Le Modle de MARKOWITZEncadr parBrahim ELMORCHID Prpar par : Omar AKKABLI Youssef AMAADOUR PlanI. IntroductionII. Hypothses du modle III. Prsentation du modle 1. Rentabilit et risque 2. Approche esprance-variance IV. La diversification1. Portefeuille deux titres 2. Portefeuille n titre 3. Portefeuille variance minimaleV. La frontire efficiente

Paruneaprs-midiensoleilledeprintemps,dansla librairiedelaGraduateBusinessSchooldelUniversitde Chicago,ungrandjeunehommelitlemanueldanalyse financireleplusrputlpoque:TheTheoryof Investment Value de John Burr Williams. Quandilafinisalecture,ilpense:cesttrange,lauteur raisonnecommesitouslesfluxfutursduneentreprise,ses dpenses et ses recettes venir, sont certains. Or, cest faux : ilestvidentquilssontincertains.Etcestjustementcette incertitudequifaitquelesactionssontrisquesHarry Markowitzvenaitdemettreledoigtsurleproblmecentral delafinancelerisqueetilallaitconsacrersathsela manire dont le risque boursier peut tre trait de manire rigoureuse. Georges Gallais-Hamonno I. Introduction Lathoriemodernedeportefeuilletdveloppeen 1952 par Harry Markowitz, Elleexposecommentlesinvestisseursrationnels utilisentladiversificationafindoptimiserleur portefeuille II. Hypothses du modle H 1 : Lesinvestisseurssontrationnelsetse comportentdemaniremaximiserleur utilitavecunniveaudonnde rendement. H 2 : Lesinvestisseursontlelibreaccs des informations exactes sur le rendement et le risque . H 3 : Lesmarchssontefficientset assimilentlinformationrapidementet parfaitement . H 4: les investisseurs sont averses au risque etessayentdeminimiserlerisqueet maximiser les rendements . H 5 : Lesinvestisseursfontleurchoixense basantuniquementsurlesdeux paramtres: moyenne et variance. H 6 : Lesinvestisseursprfrentun rendementsuprieurquunrendement faible pour un niveau de risque donn. III. Prsentation du modle Larentabilitespreduportefeuilleest mesure par la moyenne des rentabilits Lerisquecorrespondantlincertitude dobtenircetterentabilitestmesurpar la variance 1 Rentabilit et risque 1.1 La rentabilit : Pour un investisseur la rentabilit dsigne non seulement le dividende rapport par le titremaisaussilaplusvalueventuelle quilpeutretirerlorsdelareventedece titre. 11tt t ttD P PRP+ =1.2 Le Risque Linvestissement en valeurs mobilires constitue lesacrificedunavantagecertainetimmdiat contre un avantage futur et incertain. Cestunepossibilitdepertemontairedue une incertitude que lon peut quantifier. Lerisquenesttoujoursunlmentpurement ngatif,unactifrisquprsentedeschancede fluctuergrandementlahaussecommela baisse. 2 Approche esprance-variance 2.1 Lesprance Dansununiversincertainlinvestisseurnepeut pas calculer davance la rentabilit car la valeur dutitre(portefeuille)enfindepriodeest alatoire . Donc dansce modle la rentabilit est mesure par lesprance mathmatique . Lerendementd'unportefeuilleestune combinaisonlinairedeceluidesactifsquile composent,pondrsparleurpoidsdansle portefeuille , cest--direunemoyennedesrentabilits possiblespondreparleurpossibilitde ralisation . O :: la rentabilit du portefeuille: le poids de lactif i dans le portefeuille: la rentabilit de lactif i ( )pER( )iER( ) ( )p i iiER ER o = io2.2 La variance Lavarianceestconsidrecommeunoutil statistique de mesure du risque.

Mathmatiquementlerisquedunportefeuille (titre)estalorsmesurparlavariancedesa rentabilit , cest--dire par la somme des carrs descartsentrelarentabilitetlesprance mathmatiquedesrentabilitspondrespar leur possibilits de ralisation . La variance du portefeuille est la somme des produits des poids ide chaque couple d'actifs par leur covariance 21( ) ( ) 2 .(1 ). cov( , )np i i ji i jV R V R R Rio o o== + IV. La diversification Ladiversificationduportefeuillecest linvestissement dans diffrentes classes dactifs ou diffrents secteurs . Ellenesignifiepasseulementdtenirbeaucoup dactifs . Inclureplusieurstitresdansunportefeuille rduit le risque de celui-ci par rapport au risque des titres individuels qui le composent. 1. Portefeuille deux titres On suppose quun investisseur possde deux titres A et B . Cet investisseur investit en plaant titre A et 1- titre Ble portefeuille est donc :P = .A + (1- ).B La rentabilit du portefeuille sera donc la moyenne pondre des rentabilits des deux titres qui le composent Le risque du portefeuille est infrieur aux risques respectifs de A et de B prient sparment .

( ) . ( ) (1 ). ( )p A BER ER ER o o = + 21( ) ( ) 2 .(1 ). cov( , )np i i ji i jV R V R R Rio o o== + Exemple dmonstratif: Soit un portefeuille compos comme suit : P = 20 % A + 80 % B. Avec :E(Ra) = 14%;E(Rb) = 10%(Ra) = 30% ; (Rb) = 25%. Le coefficient de corrlation = - 0,5. Dterminons la rentabilit et le risque de portefeuille.Solution: E(Rp) =0.108 soit 10,8% . Lesprance de rentabilit du portefeuille est comprise entre lesprance de rentabilit des 2 types dactions qui le compose. Pour une esprance plus importante l'investisseur doit maximiser dans son portefeuille le nombre dactions qui dtiennent lesprance la plus importante. V(Rp)= 3,16% . (Rp) = 17,77% . Le risque du portefeuille est infrieur aux risques respectifs de A et de B et cela donc grce la diversification. En reprenant les mmes hypothses, on remarque que plus le coefficient de corrlation est petit (sapproche de -1) plus la variance du portefeuille diminue 2 2( ) . ( ) (1 ) . ( ) 2 .(1 ). cov( )p a b a bV R V R V R R R o o o o = + + +Portefeuille compos de n actions Exemple dapplication : Soit un portefeuille compos comme suit: P = 20% A + 30% B + 50% C. Avec :E(Ra) = 5%E(Rb) = 8%E(Rc) = 10%V(Ra) = 1%V(Rb) = 5% V(Rc) = 10%. Le coefficient de corrlation = - 0,5.

Solution: Soit: X le vecteur de pondration tq: K le vecteur des rentabilits espres tq: 12nXooo| | | |=| |\ .12( )( )( )nERERKER| | | |=| |\ . V la matrice des variances covariances tq: Exemple dapplication: Soit un portefeuille compos comme suit: P = 20% A + 30% B + 50% C. Avec :E(Ra) = 5%E(Rb) = 8%E(Rc) = 10% V(Ra) = 1% V(Rb) = 5%V(Rc) = 10% . Le coefficient de corrlation = - 0,5. 11 11nn nnVo oo o| | |=| |\ .Solution: E (Rp) = X . K = 8,4 % . V(Rp) = X . V . X = 0.04.Portefeuille variance minimale : Le portefeuille variance minimale est un portefeuille comportant le moins de risque parmi lensemble des solutions ralisables. Pour le calculer il faut chercher les proportions qui minimisent la variance du portefeuille. On a: Les conditions de minimisation sont : Condition du 1er ordre : V ( RP ) = 0 Condition du 2me ordre : V ( RP ) > 0 Il faut trouver qui annule V(RP).2 2( ) . ( ) (1 ) . ( ) 2 .(1 ). cov( )p a b a bV R V R V R R R o o o o = + + + Aprs dveloppement on obtient : Limites de la diversification: + Lxistence dun risque non diversifiable ou encore, risque du march li aux structures du march. Il rsulte des prils qui peuvent affecter lensemble de lconomie tels que les variations du PIB, linflation, les taux dintrt.+ Cest un risque structurel qui ne peut pas tre limin par la diversification . ( ) cov( , )( ) ( ) 2 cov( , )b a Ba b a bV R R RV R V R R Ro=+ V. La frontire efficiente MARKOWITZadvelopp,en1959,une mthode de solution gnrale du problme de la structuredesportefeuillesquiincorporele traitement quantifi du risque . Cettemthodeproposelinvestisseurun ensembledeportefeuillesefficientscest--direqui,pourunerentabilitglobalepossible, prsentent le risque le plus faible, et vice-versa. Cettemthodeutiliseuniquementlesconceptsde moyennepourlarentabilitespreetdevariancepour lincertitudeassociecetterentabilit,dolenomde critremoyenne-varianceassocilanalysede MARKOWITZ. Graphiquement : Leportefeuilleoptimalestceluiquiala probabilitlaplusfaiblededescendreen dessous dun rendement fix. Ilfautchoisirunportefeuillequimaximisela valeur plancher du rendement, sous la contrainte quelaprobabilitdedescendreendessoussoit infrieure une valeur fixe. Choisirunportefeuilledontlesprancede rendementestmaximum,souslacontrainteque la probabilit de descendre dune valeur planch soit infrieur une valeur fixe Illustration : Soit deux actions A et B, dont les caractristiques sont les suivantes : Avec un coefficient de corrlation : = -1 AB E(r)0,080,14 (r)0,140,14 Onpeutconstituersixportefeuillesdontlescaractristiquessont E (rp) et (rp). Portefeuille%A%B(rp)E(rp) 010,180,14 0,20,80,1160,128 0,40,60,0520,116 0,60,40,0120,104 0,80,20,0760,092 100,140,08 1P2P3P4P5P6PIV. Limites du modle Lemodlerestecependanttrsthorique,carilprend l'hypothse que l'on connat le couple esprance de gain et risque de chaque titre . Ilestpeuutilisenpratique,pourleprofessionnel,et plusencorepourleparticulierquinedisposepasd'un outilinformatiquesophistiquncessairepourdes applicationspratiquescarilyaungrandnombrede calculs ncessaire faire Lesproportionsdesactifsoptimalessonttrssensibles aux valeurs des rendements moyens . lesrentabilitsmoyennessonttrsdifficilesestimer statistiquement. Bibliographie ALBOUY M. Les grands auteurs en finance Editions EMS 2003. JACQUILLAT B., SOLNIK B. Marchs financiers : Gestion de portefeuille et des risques 4e dition DUNOD 2002.