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IUT 1re anne Universit de CAEN

Mesures Physiques Cours d'lectronique 1

XIII. ANALYSE DES FONCTIONS DE

TRANSFERT EN REGIME HARMONIQUE

LE DIAGRAMMME DE BODE

A. ANALYSE D'UNE FONCTION DE TRANSFERTForme canonique ; Exemple ;

Limites ; Frquence de Coupure ; Bande Passante ; Transition

B. LE DIAGRAMME DE BODE

Les chelles logarithmiques

Les filtres du premier ordre

Les oprateurs idaux de base

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A. ANALYSE D'UNE FONCTION DE TRANSFERT

1. Rappel : Forme canonique d'une fonction de transfert

Une fonction de transfert est une fraction de 2 polynmes :

T(x) = AN(x)

D(x)= A

a0 + a1x + a2x2 + ... + anxn

b0 + b1x + b2x2 + ... + bmxm

m, l'odre du dnominateur D(x) est l'ordre du filtre correspondant

A est l'attnuation (A < 1) ou l'amplification (A > 1) du filtre.

Si b0 0, alors b0 est imprativement impos gal 1. De mme pour a0.

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T(X) PEUT SERVIR DANS DEUX TYPES D'ANALYSE :

1. x = p : Transforme de Laplace

analyse du rgime transitoire,rponse incrmentielle ( ) ou

rponse impulsionnelle ( ).

2. x = j : Transforme de Fourier

analyse du rgime harmonique (~).

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Fonction de transfert en rgime permanent de signaux sinusodaux

T(j) = Re(T(j)) + j Im(T(j))

T(j) nous renseigne sur deux proprits du systme en rgime sinusodal :

1. L'attnuation (amplification) ou rapport des amplitudes entrel'entre et la sortie en fonction de la frquence :

|T(j)| =U2p()U1p()

=U2pp()U1pp()

=U2rms()U1rms()

2. Le dphasage entre u2(t) et u1(t) :

= Arg(T(j)) = Arg(N(j)) - Arg(D(j))

= ArcTan

Im(N(j))

Re(N(j)) - ArcTan

Im(D(j))

Re(D(j))

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Exemple d'un filtre passif.

R1

u1

R2

u2

C

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Observations avant calcul

BF (Basses Frquences) :

Le condensateur C se comporte comme un circuit ouvert.

R1

u1

R2

u2

Le filtre est quivalent un pont

diviseur R1, R2, soit donc,

u2(t) =R2

R1 + R2 u1(t)

le signal passe et

u2

u1 < 1

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HF (Hautes Frquences) :

C est quivalent un court-circuit :

u2

(t) = 0

Le signal ne passe pas.

R1

u1

u2

Sans calcul, nous pouvons dire que ce filtre est un passe-bas attnuateur.

Remarque : un seul composant impdance complexe premier ordre

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CALCUL D'UNE FONCTION DE TRANSFERT

Ce filtre est quivalent au schma suivant :

avec : Z2 =R2

1 + jCR2

T(j) =u2(j)u1(j) =

Z2R1 + Z2 = ...

R1

u1

Z2

u2

T(j) =R2

R1 + R2

1

1 + jC R1 R2R1 + R2

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INDENTIFICATION A UNE FORME CANONIQUE

T(j) doit tre identifie terme terme la forme canonique de la fonctionde transfert d'un filtre passe-bas du premier ordre :

T(j) = A1

1 +j0

Avec : A =R2

R1 + R2< 1 : attnuation dans la bande passante

f0 =02 =

R1 + R22 C R1 R2

: frquence propre ou ici frquence de coupure.

La pulsation propre est l'inverse de la constante de temps : 0 = 1/

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RECHERCHE DES LIMITES DE T(j)

(Nous continuons avec l'exemple prcdent)

BF : T(j) est une constante relle dans la BP (bande passante).

lim

0 T(j) =R2

R1 + R2 = A = 0 (pas de dphasage)

HF : T(j

) est un imaginaire pur ngatif dcroissant en 1/

.

lim

T(j) =1

R1C1

j = -j0 = -2

Remarque 1 : ' = 10 |T(j')| = |T(j)|/10

Remarque 2 : 1/j est l'oprateur intgration en rgime harmonique.

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FREQUENCE DE COUPURE

c = 2fc est la limite de la bande passante.

Pour les filtres du premier ordre :

c =

0, pulsation propre (fc = f0, frquence propre).

La frquence de coupure fc spare BF et HF.

A fc, P2(c) la puissance de sortie est divise par 2 :

P2(c) = P2(BP)/2, soit donc : U2(c) = U2(BP)/ 2.U1tant suppos constant, indpendant de :

La pulsation de coupurec est telle que : |T(jc)| =|T(BP)|

2

Pratiquement : G(c) = 20 log|T(jc)| = G(BP) - 3 (en dB)

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BANDE PASSANTE

C'est le domaine des frquences

comprises entre les frquences de coupures

BP = f = fcHF - fcBF (filtre passe-bande),

ou entre 0 Hz et fc (passe-bas),

ou entre fc et (passe haut).

FREQUENCE DE TRANSITION

C'est la frquence du gain unit,

laquelle |T(jT)| = 1 G(T) = 0 dB.Remarque : Notre exemple de filtre n'a pas de frquence de transition.

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REPRESENTATIONS GRAPHIQUES

D'UNE FONCTION DE TRANSFERT

Le diagramme de Nyquist, Im(Re)

est la reprsentation paramtrique de Im(T(j)) en fonction de Re(T(j)).La pulsation (ou la frquence f) y joue le rle du paramtre (variable donttout dpend, mais qui n'est pas reprsente).

Le diagramme de Bode est la double reprsentation

de G(f) = 20 log|T(j)|

et de (f) = Arg(T(j))

en dB et en degrs, respectivement.Une chelle logarithmique est prise pour f.

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Les chelles logarithmiques

(Abscisses du diagramme de Bode)

Elles servent reprsenter des valeurs trs diffrentes sur un mme graphe.

101

102

103

104

105

106

106

105

104

2.105 5.105

2.105

5.105

Comparaison d'une chelle linaire et d'une chelle logarithmique

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PROPRIETES DES ECHELLES LOGARITHMIQUES

1. log(a.b) = log(a) + log(b) : sur une chelle log, un produit apparat

comme une somme simple (graphiquement, c'est une translation).

10 +1 module (ou dcade)

2. /!\ Une chelle log ne comporte pas de zro, les graduations

principales correspondent des puissance de 10 (log-dcimal).

3. Pour placer une valeur sur une chelle log, toujours la mettre sous la

forme 5,2.103

: Un chiffre significatif non nul et un seul avant la virgule.4. Si deux valeurs sont spares par plus d'un module, la plus petite est

pratiquement ngligeable.

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PROPRIETES DES ECHELLES EN DECIBEL

(Ordonne de la courbe de gain du diagramme de Bode)

Le graphe dB-log(f) est un graphe log-log

Cela a un effet remarquable sur l'allure les courbes :

Soient X = log(x) l'abscisse et Y = log(y) l'ordonne.

Une parabole y = xn devient une droite de pente n : Y = nX

Une droite y = ax reste une droite : Y = log(a)+X

Une hyperbole y = 1x

devient une droite de pente -1 : Y = -X

Une pente 1 (y=x) correspond 20 dB/dcade (= 6 dB/octave)Une pente -1 (y=1/x) correspond -20 dB/dcade (= -6 dB/octave)

Une pente -2 (1/x2) correspond -40 dB/dcade (= -12 dB/octave)...

Remarque : Une octave correspond 2 ou 6 dB.

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Points remarquables du diagramme de Bode

Quelques valeurs de la courbe de gain d'un fltre passe-bas du 1er ordre :

x=/0 1/10 1/5 1/2 1 2 5 10

G (dB) 0 -0.458 -1 -3 -4.77 -7 -20

Fonction 20 log

1/ 1 + (/0)2

Quelques valeurs de la fonction ArcTangente entre 0 et :

x=/0 0 1/10 1/5 1/3 1/2 1/ 2 1

atg(x) () 0 5.7 11.3 18.4 26.5 35.3 45

x=/0

10 5 3 2 2

atg(x) () 90 84.3 78.7 71.6 63.4 54.7

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Formes cananiques des fonctions de transfert

Lors de l'tude d'une fonction de transfert T(j), il est possible de retrouverrapidement ses paramtres, A et 0, en identifiant T(j) terme terme laforme canonique correspondante.

Forme canonique d'un Filtre Passe-bas du premier ordre :

Forme canonique : T(j) = A1

1 +j0

A : Amplification ou attnuation dans la bande passante

0 = c : pulsation de coupure

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Courbe de Gain d'un Filtre passe-bas du premier ordre.

100 1000

Gain(1dB/div)

Frquence (Hz)

0

10k 100k 1M

12

9

-8

-28

fc

fT

Exemple choisi : A = 4 G(BP) = 12 dB ; fc = 2 kHz ; fT = 8 kHz

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Courbe de dphasage d'un Filtre passe-bas du premier ordre.

100

Dphasage()

Frquence (Hz)

0

-90

-45

1000 10k 100k 1M

-65

-25

fc

L'allure de -log(f) en est dforme par l'chelle log des frquences

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Formes canoniques des fonctions de transfert

Une fois tablie la fonction de transfert T(j) d'un filtre,l'identification terme terme de T(j) la forme canonique correspondantepermet de retrouver rapidement ses paramtres, A et 0,

Forme canonique d'un Filtre Passe-haut du premier ordre :

Forme canonique : T(j) = A

j0

1 +j0

A : Amplification ou attnuation dans la bande passante

0 = c : pulsation de coupure

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Courbe de Gain d'un Filtre passe-haut du premier ordre.

100 1000

Gain(1dB/div)

Frquence (Hz)

0

10k 100k 1M

18

15

-2

-22

fcfT

Exemple choisi : A = 8 G(BP) = 18 dB ; fc = 50 kHz ; fT = 6 kHz

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Courbe de dphasage d'un Filtre passe-bas du premier ordre.

100

Dphasage()

Frquence (Hz)

0

90

45

1000 10k 100k 1M

65

25

fc

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DIAGRAMMES DE BODE DES OPERATEURS DE BASE

1. La constante

2. Le dphaseur idal

3. L'intgrateur

4. Le drivateur

5. Le double intgrateur6. Le double drivateur

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La constante

T(j) = A Rel

G() = 20 log|A| = 0

0

G(dB)

f(Hz)

20log|A|

0f(Hz)

()

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Le dphaseur idal

T(j) = ej Complexe de norme unit

G() = 0 dB ajust

0

G(dB)

f(Hz)

0f(Hz)

()

IUT 1 U i it d CAEN

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L'intgrateur

T(j) = K1

j = - jK1

Imaginaire ngatif

G() = -20 log ()

= -

2

0

G(dB)

f(Hz)

fT

-20 dB/dec

-6 dB/oct

0f(Hz)

()

-90

Instable : Gain infini frquence nulle

IUT 1re anne Uni ersit de CAEN

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Le drivateur

T(j) = K j Imaginaire positif

G() = 20 log () =

2

0

G(dB)

f(Hz)

fT

20 dB/dec

6 dB/oct

0f(Hz)

()

90

Instable en HF : G() =


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Le double intgrateur

T(j) = K1

(j)2 = - K1

2 Rel ngatif

G() = -40 log () = -

0

G(dB)

f(Hz)

-40 dB/dec

-12 dB/oct

fT

0

f(Hz)

()

-180

Instable : Gain infini frquence nulle


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Le double drivateur

T(j) = K (j)2 Rel ngatif

G() = 40 log () =

0

G(dB)

f(Hz)

fT

40 dB/dec

12 dB/oct

0

f(Hz)

()

180

Instable en HF : G() =

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