le cercle du dr. lÉon bankoffjl.ayme.pagesperso-orange.fr/docs/leon bankoff.pdf · dr. lÉon...

LE CERCLE

DU

Dr. LÉON BANKOFF

OU

LE TROISIÈME CERCLE D’ARCHIMÈDE

La dérive cynique: du Maître à l'élève,

de l'élève au copiste et du copiste à l'individu.

Jean-Louis AYME 1

A B C

S T

R

0

Résumé. L'auteur présente le cercle du docteur Léon Bankoff, dentiste à Beverly Hills- Hollywood qui a ouvert une voie à la famille nombreuse des cercles gémellaires à

ceux d'Archimède ainsi que ''The asymmetric propeller''… Les figures sont toutes en position générale et tous les théorèmes cités peuvent tous être démontrés synthétiquement.

Abstract. The author presents the circle of Dr. Leon Bankoff, a dentist in Beverly Hills-

Hollywood who has paved the way for the large family of twin circles to those of Archimedes as welle as ''the asymmetric propeller''… The figures are all in general position and all cited theorems can all be shown

synthetically.

1 Saint-Denis, Île de La Réunion (Océan Indien, France), le 29/08/2019 ; [email protected]

2

2

Sommaire

PARTIE 1

A. L'arbelos d'Archimède de Syracuse 3 B. Un cercle d'Archimède 5 C. Les cercles jumeaux d'Archimède 8 D. Le premier cercle de Pappus 9 E. Le premier cercle de Léon Bankoff 12 F. Une courte biographie de Léon Bankoff 16

PARTIE 2 18

A. Une tangente au cercle de Bankoff 18 B. Une tangente dans l'arbelos 20 C. Le second cercle de Bankoff 22 D. Le cercle de Dodge 24

PARTIE 3

A. The circular and symmetric propeller 26 B. The circular and asymmetric propeller (1930) 27 C. The asymmetric propeller (1941) 30 D. The asymmetric propeller (1968) 34 E. The asymmetric propeller (2016) 39

APPENDICE 41

1. Intersection sur le cercle circonscrit 41

Lexique Français-Anglais 43

3

3

PARTIE 1

A. L'ARBELOS

ARCHIMÈDE DE SYRACUSE (IIIe siècle a. J.-C.)

VISION

Figure :

A B C

0

1

2

Finition : [AB] un segment,

0 un demi-cercle de diamètre [AB], C un point de [AB] et 1, 2 les demi-cercles de diamètre resp. [AC], [CB] situés dans le même demi-plan que 0. Définition : le domaine limité par 0, 1 et 2 est ''un arbelos'' noté A(0, 1, 2). 2 Note historique : Archimède a écrit le livre des Lemmes qui a été perdu ; seule sa traduction en Arabe,

puis en latin, nous est parvenue sous le titre de Liber assumptorum ; c’est à la proposition 4 de ce livre, que se trouve le célèbre théorème de l'Arbelos (αρβηλο en grec) i.e. de la serpe ou du tranchet du cordonnier qui géométrise l’espace curviligne compris entre trois demi-circonférences tangentes deux à deux. Le danois Georg Mohr lui a aussi donné le nom de tricercle. Si les premières propriétés de l'Arbelos se trouvent dans les travaux d'Archimède, d'autres apparaissent dans les Collections de Pappus 3. Beaucoup plus tard, l'étude de l'Arbelos sera reprise dans la revue Ladies and Gentlemen's diary de 1833, 1842 et 1845, et généralisée par Jakob Steiner 4. En 1835, Sir Thomas Muir 5 ajoute un théorème donnant les formules des différents rayons et John Sturgeon MacKay rassemble quelques résultats 6 en liaison avec ce problème. En 1919, Gaston Fontené 7 généralise quelques formules émergeant de l'ensemble des cercles tangents.

2 Heath T. L., Works of Archimedes, Cambridge (1897) Lemmes 4-6 3 Pappus, Collectio, édition Hultsch., Berlin (1876-8) Livre I , p. 209 et suivantes; Livre 4, p. 15-18 4 Steiner J., Gesammelte Werke, Berlin (1881) vol. I , p. 47-76 5 Muir T., Proceedings of Edinburgh Math Soc., vol III (1885) 119 6 Mackay J. S., Proceedings of Edinburgh Math Soc., vol III (1885) 2-11 7 Fontené G., Sur les cercles de Pappus, Nouvelles Annales de Mathématiques, 4 (1918) 383-?

4

4

Commentaire : historiquement, la première leçon de Géométrie qui consistait à l’étude systématique des propriétés de l'Arbelos, a disparu des manuels scolaires suite à la révolution menée par Andrien-Marie Legendre 8 lorsqu'il publia en 1756 ses Éléments de Géométrie qui renversait l'ordre d'apprentissage établi jusque-là.

8 Legendre A.M. (18/09/1752, Paris-10/01/1833, Auteuil)

5

5

B. UN CERCLE D’ARCHIMÈDE 9

VISION

Figure :

B A C

D

1

2

0

1b

Finition : A(0, 1, 2) un arbelos comme indiqué sur la figure, D le point d'intersection de la perpendiculaire à (AB) issue de C avec 0 et 1b le cercle tangent à 0, 2 et (CD), Définition : 1b est ''un cercle d'Archimède de A(0, 1, 2) ''. Une construction de 1b : supposons le problème résolu.

Premier point de contact X

B A C

D

X

1

2

0

1b

3

Tx

• Notons X le point de contact de 2 et 1b, Tx la tangente commune intérieure à 2 et 1b,

et 3 le cercle de centre A passant par D. • Scolie : 3 est orthogonal à 2 et 1b. 10 • Conclusion : Tx passe par A. 11

9 Archimède, Lemmes, proposition 5 10 Ayme J.-L., Cercles segmentaires, G.G.G. vol. 16, p. 10-11 ; https://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/ 11 Ayme J.-L., Cercles segmentaires, G.G.G. vol. 16, p. 11-12 ; https://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/

6

6

Deuxième point de contact Y

B A C

D

X

Y 1

2

0

1b

3

Tx Tb

• Notons Tb la tangente à 2 en B et Y le point de contact de 1b avec (CD). • Conclusion : les cercles 2 et 1b, le point de base X, les parallèles Tb et (CYD),

conduisent au théorème 8' de Reim ; en conséquence, B, X et Y sont alignés.

Troisième point de contact Z

B A C

D

X

Y

Z

1

2

0

1b

3

Tx Tb

• Notons Z le point de contact de 1b avec 0. • Conclusion : A, Y et Z sont alignés. 12

Le centre du cercle

B A C

D

j

X

Y

Z

1

2

0

1b

• Notons b, j les centres resp. de 1b, 2. • Conclusion : B est le point d'intersection de (jX) et de la perpendiculaire à (CD) en Y.

12 Ayme J.-L., Cercles segmentaires, G.G.G. vol. 16, p. 9-19 ; https://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/

7

7

Le rayon du cercle 1b

B A C

D

j

X

Y

Z

1

2

0

1bY'

• Notons Y' l'antipôle de Y relativement à 1b. • Conclusion : YY' = (CA.CB)/AB. 13


8

8

C. LES CERCLES JUMEAUX D’ARCHIMÈDE 14

VISION

Figure :

B A C

D

1a

1b

2 1

0

Traits : A(0, 1, 2) un arbelos comme indiqué sur la figure, D le point d'intersection de la perpendiculaire à (AB) issue de C avec 0 et 1a, 1b les cercles tangents (CD), 0 resp. à 1, 2. Donné : 1 et 2 sont égaux. (Cf. II. Rayon). Scolie : 1 et 2 sont ''les cercles jumeaux d'Archimède''. Note historique : en 1695, l'allemand Johann Christoph Sturm15 a calculé le rayon des deux cercles

d'Archimède. Ce calcul a été redemandé sous forme de problème dans la revue anglaise Gentlemen's diary 16.

14 Archimède de Syracuse, Lemmes, proposition 5 15 Sturm J. Chph., Geometria enucleata (1695) 372 16 Gentlemen's diary (1833) 40.

9

9

D. LE PREMIER CERCLE

DE

PAPPUS D'ALEXANDRIE 17 (IVe siècle après J.-C.)

VISION

Figure :

B A C

3

2 1

0

Finition : A(0, 1, 2) un arbelos comme indiqué sur la figure,

et 3 le cercle tangent resp. à 0, 1, 2. Définition : 3 est le premier cercle de Pappus. 18 Une construction de 3 : supposons le problème résolu.

Le point I

B A C

3

2 1

0

I

• Notons I le centre interne d'homothétie de 0 et 1.

17 Pappus, théorème 15, Collectio 4, 15-16 Pappus, Collectio, édition Hultsch., Berlin (1876-8) vol. 1, p. 209 anf ff 18 First Pappus circle, AoPS du 31/12/2014 ; http://www.artofproblemsolving.com/Forum/viewtopic.php?f=47&t=619359

10

10

Le premier point de contact K

B A C

K

3

2 1

0

I

• Notons K le point de contact de 3 avec 2. • Conclusion : (IK) est la tangente commune intérieure de 2 et 3. 19

Le deuxième point de contact M

B A C

3

2 1

0

I

U

Tb

M Tm

4

K

• Notons Tb la tangente à 0 et 2 en B, U ce point d'intersection de Tb et (IK),

M le point de contact de 3 avec 0, Tm la tangente à 0 et 3 en M et 4 le cercle de centre U passant par B ; il passe par K.

• D'après Gaspard Monge ''Le théorème des trois cordes'' 20, Tm passe par U. • Conclusion : 4 passe par M.

Le troisième point de contact

B A C

K J

3

2 1

0

I

U

Tb

M Tm

19 Ayme J.-L., Cercles segmentaires, G.G.G. vol. 16, p. 33-34 ; https://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/ 20 Ayme J.-L., Le théorème des trois cordes, G.G.G. vol. 6 ; https://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/

11

11

• Notons J les points de contact de 3 avec 1. • Conclusion : I, J et M sont alignés. 21 Note historique : ce cercle 3 a été remarqué et étudié par Pappus d'Alexandrie 22.

Roger A. Johnson, Samuel Greitzer et Léon Bankoff ajoutent qu'ils ne peuvent s'empêcher de penser qu'Archimède devait connaître ce cercle. Léon Bankoff précise que le diamètre de ce cercle est calculé dans le lemme 6 d'Archimède 23.

Scolie : quatre points cocycliques

B A C

J

M

3

2 1

0

I

• Conclusion : d'après James Henry Weaver, B, C J et M sont cocycliques. 24

21 Ayme J.-L., Cercles segmentaires, G.G.G. vol. 16, p. 33-34 ; https://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/ 22 Johnson R. A, Advanced Euclidean Geometry, Dover, New York (1960) 117 23 Archimède de Syracuse, Works of Archimède, édition Heath, Cambridge (1897) 24 Ayme J.-L., Cercles segmentaires, G.G.G. vol. 16, p. 35-36 ; https://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/

12

12

E. LE PREMIER CERCLE

DE

LÉON BANKOFF 25

OU

LE TROISIÈME CERCLE D 'ARCHIMÈDE

VISION

Figure :

A B C

J K

3

1 2

1c

0

Traits : A(0, 1, 2) un arbelos comme indiqué sur la figure,

3 le premier cercle de Pappus, K, J les points de contact de 3 resp. avec 1, 2 et 1c le cercle passant par C, K, J.

Donné : 1c est égal aux cercles jumeaux d’Archimède.

VISUALISATION

• Scolie : le diamètre des cercles jumeaux d'Archimède est égal à CA CB

AB

..

A B C

J K

3

1 2

1c

0

• D'après Gaspard Monge ''Le théorème des trois cordes'' 26, les tangentes intérieures communes à * 1 et 3 en J

25 Bankoff L., A Mere Coincidence, Los Angeles Mathematics Newsletter, (novembre 1954) 26 Ayme J.-L., Le théorème des trois cordes, G.G.G. vol. 6 ; https://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/

13

13

* 2 et 3 en K * 1 et 2 en C concourent au centre de 1c ;

en conséquence, 1c est orthogonal à 1 et 2.

A B C

J K

3

2

0

V

U 1

A' B'

1c

• Notons U, V les points d'intersection de la médiatrice de [AC] avec 1 comme indiqué et A', B' les points d'intersection resp. de (VJ), (UJ) avec 1c. • D'après Altshiller-Court ''Cercles orthogonaux'', * (A'B') est un diamètre de 1c * (A'B') // (ACB). • Les cercles 1c et 1, les points de base J et C, la monienne (B'JU), les parallèles (B'A') et (ACB), conduisent au théorème 1' de Reim ; en conséquence, A', C et U sont alignés.

A B C

J K

3

2

0

V

U 1

A' B'

1c

R

• Notons R le point d'intersection de la médiatrice de [BC] avec 2 comme indiqué et Tv, Tr les tangentes à 1, 2 resp. en V, R. • Scolie : Tv // Tr. • Les cercles tangents 1 et 2, le point double de base C, les parallèles Tv et Tr, conduisent au théorème 7' de Reim ; en conséquence, V, C et R sont alignés. • D'après Altshiller-Court ''Cercles orthogonaux'', appliqué aux cercles orthogonaux 1c et 1, V, C et B' sont alignés.

14

14

• D'après l'axiome d'incidence Ia, V, C, B' et R sont alignés. • D'après Thalès de Milet ''Triangle inscriptible dans un demi-cercle'', (UA'C)⊥ (TB'C).

A B C

J K

M

3

2

0

V

U 1

A' B'

1c

R

4

• Notons M le point de contact de 3 avec 0. • D'après James Henry Weaver, B, C, J et M sont cocycliques. 27 • Notons 4 ce cercle. • Par culture géométrique, R est le centre de 4 ; en conséquence, (UA'C) est la tangente à 4 en C. • Les cercles 1c et 4, les points de base C et J, la monienne (CCA'), les parallèles (A'B') et (CCB), conduisent au théorème 1' de Reim ; en conséquence, B', J et B sont alignés. • Conclusion partielle : d'après l'axiome d'incidence Ia, U, J, B', B sont alignés.

A B C

J K

3 1

2

1c

0

U

B'C' A'

• Les cercles 2 et 1, les points de base C et J, les moniennes (CCA) et (B'JU), conduisent au théorème 3 de Reim ; il s'en suit que (CB') // (AU) . • Notons C' le point d'intersection de (A'B') et (AU). • Le quadrilatère ACB'A' ayant ses côtés opposés parallèles deux à deux, est un parallélogramme ; en conséquence, B'C' = AC . • Une chasse de rapports :


15

15

* d'après Thalès ''Rapports'', B'A'/B'C' = BC/BA * par substitution, B'A'/AC = BC/BA * autre écriture, B'A' = AC.BC/BA

* en conséquence, le diamètre de 1c est égal à CA CB

AB

..

• Conclusion : 1c est égal aux cercles jumeaux d’Archimède. Scolies : (1) 1c est le cercle de Bankoff ou le troisième cercle d'Archimède

(2) Vision

B A C

D

Note historique : Léon Bankoff publia à nouveau ce résultat en septembre 1974 dans la revue

Mathematics Magazine 28 .

28 Bankoff L., Are the Twin Circles of Archimedes Really Twins? , Mathematics Magazine 47 (1974) 214-218

16

16

F. UNE COURTE BIOGRAPHIE

DE

LÉON BANKOFF

29

Un amateur géomètre et

non un géomètre professionnel.

Léon Bankoff est né le 13 décembre 1908, à New York (Etats-Unis). Sa mère, originaire de Riga (Lettonie), est une célèbre couturière de la 5e avenue et son père, arrivé aux Etats-Unis autour de 1900, est marchand de tabac en dehors de ses heures de travail. Après ses études en chirurgie dentaire, il obtient son doctorat et quitte la côte ouest pour aller pratiquer son métier à Beverly Hills-Hollywood (Californie). Pour l'anecdote, il aura parmi ses patients, des célébrités hollywoodiennes. Aimant le piano, la guitare et l'ordinateur, il se passionne pour les mathématiques vers 1940 et écrit des articles de mathématiques ainsi que des articles concernant son domaine professionnel. Sa fascination pour l'Arbelos d'Archimède, l'amène à rassembler de nombreux résultats sur le sujet et le pousse à entreprendre en 1958, un voyage en France pour rencontrer un autre ''fan'' de l'Arbelos, Victor Thébault. La rencontre se fait à Tennie (Sarthe) où réside le célèbre problémiste français par l'intermédiaire d'une interprète, Francine Laloue, qu'il épouse en 1966. De 1968 à 1981, il prend en charge la section Problèmes dans la revue Pi Mu Epsilon Journal qui dépérira à cause d'un manque de lecteurs. Il contribue aussi au journal Euréka, l'ancêtre de Crux Mathematicorum, fondé par Léon Sauvé. Auteur d'une démonstration du théorème d'Erdös-Mordell, le gentleman de Beverly Hills-Hollywood, découvre en 1954, dans l'Arbelos, deux autres cercles égaux aux cercles gémellaires d'Archimède Durant sa retraite, il travaille sur un livre résumant tous les travaux concernant l'Arbelos et demande à Clayton W. Dodge de l'Université du Maine de le terminer suite à une perte de la vue. Il décède d'un cancer, le dimanche après-midi du 16 février 1997. 29 http://math.fau.edu/yiu/AEG2013/BankoffCMJ.pdf

17

17

Archive :

18

18

PARTIE 2

A. UNE TANGENTE

AU

CERCLE DE BANKOFF 30

VISION

Figure :

A B C

J K

3

1

2 1c

0

U Y

Traits : A(0, 1, 2) un arbelos comme indiqué sur la figure,

3 le premier cercle de Pappus, 1c le cercle de Bankoff,

K, J les points de contact de 3 resp. avec 1, 2, U le point d'intersection de la médiatrice de [AC] avec 1 comme indiqué

et Y le point de contact de la tangente issue de U à 2 comme indiqué. Donné : (UY) est tangente à 1c.

VISUALISATION

A B C

J K

3

1

2

1c

0

U Y

A' B'

• Notons A', B' les points d'intersection de(UC), (UJ) avec 1c. • Scolies : (1) (B'C') est un diamètre de 1c, parallèle à (BC)

30 Dodge C. W., Schoch T., Woo P. W. and Yiu P., Those ubiquitous Archimedean circles, Math. Mag., 72 (1999), 202-213.

19

19

(2) U, J, B' et B sont alignés (3) U est le centre externe d'homothétie de 1c et 2. • Conclusion : (UY) étant tangente à 2 en Y, (UY) est tangente à 1c.

20

20

B. UNE TANGENTE DANS L'ARBELOS 31

VISION Figure :

B A C

D

1

2

0

X

Y

Traits : A(0, 1, 2) un arbelos comme indiqué sur la figure, D le point d'intersection de la perpendiculaire à (AB) issue de C avec 0, X le second point d'intersection de (AD) avec 1 et Y le second point d'intersection de (BD) avec 2. Donné : (XY) est la tangente commune extérieure à 1 et 2 resp. en X, Y.

VISUALISATION

B A C

D

1

2

0

X

Y

3

• Par hypothèse, (CD) est la tangente à 1 en C. • D'après Thalès de Milet ''Triangle inscriptible dans un demi-cercle'',

(1) les triangles AXC, ADC et BYC sont resp. X, D, Y- rectangles

(2) en conséquences, (CX) ⊥ (AXD) et (AXD) ⊥ (DYB) (3) d'après l'axiome IVa des perpendiculaires, (CX) // (DY). • Notons 3 le cercle de diamètre [CD] ; il passe par X, Y et C. • Conclusion partielle : les cercles 1 et 3, les points de base C et X, la monienne (CCD), les parallèles (CX) et (DY) conduisent au théorème 4' de Reim ; en conséquence, (XY) est la tangente à 1 en X.

31 Heath T. L., Works of Archimedes, Cambridge (1897) Lemmes 4-6

21

21

B A C

D

1

2

0

X

Y

3

• Mutatis mutandis, nous montrerions que (XY) est la tangente à 2 en Y. • Conclusion : (XY) est la tangente commune extérieure à 1 et 2 resp. en X, Y. Scolies : (1) le quadrilatère CVDU étant un rectangle, XY = CD (2) (CD) étant la hauteur du triangle D-rectangle DAB, XY est moyenne géométrique entre CA et CD i.e. CD2 = CA.CD

(3) D est milieu d'un arc

B A C

D

1

2

0

X

Y

3

X'

Y'

Td

• Notons X', Y' les points d'intersection de (XY) avec 0 comme indiqué et Td la tangente à 0 en D. • Les cercles tangents 0 et 1, le point double de base A, la monienne double (DAU), conduisent au théorème 8 de Reim ; il s'en suit que Td // (X'Y'). • Conclusion : le triangle DX'Y' étant D-isocèle, D est le milieu de l'arc (X'Y') ne contenant pas A.

22

22

C. LE QUATRIÈME CERCLE D'ARCHIMÈDE 32

OU

SECOND CERCLE DE BANKOFF

VISION

Figure :

B A C

D

O

1

2

0

X

Y E

1d

Traits : A(0, 1, 2) un arbelos comme indiqué sur la figure, O le centre de 0, D le point d'intersection de la perpendiculaire à (AB) issue de C avec 0, X, Y les seconds points d'intersection de (DA), (DB) resp. avec 1, 2, E le point d'intersection de (OD) et (XY), et 1d le cercle de diamètre [DE]. Donné : 1d est égal aux cercles d'Archimède.

VISUALISATION

B A C

D

O

1

2

0

X

Y E

1d

F

X'

Y'

• Notons X', Y' les points d'intersection de (XY) avec 0 comme indiqué

et F l'antipôle de D relativement à 0. • Scolies : (1) (DE) ⊥ (UV)

32 Bankoff L.

23

23

(2) 1d est tangent à (X'Y') en E et à 0 en D.

B A C

D

O

1

2

0

X

Y T E

1d

F

X'

Y'3

• Notons T le point d'intersection de(CD) et (X'Y'), et 3 le cercle de diamètre [OT] ; il passe par C et E.

• Scolie : X est le milieu de [CD]. • Une chasse segmentaire :

* par puissance de D par rapport à 3, DE.DO = DT.DC * par duplication, 2. DE.DO = 2. DT.DC * par substitution, DE.DF = DC.DC * par hypothèse, DE.AB = DC2 * par relation métrique dans le triangle D-rectangle DAB, DE.AB = CA.CB

* rayon de 1d, DE = CA CB

AB

..

• Conclusion : 1d est égal aux cercles d'Archimède. Scolie : 1d est le quatrième cercle d'Archimède ou ''second cercle de Bankoff''.

24

24

D. LE CINQUIÈME CERCLE D'ARCHIMÈDE

OU

CERCLE DE DODGE

VISION

Figure :

B A C

D

O

1

2

0

X

Y E

1d

Pc

F

1e

Traits : A(0, 1, 2) un arbelos comme indiqué sur la figure, O le centre de 0, D le point d'intersection de la perpendiculaire à (AB) issue de C avec 0, X, Y les seconds points d'intersection de (DA), (DB) resp. avec 1, 2, E le point d'intersection de (OD) et (XY), 1d le cercle de diamètre [DE], Pc la parallèle à (XY) issue de C, F le point d'intersection de Pc et (DE), et 1e le cercle de diamètre [EF]. Donné : 1e est égal aux cercles d'Archimède. .

VISUALISATION

B A C

D

O

1

2

0

X

Y T E

1d

Pc

F

1e

• Notons T le point d'intersection de (CD) et (XY). • Scolie : T est le milieu de [CD]. • D'après Thalès de Milet ''la droite des milieux''

25

25

appliqué au triangle DFC, E est le milieu de [DF]. • 1d et 1e ayant des diamètres égaux, sont égaux. • Conclusion : 1e est égal aux cercles d'Archimède.

Scolie : 1e est le cinquième cercle d'Archimède ou ''cercle de Dodge''. Note historique : c'est en discutant avec Léon Bankoff de son quatrième cercle que Clayton W. Dodge

de l'université d'Orono (Maine, Etats-Unis) trouva ce cercle qui aujourd'hui porte son nom.

26

26

PARTIE 2

one of the most remarkable mathematicians I have been privileged to know. Martin Gardner

A. THE CIRCULAR

AND

SYMMETRIC PROPELLER 33 34

VISION

Figure :

A

O

0

B

F

E

D C

I

J K

Traits : 0 un cercle, O, R le centre, rayon de 0,

ABCDE F un hexagone régulier inscrit dans 0 et I, J, K les milieux resp. de [AF], [BC], [DE]. Donné : le triangle IJK est équilatéral. Commentaire : les longueurs des médianes [IJ], [JK], [KI] resp. des trapèzes ABCF, BCDE, CDEF

étant égales, IJK est équilatéral.

33 Bankoff, Erdös, Kamklim, The Asymmetric Propeller, Mathematics Magazine 46 (1973) 270-272 34 Léon Bankoff, the student, drawn by Frank Netter, the famed medical illustrator, 1927

27

27

B. THE CIRCULAR

AND

ASYMMETRIC PROPELLER

Known since the 1930s

VISION

Figure :

O

F

E

D C

B

A I

J

K

0

Traits : 0 un cercle, O, R le centre, rayon de 0,

ABCDE F six points de 0 tels que AB = CD = EF = R et I, J, K les milieux resp. de [AF], [BC], [DE]. Donné : le triangle IJK est équilatéral.

VISUALISATION

O

F

E

D C

B

A I

J

K

0

Q

T

28

28

• Notons Q, T les milieux resp. de [OB], [OE]. • En considérant le triangle OAF et les deux triangles équilatéraux OAB et OFE, le triangle IQT est équilatéral. 35

O

F

E

D C

B

A I

J

K

0

Q

T

X

1

• Notons X le point d'intersection de (QI) et (TK), et 1 le cercle circonscrit au triangles XQT. • Par ''Le théorème de l'angle inscrit'', 1 passe par I. • Scolie : <IQJ = <ITK. • D'après Thalès de Milet ''La droite des milieux'' appliqué aux triangles OBC et ODE, QJ = TK = R/2. • D'après ''Le théorème c.a.c.'', les triangles IQJ et ITK sont égaux. • En conséquences, (1) IJ = IK (2) <JIK = 60°. • Conclusion : le triangle IJK est équilatéral.

• D'après ''Le théorème c.a.c.'', les triangles IQJ et ITK sont égaux. • En conséquences, (1) IJ = IK (2) <JIK = 60°. • Conclusion : le triangle IJK est équilatéral.

35 Ayme J.-L., Triangles adjacents, G.G.G. vol. 16, p. 53-54 ; https://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/ Ayme J.-L., An equilateral triangle, AoPS du 28/01/2014 ;

https://www.artofproblemsolving.com/Forum/viewtopic.php?f=47&t=573290

29

29

Note historique : Martin Gardner wrote 36

That's called the asymmetric propeller theorem, and it's been known since the 1930s.

36 Martin Gardner, The Asymmetric Propeller, College Mathematics Journal 30:1 [January 1999], 18-22 ;

https://www.futilitycloset.com/2015/05/29/the-asymmetric-propeller/

30

30

C. THE ASYMMETRIC PROPELLER

45th Eötvös Competition 1941

VISION Figure :

O

F

E

D C

B

A

J

I

K

Traits : OAB, OCD, OEF trois triangles équilatéraux adjacents par le sommet O et I, J, K les milieux resp. de [AF], [BC], [DE]. Donné : le triangle IJK est équilatéral.

VISUALISATION

O

F

E

D C

B

A

J

I

K Q

T

• Notons Q, T les milieux resp. de [OB], [OE]. • En considérant le triangle OAF et les deux triangles équilatéraux OAB et OFE, le triangle IQT est équilatéral. 37

37 Ayme J.-L., Triangles adjacents, G.G.G. vol. 16, p. 53-54 ; https://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/ Ayme J.-L., An equilateral triangle, AoPS du 28/01/2014 ;

https://www.artofproblemsolving.com/Forum/viewtopic.php?f=47&t=573290

31

31

O

F

E

D C

B

A

J

I

K Q

T

X

1

• Notons X le point d'intersection de (QI) et (TK), et 1 le cercle circonscrit au triangles XQT. • Par ''Le théorème de l'angle inscrit'', 1 passe par I. • Scolie : <IQJ = <ITK. • D'après Thalès de Milet ''La droite des milieux'' appliqué aux triangles OBC et ODE, QJ = TK. • D'après ''Le théorème c.a.c.'', les triangles IQJ et ITK sont égaux. • En conséquences, (1) IJ = IK (2) <JIK = 60°. • Conclusion : le triangle IJK est équilatéral. Commentaire : ce problème se généralise en remplaçant les trois triangles équilatéraux

par trois triangles semblables en s'appuyant dans la preuve sur le résultat de l'auteur. 38 Note historique : Martin Gardner wrote 39

In 1979, Beverly Hills dentist and geometry enthusiast Leon Bankoff told Martin Gardner of some further discoveries. Bankoff never found time to write them up, so after the dentist's death in 1997, Gardner published them in the College Mathematics Journal:

* The three equilateral triangles need not be congruent. Each can be of any size and the theorem still holds.

* They need not even be equilateral! If three similar triangles of any sizes meet at a point, the

midpoints of the three added lines will form a triangle similar to each of the ''propellers. ''

38 Ayme J.-L., Triangles adjacents, G.G.G. vol. 16, p. 54-56 ; https://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/ 39 Martin Gardner, The Asymmetric Propeller, College Mathematics Journal 30:1 [January 1999], 18-22 ;


32

32

L'hélice asymétrique apparaît pour la première fois dans un problème de l'O. M. de Hongrie en 1941 et pour cette raison est appelé aussi ''le théorème hongrois''. Archive :

40

40 The Asymmetric Propeller: Mathematics Magazine: Vol 46, No 5 ; https://users.renyi.hu/~p_erdos/1973-28.pdf

33

33

41

41 Suppa E.; http://www.batmath.it/matematica/raccolte_es/ek_competitions/ek_competitions.pdf

34

34

D. THE ASYMMETRIC PROPELLER 42

American Mathematical Monthly 1968

VISION Figure :

B

C

A

A"

A'

B''

B'

C''

C'

I K

J

Traits : ABC un triangle équilatéral, AA'A'', BB'B'', CC'C'' trois triangles équilatéraux comme indiqué

et I, J, K les milieux resp. de [A''B'], [B''C'], [C''A']. Donné : le triangle IJK est équilatéral.

VISUALISATION

42 American Mathematical Monthly, v 75, n 7 (1968) 732-739

Bankoff L., Erdös P. and Klamkin M., The Asymmetric Propeller, Mathematics Magazine, v. 46, n. 5 (1973) 270-272

35

35

B

C

A

A"

A'

B''

B'

C''

C'

I K

J

P

Q R

• Notons P, Q, R les milieux resp. de [CB''], [CA], [AB']. • D'après Thalès de Milet ''La droite des milieux'' appliqué au

* triangle ACB', 2.QR = CB' et (CB') // (QR) * triangle CAB'', 2.OP = AB'' et (AB'') // (QP). • D'après ''Le théorème c.a.c. '', les triangles BCB' et BAB'' sont égaux ; en conséquences,

* CB' = AB''

* QR = QP. • D'après F. Appendice 1 (p. 41) et par parallélisme, <RQP = 60°. • Conclusion partielle : le triangle PQR est équilatéral.

36

36

B

C

A

A"

A'

B''

B'

C''

C'

I K

J

P

Q

R S

• Notons S le milieu de [CA']. • D'après Thalès de Milet ''La droite des milieux'' appliqué au

* triangle CAA', 2.QS = AA' * triangle B'AA'', 2.RI = AA'' (= AA') en conséquence, QS = RI. • (QS) et (RI) se coupant sur le cercle circonscrit au triangle PQR, par ''Angles supplémentaire''’, <SQP = <IRP. • D'après ''Le théorème c.a.c.'', les triangles PQS et PRI sont égaux ; en conséquences, * PS = PI

* <SPI = 60°. • Conclusion partielle : le triangle PSI est équilatéral.

37

37

B

C

A

A"

A'

B''

B'

C''

C'

I K

J

P

Q

R

S

• D'après Thalès de Milet ''La droite des milieux'' appliqué au

* triangle A'CC'', 2.SK = CC'' * triangle B''CC', 2.PJ = CC' (= CC'')

* en conséquence, SK = PJ. • (SK) et (PJ) se coupant sur le cercle circonscrit au triangle PSI, par ''Angles supplémentaire''’, <ISK = <IPJ. • D'après ''Le théorème c.a.c. '', les triangles ISK et IPJ sont égaux ; en conséquence,

* IK = IJ.

* <JIK = 60°.

B

C

A

A"

A'

B''

B'

C''

C'

I K

J

P

Q R

S

• Conclusion : le triangle IJK est équilatéral.

38

38

Note historique : Martin Gardner wrote 43


* The triangles need not meet at a point.

They can meet at the corners of any equilateral triangle.

43 Martin Gardner, The Asymmetric Propeller, College Mathematics Journal 30:1 [January 1999], 18-22 ;


39

39

E. THE ASYMMETRIC PROPELLER 44

VISION Figure :

A

B

C

A'

B'

66

78

C'

A"

78

B"

78

37

C"

37

66

37

66

I

J

K

37

66

37

Traits : ABC un triangle, AA'A'', B''BB', C'C''C trois triangles semblables à ABC comme indiqué

et I, J, K les milieux resp. de [A''B'], [B''C'], [C''A']. Donné : le triangle JIK est semblables à ABC. Commentaire : la preuve se calque sur celle précédente en considérant non plus des triangles égaux,

mais semblables. Note historique : Martin Gardner wrote 45


* The similar triangles need not meet at a point! If they meet at the corners of a fourth triangle (of any size) that’s similar to each propeller, then the midpoints of the added lines will form a triangle similar to each propeller, provided that the vertices of the central triangle touch the corresponding corners of the propellers.

Given all this flexibility, Gardner asked, do the propellers even have to be triangles? It turns out that the answer is yes.

44 American Mathematical Monthly, v 75, n 7 (1968) 732-739

Bankoff L., Erdös P. and Klamkin M., The Asymmetric Propeller, Mathematics Magazine, v. 46, n. 5 (1973) 270-272 45 Martin Gardner, The Asymmetric Propeller, College Mathematics Journal 30:1 [January 1999], 18-22 ;


40

40

Still, the discoveries above form a fitting tribute to Bankoff, whom Gardner called “one of the most remarkable mathematicians I have been privileged to know.”

41

41

F. APPENDICE

1. Intersection sur le cercle circonscrit

VISION

Figure :

B C

A

A"

A'

0

Traits : ABC un triangle équilatéral, 0 le cercle circonscrit à ABC et AA'A'' un triangle équilatéral adjacent par A à ABC. Donné : (A'B) et (A''C) se coupent sur 0.

VISUALISATION

B C

A

A"

A'

0

1

X

• Notons X le point d'intersection de (A'B) et (A''C), et 1 le cercle circonscrit au tria ngle AA'B.

42

42

• Conclusion : d'après ''Triangles adjacents'' 46 appliqué aux triangles équilatéraux adjacents par un côté au triangle AA''B, (A'B) et (A''C) se coupent sur 0 en X. Scolie : <BXC = 60°.

46 Ayme J.-L., Triangles adjacents, G.G.G. vol. 16, p. 8-10 ; https://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/

43

43

LEXIQUE

FRANÇAIS - ANGLAIS

A aligné collinear annexe annex axiome axiom appendice appendix adjoint associate a propos by the way btw acutangle acute angle axiome axiom B bissectrice bisector bande strip C centre incenter centre du cercle circonscrit circumcenter cercle circonscrit circumcircle cévienne cevian colinéaire collinear concourance concurrence coincide coincide confondu coincident côté side par conséquence consequently commentaire comment D d'après according to donc therefore droite line d'où hence distinct de different from E extérieur external F figure figure H hauteur altitude hypothèse hypothesis I intérieur internal identique identical i.e. namely incidence incidence L lemme lemma lisibilité legibility M mediane median médiatrice perpendicular bissector milieu midpoint

N Notons name nécessaire necessary note historique historic note O orthocentre orthocenter ou encore otherwise P parallèle parallel parallèles entre elles parallel to each other parallélogramme parallelogram pédal pedal perpendiculaire perpendicular pied foot point de vue point of view postulat postulate point point pour tout for any Q quadrilatère quadrilateral R remerciements thanks reconnaissance acknowledgement respectivement respectively rapport ratio répertorier to index S semblable similar sens clockwise in this order segment segment Sommaire summary symédiane symmedian suffisante sufficient sommet (s) vertex (vertice) T trapèze trapezium tel que such as théorème theorem triangle triangle triangle de contact contact triangle triangle rectangle right-angle triangle

44

44

A

B

C

A'

B'

66

78

C'

A"

78

B"

78

37

C"

37

66

37

66

I

J

K

37

66

37

45

45

http://honlap.eotvos.elte.hu/wp-content/uploads/2016/07/huszar_kristof.pdf

46

46

47

47

B

C

A

A"

A'

B''

B'

C''

C'

I K

J

P

Q R

S

48

48

49

49

le cercle du dr. lÉon bankoffjl.ayme.pagesperso-orange.fr/docs/leon bankoff.pdf · dr. lÉon...

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