la théorie 4 : renormalisation à l’ordre d’une boucle

7-1

Chapitre 7

La théorie f

4 : Renormalisation à l’ordred’une boucle

Ce chapitre est consacré à la construction de la limite continue de la théorie f

4 en dimensionsD < 4 et D = 4 à l’ordre d’une boucle (premier ordre dans le développement semiclassique) et àl’analyse de ses propriétés d’échelle.

Pour ce faire, nous adoptons la stratégie standard : il faut d’abord «régulariser» la théorie, c’està dire modifier son comportement à courte distance pour qu’il n’y ait plus de divergences UV. Cecise fait au prix de la perte de certaines propriétés cruciales pour une théorie quantique : unitarité,causalité.

Ensuite on analyse les singularités UV de la théorie des perturbations quand le régulateur tendvers 0. Elles sont reliées au comportement à courte distance des produits d’opérateurs de la théorielibre, donné par un développement en opérateurs locaux (OPE).

En conséquence une modification de l’action par des «contretermes» contenant des opérateurslocaux doit permettre d’obtenir une limite continue finie. Pour D = 4 on vérifie que les contretermesnécessaires sont en nombre fini (renormalisation du champ, de la masse et de la constante de cou-plage), et ne modifient pas les propriétés physiques de la théorie. La limite continue ainsi obtenuepar ce processus de «renormalisation» définit la théorie renormalisée. Elle s’exprime en fonction decouplages renormalisée et d’une échelle de renormalisation µ.

Enfin les couplages renormalisés dépendent de l’échelle de renormalisation µ, en conséquence dequoi des transformations d’échelle x ! Sx s’absorbent dans des variations des constantes de cou-plages effectives (transformations du groupe de renormalisation). Ceci permet d’identifier la théorief

4 renormalisée en D < 4 avec la limite d’échelle du modèle statistique de LGW près du point cri-tique.

Ce chapitre traite presque exclusivement des calculs à une boucle mais peut se lire comme uneintroduction à la renormalisation perturbative.

7.1 Régularisations UV

Les singularités à courte distances du propagateur donnent des divergences à courte distancedans les intégrales de Feynman. Par exemple le tadpole diverge dès que D � 2. Pour définir l’inté-grale fonctionnelle il faut modifier son comportement à courte distance par une procédure de régu-larisation ultraviolette (UV). En général on sait faire ça dans le cadre de la théorie des perturbations,c’est à dire qu’on modifie le comportement à courte distance des propagateurs pour rendre les inté-grales de Feynman convergentes.

Master 2 / CFP / Physique Théorique Théorie statistique des champs

7-2 CHAPITRE 7. f

4 : RENORMALISATION À UNE BOUCLE

7.1.1 Régularisation dans l’espace réel - théorie sur réseau

7.1.1.a - Théorie f

4 sur réseau

Elle a déjà été vue en détail pour le champ libre. On remplace l’espace continu par un réseau,par exemple le réseau carré RD ! a ZD . La maille du réseau a est le régulateur UV dans l’espacedes positions. La combinatoire du développement perturbatif est inchangée, avec les mêmes règlesde Feynman, les mêmes facteurs de symétrie pour les diagrammes. Les amplitudes de Feynmanassociées aux diagrammes sont simplement évaluées sur le réseau au lieu de l’être dans le continu.

Le propagateur continu est remplacé par le propagateur sur réseau et les intégrales sur les posi-tions

Rdx par des sommes sur les sites du réseau

x ! ai , i 2 ZD etZ

RDdDx ! aD Â

i2ZD

(7.1.1)

Dans l’espace des impulsions, le propagateur continu bG(p) est remplacé par le propagateur sur ré-seau, les impulsions sont définies modulo 2p/a et les intégrales sur les impulsions internes dans lesboucles doivent être faites dans la zone de Brillouin

Z dk2p

!Z

p/a

�p/a

dk2p

(7.1.2)

Les divergences UV apparaissent comme des puissances négatives (et des logarithmes) de a dans lalimite a ! 0.

divergences UV ! a�p logk(1/a) (7.1.3)

Les avantages sont une définition non-perturbative de l’intégrale fonctionnelle, qui permet des cal-culs numériques. Les inconvénients sont une brisure explicite de l’invariance par rotation et transla-tion, et le fait que les calculs perturbatifs sont plus compliqués.

7.1.1.b - «Cut-off» dans l’espace réel

On peut régulariser les intégrales de Feynman en coupant les distances ` < a entre les vertexdans les intégrales de Feynman

Z’j

dzj !Z

|zk�zl |>a

’j

dzj (7.1.4)

Inconvénient : ça ne correspond pas à une modification simple de l’action de la théorie.

7.1.2 Régularisation dans l’espace des impulsions

Le principe est de modifier le propagateur bG(k) aux grandes impulsions pour améliorer la conver-gence des intégrales.

G(k) =1

p2 + m2 ! G(k, L) = G(k) R(k/L) (7.1.5)

avec R(x) une fonction «suffisament régulière» telle que R(0) = 1 et qui tend vers 0 suffisammentvite quand x ! •. L’échelle de moment L ⇠ 1/a est le régulateur UV. Les principaux exemplessont :

c� François David, 2014 Notes de cours – 23 octobre 2015

7.1. RÉGULARISATIONS UV 7-3

7.1.2.a - Régularisation avec un cut-off «dur» :

Un cas simple consiste à mettre une borne (cut off "dur") sur les impulsions |k| > L, autrementdit

R(k/L) = q(L � |k|) =

(1 si |k| < L,0 si |k| > L.

(7.1.6)

On l’utilise pour les calculs de groupe de renormalisation dans l’approximation du potentiel local.Les divergences apparaissent comme des puissances et des logarithmes de L

divergences UV ! Lp logk(L) (7.1.7)

Il y a un prix à payer avec ce type de régularisations : on garde un espace continu et l’invarianceEuclidienne, mais on perd l’unitarité. Avec le cut-off «dur» on a des problèmes avec la localité aussi...car dans l’espace des positions il y aura des interactions à longue portée.

7.1.2.b - Régularisation de Pauli-Villars :

Une variante plus propre consiste à prendre

R(k/L) =

✓L2

k2 + L2

◆P

(7.1.8)

Ceci revient à modifier l’action du champ libre en rajoutant des termes avec des dérivées d’ordresupérieur du champ

S0[f] =Z

x

12

f(�Dx + m2)f ! SL[f] =Z 1

2f(�Dx + m2)

✓1 � Dx

L2

◆Pf (7.1.9)

Les divergences apparaissent là aussi comme des puissances et des logarithmes de L

divergences UV ! Lp logk(L) (7.1.10)

A priori il y aura moins de problèmes avec la localité, mais toujours des problèmes avec l’unitarité.

7.1.3 Régularisation dimensionelle

7.1.3.a - Principe

C’est l’exemple le plus important de régularisation analytique. Dans les calculs d’intégrale deFeynman la dimension de l’espace D apparaît comme un paramètre. L’idée est de prolonger ana-lytiquement en D les intégrales de Feynman, en considérant la dimension D comme un paramètrecomplexe D 2 C. Les divergences apparaissent comme des pôles pour des dimensions particulièresD0, en particulier pour les dimensions physiques entières Dphysique = 2, 3, 4

divergences UV ! poles µ✓

1D � D0

◆k+1(7.1.11)

Avantages :— Les calculs sont simples, ni les règles de Feynman ni les propagateurs ne sont modifiés.— Il est facile de préserver les symétries de rotations et translations (Poincaré), les symétries

internes globales, les symétries de jauge (mais il y a des problèmes avec les fermions chiraux,donc avec les symétries chirales, la supersymétrie et le traitement des anomalies).


7-4 CHAPITRE 7. f


Inconvénients :— C’est une méthode de régularisation qui reste purement perturbative.— On ne sait pas définir une intégrale fonctionelle en dimension non-entière !

7.2 Les divergences UV à une boucle : analyse générale

Pour mémoire, je réécris ici le développement perturbatif à une boucle des fonctions irréductiblesà N points pour N = 2, 4, 6 et 8.

7.2.1 Fonction à 2 points

Le graphe en “tadpole” est le premier exemple de graphe divergent pour D � 2. Son intégrale est

T(m) = = G0(m) =Z dDk

(2p)D1

k2 + m2 (7.2.1)

Avec un régulateur dur |k| L dans l’intégrale cette intégrale diverge comme LD�2 et plus précisé-ment comme

T(m; L) ' 14p

log�L2� à D = 2

12 p

2 L à D = 3

132 p

2 L2 à D = 4

(7.2.2)

C’est la même divergence que celle qui apparaît dans la discussion de la définition de l’opérateurcomposite f

2 pour le champ libre.En fait il y a une divergence sous dominante en m2 log(L) à D = 4, qui sera discutée plus loin.


Elle fait intervenir le diagramme

= I(p, m) =Z dDk

(2p)D1

k2 + m21

(p + k)2 + m2 (7.2.3)


7.3. DIVERGENCES UV À UNE BOUCLE À D = 4 7-5

On met par exemple un régulateur dur (|k| et |p + k| L) sur les deux propagateurs. Si D < 4 cetteintégrale converge, donc elle a une limite finie quand L ! •. Pour D = 4 cette intégrale divergecomme Z L d4k

(2p)41k4 =

1(4p)2 log

�L2� (7.2.4)

Le coefficient de la divergence ne dépend ni du moment externe p, ni de la masse m.

7.2.3 Fonctions à N > 4 points

La fonction irréductible à N = 6 points est convergente pour D = 4, mais diverge à D = 6. Defaçon générale la fonction à 2N points diverge en D � 2N comme

Z dDk(2p)D

1k2

�Nµ LD�2N

Examinons un peu plus en détail la structure des divergences à D = 4.

7.3 Divergences UV à une boucle à D = 4

7.3.1 Fonction à deux points et renormalisation de masse :

A D = 4 le tadpole contient non seulement une divergence en L2 mais aussi une divergencelogarithmique en log(L), puisque l’intégrale de Feynman pour le tadpole diverge comme

= T(m, L) =1

(4p)2 L2 � m2

(4p)2 log�L2� + O(1)

(7.3.1)

Cette divergence est toujours indépendante du moment externe p dans la fonction à deux points.Donc un contreterme de masse suffira encore pour rendre la fonction à 2 points finie UV.

Détails du calcul : On peut calculer exactement l’intégrale à D = 4 avec un cut-off dur,

T(m, L) =Z

|k|<L

d4k(2p)4

1(k2 + m2)

=1

8 p

2

Z L

0dk

k3

k2 + m2 =1

(4p)2 L2 � m2

(4p)2 log✓

L2

m2 + 1◆

(7.3.2)

Calcul pour D 6= 4 : On peut aussi le calculer pour D 6= 4 (prélude à la régularisation dimension-nelle) en effectuant l’intégrale sur les angles comme

Z

|k|<L

dDk(2p)D

1(k2 + m2)

= CD

Z L

0dk

kD�1

k2 + m2 (7.3.3)

CD est une constante (dépendante de la dimension de l’espace) qui vient de l’intégration angulaire.Sa valeur est

CD =Vol(SD�1)(2p)D =

2 (4p)�D/2

G(D/2)(7.3.4)

où Vol(SD�1) est le volume de la sphère unité SD�1 = {k : |k| = 1} dans RD, avec G la fonctiond’Euler. On notera la formule générale pour le volume de la sphère

Vol(SD�1) =2 p

D/2

G(D/2)(7.3.5)


7-6 CHAPITRE 7. f


On développe l’intégrand pour k grand et on obtient

Z Ldk

kD�1

k2 + m2 =Z L

dk kD�3 � m2kD�5 + · · · = LD�2

D � 2� m2 LD�4

D � 4+ · · · (7.3.6)

Ces formules seront utile pour le développement en 4 � e.


En D = 4 le diagramme irréductible à 4 pattes diverge logarithmiquement

= I(p, m; L) ' 1(4p)2 log(L2) (7.3.7)

La divergence est indépendante de l’impulsion externe p et de la masse m. On s’attend donc à pouvoirl’absorber dans un contreterme de constante de couplage.

Détail du calcul : L’analyse de la divergence a déjà été faite. Avec un régulateur dur on peut calculerl’amplitude en D = 4, on trouve explicitement

I(p, m; L) =1

(4p)2

2

4log✓

L2

m2

◆+ 1 � 2

s

1 +4 m2

p2 arctanh

0

@ 1q1 + 4 m2

p2

1

A+O(L�2)

3

5 (7.3.8)

Pour la théorie de masse nulle m = 0 on retrouve

I(p, m = 0; L) =1

(4p)2

log✓

L2

p2

◆+ 1 +O(L�2)

�(7.3.9)

Il est important de noter que à D = 4, l’intégrale I(p, m; L) est sans dimension, donc est une fonctionde p/L et de m/L seulement. Si m = 0 la divergence en log(L) fixe la dépendance en p.

On peut généraliser l’analyse en D 6= 4. L’amplitude diverge comme

I(p, m; L) 'Z dDk

(2p)D1k4 ' CD

Z L

µ

dk kD�5 = CDLD�4

D � 4(7.3.10)

On peut aussi analyser la divergence facilement dans l’espace des x. A courte distance le propagateurse comporte pour D = 4 comme

G0(x, m) ' 14 p

21

|x|2

Si on met un régulateur à courte distance a µ L�1, l’intégrale de Feynman du graphe à une bouclediverge quand les deux vertex sont proches comme

ZdDx G(x)2 µ

Z

|x|>adDx

h|x|2�D

i2=

1(4p)2 log(1/a2) si D = 4. (7.3.11)

7.4 Renormalisation à D = 4 : idée générale

En dimension D = 4, à l’ordre d’une boucle les diagrammes divergents sont les diagrammesirréductibles à 2 et 4 pattes externes. On va montrer que ces divergences UV sont éliminées si dansl’intégrale fonctionnelle on ajoute à l’action de départ S[f] des contretermes en f

2 (renormalisation


7.4. RENORMALISATION À D = 4 : IDÉE GÉNÉRALE 7-7

de masse) et en f

4 (renormalisation de constante de couplage). Un contreterme en (rf)2, permis parcomptage de puissance, est absent dans le cas de f

4.On va donc considérer une action renormalisée SR[f] de la forme générale

SR[f] =Z

dDx

A2(rf)2 +

B2

f

2 +C4!

f

4 + D�

(7.4.1)

Les coefficients A, B, C (et D) sont donnés par des séries en h

A =1 + hA1 + h2A2 +O(h3) B = m2 + hB1 + h2B2 +O(h3) (7.4.2)

C =g + hC1 + h2C2 +O(h3) (7.4.3)

Les coefficients étant des fonctions des paramètres renormalisées gR (la constante de couplage renor-malisée) et mR (la masse renormalisée), et du régulateur UV L. Ils contiendront des termes divergentsquand L ! •. La question est : peut-on ajuster ces contertermes (au moins à une boucle) pour queles fonctions de corrélations soient finies UV dans la limite continue ?

G(N)R (zi; gR, mR) = hf(z1) · · · f(zN)iR = lim

L!•gR,mR fixed

RD[f] f(z1) · · · f(zN) e�

1h SR[f]

RD[f] e�

1h SR[f]

(7.4.4)

On va voir que ceci est possible à une boucle pour D = 4, mais qu’il est indispensable d’introduireune échelle de masse µ de référence (échelle de renormalisation) pour définir l’action et les obser-vables renormalisées en fonction des paramètres renormalisés gR et mR.

On va voir également qu’il est plus simple et assez naturel de renormaliser d’abord la théorie demasse nulle (mphys = 0), puis de voir quelle modification on doit faire pour renormaliser aussi lathéorie massive.

On part donc d’une action renormalisée de la forme

SR[f] = S[f] + h D1S[f] + O(h2) S[f] =Z

dDx

12(rf)2 +

m2R

2f

2 +gR

4!f

4�

(7.4.5)

avec D1S[f] le contreterme à une boucle

D1S[f] =Z

dDx

A1

2(rf)2 +

B1

2f

2 +C1

4!f

4 + D1

�(7.4.6)

A1 correspond à une «renormalisation de fonction d’onde» (elle ne sera pas nécessaire à une bouclepour f

4 et A1 pourra être pris A1 = 0), B1 à une renormalisation de masse et C1 à une renormalisationde constante de couplage. La fonction irréductible à 2 calculée avec cette action renormalisée SR est àl’ordre d’une boucle

G(2)R (p) = p2 + m2

R + h✓

g12

T(mR) + A1 p2 + B1

◆+ O(h2) (7.4.7)

où T est l’amplitude de Feynman pour le tadpole . La fonction irréductible à 4 point est

G(4)R (pi) = gR + h

✓� g2

R2�

I(p1 + p2, mR) + I(p1 + p3, mR) + I(p1 + p4, mR)�+ C1

◆+ O(h2)

(7.4.8)

où I(p, mR) est l’amplitude du graphe à une boucle . Les fonctions irréductibles à N > 4 pointssont d’ordre h (diagrammes à une boucle) dans la théorie sans contreterme. L’ajout d’un contretermed’ordre O(h) à l’action ne les modifie qu’à l’ordre h2.


7-8 CHAPITRE 7. f


7.5 Renormalisation de la théorie de masse nulle

On considère dans un premier temps la théorie de masse nulle, car elle ne va plus dépendreque d’un paramètre, la constante de couplage. On impose donc la contrainte que la masse physiquemphys soit nulle. La masse physique est donnée par le pôle de la fonction connexe à deux points (lepropagateur) G(p), donc par le zéro de la fonction irréductible à deux points G(p) = 1/G(p).

G(p) = 0 en p2 = �m2phys (7.5.1)

Dans notre cas, on impose donc que la fonction irréductible à 2 points s’annule en p = 0

mphys = 0 , G(2)R (p = 0) = 0 (7.5.2)

7.5.1 Contreterme de masse :

D’après 7.4.7 la masse physique est

m2phys = m2

R + h✓

B1 + gR12

T(mR)

◆+O(h2)

donc à l’ordre des arbres mphys = 0 implique que la masse renormalisée soit nulle mR = 0, et à l’ordreh ceci fixe complètement le contreterme de masse (comme pour D < 4)

B1(mR = 0) = B(0)1 = �gR

12

T(mR = 0) = �gR1

32 p

2 L2 (7.5.3)

7.5.2 Non-renormalisation de fonction d’onde :

La fonction à deux points est alors finie UV, G(2)R (p) = p2 + h p2 A1 +O(h2) et on n’a pas besoin

d’introduire de contreterme en (rf)2, donc on choisit simplement

A1 = 0 ) G(2)R (p, mR = 0, gR) = p2 +O(h2) (7.5.4)

Ceci est du au fait que le tadpole dans la fonction à deux points ne dépend pas du moment externe.On va voir que ceci n’est plus vrai aux ordres supérieurs, et que en général la fonction à deux pointsG(2)(p) contient une divergence logarithmique en p2 log(L) proportionnelle au carré du moment ex-terne p2, en plus de celles en L2 et en m2 log(L). Dans d’autres théories des champs comme f

3 oul’électrodynamique quantique (QED), de telles divergences sont déjà présentes à une boucle. L’intro-duction d’un tel contreterme est appelé en théorie quantique des champs une «renormalisation defonction d’onde» ou une renormalisation du champ.

7.5.3 Renormalisation de la constante de couplage

La divergence de la fonction à 4 points disparaît si on renormalise la constante de couplage g enprenant un contreterme de f

4 de la forme

C1 = g2R

32

1(4p)2 log

✓L2

µ

2

◆(7.5.5)

où µ est une échelle de masse (impulsion) arbitraire. On est obligé d’introduire µ pour que le log(L)soit sans dimension. Ce paramètre est appelé échelle de renormalisation ou échelle de soustraction, et onva discuter sa signification physique plus loin.


7.6. RENORMALISATION DE LA THÉORIE MASSIVE 7-9

Avec ce choix de contreterme la fonction à 4 points renormalisée pour la théorie de masse nulleest

G(4)R (pi, gR, mR = 0; µ) = gR � h g2

R12

4

Âi=2

IR(p1 + pi, mR = 0; µ) + O(h2) (7.5.6)

où les fonctions IR sont les amplitudes renormalisées des diagrammes irréductibles à 4 pattes

IR(p, mR = 0; µ) =1

(4p)2

log✓

µ

2

p2

◆+ 1�

(7.5.7)

7.6 Renormalisation de la théorie massive

On considère maintenant la théorie massive telle que la masse physique et la masse renormaliséesoient non nulles

m2R > 0 .


On voit à partir de 7.3.8 que le contreterme de constante de couplage pour la théorie de massenulle suffit pour rendre finie UV la fonction à 4 points de la théorie massive. La formule 7.6.3 restevalable, avec les amplitudes renormalisées pour la théorie massive, définies comme

IR(p, mR; µ) = limL!•

✓I(p, mR; L)� 1

(4p)2 log✓

L2

µ

2

◆◆(7.6.1)

et données explicitement par

IR(p, mR; µ) =1

(4p)2

2

664log✓

µ

2

m2R

◆+ 1 � 2

s

1 +4 m2

Rp2 arctanh

0

BB@1r

1 + 4 m2R

p2

1

CCA

3

775 (7.6.2)

La fonction à 4 points est

G(4)R (pi, gR, mR; µ) = gR � h g2

R12

4

Âi=2

IR(p1 + pi, mR; µ) + O(h2) (7.6.3)

et on remarque que c’est une fonction sans dimension, donc fonction des deux variables sans dimen-sion p/µ et de mR/µ, de la forme G(4)

R (pi/µ, g, m/µ).

7.6.2 Fonction à 2 points et nouveau contreterme de masse

Par contre d’après 7.3.2 pour que la fonction à 2 points soit finie UV le contreterme de masseB1 = B1(0) donné par 7.5.3 ne suffit pas. Une divergence logarithmique en log(L) proportionnelleà m2 est présente. Il faut donc ajouter au contreterme de masse 7.5.3 un deuxième contreterme demasse dépendant de la masse renormalisée. Le plus simple est de le choisir proportionnel à m2

R et deprendre donc un contreterme de masse de la forme

B1(mR) = B(0)1 + m2

R B(1)1 (7.6.4)

avec

B(0)1 = �gR

132p

2 L2 , B(1)1 = gR

12

1(4p)2 log

✓L2

µ

2

◆(7.6.5)


7-10 CHAPITRE 7. f


Là aussi, à cause de la divergence en log(L) il faut introduire une échelle de renormalisation µ.Pour simplifier on a pris dans B(1)

1 la même échelle µ que pour la renormalisation de la constante decouplage g, mais a priori on aurait pu choisir un µ

0 6= µ.Avec ce choix de contreterme la fonction à 2 points renormalisée est bien finie UV

G(2)R (p, gR, mR; µ) = p2 + m2

R + h gR1

32 p

2 m2R log(m2

R/µ

2) + O(h2) (7.6.6)

C’est une fonction de la forme µ

2G(2)R (p/µ, gR, mR/µ). La masse physique est donc donnée à l’ordre

d’une boucle par

m2phys = m2

R + h gR1

32 p

2 m2R log(m2

R/µ

2) + O(h2) (7.6.7)

La masse physique dépend donc de façon non triviale de la masse renormalisée mR. Cette dépen-dance pourra s’écrire de façon générale en terme d’une fonction M dépendant des deux paramètressans dimensions gR et m2

R/µ

2 comme

m2phys = µ

2 M(gR, m2R/µ

2) .

Avec notre choix de schéma de renormalisation la fonction M(g, X) (X = m2R/µ

2) se développe (engénéral) en termes de la forme gKX logN(X) (avec N K) mais cela n’est pas la seule forme possible.

7.6.3 Echelle de soustraction µ versus masse renormalisée mR :

Dans le cas de la théorie massive un autre choix simple pour l’échelle de soustraction µ est deprendre la prendre égale à la masse renormalisée mR.

µ = mR (7.6.8)

Dans ce cas à l’ordre d’une boucle on a simplement

mphys = mR .

Les tadpoles sont entièrement soustraits du développement perturbatif. Par contre avec ce choix lalimite de masse nulle mR ! 0 est singulière pour la fonction à 4 points (apparitions de divergencesIR). Ce choix de procédure de soustraction est donc naturel pour construire une théorie massive, maisne l’est pas pour construire une théorie de masse nulle, ni pour étudier simplement la façon dont lathéorie massive tend vers une théorie de masse nulle quand mR ! 0.

7.7 Rôle de l’échelle de soustraction et groupe de renormalisation

Jusqu’ici on a gardé les facteurs h dans les calculs pour bien distinguer les termes classiques (ordredes arbres) des termes quantiques (à une boucle). Comme pour la théorie f

4 (au moins dans sa phasede symétrie non brisée m2 � 0) le développement semiclassique est un développement perturbatifen puissances de (h ⇥ g), nous allons fixer dans la suite du chapitre

h = 1


7.7. GROUPE DE RENORMALISATION À UNE BOUCLE 7-11

7.7.1 Conditions de normalisation et couplages renormalisés

7.7.1.a - Echelle de renormalisation

Les paramètres renormalisés gR et mR sont des paramètres qui permettent de définir une théoriecontinue, mais ils sont reliés au choix des contretermes, donc à la procédure de renormalisation choi-sie pour construire la théorie continue et finie UV en D = 4. En particulier ils sont liés au choix del’échelle de renormalisation µ.

Il semble donc qu’en quantifiant une théorie classique (qui dépend de deux paramètres g et m, onpuisse obtenir des théories quantiques renormalisées dépendant d’au moins trois paramètres gR, mRet µ, et éventuellement d’autres paramètres caractérisant la procédure de renormalisation choisie.

Cet arbitraire et l’apparition de ce nouveau paramètre µ ne sont qu’apparents. Ils découlent d’unecaractéristique extrêmement importante des théories quantiques.

Dans une théorie quantique des champs la définition (et la valeur) des couplages et des massesdépendent de l’échelle (d’énergie, ou de distance) à laquelle elles sont définies (et mesurées).

7.7.1.b - Conditions de normalisation pour la théorie de masse nulle

Ceci se voit explicitement dans le cas de la théorie f

4. La théorie renormalisée de masse (phy-sique) nulle est définie par trois conditions de normalisation qui définissent la constante de couplagerenormalisée gR et la masse mR. Deux de ces conditions dépendent du choix d’échelle µ.

La première condition fixe la masse physique à zéro mphys = mR = 0, et détermine le contretermede masse B(0)

1 pour le terme en f

2 dans l’action renormalisée SR

G(2)R (p = 0) = 0 (7.7.1)

La deuxième fixe la normalisation du champ f (qui est en fait un «champ renormalisé») et déterminele contreterme «de fonction d’onde» A1 pour le terme en (rf)2. On peut l’écrire comme condition surla dérivée de la fonction à deux points à une impulsion de référence 1 p0, qui dépend explicitementde l’échelle de normalisation µ

∂

∂p2 G(2)R (pref

0 ) = 1 , |pref0 | = µ (7.7.2)

et à une boucle elle implique que le contreterme est nul, A1 = 0, si bien que

G(2)R (p) = p2 +O(g2) (7.7.3)

La troisième condition porte sur la fonction à 4 points,. Elle définit la constante de couplage gR etdétermine le contreterme de constante de couplage C1. On peut l’écrire comme valeur de la fonc-tion à 4 points pour un choix de référence des impulsions qui dépend explicitement de l’échelle denormalisation µ

G(4)R (pref

i ) = gR , |pref1 + pref

2 | = |pref1 + pref

3 | = |pref1 + pref

4 | = µ (7.7.4)

La fonction à 4 points renormalisée de masse nulle est alors

G(4)R (p) = gR +

g2R

16 p

2 log |p1 + p2]

µ

|p1 + p3]µ

|p1 + p4]µ

�+O(g3

R) (7.7.5)

1. Pour la théorie de masse nulle à une boucle on peut prendre p0 = 0, mais ce n’est pas possible aux ordres plus élévés,la présence de log(p) implique des divergences IR dans 7.7.2 si on prend p0 = 0


7-12 CHAPITRE 7. f


7.7.1.c - Conditions de normalisation pour la théorie massive

Pour la théorie massive, les conditions de normalisation 7.7.2 et 7.7.4 peuvent être conservées,mais il faut modifier 7.7.1 pour définir la masse renormalisée mR et le contreterme de masse B1(mR).

Ici nous avons imposé deux conditions. D’abord que le contreterme de masse B(gR, mR; L) dansl’action renormalisée SR soit linéaire en m2

R (mR étant la masse renormalisée)

B(gR, mR; L) = B(0)(gR; L) + m2R B(1)(gR; L) , (7.7.6)

et ensuite une condition de normalisation pour la fonction à 2 points pour une valeur particulière dela masse renormalisés mR = µ. Dans notre calcul à une boucle cette condition est

G(2)R (p, mR, gR; µ) = 2µ

2 si |p| = µ et mR = µ (7.7.7)

ou de façon équivalente (à une boucle)

mphys(gR, mR) = mR pour mR = µ (7.7.8)

mais à ce stade ces détail ne sont pas très importants.Insistons simplement sur le fait que d’autres conditions de normalisation naturelles pour la théo-

rie massive, commeG(2)

R (p, mR, gR; µ) = m2R si |p| = µ

ouG(2)

R (p, mR, gR; µ) = m2R si |p| = 0

sont tout à fait possibles, mais qu’alors la relation linéaire 7.7.6 entre B et m2R n’est plus satisfaite. Cette

relation de linéarité est commode pour la suite et s’impose pour pouvoir également renormaliser lathéorie dans la phase de symétrie brisée m2 < 0 (voir plus loin). Avec la deuxième condition la limitede masse nulle mR = 0 est singulière IR.

Enfin, comme on le vera plus loin, pour une théorie massive il est tout a fait possible de choisirun schéma de normalisation où

µ = mR = mphys (7.7.9)

7.7.2 Echelle de renormalisation et redéfinition des couplages

Des conditions de normalisation différentes, une valeur différente de µ et des valeurs différentesdes paramètres renormalisés gR et mR (et de la normalisation du champ f) peuvent donc corres-pondre à la même théorie physique. L’arbitraire introduit par µ dans la construction de la théorie re-normalisée n’est qu’une apparence. Ceci se voit explicitement sur les fonctions à 2 et 4 points à uneboucle : changer l’échelle de renormalisation µ ! µ

0 peut se réabsorber dans une redéfinition descouplages gR ! g0R et mR ! m0

R avec

g0R = gR + g2R

316 p

2 log✓

µ

0

µ

◆+O(g3

R) ; m0R

2 = m2R

1 + gR

116 p

2 log✓

µ

0

µ

◆+O(g2

R)

�(7.7.10)

puisqu’on a bien alors (à des termes correctifs à deux boucles, donc d’ordre O(h2))

G2)R (p, gR, mR; µ) = G(2)

R (p, g0R, m0R; µ

0)

G4)R (pi, gR, mR; µ) = G(4)

R (pi, g0R, m0R; µ

0) (7.7.11)

Ceci est illustré sur la figure 7.1.



theories

µ

gSame theory

Different

FIGURE 7.1 – Les observables étant les mêmes (à des redéfinition éventuelle des champs) les théoriesrenormalisées définies par (gR, µ) et (g0R, µ

0) sont en fait la même théorie quantique (la masse renor-malisée est fixée à m2

R = 0). Les théories f

4 de masse nulle ne dépendent bien que d’un paramètre :soit la constante de couplage mesurée à une échelle donnée, soit l’échelle à laquelle la constante decouplage vaut une valeur donnée).

Mais ceci veut également dire que renormaliser la théorie suivant de schémas différents (en par-ticulier avec des µ différents) n’est rien d’autre que considérer la même théorie (renormalisée) pourdes valeurs différentes des couplages renormalisés. Tout ceci va s’avérer très important pour dériverles équations du groupe de renormalisation.

En général, à cause de la renormalisation du terme en (rf)2, qui n’est triviale qu’à l’ordre de uneboucle pour la théorie f

4, il y aura en plus une redéfinition du champ f ! f

0 = Z0f, qui implique

que les relations 7.7.11 deviennent pour les fonctions irréductibles à N points dans le cas général

GN)R (pi, gR, mR; µ) = Z0N G(N)

R (pi, g0R, m0R; µ

0) (7.7.12)

Le facteur de renormalisation Z0 du champ est trivial à l’ordre d’une boucle

Z0 = 1 + O(g2R) (7.7.13)

Mais à l’ordre g2R, il sera non trivial et contiendra des termes en log(µ0/µ), similaires à ceux de 7.7.11.

De façon générale, il sera une fonction Z0(gR, µ

0/µ) de gR et µ

0/µ.

7.7.3 Les fonctions b

La façon dont varient les couplages renormalisées en fonction de l’échelle de renormalisation µ

pour une théorie physique donnée est codée dans les «fonctions b» (cette dénomination est histo-rique). Plus précisément, on définit la fonction b(gR) et la fonction g(gR) par

b(gR) = µ

∂

∂µ

gR

��g0R,µ0

, g(gR) = µ

∂

∂µ

log(m2R)

��m0

R,g0R,µ0(7.7.14)

et le calcul explicite en utilisant 7.7.11 donne

b(gR) = gR2 3

16 p

2 + · · · , g(gR) = gR1

16 p

2 + · · · (7.7.15)


7-14 CHAPITRE 7. f


Avec cette définition, chaque courbe g = g(µ) sur la fig. 7.1 représentant les couples (µ, gR) corres-pondant à une même théorie physique sont simplement les courbes intégrales de l’équation différen-tielle

d g(µ)d log(µ)

= b(g(µ)) (7.7.16)

On va voir que la fonction b donne la «dimension anormale» de la constante de couplage renor-malisée, et la fonction g est le terme anormal à la dimension du couplage de masse m2

R.

7.7.4 Transformations d’échelle et constantes de couplage effectives

Examinons maintenant comment les fonctions irréductibles se transforment lorsque l’on dilateles distances entre les points par un facteur d’échelle S, ou de façon équivalente lorsqu’on contracteles moments par un facteur 1/S

x ! xS = S x , p ! pS = p/S

Couplages effectifs : On voit à partir des expressions pour les fonctions renormalisées que ceci estéquivalent à changer gR en une constante de couplage effective gR ! geff = gR(S), et mR en unemasse effective m ! meff = mR(S), En effet, d’après l’expression explicite des fonctions irréductiblesrenormalisées à une boucle, on vérifie que

G(4)R (pi/S; gR, mR, µ) = G(4)

R (pi; gR, mRS, µS) = G(4)R (pi; gR(S), mR(S), µ)

G(2)R (p/S; gR, mR, µ) = S2 G(2)

R (p; gR, mRS, µS) = S2 G(2)R (p; gR(S), mR(S), µ)

(7.7.17)

où la première égalité utilise juste la dimensionnalité des fonctions et des couplagesl, et la deuxièmeutilise la variation des couplages sous un changement de µ, donné par 7.7.11 et étudiée précédem-ment. On obtient explicitement pour la constante de couplage et la masse effective

gR(S) = gR � g2R

316 p

2 log(S) + · · ·

m2R(S) = S2 m2

R

1 � gR

116 p

2 log(S) + · · ·� (7.7.18)

La constante de couplage renormalisée gR et la masse renormalisée mR sont bien des couplages effectifsqui dépendent de l’échelle (running coupling constants). Leur variation avec le facteur d’échelle S seréécrit sous forme différentielle avec les fonctions b et g comme

S∂

∂SgR(S) = �b(gR(S)) , S

∂

∂Sm2

R(S) =�2 � g(gR(S))

�m2

R(S) (7.7.19)

Transformations d’échelle pour les fonctions de corrélation : Il est facile de revenir aux fonctions decorrélation renormalisées à N points G(N)

R (et aux fonctions renormalisées connexes G(N)c,R ) dans l’es-

pace des positions. Pour celà il suffit de réexprimer les fonctions connexes en fonction des fonctionsirréductibles et d’effectuer une transformée de Fourier( sans oublier les fonctions d

4(Âi pi) de conser-vation des impulsions externes). On obtient l’effet d’une dilatation x ! S x sur les fonctions decorrélations à N points

G(N)R (xiS; gR, mR; µ) = Z(S)N G(N)

R (xi; gR(S), mR(S); µ) (7.7.20)

avec à l’ordre d’une boucleZ(S) = S�1 (7.7.21)



On va voir que ces relations sont toujours vérifiées aux ordres suivant du développement per-turbatif. Le facteur Z(S) est relié à la renormalisation du champ f. A l’ordre d’une boucle 7.7.21 estla conséquence du fait que la dimension canonique de f en D = 4 est égale à 1, et qu’il n’y a pasde renormalisation du terme en (rf)2 dans l’action renormalisée SR (A1 = 0). A l’ordre suivant il yaura une telle renormalisation, et des termes en g2

R log(S) dans Z(S). De façon générale on aura

Z(S) = S�1Z0(S) (7.7.22)

Les fonctions g(S), m(S) et Z(S) seront calculables ordre par ordre en perturbation.

7.7.5 Groupe de renormalisation et dimensions anormales

7.7.5.a - Flots du Groupe de Renormalisation

Cette propriétés pour les fonctions de corrélation d’une théorie quantique des champs f

4 est toutà fait analogue au résultat de l’analyse du groupe de renormalisation dans l’espace réel pour dessystèmes statistiques.

Le résultat 7.7.20 est similaire à la relation 8.8.4 qui dit que l’effet d’une dilatation dans l’espacex ! Sx peut se réabsorber dans une renormalisation des constantes de couplages k ! k(S) et deschamps f ! Z(S)�1

fS. En fait ce résultat n’est pas similaire, c’est exactement le même résultat !7.7.20 nous dit que sous un changement d’échelle la constante de couplage g, la masse m et le champf doivent être «rescalés» comme.

g ! g(S) , m2 ! m2(S) , f ! Z(S) f (7.7.23)

(avec Z(S) = S�1 à l’ordre d’une boucle). Les transformations pour u = g et t = m2 peuvent s’écriresous forme différentielle comme des équations de flots de groupe de renormalisation, avec des fonc-tions de Wilson W pour les couplages et des dimensions d’échelles D pour les champs

S∂

∂SgR = Wg(gR) , S

∂

∂Sm2

R = Wt(gR, m2R) , S

∂

∂Slog Z = D

f

(gR) (7.7.24)

et on trouve explicitement, à l’ordre d’une boucle

Wg(gR) = � 316 p

2 g2R +O(g3

R) (7.7.25)

Wt(gR, m2R) = m2

R

✓2 � 1

16 p

2 gR +O(g2R)

◆(7.7.26)

Df

(gR) = �1 +O(g2R) (7.7.27)

Enfin remarquons déjà à ce stade que les flots obtenus pour la théorie renormalisée f

4 à 4 di-mensions sont les mêmes que ceux obtenus précédemment par le GR de Wilson pour le modèle deLandau Ginzburg dans l’approximation du potential local. Ceci n’est pas un hasard ! En fait, commeon pouvait s’y attendre, la théorie des champs nous a permis de construire la théorie continue corres-pondant au voisinage du point fixe (Gaussien) de la théorie de Landau-Ginsburg-Wilson en D = 4.

7.7.5.b - Fonctions b et g et dimensions anormales

En notanttR = m2

R (7.7.28)

Les fonctions de Wilson Wg et Wt sont donc reliées aux fonctions b et g définies en 7.7.14-7.7.15 par

Wg(gR) = � b(gR) , Wt(gR, tR) = tR (2 � g(gR)) (7.7.29)


7-16 CHAPITRE 7. f


On va voir plus loin que c’est une relation générale entre les fonctions de Wilson et les fonctionsbeta. �b(gR) est donc la dimension anormale de la constante de couplage gR. h2(gR) = �g(gR) seraappelée la «dimension anormale» de m2. En effet on note que le facteur 2 correspond à la dimensiond’échelle classique de tR = m2

R dans l’action classique, h2 correspond donc à la correction quantiqueà cette dimension classique.

Enfin rappelons que à une boucle la transformation sur le champ f, (f ! S�1f), correspond à la

dimension classique D0 = 1 de f en dimension D = 4. Le champ f n’a pas de dimension anormale àl’ordre d’une boucle. On verra que ceci n’est plus vrai aux ordres plus élévés du développement enboucles. Il existe alors une correction «anormale» à la dimension du champ f, proportionnelle à lafonction «eta» h(gR)

Df

(gR) = �1 � h(gR)2

(7.7.30)

7.7.6 Equations du groupe de renormalisation

Les relations 7.7.11 qui donnent la dépendance dans l’échelle de renormalisation µ des fonctionsrenormalisées, et 7.7.20 qui donnent la dépendance dans l’échelle S des fonctions renormalisées,prennent des formes différentielles simples, et totalement équivalente : les équations du Groupe deRenormalisation. Elles sont écrites ici pour les fonctions de corrélations G(N)

R

7.7.6.a - Dépendance dans l’échelle de soustraction µ

En utilisant 7.7.24 on obtient l’équation

µ

∂

∂µ

+ b(gR)∂

∂gR+ g(gR)m2

R∂

∂m2R+ N

h(gR)2

�G(N)

R (xi, gR, m2R; µ) = 0 (7.7.31)

Noter que j’ai inclu le terme supplémentaire en Nh(g)/2, absent à l’ordre d’une boucle (h(g) =O(g2)) du à la renormalisation du champ.

7.7.6.b - Dépendance dans le facteur d’échelle S

Si maintenant on fait une transformation d’échelle(dilatation) par un facteur S sur les positions,on obtient

S∂

∂S+ b(gR)

∂

∂gR+��2 + g(gR)

�m2

R∂

∂m2R+ N

✓1+

h(gR)2

◆�G(N)

R (Sxi, gR, m2R; µ) = 0 (7.7.32)

Comme signalé précédemment, ces équations sont la version différentielle des équations de flot dugroupe de renormalisation de Wilson pour des fonctions de corrélations de modèles statistiques. Eneffet, elle se réécrivent

S

∂

∂S� Wg(gR)

∂

∂gR� Wt(gR, m2

R)∂

∂m2R

� N Df

(gR)

�G(N)

R (Sxi, gR, m2R; µ) = 0 (7.7.33)

7.7.6.c - Equation de Callan-Symanzik pour la théorie massive

Enfin considérons la première équation (dépendance dans l’échelle de soustraction) pour la théo-rie massive m2

R > 0 et dans le cas où l’échelle de soustraction µ est prise égale à la masse renormaliséemR, c’est à dire

µ = mR 6= 0 (7.7.34)


7.8. «LIBERTÉ INFRAROUGE» ET «ESCLAVAGE ULTRA VIOLET» 7-17

Dans ce cas 7.7.31 devient l’équation de Callan-Symanzik.

b(gR)∂

∂gR+

✓1 +

g(gR)2

◆mR

∂

∂mR+ N

h(gR)2

�G(N)

R (xi, gR, m2R; µ = mR) = 0 (7.7.35)

Ceci est la forme originelle de l’équation de Callan-Symanzik. Dans la littérature la dénominationd’équation de Callan-Symanzik est souvent donnée à toute forme d’équation de groupe de renorma-lisation.

7.8 «Liberté infrarouge» et «esclavage ultra violet»

Enfin discutons les conséquences physique du signe de la fonction b. On voit que pour des cou-plages g positifs (pour lesquels la théorie est bien définie), la fonction b est positive. Autrement ditle couplage effectif g(S) décroit à grandes distances (quand S ! • croît), et croit à courtes distances(S ! 0).

ln(S)

g(S)

FIGURE 7.2 – Variation du couplage g(S) de f

4 avec l’échelle de distance S.

En fait, en intégrant l’équation différentielle 7.7.24 pour g(S), avec 7.7.25 (ce qui suppose que lescorrections à plus d’une boucle sont sous dominantes quand g est petit, ce qui est justifié dans lasection suivante) on obtient

g(S) =g

1 + g 316 p

2 log(S)(7.8.1)

donc g(S) ! 0 quand S ! •. Ceci signifie que dans la théorie f

4 en 4 dimensions les interac-tions sont plus faibles à grande distance qu’à courte distance. C’est un phénomène d’écrantage desinteractions par les fluctuations quantiques. Le même phénomène s’observe en électrodynamiquequantique (QED), où la charge effective de l’électron est écrantée par les paires électrons-positonsdes fluctuations du vide à courte distance.

Par contre ceci va poser des problèmes pour la définition non-perturbative de la théorie. Pourdéfinir la limite continue on cherche à contrôler le comportement à courte distance de la théorie.La théorie de la renormalisation nous permet en fait de le faire via un développement perturbatifvalable si le couplage est petit. Mais le résultat de cette théorie est que le couplage effectif à courtedistance est grand ! Il y a donc une contradiction. Ces problèmes ont été signalés dès les années 50par L. Landau et l’école Russe pour l’électrodynamique quantique. On ne va pas les discuter plus àce stade.


7-18 CHAPITRE 7. f


NB : Ceci vient à la suite du chapitre 7-M2-TSC-David.pdf (renormalisation perturbative de f

4), maisa été traité dans le cours du 04/11/2014.

7.9 Application : Groupe de Renormalisation pour f

4 à D < 4 et dévelop-pement en e

Je donne ici une brève introduction au principe de développement en D = 4 � e de Wilson-Fisher par un calcul à une boucle. La justification de ce calcul nécessite la construction de la théorierenormalisée et des équations du groupe de renormalisation, et l’utilisation de la renormalisationdimensionnelle (schéma de soustraction minimale). On ne va pas discuter non plus l’existence dedivergences IR dans la théorie des perturbations pour la théorie de masse nulle en D < 4. Elles n’ap-paraissent pas dans les calculs à une boucle qui suivent, et surtout n’invalident pas les conclusionssur la structure des flots. On va toujours fixer h = 1 et noter la dimension de l’espace

D = 4 � e .

7.9.1 Théorie renormalisée en D < 4

Le principe est le suivant : on renormalise la théorie pour D < 4 comme en D = 4, c’est à direqu’on renormalise le couplage g et la masse m2 en référence à une échelle de renormalisation µ, defaçon à ce que dans la limite D ! 4 les fonctions de corrélations soient égale à celles de la théorierenormalisée à D = 4, donc finies UV.

Constante de couplage : Ceci revient à introduire un contreterme en f

4 (qui sera fini UV quandD < 4) correspondant pour la constante de couplage à

g ! gB = gR + C1 , C1 = g2R

32

CDL�e � µ

�e

�e

(7.9.1)

oùCD = 2 (4p)�D/2/G(D/2)

est le coefficient positif 7.3.3 . La fonction à 4 points renormalisée pour la théorie de masse nulle vautalors

G(4)R (p) = gR � g2

R12

CD

4

Âi=2

|p1 + pi|�e � µ

�e

�e

(7.9.2)

c’est à dire que la condition de renormalisation 7.7.4 (G(4)(pi)|p⇠µ

= gR) pour définir le couplagerenormalisée gR est toujours utilisée.

NB : pour la théorie massive on aura une formule plus compliquée pour G(4)R faisant intervenir des

fonctions hypergéométriques . Je ne les écris pas explicitement.

Masse : De même, pour la théorie massive le contreterme de masse en f

2 correspond à une renor-malisation de masse de la forme

m2 ! m2B = B(0) + m2

RB(1) = m2R + gR

CD

2

✓�L2�e

2 � e

+ m2R

L�e � µ

�e

�e

◆(7.9.3)


7.9. GR À D < 4 ET e-EXPANSION 7-19

(le terme divergent UV est celui discuté auparavant pour la théorie en D < 4). La fonction à deuxpoints renormalisée est

G(2)R (p) ' p2 + m2

R + gRCD

2m2

Rµ

�e � m�e

Re

+ · · · (7.9.4)

Là encore, la masse renormalisée mR n’est pas la masse physique mphys, mais un paramètre commodepour caractériser la théorie renormalisée. La relation entre mR et mphys est

m2phys = m2

R + gRCD

2m2

Rµ

�e � m�e

Re

+ · · · (7.9.5)

On voit bien que quand mR ! 0, mphys ! 0, du moins tant que e < 2, c’est à dire que D > 2.Mais on a vu que les théories de masse nulle posent problème en D = 2, du moins en théorie desperturbation.

7.9.2 Paramètres renormalisés sans dimension uR et tR et fonctions beta du GR (bu et bt)

Paramètres renormalisés : On voit que en D 6= 4 le couplage gR a une dimension �e (en échelle demasse) et m2 est de dimension 2.

[g] = [`]e , [m2] = [`]�2 (7.9.6)

La théorie renormalisée est définie par référence à l’échelle de renormalisation µ. Plutôt que de consi-dérer les couplages renormalisés g et m2 dimensionnés, iI est plus naturel de considérer les couplagesrenormalisés sans dimension uR et tR définis par

uR = gR µ

�e , tR = m2R/µ

2 (7.9.7)

En terme de ces couplages les fonctions à une boucle deviennent

G(2)R (p; uR, tR; µ) = p2 + µ

2 tR + µ

2 uRCD

21 � t�e/2

Re

+ · · · (7.9.8)

G(4)R (pi; uR, tR = 0; µ) = µ

e

"uR � u2

R12

CD

3

Âi=2

(|p1 + pi|/µ)�e � 1�e

+ · · ·#

(7.9.9)

Les relations entre couplages renormalisés uR et tR et les couplages nus gB et m2B deviennent

gB = µ

e

uR + u2

R32

CD1 � (µ/L)e

e

+ · · ·�

(7.9.10)

m2B = µ

2

tR + uR12

CD

✓� (µ/L)e�2

2 � e

+ tR1 � (µ/L)e

e

◆+ · · ·

�(7.9.11)

Fonctions b : Comme pour D = 4, on définit les fonctions beta bg et bt associées aux couplagesrenormalisés uR et tR comme la variation des constantes de couplages renormalisées avec l’échellede renormalisation µ, les fonctions de corrélations (donc les constantes nues gB et tB) étant fixées.

buR = limL!•

µ

∂

∂µ

uR

��gB,L

!, btR = lim

L!•

µ

∂

∂µ

tR

��gB,tB,L

!(7.9.12)


7-20 CHAPITRE 7. f


Résultats explicites à une boucle : Le calcul explicite (à partir de 7.9.8-7.9.9 ou de 7.9.10-7.9.11 ) donneces fonctions beta à une boucle

buR = �e uR +32

CD u2R + O(u3

R) (7.9.13)

btR = tR

�2 +

12

CD uR + O(u2R)

�(7.9.14)

7.9.3 Equations du groupe de renormalisation à D < 4

Constantes de couplages effectives : On peut sans difficulté étudier comment les fonctions de cor-rélations du modèle se transforment sous une transformation d’échelle x ! Sx. Les fonctions decorrélations scalent maintenant comme

G(N)R (Sxi, uR, tR; µ) = SD0 N G(N)

R (xi, uR, tR; µS) = Z(S)N G(N)R (xi, uR(S), tR(S); µ) (7.9.15)

D0 = 2�D2 est la dimension canonique du champ f. Z(S) est le facteur de renormalisation du champ.

A une boucle il vaut simplementZ(S) = SD0 = S

2�D2 (7.9.16)

Les constantes de couplages effectives uR(S) et tR(S) sont sans dimensions donc sont obtenuesen intégrant les équations de flot

S∂

∂SuR(S) = � buR(uR(S)) , S

∂

∂StR(S) = � btR(uR(S), tR(S)) (7.9.17)

Relations fonctions b – fonctions W : On a donc obtenu les fonctions de Wilson pour les couplages uRet tR de la théorie renormalisée, avec la relation fondamentale entre les fonctions beta et les fonctionsde Wilson valable pour tous les couplages renormalisés sans dimension

Wcouplage = � bcouplage (7.9.18)

Equations du GR : Ces équations prennent la même forme différentielle que pour D = 4. Il faut justetenir compte de la dépendance en D de la dimension canonique du champ et utiliser les fonctionsbeta 7.9.13-7.9.14 calculée pour D < 4.

Dépendance dans l’échelle de soustraction µ :

µ

∂

∂µ

+ buR(uR)∂

∂uR+ btR(tR)

∂

∂tR+ N

h(uR)2

�G(N)

R (xi, uR, tR; µ) = 0 (7.9.19)

Dépendance dans dans le facteur d’échelle S :

S∂

∂S+ buR(uR)

∂

∂uR+ btR(uR, tR)

∂

∂tR+ N

✓D � 2

2+

h(uR)2

◆�G(N)

R (S xi, uR, tR; µ) = 0 (7.9.20)

La dimension du champ f est donc donnée par

Df

= (2 � D � h(uR))/2 = S∂

∂Slog Z (7.9.21)

et je rappelle que la dimension anormale du champ h(gR) n’est nulle qu’à l’ordre d’une boucle (voirl’analyse générale).



D=4

0

β

g

β

g0

D<4

g*

FIGURE 7.3 – La fonction b pour le couplage renormalisé uR de f

4 en e = 0 et e > 0 (g est en fait uR)

7.9.4 Analyse des flots du GR

Pour D < 4 (e > 0) la fonction bg a un point fixe UV trivial en uR = 0 (point fixe Gaussien) et unpoint fixe IR en u⇤

R

u⇤R = e

23CR

+ O(e2) (7.9.22)

Les flots correspondants sont représentés sur la fig.7.4. La ligne tR = 0 (théorie de masse nulle) est

D=4

Rt

gRG W

R

gR

D<4

t

G

FIGURE 7.4 – Les flots du GR pour les couplages renormalisés de f

4 en e = 0 et e > 0 (gR est en faituR)

stable sous les flots, donc le point fixe W = (u⇤R, 0) correspond au point fixe de Wilson obtenu par la

méthode de renormalisation fonctionnelle dans l’approximation du potentiel local au chapitre 8.6.Lesdimensions d’échelles associés sont celle du couplage relevant t

D⇤[t] = l0 = � ∂btR

∂tR

��W

= 2 � 12

CDu⇤R = 2 � 1

3e (7.9.23)

et celle du couplage irrelevant g

D⇤[g] = l1 = � ∂buR

∂uR

��W

= � e (7.9.24)


7-22 CHAPITRE 7. f


On retrouve donc les résultats du calcul de renormalisation fonctionnelle avec des méthodes de théo-rie perturbative des champs. La théorie f

4 renormalisée est la limite continue du modèle de LGW aupoint critique et ses fonctions de corrélations sont les fonctions d’échelles de LGW.

En particulier, on obtient l’exposant n au premier ordre en e

n =12+

e

12

7.9.5 Flots de Wilson pour les couplages nus

L’équivalent de la procédure de groupe de renormalisation de Wilson (voir sections suivantes)est de se demander quels couplages nus, pour des cut-off physiques L différents, donnent la mêmephysique à l’échelle µ. Pour cela, il faut considérer les couplages nus sans dimensions, exprimés dansl’échelle du cut-off.

uB = gB L�e , tB = m2B/L2 (7.9.25)

Les fonctions de flots de Wilson sont simplement

WuB = � L∂

∂LuB

��uR,µ

, WtB = � L∂

∂LtB

��uR,tR,µ

(7.9.26)

Les relations 7.9.10 et 7.9.11 peuvent se réécrire facilement (à des termes à deux boucles près) comme

Le

✓uB + u2

B32

CD1e

◆= µ

e

✓uR + u2

R32

CD1e

◆(7.9.27)

L2✓

tB + uB12

CD1

2 � e

+ tBuB12

CD1e

◆= µ

2✓

tR + tRuR12

CD1e

◆(7.9.28)

On en déduit les fonctions de Wilson

WuB(uB) = e uB � 32

CD u2B + · · · (7.9.29)

WtB(uB, tB) = 2tB � tBuB12

CD + uB12

CD + · · · (7.9.30)

C’est le même résultat que les fonctions de Wilson 8.6.39 obtenues dans l’approximation du potentiellocal tronqué à l’ordre f

4.

7.9.6 Renormalisation dimensionelle

Dans la procédure de renormalisation dimensionnelle (schéma de soustraction minimale, ou MSschème), les intégrales de Feynman sont directement calculées en dimension D quelconque, sansrégulateur UV, en appliquant la règle Z

dDk |k|n = 0 (7.9.31)

De ce fait dans 7.9.10, 7.9.11 les termes en L�e et L2�e disparaissent. De plus, pour simplifier, lescontretermes ne contiennent que des pôles en e = 0, pas de parties finies (soustraction minimale).Les relations entre paramètres nus (dimensionnés) et paramètres renormalisés (sans dimensions) sontalors

gB = µ

e

✓uR + u2

R32

C41e

+ · · ·◆

(7.9.32)

m2B =µ

2 tR

✓1 + uR

12

C41e

+ · · ·◆

(7.9.33)



avecC4 =

18p

2 (7.9.34)

Les fonctions beta sont donc

buR = �e uR +3

(4p)2 u2R + O(u3

R) (7.9.35)

btR = tR

�2 +

1(4p)2 uR + O(u2

R)

�(7.9.36)

Les fonctions b sont les composantes d’un champ de vecteur dans l’espace des paramètres de lathéorie. Ce champ de vecteur engendre le flot des transformations du groupe de renormalisation.Les fonctions b se transforment donc comme les composantes d’un vecteur contrariant sous desredéfinitions des couplages. Ceci explique les différences entre les fonctions b dans 7.9.13-7.9.14 ,7.9.29 et 7.9.35-7.9.36, les trois procédures corresponddant à des redéfinitions finies des paramètressans dimensions.


la théorie 4 : renormalisation à l’ordre d’une boucle

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