LE PROBLÈME DE L’EMPLOI DU TEMPS

UN EXEMPLE D’OPTIMISATION MLUTIOBJECTIF

Sommaire

Introduction ? ? ? Conclusion Références bibliographiques

Résumé

Les problèmes de planification d’horaires de travail notamment le problème de l’emploi du temps ont reçu une grande attention.

La plupart des travaux dans ce sens les traitent dans leur forme mono-objectif. Dans ce projet, je me suis intéressé à l’étude de ce problème dans sa version multi objectif en utilisant les méta-heuristiques.

Introduction Dans de nombreux domaines de la vie

professionnelle, on se trouve confronter au problème de la planification d´horaire de travail.

Les problèmes de gestion du temps, pour les résoudre, revient à résoudre un puzzle complexe, chaque organisation possède ses propres normes et critères.

De ce fait, ce sont principalement les Problèmes d’Optimisation Mono Objectifs qui sont utilisés lors de la résolution de ce type de problème.

Les heuristiques : Les heuristiques forment un ensemble de méthodes utilisées en

recherche opérationnelle pour résoudre des problèmes d’optimisation réputés difficiles. Résoudre un problème d’optimisation combinatoire, c’est trouver l’optimum d’une fonction, parmi un nombre fini de choix, souvent très grand. Les applications concrètes sont nombreuses, que ce soit dans le domaine de la production industrielle, des transports ou de l’économie – partout où se fait sentir le besoin de minimiser des fonctions numériques, dans des systèmes où interviennent simultanément un grand nombre de paramètres.

A ces problèmes de minimisation, les heuristiques permettent, dans des temps de calcul raisonnables, de trouver des solutions, peut-être pas toujours optimales, en tout cas très proches de l’optimum ; elles se distinguent en cela des méthodes dites exactes, qui garantissent certes la résolution d’un problème, mais au prix de temps de calcul prohibitifs pour nombres d’applications industrielles.

Lorsque la solution optimale ne peut être obtenue en un temps raisonnable, on a souvent recours à des méthodes approchées de type heuristique ou métaheuristique.

Définition du Problème :

Le problème de l’emploi du temps est un problème représentatif d’une famille de problèmes combinatoires discrets.

Il renferme un ensemble d’objectifs conflictuels, un ensemble de contraintes non linéaires et un nombre de combinaisons potentielles

très élevé.

Résolution du problème des emplois du temps à partir de l’observation des activités relatives à la gestion des emplois du temps .

 Modélisation du Temps

Pour représenter le temps, deux notions de base sont nécessaires : l’Instant et la Durée.

De plus, pour le problème des emplois du temps on rajoute la notion de fréquence.

Cette notion de fréquence n’est pas indispensable puisqu’elle peut s’exprimer à partir de celles d’instant et de durée.

Les Entités Temporelles

Pour modéliser le temps, les entités :

Date, Heure, Durée, Créneau et Calendrier sont définies. Une date désigne un instant défini par un

triplet (Jour, Mois, Année). A partir de ce triplet, on détermine la valeur qui lui est associée sur l’axe des jours.

Une durée est un nombre compris entre DMin et Dmax = Hmax - HMin. DMin représente la plus petite unité temporelle disponible

Un créneau horaire désigne un intervalle temporel dans une journée. Ainsi, un créneau est caractérisé par un couple (H,D) où ○ H représente l’heure de début du créneau et ○ D sa durée.

Un calendrier est un ensemble de dates auxquelles on associe un état ie une valeur parmi○ {disponible, ○ non disponible}.

Les Séances et les Réservations

Une séance correspond à une instance temporelle d’un enseignement à une date donnée, pendant un créneau précis.

Les caractéristiques d’une séance sont :○ son Enseignement, ○ sa Date, ○ son Créneau, ○ ses Matériels et ○ sa Salle.

Une réservation correspond à une option posée sur l’occupation de cette ressource.

Modélisation des Ressources

Les ressources considérées sont les entités physiques nécessaires à l’élaboration des emplois du temps.

Il s’agit des ○ Salles, ○ Enseignants, ○ Groupes, ○ Etudiants et ○ Matériels.

Afin de prendre en compte la plupart des configurations.

L’Optimisation Multi-Objectifs :

Concepts de base :

Formellement, un Problème d‘Optimisation MultiObjectif (POMO) est décrit comme suit :

Optimiser f (x) = [f1(x),f2(x),........,fk(x)]

(k fonctions à optimiser)

Avec g(x) ≤ m

(m contraintes d'inégalités)

et h(x) = p

(p contraintes d'égalités)

Elle consiste à trouver une solution x* qui satisfasse l'ensemble de toutes les contraintes et qui optimise le vecteur objectif f(x*).

L'optimisation du vecteur objectif f revient soit :

- A minimiser l'ensemble de toutes les fonctions objectifs

- A maximiser l'ensemble de toutes les fonctions objectifs

-Minimiser certaines fonctions objectifs tout en maximisant d'autres.

Les Contraintes Dures :

Ce type de contraintes doit être obligatoirement satisfait dans toutes les situations car la violation de l’une de ces contraintes rend l’emploi du temps inefficace dans la réalité.

Les contraintes de préférence :Contrairement au type de contraintes précédent, les contraintes de préférences n’exigent pas la vérification stricte, mais d’approcher au maximum de l’objectif voulu.

Modélisation des Contraintes

Les contraintes dures :A chaque contrainte i est associée une mesure de sa violation V(i).

Un enseignant ne peut pas être impliqué dans plus d’une séance à la fois. Nous devons donc vérifier qu’il est libre pendant la séance d’affectation. D’où la mesure de violation :

Avec X(i,j) retourne l’enseignant affecté à la séance qui se déroule à la salle i pendant la période j.

et Disponible E(X(i , j), I) 0 si l’enseignant

est libre pour

l'instanciation i

1 sinon

Une salle ne peut pas être impliquée dans plus d’une séance à la fois. Nous devons donc vérifier qu’elle est libre pendant la séance d’affectation. D’où la mesure de violation :

Avec Y(i,j) retourne la salle affectée à la période j.

Et Disponible S(Y(i , j), I) 0 si la salle en

question est libre pour

l’instanciation I

1 sinon

Chaque enseignant doit enseigner les modules qui entrent dans ses compétences. D’où avec:ENS(i,j) retourne l’enseignant affecté à la séance qui

se déroule à la salle i pendant la période j.MOD(i,j) retourne le module enseigné à la

séance qui se déroule dans la salle i pendant la période j.

Et Apte(X, Y, I) 0 si le module Y

entre dans les compétences

de l'enseignant X pour l'instanciation I.

1 sinon

Chaque module doit respecter le nombre de séances hebdomadaires prévus.

Avec nbshk = nombre de séances hebdomadaires du module k.

D’où :

L’emploi du temps doit comporter tous les modules d’une promotion donnée.

Avec Occurk(i,j) retourne le nombre d'occurrence du module k.

D’où :

La charge journalière d’un enseignant ne doit pas être dépassée.

Avec charg_maxk est le nombre maximal de séances par jour pour l'enseignant k.

D’où:

0 si l'enseignant k est affecté

Chargek (i, j) à la séance qui se déroule dans la salle i à la période j

1 sinon

Les fonctions objectifs

A chaque emploi du temps possible S est associé un vecteur objectif F(S) qui représente l’évaluation de la solution.

Avec F = (f1, f2, f3, f4, f5, f6), chaque fi correspond à la contrainte de préférence i.

Utilisation des heuristiques

Conclusion

Références bibliographiques