problèmes d’optimisation

Problèmes d’optimisationProblèmes d’optimisation

Illustration de quelques catégorisations possiblesIllustration de quelques catégorisations possibles

Pierre Henrotay,Pierre Henrotay,

Maggy SchneiderMaggy Schneider

Ladimath, ULgLadimath, ULg

Université d’été du CIFEN, 26 août 2011Université d’été du CIFEN, 26 août 2011 11

Des problèmes qui suscitent le désarroiDes problèmes qui suscitent le désarroi

Quelques réflexions entendues parmi les élèvesQuelques réflexions entendues parmi les élèves Y a pas de recette, c’est toujours différent, c’est Y a pas de recette, c’est toujours différent, c’est

imprévisible, on ne sait pas se préparerimprévisible, on ne sait pas se préparer C’est pas que des mathsC’est pas que des maths Plus j’en fais, plus je m’y perdsPlus j’en fais, plus je m’y perds On ne voit pas par où commencerOn ne voit pas par où commencer Il faut se souvenir de tout car beaucoup de choses, Il faut se souvenir de tout car beaucoup de choses,

beaucoup de formules interviennentbeaucoup de formules interviennent C’est compliquéC’est compliqué Les énoncés, c’est compliquéLes énoncés, c’est compliqué Inconnues, variables, grandeurs, relation, fonction, Inconnues, variables, grandeurs, relation, fonction,

contrainte … tout ça c’est du pareil au mêmecontrainte … tout ça c’est du pareil au même Pouvez-vous nous traduire l’énoncé svp ?Pouvez-vous nous traduire l’énoncé svp ?

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Les auteurs confirment la complexitéLes auteurs confirment la complexité

On a bien affaire ici à des problèmes « inédits et On a bien affaire ici à des problèmes « inédits et complexes »complexes »

Ces problèmes (d’optimisation) sont souvent assez Ces problèmes (d’optimisation) sont souvent assez compliqués… compliqués… (Espace Math 5/6)(Espace Math 5/6)

Il n'y a pas à proprement parler de règles strictes Il n'y a pas à proprement parler de règles strictes et rapides qui permettent à coup sûr de résoudre et rapides qui permettent à coup sûr de résoudre des problèmes des problèmes (Stewart, Analyse 1)(Stewart, Analyse 1)

La variété des problèmes d'optimisation est telle La variété des problèmes d'optimisation est telle qu'il est bien difficile d'établir une méthode précise qu'il est bien difficile d'établir une méthode précise de résolution de résolution (Swokowski, Analyse)(Swokowski, Analyse)

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Des pistes selon les auteurs?Des pistes selon les auteurs?

En faire plus ?En faire plus ?

Ce n’est qu'au prix de beaucoup d'efforts et Ce n’est qu'au prix de beaucoup d'efforts et d'entraînement que vous arriverez à une certaine d'entraînement que vous arriverez à une certaine aisance dans la résolution de ces problèmes aisance dans la résolution de ces problèmes (Swokowski, Analyse)(Swokowski, Analyse)

Mais pour les élèves : Mais pour les élèves :

Cela aide certains : ceux qui analysent ce qui a été Cela aide certains : ceux qui analysent ce qui a été fait et pourquoifait et pourquoi

Les autres : Les autres : Plus j’en fais, plus je m’y perdsPlus j’en fais, plus je m’y perds44

Des pistes selon les auteurs?Des pistes selon les auteurs?

Rechercher une « recette miracle » ?Rechercher une « recette miracle » ?

Trouver une méthode générale qui permet d’aborder Trouver une méthode générale qui permet d’aborder progressivement un problème nouveau est illusoireprogressivement un problème nouveau est illusoireUne piste possible : classifier, catégoriser, iUne piste possible : classifier, catégoriser, identifier dentifier des similitudes des similitudes Essayer de reconnaître quelque chose de familier : Essayer de reconnaître quelque chose de familier : relier la situation donnée à vos connaissances relier la situation donnée à vos connaissances antérieures…antérieures…Essayer de reconnaître une structure …Essayer de reconnaître une structure …Un des principes les plus importants de la résolution Un des principes les plus importants de la résolution de problèmes est l'analogie… de problèmes est l'analogie… (Stewart, Analyse 1)(Stewart, Analyse 1)

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La piste de la catégorisationLa piste de la catégorisation

Le contexte de l’« Approche par compétences » nous interpelle iciLe contexte de l’« Approche par compétences » nous interpelle ici

L'élève compétent n'est pas celui qui sait seulement L'élève compétent n'est pas celui qui sait seulement accomplir une opération stéréotypée en réponse à un signal accomplir une opération stéréotypée en réponse à un signal préétabli. Il doit savoir choisir les procédures à mettre en préétabli. Il doit savoir choisir les procédures à mettre en oeuvre dans des situations toujours nouvelles, il doit savoir oeuvre dans des situations toujours nouvelles, il doit savoir élaborer une démarche originale. élaborer une démarche originale. (B. Rey)(B. Rey)

La piste « classifier » ou « catégoriser » mérite d’être suivieLa piste « classifier » ou « catégoriser » mérite d’être suivie

Certains de ces énoncés se ressemblent beaucoup et Certains de ces énoncés se ressemblent beaucoup et pourraient être mis ensemble. Nous aurions ainsi moins de pourraient être mis ensemble. Nous aurions ainsi moins de catégories et de problèmes-types à apprendre. Cherchez catégories et de problèmes-types à apprendre. Cherchez des problèmes qui se résolvent ou s'expliquent de la même des problèmes qui se résolvent ou s'expliquent de la même façon. Nous discuterons ensemble les regroupements. En façon. Nous discuterons ensemble les regroupements. En même temps, nous chercherons ce qui peut les rendre même temps, nous chercherons ce qui peut les rendre différents. différents. (G. et N. Brousseau)(G. et N. Brousseau)

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Une classification apparemment naïveUne classification apparemment naïve

Première proposition des élèves : que cherche-t-on à optimiser ?Première proposition des élèves : que cherche-t-on à optimiser ?(apparemment) naïf : (apparemment) naïf : tout ce qui est longueur, aire, volume… puis temps, tout ce qui est longueur, aire, volume… puis temps, puis coût, puis… puis…puis coût, puis… puis…

Symptômatique d’une progression dans la résistance/difficulté à Symptômatique d’une progression dans la résistance/difficulté à traiter :traiter :

quantité simple (somme, produit…), explicite dans l’énoncéquantité simple (somme, produit…), explicite dans l’énoncé longueur, aire, volumelongueur, aire, volume tempstempscoûtcoûtdébitdébit résistance à la traction, à la torsion…résistance à la traction, à la torsion… frottementfrottementdissipation, déperdition calorifiquedissipation, déperdition calorifiqueautres (éclairement…)autres (éclairement…)

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Les élèves abordent de bon gré les 2 premières « classes » mais sont Les élèves abordent de bon gré les 2 premières « classes » mais sont déconcertés par les suivantes : déconcertés par les suivantes : ce n’est plus des maths, c’est de la ce n’est plus des maths, c’est de la physiquephysique

Le professeur a l’impression d’avoir violé une règle du jeu implicite Le professeur a l’impression d’avoir violé une règle du jeu implicite (rupture du contrat)(rupture du contrat)

Signe de l’inconfort de l’élève, qui est censé aussi faire des liens, ou (pire) Signe de l’inconfort de l’élève, qui est censé aussi faire des liens, ou (pire) appliquer des lois supposées « évidentes »appliquer des lois supposées « évidentes »

Or … un problème peut en cacher un autre :Or … un problème peut en cacher un autre : temps lié à longueur via vitessetemps lié à longueur via vitessecoût lié à longueur, aire, volumecoût lié à longueur, aire, volumedébit lié à airedébit lié à aire résistance liée à longueur ou airerésistance liée à longueur ou aire frottement lié à airefrottement lié à airedissipation, déperdition liée à airedissipation, déperdition liée à aireéclairement lié à longueur ou aireéclairement lié à longueur ou aire

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Une piste pour surmonter l’obstacle : Une piste pour surmonter l’obstacle :

proposer aux élèves de transformer un problème de proposer aux élèves de transformer un problème de longueur, aire, volume en un autrelongueur, aire, volume en un autreExempleExemple

problème de dimensions optimales à donner à un solide de volume problème de dimensions optimales à donner à un solide de volume fixé : une optimisation d’aire se transforme en optimisation d’un coût fixé : une optimisation d’aire se transforme en optimisation d’un coût (peinture des faces) ou d’une perte calorifique (isolation des faces)(peinture des faces) ou d’une perte calorifique (isolation des faces)

Conclusion :Conclusion :Classification naïve, guère utilisable en pratique mais Classification naïve, guère utilisable en pratique mais révélatrice de malaises et donc à creuser avec les élèvesrévélatrice de malaises et donc à creuser avec les élèvesPermet de jouer avec l’énoncé (traduction langage Permet de jouer avec l’énoncé (traduction langage français/mathématique)français/mathématique)

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Une classification basée sur le nombre de Une classification basée sur le nombre de variablesvariables

Deuxième proposition des élèves, largement induite car Deuxième proposition des élèves, largement induite car un classique des premières étapes de la résolutionun classique des premières étapes de la résolution

Ré-exploration des exercices faits : « comment a-t-on Ré-exploration des exercices faits : « comment a-t-on procédé ? »procédé ? »

Fil rouge : quelles stratégies, combien de variables et Fil rouge : quelles stratégies, combien de variables et lesquelles ?lesquelles ?

1010


Exemple 1 :Exemple 1 :

De tous les triangles rectangles de même hypoténuse, De tous les triangles rectangles de même hypoténuse, quel est celui dont l’aire est maximale ?quel est celui dont l’aire est maximale ?

Enoncé volontairement général (pas de « de côté », pas de Enoncé volontairement général (pas de « de côté », pas de dessin, pas de littéraux)dessin, pas de littéraux)

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Tous les élèves commencent par une représentation Tous les élèves commencent par une représentation graphique : un triangle rectanglegraphique : un triangle rectangle

1212

Pour quelques-uns : Pour quelques-uns : Problème à 1 variable, car un côté suffit, l’autre étant Problème à 1 variable, car un côté suffit, l’autre étant

déterminé par Pythagoredéterminé par Pythagore Cette réflexion est faite avant même d’écrire une Cette réflexion est faite avant même d’écrire une

quelconque formule pour l’airequelconque formule pour l’aire Ensuite, écriture de l’aire :Ensuite, écriture de l’aire :

certains voient immédiatement comme celle du certains voient immédiatement comme celle du demi-rectangledemi-rectangle

d’autres cherchent à exprimer en tant que demi-d’autres cherchent à exprimer en tant que demi-produit de la base (hypoténuse) par une hauteur produit de la base (hypoténuse) par une hauteur qui leur échappe qui leur échappe


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Pour beaucoup : Pour beaucoup : Problème à 2 variablesProblème à 2 variables, , car on a un triangle et on car on a un triangle et on

connaît un seul côtéconnaît un seul côté Très rapidement, ils écrivent la relation liant les 2 Très rapidement, ils écrivent la relation liant les 2

variables, car variables, car on donne l’hypoténuse on donne l’hypoténuse (ils ne font pas (ils ne font pas vraiment référence à Pythagore, même si c’est bien vraiment référence à Pythagore, même si c’est bien cette relation qu’ils écrivent)cette relation qu’ils écrivent)

A nouveau, le fait de devoir exprimer l’aire n’intervient A nouveau, le fait de devoir exprimer l’aire n’intervient pas directementpas directement

Suite : comme pour le premier casSuite : comme pour le premier cas

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Pour certains : Pour certains : Problème à 1 variable car on a besoin de la seule Problème à 1 variable car on a besoin de la seule

hauteur pour calculer l’aire puisqu’on connaît la basehauteur pour calculer l’aire puisqu’on connaît la base Donc ici, le focus s’est déplacé de la modélisation du Donc ici, le focus s’est déplacé de la modélisation du

problème (comment représenter un triangle rectangle problème (comment représenter un triangle rectangle d’hypoténuse donnée) à ce qu’il faut optimiser – l’aired’hypoténuse donnée) à ce qu’il faut optimiser – l’aire

Mais tous ou quasi oublient que le triangle est Mais tous ou quasi oublient que le triangle est rectanglerectangle

La suite de leur calcul, c’est de dériver une fonction La suite de leur calcul, c’est de dériver une fonction linéaire de la hauteur, ce qui conduit bien sûr à une linéaire de la hauteur, ce qui conduit bien sûr à une aberration. Les élèves sont désemparésaberration. Les élèves sont désemparés

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Pour peu d’élèves: Pour peu d’élèves: Problème à 1 variable, car il suffit de connaître un angle, le Problème à 1 variable, car il suffit de connaître un angle, le

triangle étant rectangletriangle étant rectangle La difficulté est ici de calculer l’aire : il faut se souvenir des La difficulté est ici de calculer l’aire : il faut se souvenir des

relations dans un triangle rectanglerelations dans un triangle rectangle Mais ces élèves sont justement ceux qui maîtrisent bien les Mais ces élèves sont justement ceux qui maîtrisent bien les

triangles rectangles (sinon, ils n’auraient pas songé à une triangles rectangles (sinon, ils n’auraient pas songé à une solution basée sur un angle)solution basée sur un angle)

La suite est intéressante également : La suite est intéressante également : Soit effectuer mécaniquement le calcul de la dérivée puis résoudre Soit effectuer mécaniquement le calcul de la dérivée puis résoudre

l’équation trigonométrique résultantel’équation trigonométrique résultante Soit utiliser le sinus de l’angle double pour déduire immédiatement le Soit utiliser le sinus de l’angle double pour déduire immédiatement le

résultat. La solution est triviale et on voit directement apparaître le triangle résultat. La solution est triviale et on voit directement apparaître le triangle rectangle comme étant isocèle rectangle comme étant isocèle

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La façon de poser le problème n’est pas neutre !La façon de poser le problème n’est pas neutre !

Même problème, mais une illustration est fournie, où le Même problème, mais une illustration est fournie, où le triangle rectangle est inscrit dans un cercletriangle rectangle est inscrit dans un cercle

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Avant d’entamer la résolution, les élèves imaginent Avant d’entamer la résolution, les élèves imaginent correctement la solution optimale : ils font mentalement correctement la solution optimale : ils font mentalement évoluer le sommet opposé à l’hypoténuse et tous ou évoluer le sommet opposé à l’hypoténuse et tous ou presque sont convaincus que la solution est celle pour presque sont convaincus que la solution est celle pour laquelle « les angles sont de 45° »laquelle « les angles sont de 45° »

Cette fois, l’approche « 1 variable : l’angle » est choisie Cette fois, l’approche « 1 variable : l’angle » est choisie par une majorité des élèvespar une majorité des élèves

1818



De tous les rectangles inscrits dans un cercle, quel est De tous les rectangles inscrits dans un cercle, quel est celui dont l’aire est maximale ?celui dont l’aire est maximale ?

Tous les élèves commencent par une représentation Tous les élèves commencent par une représentation graphique : un rectangle de longueur horizontale, son graphique : un rectangle de longueur horizontale, son centre puis le cercle circonscritcentre puis le cercle circonscrit

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Pour la plupart : Pour la plupart : Problème à 2 variables, car dans un rectangle, il y a Problème à 2 variables, car dans un rectangle, il y a une longueur et une largeur. C’est d’ailleurs ce qu’il faut une longueur et une largeur. C’est d’ailleurs ce qu’il faut pour déterminer l’airepour déterminer l’airePour trouver la relation entre ces deux variables, la Pour trouver la relation entre ces deux variables, la plupart identifient rapidement que chaque diagonale est plupart identifient rapidement que chaque diagonale est diamètre du cercle, et utilisent Pythagorediamètre du cercle, et utilisent Pythagore

2020


Peu font le lien entre ce rectangle et les deux demi-Peu font le lien entre ce rectangle et les deux demi-triangles rectangles qui le composent, dont triangles rectangles qui le composent, dont l’hypoténuse est le diamètre du cerclel’hypoténuse est le diamètre du cercle

Et aucun ne remarque que ce problème est en réalité Et aucun ne remarque que ce problème est en réalité identique à celui traité précédemmentidentique à celui traité précédemment

2121



De tous les triangles isocèles inscrits dans un cercle, De tous les triangles isocèles inscrits dans un cercle, quel est celui dont l’aire est maximale ? quel est celui dont l’aire est maximale ?

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Plusieurs élèves estiment que le triangle optimal devrait Plusieurs élèves estiment que le triangle optimal devrait être équilatéral, pour des raisons de symétrieêtre équilatéral, pour des raisons de symétrie

Pour la majorité : Pour la majorité : Problème à 2 variables car dans un triangle, pour Problème à 2 variables car dans un triangle, pour calculer une aire, on a besoin d’une base et d’une calculer une aire, on a besoin d’une base et d’une hauteurhauteurC’est clairement la formulation de l’aire qui a induit la C’est clairement la formulation de l’aire qui a induit la catégorisation et le choix des variablescatégorisation et le choix des variablesLa relation entre base et hauteur est cependant moins La relation entre base et hauteur est cependant moins évidenteévidente

2323


Et pourquoi pas un problème à 1 variable ?Et pourquoi pas un problème à 1 variable ?Aucun ne pense à aborder le problème en introduisant Aucun ne pense à aborder le problème en introduisant une seule variable, comme un angle, qui caractériserait une seule variable, comme un angle, qui caractériserait le triangle isocèlele triangle isocèleLa propriété liant angle au centre et angle inscrit, qui La propriété liant angle au centre et angle inscrit, qui serait simplificatrice, n’est pas non plus toujours fraîche serait simplificatrice, n’est pas non plus toujours fraîche en mémoireen mémoire

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Un guide pour choisir la ou les variables ?Un guide pour choisir la ou les variables ?

A élaborer avec les élèvesA élaborer avec les élèves

Résultat :Résultat : Si je devais demander à quelqu’un de construire Si je devais demander à quelqu’un de construire

l’objet, quelle information lui donner ? De quoi a-t-il l’objet, quelle information lui donner ? De quoi a-t-il besoin ?besoin ?

Si je devais expliquer à quelqu’un de quoi on parle, Si je devais expliquer à quelqu’un de quoi on parle, quelle information lui donner ? Comment le faire quelle information lui donner ? Comment le faire au mieux ?au mieux ?

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Une ou deux variables, pourquoi s’en soucier ?Une ou deux variables, pourquoi s’en soucier ?

Réflexions d’élèves : Réflexions d’élèves : Pourquoi se soucier de choisir ses Pourquoi se soucier de choisir ses variables ? On finit quand même par n’en avoir plus variables ? On finit quand même par n’en avoir plus qu’une, puisqu’on élimine les autres , il n’en reste qu’une qu’une, puisqu’on élimine les autres , il n’en reste qu’une et c’est la bonneet c’est la bonne

Oui… mais laquelle, y en a-t-il une « meilleure » que les Oui… mais laquelle, y en a-t-il une « meilleure » que les autres ?autres ?

Autopsie d’un exercice :Autopsie d’un exercice :

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Une rigole a pour section un trapèze. La petite base inférieure est de dimension donnée et chaque paroi oblique mesure autant que la petite base. Quelles dimensions donner à la grande base et à la hauteur pour que le débit de l’eau soit maximal ?


Les élèves démarrent sur une stratégie à deux variables, Les élèves démarrent sur une stratégie à deux variables, car car un trapèze est déterminé par une grande base, une un trapèze est déterminé par une grande base, une petite base (donnée) et une hauteur. petite base (donnée) et une hauteur. La formule de l’aire La formule de l’aire du trapèze, à optimiser, les conforte dans ce choixdu trapèze, à optimiser, les conforte dans ce choix

La plupart trouvent la relation entre grande base, La plupart trouvent la relation entre grande base, hauteur et petite base via Pythagorehauteur et petite base via Pythagore

La substitution dans l’expression de l’aire à rendre La substitution dans l’expression de l’aire à rendre optimale donne cependant un résultat un peu compliqué, optimale donne cependant un résultat un peu compliqué, qui en décourage certains. qui en décourage certains. On a dû se tromper…On a dû se tromper…

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Une tout autre approche aurait été de choisir pour Une tout autre approche aurait été de choisir pour variable l’angle que fait une paroi oblique avec les variable l’angle que fait une paroi oblique avec les bases. Les relations dans les triangles rectangles bases. Les relations dans les triangles rectangles permettent de facilement relier hauteur et grande base à permettent de facilement relier hauteur et grande base à l’angle, et l’aire devient fonction de ce seul angle l’angle, et l’aire devient fonction de ce seul angle

La difficulté est reportée dans le calcul de la dérivée de La difficulté est reportée dans le calcul de la dérivée de fonctions trigonométriques, et surtout dans l’étude du fonctions trigonométriques, et surtout dans l’étude du signe de cette dérivéesigne de cette dérivée

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Une variable peut en cacher une autreUne variable peut en cacher une autre

Le choix de la « bonne » variable n’est pas toujours évidentLe choix de la « bonne » variable n’est pas toujours évidentLa partie supérieure droite d’une feuille de papier de 30 cm sur 20 La partie supérieure droite d’une feuille de papier de 30 cm sur 20 cm est repliée le long du bord inférieur. Comment choisir l’endroit cm est repliée le long du bord inférieur. Comment choisir l’endroit du pli pour minimiser la longueur du pli ?du pli pour minimiser la longueur du pli ?

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Une variable peut en cacher une autreUne variable peut en cacher une autre

Une deuxième variable peut temporairement aiderUne deuxième variable peut temporairement aiderABCD est un carré unitaire. D en est le coin inférieur gauche. On ABCD est un carré unitaire. D en est le coin inférieur gauche. On trace le cercle unitaire de centre D. T est un point de l’arc de cercle trace le cercle unitaire de centre D. T est un point de l’arc de cercle AC. On trace la tangente au cercle, passant par T. Cette tangente AC. On trace la tangente au cercle, passant par T. Cette tangente détermine M sur le segment AB et N sur le segment BC. Pour détermine M sur le segment AB et N sur le segment BC. Pour quelle position de T la distance MN est-elle minimale ?quelle position de T la distance MN est-elle minimale ?

3030

Quelles relations entre variables ?Quelles relations entre variables ?

Exemple de liste construite avec les élèves en balayant les Exemple de liste construite avec les élèves en balayant les exercices faits :exercices faits :

1. 1. explicite dans l’énoncéexplicite dans l’énoncé « dont la somme (ou : différence, produit, quotient…) « dont la somme (ou : différence, produit, quotient…)

est… » ; nécessité de traduire le français en est… » ; nécessité de traduire le français en mathématiquemathématique

relation de proportionnalité :« … la longueur est trois fois relation de proportionnalité :« … la longueur est trois fois la hauteur… »la hauteur… »

2. 2. relation algébrique, mesure géométriquerelation algébrique, mesure géométrique souvent issue d’une formule : périmètre, aire, volume ... souvent issue d’une formule : périmètre, aire, volume ...

« Trouver le champ rectangulaire d’aire maximum et de « Trouver le champ rectangulaire d’aire maximum et de périmètre donné »périmètre donné »

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Quelles relations entre variables ?Quelles relations entre variables ?

3. 3. relation géométriquerelation géométrique Pythagore Pythagore

De tous les triangles rectangles de même De tous les triangles rectangles de même hypoténuse, quel est celui dont l’aire est maximum ?hypoténuse, quel est celui dont l’aire est maximum ?

Triangles semblables ou ThalèsTriangles semblables ou Thalès Trouver la hauteur du cylindre de volume maximum Trouver la hauteur du cylindre de volume maximum

qui peut être inscrit dans un cône donnéqui peut être inscrit dans un cône donné

4. 4. relations (tri)angulairesrelations (tri)angulaires Une rigole a pour section un trapèze. La petite base Une rigole a pour section un trapèze. La petite base

inférieure est de dimension donnée et chaque paroi inférieure est de dimension donnée et chaque paroi oblique mesure autant que la petite base. Quelles oblique mesure autant que la petite base. Quelles dimensions donner à la grande base et à la hauteur dimensions donner à la grande base et à la hauteur pour que le débit de l’eau soit maximal ?pour que le débit de l’eau soit maximal ?

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Une classe particulière en détail Une classe particulière en détail (fonction irrationnelle)(fonction irrationnelle)

Qu’ont en commun les problèmes suivants :Qu’ont en commun les problèmes suivants : Un messager se trouve sur la berge d’un fleuve de 3 Un messager se trouve sur la berge d’un fleuve de 3

km de large. Il doit se rendre à un camp situé à 8 km km de large. Il doit se rendre à un camp situé à 8 km en aval, sur l’autre berge. Le messager marche à 5 en aval, sur l’autre berge. Le messager marche à 5 km/h et nage à 4 km/h. Où doit-il aborder pour que son km/h et nage à 4 km/h. Où doit-il aborder pour que son trajet soit le plus rapide possible ?trajet soit le plus rapide possible ?

On désire tirer une ligne téléphonique entre deux points On désire tirer une ligne téléphonique entre deux points A et B distants de 50 m. A est au niveau du sol et B se A et B distants de 50 m. A est au niveau du sol et B se trouve à 30 m de profondeur. Poser un câble sur le sol trouve à 30 m de profondeur. Poser un câble sur le sol revient à 400 EUR/m mais le câble enterré, c’est 700 revient à 400 EUR/m mais le câble enterré, c’est 700 EUR/m. Pour un coût minimal, quelle est la longueur de EUR/m. Pour un coût minimal, quelle est la longueur de la portion de câble à tirer au sol ?la portion de câble à tirer au sol ?

3333


Chacun de ces problèmes conduit à l’étude d’une Chacun de ces problèmes conduit à l’étude d’une fonction irrationnellefonction irrationnelle

Richesse en variables didactiquesRichesse en variables didactiques La fonction peut être un temps, une distance, un coût… La fonction peut être un temps, une distance, un coût… Le comportement peut être différent selon certains paramètres Le comportement peut être différent selon certains paramètres

(vitesses dans chaque milieu…) (vitesses dans chaque milieu…)

Plus généralement, un prétexte à l’évocation :Plus généralement, un prétexte à l’évocation : Du principe de moindre effortDu principe de moindre effort Du principe d’optimalitéDu principe d’optimalité

3434


Une difficulté technique inhérente à cette classe :Une difficulté technique inhérente à cette classe :

L’étude de la variation de la fonction n’est pas toujours L’étude de la variation de la fonction n’est pas toujours simple, à cause des racines carrées; ceci perturbe les simple, à cause des racines carrées; ceci perturbe les élèves, pour qui l’étude du signe de la dérivée première élèves, pour qui l’étude du signe de la dérivée première (et seconde, encore plus pénible ici) est incontournable(et seconde, encore plus pénible ici) est incontournable

Or :Or : considérer les asymptotes obliques donne l’allure considérer les asymptotes obliques donne l’allure

de la fonctionde la fonction la physique du problème fait que l’extremum la physique du problème fait que l’extremum

trouvé doit être un minimum (ou un maximum)trouvé doit être un minimum (ou un maximum)

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Une recherche d’un « minimum » qui traduit un principe Une recherche d’un « minimum » qui traduit un principe général de moindre effortgénéral de moindre effort

DDans un chemin optimal, tout sous -chemin est aussi ans un chemin optimal, tout sous -chemin est aussi optimaloptimalDans les problèmes de ce type, on a implicitement admis que dans Dans les problèmes de ce type, on a implicitement admis que dans chaque « milieu », le chemin optimal est la ligne droitechaque « milieu », le chemin optimal est la ligne droite

Loi de Snell-Descartes pour la réfraction (1637), Principe Loi de Snell-Descartes pour la réfraction (1637), Principe de Fermat (1657), Principe de moindre action de de Fermat (1657), Principe de moindre action de Maupertuis (1744)…Maupertuis (1744)…

3636

Des obstacles particuliersDes obstacles particuliers

Des obstacles récurrentsDes obstacles récurrents

1.1. La mise à échelle – une solution à un multiple prèsLa mise à échelle – une solution à un multiple près L‘énoncé dit « proportionnel », sans dire quel est le L‘énoncé dit « proportionnel », sans dire quel est le

rapport de proportionnalité, ou « fixée » sans dire quelle rapport de proportionnalité, ou « fixée » sans dire quelle valeur serait imposéevaleur serait imposée

Entendu : Entendu :

Il manque quelque choseIl manque quelque chose

On ne donne pas le rapport, c’est impossibleOn ne donne pas le rapport, c’est impossible

Disons 1 m³, OK ?Disons 1 m³, OK ? Si une grandeur (fonction) est optimale, un multiple de Si une grandeur (fonction) est optimale, un multiple de

celle-ci le sera aussi ; il s’agit d’un simple choix – celle-ci le sera aussi ; il s’agit d’un simple choix – arbitraire – d’unitésarbitraire – d’unités

3737

2.2. Passer de 2D en 3D et vice versaPasser de 2D en 3D et vice versa Malaise général avec la perception 3DMalaise général avec la perception 3D Représentation simple (vue en coupe) = aideReprésentation simple (vue en coupe) = aide

Trouver la hauteur du cône de volume maximum qui peut être Trouver la hauteur du cône de volume maximum qui peut être inscrit dans une sphère donnéeinscrit dans une sphère donnée

Risque : « aplatir » l’ensemble du problème (les Risque : « aplatir » l’ensemble du problème (les volumes devenant des aires pour certains élèves)volumes devenant des aires pour certains élèves)


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Plus difficile car demande une opération de Plus difficile car demande une opération de construction : construction :

A partir du disque en fer-blanc, on veut fabriquer un entonnoir A partir du disque en fer-blanc, on veut fabriquer un entonnoir conique : on y découpe un secteur et on plie le reste en joignant conique : on y découpe un secteur et on plie le reste en joignant les deux bords de coupe de façon à former un cône. Quel doit les deux bords de coupe de façon à former un cône. Quel doit être la partie du secteur découpé pour que la capacité du cône être la partie du secteur découpé pour que la capacité du cône obtenu soit maximale ?obtenu soit maximale ?


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3.3. Savoir représenter la réalité n’est pas innéSavoir représenter la réalité n’est pas inné On souffle trop ? Faut-il limiter la guidance ?On souffle trop ? Faut-il limiter la guidance ? Comparer les énoncés suivants :Comparer les énoncés suivants :

Trouver la hauteur du cylindre de volume maximum qui Trouver la hauteur du cylindre de volume maximum qui peut être inscrit dans une sphère donnéepeut être inscrit dans une sphère donnée

Dans une sphère de rayon R, on inscrit un cylindre de Dans une sphère de rayon R, on inscrit un cylindre de hauteur h et de base de rayon r. On demande pour hauteur h et de base de rayon r. On demande pour quelle hauteur h le volume du cylindre est maximalquelle hauteur h le volume du cylindre est maximal

Dans une sphère de rayon R, on inscrit un cylindre de Dans une sphère de rayon R, on inscrit un cylindre de hauteur h et de base de rayon r comme illustré. On hauteur h et de base de rayon r comme illustré. On demande pour quelle hauteur h le volume du cylindre est demande pour quelle hauteur h le volume du cylindre est maximalmaximal

4040


4.4. Confondre ce qui est à optimiser et les relations entre Confondre ce qui est à optimiser et les relations entre variablesvariables Confusion, inversion, mélanges…Confusion, inversion, mélanges…

Partager une somme de 75 Euros en deux montants, de Partager une somme de 75 Euros en deux montants, de sorte que le produit de l’un par le carré de l’autre soit sorte que le produit de l’un par le carré de l’autre soit maximum. Que vaut ce maximum ?maximum. Que vaut ce maximum ?solution proposée par certains : x.y²=75 solution proposée par certains : x.y²=75

Expérience à tenter avec les élèves : modifier un énoncé pour Expérience à tenter avec les élèves : modifier un énoncé pour que les rôles soient échangés (classiquement : optimiser une que les rôles soient échangés (classiquement : optimiser une aire ou un volume avec contrainte sur un périmètre ou une aire aire ou un volume avec contrainte sur un périmètre ou une aire et vice versa)et vice versa)

Adosser à un mur rectiligne un poulailler rectangulaire d'aire Adosser à un mur rectiligne un poulailler rectangulaire d'aire 50 m² de façon telle que la longueur du treillis nécessaire 50 m² de façon telle que la longueur du treillis nécessaire pour clôturer soit minimalepour clôturer soit minimale

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Il faut se souvenir de tout…Il faut se souvenir de tout…

De quoi au juste ? De quoi a-t-on souvent besoin ?De quoi au juste ? De quoi a-t-on souvent besoin ?

Proposer aux élèves de réaliser un pense-bête, élaborer avec Proposer aux élèves de réaliser un pense-bête, élaborer avec eux un formulaire : c’est rassuranteux un formulaire : c’est rassurant

Résultat typique :Résultat typique : Volume (parallélépipède, cylindre, sphère, cône), aire et périmètre Volume (parallélépipède, cylindre, sphère, cône), aire et périmètre

(carré, rectangle, losange, parallélogramme, trapèze, cercle, secteur, (carré, rectangle, losange, parallélogramme, trapèze, cercle, secteur, arc)arc)

Vocabulaire :somme, produit, quotient, terme, facteurVocabulaire :somme, produit, quotient, terme, facteur Trigonométrie du triangle rectangle, triangles semblablesTrigonométrie du triangle rectangle, triangles semblables ThalèsThalès Angle inscrit et au centreAngle inscrit et au centre Second degré (racines, sommet)Second degré (racines, sommet) Etude du signeEtude du signe

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L’optimisation comme application des dérivéesL’optimisation comme application des dérivées

Demander aux élèves : « Est-ce toujours nécessaire ? Demander aux élèves : « Est-ce toujours nécessaire ? Avons-nous rencontré des contre-exemples ? »Avons-nous rencontré des contre-exemples ? »

Cas identifiés sur base des exercices faits :Cas identifiés sur base des exercices faits :1.1. Un maximum ou un minimum peut être réalisé aux bornes de Un maximum ou un minimum peut être réalisé aux bornes de

l’intervalle l’intervalle

2.2. Une fonction peut être non dérivable (même en étant continue) Une fonction peut être non dérivable (même en étant continue)

3.3. La fonction à optimiser est un trinôme du deuxième degré, une La fonction à optimiser est un trinôme du deuxième degré, une vieille connaissance vieille connaissance

4.4. La fonction à optimiser possède un extrémum évidentLa fonction à optimiser possède un extrémum évident

5.5. Fonctions irrationnelles : recours aux asymptotesFonctions irrationnelles : recours aux asymptotes

4343

Retour vers les auteursRetour vers les auteurs

Pourquoi ne pas demander aux élèves leur avis sur les Pourquoi ne pas demander aux élèves leur avis sur les conseils des auteurs ?conseils des auteurs ?

1.1. On distingue dans l’énoncé les données des inconnues.On distingue dans l’énoncé les données des inconnues.

2.2. Parmi les grandeurs inconnues, on choisit la variable et ses bornes de Parmi les grandeurs inconnues, on choisit la variable et ses bornes de variation ; on exprime les autres grandeurs inconnues en fonction de variation ; on exprime les autres grandeurs inconnues en fonction de cette variable.cette variable.

3.3. On recherche On recherche

une expression analytique de la fonction traduisant les donnéesune expression analytique de la fonction traduisant les données

les valeurs de la variable qui maximisent ou minimisent cette fonctionles valeurs de la variable qui maximisent ou minimisent cette fonction

4.4. On calcule la dérivée de cette fonction.On calcule la dérivée de cette fonction.

5.5. On recherche les racines de cette dérivée ; on les confronte avec les On recherche les racines de cette dérivée ; on les confronte avec les conditions exigées dans l’énoncé.conditions exigées dans l’énoncé.

6.6. On vérifie que pour la (ou les) valeur(s) retenue(s), la fonction est bien On vérifie que pour la (ou les) valeur(s) retenue(s), la fonction est bien maximisée ou minimisée.maximisée ou minimisée.

7.7. On conclut !On conclut !

4444


Pourquoi ne pas demander aux élèves leur avis sur les Pourquoi ne pas demander aux élèves leur avis sur les conseils des auteurs ? conseils des auteurs ?

1.1. ExprimerExprimer

a) la quantité Q à rendre optimale (maximale ou minimale) a) la quantité Q à rendre optimale (maximale ou minimale) comme fonction d’une ou plusieurs variables.comme fonction d’une ou plusieurs variables.

b) toute relation entre les variables.b) toute relation entre les variables.

2.2. Utiliser ces relations pour exprimer Q comme fonction d’une seule Utiliser ces relations pour exprimer Q comme fonction d’une seule variable et déterminer l’ensemble D des valeurs admissibles de variable et déterminer l’ensemble D des valeurs admissibles de cette variable.cette variable.

3.3. Rechercher les points critiques de cette fonction sans oublier de Rechercher les points critiques de cette fonction sans oublier de contrôler ce qui se passe aux bords de D. Il faut donc dériver Q contrôler ce qui se passe aux bords de D. Il faut donc dériver Q par rapport à la variable, résoudre Q’=0 et étudier le signe de Q’.par rapport à la variable, résoudre Q’=0 et étudier le signe de Q’.

4.4. Vérifier le résultat.Vérifier le résultat.

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Pourquoi ne pas demander aux élèves leur avis sur les conseils Pourquoi ne pas demander aux élèves leur avis sur les conseils des auteurs ? des auteurs ?

1.1. Lisez le problème attentivement et plusieurs fois en faisant la distinction Lisez le problème attentivement et plusieurs fois en faisant la distinction entre les données et les inconnues.entre les données et les inconnues.

2.2. Faites un schéma ou un diagramme, si c'est possible, et profitez-en pour Faites un schéma ou un diagramme, si c'est possible, et profitez-en pour donner des noms aux variables inconnues. Les inconnues se repèrent donner des noms aux variables inconnues. Les inconnues se repèrent dans l'énoncé aux termes « quel, chercher, combien, à quelle distance, dans l'énoncé aux termes « quel, chercher, combien, à quelle distance, ou quand ».ou quand ».

3.3. Mettez par écrit les éléments donnés du problème ainsi que toute relation Mettez par écrit les éléments donnés du problème ainsi que toute relation entre les variables.entre les variables.

4.4. Déterminez quelle est la variable à maximiser ou minimiser et exprimez-la Déterminez quelle est la variable à maximiser ou minimiser et exprimez-la en fonction d'une seule des autres variables.en fonction d'une seule des autres variables.

5.5. Cherchez les points critiques de la fonction obtenue au point 4.Cherchez les points critiques de la fonction obtenue au point 4.

6.6. Calculez les extremums à l'aide de la marche à suivre (…) ou des tests Calculez les extremums à l'aide de la marche à suivre (…) ou des tests de la dérivée première ou seconde. Contrôlez ce qui se passe aux de la dérivée première ou seconde. Contrôlez ce qui se passe aux extrémités de l'intervalle le cas échéant.extrémités de l'intervalle le cas échéant.

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Pourquoi ne pas Pourquoi ne pas demander aux élèves leur avis sur les demander aux élèves leur avis sur les conseils des auteurs ?conseils des auteurs ?

Il n'y a pas à proprement parler de règles strictes et rapides qui Il n'y a pas à proprement parler de règles strictes et rapides qui permettent à coup sûr de résoudre des problèmes.permettent à coup sûr de résoudre des problèmes.

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Retour sur l’utilisation d’une catégorisationRetour sur l’utilisation d’une catégorisation

Les élèves jouent collectivement le rôle d’« analystes du savoir », en Les élèves jouent collectivement le rôle d’« analystes du savoir », en étudiant la manière dont les problèmes ont été appréhendés et étudiant la manière dont les problèmes ont été appréhendés et résolus , en exprimant et analysant leurs obstacles, en explorant les résolus , en exprimant et analysant leurs obstacles, en explorant les types de tâches associées aux diverses classes de problèmes et les types de tâches associées aux diverses classes de problèmes et les techniques les plus efficacestechniques les plus efficaces

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problèmes d’optimisation

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