus grand écart-type sur ses températures ?
Réponses : C’est la ville de Grenoble qui a le plus grand écart-type car les températures sont plus éloignées de la moyenne, donc
moins homogènes .
Exercice 9 : L’espérance de vie dans les pays européens en 2015 est résumée dans le tableau ci-dessous (source : Ined).
4. Calculer la médiane Mℯ et les 1er et 3e quartiles Q1 et Q3 de cette série .
5. En déduire l’écart interquartile.
6. Les données pour l’Asie la même année montrent que Q′1 = 69, médiane Mℯ’ = 74 et Q′2 = 76 . Comparer les séries
des espérances de vie en Europe et en Asie en 2015.
Réponses : 1. On peut écrire la série 71 ; 72 ; 73 ; 74 ; 75 ; … ; 75 ; 76 ; 76 ; 77 ; …; 77 ; ….
𝑥1 𝑥2 𝑥3 𝑥4 𝑥5 𝑥9 𝑥10 𝑥11 𝑥12 𝑥15
▶ Conseil : On Peut calculer les effectifs cumulés croissants (ECC) qui correspondent, pour chaque valeur, au nombre
de valeurs de la série qui lui sont inférieures ou égales
(l’ECC de la valeur 76 est 11 car il y a 1 + 1 + 1 + 1 + 5 + 2 = 11 valeurs inférieures ou égales à 76).
L’effectif total est 𝑁 = 𝟒𝟑
➢ Pour déterminer Q1 , on calcule 𝑁
4 =
43
4 = 10,75 Q1 est la 11e valeur, c’est-à-dire Q1 = 𝑥11= 76
➢ Pour déterminer Q3 , On calcule 3𝑁
4 =
3×43
4 = 32.25 Q3 est la 33e valeur, c’est-à-dire Q3 = 𝑥33= 82
Espérance de vie (en années) 71 72 73 74 75 76 77 78 79 81 82 83
Nombre de pays 1 1 1 1 5 2 4 4 1 9 9 5
Espérance de vie (en années) 71 72 73 74 75 76 77 78 79 81 82 83
Nombre de pays 1 1 1 1 5 2 4 4 1 9 9 5
Effectifs cumulés croissants 1 2 3 4 9 11 15 19 20 29 38 𝟒𝟑
8
➢ Pour déterminer Mℯ , On remarque que 𝑁 est impair donc on calcule 𝑁
2+ 0.5 =
43
2+ 0.5 = 22 . la
médiane est la 22e valeur : Mℯ = 𝑥22= 81
2. L’écart interquartile est Q3 – Q1 = 82 – 76 = 6
3. Pays européens : Q1 = 76 , Q3 = 82 , Mℯ = 81 Pays asiatiques : Q’1 = 69 , Q’3 = 76 , M′ℯ = 74 La médiane et les quartiles des pays européens sont supérieurs à ceux d’Asie, donc les espérances de vie y sont
globalement plus élevées .
▶ Par exemple Q’3 = Q1 = 76 , donc il y a environ 25 % des pays d’Asie qui ont une espérance de vie supérieure à
76 ans et environ 75 % en Europe.
▶ En revanche, les écarts interquartiles sont proches (6 pour l’Europe et 76 – 69 = 7 pour l’Asie), donc, sur ces
deux continents, les espérances de vie par pays sont globalement similairement réparties autour de leurs
médianes.
Exercice 10 : Pour chaque série, calculer la médiane, les quartiles Q1 et Q3 et l’écart interquartile de la série .
c) 125 ; 36 ; 12 ; 5 ; 52 ; 64 ; 1
d)
Réponses : a) On ordonne les valeurs de la série : 1 ; 5 ; 12 ; 36 ; 52 ; 64; 125
L’effectif total est 𝑁 = 7 .
➢ Pour déterminer Mℯ , On remarque que 𝑁 est impair donc on calcule 7
2 + 0,5 = 4. la médiane est la 4e
valeur : Mℯ = 𝑥4= 36
➢ Pour déterminer Q1 , on calcule 𝑁
4 =
7
4 = 1,75 Q1 est la 2e valeur, c’est-à-dire Q1 = 𝑥2= 5
➢ Pour déterminer Q3 , On calcule 3𝑁
4 =
3×7
4 = 5.25 Q3 est la 6e valeur, c’est-à-dire Q3 = 𝑥6= 64
b) Le tableau des effectifs cumulés croissants est :
L’effectif total est 𝑁 = 32
➢ Pour déterminer Mℯ , On remarque que 𝑁 est pair donc on calcule 32
2 = 16. la médiane est la moyenne
entre la 16e valeur et la 17e valeur : Mℯ = 𝑥16+ 𝑥17
2 =
1 + 1
2 = 1
➢ Pour déterminer Q1 , on calcule 𝑁
4 =
32
4 = 8 Q1 est la 8e valeur, c’est-à-dire Q1 = 𝑥8= 1
➢ Pour déterminer Q3 , On calcule 3𝑁
4 =
3×32
4 = 24 Q3 est la 24e valeur, c’est-à-dire Q3 = 𝑥24= 8
Écart interquartile : 8 – 1 = 7
Valeur −5 −2 1 6 8
Effectif 3 4 15 1 9
Valeur −5 −2 1 6 8
Effectif 3 4 15 1 9
ECC 3 7 22 23 32