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LE PASSAGE DE LARITHMETIQUE A LALGEBRIQUE

DANS LENSEIGNEMENT DES MATHEMATIQUES AU COLLEGE

PREMIERE PARTIE

Leacutevolution de la transposition didactique

Yves CHEVALLARD

IREM dAix-Marseille

1- INTRODUCTION

Au cours des derniegraveres deacutecennies le corpus matheacutematique enseigneacute dans les

collegraveges a subi une profonde reacuteorganisation dont la laquoreacuteforme des matheacutematiques

modernesraquo qui a tant frappeacute les contemporains ci sans aucun doute constitueacute le

monient le plus spectaculaire

Il est remarquable toutefois que ce changement qui a susciteacute en foule reacuteacshy

tions et commentaires na pas pour autant beacuteneacuteficieacute - agrave quelques exceptions pregraves(1) shy

de leffort danalyse que son importance objective aurait ducirc engendrer Dans cet

article nous essaierons de mettre en eacutevidence sur un point particulier et de maniegravere

neacutecessairement limiteacutee lampleur des bouleversements auxquels les enseignants ont

eu agrave faire face Mais nous tenterons surtout de montrer comment les modifications

structurelles apporteacutees alors dans le texte denseignement imposent leurs effets jusquagrave

aujourdhui diune maniegravere souvent occulte mais bien reacuteelle en deacutepit mecircme de la

laquoreacuteforme de la reacuteformeraquo que pour la classe de quatriegraveme les programmes de 1978

devaient symboliser(2)

(1) Concernant legravenseigriement des deacutecimaux agrave leacutecole primaire voir Brousseau 1980 pour une analyse geacuteneacuterale de la reacuteforme voir Chevallard 1980a

(2) laquoLe programme de 1978 et ses objectifs eacutecrivait ainsi leacutequipe de reacutedaction du Bulletin de lAPMEP sont fondamentalement diffeacuterents de ceux de 1971raquo (Activiteacutes math6matiques en quatriegraveme-troisiegraveme tome 1 publication de lAPMEP 33 1979 p 9) Nous verrons que cette affirmation doit ecirctre nettement tempeacutereacutee

laquopetit XII n05 pp 51 agrave 94

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Il - UNE FRONTIERE OUBLIEE

Le programme de 1945 pour la classe de quatriegraveme (annexe 1) est clairement

organiseacute autour dune grande dichotomie celle de larithmeacutetique et de lalgegravebre Cette

distinction structure encore le programme de 1958 (annexe 2) Elle disparaicirct du

programme laquoreacuteformeacuteraquo celui de 1971 et napparaicirct plus dans le programme de 1978

Les mots darithmeacutetique et dalgegravebre eux-mecircmes ne conservent plus quun emploi

fort restreint une rubrique laquoArithmeacutetiqueraquo figure au programme actuel de la classe

de cinquiegraveme et llaquoalgegravebreraquo reacuteapparaicirct dans le programme de la classe de troisiegraveme

Mais lopposition de larithmeacutetique et de lalgegravebre elle semble durablement effaceacutee

Ce rappel dhistoire sans doute neacutecessaire(3) permet de mettre le doigt sur

un fait essentiel dont nous tirerons plus loin quelques conseacutequences la disparition

en quelques anneacutees dune maniegravere seacuteculaire dorganiser le corpus matheacutematique

denseignement Lopposition de larithmeacutetique et de lalgegravebre eacutetait en effet jusque-lagrave

traditionnelle Tradition ancienne dailleurs - puisque le principe en est poseacute par Viegravete

lui-mecircme agrave la fin du XVlegraveme siegravecle(4)- et en tout cas bien installeacutee dans lusage

traversant tout le XIXegraveme siegravecle elle ne seacuteteindra quau deacutebut des anneacuteeS 1970

Cette tradition - qui seacutegale agrave une conception tout agrave la fois eacutepisteacutemologique

et didactique et produit un texte denseignement longtemps inchangeacute ou du moins

agrave eacutevolution lente - oppose deux temps Le premier temps est celui de lapprentissage

de larithmeacutetique Celle-ci constitue la base des apprentissages ulteacuterieurs par excellence

Le corpus arithmeacutetique et lagencement didactique de ses parties nont guegravere varieacute

sur plusieurs siegravecles de Jacques Pelletier du Mans (1554) jusquau milieu du XXegraveme

siegravecle Larithmeacutetique fournit lensemble des reacutequisits sur lesquels dans un deuxiegraveme

temps les auteurs fondent alors le parcours de lalgegravebre Preacutesentant les Eleacutemens

dAlgegravebre dEuler (parus en franccedilais en 1774) ses eacutediteurs nous gratifient dun charshy

mant petit conte bien significatif de cette maniegravere de faire laquoLes vues du ceacutelegravebre

auteur eacutecrivent-ils(5) eacutetaient de composer un livre eacuteleacutementaire au moyen duquel

on put apprendre sans aucun autre secours lalgegravebre agrave fond () M Euler choisit

(3) Neacutecessaire parce que mecircme dans le cas ougrave il a connu - comme eacutelegraveve ou comme professeurshydes eacutetapes anteacuterieures de leacutevolution de lenseignement le professeur tend en principe agrave limiter son horizon agrave leacutetape actuelle de cette eacutevolution cette amneacutesie - que nous ne nous attacherons pas agrave mettre en eacutevidence ici - joue un rocircle fonctionnellement essentiel dans la deacuteneacutegation de la transshyposition didagravectique (voir Chevallard 1982) en permettant aux agents du systegraveme denseignement daccepter pleinement comme allant de soi et naturel leacutetat preacutesent de la transposition didactique

(4) Louvrage de Franccedilois Viegravete (1540-1603) ln artem analyticam Isagoge (ltltIntroduction en lart analytiqueraquo) est publieacute agrave Tours en 1591

(5) Dans lAvertissement de tteacutedition franccedilaise de 1807 (Courcier et Maire Paris) que nous suivons ici

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pour cet effet un jeune homme quil avait pris agrave son service en quittant Berlin qui

posseacutedait assez bien larithmeacutetique mais qui navait dailleurs aucune teinture des

matheacutematiques il avait appris le meacutetier de tailleur et ne pouvait ecirctre mis quant agrave

sa capaciteacute quau rang des esprits ordinaires Non seulement ce jeune homme agrave tregraves

bien saisi tout ce que son illustre maicirctre lui enseignait et lui dictait(6) magraveis il sest

mecircme trouveacute en peu de temps en eacutetat dachever tout seul les calculs algeacutebriques les

plus difficiles ( hgt Si larithmeacutetique constitue agrave un premier niveau dinstruction

un ensemble coheacuterent et relativement complet elle est ainsi agrave un second niveau le

fondement sur lequel lapprentissage de lalgegravebre va venir prendre appui

III - LE PASSAGE DE LARITHMETIQUE A LALGEBRE

Avoir quelques rudiments darithmeacutetique est en tout meacutetier une exigence

tregraves anciennement attesteacutee les arithmeacutetiques imprimeacutees depuis la fin du XVegraveme

siegravecle ne sont-elles pas en theacuteorie proposeacutees aux marchands et neacutegociants Lapprenshy

tissage de lalgegravebre marque alors un passage une maniegravere de progresser dans le savoir

qui est aussi une maniegravere de seacutelever dans la socieacuteteacute Et loin que ce passage soit gommeacute

(comme il en va aujourdhui nous le verrons) il se trouve longtemps mis en avant

par toute une rheacutetorique qui sefforce de situer arithmeacutetique et algegravebre dans le prolonshy

gement lune de lautre tout en les opposant

La plupart des auteurs recourent agrave cet eacutegard agrave une strateacutegie dexposition

simple et nette partant dun problegraveme darithmeacutetique ils en rappellent la solution

laquopar (arithmeacutetiqueraquo pour lui opposer ensuite la solution laquopar lalgegravebreraquo Ainsi le

document 1 premiegravere page dun opuscule consacreacute agrave Lalgegravebre agrave leacutecole primaire

(cours supeacuterieur) et publieacute agrave Marseille en 1924 donne de cet abord de lalgegravebre une

illustration concise et significatiye~

Emploi des h~ttres

dans la solution des problegravemes

Probegraveme - On a un collpon de drap dune certaine lonshygueur el LUI deuxiegraveme coupon qui a 4 megravetres de plus Ces deLLX coupons out ensemble 40 megravetres On demande la longueur de chaque coupon

(6) Euler eacutetait devenu aveugle en 1771

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SOLUTION ABlTH)IEacuteTIQUE

l Heprecircsentons la longueur du 1 coumiddot ~o lon middotpar une ligne

ft ~~ Cne ligne semblable augmenteacutee de i4 Ill figurera le 2m coupon

En examinant cette repreacutesentation graphique on voit de suite que petit COUP0rl + petit coupon + 4 lU ou 2 fois le petit coupon + 4 m = 40 lU

par conseacutequent 2 fois le petit coupon =40 m - 4 lU =36 Ill dou petit coupon = 38 lU l = 18 Ill

el grand coupan = 18 lU + 4 lU = l2 m

SOLUTION ALGEacuteBR~QUE

1er X Au lieu de la ligne meltonsmiddot pour le 40 m 1er coupon hl lettre x

) 2lDe x+4 m Nous aurons pour le 2me coupon r x+4shy

Nous avons ainsi sous les yeWt comme pour- la solution preacuteceacutedente une image tregraves nette de leacutenonceacute et nous poumiddot ons eacutecriremiddot

x + r + 4 = 40 nt 2 Cois x + 4 = 40 nl

2 Cois r =40 m - 4 nl =36 Ill

x = 36 2 =18 lU

ct grand coupon =18 m + 4 lIJ = 22 lU

Chaque fois que nous emploierons des lettres dans la reacutesolution des problecircmes Il0US ferons de lalgegravebre

La solutiou algeacutebrique est plu simple Flus rapide que la solu tion arithmeacutetiquebull llle dispense le fme de longs raisonnemeuts

DOCUMENT 1

On notera ici que les auteurs rencontrent en geacuteneacuteral une difficulteacute didactique

caracteacuteriseacutee Lideacuteal serait eacutevidemment de proposer un problegraveme tout semblable agrave

ceux que larithmeacutetique permet en principe de reacutesoudre mais dune complexiteacute telle

que les seules lumiegraveres de larithmeacutetique nous laissent impuissants agrave le reacutesoudre effecshy

tivement et den donner alors une solution par le moyen de lalgegravebre Mais le comshy

menccedilant ne maicirctrisant pas loutil algeacutebrique - par deacutefinition - ils doivent sen tenir

agrave un problegraveme de structure assez simple pour que lintroduction du langage e~ des

proceacutedures algeacutebriques demeurent aiseacutement compreacutehensibles en soulignant eacuteventuelshy

lement ensuite que les mecircmes meacutethodes preacutesenteacutees sur un exemple qui certes ne les

requiert pas permettraient de reacutesoudre des problegravemes laquotregraves-compliqueacutesraquo devant

lesquels larithmeacutetique seule nous laisserait cois (document 2)

Le passage de larithmeacutetique agrave lalgegravebre est dautant mieux marqueacute jusquau

deacutebut du XIXegraveme siegravecle que cest seulement avec leacutetude de lalgegravebre que sintroshy

duisent les laquosignes algeacutebriquesraquo Longtemps en effet larithmeacutetique les ignore(7)

(7) Voir Smith 1953 p 395

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Les auteurs donc en preacutesentant la solution algeacutebrique du problegraveme quils ont pris

pour mateacuteriel dinitiation preacutesentent aussi les signes usuels que nous appellerions

volontiers signes arithmeacutetiques soit + - X = etc Dans un manuel qui peut dater

de la fin du XVlllegraveme siegravecle et dont le premier chapitre sintitule opportuneacutement

laquoNotions preacuteliminaires sur le passage de lARITHMETIQUE agrave lALGEBRE explishy

cation et usage des signes algeacutebriquesraquo on Voit ainsi lauteur introduire soigneusement

les sjgnes daddition de soustraction de multiplication de division le signe deacutegaliteacute

et enfin linconnue x quil rapporte dailleurs agrave lusage adopteacute en arithmeacutetique agrave

propos du quatriegraveme terme - inconnu et agrave deacuteterminer - dune proportion (document

2)

2 Les raisonnemcn9 fort simples dans le problegravememiddot roposeacute ci~essus mais tregraves-compliqueacutes dans dautres se composant ell geacuteneacuteral dun certain nombre dexshypressio1s bull telle que ajouteacute egrave diminueacute de est eacutegal agrave lrc reacutep~teacutee5 freacutequemment et qui tiennent aux opeacuterashytions par lesquelles les grandeurs qui entrent dans 1eacuteshynonceacute de la question sont lieacutees entre elles il est isible quon abreacutegerait beaucoup en repreacutesentant chashycune de ces expressions par un signe et cest aussi ce quon fait comme il suit

Pour indiquer raddition on se sert du signe + qui sinilie plus

Pour la soustraction on se sert du signe - qui signifie moins

Pour la multiplicatiOnraquo on se sert du signe X bull eacutetui signifie multiplieacute par bull

Pour eacutecrire que deux quantiteacutes doivent ecirctre di~eacutees lune par lautre on place la seconde sous la premiegravere ~

et on les seacutepare par un trait ~ signifie 5 divis~ par 4shyEnfin pour marqu~rquedeuxquantj-~ ~ ~ont eacute~ales on ~

1l1et entte leurs expressions le signe = qui signifieeOaie~

Ces abreacuteviations quoique deacutejagrave tregraves-consideacuterabl~ ne linm~entpas encoreraquo car On est obligeacute demiddotdpeacuteter OUveRt

le nombre ci partager le nombre donneacute etc la pluspetite partie le nombre chercheacute etc ce qui alonge beaucoup A leacutegard des donnies lexpeacutedient qui sest offert le p-emier a eacuteteacute (le prendre pour les repreacutesenter des nombres dttermincs qui servent dexemple comme on ell use en arithm~tique mais la chose neacutetanl pas poshy5ible agrave leacutegard des nombres inconnus on ya substitueacute un signe de c nention qui a varieacute avec le temps_ On sest enirn accord~ il employerles lettres de lalphashybet presque touiours on se sert des derniegraveres bull comme en arithmeacutetique on met une x pour le quatriegraveme terme dune proportion dont on ne cODnakque les troill shypremiers et cest agravee lusage de ces divers signes quest reacutesulteacute rA~egravebre

DOCUMENT 2

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De mecircme dans ses Eleacutemens dalgebre (eacutedition de 1760) voit-on Clairaut qui double le

corps de son texte de notes marginales visant agrave eacuteclairer le lecteur sur leacutepisode en cours

(document 3) preacutesenter un agrave un ces nouveaux eacuteleacutements du discours matheacutematique

Pour mieux donner les principes de cette Science nous nl10ns reprendre la mecircme quef-shytion nous eacutecrire~i en langage ordinaire les raishyfonnemcns que lAlgecircbrifie tagraveit pour reacutefoudre fon Problecircme amp en caraeacuteleres Algtbriques ce qui lui 1ugraveffit deacutecrire pour aid~r fa meacutemoire

La plus petite ou la trolfieme part quelle quelle fait je middotlexprime par une feule letue quifera par exemple bullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbull x

La feconde fera parconfeacutequentxplus II) ce que jeacutecris ainfi bullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbull x + II) choififiagravent le figne +9uon prononceplus po~ deacuteligner lAddition des d(ux auantiteacutes entre lcfquelles on le place

Quant i la premiere part ou la plus grande comme elle furpa1fe la feconde de 1 8o elle fen exprimeacutee par bull bull bull bull bull bull bull~ -+ II) + 1 80

Ajoutant ces trois parts on aura bull bullbullbullbull bull bull bull 3 x + II) +1 1) + 180 ou en reacuteduifant bull bull bull bull bull bull bull bull bullbullbull 3 x + 410

Mais cette lomme des trois pans doit eacutegaler Le fagne= 89015 ce qui sexprime ainfi 3x+410=-~90marque) c- saliceacute employant le caraeacutelere = qUI fe prononce

eacutegal pour exprimer leacutegaliteacute des deux quantiteacutes entre lefquelles on le place

La quefiion par ce calcul efi donc changeacutee en une autre ougrave il sagit de trouver une quantiteacute dont le triple eacutetant ajouteacute avec fI deg fafle S90

one c(qula Trouver la reacutefolution de femblables Juemonslion e ~ e- ~ Il Il eacutefc d gJ1ileacute de c eu ce quon appe e r ou re une quanon ~eul quan- leacutequation dans ce cas-ciefi 3x+f10=890 IJ~~ reacutefout on lappelle ainfi parce quelle indique leacutegali~ une eacuteJqu(- teacute de deux quantiteacutes reacuteloudre cette eacutequation lIOn or - J1 1 1 dlquon rrou- C en trouver a va eur e mconnuex par cette nJ~valcur condition qu fon triTlellus 4-10 fatre ~90 de 1 mcon- 1 nue quclle bull rcnfermc Pour reacuteroudre cette eacutequation voici comshyReacutefolurion ment lAlgeacutehrifie raifonne amp comment il eacutecrit

de legravequa- fc raifc L fc cllion qui el[- es onneRlens quatlon a re ou re bullbullbull Erime le bullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbull 3x+4-10=890 Pblcme d Il agravepreacuteceacutedent m appren qu l Jaut aJouter bullbullbullbullbull 4 10 3 r

pour faire la comme de 890 donc 3 x font moindres que 890 de 41o ce que jeacutecris

LeC3rai- ainfi middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot3 x=890 -4-IO

tere -- in- Prenant le caraeacutelere - qui fe prononce moim tI~~taI pour faire reifouvenir que la quantiteacute quil preacute li~ cccedilde doit ecirctre retnDcheacutee de celle quil f~t

DOCUMENT 3

Meacutelhodo AIgcbriquc dexprimer le Probeumlmiddotmiddot me preacutelshydcnr

Le fagne indJque lacWilioa

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Bien entendu lintroduction des signes laquoalgeacutebriquesraquo degraves les eacuteleacutements darithshy

meacutetique qui va simposer deacutefinitivement au XIXegraveme siegravecle atteacutenue quelque peu la

marque formelle du passage de larithmeacutetique agrave lalgegravebre Mais la transition est toujours

souligneacutee elle participe de la rheacutetorique denseignement autour de la dialectique de

lancien et du nouveau que nous avons ailleurs preacutesenteacutee(8) Elle se coule alors en

dautres analyses et notamment dans une preacutesentation de lalgegravebre comme meacutemoire

permettant de conserver une trace des opeacuterations effectueacutees Proprieacuteteacute fort ancienneshy

ment noteacutee semble-t-il et de laquelle Clairaut - se situant il est vrai dans une persshy

pective plus didactique queacutepisteacutemologique(9) - fait mecircme deacutecouler linteacuterecirct et la

neacutecessiteacute de lalgegravebre(10)

Ainsi lalgegravebre soppose-t-elle agrave larithmeacutetique par une proprieacuteteacute qui lui donne

une puissance supeacuterieure Mais par lagrave dans un deuxiegraveme temps de la dialectique que

tissent les auteurs entre arithmeacutetique (lancien) et algegravebre (le nouveau) lalgegravebre

apparaicirct positivementmiddot comme laccomplissement de larithmeacutetique Sappliquant

agrave lorigine au mecircme corps de problegravemes elle est une arithmeacutetique deacutelivreacutee de lopaciteacute

et de loubli qui deacuterobent agrave nos yeux la structure des problegravemes eacutetudieacutes Elle est un

instrument supeacuterieur pour une tacircche semblable Elle est une arithmeacutetique universelle

- comme lappelle Newton - ou encore une arithmeacutetique geacuteneacuteraliseacutee comme le note

Poinsot un bon siegravecle plus tard en une deacutefinition quun auteur de manuel de la fin

du XIXegraveme - deacutebut du XXegraveme comme beaucoup dautres avant et apregraves lui reprend

agrave son comlte et propose agrave la meacuteditation ltles eacutelegraveves de collegravege laquoLalgegravebre eacuteleacutementaire

nest autre chose quune arithmeacutetique geacuteneacuteraliseacutee cest-agrave-dire eacutetendue des nombres

particuliers agrave des nombres quelconques et par conseacutequent des opeacuterations actuelles

quon exeacutecutait agrave des opeacuterations quon ne fait plus quindiquer par des signes de

(8) Voir Chevallard 1980b

(9) Il ne faut pas neacutegliger en effet la part de rheacutetorique dintention didactique que comporte ce genre de remarques

(10) Ayant preacutesenteacute - selon la technique didactique usuelle - la solution arithmeacutetique dun proshyblegraveme darithmeacutetique pour lui comparer ensuite la solution au moyen de lalgegravebre Clairaut eacutecrit en effet laquoCest vraisemblablement ainsi que les premiers Algeacutebristes ont raisonneacute quand ils se sont proposeacutes de pareilles questions sans doute quagrave mesure quils avanccedilaient vers la solution dune question ils chargeaient leur meacutemoire de tous les raisonnemens qui les avaient conduits au point ougrave ils en eacutetaient amp lorsque les questions neacutetaient pas plus compliqueacutees que la preacuteceacutedente il ny avait pas de quoi se rebuter mais degraves que leurs recherches ont offert plus dideacutees agrave retenir il a fallu quils cherchassent une maniegravere plus courte de sexprimer quils eussent quelques lignes simples avec lesquels quelquavanceacutes quils fussent dans la solution dun problegraveme ils pussent voir dun coup dœil ce quils avaient fait amp ce quil leur restait agrave faire Or lespegravece de langage particulier quils ont imagineacute pour cela cest lAlgegravebreraquo (Eleacutemens dAlgebre troisiegraveme eacutedition Paris 1760 p 3)

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maniegravere que dans cette premiegravere speacuteculation de lesprit on songe moins agrave eacutetablir le

reacutesultat de ces opeacuterations successives quagrave egraven tracer le tableau et agrave deacutecouvrir ainsi des

formules pour la solution de tous les problegravemes du mecircme genreraquo (11)

IV -LE DEVENIR DE LARITHMETIQUE DANS LA REFORME

En France la reacuteforme des matheacutematiques modernes est mise en œuvre agrave partir

de la fin des anneacutees soixante elle touche les classes de sixiegraveme et de seconde agrave la

rentreacutee 1969 les classes de cinquiegraveme et de premiegravere en 1970 les classes de quatriegraveme

et de terminale en 1971 enfin en 1972 la classe de troisiegraveme Cest eacutevidemment dans

ce cadre densemble que le pheacutenomegravene eacutetudieacute ici doit ecirctre situeacute Du point de vue qui

nous occupe cette reacuteforme reacutealise un changement profond dans lorganisation du

corpus matheacutematique enseigneacute Le programme reacuteformeacute de la classe de quatriegraveme

comporte quatre titres Les deux derniers sont consacreacutes agrave la geacuteomeacutetrie( 12) Les

deacuteux premiers titres concernent lun les relations lautre les nombres deacutecimaux et

lapproche des reacuteels (annexe 3) Formellement donc la structuration arithmeacutetique

algegravebre agrave disparu comme nous le notions plus haut Que sest-il passeacute

Pour reacutepondre agrave cette question il est bon dexaminer rapidement les contenus

des corpus traditionnels darithmeacutetique et dalgegravebre laquoeacuteleacutementairesraquo (en eacutecartant un

instant les consideacuterations de niveaux dans le cursus denseignement) Larithmeacutetique

dabord Dans un manuel publieacute en 1934 agrave lintention du cours moyen et du cours

supeacuterieur du premier degreacute(13) on trouve ainsi une premiegravere partie portant sur la

numeacuteration les quatre opeacuterations les problegravemes dapplication de ces notions dont des

problegravemes laquopratiquesraquo (achat et vente agrave la douzaine agrave la centaine problegravemes de

partage achats doubles successifs etc) puis des laquonotions de geacuteomeacutetrieraquo (circonshy

feacuterence etc) enfin un chapitre sur les nombres laquocomplexesraquo(14) La seconde partie

(11) Feacutelicien Girod Traiteacute dalgegravebre eacuteleacutementaire theacuteorie et pratique agrave lusage des lyceacutees des collegraveges et de tous les eacutetablissements dinstruction (premier cycle) vingt deuxiegraveme eacutedition Paris sd p 9

(12) Nous les laisserons de cocircteacute ici

(13) Arithmeacutetique par une commission dinstituteurs Vannes deuxiegraveme eacutedition 1934

(14) Rappelons quon appelait nombre complexe laquoun nombre concret composeacute de plusieurs parties se rapportant agrave des uniteacutes diffeacuterentes et dont le systegraveme de numeacuteration nest pas deacutecimal Ainsi 3 ans 4 mois 15 jours 43 degreacutes 18 minutes 17 secondes sont des nombres complexesraquo (F J Eleacuteshyments darithmeacutetique Tours et Paris 1913 p 182) laquoOn dit quun nombre est concret quand il est accompagneacute du nom de luniteacuteraquo comme dans laquovingt arbres six billes cinq francs soixante centimesraquo (dapregraves lArithmeacutetique citeacute~ dans la note 13 p2)

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intituleacutee Systegraveme meacutetrique est consacreacutee aux mesures (surfaces volumes poids

capaciteacutes~ etc) Enfin une troisiegraveme partie traite agrave la fois de la divisibiliteacute des fracshy

tions des rapports et proportions et des regravegles (de trois etc) ainsi que de leurs

applications agrave des problegravemes pratiques (caisse deacutepargne actions et obligations etc)

Dune maniegravere plus deacuteveloppeacutee et sadressant agrave un niveau plus eacuteleveacute du cursus (matheacuteshy

matiques eacuteleacutementaires) un ouvrage de 1913(15) propose un plan qui nest guegravere diffeacuteshy

rent le 1ivre 1 traite de la numeacuteration et des opeacuterations le livre Il des proprieacuteteacutes

des nombres (divisibiliteacute plus grand commun diviseur nombres premiers etc)

le livre III des fractions le livre IV des puissances et des racines le livre V des

mesures (systegraveme meacutetrique monbres complexes) le livre VI des rapports et de leurs

applications (regravegles de trois de socieacuteteacute etc) le livre VII des approximations numeacuteshy

riques (opeacuterations abreacutegeacutees erreurs relatives)

Corpus traditionnel- agrave quelques ajouts pregraves - acircvons-nous dit Dans lArithshy

meacutetique de Jacques Pelletier du Mans (1554) le premier livre traite des nombres et

des opeacuterations de la regravegle de trois directe et laquorebourseraquo le deuxiegraveme livre des

fractions le troisiegraveme livre de lextraction de la racine carreacutee le quatriegraveme et dernier

livre de la regravegle double de faux (de fausse position) de la regravegle de socieacuteteacute etc Cette

organisation de larithmeacutetique qui na pas surveacutecu dans notre enseignement geacuteneacuteral

se retrouve aujourdhui dans les peacuteripheacuteries ou dans les marges du systegraveme denseishy

gnement officiel agrave linteacuterieur comme dans certains enseignements professionnels

agrave lexteacuterieur comme en teacutel manuel darithmeacutetique(16) adresseacute aux laquoautodidactesraquo

qui se publie aujourdhui encore au Royaume Uni (dans le cadre dune collection

intituleacutee Teach Yourself Books) simplement mis agrave jour preacutesenteacute au lecteur comme

laquofully decimalised and metricatedraquoil comporte agrave cocircteacute des parties traditionnelles

(nombres et opeacuterations factorisation des nombres fractions rapports et proportions

inteacuterecircts simple et composeacute etc) un chapitre sur la taxe agrave la valeur ajouteacutee ainsi

quun chapitre sur les machines agrave calculer et la nUJ1eacuteration binaire Un bon teacutemoigage

de leacutetat deacutequilibre atteint agrave la veille de la reacuteforme nous est fourni par leacutedition de

1958 de lEncyclopeacutedie autodidaetique Quillet en sa partie Arithmeacutetique dont la

table des matiegraveres est reproduite plus loin (annexe 4a)

Cest ce corpus traditionnel qui vole en eacuteclat deacutefinitivement - car son eacuterosion

eacutetait fortement avanceacutee - avec la reacuteforme du deacutebut des anneacutees soixante-dix(17)

Mais lexplosion de la neacutebuleuse arithmeacutetique ne signifie pas pour autant la disparition

(15) Voir la note 13

(16) LC Pascoe Arithmetic Decimalised and Metricated Houdder and Stoughton Londres 1971

(17) Cette rupture - eacutevidente - recouvre pourtant agrave un niveau plus profond des eacuteleacutements attestant la contiguiumlteacute nous y viendrons plusIoin

60

de larithmeacutetique Les parties traditionnelles de ce corpus libeacutereacutees de leur inteacutegration

au sein dune organisation multiseacuteculaire du savoir enseigneacute vont deacutesormais connaicirctre

des destins relativement indeacutependants Le noyau essentiel - les nombres et les opeacuterashy

tions sur les nombres - qui constituait la base du systegraveme anteacuterieur non seulement

ne disparaicirct pas mais trouve une extension soudaine associeacutee agrave une promotion en

digniteacute matheacutematique alors que en effet leacutetude laquoarithmeacutetiqueraquo des nombres ne

traitait anciennement que des nombres entiers et des fractions il seacutetablit deacutesormais

une progression dans leacutetude des structures numeacuteriques qui selon la logique de la

filiation des structures populariseacutee par leacutecole bourbakiste est penseacutee ideacutealement

comme allant sans solution de continuiteacute des nombres entiers aux nombres reacuteels en

passant par les nombres relatifs les nombres deacutecimaux et les rationnels Dans cet

ensemble progressivement deacuteveloppeacute les fractions viendront occuper - dans le cadre

du programme de 1978 pour la classe de quatriegraveme qui faisait suite aux laquoexcegravesraquo du

programme de 1971 - une place de toute premiegravere importance(18) La laquotheacuteorie des

nombresraquo cest-agrave-dire leacutetude de la factorisation des nombres du PGCD etc agrave

qui est reacuteserveacutee leacutetiquette darithmeacutetique figure elle au programme de la classe de

cinquiegraveme (et sy trouvera maintenue sans changement par le programme de 1977)

Seule la partie constitueacutee des laquoproblegravemes pratiquesraquo fait veacuteritablement les frais de la

modernisation et disparaicirct agrave peu pregraves complegravetement si lon excepte quelques vestiges

telle leacutetude des laquosuites finies proportionnellesraquo en classe de sixiegraveme (qui prolonge un

thegraveme abordeacute au CM2) - eacutetude eacuteventuellement conccedilue dailleurs comme preacuteparant

mais de longue main agrave la notion dapplication lineacuteaire inscrite au programme de la

classe de troisiegraveme(19)

Ce qui disparaicirct en fait agrave lexception notable - reacutepeacutetons-Ie - des problegravemes 1

pratiques ce nest pas larithmeacutetique (mecircme si le mot lui-mecircme ne renvoie plus quagrave

lune des parties du corpus arithmeacutetique traditionnel) mais la dialectique de larithshy

meacutetique et de lalgegravebre Or cet affaissement dune structuration traditionnelle va

moins peser sur la composante arithmeacutetique que sur la composante algeacutebrique des

matheacutematiques enseigneacutees au collegravege cest lalgegravebre (entendue au sens traditionnel

de ce mot agrave ce niveau des eacutetudes matheacutematiques) qui va se trouver le plus violemment

mise en cause par les changements opeacutereacutes

(18) laquoEn calcul notent les Instructions officielles la nouveauteacute reacuteside dans laccent qui est mis sur la notion de fraction ( )gtgt (Ministegravere de lEducation Matheacutematiques classes des collegraveges 6egraveme 5egraveme 4egraveme 3egraveme 1980 p 29)

(19) Les manuels correspondant aux programmes de 1978 redonneront une place au laquoproblegravemes concretsraquo ceux-ci y apparaissent toutefois essentiellement agrave titre dapplications non de problegravemes permettant la construction et lappropriation des notions agrave enseigner

61

v - UNE ALGEBRE INTROUVABLE

Il nous faut maintenant rappeler rapidement ce queacutetait lancienne organisation

du corpus algeacutebrique Formeacute de maniegravere eacutevidemment plus tardive que le corpus arithshy

meacutetique le corpus algeacutebrique atteint pourtant assez vite une stabiliteacute remarquable

qui le laisse agrave peu pregraves inchangeacute sur deux siegravecles et plus Ecartant le traiteacute dalgegravebre

publieacute par Newton sous le titre dArithmetica Universalis(20) fort instructif agrave tous

eacutegards mais relativement atypique consideacuterons louvrage dEuler deacutejagrave mentionneacute

Son tome premier comporte quatre sections La premiegravere traite laquodes diffeacuterentes

meacutethodes de calcul pour les grandeurs simples ou incomplexesraquo cest-agrave-dire du calcul

sur les nombres mais sur les nombres (que nous appelons) relatifs dont lintroduction

fait un avec laquolexplication des Signes + (Plus) et - (Moinsraquogt (chapitre 10 et sur les

nombres fractionnaires Les quatre opeacuterations arithmeacutetiques les racines les puissances

mais aussi les laquoquantiteacutes impossibles ou imaginairesraquo ainsi que les logarithmes y sont

longuement preacutesenteacutes La deuxiegraveme section traite laquodes diffeacuterentes meacutethodes de calcul

pour les grandeurs composeacutees ou complexesraquo cest-agrave-dire du calcul algeacutebrique la

troisiegraveme laquodes rapports et des proportionsraquo la quatriegraveme laquodes eacutequations algeacutebriques

et de la reacutesolution de ces eacutequationsraquo Quant au tome second il est consacreacute agrave laquolanalyse

indeacutetermineacuteeraquo que nous nexaminerons pas ici(21) Cette organisation subit eacutevidemshy

ment dune part des variations en fonction du niveau viseacute dautre part une eacutevolution

dans le temps qui conduit dans la premiegravere moitieacute du XXegraveme siegravecle agrave un ensemble

relativement stabiliseacute dont agrave la veille du grand mouvement de reacuteforme lEncyclopeacutedie

Quillet deacutejagrave citeacutee nous fournit une version commode (annexe 4b)

En ce qui concerne tout au moins les deacutebuts de lalgegravebre trois thegravemes apparaisshy

sent essentiels les nombres algeacutebriques (cest-agrave-dire les nombres relatifs) le calcul

sur les expressions algeacutebriques les eacutequations algeacutebriques Que deviennent-ils dans le

cadre de la reacuteforme La difficulteacute de la reacuteponse agrave apporter tient au moins en partie

au fait que signifiants et signifieacutes se trouvent alors dissocieacutes redistribueacutes et en ce qui

concerne les contenusmiddot couleacutes en des cadres conceptuels nouveaux qui rompent les

anciennes concordances Il en est ainsi notamment pour les nombres algeacutebriques

bull qui perdent leur qualificatif comme on la noteacute pour devenir nombres relatifs Sous

cette eacutetiquette la place qui leur est deacutevolue nest pas diminueacutee mais au contraire

majoreacutee (et en cela ils profitent du mouvement geacuteneacuteral damplification dont beacuteneacuteficient

(20) Publieacutee (en latin) en 1707 mais eacutetablie sur la base de cours donneacutes par Newton une trentaine danneacutees auparavant lArithmeacutetique universelle paraicirct en franccedilais en 1802

(21) Lorsque la question eacutetudieacutee laquone fournit pas autant deacutequations quon est obligeacute dadmettre dinconnues il y en a qui restent indeacutetermineacutees et qui deacutependent de Il9tre volonteacute et cela fait quon nomme ces sortes de questions des problegravemes indeacutetermineacutes Ils font le sujet dune branche particuliegravere de lanalyse et on appelle cette partie lAnalyse indeacutetermineacuteeraquo (Euler op cit tome second pp 1-2)

62

les structures numeacuteriques) Leur eacutetude inscrite au programme de la classe de sixiegraveme

est deacuteveloppeacutee en classe de cinquiegraveme dans les programmes de ces deux classes ils

constituent un titre agrave part entiegravere aussi bien en 1969-1970 quen 1977-1978

Il en va autrement du calcul algeacutebrique et de leacutetude des eacutequations Ces quesshy

tions formaient traditionnellement le cœur de lalgegravebre eacuteleacutementaire Dans un Manuel

dalgegravebre publieacute en 1827 laquoagrave lusage des personnes priveacutees du secours dun maicirctreraquo

lauteur(22) ouvrait sa premiegravere leccedilon par les lignes suivantes

1 Lalgegravebre est lart dexeacutecuter sur des quantiteacutes quelconques au moyen

des signes geacuteneacuteraux toutes les opeacuterations de larithmeacutetique et de repreacutesenter agrave laide

des mecircmes signes toutes les relations entre ces quantiteacutes

Il La partie de lalgegravebre qui enseigne les regravegles pour exeacutecuter les opeacuterations

arithmeacutetiques sur des quantiteacutes quelconques se nomme calcul litteacuteral

III La partie de lalgegravebre qui traite de la maniegravere de repreacutesenter agrave laide

de signes les relations entre les quantiteacutes se nomme calcul par eacutequation

IV On verra dans la suite que dans le calcul par eacutequation on a sans cesse

besoin du calcul litteacuteral cest donc par celui-ci quil faut commencer

Cest cet ensemble (calcul algeacutebrique eacutequations algeacutebriques) qui va se trouver

fortement minoreacute dans les programmes reacuteformeacutes Pour ne donner ici de cette brutale

deacuteflation quune seule illustration on a reacuteuni dans lannexe 5 (dont on voudra bien

excuser la longueur) les listes dexercices relatives agrave la multiplication dexpressions

algeacutebriques dune part (a b) dans deux manuels dancienne maniegravere(23) dautre part

(c) dans un manuel consideacutereacute comme de niveau eacuteleveacute(24) conforme au programme de

1971 la confrontation est eacuteloquente

Le terme dalgegravebre a disparu des programmes (agrave lexception du programme de

la classe de troisiegraveme) nous lavions noteacute Mais avec le mot la chose elle-mecircme se

trouve emporteacutee lalgegravebre disparaicirct 1 Cet eacutevanouissement est en fait seacutelectif les

parties laquonumeacuteriquesraquo de lalgegravebre reacutesistent bien Les nombres relatifs sont un eacuteleacutement

essentiel de lenseignement de la classe de cinquiegraveme Les fractions un temps mises agrave

leacutecart (en 1971) seront ensuite reacuteinstalleacutees comme eacuteleacutement central du programme de

(22) M Terquem auteur dun Manuel dalgegravebre ou exposeacute eacuteleacutementaire des principes de cette science publieacute agrave Paris en 1827 La citation qui suit se trouve pp 1middot2

(23) Il sagit (a) du manuel de F Girod (voir ci-dessus note 11) et (b) du manuel de Lebosseacute et Heacutemery pour la classe de quatriegraveme dans son eacutedition de 1962 (Fernand Nathan Paris)

(24) Il sagit du manuel de la collection Queysanne-Revuz seacuterie rouge dans son eacutedition de 1973 (Fernand Nathan Paris)

63

quatriegraveme (en 1978) Ce sont les parties laquoalgeacutebriquesraquo de lalgegravebre - calcul et eacutequations

algeacutebriques - qui pacirctissent de la modernisation Plusieurs raisons semblent devoir

expliquer ce pheacutenomegravene Avanccedilons dabord une raison proprement didactique qui a

pu jouer neacutegativement Le calcul algeacutebrique agrave lorigine simple preacuteliminaire agrave leacutetude

des eacutequations eacutetait en fait devenu prolifeacuterant comme on peut en juger notamment sur

le document de lannexe 5a eacutetouffant progressivement les autres parties du corpus

enseigneacute Il eacutetait sain que lon tente den limiter le deacuteveloppement et la tendance

anteacuterieure agrave la reacuteforme proprement dite allait en effet dans ce sens les manuels avaient

commenceacute le travail deacuteflationniste (comme le montre la comparaison des documents a

et b de lannexe 5) Mais ce type de pheacutenomegravene qui constitue au demeurant davantageacute

la regravegle que lexception dans leacutevolution du texte denseignement (que lon songe ici agrave

la deacutegeacuteneacuterescence de leacutetude des eacutequations du second degreacute en la fameuse laquotrinocircmiteraquo

qu i frappait agrave peu pregraves dans le mecircme temps les classes du second cycle) et la reacuteaction

quil devait susciter allaient rencontrer une autre force de changementsans doute bien

plus puissante lapparition de lalgegravebre laquomoderneraquo sur laquelle il faut sarrecircter un

instant

Dans leurs Eleacutements dalgegravebre moderne dont la quatriegraveme eacutedition paraicirct en

1961 (la premiegravere eacutetant de 1956) A Lentin et J Rivaud(25) qui situent lapparition

de lalgegravebre moderne vers 1910 inscrivent celle-ci dans le prolongement de larithshy

meacutetique et de lalgegravebre traditionnelles (mais sans les nommer) laquoA leacutecole primaire

eacutecriven~-ils lenfant raisonne sur des collections et des grandeurs concregravetes dont il

deacutegage progressivement la notion de nombre abstrait indeacutependant de la nature des

choses compteacutees ou mesureacutees Lenseignement du second degreacute apprend agrave ladolescent

la manipulation des x et des y indeacutependamment des nombres que ces lettres repreacuteshy

sentent Un pas de plus dans le calcul et cest le calcul sur les polynocircmes puis la comshy

position des transformations formelles Eh bien lalgegravebre moderne formera leacutetudiant

agrave raisonner sur les proprieacuteteacutes des opeacuterations indeacutependamment des eacuteleacutements (nombres

polynocircmes transformations) sur lesquels sexercent ces opeacuterationsraquo (26) En fait

les parties traditionnelles de lalgegravebre (calcul et eacutequations algeacutebriques) sont bien inteacuteshy

greacutees dans lalgegravebre moderne ainsi preacutesenteacutee Mais elles nen constituent ni lessentiel

ni surtout les deacutebuts Les auteurs citeacutes dont louvrage est constitueacute de cinq livres

consacrent leur dernier livre agrave des laquocompleacutements sur les groupes et sur les eacutequations

algeacutebriquesraquo (un deacuteveloppement plus ample de la question eucirct conduit agrave la theacuteorie

des extensions de corps et agrave la theacuteorie de Galois dont les rudiments sont preacutesenteacutes

dans ce livre) Ainsi le traitement des eacutequations algeacutebriques se trouve-t-i1 rejeteacute fort

loin dans lexposeacute moderne de lalgegravebre Le calcul algeacutebrique quant agrave lui se retrouve

(25) A Lentin et J Rivaud Eleacutements dalgegravebre moderne Vuibert Paris quatriegraveme eacutedition 1961

(26) Loc cit pp VmiddotVI

64

Ici dans le livre Il sous les espegraveces de leacutetude des anneaux de polynocircmes Mais le

veacuteritable commencement de lalgegravebre moderne cest leacutetude des structures (lois de

composition groupe anneau corps) qui occupe tout le livre 1 Lhonnecircte homme

qui en 1958 encore sinitiant agrave lalgegravebre se voyait proposer nombres algeacutebriques

expressions algeacutebriques eacutequations etc se verra offrir quelques anneacutees plus tard

relations binaires eacuteleacutement neutre etc Le chapitre Algegravebre que M Glaymann eacutecrit

au deacutebut des anneacutees soixante-dix pour un ouvrage adresseacute au grand public (il paraicirct

dans la collection laquoLes dictionnaires du savoir moderneraquo) est agrave cet eacutegard significatif

loi de composition eacuteleacutement neutre commutativiteacute eacuteleacutement symeacutetrique associativiteacute

eacuteleacutement reacutegulier distributiviteacute et encore structures monoiumlde groupe sous-groupe

groupe cyclique morphisme de groupes anneau anneau integravegre corps etc en sont les ma icirctres-mots(27)

Il se produit donc en quelques anneacutees une veacuteritable substitution dobjet dont

le texte denseignement reccediloit bientocirct la marque les programmes reacuteformeacutes de sixiegraveme

cinquiegraveme et quatriegraveme comportent tous un titre Relations et le programme de

quatriegraveme introduit les notions de groupe et de division dans un groupe qui conduisent

agrave examiner leacutequation ax = b dans le groupe multiplicatif des reacuteels non nuls Le calcul

algeacutebrique est recircduit agrave la portion congrue il fait lobjet du point 4 du titre Il du programme (annexe 3) Leacutetude des eacutequations conformeacutement au plan moderne

dexposition de lalgegravebre est deacutechue de ses titres et se trouve repousseacutee en classe de

troisiegraveme

VI - LALGEBRE SANS ALGEBRE

La situation creacuteeacutee par la reacuteforme autour de 1970 consacre la promotion des

structures numeacuteriques (agrave cocircteacute du geacuteomeacutetrique dont nous ne parlerons pas ici) en

mecircme temps quelle reacutealise une eacutevidente inflation theacuteorique agrave propos du numeacuterique

comme du geacuteomeacutetrique Cest ce theacuteoricisme qui apregraves avoir susciteacute dabord un vif

enthousiasme se trouvera en butte agrave une multitude de critiques qui conduiront agrave

la reacutedaction des programmes de 1977-1978 actuellement en vigueur La focalisation

du deacutebat se fait sur la maniegravere de traiter les contenus - avec notamment le rej~t

du laquopurismeraquo qui impreacutegnait lesprit de la reacuteforme preacuteceacutedente(28) - davantage que

sur la distribution des contenus eux-mecircmes et sur la structuration et leacutequilibre des

diverses parties du corpus enseigneacute Celui-ci apparaicirct en conseacutequence plus comme

(27) Maurice Glaymann Lalgegravebre in Les matheacutematiques Centre deacutetudes et de promotion de la lecture Paris 1973 pp 16-54

(28) Dans la preacutesentation deacutejagrave citeacutee des programmes de 1978 (voir la note 2 ci-dessus) leacutequipe de reacutedaction du Bulletin de lAPMEP deacutenonccedilait le purisme matheacutematique qui en fait laquoest un purisme dexposition non dapprentissage ou de fonctionnement qui na donc rien agrave faire dans le premier cycle ( )gtgt

65

une version laquodeacutegraisseacuteeraquo du corpus des anneacutees soixante-dix que comme une version

fondamentalement nouvelle agrave cocircteacute du geacuteomeacutetrique que lon entend laquodeacutesaxiomatiserraquo

le numeacuterique y demeure preacutedominant mecircme si lon ny inclut plus les mecircmes mateacuteshy

riaux Les nombres reacuteels en effet sont les grands perdants du reacuteameacutenagement opeacutereacute

Et ce sont les fractions et les rationnels qui venant occuper la place ainsi libeacutereacutee dans

le programme de quatriegraveme constituent maintenant la piegravece centrale de leacutetude du

numeacuterique - les nombres relatifs (entiers et deacutecimaux) conservant en classe de cinshy

quiegraveme le rocircle preacuteeacuteminent qui leur eacutetait anteacuterieurement reconnu

Il faut en ce point dire quelques mots de la promotion donneacutee dans ces proshy

grammes aux fractions et aux rationnels Pour des raisons dans lesquelles nous nentreshy

rons pas ici les fractions (associeacutees aux rapports et aux proportions) eacutetaient traditionshy

nellement tirailleacutees entre larithmeacutetique la geacuteomeacutetrie et degraves la naissance du corpus

algeacutebrique lalgegravebre elle-mecircme Preacutesentant ses Eleacutemens dAlgebre Clairaut ne manque

dailleurs pas de faire connaicirctre au lecteur lembarras ougrave cette question la tenu

laquojavois dabord compteacute donner dans le mecircme livre eacutecrit-il tant les Eleacutemens dArithshy

meacutetique que ceux dAlgebre amp je naurois pas manqueacute alors de traiter des proportions

plus agrave fond que je nai fait dans mes Eleacutemens de Geacuteomeacutetrie raquo Bien entendu en passant de larithmeacutetique agrave lalgegravebre on passait aussi des fractions arithmeacutetiques

(rapports dentiers cest-agrave-dire dentiers naturels) aux fractions algeacutebriques (rapports

dentiers laquoalgeacutebriquesraquo cest-agrave-dire relatifs) et aux fractions rationnelles (rapports

de polynocircmes) Mais ces reprises sont significatives de linteacuterecirct didactique accordeacute

au thegraveme les fractions constituent un sujet de choix pour lenseignement

Comme on la rappeleacute(29) laquolaccent qui est mis sur la notion de fractionraquo

constitue selon les termes mecircmes des Instructions relatives au programme de quatriegraveme

de 1978 leacuteleacutement de laquonouveauteacuteraquo de ce programme Nouveauteacute dantique meacutemoire 1

Henri Lebesgue presque un demi-siegravecle plus tocirct avait fermement inviteacute les professeurs

agrave se deacutebarrasser de ce monstre du Loch Ness matheacutematique laquo on sera bien je pense

daccord avec moi eacutecrivait-il (30) pour deacuteclarer que marier des 22iegravemes et des 37iegravemes

est un martyre que nous infligeons aux gosses de douze ans par pur sadisme sans

aucune raison dutiliteacute comme circonstance ateacutenuanteraquo Mais il ajoutait aussitocirct

laquoJentends tous les professeurs protester Les uns parce que les fractions fournissaient

dinnombrables exercices pour leurs jeunes eacutelegraveves apregraves un moment deffroi ceux-ci

sapercevront quils ne manqueront jamais dexercices La plainte des autres meacutemeut

(29) Voir la note 18

(30) Dans La mesure des grandeurs (Albert l3lanchard Paris 1975) p 25

66

davantage et pour la veacuteriteacute je la formule moi aussi laquoSupprimer dans la classe de

matheacutematiques la theacuteorie des fractions cest supprimer un chapitre admirable Le

seul peut-ecirctre parmi ceux qui nous restent qui ne soit pas lagrave uniquement pour son

utiliteacute immeacutediate et qui donne le sentiment de la beauteacute pureraquoraquo(31) Or cette admirable

construction devient dans le cadre des matheacutematiques modernes plus admirable

encore ou disons plus subtile le maniement sans complexe des fractions fait place

agrave une ontologie raffineacutee dans laquelle les fractions devenues couples de nombres

ne sont plus - en theacuteorie plus quen pratique bien sucircr - que le mateacuteriau de la consshy

truction des rationnels classes deacutequivalence de fractions Avrai dire cette preacutesentation

moderne neacutetait guegravere favoriseacutee par le programme de 1971 (dans lequel les reacuteels faisaient

directement suite aux deacutecimaux les rationnels neacutetant alo~s que des reacuteels particuliers

les quotients dentiers) Mais le programme de 1978 lui donne une nouvelle chance

et quelques manuels impavides la mettent en œuvre (document 4a) Cette perspective

constructiviste peut en fait ecirctre aiseacutement eacuteviteacutee au profit dune conception reacutealiste

(celle-lagrave mecircme que le programme de 1971 poussait en avant les reacuteels eacutetant supposeacutes

donneacutes - ils eacutetaient laquoconstruitsraquo dans le programme de 1971 - un rationnel est un

reacuteel qui peut seacutecrire comme quotient dentiers) et la plupart des manuels utilisent

cette possibiliteacute (document 4b) conceptuellement et techniquement moins difficile

et sans doute plus proche de la repreacutesentation du nombre qui est effectivement celle

des eacutelegraveves et mecircme du laquoworking mathematicianraquo Mais le souci de purisme na pas

disparu le goucirct de la laquorigueurraquo (sic) conduit chez quelques-uns (document 4c) agrave une

veacuteritable confusion sur le sens du signe deacutegaliteacute (qui ne signifie en principe nullement

que les deux membres de leacutegaliteacute sont des expressions identiques - formellement

ou syntaxiquement - ce qui interdirait deacutejagrave deacutecrire que 6 = 2 X 3 mais que ce quils

deacutesignent sont une seule et mecircme chose le signe deacutegaliteacute ne signifiant rien dautre

quune identiteacute seacutemantique) Cela dit le problegraveme - eacuteleacutegamment mais coucircteusement

reacutesolu par le moyen des classes deacutequivalence - existait avant les matheacutematiques

modernes et continue dexister mais le corpus ancien le traitait (inconsciemment )

avec une grande discreacutetion (document 4d) en distinguant chaque fois quil eacutetait

neacutecessaire la fraction (consideacutereacutee alors implicitement comme eacutecriture agrave savoir comme

rapport) et la valeur de la fraction (soit le nombre - rationnel - deacutesigneacute par cette

eacutecriture) Quoi quil en soit tout ce jeu laisseacute autrefois implicite et plus ou moins

fortement expliciteacute aujourdhui participe de ladmirable construction des fractions

qui seacuteduit tant les professeurs comme dit Lebesgue

(31) Ibid pp 25-26

67

Nombres rationnels

Ensemble ltC

RAPPELONS

Dans lensemble T des fractions nous avons deacutefini la relation JI suivante

Quelles que soient les fractions ~ et ~ on a (~JI ~) (ad =bel

Nous avons eacutetabli (p 48) que JI est une relation deacutequivalence dans T

Pourtraduire que deux fractions ~ et ~ sont lieacutees par JI nous avons eacutecrit ~ = ~

et nous avons dit que les fractions ~ et ~ sont eacutequivalentes

DEacuteFINITION

Nous donnons la deacutefinition suivante

Ch8q cd6quiVIIlencbullbullbulllonJIst appeleacutee un nombre lIItlonnel

Nous deacutesignons par 0 lensemble des nombres rationnels

AEPAEacuteSENTAtfr DUN RAcircTIONNEL

Soient x un eacuteleacutement de 1 etmiddott une fraction eacuteleacutement de T

Nous disons que x et un nombre rationnel dont un repreacuteentant et ~ 1 et

aeulement si x est 1 clbullbullbullbull deacutequlvlence elon JI de 1 fraction i Le nombre ~tion~1 x est donc lensemble des fractions ~ eacutequivalentes agrave~ nous

avons x=~lcez deZmiddot ~=M Remarquons que toute fraction eacutequivalente agrave ~ est un repreacutesentant du nombre

rationnel x

CHAPITRE 6 ENSEMBLE Q 67

DOCUMEIIT 4eacute1

(Matheacutematiques4egraveme collection Monge 1978)

68

CHAPITRE 4 algegravebre

Ensemble 0 des nombres rationnels

1 Oeacuteflnitlon de lensemble C 4Notatlons fractionnaires dUn rationnel des rationnels

2prOPrieacuteteacutes de lensemble Q 50Peacuteratlons dans Q des rationnels

3Eacutecriture deacutecimale illimiteacutee 6comparaison de deux rationnels dun rationnel

1Deacutefinition de lensemble Q des rationnels

deacutefinition Un nombre reacuteel (ou reacuteel) est appeleacute DOIIlbre ratioonel (ou rationnel) sil est eacutegal agrave un quotient de deux entiers relatifs

Autrement dit Un reacuteel x est un rationnel sil existe un entier relatif a et un entier relatif non

nul b tels que x soit eacutegal au quotient ~

exemples bull Les quotients suivants sont des rationnels 2 -4 -3 248 57 -29704 0 37 0 359 iuml 78 -=5 -614 57 -1- 25 =iOOO =iuml4 -1-

lal -27815) Ibull Le ree r eg au quotIent 0013 est-I un ratIonne

- 2781 5 et 0013 ne sont pas des entiers relatifs

On sait que (proprieacuteteacutes des quotients de reacuteels)

-27815 -27815 x 104 -27815 0013 0013 x 104 =~

Conclusion r est un rationnel

DOCUMENT 4b

(Matheacutematiques4egraveme collection Durrande 1979)

69

I~ Lensemble ltD des nombres rationnels

1 bull DEacuteFINITION ET EXEMPLES

Dans le cnapltre 4 nous ayons rencontreacute des nombres QUon pouvait obtenir comme Quotient exact dun entir relatif fi par un entier relatif non nul b Ces nombres sappellent lesnombnts ratiOnneJa (ou plua simplement les rationnels) Ils sont r8Qreacutesnteacutes par des fractions ainsi

exemples de fractions repreacuteslitntant x Nombre rationnel x -2 -8 -18lentler relatif -2 -9- -L shy1 3 -1 7 35 -7le deacutecimal rlatlf 35 Ji shy2 4 10 -=2 ~ Q EumlL shyIe ratlonn1 i 3 8 30 -3

Reepitullfflon des prlnc1es deacutetlnltlons Otlnitlo Soit un entIer ratatlf quelconque et soit b un entIer reltlf non nuL

11 LA couple (e bJ eacutecrit sous i fonne appellela fractIon d num

teur bull et de deacutenominateur b 2J Cette fraction retrisente le quotient ect de bull par b que lon not

aUAI bull On bull donc par deacuteflnltlon

bX~ bull JCb bullbull b b

31 On appelle nom rationnel tout nombre Que lon peut obtnir comme quotient euct dun entier relatif par un entlr relatif non nul

Attention 1La megravem notation est utiliseacutee pour deacutesignr deux cnoss diffeacuterentesb

le couple (II b) le Quotient exact de Il par b

Quand on eacutecrit il faut preacuteciser sU sagit de la fraction Ji (le couple (1 4 4raquo ou du rationshy4 4

nel 2i (Qui est eacutegal agrave 35) 4

le rationn est Anal au rationnel L4 ~~ 2

la fraction nest pas eacutegale agrave la fraction 1 ~ 2

(Puisque les couples (144) et (72) sont distincts)

Une convention commode

Pour eacuteviter cet Inconveacutenient nous conviendrons toujours Que dans les calculs deacutesinne le b

nombre rationnel Quotient exact d fi par b Ainsi nous pourrons eacutecrire

Ji =L =3S4 2

Quand vous voudrez parler du couple (14 4) il faudra preacuteciser bull la fraction c 4

DOCUMENT 4c

(Matheacutematiques classe de quatriegraveme collection Queysanne et Revus 1979)

70

SIMPLIFICATION DES FRACTIONS

i49 Simllifier une fraction cest la remplacer par une fraction ~e mais ayant des tenDes plus petits

ISO PROPRIEacuteTEacuteS FONDAMENTALES

10 On mesure deux rubans avec le sepagraveegraveme dune longueur donneacutee A B Lun mesure 2 sepagraveagravenes lautre 4 septiegravemes de luniteacute Il est eacutevident que le dewdagraveDe est double du premier

4 2 X 2 2 - --- - X 2 donc 777

Theacuteoregraveme L - Si OD mwdpUe le aDlDampateDr dune CractloD par aD JIOmbre la CracdoD eet muldpUeacutee par ce Dombre

2deg Un ruban mesure 5 sepagraveagravenes de la longueur AB un dewtiagravene ruban vaut S quato12Iumlagravenes de la mbe uniteacute

Un quatorziagravene eacutetant deux fois plus petit quun sepagraveagraveDe la dewdœe longueur est deux fois plus petite que la premiugravee S S S

------ 2 par suite 14 7 X 2 7

Theacuteoregraveme D - Si OD muldpUe le dacirclomiDateur cl1IDe bcdoD par 110 aombre la CracdoD eet diYileacutee par ce JIOmbre

3deg Soit la fraction _3 X 3_2S s s X 3 IS Elle ne c1uIage pas de valeur si nn mulagraveplie ses deux termes par 3 En dfet si on multiplie son numeacuterateur elle devient 3 fois plus grande si on multiplie son deacuteDominateur

elle devient 3 fois plus petiœ Par conseacutequent

Theacuteoregraveme DL - Si OD mwdpUe lee cleu termes daDO bcdoD par aD ~e DOmbre la ampactIoD ae chaage pu do valeur

On voit IJU- mIru gratukur fJGI la _ pat _ itrftniri tU frtJCtUgrave1fU U1IItU igalu

Corollaire - Si OD divise lee deux termee dlIDe CractiOD par aD mfme JIOmbre (ropkatucircm eacutetant possible) OD obdeat une bedoD eacuteplo agrave la premiegravere

Soit la fraction 18 dont les deux termes sont divisibles par 321

On peut eacutecrire 18 _ 6 x 3 21 7 x 3

et dapregraves le theacuteoragravene preacuteceacutedent _ 6 X 3 7 7 X 3

On a donc 18 3_ la fraction Il des termes plus petits que la fraction 18 dougrave la regravegle de simshy21 3 7 7 21

pli1ication des fractions

~ Regravegle - PD1lI simplifier _ fraaion an divis 11$ dIU umm pat 11II mIru 1ItmIbr

DOCUMENT 4d

Arithmeacutetique de lEncyclopeacutedie Quillet 1958

Fractions et rationnels en fait ne constituent pas seulement une admirable

construction matheacutematique ils composent en mecircme temps un objet didactique

inteacuteressant agrave bien des eacutegards La place de leacutelegraveve (cest-agrave-dire ce qui peut ecirctre requis

de leacutelegraveve agrave ce propos) y est nettement dessineacutee Lebesgue le soulignait judicieusement

le chapitre regorge dexercices dont la difficulteacute (cest-agrave-dire en gros la complexiteacute)

peut ecirctre finement gradueacutee La place de lenseignant elle aussi sy trouve preacutepareacutee

le professeur eacuteprouve toute sa speacutecificiteacute face agrave leacutelegraveve en tant quarchitecte et bacirctisshy

seur - fonctions dans lesquelles leacutelegraveve ne saurait lui disputer sagrave place - dune consshy

truction matheacutematiqueagrave la fois simple rigoureuse riche dont la complegravete transpashy

71

rence nest acquise quau prix de quelque subtiliteacute intellectuele nullement inaccessible

agrave leacutelegraveve mais relativement exigeante Toutefois il y a plus En un sens tout objet

de savoir didactiquement acceptable laisse voir deux laquoplacesraquo il doit contenir le

laquolieuraquo que leacutelegraveve viendra occuper (les tacircches que le contrat didactique lui assignera

en propre) il doit contenir aussi un lieu speacutecifiquement alloueacute agrave lenseignant Ce

marquage des places consubstanciellement lieacute au fonctionnement didactique du

savoir est un processus geacuteneacuteral que jai proposeacute(32) dappeler la topogeacutenegravese (du grec

topos lieu) Mais la dialectique topogeacuteneacutetique peut ecirctre plus ou moins resserreacutee plus

ou moins relacirccheacutee dans ce dernier cas (qui correspond comme jessaierai de lindiquer

plus loin agrave ce que nous voyons majoritairement se produire aujourdhui agrave propos de

lemploi du langage algeacutebrique) les eacutechanges entre eacutelegraveves et enseignant demeurent

pauvres la communication est distante parce que les uns et les autres ne se mesurent

pas aux mecircmes tacircches (le professeur deacutemontre une eacutegaliteacute litteacuterale leacutelegraveve lapplique

agrave des cas particuliers numeacuteriques) Avec les fractions une fois fixeacutee larchitecture

geacuteneacuterale de leacutedifice il en va autrement passeacutes les calculs les plus simples les calculs

qui ne sont pas triviaux pour leacuteiegraveve - tout en demeurant de lordre de ce qui peut

loyalemeacutent lui ecirctre demandeacute - ne le scgtnt quagrave peine moins pour le professeur Les

partenaires de linteraction didactique se rapprochent autour dune tacircche unique

jusquagrave sembler parfois unir leurs efforts agrave la recherche dune commune reacuteponse

Tout comme la geacuteomeacutetrie (qui soppose par cela et du seul point de vue didactique

deacutejagrave agrave lalgegravebre en geacuteneacuteral) les fractions constituent loccasion dune reacuteelle convishy

vialiteacute dans la classe Les distinctions qualitatives (marqueacutees par des tacircches de natures

diffeacuterentes) sestompent au profit de simples diffeacuterences quantitatives (lenseignant

va plus vite plus sucircrement mais il ne sait rien de plus que leacutelegraveve et ne fait rien de

plus que lui) Le groupe agrave la fois se rassemble gagne en coheacutesion et en mecircme temps

se diffeacuterencie continucircment sans que son identiteacute sy perde

1 y a lagrave quelques-unes des raisons didactiques qui expliquent la preacuteeacuteminence

de fagraveit de leacutetude des fractions dans les classes actuelles de quatriegraveme Or - et nous

faisons lagrave retour agrave notre sujet quen fait nous navions pas quitteacute - dans le vocabushy

lairedes enseignants les fractions font partie de lalgegravebre Mecircme si le programme

officiel nutilise pas le terme il semble que lusage se soit spontaneacutement creacuteeacute de nommer

laquoalgegravebreraquo dans la pratique de la classe ce qui nest pas geacuteomeacutetrie lalgegravebre cest

globalement lautre de la geacuteomeacutetrie Cet emploi peut-ecirctre irreacutefleacutechi du mot ne manque

pourtant pas de justificatifs Les heacutesitations historiques dont nous avons parleacute trashy

duisent aussi (par delagrave lopposition fractions de nombres arithmeacutetiques fractions de

nombres algeacutebriques) une reacutealiteacute qui perdure les fractions (dentiers) ne sont pas

(32) Voir Chevallard 1980b

72

de lalgegravebre au sens ougrave elles ne contiennent pas de lettres (les lettres sont essentielleshy

ment utiliseacutees par le professeur pour formuler les lois qui reacutegissent leur calcul) mais

elles relegravevent de llaquoalgeacutebriqueraquo en cela quelles sont le lieu dun jeu formel portant

sur des eacutecritures Elles offrent donc loccasion dune algegravebre sans algegravebre qui fait le

gros morceau de lalgegravebre aujourdhui enseigneacutee Il faut voir par quel cheminement

on en est venu lagrave

VII - LA DIALECTIQUE NUMERIQUEALGEBRIQUE

PoUr expliquer plus complegravetement et leacutevanouissement des parties algeacutebriques

de lalgegravebre et - correacutelativement - le come-back des fractions il nous faut compliquer

quelque peu le talJleau que nous avons traceacute jusquici A lopposition structurelle de

larithmeacutetique et de lalgegravebre correspondait - en principe - une dialectique fonctionshy

nelle entre numeacuterique et algeacutebrique Cest sur cette dialectique que nous devrons

dabord nous arrecircter un instant

Il faut pour cela prendre quelque recul Cette dialectique en effet existe

historiquement avant lalgegravebre (avant la construction dun langage algeacutebrique propreshy

ment dit) Les Grecs distinguent entre deux arithmeacutetiques larithmeacutetique vulgaire

ou logistique celle des calculateurs et larithmeacutetique laquopropre aux philosophesraquo

comme dit Platon cest-agrave-dire en gros la theacuteorie des nombres Les calculateurs cal~

culent Les arithmeacuteticiens eacutetudient la structure du numeacuterique Tous manipulent pour

cela un langage du numeacuterique~ mais tous ne lemploient pas aux mecircmes tacircches et ne

lui reconnaissent pas les mecircmes valeurs Dans larithmeacutetique pratique lanalyse du

numeacuterique procureacutee par le langage adopteacute est un moyen ordonneacute agrave un but opeacuterer

des deacutenombrements effectuer des calculs Si dans notre systegravememiddotactuel de numeacuteration

je deacutesire calculer 12 X 12 par exemple je nai besoin dautre analyse du nombre 12

que celle qui mest immeacutediatement donneacutee dans leacutecriture (deacutecimale) de ce nombre

(ch iffre des dizaines 1 chiffre des uniteacutes 2) Mais si comme le scribe du papyrus

Rhind je ne sais multiplier que par duplications successives et additions je devrai

recourir agrave une analyse moins immeacutediate du nombre 12 (qui ne mest pas offerte par

leacutecriture deacutecimale actuelle) Il me faudra observer que 12 = 4 + 8 et calculer ainsi(33)

1 12 2 24 4 48 8 96

(33) Voir Smith 1953 p 106

73

dougrave je deacuteduirai que 12 X 12 = 12 X (4 + 8) = 48 + 96 = 144 De telles manleres

de faire qui se rencontrent encore agrave des dates rapprocheacutees(34) apparaissent agrave lutilisashy

teur contemporain comme des survivances dun acircge imparfait Un bon systegraveme

numeacuteration-algorithmes de calcul en effet doit ecirctre tel que toute linformation requise

pour mettre en œuvre les algorithmes de calcul soit donneacutee dembleacutee avec les nombres

donneacutes eacutecrits dans le langage numeacuterique utiliseacute cest-agrave-dire soit apparente dans leacutecriture

mecircme de ces nombres En dautres termes un bon systegraveme numeacuteration-algorithmes

reacutecuse tout appel aux matheacutematiques fucirct-ce sous une forme apparemment anodine

Lusager dun tel systegraveme est eacutevidemment supposeacute pouvoir calculer que 4 + 8 = 12

(ce pour quoi le systegraveme est fait) mai~ le contrat dutilisation qui regravegle ses rapports

avec le systegraveme exclut quil ait agrave penser que 12 = 4 + 8 Paradoxalement peut-ecirctre

lun des effets et sans doute des buts (poursuivis de maniegravere plus ou moins intentionshy

nelle) de lactiviteacute matheacutematique est de proposer agrave lusage social des proceacutedures non

matheacutematiques obtenues par deacutematheacutematisation progressive de proceacutedures agrave lorigine

proprement matheacutematiques Le fait est banal et geacuteneacuteral les progregraves de leacutelectronique

me dispensent aujourdhui du bricolage auquel eacutetaient tenus les utilisateurs du poste

agrave galegravene

En fait le royaume du calcul numeacuterique est reacutegi par la loi de simplification

inteacuterioriseacutee en habitus(35) dont lune des clauses est constitueacutee par le principe

dachegravevement des calculs Selon ce laquoprinciperaquo lexpression laquo4 + 8raquo ne saurait en

calcul numeacuterique figurer comme reacuteponse le calcul agrave ce stade eacutetant laquoinacheveacuteraquo (36)

Lexpression laquo4 + 8raquo ne saurait ainsi ecirctre quune forme transitoire labile (parce que

quatre plus huit eacutegale douze) et nexiste pas plus dune maniegravere libre que latome

doxygegravene en dehors de la moleacutecule deg 2

Il en va tout autrement avec la tradition laquonobleraquo de la laquotheacuteorie des nombresraquo

Les Pythagoriciens au tout deacutebut de la science grecque eacutelaborent ainsi toute une

conception de la repreacutesentation laquogeacuteomeacutetriqueraquo des nombres soit une arithmo-geacuteoshy

meacutetrie(37) Consideacuterons par exemple les entiers impairs 5 et 7 Leurs repreacutesentations

(34) Ibid

(35) P Bourdieu deacutesigne par habitus des laquosystegravemes de dispositions durables structures structureacutees preacutedisposeacutees agrave fonctionner comme structures structurantes cest-agrave-dire en tant que principe de geacuteneacuteration et de structuration de pratiques et de repreacutesentations ( hgt (Bourdieu 1974 p 175)

(36) Les Instructions de janvier 1957 (sur lesquelles nous revenons plus loin) parlent explicitement de laquocalcul conduit jusquagrave son achegravevementraquo fait rare et remarquable car il est de la nature dun habitus de ne pas supposer lexplicitation des principes agrave lorigine de son efficace

(37) Sur larithmo-geacuteomeacutetrie des Grecs voir Michel 1959 pp 295-325

74

figureacutees peuvent ecirctre disposeacutees ainsi

o o o o o

o o o o o

o 0 5 7

Reacuteunissons ces repreacutesentations de la maniegravere suiyante

o o o o

o o o o

o 0

o 0

En les regroupant adeacutequatement il apparaicirct que la somme 5 + 7 est Lin multiple de

4 (plus preacuteciseacutement que 5 + 7 = 3 X 4) -1------------ -------------1

1 shy10 Oi iO 011 1 1 shyi i 1

- 1shyj j - 1

rO Oi iO1

O shy

i -_------------ [-------------1 iO Oi 1 i 1

Jo oi i

De plus si on laquocomplegraveteraquo le carreacute on voit apparaicirctre immeacutediatement que 5 + 7 est

une diffeacuterence de deux carreacutes (plus preacuteciseacutement que 5 + 7 = 43 - 22 )

o o o o

o o o o

o o x x

o o x x Ces monstrations qui au sens strict nont de force deacutemonstrative que pour les valeurs

numeacuteriques particuliegraveres traiteacutees ont en fait une valeur geacuteneacuterique comme les figures

(et les deacutemonstrations quelles permettent) en geacuteomeacutetrie on nest pas loin dune

deacutemonstration valable pour tous les couples dimpairs conseacutecutifs Nous pouvons

reacutetrospectivement admirer la finesse intellectuelle que linvention et lemploi de

telles proceacutedures supposent Mais nous pouvons aussi voir que notre langage algeacutebrique

actuel (creacuteeacute par Viegravete Descartes et quelques autres) sinscrit dans le prolongement

de cette analyse du numeacuterique tout en la deacutepassant en souplesse et en puissance

75

Sur le mecircme problegraveme aujourdhui nous obtenons par exemple ceci soient 2p - 1

et 2p + 1 deux impairs conseacutecutifs leur somme (2p - 1) + (2p + 1) = 4p est un

multiple de 4 et puisque 4p = (p + 1) - (p - 1)2 elle seacutecrit aussi comme une

diffeacuterence de deux carreacutes Le langage nOuveau permet dabord de formuler le problegraveme

dans sa geacuteneacuteraliteacute puis de le reacutesoudre de maniegravere eacutegalement systeacutematique

Le calcul numeacuterique utilise le langage numeacuterique pour son pouvoir deacutesignatif

eSSentiellement laquo34raquo et laquo075raquo ou encore laquo4 + 8raquo et laquo12raquo sont agrave cet eacutegard eacutequivashy lents puisquils deacutesignent le mecircme nombre (simplement laquo34raquo est une fraction laquonon

effectueacuteeraquo laquo4 + 8raquo une somme non effectueacutee) ils sont des noms diffeacuterents pour

un mecircme ecirctre matheacutematique Larithmeacutetique laquoalgeacutebriqueraquo au contraire distingue

ces noms parce que bien quils deacutesignent la mecircme chose ils ne montrent pas la mecircme

chose (ils napportent pas la mecircme information monstrative) agrave propos de lecirctre matheacuteshy

matique dont ils sont deux noms diffeacuterents (ltlt4 + 8raquo ou mieux laquo22 +23 raquo montre

que 12 est une somme de puissances de deux etc) Cest ainsi que au cœur mecircme

du langage numeacuterique sinsinue un clivage et pour tout dire une tension entre deux

modes de fonctionnement lefficaciteacute deacutesignative (propre agrave lusage calculatoire du

langage numeacuterique) tend agrave ignorer lagrave valeur monstrative de lexpression eacutecrite le

principe dachegravevement des calculs voue agrave leacutepheacutemegraverelesmiddotltltnoms intermeacutediairesraquo et

laquo4 + 8raquo devient ainsi laquo12raquo sans quaucune trace nous soit conserveacutee de lhistoire

de ce laquo12raquo Ali contraire le langage algeacutebrique - notamment parce quil est une

meacutemoire - vient permettre de conserver de meilleure faccedilon linformation monstrative

et surtout de faire apparaicirctre linformation monstrative pertinente le passage en

simplification de lexpression (2p - 1) + (2p + 1) agrave lexpression 4p fait apparaicirctre

que (2p - 1-) + (2p+ 1) deacutesigne un nombre multiple de 4 le passage en complexifishy

cation de 4p agrave (p + 1)2 - (p - 1)2 fait apparaicirctre que (2p - 1) + (2p + 1) est une

diffeacuterence de deux carreacutes

La creacuteation du langage algeacutebrique permet de deacutegager plus nettement laprobleacuteshy

matique deacutetude du nurileacuterique en la posant - sans lopposer - agrave cocircteacute de la perspecshy

tive calculatrice Elle permet donc dexpliciter ce qui demeurait largement implicite shy

la copreacutesence de deux maniegraveres davoir affaire au numeacuterique - et par lagrave dapaiser

les tensions Mais son surgissement historique permet surtout de mieux maicirctriser

la dialectique du numeacuterique et de lalgeacutebrique jusque-lagrave conduite avec des moyens

matheacutematiques insuffisamment adeacutequats Lalgeacutebrique est un outil de leacutetude du

numeacuterique le premier outil le plus eacuteleacutementaire sans doute (agrave un niveau avanceacute intershy

viendraient par exemple la theacuteorie des seacuteries entiegraveres la theacuteorie des fonctions analytishy

ques etc) Mais inversement (et cest ce qui nous autorise agrave parler de dialectique)

pour que le fonctionnement de cet outil soit efficace il faut quelque peu eacutetudier

cet outil par exemple se poser les problegravemes de la factorisation des expressions algeacuteshy

briques (afin notamment de reacutesoudre des eacutequations algeacutebriques) Or en ce point le

numeacuterique lui-mecircme est un outil deacutetude agrave lalgeacutebrique le flux sinverse Sans parler

76

de toutes les meacutethodes numeacuteriques qui font appel le plus souvent agrave des proprieacuteteacutes

danalyse (cest-agrave-dire concernant le corps des reacuteels et les fonctions dune variable

reacuteelle par exemple) on peut citer - pour prendre un exemple assez gros pour ecirctre

tout agrave fait visible - le theacuteoregraveme dEinsenstein sur la factorisation dans Q[X] (38)

Newton dans son Arithmetica Universalis deacutejagrave mentionneacutee montre une grande attenshy

tion agrave ce genre de laquoretoursraquo du numeacuterique vers lalgeacutebrique Ainsi donne-t-i1 une

meacutethode ingeacutenieuse pour trouver les facteurs dune expression algeacutebrique(39)

Si par exemple la quantiteacute proposeacutee est x 3 - x - 10x + 6 agrave la place de x

je substitue successivement les termes de la progression arithmeacutetique 1 0 -1 il en

naicirctra les nombres -4 + 6 + 14 Je place chacun deux avec tous ses diviseurs dans

la ligne du terme de la progression 1 0 -1 qui la produit comme on peut le voir

dans lexemple suivant

1 4 124 +4 o 6 1 2 3 6 +3

- 1 14 1 2 7 14 +2

Ensuite comme le terme le plus eacuteleveacute x3 na pas de diviseur de luniteacute je

cherche parmi les diviseurs quelque progression dont les termes ne diffegraverent que

dune uniteacute et qui en descendant des plus forts au plus faibles deacutecroissent comme

ceux de la progression 10 -1 Je ne trouve quune progression de cette espegravece cest

4 3 2 Je prends donc le terme + 3 qui se trouve dans la mecircme ligne que 0 de la

premiegravere progression 1 0 -1 je le joins agrave x et je tente la division par x + 3 elle

reacuteussit et jobtiens pour quotient x 2 - 4x + 2

Au-delagrave de la disparition de la structure du corpus matheacutematique enseigneacute en arithshy

meacutetique et algegravebre cest la dialectique du numeacuterique et de lalgegravebre - implicitement

preacutesente agravetravers llaquooppositionraquo de larithmeacutetique et de lalgegravebre - qui va se trouver

atteinte Plus que jamais les liens du numeacuterique et de lalgeacutebrique sen trouveront

relacirccheacutes

VIII - UNE CONCEPTION EMPIRISTE DU REEL MATHEMATIQUE

Leffacement de lopposition arithmeacutetiquealgegravebre en effet altegravere les condishy

tions de la mise en rapport du numeacuterique et de lalgeacutebrique Lancien rapport doutil

(38) Soit PIt) = a + a t + + a t n un polynocircme agrave coefficients dans if Sil existe un nombre premier p tel que0 1) ~ rie divise ~as an 2) p divise a al an_l p2 ne divise pas ao alors P o est irreacuteductible sur O

(39) Arithmeacutetique universelle tome premier pp 47-48 Nous laissons au lecteur le soin dapporter la justification matheacutematique requise

77

de travail agrave objet travailleacute semble perdu Les deux domaines - le numeacuterique -le

litteacuteral - vont coexister dans une simple juxtaposition existants qui trouvent en

eux-mecircmes leur propre justification Les rapports naguegravere encore banals entre ces

deux ordres de reacutealiteacute matheacutematiques semblent deacutesormais abolis Ou plutocirct ils laissent

place agrave des rapports nouveaux et inverseacutes ce nest plus lalgeacutebrique qui vient pershy

mettre deacutetudier le numeacuterique cest le numeacuterique qui laquojustifieraquo et laquopermet de comshy

prendreraquo lalgeacutebrique Le document 5 extrait dun manuei de quatriegraveme actuel (40)

IIUDIFFeacute~ENCS ce ceux C~CIMAUX [

x-eD yeC zeC z-z -y signifie que z+y-z Comment est appel z pour z et y dans ct ordre Observe

13-(-7) z+-7)middot13

[+(-7)j+713+7 +[(-7)+71-13+7

+0-13+7 zo13+-7

z-z-y z+y-z

(+y) + (-y)- +-(-y) +(y+ (-y)]-x + (-y)

z+O-z + (-y) -+(-y)

Pour tout xde D pour tout y de 0 z - y est un deacutecimal et z - y = +(-y) Exemples 8-(-7)=8+7=15 9-14=9+(-14)=-5 Lopeacuteration- qui agrave chaque coupe (z y) z e 0 y E C fait correspondre le deacutecimal Z - J est la soustraction dans O

DOCUMENT 5

Lalgeacutebrique comme essence du numeacuterique

nous donne de ce pheacutenomegravene un exemple tregraves net lintention didactique est ici

de justifier le fait que x - y = x + (-y) Pour le matheacutematicien la laquojustificationraquo shy

qui est alors strictement une deacutemonstration - est toute entiegravere contenue dans la

colonne de droite si je deacutefinis en geacuteneacuteral-y comme eacutetant le nombre tel quey + (-y) = 0

et si les proprieacuteteacutes ordinaires - associativiteacute etc - valent encore pour le nouvel

ensemble de nombres ainsi deacutefini alors le nombre z que je dois ajouter agrave y pour

obtenir x - ce quon appelle la diffeacuterence de x et y et qUon note x - y - nest pas

autre chose que x + (-y) Or la laquojustificationraquo passe dans la didactique ici examineacutee

par lappel au concret cest-agrave-dire au numeacuterique tel est le rocircle de la colonne de

gauche Ce sont les calculs numeacuteriques de la colonne de gauche qui soutiendraient

le sens (pour leacutelegraveve) des calculs litteacuteraux de la colonne de droite Malheureusement

le contenu de la colonne de gauche est si lon peut dire hautement improbable

(401 Il sagifdu _manuel Matheacutematique contemporaine pour la classe de quatriegraveme publieacute chez Magnard et conforme au programme de1978shy

78

parce que le numeacuterique ne fonctionne pas ainsi En fait les calculs numeacuteriques preacuteshy

senteacutes ici nexistent quagrave ecirctre limage en miroir des calculs litteacuteraux de la colonne

de droite Et cest pour permettre de tels calculs que le langage algeacutebrique preacutecishy

seacutement est neacutecessaire Il y a ainsi meacuteprise sur la speacutecificiteacute des deux ordres de calcul

et conseacutequemment sur le type de rapports quils entretiennent la justification

de lalgeacutebrique sappuierait sur un mode de fonctionnement du numeacuterique qui nest

en fait quun deacutecalque du fonctionnement de lalgeacutebrique et qui donc suppose

lalgeacutebrique

Leacutelucidation du nouveau rapport qui saffirme ainsi nest pas chose facile Elle

est pourtant neacutecessaire afin de preacuteciser par delagrave la surface des programmes les mouveshy

ments profonds produisant des deacutecisions didactiques quon aurait tort de regarder

seulement comme des laquotrucsraquo eacuteleacutements atomiques de strateacutegies trouvant en ellesshy

mecircmes et dans leurs effets supposeacutes leur unique mobile Revenons agrave lexemple que

nous avons examineacute Lalgeacutebrique y apparaicirct comme la laquotheacuteorieraquo de cette laquoreacutealiteacuteraquo

que serait le numeacuterique Mais les relations en acte entre theacuteorie (permettant leacutetude)

et reacutealiteacute (objet de leacutetude) y ressortissent incontestablement agrave une conception empishy

riste (et mecircme nous allons le voir empiriste-sensualiste) de la connaissance Tel est

en fait le mobile - veacutecu sans doute comme allant de soi dans leacutevidence que lideacuteoshy

logie procure - de la tentative de laquofaire sortirraquo la theacuteorie (lalgeacutebrique) de la reacutealiteacute

(numeacuterique) Il ya ici inversion des rapports entre theacuteorie et reacutealiteacute Car le surgissement

du theacuteorique - faut-il le rappeler - ne sautorise jamais que de lui-mecircme et loin

de proceacuteder de la reacutealiteacute la constitue (ou la renouvelle) comme objet de connaissance

Si jeacutecris par exemple 13 + 7 = 13 - (-7) selon un fonctionnement du numeacuterique

antinomique de la pratique calculatoire (cest-agrave-dire arithmeacutetique) du numeacuterique shy

laquelle voudrait quon eacutecrivicirct 13 + 7 = 20 - je fais de lalgegravebre sur du numeacuterique

cest loutil algeacutebrique et lui seul qui me permet ce travail du numeacuterique Entre le

fonctionnement arithmeacutetique et le fonctionnement algeacutebrique du numeacuterique il y a

ainsi une distance - un saut - que nul proceacutedeacute dlaquoabstractionraquo ne peut venir combler

On aurait tort de penser que lanalyse preacuteceacutedente ne vaut que pour lexemple

sur laquelle nous lavons illustreacutee En reacutealiteacute sa porteacutee est beaucoup plus eacutetendue

et pour en saisir toute la signification il faut revenir agrave cette acmeacute de leacutevolution de

la transposition didactique que repreacutesente la reacuteforme de 1971 (celle des laquomatheacutemashy

tiques modernesraquo) Contrairement aux opinions aujourdhui dominantes qui selon

un opportunisme neacutecessaire et une constante inconstance reacutecusent cette reacuteforme

pour ses excegraves et la regardent comme laberration dun moment il faut tenir que cette

aberration nen est pas une quelle ne fait que preacutecipiter cristalliser et rendre explicites

des traits qui deacutejagrave se repegraverent dans leacutevolution des deacutecennies preacuteceacutedentes Elle est un

moment qui donne sens reacutetrospectivement agravece qui vient avant lui et deacutetermine

largement ce qui viendra apregraves lui Car sil y a en quelque faccedilon rupture cest sur le

fond dune tregraves large surdeacutetermination En profondeur le programme de 1971 - pour

79

sen tenir agrave la classe de quatriegraveme - constitue une radiographie saisissante dune

eacutevolution que le programme de 1978 nadoucira quen surface Cest cette image

laquodureraquo quil faut interroger

On a trop vitupeacutereacute linflation moderniste le parti pris theacuteoriciste lambition

de rigueur des matheacutematiques promues par la reacuteforme et trop peu vu derriegravere cet

eacutecran deux mouvements correacutelatifs moins spectaculaires mais deacuteterminants Le

premier - que nous avons deacutejagrave plusieurs fois mentionneacute - cest lenvahissement du

champ deacutetude par les structures numeacuteriques Les laquoexcegravesraquo du programme de 1971

sont le prix agrave payer pour ce coup de force qui se megravene alors - simple tactique dun

moment le programme de 1978 installera une version apaiseacutee de la mecircme strateacutegieshy

avec lartillerie lourde de laquolapproche des reacuteelsraquo des laquocalculs approcheacutesraquo des laquoencashy

drementsraquo de haute ambition matheacutematique Le seCond cest la peacuteneacutetration dun

thegraveme qui va devenir central celui de llaquoobservationraquo et de llaquoexpeacuterimentationraquo

matheacutematiques

Fausse moderniteacute ce thegraveme est mis en place degraves les Instructions de janvier

1957 (annexe 6a) dont les Instructions de 1971 se reacuteclameront non sans raicon Il

prend alors lallure dune reacuteflexion sur les liens entre matheacutematique et extramatheacutemashy

tique La caution bergsonienne ici invoqueacutee - homo taber homo sapiens - bien que

dateacutee est agrave cet eacutegard tregraves significative La perspective proposeacutee ne conduit pas tregraves

loin les problegravemes denseignement se trouvent laquoreacutesolusraquo par une didactique euphoshy

rique (annexe 6b) Au vrai la conjoncture historique qui verra la mise en place des

matheacutematiques modernes nest alors quincomplegravetement formeacutee Ce qui manque

encore afin que lideacutee dexpeacuterimentation puisse passer dans les faits cest une matiegravere

que lon pourrait soumettre agrave lobservation et agrave lexpeacuterience A cet eacutegard les Instrucshy

tions de 1957 raisonnent encore agrave lancienne la notion dexpeacuterimentation y est

surtout loccasion dune rheacutetorique qui tourne sur elle-mecircme faute de pouvoir sapplishy

quer Mais cette matiegravere dapplication qui fait deacutefaut la reacuteforme va lapporter en

abondance ce sera le numeacuterique dont nous comprenons mieux degraves lors la place

de choix que les programmes reacuteformeacutes vont lui accorder Son expansion se trouvait

en fait comme appeleacutee par lexigence laquoexpeacuterimentaleraquo induite par une certaine concepshy

tion eacutepisteacutemologique et didactique

Le deacutecor de laction est installeacute en consonance avec une mise en scegravene empiriste

du procegraves de connaissance(41) Il Y a la laquoreacutealiteacuteraquo qui est un donneacute dont la preacutesence

simpose avec la derniegravere force et il y a la laquotheacuteorieraquo de ce donneacute que lon preacutetend

tirer par abstraction de lobjet agrave laquelle elle se voue La dialectique du numeacuterique

et de lalgeacutebrique est alors perdue lun de ses termes (lalgeacutebrique) se dissout dans

(41) Pour lintelligence de ce qui suit nous renvoyons agrave Althusser 1968 notamment pp 38-45

80

lautre (le numeacuterique) agrave qui est octroyeacute par nature une existence presque mateacuterielle

et dont lalgeacutebrique proceacutedera geacuteneacutetiquement La reacuteforme de 1971 remanie donc

le champ deacutetude pour y produire de solides objets laquoreacuteelsraquo agrave forts coefficients dexis-shy

tence les structures numeacuteriques et aussi la mysteacuterieuse laquodroite physiqueraquo dont la

soudaine promotion ontologique serait autrement encore plus inexplicable(42) Cela

poseacute lintroduction du litteacuteral (lalgeacutebrique) sidentifie au mouvement par lequel

dans le procegraves empiriste de connaissance se repreacutesente lessence du reacuteel qui est toute

la connaissance que le sujet peut tirer de lobjet par abstraction il permet de distinguer

entre un reacuteel essentiel et un reacuteel inessentiel gangue ou accident que le processus

dabstraction abandonne comme un reacutesidu impenseacute Labstraction qui vise agrave porter

agrave la lumiegravere ce quon pourra connaicirctre de lobjet agit par deacutecrassage et deacutecapage

CHA~tTRbullbull tour dieacuteremcs ftiems de 1t 011 obti=c cIes putitioas cilifeacute=o~ Uuml fiIure 2 repreacutese1tt (parshy

tieJ1emenz) les paniagravecas ~ i- II-l 11--0 11 - - l~ = grouie agrave la loupe la paftiriœ cozrcspoadaDc agrave Il - - 2shy

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1 1 1 1 1 1 1 1 shy 1 bull 1 1 1 11

-1 -01 001 lU 03 ~ o~ 06 07 oa 09 1 11

P4 041 ~l ~~I 041ds1 -i -o] OoJ O4l o~ 04S 04) ~ 1 ~1 1

fJvZ

li) De m=c si II eR lD1 emer œIaagravef acirczeacute et si CI pr=d tOlIœS les ftiems possibles da2s Z r=semblc cIes imenalles cie c

Jcr10 (CI + L 10

eR iJMpcrtirIcircD1f de C Uuml figure 3 repreacutes=œ (articllemcm) =œ putitioll p04 shy O~

r 1 i 1 T l 1 1 -5 -4shy -3 -2 -r agrave l Z ~ 4shy 5

~3

DOCUMENT6

Le deacutecapage du donneacute dans le processus empiriste de connaissance

(42) Voir Chevallard et Johsua 1982 notamment pp 200-203

81

agrave ce thegraveme geacuteneacuteral de la connaissance empiriste reacutepond correctement dans les proshy

grammes la notion dlaquoapprocheraquo ou dlaquoapproximationraquo des laquoreacuteelsraquo (qui nont jamais

aussi bien porteacute leur nom) Ceux-ci sont atteints par le moyen de purifications successhy

sives qui eacuteliminent peu agrave peu la gangue inessentielle Tel manuel (43) pris parmi tant

dautres- en offre la superbe illustration (document 6) limage de la loupe - emblegraveme

de la connaissance empiriste dont elle est linstrument privileacutegieacute parce quelle permet

de mieux voir et de faire voir - y est requise et symbolise mieux quun long commenshy

taire cette conception de la connaissance comme visant agrave amener linvisible agrave la

vue de tous

Une telle conception de la connaissance rate le reacuteel dont il sagirait preacuteciseacutement

de produire la connaissance parce quelle en manque la constitution comme objet

de connaissance(44) Lalgeacutebrique ne sert plus agrave connaicirctre le numeacuterique Il nest plus

deacutesormais quune steacutenographie middotessentialisante qui deacutecrit reacutesume et seacutepare lessence

de laccident Le surgissement laquomoderneraquo de la dichotomie de llaquoobservationraquo et de

la laquotheacuteorieraquo - que les manuels actuels reprennent agrave lenvi - est ainsi correacutelatif dune

dissolution de lobjet de connaissance au profit de lobjet reacuteel maintenant donneacute

agrave voir dans une abstraction reacuteputeacutee immeacutediate et facile Lordre didactique va sorgashy

niser autour de cette eacutepisteacutemologie imaginaire

REFERENCES

ALTHUSSER L (1968) Lire le Capital Franccedilois Maspeacutero Paris

BOURDIEU P (1974) Le sens pratique eacuteditions de Minuit Paris

BROUSSEAU G (1980) Problegravemes de lenseignement des deacutecimaux Recherches

en didactique des matheacutematiques 1middot1 pp 11-59

CHEVALLARD Y (1980a) Matheacutematiques langage enseignement la reacuteforme des

anneacutees soixante Recherches 41 pp 71-99

CHEVALLARD Y (1980b) La transposition didactique 1REM dAix-Marseille

CHEVALLARD Y (1982) Pourquoi la transposition didactique 7 Publication du

seacuteminaire de didactique et peacutedagogie des matheacutematiques 32 Grenoble

CHEVALLARD Y et JOHSUA MA (1982) Un exemple danalyse de la transposition

didactique Recherches en didactique des matheacutematiques 3 2 pp 157-239

MICHEL PH (1950) De Pythagore agrave Euclide Les Belles Lettres Paris

SMITH DE (1953) History of mathematics volume Il Dover publications Inc

New York

(43) Il sagit de louvrage mentionneacute dans la note 24 ci-dessus

(44) Sur la distinction entre laquoobjet reacuteelraquo et laquoobjet de connaissanceraquo voir Althusser 1968 pp 4649

82

CLASSE DE QUATRIEME CLASSIQUE A ET B ET DE QUATRIEME MODERNE

PROGRAMME DE 1945 (extraits)

Arithmeacutetique

Pratique sur des exemples de la deacutecomposition dun nombre entier en facteurs premiers de la recherche du plus grand commun diviseur et du plus petit commun multiple de deux ou plushysieurs nombres Applications aux fractions

Algegravebre

Nombres algeacutebriques (positifs nuls heacutegatifs) Opeacuterations sur ces nombres exposeacutes agrave partir de problegravemes concrets Ineacutegaliteacutes

Mesures algeacutebriques de vecteurs sur une droite orienteacutee Formule de Chasles Repeacuterage dun point sur un axe

Eleacutements du calcul algeacutebrique proprieacuteteacutes des sommes et des produits Puissances Produit et quotient de deux puissances dun nombre usage de lexposant nul et dexposants neacutegatifs

Monocircmes Produit de monocircmes Quotient de deux nombres Somme de monocircmes semblables (on se bornera agrave des monocircmes agrave une deux ou trois variables) Polynocircmes agrave une variable addition soustraction multiplication par une constante

Equations numeacuteriques du premie( degreacute agrave une inconnue Problegravemes conduisant agrave une eacutequation numeacuterique du premier degreacute agrave une inconnue

Annexe 1

83

CLASSE DE QUATRIEME

PROGRAMME DE 1958 (extraits)

Arithmeacutetique

Pratique sur des exemples de la deacutecomposition dun nombre entier en un produit de nomshybres premiers pratique de la recherche du plus grand diviseur commun et du plus petit multiple commun de deux ou plusieurs nombres Applications

Algegravebre

1 - Nombres relatifs (positifs nuls neacutegatifs) Orientation dun segment (vecteur) orientation dune droite (axe) mesure algeacutebrique

dun segment orienteacute sur un axe repeacuterage dun point sur un axe (abscisse)

II - Opeacuterations eacuteleacutementaires sur les nombres relatifs addition et soustraction multiplishycation et division

Extension aux nombres relatifs des proprieacuteteacutes fondamentales eacutetablies pour les nombres arithmeacutetiques (classe de cinquiegraveme) concernant les sommes les diffeacuterences les produits les puisshysances n-iegravemes les quotients linverse dun nombre non nul Condition pour quun produit soit nul

Deacutefinition des exposants neacutegatifs et de lexposant nul Comparaison des nombres relatifs ineacutegaliteacutes Ineacutegaliteacutes concernant la valeur absolue dune somme ou dune diffeacuterence Formule de Chasles pour trois points situeacutes sur un axe Segment deacutefini par les abscisses

des deLix points qui le limitent mesure algeacutebrique de ce segment orienteacute mesure de la longueur de ce segment abscisse du milieu de ce segment

III - Notions de variables et de correspondance entre variables Expressions algeacutebriques deacutependant dUne ou de plusieurs variables calcul de la valeur

numeacuterique dune expression algeacutebrique pour des valeurs numeacuteriques donneacutees aux Ymiddotariables Monocircmes agrave une ou plusieurs variables multiplication addition de monocircmes semblables Polynocircmes forme reacuteduite Polynocircmes ordonneacutes addition multiplication Identiteacutes relatives aux produits (x + y)2 (x - y)2 (x + y)(x - y)

IV - Equations position du problegraveme signification du signe = dans ce problegraveme Equashytions du premier degreacute agrave une inconnue agrave coefficients numeacuteriques Reacutesolution de problegravemes simples agrave laide dune telle eacutequation

Annexe 2

84

CLASSE DE QUATRIEME

PROGRAMME DE 1971 (extraits)

1 - Relations

Reacutevision -des notions preacutesenteacutees dans les classes anteacuterieures et compleacutements produit carteacutesien relation application composition des applications bijection cun ensemble sur un ensemble et bijection reacuteciproque

Notion de groupe deacutefinition (on la jeacutegagera des exemples du programme)

II - Nombres deacutecimaux relatifs et approche de reacuteel

1 Groupe des puissances de dix

Nombres deacutecimaux relatifs eacutecrits a 10n avec a e7l et p E7 et sous forme de nombres agrave virgule addition multiplication ordre valeur absolue Reacutesumeacute des proprieacuteteacutes fondamentales de lensemble ainsi structureacute des deacutecimaux relatifs

2 Calculs approcheacutes

a) EnC3drement dun nombre deacutecimal par des intervalles des types [a 10pbull (a + 1) 10middot[ da 101 (a + 1) 10- [a 10pbull (a + 1) 101] avec a E Z et p E Z Sur des exelJlples encamiddot drement middotdune somme dun produit

b) Exercices de deacutetermination pour un deacutecimal strictement positif d donneacute et pour un entier relatif n donneacute du nombre deacutecimal x bull 10 avec x E IN tel que soient veacuterifieacutees les ineacutegaliteacutes 0 ~d x 10 ~ 1 lt d (x + 1) 10

c) Exercices de deacutetermination pour un deacutecimal strictement positif d donneacute et pour un entier relatif n jonneacute du nombre deacutecimal y bull 10 avec y E IN tel que soient veacuterifieacutees les ineacutegaliteacutes [y 10P ~ d lt [(y + 1) 10]

d) Suites deacutecimales illimiteacutees nombres reacuteels encadrements dun nombre reacuteel

3 Enumeacuteration des principales proprieacuteteacutes qui structurent fensemble IR des reacuteels addition (IR +) est un groupe commutatif multiplication associashytiYiteacute distributiviteacute par rapport agravefaddition ordre et valoeur absolue

On admettra que pour tout nombre reacuteel a jiffeacuterent de 0 il existe un nombre reacuteel a-1 et un seul tel que aa-1 = 1 Pour tout couple de nombres reacuteels (a b) avec a = 0 il existe un nombre reacuteel unique x appeleacute quotient de b par a

b et noteacute ba-1 ou - tel que ax = b a

Exercices simples de calcul sur de tels quotients Sur des exemples -numeacuteriques eacutequations et ineacutequations du premier degr9 agrave une inconnue

Usage des exposants entiers groupe des puissances dun nombre reacuteel non nul

Calculs approcheacutes sur les nombres reacuteels

4 Exemples de fonctions polynocircmes (applications de IR dans IR) Degreacute Exercices de calcul SUT les polynocircmes Produits (x + a)2 (x - a)2 (x + a) (x - a) Exercices de factorisation

Annexe 3

85

ENCYCLOPEDIE QUILLET (1958)

TABLE DES MATIERES (extraits)

ARITBMEacuteTIQUE Notio~ preacute1i1Ji~ajres - Ideacutee de nombrebullbullbullbull 153 NumeratIon decmale bullbullbullbullbullbullbullbull 156 ~esure des grŒDdeurs bullbullbullbullbullbull bullbullbullbull 159 Nombresmiddot deacutecUDauxbullbullbullbullbullbullbullbullbullbull 169 Ladditionbullbull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull 165 La soustraction bull bull bull bull bull bull bull bull bull 168 La ~~qplication bullbullbullbullbullbullbull1 bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bullbull 171 La diVISIon 178

Regravegle de trois bull bull 117 Pourcentages bullbullbull 119 Partages proportionnels 110 ~~langes bullbull i bull bullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbull 111 Alliages bull 111 Regravegles dinteacuterecircts 124 Rentes sur Pltat 116 Actins et obli~tions - Escompte 117

Problegravemes sur les quatre opeacutemtions bull bull bull 184 La divisibiliteacute bull bull bull bull bull bull bull bull 186 Plus grŒDd commun diviseur (p G C D) 189 Plus petit commun multiple (P P C M) 191 Nombres premiers bullbullbullbullbullbullbullbull 192 Les fractions bull bull bull bull bull 194 Opeacuterations sur les fractions 197 Sys~egraveme meacute~que 203 Racme carree 207 Rapports - Proportions 2 II

Grandeurs Proportionnelles 215

Connge des exercces ~ 130

Annexe4a

ALGEgraveBRE Notions preacuteliminaires bullbullbullbull 157 Opeacutemtions sur les nombres algeacutebriques (somme

diffeacuterence multiplicationmiddot division des nombres algeacutebriques fractions ou rapports algeacutebriques puissances racines) bull bull 160

Qpeacuterations sur les expressions algeacutebriques bull 168 gquations du premier degreacute 278 Reacutesolution des problegravemes du premier degreacute agrave une

inconnue bullbullbullbullbullbullbullbullbull 186 gquations et problegravemes du premier degreacute agrave deux

ou plusieurs inconnues bull bull 191 Notions sur les repreacutesentations graphiques bull bull 301

Variation des fonctions 313 Deacuteriveacutees bullbull bull bull 319

~uations et problegravemes du second degreacute bull bull 312

ProgressionsetlogaritbInesmiddotmiddotmiddotmiddot middotmiddot middotmiddotmiddot middot331 Table de logarithmes de 1 agrave 1 000 bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull 338 Application des logarithmes Inteacuterecircts composeacutes et

annuiteacutes bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull 343 Corcigeacute des ex~ces bullbull ~ bullbullbullbullbullbullbull 348

Annexe4b

52

Il - UNE FRONTIERE OUBLIEE

Le programme de 1945 pour la classe de quatriegraveme (annexe 1) est clairement

organiseacute autour dune grande dichotomie celle de larithmeacutetique et de lalgegravebre Cette

distinction structure encore le programme de 1958 (annexe 2) Elle disparaicirct du

programme laquoreacuteformeacuteraquo celui de 1971 et napparaicirct plus dans le programme de 1978

Les mots darithmeacutetique et dalgegravebre eux-mecircmes ne conservent plus quun emploi

fort restreint une rubrique laquoArithmeacutetiqueraquo figure au programme actuel de la classe

de cinquiegraveme et llaquoalgegravebreraquo reacuteapparaicirct dans le programme de la classe de troisiegraveme

Mais lopposition de larithmeacutetique et de lalgegravebre elle semble durablement effaceacutee

Ce rappel dhistoire sans doute neacutecessaire(3) permet de mettre le doigt sur

un fait essentiel dont nous tirerons plus loin quelques conseacutequences la disparition

en quelques anneacutees dune maniegravere seacuteculaire dorganiser le corpus matheacutematique

denseignement Lopposition de larithmeacutetique et de lalgegravebre eacutetait en effet jusque-lagrave

traditionnelle Tradition ancienne dailleurs - puisque le principe en est poseacute par Viegravete

lui-mecircme agrave la fin du XVlegraveme siegravecle(4)- et en tout cas bien installeacutee dans lusage

traversant tout le XIXegraveme siegravecle elle ne seacuteteindra quau deacutebut des anneacuteeS 1970

Cette tradition - qui seacutegale agrave une conception tout agrave la fois eacutepisteacutemologique

et didactique et produit un texte denseignement longtemps inchangeacute ou du moins

agrave eacutevolution lente - oppose deux temps Le premier temps est celui de lapprentissage

de larithmeacutetique Celle-ci constitue la base des apprentissages ulteacuterieurs par excellence

Le corpus arithmeacutetique et lagencement didactique de ses parties nont guegravere varieacute

sur plusieurs siegravecles de Jacques Pelletier du Mans (1554) jusquau milieu du XXegraveme

siegravecle Larithmeacutetique fournit lensemble des reacutequisits sur lesquels dans un deuxiegraveme

temps les auteurs fondent alors le parcours de lalgegravebre Preacutesentant les Eleacutemens

dAlgegravebre dEuler (parus en franccedilais en 1774) ses eacutediteurs nous gratifient dun charshy

mant petit conte bien significatif de cette maniegravere de faire laquoLes vues du ceacutelegravebre

auteur eacutecrivent-ils(5) eacutetaient de composer un livre eacuteleacutementaire au moyen duquel

on put apprendre sans aucun autre secours lalgegravebre agrave fond () M Euler choisit

(3) Neacutecessaire parce que mecircme dans le cas ougrave il a connu - comme eacutelegraveve ou comme professeurshydes eacutetapes anteacuterieures de leacutevolution de lenseignement le professeur tend en principe agrave limiter son horizon agrave leacutetape actuelle de cette eacutevolution cette amneacutesie - que nous ne nous attacherons pas agrave mettre en eacutevidence ici - joue un rocircle fonctionnellement essentiel dans la deacuteneacutegation de la transshyposition didagravectique (voir Chevallard 1982) en permettant aux agents du systegraveme denseignement daccepter pleinement comme allant de soi et naturel leacutetat preacutesent de la transposition didactique

(4) Louvrage de Franccedilois Viegravete (1540-1603) ln artem analyticam Isagoge (ltltIntroduction en lart analytiqueraquo) est publieacute agrave Tours en 1591

(5) Dans lAvertissement de tteacutedition franccedilaise de 1807 (Courcier et Maire Paris) que nous suivons ici

53

pour cet effet un jeune homme quil avait pris agrave son service en quittant Berlin qui

posseacutedait assez bien larithmeacutetique mais qui navait dailleurs aucune teinture des

matheacutematiques il avait appris le meacutetier de tailleur et ne pouvait ecirctre mis quant agrave

sa capaciteacute quau rang des esprits ordinaires Non seulement ce jeune homme agrave tregraves

bien saisi tout ce que son illustre maicirctre lui enseignait et lui dictait(6) magraveis il sest

mecircme trouveacute en peu de temps en eacutetat dachever tout seul les calculs algeacutebriques les

plus difficiles ( hgt Si larithmeacutetique constitue agrave un premier niveau dinstruction

un ensemble coheacuterent et relativement complet elle est ainsi agrave un second niveau le

fondement sur lequel lapprentissage de lalgegravebre va venir prendre appui

III - LE PASSAGE DE LARITHMETIQUE A LALGEBRE

Avoir quelques rudiments darithmeacutetique est en tout meacutetier une exigence

tregraves anciennement attesteacutee les arithmeacutetiques imprimeacutees depuis la fin du XVegraveme

siegravecle ne sont-elles pas en theacuteorie proposeacutees aux marchands et neacutegociants Lapprenshy

tissage de lalgegravebre marque alors un passage une maniegravere de progresser dans le savoir

qui est aussi une maniegravere de seacutelever dans la socieacuteteacute Et loin que ce passage soit gommeacute

(comme il en va aujourdhui nous le verrons) il se trouve longtemps mis en avant

par toute une rheacutetorique qui sefforce de situer arithmeacutetique et algegravebre dans le prolonshy

gement lune de lautre tout en les opposant

La plupart des auteurs recourent agrave cet eacutegard agrave une strateacutegie dexposition

simple et nette partant dun problegraveme darithmeacutetique ils en rappellent la solution

laquopar (arithmeacutetiqueraquo pour lui opposer ensuite la solution laquopar lalgegravebreraquo Ainsi le

document 1 premiegravere page dun opuscule consacreacute agrave Lalgegravebre agrave leacutecole primaire

(cours supeacuterieur) et publieacute agrave Marseille en 1924 donne de cet abord de lalgegravebre une

illustration concise et significatiye~

Emploi des h~ttres

dans la solution des problegravemes

Probegraveme - On a un collpon de drap dune certaine lonshygueur el LUI deuxiegraveme coupon qui a 4 megravetres de plus Ces deLLX coupons out ensemble 40 megravetres On demande la longueur de chaque coupon

(6) Euler eacutetait devenu aveugle en 1771

54

SOLUTION ABlTH)IEacuteTIQUE

l Heprecircsentons la longueur du 1 coumiddot ~o lon middotpar une ligne

ft ~~ Cne ligne semblable augmenteacutee de i4 Ill figurera le 2m coupon

En examinant cette repreacutesentation graphique on voit de suite que petit COUP0rl + petit coupon + 4 lU ou 2 fois le petit coupon + 4 m = 40 lU

par conseacutequent 2 fois le petit coupon =40 m - 4 lU =36 Ill dou petit coupon = 38 lU l = 18 Ill

el grand coupan = 18 lU + 4 lU = l2 m

SOLUTION ALGEacuteBR~QUE

1er X Au lieu de la ligne meltonsmiddot pour le 40 m 1er coupon hl lettre x

) 2lDe x+4 m Nous aurons pour le 2me coupon r x+4shy

Nous avons ainsi sous les yeWt comme pour- la solution preacuteceacutedente une image tregraves nette de leacutenonceacute et nous poumiddot ons eacutecriremiddot

x + r + 4 = 40 nt 2 Cois x + 4 = 40 nl

2 Cois r =40 m - 4 nl =36 Ill

x = 36 2 =18 lU

ct grand coupon =18 m + 4 lIJ = 22 lU

Chaque fois que nous emploierons des lettres dans la reacutesolution des problecircmes Il0US ferons de lalgegravebre

La solutiou algeacutebrique est plu simple Flus rapide que la solu tion arithmeacutetiquebull llle dispense le fme de longs raisonnemeuts

DOCUMENT 1

On notera ici que les auteurs rencontrent en geacuteneacuteral une difficulteacute didactique

caracteacuteriseacutee Lideacuteal serait eacutevidemment de proposer un problegraveme tout semblable agrave

ceux que larithmeacutetique permet en principe de reacutesoudre mais dune complexiteacute telle

que les seules lumiegraveres de larithmeacutetique nous laissent impuissants agrave le reacutesoudre effecshy

tivement et den donner alors une solution par le moyen de lalgegravebre Mais le comshy

menccedilant ne maicirctrisant pas loutil algeacutebrique - par deacutefinition - ils doivent sen tenir

agrave un problegraveme de structure assez simple pour que lintroduction du langage e~ des

proceacutedures algeacutebriques demeurent aiseacutement compreacutehensibles en soulignant eacuteventuelshy

lement ensuite que les mecircmes meacutethodes preacutesenteacutees sur un exemple qui certes ne les

requiert pas permettraient de reacutesoudre des problegravemes laquotregraves-compliqueacutesraquo devant

lesquels larithmeacutetique seule nous laisserait cois (document 2)

Le passage de larithmeacutetique agrave lalgegravebre est dautant mieux marqueacute jusquau

deacutebut du XIXegraveme siegravecle que cest seulement avec leacutetude de lalgegravebre que sintroshy

duisent les laquosignes algeacutebriquesraquo Longtemps en effet larithmeacutetique les ignore(7)

(7) Voir Smith 1953 p 395

55

Les auteurs donc en preacutesentant la solution algeacutebrique du problegraveme quils ont pris

pour mateacuteriel dinitiation preacutesentent aussi les signes usuels que nous appellerions

volontiers signes arithmeacutetiques soit + - X = etc Dans un manuel qui peut dater

de la fin du XVlllegraveme siegravecle et dont le premier chapitre sintitule opportuneacutement

laquoNotions preacuteliminaires sur le passage de lARITHMETIQUE agrave lALGEBRE explishy

cation et usage des signes algeacutebriquesraquo on Voit ainsi lauteur introduire soigneusement

les sjgnes daddition de soustraction de multiplication de division le signe deacutegaliteacute

et enfin linconnue x quil rapporte dailleurs agrave lusage adopteacute en arithmeacutetique agrave

propos du quatriegraveme terme - inconnu et agrave deacuteterminer - dune proportion (document

2)

2 Les raisonnemcn9 fort simples dans le problegravememiddot roposeacute ci~essus mais tregraves-compliqueacutes dans dautres se composant ell geacuteneacuteral dun certain nombre dexshypressio1s bull telle que ajouteacute egrave diminueacute de est eacutegal agrave lrc reacutep~teacutee5 freacutequemment et qui tiennent aux opeacuterashytions par lesquelles les grandeurs qui entrent dans 1eacuteshynonceacute de la question sont lieacutees entre elles il est isible quon abreacutegerait beaucoup en repreacutesentant chashycune de ces expressions par un signe et cest aussi ce quon fait comme il suit

Pour indiquer raddition on se sert du signe + qui sinilie plus

Pour la soustraction on se sert du signe - qui signifie moins

Pour la multiplicatiOnraquo on se sert du signe X bull eacutetui signifie multiplieacute par bull

Pour eacutecrire que deux quantiteacutes doivent ecirctre di~eacutees lune par lautre on place la seconde sous la premiegravere ~

et on les seacutepare par un trait ~ signifie 5 divis~ par 4shyEnfin pour marqu~rquedeuxquantj-~ ~ ~ont eacute~ales on ~

1l1et entte leurs expressions le signe = qui signifieeOaie~

Ces abreacuteviations quoique deacutejagrave tregraves-consideacuterabl~ ne linm~entpas encoreraquo car On est obligeacute demiddotdpeacuteter OUveRt

le nombre ci partager le nombre donneacute etc la pluspetite partie le nombre chercheacute etc ce qui alonge beaucoup A leacutegard des donnies lexpeacutedient qui sest offert le p-emier a eacuteteacute (le prendre pour les repreacutesenter des nombres dttermincs qui servent dexemple comme on ell use en arithm~tique mais la chose neacutetanl pas poshy5ible agrave leacutegard des nombres inconnus on ya substitueacute un signe de c nention qui a varieacute avec le temps_ On sest enirn accord~ il employerles lettres de lalphashybet presque touiours on se sert des derniegraveres bull comme en arithmeacutetique on met une x pour le quatriegraveme terme dune proportion dont on ne cODnakque les troill shypremiers et cest agravee lusage de ces divers signes quest reacutesulteacute rA~egravebre

DOCUMENT 2

56

De mecircme dans ses Eleacutemens dalgebre (eacutedition de 1760) voit-on Clairaut qui double le

corps de son texte de notes marginales visant agrave eacuteclairer le lecteur sur leacutepisode en cours

(document 3) preacutesenter un agrave un ces nouveaux eacuteleacutements du discours matheacutematique

Pour mieux donner les principes de cette Science nous nl10ns reprendre la mecircme quef-shytion nous eacutecrire~i en langage ordinaire les raishyfonnemcns que lAlgecircbrifie tagraveit pour reacutefoudre fon Problecircme amp en caraeacuteleres Algtbriques ce qui lui 1ugraveffit deacutecrire pour aid~r fa meacutemoire

La plus petite ou la trolfieme part quelle quelle fait je middotlexprime par une feule letue quifera par exemple bullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbull x

La feconde fera parconfeacutequentxplus II) ce que jeacutecris ainfi bullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbull x + II) choififiagravent le figne +9uon prononceplus po~ deacuteligner lAddition des d(ux auantiteacutes entre lcfquelles on le place

Quant i la premiere part ou la plus grande comme elle furpa1fe la feconde de 1 8o elle fen exprimeacutee par bull bull bull bull bull bull bull~ -+ II) + 1 80

Ajoutant ces trois parts on aura bull bullbullbullbull bull bull bull 3 x + II) +1 1) + 180 ou en reacuteduifant bull bull bull bull bull bull bull bull bullbullbull 3 x + 410

Mais cette lomme des trois pans doit eacutegaler Le fagne= 89015 ce qui sexprime ainfi 3x+410=-~90marque) c- saliceacute employant le caraeacutelere = qUI fe prononce

eacutegal pour exprimer leacutegaliteacute des deux quantiteacutes entre lefquelles on le place

La quefiion par ce calcul efi donc changeacutee en une autre ougrave il sagit de trouver une quantiteacute dont le triple eacutetant ajouteacute avec fI deg fafle S90

one c(qula Trouver la reacutefolution de femblables Juemonslion e ~ e- ~ Il Il eacutefc d gJ1ileacute de c eu ce quon appe e r ou re une quanon ~eul quan- leacutequation dans ce cas-ciefi 3x+f10=890 IJ~~ reacutefout on lappelle ainfi parce quelle indique leacutegali~ une eacuteJqu(- teacute de deux quantiteacutes reacuteloudre cette eacutequation lIOn or - J1 1 1 dlquon rrou- C en trouver a va eur e mconnuex par cette nJ~valcur condition qu fon triTlellus 4-10 fatre ~90 de 1 mcon- 1 nue quclle bull rcnfermc Pour reacuteroudre cette eacutequation voici comshyReacutefolurion ment lAlgeacutehrifie raifonne amp comment il eacutecrit

de legravequa- fc raifc L fc cllion qui el[- es onneRlens quatlon a re ou re bullbullbull Erime le bullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbull 3x+4-10=890 Pblcme d Il agravepreacuteceacutedent m appren qu l Jaut aJouter bullbullbullbullbull 4 10 3 r

pour faire la comme de 890 donc 3 x font moindres que 890 de 41o ce que jeacutecris

LeC3rai- ainfi middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot3 x=890 -4-IO

tere -- in- Prenant le caraeacutelere - qui fe prononce moim tI~~taI pour faire reifouvenir que la quantiteacute quil preacute li~ cccedilde doit ecirctre retnDcheacutee de celle quil f~t

DOCUMENT 3

Meacutelhodo AIgcbriquc dexprimer le Probeumlmiddotmiddot me preacutelshydcnr

Le fagne indJque lacWilioa

57

Bien entendu lintroduction des signes laquoalgeacutebriquesraquo degraves les eacuteleacutements darithshy

meacutetique qui va simposer deacutefinitivement au XIXegraveme siegravecle atteacutenue quelque peu la

marque formelle du passage de larithmeacutetique agrave lalgegravebre Mais la transition est toujours

souligneacutee elle participe de la rheacutetorique denseignement autour de la dialectique de

lancien et du nouveau que nous avons ailleurs preacutesenteacutee(8) Elle se coule alors en

dautres analyses et notamment dans une preacutesentation de lalgegravebre comme meacutemoire

permettant de conserver une trace des opeacuterations effectueacutees Proprieacuteteacute fort ancienneshy

ment noteacutee semble-t-il et de laquelle Clairaut - se situant il est vrai dans une persshy

pective plus didactique queacutepisteacutemologique(9) - fait mecircme deacutecouler linteacuterecirct et la

neacutecessiteacute de lalgegravebre(10)

Ainsi lalgegravebre soppose-t-elle agrave larithmeacutetique par une proprieacuteteacute qui lui donne

une puissance supeacuterieure Mais par lagrave dans un deuxiegraveme temps de la dialectique que

tissent les auteurs entre arithmeacutetique (lancien) et algegravebre (le nouveau) lalgegravebre

apparaicirct positivementmiddot comme laccomplissement de larithmeacutetique Sappliquant

agrave lorigine au mecircme corps de problegravemes elle est une arithmeacutetique deacutelivreacutee de lopaciteacute

et de loubli qui deacuterobent agrave nos yeux la structure des problegravemes eacutetudieacutes Elle est un

instrument supeacuterieur pour une tacircche semblable Elle est une arithmeacutetique universelle

- comme lappelle Newton - ou encore une arithmeacutetique geacuteneacuteraliseacutee comme le note

Poinsot un bon siegravecle plus tard en une deacutefinition quun auteur de manuel de la fin

du XIXegraveme - deacutebut du XXegraveme comme beaucoup dautres avant et apregraves lui reprend

agrave son comlte et propose agrave la meacuteditation ltles eacutelegraveves de collegravege laquoLalgegravebre eacuteleacutementaire

nest autre chose quune arithmeacutetique geacuteneacuteraliseacutee cest-agrave-dire eacutetendue des nombres

particuliers agrave des nombres quelconques et par conseacutequent des opeacuterations actuelles

quon exeacutecutait agrave des opeacuterations quon ne fait plus quindiquer par des signes de

(8) Voir Chevallard 1980b

(9) Il ne faut pas neacutegliger en effet la part de rheacutetorique dintention didactique que comporte ce genre de remarques

(10) Ayant preacutesenteacute - selon la technique didactique usuelle - la solution arithmeacutetique dun proshyblegraveme darithmeacutetique pour lui comparer ensuite la solution au moyen de lalgegravebre Clairaut eacutecrit en effet laquoCest vraisemblablement ainsi que les premiers Algeacutebristes ont raisonneacute quand ils se sont proposeacutes de pareilles questions sans doute quagrave mesure quils avanccedilaient vers la solution dune question ils chargeaient leur meacutemoire de tous les raisonnemens qui les avaient conduits au point ougrave ils en eacutetaient amp lorsque les questions neacutetaient pas plus compliqueacutees que la preacuteceacutedente il ny avait pas de quoi se rebuter mais degraves que leurs recherches ont offert plus dideacutees agrave retenir il a fallu quils cherchassent une maniegravere plus courte de sexprimer quils eussent quelques lignes simples avec lesquels quelquavanceacutes quils fussent dans la solution dun problegraveme ils pussent voir dun coup dœil ce quils avaient fait amp ce quil leur restait agrave faire Or lespegravece de langage particulier quils ont imagineacute pour cela cest lAlgegravebreraquo (Eleacutemens dAlgebre troisiegraveme eacutedition Paris 1760 p 3)

58

maniegravere que dans cette premiegravere speacuteculation de lesprit on songe moins agrave eacutetablir le

reacutesultat de ces opeacuterations successives quagrave egraven tracer le tableau et agrave deacutecouvrir ainsi des

formules pour la solution de tous les problegravemes du mecircme genreraquo (11)

IV -LE DEVENIR DE LARITHMETIQUE DANS LA REFORME

En France la reacuteforme des matheacutematiques modernes est mise en œuvre agrave partir

de la fin des anneacutees soixante elle touche les classes de sixiegraveme et de seconde agrave la

rentreacutee 1969 les classes de cinquiegraveme et de premiegravere en 1970 les classes de quatriegraveme

et de terminale en 1971 enfin en 1972 la classe de troisiegraveme Cest eacutevidemment dans

ce cadre densemble que le pheacutenomegravene eacutetudieacute ici doit ecirctre situeacute Du point de vue qui

nous occupe cette reacuteforme reacutealise un changement profond dans lorganisation du

corpus matheacutematique enseigneacute Le programme reacuteformeacute de la classe de quatriegraveme

comporte quatre titres Les deux derniers sont consacreacutes agrave la geacuteomeacutetrie( 12) Les

deacuteux premiers titres concernent lun les relations lautre les nombres deacutecimaux et

lapproche des reacuteels (annexe 3) Formellement donc la structuration arithmeacutetique

algegravebre agrave disparu comme nous le notions plus haut Que sest-il passeacute

Pour reacutepondre agrave cette question il est bon dexaminer rapidement les contenus

des corpus traditionnels darithmeacutetique et dalgegravebre laquoeacuteleacutementairesraquo (en eacutecartant un

instant les consideacuterations de niveaux dans le cursus denseignement) Larithmeacutetique

dabord Dans un manuel publieacute en 1934 agrave lintention du cours moyen et du cours

supeacuterieur du premier degreacute(13) on trouve ainsi une premiegravere partie portant sur la

numeacuteration les quatre opeacuterations les problegravemes dapplication de ces notions dont des

problegravemes laquopratiquesraquo (achat et vente agrave la douzaine agrave la centaine problegravemes de

partage achats doubles successifs etc) puis des laquonotions de geacuteomeacutetrieraquo (circonshy

feacuterence etc) enfin un chapitre sur les nombres laquocomplexesraquo(14) La seconde partie

(11) Feacutelicien Girod Traiteacute dalgegravebre eacuteleacutementaire theacuteorie et pratique agrave lusage des lyceacutees des collegraveges et de tous les eacutetablissements dinstruction (premier cycle) vingt deuxiegraveme eacutedition Paris sd p 9

(12) Nous les laisserons de cocircteacute ici

(13) Arithmeacutetique par une commission dinstituteurs Vannes deuxiegraveme eacutedition 1934

(14) Rappelons quon appelait nombre complexe laquoun nombre concret composeacute de plusieurs parties se rapportant agrave des uniteacutes diffeacuterentes et dont le systegraveme de numeacuteration nest pas deacutecimal Ainsi 3 ans 4 mois 15 jours 43 degreacutes 18 minutes 17 secondes sont des nombres complexesraquo (F J Eleacuteshyments darithmeacutetique Tours et Paris 1913 p 182) laquoOn dit quun nombre est concret quand il est accompagneacute du nom de luniteacuteraquo comme dans laquovingt arbres six billes cinq francs soixante centimesraquo (dapregraves lArithmeacutetique citeacute~ dans la note 13 p2)

59

intituleacutee Systegraveme meacutetrique est consacreacutee aux mesures (surfaces volumes poids

capaciteacutes~ etc) Enfin une troisiegraveme partie traite agrave la fois de la divisibiliteacute des fracshy

tions des rapports et proportions et des regravegles (de trois etc) ainsi que de leurs

applications agrave des problegravemes pratiques (caisse deacutepargne actions et obligations etc)

Dune maniegravere plus deacuteveloppeacutee et sadressant agrave un niveau plus eacuteleveacute du cursus (matheacuteshy

matiques eacuteleacutementaires) un ouvrage de 1913(15) propose un plan qui nest guegravere diffeacuteshy

rent le 1ivre 1 traite de la numeacuteration et des opeacuterations le livre Il des proprieacuteteacutes

des nombres (divisibiliteacute plus grand commun diviseur nombres premiers etc)

le livre III des fractions le livre IV des puissances et des racines le livre V des

mesures (systegraveme meacutetrique monbres complexes) le livre VI des rapports et de leurs

applications (regravegles de trois de socieacuteteacute etc) le livre VII des approximations numeacuteshy

riques (opeacuterations abreacutegeacutees erreurs relatives)

Corpus traditionnel- agrave quelques ajouts pregraves - acircvons-nous dit Dans lArithshy

meacutetique de Jacques Pelletier du Mans (1554) le premier livre traite des nombres et

des opeacuterations de la regravegle de trois directe et laquorebourseraquo le deuxiegraveme livre des

fractions le troisiegraveme livre de lextraction de la racine carreacutee le quatriegraveme et dernier

livre de la regravegle double de faux (de fausse position) de la regravegle de socieacuteteacute etc Cette

organisation de larithmeacutetique qui na pas surveacutecu dans notre enseignement geacuteneacuteral

se retrouve aujourdhui dans les peacuteripheacuteries ou dans les marges du systegraveme denseishy

gnement officiel agrave linteacuterieur comme dans certains enseignements professionnels

agrave lexteacuterieur comme en teacutel manuel darithmeacutetique(16) adresseacute aux laquoautodidactesraquo

qui se publie aujourdhui encore au Royaume Uni (dans le cadre dune collection

intituleacutee Teach Yourself Books) simplement mis agrave jour preacutesenteacute au lecteur comme

laquofully decimalised and metricatedraquoil comporte agrave cocircteacute des parties traditionnelles

(nombres et opeacuterations factorisation des nombres fractions rapports et proportions

inteacuterecircts simple et composeacute etc) un chapitre sur la taxe agrave la valeur ajouteacutee ainsi

quun chapitre sur les machines agrave calculer et la nUJ1eacuteration binaire Un bon teacutemoigage

de leacutetat deacutequilibre atteint agrave la veille de la reacuteforme nous est fourni par leacutedition de

1958 de lEncyclopeacutedie autodidaetique Quillet en sa partie Arithmeacutetique dont la

table des matiegraveres est reproduite plus loin (annexe 4a)

Cest ce corpus traditionnel qui vole en eacuteclat deacutefinitivement - car son eacuterosion

eacutetait fortement avanceacutee - avec la reacuteforme du deacutebut des anneacutees soixante-dix(17)

Mais lexplosion de la neacutebuleuse arithmeacutetique ne signifie pas pour autant la disparition

(15) Voir la note 13

(16) LC Pascoe Arithmetic Decimalised and Metricated Houdder and Stoughton Londres 1971

(17) Cette rupture - eacutevidente - recouvre pourtant agrave un niveau plus profond des eacuteleacutements attestant la contiguiumlteacute nous y viendrons plusIoin

60

de larithmeacutetique Les parties traditionnelles de ce corpus libeacutereacutees de leur inteacutegration

au sein dune organisation multiseacuteculaire du savoir enseigneacute vont deacutesormais connaicirctre

des destins relativement indeacutependants Le noyau essentiel - les nombres et les opeacuterashy

tions sur les nombres - qui constituait la base du systegraveme anteacuterieur non seulement

ne disparaicirct pas mais trouve une extension soudaine associeacutee agrave une promotion en

digniteacute matheacutematique alors que en effet leacutetude laquoarithmeacutetiqueraquo des nombres ne

traitait anciennement que des nombres entiers et des fractions il seacutetablit deacutesormais

une progression dans leacutetude des structures numeacuteriques qui selon la logique de la

filiation des structures populariseacutee par leacutecole bourbakiste est penseacutee ideacutealement

comme allant sans solution de continuiteacute des nombres entiers aux nombres reacuteels en

passant par les nombres relatifs les nombres deacutecimaux et les rationnels Dans cet

ensemble progressivement deacuteveloppeacute les fractions viendront occuper - dans le cadre

du programme de 1978 pour la classe de quatriegraveme qui faisait suite aux laquoexcegravesraquo du

programme de 1971 - une place de toute premiegravere importance(18) La laquotheacuteorie des

nombresraquo cest-agrave-dire leacutetude de la factorisation des nombres du PGCD etc agrave

qui est reacuteserveacutee leacutetiquette darithmeacutetique figure elle au programme de la classe de

cinquiegraveme (et sy trouvera maintenue sans changement par le programme de 1977)

Seule la partie constitueacutee des laquoproblegravemes pratiquesraquo fait veacuteritablement les frais de la

modernisation et disparaicirct agrave peu pregraves complegravetement si lon excepte quelques vestiges

telle leacutetude des laquosuites finies proportionnellesraquo en classe de sixiegraveme (qui prolonge un

thegraveme abordeacute au CM2) - eacutetude eacuteventuellement conccedilue dailleurs comme preacuteparant

mais de longue main agrave la notion dapplication lineacuteaire inscrite au programme de la

classe de troisiegraveme(19)

Ce qui disparaicirct en fait agrave lexception notable - reacutepeacutetons-Ie - des problegravemes 1

pratiques ce nest pas larithmeacutetique (mecircme si le mot lui-mecircme ne renvoie plus quagrave

lune des parties du corpus arithmeacutetique traditionnel) mais la dialectique de larithshy

meacutetique et de lalgegravebre Or cet affaissement dune structuration traditionnelle va

moins peser sur la composante arithmeacutetique que sur la composante algeacutebrique des

matheacutematiques enseigneacutees au collegravege cest lalgegravebre (entendue au sens traditionnel

de ce mot agrave ce niveau des eacutetudes matheacutematiques) qui va se trouver le plus violemment

mise en cause par les changements opeacutereacutes

(18) laquoEn calcul notent les Instructions officielles la nouveauteacute reacuteside dans laccent qui est mis sur la notion de fraction ( )gtgt (Ministegravere de lEducation Matheacutematiques classes des collegraveges 6egraveme 5egraveme 4egraveme 3egraveme 1980 p 29)

(19) Les manuels correspondant aux programmes de 1978 redonneront une place au laquoproblegravemes concretsraquo ceux-ci y apparaissent toutefois essentiellement agrave titre dapplications non de problegravemes permettant la construction et lappropriation des notions agrave enseigner

61

v - UNE ALGEBRE INTROUVABLE

Il nous faut maintenant rappeler rapidement ce queacutetait lancienne organisation

du corpus algeacutebrique Formeacute de maniegravere eacutevidemment plus tardive que le corpus arithshy

meacutetique le corpus algeacutebrique atteint pourtant assez vite une stabiliteacute remarquable

qui le laisse agrave peu pregraves inchangeacute sur deux siegravecles et plus Ecartant le traiteacute dalgegravebre

publieacute par Newton sous le titre dArithmetica Universalis(20) fort instructif agrave tous

eacutegards mais relativement atypique consideacuterons louvrage dEuler deacutejagrave mentionneacute

Son tome premier comporte quatre sections La premiegravere traite laquodes diffeacuterentes

meacutethodes de calcul pour les grandeurs simples ou incomplexesraquo cest-agrave-dire du calcul

sur les nombres mais sur les nombres (que nous appelons) relatifs dont lintroduction

fait un avec laquolexplication des Signes + (Plus) et - (Moinsraquogt (chapitre 10 et sur les

nombres fractionnaires Les quatre opeacuterations arithmeacutetiques les racines les puissances

mais aussi les laquoquantiteacutes impossibles ou imaginairesraquo ainsi que les logarithmes y sont

longuement preacutesenteacutes La deuxiegraveme section traite laquodes diffeacuterentes meacutethodes de calcul

pour les grandeurs composeacutees ou complexesraquo cest-agrave-dire du calcul algeacutebrique la

troisiegraveme laquodes rapports et des proportionsraquo la quatriegraveme laquodes eacutequations algeacutebriques

et de la reacutesolution de ces eacutequationsraquo Quant au tome second il est consacreacute agrave laquolanalyse

indeacutetermineacuteeraquo que nous nexaminerons pas ici(21) Cette organisation subit eacutevidemshy

ment dune part des variations en fonction du niveau viseacute dautre part une eacutevolution

dans le temps qui conduit dans la premiegravere moitieacute du XXegraveme siegravecle agrave un ensemble

relativement stabiliseacute dont agrave la veille du grand mouvement de reacuteforme lEncyclopeacutedie

Quillet deacutejagrave citeacutee nous fournit une version commode (annexe 4b)

En ce qui concerne tout au moins les deacutebuts de lalgegravebre trois thegravemes apparaisshy

sent essentiels les nombres algeacutebriques (cest-agrave-dire les nombres relatifs) le calcul

sur les expressions algeacutebriques les eacutequations algeacutebriques Que deviennent-ils dans le

cadre de la reacuteforme La difficulteacute de la reacuteponse agrave apporter tient au moins en partie

au fait que signifiants et signifieacutes se trouvent alors dissocieacutes redistribueacutes et en ce qui

concerne les contenusmiddot couleacutes en des cadres conceptuels nouveaux qui rompent les

anciennes concordances Il en est ainsi notamment pour les nombres algeacutebriques

bull qui perdent leur qualificatif comme on la noteacute pour devenir nombres relatifs Sous

cette eacutetiquette la place qui leur est deacutevolue nest pas diminueacutee mais au contraire

majoreacutee (et en cela ils profitent du mouvement geacuteneacuteral damplification dont beacuteneacuteficient

(20) Publieacutee (en latin) en 1707 mais eacutetablie sur la base de cours donneacutes par Newton une trentaine danneacutees auparavant lArithmeacutetique universelle paraicirct en franccedilais en 1802

(21) Lorsque la question eacutetudieacutee laquone fournit pas autant deacutequations quon est obligeacute dadmettre dinconnues il y en a qui restent indeacutetermineacutees et qui deacutependent de Il9tre volonteacute et cela fait quon nomme ces sortes de questions des problegravemes indeacutetermineacutes Ils font le sujet dune branche particuliegravere de lanalyse et on appelle cette partie lAnalyse indeacutetermineacuteeraquo (Euler op cit tome second pp 1-2)

62

les structures numeacuteriques) Leur eacutetude inscrite au programme de la classe de sixiegraveme

est deacuteveloppeacutee en classe de cinquiegraveme dans les programmes de ces deux classes ils

constituent un titre agrave part entiegravere aussi bien en 1969-1970 quen 1977-1978

Il en va autrement du calcul algeacutebrique et de leacutetude des eacutequations Ces quesshy

tions formaient traditionnellement le cœur de lalgegravebre eacuteleacutementaire Dans un Manuel

dalgegravebre publieacute en 1827 laquoagrave lusage des personnes priveacutees du secours dun maicirctreraquo

lauteur(22) ouvrait sa premiegravere leccedilon par les lignes suivantes

1 Lalgegravebre est lart dexeacutecuter sur des quantiteacutes quelconques au moyen

des signes geacuteneacuteraux toutes les opeacuterations de larithmeacutetique et de repreacutesenter agrave laide

des mecircmes signes toutes les relations entre ces quantiteacutes

Il La partie de lalgegravebre qui enseigne les regravegles pour exeacutecuter les opeacuterations

arithmeacutetiques sur des quantiteacutes quelconques se nomme calcul litteacuteral

III La partie de lalgegravebre qui traite de la maniegravere de repreacutesenter agrave laide

de signes les relations entre les quantiteacutes se nomme calcul par eacutequation

IV On verra dans la suite que dans le calcul par eacutequation on a sans cesse

besoin du calcul litteacuteral cest donc par celui-ci quil faut commencer

Cest cet ensemble (calcul algeacutebrique eacutequations algeacutebriques) qui va se trouver

fortement minoreacute dans les programmes reacuteformeacutes Pour ne donner ici de cette brutale

deacuteflation quune seule illustration on a reacuteuni dans lannexe 5 (dont on voudra bien

excuser la longueur) les listes dexercices relatives agrave la multiplication dexpressions

algeacutebriques dune part (a b) dans deux manuels dancienne maniegravere(23) dautre part

(c) dans un manuel consideacutereacute comme de niveau eacuteleveacute(24) conforme au programme de

1971 la confrontation est eacuteloquente

Le terme dalgegravebre a disparu des programmes (agrave lexception du programme de

la classe de troisiegraveme) nous lavions noteacute Mais avec le mot la chose elle-mecircme se

trouve emporteacutee lalgegravebre disparaicirct 1 Cet eacutevanouissement est en fait seacutelectif les

parties laquonumeacuteriquesraquo de lalgegravebre reacutesistent bien Les nombres relatifs sont un eacuteleacutement

essentiel de lenseignement de la classe de cinquiegraveme Les fractions un temps mises agrave

leacutecart (en 1971) seront ensuite reacuteinstalleacutees comme eacuteleacutement central du programme de

(22) M Terquem auteur dun Manuel dalgegravebre ou exposeacute eacuteleacutementaire des principes de cette science publieacute agrave Paris en 1827 La citation qui suit se trouve pp 1middot2

(23) Il sagit (a) du manuel de F Girod (voir ci-dessus note 11) et (b) du manuel de Lebosseacute et Heacutemery pour la classe de quatriegraveme dans son eacutedition de 1962 (Fernand Nathan Paris)

(24) Il sagit du manuel de la collection Queysanne-Revuz seacuterie rouge dans son eacutedition de 1973 (Fernand Nathan Paris)

63

quatriegraveme (en 1978) Ce sont les parties laquoalgeacutebriquesraquo de lalgegravebre - calcul et eacutequations

algeacutebriques - qui pacirctissent de la modernisation Plusieurs raisons semblent devoir

expliquer ce pheacutenomegravene Avanccedilons dabord une raison proprement didactique qui a

pu jouer neacutegativement Le calcul algeacutebrique agrave lorigine simple preacuteliminaire agrave leacutetude

des eacutequations eacutetait en fait devenu prolifeacuterant comme on peut en juger notamment sur

le document de lannexe 5a eacutetouffant progressivement les autres parties du corpus

enseigneacute Il eacutetait sain que lon tente den limiter le deacuteveloppement et la tendance

anteacuterieure agrave la reacuteforme proprement dite allait en effet dans ce sens les manuels avaient

commenceacute le travail deacuteflationniste (comme le montre la comparaison des documents a

et b de lannexe 5) Mais ce type de pheacutenomegravene qui constitue au demeurant davantageacute

la regravegle que lexception dans leacutevolution du texte denseignement (que lon songe ici agrave

la deacutegeacuteneacuterescence de leacutetude des eacutequations du second degreacute en la fameuse laquotrinocircmiteraquo

qu i frappait agrave peu pregraves dans le mecircme temps les classes du second cycle) et la reacuteaction

quil devait susciter allaient rencontrer une autre force de changementsans doute bien

plus puissante lapparition de lalgegravebre laquomoderneraquo sur laquelle il faut sarrecircter un

instant

Dans leurs Eleacutements dalgegravebre moderne dont la quatriegraveme eacutedition paraicirct en

1961 (la premiegravere eacutetant de 1956) A Lentin et J Rivaud(25) qui situent lapparition

de lalgegravebre moderne vers 1910 inscrivent celle-ci dans le prolongement de larithshy

meacutetique et de lalgegravebre traditionnelles (mais sans les nommer) laquoA leacutecole primaire

eacutecriven~-ils lenfant raisonne sur des collections et des grandeurs concregravetes dont il

deacutegage progressivement la notion de nombre abstrait indeacutependant de la nature des

choses compteacutees ou mesureacutees Lenseignement du second degreacute apprend agrave ladolescent

la manipulation des x et des y indeacutependamment des nombres que ces lettres repreacuteshy

sentent Un pas de plus dans le calcul et cest le calcul sur les polynocircmes puis la comshy

position des transformations formelles Eh bien lalgegravebre moderne formera leacutetudiant

agrave raisonner sur les proprieacuteteacutes des opeacuterations indeacutependamment des eacuteleacutements (nombres

polynocircmes transformations) sur lesquels sexercent ces opeacuterationsraquo (26) En fait

les parties traditionnelles de lalgegravebre (calcul et eacutequations algeacutebriques) sont bien inteacuteshy

greacutees dans lalgegravebre moderne ainsi preacutesenteacutee Mais elles nen constituent ni lessentiel

ni surtout les deacutebuts Les auteurs citeacutes dont louvrage est constitueacute de cinq livres

consacrent leur dernier livre agrave des laquocompleacutements sur les groupes et sur les eacutequations

algeacutebriquesraquo (un deacuteveloppement plus ample de la question eucirct conduit agrave la theacuteorie

des extensions de corps et agrave la theacuteorie de Galois dont les rudiments sont preacutesenteacutes

dans ce livre) Ainsi le traitement des eacutequations algeacutebriques se trouve-t-i1 rejeteacute fort

loin dans lexposeacute moderne de lalgegravebre Le calcul algeacutebrique quant agrave lui se retrouve

(25) A Lentin et J Rivaud Eleacutements dalgegravebre moderne Vuibert Paris quatriegraveme eacutedition 1961

(26) Loc cit pp VmiddotVI

64

Ici dans le livre Il sous les espegraveces de leacutetude des anneaux de polynocircmes Mais le

veacuteritable commencement de lalgegravebre moderne cest leacutetude des structures (lois de

composition groupe anneau corps) qui occupe tout le livre 1 Lhonnecircte homme

qui en 1958 encore sinitiant agrave lalgegravebre se voyait proposer nombres algeacutebriques

expressions algeacutebriques eacutequations etc se verra offrir quelques anneacutees plus tard

relations binaires eacuteleacutement neutre etc Le chapitre Algegravebre que M Glaymann eacutecrit

au deacutebut des anneacutees soixante-dix pour un ouvrage adresseacute au grand public (il paraicirct

dans la collection laquoLes dictionnaires du savoir moderneraquo) est agrave cet eacutegard significatif

loi de composition eacuteleacutement neutre commutativiteacute eacuteleacutement symeacutetrique associativiteacute

eacuteleacutement reacutegulier distributiviteacute et encore structures monoiumlde groupe sous-groupe

groupe cyclique morphisme de groupes anneau anneau integravegre corps etc en sont les ma icirctres-mots(27)

Il se produit donc en quelques anneacutees une veacuteritable substitution dobjet dont

le texte denseignement reccediloit bientocirct la marque les programmes reacuteformeacutes de sixiegraveme

cinquiegraveme et quatriegraveme comportent tous un titre Relations et le programme de

quatriegraveme introduit les notions de groupe et de division dans un groupe qui conduisent

agrave examiner leacutequation ax = b dans le groupe multiplicatif des reacuteels non nuls Le calcul

algeacutebrique est recircduit agrave la portion congrue il fait lobjet du point 4 du titre Il du programme (annexe 3) Leacutetude des eacutequations conformeacutement au plan moderne

dexposition de lalgegravebre est deacutechue de ses titres et se trouve repousseacutee en classe de

troisiegraveme

VI - LALGEBRE SANS ALGEBRE

La situation creacuteeacutee par la reacuteforme autour de 1970 consacre la promotion des

structures numeacuteriques (agrave cocircteacute du geacuteomeacutetrique dont nous ne parlerons pas ici) en

mecircme temps quelle reacutealise une eacutevidente inflation theacuteorique agrave propos du numeacuterique

comme du geacuteomeacutetrique Cest ce theacuteoricisme qui apregraves avoir susciteacute dabord un vif

enthousiasme se trouvera en butte agrave une multitude de critiques qui conduiront agrave

la reacutedaction des programmes de 1977-1978 actuellement en vigueur La focalisation

du deacutebat se fait sur la maniegravere de traiter les contenus - avec notamment le rej~t

du laquopurismeraquo qui impreacutegnait lesprit de la reacuteforme preacuteceacutedente(28) - davantage que

sur la distribution des contenus eux-mecircmes et sur la structuration et leacutequilibre des

diverses parties du corpus enseigneacute Celui-ci apparaicirct en conseacutequence plus comme

(27) Maurice Glaymann Lalgegravebre in Les matheacutematiques Centre deacutetudes et de promotion de la lecture Paris 1973 pp 16-54

(28) Dans la preacutesentation deacutejagrave citeacutee des programmes de 1978 (voir la note 2 ci-dessus) leacutequipe de reacutedaction du Bulletin de lAPMEP deacutenonccedilait le purisme matheacutematique qui en fait laquoest un purisme dexposition non dapprentissage ou de fonctionnement qui na donc rien agrave faire dans le premier cycle ( )gtgt

65

une version laquodeacutegraisseacuteeraquo du corpus des anneacutees soixante-dix que comme une version

fondamentalement nouvelle agrave cocircteacute du geacuteomeacutetrique que lon entend laquodeacutesaxiomatiserraquo

le numeacuterique y demeure preacutedominant mecircme si lon ny inclut plus les mecircmes mateacuteshy

riaux Les nombres reacuteels en effet sont les grands perdants du reacuteameacutenagement opeacutereacute

Et ce sont les fractions et les rationnels qui venant occuper la place ainsi libeacutereacutee dans

le programme de quatriegraveme constituent maintenant la piegravece centrale de leacutetude du

numeacuterique - les nombres relatifs (entiers et deacutecimaux) conservant en classe de cinshy

quiegraveme le rocircle preacuteeacuteminent qui leur eacutetait anteacuterieurement reconnu

Il faut en ce point dire quelques mots de la promotion donneacutee dans ces proshy

grammes aux fractions et aux rationnels Pour des raisons dans lesquelles nous nentreshy

rons pas ici les fractions (associeacutees aux rapports et aux proportions) eacutetaient traditionshy

nellement tirailleacutees entre larithmeacutetique la geacuteomeacutetrie et degraves la naissance du corpus

algeacutebrique lalgegravebre elle-mecircme Preacutesentant ses Eleacutemens dAlgebre Clairaut ne manque

dailleurs pas de faire connaicirctre au lecteur lembarras ougrave cette question la tenu

laquojavois dabord compteacute donner dans le mecircme livre eacutecrit-il tant les Eleacutemens dArithshy

meacutetique que ceux dAlgebre amp je naurois pas manqueacute alors de traiter des proportions

plus agrave fond que je nai fait dans mes Eleacutemens de Geacuteomeacutetrie raquo Bien entendu en passant de larithmeacutetique agrave lalgegravebre on passait aussi des fractions arithmeacutetiques

(rapports dentiers cest-agrave-dire dentiers naturels) aux fractions algeacutebriques (rapports

dentiers laquoalgeacutebriquesraquo cest-agrave-dire relatifs) et aux fractions rationnelles (rapports

de polynocircmes) Mais ces reprises sont significatives de linteacuterecirct didactique accordeacute

au thegraveme les fractions constituent un sujet de choix pour lenseignement

Comme on la rappeleacute(29) laquolaccent qui est mis sur la notion de fractionraquo

constitue selon les termes mecircmes des Instructions relatives au programme de quatriegraveme

de 1978 leacuteleacutement de laquonouveauteacuteraquo de ce programme Nouveauteacute dantique meacutemoire 1

Henri Lebesgue presque un demi-siegravecle plus tocirct avait fermement inviteacute les professeurs

agrave se deacutebarrasser de ce monstre du Loch Ness matheacutematique laquo on sera bien je pense

daccord avec moi eacutecrivait-il (30) pour deacuteclarer que marier des 22iegravemes et des 37iegravemes

est un martyre que nous infligeons aux gosses de douze ans par pur sadisme sans

aucune raison dutiliteacute comme circonstance ateacutenuanteraquo Mais il ajoutait aussitocirct

laquoJentends tous les professeurs protester Les uns parce que les fractions fournissaient

dinnombrables exercices pour leurs jeunes eacutelegraveves apregraves un moment deffroi ceux-ci

sapercevront quils ne manqueront jamais dexercices La plainte des autres meacutemeut

(29) Voir la note 18

(30) Dans La mesure des grandeurs (Albert l3lanchard Paris 1975) p 25

66

davantage et pour la veacuteriteacute je la formule moi aussi laquoSupprimer dans la classe de

matheacutematiques la theacuteorie des fractions cest supprimer un chapitre admirable Le

seul peut-ecirctre parmi ceux qui nous restent qui ne soit pas lagrave uniquement pour son

utiliteacute immeacutediate et qui donne le sentiment de la beauteacute pureraquoraquo(31) Or cette admirable

construction devient dans le cadre des matheacutematiques modernes plus admirable

encore ou disons plus subtile le maniement sans complexe des fractions fait place

agrave une ontologie raffineacutee dans laquelle les fractions devenues couples de nombres

ne sont plus - en theacuteorie plus quen pratique bien sucircr - que le mateacuteriau de la consshy

truction des rationnels classes deacutequivalence de fractions Avrai dire cette preacutesentation

moderne neacutetait guegravere favoriseacutee par le programme de 1971 (dans lequel les reacuteels faisaient

directement suite aux deacutecimaux les rationnels neacutetant alo~s que des reacuteels particuliers

les quotients dentiers) Mais le programme de 1978 lui donne une nouvelle chance

et quelques manuels impavides la mettent en œuvre (document 4a) Cette perspective

constructiviste peut en fait ecirctre aiseacutement eacuteviteacutee au profit dune conception reacutealiste

(celle-lagrave mecircme que le programme de 1971 poussait en avant les reacuteels eacutetant supposeacutes

donneacutes - ils eacutetaient laquoconstruitsraquo dans le programme de 1971 - un rationnel est un

reacuteel qui peut seacutecrire comme quotient dentiers) et la plupart des manuels utilisent

cette possibiliteacute (document 4b) conceptuellement et techniquement moins difficile

et sans doute plus proche de la repreacutesentation du nombre qui est effectivement celle

des eacutelegraveves et mecircme du laquoworking mathematicianraquo Mais le souci de purisme na pas

disparu le goucirct de la laquorigueurraquo (sic) conduit chez quelques-uns (document 4c) agrave une

veacuteritable confusion sur le sens du signe deacutegaliteacute (qui ne signifie en principe nullement

que les deux membres de leacutegaliteacute sont des expressions identiques - formellement

ou syntaxiquement - ce qui interdirait deacutejagrave deacutecrire que 6 = 2 X 3 mais que ce quils

deacutesignent sont une seule et mecircme chose le signe deacutegaliteacute ne signifiant rien dautre

quune identiteacute seacutemantique) Cela dit le problegraveme - eacuteleacutegamment mais coucircteusement

reacutesolu par le moyen des classes deacutequivalence - existait avant les matheacutematiques

modernes et continue dexister mais le corpus ancien le traitait (inconsciemment )

avec une grande discreacutetion (document 4d) en distinguant chaque fois quil eacutetait

neacutecessaire la fraction (consideacutereacutee alors implicitement comme eacutecriture agrave savoir comme

rapport) et la valeur de la fraction (soit le nombre - rationnel - deacutesigneacute par cette

eacutecriture) Quoi quil en soit tout ce jeu laisseacute autrefois implicite et plus ou moins

fortement expliciteacute aujourdhui participe de ladmirable construction des fractions

qui seacuteduit tant les professeurs comme dit Lebesgue

(31) Ibid pp 25-26

67

Nombres rationnels

Ensemble ltC

RAPPELONS

Dans lensemble T des fractions nous avons deacutefini la relation JI suivante

Quelles que soient les fractions ~ et ~ on a (~JI ~) (ad =bel

Nous avons eacutetabli (p 48) que JI est une relation deacutequivalence dans T

Pourtraduire que deux fractions ~ et ~ sont lieacutees par JI nous avons eacutecrit ~ = ~

et nous avons dit que les fractions ~ et ~ sont eacutequivalentes

DEacuteFINITION

Nous donnons la deacutefinition suivante

Ch8q cd6quiVIIlencbullbullbulllonJIst appeleacutee un nombre lIItlonnel

Nous deacutesignons par 0 lensemble des nombres rationnels

AEPAEacuteSENTAtfr DUN RAcircTIONNEL

Soient x un eacuteleacutement de 1 etmiddott une fraction eacuteleacutement de T

Nous disons que x et un nombre rationnel dont un repreacuteentant et ~ 1 et

aeulement si x est 1 clbullbullbullbull deacutequlvlence elon JI de 1 fraction i Le nombre ~tion~1 x est donc lensemble des fractions ~ eacutequivalentes agrave~ nous

avons x=~lcez deZmiddot ~=M Remarquons que toute fraction eacutequivalente agrave ~ est un repreacutesentant du nombre

rationnel x

CHAPITRE 6 ENSEMBLE Q 67

DOCUMEIIT 4eacute1

(Matheacutematiques4egraveme collection Monge 1978)

68

CHAPITRE 4 algegravebre

Ensemble 0 des nombres rationnels

1 Oeacuteflnitlon de lensemble C 4Notatlons fractionnaires dUn rationnel des rationnels

2prOPrieacuteteacutes de lensemble Q 50Peacuteratlons dans Q des rationnels

3Eacutecriture deacutecimale illimiteacutee 6comparaison de deux rationnels dun rationnel

1Deacutefinition de lensemble Q des rationnels

deacutefinition Un nombre reacuteel (ou reacuteel) est appeleacute DOIIlbre ratioonel (ou rationnel) sil est eacutegal agrave un quotient de deux entiers relatifs

Autrement dit Un reacuteel x est un rationnel sil existe un entier relatif a et un entier relatif non

nul b tels que x soit eacutegal au quotient ~

exemples bull Les quotients suivants sont des rationnels 2 -4 -3 248 57 -29704 0 37 0 359 iuml 78 -=5 -614 57 -1- 25 =iOOO =iuml4 -1-

lal -27815) Ibull Le ree r eg au quotIent 0013 est-I un ratIonne

- 2781 5 et 0013 ne sont pas des entiers relatifs

On sait que (proprieacuteteacutes des quotients de reacuteels)

-27815 -27815 x 104 -27815 0013 0013 x 104 =~

Conclusion r est un rationnel

DOCUMENT 4b

(Matheacutematiques4egraveme collection Durrande 1979)

69

I~ Lensemble ltD des nombres rationnels

1 bull DEacuteFINITION ET EXEMPLES

Dans le cnapltre 4 nous ayons rencontreacute des nombres QUon pouvait obtenir comme Quotient exact dun entir relatif fi par un entier relatif non nul b Ces nombres sappellent lesnombnts ratiOnneJa (ou plua simplement les rationnels) Ils sont r8Qreacutesnteacutes par des fractions ainsi

exemples de fractions repreacuteslitntant x Nombre rationnel x -2 -8 -18lentler relatif -2 -9- -L shy1 3 -1 7 35 -7le deacutecimal rlatlf 35 Ji shy2 4 10 -=2 ~ Q EumlL shyIe ratlonn1 i 3 8 30 -3

Reepitullfflon des prlnc1es deacutetlnltlons Otlnitlo Soit un entIer ratatlf quelconque et soit b un entIer reltlf non nuL

11 LA couple (e bJ eacutecrit sous i fonne appellela fractIon d num

teur bull et de deacutenominateur b 2J Cette fraction retrisente le quotient ect de bull par b que lon not

aUAI bull On bull donc par deacuteflnltlon

bX~ bull JCb bullbull b b

31 On appelle nom rationnel tout nombre Que lon peut obtnir comme quotient euct dun entier relatif par un entlr relatif non nul

Attention 1La megravem notation est utiliseacutee pour deacutesignr deux cnoss diffeacuterentesb

le couple (II b) le Quotient exact de Il par b

Quand on eacutecrit il faut preacuteciser sU sagit de la fraction Ji (le couple (1 4 4raquo ou du rationshy4 4

nel 2i (Qui est eacutegal agrave 35) 4

le rationn est Anal au rationnel L4 ~~ 2

la fraction nest pas eacutegale agrave la fraction 1 ~ 2

(Puisque les couples (144) et (72) sont distincts)

Une convention commode

Pour eacuteviter cet Inconveacutenient nous conviendrons toujours Que dans les calculs deacutesinne le b

nombre rationnel Quotient exact d fi par b Ainsi nous pourrons eacutecrire

Ji =L =3S4 2

Quand vous voudrez parler du couple (14 4) il faudra preacuteciser bull la fraction c 4

DOCUMENT 4c

(Matheacutematiques classe de quatriegraveme collection Queysanne et Revus 1979)

70

SIMPLIFICATION DES FRACTIONS

i49 Simllifier une fraction cest la remplacer par une fraction ~e mais ayant des tenDes plus petits

ISO PROPRIEacuteTEacuteS FONDAMENTALES

10 On mesure deux rubans avec le sepagraveegraveme dune longueur donneacutee A B Lun mesure 2 sepagraveagravenes lautre 4 septiegravemes de luniteacute Il est eacutevident que le dewdagraveDe est double du premier

4 2 X 2 2 - --- - X 2 donc 777

Theacuteoregraveme L - Si OD mwdpUe le aDlDampateDr dune CractloD par aD JIOmbre la CracdoD eet muldpUeacutee par ce Dombre

2deg Un ruban mesure 5 sepagraveagravenes de la longueur AB un dewtiagravene ruban vaut S quato12Iumlagravenes de la mbe uniteacute

Un quatorziagravene eacutetant deux fois plus petit quun sepagraveagraveDe la dewdœe longueur est deux fois plus petite que la premiugravee S S S

------ 2 par suite 14 7 X 2 7

Theacuteoregraveme D - Si OD muldpUe le dacirclomiDateur cl1IDe bcdoD par 110 aombre la CracdoD eet diYileacutee par ce JIOmbre

3deg Soit la fraction _3 X 3_2S s s X 3 IS Elle ne c1uIage pas de valeur si nn mulagraveplie ses deux termes par 3 En dfet si on multiplie son numeacuterateur elle devient 3 fois plus grande si on multiplie son deacuteDominateur

elle devient 3 fois plus petiœ Par conseacutequent

Theacuteoregraveme DL - Si OD mwdpUe lee cleu termes daDO bcdoD par aD ~e DOmbre la ampactIoD ae chaage pu do valeur

On voit IJU- mIru gratukur fJGI la _ pat _ itrftniri tU frtJCtUgrave1fU U1IItU igalu

Corollaire - Si OD divise lee deux termee dlIDe CractiOD par aD mfme JIOmbre (ropkatucircm eacutetant possible) OD obdeat une bedoD eacuteplo agrave la premiegravere

Soit la fraction 18 dont les deux termes sont divisibles par 321

On peut eacutecrire 18 _ 6 x 3 21 7 x 3

et dapregraves le theacuteoragravene preacuteceacutedent _ 6 X 3 7 7 X 3

On a donc 18 3_ la fraction Il des termes plus petits que la fraction 18 dougrave la regravegle de simshy21 3 7 7 21

pli1ication des fractions

~ Regravegle - PD1lI simplifier _ fraaion an divis 11$ dIU umm pat 11II mIru 1ItmIbr

DOCUMENT 4d

Arithmeacutetique de lEncyclopeacutedie Quillet 1958

Fractions et rationnels en fait ne constituent pas seulement une admirable

construction matheacutematique ils composent en mecircme temps un objet didactique

inteacuteressant agrave bien des eacutegards La place de leacutelegraveve (cest-agrave-dire ce qui peut ecirctre requis

de leacutelegraveve agrave ce propos) y est nettement dessineacutee Lebesgue le soulignait judicieusement

le chapitre regorge dexercices dont la difficulteacute (cest-agrave-dire en gros la complexiteacute)

peut ecirctre finement gradueacutee La place de lenseignant elle aussi sy trouve preacutepareacutee

le professeur eacuteprouve toute sa speacutecificiteacute face agrave leacutelegraveve en tant quarchitecte et bacirctisshy

seur - fonctions dans lesquelles leacutelegraveve ne saurait lui disputer sagrave place - dune consshy

truction matheacutematiqueagrave la fois simple rigoureuse riche dont la complegravete transpashy

71

rence nest acquise quau prix de quelque subtiliteacute intellectuele nullement inaccessible

agrave leacutelegraveve mais relativement exigeante Toutefois il y a plus En un sens tout objet

de savoir didactiquement acceptable laisse voir deux laquoplacesraquo il doit contenir le

laquolieuraquo que leacutelegraveve viendra occuper (les tacircches que le contrat didactique lui assignera

en propre) il doit contenir aussi un lieu speacutecifiquement alloueacute agrave lenseignant Ce

marquage des places consubstanciellement lieacute au fonctionnement didactique du

savoir est un processus geacuteneacuteral que jai proposeacute(32) dappeler la topogeacutenegravese (du grec

topos lieu) Mais la dialectique topogeacuteneacutetique peut ecirctre plus ou moins resserreacutee plus

ou moins relacirccheacutee dans ce dernier cas (qui correspond comme jessaierai de lindiquer

plus loin agrave ce que nous voyons majoritairement se produire aujourdhui agrave propos de

lemploi du langage algeacutebrique) les eacutechanges entre eacutelegraveves et enseignant demeurent

pauvres la communication est distante parce que les uns et les autres ne se mesurent

pas aux mecircmes tacircches (le professeur deacutemontre une eacutegaliteacute litteacuterale leacutelegraveve lapplique

agrave des cas particuliers numeacuteriques) Avec les fractions une fois fixeacutee larchitecture

geacuteneacuterale de leacutedifice il en va autrement passeacutes les calculs les plus simples les calculs

qui ne sont pas triviaux pour leacuteiegraveve - tout en demeurant de lordre de ce qui peut

loyalemeacutent lui ecirctre demandeacute - ne le scgtnt quagrave peine moins pour le professeur Les

partenaires de linteraction didactique se rapprochent autour dune tacircche unique

jusquagrave sembler parfois unir leurs efforts agrave la recherche dune commune reacuteponse

Tout comme la geacuteomeacutetrie (qui soppose par cela et du seul point de vue didactique

deacutejagrave agrave lalgegravebre en geacuteneacuteral) les fractions constituent loccasion dune reacuteelle convishy

vialiteacute dans la classe Les distinctions qualitatives (marqueacutees par des tacircches de natures

diffeacuterentes) sestompent au profit de simples diffeacuterences quantitatives (lenseignant

va plus vite plus sucircrement mais il ne sait rien de plus que leacutelegraveve et ne fait rien de

plus que lui) Le groupe agrave la fois se rassemble gagne en coheacutesion et en mecircme temps

se diffeacuterencie continucircment sans que son identiteacute sy perde

1 y a lagrave quelques-unes des raisons didactiques qui expliquent la preacuteeacuteminence

de fagraveit de leacutetude des fractions dans les classes actuelles de quatriegraveme Or - et nous

faisons lagrave retour agrave notre sujet quen fait nous navions pas quitteacute - dans le vocabushy

lairedes enseignants les fractions font partie de lalgegravebre Mecircme si le programme

officiel nutilise pas le terme il semble que lusage se soit spontaneacutement creacuteeacute de nommer

laquoalgegravebreraquo dans la pratique de la classe ce qui nest pas geacuteomeacutetrie lalgegravebre cest

globalement lautre de la geacuteomeacutetrie Cet emploi peut-ecirctre irreacutefleacutechi du mot ne manque

pourtant pas de justificatifs Les heacutesitations historiques dont nous avons parleacute trashy

duisent aussi (par delagrave lopposition fractions de nombres arithmeacutetiques fractions de

nombres algeacutebriques) une reacutealiteacute qui perdure les fractions (dentiers) ne sont pas

(32) Voir Chevallard 1980b

72

de lalgegravebre au sens ougrave elles ne contiennent pas de lettres (les lettres sont essentielleshy

ment utiliseacutees par le professeur pour formuler les lois qui reacutegissent leur calcul) mais

elles relegravevent de llaquoalgeacutebriqueraquo en cela quelles sont le lieu dun jeu formel portant

sur des eacutecritures Elles offrent donc loccasion dune algegravebre sans algegravebre qui fait le

gros morceau de lalgegravebre aujourdhui enseigneacutee Il faut voir par quel cheminement

on en est venu lagrave

VII - LA DIALECTIQUE NUMERIQUEALGEBRIQUE

PoUr expliquer plus complegravetement et leacutevanouissement des parties algeacutebriques

de lalgegravebre et - correacutelativement - le come-back des fractions il nous faut compliquer

quelque peu le talJleau que nous avons traceacute jusquici A lopposition structurelle de

larithmeacutetique et de lalgegravebre correspondait - en principe - une dialectique fonctionshy

nelle entre numeacuterique et algeacutebrique Cest sur cette dialectique que nous devrons

dabord nous arrecircter un instant

Il faut pour cela prendre quelque recul Cette dialectique en effet existe

historiquement avant lalgegravebre (avant la construction dun langage algeacutebrique propreshy

ment dit) Les Grecs distinguent entre deux arithmeacutetiques larithmeacutetique vulgaire

ou logistique celle des calculateurs et larithmeacutetique laquopropre aux philosophesraquo

comme dit Platon cest-agrave-dire en gros la theacuteorie des nombres Les calculateurs cal~

culent Les arithmeacuteticiens eacutetudient la structure du numeacuterique Tous manipulent pour

cela un langage du numeacuterique~ mais tous ne lemploient pas aux mecircmes tacircches et ne

lui reconnaissent pas les mecircmes valeurs Dans larithmeacutetique pratique lanalyse du

numeacuterique procureacutee par le langage adopteacute est un moyen ordonneacute agrave un but opeacuterer

des deacutenombrements effectuer des calculs Si dans notre systegravememiddotactuel de numeacuteration

je deacutesire calculer 12 X 12 par exemple je nai besoin dautre analyse du nombre 12

que celle qui mest immeacutediatement donneacutee dans leacutecriture (deacutecimale) de ce nombre

(ch iffre des dizaines 1 chiffre des uniteacutes 2) Mais si comme le scribe du papyrus

Rhind je ne sais multiplier que par duplications successives et additions je devrai

recourir agrave une analyse moins immeacutediate du nombre 12 (qui ne mest pas offerte par

leacutecriture deacutecimale actuelle) Il me faudra observer que 12 = 4 + 8 et calculer ainsi(33)

1 12 2 24 4 48 8 96

(33) Voir Smith 1953 p 106

73

dougrave je deacuteduirai que 12 X 12 = 12 X (4 + 8) = 48 + 96 = 144 De telles manleres

de faire qui se rencontrent encore agrave des dates rapprocheacutees(34) apparaissent agrave lutilisashy

teur contemporain comme des survivances dun acircge imparfait Un bon systegraveme

numeacuteration-algorithmes de calcul en effet doit ecirctre tel que toute linformation requise

pour mettre en œuvre les algorithmes de calcul soit donneacutee dembleacutee avec les nombres

donneacutes eacutecrits dans le langage numeacuterique utiliseacute cest-agrave-dire soit apparente dans leacutecriture

mecircme de ces nombres En dautres termes un bon systegraveme numeacuteration-algorithmes

reacutecuse tout appel aux matheacutematiques fucirct-ce sous une forme apparemment anodine

Lusager dun tel systegraveme est eacutevidemment supposeacute pouvoir calculer que 4 + 8 = 12

(ce pour quoi le systegraveme est fait) mai~ le contrat dutilisation qui regravegle ses rapports

avec le systegraveme exclut quil ait agrave penser que 12 = 4 + 8 Paradoxalement peut-ecirctre

lun des effets et sans doute des buts (poursuivis de maniegravere plus ou moins intentionshy

nelle) de lactiviteacute matheacutematique est de proposer agrave lusage social des proceacutedures non

matheacutematiques obtenues par deacutematheacutematisation progressive de proceacutedures agrave lorigine

proprement matheacutematiques Le fait est banal et geacuteneacuteral les progregraves de leacutelectronique

me dispensent aujourdhui du bricolage auquel eacutetaient tenus les utilisateurs du poste

agrave galegravene

En fait le royaume du calcul numeacuterique est reacutegi par la loi de simplification

inteacuterioriseacutee en habitus(35) dont lune des clauses est constitueacutee par le principe

dachegravevement des calculs Selon ce laquoprinciperaquo lexpression laquo4 + 8raquo ne saurait en

calcul numeacuterique figurer comme reacuteponse le calcul agrave ce stade eacutetant laquoinacheveacuteraquo (36)

Lexpression laquo4 + 8raquo ne saurait ainsi ecirctre quune forme transitoire labile (parce que

quatre plus huit eacutegale douze) et nexiste pas plus dune maniegravere libre que latome

doxygegravene en dehors de la moleacutecule deg 2

Il en va tout autrement avec la tradition laquonobleraquo de la laquotheacuteorie des nombresraquo

Les Pythagoriciens au tout deacutebut de la science grecque eacutelaborent ainsi toute une

conception de la repreacutesentation laquogeacuteomeacutetriqueraquo des nombres soit une arithmo-geacuteoshy

meacutetrie(37) Consideacuterons par exemple les entiers impairs 5 et 7 Leurs repreacutesentations

(34) Ibid

(35) P Bourdieu deacutesigne par habitus des laquosystegravemes de dispositions durables structures structureacutees preacutedisposeacutees agrave fonctionner comme structures structurantes cest-agrave-dire en tant que principe de geacuteneacuteration et de structuration de pratiques et de repreacutesentations ( hgt (Bourdieu 1974 p 175)

(36) Les Instructions de janvier 1957 (sur lesquelles nous revenons plus loin) parlent explicitement de laquocalcul conduit jusquagrave son achegravevementraquo fait rare et remarquable car il est de la nature dun habitus de ne pas supposer lexplicitation des principes agrave lorigine de son efficace

(37) Sur larithmo-geacuteomeacutetrie des Grecs voir Michel 1959 pp 295-325

74

figureacutees peuvent ecirctre disposeacutees ainsi

o o o o o

o o o o o

o 0 5 7

Reacuteunissons ces repreacutesentations de la maniegravere suiyante

o o o o

o o o o

o 0

o 0

En les regroupant adeacutequatement il apparaicirct que la somme 5 + 7 est Lin multiple de

4 (plus preacuteciseacutement que 5 + 7 = 3 X 4) -1------------ -------------1

1 shy10 Oi iO 011 1 1 shyi i 1

- 1shyj j - 1

rO Oi iO1

O shy

i -_------------ [-------------1 iO Oi 1 i 1

Jo oi i

De plus si on laquocomplegraveteraquo le carreacute on voit apparaicirctre immeacutediatement que 5 + 7 est

une diffeacuterence de deux carreacutes (plus preacuteciseacutement que 5 + 7 = 43 - 22 )

o o o o

o o o o

o o x x

o o x x Ces monstrations qui au sens strict nont de force deacutemonstrative que pour les valeurs

numeacuteriques particuliegraveres traiteacutees ont en fait une valeur geacuteneacuterique comme les figures

(et les deacutemonstrations quelles permettent) en geacuteomeacutetrie on nest pas loin dune

deacutemonstration valable pour tous les couples dimpairs conseacutecutifs Nous pouvons

reacutetrospectivement admirer la finesse intellectuelle que linvention et lemploi de

telles proceacutedures supposent Mais nous pouvons aussi voir que notre langage algeacutebrique

actuel (creacuteeacute par Viegravete Descartes et quelques autres) sinscrit dans le prolongement

de cette analyse du numeacuterique tout en la deacutepassant en souplesse et en puissance

75

Sur le mecircme problegraveme aujourdhui nous obtenons par exemple ceci soient 2p - 1

et 2p + 1 deux impairs conseacutecutifs leur somme (2p - 1) + (2p + 1) = 4p est un

multiple de 4 et puisque 4p = (p + 1) - (p - 1)2 elle seacutecrit aussi comme une

diffeacuterence de deux carreacutes Le langage nOuveau permet dabord de formuler le problegraveme

dans sa geacuteneacuteraliteacute puis de le reacutesoudre de maniegravere eacutegalement systeacutematique

Le calcul numeacuterique utilise le langage numeacuterique pour son pouvoir deacutesignatif

eSSentiellement laquo34raquo et laquo075raquo ou encore laquo4 + 8raquo et laquo12raquo sont agrave cet eacutegard eacutequivashy lents puisquils deacutesignent le mecircme nombre (simplement laquo34raquo est une fraction laquonon

effectueacuteeraquo laquo4 + 8raquo une somme non effectueacutee) ils sont des noms diffeacuterents pour

un mecircme ecirctre matheacutematique Larithmeacutetique laquoalgeacutebriqueraquo au contraire distingue

ces noms parce que bien quils deacutesignent la mecircme chose ils ne montrent pas la mecircme

chose (ils napportent pas la mecircme information monstrative) agrave propos de lecirctre matheacuteshy

matique dont ils sont deux noms diffeacuterents (ltlt4 + 8raquo ou mieux laquo22 +23 raquo montre

que 12 est une somme de puissances de deux etc) Cest ainsi que au cœur mecircme

du langage numeacuterique sinsinue un clivage et pour tout dire une tension entre deux

modes de fonctionnement lefficaciteacute deacutesignative (propre agrave lusage calculatoire du

langage numeacuterique) tend agrave ignorer lagrave valeur monstrative de lexpression eacutecrite le

principe dachegravevement des calculs voue agrave leacutepheacutemegraverelesmiddotltltnoms intermeacutediairesraquo et

laquo4 + 8raquo devient ainsi laquo12raquo sans quaucune trace nous soit conserveacutee de lhistoire

de ce laquo12raquo Ali contraire le langage algeacutebrique - notamment parce quil est une

meacutemoire - vient permettre de conserver de meilleure faccedilon linformation monstrative

et surtout de faire apparaicirctre linformation monstrative pertinente le passage en

simplification de lexpression (2p - 1) + (2p + 1) agrave lexpression 4p fait apparaicirctre

que (2p - 1-) + (2p+ 1) deacutesigne un nombre multiple de 4 le passage en complexifishy

cation de 4p agrave (p + 1)2 - (p - 1)2 fait apparaicirctre que (2p - 1) + (2p + 1) est une

diffeacuterence de deux carreacutes

La creacuteation du langage algeacutebrique permet de deacutegager plus nettement laprobleacuteshy

matique deacutetude du nurileacuterique en la posant - sans lopposer - agrave cocircteacute de la perspecshy

tive calculatrice Elle permet donc dexpliciter ce qui demeurait largement implicite shy

la copreacutesence de deux maniegraveres davoir affaire au numeacuterique - et par lagrave dapaiser

les tensions Mais son surgissement historique permet surtout de mieux maicirctriser

la dialectique du numeacuterique et de lalgeacutebrique jusque-lagrave conduite avec des moyens

matheacutematiques insuffisamment adeacutequats Lalgeacutebrique est un outil de leacutetude du

numeacuterique le premier outil le plus eacuteleacutementaire sans doute (agrave un niveau avanceacute intershy

viendraient par exemple la theacuteorie des seacuteries entiegraveres la theacuteorie des fonctions analytishy

ques etc) Mais inversement (et cest ce qui nous autorise agrave parler de dialectique)

pour que le fonctionnement de cet outil soit efficace il faut quelque peu eacutetudier

cet outil par exemple se poser les problegravemes de la factorisation des expressions algeacuteshy

briques (afin notamment de reacutesoudre des eacutequations algeacutebriques) Or en ce point le

numeacuterique lui-mecircme est un outil deacutetude agrave lalgeacutebrique le flux sinverse Sans parler

76

de toutes les meacutethodes numeacuteriques qui font appel le plus souvent agrave des proprieacuteteacutes

danalyse (cest-agrave-dire concernant le corps des reacuteels et les fonctions dune variable

reacuteelle par exemple) on peut citer - pour prendre un exemple assez gros pour ecirctre

tout agrave fait visible - le theacuteoregraveme dEinsenstein sur la factorisation dans Q[X] (38)

Newton dans son Arithmetica Universalis deacutejagrave mentionneacutee montre une grande attenshy

tion agrave ce genre de laquoretoursraquo du numeacuterique vers lalgeacutebrique Ainsi donne-t-i1 une

meacutethode ingeacutenieuse pour trouver les facteurs dune expression algeacutebrique(39)

Si par exemple la quantiteacute proposeacutee est x 3 - x - 10x + 6 agrave la place de x

je substitue successivement les termes de la progression arithmeacutetique 1 0 -1 il en

naicirctra les nombres -4 + 6 + 14 Je place chacun deux avec tous ses diviseurs dans

la ligne du terme de la progression 1 0 -1 qui la produit comme on peut le voir

dans lexemple suivant

1 4 124 +4 o 6 1 2 3 6 +3

- 1 14 1 2 7 14 +2

Ensuite comme le terme le plus eacuteleveacute x3 na pas de diviseur de luniteacute je

cherche parmi les diviseurs quelque progression dont les termes ne diffegraverent que

dune uniteacute et qui en descendant des plus forts au plus faibles deacutecroissent comme

ceux de la progression 10 -1 Je ne trouve quune progression de cette espegravece cest

4 3 2 Je prends donc le terme + 3 qui se trouve dans la mecircme ligne que 0 de la

premiegravere progression 1 0 -1 je le joins agrave x et je tente la division par x + 3 elle

reacuteussit et jobtiens pour quotient x 2 - 4x + 2

Au-delagrave de la disparition de la structure du corpus matheacutematique enseigneacute en arithshy

meacutetique et algegravebre cest la dialectique du numeacuterique et de lalgegravebre - implicitement

preacutesente agravetravers llaquooppositionraquo de larithmeacutetique et de lalgegravebre - qui va se trouver

atteinte Plus que jamais les liens du numeacuterique et de lalgeacutebrique sen trouveront

relacirccheacutes

VIII - UNE CONCEPTION EMPIRISTE DU REEL MATHEMATIQUE

Leffacement de lopposition arithmeacutetiquealgegravebre en effet altegravere les condishy

tions de la mise en rapport du numeacuterique et de lalgeacutebrique Lancien rapport doutil

(38) Soit PIt) = a + a t + + a t n un polynocircme agrave coefficients dans if Sil existe un nombre premier p tel que0 1) ~ rie divise ~as an 2) p divise a al an_l p2 ne divise pas ao alors P o est irreacuteductible sur O

(39) Arithmeacutetique universelle tome premier pp 47-48 Nous laissons au lecteur le soin dapporter la justification matheacutematique requise

77

de travail agrave objet travailleacute semble perdu Les deux domaines - le numeacuterique -le

litteacuteral - vont coexister dans une simple juxtaposition existants qui trouvent en

eux-mecircmes leur propre justification Les rapports naguegravere encore banals entre ces

deux ordres de reacutealiteacute matheacutematiques semblent deacutesormais abolis Ou plutocirct ils laissent

place agrave des rapports nouveaux et inverseacutes ce nest plus lalgeacutebrique qui vient pershy

mettre deacutetudier le numeacuterique cest le numeacuterique qui laquojustifieraquo et laquopermet de comshy

prendreraquo lalgeacutebrique Le document 5 extrait dun manuei de quatriegraveme actuel (40)

IIUDIFFeacute~ENCS ce ceux C~CIMAUX [

x-eD yeC zeC z-z -y signifie que z+y-z Comment est appel z pour z et y dans ct ordre Observe

13-(-7) z+-7)middot13

[+(-7)j+713+7 +[(-7)+71-13+7

+0-13+7 zo13+-7

z-z-y z+y-z

(+y) + (-y)- +-(-y) +(y+ (-y)]-x + (-y)

z+O-z + (-y) -+(-y)

Pour tout xde D pour tout y de 0 z - y est un deacutecimal et z - y = +(-y) Exemples 8-(-7)=8+7=15 9-14=9+(-14)=-5 Lopeacuteration- qui agrave chaque coupe (z y) z e 0 y E C fait correspondre le deacutecimal Z - J est la soustraction dans O

DOCUMENT 5

Lalgeacutebrique comme essence du numeacuterique

nous donne de ce pheacutenomegravene un exemple tregraves net lintention didactique est ici

de justifier le fait que x - y = x + (-y) Pour le matheacutematicien la laquojustificationraquo shy

qui est alors strictement une deacutemonstration - est toute entiegravere contenue dans la

colonne de droite si je deacutefinis en geacuteneacuteral-y comme eacutetant le nombre tel quey + (-y) = 0

et si les proprieacuteteacutes ordinaires - associativiteacute etc - valent encore pour le nouvel

ensemble de nombres ainsi deacutefini alors le nombre z que je dois ajouter agrave y pour

obtenir x - ce quon appelle la diffeacuterence de x et y et qUon note x - y - nest pas

autre chose que x + (-y) Or la laquojustificationraquo passe dans la didactique ici examineacutee

par lappel au concret cest-agrave-dire au numeacuterique tel est le rocircle de la colonne de

gauche Ce sont les calculs numeacuteriques de la colonne de gauche qui soutiendraient

le sens (pour leacutelegraveve) des calculs litteacuteraux de la colonne de droite Malheureusement

le contenu de la colonne de gauche est si lon peut dire hautement improbable

(401 Il sagifdu _manuel Matheacutematique contemporaine pour la classe de quatriegraveme publieacute chez Magnard et conforme au programme de1978shy

78

parce que le numeacuterique ne fonctionne pas ainsi En fait les calculs numeacuteriques preacuteshy

senteacutes ici nexistent quagrave ecirctre limage en miroir des calculs litteacuteraux de la colonne

de droite Et cest pour permettre de tels calculs que le langage algeacutebrique preacutecishy

seacutement est neacutecessaire Il y a ainsi meacuteprise sur la speacutecificiteacute des deux ordres de calcul

et conseacutequemment sur le type de rapports quils entretiennent la justification

de lalgeacutebrique sappuierait sur un mode de fonctionnement du numeacuterique qui nest

en fait quun deacutecalque du fonctionnement de lalgeacutebrique et qui donc suppose

lalgeacutebrique

Leacutelucidation du nouveau rapport qui saffirme ainsi nest pas chose facile Elle

est pourtant neacutecessaire afin de preacuteciser par delagrave la surface des programmes les mouveshy

ments profonds produisant des deacutecisions didactiques quon aurait tort de regarder

seulement comme des laquotrucsraquo eacuteleacutements atomiques de strateacutegies trouvant en ellesshy

mecircmes et dans leurs effets supposeacutes leur unique mobile Revenons agrave lexemple que

nous avons examineacute Lalgeacutebrique y apparaicirct comme la laquotheacuteorieraquo de cette laquoreacutealiteacuteraquo

que serait le numeacuterique Mais les relations en acte entre theacuteorie (permettant leacutetude)

et reacutealiteacute (objet de leacutetude) y ressortissent incontestablement agrave une conception empishy

riste (et mecircme nous allons le voir empiriste-sensualiste) de la connaissance Tel est

en fait le mobile - veacutecu sans doute comme allant de soi dans leacutevidence que lideacuteoshy

logie procure - de la tentative de laquofaire sortirraquo la theacuteorie (lalgeacutebrique) de la reacutealiteacute

(numeacuterique) Il ya ici inversion des rapports entre theacuteorie et reacutealiteacute Car le surgissement

du theacuteorique - faut-il le rappeler - ne sautorise jamais que de lui-mecircme et loin

de proceacuteder de la reacutealiteacute la constitue (ou la renouvelle) comme objet de connaissance

Si jeacutecris par exemple 13 + 7 = 13 - (-7) selon un fonctionnement du numeacuterique

antinomique de la pratique calculatoire (cest-agrave-dire arithmeacutetique) du numeacuterique shy

laquelle voudrait quon eacutecrivicirct 13 + 7 = 20 - je fais de lalgegravebre sur du numeacuterique

cest loutil algeacutebrique et lui seul qui me permet ce travail du numeacuterique Entre le

fonctionnement arithmeacutetique et le fonctionnement algeacutebrique du numeacuterique il y a

ainsi une distance - un saut - que nul proceacutedeacute dlaquoabstractionraquo ne peut venir combler

On aurait tort de penser que lanalyse preacuteceacutedente ne vaut que pour lexemple

sur laquelle nous lavons illustreacutee En reacutealiteacute sa porteacutee est beaucoup plus eacutetendue

et pour en saisir toute la signification il faut revenir agrave cette acmeacute de leacutevolution de

la transposition didactique que repreacutesente la reacuteforme de 1971 (celle des laquomatheacutemashy

tiques modernesraquo) Contrairement aux opinions aujourdhui dominantes qui selon

un opportunisme neacutecessaire et une constante inconstance reacutecusent cette reacuteforme

pour ses excegraves et la regardent comme laberration dun moment il faut tenir que cette

aberration nen est pas une quelle ne fait que preacutecipiter cristalliser et rendre explicites

des traits qui deacutejagrave se repegraverent dans leacutevolution des deacutecennies preacuteceacutedentes Elle est un

moment qui donne sens reacutetrospectivement agravece qui vient avant lui et deacutetermine

largement ce qui viendra apregraves lui Car sil y a en quelque faccedilon rupture cest sur le

fond dune tregraves large surdeacutetermination En profondeur le programme de 1971 - pour

79

sen tenir agrave la classe de quatriegraveme - constitue une radiographie saisissante dune

eacutevolution que le programme de 1978 nadoucira quen surface Cest cette image

laquodureraquo quil faut interroger

On a trop vitupeacutereacute linflation moderniste le parti pris theacuteoriciste lambition

de rigueur des matheacutematiques promues par la reacuteforme et trop peu vu derriegravere cet

eacutecran deux mouvements correacutelatifs moins spectaculaires mais deacuteterminants Le

premier - que nous avons deacutejagrave plusieurs fois mentionneacute - cest lenvahissement du

champ deacutetude par les structures numeacuteriques Les laquoexcegravesraquo du programme de 1971

sont le prix agrave payer pour ce coup de force qui se megravene alors - simple tactique dun

moment le programme de 1978 installera une version apaiseacutee de la mecircme strateacutegieshy

avec lartillerie lourde de laquolapproche des reacuteelsraquo des laquocalculs approcheacutesraquo des laquoencashy

drementsraquo de haute ambition matheacutematique Le seCond cest la peacuteneacutetration dun

thegraveme qui va devenir central celui de llaquoobservationraquo et de llaquoexpeacuterimentationraquo

matheacutematiques

Fausse moderniteacute ce thegraveme est mis en place degraves les Instructions de janvier

1957 (annexe 6a) dont les Instructions de 1971 se reacuteclameront non sans raicon Il

prend alors lallure dune reacuteflexion sur les liens entre matheacutematique et extramatheacutemashy

tique La caution bergsonienne ici invoqueacutee - homo taber homo sapiens - bien que

dateacutee est agrave cet eacutegard tregraves significative La perspective proposeacutee ne conduit pas tregraves

loin les problegravemes denseignement se trouvent laquoreacutesolusraquo par une didactique euphoshy

rique (annexe 6b) Au vrai la conjoncture historique qui verra la mise en place des

matheacutematiques modernes nest alors quincomplegravetement formeacutee Ce qui manque

encore afin que lideacutee dexpeacuterimentation puisse passer dans les faits cest une matiegravere

que lon pourrait soumettre agrave lobservation et agrave lexpeacuterience A cet eacutegard les Instrucshy

tions de 1957 raisonnent encore agrave lancienne la notion dexpeacuterimentation y est

surtout loccasion dune rheacutetorique qui tourne sur elle-mecircme faute de pouvoir sapplishy

quer Mais cette matiegravere dapplication qui fait deacutefaut la reacuteforme va lapporter en

abondance ce sera le numeacuterique dont nous comprenons mieux degraves lors la place

de choix que les programmes reacuteformeacutes vont lui accorder Son expansion se trouvait

en fait comme appeleacutee par lexigence laquoexpeacuterimentaleraquo induite par une certaine concepshy

tion eacutepisteacutemologique et didactique

Le deacutecor de laction est installeacute en consonance avec une mise en scegravene empiriste

du procegraves de connaissance(41) Il Y a la laquoreacutealiteacuteraquo qui est un donneacute dont la preacutesence

simpose avec la derniegravere force et il y a la laquotheacuteorieraquo de ce donneacute que lon preacutetend

tirer par abstraction de lobjet agrave laquelle elle se voue La dialectique du numeacuterique

et de lalgeacutebrique est alors perdue lun de ses termes (lalgeacutebrique) se dissout dans

(41) Pour lintelligence de ce qui suit nous renvoyons agrave Althusser 1968 notamment pp 38-45

80

lautre (le numeacuterique) agrave qui est octroyeacute par nature une existence presque mateacuterielle

et dont lalgeacutebrique proceacutedera geacuteneacutetiquement La reacuteforme de 1971 remanie donc

le champ deacutetude pour y produire de solides objets laquoreacuteelsraquo agrave forts coefficients dexis-shy

tence les structures numeacuteriques et aussi la mysteacuterieuse laquodroite physiqueraquo dont la

soudaine promotion ontologique serait autrement encore plus inexplicable(42) Cela

poseacute lintroduction du litteacuteral (lalgeacutebrique) sidentifie au mouvement par lequel

dans le procegraves empiriste de connaissance se repreacutesente lessence du reacuteel qui est toute

la connaissance que le sujet peut tirer de lobjet par abstraction il permet de distinguer

entre un reacuteel essentiel et un reacuteel inessentiel gangue ou accident que le processus

dabstraction abandonne comme un reacutesidu impenseacute Labstraction qui vise agrave porter

agrave la lumiegravere ce quon pourra connaicirctre de lobjet agit par deacutecrassage et deacutecapage

CHA~tTRbullbull tour dieacuteremcs ftiems de 1t 011 obti=c cIes putitioas cilifeacute=o~ Uuml fiIure 2 repreacutese1tt (parshy

tieJ1emenz) les paniagravecas ~ i- II-l 11--0 11 - - l~ = grouie agrave la loupe la paftiriœ cozrcspoadaDc agrave Il - - 2shy

f-oo( [Q10[

1 1

~ Q t

(-2 ~( T

[l 0 ( [01 ( r12 r i i i i J r sr

-1shy 0 t

1 1 1 1 1 1 1 1 shy 1 bull 1 1 1 11

-1 -01 001 lU 03 ~ o~ 06 07 oa 09 1 11

P4 041 ~l ~~I 041ds1 -i -o] OoJ O4l o~ 04S 04) ~ 1 ~1 1

fJvZ

li) De m=c si II eR lD1 emer œIaagravef acirczeacute et si CI pr=d tOlIœS les ftiems possibles da2s Z r=semblc cIes imenalles cie c

Jcr10 (CI + L 10

eR iJMpcrtirIcircD1f de C Uuml figure 3 repreacutes=œ (articllemcm) =œ putitioll p04 shy O~

r 1 i 1 T l 1 1 -5 -4shy -3 -2 -r agrave l Z ~ 4shy 5

~3

DOCUMENT6

Le deacutecapage du donneacute dans le processus empiriste de connaissance

(42) Voir Chevallard et Johsua 1982 notamment pp 200-203

81

agrave ce thegraveme geacuteneacuteral de la connaissance empiriste reacutepond correctement dans les proshy

grammes la notion dlaquoapprocheraquo ou dlaquoapproximationraquo des laquoreacuteelsraquo (qui nont jamais

aussi bien porteacute leur nom) Ceux-ci sont atteints par le moyen de purifications successhy

sives qui eacuteliminent peu agrave peu la gangue inessentielle Tel manuel (43) pris parmi tant

dautres- en offre la superbe illustration (document 6) limage de la loupe - emblegraveme

de la connaissance empiriste dont elle est linstrument privileacutegieacute parce quelle permet

de mieux voir et de faire voir - y est requise et symbolise mieux quun long commenshy

taire cette conception de la connaissance comme visant agrave amener linvisible agrave la

vue de tous

Une telle conception de la connaissance rate le reacuteel dont il sagirait preacuteciseacutement

de produire la connaissance parce quelle en manque la constitution comme objet

de connaissance(44) Lalgeacutebrique ne sert plus agrave connaicirctre le numeacuterique Il nest plus

deacutesormais quune steacutenographie middotessentialisante qui deacutecrit reacutesume et seacutepare lessence

de laccident Le surgissement laquomoderneraquo de la dichotomie de llaquoobservationraquo et de

la laquotheacuteorieraquo - que les manuels actuels reprennent agrave lenvi - est ainsi correacutelatif dune

dissolution de lobjet de connaissance au profit de lobjet reacuteel maintenant donneacute

agrave voir dans une abstraction reacuteputeacutee immeacutediate et facile Lordre didactique va sorgashy

niser autour de cette eacutepisteacutemologie imaginaire

REFERENCES

ALTHUSSER L (1968) Lire le Capital Franccedilois Maspeacutero Paris

BOURDIEU P (1974) Le sens pratique eacuteditions de Minuit Paris

BROUSSEAU G (1980) Problegravemes de lenseignement des deacutecimaux Recherches

en didactique des matheacutematiques 1middot1 pp 11-59

CHEVALLARD Y (1980a) Matheacutematiques langage enseignement la reacuteforme des

anneacutees soixante Recherches 41 pp 71-99

CHEVALLARD Y (1980b) La transposition didactique 1REM dAix-Marseille

CHEVALLARD Y (1982) Pourquoi la transposition didactique 7 Publication du

seacuteminaire de didactique et peacutedagogie des matheacutematiques 32 Grenoble

CHEVALLARD Y et JOHSUA MA (1982) Un exemple danalyse de la transposition

didactique Recherches en didactique des matheacutematiques 3 2 pp 157-239

MICHEL PH (1950) De Pythagore agrave Euclide Les Belles Lettres Paris

SMITH DE (1953) History of mathematics volume Il Dover publications Inc

New York

(43) Il sagit de louvrage mentionneacute dans la note 24 ci-dessus

(44) Sur la distinction entre laquoobjet reacuteelraquo et laquoobjet de connaissanceraquo voir Althusser 1968 pp 4649

82

CLASSE DE QUATRIEME CLASSIQUE A ET B ET DE QUATRIEME MODERNE

PROGRAMME DE 1945 (extraits)

Arithmeacutetique

Pratique sur des exemples de la deacutecomposition dun nombre entier en facteurs premiers de la recherche du plus grand commun diviseur et du plus petit commun multiple de deux ou plushysieurs nombres Applications aux fractions

Algegravebre

Nombres algeacutebriques (positifs nuls heacutegatifs) Opeacuterations sur ces nombres exposeacutes agrave partir de problegravemes concrets Ineacutegaliteacutes

Mesures algeacutebriques de vecteurs sur une droite orienteacutee Formule de Chasles Repeacuterage dun point sur un axe

Eleacutements du calcul algeacutebrique proprieacuteteacutes des sommes et des produits Puissances Produit et quotient de deux puissances dun nombre usage de lexposant nul et dexposants neacutegatifs

Monocircmes Produit de monocircmes Quotient de deux nombres Somme de monocircmes semblables (on se bornera agrave des monocircmes agrave une deux ou trois variables) Polynocircmes agrave une variable addition soustraction multiplication par une constante

Equations numeacuteriques du premie( degreacute agrave une inconnue Problegravemes conduisant agrave une eacutequation numeacuterique du premier degreacute agrave une inconnue

Annexe 1

83

CLASSE DE QUATRIEME

PROGRAMME DE 1958 (extraits)

Arithmeacutetique

Pratique sur des exemples de la deacutecomposition dun nombre entier en un produit de nomshybres premiers pratique de la recherche du plus grand diviseur commun et du plus petit multiple commun de deux ou plusieurs nombres Applications

Algegravebre

1 - Nombres relatifs (positifs nuls neacutegatifs) Orientation dun segment (vecteur) orientation dune droite (axe) mesure algeacutebrique

dun segment orienteacute sur un axe repeacuterage dun point sur un axe (abscisse)

II - Opeacuterations eacuteleacutementaires sur les nombres relatifs addition et soustraction multiplishycation et division

Extension aux nombres relatifs des proprieacuteteacutes fondamentales eacutetablies pour les nombres arithmeacutetiques (classe de cinquiegraveme) concernant les sommes les diffeacuterences les produits les puisshysances n-iegravemes les quotients linverse dun nombre non nul Condition pour quun produit soit nul

Deacutefinition des exposants neacutegatifs et de lexposant nul Comparaison des nombres relatifs ineacutegaliteacutes Ineacutegaliteacutes concernant la valeur absolue dune somme ou dune diffeacuterence Formule de Chasles pour trois points situeacutes sur un axe Segment deacutefini par les abscisses

des deLix points qui le limitent mesure algeacutebrique de ce segment orienteacute mesure de la longueur de ce segment abscisse du milieu de ce segment

III - Notions de variables et de correspondance entre variables Expressions algeacutebriques deacutependant dUne ou de plusieurs variables calcul de la valeur

numeacuterique dune expression algeacutebrique pour des valeurs numeacuteriques donneacutees aux Ymiddotariables Monocircmes agrave une ou plusieurs variables multiplication addition de monocircmes semblables Polynocircmes forme reacuteduite Polynocircmes ordonneacutes addition multiplication Identiteacutes relatives aux produits (x + y)2 (x - y)2 (x + y)(x - y)

IV - Equations position du problegraveme signification du signe = dans ce problegraveme Equashytions du premier degreacute agrave une inconnue agrave coefficients numeacuteriques Reacutesolution de problegravemes simples agrave laide dune telle eacutequation

Annexe 2

84

CLASSE DE QUATRIEME

PROGRAMME DE 1971 (extraits)

1 - Relations

Reacutevision -des notions preacutesenteacutees dans les classes anteacuterieures et compleacutements produit carteacutesien relation application composition des applications bijection cun ensemble sur un ensemble et bijection reacuteciproque

Notion de groupe deacutefinition (on la jeacutegagera des exemples du programme)

II - Nombres deacutecimaux relatifs et approche de reacuteel

1 Groupe des puissances de dix

Nombres deacutecimaux relatifs eacutecrits a 10n avec a e7l et p E7 et sous forme de nombres agrave virgule addition multiplication ordre valeur absolue Reacutesumeacute des proprieacuteteacutes fondamentales de lensemble ainsi structureacute des deacutecimaux relatifs

2 Calculs approcheacutes

a) EnC3drement dun nombre deacutecimal par des intervalles des types [a 10pbull (a + 1) 10middot[ da 101 (a + 1) 10- [a 10pbull (a + 1) 101] avec a E Z et p E Z Sur des exelJlples encamiddot drement middotdune somme dun produit

b) Exercices de deacutetermination pour un deacutecimal strictement positif d donneacute et pour un entier relatif n donneacute du nombre deacutecimal x bull 10 avec x E IN tel que soient veacuterifieacutees les ineacutegaliteacutes 0 ~d x 10 ~ 1 lt d (x + 1) 10

c) Exercices de deacutetermination pour un deacutecimal strictement positif d donneacute et pour un entier relatif n jonneacute du nombre deacutecimal y bull 10 avec y E IN tel que soient veacuterifieacutees les ineacutegaliteacutes [y 10P ~ d lt [(y + 1) 10]

d) Suites deacutecimales illimiteacutees nombres reacuteels encadrements dun nombre reacuteel

3 Enumeacuteration des principales proprieacuteteacutes qui structurent fensemble IR des reacuteels addition (IR +) est un groupe commutatif multiplication associashytiYiteacute distributiviteacute par rapport agravefaddition ordre et valoeur absolue

On admettra que pour tout nombre reacuteel a jiffeacuterent de 0 il existe un nombre reacuteel a-1 et un seul tel que aa-1 = 1 Pour tout couple de nombres reacuteels (a b) avec a = 0 il existe un nombre reacuteel unique x appeleacute quotient de b par a

b et noteacute ba-1 ou - tel que ax = b a

Exercices simples de calcul sur de tels quotients Sur des exemples -numeacuteriques eacutequations et ineacutequations du premier degr9 agrave une inconnue

Usage des exposants entiers groupe des puissances dun nombre reacuteel non nul

Calculs approcheacutes sur les nombres reacuteels

4 Exemples de fonctions polynocircmes (applications de IR dans IR) Degreacute Exercices de calcul SUT les polynocircmes Produits (x + a)2 (x - a)2 (x + a) (x - a) Exercices de factorisation

Annexe 3

85

ENCYCLOPEDIE QUILLET (1958)

TABLE DES MATIERES (extraits)

ARITBMEacuteTIQUE Notio~ preacute1i1Ji~ajres - Ideacutee de nombrebullbullbullbull 153 NumeratIon decmale bullbullbullbullbullbullbullbull 156 ~esure des grŒDdeurs bullbullbullbullbullbull bullbullbullbull 159 Nombresmiddot deacutecUDauxbullbullbullbullbullbullbullbullbullbull 169 Ladditionbullbull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull 165 La soustraction bull bull bull bull bull bull bull bull bull 168 La ~~qplication bullbullbullbullbullbullbull1 bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bullbull 171 La diVISIon 178

Regravegle de trois bull bull 117 Pourcentages bullbullbull 119 Partages proportionnels 110 ~~langes bullbull i bull bullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbull 111 Alliages bull 111 Regravegles dinteacuterecircts 124 Rentes sur Pltat 116 Actins et obli~tions - Escompte 117

Problegravemes sur les quatre opeacutemtions bull bull bull 184 La divisibiliteacute bull bull bull bull bull bull bull bull 186 Plus grŒDd commun diviseur (p G C D) 189 Plus petit commun multiple (P P C M) 191 Nombres premiers bullbullbullbullbullbullbullbull 192 Les fractions bull bull bull bull bull 194 Opeacuterations sur les fractions 197 Sys~egraveme meacute~que 203 Racme carree 207 Rapports - Proportions 2 II

Grandeurs Proportionnelles 215

Connge des exercces ~ 130

Annexe4a

ALGEgraveBRE Notions preacuteliminaires bullbullbullbull 157 Opeacutemtions sur les nombres algeacutebriques (somme

diffeacuterence multiplicationmiddot division des nombres algeacutebriques fractions ou rapports algeacutebriques puissances racines) bull bull 160

Qpeacuterations sur les expressions algeacutebriques bull 168 gquations du premier degreacute 278 Reacutesolution des problegravemes du premier degreacute agrave une

inconnue bullbullbullbullbullbullbullbullbull 186 gquations et problegravemes du premier degreacute agrave deux

ou plusieurs inconnues bull bull 191 Notions sur les repreacutesentations graphiques bull bull 301

Variation des fonctions 313 Deacuteriveacutees bullbull bull bull 319

~uations et problegravemes du second degreacute bull bull 312

ProgressionsetlogaritbInesmiddotmiddotmiddotmiddot middotmiddot middotmiddotmiddot middot331 Table de logarithmes de 1 agrave 1 000 bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull 338 Application des logarithmes Inteacuterecircts composeacutes et

annuiteacutes bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull 343 Corcigeacute des ex~ces bullbull ~ bullbullbullbullbullbullbull 348

Annexe4b

53

pour cet effet un jeune homme quil avait pris agrave son service en quittant Berlin qui

posseacutedait assez bien larithmeacutetique mais qui navait dailleurs aucune teinture des

matheacutematiques il avait appris le meacutetier de tailleur et ne pouvait ecirctre mis quant agrave

sa capaciteacute quau rang des esprits ordinaires Non seulement ce jeune homme agrave tregraves

bien saisi tout ce que son illustre maicirctre lui enseignait et lui dictait(6) magraveis il sest

mecircme trouveacute en peu de temps en eacutetat dachever tout seul les calculs algeacutebriques les

plus difficiles ( hgt Si larithmeacutetique constitue agrave un premier niveau dinstruction

un ensemble coheacuterent et relativement complet elle est ainsi agrave un second niveau le

fondement sur lequel lapprentissage de lalgegravebre va venir prendre appui

III - LE PASSAGE DE LARITHMETIQUE A LALGEBRE

Avoir quelques rudiments darithmeacutetique est en tout meacutetier une exigence

tregraves anciennement attesteacutee les arithmeacutetiques imprimeacutees depuis la fin du XVegraveme

siegravecle ne sont-elles pas en theacuteorie proposeacutees aux marchands et neacutegociants Lapprenshy

tissage de lalgegravebre marque alors un passage une maniegravere de progresser dans le savoir

qui est aussi une maniegravere de seacutelever dans la socieacuteteacute Et loin que ce passage soit gommeacute

(comme il en va aujourdhui nous le verrons) il se trouve longtemps mis en avant

par toute une rheacutetorique qui sefforce de situer arithmeacutetique et algegravebre dans le prolonshy

gement lune de lautre tout en les opposant

La plupart des auteurs recourent agrave cet eacutegard agrave une strateacutegie dexposition

simple et nette partant dun problegraveme darithmeacutetique ils en rappellent la solution

laquopar (arithmeacutetiqueraquo pour lui opposer ensuite la solution laquopar lalgegravebreraquo Ainsi le

document 1 premiegravere page dun opuscule consacreacute agrave Lalgegravebre agrave leacutecole primaire

(cours supeacuterieur) et publieacute agrave Marseille en 1924 donne de cet abord de lalgegravebre une

illustration concise et significatiye~

Emploi des h~ttres

dans la solution des problegravemes

Probegraveme - On a un collpon de drap dune certaine lonshygueur el LUI deuxiegraveme coupon qui a 4 megravetres de plus Ces deLLX coupons out ensemble 40 megravetres On demande la longueur de chaque coupon

(6) Euler eacutetait devenu aveugle en 1771

54

SOLUTION ABlTH)IEacuteTIQUE

l Heprecircsentons la longueur du 1 coumiddot ~o lon middotpar une ligne

ft ~~ Cne ligne semblable augmenteacutee de i4 Ill figurera le 2m coupon

En examinant cette repreacutesentation graphique on voit de suite que petit COUP0rl + petit coupon + 4 lU ou 2 fois le petit coupon + 4 m = 40 lU

par conseacutequent 2 fois le petit coupon =40 m - 4 lU =36 Ill dou petit coupon = 38 lU l = 18 Ill

el grand coupan = 18 lU + 4 lU = l2 m

SOLUTION ALGEacuteBR~QUE

1er X Au lieu de la ligne meltonsmiddot pour le 40 m 1er coupon hl lettre x

) 2lDe x+4 m Nous aurons pour le 2me coupon r x+4shy

Nous avons ainsi sous les yeWt comme pour- la solution preacuteceacutedente une image tregraves nette de leacutenonceacute et nous poumiddot ons eacutecriremiddot

x + r + 4 = 40 nt 2 Cois x + 4 = 40 nl

2 Cois r =40 m - 4 nl =36 Ill

x = 36 2 =18 lU

ct grand coupon =18 m + 4 lIJ = 22 lU

Chaque fois que nous emploierons des lettres dans la reacutesolution des problecircmes Il0US ferons de lalgegravebre

La solutiou algeacutebrique est plu simple Flus rapide que la solu tion arithmeacutetiquebull llle dispense le fme de longs raisonnemeuts

DOCUMENT 1

On notera ici que les auteurs rencontrent en geacuteneacuteral une difficulteacute didactique

caracteacuteriseacutee Lideacuteal serait eacutevidemment de proposer un problegraveme tout semblable agrave

ceux que larithmeacutetique permet en principe de reacutesoudre mais dune complexiteacute telle

que les seules lumiegraveres de larithmeacutetique nous laissent impuissants agrave le reacutesoudre effecshy

tivement et den donner alors une solution par le moyen de lalgegravebre Mais le comshy

menccedilant ne maicirctrisant pas loutil algeacutebrique - par deacutefinition - ils doivent sen tenir

agrave un problegraveme de structure assez simple pour que lintroduction du langage e~ des

proceacutedures algeacutebriques demeurent aiseacutement compreacutehensibles en soulignant eacuteventuelshy

lement ensuite que les mecircmes meacutethodes preacutesenteacutees sur un exemple qui certes ne les

requiert pas permettraient de reacutesoudre des problegravemes laquotregraves-compliqueacutesraquo devant

lesquels larithmeacutetique seule nous laisserait cois (document 2)

Le passage de larithmeacutetique agrave lalgegravebre est dautant mieux marqueacute jusquau

deacutebut du XIXegraveme siegravecle que cest seulement avec leacutetude de lalgegravebre que sintroshy

duisent les laquosignes algeacutebriquesraquo Longtemps en effet larithmeacutetique les ignore(7)

(7) Voir Smith 1953 p 395

55

Les auteurs donc en preacutesentant la solution algeacutebrique du problegraveme quils ont pris

pour mateacuteriel dinitiation preacutesentent aussi les signes usuels que nous appellerions

volontiers signes arithmeacutetiques soit + - X = etc Dans un manuel qui peut dater

de la fin du XVlllegraveme siegravecle et dont le premier chapitre sintitule opportuneacutement

laquoNotions preacuteliminaires sur le passage de lARITHMETIQUE agrave lALGEBRE explishy

cation et usage des signes algeacutebriquesraquo on Voit ainsi lauteur introduire soigneusement

les sjgnes daddition de soustraction de multiplication de division le signe deacutegaliteacute

et enfin linconnue x quil rapporte dailleurs agrave lusage adopteacute en arithmeacutetique agrave

propos du quatriegraveme terme - inconnu et agrave deacuteterminer - dune proportion (document

2)

2 Les raisonnemcn9 fort simples dans le problegravememiddot roposeacute ci~essus mais tregraves-compliqueacutes dans dautres se composant ell geacuteneacuteral dun certain nombre dexshypressio1s bull telle que ajouteacute egrave diminueacute de est eacutegal agrave lrc reacutep~teacutee5 freacutequemment et qui tiennent aux opeacuterashytions par lesquelles les grandeurs qui entrent dans 1eacuteshynonceacute de la question sont lieacutees entre elles il est isible quon abreacutegerait beaucoup en repreacutesentant chashycune de ces expressions par un signe et cest aussi ce quon fait comme il suit

Pour indiquer raddition on se sert du signe + qui sinilie plus

Pour la soustraction on se sert du signe - qui signifie moins

Pour la multiplicatiOnraquo on se sert du signe X bull eacutetui signifie multiplieacute par bull

Pour eacutecrire que deux quantiteacutes doivent ecirctre di~eacutees lune par lautre on place la seconde sous la premiegravere ~

et on les seacutepare par un trait ~ signifie 5 divis~ par 4shyEnfin pour marqu~rquedeuxquantj-~ ~ ~ont eacute~ales on ~

1l1et entte leurs expressions le signe = qui signifieeOaie~

Ces abreacuteviations quoique deacutejagrave tregraves-consideacuterabl~ ne linm~entpas encoreraquo car On est obligeacute demiddotdpeacuteter OUveRt

le nombre ci partager le nombre donneacute etc la pluspetite partie le nombre chercheacute etc ce qui alonge beaucoup A leacutegard des donnies lexpeacutedient qui sest offert le p-emier a eacuteteacute (le prendre pour les repreacutesenter des nombres dttermincs qui servent dexemple comme on ell use en arithm~tique mais la chose neacutetanl pas poshy5ible agrave leacutegard des nombres inconnus on ya substitueacute un signe de c nention qui a varieacute avec le temps_ On sest enirn accord~ il employerles lettres de lalphashybet presque touiours on se sert des derniegraveres bull comme en arithmeacutetique on met une x pour le quatriegraveme terme dune proportion dont on ne cODnakque les troill shypremiers et cest agravee lusage de ces divers signes quest reacutesulteacute rA~egravebre

DOCUMENT 2

56

De mecircme dans ses Eleacutemens dalgebre (eacutedition de 1760) voit-on Clairaut qui double le

corps de son texte de notes marginales visant agrave eacuteclairer le lecteur sur leacutepisode en cours

(document 3) preacutesenter un agrave un ces nouveaux eacuteleacutements du discours matheacutematique

Pour mieux donner les principes de cette Science nous nl10ns reprendre la mecircme quef-shytion nous eacutecrire~i en langage ordinaire les raishyfonnemcns que lAlgecircbrifie tagraveit pour reacutefoudre fon Problecircme amp en caraeacuteleres Algtbriques ce qui lui 1ugraveffit deacutecrire pour aid~r fa meacutemoire

La plus petite ou la trolfieme part quelle quelle fait je middotlexprime par une feule letue quifera par exemple bullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbull x

La feconde fera parconfeacutequentxplus II) ce que jeacutecris ainfi bullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbull x + II) choififiagravent le figne +9uon prononceplus po~ deacuteligner lAddition des d(ux auantiteacutes entre lcfquelles on le place

Quant i la premiere part ou la plus grande comme elle furpa1fe la feconde de 1 8o elle fen exprimeacutee par bull bull bull bull bull bull bull~ -+ II) + 1 80

Ajoutant ces trois parts on aura bull bullbullbullbull bull bull bull 3 x + II) +1 1) + 180 ou en reacuteduifant bull bull bull bull bull bull bull bull bullbullbull 3 x + 410

Mais cette lomme des trois pans doit eacutegaler Le fagne= 89015 ce qui sexprime ainfi 3x+410=-~90marque) c- saliceacute employant le caraeacutelere = qUI fe prononce

eacutegal pour exprimer leacutegaliteacute des deux quantiteacutes entre lefquelles on le place

La quefiion par ce calcul efi donc changeacutee en une autre ougrave il sagit de trouver une quantiteacute dont le triple eacutetant ajouteacute avec fI deg fafle S90

one c(qula Trouver la reacutefolution de femblables Juemonslion e ~ e- ~ Il Il eacutefc d gJ1ileacute de c eu ce quon appe e r ou re une quanon ~eul quan- leacutequation dans ce cas-ciefi 3x+f10=890 IJ~~ reacutefout on lappelle ainfi parce quelle indique leacutegali~ une eacuteJqu(- teacute de deux quantiteacutes reacuteloudre cette eacutequation lIOn or - J1 1 1 dlquon rrou- C en trouver a va eur e mconnuex par cette nJ~valcur condition qu fon triTlellus 4-10 fatre ~90 de 1 mcon- 1 nue quclle bull rcnfermc Pour reacuteroudre cette eacutequation voici comshyReacutefolurion ment lAlgeacutehrifie raifonne amp comment il eacutecrit

de legravequa- fc raifc L fc cllion qui el[- es onneRlens quatlon a re ou re bullbullbull Erime le bullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbull 3x+4-10=890 Pblcme d Il agravepreacuteceacutedent m appren qu l Jaut aJouter bullbullbullbullbull 4 10 3 r

pour faire la comme de 890 donc 3 x font moindres que 890 de 41o ce que jeacutecris

LeC3rai- ainfi middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot3 x=890 -4-IO

tere -- in- Prenant le caraeacutelere - qui fe prononce moim tI~~taI pour faire reifouvenir que la quantiteacute quil preacute li~ cccedilde doit ecirctre retnDcheacutee de celle quil f~t

DOCUMENT 3

Meacutelhodo AIgcbriquc dexprimer le Probeumlmiddotmiddot me preacutelshydcnr

Le fagne indJque lacWilioa

57

Bien entendu lintroduction des signes laquoalgeacutebriquesraquo degraves les eacuteleacutements darithshy

meacutetique qui va simposer deacutefinitivement au XIXegraveme siegravecle atteacutenue quelque peu la

marque formelle du passage de larithmeacutetique agrave lalgegravebre Mais la transition est toujours

souligneacutee elle participe de la rheacutetorique denseignement autour de la dialectique de

lancien et du nouveau que nous avons ailleurs preacutesenteacutee(8) Elle se coule alors en

dautres analyses et notamment dans une preacutesentation de lalgegravebre comme meacutemoire

permettant de conserver une trace des opeacuterations effectueacutees Proprieacuteteacute fort ancienneshy

ment noteacutee semble-t-il et de laquelle Clairaut - se situant il est vrai dans une persshy

pective plus didactique queacutepisteacutemologique(9) - fait mecircme deacutecouler linteacuterecirct et la

neacutecessiteacute de lalgegravebre(10)

Ainsi lalgegravebre soppose-t-elle agrave larithmeacutetique par une proprieacuteteacute qui lui donne

une puissance supeacuterieure Mais par lagrave dans un deuxiegraveme temps de la dialectique que

tissent les auteurs entre arithmeacutetique (lancien) et algegravebre (le nouveau) lalgegravebre

apparaicirct positivementmiddot comme laccomplissement de larithmeacutetique Sappliquant

agrave lorigine au mecircme corps de problegravemes elle est une arithmeacutetique deacutelivreacutee de lopaciteacute

et de loubli qui deacuterobent agrave nos yeux la structure des problegravemes eacutetudieacutes Elle est un

instrument supeacuterieur pour une tacircche semblable Elle est une arithmeacutetique universelle

- comme lappelle Newton - ou encore une arithmeacutetique geacuteneacuteraliseacutee comme le note

Poinsot un bon siegravecle plus tard en une deacutefinition quun auteur de manuel de la fin

du XIXegraveme - deacutebut du XXegraveme comme beaucoup dautres avant et apregraves lui reprend

agrave son comlte et propose agrave la meacuteditation ltles eacutelegraveves de collegravege laquoLalgegravebre eacuteleacutementaire

nest autre chose quune arithmeacutetique geacuteneacuteraliseacutee cest-agrave-dire eacutetendue des nombres

particuliers agrave des nombres quelconques et par conseacutequent des opeacuterations actuelles

quon exeacutecutait agrave des opeacuterations quon ne fait plus quindiquer par des signes de

(8) Voir Chevallard 1980b

(9) Il ne faut pas neacutegliger en effet la part de rheacutetorique dintention didactique que comporte ce genre de remarques

(10) Ayant preacutesenteacute - selon la technique didactique usuelle - la solution arithmeacutetique dun proshyblegraveme darithmeacutetique pour lui comparer ensuite la solution au moyen de lalgegravebre Clairaut eacutecrit en effet laquoCest vraisemblablement ainsi que les premiers Algeacutebristes ont raisonneacute quand ils se sont proposeacutes de pareilles questions sans doute quagrave mesure quils avanccedilaient vers la solution dune question ils chargeaient leur meacutemoire de tous les raisonnemens qui les avaient conduits au point ougrave ils en eacutetaient amp lorsque les questions neacutetaient pas plus compliqueacutees que la preacuteceacutedente il ny avait pas de quoi se rebuter mais degraves que leurs recherches ont offert plus dideacutees agrave retenir il a fallu quils cherchassent une maniegravere plus courte de sexprimer quils eussent quelques lignes simples avec lesquels quelquavanceacutes quils fussent dans la solution dun problegraveme ils pussent voir dun coup dœil ce quils avaient fait amp ce quil leur restait agrave faire Or lespegravece de langage particulier quils ont imagineacute pour cela cest lAlgegravebreraquo (Eleacutemens dAlgebre troisiegraveme eacutedition Paris 1760 p 3)

58

maniegravere que dans cette premiegravere speacuteculation de lesprit on songe moins agrave eacutetablir le

reacutesultat de ces opeacuterations successives quagrave egraven tracer le tableau et agrave deacutecouvrir ainsi des

formules pour la solution de tous les problegravemes du mecircme genreraquo (11)

IV -LE DEVENIR DE LARITHMETIQUE DANS LA REFORME

En France la reacuteforme des matheacutematiques modernes est mise en œuvre agrave partir

de la fin des anneacutees soixante elle touche les classes de sixiegraveme et de seconde agrave la

rentreacutee 1969 les classes de cinquiegraveme et de premiegravere en 1970 les classes de quatriegraveme

et de terminale en 1971 enfin en 1972 la classe de troisiegraveme Cest eacutevidemment dans

ce cadre densemble que le pheacutenomegravene eacutetudieacute ici doit ecirctre situeacute Du point de vue qui

nous occupe cette reacuteforme reacutealise un changement profond dans lorganisation du

corpus matheacutematique enseigneacute Le programme reacuteformeacute de la classe de quatriegraveme

comporte quatre titres Les deux derniers sont consacreacutes agrave la geacuteomeacutetrie( 12) Les

deacuteux premiers titres concernent lun les relations lautre les nombres deacutecimaux et

lapproche des reacuteels (annexe 3) Formellement donc la structuration arithmeacutetique

algegravebre agrave disparu comme nous le notions plus haut Que sest-il passeacute

Pour reacutepondre agrave cette question il est bon dexaminer rapidement les contenus

des corpus traditionnels darithmeacutetique et dalgegravebre laquoeacuteleacutementairesraquo (en eacutecartant un

instant les consideacuterations de niveaux dans le cursus denseignement) Larithmeacutetique

dabord Dans un manuel publieacute en 1934 agrave lintention du cours moyen et du cours

supeacuterieur du premier degreacute(13) on trouve ainsi une premiegravere partie portant sur la

numeacuteration les quatre opeacuterations les problegravemes dapplication de ces notions dont des

problegravemes laquopratiquesraquo (achat et vente agrave la douzaine agrave la centaine problegravemes de

partage achats doubles successifs etc) puis des laquonotions de geacuteomeacutetrieraquo (circonshy

feacuterence etc) enfin un chapitre sur les nombres laquocomplexesraquo(14) La seconde partie

(11) Feacutelicien Girod Traiteacute dalgegravebre eacuteleacutementaire theacuteorie et pratique agrave lusage des lyceacutees des collegraveges et de tous les eacutetablissements dinstruction (premier cycle) vingt deuxiegraveme eacutedition Paris sd p 9

(12) Nous les laisserons de cocircteacute ici

(13) Arithmeacutetique par une commission dinstituteurs Vannes deuxiegraveme eacutedition 1934

(14) Rappelons quon appelait nombre complexe laquoun nombre concret composeacute de plusieurs parties se rapportant agrave des uniteacutes diffeacuterentes et dont le systegraveme de numeacuteration nest pas deacutecimal Ainsi 3 ans 4 mois 15 jours 43 degreacutes 18 minutes 17 secondes sont des nombres complexesraquo (F J Eleacuteshyments darithmeacutetique Tours et Paris 1913 p 182) laquoOn dit quun nombre est concret quand il est accompagneacute du nom de luniteacuteraquo comme dans laquovingt arbres six billes cinq francs soixante centimesraquo (dapregraves lArithmeacutetique citeacute~ dans la note 13 p2)

59

intituleacutee Systegraveme meacutetrique est consacreacutee aux mesures (surfaces volumes poids

capaciteacutes~ etc) Enfin une troisiegraveme partie traite agrave la fois de la divisibiliteacute des fracshy

tions des rapports et proportions et des regravegles (de trois etc) ainsi que de leurs

applications agrave des problegravemes pratiques (caisse deacutepargne actions et obligations etc)

Dune maniegravere plus deacuteveloppeacutee et sadressant agrave un niveau plus eacuteleveacute du cursus (matheacuteshy

matiques eacuteleacutementaires) un ouvrage de 1913(15) propose un plan qui nest guegravere diffeacuteshy

rent le 1ivre 1 traite de la numeacuteration et des opeacuterations le livre Il des proprieacuteteacutes

des nombres (divisibiliteacute plus grand commun diviseur nombres premiers etc)

le livre III des fractions le livre IV des puissances et des racines le livre V des

mesures (systegraveme meacutetrique monbres complexes) le livre VI des rapports et de leurs

applications (regravegles de trois de socieacuteteacute etc) le livre VII des approximations numeacuteshy

riques (opeacuterations abreacutegeacutees erreurs relatives)

Corpus traditionnel- agrave quelques ajouts pregraves - acircvons-nous dit Dans lArithshy

meacutetique de Jacques Pelletier du Mans (1554) le premier livre traite des nombres et

des opeacuterations de la regravegle de trois directe et laquorebourseraquo le deuxiegraveme livre des

fractions le troisiegraveme livre de lextraction de la racine carreacutee le quatriegraveme et dernier

livre de la regravegle double de faux (de fausse position) de la regravegle de socieacuteteacute etc Cette

organisation de larithmeacutetique qui na pas surveacutecu dans notre enseignement geacuteneacuteral

se retrouve aujourdhui dans les peacuteripheacuteries ou dans les marges du systegraveme denseishy

gnement officiel agrave linteacuterieur comme dans certains enseignements professionnels

agrave lexteacuterieur comme en teacutel manuel darithmeacutetique(16) adresseacute aux laquoautodidactesraquo

qui se publie aujourdhui encore au Royaume Uni (dans le cadre dune collection

intituleacutee Teach Yourself Books) simplement mis agrave jour preacutesenteacute au lecteur comme

laquofully decimalised and metricatedraquoil comporte agrave cocircteacute des parties traditionnelles

(nombres et opeacuterations factorisation des nombres fractions rapports et proportions

inteacuterecircts simple et composeacute etc) un chapitre sur la taxe agrave la valeur ajouteacutee ainsi

quun chapitre sur les machines agrave calculer et la nUJ1eacuteration binaire Un bon teacutemoigage

de leacutetat deacutequilibre atteint agrave la veille de la reacuteforme nous est fourni par leacutedition de

1958 de lEncyclopeacutedie autodidaetique Quillet en sa partie Arithmeacutetique dont la

table des matiegraveres est reproduite plus loin (annexe 4a)

Cest ce corpus traditionnel qui vole en eacuteclat deacutefinitivement - car son eacuterosion

eacutetait fortement avanceacutee - avec la reacuteforme du deacutebut des anneacutees soixante-dix(17)

Mais lexplosion de la neacutebuleuse arithmeacutetique ne signifie pas pour autant la disparition

(15) Voir la note 13

(16) LC Pascoe Arithmetic Decimalised and Metricated Houdder and Stoughton Londres 1971

(17) Cette rupture - eacutevidente - recouvre pourtant agrave un niveau plus profond des eacuteleacutements attestant la contiguiumlteacute nous y viendrons plusIoin

60

de larithmeacutetique Les parties traditionnelles de ce corpus libeacutereacutees de leur inteacutegration

au sein dune organisation multiseacuteculaire du savoir enseigneacute vont deacutesormais connaicirctre

des destins relativement indeacutependants Le noyau essentiel - les nombres et les opeacuterashy

tions sur les nombres - qui constituait la base du systegraveme anteacuterieur non seulement

ne disparaicirct pas mais trouve une extension soudaine associeacutee agrave une promotion en

digniteacute matheacutematique alors que en effet leacutetude laquoarithmeacutetiqueraquo des nombres ne

traitait anciennement que des nombres entiers et des fractions il seacutetablit deacutesormais

une progression dans leacutetude des structures numeacuteriques qui selon la logique de la

filiation des structures populariseacutee par leacutecole bourbakiste est penseacutee ideacutealement

comme allant sans solution de continuiteacute des nombres entiers aux nombres reacuteels en

passant par les nombres relatifs les nombres deacutecimaux et les rationnels Dans cet

ensemble progressivement deacuteveloppeacute les fractions viendront occuper - dans le cadre

du programme de 1978 pour la classe de quatriegraveme qui faisait suite aux laquoexcegravesraquo du

programme de 1971 - une place de toute premiegravere importance(18) La laquotheacuteorie des

nombresraquo cest-agrave-dire leacutetude de la factorisation des nombres du PGCD etc agrave

qui est reacuteserveacutee leacutetiquette darithmeacutetique figure elle au programme de la classe de

cinquiegraveme (et sy trouvera maintenue sans changement par le programme de 1977)

Seule la partie constitueacutee des laquoproblegravemes pratiquesraquo fait veacuteritablement les frais de la

modernisation et disparaicirct agrave peu pregraves complegravetement si lon excepte quelques vestiges

telle leacutetude des laquosuites finies proportionnellesraquo en classe de sixiegraveme (qui prolonge un

thegraveme abordeacute au CM2) - eacutetude eacuteventuellement conccedilue dailleurs comme preacuteparant

mais de longue main agrave la notion dapplication lineacuteaire inscrite au programme de la

classe de troisiegraveme(19)

Ce qui disparaicirct en fait agrave lexception notable - reacutepeacutetons-Ie - des problegravemes 1

pratiques ce nest pas larithmeacutetique (mecircme si le mot lui-mecircme ne renvoie plus quagrave

lune des parties du corpus arithmeacutetique traditionnel) mais la dialectique de larithshy

meacutetique et de lalgegravebre Or cet affaissement dune structuration traditionnelle va

moins peser sur la composante arithmeacutetique que sur la composante algeacutebrique des

matheacutematiques enseigneacutees au collegravege cest lalgegravebre (entendue au sens traditionnel

de ce mot agrave ce niveau des eacutetudes matheacutematiques) qui va se trouver le plus violemment

mise en cause par les changements opeacutereacutes

(18) laquoEn calcul notent les Instructions officielles la nouveauteacute reacuteside dans laccent qui est mis sur la notion de fraction ( )gtgt (Ministegravere de lEducation Matheacutematiques classes des collegraveges 6egraveme 5egraveme 4egraveme 3egraveme 1980 p 29)

(19) Les manuels correspondant aux programmes de 1978 redonneront une place au laquoproblegravemes concretsraquo ceux-ci y apparaissent toutefois essentiellement agrave titre dapplications non de problegravemes permettant la construction et lappropriation des notions agrave enseigner

61

v - UNE ALGEBRE INTROUVABLE

Il nous faut maintenant rappeler rapidement ce queacutetait lancienne organisation

du corpus algeacutebrique Formeacute de maniegravere eacutevidemment plus tardive que le corpus arithshy

meacutetique le corpus algeacutebrique atteint pourtant assez vite une stabiliteacute remarquable

qui le laisse agrave peu pregraves inchangeacute sur deux siegravecles et plus Ecartant le traiteacute dalgegravebre

publieacute par Newton sous le titre dArithmetica Universalis(20) fort instructif agrave tous

eacutegards mais relativement atypique consideacuterons louvrage dEuler deacutejagrave mentionneacute

Son tome premier comporte quatre sections La premiegravere traite laquodes diffeacuterentes

meacutethodes de calcul pour les grandeurs simples ou incomplexesraquo cest-agrave-dire du calcul

sur les nombres mais sur les nombres (que nous appelons) relatifs dont lintroduction

fait un avec laquolexplication des Signes + (Plus) et - (Moinsraquogt (chapitre 10 et sur les

nombres fractionnaires Les quatre opeacuterations arithmeacutetiques les racines les puissances

mais aussi les laquoquantiteacutes impossibles ou imaginairesraquo ainsi que les logarithmes y sont

longuement preacutesenteacutes La deuxiegraveme section traite laquodes diffeacuterentes meacutethodes de calcul

pour les grandeurs composeacutees ou complexesraquo cest-agrave-dire du calcul algeacutebrique la

troisiegraveme laquodes rapports et des proportionsraquo la quatriegraveme laquodes eacutequations algeacutebriques

et de la reacutesolution de ces eacutequationsraquo Quant au tome second il est consacreacute agrave laquolanalyse

indeacutetermineacuteeraquo que nous nexaminerons pas ici(21) Cette organisation subit eacutevidemshy

ment dune part des variations en fonction du niveau viseacute dautre part une eacutevolution

dans le temps qui conduit dans la premiegravere moitieacute du XXegraveme siegravecle agrave un ensemble

relativement stabiliseacute dont agrave la veille du grand mouvement de reacuteforme lEncyclopeacutedie

Quillet deacutejagrave citeacutee nous fournit une version commode (annexe 4b)

En ce qui concerne tout au moins les deacutebuts de lalgegravebre trois thegravemes apparaisshy

sent essentiels les nombres algeacutebriques (cest-agrave-dire les nombres relatifs) le calcul

sur les expressions algeacutebriques les eacutequations algeacutebriques Que deviennent-ils dans le

cadre de la reacuteforme La difficulteacute de la reacuteponse agrave apporter tient au moins en partie

au fait que signifiants et signifieacutes se trouvent alors dissocieacutes redistribueacutes et en ce qui

concerne les contenusmiddot couleacutes en des cadres conceptuels nouveaux qui rompent les

anciennes concordances Il en est ainsi notamment pour les nombres algeacutebriques

bull qui perdent leur qualificatif comme on la noteacute pour devenir nombres relatifs Sous

cette eacutetiquette la place qui leur est deacutevolue nest pas diminueacutee mais au contraire

majoreacutee (et en cela ils profitent du mouvement geacuteneacuteral damplification dont beacuteneacuteficient

(20) Publieacutee (en latin) en 1707 mais eacutetablie sur la base de cours donneacutes par Newton une trentaine danneacutees auparavant lArithmeacutetique universelle paraicirct en franccedilais en 1802

(21) Lorsque la question eacutetudieacutee laquone fournit pas autant deacutequations quon est obligeacute dadmettre dinconnues il y en a qui restent indeacutetermineacutees et qui deacutependent de Il9tre volonteacute et cela fait quon nomme ces sortes de questions des problegravemes indeacutetermineacutes Ils font le sujet dune branche particuliegravere de lanalyse et on appelle cette partie lAnalyse indeacutetermineacuteeraquo (Euler op cit tome second pp 1-2)

62

les structures numeacuteriques) Leur eacutetude inscrite au programme de la classe de sixiegraveme

est deacuteveloppeacutee en classe de cinquiegraveme dans les programmes de ces deux classes ils

constituent un titre agrave part entiegravere aussi bien en 1969-1970 quen 1977-1978

Il en va autrement du calcul algeacutebrique et de leacutetude des eacutequations Ces quesshy

tions formaient traditionnellement le cœur de lalgegravebre eacuteleacutementaire Dans un Manuel

dalgegravebre publieacute en 1827 laquoagrave lusage des personnes priveacutees du secours dun maicirctreraquo

lauteur(22) ouvrait sa premiegravere leccedilon par les lignes suivantes

1 Lalgegravebre est lart dexeacutecuter sur des quantiteacutes quelconques au moyen

des signes geacuteneacuteraux toutes les opeacuterations de larithmeacutetique et de repreacutesenter agrave laide

des mecircmes signes toutes les relations entre ces quantiteacutes

Il La partie de lalgegravebre qui enseigne les regravegles pour exeacutecuter les opeacuterations

arithmeacutetiques sur des quantiteacutes quelconques se nomme calcul litteacuteral

III La partie de lalgegravebre qui traite de la maniegravere de repreacutesenter agrave laide

de signes les relations entre les quantiteacutes se nomme calcul par eacutequation

IV On verra dans la suite que dans le calcul par eacutequation on a sans cesse

besoin du calcul litteacuteral cest donc par celui-ci quil faut commencer

Cest cet ensemble (calcul algeacutebrique eacutequations algeacutebriques) qui va se trouver

fortement minoreacute dans les programmes reacuteformeacutes Pour ne donner ici de cette brutale

deacuteflation quune seule illustration on a reacuteuni dans lannexe 5 (dont on voudra bien

excuser la longueur) les listes dexercices relatives agrave la multiplication dexpressions

algeacutebriques dune part (a b) dans deux manuels dancienne maniegravere(23) dautre part

(c) dans un manuel consideacutereacute comme de niveau eacuteleveacute(24) conforme au programme de

1971 la confrontation est eacuteloquente

Le terme dalgegravebre a disparu des programmes (agrave lexception du programme de

la classe de troisiegraveme) nous lavions noteacute Mais avec le mot la chose elle-mecircme se

trouve emporteacutee lalgegravebre disparaicirct 1 Cet eacutevanouissement est en fait seacutelectif les

parties laquonumeacuteriquesraquo de lalgegravebre reacutesistent bien Les nombres relatifs sont un eacuteleacutement

essentiel de lenseignement de la classe de cinquiegraveme Les fractions un temps mises agrave

leacutecart (en 1971) seront ensuite reacuteinstalleacutees comme eacuteleacutement central du programme de

(22) M Terquem auteur dun Manuel dalgegravebre ou exposeacute eacuteleacutementaire des principes de cette science publieacute agrave Paris en 1827 La citation qui suit se trouve pp 1middot2

(23) Il sagit (a) du manuel de F Girod (voir ci-dessus note 11) et (b) du manuel de Lebosseacute et Heacutemery pour la classe de quatriegraveme dans son eacutedition de 1962 (Fernand Nathan Paris)

(24) Il sagit du manuel de la collection Queysanne-Revuz seacuterie rouge dans son eacutedition de 1973 (Fernand Nathan Paris)

63

quatriegraveme (en 1978) Ce sont les parties laquoalgeacutebriquesraquo de lalgegravebre - calcul et eacutequations

algeacutebriques - qui pacirctissent de la modernisation Plusieurs raisons semblent devoir

expliquer ce pheacutenomegravene Avanccedilons dabord une raison proprement didactique qui a

pu jouer neacutegativement Le calcul algeacutebrique agrave lorigine simple preacuteliminaire agrave leacutetude

des eacutequations eacutetait en fait devenu prolifeacuterant comme on peut en juger notamment sur

le document de lannexe 5a eacutetouffant progressivement les autres parties du corpus

enseigneacute Il eacutetait sain que lon tente den limiter le deacuteveloppement et la tendance

anteacuterieure agrave la reacuteforme proprement dite allait en effet dans ce sens les manuels avaient

commenceacute le travail deacuteflationniste (comme le montre la comparaison des documents a

et b de lannexe 5) Mais ce type de pheacutenomegravene qui constitue au demeurant davantageacute

la regravegle que lexception dans leacutevolution du texte denseignement (que lon songe ici agrave

la deacutegeacuteneacuterescence de leacutetude des eacutequations du second degreacute en la fameuse laquotrinocircmiteraquo

qu i frappait agrave peu pregraves dans le mecircme temps les classes du second cycle) et la reacuteaction

quil devait susciter allaient rencontrer une autre force de changementsans doute bien

plus puissante lapparition de lalgegravebre laquomoderneraquo sur laquelle il faut sarrecircter un

instant

Dans leurs Eleacutements dalgegravebre moderne dont la quatriegraveme eacutedition paraicirct en

1961 (la premiegravere eacutetant de 1956) A Lentin et J Rivaud(25) qui situent lapparition

de lalgegravebre moderne vers 1910 inscrivent celle-ci dans le prolongement de larithshy

meacutetique et de lalgegravebre traditionnelles (mais sans les nommer) laquoA leacutecole primaire

eacutecriven~-ils lenfant raisonne sur des collections et des grandeurs concregravetes dont il

deacutegage progressivement la notion de nombre abstrait indeacutependant de la nature des

choses compteacutees ou mesureacutees Lenseignement du second degreacute apprend agrave ladolescent

la manipulation des x et des y indeacutependamment des nombres que ces lettres repreacuteshy

sentent Un pas de plus dans le calcul et cest le calcul sur les polynocircmes puis la comshy

position des transformations formelles Eh bien lalgegravebre moderne formera leacutetudiant

agrave raisonner sur les proprieacuteteacutes des opeacuterations indeacutependamment des eacuteleacutements (nombres

polynocircmes transformations) sur lesquels sexercent ces opeacuterationsraquo (26) En fait

les parties traditionnelles de lalgegravebre (calcul et eacutequations algeacutebriques) sont bien inteacuteshy

greacutees dans lalgegravebre moderne ainsi preacutesenteacutee Mais elles nen constituent ni lessentiel

ni surtout les deacutebuts Les auteurs citeacutes dont louvrage est constitueacute de cinq livres

consacrent leur dernier livre agrave des laquocompleacutements sur les groupes et sur les eacutequations

algeacutebriquesraquo (un deacuteveloppement plus ample de la question eucirct conduit agrave la theacuteorie

des extensions de corps et agrave la theacuteorie de Galois dont les rudiments sont preacutesenteacutes

dans ce livre) Ainsi le traitement des eacutequations algeacutebriques se trouve-t-i1 rejeteacute fort

loin dans lexposeacute moderne de lalgegravebre Le calcul algeacutebrique quant agrave lui se retrouve

(25) A Lentin et J Rivaud Eleacutements dalgegravebre moderne Vuibert Paris quatriegraveme eacutedition 1961

(26) Loc cit pp VmiddotVI

64

Ici dans le livre Il sous les espegraveces de leacutetude des anneaux de polynocircmes Mais le

veacuteritable commencement de lalgegravebre moderne cest leacutetude des structures (lois de

composition groupe anneau corps) qui occupe tout le livre 1 Lhonnecircte homme

qui en 1958 encore sinitiant agrave lalgegravebre se voyait proposer nombres algeacutebriques

expressions algeacutebriques eacutequations etc se verra offrir quelques anneacutees plus tard

relations binaires eacuteleacutement neutre etc Le chapitre Algegravebre que M Glaymann eacutecrit

au deacutebut des anneacutees soixante-dix pour un ouvrage adresseacute au grand public (il paraicirct

dans la collection laquoLes dictionnaires du savoir moderneraquo) est agrave cet eacutegard significatif

loi de composition eacuteleacutement neutre commutativiteacute eacuteleacutement symeacutetrique associativiteacute

eacuteleacutement reacutegulier distributiviteacute et encore structures monoiumlde groupe sous-groupe

groupe cyclique morphisme de groupes anneau anneau integravegre corps etc en sont les ma icirctres-mots(27)

Il se produit donc en quelques anneacutees une veacuteritable substitution dobjet dont

le texte denseignement reccediloit bientocirct la marque les programmes reacuteformeacutes de sixiegraveme

cinquiegraveme et quatriegraveme comportent tous un titre Relations et le programme de

quatriegraveme introduit les notions de groupe et de division dans un groupe qui conduisent

agrave examiner leacutequation ax = b dans le groupe multiplicatif des reacuteels non nuls Le calcul

algeacutebrique est recircduit agrave la portion congrue il fait lobjet du point 4 du titre Il du programme (annexe 3) Leacutetude des eacutequations conformeacutement au plan moderne

dexposition de lalgegravebre est deacutechue de ses titres et se trouve repousseacutee en classe de

troisiegraveme

VI - LALGEBRE SANS ALGEBRE

La situation creacuteeacutee par la reacuteforme autour de 1970 consacre la promotion des

structures numeacuteriques (agrave cocircteacute du geacuteomeacutetrique dont nous ne parlerons pas ici) en

mecircme temps quelle reacutealise une eacutevidente inflation theacuteorique agrave propos du numeacuterique

comme du geacuteomeacutetrique Cest ce theacuteoricisme qui apregraves avoir susciteacute dabord un vif

enthousiasme se trouvera en butte agrave une multitude de critiques qui conduiront agrave

la reacutedaction des programmes de 1977-1978 actuellement en vigueur La focalisation

du deacutebat se fait sur la maniegravere de traiter les contenus - avec notamment le rej~t

du laquopurismeraquo qui impreacutegnait lesprit de la reacuteforme preacuteceacutedente(28) - davantage que

sur la distribution des contenus eux-mecircmes et sur la structuration et leacutequilibre des

diverses parties du corpus enseigneacute Celui-ci apparaicirct en conseacutequence plus comme

(27) Maurice Glaymann Lalgegravebre in Les matheacutematiques Centre deacutetudes et de promotion de la lecture Paris 1973 pp 16-54

(28) Dans la preacutesentation deacutejagrave citeacutee des programmes de 1978 (voir la note 2 ci-dessus) leacutequipe de reacutedaction du Bulletin de lAPMEP deacutenonccedilait le purisme matheacutematique qui en fait laquoest un purisme dexposition non dapprentissage ou de fonctionnement qui na donc rien agrave faire dans le premier cycle ( )gtgt

65

une version laquodeacutegraisseacuteeraquo du corpus des anneacutees soixante-dix que comme une version

fondamentalement nouvelle agrave cocircteacute du geacuteomeacutetrique que lon entend laquodeacutesaxiomatiserraquo

le numeacuterique y demeure preacutedominant mecircme si lon ny inclut plus les mecircmes mateacuteshy

riaux Les nombres reacuteels en effet sont les grands perdants du reacuteameacutenagement opeacutereacute

Et ce sont les fractions et les rationnels qui venant occuper la place ainsi libeacutereacutee dans

le programme de quatriegraveme constituent maintenant la piegravece centrale de leacutetude du

numeacuterique - les nombres relatifs (entiers et deacutecimaux) conservant en classe de cinshy

quiegraveme le rocircle preacuteeacuteminent qui leur eacutetait anteacuterieurement reconnu

Il faut en ce point dire quelques mots de la promotion donneacutee dans ces proshy

grammes aux fractions et aux rationnels Pour des raisons dans lesquelles nous nentreshy

rons pas ici les fractions (associeacutees aux rapports et aux proportions) eacutetaient traditionshy

nellement tirailleacutees entre larithmeacutetique la geacuteomeacutetrie et degraves la naissance du corpus

algeacutebrique lalgegravebre elle-mecircme Preacutesentant ses Eleacutemens dAlgebre Clairaut ne manque

dailleurs pas de faire connaicirctre au lecteur lembarras ougrave cette question la tenu

laquojavois dabord compteacute donner dans le mecircme livre eacutecrit-il tant les Eleacutemens dArithshy

meacutetique que ceux dAlgebre amp je naurois pas manqueacute alors de traiter des proportions

plus agrave fond que je nai fait dans mes Eleacutemens de Geacuteomeacutetrie raquo Bien entendu en passant de larithmeacutetique agrave lalgegravebre on passait aussi des fractions arithmeacutetiques

(rapports dentiers cest-agrave-dire dentiers naturels) aux fractions algeacutebriques (rapports

dentiers laquoalgeacutebriquesraquo cest-agrave-dire relatifs) et aux fractions rationnelles (rapports

de polynocircmes) Mais ces reprises sont significatives de linteacuterecirct didactique accordeacute

au thegraveme les fractions constituent un sujet de choix pour lenseignement

Comme on la rappeleacute(29) laquolaccent qui est mis sur la notion de fractionraquo

constitue selon les termes mecircmes des Instructions relatives au programme de quatriegraveme

de 1978 leacuteleacutement de laquonouveauteacuteraquo de ce programme Nouveauteacute dantique meacutemoire 1

Henri Lebesgue presque un demi-siegravecle plus tocirct avait fermement inviteacute les professeurs

agrave se deacutebarrasser de ce monstre du Loch Ness matheacutematique laquo on sera bien je pense

daccord avec moi eacutecrivait-il (30) pour deacuteclarer que marier des 22iegravemes et des 37iegravemes

est un martyre que nous infligeons aux gosses de douze ans par pur sadisme sans

aucune raison dutiliteacute comme circonstance ateacutenuanteraquo Mais il ajoutait aussitocirct

laquoJentends tous les professeurs protester Les uns parce que les fractions fournissaient

dinnombrables exercices pour leurs jeunes eacutelegraveves apregraves un moment deffroi ceux-ci

sapercevront quils ne manqueront jamais dexercices La plainte des autres meacutemeut

(29) Voir la note 18

(30) Dans La mesure des grandeurs (Albert l3lanchard Paris 1975) p 25

66

davantage et pour la veacuteriteacute je la formule moi aussi laquoSupprimer dans la classe de

matheacutematiques la theacuteorie des fractions cest supprimer un chapitre admirable Le

seul peut-ecirctre parmi ceux qui nous restent qui ne soit pas lagrave uniquement pour son

utiliteacute immeacutediate et qui donne le sentiment de la beauteacute pureraquoraquo(31) Or cette admirable

construction devient dans le cadre des matheacutematiques modernes plus admirable

encore ou disons plus subtile le maniement sans complexe des fractions fait place

agrave une ontologie raffineacutee dans laquelle les fractions devenues couples de nombres

ne sont plus - en theacuteorie plus quen pratique bien sucircr - que le mateacuteriau de la consshy

truction des rationnels classes deacutequivalence de fractions Avrai dire cette preacutesentation

moderne neacutetait guegravere favoriseacutee par le programme de 1971 (dans lequel les reacuteels faisaient

directement suite aux deacutecimaux les rationnels neacutetant alo~s que des reacuteels particuliers

les quotients dentiers) Mais le programme de 1978 lui donne une nouvelle chance

et quelques manuels impavides la mettent en œuvre (document 4a) Cette perspective

constructiviste peut en fait ecirctre aiseacutement eacuteviteacutee au profit dune conception reacutealiste

(celle-lagrave mecircme que le programme de 1971 poussait en avant les reacuteels eacutetant supposeacutes

donneacutes - ils eacutetaient laquoconstruitsraquo dans le programme de 1971 - un rationnel est un

reacuteel qui peut seacutecrire comme quotient dentiers) et la plupart des manuels utilisent

cette possibiliteacute (document 4b) conceptuellement et techniquement moins difficile

et sans doute plus proche de la repreacutesentation du nombre qui est effectivement celle

des eacutelegraveves et mecircme du laquoworking mathematicianraquo Mais le souci de purisme na pas

disparu le goucirct de la laquorigueurraquo (sic) conduit chez quelques-uns (document 4c) agrave une

veacuteritable confusion sur le sens du signe deacutegaliteacute (qui ne signifie en principe nullement

que les deux membres de leacutegaliteacute sont des expressions identiques - formellement

ou syntaxiquement - ce qui interdirait deacutejagrave deacutecrire que 6 = 2 X 3 mais que ce quils

deacutesignent sont une seule et mecircme chose le signe deacutegaliteacute ne signifiant rien dautre

quune identiteacute seacutemantique) Cela dit le problegraveme - eacuteleacutegamment mais coucircteusement

reacutesolu par le moyen des classes deacutequivalence - existait avant les matheacutematiques

modernes et continue dexister mais le corpus ancien le traitait (inconsciemment )

avec une grande discreacutetion (document 4d) en distinguant chaque fois quil eacutetait

neacutecessaire la fraction (consideacutereacutee alors implicitement comme eacutecriture agrave savoir comme

rapport) et la valeur de la fraction (soit le nombre - rationnel - deacutesigneacute par cette

eacutecriture) Quoi quil en soit tout ce jeu laisseacute autrefois implicite et plus ou moins

fortement expliciteacute aujourdhui participe de ladmirable construction des fractions

qui seacuteduit tant les professeurs comme dit Lebesgue

(31) Ibid pp 25-26

67

Nombres rationnels

Ensemble ltC

RAPPELONS

Dans lensemble T des fractions nous avons deacutefini la relation JI suivante

Quelles que soient les fractions ~ et ~ on a (~JI ~) (ad =bel

Nous avons eacutetabli (p 48) que JI est une relation deacutequivalence dans T

Pourtraduire que deux fractions ~ et ~ sont lieacutees par JI nous avons eacutecrit ~ = ~

et nous avons dit que les fractions ~ et ~ sont eacutequivalentes

DEacuteFINITION

Nous donnons la deacutefinition suivante

Ch8q cd6quiVIIlencbullbullbulllonJIst appeleacutee un nombre lIItlonnel

Nous deacutesignons par 0 lensemble des nombres rationnels

AEPAEacuteSENTAtfr DUN RAcircTIONNEL

Soient x un eacuteleacutement de 1 etmiddott une fraction eacuteleacutement de T

Nous disons que x et un nombre rationnel dont un repreacuteentant et ~ 1 et

aeulement si x est 1 clbullbullbullbull deacutequlvlence elon JI de 1 fraction i Le nombre ~tion~1 x est donc lensemble des fractions ~ eacutequivalentes agrave~ nous

avons x=~lcez deZmiddot ~=M Remarquons que toute fraction eacutequivalente agrave ~ est un repreacutesentant du nombre

rationnel x

CHAPITRE 6 ENSEMBLE Q 67

DOCUMEIIT 4eacute1

(Matheacutematiques4egraveme collection Monge 1978)

68

CHAPITRE 4 algegravebre

Ensemble 0 des nombres rationnels

1 Oeacuteflnitlon de lensemble C 4Notatlons fractionnaires dUn rationnel des rationnels

2prOPrieacuteteacutes de lensemble Q 50Peacuteratlons dans Q des rationnels

3Eacutecriture deacutecimale illimiteacutee 6comparaison de deux rationnels dun rationnel

1Deacutefinition de lensemble Q des rationnels

deacutefinition Un nombre reacuteel (ou reacuteel) est appeleacute DOIIlbre ratioonel (ou rationnel) sil est eacutegal agrave un quotient de deux entiers relatifs

Autrement dit Un reacuteel x est un rationnel sil existe un entier relatif a et un entier relatif non

nul b tels que x soit eacutegal au quotient ~

exemples bull Les quotients suivants sont des rationnels 2 -4 -3 248 57 -29704 0 37 0 359 iuml 78 -=5 -614 57 -1- 25 =iOOO =iuml4 -1-

lal -27815) Ibull Le ree r eg au quotIent 0013 est-I un ratIonne

- 2781 5 et 0013 ne sont pas des entiers relatifs

On sait que (proprieacuteteacutes des quotients de reacuteels)

-27815 -27815 x 104 -27815 0013 0013 x 104 =~

Conclusion r est un rationnel

DOCUMENT 4b

(Matheacutematiques4egraveme collection Durrande 1979)

69

I~ Lensemble ltD des nombres rationnels

1 bull DEacuteFINITION ET EXEMPLES

Dans le cnapltre 4 nous ayons rencontreacute des nombres QUon pouvait obtenir comme Quotient exact dun entir relatif fi par un entier relatif non nul b Ces nombres sappellent lesnombnts ratiOnneJa (ou plua simplement les rationnels) Ils sont r8Qreacutesnteacutes par des fractions ainsi

exemples de fractions repreacuteslitntant x Nombre rationnel x -2 -8 -18lentler relatif -2 -9- -L shy1 3 -1 7 35 -7le deacutecimal rlatlf 35 Ji shy2 4 10 -=2 ~ Q EumlL shyIe ratlonn1 i 3 8 30 -3

Reepitullfflon des prlnc1es deacutetlnltlons Otlnitlo Soit un entIer ratatlf quelconque et soit b un entIer reltlf non nuL

11 LA couple (e bJ eacutecrit sous i fonne appellela fractIon d num

teur bull et de deacutenominateur b 2J Cette fraction retrisente le quotient ect de bull par b que lon not

aUAI bull On bull donc par deacuteflnltlon

bX~ bull JCb bullbull b b

31 On appelle nom rationnel tout nombre Que lon peut obtnir comme quotient euct dun entier relatif par un entlr relatif non nul

Attention 1La megravem notation est utiliseacutee pour deacutesignr deux cnoss diffeacuterentesb

le couple (II b) le Quotient exact de Il par b

Quand on eacutecrit il faut preacuteciser sU sagit de la fraction Ji (le couple (1 4 4raquo ou du rationshy4 4

nel 2i (Qui est eacutegal agrave 35) 4

le rationn est Anal au rationnel L4 ~~ 2

la fraction nest pas eacutegale agrave la fraction 1 ~ 2

(Puisque les couples (144) et (72) sont distincts)

Une convention commode

Pour eacuteviter cet Inconveacutenient nous conviendrons toujours Que dans les calculs deacutesinne le b

nombre rationnel Quotient exact d fi par b Ainsi nous pourrons eacutecrire

Ji =L =3S4 2

Quand vous voudrez parler du couple (14 4) il faudra preacuteciser bull la fraction c 4

DOCUMENT 4c

(Matheacutematiques classe de quatriegraveme collection Queysanne et Revus 1979)

70

SIMPLIFICATION DES FRACTIONS

i49 Simllifier une fraction cest la remplacer par une fraction ~e mais ayant des tenDes plus petits

ISO PROPRIEacuteTEacuteS FONDAMENTALES

10 On mesure deux rubans avec le sepagraveegraveme dune longueur donneacutee A B Lun mesure 2 sepagraveagravenes lautre 4 septiegravemes de luniteacute Il est eacutevident que le dewdagraveDe est double du premier

4 2 X 2 2 - --- - X 2 donc 777

Theacuteoregraveme L - Si OD mwdpUe le aDlDampateDr dune CractloD par aD JIOmbre la CracdoD eet muldpUeacutee par ce Dombre

2deg Un ruban mesure 5 sepagraveagravenes de la longueur AB un dewtiagravene ruban vaut S quato12Iumlagravenes de la mbe uniteacute

Un quatorziagravene eacutetant deux fois plus petit quun sepagraveagraveDe la dewdœe longueur est deux fois plus petite que la premiugravee S S S

------ 2 par suite 14 7 X 2 7

Theacuteoregraveme D - Si OD muldpUe le dacirclomiDateur cl1IDe bcdoD par 110 aombre la CracdoD eet diYileacutee par ce JIOmbre

3deg Soit la fraction _3 X 3_2S s s X 3 IS Elle ne c1uIage pas de valeur si nn mulagraveplie ses deux termes par 3 En dfet si on multiplie son numeacuterateur elle devient 3 fois plus grande si on multiplie son deacuteDominateur

elle devient 3 fois plus petiœ Par conseacutequent

Theacuteoregraveme DL - Si OD mwdpUe lee cleu termes daDO bcdoD par aD ~e DOmbre la ampactIoD ae chaage pu do valeur

On voit IJU- mIru gratukur fJGI la _ pat _ itrftniri tU frtJCtUgrave1fU U1IItU igalu

Corollaire - Si OD divise lee deux termee dlIDe CractiOD par aD mfme JIOmbre (ropkatucircm eacutetant possible) OD obdeat une bedoD eacuteplo agrave la premiegravere

Soit la fraction 18 dont les deux termes sont divisibles par 321

On peut eacutecrire 18 _ 6 x 3 21 7 x 3

et dapregraves le theacuteoragravene preacuteceacutedent _ 6 X 3 7 7 X 3

On a donc 18 3_ la fraction Il des termes plus petits que la fraction 18 dougrave la regravegle de simshy21 3 7 7 21

pli1ication des fractions

~ Regravegle - PD1lI simplifier _ fraaion an divis 11$ dIU umm pat 11II mIru 1ItmIbr

DOCUMENT 4d

Arithmeacutetique de lEncyclopeacutedie Quillet 1958

Fractions et rationnels en fait ne constituent pas seulement une admirable

construction matheacutematique ils composent en mecircme temps un objet didactique

inteacuteressant agrave bien des eacutegards La place de leacutelegraveve (cest-agrave-dire ce qui peut ecirctre requis

de leacutelegraveve agrave ce propos) y est nettement dessineacutee Lebesgue le soulignait judicieusement

le chapitre regorge dexercices dont la difficulteacute (cest-agrave-dire en gros la complexiteacute)

peut ecirctre finement gradueacutee La place de lenseignant elle aussi sy trouve preacutepareacutee

le professeur eacuteprouve toute sa speacutecificiteacute face agrave leacutelegraveve en tant quarchitecte et bacirctisshy

seur - fonctions dans lesquelles leacutelegraveve ne saurait lui disputer sagrave place - dune consshy

truction matheacutematiqueagrave la fois simple rigoureuse riche dont la complegravete transpashy

71

rence nest acquise quau prix de quelque subtiliteacute intellectuele nullement inaccessible

agrave leacutelegraveve mais relativement exigeante Toutefois il y a plus En un sens tout objet

de savoir didactiquement acceptable laisse voir deux laquoplacesraquo il doit contenir le

laquolieuraquo que leacutelegraveve viendra occuper (les tacircches que le contrat didactique lui assignera

en propre) il doit contenir aussi un lieu speacutecifiquement alloueacute agrave lenseignant Ce

marquage des places consubstanciellement lieacute au fonctionnement didactique du

savoir est un processus geacuteneacuteral que jai proposeacute(32) dappeler la topogeacutenegravese (du grec

topos lieu) Mais la dialectique topogeacuteneacutetique peut ecirctre plus ou moins resserreacutee plus

ou moins relacirccheacutee dans ce dernier cas (qui correspond comme jessaierai de lindiquer

plus loin agrave ce que nous voyons majoritairement se produire aujourdhui agrave propos de

lemploi du langage algeacutebrique) les eacutechanges entre eacutelegraveves et enseignant demeurent

pauvres la communication est distante parce que les uns et les autres ne se mesurent

pas aux mecircmes tacircches (le professeur deacutemontre une eacutegaliteacute litteacuterale leacutelegraveve lapplique

agrave des cas particuliers numeacuteriques) Avec les fractions une fois fixeacutee larchitecture

geacuteneacuterale de leacutedifice il en va autrement passeacutes les calculs les plus simples les calculs

qui ne sont pas triviaux pour leacuteiegraveve - tout en demeurant de lordre de ce qui peut

loyalemeacutent lui ecirctre demandeacute - ne le scgtnt quagrave peine moins pour le professeur Les

partenaires de linteraction didactique se rapprochent autour dune tacircche unique

jusquagrave sembler parfois unir leurs efforts agrave la recherche dune commune reacuteponse

Tout comme la geacuteomeacutetrie (qui soppose par cela et du seul point de vue didactique

deacutejagrave agrave lalgegravebre en geacuteneacuteral) les fractions constituent loccasion dune reacuteelle convishy

vialiteacute dans la classe Les distinctions qualitatives (marqueacutees par des tacircches de natures

diffeacuterentes) sestompent au profit de simples diffeacuterences quantitatives (lenseignant

va plus vite plus sucircrement mais il ne sait rien de plus que leacutelegraveve et ne fait rien de

plus que lui) Le groupe agrave la fois se rassemble gagne en coheacutesion et en mecircme temps

se diffeacuterencie continucircment sans que son identiteacute sy perde

1 y a lagrave quelques-unes des raisons didactiques qui expliquent la preacuteeacuteminence

de fagraveit de leacutetude des fractions dans les classes actuelles de quatriegraveme Or - et nous

faisons lagrave retour agrave notre sujet quen fait nous navions pas quitteacute - dans le vocabushy

lairedes enseignants les fractions font partie de lalgegravebre Mecircme si le programme

officiel nutilise pas le terme il semble que lusage se soit spontaneacutement creacuteeacute de nommer

laquoalgegravebreraquo dans la pratique de la classe ce qui nest pas geacuteomeacutetrie lalgegravebre cest

globalement lautre de la geacuteomeacutetrie Cet emploi peut-ecirctre irreacutefleacutechi du mot ne manque

pourtant pas de justificatifs Les heacutesitations historiques dont nous avons parleacute trashy

duisent aussi (par delagrave lopposition fractions de nombres arithmeacutetiques fractions de

nombres algeacutebriques) une reacutealiteacute qui perdure les fractions (dentiers) ne sont pas

(32) Voir Chevallard 1980b

72

de lalgegravebre au sens ougrave elles ne contiennent pas de lettres (les lettres sont essentielleshy

ment utiliseacutees par le professeur pour formuler les lois qui reacutegissent leur calcul) mais

elles relegravevent de llaquoalgeacutebriqueraquo en cela quelles sont le lieu dun jeu formel portant

sur des eacutecritures Elles offrent donc loccasion dune algegravebre sans algegravebre qui fait le

gros morceau de lalgegravebre aujourdhui enseigneacutee Il faut voir par quel cheminement

on en est venu lagrave

VII - LA DIALECTIQUE NUMERIQUEALGEBRIQUE

PoUr expliquer plus complegravetement et leacutevanouissement des parties algeacutebriques

de lalgegravebre et - correacutelativement - le come-back des fractions il nous faut compliquer

quelque peu le talJleau que nous avons traceacute jusquici A lopposition structurelle de

larithmeacutetique et de lalgegravebre correspondait - en principe - une dialectique fonctionshy

nelle entre numeacuterique et algeacutebrique Cest sur cette dialectique que nous devrons

dabord nous arrecircter un instant

Il faut pour cela prendre quelque recul Cette dialectique en effet existe

historiquement avant lalgegravebre (avant la construction dun langage algeacutebrique propreshy

ment dit) Les Grecs distinguent entre deux arithmeacutetiques larithmeacutetique vulgaire

ou logistique celle des calculateurs et larithmeacutetique laquopropre aux philosophesraquo

comme dit Platon cest-agrave-dire en gros la theacuteorie des nombres Les calculateurs cal~

culent Les arithmeacuteticiens eacutetudient la structure du numeacuterique Tous manipulent pour

cela un langage du numeacuterique~ mais tous ne lemploient pas aux mecircmes tacircches et ne

lui reconnaissent pas les mecircmes valeurs Dans larithmeacutetique pratique lanalyse du

numeacuterique procureacutee par le langage adopteacute est un moyen ordonneacute agrave un but opeacuterer

des deacutenombrements effectuer des calculs Si dans notre systegravememiddotactuel de numeacuteration

je deacutesire calculer 12 X 12 par exemple je nai besoin dautre analyse du nombre 12

que celle qui mest immeacutediatement donneacutee dans leacutecriture (deacutecimale) de ce nombre

(ch iffre des dizaines 1 chiffre des uniteacutes 2) Mais si comme le scribe du papyrus

Rhind je ne sais multiplier que par duplications successives et additions je devrai

recourir agrave une analyse moins immeacutediate du nombre 12 (qui ne mest pas offerte par

leacutecriture deacutecimale actuelle) Il me faudra observer que 12 = 4 + 8 et calculer ainsi(33)

1 12 2 24 4 48 8 96

(33) Voir Smith 1953 p 106

73

dougrave je deacuteduirai que 12 X 12 = 12 X (4 + 8) = 48 + 96 = 144 De telles manleres

de faire qui se rencontrent encore agrave des dates rapprocheacutees(34) apparaissent agrave lutilisashy

teur contemporain comme des survivances dun acircge imparfait Un bon systegraveme

numeacuteration-algorithmes de calcul en effet doit ecirctre tel que toute linformation requise

pour mettre en œuvre les algorithmes de calcul soit donneacutee dembleacutee avec les nombres

donneacutes eacutecrits dans le langage numeacuterique utiliseacute cest-agrave-dire soit apparente dans leacutecriture

mecircme de ces nombres En dautres termes un bon systegraveme numeacuteration-algorithmes

reacutecuse tout appel aux matheacutematiques fucirct-ce sous une forme apparemment anodine

Lusager dun tel systegraveme est eacutevidemment supposeacute pouvoir calculer que 4 + 8 = 12

(ce pour quoi le systegraveme est fait) mai~ le contrat dutilisation qui regravegle ses rapports

avec le systegraveme exclut quil ait agrave penser que 12 = 4 + 8 Paradoxalement peut-ecirctre

lun des effets et sans doute des buts (poursuivis de maniegravere plus ou moins intentionshy

nelle) de lactiviteacute matheacutematique est de proposer agrave lusage social des proceacutedures non

matheacutematiques obtenues par deacutematheacutematisation progressive de proceacutedures agrave lorigine

proprement matheacutematiques Le fait est banal et geacuteneacuteral les progregraves de leacutelectronique

me dispensent aujourdhui du bricolage auquel eacutetaient tenus les utilisateurs du poste

agrave galegravene

En fait le royaume du calcul numeacuterique est reacutegi par la loi de simplification

inteacuterioriseacutee en habitus(35) dont lune des clauses est constitueacutee par le principe

dachegravevement des calculs Selon ce laquoprinciperaquo lexpression laquo4 + 8raquo ne saurait en

calcul numeacuterique figurer comme reacuteponse le calcul agrave ce stade eacutetant laquoinacheveacuteraquo (36)

Lexpression laquo4 + 8raquo ne saurait ainsi ecirctre quune forme transitoire labile (parce que

quatre plus huit eacutegale douze) et nexiste pas plus dune maniegravere libre que latome

doxygegravene en dehors de la moleacutecule deg 2

Il en va tout autrement avec la tradition laquonobleraquo de la laquotheacuteorie des nombresraquo

Les Pythagoriciens au tout deacutebut de la science grecque eacutelaborent ainsi toute une

conception de la repreacutesentation laquogeacuteomeacutetriqueraquo des nombres soit une arithmo-geacuteoshy

meacutetrie(37) Consideacuterons par exemple les entiers impairs 5 et 7 Leurs repreacutesentations

(34) Ibid

(35) P Bourdieu deacutesigne par habitus des laquosystegravemes de dispositions durables structures structureacutees preacutedisposeacutees agrave fonctionner comme structures structurantes cest-agrave-dire en tant que principe de geacuteneacuteration et de structuration de pratiques et de repreacutesentations ( hgt (Bourdieu 1974 p 175)

(36) Les Instructions de janvier 1957 (sur lesquelles nous revenons plus loin) parlent explicitement de laquocalcul conduit jusquagrave son achegravevementraquo fait rare et remarquable car il est de la nature dun habitus de ne pas supposer lexplicitation des principes agrave lorigine de son efficace

(37) Sur larithmo-geacuteomeacutetrie des Grecs voir Michel 1959 pp 295-325

74

figureacutees peuvent ecirctre disposeacutees ainsi

o o o o o

o o o o o

o 0 5 7

Reacuteunissons ces repreacutesentations de la maniegravere suiyante

o o o o

o o o o

o 0

o 0

En les regroupant adeacutequatement il apparaicirct que la somme 5 + 7 est Lin multiple de

4 (plus preacuteciseacutement que 5 + 7 = 3 X 4) -1------------ -------------1

1 shy10 Oi iO 011 1 1 shyi i 1

- 1shyj j - 1

rO Oi iO1

O shy

i -_------------ [-------------1 iO Oi 1 i 1

Jo oi i

De plus si on laquocomplegraveteraquo le carreacute on voit apparaicirctre immeacutediatement que 5 + 7 est

une diffeacuterence de deux carreacutes (plus preacuteciseacutement que 5 + 7 = 43 - 22 )

o o o o

o o o o

o o x x

o o x x Ces monstrations qui au sens strict nont de force deacutemonstrative que pour les valeurs

numeacuteriques particuliegraveres traiteacutees ont en fait une valeur geacuteneacuterique comme les figures

(et les deacutemonstrations quelles permettent) en geacuteomeacutetrie on nest pas loin dune

deacutemonstration valable pour tous les couples dimpairs conseacutecutifs Nous pouvons

reacutetrospectivement admirer la finesse intellectuelle que linvention et lemploi de

telles proceacutedures supposent Mais nous pouvons aussi voir que notre langage algeacutebrique

actuel (creacuteeacute par Viegravete Descartes et quelques autres) sinscrit dans le prolongement

de cette analyse du numeacuterique tout en la deacutepassant en souplesse et en puissance

75

Sur le mecircme problegraveme aujourdhui nous obtenons par exemple ceci soient 2p - 1

et 2p + 1 deux impairs conseacutecutifs leur somme (2p - 1) + (2p + 1) = 4p est un

multiple de 4 et puisque 4p = (p + 1) - (p - 1)2 elle seacutecrit aussi comme une

diffeacuterence de deux carreacutes Le langage nOuveau permet dabord de formuler le problegraveme

dans sa geacuteneacuteraliteacute puis de le reacutesoudre de maniegravere eacutegalement systeacutematique

Le calcul numeacuterique utilise le langage numeacuterique pour son pouvoir deacutesignatif

eSSentiellement laquo34raquo et laquo075raquo ou encore laquo4 + 8raquo et laquo12raquo sont agrave cet eacutegard eacutequivashy lents puisquils deacutesignent le mecircme nombre (simplement laquo34raquo est une fraction laquonon

effectueacuteeraquo laquo4 + 8raquo une somme non effectueacutee) ils sont des noms diffeacuterents pour

un mecircme ecirctre matheacutematique Larithmeacutetique laquoalgeacutebriqueraquo au contraire distingue

ces noms parce que bien quils deacutesignent la mecircme chose ils ne montrent pas la mecircme

chose (ils napportent pas la mecircme information monstrative) agrave propos de lecirctre matheacuteshy

matique dont ils sont deux noms diffeacuterents (ltlt4 + 8raquo ou mieux laquo22 +23 raquo montre

que 12 est une somme de puissances de deux etc) Cest ainsi que au cœur mecircme

du langage numeacuterique sinsinue un clivage et pour tout dire une tension entre deux

modes de fonctionnement lefficaciteacute deacutesignative (propre agrave lusage calculatoire du

langage numeacuterique) tend agrave ignorer lagrave valeur monstrative de lexpression eacutecrite le

principe dachegravevement des calculs voue agrave leacutepheacutemegraverelesmiddotltltnoms intermeacutediairesraquo et

laquo4 + 8raquo devient ainsi laquo12raquo sans quaucune trace nous soit conserveacutee de lhistoire

de ce laquo12raquo Ali contraire le langage algeacutebrique - notamment parce quil est une

meacutemoire - vient permettre de conserver de meilleure faccedilon linformation monstrative

et surtout de faire apparaicirctre linformation monstrative pertinente le passage en

simplification de lexpression (2p - 1) + (2p + 1) agrave lexpression 4p fait apparaicirctre

que (2p - 1-) + (2p+ 1) deacutesigne un nombre multiple de 4 le passage en complexifishy

cation de 4p agrave (p + 1)2 - (p - 1)2 fait apparaicirctre que (2p - 1) + (2p + 1) est une

diffeacuterence de deux carreacutes

La creacuteation du langage algeacutebrique permet de deacutegager plus nettement laprobleacuteshy

matique deacutetude du nurileacuterique en la posant - sans lopposer - agrave cocircteacute de la perspecshy

tive calculatrice Elle permet donc dexpliciter ce qui demeurait largement implicite shy

la copreacutesence de deux maniegraveres davoir affaire au numeacuterique - et par lagrave dapaiser

les tensions Mais son surgissement historique permet surtout de mieux maicirctriser

la dialectique du numeacuterique et de lalgeacutebrique jusque-lagrave conduite avec des moyens

matheacutematiques insuffisamment adeacutequats Lalgeacutebrique est un outil de leacutetude du

numeacuterique le premier outil le plus eacuteleacutementaire sans doute (agrave un niveau avanceacute intershy

viendraient par exemple la theacuteorie des seacuteries entiegraveres la theacuteorie des fonctions analytishy

ques etc) Mais inversement (et cest ce qui nous autorise agrave parler de dialectique)

pour que le fonctionnement de cet outil soit efficace il faut quelque peu eacutetudier

cet outil par exemple se poser les problegravemes de la factorisation des expressions algeacuteshy

briques (afin notamment de reacutesoudre des eacutequations algeacutebriques) Or en ce point le

numeacuterique lui-mecircme est un outil deacutetude agrave lalgeacutebrique le flux sinverse Sans parler

76

de toutes les meacutethodes numeacuteriques qui font appel le plus souvent agrave des proprieacuteteacutes

danalyse (cest-agrave-dire concernant le corps des reacuteels et les fonctions dune variable

reacuteelle par exemple) on peut citer - pour prendre un exemple assez gros pour ecirctre

tout agrave fait visible - le theacuteoregraveme dEinsenstein sur la factorisation dans Q[X] (38)

Newton dans son Arithmetica Universalis deacutejagrave mentionneacutee montre une grande attenshy

tion agrave ce genre de laquoretoursraquo du numeacuterique vers lalgeacutebrique Ainsi donne-t-i1 une

meacutethode ingeacutenieuse pour trouver les facteurs dune expression algeacutebrique(39)

Si par exemple la quantiteacute proposeacutee est x 3 - x - 10x + 6 agrave la place de x

je substitue successivement les termes de la progression arithmeacutetique 1 0 -1 il en

naicirctra les nombres -4 + 6 + 14 Je place chacun deux avec tous ses diviseurs dans

la ligne du terme de la progression 1 0 -1 qui la produit comme on peut le voir

dans lexemple suivant

1 4 124 +4 o 6 1 2 3 6 +3

- 1 14 1 2 7 14 +2

Ensuite comme le terme le plus eacuteleveacute x3 na pas de diviseur de luniteacute je

cherche parmi les diviseurs quelque progression dont les termes ne diffegraverent que

dune uniteacute et qui en descendant des plus forts au plus faibles deacutecroissent comme

ceux de la progression 10 -1 Je ne trouve quune progression de cette espegravece cest

4 3 2 Je prends donc le terme + 3 qui se trouve dans la mecircme ligne que 0 de la

premiegravere progression 1 0 -1 je le joins agrave x et je tente la division par x + 3 elle

reacuteussit et jobtiens pour quotient x 2 - 4x + 2

Au-delagrave de la disparition de la structure du corpus matheacutematique enseigneacute en arithshy

meacutetique et algegravebre cest la dialectique du numeacuterique et de lalgegravebre - implicitement

preacutesente agravetravers llaquooppositionraquo de larithmeacutetique et de lalgegravebre - qui va se trouver

atteinte Plus que jamais les liens du numeacuterique et de lalgeacutebrique sen trouveront

relacirccheacutes

VIII - UNE CONCEPTION EMPIRISTE DU REEL MATHEMATIQUE

Leffacement de lopposition arithmeacutetiquealgegravebre en effet altegravere les condishy

tions de la mise en rapport du numeacuterique et de lalgeacutebrique Lancien rapport doutil

(38) Soit PIt) = a + a t + + a t n un polynocircme agrave coefficients dans if Sil existe un nombre premier p tel que0 1) ~ rie divise ~as an 2) p divise a al an_l p2 ne divise pas ao alors P o est irreacuteductible sur O

(39) Arithmeacutetique universelle tome premier pp 47-48 Nous laissons au lecteur le soin dapporter la justification matheacutematique requise

77

de travail agrave objet travailleacute semble perdu Les deux domaines - le numeacuterique -le

litteacuteral - vont coexister dans une simple juxtaposition existants qui trouvent en

eux-mecircmes leur propre justification Les rapports naguegravere encore banals entre ces

deux ordres de reacutealiteacute matheacutematiques semblent deacutesormais abolis Ou plutocirct ils laissent

place agrave des rapports nouveaux et inverseacutes ce nest plus lalgeacutebrique qui vient pershy

mettre deacutetudier le numeacuterique cest le numeacuterique qui laquojustifieraquo et laquopermet de comshy

prendreraquo lalgeacutebrique Le document 5 extrait dun manuei de quatriegraveme actuel (40)

IIUDIFFeacute~ENCS ce ceux C~CIMAUX [

x-eD yeC zeC z-z -y signifie que z+y-z Comment est appel z pour z et y dans ct ordre Observe

13-(-7) z+-7)middot13

[+(-7)j+713+7 +[(-7)+71-13+7

+0-13+7 zo13+-7

z-z-y z+y-z

(+y) + (-y)- +-(-y) +(y+ (-y)]-x + (-y)

z+O-z + (-y) -+(-y)

Pour tout xde D pour tout y de 0 z - y est un deacutecimal et z - y = +(-y) Exemples 8-(-7)=8+7=15 9-14=9+(-14)=-5 Lopeacuteration- qui agrave chaque coupe (z y) z e 0 y E C fait correspondre le deacutecimal Z - J est la soustraction dans O

DOCUMENT 5

Lalgeacutebrique comme essence du numeacuterique

nous donne de ce pheacutenomegravene un exemple tregraves net lintention didactique est ici

de justifier le fait que x - y = x + (-y) Pour le matheacutematicien la laquojustificationraquo shy

qui est alors strictement une deacutemonstration - est toute entiegravere contenue dans la

colonne de droite si je deacutefinis en geacuteneacuteral-y comme eacutetant le nombre tel quey + (-y) = 0

et si les proprieacuteteacutes ordinaires - associativiteacute etc - valent encore pour le nouvel

ensemble de nombres ainsi deacutefini alors le nombre z que je dois ajouter agrave y pour

obtenir x - ce quon appelle la diffeacuterence de x et y et qUon note x - y - nest pas

autre chose que x + (-y) Or la laquojustificationraquo passe dans la didactique ici examineacutee

par lappel au concret cest-agrave-dire au numeacuterique tel est le rocircle de la colonne de

gauche Ce sont les calculs numeacuteriques de la colonne de gauche qui soutiendraient

le sens (pour leacutelegraveve) des calculs litteacuteraux de la colonne de droite Malheureusement

le contenu de la colonne de gauche est si lon peut dire hautement improbable

(401 Il sagifdu _manuel Matheacutematique contemporaine pour la classe de quatriegraveme publieacute chez Magnard et conforme au programme de1978shy

78

parce que le numeacuterique ne fonctionne pas ainsi En fait les calculs numeacuteriques preacuteshy

senteacutes ici nexistent quagrave ecirctre limage en miroir des calculs litteacuteraux de la colonne

de droite Et cest pour permettre de tels calculs que le langage algeacutebrique preacutecishy

seacutement est neacutecessaire Il y a ainsi meacuteprise sur la speacutecificiteacute des deux ordres de calcul

et conseacutequemment sur le type de rapports quils entretiennent la justification

de lalgeacutebrique sappuierait sur un mode de fonctionnement du numeacuterique qui nest

en fait quun deacutecalque du fonctionnement de lalgeacutebrique et qui donc suppose

lalgeacutebrique

Leacutelucidation du nouveau rapport qui saffirme ainsi nest pas chose facile Elle

est pourtant neacutecessaire afin de preacuteciser par delagrave la surface des programmes les mouveshy

ments profonds produisant des deacutecisions didactiques quon aurait tort de regarder

seulement comme des laquotrucsraquo eacuteleacutements atomiques de strateacutegies trouvant en ellesshy

mecircmes et dans leurs effets supposeacutes leur unique mobile Revenons agrave lexemple que

nous avons examineacute Lalgeacutebrique y apparaicirct comme la laquotheacuteorieraquo de cette laquoreacutealiteacuteraquo

que serait le numeacuterique Mais les relations en acte entre theacuteorie (permettant leacutetude)

et reacutealiteacute (objet de leacutetude) y ressortissent incontestablement agrave une conception empishy

riste (et mecircme nous allons le voir empiriste-sensualiste) de la connaissance Tel est

en fait le mobile - veacutecu sans doute comme allant de soi dans leacutevidence que lideacuteoshy

logie procure - de la tentative de laquofaire sortirraquo la theacuteorie (lalgeacutebrique) de la reacutealiteacute

(numeacuterique) Il ya ici inversion des rapports entre theacuteorie et reacutealiteacute Car le surgissement

du theacuteorique - faut-il le rappeler - ne sautorise jamais que de lui-mecircme et loin

de proceacuteder de la reacutealiteacute la constitue (ou la renouvelle) comme objet de connaissance

Si jeacutecris par exemple 13 + 7 = 13 - (-7) selon un fonctionnement du numeacuterique

antinomique de la pratique calculatoire (cest-agrave-dire arithmeacutetique) du numeacuterique shy

laquelle voudrait quon eacutecrivicirct 13 + 7 = 20 - je fais de lalgegravebre sur du numeacuterique

cest loutil algeacutebrique et lui seul qui me permet ce travail du numeacuterique Entre le

fonctionnement arithmeacutetique et le fonctionnement algeacutebrique du numeacuterique il y a

ainsi une distance - un saut - que nul proceacutedeacute dlaquoabstractionraquo ne peut venir combler

On aurait tort de penser que lanalyse preacuteceacutedente ne vaut que pour lexemple

sur laquelle nous lavons illustreacutee En reacutealiteacute sa porteacutee est beaucoup plus eacutetendue

et pour en saisir toute la signification il faut revenir agrave cette acmeacute de leacutevolution de

la transposition didactique que repreacutesente la reacuteforme de 1971 (celle des laquomatheacutemashy

tiques modernesraquo) Contrairement aux opinions aujourdhui dominantes qui selon

un opportunisme neacutecessaire et une constante inconstance reacutecusent cette reacuteforme

pour ses excegraves et la regardent comme laberration dun moment il faut tenir que cette

aberration nen est pas une quelle ne fait que preacutecipiter cristalliser et rendre explicites

des traits qui deacutejagrave se repegraverent dans leacutevolution des deacutecennies preacuteceacutedentes Elle est un

moment qui donne sens reacutetrospectivement agravece qui vient avant lui et deacutetermine

largement ce qui viendra apregraves lui Car sil y a en quelque faccedilon rupture cest sur le

fond dune tregraves large surdeacutetermination En profondeur le programme de 1971 - pour

79

sen tenir agrave la classe de quatriegraveme - constitue une radiographie saisissante dune

eacutevolution que le programme de 1978 nadoucira quen surface Cest cette image

laquodureraquo quil faut interroger

On a trop vitupeacutereacute linflation moderniste le parti pris theacuteoriciste lambition

de rigueur des matheacutematiques promues par la reacuteforme et trop peu vu derriegravere cet

eacutecran deux mouvements correacutelatifs moins spectaculaires mais deacuteterminants Le

premier - que nous avons deacutejagrave plusieurs fois mentionneacute - cest lenvahissement du

champ deacutetude par les structures numeacuteriques Les laquoexcegravesraquo du programme de 1971

sont le prix agrave payer pour ce coup de force qui se megravene alors - simple tactique dun

moment le programme de 1978 installera une version apaiseacutee de la mecircme strateacutegieshy

avec lartillerie lourde de laquolapproche des reacuteelsraquo des laquocalculs approcheacutesraquo des laquoencashy

drementsraquo de haute ambition matheacutematique Le seCond cest la peacuteneacutetration dun

thegraveme qui va devenir central celui de llaquoobservationraquo et de llaquoexpeacuterimentationraquo

matheacutematiques

Fausse moderniteacute ce thegraveme est mis en place degraves les Instructions de janvier

1957 (annexe 6a) dont les Instructions de 1971 se reacuteclameront non sans raicon Il

prend alors lallure dune reacuteflexion sur les liens entre matheacutematique et extramatheacutemashy

tique La caution bergsonienne ici invoqueacutee - homo taber homo sapiens - bien que

dateacutee est agrave cet eacutegard tregraves significative La perspective proposeacutee ne conduit pas tregraves

loin les problegravemes denseignement se trouvent laquoreacutesolusraquo par une didactique euphoshy

rique (annexe 6b) Au vrai la conjoncture historique qui verra la mise en place des

matheacutematiques modernes nest alors quincomplegravetement formeacutee Ce qui manque

encore afin que lideacutee dexpeacuterimentation puisse passer dans les faits cest une matiegravere

que lon pourrait soumettre agrave lobservation et agrave lexpeacuterience A cet eacutegard les Instrucshy

tions de 1957 raisonnent encore agrave lancienne la notion dexpeacuterimentation y est

surtout loccasion dune rheacutetorique qui tourne sur elle-mecircme faute de pouvoir sapplishy

quer Mais cette matiegravere dapplication qui fait deacutefaut la reacuteforme va lapporter en

abondance ce sera le numeacuterique dont nous comprenons mieux degraves lors la place

de choix que les programmes reacuteformeacutes vont lui accorder Son expansion se trouvait

en fait comme appeleacutee par lexigence laquoexpeacuterimentaleraquo induite par une certaine concepshy

tion eacutepisteacutemologique et didactique

Le deacutecor de laction est installeacute en consonance avec une mise en scegravene empiriste

du procegraves de connaissance(41) Il Y a la laquoreacutealiteacuteraquo qui est un donneacute dont la preacutesence

simpose avec la derniegravere force et il y a la laquotheacuteorieraquo de ce donneacute que lon preacutetend

tirer par abstraction de lobjet agrave laquelle elle se voue La dialectique du numeacuterique

et de lalgeacutebrique est alors perdue lun de ses termes (lalgeacutebrique) se dissout dans

(41) Pour lintelligence de ce qui suit nous renvoyons agrave Althusser 1968 notamment pp 38-45

80

lautre (le numeacuterique) agrave qui est octroyeacute par nature une existence presque mateacuterielle

et dont lalgeacutebrique proceacutedera geacuteneacutetiquement La reacuteforme de 1971 remanie donc

le champ deacutetude pour y produire de solides objets laquoreacuteelsraquo agrave forts coefficients dexis-shy

tence les structures numeacuteriques et aussi la mysteacuterieuse laquodroite physiqueraquo dont la

soudaine promotion ontologique serait autrement encore plus inexplicable(42) Cela

poseacute lintroduction du litteacuteral (lalgeacutebrique) sidentifie au mouvement par lequel

dans le procegraves empiriste de connaissance se repreacutesente lessence du reacuteel qui est toute

la connaissance que le sujet peut tirer de lobjet par abstraction il permet de distinguer

entre un reacuteel essentiel et un reacuteel inessentiel gangue ou accident que le processus

dabstraction abandonne comme un reacutesidu impenseacute Labstraction qui vise agrave porter

agrave la lumiegravere ce quon pourra connaicirctre de lobjet agit par deacutecrassage et deacutecapage

CHA~tTRbullbull tour dieacuteremcs ftiems de 1t 011 obti=c cIes putitioas cilifeacute=o~ Uuml fiIure 2 repreacutese1tt (parshy

tieJ1emenz) les paniagravecas ~ i- II-l 11--0 11 - - l~ = grouie agrave la loupe la paftiriœ cozrcspoadaDc agrave Il - - 2shy

f-oo( [Q10[

1 1

~ Q t

(-2 ~( T

[l 0 ( [01 ( r12 r i i i i J r sr

-1shy 0 t

1 1 1 1 1 1 1 1 shy 1 bull 1 1 1 11

-1 -01 001 lU 03 ~ o~ 06 07 oa 09 1 11

P4 041 ~l ~~I 041ds1 -i -o] OoJ O4l o~ 04S 04) ~ 1 ~1 1

fJvZ

li) De m=c si II eR lD1 emer œIaagravef acirczeacute et si CI pr=d tOlIœS les ftiems possibles da2s Z r=semblc cIes imenalles cie c

Jcr10 (CI + L 10

eR iJMpcrtirIcircD1f de C Uuml figure 3 repreacutes=œ (articllemcm) =œ putitioll p04 shy O~

r 1 i 1 T l 1 1 -5 -4shy -3 -2 -r agrave l Z ~ 4shy 5

~3

DOCUMENT6

Le deacutecapage du donneacute dans le processus empiriste de connaissance

(42) Voir Chevallard et Johsua 1982 notamment pp 200-203

81

agrave ce thegraveme geacuteneacuteral de la connaissance empiriste reacutepond correctement dans les proshy

grammes la notion dlaquoapprocheraquo ou dlaquoapproximationraquo des laquoreacuteelsraquo (qui nont jamais

aussi bien porteacute leur nom) Ceux-ci sont atteints par le moyen de purifications successhy

sives qui eacuteliminent peu agrave peu la gangue inessentielle Tel manuel (43) pris parmi tant

dautres- en offre la superbe illustration (document 6) limage de la loupe - emblegraveme

de la connaissance empiriste dont elle est linstrument privileacutegieacute parce quelle permet

de mieux voir et de faire voir - y est requise et symbolise mieux quun long commenshy

taire cette conception de la connaissance comme visant agrave amener linvisible agrave la

vue de tous

Une telle conception de la connaissance rate le reacuteel dont il sagirait preacuteciseacutement

de produire la connaissance parce quelle en manque la constitution comme objet

de connaissance(44) Lalgeacutebrique ne sert plus agrave connaicirctre le numeacuterique Il nest plus

deacutesormais quune steacutenographie middotessentialisante qui deacutecrit reacutesume et seacutepare lessence

de laccident Le surgissement laquomoderneraquo de la dichotomie de llaquoobservationraquo et de

la laquotheacuteorieraquo - que les manuels actuels reprennent agrave lenvi - est ainsi correacutelatif dune

dissolution de lobjet de connaissance au profit de lobjet reacuteel maintenant donneacute

agrave voir dans une abstraction reacuteputeacutee immeacutediate et facile Lordre didactique va sorgashy

niser autour de cette eacutepisteacutemologie imaginaire

REFERENCES

ALTHUSSER L (1968) Lire le Capital Franccedilois Maspeacutero Paris

BOURDIEU P (1974) Le sens pratique eacuteditions de Minuit Paris

BROUSSEAU G (1980) Problegravemes de lenseignement des deacutecimaux Recherches

en didactique des matheacutematiques 1middot1 pp 11-59

CHEVALLARD Y (1980a) Matheacutematiques langage enseignement la reacuteforme des

anneacutees soixante Recherches 41 pp 71-99

CHEVALLARD Y (1980b) La transposition didactique 1REM dAix-Marseille

CHEVALLARD Y (1982) Pourquoi la transposition didactique 7 Publication du

seacuteminaire de didactique et peacutedagogie des matheacutematiques 32 Grenoble

CHEVALLARD Y et JOHSUA MA (1982) Un exemple danalyse de la transposition

didactique Recherches en didactique des matheacutematiques 3 2 pp 157-239

MICHEL PH (1950) De Pythagore agrave Euclide Les Belles Lettres Paris

SMITH DE (1953) History of mathematics volume Il Dover publications Inc

New York

(43) Il sagit de louvrage mentionneacute dans la note 24 ci-dessus

(44) Sur la distinction entre laquoobjet reacuteelraquo et laquoobjet de connaissanceraquo voir Althusser 1968 pp 4649

82

CLASSE DE QUATRIEME CLASSIQUE A ET B ET DE QUATRIEME MODERNE

PROGRAMME DE 1945 (extraits)

Arithmeacutetique

Pratique sur des exemples de la deacutecomposition dun nombre entier en facteurs premiers de la recherche du plus grand commun diviseur et du plus petit commun multiple de deux ou plushysieurs nombres Applications aux fractions

Algegravebre

Nombres algeacutebriques (positifs nuls heacutegatifs) Opeacuterations sur ces nombres exposeacutes agrave partir de problegravemes concrets Ineacutegaliteacutes

Mesures algeacutebriques de vecteurs sur une droite orienteacutee Formule de Chasles Repeacuterage dun point sur un axe

Eleacutements du calcul algeacutebrique proprieacuteteacutes des sommes et des produits Puissances Produit et quotient de deux puissances dun nombre usage de lexposant nul et dexposants neacutegatifs

Monocircmes Produit de monocircmes Quotient de deux nombres Somme de monocircmes semblables (on se bornera agrave des monocircmes agrave une deux ou trois variables) Polynocircmes agrave une variable addition soustraction multiplication par une constante

Equations numeacuteriques du premie( degreacute agrave une inconnue Problegravemes conduisant agrave une eacutequation numeacuterique du premier degreacute agrave une inconnue

Annexe 1

83

CLASSE DE QUATRIEME

PROGRAMME DE 1958 (extraits)

Arithmeacutetique

Pratique sur des exemples de la deacutecomposition dun nombre entier en un produit de nomshybres premiers pratique de la recherche du plus grand diviseur commun et du plus petit multiple commun de deux ou plusieurs nombres Applications

Algegravebre

1 - Nombres relatifs (positifs nuls neacutegatifs) Orientation dun segment (vecteur) orientation dune droite (axe) mesure algeacutebrique

dun segment orienteacute sur un axe repeacuterage dun point sur un axe (abscisse)

II - Opeacuterations eacuteleacutementaires sur les nombres relatifs addition et soustraction multiplishycation et division

Extension aux nombres relatifs des proprieacuteteacutes fondamentales eacutetablies pour les nombres arithmeacutetiques (classe de cinquiegraveme) concernant les sommes les diffeacuterences les produits les puisshysances n-iegravemes les quotients linverse dun nombre non nul Condition pour quun produit soit nul

Deacutefinition des exposants neacutegatifs et de lexposant nul Comparaison des nombres relatifs ineacutegaliteacutes Ineacutegaliteacutes concernant la valeur absolue dune somme ou dune diffeacuterence Formule de Chasles pour trois points situeacutes sur un axe Segment deacutefini par les abscisses

des deLix points qui le limitent mesure algeacutebrique de ce segment orienteacute mesure de la longueur de ce segment abscisse du milieu de ce segment

III - Notions de variables et de correspondance entre variables Expressions algeacutebriques deacutependant dUne ou de plusieurs variables calcul de la valeur

numeacuterique dune expression algeacutebrique pour des valeurs numeacuteriques donneacutees aux Ymiddotariables Monocircmes agrave une ou plusieurs variables multiplication addition de monocircmes semblables Polynocircmes forme reacuteduite Polynocircmes ordonneacutes addition multiplication Identiteacutes relatives aux produits (x + y)2 (x - y)2 (x + y)(x - y)

IV - Equations position du problegraveme signification du signe = dans ce problegraveme Equashytions du premier degreacute agrave une inconnue agrave coefficients numeacuteriques Reacutesolution de problegravemes simples agrave laide dune telle eacutequation

Annexe 2

84

CLASSE DE QUATRIEME

PROGRAMME DE 1971 (extraits)

1 - Relations

Reacutevision -des notions preacutesenteacutees dans les classes anteacuterieures et compleacutements produit carteacutesien relation application composition des applications bijection cun ensemble sur un ensemble et bijection reacuteciproque

Notion de groupe deacutefinition (on la jeacutegagera des exemples du programme)

II - Nombres deacutecimaux relatifs et approche de reacuteel

1 Groupe des puissances de dix

Nombres deacutecimaux relatifs eacutecrits a 10n avec a e7l et p E7 et sous forme de nombres agrave virgule addition multiplication ordre valeur absolue Reacutesumeacute des proprieacuteteacutes fondamentales de lensemble ainsi structureacute des deacutecimaux relatifs

2 Calculs approcheacutes

a) EnC3drement dun nombre deacutecimal par des intervalles des types [a 10pbull (a + 1) 10middot[ da 101 (a + 1) 10- [a 10pbull (a + 1) 101] avec a E Z et p E Z Sur des exelJlples encamiddot drement middotdune somme dun produit

b) Exercices de deacutetermination pour un deacutecimal strictement positif d donneacute et pour un entier relatif n donneacute du nombre deacutecimal x bull 10 avec x E IN tel que soient veacuterifieacutees les ineacutegaliteacutes 0 ~d x 10 ~ 1 lt d (x + 1) 10

c) Exercices de deacutetermination pour un deacutecimal strictement positif d donneacute et pour un entier relatif n jonneacute du nombre deacutecimal y bull 10 avec y E IN tel que soient veacuterifieacutees les ineacutegaliteacutes [y 10P ~ d lt [(y + 1) 10]

d) Suites deacutecimales illimiteacutees nombres reacuteels encadrements dun nombre reacuteel

3 Enumeacuteration des principales proprieacuteteacutes qui structurent fensemble IR des reacuteels addition (IR +) est un groupe commutatif multiplication associashytiYiteacute distributiviteacute par rapport agravefaddition ordre et valoeur absolue

On admettra que pour tout nombre reacuteel a jiffeacuterent de 0 il existe un nombre reacuteel a-1 et un seul tel que aa-1 = 1 Pour tout couple de nombres reacuteels (a b) avec a = 0 il existe un nombre reacuteel unique x appeleacute quotient de b par a

b et noteacute ba-1 ou - tel que ax = b a

Exercices simples de calcul sur de tels quotients Sur des exemples -numeacuteriques eacutequations et ineacutequations du premier degr9 agrave une inconnue

Usage des exposants entiers groupe des puissances dun nombre reacuteel non nul

Calculs approcheacutes sur les nombres reacuteels

4 Exemples de fonctions polynocircmes (applications de IR dans IR) Degreacute Exercices de calcul SUT les polynocircmes Produits (x + a)2 (x - a)2 (x + a) (x - a) Exercices de factorisation

Annexe 3

85

ENCYCLOPEDIE QUILLET (1958)

TABLE DES MATIERES (extraits)

ARITBMEacuteTIQUE Notio~ preacute1i1Ji~ajres - Ideacutee de nombrebullbullbullbull 153 NumeratIon decmale bullbullbullbullbullbullbullbull 156 ~esure des grŒDdeurs bullbullbullbullbullbull bullbullbullbull 159 Nombresmiddot deacutecUDauxbullbullbullbullbullbullbullbullbullbull 169 Ladditionbullbull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull 165 La soustraction bull bull bull bull bull bull bull bull bull 168 La ~~qplication bullbullbullbullbullbullbull1 bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bullbull 171 La diVISIon 178

Regravegle de trois bull bull 117 Pourcentages bullbullbull 119 Partages proportionnels 110 ~~langes bullbull i bull bullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbull 111 Alliages bull 111 Regravegles dinteacuterecircts 124 Rentes sur Pltat 116 Actins et obli~tions - Escompte 117

Problegravemes sur les quatre opeacutemtions bull bull bull 184 La divisibiliteacute bull bull bull bull bull bull bull bull 186 Plus grŒDd commun diviseur (p G C D) 189 Plus petit commun multiple (P P C M) 191 Nombres premiers bullbullbullbullbullbullbullbull 192 Les fractions bull bull bull bull bull 194 Opeacuterations sur les fractions 197 Sys~egraveme meacute~que 203 Racme carree 207 Rapports - Proportions 2 II

Grandeurs Proportionnelles 215

Connge des exercces ~ 130

Annexe4a

ALGEgraveBRE Notions preacuteliminaires bullbullbullbull 157 Opeacutemtions sur les nombres algeacutebriques (somme

diffeacuterence multiplicationmiddot division des nombres algeacutebriques fractions ou rapports algeacutebriques puissances racines) bull bull 160

Qpeacuterations sur les expressions algeacutebriques bull 168 gquations du premier degreacute 278 Reacutesolution des problegravemes du premier degreacute agrave une

inconnue bullbullbullbullbullbullbullbullbull 186 gquations et problegravemes du premier degreacute agrave deux

ou plusieurs inconnues bull bull 191 Notions sur les repreacutesentations graphiques bull bull 301

Variation des fonctions 313 Deacuteriveacutees bullbull bull bull 319

~uations et problegravemes du second degreacute bull bull 312

ProgressionsetlogaritbInesmiddotmiddotmiddotmiddot middotmiddot middotmiddotmiddot middot331 Table de logarithmes de 1 agrave 1 000 bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull 338 Application des logarithmes Inteacuterecircts composeacutes et

annuiteacutes bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull 343 Corcigeacute des ex~ces bullbull ~ bullbullbullbullbullbullbull 348

Annexe4b

54

SOLUTION ABlTH)IEacuteTIQUE

l Heprecircsentons la longueur du 1 coumiddot ~o lon middotpar une ligne

ft ~~ Cne ligne semblable augmenteacutee de i4 Ill figurera le 2m coupon

En examinant cette repreacutesentation graphique on voit de suite que petit COUP0rl + petit coupon + 4 lU ou 2 fois le petit coupon + 4 m = 40 lU

par conseacutequent 2 fois le petit coupon =40 m - 4 lU =36 Ill dou petit coupon = 38 lU l = 18 Ill

el grand coupan = 18 lU + 4 lU = l2 m

SOLUTION ALGEacuteBR~QUE

1er X Au lieu de la ligne meltonsmiddot pour le 40 m 1er coupon hl lettre x

) 2lDe x+4 m Nous aurons pour le 2me coupon r x+4shy

Nous avons ainsi sous les yeWt comme pour- la solution preacuteceacutedente une image tregraves nette de leacutenonceacute et nous poumiddot ons eacutecriremiddot

x + r + 4 = 40 nt 2 Cois x + 4 = 40 nl

2 Cois r =40 m - 4 nl =36 Ill

x = 36 2 =18 lU

ct grand coupon =18 m + 4 lIJ = 22 lU

Chaque fois que nous emploierons des lettres dans la reacutesolution des problecircmes Il0US ferons de lalgegravebre

La solutiou algeacutebrique est plu simple Flus rapide que la solu tion arithmeacutetiquebull llle dispense le fme de longs raisonnemeuts

DOCUMENT 1

On notera ici que les auteurs rencontrent en geacuteneacuteral une difficulteacute didactique

caracteacuteriseacutee Lideacuteal serait eacutevidemment de proposer un problegraveme tout semblable agrave

ceux que larithmeacutetique permet en principe de reacutesoudre mais dune complexiteacute telle

que les seules lumiegraveres de larithmeacutetique nous laissent impuissants agrave le reacutesoudre effecshy

tivement et den donner alors une solution par le moyen de lalgegravebre Mais le comshy

menccedilant ne maicirctrisant pas loutil algeacutebrique - par deacutefinition - ils doivent sen tenir

agrave un problegraveme de structure assez simple pour que lintroduction du langage e~ des

proceacutedures algeacutebriques demeurent aiseacutement compreacutehensibles en soulignant eacuteventuelshy

lement ensuite que les mecircmes meacutethodes preacutesenteacutees sur un exemple qui certes ne les

requiert pas permettraient de reacutesoudre des problegravemes laquotregraves-compliqueacutesraquo devant

lesquels larithmeacutetique seule nous laisserait cois (document 2)

Le passage de larithmeacutetique agrave lalgegravebre est dautant mieux marqueacute jusquau

deacutebut du XIXegraveme siegravecle que cest seulement avec leacutetude de lalgegravebre que sintroshy

duisent les laquosignes algeacutebriquesraquo Longtemps en effet larithmeacutetique les ignore(7)

(7) Voir Smith 1953 p 395

55

Les auteurs donc en preacutesentant la solution algeacutebrique du problegraveme quils ont pris

pour mateacuteriel dinitiation preacutesentent aussi les signes usuels que nous appellerions

volontiers signes arithmeacutetiques soit + - X = etc Dans un manuel qui peut dater

de la fin du XVlllegraveme siegravecle et dont le premier chapitre sintitule opportuneacutement

laquoNotions preacuteliminaires sur le passage de lARITHMETIQUE agrave lALGEBRE explishy

cation et usage des signes algeacutebriquesraquo on Voit ainsi lauteur introduire soigneusement

les sjgnes daddition de soustraction de multiplication de division le signe deacutegaliteacute

et enfin linconnue x quil rapporte dailleurs agrave lusage adopteacute en arithmeacutetique agrave

propos du quatriegraveme terme - inconnu et agrave deacuteterminer - dune proportion (document

2)

2 Les raisonnemcn9 fort simples dans le problegravememiddot roposeacute ci~essus mais tregraves-compliqueacutes dans dautres se composant ell geacuteneacuteral dun certain nombre dexshypressio1s bull telle que ajouteacute egrave diminueacute de est eacutegal agrave lrc reacutep~teacutee5 freacutequemment et qui tiennent aux opeacuterashytions par lesquelles les grandeurs qui entrent dans 1eacuteshynonceacute de la question sont lieacutees entre elles il est isible quon abreacutegerait beaucoup en repreacutesentant chashycune de ces expressions par un signe et cest aussi ce quon fait comme il suit

Pour indiquer raddition on se sert du signe + qui sinilie plus

Pour la soustraction on se sert du signe - qui signifie moins

Pour la multiplicatiOnraquo on se sert du signe X bull eacutetui signifie multiplieacute par bull

Pour eacutecrire que deux quantiteacutes doivent ecirctre di~eacutees lune par lautre on place la seconde sous la premiegravere ~

et on les seacutepare par un trait ~ signifie 5 divis~ par 4shyEnfin pour marqu~rquedeuxquantj-~ ~ ~ont eacute~ales on ~

1l1et entte leurs expressions le signe = qui signifieeOaie~

Ces abreacuteviations quoique deacutejagrave tregraves-consideacuterabl~ ne linm~entpas encoreraquo car On est obligeacute demiddotdpeacuteter OUveRt

le nombre ci partager le nombre donneacute etc la pluspetite partie le nombre chercheacute etc ce qui alonge beaucoup A leacutegard des donnies lexpeacutedient qui sest offert le p-emier a eacuteteacute (le prendre pour les repreacutesenter des nombres dttermincs qui servent dexemple comme on ell use en arithm~tique mais la chose neacutetanl pas poshy5ible agrave leacutegard des nombres inconnus on ya substitueacute un signe de c nention qui a varieacute avec le temps_ On sest enirn accord~ il employerles lettres de lalphashybet presque touiours on se sert des derniegraveres bull comme en arithmeacutetique on met une x pour le quatriegraveme terme dune proportion dont on ne cODnakque les troill shypremiers et cest agravee lusage de ces divers signes quest reacutesulteacute rA~egravebre

DOCUMENT 2

56

De mecircme dans ses Eleacutemens dalgebre (eacutedition de 1760) voit-on Clairaut qui double le

corps de son texte de notes marginales visant agrave eacuteclairer le lecteur sur leacutepisode en cours

(document 3) preacutesenter un agrave un ces nouveaux eacuteleacutements du discours matheacutematique

Pour mieux donner les principes de cette Science nous nl10ns reprendre la mecircme quef-shytion nous eacutecrire~i en langage ordinaire les raishyfonnemcns que lAlgecircbrifie tagraveit pour reacutefoudre fon Problecircme amp en caraeacuteleres Algtbriques ce qui lui 1ugraveffit deacutecrire pour aid~r fa meacutemoire

La plus petite ou la trolfieme part quelle quelle fait je middotlexprime par une feule letue quifera par exemple bullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbull x

La feconde fera parconfeacutequentxplus II) ce que jeacutecris ainfi bullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbull x + II) choififiagravent le figne +9uon prononceplus po~ deacuteligner lAddition des d(ux auantiteacutes entre lcfquelles on le place

Quant i la premiere part ou la plus grande comme elle furpa1fe la feconde de 1 8o elle fen exprimeacutee par bull bull bull bull bull bull bull~ -+ II) + 1 80

Ajoutant ces trois parts on aura bull bullbullbullbull bull bull bull 3 x + II) +1 1) + 180 ou en reacuteduifant bull bull bull bull bull bull bull bull bullbullbull 3 x + 410

Mais cette lomme des trois pans doit eacutegaler Le fagne= 89015 ce qui sexprime ainfi 3x+410=-~90marque) c- saliceacute employant le caraeacutelere = qUI fe prononce

eacutegal pour exprimer leacutegaliteacute des deux quantiteacutes entre lefquelles on le place

La quefiion par ce calcul efi donc changeacutee en une autre ougrave il sagit de trouver une quantiteacute dont le triple eacutetant ajouteacute avec fI deg fafle S90

one c(qula Trouver la reacutefolution de femblables Juemonslion e ~ e- ~ Il Il eacutefc d gJ1ileacute de c eu ce quon appe e r ou re une quanon ~eul quan- leacutequation dans ce cas-ciefi 3x+f10=890 IJ~~ reacutefout on lappelle ainfi parce quelle indique leacutegali~ une eacuteJqu(- teacute de deux quantiteacutes reacuteloudre cette eacutequation lIOn or - J1 1 1 dlquon rrou- C en trouver a va eur e mconnuex par cette nJ~valcur condition qu fon triTlellus 4-10 fatre ~90 de 1 mcon- 1 nue quclle bull rcnfermc Pour reacuteroudre cette eacutequation voici comshyReacutefolurion ment lAlgeacutehrifie raifonne amp comment il eacutecrit

de legravequa- fc raifc L fc cllion qui el[- es onneRlens quatlon a re ou re bullbullbull Erime le bullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbull 3x+4-10=890 Pblcme d Il agravepreacuteceacutedent m appren qu l Jaut aJouter bullbullbullbullbull 4 10 3 r

pour faire la comme de 890 donc 3 x font moindres que 890 de 41o ce que jeacutecris

LeC3rai- ainfi middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot3 x=890 -4-IO

tere -- in- Prenant le caraeacutelere - qui fe prononce moim tI~~taI pour faire reifouvenir que la quantiteacute quil preacute li~ cccedilde doit ecirctre retnDcheacutee de celle quil f~t

DOCUMENT 3

Meacutelhodo AIgcbriquc dexprimer le Probeumlmiddotmiddot me preacutelshydcnr

Le fagne indJque lacWilioa

57

Bien entendu lintroduction des signes laquoalgeacutebriquesraquo degraves les eacuteleacutements darithshy

meacutetique qui va simposer deacutefinitivement au XIXegraveme siegravecle atteacutenue quelque peu la

marque formelle du passage de larithmeacutetique agrave lalgegravebre Mais la transition est toujours

souligneacutee elle participe de la rheacutetorique denseignement autour de la dialectique de

lancien et du nouveau que nous avons ailleurs preacutesenteacutee(8) Elle se coule alors en

dautres analyses et notamment dans une preacutesentation de lalgegravebre comme meacutemoire

permettant de conserver une trace des opeacuterations effectueacutees Proprieacuteteacute fort ancienneshy

ment noteacutee semble-t-il et de laquelle Clairaut - se situant il est vrai dans une persshy

pective plus didactique queacutepisteacutemologique(9) - fait mecircme deacutecouler linteacuterecirct et la

neacutecessiteacute de lalgegravebre(10)

Ainsi lalgegravebre soppose-t-elle agrave larithmeacutetique par une proprieacuteteacute qui lui donne

une puissance supeacuterieure Mais par lagrave dans un deuxiegraveme temps de la dialectique que

tissent les auteurs entre arithmeacutetique (lancien) et algegravebre (le nouveau) lalgegravebre

apparaicirct positivementmiddot comme laccomplissement de larithmeacutetique Sappliquant

agrave lorigine au mecircme corps de problegravemes elle est une arithmeacutetique deacutelivreacutee de lopaciteacute

et de loubli qui deacuterobent agrave nos yeux la structure des problegravemes eacutetudieacutes Elle est un

instrument supeacuterieur pour une tacircche semblable Elle est une arithmeacutetique universelle

- comme lappelle Newton - ou encore une arithmeacutetique geacuteneacuteraliseacutee comme le note

Poinsot un bon siegravecle plus tard en une deacutefinition quun auteur de manuel de la fin

du XIXegraveme - deacutebut du XXegraveme comme beaucoup dautres avant et apregraves lui reprend

agrave son comlte et propose agrave la meacuteditation ltles eacutelegraveves de collegravege laquoLalgegravebre eacuteleacutementaire

nest autre chose quune arithmeacutetique geacuteneacuteraliseacutee cest-agrave-dire eacutetendue des nombres

particuliers agrave des nombres quelconques et par conseacutequent des opeacuterations actuelles

quon exeacutecutait agrave des opeacuterations quon ne fait plus quindiquer par des signes de

(8) Voir Chevallard 1980b

(9) Il ne faut pas neacutegliger en effet la part de rheacutetorique dintention didactique que comporte ce genre de remarques

(10) Ayant preacutesenteacute - selon la technique didactique usuelle - la solution arithmeacutetique dun proshyblegraveme darithmeacutetique pour lui comparer ensuite la solution au moyen de lalgegravebre Clairaut eacutecrit en effet laquoCest vraisemblablement ainsi que les premiers Algeacutebristes ont raisonneacute quand ils se sont proposeacutes de pareilles questions sans doute quagrave mesure quils avanccedilaient vers la solution dune question ils chargeaient leur meacutemoire de tous les raisonnemens qui les avaient conduits au point ougrave ils en eacutetaient amp lorsque les questions neacutetaient pas plus compliqueacutees que la preacuteceacutedente il ny avait pas de quoi se rebuter mais degraves que leurs recherches ont offert plus dideacutees agrave retenir il a fallu quils cherchassent une maniegravere plus courte de sexprimer quils eussent quelques lignes simples avec lesquels quelquavanceacutes quils fussent dans la solution dun problegraveme ils pussent voir dun coup dœil ce quils avaient fait amp ce quil leur restait agrave faire Or lespegravece de langage particulier quils ont imagineacute pour cela cest lAlgegravebreraquo (Eleacutemens dAlgebre troisiegraveme eacutedition Paris 1760 p 3)

58

maniegravere que dans cette premiegravere speacuteculation de lesprit on songe moins agrave eacutetablir le

reacutesultat de ces opeacuterations successives quagrave egraven tracer le tableau et agrave deacutecouvrir ainsi des

formules pour la solution de tous les problegravemes du mecircme genreraquo (11)

IV -LE DEVENIR DE LARITHMETIQUE DANS LA REFORME

En France la reacuteforme des matheacutematiques modernes est mise en œuvre agrave partir

de la fin des anneacutees soixante elle touche les classes de sixiegraveme et de seconde agrave la

rentreacutee 1969 les classes de cinquiegraveme et de premiegravere en 1970 les classes de quatriegraveme

et de terminale en 1971 enfin en 1972 la classe de troisiegraveme Cest eacutevidemment dans

ce cadre densemble que le pheacutenomegravene eacutetudieacute ici doit ecirctre situeacute Du point de vue qui

nous occupe cette reacuteforme reacutealise un changement profond dans lorganisation du

corpus matheacutematique enseigneacute Le programme reacuteformeacute de la classe de quatriegraveme

comporte quatre titres Les deux derniers sont consacreacutes agrave la geacuteomeacutetrie( 12) Les

deacuteux premiers titres concernent lun les relations lautre les nombres deacutecimaux et

lapproche des reacuteels (annexe 3) Formellement donc la structuration arithmeacutetique

algegravebre agrave disparu comme nous le notions plus haut Que sest-il passeacute

Pour reacutepondre agrave cette question il est bon dexaminer rapidement les contenus

des corpus traditionnels darithmeacutetique et dalgegravebre laquoeacuteleacutementairesraquo (en eacutecartant un

instant les consideacuterations de niveaux dans le cursus denseignement) Larithmeacutetique

dabord Dans un manuel publieacute en 1934 agrave lintention du cours moyen et du cours

supeacuterieur du premier degreacute(13) on trouve ainsi une premiegravere partie portant sur la

numeacuteration les quatre opeacuterations les problegravemes dapplication de ces notions dont des

problegravemes laquopratiquesraquo (achat et vente agrave la douzaine agrave la centaine problegravemes de

partage achats doubles successifs etc) puis des laquonotions de geacuteomeacutetrieraquo (circonshy

feacuterence etc) enfin un chapitre sur les nombres laquocomplexesraquo(14) La seconde partie

(11) Feacutelicien Girod Traiteacute dalgegravebre eacuteleacutementaire theacuteorie et pratique agrave lusage des lyceacutees des collegraveges et de tous les eacutetablissements dinstruction (premier cycle) vingt deuxiegraveme eacutedition Paris sd p 9

(12) Nous les laisserons de cocircteacute ici

(13) Arithmeacutetique par une commission dinstituteurs Vannes deuxiegraveme eacutedition 1934

(14) Rappelons quon appelait nombre complexe laquoun nombre concret composeacute de plusieurs parties se rapportant agrave des uniteacutes diffeacuterentes et dont le systegraveme de numeacuteration nest pas deacutecimal Ainsi 3 ans 4 mois 15 jours 43 degreacutes 18 minutes 17 secondes sont des nombres complexesraquo (F J Eleacuteshyments darithmeacutetique Tours et Paris 1913 p 182) laquoOn dit quun nombre est concret quand il est accompagneacute du nom de luniteacuteraquo comme dans laquovingt arbres six billes cinq francs soixante centimesraquo (dapregraves lArithmeacutetique citeacute~ dans la note 13 p2)

59

intituleacutee Systegraveme meacutetrique est consacreacutee aux mesures (surfaces volumes poids

capaciteacutes~ etc) Enfin une troisiegraveme partie traite agrave la fois de la divisibiliteacute des fracshy

tions des rapports et proportions et des regravegles (de trois etc) ainsi que de leurs

applications agrave des problegravemes pratiques (caisse deacutepargne actions et obligations etc)

Dune maniegravere plus deacuteveloppeacutee et sadressant agrave un niveau plus eacuteleveacute du cursus (matheacuteshy

matiques eacuteleacutementaires) un ouvrage de 1913(15) propose un plan qui nest guegravere diffeacuteshy

rent le 1ivre 1 traite de la numeacuteration et des opeacuterations le livre Il des proprieacuteteacutes

des nombres (divisibiliteacute plus grand commun diviseur nombres premiers etc)

le livre III des fractions le livre IV des puissances et des racines le livre V des

mesures (systegraveme meacutetrique monbres complexes) le livre VI des rapports et de leurs

applications (regravegles de trois de socieacuteteacute etc) le livre VII des approximations numeacuteshy

riques (opeacuterations abreacutegeacutees erreurs relatives)

Corpus traditionnel- agrave quelques ajouts pregraves - acircvons-nous dit Dans lArithshy

meacutetique de Jacques Pelletier du Mans (1554) le premier livre traite des nombres et

des opeacuterations de la regravegle de trois directe et laquorebourseraquo le deuxiegraveme livre des

fractions le troisiegraveme livre de lextraction de la racine carreacutee le quatriegraveme et dernier

livre de la regravegle double de faux (de fausse position) de la regravegle de socieacuteteacute etc Cette

organisation de larithmeacutetique qui na pas surveacutecu dans notre enseignement geacuteneacuteral

se retrouve aujourdhui dans les peacuteripheacuteries ou dans les marges du systegraveme denseishy

gnement officiel agrave linteacuterieur comme dans certains enseignements professionnels

agrave lexteacuterieur comme en teacutel manuel darithmeacutetique(16) adresseacute aux laquoautodidactesraquo

qui se publie aujourdhui encore au Royaume Uni (dans le cadre dune collection

intituleacutee Teach Yourself Books) simplement mis agrave jour preacutesenteacute au lecteur comme

laquofully decimalised and metricatedraquoil comporte agrave cocircteacute des parties traditionnelles

(nombres et opeacuterations factorisation des nombres fractions rapports et proportions

inteacuterecircts simple et composeacute etc) un chapitre sur la taxe agrave la valeur ajouteacutee ainsi

quun chapitre sur les machines agrave calculer et la nUJ1eacuteration binaire Un bon teacutemoigage

de leacutetat deacutequilibre atteint agrave la veille de la reacuteforme nous est fourni par leacutedition de

1958 de lEncyclopeacutedie autodidaetique Quillet en sa partie Arithmeacutetique dont la

table des matiegraveres est reproduite plus loin (annexe 4a)

Cest ce corpus traditionnel qui vole en eacuteclat deacutefinitivement - car son eacuterosion

eacutetait fortement avanceacutee - avec la reacuteforme du deacutebut des anneacutees soixante-dix(17)

Mais lexplosion de la neacutebuleuse arithmeacutetique ne signifie pas pour autant la disparition

(15) Voir la note 13

(16) LC Pascoe Arithmetic Decimalised and Metricated Houdder and Stoughton Londres 1971

(17) Cette rupture - eacutevidente - recouvre pourtant agrave un niveau plus profond des eacuteleacutements attestant la contiguiumlteacute nous y viendrons plusIoin

60

de larithmeacutetique Les parties traditionnelles de ce corpus libeacutereacutees de leur inteacutegration

au sein dune organisation multiseacuteculaire du savoir enseigneacute vont deacutesormais connaicirctre

des destins relativement indeacutependants Le noyau essentiel - les nombres et les opeacuterashy

tions sur les nombres - qui constituait la base du systegraveme anteacuterieur non seulement

ne disparaicirct pas mais trouve une extension soudaine associeacutee agrave une promotion en

digniteacute matheacutematique alors que en effet leacutetude laquoarithmeacutetiqueraquo des nombres ne

traitait anciennement que des nombres entiers et des fractions il seacutetablit deacutesormais

une progression dans leacutetude des structures numeacuteriques qui selon la logique de la

filiation des structures populariseacutee par leacutecole bourbakiste est penseacutee ideacutealement

comme allant sans solution de continuiteacute des nombres entiers aux nombres reacuteels en

passant par les nombres relatifs les nombres deacutecimaux et les rationnels Dans cet

ensemble progressivement deacuteveloppeacute les fractions viendront occuper - dans le cadre

du programme de 1978 pour la classe de quatriegraveme qui faisait suite aux laquoexcegravesraquo du

programme de 1971 - une place de toute premiegravere importance(18) La laquotheacuteorie des

nombresraquo cest-agrave-dire leacutetude de la factorisation des nombres du PGCD etc agrave

qui est reacuteserveacutee leacutetiquette darithmeacutetique figure elle au programme de la classe de

cinquiegraveme (et sy trouvera maintenue sans changement par le programme de 1977)

Seule la partie constitueacutee des laquoproblegravemes pratiquesraquo fait veacuteritablement les frais de la

modernisation et disparaicirct agrave peu pregraves complegravetement si lon excepte quelques vestiges

telle leacutetude des laquosuites finies proportionnellesraquo en classe de sixiegraveme (qui prolonge un

thegraveme abordeacute au CM2) - eacutetude eacuteventuellement conccedilue dailleurs comme preacuteparant

mais de longue main agrave la notion dapplication lineacuteaire inscrite au programme de la

classe de troisiegraveme(19)

Ce qui disparaicirct en fait agrave lexception notable - reacutepeacutetons-Ie - des problegravemes 1

pratiques ce nest pas larithmeacutetique (mecircme si le mot lui-mecircme ne renvoie plus quagrave

lune des parties du corpus arithmeacutetique traditionnel) mais la dialectique de larithshy

meacutetique et de lalgegravebre Or cet affaissement dune structuration traditionnelle va

moins peser sur la composante arithmeacutetique que sur la composante algeacutebrique des

matheacutematiques enseigneacutees au collegravege cest lalgegravebre (entendue au sens traditionnel

de ce mot agrave ce niveau des eacutetudes matheacutematiques) qui va se trouver le plus violemment

mise en cause par les changements opeacutereacutes

(18) laquoEn calcul notent les Instructions officielles la nouveauteacute reacuteside dans laccent qui est mis sur la notion de fraction ( )gtgt (Ministegravere de lEducation Matheacutematiques classes des collegraveges 6egraveme 5egraveme 4egraveme 3egraveme 1980 p 29)

(19) Les manuels correspondant aux programmes de 1978 redonneront une place au laquoproblegravemes concretsraquo ceux-ci y apparaissent toutefois essentiellement agrave titre dapplications non de problegravemes permettant la construction et lappropriation des notions agrave enseigner

61

v - UNE ALGEBRE INTROUVABLE

Il nous faut maintenant rappeler rapidement ce queacutetait lancienne organisation

du corpus algeacutebrique Formeacute de maniegravere eacutevidemment plus tardive que le corpus arithshy

meacutetique le corpus algeacutebrique atteint pourtant assez vite une stabiliteacute remarquable

qui le laisse agrave peu pregraves inchangeacute sur deux siegravecles et plus Ecartant le traiteacute dalgegravebre

publieacute par Newton sous le titre dArithmetica Universalis(20) fort instructif agrave tous

eacutegards mais relativement atypique consideacuterons louvrage dEuler deacutejagrave mentionneacute

Son tome premier comporte quatre sections La premiegravere traite laquodes diffeacuterentes

meacutethodes de calcul pour les grandeurs simples ou incomplexesraquo cest-agrave-dire du calcul

sur les nombres mais sur les nombres (que nous appelons) relatifs dont lintroduction

fait un avec laquolexplication des Signes + (Plus) et - (Moinsraquogt (chapitre 10 et sur les

nombres fractionnaires Les quatre opeacuterations arithmeacutetiques les racines les puissances

mais aussi les laquoquantiteacutes impossibles ou imaginairesraquo ainsi que les logarithmes y sont

longuement preacutesenteacutes La deuxiegraveme section traite laquodes diffeacuterentes meacutethodes de calcul

pour les grandeurs composeacutees ou complexesraquo cest-agrave-dire du calcul algeacutebrique la

troisiegraveme laquodes rapports et des proportionsraquo la quatriegraveme laquodes eacutequations algeacutebriques

et de la reacutesolution de ces eacutequationsraquo Quant au tome second il est consacreacute agrave laquolanalyse

indeacutetermineacuteeraquo que nous nexaminerons pas ici(21) Cette organisation subit eacutevidemshy

ment dune part des variations en fonction du niveau viseacute dautre part une eacutevolution

dans le temps qui conduit dans la premiegravere moitieacute du XXegraveme siegravecle agrave un ensemble

relativement stabiliseacute dont agrave la veille du grand mouvement de reacuteforme lEncyclopeacutedie

Quillet deacutejagrave citeacutee nous fournit une version commode (annexe 4b)

En ce qui concerne tout au moins les deacutebuts de lalgegravebre trois thegravemes apparaisshy

sent essentiels les nombres algeacutebriques (cest-agrave-dire les nombres relatifs) le calcul

sur les expressions algeacutebriques les eacutequations algeacutebriques Que deviennent-ils dans le

cadre de la reacuteforme La difficulteacute de la reacuteponse agrave apporter tient au moins en partie

au fait que signifiants et signifieacutes se trouvent alors dissocieacutes redistribueacutes et en ce qui

concerne les contenusmiddot couleacutes en des cadres conceptuels nouveaux qui rompent les

anciennes concordances Il en est ainsi notamment pour les nombres algeacutebriques

bull qui perdent leur qualificatif comme on la noteacute pour devenir nombres relatifs Sous

cette eacutetiquette la place qui leur est deacutevolue nest pas diminueacutee mais au contraire

majoreacutee (et en cela ils profitent du mouvement geacuteneacuteral damplification dont beacuteneacuteficient

(20) Publieacutee (en latin) en 1707 mais eacutetablie sur la base de cours donneacutes par Newton une trentaine danneacutees auparavant lArithmeacutetique universelle paraicirct en franccedilais en 1802

(21) Lorsque la question eacutetudieacutee laquone fournit pas autant deacutequations quon est obligeacute dadmettre dinconnues il y en a qui restent indeacutetermineacutees et qui deacutependent de Il9tre volonteacute et cela fait quon nomme ces sortes de questions des problegravemes indeacutetermineacutes Ils font le sujet dune branche particuliegravere de lanalyse et on appelle cette partie lAnalyse indeacutetermineacuteeraquo (Euler op cit tome second pp 1-2)

62

les structures numeacuteriques) Leur eacutetude inscrite au programme de la classe de sixiegraveme

est deacuteveloppeacutee en classe de cinquiegraveme dans les programmes de ces deux classes ils

constituent un titre agrave part entiegravere aussi bien en 1969-1970 quen 1977-1978

Il en va autrement du calcul algeacutebrique et de leacutetude des eacutequations Ces quesshy

tions formaient traditionnellement le cœur de lalgegravebre eacuteleacutementaire Dans un Manuel

dalgegravebre publieacute en 1827 laquoagrave lusage des personnes priveacutees du secours dun maicirctreraquo

lauteur(22) ouvrait sa premiegravere leccedilon par les lignes suivantes

1 Lalgegravebre est lart dexeacutecuter sur des quantiteacutes quelconques au moyen

des signes geacuteneacuteraux toutes les opeacuterations de larithmeacutetique et de repreacutesenter agrave laide

des mecircmes signes toutes les relations entre ces quantiteacutes

Il La partie de lalgegravebre qui enseigne les regravegles pour exeacutecuter les opeacuterations

arithmeacutetiques sur des quantiteacutes quelconques se nomme calcul litteacuteral

III La partie de lalgegravebre qui traite de la maniegravere de repreacutesenter agrave laide

de signes les relations entre les quantiteacutes se nomme calcul par eacutequation

IV On verra dans la suite que dans le calcul par eacutequation on a sans cesse

besoin du calcul litteacuteral cest donc par celui-ci quil faut commencer

Cest cet ensemble (calcul algeacutebrique eacutequations algeacutebriques) qui va se trouver

fortement minoreacute dans les programmes reacuteformeacutes Pour ne donner ici de cette brutale

deacuteflation quune seule illustration on a reacuteuni dans lannexe 5 (dont on voudra bien

excuser la longueur) les listes dexercices relatives agrave la multiplication dexpressions

algeacutebriques dune part (a b) dans deux manuels dancienne maniegravere(23) dautre part

(c) dans un manuel consideacutereacute comme de niveau eacuteleveacute(24) conforme au programme de

1971 la confrontation est eacuteloquente

Le terme dalgegravebre a disparu des programmes (agrave lexception du programme de

la classe de troisiegraveme) nous lavions noteacute Mais avec le mot la chose elle-mecircme se

trouve emporteacutee lalgegravebre disparaicirct 1 Cet eacutevanouissement est en fait seacutelectif les

parties laquonumeacuteriquesraquo de lalgegravebre reacutesistent bien Les nombres relatifs sont un eacuteleacutement

essentiel de lenseignement de la classe de cinquiegraveme Les fractions un temps mises agrave

leacutecart (en 1971) seront ensuite reacuteinstalleacutees comme eacuteleacutement central du programme de

(22) M Terquem auteur dun Manuel dalgegravebre ou exposeacute eacuteleacutementaire des principes de cette science publieacute agrave Paris en 1827 La citation qui suit se trouve pp 1middot2

(23) Il sagit (a) du manuel de F Girod (voir ci-dessus note 11) et (b) du manuel de Lebosseacute et Heacutemery pour la classe de quatriegraveme dans son eacutedition de 1962 (Fernand Nathan Paris)

(24) Il sagit du manuel de la collection Queysanne-Revuz seacuterie rouge dans son eacutedition de 1973 (Fernand Nathan Paris)

63

quatriegraveme (en 1978) Ce sont les parties laquoalgeacutebriquesraquo de lalgegravebre - calcul et eacutequations

algeacutebriques - qui pacirctissent de la modernisation Plusieurs raisons semblent devoir

expliquer ce pheacutenomegravene Avanccedilons dabord une raison proprement didactique qui a

pu jouer neacutegativement Le calcul algeacutebrique agrave lorigine simple preacuteliminaire agrave leacutetude

des eacutequations eacutetait en fait devenu prolifeacuterant comme on peut en juger notamment sur

le document de lannexe 5a eacutetouffant progressivement les autres parties du corpus

enseigneacute Il eacutetait sain que lon tente den limiter le deacuteveloppement et la tendance

anteacuterieure agrave la reacuteforme proprement dite allait en effet dans ce sens les manuels avaient

commenceacute le travail deacuteflationniste (comme le montre la comparaison des documents a

et b de lannexe 5) Mais ce type de pheacutenomegravene qui constitue au demeurant davantageacute

la regravegle que lexception dans leacutevolution du texte denseignement (que lon songe ici agrave

la deacutegeacuteneacuterescence de leacutetude des eacutequations du second degreacute en la fameuse laquotrinocircmiteraquo

qu i frappait agrave peu pregraves dans le mecircme temps les classes du second cycle) et la reacuteaction

quil devait susciter allaient rencontrer une autre force de changementsans doute bien

plus puissante lapparition de lalgegravebre laquomoderneraquo sur laquelle il faut sarrecircter un

instant

Dans leurs Eleacutements dalgegravebre moderne dont la quatriegraveme eacutedition paraicirct en

1961 (la premiegravere eacutetant de 1956) A Lentin et J Rivaud(25) qui situent lapparition

de lalgegravebre moderne vers 1910 inscrivent celle-ci dans le prolongement de larithshy

meacutetique et de lalgegravebre traditionnelles (mais sans les nommer) laquoA leacutecole primaire

eacutecriven~-ils lenfant raisonne sur des collections et des grandeurs concregravetes dont il

deacutegage progressivement la notion de nombre abstrait indeacutependant de la nature des

choses compteacutees ou mesureacutees Lenseignement du second degreacute apprend agrave ladolescent

la manipulation des x et des y indeacutependamment des nombres que ces lettres repreacuteshy

sentent Un pas de plus dans le calcul et cest le calcul sur les polynocircmes puis la comshy

position des transformations formelles Eh bien lalgegravebre moderne formera leacutetudiant

agrave raisonner sur les proprieacuteteacutes des opeacuterations indeacutependamment des eacuteleacutements (nombres

polynocircmes transformations) sur lesquels sexercent ces opeacuterationsraquo (26) En fait

les parties traditionnelles de lalgegravebre (calcul et eacutequations algeacutebriques) sont bien inteacuteshy

greacutees dans lalgegravebre moderne ainsi preacutesenteacutee Mais elles nen constituent ni lessentiel

ni surtout les deacutebuts Les auteurs citeacutes dont louvrage est constitueacute de cinq livres

consacrent leur dernier livre agrave des laquocompleacutements sur les groupes et sur les eacutequations

algeacutebriquesraquo (un deacuteveloppement plus ample de la question eucirct conduit agrave la theacuteorie

des extensions de corps et agrave la theacuteorie de Galois dont les rudiments sont preacutesenteacutes

dans ce livre) Ainsi le traitement des eacutequations algeacutebriques se trouve-t-i1 rejeteacute fort

loin dans lexposeacute moderne de lalgegravebre Le calcul algeacutebrique quant agrave lui se retrouve

(25) A Lentin et J Rivaud Eleacutements dalgegravebre moderne Vuibert Paris quatriegraveme eacutedition 1961

(26) Loc cit pp VmiddotVI

64

Ici dans le livre Il sous les espegraveces de leacutetude des anneaux de polynocircmes Mais le

veacuteritable commencement de lalgegravebre moderne cest leacutetude des structures (lois de

composition groupe anneau corps) qui occupe tout le livre 1 Lhonnecircte homme

qui en 1958 encore sinitiant agrave lalgegravebre se voyait proposer nombres algeacutebriques

expressions algeacutebriques eacutequations etc se verra offrir quelques anneacutees plus tard

relations binaires eacuteleacutement neutre etc Le chapitre Algegravebre que M Glaymann eacutecrit

au deacutebut des anneacutees soixante-dix pour un ouvrage adresseacute au grand public (il paraicirct

dans la collection laquoLes dictionnaires du savoir moderneraquo) est agrave cet eacutegard significatif

loi de composition eacuteleacutement neutre commutativiteacute eacuteleacutement symeacutetrique associativiteacute

eacuteleacutement reacutegulier distributiviteacute et encore structures monoiumlde groupe sous-groupe

groupe cyclique morphisme de groupes anneau anneau integravegre corps etc en sont les ma icirctres-mots(27)

Il se produit donc en quelques anneacutees une veacuteritable substitution dobjet dont

le texte denseignement reccediloit bientocirct la marque les programmes reacuteformeacutes de sixiegraveme

cinquiegraveme et quatriegraveme comportent tous un titre Relations et le programme de

quatriegraveme introduit les notions de groupe et de division dans un groupe qui conduisent

agrave examiner leacutequation ax = b dans le groupe multiplicatif des reacuteels non nuls Le calcul

algeacutebrique est recircduit agrave la portion congrue il fait lobjet du point 4 du titre Il du programme (annexe 3) Leacutetude des eacutequations conformeacutement au plan moderne

dexposition de lalgegravebre est deacutechue de ses titres et se trouve repousseacutee en classe de

troisiegraveme

VI - LALGEBRE SANS ALGEBRE

La situation creacuteeacutee par la reacuteforme autour de 1970 consacre la promotion des

structures numeacuteriques (agrave cocircteacute du geacuteomeacutetrique dont nous ne parlerons pas ici) en

mecircme temps quelle reacutealise une eacutevidente inflation theacuteorique agrave propos du numeacuterique

comme du geacuteomeacutetrique Cest ce theacuteoricisme qui apregraves avoir susciteacute dabord un vif

enthousiasme se trouvera en butte agrave une multitude de critiques qui conduiront agrave

la reacutedaction des programmes de 1977-1978 actuellement en vigueur La focalisation

du deacutebat se fait sur la maniegravere de traiter les contenus - avec notamment le rej~t

du laquopurismeraquo qui impreacutegnait lesprit de la reacuteforme preacuteceacutedente(28) - davantage que

sur la distribution des contenus eux-mecircmes et sur la structuration et leacutequilibre des

diverses parties du corpus enseigneacute Celui-ci apparaicirct en conseacutequence plus comme

(27) Maurice Glaymann Lalgegravebre in Les matheacutematiques Centre deacutetudes et de promotion de la lecture Paris 1973 pp 16-54

(28) Dans la preacutesentation deacutejagrave citeacutee des programmes de 1978 (voir la note 2 ci-dessus) leacutequipe de reacutedaction du Bulletin de lAPMEP deacutenonccedilait le purisme matheacutematique qui en fait laquoest un purisme dexposition non dapprentissage ou de fonctionnement qui na donc rien agrave faire dans le premier cycle ( )gtgt

65

une version laquodeacutegraisseacuteeraquo du corpus des anneacutees soixante-dix que comme une version

fondamentalement nouvelle agrave cocircteacute du geacuteomeacutetrique que lon entend laquodeacutesaxiomatiserraquo

le numeacuterique y demeure preacutedominant mecircme si lon ny inclut plus les mecircmes mateacuteshy

riaux Les nombres reacuteels en effet sont les grands perdants du reacuteameacutenagement opeacutereacute

Et ce sont les fractions et les rationnels qui venant occuper la place ainsi libeacutereacutee dans

le programme de quatriegraveme constituent maintenant la piegravece centrale de leacutetude du

numeacuterique - les nombres relatifs (entiers et deacutecimaux) conservant en classe de cinshy

quiegraveme le rocircle preacuteeacuteminent qui leur eacutetait anteacuterieurement reconnu

Il faut en ce point dire quelques mots de la promotion donneacutee dans ces proshy

grammes aux fractions et aux rationnels Pour des raisons dans lesquelles nous nentreshy

rons pas ici les fractions (associeacutees aux rapports et aux proportions) eacutetaient traditionshy

nellement tirailleacutees entre larithmeacutetique la geacuteomeacutetrie et degraves la naissance du corpus

algeacutebrique lalgegravebre elle-mecircme Preacutesentant ses Eleacutemens dAlgebre Clairaut ne manque

dailleurs pas de faire connaicirctre au lecteur lembarras ougrave cette question la tenu

laquojavois dabord compteacute donner dans le mecircme livre eacutecrit-il tant les Eleacutemens dArithshy

meacutetique que ceux dAlgebre amp je naurois pas manqueacute alors de traiter des proportions

plus agrave fond que je nai fait dans mes Eleacutemens de Geacuteomeacutetrie raquo Bien entendu en passant de larithmeacutetique agrave lalgegravebre on passait aussi des fractions arithmeacutetiques

(rapports dentiers cest-agrave-dire dentiers naturels) aux fractions algeacutebriques (rapports

dentiers laquoalgeacutebriquesraquo cest-agrave-dire relatifs) et aux fractions rationnelles (rapports

de polynocircmes) Mais ces reprises sont significatives de linteacuterecirct didactique accordeacute

au thegraveme les fractions constituent un sujet de choix pour lenseignement

Comme on la rappeleacute(29) laquolaccent qui est mis sur la notion de fractionraquo

constitue selon les termes mecircmes des Instructions relatives au programme de quatriegraveme

de 1978 leacuteleacutement de laquonouveauteacuteraquo de ce programme Nouveauteacute dantique meacutemoire 1

Henri Lebesgue presque un demi-siegravecle plus tocirct avait fermement inviteacute les professeurs

agrave se deacutebarrasser de ce monstre du Loch Ness matheacutematique laquo on sera bien je pense

daccord avec moi eacutecrivait-il (30) pour deacuteclarer que marier des 22iegravemes et des 37iegravemes

est un martyre que nous infligeons aux gosses de douze ans par pur sadisme sans

aucune raison dutiliteacute comme circonstance ateacutenuanteraquo Mais il ajoutait aussitocirct

laquoJentends tous les professeurs protester Les uns parce que les fractions fournissaient

dinnombrables exercices pour leurs jeunes eacutelegraveves apregraves un moment deffroi ceux-ci

sapercevront quils ne manqueront jamais dexercices La plainte des autres meacutemeut

(29) Voir la note 18

(30) Dans La mesure des grandeurs (Albert l3lanchard Paris 1975) p 25

66

davantage et pour la veacuteriteacute je la formule moi aussi laquoSupprimer dans la classe de

matheacutematiques la theacuteorie des fractions cest supprimer un chapitre admirable Le

seul peut-ecirctre parmi ceux qui nous restent qui ne soit pas lagrave uniquement pour son

utiliteacute immeacutediate et qui donne le sentiment de la beauteacute pureraquoraquo(31) Or cette admirable

construction devient dans le cadre des matheacutematiques modernes plus admirable

encore ou disons plus subtile le maniement sans complexe des fractions fait place

agrave une ontologie raffineacutee dans laquelle les fractions devenues couples de nombres

ne sont plus - en theacuteorie plus quen pratique bien sucircr - que le mateacuteriau de la consshy

truction des rationnels classes deacutequivalence de fractions Avrai dire cette preacutesentation

moderne neacutetait guegravere favoriseacutee par le programme de 1971 (dans lequel les reacuteels faisaient

directement suite aux deacutecimaux les rationnels neacutetant alo~s que des reacuteels particuliers

les quotients dentiers) Mais le programme de 1978 lui donne une nouvelle chance

et quelques manuels impavides la mettent en œuvre (document 4a) Cette perspective

constructiviste peut en fait ecirctre aiseacutement eacuteviteacutee au profit dune conception reacutealiste

(celle-lagrave mecircme que le programme de 1971 poussait en avant les reacuteels eacutetant supposeacutes

donneacutes - ils eacutetaient laquoconstruitsraquo dans le programme de 1971 - un rationnel est un

reacuteel qui peut seacutecrire comme quotient dentiers) et la plupart des manuels utilisent

cette possibiliteacute (document 4b) conceptuellement et techniquement moins difficile

et sans doute plus proche de la repreacutesentation du nombre qui est effectivement celle

des eacutelegraveves et mecircme du laquoworking mathematicianraquo Mais le souci de purisme na pas

disparu le goucirct de la laquorigueurraquo (sic) conduit chez quelques-uns (document 4c) agrave une

veacuteritable confusion sur le sens du signe deacutegaliteacute (qui ne signifie en principe nullement

que les deux membres de leacutegaliteacute sont des expressions identiques - formellement

ou syntaxiquement - ce qui interdirait deacutejagrave deacutecrire que 6 = 2 X 3 mais que ce quils

deacutesignent sont une seule et mecircme chose le signe deacutegaliteacute ne signifiant rien dautre

quune identiteacute seacutemantique) Cela dit le problegraveme - eacuteleacutegamment mais coucircteusement

reacutesolu par le moyen des classes deacutequivalence - existait avant les matheacutematiques

modernes et continue dexister mais le corpus ancien le traitait (inconsciemment )

avec une grande discreacutetion (document 4d) en distinguant chaque fois quil eacutetait

neacutecessaire la fraction (consideacutereacutee alors implicitement comme eacutecriture agrave savoir comme

rapport) et la valeur de la fraction (soit le nombre - rationnel - deacutesigneacute par cette

eacutecriture) Quoi quil en soit tout ce jeu laisseacute autrefois implicite et plus ou moins

fortement expliciteacute aujourdhui participe de ladmirable construction des fractions

qui seacuteduit tant les professeurs comme dit Lebesgue

(31) Ibid pp 25-26

67

Nombres rationnels

Ensemble ltC

RAPPELONS

Dans lensemble T des fractions nous avons deacutefini la relation JI suivante

Quelles que soient les fractions ~ et ~ on a (~JI ~) (ad =bel

Nous avons eacutetabli (p 48) que JI est une relation deacutequivalence dans T

Pourtraduire que deux fractions ~ et ~ sont lieacutees par JI nous avons eacutecrit ~ = ~

et nous avons dit que les fractions ~ et ~ sont eacutequivalentes

DEacuteFINITION

Nous donnons la deacutefinition suivante

Ch8q cd6quiVIIlencbullbullbulllonJIst appeleacutee un nombre lIItlonnel

Nous deacutesignons par 0 lensemble des nombres rationnels

AEPAEacuteSENTAtfr DUN RAcircTIONNEL

Soient x un eacuteleacutement de 1 etmiddott une fraction eacuteleacutement de T

Nous disons que x et un nombre rationnel dont un repreacuteentant et ~ 1 et

aeulement si x est 1 clbullbullbullbull deacutequlvlence elon JI de 1 fraction i Le nombre ~tion~1 x est donc lensemble des fractions ~ eacutequivalentes agrave~ nous

avons x=~lcez deZmiddot ~=M Remarquons que toute fraction eacutequivalente agrave ~ est un repreacutesentant du nombre

rationnel x

CHAPITRE 6 ENSEMBLE Q 67

DOCUMEIIT 4eacute1

(Matheacutematiques4egraveme collection Monge 1978)

68

CHAPITRE 4 algegravebre

Ensemble 0 des nombres rationnels

1 Oeacuteflnitlon de lensemble C 4Notatlons fractionnaires dUn rationnel des rationnels

2prOPrieacuteteacutes de lensemble Q 50Peacuteratlons dans Q des rationnels

3Eacutecriture deacutecimale illimiteacutee 6comparaison de deux rationnels dun rationnel

1Deacutefinition de lensemble Q des rationnels

deacutefinition Un nombre reacuteel (ou reacuteel) est appeleacute DOIIlbre ratioonel (ou rationnel) sil est eacutegal agrave un quotient de deux entiers relatifs

Autrement dit Un reacuteel x est un rationnel sil existe un entier relatif a et un entier relatif non

nul b tels que x soit eacutegal au quotient ~

exemples bull Les quotients suivants sont des rationnels 2 -4 -3 248 57 -29704 0 37 0 359 iuml 78 -=5 -614 57 -1- 25 =iOOO =iuml4 -1-

lal -27815) Ibull Le ree r eg au quotIent 0013 est-I un ratIonne

- 2781 5 et 0013 ne sont pas des entiers relatifs

On sait que (proprieacuteteacutes des quotients de reacuteels)

-27815 -27815 x 104 -27815 0013 0013 x 104 =~

Conclusion r est un rationnel

DOCUMENT 4b

(Matheacutematiques4egraveme collection Durrande 1979)

69

I~ Lensemble ltD des nombres rationnels

1 bull DEacuteFINITION ET EXEMPLES

Dans le cnapltre 4 nous ayons rencontreacute des nombres QUon pouvait obtenir comme Quotient exact dun entir relatif fi par un entier relatif non nul b Ces nombres sappellent lesnombnts ratiOnneJa (ou plua simplement les rationnels) Ils sont r8Qreacutesnteacutes par des fractions ainsi

exemples de fractions repreacuteslitntant x Nombre rationnel x -2 -8 -18lentler relatif -2 -9- -L shy1 3 -1 7 35 -7le deacutecimal rlatlf 35 Ji shy2 4 10 -=2 ~ Q EumlL shyIe ratlonn1 i 3 8 30 -3

Reepitullfflon des prlnc1es deacutetlnltlons Otlnitlo Soit un entIer ratatlf quelconque et soit b un entIer reltlf non nuL

11 LA couple (e bJ eacutecrit sous i fonne appellela fractIon d num

teur bull et de deacutenominateur b 2J Cette fraction retrisente le quotient ect de bull par b que lon not

aUAI bull On bull donc par deacuteflnltlon

bX~ bull JCb bullbull b b

31 On appelle nom rationnel tout nombre Que lon peut obtnir comme quotient euct dun entier relatif par un entlr relatif non nul

Attention 1La megravem notation est utiliseacutee pour deacutesignr deux cnoss diffeacuterentesb

le couple (II b) le Quotient exact de Il par b

Quand on eacutecrit il faut preacuteciser sU sagit de la fraction Ji (le couple (1 4 4raquo ou du rationshy4 4

nel 2i (Qui est eacutegal agrave 35) 4

le rationn est Anal au rationnel L4 ~~ 2

la fraction nest pas eacutegale agrave la fraction 1 ~ 2

(Puisque les couples (144) et (72) sont distincts)

Une convention commode

Pour eacuteviter cet Inconveacutenient nous conviendrons toujours Que dans les calculs deacutesinne le b

nombre rationnel Quotient exact d fi par b Ainsi nous pourrons eacutecrire

Ji =L =3S4 2

Quand vous voudrez parler du couple (14 4) il faudra preacuteciser bull la fraction c 4

DOCUMENT 4c

(Matheacutematiques classe de quatriegraveme collection Queysanne et Revus 1979)

70

SIMPLIFICATION DES FRACTIONS

i49 Simllifier une fraction cest la remplacer par une fraction ~e mais ayant des tenDes plus petits

ISO PROPRIEacuteTEacuteS FONDAMENTALES

10 On mesure deux rubans avec le sepagraveegraveme dune longueur donneacutee A B Lun mesure 2 sepagraveagravenes lautre 4 septiegravemes de luniteacute Il est eacutevident que le dewdagraveDe est double du premier

4 2 X 2 2 - --- - X 2 donc 777

Theacuteoregraveme L - Si OD mwdpUe le aDlDampateDr dune CractloD par aD JIOmbre la CracdoD eet muldpUeacutee par ce Dombre

2deg Un ruban mesure 5 sepagraveagravenes de la longueur AB un dewtiagravene ruban vaut S quato12Iumlagravenes de la mbe uniteacute

Un quatorziagravene eacutetant deux fois plus petit quun sepagraveagraveDe la dewdœe longueur est deux fois plus petite que la premiugravee S S S

------ 2 par suite 14 7 X 2 7

Theacuteoregraveme D - Si OD muldpUe le dacirclomiDateur cl1IDe bcdoD par 110 aombre la CracdoD eet diYileacutee par ce JIOmbre

3deg Soit la fraction _3 X 3_2S s s X 3 IS Elle ne c1uIage pas de valeur si nn mulagraveplie ses deux termes par 3 En dfet si on multiplie son numeacuterateur elle devient 3 fois plus grande si on multiplie son deacuteDominateur

elle devient 3 fois plus petiœ Par conseacutequent

Theacuteoregraveme DL - Si OD mwdpUe lee cleu termes daDO bcdoD par aD ~e DOmbre la ampactIoD ae chaage pu do valeur

On voit IJU- mIru gratukur fJGI la _ pat _ itrftniri tU frtJCtUgrave1fU U1IItU igalu

Corollaire - Si OD divise lee deux termee dlIDe CractiOD par aD mfme JIOmbre (ropkatucircm eacutetant possible) OD obdeat une bedoD eacuteplo agrave la premiegravere

Soit la fraction 18 dont les deux termes sont divisibles par 321

On peut eacutecrire 18 _ 6 x 3 21 7 x 3

et dapregraves le theacuteoragravene preacuteceacutedent _ 6 X 3 7 7 X 3

On a donc 18 3_ la fraction Il des termes plus petits que la fraction 18 dougrave la regravegle de simshy21 3 7 7 21

pli1ication des fractions

~ Regravegle - PD1lI simplifier _ fraaion an divis 11$ dIU umm pat 11II mIru 1ItmIbr

DOCUMENT 4d

Arithmeacutetique de lEncyclopeacutedie Quillet 1958

Fractions et rationnels en fait ne constituent pas seulement une admirable

construction matheacutematique ils composent en mecircme temps un objet didactique

inteacuteressant agrave bien des eacutegards La place de leacutelegraveve (cest-agrave-dire ce qui peut ecirctre requis

de leacutelegraveve agrave ce propos) y est nettement dessineacutee Lebesgue le soulignait judicieusement

le chapitre regorge dexercices dont la difficulteacute (cest-agrave-dire en gros la complexiteacute)

peut ecirctre finement gradueacutee La place de lenseignant elle aussi sy trouve preacutepareacutee

le professeur eacuteprouve toute sa speacutecificiteacute face agrave leacutelegraveve en tant quarchitecte et bacirctisshy

seur - fonctions dans lesquelles leacutelegraveve ne saurait lui disputer sagrave place - dune consshy

truction matheacutematiqueagrave la fois simple rigoureuse riche dont la complegravete transpashy

71

rence nest acquise quau prix de quelque subtiliteacute intellectuele nullement inaccessible

agrave leacutelegraveve mais relativement exigeante Toutefois il y a plus En un sens tout objet

de savoir didactiquement acceptable laisse voir deux laquoplacesraquo il doit contenir le

laquolieuraquo que leacutelegraveve viendra occuper (les tacircches que le contrat didactique lui assignera

en propre) il doit contenir aussi un lieu speacutecifiquement alloueacute agrave lenseignant Ce

marquage des places consubstanciellement lieacute au fonctionnement didactique du

savoir est un processus geacuteneacuteral que jai proposeacute(32) dappeler la topogeacutenegravese (du grec

topos lieu) Mais la dialectique topogeacuteneacutetique peut ecirctre plus ou moins resserreacutee plus

ou moins relacirccheacutee dans ce dernier cas (qui correspond comme jessaierai de lindiquer

plus loin agrave ce que nous voyons majoritairement se produire aujourdhui agrave propos de

lemploi du langage algeacutebrique) les eacutechanges entre eacutelegraveves et enseignant demeurent

pauvres la communication est distante parce que les uns et les autres ne se mesurent

pas aux mecircmes tacircches (le professeur deacutemontre une eacutegaliteacute litteacuterale leacutelegraveve lapplique

agrave des cas particuliers numeacuteriques) Avec les fractions une fois fixeacutee larchitecture

geacuteneacuterale de leacutedifice il en va autrement passeacutes les calculs les plus simples les calculs

qui ne sont pas triviaux pour leacuteiegraveve - tout en demeurant de lordre de ce qui peut

loyalemeacutent lui ecirctre demandeacute - ne le scgtnt quagrave peine moins pour le professeur Les

partenaires de linteraction didactique se rapprochent autour dune tacircche unique

jusquagrave sembler parfois unir leurs efforts agrave la recherche dune commune reacuteponse

Tout comme la geacuteomeacutetrie (qui soppose par cela et du seul point de vue didactique

deacutejagrave agrave lalgegravebre en geacuteneacuteral) les fractions constituent loccasion dune reacuteelle convishy

vialiteacute dans la classe Les distinctions qualitatives (marqueacutees par des tacircches de natures

diffeacuterentes) sestompent au profit de simples diffeacuterences quantitatives (lenseignant

va plus vite plus sucircrement mais il ne sait rien de plus que leacutelegraveve et ne fait rien de

plus que lui) Le groupe agrave la fois se rassemble gagne en coheacutesion et en mecircme temps

se diffeacuterencie continucircment sans que son identiteacute sy perde

1 y a lagrave quelques-unes des raisons didactiques qui expliquent la preacuteeacuteminence

de fagraveit de leacutetude des fractions dans les classes actuelles de quatriegraveme Or - et nous

faisons lagrave retour agrave notre sujet quen fait nous navions pas quitteacute - dans le vocabushy

lairedes enseignants les fractions font partie de lalgegravebre Mecircme si le programme

officiel nutilise pas le terme il semble que lusage se soit spontaneacutement creacuteeacute de nommer

laquoalgegravebreraquo dans la pratique de la classe ce qui nest pas geacuteomeacutetrie lalgegravebre cest

globalement lautre de la geacuteomeacutetrie Cet emploi peut-ecirctre irreacutefleacutechi du mot ne manque

pourtant pas de justificatifs Les heacutesitations historiques dont nous avons parleacute trashy

duisent aussi (par delagrave lopposition fractions de nombres arithmeacutetiques fractions de

nombres algeacutebriques) une reacutealiteacute qui perdure les fractions (dentiers) ne sont pas

(32) Voir Chevallard 1980b

72

de lalgegravebre au sens ougrave elles ne contiennent pas de lettres (les lettres sont essentielleshy

ment utiliseacutees par le professeur pour formuler les lois qui reacutegissent leur calcul) mais

elles relegravevent de llaquoalgeacutebriqueraquo en cela quelles sont le lieu dun jeu formel portant

sur des eacutecritures Elles offrent donc loccasion dune algegravebre sans algegravebre qui fait le

gros morceau de lalgegravebre aujourdhui enseigneacutee Il faut voir par quel cheminement

on en est venu lagrave

VII - LA DIALECTIQUE NUMERIQUEALGEBRIQUE

PoUr expliquer plus complegravetement et leacutevanouissement des parties algeacutebriques

de lalgegravebre et - correacutelativement - le come-back des fractions il nous faut compliquer

quelque peu le talJleau que nous avons traceacute jusquici A lopposition structurelle de

larithmeacutetique et de lalgegravebre correspondait - en principe - une dialectique fonctionshy

nelle entre numeacuterique et algeacutebrique Cest sur cette dialectique que nous devrons

dabord nous arrecircter un instant

Il faut pour cela prendre quelque recul Cette dialectique en effet existe

historiquement avant lalgegravebre (avant la construction dun langage algeacutebrique propreshy

ment dit) Les Grecs distinguent entre deux arithmeacutetiques larithmeacutetique vulgaire

ou logistique celle des calculateurs et larithmeacutetique laquopropre aux philosophesraquo

comme dit Platon cest-agrave-dire en gros la theacuteorie des nombres Les calculateurs cal~

culent Les arithmeacuteticiens eacutetudient la structure du numeacuterique Tous manipulent pour

cela un langage du numeacuterique~ mais tous ne lemploient pas aux mecircmes tacircches et ne

lui reconnaissent pas les mecircmes valeurs Dans larithmeacutetique pratique lanalyse du

numeacuterique procureacutee par le langage adopteacute est un moyen ordonneacute agrave un but opeacuterer

des deacutenombrements effectuer des calculs Si dans notre systegravememiddotactuel de numeacuteration

je deacutesire calculer 12 X 12 par exemple je nai besoin dautre analyse du nombre 12

que celle qui mest immeacutediatement donneacutee dans leacutecriture (deacutecimale) de ce nombre

(ch iffre des dizaines 1 chiffre des uniteacutes 2) Mais si comme le scribe du papyrus

Rhind je ne sais multiplier que par duplications successives et additions je devrai

recourir agrave une analyse moins immeacutediate du nombre 12 (qui ne mest pas offerte par

leacutecriture deacutecimale actuelle) Il me faudra observer que 12 = 4 + 8 et calculer ainsi(33)

1 12 2 24 4 48 8 96

(33) Voir Smith 1953 p 106

73

dougrave je deacuteduirai que 12 X 12 = 12 X (4 + 8) = 48 + 96 = 144 De telles manleres

de faire qui se rencontrent encore agrave des dates rapprocheacutees(34) apparaissent agrave lutilisashy

teur contemporain comme des survivances dun acircge imparfait Un bon systegraveme

numeacuteration-algorithmes de calcul en effet doit ecirctre tel que toute linformation requise

pour mettre en œuvre les algorithmes de calcul soit donneacutee dembleacutee avec les nombres

donneacutes eacutecrits dans le langage numeacuterique utiliseacute cest-agrave-dire soit apparente dans leacutecriture

mecircme de ces nombres En dautres termes un bon systegraveme numeacuteration-algorithmes

reacutecuse tout appel aux matheacutematiques fucirct-ce sous une forme apparemment anodine

Lusager dun tel systegraveme est eacutevidemment supposeacute pouvoir calculer que 4 + 8 = 12

(ce pour quoi le systegraveme est fait) mai~ le contrat dutilisation qui regravegle ses rapports

avec le systegraveme exclut quil ait agrave penser que 12 = 4 + 8 Paradoxalement peut-ecirctre

lun des effets et sans doute des buts (poursuivis de maniegravere plus ou moins intentionshy

nelle) de lactiviteacute matheacutematique est de proposer agrave lusage social des proceacutedures non

matheacutematiques obtenues par deacutematheacutematisation progressive de proceacutedures agrave lorigine

proprement matheacutematiques Le fait est banal et geacuteneacuteral les progregraves de leacutelectronique

me dispensent aujourdhui du bricolage auquel eacutetaient tenus les utilisateurs du poste

agrave galegravene

En fait le royaume du calcul numeacuterique est reacutegi par la loi de simplification

inteacuterioriseacutee en habitus(35) dont lune des clauses est constitueacutee par le principe

dachegravevement des calculs Selon ce laquoprinciperaquo lexpression laquo4 + 8raquo ne saurait en

calcul numeacuterique figurer comme reacuteponse le calcul agrave ce stade eacutetant laquoinacheveacuteraquo (36)

Lexpression laquo4 + 8raquo ne saurait ainsi ecirctre quune forme transitoire labile (parce que

quatre plus huit eacutegale douze) et nexiste pas plus dune maniegravere libre que latome

doxygegravene en dehors de la moleacutecule deg 2

Il en va tout autrement avec la tradition laquonobleraquo de la laquotheacuteorie des nombresraquo

Les Pythagoriciens au tout deacutebut de la science grecque eacutelaborent ainsi toute une

conception de la repreacutesentation laquogeacuteomeacutetriqueraquo des nombres soit une arithmo-geacuteoshy

meacutetrie(37) Consideacuterons par exemple les entiers impairs 5 et 7 Leurs repreacutesentations

(34) Ibid

(35) P Bourdieu deacutesigne par habitus des laquosystegravemes de dispositions durables structures structureacutees preacutedisposeacutees agrave fonctionner comme structures structurantes cest-agrave-dire en tant que principe de geacuteneacuteration et de structuration de pratiques et de repreacutesentations ( hgt (Bourdieu 1974 p 175)

(36) Les Instructions de janvier 1957 (sur lesquelles nous revenons plus loin) parlent explicitement de laquocalcul conduit jusquagrave son achegravevementraquo fait rare et remarquable car il est de la nature dun habitus de ne pas supposer lexplicitation des principes agrave lorigine de son efficace

(37) Sur larithmo-geacuteomeacutetrie des Grecs voir Michel 1959 pp 295-325

74

figureacutees peuvent ecirctre disposeacutees ainsi

o o o o o

o o o o o

o 0 5 7

Reacuteunissons ces repreacutesentations de la maniegravere suiyante

o o o o

o o o o

o 0

o 0

En les regroupant adeacutequatement il apparaicirct que la somme 5 + 7 est Lin multiple de

4 (plus preacuteciseacutement que 5 + 7 = 3 X 4) -1------------ -------------1

1 shy10 Oi iO 011 1 1 shyi i 1

- 1shyj j - 1

rO Oi iO1

O shy

i -_------------ [-------------1 iO Oi 1 i 1

Jo oi i

De plus si on laquocomplegraveteraquo le carreacute on voit apparaicirctre immeacutediatement que 5 + 7 est

une diffeacuterence de deux carreacutes (plus preacuteciseacutement que 5 + 7 = 43 - 22 )

o o o o

o o o o

o o x x

o o x x Ces monstrations qui au sens strict nont de force deacutemonstrative que pour les valeurs

numeacuteriques particuliegraveres traiteacutees ont en fait une valeur geacuteneacuterique comme les figures

(et les deacutemonstrations quelles permettent) en geacuteomeacutetrie on nest pas loin dune

deacutemonstration valable pour tous les couples dimpairs conseacutecutifs Nous pouvons

reacutetrospectivement admirer la finesse intellectuelle que linvention et lemploi de

telles proceacutedures supposent Mais nous pouvons aussi voir que notre langage algeacutebrique

actuel (creacuteeacute par Viegravete Descartes et quelques autres) sinscrit dans le prolongement

de cette analyse du numeacuterique tout en la deacutepassant en souplesse et en puissance

75

Sur le mecircme problegraveme aujourdhui nous obtenons par exemple ceci soient 2p - 1

et 2p + 1 deux impairs conseacutecutifs leur somme (2p - 1) + (2p + 1) = 4p est un

multiple de 4 et puisque 4p = (p + 1) - (p - 1)2 elle seacutecrit aussi comme une

diffeacuterence de deux carreacutes Le langage nOuveau permet dabord de formuler le problegraveme

dans sa geacuteneacuteraliteacute puis de le reacutesoudre de maniegravere eacutegalement systeacutematique

Le calcul numeacuterique utilise le langage numeacuterique pour son pouvoir deacutesignatif

eSSentiellement laquo34raquo et laquo075raquo ou encore laquo4 + 8raquo et laquo12raquo sont agrave cet eacutegard eacutequivashy lents puisquils deacutesignent le mecircme nombre (simplement laquo34raquo est une fraction laquonon

effectueacuteeraquo laquo4 + 8raquo une somme non effectueacutee) ils sont des noms diffeacuterents pour

un mecircme ecirctre matheacutematique Larithmeacutetique laquoalgeacutebriqueraquo au contraire distingue

ces noms parce que bien quils deacutesignent la mecircme chose ils ne montrent pas la mecircme

chose (ils napportent pas la mecircme information monstrative) agrave propos de lecirctre matheacuteshy

matique dont ils sont deux noms diffeacuterents (ltlt4 + 8raquo ou mieux laquo22 +23 raquo montre

que 12 est une somme de puissances de deux etc) Cest ainsi que au cœur mecircme

du langage numeacuterique sinsinue un clivage et pour tout dire une tension entre deux

modes de fonctionnement lefficaciteacute deacutesignative (propre agrave lusage calculatoire du

langage numeacuterique) tend agrave ignorer lagrave valeur monstrative de lexpression eacutecrite le

principe dachegravevement des calculs voue agrave leacutepheacutemegraverelesmiddotltltnoms intermeacutediairesraquo et

laquo4 + 8raquo devient ainsi laquo12raquo sans quaucune trace nous soit conserveacutee de lhistoire

de ce laquo12raquo Ali contraire le langage algeacutebrique - notamment parce quil est une

meacutemoire - vient permettre de conserver de meilleure faccedilon linformation monstrative

et surtout de faire apparaicirctre linformation monstrative pertinente le passage en

simplification de lexpression (2p - 1) + (2p + 1) agrave lexpression 4p fait apparaicirctre

que (2p - 1-) + (2p+ 1) deacutesigne un nombre multiple de 4 le passage en complexifishy

cation de 4p agrave (p + 1)2 - (p - 1)2 fait apparaicirctre que (2p - 1) + (2p + 1) est une

diffeacuterence de deux carreacutes

La creacuteation du langage algeacutebrique permet de deacutegager plus nettement laprobleacuteshy

matique deacutetude du nurileacuterique en la posant - sans lopposer - agrave cocircteacute de la perspecshy

tive calculatrice Elle permet donc dexpliciter ce qui demeurait largement implicite shy

la copreacutesence de deux maniegraveres davoir affaire au numeacuterique - et par lagrave dapaiser

les tensions Mais son surgissement historique permet surtout de mieux maicirctriser

la dialectique du numeacuterique et de lalgeacutebrique jusque-lagrave conduite avec des moyens

matheacutematiques insuffisamment adeacutequats Lalgeacutebrique est un outil de leacutetude du

numeacuterique le premier outil le plus eacuteleacutementaire sans doute (agrave un niveau avanceacute intershy

viendraient par exemple la theacuteorie des seacuteries entiegraveres la theacuteorie des fonctions analytishy

ques etc) Mais inversement (et cest ce qui nous autorise agrave parler de dialectique)

pour que le fonctionnement de cet outil soit efficace il faut quelque peu eacutetudier

cet outil par exemple se poser les problegravemes de la factorisation des expressions algeacuteshy

briques (afin notamment de reacutesoudre des eacutequations algeacutebriques) Or en ce point le

numeacuterique lui-mecircme est un outil deacutetude agrave lalgeacutebrique le flux sinverse Sans parler

76

de toutes les meacutethodes numeacuteriques qui font appel le plus souvent agrave des proprieacuteteacutes

danalyse (cest-agrave-dire concernant le corps des reacuteels et les fonctions dune variable

reacuteelle par exemple) on peut citer - pour prendre un exemple assez gros pour ecirctre

tout agrave fait visible - le theacuteoregraveme dEinsenstein sur la factorisation dans Q[X] (38)

Newton dans son Arithmetica Universalis deacutejagrave mentionneacutee montre une grande attenshy

tion agrave ce genre de laquoretoursraquo du numeacuterique vers lalgeacutebrique Ainsi donne-t-i1 une

meacutethode ingeacutenieuse pour trouver les facteurs dune expression algeacutebrique(39)

Si par exemple la quantiteacute proposeacutee est x 3 - x - 10x + 6 agrave la place de x

je substitue successivement les termes de la progression arithmeacutetique 1 0 -1 il en

naicirctra les nombres -4 + 6 + 14 Je place chacun deux avec tous ses diviseurs dans

la ligne du terme de la progression 1 0 -1 qui la produit comme on peut le voir

dans lexemple suivant

1 4 124 +4 o 6 1 2 3 6 +3

- 1 14 1 2 7 14 +2

Ensuite comme le terme le plus eacuteleveacute x3 na pas de diviseur de luniteacute je

cherche parmi les diviseurs quelque progression dont les termes ne diffegraverent que

dune uniteacute et qui en descendant des plus forts au plus faibles deacutecroissent comme

ceux de la progression 10 -1 Je ne trouve quune progression de cette espegravece cest

4 3 2 Je prends donc le terme + 3 qui se trouve dans la mecircme ligne que 0 de la

premiegravere progression 1 0 -1 je le joins agrave x et je tente la division par x + 3 elle

reacuteussit et jobtiens pour quotient x 2 - 4x + 2

Au-delagrave de la disparition de la structure du corpus matheacutematique enseigneacute en arithshy

meacutetique et algegravebre cest la dialectique du numeacuterique et de lalgegravebre - implicitement

preacutesente agravetravers llaquooppositionraquo de larithmeacutetique et de lalgegravebre - qui va se trouver

atteinte Plus que jamais les liens du numeacuterique et de lalgeacutebrique sen trouveront

relacirccheacutes

VIII - UNE CONCEPTION EMPIRISTE DU REEL MATHEMATIQUE

Leffacement de lopposition arithmeacutetiquealgegravebre en effet altegravere les condishy

tions de la mise en rapport du numeacuterique et de lalgeacutebrique Lancien rapport doutil

(38) Soit PIt) = a + a t + + a t n un polynocircme agrave coefficients dans if Sil existe un nombre premier p tel que0 1) ~ rie divise ~as an 2) p divise a al an_l p2 ne divise pas ao alors P o est irreacuteductible sur O

(39) Arithmeacutetique universelle tome premier pp 47-48 Nous laissons au lecteur le soin dapporter la justification matheacutematique requise

77

de travail agrave objet travailleacute semble perdu Les deux domaines - le numeacuterique -le

litteacuteral - vont coexister dans une simple juxtaposition existants qui trouvent en

eux-mecircmes leur propre justification Les rapports naguegravere encore banals entre ces

deux ordres de reacutealiteacute matheacutematiques semblent deacutesormais abolis Ou plutocirct ils laissent

place agrave des rapports nouveaux et inverseacutes ce nest plus lalgeacutebrique qui vient pershy

mettre deacutetudier le numeacuterique cest le numeacuterique qui laquojustifieraquo et laquopermet de comshy

prendreraquo lalgeacutebrique Le document 5 extrait dun manuei de quatriegraveme actuel (40)

IIUDIFFeacute~ENCS ce ceux C~CIMAUX [

x-eD yeC zeC z-z -y signifie que z+y-z Comment est appel z pour z et y dans ct ordre Observe

13-(-7) z+-7)middot13

[+(-7)j+713+7 +[(-7)+71-13+7

+0-13+7 zo13+-7

z-z-y z+y-z

(+y) + (-y)- +-(-y) +(y+ (-y)]-x + (-y)

z+O-z + (-y) -+(-y)

Pour tout xde D pour tout y de 0 z - y est un deacutecimal et z - y = +(-y) Exemples 8-(-7)=8+7=15 9-14=9+(-14)=-5 Lopeacuteration- qui agrave chaque coupe (z y) z e 0 y E C fait correspondre le deacutecimal Z - J est la soustraction dans O

DOCUMENT 5

Lalgeacutebrique comme essence du numeacuterique

nous donne de ce pheacutenomegravene un exemple tregraves net lintention didactique est ici

de justifier le fait que x - y = x + (-y) Pour le matheacutematicien la laquojustificationraquo shy

qui est alors strictement une deacutemonstration - est toute entiegravere contenue dans la

colonne de droite si je deacutefinis en geacuteneacuteral-y comme eacutetant le nombre tel quey + (-y) = 0

et si les proprieacuteteacutes ordinaires - associativiteacute etc - valent encore pour le nouvel

ensemble de nombres ainsi deacutefini alors le nombre z que je dois ajouter agrave y pour

obtenir x - ce quon appelle la diffeacuterence de x et y et qUon note x - y - nest pas

autre chose que x + (-y) Or la laquojustificationraquo passe dans la didactique ici examineacutee

par lappel au concret cest-agrave-dire au numeacuterique tel est le rocircle de la colonne de

gauche Ce sont les calculs numeacuteriques de la colonne de gauche qui soutiendraient

le sens (pour leacutelegraveve) des calculs litteacuteraux de la colonne de droite Malheureusement

le contenu de la colonne de gauche est si lon peut dire hautement improbable

(401 Il sagifdu _manuel Matheacutematique contemporaine pour la classe de quatriegraveme publieacute chez Magnard et conforme au programme de1978shy

78

parce que le numeacuterique ne fonctionne pas ainsi En fait les calculs numeacuteriques preacuteshy

senteacutes ici nexistent quagrave ecirctre limage en miroir des calculs litteacuteraux de la colonne

de droite Et cest pour permettre de tels calculs que le langage algeacutebrique preacutecishy

seacutement est neacutecessaire Il y a ainsi meacuteprise sur la speacutecificiteacute des deux ordres de calcul

et conseacutequemment sur le type de rapports quils entretiennent la justification

de lalgeacutebrique sappuierait sur un mode de fonctionnement du numeacuterique qui nest

en fait quun deacutecalque du fonctionnement de lalgeacutebrique et qui donc suppose

lalgeacutebrique

Leacutelucidation du nouveau rapport qui saffirme ainsi nest pas chose facile Elle

est pourtant neacutecessaire afin de preacuteciser par delagrave la surface des programmes les mouveshy

ments profonds produisant des deacutecisions didactiques quon aurait tort de regarder

seulement comme des laquotrucsraquo eacuteleacutements atomiques de strateacutegies trouvant en ellesshy

mecircmes et dans leurs effets supposeacutes leur unique mobile Revenons agrave lexemple que

nous avons examineacute Lalgeacutebrique y apparaicirct comme la laquotheacuteorieraquo de cette laquoreacutealiteacuteraquo

que serait le numeacuterique Mais les relations en acte entre theacuteorie (permettant leacutetude)

et reacutealiteacute (objet de leacutetude) y ressortissent incontestablement agrave une conception empishy

riste (et mecircme nous allons le voir empiriste-sensualiste) de la connaissance Tel est

en fait le mobile - veacutecu sans doute comme allant de soi dans leacutevidence que lideacuteoshy

logie procure - de la tentative de laquofaire sortirraquo la theacuteorie (lalgeacutebrique) de la reacutealiteacute

(numeacuterique) Il ya ici inversion des rapports entre theacuteorie et reacutealiteacute Car le surgissement

du theacuteorique - faut-il le rappeler - ne sautorise jamais que de lui-mecircme et loin

de proceacuteder de la reacutealiteacute la constitue (ou la renouvelle) comme objet de connaissance

Si jeacutecris par exemple 13 + 7 = 13 - (-7) selon un fonctionnement du numeacuterique

antinomique de la pratique calculatoire (cest-agrave-dire arithmeacutetique) du numeacuterique shy

laquelle voudrait quon eacutecrivicirct 13 + 7 = 20 - je fais de lalgegravebre sur du numeacuterique

cest loutil algeacutebrique et lui seul qui me permet ce travail du numeacuterique Entre le

fonctionnement arithmeacutetique et le fonctionnement algeacutebrique du numeacuterique il y a

ainsi une distance - un saut - que nul proceacutedeacute dlaquoabstractionraquo ne peut venir combler

On aurait tort de penser que lanalyse preacuteceacutedente ne vaut que pour lexemple

sur laquelle nous lavons illustreacutee En reacutealiteacute sa porteacutee est beaucoup plus eacutetendue

et pour en saisir toute la signification il faut revenir agrave cette acmeacute de leacutevolution de

la transposition didactique que repreacutesente la reacuteforme de 1971 (celle des laquomatheacutemashy

tiques modernesraquo) Contrairement aux opinions aujourdhui dominantes qui selon

un opportunisme neacutecessaire et une constante inconstance reacutecusent cette reacuteforme

pour ses excegraves et la regardent comme laberration dun moment il faut tenir que cette

aberration nen est pas une quelle ne fait que preacutecipiter cristalliser et rendre explicites

des traits qui deacutejagrave se repegraverent dans leacutevolution des deacutecennies preacuteceacutedentes Elle est un

moment qui donne sens reacutetrospectivement agravece qui vient avant lui et deacutetermine

largement ce qui viendra apregraves lui Car sil y a en quelque faccedilon rupture cest sur le

fond dune tregraves large surdeacutetermination En profondeur le programme de 1971 - pour

79

sen tenir agrave la classe de quatriegraveme - constitue une radiographie saisissante dune

eacutevolution que le programme de 1978 nadoucira quen surface Cest cette image

laquodureraquo quil faut interroger

On a trop vitupeacutereacute linflation moderniste le parti pris theacuteoriciste lambition

de rigueur des matheacutematiques promues par la reacuteforme et trop peu vu derriegravere cet

eacutecran deux mouvements correacutelatifs moins spectaculaires mais deacuteterminants Le

premier - que nous avons deacutejagrave plusieurs fois mentionneacute - cest lenvahissement du

champ deacutetude par les structures numeacuteriques Les laquoexcegravesraquo du programme de 1971

sont le prix agrave payer pour ce coup de force qui se megravene alors - simple tactique dun

moment le programme de 1978 installera une version apaiseacutee de la mecircme strateacutegieshy

avec lartillerie lourde de laquolapproche des reacuteelsraquo des laquocalculs approcheacutesraquo des laquoencashy

drementsraquo de haute ambition matheacutematique Le seCond cest la peacuteneacutetration dun

thegraveme qui va devenir central celui de llaquoobservationraquo et de llaquoexpeacuterimentationraquo

matheacutematiques

Fausse moderniteacute ce thegraveme est mis en place degraves les Instructions de janvier

1957 (annexe 6a) dont les Instructions de 1971 se reacuteclameront non sans raicon Il

prend alors lallure dune reacuteflexion sur les liens entre matheacutematique et extramatheacutemashy

tique La caution bergsonienne ici invoqueacutee - homo taber homo sapiens - bien que

dateacutee est agrave cet eacutegard tregraves significative La perspective proposeacutee ne conduit pas tregraves

loin les problegravemes denseignement se trouvent laquoreacutesolusraquo par une didactique euphoshy

rique (annexe 6b) Au vrai la conjoncture historique qui verra la mise en place des

matheacutematiques modernes nest alors quincomplegravetement formeacutee Ce qui manque

encore afin que lideacutee dexpeacuterimentation puisse passer dans les faits cest une matiegravere

que lon pourrait soumettre agrave lobservation et agrave lexpeacuterience A cet eacutegard les Instrucshy

tions de 1957 raisonnent encore agrave lancienne la notion dexpeacuterimentation y est

surtout loccasion dune rheacutetorique qui tourne sur elle-mecircme faute de pouvoir sapplishy

quer Mais cette matiegravere dapplication qui fait deacutefaut la reacuteforme va lapporter en

abondance ce sera le numeacuterique dont nous comprenons mieux degraves lors la place

de choix que les programmes reacuteformeacutes vont lui accorder Son expansion se trouvait

en fait comme appeleacutee par lexigence laquoexpeacuterimentaleraquo induite par une certaine concepshy

tion eacutepisteacutemologique et didactique

Le deacutecor de laction est installeacute en consonance avec une mise en scegravene empiriste

du procegraves de connaissance(41) Il Y a la laquoreacutealiteacuteraquo qui est un donneacute dont la preacutesence

simpose avec la derniegravere force et il y a la laquotheacuteorieraquo de ce donneacute que lon preacutetend

tirer par abstraction de lobjet agrave laquelle elle se voue La dialectique du numeacuterique

et de lalgeacutebrique est alors perdue lun de ses termes (lalgeacutebrique) se dissout dans

(41) Pour lintelligence de ce qui suit nous renvoyons agrave Althusser 1968 notamment pp 38-45

80

lautre (le numeacuterique) agrave qui est octroyeacute par nature une existence presque mateacuterielle

et dont lalgeacutebrique proceacutedera geacuteneacutetiquement La reacuteforme de 1971 remanie donc

le champ deacutetude pour y produire de solides objets laquoreacuteelsraquo agrave forts coefficients dexis-shy

tence les structures numeacuteriques et aussi la mysteacuterieuse laquodroite physiqueraquo dont la

soudaine promotion ontologique serait autrement encore plus inexplicable(42) Cela

poseacute lintroduction du litteacuteral (lalgeacutebrique) sidentifie au mouvement par lequel

dans le procegraves empiriste de connaissance se repreacutesente lessence du reacuteel qui est toute

la connaissance que le sujet peut tirer de lobjet par abstraction il permet de distinguer

entre un reacuteel essentiel et un reacuteel inessentiel gangue ou accident que le processus

dabstraction abandonne comme un reacutesidu impenseacute Labstraction qui vise agrave porter

agrave la lumiegravere ce quon pourra connaicirctre de lobjet agit par deacutecrassage et deacutecapage

CHA~tTRbullbull tour dieacuteremcs ftiems de 1t 011 obti=c cIes putitioas cilifeacute=o~ Uuml fiIure 2 repreacutese1tt (parshy

tieJ1emenz) les paniagravecas ~ i- II-l 11--0 11 - - l~ = grouie agrave la loupe la paftiriœ cozrcspoadaDc agrave Il - - 2shy

f-oo( [Q10[

1 1

~ Q t

(-2 ~( T

[l 0 ( [01 ( r12 r i i i i J r sr

-1shy 0 t

1 1 1 1 1 1 1 1 shy 1 bull 1 1 1 11

-1 -01 001 lU 03 ~ o~ 06 07 oa 09 1 11

P4 041 ~l ~~I 041ds1 -i -o] OoJ O4l o~ 04S 04) ~ 1 ~1 1

fJvZ

li) De m=c si II eR lD1 emer œIaagravef acirczeacute et si CI pr=d tOlIœS les ftiems possibles da2s Z r=semblc cIes imenalles cie c

Jcr10 (CI + L 10

eR iJMpcrtirIcircD1f de C Uuml figure 3 repreacutes=œ (articllemcm) =œ putitioll p04 shy O~

r 1 i 1 T l 1 1 -5 -4shy -3 -2 -r agrave l Z ~ 4shy 5

~3

DOCUMENT6

Le deacutecapage du donneacute dans le processus empiriste de connaissance

(42) Voir Chevallard et Johsua 1982 notamment pp 200-203

81

agrave ce thegraveme geacuteneacuteral de la connaissance empiriste reacutepond correctement dans les proshy

grammes la notion dlaquoapprocheraquo ou dlaquoapproximationraquo des laquoreacuteelsraquo (qui nont jamais

aussi bien porteacute leur nom) Ceux-ci sont atteints par le moyen de purifications successhy

sives qui eacuteliminent peu agrave peu la gangue inessentielle Tel manuel (43) pris parmi tant

dautres- en offre la superbe illustration (document 6) limage de la loupe - emblegraveme

de la connaissance empiriste dont elle est linstrument privileacutegieacute parce quelle permet

de mieux voir et de faire voir - y est requise et symbolise mieux quun long commenshy

taire cette conception de la connaissance comme visant agrave amener linvisible agrave la

vue de tous

Une telle conception de la connaissance rate le reacuteel dont il sagirait preacuteciseacutement

de produire la connaissance parce quelle en manque la constitution comme objet

de connaissance(44) Lalgeacutebrique ne sert plus agrave connaicirctre le numeacuterique Il nest plus

deacutesormais quune steacutenographie middotessentialisante qui deacutecrit reacutesume et seacutepare lessence

de laccident Le surgissement laquomoderneraquo de la dichotomie de llaquoobservationraquo et de

la laquotheacuteorieraquo - que les manuels actuels reprennent agrave lenvi - est ainsi correacutelatif dune

dissolution de lobjet de connaissance au profit de lobjet reacuteel maintenant donneacute

agrave voir dans une abstraction reacuteputeacutee immeacutediate et facile Lordre didactique va sorgashy

niser autour de cette eacutepisteacutemologie imaginaire

REFERENCES

ALTHUSSER L (1968) Lire le Capital Franccedilois Maspeacutero Paris

BOURDIEU P (1974) Le sens pratique eacuteditions de Minuit Paris

BROUSSEAU G (1980) Problegravemes de lenseignement des deacutecimaux Recherches

en didactique des matheacutematiques 1middot1 pp 11-59

CHEVALLARD Y (1980a) Matheacutematiques langage enseignement la reacuteforme des

anneacutees soixante Recherches 41 pp 71-99

CHEVALLARD Y (1980b) La transposition didactique 1REM dAix-Marseille

CHEVALLARD Y (1982) Pourquoi la transposition didactique 7 Publication du

seacuteminaire de didactique et peacutedagogie des matheacutematiques 32 Grenoble

CHEVALLARD Y et JOHSUA MA (1982) Un exemple danalyse de la transposition

didactique Recherches en didactique des matheacutematiques 3 2 pp 157-239

MICHEL PH (1950) De Pythagore agrave Euclide Les Belles Lettres Paris

SMITH DE (1953) History of mathematics volume Il Dover publications Inc

New York

(43) Il sagit de louvrage mentionneacute dans la note 24 ci-dessus

(44) Sur la distinction entre laquoobjet reacuteelraquo et laquoobjet de connaissanceraquo voir Althusser 1968 pp 4649

82

CLASSE DE QUATRIEME CLASSIQUE A ET B ET DE QUATRIEME MODERNE

PROGRAMME DE 1945 (extraits)

Arithmeacutetique

Pratique sur des exemples de la deacutecomposition dun nombre entier en facteurs premiers de la recherche du plus grand commun diviseur et du plus petit commun multiple de deux ou plushysieurs nombres Applications aux fractions

Algegravebre

Nombres algeacutebriques (positifs nuls heacutegatifs) Opeacuterations sur ces nombres exposeacutes agrave partir de problegravemes concrets Ineacutegaliteacutes

Mesures algeacutebriques de vecteurs sur une droite orienteacutee Formule de Chasles Repeacuterage dun point sur un axe

Eleacutements du calcul algeacutebrique proprieacuteteacutes des sommes et des produits Puissances Produit et quotient de deux puissances dun nombre usage de lexposant nul et dexposants neacutegatifs

Monocircmes Produit de monocircmes Quotient de deux nombres Somme de monocircmes semblables (on se bornera agrave des monocircmes agrave une deux ou trois variables) Polynocircmes agrave une variable addition soustraction multiplication par une constante

Equations numeacuteriques du premie( degreacute agrave une inconnue Problegravemes conduisant agrave une eacutequation numeacuterique du premier degreacute agrave une inconnue

Annexe 1

83

CLASSE DE QUATRIEME

PROGRAMME DE 1958 (extraits)

Arithmeacutetique

Pratique sur des exemples de la deacutecomposition dun nombre entier en un produit de nomshybres premiers pratique de la recherche du plus grand diviseur commun et du plus petit multiple commun de deux ou plusieurs nombres Applications

Algegravebre

1 - Nombres relatifs (positifs nuls neacutegatifs) Orientation dun segment (vecteur) orientation dune droite (axe) mesure algeacutebrique

dun segment orienteacute sur un axe repeacuterage dun point sur un axe (abscisse)

II - Opeacuterations eacuteleacutementaires sur les nombres relatifs addition et soustraction multiplishycation et division

Extension aux nombres relatifs des proprieacuteteacutes fondamentales eacutetablies pour les nombres arithmeacutetiques (classe de cinquiegraveme) concernant les sommes les diffeacuterences les produits les puisshysances n-iegravemes les quotients linverse dun nombre non nul Condition pour quun produit soit nul

Deacutefinition des exposants neacutegatifs et de lexposant nul Comparaison des nombres relatifs ineacutegaliteacutes Ineacutegaliteacutes concernant la valeur absolue dune somme ou dune diffeacuterence Formule de Chasles pour trois points situeacutes sur un axe Segment deacutefini par les abscisses

des deLix points qui le limitent mesure algeacutebrique de ce segment orienteacute mesure de la longueur de ce segment abscisse du milieu de ce segment

III - Notions de variables et de correspondance entre variables Expressions algeacutebriques deacutependant dUne ou de plusieurs variables calcul de la valeur

numeacuterique dune expression algeacutebrique pour des valeurs numeacuteriques donneacutees aux Ymiddotariables Monocircmes agrave une ou plusieurs variables multiplication addition de monocircmes semblables Polynocircmes forme reacuteduite Polynocircmes ordonneacutes addition multiplication Identiteacutes relatives aux produits (x + y)2 (x - y)2 (x + y)(x - y)

IV - Equations position du problegraveme signification du signe = dans ce problegraveme Equashytions du premier degreacute agrave une inconnue agrave coefficients numeacuteriques Reacutesolution de problegravemes simples agrave laide dune telle eacutequation

Annexe 2

84

CLASSE DE QUATRIEME

PROGRAMME DE 1971 (extraits)

1 - Relations

Reacutevision -des notions preacutesenteacutees dans les classes anteacuterieures et compleacutements produit carteacutesien relation application composition des applications bijection cun ensemble sur un ensemble et bijection reacuteciproque

Notion de groupe deacutefinition (on la jeacutegagera des exemples du programme)

II - Nombres deacutecimaux relatifs et approche de reacuteel

1 Groupe des puissances de dix

Nombres deacutecimaux relatifs eacutecrits a 10n avec a e7l et p E7 et sous forme de nombres agrave virgule addition multiplication ordre valeur absolue Reacutesumeacute des proprieacuteteacutes fondamentales de lensemble ainsi structureacute des deacutecimaux relatifs

2 Calculs approcheacutes

a) EnC3drement dun nombre deacutecimal par des intervalles des types [a 10pbull (a + 1) 10middot[ da 101 (a + 1) 10- [a 10pbull (a + 1) 101] avec a E Z et p E Z Sur des exelJlples encamiddot drement middotdune somme dun produit

b) Exercices de deacutetermination pour un deacutecimal strictement positif d donneacute et pour un entier relatif n donneacute du nombre deacutecimal x bull 10 avec x E IN tel que soient veacuterifieacutees les ineacutegaliteacutes 0 ~d x 10 ~ 1 lt d (x + 1) 10

c) Exercices de deacutetermination pour un deacutecimal strictement positif d donneacute et pour un entier relatif n jonneacute du nombre deacutecimal y bull 10 avec y E IN tel que soient veacuterifieacutees les ineacutegaliteacutes [y 10P ~ d lt [(y + 1) 10]

d) Suites deacutecimales illimiteacutees nombres reacuteels encadrements dun nombre reacuteel

3 Enumeacuteration des principales proprieacuteteacutes qui structurent fensemble IR des reacuteels addition (IR +) est un groupe commutatif multiplication associashytiYiteacute distributiviteacute par rapport agravefaddition ordre et valoeur absolue

On admettra que pour tout nombre reacuteel a jiffeacuterent de 0 il existe un nombre reacuteel a-1 et un seul tel que aa-1 = 1 Pour tout couple de nombres reacuteels (a b) avec a = 0 il existe un nombre reacuteel unique x appeleacute quotient de b par a

b et noteacute ba-1 ou - tel que ax = b a

Exercices simples de calcul sur de tels quotients Sur des exemples -numeacuteriques eacutequations et ineacutequations du premier degr9 agrave une inconnue

Usage des exposants entiers groupe des puissances dun nombre reacuteel non nul

Calculs approcheacutes sur les nombres reacuteels

4 Exemples de fonctions polynocircmes (applications de IR dans IR) Degreacute Exercices de calcul SUT les polynocircmes Produits (x + a)2 (x - a)2 (x + a) (x - a) Exercices de factorisation

Annexe 3

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ENCYCLOPEDIE QUILLET (1958)

TABLE DES MATIERES (extraits)

ARITBMEacuteTIQUE Notio~ preacute1i1Ji~ajres - Ideacutee de nombrebullbullbullbull 153 NumeratIon decmale bullbullbullbullbullbullbullbull 156 ~esure des grŒDdeurs bullbullbullbullbullbull bullbullbullbull 159 Nombresmiddot deacutecUDauxbullbullbullbullbullbullbullbullbullbull 169 Ladditionbullbull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull 165 La soustraction bull bull bull bull bull bull bull bull bull 168 La ~~qplication bullbullbullbullbullbullbull1 bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bullbull 171 La diVISIon 178

Regravegle de trois bull bull 117 Pourcentages bullbullbull 119 Partages proportionnels 110 ~~langes bullbull i bull bullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbull 111 Alliages bull 111 Regravegles dinteacuterecircts 124 Rentes sur Pltat 116 Actins et obli~tions - Escompte 117

Problegravemes sur les quatre opeacutemtions bull bull bull 184 La divisibiliteacute bull bull bull bull bull bull bull bull 186 Plus grŒDd commun diviseur (p G C D) 189 Plus petit commun multiple (P P C M) 191 Nombres premiers bullbullbullbullbullbullbullbull 192 Les fractions bull bull bull bull bull 194 Opeacuterations sur les fractions 197 Sys~egraveme meacute~que 203 Racme carree 207 Rapports - Proportions 2 II

Grandeurs Proportionnelles 215

Connge des exercces ~ 130

Annexe4a

ALGEgraveBRE Notions preacuteliminaires bullbullbullbull 157 Opeacutemtions sur les nombres algeacutebriques (somme

diffeacuterence multiplicationmiddot division des nombres algeacutebriques fractions ou rapports algeacutebriques puissances racines) bull bull 160

Qpeacuterations sur les expressions algeacutebriques bull 168 gquations du premier degreacute 278 Reacutesolution des problegravemes du premier degreacute agrave une

inconnue bullbullbullbullbullbullbullbullbull 186 gquations et problegravemes du premier degreacute agrave deux

ou plusieurs inconnues bull bull 191 Notions sur les repreacutesentations graphiques bull bull 301

Variation des fonctions 313 Deacuteriveacutees bullbull bull bull 319

~uations et problegravemes du second degreacute bull bull 312

ProgressionsetlogaritbInesmiddotmiddotmiddotmiddot middotmiddot middotmiddotmiddot middot331 Table de logarithmes de 1 agrave 1 000 bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull 338 Application des logarithmes Inteacuterecircts composeacutes et

annuiteacutes bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull 343 Corcigeacute des ex~ces bullbull ~ bullbullbullbullbullbullbull 348

Annexe4b

55

Les auteurs donc en preacutesentant la solution algeacutebrique du problegraveme quils ont pris

pour mateacuteriel dinitiation preacutesentent aussi les signes usuels que nous appellerions

volontiers signes arithmeacutetiques soit + - X = etc Dans un manuel qui peut dater

de la fin du XVlllegraveme siegravecle et dont le premier chapitre sintitule opportuneacutement

laquoNotions preacuteliminaires sur le passage de lARITHMETIQUE agrave lALGEBRE explishy

cation et usage des signes algeacutebriquesraquo on Voit ainsi lauteur introduire soigneusement

les sjgnes daddition de soustraction de multiplication de division le signe deacutegaliteacute

et enfin linconnue x quil rapporte dailleurs agrave lusage adopteacute en arithmeacutetique agrave

propos du quatriegraveme terme - inconnu et agrave deacuteterminer - dune proportion (document

2)

2 Les raisonnemcn9 fort simples dans le problegravememiddot roposeacute ci~essus mais tregraves-compliqueacutes dans dautres se composant ell geacuteneacuteral dun certain nombre dexshypressio1s bull telle que ajouteacute egrave diminueacute de est eacutegal agrave lrc reacutep~teacutee5 freacutequemment et qui tiennent aux opeacuterashytions par lesquelles les grandeurs qui entrent dans 1eacuteshynonceacute de la question sont lieacutees entre elles il est isible quon abreacutegerait beaucoup en repreacutesentant chashycune de ces expressions par un signe et cest aussi ce quon fait comme il suit

Pour indiquer raddition on se sert du signe + qui sinilie plus

Pour la soustraction on se sert du signe - qui signifie moins

Pour la multiplicatiOnraquo on se sert du signe X bull eacutetui signifie multiplieacute par bull

Pour eacutecrire que deux quantiteacutes doivent ecirctre di~eacutees lune par lautre on place la seconde sous la premiegravere ~

et on les seacutepare par un trait ~ signifie 5 divis~ par 4shyEnfin pour marqu~rquedeuxquantj-~ ~ ~ont eacute~ales on ~

1l1et entte leurs expressions le signe = qui signifieeOaie~

Ces abreacuteviations quoique deacutejagrave tregraves-consideacuterabl~ ne linm~entpas encoreraquo car On est obligeacute demiddotdpeacuteter OUveRt

le nombre ci partager le nombre donneacute etc la pluspetite partie le nombre chercheacute etc ce qui alonge beaucoup A leacutegard des donnies lexpeacutedient qui sest offert le p-emier a eacuteteacute (le prendre pour les repreacutesenter des nombres dttermincs qui servent dexemple comme on ell use en arithm~tique mais la chose neacutetanl pas poshy5ible agrave leacutegard des nombres inconnus on ya substitueacute un signe de c nention qui a varieacute avec le temps_ On sest enirn accord~ il employerles lettres de lalphashybet presque touiours on se sert des derniegraveres bull comme en arithmeacutetique on met une x pour le quatriegraveme terme dune proportion dont on ne cODnakque les troill shypremiers et cest agravee lusage de ces divers signes quest reacutesulteacute rA~egravebre

DOCUMENT 2

56

De mecircme dans ses Eleacutemens dalgebre (eacutedition de 1760) voit-on Clairaut qui double le

corps de son texte de notes marginales visant agrave eacuteclairer le lecteur sur leacutepisode en cours

(document 3) preacutesenter un agrave un ces nouveaux eacuteleacutements du discours matheacutematique

Pour mieux donner les principes de cette Science nous nl10ns reprendre la mecircme quef-shytion nous eacutecrire~i en langage ordinaire les raishyfonnemcns que lAlgecircbrifie tagraveit pour reacutefoudre fon Problecircme amp en caraeacuteleres Algtbriques ce qui lui 1ugraveffit deacutecrire pour aid~r fa meacutemoire

La plus petite ou la trolfieme part quelle quelle fait je middotlexprime par une feule letue quifera par exemple bullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbull x

La feconde fera parconfeacutequentxplus II) ce que jeacutecris ainfi bullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbull x + II) choififiagravent le figne +9uon prononceplus po~ deacuteligner lAddition des d(ux auantiteacutes entre lcfquelles on le place

Quant i la premiere part ou la plus grande comme elle furpa1fe la feconde de 1 8o elle fen exprimeacutee par bull bull bull bull bull bull bull~ -+ II) + 1 80

Ajoutant ces trois parts on aura bull bullbullbullbull bull bull bull 3 x + II) +1 1) + 180 ou en reacuteduifant bull bull bull bull bull bull bull bull bullbullbull 3 x + 410

Mais cette lomme des trois pans doit eacutegaler Le fagne= 89015 ce qui sexprime ainfi 3x+410=-~90marque) c- saliceacute employant le caraeacutelere = qUI fe prononce

eacutegal pour exprimer leacutegaliteacute des deux quantiteacutes entre lefquelles on le place

La quefiion par ce calcul efi donc changeacutee en une autre ougrave il sagit de trouver une quantiteacute dont le triple eacutetant ajouteacute avec fI deg fafle S90

one c(qula Trouver la reacutefolution de femblables Juemonslion e ~ e- ~ Il Il eacutefc d gJ1ileacute de c eu ce quon appe e r ou re une quanon ~eul quan- leacutequation dans ce cas-ciefi 3x+f10=890 IJ~~ reacutefout on lappelle ainfi parce quelle indique leacutegali~ une eacuteJqu(- teacute de deux quantiteacutes reacuteloudre cette eacutequation lIOn or - J1 1 1 dlquon rrou- C en trouver a va eur e mconnuex par cette nJ~valcur condition qu fon triTlellus 4-10 fatre ~90 de 1 mcon- 1 nue quclle bull rcnfermc Pour reacuteroudre cette eacutequation voici comshyReacutefolurion ment lAlgeacutehrifie raifonne amp comment il eacutecrit

de legravequa- fc raifc L fc cllion qui el[- es onneRlens quatlon a re ou re bullbullbull Erime le bullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbull 3x+4-10=890 Pblcme d Il agravepreacuteceacutedent m appren qu l Jaut aJouter bullbullbullbullbull 4 10 3 r

pour faire la comme de 890 donc 3 x font moindres que 890 de 41o ce que jeacutecris

LeC3rai- ainfi middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot3 x=890 -4-IO

tere -- in- Prenant le caraeacutelere - qui fe prononce moim tI~~taI pour faire reifouvenir que la quantiteacute quil preacute li~ cccedilde doit ecirctre retnDcheacutee de celle quil f~t

DOCUMENT 3

Meacutelhodo AIgcbriquc dexprimer le Probeumlmiddotmiddot me preacutelshydcnr

Le fagne indJque lacWilioa

57

Bien entendu lintroduction des signes laquoalgeacutebriquesraquo degraves les eacuteleacutements darithshy

meacutetique qui va simposer deacutefinitivement au XIXegraveme siegravecle atteacutenue quelque peu la

marque formelle du passage de larithmeacutetique agrave lalgegravebre Mais la transition est toujours

souligneacutee elle participe de la rheacutetorique denseignement autour de la dialectique de

lancien et du nouveau que nous avons ailleurs preacutesenteacutee(8) Elle se coule alors en

dautres analyses et notamment dans une preacutesentation de lalgegravebre comme meacutemoire

permettant de conserver une trace des opeacuterations effectueacutees Proprieacuteteacute fort ancienneshy

ment noteacutee semble-t-il et de laquelle Clairaut - se situant il est vrai dans une persshy

pective plus didactique queacutepisteacutemologique(9) - fait mecircme deacutecouler linteacuterecirct et la

neacutecessiteacute de lalgegravebre(10)

Ainsi lalgegravebre soppose-t-elle agrave larithmeacutetique par une proprieacuteteacute qui lui donne

une puissance supeacuterieure Mais par lagrave dans un deuxiegraveme temps de la dialectique que

tissent les auteurs entre arithmeacutetique (lancien) et algegravebre (le nouveau) lalgegravebre

apparaicirct positivementmiddot comme laccomplissement de larithmeacutetique Sappliquant

agrave lorigine au mecircme corps de problegravemes elle est une arithmeacutetique deacutelivreacutee de lopaciteacute

et de loubli qui deacuterobent agrave nos yeux la structure des problegravemes eacutetudieacutes Elle est un

instrument supeacuterieur pour une tacircche semblable Elle est une arithmeacutetique universelle

- comme lappelle Newton - ou encore une arithmeacutetique geacuteneacuteraliseacutee comme le note

Poinsot un bon siegravecle plus tard en une deacutefinition quun auteur de manuel de la fin

du XIXegraveme - deacutebut du XXegraveme comme beaucoup dautres avant et apregraves lui reprend

agrave son comlte et propose agrave la meacuteditation ltles eacutelegraveves de collegravege laquoLalgegravebre eacuteleacutementaire

nest autre chose quune arithmeacutetique geacuteneacuteraliseacutee cest-agrave-dire eacutetendue des nombres

particuliers agrave des nombres quelconques et par conseacutequent des opeacuterations actuelles

quon exeacutecutait agrave des opeacuterations quon ne fait plus quindiquer par des signes de

(8) Voir Chevallard 1980b

(9) Il ne faut pas neacutegliger en effet la part de rheacutetorique dintention didactique que comporte ce genre de remarques

(10) Ayant preacutesenteacute - selon la technique didactique usuelle - la solution arithmeacutetique dun proshyblegraveme darithmeacutetique pour lui comparer ensuite la solution au moyen de lalgegravebre Clairaut eacutecrit en effet laquoCest vraisemblablement ainsi que les premiers Algeacutebristes ont raisonneacute quand ils se sont proposeacutes de pareilles questions sans doute quagrave mesure quils avanccedilaient vers la solution dune question ils chargeaient leur meacutemoire de tous les raisonnemens qui les avaient conduits au point ougrave ils en eacutetaient amp lorsque les questions neacutetaient pas plus compliqueacutees que la preacuteceacutedente il ny avait pas de quoi se rebuter mais degraves que leurs recherches ont offert plus dideacutees agrave retenir il a fallu quils cherchassent une maniegravere plus courte de sexprimer quils eussent quelques lignes simples avec lesquels quelquavanceacutes quils fussent dans la solution dun problegraveme ils pussent voir dun coup dœil ce quils avaient fait amp ce quil leur restait agrave faire Or lespegravece de langage particulier quils ont imagineacute pour cela cest lAlgegravebreraquo (Eleacutemens dAlgebre troisiegraveme eacutedition Paris 1760 p 3)

58

maniegravere que dans cette premiegravere speacuteculation de lesprit on songe moins agrave eacutetablir le

reacutesultat de ces opeacuterations successives quagrave egraven tracer le tableau et agrave deacutecouvrir ainsi des

formules pour la solution de tous les problegravemes du mecircme genreraquo (11)

IV -LE DEVENIR DE LARITHMETIQUE DANS LA REFORME

En France la reacuteforme des matheacutematiques modernes est mise en œuvre agrave partir

de la fin des anneacutees soixante elle touche les classes de sixiegraveme et de seconde agrave la

rentreacutee 1969 les classes de cinquiegraveme et de premiegravere en 1970 les classes de quatriegraveme

et de terminale en 1971 enfin en 1972 la classe de troisiegraveme Cest eacutevidemment dans

ce cadre densemble que le pheacutenomegravene eacutetudieacute ici doit ecirctre situeacute Du point de vue qui

nous occupe cette reacuteforme reacutealise un changement profond dans lorganisation du

corpus matheacutematique enseigneacute Le programme reacuteformeacute de la classe de quatriegraveme

comporte quatre titres Les deux derniers sont consacreacutes agrave la geacuteomeacutetrie( 12) Les

deacuteux premiers titres concernent lun les relations lautre les nombres deacutecimaux et

lapproche des reacuteels (annexe 3) Formellement donc la structuration arithmeacutetique

algegravebre agrave disparu comme nous le notions plus haut Que sest-il passeacute

Pour reacutepondre agrave cette question il est bon dexaminer rapidement les contenus

des corpus traditionnels darithmeacutetique et dalgegravebre laquoeacuteleacutementairesraquo (en eacutecartant un

instant les consideacuterations de niveaux dans le cursus denseignement) Larithmeacutetique

dabord Dans un manuel publieacute en 1934 agrave lintention du cours moyen et du cours

supeacuterieur du premier degreacute(13) on trouve ainsi une premiegravere partie portant sur la

numeacuteration les quatre opeacuterations les problegravemes dapplication de ces notions dont des

problegravemes laquopratiquesraquo (achat et vente agrave la douzaine agrave la centaine problegravemes de

partage achats doubles successifs etc) puis des laquonotions de geacuteomeacutetrieraquo (circonshy

feacuterence etc) enfin un chapitre sur les nombres laquocomplexesraquo(14) La seconde partie

(11) Feacutelicien Girod Traiteacute dalgegravebre eacuteleacutementaire theacuteorie et pratique agrave lusage des lyceacutees des collegraveges et de tous les eacutetablissements dinstruction (premier cycle) vingt deuxiegraveme eacutedition Paris sd p 9

(12) Nous les laisserons de cocircteacute ici

(13) Arithmeacutetique par une commission dinstituteurs Vannes deuxiegraveme eacutedition 1934

(14) Rappelons quon appelait nombre complexe laquoun nombre concret composeacute de plusieurs parties se rapportant agrave des uniteacutes diffeacuterentes et dont le systegraveme de numeacuteration nest pas deacutecimal Ainsi 3 ans 4 mois 15 jours 43 degreacutes 18 minutes 17 secondes sont des nombres complexesraquo (F J Eleacuteshyments darithmeacutetique Tours et Paris 1913 p 182) laquoOn dit quun nombre est concret quand il est accompagneacute du nom de luniteacuteraquo comme dans laquovingt arbres six billes cinq francs soixante centimesraquo (dapregraves lArithmeacutetique citeacute~ dans la note 13 p2)

59

intituleacutee Systegraveme meacutetrique est consacreacutee aux mesures (surfaces volumes poids

capaciteacutes~ etc) Enfin une troisiegraveme partie traite agrave la fois de la divisibiliteacute des fracshy

tions des rapports et proportions et des regravegles (de trois etc) ainsi que de leurs

applications agrave des problegravemes pratiques (caisse deacutepargne actions et obligations etc)

Dune maniegravere plus deacuteveloppeacutee et sadressant agrave un niveau plus eacuteleveacute du cursus (matheacuteshy

matiques eacuteleacutementaires) un ouvrage de 1913(15) propose un plan qui nest guegravere diffeacuteshy

rent le 1ivre 1 traite de la numeacuteration et des opeacuterations le livre Il des proprieacuteteacutes

des nombres (divisibiliteacute plus grand commun diviseur nombres premiers etc)

le livre III des fractions le livre IV des puissances et des racines le livre V des

mesures (systegraveme meacutetrique monbres complexes) le livre VI des rapports et de leurs

applications (regravegles de trois de socieacuteteacute etc) le livre VII des approximations numeacuteshy

riques (opeacuterations abreacutegeacutees erreurs relatives)

Corpus traditionnel- agrave quelques ajouts pregraves - acircvons-nous dit Dans lArithshy

meacutetique de Jacques Pelletier du Mans (1554) le premier livre traite des nombres et

des opeacuterations de la regravegle de trois directe et laquorebourseraquo le deuxiegraveme livre des

fractions le troisiegraveme livre de lextraction de la racine carreacutee le quatriegraveme et dernier

livre de la regravegle double de faux (de fausse position) de la regravegle de socieacuteteacute etc Cette

organisation de larithmeacutetique qui na pas surveacutecu dans notre enseignement geacuteneacuteral

se retrouve aujourdhui dans les peacuteripheacuteries ou dans les marges du systegraveme denseishy

gnement officiel agrave linteacuterieur comme dans certains enseignements professionnels

agrave lexteacuterieur comme en teacutel manuel darithmeacutetique(16) adresseacute aux laquoautodidactesraquo

qui se publie aujourdhui encore au Royaume Uni (dans le cadre dune collection

intituleacutee Teach Yourself Books) simplement mis agrave jour preacutesenteacute au lecteur comme

laquofully decimalised and metricatedraquoil comporte agrave cocircteacute des parties traditionnelles

(nombres et opeacuterations factorisation des nombres fractions rapports et proportions

inteacuterecircts simple et composeacute etc) un chapitre sur la taxe agrave la valeur ajouteacutee ainsi

quun chapitre sur les machines agrave calculer et la nUJ1eacuteration binaire Un bon teacutemoigage

de leacutetat deacutequilibre atteint agrave la veille de la reacuteforme nous est fourni par leacutedition de

1958 de lEncyclopeacutedie autodidaetique Quillet en sa partie Arithmeacutetique dont la

table des matiegraveres est reproduite plus loin (annexe 4a)

Cest ce corpus traditionnel qui vole en eacuteclat deacutefinitivement - car son eacuterosion

eacutetait fortement avanceacutee - avec la reacuteforme du deacutebut des anneacutees soixante-dix(17)

Mais lexplosion de la neacutebuleuse arithmeacutetique ne signifie pas pour autant la disparition

(15) Voir la note 13

(16) LC Pascoe Arithmetic Decimalised and Metricated Houdder and Stoughton Londres 1971

(17) Cette rupture - eacutevidente - recouvre pourtant agrave un niveau plus profond des eacuteleacutements attestant la contiguiumlteacute nous y viendrons plusIoin

60

de larithmeacutetique Les parties traditionnelles de ce corpus libeacutereacutees de leur inteacutegration

au sein dune organisation multiseacuteculaire du savoir enseigneacute vont deacutesormais connaicirctre

des destins relativement indeacutependants Le noyau essentiel - les nombres et les opeacuterashy

tions sur les nombres - qui constituait la base du systegraveme anteacuterieur non seulement

ne disparaicirct pas mais trouve une extension soudaine associeacutee agrave une promotion en

digniteacute matheacutematique alors que en effet leacutetude laquoarithmeacutetiqueraquo des nombres ne

traitait anciennement que des nombres entiers et des fractions il seacutetablit deacutesormais

une progression dans leacutetude des structures numeacuteriques qui selon la logique de la

filiation des structures populariseacutee par leacutecole bourbakiste est penseacutee ideacutealement

comme allant sans solution de continuiteacute des nombres entiers aux nombres reacuteels en

passant par les nombres relatifs les nombres deacutecimaux et les rationnels Dans cet

ensemble progressivement deacuteveloppeacute les fractions viendront occuper - dans le cadre

du programme de 1978 pour la classe de quatriegraveme qui faisait suite aux laquoexcegravesraquo du

programme de 1971 - une place de toute premiegravere importance(18) La laquotheacuteorie des

nombresraquo cest-agrave-dire leacutetude de la factorisation des nombres du PGCD etc agrave

qui est reacuteserveacutee leacutetiquette darithmeacutetique figure elle au programme de la classe de

cinquiegraveme (et sy trouvera maintenue sans changement par le programme de 1977)

Seule la partie constitueacutee des laquoproblegravemes pratiquesraquo fait veacuteritablement les frais de la

modernisation et disparaicirct agrave peu pregraves complegravetement si lon excepte quelques vestiges

telle leacutetude des laquosuites finies proportionnellesraquo en classe de sixiegraveme (qui prolonge un

thegraveme abordeacute au CM2) - eacutetude eacuteventuellement conccedilue dailleurs comme preacuteparant

mais de longue main agrave la notion dapplication lineacuteaire inscrite au programme de la

classe de troisiegraveme(19)

Ce qui disparaicirct en fait agrave lexception notable - reacutepeacutetons-Ie - des problegravemes 1

pratiques ce nest pas larithmeacutetique (mecircme si le mot lui-mecircme ne renvoie plus quagrave

lune des parties du corpus arithmeacutetique traditionnel) mais la dialectique de larithshy

meacutetique et de lalgegravebre Or cet affaissement dune structuration traditionnelle va

moins peser sur la composante arithmeacutetique que sur la composante algeacutebrique des

matheacutematiques enseigneacutees au collegravege cest lalgegravebre (entendue au sens traditionnel

de ce mot agrave ce niveau des eacutetudes matheacutematiques) qui va se trouver le plus violemment

mise en cause par les changements opeacutereacutes

(18) laquoEn calcul notent les Instructions officielles la nouveauteacute reacuteside dans laccent qui est mis sur la notion de fraction ( )gtgt (Ministegravere de lEducation Matheacutematiques classes des collegraveges 6egraveme 5egraveme 4egraveme 3egraveme 1980 p 29)

(19) Les manuels correspondant aux programmes de 1978 redonneront une place au laquoproblegravemes concretsraquo ceux-ci y apparaissent toutefois essentiellement agrave titre dapplications non de problegravemes permettant la construction et lappropriation des notions agrave enseigner

61

v - UNE ALGEBRE INTROUVABLE

Il nous faut maintenant rappeler rapidement ce queacutetait lancienne organisation

du corpus algeacutebrique Formeacute de maniegravere eacutevidemment plus tardive que le corpus arithshy

meacutetique le corpus algeacutebrique atteint pourtant assez vite une stabiliteacute remarquable

qui le laisse agrave peu pregraves inchangeacute sur deux siegravecles et plus Ecartant le traiteacute dalgegravebre

publieacute par Newton sous le titre dArithmetica Universalis(20) fort instructif agrave tous

eacutegards mais relativement atypique consideacuterons louvrage dEuler deacutejagrave mentionneacute

Son tome premier comporte quatre sections La premiegravere traite laquodes diffeacuterentes

meacutethodes de calcul pour les grandeurs simples ou incomplexesraquo cest-agrave-dire du calcul

sur les nombres mais sur les nombres (que nous appelons) relatifs dont lintroduction

fait un avec laquolexplication des Signes + (Plus) et - (Moinsraquogt (chapitre 10 et sur les

nombres fractionnaires Les quatre opeacuterations arithmeacutetiques les racines les puissances

mais aussi les laquoquantiteacutes impossibles ou imaginairesraquo ainsi que les logarithmes y sont

longuement preacutesenteacutes La deuxiegraveme section traite laquodes diffeacuterentes meacutethodes de calcul

pour les grandeurs composeacutees ou complexesraquo cest-agrave-dire du calcul algeacutebrique la

troisiegraveme laquodes rapports et des proportionsraquo la quatriegraveme laquodes eacutequations algeacutebriques

et de la reacutesolution de ces eacutequationsraquo Quant au tome second il est consacreacute agrave laquolanalyse

indeacutetermineacuteeraquo que nous nexaminerons pas ici(21) Cette organisation subit eacutevidemshy

ment dune part des variations en fonction du niveau viseacute dautre part une eacutevolution

dans le temps qui conduit dans la premiegravere moitieacute du XXegraveme siegravecle agrave un ensemble

relativement stabiliseacute dont agrave la veille du grand mouvement de reacuteforme lEncyclopeacutedie

Quillet deacutejagrave citeacutee nous fournit une version commode (annexe 4b)

En ce qui concerne tout au moins les deacutebuts de lalgegravebre trois thegravemes apparaisshy

sent essentiels les nombres algeacutebriques (cest-agrave-dire les nombres relatifs) le calcul

sur les expressions algeacutebriques les eacutequations algeacutebriques Que deviennent-ils dans le

cadre de la reacuteforme La difficulteacute de la reacuteponse agrave apporter tient au moins en partie

au fait que signifiants et signifieacutes se trouvent alors dissocieacutes redistribueacutes et en ce qui

concerne les contenusmiddot couleacutes en des cadres conceptuels nouveaux qui rompent les

anciennes concordances Il en est ainsi notamment pour les nombres algeacutebriques

bull qui perdent leur qualificatif comme on la noteacute pour devenir nombres relatifs Sous

cette eacutetiquette la place qui leur est deacutevolue nest pas diminueacutee mais au contraire

majoreacutee (et en cela ils profitent du mouvement geacuteneacuteral damplification dont beacuteneacuteficient

(20) Publieacutee (en latin) en 1707 mais eacutetablie sur la base de cours donneacutes par Newton une trentaine danneacutees auparavant lArithmeacutetique universelle paraicirct en franccedilais en 1802

(21) Lorsque la question eacutetudieacutee laquone fournit pas autant deacutequations quon est obligeacute dadmettre dinconnues il y en a qui restent indeacutetermineacutees et qui deacutependent de Il9tre volonteacute et cela fait quon nomme ces sortes de questions des problegravemes indeacutetermineacutes Ils font le sujet dune branche particuliegravere de lanalyse et on appelle cette partie lAnalyse indeacutetermineacuteeraquo (Euler op cit tome second pp 1-2)

62

les structures numeacuteriques) Leur eacutetude inscrite au programme de la classe de sixiegraveme

est deacuteveloppeacutee en classe de cinquiegraveme dans les programmes de ces deux classes ils

constituent un titre agrave part entiegravere aussi bien en 1969-1970 quen 1977-1978

Il en va autrement du calcul algeacutebrique et de leacutetude des eacutequations Ces quesshy

tions formaient traditionnellement le cœur de lalgegravebre eacuteleacutementaire Dans un Manuel

dalgegravebre publieacute en 1827 laquoagrave lusage des personnes priveacutees du secours dun maicirctreraquo

lauteur(22) ouvrait sa premiegravere leccedilon par les lignes suivantes

1 Lalgegravebre est lart dexeacutecuter sur des quantiteacutes quelconques au moyen

des signes geacuteneacuteraux toutes les opeacuterations de larithmeacutetique et de repreacutesenter agrave laide

des mecircmes signes toutes les relations entre ces quantiteacutes

Il La partie de lalgegravebre qui enseigne les regravegles pour exeacutecuter les opeacuterations

arithmeacutetiques sur des quantiteacutes quelconques se nomme calcul litteacuteral

III La partie de lalgegravebre qui traite de la maniegravere de repreacutesenter agrave laide

de signes les relations entre les quantiteacutes se nomme calcul par eacutequation

IV On verra dans la suite que dans le calcul par eacutequation on a sans cesse

besoin du calcul litteacuteral cest donc par celui-ci quil faut commencer

Cest cet ensemble (calcul algeacutebrique eacutequations algeacutebriques) qui va se trouver

fortement minoreacute dans les programmes reacuteformeacutes Pour ne donner ici de cette brutale

deacuteflation quune seule illustration on a reacuteuni dans lannexe 5 (dont on voudra bien

excuser la longueur) les listes dexercices relatives agrave la multiplication dexpressions

algeacutebriques dune part (a b) dans deux manuels dancienne maniegravere(23) dautre part

(c) dans un manuel consideacutereacute comme de niveau eacuteleveacute(24) conforme au programme de

1971 la confrontation est eacuteloquente

Le terme dalgegravebre a disparu des programmes (agrave lexception du programme de

la classe de troisiegraveme) nous lavions noteacute Mais avec le mot la chose elle-mecircme se

trouve emporteacutee lalgegravebre disparaicirct 1 Cet eacutevanouissement est en fait seacutelectif les

parties laquonumeacuteriquesraquo de lalgegravebre reacutesistent bien Les nombres relatifs sont un eacuteleacutement

essentiel de lenseignement de la classe de cinquiegraveme Les fractions un temps mises agrave

leacutecart (en 1971) seront ensuite reacuteinstalleacutees comme eacuteleacutement central du programme de

(22) M Terquem auteur dun Manuel dalgegravebre ou exposeacute eacuteleacutementaire des principes de cette science publieacute agrave Paris en 1827 La citation qui suit se trouve pp 1middot2

(23) Il sagit (a) du manuel de F Girod (voir ci-dessus note 11) et (b) du manuel de Lebosseacute et Heacutemery pour la classe de quatriegraveme dans son eacutedition de 1962 (Fernand Nathan Paris)

(24) Il sagit du manuel de la collection Queysanne-Revuz seacuterie rouge dans son eacutedition de 1973 (Fernand Nathan Paris)

63

quatriegraveme (en 1978) Ce sont les parties laquoalgeacutebriquesraquo de lalgegravebre - calcul et eacutequations

algeacutebriques - qui pacirctissent de la modernisation Plusieurs raisons semblent devoir

expliquer ce pheacutenomegravene Avanccedilons dabord une raison proprement didactique qui a

pu jouer neacutegativement Le calcul algeacutebrique agrave lorigine simple preacuteliminaire agrave leacutetude

des eacutequations eacutetait en fait devenu prolifeacuterant comme on peut en juger notamment sur

le document de lannexe 5a eacutetouffant progressivement les autres parties du corpus

enseigneacute Il eacutetait sain que lon tente den limiter le deacuteveloppement et la tendance

anteacuterieure agrave la reacuteforme proprement dite allait en effet dans ce sens les manuels avaient

commenceacute le travail deacuteflationniste (comme le montre la comparaison des documents a

et b de lannexe 5) Mais ce type de pheacutenomegravene qui constitue au demeurant davantageacute

la regravegle que lexception dans leacutevolution du texte denseignement (que lon songe ici agrave

la deacutegeacuteneacuterescence de leacutetude des eacutequations du second degreacute en la fameuse laquotrinocircmiteraquo

qu i frappait agrave peu pregraves dans le mecircme temps les classes du second cycle) et la reacuteaction

quil devait susciter allaient rencontrer une autre force de changementsans doute bien

plus puissante lapparition de lalgegravebre laquomoderneraquo sur laquelle il faut sarrecircter un

instant

Dans leurs Eleacutements dalgegravebre moderne dont la quatriegraveme eacutedition paraicirct en

1961 (la premiegravere eacutetant de 1956) A Lentin et J Rivaud(25) qui situent lapparition

de lalgegravebre moderne vers 1910 inscrivent celle-ci dans le prolongement de larithshy

meacutetique et de lalgegravebre traditionnelles (mais sans les nommer) laquoA leacutecole primaire

eacutecriven~-ils lenfant raisonne sur des collections et des grandeurs concregravetes dont il

deacutegage progressivement la notion de nombre abstrait indeacutependant de la nature des

choses compteacutees ou mesureacutees Lenseignement du second degreacute apprend agrave ladolescent

la manipulation des x et des y indeacutependamment des nombres que ces lettres repreacuteshy

sentent Un pas de plus dans le calcul et cest le calcul sur les polynocircmes puis la comshy

position des transformations formelles Eh bien lalgegravebre moderne formera leacutetudiant

agrave raisonner sur les proprieacuteteacutes des opeacuterations indeacutependamment des eacuteleacutements (nombres

polynocircmes transformations) sur lesquels sexercent ces opeacuterationsraquo (26) En fait

les parties traditionnelles de lalgegravebre (calcul et eacutequations algeacutebriques) sont bien inteacuteshy

greacutees dans lalgegravebre moderne ainsi preacutesenteacutee Mais elles nen constituent ni lessentiel

ni surtout les deacutebuts Les auteurs citeacutes dont louvrage est constitueacute de cinq livres

consacrent leur dernier livre agrave des laquocompleacutements sur les groupes et sur les eacutequations

algeacutebriquesraquo (un deacuteveloppement plus ample de la question eucirct conduit agrave la theacuteorie

des extensions de corps et agrave la theacuteorie de Galois dont les rudiments sont preacutesenteacutes

dans ce livre) Ainsi le traitement des eacutequations algeacutebriques se trouve-t-i1 rejeteacute fort

loin dans lexposeacute moderne de lalgegravebre Le calcul algeacutebrique quant agrave lui se retrouve

(25) A Lentin et J Rivaud Eleacutements dalgegravebre moderne Vuibert Paris quatriegraveme eacutedition 1961

(26) Loc cit pp VmiddotVI

64

Ici dans le livre Il sous les espegraveces de leacutetude des anneaux de polynocircmes Mais le

veacuteritable commencement de lalgegravebre moderne cest leacutetude des structures (lois de

composition groupe anneau corps) qui occupe tout le livre 1 Lhonnecircte homme

qui en 1958 encore sinitiant agrave lalgegravebre se voyait proposer nombres algeacutebriques

expressions algeacutebriques eacutequations etc se verra offrir quelques anneacutees plus tard

relations binaires eacuteleacutement neutre etc Le chapitre Algegravebre que M Glaymann eacutecrit

au deacutebut des anneacutees soixante-dix pour un ouvrage adresseacute au grand public (il paraicirct

dans la collection laquoLes dictionnaires du savoir moderneraquo) est agrave cet eacutegard significatif

loi de composition eacuteleacutement neutre commutativiteacute eacuteleacutement symeacutetrique associativiteacute

eacuteleacutement reacutegulier distributiviteacute et encore structures monoiumlde groupe sous-groupe

groupe cyclique morphisme de groupes anneau anneau integravegre corps etc en sont les ma icirctres-mots(27)

Il se produit donc en quelques anneacutees une veacuteritable substitution dobjet dont

le texte denseignement reccediloit bientocirct la marque les programmes reacuteformeacutes de sixiegraveme

cinquiegraveme et quatriegraveme comportent tous un titre Relations et le programme de

quatriegraveme introduit les notions de groupe et de division dans un groupe qui conduisent

agrave examiner leacutequation ax = b dans le groupe multiplicatif des reacuteels non nuls Le calcul

algeacutebrique est recircduit agrave la portion congrue il fait lobjet du point 4 du titre Il du programme (annexe 3) Leacutetude des eacutequations conformeacutement au plan moderne

dexposition de lalgegravebre est deacutechue de ses titres et se trouve repousseacutee en classe de

troisiegraveme

VI - LALGEBRE SANS ALGEBRE

La situation creacuteeacutee par la reacuteforme autour de 1970 consacre la promotion des

structures numeacuteriques (agrave cocircteacute du geacuteomeacutetrique dont nous ne parlerons pas ici) en

mecircme temps quelle reacutealise une eacutevidente inflation theacuteorique agrave propos du numeacuterique

comme du geacuteomeacutetrique Cest ce theacuteoricisme qui apregraves avoir susciteacute dabord un vif

enthousiasme se trouvera en butte agrave une multitude de critiques qui conduiront agrave

la reacutedaction des programmes de 1977-1978 actuellement en vigueur La focalisation

du deacutebat se fait sur la maniegravere de traiter les contenus - avec notamment le rej~t

du laquopurismeraquo qui impreacutegnait lesprit de la reacuteforme preacuteceacutedente(28) - davantage que

sur la distribution des contenus eux-mecircmes et sur la structuration et leacutequilibre des

diverses parties du corpus enseigneacute Celui-ci apparaicirct en conseacutequence plus comme

(27) Maurice Glaymann Lalgegravebre in Les matheacutematiques Centre deacutetudes et de promotion de la lecture Paris 1973 pp 16-54

(28) Dans la preacutesentation deacutejagrave citeacutee des programmes de 1978 (voir la note 2 ci-dessus) leacutequipe de reacutedaction du Bulletin de lAPMEP deacutenonccedilait le purisme matheacutematique qui en fait laquoest un purisme dexposition non dapprentissage ou de fonctionnement qui na donc rien agrave faire dans le premier cycle ( )gtgt

65

une version laquodeacutegraisseacuteeraquo du corpus des anneacutees soixante-dix que comme une version

fondamentalement nouvelle agrave cocircteacute du geacuteomeacutetrique que lon entend laquodeacutesaxiomatiserraquo

le numeacuterique y demeure preacutedominant mecircme si lon ny inclut plus les mecircmes mateacuteshy

riaux Les nombres reacuteels en effet sont les grands perdants du reacuteameacutenagement opeacutereacute

Et ce sont les fractions et les rationnels qui venant occuper la place ainsi libeacutereacutee dans

le programme de quatriegraveme constituent maintenant la piegravece centrale de leacutetude du

numeacuterique - les nombres relatifs (entiers et deacutecimaux) conservant en classe de cinshy

quiegraveme le rocircle preacuteeacuteminent qui leur eacutetait anteacuterieurement reconnu

Il faut en ce point dire quelques mots de la promotion donneacutee dans ces proshy

grammes aux fractions et aux rationnels Pour des raisons dans lesquelles nous nentreshy

rons pas ici les fractions (associeacutees aux rapports et aux proportions) eacutetaient traditionshy

nellement tirailleacutees entre larithmeacutetique la geacuteomeacutetrie et degraves la naissance du corpus

algeacutebrique lalgegravebre elle-mecircme Preacutesentant ses Eleacutemens dAlgebre Clairaut ne manque

dailleurs pas de faire connaicirctre au lecteur lembarras ougrave cette question la tenu

laquojavois dabord compteacute donner dans le mecircme livre eacutecrit-il tant les Eleacutemens dArithshy

meacutetique que ceux dAlgebre amp je naurois pas manqueacute alors de traiter des proportions

plus agrave fond que je nai fait dans mes Eleacutemens de Geacuteomeacutetrie raquo Bien entendu en passant de larithmeacutetique agrave lalgegravebre on passait aussi des fractions arithmeacutetiques

(rapports dentiers cest-agrave-dire dentiers naturels) aux fractions algeacutebriques (rapports

dentiers laquoalgeacutebriquesraquo cest-agrave-dire relatifs) et aux fractions rationnelles (rapports

de polynocircmes) Mais ces reprises sont significatives de linteacuterecirct didactique accordeacute

au thegraveme les fractions constituent un sujet de choix pour lenseignement

Comme on la rappeleacute(29) laquolaccent qui est mis sur la notion de fractionraquo

constitue selon les termes mecircmes des Instructions relatives au programme de quatriegraveme

de 1978 leacuteleacutement de laquonouveauteacuteraquo de ce programme Nouveauteacute dantique meacutemoire 1

Henri Lebesgue presque un demi-siegravecle plus tocirct avait fermement inviteacute les professeurs

agrave se deacutebarrasser de ce monstre du Loch Ness matheacutematique laquo on sera bien je pense

daccord avec moi eacutecrivait-il (30) pour deacuteclarer que marier des 22iegravemes et des 37iegravemes

est un martyre que nous infligeons aux gosses de douze ans par pur sadisme sans

aucune raison dutiliteacute comme circonstance ateacutenuanteraquo Mais il ajoutait aussitocirct

laquoJentends tous les professeurs protester Les uns parce que les fractions fournissaient

dinnombrables exercices pour leurs jeunes eacutelegraveves apregraves un moment deffroi ceux-ci

sapercevront quils ne manqueront jamais dexercices La plainte des autres meacutemeut

(29) Voir la note 18

(30) Dans La mesure des grandeurs (Albert l3lanchard Paris 1975) p 25

66

davantage et pour la veacuteriteacute je la formule moi aussi laquoSupprimer dans la classe de

matheacutematiques la theacuteorie des fractions cest supprimer un chapitre admirable Le

seul peut-ecirctre parmi ceux qui nous restent qui ne soit pas lagrave uniquement pour son

utiliteacute immeacutediate et qui donne le sentiment de la beauteacute pureraquoraquo(31) Or cette admirable

construction devient dans le cadre des matheacutematiques modernes plus admirable

encore ou disons plus subtile le maniement sans complexe des fractions fait place

agrave une ontologie raffineacutee dans laquelle les fractions devenues couples de nombres

ne sont plus - en theacuteorie plus quen pratique bien sucircr - que le mateacuteriau de la consshy

truction des rationnels classes deacutequivalence de fractions Avrai dire cette preacutesentation

moderne neacutetait guegravere favoriseacutee par le programme de 1971 (dans lequel les reacuteels faisaient

directement suite aux deacutecimaux les rationnels neacutetant alo~s que des reacuteels particuliers

les quotients dentiers) Mais le programme de 1978 lui donne une nouvelle chance

et quelques manuels impavides la mettent en œuvre (document 4a) Cette perspective

constructiviste peut en fait ecirctre aiseacutement eacuteviteacutee au profit dune conception reacutealiste

(celle-lagrave mecircme que le programme de 1971 poussait en avant les reacuteels eacutetant supposeacutes

donneacutes - ils eacutetaient laquoconstruitsraquo dans le programme de 1971 - un rationnel est un

reacuteel qui peut seacutecrire comme quotient dentiers) et la plupart des manuels utilisent

cette possibiliteacute (document 4b) conceptuellement et techniquement moins difficile

et sans doute plus proche de la repreacutesentation du nombre qui est effectivement celle

des eacutelegraveves et mecircme du laquoworking mathematicianraquo Mais le souci de purisme na pas

disparu le goucirct de la laquorigueurraquo (sic) conduit chez quelques-uns (document 4c) agrave une

veacuteritable confusion sur le sens du signe deacutegaliteacute (qui ne signifie en principe nullement

que les deux membres de leacutegaliteacute sont des expressions identiques - formellement

ou syntaxiquement - ce qui interdirait deacutejagrave deacutecrire que 6 = 2 X 3 mais que ce quils

deacutesignent sont une seule et mecircme chose le signe deacutegaliteacute ne signifiant rien dautre

quune identiteacute seacutemantique) Cela dit le problegraveme - eacuteleacutegamment mais coucircteusement

reacutesolu par le moyen des classes deacutequivalence - existait avant les matheacutematiques

modernes et continue dexister mais le corpus ancien le traitait (inconsciemment )

avec une grande discreacutetion (document 4d) en distinguant chaque fois quil eacutetait

neacutecessaire la fraction (consideacutereacutee alors implicitement comme eacutecriture agrave savoir comme

rapport) et la valeur de la fraction (soit le nombre - rationnel - deacutesigneacute par cette

eacutecriture) Quoi quil en soit tout ce jeu laisseacute autrefois implicite et plus ou moins

fortement expliciteacute aujourdhui participe de ladmirable construction des fractions

qui seacuteduit tant les professeurs comme dit Lebesgue

(31) Ibid pp 25-26

67

Nombres rationnels

Ensemble ltC

RAPPELONS

Dans lensemble T des fractions nous avons deacutefini la relation JI suivante

Quelles que soient les fractions ~ et ~ on a (~JI ~) (ad =bel

Nous avons eacutetabli (p 48) que JI est une relation deacutequivalence dans T

Pourtraduire que deux fractions ~ et ~ sont lieacutees par JI nous avons eacutecrit ~ = ~

et nous avons dit que les fractions ~ et ~ sont eacutequivalentes

DEacuteFINITION

Nous donnons la deacutefinition suivante

Ch8q cd6quiVIIlencbullbullbulllonJIst appeleacutee un nombre lIItlonnel

Nous deacutesignons par 0 lensemble des nombres rationnels

AEPAEacuteSENTAtfr DUN RAcircTIONNEL

Soient x un eacuteleacutement de 1 etmiddott une fraction eacuteleacutement de T

Nous disons que x et un nombre rationnel dont un repreacuteentant et ~ 1 et

aeulement si x est 1 clbullbullbullbull deacutequlvlence elon JI de 1 fraction i Le nombre ~tion~1 x est donc lensemble des fractions ~ eacutequivalentes agrave~ nous

avons x=~lcez deZmiddot ~=M Remarquons que toute fraction eacutequivalente agrave ~ est un repreacutesentant du nombre

rationnel x

CHAPITRE 6 ENSEMBLE Q 67

DOCUMEIIT 4eacute1

(Matheacutematiques4egraveme collection Monge 1978)

68

CHAPITRE 4 algegravebre

Ensemble 0 des nombres rationnels

1 Oeacuteflnitlon de lensemble C 4Notatlons fractionnaires dUn rationnel des rationnels

2prOPrieacuteteacutes de lensemble Q 50Peacuteratlons dans Q des rationnels

3Eacutecriture deacutecimale illimiteacutee 6comparaison de deux rationnels dun rationnel

1Deacutefinition de lensemble Q des rationnels

deacutefinition Un nombre reacuteel (ou reacuteel) est appeleacute DOIIlbre ratioonel (ou rationnel) sil est eacutegal agrave un quotient de deux entiers relatifs

Autrement dit Un reacuteel x est un rationnel sil existe un entier relatif a et un entier relatif non

nul b tels que x soit eacutegal au quotient ~

exemples bull Les quotients suivants sont des rationnels 2 -4 -3 248 57 -29704 0 37 0 359 iuml 78 -=5 -614 57 -1- 25 =iOOO =iuml4 -1-

lal -27815) Ibull Le ree r eg au quotIent 0013 est-I un ratIonne

- 2781 5 et 0013 ne sont pas des entiers relatifs

On sait que (proprieacuteteacutes des quotients de reacuteels)

-27815 -27815 x 104 -27815 0013 0013 x 104 =~

Conclusion r est un rationnel

DOCUMENT 4b

(Matheacutematiques4egraveme collection Durrande 1979)

69

I~ Lensemble ltD des nombres rationnels

1 bull DEacuteFINITION ET EXEMPLES

Dans le cnapltre 4 nous ayons rencontreacute des nombres QUon pouvait obtenir comme Quotient exact dun entir relatif fi par un entier relatif non nul b Ces nombres sappellent lesnombnts ratiOnneJa (ou plua simplement les rationnels) Ils sont r8Qreacutesnteacutes par des fractions ainsi

exemples de fractions repreacuteslitntant x Nombre rationnel x -2 -8 -18lentler relatif -2 -9- -L shy1 3 -1 7 35 -7le deacutecimal rlatlf 35 Ji shy2 4 10 -=2 ~ Q EumlL shyIe ratlonn1 i 3 8 30 -3

Reepitullfflon des prlnc1es deacutetlnltlons Otlnitlo Soit un entIer ratatlf quelconque et soit b un entIer reltlf non nuL

11 LA couple (e bJ eacutecrit sous i fonne appellela fractIon d num

teur bull et de deacutenominateur b 2J Cette fraction retrisente le quotient ect de bull par b que lon not

aUAI bull On bull donc par deacuteflnltlon

bX~ bull JCb bullbull b b

31 On appelle nom rationnel tout nombre Que lon peut obtnir comme quotient euct dun entier relatif par un entlr relatif non nul

Attention 1La megravem notation est utiliseacutee pour deacutesignr deux cnoss diffeacuterentesb

le couple (II b) le Quotient exact de Il par b

Quand on eacutecrit il faut preacuteciser sU sagit de la fraction Ji (le couple (1 4 4raquo ou du rationshy4 4

nel 2i (Qui est eacutegal agrave 35) 4

le rationn est Anal au rationnel L4 ~~ 2

la fraction nest pas eacutegale agrave la fraction 1 ~ 2

(Puisque les couples (144) et (72) sont distincts)

Une convention commode

Pour eacuteviter cet Inconveacutenient nous conviendrons toujours Que dans les calculs deacutesinne le b

nombre rationnel Quotient exact d fi par b Ainsi nous pourrons eacutecrire

Ji =L =3S4 2

Quand vous voudrez parler du couple (14 4) il faudra preacuteciser bull la fraction c 4

DOCUMENT 4c

(Matheacutematiques classe de quatriegraveme collection Queysanne et Revus 1979)

70

SIMPLIFICATION DES FRACTIONS

i49 Simllifier une fraction cest la remplacer par une fraction ~e mais ayant des tenDes plus petits

ISO PROPRIEacuteTEacuteS FONDAMENTALES

10 On mesure deux rubans avec le sepagraveegraveme dune longueur donneacutee A B Lun mesure 2 sepagraveagravenes lautre 4 septiegravemes de luniteacute Il est eacutevident que le dewdagraveDe est double du premier

4 2 X 2 2 - --- - X 2 donc 777

Theacuteoregraveme L - Si OD mwdpUe le aDlDampateDr dune CractloD par aD JIOmbre la CracdoD eet muldpUeacutee par ce Dombre

2deg Un ruban mesure 5 sepagraveagravenes de la longueur AB un dewtiagravene ruban vaut S quato12Iumlagravenes de la mbe uniteacute

Un quatorziagravene eacutetant deux fois plus petit quun sepagraveagraveDe la dewdœe longueur est deux fois plus petite que la premiugravee S S S

------ 2 par suite 14 7 X 2 7

Theacuteoregraveme D - Si OD muldpUe le dacirclomiDateur cl1IDe bcdoD par 110 aombre la CracdoD eet diYileacutee par ce JIOmbre

3deg Soit la fraction _3 X 3_2S s s X 3 IS Elle ne c1uIage pas de valeur si nn mulagraveplie ses deux termes par 3 En dfet si on multiplie son numeacuterateur elle devient 3 fois plus grande si on multiplie son deacuteDominateur

elle devient 3 fois plus petiœ Par conseacutequent

Theacuteoregraveme DL - Si OD mwdpUe lee cleu termes daDO bcdoD par aD ~e DOmbre la ampactIoD ae chaage pu do valeur

On voit IJU- mIru gratukur fJGI la _ pat _ itrftniri tU frtJCtUgrave1fU U1IItU igalu

Corollaire - Si OD divise lee deux termee dlIDe CractiOD par aD mfme JIOmbre (ropkatucircm eacutetant possible) OD obdeat une bedoD eacuteplo agrave la premiegravere

Soit la fraction 18 dont les deux termes sont divisibles par 321

On peut eacutecrire 18 _ 6 x 3 21 7 x 3

et dapregraves le theacuteoragravene preacuteceacutedent _ 6 X 3 7 7 X 3

On a donc 18 3_ la fraction Il des termes plus petits que la fraction 18 dougrave la regravegle de simshy21 3 7 7 21

pli1ication des fractions

~ Regravegle - PD1lI simplifier _ fraaion an divis 11$ dIU umm pat 11II mIru 1ItmIbr

DOCUMENT 4d

Arithmeacutetique de lEncyclopeacutedie Quillet 1958

Fractions et rationnels en fait ne constituent pas seulement une admirable

construction matheacutematique ils composent en mecircme temps un objet didactique

inteacuteressant agrave bien des eacutegards La place de leacutelegraveve (cest-agrave-dire ce qui peut ecirctre requis

de leacutelegraveve agrave ce propos) y est nettement dessineacutee Lebesgue le soulignait judicieusement

le chapitre regorge dexercices dont la difficulteacute (cest-agrave-dire en gros la complexiteacute)

peut ecirctre finement gradueacutee La place de lenseignant elle aussi sy trouve preacutepareacutee

le professeur eacuteprouve toute sa speacutecificiteacute face agrave leacutelegraveve en tant quarchitecte et bacirctisshy

seur - fonctions dans lesquelles leacutelegraveve ne saurait lui disputer sagrave place - dune consshy

truction matheacutematiqueagrave la fois simple rigoureuse riche dont la complegravete transpashy

71

rence nest acquise quau prix de quelque subtiliteacute intellectuele nullement inaccessible

agrave leacutelegraveve mais relativement exigeante Toutefois il y a plus En un sens tout objet

de savoir didactiquement acceptable laisse voir deux laquoplacesraquo il doit contenir le

laquolieuraquo que leacutelegraveve viendra occuper (les tacircches que le contrat didactique lui assignera

en propre) il doit contenir aussi un lieu speacutecifiquement alloueacute agrave lenseignant Ce

marquage des places consubstanciellement lieacute au fonctionnement didactique du

savoir est un processus geacuteneacuteral que jai proposeacute(32) dappeler la topogeacutenegravese (du grec

topos lieu) Mais la dialectique topogeacuteneacutetique peut ecirctre plus ou moins resserreacutee plus

ou moins relacirccheacutee dans ce dernier cas (qui correspond comme jessaierai de lindiquer

plus loin agrave ce que nous voyons majoritairement se produire aujourdhui agrave propos de

lemploi du langage algeacutebrique) les eacutechanges entre eacutelegraveves et enseignant demeurent

pauvres la communication est distante parce que les uns et les autres ne se mesurent

pas aux mecircmes tacircches (le professeur deacutemontre une eacutegaliteacute litteacuterale leacutelegraveve lapplique

agrave des cas particuliers numeacuteriques) Avec les fractions une fois fixeacutee larchitecture

geacuteneacuterale de leacutedifice il en va autrement passeacutes les calculs les plus simples les calculs

qui ne sont pas triviaux pour leacuteiegraveve - tout en demeurant de lordre de ce qui peut

loyalemeacutent lui ecirctre demandeacute - ne le scgtnt quagrave peine moins pour le professeur Les

partenaires de linteraction didactique se rapprochent autour dune tacircche unique

jusquagrave sembler parfois unir leurs efforts agrave la recherche dune commune reacuteponse

Tout comme la geacuteomeacutetrie (qui soppose par cela et du seul point de vue didactique

deacutejagrave agrave lalgegravebre en geacuteneacuteral) les fractions constituent loccasion dune reacuteelle convishy

vialiteacute dans la classe Les distinctions qualitatives (marqueacutees par des tacircches de natures

diffeacuterentes) sestompent au profit de simples diffeacuterences quantitatives (lenseignant

va plus vite plus sucircrement mais il ne sait rien de plus que leacutelegraveve et ne fait rien de

plus que lui) Le groupe agrave la fois se rassemble gagne en coheacutesion et en mecircme temps

se diffeacuterencie continucircment sans que son identiteacute sy perde

1 y a lagrave quelques-unes des raisons didactiques qui expliquent la preacuteeacuteminence

de fagraveit de leacutetude des fractions dans les classes actuelles de quatriegraveme Or - et nous

faisons lagrave retour agrave notre sujet quen fait nous navions pas quitteacute - dans le vocabushy

lairedes enseignants les fractions font partie de lalgegravebre Mecircme si le programme

officiel nutilise pas le terme il semble que lusage se soit spontaneacutement creacuteeacute de nommer

laquoalgegravebreraquo dans la pratique de la classe ce qui nest pas geacuteomeacutetrie lalgegravebre cest

globalement lautre de la geacuteomeacutetrie Cet emploi peut-ecirctre irreacutefleacutechi du mot ne manque

pourtant pas de justificatifs Les heacutesitations historiques dont nous avons parleacute trashy

duisent aussi (par delagrave lopposition fractions de nombres arithmeacutetiques fractions de

nombres algeacutebriques) une reacutealiteacute qui perdure les fractions (dentiers) ne sont pas

(32) Voir Chevallard 1980b

72

de lalgegravebre au sens ougrave elles ne contiennent pas de lettres (les lettres sont essentielleshy

ment utiliseacutees par le professeur pour formuler les lois qui reacutegissent leur calcul) mais

elles relegravevent de llaquoalgeacutebriqueraquo en cela quelles sont le lieu dun jeu formel portant

sur des eacutecritures Elles offrent donc loccasion dune algegravebre sans algegravebre qui fait le

gros morceau de lalgegravebre aujourdhui enseigneacutee Il faut voir par quel cheminement

on en est venu lagrave

VII - LA DIALECTIQUE NUMERIQUEALGEBRIQUE

PoUr expliquer plus complegravetement et leacutevanouissement des parties algeacutebriques

de lalgegravebre et - correacutelativement - le come-back des fractions il nous faut compliquer

quelque peu le talJleau que nous avons traceacute jusquici A lopposition structurelle de

larithmeacutetique et de lalgegravebre correspondait - en principe - une dialectique fonctionshy

nelle entre numeacuterique et algeacutebrique Cest sur cette dialectique que nous devrons

dabord nous arrecircter un instant

Il faut pour cela prendre quelque recul Cette dialectique en effet existe

historiquement avant lalgegravebre (avant la construction dun langage algeacutebrique propreshy

ment dit) Les Grecs distinguent entre deux arithmeacutetiques larithmeacutetique vulgaire

ou logistique celle des calculateurs et larithmeacutetique laquopropre aux philosophesraquo

comme dit Platon cest-agrave-dire en gros la theacuteorie des nombres Les calculateurs cal~

culent Les arithmeacuteticiens eacutetudient la structure du numeacuterique Tous manipulent pour

cela un langage du numeacuterique~ mais tous ne lemploient pas aux mecircmes tacircches et ne

lui reconnaissent pas les mecircmes valeurs Dans larithmeacutetique pratique lanalyse du

numeacuterique procureacutee par le langage adopteacute est un moyen ordonneacute agrave un but opeacuterer

des deacutenombrements effectuer des calculs Si dans notre systegravememiddotactuel de numeacuteration

je deacutesire calculer 12 X 12 par exemple je nai besoin dautre analyse du nombre 12

que celle qui mest immeacutediatement donneacutee dans leacutecriture (deacutecimale) de ce nombre

(ch iffre des dizaines 1 chiffre des uniteacutes 2) Mais si comme le scribe du papyrus

Rhind je ne sais multiplier que par duplications successives et additions je devrai

recourir agrave une analyse moins immeacutediate du nombre 12 (qui ne mest pas offerte par

leacutecriture deacutecimale actuelle) Il me faudra observer que 12 = 4 + 8 et calculer ainsi(33)

1 12 2 24 4 48 8 96

(33) Voir Smith 1953 p 106

73

dougrave je deacuteduirai que 12 X 12 = 12 X (4 + 8) = 48 + 96 = 144 De telles manleres

de faire qui se rencontrent encore agrave des dates rapprocheacutees(34) apparaissent agrave lutilisashy

teur contemporain comme des survivances dun acircge imparfait Un bon systegraveme

numeacuteration-algorithmes de calcul en effet doit ecirctre tel que toute linformation requise

pour mettre en œuvre les algorithmes de calcul soit donneacutee dembleacutee avec les nombres

donneacutes eacutecrits dans le langage numeacuterique utiliseacute cest-agrave-dire soit apparente dans leacutecriture

mecircme de ces nombres En dautres termes un bon systegraveme numeacuteration-algorithmes

reacutecuse tout appel aux matheacutematiques fucirct-ce sous une forme apparemment anodine

Lusager dun tel systegraveme est eacutevidemment supposeacute pouvoir calculer que 4 + 8 = 12

(ce pour quoi le systegraveme est fait) mai~ le contrat dutilisation qui regravegle ses rapports

avec le systegraveme exclut quil ait agrave penser que 12 = 4 + 8 Paradoxalement peut-ecirctre

lun des effets et sans doute des buts (poursuivis de maniegravere plus ou moins intentionshy

nelle) de lactiviteacute matheacutematique est de proposer agrave lusage social des proceacutedures non

matheacutematiques obtenues par deacutematheacutematisation progressive de proceacutedures agrave lorigine

proprement matheacutematiques Le fait est banal et geacuteneacuteral les progregraves de leacutelectronique

me dispensent aujourdhui du bricolage auquel eacutetaient tenus les utilisateurs du poste

agrave galegravene

En fait le royaume du calcul numeacuterique est reacutegi par la loi de simplification

inteacuterioriseacutee en habitus(35) dont lune des clauses est constitueacutee par le principe

dachegravevement des calculs Selon ce laquoprinciperaquo lexpression laquo4 + 8raquo ne saurait en

calcul numeacuterique figurer comme reacuteponse le calcul agrave ce stade eacutetant laquoinacheveacuteraquo (36)

Lexpression laquo4 + 8raquo ne saurait ainsi ecirctre quune forme transitoire labile (parce que

quatre plus huit eacutegale douze) et nexiste pas plus dune maniegravere libre que latome

doxygegravene en dehors de la moleacutecule deg 2

Il en va tout autrement avec la tradition laquonobleraquo de la laquotheacuteorie des nombresraquo

Les Pythagoriciens au tout deacutebut de la science grecque eacutelaborent ainsi toute une

conception de la repreacutesentation laquogeacuteomeacutetriqueraquo des nombres soit une arithmo-geacuteoshy

meacutetrie(37) Consideacuterons par exemple les entiers impairs 5 et 7 Leurs repreacutesentations

(34) Ibid

(35) P Bourdieu deacutesigne par habitus des laquosystegravemes de dispositions durables structures structureacutees preacutedisposeacutees agrave fonctionner comme structures structurantes cest-agrave-dire en tant que principe de geacuteneacuteration et de structuration de pratiques et de repreacutesentations ( hgt (Bourdieu 1974 p 175)

(36) Les Instructions de janvier 1957 (sur lesquelles nous revenons plus loin) parlent explicitement de laquocalcul conduit jusquagrave son achegravevementraquo fait rare et remarquable car il est de la nature dun habitus de ne pas supposer lexplicitation des principes agrave lorigine de son efficace

(37) Sur larithmo-geacuteomeacutetrie des Grecs voir Michel 1959 pp 295-325

74

figureacutees peuvent ecirctre disposeacutees ainsi

o o o o o

o o o o o

o 0 5 7

Reacuteunissons ces repreacutesentations de la maniegravere suiyante

o o o o

o o o o

o 0

o 0

En les regroupant adeacutequatement il apparaicirct que la somme 5 + 7 est Lin multiple de

4 (plus preacuteciseacutement que 5 + 7 = 3 X 4) -1------------ -------------1

1 shy10 Oi iO 011 1 1 shyi i 1

- 1shyj j - 1

rO Oi iO1

O shy

i -_------------ [-------------1 iO Oi 1 i 1

Jo oi i

De plus si on laquocomplegraveteraquo le carreacute on voit apparaicirctre immeacutediatement que 5 + 7 est

une diffeacuterence de deux carreacutes (plus preacuteciseacutement que 5 + 7 = 43 - 22 )

o o o o

o o o o

o o x x

o o x x Ces monstrations qui au sens strict nont de force deacutemonstrative que pour les valeurs

numeacuteriques particuliegraveres traiteacutees ont en fait une valeur geacuteneacuterique comme les figures

(et les deacutemonstrations quelles permettent) en geacuteomeacutetrie on nest pas loin dune

deacutemonstration valable pour tous les couples dimpairs conseacutecutifs Nous pouvons

reacutetrospectivement admirer la finesse intellectuelle que linvention et lemploi de

telles proceacutedures supposent Mais nous pouvons aussi voir que notre langage algeacutebrique

actuel (creacuteeacute par Viegravete Descartes et quelques autres) sinscrit dans le prolongement

de cette analyse du numeacuterique tout en la deacutepassant en souplesse et en puissance

75

Sur le mecircme problegraveme aujourdhui nous obtenons par exemple ceci soient 2p - 1

et 2p + 1 deux impairs conseacutecutifs leur somme (2p - 1) + (2p + 1) = 4p est un

multiple de 4 et puisque 4p = (p + 1) - (p - 1)2 elle seacutecrit aussi comme une

diffeacuterence de deux carreacutes Le langage nOuveau permet dabord de formuler le problegraveme

dans sa geacuteneacuteraliteacute puis de le reacutesoudre de maniegravere eacutegalement systeacutematique

Le calcul numeacuterique utilise le langage numeacuterique pour son pouvoir deacutesignatif

eSSentiellement laquo34raquo et laquo075raquo ou encore laquo4 + 8raquo et laquo12raquo sont agrave cet eacutegard eacutequivashy lents puisquils deacutesignent le mecircme nombre (simplement laquo34raquo est une fraction laquonon

effectueacuteeraquo laquo4 + 8raquo une somme non effectueacutee) ils sont des noms diffeacuterents pour

un mecircme ecirctre matheacutematique Larithmeacutetique laquoalgeacutebriqueraquo au contraire distingue

ces noms parce que bien quils deacutesignent la mecircme chose ils ne montrent pas la mecircme

chose (ils napportent pas la mecircme information monstrative) agrave propos de lecirctre matheacuteshy

matique dont ils sont deux noms diffeacuterents (ltlt4 + 8raquo ou mieux laquo22 +23 raquo montre

que 12 est une somme de puissances de deux etc) Cest ainsi que au cœur mecircme

du langage numeacuterique sinsinue un clivage et pour tout dire une tension entre deux

modes de fonctionnement lefficaciteacute deacutesignative (propre agrave lusage calculatoire du

langage numeacuterique) tend agrave ignorer lagrave valeur monstrative de lexpression eacutecrite le

principe dachegravevement des calculs voue agrave leacutepheacutemegraverelesmiddotltltnoms intermeacutediairesraquo et

laquo4 + 8raquo devient ainsi laquo12raquo sans quaucune trace nous soit conserveacutee de lhistoire

de ce laquo12raquo Ali contraire le langage algeacutebrique - notamment parce quil est une

meacutemoire - vient permettre de conserver de meilleure faccedilon linformation monstrative

et surtout de faire apparaicirctre linformation monstrative pertinente le passage en

simplification de lexpression (2p - 1) + (2p + 1) agrave lexpression 4p fait apparaicirctre

que (2p - 1-) + (2p+ 1) deacutesigne un nombre multiple de 4 le passage en complexifishy

cation de 4p agrave (p + 1)2 - (p - 1)2 fait apparaicirctre que (2p - 1) + (2p + 1) est une

diffeacuterence de deux carreacutes

La creacuteation du langage algeacutebrique permet de deacutegager plus nettement laprobleacuteshy

matique deacutetude du nurileacuterique en la posant - sans lopposer - agrave cocircteacute de la perspecshy

tive calculatrice Elle permet donc dexpliciter ce qui demeurait largement implicite shy

la copreacutesence de deux maniegraveres davoir affaire au numeacuterique - et par lagrave dapaiser

les tensions Mais son surgissement historique permet surtout de mieux maicirctriser

la dialectique du numeacuterique et de lalgeacutebrique jusque-lagrave conduite avec des moyens

matheacutematiques insuffisamment adeacutequats Lalgeacutebrique est un outil de leacutetude du

numeacuterique le premier outil le plus eacuteleacutementaire sans doute (agrave un niveau avanceacute intershy

viendraient par exemple la theacuteorie des seacuteries entiegraveres la theacuteorie des fonctions analytishy

ques etc) Mais inversement (et cest ce qui nous autorise agrave parler de dialectique)

pour que le fonctionnement de cet outil soit efficace il faut quelque peu eacutetudier

cet outil par exemple se poser les problegravemes de la factorisation des expressions algeacuteshy

briques (afin notamment de reacutesoudre des eacutequations algeacutebriques) Or en ce point le

numeacuterique lui-mecircme est un outil deacutetude agrave lalgeacutebrique le flux sinverse Sans parler

76

de toutes les meacutethodes numeacuteriques qui font appel le plus souvent agrave des proprieacuteteacutes

danalyse (cest-agrave-dire concernant le corps des reacuteels et les fonctions dune variable

reacuteelle par exemple) on peut citer - pour prendre un exemple assez gros pour ecirctre

tout agrave fait visible - le theacuteoregraveme dEinsenstein sur la factorisation dans Q[X] (38)

Newton dans son Arithmetica Universalis deacutejagrave mentionneacutee montre une grande attenshy

tion agrave ce genre de laquoretoursraquo du numeacuterique vers lalgeacutebrique Ainsi donne-t-i1 une

meacutethode ingeacutenieuse pour trouver les facteurs dune expression algeacutebrique(39)

Si par exemple la quantiteacute proposeacutee est x 3 - x - 10x + 6 agrave la place de x

je substitue successivement les termes de la progression arithmeacutetique 1 0 -1 il en

naicirctra les nombres -4 + 6 + 14 Je place chacun deux avec tous ses diviseurs dans

la ligne du terme de la progression 1 0 -1 qui la produit comme on peut le voir

dans lexemple suivant

1 4 124 +4 o 6 1 2 3 6 +3

- 1 14 1 2 7 14 +2

Ensuite comme le terme le plus eacuteleveacute x3 na pas de diviseur de luniteacute je

cherche parmi les diviseurs quelque progression dont les termes ne diffegraverent que

dune uniteacute et qui en descendant des plus forts au plus faibles deacutecroissent comme

ceux de la progression 10 -1 Je ne trouve quune progression de cette espegravece cest

4 3 2 Je prends donc le terme + 3 qui se trouve dans la mecircme ligne que 0 de la

premiegravere progression 1 0 -1 je le joins agrave x et je tente la division par x + 3 elle

reacuteussit et jobtiens pour quotient x 2 - 4x + 2

Au-delagrave de la disparition de la structure du corpus matheacutematique enseigneacute en arithshy

meacutetique et algegravebre cest la dialectique du numeacuterique et de lalgegravebre - implicitement

preacutesente agravetravers llaquooppositionraquo de larithmeacutetique et de lalgegravebre - qui va se trouver

atteinte Plus que jamais les liens du numeacuterique et de lalgeacutebrique sen trouveront

relacirccheacutes

VIII - UNE CONCEPTION EMPIRISTE DU REEL MATHEMATIQUE

Leffacement de lopposition arithmeacutetiquealgegravebre en effet altegravere les condishy

tions de la mise en rapport du numeacuterique et de lalgeacutebrique Lancien rapport doutil

(38) Soit PIt) = a + a t + + a t n un polynocircme agrave coefficients dans if Sil existe un nombre premier p tel que0 1) ~ rie divise ~as an 2) p divise a al an_l p2 ne divise pas ao alors P o est irreacuteductible sur O

(39) Arithmeacutetique universelle tome premier pp 47-48 Nous laissons au lecteur le soin dapporter la justification matheacutematique requise

77

de travail agrave objet travailleacute semble perdu Les deux domaines - le numeacuterique -le

litteacuteral - vont coexister dans une simple juxtaposition existants qui trouvent en

eux-mecircmes leur propre justification Les rapports naguegravere encore banals entre ces

deux ordres de reacutealiteacute matheacutematiques semblent deacutesormais abolis Ou plutocirct ils laissent

place agrave des rapports nouveaux et inverseacutes ce nest plus lalgeacutebrique qui vient pershy

mettre deacutetudier le numeacuterique cest le numeacuterique qui laquojustifieraquo et laquopermet de comshy

prendreraquo lalgeacutebrique Le document 5 extrait dun manuei de quatriegraveme actuel (40)

IIUDIFFeacute~ENCS ce ceux C~CIMAUX [

x-eD yeC zeC z-z -y signifie que z+y-z Comment est appel z pour z et y dans ct ordre Observe

13-(-7) z+-7)middot13

[+(-7)j+713+7 +[(-7)+71-13+7

+0-13+7 zo13+-7

z-z-y z+y-z

(+y) + (-y)- +-(-y) +(y+ (-y)]-x + (-y)

z+O-z + (-y) -+(-y)

Pour tout xde D pour tout y de 0 z - y est un deacutecimal et z - y = +(-y) Exemples 8-(-7)=8+7=15 9-14=9+(-14)=-5 Lopeacuteration- qui agrave chaque coupe (z y) z e 0 y E C fait correspondre le deacutecimal Z - J est la soustraction dans O

DOCUMENT 5

Lalgeacutebrique comme essence du numeacuterique

nous donne de ce pheacutenomegravene un exemple tregraves net lintention didactique est ici

de justifier le fait que x - y = x + (-y) Pour le matheacutematicien la laquojustificationraquo shy

qui est alors strictement une deacutemonstration - est toute entiegravere contenue dans la

colonne de droite si je deacutefinis en geacuteneacuteral-y comme eacutetant le nombre tel quey + (-y) = 0

et si les proprieacuteteacutes ordinaires - associativiteacute etc - valent encore pour le nouvel

ensemble de nombres ainsi deacutefini alors le nombre z que je dois ajouter agrave y pour

obtenir x - ce quon appelle la diffeacuterence de x et y et qUon note x - y - nest pas

autre chose que x + (-y) Or la laquojustificationraquo passe dans la didactique ici examineacutee

par lappel au concret cest-agrave-dire au numeacuterique tel est le rocircle de la colonne de

gauche Ce sont les calculs numeacuteriques de la colonne de gauche qui soutiendraient

le sens (pour leacutelegraveve) des calculs litteacuteraux de la colonne de droite Malheureusement

le contenu de la colonne de gauche est si lon peut dire hautement improbable

(401 Il sagifdu _manuel Matheacutematique contemporaine pour la classe de quatriegraveme publieacute chez Magnard et conforme au programme de1978shy

78

parce que le numeacuterique ne fonctionne pas ainsi En fait les calculs numeacuteriques preacuteshy

senteacutes ici nexistent quagrave ecirctre limage en miroir des calculs litteacuteraux de la colonne

de droite Et cest pour permettre de tels calculs que le langage algeacutebrique preacutecishy

seacutement est neacutecessaire Il y a ainsi meacuteprise sur la speacutecificiteacute des deux ordres de calcul

et conseacutequemment sur le type de rapports quils entretiennent la justification

de lalgeacutebrique sappuierait sur un mode de fonctionnement du numeacuterique qui nest

en fait quun deacutecalque du fonctionnement de lalgeacutebrique et qui donc suppose

lalgeacutebrique

Leacutelucidation du nouveau rapport qui saffirme ainsi nest pas chose facile Elle

est pourtant neacutecessaire afin de preacuteciser par delagrave la surface des programmes les mouveshy

ments profonds produisant des deacutecisions didactiques quon aurait tort de regarder

seulement comme des laquotrucsraquo eacuteleacutements atomiques de strateacutegies trouvant en ellesshy

mecircmes et dans leurs effets supposeacutes leur unique mobile Revenons agrave lexemple que

nous avons examineacute Lalgeacutebrique y apparaicirct comme la laquotheacuteorieraquo de cette laquoreacutealiteacuteraquo

que serait le numeacuterique Mais les relations en acte entre theacuteorie (permettant leacutetude)

et reacutealiteacute (objet de leacutetude) y ressortissent incontestablement agrave une conception empishy

riste (et mecircme nous allons le voir empiriste-sensualiste) de la connaissance Tel est

en fait le mobile - veacutecu sans doute comme allant de soi dans leacutevidence que lideacuteoshy

logie procure - de la tentative de laquofaire sortirraquo la theacuteorie (lalgeacutebrique) de la reacutealiteacute

(numeacuterique) Il ya ici inversion des rapports entre theacuteorie et reacutealiteacute Car le surgissement

du theacuteorique - faut-il le rappeler - ne sautorise jamais que de lui-mecircme et loin

de proceacuteder de la reacutealiteacute la constitue (ou la renouvelle) comme objet de connaissance

Si jeacutecris par exemple 13 + 7 = 13 - (-7) selon un fonctionnement du numeacuterique

antinomique de la pratique calculatoire (cest-agrave-dire arithmeacutetique) du numeacuterique shy

laquelle voudrait quon eacutecrivicirct 13 + 7 = 20 - je fais de lalgegravebre sur du numeacuterique

cest loutil algeacutebrique et lui seul qui me permet ce travail du numeacuterique Entre le

fonctionnement arithmeacutetique et le fonctionnement algeacutebrique du numeacuterique il y a

ainsi une distance - un saut - que nul proceacutedeacute dlaquoabstractionraquo ne peut venir combler

On aurait tort de penser que lanalyse preacuteceacutedente ne vaut que pour lexemple

sur laquelle nous lavons illustreacutee En reacutealiteacute sa porteacutee est beaucoup plus eacutetendue

et pour en saisir toute la signification il faut revenir agrave cette acmeacute de leacutevolution de

la transposition didactique que repreacutesente la reacuteforme de 1971 (celle des laquomatheacutemashy

tiques modernesraquo) Contrairement aux opinions aujourdhui dominantes qui selon

un opportunisme neacutecessaire et une constante inconstance reacutecusent cette reacuteforme

pour ses excegraves et la regardent comme laberration dun moment il faut tenir que cette

aberration nen est pas une quelle ne fait que preacutecipiter cristalliser et rendre explicites

des traits qui deacutejagrave se repegraverent dans leacutevolution des deacutecennies preacuteceacutedentes Elle est un

moment qui donne sens reacutetrospectivement agravece qui vient avant lui et deacutetermine

largement ce qui viendra apregraves lui Car sil y a en quelque faccedilon rupture cest sur le

fond dune tregraves large surdeacutetermination En profondeur le programme de 1971 - pour

79

sen tenir agrave la classe de quatriegraveme - constitue une radiographie saisissante dune

eacutevolution que le programme de 1978 nadoucira quen surface Cest cette image

laquodureraquo quil faut interroger

On a trop vitupeacutereacute linflation moderniste le parti pris theacuteoriciste lambition

de rigueur des matheacutematiques promues par la reacuteforme et trop peu vu derriegravere cet

eacutecran deux mouvements correacutelatifs moins spectaculaires mais deacuteterminants Le

premier - que nous avons deacutejagrave plusieurs fois mentionneacute - cest lenvahissement du

champ deacutetude par les structures numeacuteriques Les laquoexcegravesraquo du programme de 1971

sont le prix agrave payer pour ce coup de force qui se megravene alors - simple tactique dun

moment le programme de 1978 installera une version apaiseacutee de la mecircme strateacutegieshy

avec lartillerie lourde de laquolapproche des reacuteelsraquo des laquocalculs approcheacutesraquo des laquoencashy

drementsraquo de haute ambition matheacutematique Le seCond cest la peacuteneacutetration dun

thegraveme qui va devenir central celui de llaquoobservationraquo et de llaquoexpeacuterimentationraquo

matheacutematiques

Fausse moderniteacute ce thegraveme est mis en place degraves les Instructions de janvier

1957 (annexe 6a) dont les Instructions de 1971 se reacuteclameront non sans raicon Il

prend alors lallure dune reacuteflexion sur les liens entre matheacutematique et extramatheacutemashy

tique La caution bergsonienne ici invoqueacutee - homo taber homo sapiens - bien que

dateacutee est agrave cet eacutegard tregraves significative La perspective proposeacutee ne conduit pas tregraves

loin les problegravemes denseignement se trouvent laquoreacutesolusraquo par une didactique euphoshy

rique (annexe 6b) Au vrai la conjoncture historique qui verra la mise en place des

matheacutematiques modernes nest alors quincomplegravetement formeacutee Ce qui manque

encore afin que lideacutee dexpeacuterimentation puisse passer dans les faits cest une matiegravere

que lon pourrait soumettre agrave lobservation et agrave lexpeacuterience A cet eacutegard les Instrucshy

tions de 1957 raisonnent encore agrave lancienne la notion dexpeacuterimentation y est

surtout loccasion dune rheacutetorique qui tourne sur elle-mecircme faute de pouvoir sapplishy

quer Mais cette matiegravere dapplication qui fait deacutefaut la reacuteforme va lapporter en

abondance ce sera le numeacuterique dont nous comprenons mieux degraves lors la place

de choix que les programmes reacuteformeacutes vont lui accorder Son expansion se trouvait

en fait comme appeleacutee par lexigence laquoexpeacuterimentaleraquo induite par une certaine concepshy

tion eacutepisteacutemologique et didactique

Le deacutecor de laction est installeacute en consonance avec une mise en scegravene empiriste

du procegraves de connaissance(41) Il Y a la laquoreacutealiteacuteraquo qui est un donneacute dont la preacutesence

simpose avec la derniegravere force et il y a la laquotheacuteorieraquo de ce donneacute que lon preacutetend

tirer par abstraction de lobjet agrave laquelle elle se voue La dialectique du numeacuterique

et de lalgeacutebrique est alors perdue lun de ses termes (lalgeacutebrique) se dissout dans

(41) Pour lintelligence de ce qui suit nous renvoyons agrave Althusser 1968 notamment pp 38-45

80

lautre (le numeacuterique) agrave qui est octroyeacute par nature une existence presque mateacuterielle

et dont lalgeacutebrique proceacutedera geacuteneacutetiquement La reacuteforme de 1971 remanie donc

le champ deacutetude pour y produire de solides objets laquoreacuteelsraquo agrave forts coefficients dexis-shy

tence les structures numeacuteriques et aussi la mysteacuterieuse laquodroite physiqueraquo dont la

soudaine promotion ontologique serait autrement encore plus inexplicable(42) Cela

poseacute lintroduction du litteacuteral (lalgeacutebrique) sidentifie au mouvement par lequel

dans le procegraves empiriste de connaissance se repreacutesente lessence du reacuteel qui est toute

la connaissance que le sujet peut tirer de lobjet par abstraction il permet de distinguer

entre un reacuteel essentiel et un reacuteel inessentiel gangue ou accident que le processus

dabstraction abandonne comme un reacutesidu impenseacute Labstraction qui vise agrave porter

agrave la lumiegravere ce quon pourra connaicirctre de lobjet agit par deacutecrassage et deacutecapage

CHA~tTRbullbull tour dieacuteremcs ftiems de 1t 011 obti=c cIes putitioas cilifeacute=o~ Uuml fiIure 2 repreacutese1tt (parshy

tieJ1emenz) les paniagravecas ~ i- II-l 11--0 11 - - l~ = grouie agrave la loupe la paftiriœ cozrcspoadaDc agrave Il - - 2shy

f-oo( [Q10[

1 1

~ Q t

(-2 ~( T

[l 0 ( [01 ( r12 r i i i i J r sr

-1shy 0 t

1 1 1 1 1 1 1 1 shy 1 bull 1 1 1 11

-1 -01 001 lU 03 ~ o~ 06 07 oa 09 1 11

P4 041 ~l ~~I 041ds1 -i -o] OoJ O4l o~ 04S 04) ~ 1 ~1 1

fJvZ

li) De m=c si II eR lD1 emer œIaagravef acirczeacute et si CI pr=d tOlIœS les ftiems possibles da2s Z r=semblc cIes imenalles cie c

Jcr10 (CI + L 10

eR iJMpcrtirIcircD1f de C Uuml figure 3 repreacutes=œ (articllemcm) =œ putitioll p04 shy O~

r 1 i 1 T l 1 1 -5 -4shy -3 -2 -r agrave l Z ~ 4shy 5

~3

DOCUMENT6

Le deacutecapage du donneacute dans le processus empiriste de connaissance

(42) Voir Chevallard et Johsua 1982 notamment pp 200-203

81

agrave ce thegraveme geacuteneacuteral de la connaissance empiriste reacutepond correctement dans les proshy

grammes la notion dlaquoapprocheraquo ou dlaquoapproximationraquo des laquoreacuteelsraquo (qui nont jamais

aussi bien porteacute leur nom) Ceux-ci sont atteints par le moyen de purifications successhy

sives qui eacuteliminent peu agrave peu la gangue inessentielle Tel manuel (43) pris parmi tant

dautres- en offre la superbe illustration (document 6) limage de la loupe - emblegraveme

de la connaissance empiriste dont elle est linstrument privileacutegieacute parce quelle permet

de mieux voir et de faire voir - y est requise et symbolise mieux quun long commenshy

taire cette conception de la connaissance comme visant agrave amener linvisible agrave la

vue de tous

Une telle conception de la connaissance rate le reacuteel dont il sagirait preacuteciseacutement

de produire la connaissance parce quelle en manque la constitution comme objet

de connaissance(44) Lalgeacutebrique ne sert plus agrave connaicirctre le numeacuterique Il nest plus

deacutesormais quune steacutenographie middotessentialisante qui deacutecrit reacutesume et seacutepare lessence

de laccident Le surgissement laquomoderneraquo de la dichotomie de llaquoobservationraquo et de

la laquotheacuteorieraquo - que les manuels actuels reprennent agrave lenvi - est ainsi correacutelatif dune

dissolution de lobjet de connaissance au profit de lobjet reacuteel maintenant donneacute

agrave voir dans une abstraction reacuteputeacutee immeacutediate et facile Lordre didactique va sorgashy

niser autour de cette eacutepisteacutemologie imaginaire

REFERENCES

ALTHUSSER L (1968) Lire le Capital Franccedilois Maspeacutero Paris

BOURDIEU P (1974) Le sens pratique eacuteditions de Minuit Paris

BROUSSEAU G (1980) Problegravemes de lenseignement des deacutecimaux Recherches

en didactique des matheacutematiques 1middot1 pp 11-59

CHEVALLARD Y (1980a) Matheacutematiques langage enseignement la reacuteforme des

anneacutees soixante Recherches 41 pp 71-99

CHEVALLARD Y (1980b) La transposition didactique 1REM dAix-Marseille

CHEVALLARD Y (1982) Pourquoi la transposition didactique 7 Publication du

seacuteminaire de didactique et peacutedagogie des matheacutematiques 32 Grenoble

CHEVALLARD Y et JOHSUA MA (1982) Un exemple danalyse de la transposition

didactique Recherches en didactique des matheacutematiques 3 2 pp 157-239

MICHEL PH (1950) De Pythagore agrave Euclide Les Belles Lettres Paris

SMITH DE (1953) History of mathematics volume Il Dover publications Inc

New York

(43) Il sagit de louvrage mentionneacute dans la note 24 ci-dessus

(44) Sur la distinction entre laquoobjet reacuteelraquo et laquoobjet de connaissanceraquo voir Althusser 1968 pp 4649

82

CLASSE DE QUATRIEME CLASSIQUE A ET B ET DE QUATRIEME MODERNE

PROGRAMME DE 1945 (extraits)

Arithmeacutetique

Pratique sur des exemples de la deacutecomposition dun nombre entier en facteurs premiers de la recherche du plus grand commun diviseur et du plus petit commun multiple de deux ou plushysieurs nombres Applications aux fractions

Algegravebre

Nombres algeacutebriques (positifs nuls heacutegatifs) Opeacuterations sur ces nombres exposeacutes agrave partir de problegravemes concrets Ineacutegaliteacutes

Mesures algeacutebriques de vecteurs sur une droite orienteacutee Formule de Chasles Repeacuterage dun point sur un axe

Eleacutements du calcul algeacutebrique proprieacuteteacutes des sommes et des produits Puissances Produit et quotient de deux puissances dun nombre usage de lexposant nul et dexposants neacutegatifs

Monocircmes Produit de monocircmes Quotient de deux nombres Somme de monocircmes semblables (on se bornera agrave des monocircmes agrave une deux ou trois variables) Polynocircmes agrave une variable addition soustraction multiplication par une constante

Equations numeacuteriques du premie( degreacute agrave une inconnue Problegravemes conduisant agrave une eacutequation numeacuterique du premier degreacute agrave une inconnue

Annexe 1

83

CLASSE DE QUATRIEME

PROGRAMME DE 1958 (extraits)

Arithmeacutetique

Pratique sur des exemples de la deacutecomposition dun nombre entier en un produit de nomshybres premiers pratique de la recherche du plus grand diviseur commun et du plus petit multiple commun de deux ou plusieurs nombres Applications

Algegravebre

1 - Nombres relatifs (positifs nuls neacutegatifs) Orientation dun segment (vecteur) orientation dune droite (axe) mesure algeacutebrique

dun segment orienteacute sur un axe repeacuterage dun point sur un axe (abscisse)

II - Opeacuterations eacuteleacutementaires sur les nombres relatifs addition et soustraction multiplishycation et division

Extension aux nombres relatifs des proprieacuteteacutes fondamentales eacutetablies pour les nombres arithmeacutetiques (classe de cinquiegraveme) concernant les sommes les diffeacuterences les produits les puisshysances n-iegravemes les quotients linverse dun nombre non nul Condition pour quun produit soit nul

Deacutefinition des exposants neacutegatifs et de lexposant nul Comparaison des nombres relatifs ineacutegaliteacutes Ineacutegaliteacutes concernant la valeur absolue dune somme ou dune diffeacuterence Formule de Chasles pour trois points situeacutes sur un axe Segment deacutefini par les abscisses

des deLix points qui le limitent mesure algeacutebrique de ce segment orienteacute mesure de la longueur de ce segment abscisse du milieu de ce segment

III - Notions de variables et de correspondance entre variables Expressions algeacutebriques deacutependant dUne ou de plusieurs variables calcul de la valeur

numeacuterique dune expression algeacutebrique pour des valeurs numeacuteriques donneacutees aux Ymiddotariables Monocircmes agrave une ou plusieurs variables multiplication addition de monocircmes semblables Polynocircmes forme reacuteduite Polynocircmes ordonneacutes addition multiplication Identiteacutes relatives aux produits (x + y)2 (x - y)2 (x + y)(x - y)

IV - Equations position du problegraveme signification du signe = dans ce problegraveme Equashytions du premier degreacute agrave une inconnue agrave coefficients numeacuteriques Reacutesolution de problegravemes simples agrave laide dune telle eacutequation

Annexe 2

84

CLASSE DE QUATRIEME

PROGRAMME DE 1971 (extraits)

1 - Relations

Reacutevision -des notions preacutesenteacutees dans les classes anteacuterieures et compleacutements produit carteacutesien relation application composition des applications bijection cun ensemble sur un ensemble et bijection reacuteciproque

Notion de groupe deacutefinition (on la jeacutegagera des exemples du programme)

II - Nombres deacutecimaux relatifs et approche de reacuteel

1 Groupe des puissances de dix

Nombres deacutecimaux relatifs eacutecrits a 10n avec a e7l et p E7 et sous forme de nombres agrave virgule addition multiplication ordre valeur absolue Reacutesumeacute des proprieacuteteacutes fondamentales de lensemble ainsi structureacute des deacutecimaux relatifs

2 Calculs approcheacutes

a) EnC3drement dun nombre deacutecimal par des intervalles des types [a 10pbull (a + 1) 10middot[ da 101 (a + 1) 10- [a 10pbull (a + 1) 101] avec a E Z et p E Z Sur des exelJlples encamiddot drement middotdune somme dun produit

b) Exercices de deacutetermination pour un deacutecimal strictement positif d donneacute et pour un entier relatif n donneacute du nombre deacutecimal x bull 10 avec x E IN tel que soient veacuterifieacutees les ineacutegaliteacutes 0 ~d x 10 ~ 1 lt d (x + 1) 10

c) Exercices de deacutetermination pour un deacutecimal strictement positif d donneacute et pour un entier relatif n jonneacute du nombre deacutecimal y bull 10 avec y E IN tel que soient veacuterifieacutees les ineacutegaliteacutes [y 10P ~ d lt [(y + 1) 10]

d) Suites deacutecimales illimiteacutees nombres reacuteels encadrements dun nombre reacuteel

3 Enumeacuteration des principales proprieacuteteacutes qui structurent fensemble IR des reacuteels addition (IR +) est un groupe commutatif multiplication associashytiYiteacute distributiviteacute par rapport agravefaddition ordre et valoeur absolue

On admettra que pour tout nombre reacuteel a jiffeacuterent de 0 il existe un nombre reacuteel a-1 et un seul tel que aa-1 = 1 Pour tout couple de nombres reacuteels (a b) avec a = 0 il existe un nombre reacuteel unique x appeleacute quotient de b par a

b et noteacute ba-1 ou - tel que ax = b a

Exercices simples de calcul sur de tels quotients Sur des exemples -numeacuteriques eacutequations et ineacutequations du premier degr9 agrave une inconnue

Usage des exposants entiers groupe des puissances dun nombre reacuteel non nul

Calculs approcheacutes sur les nombres reacuteels

4 Exemples de fonctions polynocircmes (applications de IR dans IR) Degreacute Exercices de calcul SUT les polynocircmes Produits (x + a)2 (x - a)2 (x + a) (x - a) Exercices de factorisation

Annexe 3

85

ENCYCLOPEDIE QUILLET (1958)

TABLE DES MATIERES (extraits)

ARITBMEacuteTIQUE Notio~ preacute1i1Ji~ajres - Ideacutee de nombrebullbullbullbull 153 NumeratIon decmale bullbullbullbullbullbullbullbull 156 ~esure des grŒDdeurs bullbullbullbullbullbull bullbullbullbull 159 Nombresmiddot deacutecUDauxbullbullbullbullbullbullbullbullbullbull 169 Ladditionbullbull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull 165 La soustraction bull bull bull bull bull bull bull bull bull 168 La ~~qplication bullbullbullbullbullbullbull1 bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bullbull 171 La diVISIon 178

Regravegle de trois bull bull 117 Pourcentages bullbullbull 119 Partages proportionnels 110 ~~langes bullbull i bull bullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbull 111 Alliages bull 111 Regravegles dinteacuterecircts 124 Rentes sur Pltat 116 Actins et obli~tions - Escompte 117

Problegravemes sur les quatre opeacutemtions bull bull bull 184 La divisibiliteacute bull bull bull bull bull bull bull bull 186 Plus grŒDd commun diviseur (p G C D) 189 Plus petit commun multiple (P P C M) 191 Nombres premiers bullbullbullbullbullbullbullbull 192 Les fractions bull bull bull bull bull 194 Opeacuterations sur les fractions 197 Sys~egraveme meacute~que 203 Racme carree 207 Rapports - Proportions 2 II

Grandeurs Proportionnelles 215

Connge des exercces ~ 130

Annexe4a

ALGEgraveBRE Notions preacuteliminaires bullbullbullbull 157 Opeacutemtions sur les nombres algeacutebriques (somme

diffeacuterence multiplicationmiddot division des nombres algeacutebriques fractions ou rapports algeacutebriques puissances racines) bull bull 160

Qpeacuterations sur les expressions algeacutebriques bull 168 gquations du premier degreacute 278 Reacutesolution des problegravemes du premier degreacute agrave une

inconnue bullbullbullbullbullbullbullbullbull 186 gquations et problegravemes du premier degreacute agrave deux

ou plusieurs inconnues bull bull 191 Notions sur les repreacutesentations graphiques bull bull 301

Variation des fonctions 313 Deacuteriveacutees bullbull bull bull 319

~uations et problegravemes du second degreacute bull bull 312

ProgressionsetlogaritbInesmiddotmiddotmiddotmiddot middotmiddot middotmiddotmiddot middot331 Table de logarithmes de 1 agrave 1 000 bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull 338 Application des logarithmes Inteacuterecircts composeacutes et

annuiteacutes bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull 343 Corcigeacute des ex~ces bullbull ~ bullbullbullbullbullbullbull 348

Annexe4b

56

De mecircme dans ses Eleacutemens dalgebre (eacutedition de 1760) voit-on Clairaut qui double le

corps de son texte de notes marginales visant agrave eacuteclairer le lecteur sur leacutepisode en cours

(document 3) preacutesenter un agrave un ces nouveaux eacuteleacutements du discours matheacutematique

Pour mieux donner les principes de cette Science nous nl10ns reprendre la mecircme quef-shytion nous eacutecrire~i en langage ordinaire les raishyfonnemcns que lAlgecircbrifie tagraveit pour reacutefoudre fon Problecircme amp en caraeacuteleres Algtbriques ce qui lui 1ugraveffit deacutecrire pour aid~r fa meacutemoire

La plus petite ou la trolfieme part quelle quelle fait je middotlexprime par une feule letue quifera par exemple bullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbull x

La feconde fera parconfeacutequentxplus II) ce que jeacutecris ainfi bullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbull x + II) choififiagravent le figne +9uon prononceplus po~ deacuteligner lAddition des d(ux auantiteacutes entre lcfquelles on le place

Quant i la premiere part ou la plus grande comme elle furpa1fe la feconde de 1 8o elle fen exprimeacutee par bull bull bull bull bull bull bull~ -+ II) + 1 80

Ajoutant ces trois parts on aura bull bullbullbullbull bull bull bull 3 x + II) +1 1) + 180 ou en reacuteduifant bull bull bull bull bull bull bull bull bullbullbull 3 x + 410

Mais cette lomme des trois pans doit eacutegaler Le fagne= 89015 ce qui sexprime ainfi 3x+410=-~90marque) c- saliceacute employant le caraeacutelere = qUI fe prononce

eacutegal pour exprimer leacutegaliteacute des deux quantiteacutes entre lefquelles on le place

La quefiion par ce calcul efi donc changeacutee en une autre ougrave il sagit de trouver une quantiteacute dont le triple eacutetant ajouteacute avec fI deg fafle S90

one c(qula Trouver la reacutefolution de femblables Juemonslion e ~ e- ~ Il Il eacutefc d gJ1ileacute de c eu ce quon appe e r ou re une quanon ~eul quan- leacutequation dans ce cas-ciefi 3x+f10=890 IJ~~ reacutefout on lappelle ainfi parce quelle indique leacutegali~ une eacuteJqu(- teacute de deux quantiteacutes reacuteloudre cette eacutequation lIOn or - J1 1 1 dlquon rrou- C en trouver a va eur e mconnuex par cette nJ~valcur condition qu fon triTlellus 4-10 fatre ~90 de 1 mcon- 1 nue quclle bull rcnfermc Pour reacuteroudre cette eacutequation voici comshyReacutefolurion ment lAlgeacutehrifie raifonne amp comment il eacutecrit

de legravequa- fc raifc L fc cllion qui el[- es onneRlens quatlon a re ou re bullbullbull Erime le bullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbull 3x+4-10=890 Pblcme d Il agravepreacuteceacutedent m appren qu l Jaut aJouter bullbullbullbullbull 4 10 3 r

pour faire la comme de 890 donc 3 x font moindres que 890 de 41o ce que jeacutecris

LeC3rai- ainfi middotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddotmiddot3 x=890 -4-IO

tere -- in- Prenant le caraeacutelere - qui fe prononce moim tI~~taI pour faire reifouvenir que la quantiteacute quil preacute li~ cccedilde doit ecirctre retnDcheacutee de celle quil f~t

DOCUMENT 3

Meacutelhodo AIgcbriquc dexprimer le Probeumlmiddotmiddot me preacutelshydcnr

Le fagne indJque lacWilioa

57

Bien entendu lintroduction des signes laquoalgeacutebriquesraquo degraves les eacuteleacutements darithshy

meacutetique qui va simposer deacutefinitivement au XIXegraveme siegravecle atteacutenue quelque peu la

marque formelle du passage de larithmeacutetique agrave lalgegravebre Mais la transition est toujours

souligneacutee elle participe de la rheacutetorique denseignement autour de la dialectique de

lancien et du nouveau que nous avons ailleurs preacutesenteacutee(8) Elle se coule alors en

dautres analyses et notamment dans une preacutesentation de lalgegravebre comme meacutemoire

permettant de conserver une trace des opeacuterations effectueacutees Proprieacuteteacute fort ancienneshy

ment noteacutee semble-t-il et de laquelle Clairaut - se situant il est vrai dans une persshy

pective plus didactique queacutepisteacutemologique(9) - fait mecircme deacutecouler linteacuterecirct et la

neacutecessiteacute de lalgegravebre(10)

Ainsi lalgegravebre soppose-t-elle agrave larithmeacutetique par une proprieacuteteacute qui lui donne

une puissance supeacuterieure Mais par lagrave dans un deuxiegraveme temps de la dialectique que

tissent les auteurs entre arithmeacutetique (lancien) et algegravebre (le nouveau) lalgegravebre

apparaicirct positivementmiddot comme laccomplissement de larithmeacutetique Sappliquant

agrave lorigine au mecircme corps de problegravemes elle est une arithmeacutetique deacutelivreacutee de lopaciteacute

et de loubli qui deacuterobent agrave nos yeux la structure des problegravemes eacutetudieacutes Elle est un

instrument supeacuterieur pour une tacircche semblable Elle est une arithmeacutetique universelle

- comme lappelle Newton - ou encore une arithmeacutetique geacuteneacuteraliseacutee comme le note

Poinsot un bon siegravecle plus tard en une deacutefinition quun auteur de manuel de la fin

du XIXegraveme - deacutebut du XXegraveme comme beaucoup dautres avant et apregraves lui reprend

agrave son comlte et propose agrave la meacuteditation ltles eacutelegraveves de collegravege laquoLalgegravebre eacuteleacutementaire

nest autre chose quune arithmeacutetique geacuteneacuteraliseacutee cest-agrave-dire eacutetendue des nombres

particuliers agrave des nombres quelconques et par conseacutequent des opeacuterations actuelles

quon exeacutecutait agrave des opeacuterations quon ne fait plus quindiquer par des signes de

(8) Voir Chevallard 1980b

(9) Il ne faut pas neacutegliger en effet la part de rheacutetorique dintention didactique que comporte ce genre de remarques

(10) Ayant preacutesenteacute - selon la technique didactique usuelle - la solution arithmeacutetique dun proshyblegraveme darithmeacutetique pour lui comparer ensuite la solution au moyen de lalgegravebre Clairaut eacutecrit en effet laquoCest vraisemblablement ainsi que les premiers Algeacutebristes ont raisonneacute quand ils se sont proposeacutes de pareilles questions sans doute quagrave mesure quils avanccedilaient vers la solution dune question ils chargeaient leur meacutemoire de tous les raisonnemens qui les avaient conduits au point ougrave ils en eacutetaient amp lorsque les questions neacutetaient pas plus compliqueacutees que la preacuteceacutedente il ny avait pas de quoi se rebuter mais degraves que leurs recherches ont offert plus dideacutees agrave retenir il a fallu quils cherchassent une maniegravere plus courte de sexprimer quils eussent quelques lignes simples avec lesquels quelquavanceacutes quils fussent dans la solution dun problegraveme ils pussent voir dun coup dœil ce quils avaient fait amp ce quil leur restait agrave faire Or lespegravece de langage particulier quils ont imagineacute pour cela cest lAlgegravebreraquo (Eleacutemens dAlgebre troisiegraveme eacutedition Paris 1760 p 3)

58

maniegravere que dans cette premiegravere speacuteculation de lesprit on songe moins agrave eacutetablir le

reacutesultat de ces opeacuterations successives quagrave egraven tracer le tableau et agrave deacutecouvrir ainsi des

formules pour la solution de tous les problegravemes du mecircme genreraquo (11)

IV -LE DEVENIR DE LARITHMETIQUE DANS LA REFORME

En France la reacuteforme des matheacutematiques modernes est mise en œuvre agrave partir

de la fin des anneacutees soixante elle touche les classes de sixiegraveme et de seconde agrave la

rentreacutee 1969 les classes de cinquiegraveme et de premiegravere en 1970 les classes de quatriegraveme

et de terminale en 1971 enfin en 1972 la classe de troisiegraveme Cest eacutevidemment dans

ce cadre densemble que le pheacutenomegravene eacutetudieacute ici doit ecirctre situeacute Du point de vue qui

nous occupe cette reacuteforme reacutealise un changement profond dans lorganisation du

corpus matheacutematique enseigneacute Le programme reacuteformeacute de la classe de quatriegraveme

comporte quatre titres Les deux derniers sont consacreacutes agrave la geacuteomeacutetrie( 12) Les

deacuteux premiers titres concernent lun les relations lautre les nombres deacutecimaux et

lapproche des reacuteels (annexe 3) Formellement donc la structuration arithmeacutetique

algegravebre agrave disparu comme nous le notions plus haut Que sest-il passeacute

Pour reacutepondre agrave cette question il est bon dexaminer rapidement les contenus

des corpus traditionnels darithmeacutetique et dalgegravebre laquoeacuteleacutementairesraquo (en eacutecartant un

instant les consideacuterations de niveaux dans le cursus denseignement) Larithmeacutetique

dabord Dans un manuel publieacute en 1934 agrave lintention du cours moyen et du cours

supeacuterieur du premier degreacute(13) on trouve ainsi une premiegravere partie portant sur la

numeacuteration les quatre opeacuterations les problegravemes dapplication de ces notions dont des

problegravemes laquopratiquesraquo (achat et vente agrave la douzaine agrave la centaine problegravemes de

partage achats doubles successifs etc) puis des laquonotions de geacuteomeacutetrieraquo (circonshy

feacuterence etc) enfin un chapitre sur les nombres laquocomplexesraquo(14) La seconde partie

(11) Feacutelicien Girod Traiteacute dalgegravebre eacuteleacutementaire theacuteorie et pratique agrave lusage des lyceacutees des collegraveges et de tous les eacutetablissements dinstruction (premier cycle) vingt deuxiegraveme eacutedition Paris sd p 9

(12) Nous les laisserons de cocircteacute ici

(13) Arithmeacutetique par une commission dinstituteurs Vannes deuxiegraveme eacutedition 1934

(14) Rappelons quon appelait nombre complexe laquoun nombre concret composeacute de plusieurs parties se rapportant agrave des uniteacutes diffeacuterentes et dont le systegraveme de numeacuteration nest pas deacutecimal Ainsi 3 ans 4 mois 15 jours 43 degreacutes 18 minutes 17 secondes sont des nombres complexesraquo (F J Eleacuteshyments darithmeacutetique Tours et Paris 1913 p 182) laquoOn dit quun nombre est concret quand il est accompagneacute du nom de luniteacuteraquo comme dans laquovingt arbres six billes cinq francs soixante centimesraquo (dapregraves lArithmeacutetique citeacute~ dans la note 13 p2)

59

intituleacutee Systegraveme meacutetrique est consacreacutee aux mesures (surfaces volumes poids

capaciteacutes~ etc) Enfin une troisiegraveme partie traite agrave la fois de la divisibiliteacute des fracshy

tions des rapports et proportions et des regravegles (de trois etc) ainsi que de leurs

applications agrave des problegravemes pratiques (caisse deacutepargne actions et obligations etc)

Dune maniegravere plus deacuteveloppeacutee et sadressant agrave un niveau plus eacuteleveacute du cursus (matheacuteshy

matiques eacuteleacutementaires) un ouvrage de 1913(15) propose un plan qui nest guegravere diffeacuteshy

rent le 1ivre 1 traite de la numeacuteration et des opeacuterations le livre Il des proprieacuteteacutes

des nombres (divisibiliteacute plus grand commun diviseur nombres premiers etc)

le livre III des fractions le livre IV des puissances et des racines le livre V des

mesures (systegraveme meacutetrique monbres complexes) le livre VI des rapports et de leurs

applications (regravegles de trois de socieacuteteacute etc) le livre VII des approximations numeacuteshy

riques (opeacuterations abreacutegeacutees erreurs relatives)

Corpus traditionnel- agrave quelques ajouts pregraves - acircvons-nous dit Dans lArithshy

meacutetique de Jacques Pelletier du Mans (1554) le premier livre traite des nombres et

des opeacuterations de la regravegle de trois directe et laquorebourseraquo le deuxiegraveme livre des

fractions le troisiegraveme livre de lextraction de la racine carreacutee le quatriegraveme et dernier

livre de la regravegle double de faux (de fausse position) de la regravegle de socieacuteteacute etc Cette

organisation de larithmeacutetique qui na pas surveacutecu dans notre enseignement geacuteneacuteral

se retrouve aujourdhui dans les peacuteripheacuteries ou dans les marges du systegraveme denseishy

gnement officiel agrave linteacuterieur comme dans certains enseignements professionnels

agrave lexteacuterieur comme en teacutel manuel darithmeacutetique(16) adresseacute aux laquoautodidactesraquo

qui se publie aujourdhui encore au Royaume Uni (dans le cadre dune collection

intituleacutee Teach Yourself Books) simplement mis agrave jour preacutesenteacute au lecteur comme

laquofully decimalised and metricatedraquoil comporte agrave cocircteacute des parties traditionnelles

(nombres et opeacuterations factorisation des nombres fractions rapports et proportions

inteacuterecircts simple et composeacute etc) un chapitre sur la taxe agrave la valeur ajouteacutee ainsi

quun chapitre sur les machines agrave calculer et la nUJ1eacuteration binaire Un bon teacutemoigage

de leacutetat deacutequilibre atteint agrave la veille de la reacuteforme nous est fourni par leacutedition de

1958 de lEncyclopeacutedie autodidaetique Quillet en sa partie Arithmeacutetique dont la

table des matiegraveres est reproduite plus loin (annexe 4a)

Cest ce corpus traditionnel qui vole en eacuteclat deacutefinitivement - car son eacuterosion

eacutetait fortement avanceacutee - avec la reacuteforme du deacutebut des anneacutees soixante-dix(17)

Mais lexplosion de la neacutebuleuse arithmeacutetique ne signifie pas pour autant la disparition

(15) Voir la note 13

(16) LC Pascoe Arithmetic Decimalised and Metricated Houdder and Stoughton Londres 1971

(17) Cette rupture - eacutevidente - recouvre pourtant agrave un niveau plus profond des eacuteleacutements attestant la contiguiumlteacute nous y viendrons plusIoin

60

de larithmeacutetique Les parties traditionnelles de ce corpus libeacutereacutees de leur inteacutegration

au sein dune organisation multiseacuteculaire du savoir enseigneacute vont deacutesormais connaicirctre

des destins relativement indeacutependants Le noyau essentiel - les nombres et les opeacuterashy

tions sur les nombres - qui constituait la base du systegraveme anteacuterieur non seulement

ne disparaicirct pas mais trouve une extension soudaine associeacutee agrave une promotion en

digniteacute matheacutematique alors que en effet leacutetude laquoarithmeacutetiqueraquo des nombres ne

traitait anciennement que des nombres entiers et des fractions il seacutetablit deacutesormais

une progression dans leacutetude des structures numeacuteriques qui selon la logique de la

filiation des structures populariseacutee par leacutecole bourbakiste est penseacutee ideacutealement

comme allant sans solution de continuiteacute des nombres entiers aux nombres reacuteels en

passant par les nombres relatifs les nombres deacutecimaux et les rationnels Dans cet

ensemble progressivement deacuteveloppeacute les fractions viendront occuper - dans le cadre

du programme de 1978 pour la classe de quatriegraveme qui faisait suite aux laquoexcegravesraquo du

programme de 1971 - une place de toute premiegravere importance(18) La laquotheacuteorie des

nombresraquo cest-agrave-dire leacutetude de la factorisation des nombres du PGCD etc agrave

qui est reacuteserveacutee leacutetiquette darithmeacutetique figure elle au programme de la classe de

cinquiegraveme (et sy trouvera maintenue sans changement par le programme de 1977)

Seule la partie constitueacutee des laquoproblegravemes pratiquesraquo fait veacuteritablement les frais de la

modernisation et disparaicirct agrave peu pregraves complegravetement si lon excepte quelques vestiges

telle leacutetude des laquosuites finies proportionnellesraquo en classe de sixiegraveme (qui prolonge un

thegraveme abordeacute au CM2) - eacutetude eacuteventuellement conccedilue dailleurs comme preacuteparant

mais de longue main agrave la notion dapplication lineacuteaire inscrite au programme de la

classe de troisiegraveme(19)

Ce qui disparaicirct en fait agrave lexception notable - reacutepeacutetons-Ie - des problegravemes 1

pratiques ce nest pas larithmeacutetique (mecircme si le mot lui-mecircme ne renvoie plus quagrave

lune des parties du corpus arithmeacutetique traditionnel) mais la dialectique de larithshy

meacutetique et de lalgegravebre Or cet affaissement dune structuration traditionnelle va

moins peser sur la composante arithmeacutetique que sur la composante algeacutebrique des

matheacutematiques enseigneacutees au collegravege cest lalgegravebre (entendue au sens traditionnel

de ce mot agrave ce niveau des eacutetudes matheacutematiques) qui va se trouver le plus violemment

mise en cause par les changements opeacutereacutes

(18) laquoEn calcul notent les Instructions officielles la nouveauteacute reacuteside dans laccent qui est mis sur la notion de fraction ( )gtgt (Ministegravere de lEducation Matheacutematiques classes des collegraveges 6egraveme 5egraveme 4egraveme 3egraveme 1980 p 29)

(19) Les manuels correspondant aux programmes de 1978 redonneront une place au laquoproblegravemes concretsraquo ceux-ci y apparaissent toutefois essentiellement agrave titre dapplications non de problegravemes permettant la construction et lappropriation des notions agrave enseigner

61

v - UNE ALGEBRE INTROUVABLE

Il nous faut maintenant rappeler rapidement ce queacutetait lancienne organisation

du corpus algeacutebrique Formeacute de maniegravere eacutevidemment plus tardive que le corpus arithshy

meacutetique le corpus algeacutebrique atteint pourtant assez vite une stabiliteacute remarquable

qui le laisse agrave peu pregraves inchangeacute sur deux siegravecles et plus Ecartant le traiteacute dalgegravebre

publieacute par Newton sous le titre dArithmetica Universalis(20) fort instructif agrave tous

eacutegards mais relativement atypique consideacuterons louvrage dEuler deacutejagrave mentionneacute

Son tome premier comporte quatre sections La premiegravere traite laquodes diffeacuterentes

meacutethodes de calcul pour les grandeurs simples ou incomplexesraquo cest-agrave-dire du calcul

sur les nombres mais sur les nombres (que nous appelons) relatifs dont lintroduction

fait un avec laquolexplication des Signes + (Plus) et - (Moinsraquogt (chapitre 10 et sur les

nombres fractionnaires Les quatre opeacuterations arithmeacutetiques les racines les puissances

mais aussi les laquoquantiteacutes impossibles ou imaginairesraquo ainsi que les logarithmes y sont

longuement preacutesenteacutes La deuxiegraveme section traite laquodes diffeacuterentes meacutethodes de calcul

pour les grandeurs composeacutees ou complexesraquo cest-agrave-dire du calcul algeacutebrique la

troisiegraveme laquodes rapports et des proportionsraquo la quatriegraveme laquodes eacutequations algeacutebriques

et de la reacutesolution de ces eacutequationsraquo Quant au tome second il est consacreacute agrave laquolanalyse

indeacutetermineacuteeraquo que nous nexaminerons pas ici(21) Cette organisation subit eacutevidemshy

ment dune part des variations en fonction du niveau viseacute dautre part une eacutevolution

dans le temps qui conduit dans la premiegravere moitieacute du XXegraveme siegravecle agrave un ensemble

relativement stabiliseacute dont agrave la veille du grand mouvement de reacuteforme lEncyclopeacutedie

Quillet deacutejagrave citeacutee nous fournit une version commode (annexe 4b)

En ce qui concerne tout au moins les deacutebuts de lalgegravebre trois thegravemes apparaisshy

sent essentiels les nombres algeacutebriques (cest-agrave-dire les nombres relatifs) le calcul

sur les expressions algeacutebriques les eacutequations algeacutebriques Que deviennent-ils dans le

cadre de la reacuteforme La difficulteacute de la reacuteponse agrave apporter tient au moins en partie

au fait que signifiants et signifieacutes se trouvent alors dissocieacutes redistribueacutes et en ce qui

concerne les contenusmiddot couleacutes en des cadres conceptuels nouveaux qui rompent les

anciennes concordances Il en est ainsi notamment pour les nombres algeacutebriques

bull qui perdent leur qualificatif comme on la noteacute pour devenir nombres relatifs Sous

cette eacutetiquette la place qui leur est deacutevolue nest pas diminueacutee mais au contraire

majoreacutee (et en cela ils profitent du mouvement geacuteneacuteral damplification dont beacuteneacuteficient

(20) Publieacutee (en latin) en 1707 mais eacutetablie sur la base de cours donneacutes par Newton une trentaine danneacutees auparavant lArithmeacutetique universelle paraicirct en franccedilais en 1802

(21) Lorsque la question eacutetudieacutee laquone fournit pas autant deacutequations quon est obligeacute dadmettre dinconnues il y en a qui restent indeacutetermineacutees et qui deacutependent de Il9tre volonteacute et cela fait quon nomme ces sortes de questions des problegravemes indeacutetermineacutes Ils font le sujet dune branche particuliegravere de lanalyse et on appelle cette partie lAnalyse indeacutetermineacuteeraquo (Euler op cit tome second pp 1-2)

62

les structures numeacuteriques) Leur eacutetude inscrite au programme de la classe de sixiegraveme

est deacuteveloppeacutee en classe de cinquiegraveme dans les programmes de ces deux classes ils

constituent un titre agrave part entiegravere aussi bien en 1969-1970 quen 1977-1978

Il en va autrement du calcul algeacutebrique et de leacutetude des eacutequations Ces quesshy

tions formaient traditionnellement le cœur de lalgegravebre eacuteleacutementaire Dans un Manuel

dalgegravebre publieacute en 1827 laquoagrave lusage des personnes priveacutees du secours dun maicirctreraquo

lauteur(22) ouvrait sa premiegravere leccedilon par les lignes suivantes

1 Lalgegravebre est lart dexeacutecuter sur des quantiteacutes quelconques au moyen

des signes geacuteneacuteraux toutes les opeacuterations de larithmeacutetique et de repreacutesenter agrave laide

des mecircmes signes toutes les relations entre ces quantiteacutes

Il La partie de lalgegravebre qui enseigne les regravegles pour exeacutecuter les opeacuterations

arithmeacutetiques sur des quantiteacutes quelconques se nomme calcul litteacuteral

III La partie de lalgegravebre qui traite de la maniegravere de repreacutesenter agrave laide

de signes les relations entre les quantiteacutes se nomme calcul par eacutequation

IV On verra dans la suite que dans le calcul par eacutequation on a sans cesse

besoin du calcul litteacuteral cest donc par celui-ci quil faut commencer

Cest cet ensemble (calcul algeacutebrique eacutequations algeacutebriques) qui va se trouver

fortement minoreacute dans les programmes reacuteformeacutes Pour ne donner ici de cette brutale

deacuteflation quune seule illustration on a reacuteuni dans lannexe 5 (dont on voudra bien

excuser la longueur) les listes dexercices relatives agrave la multiplication dexpressions

algeacutebriques dune part (a b) dans deux manuels dancienne maniegravere(23) dautre part

(c) dans un manuel consideacutereacute comme de niveau eacuteleveacute(24) conforme au programme de

1971 la confrontation est eacuteloquente

Le terme dalgegravebre a disparu des programmes (agrave lexception du programme de

la classe de troisiegraveme) nous lavions noteacute Mais avec le mot la chose elle-mecircme se

trouve emporteacutee lalgegravebre disparaicirct 1 Cet eacutevanouissement est en fait seacutelectif les

parties laquonumeacuteriquesraquo de lalgegravebre reacutesistent bien Les nombres relatifs sont un eacuteleacutement

essentiel de lenseignement de la classe de cinquiegraveme Les fractions un temps mises agrave

leacutecart (en 1971) seront ensuite reacuteinstalleacutees comme eacuteleacutement central du programme de

(22) M Terquem auteur dun Manuel dalgegravebre ou exposeacute eacuteleacutementaire des principes de cette science publieacute agrave Paris en 1827 La citation qui suit se trouve pp 1middot2

(23) Il sagit (a) du manuel de F Girod (voir ci-dessus note 11) et (b) du manuel de Lebosseacute et Heacutemery pour la classe de quatriegraveme dans son eacutedition de 1962 (Fernand Nathan Paris)

(24) Il sagit du manuel de la collection Queysanne-Revuz seacuterie rouge dans son eacutedition de 1973 (Fernand Nathan Paris)

63

quatriegraveme (en 1978) Ce sont les parties laquoalgeacutebriquesraquo de lalgegravebre - calcul et eacutequations

algeacutebriques - qui pacirctissent de la modernisation Plusieurs raisons semblent devoir

expliquer ce pheacutenomegravene Avanccedilons dabord une raison proprement didactique qui a

pu jouer neacutegativement Le calcul algeacutebrique agrave lorigine simple preacuteliminaire agrave leacutetude

des eacutequations eacutetait en fait devenu prolifeacuterant comme on peut en juger notamment sur

le document de lannexe 5a eacutetouffant progressivement les autres parties du corpus

enseigneacute Il eacutetait sain que lon tente den limiter le deacuteveloppement et la tendance

anteacuterieure agrave la reacuteforme proprement dite allait en effet dans ce sens les manuels avaient

commenceacute le travail deacuteflationniste (comme le montre la comparaison des documents a

et b de lannexe 5) Mais ce type de pheacutenomegravene qui constitue au demeurant davantageacute

la regravegle que lexception dans leacutevolution du texte denseignement (que lon songe ici agrave

la deacutegeacuteneacuterescence de leacutetude des eacutequations du second degreacute en la fameuse laquotrinocircmiteraquo

qu i frappait agrave peu pregraves dans le mecircme temps les classes du second cycle) et la reacuteaction

quil devait susciter allaient rencontrer une autre force de changementsans doute bien

plus puissante lapparition de lalgegravebre laquomoderneraquo sur laquelle il faut sarrecircter un

instant

Dans leurs Eleacutements dalgegravebre moderne dont la quatriegraveme eacutedition paraicirct en

1961 (la premiegravere eacutetant de 1956) A Lentin et J Rivaud(25) qui situent lapparition

de lalgegravebre moderne vers 1910 inscrivent celle-ci dans le prolongement de larithshy

meacutetique et de lalgegravebre traditionnelles (mais sans les nommer) laquoA leacutecole primaire

eacutecriven~-ils lenfant raisonne sur des collections et des grandeurs concregravetes dont il

deacutegage progressivement la notion de nombre abstrait indeacutependant de la nature des

choses compteacutees ou mesureacutees Lenseignement du second degreacute apprend agrave ladolescent

la manipulation des x et des y indeacutependamment des nombres que ces lettres repreacuteshy

sentent Un pas de plus dans le calcul et cest le calcul sur les polynocircmes puis la comshy

position des transformations formelles Eh bien lalgegravebre moderne formera leacutetudiant

agrave raisonner sur les proprieacuteteacutes des opeacuterations indeacutependamment des eacuteleacutements (nombres

polynocircmes transformations) sur lesquels sexercent ces opeacuterationsraquo (26) En fait

les parties traditionnelles de lalgegravebre (calcul et eacutequations algeacutebriques) sont bien inteacuteshy

greacutees dans lalgegravebre moderne ainsi preacutesenteacutee Mais elles nen constituent ni lessentiel

ni surtout les deacutebuts Les auteurs citeacutes dont louvrage est constitueacute de cinq livres

consacrent leur dernier livre agrave des laquocompleacutements sur les groupes et sur les eacutequations

algeacutebriquesraquo (un deacuteveloppement plus ample de la question eucirct conduit agrave la theacuteorie

des extensions de corps et agrave la theacuteorie de Galois dont les rudiments sont preacutesenteacutes

dans ce livre) Ainsi le traitement des eacutequations algeacutebriques se trouve-t-i1 rejeteacute fort

loin dans lexposeacute moderne de lalgegravebre Le calcul algeacutebrique quant agrave lui se retrouve

(25) A Lentin et J Rivaud Eleacutements dalgegravebre moderne Vuibert Paris quatriegraveme eacutedition 1961

(26) Loc cit pp VmiddotVI

64

Ici dans le livre Il sous les espegraveces de leacutetude des anneaux de polynocircmes Mais le

veacuteritable commencement de lalgegravebre moderne cest leacutetude des structures (lois de

composition groupe anneau corps) qui occupe tout le livre 1 Lhonnecircte homme

qui en 1958 encore sinitiant agrave lalgegravebre se voyait proposer nombres algeacutebriques

expressions algeacutebriques eacutequations etc se verra offrir quelques anneacutees plus tard

relations binaires eacuteleacutement neutre etc Le chapitre Algegravebre que M Glaymann eacutecrit

au deacutebut des anneacutees soixante-dix pour un ouvrage adresseacute au grand public (il paraicirct

dans la collection laquoLes dictionnaires du savoir moderneraquo) est agrave cet eacutegard significatif

loi de composition eacuteleacutement neutre commutativiteacute eacuteleacutement symeacutetrique associativiteacute

eacuteleacutement reacutegulier distributiviteacute et encore structures monoiumlde groupe sous-groupe

groupe cyclique morphisme de groupes anneau anneau integravegre corps etc en sont les ma icirctres-mots(27)

Il se produit donc en quelques anneacutees une veacuteritable substitution dobjet dont

le texte denseignement reccediloit bientocirct la marque les programmes reacuteformeacutes de sixiegraveme

cinquiegraveme et quatriegraveme comportent tous un titre Relations et le programme de

quatriegraveme introduit les notions de groupe et de division dans un groupe qui conduisent

agrave examiner leacutequation ax = b dans le groupe multiplicatif des reacuteels non nuls Le calcul

algeacutebrique est recircduit agrave la portion congrue il fait lobjet du point 4 du titre Il du programme (annexe 3) Leacutetude des eacutequations conformeacutement au plan moderne

dexposition de lalgegravebre est deacutechue de ses titres et se trouve repousseacutee en classe de

troisiegraveme

VI - LALGEBRE SANS ALGEBRE

La situation creacuteeacutee par la reacuteforme autour de 1970 consacre la promotion des

structures numeacuteriques (agrave cocircteacute du geacuteomeacutetrique dont nous ne parlerons pas ici) en

mecircme temps quelle reacutealise une eacutevidente inflation theacuteorique agrave propos du numeacuterique

comme du geacuteomeacutetrique Cest ce theacuteoricisme qui apregraves avoir susciteacute dabord un vif

enthousiasme se trouvera en butte agrave une multitude de critiques qui conduiront agrave

la reacutedaction des programmes de 1977-1978 actuellement en vigueur La focalisation

du deacutebat se fait sur la maniegravere de traiter les contenus - avec notamment le rej~t

du laquopurismeraquo qui impreacutegnait lesprit de la reacuteforme preacuteceacutedente(28) - davantage que

sur la distribution des contenus eux-mecircmes et sur la structuration et leacutequilibre des

diverses parties du corpus enseigneacute Celui-ci apparaicirct en conseacutequence plus comme

(27) Maurice Glaymann Lalgegravebre in Les matheacutematiques Centre deacutetudes et de promotion de la lecture Paris 1973 pp 16-54

(28) Dans la preacutesentation deacutejagrave citeacutee des programmes de 1978 (voir la note 2 ci-dessus) leacutequipe de reacutedaction du Bulletin de lAPMEP deacutenonccedilait le purisme matheacutematique qui en fait laquoest un purisme dexposition non dapprentissage ou de fonctionnement qui na donc rien agrave faire dans le premier cycle ( )gtgt

65

une version laquodeacutegraisseacuteeraquo du corpus des anneacutees soixante-dix que comme une version

fondamentalement nouvelle agrave cocircteacute du geacuteomeacutetrique que lon entend laquodeacutesaxiomatiserraquo

le numeacuterique y demeure preacutedominant mecircme si lon ny inclut plus les mecircmes mateacuteshy

riaux Les nombres reacuteels en effet sont les grands perdants du reacuteameacutenagement opeacutereacute

Et ce sont les fractions et les rationnels qui venant occuper la place ainsi libeacutereacutee dans

le programme de quatriegraveme constituent maintenant la piegravece centrale de leacutetude du

numeacuterique - les nombres relatifs (entiers et deacutecimaux) conservant en classe de cinshy

quiegraveme le rocircle preacuteeacuteminent qui leur eacutetait anteacuterieurement reconnu

Il faut en ce point dire quelques mots de la promotion donneacutee dans ces proshy

grammes aux fractions et aux rationnels Pour des raisons dans lesquelles nous nentreshy

rons pas ici les fractions (associeacutees aux rapports et aux proportions) eacutetaient traditionshy

nellement tirailleacutees entre larithmeacutetique la geacuteomeacutetrie et degraves la naissance du corpus

algeacutebrique lalgegravebre elle-mecircme Preacutesentant ses Eleacutemens dAlgebre Clairaut ne manque

dailleurs pas de faire connaicirctre au lecteur lembarras ougrave cette question la tenu

laquojavois dabord compteacute donner dans le mecircme livre eacutecrit-il tant les Eleacutemens dArithshy

meacutetique que ceux dAlgebre amp je naurois pas manqueacute alors de traiter des proportions

plus agrave fond que je nai fait dans mes Eleacutemens de Geacuteomeacutetrie raquo Bien entendu en passant de larithmeacutetique agrave lalgegravebre on passait aussi des fractions arithmeacutetiques

(rapports dentiers cest-agrave-dire dentiers naturels) aux fractions algeacutebriques (rapports

dentiers laquoalgeacutebriquesraquo cest-agrave-dire relatifs) et aux fractions rationnelles (rapports

de polynocircmes) Mais ces reprises sont significatives de linteacuterecirct didactique accordeacute

au thegraveme les fractions constituent un sujet de choix pour lenseignement

Comme on la rappeleacute(29) laquolaccent qui est mis sur la notion de fractionraquo

constitue selon les termes mecircmes des Instructions relatives au programme de quatriegraveme

de 1978 leacuteleacutement de laquonouveauteacuteraquo de ce programme Nouveauteacute dantique meacutemoire 1

Henri Lebesgue presque un demi-siegravecle plus tocirct avait fermement inviteacute les professeurs

agrave se deacutebarrasser de ce monstre du Loch Ness matheacutematique laquo on sera bien je pense

daccord avec moi eacutecrivait-il (30) pour deacuteclarer que marier des 22iegravemes et des 37iegravemes

est un martyre que nous infligeons aux gosses de douze ans par pur sadisme sans

aucune raison dutiliteacute comme circonstance ateacutenuanteraquo Mais il ajoutait aussitocirct

laquoJentends tous les professeurs protester Les uns parce que les fractions fournissaient

dinnombrables exercices pour leurs jeunes eacutelegraveves apregraves un moment deffroi ceux-ci

sapercevront quils ne manqueront jamais dexercices La plainte des autres meacutemeut

(29) Voir la note 18

(30) Dans La mesure des grandeurs (Albert l3lanchard Paris 1975) p 25

66

davantage et pour la veacuteriteacute je la formule moi aussi laquoSupprimer dans la classe de

matheacutematiques la theacuteorie des fractions cest supprimer un chapitre admirable Le

seul peut-ecirctre parmi ceux qui nous restent qui ne soit pas lagrave uniquement pour son

utiliteacute immeacutediate et qui donne le sentiment de la beauteacute pureraquoraquo(31) Or cette admirable

construction devient dans le cadre des matheacutematiques modernes plus admirable

encore ou disons plus subtile le maniement sans complexe des fractions fait place

agrave une ontologie raffineacutee dans laquelle les fractions devenues couples de nombres

ne sont plus - en theacuteorie plus quen pratique bien sucircr - que le mateacuteriau de la consshy

truction des rationnels classes deacutequivalence de fractions Avrai dire cette preacutesentation

moderne neacutetait guegravere favoriseacutee par le programme de 1971 (dans lequel les reacuteels faisaient

directement suite aux deacutecimaux les rationnels neacutetant alo~s que des reacuteels particuliers

les quotients dentiers) Mais le programme de 1978 lui donne une nouvelle chance

et quelques manuels impavides la mettent en œuvre (document 4a) Cette perspective

constructiviste peut en fait ecirctre aiseacutement eacuteviteacutee au profit dune conception reacutealiste

(celle-lagrave mecircme que le programme de 1971 poussait en avant les reacuteels eacutetant supposeacutes

donneacutes - ils eacutetaient laquoconstruitsraquo dans le programme de 1971 - un rationnel est un

reacuteel qui peut seacutecrire comme quotient dentiers) et la plupart des manuels utilisent

cette possibiliteacute (document 4b) conceptuellement et techniquement moins difficile

et sans doute plus proche de la repreacutesentation du nombre qui est effectivement celle

des eacutelegraveves et mecircme du laquoworking mathematicianraquo Mais le souci de purisme na pas

disparu le goucirct de la laquorigueurraquo (sic) conduit chez quelques-uns (document 4c) agrave une

veacuteritable confusion sur le sens du signe deacutegaliteacute (qui ne signifie en principe nullement

que les deux membres de leacutegaliteacute sont des expressions identiques - formellement

ou syntaxiquement - ce qui interdirait deacutejagrave deacutecrire que 6 = 2 X 3 mais que ce quils

deacutesignent sont une seule et mecircme chose le signe deacutegaliteacute ne signifiant rien dautre

quune identiteacute seacutemantique) Cela dit le problegraveme - eacuteleacutegamment mais coucircteusement

reacutesolu par le moyen des classes deacutequivalence - existait avant les matheacutematiques

modernes et continue dexister mais le corpus ancien le traitait (inconsciemment )

avec une grande discreacutetion (document 4d) en distinguant chaque fois quil eacutetait

neacutecessaire la fraction (consideacutereacutee alors implicitement comme eacutecriture agrave savoir comme

rapport) et la valeur de la fraction (soit le nombre - rationnel - deacutesigneacute par cette

eacutecriture) Quoi quil en soit tout ce jeu laisseacute autrefois implicite et plus ou moins

fortement expliciteacute aujourdhui participe de ladmirable construction des fractions

qui seacuteduit tant les professeurs comme dit Lebesgue

(31) Ibid pp 25-26

67

Nombres rationnels

Ensemble ltC

RAPPELONS

Dans lensemble T des fractions nous avons deacutefini la relation JI suivante

Quelles que soient les fractions ~ et ~ on a (~JI ~) (ad =bel

Nous avons eacutetabli (p 48) que JI est une relation deacutequivalence dans T

Pourtraduire que deux fractions ~ et ~ sont lieacutees par JI nous avons eacutecrit ~ = ~

et nous avons dit que les fractions ~ et ~ sont eacutequivalentes

DEacuteFINITION

Nous donnons la deacutefinition suivante

Ch8q cd6quiVIIlencbullbullbulllonJIst appeleacutee un nombre lIItlonnel

Nous deacutesignons par 0 lensemble des nombres rationnels

AEPAEacuteSENTAtfr DUN RAcircTIONNEL

Soient x un eacuteleacutement de 1 etmiddott une fraction eacuteleacutement de T

Nous disons que x et un nombre rationnel dont un repreacuteentant et ~ 1 et

aeulement si x est 1 clbullbullbullbull deacutequlvlence elon JI de 1 fraction i Le nombre ~tion~1 x est donc lensemble des fractions ~ eacutequivalentes agrave~ nous

avons x=~lcez deZmiddot ~=M Remarquons que toute fraction eacutequivalente agrave ~ est un repreacutesentant du nombre

rationnel x

CHAPITRE 6 ENSEMBLE Q 67

DOCUMEIIT 4eacute1

(Matheacutematiques4egraveme collection Monge 1978)

68

CHAPITRE 4 algegravebre

Ensemble 0 des nombres rationnels

1 Oeacuteflnitlon de lensemble C 4Notatlons fractionnaires dUn rationnel des rationnels

2prOPrieacuteteacutes de lensemble Q 50Peacuteratlons dans Q des rationnels

3Eacutecriture deacutecimale illimiteacutee 6comparaison de deux rationnels dun rationnel

1Deacutefinition de lensemble Q des rationnels

deacutefinition Un nombre reacuteel (ou reacuteel) est appeleacute DOIIlbre ratioonel (ou rationnel) sil est eacutegal agrave un quotient de deux entiers relatifs

Autrement dit Un reacuteel x est un rationnel sil existe un entier relatif a et un entier relatif non

nul b tels que x soit eacutegal au quotient ~

exemples bull Les quotients suivants sont des rationnels 2 -4 -3 248 57 -29704 0 37 0 359 iuml 78 -=5 -614 57 -1- 25 =iOOO =iuml4 -1-

lal -27815) Ibull Le ree r eg au quotIent 0013 est-I un ratIonne

- 2781 5 et 0013 ne sont pas des entiers relatifs

On sait que (proprieacuteteacutes des quotients de reacuteels)

-27815 -27815 x 104 -27815 0013 0013 x 104 =~

Conclusion r est un rationnel

DOCUMENT 4b

(Matheacutematiques4egraveme collection Durrande 1979)

69

I~ Lensemble ltD des nombres rationnels

1 bull DEacuteFINITION ET EXEMPLES

Dans le cnapltre 4 nous ayons rencontreacute des nombres QUon pouvait obtenir comme Quotient exact dun entir relatif fi par un entier relatif non nul b Ces nombres sappellent lesnombnts ratiOnneJa (ou plua simplement les rationnels) Ils sont r8Qreacutesnteacutes par des fractions ainsi

exemples de fractions repreacuteslitntant x Nombre rationnel x -2 -8 -18lentler relatif -2 -9- -L shy1 3 -1 7 35 -7le deacutecimal rlatlf 35 Ji shy2 4 10 -=2 ~ Q EumlL shyIe ratlonn1 i 3 8 30 -3

Reepitullfflon des prlnc1es deacutetlnltlons Otlnitlo Soit un entIer ratatlf quelconque et soit b un entIer reltlf non nuL

11 LA couple (e bJ eacutecrit sous i fonne appellela fractIon d num

teur bull et de deacutenominateur b 2J Cette fraction retrisente le quotient ect de bull par b que lon not

aUAI bull On bull donc par deacuteflnltlon

bX~ bull JCb bullbull b b

31 On appelle nom rationnel tout nombre Que lon peut obtnir comme quotient euct dun entier relatif par un entlr relatif non nul

Attention 1La megravem notation est utiliseacutee pour deacutesignr deux cnoss diffeacuterentesb

le couple (II b) le Quotient exact de Il par b

Quand on eacutecrit il faut preacuteciser sU sagit de la fraction Ji (le couple (1 4 4raquo ou du rationshy4 4

nel 2i (Qui est eacutegal agrave 35) 4

le rationn est Anal au rationnel L4 ~~ 2

la fraction nest pas eacutegale agrave la fraction 1 ~ 2

(Puisque les couples (144) et (72) sont distincts)

Une convention commode

Pour eacuteviter cet Inconveacutenient nous conviendrons toujours Que dans les calculs deacutesinne le b

nombre rationnel Quotient exact d fi par b Ainsi nous pourrons eacutecrire

Ji =L =3S4 2

Quand vous voudrez parler du couple (14 4) il faudra preacuteciser bull la fraction c 4

DOCUMENT 4c

(Matheacutematiques classe de quatriegraveme collection Queysanne et Revus 1979)

70

SIMPLIFICATION DES FRACTIONS

i49 Simllifier une fraction cest la remplacer par une fraction ~e mais ayant des tenDes plus petits

ISO PROPRIEacuteTEacuteS FONDAMENTALES

10 On mesure deux rubans avec le sepagraveegraveme dune longueur donneacutee A B Lun mesure 2 sepagraveagravenes lautre 4 septiegravemes de luniteacute Il est eacutevident que le dewdagraveDe est double du premier

4 2 X 2 2 - --- - X 2 donc 777

Theacuteoregraveme L - Si OD mwdpUe le aDlDampateDr dune CractloD par aD JIOmbre la CracdoD eet muldpUeacutee par ce Dombre

2deg Un ruban mesure 5 sepagraveagravenes de la longueur AB un dewtiagravene ruban vaut S quato12Iumlagravenes de la mbe uniteacute

Un quatorziagravene eacutetant deux fois plus petit quun sepagraveagraveDe la dewdœe longueur est deux fois plus petite que la premiugravee S S S

------ 2 par suite 14 7 X 2 7

Theacuteoregraveme D - Si OD muldpUe le dacirclomiDateur cl1IDe bcdoD par 110 aombre la CracdoD eet diYileacutee par ce JIOmbre

3deg Soit la fraction _3 X 3_2S s s X 3 IS Elle ne c1uIage pas de valeur si nn mulagraveplie ses deux termes par 3 En dfet si on multiplie son numeacuterateur elle devient 3 fois plus grande si on multiplie son deacuteDominateur

elle devient 3 fois plus petiœ Par conseacutequent

Theacuteoregraveme DL - Si OD mwdpUe lee cleu termes daDO bcdoD par aD ~e DOmbre la ampactIoD ae chaage pu do valeur

On voit IJU- mIru gratukur fJGI la _ pat _ itrftniri tU frtJCtUgrave1fU U1IItU igalu

Corollaire - Si OD divise lee deux termee dlIDe CractiOD par aD mfme JIOmbre (ropkatucircm eacutetant possible) OD obdeat une bedoD eacuteplo agrave la premiegravere

Soit la fraction 18 dont les deux termes sont divisibles par 321

On peut eacutecrire 18 _ 6 x 3 21 7 x 3

et dapregraves le theacuteoragravene preacuteceacutedent _ 6 X 3 7 7 X 3

On a donc 18 3_ la fraction Il des termes plus petits que la fraction 18 dougrave la regravegle de simshy21 3 7 7 21

pli1ication des fractions

~ Regravegle - PD1lI simplifier _ fraaion an divis 11$ dIU umm pat 11II mIru 1ItmIbr

DOCUMENT 4d

Arithmeacutetique de lEncyclopeacutedie Quillet 1958

Fractions et rationnels en fait ne constituent pas seulement une admirable

construction matheacutematique ils composent en mecircme temps un objet didactique

inteacuteressant agrave bien des eacutegards La place de leacutelegraveve (cest-agrave-dire ce qui peut ecirctre requis

de leacutelegraveve agrave ce propos) y est nettement dessineacutee Lebesgue le soulignait judicieusement

le chapitre regorge dexercices dont la difficulteacute (cest-agrave-dire en gros la complexiteacute)

peut ecirctre finement gradueacutee La place de lenseignant elle aussi sy trouve preacutepareacutee

le professeur eacuteprouve toute sa speacutecificiteacute face agrave leacutelegraveve en tant quarchitecte et bacirctisshy

seur - fonctions dans lesquelles leacutelegraveve ne saurait lui disputer sagrave place - dune consshy

truction matheacutematiqueagrave la fois simple rigoureuse riche dont la complegravete transpashy

71

rence nest acquise quau prix de quelque subtiliteacute intellectuele nullement inaccessible

agrave leacutelegraveve mais relativement exigeante Toutefois il y a plus En un sens tout objet

de savoir didactiquement acceptable laisse voir deux laquoplacesraquo il doit contenir le

laquolieuraquo que leacutelegraveve viendra occuper (les tacircches que le contrat didactique lui assignera

en propre) il doit contenir aussi un lieu speacutecifiquement alloueacute agrave lenseignant Ce

marquage des places consubstanciellement lieacute au fonctionnement didactique du

savoir est un processus geacuteneacuteral que jai proposeacute(32) dappeler la topogeacutenegravese (du grec

topos lieu) Mais la dialectique topogeacuteneacutetique peut ecirctre plus ou moins resserreacutee plus

ou moins relacirccheacutee dans ce dernier cas (qui correspond comme jessaierai de lindiquer

plus loin agrave ce que nous voyons majoritairement se produire aujourdhui agrave propos de

lemploi du langage algeacutebrique) les eacutechanges entre eacutelegraveves et enseignant demeurent

pauvres la communication est distante parce que les uns et les autres ne se mesurent

pas aux mecircmes tacircches (le professeur deacutemontre une eacutegaliteacute litteacuterale leacutelegraveve lapplique

agrave des cas particuliers numeacuteriques) Avec les fractions une fois fixeacutee larchitecture

geacuteneacuterale de leacutedifice il en va autrement passeacutes les calculs les plus simples les calculs

qui ne sont pas triviaux pour leacuteiegraveve - tout en demeurant de lordre de ce qui peut

loyalemeacutent lui ecirctre demandeacute - ne le scgtnt quagrave peine moins pour le professeur Les

partenaires de linteraction didactique se rapprochent autour dune tacircche unique

jusquagrave sembler parfois unir leurs efforts agrave la recherche dune commune reacuteponse

Tout comme la geacuteomeacutetrie (qui soppose par cela et du seul point de vue didactique

deacutejagrave agrave lalgegravebre en geacuteneacuteral) les fractions constituent loccasion dune reacuteelle convishy

vialiteacute dans la classe Les distinctions qualitatives (marqueacutees par des tacircches de natures

diffeacuterentes) sestompent au profit de simples diffeacuterences quantitatives (lenseignant

va plus vite plus sucircrement mais il ne sait rien de plus que leacutelegraveve et ne fait rien de

plus que lui) Le groupe agrave la fois se rassemble gagne en coheacutesion et en mecircme temps

se diffeacuterencie continucircment sans que son identiteacute sy perde

1 y a lagrave quelques-unes des raisons didactiques qui expliquent la preacuteeacuteminence

de fagraveit de leacutetude des fractions dans les classes actuelles de quatriegraveme Or - et nous

faisons lagrave retour agrave notre sujet quen fait nous navions pas quitteacute - dans le vocabushy

lairedes enseignants les fractions font partie de lalgegravebre Mecircme si le programme

officiel nutilise pas le terme il semble que lusage se soit spontaneacutement creacuteeacute de nommer

laquoalgegravebreraquo dans la pratique de la classe ce qui nest pas geacuteomeacutetrie lalgegravebre cest

globalement lautre de la geacuteomeacutetrie Cet emploi peut-ecirctre irreacutefleacutechi du mot ne manque

pourtant pas de justificatifs Les heacutesitations historiques dont nous avons parleacute trashy

duisent aussi (par delagrave lopposition fractions de nombres arithmeacutetiques fractions de

nombres algeacutebriques) une reacutealiteacute qui perdure les fractions (dentiers) ne sont pas

(32) Voir Chevallard 1980b

72

de lalgegravebre au sens ougrave elles ne contiennent pas de lettres (les lettres sont essentielleshy

ment utiliseacutees par le professeur pour formuler les lois qui reacutegissent leur calcul) mais

elles relegravevent de llaquoalgeacutebriqueraquo en cela quelles sont le lieu dun jeu formel portant

sur des eacutecritures Elles offrent donc loccasion dune algegravebre sans algegravebre qui fait le

gros morceau de lalgegravebre aujourdhui enseigneacutee Il faut voir par quel cheminement

on en est venu lagrave

VII - LA DIALECTIQUE NUMERIQUEALGEBRIQUE

PoUr expliquer plus complegravetement et leacutevanouissement des parties algeacutebriques

de lalgegravebre et - correacutelativement - le come-back des fractions il nous faut compliquer

quelque peu le talJleau que nous avons traceacute jusquici A lopposition structurelle de

larithmeacutetique et de lalgegravebre correspondait - en principe - une dialectique fonctionshy

nelle entre numeacuterique et algeacutebrique Cest sur cette dialectique que nous devrons

dabord nous arrecircter un instant

Il faut pour cela prendre quelque recul Cette dialectique en effet existe

historiquement avant lalgegravebre (avant la construction dun langage algeacutebrique propreshy

ment dit) Les Grecs distinguent entre deux arithmeacutetiques larithmeacutetique vulgaire

ou logistique celle des calculateurs et larithmeacutetique laquopropre aux philosophesraquo

comme dit Platon cest-agrave-dire en gros la theacuteorie des nombres Les calculateurs cal~

culent Les arithmeacuteticiens eacutetudient la structure du numeacuterique Tous manipulent pour

cela un langage du numeacuterique~ mais tous ne lemploient pas aux mecircmes tacircches et ne

lui reconnaissent pas les mecircmes valeurs Dans larithmeacutetique pratique lanalyse du

numeacuterique procureacutee par le langage adopteacute est un moyen ordonneacute agrave un but opeacuterer

des deacutenombrements effectuer des calculs Si dans notre systegravememiddotactuel de numeacuteration

je deacutesire calculer 12 X 12 par exemple je nai besoin dautre analyse du nombre 12

que celle qui mest immeacutediatement donneacutee dans leacutecriture (deacutecimale) de ce nombre

(ch iffre des dizaines 1 chiffre des uniteacutes 2) Mais si comme le scribe du papyrus

Rhind je ne sais multiplier que par duplications successives et additions je devrai

recourir agrave une analyse moins immeacutediate du nombre 12 (qui ne mest pas offerte par

leacutecriture deacutecimale actuelle) Il me faudra observer que 12 = 4 + 8 et calculer ainsi(33)

1 12 2 24 4 48 8 96

(33) Voir Smith 1953 p 106

73

dougrave je deacuteduirai que 12 X 12 = 12 X (4 + 8) = 48 + 96 = 144 De telles manleres

de faire qui se rencontrent encore agrave des dates rapprocheacutees(34) apparaissent agrave lutilisashy

teur contemporain comme des survivances dun acircge imparfait Un bon systegraveme

numeacuteration-algorithmes de calcul en effet doit ecirctre tel que toute linformation requise

pour mettre en œuvre les algorithmes de calcul soit donneacutee dembleacutee avec les nombres

donneacutes eacutecrits dans le langage numeacuterique utiliseacute cest-agrave-dire soit apparente dans leacutecriture

mecircme de ces nombres En dautres termes un bon systegraveme numeacuteration-algorithmes

reacutecuse tout appel aux matheacutematiques fucirct-ce sous une forme apparemment anodine

Lusager dun tel systegraveme est eacutevidemment supposeacute pouvoir calculer que 4 + 8 = 12

(ce pour quoi le systegraveme est fait) mai~ le contrat dutilisation qui regravegle ses rapports

avec le systegraveme exclut quil ait agrave penser que 12 = 4 + 8 Paradoxalement peut-ecirctre

lun des effets et sans doute des buts (poursuivis de maniegravere plus ou moins intentionshy

nelle) de lactiviteacute matheacutematique est de proposer agrave lusage social des proceacutedures non

matheacutematiques obtenues par deacutematheacutematisation progressive de proceacutedures agrave lorigine

proprement matheacutematiques Le fait est banal et geacuteneacuteral les progregraves de leacutelectronique

me dispensent aujourdhui du bricolage auquel eacutetaient tenus les utilisateurs du poste

agrave galegravene

En fait le royaume du calcul numeacuterique est reacutegi par la loi de simplification

inteacuterioriseacutee en habitus(35) dont lune des clauses est constitueacutee par le principe

dachegravevement des calculs Selon ce laquoprinciperaquo lexpression laquo4 + 8raquo ne saurait en

calcul numeacuterique figurer comme reacuteponse le calcul agrave ce stade eacutetant laquoinacheveacuteraquo (36)

Lexpression laquo4 + 8raquo ne saurait ainsi ecirctre quune forme transitoire labile (parce que

quatre plus huit eacutegale douze) et nexiste pas plus dune maniegravere libre que latome

doxygegravene en dehors de la moleacutecule deg 2

Il en va tout autrement avec la tradition laquonobleraquo de la laquotheacuteorie des nombresraquo

Les Pythagoriciens au tout deacutebut de la science grecque eacutelaborent ainsi toute une

conception de la repreacutesentation laquogeacuteomeacutetriqueraquo des nombres soit une arithmo-geacuteoshy

meacutetrie(37) Consideacuterons par exemple les entiers impairs 5 et 7 Leurs repreacutesentations

(34) Ibid

(35) P Bourdieu deacutesigne par habitus des laquosystegravemes de dispositions durables structures structureacutees preacutedisposeacutees agrave fonctionner comme structures structurantes cest-agrave-dire en tant que principe de geacuteneacuteration et de structuration de pratiques et de repreacutesentations ( hgt (Bourdieu 1974 p 175)

(36) Les Instructions de janvier 1957 (sur lesquelles nous revenons plus loin) parlent explicitement de laquocalcul conduit jusquagrave son achegravevementraquo fait rare et remarquable car il est de la nature dun habitus de ne pas supposer lexplicitation des principes agrave lorigine de son efficace

(37) Sur larithmo-geacuteomeacutetrie des Grecs voir Michel 1959 pp 295-325

74

figureacutees peuvent ecirctre disposeacutees ainsi

o o o o o

o o o o o

o 0 5 7

Reacuteunissons ces repreacutesentations de la maniegravere suiyante

o o o o

o o o o

o 0

o 0

En les regroupant adeacutequatement il apparaicirct que la somme 5 + 7 est Lin multiple de

4 (plus preacuteciseacutement que 5 + 7 = 3 X 4) -1------------ -------------1

1 shy10 Oi iO 011 1 1 shyi i 1

- 1shyj j - 1

rO Oi iO1

O shy

i -_------------ [-------------1 iO Oi 1 i 1

Jo oi i

De plus si on laquocomplegraveteraquo le carreacute on voit apparaicirctre immeacutediatement que 5 + 7 est

une diffeacuterence de deux carreacutes (plus preacuteciseacutement que 5 + 7 = 43 - 22 )

o o o o

o o o o

o o x x

o o x x Ces monstrations qui au sens strict nont de force deacutemonstrative que pour les valeurs

numeacuteriques particuliegraveres traiteacutees ont en fait une valeur geacuteneacuterique comme les figures

(et les deacutemonstrations quelles permettent) en geacuteomeacutetrie on nest pas loin dune

deacutemonstration valable pour tous les couples dimpairs conseacutecutifs Nous pouvons

reacutetrospectivement admirer la finesse intellectuelle que linvention et lemploi de

telles proceacutedures supposent Mais nous pouvons aussi voir que notre langage algeacutebrique

actuel (creacuteeacute par Viegravete Descartes et quelques autres) sinscrit dans le prolongement

de cette analyse du numeacuterique tout en la deacutepassant en souplesse et en puissance

75

Sur le mecircme problegraveme aujourdhui nous obtenons par exemple ceci soient 2p - 1

et 2p + 1 deux impairs conseacutecutifs leur somme (2p - 1) + (2p + 1) = 4p est un

multiple de 4 et puisque 4p = (p + 1) - (p - 1)2 elle seacutecrit aussi comme une

diffeacuterence de deux carreacutes Le langage nOuveau permet dabord de formuler le problegraveme

dans sa geacuteneacuteraliteacute puis de le reacutesoudre de maniegravere eacutegalement systeacutematique

Le calcul numeacuterique utilise le langage numeacuterique pour son pouvoir deacutesignatif

eSSentiellement laquo34raquo et laquo075raquo ou encore laquo4 + 8raquo et laquo12raquo sont agrave cet eacutegard eacutequivashy lents puisquils deacutesignent le mecircme nombre (simplement laquo34raquo est une fraction laquonon

effectueacuteeraquo laquo4 + 8raquo une somme non effectueacutee) ils sont des noms diffeacuterents pour

un mecircme ecirctre matheacutematique Larithmeacutetique laquoalgeacutebriqueraquo au contraire distingue

ces noms parce que bien quils deacutesignent la mecircme chose ils ne montrent pas la mecircme

chose (ils napportent pas la mecircme information monstrative) agrave propos de lecirctre matheacuteshy

matique dont ils sont deux noms diffeacuterents (ltlt4 + 8raquo ou mieux laquo22 +23 raquo montre

que 12 est une somme de puissances de deux etc) Cest ainsi que au cœur mecircme

du langage numeacuterique sinsinue un clivage et pour tout dire une tension entre deux

modes de fonctionnement lefficaciteacute deacutesignative (propre agrave lusage calculatoire du

langage numeacuterique) tend agrave ignorer lagrave valeur monstrative de lexpression eacutecrite le

principe dachegravevement des calculs voue agrave leacutepheacutemegraverelesmiddotltltnoms intermeacutediairesraquo et

laquo4 + 8raquo devient ainsi laquo12raquo sans quaucune trace nous soit conserveacutee de lhistoire

de ce laquo12raquo Ali contraire le langage algeacutebrique - notamment parce quil est une

meacutemoire - vient permettre de conserver de meilleure faccedilon linformation monstrative

et surtout de faire apparaicirctre linformation monstrative pertinente le passage en

simplification de lexpression (2p - 1) + (2p + 1) agrave lexpression 4p fait apparaicirctre

que (2p - 1-) + (2p+ 1) deacutesigne un nombre multiple de 4 le passage en complexifishy

cation de 4p agrave (p + 1)2 - (p - 1)2 fait apparaicirctre que (2p - 1) + (2p + 1) est une

diffeacuterence de deux carreacutes

La creacuteation du langage algeacutebrique permet de deacutegager plus nettement laprobleacuteshy

matique deacutetude du nurileacuterique en la posant - sans lopposer - agrave cocircteacute de la perspecshy

tive calculatrice Elle permet donc dexpliciter ce qui demeurait largement implicite shy

la copreacutesence de deux maniegraveres davoir affaire au numeacuterique - et par lagrave dapaiser

les tensions Mais son surgissement historique permet surtout de mieux maicirctriser

la dialectique du numeacuterique et de lalgeacutebrique jusque-lagrave conduite avec des moyens

matheacutematiques insuffisamment adeacutequats Lalgeacutebrique est un outil de leacutetude du

numeacuterique le premier outil le plus eacuteleacutementaire sans doute (agrave un niveau avanceacute intershy

viendraient par exemple la theacuteorie des seacuteries entiegraveres la theacuteorie des fonctions analytishy

ques etc) Mais inversement (et cest ce qui nous autorise agrave parler de dialectique)

pour que le fonctionnement de cet outil soit efficace il faut quelque peu eacutetudier

cet outil par exemple se poser les problegravemes de la factorisation des expressions algeacuteshy

briques (afin notamment de reacutesoudre des eacutequations algeacutebriques) Or en ce point le

numeacuterique lui-mecircme est un outil deacutetude agrave lalgeacutebrique le flux sinverse Sans parler

76

de toutes les meacutethodes numeacuteriques qui font appel le plus souvent agrave des proprieacuteteacutes

danalyse (cest-agrave-dire concernant le corps des reacuteels et les fonctions dune variable

reacuteelle par exemple) on peut citer - pour prendre un exemple assez gros pour ecirctre

tout agrave fait visible - le theacuteoregraveme dEinsenstein sur la factorisation dans Q[X] (38)

Newton dans son Arithmetica Universalis deacutejagrave mentionneacutee montre une grande attenshy

tion agrave ce genre de laquoretoursraquo du numeacuterique vers lalgeacutebrique Ainsi donne-t-i1 une

meacutethode ingeacutenieuse pour trouver les facteurs dune expression algeacutebrique(39)

Si par exemple la quantiteacute proposeacutee est x 3 - x - 10x + 6 agrave la place de x

je substitue successivement les termes de la progression arithmeacutetique 1 0 -1 il en

naicirctra les nombres -4 + 6 + 14 Je place chacun deux avec tous ses diviseurs dans

la ligne du terme de la progression 1 0 -1 qui la produit comme on peut le voir

dans lexemple suivant

1 4 124 +4 o 6 1 2 3 6 +3

- 1 14 1 2 7 14 +2

Ensuite comme le terme le plus eacuteleveacute x3 na pas de diviseur de luniteacute je

cherche parmi les diviseurs quelque progression dont les termes ne diffegraverent que

dune uniteacute et qui en descendant des plus forts au plus faibles deacutecroissent comme

ceux de la progression 10 -1 Je ne trouve quune progression de cette espegravece cest

4 3 2 Je prends donc le terme + 3 qui se trouve dans la mecircme ligne que 0 de la

premiegravere progression 1 0 -1 je le joins agrave x et je tente la division par x + 3 elle

reacuteussit et jobtiens pour quotient x 2 - 4x + 2

Au-delagrave de la disparition de la structure du corpus matheacutematique enseigneacute en arithshy

meacutetique et algegravebre cest la dialectique du numeacuterique et de lalgegravebre - implicitement

preacutesente agravetravers llaquooppositionraquo de larithmeacutetique et de lalgegravebre - qui va se trouver

atteinte Plus que jamais les liens du numeacuterique et de lalgeacutebrique sen trouveront

relacirccheacutes

VIII - UNE CONCEPTION EMPIRISTE DU REEL MATHEMATIQUE

Leffacement de lopposition arithmeacutetiquealgegravebre en effet altegravere les condishy

tions de la mise en rapport du numeacuterique et de lalgeacutebrique Lancien rapport doutil

(38) Soit PIt) = a + a t + + a t n un polynocircme agrave coefficients dans if Sil existe un nombre premier p tel que0 1) ~ rie divise ~as an 2) p divise a al an_l p2 ne divise pas ao alors P o est irreacuteductible sur O

(39) Arithmeacutetique universelle tome premier pp 47-48 Nous laissons au lecteur le soin dapporter la justification matheacutematique requise

77

de travail agrave objet travailleacute semble perdu Les deux domaines - le numeacuterique -le

litteacuteral - vont coexister dans une simple juxtaposition existants qui trouvent en

eux-mecircmes leur propre justification Les rapports naguegravere encore banals entre ces

deux ordres de reacutealiteacute matheacutematiques semblent deacutesormais abolis Ou plutocirct ils laissent

place agrave des rapports nouveaux et inverseacutes ce nest plus lalgeacutebrique qui vient pershy

mettre deacutetudier le numeacuterique cest le numeacuterique qui laquojustifieraquo et laquopermet de comshy

prendreraquo lalgeacutebrique Le document 5 extrait dun manuei de quatriegraveme actuel (40)

IIUDIFFeacute~ENCS ce ceux C~CIMAUX [

x-eD yeC zeC z-z -y signifie que z+y-z Comment est appel z pour z et y dans ct ordre Observe

13-(-7) z+-7)middot13

[+(-7)j+713+7 +[(-7)+71-13+7

+0-13+7 zo13+-7

z-z-y z+y-z

(+y) + (-y)- +-(-y) +(y+ (-y)]-x + (-y)

z+O-z + (-y) -+(-y)

Pour tout xde D pour tout y de 0 z - y est un deacutecimal et z - y = +(-y) Exemples 8-(-7)=8+7=15 9-14=9+(-14)=-5 Lopeacuteration- qui agrave chaque coupe (z y) z e 0 y E C fait correspondre le deacutecimal Z - J est la soustraction dans O

DOCUMENT 5

Lalgeacutebrique comme essence du numeacuterique

nous donne de ce pheacutenomegravene un exemple tregraves net lintention didactique est ici

de justifier le fait que x - y = x + (-y) Pour le matheacutematicien la laquojustificationraquo shy

qui est alors strictement une deacutemonstration - est toute entiegravere contenue dans la

colonne de droite si je deacutefinis en geacuteneacuteral-y comme eacutetant le nombre tel quey + (-y) = 0

et si les proprieacuteteacutes ordinaires - associativiteacute etc - valent encore pour le nouvel

ensemble de nombres ainsi deacutefini alors le nombre z que je dois ajouter agrave y pour

obtenir x - ce quon appelle la diffeacuterence de x et y et qUon note x - y - nest pas

autre chose que x + (-y) Or la laquojustificationraquo passe dans la didactique ici examineacutee

par lappel au concret cest-agrave-dire au numeacuterique tel est le rocircle de la colonne de

gauche Ce sont les calculs numeacuteriques de la colonne de gauche qui soutiendraient

le sens (pour leacutelegraveve) des calculs litteacuteraux de la colonne de droite Malheureusement

le contenu de la colonne de gauche est si lon peut dire hautement improbable

(401 Il sagifdu _manuel Matheacutematique contemporaine pour la classe de quatriegraveme publieacute chez Magnard et conforme au programme de1978shy

78

parce que le numeacuterique ne fonctionne pas ainsi En fait les calculs numeacuteriques preacuteshy

senteacutes ici nexistent quagrave ecirctre limage en miroir des calculs litteacuteraux de la colonne

de droite Et cest pour permettre de tels calculs que le langage algeacutebrique preacutecishy

seacutement est neacutecessaire Il y a ainsi meacuteprise sur la speacutecificiteacute des deux ordres de calcul

et conseacutequemment sur le type de rapports quils entretiennent la justification

de lalgeacutebrique sappuierait sur un mode de fonctionnement du numeacuterique qui nest

en fait quun deacutecalque du fonctionnement de lalgeacutebrique et qui donc suppose

lalgeacutebrique

Leacutelucidation du nouveau rapport qui saffirme ainsi nest pas chose facile Elle

est pourtant neacutecessaire afin de preacuteciser par delagrave la surface des programmes les mouveshy

ments profonds produisant des deacutecisions didactiques quon aurait tort de regarder

seulement comme des laquotrucsraquo eacuteleacutements atomiques de strateacutegies trouvant en ellesshy

mecircmes et dans leurs effets supposeacutes leur unique mobile Revenons agrave lexemple que

nous avons examineacute Lalgeacutebrique y apparaicirct comme la laquotheacuteorieraquo de cette laquoreacutealiteacuteraquo

que serait le numeacuterique Mais les relations en acte entre theacuteorie (permettant leacutetude)

et reacutealiteacute (objet de leacutetude) y ressortissent incontestablement agrave une conception empishy

riste (et mecircme nous allons le voir empiriste-sensualiste) de la connaissance Tel est

en fait le mobile - veacutecu sans doute comme allant de soi dans leacutevidence que lideacuteoshy

logie procure - de la tentative de laquofaire sortirraquo la theacuteorie (lalgeacutebrique) de la reacutealiteacute

(numeacuterique) Il ya ici inversion des rapports entre theacuteorie et reacutealiteacute Car le surgissement

du theacuteorique - faut-il le rappeler - ne sautorise jamais que de lui-mecircme et loin

de proceacuteder de la reacutealiteacute la constitue (ou la renouvelle) comme objet de connaissance

Si jeacutecris par exemple 13 + 7 = 13 - (-7) selon un fonctionnement du numeacuterique

antinomique de la pratique calculatoire (cest-agrave-dire arithmeacutetique) du numeacuterique shy

laquelle voudrait quon eacutecrivicirct 13 + 7 = 20 - je fais de lalgegravebre sur du numeacuterique

cest loutil algeacutebrique et lui seul qui me permet ce travail du numeacuterique Entre le

fonctionnement arithmeacutetique et le fonctionnement algeacutebrique du numeacuterique il y a

ainsi une distance - un saut - que nul proceacutedeacute dlaquoabstractionraquo ne peut venir combler

On aurait tort de penser que lanalyse preacuteceacutedente ne vaut que pour lexemple

sur laquelle nous lavons illustreacutee En reacutealiteacute sa porteacutee est beaucoup plus eacutetendue

et pour en saisir toute la signification il faut revenir agrave cette acmeacute de leacutevolution de

la transposition didactique que repreacutesente la reacuteforme de 1971 (celle des laquomatheacutemashy

tiques modernesraquo) Contrairement aux opinions aujourdhui dominantes qui selon

un opportunisme neacutecessaire et une constante inconstance reacutecusent cette reacuteforme

pour ses excegraves et la regardent comme laberration dun moment il faut tenir que cette

aberration nen est pas une quelle ne fait que preacutecipiter cristalliser et rendre explicites

des traits qui deacutejagrave se repegraverent dans leacutevolution des deacutecennies preacuteceacutedentes Elle est un

moment qui donne sens reacutetrospectivement agravece qui vient avant lui et deacutetermine

largement ce qui viendra apregraves lui Car sil y a en quelque faccedilon rupture cest sur le

fond dune tregraves large surdeacutetermination En profondeur le programme de 1971 - pour

79

sen tenir agrave la classe de quatriegraveme - constitue une radiographie saisissante dune

eacutevolution que le programme de 1978 nadoucira quen surface Cest cette image

laquodureraquo quil faut interroger

On a trop vitupeacutereacute linflation moderniste le parti pris theacuteoriciste lambition

de rigueur des matheacutematiques promues par la reacuteforme et trop peu vu derriegravere cet

eacutecran deux mouvements correacutelatifs moins spectaculaires mais deacuteterminants Le

premier - que nous avons deacutejagrave plusieurs fois mentionneacute - cest lenvahissement du

champ deacutetude par les structures numeacuteriques Les laquoexcegravesraquo du programme de 1971

sont le prix agrave payer pour ce coup de force qui se megravene alors - simple tactique dun

moment le programme de 1978 installera une version apaiseacutee de la mecircme strateacutegieshy

avec lartillerie lourde de laquolapproche des reacuteelsraquo des laquocalculs approcheacutesraquo des laquoencashy

drementsraquo de haute ambition matheacutematique Le seCond cest la peacuteneacutetration dun

thegraveme qui va devenir central celui de llaquoobservationraquo et de llaquoexpeacuterimentationraquo

matheacutematiques

Fausse moderniteacute ce thegraveme est mis en place degraves les Instructions de janvier

1957 (annexe 6a) dont les Instructions de 1971 se reacuteclameront non sans raicon Il

prend alors lallure dune reacuteflexion sur les liens entre matheacutematique et extramatheacutemashy

tique La caution bergsonienne ici invoqueacutee - homo taber homo sapiens - bien que

dateacutee est agrave cet eacutegard tregraves significative La perspective proposeacutee ne conduit pas tregraves

loin les problegravemes denseignement se trouvent laquoreacutesolusraquo par une didactique euphoshy

rique (annexe 6b) Au vrai la conjoncture historique qui verra la mise en place des

matheacutematiques modernes nest alors quincomplegravetement formeacutee Ce qui manque

encore afin que lideacutee dexpeacuterimentation puisse passer dans les faits cest une matiegravere

que lon pourrait soumettre agrave lobservation et agrave lexpeacuterience A cet eacutegard les Instrucshy

tions de 1957 raisonnent encore agrave lancienne la notion dexpeacuterimentation y est

surtout loccasion dune rheacutetorique qui tourne sur elle-mecircme faute de pouvoir sapplishy

quer Mais cette matiegravere dapplication qui fait deacutefaut la reacuteforme va lapporter en

abondance ce sera le numeacuterique dont nous comprenons mieux degraves lors la place

de choix que les programmes reacuteformeacutes vont lui accorder Son expansion se trouvait

en fait comme appeleacutee par lexigence laquoexpeacuterimentaleraquo induite par une certaine concepshy

tion eacutepisteacutemologique et didactique

Le deacutecor de laction est installeacute en consonance avec une mise en scegravene empiriste

du procegraves de connaissance(41) Il Y a la laquoreacutealiteacuteraquo qui est un donneacute dont la preacutesence

simpose avec la derniegravere force et il y a la laquotheacuteorieraquo de ce donneacute que lon preacutetend

tirer par abstraction de lobjet agrave laquelle elle se voue La dialectique du numeacuterique

et de lalgeacutebrique est alors perdue lun de ses termes (lalgeacutebrique) se dissout dans

(41) Pour lintelligence de ce qui suit nous renvoyons agrave Althusser 1968 notamment pp 38-45

80

lautre (le numeacuterique) agrave qui est octroyeacute par nature une existence presque mateacuterielle

et dont lalgeacutebrique proceacutedera geacuteneacutetiquement La reacuteforme de 1971 remanie donc

le champ deacutetude pour y produire de solides objets laquoreacuteelsraquo agrave forts coefficients dexis-shy

tence les structures numeacuteriques et aussi la mysteacuterieuse laquodroite physiqueraquo dont la

soudaine promotion ontologique serait autrement encore plus inexplicable(42) Cela

poseacute lintroduction du litteacuteral (lalgeacutebrique) sidentifie au mouvement par lequel

dans le procegraves empiriste de connaissance se repreacutesente lessence du reacuteel qui est toute

la connaissance que le sujet peut tirer de lobjet par abstraction il permet de distinguer

entre un reacuteel essentiel et un reacuteel inessentiel gangue ou accident que le processus

dabstraction abandonne comme un reacutesidu impenseacute Labstraction qui vise agrave porter

agrave la lumiegravere ce quon pourra connaicirctre de lobjet agit par deacutecrassage et deacutecapage

CHA~tTRbullbull tour dieacuteremcs ftiems de 1t 011 obti=c cIes putitioas cilifeacute=o~ Uuml fiIure 2 repreacutese1tt (parshy

tieJ1emenz) les paniagravecas ~ i- II-l 11--0 11 - - l~ = grouie agrave la loupe la paftiriœ cozrcspoadaDc agrave Il - - 2shy

f-oo( [Q10[

1 1

~ Q t

(-2 ~( T

[l 0 ( [01 ( r12 r i i i i J r sr

-1shy 0 t

1 1 1 1 1 1 1 1 shy 1 bull 1 1 1 11

-1 -01 001 lU 03 ~ o~ 06 07 oa 09 1 11

P4 041 ~l ~~I 041ds1 -i -o] OoJ O4l o~ 04S 04) ~ 1 ~1 1

fJvZ

li) De m=c si II eR lD1 emer œIaagravef acirczeacute et si CI pr=d tOlIœS les ftiems possibles da2s Z r=semblc cIes imenalles cie c

Jcr10 (CI + L 10

eR iJMpcrtirIcircD1f de C Uuml figure 3 repreacutes=œ (articllemcm) =œ putitioll p04 shy O~

r 1 i 1 T l 1 1 -5 -4shy -3 -2 -r agrave l Z ~ 4shy 5

~3

DOCUMENT6

Le deacutecapage du donneacute dans le processus empiriste de connaissance

(42) Voir Chevallard et Johsua 1982 notamment pp 200-203

81

agrave ce thegraveme geacuteneacuteral de la connaissance empiriste reacutepond correctement dans les proshy

grammes la notion dlaquoapprocheraquo ou dlaquoapproximationraquo des laquoreacuteelsraquo (qui nont jamais

aussi bien porteacute leur nom) Ceux-ci sont atteints par le moyen de purifications successhy

sives qui eacuteliminent peu agrave peu la gangue inessentielle Tel manuel (43) pris parmi tant

dautres- en offre la superbe illustration (document 6) limage de la loupe - emblegraveme

de la connaissance empiriste dont elle est linstrument privileacutegieacute parce quelle permet

de mieux voir et de faire voir - y est requise et symbolise mieux quun long commenshy

taire cette conception de la connaissance comme visant agrave amener linvisible agrave la

vue de tous

Une telle conception de la connaissance rate le reacuteel dont il sagirait preacuteciseacutement

de produire la connaissance parce quelle en manque la constitution comme objet

de connaissance(44) Lalgeacutebrique ne sert plus agrave connaicirctre le numeacuterique Il nest plus

deacutesormais quune steacutenographie middotessentialisante qui deacutecrit reacutesume et seacutepare lessence

de laccident Le surgissement laquomoderneraquo de la dichotomie de llaquoobservationraquo et de

la laquotheacuteorieraquo - que les manuels actuels reprennent agrave lenvi - est ainsi correacutelatif dune

dissolution de lobjet de connaissance au profit de lobjet reacuteel maintenant donneacute

agrave voir dans une abstraction reacuteputeacutee immeacutediate et facile Lordre didactique va sorgashy

niser autour de cette eacutepisteacutemologie imaginaire

REFERENCES

ALTHUSSER L (1968) Lire le Capital Franccedilois Maspeacutero Paris

BOURDIEU P (1974) Le sens pratique eacuteditions de Minuit Paris

BROUSSEAU G (1980) Problegravemes de lenseignement des deacutecimaux Recherches

en didactique des matheacutematiques 1middot1 pp 11-59

CHEVALLARD Y (1980a) Matheacutematiques langage enseignement la reacuteforme des

anneacutees soixante Recherches 41 pp 71-99

CHEVALLARD Y (1980b) La transposition didactique 1REM dAix-Marseille

CHEVALLARD Y (1982) Pourquoi la transposition didactique 7 Publication du

seacuteminaire de didactique et peacutedagogie des matheacutematiques 32 Grenoble

CHEVALLARD Y et JOHSUA MA (1982) Un exemple danalyse de la transposition

didactique Recherches en didactique des matheacutematiques 3 2 pp 157-239

MICHEL PH (1950) De Pythagore agrave Euclide Les Belles Lettres Paris

SMITH DE (1953) History of mathematics volume Il Dover publications Inc

New York

(43) Il sagit de louvrage mentionneacute dans la note 24 ci-dessus

(44) Sur la distinction entre laquoobjet reacuteelraquo et laquoobjet de connaissanceraquo voir Althusser 1968 pp 4649

82

CLASSE DE QUATRIEME CLASSIQUE A ET B ET DE QUATRIEME MODERNE

PROGRAMME DE 1945 (extraits)

Arithmeacutetique

Pratique sur des exemples de la deacutecomposition dun nombre entier en facteurs premiers de la recherche du plus grand commun diviseur et du plus petit commun multiple de deux ou plushysieurs nombres Applications aux fractions

Algegravebre

Nombres algeacutebriques (positifs nuls heacutegatifs) Opeacuterations sur ces nombres exposeacutes agrave partir de problegravemes concrets Ineacutegaliteacutes

Mesures algeacutebriques de vecteurs sur une droite orienteacutee Formule de Chasles Repeacuterage dun point sur un axe

Eleacutements du calcul algeacutebrique proprieacuteteacutes des sommes et des produits Puissances Produit et quotient de deux puissances dun nombre usage de lexposant nul et dexposants neacutegatifs

Monocircmes Produit de monocircmes Quotient de deux nombres Somme de monocircmes semblables (on se bornera agrave des monocircmes agrave une deux ou trois variables) Polynocircmes agrave une variable addition soustraction multiplication par une constante

Equations numeacuteriques du premie( degreacute agrave une inconnue Problegravemes conduisant agrave une eacutequation numeacuterique du premier degreacute agrave une inconnue

Annexe 1

83

CLASSE DE QUATRIEME

PROGRAMME DE 1958 (extraits)

Arithmeacutetique

Pratique sur des exemples de la deacutecomposition dun nombre entier en un produit de nomshybres premiers pratique de la recherche du plus grand diviseur commun et du plus petit multiple commun de deux ou plusieurs nombres Applications

Algegravebre

1 - Nombres relatifs (positifs nuls neacutegatifs) Orientation dun segment (vecteur) orientation dune droite (axe) mesure algeacutebrique

dun segment orienteacute sur un axe repeacuterage dun point sur un axe (abscisse)

II - Opeacuterations eacuteleacutementaires sur les nombres relatifs addition et soustraction multiplishycation et division

Extension aux nombres relatifs des proprieacuteteacutes fondamentales eacutetablies pour les nombres arithmeacutetiques (classe de cinquiegraveme) concernant les sommes les diffeacuterences les produits les puisshysances n-iegravemes les quotients linverse dun nombre non nul Condition pour quun produit soit nul

Deacutefinition des exposants neacutegatifs et de lexposant nul Comparaison des nombres relatifs ineacutegaliteacutes Ineacutegaliteacutes concernant la valeur absolue dune somme ou dune diffeacuterence Formule de Chasles pour trois points situeacutes sur un axe Segment deacutefini par les abscisses

des deLix points qui le limitent mesure algeacutebrique de ce segment orienteacute mesure de la longueur de ce segment abscisse du milieu de ce segment

III - Notions de variables et de correspondance entre variables Expressions algeacutebriques deacutependant dUne ou de plusieurs variables calcul de la valeur

numeacuterique dune expression algeacutebrique pour des valeurs numeacuteriques donneacutees aux Ymiddotariables Monocircmes agrave une ou plusieurs variables multiplication addition de monocircmes semblables Polynocircmes forme reacuteduite Polynocircmes ordonneacutes addition multiplication Identiteacutes relatives aux produits (x + y)2 (x - y)2 (x + y)(x - y)

IV - Equations position du problegraveme signification du signe = dans ce problegraveme Equashytions du premier degreacute agrave une inconnue agrave coefficients numeacuteriques Reacutesolution de problegravemes simples agrave laide dune telle eacutequation

Annexe 2

84

CLASSE DE QUATRIEME

PROGRAMME DE 1971 (extraits)

1 - Relations

Reacutevision -des notions preacutesenteacutees dans les classes anteacuterieures et compleacutements produit carteacutesien relation application composition des applications bijection cun ensemble sur un ensemble et bijection reacuteciproque

Notion de groupe deacutefinition (on la jeacutegagera des exemples du programme)

II - Nombres deacutecimaux relatifs et approche de reacuteel

1 Groupe des puissances de dix

Nombres deacutecimaux relatifs eacutecrits a 10n avec a e7l et p E7 et sous forme de nombres agrave virgule addition multiplication ordre valeur absolue Reacutesumeacute des proprieacuteteacutes fondamentales de lensemble ainsi structureacute des deacutecimaux relatifs

2 Calculs approcheacutes

a) EnC3drement dun nombre deacutecimal par des intervalles des types [a 10pbull (a + 1) 10middot[ da 101 (a + 1) 10- [a 10pbull (a + 1) 101] avec a E Z et p E Z Sur des exelJlples encamiddot drement middotdune somme dun produit

b) Exercices de deacutetermination pour un deacutecimal strictement positif d donneacute et pour un entier relatif n donneacute du nombre deacutecimal x bull 10 avec x E IN tel que soient veacuterifieacutees les ineacutegaliteacutes 0 ~d x 10 ~ 1 lt d (x + 1) 10

c) Exercices de deacutetermination pour un deacutecimal strictement positif d donneacute et pour un entier relatif n jonneacute du nombre deacutecimal y bull 10 avec y E IN tel que soient veacuterifieacutees les ineacutegaliteacutes [y 10P ~ d lt [(y + 1) 10]

d) Suites deacutecimales illimiteacutees nombres reacuteels encadrements dun nombre reacuteel

3 Enumeacuteration des principales proprieacuteteacutes qui structurent fensemble IR des reacuteels addition (IR +) est un groupe commutatif multiplication associashytiYiteacute distributiviteacute par rapport agravefaddition ordre et valoeur absolue

On admettra que pour tout nombre reacuteel a jiffeacuterent de 0 il existe un nombre reacuteel a-1 et un seul tel que aa-1 = 1 Pour tout couple de nombres reacuteels (a b) avec a = 0 il existe un nombre reacuteel unique x appeleacute quotient de b par a

b et noteacute ba-1 ou - tel que ax = b a

Exercices simples de calcul sur de tels quotients Sur des exemples -numeacuteriques eacutequations et ineacutequations du premier degr9 agrave une inconnue

Usage des exposants entiers groupe des puissances dun nombre reacuteel non nul

Calculs approcheacutes sur les nombres reacuteels

4 Exemples de fonctions polynocircmes (applications de IR dans IR) Degreacute Exercices de calcul SUT les polynocircmes Produits (x + a)2 (x - a)2 (x + a) (x - a) Exercices de factorisation

Annexe 3

85

ENCYCLOPEDIE QUILLET (1958)

TABLE DES MATIERES (extraits)

ARITBMEacuteTIQUE Notio~ preacute1i1Ji~ajres - Ideacutee de nombrebullbullbullbull 153 NumeratIon decmale bullbullbullbullbullbullbullbull 156 ~esure des grŒDdeurs bullbullbullbullbullbull bullbullbullbull 159 Nombresmiddot deacutecUDauxbullbullbullbullbullbullbullbullbullbull 169 Ladditionbullbull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull 165 La soustraction bull bull bull bull bull bull bull bull bull 168 La ~~qplication bullbullbullbullbullbullbull1 bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bullbull 171 La diVISIon 178

Regravegle de trois bull bull 117 Pourcentages bullbullbull 119 Partages proportionnels 110 ~~langes bullbull i bull bullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbull 111 Alliages bull 111 Regravegles dinteacuterecircts 124 Rentes sur Pltat 116 Actins et obli~tions - Escompte 117

Problegravemes sur les quatre opeacutemtions bull bull bull 184 La divisibiliteacute bull bull bull bull bull bull bull bull 186 Plus grŒDd commun diviseur (p G C D) 189 Plus petit commun multiple (P P C M) 191 Nombres premiers bullbullbullbullbullbullbullbull 192 Les fractions bull bull bull bull bull 194 Opeacuterations sur les fractions 197 Sys~egraveme meacute~que 203 Racme carree 207 Rapports - Proportions 2 II

Grandeurs Proportionnelles 215

Connge des exercces ~ 130

Annexe4a

ALGEgraveBRE Notions preacuteliminaires bullbullbullbull 157 Opeacutemtions sur les nombres algeacutebriques (somme

diffeacuterence multiplicationmiddot division des nombres algeacutebriques fractions ou rapports algeacutebriques puissances racines) bull bull 160

Qpeacuterations sur les expressions algeacutebriques bull 168 gquations du premier degreacute 278 Reacutesolution des problegravemes du premier degreacute agrave une

inconnue bullbullbullbullbullbullbullbullbull 186 gquations et problegravemes du premier degreacute agrave deux

ou plusieurs inconnues bull bull 191 Notions sur les repreacutesentations graphiques bull bull 301

Variation des fonctions 313 Deacuteriveacutees bullbull bull bull 319

~uations et problegravemes du second degreacute bull bull 312

ProgressionsetlogaritbInesmiddotmiddotmiddotmiddot middotmiddot middotmiddotmiddot middot331 Table de logarithmes de 1 agrave 1 000 bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull 338 Application des logarithmes Inteacuterecircts composeacutes et

annuiteacutes bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull 343 Corcigeacute des ex~ces bullbull ~ bullbullbullbullbullbullbull 348

Annexe4b

57

Bien entendu lintroduction des signes laquoalgeacutebriquesraquo degraves les eacuteleacutements darithshy

meacutetique qui va simposer deacutefinitivement au XIXegraveme siegravecle atteacutenue quelque peu la

marque formelle du passage de larithmeacutetique agrave lalgegravebre Mais la transition est toujours

souligneacutee elle participe de la rheacutetorique denseignement autour de la dialectique de

lancien et du nouveau que nous avons ailleurs preacutesenteacutee(8) Elle se coule alors en

dautres analyses et notamment dans une preacutesentation de lalgegravebre comme meacutemoire

permettant de conserver une trace des opeacuterations effectueacutees Proprieacuteteacute fort ancienneshy

ment noteacutee semble-t-il et de laquelle Clairaut - se situant il est vrai dans une persshy

pective plus didactique queacutepisteacutemologique(9) - fait mecircme deacutecouler linteacuterecirct et la

neacutecessiteacute de lalgegravebre(10)

Ainsi lalgegravebre soppose-t-elle agrave larithmeacutetique par une proprieacuteteacute qui lui donne

une puissance supeacuterieure Mais par lagrave dans un deuxiegraveme temps de la dialectique que

tissent les auteurs entre arithmeacutetique (lancien) et algegravebre (le nouveau) lalgegravebre

apparaicirct positivementmiddot comme laccomplissement de larithmeacutetique Sappliquant

agrave lorigine au mecircme corps de problegravemes elle est une arithmeacutetique deacutelivreacutee de lopaciteacute

et de loubli qui deacuterobent agrave nos yeux la structure des problegravemes eacutetudieacutes Elle est un

instrument supeacuterieur pour une tacircche semblable Elle est une arithmeacutetique universelle

- comme lappelle Newton - ou encore une arithmeacutetique geacuteneacuteraliseacutee comme le note

Poinsot un bon siegravecle plus tard en une deacutefinition quun auteur de manuel de la fin

du XIXegraveme - deacutebut du XXegraveme comme beaucoup dautres avant et apregraves lui reprend

agrave son comlte et propose agrave la meacuteditation ltles eacutelegraveves de collegravege laquoLalgegravebre eacuteleacutementaire

nest autre chose quune arithmeacutetique geacuteneacuteraliseacutee cest-agrave-dire eacutetendue des nombres

particuliers agrave des nombres quelconques et par conseacutequent des opeacuterations actuelles

quon exeacutecutait agrave des opeacuterations quon ne fait plus quindiquer par des signes de

(8) Voir Chevallard 1980b

(9) Il ne faut pas neacutegliger en effet la part de rheacutetorique dintention didactique que comporte ce genre de remarques

(10) Ayant preacutesenteacute - selon la technique didactique usuelle - la solution arithmeacutetique dun proshyblegraveme darithmeacutetique pour lui comparer ensuite la solution au moyen de lalgegravebre Clairaut eacutecrit en effet laquoCest vraisemblablement ainsi que les premiers Algeacutebristes ont raisonneacute quand ils se sont proposeacutes de pareilles questions sans doute quagrave mesure quils avanccedilaient vers la solution dune question ils chargeaient leur meacutemoire de tous les raisonnemens qui les avaient conduits au point ougrave ils en eacutetaient amp lorsque les questions neacutetaient pas plus compliqueacutees que la preacuteceacutedente il ny avait pas de quoi se rebuter mais degraves que leurs recherches ont offert plus dideacutees agrave retenir il a fallu quils cherchassent une maniegravere plus courte de sexprimer quils eussent quelques lignes simples avec lesquels quelquavanceacutes quils fussent dans la solution dun problegraveme ils pussent voir dun coup dœil ce quils avaient fait amp ce quil leur restait agrave faire Or lespegravece de langage particulier quils ont imagineacute pour cela cest lAlgegravebreraquo (Eleacutemens dAlgebre troisiegraveme eacutedition Paris 1760 p 3)

58

maniegravere que dans cette premiegravere speacuteculation de lesprit on songe moins agrave eacutetablir le

reacutesultat de ces opeacuterations successives quagrave egraven tracer le tableau et agrave deacutecouvrir ainsi des

formules pour la solution de tous les problegravemes du mecircme genreraquo (11)

IV -LE DEVENIR DE LARITHMETIQUE DANS LA REFORME

En France la reacuteforme des matheacutematiques modernes est mise en œuvre agrave partir

de la fin des anneacutees soixante elle touche les classes de sixiegraveme et de seconde agrave la

rentreacutee 1969 les classes de cinquiegraveme et de premiegravere en 1970 les classes de quatriegraveme

et de terminale en 1971 enfin en 1972 la classe de troisiegraveme Cest eacutevidemment dans

ce cadre densemble que le pheacutenomegravene eacutetudieacute ici doit ecirctre situeacute Du point de vue qui

nous occupe cette reacuteforme reacutealise un changement profond dans lorganisation du

corpus matheacutematique enseigneacute Le programme reacuteformeacute de la classe de quatriegraveme

comporte quatre titres Les deux derniers sont consacreacutes agrave la geacuteomeacutetrie( 12) Les

deacuteux premiers titres concernent lun les relations lautre les nombres deacutecimaux et

lapproche des reacuteels (annexe 3) Formellement donc la structuration arithmeacutetique

algegravebre agrave disparu comme nous le notions plus haut Que sest-il passeacute

Pour reacutepondre agrave cette question il est bon dexaminer rapidement les contenus

des corpus traditionnels darithmeacutetique et dalgegravebre laquoeacuteleacutementairesraquo (en eacutecartant un

instant les consideacuterations de niveaux dans le cursus denseignement) Larithmeacutetique

dabord Dans un manuel publieacute en 1934 agrave lintention du cours moyen et du cours

supeacuterieur du premier degreacute(13) on trouve ainsi une premiegravere partie portant sur la

numeacuteration les quatre opeacuterations les problegravemes dapplication de ces notions dont des

problegravemes laquopratiquesraquo (achat et vente agrave la douzaine agrave la centaine problegravemes de

partage achats doubles successifs etc) puis des laquonotions de geacuteomeacutetrieraquo (circonshy

feacuterence etc) enfin un chapitre sur les nombres laquocomplexesraquo(14) La seconde partie

(11) Feacutelicien Girod Traiteacute dalgegravebre eacuteleacutementaire theacuteorie et pratique agrave lusage des lyceacutees des collegraveges et de tous les eacutetablissements dinstruction (premier cycle) vingt deuxiegraveme eacutedition Paris sd p 9

(12) Nous les laisserons de cocircteacute ici

(13) Arithmeacutetique par une commission dinstituteurs Vannes deuxiegraveme eacutedition 1934

(14) Rappelons quon appelait nombre complexe laquoun nombre concret composeacute de plusieurs parties se rapportant agrave des uniteacutes diffeacuterentes et dont le systegraveme de numeacuteration nest pas deacutecimal Ainsi 3 ans 4 mois 15 jours 43 degreacutes 18 minutes 17 secondes sont des nombres complexesraquo (F J Eleacuteshyments darithmeacutetique Tours et Paris 1913 p 182) laquoOn dit quun nombre est concret quand il est accompagneacute du nom de luniteacuteraquo comme dans laquovingt arbres six billes cinq francs soixante centimesraquo (dapregraves lArithmeacutetique citeacute~ dans la note 13 p2)

59

intituleacutee Systegraveme meacutetrique est consacreacutee aux mesures (surfaces volumes poids

capaciteacutes~ etc) Enfin une troisiegraveme partie traite agrave la fois de la divisibiliteacute des fracshy

tions des rapports et proportions et des regravegles (de trois etc) ainsi que de leurs

applications agrave des problegravemes pratiques (caisse deacutepargne actions et obligations etc)

Dune maniegravere plus deacuteveloppeacutee et sadressant agrave un niveau plus eacuteleveacute du cursus (matheacuteshy

matiques eacuteleacutementaires) un ouvrage de 1913(15) propose un plan qui nest guegravere diffeacuteshy

rent le 1ivre 1 traite de la numeacuteration et des opeacuterations le livre Il des proprieacuteteacutes

des nombres (divisibiliteacute plus grand commun diviseur nombres premiers etc)

le livre III des fractions le livre IV des puissances et des racines le livre V des

mesures (systegraveme meacutetrique monbres complexes) le livre VI des rapports et de leurs

applications (regravegles de trois de socieacuteteacute etc) le livre VII des approximations numeacuteshy

riques (opeacuterations abreacutegeacutees erreurs relatives)

Corpus traditionnel- agrave quelques ajouts pregraves - acircvons-nous dit Dans lArithshy

meacutetique de Jacques Pelletier du Mans (1554) le premier livre traite des nombres et

des opeacuterations de la regravegle de trois directe et laquorebourseraquo le deuxiegraveme livre des

fractions le troisiegraveme livre de lextraction de la racine carreacutee le quatriegraveme et dernier

livre de la regravegle double de faux (de fausse position) de la regravegle de socieacuteteacute etc Cette

organisation de larithmeacutetique qui na pas surveacutecu dans notre enseignement geacuteneacuteral

se retrouve aujourdhui dans les peacuteripheacuteries ou dans les marges du systegraveme denseishy

gnement officiel agrave linteacuterieur comme dans certains enseignements professionnels

agrave lexteacuterieur comme en teacutel manuel darithmeacutetique(16) adresseacute aux laquoautodidactesraquo

qui se publie aujourdhui encore au Royaume Uni (dans le cadre dune collection

intituleacutee Teach Yourself Books) simplement mis agrave jour preacutesenteacute au lecteur comme

laquofully decimalised and metricatedraquoil comporte agrave cocircteacute des parties traditionnelles

(nombres et opeacuterations factorisation des nombres fractions rapports et proportions

inteacuterecircts simple et composeacute etc) un chapitre sur la taxe agrave la valeur ajouteacutee ainsi

quun chapitre sur les machines agrave calculer et la nUJ1eacuteration binaire Un bon teacutemoigage

de leacutetat deacutequilibre atteint agrave la veille de la reacuteforme nous est fourni par leacutedition de

1958 de lEncyclopeacutedie autodidaetique Quillet en sa partie Arithmeacutetique dont la

table des matiegraveres est reproduite plus loin (annexe 4a)

Cest ce corpus traditionnel qui vole en eacuteclat deacutefinitivement - car son eacuterosion

eacutetait fortement avanceacutee - avec la reacuteforme du deacutebut des anneacutees soixante-dix(17)

Mais lexplosion de la neacutebuleuse arithmeacutetique ne signifie pas pour autant la disparition

(15) Voir la note 13

(16) LC Pascoe Arithmetic Decimalised and Metricated Houdder and Stoughton Londres 1971

(17) Cette rupture - eacutevidente - recouvre pourtant agrave un niveau plus profond des eacuteleacutements attestant la contiguiumlteacute nous y viendrons plusIoin

60

de larithmeacutetique Les parties traditionnelles de ce corpus libeacutereacutees de leur inteacutegration

au sein dune organisation multiseacuteculaire du savoir enseigneacute vont deacutesormais connaicirctre

des destins relativement indeacutependants Le noyau essentiel - les nombres et les opeacuterashy

tions sur les nombres - qui constituait la base du systegraveme anteacuterieur non seulement

ne disparaicirct pas mais trouve une extension soudaine associeacutee agrave une promotion en

digniteacute matheacutematique alors que en effet leacutetude laquoarithmeacutetiqueraquo des nombres ne

traitait anciennement que des nombres entiers et des fractions il seacutetablit deacutesormais

une progression dans leacutetude des structures numeacuteriques qui selon la logique de la

filiation des structures populariseacutee par leacutecole bourbakiste est penseacutee ideacutealement

comme allant sans solution de continuiteacute des nombres entiers aux nombres reacuteels en

passant par les nombres relatifs les nombres deacutecimaux et les rationnels Dans cet

ensemble progressivement deacuteveloppeacute les fractions viendront occuper - dans le cadre

du programme de 1978 pour la classe de quatriegraveme qui faisait suite aux laquoexcegravesraquo du

programme de 1971 - une place de toute premiegravere importance(18) La laquotheacuteorie des

nombresraquo cest-agrave-dire leacutetude de la factorisation des nombres du PGCD etc agrave

qui est reacuteserveacutee leacutetiquette darithmeacutetique figure elle au programme de la classe de

cinquiegraveme (et sy trouvera maintenue sans changement par le programme de 1977)

Seule la partie constitueacutee des laquoproblegravemes pratiquesraquo fait veacuteritablement les frais de la

modernisation et disparaicirct agrave peu pregraves complegravetement si lon excepte quelques vestiges

telle leacutetude des laquosuites finies proportionnellesraquo en classe de sixiegraveme (qui prolonge un

thegraveme abordeacute au CM2) - eacutetude eacuteventuellement conccedilue dailleurs comme preacuteparant

mais de longue main agrave la notion dapplication lineacuteaire inscrite au programme de la

classe de troisiegraveme(19)

Ce qui disparaicirct en fait agrave lexception notable - reacutepeacutetons-Ie - des problegravemes 1

pratiques ce nest pas larithmeacutetique (mecircme si le mot lui-mecircme ne renvoie plus quagrave

lune des parties du corpus arithmeacutetique traditionnel) mais la dialectique de larithshy

meacutetique et de lalgegravebre Or cet affaissement dune structuration traditionnelle va

moins peser sur la composante arithmeacutetique que sur la composante algeacutebrique des

matheacutematiques enseigneacutees au collegravege cest lalgegravebre (entendue au sens traditionnel

de ce mot agrave ce niveau des eacutetudes matheacutematiques) qui va se trouver le plus violemment

mise en cause par les changements opeacutereacutes

(18) laquoEn calcul notent les Instructions officielles la nouveauteacute reacuteside dans laccent qui est mis sur la notion de fraction ( )gtgt (Ministegravere de lEducation Matheacutematiques classes des collegraveges 6egraveme 5egraveme 4egraveme 3egraveme 1980 p 29)

(19) Les manuels correspondant aux programmes de 1978 redonneront une place au laquoproblegravemes concretsraquo ceux-ci y apparaissent toutefois essentiellement agrave titre dapplications non de problegravemes permettant la construction et lappropriation des notions agrave enseigner

61

v - UNE ALGEBRE INTROUVABLE

Il nous faut maintenant rappeler rapidement ce queacutetait lancienne organisation

du corpus algeacutebrique Formeacute de maniegravere eacutevidemment plus tardive que le corpus arithshy

meacutetique le corpus algeacutebrique atteint pourtant assez vite une stabiliteacute remarquable

qui le laisse agrave peu pregraves inchangeacute sur deux siegravecles et plus Ecartant le traiteacute dalgegravebre

publieacute par Newton sous le titre dArithmetica Universalis(20) fort instructif agrave tous

eacutegards mais relativement atypique consideacuterons louvrage dEuler deacutejagrave mentionneacute

Son tome premier comporte quatre sections La premiegravere traite laquodes diffeacuterentes

meacutethodes de calcul pour les grandeurs simples ou incomplexesraquo cest-agrave-dire du calcul

sur les nombres mais sur les nombres (que nous appelons) relatifs dont lintroduction

fait un avec laquolexplication des Signes + (Plus) et - (Moinsraquogt (chapitre 10 et sur les

nombres fractionnaires Les quatre opeacuterations arithmeacutetiques les racines les puissances

mais aussi les laquoquantiteacutes impossibles ou imaginairesraquo ainsi que les logarithmes y sont

longuement preacutesenteacutes La deuxiegraveme section traite laquodes diffeacuterentes meacutethodes de calcul

pour les grandeurs composeacutees ou complexesraquo cest-agrave-dire du calcul algeacutebrique la

troisiegraveme laquodes rapports et des proportionsraquo la quatriegraveme laquodes eacutequations algeacutebriques

et de la reacutesolution de ces eacutequationsraquo Quant au tome second il est consacreacute agrave laquolanalyse

indeacutetermineacuteeraquo que nous nexaminerons pas ici(21) Cette organisation subit eacutevidemshy

ment dune part des variations en fonction du niveau viseacute dautre part une eacutevolution

dans le temps qui conduit dans la premiegravere moitieacute du XXegraveme siegravecle agrave un ensemble

relativement stabiliseacute dont agrave la veille du grand mouvement de reacuteforme lEncyclopeacutedie

Quillet deacutejagrave citeacutee nous fournit une version commode (annexe 4b)

En ce qui concerne tout au moins les deacutebuts de lalgegravebre trois thegravemes apparaisshy

sent essentiels les nombres algeacutebriques (cest-agrave-dire les nombres relatifs) le calcul

sur les expressions algeacutebriques les eacutequations algeacutebriques Que deviennent-ils dans le

cadre de la reacuteforme La difficulteacute de la reacuteponse agrave apporter tient au moins en partie

au fait que signifiants et signifieacutes se trouvent alors dissocieacutes redistribueacutes et en ce qui

concerne les contenusmiddot couleacutes en des cadres conceptuels nouveaux qui rompent les

anciennes concordances Il en est ainsi notamment pour les nombres algeacutebriques

bull qui perdent leur qualificatif comme on la noteacute pour devenir nombres relatifs Sous

cette eacutetiquette la place qui leur est deacutevolue nest pas diminueacutee mais au contraire

majoreacutee (et en cela ils profitent du mouvement geacuteneacuteral damplification dont beacuteneacuteficient

(20) Publieacutee (en latin) en 1707 mais eacutetablie sur la base de cours donneacutes par Newton une trentaine danneacutees auparavant lArithmeacutetique universelle paraicirct en franccedilais en 1802

(21) Lorsque la question eacutetudieacutee laquone fournit pas autant deacutequations quon est obligeacute dadmettre dinconnues il y en a qui restent indeacutetermineacutees et qui deacutependent de Il9tre volonteacute et cela fait quon nomme ces sortes de questions des problegravemes indeacutetermineacutes Ils font le sujet dune branche particuliegravere de lanalyse et on appelle cette partie lAnalyse indeacutetermineacuteeraquo (Euler op cit tome second pp 1-2)

62

les structures numeacuteriques) Leur eacutetude inscrite au programme de la classe de sixiegraveme

est deacuteveloppeacutee en classe de cinquiegraveme dans les programmes de ces deux classes ils

constituent un titre agrave part entiegravere aussi bien en 1969-1970 quen 1977-1978

Il en va autrement du calcul algeacutebrique et de leacutetude des eacutequations Ces quesshy

tions formaient traditionnellement le cœur de lalgegravebre eacuteleacutementaire Dans un Manuel

dalgegravebre publieacute en 1827 laquoagrave lusage des personnes priveacutees du secours dun maicirctreraquo

lauteur(22) ouvrait sa premiegravere leccedilon par les lignes suivantes

1 Lalgegravebre est lart dexeacutecuter sur des quantiteacutes quelconques au moyen

des signes geacuteneacuteraux toutes les opeacuterations de larithmeacutetique et de repreacutesenter agrave laide

des mecircmes signes toutes les relations entre ces quantiteacutes

Il La partie de lalgegravebre qui enseigne les regravegles pour exeacutecuter les opeacuterations

arithmeacutetiques sur des quantiteacutes quelconques se nomme calcul litteacuteral

III La partie de lalgegravebre qui traite de la maniegravere de repreacutesenter agrave laide

de signes les relations entre les quantiteacutes se nomme calcul par eacutequation

IV On verra dans la suite que dans le calcul par eacutequation on a sans cesse

besoin du calcul litteacuteral cest donc par celui-ci quil faut commencer

Cest cet ensemble (calcul algeacutebrique eacutequations algeacutebriques) qui va se trouver

fortement minoreacute dans les programmes reacuteformeacutes Pour ne donner ici de cette brutale

deacuteflation quune seule illustration on a reacuteuni dans lannexe 5 (dont on voudra bien

excuser la longueur) les listes dexercices relatives agrave la multiplication dexpressions

algeacutebriques dune part (a b) dans deux manuels dancienne maniegravere(23) dautre part

(c) dans un manuel consideacutereacute comme de niveau eacuteleveacute(24) conforme au programme de

1971 la confrontation est eacuteloquente

Le terme dalgegravebre a disparu des programmes (agrave lexception du programme de

la classe de troisiegraveme) nous lavions noteacute Mais avec le mot la chose elle-mecircme se

trouve emporteacutee lalgegravebre disparaicirct 1 Cet eacutevanouissement est en fait seacutelectif les

parties laquonumeacuteriquesraquo de lalgegravebre reacutesistent bien Les nombres relatifs sont un eacuteleacutement

essentiel de lenseignement de la classe de cinquiegraveme Les fractions un temps mises agrave

leacutecart (en 1971) seront ensuite reacuteinstalleacutees comme eacuteleacutement central du programme de

(22) M Terquem auteur dun Manuel dalgegravebre ou exposeacute eacuteleacutementaire des principes de cette science publieacute agrave Paris en 1827 La citation qui suit se trouve pp 1middot2

(23) Il sagit (a) du manuel de F Girod (voir ci-dessus note 11) et (b) du manuel de Lebosseacute et Heacutemery pour la classe de quatriegraveme dans son eacutedition de 1962 (Fernand Nathan Paris)

(24) Il sagit du manuel de la collection Queysanne-Revuz seacuterie rouge dans son eacutedition de 1973 (Fernand Nathan Paris)

63

quatriegraveme (en 1978) Ce sont les parties laquoalgeacutebriquesraquo de lalgegravebre - calcul et eacutequations

algeacutebriques - qui pacirctissent de la modernisation Plusieurs raisons semblent devoir

expliquer ce pheacutenomegravene Avanccedilons dabord une raison proprement didactique qui a

pu jouer neacutegativement Le calcul algeacutebrique agrave lorigine simple preacuteliminaire agrave leacutetude

des eacutequations eacutetait en fait devenu prolifeacuterant comme on peut en juger notamment sur

le document de lannexe 5a eacutetouffant progressivement les autres parties du corpus

enseigneacute Il eacutetait sain que lon tente den limiter le deacuteveloppement et la tendance

anteacuterieure agrave la reacuteforme proprement dite allait en effet dans ce sens les manuels avaient

commenceacute le travail deacuteflationniste (comme le montre la comparaison des documents a

et b de lannexe 5) Mais ce type de pheacutenomegravene qui constitue au demeurant davantageacute

la regravegle que lexception dans leacutevolution du texte denseignement (que lon songe ici agrave

la deacutegeacuteneacuterescence de leacutetude des eacutequations du second degreacute en la fameuse laquotrinocircmiteraquo

qu i frappait agrave peu pregraves dans le mecircme temps les classes du second cycle) et la reacuteaction

quil devait susciter allaient rencontrer une autre force de changementsans doute bien

plus puissante lapparition de lalgegravebre laquomoderneraquo sur laquelle il faut sarrecircter un

instant

Dans leurs Eleacutements dalgegravebre moderne dont la quatriegraveme eacutedition paraicirct en

1961 (la premiegravere eacutetant de 1956) A Lentin et J Rivaud(25) qui situent lapparition

de lalgegravebre moderne vers 1910 inscrivent celle-ci dans le prolongement de larithshy

meacutetique et de lalgegravebre traditionnelles (mais sans les nommer) laquoA leacutecole primaire

eacutecriven~-ils lenfant raisonne sur des collections et des grandeurs concregravetes dont il

deacutegage progressivement la notion de nombre abstrait indeacutependant de la nature des

choses compteacutees ou mesureacutees Lenseignement du second degreacute apprend agrave ladolescent

la manipulation des x et des y indeacutependamment des nombres que ces lettres repreacuteshy

sentent Un pas de plus dans le calcul et cest le calcul sur les polynocircmes puis la comshy

position des transformations formelles Eh bien lalgegravebre moderne formera leacutetudiant

agrave raisonner sur les proprieacuteteacutes des opeacuterations indeacutependamment des eacuteleacutements (nombres

polynocircmes transformations) sur lesquels sexercent ces opeacuterationsraquo (26) En fait

les parties traditionnelles de lalgegravebre (calcul et eacutequations algeacutebriques) sont bien inteacuteshy

greacutees dans lalgegravebre moderne ainsi preacutesenteacutee Mais elles nen constituent ni lessentiel

ni surtout les deacutebuts Les auteurs citeacutes dont louvrage est constitueacute de cinq livres

consacrent leur dernier livre agrave des laquocompleacutements sur les groupes et sur les eacutequations

algeacutebriquesraquo (un deacuteveloppement plus ample de la question eucirct conduit agrave la theacuteorie

des extensions de corps et agrave la theacuteorie de Galois dont les rudiments sont preacutesenteacutes

dans ce livre) Ainsi le traitement des eacutequations algeacutebriques se trouve-t-i1 rejeteacute fort

loin dans lexposeacute moderne de lalgegravebre Le calcul algeacutebrique quant agrave lui se retrouve

(25) A Lentin et J Rivaud Eleacutements dalgegravebre moderne Vuibert Paris quatriegraveme eacutedition 1961

(26) Loc cit pp VmiddotVI

64

Ici dans le livre Il sous les espegraveces de leacutetude des anneaux de polynocircmes Mais le

veacuteritable commencement de lalgegravebre moderne cest leacutetude des structures (lois de

composition groupe anneau corps) qui occupe tout le livre 1 Lhonnecircte homme

qui en 1958 encore sinitiant agrave lalgegravebre se voyait proposer nombres algeacutebriques

expressions algeacutebriques eacutequations etc se verra offrir quelques anneacutees plus tard

relations binaires eacuteleacutement neutre etc Le chapitre Algegravebre que M Glaymann eacutecrit

au deacutebut des anneacutees soixante-dix pour un ouvrage adresseacute au grand public (il paraicirct

dans la collection laquoLes dictionnaires du savoir moderneraquo) est agrave cet eacutegard significatif

loi de composition eacuteleacutement neutre commutativiteacute eacuteleacutement symeacutetrique associativiteacute

eacuteleacutement reacutegulier distributiviteacute et encore structures monoiumlde groupe sous-groupe

groupe cyclique morphisme de groupes anneau anneau integravegre corps etc en sont les ma icirctres-mots(27)

Il se produit donc en quelques anneacutees une veacuteritable substitution dobjet dont

le texte denseignement reccediloit bientocirct la marque les programmes reacuteformeacutes de sixiegraveme

cinquiegraveme et quatriegraveme comportent tous un titre Relations et le programme de

quatriegraveme introduit les notions de groupe et de division dans un groupe qui conduisent

agrave examiner leacutequation ax = b dans le groupe multiplicatif des reacuteels non nuls Le calcul

algeacutebrique est recircduit agrave la portion congrue il fait lobjet du point 4 du titre Il du programme (annexe 3) Leacutetude des eacutequations conformeacutement au plan moderne

dexposition de lalgegravebre est deacutechue de ses titres et se trouve repousseacutee en classe de

troisiegraveme

VI - LALGEBRE SANS ALGEBRE

La situation creacuteeacutee par la reacuteforme autour de 1970 consacre la promotion des

structures numeacuteriques (agrave cocircteacute du geacuteomeacutetrique dont nous ne parlerons pas ici) en

mecircme temps quelle reacutealise une eacutevidente inflation theacuteorique agrave propos du numeacuterique

comme du geacuteomeacutetrique Cest ce theacuteoricisme qui apregraves avoir susciteacute dabord un vif

enthousiasme se trouvera en butte agrave une multitude de critiques qui conduiront agrave

la reacutedaction des programmes de 1977-1978 actuellement en vigueur La focalisation

du deacutebat se fait sur la maniegravere de traiter les contenus - avec notamment le rej~t

du laquopurismeraquo qui impreacutegnait lesprit de la reacuteforme preacuteceacutedente(28) - davantage que

sur la distribution des contenus eux-mecircmes et sur la structuration et leacutequilibre des

diverses parties du corpus enseigneacute Celui-ci apparaicirct en conseacutequence plus comme

(27) Maurice Glaymann Lalgegravebre in Les matheacutematiques Centre deacutetudes et de promotion de la lecture Paris 1973 pp 16-54

(28) Dans la preacutesentation deacutejagrave citeacutee des programmes de 1978 (voir la note 2 ci-dessus) leacutequipe de reacutedaction du Bulletin de lAPMEP deacutenonccedilait le purisme matheacutematique qui en fait laquoest un purisme dexposition non dapprentissage ou de fonctionnement qui na donc rien agrave faire dans le premier cycle ( )gtgt

65

une version laquodeacutegraisseacuteeraquo du corpus des anneacutees soixante-dix que comme une version

fondamentalement nouvelle agrave cocircteacute du geacuteomeacutetrique que lon entend laquodeacutesaxiomatiserraquo

le numeacuterique y demeure preacutedominant mecircme si lon ny inclut plus les mecircmes mateacuteshy

riaux Les nombres reacuteels en effet sont les grands perdants du reacuteameacutenagement opeacutereacute

Et ce sont les fractions et les rationnels qui venant occuper la place ainsi libeacutereacutee dans

le programme de quatriegraveme constituent maintenant la piegravece centrale de leacutetude du

numeacuterique - les nombres relatifs (entiers et deacutecimaux) conservant en classe de cinshy

quiegraveme le rocircle preacuteeacuteminent qui leur eacutetait anteacuterieurement reconnu

Il faut en ce point dire quelques mots de la promotion donneacutee dans ces proshy

grammes aux fractions et aux rationnels Pour des raisons dans lesquelles nous nentreshy

rons pas ici les fractions (associeacutees aux rapports et aux proportions) eacutetaient traditionshy

nellement tirailleacutees entre larithmeacutetique la geacuteomeacutetrie et degraves la naissance du corpus

algeacutebrique lalgegravebre elle-mecircme Preacutesentant ses Eleacutemens dAlgebre Clairaut ne manque

dailleurs pas de faire connaicirctre au lecteur lembarras ougrave cette question la tenu

laquojavois dabord compteacute donner dans le mecircme livre eacutecrit-il tant les Eleacutemens dArithshy

meacutetique que ceux dAlgebre amp je naurois pas manqueacute alors de traiter des proportions

plus agrave fond que je nai fait dans mes Eleacutemens de Geacuteomeacutetrie raquo Bien entendu en passant de larithmeacutetique agrave lalgegravebre on passait aussi des fractions arithmeacutetiques

(rapports dentiers cest-agrave-dire dentiers naturels) aux fractions algeacutebriques (rapports

dentiers laquoalgeacutebriquesraquo cest-agrave-dire relatifs) et aux fractions rationnelles (rapports

de polynocircmes) Mais ces reprises sont significatives de linteacuterecirct didactique accordeacute

au thegraveme les fractions constituent un sujet de choix pour lenseignement

Comme on la rappeleacute(29) laquolaccent qui est mis sur la notion de fractionraquo

constitue selon les termes mecircmes des Instructions relatives au programme de quatriegraveme

de 1978 leacuteleacutement de laquonouveauteacuteraquo de ce programme Nouveauteacute dantique meacutemoire 1

Henri Lebesgue presque un demi-siegravecle plus tocirct avait fermement inviteacute les professeurs

agrave se deacutebarrasser de ce monstre du Loch Ness matheacutematique laquo on sera bien je pense

daccord avec moi eacutecrivait-il (30) pour deacuteclarer que marier des 22iegravemes et des 37iegravemes

est un martyre que nous infligeons aux gosses de douze ans par pur sadisme sans

aucune raison dutiliteacute comme circonstance ateacutenuanteraquo Mais il ajoutait aussitocirct

laquoJentends tous les professeurs protester Les uns parce que les fractions fournissaient

dinnombrables exercices pour leurs jeunes eacutelegraveves apregraves un moment deffroi ceux-ci

sapercevront quils ne manqueront jamais dexercices La plainte des autres meacutemeut

(29) Voir la note 18

(30) Dans La mesure des grandeurs (Albert l3lanchard Paris 1975) p 25

66

davantage et pour la veacuteriteacute je la formule moi aussi laquoSupprimer dans la classe de

matheacutematiques la theacuteorie des fractions cest supprimer un chapitre admirable Le

seul peut-ecirctre parmi ceux qui nous restent qui ne soit pas lagrave uniquement pour son

utiliteacute immeacutediate et qui donne le sentiment de la beauteacute pureraquoraquo(31) Or cette admirable

construction devient dans le cadre des matheacutematiques modernes plus admirable

encore ou disons plus subtile le maniement sans complexe des fractions fait place

agrave une ontologie raffineacutee dans laquelle les fractions devenues couples de nombres

ne sont plus - en theacuteorie plus quen pratique bien sucircr - que le mateacuteriau de la consshy

truction des rationnels classes deacutequivalence de fractions Avrai dire cette preacutesentation

moderne neacutetait guegravere favoriseacutee par le programme de 1971 (dans lequel les reacuteels faisaient

directement suite aux deacutecimaux les rationnels neacutetant alo~s que des reacuteels particuliers

les quotients dentiers) Mais le programme de 1978 lui donne une nouvelle chance

et quelques manuels impavides la mettent en œuvre (document 4a) Cette perspective

constructiviste peut en fait ecirctre aiseacutement eacuteviteacutee au profit dune conception reacutealiste

(celle-lagrave mecircme que le programme de 1971 poussait en avant les reacuteels eacutetant supposeacutes

donneacutes - ils eacutetaient laquoconstruitsraquo dans le programme de 1971 - un rationnel est un

reacuteel qui peut seacutecrire comme quotient dentiers) et la plupart des manuels utilisent

cette possibiliteacute (document 4b) conceptuellement et techniquement moins difficile

et sans doute plus proche de la repreacutesentation du nombre qui est effectivement celle

des eacutelegraveves et mecircme du laquoworking mathematicianraquo Mais le souci de purisme na pas

disparu le goucirct de la laquorigueurraquo (sic) conduit chez quelques-uns (document 4c) agrave une

veacuteritable confusion sur le sens du signe deacutegaliteacute (qui ne signifie en principe nullement

que les deux membres de leacutegaliteacute sont des expressions identiques - formellement

ou syntaxiquement - ce qui interdirait deacutejagrave deacutecrire que 6 = 2 X 3 mais que ce quils

deacutesignent sont une seule et mecircme chose le signe deacutegaliteacute ne signifiant rien dautre

quune identiteacute seacutemantique) Cela dit le problegraveme - eacuteleacutegamment mais coucircteusement

reacutesolu par le moyen des classes deacutequivalence - existait avant les matheacutematiques

modernes et continue dexister mais le corpus ancien le traitait (inconsciemment )

avec une grande discreacutetion (document 4d) en distinguant chaque fois quil eacutetait

neacutecessaire la fraction (consideacutereacutee alors implicitement comme eacutecriture agrave savoir comme

rapport) et la valeur de la fraction (soit le nombre - rationnel - deacutesigneacute par cette

eacutecriture) Quoi quil en soit tout ce jeu laisseacute autrefois implicite et plus ou moins

fortement expliciteacute aujourdhui participe de ladmirable construction des fractions

qui seacuteduit tant les professeurs comme dit Lebesgue

(31) Ibid pp 25-26

67

Nombres rationnels

Ensemble ltC

RAPPELONS

Dans lensemble T des fractions nous avons deacutefini la relation JI suivante

Quelles que soient les fractions ~ et ~ on a (~JI ~) (ad =bel

Nous avons eacutetabli (p 48) que JI est une relation deacutequivalence dans T

Pourtraduire que deux fractions ~ et ~ sont lieacutees par JI nous avons eacutecrit ~ = ~

et nous avons dit que les fractions ~ et ~ sont eacutequivalentes

DEacuteFINITION

Nous donnons la deacutefinition suivante

Ch8q cd6quiVIIlencbullbullbulllonJIst appeleacutee un nombre lIItlonnel

Nous deacutesignons par 0 lensemble des nombres rationnels

AEPAEacuteSENTAtfr DUN RAcircTIONNEL

Soient x un eacuteleacutement de 1 etmiddott une fraction eacuteleacutement de T

Nous disons que x et un nombre rationnel dont un repreacuteentant et ~ 1 et

aeulement si x est 1 clbullbullbullbull deacutequlvlence elon JI de 1 fraction i Le nombre ~tion~1 x est donc lensemble des fractions ~ eacutequivalentes agrave~ nous

avons x=~lcez deZmiddot ~=M Remarquons que toute fraction eacutequivalente agrave ~ est un repreacutesentant du nombre

rationnel x

CHAPITRE 6 ENSEMBLE Q 67

DOCUMEIIT 4eacute1

(Matheacutematiques4egraveme collection Monge 1978)

68

CHAPITRE 4 algegravebre

Ensemble 0 des nombres rationnels

1 Oeacuteflnitlon de lensemble C 4Notatlons fractionnaires dUn rationnel des rationnels

2prOPrieacuteteacutes de lensemble Q 50Peacuteratlons dans Q des rationnels

3Eacutecriture deacutecimale illimiteacutee 6comparaison de deux rationnels dun rationnel

1Deacutefinition de lensemble Q des rationnels

deacutefinition Un nombre reacuteel (ou reacuteel) est appeleacute DOIIlbre ratioonel (ou rationnel) sil est eacutegal agrave un quotient de deux entiers relatifs

Autrement dit Un reacuteel x est un rationnel sil existe un entier relatif a et un entier relatif non

nul b tels que x soit eacutegal au quotient ~

exemples bull Les quotients suivants sont des rationnels 2 -4 -3 248 57 -29704 0 37 0 359 iuml 78 -=5 -614 57 -1- 25 =iOOO =iuml4 -1-

lal -27815) Ibull Le ree r eg au quotIent 0013 est-I un ratIonne

- 2781 5 et 0013 ne sont pas des entiers relatifs

On sait que (proprieacuteteacutes des quotients de reacuteels)

-27815 -27815 x 104 -27815 0013 0013 x 104 =~

Conclusion r est un rationnel

DOCUMENT 4b

(Matheacutematiques4egraveme collection Durrande 1979)

69

I~ Lensemble ltD des nombres rationnels

1 bull DEacuteFINITION ET EXEMPLES

Dans le cnapltre 4 nous ayons rencontreacute des nombres QUon pouvait obtenir comme Quotient exact dun entir relatif fi par un entier relatif non nul b Ces nombres sappellent lesnombnts ratiOnneJa (ou plua simplement les rationnels) Ils sont r8Qreacutesnteacutes par des fractions ainsi

exemples de fractions repreacuteslitntant x Nombre rationnel x -2 -8 -18lentler relatif -2 -9- -L shy1 3 -1 7 35 -7le deacutecimal rlatlf 35 Ji shy2 4 10 -=2 ~ Q EumlL shyIe ratlonn1 i 3 8 30 -3

Reepitullfflon des prlnc1es deacutetlnltlons Otlnitlo Soit un entIer ratatlf quelconque et soit b un entIer reltlf non nuL

11 LA couple (e bJ eacutecrit sous i fonne appellela fractIon d num

teur bull et de deacutenominateur b 2J Cette fraction retrisente le quotient ect de bull par b que lon not

aUAI bull On bull donc par deacuteflnltlon

bX~ bull JCb bullbull b b

31 On appelle nom rationnel tout nombre Que lon peut obtnir comme quotient euct dun entier relatif par un entlr relatif non nul

Attention 1La megravem notation est utiliseacutee pour deacutesignr deux cnoss diffeacuterentesb

le couple (II b) le Quotient exact de Il par b

Quand on eacutecrit il faut preacuteciser sU sagit de la fraction Ji (le couple (1 4 4raquo ou du rationshy4 4

nel 2i (Qui est eacutegal agrave 35) 4

le rationn est Anal au rationnel L4 ~~ 2

la fraction nest pas eacutegale agrave la fraction 1 ~ 2

(Puisque les couples (144) et (72) sont distincts)

Une convention commode

Pour eacuteviter cet Inconveacutenient nous conviendrons toujours Que dans les calculs deacutesinne le b

nombre rationnel Quotient exact d fi par b Ainsi nous pourrons eacutecrire

Ji =L =3S4 2

Quand vous voudrez parler du couple (14 4) il faudra preacuteciser bull la fraction c 4

DOCUMENT 4c

(Matheacutematiques classe de quatriegraveme collection Queysanne et Revus 1979)

70

SIMPLIFICATION DES FRACTIONS

i49 Simllifier une fraction cest la remplacer par une fraction ~e mais ayant des tenDes plus petits

ISO PROPRIEacuteTEacuteS FONDAMENTALES

10 On mesure deux rubans avec le sepagraveegraveme dune longueur donneacutee A B Lun mesure 2 sepagraveagravenes lautre 4 septiegravemes de luniteacute Il est eacutevident que le dewdagraveDe est double du premier

4 2 X 2 2 - --- - X 2 donc 777

Theacuteoregraveme L - Si OD mwdpUe le aDlDampateDr dune CractloD par aD JIOmbre la CracdoD eet muldpUeacutee par ce Dombre

2deg Un ruban mesure 5 sepagraveagravenes de la longueur AB un dewtiagravene ruban vaut S quato12Iumlagravenes de la mbe uniteacute

Un quatorziagravene eacutetant deux fois plus petit quun sepagraveagraveDe la dewdœe longueur est deux fois plus petite que la premiugravee S S S

------ 2 par suite 14 7 X 2 7

Theacuteoregraveme D - Si OD muldpUe le dacirclomiDateur cl1IDe bcdoD par 110 aombre la CracdoD eet diYileacutee par ce JIOmbre

3deg Soit la fraction _3 X 3_2S s s X 3 IS Elle ne c1uIage pas de valeur si nn mulagraveplie ses deux termes par 3 En dfet si on multiplie son numeacuterateur elle devient 3 fois plus grande si on multiplie son deacuteDominateur

elle devient 3 fois plus petiœ Par conseacutequent

Theacuteoregraveme DL - Si OD mwdpUe lee cleu termes daDO bcdoD par aD ~e DOmbre la ampactIoD ae chaage pu do valeur

On voit IJU- mIru gratukur fJGI la _ pat _ itrftniri tU frtJCtUgrave1fU U1IItU igalu

Corollaire - Si OD divise lee deux termee dlIDe CractiOD par aD mfme JIOmbre (ropkatucircm eacutetant possible) OD obdeat une bedoD eacuteplo agrave la premiegravere

Soit la fraction 18 dont les deux termes sont divisibles par 321

On peut eacutecrire 18 _ 6 x 3 21 7 x 3

et dapregraves le theacuteoragravene preacuteceacutedent _ 6 X 3 7 7 X 3

On a donc 18 3_ la fraction Il des termes plus petits que la fraction 18 dougrave la regravegle de simshy21 3 7 7 21

pli1ication des fractions

~ Regravegle - PD1lI simplifier _ fraaion an divis 11$ dIU umm pat 11II mIru 1ItmIbr

DOCUMENT 4d

Arithmeacutetique de lEncyclopeacutedie Quillet 1958

Fractions et rationnels en fait ne constituent pas seulement une admirable

construction matheacutematique ils composent en mecircme temps un objet didactique

inteacuteressant agrave bien des eacutegards La place de leacutelegraveve (cest-agrave-dire ce qui peut ecirctre requis

de leacutelegraveve agrave ce propos) y est nettement dessineacutee Lebesgue le soulignait judicieusement

le chapitre regorge dexercices dont la difficulteacute (cest-agrave-dire en gros la complexiteacute)

peut ecirctre finement gradueacutee La place de lenseignant elle aussi sy trouve preacutepareacutee

le professeur eacuteprouve toute sa speacutecificiteacute face agrave leacutelegraveve en tant quarchitecte et bacirctisshy

seur - fonctions dans lesquelles leacutelegraveve ne saurait lui disputer sagrave place - dune consshy

truction matheacutematiqueagrave la fois simple rigoureuse riche dont la complegravete transpashy

71

rence nest acquise quau prix de quelque subtiliteacute intellectuele nullement inaccessible

agrave leacutelegraveve mais relativement exigeante Toutefois il y a plus En un sens tout objet

de savoir didactiquement acceptable laisse voir deux laquoplacesraquo il doit contenir le

laquolieuraquo que leacutelegraveve viendra occuper (les tacircches que le contrat didactique lui assignera

en propre) il doit contenir aussi un lieu speacutecifiquement alloueacute agrave lenseignant Ce

marquage des places consubstanciellement lieacute au fonctionnement didactique du

savoir est un processus geacuteneacuteral que jai proposeacute(32) dappeler la topogeacutenegravese (du grec

topos lieu) Mais la dialectique topogeacuteneacutetique peut ecirctre plus ou moins resserreacutee plus

ou moins relacirccheacutee dans ce dernier cas (qui correspond comme jessaierai de lindiquer

plus loin agrave ce que nous voyons majoritairement se produire aujourdhui agrave propos de

lemploi du langage algeacutebrique) les eacutechanges entre eacutelegraveves et enseignant demeurent

pauvres la communication est distante parce que les uns et les autres ne se mesurent

pas aux mecircmes tacircches (le professeur deacutemontre une eacutegaliteacute litteacuterale leacutelegraveve lapplique

agrave des cas particuliers numeacuteriques) Avec les fractions une fois fixeacutee larchitecture

geacuteneacuterale de leacutedifice il en va autrement passeacutes les calculs les plus simples les calculs

qui ne sont pas triviaux pour leacuteiegraveve - tout en demeurant de lordre de ce qui peut

loyalemeacutent lui ecirctre demandeacute - ne le scgtnt quagrave peine moins pour le professeur Les

partenaires de linteraction didactique se rapprochent autour dune tacircche unique

jusquagrave sembler parfois unir leurs efforts agrave la recherche dune commune reacuteponse

Tout comme la geacuteomeacutetrie (qui soppose par cela et du seul point de vue didactique

deacutejagrave agrave lalgegravebre en geacuteneacuteral) les fractions constituent loccasion dune reacuteelle convishy

vialiteacute dans la classe Les distinctions qualitatives (marqueacutees par des tacircches de natures

diffeacuterentes) sestompent au profit de simples diffeacuterences quantitatives (lenseignant

va plus vite plus sucircrement mais il ne sait rien de plus que leacutelegraveve et ne fait rien de

plus que lui) Le groupe agrave la fois se rassemble gagne en coheacutesion et en mecircme temps

se diffeacuterencie continucircment sans que son identiteacute sy perde

1 y a lagrave quelques-unes des raisons didactiques qui expliquent la preacuteeacuteminence

de fagraveit de leacutetude des fractions dans les classes actuelles de quatriegraveme Or - et nous

faisons lagrave retour agrave notre sujet quen fait nous navions pas quitteacute - dans le vocabushy

lairedes enseignants les fractions font partie de lalgegravebre Mecircme si le programme

officiel nutilise pas le terme il semble que lusage se soit spontaneacutement creacuteeacute de nommer

laquoalgegravebreraquo dans la pratique de la classe ce qui nest pas geacuteomeacutetrie lalgegravebre cest

globalement lautre de la geacuteomeacutetrie Cet emploi peut-ecirctre irreacutefleacutechi du mot ne manque

pourtant pas de justificatifs Les heacutesitations historiques dont nous avons parleacute trashy

duisent aussi (par delagrave lopposition fractions de nombres arithmeacutetiques fractions de

nombres algeacutebriques) une reacutealiteacute qui perdure les fractions (dentiers) ne sont pas

(32) Voir Chevallard 1980b

72

de lalgegravebre au sens ougrave elles ne contiennent pas de lettres (les lettres sont essentielleshy

ment utiliseacutees par le professeur pour formuler les lois qui reacutegissent leur calcul) mais

elles relegravevent de llaquoalgeacutebriqueraquo en cela quelles sont le lieu dun jeu formel portant

sur des eacutecritures Elles offrent donc loccasion dune algegravebre sans algegravebre qui fait le

gros morceau de lalgegravebre aujourdhui enseigneacutee Il faut voir par quel cheminement

on en est venu lagrave

VII - LA DIALECTIQUE NUMERIQUEALGEBRIQUE

PoUr expliquer plus complegravetement et leacutevanouissement des parties algeacutebriques

de lalgegravebre et - correacutelativement - le come-back des fractions il nous faut compliquer

quelque peu le talJleau que nous avons traceacute jusquici A lopposition structurelle de

larithmeacutetique et de lalgegravebre correspondait - en principe - une dialectique fonctionshy

nelle entre numeacuterique et algeacutebrique Cest sur cette dialectique que nous devrons

dabord nous arrecircter un instant

Il faut pour cela prendre quelque recul Cette dialectique en effet existe

historiquement avant lalgegravebre (avant la construction dun langage algeacutebrique propreshy

ment dit) Les Grecs distinguent entre deux arithmeacutetiques larithmeacutetique vulgaire

ou logistique celle des calculateurs et larithmeacutetique laquopropre aux philosophesraquo

comme dit Platon cest-agrave-dire en gros la theacuteorie des nombres Les calculateurs cal~

culent Les arithmeacuteticiens eacutetudient la structure du numeacuterique Tous manipulent pour

cela un langage du numeacuterique~ mais tous ne lemploient pas aux mecircmes tacircches et ne

lui reconnaissent pas les mecircmes valeurs Dans larithmeacutetique pratique lanalyse du

numeacuterique procureacutee par le langage adopteacute est un moyen ordonneacute agrave un but opeacuterer

des deacutenombrements effectuer des calculs Si dans notre systegravememiddotactuel de numeacuteration

je deacutesire calculer 12 X 12 par exemple je nai besoin dautre analyse du nombre 12

que celle qui mest immeacutediatement donneacutee dans leacutecriture (deacutecimale) de ce nombre

(ch iffre des dizaines 1 chiffre des uniteacutes 2) Mais si comme le scribe du papyrus

Rhind je ne sais multiplier que par duplications successives et additions je devrai

recourir agrave une analyse moins immeacutediate du nombre 12 (qui ne mest pas offerte par

leacutecriture deacutecimale actuelle) Il me faudra observer que 12 = 4 + 8 et calculer ainsi(33)

1 12 2 24 4 48 8 96

(33) Voir Smith 1953 p 106

73

dougrave je deacuteduirai que 12 X 12 = 12 X (4 + 8) = 48 + 96 = 144 De telles manleres

de faire qui se rencontrent encore agrave des dates rapprocheacutees(34) apparaissent agrave lutilisashy

teur contemporain comme des survivances dun acircge imparfait Un bon systegraveme

numeacuteration-algorithmes de calcul en effet doit ecirctre tel que toute linformation requise

pour mettre en œuvre les algorithmes de calcul soit donneacutee dembleacutee avec les nombres

donneacutes eacutecrits dans le langage numeacuterique utiliseacute cest-agrave-dire soit apparente dans leacutecriture

mecircme de ces nombres En dautres termes un bon systegraveme numeacuteration-algorithmes

reacutecuse tout appel aux matheacutematiques fucirct-ce sous une forme apparemment anodine

Lusager dun tel systegraveme est eacutevidemment supposeacute pouvoir calculer que 4 + 8 = 12

(ce pour quoi le systegraveme est fait) mai~ le contrat dutilisation qui regravegle ses rapports

avec le systegraveme exclut quil ait agrave penser que 12 = 4 + 8 Paradoxalement peut-ecirctre

lun des effets et sans doute des buts (poursuivis de maniegravere plus ou moins intentionshy

nelle) de lactiviteacute matheacutematique est de proposer agrave lusage social des proceacutedures non

matheacutematiques obtenues par deacutematheacutematisation progressive de proceacutedures agrave lorigine

proprement matheacutematiques Le fait est banal et geacuteneacuteral les progregraves de leacutelectronique

me dispensent aujourdhui du bricolage auquel eacutetaient tenus les utilisateurs du poste

agrave galegravene

En fait le royaume du calcul numeacuterique est reacutegi par la loi de simplification

inteacuterioriseacutee en habitus(35) dont lune des clauses est constitueacutee par le principe

dachegravevement des calculs Selon ce laquoprinciperaquo lexpression laquo4 + 8raquo ne saurait en

calcul numeacuterique figurer comme reacuteponse le calcul agrave ce stade eacutetant laquoinacheveacuteraquo (36)

Lexpression laquo4 + 8raquo ne saurait ainsi ecirctre quune forme transitoire labile (parce que

quatre plus huit eacutegale douze) et nexiste pas plus dune maniegravere libre que latome

doxygegravene en dehors de la moleacutecule deg 2

Il en va tout autrement avec la tradition laquonobleraquo de la laquotheacuteorie des nombresraquo

Les Pythagoriciens au tout deacutebut de la science grecque eacutelaborent ainsi toute une

conception de la repreacutesentation laquogeacuteomeacutetriqueraquo des nombres soit une arithmo-geacuteoshy

meacutetrie(37) Consideacuterons par exemple les entiers impairs 5 et 7 Leurs repreacutesentations

(34) Ibid

(35) P Bourdieu deacutesigne par habitus des laquosystegravemes de dispositions durables structures structureacutees preacutedisposeacutees agrave fonctionner comme structures structurantes cest-agrave-dire en tant que principe de geacuteneacuteration et de structuration de pratiques et de repreacutesentations ( hgt (Bourdieu 1974 p 175)

(36) Les Instructions de janvier 1957 (sur lesquelles nous revenons plus loin) parlent explicitement de laquocalcul conduit jusquagrave son achegravevementraquo fait rare et remarquable car il est de la nature dun habitus de ne pas supposer lexplicitation des principes agrave lorigine de son efficace

(37) Sur larithmo-geacuteomeacutetrie des Grecs voir Michel 1959 pp 295-325

74

figureacutees peuvent ecirctre disposeacutees ainsi

o o o o o

o o o o o

o 0 5 7

Reacuteunissons ces repreacutesentations de la maniegravere suiyante

o o o o

o o o o

o 0

o 0

En les regroupant adeacutequatement il apparaicirct que la somme 5 + 7 est Lin multiple de

4 (plus preacuteciseacutement que 5 + 7 = 3 X 4) -1------------ -------------1

1 shy10 Oi iO 011 1 1 shyi i 1

- 1shyj j - 1

rO Oi iO1

O shy

i -_------------ [-------------1 iO Oi 1 i 1

Jo oi i

De plus si on laquocomplegraveteraquo le carreacute on voit apparaicirctre immeacutediatement que 5 + 7 est

une diffeacuterence de deux carreacutes (plus preacuteciseacutement que 5 + 7 = 43 - 22 )

o o o o

o o o o

o o x x

o o x x Ces monstrations qui au sens strict nont de force deacutemonstrative que pour les valeurs

numeacuteriques particuliegraveres traiteacutees ont en fait une valeur geacuteneacuterique comme les figures

(et les deacutemonstrations quelles permettent) en geacuteomeacutetrie on nest pas loin dune

deacutemonstration valable pour tous les couples dimpairs conseacutecutifs Nous pouvons

reacutetrospectivement admirer la finesse intellectuelle que linvention et lemploi de

telles proceacutedures supposent Mais nous pouvons aussi voir que notre langage algeacutebrique

actuel (creacuteeacute par Viegravete Descartes et quelques autres) sinscrit dans le prolongement

de cette analyse du numeacuterique tout en la deacutepassant en souplesse et en puissance

75

Sur le mecircme problegraveme aujourdhui nous obtenons par exemple ceci soient 2p - 1

et 2p + 1 deux impairs conseacutecutifs leur somme (2p - 1) + (2p + 1) = 4p est un

multiple de 4 et puisque 4p = (p + 1) - (p - 1)2 elle seacutecrit aussi comme une

diffeacuterence de deux carreacutes Le langage nOuveau permet dabord de formuler le problegraveme

dans sa geacuteneacuteraliteacute puis de le reacutesoudre de maniegravere eacutegalement systeacutematique

Le calcul numeacuterique utilise le langage numeacuterique pour son pouvoir deacutesignatif

eSSentiellement laquo34raquo et laquo075raquo ou encore laquo4 + 8raquo et laquo12raquo sont agrave cet eacutegard eacutequivashy lents puisquils deacutesignent le mecircme nombre (simplement laquo34raquo est une fraction laquonon

effectueacuteeraquo laquo4 + 8raquo une somme non effectueacutee) ils sont des noms diffeacuterents pour

un mecircme ecirctre matheacutematique Larithmeacutetique laquoalgeacutebriqueraquo au contraire distingue

ces noms parce que bien quils deacutesignent la mecircme chose ils ne montrent pas la mecircme

chose (ils napportent pas la mecircme information monstrative) agrave propos de lecirctre matheacuteshy

matique dont ils sont deux noms diffeacuterents (ltlt4 + 8raquo ou mieux laquo22 +23 raquo montre

que 12 est une somme de puissances de deux etc) Cest ainsi que au cœur mecircme

du langage numeacuterique sinsinue un clivage et pour tout dire une tension entre deux

modes de fonctionnement lefficaciteacute deacutesignative (propre agrave lusage calculatoire du

langage numeacuterique) tend agrave ignorer lagrave valeur monstrative de lexpression eacutecrite le

principe dachegravevement des calculs voue agrave leacutepheacutemegraverelesmiddotltltnoms intermeacutediairesraquo et

laquo4 + 8raquo devient ainsi laquo12raquo sans quaucune trace nous soit conserveacutee de lhistoire

de ce laquo12raquo Ali contraire le langage algeacutebrique - notamment parce quil est une

meacutemoire - vient permettre de conserver de meilleure faccedilon linformation monstrative

et surtout de faire apparaicirctre linformation monstrative pertinente le passage en

simplification de lexpression (2p - 1) + (2p + 1) agrave lexpression 4p fait apparaicirctre

que (2p - 1-) + (2p+ 1) deacutesigne un nombre multiple de 4 le passage en complexifishy

cation de 4p agrave (p + 1)2 - (p - 1)2 fait apparaicirctre que (2p - 1) + (2p + 1) est une

diffeacuterence de deux carreacutes

La creacuteation du langage algeacutebrique permet de deacutegager plus nettement laprobleacuteshy

matique deacutetude du nurileacuterique en la posant - sans lopposer - agrave cocircteacute de la perspecshy

tive calculatrice Elle permet donc dexpliciter ce qui demeurait largement implicite shy

la copreacutesence de deux maniegraveres davoir affaire au numeacuterique - et par lagrave dapaiser

les tensions Mais son surgissement historique permet surtout de mieux maicirctriser

la dialectique du numeacuterique et de lalgeacutebrique jusque-lagrave conduite avec des moyens

matheacutematiques insuffisamment adeacutequats Lalgeacutebrique est un outil de leacutetude du

numeacuterique le premier outil le plus eacuteleacutementaire sans doute (agrave un niveau avanceacute intershy

viendraient par exemple la theacuteorie des seacuteries entiegraveres la theacuteorie des fonctions analytishy

ques etc) Mais inversement (et cest ce qui nous autorise agrave parler de dialectique)

pour que le fonctionnement de cet outil soit efficace il faut quelque peu eacutetudier

cet outil par exemple se poser les problegravemes de la factorisation des expressions algeacuteshy

briques (afin notamment de reacutesoudre des eacutequations algeacutebriques) Or en ce point le

numeacuterique lui-mecircme est un outil deacutetude agrave lalgeacutebrique le flux sinverse Sans parler

76

de toutes les meacutethodes numeacuteriques qui font appel le plus souvent agrave des proprieacuteteacutes

danalyse (cest-agrave-dire concernant le corps des reacuteels et les fonctions dune variable

reacuteelle par exemple) on peut citer - pour prendre un exemple assez gros pour ecirctre

tout agrave fait visible - le theacuteoregraveme dEinsenstein sur la factorisation dans Q[X] (38)

Newton dans son Arithmetica Universalis deacutejagrave mentionneacutee montre une grande attenshy

tion agrave ce genre de laquoretoursraquo du numeacuterique vers lalgeacutebrique Ainsi donne-t-i1 une

meacutethode ingeacutenieuse pour trouver les facteurs dune expression algeacutebrique(39)

Si par exemple la quantiteacute proposeacutee est x 3 - x - 10x + 6 agrave la place de x

je substitue successivement les termes de la progression arithmeacutetique 1 0 -1 il en

naicirctra les nombres -4 + 6 + 14 Je place chacun deux avec tous ses diviseurs dans

la ligne du terme de la progression 1 0 -1 qui la produit comme on peut le voir

dans lexemple suivant

1 4 124 +4 o 6 1 2 3 6 +3

- 1 14 1 2 7 14 +2

Ensuite comme le terme le plus eacuteleveacute x3 na pas de diviseur de luniteacute je

cherche parmi les diviseurs quelque progression dont les termes ne diffegraverent que

dune uniteacute et qui en descendant des plus forts au plus faibles deacutecroissent comme

ceux de la progression 10 -1 Je ne trouve quune progression de cette espegravece cest

4 3 2 Je prends donc le terme + 3 qui se trouve dans la mecircme ligne que 0 de la

premiegravere progression 1 0 -1 je le joins agrave x et je tente la division par x + 3 elle

reacuteussit et jobtiens pour quotient x 2 - 4x + 2

Au-delagrave de la disparition de la structure du corpus matheacutematique enseigneacute en arithshy

meacutetique et algegravebre cest la dialectique du numeacuterique et de lalgegravebre - implicitement

preacutesente agravetravers llaquooppositionraquo de larithmeacutetique et de lalgegravebre - qui va se trouver

atteinte Plus que jamais les liens du numeacuterique et de lalgeacutebrique sen trouveront

relacirccheacutes

VIII - UNE CONCEPTION EMPIRISTE DU REEL MATHEMATIQUE

Leffacement de lopposition arithmeacutetiquealgegravebre en effet altegravere les condishy

tions de la mise en rapport du numeacuterique et de lalgeacutebrique Lancien rapport doutil

(38) Soit PIt) = a + a t + + a t n un polynocircme agrave coefficients dans if Sil existe un nombre premier p tel que0 1) ~ rie divise ~as an 2) p divise a al an_l p2 ne divise pas ao alors P o est irreacuteductible sur O

(39) Arithmeacutetique universelle tome premier pp 47-48 Nous laissons au lecteur le soin dapporter la justification matheacutematique requise

77

de travail agrave objet travailleacute semble perdu Les deux domaines - le numeacuterique -le

litteacuteral - vont coexister dans une simple juxtaposition existants qui trouvent en

eux-mecircmes leur propre justification Les rapports naguegravere encore banals entre ces

deux ordres de reacutealiteacute matheacutematiques semblent deacutesormais abolis Ou plutocirct ils laissent

place agrave des rapports nouveaux et inverseacutes ce nest plus lalgeacutebrique qui vient pershy

mettre deacutetudier le numeacuterique cest le numeacuterique qui laquojustifieraquo et laquopermet de comshy

prendreraquo lalgeacutebrique Le document 5 extrait dun manuei de quatriegraveme actuel (40)

IIUDIFFeacute~ENCS ce ceux C~CIMAUX [

x-eD yeC zeC z-z -y signifie que z+y-z Comment est appel z pour z et y dans ct ordre Observe

13-(-7) z+-7)middot13

[+(-7)j+713+7 +[(-7)+71-13+7

+0-13+7 zo13+-7

z-z-y z+y-z

(+y) + (-y)- +-(-y) +(y+ (-y)]-x + (-y)

z+O-z + (-y) -+(-y)

Pour tout xde D pour tout y de 0 z - y est un deacutecimal et z - y = +(-y) Exemples 8-(-7)=8+7=15 9-14=9+(-14)=-5 Lopeacuteration- qui agrave chaque coupe (z y) z e 0 y E C fait correspondre le deacutecimal Z - J est la soustraction dans O

DOCUMENT 5

Lalgeacutebrique comme essence du numeacuterique

nous donne de ce pheacutenomegravene un exemple tregraves net lintention didactique est ici

de justifier le fait que x - y = x + (-y) Pour le matheacutematicien la laquojustificationraquo shy

qui est alors strictement une deacutemonstration - est toute entiegravere contenue dans la

colonne de droite si je deacutefinis en geacuteneacuteral-y comme eacutetant le nombre tel quey + (-y) = 0

et si les proprieacuteteacutes ordinaires - associativiteacute etc - valent encore pour le nouvel

ensemble de nombres ainsi deacutefini alors le nombre z que je dois ajouter agrave y pour

obtenir x - ce quon appelle la diffeacuterence de x et y et qUon note x - y - nest pas

autre chose que x + (-y) Or la laquojustificationraquo passe dans la didactique ici examineacutee

par lappel au concret cest-agrave-dire au numeacuterique tel est le rocircle de la colonne de

gauche Ce sont les calculs numeacuteriques de la colonne de gauche qui soutiendraient

le sens (pour leacutelegraveve) des calculs litteacuteraux de la colonne de droite Malheureusement

le contenu de la colonne de gauche est si lon peut dire hautement improbable

(401 Il sagifdu _manuel Matheacutematique contemporaine pour la classe de quatriegraveme publieacute chez Magnard et conforme au programme de1978shy

78

parce que le numeacuterique ne fonctionne pas ainsi En fait les calculs numeacuteriques preacuteshy

senteacutes ici nexistent quagrave ecirctre limage en miroir des calculs litteacuteraux de la colonne

de droite Et cest pour permettre de tels calculs que le langage algeacutebrique preacutecishy

seacutement est neacutecessaire Il y a ainsi meacuteprise sur la speacutecificiteacute des deux ordres de calcul

et conseacutequemment sur le type de rapports quils entretiennent la justification

de lalgeacutebrique sappuierait sur un mode de fonctionnement du numeacuterique qui nest

en fait quun deacutecalque du fonctionnement de lalgeacutebrique et qui donc suppose

lalgeacutebrique

Leacutelucidation du nouveau rapport qui saffirme ainsi nest pas chose facile Elle

est pourtant neacutecessaire afin de preacuteciser par delagrave la surface des programmes les mouveshy

ments profonds produisant des deacutecisions didactiques quon aurait tort de regarder

seulement comme des laquotrucsraquo eacuteleacutements atomiques de strateacutegies trouvant en ellesshy

mecircmes et dans leurs effets supposeacutes leur unique mobile Revenons agrave lexemple que

nous avons examineacute Lalgeacutebrique y apparaicirct comme la laquotheacuteorieraquo de cette laquoreacutealiteacuteraquo

que serait le numeacuterique Mais les relations en acte entre theacuteorie (permettant leacutetude)

et reacutealiteacute (objet de leacutetude) y ressortissent incontestablement agrave une conception empishy

riste (et mecircme nous allons le voir empiriste-sensualiste) de la connaissance Tel est

en fait le mobile - veacutecu sans doute comme allant de soi dans leacutevidence que lideacuteoshy

logie procure - de la tentative de laquofaire sortirraquo la theacuteorie (lalgeacutebrique) de la reacutealiteacute

(numeacuterique) Il ya ici inversion des rapports entre theacuteorie et reacutealiteacute Car le surgissement

du theacuteorique - faut-il le rappeler - ne sautorise jamais que de lui-mecircme et loin

de proceacuteder de la reacutealiteacute la constitue (ou la renouvelle) comme objet de connaissance

Si jeacutecris par exemple 13 + 7 = 13 - (-7) selon un fonctionnement du numeacuterique

antinomique de la pratique calculatoire (cest-agrave-dire arithmeacutetique) du numeacuterique shy

laquelle voudrait quon eacutecrivicirct 13 + 7 = 20 - je fais de lalgegravebre sur du numeacuterique

cest loutil algeacutebrique et lui seul qui me permet ce travail du numeacuterique Entre le

fonctionnement arithmeacutetique et le fonctionnement algeacutebrique du numeacuterique il y a

ainsi une distance - un saut - que nul proceacutedeacute dlaquoabstractionraquo ne peut venir combler

On aurait tort de penser que lanalyse preacuteceacutedente ne vaut que pour lexemple

sur laquelle nous lavons illustreacutee En reacutealiteacute sa porteacutee est beaucoup plus eacutetendue

et pour en saisir toute la signification il faut revenir agrave cette acmeacute de leacutevolution de

la transposition didactique que repreacutesente la reacuteforme de 1971 (celle des laquomatheacutemashy

tiques modernesraquo) Contrairement aux opinions aujourdhui dominantes qui selon

un opportunisme neacutecessaire et une constante inconstance reacutecusent cette reacuteforme

pour ses excegraves et la regardent comme laberration dun moment il faut tenir que cette

aberration nen est pas une quelle ne fait que preacutecipiter cristalliser et rendre explicites

des traits qui deacutejagrave se repegraverent dans leacutevolution des deacutecennies preacuteceacutedentes Elle est un

moment qui donne sens reacutetrospectivement agravece qui vient avant lui et deacutetermine

largement ce qui viendra apregraves lui Car sil y a en quelque faccedilon rupture cest sur le

fond dune tregraves large surdeacutetermination En profondeur le programme de 1971 - pour

79

sen tenir agrave la classe de quatriegraveme - constitue une radiographie saisissante dune

eacutevolution que le programme de 1978 nadoucira quen surface Cest cette image

laquodureraquo quil faut interroger

On a trop vitupeacutereacute linflation moderniste le parti pris theacuteoriciste lambition

de rigueur des matheacutematiques promues par la reacuteforme et trop peu vu derriegravere cet

eacutecran deux mouvements correacutelatifs moins spectaculaires mais deacuteterminants Le

premier - que nous avons deacutejagrave plusieurs fois mentionneacute - cest lenvahissement du

champ deacutetude par les structures numeacuteriques Les laquoexcegravesraquo du programme de 1971

sont le prix agrave payer pour ce coup de force qui se megravene alors - simple tactique dun

moment le programme de 1978 installera une version apaiseacutee de la mecircme strateacutegieshy

avec lartillerie lourde de laquolapproche des reacuteelsraquo des laquocalculs approcheacutesraquo des laquoencashy

drementsraquo de haute ambition matheacutematique Le seCond cest la peacuteneacutetration dun

thegraveme qui va devenir central celui de llaquoobservationraquo et de llaquoexpeacuterimentationraquo

matheacutematiques

Fausse moderniteacute ce thegraveme est mis en place degraves les Instructions de janvier

1957 (annexe 6a) dont les Instructions de 1971 se reacuteclameront non sans raicon Il

prend alors lallure dune reacuteflexion sur les liens entre matheacutematique et extramatheacutemashy

tique La caution bergsonienne ici invoqueacutee - homo taber homo sapiens - bien que

dateacutee est agrave cet eacutegard tregraves significative La perspective proposeacutee ne conduit pas tregraves

loin les problegravemes denseignement se trouvent laquoreacutesolusraquo par une didactique euphoshy

rique (annexe 6b) Au vrai la conjoncture historique qui verra la mise en place des

matheacutematiques modernes nest alors quincomplegravetement formeacutee Ce qui manque

encore afin que lideacutee dexpeacuterimentation puisse passer dans les faits cest une matiegravere

que lon pourrait soumettre agrave lobservation et agrave lexpeacuterience A cet eacutegard les Instrucshy

tions de 1957 raisonnent encore agrave lancienne la notion dexpeacuterimentation y est

surtout loccasion dune rheacutetorique qui tourne sur elle-mecircme faute de pouvoir sapplishy

quer Mais cette matiegravere dapplication qui fait deacutefaut la reacuteforme va lapporter en

abondance ce sera le numeacuterique dont nous comprenons mieux degraves lors la place

de choix que les programmes reacuteformeacutes vont lui accorder Son expansion se trouvait

en fait comme appeleacutee par lexigence laquoexpeacuterimentaleraquo induite par une certaine concepshy

tion eacutepisteacutemologique et didactique

Le deacutecor de laction est installeacute en consonance avec une mise en scegravene empiriste

du procegraves de connaissance(41) Il Y a la laquoreacutealiteacuteraquo qui est un donneacute dont la preacutesence

simpose avec la derniegravere force et il y a la laquotheacuteorieraquo de ce donneacute que lon preacutetend

tirer par abstraction de lobjet agrave laquelle elle se voue La dialectique du numeacuterique

et de lalgeacutebrique est alors perdue lun de ses termes (lalgeacutebrique) se dissout dans

(41) Pour lintelligence de ce qui suit nous renvoyons agrave Althusser 1968 notamment pp 38-45

80

lautre (le numeacuterique) agrave qui est octroyeacute par nature une existence presque mateacuterielle

et dont lalgeacutebrique proceacutedera geacuteneacutetiquement La reacuteforme de 1971 remanie donc

le champ deacutetude pour y produire de solides objets laquoreacuteelsraquo agrave forts coefficients dexis-shy

tence les structures numeacuteriques et aussi la mysteacuterieuse laquodroite physiqueraquo dont la

soudaine promotion ontologique serait autrement encore plus inexplicable(42) Cela

poseacute lintroduction du litteacuteral (lalgeacutebrique) sidentifie au mouvement par lequel

dans le procegraves empiriste de connaissance se repreacutesente lessence du reacuteel qui est toute

la connaissance que le sujet peut tirer de lobjet par abstraction il permet de distinguer

entre un reacuteel essentiel et un reacuteel inessentiel gangue ou accident que le processus

dabstraction abandonne comme un reacutesidu impenseacute Labstraction qui vise agrave porter

agrave la lumiegravere ce quon pourra connaicirctre de lobjet agit par deacutecrassage et deacutecapage

CHA~tTRbullbull tour dieacuteremcs ftiems de 1t 011 obti=c cIes putitioas cilifeacute=o~ Uuml fiIure 2 repreacutese1tt (parshy

tieJ1emenz) les paniagravecas ~ i- II-l 11--0 11 - - l~ = grouie agrave la loupe la paftiriœ cozrcspoadaDc agrave Il - - 2shy

f-oo( [Q10[

1 1

~ Q t

(-2 ~( T

[l 0 ( [01 ( r12 r i i i i J r sr

-1shy 0 t

1 1 1 1 1 1 1 1 shy 1 bull 1 1 1 11

-1 -01 001 lU 03 ~ o~ 06 07 oa 09 1 11

P4 041 ~l ~~I 041ds1 -i -o] OoJ O4l o~ 04S 04) ~ 1 ~1 1

fJvZ

li) De m=c si II eR lD1 emer œIaagravef acirczeacute et si CI pr=d tOlIœS les ftiems possibles da2s Z r=semblc cIes imenalles cie c

Jcr10 (CI + L 10

eR iJMpcrtirIcircD1f de C Uuml figure 3 repreacutes=œ (articllemcm) =œ putitioll p04 shy O~

r 1 i 1 T l 1 1 -5 -4shy -3 -2 -r agrave l Z ~ 4shy 5

~3

DOCUMENT6

Le deacutecapage du donneacute dans le processus empiriste de connaissance

(42) Voir Chevallard et Johsua 1982 notamment pp 200-203

81

agrave ce thegraveme geacuteneacuteral de la connaissance empiriste reacutepond correctement dans les proshy

grammes la notion dlaquoapprocheraquo ou dlaquoapproximationraquo des laquoreacuteelsraquo (qui nont jamais

aussi bien porteacute leur nom) Ceux-ci sont atteints par le moyen de purifications successhy

sives qui eacuteliminent peu agrave peu la gangue inessentielle Tel manuel (43) pris parmi tant

dautres- en offre la superbe illustration (document 6) limage de la loupe - emblegraveme

de la connaissance empiriste dont elle est linstrument privileacutegieacute parce quelle permet

de mieux voir et de faire voir - y est requise et symbolise mieux quun long commenshy

taire cette conception de la connaissance comme visant agrave amener linvisible agrave la

vue de tous

Une telle conception de la connaissance rate le reacuteel dont il sagirait preacuteciseacutement

de produire la connaissance parce quelle en manque la constitution comme objet

de connaissance(44) Lalgeacutebrique ne sert plus agrave connaicirctre le numeacuterique Il nest plus

deacutesormais quune steacutenographie middotessentialisante qui deacutecrit reacutesume et seacutepare lessence

de laccident Le surgissement laquomoderneraquo de la dichotomie de llaquoobservationraquo et de

la laquotheacuteorieraquo - que les manuels actuels reprennent agrave lenvi - est ainsi correacutelatif dune

dissolution de lobjet de connaissance au profit de lobjet reacuteel maintenant donneacute

agrave voir dans une abstraction reacuteputeacutee immeacutediate et facile Lordre didactique va sorgashy

niser autour de cette eacutepisteacutemologie imaginaire

REFERENCES

ALTHUSSER L (1968) Lire le Capital Franccedilois Maspeacutero Paris

BOURDIEU P (1974) Le sens pratique eacuteditions de Minuit Paris

BROUSSEAU G (1980) Problegravemes de lenseignement des deacutecimaux Recherches

en didactique des matheacutematiques 1middot1 pp 11-59

CHEVALLARD Y (1980a) Matheacutematiques langage enseignement la reacuteforme des

anneacutees soixante Recherches 41 pp 71-99

CHEVALLARD Y (1980b) La transposition didactique 1REM dAix-Marseille

CHEVALLARD Y (1982) Pourquoi la transposition didactique 7 Publication du

seacuteminaire de didactique et peacutedagogie des matheacutematiques 32 Grenoble

CHEVALLARD Y et JOHSUA MA (1982) Un exemple danalyse de la transposition

didactique Recherches en didactique des matheacutematiques 3 2 pp 157-239

MICHEL PH (1950) De Pythagore agrave Euclide Les Belles Lettres Paris

SMITH DE (1953) History of mathematics volume Il Dover publications Inc

New York

(43) Il sagit de louvrage mentionneacute dans la note 24 ci-dessus

(44) Sur la distinction entre laquoobjet reacuteelraquo et laquoobjet de connaissanceraquo voir Althusser 1968 pp 4649

82

CLASSE DE QUATRIEME CLASSIQUE A ET B ET DE QUATRIEME MODERNE

PROGRAMME DE 1945 (extraits)

Arithmeacutetique

Pratique sur des exemples de la deacutecomposition dun nombre entier en facteurs premiers de la recherche du plus grand commun diviseur et du plus petit commun multiple de deux ou plushysieurs nombres Applications aux fractions

Algegravebre

Nombres algeacutebriques (positifs nuls heacutegatifs) Opeacuterations sur ces nombres exposeacutes agrave partir de problegravemes concrets Ineacutegaliteacutes

Mesures algeacutebriques de vecteurs sur une droite orienteacutee Formule de Chasles Repeacuterage dun point sur un axe

Eleacutements du calcul algeacutebrique proprieacuteteacutes des sommes et des produits Puissances Produit et quotient de deux puissances dun nombre usage de lexposant nul et dexposants neacutegatifs

Monocircmes Produit de monocircmes Quotient de deux nombres Somme de monocircmes semblables (on se bornera agrave des monocircmes agrave une deux ou trois variables) Polynocircmes agrave une variable addition soustraction multiplication par une constante

Equations numeacuteriques du premie( degreacute agrave une inconnue Problegravemes conduisant agrave une eacutequation numeacuterique du premier degreacute agrave une inconnue

Annexe 1

83

CLASSE DE QUATRIEME

PROGRAMME DE 1958 (extraits)

Arithmeacutetique

Pratique sur des exemples de la deacutecomposition dun nombre entier en un produit de nomshybres premiers pratique de la recherche du plus grand diviseur commun et du plus petit multiple commun de deux ou plusieurs nombres Applications

Algegravebre

1 - Nombres relatifs (positifs nuls neacutegatifs) Orientation dun segment (vecteur) orientation dune droite (axe) mesure algeacutebrique

dun segment orienteacute sur un axe repeacuterage dun point sur un axe (abscisse)

II - Opeacuterations eacuteleacutementaires sur les nombres relatifs addition et soustraction multiplishycation et division

Extension aux nombres relatifs des proprieacuteteacutes fondamentales eacutetablies pour les nombres arithmeacutetiques (classe de cinquiegraveme) concernant les sommes les diffeacuterences les produits les puisshysances n-iegravemes les quotients linverse dun nombre non nul Condition pour quun produit soit nul

Deacutefinition des exposants neacutegatifs et de lexposant nul Comparaison des nombres relatifs ineacutegaliteacutes Ineacutegaliteacutes concernant la valeur absolue dune somme ou dune diffeacuterence Formule de Chasles pour trois points situeacutes sur un axe Segment deacutefini par les abscisses

des deLix points qui le limitent mesure algeacutebrique de ce segment orienteacute mesure de la longueur de ce segment abscisse du milieu de ce segment

III - Notions de variables et de correspondance entre variables Expressions algeacutebriques deacutependant dUne ou de plusieurs variables calcul de la valeur

numeacuterique dune expression algeacutebrique pour des valeurs numeacuteriques donneacutees aux Ymiddotariables Monocircmes agrave une ou plusieurs variables multiplication addition de monocircmes semblables Polynocircmes forme reacuteduite Polynocircmes ordonneacutes addition multiplication Identiteacutes relatives aux produits (x + y)2 (x - y)2 (x + y)(x - y)

IV - Equations position du problegraveme signification du signe = dans ce problegraveme Equashytions du premier degreacute agrave une inconnue agrave coefficients numeacuteriques Reacutesolution de problegravemes simples agrave laide dune telle eacutequation

Annexe 2

84

CLASSE DE QUATRIEME

PROGRAMME DE 1971 (extraits)

1 - Relations

Reacutevision -des notions preacutesenteacutees dans les classes anteacuterieures et compleacutements produit carteacutesien relation application composition des applications bijection cun ensemble sur un ensemble et bijection reacuteciproque

Notion de groupe deacutefinition (on la jeacutegagera des exemples du programme)

II - Nombres deacutecimaux relatifs et approche de reacuteel

1 Groupe des puissances de dix

Nombres deacutecimaux relatifs eacutecrits a 10n avec a e7l et p E7 et sous forme de nombres agrave virgule addition multiplication ordre valeur absolue Reacutesumeacute des proprieacuteteacutes fondamentales de lensemble ainsi structureacute des deacutecimaux relatifs

2 Calculs approcheacutes

a) EnC3drement dun nombre deacutecimal par des intervalles des types [a 10pbull (a + 1) 10middot[ da 101 (a + 1) 10- [a 10pbull (a + 1) 101] avec a E Z et p E Z Sur des exelJlples encamiddot drement middotdune somme dun produit

b) Exercices de deacutetermination pour un deacutecimal strictement positif d donneacute et pour un entier relatif n donneacute du nombre deacutecimal x bull 10 avec x E IN tel que soient veacuterifieacutees les ineacutegaliteacutes 0 ~d x 10 ~ 1 lt d (x + 1) 10

c) Exercices de deacutetermination pour un deacutecimal strictement positif d donneacute et pour un entier relatif n jonneacute du nombre deacutecimal y bull 10 avec y E IN tel que soient veacuterifieacutees les ineacutegaliteacutes [y 10P ~ d lt [(y + 1) 10]

d) Suites deacutecimales illimiteacutees nombres reacuteels encadrements dun nombre reacuteel

3 Enumeacuteration des principales proprieacuteteacutes qui structurent fensemble IR des reacuteels addition (IR +) est un groupe commutatif multiplication associashytiYiteacute distributiviteacute par rapport agravefaddition ordre et valoeur absolue

On admettra que pour tout nombre reacuteel a jiffeacuterent de 0 il existe un nombre reacuteel a-1 et un seul tel que aa-1 = 1 Pour tout couple de nombres reacuteels (a b) avec a = 0 il existe un nombre reacuteel unique x appeleacute quotient de b par a

b et noteacute ba-1 ou - tel que ax = b a

Exercices simples de calcul sur de tels quotients Sur des exemples -numeacuteriques eacutequations et ineacutequations du premier degr9 agrave une inconnue

Usage des exposants entiers groupe des puissances dun nombre reacuteel non nul

Calculs approcheacutes sur les nombres reacuteels

4 Exemples de fonctions polynocircmes (applications de IR dans IR) Degreacute Exercices de calcul SUT les polynocircmes Produits (x + a)2 (x - a)2 (x + a) (x - a) Exercices de factorisation

Annexe 3

85

ENCYCLOPEDIE QUILLET (1958)

TABLE DES MATIERES (extraits)

ARITBMEacuteTIQUE Notio~ preacute1i1Ji~ajres - Ideacutee de nombrebullbullbullbull 153 NumeratIon decmale bullbullbullbullbullbullbullbull 156 ~esure des grŒDdeurs bullbullbullbullbullbull bullbullbullbull 159 Nombresmiddot deacutecUDauxbullbullbullbullbullbullbullbullbullbull 169 Ladditionbullbull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull 165 La soustraction bull bull bull bull bull bull bull bull bull 168 La ~~qplication bullbullbullbullbullbullbull1 bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bullbull 171 La diVISIon 178

Regravegle de trois bull bull 117 Pourcentages bullbullbull 119 Partages proportionnels 110 ~~langes bullbull i bull bullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbull 111 Alliages bull 111 Regravegles dinteacuterecircts 124 Rentes sur Pltat 116 Actins et obli~tions - Escompte 117

Problegravemes sur les quatre opeacutemtions bull bull bull 184 La divisibiliteacute bull bull bull bull bull bull bull bull 186 Plus grŒDd commun diviseur (p G C D) 189 Plus petit commun multiple (P P C M) 191 Nombres premiers bullbullbullbullbullbullbullbull 192 Les fractions bull bull bull bull bull 194 Opeacuterations sur les fractions 197 Sys~egraveme meacute~que 203 Racme carree 207 Rapports - Proportions 2 II

Grandeurs Proportionnelles 215

Connge des exercces ~ 130

Annexe4a

ALGEgraveBRE Notions preacuteliminaires bullbullbullbull 157 Opeacutemtions sur les nombres algeacutebriques (somme

diffeacuterence multiplicationmiddot division des nombres algeacutebriques fractions ou rapports algeacutebriques puissances racines) bull bull 160

Qpeacuterations sur les expressions algeacutebriques bull 168 gquations du premier degreacute 278 Reacutesolution des problegravemes du premier degreacute agrave une

inconnue bullbullbullbullbullbullbullbullbull 186 gquations et problegravemes du premier degreacute agrave deux

ou plusieurs inconnues bull bull 191 Notions sur les repreacutesentations graphiques bull bull 301

Variation des fonctions 313 Deacuteriveacutees bullbull bull bull 319

~uations et problegravemes du second degreacute bull bull 312

ProgressionsetlogaritbInesmiddotmiddotmiddotmiddot middotmiddot middotmiddotmiddot middot331 Table de logarithmes de 1 agrave 1 000 bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull 338 Application des logarithmes Inteacuterecircts composeacutes et

annuiteacutes bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull 343 Corcigeacute des ex~ces bullbull ~ bullbullbullbullbullbullbull 348

Annexe4b

58

maniegravere que dans cette premiegravere speacuteculation de lesprit on songe moins agrave eacutetablir le

reacutesultat de ces opeacuterations successives quagrave egraven tracer le tableau et agrave deacutecouvrir ainsi des

formules pour la solution de tous les problegravemes du mecircme genreraquo (11)

IV -LE DEVENIR DE LARITHMETIQUE DANS LA REFORME

En France la reacuteforme des matheacutematiques modernes est mise en œuvre agrave partir

de la fin des anneacutees soixante elle touche les classes de sixiegraveme et de seconde agrave la

rentreacutee 1969 les classes de cinquiegraveme et de premiegravere en 1970 les classes de quatriegraveme

et de terminale en 1971 enfin en 1972 la classe de troisiegraveme Cest eacutevidemment dans

ce cadre densemble que le pheacutenomegravene eacutetudieacute ici doit ecirctre situeacute Du point de vue qui

nous occupe cette reacuteforme reacutealise un changement profond dans lorganisation du

corpus matheacutematique enseigneacute Le programme reacuteformeacute de la classe de quatriegraveme

comporte quatre titres Les deux derniers sont consacreacutes agrave la geacuteomeacutetrie( 12) Les

deacuteux premiers titres concernent lun les relations lautre les nombres deacutecimaux et

lapproche des reacuteels (annexe 3) Formellement donc la structuration arithmeacutetique

algegravebre agrave disparu comme nous le notions plus haut Que sest-il passeacute

Pour reacutepondre agrave cette question il est bon dexaminer rapidement les contenus

des corpus traditionnels darithmeacutetique et dalgegravebre laquoeacuteleacutementairesraquo (en eacutecartant un

instant les consideacuterations de niveaux dans le cursus denseignement) Larithmeacutetique

dabord Dans un manuel publieacute en 1934 agrave lintention du cours moyen et du cours

supeacuterieur du premier degreacute(13) on trouve ainsi une premiegravere partie portant sur la

numeacuteration les quatre opeacuterations les problegravemes dapplication de ces notions dont des

problegravemes laquopratiquesraquo (achat et vente agrave la douzaine agrave la centaine problegravemes de

partage achats doubles successifs etc) puis des laquonotions de geacuteomeacutetrieraquo (circonshy

feacuterence etc) enfin un chapitre sur les nombres laquocomplexesraquo(14) La seconde partie

(11) Feacutelicien Girod Traiteacute dalgegravebre eacuteleacutementaire theacuteorie et pratique agrave lusage des lyceacutees des collegraveges et de tous les eacutetablissements dinstruction (premier cycle) vingt deuxiegraveme eacutedition Paris sd p 9

(12) Nous les laisserons de cocircteacute ici

(13) Arithmeacutetique par une commission dinstituteurs Vannes deuxiegraveme eacutedition 1934

(14) Rappelons quon appelait nombre complexe laquoun nombre concret composeacute de plusieurs parties se rapportant agrave des uniteacutes diffeacuterentes et dont le systegraveme de numeacuteration nest pas deacutecimal Ainsi 3 ans 4 mois 15 jours 43 degreacutes 18 minutes 17 secondes sont des nombres complexesraquo (F J Eleacuteshyments darithmeacutetique Tours et Paris 1913 p 182) laquoOn dit quun nombre est concret quand il est accompagneacute du nom de luniteacuteraquo comme dans laquovingt arbres six billes cinq francs soixante centimesraquo (dapregraves lArithmeacutetique citeacute~ dans la note 13 p2)

59

intituleacutee Systegraveme meacutetrique est consacreacutee aux mesures (surfaces volumes poids

capaciteacutes~ etc) Enfin une troisiegraveme partie traite agrave la fois de la divisibiliteacute des fracshy

tions des rapports et proportions et des regravegles (de trois etc) ainsi que de leurs

applications agrave des problegravemes pratiques (caisse deacutepargne actions et obligations etc)

Dune maniegravere plus deacuteveloppeacutee et sadressant agrave un niveau plus eacuteleveacute du cursus (matheacuteshy

matiques eacuteleacutementaires) un ouvrage de 1913(15) propose un plan qui nest guegravere diffeacuteshy

rent le 1ivre 1 traite de la numeacuteration et des opeacuterations le livre Il des proprieacuteteacutes

des nombres (divisibiliteacute plus grand commun diviseur nombres premiers etc)

le livre III des fractions le livre IV des puissances et des racines le livre V des

mesures (systegraveme meacutetrique monbres complexes) le livre VI des rapports et de leurs

applications (regravegles de trois de socieacuteteacute etc) le livre VII des approximations numeacuteshy

riques (opeacuterations abreacutegeacutees erreurs relatives)

Corpus traditionnel- agrave quelques ajouts pregraves - acircvons-nous dit Dans lArithshy

meacutetique de Jacques Pelletier du Mans (1554) le premier livre traite des nombres et

des opeacuterations de la regravegle de trois directe et laquorebourseraquo le deuxiegraveme livre des

fractions le troisiegraveme livre de lextraction de la racine carreacutee le quatriegraveme et dernier

livre de la regravegle double de faux (de fausse position) de la regravegle de socieacuteteacute etc Cette

organisation de larithmeacutetique qui na pas surveacutecu dans notre enseignement geacuteneacuteral

se retrouve aujourdhui dans les peacuteripheacuteries ou dans les marges du systegraveme denseishy

gnement officiel agrave linteacuterieur comme dans certains enseignements professionnels

agrave lexteacuterieur comme en teacutel manuel darithmeacutetique(16) adresseacute aux laquoautodidactesraquo

qui se publie aujourdhui encore au Royaume Uni (dans le cadre dune collection

intituleacutee Teach Yourself Books) simplement mis agrave jour preacutesenteacute au lecteur comme

laquofully decimalised and metricatedraquoil comporte agrave cocircteacute des parties traditionnelles

(nombres et opeacuterations factorisation des nombres fractions rapports et proportions

inteacuterecircts simple et composeacute etc) un chapitre sur la taxe agrave la valeur ajouteacutee ainsi

quun chapitre sur les machines agrave calculer et la nUJ1eacuteration binaire Un bon teacutemoigage

de leacutetat deacutequilibre atteint agrave la veille de la reacuteforme nous est fourni par leacutedition de

1958 de lEncyclopeacutedie autodidaetique Quillet en sa partie Arithmeacutetique dont la

table des matiegraveres est reproduite plus loin (annexe 4a)

Cest ce corpus traditionnel qui vole en eacuteclat deacutefinitivement - car son eacuterosion

eacutetait fortement avanceacutee - avec la reacuteforme du deacutebut des anneacutees soixante-dix(17)

Mais lexplosion de la neacutebuleuse arithmeacutetique ne signifie pas pour autant la disparition

(15) Voir la note 13

(16) LC Pascoe Arithmetic Decimalised and Metricated Houdder and Stoughton Londres 1971

(17) Cette rupture - eacutevidente - recouvre pourtant agrave un niveau plus profond des eacuteleacutements attestant la contiguiumlteacute nous y viendrons plusIoin

60

de larithmeacutetique Les parties traditionnelles de ce corpus libeacutereacutees de leur inteacutegration

au sein dune organisation multiseacuteculaire du savoir enseigneacute vont deacutesormais connaicirctre

des destins relativement indeacutependants Le noyau essentiel - les nombres et les opeacuterashy

tions sur les nombres - qui constituait la base du systegraveme anteacuterieur non seulement

ne disparaicirct pas mais trouve une extension soudaine associeacutee agrave une promotion en

digniteacute matheacutematique alors que en effet leacutetude laquoarithmeacutetiqueraquo des nombres ne

traitait anciennement que des nombres entiers et des fractions il seacutetablit deacutesormais

une progression dans leacutetude des structures numeacuteriques qui selon la logique de la

filiation des structures populariseacutee par leacutecole bourbakiste est penseacutee ideacutealement

comme allant sans solution de continuiteacute des nombres entiers aux nombres reacuteels en

passant par les nombres relatifs les nombres deacutecimaux et les rationnels Dans cet

ensemble progressivement deacuteveloppeacute les fractions viendront occuper - dans le cadre

du programme de 1978 pour la classe de quatriegraveme qui faisait suite aux laquoexcegravesraquo du

programme de 1971 - une place de toute premiegravere importance(18) La laquotheacuteorie des

nombresraquo cest-agrave-dire leacutetude de la factorisation des nombres du PGCD etc agrave

qui est reacuteserveacutee leacutetiquette darithmeacutetique figure elle au programme de la classe de

cinquiegraveme (et sy trouvera maintenue sans changement par le programme de 1977)

Seule la partie constitueacutee des laquoproblegravemes pratiquesraquo fait veacuteritablement les frais de la

modernisation et disparaicirct agrave peu pregraves complegravetement si lon excepte quelques vestiges

telle leacutetude des laquosuites finies proportionnellesraquo en classe de sixiegraveme (qui prolonge un

thegraveme abordeacute au CM2) - eacutetude eacuteventuellement conccedilue dailleurs comme preacuteparant

mais de longue main agrave la notion dapplication lineacuteaire inscrite au programme de la

classe de troisiegraveme(19)

Ce qui disparaicirct en fait agrave lexception notable - reacutepeacutetons-Ie - des problegravemes 1

pratiques ce nest pas larithmeacutetique (mecircme si le mot lui-mecircme ne renvoie plus quagrave

lune des parties du corpus arithmeacutetique traditionnel) mais la dialectique de larithshy

meacutetique et de lalgegravebre Or cet affaissement dune structuration traditionnelle va

moins peser sur la composante arithmeacutetique que sur la composante algeacutebrique des

matheacutematiques enseigneacutees au collegravege cest lalgegravebre (entendue au sens traditionnel

de ce mot agrave ce niveau des eacutetudes matheacutematiques) qui va se trouver le plus violemment

mise en cause par les changements opeacutereacutes

(18) laquoEn calcul notent les Instructions officielles la nouveauteacute reacuteside dans laccent qui est mis sur la notion de fraction ( )gtgt (Ministegravere de lEducation Matheacutematiques classes des collegraveges 6egraveme 5egraveme 4egraveme 3egraveme 1980 p 29)

(19) Les manuels correspondant aux programmes de 1978 redonneront une place au laquoproblegravemes concretsraquo ceux-ci y apparaissent toutefois essentiellement agrave titre dapplications non de problegravemes permettant la construction et lappropriation des notions agrave enseigner

61

v - UNE ALGEBRE INTROUVABLE

Il nous faut maintenant rappeler rapidement ce queacutetait lancienne organisation

du corpus algeacutebrique Formeacute de maniegravere eacutevidemment plus tardive que le corpus arithshy

meacutetique le corpus algeacutebrique atteint pourtant assez vite une stabiliteacute remarquable

qui le laisse agrave peu pregraves inchangeacute sur deux siegravecles et plus Ecartant le traiteacute dalgegravebre

publieacute par Newton sous le titre dArithmetica Universalis(20) fort instructif agrave tous

eacutegards mais relativement atypique consideacuterons louvrage dEuler deacutejagrave mentionneacute

Son tome premier comporte quatre sections La premiegravere traite laquodes diffeacuterentes

meacutethodes de calcul pour les grandeurs simples ou incomplexesraquo cest-agrave-dire du calcul

sur les nombres mais sur les nombres (que nous appelons) relatifs dont lintroduction

fait un avec laquolexplication des Signes + (Plus) et - (Moinsraquogt (chapitre 10 et sur les

nombres fractionnaires Les quatre opeacuterations arithmeacutetiques les racines les puissances

mais aussi les laquoquantiteacutes impossibles ou imaginairesraquo ainsi que les logarithmes y sont

longuement preacutesenteacutes La deuxiegraveme section traite laquodes diffeacuterentes meacutethodes de calcul

pour les grandeurs composeacutees ou complexesraquo cest-agrave-dire du calcul algeacutebrique la

troisiegraveme laquodes rapports et des proportionsraquo la quatriegraveme laquodes eacutequations algeacutebriques

et de la reacutesolution de ces eacutequationsraquo Quant au tome second il est consacreacute agrave laquolanalyse

indeacutetermineacuteeraquo que nous nexaminerons pas ici(21) Cette organisation subit eacutevidemshy

ment dune part des variations en fonction du niveau viseacute dautre part une eacutevolution

dans le temps qui conduit dans la premiegravere moitieacute du XXegraveme siegravecle agrave un ensemble

relativement stabiliseacute dont agrave la veille du grand mouvement de reacuteforme lEncyclopeacutedie

Quillet deacutejagrave citeacutee nous fournit une version commode (annexe 4b)

En ce qui concerne tout au moins les deacutebuts de lalgegravebre trois thegravemes apparaisshy

sent essentiels les nombres algeacutebriques (cest-agrave-dire les nombres relatifs) le calcul

sur les expressions algeacutebriques les eacutequations algeacutebriques Que deviennent-ils dans le

cadre de la reacuteforme La difficulteacute de la reacuteponse agrave apporter tient au moins en partie

au fait que signifiants et signifieacutes se trouvent alors dissocieacutes redistribueacutes et en ce qui

concerne les contenusmiddot couleacutes en des cadres conceptuels nouveaux qui rompent les

anciennes concordances Il en est ainsi notamment pour les nombres algeacutebriques

bull qui perdent leur qualificatif comme on la noteacute pour devenir nombres relatifs Sous

cette eacutetiquette la place qui leur est deacutevolue nest pas diminueacutee mais au contraire

majoreacutee (et en cela ils profitent du mouvement geacuteneacuteral damplification dont beacuteneacuteficient

(20) Publieacutee (en latin) en 1707 mais eacutetablie sur la base de cours donneacutes par Newton une trentaine danneacutees auparavant lArithmeacutetique universelle paraicirct en franccedilais en 1802

(21) Lorsque la question eacutetudieacutee laquone fournit pas autant deacutequations quon est obligeacute dadmettre dinconnues il y en a qui restent indeacutetermineacutees et qui deacutependent de Il9tre volonteacute et cela fait quon nomme ces sortes de questions des problegravemes indeacutetermineacutes Ils font le sujet dune branche particuliegravere de lanalyse et on appelle cette partie lAnalyse indeacutetermineacuteeraquo (Euler op cit tome second pp 1-2)

62

les structures numeacuteriques) Leur eacutetude inscrite au programme de la classe de sixiegraveme

est deacuteveloppeacutee en classe de cinquiegraveme dans les programmes de ces deux classes ils

constituent un titre agrave part entiegravere aussi bien en 1969-1970 quen 1977-1978

Il en va autrement du calcul algeacutebrique et de leacutetude des eacutequations Ces quesshy

tions formaient traditionnellement le cœur de lalgegravebre eacuteleacutementaire Dans un Manuel

dalgegravebre publieacute en 1827 laquoagrave lusage des personnes priveacutees du secours dun maicirctreraquo

lauteur(22) ouvrait sa premiegravere leccedilon par les lignes suivantes

1 Lalgegravebre est lart dexeacutecuter sur des quantiteacutes quelconques au moyen

des signes geacuteneacuteraux toutes les opeacuterations de larithmeacutetique et de repreacutesenter agrave laide

des mecircmes signes toutes les relations entre ces quantiteacutes

Il La partie de lalgegravebre qui enseigne les regravegles pour exeacutecuter les opeacuterations

arithmeacutetiques sur des quantiteacutes quelconques se nomme calcul litteacuteral

III La partie de lalgegravebre qui traite de la maniegravere de repreacutesenter agrave laide

de signes les relations entre les quantiteacutes se nomme calcul par eacutequation

IV On verra dans la suite que dans le calcul par eacutequation on a sans cesse

besoin du calcul litteacuteral cest donc par celui-ci quil faut commencer

Cest cet ensemble (calcul algeacutebrique eacutequations algeacutebriques) qui va se trouver

fortement minoreacute dans les programmes reacuteformeacutes Pour ne donner ici de cette brutale

deacuteflation quune seule illustration on a reacuteuni dans lannexe 5 (dont on voudra bien

excuser la longueur) les listes dexercices relatives agrave la multiplication dexpressions

algeacutebriques dune part (a b) dans deux manuels dancienne maniegravere(23) dautre part

(c) dans un manuel consideacutereacute comme de niveau eacuteleveacute(24) conforme au programme de

1971 la confrontation est eacuteloquente

Le terme dalgegravebre a disparu des programmes (agrave lexception du programme de

la classe de troisiegraveme) nous lavions noteacute Mais avec le mot la chose elle-mecircme se

trouve emporteacutee lalgegravebre disparaicirct 1 Cet eacutevanouissement est en fait seacutelectif les

parties laquonumeacuteriquesraquo de lalgegravebre reacutesistent bien Les nombres relatifs sont un eacuteleacutement

essentiel de lenseignement de la classe de cinquiegraveme Les fractions un temps mises agrave

leacutecart (en 1971) seront ensuite reacuteinstalleacutees comme eacuteleacutement central du programme de

(22) M Terquem auteur dun Manuel dalgegravebre ou exposeacute eacuteleacutementaire des principes de cette science publieacute agrave Paris en 1827 La citation qui suit se trouve pp 1middot2

(23) Il sagit (a) du manuel de F Girod (voir ci-dessus note 11) et (b) du manuel de Lebosseacute et Heacutemery pour la classe de quatriegraveme dans son eacutedition de 1962 (Fernand Nathan Paris)

(24) Il sagit du manuel de la collection Queysanne-Revuz seacuterie rouge dans son eacutedition de 1973 (Fernand Nathan Paris)

63

quatriegraveme (en 1978) Ce sont les parties laquoalgeacutebriquesraquo de lalgegravebre - calcul et eacutequations

algeacutebriques - qui pacirctissent de la modernisation Plusieurs raisons semblent devoir

expliquer ce pheacutenomegravene Avanccedilons dabord une raison proprement didactique qui a

pu jouer neacutegativement Le calcul algeacutebrique agrave lorigine simple preacuteliminaire agrave leacutetude

des eacutequations eacutetait en fait devenu prolifeacuterant comme on peut en juger notamment sur

le document de lannexe 5a eacutetouffant progressivement les autres parties du corpus

enseigneacute Il eacutetait sain que lon tente den limiter le deacuteveloppement et la tendance

anteacuterieure agrave la reacuteforme proprement dite allait en effet dans ce sens les manuels avaient

commenceacute le travail deacuteflationniste (comme le montre la comparaison des documents a

et b de lannexe 5) Mais ce type de pheacutenomegravene qui constitue au demeurant davantageacute

la regravegle que lexception dans leacutevolution du texte denseignement (que lon songe ici agrave

la deacutegeacuteneacuterescence de leacutetude des eacutequations du second degreacute en la fameuse laquotrinocircmiteraquo

qu i frappait agrave peu pregraves dans le mecircme temps les classes du second cycle) et la reacuteaction

quil devait susciter allaient rencontrer une autre force de changementsans doute bien

plus puissante lapparition de lalgegravebre laquomoderneraquo sur laquelle il faut sarrecircter un

instant

Dans leurs Eleacutements dalgegravebre moderne dont la quatriegraveme eacutedition paraicirct en

1961 (la premiegravere eacutetant de 1956) A Lentin et J Rivaud(25) qui situent lapparition

de lalgegravebre moderne vers 1910 inscrivent celle-ci dans le prolongement de larithshy

meacutetique et de lalgegravebre traditionnelles (mais sans les nommer) laquoA leacutecole primaire

eacutecriven~-ils lenfant raisonne sur des collections et des grandeurs concregravetes dont il

deacutegage progressivement la notion de nombre abstrait indeacutependant de la nature des

choses compteacutees ou mesureacutees Lenseignement du second degreacute apprend agrave ladolescent

la manipulation des x et des y indeacutependamment des nombres que ces lettres repreacuteshy

sentent Un pas de plus dans le calcul et cest le calcul sur les polynocircmes puis la comshy

position des transformations formelles Eh bien lalgegravebre moderne formera leacutetudiant

agrave raisonner sur les proprieacuteteacutes des opeacuterations indeacutependamment des eacuteleacutements (nombres

polynocircmes transformations) sur lesquels sexercent ces opeacuterationsraquo (26) En fait

les parties traditionnelles de lalgegravebre (calcul et eacutequations algeacutebriques) sont bien inteacuteshy

greacutees dans lalgegravebre moderne ainsi preacutesenteacutee Mais elles nen constituent ni lessentiel

ni surtout les deacutebuts Les auteurs citeacutes dont louvrage est constitueacute de cinq livres

consacrent leur dernier livre agrave des laquocompleacutements sur les groupes et sur les eacutequations

algeacutebriquesraquo (un deacuteveloppement plus ample de la question eucirct conduit agrave la theacuteorie

des extensions de corps et agrave la theacuteorie de Galois dont les rudiments sont preacutesenteacutes

dans ce livre) Ainsi le traitement des eacutequations algeacutebriques se trouve-t-i1 rejeteacute fort

loin dans lexposeacute moderne de lalgegravebre Le calcul algeacutebrique quant agrave lui se retrouve

(25) A Lentin et J Rivaud Eleacutements dalgegravebre moderne Vuibert Paris quatriegraveme eacutedition 1961

(26) Loc cit pp VmiddotVI

64

Ici dans le livre Il sous les espegraveces de leacutetude des anneaux de polynocircmes Mais le

veacuteritable commencement de lalgegravebre moderne cest leacutetude des structures (lois de

composition groupe anneau corps) qui occupe tout le livre 1 Lhonnecircte homme

qui en 1958 encore sinitiant agrave lalgegravebre se voyait proposer nombres algeacutebriques

expressions algeacutebriques eacutequations etc se verra offrir quelques anneacutees plus tard

relations binaires eacuteleacutement neutre etc Le chapitre Algegravebre que M Glaymann eacutecrit

au deacutebut des anneacutees soixante-dix pour un ouvrage adresseacute au grand public (il paraicirct

dans la collection laquoLes dictionnaires du savoir moderneraquo) est agrave cet eacutegard significatif

loi de composition eacuteleacutement neutre commutativiteacute eacuteleacutement symeacutetrique associativiteacute

eacuteleacutement reacutegulier distributiviteacute et encore structures monoiumlde groupe sous-groupe

groupe cyclique morphisme de groupes anneau anneau integravegre corps etc en sont les ma icirctres-mots(27)

Il se produit donc en quelques anneacutees une veacuteritable substitution dobjet dont

le texte denseignement reccediloit bientocirct la marque les programmes reacuteformeacutes de sixiegraveme

cinquiegraveme et quatriegraveme comportent tous un titre Relations et le programme de

quatriegraveme introduit les notions de groupe et de division dans un groupe qui conduisent

agrave examiner leacutequation ax = b dans le groupe multiplicatif des reacuteels non nuls Le calcul

algeacutebrique est recircduit agrave la portion congrue il fait lobjet du point 4 du titre Il du programme (annexe 3) Leacutetude des eacutequations conformeacutement au plan moderne

dexposition de lalgegravebre est deacutechue de ses titres et se trouve repousseacutee en classe de

troisiegraveme

VI - LALGEBRE SANS ALGEBRE

La situation creacuteeacutee par la reacuteforme autour de 1970 consacre la promotion des

structures numeacuteriques (agrave cocircteacute du geacuteomeacutetrique dont nous ne parlerons pas ici) en

mecircme temps quelle reacutealise une eacutevidente inflation theacuteorique agrave propos du numeacuterique

comme du geacuteomeacutetrique Cest ce theacuteoricisme qui apregraves avoir susciteacute dabord un vif

enthousiasme se trouvera en butte agrave une multitude de critiques qui conduiront agrave

la reacutedaction des programmes de 1977-1978 actuellement en vigueur La focalisation

du deacutebat se fait sur la maniegravere de traiter les contenus - avec notamment le rej~t

du laquopurismeraquo qui impreacutegnait lesprit de la reacuteforme preacuteceacutedente(28) - davantage que

sur la distribution des contenus eux-mecircmes et sur la structuration et leacutequilibre des

diverses parties du corpus enseigneacute Celui-ci apparaicirct en conseacutequence plus comme

(27) Maurice Glaymann Lalgegravebre in Les matheacutematiques Centre deacutetudes et de promotion de la lecture Paris 1973 pp 16-54

(28) Dans la preacutesentation deacutejagrave citeacutee des programmes de 1978 (voir la note 2 ci-dessus) leacutequipe de reacutedaction du Bulletin de lAPMEP deacutenonccedilait le purisme matheacutematique qui en fait laquoest un purisme dexposition non dapprentissage ou de fonctionnement qui na donc rien agrave faire dans le premier cycle ( )gtgt

65

une version laquodeacutegraisseacuteeraquo du corpus des anneacutees soixante-dix que comme une version

fondamentalement nouvelle agrave cocircteacute du geacuteomeacutetrique que lon entend laquodeacutesaxiomatiserraquo

le numeacuterique y demeure preacutedominant mecircme si lon ny inclut plus les mecircmes mateacuteshy

riaux Les nombres reacuteels en effet sont les grands perdants du reacuteameacutenagement opeacutereacute

Et ce sont les fractions et les rationnels qui venant occuper la place ainsi libeacutereacutee dans

le programme de quatriegraveme constituent maintenant la piegravece centrale de leacutetude du

numeacuterique - les nombres relatifs (entiers et deacutecimaux) conservant en classe de cinshy

quiegraveme le rocircle preacuteeacuteminent qui leur eacutetait anteacuterieurement reconnu

Il faut en ce point dire quelques mots de la promotion donneacutee dans ces proshy

grammes aux fractions et aux rationnels Pour des raisons dans lesquelles nous nentreshy

rons pas ici les fractions (associeacutees aux rapports et aux proportions) eacutetaient traditionshy

nellement tirailleacutees entre larithmeacutetique la geacuteomeacutetrie et degraves la naissance du corpus

algeacutebrique lalgegravebre elle-mecircme Preacutesentant ses Eleacutemens dAlgebre Clairaut ne manque

dailleurs pas de faire connaicirctre au lecteur lembarras ougrave cette question la tenu

laquojavois dabord compteacute donner dans le mecircme livre eacutecrit-il tant les Eleacutemens dArithshy

meacutetique que ceux dAlgebre amp je naurois pas manqueacute alors de traiter des proportions

plus agrave fond que je nai fait dans mes Eleacutemens de Geacuteomeacutetrie raquo Bien entendu en passant de larithmeacutetique agrave lalgegravebre on passait aussi des fractions arithmeacutetiques

(rapports dentiers cest-agrave-dire dentiers naturels) aux fractions algeacutebriques (rapports

dentiers laquoalgeacutebriquesraquo cest-agrave-dire relatifs) et aux fractions rationnelles (rapports

de polynocircmes) Mais ces reprises sont significatives de linteacuterecirct didactique accordeacute

au thegraveme les fractions constituent un sujet de choix pour lenseignement

Comme on la rappeleacute(29) laquolaccent qui est mis sur la notion de fractionraquo

constitue selon les termes mecircmes des Instructions relatives au programme de quatriegraveme

de 1978 leacuteleacutement de laquonouveauteacuteraquo de ce programme Nouveauteacute dantique meacutemoire 1

Henri Lebesgue presque un demi-siegravecle plus tocirct avait fermement inviteacute les professeurs

agrave se deacutebarrasser de ce monstre du Loch Ness matheacutematique laquo on sera bien je pense

daccord avec moi eacutecrivait-il (30) pour deacuteclarer que marier des 22iegravemes et des 37iegravemes

est un martyre que nous infligeons aux gosses de douze ans par pur sadisme sans

aucune raison dutiliteacute comme circonstance ateacutenuanteraquo Mais il ajoutait aussitocirct

laquoJentends tous les professeurs protester Les uns parce que les fractions fournissaient

dinnombrables exercices pour leurs jeunes eacutelegraveves apregraves un moment deffroi ceux-ci

sapercevront quils ne manqueront jamais dexercices La plainte des autres meacutemeut

(29) Voir la note 18

(30) Dans La mesure des grandeurs (Albert l3lanchard Paris 1975) p 25

66

davantage et pour la veacuteriteacute je la formule moi aussi laquoSupprimer dans la classe de

matheacutematiques la theacuteorie des fractions cest supprimer un chapitre admirable Le

seul peut-ecirctre parmi ceux qui nous restent qui ne soit pas lagrave uniquement pour son

utiliteacute immeacutediate et qui donne le sentiment de la beauteacute pureraquoraquo(31) Or cette admirable

construction devient dans le cadre des matheacutematiques modernes plus admirable

encore ou disons plus subtile le maniement sans complexe des fractions fait place

agrave une ontologie raffineacutee dans laquelle les fractions devenues couples de nombres

ne sont plus - en theacuteorie plus quen pratique bien sucircr - que le mateacuteriau de la consshy

truction des rationnels classes deacutequivalence de fractions Avrai dire cette preacutesentation

moderne neacutetait guegravere favoriseacutee par le programme de 1971 (dans lequel les reacuteels faisaient

directement suite aux deacutecimaux les rationnels neacutetant alo~s que des reacuteels particuliers

les quotients dentiers) Mais le programme de 1978 lui donne une nouvelle chance

et quelques manuels impavides la mettent en œuvre (document 4a) Cette perspective

constructiviste peut en fait ecirctre aiseacutement eacuteviteacutee au profit dune conception reacutealiste

(celle-lagrave mecircme que le programme de 1971 poussait en avant les reacuteels eacutetant supposeacutes

donneacutes - ils eacutetaient laquoconstruitsraquo dans le programme de 1971 - un rationnel est un

reacuteel qui peut seacutecrire comme quotient dentiers) et la plupart des manuels utilisent

cette possibiliteacute (document 4b) conceptuellement et techniquement moins difficile

et sans doute plus proche de la repreacutesentation du nombre qui est effectivement celle

des eacutelegraveves et mecircme du laquoworking mathematicianraquo Mais le souci de purisme na pas

disparu le goucirct de la laquorigueurraquo (sic) conduit chez quelques-uns (document 4c) agrave une

veacuteritable confusion sur le sens du signe deacutegaliteacute (qui ne signifie en principe nullement

que les deux membres de leacutegaliteacute sont des expressions identiques - formellement

ou syntaxiquement - ce qui interdirait deacutejagrave deacutecrire que 6 = 2 X 3 mais que ce quils

deacutesignent sont une seule et mecircme chose le signe deacutegaliteacute ne signifiant rien dautre

quune identiteacute seacutemantique) Cela dit le problegraveme - eacuteleacutegamment mais coucircteusement

reacutesolu par le moyen des classes deacutequivalence - existait avant les matheacutematiques

modernes et continue dexister mais le corpus ancien le traitait (inconsciemment )

avec une grande discreacutetion (document 4d) en distinguant chaque fois quil eacutetait

neacutecessaire la fraction (consideacutereacutee alors implicitement comme eacutecriture agrave savoir comme

rapport) et la valeur de la fraction (soit le nombre - rationnel - deacutesigneacute par cette

eacutecriture) Quoi quil en soit tout ce jeu laisseacute autrefois implicite et plus ou moins

fortement expliciteacute aujourdhui participe de ladmirable construction des fractions

qui seacuteduit tant les professeurs comme dit Lebesgue

(31) Ibid pp 25-26

67

Nombres rationnels

Ensemble ltC

RAPPELONS

Dans lensemble T des fractions nous avons deacutefini la relation JI suivante

Quelles que soient les fractions ~ et ~ on a (~JI ~) (ad =bel

Nous avons eacutetabli (p 48) que JI est une relation deacutequivalence dans T

Pourtraduire que deux fractions ~ et ~ sont lieacutees par JI nous avons eacutecrit ~ = ~

et nous avons dit que les fractions ~ et ~ sont eacutequivalentes

DEacuteFINITION

Nous donnons la deacutefinition suivante

Ch8q cd6quiVIIlencbullbullbulllonJIst appeleacutee un nombre lIItlonnel

Nous deacutesignons par 0 lensemble des nombres rationnels

AEPAEacuteSENTAtfr DUN RAcircTIONNEL

Soient x un eacuteleacutement de 1 etmiddott une fraction eacuteleacutement de T

Nous disons que x et un nombre rationnel dont un repreacuteentant et ~ 1 et

aeulement si x est 1 clbullbullbullbull deacutequlvlence elon JI de 1 fraction i Le nombre ~tion~1 x est donc lensemble des fractions ~ eacutequivalentes agrave~ nous

avons x=~lcez deZmiddot ~=M Remarquons que toute fraction eacutequivalente agrave ~ est un repreacutesentant du nombre

rationnel x

CHAPITRE 6 ENSEMBLE Q 67

DOCUMEIIT 4eacute1

(Matheacutematiques4egraveme collection Monge 1978)

68

CHAPITRE 4 algegravebre

Ensemble 0 des nombres rationnels

1 Oeacuteflnitlon de lensemble C 4Notatlons fractionnaires dUn rationnel des rationnels

2prOPrieacuteteacutes de lensemble Q 50Peacuteratlons dans Q des rationnels

3Eacutecriture deacutecimale illimiteacutee 6comparaison de deux rationnels dun rationnel

1Deacutefinition de lensemble Q des rationnels

deacutefinition Un nombre reacuteel (ou reacuteel) est appeleacute DOIIlbre ratioonel (ou rationnel) sil est eacutegal agrave un quotient de deux entiers relatifs

Autrement dit Un reacuteel x est un rationnel sil existe un entier relatif a et un entier relatif non

nul b tels que x soit eacutegal au quotient ~

exemples bull Les quotients suivants sont des rationnels 2 -4 -3 248 57 -29704 0 37 0 359 iuml 78 -=5 -614 57 -1- 25 =iOOO =iuml4 -1-

lal -27815) Ibull Le ree r eg au quotIent 0013 est-I un ratIonne

- 2781 5 et 0013 ne sont pas des entiers relatifs

On sait que (proprieacuteteacutes des quotients de reacuteels)

-27815 -27815 x 104 -27815 0013 0013 x 104 =~

Conclusion r est un rationnel

DOCUMENT 4b

(Matheacutematiques4egraveme collection Durrande 1979)

69

I~ Lensemble ltD des nombres rationnels

1 bull DEacuteFINITION ET EXEMPLES

Dans le cnapltre 4 nous ayons rencontreacute des nombres QUon pouvait obtenir comme Quotient exact dun entir relatif fi par un entier relatif non nul b Ces nombres sappellent lesnombnts ratiOnneJa (ou plua simplement les rationnels) Ils sont r8Qreacutesnteacutes par des fractions ainsi

exemples de fractions repreacuteslitntant x Nombre rationnel x -2 -8 -18lentler relatif -2 -9- -L shy1 3 -1 7 35 -7le deacutecimal rlatlf 35 Ji shy2 4 10 -=2 ~ Q EumlL shyIe ratlonn1 i 3 8 30 -3

Reepitullfflon des prlnc1es deacutetlnltlons Otlnitlo Soit un entIer ratatlf quelconque et soit b un entIer reltlf non nuL

11 LA couple (e bJ eacutecrit sous i fonne appellela fractIon d num

teur bull et de deacutenominateur b 2J Cette fraction retrisente le quotient ect de bull par b que lon not

aUAI bull On bull donc par deacuteflnltlon

bX~ bull JCb bullbull b b

31 On appelle nom rationnel tout nombre Que lon peut obtnir comme quotient euct dun entier relatif par un entlr relatif non nul

Attention 1La megravem notation est utiliseacutee pour deacutesignr deux cnoss diffeacuterentesb

le couple (II b) le Quotient exact de Il par b

Quand on eacutecrit il faut preacuteciser sU sagit de la fraction Ji (le couple (1 4 4raquo ou du rationshy4 4

nel 2i (Qui est eacutegal agrave 35) 4

le rationn est Anal au rationnel L4 ~~ 2

la fraction nest pas eacutegale agrave la fraction 1 ~ 2

(Puisque les couples (144) et (72) sont distincts)

Une convention commode

Pour eacuteviter cet Inconveacutenient nous conviendrons toujours Que dans les calculs deacutesinne le b

nombre rationnel Quotient exact d fi par b Ainsi nous pourrons eacutecrire

Ji =L =3S4 2

Quand vous voudrez parler du couple (14 4) il faudra preacuteciser bull la fraction c 4

DOCUMENT 4c

(Matheacutematiques classe de quatriegraveme collection Queysanne et Revus 1979)

70

SIMPLIFICATION DES FRACTIONS

i49 Simllifier une fraction cest la remplacer par une fraction ~e mais ayant des tenDes plus petits

ISO PROPRIEacuteTEacuteS FONDAMENTALES

10 On mesure deux rubans avec le sepagraveegraveme dune longueur donneacutee A B Lun mesure 2 sepagraveagravenes lautre 4 septiegravemes de luniteacute Il est eacutevident que le dewdagraveDe est double du premier

4 2 X 2 2 - --- - X 2 donc 777

Theacuteoregraveme L - Si OD mwdpUe le aDlDampateDr dune CractloD par aD JIOmbre la CracdoD eet muldpUeacutee par ce Dombre

2deg Un ruban mesure 5 sepagraveagravenes de la longueur AB un dewtiagravene ruban vaut S quato12Iumlagravenes de la mbe uniteacute

Un quatorziagravene eacutetant deux fois plus petit quun sepagraveagraveDe la dewdœe longueur est deux fois plus petite que la premiugravee S S S

------ 2 par suite 14 7 X 2 7

Theacuteoregraveme D - Si OD muldpUe le dacirclomiDateur cl1IDe bcdoD par 110 aombre la CracdoD eet diYileacutee par ce JIOmbre

3deg Soit la fraction _3 X 3_2S s s X 3 IS Elle ne c1uIage pas de valeur si nn mulagraveplie ses deux termes par 3 En dfet si on multiplie son numeacuterateur elle devient 3 fois plus grande si on multiplie son deacuteDominateur

elle devient 3 fois plus petiœ Par conseacutequent

Theacuteoregraveme DL - Si OD mwdpUe lee cleu termes daDO bcdoD par aD ~e DOmbre la ampactIoD ae chaage pu do valeur

On voit IJU- mIru gratukur fJGI la _ pat _ itrftniri tU frtJCtUgrave1fU U1IItU igalu

Corollaire - Si OD divise lee deux termee dlIDe CractiOD par aD mfme JIOmbre (ropkatucircm eacutetant possible) OD obdeat une bedoD eacuteplo agrave la premiegravere

Soit la fraction 18 dont les deux termes sont divisibles par 321

On peut eacutecrire 18 _ 6 x 3 21 7 x 3

et dapregraves le theacuteoragravene preacuteceacutedent _ 6 X 3 7 7 X 3

On a donc 18 3_ la fraction Il des termes plus petits que la fraction 18 dougrave la regravegle de simshy21 3 7 7 21

pli1ication des fractions

~ Regravegle - PD1lI simplifier _ fraaion an divis 11$ dIU umm pat 11II mIru 1ItmIbr

DOCUMENT 4d

Arithmeacutetique de lEncyclopeacutedie Quillet 1958

Fractions et rationnels en fait ne constituent pas seulement une admirable

construction matheacutematique ils composent en mecircme temps un objet didactique

inteacuteressant agrave bien des eacutegards La place de leacutelegraveve (cest-agrave-dire ce qui peut ecirctre requis

de leacutelegraveve agrave ce propos) y est nettement dessineacutee Lebesgue le soulignait judicieusement

le chapitre regorge dexercices dont la difficulteacute (cest-agrave-dire en gros la complexiteacute)

peut ecirctre finement gradueacutee La place de lenseignant elle aussi sy trouve preacutepareacutee

le professeur eacuteprouve toute sa speacutecificiteacute face agrave leacutelegraveve en tant quarchitecte et bacirctisshy

seur - fonctions dans lesquelles leacutelegraveve ne saurait lui disputer sagrave place - dune consshy

truction matheacutematiqueagrave la fois simple rigoureuse riche dont la complegravete transpashy

71

rence nest acquise quau prix de quelque subtiliteacute intellectuele nullement inaccessible

agrave leacutelegraveve mais relativement exigeante Toutefois il y a plus En un sens tout objet

de savoir didactiquement acceptable laisse voir deux laquoplacesraquo il doit contenir le

laquolieuraquo que leacutelegraveve viendra occuper (les tacircches que le contrat didactique lui assignera

en propre) il doit contenir aussi un lieu speacutecifiquement alloueacute agrave lenseignant Ce

marquage des places consubstanciellement lieacute au fonctionnement didactique du

savoir est un processus geacuteneacuteral que jai proposeacute(32) dappeler la topogeacutenegravese (du grec

topos lieu) Mais la dialectique topogeacuteneacutetique peut ecirctre plus ou moins resserreacutee plus

ou moins relacirccheacutee dans ce dernier cas (qui correspond comme jessaierai de lindiquer

plus loin agrave ce que nous voyons majoritairement se produire aujourdhui agrave propos de

lemploi du langage algeacutebrique) les eacutechanges entre eacutelegraveves et enseignant demeurent

pauvres la communication est distante parce que les uns et les autres ne se mesurent

pas aux mecircmes tacircches (le professeur deacutemontre une eacutegaliteacute litteacuterale leacutelegraveve lapplique

agrave des cas particuliers numeacuteriques) Avec les fractions une fois fixeacutee larchitecture

geacuteneacuterale de leacutedifice il en va autrement passeacutes les calculs les plus simples les calculs

qui ne sont pas triviaux pour leacuteiegraveve - tout en demeurant de lordre de ce qui peut

loyalemeacutent lui ecirctre demandeacute - ne le scgtnt quagrave peine moins pour le professeur Les

partenaires de linteraction didactique se rapprochent autour dune tacircche unique

jusquagrave sembler parfois unir leurs efforts agrave la recherche dune commune reacuteponse

Tout comme la geacuteomeacutetrie (qui soppose par cela et du seul point de vue didactique

deacutejagrave agrave lalgegravebre en geacuteneacuteral) les fractions constituent loccasion dune reacuteelle convishy

vialiteacute dans la classe Les distinctions qualitatives (marqueacutees par des tacircches de natures

diffeacuterentes) sestompent au profit de simples diffeacuterences quantitatives (lenseignant

va plus vite plus sucircrement mais il ne sait rien de plus que leacutelegraveve et ne fait rien de

plus que lui) Le groupe agrave la fois se rassemble gagne en coheacutesion et en mecircme temps

se diffeacuterencie continucircment sans que son identiteacute sy perde

1 y a lagrave quelques-unes des raisons didactiques qui expliquent la preacuteeacuteminence

de fagraveit de leacutetude des fractions dans les classes actuelles de quatriegraveme Or - et nous

faisons lagrave retour agrave notre sujet quen fait nous navions pas quitteacute - dans le vocabushy

lairedes enseignants les fractions font partie de lalgegravebre Mecircme si le programme

officiel nutilise pas le terme il semble que lusage se soit spontaneacutement creacuteeacute de nommer

laquoalgegravebreraquo dans la pratique de la classe ce qui nest pas geacuteomeacutetrie lalgegravebre cest

globalement lautre de la geacuteomeacutetrie Cet emploi peut-ecirctre irreacutefleacutechi du mot ne manque

pourtant pas de justificatifs Les heacutesitations historiques dont nous avons parleacute trashy

duisent aussi (par delagrave lopposition fractions de nombres arithmeacutetiques fractions de

nombres algeacutebriques) une reacutealiteacute qui perdure les fractions (dentiers) ne sont pas

(32) Voir Chevallard 1980b

72

de lalgegravebre au sens ougrave elles ne contiennent pas de lettres (les lettres sont essentielleshy

ment utiliseacutees par le professeur pour formuler les lois qui reacutegissent leur calcul) mais

elles relegravevent de llaquoalgeacutebriqueraquo en cela quelles sont le lieu dun jeu formel portant

sur des eacutecritures Elles offrent donc loccasion dune algegravebre sans algegravebre qui fait le

gros morceau de lalgegravebre aujourdhui enseigneacutee Il faut voir par quel cheminement

on en est venu lagrave

VII - LA DIALECTIQUE NUMERIQUEALGEBRIQUE

PoUr expliquer plus complegravetement et leacutevanouissement des parties algeacutebriques

de lalgegravebre et - correacutelativement - le come-back des fractions il nous faut compliquer

quelque peu le talJleau que nous avons traceacute jusquici A lopposition structurelle de

larithmeacutetique et de lalgegravebre correspondait - en principe - une dialectique fonctionshy

nelle entre numeacuterique et algeacutebrique Cest sur cette dialectique que nous devrons

dabord nous arrecircter un instant

Il faut pour cela prendre quelque recul Cette dialectique en effet existe

historiquement avant lalgegravebre (avant la construction dun langage algeacutebrique propreshy

ment dit) Les Grecs distinguent entre deux arithmeacutetiques larithmeacutetique vulgaire

ou logistique celle des calculateurs et larithmeacutetique laquopropre aux philosophesraquo

comme dit Platon cest-agrave-dire en gros la theacuteorie des nombres Les calculateurs cal~

culent Les arithmeacuteticiens eacutetudient la structure du numeacuterique Tous manipulent pour

cela un langage du numeacuterique~ mais tous ne lemploient pas aux mecircmes tacircches et ne

lui reconnaissent pas les mecircmes valeurs Dans larithmeacutetique pratique lanalyse du

numeacuterique procureacutee par le langage adopteacute est un moyen ordonneacute agrave un but opeacuterer

des deacutenombrements effectuer des calculs Si dans notre systegravememiddotactuel de numeacuteration

je deacutesire calculer 12 X 12 par exemple je nai besoin dautre analyse du nombre 12

que celle qui mest immeacutediatement donneacutee dans leacutecriture (deacutecimale) de ce nombre

(ch iffre des dizaines 1 chiffre des uniteacutes 2) Mais si comme le scribe du papyrus

Rhind je ne sais multiplier que par duplications successives et additions je devrai

recourir agrave une analyse moins immeacutediate du nombre 12 (qui ne mest pas offerte par

leacutecriture deacutecimale actuelle) Il me faudra observer que 12 = 4 + 8 et calculer ainsi(33)

1 12 2 24 4 48 8 96

(33) Voir Smith 1953 p 106

73

dougrave je deacuteduirai que 12 X 12 = 12 X (4 + 8) = 48 + 96 = 144 De telles manleres

de faire qui se rencontrent encore agrave des dates rapprocheacutees(34) apparaissent agrave lutilisashy

teur contemporain comme des survivances dun acircge imparfait Un bon systegraveme

numeacuteration-algorithmes de calcul en effet doit ecirctre tel que toute linformation requise

pour mettre en œuvre les algorithmes de calcul soit donneacutee dembleacutee avec les nombres

donneacutes eacutecrits dans le langage numeacuterique utiliseacute cest-agrave-dire soit apparente dans leacutecriture

mecircme de ces nombres En dautres termes un bon systegraveme numeacuteration-algorithmes

reacutecuse tout appel aux matheacutematiques fucirct-ce sous une forme apparemment anodine

Lusager dun tel systegraveme est eacutevidemment supposeacute pouvoir calculer que 4 + 8 = 12

(ce pour quoi le systegraveme est fait) mai~ le contrat dutilisation qui regravegle ses rapports

avec le systegraveme exclut quil ait agrave penser que 12 = 4 + 8 Paradoxalement peut-ecirctre

lun des effets et sans doute des buts (poursuivis de maniegravere plus ou moins intentionshy

nelle) de lactiviteacute matheacutematique est de proposer agrave lusage social des proceacutedures non

matheacutematiques obtenues par deacutematheacutematisation progressive de proceacutedures agrave lorigine

proprement matheacutematiques Le fait est banal et geacuteneacuteral les progregraves de leacutelectronique

me dispensent aujourdhui du bricolage auquel eacutetaient tenus les utilisateurs du poste

agrave galegravene

En fait le royaume du calcul numeacuterique est reacutegi par la loi de simplification

inteacuterioriseacutee en habitus(35) dont lune des clauses est constitueacutee par le principe

dachegravevement des calculs Selon ce laquoprinciperaquo lexpression laquo4 + 8raquo ne saurait en

calcul numeacuterique figurer comme reacuteponse le calcul agrave ce stade eacutetant laquoinacheveacuteraquo (36)

Lexpression laquo4 + 8raquo ne saurait ainsi ecirctre quune forme transitoire labile (parce que

quatre plus huit eacutegale douze) et nexiste pas plus dune maniegravere libre que latome

doxygegravene en dehors de la moleacutecule deg 2

Il en va tout autrement avec la tradition laquonobleraquo de la laquotheacuteorie des nombresraquo

Les Pythagoriciens au tout deacutebut de la science grecque eacutelaborent ainsi toute une

conception de la repreacutesentation laquogeacuteomeacutetriqueraquo des nombres soit une arithmo-geacuteoshy

meacutetrie(37) Consideacuterons par exemple les entiers impairs 5 et 7 Leurs repreacutesentations

(34) Ibid

(35) P Bourdieu deacutesigne par habitus des laquosystegravemes de dispositions durables structures structureacutees preacutedisposeacutees agrave fonctionner comme structures structurantes cest-agrave-dire en tant que principe de geacuteneacuteration et de structuration de pratiques et de repreacutesentations ( hgt (Bourdieu 1974 p 175)

(36) Les Instructions de janvier 1957 (sur lesquelles nous revenons plus loin) parlent explicitement de laquocalcul conduit jusquagrave son achegravevementraquo fait rare et remarquable car il est de la nature dun habitus de ne pas supposer lexplicitation des principes agrave lorigine de son efficace

(37) Sur larithmo-geacuteomeacutetrie des Grecs voir Michel 1959 pp 295-325

74

figureacutees peuvent ecirctre disposeacutees ainsi

o o o o o

o o o o o

o 0 5 7

Reacuteunissons ces repreacutesentations de la maniegravere suiyante

o o o o

o o o o

o 0

o 0

En les regroupant adeacutequatement il apparaicirct que la somme 5 + 7 est Lin multiple de

4 (plus preacuteciseacutement que 5 + 7 = 3 X 4) -1------------ -------------1

1 shy10 Oi iO 011 1 1 shyi i 1

- 1shyj j - 1

rO Oi iO1

O shy

i -_------------ [-------------1 iO Oi 1 i 1

Jo oi i

De plus si on laquocomplegraveteraquo le carreacute on voit apparaicirctre immeacutediatement que 5 + 7 est

une diffeacuterence de deux carreacutes (plus preacuteciseacutement que 5 + 7 = 43 - 22 )

o o o o

o o o o

o o x x

o o x x Ces monstrations qui au sens strict nont de force deacutemonstrative que pour les valeurs

numeacuteriques particuliegraveres traiteacutees ont en fait une valeur geacuteneacuterique comme les figures

(et les deacutemonstrations quelles permettent) en geacuteomeacutetrie on nest pas loin dune

deacutemonstration valable pour tous les couples dimpairs conseacutecutifs Nous pouvons

reacutetrospectivement admirer la finesse intellectuelle que linvention et lemploi de

telles proceacutedures supposent Mais nous pouvons aussi voir que notre langage algeacutebrique

actuel (creacuteeacute par Viegravete Descartes et quelques autres) sinscrit dans le prolongement

de cette analyse du numeacuterique tout en la deacutepassant en souplesse et en puissance

75

Sur le mecircme problegraveme aujourdhui nous obtenons par exemple ceci soient 2p - 1

et 2p + 1 deux impairs conseacutecutifs leur somme (2p - 1) + (2p + 1) = 4p est un

multiple de 4 et puisque 4p = (p + 1) - (p - 1)2 elle seacutecrit aussi comme une

diffeacuterence de deux carreacutes Le langage nOuveau permet dabord de formuler le problegraveme

dans sa geacuteneacuteraliteacute puis de le reacutesoudre de maniegravere eacutegalement systeacutematique

Le calcul numeacuterique utilise le langage numeacuterique pour son pouvoir deacutesignatif

eSSentiellement laquo34raquo et laquo075raquo ou encore laquo4 + 8raquo et laquo12raquo sont agrave cet eacutegard eacutequivashy lents puisquils deacutesignent le mecircme nombre (simplement laquo34raquo est une fraction laquonon

effectueacuteeraquo laquo4 + 8raquo une somme non effectueacutee) ils sont des noms diffeacuterents pour

un mecircme ecirctre matheacutematique Larithmeacutetique laquoalgeacutebriqueraquo au contraire distingue

ces noms parce que bien quils deacutesignent la mecircme chose ils ne montrent pas la mecircme

chose (ils napportent pas la mecircme information monstrative) agrave propos de lecirctre matheacuteshy

matique dont ils sont deux noms diffeacuterents (ltlt4 + 8raquo ou mieux laquo22 +23 raquo montre

que 12 est une somme de puissances de deux etc) Cest ainsi que au cœur mecircme

du langage numeacuterique sinsinue un clivage et pour tout dire une tension entre deux

modes de fonctionnement lefficaciteacute deacutesignative (propre agrave lusage calculatoire du

langage numeacuterique) tend agrave ignorer lagrave valeur monstrative de lexpression eacutecrite le

principe dachegravevement des calculs voue agrave leacutepheacutemegraverelesmiddotltltnoms intermeacutediairesraquo et

laquo4 + 8raquo devient ainsi laquo12raquo sans quaucune trace nous soit conserveacutee de lhistoire

de ce laquo12raquo Ali contraire le langage algeacutebrique - notamment parce quil est une

meacutemoire - vient permettre de conserver de meilleure faccedilon linformation monstrative

et surtout de faire apparaicirctre linformation monstrative pertinente le passage en

simplification de lexpression (2p - 1) + (2p + 1) agrave lexpression 4p fait apparaicirctre

que (2p - 1-) + (2p+ 1) deacutesigne un nombre multiple de 4 le passage en complexifishy

cation de 4p agrave (p + 1)2 - (p - 1)2 fait apparaicirctre que (2p - 1) + (2p + 1) est une

diffeacuterence de deux carreacutes

La creacuteation du langage algeacutebrique permet de deacutegager plus nettement laprobleacuteshy

matique deacutetude du nurileacuterique en la posant - sans lopposer - agrave cocircteacute de la perspecshy

tive calculatrice Elle permet donc dexpliciter ce qui demeurait largement implicite shy

la copreacutesence de deux maniegraveres davoir affaire au numeacuterique - et par lagrave dapaiser

les tensions Mais son surgissement historique permet surtout de mieux maicirctriser

la dialectique du numeacuterique et de lalgeacutebrique jusque-lagrave conduite avec des moyens

matheacutematiques insuffisamment adeacutequats Lalgeacutebrique est un outil de leacutetude du

numeacuterique le premier outil le plus eacuteleacutementaire sans doute (agrave un niveau avanceacute intershy

viendraient par exemple la theacuteorie des seacuteries entiegraveres la theacuteorie des fonctions analytishy

ques etc) Mais inversement (et cest ce qui nous autorise agrave parler de dialectique)

pour que le fonctionnement de cet outil soit efficace il faut quelque peu eacutetudier

cet outil par exemple se poser les problegravemes de la factorisation des expressions algeacuteshy

briques (afin notamment de reacutesoudre des eacutequations algeacutebriques) Or en ce point le

numeacuterique lui-mecircme est un outil deacutetude agrave lalgeacutebrique le flux sinverse Sans parler

76

de toutes les meacutethodes numeacuteriques qui font appel le plus souvent agrave des proprieacuteteacutes

danalyse (cest-agrave-dire concernant le corps des reacuteels et les fonctions dune variable

reacuteelle par exemple) on peut citer - pour prendre un exemple assez gros pour ecirctre

tout agrave fait visible - le theacuteoregraveme dEinsenstein sur la factorisation dans Q[X] (38)

Newton dans son Arithmetica Universalis deacutejagrave mentionneacutee montre une grande attenshy

tion agrave ce genre de laquoretoursraquo du numeacuterique vers lalgeacutebrique Ainsi donne-t-i1 une

meacutethode ingeacutenieuse pour trouver les facteurs dune expression algeacutebrique(39)

Si par exemple la quantiteacute proposeacutee est x 3 - x - 10x + 6 agrave la place de x

je substitue successivement les termes de la progression arithmeacutetique 1 0 -1 il en

naicirctra les nombres -4 + 6 + 14 Je place chacun deux avec tous ses diviseurs dans

la ligne du terme de la progression 1 0 -1 qui la produit comme on peut le voir

dans lexemple suivant

1 4 124 +4 o 6 1 2 3 6 +3

- 1 14 1 2 7 14 +2

Ensuite comme le terme le plus eacuteleveacute x3 na pas de diviseur de luniteacute je

cherche parmi les diviseurs quelque progression dont les termes ne diffegraverent que

dune uniteacute et qui en descendant des plus forts au plus faibles deacutecroissent comme

ceux de la progression 10 -1 Je ne trouve quune progression de cette espegravece cest

4 3 2 Je prends donc le terme + 3 qui se trouve dans la mecircme ligne que 0 de la

premiegravere progression 1 0 -1 je le joins agrave x et je tente la division par x + 3 elle

reacuteussit et jobtiens pour quotient x 2 - 4x + 2

Au-delagrave de la disparition de la structure du corpus matheacutematique enseigneacute en arithshy

meacutetique et algegravebre cest la dialectique du numeacuterique et de lalgegravebre - implicitement

preacutesente agravetravers llaquooppositionraquo de larithmeacutetique et de lalgegravebre - qui va se trouver

atteinte Plus que jamais les liens du numeacuterique et de lalgeacutebrique sen trouveront

relacirccheacutes

VIII - UNE CONCEPTION EMPIRISTE DU REEL MATHEMATIQUE

Leffacement de lopposition arithmeacutetiquealgegravebre en effet altegravere les condishy

tions de la mise en rapport du numeacuterique et de lalgeacutebrique Lancien rapport doutil

(38) Soit PIt) = a + a t + + a t n un polynocircme agrave coefficients dans if Sil existe un nombre premier p tel que0 1) ~ rie divise ~as an 2) p divise a al an_l p2 ne divise pas ao alors P o est irreacuteductible sur O

(39) Arithmeacutetique universelle tome premier pp 47-48 Nous laissons au lecteur le soin dapporter la justification matheacutematique requise

77

de travail agrave objet travailleacute semble perdu Les deux domaines - le numeacuterique -le

litteacuteral - vont coexister dans une simple juxtaposition existants qui trouvent en

eux-mecircmes leur propre justification Les rapports naguegravere encore banals entre ces

deux ordres de reacutealiteacute matheacutematiques semblent deacutesormais abolis Ou plutocirct ils laissent

place agrave des rapports nouveaux et inverseacutes ce nest plus lalgeacutebrique qui vient pershy

mettre deacutetudier le numeacuterique cest le numeacuterique qui laquojustifieraquo et laquopermet de comshy

prendreraquo lalgeacutebrique Le document 5 extrait dun manuei de quatriegraveme actuel (40)

IIUDIFFeacute~ENCS ce ceux C~CIMAUX [

x-eD yeC zeC z-z -y signifie que z+y-z Comment est appel z pour z et y dans ct ordre Observe

13-(-7) z+-7)middot13

[+(-7)j+713+7 +[(-7)+71-13+7

+0-13+7 zo13+-7

z-z-y z+y-z

(+y) + (-y)- +-(-y) +(y+ (-y)]-x + (-y)

z+O-z + (-y) -+(-y)

Pour tout xde D pour tout y de 0 z - y est un deacutecimal et z - y = +(-y) Exemples 8-(-7)=8+7=15 9-14=9+(-14)=-5 Lopeacuteration- qui agrave chaque coupe (z y) z e 0 y E C fait correspondre le deacutecimal Z - J est la soustraction dans O

DOCUMENT 5

Lalgeacutebrique comme essence du numeacuterique

nous donne de ce pheacutenomegravene un exemple tregraves net lintention didactique est ici

de justifier le fait que x - y = x + (-y) Pour le matheacutematicien la laquojustificationraquo shy

qui est alors strictement une deacutemonstration - est toute entiegravere contenue dans la

colonne de droite si je deacutefinis en geacuteneacuteral-y comme eacutetant le nombre tel quey + (-y) = 0

et si les proprieacuteteacutes ordinaires - associativiteacute etc - valent encore pour le nouvel

ensemble de nombres ainsi deacutefini alors le nombre z que je dois ajouter agrave y pour

obtenir x - ce quon appelle la diffeacuterence de x et y et qUon note x - y - nest pas

autre chose que x + (-y) Or la laquojustificationraquo passe dans la didactique ici examineacutee

par lappel au concret cest-agrave-dire au numeacuterique tel est le rocircle de la colonne de

gauche Ce sont les calculs numeacuteriques de la colonne de gauche qui soutiendraient

le sens (pour leacutelegraveve) des calculs litteacuteraux de la colonne de droite Malheureusement

le contenu de la colonne de gauche est si lon peut dire hautement improbable

(401 Il sagifdu _manuel Matheacutematique contemporaine pour la classe de quatriegraveme publieacute chez Magnard et conforme au programme de1978shy

78

parce que le numeacuterique ne fonctionne pas ainsi En fait les calculs numeacuteriques preacuteshy

senteacutes ici nexistent quagrave ecirctre limage en miroir des calculs litteacuteraux de la colonne

de droite Et cest pour permettre de tels calculs que le langage algeacutebrique preacutecishy

seacutement est neacutecessaire Il y a ainsi meacuteprise sur la speacutecificiteacute des deux ordres de calcul

et conseacutequemment sur le type de rapports quils entretiennent la justification

de lalgeacutebrique sappuierait sur un mode de fonctionnement du numeacuterique qui nest

en fait quun deacutecalque du fonctionnement de lalgeacutebrique et qui donc suppose

lalgeacutebrique

Leacutelucidation du nouveau rapport qui saffirme ainsi nest pas chose facile Elle

est pourtant neacutecessaire afin de preacuteciser par delagrave la surface des programmes les mouveshy

ments profonds produisant des deacutecisions didactiques quon aurait tort de regarder

seulement comme des laquotrucsraquo eacuteleacutements atomiques de strateacutegies trouvant en ellesshy

mecircmes et dans leurs effets supposeacutes leur unique mobile Revenons agrave lexemple que

nous avons examineacute Lalgeacutebrique y apparaicirct comme la laquotheacuteorieraquo de cette laquoreacutealiteacuteraquo

que serait le numeacuterique Mais les relations en acte entre theacuteorie (permettant leacutetude)

et reacutealiteacute (objet de leacutetude) y ressortissent incontestablement agrave une conception empishy

riste (et mecircme nous allons le voir empiriste-sensualiste) de la connaissance Tel est

en fait le mobile - veacutecu sans doute comme allant de soi dans leacutevidence que lideacuteoshy

logie procure - de la tentative de laquofaire sortirraquo la theacuteorie (lalgeacutebrique) de la reacutealiteacute

(numeacuterique) Il ya ici inversion des rapports entre theacuteorie et reacutealiteacute Car le surgissement

du theacuteorique - faut-il le rappeler - ne sautorise jamais que de lui-mecircme et loin

de proceacuteder de la reacutealiteacute la constitue (ou la renouvelle) comme objet de connaissance

Si jeacutecris par exemple 13 + 7 = 13 - (-7) selon un fonctionnement du numeacuterique

antinomique de la pratique calculatoire (cest-agrave-dire arithmeacutetique) du numeacuterique shy

laquelle voudrait quon eacutecrivicirct 13 + 7 = 20 - je fais de lalgegravebre sur du numeacuterique

cest loutil algeacutebrique et lui seul qui me permet ce travail du numeacuterique Entre le

fonctionnement arithmeacutetique et le fonctionnement algeacutebrique du numeacuterique il y a

ainsi une distance - un saut - que nul proceacutedeacute dlaquoabstractionraquo ne peut venir combler

On aurait tort de penser que lanalyse preacuteceacutedente ne vaut que pour lexemple

sur laquelle nous lavons illustreacutee En reacutealiteacute sa porteacutee est beaucoup plus eacutetendue

et pour en saisir toute la signification il faut revenir agrave cette acmeacute de leacutevolution de

la transposition didactique que repreacutesente la reacuteforme de 1971 (celle des laquomatheacutemashy

tiques modernesraquo) Contrairement aux opinions aujourdhui dominantes qui selon

un opportunisme neacutecessaire et une constante inconstance reacutecusent cette reacuteforme

pour ses excegraves et la regardent comme laberration dun moment il faut tenir que cette

aberration nen est pas une quelle ne fait que preacutecipiter cristalliser et rendre explicites

des traits qui deacutejagrave se repegraverent dans leacutevolution des deacutecennies preacuteceacutedentes Elle est un

moment qui donne sens reacutetrospectivement agravece qui vient avant lui et deacutetermine

largement ce qui viendra apregraves lui Car sil y a en quelque faccedilon rupture cest sur le

fond dune tregraves large surdeacutetermination En profondeur le programme de 1971 - pour

79

sen tenir agrave la classe de quatriegraveme - constitue une radiographie saisissante dune

eacutevolution que le programme de 1978 nadoucira quen surface Cest cette image

laquodureraquo quil faut interroger

On a trop vitupeacutereacute linflation moderniste le parti pris theacuteoriciste lambition

de rigueur des matheacutematiques promues par la reacuteforme et trop peu vu derriegravere cet

eacutecran deux mouvements correacutelatifs moins spectaculaires mais deacuteterminants Le

premier - que nous avons deacutejagrave plusieurs fois mentionneacute - cest lenvahissement du

champ deacutetude par les structures numeacuteriques Les laquoexcegravesraquo du programme de 1971

sont le prix agrave payer pour ce coup de force qui se megravene alors - simple tactique dun

moment le programme de 1978 installera une version apaiseacutee de la mecircme strateacutegieshy

avec lartillerie lourde de laquolapproche des reacuteelsraquo des laquocalculs approcheacutesraquo des laquoencashy

drementsraquo de haute ambition matheacutematique Le seCond cest la peacuteneacutetration dun

thegraveme qui va devenir central celui de llaquoobservationraquo et de llaquoexpeacuterimentationraquo

matheacutematiques

Fausse moderniteacute ce thegraveme est mis en place degraves les Instructions de janvier

1957 (annexe 6a) dont les Instructions de 1971 se reacuteclameront non sans raicon Il

prend alors lallure dune reacuteflexion sur les liens entre matheacutematique et extramatheacutemashy

tique La caution bergsonienne ici invoqueacutee - homo taber homo sapiens - bien que

dateacutee est agrave cet eacutegard tregraves significative La perspective proposeacutee ne conduit pas tregraves

loin les problegravemes denseignement se trouvent laquoreacutesolusraquo par une didactique euphoshy

rique (annexe 6b) Au vrai la conjoncture historique qui verra la mise en place des

matheacutematiques modernes nest alors quincomplegravetement formeacutee Ce qui manque

encore afin que lideacutee dexpeacuterimentation puisse passer dans les faits cest une matiegravere

que lon pourrait soumettre agrave lobservation et agrave lexpeacuterience A cet eacutegard les Instrucshy

tions de 1957 raisonnent encore agrave lancienne la notion dexpeacuterimentation y est

surtout loccasion dune rheacutetorique qui tourne sur elle-mecircme faute de pouvoir sapplishy

quer Mais cette matiegravere dapplication qui fait deacutefaut la reacuteforme va lapporter en

abondance ce sera le numeacuterique dont nous comprenons mieux degraves lors la place

de choix que les programmes reacuteformeacutes vont lui accorder Son expansion se trouvait

en fait comme appeleacutee par lexigence laquoexpeacuterimentaleraquo induite par une certaine concepshy

tion eacutepisteacutemologique et didactique

Le deacutecor de laction est installeacute en consonance avec une mise en scegravene empiriste

du procegraves de connaissance(41) Il Y a la laquoreacutealiteacuteraquo qui est un donneacute dont la preacutesence

simpose avec la derniegravere force et il y a la laquotheacuteorieraquo de ce donneacute que lon preacutetend

tirer par abstraction de lobjet agrave laquelle elle se voue La dialectique du numeacuterique

et de lalgeacutebrique est alors perdue lun de ses termes (lalgeacutebrique) se dissout dans

(41) Pour lintelligence de ce qui suit nous renvoyons agrave Althusser 1968 notamment pp 38-45

80

lautre (le numeacuterique) agrave qui est octroyeacute par nature une existence presque mateacuterielle

et dont lalgeacutebrique proceacutedera geacuteneacutetiquement La reacuteforme de 1971 remanie donc

le champ deacutetude pour y produire de solides objets laquoreacuteelsraquo agrave forts coefficients dexis-shy

tence les structures numeacuteriques et aussi la mysteacuterieuse laquodroite physiqueraquo dont la

soudaine promotion ontologique serait autrement encore plus inexplicable(42) Cela

poseacute lintroduction du litteacuteral (lalgeacutebrique) sidentifie au mouvement par lequel

dans le procegraves empiriste de connaissance se repreacutesente lessence du reacuteel qui est toute

la connaissance que le sujet peut tirer de lobjet par abstraction il permet de distinguer

entre un reacuteel essentiel et un reacuteel inessentiel gangue ou accident que le processus

dabstraction abandonne comme un reacutesidu impenseacute Labstraction qui vise agrave porter

agrave la lumiegravere ce quon pourra connaicirctre de lobjet agit par deacutecrassage et deacutecapage

CHA~tTRbullbull tour dieacuteremcs ftiems de 1t 011 obti=c cIes putitioas cilifeacute=o~ Uuml fiIure 2 repreacutese1tt (parshy

tieJ1emenz) les paniagravecas ~ i- II-l 11--0 11 - - l~ = grouie agrave la loupe la paftiriœ cozrcspoadaDc agrave Il - - 2shy

f-oo( [Q10[

1 1

~ Q t

(-2 ~( T

[l 0 ( [01 ( r12 r i i i i J r sr

-1shy 0 t

1 1 1 1 1 1 1 1 shy 1 bull 1 1 1 11

-1 -01 001 lU 03 ~ o~ 06 07 oa 09 1 11

P4 041 ~l ~~I 041ds1 -i -o] OoJ O4l o~ 04S 04) ~ 1 ~1 1

fJvZ

li) De m=c si II eR lD1 emer œIaagravef acirczeacute et si CI pr=d tOlIœS les ftiems possibles da2s Z r=semblc cIes imenalles cie c

Jcr10 (CI + L 10

eR iJMpcrtirIcircD1f de C Uuml figure 3 repreacutes=œ (articllemcm) =œ putitioll p04 shy O~

r 1 i 1 T l 1 1 -5 -4shy -3 -2 -r agrave l Z ~ 4shy 5

~3

DOCUMENT6

Le deacutecapage du donneacute dans le processus empiriste de connaissance

(42) Voir Chevallard et Johsua 1982 notamment pp 200-203

81

agrave ce thegraveme geacuteneacuteral de la connaissance empiriste reacutepond correctement dans les proshy

grammes la notion dlaquoapprocheraquo ou dlaquoapproximationraquo des laquoreacuteelsraquo (qui nont jamais

aussi bien porteacute leur nom) Ceux-ci sont atteints par le moyen de purifications successhy

sives qui eacuteliminent peu agrave peu la gangue inessentielle Tel manuel (43) pris parmi tant

dautres- en offre la superbe illustration (document 6) limage de la loupe - emblegraveme

de la connaissance empiriste dont elle est linstrument privileacutegieacute parce quelle permet

de mieux voir et de faire voir - y est requise et symbolise mieux quun long commenshy

taire cette conception de la connaissance comme visant agrave amener linvisible agrave la

vue de tous

Une telle conception de la connaissance rate le reacuteel dont il sagirait preacuteciseacutement

de produire la connaissance parce quelle en manque la constitution comme objet

de connaissance(44) Lalgeacutebrique ne sert plus agrave connaicirctre le numeacuterique Il nest plus

deacutesormais quune steacutenographie middotessentialisante qui deacutecrit reacutesume et seacutepare lessence

de laccident Le surgissement laquomoderneraquo de la dichotomie de llaquoobservationraquo et de

la laquotheacuteorieraquo - que les manuels actuels reprennent agrave lenvi - est ainsi correacutelatif dune

dissolution de lobjet de connaissance au profit de lobjet reacuteel maintenant donneacute

agrave voir dans une abstraction reacuteputeacutee immeacutediate et facile Lordre didactique va sorgashy

niser autour de cette eacutepisteacutemologie imaginaire

REFERENCES

ALTHUSSER L (1968) Lire le Capital Franccedilois Maspeacutero Paris

BOURDIEU P (1974) Le sens pratique eacuteditions de Minuit Paris

BROUSSEAU G (1980) Problegravemes de lenseignement des deacutecimaux Recherches

en didactique des matheacutematiques 1middot1 pp 11-59

CHEVALLARD Y (1980a) Matheacutematiques langage enseignement la reacuteforme des

anneacutees soixante Recherches 41 pp 71-99

CHEVALLARD Y (1980b) La transposition didactique 1REM dAix-Marseille

CHEVALLARD Y (1982) Pourquoi la transposition didactique 7 Publication du

seacuteminaire de didactique et peacutedagogie des matheacutematiques 32 Grenoble

CHEVALLARD Y et JOHSUA MA (1982) Un exemple danalyse de la transposition

didactique Recherches en didactique des matheacutematiques 3 2 pp 157-239

MICHEL PH (1950) De Pythagore agrave Euclide Les Belles Lettres Paris

SMITH DE (1953) History of mathematics volume Il Dover publications Inc

New York

(43) Il sagit de louvrage mentionneacute dans la note 24 ci-dessus

(44) Sur la distinction entre laquoobjet reacuteelraquo et laquoobjet de connaissanceraquo voir Althusser 1968 pp 4649

82

CLASSE DE QUATRIEME CLASSIQUE A ET B ET DE QUATRIEME MODERNE

PROGRAMME DE 1945 (extraits)

Arithmeacutetique

Pratique sur des exemples de la deacutecomposition dun nombre entier en facteurs premiers de la recherche du plus grand commun diviseur et du plus petit commun multiple de deux ou plushysieurs nombres Applications aux fractions

Algegravebre

Nombres algeacutebriques (positifs nuls heacutegatifs) Opeacuterations sur ces nombres exposeacutes agrave partir de problegravemes concrets Ineacutegaliteacutes

Mesures algeacutebriques de vecteurs sur une droite orienteacutee Formule de Chasles Repeacuterage dun point sur un axe

Eleacutements du calcul algeacutebrique proprieacuteteacutes des sommes et des produits Puissances Produit et quotient de deux puissances dun nombre usage de lexposant nul et dexposants neacutegatifs

Monocircmes Produit de monocircmes Quotient de deux nombres Somme de monocircmes semblables (on se bornera agrave des monocircmes agrave une deux ou trois variables) Polynocircmes agrave une variable addition soustraction multiplication par une constante

Equations numeacuteriques du premie( degreacute agrave une inconnue Problegravemes conduisant agrave une eacutequation numeacuterique du premier degreacute agrave une inconnue

Annexe 1

83

CLASSE DE QUATRIEME

PROGRAMME DE 1958 (extraits)

Arithmeacutetique

Pratique sur des exemples de la deacutecomposition dun nombre entier en un produit de nomshybres premiers pratique de la recherche du plus grand diviseur commun et du plus petit multiple commun de deux ou plusieurs nombres Applications

Algegravebre

1 - Nombres relatifs (positifs nuls neacutegatifs) Orientation dun segment (vecteur) orientation dune droite (axe) mesure algeacutebrique

dun segment orienteacute sur un axe repeacuterage dun point sur un axe (abscisse)

II - Opeacuterations eacuteleacutementaires sur les nombres relatifs addition et soustraction multiplishycation et division

Extension aux nombres relatifs des proprieacuteteacutes fondamentales eacutetablies pour les nombres arithmeacutetiques (classe de cinquiegraveme) concernant les sommes les diffeacuterences les produits les puisshysances n-iegravemes les quotients linverse dun nombre non nul Condition pour quun produit soit nul

Deacutefinition des exposants neacutegatifs et de lexposant nul Comparaison des nombres relatifs ineacutegaliteacutes Ineacutegaliteacutes concernant la valeur absolue dune somme ou dune diffeacuterence Formule de Chasles pour trois points situeacutes sur un axe Segment deacutefini par les abscisses

des deLix points qui le limitent mesure algeacutebrique de ce segment orienteacute mesure de la longueur de ce segment abscisse du milieu de ce segment

III - Notions de variables et de correspondance entre variables Expressions algeacutebriques deacutependant dUne ou de plusieurs variables calcul de la valeur

numeacuterique dune expression algeacutebrique pour des valeurs numeacuteriques donneacutees aux Ymiddotariables Monocircmes agrave une ou plusieurs variables multiplication addition de monocircmes semblables Polynocircmes forme reacuteduite Polynocircmes ordonneacutes addition multiplication Identiteacutes relatives aux produits (x + y)2 (x - y)2 (x + y)(x - y)

IV - Equations position du problegraveme signification du signe = dans ce problegraveme Equashytions du premier degreacute agrave une inconnue agrave coefficients numeacuteriques Reacutesolution de problegravemes simples agrave laide dune telle eacutequation

Annexe 2

84

CLASSE DE QUATRIEME

PROGRAMME DE 1971 (extraits)

1 - Relations

Reacutevision -des notions preacutesenteacutees dans les classes anteacuterieures et compleacutements produit carteacutesien relation application composition des applications bijection cun ensemble sur un ensemble et bijection reacuteciproque

Notion de groupe deacutefinition (on la jeacutegagera des exemples du programme)

II - Nombres deacutecimaux relatifs et approche de reacuteel

1 Groupe des puissances de dix

Nombres deacutecimaux relatifs eacutecrits a 10n avec a e7l et p E7 et sous forme de nombres agrave virgule addition multiplication ordre valeur absolue Reacutesumeacute des proprieacuteteacutes fondamentales de lensemble ainsi structureacute des deacutecimaux relatifs

2 Calculs approcheacutes

a) EnC3drement dun nombre deacutecimal par des intervalles des types [a 10pbull (a + 1) 10middot[ da 101 (a + 1) 10- [a 10pbull (a + 1) 101] avec a E Z et p E Z Sur des exelJlples encamiddot drement middotdune somme dun produit

b) Exercices de deacutetermination pour un deacutecimal strictement positif d donneacute et pour un entier relatif n donneacute du nombre deacutecimal x bull 10 avec x E IN tel que soient veacuterifieacutees les ineacutegaliteacutes 0 ~d x 10 ~ 1 lt d (x + 1) 10

c) Exercices de deacutetermination pour un deacutecimal strictement positif d donneacute et pour un entier relatif n jonneacute du nombre deacutecimal y bull 10 avec y E IN tel que soient veacuterifieacutees les ineacutegaliteacutes [y 10P ~ d lt [(y + 1) 10]

d) Suites deacutecimales illimiteacutees nombres reacuteels encadrements dun nombre reacuteel

3 Enumeacuteration des principales proprieacuteteacutes qui structurent fensemble IR des reacuteels addition (IR +) est un groupe commutatif multiplication associashytiYiteacute distributiviteacute par rapport agravefaddition ordre et valoeur absolue

On admettra que pour tout nombre reacuteel a jiffeacuterent de 0 il existe un nombre reacuteel a-1 et un seul tel que aa-1 = 1 Pour tout couple de nombres reacuteels (a b) avec a = 0 il existe un nombre reacuteel unique x appeleacute quotient de b par a

b et noteacute ba-1 ou - tel que ax = b a

Exercices simples de calcul sur de tels quotients Sur des exemples -numeacuteriques eacutequations et ineacutequations du premier degr9 agrave une inconnue

Usage des exposants entiers groupe des puissances dun nombre reacuteel non nul

Calculs approcheacutes sur les nombres reacuteels

4 Exemples de fonctions polynocircmes (applications de IR dans IR) Degreacute Exercices de calcul SUT les polynocircmes Produits (x + a)2 (x - a)2 (x + a) (x - a) Exercices de factorisation

Annexe 3

85

ENCYCLOPEDIE QUILLET (1958)

TABLE DES MATIERES (extraits)

ARITBMEacuteTIQUE Notio~ preacute1i1Ji~ajres - Ideacutee de nombrebullbullbullbull 153 NumeratIon decmale bullbullbullbullbullbullbullbull 156 ~esure des grŒDdeurs bullbullbullbullbullbull bullbullbullbull 159 Nombresmiddot deacutecUDauxbullbullbullbullbullbullbullbullbullbull 169 Ladditionbullbull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull 165 La soustraction bull bull bull bull bull bull bull bull bull 168 La ~~qplication bullbullbullbullbullbullbull1 bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bullbull 171 La diVISIon 178

Regravegle de trois bull bull 117 Pourcentages bullbullbull 119 Partages proportionnels 110 ~~langes bullbull i bull bullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbull 111 Alliages bull 111 Regravegles dinteacuterecircts 124 Rentes sur Pltat 116 Actins et obli~tions - Escompte 117

Problegravemes sur les quatre opeacutemtions bull bull bull 184 La divisibiliteacute bull bull bull bull bull bull bull bull 186 Plus grŒDd commun diviseur (p G C D) 189 Plus petit commun multiple (P P C M) 191 Nombres premiers bullbullbullbullbullbullbullbull 192 Les fractions bull bull bull bull bull 194 Opeacuterations sur les fractions 197 Sys~egraveme meacute~que 203 Racme carree 207 Rapports - Proportions 2 II

Grandeurs Proportionnelles 215

Connge des exercces ~ 130

Annexe4a

ALGEgraveBRE Notions preacuteliminaires bullbullbullbull 157 Opeacutemtions sur les nombres algeacutebriques (somme

diffeacuterence multiplicationmiddot division des nombres algeacutebriques fractions ou rapports algeacutebriques puissances racines) bull bull 160

Qpeacuterations sur les expressions algeacutebriques bull 168 gquations du premier degreacute 278 Reacutesolution des problegravemes du premier degreacute agrave une

inconnue bullbullbullbullbullbullbullbullbull 186 gquations et problegravemes du premier degreacute agrave deux

ou plusieurs inconnues bull bull 191 Notions sur les repreacutesentations graphiques bull bull 301

Variation des fonctions 313 Deacuteriveacutees bullbull bull bull 319

~uations et problegravemes du second degreacute bull bull 312

ProgressionsetlogaritbInesmiddotmiddotmiddotmiddot middotmiddot middotmiddotmiddot middot331 Table de logarithmes de 1 agrave 1 000 bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull 338 Application des logarithmes Inteacuterecircts composeacutes et

annuiteacutes bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull 343 Corcigeacute des ex~ces bullbull ~ bullbullbullbullbullbullbull 348

Annexe4b

59

intituleacutee Systegraveme meacutetrique est consacreacutee aux mesures (surfaces volumes poids

capaciteacutes~ etc) Enfin une troisiegraveme partie traite agrave la fois de la divisibiliteacute des fracshy

tions des rapports et proportions et des regravegles (de trois etc) ainsi que de leurs

applications agrave des problegravemes pratiques (caisse deacutepargne actions et obligations etc)

Dune maniegravere plus deacuteveloppeacutee et sadressant agrave un niveau plus eacuteleveacute du cursus (matheacuteshy

matiques eacuteleacutementaires) un ouvrage de 1913(15) propose un plan qui nest guegravere diffeacuteshy

rent le 1ivre 1 traite de la numeacuteration et des opeacuterations le livre Il des proprieacuteteacutes

des nombres (divisibiliteacute plus grand commun diviseur nombres premiers etc)

le livre III des fractions le livre IV des puissances et des racines le livre V des

mesures (systegraveme meacutetrique monbres complexes) le livre VI des rapports et de leurs

applications (regravegles de trois de socieacuteteacute etc) le livre VII des approximations numeacuteshy

riques (opeacuterations abreacutegeacutees erreurs relatives)

Corpus traditionnel- agrave quelques ajouts pregraves - acircvons-nous dit Dans lArithshy

meacutetique de Jacques Pelletier du Mans (1554) le premier livre traite des nombres et

des opeacuterations de la regravegle de trois directe et laquorebourseraquo le deuxiegraveme livre des

fractions le troisiegraveme livre de lextraction de la racine carreacutee le quatriegraveme et dernier

livre de la regravegle double de faux (de fausse position) de la regravegle de socieacuteteacute etc Cette

organisation de larithmeacutetique qui na pas surveacutecu dans notre enseignement geacuteneacuteral

se retrouve aujourdhui dans les peacuteripheacuteries ou dans les marges du systegraveme denseishy

gnement officiel agrave linteacuterieur comme dans certains enseignements professionnels

agrave lexteacuterieur comme en teacutel manuel darithmeacutetique(16) adresseacute aux laquoautodidactesraquo

qui se publie aujourdhui encore au Royaume Uni (dans le cadre dune collection

intituleacutee Teach Yourself Books) simplement mis agrave jour preacutesenteacute au lecteur comme

laquofully decimalised and metricatedraquoil comporte agrave cocircteacute des parties traditionnelles

(nombres et opeacuterations factorisation des nombres fractions rapports et proportions

inteacuterecircts simple et composeacute etc) un chapitre sur la taxe agrave la valeur ajouteacutee ainsi

quun chapitre sur les machines agrave calculer et la nUJ1eacuteration binaire Un bon teacutemoigage

de leacutetat deacutequilibre atteint agrave la veille de la reacuteforme nous est fourni par leacutedition de

1958 de lEncyclopeacutedie autodidaetique Quillet en sa partie Arithmeacutetique dont la

table des matiegraveres est reproduite plus loin (annexe 4a)

Cest ce corpus traditionnel qui vole en eacuteclat deacutefinitivement - car son eacuterosion

eacutetait fortement avanceacutee - avec la reacuteforme du deacutebut des anneacutees soixante-dix(17)

Mais lexplosion de la neacutebuleuse arithmeacutetique ne signifie pas pour autant la disparition

(15) Voir la note 13

(16) LC Pascoe Arithmetic Decimalised and Metricated Houdder and Stoughton Londres 1971

(17) Cette rupture - eacutevidente - recouvre pourtant agrave un niveau plus profond des eacuteleacutements attestant la contiguiumlteacute nous y viendrons plusIoin

60

de larithmeacutetique Les parties traditionnelles de ce corpus libeacutereacutees de leur inteacutegration

au sein dune organisation multiseacuteculaire du savoir enseigneacute vont deacutesormais connaicirctre

des destins relativement indeacutependants Le noyau essentiel - les nombres et les opeacuterashy

tions sur les nombres - qui constituait la base du systegraveme anteacuterieur non seulement

ne disparaicirct pas mais trouve une extension soudaine associeacutee agrave une promotion en

digniteacute matheacutematique alors que en effet leacutetude laquoarithmeacutetiqueraquo des nombres ne

traitait anciennement que des nombres entiers et des fractions il seacutetablit deacutesormais

une progression dans leacutetude des structures numeacuteriques qui selon la logique de la

filiation des structures populariseacutee par leacutecole bourbakiste est penseacutee ideacutealement

comme allant sans solution de continuiteacute des nombres entiers aux nombres reacuteels en

passant par les nombres relatifs les nombres deacutecimaux et les rationnels Dans cet

ensemble progressivement deacuteveloppeacute les fractions viendront occuper - dans le cadre

du programme de 1978 pour la classe de quatriegraveme qui faisait suite aux laquoexcegravesraquo du

programme de 1971 - une place de toute premiegravere importance(18) La laquotheacuteorie des

nombresraquo cest-agrave-dire leacutetude de la factorisation des nombres du PGCD etc agrave

qui est reacuteserveacutee leacutetiquette darithmeacutetique figure elle au programme de la classe de

cinquiegraveme (et sy trouvera maintenue sans changement par le programme de 1977)

Seule la partie constitueacutee des laquoproblegravemes pratiquesraquo fait veacuteritablement les frais de la

modernisation et disparaicirct agrave peu pregraves complegravetement si lon excepte quelques vestiges

telle leacutetude des laquosuites finies proportionnellesraquo en classe de sixiegraveme (qui prolonge un

thegraveme abordeacute au CM2) - eacutetude eacuteventuellement conccedilue dailleurs comme preacuteparant

mais de longue main agrave la notion dapplication lineacuteaire inscrite au programme de la

classe de troisiegraveme(19)

Ce qui disparaicirct en fait agrave lexception notable - reacutepeacutetons-Ie - des problegravemes 1

pratiques ce nest pas larithmeacutetique (mecircme si le mot lui-mecircme ne renvoie plus quagrave

lune des parties du corpus arithmeacutetique traditionnel) mais la dialectique de larithshy

meacutetique et de lalgegravebre Or cet affaissement dune structuration traditionnelle va

moins peser sur la composante arithmeacutetique que sur la composante algeacutebrique des

matheacutematiques enseigneacutees au collegravege cest lalgegravebre (entendue au sens traditionnel

de ce mot agrave ce niveau des eacutetudes matheacutematiques) qui va se trouver le plus violemment

mise en cause par les changements opeacutereacutes

(18) laquoEn calcul notent les Instructions officielles la nouveauteacute reacuteside dans laccent qui est mis sur la notion de fraction ( )gtgt (Ministegravere de lEducation Matheacutematiques classes des collegraveges 6egraveme 5egraveme 4egraveme 3egraveme 1980 p 29)

(19) Les manuels correspondant aux programmes de 1978 redonneront une place au laquoproblegravemes concretsraquo ceux-ci y apparaissent toutefois essentiellement agrave titre dapplications non de problegravemes permettant la construction et lappropriation des notions agrave enseigner

61

v - UNE ALGEBRE INTROUVABLE

Il nous faut maintenant rappeler rapidement ce queacutetait lancienne organisation

du corpus algeacutebrique Formeacute de maniegravere eacutevidemment plus tardive que le corpus arithshy

meacutetique le corpus algeacutebrique atteint pourtant assez vite une stabiliteacute remarquable

qui le laisse agrave peu pregraves inchangeacute sur deux siegravecles et plus Ecartant le traiteacute dalgegravebre

publieacute par Newton sous le titre dArithmetica Universalis(20) fort instructif agrave tous

eacutegards mais relativement atypique consideacuterons louvrage dEuler deacutejagrave mentionneacute

Son tome premier comporte quatre sections La premiegravere traite laquodes diffeacuterentes

meacutethodes de calcul pour les grandeurs simples ou incomplexesraquo cest-agrave-dire du calcul

sur les nombres mais sur les nombres (que nous appelons) relatifs dont lintroduction

fait un avec laquolexplication des Signes + (Plus) et - (Moinsraquogt (chapitre 10 et sur les

nombres fractionnaires Les quatre opeacuterations arithmeacutetiques les racines les puissances

mais aussi les laquoquantiteacutes impossibles ou imaginairesraquo ainsi que les logarithmes y sont

longuement preacutesenteacutes La deuxiegraveme section traite laquodes diffeacuterentes meacutethodes de calcul

pour les grandeurs composeacutees ou complexesraquo cest-agrave-dire du calcul algeacutebrique la

troisiegraveme laquodes rapports et des proportionsraquo la quatriegraveme laquodes eacutequations algeacutebriques

et de la reacutesolution de ces eacutequationsraquo Quant au tome second il est consacreacute agrave laquolanalyse

indeacutetermineacuteeraquo que nous nexaminerons pas ici(21) Cette organisation subit eacutevidemshy

ment dune part des variations en fonction du niveau viseacute dautre part une eacutevolution

dans le temps qui conduit dans la premiegravere moitieacute du XXegraveme siegravecle agrave un ensemble

relativement stabiliseacute dont agrave la veille du grand mouvement de reacuteforme lEncyclopeacutedie

Quillet deacutejagrave citeacutee nous fournit une version commode (annexe 4b)

En ce qui concerne tout au moins les deacutebuts de lalgegravebre trois thegravemes apparaisshy

sent essentiels les nombres algeacutebriques (cest-agrave-dire les nombres relatifs) le calcul

sur les expressions algeacutebriques les eacutequations algeacutebriques Que deviennent-ils dans le

cadre de la reacuteforme La difficulteacute de la reacuteponse agrave apporter tient au moins en partie

au fait que signifiants et signifieacutes se trouvent alors dissocieacutes redistribueacutes et en ce qui

concerne les contenusmiddot couleacutes en des cadres conceptuels nouveaux qui rompent les

anciennes concordances Il en est ainsi notamment pour les nombres algeacutebriques

bull qui perdent leur qualificatif comme on la noteacute pour devenir nombres relatifs Sous

cette eacutetiquette la place qui leur est deacutevolue nest pas diminueacutee mais au contraire

majoreacutee (et en cela ils profitent du mouvement geacuteneacuteral damplification dont beacuteneacuteficient

(20) Publieacutee (en latin) en 1707 mais eacutetablie sur la base de cours donneacutes par Newton une trentaine danneacutees auparavant lArithmeacutetique universelle paraicirct en franccedilais en 1802

(21) Lorsque la question eacutetudieacutee laquone fournit pas autant deacutequations quon est obligeacute dadmettre dinconnues il y en a qui restent indeacutetermineacutees et qui deacutependent de Il9tre volonteacute et cela fait quon nomme ces sortes de questions des problegravemes indeacutetermineacutes Ils font le sujet dune branche particuliegravere de lanalyse et on appelle cette partie lAnalyse indeacutetermineacuteeraquo (Euler op cit tome second pp 1-2)

62

les structures numeacuteriques) Leur eacutetude inscrite au programme de la classe de sixiegraveme

est deacuteveloppeacutee en classe de cinquiegraveme dans les programmes de ces deux classes ils

constituent un titre agrave part entiegravere aussi bien en 1969-1970 quen 1977-1978

Il en va autrement du calcul algeacutebrique et de leacutetude des eacutequations Ces quesshy

tions formaient traditionnellement le cœur de lalgegravebre eacuteleacutementaire Dans un Manuel

dalgegravebre publieacute en 1827 laquoagrave lusage des personnes priveacutees du secours dun maicirctreraquo

lauteur(22) ouvrait sa premiegravere leccedilon par les lignes suivantes

1 Lalgegravebre est lart dexeacutecuter sur des quantiteacutes quelconques au moyen

des signes geacuteneacuteraux toutes les opeacuterations de larithmeacutetique et de repreacutesenter agrave laide

des mecircmes signes toutes les relations entre ces quantiteacutes

Il La partie de lalgegravebre qui enseigne les regravegles pour exeacutecuter les opeacuterations

arithmeacutetiques sur des quantiteacutes quelconques se nomme calcul litteacuteral

III La partie de lalgegravebre qui traite de la maniegravere de repreacutesenter agrave laide

de signes les relations entre les quantiteacutes se nomme calcul par eacutequation

IV On verra dans la suite que dans le calcul par eacutequation on a sans cesse

besoin du calcul litteacuteral cest donc par celui-ci quil faut commencer

Cest cet ensemble (calcul algeacutebrique eacutequations algeacutebriques) qui va se trouver

fortement minoreacute dans les programmes reacuteformeacutes Pour ne donner ici de cette brutale

deacuteflation quune seule illustration on a reacuteuni dans lannexe 5 (dont on voudra bien

excuser la longueur) les listes dexercices relatives agrave la multiplication dexpressions

algeacutebriques dune part (a b) dans deux manuels dancienne maniegravere(23) dautre part

(c) dans un manuel consideacutereacute comme de niveau eacuteleveacute(24) conforme au programme de

1971 la confrontation est eacuteloquente

Le terme dalgegravebre a disparu des programmes (agrave lexception du programme de

la classe de troisiegraveme) nous lavions noteacute Mais avec le mot la chose elle-mecircme se

trouve emporteacutee lalgegravebre disparaicirct 1 Cet eacutevanouissement est en fait seacutelectif les

parties laquonumeacuteriquesraquo de lalgegravebre reacutesistent bien Les nombres relatifs sont un eacuteleacutement

essentiel de lenseignement de la classe de cinquiegraveme Les fractions un temps mises agrave

leacutecart (en 1971) seront ensuite reacuteinstalleacutees comme eacuteleacutement central du programme de

(22) M Terquem auteur dun Manuel dalgegravebre ou exposeacute eacuteleacutementaire des principes de cette science publieacute agrave Paris en 1827 La citation qui suit se trouve pp 1middot2

(23) Il sagit (a) du manuel de F Girod (voir ci-dessus note 11) et (b) du manuel de Lebosseacute et Heacutemery pour la classe de quatriegraveme dans son eacutedition de 1962 (Fernand Nathan Paris)

(24) Il sagit du manuel de la collection Queysanne-Revuz seacuterie rouge dans son eacutedition de 1973 (Fernand Nathan Paris)

63

quatriegraveme (en 1978) Ce sont les parties laquoalgeacutebriquesraquo de lalgegravebre - calcul et eacutequations

algeacutebriques - qui pacirctissent de la modernisation Plusieurs raisons semblent devoir

expliquer ce pheacutenomegravene Avanccedilons dabord une raison proprement didactique qui a

pu jouer neacutegativement Le calcul algeacutebrique agrave lorigine simple preacuteliminaire agrave leacutetude

des eacutequations eacutetait en fait devenu prolifeacuterant comme on peut en juger notamment sur

le document de lannexe 5a eacutetouffant progressivement les autres parties du corpus

enseigneacute Il eacutetait sain que lon tente den limiter le deacuteveloppement et la tendance

anteacuterieure agrave la reacuteforme proprement dite allait en effet dans ce sens les manuels avaient

commenceacute le travail deacuteflationniste (comme le montre la comparaison des documents a

et b de lannexe 5) Mais ce type de pheacutenomegravene qui constitue au demeurant davantageacute

la regravegle que lexception dans leacutevolution du texte denseignement (que lon songe ici agrave

la deacutegeacuteneacuterescence de leacutetude des eacutequations du second degreacute en la fameuse laquotrinocircmiteraquo

qu i frappait agrave peu pregraves dans le mecircme temps les classes du second cycle) et la reacuteaction

quil devait susciter allaient rencontrer une autre force de changementsans doute bien

plus puissante lapparition de lalgegravebre laquomoderneraquo sur laquelle il faut sarrecircter un

instant

Dans leurs Eleacutements dalgegravebre moderne dont la quatriegraveme eacutedition paraicirct en

1961 (la premiegravere eacutetant de 1956) A Lentin et J Rivaud(25) qui situent lapparition

de lalgegravebre moderne vers 1910 inscrivent celle-ci dans le prolongement de larithshy

meacutetique et de lalgegravebre traditionnelles (mais sans les nommer) laquoA leacutecole primaire

eacutecriven~-ils lenfant raisonne sur des collections et des grandeurs concregravetes dont il

deacutegage progressivement la notion de nombre abstrait indeacutependant de la nature des

choses compteacutees ou mesureacutees Lenseignement du second degreacute apprend agrave ladolescent

la manipulation des x et des y indeacutependamment des nombres que ces lettres repreacuteshy

sentent Un pas de plus dans le calcul et cest le calcul sur les polynocircmes puis la comshy

position des transformations formelles Eh bien lalgegravebre moderne formera leacutetudiant

agrave raisonner sur les proprieacuteteacutes des opeacuterations indeacutependamment des eacuteleacutements (nombres

polynocircmes transformations) sur lesquels sexercent ces opeacuterationsraquo (26) En fait

les parties traditionnelles de lalgegravebre (calcul et eacutequations algeacutebriques) sont bien inteacuteshy

greacutees dans lalgegravebre moderne ainsi preacutesenteacutee Mais elles nen constituent ni lessentiel

ni surtout les deacutebuts Les auteurs citeacutes dont louvrage est constitueacute de cinq livres

consacrent leur dernier livre agrave des laquocompleacutements sur les groupes et sur les eacutequations

algeacutebriquesraquo (un deacuteveloppement plus ample de la question eucirct conduit agrave la theacuteorie

des extensions de corps et agrave la theacuteorie de Galois dont les rudiments sont preacutesenteacutes

dans ce livre) Ainsi le traitement des eacutequations algeacutebriques se trouve-t-i1 rejeteacute fort

loin dans lexposeacute moderne de lalgegravebre Le calcul algeacutebrique quant agrave lui se retrouve

(25) A Lentin et J Rivaud Eleacutements dalgegravebre moderne Vuibert Paris quatriegraveme eacutedition 1961

(26) Loc cit pp VmiddotVI

64

Ici dans le livre Il sous les espegraveces de leacutetude des anneaux de polynocircmes Mais le

veacuteritable commencement de lalgegravebre moderne cest leacutetude des structures (lois de

composition groupe anneau corps) qui occupe tout le livre 1 Lhonnecircte homme

qui en 1958 encore sinitiant agrave lalgegravebre se voyait proposer nombres algeacutebriques

expressions algeacutebriques eacutequations etc se verra offrir quelques anneacutees plus tard

relations binaires eacuteleacutement neutre etc Le chapitre Algegravebre que M Glaymann eacutecrit

au deacutebut des anneacutees soixante-dix pour un ouvrage adresseacute au grand public (il paraicirct

dans la collection laquoLes dictionnaires du savoir moderneraquo) est agrave cet eacutegard significatif

loi de composition eacuteleacutement neutre commutativiteacute eacuteleacutement symeacutetrique associativiteacute

eacuteleacutement reacutegulier distributiviteacute et encore structures monoiumlde groupe sous-groupe

groupe cyclique morphisme de groupes anneau anneau integravegre corps etc en sont les ma icirctres-mots(27)

Il se produit donc en quelques anneacutees une veacuteritable substitution dobjet dont

le texte denseignement reccediloit bientocirct la marque les programmes reacuteformeacutes de sixiegraveme

cinquiegraveme et quatriegraveme comportent tous un titre Relations et le programme de

quatriegraveme introduit les notions de groupe et de division dans un groupe qui conduisent

agrave examiner leacutequation ax = b dans le groupe multiplicatif des reacuteels non nuls Le calcul

algeacutebrique est recircduit agrave la portion congrue il fait lobjet du point 4 du titre Il du programme (annexe 3) Leacutetude des eacutequations conformeacutement au plan moderne

dexposition de lalgegravebre est deacutechue de ses titres et se trouve repousseacutee en classe de

troisiegraveme

VI - LALGEBRE SANS ALGEBRE

La situation creacuteeacutee par la reacuteforme autour de 1970 consacre la promotion des

structures numeacuteriques (agrave cocircteacute du geacuteomeacutetrique dont nous ne parlerons pas ici) en

mecircme temps quelle reacutealise une eacutevidente inflation theacuteorique agrave propos du numeacuterique

comme du geacuteomeacutetrique Cest ce theacuteoricisme qui apregraves avoir susciteacute dabord un vif

enthousiasme se trouvera en butte agrave une multitude de critiques qui conduiront agrave

la reacutedaction des programmes de 1977-1978 actuellement en vigueur La focalisation

du deacutebat se fait sur la maniegravere de traiter les contenus - avec notamment le rej~t

du laquopurismeraquo qui impreacutegnait lesprit de la reacuteforme preacuteceacutedente(28) - davantage que

sur la distribution des contenus eux-mecircmes et sur la structuration et leacutequilibre des

diverses parties du corpus enseigneacute Celui-ci apparaicirct en conseacutequence plus comme

(27) Maurice Glaymann Lalgegravebre in Les matheacutematiques Centre deacutetudes et de promotion de la lecture Paris 1973 pp 16-54

(28) Dans la preacutesentation deacutejagrave citeacutee des programmes de 1978 (voir la note 2 ci-dessus) leacutequipe de reacutedaction du Bulletin de lAPMEP deacutenonccedilait le purisme matheacutematique qui en fait laquoest un purisme dexposition non dapprentissage ou de fonctionnement qui na donc rien agrave faire dans le premier cycle ( )gtgt

65

une version laquodeacutegraisseacuteeraquo du corpus des anneacutees soixante-dix que comme une version

fondamentalement nouvelle agrave cocircteacute du geacuteomeacutetrique que lon entend laquodeacutesaxiomatiserraquo

le numeacuterique y demeure preacutedominant mecircme si lon ny inclut plus les mecircmes mateacuteshy

riaux Les nombres reacuteels en effet sont les grands perdants du reacuteameacutenagement opeacutereacute

Et ce sont les fractions et les rationnels qui venant occuper la place ainsi libeacutereacutee dans

le programme de quatriegraveme constituent maintenant la piegravece centrale de leacutetude du

numeacuterique - les nombres relatifs (entiers et deacutecimaux) conservant en classe de cinshy

quiegraveme le rocircle preacuteeacuteminent qui leur eacutetait anteacuterieurement reconnu

Il faut en ce point dire quelques mots de la promotion donneacutee dans ces proshy

grammes aux fractions et aux rationnels Pour des raisons dans lesquelles nous nentreshy

rons pas ici les fractions (associeacutees aux rapports et aux proportions) eacutetaient traditionshy

nellement tirailleacutees entre larithmeacutetique la geacuteomeacutetrie et degraves la naissance du corpus

algeacutebrique lalgegravebre elle-mecircme Preacutesentant ses Eleacutemens dAlgebre Clairaut ne manque

dailleurs pas de faire connaicirctre au lecteur lembarras ougrave cette question la tenu

laquojavois dabord compteacute donner dans le mecircme livre eacutecrit-il tant les Eleacutemens dArithshy

meacutetique que ceux dAlgebre amp je naurois pas manqueacute alors de traiter des proportions

plus agrave fond que je nai fait dans mes Eleacutemens de Geacuteomeacutetrie raquo Bien entendu en passant de larithmeacutetique agrave lalgegravebre on passait aussi des fractions arithmeacutetiques

(rapports dentiers cest-agrave-dire dentiers naturels) aux fractions algeacutebriques (rapports

dentiers laquoalgeacutebriquesraquo cest-agrave-dire relatifs) et aux fractions rationnelles (rapports

de polynocircmes) Mais ces reprises sont significatives de linteacuterecirct didactique accordeacute

au thegraveme les fractions constituent un sujet de choix pour lenseignement

Comme on la rappeleacute(29) laquolaccent qui est mis sur la notion de fractionraquo

constitue selon les termes mecircmes des Instructions relatives au programme de quatriegraveme

de 1978 leacuteleacutement de laquonouveauteacuteraquo de ce programme Nouveauteacute dantique meacutemoire 1

Henri Lebesgue presque un demi-siegravecle plus tocirct avait fermement inviteacute les professeurs

agrave se deacutebarrasser de ce monstre du Loch Ness matheacutematique laquo on sera bien je pense

daccord avec moi eacutecrivait-il (30) pour deacuteclarer que marier des 22iegravemes et des 37iegravemes

est un martyre que nous infligeons aux gosses de douze ans par pur sadisme sans

aucune raison dutiliteacute comme circonstance ateacutenuanteraquo Mais il ajoutait aussitocirct

laquoJentends tous les professeurs protester Les uns parce que les fractions fournissaient

dinnombrables exercices pour leurs jeunes eacutelegraveves apregraves un moment deffroi ceux-ci

sapercevront quils ne manqueront jamais dexercices La plainte des autres meacutemeut

(29) Voir la note 18

(30) Dans La mesure des grandeurs (Albert l3lanchard Paris 1975) p 25

66

davantage et pour la veacuteriteacute je la formule moi aussi laquoSupprimer dans la classe de

matheacutematiques la theacuteorie des fractions cest supprimer un chapitre admirable Le

seul peut-ecirctre parmi ceux qui nous restent qui ne soit pas lagrave uniquement pour son

utiliteacute immeacutediate et qui donne le sentiment de la beauteacute pureraquoraquo(31) Or cette admirable

construction devient dans le cadre des matheacutematiques modernes plus admirable

encore ou disons plus subtile le maniement sans complexe des fractions fait place

agrave une ontologie raffineacutee dans laquelle les fractions devenues couples de nombres

ne sont plus - en theacuteorie plus quen pratique bien sucircr - que le mateacuteriau de la consshy

truction des rationnels classes deacutequivalence de fractions Avrai dire cette preacutesentation

moderne neacutetait guegravere favoriseacutee par le programme de 1971 (dans lequel les reacuteels faisaient

directement suite aux deacutecimaux les rationnels neacutetant alo~s que des reacuteels particuliers

les quotients dentiers) Mais le programme de 1978 lui donne une nouvelle chance

et quelques manuels impavides la mettent en œuvre (document 4a) Cette perspective

constructiviste peut en fait ecirctre aiseacutement eacuteviteacutee au profit dune conception reacutealiste

(celle-lagrave mecircme que le programme de 1971 poussait en avant les reacuteels eacutetant supposeacutes

donneacutes - ils eacutetaient laquoconstruitsraquo dans le programme de 1971 - un rationnel est un

reacuteel qui peut seacutecrire comme quotient dentiers) et la plupart des manuels utilisent

cette possibiliteacute (document 4b) conceptuellement et techniquement moins difficile

et sans doute plus proche de la repreacutesentation du nombre qui est effectivement celle

des eacutelegraveves et mecircme du laquoworking mathematicianraquo Mais le souci de purisme na pas

disparu le goucirct de la laquorigueurraquo (sic) conduit chez quelques-uns (document 4c) agrave une

veacuteritable confusion sur le sens du signe deacutegaliteacute (qui ne signifie en principe nullement

que les deux membres de leacutegaliteacute sont des expressions identiques - formellement

ou syntaxiquement - ce qui interdirait deacutejagrave deacutecrire que 6 = 2 X 3 mais que ce quils

deacutesignent sont une seule et mecircme chose le signe deacutegaliteacute ne signifiant rien dautre

quune identiteacute seacutemantique) Cela dit le problegraveme - eacuteleacutegamment mais coucircteusement

reacutesolu par le moyen des classes deacutequivalence - existait avant les matheacutematiques

modernes et continue dexister mais le corpus ancien le traitait (inconsciemment )

avec une grande discreacutetion (document 4d) en distinguant chaque fois quil eacutetait

neacutecessaire la fraction (consideacutereacutee alors implicitement comme eacutecriture agrave savoir comme

rapport) et la valeur de la fraction (soit le nombre - rationnel - deacutesigneacute par cette

eacutecriture) Quoi quil en soit tout ce jeu laisseacute autrefois implicite et plus ou moins

fortement expliciteacute aujourdhui participe de ladmirable construction des fractions

qui seacuteduit tant les professeurs comme dit Lebesgue

(31) Ibid pp 25-26

67

Nombres rationnels

Ensemble ltC

RAPPELONS

Dans lensemble T des fractions nous avons deacutefini la relation JI suivante

Quelles que soient les fractions ~ et ~ on a (~JI ~) (ad =bel

Nous avons eacutetabli (p 48) que JI est une relation deacutequivalence dans T

Pourtraduire que deux fractions ~ et ~ sont lieacutees par JI nous avons eacutecrit ~ = ~

et nous avons dit que les fractions ~ et ~ sont eacutequivalentes

DEacuteFINITION

Nous donnons la deacutefinition suivante

Ch8q cd6quiVIIlencbullbullbulllonJIst appeleacutee un nombre lIItlonnel

Nous deacutesignons par 0 lensemble des nombres rationnels

AEPAEacuteSENTAtfr DUN RAcircTIONNEL

Soient x un eacuteleacutement de 1 etmiddott une fraction eacuteleacutement de T

Nous disons que x et un nombre rationnel dont un repreacuteentant et ~ 1 et

aeulement si x est 1 clbullbullbullbull deacutequlvlence elon JI de 1 fraction i Le nombre ~tion~1 x est donc lensemble des fractions ~ eacutequivalentes agrave~ nous

avons x=~lcez deZmiddot ~=M Remarquons que toute fraction eacutequivalente agrave ~ est un repreacutesentant du nombre

rationnel x

CHAPITRE 6 ENSEMBLE Q 67

DOCUMEIIT 4eacute1

(Matheacutematiques4egraveme collection Monge 1978)

68

CHAPITRE 4 algegravebre

Ensemble 0 des nombres rationnels

1 Oeacuteflnitlon de lensemble C 4Notatlons fractionnaires dUn rationnel des rationnels

2prOPrieacuteteacutes de lensemble Q 50Peacuteratlons dans Q des rationnels

3Eacutecriture deacutecimale illimiteacutee 6comparaison de deux rationnels dun rationnel

1Deacutefinition de lensemble Q des rationnels

deacutefinition Un nombre reacuteel (ou reacuteel) est appeleacute DOIIlbre ratioonel (ou rationnel) sil est eacutegal agrave un quotient de deux entiers relatifs

Autrement dit Un reacuteel x est un rationnel sil existe un entier relatif a et un entier relatif non

nul b tels que x soit eacutegal au quotient ~

exemples bull Les quotients suivants sont des rationnels 2 -4 -3 248 57 -29704 0 37 0 359 iuml 78 -=5 -614 57 -1- 25 =iOOO =iuml4 -1-

lal -27815) Ibull Le ree r eg au quotIent 0013 est-I un ratIonne

- 2781 5 et 0013 ne sont pas des entiers relatifs

On sait que (proprieacuteteacutes des quotients de reacuteels)

-27815 -27815 x 104 -27815 0013 0013 x 104 =~

Conclusion r est un rationnel

DOCUMENT 4b

(Matheacutematiques4egraveme collection Durrande 1979)

69

I~ Lensemble ltD des nombres rationnels

1 bull DEacuteFINITION ET EXEMPLES

Dans le cnapltre 4 nous ayons rencontreacute des nombres QUon pouvait obtenir comme Quotient exact dun entir relatif fi par un entier relatif non nul b Ces nombres sappellent lesnombnts ratiOnneJa (ou plua simplement les rationnels) Ils sont r8Qreacutesnteacutes par des fractions ainsi

exemples de fractions repreacuteslitntant x Nombre rationnel x -2 -8 -18lentler relatif -2 -9- -L shy1 3 -1 7 35 -7le deacutecimal rlatlf 35 Ji shy2 4 10 -=2 ~ Q EumlL shyIe ratlonn1 i 3 8 30 -3

Reepitullfflon des prlnc1es deacutetlnltlons Otlnitlo Soit un entIer ratatlf quelconque et soit b un entIer reltlf non nuL

11 LA couple (e bJ eacutecrit sous i fonne appellela fractIon d num

teur bull et de deacutenominateur b 2J Cette fraction retrisente le quotient ect de bull par b que lon not

aUAI bull On bull donc par deacuteflnltlon

bX~ bull JCb bullbull b b

31 On appelle nom rationnel tout nombre Que lon peut obtnir comme quotient euct dun entier relatif par un entlr relatif non nul

Attention 1La megravem notation est utiliseacutee pour deacutesignr deux cnoss diffeacuterentesb

le couple (II b) le Quotient exact de Il par b

Quand on eacutecrit il faut preacuteciser sU sagit de la fraction Ji (le couple (1 4 4raquo ou du rationshy4 4

nel 2i (Qui est eacutegal agrave 35) 4

le rationn est Anal au rationnel L4 ~~ 2

la fraction nest pas eacutegale agrave la fraction 1 ~ 2

(Puisque les couples (144) et (72) sont distincts)

Une convention commode

Pour eacuteviter cet Inconveacutenient nous conviendrons toujours Que dans les calculs deacutesinne le b

nombre rationnel Quotient exact d fi par b Ainsi nous pourrons eacutecrire

Ji =L =3S4 2

Quand vous voudrez parler du couple (14 4) il faudra preacuteciser bull la fraction c 4

DOCUMENT 4c

(Matheacutematiques classe de quatriegraveme collection Queysanne et Revus 1979)

70

SIMPLIFICATION DES FRACTIONS

i49 Simllifier une fraction cest la remplacer par une fraction ~e mais ayant des tenDes plus petits

ISO PROPRIEacuteTEacuteS FONDAMENTALES

10 On mesure deux rubans avec le sepagraveegraveme dune longueur donneacutee A B Lun mesure 2 sepagraveagravenes lautre 4 septiegravemes de luniteacute Il est eacutevident que le dewdagraveDe est double du premier

4 2 X 2 2 - --- - X 2 donc 777

Theacuteoregraveme L - Si OD mwdpUe le aDlDampateDr dune CractloD par aD JIOmbre la CracdoD eet muldpUeacutee par ce Dombre

2deg Un ruban mesure 5 sepagraveagravenes de la longueur AB un dewtiagravene ruban vaut S quato12Iumlagravenes de la mbe uniteacute

Un quatorziagravene eacutetant deux fois plus petit quun sepagraveagraveDe la dewdœe longueur est deux fois plus petite que la premiugravee S S S

------ 2 par suite 14 7 X 2 7

Theacuteoregraveme D - Si OD muldpUe le dacirclomiDateur cl1IDe bcdoD par 110 aombre la CracdoD eet diYileacutee par ce JIOmbre

3deg Soit la fraction _3 X 3_2S s s X 3 IS Elle ne c1uIage pas de valeur si nn mulagraveplie ses deux termes par 3 En dfet si on multiplie son numeacuterateur elle devient 3 fois plus grande si on multiplie son deacuteDominateur

elle devient 3 fois plus petiœ Par conseacutequent

Theacuteoregraveme DL - Si OD mwdpUe lee cleu termes daDO bcdoD par aD ~e DOmbre la ampactIoD ae chaage pu do valeur

On voit IJU- mIru gratukur fJGI la _ pat _ itrftniri tU frtJCtUgrave1fU U1IItU igalu

Corollaire - Si OD divise lee deux termee dlIDe CractiOD par aD mfme JIOmbre (ropkatucircm eacutetant possible) OD obdeat une bedoD eacuteplo agrave la premiegravere

Soit la fraction 18 dont les deux termes sont divisibles par 321

On peut eacutecrire 18 _ 6 x 3 21 7 x 3

et dapregraves le theacuteoragravene preacuteceacutedent _ 6 X 3 7 7 X 3

On a donc 18 3_ la fraction Il des termes plus petits que la fraction 18 dougrave la regravegle de simshy21 3 7 7 21

pli1ication des fractions

~ Regravegle - PD1lI simplifier _ fraaion an divis 11$ dIU umm pat 11II mIru 1ItmIbr

DOCUMENT 4d

Arithmeacutetique de lEncyclopeacutedie Quillet 1958

Fractions et rationnels en fait ne constituent pas seulement une admirable

construction matheacutematique ils composent en mecircme temps un objet didactique

inteacuteressant agrave bien des eacutegards La place de leacutelegraveve (cest-agrave-dire ce qui peut ecirctre requis

de leacutelegraveve agrave ce propos) y est nettement dessineacutee Lebesgue le soulignait judicieusement

le chapitre regorge dexercices dont la difficulteacute (cest-agrave-dire en gros la complexiteacute)

peut ecirctre finement gradueacutee La place de lenseignant elle aussi sy trouve preacutepareacutee

le professeur eacuteprouve toute sa speacutecificiteacute face agrave leacutelegraveve en tant quarchitecte et bacirctisshy

seur - fonctions dans lesquelles leacutelegraveve ne saurait lui disputer sagrave place - dune consshy

truction matheacutematiqueagrave la fois simple rigoureuse riche dont la complegravete transpashy

71

rence nest acquise quau prix de quelque subtiliteacute intellectuele nullement inaccessible

agrave leacutelegraveve mais relativement exigeante Toutefois il y a plus En un sens tout objet

de savoir didactiquement acceptable laisse voir deux laquoplacesraquo il doit contenir le

laquolieuraquo que leacutelegraveve viendra occuper (les tacircches que le contrat didactique lui assignera

en propre) il doit contenir aussi un lieu speacutecifiquement alloueacute agrave lenseignant Ce

marquage des places consubstanciellement lieacute au fonctionnement didactique du

savoir est un processus geacuteneacuteral que jai proposeacute(32) dappeler la topogeacutenegravese (du grec

topos lieu) Mais la dialectique topogeacuteneacutetique peut ecirctre plus ou moins resserreacutee plus

ou moins relacirccheacutee dans ce dernier cas (qui correspond comme jessaierai de lindiquer

plus loin agrave ce que nous voyons majoritairement se produire aujourdhui agrave propos de

lemploi du langage algeacutebrique) les eacutechanges entre eacutelegraveves et enseignant demeurent

pauvres la communication est distante parce que les uns et les autres ne se mesurent

pas aux mecircmes tacircches (le professeur deacutemontre une eacutegaliteacute litteacuterale leacutelegraveve lapplique

agrave des cas particuliers numeacuteriques) Avec les fractions une fois fixeacutee larchitecture

geacuteneacuterale de leacutedifice il en va autrement passeacutes les calculs les plus simples les calculs

qui ne sont pas triviaux pour leacuteiegraveve - tout en demeurant de lordre de ce qui peut

loyalemeacutent lui ecirctre demandeacute - ne le scgtnt quagrave peine moins pour le professeur Les

partenaires de linteraction didactique se rapprochent autour dune tacircche unique

jusquagrave sembler parfois unir leurs efforts agrave la recherche dune commune reacuteponse

Tout comme la geacuteomeacutetrie (qui soppose par cela et du seul point de vue didactique

deacutejagrave agrave lalgegravebre en geacuteneacuteral) les fractions constituent loccasion dune reacuteelle convishy

vialiteacute dans la classe Les distinctions qualitatives (marqueacutees par des tacircches de natures

diffeacuterentes) sestompent au profit de simples diffeacuterences quantitatives (lenseignant

va plus vite plus sucircrement mais il ne sait rien de plus que leacutelegraveve et ne fait rien de

plus que lui) Le groupe agrave la fois se rassemble gagne en coheacutesion et en mecircme temps

se diffeacuterencie continucircment sans que son identiteacute sy perde

1 y a lagrave quelques-unes des raisons didactiques qui expliquent la preacuteeacuteminence

de fagraveit de leacutetude des fractions dans les classes actuelles de quatriegraveme Or - et nous

faisons lagrave retour agrave notre sujet quen fait nous navions pas quitteacute - dans le vocabushy

lairedes enseignants les fractions font partie de lalgegravebre Mecircme si le programme

officiel nutilise pas le terme il semble que lusage se soit spontaneacutement creacuteeacute de nommer

laquoalgegravebreraquo dans la pratique de la classe ce qui nest pas geacuteomeacutetrie lalgegravebre cest

globalement lautre de la geacuteomeacutetrie Cet emploi peut-ecirctre irreacutefleacutechi du mot ne manque

pourtant pas de justificatifs Les heacutesitations historiques dont nous avons parleacute trashy

duisent aussi (par delagrave lopposition fractions de nombres arithmeacutetiques fractions de

nombres algeacutebriques) une reacutealiteacute qui perdure les fractions (dentiers) ne sont pas

(32) Voir Chevallard 1980b

72

de lalgegravebre au sens ougrave elles ne contiennent pas de lettres (les lettres sont essentielleshy

ment utiliseacutees par le professeur pour formuler les lois qui reacutegissent leur calcul) mais

elles relegravevent de llaquoalgeacutebriqueraquo en cela quelles sont le lieu dun jeu formel portant

sur des eacutecritures Elles offrent donc loccasion dune algegravebre sans algegravebre qui fait le

gros morceau de lalgegravebre aujourdhui enseigneacutee Il faut voir par quel cheminement

on en est venu lagrave

VII - LA DIALECTIQUE NUMERIQUEALGEBRIQUE

PoUr expliquer plus complegravetement et leacutevanouissement des parties algeacutebriques

de lalgegravebre et - correacutelativement - le come-back des fractions il nous faut compliquer

quelque peu le talJleau que nous avons traceacute jusquici A lopposition structurelle de

larithmeacutetique et de lalgegravebre correspondait - en principe - une dialectique fonctionshy

nelle entre numeacuterique et algeacutebrique Cest sur cette dialectique que nous devrons

dabord nous arrecircter un instant

Il faut pour cela prendre quelque recul Cette dialectique en effet existe

historiquement avant lalgegravebre (avant la construction dun langage algeacutebrique propreshy

ment dit) Les Grecs distinguent entre deux arithmeacutetiques larithmeacutetique vulgaire

ou logistique celle des calculateurs et larithmeacutetique laquopropre aux philosophesraquo

comme dit Platon cest-agrave-dire en gros la theacuteorie des nombres Les calculateurs cal~

culent Les arithmeacuteticiens eacutetudient la structure du numeacuterique Tous manipulent pour

cela un langage du numeacuterique~ mais tous ne lemploient pas aux mecircmes tacircches et ne

lui reconnaissent pas les mecircmes valeurs Dans larithmeacutetique pratique lanalyse du

numeacuterique procureacutee par le langage adopteacute est un moyen ordonneacute agrave un but opeacuterer

des deacutenombrements effectuer des calculs Si dans notre systegravememiddotactuel de numeacuteration

je deacutesire calculer 12 X 12 par exemple je nai besoin dautre analyse du nombre 12

que celle qui mest immeacutediatement donneacutee dans leacutecriture (deacutecimale) de ce nombre

(ch iffre des dizaines 1 chiffre des uniteacutes 2) Mais si comme le scribe du papyrus

Rhind je ne sais multiplier que par duplications successives et additions je devrai

recourir agrave une analyse moins immeacutediate du nombre 12 (qui ne mest pas offerte par

leacutecriture deacutecimale actuelle) Il me faudra observer que 12 = 4 + 8 et calculer ainsi(33)

1 12 2 24 4 48 8 96

(33) Voir Smith 1953 p 106

73

dougrave je deacuteduirai que 12 X 12 = 12 X (4 + 8) = 48 + 96 = 144 De telles manleres

de faire qui se rencontrent encore agrave des dates rapprocheacutees(34) apparaissent agrave lutilisashy

teur contemporain comme des survivances dun acircge imparfait Un bon systegraveme

numeacuteration-algorithmes de calcul en effet doit ecirctre tel que toute linformation requise

pour mettre en œuvre les algorithmes de calcul soit donneacutee dembleacutee avec les nombres

donneacutes eacutecrits dans le langage numeacuterique utiliseacute cest-agrave-dire soit apparente dans leacutecriture

mecircme de ces nombres En dautres termes un bon systegraveme numeacuteration-algorithmes

reacutecuse tout appel aux matheacutematiques fucirct-ce sous une forme apparemment anodine

Lusager dun tel systegraveme est eacutevidemment supposeacute pouvoir calculer que 4 + 8 = 12

(ce pour quoi le systegraveme est fait) mai~ le contrat dutilisation qui regravegle ses rapports

avec le systegraveme exclut quil ait agrave penser que 12 = 4 + 8 Paradoxalement peut-ecirctre

lun des effets et sans doute des buts (poursuivis de maniegravere plus ou moins intentionshy

nelle) de lactiviteacute matheacutematique est de proposer agrave lusage social des proceacutedures non

matheacutematiques obtenues par deacutematheacutematisation progressive de proceacutedures agrave lorigine

proprement matheacutematiques Le fait est banal et geacuteneacuteral les progregraves de leacutelectronique

me dispensent aujourdhui du bricolage auquel eacutetaient tenus les utilisateurs du poste

agrave galegravene

En fait le royaume du calcul numeacuterique est reacutegi par la loi de simplification

inteacuterioriseacutee en habitus(35) dont lune des clauses est constitueacutee par le principe

dachegravevement des calculs Selon ce laquoprinciperaquo lexpression laquo4 + 8raquo ne saurait en

calcul numeacuterique figurer comme reacuteponse le calcul agrave ce stade eacutetant laquoinacheveacuteraquo (36)

Lexpression laquo4 + 8raquo ne saurait ainsi ecirctre quune forme transitoire labile (parce que

quatre plus huit eacutegale douze) et nexiste pas plus dune maniegravere libre que latome

doxygegravene en dehors de la moleacutecule deg 2

Il en va tout autrement avec la tradition laquonobleraquo de la laquotheacuteorie des nombresraquo

Les Pythagoriciens au tout deacutebut de la science grecque eacutelaborent ainsi toute une

conception de la repreacutesentation laquogeacuteomeacutetriqueraquo des nombres soit une arithmo-geacuteoshy

meacutetrie(37) Consideacuterons par exemple les entiers impairs 5 et 7 Leurs repreacutesentations

(34) Ibid

(35) P Bourdieu deacutesigne par habitus des laquosystegravemes de dispositions durables structures structureacutees preacutedisposeacutees agrave fonctionner comme structures structurantes cest-agrave-dire en tant que principe de geacuteneacuteration et de structuration de pratiques et de repreacutesentations ( hgt (Bourdieu 1974 p 175)

(36) Les Instructions de janvier 1957 (sur lesquelles nous revenons plus loin) parlent explicitement de laquocalcul conduit jusquagrave son achegravevementraquo fait rare et remarquable car il est de la nature dun habitus de ne pas supposer lexplicitation des principes agrave lorigine de son efficace

(37) Sur larithmo-geacuteomeacutetrie des Grecs voir Michel 1959 pp 295-325

74

figureacutees peuvent ecirctre disposeacutees ainsi

o o o o o

o o o o o

o 0 5 7

Reacuteunissons ces repreacutesentations de la maniegravere suiyante

o o o o

o o o o

o 0

o 0

En les regroupant adeacutequatement il apparaicirct que la somme 5 + 7 est Lin multiple de

4 (plus preacuteciseacutement que 5 + 7 = 3 X 4) -1------------ -------------1

1 shy10 Oi iO 011 1 1 shyi i 1

- 1shyj j - 1

rO Oi iO1

O shy

i -_------------ [-------------1 iO Oi 1 i 1

Jo oi i

De plus si on laquocomplegraveteraquo le carreacute on voit apparaicirctre immeacutediatement que 5 + 7 est

une diffeacuterence de deux carreacutes (plus preacuteciseacutement que 5 + 7 = 43 - 22 )

o o o o

o o o o

o o x x

o o x x Ces monstrations qui au sens strict nont de force deacutemonstrative que pour les valeurs

numeacuteriques particuliegraveres traiteacutees ont en fait une valeur geacuteneacuterique comme les figures

(et les deacutemonstrations quelles permettent) en geacuteomeacutetrie on nest pas loin dune

deacutemonstration valable pour tous les couples dimpairs conseacutecutifs Nous pouvons

reacutetrospectivement admirer la finesse intellectuelle que linvention et lemploi de

telles proceacutedures supposent Mais nous pouvons aussi voir que notre langage algeacutebrique

actuel (creacuteeacute par Viegravete Descartes et quelques autres) sinscrit dans le prolongement

de cette analyse du numeacuterique tout en la deacutepassant en souplesse et en puissance

75

Sur le mecircme problegraveme aujourdhui nous obtenons par exemple ceci soient 2p - 1

et 2p + 1 deux impairs conseacutecutifs leur somme (2p - 1) + (2p + 1) = 4p est un

multiple de 4 et puisque 4p = (p + 1) - (p - 1)2 elle seacutecrit aussi comme une

diffeacuterence de deux carreacutes Le langage nOuveau permet dabord de formuler le problegraveme

dans sa geacuteneacuteraliteacute puis de le reacutesoudre de maniegravere eacutegalement systeacutematique

Le calcul numeacuterique utilise le langage numeacuterique pour son pouvoir deacutesignatif

eSSentiellement laquo34raquo et laquo075raquo ou encore laquo4 + 8raquo et laquo12raquo sont agrave cet eacutegard eacutequivashy lents puisquils deacutesignent le mecircme nombre (simplement laquo34raquo est une fraction laquonon

effectueacuteeraquo laquo4 + 8raquo une somme non effectueacutee) ils sont des noms diffeacuterents pour

un mecircme ecirctre matheacutematique Larithmeacutetique laquoalgeacutebriqueraquo au contraire distingue

ces noms parce que bien quils deacutesignent la mecircme chose ils ne montrent pas la mecircme

chose (ils napportent pas la mecircme information monstrative) agrave propos de lecirctre matheacuteshy

matique dont ils sont deux noms diffeacuterents (ltlt4 + 8raquo ou mieux laquo22 +23 raquo montre

que 12 est une somme de puissances de deux etc) Cest ainsi que au cœur mecircme

du langage numeacuterique sinsinue un clivage et pour tout dire une tension entre deux

modes de fonctionnement lefficaciteacute deacutesignative (propre agrave lusage calculatoire du

langage numeacuterique) tend agrave ignorer lagrave valeur monstrative de lexpression eacutecrite le

principe dachegravevement des calculs voue agrave leacutepheacutemegraverelesmiddotltltnoms intermeacutediairesraquo et

laquo4 + 8raquo devient ainsi laquo12raquo sans quaucune trace nous soit conserveacutee de lhistoire

de ce laquo12raquo Ali contraire le langage algeacutebrique - notamment parce quil est une

meacutemoire - vient permettre de conserver de meilleure faccedilon linformation monstrative

et surtout de faire apparaicirctre linformation monstrative pertinente le passage en

simplification de lexpression (2p - 1) + (2p + 1) agrave lexpression 4p fait apparaicirctre

que (2p - 1-) + (2p+ 1) deacutesigne un nombre multiple de 4 le passage en complexifishy

cation de 4p agrave (p + 1)2 - (p - 1)2 fait apparaicirctre que (2p - 1) + (2p + 1) est une

diffeacuterence de deux carreacutes

La creacuteation du langage algeacutebrique permet de deacutegager plus nettement laprobleacuteshy

matique deacutetude du nurileacuterique en la posant - sans lopposer - agrave cocircteacute de la perspecshy

tive calculatrice Elle permet donc dexpliciter ce qui demeurait largement implicite shy

la copreacutesence de deux maniegraveres davoir affaire au numeacuterique - et par lagrave dapaiser

les tensions Mais son surgissement historique permet surtout de mieux maicirctriser

la dialectique du numeacuterique et de lalgeacutebrique jusque-lagrave conduite avec des moyens

matheacutematiques insuffisamment adeacutequats Lalgeacutebrique est un outil de leacutetude du

numeacuterique le premier outil le plus eacuteleacutementaire sans doute (agrave un niveau avanceacute intershy

viendraient par exemple la theacuteorie des seacuteries entiegraveres la theacuteorie des fonctions analytishy

ques etc) Mais inversement (et cest ce qui nous autorise agrave parler de dialectique)

pour que le fonctionnement de cet outil soit efficace il faut quelque peu eacutetudier

cet outil par exemple se poser les problegravemes de la factorisation des expressions algeacuteshy

briques (afin notamment de reacutesoudre des eacutequations algeacutebriques) Or en ce point le

numeacuterique lui-mecircme est un outil deacutetude agrave lalgeacutebrique le flux sinverse Sans parler

76

de toutes les meacutethodes numeacuteriques qui font appel le plus souvent agrave des proprieacuteteacutes

danalyse (cest-agrave-dire concernant le corps des reacuteels et les fonctions dune variable

reacuteelle par exemple) on peut citer - pour prendre un exemple assez gros pour ecirctre

tout agrave fait visible - le theacuteoregraveme dEinsenstein sur la factorisation dans Q[X] (38)

Newton dans son Arithmetica Universalis deacutejagrave mentionneacutee montre une grande attenshy

tion agrave ce genre de laquoretoursraquo du numeacuterique vers lalgeacutebrique Ainsi donne-t-i1 une

meacutethode ingeacutenieuse pour trouver les facteurs dune expression algeacutebrique(39)

Si par exemple la quantiteacute proposeacutee est x 3 - x - 10x + 6 agrave la place de x

je substitue successivement les termes de la progression arithmeacutetique 1 0 -1 il en

naicirctra les nombres -4 + 6 + 14 Je place chacun deux avec tous ses diviseurs dans

la ligne du terme de la progression 1 0 -1 qui la produit comme on peut le voir

dans lexemple suivant

1 4 124 +4 o 6 1 2 3 6 +3

- 1 14 1 2 7 14 +2

Ensuite comme le terme le plus eacuteleveacute x3 na pas de diviseur de luniteacute je

cherche parmi les diviseurs quelque progression dont les termes ne diffegraverent que

dune uniteacute et qui en descendant des plus forts au plus faibles deacutecroissent comme

ceux de la progression 10 -1 Je ne trouve quune progression de cette espegravece cest

4 3 2 Je prends donc le terme + 3 qui se trouve dans la mecircme ligne que 0 de la

premiegravere progression 1 0 -1 je le joins agrave x et je tente la division par x + 3 elle

reacuteussit et jobtiens pour quotient x 2 - 4x + 2

Au-delagrave de la disparition de la structure du corpus matheacutematique enseigneacute en arithshy

meacutetique et algegravebre cest la dialectique du numeacuterique et de lalgegravebre - implicitement

preacutesente agravetravers llaquooppositionraquo de larithmeacutetique et de lalgegravebre - qui va se trouver

atteinte Plus que jamais les liens du numeacuterique et de lalgeacutebrique sen trouveront

relacirccheacutes

VIII - UNE CONCEPTION EMPIRISTE DU REEL MATHEMATIQUE

Leffacement de lopposition arithmeacutetiquealgegravebre en effet altegravere les condishy

tions de la mise en rapport du numeacuterique et de lalgeacutebrique Lancien rapport doutil

(38) Soit PIt) = a + a t + + a t n un polynocircme agrave coefficients dans if Sil existe un nombre premier p tel que0 1) ~ rie divise ~as an 2) p divise a al an_l p2 ne divise pas ao alors P o est irreacuteductible sur O

(39) Arithmeacutetique universelle tome premier pp 47-48 Nous laissons au lecteur le soin dapporter la justification matheacutematique requise

77

de travail agrave objet travailleacute semble perdu Les deux domaines - le numeacuterique -le

litteacuteral - vont coexister dans une simple juxtaposition existants qui trouvent en

eux-mecircmes leur propre justification Les rapports naguegravere encore banals entre ces

deux ordres de reacutealiteacute matheacutematiques semblent deacutesormais abolis Ou plutocirct ils laissent

place agrave des rapports nouveaux et inverseacutes ce nest plus lalgeacutebrique qui vient pershy

mettre deacutetudier le numeacuterique cest le numeacuterique qui laquojustifieraquo et laquopermet de comshy

prendreraquo lalgeacutebrique Le document 5 extrait dun manuei de quatriegraveme actuel (40)

IIUDIFFeacute~ENCS ce ceux C~CIMAUX [

x-eD yeC zeC z-z -y signifie que z+y-z Comment est appel z pour z et y dans ct ordre Observe

13-(-7) z+-7)middot13

[+(-7)j+713+7 +[(-7)+71-13+7

+0-13+7 zo13+-7

z-z-y z+y-z

(+y) + (-y)- +-(-y) +(y+ (-y)]-x + (-y)

z+O-z + (-y) -+(-y)

Pour tout xde D pour tout y de 0 z - y est un deacutecimal et z - y = +(-y) Exemples 8-(-7)=8+7=15 9-14=9+(-14)=-5 Lopeacuteration- qui agrave chaque coupe (z y) z e 0 y E C fait correspondre le deacutecimal Z - J est la soustraction dans O

DOCUMENT 5

Lalgeacutebrique comme essence du numeacuterique

nous donne de ce pheacutenomegravene un exemple tregraves net lintention didactique est ici

de justifier le fait que x - y = x + (-y) Pour le matheacutematicien la laquojustificationraquo shy

qui est alors strictement une deacutemonstration - est toute entiegravere contenue dans la

colonne de droite si je deacutefinis en geacuteneacuteral-y comme eacutetant le nombre tel quey + (-y) = 0

et si les proprieacuteteacutes ordinaires - associativiteacute etc - valent encore pour le nouvel

ensemble de nombres ainsi deacutefini alors le nombre z que je dois ajouter agrave y pour

obtenir x - ce quon appelle la diffeacuterence de x et y et qUon note x - y - nest pas

autre chose que x + (-y) Or la laquojustificationraquo passe dans la didactique ici examineacutee

par lappel au concret cest-agrave-dire au numeacuterique tel est le rocircle de la colonne de

gauche Ce sont les calculs numeacuteriques de la colonne de gauche qui soutiendraient

le sens (pour leacutelegraveve) des calculs litteacuteraux de la colonne de droite Malheureusement

le contenu de la colonne de gauche est si lon peut dire hautement improbable

(401 Il sagifdu _manuel Matheacutematique contemporaine pour la classe de quatriegraveme publieacute chez Magnard et conforme au programme de1978shy

78

parce que le numeacuterique ne fonctionne pas ainsi En fait les calculs numeacuteriques preacuteshy

senteacutes ici nexistent quagrave ecirctre limage en miroir des calculs litteacuteraux de la colonne

de droite Et cest pour permettre de tels calculs que le langage algeacutebrique preacutecishy

seacutement est neacutecessaire Il y a ainsi meacuteprise sur la speacutecificiteacute des deux ordres de calcul

et conseacutequemment sur le type de rapports quils entretiennent la justification

de lalgeacutebrique sappuierait sur un mode de fonctionnement du numeacuterique qui nest

en fait quun deacutecalque du fonctionnement de lalgeacutebrique et qui donc suppose

lalgeacutebrique

Leacutelucidation du nouveau rapport qui saffirme ainsi nest pas chose facile Elle

est pourtant neacutecessaire afin de preacuteciser par delagrave la surface des programmes les mouveshy

ments profonds produisant des deacutecisions didactiques quon aurait tort de regarder

seulement comme des laquotrucsraquo eacuteleacutements atomiques de strateacutegies trouvant en ellesshy

mecircmes et dans leurs effets supposeacutes leur unique mobile Revenons agrave lexemple que

nous avons examineacute Lalgeacutebrique y apparaicirct comme la laquotheacuteorieraquo de cette laquoreacutealiteacuteraquo

que serait le numeacuterique Mais les relations en acte entre theacuteorie (permettant leacutetude)

et reacutealiteacute (objet de leacutetude) y ressortissent incontestablement agrave une conception empishy

riste (et mecircme nous allons le voir empiriste-sensualiste) de la connaissance Tel est

en fait le mobile - veacutecu sans doute comme allant de soi dans leacutevidence que lideacuteoshy

logie procure - de la tentative de laquofaire sortirraquo la theacuteorie (lalgeacutebrique) de la reacutealiteacute

(numeacuterique) Il ya ici inversion des rapports entre theacuteorie et reacutealiteacute Car le surgissement

du theacuteorique - faut-il le rappeler - ne sautorise jamais que de lui-mecircme et loin

de proceacuteder de la reacutealiteacute la constitue (ou la renouvelle) comme objet de connaissance

Si jeacutecris par exemple 13 + 7 = 13 - (-7) selon un fonctionnement du numeacuterique

antinomique de la pratique calculatoire (cest-agrave-dire arithmeacutetique) du numeacuterique shy

laquelle voudrait quon eacutecrivicirct 13 + 7 = 20 - je fais de lalgegravebre sur du numeacuterique

cest loutil algeacutebrique et lui seul qui me permet ce travail du numeacuterique Entre le

fonctionnement arithmeacutetique et le fonctionnement algeacutebrique du numeacuterique il y a

ainsi une distance - un saut - que nul proceacutedeacute dlaquoabstractionraquo ne peut venir combler

On aurait tort de penser que lanalyse preacuteceacutedente ne vaut que pour lexemple

sur laquelle nous lavons illustreacutee En reacutealiteacute sa porteacutee est beaucoup plus eacutetendue

et pour en saisir toute la signification il faut revenir agrave cette acmeacute de leacutevolution de

la transposition didactique que repreacutesente la reacuteforme de 1971 (celle des laquomatheacutemashy

tiques modernesraquo) Contrairement aux opinions aujourdhui dominantes qui selon

un opportunisme neacutecessaire et une constante inconstance reacutecusent cette reacuteforme

pour ses excegraves et la regardent comme laberration dun moment il faut tenir que cette

aberration nen est pas une quelle ne fait que preacutecipiter cristalliser et rendre explicites

des traits qui deacutejagrave se repegraverent dans leacutevolution des deacutecennies preacuteceacutedentes Elle est un

moment qui donne sens reacutetrospectivement agravece qui vient avant lui et deacutetermine

largement ce qui viendra apregraves lui Car sil y a en quelque faccedilon rupture cest sur le

fond dune tregraves large surdeacutetermination En profondeur le programme de 1971 - pour

79

sen tenir agrave la classe de quatriegraveme - constitue une radiographie saisissante dune

eacutevolution que le programme de 1978 nadoucira quen surface Cest cette image

laquodureraquo quil faut interroger

On a trop vitupeacutereacute linflation moderniste le parti pris theacuteoriciste lambition

de rigueur des matheacutematiques promues par la reacuteforme et trop peu vu derriegravere cet

eacutecran deux mouvements correacutelatifs moins spectaculaires mais deacuteterminants Le

premier - que nous avons deacutejagrave plusieurs fois mentionneacute - cest lenvahissement du

champ deacutetude par les structures numeacuteriques Les laquoexcegravesraquo du programme de 1971

sont le prix agrave payer pour ce coup de force qui se megravene alors - simple tactique dun

moment le programme de 1978 installera une version apaiseacutee de la mecircme strateacutegieshy

avec lartillerie lourde de laquolapproche des reacuteelsraquo des laquocalculs approcheacutesraquo des laquoencashy

drementsraquo de haute ambition matheacutematique Le seCond cest la peacuteneacutetration dun

thegraveme qui va devenir central celui de llaquoobservationraquo et de llaquoexpeacuterimentationraquo

matheacutematiques

Fausse moderniteacute ce thegraveme est mis en place degraves les Instructions de janvier

1957 (annexe 6a) dont les Instructions de 1971 se reacuteclameront non sans raicon Il

prend alors lallure dune reacuteflexion sur les liens entre matheacutematique et extramatheacutemashy

tique La caution bergsonienne ici invoqueacutee - homo taber homo sapiens - bien que

dateacutee est agrave cet eacutegard tregraves significative La perspective proposeacutee ne conduit pas tregraves

loin les problegravemes denseignement se trouvent laquoreacutesolusraquo par une didactique euphoshy

rique (annexe 6b) Au vrai la conjoncture historique qui verra la mise en place des

matheacutematiques modernes nest alors quincomplegravetement formeacutee Ce qui manque

encore afin que lideacutee dexpeacuterimentation puisse passer dans les faits cest une matiegravere

que lon pourrait soumettre agrave lobservation et agrave lexpeacuterience A cet eacutegard les Instrucshy

tions de 1957 raisonnent encore agrave lancienne la notion dexpeacuterimentation y est

surtout loccasion dune rheacutetorique qui tourne sur elle-mecircme faute de pouvoir sapplishy

quer Mais cette matiegravere dapplication qui fait deacutefaut la reacuteforme va lapporter en

abondance ce sera le numeacuterique dont nous comprenons mieux degraves lors la place

de choix que les programmes reacuteformeacutes vont lui accorder Son expansion se trouvait

en fait comme appeleacutee par lexigence laquoexpeacuterimentaleraquo induite par une certaine concepshy

tion eacutepisteacutemologique et didactique

Le deacutecor de laction est installeacute en consonance avec une mise en scegravene empiriste

du procegraves de connaissance(41) Il Y a la laquoreacutealiteacuteraquo qui est un donneacute dont la preacutesence

simpose avec la derniegravere force et il y a la laquotheacuteorieraquo de ce donneacute que lon preacutetend

tirer par abstraction de lobjet agrave laquelle elle se voue La dialectique du numeacuterique

et de lalgeacutebrique est alors perdue lun de ses termes (lalgeacutebrique) se dissout dans

(41) Pour lintelligence de ce qui suit nous renvoyons agrave Althusser 1968 notamment pp 38-45

80

lautre (le numeacuterique) agrave qui est octroyeacute par nature une existence presque mateacuterielle

et dont lalgeacutebrique proceacutedera geacuteneacutetiquement La reacuteforme de 1971 remanie donc

le champ deacutetude pour y produire de solides objets laquoreacuteelsraquo agrave forts coefficients dexis-shy

tence les structures numeacuteriques et aussi la mysteacuterieuse laquodroite physiqueraquo dont la

soudaine promotion ontologique serait autrement encore plus inexplicable(42) Cela

poseacute lintroduction du litteacuteral (lalgeacutebrique) sidentifie au mouvement par lequel

dans le procegraves empiriste de connaissance se repreacutesente lessence du reacuteel qui est toute

la connaissance que le sujet peut tirer de lobjet par abstraction il permet de distinguer

entre un reacuteel essentiel et un reacuteel inessentiel gangue ou accident que le processus

dabstraction abandonne comme un reacutesidu impenseacute Labstraction qui vise agrave porter

agrave la lumiegravere ce quon pourra connaicirctre de lobjet agit par deacutecrassage et deacutecapage

CHA~tTRbullbull tour dieacuteremcs ftiems de 1t 011 obti=c cIes putitioas cilifeacute=o~ Uuml fiIure 2 repreacutese1tt (parshy

tieJ1emenz) les paniagravecas ~ i- II-l 11--0 11 - - l~ = grouie agrave la loupe la paftiriœ cozrcspoadaDc agrave Il - - 2shy

f-oo( [Q10[

1 1

~ Q t

(-2 ~( T

[l 0 ( [01 ( r12 r i i i i J r sr

-1shy 0 t

1 1 1 1 1 1 1 1 shy 1 bull 1 1 1 11

-1 -01 001 lU 03 ~ o~ 06 07 oa 09 1 11

P4 041 ~l ~~I 041ds1 -i -o] OoJ O4l o~ 04S 04) ~ 1 ~1 1

fJvZ

li) De m=c si II eR lD1 emer œIaagravef acirczeacute et si CI pr=d tOlIœS les ftiems possibles da2s Z r=semblc cIes imenalles cie c

Jcr10 (CI + L 10

eR iJMpcrtirIcircD1f de C Uuml figure 3 repreacutes=œ (articllemcm) =œ putitioll p04 shy O~

r 1 i 1 T l 1 1 -5 -4shy -3 -2 -r agrave l Z ~ 4shy 5

~3

DOCUMENT6

Le deacutecapage du donneacute dans le processus empiriste de connaissance

(42) Voir Chevallard et Johsua 1982 notamment pp 200-203

81

agrave ce thegraveme geacuteneacuteral de la connaissance empiriste reacutepond correctement dans les proshy

grammes la notion dlaquoapprocheraquo ou dlaquoapproximationraquo des laquoreacuteelsraquo (qui nont jamais

aussi bien porteacute leur nom) Ceux-ci sont atteints par le moyen de purifications successhy

sives qui eacuteliminent peu agrave peu la gangue inessentielle Tel manuel (43) pris parmi tant

dautres- en offre la superbe illustration (document 6) limage de la loupe - emblegraveme

de la connaissance empiriste dont elle est linstrument privileacutegieacute parce quelle permet

de mieux voir et de faire voir - y est requise et symbolise mieux quun long commenshy

taire cette conception de la connaissance comme visant agrave amener linvisible agrave la

vue de tous

Une telle conception de la connaissance rate le reacuteel dont il sagirait preacuteciseacutement

de produire la connaissance parce quelle en manque la constitution comme objet

de connaissance(44) Lalgeacutebrique ne sert plus agrave connaicirctre le numeacuterique Il nest plus

deacutesormais quune steacutenographie middotessentialisante qui deacutecrit reacutesume et seacutepare lessence

de laccident Le surgissement laquomoderneraquo de la dichotomie de llaquoobservationraquo et de

la laquotheacuteorieraquo - que les manuels actuels reprennent agrave lenvi - est ainsi correacutelatif dune

dissolution de lobjet de connaissance au profit de lobjet reacuteel maintenant donneacute

agrave voir dans une abstraction reacuteputeacutee immeacutediate et facile Lordre didactique va sorgashy

niser autour de cette eacutepisteacutemologie imaginaire

REFERENCES

ALTHUSSER L (1968) Lire le Capital Franccedilois Maspeacutero Paris

BOURDIEU P (1974) Le sens pratique eacuteditions de Minuit Paris

BROUSSEAU G (1980) Problegravemes de lenseignement des deacutecimaux Recherches

en didactique des matheacutematiques 1middot1 pp 11-59

CHEVALLARD Y (1980a) Matheacutematiques langage enseignement la reacuteforme des

anneacutees soixante Recherches 41 pp 71-99

CHEVALLARD Y (1980b) La transposition didactique 1REM dAix-Marseille

CHEVALLARD Y (1982) Pourquoi la transposition didactique 7 Publication du

seacuteminaire de didactique et peacutedagogie des matheacutematiques 32 Grenoble

CHEVALLARD Y et JOHSUA MA (1982) Un exemple danalyse de la transposition

didactique Recherches en didactique des matheacutematiques 3 2 pp 157-239

MICHEL PH (1950) De Pythagore agrave Euclide Les Belles Lettres Paris

SMITH DE (1953) History of mathematics volume Il Dover publications Inc

New York

(43) Il sagit de louvrage mentionneacute dans la note 24 ci-dessus

(44) Sur la distinction entre laquoobjet reacuteelraquo et laquoobjet de connaissanceraquo voir Althusser 1968 pp 4649

82

CLASSE DE QUATRIEME CLASSIQUE A ET B ET DE QUATRIEME MODERNE

PROGRAMME DE 1945 (extraits)

Arithmeacutetique

Pratique sur des exemples de la deacutecomposition dun nombre entier en facteurs premiers de la recherche du plus grand commun diviseur et du plus petit commun multiple de deux ou plushysieurs nombres Applications aux fractions

Algegravebre

Nombres algeacutebriques (positifs nuls heacutegatifs) Opeacuterations sur ces nombres exposeacutes agrave partir de problegravemes concrets Ineacutegaliteacutes

Mesures algeacutebriques de vecteurs sur une droite orienteacutee Formule de Chasles Repeacuterage dun point sur un axe

Eleacutements du calcul algeacutebrique proprieacuteteacutes des sommes et des produits Puissances Produit et quotient de deux puissances dun nombre usage de lexposant nul et dexposants neacutegatifs

Monocircmes Produit de monocircmes Quotient de deux nombres Somme de monocircmes semblables (on se bornera agrave des monocircmes agrave une deux ou trois variables) Polynocircmes agrave une variable addition soustraction multiplication par une constante

Equations numeacuteriques du premie( degreacute agrave une inconnue Problegravemes conduisant agrave une eacutequation numeacuterique du premier degreacute agrave une inconnue

Annexe 1

83

CLASSE DE QUATRIEME

PROGRAMME DE 1958 (extraits)

Arithmeacutetique

Pratique sur des exemples de la deacutecomposition dun nombre entier en un produit de nomshybres premiers pratique de la recherche du plus grand diviseur commun et du plus petit multiple commun de deux ou plusieurs nombres Applications

Algegravebre

1 - Nombres relatifs (positifs nuls neacutegatifs) Orientation dun segment (vecteur) orientation dune droite (axe) mesure algeacutebrique

dun segment orienteacute sur un axe repeacuterage dun point sur un axe (abscisse)

II - Opeacuterations eacuteleacutementaires sur les nombres relatifs addition et soustraction multiplishycation et division

Extension aux nombres relatifs des proprieacuteteacutes fondamentales eacutetablies pour les nombres arithmeacutetiques (classe de cinquiegraveme) concernant les sommes les diffeacuterences les produits les puisshysances n-iegravemes les quotients linverse dun nombre non nul Condition pour quun produit soit nul

Deacutefinition des exposants neacutegatifs et de lexposant nul Comparaison des nombres relatifs ineacutegaliteacutes Ineacutegaliteacutes concernant la valeur absolue dune somme ou dune diffeacuterence Formule de Chasles pour trois points situeacutes sur un axe Segment deacutefini par les abscisses

des deLix points qui le limitent mesure algeacutebrique de ce segment orienteacute mesure de la longueur de ce segment abscisse du milieu de ce segment

III - Notions de variables et de correspondance entre variables Expressions algeacutebriques deacutependant dUne ou de plusieurs variables calcul de la valeur

numeacuterique dune expression algeacutebrique pour des valeurs numeacuteriques donneacutees aux Ymiddotariables Monocircmes agrave une ou plusieurs variables multiplication addition de monocircmes semblables Polynocircmes forme reacuteduite Polynocircmes ordonneacutes addition multiplication Identiteacutes relatives aux produits (x + y)2 (x - y)2 (x + y)(x - y)

IV - Equations position du problegraveme signification du signe = dans ce problegraveme Equashytions du premier degreacute agrave une inconnue agrave coefficients numeacuteriques Reacutesolution de problegravemes simples agrave laide dune telle eacutequation

Annexe 2

84

CLASSE DE QUATRIEME

PROGRAMME DE 1971 (extraits)

1 - Relations

Reacutevision -des notions preacutesenteacutees dans les classes anteacuterieures et compleacutements produit carteacutesien relation application composition des applications bijection cun ensemble sur un ensemble et bijection reacuteciproque

Notion de groupe deacutefinition (on la jeacutegagera des exemples du programme)

II - Nombres deacutecimaux relatifs et approche de reacuteel

1 Groupe des puissances de dix

Nombres deacutecimaux relatifs eacutecrits a 10n avec a e7l et p E7 et sous forme de nombres agrave virgule addition multiplication ordre valeur absolue Reacutesumeacute des proprieacuteteacutes fondamentales de lensemble ainsi structureacute des deacutecimaux relatifs

2 Calculs approcheacutes

a) EnC3drement dun nombre deacutecimal par des intervalles des types [a 10pbull (a + 1) 10middot[ da 101 (a + 1) 10- [a 10pbull (a + 1) 101] avec a E Z et p E Z Sur des exelJlples encamiddot drement middotdune somme dun produit

b) Exercices de deacutetermination pour un deacutecimal strictement positif d donneacute et pour un entier relatif n donneacute du nombre deacutecimal x bull 10 avec x E IN tel que soient veacuterifieacutees les ineacutegaliteacutes 0 ~d x 10 ~ 1 lt d (x + 1) 10

c) Exercices de deacutetermination pour un deacutecimal strictement positif d donneacute et pour un entier relatif n jonneacute du nombre deacutecimal y bull 10 avec y E IN tel que soient veacuterifieacutees les ineacutegaliteacutes [y 10P ~ d lt [(y + 1) 10]

d) Suites deacutecimales illimiteacutees nombres reacuteels encadrements dun nombre reacuteel

3 Enumeacuteration des principales proprieacuteteacutes qui structurent fensemble IR des reacuteels addition (IR +) est un groupe commutatif multiplication associashytiYiteacute distributiviteacute par rapport agravefaddition ordre et valoeur absolue

On admettra que pour tout nombre reacuteel a jiffeacuterent de 0 il existe un nombre reacuteel a-1 et un seul tel que aa-1 = 1 Pour tout couple de nombres reacuteels (a b) avec a = 0 il existe un nombre reacuteel unique x appeleacute quotient de b par a

b et noteacute ba-1 ou - tel que ax = b a

Exercices simples de calcul sur de tels quotients Sur des exemples -numeacuteriques eacutequations et ineacutequations du premier degr9 agrave une inconnue

Usage des exposants entiers groupe des puissances dun nombre reacuteel non nul

Calculs approcheacutes sur les nombres reacuteels

4 Exemples de fonctions polynocircmes (applications de IR dans IR) Degreacute Exercices de calcul SUT les polynocircmes Produits (x + a)2 (x - a)2 (x + a) (x - a) Exercices de factorisation

Annexe 3

85

ENCYCLOPEDIE QUILLET (1958)

TABLE DES MATIERES (extraits)

ARITBMEacuteTIQUE Notio~ preacute1i1Ji~ajres - Ideacutee de nombrebullbullbullbull 153 NumeratIon decmale bullbullbullbullbullbullbullbull 156 ~esure des grŒDdeurs bullbullbullbullbullbull bullbullbullbull 159 Nombresmiddot deacutecUDauxbullbullbullbullbullbullbullbullbullbull 169 Ladditionbullbull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull 165 La soustraction bull bull bull bull bull bull bull bull bull 168 La ~~qplication bullbullbullbullbullbullbull1 bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bullbull 171 La diVISIon 178

Regravegle de trois bull bull 117 Pourcentages bullbullbull 119 Partages proportionnels 110 ~~langes bullbull i bull bullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbull 111 Alliages bull 111 Regravegles dinteacuterecircts 124 Rentes sur Pltat 116 Actins et obli~tions - Escompte 117

Problegravemes sur les quatre opeacutemtions bull bull bull 184 La divisibiliteacute bull bull bull bull bull bull bull bull 186 Plus grŒDd commun diviseur (p G C D) 189 Plus petit commun multiple (P P C M) 191 Nombres premiers bullbullbullbullbullbullbullbull 192 Les fractions bull bull bull bull bull 194 Opeacuterations sur les fractions 197 Sys~egraveme meacute~que 203 Racme carree 207 Rapports - Proportions 2 II

Grandeurs Proportionnelles 215

Connge des exercces ~ 130

Annexe4a

ALGEgraveBRE Notions preacuteliminaires bullbullbullbull 157 Opeacutemtions sur les nombres algeacutebriques (somme

diffeacuterence multiplicationmiddot division des nombres algeacutebriques fractions ou rapports algeacutebriques puissances racines) bull bull 160

Qpeacuterations sur les expressions algeacutebriques bull 168 gquations du premier degreacute 278 Reacutesolution des problegravemes du premier degreacute agrave une

inconnue bullbullbullbullbullbullbullbullbull 186 gquations et problegravemes du premier degreacute agrave deux

ou plusieurs inconnues bull bull 191 Notions sur les repreacutesentations graphiques bull bull 301

Variation des fonctions 313 Deacuteriveacutees bullbull bull bull 319

~uations et problegravemes du second degreacute bull bull 312

ProgressionsetlogaritbInesmiddotmiddotmiddotmiddot middotmiddot middotmiddotmiddot middot331 Table de logarithmes de 1 agrave 1 000 bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull 338 Application des logarithmes Inteacuterecircts composeacutes et

annuiteacutes bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull 343 Corcigeacute des ex~ces bullbull ~ bullbullbullbullbullbullbull 348

Annexe4b

60

de larithmeacutetique Les parties traditionnelles de ce corpus libeacutereacutees de leur inteacutegration

au sein dune organisation multiseacuteculaire du savoir enseigneacute vont deacutesormais connaicirctre

des destins relativement indeacutependants Le noyau essentiel - les nombres et les opeacuterashy

tions sur les nombres - qui constituait la base du systegraveme anteacuterieur non seulement

ne disparaicirct pas mais trouve une extension soudaine associeacutee agrave une promotion en

digniteacute matheacutematique alors que en effet leacutetude laquoarithmeacutetiqueraquo des nombres ne

traitait anciennement que des nombres entiers et des fractions il seacutetablit deacutesormais

une progression dans leacutetude des structures numeacuteriques qui selon la logique de la

filiation des structures populariseacutee par leacutecole bourbakiste est penseacutee ideacutealement

comme allant sans solution de continuiteacute des nombres entiers aux nombres reacuteels en

passant par les nombres relatifs les nombres deacutecimaux et les rationnels Dans cet

ensemble progressivement deacuteveloppeacute les fractions viendront occuper - dans le cadre

du programme de 1978 pour la classe de quatriegraveme qui faisait suite aux laquoexcegravesraquo du

programme de 1971 - une place de toute premiegravere importance(18) La laquotheacuteorie des

nombresraquo cest-agrave-dire leacutetude de la factorisation des nombres du PGCD etc agrave

qui est reacuteserveacutee leacutetiquette darithmeacutetique figure elle au programme de la classe de

cinquiegraveme (et sy trouvera maintenue sans changement par le programme de 1977)

Seule la partie constitueacutee des laquoproblegravemes pratiquesraquo fait veacuteritablement les frais de la

modernisation et disparaicirct agrave peu pregraves complegravetement si lon excepte quelques vestiges

telle leacutetude des laquosuites finies proportionnellesraquo en classe de sixiegraveme (qui prolonge un

thegraveme abordeacute au CM2) - eacutetude eacuteventuellement conccedilue dailleurs comme preacuteparant

mais de longue main agrave la notion dapplication lineacuteaire inscrite au programme de la

classe de troisiegraveme(19)

Ce qui disparaicirct en fait agrave lexception notable - reacutepeacutetons-Ie - des problegravemes 1

pratiques ce nest pas larithmeacutetique (mecircme si le mot lui-mecircme ne renvoie plus quagrave

lune des parties du corpus arithmeacutetique traditionnel) mais la dialectique de larithshy

meacutetique et de lalgegravebre Or cet affaissement dune structuration traditionnelle va

moins peser sur la composante arithmeacutetique que sur la composante algeacutebrique des

matheacutematiques enseigneacutees au collegravege cest lalgegravebre (entendue au sens traditionnel

de ce mot agrave ce niveau des eacutetudes matheacutematiques) qui va se trouver le plus violemment

mise en cause par les changements opeacutereacutes

(18) laquoEn calcul notent les Instructions officielles la nouveauteacute reacuteside dans laccent qui est mis sur la notion de fraction ( )gtgt (Ministegravere de lEducation Matheacutematiques classes des collegraveges 6egraveme 5egraveme 4egraveme 3egraveme 1980 p 29)

(19) Les manuels correspondant aux programmes de 1978 redonneront une place au laquoproblegravemes concretsraquo ceux-ci y apparaissent toutefois essentiellement agrave titre dapplications non de problegravemes permettant la construction et lappropriation des notions agrave enseigner

61

v - UNE ALGEBRE INTROUVABLE

Il nous faut maintenant rappeler rapidement ce queacutetait lancienne organisation

du corpus algeacutebrique Formeacute de maniegravere eacutevidemment plus tardive que le corpus arithshy

meacutetique le corpus algeacutebrique atteint pourtant assez vite une stabiliteacute remarquable

qui le laisse agrave peu pregraves inchangeacute sur deux siegravecles et plus Ecartant le traiteacute dalgegravebre

publieacute par Newton sous le titre dArithmetica Universalis(20) fort instructif agrave tous

eacutegards mais relativement atypique consideacuterons louvrage dEuler deacutejagrave mentionneacute

Son tome premier comporte quatre sections La premiegravere traite laquodes diffeacuterentes

meacutethodes de calcul pour les grandeurs simples ou incomplexesraquo cest-agrave-dire du calcul

sur les nombres mais sur les nombres (que nous appelons) relatifs dont lintroduction

fait un avec laquolexplication des Signes + (Plus) et - (Moinsraquogt (chapitre 10 et sur les

nombres fractionnaires Les quatre opeacuterations arithmeacutetiques les racines les puissances

mais aussi les laquoquantiteacutes impossibles ou imaginairesraquo ainsi que les logarithmes y sont

longuement preacutesenteacutes La deuxiegraveme section traite laquodes diffeacuterentes meacutethodes de calcul

pour les grandeurs composeacutees ou complexesraquo cest-agrave-dire du calcul algeacutebrique la

troisiegraveme laquodes rapports et des proportionsraquo la quatriegraveme laquodes eacutequations algeacutebriques

et de la reacutesolution de ces eacutequationsraquo Quant au tome second il est consacreacute agrave laquolanalyse

indeacutetermineacuteeraquo que nous nexaminerons pas ici(21) Cette organisation subit eacutevidemshy

ment dune part des variations en fonction du niveau viseacute dautre part une eacutevolution

dans le temps qui conduit dans la premiegravere moitieacute du XXegraveme siegravecle agrave un ensemble

relativement stabiliseacute dont agrave la veille du grand mouvement de reacuteforme lEncyclopeacutedie

Quillet deacutejagrave citeacutee nous fournit une version commode (annexe 4b)

En ce qui concerne tout au moins les deacutebuts de lalgegravebre trois thegravemes apparaisshy

sent essentiels les nombres algeacutebriques (cest-agrave-dire les nombres relatifs) le calcul

sur les expressions algeacutebriques les eacutequations algeacutebriques Que deviennent-ils dans le

cadre de la reacuteforme La difficulteacute de la reacuteponse agrave apporter tient au moins en partie

au fait que signifiants et signifieacutes se trouvent alors dissocieacutes redistribueacutes et en ce qui

concerne les contenusmiddot couleacutes en des cadres conceptuels nouveaux qui rompent les

anciennes concordances Il en est ainsi notamment pour les nombres algeacutebriques

bull qui perdent leur qualificatif comme on la noteacute pour devenir nombres relatifs Sous

cette eacutetiquette la place qui leur est deacutevolue nest pas diminueacutee mais au contraire

majoreacutee (et en cela ils profitent du mouvement geacuteneacuteral damplification dont beacuteneacuteficient

(20) Publieacutee (en latin) en 1707 mais eacutetablie sur la base de cours donneacutes par Newton une trentaine danneacutees auparavant lArithmeacutetique universelle paraicirct en franccedilais en 1802

(21) Lorsque la question eacutetudieacutee laquone fournit pas autant deacutequations quon est obligeacute dadmettre dinconnues il y en a qui restent indeacutetermineacutees et qui deacutependent de Il9tre volonteacute et cela fait quon nomme ces sortes de questions des problegravemes indeacutetermineacutes Ils font le sujet dune branche particuliegravere de lanalyse et on appelle cette partie lAnalyse indeacutetermineacuteeraquo (Euler op cit tome second pp 1-2)

62

les structures numeacuteriques) Leur eacutetude inscrite au programme de la classe de sixiegraveme

est deacuteveloppeacutee en classe de cinquiegraveme dans les programmes de ces deux classes ils

constituent un titre agrave part entiegravere aussi bien en 1969-1970 quen 1977-1978

Il en va autrement du calcul algeacutebrique et de leacutetude des eacutequations Ces quesshy

tions formaient traditionnellement le cœur de lalgegravebre eacuteleacutementaire Dans un Manuel

dalgegravebre publieacute en 1827 laquoagrave lusage des personnes priveacutees du secours dun maicirctreraquo

lauteur(22) ouvrait sa premiegravere leccedilon par les lignes suivantes

1 Lalgegravebre est lart dexeacutecuter sur des quantiteacutes quelconques au moyen

des signes geacuteneacuteraux toutes les opeacuterations de larithmeacutetique et de repreacutesenter agrave laide

des mecircmes signes toutes les relations entre ces quantiteacutes

Il La partie de lalgegravebre qui enseigne les regravegles pour exeacutecuter les opeacuterations

arithmeacutetiques sur des quantiteacutes quelconques se nomme calcul litteacuteral

III La partie de lalgegravebre qui traite de la maniegravere de repreacutesenter agrave laide

de signes les relations entre les quantiteacutes se nomme calcul par eacutequation

IV On verra dans la suite que dans le calcul par eacutequation on a sans cesse

besoin du calcul litteacuteral cest donc par celui-ci quil faut commencer

Cest cet ensemble (calcul algeacutebrique eacutequations algeacutebriques) qui va se trouver

fortement minoreacute dans les programmes reacuteformeacutes Pour ne donner ici de cette brutale

deacuteflation quune seule illustration on a reacuteuni dans lannexe 5 (dont on voudra bien

excuser la longueur) les listes dexercices relatives agrave la multiplication dexpressions

algeacutebriques dune part (a b) dans deux manuels dancienne maniegravere(23) dautre part

(c) dans un manuel consideacutereacute comme de niveau eacuteleveacute(24) conforme au programme de

1971 la confrontation est eacuteloquente

Le terme dalgegravebre a disparu des programmes (agrave lexception du programme de

la classe de troisiegraveme) nous lavions noteacute Mais avec le mot la chose elle-mecircme se

trouve emporteacutee lalgegravebre disparaicirct 1 Cet eacutevanouissement est en fait seacutelectif les

parties laquonumeacuteriquesraquo de lalgegravebre reacutesistent bien Les nombres relatifs sont un eacuteleacutement

essentiel de lenseignement de la classe de cinquiegraveme Les fractions un temps mises agrave

leacutecart (en 1971) seront ensuite reacuteinstalleacutees comme eacuteleacutement central du programme de

(22) M Terquem auteur dun Manuel dalgegravebre ou exposeacute eacuteleacutementaire des principes de cette science publieacute agrave Paris en 1827 La citation qui suit se trouve pp 1middot2

(23) Il sagit (a) du manuel de F Girod (voir ci-dessus note 11) et (b) du manuel de Lebosseacute et Heacutemery pour la classe de quatriegraveme dans son eacutedition de 1962 (Fernand Nathan Paris)

(24) Il sagit du manuel de la collection Queysanne-Revuz seacuterie rouge dans son eacutedition de 1973 (Fernand Nathan Paris)

63

quatriegraveme (en 1978) Ce sont les parties laquoalgeacutebriquesraquo de lalgegravebre - calcul et eacutequations

algeacutebriques - qui pacirctissent de la modernisation Plusieurs raisons semblent devoir

expliquer ce pheacutenomegravene Avanccedilons dabord une raison proprement didactique qui a

pu jouer neacutegativement Le calcul algeacutebrique agrave lorigine simple preacuteliminaire agrave leacutetude

des eacutequations eacutetait en fait devenu prolifeacuterant comme on peut en juger notamment sur

le document de lannexe 5a eacutetouffant progressivement les autres parties du corpus

enseigneacute Il eacutetait sain que lon tente den limiter le deacuteveloppement et la tendance

anteacuterieure agrave la reacuteforme proprement dite allait en effet dans ce sens les manuels avaient

commenceacute le travail deacuteflationniste (comme le montre la comparaison des documents a

et b de lannexe 5) Mais ce type de pheacutenomegravene qui constitue au demeurant davantageacute

la regravegle que lexception dans leacutevolution du texte denseignement (que lon songe ici agrave

la deacutegeacuteneacuterescence de leacutetude des eacutequations du second degreacute en la fameuse laquotrinocircmiteraquo

qu i frappait agrave peu pregraves dans le mecircme temps les classes du second cycle) et la reacuteaction

quil devait susciter allaient rencontrer une autre force de changementsans doute bien

plus puissante lapparition de lalgegravebre laquomoderneraquo sur laquelle il faut sarrecircter un

instant

Dans leurs Eleacutements dalgegravebre moderne dont la quatriegraveme eacutedition paraicirct en

1961 (la premiegravere eacutetant de 1956) A Lentin et J Rivaud(25) qui situent lapparition

de lalgegravebre moderne vers 1910 inscrivent celle-ci dans le prolongement de larithshy

meacutetique et de lalgegravebre traditionnelles (mais sans les nommer) laquoA leacutecole primaire

eacutecriven~-ils lenfant raisonne sur des collections et des grandeurs concregravetes dont il

deacutegage progressivement la notion de nombre abstrait indeacutependant de la nature des

choses compteacutees ou mesureacutees Lenseignement du second degreacute apprend agrave ladolescent

la manipulation des x et des y indeacutependamment des nombres que ces lettres repreacuteshy

sentent Un pas de plus dans le calcul et cest le calcul sur les polynocircmes puis la comshy

position des transformations formelles Eh bien lalgegravebre moderne formera leacutetudiant

agrave raisonner sur les proprieacuteteacutes des opeacuterations indeacutependamment des eacuteleacutements (nombres

polynocircmes transformations) sur lesquels sexercent ces opeacuterationsraquo (26) En fait

les parties traditionnelles de lalgegravebre (calcul et eacutequations algeacutebriques) sont bien inteacuteshy

greacutees dans lalgegravebre moderne ainsi preacutesenteacutee Mais elles nen constituent ni lessentiel

ni surtout les deacutebuts Les auteurs citeacutes dont louvrage est constitueacute de cinq livres

consacrent leur dernier livre agrave des laquocompleacutements sur les groupes et sur les eacutequations

algeacutebriquesraquo (un deacuteveloppement plus ample de la question eucirct conduit agrave la theacuteorie

des extensions de corps et agrave la theacuteorie de Galois dont les rudiments sont preacutesenteacutes

dans ce livre) Ainsi le traitement des eacutequations algeacutebriques se trouve-t-i1 rejeteacute fort

loin dans lexposeacute moderne de lalgegravebre Le calcul algeacutebrique quant agrave lui se retrouve

(25) A Lentin et J Rivaud Eleacutements dalgegravebre moderne Vuibert Paris quatriegraveme eacutedition 1961

(26) Loc cit pp VmiddotVI

64

Ici dans le livre Il sous les espegraveces de leacutetude des anneaux de polynocircmes Mais le

veacuteritable commencement de lalgegravebre moderne cest leacutetude des structures (lois de

composition groupe anneau corps) qui occupe tout le livre 1 Lhonnecircte homme

qui en 1958 encore sinitiant agrave lalgegravebre se voyait proposer nombres algeacutebriques

expressions algeacutebriques eacutequations etc se verra offrir quelques anneacutees plus tard

relations binaires eacuteleacutement neutre etc Le chapitre Algegravebre que M Glaymann eacutecrit

au deacutebut des anneacutees soixante-dix pour un ouvrage adresseacute au grand public (il paraicirct

dans la collection laquoLes dictionnaires du savoir moderneraquo) est agrave cet eacutegard significatif

loi de composition eacuteleacutement neutre commutativiteacute eacuteleacutement symeacutetrique associativiteacute

eacuteleacutement reacutegulier distributiviteacute et encore structures monoiumlde groupe sous-groupe

groupe cyclique morphisme de groupes anneau anneau integravegre corps etc en sont les ma icirctres-mots(27)

Il se produit donc en quelques anneacutees une veacuteritable substitution dobjet dont

le texte denseignement reccediloit bientocirct la marque les programmes reacuteformeacutes de sixiegraveme

cinquiegraveme et quatriegraveme comportent tous un titre Relations et le programme de

quatriegraveme introduit les notions de groupe et de division dans un groupe qui conduisent

agrave examiner leacutequation ax = b dans le groupe multiplicatif des reacuteels non nuls Le calcul

algeacutebrique est recircduit agrave la portion congrue il fait lobjet du point 4 du titre Il du programme (annexe 3) Leacutetude des eacutequations conformeacutement au plan moderne

dexposition de lalgegravebre est deacutechue de ses titres et se trouve repousseacutee en classe de

troisiegraveme

VI - LALGEBRE SANS ALGEBRE

La situation creacuteeacutee par la reacuteforme autour de 1970 consacre la promotion des

structures numeacuteriques (agrave cocircteacute du geacuteomeacutetrique dont nous ne parlerons pas ici) en

mecircme temps quelle reacutealise une eacutevidente inflation theacuteorique agrave propos du numeacuterique

comme du geacuteomeacutetrique Cest ce theacuteoricisme qui apregraves avoir susciteacute dabord un vif

enthousiasme se trouvera en butte agrave une multitude de critiques qui conduiront agrave

la reacutedaction des programmes de 1977-1978 actuellement en vigueur La focalisation

du deacutebat se fait sur la maniegravere de traiter les contenus - avec notamment le rej~t

du laquopurismeraquo qui impreacutegnait lesprit de la reacuteforme preacuteceacutedente(28) - davantage que

sur la distribution des contenus eux-mecircmes et sur la structuration et leacutequilibre des

diverses parties du corpus enseigneacute Celui-ci apparaicirct en conseacutequence plus comme

(27) Maurice Glaymann Lalgegravebre in Les matheacutematiques Centre deacutetudes et de promotion de la lecture Paris 1973 pp 16-54

(28) Dans la preacutesentation deacutejagrave citeacutee des programmes de 1978 (voir la note 2 ci-dessus) leacutequipe de reacutedaction du Bulletin de lAPMEP deacutenonccedilait le purisme matheacutematique qui en fait laquoest un purisme dexposition non dapprentissage ou de fonctionnement qui na donc rien agrave faire dans le premier cycle ( )gtgt

65

une version laquodeacutegraisseacuteeraquo du corpus des anneacutees soixante-dix que comme une version

fondamentalement nouvelle agrave cocircteacute du geacuteomeacutetrique que lon entend laquodeacutesaxiomatiserraquo

le numeacuterique y demeure preacutedominant mecircme si lon ny inclut plus les mecircmes mateacuteshy

riaux Les nombres reacuteels en effet sont les grands perdants du reacuteameacutenagement opeacutereacute

Et ce sont les fractions et les rationnels qui venant occuper la place ainsi libeacutereacutee dans

le programme de quatriegraveme constituent maintenant la piegravece centrale de leacutetude du

numeacuterique - les nombres relatifs (entiers et deacutecimaux) conservant en classe de cinshy

quiegraveme le rocircle preacuteeacuteminent qui leur eacutetait anteacuterieurement reconnu

Il faut en ce point dire quelques mots de la promotion donneacutee dans ces proshy

grammes aux fractions et aux rationnels Pour des raisons dans lesquelles nous nentreshy

rons pas ici les fractions (associeacutees aux rapports et aux proportions) eacutetaient traditionshy

nellement tirailleacutees entre larithmeacutetique la geacuteomeacutetrie et degraves la naissance du corpus

algeacutebrique lalgegravebre elle-mecircme Preacutesentant ses Eleacutemens dAlgebre Clairaut ne manque

dailleurs pas de faire connaicirctre au lecteur lembarras ougrave cette question la tenu

laquojavois dabord compteacute donner dans le mecircme livre eacutecrit-il tant les Eleacutemens dArithshy

meacutetique que ceux dAlgebre amp je naurois pas manqueacute alors de traiter des proportions

plus agrave fond que je nai fait dans mes Eleacutemens de Geacuteomeacutetrie raquo Bien entendu en passant de larithmeacutetique agrave lalgegravebre on passait aussi des fractions arithmeacutetiques

(rapports dentiers cest-agrave-dire dentiers naturels) aux fractions algeacutebriques (rapports

dentiers laquoalgeacutebriquesraquo cest-agrave-dire relatifs) et aux fractions rationnelles (rapports

de polynocircmes) Mais ces reprises sont significatives de linteacuterecirct didactique accordeacute

au thegraveme les fractions constituent un sujet de choix pour lenseignement

Comme on la rappeleacute(29) laquolaccent qui est mis sur la notion de fractionraquo

constitue selon les termes mecircmes des Instructions relatives au programme de quatriegraveme

de 1978 leacuteleacutement de laquonouveauteacuteraquo de ce programme Nouveauteacute dantique meacutemoire 1

Henri Lebesgue presque un demi-siegravecle plus tocirct avait fermement inviteacute les professeurs

agrave se deacutebarrasser de ce monstre du Loch Ness matheacutematique laquo on sera bien je pense

daccord avec moi eacutecrivait-il (30) pour deacuteclarer que marier des 22iegravemes et des 37iegravemes

est un martyre que nous infligeons aux gosses de douze ans par pur sadisme sans

aucune raison dutiliteacute comme circonstance ateacutenuanteraquo Mais il ajoutait aussitocirct

laquoJentends tous les professeurs protester Les uns parce que les fractions fournissaient

dinnombrables exercices pour leurs jeunes eacutelegraveves apregraves un moment deffroi ceux-ci

sapercevront quils ne manqueront jamais dexercices La plainte des autres meacutemeut

(29) Voir la note 18

(30) Dans La mesure des grandeurs (Albert l3lanchard Paris 1975) p 25

66

davantage et pour la veacuteriteacute je la formule moi aussi laquoSupprimer dans la classe de

matheacutematiques la theacuteorie des fractions cest supprimer un chapitre admirable Le

seul peut-ecirctre parmi ceux qui nous restent qui ne soit pas lagrave uniquement pour son

utiliteacute immeacutediate et qui donne le sentiment de la beauteacute pureraquoraquo(31) Or cette admirable

construction devient dans le cadre des matheacutematiques modernes plus admirable

encore ou disons plus subtile le maniement sans complexe des fractions fait place

agrave une ontologie raffineacutee dans laquelle les fractions devenues couples de nombres

ne sont plus - en theacuteorie plus quen pratique bien sucircr - que le mateacuteriau de la consshy

truction des rationnels classes deacutequivalence de fractions Avrai dire cette preacutesentation

moderne neacutetait guegravere favoriseacutee par le programme de 1971 (dans lequel les reacuteels faisaient

directement suite aux deacutecimaux les rationnels neacutetant alo~s que des reacuteels particuliers

les quotients dentiers) Mais le programme de 1978 lui donne une nouvelle chance

et quelques manuels impavides la mettent en œuvre (document 4a) Cette perspective

constructiviste peut en fait ecirctre aiseacutement eacuteviteacutee au profit dune conception reacutealiste

(celle-lagrave mecircme que le programme de 1971 poussait en avant les reacuteels eacutetant supposeacutes

donneacutes - ils eacutetaient laquoconstruitsraquo dans le programme de 1971 - un rationnel est un

reacuteel qui peut seacutecrire comme quotient dentiers) et la plupart des manuels utilisent

cette possibiliteacute (document 4b) conceptuellement et techniquement moins difficile

et sans doute plus proche de la repreacutesentation du nombre qui est effectivement celle

des eacutelegraveves et mecircme du laquoworking mathematicianraquo Mais le souci de purisme na pas

disparu le goucirct de la laquorigueurraquo (sic) conduit chez quelques-uns (document 4c) agrave une

veacuteritable confusion sur le sens du signe deacutegaliteacute (qui ne signifie en principe nullement

que les deux membres de leacutegaliteacute sont des expressions identiques - formellement

ou syntaxiquement - ce qui interdirait deacutejagrave deacutecrire que 6 = 2 X 3 mais que ce quils

deacutesignent sont une seule et mecircme chose le signe deacutegaliteacute ne signifiant rien dautre

quune identiteacute seacutemantique) Cela dit le problegraveme - eacuteleacutegamment mais coucircteusement

reacutesolu par le moyen des classes deacutequivalence - existait avant les matheacutematiques

modernes et continue dexister mais le corpus ancien le traitait (inconsciemment )

avec une grande discreacutetion (document 4d) en distinguant chaque fois quil eacutetait

neacutecessaire la fraction (consideacutereacutee alors implicitement comme eacutecriture agrave savoir comme

rapport) et la valeur de la fraction (soit le nombre - rationnel - deacutesigneacute par cette

eacutecriture) Quoi quil en soit tout ce jeu laisseacute autrefois implicite et plus ou moins

fortement expliciteacute aujourdhui participe de ladmirable construction des fractions

qui seacuteduit tant les professeurs comme dit Lebesgue

(31) Ibid pp 25-26

67

Nombres rationnels

Ensemble ltC

RAPPELONS

Dans lensemble T des fractions nous avons deacutefini la relation JI suivante

Quelles que soient les fractions ~ et ~ on a (~JI ~) (ad =bel

Nous avons eacutetabli (p 48) que JI est une relation deacutequivalence dans T

Pourtraduire que deux fractions ~ et ~ sont lieacutees par JI nous avons eacutecrit ~ = ~

et nous avons dit que les fractions ~ et ~ sont eacutequivalentes

DEacuteFINITION

Nous donnons la deacutefinition suivante

Ch8q cd6quiVIIlencbullbullbulllonJIst appeleacutee un nombre lIItlonnel

Nous deacutesignons par 0 lensemble des nombres rationnels

AEPAEacuteSENTAtfr DUN RAcircTIONNEL

Soient x un eacuteleacutement de 1 etmiddott une fraction eacuteleacutement de T

Nous disons que x et un nombre rationnel dont un repreacuteentant et ~ 1 et

aeulement si x est 1 clbullbullbullbull deacutequlvlence elon JI de 1 fraction i Le nombre ~tion~1 x est donc lensemble des fractions ~ eacutequivalentes agrave~ nous

avons x=~lcez deZmiddot ~=M Remarquons que toute fraction eacutequivalente agrave ~ est un repreacutesentant du nombre

rationnel x

CHAPITRE 6 ENSEMBLE Q 67

DOCUMEIIT 4eacute1

(Matheacutematiques4egraveme collection Monge 1978)

68

CHAPITRE 4 algegravebre

Ensemble 0 des nombres rationnels

1 Oeacuteflnitlon de lensemble C 4Notatlons fractionnaires dUn rationnel des rationnels

2prOPrieacuteteacutes de lensemble Q 50Peacuteratlons dans Q des rationnels

3Eacutecriture deacutecimale illimiteacutee 6comparaison de deux rationnels dun rationnel

1Deacutefinition de lensemble Q des rationnels

deacutefinition Un nombre reacuteel (ou reacuteel) est appeleacute DOIIlbre ratioonel (ou rationnel) sil est eacutegal agrave un quotient de deux entiers relatifs

Autrement dit Un reacuteel x est un rationnel sil existe un entier relatif a et un entier relatif non

nul b tels que x soit eacutegal au quotient ~

exemples bull Les quotients suivants sont des rationnels 2 -4 -3 248 57 -29704 0 37 0 359 iuml 78 -=5 -614 57 -1- 25 =iOOO =iuml4 -1-

lal -27815) Ibull Le ree r eg au quotIent 0013 est-I un ratIonne

- 2781 5 et 0013 ne sont pas des entiers relatifs

On sait que (proprieacuteteacutes des quotients de reacuteels)

-27815 -27815 x 104 -27815 0013 0013 x 104 =~

Conclusion r est un rationnel

DOCUMENT 4b

(Matheacutematiques4egraveme collection Durrande 1979)

69

I~ Lensemble ltD des nombres rationnels

1 bull DEacuteFINITION ET EXEMPLES

Dans le cnapltre 4 nous ayons rencontreacute des nombres QUon pouvait obtenir comme Quotient exact dun entir relatif fi par un entier relatif non nul b Ces nombres sappellent lesnombnts ratiOnneJa (ou plua simplement les rationnels) Ils sont r8Qreacutesnteacutes par des fractions ainsi

exemples de fractions repreacuteslitntant x Nombre rationnel x -2 -8 -18lentler relatif -2 -9- -L shy1 3 -1 7 35 -7le deacutecimal rlatlf 35 Ji shy2 4 10 -=2 ~ Q EumlL shyIe ratlonn1 i 3 8 30 -3

Reepitullfflon des prlnc1es deacutetlnltlons Otlnitlo Soit un entIer ratatlf quelconque et soit b un entIer reltlf non nuL

11 LA couple (e bJ eacutecrit sous i fonne appellela fractIon d num

teur bull et de deacutenominateur b 2J Cette fraction retrisente le quotient ect de bull par b que lon not

aUAI bull On bull donc par deacuteflnltlon

bX~ bull JCb bullbull b b

31 On appelle nom rationnel tout nombre Que lon peut obtnir comme quotient euct dun entier relatif par un entlr relatif non nul

Attention 1La megravem notation est utiliseacutee pour deacutesignr deux cnoss diffeacuterentesb

le couple (II b) le Quotient exact de Il par b

Quand on eacutecrit il faut preacuteciser sU sagit de la fraction Ji (le couple (1 4 4raquo ou du rationshy4 4

nel 2i (Qui est eacutegal agrave 35) 4

le rationn est Anal au rationnel L4 ~~ 2

la fraction nest pas eacutegale agrave la fraction 1 ~ 2

(Puisque les couples (144) et (72) sont distincts)

Une convention commode

Pour eacuteviter cet Inconveacutenient nous conviendrons toujours Que dans les calculs deacutesinne le b

nombre rationnel Quotient exact d fi par b Ainsi nous pourrons eacutecrire

Ji =L =3S4 2

Quand vous voudrez parler du couple (14 4) il faudra preacuteciser bull la fraction c 4

DOCUMENT 4c

(Matheacutematiques classe de quatriegraveme collection Queysanne et Revus 1979)

70

SIMPLIFICATION DES FRACTIONS

i49 Simllifier une fraction cest la remplacer par une fraction ~e mais ayant des tenDes plus petits

ISO PROPRIEacuteTEacuteS FONDAMENTALES

10 On mesure deux rubans avec le sepagraveegraveme dune longueur donneacutee A B Lun mesure 2 sepagraveagravenes lautre 4 septiegravemes de luniteacute Il est eacutevident que le dewdagraveDe est double du premier

4 2 X 2 2 - --- - X 2 donc 777

Theacuteoregraveme L - Si OD mwdpUe le aDlDampateDr dune CractloD par aD JIOmbre la CracdoD eet muldpUeacutee par ce Dombre

2deg Un ruban mesure 5 sepagraveagravenes de la longueur AB un dewtiagravene ruban vaut S quato12Iumlagravenes de la mbe uniteacute

Un quatorziagravene eacutetant deux fois plus petit quun sepagraveagraveDe la dewdœe longueur est deux fois plus petite que la premiugravee S S S

------ 2 par suite 14 7 X 2 7

Theacuteoregraveme D - Si OD muldpUe le dacirclomiDateur cl1IDe bcdoD par 110 aombre la CracdoD eet diYileacutee par ce JIOmbre

3deg Soit la fraction _3 X 3_2S s s X 3 IS Elle ne c1uIage pas de valeur si nn mulagraveplie ses deux termes par 3 En dfet si on multiplie son numeacuterateur elle devient 3 fois plus grande si on multiplie son deacuteDominateur

elle devient 3 fois plus petiœ Par conseacutequent

Theacuteoregraveme DL - Si OD mwdpUe lee cleu termes daDO bcdoD par aD ~e DOmbre la ampactIoD ae chaage pu do valeur

On voit IJU- mIru gratukur fJGI la _ pat _ itrftniri tU frtJCtUgrave1fU U1IItU igalu

Corollaire - Si OD divise lee deux termee dlIDe CractiOD par aD mfme JIOmbre (ropkatucircm eacutetant possible) OD obdeat une bedoD eacuteplo agrave la premiegravere

Soit la fraction 18 dont les deux termes sont divisibles par 321

On peut eacutecrire 18 _ 6 x 3 21 7 x 3

et dapregraves le theacuteoragravene preacuteceacutedent _ 6 X 3 7 7 X 3

On a donc 18 3_ la fraction Il des termes plus petits que la fraction 18 dougrave la regravegle de simshy21 3 7 7 21

pli1ication des fractions

~ Regravegle - PD1lI simplifier _ fraaion an divis 11$ dIU umm pat 11II mIru 1ItmIbr

DOCUMENT 4d

Arithmeacutetique de lEncyclopeacutedie Quillet 1958

Fractions et rationnels en fait ne constituent pas seulement une admirable

construction matheacutematique ils composent en mecircme temps un objet didactique

inteacuteressant agrave bien des eacutegards La place de leacutelegraveve (cest-agrave-dire ce qui peut ecirctre requis

de leacutelegraveve agrave ce propos) y est nettement dessineacutee Lebesgue le soulignait judicieusement

le chapitre regorge dexercices dont la difficulteacute (cest-agrave-dire en gros la complexiteacute)

peut ecirctre finement gradueacutee La place de lenseignant elle aussi sy trouve preacutepareacutee

le professeur eacuteprouve toute sa speacutecificiteacute face agrave leacutelegraveve en tant quarchitecte et bacirctisshy

seur - fonctions dans lesquelles leacutelegraveve ne saurait lui disputer sagrave place - dune consshy

truction matheacutematiqueagrave la fois simple rigoureuse riche dont la complegravete transpashy

71

rence nest acquise quau prix de quelque subtiliteacute intellectuele nullement inaccessible

agrave leacutelegraveve mais relativement exigeante Toutefois il y a plus En un sens tout objet

de savoir didactiquement acceptable laisse voir deux laquoplacesraquo il doit contenir le

laquolieuraquo que leacutelegraveve viendra occuper (les tacircches que le contrat didactique lui assignera

en propre) il doit contenir aussi un lieu speacutecifiquement alloueacute agrave lenseignant Ce

marquage des places consubstanciellement lieacute au fonctionnement didactique du

savoir est un processus geacuteneacuteral que jai proposeacute(32) dappeler la topogeacutenegravese (du grec

topos lieu) Mais la dialectique topogeacuteneacutetique peut ecirctre plus ou moins resserreacutee plus

ou moins relacirccheacutee dans ce dernier cas (qui correspond comme jessaierai de lindiquer

plus loin agrave ce que nous voyons majoritairement se produire aujourdhui agrave propos de

lemploi du langage algeacutebrique) les eacutechanges entre eacutelegraveves et enseignant demeurent

pauvres la communication est distante parce que les uns et les autres ne se mesurent

pas aux mecircmes tacircches (le professeur deacutemontre une eacutegaliteacute litteacuterale leacutelegraveve lapplique

agrave des cas particuliers numeacuteriques) Avec les fractions une fois fixeacutee larchitecture

geacuteneacuterale de leacutedifice il en va autrement passeacutes les calculs les plus simples les calculs

qui ne sont pas triviaux pour leacuteiegraveve - tout en demeurant de lordre de ce qui peut

loyalemeacutent lui ecirctre demandeacute - ne le scgtnt quagrave peine moins pour le professeur Les

partenaires de linteraction didactique se rapprochent autour dune tacircche unique

jusquagrave sembler parfois unir leurs efforts agrave la recherche dune commune reacuteponse

Tout comme la geacuteomeacutetrie (qui soppose par cela et du seul point de vue didactique

deacutejagrave agrave lalgegravebre en geacuteneacuteral) les fractions constituent loccasion dune reacuteelle convishy

vialiteacute dans la classe Les distinctions qualitatives (marqueacutees par des tacircches de natures

diffeacuterentes) sestompent au profit de simples diffeacuterences quantitatives (lenseignant

va plus vite plus sucircrement mais il ne sait rien de plus que leacutelegraveve et ne fait rien de

plus que lui) Le groupe agrave la fois se rassemble gagne en coheacutesion et en mecircme temps

se diffeacuterencie continucircment sans que son identiteacute sy perde

1 y a lagrave quelques-unes des raisons didactiques qui expliquent la preacuteeacuteminence

de fagraveit de leacutetude des fractions dans les classes actuelles de quatriegraveme Or - et nous

faisons lagrave retour agrave notre sujet quen fait nous navions pas quitteacute - dans le vocabushy

lairedes enseignants les fractions font partie de lalgegravebre Mecircme si le programme

officiel nutilise pas le terme il semble que lusage se soit spontaneacutement creacuteeacute de nommer

laquoalgegravebreraquo dans la pratique de la classe ce qui nest pas geacuteomeacutetrie lalgegravebre cest

globalement lautre de la geacuteomeacutetrie Cet emploi peut-ecirctre irreacutefleacutechi du mot ne manque

pourtant pas de justificatifs Les heacutesitations historiques dont nous avons parleacute trashy

duisent aussi (par delagrave lopposition fractions de nombres arithmeacutetiques fractions de

nombres algeacutebriques) une reacutealiteacute qui perdure les fractions (dentiers) ne sont pas

(32) Voir Chevallard 1980b

72

de lalgegravebre au sens ougrave elles ne contiennent pas de lettres (les lettres sont essentielleshy

ment utiliseacutees par le professeur pour formuler les lois qui reacutegissent leur calcul) mais

elles relegravevent de llaquoalgeacutebriqueraquo en cela quelles sont le lieu dun jeu formel portant

sur des eacutecritures Elles offrent donc loccasion dune algegravebre sans algegravebre qui fait le

gros morceau de lalgegravebre aujourdhui enseigneacutee Il faut voir par quel cheminement

on en est venu lagrave

VII - LA DIALECTIQUE NUMERIQUEALGEBRIQUE

PoUr expliquer plus complegravetement et leacutevanouissement des parties algeacutebriques

de lalgegravebre et - correacutelativement - le come-back des fractions il nous faut compliquer

quelque peu le talJleau que nous avons traceacute jusquici A lopposition structurelle de

larithmeacutetique et de lalgegravebre correspondait - en principe - une dialectique fonctionshy

nelle entre numeacuterique et algeacutebrique Cest sur cette dialectique que nous devrons

dabord nous arrecircter un instant

Il faut pour cela prendre quelque recul Cette dialectique en effet existe

historiquement avant lalgegravebre (avant la construction dun langage algeacutebrique propreshy

ment dit) Les Grecs distinguent entre deux arithmeacutetiques larithmeacutetique vulgaire

ou logistique celle des calculateurs et larithmeacutetique laquopropre aux philosophesraquo

comme dit Platon cest-agrave-dire en gros la theacuteorie des nombres Les calculateurs cal~

culent Les arithmeacuteticiens eacutetudient la structure du numeacuterique Tous manipulent pour

cela un langage du numeacuterique~ mais tous ne lemploient pas aux mecircmes tacircches et ne

lui reconnaissent pas les mecircmes valeurs Dans larithmeacutetique pratique lanalyse du

numeacuterique procureacutee par le langage adopteacute est un moyen ordonneacute agrave un but opeacuterer

des deacutenombrements effectuer des calculs Si dans notre systegravememiddotactuel de numeacuteration

je deacutesire calculer 12 X 12 par exemple je nai besoin dautre analyse du nombre 12

que celle qui mest immeacutediatement donneacutee dans leacutecriture (deacutecimale) de ce nombre

(ch iffre des dizaines 1 chiffre des uniteacutes 2) Mais si comme le scribe du papyrus

Rhind je ne sais multiplier que par duplications successives et additions je devrai

recourir agrave une analyse moins immeacutediate du nombre 12 (qui ne mest pas offerte par

leacutecriture deacutecimale actuelle) Il me faudra observer que 12 = 4 + 8 et calculer ainsi(33)

1 12 2 24 4 48 8 96

(33) Voir Smith 1953 p 106

73

dougrave je deacuteduirai que 12 X 12 = 12 X (4 + 8) = 48 + 96 = 144 De telles manleres

de faire qui se rencontrent encore agrave des dates rapprocheacutees(34) apparaissent agrave lutilisashy

teur contemporain comme des survivances dun acircge imparfait Un bon systegraveme

numeacuteration-algorithmes de calcul en effet doit ecirctre tel que toute linformation requise

pour mettre en œuvre les algorithmes de calcul soit donneacutee dembleacutee avec les nombres

donneacutes eacutecrits dans le langage numeacuterique utiliseacute cest-agrave-dire soit apparente dans leacutecriture

mecircme de ces nombres En dautres termes un bon systegraveme numeacuteration-algorithmes

reacutecuse tout appel aux matheacutematiques fucirct-ce sous une forme apparemment anodine

Lusager dun tel systegraveme est eacutevidemment supposeacute pouvoir calculer que 4 + 8 = 12

(ce pour quoi le systegraveme est fait) mai~ le contrat dutilisation qui regravegle ses rapports

avec le systegraveme exclut quil ait agrave penser que 12 = 4 + 8 Paradoxalement peut-ecirctre

lun des effets et sans doute des buts (poursuivis de maniegravere plus ou moins intentionshy

nelle) de lactiviteacute matheacutematique est de proposer agrave lusage social des proceacutedures non

matheacutematiques obtenues par deacutematheacutematisation progressive de proceacutedures agrave lorigine

proprement matheacutematiques Le fait est banal et geacuteneacuteral les progregraves de leacutelectronique

me dispensent aujourdhui du bricolage auquel eacutetaient tenus les utilisateurs du poste

agrave galegravene

En fait le royaume du calcul numeacuterique est reacutegi par la loi de simplification

inteacuterioriseacutee en habitus(35) dont lune des clauses est constitueacutee par le principe

dachegravevement des calculs Selon ce laquoprinciperaquo lexpression laquo4 + 8raquo ne saurait en

calcul numeacuterique figurer comme reacuteponse le calcul agrave ce stade eacutetant laquoinacheveacuteraquo (36)

Lexpression laquo4 + 8raquo ne saurait ainsi ecirctre quune forme transitoire labile (parce que

quatre plus huit eacutegale douze) et nexiste pas plus dune maniegravere libre que latome

doxygegravene en dehors de la moleacutecule deg 2

Il en va tout autrement avec la tradition laquonobleraquo de la laquotheacuteorie des nombresraquo

Les Pythagoriciens au tout deacutebut de la science grecque eacutelaborent ainsi toute une

conception de la repreacutesentation laquogeacuteomeacutetriqueraquo des nombres soit une arithmo-geacuteoshy

meacutetrie(37) Consideacuterons par exemple les entiers impairs 5 et 7 Leurs repreacutesentations

(34) Ibid

(35) P Bourdieu deacutesigne par habitus des laquosystegravemes de dispositions durables structures structureacutees preacutedisposeacutees agrave fonctionner comme structures structurantes cest-agrave-dire en tant que principe de geacuteneacuteration et de structuration de pratiques et de repreacutesentations ( hgt (Bourdieu 1974 p 175)

(36) Les Instructions de janvier 1957 (sur lesquelles nous revenons plus loin) parlent explicitement de laquocalcul conduit jusquagrave son achegravevementraquo fait rare et remarquable car il est de la nature dun habitus de ne pas supposer lexplicitation des principes agrave lorigine de son efficace

(37) Sur larithmo-geacuteomeacutetrie des Grecs voir Michel 1959 pp 295-325

74

figureacutees peuvent ecirctre disposeacutees ainsi

o o o o o

o o o o o

o 0 5 7

Reacuteunissons ces repreacutesentations de la maniegravere suiyante

o o o o

o o o o

o 0

o 0

En les regroupant adeacutequatement il apparaicirct que la somme 5 + 7 est Lin multiple de

4 (plus preacuteciseacutement que 5 + 7 = 3 X 4) -1------------ -------------1

1 shy10 Oi iO 011 1 1 shyi i 1

- 1shyj j - 1

rO Oi iO1

O shy

i -_------------ [-------------1 iO Oi 1 i 1

Jo oi i

De plus si on laquocomplegraveteraquo le carreacute on voit apparaicirctre immeacutediatement que 5 + 7 est

une diffeacuterence de deux carreacutes (plus preacuteciseacutement que 5 + 7 = 43 - 22 )

o o o o

o o o o

o o x x

o o x x Ces monstrations qui au sens strict nont de force deacutemonstrative que pour les valeurs

numeacuteriques particuliegraveres traiteacutees ont en fait une valeur geacuteneacuterique comme les figures

(et les deacutemonstrations quelles permettent) en geacuteomeacutetrie on nest pas loin dune

deacutemonstration valable pour tous les couples dimpairs conseacutecutifs Nous pouvons

reacutetrospectivement admirer la finesse intellectuelle que linvention et lemploi de

telles proceacutedures supposent Mais nous pouvons aussi voir que notre langage algeacutebrique

actuel (creacuteeacute par Viegravete Descartes et quelques autres) sinscrit dans le prolongement

de cette analyse du numeacuterique tout en la deacutepassant en souplesse et en puissance

75

Sur le mecircme problegraveme aujourdhui nous obtenons par exemple ceci soient 2p - 1

et 2p + 1 deux impairs conseacutecutifs leur somme (2p - 1) + (2p + 1) = 4p est un

multiple de 4 et puisque 4p = (p + 1) - (p - 1)2 elle seacutecrit aussi comme une

diffeacuterence de deux carreacutes Le langage nOuveau permet dabord de formuler le problegraveme

dans sa geacuteneacuteraliteacute puis de le reacutesoudre de maniegravere eacutegalement systeacutematique

Le calcul numeacuterique utilise le langage numeacuterique pour son pouvoir deacutesignatif

eSSentiellement laquo34raquo et laquo075raquo ou encore laquo4 + 8raquo et laquo12raquo sont agrave cet eacutegard eacutequivashy lents puisquils deacutesignent le mecircme nombre (simplement laquo34raquo est une fraction laquonon

effectueacuteeraquo laquo4 + 8raquo une somme non effectueacutee) ils sont des noms diffeacuterents pour

un mecircme ecirctre matheacutematique Larithmeacutetique laquoalgeacutebriqueraquo au contraire distingue

ces noms parce que bien quils deacutesignent la mecircme chose ils ne montrent pas la mecircme

chose (ils napportent pas la mecircme information monstrative) agrave propos de lecirctre matheacuteshy

matique dont ils sont deux noms diffeacuterents (ltlt4 + 8raquo ou mieux laquo22 +23 raquo montre

que 12 est une somme de puissances de deux etc) Cest ainsi que au cœur mecircme

du langage numeacuterique sinsinue un clivage et pour tout dire une tension entre deux

modes de fonctionnement lefficaciteacute deacutesignative (propre agrave lusage calculatoire du

langage numeacuterique) tend agrave ignorer lagrave valeur monstrative de lexpression eacutecrite le

principe dachegravevement des calculs voue agrave leacutepheacutemegraverelesmiddotltltnoms intermeacutediairesraquo et

laquo4 + 8raquo devient ainsi laquo12raquo sans quaucune trace nous soit conserveacutee de lhistoire

de ce laquo12raquo Ali contraire le langage algeacutebrique - notamment parce quil est une

meacutemoire - vient permettre de conserver de meilleure faccedilon linformation monstrative

et surtout de faire apparaicirctre linformation monstrative pertinente le passage en

simplification de lexpression (2p - 1) + (2p + 1) agrave lexpression 4p fait apparaicirctre

que (2p - 1-) + (2p+ 1) deacutesigne un nombre multiple de 4 le passage en complexifishy

cation de 4p agrave (p + 1)2 - (p - 1)2 fait apparaicirctre que (2p - 1) + (2p + 1) est une

diffeacuterence de deux carreacutes

La creacuteation du langage algeacutebrique permet de deacutegager plus nettement laprobleacuteshy

matique deacutetude du nurileacuterique en la posant - sans lopposer - agrave cocircteacute de la perspecshy

tive calculatrice Elle permet donc dexpliciter ce qui demeurait largement implicite shy

la copreacutesence de deux maniegraveres davoir affaire au numeacuterique - et par lagrave dapaiser

les tensions Mais son surgissement historique permet surtout de mieux maicirctriser

la dialectique du numeacuterique et de lalgeacutebrique jusque-lagrave conduite avec des moyens

matheacutematiques insuffisamment adeacutequats Lalgeacutebrique est un outil de leacutetude du

numeacuterique le premier outil le plus eacuteleacutementaire sans doute (agrave un niveau avanceacute intershy

viendraient par exemple la theacuteorie des seacuteries entiegraveres la theacuteorie des fonctions analytishy

ques etc) Mais inversement (et cest ce qui nous autorise agrave parler de dialectique)

pour que le fonctionnement de cet outil soit efficace il faut quelque peu eacutetudier

cet outil par exemple se poser les problegravemes de la factorisation des expressions algeacuteshy

briques (afin notamment de reacutesoudre des eacutequations algeacutebriques) Or en ce point le

numeacuterique lui-mecircme est un outil deacutetude agrave lalgeacutebrique le flux sinverse Sans parler

76

de toutes les meacutethodes numeacuteriques qui font appel le plus souvent agrave des proprieacuteteacutes

danalyse (cest-agrave-dire concernant le corps des reacuteels et les fonctions dune variable

reacuteelle par exemple) on peut citer - pour prendre un exemple assez gros pour ecirctre

tout agrave fait visible - le theacuteoregraveme dEinsenstein sur la factorisation dans Q[X] (38)

Newton dans son Arithmetica Universalis deacutejagrave mentionneacutee montre une grande attenshy

tion agrave ce genre de laquoretoursraquo du numeacuterique vers lalgeacutebrique Ainsi donne-t-i1 une

meacutethode ingeacutenieuse pour trouver les facteurs dune expression algeacutebrique(39)

Si par exemple la quantiteacute proposeacutee est x 3 - x - 10x + 6 agrave la place de x

je substitue successivement les termes de la progression arithmeacutetique 1 0 -1 il en

naicirctra les nombres -4 + 6 + 14 Je place chacun deux avec tous ses diviseurs dans

la ligne du terme de la progression 1 0 -1 qui la produit comme on peut le voir

dans lexemple suivant

1 4 124 +4 o 6 1 2 3 6 +3

- 1 14 1 2 7 14 +2

Ensuite comme le terme le plus eacuteleveacute x3 na pas de diviseur de luniteacute je

cherche parmi les diviseurs quelque progression dont les termes ne diffegraverent que

dune uniteacute et qui en descendant des plus forts au plus faibles deacutecroissent comme

ceux de la progression 10 -1 Je ne trouve quune progression de cette espegravece cest

4 3 2 Je prends donc le terme + 3 qui se trouve dans la mecircme ligne que 0 de la

premiegravere progression 1 0 -1 je le joins agrave x et je tente la division par x + 3 elle

reacuteussit et jobtiens pour quotient x 2 - 4x + 2

Au-delagrave de la disparition de la structure du corpus matheacutematique enseigneacute en arithshy

meacutetique et algegravebre cest la dialectique du numeacuterique et de lalgegravebre - implicitement

preacutesente agravetravers llaquooppositionraquo de larithmeacutetique et de lalgegravebre - qui va se trouver

atteinte Plus que jamais les liens du numeacuterique et de lalgeacutebrique sen trouveront

relacirccheacutes

VIII - UNE CONCEPTION EMPIRISTE DU REEL MATHEMATIQUE

Leffacement de lopposition arithmeacutetiquealgegravebre en effet altegravere les condishy

tions de la mise en rapport du numeacuterique et de lalgeacutebrique Lancien rapport doutil

(38) Soit PIt) = a + a t + + a t n un polynocircme agrave coefficients dans if Sil existe un nombre premier p tel que0 1) ~ rie divise ~as an 2) p divise a al an_l p2 ne divise pas ao alors P o est irreacuteductible sur O

(39) Arithmeacutetique universelle tome premier pp 47-48 Nous laissons au lecteur le soin dapporter la justification matheacutematique requise

77

de travail agrave objet travailleacute semble perdu Les deux domaines - le numeacuterique -le

litteacuteral - vont coexister dans une simple juxtaposition existants qui trouvent en

eux-mecircmes leur propre justification Les rapports naguegravere encore banals entre ces

deux ordres de reacutealiteacute matheacutematiques semblent deacutesormais abolis Ou plutocirct ils laissent

place agrave des rapports nouveaux et inverseacutes ce nest plus lalgeacutebrique qui vient pershy

mettre deacutetudier le numeacuterique cest le numeacuterique qui laquojustifieraquo et laquopermet de comshy

prendreraquo lalgeacutebrique Le document 5 extrait dun manuei de quatriegraveme actuel (40)

IIUDIFFeacute~ENCS ce ceux C~CIMAUX [

x-eD yeC zeC z-z -y signifie que z+y-z Comment est appel z pour z et y dans ct ordre Observe

13-(-7) z+-7)middot13

[+(-7)j+713+7 +[(-7)+71-13+7

+0-13+7 zo13+-7

z-z-y z+y-z

(+y) + (-y)- +-(-y) +(y+ (-y)]-x + (-y)

z+O-z + (-y) -+(-y)

Pour tout xde D pour tout y de 0 z - y est un deacutecimal et z - y = +(-y) Exemples 8-(-7)=8+7=15 9-14=9+(-14)=-5 Lopeacuteration- qui agrave chaque coupe (z y) z e 0 y E C fait correspondre le deacutecimal Z - J est la soustraction dans O

DOCUMENT 5

Lalgeacutebrique comme essence du numeacuterique

nous donne de ce pheacutenomegravene un exemple tregraves net lintention didactique est ici

de justifier le fait que x - y = x + (-y) Pour le matheacutematicien la laquojustificationraquo shy

qui est alors strictement une deacutemonstration - est toute entiegravere contenue dans la

colonne de droite si je deacutefinis en geacuteneacuteral-y comme eacutetant le nombre tel quey + (-y) = 0

et si les proprieacuteteacutes ordinaires - associativiteacute etc - valent encore pour le nouvel

ensemble de nombres ainsi deacutefini alors le nombre z que je dois ajouter agrave y pour

obtenir x - ce quon appelle la diffeacuterence de x et y et qUon note x - y - nest pas

autre chose que x + (-y) Or la laquojustificationraquo passe dans la didactique ici examineacutee

par lappel au concret cest-agrave-dire au numeacuterique tel est le rocircle de la colonne de

gauche Ce sont les calculs numeacuteriques de la colonne de gauche qui soutiendraient

le sens (pour leacutelegraveve) des calculs litteacuteraux de la colonne de droite Malheureusement

le contenu de la colonne de gauche est si lon peut dire hautement improbable

(401 Il sagifdu _manuel Matheacutematique contemporaine pour la classe de quatriegraveme publieacute chez Magnard et conforme au programme de1978shy

78

parce que le numeacuterique ne fonctionne pas ainsi En fait les calculs numeacuteriques preacuteshy

senteacutes ici nexistent quagrave ecirctre limage en miroir des calculs litteacuteraux de la colonne

de droite Et cest pour permettre de tels calculs que le langage algeacutebrique preacutecishy

seacutement est neacutecessaire Il y a ainsi meacuteprise sur la speacutecificiteacute des deux ordres de calcul

et conseacutequemment sur le type de rapports quils entretiennent la justification

de lalgeacutebrique sappuierait sur un mode de fonctionnement du numeacuterique qui nest

en fait quun deacutecalque du fonctionnement de lalgeacutebrique et qui donc suppose

lalgeacutebrique

Leacutelucidation du nouveau rapport qui saffirme ainsi nest pas chose facile Elle

est pourtant neacutecessaire afin de preacuteciser par delagrave la surface des programmes les mouveshy

ments profonds produisant des deacutecisions didactiques quon aurait tort de regarder

seulement comme des laquotrucsraquo eacuteleacutements atomiques de strateacutegies trouvant en ellesshy

mecircmes et dans leurs effets supposeacutes leur unique mobile Revenons agrave lexemple que

nous avons examineacute Lalgeacutebrique y apparaicirct comme la laquotheacuteorieraquo de cette laquoreacutealiteacuteraquo

que serait le numeacuterique Mais les relations en acte entre theacuteorie (permettant leacutetude)

et reacutealiteacute (objet de leacutetude) y ressortissent incontestablement agrave une conception empishy

riste (et mecircme nous allons le voir empiriste-sensualiste) de la connaissance Tel est

en fait le mobile - veacutecu sans doute comme allant de soi dans leacutevidence que lideacuteoshy

logie procure - de la tentative de laquofaire sortirraquo la theacuteorie (lalgeacutebrique) de la reacutealiteacute

(numeacuterique) Il ya ici inversion des rapports entre theacuteorie et reacutealiteacute Car le surgissement

du theacuteorique - faut-il le rappeler - ne sautorise jamais que de lui-mecircme et loin

de proceacuteder de la reacutealiteacute la constitue (ou la renouvelle) comme objet de connaissance

Si jeacutecris par exemple 13 + 7 = 13 - (-7) selon un fonctionnement du numeacuterique

antinomique de la pratique calculatoire (cest-agrave-dire arithmeacutetique) du numeacuterique shy

laquelle voudrait quon eacutecrivicirct 13 + 7 = 20 - je fais de lalgegravebre sur du numeacuterique

cest loutil algeacutebrique et lui seul qui me permet ce travail du numeacuterique Entre le

fonctionnement arithmeacutetique et le fonctionnement algeacutebrique du numeacuterique il y a

ainsi une distance - un saut - que nul proceacutedeacute dlaquoabstractionraquo ne peut venir combler

On aurait tort de penser que lanalyse preacuteceacutedente ne vaut que pour lexemple

sur laquelle nous lavons illustreacutee En reacutealiteacute sa porteacutee est beaucoup plus eacutetendue

et pour en saisir toute la signification il faut revenir agrave cette acmeacute de leacutevolution de

la transposition didactique que repreacutesente la reacuteforme de 1971 (celle des laquomatheacutemashy

tiques modernesraquo) Contrairement aux opinions aujourdhui dominantes qui selon

un opportunisme neacutecessaire et une constante inconstance reacutecusent cette reacuteforme

pour ses excegraves et la regardent comme laberration dun moment il faut tenir que cette

aberration nen est pas une quelle ne fait que preacutecipiter cristalliser et rendre explicites

des traits qui deacutejagrave se repegraverent dans leacutevolution des deacutecennies preacuteceacutedentes Elle est un

moment qui donne sens reacutetrospectivement agravece qui vient avant lui et deacutetermine

largement ce qui viendra apregraves lui Car sil y a en quelque faccedilon rupture cest sur le

fond dune tregraves large surdeacutetermination En profondeur le programme de 1971 - pour

79

sen tenir agrave la classe de quatriegraveme - constitue une radiographie saisissante dune

eacutevolution que le programme de 1978 nadoucira quen surface Cest cette image

laquodureraquo quil faut interroger

On a trop vitupeacutereacute linflation moderniste le parti pris theacuteoriciste lambition

de rigueur des matheacutematiques promues par la reacuteforme et trop peu vu derriegravere cet

eacutecran deux mouvements correacutelatifs moins spectaculaires mais deacuteterminants Le

premier - que nous avons deacutejagrave plusieurs fois mentionneacute - cest lenvahissement du

champ deacutetude par les structures numeacuteriques Les laquoexcegravesraquo du programme de 1971

sont le prix agrave payer pour ce coup de force qui se megravene alors - simple tactique dun

moment le programme de 1978 installera une version apaiseacutee de la mecircme strateacutegieshy

avec lartillerie lourde de laquolapproche des reacuteelsraquo des laquocalculs approcheacutesraquo des laquoencashy

drementsraquo de haute ambition matheacutematique Le seCond cest la peacuteneacutetration dun

thegraveme qui va devenir central celui de llaquoobservationraquo et de llaquoexpeacuterimentationraquo

matheacutematiques

Fausse moderniteacute ce thegraveme est mis en place degraves les Instructions de janvier

1957 (annexe 6a) dont les Instructions de 1971 se reacuteclameront non sans raicon Il

prend alors lallure dune reacuteflexion sur les liens entre matheacutematique et extramatheacutemashy

tique La caution bergsonienne ici invoqueacutee - homo taber homo sapiens - bien que

dateacutee est agrave cet eacutegard tregraves significative La perspective proposeacutee ne conduit pas tregraves

loin les problegravemes denseignement se trouvent laquoreacutesolusraquo par une didactique euphoshy

rique (annexe 6b) Au vrai la conjoncture historique qui verra la mise en place des

matheacutematiques modernes nest alors quincomplegravetement formeacutee Ce qui manque

encore afin que lideacutee dexpeacuterimentation puisse passer dans les faits cest une matiegravere

que lon pourrait soumettre agrave lobservation et agrave lexpeacuterience A cet eacutegard les Instrucshy

tions de 1957 raisonnent encore agrave lancienne la notion dexpeacuterimentation y est

surtout loccasion dune rheacutetorique qui tourne sur elle-mecircme faute de pouvoir sapplishy

quer Mais cette matiegravere dapplication qui fait deacutefaut la reacuteforme va lapporter en

abondance ce sera le numeacuterique dont nous comprenons mieux degraves lors la place

de choix que les programmes reacuteformeacutes vont lui accorder Son expansion se trouvait

en fait comme appeleacutee par lexigence laquoexpeacuterimentaleraquo induite par une certaine concepshy

tion eacutepisteacutemologique et didactique

Le deacutecor de laction est installeacute en consonance avec une mise en scegravene empiriste

du procegraves de connaissance(41) Il Y a la laquoreacutealiteacuteraquo qui est un donneacute dont la preacutesence

simpose avec la derniegravere force et il y a la laquotheacuteorieraquo de ce donneacute que lon preacutetend

tirer par abstraction de lobjet agrave laquelle elle se voue La dialectique du numeacuterique

et de lalgeacutebrique est alors perdue lun de ses termes (lalgeacutebrique) se dissout dans

(41) Pour lintelligence de ce qui suit nous renvoyons agrave Althusser 1968 notamment pp 38-45

80

lautre (le numeacuterique) agrave qui est octroyeacute par nature une existence presque mateacuterielle

et dont lalgeacutebrique proceacutedera geacuteneacutetiquement La reacuteforme de 1971 remanie donc

le champ deacutetude pour y produire de solides objets laquoreacuteelsraquo agrave forts coefficients dexis-shy

tence les structures numeacuteriques et aussi la mysteacuterieuse laquodroite physiqueraquo dont la

soudaine promotion ontologique serait autrement encore plus inexplicable(42) Cela

poseacute lintroduction du litteacuteral (lalgeacutebrique) sidentifie au mouvement par lequel

dans le procegraves empiriste de connaissance se repreacutesente lessence du reacuteel qui est toute

la connaissance que le sujet peut tirer de lobjet par abstraction il permet de distinguer

entre un reacuteel essentiel et un reacuteel inessentiel gangue ou accident que le processus

dabstraction abandonne comme un reacutesidu impenseacute Labstraction qui vise agrave porter

agrave la lumiegravere ce quon pourra connaicirctre de lobjet agit par deacutecrassage et deacutecapage

CHA~tTRbullbull tour dieacuteremcs ftiems de 1t 011 obti=c cIes putitioas cilifeacute=o~ Uuml fiIure 2 repreacutese1tt (parshy

tieJ1emenz) les paniagravecas ~ i- II-l 11--0 11 - - l~ = grouie agrave la loupe la paftiriœ cozrcspoadaDc agrave Il - - 2shy

f-oo( [Q10[

1 1

~ Q t

(-2 ~( T

[l 0 ( [01 ( r12 r i i i i J r sr

-1shy 0 t

1 1 1 1 1 1 1 1 shy 1 bull 1 1 1 11

-1 -01 001 lU 03 ~ o~ 06 07 oa 09 1 11

P4 041 ~l ~~I 041ds1 -i -o] OoJ O4l o~ 04S 04) ~ 1 ~1 1

fJvZ

li) De m=c si II eR lD1 emer œIaagravef acirczeacute et si CI pr=d tOlIœS les ftiems possibles da2s Z r=semblc cIes imenalles cie c

Jcr10 (CI + L 10

eR iJMpcrtirIcircD1f de C Uuml figure 3 repreacutes=œ (articllemcm) =œ putitioll p04 shy O~

r 1 i 1 T l 1 1 -5 -4shy -3 -2 -r agrave l Z ~ 4shy 5

~3

DOCUMENT6

Le deacutecapage du donneacute dans le processus empiriste de connaissance

(42) Voir Chevallard et Johsua 1982 notamment pp 200-203

81

agrave ce thegraveme geacuteneacuteral de la connaissance empiriste reacutepond correctement dans les proshy

grammes la notion dlaquoapprocheraquo ou dlaquoapproximationraquo des laquoreacuteelsraquo (qui nont jamais

aussi bien porteacute leur nom) Ceux-ci sont atteints par le moyen de purifications successhy

sives qui eacuteliminent peu agrave peu la gangue inessentielle Tel manuel (43) pris parmi tant

dautres- en offre la superbe illustration (document 6) limage de la loupe - emblegraveme

de la connaissance empiriste dont elle est linstrument privileacutegieacute parce quelle permet

de mieux voir et de faire voir - y est requise et symbolise mieux quun long commenshy

taire cette conception de la connaissance comme visant agrave amener linvisible agrave la

vue de tous

Une telle conception de la connaissance rate le reacuteel dont il sagirait preacuteciseacutement

de produire la connaissance parce quelle en manque la constitution comme objet

de connaissance(44) Lalgeacutebrique ne sert plus agrave connaicirctre le numeacuterique Il nest plus

deacutesormais quune steacutenographie middotessentialisante qui deacutecrit reacutesume et seacutepare lessence

de laccident Le surgissement laquomoderneraquo de la dichotomie de llaquoobservationraquo et de

la laquotheacuteorieraquo - que les manuels actuels reprennent agrave lenvi - est ainsi correacutelatif dune

dissolution de lobjet de connaissance au profit de lobjet reacuteel maintenant donneacute

agrave voir dans une abstraction reacuteputeacutee immeacutediate et facile Lordre didactique va sorgashy

niser autour de cette eacutepisteacutemologie imaginaire

REFERENCES

ALTHUSSER L (1968) Lire le Capital Franccedilois Maspeacutero Paris

BOURDIEU P (1974) Le sens pratique eacuteditions de Minuit Paris

BROUSSEAU G (1980) Problegravemes de lenseignement des deacutecimaux Recherches

en didactique des matheacutematiques 1middot1 pp 11-59

CHEVALLARD Y (1980a) Matheacutematiques langage enseignement la reacuteforme des

anneacutees soixante Recherches 41 pp 71-99

CHEVALLARD Y (1980b) La transposition didactique 1REM dAix-Marseille

CHEVALLARD Y (1982) Pourquoi la transposition didactique 7 Publication du

seacuteminaire de didactique et peacutedagogie des matheacutematiques 32 Grenoble

CHEVALLARD Y et JOHSUA MA (1982) Un exemple danalyse de la transposition

didactique Recherches en didactique des matheacutematiques 3 2 pp 157-239

MICHEL PH (1950) De Pythagore agrave Euclide Les Belles Lettres Paris

SMITH DE (1953) History of mathematics volume Il Dover publications Inc

New York

(43) Il sagit de louvrage mentionneacute dans la note 24 ci-dessus

(44) Sur la distinction entre laquoobjet reacuteelraquo et laquoobjet de connaissanceraquo voir Althusser 1968 pp 4649

82

CLASSE DE QUATRIEME CLASSIQUE A ET B ET DE QUATRIEME MODERNE

PROGRAMME DE 1945 (extraits)

Arithmeacutetique

Pratique sur des exemples de la deacutecomposition dun nombre entier en facteurs premiers de la recherche du plus grand commun diviseur et du plus petit commun multiple de deux ou plushysieurs nombres Applications aux fractions

Algegravebre

Nombres algeacutebriques (positifs nuls heacutegatifs) Opeacuterations sur ces nombres exposeacutes agrave partir de problegravemes concrets Ineacutegaliteacutes

Mesures algeacutebriques de vecteurs sur une droite orienteacutee Formule de Chasles Repeacuterage dun point sur un axe

Eleacutements du calcul algeacutebrique proprieacuteteacutes des sommes et des produits Puissances Produit et quotient de deux puissances dun nombre usage de lexposant nul et dexposants neacutegatifs

Monocircmes Produit de monocircmes Quotient de deux nombres Somme de monocircmes semblables (on se bornera agrave des monocircmes agrave une deux ou trois variables) Polynocircmes agrave une variable addition soustraction multiplication par une constante

Equations numeacuteriques du premie( degreacute agrave une inconnue Problegravemes conduisant agrave une eacutequation numeacuterique du premier degreacute agrave une inconnue

Annexe 1

83

CLASSE DE QUATRIEME

PROGRAMME DE 1958 (extraits)

Arithmeacutetique

Pratique sur des exemples de la deacutecomposition dun nombre entier en un produit de nomshybres premiers pratique de la recherche du plus grand diviseur commun et du plus petit multiple commun de deux ou plusieurs nombres Applications

Algegravebre

1 - Nombres relatifs (positifs nuls neacutegatifs) Orientation dun segment (vecteur) orientation dune droite (axe) mesure algeacutebrique

dun segment orienteacute sur un axe repeacuterage dun point sur un axe (abscisse)

II - Opeacuterations eacuteleacutementaires sur les nombres relatifs addition et soustraction multiplishycation et division

Extension aux nombres relatifs des proprieacuteteacutes fondamentales eacutetablies pour les nombres arithmeacutetiques (classe de cinquiegraveme) concernant les sommes les diffeacuterences les produits les puisshysances n-iegravemes les quotients linverse dun nombre non nul Condition pour quun produit soit nul

Deacutefinition des exposants neacutegatifs et de lexposant nul Comparaison des nombres relatifs ineacutegaliteacutes Ineacutegaliteacutes concernant la valeur absolue dune somme ou dune diffeacuterence Formule de Chasles pour trois points situeacutes sur un axe Segment deacutefini par les abscisses

des deLix points qui le limitent mesure algeacutebrique de ce segment orienteacute mesure de la longueur de ce segment abscisse du milieu de ce segment

III - Notions de variables et de correspondance entre variables Expressions algeacutebriques deacutependant dUne ou de plusieurs variables calcul de la valeur

numeacuterique dune expression algeacutebrique pour des valeurs numeacuteriques donneacutees aux Ymiddotariables Monocircmes agrave une ou plusieurs variables multiplication addition de monocircmes semblables Polynocircmes forme reacuteduite Polynocircmes ordonneacutes addition multiplication Identiteacutes relatives aux produits (x + y)2 (x - y)2 (x + y)(x - y)

IV - Equations position du problegraveme signification du signe = dans ce problegraveme Equashytions du premier degreacute agrave une inconnue agrave coefficients numeacuteriques Reacutesolution de problegravemes simples agrave laide dune telle eacutequation

Annexe 2

84

CLASSE DE QUATRIEME

PROGRAMME DE 1971 (extraits)

1 - Relations

Reacutevision -des notions preacutesenteacutees dans les classes anteacuterieures et compleacutements produit carteacutesien relation application composition des applications bijection cun ensemble sur un ensemble et bijection reacuteciproque

Notion de groupe deacutefinition (on la jeacutegagera des exemples du programme)

II - Nombres deacutecimaux relatifs et approche de reacuteel

1 Groupe des puissances de dix

Nombres deacutecimaux relatifs eacutecrits a 10n avec a e7l et p E7 et sous forme de nombres agrave virgule addition multiplication ordre valeur absolue Reacutesumeacute des proprieacuteteacutes fondamentales de lensemble ainsi structureacute des deacutecimaux relatifs

2 Calculs approcheacutes

a) EnC3drement dun nombre deacutecimal par des intervalles des types [a 10pbull (a + 1) 10middot[ da 101 (a + 1) 10- [a 10pbull (a + 1) 101] avec a E Z et p E Z Sur des exelJlples encamiddot drement middotdune somme dun produit

b) Exercices de deacutetermination pour un deacutecimal strictement positif d donneacute et pour un entier relatif n donneacute du nombre deacutecimal x bull 10 avec x E IN tel que soient veacuterifieacutees les ineacutegaliteacutes 0 ~d x 10 ~ 1 lt d (x + 1) 10

c) Exercices de deacutetermination pour un deacutecimal strictement positif d donneacute et pour un entier relatif n jonneacute du nombre deacutecimal y bull 10 avec y E IN tel que soient veacuterifieacutees les ineacutegaliteacutes [y 10P ~ d lt [(y + 1) 10]

d) Suites deacutecimales illimiteacutees nombres reacuteels encadrements dun nombre reacuteel

3 Enumeacuteration des principales proprieacuteteacutes qui structurent fensemble IR des reacuteels addition (IR +) est un groupe commutatif multiplication associashytiYiteacute distributiviteacute par rapport agravefaddition ordre et valoeur absolue

On admettra que pour tout nombre reacuteel a jiffeacuterent de 0 il existe un nombre reacuteel a-1 et un seul tel que aa-1 = 1 Pour tout couple de nombres reacuteels (a b) avec a = 0 il existe un nombre reacuteel unique x appeleacute quotient de b par a

b et noteacute ba-1 ou - tel que ax = b a

Exercices simples de calcul sur de tels quotients Sur des exemples -numeacuteriques eacutequations et ineacutequations du premier degr9 agrave une inconnue

Usage des exposants entiers groupe des puissances dun nombre reacuteel non nul

Calculs approcheacutes sur les nombres reacuteels

4 Exemples de fonctions polynocircmes (applications de IR dans IR) Degreacute Exercices de calcul SUT les polynocircmes Produits (x + a)2 (x - a)2 (x + a) (x - a) Exercices de factorisation

Annexe 3

85

ENCYCLOPEDIE QUILLET (1958)

TABLE DES MATIERES (extraits)

ARITBMEacuteTIQUE Notio~ preacute1i1Ji~ajres - Ideacutee de nombrebullbullbullbull 153 NumeratIon decmale bullbullbullbullbullbullbullbull 156 ~esure des grŒDdeurs bullbullbullbullbullbull bullbullbullbull 159 Nombresmiddot deacutecUDauxbullbullbullbullbullbullbullbullbullbull 169 Ladditionbullbull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull 165 La soustraction bull bull bull bull bull bull bull bull bull 168 La ~~qplication bullbullbullbullbullbullbull1 bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bullbull 171 La diVISIon 178

Regravegle de trois bull bull 117 Pourcentages bullbullbull 119 Partages proportionnels 110 ~~langes bullbull i bull bullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbull 111 Alliages bull 111 Regravegles dinteacuterecircts 124 Rentes sur Pltat 116 Actins et obli~tions - Escompte 117

Problegravemes sur les quatre opeacutemtions bull bull bull 184 La divisibiliteacute bull bull bull bull bull bull bull bull 186 Plus grŒDd commun diviseur (p G C D) 189 Plus petit commun multiple (P P C M) 191 Nombres premiers bullbullbullbullbullbullbullbull 192 Les fractions bull bull bull bull bull 194 Opeacuterations sur les fractions 197 Sys~egraveme meacute~que 203 Racme carree 207 Rapports - Proportions 2 II

Grandeurs Proportionnelles 215

Connge des exercces ~ 130

Annexe4a

ALGEgraveBRE Notions preacuteliminaires bullbullbullbull 157 Opeacutemtions sur les nombres algeacutebriques (somme

diffeacuterence multiplicationmiddot division des nombres algeacutebriques fractions ou rapports algeacutebriques puissances racines) bull bull 160

Qpeacuterations sur les expressions algeacutebriques bull 168 gquations du premier degreacute 278 Reacutesolution des problegravemes du premier degreacute agrave une

inconnue bullbullbullbullbullbullbullbullbull 186 gquations et problegravemes du premier degreacute agrave deux

ou plusieurs inconnues bull bull 191 Notions sur les repreacutesentations graphiques bull bull 301

Variation des fonctions 313 Deacuteriveacutees bullbull bull bull 319

~uations et problegravemes du second degreacute bull bull 312

ProgressionsetlogaritbInesmiddotmiddotmiddotmiddot middotmiddot middotmiddotmiddot middot331 Table de logarithmes de 1 agrave 1 000 bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull 338 Application des logarithmes Inteacuterecircts composeacutes et

annuiteacutes bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull 343 Corcigeacute des ex~ces bullbull ~ bullbullbullbullbullbullbull 348

Annexe4b

61

v - UNE ALGEBRE INTROUVABLE

Il nous faut maintenant rappeler rapidement ce queacutetait lancienne organisation

du corpus algeacutebrique Formeacute de maniegravere eacutevidemment plus tardive que le corpus arithshy

meacutetique le corpus algeacutebrique atteint pourtant assez vite une stabiliteacute remarquable

qui le laisse agrave peu pregraves inchangeacute sur deux siegravecles et plus Ecartant le traiteacute dalgegravebre

publieacute par Newton sous le titre dArithmetica Universalis(20) fort instructif agrave tous

eacutegards mais relativement atypique consideacuterons louvrage dEuler deacutejagrave mentionneacute

Son tome premier comporte quatre sections La premiegravere traite laquodes diffeacuterentes

meacutethodes de calcul pour les grandeurs simples ou incomplexesraquo cest-agrave-dire du calcul

sur les nombres mais sur les nombres (que nous appelons) relatifs dont lintroduction

fait un avec laquolexplication des Signes + (Plus) et - (Moinsraquogt (chapitre 10 et sur les

nombres fractionnaires Les quatre opeacuterations arithmeacutetiques les racines les puissances

mais aussi les laquoquantiteacutes impossibles ou imaginairesraquo ainsi que les logarithmes y sont

longuement preacutesenteacutes La deuxiegraveme section traite laquodes diffeacuterentes meacutethodes de calcul

pour les grandeurs composeacutees ou complexesraquo cest-agrave-dire du calcul algeacutebrique la

troisiegraveme laquodes rapports et des proportionsraquo la quatriegraveme laquodes eacutequations algeacutebriques

et de la reacutesolution de ces eacutequationsraquo Quant au tome second il est consacreacute agrave laquolanalyse

indeacutetermineacuteeraquo que nous nexaminerons pas ici(21) Cette organisation subit eacutevidemshy

ment dune part des variations en fonction du niveau viseacute dautre part une eacutevolution

dans le temps qui conduit dans la premiegravere moitieacute du XXegraveme siegravecle agrave un ensemble

relativement stabiliseacute dont agrave la veille du grand mouvement de reacuteforme lEncyclopeacutedie

Quillet deacutejagrave citeacutee nous fournit une version commode (annexe 4b)

En ce qui concerne tout au moins les deacutebuts de lalgegravebre trois thegravemes apparaisshy

sent essentiels les nombres algeacutebriques (cest-agrave-dire les nombres relatifs) le calcul

sur les expressions algeacutebriques les eacutequations algeacutebriques Que deviennent-ils dans le

cadre de la reacuteforme La difficulteacute de la reacuteponse agrave apporter tient au moins en partie

au fait que signifiants et signifieacutes se trouvent alors dissocieacutes redistribueacutes et en ce qui

concerne les contenusmiddot couleacutes en des cadres conceptuels nouveaux qui rompent les

anciennes concordances Il en est ainsi notamment pour les nombres algeacutebriques

bull qui perdent leur qualificatif comme on la noteacute pour devenir nombres relatifs Sous

cette eacutetiquette la place qui leur est deacutevolue nest pas diminueacutee mais au contraire

majoreacutee (et en cela ils profitent du mouvement geacuteneacuteral damplification dont beacuteneacuteficient

(20) Publieacutee (en latin) en 1707 mais eacutetablie sur la base de cours donneacutes par Newton une trentaine danneacutees auparavant lArithmeacutetique universelle paraicirct en franccedilais en 1802

(21) Lorsque la question eacutetudieacutee laquone fournit pas autant deacutequations quon est obligeacute dadmettre dinconnues il y en a qui restent indeacutetermineacutees et qui deacutependent de Il9tre volonteacute et cela fait quon nomme ces sortes de questions des problegravemes indeacutetermineacutes Ils font le sujet dune branche particuliegravere de lanalyse et on appelle cette partie lAnalyse indeacutetermineacuteeraquo (Euler op cit tome second pp 1-2)

62

les structures numeacuteriques) Leur eacutetude inscrite au programme de la classe de sixiegraveme

est deacuteveloppeacutee en classe de cinquiegraveme dans les programmes de ces deux classes ils

constituent un titre agrave part entiegravere aussi bien en 1969-1970 quen 1977-1978

Il en va autrement du calcul algeacutebrique et de leacutetude des eacutequations Ces quesshy

tions formaient traditionnellement le cœur de lalgegravebre eacuteleacutementaire Dans un Manuel

dalgegravebre publieacute en 1827 laquoagrave lusage des personnes priveacutees du secours dun maicirctreraquo

lauteur(22) ouvrait sa premiegravere leccedilon par les lignes suivantes

1 Lalgegravebre est lart dexeacutecuter sur des quantiteacutes quelconques au moyen

des signes geacuteneacuteraux toutes les opeacuterations de larithmeacutetique et de repreacutesenter agrave laide

des mecircmes signes toutes les relations entre ces quantiteacutes

Il La partie de lalgegravebre qui enseigne les regravegles pour exeacutecuter les opeacuterations

arithmeacutetiques sur des quantiteacutes quelconques se nomme calcul litteacuteral

III La partie de lalgegravebre qui traite de la maniegravere de repreacutesenter agrave laide

de signes les relations entre les quantiteacutes se nomme calcul par eacutequation

IV On verra dans la suite que dans le calcul par eacutequation on a sans cesse

besoin du calcul litteacuteral cest donc par celui-ci quil faut commencer

Cest cet ensemble (calcul algeacutebrique eacutequations algeacutebriques) qui va se trouver

fortement minoreacute dans les programmes reacuteformeacutes Pour ne donner ici de cette brutale

deacuteflation quune seule illustration on a reacuteuni dans lannexe 5 (dont on voudra bien

excuser la longueur) les listes dexercices relatives agrave la multiplication dexpressions

algeacutebriques dune part (a b) dans deux manuels dancienne maniegravere(23) dautre part

(c) dans un manuel consideacutereacute comme de niveau eacuteleveacute(24) conforme au programme de

1971 la confrontation est eacuteloquente

Le terme dalgegravebre a disparu des programmes (agrave lexception du programme de

la classe de troisiegraveme) nous lavions noteacute Mais avec le mot la chose elle-mecircme se

trouve emporteacutee lalgegravebre disparaicirct 1 Cet eacutevanouissement est en fait seacutelectif les

parties laquonumeacuteriquesraquo de lalgegravebre reacutesistent bien Les nombres relatifs sont un eacuteleacutement

essentiel de lenseignement de la classe de cinquiegraveme Les fractions un temps mises agrave

leacutecart (en 1971) seront ensuite reacuteinstalleacutees comme eacuteleacutement central du programme de

(22) M Terquem auteur dun Manuel dalgegravebre ou exposeacute eacuteleacutementaire des principes de cette science publieacute agrave Paris en 1827 La citation qui suit se trouve pp 1middot2

(23) Il sagit (a) du manuel de F Girod (voir ci-dessus note 11) et (b) du manuel de Lebosseacute et Heacutemery pour la classe de quatriegraveme dans son eacutedition de 1962 (Fernand Nathan Paris)

(24) Il sagit du manuel de la collection Queysanne-Revuz seacuterie rouge dans son eacutedition de 1973 (Fernand Nathan Paris)

63

quatriegraveme (en 1978) Ce sont les parties laquoalgeacutebriquesraquo de lalgegravebre - calcul et eacutequations

algeacutebriques - qui pacirctissent de la modernisation Plusieurs raisons semblent devoir

expliquer ce pheacutenomegravene Avanccedilons dabord une raison proprement didactique qui a

pu jouer neacutegativement Le calcul algeacutebrique agrave lorigine simple preacuteliminaire agrave leacutetude

des eacutequations eacutetait en fait devenu prolifeacuterant comme on peut en juger notamment sur

le document de lannexe 5a eacutetouffant progressivement les autres parties du corpus

enseigneacute Il eacutetait sain que lon tente den limiter le deacuteveloppement et la tendance

anteacuterieure agrave la reacuteforme proprement dite allait en effet dans ce sens les manuels avaient

commenceacute le travail deacuteflationniste (comme le montre la comparaison des documents a

et b de lannexe 5) Mais ce type de pheacutenomegravene qui constitue au demeurant davantageacute

la regravegle que lexception dans leacutevolution du texte denseignement (que lon songe ici agrave

la deacutegeacuteneacuterescence de leacutetude des eacutequations du second degreacute en la fameuse laquotrinocircmiteraquo

qu i frappait agrave peu pregraves dans le mecircme temps les classes du second cycle) et la reacuteaction

quil devait susciter allaient rencontrer une autre force de changementsans doute bien

plus puissante lapparition de lalgegravebre laquomoderneraquo sur laquelle il faut sarrecircter un

instant

Dans leurs Eleacutements dalgegravebre moderne dont la quatriegraveme eacutedition paraicirct en

1961 (la premiegravere eacutetant de 1956) A Lentin et J Rivaud(25) qui situent lapparition

de lalgegravebre moderne vers 1910 inscrivent celle-ci dans le prolongement de larithshy

meacutetique et de lalgegravebre traditionnelles (mais sans les nommer) laquoA leacutecole primaire

eacutecriven~-ils lenfant raisonne sur des collections et des grandeurs concregravetes dont il

deacutegage progressivement la notion de nombre abstrait indeacutependant de la nature des

choses compteacutees ou mesureacutees Lenseignement du second degreacute apprend agrave ladolescent

la manipulation des x et des y indeacutependamment des nombres que ces lettres repreacuteshy

sentent Un pas de plus dans le calcul et cest le calcul sur les polynocircmes puis la comshy

position des transformations formelles Eh bien lalgegravebre moderne formera leacutetudiant

agrave raisonner sur les proprieacuteteacutes des opeacuterations indeacutependamment des eacuteleacutements (nombres

polynocircmes transformations) sur lesquels sexercent ces opeacuterationsraquo (26) En fait

les parties traditionnelles de lalgegravebre (calcul et eacutequations algeacutebriques) sont bien inteacuteshy

greacutees dans lalgegravebre moderne ainsi preacutesenteacutee Mais elles nen constituent ni lessentiel

ni surtout les deacutebuts Les auteurs citeacutes dont louvrage est constitueacute de cinq livres

consacrent leur dernier livre agrave des laquocompleacutements sur les groupes et sur les eacutequations

algeacutebriquesraquo (un deacuteveloppement plus ample de la question eucirct conduit agrave la theacuteorie

des extensions de corps et agrave la theacuteorie de Galois dont les rudiments sont preacutesenteacutes

dans ce livre) Ainsi le traitement des eacutequations algeacutebriques se trouve-t-i1 rejeteacute fort

loin dans lexposeacute moderne de lalgegravebre Le calcul algeacutebrique quant agrave lui se retrouve

(25) A Lentin et J Rivaud Eleacutements dalgegravebre moderne Vuibert Paris quatriegraveme eacutedition 1961

(26) Loc cit pp VmiddotVI

64

Ici dans le livre Il sous les espegraveces de leacutetude des anneaux de polynocircmes Mais le

veacuteritable commencement de lalgegravebre moderne cest leacutetude des structures (lois de

composition groupe anneau corps) qui occupe tout le livre 1 Lhonnecircte homme

qui en 1958 encore sinitiant agrave lalgegravebre se voyait proposer nombres algeacutebriques

expressions algeacutebriques eacutequations etc se verra offrir quelques anneacutees plus tard

relations binaires eacuteleacutement neutre etc Le chapitre Algegravebre que M Glaymann eacutecrit

au deacutebut des anneacutees soixante-dix pour un ouvrage adresseacute au grand public (il paraicirct

dans la collection laquoLes dictionnaires du savoir moderneraquo) est agrave cet eacutegard significatif

loi de composition eacuteleacutement neutre commutativiteacute eacuteleacutement symeacutetrique associativiteacute

eacuteleacutement reacutegulier distributiviteacute et encore structures monoiumlde groupe sous-groupe

groupe cyclique morphisme de groupes anneau anneau integravegre corps etc en sont les ma icirctres-mots(27)

Il se produit donc en quelques anneacutees une veacuteritable substitution dobjet dont

le texte denseignement reccediloit bientocirct la marque les programmes reacuteformeacutes de sixiegraveme

cinquiegraveme et quatriegraveme comportent tous un titre Relations et le programme de

quatriegraveme introduit les notions de groupe et de division dans un groupe qui conduisent

agrave examiner leacutequation ax = b dans le groupe multiplicatif des reacuteels non nuls Le calcul

algeacutebrique est recircduit agrave la portion congrue il fait lobjet du point 4 du titre Il du programme (annexe 3) Leacutetude des eacutequations conformeacutement au plan moderne

dexposition de lalgegravebre est deacutechue de ses titres et se trouve repousseacutee en classe de

troisiegraveme

VI - LALGEBRE SANS ALGEBRE

La situation creacuteeacutee par la reacuteforme autour de 1970 consacre la promotion des

structures numeacuteriques (agrave cocircteacute du geacuteomeacutetrique dont nous ne parlerons pas ici) en

mecircme temps quelle reacutealise une eacutevidente inflation theacuteorique agrave propos du numeacuterique

comme du geacuteomeacutetrique Cest ce theacuteoricisme qui apregraves avoir susciteacute dabord un vif

enthousiasme se trouvera en butte agrave une multitude de critiques qui conduiront agrave

la reacutedaction des programmes de 1977-1978 actuellement en vigueur La focalisation

du deacutebat se fait sur la maniegravere de traiter les contenus - avec notamment le rej~t

du laquopurismeraquo qui impreacutegnait lesprit de la reacuteforme preacuteceacutedente(28) - davantage que

sur la distribution des contenus eux-mecircmes et sur la structuration et leacutequilibre des

diverses parties du corpus enseigneacute Celui-ci apparaicirct en conseacutequence plus comme

(27) Maurice Glaymann Lalgegravebre in Les matheacutematiques Centre deacutetudes et de promotion de la lecture Paris 1973 pp 16-54

(28) Dans la preacutesentation deacutejagrave citeacutee des programmes de 1978 (voir la note 2 ci-dessus) leacutequipe de reacutedaction du Bulletin de lAPMEP deacutenonccedilait le purisme matheacutematique qui en fait laquoest un purisme dexposition non dapprentissage ou de fonctionnement qui na donc rien agrave faire dans le premier cycle ( )gtgt

65

une version laquodeacutegraisseacuteeraquo du corpus des anneacutees soixante-dix que comme une version

fondamentalement nouvelle agrave cocircteacute du geacuteomeacutetrique que lon entend laquodeacutesaxiomatiserraquo

le numeacuterique y demeure preacutedominant mecircme si lon ny inclut plus les mecircmes mateacuteshy

riaux Les nombres reacuteels en effet sont les grands perdants du reacuteameacutenagement opeacutereacute

Et ce sont les fractions et les rationnels qui venant occuper la place ainsi libeacutereacutee dans

le programme de quatriegraveme constituent maintenant la piegravece centrale de leacutetude du

numeacuterique - les nombres relatifs (entiers et deacutecimaux) conservant en classe de cinshy

quiegraveme le rocircle preacuteeacuteminent qui leur eacutetait anteacuterieurement reconnu

Il faut en ce point dire quelques mots de la promotion donneacutee dans ces proshy

grammes aux fractions et aux rationnels Pour des raisons dans lesquelles nous nentreshy

rons pas ici les fractions (associeacutees aux rapports et aux proportions) eacutetaient traditionshy

nellement tirailleacutees entre larithmeacutetique la geacuteomeacutetrie et degraves la naissance du corpus

algeacutebrique lalgegravebre elle-mecircme Preacutesentant ses Eleacutemens dAlgebre Clairaut ne manque

dailleurs pas de faire connaicirctre au lecteur lembarras ougrave cette question la tenu

laquojavois dabord compteacute donner dans le mecircme livre eacutecrit-il tant les Eleacutemens dArithshy

meacutetique que ceux dAlgebre amp je naurois pas manqueacute alors de traiter des proportions

plus agrave fond que je nai fait dans mes Eleacutemens de Geacuteomeacutetrie raquo Bien entendu en passant de larithmeacutetique agrave lalgegravebre on passait aussi des fractions arithmeacutetiques

(rapports dentiers cest-agrave-dire dentiers naturels) aux fractions algeacutebriques (rapports

dentiers laquoalgeacutebriquesraquo cest-agrave-dire relatifs) et aux fractions rationnelles (rapports

de polynocircmes) Mais ces reprises sont significatives de linteacuterecirct didactique accordeacute

au thegraveme les fractions constituent un sujet de choix pour lenseignement

Comme on la rappeleacute(29) laquolaccent qui est mis sur la notion de fractionraquo

constitue selon les termes mecircmes des Instructions relatives au programme de quatriegraveme

de 1978 leacuteleacutement de laquonouveauteacuteraquo de ce programme Nouveauteacute dantique meacutemoire 1

Henri Lebesgue presque un demi-siegravecle plus tocirct avait fermement inviteacute les professeurs

agrave se deacutebarrasser de ce monstre du Loch Ness matheacutematique laquo on sera bien je pense

daccord avec moi eacutecrivait-il (30) pour deacuteclarer que marier des 22iegravemes et des 37iegravemes

est un martyre que nous infligeons aux gosses de douze ans par pur sadisme sans

aucune raison dutiliteacute comme circonstance ateacutenuanteraquo Mais il ajoutait aussitocirct

laquoJentends tous les professeurs protester Les uns parce que les fractions fournissaient

dinnombrables exercices pour leurs jeunes eacutelegraveves apregraves un moment deffroi ceux-ci

sapercevront quils ne manqueront jamais dexercices La plainte des autres meacutemeut

(29) Voir la note 18

(30) Dans La mesure des grandeurs (Albert l3lanchard Paris 1975) p 25

66

davantage et pour la veacuteriteacute je la formule moi aussi laquoSupprimer dans la classe de

matheacutematiques la theacuteorie des fractions cest supprimer un chapitre admirable Le

seul peut-ecirctre parmi ceux qui nous restent qui ne soit pas lagrave uniquement pour son

utiliteacute immeacutediate et qui donne le sentiment de la beauteacute pureraquoraquo(31) Or cette admirable

construction devient dans le cadre des matheacutematiques modernes plus admirable

encore ou disons plus subtile le maniement sans complexe des fractions fait place

agrave une ontologie raffineacutee dans laquelle les fractions devenues couples de nombres

ne sont plus - en theacuteorie plus quen pratique bien sucircr - que le mateacuteriau de la consshy

truction des rationnels classes deacutequivalence de fractions Avrai dire cette preacutesentation

moderne neacutetait guegravere favoriseacutee par le programme de 1971 (dans lequel les reacuteels faisaient

directement suite aux deacutecimaux les rationnels neacutetant alo~s que des reacuteels particuliers

les quotients dentiers) Mais le programme de 1978 lui donne une nouvelle chance

et quelques manuels impavides la mettent en œuvre (document 4a) Cette perspective

constructiviste peut en fait ecirctre aiseacutement eacuteviteacutee au profit dune conception reacutealiste

(celle-lagrave mecircme que le programme de 1971 poussait en avant les reacuteels eacutetant supposeacutes

donneacutes - ils eacutetaient laquoconstruitsraquo dans le programme de 1971 - un rationnel est un

reacuteel qui peut seacutecrire comme quotient dentiers) et la plupart des manuels utilisent

cette possibiliteacute (document 4b) conceptuellement et techniquement moins difficile

et sans doute plus proche de la repreacutesentation du nombre qui est effectivement celle

des eacutelegraveves et mecircme du laquoworking mathematicianraquo Mais le souci de purisme na pas

disparu le goucirct de la laquorigueurraquo (sic) conduit chez quelques-uns (document 4c) agrave une

veacuteritable confusion sur le sens du signe deacutegaliteacute (qui ne signifie en principe nullement

que les deux membres de leacutegaliteacute sont des expressions identiques - formellement

ou syntaxiquement - ce qui interdirait deacutejagrave deacutecrire que 6 = 2 X 3 mais que ce quils

deacutesignent sont une seule et mecircme chose le signe deacutegaliteacute ne signifiant rien dautre

quune identiteacute seacutemantique) Cela dit le problegraveme - eacuteleacutegamment mais coucircteusement

reacutesolu par le moyen des classes deacutequivalence - existait avant les matheacutematiques

modernes et continue dexister mais le corpus ancien le traitait (inconsciemment )

avec une grande discreacutetion (document 4d) en distinguant chaque fois quil eacutetait

neacutecessaire la fraction (consideacutereacutee alors implicitement comme eacutecriture agrave savoir comme

rapport) et la valeur de la fraction (soit le nombre - rationnel - deacutesigneacute par cette

eacutecriture) Quoi quil en soit tout ce jeu laisseacute autrefois implicite et plus ou moins

fortement expliciteacute aujourdhui participe de ladmirable construction des fractions

qui seacuteduit tant les professeurs comme dit Lebesgue

(31) Ibid pp 25-26

67

Nombres rationnels

Ensemble ltC

RAPPELONS

Dans lensemble T des fractions nous avons deacutefini la relation JI suivante

Quelles que soient les fractions ~ et ~ on a (~JI ~) (ad =bel

Nous avons eacutetabli (p 48) que JI est une relation deacutequivalence dans T

Pourtraduire que deux fractions ~ et ~ sont lieacutees par JI nous avons eacutecrit ~ = ~

et nous avons dit que les fractions ~ et ~ sont eacutequivalentes

DEacuteFINITION

Nous donnons la deacutefinition suivante

Ch8q cd6quiVIIlencbullbullbulllonJIst appeleacutee un nombre lIItlonnel

Nous deacutesignons par 0 lensemble des nombres rationnels

AEPAEacuteSENTAtfr DUN RAcircTIONNEL

Soient x un eacuteleacutement de 1 etmiddott une fraction eacuteleacutement de T

Nous disons que x et un nombre rationnel dont un repreacuteentant et ~ 1 et

aeulement si x est 1 clbullbullbullbull deacutequlvlence elon JI de 1 fraction i Le nombre ~tion~1 x est donc lensemble des fractions ~ eacutequivalentes agrave~ nous

avons x=~lcez deZmiddot ~=M Remarquons que toute fraction eacutequivalente agrave ~ est un repreacutesentant du nombre

rationnel x

CHAPITRE 6 ENSEMBLE Q 67

DOCUMEIIT 4eacute1

(Matheacutematiques4egraveme collection Monge 1978)

68

CHAPITRE 4 algegravebre

Ensemble 0 des nombres rationnels

1 Oeacuteflnitlon de lensemble C 4Notatlons fractionnaires dUn rationnel des rationnels

2prOPrieacuteteacutes de lensemble Q 50Peacuteratlons dans Q des rationnels

3Eacutecriture deacutecimale illimiteacutee 6comparaison de deux rationnels dun rationnel

1Deacutefinition de lensemble Q des rationnels

deacutefinition Un nombre reacuteel (ou reacuteel) est appeleacute DOIIlbre ratioonel (ou rationnel) sil est eacutegal agrave un quotient de deux entiers relatifs

Autrement dit Un reacuteel x est un rationnel sil existe un entier relatif a et un entier relatif non

nul b tels que x soit eacutegal au quotient ~

exemples bull Les quotients suivants sont des rationnels 2 -4 -3 248 57 -29704 0 37 0 359 iuml 78 -=5 -614 57 -1- 25 =iOOO =iuml4 -1-

lal -27815) Ibull Le ree r eg au quotIent 0013 est-I un ratIonne

- 2781 5 et 0013 ne sont pas des entiers relatifs

On sait que (proprieacuteteacutes des quotients de reacuteels)

-27815 -27815 x 104 -27815 0013 0013 x 104 =~

Conclusion r est un rationnel

DOCUMENT 4b

(Matheacutematiques4egraveme collection Durrande 1979)

69

I~ Lensemble ltD des nombres rationnels

1 bull DEacuteFINITION ET EXEMPLES

Dans le cnapltre 4 nous ayons rencontreacute des nombres QUon pouvait obtenir comme Quotient exact dun entir relatif fi par un entier relatif non nul b Ces nombres sappellent lesnombnts ratiOnneJa (ou plua simplement les rationnels) Ils sont r8Qreacutesnteacutes par des fractions ainsi

exemples de fractions repreacuteslitntant x Nombre rationnel x -2 -8 -18lentler relatif -2 -9- -L shy1 3 -1 7 35 -7le deacutecimal rlatlf 35 Ji shy2 4 10 -=2 ~ Q EumlL shyIe ratlonn1 i 3 8 30 -3

Reepitullfflon des prlnc1es deacutetlnltlons Otlnitlo Soit un entIer ratatlf quelconque et soit b un entIer reltlf non nuL

11 LA couple (e bJ eacutecrit sous i fonne appellela fractIon d num

teur bull et de deacutenominateur b 2J Cette fraction retrisente le quotient ect de bull par b que lon not

aUAI bull On bull donc par deacuteflnltlon

bX~ bull JCb bullbull b b

31 On appelle nom rationnel tout nombre Que lon peut obtnir comme quotient euct dun entier relatif par un entlr relatif non nul

Attention 1La megravem notation est utiliseacutee pour deacutesignr deux cnoss diffeacuterentesb

le couple (II b) le Quotient exact de Il par b

Quand on eacutecrit il faut preacuteciser sU sagit de la fraction Ji (le couple (1 4 4raquo ou du rationshy4 4

nel 2i (Qui est eacutegal agrave 35) 4

le rationn est Anal au rationnel L4 ~~ 2

la fraction nest pas eacutegale agrave la fraction 1 ~ 2

(Puisque les couples (144) et (72) sont distincts)

Une convention commode

Pour eacuteviter cet Inconveacutenient nous conviendrons toujours Que dans les calculs deacutesinne le b

nombre rationnel Quotient exact d fi par b Ainsi nous pourrons eacutecrire

Ji =L =3S4 2

Quand vous voudrez parler du couple (14 4) il faudra preacuteciser bull la fraction c 4

DOCUMENT 4c

(Matheacutematiques classe de quatriegraveme collection Queysanne et Revus 1979)

70

SIMPLIFICATION DES FRACTIONS

i49 Simllifier une fraction cest la remplacer par une fraction ~e mais ayant des tenDes plus petits

ISO PROPRIEacuteTEacuteS FONDAMENTALES

10 On mesure deux rubans avec le sepagraveegraveme dune longueur donneacutee A B Lun mesure 2 sepagraveagravenes lautre 4 septiegravemes de luniteacute Il est eacutevident que le dewdagraveDe est double du premier

4 2 X 2 2 - --- - X 2 donc 777

Theacuteoregraveme L - Si OD mwdpUe le aDlDampateDr dune CractloD par aD JIOmbre la CracdoD eet muldpUeacutee par ce Dombre

2deg Un ruban mesure 5 sepagraveagravenes de la longueur AB un dewtiagravene ruban vaut S quato12Iumlagravenes de la mbe uniteacute

Un quatorziagravene eacutetant deux fois plus petit quun sepagraveagraveDe la dewdœe longueur est deux fois plus petite que la premiugravee S S S

------ 2 par suite 14 7 X 2 7

Theacuteoregraveme D - Si OD muldpUe le dacirclomiDateur cl1IDe bcdoD par 110 aombre la CracdoD eet diYileacutee par ce JIOmbre

3deg Soit la fraction _3 X 3_2S s s X 3 IS Elle ne c1uIage pas de valeur si nn mulagraveplie ses deux termes par 3 En dfet si on multiplie son numeacuterateur elle devient 3 fois plus grande si on multiplie son deacuteDominateur

elle devient 3 fois plus petiœ Par conseacutequent

Theacuteoregraveme DL - Si OD mwdpUe lee cleu termes daDO bcdoD par aD ~e DOmbre la ampactIoD ae chaage pu do valeur

On voit IJU- mIru gratukur fJGI la _ pat _ itrftniri tU frtJCtUgrave1fU U1IItU igalu

Corollaire - Si OD divise lee deux termee dlIDe CractiOD par aD mfme JIOmbre (ropkatucircm eacutetant possible) OD obdeat une bedoD eacuteplo agrave la premiegravere

Soit la fraction 18 dont les deux termes sont divisibles par 321

On peut eacutecrire 18 _ 6 x 3 21 7 x 3

et dapregraves le theacuteoragravene preacuteceacutedent _ 6 X 3 7 7 X 3

On a donc 18 3_ la fraction Il des termes plus petits que la fraction 18 dougrave la regravegle de simshy21 3 7 7 21

pli1ication des fractions

~ Regravegle - PD1lI simplifier _ fraaion an divis 11$ dIU umm pat 11II mIru 1ItmIbr

DOCUMENT 4d

Arithmeacutetique de lEncyclopeacutedie Quillet 1958

Fractions et rationnels en fait ne constituent pas seulement une admirable

construction matheacutematique ils composent en mecircme temps un objet didactique

inteacuteressant agrave bien des eacutegards La place de leacutelegraveve (cest-agrave-dire ce qui peut ecirctre requis

de leacutelegraveve agrave ce propos) y est nettement dessineacutee Lebesgue le soulignait judicieusement

le chapitre regorge dexercices dont la difficulteacute (cest-agrave-dire en gros la complexiteacute)

peut ecirctre finement gradueacutee La place de lenseignant elle aussi sy trouve preacutepareacutee

le professeur eacuteprouve toute sa speacutecificiteacute face agrave leacutelegraveve en tant quarchitecte et bacirctisshy

seur - fonctions dans lesquelles leacutelegraveve ne saurait lui disputer sagrave place - dune consshy

truction matheacutematiqueagrave la fois simple rigoureuse riche dont la complegravete transpashy

71

rence nest acquise quau prix de quelque subtiliteacute intellectuele nullement inaccessible

agrave leacutelegraveve mais relativement exigeante Toutefois il y a plus En un sens tout objet

de savoir didactiquement acceptable laisse voir deux laquoplacesraquo il doit contenir le

laquolieuraquo que leacutelegraveve viendra occuper (les tacircches que le contrat didactique lui assignera

en propre) il doit contenir aussi un lieu speacutecifiquement alloueacute agrave lenseignant Ce

marquage des places consubstanciellement lieacute au fonctionnement didactique du

savoir est un processus geacuteneacuteral que jai proposeacute(32) dappeler la topogeacutenegravese (du grec

topos lieu) Mais la dialectique topogeacuteneacutetique peut ecirctre plus ou moins resserreacutee plus

ou moins relacirccheacutee dans ce dernier cas (qui correspond comme jessaierai de lindiquer

plus loin agrave ce que nous voyons majoritairement se produire aujourdhui agrave propos de

lemploi du langage algeacutebrique) les eacutechanges entre eacutelegraveves et enseignant demeurent

pauvres la communication est distante parce que les uns et les autres ne se mesurent

pas aux mecircmes tacircches (le professeur deacutemontre une eacutegaliteacute litteacuterale leacutelegraveve lapplique

agrave des cas particuliers numeacuteriques) Avec les fractions une fois fixeacutee larchitecture

geacuteneacuterale de leacutedifice il en va autrement passeacutes les calculs les plus simples les calculs

qui ne sont pas triviaux pour leacuteiegraveve - tout en demeurant de lordre de ce qui peut

loyalemeacutent lui ecirctre demandeacute - ne le scgtnt quagrave peine moins pour le professeur Les

partenaires de linteraction didactique se rapprochent autour dune tacircche unique

jusquagrave sembler parfois unir leurs efforts agrave la recherche dune commune reacuteponse

Tout comme la geacuteomeacutetrie (qui soppose par cela et du seul point de vue didactique

deacutejagrave agrave lalgegravebre en geacuteneacuteral) les fractions constituent loccasion dune reacuteelle convishy

vialiteacute dans la classe Les distinctions qualitatives (marqueacutees par des tacircches de natures

diffeacuterentes) sestompent au profit de simples diffeacuterences quantitatives (lenseignant

va plus vite plus sucircrement mais il ne sait rien de plus que leacutelegraveve et ne fait rien de

plus que lui) Le groupe agrave la fois se rassemble gagne en coheacutesion et en mecircme temps

se diffeacuterencie continucircment sans que son identiteacute sy perde

1 y a lagrave quelques-unes des raisons didactiques qui expliquent la preacuteeacuteminence

de fagraveit de leacutetude des fractions dans les classes actuelles de quatriegraveme Or - et nous

faisons lagrave retour agrave notre sujet quen fait nous navions pas quitteacute - dans le vocabushy

lairedes enseignants les fractions font partie de lalgegravebre Mecircme si le programme

officiel nutilise pas le terme il semble que lusage se soit spontaneacutement creacuteeacute de nommer

laquoalgegravebreraquo dans la pratique de la classe ce qui nest pas geacuteomeacutetrie lalgegravebre cest

globalement lautre de la geacuteomeacutetrie Cet emploi peut-ecirctre irreacutefleacutechi du mot ne manque

pourtant pas de justificatifs Les heacutesitations historiques dont nous avons parleacute trashy

duisent aussi (par delagrave lopposition fractions de nombres arithmeacutetiques fractions de

nombres algeacutebriques) une reacutealiteacute qui perdure les fractions (dentiers) ne sont pas

(32) Voir Chevallard 1980b

72

de lalgegravebre au sens ougrave elles ne contiennent pas de lettres (les lettres sont essentielleshy

ment utiliseacutees par le professeur pour formuler les lois qui reacutegissent leur calcul) mais

elles relegravevent de llaquoalgeacutebriqueraquo en cela quelles sont le lieu dun jeu formel portant

sur des eacutecritures Elles offrent donc loccasion dune algegravebre sans algegravebre qui fait le

gros morceau de lalgegravebre aujourdhui enseigneacutee Il faut voir par quel cheminement

on en est venu lagrave

VII - LA DIALECTIQUE NUMERIQUEALGEBRIQUE

PoUr expliquer plus complegravetement et leacutevanouissement des parties algeacutebriques

de lalgegravebre et - correacutelativement - le come-back des fractions il nous faut compliquer

quelque peu le talJleau que nous avons traceacute jusquici A lopposition structurelle de

larithmeacutetique et de lalgegravebre correspondait - en principe - une dialectique fonctionshy

nelle entre numeacuterique et algeacutebrique Cest sur cette dialectique que nous devrons

dabord nous arrecircter un instant

Il faut pour cela prendre quelque recul Cette dialectique en effet existe

historiquement avant lalgegravebre (avant la construction dun langage algeacutebrique propreshy

ment dit) Les Grecs distinguent entre deux arithmeacutetiques larithmeacutetique vulgaire

ou logistique celle des calculateurs et larithmeacutetique laquopropre aux philosophesraquo

comme dit Platon cest-agrave-dire en gros la theacuteorie des nombres Les calculateurs cal~

culent Les arithmeacuteticiens eacutetudient la structure du numeacuterique Tous manipulent pour

cela un langage du numeacuterique~ mais tous ne lemploient pas aux mecircmes tacircches et ne

lui reconnaissent pas les mecircmes valeurs Dans larithmeacutetique pratique lanalyse du

numeacuterique procureacutee par le langage adopteacute est un moyen ordonneacute agrave un but opeacuterer

des deacutenombrements effectuer des calculs Si dans notre systegravememiddotactuel de numeacuteration

je deacutesire calculer 12 X 12 par exemple je nai besoin dautre analyse du nombre 12

que celle qui mest immeacutediatement donneacutee dans leacutecriture (deacutecimale) de ce nombre

(ch iffre des dizaines 1 chiffre des uniteacutes 2) Mais si comme le scribe du papyrus

Rhind je ne sais multiplier que par duplications successives et additions je devrai

recourir agrave une analyse moins immeacutediate du nombre 12 (qui ne mest pas offerte par

leacutecriture deacutecimale actuelle) Il me faudra observer que 12 = 4 + 8 et calculer ainsi(33)

1 12 2 24 4 48 8 96

(33) Voir Smith 1953 p 106

73

dougrave je deacuteduirai que 12 X 12 = 12 X (4 + 8) = 48 + 96 = 144 De telles manleres

de faire qui se rencontrent encore agrave des dates rapprocheacutees(34) apparaissent agrave lutilisashy

teur contemporain comme des survivances dun acircge imparfait Un bon systegraveme

numeacuteration-algorithmes de calcul en effet doit ecirctre tel que toute linformation requise

pour mettre en œuvre les algorithmes de calcul soit donneacutee dembleacutee avec les nombres

donneacutes eacutecrits dans le langage numeacuterique utiliseacute cest-agrave-dire soit apparente dans leacutecriture

mecircme de ces nombres En dautres termes un bon systegraveme numeacuteration-algorithmes

reacutecuse tout appel aux matheacutematiques fucirct-ce sous une forme apparemment anodine

Lusager dun tel systegraveme est eacutevidemment supposeacute pouvoir calculer que 4 + 8 = 12

(ce pour quoi le systegraveme est fait) mai~ le contrat dutilisation qui regravegle ses rapports

avec le systegraveme exclut quil ait agrave penser que 12 = 4 + 8 Paradoxalement peut-ecirctre

lun des effets et sans doute des buts (poursuivis de maniegravere plus ou moins intentionshy

nelle) de lactiviteacute matheacutematique est de proposer agrave lusage social des proceacutedures non

matheacutematiques obtenues par deacutematheacutematisation progressive de proceacutedures agrave lorigine

proprement matheacutematiques Le fait est banal et geacuteneacuteral les progregraves de leacutelectronique

me dispensent aujourdhui du bricolage auquel eacutetaient tenus les utilisateurs du poste

agrave galegravene

En fait le royaume du calcul numeacuterique est reacutegi par la loi de simplification

inteacuterioriseacutee en habitus(35) dont lune des clauses est constitueacutee par le principe

dachegravevement des calculs Selon ce laquoprinciperaquo lexpression laquo4 + 8raquo ne saurait en

calcul numeacuterique figurer comme reacuteponse le calcul agrave ce stade eacutetant laquoinacheveacuteraquo (36)

Lexpression laquo4 + 8raquo ne saurait ainsi ecirctre quune forme transitoire labile (parce que

quatre plus huit eacutegale douze) et nexiste pas plus dune maniegravere libre que latome

doxygegravene en dehors de la moleacutecule deg 2

Il en va tout autrement avec la tradition laquonobleraquo de la laquotheacuteorie des nombresraquo

Les Pythagoriciens au tout deacutebut de la science grecque eacutelaborent ainsi toute une

conception de la repreacutesentation laquogeacuteomeacutetriqueraquo des nombres soit une arithmo-geacuteoshy

meacutetrie(37) Consideacuterons par exemple les entiers impairs 5 et 7 Leurs repreacutesentations

(34) Ibid

(35) P Bourdieu deacutesigne par habitus des laquosystegravemes de dispositions durables structures structureacutees preacutedisposeacutees agrave fonctionner comme structures structurantes cest-agrave-dire en tant que principe de geacuteneacuteration et de structuration de pratiques et de repreacutesentations ( hgt (Bourdieu 1974 p 175)

(36) Les Instructions de janvier 1957 (sur lesquelles nous revenons plus loin) parlent explicitement de laquocalcul conduit jusquagrave son achegravevementraquo fait rare et remarquable car il est de la nature dun habitus de ne pas supposer lexplicitation des principes agrave lorigine de son efficace

(37) Sur larithmo-geacuteomeacutetrie des Grecs voir Michel 1959 pp 295-325

74

figureacutees peuvent ecirctre disposeacutees ainsi

o o o o o

o o o o o

o 0 5 7

Reacuteunissons ces repreacutesentations de la maniegravere suiyante

o o o o

o o o o

o 0

o 0

En les regroupant adeacutequatement il apparaicirct que la somme 5 + 7 est Lin multiple de

4 (plus preacuteciseacutement que 5 + 7 = 3 X 4) -1------------ -------------1

1 shy10 Oi iO 011 1 1 shyi i 1

- 1shyj j - 1

rO Oi iO1

O shy

i -_------------ [-------------1 iO Oi 1 i 1

Jo oi i

De plus si on laquocomplegraveteraquo le carreacute on voit apparaicirctre immeacutediatement que 5 + 7 est

une diffeacuterence de deux carreacutes (plus preacuteciseacutement que 5 + 7 = 43 - 22 )

o o o o

o o o o

o o x x

o o x x Ces monstrations qui au sens strict nont de force deacutemonstrative que pour les valeurs

numeacuteriques particuliegraveres traiteacutees ont en fait une valeur geacuteneacuterique comme les figures

(et les deacutemonstrations quelles permettent) en geacuteomeacutetrie on nest pas loin dune

deacutemonstration valable pour tous les couples dimpairs conseacutecutifs Nous pouvons

reacutetrospectivement admirer la finesse intellectuelle que linvention et lemploi de

telles proceacutedures supposent Mais nous pouvons aussi voir que notre langage algeacutebrique

actuel (creacuteeacute par Viegravete Descartes et quelques autres) sinscrit dans le prolongement

de cette analyse du numeacuterique tout en la deacutepassant en souplesse et en puissance

75

Sur le mecircme problegraveme aujourdhui nous obtenons par exemple ceci soient 2p - 1

et 2p + 1 deux impairs conseacutecutifs leur somme (2p - 1) + (2p + 1) = 4p est un

multiple de 4 et puisque 4p = (p + 1) - (p - 1)2 elle seacutecrit aussi comme une

diffeacuterence de deux carreacutes Le langage nOuveau permet dabord de formuler le problegraveme

dans sa geacuteneacuteraliteacute puis de le reacutesoudre de maniegravere eacutegalement systeacutematique

Le calcul numeacuterique utilise le langage numeacuterique pour son pouvoir deacutesignatif

eSSentiellement laquo34raquo et laquo075raquo ou encore laquo4 + 8raquo et laquo12raquo sont agrave cet eacutegard eacutequivashy lents puisquils deacutesignent le mecircme nombre (simplement laquo34raquo est une fraction laquonon

effectueacuteeraquo laquo4 + 8raquo une somme non effectueacutee) ils sont des noms diffeacuterents pour

un mecircme ecirctre matheacutematique Larithmeacutetique laquoalgeacutebriqueraquo au contraire distingue

ces noms parce que bien quils deacutesignent la mecircme chose ils ne montrent pas la mecircme

chose (ils napportent pas la mecircme information monstrative) agrave propos de lecirctre matheacuteshy

matique dont ils sont deux noms diffeacuterents (ltlt4 + 8raquo ou mieux laquo22 +23 raquo montre

que 12 est une somme de puissances de deux etc) Cest ainsi que au cœur mecircme

du langage numeacuterique sinsinue un clivage et pour tout dire une tension entre deux

modes de fonctionnement lefficaciteacute deacutesignative (propre agrave lusage calculatoire du

langage numeacuterique) tend agrave ignorer lagrave valeur monstrative de lexpression eacutecrite le

principe dachegravevement des calculs voue agrave leacutepheacutemegraverelesmiddotltltnoms intermeacutediairesraquo et

laquo4 + 8raquo devient ainsi laquo12raquo sans quaucune trace nous soit conserveacutee de lhistoire

de ce laquo12raquo Ali contraire le langage algeacutebrique - notamment parce quil est une

meacutemoire - vient permettre de conserver de meilleure faccedilon linformation monstrative

et surtout de faire apparaicirctre linformation monstrative pertinente le passage en

simplification de lexpression (2p - 1) + (2p + 1) agrave lexpression 4p fait apparaicirctre

que (2p - 1-) + (2p+ 1) deacutesigne un nombre multiple de 4 le passage en complexifishy

cation de 4p agrave (p + 1)2 - (p - 1)2 fait apparaicirctre que (2p - 1) + (2p + 1) est une

diffeacuterence de deux carreacutes

La creacuteation du langage algeacutebrique permet de deacutegager plus nettement laprobleacuteshy

matique deacutetude du nurileacuterique en la posant - sans lopposer - agrave cocircteacute de la perspecshy

tive calculatrice Elle permet donc dexpliciter ce qui demeurait largement implicite shy

la copreacutesence de deux maniegraveres davoir affaire au numeacuterique - et par lagrave dapaiser

les tensions Mais son surgissement historique permet surtout de mieux maicirctriser

la dialectique du numeacuterique et de lalgeacutebrique jusque-lagrave conduite avec des moyens

matheacutematiques insuffisamment adeacutequats Lalgeacutebrique est un outil de leacutetude du

numeacuterique le premier outil le plus eacuteleacutementaire sans doute (agrave un niveau avanceacute intershy

viendraient par exemple la theacuteorie des seacuteries entiegraveres la theacuteorie des fonctions analytishy

ques etc) Mais inversement (et cest ce qui nous autorise agrave parler de dialectique)

pour que le fonctionnement de cet outil soit efficace il faut quelque peu eacutetudier

cet outil par exemple se poser les problegravemes de la factorisation des expressions algeacuteshy

briques (afin notamment de reacutesoudre des eacutequations algeacutebriques) Or en ce point le

numeacuterique lui-mecircme est un outil deacutetude agrave lalgeacutebrique le flux sinverse Sans parler

76

de toutes les meacutethodes numeacuteriques qui font appel le plus souvent agrave des proprieacuteteacutes

danalyse (cest-agrave-dire concernant le corps des reacuteels et les fonctions dune variable

reacuteelle par exemple) on peut citer - pour prendre un exemple assez gros pour ecirctre

tout agrave fait visible - le theacuteoregraveme dEinsenstein sur la factorisation dans Q[X] (38)

Newton dans son Arithmetica Universalis deacutejagrave mentionneacutee montre une grande attenshy

tion agrave ce genre de laquoretoursraquo du numeacuterique vers lalgeacutebrique Ainsi donne-t-i1 une

meacutethode ingeacutenieuse pour trouver les facteurs dune expression algeacutebrique(39)

Si par exemple la quantiteacute proposeacutee est x 3 - x - 10x + 6 agrave la place de x

je substitue successivement les termes de la progression arithmeacutetique 1 0 -1 il en

naicirctra les nombres -4 + 6 + 14 Je place chacun deux avec tous ses diviseurs dans

la ligne du terme de la progression 1 0 -1 qui la produit comme on peut le voir

dans lexemple suivant

1 4 124 +4 o 6 1 2 3 6 +3

- 1 14 1 2 7 14 +2

Ensuite comme le terme le plus eacuteleveacute x3 na pas de diviseur de luniteacute je

cherche parmi les diviseurs quelque progression dont les termes ne diffegraverent que

dune uniteacute et qui en descendant des plus forts au plus faibles deacutecroissent comme

ceux de la progression 10 -1 Je ne trouve quune progression de cette espegravece cest

4 3 2 Je prends donc le terme + 3 qui se trouve dans la mecircme ligne que 0 de la

premiegravere progression 1 0 -1 je le joins agrave x et je tente la division par x + 3 elle

reacuteussit et jobtiens pour quotient x 2 - 4x + 2

Au-delagrave de la disparition de la structure du corpus matheacutematique enseigneacute en arithshy

meacutetique et algegravebre cest la dialectique du numeacuterique et de lalgegravebre - implicitement

preacutesente agravetravers llaquooppositionraquo de larithmeacutetique et de lalgegravebre - qui va se trouver

atteinte Plus que jamais les liens du numeacuterique et de lalgeacutebrique sen trouveront

relacirccheacutes

VIII - UNE CONCEPTION EMPIRISTE DU REEL MATHEMATIQUE

Leffacement de lopposition arithmeacutetiquealgegravebre en effet altegravere les condishy

tions de la mise en rapport du numeacuterique et de lalgeacutebrique Lancien rapport doutil

(38) Soit PIt) = a + a t + + a t n un polynocircme agrave coefficients dans if Sil existe un nombre premier p tel que0 1) ~ rie divise ~as an 2) p divise a al an_l p2 ne divise pas ao alors P o est irreacuteductible sur O

(39) Arithmeacutetique universelle tome premier pp 47-48 Nous laissons au lecteur le soin dapporter la justification matheacutematique requise

77

de travail agrave objet travailleacute semble perdu Les deux domaines - le numeacuterique -le

litteacuteral - vont coexister dans une simple juxtaposition existants qui trouvent en

eux-mecircmes leur propre justification Les rapports naguegravere encore banals entre ces

deux ordres de reacutealiteacute matheacutematiques semblent deacutesormais abolis Ou plutocirct ils laissent

place agrave des rapports nouveaux et inverseacutes ce nest plus lalgeacutebrique qui vient pershy

mettre deacutetudier le numeacuterique cest le numeacuterique qui laquojustifieraquo et laquopermet de comshy

prendreraquo lalgeacutebrique Le document 5 extrait dun manuei de quatriegraveme actuel (40)

IIUDIFFeacute~ENCS ce ceux C~CIMAUX [

x-eD yeC zeC z-z -y signifie que z+y-z Comment est appel z pour z et y dans ct ordre Observe

13-(-7) z+-7)middot13

[+(-7)j+713+7 +[(-7)+71-13+7

+0-13+7 zo13+-7

z-z-y z+y-z

(+y) + (-y)- +-(-y) +(y+ (-y)]-x + (-y)

z+O-z + (-y) -+(-y)

Pour tout xde D pour tout y de 0 z - y est un deacutecimal et z - y = +(-y) Exemples 8-(-7)=8+7=15 9-14=9+(-14)=-5 Lopeacuteration- qui agrave chaque coupe (z y) z e 0 y E C fait correspondre le deacutecimal Z - J est la soustraction dans O

DOCUMENT 5

Lalgeacutebrique comme essence du numeacuterique

nous donne de ce pheacutenomegravene un exemple tregraves net lintention didactique est ici

de justifier le fait que x - y = x + (-y) Pour le matheacutematicien la laquojustificationraquo shy

qui est alors strictement une deacutemonstration - est toute entiegravere contenue dans la

colonne de droite si je deacutefinis en geacuteneacuteral-y comme eacutetant le nombre tel quey + (-y) = 0

et si les proprieacuteteacutes ordinaires - associativiteacute etc - valent encore pour le nouvel

ensemble de nombres ainsi deacutefini alors le nombre z que je dois ajouter agrave y pour

obtenir x - ce quon appelle la diffeacuterence de x et y et qUon note x - y - nest pas

autre chose que x + (-y) Or la laquojustificationraquo passe dans la didactique ici examineacutee

par lappel au concret cest-agrave-dire au numeacuterique tel est le rocircle de la colonne de

gauche Ce sont les calculs numeacuteriques de la colonne de gauche qui soutiendraient

le sens (pour leacutelegraveve) des calculs litteacuteraux de la colonne de droite Malheureusement

le contenu de la colonne de gauche est si lon peut dire hautement improbable

(401 Il sagifdu _manuel Matheacutematique contemporaine pour la classe de quatriegraveme publieacute chez Magnard et conforme au programme de1978shy

78

parce que le numeacuterique ne fonctionne pas ainsi En fait les calculs numeacuteriques preacuteshy

senteacutes ici nexistent quagrave ecirctre limage en miroir des calculs litteacuteraux de la colonne

de droite Et cest pour permettre de tels calculs que le langage algeacutebrique preacutecishy

seacutement est neacutecessaire Il y a ainsi meacuteprise sur la speacutecificiteacute des deux ordres de calcul

et conseacutequemment sur le type de rapports quils entretiennent la justification

de lalgeacutebrique sappuierait sur un mode de fonctionnement du numeacuterique qui nest

en fait quun deacutecalque du fonctionnement de lalgeacutebrique et qui donc suppose

lalgeacutebrique

Leacutelucidation du nouveau rapport qui saffirme ainsi nest pas chose facile Elle

est pourtant neacutecessaire afin de preacuteciser par delagrave la surface des programmes les mouveshy

ments profonds produisant des deacutecisions didactiques quon aurait tort de regarder

seulement comme des laquotrucsraquo eacuteleacutements atomiques de strateacutegies trouvant en ellesshy

mecircmes et dans leurs effets supposeacutes leur unique mobile Revenons agrave lexemple que

nous avons examineacute Lalgeacutebrique y apparaicirct comme la laquotheacuteorieraquo de cette laquoreacutealiteacuteraquo

que serait le numeacuterique Mais les relations en acte entre theacuteorie (permettant leacutetude)

et reacutealiteacute (objet de leacutetude) y ressortissent incontestablement agrave une conception empishy

riste (et mecircme nous allons le voir empiriste-sensualiste) de la connaissance Tel est

en fait le mobile - veacutecu sans doute comme allant de soi dans leacutevidence que lideacuteoshy

logie procure - de la tentative de laquofaire sortirraquo la theacuteorie (lalgeacutebrique) de la reacutealiteacute

(numeacuterique) Il ya ici inversion des rapports entre theacuteorie et reacutealiteacute Car le surgissement

du theacuteorique - faut-il le rappeler - ne sautorise jamais que de lui-mecircme et loin

de proceacuteder de la reacutealiteacute la constitue (ou la renouvelle) comme objet de connaissance

Si jeacutecris par exemple 13 + 7 = 13 - (-7) selon un fonctionnement du numeacuterique

antinomique de la pratique calculatoire (cest-agrave-dire arithmeacutetique) du numeacuterique shy

laquelle voudrait quon eacutecrivicirct 13 + 7 = 20 - je fais de lalgegravebre sur du numeacuterique

cest loutil algeacutebrique et lui seul qui me permet ce travail du numeacuterique Entre le

fonctionnement arithmeacutetique et le fonctionnement algeacutebrique du numeacuterique il y a

ainsi une distance - un saut - que nul proceacutedeacute dlaquoabstractionraquo ne peut venir combler

On aurait tort de penser que lanalyse preacuteceacutedente ne vaut que pour lexemple

sur laquelle nous lavons illustreacutee En reacutealiteacute sa porteacutee est beaucoup plus eacutetendue

et pour en saisir toute la signification il faut revenir agrave cette acmeacute de leacutevolution de

la transposition didactique que repreacutesente la reacuteforme de 1971 (celle des laquomatheacutemashy

tiques modernesraquo) Contrairement aux opinions aujourdhui dominantes qui selon

un opportunisme neacutecessaire et une constante inconstance reacutecusent cette reacuteforme

pour ses excegraves et la regardent comme laberration dun moment il faut tenir que cette

aberration nen est pas une quelle ne fait que preacutecipiter cristalliser et rendre explicites

des traits qui deacutejagrave se repegraverent dans leacutevolution des deacutecennies preacuteceacutedentes Elle est un

moment qui donne sens reacutetrospectivement agravece qui vient avant lui et deacutetermine

largement ce qui viendra apregraves lui Car sil y a en quelque faccedilon rupture cest sur le

fond dune tregraves large surdeacutetermination En profondeur le programme de 1971 - pour

79

sen tenir agrave la classe de quatriegraveme - constitue une radiographie saisissante dune

eacutevolution que le programme de 1978 nadoucira quen surface Cest cette image

laquodureraquo quil faut interroger

On a trop vitupeacutereacute linflation moderniste le parti pris theacuteoriciste lambition

de rigueur des matheacutematiques promues par la reacuteforme et trop peu vu derriegravere cet

eacutecran deux mouvements correacutelatifs moins spectaculaires mais deacuteterminants Le

premier - que nous avons deacutejagrave plusieurs fois mentionneacute - cest lenvahissement du

champ deacutetude par les structures numeacuteriques Les laquoexcegravesraquo du programme de 1971

sont le prix agrave payer pour ce coup de force qui se megravene alors - simple tactique dun

moment le programme de 1978 installera une version apaiseacutee de la mecircme strateacutegieshy

avec lartillerie lourde de laquolapproche des reacuteelsraquo des laquocalculs approcheacutesraquo des laquoencashy

drementsraquo de haute ambition matheacutematique Le seCond cest la peacuteneacutetration dun

thegraveme qui va devenir central celui de llaquoobservationraquo et de llaquoexpeacuterimentationraquo

matheacutematiques

Fausse moderniteacute ce thegraveme est mis en place degraves les Instructions de janvier

1957 (annexe 6a) dont les Instructions de 1971 se reacuteclameront non sans raicon Il

prend alors lallure dune reacuteflexion sur les liens entre matheacutematique et extramatheacutemashy

tique La caution bergsonienne ici invoqueacutee - homo taber homo sapiens - bien que

dateacutee est agrave cet eacutegard tregraves significative La perspective proposeacutee ne conduit pas tregraves

loin les problegravemes denseignement se trouvent laquoreacutesolusraquo par une didactique euphoshy

rique (annexe 6b) Au vrai la conjoncture historique qui verra la mise en place des

matheacutematiques modernes nest alors quincomplegravetement formeacutee Ce qui manque

encore afin que lideacutee dexpeacuterimentation puisse passer dans les faits cest une matiegravere

que lon pourrait soumettre agrave lobservation et agrave lexpeacuterience A cet eacutegard les Instrucshy

tions de 1957 raisonnent encore agrave lancienne la notion dexpeacuterimentation y est

surtout loccasion dune rheacutetorique qui tourne sur elle-mecircme faute de pouvoir sapplishy

quer Mais cette matiegravere dapplication qui fait deacutefaut la reacuteforme va lapporter en

abondance ce sera le numeacuterique dont nous comprenons mieux degraves lors la place

de choix que les programmes reacuteformeacutes vont lui accorder Son expansion se trouvait

en fait comme appeleacutee par lexigence laquoexpeacuterimentaleraquo induite par une certaine concepshy

tion eacutepisteacutemologique et didactique

Le deacutecor de laction est installeacute en consonance avec une mise en scegravene empiriste

du procegraves de connaissance(41) Il Y a la laquoreacutealiteacuteraquo qui est un donneacute dont la preacutesence

simpose avec la derniegravere force et il y a la laquotheacuteorieraquo de ce donneacute que lon preacutetend

tirer par abstraction de lobjet agrave laquelle elle se voue La dialectique du numeacuterique

et de lalgeacutebrique est alors perdue lun de ses termes (lalgeacutebrique) se dissout dans

(41) Pour lintelligence de ce qui suit nous renvoyons agrave Althusser 1968 notamment pp 38-45

80

lautre (le numeacuterique) agrave qui est octroyeacute par nature une existence presque mateacuterielle

et dont lalgeacutebrique proceacutedera geacuteneacutetiquement La reacuteforme de 1971 remanie donc

le champ deacutetude pour y produire de solides objets laquoreacuteelsraquo agrave forts coefficients dexis-shy

tence les structures numeacuteriques et aussi la mysteacuterieuse laquodroite physiqueraquo dont la

soudaine promotion ontologique serait autrement encore plus inexplicable(42) Cela

poseacute lintroduction du litteacuteral (lalgeacutebrique) sidentifie au mouvement par lequel

dans le procegraves empiriste de connaissance se repreacutesente lessence du reacuteel qui est toute

la connaissance que le sujet peut tirer de lobjet par abstraction il permet de distinguer

entre un reacuteel essentiel et un reacuteel inessentiel gangue ou accident que le processus

dabstraction abandonne comme un reacutesidu impenseacute Labstraction qui vise agrave porter

agrave la lumiegravere ce quon pourra connaicirctre de lobjet agit par deacutecrassage et deacutecapage

CHA~tTRbullbull tour dieacuteremcs ftiems de 1t 011 obti=c cIes putitioas cilifeacute=o~ Uuml fiIure 2 repreacutese1tt (parshy

tieJ1emenz) les paniagravecas ~ i- II-l 11--0 11 - - l~ = grouie agrave la loupe la paftiriœ cozrcspoadaDc agrave Il - - 2shy

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1 1 1 1 1 1 1 1 shy 1 bull 1 1 1 11

-1 -01 001 lU 03 ~ o~ 06 07 oa 09 1 11

P4 041 ~l ~~I 041ds1 -i -o] OoJ O4l o~ 04S 04) ~ 1 ~1 1

fJvZ

li) De m=c si II eR lD1 emer œIaagravef acirczeacute et si CI pr=d tOlIœS les ftiems possibles da2s Z r=semblc cIes imenalles cie c

Jcr10 (CI + L 10

eR iJMpcrtirIcircD1f de C Uuml figure 3 repreacutes=œ (articllemcm) =œ putitioll p04 shy O~

r 1 i 1 T l 1 1 -5 -4shy -3 -2 -r agrave l Z ~ 4shy 5

~3

DOCUMENT6

Le deacutecapage du donneacute dans le processus empiriste de connaissance

(42) Voir Chevallard et Johsua 1982 notamment pp 200-203

81

agrave ce thegraveme geacuteneacuteral de la connaissance empiriste reacutepond correctement dans les proshy

grammes la notion dlaquoapprocheraquo ou dlaquoapproximationraquo des laquoreacuteelsraquo (qui nont jamais

aussi bien porteacute leur nom) Ceux-ci sont atteints par le moyen de purifications successhy

sives qui eacuteliminent peu agrave peu la gangue inessentielle Tel manuel (43) pris parmi tant

dautres- en offre la superbe illustration (document 6) limage de la loupe - emblegraveme

de la connaissance empiriste dont elle est linstrument privileacutegieacute parce quelle permet

de mieux voir et de faire voir - y est requise et symbolise mieux quun long commenshy

taire cette conception de la connaissance comme visant agrave amener linvisible agrave la

vue de tous

Une telle conception de la connaissance rate le reacuteel dont il sagirait preacuteciseacutement

de produire la connaissance parce quelle en manque la constitution comme objet

de connaissance(44) Lalgeacutebrique ne sert plus agrave connaicirctre le numeacuterique Il nest plus

deacutesormais quune steacutenographie middotessentialisante qui deacutecrit reacutesume et seacutepare lessence

de laccident Le surgissement laquomoderneraquo de la dichotomie de llaquoobservationraquo et de

la laquotheacuteorieraquo - que les manuels actuels reprennent agrave lenvi - est ainsi correacutelatif dune

dissolution de lobjet de connaissance au profit de lobjet reacuteel maintenant donneacute

agrave voir dans une abstraction reacuteputeacutee immeacutediate et facile Lordre didactique va sorgashy

niser autour de cette eacutepisteacutemologie imaginaire

REFERENCES

ALTHUSSER L (1968) Lire le Capital Franccedilois Maspeacutero Paris

BOURDIEU P (1974) Le sens pratique eacuteditions de Minuit Paris

BROUSSEAU G (1980) Problegravemes de lenseignement des deacutecimaux Recherches

en didactique des matheacutematiques 1middot1 pp 11-59

CHEVALLARD Y (1980a) Matheacutematiques langage enseignement la reacuteforme des

anneacutees soixante Recherches 41 pp 71-99

CHEVALLARD Y (1980b) La transposition didactique 1REM dAix-Marseille

CHEVALLARD Y (1982) Pourquoi la transposition didactique 7 Publication du

seacuteminaire de didactique et peacutedagogie des matheacutematiques 32 Grenoble

CHEVALLARD Y et JOHSUA MA (1982) Un exemple danalyse de la transposition

didactique Recherches en didactique des matheacutematiques 3 2 pp 157-239

MICHEL PH (1950) De Pythagore agrave Euclide Les Belles Lettres Paris

SMITH DE (1953) History of mathematics volume Il Dover publications Inc

New York

(43) Il sagit de louvrage mentionneacute dans la note 24 ci-dessus

(44) Sur la distinction entre laquoobjet reacuteelraquo et laquoobjet de connaissanceraquo voir Althusser 1968 pp 4649

82

CLASSE DE QUATRIEME CLASSIQUE A ET B ET DE QUATRIEME MODERNE

PROGRAMME DE 1945 (extraits)

Arithmeacutetique

Pratique sur des exemples de la deacutecomposition dun nombre entier en facteurs premiers de la recherche du plus grand commun diviseur et du plus petit commun multiple de deux ou plushysieurs nombres Applications aux fractions

Algegravebre

Nombres algeacutebriques (positifs nuls heacutegatifs) Opeacuterations sur ces nombres exposeacutes agrave partir de problegravemes concrets Ineacutegaliteacutes

Mesures algeacutebriques de vecteurs sur une droite orienteacutee Formule de Chasles Repeacuterage dun point sur un axe

Eleacutements du calcul algeacutebrique proprieacuteteacutes des sommes et des produits Puissances Produit et quotient de deux puissances dun nombre usage de lexposant nul et dexposants neacutegatifs

Monocircmes Produit de monocircmes Quotient de deux nombres Somme de monocircmes semblables (on se bornera agrave des monocircmes agrave une deux ou trois variables) Polynocircmes agrave une variable addition soustraction multiplication par une constante

Equations numeacuteriques du premie( degreacute agrave une inconnue Problegravemes conduisant agrave une eacutequation numeacuterique du premier degreacute agrave une inconnue

Annexe 1

83

CLASSE DE QUATRIEME

PROGRAMME DE 1958 (extraits)

Arithmeacutetique

Pratique sur des exemples de la deacutecomposition dun nombre entier en un produit de nomshybres premiers pratique de la recherche du plus grand diviseur commun et du plus petit multiple commun de deux ou plusieurs nombres Applications

Algegravebre

1 - Nombres relatifs (positifs nuls neacutegatifs) Orientation dun segment (vecteur) orientation dune droite (axe) mesure algeacutebrique

dun segment orienteacute sur un axe repeacuterage dun point sur un axe (abscisse)

II - Opeacuterations eacuteleacutementaires sur les nombres relatifs addition et soustraction multiplishycation et division

Extension aux nombres relatifs des proprieacuteteacutes fondamentales eacutetablies pour les nombres arithmeacutetiques (classe de cinquiegraveme) concernant les sommes les diffeacuterences les produits les puisshysances n-iegravemes les quotients linverse dun nombre non nul Condition pour quun produit soit nul

Deacutefinition des exposants neacutegatifs et de lexposant nul Comparaison des nombres relatifs ineacutegaliteacutes Ineacutegaliteacutes concernant la valeur absolue dune somme ou dune diffeacuterence Formule de Chasles pour trois points situeacutes sur un axe Segment deacutefini par les abscisses

des deLix points qui le limitent mesure algeacutebrique de ce segment orienteacute mesure de la longueur de ce segment abscisse du milieu de ce segment

III - Notions de variables et de correspondance entre variables Expressions algeacutebriques deacutependant dUne ou de plusieurs variables calcul de la valeur

numeacuterique dune expression algeacutebrique pour des valeurs numeacuteriques donneacutees aux Ymiddotariables Monocircmes agrave une ou plusieurs variables multiplication addition de monocircmes semblables Polynocircmes forme reacuteduite Polynocircmes ordonneacutes addition multiplication Identiteacutes relatives aux produits (x + y)2 (x - y)2 (x + y)(x - y)

IV - Equations position du problegraveme signification du signe = dans ce problegraveme Equashytions du premier degreacute agrave une inconnue agrave coefficients numeacuteriques Reacutesolution de problegravemes simples agrave laide dune telle eacutequation

Annexe 2

84

CLASSE DE QUATRIEME

PROGRAMME DE 1971 (extraits)

1 - Relations

Reacutevision -des notions preacutesenteacutees dans les classes anteacuterieures et compleacutements produit carteacutesien relation application composition des applications bijection cun ensemble sur un ensemble et bijection reacuteciproque

Notion de groupe deacutefinition (on la jeacutegagera des exemples du programme)

II - Nombres deacutecimaux relatifs et approche de reacuteel

1 Groupe des puissances de dix

Nombres deacutecimaux relatifs eacutecrits a 10n avec a e7l et p E7 et sous forme de nombres agrave virgule addition multiplication ordre valeur absolue Reacutesumeacute des proprieacuteteacutes fondamentales de lensemble ainsi structureacute des deacutecimaux relatifs

2 Calculs approcheacutes

a) EnC3drement dun nombre deacutecimal par des intervalles des types [a 10pbull (a + 1) 10middot[ da 101 (a + 1) 10- [a 10pbull (a + 1) 101] avec a E Z et p E Z Sur des exelJlples encamiddot drement middotdune somme dun produit

b) Exercices de deacutetermination pour un deacutecimal strictement positif d donneacute et pour un entier relatif n donneacute du nombre deacutecimal x bull 10 avec x E IN tel que soient veacuterifieacutees les ineacutegaliteacutes 0 ~d x 10 ~ 1 lt d (x + 1) 10

c) Exercices de deacutetermination pour un deacutecimal strictement positif d donneacute et pour un entier relatif n jonneacute du nombre deacutecimal y bull 10 avec y E IN tel que soient veacuterifieacutees les ineacutegaliteacutes [y 10P ~ d lt [(y + 1) 10]

d) Suites deacutecimales illimiteacutees nombres reacuteels encadrements dun nombre reacuteel

3 Enumeacuteration des principales proprieacuteteacutes qui structurent fensemble IR des reacuteels addition (IR +) est un groupe commutatif multiplication associashytiYiteacute distributiviteacute par rapport agravefaddition ordre et valoeur absolue

On admettra que pour tout nombre reacuteel a jiffeacuterent de 0 il existe un nombre reacuteel a-1 et un seul tel que aa-1 = 1 Pour tout couple de nombres reacuteels (a b) avec a = 0 il existe un nombre reacuteel unique x appeleacute quotient de b par a

b et noteacute ba-1 ou - tel que ax = b a

Exercices simples de calcul sur de tels quotients Sur des exemples -numeacuteriques eacutequations et ineacutequations du premier degr9 agrave une inconnue

Usage des exposants entiers groupe des puissances dun nombre reacuteel non nul

Calculs approcheacutes sur les nombres reacuteels

4 Exemples de fonctions polynocircmes (applications de IR dans IR) Degreacute Exercices de calcul SUT les polynocircmes Produits (x + a)2 (x - a)2 (x + a) (x - a) Exercices de factorisation

Annexe 3

85

ENCYCLOPEDIE QUILLET (1958)

TABLE DES MATIERES (extraits)

ARITBMEacuteTIQUE Notio~ preacute1i1Ji~ajres - Ideacutee de nombrebullbullbullbull 153 NumeratIon decmale bullbullbullbullbullbullbullbull 156 ~esure des grŒDdeurs bullbullbullbullbullbull bullbullbullbull 159 Nombresmiddot deacutecUDauxbullbullbullbullbullbullbullbullbullbull 169 Ladditionbullbull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull 165 La soustraction bull bull bull bull bull bull bull bull bull 168 La ~~qplication bullbullbullbullbullbullbull1 bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bullbull 171 La diVISIon 178

Regravegle de trois bull bull 117 Pourcentages bullbullbull 119 Partages proportionnels 110 ~~langes bullbull i bull bullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbull 111 Alliages bull 111 Regravegles dinteacuterecircts 124 Rentes sur Pltat 116 Actins et obli~tions - Escompte 117

Problegravemes sur les quatre opeacutemtions bull bull bull 184 La divisibiliteacute bull bull bull bull bull bull bull bull 186 Plus grŒDd commun diviseur (p G C D) 189 Plus petit commun multiple (P P C M) 191 Nombres premiers bullbullbullbullbullbullbullbull 192 Les fractions bull bull bull bull bull 194 Opeacuterations sur les fractions 197 Sys~egraveme meacute~que 203 Racme carree 207 Rapports - Proportions 2 II

Grandeurs Proportionnelles 215

Connge des exercces ~ 130

Annexe4a

ALGEgraveBRE Notions preacuteliminaires bullbullbullbull 157 Opeacutemtions sur les nombres algeacutebriques (somme

diffeacuterence multiplicationmiddot division des nombres algeacutebriques fractions ou rapports algeacutebriques puissances racines) bull bull 160

Qpeacuterations sur les expressions algeacutebriques bull 168 gquations du premier degreacute 278 Reacutesolution des problegravemes du premier degreacute agrave une

inconnue bullbullbullbullbullbullbullbullbull 186 gquations et problegravemes du premier degreacute agrave deux

ou plusieurs inconnues bull bull 191 Notions sur les repreacutesentations graphiques bull bull 301

Variation des fonctions 313 Deacuteriveacutees bullbull bull bull 319

~uations et problegravemes du second degreacute bull bull 312

ProgressionsetlogaritbInesmiddotmiddotmiddotmiddot middotmiddot middotmiddotmiddot middot331 Table de logarithmes de 1 agrave 1 000 bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull 338 Application des logarithmes Inteacuterecircts composeacutes et

annuiteacutes bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull 343 Corcigeacute des ex~ces bullbull ~ bullbullbullbullbullbullbull 348

Annexe4b

62

les structures numeacuteriques) Leur eacutetude inscrite au programme de la classe de sixiegraveme

est deacuteveloppeacutee en classe de cinquiegraveme dans les programmes de ces deux classes ils

constituent un titre agrave part entiegravere aussi bien en 1969-1970 quen 1977-1978

Il en va autrement du calcul algeacutebrique et de leacutetude des eacutequations Ces quesshy

tions formaient traditionnellement le cœur de lalgegravebre eacuteleacutementaire Dans un Manuel

dalgegravebre publieacute en 1827 laquoagrave lusage des personnes priveacutees du secours dun maicirctreraquo

lauteur(22) ouvrait sa premiegravere leccedilon par les lignes suivantes

1 Lalgegravebre est lart dexeacutecuter sur des quantiteacutes quelconques au moyen

des signes geacuteneacuteraux toutes les opeacuterations de larithmeacutetique et de repreacutesenter agrave laide

des mecircmes signes toutes les relations entre ces quantiteacutes

Il La partie de lalgegravebre qui enseigne les regravegles pour exeacutecuter les opeacuterations

arithmeacutetiques sur des quantiteacutes quelconques se nomme calcul litteacuteral

III La partie de lalgegravebre qui traite de la maniegravere de repreacutesenter agrave laide

de signes les relations entre les quantiteacutes se nomme calcul par eacutequation

IV On verra dans la suite que dans le calcul par eacutequation on a sans cesse

besoin du calcul litteacuteral cest donc par celui-ci quil faut commencer

Cest cet ensemble (calcul algeacutebrique eacutequations algeacutebriques) qui va se trouver

fortement minoreacute dans les programmes reacuteformeacutes Pour ne donner ici de cette brutale

deacuteflation quune seule illustration on a reacuteuni dans lannexe 5 (dont on voudra bien

excuser la longueur) les listes dexercices relatives agrave la multiplication dexpressions

algeacutebriques dune part (a b) dans deux manuels dancienne maniegravere(23) dautre part

(c) dans un manuel consideacutereacute comme de niveau eacuteleveacute(24) conforme au programme de

1971 la confrontation est eacuteloquente

Le terme dalgegravebre a disparu des programmes (agrave lexception du programme de

la classe de troisiegraveme) nous lavions noteacute Mais avec le mot la chose elle-mecircme se

trouve emporteacutee lalgegravebre disparaicirct 1 Cet eacutevanouissement est en fait seacutelectif les

parties laquonumeacuteriquesraquo de lalgegravebre reacutesistent bien Les nombres relatifs sont un eacuteleacutement

essentiel de lenseignement de la classe de cinquiegraveme Les fractions un temps mises agrave

leacutecart (en 1971) seront ensuite reacuteinstalleacutees comme eacuteleacutement central du programme de

(22) M Terquem auteur dun Manuel dalgegravebre ou exposeacute eacuteleacutementaire des principes de cette science publieacute agrave Paris en 1827 La citation qui suit se trouve pp 1middot2

(23) Il sagit (a) du manuel de F Girod (voir ci-dessus note 11) et (b) du manuel de Lebosseacute et Heacutemery pour la classe de quatriegraveme dans son eacutedition de 1962 (Fernand Nathan Paris)

(24) Il sagit du manuel de la collection Queysanne-Revuz seacuterie rouge dans son eacutedition de 1973 (Fernand Nathan Paris)

63

quatriegraveme (en 1978) Ce sont les parties laquoalgeacutebriquesraquo de lalgegravebre - calcul et eacutequations

algeacutebriques - qui pacirctissent de la modernisation Plusieurs raisons semblent devoir

expliquer ce pheacutenomegravene Avanccedilons dabord une raison proprement didactique qui a

pu jouer neacutegativement Le calcul algeacutebrique agrave lorigine simple preacuteliminaire agrave leacutetude

des eacutequations eacutetait en fait devenu prolifeacuterant comme on peut en juger notamment sur

le document de lannexe 5a eacutetouffant progressivement les autres parties du corpus

enseigneacute Il eacutetait sain que lon tente den limiter le deacuteveloppement et la tendance

anteacuterieure agrave la reacuteforme proprement dite allait en effet dans ce sens les manuels avaient

commenceacute le travail deacuteflationniste (comme le montre la comparaison des documents a

et b de lannexe 5) Mais ce type de pheacutenomegravene qui constitue au demeurant davantageacute

la regravegle que lexception dans leacutevolution du texte denseignement (que lon songe ici agrave

la deacutegeacuteneacuterescence de leacutetude des eacutequations du second degreacute en la fameuse laquotrinocircmiteraquo

qu i frappait agrave peu pregraves dans le mecircme temps les classes du second cycle) et la reacuteaction

quil devait susciter allaient rencontrer une autre force de changementsans doute bien

plus puissante lapparition de lalgegravebre laquomoderneraquo sur laquelle il faut sarrecircter un

instant

Dans leurs Eleacutements dalgegravebre moderne dont la quatriegraveme eacutedition paraicirct en

1961 (la premiegravere eacutetant de 1956) A Lentin et J Rivaud(25) qui situent lapparition

de lalgegravebre moderne vers 1910 inscrivent celle-ci dans le prolongement de larithshy

meacutetique et de lalgegravebre traditionnelles (mais sans les nommer) laquoA leacutecole primaire

eacutecriven~-ils lenfant raisonne sur des collections et des grandeurs concregravetes dont il

deacutegage progressivement la notion de nombre abstrait indeacutependant de la nature des

choses compteacutees ou mesureacutees Lenseignement du second degreacute apprend agrave ladolescent

la manipulation des x et des y indeacutependamment des nombres que ces lettres repreacuteshy

sentent Un pas de plus dans le calcul et cest le calcul sur les polynocircmes puis la comshy

position des transformations formelles Eh bien lalgegravebre moderne formera leacutetudiant

agrave raisonner sur les proprieacuteteacutes des opeacuterations indeacutependamment des eacuteleacutements (nombres

polynocircmes transformations) sur lesquels sexercent ces opeacuterationsraquo (26) En fait

les parties traditionnelles de lalgegravebre (calcul et eacutequations algeacutebriques) sont bien inteacuteshy

greacutees dans lalgegravebre moderne ainsi preacutesenteacutee Mais elles nen constituent ni lessentiel

ni surtout les deacutebuts Les auteurs citeacutes dont louvrage est constitueacute de cinq livres

consacrent leur dernier livre agrave des laquocompleacutements sur les groupes et sur les eacutequations

algeacutebriquesraquo (un deacuteveloppement plus ample de la question eucirct conduit agrave la theacuteorie

des extensions de corps et agrave la theacuteorie de Galois dont les rudiments sont preacutesenteacutes

dans ce livre) Ainsi le traitement des eacutequations algeacutebriques se trouve-t-i1 rejeteacute fort

loin dans lexposeacute moderne de lalgegravebre Le calcul algeacutebrique quant agrave lui se retrouve

(25) A Lentin et J Rivaud Eleacutements dalgegravebre moderne Vuibert Paris quatriegraveme eacutedition 1961

(26) Loc cit pp VmiddotVI

64

Ici dans le livre Il sous les espegraveces de leacutetude des anneaux de polynocircmes Mais le

veacuteritable commencement de lalgegravebre moderne cest leacutetude des structures (lois de

composition groupe anneau corps) qui occupe tout le livre 1 Lhonnecircte homme

qui en 1958 encore sinitiant agrave lalgegravebre se voyait proposer nombres algeacutebriques

expressions algeacutebriques eacutequations etc se verra offrir quelques anneacutees plus tard

relations binaires eacuteleacutement neutre etc Le chapitre Algegravebre que M Glaymann eacutecrit

au deacutebut des anneacutees soixante-dix pour un ouvrage adresseacute au grand public (il paraicirct

dans la collection laquoLes dictionnaires du savoir moderneraquo) est agrave cet eacutegard significatif

loi de composition eacuteleacutement neutre commutativiteacute eacuteleacutement symeacutetrique associativiteacute

eacuteleacutement reacutegulier distributiviteacute et encore structures monoiumlde groupe sous-groupe

groupe cyclique morphisme de groupes anneau anneau integravegre corps etc en sont les ma icirctres-mots(27)

Il se produit donc en quelques anneacutees une veacuteritable substitution dobjet dont

le texte denseignement reccediloit bientocirct la marque les programmes reacuteformeacutes de sixiegraveme

cinquiegraveme et quatriegraveme comportent tous un titre Relations et le programme de

quatriegraveme introduit les notions de groupe et de division dans un groupe qui conduisent

agrave examiner leacutequation ax = b dans le groupe multiplicatif des reacuteels non nuls Le calcul

algeacutebrique est recircduit agrave la portion congrue il fait lobjet du point 4 du titre Il du programme (annexe 3) Leacutetude des eacutequations conformeacutement au plan moderne

dexposition de lalgegravebre est deacutechue de ses titres et se trouve repousseacutee en classe de

troisiegraveme

VI - LALGEBRE SANS ALGEBRE

La situation creacuteeacutee par la reacuteforme autour de 1970 consacre la promotion des

structures numeacuteriques (agrave cocircteacute du geacuteomeacutetrique dont nous ne parlerons pas ici) en

mecircme temps quelle reacutealise une eacutevidente inflation theacuteorique agrave propos du numeacuterique

comme du geacuteomeacutetrique Cest ce theacuteoricisme qui apregraves avoir susciteacute dabord un vif

enthousiasme se trouvera en butte agrave une multitude de critiques qui conduiront agrave

la reacutedaction des programmes de 1977-1978 actuellement en vigueur La focalisation

du deacutebat se fait sur la maniegravere de traiter les contenus - avec notamment le rej~t

du laquopurismeraquo qui impreacutegnait lesprit de la reacuteforme preacuteceacutedente(28) - davantage que

sur la distribution des contenus eux-mecircmes et sur la structuration et leacutequilibre des

diverses parties du corpus enseigneacute Celui-ci apparaicirct en conseacutequence plus comme

(27) Maurice Glaymann Lalgegravebre in Les matheacutematiques Centre deacutetudes et de promotion de la lecture Paris 1973 pp 16-54

(28) Dans la preacutesentation deacutejagrave citeacutee des programmes de 1978 (voir la note 2 ci-dessus) leacutequipe de reacutedaction du Bulletin de lAPMEP deacutenonccedilait le purisme matheacutematique qui en fait laquoest un purisme dexposition non dapprentissage ou de fonctionnement qui na donc rien agrave faire dans le premier cycle ( )gtgt

65

une version laquodeacutegraisseacuteeraquo du corpus des anneacutees soixante-dix que comme une version

fondamentalement nouvelle agrave cocircteacute du geacuteomeacutetrique que lon entend laquodeacutesaxiomatiserraquo

le numeacuterique y demeure preacutedominant mecircme si lon ny inclut plus les mecircmes mateacuteshy

riaux Les nombres reacuteels en effet sont les grands perdants du reacuteameacutenagement opeacutereacute

Et ce sont les fractions et les rationnels qui venant occuper la place ainsi libeacutereacutee dans

le programme de quatriegraveme constituent maintenant la piegravece centrale de leacutetude du

numeacuterique - les nombres relatifs (entiers et deacutecimaux) conservant en classe de cinshy

quiegraveme le rocircle preacuteeacuteminent qui leur eacutetait anteacuterieurement reconnu

Il faut en ce point dire quelques mots de la promotion donneacutee dans ces proshy

grammes aux fractions et aux rationnels Pour des raisons dans lesquelles nous nentreshy

rons pas ici les fractions (associeacutees aux rapports et aux proportions) eacutetaient traditionshy

nellement tirailleacutees entre larithmeacutetique la geacuteomeacutetrie et degraves la naissance du corpus

algeacutebrique lalgegravebre elle-mecircme Preacutesentant ses Eleacutemens dAlgebre Clairaut ne manque

dailleurs pas de faire connaicirctre au lecteur lembarras ougrave cette question la tenu

laquojavois dabord compteacute donner dans le mecircme livre eacutecrit-il tant les Eleacutemens dArithshy

meacutetique que ceux dAlgebre amp je naurois pas manqueacute alors de traiter des proportions

plus agrave fond que je nai fait dans mes Eleacutemens de Geacuteomeacutetrie raquo Bien entendu en passant de larithmeacutetique agrave lalgegravebre on passait aussi des fractions arithmeacutetiques

(rapports dentiers cest-agrave-dire dentiers naturels) aux fractions algeacutebriques (rapports

dentiers laquoalgeacutebriquesraquo cest-agrave-dire relatifs) et aux fractions rationnelles (rapports

de polynocircmes) Mais ces reprises sont significatives de linteacuterecirct didactique accordeacute

au thegraveme les fractions constituent un sujet de choix pour lenseignement

Comme on la rappeleacute(29) laquolaccent qui est mis sur la notion de fractionraquo

constitue selon les termes mecircmes des Instructions relatives au programme de quatriegraveme

de 1978 leacuteleacutement de laquonouveauteacuteraquo de ce programme Nouveauteacute dantique meacutemoire 1

Henri Lebesgue presque un demi-siegravecle plus tocirct avait fermement inviteacute les professeurs

agrave se deacutebarrasser de ce monstre du Loch Ness matheacutematique laquo on sera bien je pense

daccord avec moi eacutecrivait-il (30) pour deacuteclarer que marier des 22iegravemes et des 37iegravemes

est un martyre que nous infligeons aux gosses de douze ans par pur sadisme sans

aucune raison dutiliteacute comme circonstance ateacutenuanteraquo Mais il ajoutait aussitocirct

laquoJentends tous les professeurs protester Les uns parce que les fractions fournissaient

dinnombrables exercices pour leurs jeunes eacutelegraveves apregraves un moment deffroi ceux-ci

sapercevront quils ne manqueront jamais dexercices La plainte des autres meacutemeut

(29) Voir la note 18

(30) Dans La mesure des grandeurs (Albert l3lanchard Paris 1975) p 25

66

davantage et pour la veacuteriteacute je la formule moi aussi laquoSupprimer dans la classe de

matheacutematiques la theacuteorie des fractions cest supprimer un chapitre admirable Le

seul peut-ecirctre parmi ceux qui nous restent qui ne soit pas lagrave uniquement pour son

utiliteacute immeacutediate et qui donne le sentiment de la beauteacute pureraquoraquo(31) Or cette admirable

construction devient dans le cadre des matheacutematiques modernes plus admirable

encore ou disons plus subtile le maniement sans complexe des fractions fait place

agrave une ontologie raffineacutee dans laquelle les fractions devenues couples de nombres

ne sont plus - en theacuteorie plus quen pratique bien sucircr - que le mateacuteriau de la consshy

truction des rationnels classes deacutequivalence de fractions Avrai dire cette preacutesentation

moderne neacutetait guegravere favoriseacutee par le programme de 1971 (dans lequel les reacuteels faisaient

directement suite aux deacutecimaux les rationnels neacutetant alo~s que des reacuteels particuliers

les quotients dentiers) Mais le programme de 1978 lui donne une nouvelle chance

et quelques manuels impavides la mettent en œuvre (document 4a) Cette perspective

constructiviste peut en fait ecirctre aiseacutement eacuteviteacutee au profit dune conception reacutealiste

(celle-lagrave mecircme que le programme de 1971 poussait en avant les reacuteels eacutetant supposeacutes

donneacutes - ils eacutetaient laquoconstruitsraquo dans le programme de 1971 - un rationnel est un

reacuteel qui peut seacutecrire comme quotient dentiers) et la plupart des manuels utilisent

cette possibiliteacute (document 4b) conceptuellement et techniquement moins difficile

et sans doute plus proche de la repreacutesentation du nombre qui est effectivement celle

des eacutelegraveves et mecircme du laquoworking mathematicianraquo Mais le souci de purisme na pas

disparu le goucirct de la laquorigueurraquo (sic) conduit chez quelques-uns (document 4c) agrave une

veacuteritable confusion sur le sens du signe deacutegaliteacute (qui ne signifie en principe nullement

que les deux membres de leacutegaliteacute sont des expressions identiques - formellement

ou syntaxiquement - ce qui interdirait deacutejagrave deacutecrire que 6 = 2 X 3 mais que ce quils

deacutesignent sont une seule et mecircme chose le signe deacutegaliteacute ne signifiant rien dautre

quune identiteacute seacutemantique) Cela dit le problegraveme - eacuteleacutegamment mais coucircteusement

reacutesolu par le moyen des classes deacutequivalence - existait avant les matheacutematiques

modernes et continue dexister mais le corpus ancien le traitait (inconsciemment )

avec une grande discreacutetion (document 4d) en distinguant chaque fois quil eacutetait

neacutecessaire la fraction (consideacutereacutee alors implicitement comme eacutecriture agrave savoir comme

rapport) et la valeur de la fraction (soit le nombre - rationnel - deacutesigneacute par cette

eacutecriture) Quoi quil en soit tout ce jeu laisseacute autrefois implicite et plus ou moins

fortement expliciteacute aujourdhui participe de ladmirable construction des fractions

qui seacuteduit tant les professeurs comme dit Lebesgue

(31) Ibid pp 25-26

67

Nombres rationnels

Ensemble ltC

RAPPELONS

Dans lensemble T des fractions nous avons deacutefini la relation JI suivante

Quelles que soient les fractions ~ et ~ on a (~JI ~) (ad =bel

Nous avons eacutetabli (p 48) que JI est une relation deacutequivalence dans T

Pourtraduire que deux fractions ~ et ~ sont lieacutees par JI nous avons eacutecrit ~ = ~

et nous avons dit que les fractions ~ et ~ sont eacutequivalentes

DEacuteFINITION

Nous donnons la deacutefinition suivante

Ch8q cd6quiVIIlencbullbullbulllonJIst appeleacutee un nombre lIItlonnel

Nous deacutesignons par 0 lensemble des nombres rationnels

AEPAEacuteSENTAtfr DUN RAcircTIONNEL

Soient x un eacuteleacutement de 1 etmiddott une fraction eacuteleacutement de T

Nous disons que x et un nombre rationnel dont un repreacuteentant et ~ 1 et

aeulement si x est 1 clbullbullbullbull deacutequlvlence elon JI de 1 fraction i Le nombre ~tion~1 x est donc lensemble des fractions ~ eacutequivalentes agrave~ nous

avons x=~lcez deZmiddot ~=M Remarquons que toute fraction eacutequivalente agrave ~ est un repreacutesentant du nombre

rationnel x

CHAPITRE 6 ENSEMBLE Q 67

DOCUMEIIT 4eacute1

(Matheacutematiques4egraveme collection Monge 1978)

68

CHAPITRE 4 algegravebre

Ensemble 0 des nombres rationnels

1 Oeacuteflnitlon de lensemble C 4Notatlons fractionnaires dUn rationnel des rationnels

2prOPrieacuteteacutes de lensemble Q 50Peacuteratlons dans Q des rationnels

3Eacutecriture deacutecimale illimiteacutee 6comparaison de deux rationnels dun rationnel

1Deacutefinition de lensemble Q des rationnels

deacutefinition Un nombre reacuteel (ou reacuteel) est appeleacute DOIIlbre ratioonel (ou rationnel) sil est eacutegal agrave un quotient de deux entiers relatifs

Autrement dit Un reacuteel x est un rationnel sil existe un entier relatif a et un entier relatif non

nul b tels que x soit eacutegal au quotient ~

exemples bull Les quotients suivants sont des rationnels 2 -4 -3 248 57 -29704 0 37 0 359 iuml 78 -=5 -614 57 -1- 25 =iOOO =iuml4 -1-

lal -27815) Ibull Le ree r eg au quotIent 0013 est-I un ratIonne

- 2781 5 et 0013 ne sont pas des entiers relatifs

On sait que (proprieacuteteacutes des quotients de reacuteels)

-27815 -27815 x 104 -27815 0013 0013 x 104 =~

Conclusion r est un rationnel

DOCUMENT 4b

(Matheacutematiques4egraveme collection Durrande 1979)

69

I~ Lensemble ltD des nombres rationnels

1 bull DEacuteFINITION ET EXEMPLES

Dans le cnapltre 4 nous ayons rencontreacute des nombres QUon pouvait obtenir comme Quotient exact dun entir relatif fi par un entier relatif non nul b Ces nombres sappellent lesnombnts ratiOnneJa (ou plua simplement les rationnels) Ils sont r8Qreacutesnteacutes par des fractions ainsi

exemples de fractions repreacuteslitntant x Nombre rationnel x -2 -8 -18lentler relatif -2 -9- -L shy1 3 -1 7 35 -7le deacutecimal rlatlf 35 Ji shy2 4 10 -=2 ~ Q EumlL shyIe ratlonn1 i 3 8 30 -3

Reepitullfflon des prlnc1es deacutetlnltlons Otlnitlo Soit un entIer ratatlf quelconque et soit b un entIer reltlf non nuL

11 LA couple (e bJ eacutecrit sous i fonne appellela fractIon d num

teur bull et de deacutenominateur b 2J Cette fraction retrisente le quotient ect de bull par b que lon not

aUAI bull On bull donc par deacuteflnltlon

bX~ bull JCb bullbull b b

31 On appelle nom rationnel tout nombre Que lon peut obtnir comme quotient euct dun entier relatif par un entlr relatif non nul

Attention 1La megravem notation est utiliseacutee pour deacutesignr deux cnoss diffeacuterentesb

le couple (II b) le Quotient exact de Il par b

Quand on eacutecrit il faut preacuteciser sU sagit de la fraction Ji (le couple (1 4 4raquo ou du rationshy4 4

nel 2i (Qui est eacutegal agrave 35) 4

le rationn est Anal au rationnel L4 ~~ 2

la fraction nest pas eacutegale agrave la fraction 1 ~ 2

(Puisque les couples (144) et (72) sont distincts)

Une convention commode

Pour eacuteviter cet Inconveacutenient nous conviendrons toujours Que dans les calculs deacutesinne le b

nombre rationnel Quotient exact d fi par b Ainsi nous pourrons eacutecrire

Ji =L =3S4 2

Quand vous voudrez parler du couple (14 4) il faudra preacuteciser bull la fraction c 4

DOCUMENT 4c

(Matheacutematiques classe de quatriegraveme collection Queysanne et Revus 1979)

70

SIMPLIFICATION DES FRACTIONS

i49 Simllifier une fraction cest la remplacer par une fraction ~e mais ayant des tenDes plus petits

ISO PROPRIEacuteTEacuteS FONDAMENTALES

10 On mesure deux rubans avec le sepagraveegraveme dune longueur donneacutee A B Lun mesure 2 sepagraveagravenes lautre 4 septiegravemes de luniteacute Il est eacutevident que le dewdagraveDe est double du premier

4 2 X 2 2 - --- - X 2 donc 777

Theacuteoregraveme L - Si OD mwdpUe le aDlDampateDr dune CractloD par aD JIOmbre la CracdoD eet muldpUeacutee par ce Dombre

2deg Un ruban mesure 5 sepagraveagravenes de la longueur AB un dewtiagravene ruban vaut S quato12Iumlagravenes de la mbe uniteacute

Un quatorziagravene eacutetant deux fois plus petit quun sepagraveagraveDe la dewdœe longueur est deux fois plus petite que la premiugravee S S S

------ 2 par suite 14 7 X 2 7

Theacuteoregraveme D - Si OD muldpUe le dacirclomiDateur cl1IDe bcdoD par 110 aombre la CracdoD eet diYileacutee par ce JIOmbre

3deg Soit la fraction _3 X 3_2S s s X 3 IS Elle ne c1uIage pas de valeur si nn mulagraveplie ses deux termes par 3 En dfet si on multiplie son numeacuterateur elle devient 3 fois plus grande si on multiplie son deacuteDominateur

elle devient 3 fois plus petiœ Par conseacutequent

Theacuteoregraveme DL - Si OD mwdpUe lee cleu termes daDO bcdoD par aD ~e DOmbre la ampactIoD ae chaage pu do valeur

On voit IJU- mIru gratukur fJGI la _ pat _ itrftniri tU frtJCtUgrave1fU U1IItU igalu

Corollaire - Si OD divise lee deux termee dlIDe CractiOD par aD mfme JIOmbre (ropkatucircm eacutetant possible) OD obdeat une bedoD eacuteplo agrave la premiegravere

Soit la fraction 18 dont les deux termes sont divisibles par 321

On peut eacutecrire 18 _ 6 x 3 21 7 x 3

et dapregraves le theacuteoragravene preacuteceacutedent _ 6 X 3 7 7 X 3

On a donc 18 3_ la fraction Il des termes plus petits que la fraction 18 dougrave la regravegle de simshy21 3 7 7 21

pli1ication des fractions

~ Regravegle - PD1lI simplifier _ fraaion an divis 11$ dIU umm pat 11II mIru 1ItmIbr

DOCUMENT 4d

Arithmeacutetique de lEncyclopeacutedie Quillet 1958

Fractions et rationnels en fait ne constituent pas seulement une admirable

construction matheacutematique ils composent en mecircme temps un objet didactique

inteacuteressant agrave bien des eacutegards La place de leacutelegraveve (cest-agrave-dire ce qui peut ecirctre requis

de leacutelegraveve agrave ce propos) y est nettement dessineacutee Lebesgue le soulignait judicieusement

le chapitre regorge dexercices dont la difficulteacute (cest-agrave-dire en gros la complexiteacute)

peut ecirctre finement gradueacutee La place de lenseignant elle aussi sy trouve preacutepareacutee

le professeur eacuteprouve toute sa speacutecificiteacute face agrave leacutelegraveve en tant quarchitecte et bacirctisshy

seur - fonctions dans lesquelles leacutelegraveve ne saurait lui disputer sagrave place - dune consshy

truction matheacutematiqueagrave la fois simple rigoureuse riche dont la complegravete transpashy

71

rence nest acquise quau prix de quelque subtiliteacute intellectuele nullement inaccessible

agrave leacutelegraveve mais relativement exigeante Toutefois il y a plus En un sens tout objet

de savoir didactiquement acceptable laisse voir deux laquoplacesraquo il doit contenir le

laquolieuraquo que leacutelegraveve viendra occuper (les tacircches que le contrat didactique lui assignera

en propre) il doit contenir aussi un lieu speacutecifiquement alloueacute agrave lenseignant Ce

marquage des places consubstanciellement lieacute au fonctionnement didactique du

savoir est un processus geacuteneacuteral que jai proposeacute(32) dappeler la topogeacutenegravese (du grec

topos lieu) Mais la dialectique topogeacuteneacutetique peut ecirctre plus ou moins resserreacutee plus

ou moins relacirccheacutee dans ce dernier cas (qui correspond comme jessaierai de lindiquer

plus loin agrave ce que nous voyons majoritairement se produire aujourdhui agrave propos de

lemploi du langage algeacutebrique) les eacutechanges entre eacutelegraveves et enseignant demeurent

pauvres la communication est distante parce que les uns et les autres ne se mesurent

pas aux mecircmes tacircches (le professeur deacutemontre une eacutegaliteacute litteacuterale leacutelegraveve lapplique

agrave des cas particuliers numeacuteriques) Avec les fractions une fois fixeacutee larchitecture

geacuteneacuterale de leacutedifice il en va autrement passeacutes les calculs les plus simples les calculs

qui ne sont pas triviaux pour leacuteiegraveve - tout en demeurant de lordre de ce qui peut

loyalemeacutent lui ecirctre demandeacute - ne le scgtnt quagrave peine moins pour le professeur Les

partenaires de linteraction didactique se rapprochent autour dune tacircche unique

jusquagrave sembler parfois unir leurs efforts agrave la recherche dune commune reacuteponse

Tout comme la geacuteomeacutetrie (qui soppose par cela et du seul point de vue didactique

deacutejagrave agrave lalgegravebre en geacuteneacuteral) les fractions constituent loccasion dune reacuteelle convishy

vialiteacute dans la classe Les distinctions qualitatives (marqueacutees par des tacircches de natures

diffeacuterentes) sestompent au profit de simples diffeacuterences quantitatives (lenseignant

va plus vite plus sucircrement mais il ne sait rien de plus que leacutelegraveve et ne fait rien de

plus que lui) Le groupe agrave la fois se rassemble gagne en coheacutesion et en mecircme temps

se diffeacuterencie continucircment sans que son identiteacute sy perde

1 y a lagrave quelques-unes des raisons didactiques qui expliquent la preacuteeacuteminence

de fagraveit de leacutetude des fractions dans les classes actuelles de quatriegraveme Or - et nous

faisons lagrave retour agrave notre sujet quen fait nous navions pas quitteacute - dans le vocabushy

lairedes enseignants les fractions font partie de lalgegravebre Mecircme si le programme

officiel nutilise pas le terme il semble que lusage se soit spontaneacutement creacuteeacute de nommer

laquoalgegravebreraquo dans la pratique de la classe ce qui nest pas geacuteomeacutetrie lalgegravebre cest

globalement lautre de la geacuteomeacutetrie Cet emploi peut-ecirctre irreacutefleacutechi du mot ne manque

pourtant pas de justificatifs Les heacutesitations historiques dont nous avons parleacute trashy

duisent aussi (par delagrave lopposition fractions de nombres arithmeacutetiques fractions de

nombres algeacutebriques) une reacutealiteacute qui perdure les fractions (dentiers) ne sont pas

(32) Voir Chevallard 1980b

72

de lalgegravebre au sens ougrave elles ne contiennent pas de lettres (les lettres sont essentielleshy

ment utiliseacutees par le professeur pour formuler les lois qui reacutegissent leur calcul) mais

elles relegravevent de llaquoalgeacutebriqueraquo en cela quelles sont le lieu dun jeu formel portant

sur des eacutecritures Elles offrent donc loccasion dune algegravebre sans algegravebre qui fait le

gros morceau de lalgegravebre aujourdhui enseigneacutee Il faut voir par quel cheminement

on en est venu lagrave

VII - LA DIALECTIQUE NUMERIQUEALGEBRIQUE

PoUr expliquer plus complegravetement et leacutevanouissement des parties algeacutebriques

de lalgegravebre et - correacutelativement - le come-back des fractions il nous faut compliquer

quelque peu le talJleau que nous avons traceacute jusquici A lopposition structurelle de

larithmeacutetique et de lalgegravebre correspondait - en principe - une dialectique fonctionshy

nelle entre numeacuterique et algeacutebrique Cest sur cette dialectique que nous devrons

dabord nous arrecircter un instant

Il faut pour cela prendre quelque recul Cette dialectique en effet existe

historiquement avant lalgegravebre (avant la construction dun langage algeacutebrique propreshy

ment dit) Les Grecs distinguent entre deux arithmeacutetiques larithmeacutetique vulgaire

ou logistique celle des calculateurs et larithmeacutetique laquopropre aux philosophesraquo

comme dit Platon cest-agrave-dire en gros la theacuteorie des nombres Les calculateurs cal~

culent Les arithmeacuteticiens eacutetudient la structure du numeacuterique Tous manipulent pour

cela un langage du numeacuterique~ mais tous ne lemploient pas aux mecircmes tacircches et ne

lui reconnaissent pas les mecircmes valeurs Dans larithmeacutetique pratique lanalyse du

numeacuterique procureacutee par le langage adopteacute est un moyen ordonneacute agrave un but opeacuterer

des deacutenombrements effectuer des calculs Si dans notre systegravememiddotactuel de numeacuteration

je deacutesire calculer 12 X 12 par exemple je nai besoin dautre analyse du nombre 12

que celle qui mest immeacutediatement donneacutee dans leacutecriture (deacutecimale) de ce nombre

(ch iffre des dizaines 1 chiffre des uniteacutes 2) Mais si comme le scribe du papyrus

Rhind je ne sais multiplier que par duplications successives et additions je devrai

recourir agrave une analyse moins immeacutediate du nombre 12 (qui ne mest pas offerte par

leacutecriture deacutecimale actuelle) Il me faudra observer que 12 = 4 + 8 et calculer ainsi(33)

1 12 2 24 4 48 8 96

(33) Voir Smith 1953 p 106

73

dougrave je deacuteduirai que 12 X 12 = 12 X (4 + 8) = 48 + 96 = 144 De telles manleres

de faire qui se rencontrent encore agrave des dates rapprocheacutees(34) apparaissent agrave lutilisashy

teur contemporain comme des survivances dun acircge imparfait Un bon systegraveme

numeacuteration-algorithmes de calcul en effet doit ecirctre tel que toute linformation requise

pour mettre en œuvre les algorithmes de calcul soit donneacutee dembleacutee avec les nombres

donneacutes eacutecrits dans le langage numeacuterique utiliseacute cest-agrave-dire soit apparente dans leacutecriture

mecircme de ces nombres En dautres termes un bon systegraveme numeacuteration-algorithmes

reacutecuse tout appel aux matheacutematiques fucirct-ce sous une forme apparemment anodine

Lusager dun tel systegraveme est eacutevidemment supposeacute pouvoir calculer que 4 + 8 = 12

(ce pour quoi le systegraveme est fait) mai~ le contrat dutilisation qui regravegle ses rapports

avec le systegraveme exclut quil ait agrave penser que 12 = 4 + 8 Paradoxalement peut-ecirctre

lun des effets et sans doute des buts (poursuivis de maniegravere plus ou moins intentionshy

nelle) de lactiviteacute matheacutematique est de proposer agrave lusage social des proceacutedures non

matheacutematiques obtenues par deacutematheacutematisation progressive de proceacutedures agrave lorigine

proprement matheacutematiques Le fait est banal et geacuteneacuteral les progregraves de leacutelectronique

me dispensent aujourdhui du bricolage auquel eacutetaient tenus les utilisateurs du poste

agrave galegravene

En fait le royaume du calcul numeacuterique est reacutegi par la loi de simplification

inteacuterioriseacutee en habitus(35) dont lune des clauses est constitueacutee par le principe

dachegravevement des calculs Selon ce laquoprinciperaquo lexpression laquo4 + 8raquo ne saurait en

calcul numeacuterique figurer comme reacuteponse le calcul agrave ce stade eacutetant laquoinacheveacuteraquo (36)

Lexpression laquo4 + 8raquo ne saurait ainsi ecirctre quune forme transitoire labile (parce que

quatre plus huit eacutegale douze) et nexiste pas plus dune maniegravere libre que latome

doxygegravene en dehors de la moleacutecule deg 2

Il en va tout autrement avec la tradition laquonobleraquo de la laquotheacuteorie des nombresraquo

Les Pythagoriciens au tout deacutebut de la science grecque eacutelaborent ainsi toute une

conception de la repreacutesentation laquogeacuteomeacutetriqueraquo des nombres soit une arithmo-geacuteoshy

meacutetrie(37) Consideacuterons par exemple les entiers impairs 5 et 7 Leurs repreacutesentations

(34) Ibid

(35) P Bourdieu deacutesigne par habitus des laquosystegravemes de dispositions durables structures structureacutees preacutedisposeacutees agrave fonctionner comme structures structurantes cest-agrave-dire en tant que principe de geacuteneacuteration et de structuration de pratiques et de repreacutesentations ( hgt (Bourdieu 1974 p 175)

(36) Les Instructions de janvier 1957 (sur lesquelles nous revenons plus loin) parlent explicitement de laquocalcul conduit jusquagrave son achegravevementraquo fait rare et remarquable car il est de la nature dun habitus de ne pas supposer lexplicitation des principes agrave lorigine de son efficace

(37) Sur larithmo-geacuteomeacutetrie des Grecs voir Michel 1959 pp 295-325

74

figureacutees peuvent ecirctre disposeacutees ainsi

o o o o o

o o o o o

o 0 5 7

Reacuteunissons ces repreacutesentations de la maniegravere suiyante

o o o o

o o o o

o 0

o 0

En les regroupant adeacutequatement il apparaicirct que la somme 5 + 7 est Lin multiple de

4 (plus preacuteciseacutement que 5 + 7 = 3 X 4) -1------------ -------------1

1 shy10 Oi iO 011 1 1 shyi i 1

- 1shyj j - 1

rO Oi iO1

O shy

i -_------------ [-------------1 iO Oi 1 i 1

Jo oi i

De plus si on laquocomplegraveteraquo le carreacute on voit apparaicirctre immeacutediatement que 5 + 7 est

une diffeacuterence de deux carreacutes (plus preacuteciseacutement que 5 + 7 = 43 - 22 )

o o o o

o o o o

o o x x

o o x x Ces monstrations qui au sens strict nont de force deacutemonstrative que pour les valeurs

numeacuteriques particuliegraveres traiteacutees ont en fait une valeur geacuteneacuterique comme les figures

(et les deacutemonstrations quelles permettent) en geacuteomeacutetrie on nest pas loin dune

deacutemonstration valable pour tous les couples dimpairs conseacutecutifs Nous pouvons

reacutetrospectivement admirer la finesse intellectuelle que linvention et lemploi de

telles proceacutedures supposent Mais nous pouvons aussi voir que notre langage algeacutebrique

actuel (creacuteeacute par Viegravete Descartes et quelques autres) sinscrit dans le prolongement

de cette analyse du numeacuterique tout en la deacutepassant en souplesse et en puissance

75

Sur le mecircme problegraveme aujourdhui nous obtenons par exemple ceci soient 2p - 1

et 2p + 1 deux impairs conseacutecutifs leur somme (2p - 1) + (2p + 1) = 4p est un

multiple de 4 et puisque 4p = (p + 1) - (p - 1)2 elle seacutecrit aussi comme une

diffeacuterence de deux carreacutes Le langage nOuveau permet dabord de formuler le problegraveme

dans sa geacuteneacuteraliteacute puis de le reacutesoudre de maniegravere eacutegalement systeacutematique

Le calcul numeacuterique utilise le langage numeacuterique pour son pouvoir deacutesignatif

eSSentiellement laquo34raquo et laquo075raquo ou encore laquo4 + 8raquo et laquo12raquo sont agrave cet eacutegard eacutequivashy lents puisquils deacutesignent le mecircme nombre (simplement laquo34raquo est une fraction laquonon

effectueacuteeraquo laquo4 + 8raquo une somme non effectueacutee) ils sont des noms diffeacuterents pour

un mecircme ecirctre matheacutematique Larithmeacutetique laquoalgeacutebriqueraquo au contraire distingue

ces noms parce que bien quils deacutesignent la mecircme chose ils ne montrent pas la mecircme

chose (ils napportent pas la mecircme information monstrative) agrave propos de lecirctre matheacuteshy

matique dont ils sont deux noms diffeacuterents (ltlt4 + 8raquo ou mieux laquo22 +23 raquo montre

que 12 est une somme de puissances de deux etc) Cest ainsi que au cœur mecircme

du langage numeacuterique sinsinue un clivage et pour tout dire une tension entre deux

modes de fonctionnement lefficaciteacute deacutesignative (propre agrave lusage calculatoire du

langage numeacuterique) tend agrave ignorer lagrave valeur monstrative de lexpression eacutecrite le

principe dachegravevement des calculs voue agrave leacutepheacutemegraverelesmiddotltltnoms intermeacutediairesraquo et

laquo4 + 8raquo devient ainsi laquo12raquo sans quaucune trace nous soit conserveacutee de lhistoire

de ce laquo12raquo Ali contraire le langage algeacutebrique - notamment parce quil est une

meacutemoire - vient permettre de conserver de meilleure faccedilon linformation monstrative

et surtout de faire apparaicirctre linformation monstrative pertinente le passage en

simplification de lexpression (2p - 1) + (2p + 1) agrave lexpression 4p fait apparaicirctre

que (2p - 1-) + (2p+ 1) deacutesigne un nombre multiple de 4 le passage en complexifishy

cation de 4p agrave (p + 1)2 - (p - 1)2 fait apparaicirctre que (2p - 1) + (2p + 1) est une

diffeacuterence de deux carreacutes

La creacuteation du langage algeacutebrique permet de deacutegager plus nettement laprobleacuteshy

matique deacutetude du nurileacuterique en la posant - sans lopposer - agrave cocircteacute de la perspecshy

tive calculatrice Elle permet donc dexpliciter ce qui demeurait largement implicite shy

la copreacutesence de deux maniegraveres davoir affaire au numeacuterique - et par lagrave dapaiser

les tensions Mais son surgissement historique permet surtout de mieux maicirctriser

la dialectique du numeacuterique et de lalgeacutebrique jusque-lagrave conduite avec des moyens

matheacutematiques insuffisamment adeacutequats Lalgeacutebrique est un outil de leacutetude du

numeacuterique le premier outil le plus eacuteleacutementaire sans doute (agrave un niveau avanceacute intershy

viendraient par exemple la theacuteorie des seacuteries entiegraveres la theacuteorie des fonctions analytishy

ques etc) Mais inversement (et cest ce qui nous autorise agrave parler de dialectique)

pour que le fonctionnement de cet outil soit efficace il faut quelque peu eacutetudier

cet outil par exemple se poser les problegravemes de la factorisation des expressions algeacuteshy

briques (afin notamment de reacutesoudre des eacutequations algeacutebriques) Or en ce point le

numeacuterique lui-mecircme est un outil deacutetude agrave lalgeacutebrique le flux sinverse Sans parler

76

de toutes les meacutethodes numeacuteriques qui font appel le plus souvent agrave des proprieacuteteacutes

danalyse (cest-agrave-dire concernant le corps des reacuteels et les fonctions dune variable

reacuteelle par exemple) on peut citer - pour prendre un exemple assez gros pour ecirctre

tout agrave fait visible - le theacuteoregraveme dEinsenstein sur la factorisation dans Q[X] (38)

Newton dans son Arithmetica Universalis deacutejagrave mentionneacutee montre une grande attenshy

tion agrave ce genre de laquoretoursraquo du numeacuterique vers lalgeacutebrique Ainsi donne-t-i1 une

meacutethode ingeacutenieuse pour trouver les facteurs dune expression algeacutebrique(39)

Si par exemple la quantiteacute proposeacutee est x 3 - x - 10x + 6 agrave la place de x

je substitue successivement les termes de la progression arithmeacutetique 1 0 -1 il en

naicirctra les nombres -4 + 6 + 14 Je place chacun deux avec tous ses diviseurs dans

la ligne du terme de la progression 1 0 -1 qui la produit comme on peut le voir

dans lexemple suivant

1 4 124 +4 o 6 1 2 3 6 +3

- 1 14 1 2 7 14 +2

Ensuite comme le terme le plus eacuteleveacute x3 na pas de diviseur de luniteacute je

cherche parmi les diviseurs quelque progression dont les termes ne diffegraverent que

dune uniteacute et qui en descendant des plus forts au plus faibles deacutecroissent comme

ceux de la progression 10 -1 Je ne trouve quune progression de cette espegravece cest

4 3 2 Je prends donc le terme + 3 qui se trouve dans la mecircme ligne que 0 de la

premiegravere progression 1 0 -1 je le joins agrave x et je tente la division par x + 3 elle

reacuteussit et jobtiens pour quotient x 2 - 4x + 2

Au-delagrave de la disparition de la structure du corpus matheacutematique enseigneacute en arithshy

meacutetique et algegravebre cest la dialectique du numeacuterique et de lalgegravebre - implicitement

preacutesente agravetravers llaquooppositionraquo de larithmeacutetique et de lalgegravebre - qui va se trouver

atteinte Plus que jamais les liens du numeacuterique et de lalgeacutebrique sen trouveront

relacirccheacutes

VIII - UNE CONCEPTION EMPIRISTE DU REEL MATHEMATIQUE

Leffacement de lopposition arithmeacutetiquealgegravebre en effet altegravere les condishy

tions de la mise en rapport du numeacuterique et de lalgeacutebrique Lancien rapport doutil

(38) Soit PIt) = a + a t + + a t n un polynocircme agrave coefficients dans if Sil existe un nombre premier p tel que0 1) ~ rie divise ~as an 2) p divise a al an_l p2 ne divise pas ao alors P o est irreacuteductible sur O

(39) Arithmeacutetique universelle tome premier pp 47-48 Nous laissons au lecteur le soin dapporter la justification matheacutematique requise

77

de travail agrave objet travailleacute semble perdu Les deux domaines - le numeacuterique -le

litteacuteral - vont coexister dans une simple juxtaposition existants qui trouvent en

eux-mecircmes leur propre justification Les rapports naguegravere encore banals entre ces

deux ordres de reacutealiteacute matheacutematiques semblent deacutesormais abolis Ou plutocirct ils laissent

place agrave des rapports nouveaux et inverseacutes ce nest plus lalgeacutebrique qui vient pershy

mettre deacutetudier le numeacuterique cest le numeacuterique qui laquojustifieraquo et laquopermet de comshy

prendreraquo lalgeacutebrique Le document 5 extrait dun manuei de quatriegraveme actuel (40)

IIUDIFFeacute~ENCS ce ceux C~CIMAUX [

x-eD yeC zeC z-z -y signifie que z+y-z Comment est appel z pour z et y dans ct ordre Observe

13-(-7) z+-7)middot13

[+(-7)j+713+7 +[(-7)+71-13+7

+0-13+7 zo13+-7

z-z-y z+y-z

(+y) + (-y)- +-(-y) +(y+ (-y)]-x + (-y)

z+O-z + (-y) -+(-y)

Pour tout xde D pour tout y de 0 z - y est un deacutecimal et z - y = +(-y) Exemples 8-(-7)=8+7=15 9-14=9+(-14)=-5 Lopeacuteration- qui agrave chaque coupe (z y) z e 0 y E C fait correspondre le deacutecimal Z - J est la soustraction dans O

DOCUMENT 5

Lalgeacutebrique comme essence du numeacuterique

nous donne de ce pheacutenomegravene un exemple tregraves net lintention didactique est ici

de justifier le fait que x - y = x + (-y) Pour le matheacutematicien la laquojustificationraquo shy

qui est alors strictement une deacutemonstration - est toute entiegravere contenue dans la

colonne de droite si je deacutefinis en geacuteneacuteral-y comme eacutetant le nombre tel quey + (-y) = 0

et si les proprieacuteteacutes ordinaires - associativiteacute etc - valent encore pour le nouvel

ensemble de nombres ainsi deacutefini alors le nombre z que je dois ajouter agrave y pour

obtenir x - ce quon appelle la diffeacuterence de x et y et qUon note x - y - nest pas

autre chose que x + (-y) Or la laquojustificationraquo passe dans la didactique ici examineacutee

par lappel au concret cest-agrave-dire au numeacuterique tel est le rocircle de la colonne de

gauche Ce sont les calculs numeacuteriques de la colonne de gauche qui soutiendraient

le sens (pour leacutelegraveve) des calculs litteacuteraux de la colonne de droite Malheureusement

le contenu de la colonne de gauche est si lon peut dire hautement improbable

(401 Il sagifdu _manuel Matheacutematique contemporaine pour la classe de quatriegraveme publieacute chez Magnard et conforme au programme de1978shy

78

parce que le numeacuterique ne fonctionne pas ainsi En fait les calculs numeacuteriques preacuteshy

senteacutes ici nexistent quagrave ecirctre limage en miroir des calculs litteacuteraux de la colonne

de droite Et cest pour permettre de tels calculs que le langage algeacutebrique preacutecishy

seacutement est neacutecessaire Il y a ainsi meacuteprise sur la speacutecificiteacute des deux ordres de calcul

et conseacutequemment sur le type de rapports quils entretiennent la justification

de lalgeacutebrique sappuierait sur un mode de fonctionnement du numeacuterique qui nest

en fait quun deacutecalque du fonctionnement de lalgeacutebrique et qui donc suppose

lalgeacutebrique

Leacutelucidation du nouveau rapport qui saffirme ainsi nest pas chose facile Elle

est pourtant neacutecessaire afin de preacuteciser par delagrave la surface des programmes les mouveshy

ments profonds produisant des deacutecisions didactiques quon aurait tort de regarder

seulement comme des laquotrucsraquo eacuteleacutements atomiques de strateacutegies trouvant en ellesshy

mecircmes et dans leurs effets supposeacutes leur unique mobile Revenons agrave lexemple que

nous avons examineacute Lalgeacutebrique y apparaicirct comme la laquotheacuteorieraquo de cette laquoreacutealiteacuteraquo

que serait le numeacuterique Mais les relations en acte entre theacuteorie (permettant leacutetude)

et reacutealiteacute (objet de leacutetude) y ressortissent incontestablement agrave une conception empishy

riste (et mecircme nous allons le voir empiriste-sensualiste) de la connaissance Tel est

en fait le mobile - veacutecu sans doute comme allant de soi dans leacutevidence que lideacuteoshy

logie procure - de la tentative de laquofaire sortirraquo la theacuteorie (lalgeacutebrique) de la reacutealiteacute

(numeacuterique) Il ya ici inversion des rapports entre theacuteorie et reacutealiteacute Car le surgissement

du theacuteorique - faut-il le rappeler - ne sautorise jamais que de lui-mecircme et loin

de proceacuteder de la reacutealiteacute la constitue (ou la renouvelle) comme objet de connaissance

Si jeacutecris par exemple 13 + 7 = 13 - (-7) selon un fonctionnement du numeacuterique

antinomique de la pratique calculatoire (cest-agrave-dire arithmeacutetique) du numeacuterique shy

laquelle voudrait quon eacutecrivicirct 13 + 7 = 20 - je fais de lalgegravebre sur du numeacuterique

cest loutil algeacutebrique et lui seul qui me permet ce travail du numeacuterique Entre le

fonctionnement arithmeacutetique et le fonctionnement algeacutebrique du numeacuterique il y a

ainsi une distance - un saut - que nul proceacutedeacute dlaquoabstractionraquo ne peut venir combler

On aurait tort de penser que lanalyse preacuteceacutedente ne vaut que pour lexemple

sur laquelle nous lavons illustreacutee En reacutealiteacute sa porteacutee est beaucoup plus eacutetendue

et pour en saisir toute la signification il faut revenir agrave cette acmeacute de leacutevolution de

la transposition didactique que repreacutesente la reacuteforme de 1971 (celle des laquomatheacutemashy

tiques modernesraquo) Contrairement aux opinions aujourdhui dominantes qui selon

un opportunisme neacutecessaire et une constante inconstance reacutecusent cette reacuteforme

pour ses excegraves et la regardent comme laberration dun moment il faut tenir que cette

aberration nen est pas une quelle ne fait que preacutecipiter cristalliser et rendre explicites

des traits qui deacutejagrave se repegraverent dans leacutevolution des deacutecennies preacuteceacutedentes Elle est un

moment qui donne sens reacutetrospectivement agravece qui vient avant lui et deacutetermine

largement ce qui viendra apregraves lui Car sil y a en quelque faccedilon rupture cest sur le

fond dune tregraves large surdeacutetermination En profondeur le programme de 1971 - pour

79

sen tenir agrave la classe de quatriegraveme - constitue une radiographie saisissante dune

eacutevolution que le programme de 1978 nadoucira quen surface Cest cette image

laquodureraquo quil faut interroger

On a trop vitupeacutereacute linflation moderniste le parti pris theacuteoriciste lambition

de rigueur des matheacutematiques promues par la reacuteforme et trop peu vu derriegravere cet

eacutecran deux mouvements correacutelatifs moins spectaculaires mais deacuteterminants Le

premier - que nous avons deacutejagrave plusieurs fois mentionneacute - cest lenvahissement du

champ deacutetude par les structures numeacuteriques Les laquoexcegravesraquo du programme de 1971

sont le prix agrave payer pour ce coup de force qui se megravene alors - simple tactique dun

moment le programme de 1978 installera une version apaiseacutee de la mecircme strateacutegieshy

avec lartillerie lourde de laquolapproche des reacuteelsraquo des laquocalculs approcheacutesraquo des laquoencashy

drementsraquo de haute ambition matheacutematique Le seCond cest la peacuteneacutetration dun

thegraveme qui va devenir central celui de llaquoobservationraquo et de llaquoexpeacuterimentationraquo

matheacutematiques

Fausse moderniteacute ce thegraveme est mis en place degraves les Instructions de janvier

1957 (annexe 6a) dont les Instructions de 1971 se reacuteclameront non sans raicon Il

prend alors lallure dune reacuteflexion sur les liens entre matheacutematique et extramatheacutemashy

tique La caution bergsonienne ici invoqueacutee - homo taber homo sapiens - bien que

dateacutee est agrave cet eacutegard tregraves significative La perspective proposeacutee ne conduit pas tregraves

loin les problegravemes denseignement se trouvent laquoreacutesolusraquo par une didactique euphoshy

rique (annexe 6b) Au vrai la conjoncture historique qui verra la mise en place des

matheacutematiques modernes nest alors quincomplegravetement formeacutee Ce qui manque

encore afin que lideacutee dexpeacuterimentation puisse passer dans les faits cest une matiegravere

que lon pourrait soumettre agrave lobservation et agrave lexpeacuterience A cet eacutegard les Instrucshy

tions de 1957 raisonnent encore agrave lancienne la notion dexpeacuterimentation y est

surtout loccasion dune rheacutetorique qui tourne sur elle-mecircme faute de pouvoir sapplishy

quer Mais cette matiegravere dapplication qui fait deacutefaut la reacuteforme va lapporter en

abondance ce sera le numeacuterique dont nous comprenons mieux degraves lors la place

de choix que les programmes reacuteformeacutes vont lui accorder Son expansion se trouvait

en fait comme appeleacutee par lexigence laquoexpeacuterimentaleraquo induite par une certaine concepshy

tion eacutepisteacutemologique et didactique

Le deacutecor de laction est installeacute en consonance avec une mise en scegravene empiriste

du procegraves de connaissance(41) Il Y a la laquoreacutealiteacuteraquo qui est un donneacute dont la preacutesence

simpose avec la derniegravere force et il y a la laquotheacuteorieraquo de ce donneacute que lon preacutetend

tirer par abstraction de lobjet agrave laquelle elle se voue La dialectique du numeacuterique

et de lalgeacutebrique est alors perdue lun de ses termes (lalgeacutebrique) se dissout dans

(41) Pour lintelligence de ce qui suit nous renvoyons agrave Althusser 1968 notamment pp 38-45

80

lautre (le numeacuterique) agrave qui est octroyeacute par nature une existence presque mateacuterielle

et dont lalgeacutebrique proceacutedera geacuteneacutetiquement La reacuteforme de 1971 remanie donc

le champ deacutetude pour y produire de solides objets laquoreacuteelsraquo agrave forts coefficients dexis-shy

tence les structures numeacuteriques et aussi la mysteacuterieuse laquodroite physiqueraquo dont la

soudaine promotion ontologique serait autrement encore plus inexplicable(42) Cela

poseacute lintroduction du litteacuteral (lalgeacutebrique) sidentifie au mouvement par lequel

dans le procegraves empiriste de connaissance se repreacutesente lessence du reacuteel qui est toute

la connaissance que le sujet peut tirer de lobjet par abstraction il permet de distinguer

entre un reacuteel essentiel et un reacuteel inessentiel gangue ou accident que le processus

dabstraction abandonne comme un reacutesidu impenseacute Labstraction qui vise agrave porter

agrave la lumiegravere ce quon pourra connaicirctre de lobjet agit par deacutecrassage et deacutecapage

CHA~tTRbullbull tour dieacuteremcs ftiems de 1t 011 obti=c cIes putitioas cilifeacute=o~ Uuml fiIure 2 repreacutese1tt (parshy

tieJ1emenz) les paniagravecas ~ i- II-l 11--0 11 - - l~ = grouie agrave la loupe la paftiriœ cozrcspoadaDc agrave Il - - 2shy

f-oo( [Q10[

1 1

~ Q t

(-2 ~( T

[l 0 ( [01 ( r12 r i i i i J r sr

-1shy 0 t

1 1 1 1 1 1 1 1 shy 1 bull 1 1 1 11

-1 -01 001 lU 03 ~ o~ 06 07 oa 09 1 11

P4 041 ~l ~~I 041ds1 -i -o] OoJ O4l o~ 04S 04) ~ 1 ~1 1

fJvZ

li) De m=c si II eR lD1 emer œIaagravef acirczeacute et si CI pr=d tOlIœS les ftiems possibles da2s Z r=semblc cIes imenalles cie c

Jcr10 (CI + L 10

eR iJMpcrtirIcircD1f de C Uuml figure 3 repreacutes=œ (articllemcm) =œ putitioll p04 shy O~

r 1 i 1 T l 1 1 -5 -4shy -3 -2 -r agrave l Z ~ 4shy 5

~3

DOCUMENT6

Le deacutecapage du donneacute dans le processus empiriste de connaissance

(42) Voir Chevallard et Johsua 1982 notamment pp 200-203

81

agrave ce thegraveme geacuteneacuteral de la connaissance empiriste reacutepond correctement dans les proshy

grammes la notion dlaquoapprocheraquo ou dlaquoapproximationraquo des laquoreacuteelsraquo (qui nont jamais

aussi bien porteacute leur nom) Ceux-ci sont atteints par le moyen de purifications successhy

sives qui eacuteliminent peu agrave peu la gangue inessentielle Tel manuel (43) pris parmi tant

dautres- en offre la superbe illustration (document 6) limage de la loupe - emblegraveme

de la connaissance empiriste dont elle est linstrument privileacutegieacute parce quelle permet

de mieux voir et de faire voir - y est requise et symbolise mieux quun long commenshy

taire cette conception de la connaissance comme visant agrave amener linvisible agrave la

vue de tous

Une telle conception de la connaissance rate le reacuteel dont il sagirait preacuteciseacutement

de produire la connaissance parce quelle en manque la constitution comme objet

de connaissance(44) Lalgeacutebrique ne sert plus agrave connaicirctre le numeacuterique Il nest plus

deacutesormais quune steacutenographie middotessentialisante qui deacutecrit reacutesume et seacutepare lessence

de laccident Le surgissement laquomoderneraquo de la dichotomie de llaquoobservationraquo et de

la laquotheacuteorieraquo - que les manuels actuels reprennent agrave lenvi - est ainsi correacutelatif dune

dissolution de lobjet de connaissance au profit de lobjet reacuteel maintenant donneacute

agrave voir dans une abstraction reacuteputeacutee immeacutediate et facile Lordre didactique va sorgashy

niser autour de cette eacutepisteacutemologie imaginaire

REFERENCES

ALTHUSSER L (1968) Lire le Capital Franccedilois Maspeacutero Paris

BOURDIEU P (1974) Le sens pratique eacuteditions de Minuit Paris

BROUSSEAU G (1980) Problegravemes de lenseignement des deacutecimaux Recherches

en didactique des matheacutematiques 1middot1 pp 11-59

CHEVALLARD Y (1980a) Matheacutematiques langage enseignement la reacuteforme des

anneacutees soixante Recherches 41 pp 71-99

CHEVALLARD Y (1980b) La transposition didactique 1REM dAix-Marseille

CHEVALLARD Y (1982) Pourquoi la transposition didactique 7 Publication du

seacuteminaire de didactique et peacutedagogie des matheacutematiques 32 Grenoble

CHEVALLARD Y et JOHSUA MA (1982) Un exemple danalyse de la transposition

didactique Recherches en didactique des matheacutematiques 3 2 pp 157-239

MICHEL PH (1950) De Pythagore agrave Euclide Les Belles Lettres Paris

SMITH DE (1953) History of mathematics volume Il Dover publications Inc

New York

(43) Il sagit de louvrage mentionneacute dans la note 24 ci-dessus

(44) Sur la distinction entre laquoobjet reacuteelraquo et laquoobjet de connaissanceraquo voir Althusser 1968 pp 4649

82

CLASSE DE QUATRIEME CLASSIQUE A ET B ET DE QUATRIEME MODERNE

PROGRAMME DE 1945 (extraits)

Arithmeacutetique

Pratique sur des exemples de la deacutecomposition dun nombre entier en facteurs premiers de la recherche du plus grand commun diviseur et du plus petit commun multiple de deux ou plushysieurs nombres Applications aux fractions

Algegravebre

Nombres algeacutebriques (positifs nuls heacutegatifs) Opeacuterations sur ces nombres exposeacutes agrave partir de problegravemes concrets Ineacutegaliteacutes

Mesures algeacutebriques de vecteurs sur une droite orienteacutee Formule de Chasles Repeacuterage dun point sur un axe

Eleacutements du calcul algeacutebrique proprieacuteteacutes des sommes et des produits Puissances Produit et quotient de deux puissances dun nombre usage de lexposant nul et dexposants neacutegatifs

Monocircmes Produit de monocircmes Quotient de deux nombres Somme de monocircmes semblables (on se bornera agrave des monocircmes agrave une deux ou trois variables) Polynocircmes agrave une variable addition soustraction multiplication par une constante

Equations numeacuteriques du premie( degreacute agrave une inconnue Problegravemes conduisant agrave une eacutequation numeacuterique du premier degreacute agrave une inconnue

Annexe 1

83

CLASSE DE QUATRIEME

PROGRAMME DE 1958 (extraits)

Arithmeacutetique

Pratique sur des exemples de la deacutecomposition dun nombre entier en un produit de nomshybres premiers pratique de la recherche du plus grand diviseur commun et du plus petit multiple commun de deux ou plusieurs nombres Applications

Algegravebre

1 - Nombres relatifs (positifs nuls neacutegatifs) Orientation dun segment (vecteur) orientation dune droite (axe) mesure algeacutebrique

dun segment orienteacute sur un axe repeacuterage dun point sur un axe (abscisse)

II - Opeacuterations eacuteleacutementaires sur les nombres relatifs addition et soustraction multiplishycation et division

Extension aux nombres relatifs des proprieacuteteacutes fondamentales eacutetablies pour les nombres arithmeacutetiques (classe de cinquiegraveme) concernant les sommes les diffeacuterences les produits les puisshysances n-iegravemes les quotients linverse dun nombre non nul Condition pour quun produit soit nul

Deacutefinition des exposants neacutegatifs et de lexposant nul Comparaison des nombres relatifs ineacutegaliteacutes Ineacutegaliteacutes concernant la valeur absolue dune somme ou dune diffeacuterence Formule de Chasles pour trois points situeacutes sur un axe Segment deacutefini par les abscisses

des deLix points qui le limitent mesure algeacutebrique de ce segment orienteacute mesure de la longueur de ce segment abscisse du milieu de ce segment

III - Notions de variables et de correspondance entre variables Expressions algeacutebriques deacutependant dUne ou de plusieurs variables calcul de la valeur

numeacuterique dune expression algeacutebrique pour des valeurs numeacuteriques donneacutees aux Ymiddotariables Monocircmes agrave une ou plusieurs variables multiplication addition de monocircmes semblables Polynocircmes forme reacuteduite Polynocircmes ordonneacutes addition multiplication Identiteacutes relatives aux produits (x + y)2 (x - y)2 (x + y)(x - y)

IV - Equations position du problegraveme signification du signe = dans ce problegraveme Equashytions du premier degreacute agrave une inconnue agrave coefficients numeacuteriques Reacutesolution de problegravemes simples agrave laide dune telle eacutequation

Annexe 2

84

CLASSE DE QUATRIEME

PROGRAMME DE 1971 (extraits)

1 - Relations

Reacutevision -des notions preacutesenteacutees dans les classes anteacuterieures et compleacutements produit carteacutesien relation application composition des applications bijection cun ensemble sur un ensemble et bijection reacuteciproque

Notion de groupe deacutefinition (on la jeacutegagera des exemples du programme)

II - Nombres deacutecimaux relatifs et approche de reacuteel

1 Groupe des puissances de dix

Nombres deacutecimaux relatifs eacutecrits a 10n avec a e7l et p E7 et sous forme de nombres agrave virgule addition multiplication ordre valeur absolue Reacutesumeacute des proprieacuteteacutes fondamentales de lensemble ainsi structureacute des deacutecimaux relatifs

2 Calculs approcheacutes

a) EnC3drement dun nombre deacutecimal par des intervalles des types [a 10pbull (a + 1) 10middot[ da 101 (a + 1) 10- [a 10pbull (a + 1) 101] avec a E Z et p E Z Sur des exelJlples encamiddot drement middotdune somme dun produit

b) Exercices de deacutetermination pour un deacutecimal strictement positif d donneacute et pour un entier relatif n donneacute du nombre deacutecimal x bull 10 avec x E IN tel que soient veacuterifieacutees les ineacutegaliteacutes 0 ~d x 10 ~ 1 lt d (x + 1) 10

c) Exercices de deacutetermination pour un deacutecimal strictement positif d donneacute et pour un entier relatif n jonneacute du nombre deacutecimal y bull 10 avec y E IN tel que soient veacuterifieacutees les ineacutegaliteacutes [y 10P ~ d lt [(y + 1) 10]

d) Suites deacutecimales illimiteacutees nombres reacuteels encadrements dun nombre reacuteel

3 Enumeacuteration des principales proprieacuteteacutes qui structurent fensemble IR des reacuteels addition (IR +) est un groupe commutatif multiplication associashytiYiteacute distributiviteacute par rapport agravefaddition ordre et valoeur absolue

On admettra que pour tout nombre reacuteel a jiffeacuterent de 0 il existe un nombre reacuteel a-1 et un seul tel que aa-1 = 1 Pour tout couple de nombres reacuteels (a b) avec a = 0 il existe un nombre reacuteel unique x appeleacute quotient de b par a

b et noteacute ba-1 ou - tel que ax = b a

Exercices simples de calcul sur de tels quotients Sur des exemples -numeacuteriques eacutequations et ineacutequations du premier degr9 agrave une inconnue

Usage des exposants entiers groupe des puissances dun nombre reacuteel non nul

Calculs approcheacutes sur les nombres reacuteels

4 Exemples de fonctions polynocircmes (applications de IR dans IR) Degreacute Exercices de calcul SUT les polynocircmes Produits (x + a)2 (x - a)2 (x + a) (x - a) Exercices de factorisation

Annexe 3

85

ENCYCLOPEDIE QUILLET (1958)

TABLE DES MATIERES (extraits)

ARITBMEacuteTIQUE Notio~ preacute1i1Ji~ajres - Ideacutee de nombrebullbullbullbull 153 NumeratIon decmale bullbullbullbullbullbullbullbull 156 ~esure des grŒDdeurs bullbullbullbullbullbull bullbullbullbull 159 Nombresmiddot deacutecUDauxbullbullbullbullbullbullbullbullbullbull 169 Ladditionbullbull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull 165 La soustraction bull bull bull bull bull bull bull bull bull 168 La ~~qplication bullbullbullbullbullbullbull1 bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bullbull 171 La diVISIon 178

Regravegle de trois bull bull 117 Pourcentages bullbullbull 119 Partages proportionnels 110 ~~langes bullbull i bull bullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbull 111 Alliages bull 111 Regravegles dinteacuterecircts 124 Rentes sur Pltat 116 Actins et obli~tions - Escompte 117

Problegravemes sur les quatre opeacutemtions bull bull bull 184 La divisibiliteacute bull bull bull bull bull bull bull bull 186 Plus grŒDd commun diviseur (p G C D) 189 Plus petit commun multiple (P P C M) 191 Nombres premiers bullbullbullbullbullbullbullbull 192 Les fractions bull bull bull bull bull 194 Opeacuterations sur les fractions 197 Sys~egraveme meacute~que 203 Racme carree 207 Rapports - Proportions 2 II

Grandeurs Proportionnelles 215

Connge des exercces ~ 130

Annexe4a

ALGEgraveBRE Notions preacuteliminaires bullbullbullbull 157 Opeacutemtions sur les nombres algeacutebriques (somme

diffeacuterence multiplicationmiddot division des nombres algeacutebriques fractions ou rapports algeacutebriques puissances racines) bull bull 160

Qpeacuterations sur les expressions algeacutebriques bull 168 gquations du premier degreacute 278 Reacutesolution des problegravemes du premier degreacute agrave une

inconnue bullbullbullbullbullbullbullbullbull 186 gquations et problegravemes du premier degreacute agrave deux

ou plusieurs inconnues bull bull 191 Notions sur les repreacutesentations graphiques bull bull 301

Variation des fonctions 313 Deacuteriveacutees bullbull bull bull 319

~uations et problegravemes du second degreacute bull bull 312

ProgressionsetlogaritbInesmiddotmiddotmiddotmiddot middotmiddot middotmiddotmiddot middot331 Table de logarithmes de 1 agrave 1 000 bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull 338 Application des logarithmes Inteacuterecircts composeacutes et

annuiteacutes bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull 343 Corcigeacute des ex~ces bullbull ~ bullbullbullbullbullbullbull 348

Annexe4b

63

quatriegraveme (en 1978) Ce sont les parties laquoalgeacutebriquesraquo de lalgegravebre - calcul et eacutequations

algeacutebriques - qui pacirctissent de la modernisation Plusieurs raisons semblent devoir

expliquer ce pheacutenomegravene Avanccedilons dabord une raison proprement didactique qui a

pu jouer neacutegativement Le calcul algeacutebrique agrave lorigine simple preacuteliminaire agrave leacutetude

des eacutequations eacutetait en fait devenu prolifeacuterant comme on peut en juger notamment sur

le document de lannexe 5a eacutetouffant progressivement les autres parties du corpus

enseigneacute Il eacutetait sain que lon tente den limiter le deacuteveloppement et la tendance

anteacuterieure agrave la reacuteforme proprement dite allait en effet dans ce sens les manuels avaient

commenceacute le travail deacuteflationniste (comme le montre la comparaison des documents a

et b de lannexe 5) Mais ce type de pheacutenomegravene qui constitue au demeurant davantageacute

la regravegle que lexception dans leacutevolution du texte denseignement (que lon songe ici agrave

la deacutegeacuteneacuterescence de leacutetude des eacutequations du second degreacute en la fameuse laquotrinocircmiteraquo

qu i frappait agrave peu pregraves dans le mecircme temps les classes du second cycle) et la reacuteaction

quil devait susciter allaient rencontrer une autre force de changementsans doute bien

plus puissante lapparition de lalgegravebre laquomoderneraquo sur laquelle il faut sarrecircter un

instant

Dans leurs Eleacutements dalgegravebre moderne dont la quatriegraveme eacutedition paraicirct en

1961 (la premiegravere eacutetant de 1956) A Lentin et J Rivaud(25) qui situent lapparition

de lalgegravebre moderne vers 1910 inscrivent celle-ci dans le prolongement de larithshy

meacutetique et de lalgegravebre traditionnelles (mais sans les nommer) laquoA leacutecole primaire

eacutecriven~-ils lenfant raisonne sur des collections et des grandeurs concregravetes dont il

deacutegage progressivement la notion de nombre abstrait indeacutependant de la nature des

choses compteacutees ou mesureacutees Lenseignement du second degreacute apprend agrave ladolescent

la manipulation des x et des y indeacutependamment des nombres que ces lettres repreacuteshy

sentent Un pas de plus dans le calcul et cest le calcul sur les polynocircmes puis la comshy

position des transformations formelles Eh bien lalgegravebre moderne formera leacutetudiant

agrave raisonner sur les proprieacuteteacutes des opeacuterations indeacutependamment des eacuteleacutements (nombres

polynocircmes transformations) sur lesquels sexercent ces opeacuterationsraquo (26) En fait

les parties traditionnelles de lalgegravebre (calcul et eacutequations algeacutebriques) sont bien inteacuteshy

greacutees dans lalgegravebre moderne ainsi preacutesenteacutee Mais elles nen constituent ni lessentiel

ni surtout les deacutebuts Les auteurs citeacutes dont louvrage est constitueacute de cinq livres

consacrent leur dernier livre agrave des laquocompleacutements sur les groupes et sur les eacutequations

algeacutebriquesraquo (un deacuteveloppement plus ample de la question eucirct conduit agrave la theacuteorie

des extensions de corps et agrave la theacuteorie de Galois dont les rudiments sont preacutesenteacutes

dans ce livre) Ainsi le traitement des eacutequations algeacutebriques se trouve-t-i1 rejeteacute fort

loin dans lexposeacute moderne de lalgegravebre Le calcul algeacutebrique quant agrave lui se retrouve

(25) A Lentin et J Rivaud Eleacutements dalgegravebre moderne Vuibert Paris quatriegraveme eacutedition 1961

(26) Loc cit pp VmiddotVI

64

Ici dans le livre Il sous les espegraveces de leacutetude des anneaux de polynocircmes Mais le

veacuteritable commencement de lalgegravebre moderne cest leacutetude des structures (lois de

composition groupe anneau corps) qui occupe tout le livre 1 Lhonnecircte homme

qui en 1958 encore sinitiant agrave lalgegravebre se voyait proposer nombres algeacutebriques

expressions algeacutebriques eacutequations etc se verra offrir quelques anneacutees plus tard

relations binaires eacuteleacutement neutre etc Le chapitre Algegravebre que M Glaymann eacutecrit

au deacutebut des anneacutees soixante-dix pour un ouvrage adresseacute au grand public (il paraicirct

dans la collection laquoLes dictionnaires du savoir moderneraquo) est agrave cet eacutegard significatif

loi de composition eacuteleacutement neutre commutativiteacute eacuteleacutement symeacutetrique associativiteacute

eacuteleacutement reacutegulier distributiviteacute et encore structures monoiumlde groupe sous-groupe

groupe cyclique morphisme de groupes anneau anneau integravegre corps etc en sont les ma icirctres-mots(27)

Il se produit donc en quelques anneacutees une veacuteritable substitution dobjet dont

le texte denseignement reccediloit bientocirct la marque les programmes reacuteformeacutes de sixiegraveme

cinquiegraveme et quatriegraveme comportent tous un titre Relations et le programme de

quatriegraveme introduit les notions de groupe et de division dans un groupe qui conduisent

agrave examiner leacutequation ax = b dans le groupe multiplicatif des reacuteels non nuls Le calcul

algeacutebrique est recircduit agrave la portion congrue il fait lobjet du point 4 du titre Il du programme (annexe 3) Leacutetude des eacutequations conformeacutement au plan moderne

dexposition de lalgegravebre est deacutechue de ses titres et se trouve repousseacutee en classe de

troisiegraveme

VI - LALGEBRE SANS ALGEBRE

La situation creacuteeacutee par la reacuteforme autour de 1970 consacre la promotion des

structures numeacuteriques (agrave cocircteacute du geacuteomeacutetrique dont nous ne parlerons pas ici) en

mecircme temps quelle reacutealise une eacutevidente inflation theacuteorique agrave propos du numeacuterique

comme du geacuteomeacutetrique Cest ce theacuteoricisme qui apregraves avoir susciteacute dabord un vif

enthousiasme se trouvera en butte agrave une multitude de critiques qui conduiront agrave

la reacutedaction des programmes de 1977-1978 actuellement en vigueur La focalisation

du deacutebat se fait sur la maniegravere de traiter les contenus - avec notamment le rej~t

du laquopurismeraquo qui impreacutegnait lesprit de la reacuteforme preacuteceacutedente(28) - davantage que

sur la distribution des contenus eux-mecircmes et sur la structuration et leacutequilibre des

diverses parties du corpus enseigneacute Celui-ci apparaicirct en conseacutequence plus comme

(27) Maurice Glaymann Lalgegravebre in Les matheacutematiques Centre deacutetudes et de promotion de la lecture Paris 1973 pp 16-54

(28) Dans la preacutesentation deacutejagrave citeacutee des programmes de 1978 (voir la note 2 ci-dessus) leacutequipe de reacutedaction du Bulletin de lAPMEP deacutenonccedilait le purisme matheacutematique qui en fait laquoest un purisme dexposition non dapprentissage ou de fonctionnement qui na donc rien agrave faire dans le premier cycle ( )gtgt

65

une version laquodeacutegraisseacuteeraquo du corpus des anneacutees soixante-dix que comme une version

fondamentalement nouvelle agrave cocircteacute du geacuteomeacutetrique que lon entend laquodeacutesaxiomatiserraquo

le numeacuterique y demeure preacutedominant mecircme si lon ny inclut plus les mecircmes mateacuteshy

riaux Les nombres reacuteels en effet sont les grands perdants du reacuteameacutenagement opeacutereacute

Et ce sont les fractions et les rationnels qui venant occuper la place ainsi libeacutereacutee dans

le programme de quatriegraveme constituent maintenant la piegravece centrale de leacutetude du

numeacuterique - les nombres relatifs (entiers et deacutecimaux) conservant en classe de cinshy

quiegraveme le rocircle preacuteeacuteminent qui leur eacutetait anteacuterieurement reconnu

Il faut en ce point dire quelques mots de la promotion donneacutee dans ces proshy

grammes aux fractions et aux rationnels Pour des raisons dans lesquelles nous nentreshy

rons pas ici les fractions (associeacutees aux rapports et aux proportions) eacutetaient traditionshy

nellement tirailleacutees entre larithmeacutetique la geacuteomeacutetrie et degraves la naissance du corpus

algeacutebrique lalgegravebre elle-mecircme Preacutesentant ses Eleacutemens dAlgebre Clairaut ne manque

dailleurs pas de faire connaicirctre au lecteur lembarras ougrave cette question la tenu

laquojavois dabord compteacute donner dans le mecircme livre eacutecrit-il tant les Eleacutemens dArithshy

meacutetique que ceux dAlgebre amp je naurois pas manqueacute alors de traiter des proportions

plus agrave fond que je nai fait dans mes Eleacutemens de Geacuteomeacutetrie raquo Bien entendu en passant de larithmeacutetique agrave lalgegravebre on passait aussi des fractions arithmeacutetiques

(rapports dentiers cest-agrave-dire dentiers naturels) aux fractions algeacutebriques (rapports

dentiers laquoalgeacutebriquesraquo cest-agrave-dire relatifs) et aux fractions rationnelles (rapports

de polynocircmes) Mais ces reprises sont significatives de linteacuterecirct didactique accordeacute

au thegraveme les fractions constituent un sujet de choix pour lenseignement

Comme on la rappeleacute(29) laquolaccent qui est mis sur la notion de fractionraquo

constitue selon les termes mecircmes des Instructions relatives au programme de quatriegraveme

de 1978 leacuteleacutement de laquonouveauteacuteraquo de ce programme Nouveauteacute dantique meacutemoire 1

Henri Lebesgue presque un demi-siegravecle plus tocirct avait fermement inviteacute les professeurs

agrave se deacutebarrasser de ce monstre du Loch Ness matheacutematique laquo on sera bien je pense

daccord avec moi eacutecrivait-il (30) pour deacuteclarer que marier des 22iegravemes et des 37iegravemes

est un martyre que nous infligeons aux gosses de douze ans par pur sadisme sans

aucune raison dutiliteacute comme circonstance ateacutenuanteraquo Mais il ajoutait aussitocirct

laquoJentends tous les professeurs protester Les uns parce que les fractions fournissaient

dinnombrables exercices pour leurs jeunes eacutelegraveves apregraves un moment deffroi ceux-ci

sapercevront quils ne manqueront jamais dexercices La plainte des autres meacutemeut

(29) Voir la note 18

(30) Dans La mesure des grandeurs (Albert l3lanchard Paris 1975) p 25

66

davantage et pour la veacuteriteacute je la formule moi aussi laquoSupprimer dans la classe de

matheacutematiques la theacuteorie des fractions cest supprimer un chapitre admirable Le

seul peut-ecirctre parmi ceux qui nous restent qui ne soit pas lagrave uniquement pour son

utiliteacute immeacutediate et qui donne le sentiment de la beauteacute pureraquoraquo(31) Or cette admirable

construction devient dans le cadre des matheacutematiques modernes plus admirable

encore ou disons plus subtile le maniement sans complexe des fractions fait place

agrave une ontologie raffineacutee dans laquelle les fractions devenues couples de nombres

ne sont plus - en theacuteorie plus quen pratique bien sucircr - que le mateacuteriau de la consshy

truction des rationnels classes deacutequivalence de fractions Avrai dire cette preacutesentation

moderne neacutetait guegravere favoriseacutee par le programme de 1971 (dans lequel les reacuteels faisaient

directement suite aux deacutecimaux les rationnels neacutetant alo~s que des reacuteels particuliers

les quotients dentiers) Mais le programme de 1978 lui donne une nouvelle chance

et quelques manuels impavides la mettent en œuvre (document 4a) Cette perspective

constructiviste peut en fait ecirctre aiseacutement eacuteviteacutee au profit dune conception reacutealiste

(celle-lagrave mecircme que le programme de 1971 poussait en avant les reacuteels eacutetant supposeacutes

donneacutes - ils eacutetaient laquoconstruitsraquo dans le programme de 1971 - un rationnel est un

reacuteel qui peut seacutecrire comme quotient dentiers) et la plupart des manuels utilisent

cette possibiliteacute (document 4b) conceptuellement et techniquement moins difficile

et sans doute plus proche de la repreacutesentation du nombre qui est effectivement celle

des eacutelegraveves et mecircme du laquoworking mathematicianraquo Mais le souci de purisme na pas

disparu le goucirct de la laquorigueurraquo (sic) conduit chez quelques-uns (document 4c) agrave une

veacuteritable confusion sur le sens du signe deacutegaliteacute (qui ne signifie en principe nullement

que les deux membres de leacutegaliteacute sont des expressions identiques - formellement

ou syntaxiquement - ce qui interdirait deacutejagrave deacutecrire que 6 = 2 X 3 mais que ce quils

deacutesignent sont une seule et mecircme chose le signe deacutegaliteacute ne signifiant rien dautre

quune identiteacute seacutemantique) Cela dit le problegraveme - eacuteleacutegamment mais coucircteusement

reacutesolu par le moyen des classes deacutequivalence - existait avant les matheacutematiques

modernes et continue dexister mais le corpus ancien le traitait (inconsciemment )

avec une grande discreacutetion (document 4d) en distinguant chaque fois quil eacutetait

neacutecessaire la fraction (consideacutereacutee alors implicitement comme eacutecriture agrave savoir comme

rapport) et la valeur de la fraction (soit le nombre - rationnel - deacutesigneacute par cette

eacutecriture) Quoi quil en soit tout ce jeu laisseacute autrefois implicite et plus ou moins

fortement expliciteacute aujourdhui participe de ladmirable construction des fractions

qui seacuteduit tant les professeurs comme dit Lebesgue

(31) Ibid pp 25-26

67

Nombres rationnels

Ensemble ltC

RAPPELONS

Dans lensemble T des fractions nous avons deacutefini la relation JI suivante

Quelles que soient les fractions ~ et ~ on a (~JI ~) (ad =bel

Nous avons eacutetabli (p 48) que JI est une relation deacutequivalence dans T

Pourtraduire que deux fractions ~ et ~ sont lieacutees par JI nous avons eacutecrit ~ = ~

et nous avons dit que les fractions ~ et ~ sont eacutequivalentes

DEacuteFINITION

Nous donnons la deacutefinition suivante

Ch8q cd6quiVIIlencbullbullbulllonJIst appeleacutee un nombre lIItlonnel

Nous deacutesignons par 0 lensemble des nombres rationnels

AEPAEacuteSENTAtfr DUN RAcircTIONNEL

Soient x un eacuteleacutement de 1 etmiddott une fraction eacuteleacutement de T

Nous disons que x et un nombre rationnel dont un repreacuteentant et ~ 1 et

aeulement si x est 1 clbullbullbullbull deacutequlvlence elon JI de 1 fraction i Le nombre ~tion~1 x est donc lensemble des fractions ~ eacutequivalentes agrave~ nous

avons x=~lcez deZmiddot ~=M Remarquons que toute fraction eacutequivalente agrave ~ est un repreacutesentant du nombre

rationnel x

CHAPITRE 6 ENSEMBLE Q 67

DOCUMEIIT 4eacute1

(Matheacutematiques4egraveme collection Monge 1978)

68

CHAPITRE 4 algegravebre

Ensemble 0 des nombres rationnels

1 Oeacuteflnitlon de lensemble C 4Notatlons fractionnaires dUn rationnel des rationnels

2prOPrieacuteteacutes de lensemble Q 50Peacuteratlons dans Q des rationnels

3Eacutecriture deacutecimale illimiteacutee 6comparaison de deux rationnels dun rationnel

1Deacutefinition de lensemble Q des rationnels

deacutefinition Un nombre reacuteel (ou reacuteel) est appeleacute DOIIlbre ratioonel (ou rationnel) sil est eacutegal agrave un quotient de deux entiers relatifs

Autrement dit Un reacuteel x est un rationnel sil existe un entier relatif a et un entier relatif non

nul b tels que x soit eacutegal au quotient ~

exemples bull Les quotients suivants sont des rationnels 2 -4 -3 248 57 -29704 0 37 0 359 iuml 78 -=5 -614 57 -1- 25 =iOOO =iuml4 -1-

lal -27815) Ibull Le ree r eg au quotIent 0013 est-I un ratIonne

- 2781 5 et 0013 ne sont pas des entiers relatifs

On sait que (proprieacuteteacutes des quotients de reacuteels)

-27815 -27815 x 104 -27815 0013 0013 x 104 =~

Conclusion r est un rationnel

DOCUMENT 4b

(Matheacutematiques4egraveme collection Durrande 1979)

69

I~ Lensemble ltD des nombres rationnels

1 bull DEacuteFINITION ET EXEMPLES

Dans le cnapltre 4 nous ayons rencontreacute des nombres QUon pouvait obtenir comme Quotient exact dun entir relatif fi par un entier relatif non nul b Ces nombres sappellent lesnombnts ratiOnneJa (ou plua simplement les rationnels) Ils sont r8Qreacutesnteacutes par des fractions ainsi

exemples de fractions repreacuteslitntant x Nombre rationnel x -2 -8 -18lentler relatif -2 -9- -L shy1 3 -1 7 35 -7le deacutecimal rlatlf 35 Ji shy2 4 10 -=2 ~ Q EumlL shyIe ratlonn1 i 3 8 30 -3

Reepitullfflon des prlnc1es deacutetlnltlons Otlnitlo Soit un entIer ratatlf quelconque et soit b un entIer reltlf non nuL

11 LA couple (e bJ eacutecrit sous i fonne appellela fractIon d num

teur bull et de deacutenominateur b 2J Cette fraction retrisente le quotient ect de bull par b que lon not

aUAI bull On bull donc par deacuteflnltlon

bX~ bull JCb bullbull b b

31 On appelle nom rationnel tout nombre Que lon peut obtnir comme quotient euct dun entier relatif par un entlr relatif non nul

Attention 1La megravem notation est utiliseacutee pour deacutesignr deux cnoss diffeacuterentesb

le couple (II b) le Quotient exact de Il par b

Quand on eacutecrit il faut preacuteciser sU sagit de la fraction Ji (le couple (1 4 4raquo ou du rationshy4 4

nel 2i (Qui est eacutegal agrave 35) 4

le rationn est Anal au rationnel L4 ~~ 2

la fraction nest pas eacutegale agrave la fraction 1 ~ 2

(Puisque les couples (144) et (72) sont distincts)

Une convention commode

Pour eacuteviter cet Inconveacutenient nous conviendrons toujours Que dans les calculs deacutesinne le b

nombre rationnel Quotient exact d fi par b Ainsi nous pourrons eacutecrire

Ji =L =3S4 2

Quand vous voudrez parler du couple (14 4) il faudra preacuteciser bull la fraction c 4

DOCUMENT 4c

(Matheacutematiques classe de quatriegraveme collection Queysanne et Revus 1979)

70

SIMPLIFICATION DES FRACTIONS

i49 Simllifier une fraction cest la remplacer par une fraction ~e mais ayant des tenDes plus petits

ISO PROPRIEacuteTEacuteS FONDAMENTALES

10 On mesure deux rubans avec le sepagraveegraveme dune longueur donneacutee A B Lun mesure 2 sepagraveagravenes lautre 4 septiegravemes de luniteacute Il est eacutevident que le dewdagraveDe est double du premier

4 2 X 2 2 - --- - X 2 donc 777

Theacuteoregraveme L - Si OD mwdpUe le aDlDampateDr dune CractloD par aD JIOmbre la CracdoD eet muldpUeacutee par ce Dombre

2deg Un ruban mesure 5 sepagraveagravenes de la longueur AB un dewtiagravene ruban vaut S quato12Iumlagravenes de la mbe uniteacute

Un quatorziagravene eacutetant deux fois plus petit quun sepagraveagraveDe la dewdœe longueur est deux fois plus petite que la premiugravee S S S

------ 2 par suite 14 7 X 2 7

Theacuteoregraveme D - Si OD muldpUe le dacirclomiDateur cl1IDe bcdoD par 110 aombre la CracdoD eet diYileacutee par ce JIOmbre

3deg Soit la fraction _3 X 3_2S s s X 3 IS Elle ne c1uIage pas de valeur si nn mulagraveplie ses deux termes par 3 En dfet si on multiplie son numeacuterateur elle devient 3 fois plus grande si on multiplie son deacuteDominateur

elle devient 3 fois plus petiœ Par conseacutequent

Theacuteoregraveme DL - Si OD mwdpUe lee cleu termes daDO bcdoD par aD ~e DOmbre la ampactIoD ae chaage pu do valeur

On voit IJU- mIru gratukur fJGI la _ pat _ itrftniri tU frtJCtUgrave1fU U1IItU igalu

Corollaire - Si OD divise lee deux termee dlIDe CractiOD par aD mfme JIOmbre (ropkatucircm eacutetant possible) OD obdeat une bedoD eacuteplo agrave la premiegravere

Soit la fraction 18 dont les deux termes sont divisibles par 321

On peut eacutecrire 18 _ 6 x 3 21 7 x 3

et dapregraves le theacuteoragravene preacuteceacutedent _ 6 X 3 7 7 X 3

On a donc 18 3_ la fraction Il des termes plus petits que la fraction 18 dougrave la regravegle de simshy21 3 7 7 21

pli1ication des fractions

~ Regravegle - PD1lI simplifier _ fraaion an divis 11$ dIU umm pat 11II mIru 1ItmIbr

DOCUMENT 4d

Arithmeacutetique de lEncyclopeacutedie Quillet 1958

Fractions et rationnels en fait ne constituent pas seulement une admirable

construction matheacutematique ils composent en mecircme temps un objet didactique

inteacuteressant agrave bien des eacutegards La place de leacutelegraveve (cest-agrave-dire ce qui peut ecirctre requis

de leacutelegraveve agrave ce propos) y est nettement dessineacutee Lebesgue le soulignait judicieusement

le chapitre regorge dexercices dont la difficulteacute (cest-agrave-dire en gros la complexiteacute)

peut ecirctre finement gradueacutee La place de lenseignant elle aussi sy trouve preacutepareacutee

le professeur eacuteprouve toute sa speacutecificiteacute face agrave leacutelegraveve en tant quarchitecte et bacirctisshy

seur - fonctions dans lesquelles leacutelegraveve ne saurait lui disputer sagrave place - dune consshy

truction matheacutematiqueagrave la fois simple rigoureuse riche dont la complegravete transpashy

71

rence nest acquise quau prix de quelque subtiliteacute intellectuele nullement inaccessible

agrave leacutelegraveve mais relativement exigeante Toutefois il y a plus En un sens tout objet

de savoir didactiquement acceptable laisse voir deux laquoplacesraquo il doit contenir le

laquolieuraquo que leacutelegraveve viendra occuper (les tacircches que le contrat didactique lui assignera

en propre) il doit contenir aussi un lieu speacutecifiquement alloueacute agrave lenseignant Ce

marquage des places consubstanciellement lieacute au fonctionnement didactique du

savoir est un processus geacuteneacuteral que jai proposeacute(32) dappeler la topogeacutenegravese (du grec

topos lieu) Mais la dialectique topogeacuteneacutetique peut ecirctre plus ou moins resserreacutee plus

ou moins relacirccheacutee dans ce dernier cas (qui correspond comme jessaierai de lindiquer

plus loin agrave ce que nous voyons majoritairement se produire aujourdhui agrave propos de

lemploi du langage algeacutebrique) les eacutechanges entre eacutelegraveves et enseignant demeurent

pauvres la communication est distante parce que les uns et les autres ne se mesurent

pas aux mecircmes tacircches (le professeur deacutemontre une eacutegaliteacute litteacuterale leacutelegraveve lapplique

agrave des cas particuliers numeacuteriques) Avec les fractions une fois fixeacutee larchitecture

geacuteneacuterale de leacutedifice il en va autrement passeacutes les calculs les plus simples les calculs

qui ne sont pas triviaux pour leacuteiegraveve - tout en demeurant de lordre de ce qui peut

loyalemeacutent lui ecirctre demandeacute - ne le scgtnt quagrave peine moins pour le professeur Les

partenaires de linteraction didactique se rapprochent autour dune tacircche unique

jusquagrave sembler parfois unir leurs efforts agrave la recherche dune commune reacuteponse

Tout comme la geacuteomeacutetrie (qui soppose par cela et du seul point de vue didactique

deacutejagrave agrave lalgegravebre en geacuteneacuteral) les fractions constituent loccasion dune reacuteelle convishy

vialiteacute dans la classe Les distinctions qualitatives (marqueacutees par des tacircches de natures

diffeacuterentes) sestompent au profit de simples diffeacuterences quantitatives (lenseignant

va plus vite plus sucircrement mais il ne sait rien de plus que leacutelegraveve et ne fait rien de

plus que lui) Le groupe agrave la fois se rassemble gagne en coheacutesion et en mecircme temps

se diffeacuterencie continucircment sans que son identiteacute sy perde

1 y a lagrave quelques-unes des raisons didactiques qui expliquent la preacuteeacuteminence

de fagraveit de leacutetude des fractions dans les classes actuelles de quatriegraveme Or - et nous

faisons lagrave retour agrave notre sujet quen fait nous navions pas quitteacute - dans le vocabushy

lairedes enseignants les fractions font partie de lalgegravebre Mecircme si le programme

officiel nutilise pas le terme il semble que lusage se soit spontaneacutement creacuteeacute de nommer

laquoalgegravebreraquo dans la pratique de la classe ce qui nest pas geacuteomeacutetrie lalgegravebre cest

globalement lautre de la geacuteomeacutetrie Cet emploi peut-ecirctre irreacutefleacutechi du mot ne manque

pourtant pas de justificatifs Les heacutesitations historiques dont nous avons parleacute trashy

duisent aussi (par delagrave lopposition fractions de nombres arithmeacutetiques fractions de

nombres algeacutebriques) une reacutealiteacute qui perdure les fractions (dentiers) ne sont pas

(32) Voir Chevallard 1980b

72

de lalgegravebre au sens ougrave elles ne contiennent pas de lettres (les lettres sont essentielleshy

ment utiliseacutees par le professeur pour formuler les lois qui reacutegissent leur calcul) mais

elles relegravevent de llaquoalgeacutebriqueraquo en cela quelles sont le lieu dun jeu formel portant

sur des eacutecritures Elles offrent donc loccasion dune algegravebre sans algegravebre qui fait le

gros morceau de lalgegravebre aujourdhui enseigneacutee Il faut voir par quel cheminement

on en est venu lagrave

VII - LA DIALECTIQUE NUMERIQUEALGEBRIQUE

PoUr expliquer plus complegravetement et leacutevanouissement des parties algeacutebriques

de lalgegravebre et - correacutelativement - le come-back des fractions il nous faut compliquer

quelque peu le talJleau que nous avons traceacute jusquici A lopposition structurelle de

larithmeacutetique et de lalgegravebre correspondait - en principe - une dialectique fonctionshy

nelle entre numeacuterique et algeacutebrique Cest sur cette dialectique que nous devrons

dabord nous arrecircter un instant

Il faut pour cela prendre quelque recul Cette dialectique en effet existe

historiquement avant lalgegravebre (avant la construction dun langage algeacutebrique propreshy

ment dit) Les Grecs distinguent entre deux arithmeacutetiques larithmeacutetique vulgaire

ou logistique celle des calculateurs et larithmeacutetique laquopropre aux philosophesraquo

comme dit Platon cest-agrave-dire en gros la theacuteorie des nombres Les calculateurs cal~

culent Les arithmeacuteticiens eacutetudient la structure du numeacuterique Tous manipulent pour

cela un langage du numeacuterique~ mais tous ne lemploient pas aux mecircmes tacircches et ne

lui reconnaissent pas les mecircmes valeurs Dans larithmeacutetique pratique lanalyse du

numeacuterique procureacutee par le langage adopteacute est un moyen ordonneacute agrave un but opeacuterer

des deacutenombrements effectuer des calculs Si dans notre systegravememiddotactuel de numeacuteration

je deacutesire calculer 12 X 12 par exemple je nai besoin dautre analyse du nombre 12

que celle qui mest immeacutediatement donneacutee dans leacutecriture (deacutecimale) de ce nombre

(ch iffre des dizaines 1 chiffre des uniteacutes 2) Mais si comme le scribe du papyrus

Rhind je ne sais multiplier que par duplications successives et additions je devrai

recourir agrave une analyse moins immeacutediate du nombre 12 (qui ne mest pas offerte par

leacutecriture deacutecimale actuelle) Il me faudra observer que 12 = 4 + 8 et calculer ainsi(33)

1 12 2 24 4 48 8 96

(33) Voir Smith 1953 p 106

73

dougrave je deacuteduirai que 12 X 12 = 12 X (4 + 8) = 48 + 96 = 144 De telles manleres

de faire qui se rencontrent encore agrave des dates rapprocheacutees(34) apparaissent agrave lutilisashy

teur contemporain comme des survivances dun acircge imparfait Un bon systegraveme

numeacuteration-algorithmes de calcul en effet doit ecirctre tel que toute linformation requise

pour mettre en œuvre les algorithmes de calcul soit donneacutee dembleacutee avec les nombres

donneacutes eacutecrits dans le langage numeacuterique utiliseacute cest-agrave-dire soit apparente dans leacutecriture

mecircme de ces nombres En dautres termes un bon systegraveme numeacuteration-algorithmes

reacutecuse tout appel aux matheacutematiques fucirct-ce sous une forme apparemment anodine

Lusager dun tel systegraveme est eacutevidemment supposeacute pouvoir calculer que 4 + 8 = 12

(ce pour quoi le systegraveme est fait) mai~ le contrat dutilisation qui regravegle ses rapports

avec le systegraveme exclut quil ait agrave penser que 12 = 4 + 8 Paradoxalement peut-ecirctre

lun des effets et sans doute des buts (poursuivis de maniegravere plus ou moins intentionshy

nelle) de lactiviteacute matheacutematique est de proposer agrave lusage social des proceacutedures non

matheacutematiques obtenues par deacutematheacutematisation progressive de proceacutedures agrave lorigine

proprement matheacutematiques Le fait est banal et geacuteneacuteral les progregraves de leacutelectronique

me dispensent aujourdhui du bricolage auquel eacutetaient tenus les utilisateurs du poste

agrave galegravene

En fait le royaume du calcul numeacuterique est reacutegi par la loi de simplification

inteacuterioriseacutee en habitus(35) dont lune des clauses est constitueacutee par le principe

dachegravevement des calculs Selon ce laquoprinciperaquo lexpression laquo4 + 8raquo ne saurait en

calcul numeacuterique figurer comme reacuteponse le calcul agrave ce stade eacutetant laquoinacheveacuteraquo (36)

Lexpression laquo4 + 8raquo ne saurait ainsi ecirctre quune forme transitoire labile (parce que

quatre plus huit eacutegale douze) et nexiste pas plus dune maniegravere libre que latome

doxygegravene en dehors de la moleacutecule deg 2

Il en va tout autrement avec la tradition laquonobleraquo de la laquotheacuteorie des nombresraquo

Les Pythagoriciens au tout deacutebut de la science grecque eacutelaborent ainsi toute une

conception de la repreacutesentation laquogeacuteomeacutetriqueraquo des nombres soit une arithmo-geacuteoshy

meacutetrie(37) Consideacuterons par exemple les entiers impairs 5 et 7 Leurs repreacutesentations

(34) Ibid

(35) P Bourdieu deacutesigne par habitus des laquosystegravemes de dispositions durables structures structureacutees preacutedisposeacutees agrave fonctionner comme structures structurantes cest-agrave-dire en tant que principe de geacuteneacuteration et de structuration de pratiques et de repreacutesentations ( hgt (Bourdieu 1974 p 175)

(36) Les Instructions de janvier 1957 (sur lesquelles nous revenons plus loin) parlent explicitement de laquocalcul conduit jusquagrave son achegravevementraquo fait rare et remarquable car il est de la nature dun habitus de ne pas supposer lexplicitation des principes agrave lorigine de son efficace

(37) Sur larithmo-geacuteomeacutetrie des Grecs voir Michel 1959 pp 295-325

74

figureacutees peuvent ecirctre disposeacutees ainsi

o o o o o

o o o o o

o 0 5 7

Reacuteunissons ces repreacutesentations de la maniegravere suiyante

o o o o

o o o o

o 0

o 0

En les regroupant adeacutequatement il apparaicirct que la somme 5 + 7 est Lin multiple de

4 (plus preacuteciseacutement que 5 + 7 = 3 X 4) -1------------ -------------1

1 shy10 Oi iO 011 1 1 shyi i 1

- 1shyj j - 1

rO Oi iO1

O shy

i -_------------ [-------------1 iO Oi 1 i 1

Jo oi i

De plus si on laquocomplegraveteraquo le carreacute on voit apparaicirctre immeacutediatement que 5 + 7 est

une diffeacuterence de deux carreacutes (plus preacuteciseacutement que 5 + 7 = 43 - 22 )

o o o o

o o o o

o o x x

o o x x Ces monstrations qui au sens strict nont de force deacutemonstrative que pour les valeurs

numeacuteriques particuliegraveres traiteacutees ont en fait une valeur geacuteneacuterique comme les figures

(et les deacutemonstrations quelles permettent) en geacuteomeacutetrie on nest pas loin dune

deacutemonstration valable pour tous les couples dimpairs conseacutecutifs Nous pouvons

reacutetrospectivement admirer la finesse intellectuelle que linvention et lemploi de

telles proceacutedures supposent Mais nous pouvons aussi voir que notre langage algeacutebrique

actuel (creacuteeacute par Viegravete Descartes et quelques autres) sinscrit dans le prolongement

de cette analyse du numeacuterique tout en la deacutepassant en souplesse et en puissance

75

Sur le mecircme problegraveme aujourdhui nous obtenons par exemple ceci soient 2p - 1

et 2p + 1 deux impairs conseacutecutifs leur somme (2p - 1) + (2p + 1) = 4p est un

multiple de 4 et puisque 4p = (p + 1) - (p - 1)2 elle seacutecrit aussi comme une

diffeacuterence de deux carreacutes Le langage nOuveau permet dabord de formuler le problegraveme

dans sa geacuteneacuteraliteacute puis de le reacutesoudre de maniegravere eacutegalement systeacutematique

Le calcul numeacuterique utilise le langage numeacuterique pour son pouvoir deacutesignatif

eSSentiellement laquo34raquo et laquo075raquo ou encore laquo4 + 8raquo et laquo12raquo sont agrave cet eacutegard eacutequivashy lents puisquils deacutesignent le mecircme nombre (simplement laquo34raquo est une fraction laquonon

effectueacuteeraquo laquo4 + 8raquo une somme non effectueacutee) ils sont des noms diffeacuterents pour

un mecircme ecirctre matheacutematique Larithmeacutetique laquoalgeacutebriqueraquo au contraire distingue

ces noms parce que bien quils deacutesignent la mecircme chose ils ne montrent pas la mecircme

chose (ils napportent pas la mecircme information monstrative) agrave propos de lecirctre matheacuteshy

matique dont ils sont deux noms diffeacuterents (ltlt4 + 8raquo ou mieux laquo22 +23 raquo montre

que 12 est une somme de puissances de deux etc) Cest ainsi que au cœur mecircme

du langage numeacuterique sinsinue un clivage et pour tout dire une tension entre deux

modes de fonctionnement lefficaciteacute deacutesignative (propre agrave lusage calculatoire du

langage numeacuterique) tend agrave ignorer lagrave valeur monstrative de lexpression eacutecrite le

principe dachegravevement des calculs voue agrave leacutepheacutemegraverelesmiddotltltnoms intermeacutediairesraquo et

laquo4 + 8raquo devient ainsi laquo12raquo sans quaucune trace nous soit conserveacutee de lhistoire

de ce laquo12raquo Ali contraire le langage algeacutebrique - notamment parce quil est une

meacutemoire - vient permettre de conserver de meilleure faccedilon linformation monstrative

et surtout de faire apparaicirctre linformation monstrative pertinente le passage en

simplification de lexpression (2p - 1) + (2p + 1) agrave lexpression 4p fait apparaicirctre

que (2p - 1-) + (2p+ 1) deacutesigne un nombre multiple de 4 le passage en complexifishy

cation de 4p agrave (p + 1)2 - (p - 1)2 fait apparaicirctre que (2p - 1) + (2p + 1) est une

diffeacuterence de deux carreacutes

La creacuteation du langage algeacutebrique permet de deacutegager plus nettement laprobleacuteshy

matique deacutetude du nurileacuterique en la posant - sans lopposer - agrave cocircteacute de la perspecshy

tive calculatrice Elle permet donc dexpliciter ce qui demeurait largement implicite shy

la copreacutesence de deux maniegraveres davoir affaire au numeacuterique - et par lagrave dapaiser

les tensions Mais son surgissement historique permet surtout de mieux maicirctriser

la dialectique du numeacuterique et de lalgeacutebrique jusque-lagrave conduite avec des moyens

matheacutematiques insuffisamment adeacutequats Lalgeacutebrique est un outil de leacutetude du

numeacuterique le premier outil le plus eacuteleacutementaire sans doute (agrave un niveau avanceacute intershy

viendraient par exemple la theacuteorie des seacuteries entiegraveres la theacuteorie des fonctions analytishy

ques etc) Mais inversement (et cest ce qui nous autorise agrave parler de dialectique)

pour que le fonctionnement de cet outil soit efficace il faut quelque peu eacutetudier

cet outil par exemple se poser les problegravemes de la factorisation des expressions algeacuteshy

briques (afin notamment de reacutesoudre des eacutequations algeacutebriques) Or en ce point le

numeacuterique lui-mecircme est un outil deacutetude agrave lalgeacutebrique le flux sinverse Sans parler

76

de toutes les meacutethodes numeacuteriques qui font appel le plus souvent agrave des proprieacuteteacutes

danalyse (cest-agrave-dire concernant le corps des reacuteels et les fonctions dune variable

reacuteelle par exemple) on peut citer - pour prendre un exemple assez gros pour ecirctre

tout agrave fait visible - le theacuteoregraveme dEinsenstein sur la factorisation dans Q[X] (38)

Newton dans son Arithmetica Universalis deacutejagrave mentionneacutee montre une grande attenshy

tion agrave ce genre de laquoretoursraquo du numeacuterique vers lalgeacutebrique Ainsi donne-t-i1 une

meacutethode ingeacutenieuse pour trouver les facteurs dune expression algeacutebrique(39)

Si par exemple la quantiteacute proposeacutee est x 3 - x - 10x + 6 agrave la place de x

je substitue successivement les termes de la progression arithmeacutetique 1 0 -1 il en

naicirctra les nombres -4 + 6 + 14 Je place chacun deux avec tous ses diviseurs dans

la ligne du terme de la progression 1 0 -1 qui la produit comme on peut le voir

dans lexemple suivant

1 4 124 +4 o 6 1 2 3 6 +3

- 1 14 1 2 7 14 +2

Ensuite comme le terme le plus eacuteleveacute x3 na pas de diviseur de luniteacute je

cherche parmi les diviseurs quelque progression dont les termes ne diffegraverent que

dune uniteacute et qui en descendant des plus forts au plus faibles deacutecroissent comme

ceux de la progression 10 -1 Je ne trouve quune progression de cette espegravece cest

4 3 2 Je prends donc le terme + 3 qui se trouve dans la mecircme ligne que 0 de la

premiegravere progression 1 0 -1 je le joins agrave x et je tente la division par x + 3 elle

reacuteussit et jobtiens pour quotient x 2 - 4x + 2

Au-delagrave de la disparition de la structure du corpus matheacutematique enseigneacute en arithshy

meacutetique et algegravebre cest la dialectique du numeacuterique et de lalgegravebre - implicitement

preacutesente agravetravers llaquooppositionraquo de larithmeacutetique et de lalgegravebre - qui va se trouver

atteinte Plus que jamais les liens du numeacuterique et de lalgeacutebrique sen trouveront

relacirccheacutes

VIII - UNE CONCEPTION EMPIRISTE DU REEL MATHEMATIQUE

Leffacement de lopposition arithmeacutetiquealgegravebre en effet altegravere les condishy

tions de la mise en rapport du numeacuterique et de lalgeacutebrique Lancien rapport doutil

(38) Soit PIt) = a + a t + + a t n un polynocircme agrave coefficients dans if Sil existe un nombre premier p tel que0 1) ~ rie divise ~as an 2) p divise a al an_l p2 ne divise pas ao alors P o est irreacuteductible sur O

(39) Arithmeacutetique universelle tome premier pp 47-48 Nous laissons au lecteur le soin dapporter la justification matheacutematique requise

77

de travail agrave objet travailleacute semble perdu Les deux domaines - le numeacuterique -le

litteacuteral - vont coexister dans une simple juxtaposition existants qui trouvent en

eux-mecircmes leur propre justification Les rapports naguegravere encore banals entre ces

deux ordres de reacutealiteacute matheacutematiques semblent deacutesormais abolis Ou plutocirct ils laissent

place agrave des rapports nouveaux et inverseacutes ce nest plus lalgeacutebrique qui vient pershy

mettre deacutetudier le numeacuterique cest le numeacuterique qui laquojustifieraquo et laquopermet de comshy

prendreraquo lalgeacutebrique Le document 5 extrait dun manuei de quatriegraveme actuel (40)

IIUDIFFeacute~ENCS ce ceux C~CIMAUX [

x-eD yeC zeC z-z -y signifie que z+y-z Comment est appel z pour z et y dans ct ordre Observe

13-(-7) z+-7)middot13

[+(-7)j+713+7 +[(-7)+71-13+7

+0-13+7 zo13+-7

z-z-y z+y-z

(+y) + (-y)- +-(-y) +(y+ (-y)]-x + (-y)

z+O-z + (-y) -+(-y)

Pour tout xde D pour tout y de 0 z - y est un deacutecimal et z - y = +(-y) Exemples 8-(-7)=8+7=15 9-14=9+(-14)=-5 Lopeacuteration- qui agrave chaque coupe (z y) z e 0 y E C fait correspondre le deacutecimal Z - J est la soustraction dans O

DOCUMENT 5

Lalgeacutebrique comme essence du numeacuterique

nous donne de ce pheacutenomegravene un exemple tregraves net lintention didactique est ici

de justifier le fait que x - y = x + (-y) Pour le matheacutematicien la laquojustificationraquo shy

qui est alors strictement une deacutemonstration - est toute entiegravere contenue dans la

colonne de droite si je deacutefinis en geacuteneacuteral-y comme eacutetant le nombre tel quey + (-y) = 0

et si les proprieacuteteacutes ordinaires - associativiteacute etc - valent encore pour le nouvel

ensemble de nombres ainsi deacutefini alors le nombre z que je dois ajouter agrave y pour

obtenir x - ce quon appelle la diffeacuterence de x et y et qUon note x - y - nest pas

autre chose que x + (-y) Or la laquojustificationraquo passe dans la didactique ici examineacutee

par lappel au concret cest-agrave-dire au numeacuterique tel est le rocircle de la colonne de

gauche Ce sont les calculs numeacuteriques de la colonne de gauche qui soutiendraient

le sens (pour leacutelegraveve) des calculs litteacuteraux de la colonne de droite Malheureusement

le contenu de la colonne de gauche est si lon peut dire hautement improbable

(401 Il sagifdu _manuel Matheacutematique contemporaine pour la classe de quatriegraveme publieacute chez Magnard et conforme au programme de1978shy

78

parce que le numeacuterique ne fonctionne pas ainsi En fait les calculs numeacuteriques preacuteshy

senteacutes ici nexistent quagrave ecirctre limage en miroir des calculs litteacuteraux de la colonne

de droite Et cest pour permettre de tels calculs que le langage algeacutebrique preacutecishy

seacutement est neacutecessaire Il y a ainsi meacuteprise sur la speacutecificiteacute des deux ordres de calcul

et conseacutequemment sur le type de rapports quils entretiennent la justification

de lalgeacutebrique sappuierait sur un mode de fonctionnement du numeacuterique qui nest

en fait quun deacutecalque du fonctionnement de lalgeacutebrique et qui donc suppose

lalgeacutebrique

Leacutelucidation du nouveau rapport qui saffirme ainsi nest pas chose facile Elle

est pourtant neacutecessaire afin de preacuteciser par delagrave la surface des programmes les mouveshy

ments profonds produisant des deacutecisions didactiques quon aurait tort de regarder

seulement comme des laquotrucsraquo eacuteleacutements atomiques de strateacutegies trouvant en ellesshy

mecircmes et dans leurs effets supposeacutes leur unique mobile Revenons agrave lexemple que

nous avons examineacute Lalgeacutebrique y apparaicirct comme la laquotheacuteorieraquo de cette laquoreacutealiteacuteraquo

que serait le numeacuterique Mais les relations en acte entre theacuteorie (permettant leacutetude)

et reacutealiteacute (objet de leacutetude) y ressortissent incontestablement agrave une conception empishy

riste (et mecircme nous allons le voir empiriste-sensualiste) de la connaissance Tel est

en fait le mobile - veacutecu sans doute comme allant de soi dans leacutevidence que lideacuteoshy

logie procure - de la tentative de laquofaire sortirraquo la theacuteorie (lalgeacutebrique) de la reacutealiteacute

(numeacuterique) Il ya ici inversion des rapports entre theacuteorie et reacutealiteacute Car le surgissement

du theacuteorique - faut-il le rappeler - ne sautorise jamais que de lui-mecircme et loin

de proceacuteder de la reacutealiteacute la constitue (ou la renouvelle) comme objet de connaissance

Si jeacutecris par exemple 13 + 7 = 13 - (-7) selon un fonctionnement du numeacuterique

antinomique de la pratique calculatoire (cest-agrave-dire arithmeacutetique) du numeacuterique shy

laquelle voudrait quon eacutecrivicirct 13 + 7 = 20 - je fais de lalgegravebre sur du numeacuterique

cest loutil algeacutebrique et lui seul qui me permet ce travail du numeacuterique Entre le

fonctionnement arithmeacutetique et le fonctionnement algeacutebrique du numeacuterique il y a

ainsi une distance - un saut - que nul proceacutedeacute dlaquoabstractionraquo ne peut venir combler

On aurait tort de penser que lanalyse preacuteceacutedente ne vaut que pour lexemple

sur laquelle nous lavons illustreacutee En reacutealiteacute sa porteacutee est beaucoup plus eacutetendue

et pour en saisir toute la signification il faut revenir agrave cette acmeacute de leacutevolution de

la transposition didactique que repreacutesente la reacuteforme de 1971 (celle des laquomatheacutemashy

tiques modernesraquo) Contrairement aux opinions aujourdhui dominantes qui selon

un opportunisme neacutecessaire et une constante inconstance reacutecusent cette reacuteforme

pour ses excegraves et la regardent comme laberration dun moment il faut tenir que cette

aberration nen est pas une quelle ne fait que preacutecipiter cristalliser et rendre explicites

des traits qui deacutejagrave se repegraverent dans leacutevolution des deacutecennies preacuteceacutedentes Elle est un

moment qui donne sens reacutetrospectivement agravece qui vient avant lui et deacutetermine

largement ce qui viendra apregraves lui Car sil y a en quelque faccedilon rupture cest sur le

fond dune tregraves large surdeacutetermination En profondeur le programme de 1971 - pour

79

sen tenir agrave la classe de quatriegraveme - constitue une radiographie saisissante dune

eacutevolution que le programme de 1978 nadoucira quen surface Cest cette image

laquodureraquo quil faut interroger

On a trop vitupeacutereacute linflation moderniste le parti pris theacuteoriciste lambition

de rigueur des matheacutematiques promues par la reacuteforme et trop peu vu derriegravere cet

eacutecran deux mouvements correacutelatifs moins spectaculaires mais deacuteterminants Le

premier - que nous avons deacutejagrave plusieurs fois mentionneacute - cest lenvahissement du

champ deacutetude par les structures numeacuteriques Les laquoexcegravesraquo du programme de 1971

sont le prix agrave payer pour ce coup de force qui se megravene alors - simple tactique dun

moment le programme de 1978 installera une version apaiseacutee de la mecircme strateacutegieshy

avec lartillerie lourde de laquolapproche des reacuteelsraquo des laquocalculs approcheacutesraquo des laquoencashy

drementsraquo de haute ambition matheacutematique Le seCond cest la peacuteneacutetration dun

thegraveme qui va devenir central celui de llaquoobservationraquo et de llaquoexpeacuterimentationraquo

matheacutematiques

Fausse moderniteacute ce thegraveme est mis en place degraves les Instructions de janvier

1957 (annexe 6a) dont les Instructions de 1971 se reacuteclameront non sans raicon Il

prend alors lallure dune reacuteflexion sur les liens entre matheacutematique et extramatheacutemashy

tique La caution bergsonienne ici invoqueacutee - homo taber homo sapiens - bien que

dateacutee est agrave cet eacutegard tregraves significative La perspective proposeacutee ne conduit pas tregraves

loin les problegravemes denseignement se trouvent laquoreacutesolusraquo par une didactique euphoshy

rique (annexe 6b) Au vrai la conjoncture historique qui verra la mise en place des

matheacutematiques modernes nest alors quincomplegravetement formeacutee Ce qui manque

encore afin que lideacutee dexpeacuterimentation puisse passer dans les faits cest une matiegravere

que lon pourrait soumettre agrave lobservation et agrave lexpeacuterience A cet eacutegard les Instrucshy

tions de 1957 raisonnent encore agrave lancienne la notion dexpeacuterimentation y est

surtout loccasion dune rheacutetorique qui tourne sur elle-mecircme faute de pouvoir sapplishy

quer Mais cette matiegravere dapplication qui fait deacutefaut la reacuteforme va lapporter en

abondance ce sera le numeacuterique dont nous comprenons mieux degraves lors la place

de choix que les programmes reacuteformeacutes vont lui accorder Son expansion se trouvait

en fait comme appeleacutee par lexigence laquoexpeacuterimentaleraquo induite par une certaine concepshy

tion eacutepisteacutemologique et didactique

Le deacutecor de laction est installeacute en consonance avec une mise en scegravene empiriste

du procegraves de connaissance(41) Il Y a la laquoreacutealiteacuteraquo qui est un donneacute dont la preacutesence

simpose avec la derniegravere force et il y a la laquotheacuteorieraquo de ce donneacute que lon preacutetend

tirer par abstraction de lobjet agrave laquelle elle se voue La dialectique du numeacuterique

et de lalgeacutebrique est alors perdue lun de ses termes (lalgeacutebrique) se dissout dans

(41) Pour lintelligence de ce qui suit nous renvoyons agrave Althusser 1968 notamment pp 38-45

80

lautre (le numeacuterique) agrave qui est octroyeacute par nature une existence presque mateacuterielle

et dont lalgeacutebrique proceacutedera geacuteneacutetiquement La reacuteforme de 1971 remanie donc

le champ deacutetude pour y produire de solides objets laquoreacuteelsraquo agrave forts coefficients dexis-shy

tence les structures numeacuteriques et aussi la mysteacuterieuse laquodroite physiqueraquo dont la

soudaine promotion ontologique serait autrement encore plus inexplicable(42) Cela

poseacute lintroduction du litteacuteral (lalgeacutebrique) sidentifie au mouvement par lequel

dans le procegraves empiriste de connaissance se repreacutesente lessence du reacuteel qui est toute

la connaissance que le sujet peut tirer de lobjet par abstraction il permet de distinguer

entre un reacuteel essentiel et un reacuteel inessentiel gangue ou accident que le processus

dabstraction abandonne comme un reacutesidu impenseacute Labstraction qui vise agrave porter

agrave la lumiegravere ce quon pourra connaicirctre de lobjet agit par deacutecrassage et deacutecapage

CHA~tTRbullbull tour dieacuteremcs ftiems de 1t 011 obti=c cIes putitioas cilifeacute=o~ Uuml fiIure 2 repreacutese1tt (parshy

tieJ1emenz) les paniagravecas ~ i- II-l 11--0 11 - - l~ = grouie agrave la loupe la paftiriœ cozrcspoadaDc agrave Il - - 2shy

f-oo( [Q10[

1 1

~ Q t

(-2 ~( T

[l 0 ( [01 ( r12 r i i i i J r sr

-1shy 0 t

1 1 1 1 1 1 1 1 shy 1 bull 1 1 1 11

-1 -01 001 lU 03 ~ o~ 06 07 oa 09 1 11

P4 041 ~l ~~I 041ds1 -i -o] OoJ O4l o~ 04S 04) ~ 1 ~1 1

fJvZ

li) De m=c si II eR lD1 emer œIaagravef acirczeacute et si CI pr=d tOlIœS les ftiems possibles da2s Z r=semblc cIes imenalles cie c

Jcr10 (CI + L 10

eR iJMpcrtirIcircD1f de C Uuml figure 3 repreacutes=œ (articllemcm) =œ putitioll p04 shy O~

r 1 i 1 T l 1 1 -5 -4shy -3 -2 -r agrave l Z ~ 4shy 5

~3

DOCUMENT6

Le deacutecapage du donneacute dans le processus empiriste de connaissance

(42) Voir Chevallard et Johsua 1982 notamment pp 200-203

81

agrave ce thegraveme geacuteneacuteral de la connaissance empiriste reacutepond correctement dans les proshy

grammes la notion dlaquoapprocheraquo ou dlaquoapproximationraquo des laquoreacuteelsraquo (qui nont jamais

aussi bien porteacute leur nom) Ceux-ci sont atteints par le moyen de purifications successhy

sives qui eacuteliminent peu agrave peu la gangue inessentielle Tel manuel (43) pris parmi tant

dautres- en offre la superbe illustration (document 6) limage de la loupe - emblegraveme

de la connaissance empiriste dont elle est linstrument privileacutegieacute parce quelle permet

de mieux voir et de faire voir - y est requise et symbolise mieux quun long commenshy

taire cette conception de la connaissance comme visant agrave amener linvisible agrave la

vue de tous

Une telle conception de la connaissance rate le reacuteel dont il sagirait preacuteciseacutement

de produire la connaissance parce quelle en manque la constitution comme objet

de connaissance(44) Lalgeacutebrique ne sert plus agrave connaicirctre le numeacuterique Il nest plus

deacutesormais quune steacutenographie middotessentialisante qui deacutecrit reacutesume et seacutepare lessence

de laccident Le surgissement laquomoderneraquo de la dichotomie de llaquoobservationraquo et de

la laquotheacuteorieraquo - que les manuels actuels reprennent agrave lenvi - est ainsi correacutelatif dune

dissolution de lobjet de connaissance au profit de lobjet reacuteel maintenant donneacute

agrave voir dans une abstraction reacuteputeacutee immeacutediate et facile Lordre didactique va sorgashy

niser autour de cette eacutepisteacutemologie imaginaire

REFERENCES

ALTHUSSER L (1968) Lire le Capital Franccedilois Maspeacutero Paris

BOURDIEU P (1974) Le sens pratique eacuteditions de Minuit Paris

BROUSSEAU G (1980) Problegravemes de lenseignement des deacutecimaux Recherches

en didactique des matheacutematiques 1middot1 pp 11-59

CHEVALLARD Y (1980a) Matheacutematiques langage enseignement la reacuteforme des

anneacutees soixante Recherches 41 pp 71-99

CHEVALLARD Y (1980b) La transposition didactique 1REM dAix-Marseille

CHEVALLARD Y (1982) Pourquoi la transposition didactique 7 Publication du

seacuteminaire de didactique et peacutedagogie des matheacutematiques 32 Grenoble

CHEVALLARD Y et JOHSUA MA (1982) Un exemple danalyse de la transposition

didactique Recherches en didactique des matheacutematiques 3 2 pp 157-239

MICHEL PH (1950) De Pythagore agrave Euclide Les Belles Lettres Paris

SMITH DE (1953) History of mathematics volume Il Dover publications Inc

New York

(43) Il sagit de louvrage mentionneacute dans la note 24 ci-dessus

(44) Sur la distinction entre laquoobjet reacuteelraquo et laquoobjet de connaissanceraquo voir Althusser 1968 pp 4649

82

CLASSE DE QUATRIEME CLASSIQUE A ET B ET DE QUATRIEME MODERNE

PROGRAMME DE 1945 (extraits)

Arithmeacutetique

Pratique sur des exemples de la deacutecomposition dun nombre entier en facteurs premiers de la recherche du plus grand commun diviseur et du plus petit commun multiple de deux ou plushysieurs nombres Applications aux fractions

Algegravebre

Nombres algeacutebriques (positifs nuls heacutegatifs) Opeacuterations sur ces nombres exposeacutes agrave partir de problegravemes concrets Ineacutegaliteacutes

Mesures algeacutebriques de vecteurs sur une droite orienteacutee Formule de Chasles Repeacuterage dun point sur un axe

Eleacutements du calcul algeacutebrique proprieacuteteacutes des sommes et des produits Puissances Produit et quotient de deux puissances dun nombre usage de lexposant nul et dexposants neacutegatifs

Monocircmes Produit de monocircmes Quotient de deux nombres Somme de monocircmes semblables (on se bornera agrave des monocircmes agrave une deux ou trois variables) Polynocircmes agrave une variable addition soustraction multiplication par une constante

Equations numeacuteriques du premie( degreacute agrave une inconnue Problegravemes conduisant agrave une eacutequation numeacuterique du premier degreacute agrave une inconnue

Annexe 1

83

CLASSE DE QUATRIEME

PROGRAMME DE 1958 (extraits)

Arithmeacutetique

Pratique sur des exemples de la deacutecomposition dun nombre entier en un produit de nomshybres premiers pratique de la recherche du plus grand diviseur commun et du plus petit multiple commun de deux ou plusieurs nombres Applications

Algegravebre

1 - Nombres relatifs (positifs nuls neacutegatifs) Orientation dun segment (vecteur) orientation dune droite (axe) mesure algeacutebrique

dun segment orienteacute sur un axe repeacuterage dun point sur un axe (abscisse)

II - Opeacuterations eacuteleacutementaires sur les nombres relatifs addition et soustraction multiplishycation et division

Extension aux nombres relatifs des proprieacuteteacutes fondamentales eacutetablies pour les nombres arithmeacutetiques (classe de cinquiegraveme) concernant les sommes les diffeacuterences les produits les puisshysances n-iegravemes les quotients linverse dun nombre non nul Condition pour quun produit soit nul

Deacutefinition des exposants neacutegatifs et de lexposant nul Comparaison des nombres relatifs ineacutegaliteacutes Ineacutegaliteacutes concernant la valeur absolue dune somme ou dune diffeacuterence Formule de Chasles pour trois points situeacutes sur un axe Segment deacutefini par les abscisses

des deLix points qui le limitent mesure algeacutebrique de ce segment orienteacute mesure de la longueur de ce segment abscisse du milieu de ce segment

III - Notions de variables et de correspondance entre variables Expressions algeacutebriques deacutependant dUne ou de plusieurs variables calcul de la valeur

numeacuterique dune expression algeacutebrique pour des valeurs numeacuteriques donneacutees aux Ymiddotariables Monocircmes agrave une ou plusieurs variables multiplication addition de monocircmes semblables Polynocircmes forme reacuteduite Polynocircmes ordonneacutes addition multiplication Identiteacutes relatives aux produits (x + y)2 (x - y)2 (x + y)(x - y)

IV - Equations position du problegraveme signification du signe = dans ce problegraveme Equashytions du premier degreacute agrave une inconnue agrave coefficients numeacuteriques Reacutesolution de problegravemes simples agrave laide dune telle eacutequation

Annexe 2

84

CLASSE DE QUATRIEME

PROGRAMME DE 1971 (extraits)

1 - Relations

Reacutevision -des notions preacutesenteacutees dans les classes anteacuterieures et compleacutements produit carteacutesien relation application composition des applications bijection cun ensemble sur un ensemble et bijection reacuteciproque

Notion de groupe deacutefinition (on la jeacutegagera des exemples du programme)

II - Nombres deacutecimaux relatifs et approche de reacuteel

1 Groupe des puissances de dix

Nombres deacutecimaux relatifs eacutecrits a 10n avec a e7l et p E7 et sous forme de nombres agrave virgule addition multiplication ordre valeur absolue Reacutesumeacute des proprieacuteteacutes fondamentales de lensemble ainsi structureacute des deacutecimaux relatifs

2 Calculs approcheacutes

a) EnC3drement dun nombre deacutecimal par des intervalles des types [a 10pbull (a + 1) 10middot[ da 101 (a + 1) 10- [a 10pbull (a + 1) 101] avec a E Z et p E Z Sur des exelJlples encamiddot drement middotdune somme dun produit

b) Exercices de deacutetermination pour un deacutecimal strictement positif d donneacute et pour un entier relatif n donneacute du nombre deacutecimal x bull 10 avec x E IN tel que soient veacuterifieacutees les ineacutegaliteacutes 0 ~d x 10 ~ 1 lt d (x + 1) 10

c) Exercices de deacutetermination pour un deacutecimal strictement positif d donneacute et pour un entier relatif n jonneacute du nombre deacutecimal y bull 10 avec y E IN tel que soient veacuterifieacutees les ineacutegaliteacutes [y 10P ~ d lt [(y + 1) 10]

d) Suites deacutecimales illimiteacutees nombres reacuteels encadrements dun nombre reacuteel

3 Enumeacuteration des principales proprieacuteteacutes qui structurent fensemble IR des reacuteels addition (IR +) est un groupe commutatif multiplication associashytiYiteacute distributiviteacute par rapport agravefaddition ordre et valoeur absolue

On admettra que pour tout nombre reacuteel a jiffeacuterent de 0 il existe un nombre reacuteel a-1 et un seul tel que aa-1 = 1 Pour tout couple de nombres reacuteels (a b) avec a = 0 il existe un nombre reacuteel unique x appeleacute quotient de b par a

b et noteacute ba-1 ou - tel que ax = b a

Exercices simples de calcul sur de tels quotients Sur des exemples -numeacuteriques eacutequations et ineacutequations du premier degr9 agrave une inconnue

Usage des exposants entiers groupe des puissances dun nombre reacuteel non nul

Calculs approcheacutes sur les nombres reacuteels

4 Exemples de fonctions polynocircmes (applications de IR dans IR) Degreacute Exercices de calcul SUT les polynocircmes Produits (x + a)2 (x - a)2 (x + a) (x - a) Exercices de factorisation

Annexe 3

85

ENCYCLOPEDIE QUILLET (1958)

TABLE DES MATIERES (extraits)

ARITBMEacuteTIQUE Notio~ preacute1i1Ji~ajres - Ideacutee de nombrebullbullbullbull 153 NumeratIon decmale bullbullbullbullbullbullbullbull 156 ~esure des grŒDdeurs bullbullbullbullbullbull bullbullbullbull 159 Nombresmiddot deacutecUDauxbullbullbullbullbullbullbullbullbullbull 169 Ladditionbullbull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull 165 La soustraction bull bull bull bull bull bull bull bull bull 168 La ~~qplication bullbullbullbullbullbullbull1 bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bullbull 171 La diVISIon 178

Regravegle de trois bull bull 117 Pourcentages bullbullbull 119 Partages proportionnels 110 ~~langes bullbull i bull bullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbull 111 Alliages bull 111 Regravegles dinteacuterecircts 124 Rentes sur Pltat 116 Actins et obli~tions - Escompte 117

Problegravemes sur les quatre opeacutemtions bull bull bull 184 La divisibiliteacute bull bull bull bull bull bull bull bull 186 Plus grŒDd commun diviseur (p G C D) 189 Plus petit commun multiple (P P C M) 191 Nombres premiers bullbullbullbullbullbullbullbull 192 Les fractions bull bull bull bull bull 194 Opeacuterations sur les fractions 197 Sys~egraveme meacute~que 203 Racme carree 207 Rapports - Proportions 2 II

Grandeurs Proportionnelles 215

Connge des exercces ~ 130

Annexe4a

ALGEgraveBRE Notions preacuteliminaires bullbullbullbull 157 Opeacutemtions sur les nombres algeacutebriques (somme

diffeacuterence multiplicationmiddot division des nombres algeacutebriques fractions ou rapports algeacutebriques puissances racines) bull bull 160

Qpeacuterations sur les expressions algeacutebriques bull 168 gquations du premier degreacute 278 Reacutesolution des problegravemes du premier degreacute agrave une

inconnue bullbullbullbullbullbullbullbullbull 186 gquations et problegravemes du premier degreacute agrave deux

ou plusieurs inconnues bull bull 191 Notions sur les repreacutesentations graphiques bull bull 301

Variation des fonctions 313 Deacuteriveacutees bullbull bull bull 319

~uations et problegravemes du second degreacute bull bull 312

ProgressionsetlogaritbInesmiddotmiddotmiddotmiddot middotmiddot middotmiddotmiddot middot331 Table de logarithmes de 1 agrave 1 000 bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull 338 Application des logarithmes Inteacuterecircts composeacutes et

annuiteacutes bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull 343 Corcigeacute des ex~ces bullbull ~ bullbullbullbullbullbullbull 348

Annexe4b

64

Ici dans le livre Il sous les espegraveces de leacutetude des anneaux de polynocircmes Mais le

veacuteritable commencement de lalgegravebre moderne cest leacutetude des structures (lois de

composition groupe anneau corps) qui occupe tout le livre 1 Lhonnecircte homme

qui en 1958 encore sinitiant agrave lalgegravebre se voyait proposer nombres algeacutebriques

expressions algeacutebriques eacutequations etc se verra offrir quelques anneacutees plus tard

relations binaires eacuteleacutement neutre etc Le chapitre Algegravebre que M Glaymann eacutecrit

au deacutebut des anneacutees soixante-dix pour un ouvrage adresseacute au grand public (il paraicirct

dans la collection laquoLes dictionnaires du savoir moderneraquo) est agrave cet eacutegard significatif

loi de composition eacuteleacutement neutre commutativiteacute eacuteleacutement symeacutetrique associativiteacute

eacuteleacutement reacutegulier distributiviteacute et encore structures monoiumlde groupe sous-groupe

groupe cyclique morphisme de groupes anneau anneau integravegre corps etc en sont les ma icirctres-mots(27)

Il se produit donc en quelques anneacutees une veacuteritable substitution dobjet dont

le texte denseignement reccediloit bientocirct la marque les programmes reacuteformeacutes de sixiegraveme

cinquiegraveme et quatriegraveme comportent tous un titre Relations et le programme de

quatriegraveme introduit les notions de groupe et de division dans un groupe qui conduisent

agrave examiner leacutequation ax = b dans le groupe multiplicatif des reacuteels non nuls Le calcul

algeacutebrique est recircduit agrave la portion congrue il fait lobjet du point 4 du titre Il du programme (annexe 3) Leacutetude des eacutequations conformeacutement au plan moderne

dexposition de lalgegravebre est deacutechue de ses titres et se trouve repousseacutee en classe de

troisiegraveme

VI - LALGEBRE SANS ALGEBRE

La situation creacuteeacutee par la reacuteforme autour de 1970 consacre la promotion des

structures numeacuteriques (agrave cocircteacute du geacuteomeacutetrique dont nous ne parlerons pas ici) en

mecircme temps quelle reacutealise une eacutevidente inflation theacuteorique agrave propos du numeacuterique

comme du geacuteomeacutetrique Cest ce theacuteoricisme qui apregraves avoir susciteacute dabord un vif

enthousiasme se trouvera en butte agrave une multitude de critiques qui conduiront agrave

la reacutedaction des programmes de 1977-1978 actuellement en vigueur La focalisation

du deacutebat se fait sur la maniegravere de traiter les contenus - avec notamment le rej~t

du laquopurismeraquo qui impreacutegnait lesprit de la reacuteforme preacuteceacutedente(28) - davantage que

sur la distribution des contenus eux-mecircmes et sur la structuration et leacutequilibre des

diverses parties du corpus enseigneacute Celui-ci apparaicirct en conseacutequence plus comme

(27) Maurice Glaymann Lalgegravebre in Les matheacutematiques Centre deacutetudes et de promotion de la lecture Paris 1973 pp 16-54

(28) Dans la preacutesentation deacutejagrave citeacutee des programmes de 1978 (voir la note 2 ci-dessus) leacutequipe de reacutedaction du Bulletin de lAPMEP deacutenonccedilait le purisme matheacutematique qui en fait laquoest un purisme dexposition non dapprentissage ou de fonctionnement qui na donc rien agrave faire dans le premier cycle ( )gtgt

65

une version laquodeacutegraisseacuteeraquo du corpus des anneacutees soixante-dix que comme une version

fondamentalement nouvelle agrave cocircteacute du geacuteomeacutetrique que lon entend laquodeacutesaxiomatiserraquo

le numeacuterique y demeure preacutedominant mecircme si lon ny inclut plus les mecircmes mateacuteshy

riaux Les nombres reacuteels en effet sont les grands perdants du reacuteameacutenagement opeacutereacute

Et ce sont les fractions et les rationnels qui venant occuper la place ainsi libeacutereacutee dans

le programme de quatriegraveme constituent maintenant la piegravece centrale de leacutetude du

numeacuterique - les nombres relatifs (entiers et deacutecimaux) conservant en classe de cinshy

quiegraveme le rocircle preacuteeacuteminent qui leur eacutetait anteacuterieurement reconnu

Il faut en ce point dire quelques mots de la promotion donneacutee dans ces proshy

grammes aux fractions et aux rationnels Pour des raisons dans lesquelles nous nentreshy

rons pas ici les fractions (associeacutees aux rapports et aux proportions) eacutetaient traditionshy

nellement tirailleacutees entre larithmeacutetique la geacuteomeacutetrie et degraves la naissance du corpus

algeacutebrique lalgegravebre elle-mecircme Preacutesentant ses Eleacutemens dAlgebre Clairaut ne manque

dailleurs pas de faire connaicirctre au lecteur lembarras ougrave cette question la tenu

laquojavois dabord compteacute donner dans le mecircme livre eacutecrit-il tant les Eleacutemens dArithshy

meacutetique que ceux dAlgebre amp je naurois pas manqueacute alors de traiter des proportions

plus agrave fond que je nai fait dans mes Eleacutemens de Geacuteomeacutetrie raquo Bien entendu en passant de larithmeacutetique agrave lalgegravebre on passait aussi des fractions arithmeacutetiques

(rapports dentiers cest-agrave-dire dentiers naturels) aux fractions algeacutebriques (rapports

dentiers laquoalgeacutebriquesraquo cest-agrave-dire relatifs) et aux fractions rationnelles (rapports

de polynocircmes) Mais ces reprises sont significatives de linteacuterecirct didactique accordeacute

au thegraveme les fractions constituent un sujet de choix pour lenseignement

Comme on la rappeleacute(29) laquolaccent qui est mis sur la notion de fractionraquo

constitue selon les termes mecircmes des Instructions relatives au programme de quatriegraveme

de 1978 leacuteleacutement de laquonouveauteacuteraquo de ce programme Nouveauteacute dantique meacutemoire 1

Henri Lebesgue presque un demi-siegravecle plus tocirct avait fermement inviteacute les professeurs

agrave se deacutebarrasser de ce monstre du Loch Ness matheacutematique laquo on sera bien je pense

daccord avec moi eacutecrivait-il (30) pour deacuteclarer que marier des 22iegravemes et des 37iegravemes

est un martyre que nous infligeons aux gosses de douze ans par pur sadisme sans

aucune raison dutiliteacute comme circonstance ateacutenuanteraquo Mais il ajoutait aussitocirct

laquoJentends tous les professeurs protester Les uns parce que les fractions fournissaient

dinnombrables exercices pour leurs jeunes eacutelegraveves apregraves un moment deffroi ceux-ci

sapercevront quils ne manqueront jamais dexercices La plainte des autres meacutemeut

(29) Voir la note 18

(30) Dans La mesure des grandeurs (Albert l3lanchard Paris 1975) p 25

66

davantage et pour la veacuteriteacute je la formule moi aussi laquoSupprimer dans la classe de

matheacutematiques la theacuteorie des fractions cest supprimer un chapitre admirable Le

seul peut-ecirctre parmi ceux qui nous restent qui ne soit pas lagrave uniquement pour son

utiliteacute immeacutediate et qui donne le sentiment de la beauteacute pureraquoraquo(31) Or cette admirable

construction devient dans le cadre des matheacutematiques modernes plus admirable

encore ou disons plus subtile le maniement sans complexe des fractions fait place

agrave une ontologie raffineacutee dans laquelle les fractions devenues couples de nombres

ne sont plus - en theacuteorie plus quen pratique bien sucircr - que le mateacuteriau de la consshy

truction des rationnels classes deacutequivalence de fractions Avrai dire cette preacutesentation

moderne neacutetait guegravere favoriseacutee par le programme de 1971 (dans lequel les reacuteels faisaient

directement suite aux deacutecimaux les rationnels neacutetant alo~s que des reacuteels particuliers

les quotients dentiers) Mais le programme de 1978 lui donne une nouvelle chance

et quelques manuels impavides la mettent en œuvre (document 4a) Cette perspective

constructiviste peut en fait ecirctre aiseacutement eacuteviteacutee au profit dune conception reacutealiste

(celle-lagrave mecircme que le programme de 1971 poussait en avant les reacuteels eacutetant supposeacutes

donneacutes - ils eacutetaient laquoconstruitsraquo dans le programme de 1971 - un rationnel est un

reacuteel qui peut seacutecrire comme quotient dentiers) et la plupart des manuels utilisent

cette possibiliteacute (document 4b) conceptuellement et techniquement moins difficile

et sans doute plus proche de la repreacutesentation du nombre qui est effectivement celle

des eacutelegraveves et mecircme du laquoworking mathematicianraquo Mais le souci de purisme na pas

disparu le goucirct de la laquorigueurraquo (sic) conduit chez quelques-uns (document 4c) agrave une

veacuteritable confusion sur le sens du signe deacutegaliteacute (qui ne signifie en principe nullement

que les deux membres de leacutegaliteacute sont des expressions identiques - formellement

ou syntaxiquement - ce qui interdirait deacutejagrave deacutecrire que 6 = 2 X 3 mais que ce quils

deacutesignent sont une seule et mecircme chose le signe deacutegaliteacute ne signifiant rien dautre

quune identiteacute seacutemantique) Cela dit le problegraveme - eacuteleacutegamment mais coucircteusement

reacutesolu par le moyen des classes deacutequivalence - existait avant les matheacutematiques

modernes et continue dexister mais le corpus ancien le traitait (inconsciemment )

avec une grande discreacutetion (document 4d) en distinguant chaque fois quil eacutetait

neacutecessaire la fraction (consideacutereacutee alors implicitement comme eacutecriture agrave savoir comme

rapport) et la valeur de la fraction (soit le nombre - rationnel - deacutesigneacute par cette

eacutecriture) Quoi quil en soit tout ce jeu laisseacute autrefois implicite et plus ou moins

fortement expliciteacute aujourdhui participe de ladmirable construction des fractions

qui seacuteduit tant les professeurs comme dit Lebesgue

(31) Ibid pp 25-26

67

Nombres rationnels

Ensemble ltC

RAPPELONS

Dans lensemble T des fractions nous avons deacutefini la relation JI suivante

Quelles que soient les fractions ~ et ~ on a (~JI ~) (ad =bel

Nous avons eacutetabli (p 48) que JI est une relation deacutequivalence dans T

Pourtraduire que deux fractions ~ et ~ sont lieacutees par JI nous avons eacutecrit ~ = ~

et nous avons dit que les fractions ~ et ~ sont eacutequivalentes

DEacuteFINITION

Nous donnons la deacutefinition suivante

Ch8q cd6quiVIIlencbullbullbulllonJIst appeleacutee un nombre lIItlonnel

Nous deacutesignons par 0 lensemble des nombres rationnels

AEPAEacuteSENTAtfr DUN RAcircTIONNEL

Soient x un eacuteleacutement de 1 etmiddott une fraction eacuteleacutement de T

Nous disons que x et un nombre rationnel dont un repreacuteentant et ~ 1 et

aeulement si x est 1 clbullbullbullbull deacutequlvlence elon JI de 1 fraction i Le nombre ~tion~1 x est donc lensemble des fractions ~ eacutequivalentes agrave~ nous

avons x=~lcez deZmiddot ~=M Remarquons que toute fraction eacutequivalente agrave ~ est un repreacutesentant du nombre

rationnel x

CHAPITRE 6 ENSEMBLE Q 67

DOCUMEIIT 4eacute1

(Matheacutematiques4egraveme collection Monge 1978)

68

CHAPITRE 4 algegravebre

Ensemble 0 des nombres rationnels

1 Oeacuteflnitlon de lensemble C 4Notatlons fractionnaires dUn rationnel des rationnels

2prOPrieacuteteacutes de lensemble Q 50Peacuteratlons dans Q des rationnels

3Eacutecriture deacutecimale illimiteacutee 6comparaison de deux rationnels dun rationnel

1Deacutefinition de lensemble Q des rationnels

deacutefinition Un nombre reacuteel (ou reacuteel) est appeleacute DOIIlbre ratioonel (ou rationnel) sil est eacutegal agrave un quotient de deux entiers relatifs

Autrement dit Un reacuteel x est un rationnel sil existe un entier relatif a et un entier relatif non

nul b tels que x soit eacutegal au quotient ~

exemples bull Les quotients suivants sont des rationnels 2 -4 -3 248 57 -29704 0 37 0 359 iuml 78 -=5 -614 57 -1- 25 =iOOO =iuml4 -1-

lal -27815) Ibull Le ree r eg au quotIent 0013 est-I un ratIonne

- 2781 5 et 0013 ne sont pas des entiers relatifs

On sait que (proprieacuteteacutes des quotients de reacuteels)

-27815 -27815 x 104 -27815 0013 0013 x 104 =~

Conclusion r est un rationnel

DOCUMENT 4b

(Matheacutematiques4egraveme collection Durrande 1979)

69

I~ Lensemble ltD des nombres rationnels

1 bull DEacuteFINITION ET EXEMPLES

Dans le cnapltre 4 nous ayons rencontreacute des nombres QUon pouvait obtenir comme Quotient exact dun entir relatif fi par un entier relatif non nul b Ces nombres sappellent lesnombnts ratiOnneJa (ou plua simplement les rationnels) Ils sont r8Qreacutesnteacutes par des fractions ainsi

exemples de fractions repreacuteslitntant x Nombre rationnel x -2 -8 -18lentler relatif -2 -9- -L shy1 3 -1 7 35 -7le deacutecimal rlatlf 35 Ji shy2 4 10 -=2 ~ Q EumlL shyIe ratlonn1 i 3 8 30 -3

Reepitullfflon des prlnc1es deacutetlnltlons Otlnitlo Soit un entIer ratatlf quelconque et soit b un entIer reltlf non nuL

11 LA couple (e bJ eacutecrit sous i fonne appellela fractIon d num

teur bull et de deacutenominateur b 2J Cette fraction retrisente le quotient ect de bull par b que lon not

aUAI bull On bull donc par deacuteflnltlon

bX~ bull JCb bullbull b b

31 On appelle nom rationnel tout nombre Que lon peut obtnir comme quotient euct dun entier relatif par un entlr relatif non nul

Attention 1La megravem notation est utiliseacutee pour deacutesignr deux cnoss diffeacuterentesb

le couple (II b) le Quotient exact de Il par b

Quand on eacutecrit il faut preacuteciser sU sagit de la fraction Ji (le couple (1 4 4raquo ou du rationshy4 4

nel 2i (Qui est eacutegal agrave 35) 4

le rationn est Anal au rationnel L4 ~~ 2

la fraction nest pas eacutegale agrave la fraction 1 ~ 2

(Puisque les couples (144) et (72) sont distincts)

Une convention commode

Pour eacuteviter cet Inconveacutenient nous conviendrons toujours Que dans les calculs deacutesinne le b

nombre rationnel Quotient exact d fi par b Ainsi nous pourrons eacutecrire

Ji =L =3S4 2

Quand vous voudrez parler du couple (14 4) il faudra preacuteciser bull la fraction c 4

DOCUMENT 4c

(Matheacutematiques classe de quatriegraveme collection Queysanne et Revus 1979)

70

SIMPLIFICATION DES FRACTIONS

i49 Simllifier une fraction cest la remplacer par une fraction ~e mais ayant des tenDes plus petits

ISO PROPRIEacuteTEacuteS FONDAMENTALES

10 On mesure deux rubans avec le sepagraveegraveme dune longueur donneacutee A B Lun mesure 2 sepagraveagravenes lautre 4 septiegravemes de luniteacute Il est eacutevident que le dewdagraveDe est double du premier

4 2 X 2 2 - --- - X 2 donc 777

Theacuteoregraveme L - Si OD mwdpUe le aDlDampateDr dune CractloD par aD JIOmbre la CracdoD eet muldpUeacutee par ce Dombre

2deg Un ruban mesure 5 sepagraveagravenes de la longueur AB un dewtiagravene ruban vaut S quato12Iumlagravenes de la mbe uniteacute

Un quatorziagravene eacutetant deux fois plus petit quun sepagraveagraveDe la dewdœe longueur est deux fois plus petite que la premiugravee S S S

------ 2 par suite 14 7 X 2 7

Theacuteoregraveme D - Si OD muldpUe le dacirclomiDateur cl1IDe bcdoD par 110 aombre la CracdoD eet diYileacutee par ce JIOmbre

3deg Soit la fraction _3 X 3_2S s s X 3 IS Elle ne c1uIage pas de valeur si nn mulagraveplie ses deux termes par 3 En dfet si on multiplie son numeacuterateur elle devient 3 fois plus grande si on multiplie son deacuteDominateur

elle devient 3 fois plus petiœ Par conseacutequent

Theacuteoregraveme DL - Si OD mwdpUe lee cleu termes daDO bcdoD par aD ~e DOmbre la ampactIoD ae chaage pu do valeur

On voit IJU- mIru gratukur fJGI la _ pat _ itrftniri tU frtJCtUgrave1fU U1IItU igalu

Corollaire - Si OD divise lee deux termee dlIDe CractiOD par aD mfme JIOmbre (ropkatucircm eacutetant possible) OD obdeat une bedoD eacuteplo agrave la premiegravere

Soit la fraction 18 dont les deux termes sont divisibles par 321

On peut eacutecrire 18 _ 6 x 3 21 7 x 3

et dapregraves le theacuteoragravene preacuteceacutedent _ 6 X 3 7 7 X 3

On a donc 18 3_ la fraction Il des termes plus petits que la fraction 18 dougrave la regravegle de simshy21 3 7 7 21

pli1ication des fractions

~ Regravegle - PD1lI simplifier _ fraaion an divis 11$ dIU umm pat 11II mIru 1ItmIbr

DOCUMENT 4d

Arithmeacutetique de lEncyclopeacutedie Quillet 1958

Fractions et rationnels en fait ne constituent pas seulement une admirable

construction matheacutematique ils composent en mecircme temps un objet didactique

inteacuteressant agrave bien des eacutegards La place de leacutelegraveve (cest-agrave-dire ce qui peut ecirctre requis

de leacutelegraveve agrave ce propos) y est nettement dessineacutee Lebesgue le soulignait judicieusement

le chapitre regorge dexercices dont la difficulteacute (cest-agrave-dire en gros la complexiteacute)

peut ecirctre finement gradueacutee La place de lenseignant elle aussi sy trouve preacutepareacutee

le professeur eacuteprouve toute sa speacutecificiteacute face agrave leacutelegraveve en tant quarchitecte et bacirctisshy

seur - fonctions dans lesquelles leacutelegraveve ne saurait lui disputer sagrave place - dune consshy

truction matheacutematiqueagrave la fois simple rigoureuse riche dont la complegravete transpashy

71

rence nest acquise quau prix de quelque subtiliteacute intellectuele nullement inaccessible

agrave leacutelegraveve mais relativement exigeante Toutefois il y a plus En un sens tout objet

de savoir didactiquement acceptable laisse voir deux laquoplacesraquo il doit contenir le

laquolieuraquo que leacutelegraveve viendra occuper (les tacircches que le contrat didactique lui assignera

en propre) il doit contenir aussi un lieu speacutecifiquement alloueacute agrave lenseignant Ce

marquage des places consubstanciellement lieacute au fonctionnement didactique du

savoir est un processus geacuteneacuteral que jai proposeacute(32) dappeler la topogeacutenegravese (du grec

topos lieu) Mais la dialectique topogeacuteneacutetique peut ecirctre plus ou moins resserreacutee plus

ou moins relacirccheacutee dans ce dernier cas (qui correspond comme jessaierai de lindiquer

plus loin agrave ce que nous voyons majoritairement se produire aujourdhui agrave propos de

lemploi du langage algeacutebrique) les eacutechanges entre eacutelegraveves et enseignant demeurent

pauvres la communication est distante parce que les uns et les autres ne se mesurent

pas aux mecircmes tacircches (le professeur deacutemontre une eacutegaliteacute litteacuterale leacutelegraveve lapplique

agrave des cas particuliers numeacuteriques) Avec les fractions une fois fixeacutee larchitecture

geacuteneacuterale de leacutedifice il en va autrement passeacutes les calculs les plus simples les calculs

qui ne sont pas triviaux pour leacuteiegraveve - tout en demeurant de lordre de ce qui peut

loyalemeacutent lui ecirctre demandeacute - ne le scgtnt quagrave peine moins pour le professeur Les

partenaires de linteraction didactique se rapprochent autour dune tacircche unique

jusquagrave sembler parfois unir leurs efforts agrave la recherche dune commune reacuteponse

Tout comme la geacuteomeacutetrie (qui soppose par cela et du seul point de vue didactique

deacutejagrave agrave lalgegravebre en geacuteneacuteral) les fractions constituent loccasion dune reacuteelle convishy

vialiteacute dans la classe Les distinctions qualitatives (marqueacutees par des tacircches de natures

diffeacuterentes) sestompent au profit de simples diffeacuterences quantitatives (lenseignant

va plus vite plus sucircrement mais il ne sait rien de plus que leacutelegraveve et ne fait rien de

plus que lui) Le groupe agrave la fois se rassemble gagne en coheacutesion et en mecircme temps

se diffeacuterencie continucircment sans que son identiteacute sy perde

1 y a lagrave quelques-unes des raisons didactiques qui expliquent la preacuteeacuteminence

de fagraveit de leacutetude des fractions dans les classes actuelles de quatriegraveme Or - et nous

faisons lagrave retour agrave notre sujet quen fait nous navions pas quitteacute - dans le vocabushy

lairedes enseignants les fractions font partie de lalgegravebre Mecircme si le programme

officiel nutilise pas le terme il semble que lusage se soit spontaneacutement creacuteeacute de nommer

laquoalgegravebreraquo dans la pratique de la classe ce qui nest pas geacuteomeacutetrie lalgegravebre cest

globalement lautre de la geacuteomeacutetrie Cet emploi peut-ecirctre irreacutefleacutechi du mot ne manque

pourtant pas de justificatifs Les heacutesitations historiques dont nous avons parleacute trashy

duisent aussi (par delagrave lopposition fractions de nombres arithmeacutetiques fractions de

nombres algeacutebriques) une reacutealiteacute qui perdure les fractions (dentiers) ne sont pas

(32) Voir Chevallard 1980b

72

de lalgegravebre au sens ougrave elles ne contiennent pas de lettres (les lettres sont essentielleshy

ment utiliseacutees par le professeur pour formuler les lois qui reacutegissent leur calcul) mais

elles relegravevent de llaquoalgeacutebriqueraquo en cela quelles sont le lieu dun jeu formel portant

sur des eacutecritures Elles offrent donc loccasion dune algegravebre sans algegravebre qui fait le

gros morceau de lalgegravebre aujourdhui enseigneacutee Il faut voir par quel cheminement

on en est venu lagrave

VII - LA DIALECTIQUE NUMERIQUEALGEBRIQUE

PoUr expliquer plus complegravetement et leacutevanouissement des parties algeacutebriques

de lalgegravebre et - correacutelativement - le come-back des fractions il nous faut compliquer

quelque peu le talJleau que nous avons traceacute jusquici A lopposition structurelle de

larithmeacutetique et de lalgegravebre correspondait - en principe - une dialectique fonctionshy

nelle entre numeacuterique et algeacutebrique Cest sur cette dialectique que nous devrons

dabord nous arrecircter un instant

Il faut pour cela prendre quelque recul Cette dialectique en effet existe

historiquement avant lalgegravebre (avant la construction dun langage algeacutebrique propreshy

ment dit) Les Grecs distinguent entre deux arithmeacutetiques larithmeacutetique vulgaire

ou logistique celle des calculateurs et larithmeacutetique laquopropre aux philosophesraquo

comme dit Platon cest-agrave-dire en gros la theacuteorie des nombres Les calculateurs cal~

culent Les arithmeacuteticiens eacutetudient la structure du numeacuterique Tous manipulent pour

cela un langage du numeacuterique~ mais tous ne lemploient pas aux mecircmes tacircches et ne

lui reconnaissent pas les mecircmes valeurs Dans larithmeacutetique pratique lanalyse du

numeacuterique procureacutee par le langage adopteacute est un moyen ordonneacute agrave un but opeacuterer

des deacutenombrements effectuer des calculs Si dans notre systegravememiddotactuel de numeacuteration

je deacutesire calculer 12 X 12 par exemple je nai besoin dautre analyse du nombre 12

que celle qui mest immeacutediatement donneacutee dans leacutecriture (deacutecimale) de ce nombre

(ch iffre des dizaines 1 chiffre des uniteacutes 2) Mais si comme le scribe du papyrus

Rhind je ne sais multiplier que par duplications successives et additions je devrai

recourir agrave une analyse moins immeacutediate du nombre 12 (qui ne mest pas offerte par

leacutecriture deacutecimale actuelle) Il me faudra observer que 12 = 4 + 8 et calculer ainsi(33)

1 12 2 24 4 48 8 96

(33) Voir Smith 1953 p 106

73

dougrave je deacuteduirai que 12 X 12 = 12 X (4 + 8) = 48 + 96 = 144 De telles manleres

de faire qui se rencontrent encore agrave des dates rapprocheacutees(34) apparaissent agrave lutilisashy

teur contemporain comme des survivances dun acircge imparfait Un bon systegraveme

numeacuteration-algorithmes de calcul en effet doit ecirctre tel que toute linformation requise

pour mettre en œuvre les algorithmes de calcul soit donneacutee dembleacutee avec les nombres

donneacutes eacutecrits dans le langage numeacuterique utiliseacute cest-agrave-dire soit apparente dans leacutecriture

mecircme de ces nombres En dautres termes un bon systegraveme numeacuteration-algorithmes

reacutecuse tout appel aux matheacutematiques fucirct-ce sous une forme apparemment anodine

Lusager dun tel systegraveme est eacutevidemment supposeacute pouvoir calculer que 4 + 8 = 12

(ce pour quoi le systegraveme est fait) mai~ le contrat dutilisation qui regravegle ses rapports

avec le systegraveme exclut quil ait agrave penser que 12 = 4 + 8 Paradoxalement peut-ecirctre

lun des effets et sans doute des buts (poursuivis de maniegravere plus ou moins intentionshy

nelle) de lactiviteacute matheacutematique est de proposer agrave lusage social des proceacutedures non

matheacutematiques obtenues par deacutematheacutematisation progressive de proceacutedures agrave lorigine

proprement matheacutematiques Le fait est banal et geacuteneacuteral les progregraves de leacutelectronique

me dispensent aujourdhui du bricolage auquel eacutetaient tenus les utilisateurs du poste

agrave galegravene

En fait le royaume du calcul numeacuterique est reacutegi par la loi de simplification

inteacuterioriseacutee en habitus(35) dont lune des clauses est constitueacutee par le principe

dachegravevement des calculs Selon ce laquoprinciperaquo lexpression laquo4 + 8raquo ne saurait en

calcul numeacuterique figurer comme reacuteponse le calcul agrave ce stade eacutetant laquoinacheveacuteraquo (36)

Lexpression laquo4 + 8raquo ne saurait ainsi ecirctre quune forme transitoire labile (parce que

quatre plus huit eacutegale douze) et nexiste pas plus dune maniegravere libre que latome

doxygegravene en dehors de la moleacutecule deg 2

Il en va tout autrement avec la tradition laquonobleraquo de la laquotheacuteorie des nombresraquo

Les Pythagoriciens au tout deacutebut de la science grecque eacutelaborent ainsi toute une

conception de la repreacutesentation laquogeacuteomeacutetriqueraquo des nombres soit une arithmo-geacuteoshy

meacutetrie(37) Consideacuterons par exemple les entiers impairs 5 et 7 Leurs repreacutesentations

(34) Ibid

(35) P Bourdieu deacutesigne par habitus des laquosystegravemes de dispositions durables structures structureacutees preacutedisposeacutees agrave fonctionner comme structures structurantes cest-agrave-dire en tant que principe de geacuteneacuteration et de structuration de pratiques et de repreacutesentations ( hgt (Bourdieu 1974 p 175)

(36) Les Instructions de janvier 1957 (sur lesquelles nous revenons plus loin) parlent explicitement de laquocalcul conduit jusquagrave son achegravevementraquo fait rare et remarquable car il est de la nature dun habitus de ne pas supposer lexplicitation des principes agrave lorigine de son efficace

(37) Sur larithmo-geacuteomeacutetrie des Grecs voir Michel 1959 pp 295-325

74

figureacutees peuvent ecirctre disposeacutees ainsi

o o o o o

o o o o o

o 0 5 7

Reacuteunissons ces repreacutesentations de la maniegravere suiyante

o o o o

o o o o

o 0

o 0

En les regroupant adeacutequatement il apparaicirct que la somme 5 + 7 est Lin multiple de

4 (plus preacuteciseacutement que 5 + 7 = 3 X 4) -1------------ -------------1

1 shy10 Oi iO 011 1 1 shyi i 1

- 1shyj j - 1

rO Oi iO1

O shy

i -_------------ [-------------1 iO Oi 1 i 1

Jo oi i

De plus si on laquocomplegraveteraquo le carreacute on voit apparaicirctre immeacutediatement que 5 + 7 est

une diffeacuterence de deux carreacutes (plus preacuteciseacutement que 5 + 7 = 43 - 22 )

o o o o

o o o o

o o x x

o o x x Ces monstrations qui au sens strict nont de force deacutemonstrative que pour les valeurs

numeacuteriques particuliegraveres traiteacutees ont en fait une valeur geacuteneacuterique comme les figures

(et les deacutemonstrations quelles permettent) en geacuteomeacutetrie on nest pas loin dune

deacutemonstration valable pour tous les couples dimpairs conseacutecutifs Nous pouvons

reacutetrospectivement admirer la finesse intellectuelle que linvention et lemploi de

telles proceacutedures supposent Mais nous pouvons aussi voir que notre langage algeacutebrique

actuel (creacuteeacute par Viegravete Descartes et quelques autres) sinscrit dans le prolongement

de cette analyse du numeacuterique tout en la deacutepassant en souplesse et en puissance

75

Sur le mecircme problegraveme aujourdhui nous obtenons par exemple ceci soient 2p - 1

et 2p + 1 deux impairs conseacutecutifs leur somme (2p - 1) + (2p + 1) = 4p est un

multiple de 4 et puisque 4p = (p + 1) - (p - 1)2 elle seacutecrit aussi comme une

diffeacuterence de deux carreacutes Le langage nOuveau permet dabord de formuler le problegraveme

dans sa geacuteneacuteraliteacute puis de le reacutesoudre de maniegravere eacutegalement systeacutematique

Le calcul numeacuterique utilise le langage numeacuterique pour son pouvoir deacutesignatif

eSSentiellement laquo34raquo et laquo075raquo ou encore laquo4 + 8raquo et laquo12raquo sont agrave cet eacutegard eacutequivashy lents puisquils deacutesignent le mecircme nombre (simplement laquo34raquo est une fraction laquonon

effectueacuteeraquo laquo4 + 8raquo une somme non effectueacutee) ils sont des noms diffeacuterents pour

un mecircme ecirctre matheacutematique Larithmeacutetique laquoalgeacutebriqueraquo au contraire distingue

ces noms parce que bien quils deacutesignent la mecircme chose ils ne montrent pas la mecircme

chose (ils napportent pas la mecircme information monstrative) agrave propos de lecirctre matheacuteshy

matique dont ils sont deux noms diffeacuterents (ltlt4 + 8raquo ou mieux laquo22 +23 raquo montre

que 12 est une somme de puissances de deux etc) Cest ainsi que au cœur mecircme

du langage numeacuterique sinsinue un clivage et pour tout dire une tension entre deux

modes de fonctionnement lefficaciteacute deacutesignative (propre agrave lusage calculatoire du

langage numeacuterique) tend agrave ignorer lagrave valeur monstrative de lexpression eacutecrite le

principe dachegravevement des calculs voue agrave leacutepheacutemegraverelesmiddotltltnoms intermeacutediairesraquo et

laquo4 + 8raquo devient ainsi laquo12raquo sans quaucune trace nous soit conserveacutee de lhistoire

de ce laquo12raquo Ali contraire le langage algeacutebrique - notamment parce quil est une

meacutemoire - vient permettre de conserver de meilleure faccedilon linformation monstrative

et surtout de faire apparaicirctre linformation monstrative pertinente le passage en

simplification de lexpression (2p - 1) + (2p + 1) agrave lexpression 4p fait apparaicirctre

que (2p - 1-) + (2p+ 1) deacutesigne un nombre multiple de 4 le passage en complexifishy

cation de 4p agrave (p + 1)2 - (p - 1)2 fait apparaicirctre que (2p - 1) + (2p + 1) est une

diffeacuterence de deux carreacutes

La creacuteation du langage algeacutebrique permet de deacutegager plus nettement laprobleacuteshy

matique deacutetude du nurileacuterique en la posant - sans lopposer - agrave cocircteacute de la perspecshy

tive calculatrice Elle permet donc dexpliciter ce qui demeurait largement implicite shy

la copreacutesence de deux maniegraveres davoir affaire au numeacuterique - et par lagrave dapaiser

les tensions Mais son surgissement historique permet surtout de mieux maicirctriser

la dialectique du numeacuterique et de lalgeacutebrique jusque-lagrave conduite avec des moyens

matheacutematiques insuffisamment adeacutequats Lalgeacutebrique est un outil de leacutetude du

numeacuterique le premier outil le plus eacuteleacutementaire sans doute (agrave un niveau avanceacute intershy

viendraient par exemple la theacuteorie des seacuteries entiegraveres la theacuteorie des fonctions analytishy

ques etc) Mais inversement (et cest ce qui nous autorise agrave parler de dialectique)

pour que le fonctionnement de cet outil soit efficace il faut quelque peu eacutetudier

cet outil par exemple se poser les problegravemes de la factorisation des expressions algeacuteshy

briques (afin notamment de reacutesoudre des eacutequations algeacutebriques) Or en ce point le

numeacuterique lui-mecircme est un outil deacutetude agrave lalgeacutebrique le flux sinverse Sans parler

76

de toutes les meacutethodes numeacuteriques qui font appel le plus souvent agrave des proprieacuteteacutes

danalyse (cest-agrave-dire concernant le corps des reacuteels et les fonctions dune variable

reacuteelle par exemple) on peut citer - pour prendre un exemple assez gros pour ecirctre

tout agrave fait visible - le theacuteoregraveme dEinsenstein sur la factorisation dans Q[X] (38)

Newton dans son Arithmetica Universalis deacutejagrave mentionneacutee montre une grande attenshy

tion agrave ce genre de laquoretoursraquo du numeacuterique vers lalgeacutebrique Ainsi donne-t-i1 une

meacutethode ingeacutenieuse pour trouver les facteurs dune expression algeacutebrique(39)

Si par exemple la quantiteacute proposeacutee est x 3 - x - 10x + 6 agrave la place de x

je substitue successivement les termes de la progression arithmeacutetique 1 0 -1 il en

naicirctra les nombres -4 + 6 + 14 Je place chacun deux avec tous ses diviseurs dans

la ligne du terme de la progression 1 0 -1 qui la produit comme on peut le voir

dans lexemple suivant

1 4 124 +4 o 6 1 2 3 6 +3

- 1 14 1 2 7 14 +2

Ensuite comme le terme le plus eacuteleveacute x3 na pas de diviseur de luniteacute je

cherche parmi les diviseurs quelque progression dont les termes ne diffegraverent que

dune uniteacute et qui en descendant des plus forts au plus faibles deacutecroissent comme

ceux de la progression 10 -1 Je ne trouve quune progression de cette espegravece cest

4 3 2 Je prends donc le terme + 3 qui se trouve dans la mecircme ligne que 0 de la

premiegravere progression 1 0 -1 je le joins agrave x et je tente la division par x + 3 elle

reacuteussit et jobtiens pour quotient x 2 - 4x + 2

Au-delagrave de la disparition de la structure du corpus matheacutematique enseigneacute en arithshy

meacutetique et algegravebre cest la dialectique du numeacuterique et de lalgegravebre - implicitement

preacutesente agravetravers llaquooppositionraquo de larithmeacutetique et de lalgegravebre - qui va se trouver

atteinte Plus que jamais les liens du numeacuterique et de lalgeacutebrique sen trouveront

relacirccheacutes

VIII - UNE CONCEPTION EMPIRISTE DU REEL MATHEMATIQUE

Leffacement de lopposition arithmeacutetiquealgegravebre en effet altegravere les condishy

tions de la mise en rapport du numeacuterique et de lalgeacutebrique Lancien rapport doutil

(38) Soit PIt) = a + a t + + a t n un polynocircme agrave coefficients dans if Sil existe un nombre premier p tel que0 1) ~ rie divise ~as an 2) p divise a al an_l p2 ne divise pas ao alors P o est irreacuteductible sur O

(39) Arithmeacutetique universelle tome premier pp 47-48 Nous laissons au lecteur le soin dapporter la justification matheacutematique requise

77

de travail agrave objet travailleacute semble perdu Les deux domaines - le numeacuterique -le

litteacuteral - vont coexister dans une simple juxtaposition existants qui trouvent en

eux-mecircmes leur propre justification Les rapports naguegravere encore banals entre ces

deux ordres de reacutealiteacute matheacutematiques semblent deacutesormais abolis Ou plutocirct ils laissent

place agrave des rapports nouveaux et inverseacutes ce nest plus lalgeacutebrique qui vient pershy

mettre deacutetudier le numeacuterique cest le numeacuterique qui laquojustifieraquo et laquopermet de comshy

prendreraquo lalgeacutebrique Le document 5 extrait dun manuei de quatriegraveme actuel (40)

IIUDIFFeacute~ENCS ce ceux C~CIMAUX [

x-eD yeC zeC z-z -y signifie que z+y-z Comment est appel z pour z et y dans ct ordre Observe

13-(-7) z+-7)middot13

[+(-7)j+713+7 +[(-7)+71-13+7

+0-13+7 zo13+-7

z-z-y z+y-z

(+y) + (-y)- +-(-y) +(y+ (-y)]-x + (-y)

z+O-z + (-y) -+(-y)

Pour tout xde D pour tout y de 0 z - y est un deacutecimal et z - y = +(-y) Exemples 8-(-7)=8+7=15 9-14=9+(-14)=-5 Lopeacuteration- qui agrave chaque coupe (z y) z e 0 y E C fait correspondre le deacutecimal Z - J est la soustraction dans O

DOCUMENT 5

Lalgeacutebrique comme essence du numeacuterique

nous donne de ce pheacutenomegravene un exemple tregraves net lintention didactique est ici

de justifier le fait que x - y = x + (-y) Pour le matheacutematicien la laquojustificationraquo shy

qui est alors strictement une deacutemonstration - est toute entiegravere contenue dans la

colonne de droite si je deacutefinis en geacuteneacuteral-y comme eacutetant le nombre tel quey + (-y) = 0

et si les proprieacuteteacutes ordinaires - associativiteacute etc - valent encore pour le nouvel

ensemble de nombres ainsi deacutefini alors le nombre z que je dois ajouter agrave y pour

obtenir x - ce quon appelle la diffeacuterence de x et y et qUon note x - y - nest pas

autre chose que x + (-y) Or la laquojustificationraquo passe dans la didactique ici examineacutee

par lappel au concret cest-agrave-dire au numeacuterique tel est le rocircle de la colonne de

gauche Ce sont les calculs numeacuteriques de la colonne de gauche qui soutiendraient

le sens (pour leacutelegraveve) des calculs litteacuteraux de la colonne de droite Malheureusement

le contenu de la colonne de gauche est si lon peut dire hautement improbable

(401 Il sagifdu _manuel Matheacutematique contemporaine pour la classe de quatriegraveme publieacute chez Magnard et conforme au programme de1978shy

78

parce que le numeacuterique ne fonctionne pas ainsi En fait les calculs numeacuteriques preacuteshy

senteacutes ici nexistent quagrave ecirctre limage en miroir des calculs litteacuteraux de la colonne

de droite Et cest pour permettre de tels calculs que le langage algeacutebrique preacutecishy

seacutement est neacutecessaire Il y a ainsi meacuteprise sur la speacutecificiteacute des deux ordres de calcul

et conseacutequemment sur le type de rapports quils entretiennent la justification

de lalgeacutebrique sappuierait sur un mode de fonctionnement du numeacuterique qui nest

en fait quun deacutecalque du fonctionnement de lalgeacutebrique et qui donc suppose

lalgeacutebrique

Leacutelucidation du nouveau rapport qui saffirme ainsi nest pas chose facile Elle

est pourtant neacutecessaire afin de preacuteciser par delagrave la surface des programmes les mouveshy

ments profonds produisant des deacutecisions didactiques quon aurait tort de regarder

seulement comme des laquotrucsraquo eacuteleacutements atomiques de strateacutegies trouvant en ellesshy

mecircmes et dans leurs effets supposeacutes leur unique mobile Revenons agrave lexemple que

nous avons examineacute Lalgeacutebrique y apparaicirct comme la laquotheacuteorieraquo de cette laquoreacutealiteacuteraquo

que serait le numeacuterique Mais les relations en acte entre theacuteorie (permettant leacutetude)

et reacutealiteacute (objet de leacutetude) y ressortissent incontestablement agrave une conception empishy

riste (et mecircme nous allons le voir empiriste-sensualiste) de la connaissance Tel est

en fait le mobile - veacutecu sans doute comme allant de soi dans leacutevidence que lideacuteoshy

logie procure - de la tentative de laquofaire sortirraquo la theacuteorie (lalgeacutebrique) de la reacutealiteacute

(numeacuterique) Il ya ici inversion des rapports entre theacuteorie et reacutealiteacute Car le surgissement

du theacuteorique - faut-il le rappeler - ne sautorise jamais que de lui-mecircme et loin

de proceacuteder de la reacutealiteacute la constitue (ou la renouvelle) comme objet de connaissance

Si jeacutecris par exemple 13 + 7 = 13 - (-7) selon un fonctionnement du numeacuterique

antinomique de la pratique calculatoire (cest-agrave-dire arithmeacutetique) du numeacuterique shy

laquelle voudrait quon eacutecrivicirct 13 + 7 = 20 - je fais de lalgegravebre sur du numeacuterique

cest loutil algeacutebrique et lui seul qui me permet ce travail du numeacuterique Entre le

fonctionnement arithmeacutetique et le fonctionnement algeacutebrique du numeacuterique il y a

ainsi une distance - un saut - que nul proceacutedeacute dlaquoabstractionraquo ne peut venir combler

On aurait tort de penser que lanalyse preacuteceacutedente ne vaut que pour lexemple

sur laquelle nous lavons illustreacutee En reacutealiteacute sa porteacutee est beaucoup plus eacutetendue

et pour en saisir toute la signification il faut revenir agrave cette acmeacute de leacutevolution de

la transposition didactique que repreacutesente la reacuteforme de 1971 (celle des laquomatheacutemashy

tiques modernesraquo) Contrairement aux opinions aujourdhui dominantes qui selon

un opportunisme neacutecessaire et une constante inconstance reacutecusent cette reacuteforme

pour ses excegraves et la regardent comme laberration dun moment il faut tenir que cette

aberration nen est pas une quelle ne fait que preacutecipiter cristalliser et rendre explicites

des traits qui deacutejagrave se repegraverent dans leacutevolution des deacutecennies preacuteceacutedentes Elle est un

moment qui donne sens reacutetrospectivement agravece qui vient avant lui et deacutetermine

largement ce qui viendra apregraves lui Car sil y a en quelque faccedilon rupture cest sur le

fond dune tregraves large surdeacutetermination En profondeur le programme de 1971 - pour

79

sen tenir agrave la classe de quatriegraveme - constitue une radiographie saisissante dune

eacutevolution que le programme de 1978 nadoucira quen surface Cest cette image

laquodureraquo quil faut interroger

On a trop vitupeacutereacute linflation moderniste le parti pris theacuteoriciste lambition

de rigueur des matheacutematiques promues par la reacuteforme et trop peu vu derriegravere cet

eacutecran deux mouvements correacutelatifs moins spectaculaires mais deacuteterminants Le

premier - que nous avons deacutejagrave plusieurs fois mentionneacute - cest lenvahissement du

champ deacutetude par les structures numeacuteriques Les laquoexcegravesraquo du programme de 1971

sont le prix agrave payer pour ce coup de force qui se megravene alors - simple tactique dun

moment le programme de 1978 installera une version apaiseacutee de la mecircme strateacutegieshy

avec lartillerie lourde de laquolapproche des reacuteelsraquo des laquocalculs approcheacutesraquo des laquoencashy

drementsraquo de haute ambition matheacutematique Le seCond cest la peacuteneacutetration dun

thegraveme qui va devenir central celui de llaquoobservationraquo et de llaquoexpeacuterimentationraquo

matheacutematiques

Fausse moderniteacute ce thegraveme est mis en place degraves les Instructions de janvier

1957 (annexe 6a) dont les Instructions de 1971 se reacuteclameront non sans raicon Il

prend alors lallure dune reacuteflexion sur les liens entre matheacutematique et extramatheacutemashy

tique La caution bergsonienne ici invoqueacutee - homo taber homo sapiens - bien que

dateacutee est agrave cet eacutegard tregraves significative La perspective proposeacutee ne conduit pas tregraves

loin les problegravemes denseignement se trouvent laquoreacutesolusraquo par une didactique euphoshy

rique (annexe 6b) Au vrai la conjoncture historique qui verra la mise en place des

matheacutematiques modernes nest alors quincomplegravetement formeacutee Ce qui manque

encore afin que lideacutee dexpeacuterimentation puisse passer dans les faits cest une matiegravere

que lon pourrait soumettre agrave lobservation et agrave lexpeacuterience A cet eacutegard les Instrucshy

tions de 1957 raisonnent encore agrave lancienne la notion dexpeacuterimentation y est

surtout loccasion dune rheacutetorique qui tourne sur elle-mecircme faute de pouvoir sapplishy

quer Mais cette matiegravere dapplication qui fait deacutefaut la reacuteforme va lapporter en

abondance ce sera le numeacuterique dont nous comprenons mieux degraves lors la place

de choix que les programmes reacuteformeacutes vont lui accorder Son expansion se trouvait

en fait comme appeleacutee par lexigence laquoexpeacuterimentaleraquo induite par une certaine concepshy

tion eacutepisteacutemologique et didactique

Le deacutecor de laction est installeacute en consonance avec une mise en scegravene empiriste

du procegraves de connaissance(41) Il Y a la laquoreacutealiteacuteraquo qui est un donneacute dont la preacutesence

simpose avec la derniegravere force et il y a la laquotheacuteorieraquo de ce donneacute que lon preacutetend

tirer par abstraction de lobjet agrave laquelle elle se voue La dialectique du numeacuterique

et de lalgeacutebrique est alors perdue lun de ses termes (lalgeacutebrique) se dissout dans

(41) Pour lintelligence de ce qui suit nous renvoyons agrave Althusser 1968 notamment pp 38-45

80

lautre (le numeacuterique) agrave qui est octroyeacute par nature une existence presque mateacuterielle

et dont lalgeacutebrique proceacutedera geacuteneacutetiquement La reacuteforme de 1971 remanie donc

le champ deacutetude pour y produire de solides objets laquoreacuteelsraquo agrave forts coefficients dexis-shy

tence les structures numeacuteriques et aussi la mysteacuterieuse laquodroite physiqueraquo dont la

soudaine promotion ontologique serait autrement encore plus inexplicable(42) Cela

poseacute lintroduction du litteacuteral (lalgeacutebrique) sidentifie au mouvement par lequel

dans le procegraves empiriste de connaissance se repreacutesente lessence du reacuteel qui est toute

la connaissance que le sujet peut tirer de lobjet par abstraction il permet de distinguer

entre un reacuteel essentiel et un reacuteel inessentiel gangue ou accident que le processus

dabstraction abandonne comme un reacutesidu impenseacute Labstraction qui vise agrave porter

agrave la lumiegravere ce quon pourra connaicirctre de lobjet agit par deacutecrassage et deacutecapage

CHA~tTRbullbull tour dieacuteremcs ftiems de 1t 011 obti=c cIes putitioas cilifeacute=o~ Uuml fiIure 2 repreacutese1tt (parshy

tieJ1emenz) les paniagravecas ~ i- II-l 11--0 11 - - l~ = grouie agrave la loupe la paftiriœ cozrcspoadaDc agrave Il - - 2shy

f-oo( [Q10[

1 1

~ Q t

(-2 ~( T

[l 0 ( [01 ( r12 r i i i i J r sr

-1shy 0 t

1 1 1 1 1 1 1 1 shy 1 bull 1 1 1 11

-1 -01 001 lU 03 ~ o~ 06 07 oa 09 1 11

P4 041 ~l ~~I 041ds1 -i -o] OoJ O4l o~ 04S 04) ~ 1 ~1 1

fJvZ

li) De m=c si II eR lD1 emer œIaagravef acirczeacute et si CI pr=d tOlIœS les ftiems possibles da2s Z r=semblc cIes imenalles cie c

Jcr10 (CI + L 10

eR iJMpcrtirIcircD1f de C Uuml figure 3 repreacutes=œ (articllemcm) =œ putitioll p04 shy O~

r 1 i 1 T l 1 1 -5 -4shy -3 -2 -r agrave l Z ~ 4shy 5

~3

DOCUMENT6

Le deacutecapage du donneacute dans le processus empiriste de connaissance

(42) Voir Chevallard et Johsua 1982 notamment pp 200-203

81

agrave ce thegraveme geacuteneacuteral de la connaissance empiriste reacutepond correctement dans les proshy

grammes la notion dlaquoapprocheraquo ou dlaquoapproximationraquo des laquoreacuteelsraquo (qui nont jamais

aussi bien porteacute leur nom) Ceux-ci sont atteints par le moyen de purifications successhy

sives qui eacuteliminent peu agrave peu la gangue inessentielle Tel manuel (43) pris parmi tant

dautres- en offre la superbe illustration (document 6) limage de la loupe - emblegraveme

de la connaissance empiriste dont elle est linstrument privileacutegieacute parce quelle permet

de mieux voir et de faire voir - y est requise et symbolise mieux quun long commenshy

taire cette conception de la connaissance comme visant agrave amener linvisible agrave la

vue de tous

Une telle conception de la connaissance rate le reacuteel dont il sagirait preacuteciseacutement

de produire la connaissance parce quelle en manque la constitution comme objet

de connaissance(44) Lalgeacutebrique ne sert plus agrave connaicirctre le numeacuterique Il nest plus

deacutesormais quune steacutenographie middotessentialisante qui deacutecrit reacutesume et seacutepare lessence

de laccident Le surgissement laquomoderneraquo de la dichotomie de llaquoobservationraquo et de

la laquotheacuteorieraquo - que les manuels actuels reprennent agrave lenvi - est ainsi correacutelatif dune

dissolution de lobjet de connaissance au profit de lobjet reacuteel maintenant donneacute

agrave voir dans une abstraction reacuteputeacutee immeacutediate et facile Lordre didactique va sorgashy

niser autour de cette eacutepisteacutemologie imaginaire

REFERENCES

ALTHUSSER L (1968) Lire le Capital Franccedilois Maspeacutero Paris

BOURDIEU P (1974) Le sens pratique eacuteditions de Minuit Paris

BROUSSEAU G (1980) Problegravemes de lenseignement des deacutecimaux Recherches

en didactique des matheacutematiques 1middot1 pp 11-59

CHEVALLARD Y (1980a) Matheacutematiques langage enseignement la reacuteforme des

anneacutees soixante Recherches 41 pp 71-99

CHEVALLARD Y (1980b) La transposition didactique 1REM dAix-Marseille

CHEVALLARD Y (1982) Pourquoi la transposition didactique 7 Publication du

seacuteminaire de didactique et peacutedagogie des matheacutematiques 32 Grenoble

CHEVALLARD Y et JOHSUA MA (1982) Un exemple danalyse de la transposition

didactique Recherches en didactique des matheacutematiques 3 2 pp 157-239

MICHEL PH (1950) De Pythagore agrave Euclide Les Belles Lettres Paris

SMITH DE (1953) History of mathematics volume Il Dover publications Inc

New York

(43) Il sagit de louvrage mentionneacute dans la note 24 ci-dessus

(44) Sur la distinction entre laquoobjet reacuteelraquo et laquoobjet de connaissanceraquo voir Althusser 1968 pp 4649

82

CLASSE DE QUATRIEME CLASSIQUE A ET B ET DE QUATRIEME MODERNE

PROGRAMME DE 1945 (extraits)

Arithmeacutetique

Pratique sur des exemples de la deacutecomposition dun nombre entier en facteurs premiers de la recherche du plus grand commun diviseur et du plus petit commun multiple de deux ou plushysieurs nombres Applications aux fractions

Algegravebre

Nombres algeacutebriques (positifs nuls heacutegatifs) Opeacuterations sur ces nombres exposeacutes agrave partir de problegravemes concrets Ineacutegaliteacutes

Mesures algeacutebriques de vecteurs sur une droite orienteacutee Formule de Chasles Repeacuterage dun point sur un axe

Eleacutements du calcul algeacutebrique proprieacuteteacutes des sommes et des produits Puissances Produit et quotient de deux puissances dun nombre usage de lexposant nul et dexposants neacutegatifs

Monocircmes Produit de monocircmes Quotient de deux nombres Somme de monocircmes semblables (on se bornera agrave des monocircmes agrave une deux ou trois variables) Polynocircmes agrave une variable addition soustraction multiplication par une constante

Equations numeacuteriques du premie( degreacute agrave une inconnue Problegravemes conduisant agrave une eacutequation numeacuterique du premier degreacute agrave une inconnue

Annexe 1

83

CLASSE DE QUATRIEME

PROGRAMME DE 1958 (extraits)

Arithmeacutetique

Pratique sur des exemples de la deacutecomposition dun nombre entier en un produit de nomshybres premiers pratique de la recherche du plus grand diviseur commun et du plus petit multiple commun de deux ou plusieurs nombres Applications

Algegravebre

1 - Nombres relatifs (positifs nuls neacutegatifs) Orientation dun segment (vecteur) orientation dune droite (axe) mesure algeacutebrique

dun segment orienteacute sur un axe repeacuterage dun point sur un axe (abscisse)

II - Opeacuterations eacuteleacutementaires sur les nombres relatifs addition et soustraction multiplishycation et division

Extension aux nombres relatifs des proprieacuteteacutes fondamentales eacutetablies pour les nombres arithmeacutetiques (classe de cinquiegraveme) concernant les sommes les diffeacuterences les produits les puisshysances n-iegravemes les quotients linverse dun nombre non nul Condition pour quun produit soit nul

Deacutefinition des exposants neacutegatifs et de lexposant nul Comparaison des nombres relatifs ineacutegaliteacutes Ineacutegaliteacutes concernant la valeur absolue dune somme ou dune diffeacuterence Formule de Chasles pour trois points situeacutes sur un axe Segment deacutefini par les abscisses

des deLix points qui le limitent mesure algeacutebrique de ce segment orienteacute mesure de la longueur de ce segment abscisse du milieu de ce segment

III - Notions de variables et de correspondance entre variables Expressions algeacutebriques deacutependant dUne ou de plusieurs variables calcul de la valeur

numeacuterique dune expression algeacutebrique pour des valeurs numeacuteriques donneacutees aux Ymiddotariables Monocircmes agrave une ou plusieurs variables multiplication addition de monocircmes semblables Polynocircmes forme reacuteduite Polynocircmes ordonneacutes addition multiplication Identiteacutes relatives aux produits (x + y)2 (x - y)2 (x + y)(x - y)

IV - Equations position du problegraveme signification du signe = dans ce problegraveme Equashytions du premier degreacute agrave une inconnue agrave coefficients numeacuteriques Reacutesolution de problegravemes simples agrave laide dune telle eacutequation

Annexe 2

84

CLASSE DE QUATRIEME

PROGRAMME DE 1971 (extraits)

1 - Relations

Reacutevision -des notions preacutesenteacutees dans les classes anteacuterieures et compleacutements produit carteacutesien relation application composition des applications bijection cun ensemble sur un ensemble et bijection reacuteciproque

Notion de groupe deacutefinition (on la jeacutegagera des exemples du programme)

II - Nombres deacutecimaux relatifs et approche de reacuteel

1 Groupe des puissances de dix

Nombres deacutecimaux relatifs eacutecrits a 10n avec a e7l et p E7 et sous forme de nombres agrave virgule addition multiplication ordre valeur absolue Reacutesumeacute des proprieacuteteacutes fondamentales de lensemble ainsi structureacute des deacutecimaux relatifs

2 Calculs approcheacutes

a) EnC3drement dun nombre deacutecimal par des intervalles des types [a 10pbull (a + 1) 10middot[ da 101 (a + 1) 10- [a 10pbull (a + 1) 101] avec a E Z et p E Z Sur des exelJlples encamiddot drement middotdune somme dun produit

b) Exercices de deacutetermination pour un deacutecimal strictement positif d donneacute et pour un entier relatif n donneacute du nombre deacutecimal x bull 10 avec x E IN tel que soient veacuterifieacutees les ineacutegaliteacutes 0 ~d x 10 ~ 1 lt d (x + 1) 10

c) Exercices de deacutetermination pour un deacutecimal strictement positif d donneacute et pour un entier relatif n jonneacute du nombre deacutecimal y bull 10 avec y E IN tel que soient veacuterifieacutees les ineacutegaliteacutes [y 10P ~ d lt [(y + 1) 10]

d) Suites deacutecimales illimiteacutees nombres reacuteels encadrements dun nombre reacuteel

3 Enumeacuteration des principales proprieacuteteacutes qui structurent fensemble IR des reacuteels addition (IR +) est un groupe commutatif multiplication associashytiYiteacute distributiviteacute par rapport agravefaddition ordre et valoeur absolue

On admettra que pour tout nombre reacuteel a jiffeacuterent de 0 il existe un nombre reacuteel a-1 et un seul tel que aa-1 = 1 Pour tout couple de nombres reacuteels (a b) avec a = 0 il existe un nombre reacuteel unique x appeleacute quotient de b par a

b et noteacute ba-1 ou - tel que ax = b a

Exercices simples de calcul sur de tels quotients Sur des exemples -numeacuteriques eacutequations et ineacutequations du premier degr9 agrave une inconnue

Usage des exposants entiers groupe des puissances dun nombre reacuteel non nul

Calculs approcheacutes sur les nombres reacuteels

4 Exemples de fonctions polynocircmes (applications de IR dans IR) Degreacute Exercices de calcul SUT les polynocircmes Produits (x + a)2 (x - a)2 (x + a) (x - a) Exercices de factorisation

Annexe 3

85

ENCYCLOPEDIE QUILLET (1958)

TABLE DES MATIERES (extraits)

ARITBMEacuteTIQUE Notio~ preacute1i1Ji~ajres - Ideacutee de nombrebullbullbullbull 153 NumeratIon decmale bullbullbullbullbullbullbullbull 156 ~esure des grŒDdeurs bullbullbullbullbullbull bullbullbullbull 159 Nombresmiddot deacutecUDauxbullbullbullbullbullbullbullbullbullbull 169 Ladditionbullbull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull 165 La soustraction bull bull bull bull bull bull bull bull bull 168 La ~~qplication bullbullbullbullbullbullbull1 bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bullbull 171 La diVISIon 178

Regravegle de trois bull bull 117 Pourcentages bullbullbull 119 Partages proportionnels 110 ~~langes bullbull i bull bullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbull 111 Alliages bull 111 Regravegles dinteacuterecircts 124 Rentes sur Pltat 116 Actins et obli~tions - Escompte 117

Problegravemes sur les quatre opeacutemtions bull bull bull 184 La divisibiliteacute bull bull bull bull bull bull bull bull 186 Plus grŒDd commun diviseur (p G C D) 189 Plus petit commun multiple (P P C M) 191 Nombres premiers bullbullbullbullbullbullbullbull 192 Les fractions bull bull bull bull bull 194 Opeacuterations sur les fractions 197 Sys~egraveme meacute~que 203 Racme carree 207 Rapports - Proportions 2 II

Grandeurs Proportionnelles 215

Connge des exercces ~ 130

Annexe4a

ALGEgraveBRE Notions preacuteliminaires bullbullbullbull 157 Opeacutemtions sur les nombres algeacutebriques (somme

diffeacuterence multiplicationmiddot division des nombres algeacutebriques fractions ou rapports algeacutebriques puissances racines) bull bull 160

Qpeacuterations sur les expressions algeacutebriques bull 168 gquations du premier degreacute 278 Reacutesolution des problegravemes du premier degreacute agrave une

inconnue bullbullbullbullbullbullbullbullbull 186 gquations et problegravemes du premier degreacute agrave deux

ou plusieurs inconnues bull bull 191 Notions sur les repreacutesentations graphiques bull bull 301

Variation des fonctions 313 Deacuteriveacutees bullbull bull bull 319

~uations et problegravemes du second degreacute bull bull 312

ProgressionsetlogaritbInesmiddotmiddotmiddotmiddot middotmiddot middotmiddotmiddot middot331 Table de logarithmes de 1 agrave 1 000 bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull 338 Application des logarithmes Inteacuterecircts composeacutes et

annuiteacutes bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull 343 Corcigeacute des ex~ces bullbull ~ bullbullbullbullbullbullbull 348

Annexe4b

65

une version laquodeacutegraisseacuteeraquo du corpus des anneacutees soixante-dix que comme une version

fondamentalement nouvelle agrave cocircteacute du geacuteomeacutetrique que lon entend laquodeacutesaxiomatiserraquo

le numeacuterique y demeure preacutedominant mecircme si lon ny inclut plus les mecircmes mateacuteshy

riaux Les nombres reacuteels en effet sont les grands perdants du reacuteameacutenagement opeacutereacute

Et ce sont les fractions et les rationnels qui venant occuper la place ainsi libeacutereacutee dans

le programme de quatriegraveme constituent maintenant la piegravece centrale de leacutetude du

numeacuterique - les nombres relatifs (entiers et deacutecimaux) conservant en classe de cinshy

quiegraveme le rocircle preacuteeacuteminent qui leur eacutetait anteacuterieurement reconnu

Il faut en ce point dire quelques mots de la promotion donneacutee dans ces proshy

grammes aux fractions et aux rationnels Pour des raisons dans lesquelles nous nentreshy

rons pas ici les fractions (associeacutees aux rapports et aux proportions) eacutetaient traditionshy

nellement tirailleacutees entre larithmeacutetique la geacuteomeacutetrie et degraves la naissance du corpus

algeacutebrique lalgegravebre elle-mecircme Preacutesentant ses Eleacutemens dAlgebre Clairaut ne manque

dailleurs pas de faire connaicirctre au lecteur lembarras ougrave cette question la tenu

laquojavois dabord compteacute donner dans le mecircme livre eacutecrit-il tant les Eleacutemens dArithshy

meacutetique que ceux dAlgebre amp je naurois pas manqueacute alors de traiter des proportions

plus agrave fond que je nai fait dans mes Eleacutemens de Geacuteomeacutetrie raquo Bien entendu en passant de larithmeacutetique agrave lalgegravebre on passait aussi des fractions arithmeacutetiques

(rapports dentiers cest-agrave-dire dentiers naturels) aux fractions algeacutebriques (rapports

dentiers laquoalgeacutebriquesraquo cest-agrave-dire relatifs) et aux fractions rationnelles (rapports

de polynocircmes) Mais ces reprises sont significatives de linteacuterecirct didactique accordeacute

au thegraveme les fractions constituent un sujet de choix pour lenseignement

Comme on la rappeleacute(29) laquolaccent qui est mis sur la notion de fractionraquo

constitue selon les termes mecircmes des Instructions relatives au programme de quatriegraveme

de 1978 leacuteleacutement de laquonouveauteacuteraquo de ce programme Nouveauteacute dantique meacutemoire 1

Henri Lebesgue presque un demi-siegravecle plus tocirct avait fermement inviteacute les professeurs

agrave se deacutebarrasser de ce monstre du Loch Ness matheacutematique laquo on sera bien je pense

daccord avec moi eacutecrivait-il (30) pour deacuteclarer que marier des 22iegravemes et des 37iegravemes

est un martyre que nous infligeons aux gosses de douze ans par pur sadisme sans

aucune raison dutiliteacute comme circonstance ateacutenuanteraquo Mais il ajoutait aussitocirct

laquoJentends tous les professeurs protester Les uns parce que les fractions fournissaient

dinnombrables exercices pour leurs jeunes eacutelegraveves apregraves un moment deffroi ceux-ci

sapercevront quils ne manqueront jamais dexercices La plainte des autres meacutemeut

(29) Voir la note 18

(30) Dans La mesure des grandeurs (Albert l3lanchard Paris 1975) p 25

66

davantage et pour la veacuteriteacute je la formule moi aussi laquoSupprimer dans la classe de

matheacutematiques la theacuteorie des fractions cest supprimer un chapitre admirable Le

seul peut-ecirctre parmi ceux qui nous restent qui ne soit pas lagrave uniquement pour son

utiliteacute immeacutediate et qui donne le sentiment de la beauteacute pureraquoraquo(31) Or cette admirable

construction devient dans le cadre des matheacutematiques modernes plus admirable

encore ou disons plus subtile le maniement sans complexe des fractions fait place

agrave une ontologie raffineacutee dans laquelle les fractions devenues couples de nombres

ne sont plus - en theacuteorie plus quen pratique bien sucircr - que le mateacuteriau de la consshy

truction des rationnels classes deacutequivalence de fractions Avrai dire cette preacutesentation

moderne neacutetait guegravere favoriseacutee par le programme de 1971 (dans lequel les reacuteels faisaient

directement suite aux deacutecimaux les rationnels neacutetant alo~s que des reacuteels particuliers

les quotients dentiers) Mais le programme de 1978 lui donne une nouvelle chance

et quelques manuels impavides la mettent en œuvre (document 4a) Cette perspective

constructiviste peut en fait ecirctre aiseacutement eacuteviteacutee au profit dune conception reacutealiste

(celle-lagrave mecircme que le programme de 1971 poussait en avant les reacuteels eacutetant supposeacutes

donneacutes - ils eacutetaient laquoconstruitsraquo dans le programme de 1971 - un rationnel est un

reacuteel qui peut seacutecrire comme quotient dentiers) et la plupart des manuels utilisent

cette possibiliteacute (document 4b) conceptuellement et techniquement moins difficile

et sans doute plus proche de la repreacutesentation du nombre qui est effectivement celle

des eacutelegraveves et mecircme du laquoworking mathematicianraquo Mais le souci de purisme na pas

disparu le goucirct de la laquorigueurraquo (sic) conduit chez quelques-uns (document 4c) agrave une

veacuteritable confusion sur le sens du signe deacutegaliteacute (qui ne signifie en principe nullement

que les deux membres de leacutegaliteacute sont des expressions identiques - formellement

ou syntaxiquement - ce qui interdirait deacutejagrave deacutecrire que 6 = 2 X 3 mais que ce quils

deacutesignent sont une seule et mecircme chose le signe deacutegaliteacute ne signifiant rien dautre

quune identiteacute seacutemantique) Cela dit le problegraveme - eacuteleacutegamment mais coucircteusement

reacutesolu par le moyen des classes deacutequivalence - existait avant les matheacutematiques

modernes et continue dexister mais le corpus ancien le traitait (inconsciemment )

avec une grande discreacutetion (document 4d) en distinguant chaque fois quil eacutetait

neacutecessaire la fraction (consideacutereacutee alors implicitement comme eacutecriture agrave savoir comme

rapport) et la valeur de la fraction (soit le nombre - rationnel - deacutesigneacute par cette

eacutecriture) Quoi quil en soit tout ce jeu laisseacute autrefois implicite et plus ou moins

fortement expliciteacute aujourdhui participe de ladmirable construction des fractions

qui seacuteduit tant les professeurs comme dit Lebesgue

(31) Ibid pp 25-26

67

Nombres rationnels

Ensemble ltC

RAPPELONS

Dans lensemble T des fractions nous avons deacutefini la relation JI suivante

Quelles que soient les fractions ~ et ~ on a (~JI ~) (ad =bel

Nous avons eacutetabli (p 48) que JI est une relation deacutequivalence dans T

Pourtraduire que deux fractions ~ et ~ sont lieacutees par JI nous avons eacutecrit ~ = ~

et nous avons dit que les fractions ~ et ~ sont eacutequivalentes

DEacuteFINITION

Nous donnons la deacutefinition suivante

Ch8q cd6quiVIIlencbullbullbulllonJIst appeleacutee un nombre lIItlonnel

Nous deacutesignons par 0 lensemble des nombres rationnels

AEPAEacuteSENTAtfr DUN RAcircTIONNEL

Soient x un eacuteleacutement de 1 etmiddott une fraction eacuteleacutement de T

Nous disons que x et un nombre rationnel dont un repreacuteentant et ~ 1 et

aeulement si x est 1 clbullbullbullbull deacutequlvlence elon JI de 1 fraction i Le nombre ~tion~1 x est donc lensemble des fractions ~ eacutequivalentes agrave~ nous

avons x=~lcez deZmiddot ~=M Remarquons que toute fraction eacutequivalente agrave ~ est un repreacutesentant du nombre

rationnel x

CHAPITRE 6 ENSEMBLE Q 67

DOCUMEIIT 4eacute1

(Matheacutematiques4egraveme collection Monge 1978)

68

CHAPITRE 4 algegravebre

Ensemble 0 des nombres rationnels

1 Oeacuteflnitlon de lensemble C 4Notatlons fractionnaires dUn rationnel des rationnels

2prOPrieacuteteacutes de lensemble Q 50Peacuteratlons dans Q des rationnels

3Eacutecriture deacutecimale illimiteacutee 6comparaison de deux rationnels dun rationnel

1Deacutefinition de lensemble Q des rationnels

deacutefinition Un nombre reacuteel (ou reacuteel) est appeleacute DOIIlbre ratioonel (ou rationnel) sil est eacutegal agrave un quotient de deux entiers relatifs

Autrement dit Un reacuteel x est un rationnel sil existe un entier relatif a et un entier relatif non

nul b tels que x soit eacutegal au quotient ~

exemples bull Les quotients suivants sont des rationnels 2 -4 -3 248 57 -29704 0 37 0 359 iuml 78 -=5 -614 57 -1- 25 =iOOO =iuml4 -1-

lal -27815) Ibull Le ree r eg au quotIent 0013 est-I un ratIonne

- 2781 5 et 0013 ne sont pas des entiers relatifs

On sait que (proprieacuteteacutes des quotients de reacuteels)

-27815 -27815 x 104 -27815 0013 0013 x 104 =~

Conclusion r est un rationnel

DOCUMENT 4b

(Matheacutematiques4egraveme collection Durrande 1979)

69

I~ Lensemble ltD des nombres rationnels

1 bull DEacuteFINITION ET EXEMPLES

Dans le cnapltre 4 nous ayons rencontreacute des nombres QUon pouvait obtenir comme Quotient exact dun entir relatif fi par un entier relatif non nul b Ces nombres sappellent lesnombnts ratiOnneJa (ou plua simplement les rationnels) Ils sont r8Qreacutesnteacutes par des fractions ainsi

exemples de fractions repreacuteslitntant x Nombre rationnel x -2 -8 -18lentler relatif -2 -9- -L shy1 3 -1 7 35 -7le deacutecimal rlatlf 35 Ji shy2 4 10 -=2 ~ Q EumlL shyIe ratlonn1 i 3 8 30 -3

Reepitullfflon des prlnc1es deacutetlnltlons Otlnitlo Soit un entIer ratatlf quelconque et soit b un entIer reltlf non nuL

11 LA couple (e bJ eacutecrit sous i fonne appellela fractIon d num

teur bull et de deacutenominateur b 2J Cette fraction retrisente le quotient ect de bull par b que lon not

aUAI bull On bull donc par deacuteflnltlon

bX~ bull JCb bullbull b b

31 On appelle nom rationnel tout nombre Que lon peut obtnir comme quotient euct dun entier relatif par un entlr relatif non nul

Attention 1La megravem notation est utiliseacutee pour deacutesignr deux cnoss diffeacuterentesb

le couple (II b) le Quotient exact de Il par b

Quand on eacutecrit il faut preacuteciser sU sagit de la fraction Ji (le couple (1 4 4raquo ou du rationshy4 4

nel 2i (Qui est eacutegal agrave 35) 4

le rationn est Anal au rationnel L4 ~~ 2

la fraction nest pas eacutegale agrave la fraction 1 ~ 2

(Puisque les couples (144) et (72) sont distincts)

Une convention commode

Pour eacuteviter cet Inconveacutenient nous conviendrons toujours Que dans les calculs deacutesinne le b

nombre rationnel Quotient exact d fi par b Ainsi nous pourrons eacutecrire

Ji =L =3S4 2

Quand vous voudrez parler du couple (14 4) il faudra preacuteciser bull la fraction c 4

DOCUMENT 4c

(Matheacutematiques classe de quatriegraveme collection Queysanne et Revus 1979)

70

SIMPLIFICATION DES FRACTIONS

i49 Simllifier une fraction cest la remplacer par une fraction ~e mais ayant des tenDes plus petits

ISO PROPRIEacuteTEacuteS FONDAMENTALES

10 On mesure deux rubans avec le sepagraveegraveme dune longueur donneacutee A B Lun mesure 2 sepagraveagravenes lautre 4 septiegravemes de luniteacute Il est eacutevident que le dewdagraveDe est double du premier

4 2 X 2 2 - --- - X 2 donc 777

Theacuteoregraveme L - Si OD mwdpUe le aDlDampateDr dune CractloD par aD JIOmbre la CracdoD eet muldpUeacutee par ce Dombre

2deg Un ruban mesure 5 sepagraveagravenes de la longueur AB un dewtiagravene ruban vaut S quato12Iumlagravenes de la mbe uniteacute

Un quatorziagravene eacutetant deux fois plus petit quun sepagraveagraveDe la dewdœe longueur est deux fois plus petite que la premiugravee S S S

------ 2 par suite 14 7 X 2 7

Theacuteoregraveme D - Si OD muldpUe le dacirclomiDateur cl1IDe bcdoD par 110 aombre la CracdoD eet diYileacutee par ce JIOmbre

3deg Soit la fraction _3 X 3_2S s s X 3 IS Elle ne c1uIage pas de valeur si nn mulagraveplie ses deux termes par 3 En dfet si on multiplie son numeacuterateur elle devient 3 fois plus grande si on multiplie son deacuteDominateur

elle devient 3 fois plus petiœ Par conseacutequent

Theacuteoregraveme DL - Si OD mwdpUe lee cleu termes daDO bcdoD par aD ~e DOmbre la ampactIoD ae chaage pu do valeur

On voit IJU- mIru gratukur fJGI la _ pat _ itrftniri tU frtJCtUgrave1fU U1IItU igalu

Corollaire - Si OD divise lee deux termee dlIDe CractiOD par aD mfme JIOmbre (ropkatucircm eacutetant possible) OD obdeat une bedoD eacuteplo agrave la premiegravere

Soit la fraction 18 dont les deux termes sont divisibles par 321

On peut eacutecrire 18 _ 6 x 3 21 7 x 3

et dapregraves le theacuteoragravene preacuteceacutedent _ 6 X 3 7 7 X 3

On a donc 18 3_ la fraction Il des termes plus petits que la fraction 18 dougrave la regravegle de simshy21 3 7 7 21

pli1ication des fractions

~ Regravegle - PD1lI simplifier _ fraaion an divis 11$ dIU umm pat 11II mIru 1ItmIbr

DOCUMENT 4d

Arithmeacutetique de lEncyclopeacutedie Quillet 1958

Fractions et rationnels en fait ne constituent pas seulement une admirable

construction matheacutematique ils composent en mecircme temps un objet didactique

inteacuteressant agrave bien des eacutegards La place de leacutelegraveve (cest-agrave-dire ce qui peut ecirctre requis

de leacutelegraveve agrave ce propos) y est nettement dessineacutee Lebesgue le soulignait judicieusement

le chapitre regorge dexercices dont la difficulteacute (cest-agrave-dire en gros la complexiteacute)

peut ecirctre finement gradueacutee La place de lenseignant elle aussi sy trouve preacutepareacutee

le professeur eacuteprouve toute sa speacutecificiteacute face agrave leacutelegraveve en tant quarchitecte et bacirctisshy

seur - fonctions dans lesquelles leacutelegraveve ne saurait lui disputer sagrave place - dune consshy

truction matheacutematiqueagrave la fois simple rigoureuse riche dont la complegravete transpashy

71

rence nest acquise quau prix de quelque subtiliteacute intellectuele nullement inaccessible

agrave leacutelegraveve mais relativement exigeante Toutefois il y a plus En un sens tout objet

de savoir didactiquement acceptable laisse voir deux laquoplacesraquo il doit contenir le

laquolieuraquo que leacutelegraveve viendra occuper (les tacircches que le contrat didactique lui assignera

en propre) il doit contenir aussi un lieu speacutecifiquement alloueacute agrave lenseignant Ce

marquage des places consubstanciellement lieacute au fonctionnement didactique du

savoir est un processus geacuteneacuteral que jai proposeacute(32) dappeler la topogeacutenegravese (du grec

topos lieu) Mais la dialectique topogeacuteneacutetique peut ecirctre plus ou moins resserreacutee plus

ou moins relacirccheacutee dans ce dernier cas (qui correspond comme jessaierai de lindiquer

plus loin agrave ce que nous voyons majoritairement se produire aujourdhui agrave propos de

lemploi du langage algeacutebrique) les eacutechanges entre eacutelegraveves et enseignant demeurent

pauvres la communication est distante parce que les uns et les autres ne se mesurent

pas aux mecircmes tacircches (le professeur deacutemontre une eacutegaliteacute litteacuterale leacutelegraveve lapplique

agrave des cas particuliers numeacuteriques) Avec les fractions une fois fixeacutee larchitecture

geacuteneacuterale de leacutedifice il en va autrement passeacutes les calculs les plus simples les calculs

qui ne sont pas triviaux pour leacuteiegraveve - tout en demeurant de lordre de ce qui peut

loyalemeacutent lui ecirctre demandeacute - ne le scgtnt quagrave peine moins pour le professeur Les

partenaires de linteraction didactique se rapprochent autour dune tacircche unique

jusquagrave sembler parfois unir leurs efforts agrave la recherche dune commune reacuteponse

Tout comme la geacuteomeacutetrie (qui soppose par cela et du seul point de vue didactique

deacutejagrave agrave lalgegravebre en geacuteneacuteral) les fractions constituent loccasion dune reacuteelle convishy

vialiteacute dans la classe Les distinctions qualitatives (marqueacutees par des tacircches de natures

diffeacuterentes) sestompent au profit de simples diffeacuterences quantitatives (lenseignant

va plus vite plus sucircrement mais il ne sait rien de plus que leacutelegraveve et ne fait rien de

plus que lui) Le groupe agrave la fois se rassemble gagne en coheacutesion et en mecircme temps

se diffeacuterencie continucircment sans que son identiteacute sy perde

1 y a lagrave quelques-unes des raisons didactiques qui expliquent la preacuteeacuteminence

de fagraveit de leacutetude des fractions dans les classes actuelles de quatriegraveme Or - et nous

faisons lagrave retour agrave notre sujet quen fait nous navions pas quitteacute - dans le vocabushy

lairedes enseignants les fractions font partie de lalgegravebre Mecircme si le programme

officiel nutilise pas le terme il semble que lusage se soit spontaneacutement creacuteeacute de nommer

laquoalgegravebreraquo dans la pratique de la classe ce qui nest pas geacuteomeacutetrie lalgegravebre cest

globalement lautre de la geacuteomeacutetrie Cet emploi peut-ecirctre irreacutefleacutechi du mot ne manque

pourtant pas de justificatifs Les heacutesitations historiques dont nous avons parleacute trashy

duisent aussi (par delagrave lopposition fractions de nombres arithmeacutetiques fractions de

nombres algeacutebriques) une reacutealiteacute qui perdure les fractions (dentiers) ne sont pas

(32) Voir Chevallard 1980b

72

de lalgegravebre au sens ougrave elles ne contiennent pas de lettres (les lettres sont essentielleshy

ment utiliseacutees par le professeur pour formuler les lois qui reacutegissent leur calcul) mais

elles relegravevent de llaquoalgeacutebriqueraquo en cela quelles sont le lieu dun jeu formel portant

sur des eacutecritures Elles offrent donc loccasion dune algegravebre sans algegravebre qui fait le

gros morceau de lalgegravebre aujourdhui enseigneacutee Il faut voir par quel cheminement

on en est venu lagrave

VII - LA DIALECTIQUE NUMERIQUEALGEBRIQUE

PoUr expliquer plus complegravetement et leacutevanouissement des parties algeacutebriques

de lalgegravebre et - correacutelativement - le come-back des fractions il nous faut compliquer

quelque peu le talJleau que nous avons traceacute jusquici A lopposition structurelle de

larithmeacutetique et de lalgegravebre correspondait - en principe - une dialectique fonctionshy

nelle entre numeacuterique et algeacutebrique Cest sur cette dialectique que nous devrons

dabord nous arrecircter un instant

Il faut pour cela prendre quelque recul Cette dialectique en effet existe

historiquement avant lalgegravebre (avant la construction dun langage algeacutebrique propreshy

ment dit) Les Grecs distinguent entre deux arithmeacutetiques larithmeacutetique vulgaire

ou logistique celle des calculateurs et larithmeacutetique laquopropre aux philosophesraquo

comme dit Platon cest-agrave-dire en gros la theacuteorie des nombres Les calculateurs cal~

culent Les arithmeacuteticiens eacutetudient la structure du numeacuterique Tous manipulent pour

cela un langage du numeacuterique~ mais tous ne lemploient pas aux mecircmes tacircches et ne

lui reconnaissent pas les mecircmes valeurs Dans larithmeacutetique pratique lanalyse du

numeacuterique procureacutee par le langage adopteacute est un moyen ordonneacute agrave un but opeacuterer

des deacutenombrements effectuer des calculs Si dans notre systegravememiddotactuel de numeacuteration

je deacutesire calculer 12 X 12 par exemple je nai besoin dautre analyse du nombre 12

que celle qui mest immeacutediatement donneacutee dans leacutecriture (deacutecimale) de ce nombre

(ch iffre des dizaines 1 chiffre des uniteacutes 2) Mais si comme le scribe du papyrus

Rhind je ne sais multiplier que par duplications successives et additions je devrai

recourir agrave une analyse moins immeacutediate du nombre 12 (qui ne mest pas offerte par

leacutecriture deacutecimale actuelle) Il me faudra observer que 12 = 4 + 8 et calculer ainsi(33)

1 12 2 24 4 48 8 96

(33) Voir Smith 1953 p 106

73

dougrave je deacuteduirai que 12 X 12 = 12 X (4 + 8) = 48 + 96 = 144 De telles manleres

de faire qui se rencontrent encore agrave des dates rapprocheacutees(34) apparaissent agrave lutilisashy

teur contemporain comme des survivances dun acircge imparfait Un bon systegraveme

numeacuteration-algorithmes de calcul en effet doit ecirctre tel que toute linformation requise

pour mettre en œuvre les algorithmes de calcul soit donneacutee dembleacutee avec les nombres

donneacutes eacutecrits dans le langage numeacuterique utiliseacute cest-agrave-dire soit apparente dans leacutecriture

mecircme de ces nombres En dautres termes un bon systegraveme numeacuteration-algorithmes

reacutecuse tout appel aux matheacutematiques fucirct-ce sous une forme apparemment anodine

Lusager dun tel systegraveme est eacutevidemment supposeacute pouvoir calculer que 4 + 8 = 12

(ce pour quoi le systegraveme est fait) mai~ le contrat dutilisation qui regravegle ses rapports

avec le systegraveme exclut quil ait agrave penser que 12 = 4 + 8 Paradoxalement peut-ecirctre

lun des effets et sans doute des buts (poursuivis de maniegravere plus ou moins intentionshy

nelle) de lactiviteacute matheacutematique est de proposer agrave lusage social des proceacutedures non

matheacutematiques obtenues par deacutematheacutematisation progressive de proceacutedures agrave lorigine

proprement matheacutematiques Le fait est banal et geacuteneacuteral les progregraves de leacutelectronique

me dispensent aujourdhui du bricolage auquel eacutetaient tenus les utilisateurs du poste

agrave galegravene

En fait le royaume du calcul numeacuterique est reacutegi par la loi de simplification

inteacuterioriseacutee en habitus(35) dont lune des clauses est constitueacutee par le principe

dachegravevement des calculs Selon ce laquoprinciperaquo lexpression laquo4 + 8raquo ne saurait en

calcul numeacuterique figurer comme reacuteponse le calcul agrave ce stade eacutetant laquoinacheveacuteraquo (36)

Lexpression laquo4 + 8raquo ne saurait ainsi ecirctre quune forme transitoire labile (parce que

quatre plus huit eacutegale douze) et nexiste pas plus dune maniegravere libre que latome

doxygegravene en dehors de la moleacutecule deg 2

Il en va tout autrement avec la tradition laquonobleraquo de la laquotheacuteorie des nombresraquo

Les Pythagoriciens au tout deacutebut de la science grecque eacutelaborent ainsi toute une

conception de la repreacutesentation laquogeacuteomeacutetriqueraquo des nombres soit une arithmo-geacuteoshy

meacutetrie(37) Consideacuterons par exemple les entiers impairs 5 et 7 Leurs repreacutesentations

(34) Ibid

(35) P Bourdieu deacutesigne par habitus des laquosystegravemes de dispositions durables structures structureacutees preacutedisposeacutees agrave fonctionner comme structures structurantes cest-agrave-dire en tant que principe de geacuteneacuteration et de structuration de pratiques et de repreacutesentations ( hgt (Bourdieu 1974 p 175)

(36) Les Instructions de janvier 1957 (sur lesquelles nous revenons plus loin) parlent explicitement de laquocalcul conduit jusquagrave son achegravevementraquo fait rare et remarquable car il est de la nature dun habitus de ne pas supposer lexplicitation des principes agrave lorigine de son efficace

(37) Sur larithmo-geacuteomeacutetrie des Grecs voir Michel 1959 pp 295-325

74

figureacutees peuvent ecirctre disposeacutees ainsi

o o o o o

o o o o o

o 0 5 7

Reacuteunissons ces repreacutesentations de la maniegravere suiyante

o o o o

o o o o

o 0

o 0

En les regroupant adeacutequatement il apparaicirct que la somme 5 + 7 est Lin multiple de

4 (plus preacuteciseacutement que 5 + 7 = 3 X 4) -1------------ -------------1

1 shy10 Oi iO 011 1 1 shyi i 1

- 1shyj j - 1

rO Oi iO1

O shy

i -_------------ [-------------1 iO Oi 1 i 1

Jo oi i

De plus si on laquocomplegraveteraquo le carreacute on voit apparaicirctre immeacutediatement que 5 + 7 est

une diffeacuterence de deux carreacutes (plus preacuteciseacutement que 5 + 7 = 43 - 22 )

o o o o

o o o o

o o x x

o o x x Ces monstrations qui au sens strict nont de force deacutemonstrative que pour les valeurs

numeacuteriques particuliegraveres traiteacutees ont en fait une valeur geacuteneacuterique comme les figures

(et les deacutemonstrations quelles permettent) en geacuteomeacutetrie on nest pas loin dune

deacutemonstration valable pour tous les couples dimpairs conseacutecutifs Nous pouvons

reacutetrospectivement admirer la finesse intellectuelle que linvention et lemploi de

telles proceacutedures supposent Mais nous pouvons aussi voir que notre langage algeacutebrique

actuel (creacuteeacute par Viegravete Descartes et quelques autres) sinscrit dans le prolongement

de cette analyse du numeacuterique tout en la deacutepassant en souplesse et en puissance

75

Sur le mecircme problegraveme aujourdhui nous obtenons par exemple ceci soient 2p - 1

et 2p + 1 deux impairs conseacutecutifs leur somme (2p - 1) + (2p + 1) = 4p est un

multiple de 4 et puisque 4p = (p + 1) - (p - 1)2 elle seacutecrit aussi comme une

diffeacuterence de deux carreacutes Le langage nOuveau permet dabord de formuler le problegraveme

dans sa geacuteneacuteraliteacute puis de le reacutesoudre de maniegravere eacutegalement systeacutematique

Le calcul numeacuterique utilise le langage numeacuterique pour son pouvoir deacutesignatif

eSSentiellement laquo34raquo et laquo075raquo ou encore laquo4 + 8raquo et laquo12raquo sont agrave cet eacutegard eacutequivashy lents puisquils deacutesignent le mecircme nombre (simplement laquo34raquo est une fraction laquonon

effectueacuteeraquo laquo4 + 8raquo une somme non effectueacutee) ils sont des noms diffeacuterents pour

un mecircme ecirctre matheacutematique Larithmeacutetique laquoalgeacutebriqueraquo au contraire distingue

ces noms parce que bien quils deacutesignent la mecircme chose ils ne montrent pas la mecircme

chose (ils napportent pas la mecircme information monstrative) agrave propos de lecirctre matheacuteshy

matique dont ils sont deux noms diffeacuterents (ltlt4 + 8raquo ou mieux laquo22 +23 raquo montre

que 12 est une somme de puissances de deux etc) Cest ainsi que au cœur mecircme

du langage numeacuterique sinsinue un clivage et pour tout dire une tension entre deux

modes de fonctionnement lefficaciteacute deacutesignative (propre agrave lusage calculatoire du

langage numeacuterique) tend agrave ignorer lagrave valeur monstrative de lexpression eacutecrite le

principe dachegravevement des calculs voue agrave leacutepheacutemegraverelesmiddotltltnoms intermeacutediairesraquo et

laquo4 + 8raquo devient ainsi laquo12raquo sans quaucune trace nous soit conserveacutee de lhistoire

de ce laquo12raquo Ali contraire le langage algeacutebrique - notamment parce quil est une

meacutemoire - vient permettre de conserver de meilleure faccedilon linformation monstrative

et surtout de faire apparaicirctre linformation monstrative pertinente le passage en

simplification de lexpression (2p - 1) + (2p + 1) agrave lexpression 4p fait apparaicirctre

que (2p - 1-) + (2p+ 1) deacutesigne un nombre multiple de 4 le passage en complexifishy

cation de 4p agrave (p + 1)2 - (p - 1)2 fait apparaicirctre que (2p - 1) + (2p + 1) est une

diffeacuterence de deux carreacutes

La creacuteation du langage algeacutebrique permet de deacutegager plus nettement laprobleacuteshy

matique deacutetude du nurileacuterique en la posant - sans lopposer - agrave cocircteacute de la perspecshy

tive calculatrice Elle permet donc dexpliciter ce qui demeurait largement implicite shy

la copreacutesence de deux maniegraveres davoir affaire au numeacuterique - et par lagrave dapaiser

les tensions Mais son surgissement historique permet surtout de mieux maicirctriser

la dialectique du numeacuterique et de lalgeacutebrique jusque-lagrave conduite avec des moyens

matheacutematiques insuffisamment adeacutequats Lalgeacutebrique est un outil de leacutetude du

numeacuterique le premier outil le plus eacuteleacutementaire sans doute (agrave un niveau avanceacute intershy

viendraient par exemple la theacuteorie des seacuteries entiegraveres la theacuteorie des fonctions analytishy

ques etc) Mais inversement (et cest ce qui nous autorise agrave parler de dialectique)

pour que le fonctionnement de cet outil soit efficace il faut quelque peu eacutetudier

cet outil par exemple se poser les problegravemes de la factorisation des expressions algeacuteshy

briques (afin notamment de reacutesoudre des eacutequations algeacutebriques) Or en ce point le

numeacuterique lui-mecircme est un outil deacutetude agrave lalgeacutebrique le flux sinverse Sans parler

76

de toutes les meacutethodes numeacuteriques qui font appel le plus souvent agrave des proprieacuteteacutes

danalyse (cest-agrave-dire concernant le corps des reacuteels et les fonctions dune variable

reacuteelle par exemple) on peut citer - pour prendre un exemple assez gros pour ecirctre

tout agrave fait visible - le theacuteoregraveme dEinsenstein sur la factorisation dans Q[X] (38)

Newton dans son Arithmetica Universalis deacutejagrave mentionneacutee montre une grande attenshy

tion agrave ce genre de laquoretoursraquo du numeacuterique vers lalgeacutebrique Ainsi donne-t-i1 une

meacutethode ingeacutenieuse pour trouver les facteurs dune expression algeacutebrique(39)

Si par exemple la quantiteacute proposeacutee est x 3 - x - 10x + 6 agrave la place de x

je substitue successivement les termes de la progression arithmeacutetique 1 0 -1 il en

naicirctra les nombres -4 + 6 + 14 Je place chacun deux avec tous ses diviseurs dans

la ligne du terme de la progression 1 0 -1 qui la produit comme on peut le voir

dans lexemple suivant

1 4 124 +4 o 6 1 2 3 6 +3

- 1 14 1 2 7 14 +2

Ensuite comme le terme le plus eacuteleveacute x3 na pas de diviseur de luniteacute je

cherche parmi les diviseurs quelque progression dont les termes ne diffegraverent que

dune uniteacute et qui en descendant des plus forts au plus faibles deacutecroissent comme

ceux de la progression 10 -1 Je ne trouve quune progression de cette espegravece cest

4 3 2 Je prends donc le terme + 3 qui se trouve dans la mecircme ligne que 0 de la

premiegravere progression 1 0 -1 je le joins agrave x et je tente la division par x + 3 elle

reacuteussit et jobtiens pour quotient x 2 - 4x + 2

Au-delagrave de la disparition de la structure du corpus matheacutematique enseigneacute en arithshy

meacutetique et algegravebre cest la dialectique du numeacuterique et de lalgegravebre - implicitement

preacutesente agravetravers llaquooppositionraquo de larithmeacutetique et de lalgegravebre - qui va se trouver

atteinte Plus que jamais les liens du numeacuterique et de lalgeacutebrique sen trouveront

relacirccheacutes

VIII - UNE CONCEPTION EMPIRISTE DU REEL MATHEMATIQUE

Leffacement de lopposition arithmeacutetiquealgegravebre en effet altegravere les condishy

tions de la mise en rapport du numeacuterique et de lalgeacutebrique Lancien rapport doutil

(38) Soit PIt) = a + a t + + a t n un polynocircme agrave coefficients dans if Sil existe un nombre premier p tel que0 1) ~ rie divise ~as an 2) p divise a al an_l p2 ne divise pas ao alors P o est irreacuteductible sur O

(39) Arithmeacutetique universelle tome premier pp 47-48 Nous laissons au lecteur le soin dapporter la justification matheacutematique requise

77

de travail agrave objet travailleacute semble perdu Les deux domaines - le numeacuterique -le

litteacuteral - vont coexister dans une simple juxtaposition existants qui trouvent en

eux-mecircmes leur propre justification Les rapports naguegravere encore banals entre ces

deux ordres de reacutealiteacute matheacutematiques semblent deacutesormais abolis Ou plutocirct ils laissent

place agrave des rapports nouveaux et inverseacutes ce nest plus lalgeacutebrique qui vient pershy

mettre deacutetudier le numeacuterique cest le numeacuterique qui laquojustifieraquo et laquopermet de comshy

prendreraquo lalgeacutebrique Le document 5 extrait dun manuei de quatriegraveme actuel (40)

IIUDIFFeacute~ENCS ce ceux C~CIMAUX [

x-eD yeC zeC z-z -y signifie que z+y-z Comment est appel z pour z et y dans ct ordre Observe

13-(-7) z+-7)middot13

[+(-7)j+713+7 +[(-7)+71-13+7

+0-13+7 zo13+-7

z-z-y z+y-z

(+y) + (-y)- +-(-y) +(y+ (-y)]-x + (-y)

z+O-z + (-y) -+(-y)

Pour tout xde D pour tout y de 0 z - y est un deacutecimal et z - y = +(-y) Exemples 8-(-7)=8+7=15 9-14=9+(-14)=-5 Lopeacuteration- qui agrave chaque coupe (z y) z e 0 y E C fait correspondre le deacutecimal Z - J est la soustraction dans O

DOCUMENT 5

Lalgeacutebrique comme essence du numeacuterique

nous donne de ce pheacutenomegravene un exemple tregraves net lintention didactique est ici

de justifier le fait que x - y = x + (-y) Pour le matheacutematicien la laquojustificationraquo shy

qui est alors strictement une deacutemonstration - est toute entiegravere contenue dans la

colonne de droite si je deacutefinis en geacuteneacuteral-y comme eacutetant le nombre tel quey + (-y) = 0

et si les proprieacuteteacutes ordinaires - associativiteacute etc - valent encore pour le nouvel

ensemble de nombres ainsi deacutefini alors le nombre z que je dois ajouter agrave y pour

obtenir x - ce quon appelle la diffeacuterence de x et y et qUon note x - y - nest pas

autre chose que x + (-y) Or la laquojustificationraquo passe dans la didactique ici examineacutee

par lappel au concret cest-agrave-dire au numeacuterique tel est le rocircle de la colonne de

gauche Ce sont les calculs numeacuteriques de la colonne de gauche qui soutiendraient

le sens (pour leacutelegraveve) des calculs litteacuteraux de la colonne de droite Malheureusement

le contenu de la colonne de gauche est si lon peut dire hautement improbable

(401 Il sagifdu _manuel Matheacutematique contemporaine pour la classe de quatriegraveme publieacute chez Magnard et conforme au programme de1978shy

78

parce que le numeacuterique ne fonctionne pas ainsi En fait les calculs numeacuteriques preacuteshy

senteacutes ici nexistent quagrave ecirctre limage en miroir des calculs litteacuteraux de la colonne

de droite Et cest pour permettre de tels calculs que le langage algeacutebrique preacutecishy

seacutement est neacutecessaire Il y a ainsi meacuteprise sur la speacutecificiteacute des deux ordres de calcul

et conseacutequemment sur le type de rapports quils entretiennent la justification

de lalgeacutebrique sappuierait sur un mode de fonctionnement du numeacuterique qui nest

en fait quun deacutecalque du fonctionnement de lalgeacutebrique et qui donc suppose

lalgeacutebrique

Leacutelucidation du nouveau rapport qui saffirme ainsi nest pas chose facile Elle

est pourtant neacutecessaire afin de preacuteciser par delagrave la surface des programmes les mouveshy

ments profonds produisant des deacutecisions didactiques quon aurait tort de regarder

seulement comme des laquotrucsraquo eacuteleacutements atomiques de strateacutegies trouvant en ellesshy

mecircmes et dans leurs effets supposeacutes leur unique mobile Revenons agrave lexemple que

nous avons examineacute Lalgeacutebrique y apparaicirct comme la laquotheacuteorieraquo de cette laquoreacutealiteacuteraquo

que serait le numeacuterique Mais les relations en acte entre theacuteorie (permettant leacutetude)

et reacutealiteacute (objet de leacutetude) y ressortissent incontestablement agrave une conception empishy

riste (et mecircme nous allons le voir empiriste-sensualiste) de la connaissance Tel est

en fait le mobile - veacutecu sans doute comme allant de soi dans leacutevidence que lideacuteoshy

logie procure - de la tentative de laquofaire sortirraquo la theacuteorie (lalgeacutebrique) de la reacutealiteacute

(numeacuterique) Il ya ici inversion des rapports entre theacuteorie et reacutealiteacute Car le surgissement

du theacuteorique - faut-il le rappeler - ne sautorise jamais que de lui-mecircme et loin

de proceacuteder de la reacutealiteacute la constitue (ou la renouvelle) comme objet de connaissance

Si jeacutecris par exemple 13 + 7 = 13 - (-7) selon un fonctionnement du numeacuterique

antinomique de la pratique calculatoire (cest-agrave-dire arithmeacutetique) du numeacuterique shy

laquelle voudrait quon eacutecrivicirct 13 + 7 = 20 - je fais de lalgegravebre sur du numeacuterique

cest loutil algeacutebrique et lui seul qui me permet ce travail du numeacuterique Entre le

fonctionnement arithmeacutetique et le fonctionnement algeacutebrique du numeacuterique il y a

ainsi une distance - un saut - que nul proceacutedeacute dlaquoabstractionraquo ne peut venir combler

On aurait tort de penser que lanalyse preacuteceacutedente ne vaut que pour lexemple

sur laquelle nous lavons illustreacutee En reacutealiteacute sa porteacutee est beaucoup plus eacutetendue

et pour en saisir toute la signification il faut revenir agrave cette acmeacute de leacutevolution de

la transposition didactique que repreacutesente la reacuteforme de 1971 (celle des laquomatheacutemashy

tiques modernesraquo) Contrairement aux opinions aujourdhui dominantes qui selon

un opportunisme neacutecessaire et une constante inconstance reacutecusent cette reacuteforme

pour ses excegraves et la regardent comme laberration dun moment il faut tenir que cette

aberration nen est pas une quelle ne fait que preacutecipiter cristalliser et rendre explicites

des traits qui deacutejagrave se repegraverent dans leacutevolution des deacutecennies preacuteceacutedentes Elle est un

moment qui donne sens reacutetrospectivement agravece qui vient avant lui et deacutetermine

largement ce qui viendra apregraves lui Car sil y a en quelque faccedilon rupture cest sur le

fond dune tregraves large surdeacutetermination En profondeur le programme de 1971 - pour

79

sen tenir agrave la classe de quatriegraveme - constitue une radiographie saisissante dune

eacutevolution que le programme de 1978 nadoucira quen surface Cest cette image

laquodureraquo quil faut interroger

On a trop vitupeacutereacute linflation moderniste le parti pris theacuteoriciste lambition

de rigueur des matheacutematiques promues par la reacuteforme et trop peu vu derriegravere cet

eacutecran deux mouvements correacutelatifs moins spectaculaires mais deacuteterminants Le

premier - que nous avons deacutejagrave plusieurs fois mentionneacute - cest lenvahissement du

champ deacutetude par les structures numeacuteriques Les laquoexcegravesraquo du programme de 1971

sont le prix agrave payer pour ce coup de force qui se megravene alors - simple tactique dun

moment le programme de 1978 installera une version apaiseacutee de la mecircme strateacutegieshy

avec lartillerie lourde de laquolapproche des reacuteelsraquo des laquocalculs approcheacutesraquo des laquoencashy

drementsraquo de haute ambition matheacutematique Le seCond cest la peacuteneacutetration dun

thegraveme qui va devenir central celui de llaquoobservationraquo et de llaquoexpeacuterimentationraquo

matheacutematiques

Fausse moderniteacute ce thegraveme est mis en place degraves les Instructions de janvier

1957 (annexe 6a) dont les Instructions de 1971 se reacuteclameront non sans raicon Il

prend alors lallure dune reacuteflexion sur les liens entre matheacutematique et extramatheacutemashy

tique La caution bergsonienne ici invoqueacutee - homo taber homo sapiens - bien que

dateacutee est agrave cet eacutegard tregraves significative La perspective proposeacutee ne conduit pas tregraves

loin les problegravemes denseignement se trouvent laquoreacutesolusraquo par une didactique euphoshy

rique (annexe 6b) Au vrai la conjoncture historique qui verra la mise en place des

matheacutematiques modernes nest alors quincomplegravetement formeacutee Ce qui manque

encore afin que lideacutee dexpeacuterimentation puisse passer dans les faits cest une matiegravere

que lon pourrait soumettre agrave lobservation et agrave lexpeacuterience A cet eacutegard les Instrucshy

tions de 1957 raisonnent encore agrave lancienne la notion dexpeacuterimentation y est

surtout loccasion dune rheacutetorique qui tourne sur elle-mecircme faute de pouvoir sapplishy

quer Mais cette matiegravere dapplication qui fait deacutefaut la reacuteforme va lapporter en

abondance ce sera le numeacuterique dont nous comprenons mieux degraves lors la place

de choix que les programmes reacuteformeacutes vont lui accorder Son expansion se trouvait

en fait comme appeleacutee par lexigence laquoexpeacuterimentaleraquo induite par une certaine concepshy

tion eacutepisteacutemologique et didactique

Le deacutecor de laction est installeacute en consonance avec une mise en scegravene empiriste

du procegraves de connaissance(41) Il Y a la laquoreacutealiteacuteraquo qui est un donneacute dont la preacutesence

simpose avec la derniegravere force et il y a la laquotheacuteorieraquo de ce donneacute que lon preacutetend

tirer par abstraction de lobjet agrave laquelle elle se voue La dialectique du numeacuterique

et de lalgeacutebrique est alors perdue lun de ses termes (lalgeacutebrique) se dissout dans

(41) Pour lintelligence de ce qui suit nous renvoyons agrave Althusser 1968 notamment pp 38-45

80

lautre (le numeacuterique) agrave qui est octroyeacute par nature une existence presque mateacuterielle

et dont lalgeacutebrique proceacutedera geacuteneacutetiquement La reacuteforme de 1971 remanie donc

le champ deacutetude pour y produire de solides objets laquoreacuteelsraquo agrave forts coefficients dexis-shy

tence les structures numeacuteriques et aussi la mysteacuterieuse laquodroite physiqueraquo dont la

soudaine promotion ontologique serait autrement encore plus inexplicable(42) Cela

poseacute lintroduction du litteacuteral (lalgeacutebrique) sidentifie au mouvement par lequel

dans le procegraves empiriste de connaissance se repreacutesente lessence du reacuteel qui est toute

la connaissance que le sujet peut tirer de lobjet par abstraction il permet de distinguer

entre un reacuteel essentiel et un reacuteel inessentiel gangue ou accident que le processus

dabstraction abandonne comme un reacutesidu impenseacute Labstraction qui vise agrave porter

agrave la lumiegravere ce quon pourra connaicirctre de lobjet agit par deacutecrassage et deacutecapage

CHA~tTRbullbull tour dieacuteremcs ftiems de 1t 011 obti=c cIes putitioas cilifeacute=o~ Uuml fiIure 2 repreacutese1tt (parshy

tieJ1emenz) les paniagravecas ~ i- II-l 11--0 11 - - l~ = grouie agrave la loupe la paftiriœ cozrcspoadaDc agrave Il - - 2shy

f-oo( [Q10[

1 1

~ Q t

(-2 ~( T

[l 0 ( [01 ( r12 r i i i i J r sr

-1shy 0 t

1 1 1 1 1 1 1 1 shy 1 bull 1 1 1 11

-1 -01 001 lU 03 ~ o~ 06 07 oa 09 1 11

P4 041 ~l ~~I 041ds1 -i -o] OoJ O4l o~ 04S 04) ~ 1 ~1 1

fJvZ

li) De m=c si II eR lD1 emer œIaagravef acirczeacute et si CI pr=d tOlIœS les ftiems possibles da2s Z r=semblc cIes imenalles cie c

Jcr10 (CI + L 10

eR iJMpcrtirIcircD1f de C Uuml figure 3 repreacutes=œ (articllemcm) =œ putitioll p04 shy O~

r 1 i 1 T l 1 1 -5 -4shy -3 -2 -r agrave l Z ~ 4shy 5

~3

DOCUMENT6

Le deacutecapage du donneacute dans le processus empiriste de connaissance

(42) Voir Chevallard et Johsua 1982 notamment pp 200-203

81

agrave ce thegraveme geacuteneacuteral de la connaissance empiriste reacutepond correctement dans les proshy

grammes la notion dlaquoapprocheraquo ou dlaquoapproximationraquo des laquoreacuteelsraquo (qui nont jamais

aussi bien porteacute leur nom) Ceux-ci sont atteints par le moyen de purifications successhy

sives qui eacuteliminent peu agrave peu la gangue inessentielle Tel manuel (43) pris parmi tant

dautres- en offre la superbe illustration (document 6) limage de la loupe - emblegraveme

de la connaissance empiriste dont elle est linstrument privileacutegieacute parce quelle permet

de mieux voir et de faire voir - y est requise et symbolise mieux quun long commenshy

taire cette conception de la connaissance comme visant agrave amener linvisible agrave la

vue de tous

Une telle conception de la connaissance rate le reacuteel dont il sagirait preacuteciseacutement

de produire la connaissance parce quelle en manque la constitution comme objet

de connaissance(44) Lalgeacutebrique ne sert plus agrave connaicirctre le numeacuterique Il nest plus

deacutesormais quune steacutenographie middotessentialisante qui deacutecrit reacutesume et seacutepare lessence

de laccident Le surgissement laquomoderneraquo de la dichotomie de llaquoobservationraquo et de

la laquotheacuteorieraquo - que les manuels actuels reprennent agrave lenvi - est ainsi correacutelatif dune

dissolution de lobjet de connaissance au profit de lobjet reacuteel maintenant donneacute

agrave voir dans une abstraction reacuteputeacutee immeacutediate et facile Lordre didactique va sorgashy

niser autour de cette eacutepisteacutemologie imaginaire

REFERENCES

ALTHUSSER L (1968) Lire le Capital Franccedilois Maspeacutero Paris

BOURDIEU P (1974) Le sens pratique eacuteditions de Minuit Paris

BROUSSEAU G (1980) Problegravemes de lenseignement des deacutecimaux Recherches

en didactique des matheacutematiques 1middot1 pp 11-59

CHEVALLARD Y (1980a) Matheacutematiques langage enseignement la reacuteforme des

anneacutees soixante Recherches 41 pp 71-99

CHEVALLARD Y (1980b) La transposition didactique 1REM dAix-Marseille

CHEVALLARD Y (1982) Pourquoi la transposition didactique 7 Publication du

seacuteminaire de didactique et peacutedagogie des matheacutematiques 32 Grenoble

CHEVALLARD Y et JOHSUA MA (1982) Un exemple danalyse de la transposition

didactique Recherches en didactique des matheacutematiques 3 2 pp 157-239

MICHEL PH (1950) De Pythagore agrave Euclide Les Belles Lettres Paris

SMITH DE (1953) History of mathematics volume Il Dover publications Inc

New York

(43) Il sagit de louvrage mentionneacute dans la note 24 ci-dessus

(44) Sur la distinction entre laquoobjet reacuteelraquo et laquoobjet de connaissanceraquo voir Althusser 1968 pp 4649

82

CLASSE DE QUATRIEME CLASSIQUE A ET B ET DE QUATRIEME MODERNE

PROGRAMME DE 1945 (extraits)

Arithmeacutetique

Pratique sur des exemples de la deacutecomposition dun nombre entier en facteurs premiers de la recherche du plus grand commun diviseur et du plus petit commun multiple de deux ou plushysieurs nombres Applications aux fractions

Algegravebre

Nombres algeacutebriques (positifs nuls heacutegatifs) Opeacuterations sur ces nombres exposeacutes agrave partir de problegravemes concrets Ineacutegaliteacutes

Mesures algeacutebriques de vecteurs sur une droite orienteacutee Formule de Chasles Repeacuterage dun point sur un axe

Eleacutements du calcul algeacutebrique proprieacuteteacutes des sommes et des produits Puissances Produit et quotient de deux puissances dun nombre usage de lexposant nul et dexposants neacutegatifs

Monocircmes Produit de monocircmes Quotient de deux nombres Somme de monocircmes semblables (on se bornera agrave des monocircmes agrave une deux ou trois variables) Polynocircmes agrave une variable addition soustraction multiplication par une constante

Equations numeacuteriques du premie( degreacute agrave une inconnue Problegravemes conduisant agrave une eacutequation numeacuterique du premier degreacute agrave une inconnue

Annexe 1

83

CLASSE DE QUATRIEME

PROGRAMME DE 1958 (extraits)

Arithmeacutetique

Pratique sur des exemples de la deacutecomposition dun nombre entier en un produit de nomshybres premiers pratique de la recherche du plus grand diviseur commun et du plus petit multiple commun de deux ou plusieurs nombres Applications

Algegravebre

1 - Nombres relatifs (positifs nuls neacutegatifs) Orientation dun segment (vecteur) orientation dune droite (axe) mesure algeacutebrique

dun segment orienteacute sur un axe repeacuterage dun point sur un axe (abscisse)

II - Opeacuterations eacuteleacutementaires sur les nombres relatifs addition et soustraction multiplishycation et division

Extension aux nombres relatifs des proprieacuteteacutes fondamentales eacutetablies pour les nombres arithmeacutetiques (classe de cinquiegraveme) concernant les sommes les diffeacuterences les produits les puisshysances n-iegravemes les quotients linverse dun nombre non nul Condition pour quun produit soit nul

Deacutefinition des exposants neacutegatifs et de lexposant nul Comparaison des nombres relatifs ineacutegaliteacutes Ineacutegaliteacutes concernant la valeur absolue dune somme ou dune diffeacuterence Formule de Chasles pour trois points situeacutes sur un axe Segment deacutefini par les abscisses

des deLix points qui le limitent mesure algeacutebrique de ce segment orienteacute mesure de la longueur de ce segment abscisse du milieu de ce segment

III - Notions de variables et de correspondance entre variables Expressions algeacutebriques deacutependant dUne ou de plusieurs variables calcul de la valeur

numeacuterique dune expression algeacutebrique pour des valeurs numeacuteriques donneacutees aux Ymiddotariables Monocircmes agrave une ou plusieurs variables multiplication addition de monocircmes semblables Polynocircmes forme reacuteduite Polynocircmes ordonneacutes addition multiplication Identiteacutes relatives aux produits (x + y)2 (x - y)2 (x + y)(x - y)

IV - Equations position du problegraveme signification du signe = dans ce problegraveme Equashytions du premier degreacute agrave une inconnue agrave coefficients numeacuteriques Reacutesolution de problegravemes simples agrave laide dune telle eacutequation

Annexe 2

84

CLASSE DE QUATRIEME

PROGRAMME DE 1971 (extraits)

1 - Relations

Reacutevision -des notions preacutesenteacutees dans les classes anteacuterieures et compleacutements produit carteacutesien relation application composition des applications bijection cun ensemble sur un ensemble et bijection reacuteciproque

Notion de groupe deacutefinition (on la jeacutegagera des exemples du programme)

II - Nombres deacutecimaux relatifs et approche de reacuteel

1 Groupe des puissances de dix

Nombres deacutecimaux relatifs eacutecrits a 10n avec a e7l et p E7 et sous forme de nombres agrave virgule addition multiplication ordre valeur absolue Reacutesumeacute des proprieacuteteacutes fondamentales de lensemble ainsi structureacute des deacutecimaux relatifs

2 Calculs approcheacutes

a) EnC3drement dun nombre deacutecimal par des intervalles des types [a 10pbull (a + 1) 10middot[ da 101 (a + 1) 10- [a 10pbull (a + 1) 101] avec a E Z et p E Z Sur des exelJlples encamiddot drement middotdune somme dun produit

b) Exercices de deacutetermination pour un deacutecimal strictement positif d donneacute et pour un entier relatif n donneacute du nombre deacutecimal x bull 10 avec x E IN tel que soient veacuterifieacutees les ineacutegaliteacutes 0 ~d x 10 ~ 1 lt d (x + 1) 10

c) Exercices de deacutetermination pour un deacutecimal strictement positif d donneacute et pour un entier relatif n jonneacute du nombre deacutecimal y bull 10 avec y E IN tel que soient veacuterifieacutees les ineacutegaliteacutes [y 10P ~ d lt [(y + 1) 10]

d) Suites deacutecimales illimiteacutees nombres reacuteels encadrements dun nombre reacuteel

3 Enumeacuteration des principales proprieacuteteacutes qui structurent fensemble IR des reacuteels addition (IR +) est un groupe commutatif multiplication associashytiYiteacute distributiviteacute par rapport agravefaddition ordre et valoeur absolue

On admettra que pour tout nombre reacuteel a jiffeacuterent de 0 il existe un nombre reacuteel a-1 et un seul tel que aa-1 = 1 Pour tout couple de nombres reacuteels (a b) avec a = 0 il existe un nombre reacuteel unique x appeleacute quotient de b par a

b et noteacute ba-1 ou - tel que ax = b a

Exercices simples de calcul sur de tels quotients Sur des exemples -numeacuteriques eacutequations et ineacutequations du premier degr9 agrave une inconnue

Usage des exposants entiers groupe des puissances dun nombre reacuteel non nul

Calculs approcheacutes sur les nombres reacuteels

4 Exemples de fonctions polynocircmes (applications de IR dans IR) Degreacute Exercices de calcul SUT les polynocircmes Produits (x + a)2 (x - a)2 (x + a) (x - a) Exercices de factorisation

Annexe 3

85

ENCYCLOPEDIE QUILLET (1958)

TABLE DES MATIERES (extraits)

ARITBMEacuteTIQUE Notio~ preacute1i1Ji~ajres - Ideacutee de nombrebullbullbullbull 153 NumeratIon decmale bullbullbullbullbullbullbullbull 156 ~esure des grŒDdeurs bullbullbullbullbullbull bullbullbullbull 159 Nombresmiddot deacutecUDauxbullbullbullbullbullbullbullbullbullbull 169 Ladditionbullbull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull 165 La soustraction bull bull bull bull bull bull bull bull bull 168 La ~~qplication bullbullbullbullbullbullbull1 bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bullbull 171 La diVISIon 178

Regravegle de trois bull bull 117 Pourcentages bullbullbull 119 Partages proportionnels 110 ~~langes bullbull i bull bullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbull 111 Alliages bull 111 Regravegles dinteacuterecircts 124 Rentes sur Pltat 116 Actins et obli~tions - Escompte 117

Problegravemes sur les quatre opeacutemtions bull bull bull 184 La divisibiliteacute bull bull bull bull bull bull bull bull 186 Plus grŒDd commun diviseur (p G C D) 189 Plus petit commun multiple (P P C M) 191 Nombres premiers bullbullbullbullbullbullbullbull 192 Les fractions bull bull bull bull bull 194 Opeacuterations sur les fractions 197 Sys~egraveme meacute~que 203 Racme carree 207 Rapports - Proportions 2 II

Grandeurs Proportionnelles 215

Connge des exercces ~ 130

Annexe4a

ALGEgraveBRE Notions preacuteliminaires bullbullbullbull 157 Opeacutemtions sur les nombres algeacutebriques (somme

diffeacuterence multiplicationmiddot division des nombres algeacutebriques fractions ou rapports algeacutebriques puissances racines) bull bull 160

Qpeacuterations sur les expressions algeacutebriques bull 168 gquations du premier degreacute 278 Reacutesolution des problegravemes du premier degreacute agrave une

inconnue bullbullbullbullbullbullbullbullbull 186 gquations et problegravemes du premier degreacute agrave deux

ou plusieurs inconnues bull bull 191 Notions sur les repreacutesentations graphiques bull bull 301

Variation des fonctions 313 Deacuteriveacutees bullbull bull bull 319

~uations et problegravemes du second degreacute bull bull 312

ProgressionsetlogaritbInesmiddotmiddotmiddotmiddot middotmiddot middotmiddotmiddot middot331 Table de logarithmes de 1 agrave 1 000 bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull 338 Application des logarithmes Inteacuterecircts composeacutes et

annuiteacutes bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull 343 Corcigeacute des ex~ces bullbull ~ bullbullbullbullbullbullbull 348

Annexe4b

66

davantage et pour la veacuteriteacute je la formule moi aussi laquoSupprimer dans la classe de

matheacutematiques la theacuteorie des fractions cest supprimer un chapitre admirable Le

seul peut-ecirctre parmi ceux qui nous restent qui ne soit pas lagrave uniquement pour son

utiliteacute immeacutediate et qui donne le sentiment de la beauteacute pureraquoraquo(31) Or cette admirable

construction devient dans le cadre des matheacutematiques modernes plus admirable

encore ou disons plus subtile le maniement sans complexe des fractions fait place

agrave une ontologie raffineacutee dans laquelle les fractions devenues couples de nombres

ne sont plus - en theacuteorie plus quen pratique bien sucircr - que le mateacuteriau de la consshy

truction des rationnels classes deacutequivalence de fractions Avrai dire cette preacutesentation

moderne neacutetait guegravere favoriseacutee par le programme de 1971 (dans lequel les reacuteels faisaient

directement suite aux deacutecimaux les rationnels neacutetant alo~s que des reacuteels particuliers

les quotients dentiers) Mais le programme de 1978 lui donne une nouvelle chance

et quelques manuels impavides la mettent en œuvre (document 4a) Cette perspective

constructiviste peut en fait ecirctre aiseacutement eacuteviteacutee au profit dune conception reacutealiste

(celle-lagrave mecircme que le programme de 1971 poussait en avant les reacuteels eacutetant supposeacutes

donneacutes - ils eacutetaient laquoconstruitsraquo dans le programme de 1971 - un rationnel est un

reacuteel qui peut seacutecrire comme quotient dentiers) et la plupart des manuels utilisent

cette possibiliteacute (document 4b) conceptuellement et techniquement moins difficile

et sans doute plus proche de la repreacutesentation du nombre qui est effectivement celle

des eacutelegraveves et mecircme du laquoworking mathematicianraquo Mais le souci de purisme na pas

disparu le goucirct de la laquorigueurraquo (sic) conduit chez quelques-uns (document 4c) agrave une

veacuteritable confusion sur le sens du signe deacutegaliteacute (qui ne signifie en principe nullement

que les deux membres de leacutegaliteacute sont des expressions identiques - formellement

ou syntaxiquement - ce qui interdirait deacutejagrave deacutecrire que 6 = 2 X 3 mais que ce quils

deacutesignent sont une seule et mecircme chose le signe deacutegaliteacute ne signifiant rien dautre

quune identiteacute seacutemantique) Cela dit le problegraveme - eacuteleacutegamment mais coucircteusement

reacutesolu par le moyen des classes deacutequivalence - existait avant les matheacutematiques

modernes et continue dexister mais le corpus ancien le traitait (inconsciemment )

avec une grande discreacutetion (document 4d) en distinguant chaque fois quil eacutetait

neacutecessaire la fraction (consideacutereacutee alors implicitement comme eacutecriture agrave savoir comme

rapport) et la valeur de la fraction (soit le nombre - rationnel - deacutesigneacute par cette

eacutecriture) Quoi quil en soit tout ce jeu laisseacute autrefois implicite et plus ou moins

fortement expliciteacute aujourdhui participe de ladmirable construction des fractions

qui seacuteduit tant les professeurs comme dit Lebesgue

(31) Ibid pp 25-26

67

Nombres rationnels

Ensemble ltC

RAPPELONS

Dans lensemble T des fractions nous avons deacutefini la relation JI suivante

Quelles que soient les fractions ~ et ~ on a (~JI ~) (ad =bel

Nous avons eacutetabli (p 48) que JI est une relation deacutequivalence dans T

Pourtraduire que deux fractions ~ et ~ sont lieacutees par JI nous avons eacutecrit ~ = ~

et nous avons dit que les fractions ~ et ~ sont eacutequivalentes

DEacuteFINITION

Nous donnons la deacutefinition suivante

Ch8q cd6quiVIIlencbullbullbulllonJIst appeleacutee un nombre lIItlonnel

Nous deacutesignons par 0 lensemble des nombres rationnels

AEPAEacuteSENTAtfr DUN RAcircTIONNEL

Soient x un eacuteleacutement de 1 etmiddott une fraction eacuteleacutement de T

Nous disons que x et un nombre rationnel dont un repreacuteentant et ~ 1 et

aeulement si x est 1 clbullbullbullbull deacutequlvlence elon JI de 1 fraction i Le nombre ~tion~1 x est donc lensemble des fractions ~ eacutequivalentes agrave~ nous

avons x=~lcez deZmiddot ~=M Remarquons que toute fraction eacutequivalente agrave ~ est un repreacutesentant du nombre

rationnel x

CHAPITRE 6 ENSEMBLE Q 67

DOCUMEIIT 4eacute1

(Matheacutematiques4egraveme collection Monge 1978)

68

CHAPITRE 4 algegravebre

Ensemble 0 des nombres rationnels

1 Oeacuteflnitlon de lensemble C 4Notatlons fractionnaires dUn rationnel des rationnels

2prOPrieacuteteacutes de lensemble Q 50Peacuteratlons dans Q des rationnels

3Eacutecriture deacutecimale illimiteacutee 6comparaison de deux rationnels dun rationnel

1Deacutefinition de lensemble Q des rationnels

deacutefinition Un nombre reacuteel (ou reacuteel) est appeleacute DOIIlbre ratioonel (ou rationnel) sil est eacutegal agrave un quotient de deux entiers relatifs

Autrement dit Un reacuteel x est un rationnel sil existe un entier relatif a et un entier relatif non

nul b tels que x soit eacutegal au quotient ~

exemples bull Les quotients suivants sont des rationnels 2 -4 -3 248 57 -29704 0 37 0 359 iuml 78 -=5 -614 57 -1- 25 =iOOO =iuml4 -1-

lal -27815) Ibull Le ree r eg au quotIent 0013 est-I un ratIonne

- 2781 5 et 0013 ne sont pas des entiers relatifs

On sait que (proprieacuteteacutes des quotients de reacuteels)

-27815 -27815 x 104 -27815 0013 0013 x 104 =~

Conclusion r est un rationnel

DOCUMENT 4b

(Matheacutematiques4egraveme collection Durrande 1979)

69

I~ Lensemble ltD des nombres rationnels

1 bull DEacuteFINITION ET EXEMPLES

Dans le cnapltre 4 nous ayons rencontreacute des nombres QUon pouvait obtenir comme Quotient exact dun entir relatif fi par un entier relatif non nul b Ces nombres sappellent lesnombnts ratiOnneJa (ou plua simplement les rationnels) Ils sont r8Qreacutesnteacutes par des fractions ainsi

exemples de fractions repreacuteslitntant x Nombre rationnel x -2 -8 -18lentler relatif -2 -9- -L shy1 3 -1 7 35 -7le deacutecimal rlatlf 35 Ji shy2 4 10 -=2 ~ Q EumlL shyIe ratlonn1 i 3 8 30 -3

Reepitullfflon des prlnc1es deacutetlnltlons Otlnitlo Soit un entIer ratatlf quelconque et soit b un entIer reltlf non nuL

11 LA couple (e bJ eacutecrit sous i fonne appellela fractIon d num

teur bull et de deacutenominateur b 2J Cette fraction retrisente le quotient ect de bull par b que lon not

aUAI bull On bull donc par deacuteflnltlon

bX~ bull JCb bullbull b b

31 On appelle nom rationnel tout nombre Que lon peut obtnir comme quotient euct dun entier relatif par un entlr relatif non nul

Attention 1La megravem notation est utiliseacutee pour deacutesignr deux cnoss diffeacuterentesb

le couple (II b) le Quotient exact de Il par b

Quand on eacutecrit il faut preacuteciser sU sagit de la fraction Ji (le couple (1 4 4raquo ou du rationshy4 4

nel 2i (Qui est eacutegal agrave 35) 4

le rationn est Anal au rationnel L4 ~~ 2

la fraction nest pas eacutegale agrave la fraction 1 ~ 2

(Puisque les couples (144) et (72) sont distincts)

Une convention commode

Pour eacuteviter cet Inconveacutenient nous conviendrons toujours Que dans les calculs deacutesinne le b

nombre rationnel Quotient exact d fi par b Ainsi nous pourrons eacutecrire

Ji =L =3S4 2

Quand vous voudrez parler du couple (14 4) il faudra preacuteciser bull la fraction c 4

DOCUMENT 4c

(Matheacutematiques classe de quatriegraveme collection Queysanne et Revus 1979)

70

SIMPLIFICATION DES FRACTIONS

i49 Simllifier une fraction cest la remplacer par une fraction ~e mais ayant des tenDes plus petits

ISO PROPRIEacuteTEacuteS FONDAMENTALES

10 On mesure deux rubans avec le sepagraveegraveme dune longueur donneacutee A B Lun mesure 2 sepagraveagravenes lautre 4 septiegravemes de luniteacute Il est eacutevident que le dewdagraveDe est double du premier

4 2 X 2 2 - --- - X 2 donc 777

Theacuteoregraveme L - Si OD mwdpUe le aDlDampateDr dune CractloD par aD JIOmbre la CracdoD eet muldpUeacutee par ce Dombre

2deg Un ruban mesure 5 sepagraveagravenes de la longueur AB un dewtiagravene ruban vaut S quato12Iumlagravenes de la mbe uniteacute

Un quatorziagravene eacutetant deux fois plus petit quun sepagraveagraveDe la dewdœe longueur est deux fois plus petite que la premiugravee S S S

------ 2 par suite 14 7 X 2 7

Theacuteoregraveme D - Si OD muldpUe le dacirclomiDateur cl1IDe bcdoD par 110 aombre la CracdoD eet diYileacutee par ce JIOmbre

3deg Soit la fraction _3 X 3_2S s s X 3 IS Elle ne c1uIage pas de valeur si nn mulagraveplie ses deux termes par 3 En dfet si on multiplie son numeacuterateur elle devient 3 fois plus grande si on multiplie son deacuteDominateur

elle devient 3 fois plus petiœ Par conseacutequent

Theacuteoregraveme DL - Si OD mwdpUe lee cleu termes daDO bcdoD par aD ~e DOmbre la ampactIoD ae chaage pu do valeur

On voit IJU- mIru gratukur fJGI la _ pat _ itrftniri tU frtJCtUgrave1fU U1IItU igalu

Corollaire - Si OD divise lee deux termee dlIDe CractiOD par aD mfme JIOmbre (ropkatucircm eacutetant possible) OD obdeat une bedoD eacuteplo agrave la premiegravere

Soit la fraction 18 dont les deux termes sont divisibles par 321

On peut eacutecrire 18 _ 6 x 3 21 7 x 3

et dapregraves le theacuteoragravene preacuteceacutedent _ 6 X 3 7 7 X 3

On a donc 18 3_ la fraction Il des termes plus petits que la fraction 18 dougrave la regravegle de simshy21 3 7 7 21

pli1ication des fractions

~ Regravegle - PD1lI simplifier _ fraaion an divis 11$ dIU umm pat 11II mIru 1ItmIbr

DOCUMENT 4d

Arithmeacutetique de lEncyclopeacutedie Quillet 1958

Fractions et rationnels en fait ne constituent pas seulement une admirable

construction matheacutematique ils composent en mecircme temps un objet didactique

inteacuteressant agrave bien des eacutegards La place de leacutelegraveve (cest-agrave-dire ce qui peut ecirctre requis

de leacutelegraveve agrave ce propos) y est nettement dessineacutee Lebesgue le soulignait judicieusement

le chapitre regorge dexercices dont la difficulteacute (cest-agrave-dire en gros la complexiteacute)

peut ecirctre finement gradueacutee La place de lenseignant elle aussi sy trouve preacutepareacutee

le professeur eacuteprouve toute sa speacutecificiteacute face agrave leacutelegraveve en tant quarchitecte et bacirctisshy

seur - fonctions dans lesquelles leacutelegraveve ne saurait lui disputer sagrave place - dune consshy

truction matheacutematiqueagrave la fois simple rigoureuse riche dont la complegravete transpashy

71

rence nest acquise quau prix de quelque subtiliteacute intellectuele nullement inaccessible

agrave leacutelegraveve mais relativement exigeante Toutefois il y a plus En un sens tout objet

de savoir didactiquement acceptable laisse voir deux laquoplacesraquo il doit contenir le

laquolieuraquo que leacutelegraveve viendra occuper (les tacircches que le contrat didactique lui assignera

en propre) il doit contenir aussi un lieu speacutecifiquement alloueacute agrave lenseignant Ce

marquage des places consubstanciellement lieacute au fonctionnement didactique du

savoir est un processus geacuteneacuteral que jai proposeacute(32) dappeler la topogeacutenegravese (du grec

topos lieu) Mais la dialectique topogeacuteneacutetique peut ecirctre plus ou moins resserreacutee plus

ou moins relacirccheacutee dans ce dernier cas (qui correspond comme jessaierai de lindiquer

plus loin agrave ce que nous voyons majoritairement se produire aujourdhui agrave propos de

lemploi du langage algeacutebrique) les eacutechanges entre eacutelegraveves et enseignant demeurent

pauvres la communication est distante parce que les uns et les autres ne se mesurent

pas aux mecircmes tacircches (le professeur deacutemontre une eacutegaliteacute litteacuterale leacutelegraveve lapplique

agrave des cas particuliers numeacuteriques) Avec les fractions une fois fixeacutee larchitecture

geacuteneacuterale de leacutedifice il en va autrement passeacutes les calculs les plus simples les calculs

qui ne sont pas triviaux pour leacuteiegraveve - tout en demeurant de lordre de ce qui peut

loyalemeacutent lui ecirctre demandeacute - ne le scgtnt quagrave peine moins pour le professeur Les

partenaires de linteraction didactique se rapprochent autour dune tacircche unique

jusquagrave sembler parfois unir leurs efforts agrave la recherche dune commune reacuteponse

Tout comme la geacuteomeacutetrie (qui soppose par cela et du seul point de vue didactique

deacutejagrave agrave lalgegravebre en geacuteneacuteral) les fractions constituent loccasion dune reacuteelle convishy

vialiteacute dans la classe Les distinctions qualitatives (marqueacutees par des tacircches de natures

diffeacuterentes) sestompent au profit de simples diffeacuterences quantitatives (lenseignant

va plus vite plus sucircrement mais il ne sait rien de plus que leacutelegraveve et ne fait rien de

plus que lui) Le groupe agrave la fois se rassemble gagne en coheacutesion et en mecircme temps

se diffeacuterencie continucircment sans que son identiteacute sy perde

1 y a lagrave quelques-unes des raisons didactiques qui expliquent la preacuteeacuteminence

de fagraveit de leacutetude des fractions dans les classes actuelles de quatriegraveme Or - et nous

faisons lagrave retour agrave notre sujet quen fait nous navions pas quitteacute - dans le vocabushy

lairedes enseignants les fractions font partie de lalgegravebre Mecircme si le programme

officiel nutilise pas le terme il semble que lusage se soit spontaneacutement creacuteeacute de nommer

laquoalgegravebreraquo dans la pratique de la classe ce qui nest pas geacuteomeacutetrie lalgegravebre cest

globalement lautre de la geacuteomeacutetrie Cet emploi peut-ecirctre irreacutefleacutechi du mot ne manque

pourtant pas de justificatifs Les heacutesitations historiques dont nous avons parleacute trashy

duisent aussi (par delagrave lopposition fractions de nombres arithmeacutetiques fractions de

nombres algeacutebriques) une reacutealiteacute qui perdure les fractions (dentiers) ne sont pas

(32) Voir Chevallard 1980b

72

de lalgegravebre au sens ougrave elles ne contiennent pas de lettres (les lettres sont essentielleshy

ment utiliseacutees par le professeur pour formuler les lois qui reacutegissent leur calcul) mais

elles relegravevent de llaquoalgeacutebriqueraquo en cela quelles sont le lieu dun jeu formel portant

sur des eacutecritures Elles offrent donc loccasion dune algegravebre sans algegravebre qui fait le

gros morceau de lalgegravebre aujourdhui enseigneacutee Il faut voir par quel cheminement

on en est venu lagrave

VII - LA DIALECTIQUE NUMERIQUEALGEBRIQUE

PoUr expliquer plus complegravetement et leacutevanouissement des parties algeacutebriques

de lalgegravebre et - correacutelativement - le come-back des fractions il nous faut compliquer

quelque peu le talJleau que nous avons traceacute jusquici A lopposition structurelle de

larithmeacutetique et de lalgegravebre correspondait - en principe - une dialectique fonctionshy

nelle entre numeacuterique et algeacutebrique Cest sur cette dialectique que nous devrons

dabord nous arrecircter un instant

Il faut pour cela prendre quelque recul Cette dialectique en effet existe

historiquement avant lalgegravebre (avant la construction dun langage algeacutebrique propreshy

ment dit) Les Grecs distinguent entre deux arithmeacutetiques larithmeacutetique vulgaire

ou logistique celle des calculateurs et larithmeacutetique laquopropre aux philosophesraquo

comme dit Platon cest-agrave-dire en gros la theacuteorie des nombres Les calculateurs cal~

culent Les arithmeacuteticiens eacutetudient la structure du numeacuterique Tous manipulent pour

cela un langage du numeacuterique~ mais tous ne lemploient pas aux mecircmes tacircches et ne

lui reconnaissent pas les mecircmes valeurs Dans larithmeacutetique pratique lanalyse du

numeacuterique procureacutee par le langage adopteacute est un moyen ordonneacute agrave un but opeacuterer

des deacutenombrements effectuer des calculs Si dans notre systegravememiddotactuel de numeacuteration

je deacutesire calculer 12 X 12 par exemple je nai besoin dautre analyse du nombre 12

que celle qui mest immeacutediatement donneacutee dans leacutecriture (deacutecimale) de ce nombre

(ch iffre des dizaines 1 chiffre des uniteacutes 2) Mais si comme le scribe du papyrus

Rhind je ne sais multiplier que par duplications successives et additions je devrai

recourir agrave une analyse moins immeacutediate du nombre 12 (qui ne mest pas offerte par

leacutecriture deacutecimale actuelle) Il me faudra observer que 12 = 4 + 8 et calculer ainsi(33)

1 12 2 24 4 48 8 96

(33) Voir Smith 1953 p 106

73

dougrave je deacuteduirai que 12 X 12 = 12 X (4 + 8) = 48 + 96 = 144 De telles manleres

de faire qui se rencontrent encore agrave des dates rapprocheacutees(34) apparaissent agrave lutilisashy

teur contemporain comme des survivances dun acircge imparfait Un bon systegraveme

numeacuteration-algorithmes de calcul en effet doit ecirctre tel que toute linformation requise

pour mettre en œuvre les algorithmes de calcul soit donneacutee dembleacutee avec les nombres

donneacutes eacutecrits dans le langage numeacuterique utiliseacute cest-agrave-dire soit apparente dans leacutecriture

mecircme de ces nombres En dautres termes un bon systegraveme numeacuteration-algorithmes

reacutecuse tout appel aux matheacutematiques fucirct-ce sous une forme apparemment anodine

Lusager dun tel systegraveme est eacutevidemment supposeacute pouvoir calculer que 4 + 8 = 12

(ce pour quoi le systegraveme est fait) mai~ le contrat dutilisation qui regravegle ses rapports

avec le systegraveme exclut quil ait agrave penser que 12 = 4 + 8 Paradoxalement peut-ecirctre

lun des effets et sans doute des buts (poursuivis de maniegravere plus ou moins intentionshy

nelle) de lactiviteacute matheacutematique est de proposer agrave lusage social des proceacutedures non

matheacutematiques obtenues par deacutematheacutematisation progressive de proceacutedures agrave lorigine

proprement matheacutematiques Le fait est banal et geacuteneacuteral les progregraves de leacutelectronique

me dispensent aujourdhui du bricolage auquel eacutetaient tenus les utilisateurs du poste

agrave galegravene

En fait le royaume du calcul numeacuterique est reacutegi par la loi de simplification

inteacuterioriseacutee en habitus(35) dont lune des clauses est constitueacutee par le principe

dachegravevement des calculs Selon ce laquoprinciperaquo lexpression laquo4 + 8raquo ne saurait en

calcul numeacuterique figurer comme reacuteponse le calcul agrave ce stade eacutetant laquoinacheveacuteraquo (36)

Lexpression laquo4 + 8raquo ne saurait ainsi ecirctre quune forme transitoire labile (parce que

quatre plus huit eacutegale douze) et nexiste pas plus dune maniegravere libre que latome

doxygegravene en dehors de la moleacutecule deg 2

Il en va tout autrement avec la tradition laquonobleraquo de la laquotheacuteorie des nombresraquo

Les Pythagoriciens au tout deacutebut de la science grecque eacutelaborent ainsi toute une

conception de la repreacutesentation laquogeacuteomeacutetriqueraquo des nombres soit une arithmo-geacuteoshy

meacutetrie(37) Consideacuterons par exemple les entiers impairs 5 et 7 Leurs repreacutesentations

(34) Ibid

(35) P Bourdieu deacutesigne par habitus des laquosystegravemes de dispositions durables structures structureacutees preacutedisposeacutees agrave fonctionner comme structures structurantes cest-agrave-dire en tant que principe de geacuteneacuteration et de structuration de pratiques et de repreacutesentations ( hgt (Bourdieu 1974 p 175)

(36) Les Instructions de janvier 1957 (sur lesquelles nous revenons plus loin) parlent explicitement de laquocalcul conduit jusquagrave son achegravevementraquo fait rare et remarquable car il est de la nature dun habitus de ne pas supposer lexplicitation des principes agrave lorigine de son efficace

(37) Sur larithmo-geacuteomeacutetrie des Grecs voir Michel 1959 pp 295-325

74

figureacutees peuvent ecirctre disposeacutees ainsi

o o o o o

o o o o o

o 0 5 7

Reacuteunissons ces repreacutesentations de la maniegravere suiyante

o o o o

o o o o

o 0

o 0

En les regroupant adeacutequatement il apparaicirct que la somme 5 + 7 est Lin multiple de

4 (plus preacuteciseacutement que 5 + 7 = 3 X 4) -1------------ -------------1

1 shy10 Oi iO 011 1 1 shyi i 1

- 1shyj j - 1

rO Oi iO1

O shy

i -_------------ [-------------1 iO Oi 1 i 1

Jo oi i

De plus si on laquocomplegraveteraquo le carreacute on voit apparaicirctre immeacutediatement que 5 + 7 est

une diffeacuterence de deux carreacutes (plus preacuteciseacutement que 5 + 7 = 43 - 22 )

o o o o

o o o o

o o x x

o o x x Ces monstrations qui au sens strict nont de force deacutemonstrative que pour les valeurs

numeacuteriques particuliegraveres traiteacutees ont en fait une valeur geacuteneacuterique comme les figures

(et les deacutemonstrations quelles permettent) en geacuteomeacutetrie on nest pas loin dune

deacutemonstration valable pour tous les couples dimpairs conseacutecutifs Nous pouvons

reacutetrospectivement admirer la finesse intellectuelle que linvention et lemploi de

telles proceacutedures supposent Mais nous pouvons aussi voir que notre langage algeacutebrique

actuel (creacuteeacute par Viegravete Descartes et quelques autres) sinscrit dans le prolongement

de cette analyse du numeacuterique tout en la deacutepassant en souplesse et en puissance

75

Sur le mecircme problegraveme aujourdhui nous obtenons par exemple ceci soient 2p - 1

et 2p + 1 deux impairs conseacutecutifs leur somme (2p - 1) + (2p + 1) = 4p est un

multiple de 4 et puisque 4p = (p + 1) - (p - 1)2 elle seacutecrit aussi comme une

diffeacuterence de deux carreacutes Le langage nOuveau permet dabord de formuler le problegraveme

dans sa geacuteneacuteraliteacute puis de le reacutesoudre de maniegravere eacutegalement systeacutematique

Le calcul numeacuterique utilise le langage numeacuterique pour son pouvoir deacutesignatif

eSSentiellement laquo34raquo et laquo075raquo ou encore laquo4 + 8raquo et laquo12raquo sont agrave cet eacutegard eacutequivashy lents puisquils deacutesignent le mecircme nombre (simplement laquo34raquo est une fraction laquonon

effectueacuteeraquo laquo4 + 8raquo une somme non effectueacutee) ils sont des noms diffeacuterents pour

un mecircme ecirctre matheacutematique Larithmeacutetique laquoalgeacutebriqueraquo au contraire distingue

ces noms parce que bien quils deacutesignent la mecircme chose ils ne montrent pas la mecircme

chose (ils napportent pas la mecircme information monstrative) agrave propos de lecirctre matheacuteshy

matique dont ils sont deux noms diffeacuterents (ltlt4 + 8raquo ou mieux laquo22 +23 raquo montre

que 12 est une somme de puissances de deux etc) Cest ainsi que au cœur mecircme

du langage numeacuterique sinsinue un clivage et pour tout dire une tension entre deux

modes de fonctionnement lefficaciteacute deacutesignative (propre agrave lusage calculatoire du

langage numeacuterique) tend agrave ignorer lagrave valeur monstrative de lexpression eacutecrite le

principe dachegravevement des calculs voue agrave leacutepheacutemegraverelesmiddotltltnoms intermeacutediairesraquo et

laquo4 + 8raquo devient ainsi laquo12raquo sans quaucune trace nous soit conserveacutee de lhistoire

de ce laquo12raquo Ali contraire le langage algeacutebrique - notamment parce quil est une

meacutemoire - vient permettre de conserver de meilleure faccedilon linformation monstrative

et surtout de faire apparaicirctre linformation monstrative pertinente le passage en

simplification de lexpression (2p - 1) + (2p + 1) agrave lexpression 4p fait apparaicirctre

que (2p - 1-) + (2p+ 1) deacutesigne un nombre multiple de 4 le passage en complexifishy

cation de 4p agrave (p + 1)2 - (p - 1)2 fait apparaicirctre que (2p - 1) + (2p + 1) est une

diffeacuterence de deux carreacutes

La creacuteation du langage algeacutebrique permet de deacutegager plus nettement laprobleacuteshy

matique deacutetude du nurileacuterique en la posant - sans lopposer - agrave cocircteacute de la perspecshy

tive calculatrice Elle permet donc dexpliciter ce qui demeurait largement implicite shy

la copreacutesence de deux maniegraveres davoir affaire au numeacuterique - et par lagrave dapaiser

les tensions Mais son surgissement historique permet surtout de mieux maicirctriser

la dialectique du numeacuterique et de lalgeacutebrique jusque-lagrave conduite avec des moyens

matheacutematiques insuffisamment adeacutequats Lalgeacutebrique est un outil de leacutetude du

numeacuterique le premier outil le plus eacuteleacutementaire sans doute (agrave un niveau avanceacute intershy

viendraient par exemple la theacuteorie des seacuteries entiegraveres la theacuteorie des fonctions analytishy

ques etc) Mais inversement (et cest ce qui nous autorise agrave parler de dialectique)

pour que le fonctionnement de cet outil soit efficace il faut quelque peu eacutetudier

cet outil par exemple se poser les problegravemes de la factorisation des expressions algeacuteshy

briques (afin notamment de reacutesoudre des eacutequations algeacutebriques) Or en ce point le

numeacuterique lui-mecircme est un outil deacutetude agrave lalgeacutebrique le flux sinverse Sans parler

76

de toutes les meacutethodes numeacuteriques qui font appel le plus souvent agrave des proprieacuteteacutes

danalyse (cest-agrave-dire concernant le corps des reacuteels et les fonctions dune variable

reacuteelle par exemple) on peut citer - pour prendre un exemple assez gros pour ecirctre

tout agrave fait visible - le theacuteoregraveme dEinsenstein sur la factorisation dans Q[X] (38)

Newton dans son Arithmetica Universalis deacutejagrave mentionneacutee montre une grande attenshy

tion agrave ce genre de laquoretoursraquo du numeacuterique vers lalgeacutebrique Ainsi donne-t-i1 une

meacutethode ingeacutenieuse pour trouver les facteurs dune expression algeacutebrique(39)

Si par exemple la quantiteacute proposeacutee est x 3 - x - 10x + 6 agrave la place de x

je substitue successivement les termes de la progression arithmeacutetique 1 0 -1 il en

naicirctra les nombres -4 + 6 + 14 Je place chacun deux avec tous ses diviseurs dans

la ligne du terme de la progression 1 0 -1 qui la produit comme on peut le voir

dans lexemple suivant

1 4 124 +4 o 6 1 2 3 6 +3

- 1 14 1 2 7 14 +2

Ensuite comme le terme le plus eacuteleveacute x3 na pas de diviseur de luniteacute je

cherche parmi les diviseurs quelque progression dont les termes ne diffegraverent que

dune uniteacute et qui en descendant des plus forts au plus faibles deacutecroissent comme

ceux de la progression 10 -1 Je ne trouve quune progression de cette espegravece cest

4 3 2 Je prends donc le terme + 3 qui se trouve dans la mecircme ligne que 0 de la

premiegravere progression 1 0 -1 je le joins agrave x et je tente la division par x + 3 elle

reacuteussit et jobtiens pour quotient x 2 - 4x + 2

Au-delagrave de la disparition de la structure du corpus matheacutematique enseigneacute en arithshy

meacutetique et algegravebre cest la dialectique du numeacuterique et de lalgegravebre - implicitement

preacutesente agravetravers llaquooppositionraquo de larithmeacutetique et de lalgegravebre - qui va se trouver

atteinte Plus que jamais les liens du numeacuterique et de lalgeacutebrique sen trouveront

relacirccheacutes

VIII - UNE CONCEPTION EMPIRISTE DU REEL MATHEMATIQUE

Leffacement de lopposition arithmeacutetiquealgegravebre en effet altegravere les condishy

tions de la mise en rapport du numeacuterique et de lalgeacutebrique Lancien rapport doutil

(38) Soit PIt) = a + a t + + a t n un polynocircme agrave coefficients dans if Sil existe un nombre premier p tel que0 1) ~ rie divise ~as an 2) p divise a al an_l p2 ne divise pas ao alors P o est irreacuteductible sur O

(39) Arithmeacutetique universelle tome premier pp 47-48 Nous laissons au lecteur le soin dapporter la justification matheacutematique requise

77

de travail agrave objet travailleacute semble perdu Les deux domaines - le numeacuterique -le

litteacuteral - vont coexister dans une simple juxtaposition existants qui trouvent en

eux-mecircmes leur propre justification Les rapports naguegravere encore banals entre ces

deux ordres de reacutealiteacute matheacutematiques semblent deacutesormais abolis Ou plutocirct ils laissent

place agrave des rapports nouveaux et inverseacutes ce nest plus lalgeacutebrique qui vient pershy

mettre deacutetudier le numeacuterique cest le numeacuterique qui laquojustifieraquo et laquopermet de comshy

prendreraquo lalgeacutebrique Le document 5 extrait dun manuei de quatriegraveme actuel (40)

IIUDIFFeacute~ENCS ce ceux C~CIMAUX [

x-eD yeC zeC z-z -y signifie que z+y-z Comment est appel z pour z et y dans ct ordre Observe

13-(-7) z+-7)middot13

[+(-7)j+713+7 +[(-7)+71-13+7

+0-13+7 zo13+-7

z-z-y z+y-z

(+y) + (-y)- +-(-y) +(y+ (-y)]-x + (-y)

z+O-z + (-y) -+(-y)

Pour tout xde D pour tout y de 0 z - y est un deacutecimal et z - y = +(-y) Exemples 8-(-7)=8+7=15 9-14=9+(-14)=-5 Lopeacuteration- qui agrave chaque coupe (z y) z e 0 y E C fait correspondre le deacutecimal Z - J est la soustraction dans O

DOCUMENT 5

Lalgeacutebrique comme essence du numeacuterique

nous donne de ce pheacutenomegravene un exemple tregraves net lintention didactique est ici

de justifier le fait que x - y = x + (-y) Pour le matheacutematicien la laquojustificationraquo shy

qui est alors strictement une deacutemonstration - est toute entiegravere contenue dans la

colonne de droite si je deacutefinis en geacuteneacuteral-y comme eacutetant le nombre tel quey + (-y) = 0

et si les proprieacuteteacutes ordinaires - associativiteacute etc - valent encore pour le nouvel

ensemble de nombres ainsi deacutefini alors le nombre z que je dois ajouter agrave y pour

obtenir x - ce quon appelle la diffeacuterence de x et y et qUon note x - y - nest pas

autre chose que x + (-y) Or la laquojustificationraquo passe dans la didactique ici examineacutee

par lappel au concret cest-agrave-dire au numeacuterique tel est le rocircle de la colonne de

gauche Ce sont les calculs numeacuteriques de la colonne de gauche qui soutiendraient

le sens (pour leacutelegraveve) des calculs litteacuteraux de la colonne de droite Malheureusement

le contenu de la colonne de gauche est si lon peut dire hautement improbable

(401 Il sagifdu _manuel Matheacutematique contemporaine pour la classe de quatriegraveme publieacute chez Magnard et conforme au programme de1978shy

78

parce que le numeacuterique ne fonctionne pas ainsi En fait les calculs numeacuteriques preacuteshy

senteacutes ici nexistent quagrave ecirctre limage en miroir des calculs litteacuteraux de la colonne

de droite Et cest pour permettre de tels calculs que le langage algeacutebrique preacutecishy

seacutement est neacutecessaire Il y a ainsi meacuteprise sur la speacutecificiteacute des deux ordres de calcul

et conseacutequemment sur le type de rapports quils entretiennent la justification

de lalgeacutebrique sappuierait sur un mode de fonctionnement du numeacuterique qui nest

en fait quun deacutecalque du fonctionnement de lalgeacutebrique et qui donc suppose

lalgeacutebrique

Leacutelucidation du nouveau rapport qui saffirme ainsi nest pas chose facile Elle

est pourtant neacutecessaire afin de preacuteciser par delagrave la surface des programmes les mouveshy

ments profonds produisant des deacutecisions didactiques quon aurait tort de regarder

seulement comme des laquotrucsraquo eacuteleacutements atomiques de strateacutegies trouvant en ellesshy

mecircmes et dans leurs effets supposeacutes leur unique mobile Revenons agrave lexemple que

nous avons examineacute Lalgeacutebrique y apparaicirct comme la laquotheacuteorieraquo de cette laquoreacutealiteacuteraquo

que serait le numeacuterique Mais les relations en acte entre theacuteorie (permettant leacutetude)

et reacutealiteacute (objet de leacutetude) y ressortissent incontestablement agrave une conception empishy

riste (et mecircme nous allons le voir empiriste-sensualiste) de la connaissance Tel est

en fait le mobile - veacutecu sans doute comme allant de soi dans leacutevidence que lideacuteoshy

logie procure - de la tentative de laquofaire sortirraquo la theacuteorie (lalgeacutebrique) de la reacutealiteacute

(numeacuterique) Il ya ici inversion des rapports entre theacuteorie et reacutealiteacute Car le surgissement

du theacuteorique - faut-il le rappeler - ne sautorise jamais que de lui-mecircme et loin

de proceacuteder de la reacutealiteacute la constitue (ou la renouvelle) comme objet de connaissance

Si jeacutecris par exemple 13 + 7 = 13 - (-7) selon un fonctionnement du numeacuterique

antinomique de la pratique calculatoire (cest-agrave-dire arithmeacutetique) du numeacuterique shy

laquelle voudrait quon eacutecrivicirct 13 + 7 = 20 - je fais de lalgegravebre sur du numeacuterique

cest loutil algeacutebrique et lui seul qui me permet ce travail du numeacuterique Entre le

fonctionnement arithmeacutetique et le fonctionnement algeacutebrique du numeacuterique il y a

ainsi une distance - un saut - que nul proceacutedeacute dlaquoabstractionraquo ne peut venir combler

On aurait tort de penser que lanalyse preacuteceacutedente ne vaut que pour lexemple

sur laquelle nous lavons illustreacutee En reacutealiteacute sa porteacutee est beaucoup plus eacutetendue

et pour en saisir toute la signification il faut revenir agrave cette acmeacute de leacutevolution de

la transposition didactique que repreacutesente la reacuteforme de 1971 (celle des laquomatheacutemashy

tiques modernesraquo) Contrairement aux opinions aujourdhui dominantes qui selon

un opportunisme neacutecessaire et une constante inconstance reacutecusent cette reacuteforme

pour ses excegraves et la regardent comme laberration dun moment il faut tenir que cette

aberration nen est pas une quelle ne fait que preacutecipiter cristalliser et rendre explicites

des traits qui deacutejagrave se repegraverent dans leacutevolution des deacutecennies preacuteceacutedentes Elle est un

moment qui donne sens reacutetrospectivement agravece qui vient avant lui et deacutetermine

largement ce qui viendra apregraves lui Car sil y a en quelque faccedilon rupture cest sur le

fond dune tregraves large surdeacutetermination En profondeur le programme de 1971 - pour

79

sen tenir agrave la classe de quatriegraveme - constitue une radiographie saisissante dune

eacutevolution que le programme de 1978 nadoucira quen surface Cest cette image

laquodureraquo quil faut interroger

On a trop vitupeacutereacute linflation moderniste le parti pris theacuteoriciste lambition

de rigueur des matheacutematiques promues par la reacuteforme et trop peu vu derriegravere cet

eacutecran deux mouvements correacutelatifs moins spectaculaires mais deacuteterminants Le

premier - que nous avons deacutejagrave plusieurs fois mentionneacute - cest lenvahissement du

champ deacutetude par les structures numeacuteriques Les laquoexcegravesraquo du programme de 1971

sont le prix agrave payer pour ce coup de force qui se megravene alors - simple tactique dun

moment le programme de 1978 installera une version apaiseacutee de la mecircme strateacutegieshy

avec lartillerie lourde de laquolapproche des reacuteelsraquo des laquocalculs approcheacutesraquo des laquoencashy

drementsraquo de haute ambition matheacutematique Le seCond cest la peacuteneacutetration dun

thegraveme qui va devenir central celui de llaquoobservationraquo et de llaquoexpeacuterimentationraquo

matheacutematiques

Fausse moderniteacute ce thegraveme est mis en place degraves les Instructions de janvier

1957 (annexe 6a) dont les Instructions de 1971 se reacuteclameront non sans raicon Il

prend alors lallure dune reacuteflexion sur les liens entre matheacutematique et extramatheacutemashy

tique La caution bergsonienne ici invoqueacutee - homo taber homo sapiens - bien que

dateacutee est agrave cet eacutegard tregraves significative La perspective proposeacutee ne conduit pas tregraves

loin les problegravemes denseignement se trouvent laquoreacutesolusraquo par une didactique euphoshy

rique (annexe 6b) Au vrai la conjoncture historique qui verra la mise en place des

matheacutematiques modernes nest alors quincomplegravetement formeacutee Ce qui manque

encore afin que lideacutee dexpeacuterimentation puisse passer dans les faits cest une matiegravere

que lon pourrait soumettre agrave lobservation et agrave lexpeacuterience A cet eacutegard les Instrucshy

tions de 1957 raisonnent encore agrave lancienne la notion dexpeacuterimentation y est

surtout loccasion dune rheacutetorique qui tourne sur elle-mecircme faute de pouvoir sapplishy

quer Mais cette matiegravere dapplication qui fait deacutefaut la reacuteforme va lapporter en

abondance ce sera le numeacuterique dont nous comprenons mieux degraves lors la place

de choix que les programmes reacuteformeacutes vont lui accorder Son expansion se trouvait

en fait comme appeleacutee par lexigence laquoexpeacuterimentaleraquo induite par une certaine concepshy

tion eacutepisteacutemologique et didactique

Le deacutecor de laction est installeacute en consonance avec une mise en scegravene empiriste

du procegraves de connaissance(41) Il Y a la laquoreacutealiteacuteraquo qui est un donneacute dont la preacutesence

simpose avec la derniegravere force et il y a la laquotheacuteorieraquo de ce donneacute que lon preacutetend

tirer par abstraction de lobjet agrave laquelle elle se voue La dialectique du numeacuterique

et de lalgeacutebrique est alors perdue lun de ses termes (lalgeacutebrique) se dissout dans

(41) Pour lintelligence de ce qui suit nous renvoyons agrave Althusser 1968 notamment pp 38-45

80

lautre (le numeacuterique) agrave qui est octroyeacute par nature une existence presque mateacuterielle

et dont lalgeacutebrique proceacutedera geacuteneacutetiquement La reacuteforme de 1971 remanie donc

le champ deacutetude pour y produire de solides objets laquoreacuteelsraquo agrave forts coefficients dexis-shy

tence les structures numeacuteriques et aussi la mysteacuterieuse laquodroite physiqueraquo dont la

soudaine promotion ontologique serait autrement encore plus inexplicable(42) Cela

poseacute lintroduction du litteacuteral (lalgeacutebrique) sidentifie au mouvement par lequel

dans le procegraves empiriste de connaissance se repreacutesente lessence du reacuteel qui est toute

la connaissance que le sujet peut tirer de lobjet par abstraction il permet de distinguer

entre un reacuteel essentiel et un reacuteel inessentiel gangue ou accident que le processus

dabstraction abandonne comme un reacutesidu impenseacute Labstraction qui vise agrave porter

agrave la lumiegravere ce quon pourra connaicirctre de lobjet agit par deacutecrassage et deacutecapage

CHA~tTRbullbull tour dieacuteremcs ftiems de 1t 011 obti=c cIes putitioas cilifeacute=o~ Uuml fiIure 2 repreacutese1tt (parshy

tieJ1emenz) les paniagravecas ~ i- II-l 11--0 11 - - l~ = grouie agrave la loupe la paftiriœ cozrcspoadaDc agrave Il - - 2shy

f-oo( [Q10[

1 1

~ Q t

(-2 ~( T

[l 0 ( [01 ( r12 r i i i i J r sr

-1shy 0 t

1 1 1 1 1 1 1 1 shy 1 bull 1 1 1 11

-1 -01 001 lU 03 ~ o~ 06 07 oa 09 1 11

P4 041 ~l ~~I 041ds1 -i -o] OoJ O4l o~ 04S 04) ~ 1 ~1 1

fJvZ

li) De m=c si II eR lD1 emer œIaagravef acirczeacute et si CI pr=d tOlIœS les ftiems possibles da2s Z r=semblc cIes imenalles cie c

Jcr10 (CI + L 10

eR iJMpcrtirIcircD1f de C Uuml figure 3 repreacutes=œ (articllemcm) =œ putitioll p04 shy O~

r 1 i 1 T l 1 1 -5 -4shy -3 -2 -r agrave l Z ~ 4shy 5

~3

DOCUMENT6

Le deacutecapage du donneacute dans le processus empiriste de connaissance

(42) Voir Chevallard et Johsua 1982 notamment pp 200-203

81

agrave ce thegraveme geacuteneacuteral de la connaissance empiriste reacutepond correctement dans les proshy

grammes la notion dlaquoapprocheraquo ou dlaquoapproximationraquo des laquoreacuteelsraquo (qui nont jamais

aussi bien porteacute leur nom) Ceux-ci sont atteints par le moyen de purifications successhy

sives qui eacuteliminent peu agrave peu la gangue inessentielle Tel manuel (43) pris parmi tant

dautres- en offre la superbe illustration (document 6) limage de la loupe - emblegraveme

de la connaissance empiriste dont elle est linstrument privileacutegieacute parce quelle permet

de mieux voir et de faire voir - y est requise et symbolise mieux quun long commenshy

taire cette conception de la connaissance comme visant agrave amener linvisible agrave la

vue de tous

Une telle conception de la connaissance rate le reacuteel dont il sagirait preacuteciseacutement

de produire la connaissance parce quelle en manque la constitution comme objet

de connaissance(44) Lalgeacutebrique ne sert plus agrave connaicirctre le numeacuterique Il nest plus

deacutesormais quune steacutenographie middotessentialisante qui deacutecrit reacutesume et seacutepare lessence

de laccident Le surgissement laquomoderneraquo de la dichotomie de llaquoobservationraquo et de

la laquotheacuteorieraquo - que les manuels actuels reprennent agrave lenvi - est ainsi correacutelatif dune

dissolution de lobjet de connaissance au profit de lobjet reacuteel maintenant donneacute

agrave voir dans une abstraction reacuteputeacutee immeacutediate et facile Lordre didactique va sorgashy

niser autour de cette eacutepisteacutemologie imaginaire

REFERENCES

ALTHUSSER L (1968) Lire le Capital Franccedilois Maspeacutero Paris

BOURDIEU P (1974) Le sens pratique eacuteditions de Minuit Paris

BROUSSEAU G (1980) Problegravemes de lenseignement des deacutecimaux Recherches

en didactique des matheacutematiques 1middot1 pp 11-59

CHEVALLARD Y (1980a) Matheacutematiques langage enseignement la reacuteforme des

anneacutees soixante Recherches 41 pp 71-99

CHEVALLARD Y (1980b) La transposition didactique 1REM dAix-Marseille

CHEVALLARD Y (1982) Pourquoi la transposition didactique 7 Publication du

seacuteminaire de didactique et peacutedagogie des matheacutematiques 32 Grenoble

CHEVALLARD Y et JOHSUA MA (1982) Un exemple danalyse de la transposition

didactique Recherches en didactique des matheacutematiques 3 2 pp 157-239

MICHEL PH (1950) De Pythagore agrave Euclide Les Belles Lettres Paris

SMITH DE (1953) History of mathematics volume Il Dover publications Inc

New York

(43) Il sagit de louvrage mentionneacute dans la note 24 ci-dessus

(44) Sur la distinction entre laquoobjet reacuteelraquo et laquoobjet de connaissanceraquo voir Althusser 1968 pp 4649

82

CLASSE DE QUATRIEME CLASSIQUE A ET B ET DE QUATRIEME MODERNE

PROGRAMME DE 1945 (extraits)

Arithmeacutetique

Pratique sur des exemples de la deacutecomposition dun nombre entier en facteurs premiers de la recherche du plus grand commun diviseur et du plus petit commun multiple de deux ou plushysieurs nombres Applications aux fractions

Algegravebre

Nombres algeacutebriques (positifs nuls heacutegatifs) Opeacuterations sur ces nombres exposeacutes agrave partir de problegravemes concrets Ineacutegaliteacutes

Mesures algeacutebriques de vecteurs sur une droite orienteacutee Formule de Chasles Repeacuterage dun point sur un axe

Eleacutements du calcul algeacutebrique proprieacuteteacutes des sommes et des produits Puissances Produit et quotient de deux puissances dun nombre usage de lexposant nul et dexposants neacutegatifs

Monocircmes Produit de monocircmes Quotient de deux nombres Somme de monocircmes semblables (on se bornera agrave des monocircmes agrave une deux ou trois variables) Polynocircmes agrave une variable addition soustraction multiplication par une constante

Equations numeacuteriques du premie( degreacute agrave une inconnue Problegravemes conduisant agrave une eacutequation numeacuterique du premier degreacute agrave une inconnue

Annexe 1

83

CLASSE DE QUATRIEME

PROGRAMME DE 1958 (extraits)

Arithmeacutetique

Pratique sur des exemples de la deacutecomposition dun nombre entier en un produit de nomshybres premiers pratique de la recherche du plus grand diviseur commun et du plus petit multiple commun de deux ou plusieurs nombres Applications

Algegravebre

1 - Nombres relatifs (positifs nuls neacutegatifs) Orientation dun segment (vecteur) orientation dune droite (axe) mesure algeacutebrique

dun segment orienteacute sur un axe repeacuterage dun point sur un axe (abscisse)

II - Opeacuterations eacuteleacutementaires sur les nombres relatifs addition et soustraction multiplishycation et division

Extension aux nombres relatifs des proprieacuteteacutes fondamentales eacutetablies pour les nombres arithmeacutetiques (classe de cinquiegraveme) concernant les sommes les diffeacuterences les produits les puisshysances n-iegravemes les quotients linverse dun nombre non nul Condition pour quun produit soit nul

Deacutefinition des exposants neacutegatifs et de lexposant nul Comparaison des nombres relatifs ineacutegaliteacutes Ineacutegaliteacutes concernant la valeur absolue dune somme ou dune diffeacuterence Formule de Chasles pour trois points situeacutes sur un axe Segment deacutefini par les abscisses

des deLix points qui le limitent mesure algeacutebrique de ce segment orienteacute mesure de la longueur de ce segment abscisse du milieu de ce segment

III - Notions de variables et de correspondance entre variables Expressions algeacutebriques deacutependant dUne ou de plusieurs variables calcul de la valeur

numeacuterique dune expression algeacutebrique pour des valeurs numeacuteriques donneacutees aux Ymiddotariables Monocircmes agrave une ou plusieurs variables multiplication addition de monocircmes semblables Polynocircmes forme reacuteduite Polynocircmes ordonneacutes addition multiplication Identiteacutes relatives aux produits (x + y)2 (x - y)2 (x + y)(x - y)

IV - Equations position du problegraveme signification du signe = dans ce problegraveme Equashytions du premier degreacute agrave une inconnue agrave coefficients numeacuteriques Reacutesolution de problegravemes simples agrave laide dune telle eacutequation

Annexe 2

84

CLASSE DE QUATRIEME

PROGRAMME DE 1971 (extraits)

1 - Relations

Reacutevision -des notions preacutesenteacutees dans les classes anteacuterieures et compleacutements produit carteacutesien relation application composition des applications bijection cun ensemble sur un ensemble et bijection reacuteciproque

Notion de groupe deacutefinition (on la jeacutegagera des exemples du programme)

II - Nombres deacutecimaux relatifs et approche de reacuteel

1 Groupe des puissances de dix

Nombres deacutecimaux relatifs eacutecrits a 10n avec a e7l et p E7 et sous forme de nombres agrave virgule addition multiplication ordre valeur absolue Reacutesumeacute des proprieacuteteacutes fondamentales de lensemble ainsi structureacute des deacutecimaux relatifs

2 Calculs approcheacutes

a) EnC3drement dun nombre deacutecimal par des intervalles des types [a 10pbull (a + 1) 10middot[ da 101 (a + 1) 10- [a 10pbull (a + 1) 101] avec a E Z et p E Z Sur des exelJlples encamiddot drement middotdune somme dun produit

b) Exercices de deacutetermination pour un deacutecimal strictement positif d donneacute et pour un entier relatif n donneacute du nombre deacutecimal x bull 10 avec x E IN tel que soient veacuterifieacutees les ineacutegaliteacutes 0 ~d x 10 ~ 1 lt d (x + 1) 10

c) Exercices de deacutetermination pour un deacutecimal strictement positif d donneacute et pour un entier relatif n jonneacute du nombre deacutecimal y bull 10 avec y E IN tel que soient veacuterifieacutees les ineacutegaliteacutes [y 10P ~ d lt [(y + 1) 10]

d) Suites deacutecimales illimiteacutees nombres reacuteels encadrements dun nombre reacuteel

3 Enumeacuteration des principales proprieacuteteacutes qui structurent fensemble IR des reacuteels addition (IR +) est un groupe commutatif multiplication associashytiYiteacute distributiviteacute par rapport agravefaddition ordre et valoeur absolue

On admettra que pour tout nombre reacuteel a jiffeacuterent de 0 il existe un nombre reacuteel a-1 et un seul tel que aa-1 = 1 Pour tout couple de nombres reacuteels (a b) avec a = 0 il existe un nombre reacuteel unique x appeleacute quotient de b par a

b et noteacute ba-1 ou - tel que ax = b a

Exercices simples de calcul sur de tels quotients Sur des exemples -numeacuteriques eacutequations et ineacutequations du premier degr9 agrave une inconnue

Usage des exposants entiers groupe des puissances dun nombre reacuteel non nul

Calculs approcheacutes sur les nombres reacuteels

4 Exemples de fonctions polynocircmes (applications de IR dans IR) Degreacute Exercices de calcul SUT les polynocircmes Produits (x + a)2 (x - a)2 (x + a) (x - a) Exercices de factorisation

Annexe 3

85

ENCYCLOPEDIE QUILLET (1958)

TABLE DES MATIERES (extraits)

ARITBMEacuteTIQUE Notio~ preacute1i1Ji~ajres - Ideacutee de nombrebullbullbullbull 153 NumeratIon decmale bullbullbullbullbullbullbullbull 156 ~esure des grŒDdeurs bullbullbullbullbullbull bullbullbullbull 159 Nombresmiddot deacutecUDauxbullbullbullbullbullbullbullbullbullbull 169 Ladditionbullbull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull 165 La soustraction bull bull bull bull bull bull bull bull bull 168 La ~~qplication bullbullbullbullbullbullbull1 bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bullbull 171 La diVISIon 178

Regravegle de trois bull bull 117 Pourcentages bullbullbull 119 Partages proportionnels 110 ~~langes bullbull i bull bullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbull 111 Alliages bull 111 Regravegles dinteacuterecircts 124 Rentes sur Pltat 116 Actins et obli~tions - Escompte 117

Problegravemes sur les quatre opeacutemtions bull bull bull 184 La divisibiliteacute bull bull bull bull bull bull bull bull 186 Plus grŒDd commun diviseur (p G C D) 189 Plus petit commun multiple (P P C M) 191 Nombres premiers bullbullbullbullbullbullbullbull 192 Les fractions bull bull bull bull bull 194 Opeacuterations sur les fractions 197 Sys~egraveme meacute~que 203 Racme carree 207 Rapports - Proportions 2 II

Grandeurs Proportionnelles 215

Connge des exercces ~ 130

Annexe4a

ALGEgraveBRE Notions preacuteliminaires bullbullbullbull 157 Opeacutemtions sur les nombres algeacutebriques (somme

diffeacuterence multiplicationmiddot division des nombres algeacutebriques fractions ou rapports algeacutebriques puissances racines) bull bull 160

Qpeacuterations sur les expressions algeacutebriques bull 168 gquations du premier degreacute 278 Reacutesolution des problegravemes du premier degreacute agrave une

inconnue bullbullbullbullbullbullbullbullbull 186 gquations et problegravemes du premier degreacute agrave deux

ou plusieurs inconnues bull bull 191 Notions sur les repreacutesentations graphiques bull bull 301

Variation des fonctions 313 Deacuteriveacutees bullbull bull bull 319

~uations et problegravemes du second degreacute bull bull 312

ProgressionsetlogaritbInesmiddotmiddotmiddotmiddot middotmiddot middotmiddotmiddot middot331 Table de logarithmes de 1 agrave 1 000 bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull 338 Application des logarithmes Inteacuterecircts composeacutes et

annuiteacutes bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull 343 Corcigeacute des ex~ces bullbull ~ bullbullbullbullbullbullbull 348

Annexe4b

67

Nombres rationnels

Ensemble ltC

RAPPELONS

Dans lensemble T des fractions nous avons deacutefini la relation JI suivante

Quelles que soient les fractions ~ et ~ on a (~JI ~) (ad =bel

Nous avons eacutetabli (p 48) que JI est une relation deacutequivalence dans T

Pourtraduire que deux fractions ~ et ~ sont lieacutees par JI nous avons eacutecrit ~ = ~

et nous avons dit que les fractions ~ et ~ sont eacutequivalentes

DEacuteFINITION

Nous donnons la deacutefinition suivante

Ch8q cd6quiVIIlencbullbullbulllonJIst appeleacutee un nombre lIItlonnel

Nous deacutesignons par 0 lensemble des nombres rationnels

AEPAEacuteSENTAtfr DUN RAcircTIONNEL

Soient x un eacuteleacutement de 1 etmiddott une fraction eacuteleacutement de T

Nous disons que x et un nombre rationnel dont un repreacuteentant et ~ 1 et

aeulement si x est 1 clbullbullbullbull deacutequlvlence elon JI de 1 fraction i Le nombre ~tion~1 x est donc lensemble des fractions ~ eacutequivalentes agrave~ nous

avons x=~lcez deZmiddot ~=M Remarquons que toute fraction eacutequivalente agrave ~ est un repreacutesentant du nombre

rationnel x

CHAPITRE 6 ENSEMBLE Q 67

DOCUMEIIT 4eacute1

(Matheacutematiques4egraveme collection Monge 1978)

68

CHAPITRE 4 algegravebre

Ensemble 0 des nombres rationnels

1 Oeacuteflnitlon de lensemble C 4Notatlons fractionnaires dUn rationnel des rationnels

2prOPrieacuteteacutes de lensemble Q 50Peacuteratlons dans Q des rationnels

3Eacutecriture deacutecimale illimiteacutee 6comparaison de deux rationnels dun rationnel

1Deacutefinition de lensemble Q des rationnels

deacutefinition Un nombre reacuteel (ou reacuteel) est appeleacute DOIIlbre ratioonel (ou rationnel) sil est eacutegal agrave un quotient de deux entiers relatifs

Autrement dit Un reacuteel x est un rationnel sil existe un entier relatif a et un entier relatif non

nul b tels que x soit eacutegal au quotient ~

exemples bull Les quotients suivants sont des rationnels 2 -4 -3 248 57 -29704 0 37 0 359 iuml 78 -=5 -614 57 -1- 25 =iOOO =iuml4 -1-

lal -27815) Ibull Le ree r eg au quotIent 0013 est-I un ratIonne

- 2781 5 et 0013 ne sont pas des entiers relatifs

On sait que (proprieacuteteacutes des quotients de reacuteels)

-27815 -27815 x 104 -27815 0013 0013 x 104 =~

Conclusion r est un rationnel

DOCUMENT 4b

(Matheacutematiques4egraveme collection Durrande 1979)

69

I~ Lensemble ltD des nombres rationnels

1 bull DEacuteFINITION ET EXEMPLES

Dans le cnapltre 4 nous ayons rencontreacute des nombres QUon pouvait obtenir comme Quotient exact dun entir relatif fi par un entier relatif non nul b Ces nombres sappellent lesnombnts ratiOnneJa (ou plua simplement les rationnels) Ils sont r8Qreacutesnteacutes par des fractions ainsi

exemples de fractions repreacuteslitntant x Nombre rationnel x -2 -8 -18lentler relatif -2 -9- -L shy1 3 -1 7 35 -7le deacutecimal rlatlf 35 Ji shy2 4 10 -=2 ~ Q EumlL shyIe ratlonn1 i 3 8 30 -3

Reepitullfflon des prlnc1es deacutetlnltlons Otlnitlo Soit un entIer ratatlf quelconque et soit b un entIer reltlf non nuL

11 LA couple (e bJ eacutecrit sous i fonne appellela fractIon d num

teur bull et de deacutenominateur b 2J Cette fraction retrisente le quotient ect de bull par b que lon not

aUAI bull On bull donc par deacuteflnltlon

bX~ bull JCb bullbull b b

31 On appelle nom rationnel tout nombre Que lon peut obtnir comme quotient euct dun entier relatif par un entlr relatif non nul

Attention 1La megravem notation est utiliseacutee pour deacutesignr deux cnoss diffeacuterentesb

le couple (II b) le Quotient exact de Il par b

Quand on eacutecrit il faut preacuteciser sU sagit de la fraction Ji (le couple (1 4 4raquo ou du rationshy4 4

nel 2i (Qui est eacutegal agrave 35) 4

le rationn est Anal au rationnel L4 ~~ 2

la fraction nest pas eacutegale agrave la fraction 1 ~ 2

(Puisque les couples (144) et (72) sont distincts)

Une convention commode

Pour eacuteviter cet Inconveacutenient nous conviendrons toujours Que dans les calculs deacutesinne le b

nombre rationnel Quotient exact d fi par b Ainsi nous pourrons eacutecrire

Ji =L =3S4 2

Quand vous voudrez parler du couple (14 4) il faudra preacuteciser bull la fraction c 4

DOCUMENT 4c

(Matheacutematiques classe de quatriegraveme collection Queysanne et Revus 1979)

70

SIMPLIFICATION DES FRACTIONS

i49 Simllifier une fraction cest la remplacer par une fraction ~e mais ayant des tenDes plus petits

ISO PROPRIEacuteTEacuteS FONDAMENTALES

10 On mesure deux rubans avec le sepagraveegraveme dune longueur donneacutee A B Lun mesure 2 sepagraveagravenes lautre 4 septiegravemes de luniteacute Il est eacutevident que le dewdagraveDe est double du premier

4 2 X 2 2 - --- - X 2 donc 777

Theacuteoregraveme L - Si OD mwdpUe le aDlDampateDr dune CractloD par aD JIOmbre la CracdoD eet muldpUeacutee par ce Dombre

2deg Un ruban mesure 5 sepagraveagravenes de la longueur AB un dewtiagravene ruban vaut S quato12Iumlagravenes de la mbe uniteacute

Un quatorziagravene eacutetant deux fois plus petit quun sepagraveagraveDe la dewdœe longueur est deux fois plus petite que la premiugravee S S S

------ 2 par suite 14 7 X 2 7

Theacuteoregraveme D - Si OD muldpUe le dacirclomiDateur cl1IDe bcdoD par 110 aombre la CracdoD eet diYileacutee par ce JIOmbre

3deg Soit la fraction _3 X 3_2S s s X 3 IS Elle ne c1uIage pas de valeur si nn mulagraveplie ses deux termes par 3 En dfet si on multiplie son numeacuterateur elle devient 3 fois plus grande si on multiplie son deacuteDominateur

elle devient 3 fois plus petiœ Par conseacutequent

Theacuteoregraveme DL - Si OD mwdpUe lee cleu termes daDO bcdoD par aD ~e DOmbre la ampactIoD ae chaage pu do valeur

On voit IJU- mIru gratukur fJGI la _ pat _ itrftniri tU frtJCtUgrave1fU U1IItU igalu

Corollaire - Si OD divise lee deux termee dlIDe CractiOD par aD mfme JIOmbre (ropkatucircm eacutetant possible) OD obdeat une bedoD eacuteplo agrave la premiegravere

Soit la fraction 18 dont les deux termes sont divisibles par 321

On peut eacutecrire 18 _ 6 x 3 21 7 x 3

et dapregraves le theacuteoragravene preacuteceacutedent _ 6 X 3 7 7 X 3

On a donc 18 3_ la fraction Il des termes plus petits que la fraction 18 dougrave la regravegle de simshy21 3 7 7 21

pli1ication des fractions

~ Regravegle - PD1lI simplifier _ fraaion an divis 11$ dIU umm pat 11II mIru 1ItmIbr

DOCUMENT 4d

Arithmeacutetique de lEncyclopeacutedie Quillet 1958

Fractions et rationnels en fait ne constituent pas seulement une admirable

construction matheacutematique ils composent en mecircme temps un objet didactique

inteacuteressant agrave bien des eacutegards La place de leacutelegraveve (cest-agrave-dire ce qui peut ecirctre requis

de leacutelegraveve agrave ce propos) y est nettement dessineacutee Lebesgue le soulignait judicieusement

le chapitre regorge dexercices dont la difficulteacute (cest-agrave-dire en gros la complexiteacute)

peut ecirctre finement gradueacutee La place de lenseignant elle aussi sy trouve preacutepareacutee

le professeur eacuteprouve toute sa speacutecificiteacute face agrave leacutelegraveve en tant quarchitecte et bacirctisshy

seur - fonctions dans lesquelles leacutelegraveve ne saurait lui disputer sagrave place - dune consshy

truction matheacutematiqueagrave la fois simple rigoureuse riche dont la complegravete transpashy

71

rence nest acquise quau prix de quelque subtiliteacute intellectuele nullement inaccessible

agrave leacutelegraveve mais relativement exigeante Toutefois il y a plus En un sens tout objet

de savoir didactiquement acceptable laisse voir deux laquoplacesraquo il doit contenir le

laquolieuraquo que leacutelegraveve viendra occuper (les tacircches que le contrat didactique lui assignera

en propre) il doit contenir aussi un lieu speacutecifiquement alloueacute agrave lenseignant Ce

marquage des places consubstanciellement lieacute au fonctionnement didactique du

savoir est un processus geacuteneacuteral que jai proposeacute(32) dappeler la topogeacutenegravese (du grec

topos lieu) Mais la dialectique topogeacuteneacutetique peut ecirctre plus ou moins resserreacutee plus

ou moins relacirccheacutee dans ce dernier cas (qui correspond comme jessaierai de lindiquer

plus loin agrave ce que nous voyons majoritairement se produire aujourdhui agrave propos de

lemploi du langage algeacutebrique) les eacutechanges entre eacutelegraveves et enseignant demeurent

pauvres la communication est distante parce que les uns et les autres ne se mesurent

pas aux mecircmes tacircches (le professeur deacutemontre une eacutegaliteacute litteacuterale leacutelegraveve lapplique

agrave des cas particuliers numeacuteriques) Avec les fractions une fois fixeacutee larchitecture

geacuteneacuterale de leacutedifice il en va autrement passeacutes les calculs les plus simples les calculs

qui ne sont pas triviaux pour leacuteiegraveve - tout en demeurant de lordre de ce qui peut

loyalemeacutent lui ecirctre demandeacute - ne le scgtnt quagrave peine moins pour le professeur Les

partenaires de linteraction didactique se rapprochent autour dune tacircche unique

jusquagrave sembler parfois unir leurs efforts agrave la recherche dune commune reacuteponse

Tout comme la geacuteomeacutetrie (qui soppose par cela et du seul point de vue didactique

deacutejagrave agrave lalgegravebre en geacuteneacuteral) les fractions constituent loccasion dune reacuteelle convishy

vialiteacute dans la classe Les distinctions qualitatives (marqueacutees par des tacircches de natures

diffeacuterentes) sestompent au profit de simples diffeacuterences quantitatives (lenseignant

va plus vite plus sucircrement mais il ne sait rien de plus que leacutelegraveve et ne fait rien de

plus que lui) Le groupe agrave la fois se rassemble gagne en coheacutesion et en mecircme temps

se diffeacuterencie continucircment sans que son identiteacute sy perde

1 y a lagrave quelques-unes des raisons didactiques qui expliquent la preacuteeacuteminence

de fagraveit de leacutetude des fractions dans les classes actuelles de quatriegraveme Or - et nous

faisons lagrave retour agrave notre sujet quen fait nous navions pas quitteacute - dans le vocabushy

lairedes enseignants les fractions font partie de lalgegravebre Mecircme si le programme

officiel nutilise pas le terme il semble que lusage se soit spontaneacutement creacuteeacute de nommer

laquoalgegravebreraquo dans la pratique de la classe ce qui nest pas geacuteomeacutetrie lalgegravebre cest

globalement lautre de la geacuteomeacutetrie Cet emploi peut-ecirctre irreacutefleacutechi du mot ne manque

pourtant pas de justificatifs Les heacutesitations historiques dont nous avons parleacute trashy

duisent aussi (par delagrave lopposition fractions de nombres arithmeacutetiques fractions de

nombres algeacutebriques) une reacutealiteacute qui perdure les fractions (dentiers) ne sont pas

(32) Voir Chevallard 1980b

72

de lalgegravebre au sens ougrave elles ne contiennent pas de lettres (les lettres sont essentielleshy

ment utiliseacutees par le professeur pour formuler les lois qui reacutegissent leur calcul) mais

elles relegravevent de llaquoalgeacutebriqueraquo en cela quelles sont le lieu dun jeu formel portant

sur des eacutecritures Elles offrent donc loccasion dune algegravebre sans algegravebre qui fait le

gros morceau de lalgegravebre aujourdhui enseigneacutee Il faut voir par quel cheminement

on en est venu lagrave

VII - LA DIALECTIQUE NUMERIQUEALGEBRIQUE

PoUr expliquer plus complegravetement et leacutevanouissement des parties algeacutebriques

de lalgegravebre et - correacutelativement - le come-back des fractions il nous faut compliquer

quelque peu le talJleau que nous avons traceacute jusquici A lopposition structurelle de

larithmeacutetique et de lalgegravebre correspondait - en principe - une dialectique fonctionshy

nelle entre numeacuterique et algeacutebrique Cest sur cette dialectique que nous devrons

dabord nous arrecircter un instant

Il faut pour cela prendre quelque recul Cette dialectique en effet existe

historiquement avant lalgegravebre (avant la construction dun langage algeacutebrique propreshy

ment dit) Les Grecs distinguent entre deux arithmeacutetiques larithmeacutetique vulgaire

ou logistique celle des calculateurs et larithmeacutetique laquopropre aux philosophesraquo

comme dit Platon cest-agrave-dire en gros la theacuteorie des nombres Les calculateurs cal~

culent Les arithmeacuteticiens eacutetudient la structure du numeacuterique Tous manipulent pour

cela un langage du numeacuterique~ mais tous ne lemploient pas aux mecircmes tacircches et ne

lui reconnaissent pas les mecircmes valeurs Dans larithmeacutetique pratique lanalyse du

numeacuterique procureacutee par le langage adopteacute est un moyen ordonneacute agrave un but opeacuterer

des deacutenombrements effectuer des calculs Si dans notre systegravememiddotactuel de numeacuteration

je deacutesire calculer 12 X 12 par exemple je nai besoin dautre analyse du nombre 12

que celle qui mest immeacutediatement donneacutee dans leacutecriture (deacutecimale) de ce nombre

(ch iffre des dizaines 1 chiffre des uniteacutes 2) Mais si comme le scribe du papyrus

Rhind je ne sais multiplier que par duplications successives et additions je devrai

recourir agrave une analyse moins immeacutediate du nombre 12 (qui ne mest pas offerte par

leacutecriture deacutecimale actuelle) Il me faudra observer que 12 = 4 + 8 et calculer ainsi(33)

1 12 2 24 4 48 8 96

(33) Voir Smith 1953 p 106

73

dougrave je deacuteduirai que 12 X 12 = 12 X (4 + 8) = 48 + 96 = 144 De telles manleres

de faire qui se rencontrent encore agrave des dates rapprocheacutees(34) apparaissent agrave lutilisashy

teur contemporain comme des survivances dun acircge imparfait Un bon systegraveme

numeacuteration-algorithmes de calcul en effet doit ecirctre tel que toute linformation requise

pour mettre en œuvre les algorithmes de calcul soit donneacutee dembleacutee avec les nombres

donneacutes eacutecrits dans le langage numeacuterique utiliseacute cest-agrave-dire soit apparente dans leacutecriture

mecircme de ces nombres En dautres termes un bon systegraveme numeacuteration-algorithmes

reacutecuse tout appel aux matheacutematiques fucirct-ce sous une forme apparemment anodine

Lusager dun tel systegraveme est eacutevidemment supposeacute pouvoir calculer que 4 + 8 = 12

(ce pour quoi le systegraveme est fait) mai~ le contrat dutilisation qui regravegle ses rapports

avec le systegraveme exclut quil ait agrave penser que 12 = 4 + 8 Paradoxalement peut-ecirctre

lun des effets et sans doute des buts (poursuivis de maniegravere plus ou moins intentionshy

nelle) de lactiviteacute matheacutematique est de proposer agrave lusage social des proceacutedures non

matheacutematiques obtenues par deacutematheacutematisation progressive de proceacutedures agrave lorigine

proprement matheacutematiques Le fait est banal et geacuteneacuteral les progregraves de leacutelectronique

me dispensent aujourdhui du bricolage auquel eacutetaient tenus les utilisateurs du poste

agrave galegravene

En fait le royaume du calcul numeacuterique est reacutegi par la loi de simplification

inteacuterioriseacutee en habitus(35) dont lune des clauses est constitueacutee par le principe

dachegravevement des calculs Selon ce laquoprinciperaquo lexpression laquo4 + 8raquo ne saurait en

calcul numeacuterique figurer comme reacuteponse le calcul agrave ce stade eacutetant laquoinacheveacuteraquo (36)

Lexpression laquo4 + 8raquo ne saurait ainsi ecirctre quune forme transitoire labile (parce que

quatre plus huit eacutegale douze) et nexiste pas plus dune maniegravere libre que latome

doxygegravene en dehors de la moleacutecule deg 2

Il en va tout autrement avec la tradition laquonobleraquo de la laquotheacuteorie des nombresraquo

Les Pythagoriciens au tout deacutebut de la science grecque eacutelaborent ainsi toute une

conception de la repreacutesentation laquogeacuteomeacutetriqueraquo des nombres soit une arithmo-geacuteoshy

meacutetrie(37) Consideacuterons par exemple les entiers impairs 5 et 7 Leurs repreacutesentations

(34) Ibid

(35) P Bourdieu deacutesigne par habitus des laquosystegravemes de dispositions durables structures structureacutees preacutedisposeacutees agrave fonctionner comme structures structurantes cest-agrave-dire en tant que principe de geacuteneacuteration et de structuration de pratiques et de repreacutesentations ( hgt (Bourdieu 1974 p 175)

(36) Les Instructions de janvier 1957 (sur lesquelles nous revenons plus loin) parlent explicitement de laquocalcul conduit jusquagrave son achegravevementraquo fait rare et remarquable car il est de la nature dun habitus de ne pas supposer lexplicitation des principes agrave lorigine de son efficace

(37) Sur larithmo-geacuteomeacutetrie des Grecs voir Michel 1959 pp 295-325

74

figureacutees peuvent ecirctre disposeacutees ainsi

o o o o o

o o o o o

o 0 5 7

Reacuteunissons ces repreacutesentations de la maniegravere suiyante

o o o o

o o o o

o 0

o 0

En les regroupant adeacutequatement il apparaicirct que la somme 5 + 7 est Lin multiple de

4 (plus preacuteciseacutement que 5 + 7 = 3 X 4) -1------------ -------------1

1 shy10 Oi iO 011 1 1 shyi i 1

- 1shyj j - 1

rO Oi iO1

O shy

i -_------------ [-------------1 iO Oi 1 i 1

Jo oi i

De plus si on laquocomplegraveteraquo le carreacute on voit apparaicirctre immeacutediatement que 5 + 7 est

une diffeacuterence de deux carreacutes (plus preacuteciseacutement que 5 + 7 = 43 - 22 )

o o o o

o o o o

o o x x

o o x x Ces monstrations qui au sens strict nont de force deacutemonstrative que pour les valeurs

numeacuteriques particuliegraveres traiteacutees ont en fait une valeur geacuteneacuterique comme les figures

(et les deacutemonstrations quelles permettent) en geacuteomeacutetrie on nest pas loin dune

deacutemonstration valable pour tous les couples dimpairs conseacutecutifs Nous pouvons

reacutetrospectivement admirer la finesse intellectuelle que linvention et lemploi de

telles proceacutedures supposent Mais nous pouvons aussi voir que notre langage algeacutebrique

actuel (creacuteeacute par Viegravete Descartes et quelques autres) sinscrit dans le prolongement

de cette analyse du numeacuterique tout en la deacutepassant en souplesse et en puissance

75

Sur le mecircme problegraveme aujourdhui nous obtenons par exemple ceci soient 2p - 1

et 2p + 1 deux impairs conseacutecutifs leur somme (2p - 1) + (2p + 1) = 4p est un

multiple de 4 et puisque 4p = (p + 1) - (p - 1)2 elle seacutecrit aussi comme une

diffeacuterence de deux carreacutes Le langage nOuveau permet dabord de formuler le problegraveme

dans sa geacuteneacuteraliteacute puis de le reacutesoudre de maniegravere eacutegalement systeacutematique

Le calcul numeacuterique utilise le langage numeacuterique pour son pouvoir deacutesignatif

eSSentiellement laquo34raquo et laquo075raquo ou encore laquo4 + 8raquo et laquo12raquo sont agrave cet eacutegard eacutequivashy lents puisquils deacutesignent le mecircme nombre (simplement laquo34raquo est une fraction laquonon

effectueacuteeraquo laquo4 + 8raquo une somme non effectueacutee) ils sont des noms diffeacuterents pour

un mecircme ecirctre matheacutematique Larithmeacutetique laquoalgeacutebriqueraquo au contraire distingue

ces noms parce que bien quils deacutesignent la mecircme chose ils ne montrent pas la mecircme

chose (ils napportent pas la mecircme information monstrative) agrave propos de lecirctre matheacuteshy

matique dont ils sont deux noms diffeacuterents (ltlt4 + 8raquo ou mieux laquo22 +23 raquo montre

que 12 est une somme de puissances de deux etc) Cest ainsi que au cœur mecircme

du langage numeacuterique sinsinue un clivage et pour tout dire une tension entre deux

modes de fonctionnement lefficaciteacute deacutesignative (propre agrave lusage calculatoire du

langage numeacuterique) tend agrave ignorer lagrave valeur monstrative de lexpression eacutecrite le

principe dachegravevement des calculs voue agrave leacutepheacutemegraverelesmiddotltltnoms intermeacutediairesraquo et

laquo4 + 8raquo devient ainsi laquo12raquo sans quaucune trace nous soit conserveacutee de lhistoire

de ce laquo12raquo Ali contraire le langage algeacutebrique - notamment parce quil est une

meacutemoire - vient permettre de conserver de meilleure faccedilon linformation monstrative

et surtout de faire apparaicirctre linformation monstrative pertinente le passage en

simplification de lexpression (2p - 1) + (2p + 1) agrave lexpression 4p fait apparaicirctre

que (2p - 1-) + (2p+ 1) deacutesigne un nombre multiple de 4 le passage en complexifishy

cation de 4p agrave (p + 1)2 - (p - 1)2 fait apparaicirctre que (2p - 1) + (2p + 1) est une

diffeacuterence de deux carreacutes

La creacuteation du langage algeacutebrique permet de deacutegager plus nettement laprobleacuteshy

matique deacutetude du nurileacuterique en la posant - sans lopposer - agrave cocircteacute de la perspecshy

tive calculatrice Elle permet donc dexpliciter ce qui demeurait largement implicite shy

la copreacutesence de deux maniegraveres davoir affaire au numeacuterique - et par lagrave dapaiser

les tensions Mais son surgissement historique permet surtout de mieux maicirctriser

la dialectique du numeacuterique et de lalgeacutebrique jusque-lagrave conduite avec des moyens

matheacutematiques insuffisamment adeacutequats Lalgeacutebrique est un outil de leacutetude du

numeacuterique le premier outil le plus eacuteleacutementaire sans doute (agrave un niveau avanceacute intershy

viendraient par exemple la theacuteorie des seacuteries entiegraveres la theacuteorie des fonctions analytishy

ques etc) Mais inversement (et cest ce qui nous autorise agrave parler de dialectique)

pour que le fonctionnement de cet outil soit efficace il faut quelque peu eacutetudier

cet outil par exemple se poser les problegravemes de la factorisation des expressions algeacuteshy

briques (afin notamment de reacutesoudre des eacutequations algeacutebriques) Or en ce point le

numeacuterique lui-mecircme est un outil deacutetude agrave lalgeacutebrique le flux sinverse Sans parler

76

de toutes les meacutethodes numeacuteriques qui font appel le plus souvent agrave des proprieacuteteacutes

danalyse (cest-agrave-dire concernant le corps des reacuteels et les fonctions dune variable

reacuteelle par exemple) on peut citer - pour prendre un exemple assez gros pour ecirctre

tout agrave fait visible - le theacuteoregraveme dEinsenstein sur la factorisation dans Q[X] (38)

Newton dans son Arithmetica Universalis deacutejagrave mentionneacutee montre une grande attenshy

tion agrave ce genre de laquoretoursraquo du numeacuterique vers lalgeacutebrique Ainsi donne-t-i1 une

meacutethode ingeacutenieuse pour trouver les facteurs dune expression algeacutebrique(39)

Si par exemple la quantiteacute proposeacutee est x 3 - x - 10x + 6 agrave la place de x

je substitue successivement les termes de la progression arithmeacutetique 1 0 -1 il en

naicirctra les nombres -4 + 6 + 14 Je place chacun deux avec tous ses diviseurs dans

la ligne du terme de la progression 1 0 -1 qui la produit comme on peut le voir

dans lexemple suivant

1 4 124 +4 o 6 1 2 3 6 +3

- 1 14 1 2 7 14 +2

Ensuite comme le terme le plus eacuteleveacute x3 na pas de diviseur de luniteacute je

cherche parmi les diviseurs quelque progression dont les termes ne diffegraverent que

dune uniteacute et qui en descendant des plus forts au plus faibles deacutecroissent comme

ceux de la progression 10 -1 Je ne trouve quune progression de cette espegravece cest

4 3 2 Je prends donc le terme + 3 qui se trouve dans la mecircme ligne que 0 de la

premiegravere progression 1 0 -1 je le joins agrave x et je tente la division par x + 3 elle

reacuteussit et jobtiens pour quotient x 2 - 4x + 2

Au-delagrave de la disparition de la structure du corpus matheacutematique enseigneacute en arithshy

meacutetique et algegravebre cest la dialectique du numeacuterique et de lalgegravebre - implicitement

preacutesente agravetravers llaquooppositionraquo de larithmeacutetique et de lalgegravebre - qui va se trouver

atteinte Plus que jamais les liens du numeacuterique et de lalgeacutebrique sen trouveront

relacirccheacutes

VIII - UNE CONCEPTION EMPIRISTE DU REEL MATHEMATIQUE

Leffacement de lopposition arithmeacutetiquealgegravebre en effet altegravere les condishy

tions de la mise en rapport du numeacuterique et de lalgeacutebrique Lancien rapport doutil

(38) Soit PIt) = a + a t + + a t n un polynocircme agrave coefficients dans if Sil existe un nombre premier p tel que0 1) ~ rie divise ~as an 2) p divise a al an_l p2 ne divise pas ao alors P o est irreacuteductible sur O

(39) Arithmeacutetique universelle tome premier pp 47-48 Nous laissons au lecteur le soin dapporter la justification matheacutematique requise

77

de travail agrave objet travailleacute semble perdu Les deux domaines - le numeacuterique -le

litteacuteral - vont coexister dans une simple juxtaposition existants qui trouvent en

eux-mecircmes leur propre justification Les rapports naguegravere encore banals entre ces

deux ordres de reacutealiteacute matheacutematiques semblent deacutesormais abolis Ou plutocirct ils laissent

place agrave des rapports nouveaux et inverseacutes ce nest plus lalgeacutebrique qui vient pershy

mettre deacutetudier le numeacuterique cest le numeacuterique qui laquojustifieraquo et laquopermet de comshy

prendreraquo lalgeacutebrique Le document 5 extrait dun manuei de quatriegraveme actuel (40)

IIUDIFFeacute~ENCS ce ceux C~CIMAUX [

x-eD yeC zeC z-z -y signifie que z+y-z Comment est appel z pour z et y dans ct ordre Observe

13-(-7) z+-7)middot13

[+(-7)j+713+7 +[(-7)+71-13+7

+0-13+7 zo13+-7

z-z-y z+y-z

(+y) + (-y)- +-(-y) +(y+ (-y)]-x + (-y)

z+O-z + (-y) -+(-y)

Pour tout xde D pour tout y de 0 z - y est un deacutecimal et z - y = +(-y) Exemples 8-(-7)=8+7=15 9-14=9+(-14)=-5 Lopeacuteration- qui agrave chaque coupe (z y) z e 0 y E C fait correspondre le deacutecimal Z - J est la soustraction dans O

DOCUMENT 5

Lalgeacutebrique comme essence du numeacuterique

nous donne de ce pheacutenomegravene un exemple tregraves net lintention didactique est ici

de justifier le fait que x - y = x + (-y) Pour le matheacutematicien la laquojustificationraquo shy

qui est alors strictement une deacutemonstration - est toute entiegravere contenue dans la

colonne de droite si je deacutefinis en geacuteneacuteral-y comme eacutetant le nombre tel quey + (-y) = 0

et si les proprieacuteteacutes ordinaires - associativiteacute etc - valent encore pour le nouvel

ensemble de nombres ainsi deacutefini alors le nombre z que je dois ajouter agrave y pour

obtenir x - ce quon appelle la diffeacuterence de x et y et qUon note x - y - nest pas

autre chose que x + (-y) Or la laquojustificationraquo passe dans la didactique ici examineacutee

par lappel au concret cest-agrave-dire au numeacuterique tel est le rocircle de la colonne de

gauche Ce sont les calculs numeacuteriques de la colonne de gauche qui soutiendraient

le sens (pour leacutelegraveve) des calculs litteacuteraux de la colonne de droite Malheureusement

le contenu de la colonne de gauche est si lon peut dire hautement improbable

(401 Il sagifdu _manuel Matheacutematique contemporaine pour la classe de quatriegraveme publieacute chez Magnard et conforme au programme de1978shy

78

parce que le numeacuterique ne fonctionne pas ainsi En fait les calculs numeacuteriques preacuteshy

senteacutes ici nexistent quagrave ecirctre limage en miroir des calculs litteacuteraux de la colonne

de droite Et cest pour permettre de tels calculs que le langage algeacutebrique preacutecishy

seacutement est neacutecessaire Il y a ainsi meacuteprise sur la speacutecificiteacute des deux ordres de calcul

et conseacutequemment sur le type de rapports quils entretiennent la justification

de lalgeacutebrique sappuierait sur un mode de fonctionnement du numeacuterique qui nest

en fait quun deacutecalque du fonctionnement de lalgeacutebrique et qui donc suppose

lalgeacutebrique

Leacutelucidation du nouveau rapport qui saffirme ainsi nest pas chose facile Elle

est pourtant neacutecessaire afin de preacuteciser par delagrave la surface des programmes les mouveshy

ments profonds produisant des deacutecisions didactiques quon aurait tort de regarder

seulement comme des laquotrucsraquo eacuteleacutements atomiques de strateacutegies trouvant en ellesshy

mecircmes et dans leurs effets supposeacutes leur unique mobile Revenons agrave lexemple que

nous avons examineacute Lalgeacutebrique y apparaicirct comme la laquotheacuteorieraquo de cette laquoreacutealiteacuteraquo

que serait le numeacuterique Mais les relations en acte entre theacuteorie (permettant leacutetude)

et reacutealiteacute (objet de leacutetude) y ressortissent incontestablement agrave une conception empishy

riste (et mecircme nous allons le voir empiriste-sensualiste) de la connaissance Tel est

en fait le mobile - veacutecu sans doute comme allant de soi dans leacutevidence que lideacuteoshy

logie procure - de la tentative de laquofaire sortirraquo la theacuteorie (lalgeacutebrique) de la reacutealiteacute

(numeacuterique) Il ya ici inversion des rapports entre theacuteorie et reacutealiteacute Car le surgissement

du theacuteorique - faut-il le rappeler - ne sautorise jamais que de lui-mecircme et loin

de proceacuteder de la reacutealiteacute la constitue (ou la renouvelle) comme objet de connaissance

Si jeacutecris par exemple 13 + 7 = 13 - (-7) selon un fonctionnement du numeacuterique

antinomique de la pratique calculatoire (cest-agrave-dire arithmeacutetique) du numeacuterique shy

laquelle voudrait quon eacutecrivicirct 13 + 7 = 20 - je fais de lalgegravebre sur du numeacuterique

cest loutil algeacutebrique et lui seul qui me permet ce travail du numeacuterique Entre le

fonctionnement arithmeacutetique et le fonctionnement algeacutebrique du numeacuterique il y a

ainsi une distance - un saut - que nul proceacutedeacute dlaquoabstractionraquo ne peut venir combler

On aurait tort de penser que lanalyse preacuteceacutedente ne vaut que pour lexemple

sur laquelle nous lavons illustreacutee En reacutealiteacute sa porteacutee est beaucoup plus eacutetendue

et pour en saisir toute la signification il faut revenir agrave cette acmeacute de leacutevolution de

la transposition didactique que repreacutesente la reacuteforme de 1971 (celle des laquomatheacutemashy

tiques modernesraquo) Contrairement aux opinions aujourdhui dominantes qui selon

un opportunisme neacutecessaire et une constante inconstance reacutecusent cette reacuteforme

pour ses excegraves et la regardent comme laberration dun moment il faut tenir que cette

aberration nen est pas une quelle ne fait que preacutecipiter cristalliser et rendre explicites

des traits qui deacutejagrave se repegraverent dans leacutevolution des deacutecennies preacuteceacutedentes Elle est un

moment qui donne sens reacutetrospectivement agravece qui vient avant lui et deacutetermine

largement ce qui viendra apregraves lui Car sil y a en quelque faccedilon rupture cest sur le

fond dune tregraves large surdeacutetermination En profondeur le programme de 1971 - pour

79

sen tenir agrave la classe de quatriegraveme - constitue une radiographie saisissante dune

eacutevolution que le programme de 1978 nadoucira quen surface Cest cette image

laquodureraquo quil faut interroger

On a trop vitupeacutereacute linflation moderniste le parti pris theacuteoriciste lambition

de rigueur des matheacutematiques promues par la reacuteforme et trop peu vu derriegravere cet

eacutecran deux mouvements correacutelatifs moins spectaculaires mais deacuteterminants Le

premier - que nous avons deacutejagrave plusieurs fois mentionneacute - cest lenvahissement du

champ deacutetude par les structures numeacuteriques Les laquoexcegravesraquo du programme de 1971

sont le prix agrave payer pour ce coup de force qui se megravene alors - simple tactique dun

moment le programme de 1978 installera une version apaiseacutee de la mecircme strateacutegieshy

avec lartillerie lourde de laquolapproche des reacuteelsraquo des laquocalculs approcheacutesraquo des laquoencashy

drementsraquo de haute ambition matheacutematique Le seCond cest la peacuteneacutetration dun

thegraveme qui va devenir central celui de llaquoobservationraquo et de llaquoexpeacuterimentationraquo

matheacutematiques

Fausse moderniteacute ce thegraveme est mis en place degraves les Instructions de janvier

1957 (annexe 6a) dont les Instructions de 1971 se reacuteclameront non sans raicon Il

prend alors lallure dune reacuteflexion sur les liens entre matheacutematique et extramatheacutemashy

tique La caution bergsonienne ici invoqueacutee - homo taber homo sapiens - bien que

dateacutee est agrave cet eacutegard tregraves significative La perspective proposeacutee ne conduit pas tregraves

loin les problegravemes denseignement se trouvent laquoreacutesolusraquo par une didactique euphoshy

rique (annexe 6b) Au vrai la conjoncture historique qui verra la mise en place des

matheacutematiques modernes nest alors quincomplegravetement formeacutee Ce qui manque

encore afin que lideacutee dexpeacuterimentation puisse passer dans les faits cest une matiegravere

que lon pourrait soumettre agrave lobservation et agrave lexpeacuterience A cet eacutegard les Instrucshy

tions de 1957 raisonnent encore agrave lancienne la notion dexpeacuterimentation y est

surtout loccasion dune rheacutetorique qui tourne sur elle-mecircme faute de pouvoir sapplishy

quer Mais cette matiegravere dapplication qui fait deacutefaut la reacuteforme va lapporter en

abondance ce sera le numeacuterique dont nous comprenons mieux degraves lors la place

de choix que les programmes reacuteformeacutes vont lui accorder Son expansion se trouvait

en fait comme appeleacutee par lexigence laquoexpeacuterimentaleraquo induite par une certaine concepshy

tion eacutepisteacutemologique et didactique

Le deacutecor de laction est installeacute en consonance avec une mise en scegravene empiriste

du procegraves de connaissance(41) Il Y a la laquoreacutealiteacuteraquo qui est un donneacute dont la preacutesence

simpose avec la derniegravere force et il y a la laquotheacuteorieraquo de ce donneacute que lon preacutetend

tirer par abstraction de lobjet agrave laquelle elle se voue La dialectique du numeacuterique

et de lalgeacutebrique est alors perdue lun de ses termes (lalgeacutebrique) se dissout dans

(41) Pour lintelligence de ce qui suit nous renvoyons agrave Althusser 1968 notamment pp 38-45

80

lautre (le numeacuterique) agrave qui est octroyeacute par nature une existence presque mateacuterielle

et dont lalgeacutebrique proceacutedera geacuteneacutetiquement La reacuteforme de 1971 remanie donc

le champ deacutetude pour y produire de solides objets laquoreacuteelsraquo agrave forts coefficients dexis-shy

tence les structures numeacuteriques et aussi la mysteacuterieuse laquodroite physiqueraquo dont la

soudaine promotion ontologique serait autrement encore plus inexplicable(42) Cela

poseacute lintroduction du litteacuteral (lalgeacutebrique) sidentifie au mouvement par lequel

dans le procegraves empiriste de connaissance se repreacutesente lessence du reacuteel qui est toute

la connaissance que le sujet peut tirer de lobjet par abstraction il permet de distinguer

entre un reacuteel essentiel et un reacuteel inessentiel gangue ou accident que le processus

dabstraction abandonne comme un reacutesidu impenseacute Labstraction qui vise agrave porter

agrave la lumiegravere ce quon pourra connaicirctre de lobjet agit par deacutecrassage et deacutecapage

CHA~tTRbullbull tour dieacuteremcs ftiems de 1t 011 obti=c cIes putitioas cilifeacute=o~ Uuml fiIure 2 repreacutese1tt (parshy

tieJ1emenz) les paniagravecas ~ i- II-l 11--0 11 - - l~ = grouie agrave la loupe la paftiriœ cozrcspoadaDc agrave Il - - 2shy

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-1shy 0 t

1 1 1 1 1 1 1 1 shy 1 bull 1 1 1 11

-1 -01 001 lU 03 ~ o~ 06 07 oa 09 1 11

P4 041 ~l ~~I 041ds1 -i -o] OoJ O4l o~ 04S 04) ~ 1 ~1 1

fJvZ

li) De m=c si II eR lD1 emer œIaagravef acirczeacute et si CI pr=d tOlIœS les ftiems possibles da2s Z r=semblc cIes imenalles cie c

Jcr10 (CI + L 10

eR iJMpcrtirIcircD1f de C Uuml figure 3 repreacutes=œ (articllemcm) =œ putitioll p04 shy O~

r 1 i 1 T l 1 1 -5 -4shy -3 -2 -r agrave l Z ~ 4shy 5

~3

DOCUMENT6

Le deacutecapage du donneacute dans le processus empiriste de connaissance

(42) Voir Chevallard et Johsua 1982 notamment pp 200-203

81

agrave ce thegraveme geacuteneacuteral de la connaissance empiriste reacutepond correctement dans les proshy

grammes la notion dlaquoapprocheraquo ou dlaquoapproximationraquo des laquoreacuteelsraquo (qui nont jamais

aussi bien porteacute leur nom) Ceux-ci sont atteints par le moyen de purifications successhy

sives qui eacuteliminent peu agrave peu la gangue inessentielle Tel manuel (43) pris parmi tant

dautres- en offre la superbe illustration (document 6) limage de la loupe - emblegraveme

de la connaissance empiriste dont elle est linstrument privileacutegieacute parce quelle permet

de mieux voir et de faire voir - y est requise et symbolise mieux quun long commenshy

taire cette conception de la connaissance comme visant agrave amener linvisible agrave la

vue de tous

Une telle conception de la connaissance rate le reacuteel dont il sagirait preacuteciseacutement

de produire la connaissance parce quelle en manque la constitution comme objet

de connaissance(44) Lalgeacutebrique ne sert plus agrave connaicirctre le numeacuterique Il nest plus

deacutesormais quune steacutenographie middotessentialisante qui deacutecrit reacutesume et seacutepare lessence

de laccident Le surgissement laquomoderneraquo de la dichotomie de llaquoobservationraquo et de

la laquotheacuteorieraquo - que les manuels actuels reprennent agrave lenvi - est ainsi correacutelatif dune

dissolution de lobjet de connaissance au profit de lobjet reacuteel maintenant donneacute

agrave voir dans une abstraction reacuteputeacutee immeacutediate et facile Lordre didactique va sorgashy

niser autour de cette eacutepisteacutemologie imaginaire

REFERENCES

ALTHUSSER L (1968) Lire le Capital Franccedilois Maspeacutero Paris

BOURDIEU P (1974) Le sens pratique eacuteditions de Minuit Paris

BROUSSEAU G (1980) Problegravemes de lenseignement des deacutecimaux Recherches

en didactique des matheacutematiques 1middot1 pp 11-59

CHEVALLARD Y (1980a) Matheacutematiques langage enseignement la reacuteforme des

anneacutees soixante Recherches 41 pp 71-99

CHEVALLARD Y (1980b) La transposition didactique 1REM dAix-Marseille

CHEVALLARD Y (1982) Pourquoi la transposition didactique 7 Publication du

seacuteminaire de didactique et peacutedagogie des matheacutematiques 32 Grenoble

CHEVALLARD Y et JOHSUA MA (1982) Un exemple danalyse de la transposition

didactique Recherches en didactique des matheacutematiques 3 2 pp 157-239

MICHEL PH (1950) De Pythagore agrave Euclide Les Belles Lettres Paris

SMITH DE (1953) History of mathematics volume Il Dover publications Inc

New York

(43) Il sagit de louvrage mentionneacute dans la note 24 ci-dessus

(44) Sur la distinction entre laquoobjet reacuteelraquo et laquoobjet de connaissanceraquo voir Althusser 1968 pp 4649

82

CLASSE DE QUATRIEME CLASSIQUE A ET B ET DE QUATRIEME MODERNE

PROGRAMME DE 1945 (extraits)

Arithmeacutetique

Pratique sur des exemples de la deacutecomposition dun nombre entier en facteurs premiers de la recherche du plus grand commun diviseur et du plus petit commun multiple de deux ou plushysieurs nombres Applications aux fractions

Algegravebre

Nombres algeacutebriques (positifs nuls heacutegatifs) Opeacuterations sur ces nombres exposeacutes agrave partir de problegravemes concrets Ineacutegaliteacutes

Mesures algeacutebriques de vecteurs sur une droite orienteacutee Formule de Chasles Repeacuterage dun point sur un axe

Eleacutements du calcul algeacutebrique proprieacuteteacutes des sommes et des produits Puissances Produit et quotient de deux puissances dun nombre usage de lexposant nul et dexposants neacutegatifs

Monocircmes Produit de monocircmes Quotient de deux nombres Somme de monocircmes semblables (on se bornera agrave des monocircmes agrave une deux ou trois variables) Polynocircmes agrave une variable addition soustraction multiplication par une constante

Equations numeacuteriques du premie( degreacute agrave une inconnue Problegravemes conduisant agrave une eacutequation numeacuterique du premier degreacute agrave une inconnue

Annexe 1

83

CLASSE DE QUATRIEME

PROGRAMME DE 1958 (extraits)

Arithmeacutetique

Pratique sur des exemples de la deacutecomposition dun nombre entier en un produit de nomshybres premiers pratique de la recherche du plus grand diviseur commun et du plus petit multiple commun de deux ou plusieurs nombres Applications

Algegravebre

1 - Nombres relatifs (positifs nuls neacutegatifs) Orientation dun segment (vecteur) orientation dune droite (axe) mesure algeacutebrique

dun segment orienteacute sur un axe repeacuterage dun point sur un axe (abscisse)

II - Opeacuterations eacuteleacutementaires sur les nombres relatifs addition et soustraction multiplishycation et division

Extension aux nombres relatifs des proprieacuteteacutes fondamentales eacutetablies pour les nombres arithmeacutetiques (classe de cinquiegraveme) concernant les sommes les diffeacuterences les produits les puisshysances n-iegravemes les quotients linverse dun nombre non nul Condition pour quun produit soit nul

Deacutefinition des exposants neacutegatifs et de lexposant nul Comparaison des nombres relatifs ineacutegaliteacutes Ineacutegaliteacutes concernant la valeur absolue dune somme ou dune diffeacuterence Formule de Chasles pour trois points situeacutes sur un axe Segment deacutefini par les abscisses

des deLix points qui le limitent mesure algeacutebrique de ce segment orienteacute mesure de la longueur de ce segment abscisse du milieu de ce segment

III - Notions de variables et de correspondance entre variables Expressions algeacutebriques deacutependant dUne ou de plusieurs variables calcul de la valeur

numeacuterique dune expression algeacutebrique pour des valeurs numeacuteriques donneacutees aux Ymiddotariables Monocircmes agrave une ou plusieurs variables multiplication addition de monocircmes semblables Polynocircmes forme reacuteduite Polynocircmes ordonneacutes addition multiplication Identiteacutes relatives aux produits (x + y)2 (x - y)2 (x + y)(x - y)

IV - Equations position du problegraveme signification du signe = dans ce problegraveme Equashytions du premier degreacute agrave une inconnue agrave coefficients numeacuteriques Reacutesolution de problegravemes simples agrave laide dune telle eacutequation

Annexe 2

84

CLASSE DE QUATRIEME

PROGRAMME DE 1971 (extraits)

1 - Relations

Reacutevision -des notions preacutesenteacutees dans les classes anteacuterieures et compleacutements produit carteacutesien relation application composition des applications bijection cun ensemble sur un ensemble et bijection reacuteciproque

Notion de groupe deacutefinition (on la jeacutegagera des exemples du programme)

II - Nombres deacutecimaux relatifs et approche de reacuteel

1 Groupe des puissances de dix

Nombres deacutecimaux relatifs eacutecrits a 10n avec a e7l et p E7 et sous forme de nombres agrave virgule addition multiplication ordre valeur absolue Reacutesumeacute des proprieacuteteacutes fondamentales de lensemble ainsi structureacute des deacutecimaux relatifs

2 Calculs approcheacutes

a) EnC3drement dun nombre deacutecimal par des intervalles des types [a 10pbull (a + 1) 10middot[ da 101 (a + 1) 10- [a 10pbull (a + 1) 101] avec a E Z et p E Z Sur des exelJlples encamiddot drement middotdune somme dun produit

b) Exercices de deacutetermination pour un deacutecimal strictement positif d donneacute et pour un entier relatif n donneacute du nombre deacutecimal x bull 10 avec x E IN tel que soient veacuterifieacutees les ineacutegaliteacutes 0 ~d x 10 ~ 1 lt d (x + 1) 10

c) Exercices de deacutetermination pour un deacutecimal strictement positif d donneacute et pour un entier relatif n jonneacute du nombre deacutecimal y bull 10 avec y E IN tel que soient veacuterifieacutees les ineacutegaliteacutes [y 10P ~ d lt [(y + 1) 10]

d) Suites deacutecimales illimiteacutees nombres reacuteels encadrements dun nombre reacuteel

3 Enumeacuteration des principales proprieacuteteacutes qui structurent fensemble IR des reacuteels addition (IR +) est un groupe commutatif multiplication associashytiYiteacute distributiviteacute par rapport agravefaddition ordre et valoeur absolue

On admettra que pour tout nombre reacuteel a jiffeacuterent de 0 il existe un nombre reacuteel a-1 et un seul tel que aa-1 = 1 Pour tout couple de nombres reacuteels (a b) avec a = 0 il existe un nombre reacuteel unique x appeleacute quotient de b par a

b et noteacute ba-1 ou - tel que ax = b a

Exercices simples de calcul sur de tels quotients Sur des exemples -numeacuteriques eacutequations et ineacutequations du premier degr9 agrave une inconnue

Usage des exposants entiers groupe des puissances dun nombre reacuteel non nul

Calculs approcheacutes sur les nombres reacuteels

4 Exemples de fonctions polynocircmes (applications de IR dans IR) Degreacute Exercices de calcul SUT les polynocircmes Produits (x + a)2 (x - a)2 (x + a) (x - a) Exercices de factorisation

Annexe 3

85

ENCYCLOPEDIE QUILLET (1958)

TABLE DES MATIERES (extraits)

ARITBMEacuteTIQUE Notio~ preacute1i1Ji~ajres - Ideacutee de nombrebullbullbullbull 153 NumeratIon decmale bullbullbullbullbullbullbullbull 156 ~esure des grŒDdeurs bullbullbullbullbullbull bullbullbullbull 159 Nombresmiddot deacutecUDauxbullbullbullbullbullbullbullbullbullbull 169 Ladditionbullbull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull 165 La soustraction bull bull bull bull bull bull bull bull bull 168 La ~~qplication bullbullbullbullbullbullbull1 bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bullbull 171 La diVISIon 178

Regravegle de trois bull bull 117 Pourcentages bullbullbull 119 Partages proportionnels 110 ~~langes bullbull i bull bullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbull 111 Alliages bull 111 Regravegles dinteacuterecircts 124 Rentes sur Pltat 116 Actins et obli~tions - Escompte 117

Problegravemes sur les quatre opeacutemtions bull bull bull 184 La divisibiliteacute bull bull bull bull bull bull bull bull 186 Plus grŒDd commun diviseur (p G C D) 189 Plus petit commun multiple (P P C M) 191 Nombres premiers bullbullbullbullbullbullbullbull 192 Les fractions bull bull bull bull bull 194 Opeacuterations sur les fractions 197 Sys~egraveme meacute~que 203 Racme carree 207 Rapports - Proportions 2 II

Grandeurs Proportionnelles 215

Connge des exercces ~ 130

Annexe4a

ALGEgraveBRE Notions preacuteliminaires bullbullbullbull 157 Opeacutemtions sur les nombres algeacutebriques (somme

diffeacuterence multiplicationmiddot division des nombres algeacutebriques fractions ou rapports algeacutebriques puissances racines) bull bull 160

Qpeacuterations sur les expressions algeacutebriques bull 168 gquations du premier degreacute 278 Reacutesolution des problegravemes du premier degreacute agrave une

inconnue bullbullbullbullbullbullbullbullbull 186 gquations et problegravemes du premier degreacute agrave deux

ou plusieurs inconnues bull bull 191 Notions sur les repreacutesentations graphiques bull bull 301

Variation des fonctions 313 Deacuteriveacutees bullbull bull bull 319

~uations et problegravemes du second degreacute bull bull 312

ProgressionsetlogaritbInesmiddotmiddotmiddotmiddot middotmiddot middotmiddotmiddot middot331 Table de logarithmes de 1 agrave 1 000 bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull 338 Application des logarithmes Inteacuterecircts composeacutes et

annuiteacutes bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull 343 Corcigeacute des ex~ces bullbull ~ bullbullbullbullbullbullbull 348

Annexe4b

68

CHAPITRE 4 algegravebre

Ensemble 0 des nombres rationnels

1 Oeacuteflnitlon de lensemble C 4Notatlons fractionnaires dUn rationnel des rationnels

2prOPrieacuteteacutes de lensemble Q 50Peacuteratlons dans Q des rationnels

3Eacutecriture deacutecimale illimiteacutee 6comparaison de deux rationnels dun rationnel

1Deacutefinition de lensemble Q des rationnels

deacutefinition Un nombre reacuteel (ou reacuteel) est appeleacute DOIIlbre ratioonel (ou rationnel) sil est eacutegal agrave un quotient de deux entiers relatifs

Autrement dit Un reacuteel x est un rationnel sil existe un entier relatif a et un entier relatif non

nul b tels que x soit eacutegal au quotient ~

exemples bull Les quotients suivants sont des rationnels 2 -4 -3 248 57 -29704 0 37 0 359 iuml 78 -=5 -614 57 -1- 25 =iOOO =iuml4 -1-

lal -27815) Ibull Le ree r eg au quotIent 0013 est-I un ratIonne

- 2781 5 et 0013 ne sont pas des entiers relatifs

On sait que (proprieacuteteacutes des quotients de reacuteels)

-27815 -27815 x 104 -27815 0013 0013 x 104 =~

Conclusion r est un rationnel

DOCUMENT 4b

(Matheacutematiques4egraveme collection Durrande 1979)

69

I~ Lensemble ltD des nombres rationnels

1 bull DEacuteFINITION ET EXEMPLES

Dans le cnapltre 4 nous ayons rencontreacute des nombres QUon pouvait obtenir comme Quotient exact dun entir relatif fi par un entier relatif non nul b Ces nombres sappellent lesnombnts ratiOnneJa (ou plua simplement les rationnels) Ils sont r8Qreacutesnteacutes par des fractions ainsi

exemples de fractions repreacuteslitntant x Nombre rationnel x -2 -8 -18lentler relatif -2 -9- -L shy1 3 -1 7 35 -7le deacutecimal rlatlf 35 Ji shy2 4 10 -=2 ~ Q EumlL shyIe ratlonn1 i 3 8 30 -3

Reepitullfflon des prlnc1es deacutetlnltlons Otlnitlo Soit un entIer ratatlf quelconque et soit b un entIer reltlf non nuL

11 LA couple (e bJ eacutecrit sous i fonne appellela fractIon d num

teur bull et de deacutenominateur b 2J Cette fraction retrisente le quotient ect de bull par b que lon not

aUAI bull On bull donc par deacuteflnltlon

bX~ bull JCb bullbull b b

31 On appelle nom rationnel tout nombre Que lon peut obtnir comme quotient euct dun entier relatif par un entlr relatif non nul

Attention 1La megravem notation est utiliseacutee pour deacutesignr deux cnoss diffeacuterentesb

le couple (II b) le Quotient exact de Il par b

Quand on eacutecrit il faut preacuteciser sU sagit de la fraction Ji (le couple (1 4 4raquo ou du rationshy4 4

nel 2i (Qui est eacutegal agrave 35) 4

le rationn est Anal au rationnel L4 ~~ 2

la fraction nest pas eacutegale agrave la fraction 1 ~ 2

(Puisque les couples (144) et (72) sont distincts)

Une convention commode

Pour eacuteviter cet Inconveacutenient nous conviendrons toujours Que dans les calculs deacutesinne le b

nombre rationnel Quotient exact d fi par b Ainsi nous pourrons eacutecrire

Ji =L =3S4 2

Quand vous voudrez parler du couple (14 4) il faudra preacuteciser bull la fraction c 4

DOCUMENT 4c

(Matheacutematiques classe de quatriegraveme collection Queysanne et Revus 1979)

70

SIMPLIFICATION DES FRACTIONS

i49 Simllifier une fraction cest la remplacer par une fraction ~e mais ayant des tenDes plus petits

ISO PROPRIEacuteTEacuteS FONDAMENTALES

10 On mesure deux rubans avec le sepagraveegraveme dune longueur donneacutee A B Lun mesure 2 sepagraveagravenes lautre 4 septiegravemes de luniteacute Il est eacutevident que le dewdagraveDe est double du premier

4 2 X 2 2 - --- - X 2 donc 777

Theacuteoregraveme L - Si OD mwdpUe le aDlDampateDr dune CractloD par aD JIOmbre la CracdoD eet muldpUeacutee par ce Dombre

2deg Un ruban mesure 5 sepagraveagravenes de la longueur AB un dewtiagravene ruban vaut S quato12Iumlagravenes de la mbe uniteacute

Un quatorziagravene eacutetant deux fois plus petit quun sepagraveagraveDe la dewdœe longueur est deux fois plus petite que la premiugravee S S S

------ 2 par suite 14 7 X 2 7

Theacuteoregraveme D - Si OD muldpUe le dacirclomiDateur cl1IDe bcdoD par 110 aombre la CracdoD eet diYileacutee par ce JIOmbre

3deg Soit la fraction _3 X 3_2S s s X 3 IS Elle ne c1uIage pas de valeur si nn mulagraveplie ses deux termes par 3 En dfet si on multiplie son numeacuterateur elle devient 3 fois plus grande si on multiplie son deacuteDominateur

elle devient 3 fois plus petiœ Par conseacutequent

Theacuteoregraveme DL - Si OD mwdpUe lee cleu termes daDO bcdoD par aD ~e DOmbre la ampactIoD ae chaage pu do valeur

On voit IJU- mIru gratukur fJGI la _ pat _ itrftniri tU frtJCtUgrave1fU U1IItU igalu

Corollaire - Si OD divise lee deux termee dlIDe CractiOD par aD mfme JIOmbre (ropkatucircm eacutetant possible) OD obdeat une bedoD eacuteplo agrave la premiegravere

Soit la fraction 18 dont les deux termes sont divisibles par 321

On peut eacutecrire 18 _ 6 x 3 21 7 x 3

et dapregraves le theacuteoragravene preacuteceacutedent _ 6 X 3 7 7 X 3

On a donc 18 3_ la fraction Il des termes plus petits que la fraction 18 dougrave la regravegle de simshy21 3 7 7 21

pli1ication des fractions

~ Regravegle - PD1lI simplifier _ fraaion an divis 11$ dIU umm pat 11II mIru 1ItmIbr

DOCUMENT 4d

Arithmeacutetique de lEncyclopeacutedie Quillet 1958

Fractions et rationnels en fait ne constituent pas seulement une admirable

construction matheacutematique ils composent en mecircme temps un objet didactique

inteacuteressant agrave bien des eacutegards La place de leacutelegraveve (cest-agrave-dire ce qui peut ecirctre requis

de leacutelegraveve agrave ce propos) y est nettement dessineacutee Lebesgue le soulignait judicieusement

le chapitre regorge dexercices dont la difficulteacute (cest-agrave-dire en gros la complexiteacute)

peut ecirctre finement gradueacutee La place de lenseignant elle aussi sy trouve preacutepareacutee

le professeur eacuteprouve toute sa speacutecificiteacute face agrave leacutelegraveve en tant quarchitecte et bacirctisshy

seur - fonctions dans lesquelles leacutelegraveve ne saurait lui disputer sagrave place - dune consshy

truction matheacutematiqueagrave la fois simple rigoureuse riche dont la complegravete transpashy

71

rence nest acquise quau prix de quelque subtiliteacute intellectuele nullement inaccessible

agrave leacutelegraveve mais relativement exigeante Toutefois il y a plus En un sens tout objet

de savoir didactiquement acceptable laisse voir deux laquoplacesraquo il doit contenir le

laquolieuraquo que leacutelegraveve viendra occuper (les tacircches que le contrat didactique lui assignera

en propre) il doit contenir aussi un lieu speacutecifiquement alloueacute agrave lenseignant Ce

marquage des places consubstanciellement lieacute au fonctionnement didactique du

savoir est un processus geacuteneacuteral que jai proposeacute(32) dappeler la topogeacutenegravese (du grec

topos lieu) Mais la dialectique topogeacuteneacutetique peut ecirctre plus ou moins resserreacutee plus

ou moins relacirccheacutee dans ce dernier cas (qui correspond comme jessaierai de lindiquer

plus loin agrave ce que nous voyons majoritairement se produire aujourdhui agrave propos de

lemploi du langage algeacutebrique) les eacutechanges entre eacutelegraveves et enseignant demeurent

pauvres la communication est distante parce que les uns et les autres ne se mesurent

pas aux mecircmes tacircches (le professeur deacutemontre une eacutegaliteacute litteacuterale leacutelegraveve lapplique

agrave des cas particuliers numeacuteriques) Avec les fractions une fois fixeacutee larchitecture

geacuteneacuterale de leacutedifice il en va autrement passeacutes les calculs les plus simples les calculs

qui ne sont pas triviaux pour leacuteiegraveve - tout en demeurant de lordre de ce qui peut

loyalemeacutent lui ecirctre demandeacute - ne le scgtnt quagrave peine moins pour le professeur Les

partenaires de linteraction didactique se rapprochent autour dune tacircche unique

jusquagrave sembler parfois unir leurs efforts agrave la recherche dune commune reacuteponse

Tout comme la geacuteomeacutetrie (qui soppose par cela et du seul point de vue didactique

deacutejagrave agrave lalgegravebre en geacuteneacuteral) les fractions constituent loccasion dune reacuteelle convishy

vialiteacute dans la classe Les distinctions qualitatives (marqueacutees par des tacircches de natures

diffeacuterentes) sestompent au profit de simples diffeacuterences quantitatives (lenseignant

va plus vite plus sucircrement mais il ne sait rien de plus que leacutelegraveve et ne fait rien de

plus que lui) Le groupe agrave la fois se rassemble gagne en coheacutesion et en mecircme temps

se diffeacuterencie continucircment sans que son identiteacute sy perde

1 y a lagrave quelques-unes des raisons didactiques qui expliquent la preacuteeacuteminence

de fagraveit de leacutetude des fractions dans les classes actuelles de quatriegraveme Or - et nous

faisons lagrave retour agrave notre sujet quen fait nous navions pas quitteacute - dans le vocabushy

lairedes enseignants les fractions font partie de lalgegravebre Mecircme si le programme

officiel nutilise pas le terme il semble que lusage se soit spontaneacutement creacuteeacute de nommer

laquoalgegravebreraquo dans la pratique de la classe ce qui nest pas geacuteomeacutetrie lalgegravebre cest

globalement lautre de la geacuteomeacutetrie Cet emploi peut-ecirctre irreacutefleacutechi du mot ne manque

pourtant pas de justificatifs Les heacutesitations historiques dont nous avons parleacute trashy

duisent aussi (par delagrave lopposition fractions de nombres arithmeacutetiques fractions de

nombres algeacutebriques) une reacutealiteacute qui perdure les fractions (dentiers) ne sont pas

(32) Voir Chevallard 1980b

72

de lalgegravebre au sens ougrave elles ne contiennent pas de lettres (les lettres sont essentielleshy

ment utiliseacutees par le professeur pour formuler les lois qui reacutegissent leur calcul) mais

elles relegravevent de llaquoalgeacutebriqueraquo en cela quelles sont le lieu dun jeu formel portant

sur des eacutecritures Elles offrent donc loccasion dune algegravebre sans algegravebre qui fait le

gros morceau de lalgegravebre aujourdhui enseigneacutee Il faut voir par quel cheminement

on en est venu lagrave

VII - LA DIALECTIQUE NUMERIQUEALGEBRIQUE

PoUr expliquer plus complegravetement et leacutevanouissement des parties algeacutebriques

de lalgegravebre et - correacutelativement - le come-back des fractions il nous faut compliquer

quelque peu le talJleau que nous avons traceacute jusquici A lopposition structurelle de

larithmeacutetique et de lalgegravebre correspondait - en principe - une dialectique fonctionshy

nelle entre numeacuterique et algeacutebrique Cest sur cette dialectique que nous devrons

dabord nous arrecircter un instant

Il faut pour cela prendre quelque recul Cette dialectique en effet existe

historiquement avant lalgegravebre (avant la construction dun langage algeacutebrique propreshy

ment dit) Les Grecs distinguent entre deux arithmeacutetiques larithmeacutetique vulgaire

ou logistique celle des calculateurs et larithmeacutetique laquopropre aux philosophesraquo

comme dit Platon cest-agrave-dire en gros la theacuteorie des nombres Les calculateurs cal~

culent Les arithmeacuteticiens eacutetudient la structure du numeacuterique Tous manipulent pour

cela un langage du numeacuterique~ mais tous ne lemploient pas aux mecircmes tacircches et ne

lui reconnaissent pas les mecircmes valeurs Dans larithmeacutetique pratique lanalyse du

numeacuterique procureacutee par le langage adopteacute est un moyen ordonneacute agrave un but opeacuterer

des deacutenombrements effectuer des calculs Si dans notre systegravememiddotactuel de numeacuteration

je deacutesire calculer 12 X 12 par exemple je nai besoin dautre analyse du nombre 12

que celle qui mest immeacutediatement donneacutee dans leacutecriture (deacutecimale) de ce nombre

(ch iffre des dizaines 1 chiffre des uniteacutes 2) Mais si comme le scribe du papyrus

Rhind je ne sais multiplier que par duplications successives et additions je devrai

recourir agrave une analyse moins immeacutediate du nombre 12 (qui ne mest pas offerte par

leacutecriture deacutecimale actuelle) Il me faudra observer que 12 = 4 + 8 et calculer ainsi(33)

1 12 2 24 4 48 8 96

(33) Voir Smith 1953 p 106

73

dougrave je deacuteduirai que 12 X 12 = 12 X (4 + 8) = 48 + 96 = 144 De telles manleres

de faire qui se rencontrent encore agrave des dates rapprocheacutees(34) apparaissent agrave lutilisashy

teur contemporain comme des survivances dun acircge imparfait Un bon systegraveme

numeacuteration-algorithmes de calcul en effet doit ecirctre tel que toute linformation requise

pour mettre en œuvre les algorithmes de calcul soit donneacutee dembleacutee avec les nombres

donneacutes eacutecrits dans le langage numeacuterique utiliseacute cest-agrave-dire soit apparente dans leacutecriture

mecircme de ces nombres En dautres termes un bon systegraveme numeacuteration-algorithmes

reacutecuse tout appel aux matheacutematiques fucirct-ce sous une forme apparemment anodine

Lusager dun tel systegraveme est eacutevidemment supposeacute pouvoir calculer que 4 + 8 = 12

(ce pour quoi le systegraveme est fait) mai~ le contrat dutilisation qui regravegle ses rapports

avec le systegraveme exclut quil ait agrave penser que 12 = 4 + 8 Paradoxalement peut-ecirctre

lun des effets et sans doute des buts (poursuivis de maniegravere plus ou moins intentionshy

nelle) de lactiviteacute matheacutematique est de proposer agrave lusage social des proceacutedures non

matheacutematiques obtenues par deacutematheacutematisation progressive de proceacutedures agrave lorigine

proprement matheacutematiques Le fait est banal et geacuteneacuteral les progregraves de leacutelectronique

me dispensent aujourdhui du bricolage auquel eacutetaient tenus les utilisateurs du poste

agrave galegravene

En fait le royaume du calcul numeacuterique est reacutegi par la loi de simplification

inteacuterioriseacutee en habitus(35) dont lune des clauses est constitueacutee par le principe

dachegravevement des calculs Selon ce laquoprinciperaquo lexpression laquo4 + 8raquo ne saurait en

calcul numeacuterique figurer comme reacuteponse le calcul agrave ce stade eacutetant laquoinacheveacuteraquo (36)

Lexpression laquo4 + 8raquo ne saurait ainsi ecirctre quune forme transitoire labile (parce que

quatre plus huit eacutegale douze) et nexiste pas plus dune maniegravere libre que latome

doxygegravene en dehors de la moleacutecule deg 2

Il en va tout autrement avec la tradition laquonobleraquo de la laquotheacuteorie des nombresraquo

Les Pythagoriciens au tout deacutebut de la science grecque eacutelaborent ainsi toute une

conception de la repreacutesentation laquogeacuteomeacutetriqueraquo des nombres soit une arithmo-geacuteoshy

meacutetrie(37) Consideacuterons par exemple les entiers impairs 5 et 7 Leurs repreacutesentations

(34) Ibid

(35) P Bourdieu deacutesigne par habitus des laquosystegravemes de dispositions durables structures structureacutees preacutedisposeacutees agrave fonctionner comme structures structurantes cest-agrave-dire en tant que principe de geacuteneacuteration et de structuration de pratiques et de repreacutesentations ( hgt (Bourdieu 1974 p 175)

(36) Les Instructions de janvier 1957 (sur lesquelles nous revenons plus loin) parlent explicitement de laquocalcul conduit jusquagrave son achegravevementraquo fait rare et remarquable car il est de la nature dun habitus de ne pas supposer lexplicitation des principes agrave lorigine de son efficace

(37) Sur larithmo-geacuteomeacutetrie des Grecs voir Michel 1959 pp 295-325

74

figureacutees peuvent ecirctre disposeacutees ainsi

o o o o o

o o o o o

o 0 5 7

Reacuteunissons ces repreacutesentations de la maniegravere suiyante

o o o o

o o o o

o 0

o 0

En les regroupant adeacutequatement il apparaicirct que la somme 5 + 7 est Lin multiple de

4 (plus preacuteciseacutement que 5 + 7 = 3 X 4) -1------------ -------------1

1 shy10 Oi iO 011 1 1 shyi i 1

- 1shyj j - 1

rO Oi iO1

O shy

i -_------------ [-------------1 iO Oi 1 i 1

Jo oi i

De plus si on laquocomplegraveteraquo le carreacute on voit apparaicirctre immeacutediatement que 5 + 7 est

une diffeacuterence de deux carreacutes (plus preacuteciseacutement que 5 + 7 = 43 - 22 )

o o o o

o o o o

o o x x

o o x x Ces monstrations qui au sens strict nont de force deacutemonstrative que pour les valeurs

numeacuteriques particuliegraveres traiteacutees ont en fait une valeur geacuteneacuterique comme les figures

(et les deacutemonstrations quelles permettent) en geacuteomeacutetrie on nest pas loin dune

deacutemonstration valable pour tous les couples dimpairs conseacutecutifs Nous pouvons

reacutetrospectivement admirer la finesse intellectuelle que linvention et lemploi de

telles proceacutedures supposent Mais nous pouvons aussi voir que notre langage algeacutebrique

actuel (creacuteeacute par Viegravete Descartes et quelques autres) sinscrit dans le prolongement

de cette analyse du numeacuterique tout en la deacutepassant en souplesse et en puissance

75

Sur le mecircme problegraveme aujourdhui nous obtenons par exemple ceci soient 2p - 1

et 2p + 1 deux impairs conseacutecutifs leur somme (2p - 1) + (2p + 1) = 4p est un

multiple de 4 et puisque 4p = (p + 1) - (p - 1)2 elle seacutecrit aussi comme une

diffeacuterence de deux carreacutes Le langage nOuveau permet dabord de formuler le problegraveme

dans sa geacuteneacuteraliteacute puis de le reacutesoudre de maniegravere eacutegalement systeacutematique

Le calcul numeacuterique utilise le langage numeacuterique pour son pouvoir deacutesignatif

eSSentiellement laquo34raquo et laquo075raquo ou encore laquo4 + 8raquo et laquo12raquo sont agrave cet eacutegard eacutequivashy lents puisquils deacutesignent le mecircme nombre (simplement laquo34raquo est une fraction laquonon

effectueacuteeraquo laquo4 + 8raquo une somme non effectueacutee) ils sont des noms diffeacuterents pour

un mecircme ecirctre matheacutematique Larithmeacutetique laquoalgeacutebriqueraquo au contraire distingue

ces noms parce que bien quils deacutesignent la mecircme chose ils ne montrent pas la mecircme

chose (ils napportent pas la mecircme information monstrative) agrave propos de lecirctre matheacuteshy

matique dont ils sont deux noms diffeacuterents (ltlt4 + 8raquo ou mieux laquo22 +23 raquo montre

que 12 est une somme de puissances de deux etc) Cest ainsi que au cœur mecircme

du langage numeacuterique sinsinue un clivage et pour tout dire une tension entre deux

modes de fonctionnement lefficaciteacute deacutesignative (propre agrave lusage calculatoire du

langage numeacuterique) tend agrave ignorer lagrave valeur monstrative de lexpression eacutecrite le

principe dachegravevement des calculs voue agrave leacutepheacutemegraverelesmiddotltltnoms intermeacutediairesraquo et

laquo4 + 8raquo devient ainsi laquo12raquo sans quaucune trace nous soit conserveacutee de lhistoire

de ce laquo12raquo Ali contraire le langage algeacutebrique - notamment parce quil est une

meacutemoire - vient permettre de conserver de meilleure faccedilon linformation monstrative

et surtout de faire apparaicirctre linformation monstrative pertinente le passage en

simplification de lexpression (2p - 1) + (2p + 1) agrave lexpression 4p fait apparaicirctre

que (2p - 1-) + (2p+ 1) deacutesigne un nombre multiple de 4 le passage en complexifishy

cation de 4p agrave (p + 1)2 - (p - 1)2 fait apparaicirctre que (2p - 1) + (2p + 1) est une

diffeacuterence de deux carreacutes

La creacuteation du langage algeacutebrique permet de deacutegager plus nettement laprobleacuteshy

matique deacutetude du nurileacuterique en la posant - sans lopposer - agrave cocircteacute de la perspecshy

tive calculatrice Elle permet donc dexpliciter ce qui demeurait largement implicite shy

la copreacutesence de deux maniegraveres davoir affaire au numeacuterique - et par lagrave dapaiser

les tensions Mais son surgissement historique permet surtout de mieux maicirctriser

la dialectique du numeacuterique et de lalgeacutebrique jusque-lagrave conduite avec des moyens

matheacutematiques insuffisamment adeacutequats Lalgeacutebrique est un outil de leacutetude du

numeacuterique le premier outil le plus eacuteleacutementaire sans doute (agrave un niveau avanceacute intershy

viendraient par exemple la theacuteorie des seacuteries entiegraveres la theacuteorie des fonctions analytishy

ques etc) Mais inversement (et cest ce qui nous autorise agrave parler de dialectique)

pour que le fonctionnement de cet outil soit efficace il faut quelque peu eacutetudier

cet outil par exemple se poser les problegravemes de la factorisation des expressions algeacuteshy

briques (afin notamment de reacutesoudre des eacutequations algeacutebriques) Or en ce point le

numeacuterique lui-mecircme est un outil deacutetude agrave lalgeacutebrique le flux sinverse Sans parler

76

de toutes les meacutethodes numeacuteriques qui font appel le plus souvent agrave des proprieacuteteacutes

danalyse (cest-agrave-dire concernant le corps des reacuteels et les fonctions dune variable

reacuteelle par exemple) on peut citer - pour prendre un exemple assez gros pour ecirctre

tout agrave fait visible - le theacuteoregraveme dEinsenstein sur la factorisation dans Q[X] (38)

Newton dans son Arithmetica Universalis deacutejagrave mentionneacutee montre une grande attenshy

tion agrave ce genre de laquoretoursraquo du numeacuterique vers lalgeacutebrique Ainsi donne-t-i1 une

meacutethode ingeacutenieuse pour trouver les facteurs dune expression algeacutebrique(39)

Si par exemple la quantiteacute proposeacutee est x 3 - x - 10x + 6 agrave la place de x

je substitue successivement les termes de la progression arithmeacutetique 1 0 -1 il en

naicirctra les nombres -4 + 6 + 14 Je place chacun deux avec tous ses diviseurs dans

la ligne du terme de la progression 1 0 -1 qui la produit comme on peut le voir

dans lexemple suivant

1 4 124 +4 o 6 1 2 3 6 +3

- 1 14 1 2 7 14 +2

Ensuite comme le terme le plus eacuteleveacute x3 na pas de diviseur de luniteacute je

cherche parmi les diviseurs quelque progression dont les termes ne diffegraverent que

dune uniteacute et qui en descendant des plus forts au plus faibles deacutecroissent comme

ceux de la progression 10 -1 Je ne trouve quune progression de cette espegravece cest

4 3 2 Je prends donc le terme + 3 qui se trouve dans la mecircme ligne que 0 de la

premiegravere progression 1 0 -1 je le joins agrave x et je tente la division par x + 3 elle

reacuteussit et jobtiens pour quotient x 2 - 4x + 2

Au-delagrave de la disparition de la structure du corpus matheacutematique enseigneacute en arithshy

meacutetique et algegravebre cest la dialectique du numeacuterique et de lalgegravebre - implicitement

preacutesente agravetravers llaquooppositionraquo de larithmeacutetique et de lalgegravebre - qui va se trouver

atteinte Plus que jamais les liens du numeacuterique et de lalgeacutebrique sen trouveront

relacirccheacutes

VIII - UNE CONCEPTION EMPIRISTE DU REEL MATHEMATIQUE

Leffacement de lopposition arithmeacutetiquealgegravebre en effet altegravere les condishy

tions de la mise en rapport du numeacuterique et de lalgeacutebrique Lancien rapport doutil

(38) Soit PIt) = a + a t + + a t n un polynocircme agrave coefficients dans if Sil existe un nombre premier p tel que0 1) ~ rie divise ~as an 2) p divise a al an_l p2 ne divise pas ao alors P o est irreacuteductible sur O

(39) Arithmeacutetique universelle tome premier pp 47-48 Nous laissons au lecteur le soin dapporter la justification matheacutematique requise

77

de travail agrave objet travailleacute semble perdu Les deux domaines - le numeacuterique -le

litteacuteral - vont coexister dans une simple juxtaposition existants qui trouvent en

eux-mecircmes leur propre justification Les rapports naguegravere encore banals entre ces

deux ordres de reacutealiteacute matheacutematiques semblent deacutesormais abolis Ou plutocirct ils laissent

place agrave des rapports nouveaux et inverseacutes ce nest plus lalgeacutebrique qui vient pershy

mettre deacutetudier le numeacuterique cest le numeacuterique qui laquojustifieraquo et laquopermet de comshy

prendreraquo lalgeacutebrique Le document 5 extrait dun manuei de quatriegraveme actuel (40)

IIUDIFFeacute~ENCS ce ceux C~CIMAUX [

x-eD yeC zeC z-z -y signifie que z+y-z Comment est appel z pour z et y dans ct ordre Observe

13-(-7) z+-7)middot13

[+(-7)j+713+7 +[(-7)+71-13+7

+0-13+7 zo13+-7

z-z-y z+y-z

(+y) + (-y)- +-(-y) +(y+ (-y)]-x + (-y)

z+O-z + (-y) -+(-y)

Pour tout xde D pour tout y de 0 z - y est un deacutecimal et z - y = +(-y) Exemples 8-(-7)=8+7=15 9-14=9+(-14)=-5 Lopeacuteration- qui agrave chaque coupe (z y) z e 0 y E C fait correspondre le deacutecimal Z - J est la soustraction dans O

DOCUMENT 5

Lalgeacutebrique comme essence du numeacuterique

nous donne de ce pheacutenomegravene un exemple tregraves net lintention didactique est ici

de justifier le fait que x - y = x + (-y) Pour le matheacutematicien la laquojustificationraquo shy

qui est alors strictement une deacutemonstration - est toute entiegravere contenue dans la

colonne de droite si je deacutefinis en geacuteneacuteral-y comme eacutetant le nombre tel quey + (-y) = 0

et si les proprieacuteteacutes ordinaires - associativiteacute etc - valent encore pour le nouvel

ensemble de nombres ainsi deacutefini alors le nombre z que je dois ajouter agrave y pour

obtenir x - ce quon appelle la diffeacuterence de x et y et qUon note x - y - nest pas

autre chose que x + (-y) Or la laquojustificationraquo passe dans la didactique ici examineacutee

par lappel au concret cest-agrave-dire au numeacuterique tel est le rocircle de la colonne de

gauche Ce sont les calculs numeacuteriques de la colonne de gauche qui soutiendraient

le sens (pour leacutelegraveve) des calculs litteacuteraux de la colonne de droite Malheureusement

le contenu de la colonne de gauche est si lon peut dire hautement improbable

(401 Il sagifdu _manuel Matheacutematique contemporaine pour la classe de quatriegraveme publieacute chez Magnard et conforme au programme de1978shy

78

parce que le numeacuterique ne fonctionne pas ainsi En fait les calculs numeacuteriques preacuteshy

senteacutes ici nexistent quagrave ecirctre limage en miroir des calculs litteacuteraux de la colonne

de droite Et cest pour permettre de tels calculs que le langage algeacutebrique preacutecishy

seacutement est neacutecessaire Il y a ainsi meacuteprise sur la speacutecificiteacute des deux ordres de calcul

et conseacutequemment sur le type de rapports quils entretiennent la justification

de lalgeacutebrique sappuierait sur un mode de fonctionnement du numeacuterique qui nest

en fait quun deacutecalque du fonctionnement de lalgeacutebrique et qui donc suppose

lalgeacutebrique

Leacutelucidation du nouveau rapport qui saffirme ainsi nest pas chose facile Elle

est pourtant neacutecessaire afin de preacuteciser par delagrave la surface des programmes les mouveshy

ments profonds produisant des deacutecisions didactiques quon aurait tort de regarder

seulement comme des laquotrucsraquo eacuteleacutements atomiques de strateacutegies trouvant en ellesshy

mecircmes et dans leurs effets supposeacutes leur unique mobile Revenons agrave lexemple que

nous avons examineacute Lalgeacutebrique y apparaicirct comme la laquotheacuteorieraquo de cette laquoreacutealiteacuteraquo

que serait le numeacuterique Mais les relations en acte entre theacuteorie (permettant leacutetude)

et reacutealiteacute (objet de leacutetude) y ressortissent incontestablement agrave une conception empishy

riste (et mecircme nous allons le voir empiriste-sensualiste) de la connaissance Tel est

en fait le mobile - veacutecu sans doute comme allant de soi dans leacutevidence que lideacuteoshy

logie procure - de la tentative de laquofaire sortirraquo la theacuteorie (lalgeacutebrique) de la reacutealiteacute

(numeacuterique) Il ya ici inversion des rapports entre theacuteorie et reacutealiteacute Car le surgissement

du theacuteorique - faut-il le rappeler - ne sautorise jamais que de lui-mecircme et loin

de proceacuteder de la reacutealiteacute la constitue (ou la renouvelle) comme objet de connaissance

Si jeacutecris par exemple 13 + 7 = 13 - (-7) selon un fonctionnement du numeacuterique

antinomique de la pratique calculatoire (cest-agrave-dire arithmeacutetique) du numeacuterique shy

laquelle voudrait quon eacutecrivicirct 13 + 7 = 20 - je fais de lalgegravebre sur du numeacuterique

cest loutil algeacutebrique et lui seul qui me permet ce travail du numeacuterique Entre le

fonctionnement arithmeacutetique et le fonctionnement algeacutebrique du numeacuterique il y a

ainsi une distance - un saut - que nul proceacutedeacute dlaquoabstractionraquo ne peut venir combler

On aurait tort de penser que lanalyse preacuteceacutedente ne vaut que pour lexemple

sur laquelle nous lavons illustreacutee En reacutealiteacute sa porteacutee est beaucoup plus eacutetendue

et pour en saisir toute la signification il faut revenir agrave cette acmeacute de leacutevolution de

la transposition didactique que repreacutesente la reacuteforme de 1971 (celle des laquomatheacutemashy

tiques modernesraquo) Contrairement aux opinions aujourdhui dominantes qui selon

un opportunisme neacutecessaire et une constante inconstance reacutecusent cette reacuteforme

pour ses excegraves et la regardent comme laberration dun moment il faut tenir que cette

aberration nen est pas une quelle ne fait que preacutecipiter cristalliser et rendre explicites

des traits qui deacutejagrave se repegraverent dans leacutevolution des deacutecennies preacuteceacutedentes Elle est un

moment qui donne sens reacutetrospectivement agravece qui vient avant lui et deacutetermine

largement ce qui viendra apregraves lui Car sil y a en quelque faccedilon rupture cest sur le

fond dune tregraves large surdeacutetermination En profondeur le programme de 1971 - pour

79

sen tenir agrave la classe de quatriegraveme - constitue une radiographie saisissante dune

eacutevolution que le programme de 1978 nadoucira quen surface Cest cette image

laquodureraquo quil faut interroger

On a trop vitupeacutereacute linflation moderniste le parti pris theacuteoriciste lambition

de rigueur des matheacutematiques promues par la reacuteforme et trop peu vu derriegravere cet

eacutecran deux mouvements correacutelatifs moins spectaculaires mais deacuteterminants Le

premier - que nous avons deacutejagrave plusieurs fois mentionneacute - cest lenvahissement du

champ deacutetude par les structures numeacuteriques Les laquoexcegravesraquo du programme de 1971

sont le prix agrave payer pour ce coup de force qui se megravene alors - simple tactique dun

moment le programme de 1978 installera une version apaiseacutee de la mecircme strateacutegieshy

avec lartillerie lourde de laquolapproche des reacuteelsraquo des laquocalculs approcheacutesraquo des laquoencashy

drementsraquo de haute ambition matheacutematique Le seCond cest la peacuteneacutetration dun

thegraveme qui va devenir central celui de llaquoobservationraquo et de llaquoexpeacuterimentationraquo

matheacutematiques

Fausse moderniteacute ce thegraveme est mis en place degraves les Instructions de janvier

1957 (annexe 6a) dont les Instructions de 1971 se reacuteclameront non sans raicon Il

prend alors lallure dune reacuteflexion sur les liens entre matheacutematique et extramatheacutemashy

tique La caution bergsonienne ici invoqueacutee - homo taber homo sapiens - bien que

dateacutee est agrave cet eacutegard tregraves significative La perspective proposeacutee ne conduit pas tregraves

loin les problegravemes denseignement se trouvent laquoreacutesolusraquo par une didactique euphoshy

rique (annexe 6b) Au vrai la conjoncture historique qui verra la mise en place des

matheacutematiques modernes nest alors quincomplegravetement formeacutee Ce qui manque

encore afin que lideacutee dexpeacuterimentation puisse passer dans les faits cest une matiegravere

que lon pourrait soumettre agrave lobservation et agrave lexpeacuterience A cet eacutegard les Instrucshy

tions de 1957 raisonnent encore agrave lancienne la notion dexpeacuterimentation y est

surtout loccasion dune rheacutetorique qui tourne sur elle-mecircme faute de pouvoir sapplishy

quer Mais cette matiegravere dapplication qui fait deacutefaut la reacuteforme va lapporter en

abondance ce sera le numeacuterique dont nous comprenons mieux degraves lors la place

de choix que les programmes reacuteformeacutes vont lui accorder Son expansion se trouvait

en fait comme appeleacutee par lexigence laquoexpeacuterimentaleraquo induite par une certaine concepshy

tion eacutepisteacutemologique et didactique

Le deacutecor de laction est installeacute en consonance avec une mise en scegravene empiriste

du procegraves de connaissance(41) Il Y a la laquoreacutealiteacuteraquo qui est un donneacute dont la preacutesence

simpose avec la derniegravere force et il y a la laquotheacuteorieraquo de ce donneacute que lon preacutetend

tirer par abstraction de lobjet agrave laquelle elle se voue La dialectique du numeacuterique

et de lalgeacutebrique est alors perdue lun de ses termes (lalgeacutebrique) se dissout dans

(41) Pour lintelligence de ce qui suit nous renvoyons agrave Althusser 1968 notamment pp 38-45

80

lautre (le numeacuterique) agrave qui est octroyeacute par nature une existence presque mateacuterielle

et dont lalgeacutebrique proceacutedera geacuteneacutetiquement La reacuteforme de 1971 remanie donc

le champ deacutetude pour y produire de solides objets laquoreacuteelsraquo agrave forts coefficients dexis-shy

tence les structures numeacuteriques et aussi la mysteacuterieuse laquodroite physiqueraquo dont la

soudaine promotion ontologique serait autrement encore plus inexplicable(42) Cela

poseacute lintroduction du litteacuteral (lalgeacutebrique) sidentifie au mouvement par lequel

dans le procegraves empiriste de connaissance se repreacutesente lessence du reacuteel qui est toute

la connaissance que le sujet peut tirer de lobjet par abstraction il permet de distinguer

entre un reacuteel essentiel et un reacuteel inessentiel gangue ou accident que le processus

dabstraction abandonne comme un reacutesidu impenseacute Labstraction qui vise agrave porter

agrave la lumiegravere ce quon pourra connaicirctre de lobjet agit par deacutecrassage et deacutecapage

CHA~tTRbullbull tour dieacuteremcs ftiems de 1t 011 obti=c cIes putitioas cilifeacute=o~ Uuml fiIure 2 repreacutese1tt (parshy

tieJ1emenz) les paniagravecas ~ i- II-l 11--0 11 - - l~ = grouie agrave la loupe la paftiriœ cozrcspoadaDc agrave Il - - 2shy

f-oo( [Q10[

1 1

~ Q t

(-2 ~( T

[l 0 ( [01 ( r12 r i i i i J r sr

-1shy 0 t

1 1 1 1 1 1 1 1 shy 1 bull 1 1 1 11

-1 -01 001 lU 03 ~ o~ 06 07 oa 09 1 11

P4 041 ~l ~~I 041ds1 -i -o] OoJ O4l o~ 04S 04) ~ 1 ~1 1

fJvZ

li) De m=c si II eR lD1 emer œIaagravef acirczeacute et si CI pr=d tOlIœS les ftiems possibles da2s Z r=semblc cIes imenalles cie c

Jcr10 (CI + L 10

eR iJMpcrtirIcircD1f de C Uuml figure 3 repreacutes=œ (articllemcm) =œ putitioll p04 shy O~

r 1 i 1 T l 1 1 -5 -4shy -3 -2 -r agrave l Z ~ 4shy 5

~3

DOCUMENT6

Le deacutecapage du donneacute dans le processus empiriste de connaissance

(42) Voir Chevallard et Johsua 1982 notamment pp 200-203

81

agrave ce thegraveme geacuteneacuteral de la connaissance empiriste reacutepond correctement dans les proshy

grammes la notion dlaquoapprocheraquo ou dlaquoapproximationraquo des laquoreacuteelsraquo (qui nont jamais

aussi bien porteacute leur nom) Ceux-ci sont atteints par le moyen de purifications successhy

sives qui eacuteliminent peu agrave peu la gangue inessentielle Tel manuel (43) pris parmi tant

dautres- en offre la superbe illustration (document 6) limage de la loupe - emblegraveme

de la connaissance empiriste dont elle est linstrument privileacutegieacute parce quelle permet

de mieux voir et de faire voir - y est requise et symbolise mieux quun long commenshy

taire cette conception de la connaissance comme visant agrave amener linvisible agrave la

vue de tous

Une telle conception de la connaissance rate le reacuteel dont il sagirait preacuteciseacutement

de produire la connaissance parce quelle en manque la constitution comme objet

de connaissance(44) Lalgeacutebrique ne sert plus agrave connaicirctre le numeacuterique Il nest plus

deacutesormais quune steacutenographie middotessentialisante qui deacutecrit reacutesume et seacutepare lessence

de laccident Le surgissement laquomoderneraquo de la dichotomie de llaquoobservationraquo et de

la laquotheacuteorieraquo - que les manuels actuels reprennent agrave lenvi - est ainsi correacutelatif dune

dissolution de lobjet de connaissance au profit de lobjet reacuteel maintenant donneacute

agrave voir dans une abstraction reacuteputeacutee immeacutediate et facile Lordre didactique va sorgashy

niser autour de cette eacutepisteacutemologie imaginaire

REFERENCES

ALTHUSSER L (1968) Lire le Capital Franccedilois Maspeacutero Paris

BOURDIEU P (1974) Le sens pratique eacuteditions de Minuit Paris

BROUSSEAU G (1980) Problegravemes de lenseignement des deacutecimaux Recherches

en didactique des matheacutematiques 1middot1 pp 11-59

CHEVALLARD Y (1980a) Matheacutematiques langage enseignement la reacuteforme des

anneacutees soixante Recherches 41 pp 71-99

CHEVALLARD Y (1980b) La transposition didactique 1REM dAix-Marseille

CHEVALLARD Y (1982) Pourquoi la transposition didactique 7 Publication du

seacuteminaire de didactique et peacutedagogie des matheacutematiques 32 Grenoble

CHEVALLARD Y et JOHSUA MA (1982) Un exemple danalyse de la transposition

didactique Recherches en didactique des matheacutematiques 3 2 pp 157-239

MICHEL PH (1950) De Pythagore agrave Euclide Les Belles Lettres Paris

SMITH DE (1953) History of mathematics volume Il Dover publications Inc

New York

(43) Il sagit de louvrage mentionneacute dans la note 24 ci-dessus

(44) Sur la distinction entre laquoobjet reacuteelraquo et laquoobjet de connaissanceraquo voir Althusser 1968 pp 4649

82

CLASSE DE QUATRIEME CLASSIQUE A ET B ET DE QUATRIEME MODERNE

PROGRAMME DE 1945 (extraits)

Arithmeacutetique

Pratique sur des exemples de la deacutecomposition dun nombre entier en facteurs premiers de la recherche du plus grand commun diviseur et du plus petit commun multiple de deux ou plushysieurs nombres Applications aux fractions

Algegravebre

Nombres algeacutebriques (positifs nuls heacutegatifs) Opeacuterations sur ces nombres exposeacutes agrave partir de problegravemes concrets Ineacutegaliteacutes

Mesures algeacutebriques de vecteurs sur une droite orienteacutee Formule de Chasles Repeacuterage dun point sur un axe

Eleacutements du calcul algeacutebrique proprieacuteteacutes des sommes et des produits Puissances Produit et quotient de deux puissances dun nombre usage de lexposant nul et dexposants neacutegatifs

Monocircmes Produit de monocircmes Quotient de deux nombres Somme de monocircmes semblables (on se bornera agrave des monocircmes agrave une deux ou trois variables) Polynocircmes agrave une variable addition soustraction multiplication par une constante

Equations numeacuteriques du premie( degreacute agrave une inconnue Problegravemes conduisant agrave une eacutequation numeacuterique du premier degreacute agrave une inconnue

Annexe 1

83

CLASSE DE QUATRIEME

PROGRAMME DE 1958 (extraits)

Arithmeacutetique

Pratique sur des exemples de la deacutecomposition dun nombre entier en un produit de nomshybres premiers pratique de la recherche du plus grand diviseur commun et du plus petit multiple commun de deux ou plusieurs nombres Applications

Algegravebre

1 - Nombres relatifs (positifs nuls neacutegatifs) Orientation dun segment (vecteur) orientation dune droite (axe) mesure algeacutebrique

dun segment orienteacute sur un axe repeacuterage dun point sur un axe (abscisse)

II - Opeacuterations eacuteleacutementaires sur les nombres relatifs addition et soustraction multiplishycation et division

Extension aux nombres relatifs des proprieacuteteacutes fondamentales eacutetablies pour les nombres arithmeacutetiques (classe de cinquiegraveme) concernant les sommes les diffeacuterences les produits les puisshysances n-iegravemes les quotients linverse dun nombre non nul Condition pour quun produit soit nul

Deacutefinition des exposants neacutegatifs et de lexposant nul Comparaison des nombres relatifs ineacutegaliteacutes Ineacutegaliteacutes concernant la valeur absolue dune somme ou dune diffeacuterence Formule de Chasles pour trois points situeacutes sur un axe Segment deacutefini par les abscisses

des deLix points qui le limitent mesure algeacutebrique de ce segment orienteacute mesure de la longueur de ce segment abscisse du milieu de ce segment

III - Notions de variables et de correspondance entre variables Expressions algeacutebriques deacutependant dUne ou de plusieurs variables calcul de la valeur

numeacuterique dune expression algeacutebrique pour des valeurs numeacuteriques donneacutees aux Ymiddotariables Monocircmes agrave une ou plusieurs variables multiplication addition de monocircmes semblables Polynocircmes forme reacuteduite Polynocircmes ordonneacutes addition multiplication Identiteacutes relatives aux produits (x + y)2 (x - y)2 (x + y)(x - y)

IV - Equations position du problegraveme signification du signe = dans ce problegraveme Equashytions du premier degreacute agrave une inconnue agrave coefficients numeacuteriques Reacutesolution de problegravemes simples agrave laide dune telle eacutequation

Annexe 2

84

CLASSE DE QUATRIEME

PROGRAMME DE 1971 (extraits)

1 - Relations

Reacutevision -des notions preacutesenteacutees dans les classes anteacuterieures et compleacutements produit carteacutesien relation application composition des applications bijection cun ensemble sur un ensemble et bijection reacuteciproque

Notion de groupe deacutefinition (on la jeacutegagera des exemples du programme)

II - Nombres deacutecimaux relatifs et approche de reacuteel

1 Groupe des puissances de dix

Nombres deacutecimaux relatifs eacutecrits a 10n avec a e7l et p E7 et sous forme de nombres agrave virgule addition multiplication ordre valeur absolue Reacutesumeacute des proprieacuteteacutes fondamentales de lensemble ainsi structureacute des deacutecimaux relatifs

2 Calculs approcheacutes

a) EnC3drement dun nombre deacutecimal par des intervalles des types [a 10pbull (a + 1) 10middot[ da 101 (a + 1) 10- [a 10pbull (a + 1) 101] avec a E Z et p E Z Sur des exelJlples encamiddot drement middotdune somme dun produit

b) Exercices de deacutetermination pour un deacutecimal strictement positif d donneacute et pour un entier relatif n donneacute du nombre deacutecimal x bull 10 avec x E IN tel que soient veacuterifieacutees les ineacutegaliteacutes 0 ~d x 10 ~ 1 lt d (x + 1) 10

c) Exercices de deacutetermination pour un deacutecimal strictement positif d donneacute et pour un entier relatif n jonneacute du nombre deacutecimal y bull 10 avec y E IN tel que soient veacuterifieacutees les ineacutegaliteacutes [y 10P ~ d lt [(y + 1) 10]

d) Suites deacutecimales illimiteacutees nombres reacuteels encadrements dun nombre reacuteel

3 Enumeacuteration des principales proprieacuteteacutes qui structurent fensemble IR des reacuteels addition (IR +) est un groupe commutatif multiplication associashytiYiteacute distributiviteacute par rapport agravefaddition ordre et valoeur absolue

On admettra que pour tout nombre reacuteel a jiffeacuterent de 0 il existe un nombre reacuteel a-1 et un seul tel que aa-1 = 1 Pour tout couple de nombres reacuteels (a b) avec a = 0 il existe un nombre reacuteel unique x appeleacute quotient de b par a

b et noteacute ba-1 ou - tel que ax = b a

Exercices simples de calcul sur de tels quotients Sur des exemples -numeacuteriques eacutequations et ineacutequations du premier degr9 agrave une inconnue

Usage des exposants entiers groupe des puissances dun nombre reacuteel non nul

Calculs approcheacutes sur les nombres reacuteels

4 Exemples de fonctions polynocircmes (applications de IR dans IR) Degreacute Exercices de calcul SUT les polynocircmes Produits (x + a)2 (x - a)2 (x + a) (x - a) Exercices de factorisation

Annexe 3

85

ENCYCLOPEDIE QUILLET (1958)

TABLE DES MATIERES (extraits)

ARITBMEacuteTIQUE Notio~ preacute1i1Ji~ajres - Ideacutee de nombrebullbullbullbull 153 NumeratIon decmale bullbullbullbullbullbullbullbull 156 ~esure des grŒDdeurs bullbullbullbullbullbull bullbullbullbull 159 Nombresmiddot deacutecUDauxbullbullbullbullbullbullbullbullbullbull 169 Ladditionbullbull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull 165 La soustraction bull bull bull bull bull bull bull bull bull 168 La ~~qplication bullbullbullbullbullbullbull1 bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bullbull 171 La diVISIon 178

Regravegle de trois bull bull 117 Pourcentages bullbullbull 119 Partages proportionnels 110 ~~langes bullbull i bull bullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbull 111 Alliages bull 111 Regravegles dinteacuterecircts 124 Rentes sur Pltat 116 Actins et obli~tions - Escompte 117

Problegravemes sur les quatre opeacutemtions bull bull bull 184 La divisibiliteacute bull bull bull bull bull bull bull bull 186 Plus grŒDd commun diviseur (p G C D) 189 Plus petit commun multiple (P P C M) 191 Nombres premiers bullbullbullbullbullbullbullbull 192 Les fractions bull bull bull bull bull 194 Opeacuterations sur les fractions 197 Sys~egraveme meacute~que 203 Racme carree 207 Rapports - Proportions 2 II

Grandeurs Proportionnelles 215

Connge des exercces ~ 130

Annexe4a

ALGEgraveBRE Notions preacuteliminaires bullbullbullbull 157 Opeacutemtions sur les nombres algeacutebriques (somme

diffeacuterence multiplicationmiddot division des nombres algeacutebriques fractions ou rapports algeacutebriques puissances racines) bull bull 160

Qpeacuterations sur les expressions algeacutebriques bull 168 gquations du premier degreacute 278 Reacutesolution des problegravemes du premier degreacute agrave une

inconnue bullbullbullbullbullbullbullbullbull 186 gquations et problegravemes du premier degreacute agrave deux

ou plusieurs inconnues bull bull 191 Notions sur les repreacutesentations graphiques bull bull 301

Variation des fonctions 313 Deacuteriveacutees bullbull bull bull 319

~uations et problegravemes du second degreacute bull bull 312

ProgressionsetlogaritbInesmiddotmiddotmiddotmiddot middotmiddot middotmiddotmiddot middot331 Table de logarithmes de 1 agrave 1 000 bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull 338 Application des logarithmes Inteacuterecircts composeacutes et

annuiteacutes bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull 343 Corcigeacute des ex~ces bullbull ~ bullbullbullbullbullbullbull 348

Annexe4b

69

I~ Lensemble ltD des nombres rationnels

1 bull DEacuteFINITION ET EXEMPLES

Dans le cnapltre 4 nous ayons rencontreacute des nombres QUon pouvait obtenir comme Quotient exact dun entir relatif fi par un entier relatif non nul b Ces nombres sappellent lesnombnts ratiOnneJa (ou plua simplement les rationnels) Ils sont r8Qreacutesnteacutes par des fractions ainsi

exemples de fractions repreacuteslitntant x Nombre rationnel x -2 -8 -18lentler relatif -2 -9- -L shy1 3 -1 7 35 -7le deacutecimal rlatlf 35 Ji shy2 4 10 -=2 ~ Q EumlL shyIe ratlonn1 i 3 8 30 -3

Reepitullfflon des prlnc1es deacutetlnltlons Otlnitlo Soit un entIer ratatlf quelconque et soit b un entIer reltlf non nuL

11 LA couple (e bJ eacutecrit sous i fonne appellela fractIon d num

teur bull et de deacutenominateur b 2J Cette fraction retrisente le quotient ect de bull par b que lon not

aUAI bull On bull donc par deacuteflnltlon

bX~ bull JCb bullbull b b

31 On appelle nom rationnel tout nombre Que lon peut obtnir comme quotient euct dun entier relatif par un entlr relatif non nul

Attention 1La megravem notation est utiliseacutee pour deacutesignr deux cnoss diffeacuterentesb

le couple (II b) le Quotient exact de Il par b

Quand on eacutecrit il faut preacuteciser sU sagit de la fraction Ji (le couple (1 4 4raquo ou du rationshy4 4

nel 2i (Qui est eacutegal agrave 35) 4

le rationn est Anal au rationnel L4 ~~ 2

la fraction nest pas eacutegale agrave la fraction 1 ~ 2

(Puisque les couples (144) et (72) sont distincts)

Une convention commode

Pour eacuteviter cet Inconveacutenient nous conviendrons toujours Que dans les calculs deacutesinne le b

nombre rationnel Quotient exact d fi par b Ainsi nous pourrons eacutecrire

Ji =L =3S4 2

Quand vous voudrez parler du couple (14 4) il faudra preacuteciser bull la fraction c 4

DOCUMENT 4c

(Matheacutematiques classe de quatriegraveme collection Queysanne et Revus 1979)

70

SIMPLIFICATION DES FRACTIONS

i49 Simllifier une fraction cest la remplacer par une fraction ~e mais ayant des tenDes plus petits

ISO PROPRIEacuteTEacuteS FONDAMENTALES

10 On mesure deux rubans avec le sepagraveegraveme dune longueur donneacutee A B Lun mesure 2 sepagraveagravenes lautre 4 septiegravemes de luniteacute Il est eacutevident que le dewdagraveDe est double du premier

4 2 X 2 2 - --- - X 2 donc 777

Theacuteoregraveme L - Si OD mwdpUe le aDlDampateDr dune CractloD par aD JIOmbre la CracdoD eet muldpUeacutee par ce Dombre

2deg Un ruban mesure 5 sepagraveagravenes de la longueur AB un dewtiagravene ruban vaut S quato12Iumlagravenes de la mbe uniteacute

Un quatorziagravene eacutetant deux fois plus petit quun sepagraveagraveDe la dewdœe longueur est deux fois plus petite que la premiugravee S S S

------ 2 par suite 14 7 X 2 7

Theacuteoregraveme D - Si OD muldpUe le dacirclomiDateur cl1IDe bcdoD par 110 aombre la CracdoD eet diYileacutee par ce JIOmbre

3deg Soit la fraction _3 X 3_2S s s X 3 IS Elle ne c1uIage pas de valeur si nn mulagraveplie ses deux termes par 3 En dfet si on multiplie son numeacuterateur elle devient 3 fois plus grande si on multiplie son deacuteDominateur

elle devient 3 fois plus petiœ Par conseacutequent

Theacuteoregraveme DL - Si OD mwdpUe lee cleu termes daDO bcdoD par aD ~e DOmbre la ampactIoD ae chaage pu do valeur

On voit IJU- mIru gratukur fJGI la _ pat _ itrftniri tU frtJCtUgrave1fU U1IItU igalu

Corollaire - Si OD divise lee deux termee dlIDe CractiOD par aD mfme JIOmbre (ropkatucircm eacutetant possible) OD obdeat une bedoD eacuteplo agrave la premiegravere

Soit la fraction 18 dont les deux termes sont divisibles par 321

On peut eacutecrire 18 _ 6 x 3 21 7 x 3

et dapregraves le theacuteoragravene preacuteceacutedent _ 6 X 3 7 7 X 3

On a donc 18 3_ la fraction Il des termes plus petits que la fraction 18 dougrave la regravegle de simshy21 3 7 7 21

pli1ication des fractions

~ Regravegle - PD1lI simplifier _ fraaion an divis 11$ dIU umm pat 11II mIru 1ItmIbr

DOCUMENT 4d

Arithmeacutetique de lEncyclopeacutedie Quillet 1958

Fractions et rationnels en fait ne constituent pas seulement une admirable

construction matheacutematique ils composent en mecircme temps un objet didactique

inteacuteressant agrave bien des eacutegards La place de leacutelegraveve (cest-agrave-dire ce qui peut ecirctre requis

de leacutelegraveve agrave ce propos) y est nettement dessineacutee Lebesgue le soulignait judicieusement

le chapitre regorge dexercices dont la difficulteacute (cest-agrave-dire en gros la complexiteacute)

peut ecirctre finement gradueacutee La place de lenseignant elle aussi sy trouve preacutepareacutee

le professeur eacuteprouve toute sa speacutecificiteacute face agrave leacutelegraveve en tant quarchitecte et bacirctisshy

seur - fonctions dans lesquelles leacutelegraveve ne saurait lui disputer sagrave place - dune consshy

truction matheacutematiqueagrave la fois simple rigoureuse riche dont la complegravete transpashy

71

rence nest acquise quau prix de quelque subtiliteacute intellectuele nullement inaccessible

agrave leacutelegraveve mais relativement exigeante Toutefois il y a plus En un sens tout objet

de savoir didactiquement acceptable laisse voir deux laquoplacesraquo il doit contenir le

laquolieuraquo que leacutelegraveve viendra occuper (les tacircches que le contrat didactique lui assignera

en propre) il doit contenir aussi un lieu speacutecifiquement alloueacute agrave lenseignant Ce

marquage des places consubstanciellement lieacute au fonctionnement didactique du

savoir est un processus geacuteneacuteral que jai proposeacute(32) dappeler la topogeacutenegravese (du grec

topos lieu) Mais la dialectique topogeacuteneacutetique peut ecirctre plus ou moins resserreacutee plus

ou moins relacirccheacutee dans ce dernier cas (qui correspond comme jessaierai de lindiquer

plus loin agrave ce que nous voyons majoritairement se produire aujourdhui agrave propos de

lemploi du langage algeacutebrique) les eacutechanges entre eacutelegraveves et enseignant demeurent

pauvres la communication est distante parce que les uns et les autres ne se mesurent

pas aux mecircmes tacircches (le professeur deacutemontre une eacutegaliteacute litteacuterale leacutelegraveve lapplique

agrave des cas particuliers numeacuteriques) Avec les fractions une fois fixeacutee larchitecture

geacuteneacuterale de leacutedifice il en va autrement passeacutes les calculs les plus simples les calculs

qui ne sont pas triviaux pour leacuteiegraveve - tout en demeurant de lordre de ce qui peut

loyalemeacutent lui ecirctre demandeacute - ne le scgtnt quagrave peine moins pour le professeur Les

partenaires de linteraction didactique se rapprochent autour dune tacircche unique

jusquagrave sembler parfois unir leurs efforts agrave la recherche dune commune reacuteponse

Tout comme la geacuteomeacutetrie (qui soppose par cela et du seul point de vue didactique

deacutejagrave agrave lalgegravebre en geacuteneacuteral) les fractions constituent loccasion dune reacuteelle convishy

vialiteacute dans la classe Les distinctions qualitatives (marqueacutees par des tacircches de natures

diffeacuterentes) sestompent au profit de simples diffeacuterences quantitatives (lenseignant

va plus vite plus sucircrement mais il ne sait rien de plus que leacutelegraveve et ne fait rien de

plus que lui) Le groupe agrave la fois se rassemble gagne en coheacutesion et en mecircme temps

se diffeacuterencie continucircment sans que son identiteacute sy perde

1 y a lagrave quelques-unes des raisons didactiques qui expliquent la preacuteeacuteminence

de fagraveit de leacutetude des fractions dans les classes actuelles de quatriegraveme Or - et nous

faisons lagrave retour agrave notre sujet quen fait nous navions pas quitteacute - dans le vocabushy

lairedes enseignants les fractions font partie de lalgegravebre Mecircme si le programme

officiel nutilise pas le terme il semble que lusage se soit spontaneacutement creacuteeacute de nommer

laquoalgegravebreraquo dans la pratique de la classe ce qui nest pas geacuteomeacutetrie lalgegravebre cest

globalement lautre de la geacuteomeacutetrie Cet emploi peut-ecirctre irreacutefleacutechi du mot ne manque

pourtant pas de justificatifs Les heacutesitations historiques dont nous avons parleacute trashy

duisent aussi (par delagrave lopposition fractions de nombres arithmeacutetiques fractions de

nombres algeacutebriques) une reacutealiteacute qui perdure les fractions (dentiers) ne sont pas

(32) Voir Chevallard 1980b

72

de lalgegravebre au sens ougrave elles ne contiennent pas de lettres (les lettres sont essentielleshy

ment utiliseacutees par le professeur pour formuler les lois qui reacutegissent leur calcul) mais

elles relegravevent de llaquoalgeacutebriqueraquo en cela quelles sont le lieu dun jeu formel portant

sur des eacutecritures Elles offrent donc loccasion dune algegravebre sans algegravebre qui fait le

gros morceau de lalgegravebre aujourdhui enseigneacutee Il faut voir par quel cheminement

on en est venu lagrave

VII - LA DIALECTIQUE NUMERIQUEALGEBRIQUE

PoUr expliquer plus complegravetement et leacutevanouissement des parties algeacutebriques

de lalgegravebre et - correacutelativement - le come-back des fractions il nous faut compliquer

quelque peu le talJleau que nous avons traceacute jusquici A lopposition structurelle de

larithmeacutetique et de lalgegravebre correspondait - en principe - une dialectique fonctionshy

nelle entre numeacuterique et algeacutebrique Cest sur cette dialectique que nous devrons

dabord nous arrecircter un instant

Il faut pour cela prendre quelque recul Cette dialectique en effet existe

historiquement avant lalgegravebre (avant la construction dun langage algeacutebrique propreshy

ment dit) Les Grecs distinguent entre deux arithmeacutetiques larithmeacutetique vulgaire

ou logistique celle des calculateurs et larithmeacutetique laquopropre aux philosophesraquo

comme dit Platon cest-agrave-dire en gros la theacuteorie des nombres Les calculateurs cal~

culent Les arithmeacuteticiens eacutetudient la structure du numeacuterique Tous manipulent pour

cela un langage du numeacuterique~ mais tous ne lemploient pas aux mecircmes tacircches et ne

lui reconnaissent pas les mecircmes valeurs Dans larithmeacutetique pratique lanalyse du

numeacuterique procureacutee par le langage adopteacute est un moyen ordonneacute agrave un but opeacuterer

des deacutenombrements effectuer des calculs Si dans notre systegravememiddotactuel de numeacuteration

je deacutesire calculer 12 X 12 par exemple je nai besoin dautre analyse du nombre 12

que celle qui mest immeacutediatement donneacutee dans leacutecriture (deacutecimale) de ce nombre

(ch iffre des dizaines 1 chiffre des uniteacutes 2) Mais si comme le scribe du papyrus

Rhind je ne sais multiplier que par duplications successives et additions je devrai

recourir agrave une analyse moins immeacutediate du nombre 12 (qui ne mest pas offerte par

leacutecriture deacutecimale actuelle) Il me faudra observer que 12 = 4 + 8 et calculer ainsi(33)

1 12 2 24 4 48 8 96

(33) Voir Smith 1953 p 106

73

dougrave je deacuteduirai que 12 X 12 = 12 X (4 + 8) = 48 + 96 = 144 De telles manleres

de faire qui se rencontrent encore agrave des dates rapprocheacutees(34) apparaissent agrave lutilisashy

teur contemporain comme des survivances dun acircge imparfait Un bon systegraveme

numeacuteration-algorithmes de calcul en effet doit ecirctre tel que toute linformation requise

pour mettre en œuvre les algorithmes de calcul soit donneacutee dembleacutee avec les nombres

donneacutes eacutecrits dans le langage numeacuterique utiliseacute cest-agrave-dire soit apparente dans leacutecriture

mecircme de ces nombres En dautres termes un bon systegraveme numeacuteration-algorithmes

reacutecuse tout appel aux matheacutematiques fucirct-ce sous une forme apparemment anodine

Lusager dun tel systegraveme est eacutevidemment supposeacute pouvoir calculer que 4 + 8 = 12

(ce pour quoi le systegraveme est fait) mai~ le contrat dutilisation qui regravegle ses rapports

avec le systegraveme exclut quil ait agrave penser que 12 = 4 + 8 Paradoxalement peut-ecirctre

lun des effets et sans doute des buts (poursuivis de maniegravere plus ou moins intentionshy

nelle) de lactiviteacute matheacutematique est de proposer agrave lusage social des proceacutedures non

matheacutematiques obtenues par deacutematheacutematisation progressive de proceacutedures agrave lorigine

proprement matheacutematiques Le fait est banal et geacuteneacuteral les progregraves de leacutelectronique

me dispensent aujourdhui du bricolage auquel eacutetaient tenus les utilisateurs du poste

agrave galegravene

En fait le royaume du calcul numeacuterique est reacutegi par la loi de simplification

inteacuterioriseacutee en habitus(35) dont lune des clauses est constitueacutee par le principe

dachegravevement des calculs Selon ce laquoprinciperaquo lexpression laquo4 + 8raquo ne saurait en

calcul numeacuterique figurer comme reacuteponse le calcul agrave ce stade eacutetant laquoinacheveacuteraquo (36)

Lexpression laquo4 + 8raquo ne saurait ainsi ecirctre quune forme transitoire labile (parce que

quatre plus huit eacutegale douze) et nexiste pas plus dune maniegravere libre que latome

doxygegravene en dehors de la moleacutecule deg 2

Il en va tout autrement avec la tradition laquonobleraquo de la laquotheacuteorie des nombresraquo

Les Pythagoriciens au tout deacutebut de la science grecque eacutelaborent ainsi toute une

conception de la repreacutesentation laquogeacuteomeacutetriqueraquo des nombres soit une arithmo-geacuteoshy

meacutetrie(37) Consideacuterons par exemple les entiers impairs 5 et 7 Leurs repreacutesentations

(34) Ibid

(35) P Bourdieu deacutesigne par habitus des laquosystegravemes de dispositions durables structures structureacutees preacutedisposeacutees agrave fonctionner comme structures structurantes cest-agrave-dire en tant que principe de geacuteneacuteration et de structuration de pratiques et de repreacutesentations ( hgt (Bourdieu 1974 p 175)

(36) Les Instructions de janvier 1957 (sur lesquelles nous revenons plus loin) parlent explicitement de laquocalcul conduit jusquagrave son achegravevementraquo fait rare et remarquable car il est de la nature dun habitus de ne pas supposer lexplicitation des principes agrave lorigine de son efficace

(37) Sur larithmo-geacuteomeacutetrie des Grecs voir Michel 1959 pp 295-325

74

figureacutees peuvent ecirctre disposeacutees ainsi

o o o o o

o o o o o

o 0 5 7

Reacuteunissons ces repreacutesentations de la maniegravere suiyante

o o o o

o o o o

o 0

o 0

En les regroupant adeacutequatement il apparaicirct que la somme 5 + 7 est Lin multiple de

4 (plus preacuteciseacutement que 5 + 7 = 3 X 4) -1------------ -------------1

1 shy10 Oi iO 011 1 1 shyi i 1

- 1shyj j - 1

rO Oi iO1

O shy

i -_------------ [-------------1 iO Oi 1 i 1

Jo oi i

De plus si on laquocomplegraveteraquo le carreacute on voit apparaicirctre immeacutediatement que 5 + 7 est

une diffeacuterence de deux carreacutes (plus preacuteciseacutement que 5 + 7 = 43 - 22 )

o o o o

o o o o

o o x x

o o x x Ces monstrations qui au sens strict nont de force deacutemonstrative que pour les valeurs

numeacuteriques particuliegraveres traiteacutees ont en fait une valeur geacuteneacuterique comme les figures

(et les deacutemonstrations quelles permettent) en geacuteomeacutetrie on nest pas loin dune

deacutemonstration valable pour tous les couples dimpairs conseacutecutifs Nous pouvons

reacutetrospectivement admirer la finesse intellectuelle que linvention et lemploi de

telles proceacutedures supposent Mais nous pouvons aussi voir que notre langage algeacutebrique

actuel (creacuteeacute par Viegravete Descartes et quelques autres) sinscrit dans le prolongement

de cette analyse du numeacuterique tout en la deacutepassant en souplesse et en puissance

75

Sur le mecircme problegraveme aujourdhui nous obtenons par exemple ceci soient 2p - 1

et 2p + 1 deux impairs conseacutecutifs leur somme (2p - 1) + (2p + 1) = 4p est un

multiple de 4 et puisque 4p = (p + 1) - (p - 1)2 elle seacutecrit aussi comme une

diffeacuterence de deux carreacutes Le langage nOuveau permet dabord de formuler le problegraveme

dans sa geacuteneacuteraliteacute puis de le reacutesoudre de maniegravere eacutegalement systeacutematique

Le calcul numeacuterique utilise le langage numeacuterique pour son pouvoir deacutesignatif

eSSentiellement laquo34raquo et laquo075raquo ou encore laquo4 + 8raquo et laquo12raquo sont agrave cet eacutegard eacutequivashy lents puisquils deacutesignent le mecircme nombre (simplement laquo34raquo est une fraction laquonon

effectueacuteeraquo laquo4 + 8raquo une somme non effectueacutee) ils sont des noms diffeacuterents pour

un mecircme ecirctre matheacutematique Larithmeacutetique laquoalgeacutebriqueraquo au contraire distingue

ces noms parce que bien quils deacutesignent la mecircme chose ils ne montrent pas la mecircme

chose (ils napportent pas la mecircme information monstrative) agrave propos de lecirctre matheacuteshy

matique dont ils sont deux noms diffeacuterents (ltlt4 + 8raquo ou mieux laquo22 +23 raquo montre

que 12 est une somme de puissances de deux etc) Cest ainsi que au cœur mecircme

du langage numeacuterique sinsinue un clivage et pour tout dire une tension entre deux

modes de fonctionnement lefficaciteacute deacutesignative (propre agrave lusage calculatoire du

langage numeacuterique) tend agrave ignorer lagrave valeur monstrative de lexpression eacutecrite le

principe dachegravevement des calculs voue agrave leacutepheacutemegraverelesmiddotltltnoms intermeacutediairesraquo et

laquo4 + 8raquo devient ainsi laquo12raquo sans quaucune trace nous soit conserveacutee de lhistoire

de ce laquo12raquo Ali contraire le langage algeacutebrique - notamment parce quil est une

meacutemoire - vient permettre de conserver de meilleure faccedilon linformation monstrative

et surtout de faire apparaicirctre linformation monstrative pertinente le passage en

simplification de lexpression (2p - 1) + (2p + 1) agrave lexpression 4p fait apparaicirctre

que (2p - 1-) + (2p+ 1) deacutesigne un nombre multiple de 4 le passage en complexifishy

cation de 4p agrave (p + 1)2 - (p - 1)2 fait apparaicirctre que (2p - 1) + (2p + 1) est une

diffeacuterence de deux carreacutes

La creacuteation du langage algeacutebrique permet de deacutegager plus nettement laprobleacuteshy

matique deacutetude du nurileacuterique en la posant - sans lopposer - agrave cocircteacute de la perspecshy

tive calculatrice Elle permet donc dexpliciter ce qui demeurait largement implicite shy

la copreacutesence de deux maniegraveres davoir affaire au numeacuterique - et par lagrave dapaiser

les tensions Mais son surgissement historique permet surtout de mieux maicirctriser

la dialectique du numeacuterique et de lalgeacutebrique jusque-lagrave conduite avec des moyens

matheacutematiques insuffisamment adeacutequats Lalgeacutebrique est un outil de leacutetude du

numeacuterique le premier outil le plus eacuteleacutementaire sans doute (agrave un niveau avanceacute intershy

viendraient par exemple la theacuteorie des seacuteries entiegraveres la theacuteorie des fonctions analytishy

ques etc) Mais inversement (et cest ce qui nous autorise agrave parler de dialectique)

pour que le fonctionnement de cet outil soit efficace il faut quelque peu eacutetudier

cet outil par exemple se poser les problegravemes de la factorisation des expressions algeacuteshy

briques (afin notamment de reacutesoudre des eacutequations algeacutebriques) Or en ce point le

numeacuterique lui-mecircme est un outil deacutetude agrave lalgeacutebrique le flux sinverse Sans parler

76

de toutes les meacutethodes numeacuteriques qui font appel le plus souvent agrave des proprieacuteteacutes

danalyse (cest-agrave-dire concernant le corps des reacuteels et les fonctions dune variable

reacuteelle par exemple) on peut citer - pour prendre un exemple assez gros pour ecirctre

tout agrave fait visible - le theacuteoregraveme dEinsenstein sur la factorisation dans Q[X] (38)

Newton dans son Arithmetica Universalis deacutejagrave mentionneacutee montre une grande attenshy

tion agrave ce genre de laquoretoursraquo du numeacuterique vers lalgeacutebrique Ainsi donne-t-i1 une

meacutethode ingeacutenieuse pour trouver les facteurs dune expression algeacutebrique(39)

Si par exemple la quantiteacute proposeacutee est x 3 - x - 10x + 6 agrave la place de x

je substitue successivement les termes de la progression arithmeacutetique 1 0 -1 il en

naicirctra les nombres -4 + 6 + 14 Je place chacun deux avec tous ses diviseurs dans

la ligne du terme de la progression 1 0 -1 qui la produit comme on peut le voir

dans lexemple suivant

1 4 124 +4 o 6 1 2 3 6 +3

- 1 14 1 2 7 14 +2

Ensuite comme le terme le plus eacuteleveacute x3 na pas de diviseur de luniteacute je

cherche parmi les diviseurs quelque progression dont les termes ne diffegraverent que

dune uniteacute et qui en descendant des plus forts au plus faibles deacutecroissent comme

ceux de la progression 10 -1 Je ne trouve quune progression de cette espegravece cest

4 3 2 Je prends donc le terme + 3 qui se trouve dans la mecircme ligne que 0 de la

premiegravere progression 1 0 -1 je le joins agrave x et je tente la division par x + 3 elle

reacuteussit et jobtiens pour quotient x 2 - 4x + 2

Au-delagrave de la disparition de la structure du corpus matheacutematique enseigneacute en arithshy

meacutetique et algegravebre cest la dialectique du numeacuterique et de lalgegravebre - implicitement

preacutesente agravetravers llaquooppositionraquo de larithmeacutetique et de lalgegravebre - qui va se trouver

atteinte Plus que jamais les liens du numeacuterique et de lalgeacutebrique sen trouveront

relacirccheacutes

VIII - UNE CONCEPTION EMPIRISTE DU REEL MATHEMATIQUE

Leffacement de lopposition arithmeacutetiquealgegravebre en effet altegravere les condishy

tions de la mise en rapport du numeacuterique et de lalgeacutebrique Lancien rapport doutil

(38) Soit PIt) = a + a t + + a t n un polynocircme agrave coefficients dans if Sil existe un nombre premier p tel que0 1) ~ rie divise ~as an 2) p divise a al an_l p2 ne divise pas ao alors P o est irreacuteductible sur O

(39) Arithmeacutetique universelle tome premier pp 47-48 Nous laissons au lecteur le soin dapporter la justification matheacutematique requise

77

de travail agrave objet travailleacute semble perdu Les deux domaines - le numeacuterique -le

litteacuteral - vont coexister dans une simple juxtaposition existants qui trouvent en

eux-mecircmes leur propre justification Les rapports naguegravere encore banals entre ces

deux ordres de reacutealiteacute matheacutematiques semblent deacutesormais abolis Ou plutocirct ils laissent

place agrave des rapports nouveaux et inverseacutes ce nest plus lalgeacutebrique qui vient pershy

mettre deacutetudier le numeacuterique cest le numeacuterique qui laquojustifieraquo et laquopermet de comshy

prendreraquo lalgeacutebrique Le document 5 extrait dun manuei de quatriegraveme actuel (40)

IIUDIFFeacute~ENCS ce ceux C~CIMAUX [

x-eD yeC zeC z-z -y signifie que z+y-z Comment est appel z pour z et y dans ct ordre Observe

13-(-7) z+-7)middot13

[+(-7)j+713+7 +[(-7)+71-13+7

+0-13+7 zo13+-7

z-z-y z+y-z

(+y) + (-y)- +-(-y) +(y+ (-y)]-x + (-y)

z+O-z + (-y) -+(-y)

Pour tout xde D pour tout y de 0 z - y est un deacutecimal et z - y = +(-y) Exemples 8-(-7)=8+7=15 9-14=9+(-14)=-5 Lopeacuteration- qui agrave chaque coupe (z y) z e 0 y E C fait correspondre le deacutecimal Z - J est la soustraction dans O

DOCUMENT 5

Lalgeacutebrique comme essence du numeacuterique

nous donne de ce pheacutenomegravene un exemple tregraves net lintention didactique est ici

de justifier le fait que x - y = x + (-y) Pour le matheacutematicien la laquojustificationraquo shy

qui est alors strictement une deacutemonstration - est toute entiegravere contenue dans la

colonne de droite si je deacutefinis en geacuteneacuteral-y comme eacutetant le nombre tel quey + (-y) = 0

et si les proprieacuteteacutes ordinaires - associativiteacute etc - valent encore pour le nouvel

ensemble de nombres ainsi deacutefini alors le nombre z que je dois ajouter agrave y pour

obtenir x - ce quon appelle la diffeacuterence de x et y et qUon note x - y - nest pas

autre chose que x + (-y) Or la laquojustificationraquo passe dans la didactique ici examineacutee

par lappel au concret cest-agrave-dire au numeacuterique tel est le rocircle de la colonne de

gauche Ce sont les calculs numeacuteriques de la colonne de gauche qui soutiendraient

le sens (pour leacutelegraveve) des calculs litteacuteraux de la colonne de droite Malheureusement

le contenu de la colonne de gauche est si lon peut dire hautement improbable

(401 Il sagifdu _manuel Matheacutematique contemporaine pour la classe de quatriegraveme publieacute chez Magnard et conforme au programme de1978shy

78

parce que le numeacuterique ne fonctionne pas ainsi En fait les calculs numeacuteriques preacuteshy

senteacutes ici nexistent quagrave ecirctre limage en miroir des calculs litteacuteraux de la colonne

de droite Et cest pour permettre de tels calculs que le langage algeacutebrique preacutecishy

seacutement est neacutecessaire Il y a ainsi meacuteprise sur la speacutecificiteacute des deux ordres de calcul

et conseacutequemment sur le type de rapports quils entretiennent la justification

de lalgeacutebrique sappuierait sur un mode de fonctionnement du numeacuterique qui nest

en fait quun deacutecalque du fonctionnement de lalgeacutebrique et qui donc suppose

lalgeacutebrique

Leacutelucidation du nouveau rapport qui saffirme ainsi nest pas chose facile Elle

est pourtant neacutecessaire afin de preacuteciser par delagrave la surface des programmes les mouveshy

ments profonds produisant des deacutecisions didactiques quon aurait tort de regarder

seulement comme des laquotrucsraquo eacuteleacutements atomiques de strateacutegies trouvant en ellesshy

mecircmes et dans leurs effets supposeacutes leur unique mobile Revenons agrave lexemple que

nous avons examineacute Lalgeacutebrique y apparaicirct comme la laquotheacuteorieraquo de cette laquoreacutealiteacuteraquo

que serait le numeacuterique Mais les relations en acte entre theacuteorie (permettant leacutetude)

et reacutealiteacute (objet de leacutetude) y ressortissent incontestablement agrave une conception empishy

riste (et mecircme nous allons le voir empiriste-sensualiste) de la connaissance Tel est

en fait le mobile - veacutecu sans doute comme allant de soi dans leacutevidence que lideacuteoshy

logie procure - de la tentative de laquofaire sortirraquo la theacuteorie (lalgeacutebrique) de la reacutealiteacute

(numeacuterique) Il ya ici inversion des rapports entre theacuteorie et reacutealiteacute Car le surgissement

du theacuteorique - faut-il le rappeler - ne sautorise jamais que de lui-mecircme et loin

de proceacuteder de la reacutealiteacute la constitue (ou la renouvelle) comme objet de connaissance

Si jeacutecris par exemple 13 + 7 = 13 - (-7) selon un fonctionnement du numeacuterique

antinomique de la pratique calculatoire (cest-agrave-dire arithmeacutetique) du numeacuterique shy

laquelle voudrait quon eacutecrivicirct 13 + 7 = 20 - je fais de lalgegravebre sur du numeacuterique

cest loutil algeacutebrique et lui seul qui me permet ce travail du numeacuterique Entre le

fonctionnement arithmeacutetique et le fonctionnement algeacutebrique du numeacuterique il y a

ainsi une distance - un saut - que nul proceacutedeacute dlaquoabstractionraquo ne peut venir combler

On aurait tort de penser que lanalyse preacuteceacutedente ne vaut que pour lexemple

sur laquelle nous lavons illustreacutee En reacutealiteacute sa porteacutee est beaucoup plus eacutetendue

et pour en saisir toute la signification il faut revenir agrave cette acmeacute de leacutevolution de

la transposition didactique que repreacutesente la reacuteforme de 1971 (celle des laquomatheacutemashy

tiques modernesraquo) Contrairement aux opinions aujourdhui dominantes qui selon

un opportunisme neacutecessaire et une constante inconstance reacutecusent cette reacuteforme

pour ses excegraves et la regardent comme laberration dun moment il faut tenir que cette

aberration nen est pas une quelle ne fait que preacutecipiter cristalliser et rendre explicites

des traits qui deacutejagrave se repegraverent dans leacutevolution des deacutecennies preacuteceacutedentes Elle est un

moment qui donne sens reacutetrospectivement agravece qui vient avant lui et deacutetermine

largement ce qui viendra apregraves lui Car sil y a en quelque faccedilon rupture cest sur le

fond dune tregraves large surdeacutetermination En profondeur le programme de 1971 - pour

79

sen tenir agrave la classe de quatriegraveme - constitue une radiographie saisissante dune

eacutevolution que le programme de 1978 nadoucira quen surface Cest cette image

laquodureraquo quil faut interroger

On a trop vitupeacutereacute linflation moderniste le parti pris theacuteoriciste lambition

de rigueur des matheacutematiques promues par la reacuteforme et trop peu vu derriegravere cet

eacutecran deux mouvements correacutelatifs moins spectaculaires mais deacuteterminants Le

premier - que nous avons deacutejagrave plusieurs fois mentionneacute - cest lenvahissement du

champ deacutetude par les structures numeacuteriques Les laquoexcegravesraquo du programme de 1971

sont le prix agrave payer pour ce coup de force qui se megravene alors - simple tactique dun

moment le programme de 1978 installera une version apaiseacutee de la mecircme strateacutegieshy

avec lartillerie lourde de laquolapproche des reacuteelsraquo des laquocalculs approcheacutesraquo des laquoencashy

drementsraquo de haute ambition matheacutematique Le seCond cest la peacuteneacutetration dun

thegraveme qui va devenir central celui de llaquoobservationraquo et de llaquoexpeacuterimentationraquo

matheacutematiques

Fausse moderniteacute ce thegraveme est mis en place degraves les Instructions de janvier

1957 (annexe 6a) dont les Instructions de 1971 se reacuteclameront non sans raicon Il

prend alors lallure dune reacuteflexion sur les liens entre matheacutematique et extramatheacutemashy

tique La caution bergsonienne ici invoqueacutee - homo taber homo sapiens - bien que

dateacutee est agrave cet eacutegard tregraves significative La perspective proposeacutee ne conduit pas tregraves

loin les problegravemes denseignement se trouvent laquoreacutesolusraquo par une didactique euphoshy

rique (annexe 6b) Au vrai la conjoncture historique qui verra la mise en place des

matheacutematiques modernes nest alors quincomplegravetement formeacutee Ce qui manque

encore afin que lideacutee dexpeacuterimentation puisse passer dans les faits cest une matiegravere

que lon pourrait soumettre agrave lobservation et agrave lexpeacuterience A cet eacutegard les Instrucshy

tions de 1957 raisonnent encore agrave lancienne la notion dexpeacuterimentation y est

surtout loccasion dune rheacutetorique qui tourne sur elle-mecircme faute de pouvoir sapplishy

quer Mais cette matiegravere dapplication qui fait deacutefaut la reacuteforme va lapporter en

abondance ce sera le numeacuterique dont nous comprenons mieux degraves lors la place

de choix que les programmes reacuteformeacutes vont lui accorder Son expansion se trouvait

en fait comme appeleacutee par lexigence laquoexpeacuterimentaleraquo induite par une certaine concepshy

tion eacutepisteacutemologique et didactique

Le deacutecor de laction est installeacute en consonance avec une mise en scegravene empiriste

du procegraves de connaissance(41) Il Y a la laquoreacutealiteacuteraquo qui est un donneacute dont la preacutesence

simpose avec la derniegravere force et il y a la laquotheacuteorieraquo de ce donneacute que lon preacutetend

tirer par abstraction de lobjet agrave laquelle elle se voue La dialectique du numeacuterique

et de lalgeacutebrique est alors perdue lun de ses termes (lalgeacutebrique) se dissout dans

(41) Pour lintelligence de ce qui suit nous renvoyons agrave Althusser 1968 notamment pp 38-45

80

lautre (le numeacuterique) agrave qui est octroyeacute par nature une existence presque mateacuterielle

et dont lalgeacutebrique proceacutedera geacuteneacutetiquement La reacuteforme de 1971 remanie donc

le champ deacutetude pour y produire de solides objets laquoreacuteelsraquo agrave forts coefficients dexis-shy

tence les structures numeacuteriques et aussi la mysteacuterieuse laquodroite physiqueraquo dont la

soudaine promotion ontologique serait autrement encore plus inexplicable(42) Cela

poseacute lintroduction du litteacuteral (lalgeacutebrique) sidentifie au mouvement par lequel

dans le procegraves empiriste de connaissance se repreacutesente lessence du reacuteel qui est toute

la connaissance que le sujet peut tirer de lobjet par abstraction il permet de distinguer

entre un reacuteel essentiel et un reacuteel inessentiel gangue ou accident que le processus

dabstraction abandonne comme un reacutesidu impenseacute Labstraction qui vise agrave porter

agrave la lumiegravere ce quon pourra connaicirctre de lobjet agit par deacutecrassage et deacutecapage

CHA~tTRbullbull tour dieacuteremcs ftiems de 1t 011 obti=c cIes putitioas cilifeacute=o~ Uuml fiIure 2 repreacutese1tt (parshy

tieJ1emenz) les paniagravecas ~ i- II-l 11--0 11 - - l~ = grouie agrave la loupe la paftiriœ cozrcspoadaDc agrave Il - - 2shy

f-oo( [Q10[

1 1

~ Q t

(-2 ~( T

[l 0 ( [01 ( r12 r i i i i J r sr

-1shy 0 t

1 1 1 1 1 1 1 1 shy 1 bull 1 1 1 11

-1 -01 001 lU 03 ~ o~ 06 07 oa 09 1 11

P4 041 ~l ~~I 041ds1 -i -o] OoJ O4l o~ 04S 04) ~ 1 ~1 1

fJvZ

li) De m=c si II eR lD1 emer œIaagravef acirczeacute et si CI pr=d tOlIœS les ftiems possibles da2s Z r=semblc cIes imenalles cie c

Jcr10 (CI + L 10

eR iJMpcrtirIcircD1f de C Uuml figure 3 repreacutes=œ (articllemcm) =œ putitioll p04 shy O~

r 1 i 1 T l 1 1 -5 -4shy -3 -2 -r agrave l Z ~ 4shy 5

~3

DOCUMENT6

Le deacutecapage du donneacute dans le processus empiriste de connaissance

(42) Voir Chevallard et Johsua 1982 notamment pp 200-203

81

agrave ce thegraveme geacuteneacuteral de la connaissance empiriste reacutepond correctement dans les proshy

grammes la notion dlaquoapprocheraquo ou dlaquoapproximationraquo des laquoreacuteelsraquo (qui nont jamais

aussi bien porteacute leur nom) Ceux-ci sont atteints par le moyen de purifications successhy

sives qui eacuteliminent peu agrave peu la gangue inessentielle Tel manuel (43) pris parmi tant

dautres- en offre la superbe illustration (document 6) limage de la loupe - emblegraveme

de la connaissance empiriste dont elle est linstrument privileacutegieacute parce quelle permet

de mieux voir et de faire voir - y est requise et symbolise mieux quun long commenshy

taire cette conception de la connaissance comme visant agrave amener linvisible agrave la

vue de tous

Une telle conception de la connaissance rate le reacuteel dont il sagirait preacuteciseacutement

de produire la connaissance parce quelle en manque la constitution comme objet

de connaissance(44) Lalgeacutebrique ne sert plus agrave connaicirctre le numeacuterique Il nest plus

deacutesormais quune steacutenographie middotessentialisante qui deacutecrit reacutesume et seacutepare lessence

de laccident Le surgissement laquomoderneraquo de la dichotomie de llaquoobservationraquo et de

la laquotheacuteorieraquo - que les manuels actuels reprennent agrave lenvi - est ainsi correacutelatif dune

dissolution de lobjet de connaissance au profit de lobjet reacuteel maintenant donneacute

agrave voir dans une abstraction reacuteputeacutee immeacutediate et facile Lordre didactique va sorgashy

niser autour de cette eacutepisteacutemologie imaginaire

REFERENCES

ALTHUSSER L (1968) Lire le Capital Franccedilois Maspeacutero Paris

BOURDIEU P (1974) Le sens pratique eacuteditions de Minuit Paris

BROUSSEAU G (1980) Problegravemes de lenseignement des deacutecimaux Recherches

en didactique des matheacutematiques 1middot1 pp 11-59

CHEVALLARD Y (1980a) Matheacutematiques langage enseignement la reacuteforme des

anneacutees soixante Recherches 41 pp 71-99

CHEVALLARD Y (1980b) La transposition didactique 1REM dAix-Marseille

CHEVALLARD Y (1982) Pourquoi la transposition didactique 7 Publication du

seacuteminaire de didactique et peacutedagogie des matheacutematiques 32 Grenoble

CHEVALLARD Y et JOHSUA MA (1982) Un exemple danalyse de la transposition

didactique Recherches en didactique des matheacutematiques 3 2 pp 157-239

MICHEL PH (1950) De Pythagore agrave Euclide Les Belles Lettres Paris

SMITH DE (1953) History of mathematics volume Il Dover publications Inc

New York

(43) Il sagit de louvrage mentionneacute dans la note 24 ci-dessus

(44) Sur la distinction entre laquoobjet reacuteelraquo et laquoobjet de connaissanceraquo voir Althusser 1968 pp 4649

82

CLASSE DE QUATRIEME CLASSIQUE A ET B ET DE QUATRIEME MODERNE

PROGRAMME DE 1945 (extraits)

Arithmeacutetique

Pratique sur des exemples de la deacutecomposition dun nombre entier en facteurs premiers de la recherche du plus grand commun diviseur et du plus petit commun multiple de deux ou plushysieurs nombres Applications aux fractions

Algegravebre

Nombres algeacutebriques (positifs nuls heacutegatifs) Opeacuterations sur ces nombres exposeacutes agrave partir de problegravemes concrets Ineacutegaliteacutes

Mesures algeacutebriques de vecteurs sur une droite orienteacutee Formule de Chasles Repeacuterage dun point sur un axe

Eleacutements du calcul algeacutebrique proprieacuteteacutes des sommes et des produits Puissances Produit et quotient de deux puissances dun nombre usage de lexposant nul et dexposants neacutegatifs

Monocircmes Produit de monocircmes Quotient de deux nombres Somme de monocircmes semblables (on se bornera agrave des monocircmes agrave une deux ou trois variables) Polynocircmes agrave une variable addition soustraction multiplication par une constante

Equations numeacuteriques du premie( degreacute agrave une inconnue Problegravemes conduisant agrave une eacutequation numeacuterique du premier degreacute agrave une inconnue

Annexe 1

83

CLASSE DE QUATRIEME

PROGRAMME DE 1958 (extraits)

Arithmeacutetique

Pratique sur des exemples de la deacutecomposition dun nombre entier en un produit de nomshybres premiers pratique de la recherche du plus grand diviseur commun et du plus petit multiple commun de deux ou plusieurs nombres Applications

Algegravebre

1 - Nombres relatifs (positifs nuls neacutegatifs) Orientation dun segment (vecteur) orientation dune droite (axe) mesure algeacutebrique

dun segment orienteacute sur un axe repeacuterage dun point sur un axe (abscisse)

II - Opeacuterations eacuteleacutementaires sur les nombres relatifs addition et soustraction multiplishycation et division

Extension aux nombres relatifs des proprieacuteteacutes fondamentales eacutetablies pour les nombres arithmeacutetiques (classe de cinquiegraveme) concernant les sommes les diffeacuterences les produits les puisshysances n-iegravemes les quotients linverse dun nombre non nul Condition pour quun produit soit nul

Deacutefinition des exposants neacutegatifs et de lexposant nul Comparaison des nombres relatifs ineacutegaliteacutes Ineacutegaliteacutes concernant la valeur absolue dune somme ou dune diffeacuterence Formule de Chasles pour trois points situeacutes sur un axe Segment deacutefini par les abscisses

des deLix points qui le limitent mesure algeacutebrique de ce segment orienteacute mesure de la longueur de ce segment abscisse du milieu de ce segment

III - Notions de variables et de correspondance entre variables Expressions algeacutebriques deacutependant dUne ou de plusieurs variables calcul de la valeur

numeacuterique dune expression algeacutebrique pour des valeurs numeacuteriques donneacutees aux Ymiddotariables Monocircmes agrave une ou plusieurs variables multiplication addition de monocircmes semblables Polynocircmes forme reacuteduite Polynocircmes ordonneacutes addition multiplication Identiteacutes relatives aux produits (x + y)2 (x - y)2 (x + y)(x - y)

IV - Equations position du problegraveme signification du signe = dans ce problegraveme Equashytions du premier degreacute agrave une inconnue agrave coefficients numeacuteriques Reacutesolution de problegravemes simples agrave laide dune telle eacutequation

Annexe 2

84

CLASSE DE QUATRIEME

PROGRAMME DE 1971 (extraits)

1 - Relations

Reacutevision -des notions preacutesenteacutees dans les classes anteacuterieures et compleacutements produit carteacutesien relation application composition des applications bijection cun ensemble sur un ensemble et bijection reacuteciproque

Notion de groupe deacutefinition (on la jeacutegagera des exemples du programme)

II - Nombres deacutecimaux relatifs et approche de reacuteel

1 Groupe des puissances de dix

Nombres deacutecimaux relatifs eacutecrits a 10n avec a e7l et p E7 et sous forme de nombres agrave virgule addition multiplication ordre valeur absolue Reacutesumeacute des proprieacuteteacutes fondamentales de lensemble ainsi structureacute des deacutecimaux relatifs

2 Calculs approcheacutes

a) EnC3drement dun nombre deacutecimal par des intervalles des types [a 10pbull (a + 1) 10middot[ da 101 (a + 1) 10- [a 10pbull (a + 1) 101] avec a E Z et p E Z Sur des exelJlples encamiddot drement middotdune somme dun produit

b) Exercices de deacutetermination pour un deacutecimal strictement positif d donneacute et pour un entier relatif n donneacute du nombre deacutecimal x bull 10 avec x E IN tel que soient veacuterifieacutees les ineacutegaliteacutes 0 ~d x 10 ~ 1 lt d (x + 1) 10

c) Exercices de deacutetermination pour un deacutecimal strictement positif d donneacute et pour un entier relatif n jonneacute du nombre deacutecimal y bull 10 avec y E IN tel que soient veacuterifieacutees les ineacutegaliteacutes [y 10P ~ d lt [(y + 1) 10]

d) Suites deacutecimales illimiteacutees nombres reacuteels encadrements dun nombre reacuteel

3 Enumeacuteration des principales proprieacuteteacutes qui structurent fensemble IR des reacuteels addition (IR +) est un groupe commutatif multiplication associashytiYiteacute distributiviteacute par rapport agravefaddition ordre et valoeur absolue

On admettra que pour tout nombre reacuteel a jiffeacuterent de 0 il existe un nombre reacuteel a-1 et un seul tel que aa-1 = 1 Pour tout couple de nombres reacuteels (a b) avec a = 0 il existe un nombre reacuteel unique x appeleacute quotient de b par a

b et noteacute ba-1 ou - tel que ax = b a

Exercices simples de calcul sur de tels quotients Sur des exemples -numeacuteriques eacutequations et ineacutequations du premier degr9 agrave une inconnue

Usage des exposants entiers groupe des puissances dun nombre reacuteel non nul

Calculs approcheacutes sur les nombres reacuteels

4 Exemples de fonctions polynocircmes (applications de IR dans IR) Degreacute Exercices de calcul SUT les polynocircmes Produits (x + a)2 (x - a)2 (x + a) (x - a) Exercices de factorisation

Annexe 3

85

ENCYCLOPEDIE QUILLET (1958)

TABLE DES MATIERES (extraits)

ARITBMEacuteTIQUE Notio~ preacute1i1Ji~ajres - Ideacutee de nombrebullbullbullbull 153 NumeratIon decmale bullbullbullbullbullbullbullbull 156 ~esure des grŒDdeurs bullbullbullbullbullbull bullbullbullbull 159 Nombresmiddot deacutecUDauxbullbullbullbullbullbullbullbullbullbull 169 Ladditionbullbull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull 165 La soustraction bull bull bull bull bull bull bull bull bull 168 La ~~qplication bullbullbullbullbullbullbull1 bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bullbull 171 La diVISIon 178

Regravegle de trois bull bull 117 Pourcentages bullbullbull 119 Partages proportionnels 110 ~~langes bullbull i bull bullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbull 111 Alliages bull 111 Regravegles dinteacuterecircts 124 Rentes sur Pltat 116 Actins et obli~tions - Escompte 117

Problegravemes sur les quatre opeacutemtions bull bull bull 184 La divisibiliteacute bull bull bull bull bull bull bull bull 186 Plus grŒDd commun diviseur (p G C D) 189 Plus petit commun multiple (P P C M) 191 Nombres premiers bullbullbullbullbullbullbullbull 192 Les fractions bull bull bull bull bull 194 Opeacuterations sur les fractions 197 Sys~egraveme meacute~que 203 Racme carree 207 Rapports - Proportions 2 II

Grandeurs Proportionnelles 215

Connge des exercces ~ 130

Annexe4a

ALGEgraveBRE Notions preacuteliminaires bullbullbullbull 157 Opeacutemtions sur les nombres algeacutebriques (somme

diffeacuterence multiplicationmiddot division des nombres algeacutebriques fractions ou rapports algeacutebriques puissances racines) bull bull 160

Qpeacuterations sur les expressions algeacutebriques bull 168 gquations du premier degreacute 278 Reacutesolution des problegravemes du premier degreacute agrave une

inconnue bullbullbullbullbullbullbullbullbull 186 gquations et problegravemes du premier degreacute agrave deux

ou plusieurs inconnues bull bull 191 Notions sur les repreacutesentations graphiques bull bull 301

Variation des fonctions 313 Deacuteriveacutees bullbull bull bull 319

~uations et problegravemes du second degreacute bull bull 312

ProgressionsetlogaritbInesmiddotmiddotmiddotmiddot middotmiddot middotmiddotmiddot middot331 Table de logarithmes de 1 agrave 1 000 bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull 338 Application des logarithmes Inteacuterecircts composeacutes et

annuiteacutes bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull 343 Corcigeacute des ex~ces bullbull ~ bullbullbullbullbullbullbull 348

Annexe4b

70

SIMPLIFICATION DES FRACTIONS

i49 Simllifier une fraction cest la remplacer par une fraction ~e mais ayant des tenDes plus petits

ISO PROPRIEacuteTEacuteS FONDAMENTALES

10 On mesure deux rubans avec le sepagraveegraveme dune longueur donneacutee A B Lun mesure 2 sepagraveagravenes lautre 4 septiegravemes de luniteacute Il est eacutevident que le dewdagraveDe est double du premier

4 2 X 2 2 - --- - X 2 donc 777

Theacuteoregraveme L - Si OD mwdpUe le aDlDampateDr dune CractloD par aD JIOmbre la CracdoD eet muldpUeacutee par ce Dombre

2deg Un ruban mesure 5 sepagraveagravenes de la longueur AB un dewtiagravene ruban vaut S quato12Iumlagravenes de la mbe uniteacute

Un quatorziagravene eacutetant deux fois plus petit quun sepagraveagraveDe la dewdœe longueur est deux fois plus petite que la premiugravee S S S

------ 2 par suite 14 7 X 2 7

Theacuteoregraveme D - Si OD muldpUe le dacirclomiDateur cl1IDe bcdoD par 110 aombre la CracdoD eet diYileacutee par ce JIOmbre

3deg Soit la fraction _3 X 3_2S s s X 3 IS Elle ne c1uIage pas de valeur si nn mulagraveplie ses deux termes par 3 En dfet si on multiplie son numeacuterateur elle devient 3 fois plus grande si on multiplie son deacuteDominateur

elle devient 3 fois plus petiœ Par conseacutequent

Theacuteoregraveme DL - Si OD mwdpUe lee cleu termes daDO bcdoD par aD ~e DOmbre la ampactIoD ae chaage pu do valeur

On voit IJU- mIru gratukur fJGI la _ pat _ itrftniri tU frtJCtUgrave1fU U1IItU igalu

Corollaire - Si OD divise lee deux termee dlIDe CractiOD par aD mfme JIOmbre (ropkatucircm eacutetant possible) OD obdeat une bedoD eacuteplo agrave la premiegravere

Soit la fraction 18 dont les deux termes sont divisibles par 321

On peut eacutecrire 18 _ 6 x 3 21 7 x 3

et dapregraves le theacuteoragravene preacuteceacutedent _ 6 X 3 7 7 X 3

On a donc 18 3_ la fraction Il des termes plus petits que la fraction 18 dougrave la regravegle de simshy21 3 7 7 21

pli1ication des fractions

~ Regravegle - PD1lI simplifier _ fraaion an divis 11$ dIU umm pat 11II mIru 1ItmIbr

DOCUMENT 4d

Arithmeacutetique de lEncyclopeacutedie Quillet 1958

Fractions et rationnels en fait ne constituent pas seulement une admirable

construction matheacutematique ils composent en mecircme temps un objet didactique

inteacuteressant agrave bien des eacutegards La place de leacutelegraveve (cest-agrave-dire ce qui peut ecirctre requis

de leacutelegraveve agrave ce propos) y est nettement dessineacutee Lebesgue le soulignait judicieusement

le chapitre regorge dexercices dont la difficulteacute (cest-agrave-dire en gros la complexiteacute)

peut ecirctre finement gradueacutee La place de lenseignant elle aussi sy trouve preacutepareacutee

le professeur eacuteprouve toute sa speacutecificiteacute face agrave leacutelegraveve en tant quarchitecte et bacirctisshy

seur - fonctions dans lesquelles leacutelegraveve ne saurait lui disputer sagrave place - dune consshy

truction matheacutematiqueagrave la fois simple rigoureuse riche dont la complegravete transpashy

71

rence nest acquise quau prix de quelque subtiliteacute intellectuele nullement inaccessible

agrave leacutelegraveve mais relativement exigeante Toutefois il y a plus En un sens tout objet

de savoir didactiquement acceptable laisse voir deux laquoplacesraquo il doit contenir le

laquolieuraquo que leacutelegraveve viendra occuper (les tacircches que le contrat didactique lui assignera

en propre) il doit contenir aussi un lieu speacutecifiquement alloueacute agrave lenseignant Ce

marquage des places consubstanciellement lieacute au fonctionnement didactique du

savoir est un processus geacuteneacuteral que jai proposeacute(32) dappeler la topogeacutenegravese (du grec

topos lieu) Mais la dialectique topogeacuteneacutetique peut ecirctre plus ou moins resserreacutee plus

ou moins relacirccheacutee dans ce dernier cas (qui correspond comme jessaierai de lindiquer

plus loin agrave ce que nous voyons majoritairement se produire aujourdhui agrave propos de

lemploi du langage algeacutebrique) les eacutechanges entre eacutelegraveves et enseignant demeurent

pauvres la communication est distante parce que les uns et les autres ne se mesurent

pas aux mecircmes tacircches (le professeur deacutemontre une eacutegaliteacute litteacuterale leacutelegraveve lapplique

agrave des cas particuliers numeacuteriques) Avec les fractions une fois fixeacutee larchitecture

geacuteneacuterale de leacutedifice il en va autrement passeacutes les calculs les plus simples les calculs

qui ne sont pas triviaux pour leacuteiegraveve - tout en demeurant de lordre de ce qui peut

loyalemeacutent lui ecirctre demandeacute - ne le scgtnt quagrave peine moins pour le professeur Les

partenaires de linteraction didactique se rapprochent autour dune tacircche unique

jusquagrave sembler parfois unir leurs efforts agrave la recherche dune commune reacuteponse

Tout comme la geacuteomeacutetrie (qui soppose par cela et du seul point de vue didactique

deacutejagrave agrave lalgegravebre en geacuteneacuteral) les fractions constituent loccasion dune reacuteelle convishy

vialiteacute dans la classe Les distinctions qualitatives (marqueacutees par des tacircches de natures

diffeacuterentes) sestompent au profit de simples diffeacuterences quantitatives (lenseignant

va plus vite plus sucircrement mais il ne sait rien de plus que leacutelegraveve et ne fait rien de

plus que lui) Le groupe agrave la fois se rassemble gagne en coheacutesion et en mecircme temps

se diffeacuterencie continucircment sans que son identiteacute sy perde

1 y a lagrave quelques-unes des raisons didactiques qui expliquent la preacuteeacuteminence

de fagraveit de leacutetude des fractions dans les classes actuelles de quatriegraveme Or - et nous

faisons lagrave retour agrave notre sujet quen fait nous navions pas quitteacute - dans le vocabushy

lairedes enseignants les fractions font partie de lalgegravebre Mecircme si le programme

officiel nutilise pas le terme il semble que lusage se soit spontaneacutement creacuteeacute de nommer

laquoalgegravebreraquo dans la pratique de la classe ce qui nest pas geacuteomeacutetrie lalgegravebre cest

globalement lautre de la geacuteomeacutetrie Cet emploi peut-ecirctre irreacutefleacutechi du mot ne manque

pourtant pas de justificatifs Les heacutesitations historiques dont nous avons parleacute trashy

duisent aussi (par delagrave lopposition fractions de nombres arithmeacutetiques fractions de

nombres algeacutebriques) une reacutealiteacute qui perdure les fractions (dentiers) ne sont pas

(32) Voir Chevallard 1980b

72

de lalgegravebre au sens ougrave elles ne contiennent pas de lettres (les lettres sont essentielleshy

ment utiliseacutees par le professeur pour formuler les lois qui reacutegissent leur calcul) mais

elles relegravevent de llaquoalgeacutebriqueraquo en cela quelles sont le lieu dun jeu formel portant

sur des eacutecritures Elles offrent donc loccasion dune algegravebre sans algegravebre qui fait le

gros morceau de lalgegravebre aujourdhui enseigneacutee Il faut voir par quel cheminement

on en est venu lagrave

VII - LA DIALECTIQUE NUMERIQUEALGEBRIQUE

PoUr expliquer plus complegravetement et leacutevanouissement des parties algeacutebriques

de lalgegravebre et - correacutelativement - le come-back des fractions il nous faut compliquer

quelque peu le talJleau que nous avons traceacute jusquici A lopposition structurelle de

larithmeacutetique et de lalgegravebre correspondait - en principe - une dialectique fonctionshy

nelle entre numeacuterique et algeacutebrique Cest sur cette dialectique que nous devrons

dabord nous arrecircter un instant

Il faut pour cela prendre quelque recul Cette dialectique en effet existe

historiquement avant lalgegravebre (avant la construction dun langage algeacutebrique propreshy

ment dit) Les Grecs distinguent entre deux arithmeacutetiques larithmeacutetique vulgaire

ou logistique celle des calculateurs et larithmeacutetique laquopropre aux philosophesraquo

comme dit Platon cest-agrave-dire en gros la theacuteorie des nombres Les calculateurs cal~

culent Les arithmeacuteticiens eacutetudient la structure du numeacuterique Tous manipulent pour

cela un langage du numeacuterique~ mais tous ne lemploient pas aux mecircmes tacircches et ne

lui reconnaissent pas les mecircmes valeurs Dans larithmeacutetique pratique lanalyse du

numeacuterique procureacutee par le langage adopteacute est un moyen ordonneacute agrave un but opeacuterer

des deacutenombrements effectuer des calculs Si dans notre systegravememiddotactuel de numeacuteration

je deacutesire calculer 12 X 12 par exemple je nai besoin dautre analyse du nombre 12

que celle qui mest immeacutediatement donneacutee dans leacutecriture (deacutecimale) de ce nombre

(ch iffre des dizaines 1 chiffre des uniteacutes 2) Mais si comme le scribe du papyrus

Rhind je ne sais multiplier que par duplications successives et additions je devrai

recourir agrave une analyse moins immeacutediate du nombre 12 (qui ne mest pas offerte par

leacutecriture deacutecimale actuelle) Il me faudra observer que 12 = 4 + 8 et calculer ainsi(33)

1 12 2 24 4 48 8 96

(33) Voir Smith 1953 p 106

73

dougrave je deacuteduirai que 12 X 12 = 12 X (4 + 8) = 48 + 96 = 144 De telles manleres

de faire qui se rencontrent encore agrave des dates rapprocheacutees(34) apparaissent agrave lutilisashy

teur contemporain comme des survivances dun acircge imparfait Un bon systegraveme

numeacuteration-algorithmes de calcul en effet doit ecirctre tel que toute linformation requise

pour mettre en œuvre les algorithmes de calcul soit donneacutee dembleacutee avec les nombres

donneacutes eacutecrits dans le langage numeacuterique utiliseacute cest-agrave-dire soit apparente dans leacutecriture

mecircme de ces nombres En dautres termes un bon systegraveme numeacuteration-algorithmes

reacutecuse tout appel aux matheacutematiques fucirct-ce sous une forme apparemment anodine

Lusager dun tel systegraveme est eacutevidemment supposeacute pouvoir calculer que 4 + 8 = 12

(ce pour quoi le systegraveme est fait) mai~ le contrat dutilisation qui regravegle ses rapports

avec le systegraveme exclut quil ait agrave penser que 12 = 4 + 8 Paradoxalement peut-ecirctre

lun des effets et sans doute des buts (poursuivis de maniegravere plus ou moins intentionshy

nelle) de lactiviteacute matheacutematique est de proposer agrave lusage social des proceacutedures non

matheacutematiques obtenues par deacutematheacutematisation progressive de proceacutedures agrave lorigine

proprement matheacutematiques Le fait est banal et geacuteneacuteral les progregraves de leacutelectronique

me dispensent aujourdhui du bricolage auquel eacutetaient tenus les utilisateurs du poste

agrave galegravene

En fait le royaume du calcul numeacuterique est reacutegi par la loi de simplification

inteacuterioriseacutee en habitus(35) dont lune des clauses est constitueacutee par le principe

dachegravevement des calculs Selon ce laquoprinciperaquo lexpression laquo4 + 8raquo ne saurait en

calcul numeacuterique figurer comme reacuteponse le calcul agrave ce stade eacutetant laquoinacheveacuteraquo (36)

Lexpression laquo4 + 8raquo ne saurait ainsi ecirctre quune forme transitoire labile (parce que

quatre plus huit eacutegale douze) et nexiste pas plus dune maniegravere libre que latome

doxygegravene en dehors de la moleacutecule deg 2

Il en va tout autrement avec la tradition laquonobleraquo de la laquotheacuteorie des nombresraquo

Les Pythagoriciens au tout deacutebut de la science grecque eacutelaborent ainsi toute une

conception de la repreacutesentation laquogeacuteomeacutetriqueraquo des nombres soit une arithmo-geacuteoshy

meacutetrie(37) Consideacuterons par exemple les entiers impairs 5 et 7 Leurs repreacutesentations

(34) Ibid

(35) P Bourdieu deacutesigne par habitus des laquosystegravemes de dispositions durables structures structureacutees preacutedisposeacutees agrave fonctionner comme structures structurantes cest-agrave-dire en tant que principe de geacuteneacuteration et de structuration de pratiques et de repreacutesentations ( hgt (Bourdieu 1974 p 175)

(36) Les Instructions de janvier 1957 (sur lesquelles nous revenons plus loin) parlent explicitement de laquocalcul conduit jusquagrave son achegravevementraquo fait rare et remarquable car il est de la nature dun habitus de ne pas supposer lexplicitation des principes agrave lorigine de son efficace

(37) Sur larithmo-geacuteomeacutetrie des Grecs voir Michel 1959 pp 295-325

74

figureacutees peuvent ecirctre disposeacutees ainsi

o o o o o

o o o o o

o 0 5 7

Reacuteunissons ces repreacutesentations de la maniegravere suiyante

o o o o

o o o o

o 0

o 0

En les regroupant adeacutequatement il apparaicirct que la somme 5 + 7 est Lin multiple de

4 (plus preacuteciseacutement que 5 + 7 = 3 X 4) -1------------ -------------1

1 shy10 Oi iO 011 1 1 shyi i 1

- 1shyj j - 1

rO Oi iO1

O shy

i -_------------ [-------------1 iO Oi 1 i 1

Jo oi i

De plus si on laquocomplegraveteraquo le carreacute on voit apparaicirctre immeacutediatement que 5 + 7 est

une diffeacuterence de deux carreacutes (plus preacuteciseacutement que 5 + 7 = 43 - 22 )

o o o o

o o o o

o o x x

o o x x Ces monstrations qui au sens strict nont de force deacutemonstrative que pour les valeurs

numeacuteriques particuliegraveres traiteacutees ont en fait une valeur geacuteneacuterique comme les figures

(et les deacutemonstrations quelles permettent) en geacuteomeacutetrie on nest pas loin dune

deacutemonstration valable pour tous les couples dimpairs conseacutecutifs Nous pouvons

reacutetrospectivement admirer la finesse intellectuelle que linvention et lemploi de

telles proceacutedures supposent Mais nous pouvons aussi voir que notre langage algeacutebrique

actuel (creacuteeacute par Viegravete Descartes et quelques autres) sinscrit dans le prolongement

de cette analyse du numeacuterique tout en la deacutepassant en souplesse et en puissance

75

Sur le mecircme problegraveme aujourdhui nous obtenons par exemple ceci soient 2p - 1

et 2p + 1 deux impairs conseacutecutifs leur somme (2p - 1) + (2p + 1) = 4p est un

multiple de 4 et puisque 4p = (p + 1) - (p - 1)2 elle seacutecrit aussi comme une

diffeacuterence de deux carreacutes Le langage nOuveau permet dabord de formuler le problegraveme

dans sa geacuteneacuteraliteacute puis de le reacutesoudre de maniegravere eacutegalement systeacutematique

Le calcul numeacuterique utilise le langage numeacuterique pour son pouvoir deacutesignatif

eSSentiellement laquo34raquo et laquo075raquo ou encore laquo4 + 8raquo et laquo12raquo sont agrave cet eacutegard eacutequivashy lents puisquils deacutesignent le mecircme nombre (simplement laquo34raquo est une fraction laquonon

effectueacuteeraquo laquo4 + 8raquo une somme non effectueacutee) ils sont des noms diffeacuterents pour

un mecircme ecirctre matheacutematique Larithmeacutetique laquoalgeacutebriqueraquo au contraire distingue

ces noms parce que bien quils deacutesignent la mecircme chose ils ne montrent pas la mecircme

chose (ils napportent pas la mecircme information monstrative) agrave propos de lecirctre matheacuteshy

matique dont ils sont deux noms diffeacuterents (ltlt4 + 8raquo ou mieux laquo22 +23 raquo montre

que 12 est une somme de puissances de deux etc) Cest ainsi que au cœur mecircme

du langage numeacuterique sinsinue un clivage et pour tout dire une tension entre deux

modes de fonctionnement lefficaciteacute deacutesignative (propre agrave lusage calculatoire du

langage numeacuterique) tend agrave ignorer lagrave valeur monstrative de lexpression eacutecrite le

principe dachegravevement des calculs voue agrave leacutepheacutemegraverelesmiddotltltnoms intermeacutediairesraquo et

laquo4 + 8raquo devient ainsi laquo12raquo sans quaucune trace nous soit conserveacutee de lhistoire

de ce laquo12raquo Ali contraire le langage algeacutebrique - notamment parce quil est une

meacutemoire - vient permettre de conserver de meilleure faccedilon linformation monstrative

et surtout de faire apparaicirctre linformation monstrative pertinente le passage en

simplification de lexpression (2p - 1) + (2p + 1) agrave lexpression 4p fait apparaicirctre

que (2p - 1-) + (2p+ 1) deacutesigne un nombre multiple de 4 le passage en complexifishy

cation de 4p agrave (p + 1)2 - (p - 1)2 fait apparaicirctre que (2p - 1) + (2p + 1) est une

diffeacuterence de deux carreacutes

La creacuteation du langage algeacutebrique permet de deacutegager plus nettement laprobleacuteshy

matique deacutetude du nurileacuterique en la posant - sans lopposer - agrave cocircteacute de la perspecshy

tive calculatrice Elle permet donc dexpliciter ce qui demeurait largement implicite shy

la copreacutesence de deux maniegraveres davoir affaire au numeacuterique - et par lagrave dapaiser

les tensions Mais son surgissement historique permet surtout de mieux maicirctriser

la dialectique du numeacuterique et de lalgeacutebrique jusque-lagrave conduite avec des moyens

matheacutematiques insuffisamment adeacutequats Lalgeacutebrique est un outil de leacutetude du

numeacuterique le premier outil le plus eacuteleacutementaire sans doute (agrave un niveau avanceacute intershy

viendraient par exemple la theacuteorie des seacuteries entiegraveres la theacuteorie des fonctions analytishy

ques etc) Mais inversement (et cest ce qui nous autorise agrave parler de dialectique)

pour que le fonctionnement de cet outil soit efficace il faut quelque peu eacutetudier

cet outil par exemple se poser les problegravemes de la factorisation des expressions algeacuteshy

briques (afin notamment de reacutesoudre des eacutequations algeacutebriques) Or en ce point le

numeacuterique lui-mecircme est un outil deacutetude agrave lalgeacutebrique le flux sinverse Sans parler

76

de toutes les meacutethodes numeacuteriques qui font appel le plus souvent agrave des proprieacuteteacutes

danalyse (cest-agrave-dire concernant le corps des reacuteels et les fonctions dune variable

reacuteelle par exemple) on peut citer - pour prendre un exemple assez gros pour ecirctre

tout agrave fait visible - le theacuteoregraveme dEinsenstein sur la factorisation dans Q[X] (38)

Newton dans son Arithmetica Universalis deacutejagrave mentionneacutee montre une grande attenshy

tion agrave ce genre de laquoretoursraquo du numeacuterique vers lalgeacutebrique Ainsi donne-t-i1 une

meacutethode ingeacutenieuse pour trouver les facteurs dune expression algeacutebrique(39)

Si par exemple la quantiteacute proposeacutee est x 3 - x - 10x + 6 agrave la place de x

je substitue successivement les termes de la progression arithmeacutetique 1 0 -1 il en

naicirctra les nombres -4 + 6 + 14 Je place chacun deux avec tous ses diviseurs dans

la ligne du terme de la progression 1 0 -1 qui la produit comme on peut le voir

dans lexemple suivant

1 4 124 +4 o 6 1 2 3 6 +3

- 1 14 1 2 7 14 +2

Ensuite comme le terme le plus eacuteleveacute x3 na pas de diviseur de luniteacute je

cherche parmi les diviseurs quelque progression dont les termes ne diffegraverent que

dune uniteacute et qui en descendant des plus forts au plus faibles deacutecroissent comme

ceux de la progression 10 -1 Je ne trouve quune progression de cette espegravece cest

4 3 2 Je prends donc le terme + 3 qui se trouve dans la mecircme ligne que 0 de la

premiegravere progression 1 0 -1 je le joins agrave x et je tente la division par x + 3 elle

reacuteussit et jobtiens pour quotient x 2 - 4x + 2

Au-delagrave de la disparition de la structure du corpus matheacutematique enseigneacute en arithshy

meacutetique et algegravebre cest la dialectique du numeacuterique et de lalgegravebre - implicitement

preacutesente agravetravers llaquooppositionraquo de larithmeacutetique et de lalgegravebre - qui va se trouver

atteinte Plus que jamais les liens du numeacuterique et de lalgeacutebrique sen trouveront

relacirccheacutes

VIII - UNE CONCEPTION EMPIRISTE DU REEL MATHEMATIQUE

Leffacement de lopposition arithmeacutetiquealgegravebre en effet altegravere les condishy

tions de la mise en rapport du numeacuterique et de lalgeacutebrique Lancien rapport doutil

(38) Soit PIt) = a + a t + + a t n un polynocircme agrave coefficients dans if Sil existe un nombre premier p tel que0 1) ~ rie divise ~as an 2) p divise a al an_l p2 ne divise pas ao alors P o est irreacuteductible sur O

(39) Arithmeacutetique universelle tome premier pp 47-48 Nous laissons au lecteur le soin dapporter la justification matheacutematique requise

77

de travail agrave objet travailleacute semble perdu Les deux domaines - le numeacuterique -le

litteacuteral - vont coexister dans une simple juxtaposition existants qui trouvent en

eux-mecircmes leur propre justification Les rapports naguegravere encore banals entre ces

deux ordres de reacutealiteacute matheacutematiques semblent deacutesormais abolis Ou plutocirct ils laissent

place agrave des rapports nouveaux et inverseacutes ce nest plus lalgeacutebrique qui vient pershy

mettre deacutetudier le numeacuterique cest le numeacuterique qui laquojustifieraquo et laquopermet de comshy

prendreraquo lalgeacutebrique Le document 5 extrait dun manuei de quatriegraveme actuel (40)

IIUDIFFeacute~ENCS ce ceux C~CIMAUX [

x-eD yeC zeC z-z -y signifie que z+y-z Comment est appel z pour z et y dans ct ordre Observe

13-(-7) z+-7)middot13

[+(-7)j+713+7 +[(-7)+71-13+7

+0-13+7 zo13+-7

z-z-y z+y-z

(+y) + (-y)- +-(-y) +(y+ (-y)]-x + (-y)

z+O-z + (-y) -+(-y)

Pour tout xde D pour tout y de 0 z - y est un deacutecimal et z - y = +(-y) Exemples 8-(-7)=8+7=15 9-14=9+(-14)=-5 Lopeacuteration- qui agrave chaque coupe (z y) z e 0 y E C fait correspondre le deacutecimal Z - J est la soustraction dans O

DOCUMENT 5

Lalgeacutebrique comme essence du numeacuterique

nous donne de ce pheacutenomegravene un exemple tregraves net lintention didactique est ici

de justifier le fait que x - y = x + (-y) Pour le matheacutematicien la laquojustificationraquo shy

qui est alors strictement une deacutemonstration - est toute entiegravere contenue dans la

colonne de droite si je deacutefinis en geacuteneacuteral-y comme eacutetant le nombre tel quey + (-y) = 0

et si les proprieacuteteacutes ordinaires - associativiteacute etc - valent encore pour le nouvel

ensemble de nombres ainsi deacutefini alors le nombre z que je dois ajouter agrave y pour

obtenir x - ce quon appelle la diffeacuterence de x et y et qUon note x - y - nest pas

autre chose que x + (-y) Or la laquojustificationraquo passe dans la didactique ici examineacutee

par lappel au concret cest-agrave-dire au numeacuterique tel est le rocircle de la colonne de

gauche Ce sont les calculs numeacuteriques de la colonne de gauche qui soutiendraient

le sens (pour leacutelegraveve) des calculs litteacuteraux de la colonne de droite Malheureusement

le contenu de la colonne de gauche est si lon peut dire hautement improbable

(401 Il sagifdu _manuel Matheacutematique contemporaine pour la classe de quatriegraveme publieacute chez Magnard et conforme au programme de1978shy

78

parce que le numeacuterique ne fonctionne pas ainsi En fait les calculs numeacuteriques preacuteshy

senteacutes ici nexistent quagrave ecirctre limage en miroir des calculs litteacuteraux de la colonne

de droite Et cest pour permettre de tels calculs que le langage algeacutebrique preacutecishy

seacutement est neacutecessaire Il y a ainsi meacuteprise sur la speacutecificiteacute des deux ordres de calcul

et conseacutequemment sur le type de rapports quils entretiennent la justification

de lalgeacutebrique sappuierait sur un mode de fonctionnement du numeacuterique qui nest

en fait quun deacutecalque du fonctionnement de lalgeacutebrique et qui donc suppose

lalgeacutebrique

Leacutelucidation du nouveau rapport qui saffirme ainsi nest pas chose facile Elle

est pourtant neacutecessaire afin de preacuteciser par delagrave la surface des programmes les mouveshy

ments profonds produisant des deacutecisions didactiques quon aurait tort de regarder

seulement comme des laquotrucsraquo eacuteleacutements atomiques de strateacutegies trouvant en ellesshy

mecircmes et dans leurs effets supposeacutes leur unique mobile Revenons agrave lexemple que

nous avons examineacute Lalgeacutebrique y apparaicirct comme la laquotheacuteorieraquo de cette laquoreacutealiteacuteraquo

que serait le numeacuterique Mais les relations en acte entre theacuteorie (permettant leacutetude)

et reacutealiteacute (objet de leacutetude) y ressortissent incontestablement agrave une conception empishy

riste (et mecircme nous allons le voir empiriste-sensualiste) de la connaissance Tel est

en fait le mobile - veacutecu sans doute comme allant de soi dans leacutevidence que lideacuteoshy

logie procure - de la tentative de laquofaire sortirraquo la theacuteorie (lalgeacutebrique) de la reacutealiteacute

(numeacuterique) Il ya ici inversion des rapports entre theacuteorie et reacutealiteacute Car le surgissement

du theacuteorique - faut-il le rappeler - ne sautorise jamais que de lui-mecircme et loin

de proceacuteder de la reacutealiteacute la constitue (ou la renouvelle) comme objet de connaissance

Si jeacutecris par exemple 13 + 7 = 13 - (-7) selon un fonctionnement du numeacuterique

antinomique de la pratique calculatoire (cest-agrave-dire arithmeacutetique) du numeacuterique shy

laquelle voudrait quon eacutecrivicirct 13 + 7 = 20 - je fais de lalgegravebre sur du numeacuterique

cest loutil algeacutebrique et lui seul qui me permet ce travail du numeacuterique Entre le

fonctionnement arithmeacutetique et le fonctionnement algeacutebrique du numeacuterique il y a

ainsi une distance - un saut - que nul proceacutedeacute dlaquoabstractionraquo ne peut venir combler

On aurait tort de penser que lanalyse preacuteceacutedente ne vaut que pour lexemple

sur laquelle nous lavons illustreacutee En reacutealiteacute sa porteacutee est beaucoup plus eacutetendue

et pour en saisir toute la signification il faut revenir agrave cette acmeacute de leacutevolution de

la transposition didactique que repreacutesente la reacuteforme de 1971 (celle des laquomatheacutemashy

tiques modernesraquo) Contrairement aux opinions aujourdhui dominantes qui selon

un opportunisme neacutecessaire et une constante inconstance reacutecusent cette reacuteforme

pour ses excegraves et la regardent comme laberration dun moment il faut tenir que cette

aberration nen est pas une quelle ne fait que preacutecipiter cristalliser et rendre explicites

des traits qui deacutejagrave se repegraverent dans leacutevolution des deacutecennies preacuteceacutedentes Elle est un

moment qui donne sens reacutetrospectivement agravece qui vient avant lui et deacutetermine

largement ce qui viendra apregraves lui Car sil y a en quelque faccedilon rupture cest sur le

fond dune tregraves large surdeacutetermination En profondeur le programme de 1971 - pour

79

sen tenir agrave la classe de quatriegraveme - constitue une radiographie saisissante dune

eacutevolution que le programme de 1978 nadoucira quen surface Cest cette image

laquodureraquo quil faut interroger

On a trop vitupeacutereacute linflation moderniste le parti pris theacuteoriciste lambition

de rigueur des matheacutematiques promues par la reacuteforme et trop peu vu derriegravere cet

eacutecran deux mouvements correacutelatifs moins spectaculaires mais deacuteterminants Le

premier - que nous avons deacutejagrave plusieurs fois mentionneacute - cest lenvahissement du

champ deacutetude par les structures numeacuteriques Les laquoexcegravesraquo du programme de 1971

sont le prix agrave payer pour ce coup de force qui se megravene alors - simple tactique dun

moment le programme de 1978 installera une version apaiseacutee de la mecircme strateacutegieshy

avec lartillerie lourde de laquolapproche des reacuteelsraquo des laquocalculs approcheacutesraquo des laquoencashy

drementsraquo de haute ambition matheacutematique Le seCond cest la peacuteneacutetration dun

thegraveme qui va devenir central celui de llaquoobservationraquo et de llaquoexpeacuterimentationraquo

matheacutematiques

Fausse moderniteacute ce thegraveme est mis en place degraves les Instructions de janvier

1957 (annexe 6a) dont les Instructions de 1971 se reacuteclameront non sans raicon Il

prend alors lallure dune reacuteflexion sur les liens entre matheacutematique et extramatheacutemashy

tique La caution bergsonienne ici invoqueacutee - homo taber homo sapiens - bien que

dateacutee est agrave cet eacutegard tregraves significative La perspective proposeacutee ne conduit pas tregraves

loin les problegravemes denseignement se trouvent laquoreacutesolusraquo par une didactique euphoshy

rique (annexe 6b) Au vrai la conjoncture historique qui verra la mise en place des

matheacutematiques modernes nest alors quincomplegravetement formeacutee Ce qui manque

encore afin que lideacutee dexpeacuterimentation puisse passer dans les faits cest une matiegravere

que lon pourrait soumettre agrave lobservation et agrave lexpeacuterience A cet eacutegard les Instrucshy

tions de 1957 raisonnent encore agrave lancienne la notion dexpeacuterimentation y est

surtout loccasion dune rheacutetorique qui tourne sur elle-mecircme faute de pouvoir sapplishy

quer Mais cette matiegravere dapplication qui fait deacutefaut la reacuteforme va lapporter en

abondance ce sera le numeacuterique dont nous comprenons mieux degraves lors la place

de choix que les programmes reacuteformeacutes vont lui accorder Son expansion se trouvait

en fait comme appeleacutee par lexigence laquoexpeacuterimentaleraquo induite par une certaine concepshy

tion eacutepisteacutemologique et didactique

Le deacutecor de laction est installeacute en consonance avec une mise en scegravene empiriste

du procegraves de connaissance(41) Il Y a la laquoreacutealiteacuteraquo qui est un donneacute dont la preacutesence

simpose avec la derniegravere force et il y a la laquotheacuteorieraquo de ce donneacute que lon preacutetend

tirer par abstraction de lobjet agrave laquelle elle se voue La dialectique du numeacuterique

et de lalgeacutebrique est alors perdue lun de ses termes (lalgeacutebrique) se dissout dans

(41) Pour lintelligence de ce qui suit nous renvoyons agrave Althusser 1968 notamment pp 38-45

80

lautre (le numeacuterique) agrave qui est octroyeacute par nature une existence presque mateacuterielle

et dont lalgeacutebrique proceacutedera geacuteneacutetiquement La reacuteforme de 1971 remanie donc

le champ deacutetude pour y produire de solides objets laquoreacuteelsraquo agrave forts coefficients dexis-shy

tence les structures numeacuteriques et aussi la mysteacuterieuse laquodroite physiqueraquo dont la

soudaine promotion ontologique serait autrement encore plus inexplicable(42) Cela

poseacute lintroduction du litteacuteral (lalgeacutebrique) sidentifie au mouvement par lequel

dans le procegraves empiriste de connaissance se repreacutesente lessence du reacuteel qui est toute

la connaissance que le sujet peut tirer de lobjet par abstraction il permet de distinguer

entre un reacuteel essentiel et un reacuteel inessentiel gangue ou accident que le processus

dabstraction abandonne comme un reacutesidu impenseacute Labstraction qui vise agrave porter

agrave la lumiegravere ce quon pourra connaicirctre de lobjet agit par deacutecrassage et deacutecapage

CHA~tTRbullbull tour dieacuteremcs ftiems de 1t 011 obti=c cIes putitioas cilifeacute=o~ Uuml fiIure 2 repreacutese1tt (parshy

tieJ1emenz) les paniagravecas ~ i- II-l 11--0 11 - - l~ = grouie agrave la loupe la paftiriœ cozrcspoadaDc agrave Il - - 2shy

f-oo( [Q10[

1 1

~ Q t

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[l 0 ( [01 ( r12 r i i i i J r sr

-1shy 0 t

1 1 1 1 1 1 1 1 shy 1 bull 1 1 1 11

-1 -01 001 lU 03 ~ o~ 06 07 oa 09 1 11

P4 041 ~l ~~I 041ds1 -i -o] OoJ O4l o~ 04S 04) ~ 1 ~1 1

fJvZ

li) De m=c si II eR lD1 emer œIaagravef acirczeacute et si CI pr=d tOlIœS les ftiems possibles da2s Z r=semblc cIes imenalles cie c

Jcr10 (CI + L 10

eR iJMpcrtirIcircD1f de C Uuml figure 3 repreacutes=œ (articllemcm) =œ putitioll p04 shy O~

r 1 i 1 T l 1 1 -5 -4shy -3 -2 -r agrave l Z ~ 4shy 5

~3

DOCUMENT6

Le deacutecapage du donneacute dans le processus empiriste de connaissance

(42) Voir Chevallard et Johsua 1982 notamment pp 200-203

81

agrave ce thegraveme geacuteneacuteral de la connaissance empiriste reacutepond correctement dans les proshy

grammes la notion dlaquoapprocheraquo ou dlaquoapproximationraquo des laquoreacuteelsraquo (qui nont jamais

aussi bien porteacute leur nom) Ceux-ci sont atteints par le moyen de purifications successhy

sives qui eacuteliminent peu agrave peu la gangue inessentielle Tel manuel (43) pris parmi tant

dautres- en offre la superbe illustration (document 6) limage de la loupe - emblegraveme

de la connaissance empiriste dont elle est linstrument privileacutegieacute parce quelle permet

de mieux voir et de faire voir - y est requise et symbolise mieux quun long commenshy

taire cette conception de la connaissance comme visant agrave amener linvisible agrave la

vue de tous

Une telle conception de la connaissance rate le reacuteel dont il sagirait preacuteciseacutement

de produire la connaissance parce quelle en manque la constitution comme objet

de connaissance(44) Lalgeacutebrique ne sert plus agrave connaicirctre le numeacuterique Il nest plus

deacutesormais quune steacutenographie middotessentialisante qui deacutecrit reacutesume et seacutepare lessence

de laccident Le surgissement laquomoderneraquo de la dichotomie de llaquoobservationraquo et de

la laquotheacuteorieraquo - que les manuels actuels reprennent agrave lenvi - est ainsi correacutelatif dune

dissolution de lobjet de connaissance au profit de lobjet reacuteel maintenant donneacute

agrave voir dans une abstraction reacuteputeacutee immeacutediate et facile Lordre didactique va sorgashy

niser autour de cette eacutepisteacutemologie imaginaire

REFERENCES

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BOURDIEU P (1974) Le sens pratique eacuteditions de Minuit Paris

BROUSSEAU G (1980) Problegravemes de lenseignement des deacutecimaux Recherches

en didactique des matheacutematiques 1middot1 pp 11-59

CHEVALLARD Y (1980a) Matheacutematiques langage enseignement la reacuteforme des

anneacutees soixante Recherches 41 pp 71-99

CHEVALLARD Y (1980b) La transposition didactique 1REM dAix-Marseille

CHEVALLARD Y (1982) Pourquoi la transposition didactique 7 Publication du

seacuteminaire de didactique et peacutedagogie des matheacutematiques 32 Grenoble

CHEVALLARD Y et JOHSUA MA (1982) Un exemple danalyse de la transposition

didactique Recherches en didactique des matheacutematiques 3 2 pp 157-239

MICHEL PH (1950) De Pythagore agrave Euclide Les Belles Lettres Paris

SMITH DE (1953) History of mathematics volume Il Dover publications Inc

New York

(43) Il sagit de louvrage mentionneacute dans la note 24 ci-dessus

(44) Sur la distinction entre laquoobjet reacuteelraquo et laquoobjet de connaissanceraquo voir Althusser 1968 pp 4649

82

CLASSE DE QUATRIEME CLASSIQUE A ET B ET DE QUATRIEME MODERNE

PROGRAMME DE 1945 (extraits)

Arithmeacutetique

Pratique sur des exemples de la deacutecomposition dun nombre entier en facteurs premiers de la recherche du plus grand commun diviseur et du plus petit commun multiple de deux ou plushysieurs nombres Applications aux fractions

Algegravebre

Nombres algeacutebriques (positifs nuls heacutegatifs) Opeacuterations sur ces nombres exposeacutes agrave partir de problegravemes concrets Ineacutegaliteacutes

Mesures algeacutebriques de vecteurs sur une droite orienteacutee Formule de Chasles Repeacuterage dun point sur un axe

Eleacutements du calcul algeacutebrique proprieacuteteacutes des sommes et des produits Puissances Produit et quotient de deux puissances dun nombre usage de lexposant nul et dexposants neacutegatifs

Monocircmes Produit de monocircmes Quotient de deux nombres Somme de monocircmes semblables (on se bornera agrave des monocircmes agrave une deux ou trois variables) Polynocircmes agrave une variable addition soustraction multiplication par une constante

Equations numeacuteriques du premie( degreacute agrave une inconnue Problegravemes conduisant agrave une eacutequation numeacuterique du premier degreacute agrave une inconnue

Annexe 1

83

CLASSE DE QUATRIEME

PROGRAMME DE 1958 (extraits)

Arithmeacutetique

Pratique sur des exemples de la deacutecomposition dun nombre entier en un produit de nomshybres premiers pratique de la recherche du plus grand diviseur commun et du plus petit multiple commun de deux ou plusieurs nombres Applications

Algegravebre

1 - Nombres relatifs (positifs nuls neacutegatifs) Orientation dun segment (vecteur) orientation dune droite (axe) mesure algeacutebrique

dun segment orienteacute sur un axe repeacuterage dun point sur un axe (abscisse)

II - Opeacuterations eacuteleacutementaires sur les nombres relatifs addition et soustraction multiplishycation et division

Extension aux nombres relatifs des proprieacuteteacutes fondamentales eacutetablies pour les nombres arithmeacutetiques (classe de cinquiegraveme) concernant les sommes les diffeacuterences les produits les puisshysances n-iegravemes les quotients linverse dun nombre non nul Condition pour quun produit soit nul

Deacutefinition des exposants neacutegatifs et de lexposant nul Comparaison des nombres relatifs ineacutegaliteacutes Ineacutegaliteacutes concernant la valeur absolue dune somme ou dune diffeacuterence Formule de Chasles pour trois points situeacutes sur un axe Segment deacutefini par les abscisses

des deLix points qui le limitent mesure algeacutebrique de ce segment orienteacute mesure de la longueur de ce segment abscisse du milieu de ce segment

III - Notions de variables et de correspondance entre variables Expressions algeacutebriques deacutependant dUne ou de plusieurs variables calcul de la valeur

numeacuterique dune expression algeacutebrique pour des valeurs numeacuteriques donneacutees aux Ymiddotariables Monocircmes agrave une ou plusieurs variables multiplication addition de monocircmes semblables Polynocircmes forme reacuteduite Polynocircmes ordonneacutes addition multiplication Identiteacutes relatives aux produits (x + y)2 (x - y)2 (x + y)(x - y)

IV - Equations position du problegraveme signification du signe = dans ce problegraveme Equashytions du premier degreacute agrave une inconnue agrave coefficients numeacuteriques Reacutesolution de problegravemes simples agrave laide dune telle eacutequation

Annexe 2

84

CLASSE DE QUATRIEME

PROGRAMME DE 1971 (extraits)

1 - Relations

Reacutevision -des notions preacutesenteacutees dans les classes anteacuterieures et compleacutements produit carteacutesien relation application composition des applications bijection cun ensemble sur un ensemble et bijection reacuteciproque

Notion de groupe deacutefinition (on la jeacutegagera des exemples du programme)

II - Nombres deacutecimaux relatifs et approche de reacuteel

1 Groupe des puissances de dix

Nombres deacutecimaux relatifs eacutecrits a 10n avec a e7l et p E7 et sous forme de nombres agrave virgule addition multiplication ordre valeur absolue Reacutesumeacute des proprieacuteteacutes fondamentales de lensemble ainsi structureacute des deacutecimaux relatifs

2 Calculs approcheacutes

a) EnC3drement dun nombre deacutecimal par des intervalles des types [a 10pbull (a + 1) 10middot[ da 101 (a + 1) 10- [a 10pbull (a + 1) 101] avec a E Z et p E Z Sur des exelJlples encamiddot drement middotdune somme dun produit

b) Exercices de deacutetermination pour un deacutecimal strictement positif d donneacute et pour un entier relatif n donneacute du nombre deacutecimal x bull 10 avec x E IN tel que soient veacuterifieacutees les ineacutegaliteacutes 0 ~d x 10 ~ 1 lt d (x + 1) 10

c) Exercices de deacutetermination pour un deacutecimal strictement positif d donneacute et pour un entier relatif n jonneacute du nombre deacutecimal y bull 10 avec y E IN tel que soient veacuterifieacutees les ineacutegaliteacutes [y 10P ~ d lt [(y + 1) 10]

d) Suites deacutecimales illimiteacutees nombres reacuteels encadrements dun nombre reacuteel

3 Enumeacuteration des principales proprieacuteteacutes qui structurent fensemble IR des reacuteels addition (IR +) est un groupe commutatif multiplication associashytiYiteacute distributiviteacute par rapport agravefaddition ordre et valoeur absolue

On admettra que pour tout nombre reacuteel a jiffeacuterent de 0 il existe un nombre reacuteel a-1 et un seul tel que aa-1 = 1 Pour tout couple de nombres reacuteels (a b) avec a = 0 il existe un nombre reacuteel unique x appeleacute quotient de b par a

b et noteacute ba-1 ou - tel que ax = b a

Exercices simples de calcul sur de tels quotients Sur des exemples -numeacuteriques eacutequations et ineacutequations du premier degr9 agrave une inconnue

Usage des exposants entiers groupe des puissances dun nombre reacuteel non nul

Calculs approcheacutes sur les nombres reacuteels

4 Exemples de fonctions polynocircmes (applications de IR dans IR) Degreacute Exercices de calcul SUT les polynocircmes Produits (x + a)2 (x - a)2 (x + a) (x - a) Exercices de factorisation

Annexe 3

85

ENCYCLOPEDIE QUILLET (1958)

TABLE DES MATIERES (extraits)

ARITBMEacuteTIQUE Notio~ preacute1i1Ji~ajres - Ideacutee de nombrebullbullbullbull 153 NumeratIon decmale bullbullbullbullbullbullbullbull 156 ~esure des grŒDdeurs bullbullbullbullbullbull bullbullbullbull 159 Nombresmiddot deacutecUDauxbullbullbullbullbullbullbullbullbullbull 169 Ladditionbullbull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull 165 La soustraction bull bull bull bull bull bull bull bull bull 168 La ~~qplication bullbullbullbullbullbullbull1 bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bullbull 171 La diVISIon 178

Regravegle de trois bull bull 117 Pourcentages bullbullbull 119 Partages proportionnels 110 ~~langes bullbull i bull bullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbull 111 Alliages bull 111 Regravegles dinteacuterecircts 124 Rentes sur Pltat 116 Actins et obli~tions - Escompte 117

Problegravemes sur les quatre opeacutemtions bull bull bull 184 La divisibiliteacute bull bull bull bull bull bull bull bull 186 Plus grŒDd commun diviseur (p G C D) 189 Plus petit commun multiple (P P C M) 191 Nombres premiers bullbullbullbullbullbullbullbull 192 Les fractions bull bull bull bull bull 194 Opeacuterations sur les fractions 197 Sys~egraveme meacute~que 203 Racme carree 207 Rapports - Proportions 2 II

Grandeurs Proportionnelles 215

Connge des exercces ~ 130

Annexe4a

ALGEgraveBRE Notions preacuteliminaires bullbullbullbull 157 Opeacutemtions sur les nombres algeacutebriques (somme

diffeacuterence multiplicationmiddot division des nombres algeacutebriques fractions ou rapports algeacutebriques puissances racines) bull bull 160

Qpeacuterations sur les expressions algeacutebriques bull 168 gquations du premier degreacute 278 Reacutesolution des problegravemes du premier degreacute agrave une

inconnue bullbullbullbullbullbullbullbullbull 186 gquations et problegravemes du premier degreacute agrave deux

ou plusieurs inconnues bull bull 191 Notions sur les repreacutesentations graphiques bull bull 301

Variation des fonctions 313 Deacuteriveacutees bullbull bull bull 319

~uations et problegravemes du second degreacute bull bull 312

ProgressionsetlogaritbInesmiddotmiddotmiddotmiddot middotmiddot middotmiddotmiddot middot331 Table de logarithmes de 1 agrave 1 000 bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull 338 Application des logarithmes Inteacuterecircts composeacutes et

annuiteacutes bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull 343 Corcigeacute des ex~ces bullbull ~ bullbullbullbullbullbullbull 348

Annexe4b

71

rence nest acquise quau prix de quelque subtiliteacute intellectuele nullement inaccessible

agrave leacutelegraveve mais relativement exigeante Toutefois il y a plus En un sens tout objet

de savoir didactiquement acceptable laisse voir deux laquoplacesraquo il doit contenir le

laquolieuraquo que leacutelegraveve viendra occuper (les tacircches que le contrat didactique lui assignera

en propre) il doit contenir aussi un lieu speacutecifiquement alloueacute agrave lenseignant Ce

marquage des places consubstanciellement lieacute au fonctionnement didactique du

savoir est un processus geacuteneacuteral que jai proposeacute(32) dappeler la topogeacutenegravese (du grec

topos lieu) Mais la dialectique topogeacuteneacutetique peut ecirctre plus ou moins resserreacutee plus

ou moins relacirccheacutee dans ce dernier cas (qui correspond comme jessaierai de lindiquer

plus loin agrave ce que nous voyons majoritairement se produire aujourdhui agrave propos de

lemploi du langage algeacutebrique) les eacutechanges entre eacutelegraveves et enseignant demeurent

pauvres la communication est distante parce que les uns et les autres ne se mesurent

pas aux mecircmes tacircches (le professeur deacutemontre une eacutegaliteacute litteacuterale leacutelegraveve lapplique

agrave des cas particuliers numeacuteriques) Avec les fractions une fois fixeacutee larchitecture

geacuteneacuterale de leacutedifice il en va autrement passeacutes les calculs les plus simples les calculs

qui ne sont pas triviaux pour leacuteiegraveve - tout en demeurant de lordre de ce qui peut

loyalemeacutent lui ecirctre demandeacute - ne le scgtnt quagrave peine moins pour le professeur Les

partenaires de linteraction didactique se rapprochent autour dune tacircche unique

jusquagrave sembler parfois unir leurs efforts agrave la recherche dune commune reacuteponse

Tout comme la geacuteomeacutetrie (qui soppose par cela et du seul point de vue didactique

deacutejagrave agrave lalgegravebre en geacuteneacuteral) les fractions constituent loccasion dune reacuteelle convishy

vialiteacute dans la classe Les distinctions qualitatives (marqueacutees par des tacircches de natures

diffeacuterentes) sestompent au profit de simples diffeacuterences quantitatives (lenseignant

va plus vite plus sucircrement mais il ne sait rien de plus que leacutelegraveve et ne fait rien de

plus que lui) Le groupe agrave la fois se rassemble gagne en coheacutesion et en mecircme temps

se diffeacuterencie continucircment sans que son identiteacute sy perde

1 y a lagrave quelques-unes des raisons didactiques qui expliquent la preacuteeacuteminence

de fagraveit de leacutetude des fractions dans les classes actuelles de quatriegraveme Or - et nous

faisons lagrave retour agrave notre sujet quen fait nous navions pas quitteacute - dans le vocabushy

lairedes enseignants les fractions font partie de lalgegravebre Mecircme si le programme

officiel nutilise pas le terme il semble que lusage se soit spontaneacutement creacuteeacute de nommer

laquoalgegravebreraquo dans la pratique de la classe ce qui nest pas geacuteomeacutetrie lalgegravebre cest

globalement lautre de la geacuteomeacutetrie Cet emploi peut-ecirctre irreacutefleacutechi du mot ne manque

pourtant pas de justificatifs Les heacutesitations historiques dont nous avons parleacute trashy

duisent aussi (par delagrave lopposition fractions de nombres arithmeacutetiques fractions de

nombres algeacutebriques) une reacutealiteacute qui perdure les fractions (dentiers) ne sont pas

(32) Voir Chevallard 1980b

72

de lalgegravebre au sens ougrave elles ne contiennent pas de lettres (les lettres sont essentielleshy

ment utiliseacutees par le professeur pour formuler les lois qui reacutegissent leur calcul) mais

elles relegravevent de llaquoalgeacutebriqueraquo en cela quelles sont le lieu dun jeu formel portant

sur des eacutecritures Elles offrent donc loccasion dune algegravebre sans algegravebre qui fait le

gros morceau de lalgegravebre aujourdhui enseigneacutee Il faut voir par quel cheminement

on en est venu lagrave

VII - LA DIALECTIQUE NUMERIQUEALGEBRIQUE

PoUr expliquer plus complegravetement et leacutevanouissement des parties algeacutebriques

de lalgegravebre et - correacutelativement - le come-back des fractions il nous faut compliquer

quelque peu le talJleau que nous avons traceacute jusquici A lopposition structurelle de

larithmeacutetique et de lalgegravebre correspondait - en principe - une dialectique fonctionshy

nelle entre numeacuterique et algeacutebrique Cest sur cette dialectique que nous devrons

dabord nous arrecircter un instant

Il faut pour cela prendre quelque recul Cette dialectique en effet existe

historiquement avant lalgegravebre (avant la construction dun langage algeacutebrique propreshy

ment dit) Les Grecs distinguent entre deux arithmeacutetiques larithmeacutetique vulgaire

ou logistique celle des calculateurs et larithmeacutetique laquopropre aux philosophesraquo

comme dit Platon cest-agrave-dire en gros la theacuteorie des nombres Les calculateurs cal~

culent Les arithmeacuteticiens eacutetudient la structure du numeacuterique Tous manipulent pour

cela un langage du numeacuterique~ mais tous ne lemploient pas aux mecircmes tacircches et ne

lui reconnaissent pas les mecircmes valeurs Dans larithmeacutetique pratique lanalyse du

numeacuterique procureacutee par le langage adopteacute est un moyen ordonneacute agrave un but opeacuterer

des deacutenombrements effectuer des calculs Si dans notre systegravememiddotactuel de numeacuteration

je deacutesire calculer 12 X 12 par exemple je nai besoin dautre analyse du nombre 12

que celle qui mest immeacutediatement donneacutee dans leacutecriture (deacutecimale) de ce nombre

(ch iffre des dizaines 1 chiffre des uniteacutes 2) Mais si comme le scribe du papyrus

Rhind je ne sais multiplier que par duplications successives et additions je devrai

recourir agrave une analyse moins immeacutediate du nombre 12 (qui ne mest pas offerte par

leacutecriture deacutecimale actuelle) Il me faudra observer que 12 = 4 + 8 et calculer ainsi(33)

1 12 2 24 4 48 8 96

(33) Voir Smith 1953 p 106

73

dougrave je deacuteduirai que 12 X 12 = 12 X (4 + 8) = 48 + 96 = 144 De telles manleres

de faire qui se rencontrent encore agrave des dates rapprocheacutees(34) apparaissent agrave lutilisashy

teur contemporain comme des survivances dun acircge imparfait Un bon systegraveme

numeacuteration-algorithmes de calcul en effet doit ecirctre tel que toute linformation requise

pour mettre en œuvre les algorithmes de calcul soit donneacutee dembleacutee avec les nombres

donneacutes eacutecrits dans le langage numeacuterique utiliseacute cest-agrave-dire soit apparente dans leacutecriture

mecircme de ces nombres En dautres termes un bon systegraveme numeacuteration-algorithmes

reacutecuse tout appel aux matheacutematiques fucirct-ce sous une forme apparemment anodine

Lusager dun tel systegraveme est eacutevidemment supposeacute pouvoir calculer que 4 + 8 = 12

(ce pour quoi le systegraveme est fait) mai~ le contrat dutilisation qui regravegle ses rapports

avec le systegraveme exclut quil ait agrave penser que 12 = 4 + 8 Paradoxalement peut-ecirctre

lun des effets et sans doute des buts (poursuivis de maniegravere plus ou moins intentionshy

nelle) de lactiviteacute matheacutematique est de proposer agrave lusage social des proceacutedures non

matheacutematiques obtenues par deacutematheacutematisation progressive de proceacutedures agrave lorigine

proprement matheacutematiques Le fait est banal et geacuteneacuteral les progregraves de leacutelectronique

me dispensent aujourdhui du bricolage auquel eacutetaient tenus les utilisateurs du poste

agrave galegravene

En fait le royaume du calcul numeacuterique est reacutegi par la loi de simplification

inteacuterioriseacutee en habitus(35) dont lune des clauses est constitueacutee par le principe

dachegravevement des calculs Selon ce laquoprinciperaquo lexpression laquo4 + 8raquo ne saurait en

calcul numeacuterique figurer comme reacuteponse le calcul agrave ce stade eacutetant laquoinacheveacuteraquo (36)

Lexpression laquo4 + 8raquo ne saurait ainsi ecirctre quune forme transitoire labile (parce que

quatre plus huit eacutegale douze) et nexiste pas plus dune maniegravere libre que latome

doxygegravene en dehors de la moleacutecule deg 2

Il en va tout autrement avec la tradition laquonobleraquo de la laquotheacuteorie des nombresraquo

Les Pythagoriciens au tout deacutebut de la science grecque eacutelaborent ainsi toute une

conception de la repreacutesentation laquogeacuteomeacutetriqueraquo des nombres soit une arithmo-geacuteoshy

meacutetrie(37) Consideacuterons par exemple les entiers impairs 5 et 7 Leurs repreacutesentations

(34) Ibid

(35) P Bourdieu deacutesigne par habitus des laquosystegravemes de dispositions durables structures structureacutees preacutedisposeacutees agrave fonctionner comme structures structurantes cest-agrave-dire en tant que principe de geacuteneacuteration et de structuration de pratiques et de repreacutesentations ( hgt (Bourdieu 1974 p 175)

(36) Les Instructions de janvier 1957 (sur lesquelles nous revenons plus loin) parlent explicitement de laquocalcul conduit jusquagrave son achegravevementraquo fait rare et remarquable car il est de la nature dun habitus de ne pas supposer lexplicitation des principes agrave lorigine de son efficace

(37) Sur larithmo-geacuteomeacutetrie des Grecs voir Michel 1959 pp 295-325

74

figureacutees peuvent ecirctre disposeacutees ainsi

o o o o o

o o o o o

o 0 5 7

Reacuteunissons ces repreacutesentations de la maniegravere suiyante

o o o o

o o o o

o 0

o 0

En les regroupant adeacutequatement il apparaicirct que la somme 5 + 7 est Lin multiple de

4 (plus preacuteciseacutement que 5 + 7 = 3 X 4) -1------------ -------------1

1 shy10 Oi iO 011 1 1 shyi i 1

- 1shyj j - 1

rO Oi iO1

O shy

i -_------------ [-------------1 iO Oi 1 i 1

Jo oi i

De plus si on laquocomplegraveteraquo le carreacute on voit apparaicirctre immeacutediatement que 5 + 7 est

une diffeacuterence de deux carreacutes (plus preacuteciseacutement que 5 + 7 = 43 - 22 )

o o o o

o o o o

o o x x

o o x x Ces monstrations qui au sens strict nont de force deacutemonstrative que pour les valeurs

numeacuteriques particuliegraveres traiteacutees ont en fait une valeur geacuteneacuterique comme les figures

(et les deacutemonstrations quelles permettent) en geacuteomeacutetrie on nest pas loin dune

deacutemonstration valable pour tous les couples dimpairs conseacutecutifs Nous pouvons

reacutetrospectivement admirer la finesse intellectuelle que linvention et lemploi de

telles proceacutedures supposent Mais nous pouvons aussi voir que notre langage algeacutebrique

actuel (creacuteeacute par Viegravete Descartes et quelques autres) sinscrit dans le prolongement

de cette analyse du numeacuterique tout en la deacutepassant en souplesse et en puissance

75

Sur le mecircme problegraveme aujourdhui nous obtenons par exemple ceci soient 2p - 1

et 2p + 1 deux impairs conseacutecutifs leur somme (2p - 1) + (2p + 1) = 4p est un

multiple de 4 et puisque 4p = (p + 1) - (p - 1)2 elle seacutecrit aussi comme une

diffeacuterence de deux carreacutes Le langage nOuveau permet dabord de formuler le problegraveme

dans sa geacuteneacuteraliteacute puis de le reacutesoudre de maniegravere eacutegalement systeacutematique

Le calcul numeacuterique utilise le langage numeacuterique pour son pouvoir deacutesignatif

eSSentiellement laquo34raquo et laquo075raquo ou encore laquo4 + 8raquo et laquo12raquo sont agrave cet eacutegard eacutequivashy lents puisquils deacutesignent le mecircme nombre (simplement laquo34raquo est une fraction laquonon

effectueacuteeraquo laquo4 + 8raquo une somme non effectueacutee) ils sont des noms diffeacuterents pour

un mecircme ecirctre matheacutematique Larithmeacutetique laquoalgeacutebriqueraquo au contraire distingue

ces noms parce que bien quils deacutesignent la mecircme chose ils ne montrent pas la mecircme

chose (ils napportent pas la mecircme information monstrative) agrave propos de lecirctre matheacuteshy

matique dont ils sont deux noms diffeacuterents (ltlt4 + 8raquo ou mieux laquo22 +23 raquo montre

que 12 est une somme de puissances de deux etc) Cest ainsi que au cœur mecircme

du langage numeacuterique sinsinue un clivage et pour tout dire une tension entre deux

modes de fonctionnement lefficaciteacute deacutesignative (propre agrave lusage calculatoire du

langage numeacuterique) tend agrave ignorer lagrave valeur monstrative de lexpression eacutecrite le

principe dachegravevement des calculs voue agrave leacutepheacutemegraverelesmiddotltltnoms intermeacutediairesraquo et

laquo4 + 8raquo devient ainsi laquo12raquo sans quaucune trace nous soit conserveacutee de lhistoire

de ce laquo12raquo Ali contraire le langage algeacutebrique - notamment parce quil est une

meacutemoire - vient permettre de conserver de meilleure faccedilon linformation monstrative

et surtout de faire apparaicirctre linformation monstrative pertinente le passage en

simplification de lexpression (2p - 1) + (2p + 1) agrave lexpression 4p fait apparaicirctre

que (2p - 1-) + (2p+ 1) deacutesigne un nombre multiple de 4 le passage en complexifishy

cation de 4p agrave (p + 1)2 - (p - 1)2 fait apparaicirctre que (2p - 1) + (2p + 1) est une

diffeacuterence de deux carreacutes

La creacuteation du langage algeacutebrique permet de deacutegager plus nettement laprobleacuteshy

matique deacutetude du nurileacuterique en la posant - sans lopposer - agrave cocircteacute de la perspecshy

tive calculatrice Elle permet donc dexpliciter ce qui demeurait largement implicite shy

la copreacutesence de deux maniegraveres davoir affaire au numeacuterique - et par lagrave dapaiser

les tensions Mais son surgissement historique permet surtout de mieux maicirctriser

la dialectique du numeacuterique et de lalgeacutebrique jusque-lagrave conduite avec des moyens

matheacutematiques insuffisamment adeacutequats Lalgeacutebrique est un outil de leacutetude du

numeacuterique le premier outil le plus eacuteleacutementaire sans doute (agrave un niveau avanceacute intershy

viendraient par exemple la theacuteorie des seacuteries entiegraveres la theacuteorie des fonctions analytishy

ques etc) Mais inversement (et cest ce qui nous autorise agrave parler de dialectique)

pour que le fonctionnement de cet outil soit efficace il faut quelque peu eacutetudier

cet outil par exemple se poser les problegravemes de la factorisation des expressions algeacuteshy

briques (afin notamment de reacutesoudre des eacutequations algeacutebriques) Or en ce point le

numeacuterique lui-mecircme est un outil deacutetude agrave lalgeacutebrique le flux sinverse Sans parler

76

de toutes les meacutethodes numeacuteriques qui font appel le plus souvent agrave des proprieacuteteacutes

danalyse (cest-agrave-dire concernant le corps des reacuteels et les fonctions dune variable

reacuteelle par exemple) on peut citer - pour prendre un exemple assez gros pour ecirctre

tout agrave fait visible - le theacuteoregraveme dEinsenstein sur la factorisation dans Q[X] (38)

Newton dans son Arithmetica Universalis deacutejagrave mentionneacutee montre une grande attenshy

tion agrave ce genre de laquoretoursraquo du numeacuterique vers lalgeacutebrique Ainsi donne-t-i1 une

meacutethode ingeacutenieuse pour trouver les facteurs dune expression algeacutebrique(39)

Si par exemple la quantiteacute proposeacutee est x 3 - x - 10x + 6 agrave la place de x

je substitue successivement les termes de la progression arithmeacutetique 1 0 -1 il en

naicirctra les nombres -4 + 6 + 14 Je place chacun deux avec tous ses diviseurs dans

la ligne du terme de la progression 1 0 -1 qui la produit comme on peut le voir

dans lexemple suivant

1 4 124 +4 o 6 1 2 3 6 +3

- 1 14 1 2 7 14 +2

Ensuite comme le terme le plus eacuteleveacute x3 na pas de diviseur de luniteacute je

cherche parmi les diviseurs quelque progression dont les termes ne diffegraverent que

dune uniteacute et qui en descendant des plus forts au plus faibles deacutecroissent comme

ceux de la progression 10 -1 Je ne trouve quune progression de cette espegravece cest

4 3 2 Je prends donc le terme + 3 qui se trouve dans la mecircme ligne que 0 de la

premiegravere progression 1 0 -1 je le joins agrave x et je tente la division par x + 3 elle

reacuteussit et jobtiens pour quotient x 2 - 4x + 2

Au-delagrave de la disparition de la structure du corpus matheacutematique enseigneacute en arithshy

meacutetique et algegravebre cest la dialectique du numeacuterique et de lalgegravebre - implicitement

preacutesente agravetravers llaquooppositionraquo de larithmeacutetique et de lalgegravebre - qui va se trouver

atteinte Plus que jamais les liens du numeacuterique et de lalgeacutebrique sen trouveront

relacirccheacutes

VIII - UNE CONCEPTION EMPIRISTE DU REEL MATHEMATIQUE

Leffacement de lopposition arithmeacutetiquealgegravebre en effet altegravere les condishy

tions de la mise en rapport du numeacuterique et de lalgeacutebrique Lancien rapport doutil

(38) Soit PIt) = a + a t + + a t n un polynocircme agrave coefficients dans if Sil existe un nombre premier p tel que0 1) ~ rie divise ~as an 2) p divise a al an_l p2 ne divise pas ao alors P o est irreacuteductible sur O

(39) Arithmeacutetique universelle tome premier pp 47-48 Nous laissons au lecteur le soin dapporter la justification matheacutematique requise

77

de travail agrave objet travailleacute semble perdu Les deux domaines - le numeacuterique -le

litteacuteral - vont coexister dans une simple juxtaposition existants qui trouvent en

eux-mecircmes leur propre justification Les rapports naguegravere encore banals entre ces

deux ordres de reacutealiteacute matheacutematiques semblent deacutesormais abolis Ou plutocirct ils laissent

place agrave des rapports nouveaux et inverseacutes ce nest plus lalgeacutebrique qui vient pershy

mettre deacutetudier le numeacuterique cest le numeacuterique qui laquojustifieraquo et laquopermet de comshy

prendreraquo lalgeacutebrique Le document 5 extrait dun manuei de quatriegraveme actuel (40)

IIUDIFFeacute~ENCS ce ceux C~CIMAUX [

x-eD yeC zeC z-z -y signifie que z+y-z Comment est appel z pour z et y dans ct ordre Observe

13-(-7) z+-7)middot13

[+(-7)j+713+7 +[(-7)+71-13+7

+0-13+7 zo13+-7

z-z-y z+y-z

(+y) + (-y)- +-(-y) +(y+ (-y)]-x + (-y)

z+O-z + (-y) -+(-y)

Pour tout xde D pour tout y de 0 z - y est un deacutecimal et z - y = +(-y) Exemples 8-(-7)=8+7=15 9-14=9+(-14)=-5 Lopeacuteration- qui agrave chaque coupe (z y) z e 0 y E C fait correspondre le deacutecimal Z - J est la soustraction dans O

DOCUMENT 5

Lalgeacutebrique comme essence du numeacuterique

nous donne de ce pheacutenomegravene un exemple tregraves net lintention didactique est ici

de justifier le fait que x - y = x + (-y) Pour le matheacutematicien la laquojustificationraquo shy

qui est alors strictement une deacutemonstration - est toute entiegravere contenue dans la

colonne de droite si je deacutefinis en geacuteneacuteral-y comme eacutetant le nombre tel quey + (-y) = 0

et si les proprieacuteteacutes ordinaires - associativiteacute etc - valent encore pour le nouvel

ensemble de nombres ainsi deacutefini alors le nombre z que je dois ajouter agrave y pour

obtenir x - ce quon appelle la diffeacuterence de x et y et qUon note x - y - nest pas

autre chose que x + (-y) Or la laquojustificationraquo passe dans la didactique ici examineacutee

par lappel au concret cest-agrave-dire au numeacuterique tel est le rocircle de la colonne de

gauche Ce sont les calculs numeacuteriques de la colonne de gauche qui soutiendraient

le sens (pour leacutelegraveve) des calculs litteacuteraux de la colonne de droite Malheureusement

le contenu de la colonne de gauche est si lon peut dire hautement improbable

(401 Il sagifdu _manuel Matheacutematique contemporaine pour la classe de quatriegraveme publieacute chez Magnard et conforme au programme de1978shy

78

parce que le numeacuterique ne fonctionne pas ainsi En fait les calculs numeacuteriques preacuteshy

senteacutes ici nexistent quagrave ecirctre limage en miroir des calculs litteacuteraux de la colonne

de droite Et cest pour permettre de tels calculs que le langage algeacutebrique preacutecishy

seacutement est neacutecessaire Il y a ainsi meacuteprise sur la speacutecificiteacute des deux ordres de calcul

et conseacutequemment sur le type de rapports quils entretiennent la justification

de lalgeacutebrique sappuierait sur un mode de fonctionnement du numeacuterique qui nest

en fait quun deacutecalque du fonctionnement de lalgeacutebrique et qui donc suppose

lalgeacutebrique

Leacutelucidation du nouveau rapport qui saffirme ainsi nest pas chose facile Elle

est pourtant neacutecessaire afin de preacuteciser par delagrave la surface des programmes les mouveshy

ments profonds produisant des deacutecisions didactiques quon aurait tort de regarder

seulement comme des laquotrucsraquo eacuteleacutements atomiques de strateacutegies trouvant en ellesshy

mecircmes et dans leurs effets supposeacutes leur unique mobile Revenons agrave lexemple que

nous avons examineacute Lalgeacutebrique y apparaicirct comme la laquotheacuteorieraquo de cette laquoreacutealiteacuteraquo

que serait le numeacuterique Mais les relations en acte entre theacuteorie (permettant leacutetude)

et reacutealiteacute (objet de leacutetude) y ressortissent incontestablement agrave une conception empishy

riste (et mecircme nous allons le voir empiriste-sensualiste) de la connaissance Tel est

en fait le mobile - veacutecu sans doute comme allant de soi dans leacutevidence que lideacuteoshy

logie procure - de la tentative de laquofaire sortirraquo la theacuteorie (lalgeacutebrique) de la reacutealiteacute

(numeacuterique) Il ya ici inversion des rapports entre theacuteorie et reacutealiteacute Car le surgissement

du theacuteorique - faut-il le rappeler - ne sautorise jamais que de lui-mecircme et loin

de proceacuteder de la reacutealiteacute la constitue (ou la renouvelle) comme objet de connaissance

Si jeacutecris par exemple 13 + 7 = 13 - (-7) selon un fonctionnement du numeacuterique

antinomique de la pratique calculatoire (cest-agrave-dire arithmeacutetique) du numeacuterique shy

laquelle voudrait quon eacutecrivicirct 13 + 7 = 20 - je fais de lalgegravebre sur du numeacuterique

cest loutil algeacutebrique et lui seul qui me permet ce travail du numeacuterique Entre le

fonctionnement arithmeacutetique et le fonctionnement algeacutebrique du numeacuterique il y a

ainsi une distance - un saut - que nul proceacutedeacute dlaquoabstractionraquo ne peut venir combler

On aurait tort de penser que lanalyse preacuteceacutedente ne vaut que pour lexemple

sur laquelle nous lavons illustreacutee En reacutealiteacute sa porteacutee est beaucoup plus eacutetendue

et pour en saisir toute la signification il faut revenir agrave cette acmeacute de leacutevolution de

la transposition didactique que repreacutesente la reacuteforme de 1971 (celle des laquomatheacutemashy

tiques modernesraquo) Contrairement aux opinions aujourdhui dominantes qui selon

un opportunisme neacutecessaire et une constante inconstance reacutecusent cette reacuteforme

pour ses excegraves et la regardent comme laberration dun moment il faut tenir que cette

aberration nen est pas une quelle ne fait que preacutecipiter cristalliser et rendre explicites

des traits qui deacutejagrave se repegraverent dans leacutevolution des deacutecennies preacuteceacutedentes Elle est un

moment qui donne sens reacutetrospectivement agravece qui vient avant lui et deacutetermine

largement ce qui viendra apregraves lui Car sil y a en quelque faccedilon rupture cest sur le

fond dune tregraves large surdeacutetermination En profondeur le programme de 1971 - pour

79

sen tenir agrave la classe de quatriegraveme - constitue une radiographie saisissante dune

eacutevolution que le programme de 1978 nadoucira quen surface Cest cette image

laquodureraquo quil faut interroger

On a trop vitupeacutereacute linflation moderniste le parti pris theacuteoriciste lambition

de rigueur des matheacutematiques promues par la reacuteforme et trop peu vu derriegravere cet

eacutecran deux mouvements correacutelatifs moins spectaculaires mais deacuteterminants Le

premier - que nous avons deacutejagrave plusieurs fois mentionneacute - cest lenvahissement du

champ deacutetude par les structures numeacuteriques Les laquoexcegravesraquo du programme de 1971

sont le prix agrave payer pour ce coup de force qui se megravene alors - simple tactique dun

moment le programme de 1978 installera une version apaiseacutee de la mecircme strateacutegieshy

avec lartillerie lourde de laquolapproche des reacuteelsraquo des laquocalculs approcheacutesraquo des laquoencashy

drementsraquo de haute ambition matheacutematique Le seCond cest la peacuteneacutetration dun

thegraveme qui va devenir central celui de llaquoobservationraquo et de llaquoexpeacuterimentationraquo

matheacutematiques

Fausse moderniteacute ce thegraveme est mis en place degraves les Instructions de janvier

1957 (annexe 6a) dont les Instructions de 1971 se reacuteclameront non sans raicon Il

prend alors lallure dune reacuteflexion sur les liens entre matheacutematique et extramatheacutemashy

tique La caution bergsonienne ici invoqueacutee - homo taber homo sapiens - bien que

dateacutee est agrave cet eacutegard tregraves significative La perspective proposeacutee ne conduit pas tregraves

loin les problegravemes denseignement se trouvent laquoreacutesolusraquo par une didactique euphoshy

rique (annexe 6b) Au vrai la conjoncture historique qui verra la mise en place des

matheacutematiques modernes nest alors quincomplegravetement formeacutee Ce qui manque

encore afin que lideacutee dexpeacuterimentation puisse passer dans les faits cest une matiegravere

que lon pourrait soumettre agrave lobservation et agrave lexpeacuterience A cet eacutegard les Instrucshy

tions de 1957 raisonnent encore agrave lancienne la notion dexpeacuterimentation y est

surtout loccasion dune rheacutetorique qui tourne sur elle-mecircme faute de pouvoir sapplishy

quer Mais cette matiegravere dapplication qui fait deacutefaut la reacuteforme va lapporter en

abondance ce sera le numeacuterique dont nous comprenons mieux degraves lors la place

de choix que les programmes reacuteformeacutes vont lui accorder Son expansion se trouvait

en fait comme appeleacutee par lexigence laquoexpeacuterimentaleraquo induite par une certaine concepshy

tion eacutepisteacutemologique et didactique

Le deacutecor de laction est installeacute en consonance avec une mise en scegravene empiriste

du procegraves de connaissance(41) Il Y a la laquoreacutealiteacuteraquo qui est un donneacute dont la preacutesence

simpose avec la derniegravere force et il y a la laquotheacuteorieraquo de ce donneacute que lon preacutetend

tirer par abstraction de lobjet agrave laquelle elle se voue La dialectique du numeacuterique

et de lalgeacutebrique est alors perdue lun de ses termes (lalgeacutebrique) se dissout dans

(41) Pour lintelligence de ce qui suit nous renvoyons agrave Althusser 1968 notamment pp 38-45

80

lautre (le numeacuterique) agrave qui est octroyeacute par nature une existence presque mateacuterielle

et dont lalgeacutebrique proceacutedera geacuteneacutetiquement La reacuteforme de 1971 remanie donc

le champ deacutetude pour y produire de solides objets laquoreacuteelsraquo agrave forts coefficients dexis-shy

tence les structures numeacuteriques et aussi la mysteacuterieuse laquodroite physiqueraquo dont la

soudaine promotion ontologique serait autrement encore plus inexplicable(42) Cela

poseacute lintroduction du litteacuteral (lalgeacutebrique) sidentifie au mouvement par lequel

dans le procegraves empiriste de connaissance se repreacutesente lessence du reacuteel qui est toute

la connaissance que le sujet peut tirer de lobjet par abstraction il permet de distinguer

entre un reacuteel essentiel et un reacuteel inessentiel gangue ou accident que le processus

dabstraction abandonne comme un reacutesidu impenseacute Labstraction qui vise agrave porter

agrave la lumiegravere ce quon pourra connaicirctre de lobjet agit par deacutecrassage et deacutecapage

CHA~tTRbullbull tour dieacuteremcs ftiems de 1t 011 obti=c cIes putitioas cilifeacute=o~ Uuml fiIure 2 repreacutese1tt (parshy

tieJ1emenz) les paniagravecas ~ i- II-l 11--0 11 - - l~ = grouie agrave la loupe la paftiriœ cozrcspoadaDc agrave Il - - 2shy

f-oo( [Q10[

1 1

~ Q t

(-2 ~( T

[l 0 ( [01 ( r12 r i i i i J r sr

-1shy 0 t

1 1 1 1 1 1 1 1 shy 1 bull 1 1 1 11

-1 -01 001 lU 03 ~ o~ 06 07 oa 09 1 11

P4 041 ~l ~~I 041ds1 -i -o] OoJ O4l o~ 04S 04) ~ 1 ~1 1

fJvZ

li) De m=c si II eR lD1 emer œIaagravef acirczeacute et si CI pr=d tOlIœS les ftiems possibles da2s Z r=semblc cIes imenalles cie c

Jcr10 (CI + L 10

eR iJMpcrtirIcircD1f de C Uuml figure 3 repreacutes=œ (articllemcm) =œ putitioll p04 shy O~

r 1 i 1 T l 1 1 -5 -4shy -3 -2 -r agrave l Z ~ 4shy 5

~3

DOCUMENT6

Le deacutecapage du donneacute dans le processus empiriste de connaissance

(42) Voir Chevallard et Johsua 1982 notamment pp 200-203

81

agrave ce thegraveme geacuteneacuteral de la connaissance empiriste reacutepond correctement dans les proshy

grammes la notion dlaquoapprocheraquo ou dlaquoapproximationraquo des laquoreacuteelsraquo (qui nont jamais

aussi bien porteacute leur nom) Ceux-ci sont atteints par le moyen de purifications successhy

sives qui eacuteliminent peu agrave peu la gangue inessentielle Tel manuel (43) pris parmi tant

dautres- en offre la superbe illustration (document 6) limage de la loupe - emblegraveme

de la connaissance empiriste dont elle est linstrument privileacutegieacute parce quelle permet

de mieux voir et de faire voir - y est requise et symbolise mieux quun long commenshy

taire cette conception de la connaissance comme visant agrave amener linvisible agrave la

vue de tous

Une telle conception de la connaissance rate le reacuteel dont il sagirait preacuteciseacutement

de produire la connaissance parce quelle en manque la constitution comme objet

de connaissance(44) Lalgeacutebrique ne sert plus agrave connaicirctre le numeacuterique Il nest plus

deacutesormais quune steacutenographie middotessentialisante qui deacutecrit reacutesume et seacutepare lessence

de laccident Le surgissement laquomoderneraquo de la dichotomie de llaquoobservationraquo et de

la laquotheacuteorieraquo - que les manuels actuels reprennent agrave lenvi - est ainsi correacutelatif dune

dissolution de lobjet de connaissance au profit de lobjet reacuteel maintenant donneacute

agrave voir dans une abstraction reacuteputeacutee immeacutediate et facile Lordre didactique va sorgashy

niser autour de cette eacutepisteacutemologie imaginaire

REFERENCES

ALTHUSSER L (1968) Lire le Capital Franccedilois Maspeacutero Paris

BOURDIEU P (1974) Le sens pratique eacuteditions de Minuit Paris

BROUSSEAU G (1980) Problegravemes de lenseignement des deacutecimaux Recherches

en didactique des matheacutematiques 1middot1 pp 11-59

CHEVALLARD Y (1980a) Matheacutematiques langage enseignement la reacuteforme des

anneacutees soixante Recherches 41 pp 71-99

CHEVALLARD Y (1980b) La transposition didactique 1REM dAix-Marseille

CHEVALLARD Y (1982) Pourquoi la transposition didactique 7 Publication du

seacuteminaire de didactique et peacutedagogie des matheacutematiques 32 Grenoble

CHEVALLARD Y et JOHSUA MA (1982) Un exemple danalyse de la transposition

didactique Recherches en didactique des matheacutematiques 3 2 pp 157-239

MICHEL PH (1950) De Pythagore agrave Euclide Les Belles Lettres Paris

SMITH DE (1953) History of mathematics volume Il Dover publications Inc

New York

(43) Il sagit de louvrage mentionneacute dans la note 24 ci-dessus

(44) Sur la distinction entre laquoobjet reacuteelraquo et laquoobjet de connaissanceraquo voir Althusser 1968 pp 4649

82

CLASSE DE QUATRIEME CLASSIQUE A ET B ET DE QUATRIEME MODERNE

PROGRAMME DE 1945 (extraits)

Arithmeacutetique

Pratique sur des exemples de la deacutecomposition dun nombre entier en facteurs premiers de la recherche du plus grand commun diviseur et du plus petit commun multiple de deux ou plushysieurs nombres Applications aux fractions

Algegravebre

Nombres algeacutebriques (positifs nuls heacutegatifs) Opeacuterations sur ces nombres exposeacutes agrave partir de problegravemes concrets Ineacutegaliteacutes

Mesures algeacutebriques de vecteurs sur une droite orienteacutee Formule de Chasles Repeacuterage dun point sur un axe

Eleacutements du calcul algeacutebrique proprieacuteteacutes des sommes et des produits Puissances Produit et quotient de deux puissances dun nombre usage de lexposant nul et dexposants neacutegatifs

Monocircmes Produit de monocircmes Quotient de deux nombres Somme de monocircmes semblables (on se bornera agrave des monocircmes agrave une deux ou trois variables) Polynocircmes agrave une variable addition soustraction multiplication par une constante

Equations numeacuteriques du premie( degreacute agrave une inconnue Problegravemes conduisant agrave une eacutequation numeacuterique du premier degreacute agrave une inconnue

Annexe 1

83

CLASSE DE QUATRIEME

PROGRAMME DE 1958 (extraits)

Arithmeacutetique

Pratique sur des exemples de la deacutecomposition dun nombre entier en un produit de nomshybres premiers pratique de la recherche du plus grand diviseur commun et du plus petit multiple commun de deux ou plusieurs nombres Applications

Algegravebre

1 - Nombres relatifs (positifs nuls neacutegatifs) Orientation dun segment (vecteur) orientation dune droite (axe) mesure algeacutebrique

dun segment orienteacute sur un axe repeacuterage dun point sur un axe (abscisse)

II - Opeacuterations eacuteleacutementaires sur les nombres relatifs addition et soustraction multiplishycation et division

Extension aux nombres relatifs des proprieacuteteacutes fondamentales eacutetablies pour les nombres arithmeacutetiques (classe de cinquiegraveme) concernant les sommes les diffeacuterences les produits les puisshysances n-iegravemes les quotients linverse dun nombre non nul Condition pour quun produit soit nul

Deacutefinition des exposants neacutegatifs et de lexposant nul Comparaison des nombres relatifs ineacutegaliteacutes Ineacutegaliteacutes concernant la valeur absolue dune somme ou dune diffeacuterence Formule de Chasles pour trois points situeacutes sur un axe Segment deacutefini par les abscisses

des deLix points qui le limitent mesure algeacutebrique de ce segment orienteacute mesure de la longueur de ce segment abscisse du milieu de ce segment

III - Notions de variables et de correspondance entre variables Expressions algeacutebriques deacutependant dUne ou de plusieurs variables calcul de la valeur

numeacuterique dune expression algeacutebrique pour des valeurs numeacuteriques donneacutees aux Ymiddotariables Monocircmes agrave une ou plusieurs variables multiplication addition de monocircmes semblables Polynocircmes forme reacuteduite Polynocircmes ordonneacutes addition multiplication Identiteacutes relatives aux produits (x + y)2 (x - y)2 (x + y)(x - y)

IV - Equations position du problegraveme signification du signe = dans ce problegraveme Equashytions du premier degreacute agrave une inconnue agrave coefficients numeacuteriques Reacutesolution de problegravemes simples agrave laide dune telle eacutequation

Annexe 2

84

CLASSE DE QUATRIEME

PROGRAMME DE 1971 (extraits)

1 - Relations

Reacutevision -des notions preacutesenteacutees dans les classes anteacuterieures et compleacutements produit carteacutesien relation application composition des applications bijection cun ensemble sur un ensemble et bijection reacuteciproque

Notion de groupe deacutefinition (on la jeacutegagera des exemples du programme)

II - Nombres deacutecimaux relatifs et approche de reacuteel

1 Groupe des puissances de dix

Nombres deacutecimaux relatifs eacutecrits a 10n avec a e7l et p E7 et sous forme de nombres agrave virgule addition multiplication ordre valeur absolue Reacutesumeacute des proprieacuteteacutes fondamentales de lensemble ainsi structureacute des deacutecimaux relatifs

2 Calculs approcheacutes

a) EnC3drement dun nombre deacutecimal par des intervalles des types [a 10pbull (a + 1) 10middot[ da 101 (a + 1) 10- [a 10pbull (a + 1) 101] avec a E Z et p E Z Sur des exelJlples encamiddot drement middotdune somme dun produit

b) Exercices de deacutetermination pour un deacutecimal strictement positif d donneacute et pour un entier relatif n donneacute du nombre deacutecimal x bull 10 avec x E IN tel que soient veacuterifieacutees les ineacutegaliteacutes 0 ~d x 10 ~ 1 lt d (x + 1) 10

c) Exercices de deacutetermination pour un deacutecimal strictement positif d donneacute et pour un entier relatif n jonneacute du nombre deacutecimal y bull 10 avec y E IN tel que soient veacuterifieacutees les ineacutegaliteacutes [y 10P ~ d lt [(y + 1) 10]

d) Suites deacutecimales illimiteacutees nombres reacuteels encadrements dun nombre reacuteel

3 Enumeacuteration des principales proprieacuteteacutes qui structurent fensemble IR des reacuteels addition (IR +) est un groupe commutatif multiplication associashytiYiteacute distributiviteacute par rapport agravefaddition ordre et valoeur absolue

On admettra que pour tout nombre reacuteel a jiffeacuterent de 0 il existe un nombre reacuteel a-1 et un seul tel que aa-1 = 1 Pour tout couple de nombres reacuteels (a b) avec a = 0 il existe un nombre reacuteel unique x appeleacute quotient de b par a

b et noteacute ba-1 ou - tel que ax = b a

Exercices simples de calcul sur de tels quotients Sur des exemples -numeacuteriques eacutequations et ineacutequations du premier degr9 agrave une inconnue

Usage des exposants entiers groupe des puissances dun nombre reacuteel non nul

Calculs approcheacutes sur les nombres reacuteels

4 Exemples de fonctions polynocircmes (applications de IR dans IR) Degreacute Exercices de calcul SUT les polynocircmes Produits (x + a)2 (x - a)2 (x + a) (x - a) Exercices de factorisation

Annexe 3

85

ENCYCLOPEDIE QUILLET (1958)

TABLE DES MATIERES (extraits)

ARITBMEacuteTIQUE Notio~ preacute1i1Ji~ajres - Ideacutee de nombrebullbullbullbull 153 NumeratIon decmale bullbullbullbullbullbullbullbull 156 ~esure des grŒDdeurs bullbullbullbullbullbull bullbullbullbull 159 Nombresmiddot deacutecUDauxbullbullbullbullbullbullbullbullbullbull 169 Ladditionbullbull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull 165 La soustraction bull bull bull bull bull bull bull bull bull 168 La ~~qplication bullbullbullbullbullbullbull1 bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bullbull 171 La diVISIon 178

Regravegle de trois bull bull 117 Pourcentages bullbullbull 119 Partages proportionnels 110 ~~langes bullbull i bull bullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbull 111 Alliages bull 111 Regravegles dinteacuterecircts 124 Rentes sur Pltat 116 Actins et obli~tions - Escompte 117

Problegravemes sur les quatre opeacutemtions bull bull bull 184 La divisibiliteacute bull bull bull bull bull bull bull bull 186 Plus grŒDd commun diviseur (p G C D) 189 Plus petit commun multiple (P P C M) 191 Nombres premiers bullbullbullbullbullbullbullbull 192 Les fractions bull bull bull bull bull 194 Opeacuterations sur les fractions 197 Sys~egraveme meacute~que 203 Racme carree 207 Rapports - Proportions 2 II

Grandeurs Proportionnelles 215

Connge des exercces ~ 130

Annexe4a

ALGEgraveBRE Notions preacuteliminaires bullbullbullbull 157 Opeacutemtions sur les nombres algeacutebriques (somme

diffeacuterence multiplicationmiddot division des nombres algeacutebriques fractions ou rapports algeacutebriques puissances racines) bull bull 160

Qpeacuterations sur les expressions algeacutebriques bull 168 gquations du premier degreacute 278 Reacutesolution des problegravemes du premier degreacute agrave une

inconnue bullbullbullbullbullbullbullbullbull 186 gquations et problegravemes du premier degreacute agrave deux

ou plusieurs inconnues bull bull 191 Notions sur les repreacutesentations graphiques bull bull 301

Variation des fonctions 313 Deacuteriveacutees bullbull bull bull 319

~uations et problegravemes du second degreacute bull bull 312

ProgressionsetlogaritbInesmiddotmiddotmiddotmiddot middotmiddot middotmiddotmiddot middot331 Table de logarithmes de 1 agrave 1 000 bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull 338 Application des logarithmes Inteacuterecircts composeacutes et

annuiteacutes bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull 343 Corcigeacute des ex~ces bullbull ~ bullbullbullbullbullbullbull 348

Annexe4b

72

de lalgegravebre au sens ougrave elles ne contiennent pas de lettres (les lettres sont essentielleshy

ment utiliseacutees par le professeur pour formuler les lois qui reacutegissent leur calcul) mais

elles relegravevent de llaquoalgeacutebriqueraquo en cela quelles sont le lieu dun jeu formel portant

sur des eacutecritures Elles offrent donc loccasion dune algegravebre sans algegravebre qui fait le

gros morceau de lalgegravebre aujourdhui enseigneacutee Il faut voir par quel cheminement

on en est venu lagrave

VII - LA DIALECTIQUE NUMERIQUEALGEBRIQUE

PoUr expliquer plus complegravetement et leacutevanouissement des parties algeacutebriques

de lalgegravebre et - correacutelativement - le come-back des fractions il nous faut compliquer

quelque peu le talJleau que nous avons traceacute jusquici A lopposition structurelle de

larithmeacutetique et de lalgegravebre correspondait - en principe - une dialectique fonctionshy

nelle entre numeacuterique et algeacutebrique Cest sur cette dialectique que nous devrons

dabord nous arrecircter un instant

Il faut pour cela prendre quelque recul Cette dialectique en effet existe

historiquement avant lalgegravebre (avant la construction dun langage algeacutebrique propreshy

ment dit) Les Grecs distinguent entre deux arithmeacutetiques larithmeacutetique vulgaire

ou logistique celle des calculateurs et larithmeacutetique laquopropre aux philosophesraquo

comme dit Platon cest-agrave-dire en gros la theacuteorie des nombres Les calculateurs cal~

culent Les arithmeacuteticiens eacutetudient la structure du numeacuterique Tous manipulent pour

cela un langage du numeacuterique~ mais tous ne lemploient pas aux mecircmes tacircches et ne

lui reconnaissent pas les mecircmes valeurs Dans larithmeacutetique pratique lanalyse du

numeacuterique procureacutee par le langage adopteacute est un moyen ordonneacute agrave un but opeacuterer

des deacutenombrements effectuer des calculs Si dans notre systegravememiddotactuel de numeacuteration

je deacutesire calculer 12 X 12 par exemple je nai besoin dautre analyse du nombre 12

que celle qui mest immeacutediatement donneacutee dans leacutecriture (deacutecimale) de ce nombre

(ch iffre des dizaines 1 chiffre des uniteacutes 2) Mais si comme le scribe du papyrus

Rhind je ne sais multiplier que par duplications successives et additions je devrai

recourir agrave une analyse moins immeacutediate du nombre 12 (qui ne mest pas offerte par

leacutecriture deacutecimale actuelle) Il me faudra observer que 12 = 4 + 8 et calculer ainsi(33)

1 12 2 24 4 48 8 96

(33) Voir Smith 1953 p 106

73

dougrave je deacuteduirai que 12 X 12 = 12 X (4 + 8) = 48 + 96 = 144 De telles manleres

de faire qui se rencontrent encore agrave des dates rapprocheacutees(34) apparaissent agrave lutilisashy

teur contemporain comme des survivances dun acircge imparfait Un bon systegraveme

numeacuteration-algorithmes de calcul en effet doit ecirctre tel que toute linformation requise

pour mettre en œuvre les algorithmes de calcul soit donneacutee dembleacutee avec les nombres

donneacutes eacutecrits dans le langage numeacuterique utiliseacute cest-agrave-dire soit apparente dans leacutecriture

mecircme de ces nombres En dautres termes un bon systegraveme numeacuteration-algorithmes

reacutecuse tout appel aux matheacutematiques fucirct-ce sous une forme apparemment anodine

Lusager dun tel systegraveme est eacutevidemment supposeacute pouvoir calculer que 4 + 8 = 12

(ce pour quoi le systegraveme est fait) mai~ le contrat dutilisation qui regravegle ses rapports

avec le systegraveme exclut quil ait agrave penser que 12 = 4 + 8 Paradoxalement peut-ecirctre

lun des effets et sans doute des buts (poursuivis de maniegravere plus ou moins intentionshy

nelle) de lactiviteacute matheacutematique est de proposer agrave lusage social des proceacutedures non

matheacutematiques obtenues par deacutematheacutematisation progressive de proceacutedures agrave lorigine

proprement matheacutematiques Le fait est banal et geacuteneacuteral les progregraves de leacutelectronique

me dispensent aujourdhui du bricolage auquel eacutetaient tenus les utilisateurs du poste

agrave galegravene

En fait le royaume du calcul numeacuterique est reacutegi par la loi de simplification

inteacuterioriseacutee en habitus(35) dont lune des clauses est constitueacutee par le principe

dachegravevement des calculs Selon ce laquoprinciperaquo lexpression laquo4 + 8raquo ne saurait en

calcul numeacuterique figurer comme reacuteponse le calcul agrave ce stade eacutetant laquoinacheveacuteraquo (36)

Lexpression laquo4 + 8raquo ne saurait ainsi ecirctre quune forme transitoire labile (parce que

quatre plus huit eacutegale douze) et nexiste pas plus dune maniegravere libre que latome

doxygegravene en dehors de la moleacutecule deg 2

Il en va tout autrement avec la tradition laquonobleraquo de la laquotheacuteorie des nombresraquo

Les Pythagoriciens au tout deacutebut de la science grecque eacutelaborent ainsi toute une

conception de la repreacutesentation laquogeacuteomeacutetriqueraquo des nombres soit une arithmo-geacuteoshy

meacutetrie(37) Consideacuterons par exemple les entiers impairs 5 et 7 Leurs repreacutesentations

(34) Ibid

(35) P Bourdieu deacutesigne par habitus des laquosystegravemes de dispositions durables structures structureacutees preacutedisposeacutees agrave fonctionner comme structures structurantes cest-agrave-dire en tant que principe de geacuteneacuteration et de structuration de pratiques et de repreacutesentations ( hgt (Bourdieu 1974 p 175)

(36) Les Instructions de janvier 1957 (sur lesquelles nous revenons plus loin) parlent explicitement de laquocalcul conduit jusquagrave son achegravevementraquo fait rare et remarquable car il est de la nature dun habitus de ne pas supposer lexplicitation des principes agrave lorigine de son efficace

(37) Sur larithmo-geacuteomeacutetrie des Grecs voir Michel 1959 pp 295-325

74

figureacutees peuvent ecirctre disposeacutees ainsi

o o o o o

o o o o o

o 0 5 7

Reacuteunissons ces repreacutesentations de la maniegravere suiyante

o o o o

o o o o

o 0

o 0

En les regroupant adeacutequatement il apparaicirct que la somme 5 + 7 est Lin multiple de

4 (plus preacuteciseacutement que 5 + 7 = 3 X 4) -1------------ -------------1

1 shy10 Oi iO 011 1 1 shyi i 1

- 1shyj j - 1

rO Oi iO1

O shy

i -_------------ [-------------1 iO Oi 1 i 1

Jo oi i

De plus si on laquocomplegraveteraquo le carreacute on voit apparaicirctre immeacutediatement que 5 + 7 est

une diffeacuterence de deux carreacutes (plus preacuteciseacutement que 5 + 7 = 43 - 22 )

o o o o

o o o o

o o x x

o o x x Ces monstrations qui au sens strict nont de force deacutemonstrative que pour les valeurs

numeacuteriques particuliegraveres traiteacutees ont en fait une valeur geacuteneacuterique comme les figures

(et les deacutemonstrations quelles permettent) en geacuteomeacutetrie on nest pas loin dune

deacutemonstration valable pour tous les couples dimpairs conseacutecutifs Nous pouvons

reacutetrospectivement admirer la finesse intellectuelle que linvention et lemploi de

telles proceacutedures supposent Mais nous pouvons aussi voir que notre langage algeacutebrique

actuel (creacuteeacute par Viegravete Descartes et quelques autres) sinscrit dans le prolongement

de cette analyse du numeacuterique tout en la deacutepassant en souplesse et en puissance

75

Sur le mecircme problegraveme aujourdhui nous obtenons par exemple ceci soient 2p - 1

et 2p + 1 deux impairs conseacutecutifs leur somme (2p - 1) + (2p + 1) = 4p est un

multiple de 4 et puisque 4p = (p + 1) - (p - 1)2 elle seacutecrit aussi comme une

diffeacuterence de deux carreacutes Le langage nOuveau permet dabord de formuler le problegraveme

dans sa geacuteneacuteraliteacute puis de le reacutesoudre de maniegravere eacutegalement systeacutematique

Le calcul numeacuterique utilise le langage numeacuterique pour son pouvoir deacutesignatif

eSSentiellement laquo34raquo et laquo075raquo ou encore laquo4 + 8raquo et laquo12raquo sont agrave cet eacutegard eacutequivashy lents puisquils deacutesignent le mecircme nombre (simplement laquo34raquo est une fraction laquonon

effectueacuteeraquo laquo4 + 8raquo une somme non effectueacutee) ils sont des noms diffeacuterents pour

un mecircme ecirctre matheacutematique Larithmeacutetique laquoalgeacutebriqueraquo au contraire distingue

ces noms parce que bien quils deacutesignent la mecircme chose ils ne montrent pas la mecircme

chose (ils napportent pas la mecircme information monstrative) agrave propos de lecirctre matheacuteshy

matique dont ils sont deux noms diffeacuterents (ltlt4 + 8raquo ou mieux laquo22 +23 raquo montre

que 12 est une somme de puissances de deux etc) Cest ainsi que au cœur mecircme

du langage numeacuterique sinsinue un clivage et pour tout dire une tension entre deux

modes de fonctionnement lefficaciteacute deacutesignative (propre agrave lusage calculatoire du

langage numeacuterique) tend agrave ignorer lagrave valeur monstrative de lexpression eacutecrite le

principe dachegravevement des calculs voue agrave leacutepheacutemegraverelesmiddotltltnoms intermeacutediairesraquo et

laquo4 + 8raquo devient ainsi laquo12raquo sans quaucune trace nous soit conserveacutee de lhistoire

de ce laquo12raquo Ali contraire le langage algeacutebrique - notamment parce quil est une

meacutemoire - vient permettre de conserver de meilleure faccedilon linformation monstrative

et surtout de faire apparaicirctre linformation monstrative pertinente le passage en

simplification de lexpression (2p - 1) + (2p + 1) agrave lexpression 4p fait apparaicirctre

que (2p - 1-) + (2p+ 1) deacutesigne un nombre multiple de 4 le passage en complexifishy

cation de 4p agrave (p + 1)2 - (p - 1)2 fait apparaicirctre que (2p - 1) + (2p + 1) est une

diffeacuterence de deux carreacutes

La creacuteation du langage algeacutebrique permet de deacutegager plus nettement laprobleacuteshy

matique deacutetude du nurileacuterique en la posant - sans lopposer - agrave cocircteacute de la perspecshy

tive calculatrice Elle permet donc dexpliciter ce qui demeurait largement implicite shy

la copreacutesence de deux maniegraveres davoir affaire au numeacuterique - et par lagrave dapaiser

les tensions Mais son surgissement historique permet surtout de mieux maicirctriser

la dialectique du numeacuterique et de lalgeacutebrique jusque-lagrave conduite avec des moyens

matheacutematiques insuffisamment adeacutequats Lalgeacutebrique est un outil de leacutetude du

numeacuterique le premier outil le plus eacuteleacutementaire sans doute (agrave un niveau avanceacute intershy

viendraient par exemple la theacuteorie des seacuteries entiegraveres la theacuteorie des fonctions analytishy

ques etc) Mais inversement (et cest ce qui nous autorise agrave parler de dialectique)

pour que le fonctionnement de cet outil soit efficace il faut quelque peu eacutetudier

cet outil par exemple se poser les problegravemes de la factorisation des expressions algeacuteshy

briques (afin notamment de reacutesoudre des eacutequations algeacutebriques) Or en ce point le

numeacuterique lui-mecircme est un outil deacutetude agrave lalgeacutebrique le flux sinverse Sans parler

76

de toutes les meacutethodes numeacuteriques qui font appel le plus souvent agrave des proprieacuteteacutes

danalyse (cest-agrave-dire concernant le corps des reacuteels et les fonctions dune variable

reacuteelle par exemple) on peut citer - pour prendre un exemple assez gros pour ecirctre

tout agrave fait visible - le theacuteoregraveme dEinsenstein sur la factorisation dans Q[X] (38)

Newton dans son Arithmetica Universalis deacutejagrave mentionneacutee montre une grande attenshy

tion agrave ce genre de laquoretoursraquo du numeacuterique vers lalgeacutebrique Ainsi donne-t-i1 une

meacutethode ingeacutenieuse pour trouver les facteurs dune expression algeacutebrique(39)

Si par exemple la quantiteacute proposeacutee est x 3 - x - 10x + 6 agrave la place de x

je substitue successivement les termes de la progression arithmeacutetique 1 0 -1 il en

naicirctra les nombres -4 + 6 + 14 Je place chacun deux avec tous ses diviseurs dans

la ligne du terme de la progression 1 0 -1 qui la produit comme on peut le voir

dans lexemple suivant

1 4 124 +4 o 6 1 2 3 6 +3

- 1 14 1 2 7 14 +2

Ensuite comme le terme le plus eacuteleveacute x3 na pas de diviseur de luniteacute je

cherche parmi les diviseurs quelque progression dont les termes ne diffegraverent que

dune uniteacute et qui en descendant des plus forts au plus faibles deacutecroissent comme

ceux de la progression 10 -1 Je ne trouve quune progression de cette espegravece cest

4 3 2 Je prends donc le terme + 3 qui se trouve dans la mecircme ligne que 0 de la

premiegravere progression 1 0 -1 je le joins agrave x et je tente la division par x + 3 elle

reacuteussit et jobtiens pour quotient x 2 - 4x + 2

Au-delagrave de la disparition de la structure du corpus matheacutematique enseigneacute en arithshy

meacutetique et algegravebre cest la dialectique du numeacuterique et de lalgegravebre - implicitement

preacutesente agravetravers llaquooppositionraquo de larithmeacutetique et de lalgegravebre - qui va se trouver

atteinte Plus que jamais les liens du numeacuterique et de lalgeacutebrique sen trouveront

relacirccheacutes

VIII - UNE CONCEPTION EMPIRISTE DU REEL MATHEMATIQUE

Leffacement de lopposition arithmeacutetiquealgegravebre en effet altegravere les condishy

tions de la mise en rapport du numeacuterique et de lalgeacutebrique Lancien rapport doutil

(38) Soit PIt) = a + a t + + a t n un polynocircme agrave coefficients dans if Sil existe un nombre premier p tel que0 1) ~ rie divise ~as an 2) p divise a al an_l p2 ne divise pas ao alors P o est irreacuteductible sur O

(39) Arithmeacutetique universelle tome premier pp 47-48 Nous laissons au lecteur le soin dapporter la justification matheacutematique requise

77

de travail agrave objet travailleacute semble perdu Les deux domaines - le numeacuterique -le

litteacuteral - vont coexister dans une simple juxtaposition existants qui trouvent en

eux-mecircmes leur propre justification Les rapports naguegravere encore banals entre ces

deux ordres de reacutealiteacute matheacutematiques semblent deacutesormais abolis Ou plutocirct ils laissent

place agrave des rapports nouveaux et inverseacutes ce nest plus lalgeacutebrique qui vient pershy

mettre deacutetudier le numeacuterique cest le numeacuterique qui laquojustifieraquo et laquopermet de comshy

prendreraquo lalgeacutebrique Le document 5 extrait dun manuei de quatriegraveme actuel (40)

IIUDIFFeacute~ENCS ce ceux C~CIMAUX [

x-eD yeC zeC z-z -y signifie que z+y-z Comment est appel z pour z et y dans ct ordre Observe

13-(-7) z+-7)middot13

[+(-7)j+713+7 +[(-7)+71-13+7

+0-13+7 zo13+-7

z-z-y z+y-z

(+y) + (-y)- +-(-y) +(y+ (-y)]-x + (-y)

z+O-z + (-y) -+(-y)

Pour tout xde D pour tout y de 0 z - y est un deacutecimal et z - y = +(-y) Exemples 8-(-7)=8+7=15 9-14=9+(-14)=-5 Lopeacuteration- qui agrave chaque coupe (z y) z e 0 y E C fait correspondre le deacutecimal Z - J est la soustraction dans O

DOCUMENT 5

Lalgeacutebrique comme essence du numeacuterique

nous donne de ce pheacutenomegravene un exemple tregraves net lintention didactique est ici

de justifier le fait que x - y = x + (-y) Pour le matheacutematicien la laquojustificationraquo shy

qui est alors strictement une deacutemonstration - est toute entiegravere contenue dans la

colonne de droite si je deacutefinis en geacuteneacuteral-y comme eacutetant le nombre tel quey + (-y) = 0

et si les proprieacuteteacutes ordinaires - associativiteacute etc - valent encore pour le nouvel

ensemble de nombres ainsi deacutefini alors le nombre z que je dois ajouter agrave y pour

obtenir x - ce quon appelle la diffeacuterence de x et y et qUon note x - y - nest pas

autre chose que x + (-y) Or la laquojustificationraquo passe dans la didactique ici examineacutee

par lappel au concret cest-agrave-dire au numeacuterique tel est le rocircle de la colonne de

gauche Ce sont les calculs numeacuteriques de la colonne de gauche qui soutiendraient

le sens (pour leacutelegraveve) des calculs litteacuteraux de la colonne de droite Malheureusement

le contenu de la colonne de gauche est si lon peut dire hautement improbable

(401 Il sagifdu _manuel Matheacutematique contemporaine pour la classe de quatriegraveme publieacute chez Magnard et conforme au programme de1978shy

78

parce que le numeacuterique ne fonctionne pas ainsi En fait les calculs numeacuteriques preacuteshy

senteacutes ici nexistent quagrave ecirctre limage en miroir des calculs litteacuteraux de la colonne

de droite Et cest pour permettre de tels calculs que le langage algeacutebrique preacutecishy

seacutement est neacutecessaire Il y a ainsi meacuteprise sur la speacutecificiteacute des deux ordres de calcul

et conseacutequemment sur le type de rapports quils entretiennent la justification

de lalgeacutebrique sappuierait sur un mode de fonctionnement du numeacuterique qui nest

en fait quun deacutecalque du fonctionnement de lalgeacutebrique et qui donc suppose

lalgeacutebrique

Leacutelucidation du nouveau rapport qui saffirme ainsi nest pas chose facile Elle

est pourtant neacutecessaire afin de preacuteciser par delagrave la surface des programmes les mouveshy

ments profonds produisant des deacutecisions didactiques quon aurait tort de regarder

seulement comme des laquotrucsraquo eacuteleacutements atomiques de strateacutegies trouvant en ellesshy

mecircmes et dans leurs effets supposeacutes leur unique mobile Revenons agrave lexemple que

nous avons examineacute Lalgeacutebrique y apparaicirct comme la laquotheacuteorieraquo de cette laquoreacutealiteacuteraquo

que serait le numeacuterique Mais les relations en acte entre theacuteorie (permettant leacutetude)

et reacutealiteacute (objet de leacutetude) y ressortissent incontestablement agrave une conception empishy

riste (et mecircme nous allons le voir empiriste-sensualiste) de la connaissance Tel est

en fait le mobile - veacutecu sans doute comme allant de soi dans leacutevidence que lideacuteoshy

logie procure - de la tentative de laquofaire sortirraquo la theacuteorie (lalgeacutebrique) de la reacutealiteacute

(numeacuterique) Il ya ici inversion des rapports entre theacuteorie et reacutealiteacute Car le surgissement

du theacuteorique - faut-il le rappeler - ne sautorise jamais que de lui-mecircme et loin

de proceacuteder de la reacutealiteacute la constitue (ou la renouvelle) comme objet de connaissance

Si jeacutecris par exemple 13 + 7 = 13 - (-7) selon un fonctionnement du numeacuterique

antinomique de la pratique calculatoire (cest-agrave-dire arithmeacutetique) du numeacuterique shy

laquelle voudrait quon eacutecrivicirct 13 + 7 = 20 - je fais de lalgegravebre sur du numeacuterique

cest loutil algeacutebrique et lui seul qui me permet ce travail du numeacuterique Entre le

fonctionnement arithmeacutetique et le fonctionnement algeacutebrique du numeacuterique il y a

ainsi une distance - un saut - que nul proceacutedeacute dlaquoabstractionraquo ne peut venir combler

On aurait tort de penser que lanalyse preacuteceacutedente ne vaut que pour lexemple

sur laquelle nous lavons illustreacutee En reacutealiteacute sa porteacutee est beaucoup plus eacutetendue

et pour en saisir toute la signification il faut revenir agrave cette acmeacute de leacutevolution de

la transposition didactique que repreacutesente la reacuteforme de 1971 (celle des laquomatheacutemashy

tiques modernesraquo) Contrairement aux opinions aujourdhui dominantes qui selon

un opportunisme neacutecessaire et une constante inconstance reacutecusent cette reacuteforme

pour ses excegraves et la regardent comme laberration dun moment il faut tenir que cette

aberration nen est pas une quelle ne fait que preacutecipiter cristalliser et rendre explicites

des traits qui deacutejagrave se repegraverent dans leacutevolution des deacutecennies preacuteceacutedentes Elle est un

moment qui donne sens reacutetrospectivement agravece qui vient avant lui et deacutetermine

largement ce qui viendra apregraves lui Car sil y a en quelque faccedilon rupture cest sur le

fond dune tregraves large surdeacutetermination En profondeur le programme de 1971 - pour

79

sen tenir agrave la classe de quatriegraveme - constitue une radiographie saisissante dune

eacutevolution que le programme de 1978 nadoucira quen surface Cest cette image

laquodureraquo quil faut interroger

On a trop vitupeacutereacute linflation moderniste le parti pris theacuteoriciste lambition

de rigueur des matheacutematiques promues par la reacuteforme et trop peu vu derriegravere cet

eacutecran deux mouvements correacutelatifs moins spectaculaires mais deacuteterminants Le

premier - que nous avons deacutejagrave plusieurs fois mentionneacute - cest lenvahissement du

champ deacutetude par les structures numeacuteriques Les laquoexcegravesraquo du programme de 1971

sont le prix agrave payer pour ce coup de force qui se megravene alors - simple tactique dun

moment le programme de 1978 installera une version apaiseacutee de la mecircme strateacutegieshy

avec lartillerie lourde de laquolapproche des reacuteelsraquo des laquocalculs approcheacutesraquo des laquoencashy

drementsraquo de haute ambition matheacutematique Le seCond cest la peacuteneacutetration dun

thegraveme qui va devenir central celui de llaquoobservationraquo et de llaquoexpeacuterimentationraquo

matheacutematiques

Fausse moderniteacute ce thegraveme est mis en place degraves les Instructions de janvier

1957 (annexe 6a) dont les Instructions de 1971 se reacuteclameront non sans raicon Il

prend alors lallure dune reacuteflexion sur les liens entre matheacutematique et extramatheacutemashy

tique La caution bergsonienne ici invoqueacutee - homo taber homo sapiens - bien que

dateacutee est agrave cet eacutegard tregraves significative La perspective proposeacutee ne conduit pas tregraves

loin les problegravemes denseignement se trouvent laquoreacutesolusraquo par une didactique euphoshy

rique (annexe 6b) Au vrai la conjoncture historique qui verra la mise en place des

matheacutematiques modernes nest alors quincomplegravetement formeacutee Ce qui manque

encore afin que lideacutee dexpeacuterimentation puisse passer dans les faits cest une matiegravere

que lon pourrait soumettre agrave lobservation et agrave lexpeacuterience A cet eacutegard les Instrucshy

tions de 1957 raisonnent encore agrave lancienne la notion dexpeacuterimentation y est

surtout loccasion dune rheacutetorique qui tourne sur elle-mecircme faute de pouvoir sapplishy

quer Mais cette matiegravere dapplication qui fait deacutefaut la reacuteforme va lapporter en

abondance ce sera le numeacuterique dont nous comprenons mieux degraves lors la place

de choix que les programmes reacuteformeacutes vont lui accorder Son expansion se trouvait

en fait comme appeleacutee par lexigence laquoexpeacuterimentaleraquo induite par une certaine concepshy

tion eacutepisteacutemologique et didactique

Le deacutecor de laction est installeacute en consonance avec une mise en scegravene empiriste

du procegraves de connaissance(41) Il Y a la laquoreacutealiteacuteraquo qui est un donneacute dont la preacutesence

simpose avec la derniegravere force et il y a la laquotheacuteorieraquo de ce donneacute que lon preacutetend

tirer par abstraction de lobjet agrave laquelle elle se voue La dialectique du numeacuterique

et de lalgeacutebrique est alors perdue lun de ses termes (lalgeacutebrique) se dissout dans

(41) Pour lintelligence de ce qui suit nous renvoyons agrave Althusser 1968 notamment pp 38-45

80

lautre (le numeacuterique) agrave qui est octroyeacute par nature une existence presque mateacuterielle

et dont lalgeacutebrique proceacutedera geacuteneacutetiquement La reacuteforme de 1971 remanie donc

le champ deacutetude pour y produire de solides objets laquoreacuteelsraquo agrave forts coefficients dexis-shy

tence les structures numeacuteriques et aussi la mysteacuterieuse laquodroite physiqueraquo dont la

soudaine promotion ontologique serait autrement encore plus inexplicable(42) Cela

poseacute lintroduction du litteacuteral (lalgeacutebrique) sidentifie au mouvement par lequel

dans le procegraves empiriste de connaissance se repreacutesente lessence du reacuteel qui est toute

la connaissance que le sujet peut tirer de lobjet par abstraction il permet de distinguer

entre un reacuteel essentiel et un reacuteel inessentiel gangue ou accident que le processus

dabstraction abandonne comme un reacutesidu impenseacute Labstraction qui vise agrave porter

agrave la lumiegravere ce quon pourra connaicirctre de lobjet agit par deacutecrassage et deacutecapage

CHA~tTRbullbull tour dieacuteremcs ftiems de 1t 011 obti=c cIes putitioas cilifeacute=o~ Uuml fiIure 2 repreacutese1tt (parshy

tieJ1emenz) les paniagravecas ~ i- II-l 11--0 11 - - l~ = grouie agrave la loupe la paftiriœ cozrcspoadaDc agrave Il - - 2shy

f-oo( [Q10[

1 1

~ Q t

(-2 ~( T

[l 0 ( [01 ( r12 r i i i i J r sr

-1shy 0 t

1 1 1 1 1 1 1 1 shy 1 bull 1 1 1 11

-1 -01 001 lU 03 ~ o~ 06 07 oa 09 1 11

P4 041 ~l ~~I 041ds1 -i -o] OoJ O4l o~ 04S 04) ~ 1 ~1 1

fJvZ

li) De m=c si II eR lD1 emer œIaagravef acirczeacute et si CI pr=d tOlIœS les ftiems possibles da2s Z r=semblc cIes imenalles cie c

Jcr10 (CI + L 10

eR iJMpcrtirIcircD1f de C Uuml figure 3 repreacutes=œ (articllemcm) =œ putitioll p04 shy O~

r 1 i 1 T l 1 1 -5 -4shy -3 -2 -r agrave l Z ~ 4shy 5

~3

DOCUMENT6

Le deacutecapage du donneacute dans le processus empiriste de connaissance

(42) Voir Chevallard et Johsua 1982 notamment pp 200-203

81

agrave ce thegraveme geacuteneacuteral de la connaissance empiriste reacutepond correctement dans les proshy

grammes la notion dlaquoapprocheraquo ou dlaquoapproximationraquo des laquoreacuteelsraquo (qui nont jamais

aussi bien porteacute leur nom) Ceux-ci sont atteints par le moyen de purifications successhy

sives qui eacuteliminent peu agrave peu la gangue inessentielle Tel manuel (43) pris parmi tant

dautres- en offre la superbe illustration (document 6) limage de la loupe - emblegraveme

de la connaissance empiriste dont elle est linstrument privileacutegieacute parce quelle permet

de mieux voir et de faire voir - y est requise et symbolise mieux quun long commenshy

taire cette conception de la connaissance comme visant agrave amener linvisible agrave la

vue de tous

Une telle conception de la connaissance rate le reacuteel dont il sagirait preacuteciseacutement

de produire la connaissance parce quelle en manque la constitution comme objet

de connaissance(44) Lalgeacutebrique ne sert plus agrave connaicirctre le numeacuterique Il nest plus

deacutesormais quune steacutenographie middotessentialisante qui deacutecrit reacutesume et seacutepare lessence

de laccident Le surgissement laquomoderneraquo de la dichotomie de llaquoobservationraquo et de

la laquotheacuteorieraquo - que les manuels actuels reprennent agrave lenvi - est ainsi correacutelatif dune

dissolution de lobjet de connaissance au profit de lobjet reacuteel maintenant donneacute

agrave voir dans une abstraction reacuteputeacutee immeacutediate et facile Lordre didactique va sorgashy

niser autour de cette eacutepisteacutemologie imaginaire

REFERENCES

ALTHUSSER L (1968) Lire le Capital Franccedilois Maspeacutero Paris

BOURDIEU P (1974) Le sens pratique eacuteditions de Minuit Paris

BROUSSEAU G (1980) Problegravemes de lenseignement des deacutecimaux Recherches

en didactique des matheacutematiques 1middot1 pp 11-59

CHEVALLARD Y (1980a) Matheacutematiques langage enseignement la reacuteforme des

anneacutees soixante Recherches 41 pp 71-99

CHEVALLARD Y (1980b) La transposition didactique 1REM dAix-Marseille

CHEVALLARD Y (1982) Pourquoi la transposition didactique 7 Publication du

seacuteminaire de didactique et peacutedagogie des matheacutematiques 32 Grenoble

CHEVALLARD Y et JOHSUA MA (1982) Un exemple danalyse de la transposition

didactique Recherches en didactique des matheacutematiques 3 2 pp 157-239

MICHEL PH (1950) De Pythagore agrave Euclide Les Belles Lettres Paris

SMITH DE (1953) History of mathematics volume Il Dover publications Inc

New York

(43) Il sagit de louvrage mentionneacute dans la note 24 ci-dessus

(44) Sur la distinction entre laquoobjet reacuteelraquo et laquoobjet de connaissanceraquo voir Althusser 1968 pp 4649

82

CLASSE DE QUATRIEME CLASSIQUE A ET B ET DE QUATRIEME MODERNE

PROGRAMME DE 1945 (extraits)

Arithmeacutetique

Pratique sur des exemples de la deacutecomposition dun nombre entier en facteurs premiers de la recherche du plus grand commun diviseur et du plus petit commun multiple de deux ou plushysieurs nombres Applications aux fractions

Algegravebre

Nombres algeacutebriques (positifs nuls heacutegatifs) Opeacuterations sur ces nombres exposeacutes agrave partir de problegravemes concrets Ineacutegaliteacutes

Mesures algeacutebriques de vecteurs sur une droite orienteacutee Formule de Chasles Repeacuterage dun point sur un axe

Eleacutements du calcul algeacutebrique proprieacuteteacutes des sommes et des produits Puissances Produit et quotient de deux puissances dun nombre usage de lexposant nul et dexposants neacutegatifs

Monocircmes Produit de monocircmes Quotient de deux nombres Somme de monocircmes semblables (on se bornera agrave des monocircmes agrave une deux ou trois variables) Polynocircmes agrave une variable addition soustraction multiplication par une constante

Equations numeacuteriques du premie( degreacute agrave une inconnue Problegravemes conduisant agrave une eacutequation numeacuterique du premier degreacute agrave une inconnue

Annexe 1

83

CLASSE DE QUATRIEME

PROGRAMME DE 1958 (extraits)

Arithmeacutetique

Pratique sur des exemples de la deacutecomposition dun nombre entier en un produit de nomshybres premiers pratique de la recherche du plus grand diviseur commun et du plus petit multiple commun de deux ou plusieurs nombres Applications

Algegravebre

1 - Nombres relatifs (positifs nuls neacutegatifs) Orientation dun segment (vecteur) orientation dune droite (axe) mesure algeacutebrique

dun segment orienteacute sur un axe repeacuterage dun point sur un axe (abscisse)

II - Opeacuterations eacuteleacutementaires sur les nombres relatifs addition et soustraction multiplishycation et division

Extension aux nombres relatifs des proprieacuteteacutes fondamentales eacutetablies pour les nombres arithmeacutetiques (classe de cinquiegraveme) concernant les sommes les diffeacuterences les produits les puisshysances n-iegravemes les quotients linverse dun nombre non nul Condition pour quun produit soit nul

Deacutefinition des exposants neacutegatifs et de lexposant nul Comparaison des nombres relatifs ineacutegaliteacutes Ineacutegaliteacutes concernant la valeur absolue dune somme ou dune diffeacuterence Formule de Chasles pour trois points situeacutes sur un axe Segment deacutefini par les abscisses

des deLix points qui le limitent mesure algeacutebrique de ce segment orienteacute mesure de la longueur de ce segment abscisse du milieu de ce segment

III - Notions de variables et de correspondance entre variables Expressions algeacutebriques deacutependant dUne ou de plusieurs variables calcul de la valeur

numeacuterique dune expression algeacutebrique pour des valeurs numeacuteriques donneacutees aux Ymiddotariables Monocircmes agrave une ou plusieurs variables multiplication addition de monocircmes semblables Polynocircmes forme reacuteduite Polynocircmes ordonneacutes addition multiplication Identiteacutes relatives aux produits (x + y)2 (x - y)2 (x + y)(x - y)

IV - Equations position du problegraveme signification du signe = dans ce problegraveme Equashytions du premier degreacute agrave une inconnue agrave coefficients numeacuteriques Reacutesolution de problegravemes simples agrave laide dune telle eacutequation

Annexe 2

84

CLASSE DE QUATRIEME

PROGRAMME DE 1971 (extraits)

1 - Relations

Reacutevision -des notions preacutesenteacutees dans les classes anteacuterieures et compleacutements produit carteacutesien relation application composition des applications bijection cun ensemble sur un ensemble et bijection reacuteciproque

Notion de groupe deacutefinition (on la jeacutegagera des exemples du programme)

II - Nombres deacutecimaux relatifs et approche de reacuteel

1 Groupe des puissances de dix

Nombres deacutecimaux relatifs eacutecrits a 10n avec a e7l et p E7 et sous forme de nombres agrave virgule addition multiplication ordre valeur absolue Reacutesumeacute des proprieacuteteacutes fondamentales de lensemble ainsi structureacute des deacutecimaux relatifs

2 Calculs approcheacutes

a) EnC3drement dun nombre deacutecimal par des intervalles des types [a 10pbull (a + 1) 10middot[ da 101 (a + 1) 10- [a 10pbull (a + 1) 101] avec a E Z et p E Z Sur des exelJlples encamiddot drement middotdune somme dun produit

b) Exercices de deacutetermination pour un deacutecimal strictement positif d donneacute et pour un entier relatif n donneacute du nombre deacutecimal x bull 10 avec x E IN tel que soient veacuterifieacutees les ineacutegaliteacutes 0 ~d x 10 ~ 1 lt d (x + 1) 10

c) Exercices de deacutetermination pour un deacutecimal strictement positif d donneacute et pour un entier relatif n jonneacute du nombre deacutecimal y bull 10 avec y E IN tel que soient veacuterifieacutees les ineacutegaliteacutes [y 10P ~ d lt [(y + 1) 10]

d) Suites deacutecimales illimiteacutees nombres reacuteels encadrements dun nombre reacuteel

3 Enumeacuteration des principales proprieacuteteacutes qui structurent fensemble IR des reacuteels addition (IR +) est un groupe commutatif multiplication associashytiYiteacute distributiviteacute par rapport agravefaddition ordre et valoeur absolue

On admettra que pour tout nombre reacuteel a jiffeacuterent de 0 il existe un nombre reacuteel a-1 et un seul tel que aa-1 = 1 Pour tout couple de nombres reacuteels (a b) avec a = 0 il existe un nombre reacuteel unique x appeleacute quotient de b par a

b et noteacute ba-1 ou - tel que ax = b a

Exercices simples de calcul sur de tels quotients Sur des exemples -numeacuteriques eacutequations et ineacutequations du premier degr9 agrave une inconnue

Usage des exposants entiers groupe des puissances dun nombre reacuteel non nul

Calculs approcheacutes sur les nombres reacuteels

4 Exemples de fonctions polynocircmes (applications de IR dans IR) Degreacute Exercices de calcul SUT les polynocircmes Produits (x + a)2 (x - a)2 (x + a) (x - a) Exercices de factorisation

Annexe 3

85

ENCYCLOPEDIE QUILLET (1958)

TABLE DES MATIERES (extraits)

ARITBMEacuteTIQUE Notio~ preacute1i1Ji~ajres - Ideacutee de nombrebullbullbullbull 153 NumeratIon decmale bullbullbullbullbullbullbullbull 156 ~esure des grŒDdeurs bullbullbullbullbullbull bullbullbullbull 159 Nombresmiddot deacutecUDauxbullbullbullbullbullbullbullbullbullbull 169 Ladditionbullbull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull 165 La soustraction bull bull bull bull bull bull bull bull bull 168 La ~~qplication bullbullbullbullbullbullbull1 bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bullbull 171 La diVISIon 178

Regravegle de trois bull bull 117 Pourcentages bullbullbull 119 Partages proportionnels 110 ~~langes bullbull i bull bullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbull 111 Alliages bull 111 Regravegles dinteacuterecircts 124 Rentes sur Pltat 116 Actins et obli~tions - Escompte 117

Problegravemes sur les quatre opeacutemtions bull bull bull 184 La divisibiliteacute bull bull bull bull bull bull bull bull 186 Plus grŒDd commun diviseur (p G C D) 189 Plus petit commun multiple (P P C M) 191 Nombres premiers bullbullbullbullbullbullbullbull 192 Les fractions bull bull bull bull bull 194 Opeacuterations sur les fractions 197 Sys~egraveme meacute~que 203 Racme carree 207 Rapports - Proportions 2 II

Grandeurs Proportionnelles 215

Connge des exercces ~ 130

Annexe4a

ALGEgraveBRE Notions preacuteliminaires bullbullbullbull 157 Opeacutemtions sur les nombres algeacutebriques (somme

diffeacuterence multiplicationmiddot division des nombres algeacutebriques fractions ou rapports algeacutebriques puissances racines) bull bull 160

Qpeacuterations sur les expressions algeacutebriques bull 168 gquations du premier degreacute 278 Reacutesolution des problegravemes du premier degreacute agrave une

inconnue bullbullbullbullbullbullbullbullbull 186 gquations et problegravemes du premier degreacute agrave deux

ou plusieurs inconnues bull bull 191 Notions sur les repreacutesentations graphiques bull bull 301

Variation des fonctions 313 Deacuteriveacutees bullbull bull bull 319

~uations et problegravemes du second degreacute bull bull 312

ProgressionsetlogaritbInesmiddotmiddotmiddotmiddot middotmiddot middotmiddotmiddot middot331 Table de logarithmes de 1 agrave 1 000 bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull 338 Application des logarithmes Inteacuterecircts composeacutes et

annuiteacutes bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull 343 Corcigeacute des ex~ces bullbull ~ bullbullbullbullbullbullbull 348

Annexe4b

73

dougrave je deacuteduirai que 12 X 12 = 12 X (4 + 8) = 48 + 96 = 144 De telles manleres

de faire qui se rencontrent encore agrave des dates rapprocheacutees(34) apparaissent agrave lutilisashy

teur contemporain comme des survivances dun acircge imparfait Un bon systegraveme

numeacuteration-algorithmes de calcul en effet doit ecirctre tel que toute linformation requise

pour mettre en œuvre les algorithmes de calcul soit donneacutee dembleacutee avec les nombres

donneacutes eacutecrits dans le langage numeacuterique utiliseacute cest-agrave-dire soit apparente dans leacutecriture

mecircme de ces nombres En dautres termes un bon systegraveme numeacuteration-algorithmes

reacutecuse tout appel aux matheacutematiques fucirct-ce sous une forme apparemment anodine

Lusager dun tel systegraveme est eacutevidemment supposeacute pouvoir calculer que 4 + 8 = 12

(ce pour quoi le systegraveme est fait) mai~ le contrat dutilisation qui regravegle ses rapports

avec le systegraveme exclut quil ait agrave penser que 12 = 4 + 8 Paradoxalement peut-ecirctre

lun des effets et sans doute des buts (poursuivis de maniegravere plus ou moins intentionshy

nelle) de lactiviteacute matheacutematique est de proposer agrave lusage social des proceacutedures non

matheacutematiques obtenues par deacutematheacutematisation progressive de proceacutedures agrave lorigine

proprement matheacutematiques Le fait est banal et geacuteneacuteral les progregraves de leacutelectronique

me dispensent aujourdhui du bricolage auquel eacutetaient tenus les utilisateurs du poste

agrave galegravene

En fait le royaume du calcul numeacuterique est reacutegi par la loi de simplification

inteacuterioriseacutee en habitus(35) dont lune des clauses est constitueacutee par le principe

dachegravevement des calculs Selon ce laquoprinciperaquo lexpression laquo4 + 8raquo ne saurait en

calcul numeacuterique figurer comme reacuteponse le calcul agrave ce stade eacutetant laquoinacheveacuteraquo (36)

Lexpression laquo4 + 8raquo ne saurait ainsi ecirctre quune forme transitoire labile (parce que

quatre plus huit eacutegale douze) et nexiste pas plus dune maniegravere libre que latome

doxygegravene en dehors de la moleacutecule deg 2

Il en va tout autrement avec la tradition laquonobleraquo de la laquotheacuteorie des nombresraquo

Les Pythagoriciens au tout deacutebut de la science grecque eacutelaborent ainsi toute une

conception de la repreacutesentation laquogeacuteomeacutetriqueraquo des nombres soit une arithmo-geacuteoshy

meacutetrie(37) Consideacuterons par exemple les entiers impairs 5 et 7 Leurs repreacutesentations

(34) Ibid

(35) P Bourdieu deacutesigne par habitus des laquosystegravemes de dispositions durables structures structureacutees preacutedisposeacutees agrave fonctionner comme structures structurantes cest-agrave-dire en tant que principe de geacuteneacuteration et de structuration de pratiques et de repreacutesentations ( hgt (Bourdieu 1974 p 175)

(36) Les Instructions de janvier 1957 (sur lesquelles nous revenons plus loin) parlent explicitement de laquocalcul conduit jusquagrave son achegravevementraquo fait rare et remarquable car il est de la nature dun habitus de ne pas supposer lexplicitation des principes agrave lorigine de son efficace

(37) Sur larithmo-geacuteomeacutetrie des Grecs voir Michel 1959 pp 295-325

74

figureacutees peuvent ecirctre disposeacutees ainsi

o o o o o

o o o o o

o 0 5 7

Reacuteunissons ces repreacutesentations de la maniegravere suiyante

o o o o

o o o o

o 0

o 0

En les regroupant adeacutequatement il apparaicirct que la somme 5 + 7 est Lin multiple de

4 (plus preacuteciseacutement que 5 + 7 = 3 X 4) -1------------ -------------1

1 shy10 Oi iO 011 1 1 shyi i 1

- 1shyj j - 1

rO Oi iO1

O shy

i -_------------ [-------------1 iO Oi 1 i 1

Jo oi i

De plus si on laquocomplegraveteraquo le carreacute on voit apparaicirctre immeacutediatement que 5 + 7 est

une diffeacuterence de deux carreacutes (plus preacuteciseacutement que 5 + 7 = 43 - 22 )

o o o o

o o o o

o o x x

o o x x Ces monstrations qui au sens strict nont de force deacutemonstrative que pour les valeurs

numeacuteriques particuliegraveres traiteacutees ont en fait une valeur geacuteneacuterique comme les figures

(et les deacutemonstrations quelles permettent) en geacuteomeacutetrie on nest pas loin dune

deacutemonstration valable pour tous les couples dimpairs conseacutecutifs Nous pouvons

reacutetrospectivement admirer la finesse intellectuelle que linvention et lemploi de

telles proceacutedures supposent Mais nous pouvons aussi voir que notre langage algeacutebrique

actuel (creacuteeacute par Viegravete Descartes et quelques autres) sinscrit dans le prolongement

de cette analyse du numeacuterique tout en la deacutepassant en souplesse et en puissance

75

Sur le mecircme problegraveme aujourdhui nous obtenons par exemple ceci soient 2p - 1

et 2p + 1 deux impairs conseacutecutifs leur somme (2p - 1) + (2p + 1) = 4p est un

multiple de 4 et puisque 4p = (p + 1) - (p - 1)2 elle seacutecrit aussi comme une

diffeacuterence de deux carreacutes Le langage nOuveau permet dabord de formuler le problegraveme

dans sa geacuteneacuteraliteacute puis de le reacutesoudre de maniegravere eacutegalement systeacutematique

Le calcul numeacuterique utilise le langage numeacuterique pour son pouvoir deacutesignatif

eSSentiellement laquo34raquo et laquo075raquo ou encore laquo4 + 8raquo et laquo12raquo sont agrave cet eacutegard eacutequivashy lents puisquils deacutesignent le mecircme nombre (simplement laquo34raquo est une fraction laquonon

effectueacuteeraquo laquo4 + 8raquo une somme non effectueacutee) ils sont des noms diffeacuterents pour

un mecircme ecirctre matheacutematique Larithmeacutetique laquoalgeacutebriqueraquo au contraire distingue

ces noms parce que bien quils deacutesignent la mecircme chose ils ne montrent pas la mecircme

chose (ils napportent pas la mecircme information monstrative) agrave propos de lecirctre matheacuteshy

matique dont ils sont deux noms diffeacuterents (ltlt4 + 8raquo ou mieux laquo22 +23 raquo montre

que 12 est une somme de puissances de deux etc) Cest ainsi que au cœur mecircme

du langage numeacuterique sinsinue un clivage et pour tout dire une tension entre deux

modes de fonctionnement lefficaciteacute deacutesignative (propre agrave lusage calculatoire du

langage numeacuterique) tend agrave ignorer lagrave valeur monstrative de lexpression eacutecrite le

principe dachegravevement des calculs voue agrave leacutepheacutemegraverelesmiddotltltnoms intermeacutediairesraquo et

laquo4 + 8raquo devient ainsi laquo12raquo sans quaucune trace nous soit conserveacutee de lhistoire

de ce laquo12raquo Ali contraire le langage algeacutebrique - notamment parce quil est une

meacutemoire - vient permettre de conserver de meilleure faccedilon linformation monstrative

et surtout de faire apparaicirctre linformation monstrative pertinente le passage en

simplification de lexpression (2p - 1) + (2p + 1) agrave lexpression 4p fait apparaicirctre

que (2p - 1-) + (2p+ 1) deacutesigne un nombre multiple de 4 le passage en complexifishy

cation de 4p agrave (p + 1)2 - (p - 1)2 fait apparaicirctre que (2p - 1) + (2p + 1) est une

diffeacuterence de deux carreacutes

La creacuteation du langage algeacutebrique permet de deacutegager plus nettement laprobleacuteshy

matique deacutetude du nurileacuterique en la posant - sans lopposer - agrave cocircteacute de la perspecshy

tive calculatrice Elle permet donc dexpliciter ce qui demeurait largement implicite shy

la copreacutesence de deux maniegraveres davoir affaire au numeacuterique - et par lagrave dapaiser

les tensions Mais son surgissement historique permet surtout de mieux maicirctriser

la dialectique du numeacuterique et de lalgeacutebrique jusque-lagrave conduite avec des moyens

matheacutematiques insuffisamment adeacutequats Lalgeacutebrique est un outil de leacutetude du

numeacuterique le premier outil le plus eacuteleacutementaire sans doute (agrave un niveau avanceacute intershy

viendraient par exemple la theacuteorie des seacuteries entiegraveres la theacuteorie des fonctions analytishy

ques etc) Mais inversement (et cest ce qui nous autorise agrave parler de dialectique)

pour que le fonctionnement de cet outil soit efficace il faut quelque peu eacutetudier

cet outil par exemple se poser les problegravemes de la factorisation des expressions algeacuteshy

briques (afin notamment de reacutesoudre des eacutequations algeacutebriques) Or en ce point le

numeacuterique lui-mecircme est un outil deacutetude agrave lalgeacutebrique le flux sinverse Sans parler

76

de toutes les meacutethodes numeacuteriques qui font appel le plus souvent agrave des proprieacuteteacutes

danalyse (cest-agrave-dire concernant le corps des reacuteels et les fonctions dune variable

reacuteelle par exemple) on peut citer - pour prendre un exemple assez gros pour ecirctre

tout agrave fait visible - le theacuteoregraveme dEinsenstein sur la factorisation dans Q[X] (38)

Newton dans son Arithmetica Universalis deacutejagrave mentionneacutee montre une grande attenshy

tion agrave ce genre de laquoretoursraquo du numeacuterique vers lalgeacutebrique Ainsi donne-t-i1 une

meacutethode ingeacutenieuse pour trouver les facteurs dune expression algeacutebrique(39)

Si par exemple la quantiteacute proposeacutee est x 3 - x - 10x + 6 agrave la place de x

je substitue successivement les termes de la progression arithmeacutetique 1 0 -1 il en

naicirctra les nombres -4 + 6 + 14 Je place chacun deux avec tous ses diviseurs dans

la ligne du terme de la progression 1 0 -1 qui la produit comme on peut le voir

dans lexemple suivant

1 4 124 +4 o 6 1 2 3 6 +3

- 1 14 1 2 7 14 +2

Ensuite comme le terme le plus eacuteleveacute x3 na pas de diviseur de luniteacute je

cherche parmi les diviseurs quelque progression dont les termes ne diffegraverent que

dune uniteacute et qui en descendant des plus forts au plus faibles deacutecroissent comme

ceux de la progression 10 -1 Je ne trouve quune progression de cette espegravece cest

4 3 2 Je prends donc le terme + 3 qui se trouve dans la mecircme ligne que 0 de la

premiegravere progression 1 0 -1 je le joins agrave x et je tente la division par x + 3 elle

reacuteussit et jobtiens pour quotient x 2 - 4x + 2

Au-delagrave de la disparition de la structure du corpus matheacutematique enseigneacute en arithshy

meacutetique et algegravebre cest la dialectique du numeacuterique et de lalgegravebre - implicitement

preacutesente agravetravers llaquooppositionraquo de larithmeacutetique et de lalgegravebre - qui va se trouver

atteinte Plus que jamais les liens du numeacuterique et de lalgeacutebrique sen trouveront

relacirccheacutes

VIII - UNE CONCEPTION EMPIRISTE DU REEL MATHEMATIQUE

Leffacement de lopposition arithmeacutetiquealgegravebre en effet altegravere les condishy

tions de la mise en rapport du numeacuterique et de lalgeacutebrique Lancien rapport doutil

(38) Soit PIt) = a + a t + + a t n un polynocircme agrave coefficients dans if Sil existe un nombre premier p tel que0 1) ~ rie divise ~as an 2) p divise a al an_l p2 ne divise pas ao alors P o est irreacuteductible sur O

(39) Arithmeacutetique universelle tome premier pp 47-48 Nous laissons au lecteur le soin dapporter la justification matheacutematique requise

77

de travail agrave objet travailleacute semble perdu Les deux domaines - le numeacuterique -le

litteacuteral - vont coexister dans une simple juxtaposition existants qui trouvent en

eux-mecircmes leur propre justification Les rapports naguegravere encore banals entre ces

deux ordres de reacutealiteacute matheacutematiques semblent deacutesormais abolis Ou plutocirct ils laissent

place agrave des rapports nouveaux et inverseacutes ce nest plus lalgeacutebrique qui vient pershy

mettre deacutetudier le numeacuterique cest le numeacuterique qui laquojustifieraquo et laquopermet de comshy

prendreraquo lalgeacutebrique Le document 5 extrait dun manuei de quatriegraveme actuel (40)

IIUDIFFeacute~ENCS ce ceux C~CIMAUX [

x-eD yeC zeC z-z -y signifie que z+y-z Comment est appel z pour z et y dans ct ordre Observe

13-(-7) z+-7)middot13

[+(-7)j+713+7 +[(-7)+71-13+7

+0-13+7 zo13+-7

z-z-y z+y-z

(+y) + (-y)- +-(-y) +(y+ (-y)]-x + (-y)

z+O-z + (-y) -+(-y)

Pour tout xde D pour tout y de 0 z - y est un deacutecimal et z - y = +(-y) Exemples 8-(-7)=8+7=15 9-14=9+(-14)=-5 Lopeacuteration- qui agrave chaque coupe (z y) z e 0 y E C fait correspondre le deacutecimal Z - J est la soustraction dans O

DOCUMENT 5

Lalgeacutebrique comme essence du numeacuterique

nous donne de ce pheacutenomegravene un exemple tregraves net lintention didactique est ici

de justifier le fait que x - y = x + (-y) Pour le matheacutematicien la laquojustificationraquo shy

qui est alors strictement une deacutemonstration - est toute entiegravere contenue dans la

colonne de droite si je deacutefinis en geacuteneacuteral-y comme eacutetant le nombre tel quey + (-y) = 0

et si les proprieacuteteacutes ordinaires - associativiteacute etc - valent encore pour le nouvel

ensemble de nombres ainsi deacutefini alors le nombre z que je dois ajouter agrave y pour

obtenir x - ce quon appelle la diffeacuterence de x et y et qUon note x - y - nest pas

autre chose que x + (-y) Or la laquojustificationraquo passe dans la didactique ici examineacutee

par lappel au concret cest-agrave-dire au numeacuterique tel est le rocircle de la colonne de

gauche Ce sont les calculs numeacuteriques de la colonne de gauche qui soutiendraient

le sens (pour leacutelegraveve) des calculs litteacuteraux de la colonne de droite Malheureusement

le contenu de la colonne de gauche est si lon peut dire hautement improbable

(401 Il sagifdu _manuel Matheacutematique contemporaine pour la classe de quatriegraveme publieacute chez Magnard et conforme au programme de1978shy

78

parce que le numeacuterique ne fonctionne pas ainsi En fait les calculs numeacuteriques preacuteshy

senteacutes ici nexistent quagrave ecirctre limage en miroir des calculs litteacuteraux de la colonne

de droite Et cest pour permettre de tels calculs que le langage algeacutebrique preacutecishy

seacutement est neacutecessaire Il y a ainsi meacuteprise sur la speacutecificiteacute des deux ordres de calcul

et conseacutequemment sur le type de rapports quils entretiennent la justification

de lalgeacutebrique sappuierait sur un mode de fonctionnement du numeacuterique qui nest

en fait quun deacutecalque du fonctionnement de lalgeacutebrique et qui donc suppose

lalgeacutebrique

Leacutelucidation du nouveau rapport qui saffirme ainsi nest pas chose facile Elle

est pourtant neacutecessaire afin de preacuteciser par delagrave la surface des programmes les mouveshy

ments profonds produisant des deacutecisions didactiques quon aurait tort de regarder

seulement comme des laquotrucsraquo eacuteleacutements atomiques de strateacutegies trouvant en ellesshy

mecircmes et dans leurs effets supposeacutes leur unique mobile Revenons agrave lexemple que

nous avons examineacute Lalgeacutebrique y apparaicirct comme la laquotheacuteorieraquo de cette laquoreacutealiteacuteraquo

que serait le numeacuterique Mais les relations en acte entre theacuteorie (permettant leacutetude)

et reacutealiteacute (objet de leacutetude) y ressortissent incontestablement agrave une conception empishy

riste (et mecircme nous allons le voir empiriste-sensualiste) de la connaissance Tel est

en fait le mobile - veacutecu sans doute comme allant de soi dans leacutevidence que lideacuteoshy

logie procure - de la tentative de laquofaire sortirraquo la theacuteorie (lalgeacutebrique) de la reacutealiteacute

(numeacuterique) Il ya ici inversion des rapports entre theacuteorie et reacutealiteacute Car le surgissement

du theacuteorique - faut-il le rappeler - ne sautorise jamais que de lui-mecircme et loin

de proceacuteder de la reacutealiteacute la constitue (ou la renouvelle) comme objet de connaissance

Si jeacutecris par exemple 13 + 7 = 13 - (-7) selon un fonctionnement du numeacuterique

antinomique de la pratique calculatoire (cest-agrave-dire arithmeacutetique) du numeacuterique shy

laquelle voudrait quon eacutecrivicirct 13 + 7 = 20 - je fais de lalgegravebre sur du numeacuterique

cest loutil algeacutebrique et lui seul qui me permet ce travail du numeacuterique Entre le

fonctionnement arithmeacutetique et le fonctionnement algeacutebrique du numeacuterique il y a

ainsi une distance - un saut - que nul proceacutedeacute dlaquoabstractionraquo ne peut venir combler

On aurait tort de penser que lanalyse preacuteceacutedente ne vaut que pour lexemple

sur laquelle nous lavons illustreacutee En reacutealiteacute sa porteacutee est beaucoup plus eacutetendue

et pour en saisir toute la signification il faut revenir agrave cette acmeacute de leacutevolution de

la transposition didactique que repreacutesente la reacuteforme de 1971 (celle des laquomatheacutemashy

tiques modernesraquo) Contrairement aux opinions aujourdhui dominantes qui selon

un opportunisme neacutecessaire et une constante inconstance reacutecusent cette reacuteforme

pour ses excegraves et la regardent comme laberration dun moment il faut tenir que cette

aberration nen est pas une quelle ne fait que preacutecipiter cristalliser et rendre explicites

des traits qui deacutejagrave se repegraverent dans leacutevolution des deacutecennies preacuteceacutedentes Elle est un

moment qui donne sens reacutetrospectivement agravece qui vient avant lui et deacutetermine

largement ce qui viendra apregraves lui Car sil y a en quelque faccedilon rupture cest sur le

fond dune tregraves large surdeacutetermination En profondeur le programme de 1971 - pour

79

sen tenir agrave la classe de quatriegraveme - constitue une radiographie saisissante dune

eacutevolution que le programme de 1978 nadoucira quen surface Cest cette image

laquodureraquo quil faut interroger

On a trop vitupeacutereacute linflation moderniste le parti pris theacuteoriciste lambition

de rigueur des matheacutematiques promues par la reacuteforme et trop peu vu derriegravere cet

eacutecran deux mouvements correacutelatifs moins spectaculaires mais deacuteterminants Le

premier - que nous avons deacutejagrave plusieurs fois mentionneacute - cest lenvahissement du

champ deacutetude par les structures numeacuteriques Les laquoexcegravesraquo du programme de 1971

sont le prix agrave payer pour ce coup de force qui se megravene alors - simple tactique dun

moment le programme de 1978 installera une version apaiseacutee de la mecircme strateacutegieshy

avec lartillerie lourde de laquolapproche des reacuteelsraquo des laquocalculs approcheacutesraquo des laquoencashy

drementsraquo de haute ambition matheacutematique Le seCond cest la peacuteneacutetration dun

thegraveme qui va devenir central celui de llaquoobservationraquo et de llaquoexpeacuterimentationraquo

matheacutematiques

Fausse moderniteacute ce thegraveme est mis en place degraves les Instructions de janvier

1957 (annexe 6a) dont les Instructions de 1971 se reacuteclameront non sans raicon Il

prend alors lallure dune reacuteflexion sur les liens entre matheacutematique et extramatheacutemashy

tique La caution bergsonienne ici invoqueacutee - homo taber homo sapiens - bien que

dateacutee est agrave cet eacutegard tregraves significative La perspective proposeacutee ne conduit pas tregraves

loin les problegravemes denseignement se trouvent laquoreacutesolusraquo par une didactique euphoshy

rique (annexe 6b) Au vrai la conjoncture historique qui verra la mise en place des

matheacutematiques modernes nest alors quincomplegravetement formeacutee Ce qui manque

encore afin que lideacutee dexpeacuterimentation puisse passer dans les faits cest une matiegravere

que lon pourrait soumettre agrave lobservation et agrave lexpeacuterience A cet eacutegard les Instrucshy

tions de 1957 raisonnent encore agrave lancienne la notion dexpeacuterimentation y est

surtout loccasion dune rheacutetorique qui tourne sur elle-mecircme faute de pouvoir sapplishy

quer Mais cette matiegravere dapplication qui fait deacutefaut la reacuteforme va lapporter en

abondance ce sera le numeacuterique dont nous comprenons mieux degraves lors la place

de choix que les programmes reacuteformeacutes vont lui accorder Son expansion se trouvait

en fait comme appeleacutee par lexigence laquoexpeacuterimentaleraquo induite par une certaine concepshy

tion eacutepisteacutemologique et didactique

Le deacutecor de laction est installeacute en consonance avec une mise en scegravene empiriste

du procegraves de connaissance(41) Il Y a la laquoreacutealiteacuteraquo qui est un donneacute dont la preacutesence

simpose avec la derniegravere force et il y a la laquotheacuteorieraquo de ce donneacute que lon preacutetend

tirer par abstraction de lobjet agrave laquelle elle se voue La dialectique du numeacuterique

et de lalgeacutebrique est alors perdue lun de ses termes (lalgeacutebrique) se dissout dans

(41) Pour lintelligence de ce qui suit nous renvoyons agrave Althusser 1968 notamment pp 38-45

80

lautre (le numeacuterique) agrave qui est octroyeacute par nature une existence presque mateacuterielle

et dont lalgeacutebrique proceacutedera geacuteneacutetiquement La reacuteforme de 1971 remanie donc

le champ deacutetude pour y produire de solides objets laquoreacuteelsraquo agrave forts coefficients dexis-shy

tence les structures numeacuteriques et aussi la mysteacuterieuse laquodroite physiqueraquo dont la

soudaine promotion ontologique serait autrement encore plus inexplicable(42) Cela

poseacute lintroduction du litteacuteral (lalgeacutebrique) sidentifie au mouvement par lequel

dans le procegraves empiriste de connaissance se repreacutesente lessence du reacuteel qui est toute

la connaissance que le sujet peut tirer de lobjet par abstraction il permet de distinguer

entre un reacuteel essentiel et un reacuteel inessentiel gangue ou accident que le processus

dabstraction abandonne comme un reacutesidu impenseacute Labstraction qui vise agrave porter

agrave la lumiegravere ce quon pourra connaicirctre de lobjet agit par deacutecrassage et deacutecapage

CHA~tTRbullbull tour dieacuteremcs ftiems de 1t 011 obti=c cIes putitioas cilifeacute=o~ Uuml fiIure 2 repreacutese1tt (parshy

tieJ1emenz) les paniagravecas ~ i- II-l 11--0 11 - - l~ = grouie agrave la loupe la paftiriœ cozrcspoadaDc agrave Il - - 2shy

f-oo( [Q10[

1 1

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[l 0 ( [01 ( r12 r i i i i J r sr

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1 1 1 1 1 1 1 1 shy 1 bull 1 1 1 11

-1 -01 001 lU 03 ~ o~ 06 07 oa 09 1 11

P4 041 ~l ~~I 041ds1 -i -o] OoJ O4l o~ 04S 04) ~ 1 ~1 1

fJvZ

li) De m=c si II eR lD1 emer œIaagravef acirczeacute et si CI pr=d tOlIœS les ftiems possibles da2s Z r=semblc cIes imenalles cie c

Jcr10 (CI + L 10

eR iJMpcrtirIcircD1f de C Uuml figure 3 repreacutes=œ (articllemcm) =œ putitioll p04 shy O~

r 1 i 1 T l 1 1 -5 -4shy -3 -2 -r agrave l Z ~ 4shy 5

~3

DOCUMENT6

Le deacutecapage du donneacute dans le processus empiriste de connaissance

(42) Voir Chevallard et Johsua 1982 notamment pp 200-203

81

agrave ce thegraveme geacuteneacuteral de la connaissance empiriste reacutepond correctement dans les proshy

grammes la notion dlaquoapprocheraquo ou dlaquoapproximationraquo des laquoreacuteelsraquo (qui nont jamais

aussi bien porteacute leur nom) Ceux-ci sont atteints par le moyen de purifications successhy

sives qui eacuteliminent peu agrave peu la gangue inessentielle Tel manuel (43) pris parmi tant

dautres- en offre la superbe illustration (document 6) limage de la loupe - emblegraveme

de la connaissance empiriste dont elle est linstrument privileacutegieacute parce quelle permet

de mieux voir et de faire voir - y est requise et symbolise mieux quun long commenshy

taire cette conception de la connaissance comme visant agrave amener linvisible agrave la

vue de tous

Une telle conception de la connaissance rate le reacuteel dont il sagirait preacuteciseacutement

de produire la connaissance parce quelle en manque la constitution comme objet

de connaissance(44) Lalgeacutebrique ne sert plus agrave connaicirctre le numeacuterique Il nest plus

deacutesormais quune steacutenographie middotessentialisante qui deacutecrit reacutesume et seacutepare lessence

de laccident Le surgissement laquomoderneraquo de la dichotomie de llaquoobservationraquo et de

la laquotheacuteorieraquo - que les manuels actuels reprennent agrave lenvi - est ainsi correacutelatif dune

dissolution de lobjet de connaissance au profit de lobjet reacuteel maintenant donneacute

agrave voir dans une abstraction reacuteputeacutee immeacutediate et facile Lordre didactique va sorgashy

niser autour de cette eacutepisteacutemologie imaginaire

REFERENCES

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BOURDIEU P (1974) Le sens pratique eacuteditions de Minuit Paris

BROUSSEAU G (1980) Problegravemes de lenseignement des deacutecimaux Recherches

en didactique des matheacutematiques 1middot1 pp 11-59

CHEVALLARD Y (1980a) Matheacutematiques langage enseignement la reacuteforme des

anneacutees soixante Recherches 41 pp 71-99

CHEVALLARD Y (1980b) La transposition didactique 1REM dAix-Marseille

CHEVALLARD Y (1982) Pourquoi la transposition didactique 7 Publication du

seacuteminaire de didactique et peacutedagogie des matheacutematiques 32 Grenoble

CHEVALLARD Y et JOHSUA MA (1982) Un exemple danalyse de la transposition

didactique Recherches en didactique des matheacutematiques 3 2 pp 157-239

MICHEL PH (1950) De Pythagore agrave Euclide Les Belles Lettres Paris

SMITH DE (1953) History of mathematics volume Il Dover publications Inc

New York

(43) Il sagit de louvrage mentionneacute dans la note 24 ci-dessus

(44) Sur la distinction entre laquoobjet reacuteelraquo et laquoobjet de connaissanceraquo voir Althusser 1968 pp 4649

82

CLASSE DE QUATRIEME CLASSIQUE A ET B ET DE QUATRIEME MODERNE

PROGRAMME DE 1945 (extraits)

Arithmeacutetique

Pratique sur des exemples de la deacutecomposition dun nombre entier en facteurs premiers de la recherche du plus grand commun diviseur et du plus petit commun multiple de deux ou plushysieurs nombres Applications aux fractions

Algegravebre

Nombres algeacutebriques (positifs nuls heacutegatifs) Opeacuterations sur ces nombres exposeacutes agrave partir de problegravemes concrets Ineacutegaliteacutes

Mesures algeacutebriques de vecteurs sur une droite orienteacutee Formule de Chasles Repeacuterage dun point sur un axe

Eleacutements du calcul algeacutebrique proprieacuteteacutes des sommes et des produits Puissances Produit et quotient de deux puissances dun nombre usage de lexposant nul et dexposants neacutegatifs

Monocircmes Produit de monocircmes Quotient de deux nombres Somme de monocircmes semblables (on se bornera agrave des monocircmes agrave une deux ou trois variables) Polynocircmes agrave une variable addition soustraction multiplication par une constante

Equations numeacuteriques du premie( degreacute agrave une inconnue Problegravemes conduisant agrave une eacutequation numeacuterique du premier degreacute agrave une inconnue

Annexe 1

83

CLASSE DE QUATRIEME

PROGRAMME DE 1958 (extraits)

Arithmeacutetique

Pratique sur des exemples de la deacutecomposition dun nombre entier en un produit de nomshybres premiers pratique de la recherche du plus grand diviseur commun et du plus petit multiple commun de deux ou plusieurs nombres Applications

Algegravebre

1 - Nombres relatifs (positifs nuls neacutegatifs) Orientation dun segment (vecteur) orientation dune droite (axe) mesure algeacutebrique

dun segment orienteacute sur un axe repeacuterage dun point sur un axe (abscisse)

II - Opeacuterations eacuteleacutementaires sur les nombres relatifs addition et soustraction multiplishycation et division

Extension aux nombres relatifs des proprieacuteteacutes fondamentales eacutetablies pour les nombres arithmeacutetiques (classe de cinquiegraveme) concernant les sommes les diffeacuterences les produits les puisshysances n-iegravemes les quotients linverse dun nombre non nul Condition pour quun produit soit nul

Deacutefinition des exposants neacutegatifs et de lexposant nul Comparaison des nombres relatifs ineacutegaliteacutes Ineacutegaliteacutes concernant la valeur absolue dune somme ou dune diffeacuterence Formule de Chasles pour trois points situeacutes sur un axe Segment deacutefini par les abscisses

des deLix points qui le limitent mesure algeacutebrique de ce segment orienteacute mesure de la longueur de ce segment abscisse du milieu de ce segment

III - Notions de variables et de correspondance entre variables Expressions algeacutebriques deacutependant dUne ou de plusieurs variables calcul de la valeur

numeacuterique dune expression algeacutebrique pour des valeurs numeacuteriques donneacutees aux Ymiddotariables Monocircmes agrave une ou plusieurs variables multiplication addition de monocircmes semblables Polynocircmes forme reacuteduite Polynocircmes ordonneacutes addition multiplication Identiteacutes relatives aux produits (x + y)2 (x - y)2 (x + y)(x - y)

IV - Equations position du problegraveme signification du signe = dans ce problegraveme Equashytions du premier degreacute agrave une inconnue agrave coefficients numeacuteriques Reacutesolution de problegravemes simples agrave laide dune telle eacutequation

Annexe 2

84

CLASSE DE QUATRIEME

PROGRAMME DE 1971 (extraits)

1 - Relations

Reacutevision -des notions preacutesenteacutees dans les classes anteacuterieures et compleacutements produit carteacutesien relation application composition des applications bijection cun ensemble sur un ensemble et bijection reacuteciproque

Notion de groupe deacutefinition (on la jeacutegagera des exemples du programme)

II - Nombres deacutecimaux relatifs et approche de reacuteel

1 Groupe des puissances de dix

Nombres deacutecimaux relatifs eacutecrits a 10n avec a e7l et p E7 et sous forme de nombres agrave virgule addition multiplication ordre valeur absolue Reacutesumeacute des proprieacuteteacutes fondamentales de lensemble ainsi structureacute des deacutecimaux relatifs

2 Calculs approcheacutes

a) EnC3drement dun nombre deacutecimal par des intervalles des types [a 10pbull (a + 1) 10middot[ da 101 (a + 1) 10- [a 10pbull (a + 1) 101] avec a E Z et p E Z Sur des exelJlples encamiddot drement middotdune somme dun produit

b) Exercices de deacutetermination pour un deacutecimal strictement positif d donneacute et pour un entier relatif n donneacute du nombre deacutecimal x bull 10 avec x E IN tel que soient veacuterifieacutees les ineacutegaliteacutes 0 ~d x 10 ~ 1 lt d (x + 1) 10

c) Exercices de deacutetermination pour un deacutecimal strictement positif d donneacute et pour un entier relatif n jonneacute du nombre deacutecimal y bull 10 avec y E IN tel que soient veacuterifieacutees les ineacutegaliteacutes [y 10P ~ d lt [(y + 1) 10]

d) Suites deacutecimales illimiteacutees nombres reacuteels encadrements dun nombre reacuteel

3 Enumeacuteration des principales proprieacuteteacutes qui structurent fensemble IR des reacuteels addition (IR +) est un groupe commutatif multiplication associashytiYiteacute distributiviteacute par rapport agravefaddition ordre et valoeur absolue

On admettra que pour tout nombre reacuteel a jiffeacuterent de 0 il existe un nombre reacuteel a-1 et un seul tel que aa-1 = 1 Pour tout couple de nombres reacuteels (a b) avec a = 0 il existe un nombre reacuteel unique x appeleacute quotient de b par a

b et noteacute ba-1 ou - tel que ax = b a

Exercices simples de calcul sur de tels quotients Sur des exemples -numeacuteriques eacutequations et ineacutequations du premier degr9 agrave une inconnue

Usage des exposants entiers groupe des puissances dun nombre reacuteel non nul

Calculs approcheacutes sur les nombres reacuteels

4 Exemples de fonctions polynocircmes (applications de IR dans IR) Degreacute Exercices de calcul SUT les polynocircmes Produits (x + a)2 (x - a)2 (x + a) (x - a) Exercices de factorisation

Annexe 3

85

ENCYCLOPEDIE QUILLET (1958)

TABLE DES MATIERES (extraits)

ARITBMEacuteTIQUE Notio~ preacute1i1Ji~ajres - Ideacutee de nombrebullbullbullbull 153 NumeratIon decmale bullbullbullbullbullbullbullbull 156 ~esure des grŒDdeurs bullbullbullbullbullbull bullbullbullbull 159 Nombresmiddot deacutecUDauxbullbullbullbullbullbullbullbullbullbull 169 Ladditionbullbull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull 165 La soustraction bull bull bull bull bull bull bull bull bull 168 La ~~qplication bullbullbullbullbullbullbull1 bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bullbull 171 La diVISIon 178

Regravegle de trois bull bull 117 Pourcentages bullbullbull 119 Partages proportionnels 110 ~~langes bullbull i bull bullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbull 111 Alliages bull 111 Regravegles dinteacuterecircts 124 Rentes sur Pltat 116 Actins et obli~tions - Escompte 117

Problegravemes sur les quatre opeacutemtions bull bull bull 184 La divisibiliteacute bull bull bull bull bull bull bull bull 186 Plus grŒDd commun diviseur (p G C D) 189 Plus petit commun multiple (P P C M) 191 Nombres premiers bullbullbullbullbullbullbullbull 192 Les fractions bull bull bull bull bull 194 Opeacuterations sur les fractions 197 Sys~egraveme meacute~que 203 Racme carree 207 Rapports - Proportions 2 II

Grandeurs Proportionnelles 215

Connge des exercces ~ 130

Annexe4a

ALGEgraveBRE Notions preacuteliminaires bullbullbullbull 157 Opeacutemtions sur les nombres algeacutebriques (somme

diffeacuterence multiplicationmiddot division des nombres algeacutebriques fractions ou rapports algeacutebriques puissances racines) bull bull 160

Qpeacuterations sur les expressions algeacutebriques bull 168 gquations du premier degreacute 278 Reacutesolution des problegravemes du premier degreacute agrave une

inconnue bullbullbullbullbullbullbullbullbull 186 gquations et problegravemes du premier degreacute agrave deux

ou plusieurs inconnues bull bull 191 Notions sur les repreacutesentations graphiques bull bull 301

Variation des fonctions 313 Deacuteriveacutees bullbull bull bull 319

~uations et problegravemes du second degreacute bull bull 312

ProgressionsetlogaritbInesmiddotmiddotmiddotmiddot middotmiddot middotmiddotmiddot middot331 Table de logarithmes de 1 agrave 1 000 bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull 338 Application des logarithmes Inteacuterecircts composeacutes et

annuiteacutes bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull 343 Corcigeacute des ex~ces bullbull ~ bullbullbullbullbullbullbull 348

Annexe4b

74

figureacutees peuvent ecirctre disposeacutees ainsi

o o o o o

o o o o o

o 0 5 7

Reacuteunissons ces repreacutesentations de la maniegravere suiyante

o o o o

o o o o

o 0

o 0

En les regroupant adeacutequatement il apparaicirct que la somme 5 + 7 est Lin multiple de

4 (plus preacuteciseacutement que 5 + 7 = 3 X 4) -1------------ -------------1

1 shy10 Oi iO 011 1 1 shyi i 1

- 1shyj j - 1

rO Oi iO1

O shy

i -_------------ [-------------1 iO Oi 1 i 1

Jo oi i

De plus si on laquocomplegraveteraquo le carreacute on voit apparaicirctre immeacutediatement que 5 + 7 est

une diffeacuterence de deux carreacutes (plus preacuteciseacutement que 5 + 7 = 43 - 22 )

o o o o

o o o o

o o x x

o o x x Ces monstrations qui au sens strict nont de force deacutemonstrative que pour les valeurs

numeacuteriques particuliegraveres traiteacutees ont en fait une valeur geacuteneacuterique comme les figures

(et les deacutemonstrations quelles permettent) en geacuteomeacutetrie on nest pas loin dune

deacutemonstration valable pour tous les couples dimpairs conseacutecutifs Nous pouvons

reacutetrospectivement admirer la finesse intellectuelle que linvention et lemploi de

telles proceacutedures supposent Mais nous pouvons aussi voir que notre langage algeacutebrique

actuel (creacuteeacute par Viegravete Descartes et quelques autres) sinscrit dans le prolongement

de cette analyse du numeacuterique tout en la deacutepassant en souplesse et en puissance

75

Sur le mecircme problegraveme aujourdhui nous obtenons par exemple ceci soient 2p - 1

et 2p + 1 deux impairs conseacutecutifs leur somme (2p - 1) + (2p + 1) = 4p est un

multiple de 4 et puisque 4p = (p + 1) - (p - 1)2 elle seacutecrit aussi comme une

diffeacuterence de deux carreacutes Le langage nOuveau permet dabord de formuler le problegraveme

dans sa geacuteneacuteraliteacute puis de le reacutesoudre de maniegravere eacutegalement systeacutematique

Le calcul numeacuterique utilise le langage numeacuterique pour son pouvoir deacutesignatif

eSSentiellement laquo34raquo et laquo075raquo ou encore laquo4 + 8raquo et laquo12raquo sont agrave cet eacutegard eacutequivashy lents puisquils deacutesignent le mecircme nombre (simplement laquo34raquo est une fraction laquonon

effectueacuteeraquo laquo4 + 8raquo une somme non effectueacutee) ils sont des noms diffeacuterents pour

un mecircme ecirctre matheacutematique Larithmeacutetique laquoalgeacutebriqueraquo au contraire distingue

ces noms parce que bien quils deacutesignent la mecircme chose ils ne montrent pas la mecircme

chose (ils napportent pas la mecircme information monstrative) agrave propos de lecirctre matheacuteshy

matique dont ils sont deux noms diffeacuterents (ltlt4 + 8raquo ou mieux laquo22 +23 raquo montre

que 12 est une somme de puissances de deux etc) Cest ainsi que au cœur mecircme

du langage numeacuterique sinsinue un clivage et pour tout dire une tension entre deux

modes de fonctionnement lefficaciteacute deacutesignative (propre agrave lusage calculatoire du

langage numeacuterique) tend agrave ignorer lagrave valeur monstrative de lexpression eacutecrite le

principe dachegravevement des calculs voue agrave leacutepheacutemegraverelesmiddotltltnoms intermeacutediairesraquo et

laquo4 + 8raquo devient ainsi laquo12raquo sans quaucune trace nous soit conserveacutee de lhistoire

de ce laquo12raquo Ali contraire le langage algeacutebrique - notamment parce quil est une

meacutemoire - vient permettre de conserver de meilleure faccedilon linformation monstrative

et surtout de faire apparaicirctre linformation monstrative pertinente le passage en

simplification de lexpression (2p - 1) + (2p + 1) agrave lexpression 4p fait apparaicirctre

que (2p - 1-) + (2p+ 1) deacutesigne un nombre multiple de 4 le passage en complexifishy

cation de 4p agrave (p + 1)2 - (p - 1)2 fait apparaicirctre que (2p - 1) + (2p + 1) est une

diffeacuterence de deux carreacutes

La creacuteation du langage algeacutebrique permet de deacutegager plus nettement laprobleacuteshy

matique deacutetude du nurileacuterique en la posant - sans lopposer - agrave cocircteacute de la perspecshy

tive calculatrice Elle permet donc dexpliciter ce qui demeurait largement implicite shy

la copreacutesence de deux maniegraveres davoir affaire au numeacuterique - et par lagrave dapaiser

les tensions Mais son surgissement historique permet surtout de mieux maicirctriser

la dialectique du numeacuterique et de lalgeacutebrique jusque-lagrave conduite avec des moyens

matheacutematiques insuffisamment adeacutequats Lalgeacutebrique est un outil de leacutetude du

numeacuterique le premier outil le plus eacuteleacutementaire sans doute (agrave un niveau avanceacute intershy

viendraient par exemple la theacuteorie des seacuteries entiegraveres la theacuteorie des fonctions analytishy

ques etc) Mais inversement (et cest ce qui nous autorise agrave parler de dialectique)

pour que le fonctionnement de cet outil soit efficace il faut quelque peu eacutetudier

cet outil par exemple se poser les problegravemes de la factorisation des expressions algeacuteshy

briques (afin notamment de reacutesoudre des eacutequations algeacutebriques) Or en ce point le

numeacuterique lui-mecircme est un outil deacutetude agrave lalgeacutebrique le flux sinverse Sans parler

76

de toutes les meacutethodes numeacuteriques qui font appel le plus souvent agrave des proprieacuteteacutes

danalyse (cest-agrave-dire concernant le corps des reacuteels et les fonctions dune variable

reacuteelle par exemple) on peut citer - pour prendre un exemple assez gros pour ecirctre

tout agrave fait visible - le theacuteoregraveme dEinsenstein sur la factorisation dans Q[X] (38)

Newton dans son Arithmetica Universalis deacutejagrave mentionneacutee montre une grande attenshy

tion agrave ce genre de laquoretoursraquo du numeacuterique vers lalgeacutebrique Ainsi donne-t-i1 une

meacutethode ingeacutenieuse pour trouver les facteurs dune expression algeacutebrique(39)

Si par exemple la quantiteacute proposeacutee est x 3 - x - 10x + 6 agrave la place de x

je substitue successivement les termes de la progression arithmeacutetique 1 0 -1 il en

naicirctra les nombres -4 + 6 + 14 Je place chacun deux avec tous ses diviseurs dans

la ligne du terme de la progression 1 0 -1 qui la produit comme on peut le voir

dans lexemple suivant

1 4 124 +4 o 6 1 2 3 6 +3

- 1 14 1 2 7 14 +2

Ensuite comme le terme le plus eacuteleveacute x3 na pas de diviseur de luniteacute je

cherche parmi les diviseurs quelque progression dont les termes ne diffegraverent que

dune uniteacute et qui en descendant des plus forts au plus faibles deacutecroissent comme

ceux de la progression 10 -1 Je ne trouve quune progression de cette espegravece cest

4 3 2 Je prends donc le terme + 3 qui se trouve dans la mecircme ligne que 0 de la

premiegravere progression 1 0 -1 je le joins agrave x et je tente la division par x + 3 elle

reacuteussit et jobtiens pour quotient x 2 - 4x + 2

Au-delagrave de la disparition de la structure du corpus matheacutematique enseigneacute en arithshy

meacutetique et algegravebre cest la dialectique du numeacuterique et de lalgegravebre - implicitement

preacutesente agravetravers llaquooppositionraquo de larithmeacutetique et de lalgegravebre - qui va se trouver

atteinte Plus que jamais les liens du numeacuterique et de lalgeacutebrique sen trouveront

relacirccheacutes

VIII - UNE CONCEPTION EMPIRISTE DU REEL MATHEMATIQUE

Leffacement de lopposition arithmeacutetiquealgegravebre en effet altegravere les condishy

tions de la mise en rapport du numeacuterique et de lalgeacutebrique Lancien rapport doutil

(38) Soit PIt) = a + a t + + a t n un polynocircme agrave coefficients dans if Sil existe un nombre premier p tel que0 1) ~ rie divise ~as an 2) p divise a al an_l p2 ne divise pas ao alors P o est irreacuteductible sur O

(39) Arithmeacutetique universelle tome premier pp 47-48 Nous laissons au lecteur le soin dapporter la justification matheacutematique requise

77

de travail agrave objet travailleacute semble perdu Les deux domaines - le numeacuterique -le

litteacuteral - vont coexister dans une simple juxtaposition existants qui trouvent en

eux-mecircmes leur propre justification Les rapports naguegravere encore banals entre ces

deux ordres de reacutealiteacute matheacutematiques semblent deacutesormais abolis Ou plutocirct ils laissent

place agrave des rapports nouveaux et inverseacutes ce nest plus lalgeacutebrique qui vient pershy

mettre deacutetudier le numeacuterique cest le numeacuterique qui laquojustifieraquo et laquopermet de comshy

prendreraquo lalgeacutebrique Le document 5 extrait dun manuei de quatriegraveme actuel (40)

IIUDIFFeacute~ENCS ce ceux C~CIMAUX [

x-eD yeC zeC z-z -y signifie que z+y-z Comment est appel z pour z et y dans ct ordre Observe

13-(-7) z+-7)middot13

[+(-7)j+713+7 +[(-7)+71-13+7

+0-13+7 zo13+-7

z-z-y z+y-z

(+y) + (-y)- +-(-y) +(y+ (-y)]-x + (-y)

z+O-z + (-y) -+(-y)

Pour tout xde D pour tout y de 0 z - y est un deacutecimal et z - y = +(-y) Exemples 8-(-7)=8+7=15 9-14=9+(-14)=-5 Lopeacuteration- qui agrave chaque coupe (z y) z e 0 y E C fait correspondre le deacutecimal Z - J est la soustraction dans O

DOCUMENT 5

Lalgeacutebrique comme essence du numeacuterique

nous donne de ce pheacutenomegravene un exemple tregraves net lintention didactique est ici

de justifier le fait que x - y = x + (-y) Pour le matheacutematicien la laquojustificationraquo shy

qui est alors strictement une deacutemonstration - est toute entiegravere contenue dans la

colonne de droite si je deacutefinis en geacuteneacuteral-y comme eacutetant le nombre tel quey + (-y) = 0

et si les proprieacuteteacutes ordinaires - associativiteacute etc - valent encore pour le nouvel

ensemble de nombres ainsi deacutefini alors le nombre z que je dois ajouter agrave y pour

obtenir x - ce quon appelle la diffeacuterence de x et y et qUon note x - y - nest pas

autre chose que x + (-y) Or la laquojustificationraquo passe dans la didactique ici examineacutee

par lappel au concret cest-agrave-dire au numeacuterique tel est le rocircle de la colonne de

gauche Ce sont les calculs numeacuteriques de la colonne de gauche qui soutiendraient

le sens (pour leacutelegraveve) des calculs litteacuteraux de la colonne de droite Malheureusement

le contenu de la colonne de gauche est si lon peut dire hautement improbable

(401 Il sagifdu _manuel Matheacutematique contemporaine pour la classe de quatriegraveme publieacute chez Magnard et conforme au programme de1978shy

78

parce que le numeacuterique ne fonctionne pas ainsi En fait les calculs numeacuteriques preacuteshy

senteacutes ici nexistent quagrave ecirctre limage en miroir des calculs litteacuteraux de la colonne

de droite Et cest pour permettre de tels calculs que le langage algeacutebrique preacutecishy

seacutement est neacutecessaire Il y a ainsi meacuteprise sur la speacutecificiteacute des deux ordres de calcul

et conseacutequemment sur le type de rapports quils entretiennent la justification

de lalgeacutebrique sappuierait sur un mode de fonctionnement du numeacuterique qui nest

en fait quun deacutecalque du fonctionnement de lalgeacutebrique et qui donc suppose

lalgeacutebrique

Leacutelucidation du nouveau rapport qui saffirme ainsi nest pas chose facile Elle

est pourtant neacutecessaire afin de preacuteciser par delagrave la surface des programmes les mouveshy

ments profonds produisant des deacutecisions didactiques quon aurait tort de regarder

seulement comme des laquotrucsraquo eacuteleacutements atomiques de strateacutegies trouvant en ellesshy

mecircmes et dans leurs effets supposeacutes leur unique mobile Revenons agrave lexemple que

nous avons examineacute Lalgeacutebrique y apparaicirct comme la laquotheacuteorieraquo de cette laquoreacutealiteacuteraquo

que serait le numeacuterique Mais les relations en acte entre theacuteorie (permettant leacutetude)

et reacutealiteacute (objet de leacutetude) y ressortissent incontestablement agrave une conception empishy

riste (et mecircme nous allons le voir empiriste-sensualiste) de la connaissance Tel est

en fait le mobile - veacutecu sans doute comme allant de soi dans leacutevidence que lideacuteoshy

logie procure - de la tentative de laquofaire sortirraquo la theacuteorie (lalgeacutebrique) de la reacutealiteacute

(numeacuterique) Il ya ici inversion des rapports entre theacuteorie et reacutealiteacute Car le surgissement

du theacuteorique - faut-il le rappeler - ne sautorise jamais que de lui-mecircme et loin

de proceacuteder de la reacutealiteacute la constitue (ou la renouvelle) comme objet de connaissance

Si jeacutecris par exemple 13 + 7 = 13 - (-7) selon un fonctionnement du numeacuterique

antinomique de la pratique calculatoire (cest-agrave-dire arithmeacutetique) du numeacuterique shy

laquelle voudrait quon eacutecrivicirct 13 + 7 = 20 - je fais de lalgegravebre sur du numeacuterique

cest loutil algeacutebrique et lui seul qui me permet ce travail du numeacuterique Entre le

fonctionnement arithmeacutetique et le fonctionnement algeacutebrique du numeacuterique il y a

ainsi une distance - un saut - que nul proceacutedeacute dlaquoabstractionraquo ne peut venir combler

On aurait tort de penser que lanalyse preacuteceacutedente ne vaut que pour lexemple

sur laquelle nous lavons illustreacutee En reacutealiteacute sa porteacutee est beaucoup plus eacutetendue

et pour en saisir toute la signification il faut revenir agrave cette acmeacute de leacutevolution de

la transposition didactique que repreacutesente la reacuteforme de 1971 (celle des laquomatheacutemashy

tiques modernesraquo) Contrairement aux opinions aujourdhui dominantes qui selon

un opportunisme neacutecessaire et une constante inconstance reacutecusent cette reacuteforme

pour ses excegraves et la regardent comme laberration dun moment il faut tenir que cette

aberration nen est pas une quelle ne fait que preacutecipiter cristalliser et rendre explicites

des traits qui deacutejagrave se repegraverent dans leacutevolution des deacutecennies preacuteceacutedentes Elle est un

moment qui donne sens reacutetrospectivement agravece qui vient avant lui et deacutetermine

largement ce qui viendra apregraves lui Car sil y a en quelque faccedilon rupture cest sur le

fond dune tregraves large surdeacutetermination En profondeur le programme de 1971 - pour

79

sen tenir agrave la classe de quatriegraveme - constitue une radiographie saisissante dune

eacutevolution que le programme de 1978 nadoucira quen surface Cest cette image

laquodureraquo quil faut interroger

On a trop vitupeacutereacute linflation moderniste le parti pris theacuteoriciste lambition

de rigueur des matheacutematiques promues par la reacuteforme et trop peu vu derriegravere cet

eacutecran deux mouvements correacutelatifs moins spectaculaires mais deacuteterminants Le

premier - que nous avons deacutejagrave plusieurs fois mentionneacute - cest lenvahissement du

champ deacutetude par les structures numeacuteriques Les laquoexcegravesraquo du programme de 1971

sont le prix agrave payer pour ce coup de force qui se megravene alors - simple tactique dun

moment le programme de 1978 installera une version apaiseacutee de la mecircme strateacutegieshy

avec lartillerie lourde de laquolapproche des reacuteelsraquo des laquocalculs approcheacutesraquo des laquoencashy

drementsraquo de haute ambition matheacutematique Le seCond cest la peacuteneacutetration dun

thegraveme qui va devenir central celui de llaquoobservationraquo et de llaquoexpeacuterimentationraquo

matheacutematiques

Fausse moderniteacute ce thegraveme est mis en place degraves les Instructions de janvier

1957 (annexe 6a) dont les Instructions de 1971 se reacuteclameront non sans raicon Il

prend alors lallure dune reacuteflexion sur les liens entre matheacutematique et extramatheacutemashy

tique La caution bergsonienne ici invoqueacutee - homo taber homo sapiens - bien que

dateacutee est agrave cet eacutegard tregraves significative La perspective proposeacutee ne conduit pas tregraves

loin les problegravemes denseignement se trouvent laquoreacutesolusraquo par une didactique euphoshy

rique (annexe 6b) Au vrai la conjoncture historique qui verra la mise en place des

matheacutematiques modernes nest alors quincomplegravetement formeacutee Ce qui manque

encore afin que lideacutee dexpeacuterimentation puisse passer dans les faits cest une matiegravere

que lon pourrait soumettre agrave lobservation et agrave lexpeacuterience A cet eacutegard les Instrucshy

tions de 1957 raisonnent encore agrave lancienne la notion dexpeacuterimentation y est

surtout loccasion dune rheacutetorique qui tourne sur elle-mecircme faute de pouvoir sapplishy

quer Mais cette matiegravere dapplication qui fait deacutefaut la reacuteforme va lapporter en

abondance ce sera le numeacuterique dont nous comprenons mieux degraves lors la place

de choix que les programmes reacuteformeacutes vont lui accorder Son expansion se trouvait

en fait comme appeleacutee par lexigence laquoexpeacuterimentaleraquo induite par une certaine concepshy

tion eacutepisteacutemologique et didactique

Le deacutecor de laction est installeacute en consonance avec une mise en scegravene empiriste

du procegraves de connaissance(41) Il Y a la laquoreacutealiteacuteraquo qui est un donneacute dont la preacutesence

simpose avec la derniegravere force et il y a la laquotheacuteorieraquo de ce donneacute que lon preacutetend

tirer par abstraction de lobjet agrave laquelle elle se voue La dialectique du numeacuterique

et de lalgeacutebrique est alors perdue lun de ses termes (lalgeacutebrique) se dissout dans

(41) Pour lintelligence de ce qui suit nous renvoyons agrave Althusser 1968 notamment pp 38-45

80

lautre (le numeacuterique) agrave qui est octroyeacute par nature une existence presque mateacuterielle

et dont lalgeacutebrique proceacutedera geacuteneacutetiquement La reacuteforme de 1971 remanie donc

le champ deacutetude pour y produire de solides objets laquoreacuteelsraquo agrave forts coefficients dexis-shy

tence les structures numeacuteriques et aussi la mysteacuterieuse laquodroite physiqueraquo dont la

soudaine promotion ontologique serait autrement encore plus inexplicable(42) Cela

poseacute lintroduction du litteacuteral (lalgeacutebrique) sidentifie au mouvement par lequel

dans le procegraves empiriste de connaissance se repreacutesente lessence du reacuteel qui est toute

la connaissance que le sujet peut tirer de lobjet par abstraction il permet de distinguer

entre un reacuteel essentiel et un reacuteel inessentiel gangue ou accident que le processus

dabstraction abandonne comme un reacutesidu impenseacute Labstraction qui vise agrave porter

agrave la lumiegravere ce quon pourra connaicirctre de lobjet agit par deacutecrassage et deacutecapage

CHA~tTRbullbull tour dieacuteremcs ftiems de 1t 011 obti=c cIes putitioas cilifeacute=o~ Uuml fiIure 2 repreacutese1tt (parshy

tieJ1emenz) les paniagravecas ~ i- II-l 11--0 11 - - l~ = grouie agrave la loupe la paftiriœ cozrcspoadaDc agrave Il - - 2shy

f-oo( [Q10[

1 1

~ Q t

(-2 ~( T

[l 0 ( [01 ( r12 r i i i i J r sr

-1shy 0 t

1 1 1 1 1 1 1 1 shy 1 bull 1 1 1 11

-1 -01 001 lU 03 ~ o~ 06 07 oa 09 1 11

P4 041 ~l ~~I 041ds1 -i -o] OoJ O4l o~ 04S 04) ~ 1 ~1 1

fJvZ

li) De m=c si II eR lD1 emer œIaagravef acirczeacute et si CI pr=d tOlIœS les ftiems possibles da2s Z r=semblc cIes imenalles cie c

Jcr10 (CI + L 10

eR iJMpcrtirIcircD1f de C Uuml figure 3 repreacutes=œ (articllemcm) =œ putitioll p04 shy O~

r 1 i 1 T l 1 1 -5 -4shy -3 -2 -r agrave l Z ~ 4shy 5

~3

DOCUMENT6

Le deacutecapage du donneacute dans le processus empiriste de connaissance

(42) Voir Chevallard et Johsua 1982 notamment pp 200-203

81

agrave ce thegraveme geacuteneacuteral de la connaissance empiriste reacutepond correctement dans les proshy

grammes la notion dlaquoapprocheraquo ou dlaquoapproximationraquo des laquoreacuteelsraquo (qui nont jamais

aussi bien porteacute leur nom) Ceux-ci sont atteints par le moyen de purifications successhy

sives qui eacuteliminent peu agrave peu la gangue inessentielle Tel manuel (43) pris parmi tant

dautres- en offre la superbe illustration (document 6) limage de la loupe - emblegraveme

de la connaissance empiriste dont elle est linstrument privileacutegieacute parce quelle permet

de mieux voir et de faire voir - y est requise et symbolise mieux quun long commenshy

taire cette conception de la connaissance comme visant agrave amener linvisible agrave la

vue de tous

Une telle conception de la connaissance rate le reacuteel dont il sagirait preacuteciseacutement

de produire la connaissance parce quelle en manque la constitution comme objet

de connaissance(44) Lalgeacutebrique ne sert plus agrave connaicirctre le numeacuterique Il nest plus

deacutesormais quune steacutenographie middotessentialisante qui deacutecrit reacutesume et seacutepare lessence

de laccident Le surgissement laquomoderneraquo de la dichotomie de llaquoobservationraquo et de

la laquotheacuteorieraquo - que les manuels actuels reprennent agrave lenvi - est ainsi correacutelatif dune

dissolution de lobjet de connaissance au profit de lobjet reacuteel maintenant donneacute

agrave voir dans une abstraction reacuteputeacutee immeacutediate et facile Lordre didactique va sorgashy

niser autour de cette eacutepisteacutemologie imaginaire

REFERENCES

ALTHUSSER L (1968) Lire le Capital Franccedilois Maspeacutero Paris

BOURDIEU P (1974) Le sens pratique eacuteditions de Minuit Paris

BROUSSEAU G (1980) Problegravemes de lenseignement des deacutecimaux Recherches

en didactique des matheacutematiques 1middot1 pp 11-59

CHEVALLARD Y (1980a) Matheacutematiques langage enseignement la reacuteforme des

anneacutees soixante Recherches 41 pp 71-99

CHEVALLARD Y (1980b) La transposition didactique 1REM dAix-Marseille

CHEVALLARD Y (1982) Pourquoi la transposition didactique 7 Publication du

seacuteminaire de didactique et peacutedagogie des matheacutematiques 32 Grenoble

CHEVALLARD Y et JOHSUA MA (1982) Un exemple danalyse de la transposition

didactique Recherches en didactique des matheacutematiques 3 2 pp 157-239

MICHEL PH (1950) De Pythagore agrave Euclide Les Belles Lettres Paris

SMITH DE (1953) History of mathematics volume Il Dover publications Inc

New York

(43) Il sagit de louvrage mentionneacute dans la note 24 ci-dessus

(44) Sur la distinction entre laquoobjet reacuteelraquo et laquoobjet de connaissanceraquo voir Althusser 1968 pp 4649

82

CLASSE DE QUATRIEME CLASSIQUE A ET B ET DE QUATRIEME MODERNE

PROGRAMME DE 1945 (extraits)

Arithmeacutetique

Pratique sur des exemples de la deacutecomposition dun nombre entier en facteurs premiers de la recherche du plus grand commun diviseur et du plus petit commun multiple de deux ou plushysieurs nombres Applications aux fractions

Algegravebre

Nombres algeacutebriques (positifs nuls heacutegatifs) Opeacuterations sur ces nombres exposeacutes agrave partir de problegravemes concrets Ineacutegaliteacutes

Mesures algeacutebriques de vecteurs sur une droite orienteacutee Formule de Chasles Repeacuterage dun point sur un axe

Eleacutements du calcul algeacutebrique proprieacuteteacutes des sommes et des produits Puissances Produit et quotient de deux puissances dun nombre usage de lexposant nul et dexposants neacutegatifs

Monocircmes Produit de monocircmes Quotient de deux nombres Somme de monocircmes semblables (on se bornera agrave des monocircmes agrave une deux ou trois variables) Polynocircmes agrave une variable addition soustraction multiplication par une constante

Equations numeacuteriques du premie( degreacute agrave une inconnue Problegravemes conduisant agrave une eacutequation numeacuterique du premier degreacute agrave une inconnue

Annexe 1

83

CLASSE DE QUATRIEME

PROGRAMME DE 1958 (extraits)

Arithmeacutetique

Pratique sur des exemples de la deacutecomposition dun nombre entier en un produit de nomshybres premiers pratique de la recherche du plus grand diviseur commun et du plus petit multiple commun de deux ou plusieurs nombres Applications

Algegravebre

1 - Nombres relatifs (positifs nuls neacutegatifs) Orientation dun segment (vecteur) orientation dune droite (axe) mesure algeacutebrique

dun segment orienteacute sur un axe repeacuterage dun point sur un axe (abscisse)

II - Opeacuterations eacuteleacutementaires sur les nombres relatifs addition et soustraction multiplishycation et division

Extension aux nombres relatifs des proprieacuteteacutes fondamentales eacutetablies pour les nombres arithmeacutetiques (classe de cinquiegraveme) concernant les sommes les diffeacuterences les produits les puisshysances n-iegravemes les quotients linverse dun nombre non nul Condition pour quun produit soit nul

Deacutefinition des exposants neacutegatifs et de lexposant nul Comparaison des nombres relatifs ineacutegaliteacutes Ineacutegaliteacutes concernant la valeur absolue dune somme ou dune diffeacuterence Formule de Chasles pour trois points situeacutes sur un axe Segment deacutefini par les abscisses

des deLix points qui le limitent mesure algeacutebrique de ce segment orienteacute mesure de la longueur de ce segment abscisse du milieu de ce segment

III - Notions de variables et de correspondance entre variables Expressions algeacutebriques deacutependant dUne ou de plusieurs variables calcul de la valeur

numeacuterique dune expression algeacutebrique pour des valeurs numeacuteriques donneacutees aux Ymiddotariables Monocircmes agrave une ou plusieurs variables multiplication addition de monocircmes semblables Polynocircmes forme reacuteduite Polynocircmes ordonneacutes addition multiplication Identiteacutes relatives aux produits (x + y)2 (x - y)2 (x + y)(x - y)

IV - Equations position du problegraveme signification du signe = dans ce problegraveme Equashytions du premier degreacute agrave une inconnue agrave coefficients numeacuteriques Reacutesolution de problegravemes simples agrave laide dune telle eacutequation

Annexe 2

84

CLASSE DE QUATRIEME

PROGRAMME DE 1971 (extraits)

1 - Relations

Reacutevision -des notions preacutesenteacutees dans les classes anteacuterieures et compleacutements produit carteacutesien relation application composition des applications bijection cun ensemble sur un ensemble et bijection reacuteciproque

Notion de groupe deacutefinition (on la jeacutegagera des exemples du programme)

II - Nombres deacutecimaux relatifs et approche de reacuteel

1 Groupe des puissances de dix

Nombres deacutecimaux relatifs eacutecrits a 10n avec a e7l et p E7 et sous forme de nombres agrave virgule addition multiplication ordre valeur absolue Reacutesumeacute des proprieacuteteacutes fondamentales de lensemble ainsi structureacute des deacutecimaux relatifs

2 Calculs approcheacutes

a) EnC3drement dun nombre deacutecimal par des intervalles des types [a 10pbull (a + 1) 10middot[ da 101 (a + 1) 10- [a 10pbull (a + 1) 101] avec a E Z et p E Z Sur des exelJlples encamiddot drement middotdune somme dun produit

b) Exercices de deacutetermination pour un deacutecimal strictement positif d donneacute et pour un entier relatif n donneacute du nombre deacutecimal x bull 10 avec x E IN tel que soient veacuterifieacutees les ineacutegaliteacutes 0 ~d x 10 ~ 1 lt d (x + 1) 10

c) Exercices de deacutetermination pour un deacutecimal strictement positif d donneacute et pour un entier relatif n jonneacute du nombre deacutecimal y bull 10 avec y E IN tel que soient veacuterifieacutees les ineacutegaliteacutes [y 10P ~ d lt [(y + 1) 10]

d) Suites deacutecimales illimiteacutees nombres reacuteels encadrements dun nombre reacuteel

3 Enumeacuteration des principales proprieacuteteacutes qui structurent fensemble IR des reacuteels addition (IR +) est un groupe commutatif multiplication associashytiYiteacute distributiviteacute par rapport agravefaddition ordre et valoeur absolue

On admettra que pour tout nombre reacuteel a jiffeacuterent de 0 il existe un nombre reacuteel a-1 et un seul tel que aa-1 = 1 Pour tout couple de nombres reacuteels (a b) avec a = 0 il existe un nombre reacuteel unique x appeleacute quotient de b par a

b et noteacute ba-1 ou - tel que ax = b a

Exercices simples de calcul sur de tels quotients Sur des exemples -numeacuteriques eacutequations et ineacutequations du premier degr9 agrave une inconnue

Usage des exposants entiers groupe des puissances dun nombre reacuteel non nul

Calculs approcheacutes sur les nombres reacuteels

4 Exemples de fonctions polynocircmes (applications de IR dans IR) Degreacute Exercices de calcul SUT les polynocircmes Produits (x + a)2 (x - a)2 (x + a) (x - a) Exercices de factorisation

Annexe 3

85

ENCYCLOPEDIE QUILLET (1958)

TABLE DES MATIERES (extraits)

ARITBMEacuteTIQUE Notio~ preacute1i1Ji~ajres - Ideacutee de nombrebullbullbullbull 153 NumeratIon decmale bullbullbullbullbullbullbullbull 156 ~esure des grŒDdeurs bullbullbullbullbullbull bullbullbullbull 159 Nombresmiddot deacutecUDauxbullbullbullbullbullbullbullbullbullbull 169 Ladditionbullbull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull 165 La soustraction bull bull bull bull bull bull bull bull bull 168 La ~~qplication bullbullbullbullbullbullbull1 bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bullbull 171 La diVISIon 178

Regravegle de trois bull bull 117 Pourcentages bullbullbull 119 Partages proportionnels 110 ~~langes bullbull i bull bullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbull 111 Alliages bull 111 Regravegles dinteacuterecircts 124 Rentes sur Pltat 116 Actins et obli~tions - Escompte 117

Problegravemes sur les quatre opeacutemtions bull bull bull 184 La divisibiliteacute bull bull bull bull bull bull bull bull 186 Plus grŒDd commun diviseur (p G C D) 189 Plus petit commun multiple (P P C M) 191 Nombres premiers bullbullbullbullbullbullbullbull 192 Les fractions bull bull bull bull bull 194 Opeacuterations sur les fractions 197 Sys~egraveme meacute~que 203 Racme carree 207 Rapports - Proportions 2 II

Grandeurs Proportionnelles 215

Connge des exercces ~ 130

Annexe4a

ALGEgraveBRE Notions preacuteliminaires bullbullbullbull 157 Opeacutemtions sur les nombres algeacutebriques (somme

diffeacuterence multiplicationmiddot division des nombres algeacutebriques fractions ou rapports algeacutebriques puissances racines) bull bull 160

Qpeacuterations sur les expressions algeacutebriques bull 168 gquations du premier degreacute 278 Reacutesolution des problegravemes du premier degreacute agrave une

inconnue bullbullbullbullbullbullbullbullbull 186 gquations et problegravemes du premier degreacute agrave deux

ou plusieurs inconnues bull bull 191 Notions sur les repreacutesentations graphiques bull bull 301

Variation des fonctions 313 Deacuteriveacutees bullbull bull bull 319

~uations et problegravemes du second degreacute bull bull 312

ProgressionsetlogaritbInesmiddotmiddotmiddotmiddot middotmiddot middotmiddotmiddot middot331 Table de logarithmes de 1 agrave 1 000 bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull 338 Application des logarithmes Inteacuterecircts composeacutes et

annuiteacutes bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull 343 Corcigeacute des ex~ces bullbull ~ bullbullbullbullbullbullbull 348

Annexe4b

75

Sur le mecircme problegraveme aujourdhui nous obtenons par exemple ceci soient 2p - 1

et 2p + 1 deux impairs conseacutecutifs leur somme (2p - 1) + (2p + 1) = 4p est un

multiple de 4 et puisque 4p = (p + 1) - (p - 1)2 elle seacutecrit aussi comme une

diffeacuterence de deux carreacutes Le langage nOuveau permet dabord de formuler le problegraveme

dans sa geacuteneacuteraliteacute puis de le reacutesoudre de maniegravere eacutegalement systeacutematique

Le calcul numeacuterique utilise le langage numeacuterique pour son pouvoir deacutesignatif

eSSentiellement laquo34raquo et laquo075raquo ou encore laquo4 + 8raquo et laquo12raquo sont agrave cet eacutegard eacutequivashy lents puisquils deacutesignent le mecircme nombre (simplement laquo34raquo est une fraction laquonon

effectueacuteeraquo laquo4 + 8raquo une somme non effectueacutee) ils sont des noms diffeacuterents pour

un mecircme ecirctre matheacutematique Larithmeacutetique laquoalgeacutebriqueraquo au contraire distingue

ces noms parce que bien quils deacutesignent la mecircme chose ils ne montrent pas la mecircme

chose (ils napportent pas la mecircme information monstrative) agrave propos de lecirctre matheacuteshy

matique dont ils sont deux noms diffeacuterents (ltlt4 + 8raquo ou mieux laquo22 +23 raquo montre

que 12 est une somme de puissances de deux etc) Cest ainsi que au cœur mecircme

du langage numeacuterique sinsinue un clivage et pour tout dire une tension entre deux

modes de fonctionnement lefficaciteacute deacutesignative (propre agrave lusage calculatoire du

langage numeacuterique) tend agrave ignorer lagrave valeur monstrative de lexpression eacutecrite le

principe dachegravevement des calculs voue agrave leacutepheacutemegraverelesmiddotltltnoms intermeacutediairesraquo et

laquo4 + 8raquo devient ainsi laquo12raquo sans quaucune trace nous soit conserveacutee de lhistoire

de ce laquo12raquo Ali contraire le langage algeacutebrique - notamment parce quil est une

meacutemoire - vient permettre de conserver de meilleure faccedilon linformation monstrative

et surtout de faire apparaicirctre linformation monstrative pertinente le passage en

simplification de lexpression (2p - 1) + (2p + 1) agrave lexpression 4p fait apparaicirctre

que (2p - 1-) + (2p+ 1) deacutesigne un nombre multiple de 4 le passage en complexifishy

cation de 4p agrave (p + 1)2 - (p - 1)2 fait apparaicirctre que (2p - 1) + (2p + 1) est une

diffeacuterence de deux carreacutes

La creacuteation du langage algeacutebrique permet de deacutegager plus nettement laprobleacuteshy

matique deacutetude du nurileacuterique en la posant - sans lopposer - agrave cocircteacute de la perspecshy

tive calculatrice Elle permet donc dexpliciter ce qui demeurait largement implicite shy

la copreacutesence de deux maniegraveres davoir affaire au numeacuterique - et par lagrave dapaiser

les tensions Mais son surgissement historique permet surtout de mieux maicirctriser

la dialectique du numeacuterique et de lalgeacutebrique jusque-lagrave conduite avec des moyens

matheacutematiques insuffisamment adeacutequats Lalgeacutebrique est un outil de leacutetude du

numeacuterique le premier outil le plus eacuteleacutementaire sans doute (agrave un niveau avanceacute intershy

viendraient par exemple la theacuteorie des seacuteries entiegraveres la theacuteorie des fonctions analytishy

ques etc) Mais inversement (et cest ce qui nous autorise agrave parler de dialectique)

pour que le fonctionnement de cet outil soit efficace il faut quelque peu eacutetudier

cet outil par exemple se poser les problegravemes de la factorisation des expressions algeacuteshy

briques (afin notamment de reacutesoudre des eacutequations algeacutebriques) Or en ce point le

numeacuterique lui-mecircme est un outil deacutetude agrave lalgeacutebrique le flux sinverse Sans parler

76

de toutes les meacutethodes numeacuteriques qui font appel le plus souvent agrave des proprieacuteteacutes

danalyse (cest-agrave-dire concernant le corps des reacuteels et les fonctions dune variable

reacuteelle par exemple) on peut citer - pour prendre un exemple assez gros pour ecirctre

tout agrave fait visible - le theacuteoregraveme dEinsenstein sur la factorisation dans Q[X] (38)

Newton dans son Arithmetica Universalis deacutejagrave mentionneacutee montre une grande attenshy

tion agrave ce genre de laquoretoursraquo du numeacuterique vers lalgeacutebrique Ainsi donne-t-i1 une

meacutethode ingeacutenieuse pour trouver les facteurs dune expression algeacutebrique(39)

Si par exemple la quantiteacute proposeacutee est x 3 - x - 10x + 6 agrave la place de x

je substitue successivement les termes de la progression arithmeacutetique 1 0 -1 il en

naicirctra les nombres -4 + 6 + 14 Je place chacun deux avec tous ses diviseurs dans

la ligne du terme de la progression 1 0 -1 qui la produit comme on peut le voir

dans lexemple suivant

1 4 124 +4 o 6 1 2 3 6 +3

- 1 14 1 2 7 14 +2

Ensuite comme le terme le plus eacuteleveacute x3 na pas de diviseur de luniteacute je

cherche parmi les diviseurs quelque progression dont les termes ne diffegraverent que

dune uniteacute et qui en descendant des plus forts au plus faibles deacutecroissent comme

ceux de la progression 10 -1 Je ne trouve quune progression de cette espegravece cest

4 3 2 Je prends donc le terme + 3 qui se trouve dans la mecircme ligne que 0 de la

premiegravere progression 1 0 -1 je le joins agrave x et je tente la division par x + 3 elle

reacuteussit et jobtiens pour quotient x 2 - 4x + 2

Au-delagrave de la disparition de la structure du corpus matheacutematique enseigneacute en arithshy

meacutetique et algegravebre cest la dialectique du numeacuterique et de lalgegravebre - implicitement

preacutesente agravetravers llaquooppositionraquo de larithmeacutetique et de lalgegravebre - qui va se trouver

atteinte Plus que jamais les liens du numeacuterique et de lalgeacutebrique sen trouveront

relacirccheacutes

VIII - UNE CONCEPTION EMPIRISTE DU REEL MATHEMATIQUE

Leffacement de lopposition arithmeacutetiquealgegravebre en effet altegravere les condishy

tions de la mise en rapport du numeacuterique et de lalgeacutebrique Lancien rapport doutil

(38) Soit PIt) = a + a t + + a t n un polynocircme agrave coefficients dans if Sil existe un nombre premier p tel que0 1) ~ rie divise ~as an 2) p divise a al an_l p2 ne divise pas ao alors P o est irreacuteductible sur O

(39) Arithmeacutetique universelle tome premier pp 47-48 Nous laissons au lecteur le soin dapporter la justification matheacutematique requise

77

de travail agrave objet travailleacute semble perdu Les deux domaines - le numeacuterique -le

litteacuteral - vont coexister dans une simple juxtaposition existants qui trouvent en

eux-mecircmes leur propre justification Les rapports naguegravere encore banals entre ces

deux ordres de reacutealiteacute matheacutematiques semblent deacutesormais abolis Ou plutocirct ils laissent

place agrave des rapports nouveaux et inverseacutes ce nest plus lalgeacutebrique qui vient pershy

mettre deacutetudier le numeacuterique cest le numeacuterique qui laquojustifieraquo et laquopermet de comshy

prendreraquo lalgeacutebrique Le document 5 extrait dun manuei de quatriegraveme actuel (40)

IIUDIFFeacute~ENCS ce ceux C~CIMAUX [

x-eD yeC zeC z-z -y signifie que z+y-z Comment est appel z pour z et y dans ct ordre Observe

13-(-7) z+-7)middot13

[+(-7)j+713+7 +[(-7)+71-13+7

+0-13+7 zo13+-7

z-z-y z+y-z

(+y) + (-y)- +-(-y) +(y+ (-y)]-x + (-y)

z+O-z + (-y) -+(-y)

Pour tout xde D pour tout y de 0 z - y est un deacutecimal et z - y = +(-y) Exemples 8-(-7)=8+7=15 9-14=9+(-14)=-5 Lopeacuteration- qui agrave chaque coupe (z y) z e 0 y E C fait correspondre le deacutecimal Z - J est la soustraction dans O

DOCUMENT 5

Lalgeacutebrique comme essence du numeacuterique

nous donne de ce pheacutenomegravene un exemple tregraves net lintention didactique est ici

de justifier le fait que x - y = x + (-y) Pour le matheacutematicien la laquojustificationraquo shy

qui est alors strictement une deacutemonstration - est toute entiegravere contenue dans la

colonne de droite si je deacutefinis en geacuteneacuteral-y comme eacutetant le nombre tel quey + (-y) = 0

et si les proprieacuteteacutes ordinaires - associativiteacute etc - valent encore pour le nouvel

ensemble de nombres ainsi deacutefini alors le nombre z que je dois ajouter agrave y pour

obtenir x - ce quon appelle la diffeacuterence de x et y et qUon note x - y - nest pas

autre chose que x + (-y) Or la laquojustificationraquo passe dans la didactique ici examineacutee

par lappel au concret cest-agrave-dire au numeacuterique tel est le rocircle de la colonne de

gauche Ce sont les calculs numeacuteriques de la colonne de gauche qui soutiendraient

le sens (pour leacutelegraveve) des calculs litteacuteraux de la colonne de droite Malheureusement

le contenu de la colonne de gauche est si lon peut dire hautement improbable

(401 Il sagifdu _manuel Matheacutematique contemporaine pour la classe de quatriegraveme publieacute chez Magnard et conforme au programme de1978shy

78

parce que le numeacuterique ne fonctionne pas ainsi En fait les calculs numeacuteriques preacuteshy

senteacutes ici nexistent quagrave ecirctre limage en miroir des calculs litteacuteraux de la colonne

de droite Et cest pour permettre de tels calculs que le langage algeacutebrique preacutecishy

seacutement est neacutecessaire Il y a ainsi meacuteprise sur la speacutecificiteacute des deux ordres de calcul

et conseacutequemment sur le type de rapports quils entretiennent la justification

de lalgeacutebrique sappuierait sur un mode de fonctionnement du numeacuterique qui nest

en fait quun deacutecalque du fonctionnement de lalgeacutebrique et qui donc suppose

lalgeacutebrique

Leacutelucidation du nouveau rapport qui saffirme ainsi nest pas chose facile Elle

est pourtant neacutecessaire afin de preacuteciser par delagrave la surface des programmes les mouveshy

ments profonds produisant des deacutecisions didactiques quon aurait tort de regarder

seulement comme des laquotrucsraquo eacuteleacutements atomiques de strateacutegies trouvant en ellesshy

mecircmes et dans leurs effets supposeacutes leur unique mobile Revenons agrave lexemple que

nous avons examineacute Lalgeacutebrique y apparaicirct comme la laquotheacuteorieraquo de cette laquoreacutealiteacuteraquo

que serait le numeacuterique Mais les relations en acte entre theacuteorie (permettant leacutetude)

et reacutealiteacute (objet de leacutetude) y ressortissent incontestablement agrave une conception empishy

riste (et mecircme nous allons le voir empiriste-sensualiste) de la connaissance Tel est

en fait le mobile - veacutecu sans doute comme allant de soi dans leacutevidence que lideacuteoshy

logie procure - de la tentative de laquofaire sortirraquo la theacuteorie (lalgeacutebrique) de la reacutealiteacute

(numeacuterique) Il ya ici inversion des rapports entre theacuteorie et reacutealiteacute Car le surgissement

du theacuteorique - faut-il le rappeler - ne sautorise jamais que de lui-mecircme et loin

de proceacuteder de la reacutealiteacute la constitue (ou la renouvelle) comme objet de connaissance

Si jeacutecris par exemple 13 + 7 = 13 - (-7) selon un fonctionnement du numeacuterique

antinomique de la pratique calculatoire (cest-agrave-dire arithmeacutetique) du numeacuterique shy

laquelle voudrait quon eacutecrivicirct 13 + 7 = 20 - je fais de lalgegravebre sur du numeacuterique

cest loutil algeacutebrique et lui seul qui me permet ce travail du numeacuterique Entre le

fonctionnement arithmeacutetique et le fonctionnement algeacutebrique du numeacuterique il y a

ainsi une distance - un saut - que nul proceacutedeacute dlaquoabstractionraquo ne peut venir combler

On aurait tort de penser que lanalyse preacuteceacutedente ne vaut que pour lexemple

sur laquelle nous lavons illustreacutee En reacutealiteacute sa porteacutee est beaucoup plus eacutetendue

et pour en saisir toute la signification il faut revenir agrave cette acmeacute de leacutevolution de

la transposition didactique que repreacutesente la reacuteforme de 1971 (celle des laquomatheacutemashy

tiques modernesraquo) Contrairement aux opinions aujourdhui dominantes qui selon

un opportunisme neacutecessaire et une constante inconstance reacutecusent cette reacuteforme

pour ses excegraves et la regardent comme laberration dun moment il faut tenir que cette

aberration nen est pas une quelle ne fait que preacutecipiter cristalliser et rendre explicites

des traits qui deacutejagrave se repegraverent dans leacutevolution des deacutecennies preacuteceacutedentes Elle est un

moment qui donne sens reacutetrospectivement agravece qui vient avant lui et deacutetermine

largement ce qui viendra apregraves lui Car sil y a en quelque faccedilon rupture cest sur le

fond dune tregraves large surdeacutetermination En profondeur le programme de 1971 - pour

79

sen tenir agrave la classe de quatriegraveme - constitue une radiographie saisissante dune

eacutevolution que le programme de 1978 nadoucira quen surface Cest cette image

laquodureraquo quil faut interroger

On a trop vitupeacutereacute linflation moderniste le parti pris theacuteoriciste lambition

de rigueur des matheacutematiques promues par la reacuteforme et trop peu vu derriegravere cet

eacutecran deux mouvements correacutelatifs moins spectaculaires mais deacuteterminants Le

premier - que nous avons deacutejagrave plusieurs fois mentionneacute - cest lenvahissement du

champ deacutetude par les structures numeacuteriques Les laquoexcegravesraquo du programme de 1971

sont le prix agrave payer pour ce coup de force qui se megravene alors - simple tactique dun

moment le programme de 1978 installera une version apaiseacutee de la mecircme strateacutegieshy

avec lartillerie lourde de laquolapproche des reacuteelsraquo des laquocalculs approcheacutesraquo des laquoencashy

drementsraquo de haute ambition matheacutematique Le seCond cest la peacuteneacutetration dun

thegraveme qui va devenir central celui de llaquoobservationraquo et de llaquoexpeacuterimentationraquo

matheacutematiques

Fausse moderniteacute ce thegraveme est mis en place degraves les Instructions de janvier

1957 (annexe 6a) dont les Instructions de 1971 se reacuteclameront non sans raicon Il

prend alors lallure dune reacuteflexion sur les liens entre matheacutematique et extramatheacutemashy

tique La caution bergsonienne ici invoqueacutee - homo taber homo sapiens - bien que

dateacutee est agrave cet eacutegard tregraves significative La perspective proposeacutee ne conduit pas tregraves

loin les problegravemes denseignement se trouvent laquoreacutesolusraquo par une didactique euphoshy

rique (annexe 6b) Au vrai la conjoncture historique qui verra la mise en place des

matheacutematiques modernes nest alors quincomplegravetement formeacutee Ce qui manque

encore afin que lideacutee dexpeacuterimentation puisse passer dans les faits cest une matiegravere

que lon pourrait soumettre agrave lobservation et agrave lexpeacuterience A cet eacutegard les Instrucshy

tions de 1957 raisonnent encore agrave lancienne la notion dexpeacuterimentation y est

surtout loccasion dune rheacutetorique qui tourne sur elle-mecircme faute de pouvoir sapplishy

quer Mais cette matiegravere dapplication qui fait deacutefaut la reacuteforme va lapporter en

abondance ce sera le numeacuterique dont nous comprenons mieux degraves lors la place

de choix que les programmes reacuteformeacutes vont lui accorder Son expansion se trouvait

en fait comme appeleacutee par lexigence laquoexpeacuterimentaleraquo induite par une certaine concepshy

tion eacutepisteacutemologique et didactique

Le deacutecor de laction est installeacute en consonance avec une mise en scegravene empiriste

du procegraves de connaissance(41) Il Y a la laquoreacutealiteacuteraquo qui est un donneacute dont la preacutesence

simpose avec la derniegravere force et il y a la laquotheacuteorieraquo de ce donneacute que lon preacutetend

tirer par abstraction de lobjet agrave laquelle elle se voue La dialectique du numeacuterique

et de lalgeacutebrique est alors perdue lun de ses termes (lalgeacutebrique) se dissout dans

(41) Pour lintelligence de ce qui suit nous renvoyons agrave Althusser 1968 notamment pp 38-45

80

lautre (le numeacuterique) agrave qui est octroyeacute par nature une existence presque mateacuterielle

et dont lalgeacutebrique proceacutedera geacuteneacutetiquement La reacuteforme de 1971 remanie donc

le champ deacutetude pour y produire de solides objets laquoreacuteelsraquo agrave forts coefficients dexis-shy

tence les structures numeacuteriques et aussi la mysteacuterieuse laquodroite physiqueraquo dont la

soudaine promotion ontologique serait autrement encore plus inexplicable(42) Cela

poseacute lintroduction du litteacuteral (lalgeacutebrique) sidentifie au mouvement par lequel

dans le procegraves empiriste de connaissance se repreacutesente lessence du reacuteel qui est toute

la connaissance que le sujet peut tirer de lobjet par abstraction il permet de distinguer

entre un reacuteel essentiel et un reacuteel inessentiel gangue ou accident que le processus

dabstraction abandonne comme un reacutesidu impenseacute Labstraction qui vise agrave porter

agrave la lumiegravere ce quon pourra connaicirctre de lobjet agit par deacutecrassage et deacutecapage

CHA~tTRbullbull tour dieacuteremcs ftiems de 1t 011 obti=c cIes putitioas cilifeacute=o~ Uuml fiIure 2 repreacutese1tt (parshy

tieJ1emenz) les paniagravecas ~ i- II-l 11--0 11 - - l~ = grouie agrave la loupe la paftiriœ cozrcspoadaDc agrave Il - - 2shy

f-oo( [Q10[

1 1

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-1shy 0 t

1 1 1 1 1 1 1 1 shy 1 bull 1 1 1 11

-1 -01 001 lU 03 ~ o~ 06 07 oa 09 1 11

P4 041 ~l ~~I 041ds1 -i -o] OoJ O4l o~ 04S 04) ~ 1 ~1 1

fJvZ

li) De m=c si II eR lD1 emer œIaagravef acirczeacute et si CI pr=d tOlIœS les ftiems possibles da2s Z r=semblc cIes imenalles cie c

Jcr10 (CI + L 10

eR iJMpcrtirIcircD1f de C Uuml figure 3 repreacutes=œ (articllemcm) =œ putitioll p04 shy O~

r 1 i 1 T l 1 1 -5 -4shy -3 -2 -r agrave l Z ~ 4shy 5

~3

DOCUMENT6

Le deacutecapage du donneacute dans le processus empiriste de connaissance

(42) Voir Chevallard et Johsua 1982 notamment pp 200-203

81

agrave ce thegraveme geacuteneacuteral de la connaissance empiriste reacutepond correctement dans les proshy

grammes la notion dlaquoapprocheraquo ou dlaquoapproximationraquo des laquoreacuteelsraquo (qui nont jamais

aussi bien porteacute leur nom) Ceux-ci sont atteints par le moyen de purifications successhy

sives qui eacuteliminent peu agrave peu la gangue inessentielle Tel manuel (43) pris parmi tant

dautres- en offre la superbe illustration (document 6) limage de la loupe - emblegraveme

de la connaissance empiriste dont elle est linstrument privileacutegieacute parce quelle permet

de mieux voir et de faire voir - y est requise et symbolise mieux quun long commenshy

taire cette conception de la connaissance comme visant agrave amener linvisible agrave la

vue de tous

Une telle conception de la connaissance rate le reacuteel dont il sagirait preacuteciseacutement

de produire la connaissance parce quelle en manque la constitution comme objet

de connaissance(44) Lalgeacutebrique ne sert plus agrave connaicirctre le numeacuterique Il nest plus

deacutesormais quune steacutenographie middotessentialisante qui deacutecrit reacutesume et seacutepare lessence

de laccident Le surgissement laquomoderneraquo de la dichotomie de llaquoobservationraquo et de

la laquotheacuteorieraquo - que les manuels actuels reprennent agrave lenvi - est ainsi correacutelatif dune

dissolution de lobjet de connaissance au profit de lobjet reacuteel maintenant donneacute

agrave voir dans une abstraction reacuteputeacutee immeacutediate et facile Lordre didactique va sorgashy

niser autour de cette eacutepisteacutemologie imaginaire

REFERENCES

ALTHUSSER L (1968) Lire le Capital Franccedilois Maspeacutero Paris

BOURDIEU P (1974) Le sens pratique eacuteditions de Minuit Paris

BROUSSEAU G (1980) Problegravemes de lenseignement des deacutecimaux Recherches

en didactique des matheacutematiques 1middot1 pp 11-59

CHEVALLARD Y (1980a) Matheacutematiques langage enseignement la reacuteforme des

anneacutees soixante Recherches 41 pp 71-99

CHEVALLARD Y (1980b) La transposition didactique 1REM dAix-Marseille

CHEVALLARD Y (1982) Pourquoi la transposition didactique 7 Publication du

seacuteminaire de didactique et peacutedagogie des matheacutematiques 32 Grenoble

CHEVALLARD Y et JOHSUA MA (1982) Un exemple danalyse de la transposition

didactique Recherches en didactique des matheacutematiques 3 2 pp 157-239

MICHEL PH (1950) De Pythagore agrave Euclide Les Belles Lettres Paris

SMITH DE (1953) History of mathematics volume Il Dover publications Inc

New York

(43) Il sagit de louvrage mentionneacute dans la note 24 ci-dessus

(44) Sur la distinction entre laquoobjet reacuteelraquo et laquoobjet de connaissanceraquo voir Althusser 1968 pp 4649

82

CLASSE DE QUATRIEME CLASSIQUE A ET B ET DE QUATRIEME MODERNE

PROGRAMME DE 1945 (extraits)

Arithmeacutetique

Pratique sur des exemples de la deacutecomposition dun nombre entier en facteurs premiers de la recherche du plus grand commun diviseur et du plus petit commun multiple de deux ou plushysieurs nombres Applications aux fractions

Algegravebre

Nombres algeacutebriques (positifs nuls heacutegatifs) Opeacuterations sur ces nombres exposeacutes agrave partir de problegravemes concrets Ineacutegaliteacutes

Mesures algeacutebriques de vecteurs sur une droite orienteacutee Formule de Chasles Repeacuterage dun point sur un axe

Eleacutements du calcul algeacutebrique proprieacuteteacutes des sommes et des produits Puissances Produit et quotient de deux puissances dun nombre usage de lexposant nul et dexposants neacutegatifs

Monocircmes Produit de monocircmes Quotient de deux nombres Somme de monocircmes semblables (on se bornera agrave des monocircmes agrave une deux ou trois variables) Polynocircmes agrave une variable addition soustraction multiplication par une constante

Equations numeacuteriques du premie( degreacute agrave une inconnue Problegravemes conduisant agrave une eacutequation numeacuterique du premier degreacute agrave une inconnue

Annexe 1

83

CLASSE DE QUATRIEME

PROGRAMME DE 1958 (extraits)

Arithmeacutetique

Pratique sur des exemples de la deacutecomposition dun nombre entier en un produit de nomshybres premiers pratique de la recherche du plus grand diviseur commun et du plus petit multiple commun de deux ou plusieurs nombres Applications

Algegravebre

1 - Nombres relatifs (positifs nuls neacutegatifs) Orientation dun segment (vecteur) orientation dune droite (axe) mesure algeacutebrique

dun segment orienteacute sur un axe repeacuterage dun point sur un axe (abscisse)

II - Opeacuterations eacuteleacutementaires sur les nombres relatifs addition et soustraction multiplishycation et division

Extension aux nombres relatifs des proprieacuteteacutes fondamentales eacutetablies pour les nombres arithmeacutetiques (classe de cinquiegraveme) concernant les sommes les diffeacuterences les produits les puisshysances n-iegravemes les quotients linverse dun nombre non nul Condition pour quun produit soit nul

Deacutefinition des exposants neacutegatifs et de lexposant nul Comparaison des nombres relatifs ineacutegaliteacutes Ineacutegaliteacutes concernant la valeur absolue dune somme ou dune diffeacuterence Formule de Chasles pour trois points situeacutes sur un axe Segment deacutefini par les abscisses

des deLix points qui le limitent mesure algeacutebrique de ce segment orienteacute mesure de la longueur de ce segment abscisse du milieu de ce segment

III - Notions de variables et de correspondance entre variables Expressions algeacutebriques deacutependant dUne ou de plusieurs variables calcul de la valeur

numeacuterique dune expression algeacutebrique pour des valeurs numeacuteriques donneacutees aux Ymiddotariables Monocircmes agrave une ou plusieurs variables multiplication addition de monocircmes semblables Polynocircmes forme reacuteduite Polynocircmes ordonneacutes addition multiplication Identiteacutes relatives aux produits (x + y)2 (x - y)2 (x + y)(x - y)

IV - Equations position du problegraveme signification du signe = dans ce problegraveme Equashytions du premier degreacute agrave une inconnue agrave coefficients numeacuteriques Reacutesolution de problegravemes simples agrave laide dune telle eacutequation

Annexe 2

84

CLASSE DE QUATRIEME

PROGRAMME DE 1971 (extraits)

1 - Relations

Reacutevision -des notions preacutesenteacutees dans les classes anteacuterieures et compleacutements produit carteacutesien relation application composition des applications bijection cun ensemble sur un ensemble et bijection reacuteciproque

Notion de groupe deacutefinition (on la jeacutegagera des exemples du programme)

II - Nombres deacutecimaux relatifs et approche de reacuteel

1 Groupe des puissances de dix

Nombres deacutecimaux relatifs eacutecrits a 10n avec a e7l et p E7 et sous forme de nombres agrave virgule addition multiplication ordre valeur absolue Reacutesumeacute des proprieacuteteacutes fondamentales de lensemble ainsi structureacute des deacutecimaux relatifs

2 Calculs approcheacutes

a) EnC3drement dun nombre deacutecimal par des intervalles des types [a 10pbull (a + 1) 10middot[ da 101 (a + 1) 10- [a 10pbull (a + 1) 101] avec a E Z et p E Z Sur des exelJlples encamiddot drement middotdune somme dun produit

b) Exercices de deacutetermination pour un deacutecimal strictement positif d donneacute et pour un entier relatif n donneacute du nombre deacutecimal x bull 10 avec x E IN tel que soient veacuterifieacutees les ineacutegaliteacutes 0 ~d x 10 ~ 1 lt d (x + 1) 10

c) Exercices de deacutetermination pour un deacutecimal strictement positif d donneacute et pour un entier relatif n jonneacute du nombre deacutecimal y bull 10 avec y E IN tel que soient veacuterifieacutees les ineacutegaliteacutes [y 10P ~ d lt [(y + 1) 10]

d) Suites deacutecimales illimiteacutees nombres reacuteels encadrements dun nombre reacuteel

3 Enumeacuteration des principales proprieacuteteacutes qui structurent fensemble IR des reacuteels addition (IR +) est un groupe commutatif multiplication associashytiYiteacute distributiviteacute par rapport agravefaddition ordre et valoeur absolue

On admettra que pour tout nombre reacuteel a jiffeacuterent de 0 il existe un nombre reacuteel a-1 et un seul tel que aa-1 = 1 Pour tout couple de nombres reacuteels (a b) avec a = 0 il existe un nombre reacuteel unique x appeleacute quotient de b par a

b et noteacute ba-1 ou - tel que ax = b a

Exercices simples de calcul sur de tels quotients Sur des exemples -numeacuteriques eacutequations et ineacutequations du premier degr9 agrave une inconnue

Usage des exposants entiers groupe des puissances dun nombre reacuteel non nul

Calculs approcheacutes sur les nombres reacuteels

4 Exemples de fonctions polynocircmes (applications de IR dans IR) Degreacute Exercices de calcul SUT les polynocircmes Produits (x + a)2 (x - a)2 (x + a) (x - a) Exercices de factorisation

Annexe 3

85

ENCYCLOPEDIE QUILLET (1958)

TABLE DES MATIERES (extraits)

ARITBMEacuteTIQUE Notio~ preacute1i1Ji~ajres - Ideacutee de nombrebullbullbullbull 153 NumeratIon decmale bullbullbullbullbullbullbullbull 156 ~esure des grŒDdeurs bullbullbullbullbullbull bullbullbullbull 159 Nombresmiddot deacutecUDauxbullbullbullbullbullbullbullbullbullbull 169 Ladditionbullbull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull 165 La soustraction bull bull bull bull bull bull bull bull bull 168 La ~~qplication bullbullbullbullbullbullbull1 bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bullbull 171 La diVISIon 178

Regravegle de trois bull bull 117 Pourcentages bullbullbull 119 Partages proportionnels 110 ~~langes bullbull i bull bullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbull 111 Alliages bull 111 Regravegles dinteacuterecircts 124 Rentes sur Pltat 116 Actins et obli~tions - Escompte 117

Problegravemes sur les quatre opeacutemtions bull bull bull 184 La divisibiliteacute bull bull bull bull bull bull bull bull 186 Plus grŒDd commun diviseur (p G C D) 189 Plus petit commun multiple (P P C M) 191 Nombres premiers bullbullbullbullbullbullbullbull 192 Les fractions bull bull bull bull bull 194 Opeacuterations sur les fractions 197 Sys~egraveme meacute~que 203 Racme carree 207 Rapports - Proportions 2 II

Grandeurs Proportionnelles 215

Connge des exercces ~ 130

Annexe4a

ALGEgraveBRE Notions preacuteliminaires bullbullbullbull 157 Opeacutemtions sur les nombres algeacutebriques (somme

diffeacuterence multiplicationmiddot division des nombres algeacutebriques fractions ou rapports algeacutebriques puissances racines) bull bull 160

Qpeacuterations sur les expressions algeacutebriques bull 168 gquations du premier degreacute 278 Reacutesolution des problegravemes du premier degreacute agrave une

inconnue bullbullbullbullbullbullbullbullbull 186 gquations et problegravemes du premier degreacute agrave deux

ou plusieurs inconnues bull bull 191 Notions sur les repreacutesentations graphiques bull bull 301

Variation des fonctions 313 Deacuteriveacutees bullbull bull bull 319

~uations et problegravemes du second degreacute bull bull 312

ProgressionsetlogaritbInesmiddotmiddotmiddotmiddot middotmiddot middotmiddotmiddot middot331 Table de logarithmes de 1 agrave 1 000 bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull 338 Application des logarithmes Inteacuterecircts composeacutes et

annuiteacutes bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull 343 Corcigeacute des ex~ces bullbull ~ bullbullbullbullbullbullbull 348

Annexe4b

76

de toutes les meacutethodes numeacuteriques qui font appel le plus souvent agrave des proprieacuteteacutes

danalyse (cest-agrave-dire concernant le corps des reacuteels et les fonctions dune variable

reacuteelle par exemple) on peut citer - pour prendre un exemple assez gros pour ecirctre

tout agrave fait visible - le theacuteoregraveme dEinsenstein sur la factorisation dans Q[X] (38)

Newton dans son Arithmetica Universalis deacutejagrave mentionneacutee montre une grande attenshy

tion agrave ce genre de laquoretoursraquo du numeacuterique vers lalgeacutebrique Ainsi donne-t-i1 une

meacutethode ingeacutenieuse pour trouver les facteurs dune expression algeacutebrique(39)

Si par exemple la quantiteacute proposeacutee est x 3 - x - 10x + 6 agrave la place de x

je substitue successivement les termes de la progression arithmeacutetique 1 0 -1 il en

naicirctra les nombres -4 + 6 + 14 Je place chacun deux avec tous ses diviseurs dans

la ligne du terme de la progression 1 0 -1 qui la produit comme on peut le voir

dans lexemple suivant

1 4 124 +4 o 6 1 2 3 6 +3

- 1 14 1 2 7 14 +2

Ensuite comme le terme le plus eacuteleveacute x3 na pas de diviseur de luniteacute je

cherche parmi les diviseurs quelque progression dont les termes ne diffegraverent que

dune uniteacute et qui en descendant des plus forts au plus faibles deacutecroissent comme

ceux de la progression 10 -1 Je ne trouve quune progression de cette espegravece cest

4 3 2 Je prends donc le terme + 3 qui se trouve dans la mecircme ligne que 0 de la

premiegravere progression 1 0 -1 je le joins agrave x et je tente la division par x + 3 elle

reacuteussit et jobtiens pour quotient x 2 - 4x + 2

Au-delagrave de la disparition de la structure du corpus matheacutematique enseigneacute en arithshy

meacutetique et algegravebre cest la dialectique du numeacuterique et de lalgegravebre - implicitement

preacutesente agravetravers llaquooppositionraquo de larithmeacutetique et de lalgegravebre - qui va se trouver

atteinte Plus que jamais les liens du numeacuterique et de lalgeacutebrique sen trouveront

relacirccheacutes

VIII - UNE CONCEPTION EMPIRISTE DU REEL MATHEMATIQUE

Leffacement de lopposition arithmeacutetiquealgegravebre en effet altegravere les condishy

tions de la mise en rapport du numeacuterique et de lalgeacutebrique Lancien rapport doutil

(38) Soit PIt) = a + a t + + a t n un polynocircme agrave coefficients dans if Sil existe un nombre premier p tel que0 1) ~ rie divise ~as an 2) p divise a al an_l p2 ne divise pas ao alors P o est irreacuteductible sur O

(39) Arithmeacutetique universelle tome premier pp 47-48 Nous laissons au lecteur le soin dapporter la justification matheacutematique requise

77

de travail agrave objet travailleacute semble perdu Les deux domaines - le numeacuterique -le

litteacuteral - vont coexister dans une simple juxtaposition existants qui trouvent en

eux-mecircmes leur propre justification Les rapports naguegravere encore banals entre ces

deux ordres de reacutealiteacute matheacutematiques semblent deacutesormais abolis Ou plutocirct ils laissent

place agrave des rapports nouveaux et inverseacutes ce nest plus lalgeacutebrique qui vient pershy

mettre deacutetudier le numeacuterique cest le numeacuterique qui laquojustifieraquo et laquopermet de comshy

prendreraquo lalgeacutebrique Le document 5 extrait dun manuei de quatriegraveme actuel (40)

IIUDIFFeacute~ENCS ce ceux C~CIMAUX [

x-eD yeC zeC z-z -y signifie que z+y-z Comment est appel z pour z et y dans ct ordre Observe

13-(-7) z+-7)middot13

[+(-7)j+713+7 +[(-7)+71-13+7

+0-13+7 zo13+-7

z-z-y z+y-z

(+y) + (-y)- +-(-y) +(y+ (-y)]-x + (-y)

z+O-z + (-y) -+(-y)

Pour tout xde D pour tout y de 0 z - y est un deacutecimal et z - y = +(-y) Exemples 8-(-7)=8+7=15 9-14=9+(-14)=-5 Lopeacuteration- qui agrave chaque coupe (z y) z e 0 y E C fait correspondre le deacutecimal Z - J est la soustraction dans O

DOCUMENT 5

Lalgeacutebrique comme essence du numeacuterique

nous donne de ce pheacutenomegravene un exemple tregraves net lintention didactique est ici

de justifier le fait que x - y = x + (-y) Pour le matheacutematicien la laquojustificationraquo shy

qui est alors strictement une deacutemonstration - est toute entiegravere contenue dans la

colonne de droite si je deacutefinis en geacuteneacuteral-y comme eacutetant le nombre tel quey + (-y) = 0

et si les proprieacuteteacutes ordinaires - associativiteacute etc - valent encore pour le nouvel

ensemble de nombres ainsi deacutefini alors le nombre z que je dois ajouter agrave y pour

obtenir x - ce quon appelle la diffeacuterence de x et y et qUon note x - y - nest pas

autre chose que x + (-y) Or la laquojustificationraquo passe dans la didactique ici examineacutee

par lappel au concret cest-agrave-dire au numeacuterique tel est le rocircle de la colonne de

gauche Ce sont les calculs numeacuteriques de la colonne de gauche qui soutiendraient

le sens (pour leacutelegraveve) des calculs litteacuteraux de la colonne de droite Malheureusement

le contenu de la colonne de gauche est si lon peut dire hautement improbable

(401 Il sagifdu _manuel Matheacutematique contemporaine pour la classe de quatriegraveme publieacute chez Magnard et conforme au programme de1978shy

78

parce que le numeacuterique ne fonctionne pas ainsi En fait les calculs numeacuteriques preacuteshy

senteacutes ici nexistent quagrave ecirctre limage en miroir des calculs litteacuteraux de la colonne

de droite Et cest pour permettre de tels calculs que le langage algeacutebrique preacutecishy

seacutement est neacutecessaire Il y a ainsi meacuteprise sur la speacutecificiteacute des deux ordres de calcul

et conseacutequemment sur le type de rapports quils entretiennent la justification

de lalgeacutebrique sappuierait sur un mode de fonctionnement du numeacuterique qui nest

en fait quun deacutecalque du fonctionnement de lalgeacutebrique et qui donc suppose

lalgeacutebrique

Leacutelucidation du nouveau rapport qui saffirme ainsi nest pas chose facile Elle

est pourtant neacutecessaire afin de preacuteciser par delagrave la surface des programmes les mouveshy

ments profonds produisant des deacutecisions didactiques quon aurait tort de regarder

seulement comme des laquotrucsraquo eacuteleacutements atomiques de strateacutegies trouvant en ellesshy

mecircmes et dans leurs effets supposeacutes leur unique mobile Revenons agrave lexemple que

nous avons examineacute Lalgeacutebrique y apparaicirct comme la laquotheacuteorieraquo de cette laquoreacutealiteacuteraquo

que serait le numeacuterique Mais les relations en acte entre theacuteorie (permettant leacutetude)

et reacutealiteacute (objet de leacutetude) y ressortissent incontestablement agrave une conception empishy

riste (et mecircme nous allons le voir empiriste-sensualiste) de la connaissance Tel est

en fait le mobile - veacutecu sans doute comme allant de soi dans leacutevidence que lideacuteoshy

logie procure - de la tentative de laquofaire sortirraquo la theacuteorie (lalgeacutebrique) de la reacutealiteacute

(numeacuterique) Il ya ici inversion des rapports entre theacuteorie et reacutealiteacute Car le surgissement

du theacuteorique - faut-il le rappeler - ne sautorise jamais que de lui-mecircme et loin

de proceacuteder de la reacutealiteacute la constitue (ou la renouvelle) comme objet de connaissance

Si jeacutecris par exemple 13 + 7 = 13 - (-7) selon un fonctionnement du numeacuterique

antinomique de la pratique calculatoire (cest-agrave-dire arithmeacutetique) du numeacuterique shy

laquelle voudrait quon eacutecrivicirct 13 + 7 = 20 - je fais de lalgegravebre sur du numeacuterique

cest loutil algeacutebrique et lui seul qui me permet ce travail du numeacuterique Entre le

fonctionnement arithmeacutetique et le fonctionnement algeacutebrique du numeacuterique il y a

ainsi une distance - un saut - que nul proceacutedeacute dlaquoabstractionraquo ne peut venir combler

On aurait tort de penser que lanalyse preacuteceacutedente ne vaut que pour lexemple

sur laquelle nous lavons illustreacutee En reacutealiteacute sa porteacutee est beaucoup plus eacutetendue

et pour en saisir toute la signification il faut revenir agrave cette acmeacute de leacutevolution de

la transposition didactique que repreacutesente la reacuteforme de 1971 (celle des laquomatheacutemashy

tiques modernesraquo) Contrairement aux opinions aujourdhui dominantes qui selon

un opportunisme neacutecessaire et une constante inconstance reacutecusent cette reacuteforme

pour ses excegraves et la regardent comme laberration dun moment il faut tenir que cette

aberration nen est pas une quelle ne fait que preacutecipiter cristalliser et rendre explicites

des traits qui deacutejagrave se repegraverent dans leacutevolution des deacutecennies preacuteceacutedentes Elle est un

moment qui donne sens reacutetrospectivement agravece qui vient avant lui et deacutetermine

largement ce qui viendra apregraves lui Car sil y a en quelque faccedilon rupture cest sur le

fond dune tregraves large surdeacutetermination En profondeur le programme de 1971 - pour

79

sen tenir agrave la classe de quatriegraveme - constitue une radiographie saisissante dune

eacutevolution que le programme de 1978 nadoucira quen surface Cest cette image

laquodureraquo quil faut interroger

On a trop vitupeacutereacute linflation moderniste le parti pris theacuteoriciste lambition

de rigueur des matheacutematiques promues par la reacuteforme et trop peu vu derriegravere cet

eacutecran deux mouvements correacutelatifs moins spectaculaires mais deacuteterminants Le

premier - que nous avons deacutejagrave plusieurs fois mentionneacute - cest lenvahissement du

champ deacutetude par les structures numeacuteriques Les laquoexcegravesraquo du programme de 1971

sont le prix agrave payer pour ce coup de force qui se megravene alors - simple tactique dun

moment le programme de 1978 installera une version apaiseacutee de la mecircme strateacutegieshy

avec lartillerie lourde de laquolapproche des reacuteelsraquo des laquocalculs approcheacutesraquo des laquoencashy

drementsraquo de haute ambition matheacutematique Le seCond cest la peacuteneacutetration dun

thegraveme qui va devenir central celui de llaquoobservationraquo et de llaquoexpeacuterimentationraquo

matheacutematiques

Fausse moderniteacute ce thegraveme est mis en place degraves les Instructions de janvier

1957 (annexe 6a) dont les Instructions de 1971 se reacuteclameront non sans raicon Il

prend alors lallure dune reacuteflexion sur les liens entre matheacutematique et extramatheacutemashy

tique La caution bergsonienne ici invoqueacutee - homo taber homo sapiens - bien que

dateacutee est agrave cet eacutegard tregraves significative La perspective proposeacutee ne conduit pas tregraves

loin les problegravemes denseignement se trouvent laquoreacutesolusraquo par une didactique euphoshy

rique (annexe 6b) Au vrai la conjoncture historique qui verra la mise en place des

matheacutematiques modernes nest alors quincomplegravetement formeacutee Ce qui manque

encore afin que lideacutee dexpeacuterimentation puisse passer dans les faits cest une matiegravere

que lon pourrait soumettre agrave lobservation et agrave lexpeacuterience A cet eacutegard les Instrucshy

tions de 1957 raisonnent encore agrave lancienne la notion dexpeacuterimentation y est

surtout loccasion dune rheacutetorique qui tourne sur elle-mecircme faute de pouvoir sapplishy

quer Mais cette matiegravere dapplication qui fait deacutefaut la reacuteforme va lapporter en

abondance ce sera le numeacuterique dont nous comprenons mieux degraves lors la place

de choix que les programmes reacuteformeacutes vont lui accorder Son expansion se trouvait

en fait comme appeleacutee par lexigence laquoexpeacuterimentaleraquo induite par une certaine concepshy

tion eacutepisteacutemologique et didactique

Le deacutecor de laction est installeacute en consonance avec une mise en scegravene empiriste

du procegraves de connaissance(41) Il Y a la laquoreacutealiteacuteraquo qui est un donneacute dont la preacutesence

simpose avec la derniegravere force et il y a la laquotheacuteorieraquo de ce donneacute que lon preacutetend

tirer par abstraction de lobjet agrave laquelle elle se voue La dialectique du numeacuterique

et de lalgeacutebrique est alors perdue lun de ses termes (lalgeacutebrique) se dissout dans

(41) Pour lintelligence de ce qui suit nous renvoyons agrave Althusser 1968 notamment pp 38-45

80

lautre (le numeacuterique) agrave qui est octroyeacute par nature une existence presque mateacuterielle

et dont lalgeacutebrique proceacutedera geacuteneacutetiquement La reacuteforme de 1971 remanie donc

le champ deacutetude pour y produire de solides objets laquoreacuteelsraquo agrave forts coefficients dexis-shy

tence les structures numeacuteriques et aussi la mysteacuterieuse laquodroite physiqueraquo dont la

soudaine promotion ontologique serait autrement encore plus inexplicable(42) Cela

poseacute lintroduction du litteacuteral (lalgeacutebrique) sidentifie au mouvement par lequel

dans le procegraves empiriste de connaissance se repreacutesente lessence du reacuteel qui est toute

la connaissance que le sujet peut tirer de lobjet par abstraction il permet de distinguer

entre un reacuteel essentiel et un reacuteel inessentiel gangue ou accident que le processus

dabstraction abandonne comme un reacutesidu impenseacute Labstraction qui vise agrave porter

agrave la lumiegravere ce quon pourra connaicirctre de lobjet agit par deacutecrassage et deacutecapage

CHA~tTRbullbull tour dieacuteremcs ftiems de 1t 011 obti=c cIes putitioas cilifeacute=o~ Uuml fiIure 2 repreacutese1tt (parshy

tieJ1emenz) les paniagravecas ~ i- II-l 11--0 11 - - l~ = grouie agrave la loupe la paftiriœ cozrcspoadaDc agrave Il - - 2shy

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[l 0 ( [01 ( r12 r i i i i J r sr

-1shy 0 t

1 1 1 1 1 1 1 1 shy 1 bull 1 1 1 11

-1 -01 001 lU 03 ~ o~ 06 07 oa 09 1 11

P4 041 ~l ~~I 041ds1 -i -o] OoJ O4l o~ 04S 04) ~ 1 ~1 1

fJvZ

li) De m=c si II eR lD1 emer œIaagravef acirczeacute et si CI pr=d tOlIœS les ftiems possibles da2s Z r=semblc cIes imenalles cie c

Jcr10 (CI + L 10

eR iJMpcrtirIcircD1f de C Uuml figure 3 repreacutes=œ (articllemcm) =œ putitioll p04 shy O~

r 1 i 1 T l 1 1 -5 -4shy -3 -2 -r agrave l Z ~ 4shy 5

~3

DOCUMENT6

Le deacutecapage du donneacute dans le processus empiriste de connaissance

(42) Voir Chevallard et Johsua 1982 notamment pp 200-203

81

agrave ce thegraveme geacuteneacuteral de la connaissance empiriste reacutepond correctement dans les proshy

grammes la notion dlaquoapprocheraquo ou dlaquoapproximationraquo des laquoreacuteelsraquo (qui nont jamais

aussi bien porteacute leur nom) Ceux-ci sont atteints par le moyen de purifications successhy

sives qui eacuteliminent peu agrave peu la gangue inessentielle Tel manuel (43) pris parmi tant

dautres- en offre la superbe illustration (document 6) limage de la loupe - emblegraveme

de la connaissance empiriste dont elle est linstrument privileacutegieacute parce quelle permet

de mieux voir et de faire voir - y est requise et symbolise mieux quun long commenshy

taire cette conception de la connaissance comme visant agrave amener linvisible agrave la

vue de tous

Une telle conception de la connaissance rate le reacuteel dont il sagirait preacuteciseacutement

de produire la connaissance parce quelle en manque la constitution comme objet

de connaissance(44) Lalgeacutebrique ne sert plus agrave connaicirctre le numeacuterique Il nest plus

deacutesormais quune steacutenographie middotessentialisante qui deacutecrit reacutesume et seacutepare lessence

de laccident Le surgissement laquomoderneraquo de la dichotomie de llaquoobservationraquo et de

la laquotheacuteorieraquo - que les manuels actuels reprennent agrave lenvi - est ainsi correacutelatif dune

dissolution de lobjet de connaissance au profit de lobjet reacuteel maintenant donneacute

agrave voir dans une abstraction reacuteputeacutee immeacutediate et facile Lordre didactique va sorgashy

niser autour de cette eacutepisteacutemologie imaginaire

REFERENCES

ALTHUSSER L (1968) Lire le Capital Franccedilois Maspeacutero Paris

BOURDIEU P (1974) Le sens pratique eacuteditions de Minuit Paris

BROUSSEAU G (1980) Problegravemes de lenseignement des deacutecimaux Recherches

en didactique des matheacutematiques 1middot1 pp 11-59

CHEVALLARD Y (1980a) Matheacutematiques langage enseignement la reacuteforme des

anneacutees soixante Recherches 41 pp 71-99

CHEVALLARD Y (1980b) La transposition didactique 1REM dAix-Marseille

CHEVALLARD Y (1982) Pourquoi la transposition didactique 7 Publication du

seacuteminaire de didactique et peacutedagogie des matheacutematiques 32 Grenoble

CHEVALLARD Y et JOHSUA MA (1982) Un exemple danalyse de la transposition

didactique Recherches en didactique des matheacutematiques 3 2 pp 157-239

MICHEL PH (1950) De Pythagore agrave Euclide Les Belles Lettres Paris

SMITH DE (1953) History of mathematics volume Il Dover publications Inc

New York

(43) Il sagit de louvrage mentionneacute dans la note 24 ci-dessus

(44) Sur la distinction entre laquoobjet reacuteelraquo et laquoobjet de connaissanceraquo voir Althusser 1968 pp 4649

82

CLASSE DE QUATRIEME CLASSIQUE A ET B ET DE QUATRIEME MODERNE

PROGRAMME DE 1945 (extraits)

Arithmeacutetique

Pratique sur des exemples de la deacutecomposition dun nombre entier en facteurs premiers de la recherche du plus grand commun diviseur et du plus petit commun multiple de deux ou plushysieurs nombres Applications aux fractions

Algegravebre

Nombres algeacutebriques (positifs nuls heacutegatifs) Opeacuterations sur ces nombres exposeacutes agrave partir de problegravemes concrets Ineacutegaliteacutes

Mesures algeacutebriques de vecteurs sur une droite orienteacutee Formule de Chasles Repeacuterage dun point sur un axe

Eleacutements du calcul algeacutebrique proprieacuteteacutes des sommes et des produits Puissances Produit et quotient de deux puissances dun nombre usage de lexposant nul et dexposants neacutegatifs

Monocircmes Produit de monocircmes Quotient de deux nombres Somme de monocircmes semblables (on se bornera agrave des monocircmes agrave une deux ou trois variables) Polynocircmes agrave une variable addition soustraction multiplication par une constante

Equations numeacuteriques du premie( degreacute agrave une inconnue Problegravemes conduisant agrave une eacutequation numeacuterique du premier degreacute agrave une inconnue

Annexe 1

83

CLASSE DE QUATRIEME

PROGRAMME DE 1958 (extraits)

Arithmeacutetique

Pratique sur des exemples de la deacutecomposition dun nombre entier en un produit de nomshybres premiers pratique de la recherche du plus grand diviseur commun et du plus petit multiple commun de deux ou plusieurs nombres Applications

Algegravebre

1 - Nombres relatifs (positifs nuls neacutegatifs) Orientation dun segment (vecteur) orientation dune droite (axe) mesure algeacutebrique

dun segment orienteacute sur un axe repeacuterage dun point sur un axe (abscisse)

II - Opeacuterations eacuteleacutementaires sur les nombres relatifs addition et soustraction multiplishycation et division

Extension aux nombres relatifs des proprieacuteteacutes fondamentales eacutetablies pour les nombres arithmeacutetiques (classe de cinquiegraveme) concernant les sommes les diffeacuterences les produits les puisshysances n-iegravemes les quotients linverse dun nombre non nul Condition pour quun produit soit nul

Deacutefinition des exposants neacutegatifs et de lexposant nul Comparaison des nombres relatifs ineacutegaliteacutes Ineacutegaliteacutes concernant la valeur absolue dune somme ou dune diffeacuterence Formule de Chasles pour trois points situeacutes sur un axe Segment deacutefini par les abscisses

des deLix points qui le limitent mesure algeacutebrique de ce segment orienteacute mesure de la longueur de ce segment abscisse du milieu de ce segment

III - Notions de variables et de correspondance entre variables Expressions algeacutebriques deacutependant dUne ou de plusieurs variables calcul de la valeur

numeacuterique dune expression algeacutebrique pour des valeurs numeacuteriques donneacutees aux Ymiddotariables Monocircmes agrave une ou plusieurs variables multiplication addition de monocircmes semblables Polynocircmes forme reacuteduite Polynocircmes ordonneacutes addition multiplication Identiteacutes relatives aux produits (x + y)2 (x - y)2 (x + y)(x - y)

IV - Equations position du problegraveme signification du signe = dans ce problegraveme Equashytions du premier degreacute agrave une inconnue agrave coefficients numeacuteriques Reacutesolution de problegravemes simples agrave laide dune telle eacutequation

Annexe 2

84

CLASSE DE QUATRIEME

PROGRAMME DE 1971 (extraits)

1 - Relations

Reacutevision -des notions preacutesenteacutees dans les classes anteacuterieures et compleacutements produit carteacutesien relation application composition des applications bijection cun ensemble sur un ensemble et bijection reacuteciproque

Notion de groupe deacutefinition (on la jeacutegagera des exemples du programme)

II - Nombres deacutecimaux relatifs et approche de reacuteel

1 Groupe des puissances de dix

Nombres deacutecimaux relatifs eacutecrits a 10n avec a e7l et p E7 et sous forme de nombres agrave virgule addition multiplication ordre valeur absolue Reacutesumeacute des proprieacuteteacutes fondamentales de lensemble ainsi structureacute des deacutecimaux relatifs

2 Calculs approcheacutes

a) EnC3drement dun nombre deacutecimal par des intervalles des types [a 10pbull (a + 1) 10middot[ da 101 (a + 1) 10- [a 10pbull (a + 1) 101] avec a E Z et p E Z Sur des exelJlples encamiddot drement middotdune somme dun produit

b) Exercices de deacutetermination pour un deacutecimal strictement positif d donneacute et pour un entier relatif n donneacute du nombre deacutecimal x bull 10 avec x E IN tel que soient veacuterifieacutees les ineacutegaliteacutes 0 ~d x 10 ~ 1 lt d (x + 1) 10

c) Exercices de deacutetermination pour un deacutecimal strictement positif d donneacute et pour un entier relatif n jonneacute du nombre deacutecimal y bull 10 avec y E IN tel que soient veacuterifieacutees les ineacutegaliteacutes [y 10P ~ d lt [(y + 1) 10]

d) Suites deacutecimales illimiteacutees nombres reacuteels encadrements dun nombre reacuteel

3 Enumeacuteration des principales proprieacuteteacutes qui structurent fensemble IR des reacuteels addition (IR +) est un groupe commutatif multiplication associashytiYiteacute distributiviteacute par rapport agravefaddition ordre et valoeur absolue

On admettra que pour tout nombre reacuteel a jiffeacuterent de 0 il existe un nombre reacuteel a-1 et un seul tel que aa-1 = 1 Pour tout couple de nombres reacuteels (a b) avec a = 0 il existe un nombre reacuteel unique x appeleacute quotient de b par a

b et noteacute ba-1 ou - tel que ax = b a

Exercices simples de calcul sur de tels quotients Sur des exemples -numeacuteriques eacutequations et ineacutequations du premier degr9 agrave une inconnue

Usage des exposants entiers groupe des puissances dun nombre reacuteel non nul

Calculs approcheacutes sur les nombres reacuteels

4 Exemples de fonctions polynocircmes (applications de IR dans IR) Degreacute Exercices de calcul SUT les polynocircmes Produits (x + a)2 (x - a)2 (x + a) (x - a) Exercices de factorisation

Annexe 3

85

ENCYCLOPEDIE QUILLET (1958)

TABLE DES MATIERES (extraits)

ARITBMEacuteTIQUE Notio~ preacute1i1Ji~ajres - Ideacutee de nombrebullbullbullbull 153 NumeratIon decmale bullbullbullbullbullbullbullbull 156 ~esure des grŒDdeurs bullbullbullbullbullbull bullbullbullbull 159 Nombresmiddot deacutecUDauxbullbullbullbullbullbullbullbullbullbull 169 Ladditionbullbull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull 165 La soustraction bull bull bull bull bull bull bull bull bull 168 La ~~qplication bullbullbullbullbullbullbull1 bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bullbull 171 La diVISIon 178

Regravegle de trois bull bull 117 Pourcentages bullbullbull 119 Partages proportionnels 110 ~~langes bullbull i bull bullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbull 111 Alliages bull 111 Regravegles dinteacuterecircts 124 Rentes sur Pltat 116 Actins et obli~tions - Escompte 117

Problegravemes sur les quatre opeacutemtions bull bull bull 184 La divisibiliteacute bull bull bull bull bull bull bull bull 186 Plus grŒDd commun diviseur (p G C D) 189 Plus petit commun multiple (P P C M) 191 Nombres premiers bullbullbullbullbullbullbullbull 192 Les fractions bull bull bull bull bull 194 Opeacuterations sur les fractions 197 Sys~egraveme meacute~que 203 Racme carree 207 Rapports - Proportions 2 II

Grandeurs Proportionnelles 215

Connge des exercces ~ 130

Annexe4a

ALGEgraveBRE Notions preacuteliminaires bullbullbullbull 157 Opeacutemtions sur les nombres algeacutebriques (somme

diffeacuterence multiplicationmiddot division des nombres algeacutebriques fractions ou rapports algeacutebriques puissances racines) bull bull 160

Qpeacuterations sur les expressions algeacutebriques bull 168 gquations du premier degreacute 278 Reacutesolution des problegravemes du premier degreacute agrave une

inconnue bullbullbullbullbullbullbullbullbull 186 gquations et problegravemes du premier degreacute agrave deux

ou plusieurs inconnues bull bull 191 Notions sur les repreacutesentations graphiques bull bull 301

Variation des fonctions 313 Deacuteriveacutees bullbull bull bull 319

~uations et problegravemes du second degreacute bull bull 312

ProgressionsetlogaritbInesmiddotmiddotmiddotmiddot middotmiddot middotmiddotmiddot middot331 Table de logarithmes de 1 agrave 1 000 bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull 338 Application des logarithmes Inteacuterecircts composeacutes et

annuiteacutes bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull 343 Corcigeacute des ex~ces bullbull ~ bullbullbullbullbullbullbull 348

Annexe4b

77

de travail agrave objet travailleacute semble perdu Les deux domaines - le numeacuterique -le

litteacuteral - vont coexister dans une simple juxtaposition existants qui trouvent en

eux-mecircmes leur propre justification Les rapports naguegravere encore banals entre ces

deux ordres de reacutealiteacute matheacutematiques semblent deacutesormais abolis Ou plutocirct ils laissent

place agrave des rapports nouveaux et inverseacutes ce nest plus lalgeacutebrique qui vient pershy

mettre deacutetudier le numeacuterique cest le numeacuterique qui laquojustifieraquo et laquopermet de comshy

prendreraquo lalgeacutebrique Le document 5 extrait dun manuei de quatriegraveme actuel (40)

IIUDIFFeacute~ENCS ce ceux C~CIMAUX [

x-eD yeC zeC z-z -y signifie que z+y-z Comment est appel z pour z et y dans ct ordre Observe

13-(-7) z+-7)middot13

[+(-7)j+713+7 +[(-7)+71-13+7

+0-13+7 zo13+-7

z-z-y z+y-z

(+y) + (-y)- +-(-y) +(y+ (-y)]-x + (-y)

z+O-z + (-y) -+(-y)

Pour tout xde D pour tout y de 0 z - y est un deacutecimal et z - y = +(-y) Exemples 8-(-7)=8+7=15 9-14=9+(-14)=-5 Lopeacuteration- qui agrave chaque coupe (z y) z e 0 y E C fait correspondre le deacutecimal Z - J est la soustraction dans O

DOCUMENT 5

Lalgeacutebrique comme essence du numeacuterique

nous donne de ce pheacutenomegravene un exemple tregraves net lintention didactique est ici

de justifier le fait que x - y = x + (-y) Pour le matheacutematicien la laquojustificationraquo shy

qui est alors strictement une deacutemonstration - est toute entiegravere contenue dans la

colonne de droite si je deacutefinis en geacuteneacuteral-y comme eacutetant le nombre tel quey + (-y) = 0

et si les proprieacuteteacutes ordinaires - associativiteacute etc - valent encore pour le nouvel

ensemble de nombres ainsi deacutefini alors le nombre z que je dois ajouter agrave y pour

obtenir x - ce quon appelle la diffeacuterence de x et y et qUon note x - y - nest pas

autre chose que x + (-y) Or la laquojustificationraquo passe dans la didactique ici examineacutee

par lappel au concret cest-agrave-dire au numeacuterique tel est le rocircle de la colonne de

gauche Ce sont les calculs numeacuteriques de la colonne de gauche qui soutiendraient

le sens (pour leacutelegraveve) des calculs litteacuteraux de la colonne de droite Malheureusement

le contenu de la colonne de gauche est si lon peut dire hautement improbable

(401 Il sagifdu _manuel Matheacutematique contemporaine pour la classe de quatriegraveme publieacute chez Magnard et conforme au programme de1978shy

78

parce que le numeacuterique ne fonctionne pas ainsi En fait les calculs numeacuteriques preacuteshy

senteacutes ici nexistent quagrave ecirctre limage en miroir des calculs litteacuteraux de la colonne

de droite Et cest pour permettre de tels calculs que le langage algeacutebrique preacutecishy

seacutement est neacutecessaire Il y a ainsi meacuteprise sur la speacutecificiteacute des deux ordres de calcul

et conseacutequemment sur le type de rapports quils entretiennent la justification

de lalgeacutebrique sappuierait sur un mode de fonctionnement du numeacuterique qui nest

en fait quun deacutecalque du fonctionnement de lalgeacutebrique et qui donc suppose

lalgeacutebrique

Leacutelucidation du nouveau rapport qui saffirme ainsi nest pas chose facile Elle

est pourtant neacutecessaire afin de preacuteciser par delagrave la surface des programmes les mouveshy

ments profonds produisant des deacutecisions didactiques quon aurait tort de regarder

seulement comme des laquotrucsraquo eacuteleacutements atomiques de strateacutegies trouvant en ellesshy

mecircmes et dans leurs effets supposeacutes leur unique mobile Revenons agrave lexemple que

nous avons examineacute Lalgeacutebrique y apparaicirct comme la laquotheacuteorieraquo de cette laquoreacutealiteacuteraquo

que serait le numeacuterique Mais les relations en acte entre theacuteorie (permettant leacutetude)

et reacutealiteacute (objet de leacutetude) y ressortissent incontestablement agrave une conception empishy

riste (et mecircme nous allons le voir empiriste-sensualiste) de la connaissance Tel est

en fait le mobile - veacutecu sans doute comme allant de soi dans leacutevidence que lideacuteoshy

logie procure - de la tentative de laquofaire sortirraquo la theacuteorie (lalgeacutebrique) de la reacutealiteacute

(numeacuterique) Il ya ici inversion des rapports entre theacuteorie et reacutealiteacute Car le surgissement

du theacuteorique - faut-il le rappeler - ne sautorise jamais que de lui-mecircme et loin

de proceacuteder de la reacutealiteacute la constitue (ou la renouvelle) comme objet de connaissance

Si jeacutecris par exemple 13 + 7 = 13 - (-7) selon un fonctionnement du numeacuterique

antinomique de la pratique calculatoire (cest-agrave-dire arithmeacutetique) du numeacuterique shy

laquelle voudrait quon eacutecrivicirct 13 + 7 = 20 - je fais de lalgegravebre sur du numeacuterique

cest loutil algeacutebrique et lui seul qui me permet ce travail du numeacuterique Entre le

fonctionnement arithmeacutetique et le fonctionnement algeacutebrique du numeacuterique il y a

ainsi une distance - un saut - que nul proceacutedeacute dlaquoabstractionraquo ne peut venir combler

On aurait tort de penser que lanalyse preacuteceacutedente ne vaut que pour lexemple

sur laquelle nous lavons illustreacutee En reacutealiteacute sa porteacutee est beaucoup plus eacutetendue

et pour en saisir toute la signification il faut revenir agrave cette acmeacute de leacutevolution de

la transposition didactique que repreacutesente la reacuteforme de 1971 (celle des laquomatheacutemashy

tiques modernesraquo) Contrairement aux opinions aujourdhui dominantes qui selon

un opportunisme neacutecessaire et une constante inconstance reacutecusent cette reacuteforme

pour ses excegraves et la regardent comme laberration dun moment il faut tenir que cette

aberration nen est pas une quelle ne fait que preacutecipiter cristalliser et rendre explicites

des traits qui deacutejagrave se repegraverent dans leacutevolution des deacutecennies preacuteceacutedentes Elle est un

moment qui donne sens reacutetrospectivement agravece qui vient avant lui et deacutetermine

largement ce qui viendra apregraves lui Car sil y a en quelque faccedilon rupture cest sur le

fond dune tregraves large surdeacutetermination En profondeur le programme de 1971 - pour

79

sen tenir agrave la classe de quatriegraveme - constitue une radiographie saisissante dune

eacutevolution que le programme de 1978 nadoucira quen surface Cest cette image

laquodureraquo quil faut interroger

On a trop vitupeacutereacute linflation moderniste le parti pris theacuteoriciste lambition

de rigueur des matheacutematiques promues par la reacuteforme et trop peu vu derriegravere cet

eacutecran deux mouvements correacutelatifs moins spectaculaires mais deacuteterminants Le

premier - que nous avons deacutejagrave plusieurs fois mentionneacute - cest lenvahissement du

champ deacutetude par les structures numeacuteriques Les laquoexcegravesraquo du programme de 1971

sont le prix agrave payer pour ce coup de force qui se megravene alors - simple tactique dun

moment le programme de 1978 installera une version apaiseacutee de la mecircme strateacutegieshy

avec lartillerie lourde de laquolapproche des reacuteelsraquo des laquocalculs approcheacutesraquo des laquoencashy

drementsraquo de haute ambition matheacutematique Le seCond cest la peacuteneacutetration dun

thegraveme qui va devenir central celui de llaquoobservationraquo et de llaquoexpeacuterimentationraquo

matheacutematiques

Fausse moderniteacute ce thegraveme est mis en place degraves les Instructions de janvier

1957 (annexe 6a) dont les Instructions de 1971 se reacuteclameront non sans raicon Il

prend alors lallure dune reacuteflexion sur les liens entre matheacutematique et extramatheacutemashy

tique La caution bergsonienne ici invoqueacutee - homo taber homo sapiens - bien que

dateacutee est agrave cet eacutegard tregraves significative La perspective proposeacutee ne conduit pas tregraves

loin les problegravemes denseignement se trouvent laquoreacutesolusraquo par une didactique euphoshy

rique (annexe 6b) Au vrai la conjoncture historique qui verra la mise en place des

matheacutematiques modernes nest alors quincomplegravetement formeacutee Ce qui manque

encore afin que lideacutee dexpeacuterimentation puisse passer dans les faits cest une matiegravere

que lon pourrait soumettre agrave lobservation et agrave lexpeacuterience A cet eacutegard les Instrucshy

tions de 1957 raisonnent encore agrave lancienne la notion dexpeacuterimentation y est

surtout loccasion dune rheacutetorique qui tourne sur elle-mecircme faute de pouvoir sapplishy

quer Mais cette matiegravere dapplication qui fait deacutefaut la reacuteforme va lapporter en

abondance ce sera le numeacuterique dont nous comprenons mieux degraves lors la place

de choix que les programmes reacuteformeacutes vont lui accorder Son expansion se trouvait

en fait comme appeleacutee par lexigence laquoexpeacuterimentaleraquo induite par une certaine concepshy

tion eacutepisteacutemologique et didactique

Le deacutecor de laction est installeacute en consonance avec une mise en scegravene empiriste

du procegraves de connaissance(41) Il Y a la laquoreacutealiteacuteraquo qui est un donneacute dont la preacutesence

simpose avec la derniegravere force et il y a la laquotheacuteorieraquo de ce donneacute que lon preacutetend

tirer par abstraction de lobjet agrave laquelle elle se voue La dialectique du numeacuterique

et de lalgeacutebrique est alors perdue lun de ses termes (lalgeacutebrique) se dissout dans

(41) Pour lintelligence de ce qui suit nous renvoyons agrave Althusser 1968 notamment pp 38-45

80

lautre (le numeacuterique) agrave qui est octroyeacute par nature une existence presque mateacuterielle

et dont lalgeacutebrique proceacutedera geacuteneacutetiquement La reacuteforme de 1971 remanie donc

le champ deacutetude pour y produire de solides objets laquoreacuteelsraquo agrave forts coefficients dexis-shy

tence les structures numeacuteriques et aussi la mysteacuterieuse laquodroite physiqueraquo dont la

soudaine promotion ontologique serait autrement encore plus inexplicable(42) Cela

poseacute lintroduction du litteacuteral (lalgeacutebrique) sidentifie au mouvement par lequel

dans le procegraves empiriste de connaissance se repreacutesente lessence du reacuteel qui est toute

la connaissance que le sujet peut tirer de lobjet par abstraction il permet de distinguer

entre un reacuteel essentiel et un reacuteel inessentiel gangue ou accident que le processus

dabstraction abandonne comme un reacutesidu impenseacute Labstraction qui vise agrave porter

agrave la lumiegravere ce quon pourra connaicirctre de lobjet agit par deacutecrassage et deacutecapage

CHA~tTRbullbull tour dieacuteremcs ftiems de 1t 011 obti=c cIes putitioas cilifeacute=o~ Uuml fiIure 2 repreacutese1tt (parshy

tieJ1emenz) les paniagravecas ~ i- II-l 11--0 11 - - l~ = grouie agrave la loupe la paftiriœ cozrcspoadaDc agrave Il - - 2shy

f-oo( [Q10[

1 1

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1 1 1 1 1 1 1 1 shy 1 bull 1 1 1 11

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li) De m=c si II eR lD1 emer œIaagravef acirczeacute et si CI pr=d tOlIœS les ftiems possibles da2s Z r=semblc cIes imenalles cie c

Jcr10 (CI + L 10

eR iJMpcrtirIcircD1f de C Uuml figure 3 repreacutes=œ (articllemcm) =œ putitioll p04 shy O~

r 1 i 1 T l 1 1 -5 -4shy -3 -2 -r agrave l Z ~ 4shy 5

~3

DOCUMENT6

Le deacutecapage du donneacute dans le processus empiriste de connaissance

(42) Voir Chevallard et Johsua 1982 notamment pp 200-203

81

agrave ce thegraveme geacuteneacuteral de la connaissance empiriste reacutepond correctement dans les proshy

grammes la notion dlaquoapprocheraquo ou dlaquoapproximationraquo des laquoreacuteelsraquo (qui nont jamais

aussi bien porteacute leur nom) Ceux-ci sont atteints par le moyen de purifications successhy

sives qui eacuteliminent peu agrave peu la gangue inessentielle Tel manuel (43) pris parmi tant

dautres- en offre la superbe illustration (document 6) limage de la loupe - emblegraveme

de la connaissance empiriste dont elle est linstrument privileacutegieacute parce quelle permet

de mieux voir et de faire voir - y est requise et symbolise mieux quun long commenshy

taire cette conception de la connaissance comme visant agrave amener linvisible agrave la

vue de tous

Une telle conception de la connaissance rate le reacuteel dont il sagirait preacuteciseacutement

de produire la connaissance parce quelle en manque la constitution comme objet

de connaissance(44) Lalgeacutebrique ne sert plus agrave connaicirctre le numeacuterique Il nest plus

deacutesormais quune steacutenographie middotessentialisante qui deacutecrit reacutesume et seacutepare lessence

de laccident Le surgissement laquomoderneraquo de la dichotomie de llaquoobservationraquo et de

la laquotheacuteorieraquo - que les manuels actuels reprennent agrave lenvi - est ainsi correacutelatif dune

dissolution de lobjet de connaissance au profit de lobjet reacuteel maintenant donneacute

agrave voir dans une abstraction reacuteputeacutee immeacutediate et facile Lordre didactique va sorgashy

niser autour de cette eacutepisteacutemologie imaginaire

REFERENCES

ALTHUSSER L (1968) Lire le Capital Franccedilois Maspeacutero Paris

BOURDIEU P (1974) Le sens pratique eacuteditions de Minuit Paris

BROUSSEAU G (1980) Problegravemes de lenseignement des deacutecimaux Recherches

en didactique des matheacutematiques 1middot1 pp 11-59

CHEVALLARD Y (1980a) Matheacutematiques langage enseignement la reacuteforme des

anneacutees soixante Recherches 41 pp 71-99

CHEVALLARD Y (1980b) La transposition didactique 1REM dAix-Marseille

CHEVALLARD Y (1982) Pourquoi la transposition didactique 7 Publication du

seacuteminaire de didactique et peacutedagogie des matheacutematiques 32 Grenoble

CHEVALLARD Y et JOHSUA MA (1982) Un exemple danalyse de la transposition

didactique Recherches en didactique des matheacutematiques 3 2 pp 157-239

MICHEL PH (1950) De Pythagore agrave Euclide Les Belles Lettres Paris

SMITH DE (1953) History of mathematics volume Il Dover publications Inc

New York

(43) Il sagit de louvrage mentionneacute dans la note 24 ci-dessus

(44) Sur la distinction entre laquoobjet reacuteelraquo et laquoobjet de connaissanceraquo voir Althusser 1968 pp 4649

82

CLASSE DE QUATRIEME CLASSIQUE A ET B ET DE QUATRIEME MODERNE

PROGRAMME DE 1945 (extraits)

Arithmeacutetique

Pratique sur des exemples de la deacutecomposition dun nombre entier en facteurs premiers de la recherche du plus grand commun diviseur et du plus petit commun multiple de deux ou plushysieurs nombres Applications aux fractions

Algegravebre

Nombres algeacutebriques (positifs nuls heacutegatifs) Opeacuterations sur ces nombres exposeacutes agrave partir de problegravemes concrets Ineacutegaliteacutes

Mesures algeacutebriques de vecteurs sur une droite orienteacutee Formule de Chasles Repeacuterage dun point sur un axe

Eleacutements du calcul algeacutebrique proprieacuteteacutes des sommes et des produits Puissances Produit et quotient de deux puissances dun nombre usage de lexposant nul et dexposants neacutegatifs

Monocircmes Produit de monocircmes Quotient de deux nombres Somme de monocircmes semblables (on se bornera agrave des monocircmes agrave une deux ou trois variables) Polynocircmes agrave une variable addition soustraction multiplication par une constante

Equations numeacuteriques du premie( degreacute agrave une inconnue Problegravemes conduisant agrave une eacutequation numeacuterique du premier degreacute agrave une inconnue

Annexe 1

83

CLASSE DE QUATRIEME

PROGRAMME DE 1958 (extraits)

Arithmeacutetique

Pratique sur des exemples de la deacutecomposition dun nombre entier en un produit de nomshybres premiers pratique de la recherche du plus grand diviseur commun et du plus petit multiple commun de deux ou plusieurs nombres Applications

Algegravebre

1 - Nombres relatifs (positifs nuls neacutegatifs) Orientation dun segment (vecteur) orientation dune droite (axe) mesure algeacutebrique

dun segment orienteacute sur un axe repeacuterage dun point sur un axe (abscisse)

II - Opeacuterations eacuteleacutementaires sur les nombres relatifs addition et soustraction multiplishycation et division

Extension aux nombres relatifs des proprieacuteteacutes fondamentales eacutetablies pour les nombres arithmeacutetiques (classe de cinquiegraveme) concernant les sommes les diffeacuterences les produits les puisshysances n-iegravemes les quotients linverse dun nombre non nul Condition pour quun produit soit nul

Deacutefinition des exposants neacutegatifs et de lexposant nul Comparaison des nombres relatifs ineacutegaliteacutes Ineacutegaliteacutes concernant la valeur absolue dune somme ou dune diffeacuterence Formule de Chasles pour trois points situeacutes sur un axe Segment deacutefini par les abscisses

des deLix points qui le limitent mesure algeacutebrique de ce segment orienteacute mesure de la longueur de ce segment abscisse du milieu de ce segment

III - Notions de variables et de correspondance entre variables Expressions algeacutebriques deacutependant dUne ou de plusieurs variables calcul de la valeur

numeacuterique dune expression algeacutebrique pour des valeurs numeacuteriques donneacutees aux Ymiddotariables Monocircmes agrave une ou plusieurs variables multiplication addition de monocircmes semblables Polynocircmes forme reacuteduite Polynocircmes ordonneacutes addition multiplication Identiteacutes relatives aux produits (x + y)2 (x - y)2 (x + y)(x - y)

IV - Equations position du problegraveme signification du signe = dans ce problegraveme Equashytions du premier degreacute agrave une inconnue agrave coefficients numeacuteriques Reacutesolution de problegravemes simples agrave laide dune telle eacutequation

Annexe 2

84

CLASSE DE QUATRIEME

PROGRAMME DE 1971 (extraits)

1 - Relations

Reacutevision -des notions preacutesenteacutees dans les classes anteacuterieures et compleacutements produit carteacutesien relation application composition des applications bijection cun ensemble sur un ensemble et bijection reacuteciproque

Notion de groupe deacutefinition (on la jeacutegagera des exemples du programme)

II - Nombres deacutecimaux relatifs et approche de reacuteel

1 Groupe des puissances de dix

Nombres deacutecimaux relatifs eacutecrits a 10n avec a e7l et p E7 et sous forme de nombres agrave virgule addition multiplication ordre valeur absolue Reacutesumeacute des proprieacuteteacutes fondamentales de lensemble ainsi structureacute des deacutecimaux relatifs

2 Calculs approcheacutes

a) EnC3drement dun nombre deacutecimal par des intervalles des types [a 10pbull (a + 1) 10middot[ da 101 (a + 1) 10- [a 10pbull (a + 1) 101] avec a E Z et p E Z Sur des exelJlples encamiddot drement middotdune somme dun produit

b) Exercices de deacutetermination pour un deacutecimal strictement positif d donneacute et pour un entier relatif n donneacute du nombre deacutecimal x bull 10 avec x E IN tel que soient veacuterifieacutees les ineacutegaliteacutes 0 ~d x 10 ~ 1 lt d (x + 1) 10

c) Exercices de deacutetermination pour un deacutecimal strictement positif d donneacute et pour un entier relatif n jonneacute du nombre deacutecimal y bull 10 avec y E IN tel que soient veacuterifieacutees les ineacutegaliteacutes [y 10P ~ d lt [(y + 1) 10]

d) Suites deacutecimales illimiteacutees nombres reacuteels encadrements dun nombre reacuteel

3 Enumeacuteration des principales proprieacuteteacutes qui structurent fensemble IR des reacuteels addition (IR +) est un groupe commutatif multiplication associashytiYiteacute distributiviteacute par rapport agravefaddition ordre et valoeur absolue

On admettra que pour tout nombre reacuteel a jiffeacuterent de 0 il existe un nombre reacuteel a-1 et un seul tel que aa-1 = 1 Pour tout couple de nombres reacuteels (a b) avec a = 0 il existe un nombre reacuteel unique x appeleacute quotient de b par a

b et noteacute ba-1 ou - tel que ax = b a

Exercices simples de calcul sur de tels quotients Sur des exemples -numeacuteriques eacutequations et ineacutequations du premier degr9 agrave une inconnue

Usage des exposants entiers groupe des puissances dun nombre reacuteel non nul

Calculs approcheacutes sur les nombres reacuteels

4 Exemples de fonctions polynocircmes (applications de IR dans IR) Degreacute Exercices de calcul SUT les polynocircmes Produits (x + a)2 (x - a)2 (x + a) (x - a) Exercices de factorisation

Annexe 3

85

ENCYCLOPEDIE QUILLET (1958)

TABLE DES MATIERES (extraits)

ARITBMEacuteTIQUE Notio~ preacute1i1Ji~ajres - Ideacutee de nombrebullbullbullbull 153 NumeratIon decmale bullbullbullbullbullbullbullbull 156 ~esure des grŒDdeurs bullbullbullbullbullbull bullbullbullbull 159 Nombresmiddot deacutecUDauxbullbullbullbullbullbullbullbullbullbull 169 Ladditionbullbull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull 165 La soustraction bull bull bull bull bull bull bull bull bull 168 La ~~qplication bullbullbullbullbullbullbull1 bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bullbull 171 La diVISIon 178

Regravegle de trois bull bull 117 Pourcentages bullbullbull 119 Partages proportionnels 110 ~~langes bullbull i bull bullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbull 111 Alliages bull 111 Regravegles dinteacuterecircts 124 Rentes sur Pltat 116 Actins et obli~tions - Escompte 117

Problegravemes sur les quatre opeacutemtions bull bull bull 184 La divisibiliteacute bull bull bull bull bull bull bull bull 186 Plus grŒDd commun diviseur (p G C D) 189 Plus petit commun multiple (P P C M) 191 Nombres premiers bullbullbullbullbullbullbullbull 192 Les fractions bull bull bull bull bull 194 Opeacuterations sur les fractions 197 Sys~egraveme meacute~que 203 Racme carree 207 Rapports - Proportions 2 II

Grandeurs Proportionnelles 215

Connge des exercces ~ 130

Annexe4a

ALGEgraveBRE Notions preacuteliminaires bullbullbullbull 157 Opeacutemtions sur les nombres algeacutebriques (somme

diffeacuterence multiplicationmiddot division des nombres algeacutebriques fractions ou rapports algeacutebriques puissances racines) bull bull 160

Qpeacuterations sur les expressions algeacutebriques bull 168 gquations du premier degreacute 278 Reacutesolution des problegravemes du premier degreacute agrave une

inconnue bullbullbullbullbullbullbullbullbull 186 gquations et problegravemes du premier degreacute agrave deux

ou plusieurs inconnues bull bull 191 Notions sur les repreacutesentations graphiques bull bull 301

Variation des fonctions 313 Deacuteriveacutees bullbull bull bull 319

~uations et problegravemes du second degreacute bull bull 312

ProgressionsetlogaritbInesmiddotmiddotmiddotmiddot middotmiddot middotmiddotmiddot middot331 Table de logarithmes de 1 agrave 1 000 bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull 338 Application des logarithmes Inteacuterecircts composeacutes et

annuiteacutes bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull 343 Corcigeacute des ex~ces bullbull ~ bullbullbullbullbullbullbull 348

Annexe4b

78

parce que le numeacuterique ne fonctionne pas ainsi En fait les calculs numeacuteriques preacuteshy

senteacutes ici nexistent quagrave ecirctre limage en miroir des calculs litteacuteraux de la colonne

de droite Et cest pour permettre de tels calculs que le langage algeacutebrique preacutecishy

seacutement est neacutecessaire Il y a ainsi meacuteprise sur la speacutecificiteacute des deux ordres de calcul

et conseacutequemment sur le type de rapports quils entretiennent la justification

de lalgeacutebrique sappuierait sur un mode de fonctionnement du numeacuterique qui nest

en fait quun deacutecalque du fonctionnement de lalgeacutebrique et qui donc suppose

lalgeacutebrique

Leacutelucidation du nouveau rapport qui saffirme ainsi nest pas chose facile Elle

est pourtant neacutecessaire afin de preacuteciser par delagrave la surface des programmes les mouveshy

ments profonds produisant des deacutecisions didactiques quon aurait tort de regarder

seulement comme des laquotrucsraquo eacuteleacutements atomiques de strateacutegies trouvant en ellesshy

mecircmes et dans leurs effets supposeacutes leur unique mobile Revenons agrave lexemple que

nous avons examineacute Lalgeacutebrique y apparaicirct comme la laquotheacuteorieraquo de cette laquoreacutealiteacuteraquo

que serait le numeacuterique Mais les relations en acte entre theacuteorie (permettant leacutetude)

et reacutealiteacute (objet de leacutetude) y ressortissent incontestablement agrave une conception empishy

riste (et mecircme nous allons le voir empiriste-sensualiste) de la connaissance Tel est

en fait le mobile - veacutecu sans doute comme allant de soi dans leacutevidence que lideacuteoshy

logie procure - de la tentative de laquofaire sortirraquo la theacuteorie (lalgeacutebrique) de la reacutealiteacute

(numeacuterique) Il ya ici inversion des rapports entre theacuteorie et reacutealiteacute Car le surgissement

du theacuteorique - faut-il le rappeler - ne sautorise jamais que de lui-mecircme et loin

de proceacuteder de la reacutealiteacute la constitue (ou la renouvelle) comme objet de connaissance

Si jeacutecris par exemple 13 + 7 = 13 - (-7) selon un fonctionnement du numeacuterique

antinomique de la pratique calculatoire (cest-agrave-dire arithmeacutetique) du numeacuterique shy

laquelle voudrait quon eacutecrivicirct 13 + 7 = 20 - je fais de lalgegravebre sur du numeacuterique

cest loutil algeacutebrique et lui seul qui me permet ce travail du numeacuterique Entre le

fonctionnement arithmeacutetique et le fonctionnement algeacutebrique du numeacuterique il y a

ainsi une distance - un saut - que nul proceacutedeacute dlaquoabstractionraquo ne peut venir combler

On aurait tort de penser que lanalyse preacuteceacutedente ne vaut que pour lexemple

sur laquelle nous lavons illustreacutee En reacutealiteacute sa porteacutee est beaucoup plus eacutetendue

et pour en saisir toute la signification il faut revenir agrave cette acmeacute de leacutevolution de

la transposition didactique que repreacutesente la reacuteforme de 1971 (celle des laquomatheacutemashy

tiques modernesraquo) Contrairement aux opinions aujourdhui dominantes qui selon

un opportunisme neacutecessaire et une constante inconstance reacutecusent cette reacuteforme

pour ses excegraves et la regardent comme laberration dun moment il faut tenir que cette

aberration nen est pas une quelle ne fait que preacutecipiter cristalliser et rendre explicites

des traits qui deacutejagrave se repegraverent dans leacutevolution des deacutecennies preacuteceacutedentes Elle est un

moment qui donne sens reacutetrospectivement agravece qui vient avant lui et deacutetermine

largement ce qui viendra apregraves lui Car sil y a en quelque faccedilon rupture cest sur le

fond dune tregraves large surdeacutetermination En profondeur le programme de 1971 - pour

79

sen tenir agrave la classe de quatriegraveme - constitue une radiographie saisissante dune

eacutevolution que le programme de 1978 nadoucira quen surface Cest cette image

laquodureraquo quil faut interroger

On a trop vitupeacutereacute linflation moderniste le parti pris theacuteoriciste lambition

de rigueur des matheacutematiques promues par la reacuteforme et trop peu vu derriegravere cet

eacutecran deux mouvements correacutelatifs moins spectaculaires mais deacuteterminants Le

premier - que nous avons deacutejagrave plusieurs fois mentionneacute - cest lenvahissement du

champ deacutetude par les structures numeacuteriques Les laquoexcegravesraquo du programme de 1971

sont le prix agrave payer pour ce coup de force qui se megravene alors - simple tactique dun

moment le programme de 1978 installera une version apaiseacutee de la mecircme strateacutegieshy

avec lartillerie lourde de laquolapproche des reacuteelsraquo des laquocalculs approcheacutesraquo des laquoencashy

drementsraquo de haute ambition matheacutematique Le seCond cest la peacuteneacutetration dun

thegraveme qui va devenir central celui de llaquoobservationraquo et de llaquoexpeacuterimentationraquo

matheacutematiques

Fausse moderniteacute ce thegraveme est mis en place degraves les Instructions de janvier

1957 (annexe 6a) dont les Instructions de 1971 se reacuteclameront non sans raicon Il

prend alors lallure dune reacuteflexion sur les liens entre matheacutematique et extramatheacutemashy

tique La caution bergsonienne ici invoqueacutee - homo taber homo sapiens - bien que

dateacutee est agrave cet eacutegard tregraves significative La perspective proposeacutee ne conduit pas tregraves

loin les problegravemes denseignement se trouvent laquoreacutesolusraquo par une didactique euphoshy

rique (annexe 6b) Au vrai la conjoncture historique qui verra la mise en place des

matheacutematiques modernes nest alors quincomplegravetement formeacutee Ce qui manque

encore afin que lideacutee dexpeacuterimentation puisse passer dans les faits cest une matiegravere

que lon pourrait soumettre agrave lobservation et agrave lexpeacuterience A cet eacutegard les Instrucshy

tions de 1957 raisonnent encore agrave lancienne la notion dexpeacuterimentation y est

surtout loccasion dune rheacutetorique qui tourne sur elle-mecircme faute de pouvoir sapplishy

quer Mais cette matiegravere dapplication qui fait deacutefaut la reacuteforme va lapporter en

abondance ce sera le numeacuterique dont nous comprenons mieux degraves lors la place

de choix que les programmes reacuteformeacutes vont lui accorder Son expansion se trouvait

en fait comme appeleacutee par lexigence laquoexpeacuterimentaleraquo induite par une certaine concepshy

tion eacutepisteacutemologique et didactique

Le deacutecor de laction est installeacute en consonance avec une mise en scegravene empiriste

du procegraves de connaissance(41) Il Y a la laquoreacutealiteacuteraquo qui est un donneacute dont la preacutesence

simpose avec la derniegravere force et il y a la laquotheacuteorieraquo de ce donneacute que lon preacutetend

tirer par abstraction de lobjet agrave laquelle elle se voue La dialectique du numeacuterique

et de lalgeacutebrique est alors perdue lun de ses termes (lalgeacutebrique) se dissout dans

(41) Pour lintelligence de ce qui suit nous renvoyons agrave Althusser 1968 notamment pp 38-45

80

lautre (le numeacuterique) agrave qui est octroyeacute par nature une existence presque mateacuterielle

et dont lalgeacutebrique proceacutedera geacuteneacutetiquement La reacuteforme de 1971 remanie donc

le champ deacutetude pour y produire de solides objets laquoreacuteelsraquo agrave forts coefficients dexis-shy

tence les structures numeacuteriques et aussi la mysteacuterieuse laquodroite physiqueraquo dont la

soudaine promotion ontologique serait autrement encore plus inexplicable(42) Cela

poseacute lintroduction du litteacuteral (lalgeacutebrique) sidentifie au mouvement par lequel

dans le procegraves empiriste de connaissance se repreacutesente lessence du reacuteel qui est toute

la connaissance que le sujet peut tirer de lobjet par abstraction il permet de distinguer

entre un reacuteel essentiel et un reacuteel inessentiel gangue ou accident que le processus

dabstraction abandonne comme un reacutesidu impenseacute Labstraction qui vise agrave porter

agrave la lumiegravere ce quon pourra connaicirctre de lobjet agit par deacutecrassage et deacutecapage

CHA~tTRbullbull tour dieacuteremcs ftiems de 1t 011 obti=c cIes putitioas cilifeacute=o~ Uuml fiIure 2 repreacutese1tt (parshy

tieJ1emenz) les paniagravecas ~ i- II-l 11--0 11 - - l~ = grouie agrave la loupe la paftiriœ cozrcspoadaDc agrave Il - - 2shy

f-oo( [Q10[

1 1

~ Q t

(-2 ~( T

[l 0 ( [01 ( r12 r i i i i J r sr

-1shy 0 t

1 1 1 1 1 1 1 1 shy 1 bull 1 1 1 11

-1 -01 001 lU 03 ~ o~ 06 07 oa 09 1 11

P4 041 ~l ~~I 041ds1 -i -o] OoJ O4l o~ 04S 04) ~ 1 ~1 1

fJvZ

li) De m=c si II eR lD1 emer œIaagravef acirczeacute et si CI pr=d tOlIœS les ftiems possibles da2s Z r=semblc cIes imenalles cie c

Jcr10 (CI + L 10

eR iJMpcrtirIcircD1f de C Uuml figure 3 repreacutes=œ (articllemcm) =œ putitioll p04 shy O~

r 1 i 1 T l 1 1 -5 -4shy -3 -2 -r agrave l Z ~ 4shy 5

~3

DOCUMENT6

Le deacutecapage du donneacute dans le processus empiriste de connaissance

(42) Voir Chevallard et Johsua 1982 notamment pp 200-203

81

agrave ce thegraveme geacuteneacuteral de la connaissance empiriste reacutepond correctement dans les proshy

grammes la notion dlaquoapprocheraquo ou dlaquoapproximationraquo des laquoreacuteelsraquo (qui nont jamais

aussi bien porteacute leur nom) Ceux-ci sont atteints par le moyen de purifications successhy

sives qui eacuteliminent peu agrave peu la gangue inessentielle Tel manuel (43) pris parmi tant

dautres- en offre la superbe illustration (document 6) limage de la loupe - emblegraveme

de la connaissance empiriste dont elle est linstrument privileacutegieacute parce quelle permet

de mieux voir et de faire voir - y est requise et symbolise mieux quun long commenshy

taire cette conception de la connaissance comme visant agrave amener linvisible agrave la

vue de tous

Une telle conception de la connaissance rate le reacuteel dont il sagirait preacuteciseacutement

de produire la connaissance parce quelle en manque la constitution comme objet

de connaissance(44) Lalgeacutebrique ne sert plus agrave connaicirctre le numeacuterique Il nest plus

deacutesormais quune steacutenographie middotessentialisante qui deacutecrit reacutesume et seacutepare lessence

de laccident Le surgissement laquomoderneraquo de la dichotomie de llaquoobservationraquo et de

la laquotheacuteorieraquo - que les manuels actuels reprennent agrave lenvi - est ainsi correacutelatif dune

dissolution de lobjet de connaissance au profit de lobjet reacuteel maintenant donneacute

agrave voir dans une abstraction reacuteputeacutee immeacutediate et facile Lordre didactique va sorgashy

niser autour de cette eacutepisteacutemologie imaginaire

REFERENCES

ALTHUSSER L (1968) Lire le Capital Franccedilois Maspeacutero Paris

BOURDIEU P (1974) Le sens pratique eacuteditions de Minuit Paris

BROUSSEAU G (1980) Problegravemes de lenseignement des deacutecimaux Recherches

en didactique des matheacutematiques 1middot1 pp 11-59

CHEVALLARD Y (1980a) Matheacutematiques langage enseignement la reacuteforme des

anneacutees soixante Recherches 41 pp 71-99

CHEVALLARD Y (1980b) La transposition didactique 1REM dAix-Marseille

CHEVALLARD Y (1982) Pourquoi la transposition didactique 7 Publication du

seacuteminaire de didactique et peacutedagogie des matheacutematiques 32 Grenoble

CHEVALLARD Y et JOHSUA MA (1982) Un exemple danalyse de la transposition

didactique Recherches en didactique des matheacutematiques 3 2 pp 157-239

MICHEL PH (1950) De Pythagore agrave Euclide Les Belles Lettres Paris

SMITH DE (1953) History of mathematics volume Il Dover publications Inc

New York

(43) Il sagit de louvrage mentionneacute dans la note 24 ci-dessus

(44) Sur la distinction entre laquoobjet reacuteelraquo et laquoobjet de connaissanceraquo voir Althusser 1968 pp 4649

82

CLASSE DE QUATRIEME CLASSIQUE A ET B ET DE QUATRIEME MODERNE

PROGRAMME DE 1945 (extraits)

Arithmeacutetique

Pratique sur des exemples de la deacutecomposition dun nombre entier en facteurs premiers de la recherche du plus grand commun diviseur et du plus petit commun multiple de deux ou plushysieurs nombres Applications aux fractions

Algegravebre

Nombres algeacutebriques (positifs nuls heacutegatifs) Opeacuterations sur ces nombres exposeacutes agrave partir de problegravemes concrets Ineacutegaliteacutes

Mesures algeacutebriques de vecteurs sur une droite orienteacutee Formule de Chasles Repeacuterage dun point sur un axe

Eleacutements du calcul algeacutebrique proprieacuteteacutes des sommes et des produits Puissances Produit et quotient de deux puissances dun nombre usage de lexposant nul et dexposants neacutegatifs

Monocircmes Produit de monocircmes Quotient de deux nombres Somme de monocircmes semblables (on se bornera agrave des monocircmes agrave une deux ou trois variables) Polynocircmes agrave une variable addition soustraction multiplication par une constante

Equations numeacuteriques du premie( degreacute agrave une inconnue Problegravemes conduisant agrave une eacutequation numeacuterique du premier degreacute agrave une inconnue

Annexe 1

83

CLASSE DE QUATRIEME

PROGRAMME DE 1958 (extraits)

Arithmeacutetique

Pratique sur des exemples de la deacutecomposition dun nombre entier en un produit de nomshybres premiers pratique de la recherche du plus grand diviseur commun et du plus petit multiple commun de deux ou plusieurs nombres Applications

Algegravebre

1 - Nombres relatifs (positifs nuls neacutegatifs) Orientation dun segment (vecteur) orientation dune droite (axe) mesure algeacutebrique

dun segment orienteacute sur un axe repeacuterage dun point sur un axe (abscisse)

II - Opeacuterations eacuteleacutementaires sur les nombres relatifs addition et soustraction multiplishycation et division

Extension aux nombres relatifs des proprieacuteteacutes fondamentales eacutetablies pour les nombres arithmeacutetiques (classe de cinquiegraveme) concernant les sommes les diffeacuterences les produits les puisshysances n-iegravemes les quotients linverse dun nombre non nul Condition pour quun produit soit nul

Deacutefinition des exposants neacutegatifs et de lexposant nul Comparaison des nombres relatifs ineacutegaliteacutes Ineacutegaliteacutes concernant la valeur absolue dune somme ou dune diffeacuterence Formule de Chasles pour trois points situeacutes sur un axe Segment deacutefini par les abscisses

des deLix points qui le limitent mesure algeacutebrique de ce segment orienteacute mesure de la longueur de ce segment abscisse du milieu de ce segment

III - Notions de variables et de correspondance entre variables Expressions algeacutebriques deacutependant dUne ou de plusieurs variables calcul de la valeur

numeacuterique dune expression algeacutebrique pour des valeurs numeacuteriques donneacutees aux Ymiddotariables Monocircmes agrave une ou plusieurs variables multiplication addition de monocircmes semblables Polynocircmes forme reacuteduite Polynocircmes ordonneacutes addition multiplication Identiteacutes relatives aux produits (x + y)2 (x - y)2 (x + y)(x - y)

IV - Equations position du problegraveme signification du signe = dans ce problegraveme Equashytions du premier degreacute agrave une inconnue agrave coefficients numeacuteriques Reacutesolution de problegravemes simples agrave laide dune telle eacutequation

Annexe 2

84

CLASSE DE QUATRIEME

PROGRAMME DE 1971 (extraits)

1 - Relations

Reacutevision -des notions preacutesenteacutees dans les classes anteacuterieures et compleacutements produit carteacutesien relation application composition des applications bijection cun ensemble sur un ensemble et bijection reacuteciproque

Notion de groupe deacutefinition (on la jeacutegagera des exemples du programme)

II - Nombres deacutecimaux relatifs et approche de reacuteel

1 Groupe des puissances de dix

Nombres deacutecimaux relatifs eacutecrits a 10n avec a e7l et p E7 et sous forme de nombres agrave virgule addition multiplication ordre valeur absolue Reacutesumeacute des proprieacuteteacutes fondamentales de lensemble ainsi structureacute des deacutecimaux relatifs

2 Calculs approcheacutes

a) EnC3drement dun nombre deacutecimal par des intervalles des types [a 10pbull (a + 1) 10middot[ da 101 (a + 1) 10- [a 10pbull (a + 1) 101] avec a E Z et p E Z Sur des exelJlples encamiddot drement middotdune somme dun produit

b) Exercices de deacutetermination pour un deacutecimal strictement positif d donneacute et pour un entier relatif n donneacute du nombre deacutecimal x bull 10 avec x E IN tel que soient veacuterifieacutees les ineacutegaliteacutes 0 ~d x 10 ~ 1 lt d (x + 1) 10

c) Exercices de deacutetermination pour un deacutecimal strictement positif d donneacute et pour un entier relatif n jonneacute du nombre deacutecimal y bull 10 avec y E IN tel que soient veacuterifieacutees les ineacutegaliteacutes [y 10P ~ d lt [(y + 1) 10]

d) Suites deacutecimales illimiteacutees nombres reacuteels encadrements dun nombre reacuteel

3 Enumeacuteration des principales proprieacuteteacutes qui structurent fensemble IR des reacuteels addition (IR +) est un groupe commutatif multiplication associashytiYiteacute distributiviteacute par rapport agravefaddition ordre et valoeur absolue

On admettra que pour tout nombre reacuteel a jiffeacuterent de 0 il existe un nombre reacuteel a-1 et un seul tel que aa-1 = 1 Pour tout couple de nombres reacuteels (a b) avec a = 0 il existe un nombre reacuteel unique x appeleacute quotient de b par a

b et noteacute ba-1 ou - tel que ax = b a

Exercices simples de calcul sur de tels quotients Sur des exemples -numeacuteriques eacutequations et ineacutequations du premier degr9 agrave une inconnue

Usage des exposants entiers groupe des puissances dun nombre reacuteel non nul

Calculs approcheacutes sur les nombres reacuteels

4 Exemples de fonctions polynocircmes (applications de IR dans IR) Degreacute Exercices de calcul SUT les polynocircmes Produits (x + a)2 (x - a)2 (x + a) (x - a) Exercices de factorisation

Annexe 3

85

ENCYCLOPEDIE QUILLET (1958)

TABLE DES MATIERES (extraits)

ARITBMEacuteTIQUE Notio~ preacute1i1Ji~ajres - Ideacutee de nombrebullbullbullbull 153 NumeratIon decmale bullbullbullbullbullbullbullbull 156 ~esure des grŒDdeurs bullbullbullbullbullbull bullbullbullbull 159 Nombresmiddot deacutecUDauxbullbullbullbullbullbullbullbullbullbull 169 Ladditionbullbull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull 165 La soustraction bull bull bull bull bull bull bull bull bull 168 La ~~qplication bullbullbullbullbullbullbull1 bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bullbull 171 La diVISIon 178

Regravegle de trois bull bull 117 Pourcentages bullbullbull 119 Partages proportionnels 110 ~~langes bullbull i bull bullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbull 111 Alliages bull 111 Regravegles dinteacuterecircts 124 Rentes sur Pltat 116 Actins et obli~tions - Escompte 117

Problegravemes sur les quatre opeacutemtions bull bull bull 184 La divisibiliteacute bull bull bull bull bull bull bull bull 186 Plus grŒDd commun diviseur (p G C D) 189 Plus petit commun multiple (P P C M) 191 Nombres premiers bullbullbullbullbullbullbullbull 192 Les fractions bull bull bull bull bull 194 Opeacuterations sur les fractions 197 Sys~egraveme meacute~que 203 Racme carree 207 Rapports - Proportions 2 II

Grandeurs Proportionnelles 215

Connge des exercces ~ 130

Annexe4a

ALGEgraveBRE Notions preacuteliminaires bullbullbullbull 157 Opeacutemtions sur les nombres algeacutebriques (somme

diffeacuterence multiplicationmiddot division des nombres algeacutebriques fractions ou rapports algeacutebriques puissances racines) bull bull 160

Qpeacuterations sur les expressions algeacutebriques bull 168 gquations du premier degreacute 278 Reacutesolution des problegravemes du premier degreacute agrave une

inconnue bullbullbullbullbullbullbullbullbull 186 gquations et problegravemes du premier degreacute agrave deux

ou plusieurs inconnues bull bull 191 Notions sur les repreacutesentations graphiques bull bull 301

Variation des fonctions 313 Deacuteriveacutees bullbull bull bull 319

~uations et problegravemes du second degreacute bull bull 312

ProgressionsetlogaritbInesmiddotmiddotmiddotmiddot middotmiddot middotmiddotmiddot middot331 Table de logarithmes de 1 agrave 1 000 bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull 338 Application des logarithmes Inteacuterecircts composeacutes et

annuiteacutes bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull 343 Corcigeacute des ex~ces bullbull ~ bullbullbullbullbullbullbull 348

Annexe4b

79

sen tenir agrave la classe de quatriegraveme - constitue une radiographie saisissante dune

eacutevolution que le programme de 1978 nadoucira quen surface Cest cette image

laquodureraquo quil faut interroger

On a trop vitupeacutereacute linflation moderniste le parti pris theacuteoriciste lambition

de rigueur des matheacutematiques promues par la reacuteforme et trop peu vu derriegravere cet

eacutecran deux mouvements correacutelatifs moins spectaculaires mais deacuteterminants Le

premier - que nous avons deacutejagrave plusieurs fois mentionneacute - cest lenvahissement du

champ deacutetude par les structures numeacuteriques Les laquoexcegravesraquo du programme de 1971

sont le prix agrave payer pour ce coup de force qui se megravene alors - simple tactique dun

moment le programme de 1978 installera une version apaiseacutee de la mecircme strateacutegieshy

avec lartillerie lourde de laquolapproche des reacuteelsraquo des laquocalculs approcheacutesraquo des laquoencashy

drementsraquo de haute ambition matheacutematique Le seCond cest la peacuteneacutetration dun

thegraveme qui va devenir central celui de llaquoobservationraquo et de llaquoexpeacuterimentationraquo

matheacutematiques

Fausse moderniteacute ce thegraveme est mis en place degraves les Instructions de janvier

1957 (annexe 6a) dont les Instructions de 1971 se reacuteclameront non sans raicon Il

prend alors lallure dune reacuteflexion sur les liens entre matheacutematique et extramatheacutemashy

tique La caution bergsonienne ici invoqueacutee - homo taber homo sapiens - bien que

dateacutee est agrave cet eacutegard tregraves significative La perspective proposeacutee ne conduit pas tregraves

loin les problegravemes denseignement se trouvent laquoreacutesolusraquo par une didactique euphoshy

rique (annexe 6b) Au vrai la conjoncture historique qui verra la mise en place des

matheacutematiques modernes nest alors quincomplegravetement formeacutee Ce qui manque

encore afin que lideacutee dexpeacuterimentation puisse passer dans les faits cest une matiegravere

que lon pourrait soumettre agrave lobservation et agrave lexpeacuterience A cet eacutegard les Instrucshy

tions de 1957 raisonnent encore agrave lancienne la notion dexpeacuterimentation y est

surtout loccasion dune rheacutetorique qui tourne sur elle-mecircme faute de pouvoir sapplishy

quer Mais cette matiegravere dapplication qui fait deacutefaut la reacuteforme va lapporter en

abondance ce sera le numeacuterique dont nous comprenons mieux degraves lors la place

de choix que les programmes reacuteformeacutes vont lui accorder Son expansion se trouvait

en fait comme appeleacutee par lexigence laquoexpeacuterimentaleraquo induite par une certaine concepshy

tion eacutepisteacutemologique et didactique

Le deacutecor de laction est installeacute en consonance avec une mise en scegravene empiriste

du procegraves de connaissance(41) Il Y a la laquoreacutealiteacuteraquo qui est un donneacute dont la preacutesence

simpose avec la derniegravere force et il y a la laquotheacuteorieraquo de ce donneacute que lon preacutetend

tirer par abstraction de lobjet agrave laquelle elle se voue La dialectique du numeacuterique

et de lalgeacutebrique est alors perdue lun de ses termes (lalgeacutebrique) se dissout dans

(41) Pour lintelligence de ce qui suit nous renvoyons agrave Althusser 1968 notamment pp 38-45

80

lautre (le numeacuterique) agrave qui est octroyeacute par nature une existence presque mateacuterielle

et dont lalgeacutebrique proceacutedera geacuteneacutetiquement La reacuteforme de 1971 remanie donc

le champ deacutetude pour y produire de solides objets laquoreacuteelsraquo agrave forts coefficients dexis-shy

tence les structures numeacuteriques et aussi la mysteacuterieuse laquodroite physiqueraquo dont la

soudaine promotion ontologique serait autrement encore plus inexplicable(42) Cela

poseacute lintroduction du litteacuteral (lalgeacutebrique) sidentifie au mouvement par lequel

dans le procegraves empiriste de connaissance se repreacutesente lessence du reacuteel qui est toute

la connaissance que le sujet peut tirer de lobjet par abstraction il permet de distinguer

entre un reacuteel essentiel et un reacuteel inessentiel gangue ou accident que le processus

dabstraction abandonne comme un reacutesidu impenseacute Labstraction qui vise agrave porter

agrave la lumiegravere ce quon pourra connaicirctre de lobjet agit par deacutecrassage et deacutecapage

CHA~tTRbullbull tour dieacuteremcs ftiems de 1t 011 obti=c cIes putitioas cilifeacute=o~ Uuml fiIure 2 repreacutese1tt (parshy

tieJ1emenz) les paniagravecas ~ i- II-l 11--0 11 - - l~ = grouie agrave la loupe la paftiriœ cozrcspoadaDc agrave Il - - 2shy

f-oo( [Q10[

1 1

~ Q t

(-2 ~( T

[l 0 ( [01 ( r12 r i i i i J r sr

-1shy 0 t

1 1 1 1 1 1 1 1 shy 1 bull 1 1 1 11

-1 -01 001 lU 03 ~ o~ 06 07 oa 09 1 11

P4 041 ~l ~~I 041ds1 -i -o] OoJ O4l o~ 04S 04) ~ 1 ~1 1

fJvZ

li) De m=c si II eR lD1 emer œIaagravef acirczeacute et si CI pr=d tOlIœS les ftiems possibles da2s Z r=semblc cIes imenalles cie c

Jcr10 (CI + L 10

eR iJMpcrtirIcircD1f de C Uuml figure 3 repreacutes=œ (articllemcm) =œ putitioll p04 shy O~

r 1 i 1 T l 1 1 -5 -4shy -3 -2 -r agrave l Z ~ 4shy 5

~3

DOCUMENT6

Le deacutecapage du donneacute dans le processus empiriste de connaissance

(42) Voir Chevallard et Johsua 1982 notamment pp 200-203

81

agrave ce thegraveme geacuteneacuteral de la connaissance empiriste reacutepond correctement dans les proshy

grammes la notion dlaquoapprocheraquo ou dlaquoapproximationraquo des laquoreacuteelsraquo (qui nont jamais

aussi bien porteacute leur nom) Ceux-ci sont atteints par le moyen de purifications successhy

sives qui eacuteliminent peu agrave peu la gangue inessentielle Tel manuel (43) pris parmi tant

dautres- en offre la superbe illustration (document 6) limage de la loupe - emblegraveme

de la connaissance empiriste dont elle est linstrument privileacutegieacute parce quelle permet

de mieux voir et de faire voir - y est requise et symbolise mieux quun long commenshy

taire cette conception de la connaissance comme visant agrave amener linvisible agrave la

vue de tous

Une telle conception de la connaissance rate le reacuteel dont il sagirait preacuteciseacutement

de produire la connaissance parce quelle en manque la constitution comme objet

de connaissance(44) Lalgeacutebrique ne sert plus agrave connaicirctre le numeacuterique Il nest plus

deacutesormais quune steacutenographie middotessentialisante qui deacutecrit reacutesume et seacutepare lessence

de laccident Le surgissement laquomoderneraquo de la dichotomie de llaquoobservationraquo et de

la laquotheacuteorieraquo - que les manuels actuels reprennent agrave lenvi - est ainsi correacutelatif dune

dissolution de lobjet de connaissance au profit de lobjet reacuteel maintenant donneacute

agrave voir dans une abstraction reacuteputeacutee immeacutediate et facile Lordre didactique va sorgashy

niser autour de cette eacutepisteacutemologie imaginaire

REFERENCES

ALTHUSSER L (1968) Lire le Capital Franccedilois Maspeacutero Paris

BOURDIEU P (1974) Le sens pratique eacuteditions de Minuit Paris

BROUSSEAU G (1980) Problegravemes de lenseignement des deacutecimaux Recherches

en didactique des matheacutematiques 1middot1 pp 11-59

CHEVALLARD Y (1980a) Matheacutematiques langage enseignement la reacuteforme des

anneacutees soixante Recherches 41 pp 71-99

CHEVALLARD Y (1980b) La transposition didactique 1REM dAix-Marseille

CHEVALLARD Y (1982) Pourquoi la transposition didactique 7 Publication du

seacuteminaire de didactique et peacutedagogie des matheacutematiques 32 Grenoble

CHEVALLARD Y et JOHSUA MA (1982) Un exemple danalyse de la transposition

didactique Recherches en didactique des matheacutematiques 3 2 pp 157-239

MICHEL PH (1950) De Pythagore agrave Euclide Les Belles Lettres Paris

SMITH DE (1953) History of mathematics volume Il Dover publications Inc

New York

(43) Il sagit de louvrage mentionneacute dans la note 24 ci-dessus

(44) Sur la distinction entre laquoobjet reacuteelraquo et laquoobjet de connaissanceraquo voir Althusser 1968 pp 4649

82

CLASSE DE QUATRIEME CLASSIQUE A ET B ET DE QUATRIEME MODERNE

PROGRAMME DE 1945 (extraits)

Arithmeacutetique

Pratique sur des exemples de la deacutecomposition dun nombre entier en facteurs premiers de la recherche du plus grand commun diviseur et du plus petit commun multiple de deux ou plushysieurs nombres Applications aux fractions

Algegravebre

Nombres algeacutebriques (positifs nuls heacutegatifs) Opeacuterations sur ces nombres exposeacutes agrave partir de problegravemes concrets Ineacutegaliteacutes

Mesures algeacutebriques de vecteurs sur une droite orienteacutee Formule de Chasles Repeacuterage dun point sur un axe

Eleacutements du calcul algeacutebrique proprieacuteteacutes des sommes et des produits Puissances Produit et quotient de deux puissances dun nombre usage de lexposant nul et dexposants neacutegatifs

Monocircmes Produit de monocircmes Quotient de deux nombres Somme de monocircmes semblables (on se bornera agrave des monocircmes agrave une deux ou trois variables) Polynocircmes agrave une variable addition soustraction multiplication par une constante

Equations numeacuteriques du premie( degreacute agrave une inconnue Problegravemes conduisant agrave une eacutequation numeacuterique du premier degreacute agrave une inconnue

Annexe 1

83

CLASSE DE QUATRIEME

PROGRAMME DE 1958 (extraits)

Arithmeacutetique

Pratique sur des exemples de la deacutecomposition dun nombre entier en un produit de nomshybres premiers pratique de la recherche du plus grand diviseur commun et du plus petit multiple commun de deux ou plusieurs nombres Applications

Algegravebre

1 - Nombres relatifs (positifs nuls neacutegatifs) Orientation dun segment (vecteur) orientation dune droite (axe) mesure algeacutebrique

dun segment orienteacute sur un axe repeacuterage dun point sur un axe (abscisse)

II - Opeacuterations eacuteleacutementaires sur les nombres relatifs addition et soustraction multiplishycation et division

Extension aux nombres relatifs des proprieacuteteacutes fondamentales eacutetablies pour les nombres arithmeacutetiques (classe de cinquiegraveme) concernant les sommes les diffeacuterences les produits les puisshysances n-iegravemes les quotients linverse dun nombre non nul Condition pour quun produit soit nul

Deacutefinition des exposants neacutegatifs et de lexposant nul Comparaison des nombres relatifs ineacutegaliteacutes Ineacutegaliteacutes concernant la valeur absolue dune somme ou dune diffeacuterence Formule de Chasles pour trois points situeacutes sur un axe Segment deacutefini par les abscisses

des deLix points qui le limitent mesure algeacutebrique de ce segment orienteacute mesure de la longueur de ce segment abscisse du milieu de ce segment

III - Notions de variables et de correspondance entre variables Expressions algeacutebriques deacutependant dUne ou de plusieurs variables calcul de la valeur

numeacuterique dune expression algeacutebrique pour des valeurs numeacuteriques donneacutees aux Ymiddotariables Monocircmes agrave une ou plusieurs variables multiplication addition de monocircmes semblables Polynocircmes forme reacuteduite Polynocircmes ordonneacutes addition multiplication Identiteacutes relatives aux produits (x + y)2 (x - y)2 (x + y)(x - y)

IV - Equations position du problegraveme signification du signe = dans ce problegraveme Equashytions du premier degreacute agrave une inconnue agrave coefficients numeacuteriques Reacutesolution de problegravemes simples agrave laide dune telle eacutequation

Annexe 2

84

CLASSE DE QUATRIEME

PROGRAMME DE 1971 (extraits)

1 - Relations

Reacutevision -des notions preacutesenteacutees dans les classes anteacuterieures et compleacutements produit carteacutesien relation application composition des applications bijection cun ensemble sur un ensemble et bijection reacuteciproque

Notion de groupe deacutefinition (on la jeacutegagera des exemples du programme)

II - Nombres deacutecimaux relatifs et approche de reacuteel

1 Groupe des puissances de dix

Nombres deacutecimaux relatifs eacutecrits a 10n avec a e7l et p E7 et sous forme de nombres agrave virgule addition multiplication ordre valeur absolue Reacutesumeacute des proprieacuteteacutes fondamentales de lensemble ainsi structureacute des deacutecimaux relatifs

2 Calculs approcheacutes

a) EnC3drement dun nombre deacutecimal par des intervalles des types [a 10pbull (a + 1) 10middot[ da 101 (a + 1) 10- [a 10pbull (a + 1) 101] avec a E Z et p E Z Sur des exelJlples encamiddot drement middotdune somme dun produit

b) Exercices de deacutetermination pour un deacutecimal strictement positif d donneacute et pour un entier relatif n donneacute du nombre deacutecimal x bull 10 avec x E IN tel que soient veacuterifieacutees les ineacutegaliteacutes 0 ~d x 10 ~ 1 lt d (x + 1) 10

c) Exercices de deacutetermination pour un deacutecimal strictement positif d donneacute et pour un entier relatif n jonneacute du nombre deacutecimal y bull 10 avec y E IN tel que soient veacuterifieacutees les ineacutegaliteacutes [y 10P ~ d lt [(y + 1) 10]

d) Suites deacutecimales illimiteacutees nombres reacuteels encadrements dun nombre reacuteel

3 Enumeacuteration des principales proprieacuteteacutes qui structurent fensemble IR des reacuteels addition (IR +) est un groupe commutatif multiplication associashytiYiteacute distributiviteacute par rapport agravefaddition ordre et valoeur absolue

On admettra que pour tout nombre reacuteel a jiffeacuterent de 0 il existe un nombre reacuteel a-1 et un seul tel que aa-1 = 1 Pour tout couple de nombres reacuteels (a b) avec a = 0 il existe un nombre reacuteel unique x appeleacute quotient de b par a

b et noteacute ba-1 ou - tel que ax = b a

Exercices simples de calcul sur de tels quotients Sur des exemples -numeacuteriques eacutequations et ineacutequations du premier degr9 agrave une inconnue

Usage des exposants entiers groupe des puissances dun nombre reacuteel non nul

Calculs approcheacutes sur les nombres reacuteels

4 Exemples de fonctions polynocircmes (applications de IR dans IR) Degreacute Exercices de calcul SUT les polynocircmes Produits (x + a)2 (x - a)2 (x + a) (x - a) Exercices de factorisation

Annexe 3

85

ENCYCLOPEDIE QUILLET (1958)

TABLE DES MATIERES (extraits)

ARITBMEacuteTIQUE Notio~ preacute1i1Ji~ajres - Ideacutee de nombrebullbullbullbull 153 NumeratIon decmale bullbullbullbullbullbullbullbull 156 ~esure des grŒDdeurs bullbullbullbullbullbull bullbullbullbull 159 Nombresmiddot deacutecUDauxbullbullbullbullbullbullbullbullbullbull 169 Ladditionbullbull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull 165 La soustraction bull bull bull bull bull bull bull bull bull 168 La ~~qplication bullbullbullbullbullbullbull1 bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bullbull 171 La diVISIon 178

Regravegle de trois bull bull 117 Pourcentages bullbullbull 119 Partages proportionnels 110 ~~langes bullbull i bull bullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbull 111 Alliages bull 111 Regravegles dinteacuterecircts 124 Rentes sur Pltat 116 Actins et obli~tions - Escompte 117

Problegravemes sur les quatre opeacutemtions bull bull bull 184 La divisibiliteacute bull bull bull bull bull bull bull bull 186 Plus grŒDd commun diviseur (p G C D) 189 Plus petit commun multiple (P P C M) 191 Nombres premiers bullbullbullbullbullbullbullbull 192 Les fractions bull bull bull bull bull 194 Opeacuterations sur les fractions 197 Sys~egraveme meacute~que 203 Racme carree 207 Rapports - Proportions 2 II

Grandeurs Proportionnelles 215

Connge des exercces ~ 130

Annexe4a

ALGEgraveBRE Notions preacuteliminaires bullbullbullbull 157 Opeacutemtions sur les nombres algeacutebriques (somme

diffeacuterence multiplicationmiddot division des nombres algeacutebriques fractions ou rapports algeacutebriques puissances racines) bull bull 160

Qpeacuterations sur les expressions algeacutebriques bull 168 gquations du premier degreacute 278 Reacutesolution des problegravemes du premier degreacute agrave une

inconnue bullbullbullbullbullbullbullbullbull 186 gquations et problegravemes du premier degreacute agrave deux

ou plusieurs inconnues bull bull 191 Notions sur les repreacutesentations graphiques bull bull 301

Variation des fonctions 313 Deacuteriveacutees bullbull bull bull 319

~uations et problegravemes du second degreacute bull bull 312

ProgressionsetlogaritbInesmiddotmiddotmiddotmiddot middotmiddot middotmiddotmiddot middot331 Table de logarithmes de 1 agrave 1 000 bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull 338 Application des logarithmes Inteacuterecircts composeacutes et

annuiteacutes bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull 343 Corcigeacute des ex~ces bullbull ~ bullbullbullbullbullbullbull 348

Annexe4b

80

lautre (le numeacuterique) agrave qui est octroyeacute par nature une existence presque mateacuterielle

et dont lalgeacutebrique proceacutedera geacuteneacutetiquement La reacuteforme de 1971 remanie donc

le champ deacutetude pour y produire de solides objets laquoreacuteelsraquo agrave forts coefficients dexis-shy

tence les structures numeacuteriques et aussi la mysteacuterieuse laquodroite physiqueraquo dont la

soudaine promotion ontologique serait autrement encore plus inexplicable(42) Cela

poseacute lintroduction du litteacuteral (lalgeacutebrique) sidentifie au mouvement par lequel

dans le procegraves empiriste de connaissance se repreacutesente lessence du reacuteel qui est toute

la connaissance que le sujet peut tirer de lobjet par abstraction il permet de distinguer

entre un reacuteel essentiel et un reacuteel inessentiel gangue ou accident que le processus

dabstraction abandonne comme un reacutesidu impenseacute Labstraction qui vise agrave porter

agrave la lumiegravere ce quon pourra connaicirctre de lobjet agit par deacutecrassage et deacutecapage

CHA~tTRbullbull tour dieacuteremcs ftiems de 1t 011 obti=c cIes putitioas cilifeacute=o~ Uuml fiIure 2 repreacutese1tt (parshy

tieJ1emenz) les paniagravecas ~ i- II-l 11--0 11 - - l~ = grouie agrave la loupe la paftiriœ cozrcspoadaDc agrave Il - - 2shy

f-oo( [Q10[

1 1

~ Q t

(-2 ~( T

[l 0 ( [01 ( r12 r i i i i J r sr

-1shy 0 t

1 1 1 1 1 1 1 1 shy 1 bull 1 1 1 11

-1 -01 001 lU 03 ~ o~ 06 07 oa 09 1 11

P4 041 ~l ~~I 041ds1 -i -o] OoJ O4l o~ 04S 04) ~ 1 ~1 1

fJvZ

li) De m=c si II eR lD1 emer œIaagravef acirczeacute et si CI pr=d tOlIœS les ftiems possibles da2s Z r=semblc cIes imenalles cie c

Jcr10 (CI + L 10

eR iJMpcrtirIcircD1f de C Uuml figure 3 repreacutes=œ (articllemcm) =œ putitioll p04 shy O~

r 1 i 1 T l 1 1 -5 -4shy -3 -2 -r agrave l Z ~ 4shy 5

~3

DOCUMENT6

Le deacutecapage du donneacute dans le processus empiriste de connaissance

(42) Voir Chevallard et Johsua 1982 notamment pp 200-203

81

agrave ce thegraveme geacuteneacuteral de la connaissance empiriste reacutepond correctement dans les proshy

grammes la notion dlaquoapprocheraquo ou dlaquoapproximationraquo des laquoreacuteelsraquo (qui nont jamais

aussi bien porteacute leur nom) Ceux-ci sont atteints par le moyen de purifications successhy

sives qui eacuteliminent peu agrave peu la gangue inessentielle Tel manuel (43) pris parmi tant

dautres- en offre la superbe illustration (document 6) limage de la loupe - emblegraveme

de la connaissance empiriste dont elle est linstrument privileacutegieacute parce quelle permet

de mieux voir et de faire voir - y est requise et symbolise mieux quun long commenshy

taire cette conception de la connaissance comme visant agrave amener linvisible agrave la

vue de tous

Une telle conception de la connaissance rate le reacuteel dont il sagirait preacuteciseacutement

de produire la connaissance parce quelle en manque la constitution comme objet

de connaissance(44) Lalgeacutebrique ne sert plus agrave connaicirctre le numeacuterique Il nest plus

deacutesormais quune steacutenographie middotessentialisante qui deacutecrit reacutesume et seacutepare lessence

de laccident Le surgissement laquomoderneraquo de la dichotomie de llaquoobservationraquo et de

la laquotheacuteorieraquo - que les manuels actuels reprennent agrave lenvi - est ainsi correacutelatif dune

dissolution de lobjet de connaissance au profit de lobjet reacuteel maintenant donneacute

agrave voir dans une abstraction reacuteputeacutee immeacutediate et facile Lordre didactique va sorgashy

niser autour de cette eacutepisteacutemologie imaginaire

REFERENCES

ALTHUSSER L (1968) Lire le Capital Franccedilois Maspeacutero Paris

BOURDIEU P (1974) Le sens pratique eacuteditions de Minuit Paris

BROUSSEAU G (1980) Problegravemes de lenseignement des deacutecimaux Recherches

en didactique des matheacutematiques 1middot1 pp 11-59

CHEVALLARD Y (1980a) Matheacutematiques langage enseignement la reacuteforme des

anneacutees soixante Recherches 41 pp 71-99

CHEVALLARD Y (1980b) La transposition didactique 1REM dAix-Marseille

CHEVALLARD Y (1982) Pourquoi la transposition didactique 7 Publication du

seacuteminaire de didactique et peacutedagogie des matheacutematiques 32 Grenoble

CHEVALLARD Y et JOHSUA MA (1982) Un exemple danalyse de la transposition

didactique Recherches en didactique des matheacutematiques 3 2 pp 157-239

MICHEL PH (1950) De Pythagore agrave Euclide Les Belles Lettres Paris

SMITH DE (1953) History of mathematics volume Il Dover publications Inc

New York

(43) Il sagit de louvrage mentionneacute dans la note 24 ci-dessus

(44) Sur la distinction entre laquoobjet reacuteelraquo et laquoobjet de connaissanceraquo voir Althusser 1968 pp 4649

82

CLASSE DE QUATRIEME CLASSIQUE A ET B ET DE QUATRIEME MODERNE

PROGRAMME DE 1945 (extraits)

Arithmeacutetique

Pratique sur des exemples de la deacutecomposition dun nombre entier en facteurs premiers de la recherche du plus grand commun diviseur et du plus petit commun multiple de deux ou plushysieurs nombres Applications aux fractions

Algegravebre

Nombres algeacutebriques (positifs nuls heacutegatifs) Opeacuterations sur ces nombres exposeacutes agrave partir de problegravemes concrets Ineacutegaliteacutes

Mesures algeacutebriques de vecteurs sur une droite orienteacutee Formule de Chasles Repeacuterage dun point sur un axe

Eleacutements du calcul algeacutebrique proprieacuteteacutes des sommes et des produits Puissances Produit et quotient de deux puissances dun nombre usage de lexposant nul et dexposants neacutegatifs

Monocircmes Produit de monocircmes Quotient de deux nombres Somme de monocircmes semblables (on se bornera agrave des monocircmes agrave une deux ou trois variables) Polynocircmes agrave une variable addition soustraction multiplication par une constante

Equations numeacuteriques du premie( degreacute agrave une inconnue Problegravemes conduisant agrave une eacutequation numeacuterique du premier degreacute agrave une inconnue

Annexe 1

83

CLASSE DE QUATRIEME

PROGRAMME DE 1958 (extraits)

Arithmeacutetique

Pratique sur des exemples de la deacutecomposition dun nombre entier en un produit de nomshybres premiers pratique de la recherche du plus grand diviseur commun et du plus petit multiple commun de deux ou plusieurs nombres Applications

Algegravebre

1 - Nombres relatifs (positifs nuls neacutegatifs) Orientation dun segment (vecteur) orientation dune droite (axe) mesure algeacutebrique

dun segment orienteacute sur un axe repeacuterage dun point sur un axe (abscisse)

II - Opeacuterations eacuteleacutementaires sur les nombres relatifs addition et soustraction multiplishycation et division

Extension aux nombres relatifs des proprieacuteteacutes fondamentales eacutetablies pour les nombres arithmeacutetiques (classe de cinquiegraveme) concernant les sommes les diffeacuterences les produits les puisshysances n-iegravemes les quotients linverse dun nombre non nul Condition pour quun produit soit nul

Deacutefinition des exposants neacutegatifs et de lexposant nul Comparaison des nombres relatifs ineacutegaliteacutes Ineacutegaliteacutes concernant la valeur absolue dune somme ou dune diffeacuterence Formule de Chasles pour trois points situeacutes sur un axe Segment deacutefini par les abscisses

des deLix points qui le limitent mesure algeacutebrique de ce segment orienteacute mesure de la longueur de ce segment abscisse du milieu de ce segment

III - Notions de variables et de correspondance entre variables Expressions algeacutebriques deacutependant dUne ou de plusieurs variables calcul de la valeur

numeacuterique dune expression algeacutebrique pour des valeurs numeacuteriques donneacutees aux Ymiddotariables Monocircmes agrave une ou plusieurs variables multiplication addition de monocircmes semblables Polynocircmes forme reacuteduite Polynocircmes ordonneacutes addition multiplication Identiteacutes relatives aux produits (x + y)2 (x - y)2 (x + y)(x - y)

IV - Equations position du problegraveme signification du signe = dans ce problegraveme Equashytions du premier degreacute agrave une inconnue agrave coefficients numeacuteriques Reacutesolution de problegravemes simples agrave laide dune telle eacutequation

Annexe 2

84

CLASSE DE QUATRIEME

PROGRAMME DE 1971 (extraits)

1 - Relations

Reacutevision -des notions preacutesenteacutees dans les classes anteacuterieures et compleacutements produit carteacutesien relation application composition des applications bijection cun ensemble sur un ensemble et bijection reacuteciproque

Notion de groupe deacutefinition (on la jeacutegagera des exemples du programme)

II - Nombres deacutecimaux relatifs et approche de reacuteel

1 Groupe des puissances de dix

Nombres deacutecimaux relatifs eacutecrits a 10n avec a e7l et p E7 et sous forme de nombres agrave virgule addition multiplication ordre valeur absolue Reacutesumeacute des proprieacuteteacutes fondamentales de lensemble ainsi structureacute des deacutecimaux relatifs

2 Calculs approcheacutes

a) EnC3drement dun nombre deacutecimal par des intervalles des types [a 10pbull (a + 1) 10middot[ da 101 (a + 1) 10- [a 10pbull (a + 1) 101] avec a E Z et p E Z Sur des exelJlples encamiddot drement middotdune somme dun produit

b) Exercices de deacutetermination pour un deacutecimal strictement positif d donneacute et pour un entier relatif n donneacute du nombre deacutecimal x bull 10 avec x E IN tel que soient veacuterifieacutees les ineacutegaliteacutes 0 ~d x 10 ~ 1 lt d (x + 1) 10

c) Exercices de deacutetermination pour un deacutecimal strictement positif d donneacute et pour un entier relatif n jonneacute du nombre deacutecimal y bull 10 avec y E IN tel que soient veacuterifieacutees les ineacutegaliteacutes [y 10P ~ d lt [(y + 1) 10]

d) Suites deacutecimales illimiteacutees nombres reacuteels encadrements dun nombre reacuteel

3 Enumeacuteration des principales proprieacuteteacutes qui structurent fensemble IR des reacuteels addition (IR +) est un groupe commutatif multiplication associashytiYiteacute distributiviteacute par rapport agravefaddition ordre et valoeur absolue

On admettra que pour tout nombre reacuteel a jiffeacuterent de 0 il existe un nombre reacuteel a-1 et un seul tel que aa-1 = 1 Pour tout couple de nombres reacuteels (a b) avec a = 0 il existe un nombre reacuteel unique x appeleacute quotient de b par a

b et noteacute ba-1 ou - tel que ax = b a

Exercices simples de calcul sur de tels quotients Sur des exemples -numeacuteriques eacutequations et ineacutequations du premier degr9 agrave une inconnue

Usage des exposants entiers groupe des puissances dun nombre reacuteel non nul

Calculs approcheacutes sur les nombres reacuteels

4 Exemples de fonctions polynocircmes (applications de IR dans IR) Degreacute Exercices de calcul SUT les polynocircmes Produits (x + a)2 (x - a)2 (x + a) (x - a) Exercices de factorisation

Annexe 3

85

ENCYCLOPEDIE QUILLET (1958)

TABLE DES MATIERES (extraits)

ARITBMEacuteTIQUE Notio~ preacute1i1Ji~ajres - Ideacutee de nombrebullbullbullbull 153 NumeratIon decmale bullbullbullbullbullbullbullbull 156 ~esure des grŒDdeurs bullbullbullbullbullbull bullbullbullbull 159 Nombresmiddot deacutecUDauxbullbullbullbullbullbullbullbullbullbull 169 Ladditionbullbull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull 165 La soustraction bull bull bull bull bull bull bull bull bull 168 La ~~qplication bullbullbullbullbullbullbull1 bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bullbull 171 La diVISIon 178

Regravegle de trois bull bull 117 Pourcentages bullbullbull 119 Partages proportionnels 110 ~~langes bullbull i bull bullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbull 111 Alliages bull 111 Regravegles dinteacuterecircts 124 Rentes sur Pltat 116 Actins et obli~tions - Escompte 117

Problegravemes sur les quatre opeacutemtions bull bull bull 184 La divisibiliteacute bull bull bull bull bull bull bull bull 186 Plus grŒDd commun diviseur (p G C D) 189 Plus petit commun multiple (P P C M) 191 Nombres premiers bullbullbullbullbullbullbullbull 192 Les fractions bull bull bull bull bull 194 Opeacuterations sur les fractions 197 Sys~egraveme meacute~que 203 Racme carree 207 Rapports - Proportions 2 II

Grandeurs Proportionnelles 215

Connge des exercces ~ 130

Annexe4a

ALGEgraveBRE Notions preacuteliminaires bullbullbullbull 157 Opeacutemtions sur les nombres algeacutebriques (somme

diffeacuterence multiplicationmiddot division des nombres algeacutebriques fractions ou rapports algeacutebriques puissances racines) bull bull 160

Qpeacuterations sur les expressions algeacutebriques bull 168 gquations du premier degreacute 278 Reacutesolution des problegravemes du premier degreacute agrave une

inconnue bullbullbullbullbullbullbullbullbull 186 gquations et problegravemes du premier degreacute agrave deux

ou plusieurs inconnues bull bull 191 Notions sur les repreacutesentations graphiques bull bull 301

Variation des fonctions 313 Deacuteriveacutees bullbull bull bull 319

~uations et problegravemes du second degreacute bull bull 312

ProgressionsetlogaritbInesmiddotmiddotmiddotmiddot middotmiddot middotmiddotmiddot middot331 Table de logarithmes de 1 agrave 1 000 bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull 338 Application des logarithmes Inteacuterecircts composeacutes et

annuiteacutes bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull 343 Corcigeacute des ex~ces bullbull ~ bullbullbullbullbullbullbull 348

Annexe4b

81

agrave ce thegraveme geacuteneacuteral de la connaissance empiriste reacutepond correctement dans les proshy

grammes la notion dlaquoapprocheraquo ou dlaquoapproximationraquo des laquoreacuteelsraquo (qui nont jamais

aussi bien porteacute leur nom) Ceux-ci sont atteints par le moyen de purifications successhy

sives qui eacuteliminent peu agrave peu la gangue inessentielle Tel manuel (43) pris parmi tant

dautres- en offre la superbe illustration (document 6) limage de la loupe - emblegraveme

de la connaissance empiriste dont elle est linstrument privileacutegieacute parce quelle permet

de mieux voir et de faire voir - y est requise et symbolise mieux quun long commenshy

taire cette conception de la connaissance comme visant agrave amener linvisible agrave la

vue de tous

Une telle conception de la connaissance rate le reacuteel dont il sagirait preacuteciseacutement

de produire la connaissance parce quelle en manque la constitution comme objet

de connaissance(44) Lalgeacutebrique ne sert plus agrave connaicirctre le numeacuterique Il nest plus

deacutesormais quune steacutenographie middotessentialisante qui deacutecrit reacutesume et seacutepare lessence

de laccident Le surgissement laquomoderneraquo de la dichotomie de llaquoobservationraquo et de

la laquotheacuteorieraquo - que les manuels actuels reprennent agrave lenvi - est ainsi correacutelatif dune

dissolution de lobjet de connaissance au profit de lobjet reacuteel maintenant donneacute

agrave voir dans une abstraction reacuteputeacutee immeacutediate et facile Lordre didactique va sorgashy

niser autour de cette eacutepisteacutemologie imaginaire

REFERENCES

ALTHUSSER L (1968) Lire le Capital Franccedilois Maspeacutero Paris

BOURDIEU P (1974) Le sens pratique eacuteditions de Minuit Paris

BROUSSEAU G (1980) Problegravemes de lenseignement des deacutecimaux Recherches

en didactique des matheacutematiques 1middot1 pp 11-59

CHEVALLARD Y (1980a) Matheacutematiques langage enseignement la reacuteforme des

anneacutees soixante Recherches 41 pp 71-99

CHEVALLARD Y (1980b) La transposition didactique 1REM dAix-Marseille

CHEVALLARD Y (1982) Pourquoi la transposition didactique 7 Publication du

seacuteminaire de didactique et peacutedagogie des matheacutematiques 32 Grenoble

CHEVALLARD Y et JOHSUA MA (1982) Un exemple danalyse de la transposition

didactique Recherches en didactique des matheacutematiques 3 2 pp 157-239

MICHEL PH (1950) De Pythagore agrave Euclide Les Belles Lettres Paris

SMITH DE (1953) History of mathematics volume Il Dover publications Inc

New York

(43) Il sagit de louvrage mentionneacute dans la note 24 ci-dessus

(44) Sur la distinction entre laquoobjet reacuteelraquo et laquoobjet de connaissanceraquo voir Althusser 1968 pp 4649

82

CLASSE DE QUATRIEME CLASSIQUE A ET B ET DE QUATRIEME MODERNE

PROGRAMME DE 1945 (extraits)

Arithmeacutetique

Pratique sur des exemples de la deacutecomposition dun nombre entier en facteurs premiers de la recherche du plus grand commun diviseur et du plus petit commun multiple de deux ou plushysieurs nombres Applications aux fractions

Algegravebre

Nombres algeacutebriques (positifs nuls heacutegatifs) Opeacuterations sur ces nombres exposeacutes agrave partir de problegravemes concrets Ineacutegaliteacutes

Mesures algeacutebriques de vecteurs sur une droite orienteacutee Formule de Chasles Repeacuterage dun point sur un axe

Eleacutements du calcul algeacutebrique proprieacuteteacutes des sommes et des produits Puissances Produit et quotient de deux puissances dun nombre usage de lexposant nul et dexposants neacutegatifs

Monocircmes Produit de monocircmes Quotient de deux nombres Somme de monocircmes semblables (on se bornera agrave des monocircmes agrave une deux ou trois variables) Polynocircmes agrave une variable addition soustraction multiplication par une constante

Equations numeacuteriques du premie( degreacute agrave une inconnue Problegravemes conduisant agrave une eacutequation numeacuterique du premier degreacute agrave une inconnue

Annexe 1

83

CLASSE DE QUATRIEME

PROGRAMME DE 1958 (extraits)

Arithmeacutetique

Pratique sur des exemples de la deacutecomposition dun nombre entier en un produit de nomshybres premiers pratique de la recherche du plus grand diviseur commun et du plus petit multiple commun de deux ou plusieurs nombres Applications

Algegravebre

1 - Nombres relatifs (positifs nuls neacutegatifs) Orientation dun segment (vecteur) orientation dune droite (axe) mesure algeacutebrique

dun segment orienteacute sur un axe repeacuterage dun point sur un axe (abscisse)

II - Opeacuterations eacuteleacutementaires sur les nombres relatifs addition et soustraction multiplishycation et division

Extension aux nombres relatifs des proprieacuteteacutes fondamentales eacutetablies pour les nombres arithmeacutetiques (classe de cinquiegraveme) concernant les sommes les diffeacuterences les produits les puisshysances n-iegravemes les quotients linverse dun nombre non nul Condition pour quun produit soit nul

Deacutefinition des exposants neacutegatifs et de lexposant nul Comparaison des nombres relatifs ineacutegaliteacutes Ineacutegaliteacutes concernant la valeur absolue dune somme ou dune diffeacuterence Formule de Chasles pour trois points situeacutes sur un axe Segment deacutefini par les abscisses

des deLix points qui le limitent mesure algeacutebrique de ce segment orienteacute mesure de la longueur de ce segment abscisse du milieu de ce segment

III - Notions de variables et de correspondance entre variables Expressions algeacutebriques deacutependant dUne ou de plusieurs variables calcul de la valeur

numeacuterique dune expression algeacutebrique pour des valeurs numeacuteriques donneacutees aux Ymiddotariables Monocircmes agrave une ou plusieurs variables multiplication addition de monocircmes semblables Polynocircmes forme reacuteduite Polynocircmes ordonneacutes addition multiplication Identiteacutes relatives aux produits (x + y)2 (x - y)2 (x + y)(x - y)

IV - Equations position du problegraveme signification du signe = dans ce problegraveme Equashytions du premier degreacute agrave une inconnue agrave coefficients numeacuteriques Reacutesolution de problegravemes simples agrave laide dune telle eacutequation

Annexe 2

84

CLASSE DE QUATRIEME

PROGRAMME DE 1971 (extraits)

1 - Relations

Reacutevision -des notions preacutesenteacutees dans les classes anteacuterieures et compleacutements produit carteacutesien relation application composition des applications bijection cun ensemble sur un ensemble et bijection reacuteciproque

Notion de groupe deacutefinition (on la jeacutegagera des exemples du programme)

II - Nombres deacutecimaux relatifs et approche de reacuteel

1 Groupe des puissances de dix

Nombres deacutecimaux relatifs eacutecrits a 10n avec a e7l et p E7 et sous forme de nombres agrave virgule addition multiplication ordre valeur absolue Reacutesumeacute des proprieacuteteacutes fondamentales de lensemble ainsi structureacute des deacutecimaux relatifs

2 Calculs approcheacutes

a) EnC3drement dun nombre deacutecimal par des intervalles des types [a 10pbull (a + 1) 10middot[ da 101 (a + 1) 10- [a 10pbull (a + 1) 101] avec a E Z et p E Z Sur des exelJlples encamiddot drement middotdune somme dun produit

b) Exercices de deacutetermination pour un deacutecimal strictement positif d donneacute et pour un entier relatif n donneacute du nombre deacutecimal x bull 10 avec x E IN tel que soient veacuterifieacutees les ineacutegaliteacutes 0 ~d x 10 ~ 1 lt d (x + 1) 10

c) Exercices de deacutetermination pour un deacutecimal strictement positif d donneacute et pour un entier relatif n jonneacute du nombre deacutecimal y bull 10 avec y E IN tel que soient veacuterifieacutees les ineacutegaliteacutes [y 10P ~ d lt [(y + 1) 10]

d) Suites deacutecimales illimiteacutees nombres reacuteels encadrements dun nombre reacuteel

3 Enumeacuteration des principales proprieacuteteacutes qui structurent fensemble IR des reacuteels addition (IR +) est un groupe commutatif multiplication associashytiYiteacute distributiviteacute par rapport agravefaddition ordre et valoeur absolue

On admettra que pour tout nombre reacuteel a jiffeacuterent de 0 il existe un nombre reacuteel a-1 et un seul tel que aa-1 = 1 Pour tout couple de nombres reacuteels (a b) avec a = 0 il existe un nombre reacuteel unique x appeleacute quotient de b par a

b et noteacute ba-1 ou - tel que ax = b a

Exercices simples de calcul sur de tels quotients Sur des exemples -numeacuteriques eacutequations et ineacutequations du premier degr9 agrave une inconnue

Usage des exposants entiers groupe des puissances dun nombre reacuteel non nul

Calculs approcheacutes sur les nombres reacuteels

4 Exemples de fonctions polynocircmes (applications de IR dans IR) Degreacute Exercices de calcul SUT les polynocircmes Produits (x + a)2 (x - a)2 (x + a) (x - a) Exercices de factorisation

Annexe 3

85

ENCYCLOPEDIE QUILLET (1958)

TABLE DES MATIERES (extraits)

ARITBMEacuteTIQUE Notio~ preacute1i1Ji~ajres - Ideacutee de nombrebullbullbullbull 153 NumeratIon decmale bullbullbullbullbullbullbullbull 156 ~esure des grŒDdeurs bullbullbullbullbullbull bullbullbullbull 159 Nombresmiddot deacutecUDauxbullbullbullbullbullbullbullbullbullbull 169 Ladditionbullbull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull 165 La soustraction bull bull bull bull bull bull bull bull bull 168 La ~~qplication bullbullbullbullbullbullbull1 bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bullbull 171 La diVISIon 178

Regravegle de trois bull bull 117 Pourcentages bullbullbull 119 Partages proportionnels 110 ~~langes bullbull i bull bullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbull 111 Alliages bull 111 Regravegles dinteacuterecircts 124 Rentes sur Pltat 116 Actins et obli~tions - Escompte 117

Problegravemes sur les quatre opeacutemtions bull bull bull 184 La divisibiliteacute bull bull bull bull bull bull bull bull 186 Plus grŒDd commun diviseur (p G C D) 189 Plus petit commun multiple (P P C M) 191 Nombres premiers bullbullbullbullbullbullbullbull 192 Les fractions bull bull bull bull bull 194 Opeacuterations sur les fractions 197 Sys~egraveme meacute~que 203 Racme carree 207 Rapports - Proportions 2 II

Grandeurs Proportionnelles 215

Connge des exercces ~ 130

Annexe4a

ALGEgraveBRE Notions preacuteliminaires bullbullbullbull 157 Opeacutemtions sur les nombres algeacutebriques (somme

diffeacuterence multiplicationmiddot division des nombres algeacutebriques fractions ou rapports algeacutebriques puissances racines) bull bull 160

Qpeacuterations sur les expressions algeacutebriques bull 168 gquations du premier degreacute 278 Reacutesolution des problegravemes du premier degreacute agrave une

inconnue bullbullbullbullbullbullbullbullbull 186 gquations et problegravemes du premier degreacute agrave deux

ou plusieurs inconnues bull bull 191 Notions sur les repreacutesentations graphiques bull bull 301

Variation des fonctions 313 Deacuteriveacutees bullbull bull bull 319

~uations et problegravemes du second degreacute bull bull 312

ProgressionsetlogaritbInesmiddotmiddotmiddotmiddot middotmiddot middotmiddotmiddot middot331 Table de logarithmes de 1 agrave 1 000 bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull 338 Application des logarithmes Inteacuterecircts composeacutes et

annuiteacutes bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull 343 Corcigeacute des ex~ces bullbull ~ bullbullbullbullbullbullbull 348

Annexe4b

82

CLASSE DE QUATRIEME CLASSIQUE A ET B ET DE QUATRIEME MODERNE

PROGRAMME DE 1945 (extraits)

Arithmeacutetique

Pratique sur des exemples de la deacutecomposition dun nombre entier en facteurs premiers de la recherche du plus grand commun diviseur et du plus petit commun multiple de deux ou plushysieurs nombres Applications aux fractions

Algegravebre

Nombres algeacutebriques (positifs nuls heacutegatifs) Opeacuterations sur ces nombres exposeacutes agrave partir de problegravemes concrets Ineacutegaliteacutes

Mesures algeacutebriques de vecteurs sur une droite orienteacutee Formule de Chasles Repeacuterage dun point sur un axe

Eleacutements du calcul algeacutebrique proprieacuteteacutes des sommes et des produits Puissances Produit et quotient de deux puissances dun nombre usage de lexposant nul et dexposants neacutegatifs

Monocircmes Produit de monocircmes Quotient de deux nombres Somme de monocircmes semblables (on se bornera agrave des monocircmes agrave une deux ou trois variables) Polynocircmes agrave une variable addition soustraction multiplication par une constante

Equations numeacuteriques du premie( degreacute agrave une inconnue Problegravemes conduisant agrave une eacutequation numeacuterique du premier degreacute agrave une inconnue

Annexe 1

83

CLASSE DE QUATRIEME

PROGRAMME DE 1958 (extraits)

Arithmeacutetique

Pratique sur des exemples de la deacutecomposition dun nombre entier en un produit de nomshybres premiers pratique de la recherche du plus grand diviseur commun et du plus petit multiple commun de deux ou plusieurs nombres Applications

Algegravebre

1 - Nombres relatifs (positifs nuls neacutegatifs) Orientation dun segment (vecteur) orientation dune droite (axe) mesure algeacutebrique

dun segment orienteacute sur un axe repeacuterage dun point sur un axe (abscisse)

II - Opeacuterations eacuteleacutementaires sur les nombres relatifs addition et soustraction multiplishycation et division

Extension aux nombres relatifs des proprieacuteteacutes fondamentales eacutetablies pour les nombres arithmeacutetiques (classe de cinquiegraveme) concernant les sommes les diffeacuterences les produits les puisshysances n-iegravemes les quotients linverse dun nombre non nul Condition pour quun produit soit nul

Deacutefinition des exposants neacutegatifs et de lexposant nul Comparaison des nombres relatifs ineacutegaliteacutes Ineacutegaliteacutes concernant la valeur absolue dune somme ou dune diffeacuterence Formule de Chasles pour trois points situeacutes sur un axe Segment deacutefini par les abscisses

des deLix points qui le limitent mesure algeacutebrique de ce segment orienteacute mesure de la longueur de ce segment abscisse du milieu de ce segment

III - Notions de variables et de correspondance entre variables Expressions algeacutebriques deacutependant dUne ou de plusieurs variables calcul de la valeur

numeacuterique dune expression algeacutebrique pour des valeurs numeacuteriques donneacutees aux Ymiddotariables Monocircmes agrave une ou plusieurs variables multiplication addition de monocircmes semblables Polynocircmes forme reacuteduite Polynocircmes ordonneacutes addition multiplication Identiteacutes relatives aux produits (x + y)2 (x - y)2 (x + y)(x - y)

IV - Equations position du problegraveme signification du signe = dans ce problegraveme Equashytions du premier degreacute agrave une inconnue agrave coefficients numeacuteriques Reacutesolution de problegravemes simples agrave laide dune telle eacutequation

Annexe 2

84

CLASSE DE QUATRIEME

PROGRAMME DE 1971 (extraits)

1 - Relations

Reacutevision -des notions preacutesenteacutees dans les classes anteacuterieures et compleacutements produit carteacutesien relation application composition des applications bijection cun ensemble sur un ensemble et bijection reacuteciproque

Notion de groupe deacutefinition (on la jeacutegagera des exemples du programme)

II - Nombres deacutecimaux relatifs et approche de reacuteel

1 Groupe des puissances de dix

Nombres deacutecimaux relatifs eacutecrits a 10n avec a e7l et p E7 et sous forme de nombres agrave virgule addition multiplication ordre valeur absolue Reacutesumeacute des proprieacuteteacutes fondamentales de lensemble ainsi structureacute des deacutecimaux relatifs

2 Calculs approcheacutes

a) EnC3drement dun nombre deacutecimal par des intervalles des types [a 10pbull (a + 1) 10middot[ da 101 (a + 1) 10- [a 10pbull (a + 1) 101] avec a E Z et p E Z Sur des exelJlples encamiddot drement middotdune somme dun produit

b) Exercices de deacutetermination pour un deacutecimal strictement positif d donneacute et pour un entier relatif n donneacute du nombre deacutecimal x bull 10 avec x E IN tel que soient veacuterifieacutees les ineacutegaliteacutes 0 ~d x 10 ~ 1 lt d (x + 1) 10

c) Exercices de deacutetermination pour un deacutecimal strictement positif d donneacute et pour un entier relatif n jonneacute du nombre deacutecimal y bull 10 avec y E IN tel que soient veacuterifieacutees les ineacutegaliteacutes [y 10P ~ d lt [(y + 1) 10]

d) Suites deacutecimales illimiteacutees nombres reacuteels encadrements dun nombre reacuteel

3 Enumeacuteration des principales proprieacuteteacutes qui structurent fensemble IR des reacuteels addition (IR +) est un groupe commutatif multiplication associashytiYiteacute distributiviteacute par rapport agravefaddition ordre et valoeur absolue

On admettra que pour tout nombre reacuteel a jiffeacuterent de 0 il existe un nombre reacuteel a-1 et un seul tel que aa-1 = 1 Pour tout couple de nombres reacuteels (a b) avec a = 0 il existe un nombre reacuteel unique x appeleacute quotient de b par a

b et noteacute ba-1 ou - tel que ax = b a

Exercices simples de calcul sur de tels quotients Sur des exemples -numeacuteriques eacutequations et ineacutequations du premier degr9 agrave une inconnue

Usage des exposants entiers groupe des puissances dun nombre reacuteel non nul

Calculs approcheacutes sur les nombres reacuteels

4 Exemples de fonctions polynocircmes (applications de IR dans IR) Degreacute Exercices de calcul SUT les polynocircmes Produits (x + a)2 (x - a)2 (x + a) (x - a) Exercices de factorisation

Annexe 3

85

ENCYCLOPEDIE QUILLET (1958)

TABLE DES MATIERES (extraits)

ARITBMEacuteTIQUE Notio~ preacute1i1Ji~ajres - Ideacutee de nombrebullbullbullbull 153 NumeratIon decmale bullbullbullbullbullbullbullbull 156 ~esure des grŒDdeurs bullbullbullbullbullbull bullbullbullbull 159 Nombresmiddot deacutecUDauxbullbullbullbullbullbullbullbullbullbull 169 Ladditionbullbull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull 165 La soustraction bull bull bull bull bull bull bull bull bull 168 La ~~qplication bullbullbullbullbullbullbull1 bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bullbull 171 La diVISIon 178

Regravegle de trois bull bull 117 Pourcentages bullbullbull 119 Partages proportionnels 110 ~~langes bullbull i bull bullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbull 111 Alliages bull 111 Regravegles dinteacuterecircts 124 Rentes sur Pltat 116 Actins et obli~tions - Escompte 117

Problegravemes sur les quatre opeacutemtions bull bull bull 184 La divisibiliteacute bull bull bull bull bull bull bull bull 186 Plus grŒDd commun diviseur (p G C D) 189 Plus petit commun multiple (P P C M) 191 Nombres premiers bullbullbullbullbullbullbullbull 192 Les fractions bull bull bull bull bull 194 Opeacuterations sur les fractions 197 Sys~egraveme meacute~que 203 Racme carree 207 Rapports - Proportions 2 II

Grandeurs Proportionnelles 215

Connge des exercces ~ 130

Annexe4a

ALGEgraveBRE Notions preacuteliminaires bullbullbullbull 157 Opeacutemtions sur les nombres algeacutebriques (somme

diffeacuterence multiplicationmiddot division des nombres algeacutebriques fractions ou rapports algeacutebriques puissances racines) bull bull 160

Qpeacuterations sur les expressions algeacutebriques bull 168 gquations du premier degreacute 278 Reacutesolution des problegravemes du premier degreacute agrave une

inconnue bullbullbullbullbullbullbullbullbull 186 gquations et problegravemes du premier degreacute agrave deux

ou plusieurs inconnues bull bull 191 Notions sur les repreacutesentations graphiques bull bull 301

Variation des fonctions 313 Deacuteriveacutees bullbull bull bull 319

~uations et problegravemes du second degreacute bull bull 312

ProgressionsetlogaritbInesmiddotmiddotmiddotmiddot middotmiddot middotmiddotmiddot middot331 Table de logarithmes de 1 agrave 1 000 bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull 338 Application des logarithmes Inteacuterecircts composeacutes et

annuiteacutes bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull 343 Corcigeacute des ex~ces bullbull ~ bullbullbullbullbullbullbull 348

Annexe4b

83

CLASSE DE QUATRIEME

PROGRAMME DE 1958 (extraits)

Arithmeacutetique

Pratique sur des exemples de la deacutecomposition dun nombre entier en un produit de nomshybres premiers pratique de la recherche du plus grand diviseur commun et du plus petit multiple commun de deux ou plusieurs nombres Applications

Algegravebre

1 - Nombres relatifs (positifs nuls neacutegatifs) Orientation dun segment (vecteur) orientation dune droite (axe) mesure algeacutebrique

dun segment orienteacute sur un axe repeacuterage dun point sur un axe (abscisse)

II - Opeacuterations eacuteleacutementaires sur les nombres relatifs addition et soustraction multiplishycation et division

Extension aux nombres relatifs des proprieacuteteacutes fondamentales eacutetablies pour les nombres arithmeacutetiques (classe de cinquiegraveme) concernant les sommes les diffeacuterences les produits les puisshysances n-iegravemes les quotients linverse dun nombre non nul Condition pour quun produit soit nul

Deacutefinition des exposants neacutegatifs et de lexposant nul Comparaison des nombres relatifs ineacutegaliteacutes Ineacutegaliteacutes concernant la valeur absolue dune somme ou dune diffeacuterence Formule de Chasles pour trois points situeacutes sur un axe Segment deacutefini par les abscisses

des deLix points qui le limitent mesure algeacutebrique de ce segment orienteacute mesure de la longueur de ce segment abscisse du milieu de ce segment

III - Notions de variables et de correspondance entre variables Expressions algeacutebriques deacutependant dUne ou de plusieurs variables calcul de la valeur

numeacuterique dune expression algeacutebrique pour des valeurs numeacuteriques donneacutees aux Ymiddotariables Monocircmes agrave une ou plusieurs variables multiplication addition de monocircmes semblables Polynocircmes forme reacuteduite Polynocircmes ordonneacutes addition multiplication Identiteacutes relatives aux produits (x + y)2 (x - y)2 (x + y)(x - y)

IV - Equations position du problegraveme signification du signe = dans ce problegraveme Equashytions du premier degreacute agrave une inconnue agrave coefficients numeacuteriques Reacutesolution de problegravemes simples agrave laide dune telle eacutequation

Annexe 2

84

CLASSE DE QUATRIEME

PROGRAMME DE 1971 (extraits)

1 - Relations

Reacutevision -des notions preacutesenteacutees dans les classes anteacuterieures et compleacutements produit carteacutesien relation application composition des applications bijection cun ensemble sur un ensemble et bijection reacuteciproque

Notion de groupe deacutefinition (on la jeacutegagera des exemples du programme)

II - Nombres deacutecimaux relatifs et approche de reacuteel

1 Groupe des puissances de dix

Nombres deacutecimaux relatifs eacutecrits a 10n avec a e7l et p E7 et sous forme de nombres agrave virgule addition multiplication ordre valeur absolue Reacutesumeacute des proprieacuteteacutes fondamentales de lensemble ainsi structureacute des deacutecimaux relatifs

2 Calculs approcheacutes

a) EnC3drement dun nombre deacutecimal par des intervalles des types [a 10pbull (a + 1) 10middot[ da 101 (a + 1) 10- [a 10pbull (a + 1) 101] avec a E Z et p E Z Sur des exelJlples encamiddot drement middotdune somme dun produit

b) Exercices de deacutetermination pour un deacutecimal strictement positif d donneacute et pour un entier relatif n donneacute du nombre deacutecimal x bull 10 avec x E IN tel que soient veacuterifieacutees les ineacutegaliteacutes 0 ~d x 10 ~ 1 lt d (x + 1) 10

c) Exercices de deacutetermination pour un deacutecimal strictement positif d donneacute et pour un entier relatif n jonneacute du nombre deacutecimal y bull 10 avec y E IN tel que soient veacuterifieacutees les ineacutegaliteacutes [y 10P ~ d lt [(y + 1) 10]

d) Suites deacutecimales illimiteacutees nombres reacuteels encadrements dun nombre reacuteel

3 Enumeacuteration des principales proprieacuteteacutes qui structurent fensemble IR des reacuteels addition (IR +) est un groupe commutatif multiplication associashytiYiteacute distributiviteacute par rapport agravefaddition ordre et valoeur absolue

On admettra que pour tout nombre reacuteel a jiffeacuterent de 0 il existe un nombre reacuteel a-1 et un seul tel que aa-1 = 1 Pour tout couple de nombres reacuteels (a b) avec a = 0 il existe un nombre reacuteel unique x appeleacute quotient de b par a

b et noteacute ba-1 ou - tel que ax = b a

Exercices simples de calcul sur de tels quotients Sur des exemples -numeacuteriques eacutequations et ineacutequations du premier degr9 agrave une inconnue

Usage des exposants entiers groupe des puissances dun nombre reacuteel non nul

Calculs approcheacutes sur les nombres reacuteels

4 Exemples de fonctions polynocircmes (applications de IR dans IR) Degreacute Exercices de calcul SUT les polynocircmes Produits (x + a)2 (x - a)2 (x + a) (x - a) Exercices de factorisation

Annexe 3

85

ENCYCLOPEDIE QUILLET (1958)

TABLE DES MATIERES (extraits)

ARITBMEacuteTIQUE Notio~ preacute1i1Ji~ajres - Ideacutee de nombrebullbullbullbull 153 NumeratIon decmale bullbullbullbullbullbullbullbull 156 ~esure des grŒDdeurs bullbullbullbullbullbull bullbullbullbull 159 Nombresmiddot deacutecUDauxbullbullbullbullbullbullbullbullbullbull 169 Ladditionbullbull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull 165 La soustraction bull bull bull bull bull bull bull bull bull 168 La ~~qplication bullbullbullbullbullbullbull1 bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bullbull 171 La diVISIon 178

Regravegle de trois bull bull 117 Pourcentages bullbullbull 119 Partages proportionnels 110 ~~langes bullbull i bull bullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbull 111 Alliages bull 111 Regravegles dinteacuterecircts 124 Rentes sur Pltat 116 Actins et obli~tions - Escompte 117

Problegravemes sur les quatre opeacutemtions bull bull bull 184 La divisibiliteacute bull bull bull bull bull bull bull bull 186 Plus grŒDd commun diviseur (p G C D) 189 Plus petit commun multiple (P P C M) 191 Nombres premiers bullbullbullbullbullbullbullbull 192 Les fractions bull bull bull bull bull 194 Opeacuterations sur les fractions 197 Sys~egraveme meacute~que 203 Racme carree 207 Rapports - Proportions 2 II

Grandeurs Proportionnelles 215

Connge des exercces ~ 130

Annexe4a

ALGEgraveBRE Notions preacuteliminaires bullbullbullbull 157 Opeacutemtions sur les nombres algeacutebriques (somme

diffeacuterence multiplicationmiddot division des nombres algeacutebriques fractions ou rapports algeacutebriques puissances racines) bull bull 160

Qpeacuterations sur les expressions algeacutebriques bull 168 gquations du premier degreacute 278 Reacutesolution des problegravemes du premier degreacute agrave une

inconnue bullbullbullbullbullbullbullbullbull 186 gquations et problegravemes du premier degreacute agrave deux

ou plusieurs inconnues bull bull 191 Notions sur les repreacutesentations graphiques bull bull 301

Variation des fonctions 313 Deacuteriveacutees bullbull bull bull 319

~uations et problegravemes du second degreacute bull bull 312

ProgressionsetlogaritbInesmiddotmiddotmiddotmiddot middotmiddot middotmiddotmiddot middot331 Table de logarithmes de 1 agrave 1 000 bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull 338 Application des logarithmes Inteacuterecircts composeacutes et

annuiteacutes bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull 343 Corcigeacute des ex~ces bullbull ~ bullbullbullbullbullbullbull 348

Annexe4b

84

CLASSE DE QUATRIEME

PROGRAMME DE 1971 (extraits)

1 - Relations

Reacutevision -des notions preacutesenteacutees dans les classes anteacuterieures et compleacutements produit carteacutesien relation application composition des applications bijection cun ensemble sur un ensemble et bijection reacuteciproque

Notion de groupe deacutefinition (on la jeacutegagera des exemples du programme)

II - Nombres deacutecimaux relatifs et approche de reacuteel

1 Groupe des puissances de dix

Nombres deacutecimaux relatifs eacutecrits a 10n avec a e7l et p E7 et sous forme de nombres agrave virgule addition multiplication ordre valeur absolue Reacutesumeacute des proprieacuteteacutes fondamentales de lensemble ainsi structureacute des deacutecimaux relatifs

2 Calculs approcheacutes

a) EnC3drement dun nombre deacutecimal par des intervalles des types [a 10pbull (a + 1) 10middot[ da 101 (a + 1) 10- [a 10pbull (a + 1) 101] avec a E Z et p E Z Sur des exelJlples encamiddot drement middotdune somme dun produit

b) Exercices de deacutetermination pour un deacutecimal strictement positif d donneacute et pour un entier relatif n donneacute du nombre deacutecimal x bull 10 avec x E IN tel que soient veacuterifieacutees les ineacutegaliteacutes 0 ~d x 10 ~ 1 lt d (x + 1) 10

c) Exercices de deacutetermination pour un deacutecimal strictement positif d donneacute et pour un entier relatif n jonneacute du nombre deacutecimal y bull 10 avec y E IN tel que soient veacuterifieacutees les ineacutegaliteacutes [y 10P ~ d lt [(y + 1) 10]

d) Suites deacutecimales illimiteacutees nombres reacuteels encadrements dun nombre reacuteel

3 Enumeacuteration des principales proprieacuteteacutes qui structurent fensemble IR des reacuteels addition (IR +) est un groupe commutatif multiplication associashytiYiteacute distributiviteacute par rapport agravefaddition ordre et valoeur absolue

On admettra que pour tout nombre reacuteel a jiffeacuterent de 0 il existe un nombre reacuteel a-1 et un seul tel que aa-1 = 1 Pour tout couple de nombres reacuteels (a b) avec a = 0 il existe un nombre reacuteel unique x appeleacute quotient de b par a

b et noteacute ba-1 ou - tel que ax = b a

Exercices simples de calcul sur de tels quotients Sur des exemples -numeacuteriques eacutequations et ineacutequations du premier degr9 agrave une inconnue

Usage des exposants entiers groupe des puissances dun nombre reacuteel non nul

Calculs approcheacutes sur les nombres reacuteels

4 Exemples de fonctions polynocircmes (applications de IR dans IR) Degreacute Exercices de calcul SUT les polynocircmes Produits (x + a)2 (x - a)2 (x + a) (x - a) Exercices de factorisation

Annexe 3

85

ENCYCLOPEDIE QUILLET (1958)

TABLE DES MATIERES (extraits)

ARITBMEacuteTIQUE Notio~ preacute1i1Ji~ajres - Ideacutee de nombrebullbullbullbull 153 NumeratIon decmale bullbullbullbullbullbullbullbull 156 ~esure des grŒDdeurs bullbullbullbullbullbull bullbullbullbull 159 Nombresmiddot deacutecUDauxbullbullbullbullbullbullbullbullbullbull 169 Ladditionbullbull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull 165 La soustraction bull bull bull bull bull bull bull bull bull 168 La ~~qplication bullbullbullbullbullbullbull1 bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bullbull 171 La diVISIon 178

Regravegle de trois bull bull 117 Pourcentages bullbullbull 119 Partages proportionnels 110 ~~langes bullbull i bull bullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbull 111 Alliages bull 111 Regravegles dinteacuterecircts 124 Rentes sur Pltat 116 Actins et obli~tions - Escompte 117

Problegravemes sur les quatre opeacutemtions bull bull bull 184 La divisibiliteacute bull bull bull bull bull bull bull bull 186 Plus grŒDd commun diviseur (p G C D) 189 Plus petit commun multiple (P P C M) 191 Nombres premiers bullbullbullbullbullbullbullbull 192 Les fractions bull bull bull bull bull 194 Opeacuterations sur les fractions 197 Sys~egraveme meacute~que 203 Racme carree 207 Rapports - Proportions 2 II

Grandeurs Proportionnelles 215

Connge des exercces ~ 130

Annexe4a

ALGEgraveBRE Notions preacuteliminaires bullbullbullbull 157 Opeacutemtions sur les nombres algeacutebriques (somme

diffeacuterence multiplicationmiddot division des nombres algeacutebriques fractions ou rapports algeacutebriques puissances racines) bull bull 160

Qpeacuterations sur les expressions algeacutebriques bull 168 gquations du premier degreacute 278 Reacutesolution des problegravemes du premier degreacute agrave une

inconnue bullbullbullbullbullbullbullbullbull 186 gquations et problegravemes du premier degreacute agrave deux

ou plusieurs inconnues bull bull 191 Notions sur les repreacutesentations graphiques bull bull 301

Variation des fonctions 313 Deacuteriveacutees bullbull bull bull 319

~uations et problegravemes du second degreacute bull bull 312

ProgressionsetlogaritbInesmiddotmiddotmiddotmiddot middotmiddot middotmiddotmiddot middot331 Table de logarithmes de 1 agrave 1 000 bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull 338 Application des logarithmes Inteacuterecircts composeacutes et

annuiteacutes bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull 343 Corcigeacute des ex~ces bullbull ~ bullbullbullbullbullbullbull 348

Annexe4b

85

ENCYCLOPEDIE QUILLET (1958)

TABLE DES MATIERES (extraits)

ARITBMEacuteTIQUE Notio~ preacute1i1Ji~ajres - Ideacutee de nombrebullbullbullbull 153 NumeratIon decmale bullbullbullbullbullbullbullbull 156 ~esure des grŒDdeurs bullbullbullbullbullbull bullbullbullbull 159 Nombresmiddot deacutecUDauxbullbullbullbullbullbullbullbullbullbull 169 Ladditionbullbull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull 165 La soustraction bull bull bull bull bull bull bull bull bull 168 La ~~qplication bullbullbullbullbullbullbull1 bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bullbull 171 La diVISIon 178

Regravegle de trois bull bull 117 Pourcentages bullbullbull 119 Partages proportionnels 110 ~~langes bullbull i bull bullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbullbull 111 Alliages bull 111 Regravegles dinteacuterecircts 124 Rentes sur Pltat 116 Actins et obli~tions - Escompte 117

Problegravemes sur les quatre opeacutemtions bull bull bull 184 La divisibiliteacute bull bull bull bull bull bull bull bull 186 Plus grŒDd commun diviseur (p G C D) 189 Plus petit commun multiple (P P C M) 191 Nombres premiers bullbullbullbullbullbullbullbull 192 Les fractions bull bull bull bull bull 194 Opeacuterations sur les fractions 197 Sys~egraveme meacute~que 203 Racme carree 207 Rapports - Proportions 2 II

Grandeurs Proportionnelles 215

Connge des exercces ~ 130

Annexe4a

ALGEgraveBRE Notions preacuteliminaires bullbullbullbull 157 Opeacutemtions sur les nombres algeacutebriques (somme

diffeacuterence multiplicationmiddot division des nombres algeacutebriques fractions ou rapports algeacutebriques puissances racines) bull bull 160

Qpeacuterations sur les expressions algeacutebriques bull 168 gquations du premier degreacute 278 Reacutesolution des problegravemes du premier degreacute agrave une

inconnue bullbullbullbullbullbullbullbullbull 186 gquations et problegravemes du premier degreacute agrave deux

ou plusieurs inconnues bull bull 191 Notions sur les repreacutesentations graphiques bull bull 301

Variation des fonctions 313 Deacuteriveacutees bullbull bull bull 319

~uations et problegravemes du second degreacute bull bull 312

ProgressionsetlogaritbInesmiddotmiddotmiddotmiddot middotmiddot middotmiddotmiddot middot331 Table de logarithmes de 1 agrave 1 000 bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull 338 Application des logarithmes Inteacuterecircts composeacutes et

annuiteacutes bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull bull 343 Corcigeacute des ex~ces bullbull ~ bullbullbullbullbullbullbull 348

Annexe4b

86

EXERCICES SUR LA MULTIPLICATION DES EXPRESSIONS ALGEBRIQUES

dans divers manuels

EXERCICES

Effectuer les multiplioations bull uvi1Jte

lU a6 x cd

Ilia abl~ X cid

ISS 5a6 X 3cd

Ju O3838bullbullbullaXl)45i3bullbullb

10

148

tls

ln

UIO

1G3

168

la

170

ln

3Gb par i5 cad

~ i pq par + ii2 t

341 par ial bull

o~ par Sayl

i (]A lBr 2a

3oi Jar 2aC

134

137

140

143

146

149

1112

lU

Hi8

181

164

iCr-l dy pBr Jel-d

O [8 -1-1 J r~r+a par ta bull

cy X I1h

ptJe X 1 U Sam x 314

ia6 par ) ~ u

95 ab par 6 i1

~Ymiddot

85 alll par 63 ~ alJlcl

2mz pM 5i bJz

l3 al par 85

aly

ia-+ par 3 Z-J

llla

138

141 bull

11SO

1113

lA

lit

185

9t X rI

(gx Mimiddot 3flx X2cl l1

li 4

Oi8a par 033 ~

2 8a~ parj azl~

ii 8abel parO65ulJlyl

lu) par 2a46I

3 ii al par 2 i1 P

23ab6 par i3 u6middot

187 32- par ~ z-+3

189 i i pr-fe4 par 0456-+middot

17 (i albMc)1

TRUTEacute EacuteLEacuteMENTAIRE DALOtBRL G7

(b ~ 4y + 31- 3r 3 (li - al6 +dI- III) X 1 4 (31l + 2a1~ - 40111) X 50161 171S (au - 26y - c1 X 2bY

178 4xl - 5111 + 7) x Jal ln (8b - 5cyI- 261~1) X ~ h 1

lJtl GIl2bJ-~~hl-~a36)x Talhe 179 Sal - 3hl + kIl X 3ahc

IBO (74-1 - 3~1 + 4a-) X 05aI6

lai (jCl-~(lM-lb-a-~6 +44-~b) x 6i41-tbl

3 182 (1l3535~-yI + 65zRI - O48zamp1J4-t X 58 xlmyl

t83 lt3Y--+ - 8yl-_1 + 5yl- - 6yl) X 611-

lM [3111 - (1aI-36) + 841 - 562(2a + bl)] X laa

18lS t3b + (26 -el - 4c + [2a - (36 -eHI x 3atbcl

188

lla-6- [ 2aM(bJo - cl) - i 6n-1(2a-16J+t1- 3a6n+I )] t x l ~ middot_6-t

187 11- 24 + b) x (14- 26)

88 (7at -2ab 36) x (6a1 ~ 3ab)

t89 (3at - alh - 5al h + 6a61- 864) x (3al - la6 + bJ

Annexe 5a

87

(SaI- 2az + Sax - 30raquo1 X (a - 4~ + ri

M (z - 3~ + ~a) X (~~I +S~ - 3a

91 (2z4 +3~ - 2xY - 4zyJ) X 21 - 3~1 L

93 (2mJ - 3mn + 4mn + 5nJ~ X (Gmn - ]ml + Il) 94 (2z4 - by - 51y + r X (- 21 + 3xy - 41

191 (041J4-CI+635a1-knJ X (o5ocirca-a)

1ll6 (01212bullbull ab - ~ atb + 02727bullbull bullahJ + 0646 hl) X (i a - i a)+ 2(1)

197 (3a - 2a + SaJ - 1) X (2a + 3 - Sa)

198 (4a - 3a + 5a + 2) X (1 - 3a + 2at)

199 lazI + ~a-- 5a2J1 - 6az 7xl) X (ll1az - 3az + 4~

~ (Sply + y4 - ~pJy - Sp4 + 6pyl) X (ply _ 3y + ~py _ pS

zJ 2x 3 6~) ( ~ 7x 3)tol~ ( 1-1+-7 X -3+5-~

4P 3pl 2vJ1 ipr 9114) (2pl middotSlllI 4p 21tJ)S6 ( -5- -T-5T~-U x -T-+T+[i

118 lmxl - q - pz + iul) X (m~1 - nr - p~ + ql 04 bull (axJ + d - 4 + 6x) X (Xl + 1amp - g)

O~ (41 - 2qJ + Sn- rs) X (3a1 - SI + 3e1 - 4ltt)

t08 (a - Ir -- (CI lt (- 21r - Ja + 5lt1) X (a - 3b-r - ~I

r n EXERCICES SUR LA YULTIPLlrTIOlt

107 1 - 36z1- 2= + 3dr) x (5d - 46zJ - a + 6ex) X 13a - bzl - kW)

IR [(a - h)x - (a - b + (1 - bl] X (IIZ - h)

tua [(at + g6 + 6) - (a + b) + ab] X [(a - b~J + 2z -1]

tI (t-3II)pI-(m-n)p +(2m +n)]x[(2IJI+ 3n)pI+(m +n)p-(2111-middotI]middot II [j+(CI+ 6)yI+(a-bl)y+(a- 3a6+3al1-bJ)] X(yI-(a-b)y+ (al-2ab +61

Il [~+(2a-I)zI-(II-2a+I)~+ a-a+2)]x[x+(2a+ t)+(a+ IIJ 113

(EI-Y)(~-~-5q)-(yI-)(~+b+51yI)+r-yI X(6~I-Ut)7

Il i~ - 3y) (7~ + 8y) - (b - 9YI (~ +) - (k - 2y) (~ - 8)

lia (241 - 36) (SCI- 86) - (a - MI (211 - 161- (3CI- U) (la - 26)]

118 (2zI- k + 1) (~ - ua - b + 1) - (Ut - 31 + 1) (~ - 1)

tl7 (z- _ --ty + --y _ -- + 1) X (~ + y)

l8 (--rl + 3- - ca-l - 2ca-1) X (a- I - a- + Il-

ttbull (3t-+-1r - ~_Jy- _~Iyl+) X(~ty4-_2t+YO+I)

(~ + a) (z + 6) (s + c) (~ + dl et (1 + z) (1 + zl) (lgt+ z) (I + zI)

US (yi + y + If + i (JY + y + oy + l)

Annexe 5a (suite)

88

EXERCICES

- Effecruer les produits suivants

bull 444(~abc) (- ~abc)

bull 448 (- ~xJI) (+ ~aY)

bull 448 e34

abX) ( - ~ab)

bull 450 ( - ~ JI) (- 4xy)

3 ) ( 5 )bull 452 (SxJI - 4J1 bull

- Calculer les expressions suivantes

3 )bull 454 (~a1JIx) bull 455 - - a1JIy bull 2

bull 457 (- ~a1JIt)middot bull 458 (- ~ax y - Effecruer les produits suivants

bull 458 (~ab - ~ab + ja) (- ~a1JI) bull 480 (~ax -+- ~bx - 4C) (- ~a6t)2 4 3

bull 481 Gax - 3ay - 4by) (4aty) bull 482 (-~t + ~r _ 3x) (_ 20x) 2 4 5 3

bull 483 (2x - 3y)(4x - 2) bull 484 (2a + 3b)(-4a -+- 6b)

bull 4815 (- 4x + 3y + l)(y - 3) bull 488 (- 2a + 3b - 5)(a - b)

bull 487 (2x - 3y + 5) (x - y) bull 488 (4a - 5b +ab)(a - b)bull

bull 488 (5J1 + 3x - 2y)(2x - y) bull 470 (- 3J1 + lx - 2y)(x + 5)

bull 471 (l4ab + 5a - b)(a - 2b) bull 472 (7db - 4b + 2a)(2a + 4b)

bull 473 Soient les polynocircmes A = - 2x + 3x + 5 et B = x - x + 3

10 Calculer le produit AB

20 Veacuterifier pOur x = - 3 en calculant les valeurs numeacuteriques deA B et du proshyduit AB

Annexe 5b

89

MULTIPLICATION DES POLYNOMES 81

bull 474 Soit le polyu6me A xl - 3 + 2shy=0

10 Calculer le carreacute puis le cube de ce polynOme

20 Vampificr pour =0 - 4 en calcu1aDt les valeurs numeacuteriques du polynocircme et des Iuml-eacutesultats trouveacutes

-- Effectuer les produits suivants reacuteduire et ordonncr les reacutesultats

bull 475 (2 - 7)(- 3 + 2) bull 478 (41 + 7 - 21)(X - 2)bull

bull 477 (5 - 2)(3 - 4x0) bull 478 (2 - 7 -- 5)(3 - 5+8)

bull 479 ( - 2 + ~) (4 + 3) bull 480 G - ~ r + 5) (4x - 5x + 7)bull

bull 481 (7x - 2 + 4)(3 - 5) bull 482 (2 - 4)(x - 2)

bull 483 (2 - 4 + 2) (x + 5 - 2) bull 484 ax - 2 + DGx - ~ + r)

- Calculer les expressions suivantes

bull 486 (2 -1- 3)(3 + 2)(x - 4) bull 488 (5x - 1)(2 + 3)(7 + 4)

bull 487 (3 - 1) ( + 1) (x - 1) bull 488 (x -~) (Sr - 1)(5x + 3)

bull 488 (2 + 3 - 4) bull 480 (4x - 7 + 2 + 5)

bull 481 (7 -5) bull 482 ( - + 2)

- Deacutevelopper et reacuteduire les expressions suivantes

bull 483 5(3a - 46) - [9(24 - b) - 2(a - 5b)]

bull 484 34(26 - 1) - [24(5~ - 3) - 26 (3a + 1)]

bull 486 (24 -+- 5b)(3a - 26) - (24 - 1)(3a + 26) - (a - 26)(5b - 1)

bull 488 (2 - 3y)(5x - 2y) - (3 - 2y)(2 + 1) - (5 - y)(3y + 1)

bull 487 (ax - b)(ax - 26) + 3b(4x - b) + b(b - 1)

bull 498 (C - 1)(x - 2)(x - 3) G (cC-- l)(x - 2) 7 (x 1)

bull 498 (XO +- yO)(x - y)( - y) + xy(x + y)

bull 500 ~ry (2 - ~) - 2(2 - 1) + (21 - j) (1 - j) (2x - 1)

Annexe 5b (suite)

90

CHAPITRE 14

Calculez lu roduiu suyanu (exercices 13 agrave 18)

13 2 x (~- S x + ~)

14 (x- 2) (2x + 3) (x~ + x - 1) (2 x - S) (r - 2 x - 3-) (r + 1)

16 (x- 1) (r + x + 1) (x - 1) (r + ~ + x + 1) (x + 1) (x= - x + 1)

17 (x-1) (x- 2) (x + 3) (2 x - 3) (3 x + 1) (x2 + 1) - 2S

(x + 2) (- x + S)

18 (x + 2)= (3 x shy lt4) (3 x + lt4)

19 Reacuteduire et ordonner suivant les puissances deacutecroissantu de la variable z

2 (z - 3) (z + 3) - 8 (1i z + 1) z (z + 1) (z + 2) - 3 (z - 1)2

20 Ordonnez suivant les puissances deacutecroissantu de la variable x le polynome

p (x) (lt4 x - 9) (S x + 7) - 1 + x

Calculez le plus rapidement possible P (~) et P ( - ~)

Annexe 5c

91

LES INSTRUCTIONS DE JANVIER 1957

a) Observation et expeacuterimentation

Observation et expeacuterimentation sagit-il vraiment daligner les matheacutematiques sur les autres disciplines scientifique

Il nest pas douteux quau deacutepart dans leacutelaboration de toutes les sciences les deacutemarches intellectuelles sont du mecircme ordre une discrimination intervient apregraves lorsque le matheacutematicien ayant creacuteeacute des ecirctres de raison va sefforcer den eacutetudier les proprieacuteteacutes Mais son travail na de valeur profonde que si sa construction toute abstraite quelle soit prend solidement appui sur le reacuteel si elle est capable de le rejoindre et de sy adapter dans une large mesure

Nest-il pas indispensable de faire bien saisir agrave lenfant puis agrave ladolescent les liens eacutetroits qui unissent les matheacutematiques au monde sensible Nest-ce pas lagrave un moyen - lun des meilleurs sans doute - pour mettre en confiance le deacutebutant pour eacuteviter quil ne se sente tregraves vite rebuteacute par une eacutetude ougrave il pourrait ne voir si elle reste priveacutee de toute vraie lumiegravere quune sorte de jonglerie souvent purement verbale et sans signification apparente

Lors des premiegraveres eacutetapes de initiation et de lapprentissage cest par lobservation et lexpeacuterimentation que cette liaison peut ecirctre reacutealiseacutee et rendue eacutevidente Leur rocircle apparaicirct Clairement dans la creacuteations des ecirctres magravetheacutematiques munis de leur deacutefinition complegravete Il nest pas moindre lorsquil sagit de deacutecouvrir certaines de leurs proprieacuteteacutes et agrave cette occasion dacceacuteder aux voies du raisonnement

Lobservation des faits des individus di leur comportement que les eacuteleacutements en cause soient concrets ou abstraits est la premiegravere opeacuteration sensorielle et mentale intervenant dans toute recherche Mais lexpeacuterimentation cest-agrave-dire une observation de pheacutenomegravenes volontairement provoqueacutes dans des conditions deacutetermineacutees davance et non pas imposeacutees de lexteacuterieur se preacutesente naturellement agrave lesprit actif et curieux pomme une espegravece de neacutecessiteacute Bien entendu elle ne porte P8li obligatoirement sur les objets mateacuteriels elle peut ecirctre ou devenir une sorte dexpeacuterimentation figureacutee comportant une seacuterie de gestes imagineacutesmais qui seraient effectivement reacutealisables

La phase essentielle dune telle recherche est bien entendu celle de linterpreacutetation des reacutesultats qui permettra de deacutegager des conclusions elle neacutecessite une analyse qui doit ecirctre conduite avec un soin extregraveme et en matheacutematiques la nature des ecirctres mis en jeu oblige agrave prendre des preacutecaushytions particuliegraveres quil importe de faire comprendre aux deacutebutants Car une expeacuterience quelle quelle soit ne met en jeu que des objets particuliers en nombre limiteacute degraves lors mecircme si elle est reacutepeacuteteacutee plusieurs fois et modifiant quelque donneacutee elle ne reacutevegravele en toute rigueur qun reacutesultat valable dans telle ou telle condition cest lagrave le premier point qui doit ecirctre expliqueacute et acquis Vient alors la critique laquoLes opeacuterations que jai reacutealiseacutees ou que jai imagineacutees sont-elles conditionneacutees ineacutevitablement par les situations et par les eacuteleacutements particuliers sur lesquels jai travailleacute raquo Si oui les conseacutequences obtenues nont de valeur que pour ces situations et pour ces eacuteleacutements si non une nouvelle question se pose ou plutocirct une suite de questions ougrave labstraction devient peu agrave peu dominante (des opeacuterations restent-elles possibles et les reacutesultats restent-ils valables si je modifie certaines donneacutees Ces modifications sont-elles agrave leur tour assujetties agrave quelques restrictions Les reacutesultats restent-ils valables quelles que soient ces modifications raquo Ainsi sorganise une reacuteflexion lente et progressive qui doit accrocher et retenir lattention et donner accegraves aux formes abstraites et geacuteneacuterales propres agrave la penseacutee matheacutematique

Naturellement les types dlaquoexpeacuteriencesraquo de ce genre peuvent ecirctre tregraves varieacutes et il importe pour chacune den bien deacutegager la nature et la porteacutee en sefforccedilant daller au fond des choses Voici pris au hasard quelques exemples bien simples

On a au deacutebut de larithmeacutetique deacutefini le produit dun entier a par un entier b comme

bull bull

92

eacutetant la somme de b nombres eacutegaux agrave a les deux nombres a et b jouent des rocircles diffeacuterents si lon repreacutesente un tel produit par le symbole a X b il ny a aucune raison de penser que a X b puisse ecirctre eacutegal agrave b X a Cependant quelques expeacuteriences simples ne serait-ce que celles qui ont eacuteteacute faites pour construire une table de multiplication montrent que cette eacutegaliteacute a bien lieu quand on effectue les calculs agrave partir de deux nombres effectivement donneacutes Ces constatations mecircme renouveleacutees maintes fois ne permettent nullement daffirmer que le reacutesultat est encore exact avec deux nombres diffeacuterents de ceux que lon a deacutejagrave laquoeacuteprouveacutesraquo On suggegravere alors une autre ideacutee dexpeacuterience revenir agrave lorigine analyser le multiplicande en laquoreacutealisantraquo par quelque moyen la collection duniteacutes quil symbolise puis reacuteunir un nombre de ces collections eacutegal au multiplicateur le nombre duniteacutes ainsi rassembleacutees est eacutegal au produit du multiplicande par le multiplicateur Si toutes ces uniteacutes ont eacuteteacute mises en vrac on ne voit rien de plus on nest pas plus avanceacute que tout agrave lheure les deux nombres jouent toujours des rocircles diffeacuterents Une nouvelle ideacutee doit ecirctre deacutecouverte mettre de lordre dans chacune des collections puis dans le groupe de ces collections la difficulteacute est peut-ecirctre dlaquoinventengt une disposition utilisable telle que la disposition rectangulaire en lignes et en colonnes ensuite la symeacutetrie des rocircles apparaicirct bien vite et lon constatera que pour les deux nombres partishyculiers qui ont servi agrave construire ce scheacutema les produits du premier par le second et du second par le premier sont eacutegaux sans avoir besoin de calculer effectivement ces deux produits Voilagrave une expeacuterience faite est-il utile de la recommencer en changeant les nombres ou la nature des objets repreacutesentant les uniteacutesmiddot Non bien sucircr Alors le reacutesultat obtenu est encore valable pour deux autres nombres Pour deux nombres quelconques Quels que soient les deux nombres Ainsi se deacutegage la proprieacuteteacute geacuteneacuterale qui une fois bien eacutenonceacutee pourra ecirctre repreacutesenteacutee symboliquement par une laquoformuleraquo dont la signification ne risque guegravere decirctre oublieacutee

bull bull bull bull bull bull bull bull 0

Bien entendu lorganisation systeacutematique de travaux manuels conccedilus non comme le preacuteshyapprentissage de tel ou tel meacutetier mais comme une eacuteducation est tout agrave fait souhaitable il est agrave peine utile de mentionner tout le profit que peut tirer leacutelegraveve dune entente et dune collaboration bien comprises entre le professeur de travaux manuels et le professeur de matheacutematiques

Il est bon de rappeler agrave ce propos quelques phrases dHenri Bergson dont les premiegraveres devraient agrave vrai dire servir deacutepigraphe agrave tout essai sur leacuteducation

laquoNous croyons quil est de lessence de lhomme de creacuteer mateacuteriellement et moralement de frabiquer des choses et de se fabriquer soi-mecircme Homo faber telle est la deacutefinition que nous proposons Lhomo sapiens neacute de la reflex ion de lhomo faber sur sa fabrication nous paraicirct tout aussi digne destime tant quil reacutesout par la pure intelligence les problegravemes qui ne deacutependent que delle homo faber homo sapiens devant lun et lautre qui tendent dailleurs agrave se confondre nous nous inclinons Le seul qui nous soit antipathique est lhomo loquax dont la penseacutee quand il pense nest quune reacuteflexion sur sa paroleraquo

laquo- On oublie que lintelligence nest que la faculteacute de manipuler la matiegravere quelle comshymence du moins ainsi - Comment alors lintelligence ne profiterait-elle pas de leacuteducation de la main Allons plus loin La main de lenfant sessaie naturellement agrave construire En ly aidant en lui fournissant au moins des occasions on obtiendrait plus tard de lhomme fait un rendement supeacuterieur on accricirctrait singuliegraverement ce quil y a dinventiviteacute dans le monde Un savoir tout de suite livresque comprime et supprime des activiteacutes qui ne demandent quagrave prendre leur essor Exerccedilons donc lenfant au travail manuel et nabandonnons pas cet enseignement agrave un manœuvre Adressons-nous agrave un vrai maicirctre pour quil perfectionne le toucher au point den faire un tact lintelligence remontera de la main agrave la tecircte -raquo

bull

annexe 6a

93

b) Une didactique euphorique

Les remarques preacuteceacutedentes ont eacutevoqueacute agrave diverses reprises la nature des ecirctres matheacutemashytiques sans doute le caractegravere dabstraction dont ils sont marqueacutes est-il un obstacle susceptible darrecircter ougrave de gecircner les deacutebutants Mais agrave de rares exceptions pregraves il semble bien quun enfant peut normalement saisir les conventions eacuteleacutementaires qui correspondent aux premiers symboles de larithmeacutetique de lalgegravebre et de la geacuteomeacutetrie une initiation prudente doit obtenir ce reacutesul~at

Pourtant les premiegraveres notions acquises lorsquil sagit de manier ces symboles et de mettre en jeu les ideacutees quils repreacutesentent le deacutebutant paraicirct tregraves souvent frappeacute dune sorte de paralysie entravant le progregraves et risquant de conduire agrave leacutechec Sans doute les possibiliteacutes intellectuelles de lenfant - ou de ladulte - jouent-elles un rocircle en cette affaire mais cest lagrave une excuse assez pauvre dune porteacutee limiteacutee et la question doit ecirctre placeacutee sur un autre plan

Se preacuteoccupe-t-on suffisamment degraves les deacutebuts de faire saisir que ces ecirctres de raison que lon a creacuteeacutes sont doueacutes dune vie veacuteritable conditionneacutee seulement par la deacutefinition de leurs proshyprieacuteteacutes fondamentales Ne peut-on essayer de leur garder le plus longtemps possible la fraicheur et la puissance de leur laquoeacutetat naissantraquo Cest dautant plus facile quils possegravedent par leur nature mecircme le privilegravege de pouvoir ecirctre agrave tout instant recreacuteeacutes Ne risque-t-on pas de les eacutetouffer de les desseacutecher de leur faire perdre toute vie par une avalanche de laquoregraveglesraquo et de contraintes dont beaushycoup sont inutiles sinon nuisibles

Pourquoi par exemple eacutenoncer une laquoregravegleraquo - puis en imposer la reacutecitation - concernant la multiplication dun produit de facteurs par un nombre alors que cette opeacuteration si on la rencontre doit ecirctre immeacutediatement reconnue comme tregraves familiegravere puisquon y retrouve sans peine la deacutefinition mecircme que la multiplication de plus de deux nombres Au lieu dattendre et dexiger lapplication dun meacutecanisme dailleurs souvent mal enregistreacute nest-il pas plus inteacuteressant et plus fructueux de faire analyser le symbole (a b c) X d qui possegravede deacutejagrave les proprieacuteteacutes dun produit de deux facteurs et qui une fois identifieacute se trouve muni de toutes les proprieacuteteacutes dun produit de quatre facteurs Cest alors un jeu den deacutecouvrir les diffeacuterentes formes puis sil y a lieu de choisir parmi elles pour

poursuivre une transformation ou un calcul

La theacuteorie eacuteleacutementaire des polynocircmes et des fractions rationnelles ne perdrait-elle pas ce caractegravere dariditeacute quelle a parfois si on montrait agrave loccasion de tous les problegravemes quelle pose quil ne sagit que de la mise en jeu de deacutefinitions de laddition de la multiplication de leurs opeacuterashytions inverses et des proprieacuteteacutes de commutativiteacute dassociativiteacute et de distributiviteacute Lobservation attentive et non passive des symboles et des signes qui interviennent et de leur comportement mettra presque toujours dans la voie dune solution Et les laquoidentiteacutes remarquablesraquo et autres forshymules prendront ainsi naissance dans une amosphegravere vivante qui en assurera sans doute mieux et peut-ecirctre deacutefinitivement la conservation

Toute la theacuteorie des proportions nest-elle pas contenue dans la deacutefinition du quotient exact dun nombre par un autre et ne peut-on lui faire prendre corps agrave partir de lagrave

Bien des mots du langage matheacutematique eacutevoquent la vie et laction variables fonctions correspondantes transformations eacutequations ineacutequations Quon prenne garde de les laquoscleacuteroserraquo de rendre inertes les ecirctres quils repreacutesentent et passifs les actes quils deacutesignent car leur maniement middotIeur mise en œuvre se reacuteduisent alors tregraves vite agrave de fastidieux exercices quun appel agrave la meacutemoire leacute recours agrave quelque automatisme permettront peut-ecirctre de laquoreacutesoudreraquo correctement formellement mais sans quapparaissent un prolongement une vue densemble un veacuteritable motif dinteacuterecirct

La multitude des chapitres ougrave sont traiteacutees des questions relatives au binocircme du premier degreacute et au trinocircme du second degreacute ne serait-elle pas eacuteclaireacutee par une saine lumiegravere si on commenshyccedilait avant tout par laquopreacutesenterraquo ces deux ecirctres qui vont tenir laffiche pendant un long moment (eacutequations ineacutequations variations des fonctions repreacutesentations graphiques laquoproblegraveme du premier

94

et du second degreacutesraquo) Preacutesenter cest-agrave-dire faire vraiment leur connaissance rechercher les diffeacuteshyrentes formes quils peuvent revecirctir pour pouvoir les identifier puis agrave notre greacute les transformer

afin ensuite de pouvoir choisir Ne pourrait-on ainsi reacuteduire agrave neacuteant de facirccheuses accusations souvent formuleacutees laquola trinocircmiteraquo seacutevit laquoon deacutebiteraquo du trinocircme 7

Il est inutile de multiplier les exemples on en trouverait agrave tous les pas en algegravebre en trigonomeacutetrie en geacuteomeacutetrie

annexe 6b

87

(SaI- 2az + Sax - 30raquo1 X (a - 4~ + ri

M (z - 3~ + ~a) X (~~I +S~ - 3a

91 (2z4 +3~ - 2xY - 4zyJ) X 21 - 3~1 L

93 (2mJ - 3mn + 4mn + 5nJ~ X (Gmn - ]ml + Il) 94 (2z4 - by - 51y + r X (- 21 + 3xy - 41

191 (041J4-CI+635a1-knJ X (o5ocirca-a)

1ll6 (01212bullbull ab - ~ atb + 02727bullbull bullahJ + 0646 hl) X (i a - i a)+ 2(1)

197 (3a - 2a + SaJ - 1) X (2a + 3 - Sa)

198 (4a - 3a + 5a + 2) X (1 - 3a + 2at)

199 lazI + ~a-- 5a2J1 - 6az 7xl) X (ll1az - 3az + 4~

~ (Sply + y4 - ~pJy - Sp4 + 6pyl) X (ply _ 3y + ~py _ pS

zJ 2x 3 6~) ( ~ 7x 3)tol~ ( 1-1+-7 X -3+5-~

4P 3pl 2vJ1 ipr 9114) (2pl middotSlllI 4p 21tJ)S6 ( -5- -T-5T~-U x -T-+T+[i

118 lmxl - q - pz + iul) X (m~1 - nr - p~ + ql 04 bull (axJ + d - 4 + 6x) X (Xl + 1amp - g)

O~ (41 - 2qJ + Sn- rs) X (3a1 - SI + 3e1 - 4ltt)

t08 (a - Ir -- (CI lt (- 21r - Ja + 5lt1) X (a - 3b-r - ~I

r n EXERCICES SUR LA YULTIPLlrTIOlt

107 1 - 36z1- 2= + 3dr) x (5d - 46zJ - a + 6ex) X 13a - bzl - kW)

IR [(a - h)x - (a - b + (1 - bl] X (IIZ - h)

tua [(at + g6 + 6) - (a + b) + ab] X [(a - b~J + 2z -1]

tI (t-3II)pI-(m-n)p +(2m +n)]x[(2IJI+ 3n)pI+(m +n)p-(2111-middotI]middot II [j+(CI+ 6)yI+(a-bl)y+(a- 3a6+3al1-bJ)] X(yI-(a-b)y+ (al-2ab +61

Il [~+(2a-I)zI-(II-2a+I)~+ a-a+2)]x[x+(2a+ t)+(a+ IIJ 113

(EI-Y)(~-~-5q)-(yI-)(~+b+51yI)+r-yI X(6~I-Ut)7

Il i~ - 3y) (7~ + 8y) - (b - 9YI (~ +) - (k - 2y) (~ - 8)

lia (241 - 36) (SCI- 86) - (a - MI (211 - 161- (3CI- U) (la - 26)]

118 (2zI- k + 1) (~ - ua - b + 1) - (Ut - 31 + 1) (~ - 1)

tl7 (z- _ --ty + --y _ -- + 1) X (~ + y)

l8 (--rl + 3- - ca-l - 2ca-1) X (a- I - a- + Il-

ttbull (3t-+-1r - ~_Jy- _~Iyl+) X(~ty4-_2t+YO+I)

(~ + a) (z + 6) (s + c) (~ + dl et (1 + z) (1 + zl) (lgt+ z) (I + zI)

US (yi + y + If + i (JY + y + oy + l)

Annexe 5a (suite)

88

EXERCICES

- Effecruer les produits suivants

bull 444(~abc) (- ~abc)

bull 448 (- ~xJI) (+ ~aY)

bull 448 e34

abX) ( - ~ab)

bull 450 ( - ~ JI) (- 4xy)

3 ) ( 5 )bull 452 (SxJI - 4J1 bull

- Calculer les expressions suivantes

3 )bull 454 (~a1JIx) bull 455 - - a1JIy bull 2

bull 457 (- ~a1JIt)middot bull 458 (- ~ax y - Effecruer les produits suivants

bull 458 (~ab - ~ab + ja) (- ~a1JI) bull 480 (~ax -+- ~bx - 4C) (- ~a6t)2 4 3

bull 481 Gax - 3ay - 4by) (4aty) bull 482 (-~t + ~r _ 3x) (_ 20x) 2 4 5 3

bull 483 (2x - 3y)(4x - 2) bull 484 (2a + 3b)(-4a -+- 6b)

bull 4815 (- 4x + 3y + l)(y - 3) bull 488 (- 2a + 3b - 5)(a - b)

bull 487 (2x - 3y + 5) (x - y) bull 488 (4a - 5b +ab)(a - b)bull

bull 488 (5J1 + 3x - 2y)(2x - y) bull 470 (- 3J1 + lx - 2y)(x + 5)

bull 471 (l4ab + 5a - b)(a - 2b) bull 472 (7db - 4b + 2a)(2a + 4b)

bull 473 Soient les polynocircmes A = - 2x + 3x + 5 et B = x - x + 3

10 Calculer le produit AB

20 Veacuterifier pOur x = - 3 en calculant les valeurs numeacuteriques deA B et du proshyduit AB

Annexe 5b

89

MULTIPLICATION DES POLYNOMES 81

bull 474 Soit le polyu6me A xl - 3 + 2shy=0

10 Calculer le carreacute puis le cube de ce polynOme

20 Vampificr pour =0 - 4 en calcu1aDt les valeurs numeacuteriques du polynocircme et des Iuml-eacutesultats trouveacutes

-- Effectuer les produits suivants reacuteduire et ordonncr les reacutesultats

bull 475 (2 - 7)(- 3 + 2) bull 478 (41 + 7 - 21)(X - 2)bull

bull 477 (5 - 2)(3 - 4x0) bull 478 (2 - 7 -- 5)(3 - 5+8)

bull 479 ( - 2 + ~) (4 + 3) bull 480 G - ~ r + 5) (4x - 5x + 7)bull

bull 481 (7x - 2 + 4)(3 - 5) bull 482 (2 - 4)(x - 2)

bull 483 (2 - 4 + 2) (x + 5 - 2) bull 484 ax - 2 + DGx - ~ + r)

- Calculer les expressions suivantes

bull 486 (2 -1- 3)(3 + 2)(x - 4) bull 488 (5x - 1)(2 + 3)(7 + 4)

bull 487 (3 - 1) ( + 1) (x - 1) bull 488 (x -~) (Sr - 1)(5x + 3)

bull 488 (2 + 3 - 4) bull 480 (4x - 7 + 2 + 5)

bull 481 (7 -5) bull 482 ( - + 2)

- Deacutevelopper et reacuteduire les expressions suivantes

bull 483 5(3a - 46) - [9(24 - b) - 2(a - 5b)]

bull 484 34(26 - 1) - [24(5~ - 3) - 26 (3a + 1)]

bull 486 (24 -+- 5b)(3a - 26) - (24 - 1)(3a + 26) - (a - 26)(5b - 1)

bull 488 (2 - 3y)(5x - 2y) - (3 - 2y)(2 + 1) - (5 - y)(3y + 1)

bull 487 (ax - b)(ax - 26) + 3b(4x - b) + b(b - 1)

bull 498 (C - 1)(x - 2)(x - 3) G (cC-- l)(x - 2) 7 (x 1)

bull 498 (XO +- yO)(x - y)( - y) + xy(x + y)

bull 500 ~ry (2 - ~) - 2(2 - 1) + (21 - j) (1 - j) (2x - 1)

Annexe 5b (suite)

90

CHAPITRE 14

Calculez lu roduiu suyanu (exercices 13 agrave 18)

13 2 x (~- S x + ~)

14 (x- 2) (2x + 3) (x~ + x - 1) (2 x - S) (r - 2 x - 3-) (r + 1)

16 (x- 1) (r + x + 1) (x - 1) (r + ~ + x + 1) (x + 1) (x= - x + 1)

17 (x-1) (x- 2) (x + 3) (2 x - 3) (3 x + 1) (x2 + 1) - 2S

(x + 2) (- x + S)

18 (x + 2)= (3 x shy lt4) (3 x + lt4)

19 Reacuteduire et ordonner suivant les puissances deacutecroissantu de la variable z

2 (z - 3) (z + 3) - 8 (1i z + 1) z (z + 1) (z + 2) - 3 (z - 1)2

20 Ordonnez suivant les puissances deacutecroissantu de la variable x le polynome

p (x) (lt4 x - 9) (S x + 7) - 1 + x

Calculez le plus rapidement possible P (~) et P ( - ~)

Annexe 5c

91

LES INSTRUCTIONS DE JANVIER 1957

a) Observation et expeacuterimentation

Observation et expeacuterimentation sagit-il vraiment daligner les matheacutematiques sur les autres disciplines scientifique

Il nest pas douteux quau deacutepart dans leacutelaboration de toutes les sciences les deacutemarches intellectuelles sont du mecircme ordre une discrimination intervient apregraves lorsque le matheacutematicien ayant creacuteeacute des ecirctres de raison va sefforcer den eacutetudier les proprieacuteteacutes Mais son travail na de valeur profonde que si sa construction toute abstraite quelle soit prend solidement appui sur le reacuteel si elle est capable de le rejoindre et de sy adapter dans une large mesure

Nest-il pas indispensable de faire bien saisir agrave lenfant puis agrave ladolescent les liens eacutetroits qui unissent les matheacutematiques au monde sensible Nest-ce pas lagrave un moyen - lun des meilleurs sans doute - pour mettre en confiance le deacutebutant pour eacuteviter quil ne se sente tregraves vite rebuteacute par une eacutetude ougrave il pourrait ne voir si elle reste priveacutee de toute vraie lumiegravere quune sorte de jonglerie souvent purement verbale et sans signification apparente

Lors des premiegraveres eacutetapes de initiation et de lapprentissage cest par lobservation et lexpeacuterimentation que cette liaison peut ecirctre reacutealiseacutee et rendue eacutevidente Leur rocircle apparaicirct Clairement dans la creacuteations des ecirctres magravetheacutematiques munis de leur deacutefinition complegravete Il nest pas moindre lorsquil sagit de deacutecouvrir certaines de leurs proprieacuteteacutes et agrave cette occasion dacceacuteder aux voies du raisonnement

Lobservation des faits des individus di leur comportement que les eacuteleacutements en cause soient concrets ou abstraits est la premiegravere opeacuteration sensorielle et mentale intervenant dans toute recherche Mais lexpeacuterimentation cest-agrave-dire une observation de pheacutenomegravenes volontairement provoqueacutes dans des conditions deacutetermineacutees davance et non pas imposeacutees de lexteacuterieur se preacutesente naturellement agrave lesprit actif et curieux pomme une espegravece de neacutecessiteacute Bien entendu elle ne porte P8li obligatoirement sur les objets mateacuteriels elle peut ecirctre ou devenir une sorte dexpeacuterimentation figureacutee comportant une seacuterie de gestes imagineacutesmais qui seraient effectivement reacutealisables

La phase essentielle dune telle recherche est bien entendu celle de linterpreacutetation des reacutesultats qui permettra de deacutegager des conclusions elle neacutecessite une analyse qui doit ecirctre conduite avec un soin extregraveme et en matheacutematiques la nature des ecirctres mis en jeu oblige agrave prendre des preacutecaushytions particuliegraveres quil importe de faire comprendre aux deacutebutants Car une expeacuterience quelle quelle soit ne met en jeu que des objets particuliers en nombre limiteacute degraves lors mecircme si elle est reacutepeacuteteacutee plusieurs fois et modifiant quelque donneacutee elle ne reacutevegravele en toute rigueur qun reacutesultat valable dans telle ou telle condition cest lagrave le premier point qui doit ecirctre expliqueacute et acquis Vient alors la critique laquoLes opeacuterations que jai reacutealiseacutees ou que jai imagineacutees sont-elles conditionneacutees ineacutevitablement par les situations et par les eacuteleacutements particuliers sur lesquels jai travailleacute raquo Si oui les conseacutequences obtenues nont de valeur que pour ces situations et pour ces eacuteleacutements si non une nouvelle question se pose ou plutocirct une suite de questions ougrave labstraction devient peu agrave peu dominante (des opeacuterations restent-elles possibles et les reacutesultats restent-ils valables si je modifie certaines donneacutees Ces modifications sont-elles agrave leur tour assujetties agrave quelques restrictions Les reacutesultats restent-ils valables quelles que soient ces modifications raquo Ainsi sorganise une reacuteflexion lente et progressive qui doit accrocher et retenir lattention et donner accegraves aux formes abstraites et geacuteneacuterales propres agrave la penseacutee matheacutematique

Naturellement les types dlaquoexpeacuteriencesraquo de ce genre peuvent ecirctre tregraves varieacutes et il importe pour chacune den bien deacutegager la nature et la porteacutee en sefforccedilant daller au fond des choses Voici pris au hasard quelques exemples bien simples

On a au deacutebut de larithmeacutetique deacutefini le produit dun entier a par un entier b comme

bull bull

92

eacutetant la somme de b nombres eacutegaux agrave a les deux nombres a et b jouent des rocircles diffeacuterents si lon repreacutesente un tel produit par le symbole a X b il ny a aucune raison de penser que a X b puisse ecirctre eacutegal agrave b X a Cependant quelques expeacuteriences simples ne serait-ce que celles qui ont eacuteteacute faites pour construire une table de multiplication montrent que cette eacutegaliteacute a bien lieu quand on effectue les calculs agrave partir de deux nombres effectivement donneacutes Ces constatations mecircme renouveleacutees maintes fois ne permettent nullement daffirmer que le reacutesultat est encore exact avec deux nombres diffeacuterents de ceux que lon a deacutejagrave laquoeacuteprouveacutesraquo On suggegravere alors une autre ideacutee dexpeacuterience revenir agrave lorigine analyser le multiplicande en laquoreacutealisantraquo par quelque moyen la collection duniteacutes quil symbolise puis reacuteunir un nombre de ces collections eacutegal au multiplicateur le nombre duniteacutes ainsi rassembleacutees est eacutegal au produit du multiplicande par le multiplicateur Si toutes ces uniteacutes ont eacuteteacute mises en vrac on ne voit rien de plus on nest pas plus avanceacute que tout agrave lheure les deux nombres jouent toujours des rocircles diffeacuterents Une nouvelle ideacutee doit ecirctre deacutecouverte mettre de lordre dans chacune des collections puis dans le groupe de ces collections la difficulteacute est peut-ecirctre dlaquoinventengt une disposition utilisable telle que la disposition rectangulaire en lignes et en colonnes ensuite la symeacutetrie des rocircles apparaicirct bien vite et lon constatera que pour les deux nombres partishyculiers qui ont servi agrave construire ce scheacutema les produits du premier par le second et du second par le premier sont eacutegaux sans avoir besoin de calculer effectivement ces deux produits Voilagrave une expeacuterience faite est-il utile de la recommencer en changeant les nombres ou la nature des objets repreacutesentant les uniteacutesmiddot Non bien sucircr Alors le reacutesultat obtenu est encore valable pour deux autres nombres Pour deux nombres quelconques Quels que soient les deux nombres Ainsi se deacutegage la proprieacuteteacute geacuteneacuterale qui une fois bien eacutenonceacutee pourra ecirctre repreacutesenteacutee symboliquement par une laquoformuleraquo dont la signification ne risque guegravere decirctre oublieacutee

bull bull bull bull bull bull bull bull 0

Bien entendu lorganisation systeacutematique de travaux manuels conccedilus non comme le preacuteshyapprentissage de tel ou tel meacutetier mais comme une eacuteducation est tout agrave fait souhaitable il est agrave peine utile de mentionner tout le profit que peut tirer leacutelegraveve dune entente et dune collaboration bien comprises entre le professeur de travaux manuels et le professeur de matheacutematiques

Il est bon de rappeler agrave ce propos quelques phrases dHenri Bergson dont les premiegraveres devraient agrave vrai dire servir deacutepigraphe agrave tout essai sur leacuteducation

laquoNous croyons quil est de lessence de lhomme de creacuteer mateacuteriellement et moralement de frabiquer des choses et de se fabriquer soi-mecircme Homo faber telle est la deacutefinition que nous proposons Lhomo sapiens neacute de la reflex ion de lhomo faber sur sa fabrication nous paraicirct tout aussi digne destime tant quil reacutesout par la pure intelligence les problegravemes qui ne deacutependent que delle homo faber homo sapiens devant lun et lautre qui tendent dailleurs agrave se confondre nous nous inclinons Le seul qui nous soit antipathique est lhomo loquax dont la penseacutee quand il pense nest quune reacuteflexion sur sa paroleraquo

laquo- On oublie que lintelligence nest que la faculteacute de manipuler la matiegravere quelle comshymence du moins ainsi - Comment alors lintelligence ne profiterait-elle pas de leacuteducation de la main Allons plus loin La main de lenfant sessaie naturellement agrave construire En ly aidant en lui fournissant au moins des occasions on obtiendrait plus tard de lhomme fait un rendement supeacuterieur on accricirctrait singuliegraverement ce quil y a dinventiviteacute dans le monde Un savoir tout de suite livresque comprime et supprime des activiteacutes qui ne demandent quagrave prendre leur essor Exerccedilons donc lenfant au travail manuel et nabandonnons pas cet enseignement agrave un manœuvre Adressons-nous agrave un vrai maicirctre pour quil perfectionne le toucher au point den faire un tact lintelligence remontera de la main agrave la tecircte -raquo

bull

annexe 6a

93

b) Une didactique euphorique

Les remarques preacuteceacutedentes ont eacutevoqueacute agrave diverses reprises la nature des ecirctres matheacutemashytiques sans doute le caractegravere dabstraction dont ils sont marqueacutes est-il un obstacle susceptible darrecircter ougrave de gecircner les deacutebutants Mais agrave de rares exceptions pregraves il semble bien quun enfant peut normalement saisir les conventions eacuteleacutementaires qui correspondent aux premiers symboles de larithmeacutetique de lalgegravebre et de la geacuteomeacutetrie une initiation prudente doit obtenir ce reacutesul~at

Pourtant les premiegraveres notions acquises lorsquil sagit de manier ces symboles et de mettre en jeu les ideacutees quils repreacutesentent le deacutebutant paraicirct tregraves souvent frappeacute dune sorte de paralysie entravant le progregraves et risquant de conduire agrave leacutechec Sans doute les possibiliteacutes intellectuelles de lenfant - ou de ladulte - jouent-elles un rocircle en cette affaire mais cest lagrave une excuse assez pauvre dune porteacutee limiteacutee et la question doit ecirctre placeacutee sur un autre plan

Se preacuteoccupe-t-on suffisamment degraves les deacutebuts de faire saisir que ces ecirctres de raison que lon a creacuteeacutes sont doueacutes dune vie veacuteritable conditionneacutee seulement par la deacutefinition de leurs proshyprieacuteteacutes fondamentales Ne peut-on essayer de leur garder le plus longtemps possible la fraicheur et la puissance de leur laquoeacutetat naissantraquo Cest dautant plus facile quils possegravedent par leur nature mecircme le privilegravege de pouvoir ecirctre agrave tout instant recreacuteeacutes Ne risque-t-on pas de les eacutetouffer de les desseacutecher de leur faire perdre toute vie par une avalanche de laquoregraveglesraquo et de contraintes dont beaushycoup sont inutiles sinon nuisibles

Pourquoi par exemple eacutenoncer une laquoregravegleraquo - puis en imposer la reacutecitation - concernant la multiplication dun produit de facteurs par un nombre alors que cette opeacuteration si on la rencontre doit ecirctre immeacutediatement reconnue comme tregraves familiegravere puisquon y retrouve sans peine la deacutefinition mecircme que la multiplication de plus de deux nombres Au lieu dattendre et dexiger lapplication dun meacutecanisme dailleurs souvent mal enregistreacute nest-il pas plus inteacuteressant et plus fructueux de faire analyser le symbole (a b c) X d qui possegravede deacutejagrave les proprieacuteteacutes dun produit de deux facteurs et qui une fois identifieacute se trouve muni de toutes les proprieacuteteacutes dun produit de quatre facteurs Cest alors un jeu den deacutecouvrir les diffeacuterentes formes puis sil y a lieu de choisir parmi elles pour

poursuivre une transformation ou un calcul

La theacuteorie eacuteleacutementaire des polynocircmes et des fractions rationnelles ne perdrait-elle pas ce caractegravere dariditeacute quelle a parfois si on montrait agrave loccasion de tous les problegravemes quelle pose quil ne sagit que de la mise en jeu de deacutefinitions de laddition de la multiplication de leurs opeacuterashytions inverses et des proprieacuteteacutes de commutativiteacute dassociativiteacute et de distributiviteacute Lobservation attentive et non passive des symboles et des signes qui interviennent et de leur comportement mettra presque toujours dans la voie dune solution Et les laquoidentiteacutes remarquablesraquo et autres forshymules prendront ainsi naissance dans une amosphegravere vivante qui en assurera sans doute mieux et peut-ecirctre deacutefinitivement la conservation

Toute la theacuteorie des proportions nest-elle pas contenue dans la deacutefinition du quotient exact dun nombre par un autre et ne peut-on lui faire prendre corps agrave partir de lagrave

Bien des mots du langage matheacutematique eacutevoquent la vie et laction variables fonctions correspondantes transformations eacutequations ineacutequations Quon prenne garde de les laquoscleacuteroserraquo de rendre inertes les ecirctres quils repreacutesentent et passifs les actes quils deacutesignent car leur maniement middotIeur mise en œuvre se reacuteduisent alors tregraves vite agrave de fastidieux exercices quun appel agrave la meacutemoire leacute recours agrave quelque automatisme permettront peut-ecirctre de laquoreacutesoudreraquo correctement formellement mais sans quapparaissent un prolongement une vue densemble un veacuteritable motif dinteacuterecirct

La multitude des chapitres ougrave sont traiteacutees des questions relatives au binocircme du premier degreacute et au trinocircme du second degreacute ne serait-elle pas eacuteclaireacutee par une saine lumiegravere si on commenshyccedilait avant tout par laquopreacutesenterraquo ces deux ecirctres qui vont tenir laffiche pendant un long moment (eacutequations ineacutequations variations des fonctions repreacutesentations graphiques laquoproblegraveme du premier

94

et du second degreacutesraquo) Preacutesenter cest-agrave-dire faire vraiment leur connaissance rechercher les diffeacuteshyrentes formes quils peuvent revecirctir pour pouvoir les identifier puis agrave notre greacute les transformer

afin ensuite de pouvoir choisir Ne pourrait-on ainsi reacuteduire agrave neacuteant de facirccheuses accusations souvent formuleacutees laquola trinocircmiteraquo seacutevit laquoon deacutebiteraquo du trinocircme 7

Il est inutile de multiplier les exemples on en trouverait agrave tous les pas en algegravebre en trigonomeacutetrie en geacuteomeacutetrie

annexe 6b

88

EXERCICES

- Effecruer les produits suivants

bull 444(~abc) (- ~abc)

bull 448 (- ~xJI) (+ ~aY)

bull 448 e34

abX) ( - ~ab)

bull 450 ( - ~ JI) (- 4xy)

3 ) ( 5 )bull 452 (SxJI - 4J1 bull

- Calculer les expressions suivantes

3 )bull 454 (~a1JIx) bull 455 - - a1JIy bull 2

bull 457 (- ~a1JIt)middot bull 458 (- ~ax y - Effecruer les produits suivants

bull 458 (~ab - ~ab + ja) (- ~a1JI) bull 480 (~ax -+- ~bx - 4C) (- ~a6t)2 4 3

bull 481 Gax - 3ay - 4by) (4aty) bull 482 (-~t + ~r _ 3x) (_ 20x) 2 4 5 3

bull 483 (2x - 3y)(4x - 2) bull 484 (2a + 3b)(-4a -+- 6b)

bull 4815 (- 4x + 3y + l)(y - 3) bull 488 (- 2a + 3b - 5)(a - b)

bull 487 (2x - 3y + 5) (x - y) bull 488 (4a - 5b +ab)(a - b)bull

bull 488 (5J1 + 3x - 2y)(2x - y) bull 470 (- 3J1 + lx - 2y)(x + 5)

bull 471 (l4ab + 5a - b)(a - 2b) bull 472 (7db - 4b + 2a)(2a + 4b)

bull 473 Soient les polynocircmes A = - 2x + 3x + 5 et B = x - x + 3

10 Calculer le produit AB

20 Veacuterifier pOur x = - 3 en calculant les valeurs numeacuteriques deA B et du proshyduit AB

Annexe 5b

89

MULTIPLICATION DES POLYNOMES 81

bull 474 Soit le polyu6me A xl - 3 + 2shy=0

10 Calculer le carreacute puis le cube de ce polynOme

20 Vampificr pour =0 - 4 en calcu1aDt les valeurs numeacuteriques du polynocircme et des Iuml-eacutesultats trouveacutes

-- Effectuer les produits suivants reacuteduire et ordonncr les reacutesultats

bull 475 (2 - 7)(- 3 + 2) bull 478 (41 + 7 - 21)(X - 2)bull

bull 477 (5 - 2)(3 - 4x0) bull 478 (2 - 7 -- 5)(3 - 5+8)

bull 479 ( - 2 + ~) (4 + 3) bull 480 G - ~ r + 5) (4x - 5x + 7)bull

bull 481 (7x - 2 + 4)(3 - 5) bull 482 (2 - 4)(x - 2)

bull 483 (2 - 4 + 2) (x + 5 - 2) bull 484 ax - 2 + DGx - ~ + r)

- Calculer les expressions suivantes

bull 486 (2 -1- 3)(3 + 2)(x - 4) bull 488 (5x - 1)(2 + 3)(7 + 4)

bull 487 (3 - 1) ( + 1) (x - 1) bull 488 (x -~) (Sr - 1)(5x + 3)

bull 488 (2 + 3 - 4) bull 480 (4x - 7 + 2 + 5)

bull 481 (7 -5) bull 482 ( - + 2)

- Deacutevelopper et reacuteduire les expressions suivantes

bull 483 5(3a - 46) - [9(24 - b) - 2(a - 5b)]

bull 484 34(26 - 1) - [24(5~ - 3) - 26 (3a + 1)]

bull 486 (24 -+- 5b)(3a - 26) - (24 - 1)(3a + 26) - (a - 26)(5b - 1)

bull 488 (2 - 3y)(5x - 2y) - (3 - 2y)(2 + 1) - (5 - y)(3y + 1)

bull 487 (ax - b)(ax - 26) + 3b(4x - b) + b(b - 1)

bull 498 (C - 1)(x - 2)(x - 3) G (cC-- l)(x - 2) 7 (x 1)

bull 498 (XO +- yO)(x - y)( - y) + xy(x + y)

bull 500 ~ry (2 - ~) - 2(2 - 1) + (21 - j) (1 - j) (2x - 1)

Annexe 5b (suite)

90

CHAPITRE 14

Calculez lu roduiu suyanu (exercices 13 agrave 18)

13 2 x (~- S x + ~)

14 (x- 2) (2x + 3) (x~ + x - 1) (2 x - S) (r - 2 x - 3-) (r + 1)

16 (x- 1) (r + x + 1) (x - 1) (r + ~ + x + 1) (x + 1) (x= - x + 1)

17 (x-1) (x- 2) (x + 3) (2 x - 3) (3 x + 1) (x2 + 1) - 2S

(x + 2) (- x + S)

18 (x + 2)= (3 x shy lt4) (3 x + lt4)

19 Reacuteduire et ordonner suivant les puissances deacutecroissantu de la variable z

2 (z - 3) (z + 3) - 8 (1i z + 1) z (z + 1) (z + 2) - 3 (z - 1)2

20 Ordonnez suivant les puissances deacutecroissantu de la variable x le polynome

p (x) (lt4 x - 9) (S x + 7) - 1 + x

Calculez le plus rapidement possible P (~) et P ( - ~)

Annexe 5c

91

LES INSTRUCTIONS DE JANVIER 1957

a) Observation et expeacuterimentation

Observation et expeacuterimentation sagit-il vraiment daligner les matheacutematiques sur les autres disciplines scientifique

Il nest pas douteux quau deacutepart dans leacutelaboration de toutes les sciences les deacutemarches intellectuelles sont du mecircme ordre une discrimination intervient apregraves lorsque le matheacutematicien ayant creacuteeacute des ecirctres de raison va sefforcer den eacutetudier les proprieacuteteacutes Mais son travail na de valeur profonde que si sa construction toute abstraite quelle soit prend solidement appui sur le reacuteel si elle est capable de le rejoindre et de sy adapter dans une large mesure

Nest-il pas indispensable de faire bien saisir agrave lenfant puis agrave ladolescent les liens eacutetroits qui unissent les matheacutematiques au monde sensible Nest-ce pas lagrave un moyen - lun des meilleurs sans doute - pour mettre en confiance le deacutebutant pour eacuteviter quil ne se sente tregraves vite rebuteacute par une eacutetude ougrave il pourrait ne voir si elle reste priveacutee de toute vraie lumiegravere quune sorte de jonglerie souvent purement verbale et sans signification apparente

Lors des premiegraveres eacutetapes de initiation et de lapprentissage cest par lobservation et lexpeacuterimentation que cette liaison peut ecirctre reacutealiseacutee et rendue eacutevidente Leur rocircle apparaicirct Clairement dans la creacuteations des ecirctres magravetheacutematiques munis de leur deacutefinition complegravete Il nest pas moindre lorsquil sagit de deacutecouvrir certaines de leurs proprieacuteteacutes et agrave cette occasion dacceacuteder aux voies du raisonnement

Lobservation des faits des individus di leur comportement que les eacuteleacutements en cause soient concrets ou abstraits est la premiegravere opeacuteration sensorielle et mentale intervenant dans toute recherche Mais lexpeacuterimentation cest-agrave-dire une observation de pheacutenomegravenes volontairement provoqueacutes dans des conditions deacutetermineacutees davance et non pas imposeacutees de lexteacuterieur se preacutesente naturellement agrave lesprit actif et curieux pomme une espegravece de neacutecessiteacute Bien entendu elle ne porte P8li obligatoirement sur les objets mateacuteriels elle peut ecirctre ou devenir une sorte dexpeacuterimentation figureacutee comportant une seacuterie de gestes imagineacutesmais qui seraient effectivement reacutealisables

La phase essentielle dune telle recherche est bien entendu celle de linterpreacutetation des reacutesultats qui permettra de deacutegager des conclusions elle neacutecessite une analyse qui doit ecirctre conduite avec un soin extregraveme et en matheacutematiques la nature des ecirctres mis en jeu oblige agrave prendre des preacutecaushytions particuliegraveres quil importe de faire comprendre aux deacutebutants Car une expeacuterience quelle quelle soit ne met en jeu que des objets particuliers en nombre limiteacute degraves lors mecircme si elle est reacutepeacuteteacutee plusieurs fois et modifiant quelque donneacutee elle ne reacutevegravele en toute rigueur qun reacutesultat valable dans telle ou telle condition cest lagrave le premier point qui doit ecirctre expliqueacute et acquis Vient alors la critique laquoLes opeacuterations que jai reacutealiseacutees ou que jai imagineacutees sont-elles conditionneacutees ineacutevitablement par les situations et par les eacuteleacutements particuliers sur lesquels jai travailleacute raquo Si oui les conseacutequences obtenues nont de valeur que pour ces situations et pour ces eacuteleacutements si non une nouvelle question se pose ou plutocirct une suite de questions ougrave labstraction devient peu agrave peu dominante (des opeacuterations restent-elles possibles et les reacutesultats restent-ils valables si je modifie certaines donneacutees Ces modifications sont-elles agrave leur tour assujetties agrave quelques restrictions Les reacutesultats restent-ils valables quelles que soient ces modifications raquo Ainsi sorganise une reacuteflexion lente et progressive qui doit accrocher et retenir lattention et donner accegraves aux formes abstraites et geacuteneacuterales propres agrave la penseacutee matheacutematique

Naturellement les types dlaquoexpeacuteriencesraquo de ce genre peuvent ecirctre tregraves varieacutes et il importe pour chacune den bien deacutegager la nature et la porteacutee en sefforccedilant daller au fond des choses Voici pris au hasard quelques exemples bien simples

On a au deacutebut de larithmeacutetique deacutefini le produit dun entier a par un entier b comme

bull bull

92

eacutetant la somme de b nombres eacutegaux agrave a les deux nombres a et b jouent des rocircles diffeacuterents si lon repreacutesente un tel produit par le symbole a X b il ny a aucune raison de penser que a X b puisse ecirctre eacutegal agrave b X a Cependant quelques expeacuteriences simples ne serait-ce que celles qui ont eacuteteacute faites pour construire une table de multiplication montrent que cette eacutegaliteacute a bien lieu quand on effectue les calculs agrave partir de deux nombres effectivement donneacutes Ces constatations mecircme renouveleacutees maintes fois ne permettent nullement daffirmer que le reacutesultat est encore exact avec deux nombres diffeacuterents de ceux que lon a deacutejagrave laquoeacuteprouveacutesraquo On suggegravere alors une autre ideacutee dexpeacuterience revenir agrave lorigine analyser le multiplicande en laquoreacutealisantraquo par quelque moyen la collection duniteacutes quil symbolise puis reacuteunir un nombre de ces collections eacutegal au multiplicateur le nombre duniteacutes ainsi rassembleacutees est eacutegal au produit du multiplicande par le multiplicateur Si toutes ces uniteacutes ont eacuteteacute mises en vrac on ne voit rien de plus on nest pas plus avanceacute que tout agrave lheure les deux nombres jouent toujours des rocircles diffeacuterents Une nouvelle ideacutee doit ecirctre deacutecouverte mettre de lordre dans chacune des collections puis dans le groupe de ces collections la difficulteacute est peut-ecirctre dlaquoinventengt une disposition utilisable telle que la disposition rectangulaire en lignes et en colonnes ensuite la symeacutetrie des rocircles apparaicirct bien vite et lon constatera que pour les deux nombres partishyculiers qui ont servi agrave construire ce scheacutema les produits du premier par le second et du second par le premier sont eacutegaux sans avoir besoin de calculer effectivement ces deux produits Voilagrave une expeacuterience faite est-il utile de la recommencer en changeant les nombres ou la nature des objets repreacutesentant les uniteacutesmiddot Non bien sucircr Alors le reacutesultat obtenu est encore valable pour deux autres nombres Pour deux nombres quelconques Quels que soient les deux nombres Ainsi se deacutegage la proprieacuteteacute geacuteneacuterale qui une fois bien eacutenonceacutee pourra ecirctre repreacutesenteacutee symboliquement par une laquoformuleraquo dont la signification ne risque guegravere decirctre oublieacutee

bull bull bull bull bull bull bull bull 0

Bien entendu lorganisation systeacutematique de travaux manuels conccedilus non comme le preacuteshyapprentissage de tel ou tel meacutetier mais comme une eacuteducation est tout agrave fait souhaitable il est agrave peine utile de mentionner tout le profit que peut tirer leacutelegraveve dune entente et dune collaboration bien comprises entre le professeur de travaux manuels et le professeur de matheacutematiques

Il est bon de rappeler agrave ce propos quelques phrases dHenri Bergson dont les premiegraveres devraient agrave vrai dire servir deacutepigraphe agrave tout essai sur leacuteducation

laquoNous croyons quil est de lessence de lhomme de creacuteer mateacuteriellement et moralement de frabiquer des choses et de se fabriquer soi-mecircme Homo faber telle est la deacutefinition que nous proposons Lhomo sapiens neacute de la reflex ion de lhomo faber sur sa fabrication nous paraicirct tout aussi digne destime tant quil reacutesout par la pure intelligence les problegravemes qui ne deacutependent que delle homo faber homo sapiens devant lun et lautre qui tendent dailleurs agrave se confondre nous nous inclinons Le seul qui nous soit antipathique est lhomo loquax dont la penseacutee quand il pense nest quune reacuteflexion sur sa paroleraquo

laquo- On oublie que lintelligence nest que la faculteacute de manipuler la matiegravere quelle comshymence du moins ainsi - Comment alors lintelligence ne profiterait-elle pas de leacuteducation de la main Allons plus loin La main de lenfant sessaie naturellement agrave construire En ly aidant en lui fournissant au moins des occasions on obtiendrait plus tard de lhomme fait un rendement supeacuterieur on accricirctrait singuliegraverement ce quil y a dinventiviteacute dans le monde Un savoir tout de suite livresque comprime et supprime des activiteacutes qui ne demandent quagrave prendre leur essor Exerccedilons donc lenfant au travail manuel et nabandonnons pas cet enseignement agrave un manœuvre Adressons-nous agrave un vrai maicirctre pour quil perfectionne le toucher au point den faire un tact lintelligence remontera de la main agrave la tecircte -raquo

bull

annexe 6a

93

b) Une didactique euphorique

Les remarques preacuteceacutedentes ont eacutevoqueacute agrave diverses reprises la nature des ecirctres matheacutemashytiques sans doute le caractegravere dabstraction dont ils sont marqueacutes est-il un obstacle susceptible darrecircter ougrave de gecircner les deacutebutants Mais agrave de rares exceptions pregraves il semble bien quun enfant peut normalement saisir les conventions eacuteleacutementaires qui correspondent aux premiers symboles de larithmeacutetique de lalgegravebre et de la geacuteomeacutetrie une initiation prudente doit obtenir ce reacutesul~at

Pourtant les premiegraveres notions acquises lorsquil sagit de manier ces symboles et de mettre en jeu les ideacutees quils repreacutesentent le deacutebutant paraicirct tregraves souvent frappeacute dune sorte de paralysie entravant le progregraves et risquant de conduire agrave leacutechec Sans doute les possibiliteacutes intellectuelles de lenfant - ou de ladulte - jouent-elles un rocircle en cette affaire mais cest lagrave une excuse assez pauvre dune porteacutee limiteacutee et la question doit ecirctre placeacutee sur un autre plan

Se preacuteoccupe-t-on suffisamment degraves les deacutebuts de faire saisir que ces ecirctres de raison que lon a creacuteeacutes sont doueacutes dune vie veacuteritable conditionneacutee seulement par la deacutefinition de leurs proshyprieacuteteacutes fondamentales Ne peut-on essayer de leur garder le plus longtemps possible la fraicheur et la puissance de leur laquoeacutetat naissantraquo Cest dautant plus facile quils possegravedent par leur nature mecircme le privilegravege de pouvoir ecirctre agrave tout instant recreacuteeacutes Ne risque-t-on pas de les eacutetouffer de les desseacutecher de leur faire perdre toute vie par une avalanche de laquoregraveglesraquo et de contraintes dont beaushycoup sont inutiles sinon nuisibles

Pourquoi par exemple eacutenoncer une laquoregravegleraquo - puis en imposer la reacutecitation - concernant la multiplication dun produit de facteurs par un nombre alors que cette opeacuteration si on la rencontre doit ecirctre immeacutediatement reconnue comme tregraves familiegravere puisquon y retrouve sans peine la deacutefinition mecircme que la multiplication de plus de deux nombres Au lieu dattendre et dexiger lapplication dun meacutecanisme dailleurs souvent mal enregistreacute nest-il pas plus inteacuteressant et plus fructueux de faire analyser le symbole (a b c) X d qui possegravede deacutejagrave les proprieacuteteacutes dun produit de deux facteurs et qui une fois identifieacute se trouve muni de toutes les proprieacuteteacutes dun produit de quatre facteurs Cest alors un jeu den deacutecouvrir les diffeacuterentes formes puis sil y a lieu de choisir parmi elles pour

poursuivre une transformation ou un calcul

La theacuteorie eacuteleacutementaire des polynocircmes et des fractions rationnelles ne perdrait-elle pas ce caractegravere dariditeacute quelle a parfois si on montrait agrave loccasion de tous les problegravemes quelle pose quil ne sagit que de la mise en jeu de deacutefinitions de laddition de la multiplication de leurs opeacuterashytions inverses et des proprieacuteteacutes de commutativiteacute dassociativiteacute et de distributiviteacute Lobservation attentive et non passive des symboles et des signes qui interviennent et de leur comportement mettra presque toujours dans la voie dune solution Et les laquoidentiteacutes remarquablesraquo et autres forshymules prendront ainsi naissance dans une amosphegravere vivante qui en assurera sans doute mieux et peut-ecirctre deacutefinitivement la conservation

Toute la theacuteorie des proportions nest-elle pas contenue dans la deacutefinition du quotient exact dun nombre par un autre et ne peut-on lui faire prendre corps agrave partir de lagrave

Bien des mots du langage matheacutematique eacutevoquent la vie et laction variables fonctions correspondantes transformations eacutequations ineacutequations Quon prenne garde de les laquoscleacuteroserraquo de rendre inertes les ecirctres quils repreacutesentent et passifs les actes quils deacutesignent car leur maniement middotIeur mise en œuvre se reacuteduisent alors tregraves vite agrave de fastidieux exercices quun appel agrave la meacutemoire leacute recours agrave quelque automatisme permettront peut-ecirctre de laquoreacutesoudreraquo correctement formellement mais sans quapparaissent un prolongement une vue densemble un veacuteritable motif dinteacuterecirct

La multitude des chapitres ougrave sont traiteacutees des questions relatives au binocircme du premier degreacute et au trinocircme du second degreacute ne serait-elle pas eacuteclaireacutee par une saine lumiegravere si on commenshyccedilait avant tout par laquopreacutesenterraquo ces deux ecirctres qui vont tenir laffiche pendant un long moment (eacutequations ineacutequations variations des fonctions repreacutesentations graphiques laquoproblegraveme du premier

94

et du second degreacutesraquo) Preacutesenter cest-agrave-dire faire vraiment leur connaissance rechercher les diffeacuteshyrentes formes quils peuvent revecirctir pour pouvoir les identifier puis agrave notre greacute les transformer

afin ensuite de pouvoir choisir Ne pourrait-on ainsi reacuteduire agrave neacuteant de facirccheuses accusations souvent formuleacutees laquola trinocircmiteraquo seacutevit laquoon deacutebiteraquo du trinocircme 7

Il est inutile de multiplier les exemples on en trouverait agrave tous les pas en algegravebre en trigonomeacutetrie en geacuteomeacutetrie

annexe 6b

89

MULTIPLICATION DES POLYNOMES 81

bull 474 Soit le polyu6me A xl - 3 + 2shy=0

10 Calculer le carreacute puis le cube de ce polynOme

20 Vampificr pour =0 - 4 en calcu1aDt les valeurs numeacuteriques du polynocircme et des Iuml-eacutesultats trouveacutes

-- Effectuer les produits suivants reacuteduire et ordonncr les reacutesultats

bull 475 (2 - 7)(- 3 + 2) bull 478 (41 + 7 - 21)(X - 2)bull

bull 477 (5 - 2)(3 - 4x0) bull 478 (2 - 7 -- 5)(3 - 5+8)

bull 479 ( - 2 + ~) (4 + 3) bull 480 G - ~ r + 5) (4x - 5x + 7)bull

bull 481 (7x - 2 + 4)(3 - 5) bull 482 (2 - 4)(x - 2)

bull 483 (2 - 4 + 2) (x + 5 - 2) bull 484 ax - 2 + DGx - ~ + r)

- Calculer les expressions suivantes

bull 486 (2 -1- 3)(3 + 2)(x - 4) bull 488 (5x - 1)(2 + 3)(7 + 4)

bull 487 (3 - 1) ( + 1) (x - 1) bull 488 (x -~) (Sr - 1)(5x + 3)

bull 488 (2 + 3 - 4) bull 480 (4x - 7 + 2 + 5)

bull 481 (7 -5) bull 482 ( - + 2)

- Deacutevelopper et reacuteduire les expressions suivantes

bull 483 5(3a - 46) - [9(24 - b) - 2(a - 5b)]

bull 484 34(26 - 1) - [24(5~ - 3) - 26 (3a + 1)]

bull 486 (24 -+- 5b)(3a - 26) - (24 - 1)(3a + 26) - (a - 26)(5b - 1)

bull 488 (2 - 3y)(5x - 2y) - (3 - 2y)(2 + 1) - (5 - y)(3y + 1)

bull 487 (ax - b)(ax - 26) + 3b(4x - b) + b(b - 1)

bull 498 (C - 1)(x - 2)(x - 3) G (cC-- l)(x - 2) 7 (x 1)

bull 498 (XO +- yO)(x - y)( - y) + xy(x + y)

bull 500 ~ry (2 - ~) - 2(2 - 1) + (21 - j) (1 - j) (2x - 1)

Annexe 5b (suite)

90

CHAPITRE 14

Calculez lu roduiu suyanu (exercices 13 agrave 18)

13 2 x (~- S x + ~)

14 (x- 2) (2x + 3) (x~ + x - 1) (2 x - S) (r - 2 x - 3-) (r + 1)

16 (x- 1) (r + x + 1) (x - 1) (r + ~ + x + 1) (x + 1) (x= - x + 1)

17 (x-1) (x- 2) (x + 3) (2 x - 3) (3 x + 1) (x2 + 1) - 2S

(x + 2) (- x + S)

18 (x + 2)= (3 x shy lt4) (3 x + lt4)

19 Reacuteduire et ordonner suivant les puissances deacutecroissantu de la variable z

2 (z - 3) (z + 3) - 8 (1i z + 1) z (z + 1) (z + 2) - 3 (z - 1)2

20 Ordonnez suivant les puissances deacutecroissantu de la variable x le polynome

p (x) (lt4 x - 9) (S x + 7) - 1 + x

Calculez le plus rapidement possible P (~) et P ( - ~)

Annexe 5c

91

LES INSTRUCTIONS DE JANVIER 1957

a) Observation et expeacuterimentation

Observation et expeacuterimentation sagit-il vraiment daligner les matheacutematiques sur les autres disciplines scientifique

Il nest pas douteux quau deacutepart dans leacutelaboration de toutes les sciences les deacutemarches intellectuelles sont du mecircme ordre une discrimination intervient apregraves lorsque le matheacutematicien ayant creacuteeacute des ecirctres de raison va sefforcer den eacutetudier les proprieacuteteacutes Mais son travail na de valeur profonde que si sa construction toute abstraite quelle soit prend solidement appui sur le reacuteel si elle est capable de le rejoindre et de sy adapter dans une large mesure

Nest-il pas indispensable de faire bien saisir agrave lenfant puis agrave ladolescent les liens eacutetroits qui unissent les matheacutematiques au monde sensible Nest-ce pas lagrave un moyen - lun des meilleurs sans doute - pour mettre en confiance le deacutebutant pour eacuteviter quil ne se sente tregraves vite rebuteacute par une eacutetude ougrave il pourrait ne voir si elle reste priveacutee de toute vraie lumiegravere quune sorte de jonglerie souvent purement verbale et sans signification apparente

Lors des premiegraveres eacutetapes de initiation et de lapprentissage cest par lobservation et lexpeacuterimentation que cette liaison peut ecirctre reacutealiseacutee et rendue eacutevidente Leur rocircle apparaicirct Clairement dans la creacuteations des ecirctres magravetheacutematiques munis de leur deacutefinition complegravete Il nest pas moindre lorsquil sagit de deacutecouvrir certaines de leurs proprieacuteteacutes et agrave cette occasion dacceacuteder aux voies du raisonnement

Lobservation des faits des individus di leur comportement que les eacuteleacutements en cause soient concrets ou abstraits est la premiegravere opeacuteration sensorielle et mentale intervenant dans toute recherche Mais lexpeacuterimentation cest-agrave-dire une observation de pheacutenomegravenes volontairement provoqueacutes dans des conditions deacutetermineacutees davance et non pas imposeacutees de lexteacuterieur se preacutesente naturellement agrave lesprit actif et curieux pomme une espegravece de neacutecessiteacute Bien entendu elle ne porte P8li obligatoirement sur les objets mateacuteriels elle peut ecirctre ou devenir une sorte dexpeacuterimentation figureacutee comportant une seacuterie de gestes imagineacutesmais qui seraient effectivement reacutealisables

La phase essentielle dune telle recherche est bien entendu celle de linterpreacutetation des reacutesultats qui permettra de deacutegager des conclusions elle neacutecessite une analyse qui doit ecirctre conduite avec un soin extregraveme et en matheacutematiques la nature des ecirctres mis en jeu oblige agrave prendre des preacutecaushytions particuliegraveres quil importe de faire comprendre aux deacutebutants Car une expeacuterience quelle quelle soit ne met en jeu que des objets particuliers en nombre limiteacute degraves lors mecircme si elle est reacutepeacuteteacutee plusieurs fois et modifiant quelque donneacutee elle ne reacutevegravele en toute rigueur qun reacutesultat valable dans telle ou telle condition cest lagrave le premier point qui doit ecirctre expliqueacute et acquis Vient alors la critique laquoLes opeacuterations que jai reacutealiseacutees ou que jai imagineacutees sont-elles conditionneacutees ineacutevitablement par les situations et par les eacuteleacutements particuliers sur lesquels jai travailleacute raquo Si oui les conseacutequences obtenues nont de valeur que pour ces situations et pour ces eacuteleacutements si non une nouvelle question se pose ou plutocirct une suite de questions ougrave labstraction devient peu agrave peu dominante (des opeacuterations restent-elles possibles et les reacutesultats restent-ils valables si je modifie certaines donneacutees Ces modifications sont-elles agrave leur tour assujetties agrave quelques restrictions Les reacutesultats restent-ils valables quelles que soient ces modifications raquo Ainsi sorganise une reacuteflexion lente et progressive qui doit accrocher et retenir lattention et donner accegraves aux formes abstraites et geacuteneacuterales propres agrave la penseacutee matheacutematique

Naturellement les types dlaquoexpeacuteriencesraquo de ce genre peuvent ecirctre tregraves varieacutes et il importe pour chacune den bien deacutegager la nature et la porteacutee en sefforccedilant daller au fond des choses Voici pris au hasard quelques exemples bien simples

On a au deacutebut de larithmeacutetique deacutefini le produit dun entier a par un entier b comme

bull bull

92

eacutetant la somme de b nombres eacutegaux agrave a les deux nombres a et b jouent des rocircles diffeacuterents si lon repreacutesente un tel produit par le symbole a X b il ny a aucune raison de penser que a X b puisse ecirctre eacutegal agrave b X a Cependant quelques expeacuteriences simples ne serait-ce que celles qui ont eacuteteacute faites pour construire une table de multiplication montrent que cette eacutegaliteacute a bien lieu quand on effectue les calculs agrave partir de deux nombres effectivement donneacutes Ces constatations mecircme renouveleacutees maintes fois ne permettent nullement daffirmer que le reacutesultat est encore exact avec deux nombres diffeacuterents de ceux que lon a deacutejagrave laquoeacuteprouveacutesraquo On suggegravere alors une autre ideacutee dexpeacuterience revenir agrave lorigine analyser le multiplicande en laquoreacutealisantraquo par quelque moyen la collection duniteacutes quil symbolise puis reacuteunir un nombre de ces collections eacutegal au multiplicateur le nombre duniteacutes ainsi rassembleacutees est eacutegal au produit du multiplicande par le multiplicateur Si toutes ces uniteacutes ont eacuteteacute mises en vrac on ne voit rien de plus on nest pas plus avanceacute que tout agrave lheure les deux nombres jouent toujours des rocircles diffeacuterents Une nouvelle ideacutee doit ecirctre deacutecouverte mettre de lordre dans chacune des collections puis dans le groupe de ces collections la difficulteacute est peut-ecirctre dlaquoinventengt une disposition utilisable telle que la disposition rectangulaire en lignes et en colonnes ensuite la symeacutetrie des rocircles apparaicirct bien vite et lon constatera que pour les deux nombres partishyculiers qui ont servi agrave construire ce scheacutema les produits du premier par le second et du second par le premier sont eacutegaux sans avoir besoin de calculer effectivement ces deux produits Voilagrave une expeacuterience faite est-il utile de la recommencer en changeant les nombres ou la nature des objets repreacutesentant les uniteacutesmiddot Non bien sucircr Alors le reacutesultat obtenu est encore valable pour deux autres nombres Pour deux nombres quelconques Quels que soient les deux nombres Ainsi se deacutegage la proprieacuteteacute geacuteneacuterale qui une fois bien eacutenonceacutee pourra ecirctre repreacutesenteacutee symboliquement par une laquoformuleraquo dont la signification ne risque guegravere decirctre oublieacutee

bull bull bull bull bull bull bull bull 0

Bien entendu lorganisation systeacutematique de travaux manuels conccedilus non comme le preacuteshyapprentissage de tel ou tel meacutetier mais comme une eacuteducation est tout agrave fait souhaitable il est agrave peine utile de mentionner tout le profit que peut tirer leacutelegraveve dune entente et dune collaboration bien comprises entre le professeur de travaux manuels et le professeur de matheacutematiques

Il est bon de rappeler agrave ce propos quelques phrases dHenri Bergson dont les premiegraveres devraient agrave vrai dire servir deacutepigraphe agrave tout essai sur leacuteducation

laquoNous croyons quil est de lessence de lhomme de creacuteer mateacuteriellement et moralement de frabiquer des choses et de se fabriquer soi-mecircme Homo faber telle est la deacutefinition que nous proposons Lhomo sapiens neacute de la reflex ion de lhomo faber sur sa fabrication nous paraicirct tout aussi digne destime tant quil reacutesout par la pure intelligence les problegravemes qui ne deacutependent que delle homo faber homo sapiens devant lun et lautre qui tendent dailleurs agrave se confondre nous nous inclinons Le seul qui nous soit antipathique est lhomo loquax dont la penseacutee quand il pense nest quune reacuteflexion sur sa paroleraquo

laquo- On oublie que lintelligence nest que la faculteacute de manipuler la matiegravere quelle comshymence du moins ainsi - Comment alors lintelligence ne profiterait-elle pas de leacuteducation de la main Allons plus loin La main de lenfant sessaie naturellement agrave construire En ly aidant en lui fournissant au moins des occasions on obtiendrait plus tard de lhomme fait un rendement supeacuterieur on accricirctrait singuliegraverement ce quil y a dinventiviteacute dans le monde Un savoir tout de suite livresque comprime et supprime des activiteacutes qui ne demandent quagrave prendre leur essor Exerccedilons donc lenfant au travail manuel et nabandonnons pas cet enseignement agrave un manœuvre Adressons-nous agrave un vrai maicirctre pour quil perfectionne le toucher au point den faire un tact lintelligence remontera de la main agrave la tecircte -raquo

bull

annexe 6a

93

b) Une didactique euphorique

Les remarques preacuteceacutedentes ont eacutevoqueacute agrave diverses reprises la nature des ecirctres matheacutemashytiques sans doute le caractegravere dabstraction dont ils sont marqueacutes est-il un obstacle susceptible darrecircter ougrave de gecircner les deacutebutants Mais agrave de rares exceptions pregraves il semble bien quun enfant peut normalement saisir les conventions eacuteleacutementaires qui correspondent aux premiers symboles de larithmeacutetique de lalgegravebre et de la geacuteomeacutetrie une initiation prudente doit obtenir ce reacutesul~at

Pourtant les premiegraveres notions acquises lorsquil sagit de manier ces symboles et de mettre en jeu les ideacutees quils repreacutesentent le deacutebutant paraicirct tregraves souvent frappeacute dune sorte de paralysie entravant le progregraves et risquant de conduire agrave leacutechec Sans doute les possibiliteacutes intellectuelles de lenfant - ou de ladulte - jouent-elles un rocircle en cette affaire mais cest lagrave une excuse assez pauvre dune porteacutee limiteacutee et la question doit ecirctre placeacutee sur un autre plan

Se preacuteoccupe-t-on suffisamment degraves les deacutebuts de faire saisir que ces ecirctres de raison que lon a creacuteeacutes sont doueacutes dune vie veacuteritable conditionneacutee seulement par la deacutefinition de leurs proshyprieacuteteacutes fondamentales Ne peut-on essayer de leur garder le plus longtemps possible la fraicheur et la puissance de leur laquoeacutetat naissantraquo Cest dautant plus facile quils possegravedent par leur nature mecircme le privilegravege de pouvoir ecirctre agrave tout instant recreacuteeacutes Ne risque-t-on pas de les eacutetouffer de les desseacutecher de leur faire perdre toute vie par une avalanche de laquoregraveglesraquo et de contraintes dont beaushycoup sont inutiles sinon nuisibles

Pourquoi par exemple eacutenoncer une laquoregravegleraquo - puis en imposer la reacutecitation - concernant la multiplication dun produit de facteurs par un nombre alors que cette opeacuteration si on la rencontre doit ecirctre immeacutediatement reconnue comme tregraves familiegravere puisquon y retrouve sans peine la deacutefinition mecircme que la multiplication de plus de deux nombres Au lieu dattendre et dexiger lapplication dun meacutecanisme dailleurs souvent mal enregistreacute nest-il pas plus inteacuteressant et plus fructueux de faire analyser le symbole (a b c) X d qui possegravede deacutejagrave les proprieacuteteacutes dun produit de deux facteurs et qui une fois identifieacute se trouve muni de toutes les proprieacuteteacutes dun produit de quatre facteurs Cest alors un jeu den deacutecouvrir les diffeacuterentes formes puis sil y a lieu de choisir parmi elles pour

poursuivre une transformation ou un calcul

La theacuteorie eacuteleacutementaire des polynocircmes et des fractions rationnelles ne perdrait-elle pas ce caractegravere dariditeacute quelle a parfois si on montrait agrave loccasion de tous les problegravemes quelle pose quil ne sagit que de la mise en jeu de deacutefinitions de laddition de la multiplication de leurs opeacuterashytions inverses et des proprieacuteteacutes de commutativiteacute dassociativiteacute et de distributiviteacute Lobservation attentive et non passive des symboles et des signes qui interviennent et de leur comportement mettra presque toujours dans la voie dune solution Et les laquoidentiteacutes remarquablesraquo et autres forshymules prendront ainsi naissance dans une amosphegravere vivante qui en assurera sans doute mieux et peut-ecirctre deacutefinitivement la conservation

Toute la theacuteorie des proportions nest-elle pas contenue dans la deacutefinition du quotient exact dun nombre par un autre et ne peut-on lui faire prendre corps agrave partir de lagrave

Bien des mots du langage matheacutematique eacutevoquent la vie et laction variables fonctions correspondantes transformations eacutequations ineacutequations Quon prenne garde de les laquoscleacuteroserraquo de rendre inertes les ecirctres quils repreacutesentent et passifs les actes quils deacutesignent car leur maniement middotIeur mise en œuvre se reacuteduisent alors tregraves vite agrave de fastidieux exercices quun appel agrave la meacutemoire leacute recours agrave quelque automatisme permettront peut-ecirctre de laquoreacutesoudreraquo correctement formellement mais sans quapparaissent un prolongement une vue densemble un veacuteritable motif dinteacuterecirct

La multitude des chapitres ougrave sont traiteacutees des questions relatives au binocircme du premier degreacute et au trinocircme du second degreacute ne serait-elle pas eacuteclaireacutee par une saine lumiegravere si on commenshyccedilait avant tout par laquopreacutesenterraquo ces deux ecirctres qui vont tenir laffiche pendant un long moment (eacutequations ineacutequations variations des fonctions repreacutesentations graphiques laquoproblegraveme du premier

94

et du second degreacutesraquo) Preacutesenter cest-agrave-dire faire vraiment leur connaissance rechercher les diffeacuteshyrentes formes quils peuvent revecirctir pour pouvoir les identifier puis agrave notre greacute les transformer

afin ensuite de pouvoir choisir Ne pourrait-on ainsi reacuteduire agrave neacuteant de facirccheuses accusations souvent formuleacutees laquola trinocircmiteraquo seacutevit laquoon deacutebiteraquo du trinocircme 7

Il est inutile de multiplier les exemples on en trouverait agrave tous les pas en algegravebre en trigonomeacutetrie en geacuteomeacutetrie

annexe 6b

90

CHAPITRE 14

Calculez lu roduiu suyanu (exercices 13 agrave 18)

13 2 x (~- S x + ~)

14 (x- 2) (2x + 3) (x~ + x - 1) (2 x - S) (r - 2 x - 3-) (r + 1)

16 (x- 1) (r + x + 1) (x - 1) (r + ~ + x + 1) (x + 1) (x= - x + 1)

17 (x-1) (x- 2) (x + 3) (2 x - 3) (3 x + 1) (x2 + 1) - 2S

(x + 2) (- x + S)

18 (x + 2)= (3 x shy lt4) (3 x + lt4)

19 Reacuteduire et ordonner suivant les puissances deacutecroissantu de la variable z

2 (z - 3) (z + 3) - 8 (1i z + 1) z (z + 1) (z + 2) - 3 (z - 1)2

20 Ordonnez suivant les puissances deacutecroissantu de la variable x le polynome

p (x) (lt4 x - 9) (S x + 7) - 1 + x

Calculez le plus rapidement possible P (~) et P ( - ~)

Annexe 5c

91

LES INSTRUCTIONS DE JANVIER 1957

a) Observation et expeacuterimentation

Observation et expeacuterimentation sagit-il vraiment daligner les matheacutematiques sur les autres disciplines scientifique

Il nest pas douteux quau deacutepart dans leacutelaboration de toutes les sciences les deacutemarches intellectuelles sont du mecircme ordre une discrimination intervient apregraves lorsque le matheacutematicien ayant creacuteeacute des ecirctres de raison va sefforcer den eacutetudier les proprieacuteteacutes Mais son travail na de valeur profonde que si sa construction toute abstraite quelle soit prend solidement appui sur le reacuteel si elle est capable de le rejoindre et de sy adapter dans une large mesure

Nest-il pas indispensable de faire bien saisir agrave lenfant puis agrave ladolescent les liens eacutetroits qui unissent les matheacutematiques au monde sensible Nest-ce pas lagrave un moyen - lun des meilleurs sans doute - pour mettre en confiance le deacutebutant pour eacuteviter quil ne se sente tregraves vite rebuteacute par une eacutetude ougrave il pourrait ne voir si elle reste priveacutee de toute vraie lumiegravere quune sorte de jonglerie souvent purement verbale et sans signification apparente

Lors des premiegraveres eacutetapes de initiation et de lapprentissage cest par lobservation et lexpeacuterimentation que cette liaison peut ecirctre reacutealiseacutee et rendue eacutevidente Leur rocircle apparaicirct Clairement dans la creacuteations des ecirctres magravetheacutematiques munis de leur deacutefinition complegravete Il nest pas moindre lorsquil sagit de deacutecouvrir certaines de leurs proprieacuteteacutes et agrave cette occasion dacceacuteder aux voies du raisonnement

Lobservation des faits des individus di leur comportement que les eacuteleacutements en cause soient concrets ou abstraits est la premiegravere opeacuteration sensorielle et mentale intervenant dans toute recherche Mais lexpeacuterimentation cest-agrave-dire une observation de pheacutenomegravenes volontairement provoqueacutes dans des conditions deacutetermineacutees davance et non pas imposeacutees de lexteacuterieur se preacutesente naturellement agrave lesprit actif et curieux pomme une espegravece de neacutecessiteacute Bien entendu elle ne porte P8li obligatoirement sur les objets mateacuteriels elle peut ecirctre ou devenir une sorte dexpeacuterimentation figureacutee comportant une seacuterie de gestes imagineacutesmais qui seraient effectivement reacutealisables

La phase essentielle dune telle recherche est bien entendu celle de linterpreacutetation des reacutesultats qui permettra de deacutegager des conclusions elle neacutecessite une analyse qui doit ecirctre conduite avec un soin extregraveme et en matheacutematiques la nature des ecirctres mis en jeu oblige agrave prendre des preacutecaushytions particuliegraveres quil importe de faire comprendre aux deacutebutants Car une expeacuterience quelle quelle soit ne met en jeu que des objets particuliers en nombre limiteacute degraves lors mecircme si elle est reacutepeacuteteacutee plusieurs fois et modifiant quelque donneacutee elle ne reacutevegravele en toute rigueur qun reacutesultat valable dans telle ou telle condition cest lagrave le premier point qui doit ecirctre expliqueacute et acquis Vient alors la critique laquoLes opeacuterations que jai reacutealiseacutees ou que jai imagineacutees sont-elles conditionneacutees ineacutevitablement par les situations et par les eacuteleacutements particuliers sur lesquels jai travailleacute raquo Si oui les conseacutequences obtenues nont de valeur que pour ces situations et pour ces eacuteleacutements si non une nouvelle question se pose ou plutocirct une suite de questions ougrave labstraction devient peu agrave peu dominante (des opeacuterations restent-elles possibles et les reacutesultats restent-ils valables si je modifie certaines donneacutees Ces modifications sont-elles agrave leur tour assujetties agrave quelques restrictions Les reacutesultats restent-ils valables quelles que soient ces modifications raquo Ainsi sorganise une reacuteflexion lente et progressive qui doit accrocher et retenir lattention et donner accegraves aux formes abstraites et geacuteneacuterales propres agrave la penseacutee matheacutematique

Naturellement les types dlaquoexpeacuteriencesraquo de ce genre peuvent ecirctre tregraves varieacutes et il importe pour chacune den bien deacutegager la nature et la porteacutee en sefforccedilant daller au fond des choses Voici pris au hasard quelques exemples bien simples

On a au deacutebut de larithmeacutetique deacutefini le produit dun entier a par un entier b comme

bull bull

92

eacutetant la somme de b nombres eacutegaux agrave a les deux nombres a et b jouent des rocircles diffeacuterents si lon repreacutesente un tel produit par le symbole a X b il ny a aucune raison de penser que a X b puisse ecirctre eacutegal agrave b X a Cependant quelques expeacuteriences simples ne serait-ce que celles qui ont eacuteteacute faites pour construire une table de multiplication montrent que cette eacutegaliteacute a bien lieu quand on effectue les calculs agrave partir de deux nombres effectivement donneacutes Ces constatations mecircme renouveleacutees maintes fois ne permettent nullement daffirmer que le reacutesultat est encore exact avec deux nombres diffeacuterents de ceux que lon a deacutejagrave laquoeacuteprouveacutesraquo On suggegravere alors une autre ideacutee dexpeacuterience revenir agrave lorigine analyser le multiplicande en laquoreacutealisantraquo par quelque moyen la collection duniteacutes quil symbolise puis reacuteunir un nombre de ces collections eacutegal au multiplicateur le nombre duniteacutes ainsi rassembleacutees est eacutegal au produit du multiplicande par le multiplicateur Si toutes ces uniteacutes ont eacuteteacute mises en vrac on ne voit rien de plus on nest pas plus avanceacute que tout agrave lheure les deux nombres jouent toujours des rocircles diffeacuterents Une nouvelle ideacutee doit ecirctre deacutecouverte mettre de lordre dans chacune des collections puis dans le groupe de ces collections la difficulteacute est peut-ecirctre dlaquoinventengt une disposition utilisable telle que la disposition rectangulaire en lignes et en colonnes ensuite la symeacutetrie des rocircles apparaicirct bien vite et lon constatera que pour les deux nombres partishyculiers qui ont servi agrave construire ce scheacutema les produits du premier par le second et du second par le premier sont eacutegaux sans avoir besoin de calculer effectivement ces deux produits Voilagrave une expeacuterience faite est-il utile de la recommencer en changeant les nombres ou la nature des objets repreacutesentant les uniteacutesmiddot Non bien sucircr Alors le reacutesultat obtenu est encore valable pour deux autres nombres Pour deux nombres quelconques Quels que soient les deux nombres Ainsi se deacutegage la proprieacuteteacute geacuteneacuterale qui une fois bien eacutenonceacutee pourra ecirctre repreacutesenteacutee symboliquement par une laquoformuleraquo dont la signification ne risque guegravere decirctre oublieacutee

bull bull bull bull bull bull bull bull 0

Bien entendu lorganisation systeacutematique de travaux manuels conccedilus non comme le preacuteshyapprentissage de tel ou tel meacutetier mais comme une eacuteducation est tout agrave fait souhaitable il est agrave peine utile de mentionner tout le profit que peut tirer leacutelegraveve dune entente et dune collaboration bien comprises entre le professeur de travaux manuels et le professeur de matheacutematiques

Il est bon de rappeler agrave ce propos quelques phrases dHenri Bergson dont les premiegraveres devraient agrave vrai dire servir deacutepigraphe agrave tout essai sur leacuteducation

laquoNous croyons quil est de lessence de lhomme de creacuteer mateacuteriellement et moralement de frabiquer des choses et de se fabriquer soi-mecircme Homo faber telle est la deacutefinition que nous proposons Lhomo sapiens neacute de la reflex ion de lhomo faber sur sa fabrication nous paraicirct tout aussi digne destime tant quil reacutesout par la pure intelligence les problegravemes qui ne deacutependent que delle homo faber homo sapiens devant lun et lautre qui tendent dailleurs agrave se confondre nous nous inclinons Le seul qui nous soit antipathique est lhomo loquax dont la penseacutee quand il pense nest quune reacuteflexion sur sa paroleraquo

laquo- On oublie que lintelligence nest que la faculteacute de manipuler la matiegravere quelle comshymence du moins ainsi - Comment alors lintelligence ne profiterait-elle pas de leacuteducation de la main Allons plus loin La main de lenfant sessaie naturellement agrave construire En ly aidant en lui fournissant au moins des occasions on obtiendrait plus tard de lhomme fait un rendement supeacuterieur on accricirctrait singuliegraverement ce quil y a dinventiviteacute dans le monde Un savoir tout de suite livresque comprime et supprime des activiteacutes qui ne demandent quagrave prendre leur essor Exerccedilons donc lenfant au travail manuel et nabandonnons pas cet enseignement agrave un manœuvre Adressons-nous agrave un vrai maicirctre pour quil perfectionne le toucher au point den faire un tact lintelligence remontera de la main agrave la tecircte -raquo

bull

annexe 6a

93

b) Une didactique euphorique

Les remarques preacuteceacutedentes ont eacutevoqueacute agrave diverses reprises la nature des ecirctres matheacutemashytiques sans doute le caractegravere dabstraction dont ils sont marqueacutes est-il un obstacle susceptible darrecircter ougrave de gecircner les deacutebutants Mais agrave de rares exceptions pregraves il semble bien quun enfant peut normalement saisir les conventions eacuteleacutementaires qui correspondent aux premiers symboles de larithmeacutetique de lalgegravebre et de la geacuteomeacutetrie une initiation prudente doit obtenir ce reacutesul~at

Pourtant les premiegraveres notions acquises lorsquil sagit de manier ces symboles et de mettre en jeu les ideacutees quils repreacutesentent le deacutebutant paraicirct tregraves souvent frappeacute dune sorte de paralysie entravant le progregraves et risquant de conduire agrave leacutechec Sans doute les possibiliteacutes intellectuelles de lenfant - ou de ladulte - jouent-elles un rocircle en cette affaire mais cest lagrave une excuse assez pauvre dune porteacutee limiteacutee et la question doit ecirctre placeacutee sur un autre plan

Se preacuteoccupe-t-on suffisamment degraves les deacutebuts de faire saisir que ces ecirctres de raison que lon a creacuteeacutes sont doueacutes dune vie veacuteritable conditionneacutee seulement par la deacutefinition de leurs proshyprieacuteteacutes fondamentales Ne peut-on essayer de leur garder le plus longtemps possible la fraicheur et la puissance de leur laquoeacutetat naissantraquo Cest dautant plus facile quils possegravedent par leur nature mecircme le privilegravege de pouvoir ecirctre agrave tout instant recreacuteeacutes Ne risque-t-on pas de les eacutetouffer de les desseacutecher de leur faire perdre toute vie par une avalanche de laquoregraveglesraquo et de contraintes dont beaushycoup sont inutiles sinon nuisibles

Pourquoi par exemple eacutenoncer une laquoregravegleraquo - puis en imposer la reacutecitation - concernant la multiplication dun produit de facteurs par un nombre alors que cette opeacuteration si on la rencontre doit ecirctre immeacutediatement reconnue comme tregraves familiegravere puisquon y retrouve sans peine la deacutefinition mecircme que la multiplication de plus de deux nombres Au lieu dattendre et dexiger lapplication dun meacutecanisme dailleurs souvent mal enregistreacute nest-il pas plus inteacuteressant et plus fructueux de faire analyser le symbole (a b c) X d qui possegravede deacutejagrave les proprieacuteteacutes dun produit de deux facteurs et qui une fois identifieacute se trouve muni de toutes les proprieacuteteacutes dun produit de quatre facteurs Cest alors un jeu den deacutecouvrir les diffeacuterentes formes puis sil y a lieu de choisir parmi elles pour

poursuivre une transformation ou un calcul

La theacuteorie eacuteleacutementaire des polynocircmes et des fractions rationnelles ne perdrait-elle pas ce caractegravere dariditeacute quelle a parfois si on montrait agrave loccasion de tous les problegravemes quelle pose quil ne sagit que de la mise en jeu de deacutefinitions de laddition de la multiplication de leurs opeacuterashytions inverses et des proprieacuteteacutes de commutativiteacute dassociativiteacute et de distributiviteacute Lobservation attentive et non passive des symboles et des signes qui interviennent et de leur comportement mettra presque toujours dans la voie dune solution Et les laquoidentiteacutes remarquablesraquo et autres forshymules prendront ainsi naissance dans une amosphegravere vivante qui en assurera sans doute mieux et peut-ecirctre deacutefinitivement la conservation

Toute la theacuteorie des proportions nest-elle pas contenue dans la deacutefinition du quotient exact dun nombre par un autre et ne peut-on lui faire prendre corps agrave partir de lagrave

Bien des mots du langage matheacutematique eacutevoquent la vie et laction variables fonctions correspondantes transformations eacutequations ineacutequations Quon prenne garde de les laquoscleacuteroserraquo de rendre inertes les ecirctres quils repreacutesentent et passifs les actes quils deacutesignent car leur maniement middotIeur mise en œuvre se reacuteduisent alors tregraves vite agrave de fastidieux exercices quun appel agrave la meacutemoire leacute recours agrave quelque automatisme permettront peut-ecirctre de laquoreacutesoudreraquo correctement formellement mais sans quapparaissent un prolongement une vue densemble un veacuteritable motif dinteacuterecirct

La multitude des chapitres ougrave sont traiteacutees des questions relatives au binocircme du premier degreacute et au trinocircme du second degreacute ne serait-elle pas eacuteclaireacutee par une saine lumiegravere si on commenshyccedilait avant tout par laquopreacutesenterraquo ces deux ecirctres qui vont tenir laffiche pendant un long moment (eacutequations ineacutequations variations des fonctions repreacutesentations graphiques laquoproblegraveme du premier

94

et du second degreacutesraquo) Preacutesenter cest-agrave-dire faire vraiment leur connaissance rechercher les diffeacuteshyrentes formes quils peuvent revecirctir pour pouvoir les identifier puis agrave notre greacute les transformer

afin ensuite de pouvoir choisir Ne pourrait-on ainsi reacuteduire agrave neacuteant de facirccheuses accusations souvent formuleacutees laquola trinocircmiteraquo seacutevit laquoon deacutebiteraquo du trinocircme 7

Il est inutile de multiplier les exemples on en trouverait agrave tous les pas en algegravebre en trigonomeacutetrie en geacuteomeacutetrie

annexe 6b

91

LES INSTRUCTIONS DE JANVIER 1957

a) Observation et expeacuterimentation

Observation et expeacuterimentation sagit-il vraiment daligner les matheacutematiques sur les autres disciplines scientifique

Il nest pas douteux quau deacutepart dans leacutelaboration de toutes les sciences les deacutemarches intellectuelles sont du mecircme ordre une discrimination intervient apregraves lorsque le matheacutematicien ayant creacuteeacute des ecirctres de raison va sefforcer den eacutetudier les proprieacuteteacutes Mais son travail na de valeur profonde que si sa construction toute abstraite quelle soit prend solidement appui sur le reacuteel si elle est capable de le rejoindre et de sy adapter dans une large mesure

Nest-il pas indispensable de faire bien saisir agrave lenfant puis agrave ladolescent les liens eacutetroits qui unissent les matheacutematiques au monde sensible Nest-ce pas lagrave un moyen - lun des meilleurs sans doute - pour mettre en confiance le deacutebutant pour eacuteviter quil ne se sente tregraves vite rebuteacute par une eacutetude ougrave il pourrait ne voir si elle reste priveacutee de toute vraie lumiegravere quune sorte de jonglerie souvent purement verbale et sans signification apparente

Lors des premiegraveres eacutetapes de initiation et de lapprentissage cest par lobservation et lexpeacuterimentation que cette liaison peut ecirctre reacutealiseacutee et rendue eacutevidente Leur rocircle apparaicirct Clairement dans la creacuteations des ecirctres magravetheacutematiques munis de leur deacutefinition complegravete Il nest pas moindre lorsquil sagit de deacutecouvrir certaines de leurs proprieacuteteacutes et agrave cette occasion dacceacuteder aux voies du raisonnement

Lobservation des faits des individus di leur comportement que les eacuteleacutements en cause soient concrets ou abstraits est la premiegravere opeacuteration sensorielle et mentale intervenant dans toute recherche Mais lexpeacuterimentation cest-agrave-dire une observation de pheacutenomegravenes volontairement provoqueacutes dans des conditions deacutetermineacutees davance et non pas imposeacutees de lexteacuterieur se preacutesente naturellement agrave lesprit actif et curieux pomme une espegravece de neacutecessiteacute Bien entendu elle ne porte P8li obligatoirement sur les objets mateacuteriels elle peut ecirctre ou devenir une sorte dexpeacuterimentation figureacutee comportant une seacuterie de gestes imagineacutesmais qui seraient effectivement reacutealisables

La phase essentielle dune telle recherche est bien entendu celle de linterpreacutetation des reacutesultats qui permettra de deacutegager des conclusions elle neacutecessite une analyse qui doit ecirctre conduite avec un soin extregraveme et en matheacutematiques la nature des ecirctres mis en jeu oblige agrave prendre des preacutecaushytions particuliegraveres quil importe de faire comprendre aux deacutebutants Car une expeacuterience quelle quelle soit ne met en jeu que des objets particuliers en nombre limiteacute degraves lors mecircme si elle est reacutepeacuteteacutee plusieurs fois et modifiant quelque donneacutee elle ne reacutevegravele en toute rigueur qun reacutesultat valable dans telle ou telle condition cest lagrave le premier point qui doit ecirctre expliqueacute et acquis Vient alors la critique laquoLes opeacuterations que jai reacutealiseacutees ou que jai imagineacutees sont-elles conditionneacutees ineacutevitablement par les situations et par les eacuteleacutements particuliers sur lesquels jai travailleacute raquo Si oui les conseacutequences obtenues nont de valeur que pour ces situations et pour ces eacuteleacutements si non une nouvelle question se pose ou plutocirct une suite de questions ougrave labstraction devient peu agrave peu dominante (des opeacuterations restent-elles possibles et les reacutesultats restent-ils valables si je modifie certaines donneacutees Ces modifications sont-elles agrave leur tour assujetties agrave quelques restrictions Les reacutesultats restent-ils valables quelles que soient ces modifications raquo Ainsi sorganise une reacuteflexion lente et progressive qui doit accrocher et retenir lattention et donner accegraves aux formes abstraites et geacuteneacuterales propres agrave la penseacutee matheacutematique

Naturellement les types dlaquoexpeacuteriencesraquo de ce genre peuvent ecirctre tregraves varieacutes et il importe pour chacune den bien deacutegager la nature et la porteacutee en sefforccedilant daller au fond des choses Voici pris au hasard quelques exemples bien simples

On a au deacutebut de larithmeacutetique deacutefini le produit dun entier a par un entier b comme

bull bull

92

eacutetant la somme de b nombres eacutegaux agrave a les deux nombres a et b jouent des rocircles diffeacuterents si lon repreacutesente un tel produit par le symbole a X b il ny a aucune raison de penser que a X b puisse ecirctre eacutegal agrave b X a Cependant quelques expeacuteriences simples ne serait-ce que celles qui ont eacuteteacute faites pour construire une table de multiplication montrent que cette eacutegaliteacute a bien lieu quand on effectue les calculs agrave partir de deux nombres effectivement donneacutes Ces constatations mecircme renouveleacutees maintes fois ne permettent nullement daffirmer que le reacutesultat est encore exact avec deux nombres diffeacuterents de ceux que lon a deacutejagrave laquoeacuteprouveacutesraquo On suggegravere alors une autre ideacutee dexpeacuterience revenir agrave lorigine analyser le multiplicande en laquoreacutealisantraquo par quelque moyen la collection duniteacutes quil symbolise puis reacuteunir un nombre de ces collections eacutegal au multiplicateur le nombre duniteacutes ainsi rassembleacutees est eacutegal au produit du multiplicande par le multiplicateur Si toutes ces uniteacutes ont eacuteteacute mises en vrac on ne voit rien de plus on nest pas plus avanceacute que tout agrave lheure les deux nombres jouent toujours des rocircles diffeacuterents Une nouvelle ideacutee doit ecirctre deacutecouverte mettre de lordre dans chacune des collections puis dans le groupe de ces collections la difficulteacute est peut-ecirctre dlaquoinventengt une disposition utilisable telle que la disposition rectangulaire en lignes et en colonnes ensuite la symeacutetrie des rocircles apparaicirct bien vite et lon constatera que pour les deux nombres partishyculiers qui ont servi agrave construire ce scheacutema les produits du premier par le second et du second par le premier sont eacutegaux sans avoir besoin de calculer effectivement ces deux produits Voilagrave une expeacuterience faite est-il utile de la recommencer en changeant les nombres ou la nature des objets repreacutesentant les uniteacutesmiddot Non bien sucircr Alors le reacutesultat obtenu est encore valable pour deux autres nombres Pour deux nombres quelconques Quels que soient les deux nombres Ainsi se deacutegage la proprieacuteteacute geacuteneacuterale qui une fois bien eacutenonceacutee pourra ecirctre repreacutesenteacutee symboliquement par une laquoformuleraquo dont la signification ne risque guegravere decirctre oublieacutee

bull bull bull bull bull bull bull bull 0

Bien entendu lorganisation systeacutematique de travaux manuels conccedilus non comme le preacuteshyapprentissage de tel ou tel meacutetier mais comme une eacuteducation est tout agrave fait souhaitable il est agrave peine utile de mentionner tout le profit que peut tirer leacutelegraveve dune entente et dune collaboration bien comprises entre le professeur de travaux manuels et le professeur de matheacutematiques

Il est bon de rappeler agrave ce propos quelques phrases dHenri Bergson dont les premiegraveres devraient agrave vrai dire servir deacutepigraphe agrave tout essai sur leacuteducation

laquoNous croyons quil est de lessence de lhomme de creacuteer mateacuteriellement et moralement de frabiquer des choses et de se fabriquer soi-mecircme Homo faber telle est la deacutefinition que nous proposons Lhomo sapiens neacute de la reflex ion de lhomo faber sur sa fabrication nous paraicirct tout aussi digne destime tant quil reacutesout par la pure intelligence les problegravemes qui ne deacutependent que delle homo faber homo sapiens devant lun et lautre qui tendent dailleurs agrave se confondre nous nous inclinons Le seul qui nous soit antipathique est lhomo loquax dont la penseacutee quand il pense nest quune reacuteflexion sur sa paroleraquo

laquo- On oublie que lintelligence nest que la faculteacute de manipuler la matiegravere quelle comshymence du moins ainsi - Comment alors lintelligence ne profiterait-elle pas de leacuteducation de la main Allons plus loin La main de lenfant sessaie naturellement agrave construire En ly aidant en lui fournissant au moins des occasions on obtiendrait plus tard de lhomme fait un rendement supeacuterieur on accricirctrait singuliegraverement ce quil y a dinventiviteacute dans le monde Un savoir tout de suite livresque comprime et supprime des activiteacutes qui ne demandent quagrave prendre leur essor Exerccedilons donc lenfant au travail manuel et nabandonnons pas cet enseignement agrave un manœuvre Adressons-nous agrave un vrai maicirctre pour quil perfectionne le toucher au point den faire un tact lintelligence remontera de la main agrave la tecircte -raquo

bull

annexe 6a

93

b) Une didactique euphorique

Les remarques preacuteceacutedentes ont eacutevoqueacute agrave diverses reprises la nature des ecirctres matheacutemashytiques sans doute le caractegravere dabstraction dont ils sont marqueacutes est-il un obstacle susceptible darrecircter ougrave de gecircner les deacutebutants Mais agrave de rares exceptions pregraves il semble bien quun enfant peut normalement saisir les conventions eacuteleacutementaires qui correspondent aux premiers symboles de larithmeacutetique de lalgegravebre et de la geacuteomeacutetrie une initiation prudente doit obtenir ce reacutesul~at

Pourtant les premiegraveres notions acquises lorsquil sagit de manier ces symboles et de mettre en jeu les ideacutees quils repreacutesentent le deacutebutant paraicirct tregraves souvent frappeacute dune sorte de paralysie entravant le progregraves et risquant de conduire agrave leacutechec Sans doute les possibiliteacutes intellectuelles de lenfant - ou de ladulte - jouent-elles un rocircle en cette affaire mais cest lagrave une excuse assez pauvre dune porteacutee limiteacutee et la question doit ecirctre placeacutee sur un autre plan

Se preacuteoccupe-t-on suffisamment degraves les deacutebuts de faire saisir que ces ecirctres de raison que lon a creacuteeacutes sont doueacutes dune vie veacuteritable conditionneacutee seulement par la deacutefinition de leurs proshyprieacuteteacutes fondamentales Ne peut-on essayer de leur garder le plus longtemps possible la fraicheur et la puissance de leur laquoeacutetat naissantraquo Cest dautant plus facile quils possegravedent par leur nature mecircme le privilegravege de pouvoir ecirctre agrave tout instant recreacuteeacutes Ne risque-t-on pas de les eacutetouffer de les desseacutecher de leur faire perdre toute vie par une avalanche de laquoregraveglesraquo et de contraintes dont beaushycoup sont inutiles sinon nuisibles

Pourquoi par exemple eacutenoncer une laquoregravegleraquo - puis en imposer la reacutecitation - concernant la multiplication dun produit de facteurs par un nombre alors que cette opeacuteration si on la rencontre doit ecirctre immeacutediatement reconnue comme tregraves familiegravere puisquon y retrouve sans peine la deacutefinition mecircme que la multiplication de plus de deux nombres Au lieu dattendre et dexiger lapplication dun meacutecanisme dailleurs souvent mal enregistreacute nest-il pas plus inteacuteressant et plus fructueux de faire analyser le symbole (a b c) X d qui possegravede deacutejagrave les proprieacuteteacutes dun produit de deux facteurs et qui une fois identifieacute se trouve muni de toutes les proprieacuteteacutes dun produit de quatre facteurs Cest alors un jeu den deacutecouvrir les diffeacuterentes formes puis sil y a lieu de choisir parmi elles pour

poursuivre une transformation ou un calcul

La theacuteorie eacuteleacutementaire des polynocircmes et des fractions rationnelles ne perdrait-elle pas ce caractegravere dariditeacute quelle a parfois si on montrait agrave loccasion de tous les problegravemes quelle pose quil ne sagit que de la mise en jeu de deacutefinitions de laddition de la multiplication de leurs opeacuterashytions inverses et des proprieacuteteacutes de commutativiteacute dassociativiteacute et de distributiviteacute Lobservation attentive et non passive des symboles et des signes qui interviennent et de leur comportement mettra presque toujours dans la voie dune solution Et les laquoidentiteacutes remarquablesraquo et autres forshymules prendront ainsi naissance dans une amosphegravere vivante qui en assurera sans doute mieux et peut-ecirctre deacutefinitivement la conservation

Toute la theacuteorie des proportions nest-elle pas contenue dans la deacutefinition du quotient exact dun nombre par un autre et ne peut-on lui faire prendre corps agrave partir de lagrave

Bien des mots du langage matheacutematique eacutevoquent la vie et laction variables fonctions correspondantes transformations eacutequations ineacutequations Quon prenne garde de les laquoscleacuteroserraquo de rendre inertes les ecirctres quils repreacutesentent et passifs les actes quils deacutesignent car leur maniement middotIeur mise en œuvre se reacuteduisent alors tregraves vite agrave de fastidieux exercices quun appel agrave la meacutemoire leacute recours agrave quelque automatisme permettront peut-ecirctre de laquoreacutesoudreraquo correctement formellement mais sans quapparaissent un prolongement une vue densemble un veacuteritable motif dinteacuterecirct

La multitude des chapitres ougrave sont traiteacutees des questions relatives au binocircme du premier degreacute et au trinocircme du second degreacute ne serait-elle pas eacuteclaireacutee par une saine lumiegravere si on commenshyccedilait avant tout par laquopreacutesenterraquo ces deux ecirctres qui vont tenir laffiche pendant un long moment (eacutequations ineacutequations variations des fonctions repreacutesentations graphiques laquoproblegraveme du premier

94

et du second degreacutesraquo) Preacutesenter cest-agrave-dire faire vraiment leur connaissance rechercher les diffeacuteshyrentes formes quils peuvent revecirctir pour pouvoir les identifier puis agrave notre greacute les transformer

afin ensuite de pouvoir choisir Ne pourrait-on ainsi reacuteduire agrave neacuteant de facirccheuses accusations souvent formuleacutees laquola trinocircmiteraquo seacutevit laquoon deacutebiteraquo du trinocircme 7

Il est inutile de multiplier les exemples on en trouverait agrave tous les pas en algegravebre en trigonomeacutetrie en geacuteomeacutetrie

annexe 6b

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eacutetant la somme de b nombres eacutegaux agrave a les deux nombres a et b jouent des rocircles diffeacuterents si lon repreacutesente un tel produit par le symbole a X b il ny a aucune raison de penser que a X b puisse ecirctre eacutegal agrave b X a Cependant quelques expeacuteriences simples ne serait-ce que celles qui ont eacuteteacute faites pour construire une table de multiplication montrent que cette eacutegaliteacute a bien lieu quand on effectue les calculs agrave partir de deux nombres effectivement donneacutes Ces constatations mecircme renouveleacutees maintes fois ne permettent nullement daffirmer que le reacutesultat est encore exact avec deux nombres diffeacuterents de ceux que lon a deacutejagrave laquoeacuteprouveacutesraquo On suggegravere alors une autre ideacutee dexpeacuterience revenir agrave lorigine analyser le multiplicande en laquoreacutealisantraquo par quelque moyen la collection duniteacutes quil symbolise puis reacuteunir un nombre de ces collections eacutegal au multiplicateur le nombre duniteacutes ainsi rassembleacutees est eacutegal au produit du multiplicande par le multiplicateur Si toutes ces uniteacutes ont eacuteteacute mises en vrac on ne voit rien de plus on nest pas plus avanceacute que tout agrave lheure les deux nombres jouent toujours des rocircles diffeacuterents Une nouvelle ideacutee doit ecirctre deacutecouverte mettre de lordre dans chacune des collections puis dans le groupe de ces collections la difficulteacute est peut-ecirctre dlaquoinventengt une disposition utilisable telle que la disposition rectangulaire en lignes et en colonnes ensuite la symeacutetrie des rocircles apparaicirct bien vite et lon constatera que pour les deux nombres partishyculiers qui ont servi agrave construire ce scheacutema les produits du premier par le second et du second par le premier sont eacutegaux sans avoir besoin de calculer effectivement ces deux produits Voilagrave une expeacuterience faite est-il utile de la recommencer en changeant les nombres ou la nature des objets repreacutesentant les uniteacutesmiddot Non bien sucircr Alors le reacutesultat obtenu est encore valable pour deux autres nombres Pour deux nombres quelconques Quels que soient les deux nombres Ainsi se deacutegage la proprieacuteteacute geacuteneacuterale qui une fois bien eacutenonceacutee pourra ecirctre repreacutesenteacutee symboliquement par une laquoformuleraquo dont la signification ne risque guegravere decirctre oublieacutee

bull bull bull bull bull bull bull bull 0

Bien entendu lorganisation systeacutematique de travaux manuels conccedilus non comme le preacuteshyapprentissage de tel ou tel meacutetier mais comme une eacuteducation est tout agrave fait souhaitable il est agrave peine utile de mentionner tout le profit que peut tirer leacutelegraveve dune entente et dune collaboration bien comprises entre le professeur de travaux manuels et le professeur de matheacutematiques

Il est bon de rappeler agrave ce propos quelques phrases dHenri Bergson dont les premiegraveres devraient agrave vrai dire servir deacutepigraphe agrave tout essai sur leacuteducation

laquoNous croyons quil est de lessence de lhomme de creacuteer mateacuteriellement et moralement de frabiquer des choses et de se fabriquer soi-mecircme Homo faber telle est la deacutefinition que nous proposons Lhomo sapiens neacute de la reflex ion de lhomo faber sur sa fabrication nous paraicirct tout aussi digne destime tant quil reacutesout par la pure intelligence les problegravemes qui ne deacutependent que delle homo faber homo sapiens devant lun et lautre qui tendent dailleurs agrave se confondre nous nous inclinons Le seul qui nous soit antipathique est lhomo loquax dont la penseacutee quand il pense nest quune reacuteflexion sur sa paroleraquo

laquo- On oublie que lintelligence nest que la faculteacute de manipuler la matiegravere quelle comshymence du moins ainsi - Comment alors lintelligence ne profiterait-elle pas de leacuteducation de la main Allons plus loin La main de lenfant sessaie naturellement agrave construire En ly aidant en lui fournissant au moins des occasions on obtiendrait plus tard de lhomme fait un rendement supeacuterieur on accricirctrait singuliegraverement ce quil y a dinventiviteacute dans le monde Un savoir tout de suite livresque comprime et supprime des activiteacutes qui ne demandent quagrave prendre leur essor Exerccedilons donc lenfant au travail manuel et nabandonnons pas cet enseignement agrave un manœuvre Adressons-nous agrave un vrai maicirctre pour quil perfectionne le toucher au point den faire un tact lintelligence remontera de la main agrave la tecircte -raquo

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annexe 6a

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b) Une didactique euphorique

Les remarques preacuteceacutedentes ont eacutevoqueacute agrave diverses reprises la nature des ecirctres matheacutemashytiques sans doute le caractegravere dabstraction dont ils sont marqueacutes est-il un obstacle susceptible darrecircter ougrave de gecircner les deacutebutants Mais agrave de rares exceptions pregraves il semble bien quun enfant peut normalement saisir les conventions eacuteleacutementaires qui correspondent aux premiers symboles de larithmeacutetique de lalgegravebre et de la geacuteomeacutetrie une initiation prudente doit obtenir ce reacutesul~at

Pourtant les premiegraveres notions acquises lorsquil sagit de manier ces symboles et de mettre en jeu les ideacutees quils repreacutesentent le deacutebutant paraicirct tregraves souvent frappeacute dune sorte de paralysie entravant le progregraves et risquant de conduire agrave leacutechec Sans doute les possibiliteacutes intellectuelles de lenfant - ou de ladulte - jouent-elles un rocircle en cette affaire mais cest lagrave une excuse assez pauvre dune porteacutee limiteacutee et la question doit ecirctre placeacutee sur un autre plan

Se preacuteoccupe-t-on suffisamment degraves les deacutebuts de faire saisir que ces ecirctres de raison que lon a creacuteeacutes sont doueacutes dune vie veacuteritable conditionneacutee seulement par la deacutefinition de leurs proshyprieacuteteacutes fondamentales Ne peut-on essayer de leur garder le plus longtemps possible la fraicheur et la puissance de leur laquoeacutetat naissantraquo Cest dautant plus facile quils possegravedent par leur nature mecircme le privilegravege de pouvoir ecirctre agrave tout instant recreacuteeacutes Ne risque-t-on pas de les eacutetouffer de les desseacutecher de leur faire perdre toute vie par une avalanche de laquoregraveglesraquo et de contraintes dont beaushycoup sont inutiles sinon nuisibles

Pourquoi par exemple eacutenoncer une laquoregravegleraquo - puis en imposer la reacutecitation - concernant la multiplication dun produit de facteurs par un nombre alors que cette opeacuteration si on la rencontre doit ecirctre immeacutediatement reconnue comme tregraves familiegravere puisquon y retrouve sans peine la deacutefinition mecircme que la multiplication de plus de deux nombres Au lieu dattendre et dexiger lapplication dun meacutecanisme dailleurs souvent mal enregistreacute nest-il pas plus inteacuteressant et plus fructueux de faire analyser le symbole (a b c) X d qui possegravede deacutejagrave les proprieacuteteacutes dun produit de deux facteurs et qui une fois identifieacute se trouve muni de toutes les proprieacuteteacutes dun produit de quatre facteurs Cest alors un jeu den deacutecouvrir les diffeacuterentes formes puis sil y a lieu de choisir parmi elles pour

poursuivre une transformation ou un calcul

La theacuteorie eacuteleacutementaire des polynocircmes et des fractions rationnelles ne perdrait-elle pas ce caractegravere dariditeacute quelle a parfois si on montrait agrave loccasion de tous les problegravemes quelle pose quil ne sagit que de la mise en jeu de deacutefinitions de laddition de la multiplication de leurs opeacuterashytions inverses et des proprieacuteteacutes de commutativiteacute dassociativiteacute et de distributiviteacute Lobservation attentive et non passive des symboles et des signes qui interviennent et de leur comportement mettra presque toujours dans la voie dune solution Et les laquoidentiteacutes remarquablesraquo et autres forshymules prendront ainsi naissance dans une amosphegravere vivante qui en assurera sans doute mieux et peut-ecirctre deacutefinitivement la conservation

Toute la theacuteorie des proportions nest-elle pas contenue dans la deacutefinition du quotient exact dun nombre par un autre et ne peut-on lui faire prendre corps agrave partir de lagrave

Bien des mots du langage matheacutematique eacutevoquent la vie et laction variables fonctions correspondantes transformations eacutequations ineacutequations Quon prenne garde de les laquoscleacuteroserraquo de rendre inertes les ecirctres quils repreacutesentent et passifs les actes quils deacutesignent car leur maniement middotIeur mise en œuvre se reacuteduisent alors tregraves vite agrave de fastidieux exercices quun appel agrave la meacutemoire leacute recours agrave quelque automatisme permettront peut-ecirctre de laquoreacutesoudreraquo correctement formellement mais sans quapparaissent un prolongement une vue densemble un veacuteritable motif dinteacuterecirct

La multitude des chapitres ougrave sont traiteacutees des questions relatives au binocircme du premier degreacute et au trinocircme du second degreacute ne serait-elle pas eacuteclaireacutee par une saine lumiegravere si on commenshyccedilait avant tout par laquopreacutesenterraquo ces deux ecirctres qui vont tenir laffiche pendant un long moment (eacutequations ineacutequations variations des fonctions repreacutesentations graphiques laquoproblegraveme du premier

94

et du second degreacutesraquo) Preacutesenter cest-agrave-dire faire vraiment leur connaissance rechercher les diffeacuteshyrentes formes quils peuvent revecirctir pour pouvoir les identifier puis agrave notre greacute les transformer

afin ensuite de pouvoir choisir Ne pourrait-on ainsi reacuteduire agrave neacuteant de facirccheuses accusations souvent formuleacutees laquola trinocircmiteraquo seacutevit laquoon deacutebiteraquo du trinocircme 7

Il est inutile de multiplier les exemples on en trouverait agrave tous les pas en algegravebre en trigonomeacutetrie en geacuteomeacutetrie

annexe 6b

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b) Une didactique euphorique

Les remarques preacuteceacutedentes ont eacutevoqueacute agrave diverses reprises la nature des ecirctres matheacutemashytiques sans doute le caractegravere dabstraction dont ils sont marqueacutes est-il un obstacle susceptible darrecircter ougrave de gecircner les deacutebutants Mais agrave de rares exceptions pregraves il semble bien quun enfant peut normalement saisir les conventions eacuteleacutementaires qui correspondent aux premiers symboles de larithmeacutetique de lalgegravebre et de la geacuteomeacutetrie une initiation prudente doit obtenir ce reacutesul~at

Pourtant les premiegraveres notions acquises lorsquil sagit de manier ces symboles et de mettre en jeu les ideacutees quils repreacutesentent le deacutebutant paraicirct tregraves souvent frappeacute dune sorte de paralysie entravant le progregraves et risquant de conduire agrave leacutechec Sans doute les possibiliteacutes intellectuelles de lenfant - ou de ladulte - jouent-elles un rocircle en cette affaire mais cest lagrave une excuse assez pauvre dune porteacutee limiteacutee et la question doit ecirctre placeacutee sur un autre plan

Se preacuteoccupe-t-on suffisamment degraves les deacutebuts de faire saisir que ces ecirctres de raison que lon a creacuteeacutes sont doueacutes dune vie veacuteritable conditionneacutee seulement par la deacutefinition de leurs proshyprieacuteteacutes fondamentales Ne peut-on essayer de leur garder le plus longtemps possible la fraicheur et la puissance de leur laquoeacutetat naissantraquo Cest dautant plus facile quils possegravedent par leur nature mecircme le privilegravege de pouvoir ecirctre agrave tout instant recreacuteeacutes Ne risque-t-on pas de les eacutetouffer de les desseacutecher de leur faire perdre toute vie par une avalanche de laquoregraveglesraquo et de contraintes dont beaushycoup sont inutiles sinon nuisibles

Pourquoi par exemple eacutenoncer une laquoregravegleraquo - puis en imposer la reacutecitation - concernant la multiplication dun produit de facteurs par un nombre alors que cette opeacuteration si on la rencontre doit ecirctre immeacutediatement reconnue comme tregraves familiegravere puisquon y retrouve sans peine la deacutefinition mecircme que la multiplication de plus de deux nombres Au lieu dattendre et dexiger lapplication dun meacutecanisme dailleurs souvent mal enregistreacute nest-il pas plus inteacuteressant et plus fructueux de faire analyser le symbole (a b c) X d qui possegravede deacutejagrave les proprieacuteteacutes dun produit de deux facteurs et qui une fois identifieacute se trouve muni de toutes les proprieacuteteacutes dun produit de quatre facteurs Cest alors un jeu den deacutecouvrir les diffeacuterentes formes puis sil y a lieu de choisir parmi elles pour

poursuivre une transformation ou un calcul

La theacuteorie eacuteleacutementaire des polynocircmes et des fractions rationnelles ne perdrait-elle pas ce caractegravere dariditeacute quelle a parfois si on montrait agrave loccasion de tous les problegravemes quelle pose quil ne sagit que de la mise en jeu de deacutefinitions de laddition de la multiplication de leurs opeacuterashytions inverses et des proprieacuteteacutes de commutativiteacute dassociativiteacute et de distributiviteacute Lobservation attentive et non passive des symboles et des signes qui interviennent et de leur comportement mettra presque toujours dans la voie dune solution Et les laquoidentiteacutes remarquablesraquo et autres forshymules prendront ainsi naissance dans une amosphegravere vivante qui en assurera sans doute mieux et peut-ecirctre deacutefinitivement la conservation

Toute la theacuteorie des proportions nest-elle pas contenue dans la deacutefinition du quotient exact dun nombre par un autre et ne peut-on lui faire prendre corps agrave partir de lagrave

Bien des mots du langage matheacutematique eacutevoquent la vie et laction variables fonctions correspondantes transformations eacutequations ineacutequations Quon prenne garde de les laquoscleacuteroserraquo de rendre inertes les ecirctres quils repreacutesentent et passifs les actes quils deacutesignent car leur maniement middotIeur mise en œuvre se reacuteduisent alors tregraves vite agrave de fastidieux exercices quun appel agrave la meacutemoire leacute recours agrave quelque automatisme permettront peut-ecirctre de laquoreacutesoudreraquo correctement formellement mais sans quapparaissent un prolongement une vue densemble un veacuteritable motif dinteacuterecirct

La multitude des chapitres ougrave sont traiteacutees des questions relatives au binocircme du premier degreacute et au trinocircme du second degreacute ne serait-elle pas eacuteclaireacutee par une saine lumiegravere si on commenshyccedilait avant tout par laquopreacutesenterraquo ces deux ecirctres qui vont tenir laffiche pendant un long moment (eacutequations ineacutequations variations des fonctions repreacutesentations graphiques laquoproblegraveme du premier

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et du second degreacutesraquo) Preacutesenter cest-agrave-dire faire vraiment leur connaissance rechercher les diffeacuteshyrentes formes quils peuvent revecirctir pour pouvoir les identifier puis agrave notre greacute les transformer

afin ensuite de pouvoir choisir Ne pourrait-on ainsi reacuteduire agrave neacuteant de facirccheuses accusations souvent formuleacutees laquola trinocircmiteraquo seacutevit laquoon deacutebiteraquo du trinocircme 7

Il est inutile de multiplier les exemples on en trouverait agrave tous les pas en algegravebre en trigonomeacutetrie en geacuteomeacutetrie

annexe 6b

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et du second degreacutesraquo) Preacutesenter cest-agrave-dire faire vraiment leur connaissance rechercher les diffeacuteshyrentes formes quils peuvent revecirctir pour pouvoir les identifier puis agrave notre greacute les transformer

afin ensuite de pouvoir choisir Ne pourrait-on ainsi reacuteduire agrave neacuteant de facirccheuses accusations souvent formuleacutees laquola trinocircmiteraquo seacutevit laquoon deacutebiteraquo du trinocircme 7

Il est inutile de multiplier les exemples on en trouverait agrave tous les pas en algegravebre en trigonomeacutetrie en geacuteomeacutetrie

annexe 6b