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Master Modélisation Statistique M2Finance - chapitre 1

Gestion optimale de portefeuille,l’approche de Markowitz

Clément Dombry,Laboratoire de Mathématiques de Besançon,

Université de Franche-Comté.

C.Dombry (Université de Franche-Comté) Finance - chapitre 1 Année 2014-2015 1 / 31

Motivations

Comment aider un investisseur à placer son argent sur un marchéfinancier complexe comprenant plusieurs actifs financiers ?Nous étudions ici un modèle probabiliste simple de gestion deportefeuille basé sur l’approche monopériodique de Markowitz.Ce modèle s’intéresse exclusivement à l’évolution du cours des actifsentre 2 dates (i.e. sur une période de temps) et propose une répartitiondes fonds sur les différents actifs (i.e. une composition de portefeuille)optimale pour un critère espérance/variance.Ce modèle simple admet une solution simple mais ne tiend pas comptede problématiques importantes dans la pratique de la gestion deportefeuille comme la liquidité, la fiscalité, les coûts de transaction ...


Plan du cours

1 Comportement d’un investisseur face au risque

2 Le modèle de Markowitz avec vente à découvert

3 Le modèle de Markowitz sans vente à découvert

4 Mini-projets autour du modèle de Markowitz


Notions de base

On s’intéresse à l’évolution du cours d’un actif financier entre deux datest0 et t1 et on note

V A0 : valeur de l’actif A au temps t0,

V A1 : valeur de l’actif A au temps t1.

On suppose :I V A

0 connu (cours à la date t0 d’aujourd’hui),I V A

1 inconnu (cours à une date t1 future)

Pour tenir compte de l’incertitude du cours futur, on modélise V A1 par une

variable aléatoire.Question de base : comment comparer deux actifs A et B ?


Exemple I : utilité moyenneConsidérons deux actifs A et B tels que :

V A0 = V B

0 = 900e

et {V A

1 = 920e avec proba 1/2V A

1 = 960e avec proba 1/2 ,{V B

1 = 1100e avec proba 4/5V B

1 = 150e avec proba 1/5 .

Les valeurs initiales étant identiques, on pense naturellement à comparerles espérances

E[V A1 ] =

12

920 +12

960 = 940

E[V B1 ] =

45

1100 +15

150 = 910

et à préférer l’actif A.


Exemple I : utilité moyenne

On suppose désormais que le placement doit servir à financer un achatde 1000eet on introduit la fonction d’utilité :

u(x) = (x − 1000)+ = max(x − 1000,0)

Notons que A ne permettra jamais de financer cet achat et que

E[u(V A1 )] = 0

tandis que

E[u(V B1 )] =

45

100 +15

0 = 80

On est donc ammené à préférer B.


Règle 1 : maximisation de l’utilité moyenne

Une fonction d’utilité est une fonction croissante sur [0,+∞[ etgénéralement concave. Par exemple

u(x) = −e−αx (α > 0), u(x) =x1−α

1− α(α ≥ 0), u(x) = log(x).

Elle représente le comportement de l’investisseur.D’après les exemples précédent, un investisseur cherche à maximiserl’utilité moyenne :

Règle 1 - critère d’espéranceEtant donné deux actifs A et B de même cours initial V A

0 = V B0 , un

investisseur préférera l’actif maximisant l’utilité moyenne E[u(V A,B1 )].


Règle 2 : minimisation du risque

Dans la suite du cours, on se place dans le contexte le plus fréquent dela fonction d’utilité linéaire u(x) = x .Comment comparer deux actifs tels que

V A0 = V B

0 et E[V A1 ] = E[V B

1 ] ?

On introduit la notion de risque d’un actif mesuré par sa variance : plus lavariance est élevée, plus l’actif est risqué.

Règle 2 - critère de varianceEtant donné deux actifs A et B de même cours initial V A

0 = V B0 et de même

utilité moyenne E[V A1 ] = E[V B

1 ], un investisseur préférera l’actif minimisant lavariance Var[V A,B

1 ].


Exemple II : rôle de la corrélation

Considérons deux actifs de même valeur initiale V A0 = V B

0 tels que

E[V A1 ] = mA

1 ≤ E[V B1 ] = mB

1

et de varianceVar[V A

1 ] = σ2A, Var[V B

1 ] = σ2B.

On considère un portefeuille contenant une proportion x d’actif A et 1− xde B

Px = xV A + (1− x)V B, x ∈ R.

I La valeur initial est Px0 = V A

0 = V B0 .

I Lorsque x ∈ [0, 1], on a x ≥ 0 et 1− x ≥ 0 (achat classique).I Sinon, on a x < 0 ou 1− x < 0 (vente à découvert).



Le portefeuille Px a pour caractéristiques

E[Px1 ] = xmA

1 + (1− x)mB1 ∈ [mA

1 ,mB1 ]

Var[Px1 ] = x2σ2

A + (1− x)2σ2B + 2x(1− x)ρA,BσAσB

avec ρA,B = corr(V A1 ,V

B1 ).

On remarque que la variance du portefeuille Px1 dépend de façon

monotone de la corrélation ρA,B :I croissante si x ∈ [0, 1],I décroissante sinon.



Lorsque mA = mB, tous les portefeuilles ont la même espérance finale.Quelle est le portefeuille de risque minimal ?Il s’obtient en minimisant

(σ2A + σ2

B − 2ρA,BσAσB)X 2 + 2(ρA,BσAσB − σ2B)X + σ2

B

conduisant au portefeuille optimal

x∗ =σ2

B − ρA,BσAσB

σ2A + σ2

B − 2ρA,BσAσB.

La contrainte x∗ ∈ [0,1] n’est pas toujours respectée, ce qui peuts’interpréter comme un portefeuille avec vente à decouvert.Si on souhaite respecter la contrainte x∗ ∈ [0,1] (vente à découvertinterdite), on posera

x∗ = 0 si x∗ < 0 et x∗ = 1 si x∗ > 1.


Exemple III : rôle de la diversification

On considère n titres A1, . . . ,An supposés « interchangeables » tels que

V Ai0 = m0, E[V Ai

1 ] = m1, Var[V Ai1 ] = σ2

etCov(V Ai

1 ,VAj1 ) = ρσ2 pour i 6= j .

On considère le portefeuille Pn = 1n

∑ni=1 V Ai formé de n titres en

proportions égales.On calcule de manière simple

Pn0 = m0, E[Pn

1 ] = m1, Var[Pn1 ] =

1− ρn

σ2 + ρσ2.

Interprétation : le risque décroît en diversifiant l’investissement sur lesdifférents titres.


Notion de rendement

Lorsque l’on travaille avec la fonction d’utilité linéaire u(x) = x , il estcommode d’introduire le rendement d’un actif afin de comparer des actifsn’ayant pas la même valeur initiale.

DéfinitionLe rendement d’un titre prenant les valeurs V0 > 0 et V1 ≥ 0 est

R =V1 − V0

V0

Remarques :I en anglais, rendement return.I On a toujours R ≥ −1.I R > 0 en cas de hausse, R < 0 en cas de baisse.I On a une bijection (V0,V1)⇔ (V0,R), en effet V1 = V0(1 + R).I En général, V0 est connu et R est une variable aléatoire.


Notion de rendement

L’intérêt du rendement est de pouvoir comparer deux actifs n’ayant pas lamême valeur initiale.Exemple :

A : V A0 = 110, V A

1 = 120

B : V B0 = 55, V A

1 = 61

Analyse :I Le titre A permet un bénéfice de 10, le titre B seulement de 6.I En achetant deux titres B au même prix que A, bénéfice de 12.I Les rendements sont :

RA =120− 110

110≈ 0, 091 et RB =

61− 5555

≈ 0, 109.


Notion de rendement

Le raisonnement précédent se généralise aisément et permet de montrer quedans le cas de l’utilité linéaire u(x) = x , les règles d’investissement demaximisation de l’utilité moyenne et minimisation du risque sont équivalentesà la règle suivante :

Règle espérance-varianceSoient deux titres de rendement RA et RB.

Si E[RA] ≥ E[RB], l’investisseur préfèrera le titre A.Si E[RA] = E[RB] et Var[RA] ≤ Var[RB], l’investisseur préfèrera le titre A.


Plan du cours






Cadre mathématique et notations

On considère un marché composé de d actifs risqués A1, . . . ,Ad et d’unactif non risqué A0 sur une période [t0, t1].On note

V Ai0 = valeur de l’actif Ai au temps t0,

V Ai1 = valeur de l’actif Ai au temps t1.

Les valeurs initiales (V Ai0 )0≤i≤d , sont connues ainsi que V A0

1 (actif sansrisque).Les valeurs finales des actifs risqués (V Ai

1 )1≤i≤d sont aléatoires.


Cadre mathématique et notations

Un investisseur achète une quantité αi de titres Ai , 0 ≤ i ≤ d .Le vecteur α = (αi )0≤i≤d ∈ Rd+1 représente la composition duportefeuille noté Pα.On autorise les valeurs αi négatives ce qui correspond à des ventes àdécouvert mais on suppose la valeur initiale du portefeuille positive :

Pα0 =

d∑i=0

αiV Ai0 ≥ 0.

La valeur finale du portefeuille

Pα1 =

d∑i=0

αiV Ai1

peut être négative.


Rendement d’un portefeuille

Peut-on calculer le rendement Rα du portefeuille Pα en fonction desrendements (Ri )0≤i≤d des actifs Ai ?La réponse est donnée par la proposition suivante :

Proposition (rendement d’un portefeuille)Le rendement du portefeuille Pα est donné par

Rα =d∑

i=0

xiRi

avec xi la proportion initiale en valeur de l’actif Ai dans le portefeuille

xi =αiV Ai

0

Pα0

.

Preuve : à faire en exercice, Rα =Pα

1 −Pα0

Pα0

= · · ·


Rendement d’un portefeuille

Remarques :I Lorsqu’on s’intéresse au rendement, on n’a pas besoin de connaître la

composition exacte du portefeuille et sa valeur initiale mais seulement lesvaleurs relatives (xi)1≤i≤d .

I Remarquons que∑d

i=0 xi = 1.I On peut donc représenter la composition relative d’un portefeuille par un

vecteur x = (xi)1≤i≤d ∈Rdet poser x0 = 1−

∑di=1 xi .

On obtient la formule

Proposition (rendement d’un portefeuille)Le rendement d’un portefeuille de composition relative x = (xi )1≤i≤d estdonné par

Rx = R0 +d∑

i=1

xi (Ri − R0)

où Ri − R0 s’interprète comme le rendement excédentaire de l’actif Ai (parrapport à l’actif sans risque A0).


Espérance et variance du rendement

On introduit le rendement excédentaire moyen des actifs risqués

µi = E[Ri ]− R0, 1 ≤ i ≤ d

et la matrice de covariance des rendements Γ = (Cov(Ri ,Rj ))1≤i,j≤d .

Proposition (espérance et variance du rendement)Le rendement d’un portefeuille de composition relative x = (xi )1≤i≤d a pourespérance

E[Rx ] = R0 +d∑

i=1

xiµi = R0 + µ′x

et varianceVar[Rx ] = x ′Γx

Preuve : facile ...


Notion de portefeuille M-V efficaceLa notion suivante est centrale dans l’approche de Markowitz.

Définition (portefeuille M-V efficace)Un portefeuille P est dit M-V efficace si parmi tous les portefeuilles de mêmerendement moyen, P présente le risque le plus faible au sens où la variancedu rendement est minimale.

C’est une notion d’optimalité mettant en jeu les critères de moyenne (M)et variance (V).Dans ce modèle, l’investisseur préfère toujours les portefeuilles M-Vefficace.En représentant un portefeuille P par sa composition relative x et enutilisant la proposition précédente, on a formellement

x ∈ Rd est M-V efficace

si et seulement si

∀y ∈ Rd,

d∑i=1

yiµi =d∑

i=1

xiµi ⇒ y ′Γy ≥ x ′Γx .


Caractérisation des portefeuilles M-V efficaces

On rappelle que µi = E[Ri ]− R0 est le rendement excédentaire moyen del’actif Ai et on note µ = (µi )1≤i≤d ∈ Rd .

ThéorèmeOn suppose la matrice de covariance des rendements Γ inversible.Un portefeuille x ∈ Rd est M-V efficace si et seulement si x est colinéaire àΓ−1µ.

Le vecteur xM = Γ−1µ apparaît comme une caractéristique du marché ets’interprète comme un fond commun de placement.Deux preuves : multiplicateurs de Lagrange ou géométrie euclidienne.


Portefeuilles M-V efficace de rendement moyen fixé

Dans toute la suite,on suppose Γ inversible.

CorollaireÉtant donné un réel r ≥ R0, il existe un unique portefeuille M-V efficace derendement moyen r et sa composition relative est donnée par

x(r) =r − R0

µ′Γ−1µΓ−1µ.

De plus, le risque σ(r) =√

Var[Rx(r)] vérifie la relation affine

r = R0 +√µ′Γ−1µσ(r)

Dans ce modèle, les investisseurs utilisent tous le fond commun deplacement xM = Γ−1µ.


Remarques

Pour un portefeuille M-V efficace, rendement moyen r et risque σ(mesuré comme l’écart type du rendement) sont liés par une relationlinéaire.

r = R0 +

√µ′Γ−1µσ

r

σ

Plus l’investisseur est « gourmand » en terme de rendement moyen visé,plus il doit accepter de prendre de risques.De manière symétrique au corollaire précédent, pour un niveau de risquefixé à l’avance σ, il existe un unique portefeuille M-V efficace x(σ) derisque σ. Quelle est sa composition ?


Remarques

Exemple : mandats de gestion en assurance vie (source : BoursoramaBanque)

I Mandat défensif : L’objectif est la valorisation régulière du capital avec unefaible exposition aux fluctuations des marchés financiers et une volatilitécible inférieure à 5%. L’investissement est effectué majoritairement enproduits de taux.

I Mandat équilibré : L’objectif est une valorisation attractive du capital grâceà une gestion discrétionnaire et de convictions, dans le cadre d’un risquecontrôlé (volatilité cible inférieure à 10%). Le mandat est très largementdiversifié pour permettre une exposition équilibrée sur les marchés d’actionsinternationaux et de taux.

I Mandat dynamique : Le mandat a pour objectif la recherche d’unecroissance dynamique, avec une volatilité cible inférieure à 16%. Il estexposé majoritairement sur les principaux marchés actions.

I Mandat offensif : Le mandat a pour objectif de valoriser offensivement lecapital à travers une très forte exposition aux marchés actions, notamment àceux des pays émergents.


Plan du cours






Marché sans vente à découvert

Lorsque le marché ne permet pas les ventes à découvert d’actifs, on doitconsidérer seulement les portefeuilles définis par

α0 ∈ R, αi ≥ 0, 1 ≤ i ≤ d

et les compositions relatives vérifient donc

xi ≥ 0, 1 ≤ i ≤ d .

Si on ne veut ni vente à découvert d’actif, ni emprunt de numéraire, ondoit avoir

αi ≥ 0, 0 ≤ i ≤ d

et donc

xi ≥ 0, 1 ≤ i ≤ d etd∑

i=1

xi ≤ 1.


Portefeuille MV-efficace

Pour déterminer le portefeuille MV-efficace de rendement moyen r > R0,on est donc conduit à trouver le point réalisant le minimum de la variance

Var[Rx ] = x ′Γx

sous les contraintesE[X ] = R0 + µ′x = r

xi ≥ 0, 1 ≤ i ≤ d et éventuellementd∑

i=1

xi ≤ 1.

Cet ensemble peut être vide !On ne dispose malheureusement pas de formule simple explicite, maisdes algorithmes efficaces sont disponibles (optimisation d’une fonctionquadratique sous contrainte affine).


Interprétation géométrique

Si on considère la norme euclidienne ‖x‖2 = x ′Γx , le portefeuilleMV-efficace de rendement r s’interprête comme le projeté orthogonal dupoint 0 sur l’ensemble convexe

C(r) =

{x ∈ [0,∞)d ;µ′x = r − R0 et

d∑i=1

xi ≤ 1

}.


Plan du cours






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