Le programme de troisième (2008) partie probabilités

extrait d’une présentation de Michel HENRY, président de l’IREM de Besançon

Les programmes à la rentrée 2008

Classe de seconde : expérimentations numériques, observations des fluctuations d’échantillonnage, simulation et distributions de fréquences

Classes de première : expérience aléatoire, vocabulaire des événements, loi de probabilité sur un ensemble fini d’issues, probabilité d’un événement, loi des grands nombres, modèle d’équiprobabilité.

Classe de terminale S : probabilités conditionnelles, indépendance, formule des probabilités totales, lois discrètes (Bernoulli, binomiale), lois continues (uniforme, exponentielle), adéquation de données à une loi équirépartie.

Dans cette progression, la définition (scolaire) de la probabilité synthétise les deux approches dans le cadre de la modélisation :

- Une expérience aléatoire donne lieu à n issues possibles notées xi. Un événement est représenté par un ensemble de ces issues.

- On modélise cette expérience par une loi de probabilité P: aux xi on fait correspondre les pi tels que 0 ≤ pi ≤ 1 et ∑ pi = 1. Si pi = 1/n, la loi est équirépartie.

- La probabilité d’un événement est la somme des pi associées aux issues constituant cet événement (deuxième principe de Laplace).

- On en déduit les propriétés: P(Ø) = 0, P(Ω) = 1, P(Ac) = 1 – P(A), P(A B) = P(A) + P(B) – P(A B)

Le programme de troisième (2008), partie probabilitésprésentation parue au BO spécial du 21 avril 2007

Le programme de troisième (2008), partie probabilités

La nouvelle rédaction du 30 mai 2008

Document d’accompagnement du programme de troisième Le projet publié en mars 2008 rappelle dans son introduction :

« Le langage élémentaire de la statistique (avec ses mots tels que moyenne, dispersion, estimation, fourchette de sondage, différence significative, corrections saisonnières, espérance de vie, risque, etc.) est, dans tous les pays, nécessaire à la participation aux débats publics : il convient donc d’apprendre ce langage, ses règles, sa syntaxe, sa sémantique ; l’enseignement de la statistique étant, par nature, associé à celui des probabilités, il s’agit en fait d’une ‘formation à l’aléatoire’ ».

(CREM, Rapport au Ministre, 2002).

Le document indique d’abord les « choix du programme », les différentes interprétations de la probabilité, considérations de symétries et approche fréquentiste :

« Les justifications solliciteront l’une quelconque des interprétations de la probabilité : interprétation fréquentiste dans sa variante ‘propension’ ; mais certains élèves feront certainement appel à l’interprétation épistémique, dans sa variante personnelle ou interpersonnelle ; la variante logique conduisant à faire appel au principe d’indifférence (ou de raison insuffisante) ».

Proposition pour une progression en collège

- Qu’est-ce que le hasard ? - Peut-on le quantifier ?- Des générateurs de hasard familiers : pièces, dés, roulettes, urnes…- La probabilité pour évaluer le poids des cas favorables par rapport à tous les cas possibles. - L’équiprobabilité comme hypothèse de modèle.- Fluctuations des fréquences et stabilisation. Usage de tableurs.- Caractère théorique de la probabilité : un nombre pour évaluer les « chances », approximativement mesuré par une fréquence stabilisée . Distinction entre modèle et réalité.- Mesure expérimentale approximative d’une probabilité par la fréquence stabilisée. Punaises…

Proposition pour une progression en collège

Les Baccalauréats professionnels

à partir duProjet de programme

Avril 2008

Les trois domaines du programme de mathématiques

• - Statistique et notion de probabilité ;• - Algèbre – Analyse ;• - Géométrie.

Statistique et notion de probabilité• Ce domaine constitue un enjeu essentiel de

formation du citoyen. La plupart des outils ont déjà été introduits au collège. Leur enseignement facilite, souvent de façon privilégiée, les interactions entre diverses parties du programme de mathématiques (traitements numériques et graphiques) et les liaisons entre les enseignements de différentes disciplines.

En vert, nous avons relevé le vocabulaire qui est censé avoir été introduit en 3° à partir de cette année dans les nouveaux programmes et qui peut donc logiquement être considéré comme des pré requis en 2nde professionnelle.

• L'étude des fluctuations d’échantillonnage permet de prendre conscience de l’esprit de la statistique et précise la notion de probabilité. Elle porte sur des exemples de données expérimentales obtenues, - dans un premier temps, par quelques expériences (lancers de pièces, de dés, ou tirages dans une urne…) et,

- dans un deuxième temps, par simulation à l’aide du générateur de nombres aléatoires d’une calculatrice ou d’un tableur.

• Les objectifs principaux de ce domaine sont :- exploiter des données ;

- apprendre à identifier, classer, hiérarchiser l'information ;

- interpréter un résultat statistique ; - gérer des situations simples relevant des probabilités.

• Le calcul d’indicateurs, la construction de graphiques et la simulation d’expériences aléatoires à l’aide de logiciels informatiques sont des outils indispensables et constituent une obligation de formation.

programme de mathématiques des classes de seconde professionnelle:

• · Statistique à une variable ;• · Fluctuations d'une fréquence selon les échantillons,

notion de probabilité ;• · Information chiffrée, proportionnalité* ;• · Résolution d'un problème du premier degré ;• · Notion de fonction ;• · Génération de fonctions à l’aide de fonctions de

référence ;• · De la géométrie dans l'espace à la géométrie plane ;• · Géométrie et nombres.

1. STATISTIQUE ET NOTION DE PROBABILITÉ• …• 1.2 Fluctuations d’une fréquence selon les échantillons, notion de

probabilité.La notion de fluctuation d'échantillonnage, essentielle en statistique, est abordée dans cette partie du programme en étudiant la variabilité d’observation d’une fréquence.

Elle favorise une expérimentation de l’aléatoire. L’objectif de ce module est de faire comprendre que le hasard suit des lois et de préciser l’approche par les fréquences de la notion de chance ou probabilité initiée en classe de troisième.

Après une expérimentation physique pour une taille fixée des échantillons, la simulation à l'aide du générateur de nombres aléatoires d’une calculatrice ou du tableur permet d’augmenter la taille des échantillons et d’observer des résultats associés à la réalisation d’un très grand nombre d’expériences.

Capacités Connaissances Commentaires

Expérimenter, d’abord à l’aide de pièces, de dés ou d’urnes, puis à l’aide d’une simulation informatique prête à l’emploi, la prise d’échantillons aléatoires de taille n fixée, extraitsd’une population où la fréquence p relative à un caractère est connue.

Tirage au hasard et avec remise de n élémentsdans une population où la fréquence p relative àun caractère est connue.

Toutes les informations concernant l’outil desimulation sont fournies.

Déterminer l’étendue des fréquences de la séried’échantillons de taille n obtenus par expérience ou simulation.

Fluctuation d’une fréquence relative à un caractère, sur des échantillons de taille n fixée.Stabilisation relative des fréquences quand naugmente. Notion de probabilité.

La propriété de stabilisation relative des fréquences vers la probabilité est mise en évidence graphiquement à l’aide d’un outil de simulation.

Programme des classes de première professionnelle

1. STATISTIQUE ET NOTION DE PROBABILITÉ.

1.2 Fluctuation d’une fréquence selon les échantillons (groupements A, B et C)

• L’objectif de ce module est de consolider et d’approfondir l’étude, initiée en seconde professionnelle, de la variabilité lors d’une prise d’échantillon, pour favoriser la prise de décision dans un contexte aléatoire. La consolidation des notions déjà acquises en seconde professionnelle se traite en prenant appui sur des exemples de situations concrètes, issues de la vie courante, du domaine professionnel ou des thématiques parues au B.O.E.N..

Capacités Connaissances Commentaires

Expérimenter, à l’aide d’une simulationinformatique, la prise d’échantillons aléatoires detaille n fixée, extraits d’une population où lafréquence p relative à un caractère est connue

Distribution d’échantillonnage d’une fréquence.

Calculer la moyenne de la série des fréquences fides échantillons aléatoires de même taille nprélevés.Comparer la fréquence p de la population et lamoyenne de la série des fréquences fi deséchantillons aléatoires de même taille n prélevés,lorsque p est connu.

Moyenne de la distribution d’échantillonnaged’une fréquence.

La population est suffisamment importante pourpouvoir assimiler les prélèvements à des tiragesavec remise.La stabilisation vers p, lorsque la taille n deséchantillons augmente, de la moyenne desfréquences est mise en évidence graphiquement àl’aide d’un outil de simulation.Distinguer, par leurs notations, la fréquence p dela population et les fréquences fi des échantillonsaléatoires.

Calculer le pourcentage des échantillons de taillen simulés, pour lesquels la fréquence relative aucaractère étudié appartient à l’intervalle donné[p –1/n ; p +1/n].

Intervalle de fluctuation. Se restreindre au cas oùn ≥ 30, np ≥ 5 et n(1– p) ≥ 5 : la connaissance deces conditions n’est pas exigible. La formule del’intervalle est donnée.Exercer un regard critique sur les donnéesstatistiques en s'intéressant à la « variabiliténaturelle » des fréquences d'échantillon, c'est-à dire environ 95% des échantillons fournissentune fréquence dans l’intervalle[p –1/n ; p +1/n].

Programme des classes de terminale professionnelle1. STATISTIQUE ET PROBABILITÉS

1.2 Probabilités (groupements A, B et C)• L’objectif de ce module est d’entraîner les élèves à décrire quelques

expériences aléatoires simples à mettre en œuvre, et à calculer des probabilités.

• Tout développement théorique est exclu. La notion de probabilité est introduite en s’appuyant sur l’observation de la fluctuation d’échantillonnage d’une fréquence et sur la relative stabilité de cette fréquence lorsque l’expérience est répétée un grand nombre de fois. Les études menées s’appuient sur des exemples simples issus du domaine technologique ou de la vie courante.

• Les capacités figurant au programme de première professionnelle, concernant la fluctuation d'échantillonnage, restent exigibles.

• On arrive à plus de formalisme tant dans la notation que dans la précision du vocabulaire, sachant que fluctuation, échantillon et aléatoire sont alors maîtrisés puisque vus depuis la 3°.

• On définit donc les termes d’univers.• L’évènement noté A comme partie de l’univers.• La notion de probabilité est définie de façon formelle comme le rapport

du nombre de cas favorables sur le nombre de cas possibles. • On définit les propriétés sur les événements contraires, incompatibles…

Capacités Connaissances Commentaires

Passer du langage probabiliste au langage courant et réciproquement.

Expérience aléatoire, événement élémentaire,univers, événement.Réunion et intersection d’événements.Événements incompatibles, événements contraires.

Se limiter au cas où l’ensemble des événementsélémentaires est fini.La connaissance des symboles (réunion), (intersection) et la notation Ā (événementcontraire) est exigible.

Calculer la probabilité d’un événement par addition des probabilités d’événements élémentaires.Reconnaître et réinvestir des situations de probabilités issues d’expériences aléatoires connues : tirages aléatoires avec ou sans remise, urnes.Calculer la probabilité d’un événementContraire Ā.Calculer la probabilité de la réuniond’événements incompatibles.Utiliser la formule reliant la probabilité de ABet de AB.

Probabilité d’un événement.Événements élémentaires équiprobables.Événements élémentaires non équiprobables.

Faire le lien avec les propriétés des fréquences.Les tirages simultanés sont exclus.Entraîner les élèves à utiliser à bon escient desreprésentations pertinentes (arbres, tableaux,diagrammes) pour organiser et dénombrer desdonnées relatives à une expérience aléatoire. Cesreprésentations constituent une preuve.

Toute utilisation de formules d’arrangement ou de combinaison est hors programme.La généralisation à des cas où les événementsélémentaires ne sont pas équiprobables se fait àpartir d’exemples simples.

La notion d’indépendance est hors programme.