le detecteur mf

7/24/2019 Le Detecteur MF

1/50

Table des matires

1 Introduction et gnralits 5

2 Le filtre adapt 8

2.1 Dveloppement du dtecteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.2 filtre optimal au sens du SNR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.3 Performances du filtre adapt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.3.1 Courbes thoriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.3.2 Simulation de Monte Carlo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

3 Le filtre adapt gnralis 18

3.1 Dveloppement du Dtecteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

3.2 Performances du GMF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

3.2.1 Choix du Signal optimal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

4 Blanchissement du bruit gaussien 22

4.1 Dcomposition de la matrice de covariance du bruit . . . . . . . . . . . . 22

4.2 Performances de lopration de blanchissement . . . . . . . . . . . . . . . 23

5 Les dtecteurs CFAR 26

5.1 Dfinition CFAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

5.2 Variance du bruit inconnue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

5.2.1 Le test du rapport de vraisemblance gnralis GLRT . . . . . . 27

5.3 Variance du bruit et amplitude du signal inconnues . . . . . . . . . . . . 295.3.1 le test du rapport de vraisemblance gnralis GLRT . . . . . . . 29

5.3.2 Performances du dtecteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

Conclusion gnrale 32

Annexes 34

A Le critre de Neyman-Pearson 36

B Simulation de Monte carlo 37

1


2/50

C Progarammes Matlab pour la gnration des figures 38

Bibliographie 50

2


3/50

Table des figures

1.1 Radar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.2 Formes dondes Radar Transmises et reues . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.1 corrlateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.2 filtre adapt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.3 PD en fonction du S N R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.4 Courbes ROC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.5 Pd en fonction du SNR (Monte Carlo) B=1000 . . . . . . . . . . . . . . 16

2.6 Pd en fonction du SNR (Monte Carlo) B=10000 . . . . . . . . . . . . . . 16

3.1 Courbes ROC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

3.2 le choix du signal optimal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

4.1 Blanchissement+dtecteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

4.2 GMF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

4.3 Courbes ROC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

5.1 Dtecteur non CFAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

5.2 dtecteur CFAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

5.3 courbe ROC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

3


4/50

Liste des abrviations

VA Variable alatoire

BBG Bruit blanc gaussien

MF Matched filterFiltre adapt

GMF Generalized matched filterFiltre adapt gnralis

LR Likelihood ratioRapport de vraisemblance

LRT Likelihood ratio testTest du Rapport de vraisemblanceGLRT Generalized likelihood ratio testTest du Rapport de vraisemblance gnralis

MLE Maximum likelihood estimatorEstimateur du Maximum de vraisemblance

ML Maximum likelihood Maximum de vraisemblance

CFAR Constant false alarm rateProbabilit de fausse alarme constante

NP critre deNeyman-Pearson

SNR signal to noise ratio

4


5/50

Chapitre 1

Introduction et gnralits

On entend par la thorie de la dtection, lensemble des techniques utilises dans la

conception des systmes lectroniques de traitement du signal permettant de prendre

des dcisions et dextraire des informations. On trouve ces systmes dans les domainessuivants :

1. Radar

2. Communications

3. Parole

4. Sonar

5. Traitement dimage

6. Biomdicale

7. Commande

8. Sismologie

Ces systmes ont tous un objectif commun : pouvoir dcider quand un vnement intres-

sant se ralise et ensuite dterminer plus dinformation a propos de lvnement. La prise

de dcision est le sujet de notre travail. Afin dillustrer le problme de dtection prsent

dans le traitement du signal, nous allons dcrire brivement deux systmes utiliss dans

les deux premiers domaines numrs prcdemment.

En Radar nous sommes intresss par la dtermination de la prsence ou labsence

dune cible. Pour accomplir cette tche, on transmit une impulsion lectromagntique qui

est rflchie par une cible en mouvement,cela va indiquer la prsence dune cible. Si la

cible est prsente, la forme donde reue consiste en limpulsion rflchie noye dans un

bruit d aux radiations ambiantes et llectronique du rcepteur. Si la cible est absente,

alors uniquement le bruit est prsent. Cest le rle du systme de traitement du signal de

dcider si la forme donde reue se compose dcho noy dans un bruit ou bien du bruit

uniquement.Comme exemple, dans la figure 1.1 nous avons illustr un radar, et dans la

figure 1.2 une forme donde typique reue pour deux diffrents scnario. Quand un choest prsent, on voit que le caractre de la forme donde reue est diffrent, car lcho

reu subit des attnuations durant la propagation et possiblement des distorsions dues

5


6/50

EMP CHAPITRE 1. INTRODUCTION ET GNRALITS

aux multiples rflexions. Bien videment, si la cible est dtecte, il est dans notre intrt

de dterminer ses angles(lvation et azimut), la porte et sa vitesse. Par consquent,

la dtection est la premire tache dans un systme de traitement de signal alors que la

seconde tache est lextraction de linformation. Le dtecteur optimal pour le problme du

radar est le dtecteur de Neyman-Pearsonquon va utiliser dans notre mini-projet.

Une deuxime application est la conception des systmes de communication num-riques. Un exemple est le BPSK (binary phase shift key) utilise pour moduler la sortie

dune source numrique qui met un0ou1. Le bit de donne est dabord modul, en suite

transmet, et la rception dmodul et ensuite dtect. Le modulateur convertit un 0a la

forme dondeS0(t) = cos(2F0t)et un1a la formeS1(t) = cos(2F0t+) = cos(2F0t)pour permettre la transmission travers un canal passe bande dont la frquence centrale

est F0 Hz (par exemple une ligne micro-onde). La phase de la sinusode indique si un

0 ou 1 a t envoy. Dans ce problme la fonction du dtecteur est de dcider entre les

deux possibilits, comme dans le problme radar, bien que maintenant on a toujours unsignal prsent mais la question est lequel entre les deux ?. Ce signal subit gnralement

une distorsion due la bande passante limite du canal et il est aussi corrompu par un

bruit additif.

Figure1.1 Radar

Dans tous ces systmes, nous sommes confronts face au problme de la prise de

dcision bas sur une forme donde temps continu. Les systmes de traitement de

signal moderne utilisent des calculateurs numriques pour chantillonner la forme donde

temps continu et stocker les chantillons. Par consquent, nous avons un problme de

dcision quivalent bas sur une forme donde temps discret. Mathmatiquement on

assume que les Nchantillons{x[0], x[1], , x[N 1]}sont disponibles. Pour arriver une dcision, on doit dabord former une fonction de donnes T(x[0], x[1], , x[N 1])et en suite prendre une dcision base sur la valeur de cette fonction. La dtermination

de la fonction Tet sa transformation en une rgle de dcision est le problme central dela thorie de la dtection .

6


7/50

EMP CHAPITRE 1. INTRODUCTION ET GNRALITS

Figure1.2 Formes dondes Radar Transmises et reues

7


8/50

Chapitre 2

Le filtre adapt

2.1 Dveloppement du dtecteur

Nous commenons notre discussion des approches de la dtection optimale par la

considration des problmes de dtection dun signal dterministe connu noy dans un

bruit gaussien blanc dont tous les paramtrs sont connus. On se retrouve donc dans le

cas dun test dhypothse simples[1]. Nous allons utiliser le critre de Neyman-Pearson

(Annexe A). Nous voulons distinguer entre les hypothses suivantes :

H0 : X[n] =W[n] n= 0, 1, , N 1H1 : X[n] =s[n] +W[n] n= 0, 1, , N 1

(2.1)

O le signal s[n] est suppos connu et W[n] est un bruit blanc gaussien BBG de va-

riance 2. Le BBG est dfini comme tant un processus gaussien centr dont la fonction

dautocorrlation est donne comme suit :

rww[k] =E(W[n]W[n+k]) =2[k]

O [k]est la fonction delta temps discret.

Le dtecteur de Neyman-Pearson dcide H1si le rapport de vraisemblance (LRT :Li-

kelihood Ratio Test) excde un seuil c--d :

L(x) =p(x|H1)p(x|H0) > (2.2)

O x= [x[0] x[1] x[N 1]]T .Sachant que

P[X|H1] = 1(22)N/2

exp

1

22

N1n=0

(x[n] s[n])2

P[X|H0] = 1(22)N/2

exp 1

22N1n=0

x2[n]

8


9/50

EMP CHAPITRE 2. LE FILTRE ADAPT

Nous avons

L(x) = exp

1

22

N1n=0

(x[n] s[n])2 N1n=0

x2[n]

H1>

|H0}= Q

2E

(2.12)

PD = P r{T > |H1}= Q

E

2E

(2.13)

ouQ(x) =

x

12

exp

t

2

2

dt

Q(.) est une fonction monotone dcroissante de mme pour sa fonction inverse Q1(.).

Cela nous permet dcrire (2.12) sous la forme :

=

2EQ1(PFA)

En remplaant dans (2.13)

PD = Q

2EQ1(PFA)

2EE

2

= Q

Q1(PFA)

E

2

(2.14)

On constate que lorsque SN R= E2

augmente, largument deQ(.)diminue, par cons-

quentPD va augmenter. Nous allons vrifier cela par des simulations Matlab.

13


14/50


Figure2.3 PD en fonction du SN R

2.3.1 Courbes thoriques

Afin dillustrer les performances du filtre adapt, nous avons trac les variations de PDen fonction duS NR(fig 2.3) et les courbesROC(Reciever Operating Characteristic)(fig

2.4) et cela en utilisant les relations (2.14) et (2.13).

On remarque bien que, sur les courbes de la figure 2.3, la probabilit de dtection

augmente avec laugmentation de SNR, c--d ,quil y a une relation de proportionnalit

entre la probabilit de dtection et le SNR. On remarque galement que, pour la mme

valeurs de SNR, la probabilit de dtection est meilleure lorsque la probabilit de fausse

alarme augmente. Cela sexplique par le fait que dans les expressions (2.12) et (2.13)

que PFAet PD sont toutes les deux inversement proportionnelles aux seuil donc siPDaugmentePFA augmentera aussi.

Sur la figure 2.4 sont reprsentes les courbes ROC, on voit bien quelles sont bien

concaves (la concavit est une caractristique dune courbe ROC), on remarque galement

quelles sont au-dessus de la droite PD = PFA (La premire bissectrice y=x), de plus,

lorsqueS NRaugmente pour la mme PFA,PD est amliore. On peut aussi analyser les

performances dun dtecteur partir de laire sous la courbe ROC, en effet plus cette

surface est grande plus le dtecteur est performant , lidal tant une surface unit.

14


15/50


Figure

2.4 Courbes ROC

15


16/50


2.3.2 Simulation de Monte Carlo

Lorsquil est trs difficile ou impossible de dterminer la probabilit quune variable

alatoire dpasse une valeur donne dune manire analytique, on fait recours aux simu-

lation de Monte Carlo (Annexe B).

Dans le cas du Filtre adapt les expressions analytiques (thoriques) sont disponibles,nanmoins, on a voulu faire une simulation pour tudier les performances de cette m-

thode et cela en comparant entre les courbes thoriques et les courbes obtenues par Monte

Carlo qui sont des courbes empiriques.(fig 2.5 et fig 2.6)

Figure2.5 Pd en fonction du SNR (Monte Carlo) B=1000

Figure2.6 Pd en fonction du SNR (Monte Carlo) B=10000

16


17/50


La courbe empirique sur la figure 2.5 est obtenue avec un nombre ditrations de Monte

CarloB = 1000et celle de la figure 2.6 avec B = 10000. Il est clair que laugmentation du

nombre ditrations de Monte Carlo B entraine lamlioration du calcul de la probabilit

PDet du seuilNPainsi la courbe empirique va se rapprocher de plus en plus de la courbe

thorique.

17


18/50

Chapitre 3

Le filtre adapt gnralis

3.1 Dveloppement du Dtecteur

Le filtre adapt vu dans le chapitre prcdant est un dtecteur optimal pour les signaux

dterministes noys dans un Bruit Blanc Gaussien (BBG). Dans plusieurs situations les

chantillons temporels du bruit sont corrls, donc lutilisation du filtre adapt devient

inadquate[1]. On suppose que w N(0, C)o Cest la matrice de covariance du bruit.De plus si le bruit est suppos stationnaire au sens large SSLla matrice Ca une forme

de Toeplitz.

[C]mn= cov [W[m], W[n]] =E[W[m]W[n]]E[W[m]] E[W[n]] =E[W[m]W[n]] =rww[mn]

C=

rww[0] rww[1] rww[N 2] rww[N 1]rww[1] rww[0] rww[N 3] rww[N 2]

... . . .

......

. . . ...

... . . .

...

rww[N 1] rww[N 2] rww[1] rww[0]

Comme son nom lindique le filtre adapt gnralise (GMF :Generalized Matched

filtre) est une gnralisation du MF trait dans le chapitre prcdant au cas du bruitcorrl. Pour trouver ce dtecteur on doit encore faire un test du rapport de vraisemblance

(LRT) :

L(x) =p(X|H1)p(X|H0)

H1

>

0 Le critre de Neyman-Pearson scrit

alors :

L(x) =p(x|H1)p(x|H0)

H1

>

].Lexemple suivant illustre les

tapes suivre pour faire une simulation de Monte Carlo. Soit T(x) =N

k=1 x[k] o

X N(0, 2I)

Gnration des donnes

1. Gnrer une vecteur colonne de VA,cela se fait facilement sur Matlabparx=sqrt(var)*randn(N,1)o varest la variance du BBG2

2. Calculer T(x) =N

k=1 x[k]et cela se fait sur Matlab par T=sum(x)

3. Rpter la procdure Mfois pour obtenir M ralisations de Ti{T1, T2, , TN}onprend gnralement M= 100/PFA [1]

Estimation de la probabilit

1. Compter M

le nombre de Tiqui dpasse le seuil

2. Estimer la probabilit P[T > ] =M/M

37


38/50

Annexe C

Progarammes Matlab pour la

gnration des figures

Figure 2.3 et figure 2.4 performances du MF

clear

clc

close all

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%Pd en fonction du snr%%%%%%%%%%%%

Pf=[10^-1 10^-2 10^-3 10^-4 10^-5 10^-6 10^-7];

snr=linspace(0,20,100);

L=length(Pf);

Pd=zeros(100,L);

for i=1:L

Pd(:,i)=qfunc(qfuncinv(Pf(i))-sqrt(10.^(snr/10)));%%%formule theorique

end

plot(snr,Pd);

grid

hold on;

xlabel(SNR);

ylabel(Pd);

legend(Pf=10^-1,Pf=10^-2,Pf=10^-3,Pf=10^-4,Pf=10^-5,Pf=10^-6,Pf=10^-7);

hold off;

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%trac des courbes ROC%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

snr=[0 1 3 5 10 15];

Pf=linspace(0,1,100);

L=length(snr);

Pd=zeros(100,L);

for i=1:LPd(:,i)=qfunc(qfuncinv(Pf)-sqrt(10^(snr(i)/10)));

end

38


39/50

EMP

figure

plot(Pf,Pd);

grid;

hold on;

plot(Pf,Pf,--);

xlabel(Pf);

ylabel(Pd);

legend(snr=0dB,snr=1dB,snr=3dB,snr=5dB,snr=10dB,snr=15dB);

title(courbes ROC);

hold off;

39


40/50

EMP

Figure 2.5 et 2.6 Monte carlo MF

clear

clc

close all

N=20;

Pfa=10^-3;

L=50;%nbr de points de (snr,Pd)

var=1;

SNR=linspace(0,20,L);

A=sqrt(var*10.^(SNR/10));

s=(1/sqrt(N)*ones(N,1)*A);%signal deterministe

E=zeros(L,1);

for i=1:L

E(i)=(norm(s(i,:)))^2;

end

gammath=sqrt(var*E)*qfuncinv(Pfa);

Pd=zeros(L,1);

gammaamp=zeros(L,1);

B=100000;

Tx=zeros(B,1);

for j=1:L

for k=1:Bx0=sqrt(var)*randn(N,1);

Tx(k)=s(j,:)*x0;

end

gammapos=ceil((B+1)*(1-Pfa));

Tx=sort(Tx);

gammaamp(j)=Tx(gammapos);

for i=1:B

x1=(s(j,:))+sqrt(var)*randn(N,1);if s(j,:)*x1>gammaamp(j)

Pd(j)=Pd(j)+1;

end

end

end

Pd=Pd/B;

plot(SNR,Pd);

hold on

Pdth=qfunc(qfuncinv(Pfa)-sqrt(10.^(SNR/10)));

plot(SNR,Pdth,r);

grid;

40


41/50

EMP

xlabel(SNR dB);

ylabel(Pd);

legend(Pd ampirique ,Pd thorique);

title(la probabilit de detection Pd en fonction du SNR);

hold off

gammath(1)

gammaamp(1)

41


42/50

EMP

Figure 3.1 courbe ROC du GMF

clear

clc

close all

N=5;

rho=0.5;

for i=1:N

for j=1:N

C(i,j)=rho^(abs(i-j));

end

end

R=chol(C,Lower);

iC=inv(C);

s=ones(N,1);

B=10000;

L=20;

Pf=linspace(0.01,0.9,L);

s=1/norm(s)*s;

d2=s*iC*s;

Tx=zeros(B,1);

Pd=zeros(L,1);

Pdth=Pd;gammaamp=zeros(L,1);

gammath=gammaamp;

for i=1:L

for j=1:B

x0=R*randn(N,1);

Tx(j)=x0*iC*s;

end

gammapos=ceil((B+1)*(1-Pf(i)));Tx=sort(Tx);

gammaamp(i)=Tx(gammapos);

gammath(i)=sqrt(d2)*qfuncinv(Pf(i));

for j=1:B

x1=s+R*randn(N,1);

if x1*iC*s>gammaamp(i)

Pd(i)=Pd(i)+1;

end

end

end

42


43/50

EMP

Pd=Pd/B;

Pdth=qfunc(qfuncinv(Pf)-sqrt(d2));

plot(Pf,Pdth);

hold on

plot(Pf,Pd);

xlabel(Pf);

ylabel(Pd);

legend(Pd thorique ,Pd ampirique);

title(courbe ROC);

grid

hold off

43


44/50

EMP

Figure 3.2 choix du signal optimal

clear

clc

close all

N=5;rho=0.2;

for i=1:N

for j=1:N


end

end

Pf=linspace(0,1,100);

s1=ones(N,1);

s1=1/norm(s1)*s1;

Pd1=qfunc(qfuncinv(Pf)-sqrt(s1/C*s1));

plot(Pf,Pd1)

hold on

[U,D]=eig(C);

[M,I]=min(diag(D));

s=U(:,I);

s=1/norm(s)*s;

Pd2=qfunc(qfuncinv(Pf)-sqrt(s/C*s));

plot(Pf,Pd2,r)

legend(signal quelconque,signal vecteur propre);

grid

xlabel(Pf);

ylabel(Pd);

title(courbes ROC);

hold off

44


45/50

EMP

Figure 4.3 blanchissement du bruit

clear

clc

close all

N=5;

rho=0.7;

for i=1:N

for j=1:N


end

end

R=chol(C,Lower);

iC=inv(C);

s=ones(N,1);

B=10000;

L=20;


[U,D]=eig(C);

[M,I]=min(diag(D));

s=U(:,I);

s=1/norm(s)*s;

Tx=zeros(B,1);Pd=zeros(L,1);

Pdw=Pd;


for i=1:L

for j=1:B

x0=R*randn(N,1);

Tx(j)=x0*iC*s;

endgammapos=ceil((B+1)*(1-Pf(i)));

Tx=sort(Tx);

gammaamp(i)=Tx(gammapos);

for j=1:B

x1=s+R*randn(N,1);

if x1*iC*s>gammaamp(i)

Pd(i)=Pd(i)+1;

end

end

end

45


46/50

EMP

Pd=Pd/B;

plot(Pf,Pd);

hold on

[sh,x1h]=whitening(x1,s,C);

[sh,x0h]=whitening(x0,s,C);

for j=1:L

for k=1:B

x0h=randn(N,1);

Tx(k)=sh*x0h;

end

gammapos=ceil((B+1)*(1-Pf(j)));

Tx=sort(Tx);

gammaamp(j)=Tx(gammapos);

for i=1:Bx1h=sh+randn(N,1);

if sh*x1h>gammaamp(j)

Pdw(j)=Pdw(j)+1;

end

end

end

Pdw=Pdw/B;

plot(Pf,Pdw,r);hold off

grid

legend(GMF,Blanchissement + MF);

xlabel(Pf);

ylabel(Pd);

46


47/50

EMP

Figure 5.2 dtecteur CFAR

clear

clc

close all

N=5;s=ones(N,1);

var=[0.1 0.5 2];

A=[3 1 10];

B=10000;

L=20;


s=1/norm(s)*s*A;

Tx=zeros(B,1);


for k=1:3

Ps=(s(:,k)*(s(:,k)))/((s(:,k))*s(:,k));

for i=1:L

for j=1:B

x0=sqrt(var(k))*randn(N,1);

Tx(j)=(x0*x0)/((x0-Ps*x0)*(x0-Ps*x0));

end

gammapos=ceil((B+1)*(1-Pf(i)));

Tx=sort(Tx);

gammaamp(i,k)=Tx(gammapos);

end

end

plot(gammaamp,Pf)

grid

xlabel(gamma);ylabel(Pf);

legend(var=0.1 A=3 ,var=0.5 A=1 ,var=2 A=10);

clear

clc

close all

N=5;

s=ones(N,1);

var=[0.1 0.5 2];

B=10000;

47


48/50

EMP

L=20;


s=1/norm(s)*s;

Tx=zeros(B,1);


for k=1:3

for i=1:L

for j=1:B

x0=sqrt(var(k))*randn(N,1);

Tx(j)=((x0*x0)/((x0-s)*(x0-s)));

end


Tx=sort(Tx);

gammaamp(i,k)=Tx(gammapos);

end

end

plot(gammaamp,Pf)

grid

xlabel(gamma);

ylabel(Pf);

legend(var=0.1 ,var=0.5 ,var=2);

48


49/50

EMP

Figure 5.3 Monte Carlo CFAR

clear

clc

close all

N=5;

s=ones(N,1);

var=0.5;

B=10000;

L=50;


s=1/norm(s)*s;

Ps=(s*s)/(s*s);

Tx=zeros(B,1);

Pd=zeros(L,1);


for i=1:L

for j=1:B

x0=sqrt(var)*randn(N,1);

Tx(j)=(x0*x0)/((x0-Ps*x0)*(x0-Ps*x0));

end


Tx=sort(Tx);gammaamp(i)=Tx(gammapos);

gammath(i)=1/(N-1)*(finv(1-Pf(i),1,N-1));

gammath(i)=gammath(i)+1;

for j=1:B

x1=s+sqrt(var)*randn(N,1);

if (x1*x1)/((x1-Ps*x1)*(x1-Ps*x1))>gammath(i)

Pd(i)=Pd(i)+1;

endend

end

Pd=Pd/B;

plot(Pf,Pd);

hold on

plot(Pf,Pf,K--);

grid

xlabel(Pf);

ylabel(Pd);

legend(Pd ampirique);

title(courbe roc CFAR par montecarlo);

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Bibliographie

[1] Steven M.Kay,"Fundamentals of statistical signal processing,volume II,Detection

theory", Prentice Hall PTR, 1993

[2] Louis Scharf,"Statistical signal processing : detection , estimation and time series",

Addison-Wesley Pub. CO, 1991

[3] Arezki Younsi, "Cours dtection 3AI TS",EMP,2015

le detecteur mf

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